TERCER PARCIAL DE MATEMÁTICAS ESPECIALES.2024-1. 03
NOMBRE:
Primera parte. 30%.
La figura muestra un periodo de una señal periódica.
a) 5%. Describa la función por tramos.
0
𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑡 < −1
𝑓(𝑡) = {2𝑡 + 2
𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑡 ≤ 0
0
𝑠𝑖
0<𝑡≤2
b) 5%. Escriba la serie de Fourier sin calcular los coeficientes.
∞
𝑎0
𝑛𝜋𝑡
𝑛𝜋𝑡
𝑓(𝑡) =
+ ∑ [𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠 (
) + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛 (
)]
2
2
2
𝑛=1
c) 10%. Escriba en forma simplificada:
𝑎0 = 1/2
8𝑠𝑒𝑛2 (𝑛𝜋/4)
𝑎𝑛 =
𝑛2 𝜋 2
4𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋/2) − 2𝑛𝜋
𝑏𝑛 =
𝑛2 𝜋 2
d) 10%. Escriba la serie truncada en N=3. Los coeficientes se escriben con dos cifras decimales
con redondeo.
𝜋𝑡
3𝜋𝑡
𝜋𝑡
𝑓(𝑡) ≅ 0.25 + 0.41 cos ( ) + 0.20 cos(𝜋𝑡) + 0.05𝑐𝑜𝑠 (
) − 0.23 sen ( )
2
2
2
3𝜋𝑡
− 0.32 sen(𝜋𝑡) − 0.26𝑠𝑒𝑛 (
)
2
Segunda parte. 30%.
Una señal periódica está definida en un periodo como:
1 ; −1 < 𝑡 < 0
𝑓(𝑡) = {
1 − 𝑡2;
0≤𝑡≤1
a) 10%. Dibuje dos ciclos de la señal. Ingrese el código para graficar.
>> t=-1:0.001:1;
y=heaviside(t+1)-heaviside(t)+(1-t.^2).*(heaviside(t)-heaviside(t-1));
plot(t,y,'k')
hold on
t=1:0.001:3;
y= heaviside(t-1)-heaviside(t-2)+(1-(t-2).^2).*(heaviside(t-2)-heaviside(t-3));
plot(t,y,'k')
grid on
b) 5%. Escriba la serie compleja de Fourier sin calcular los coeficientes.
∞
𝑓(𝑡) = 𝑐0 + ∑ 𝑐𝑛 𝑒 𝑗𝑛𝜋𝑡
𝑛=−∞
𝑛≠0
c) 10%. Escriba en forma simplificada:
𝑐0 = 5/6
cos(𝑛𝜋)
2 cos(𝑛𝜋) − 𝑛2 𝜋 2 − 2
𝑐𝑛 = − 2 2 + 𝑗
𝑛 𝜋
2𝑛3 𝜋 3
d) 5%. Dibuje el espectro discreto de magnitud con n=10. Escriba el código.
>> espectrosdiscretosdemagnitudyfase
c0=5/6
número de armónicos=10
real=-cos(pi*n)./(pi^2*n.^2)
imaginaria=(2*cos(pi*n)-2-pi^2*n.^2)./(2*pi^3*n.^3)
Tercera parte. 20%.
Considere el pulso definido como:
𝑓(𝑡) = 2 − 2𝑡; 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
a) 10%. Escriba la transformada de Fourier mediante parte real y parte imaginaria.
𝐹(𝜔) =
2 − 2cos(𝜔)
2𝑠𝑒𝑛(𝜔) − 2𝜔
+
𝑗
𝜔2
𝜔2
b) 10%. Llene la siguiente tabla con dos cifras decimales con redondeo.
𝜔
𝑟𝑒(𝜔)
𝑖𝑚(𝜔)
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
0.71
0.92
1.00
0.92
0.71
0.55
0.32
0.00
-0.32
-0.55
𝑚𝑎𝑔(𝜔) 𝑓𝑎𝑠(𝜔)
0.89
0.97
1.00
0.97
0.89
37.60
19.03
0.00
-19.03
-37.60
Cuarta parte. 20%.
Un sistema lineal invariante en el tiempo está regido por la ecuación diferencial:
𝑦 ′′ (𝑡) + 2𝑦 ′ (𝑡) + 2𝑦(𝑡) = 10𝑒 −𝑡 𝑢(𝑡)
a) 10%. Escriba la transformada de Fourier de 𝑦(𝑡) en forma simplificada (magnitud y fase)
𝑚𝑎𝑔(𝜔) =
10
√𝜔 6 + 𝜔 4 + 4𝜔 2 + 4
4𝜔 − 𝜔3
𝑓𝑎𝑠(𝜔) = −𝑎𝑡𝑎𝑛 (
)
2 − 3𝜔 2
b) 10%. Dibuje el espectro continuo de magnitud en el intervalo: −5 ≤ 𝜔 ≤ 5