Grundlegende Algorithmen mit Java: Algorithms Textbook

Doina Logofătu Grundlegende Algorithmen mit Java Aus dem Bereich IT erfolgreich lernen Algorithmen und Problemlösungen mit C++ von Doina Logofătu Programmieren lernen mit Java von Erwin Merker und Roman Merker Grundkurs Java-Technologien von Erwin Merker und Dietmar Abts Java ist eine Sprache von Ulrich Grude Grundkurs Java von Dietmar Abts Masterkurs Client-/Server-Programmierung mit Java von Dietmar Abts Grundlegende Algorithmen mit Java von Doina Logofătu www.vieweg.de Doina Logofătu Grundlegende Algorithmen mit Java Vom Algorithmus zum fertigen Programm – Lern- und Arbeitsbuch für Informatiker und Mathematiker Mit 115 Abbildungen Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. Das in diesem Werk enthaltene Programm-Material ist mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Der Autor übernimmt infolgedessen keine Verantwortung und wird keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne von Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen. Höchste inhaltliche und technische Qualität unserer Produkte ist unser Ziel. Bei der Produktion und Auslieferung unserer Bücher wollen wir die Umwelt schonen: Dieses Buch ist auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier gedruckt. Die Einschweißfolie besteht aus Polyäthylen und damit aus organischen Grundstoffen, die weder bei der Herstellung noch bei der Verbrennung Schadstoffe freisetzen. 1. Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Günter Schulz / Andrea Broßler Der Vieweg-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0369-6 ȱ ȱȱ ȱ¢ȱȱȱ¢ȱ ȱȱȱ ȱǵȱȱ ȱȱǱȱȱȱȱȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Geleitwort ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǮ ȱȱ ȱ ȃȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ £ȱ ¡§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȬ £ȱ ǻ£ǯȱ ǯȱ Ǯȱ ȱ Ȉǰȱ Ǯ¢ȱ ȈǼǯȱ ȱ §ȱ ȱ Ȯȱ Ǯȱ Ȉȱ ȱ ûȱ Ȭ ǰȱȱǮȱȱȈȱȱȱûȱȱȬ§ȱȱȱ ȱȱ£ȱȱȱȱȱ ȱȬ ûȱȱȱ ȱǯȱ ȱ ȱ ã£ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȬȱ§ǰȱȱȱȱtȱȱ ȱãȬ ǯȱ ȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱ£ȱȱ¢ȱ ȱ£ǯȱ ȱ ȱȱ§ȱȱȱȱȱ ǰȱȱȱ ȱ £ȱ ǰȱȱȱ Ȭǯȱȱȱ£ȱȱ Ȭ ȱȱ ȱ ǰȱ ȱȱ £ȱȱ ȱȱ ȱ ȱûȬ ȱȱȱȱȱ ȱ ǯȱȱûȱ£Ȭ ȱȱȱȱȱȱ ȱȱ§Ȭ ȱȱȱ£ȱ£ȱǻȱûȱȱ¢ǼǰȱȬ §ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ śǰȱ ȱ ȱ ȱ Ŝȱ ûȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱ ȱȱȱǰȱ£ǯȱǯȱȱȬ ȱ ȱȱȱǯȱȱǯǯ¢ǯȱȱȱȱȱȱȬ ȱȱȱȱǻȱȱȱǼȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱǲȱȱ ȱȈȈȱȱȱȱȱȱȬ ȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ¡ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ȱ ǯȱȱûȱ VII Vorwort ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱ ȱ ȱãȱȱƸƸȱǰȱȱȱ£ȱ ȱȱǯȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱ ǰȱ §ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱûȱȱȱȱ Ȭ ¡§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ §ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ §£ȱ ãȱ ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ǯȱ ȱ Ȭȱ ȱ ¢Ȭ ǰȱȱȱȬ ȱȱȱǻȱȱǼȱȱ ȱ ûȱ ȱ ¢ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱȱȱƸƸȬȱûȱȱȱđȱȱȱ£§£ȱ tȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ§ȱǰȱûȱȱȱȱãȱ£ȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŜŖȱ ȱ £ ǯȱ ǰȱ ȱ §ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ǰȱ ȱ ŘŚŖȱ tȬ ȱȱȱŗřŖȱȱȱǯȱȱãȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ tȱ ûȱ ȱ ǯ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǯȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ Ȭ ȱûûǯȱȱȱȱȱ¢ȱȱ ȱȱãǰȱ ȱȱȱȦȱã£ȱȱȱ Ȭ ȱ §ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ û ãȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ §ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱ §ǯȱ ȱȱȱ ȱȱ ȱŗǯŜǯȱȱ ǰȱȱĸȱȱ£ȱ ûȱ ȱ ǻǱȦȦǯǯȦȦ Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ tǰȱȱȱȱǰȱȱ£ȱ§ȱȱȱȱ£ȱ ǰȱȱȱȱȱȱȱ ȱãȱȱȱȬ §ȱǯȱȱ IX ȱ ȱȱ£ ǯȱȱ ȱȱȱ ȱ ȱȱ ȱ £ȱ £ ǯȱȱȱ ȱȱ ȱǯȱȱ ǰȱȱȱǰȱȱǰȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱûǰȱ ȱȱȱȱ¡ǰȱȱȱȱǰȱ£ȱ ǯȱȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ǯȱ ǯȱ Ȭǰȱ Ȃȱ ǰȱ ûȱ ȱ ǰȱ Ȭǰȱ ȱ ȱ ǰȱ §ǰȱ ¡ȱ ûǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ Ȭ£ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱ¢ȱǻǼǰȱ ȱ¢ȱ ȱ ȱ ǻ Ǽȱ ȱ Ȭȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǻ Ǽȱ ȱ ȱ£ǰȱ£ȱȱûȱȱȱ£ȱǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ đǰȱ £ ȱ £ ȱ ȱ tȱ Ǳȱȱ ȱ ûǰȱ §ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱǰȱȱȱǰȱãȱȱ¢ǯȱ ȱ ȱȬȱ£ȱȱȱȱǱȱ ȱ ǯȬȬǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ Ȭ Ǳȱȱ ȓ¢ǯȱ ȱ ûȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱûȱȱȱȱȱǷȱ ȱ ȱ ȱ ûǰȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ©ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱŘŖŖŝȱ ǯȬǯȱ X Danksagung ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ£ ȱȱ ȱȱ£ȱȱǯȱûȱȱȱȱ ȱãȱ ǰȱ ȱ§ȱȱ ȱȱȱȱȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǯȱ ǯȱ ȱ ûȱ ȱ £ ȱ ŗşŞŜȱ ȱ ŗşŞŞȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ǻȬ Ǽȱȱȱ ȱȬ¢ȱǻ Ǽȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱû ȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱȱ£ȱȱ£ȱȱ ǰȱȱȱȱ ȱȱȱȱ Ȭȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǯȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ§ȱǯȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱ£ȱ £ȱȱȱȱǮȱȱ ȱ Ȅȱ £ȱ ǯȱ đȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱǻȱŗŘǰȱ ȱŝǰȱǼȱȱȱȱȱ ȱ ǻ ȱ ŚǼȱ ǯȱ tȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ã ȱ ¢ǰȱ ȱ đǰȱ ǯȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ §ȱûǯȱûȱȱȱǯȱȱ ȱ ûȱ ȱ£ȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱǯȱȱȱ ȱǻ§ȱǰȱǼǰȱǯȱǯȱȱ ȱȱǯȱǯȱȱ l©óȱǻȱ§ȱǰȱ§Ǽǯȱ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǯȱǯȱȱ ȱȱǻȱ Ǽǰȱ ȱ ǯȱȱǻȱȱ ǰȱ ȱ ȱ Ǽǰȱ ȱ ǯȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ Ǽȱ ȱ Ȭ ȱȱǻȱȱȱȬ Ǽǯȱ XI ȱȱ ȱȬȱǻ Ǽȱûǰȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ û£ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǯȱ ȱȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ ¢ȱ Ǯ ǯȱ ȄǼȱȱȱȱǻȱŝǼȱȱȱȱ ȱȱ ȱȱ§ǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǰȱȱȱ ȱûȱȱȱ£ȱǯȱ ȱȱ ȱđȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱãȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǰȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ©ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱŘŖŖŝȱ XII Inhaltsverzeichnis ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ GELEITWORT von Dr. Eric Müller VII VORWORT IX DANKSAGUNG XI ȱ ȱ 1 ALGORITHMEN – GRUNDLEGENDE KONZEPTE 1 Abstammung des Wortes Algorithmus Alternative Definitionen Beispiele für Algorithmen Euklidischer Algorithmus Das Sieb des Eratosthenes Binäre Suche Rezept für Tiramisu Vom Problem zur Lösung Eigenschaften eines Algorithmus Algorithmik Das RAM-Rechnermodell Die Komplexität von Algorithmen Optimalität, Reduktion, Beispiele Wachstum von O(g(n)) Die reelle Zeit eines Algorithmus (polynomial vs. exponentiell) Klassifizierung der Probleme (P, NP, NP-vollständig, NP-hart) Probleme NP-vollständig (NP-complete) Das Erfüllbarkeitsproblem (SAT) Die Klasse der NP-hart Probleme Aufgaben 1 1 2 2 3 4 6 7 10 10 11 12 14 17 17 18 19 20 21 22 ȱ XIII 2 VERSCHACHTELTE SCHACHTELN Problembeschreibung Problemanalyse und Entwurf der Lösung Der Algorithmus Das Programm Die Programmanalyse Aufgaben Anmerkungen 3 GREEDY Grundlagen Problem 1. Rucksackproblem Problem 2. Kartenfärbung Problem 3. Springer auf dem Schachbrett Problem 4. Minimaler Spannbaum (Kruskal-Algorithmus) Problem 5. Huffman-Kodierung 4 DATA ORDERING PROBLEM Problembeschreibung Problemdomäne, Definitionen DOP und DOPI sind NP-vollständig Algorithmen für DOP und DOPI Zufällige-Lösung-Algorithmen (RAN) Exakt-Algorithmen (EX) Greedy_Min-Algorithmen (GM) Greedy_Min Simplified-Algorithmen (GMS) Algorithmen mit unterer Schranke (LB) Implementierungsdetails Programm Auswertung der Ergebnisse Aufgaben 5 REKURSION Vollständige Induktion Rekursion: Grundlagen Problem 1. Quersumme und Spiegelung einer natürlichen Zahl Problem 2. Die Zahl 4 Problem 3. Rest großer Potenzen Problem 4. Die Torte (lineare Rekursion) Problem 5. Die Ackermannfunktion (verschachtelte Rekursion, "compound recursion") Problem 6. Rekursive Zahlenumwandlung (Dezimalsystem in System mit Basis P) XIV 25 25 26 27 29 32 37 38 39 39 40 43 45 48 56 65 65 66 71 72 73 74 74 75 75 77 84 94 96 99 99 105 106 108 111 115 118 120 Problem 7. Summe zweier Wurzeln (verzweigte Rekursion) Problem 8. Collatz-Funktion (nicht-monotone Rekursion) Problem 9. Quadrate und Quadrätchen Problem 10. Quadrate (direkte Rekursion) Problem 11. Quadrate und Kreise (indirekte Rekursion) Problem 12. Die Koch’sche Schneeflockenkurve 6 TEILE UND HERRSCHE Grundlagen Problem 1. Größter gemeinsamer Teiler mehrerer Zahlen Problem 2. Die Türme von Hanoi Problem 3. Integral mit Trapezregel Problem 4. Quicksort Problem 5. Mergesort (Sortieren durch Verschmelzen) Problem 6. Quad-Bäume Problem 7. Diskrete Fourier-Transformation (DFT) 7 BACKTRACKING Problem 1. Das Problem der n Damen Allgemeine Bemerkungen zum Backtracking-Verfahren Problem 2. Das Problem der n Türme Problem 3. Das Problem der Türme auf den ersten m Reihen Problem 4. Das Problem der aufsteigenden Türme auf den ersten m Reihen Problem 5. Die Freundschafts-Jugendherberge Problem 6. Partitionen einer natürlichen Zahl Problem 7. Erdkunde-Referate Problem 8. Alle Wege des Springers Problem 9. Das Fotoproblem Problem 10. Der ausbrechende Ball Problem 11. Orangensport Problem 12. Testmusterkompaktierung Problem 13. Sudoku Problem 14. Das Haus des Nikolaus Noch 10 Probleme 8 DYNAMISCHE PROGRAMMIERUNG Grundlagen, Eigenschaften des Verfahrens 1. Ursprung des Konzeptes 2. Optimalitätsprinzip 3. Überlappung der Probleme, Speicherung der optimalen Teilproblemlösungen (Memoization) 4. Einführendes Beispiel – die Fibonacci-Folge 5. Bottom-up versus top-down 123 125 127 130 133 135 145 145 146 148 150 152 155 157 162 169 169 175 178 179 180 181 182 185 188 191 193 196 205 214 221 224 231 231 231 231 232 232 234 XV 6. Vergleich mit anderen Verfahren Aufgaben Problem 1. Das Zählen der Kaninchen Problem 2. Längste aufsteigende Teilfolge Problem 3. Längste gemeinsame Teilfolge (LCS) Problem 4. Zahlen-Dreieck Problem 5. Domino Problem 6. Verteilung der Geschenke Problem 7. Ähnliche Summe Problem 8. Schotten auf dem Oktoberfest Problem 9. Springer auf dem Schachbrett Problem 10. Summen von Produkten Problem 11. Minimale Triangulierung eines konvexen Vielecks Problem 12. Multiplikation einer Matrizenfolge Problem 13. Edit-Distanz Problem 14. Arbitrage 9 POTENZSUMMEN Problembeschreibung Problemanalyse. Algebraische Modellierung Von der Rekursionsgleichung zum Algorithmus Der Algorithmus Programm Aufgaben 234 235 236 240 245 249 253 258 261 266 275 280 286 291 297 305 311 311 311 313 316 318 321 LITERATURVERZEICHNIS 323 STICHWORTVERZEICHNIS 327 ȱ ȱ XVI Algorithmen – grundlegende Konzepte 1 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱ £ȱȱǯȱȱȱȱ £ǰȱȱȱȱȬ ȱǰȱȱ ȱ§ȱǰȱ ȱȱȱ£ȱȱ ȱȱȱ£ûǯȱ ȱ Abstammung des Wortes Algorithmus ȱ ȇȱȱȱȱȬ £ȱǻǯȱŝŞŖȮŞśŖǼȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ǰȱ ȱ ȱ ǯȱȱȱȱȱȱȬ £ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ǮȄǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȂȬǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ Ȭ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ãǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȬȱȱȱǯȱȱ Alternative Definitionen ȱ đȱȱ £ȱãȱ ȱȱȱȱǱȱ • ȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱãǯȱȱȱãȱȬ ȱȱȱȱȱȱûȱ ǯȱ • ȱȱȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱȱ£ȱ ȱȱȱȱãȱûȱȱ £ȱȱȱȱ ǯȱ • ȱȱȱ£ȱ ȱǰȱȱȱȱȱȱȱ ûȱ ȱǯȱ 2 Grundlegende Algorithmen mit Java • • ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱȱȱȱûȱ ǯȱ Beispiele für Algorithmen Euklidischer Algorithmus.ȱȱȱǰȱ ȱ ȱȬ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱ ȱ ȱ ¡£ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǯȱ řŖŖȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǯȱ 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đȱǯȱ śǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱǯȱ Ŝǯ ȱ£ȱȱȱǰȱȱȱȱ ǯȱ ŝǯ ȱ đȱȱȱȱ§ȱȱǯȱ Şǯ ȱȱ đȱ£ȱȱ£ǯȱ şǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §đȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ û£ǯȱ ŗŖǯ ȱȱȱȱ§ȱȱǯȱ ŗŗǯ ȱȱȱȱ§đȱǯȱ ŗŘǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱ ûȱǯȱ ŗřǯ ȱȱȱȱ ȱǯȱ ȏȱ ȏ ȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ £ȱ ûȱ ǰȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ûȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱȱûȱ ȱȱȱŗŘȱȱŗŗȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱȱŗřȱ ǻȱ ȱǼȱȱŗŘȱǰȱȱȱȱȱǯȱ ȱ 1 Algorithmen – grundlegende Konzepte 7 ȱȱȱ ȱǰȱȱȱȱȱȱǰȱȱ£ȱȬ ȱãȱȱûǯȱȱȱ ǰȱȱȱ§ȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ããǯȱ ȱ ãȱ ȱ £ ȱ £ȱ ǰȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱȱȱȱȱȱãȬ ȱȱ ȱ§ȱ ǯȱȱȱȱȱ ȱȱȱ ãǯȱȱûȱãȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱȬ ȱ£ǯȱ Vom Problem zur Lösung ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ đȱ ǰȱȱ ȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ£ ȱǱȱȱȱǯȱȱ • ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ ȱǰȱǰȱãǼǲȱ • ȱ ȱ ȱ £ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ £ȱ £ǯȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ãȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ£ȱãȱȱȱȱ£ǰȱȱȱȱǯȱȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ ¡§ȱȱȱȱȱ §ȱȱ§ǯȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ûȱ Ǳȱ ȱ • ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱȱ ȱãȱǻǼǯȱ • ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ ûȱȱǯȱ • ȱ ȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱŗǯȱ §ȱǻǯȱȱȱǼǯȱȱ ȱȱȱ ȱȱ§ǰȱ§ǰȱǰȱ ȱȱ£ȱȱ ȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱ§ǰȱȱ£ ȱ ȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ 8 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ãǰȱ ûȱ ȱ £ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱûȱȱȱŗȱȱȱ££ ǯȱ £ȱûȱ ȱȱȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱȱǯȱȱȱȱ£ ȱ ¡ȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱȬȱȱȱȬȱȱȱ §ȱ ȱ ȱ ŗǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ Ŗǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ƽȱ ǯȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱȱŗȱȱǯȱȱãȱȱ ȱȱȱ¢ȱȱƽȱǿŗǰȱŘǰȱǳǰȱȀǰȱȱ∈ǿŗǰȱ ǯǯǰȱȀȱȱǯȱȱûȱȱǰȱȱȱȱ≠ȱǰȱ ȱȱƽȱŗȱǯȱȱ ȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ§ȱǯȱ ǯȱȱ ȱȱ ȱ[ȱȱřȱãȱȱ§ǰȱȱȱ §ȱȱȱǱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ§ȱȱ ȱ ȱȱȱ ȱ£ǯȱȱǰȱȱȱ ȱ£ ȱ ȱȱǯȱȱ ȱ ££¡ȱ ȱ ¢ǰȱ ȱ ȱ ȱ ƽȱ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ zȱ ǿŗǰȱ Řǰȱ ǳǰȱ ŗŖȀǯȱ ȱ ãȱȱȱǿȱÁ ÁÁ ÁÁ ÁȱȀǯȱ ȱ ȱ ȱ 1 Algorithmen – grundlegende Konzepte ȱȱ ȱ ȱ ȱ 1 4 7 2 5 3 6 8 9 9 ȱ££¡ȱş¡şȱ §0 1 0 0 0 0 0 0 0· ¨ ¸ ¨1 0 1 1 0 0 0 0 0¸ ¨0 1 0 1 1 1 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨0 1 1 0 1 0 0 0 0¸ ¨ ¸ȱ ¨0 0 1 1 0 1 1 1 0¸ ¨0 0 1 0 1 0 0 1 0¸ ¨ ¸ ¨0 0 0 0 1 0 0 1 0¸ ¨0 0 0 0 1 1 1 0 1¸ ¨¨ ¸¸ ©0 0 0 0 0 0 0 1 0¹ ȱ ȱãȱ§ȱȱ ȱȱ ȱȱȱ§ȱȱȱ Ǳȱ ȱ ȱ 1 2 3 ȱ ȱ ȱ 5 6 4 ȱ ȱ ȱ 7 9 8 ȱ ȱ ȱ 10 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱŘǯȱȱȱȬǯȱ ȱ ȱûȱȱȱȱ§ȱȱȱǯȱȱ ȱȱ ȱ£ǰȱ ȱȱ ȱȱȱ£ ǯȱ ȱǰȱȱ đȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱ§ǯȱȱȱȱ ȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱ ¢ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ǰȱ §ȱ ǻ ãǰȱǰȱǼǰȱȱȱȱȱȱûȱȱ£ǯȱ ȱȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱãȱûȱ ȱ ûȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǲȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ§ȱȱȱȱȱǲȱȱȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǲȱ ǯǯǯǼǯȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ §ǰȱ £ǯȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ǲȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ £ ȱ §ȱ ǲȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ £ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ǲȱ ǯǯǯǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ǰȱ ãȱ ȱȱȱ ȱȱȱǯȱ Eigenschaften eines Algorithmus • • • • • • • ȱãȱȱǻȱǼȱ ȱȱȱǻȱǼȱ ȱ ǻȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ §ȱȱȱǼȱ ȱȱȱȱ£ȱȱȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǼȱ ¡§ȱ ǻ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ £ǰȱȱ Ǽȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱȱȱȱûǰȱȱûȱȱȱ Ǽǯȱ Algorithmik ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱȱȱ§ǰȱȱȱȱ¢ȱȱ ȱǯȱ ŗǯ ȱǮ Ȅȱȱȱ£ ȱǱȱ • ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ǰȱȱȱȱ§ȱȱȱȱ ǰȱ ǯǼȱ 1 Algorithmen – grundlegende Konzepte 11 • Řǯ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ £ȱȱ ȱûȱãȱǯȱ ȱȱ¢ȱȱȱ ȱȱȱ£ȱ ǰȱ ȱ ȱ ãȱ £ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ §ȱ ǻ£ȱ §ȱǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǰȱȱ£ȱȱȱȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ û£ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǯȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ǰȱ ǰȱ ȱ ǰȱ Ȃȱ ǰȱ ǰȱ ǯȱ Das RAM-Rechnermodell ȱ ȱȱȱ§ȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ¢ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ đǯȱ ȱ Ȭ ȱȱȱǱȱ • ȱǮȄȱȱǻƸǰȱȬǰȱȘǰȱȦǰȱƖǰȱƽǰȱȦ ǰȱȦǼȱãȬ ȱȱȱ£ ǯȱȱǯȱ • ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ǯȱ ȱ ǯȱȱ£ȱȱȱȱȱȱ£ǯȱ ȱ §ȱ£ȱȱǰȱȱȱǻǼȱȱȱ££ ǰȱ ȱȱȱ§ȱǰȱȱȱȱ£ȱȱȱȱŗŖǯȱȱ ǰȱȱȱȱȱȱǻǼȱãǰȱ§ȱȱȱ £ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ đȬ ǯȱ • ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ £ȱȱ£ȱûǯȱȱȱûȱǰȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ£ǯȱ ǯȱ ȱ Ǽȱ ǯȱȱȱȱ¢ȱȱǯȱ ȱȱȬȱȱȱȱ£ȱȱȱǻǼǰȱȱûȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ§£ǰȱ ȱȱȱȱ£ȱ ȱȱȱȬ ȱ£ȱȱ§ǯȱ £ȱȱȱǰȱȱȱȱ£ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ûȱ §£ȱ£ȱãǯȱȱȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱ ¡ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱȬ 12 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ ȱ £ȱ ȱ £ ǯȱ ȱ ȱ ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȬȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱȱ£ȱȬ ¢ǯȱȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱ£ȱȱ §ȱȱ ǯȱȱ ȱ ȱȱȱ £ǰȱȱȱȱȱ£ȱ ȱǯȱȱ ȱ £ȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱǰȱȱȱȱȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ãȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ûȱûǰȱȱȱȱ ǯȱȱ §ȱȱǰȱȱȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ȱ§ȱȱȱȱȱȬǯȱȱȱȱǰȱȱȱȬ ǰȱȱȱȱǰȱȱû£ȱǰȱȱȱȱȱȱ §ȱ£ȱǯȱȱ Die Komplexität von Algorithmen ȱ ¡§ȱȱȱȱȱȱ ǰȱȱȱ ȱ ȱȱȱ ȱǻ£ǰȱãȬ ȱ ǰȱ £ȱ ȱ ȱ ǯǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ǰȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱȱȱȱ ȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱȱ ǻǼȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ §ȱ ûȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ Ǽǰȱ ȱ ǻȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ Ǽǰȱ ǰȱ ǰȱ ǰȱ Ȭ ǰȱȬȱ ǯȱǯȱ ȱ Die Ĭ-, O- und ȍ-Notation.ȱȱȱ ȱ ǰȱȱȱȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ȱ £ȱ ¢ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǯȱ ȱ Die Ĭ-Notation (konstante Kategorie – same order).ȱȱȱȱȱ ȱ Ŗȱ zWȱȱŗǰȱŘȱzȱ[ȱǰȱûȱȱȱȱȱǻǼȱûȱȱûȱȱǰȱȱ ãđȱȱŖȱǰȱȱ£ ȱŗȱȉȱǻǼȱȱŘȱȉȱǻǼȱǰȱȱȱ ǰȱȱȱ zȱ̋ǻǼȱǯȱ 1 Algorithmen – grundlegende Konzepte 13 ȱ ȱ̋ȬǱȱ∃ŖǰȱŗǰȱŘȱ∀ȱ≥ȱŖǱȱŗȉǻǼȱ≤ȱǻǼȱ≤ȱŘȉǻǼȱȱ ȱ Die O-Notation (obere Schranke – upper bound). ȱ ǰȱ ȱ ǻǼȱ zȱ ǻǻǼǼȱ ǰȱ ȱȱȱȱ ȱŖȱzWȱȱȱz[ȱǰȱûȱȱȱȱȱǻǼȱûȱ ȱûȱȱǰȱȱãđȱȱŖȱǰȱȱȱȱȉǻǼȱǯȱ ȱ ȱ ȱȬǱȱ∃Ŗǰȱȱ∀ȱ≥ȱŖǱȱǻǼȱ≤ȱȉǻǼȱ Die ȍ-Notation (untere Schranke – lower bound).ȱ ȱ ǰȱ ȱ ǻǼȱ zȱ ̛ǻǻǼǼȱ ǰȱ ȱȱȱȱ ȱŖȱzWȱȱȱz[ȱǰȱûȱȱȱȱȱǻǼȱûȱ ȱûȱȱǰȱȱãđȱȱŖȱǰȱȱãđȱȱȉǻǼȱǯȱ ȱ 14 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ ơ̇̄ȬǱȱ∃Ŗǰȱȱ∀ȱ≥ȱŖǱȱǻǼȱ≥ȱȉǻǼȱ Optimalität, Reduktion, Beispiele ȱ ¡§ȱȱȱȱȱȱǻǼǰȱȱȱ£ȱȱãȬ ȱȱǻȱȱ£ǼȱȱȱûȱȱȱȱȱȱȬ §ǯȱȱȱ£ ȱ ȱȱȱǱȱ ǯ ȱ ¡§ȱ ȱ ûȱ ȱ ǻǯȱ Ȭȱ ¡¢ǼǱȱ ȱ£ȱȱȱȱȱȱ§ȱȱȱȱȱ ǯȱ ǯ ȱ£ȱûȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱȱ£ȱȱ £ȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ §ȱǰȱ£ǰȱ ȱȱȱȱȱ§ȱȱȱ ȱ ǻǯȱ ȬǼǯȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ǻǻǼǼȱ ǰȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ ǻȱ ¡§Ǽǰȱ ǻǼȱ ǻȱ ¡§Ǽǰȱ ȱ ûȱ ≥Řȱ ǻ¢ȱ ¡§Ǽǰȱ ȱǻ¡ȱ ¡§ǼǰȱǷȱǻȱ ¡§Ǽǯȱȱȱ ȱȱȱȱ £ ȱȱȱ¢ǯȱûȱȱ £ǰȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ǻǼȦǻǼȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱǰȱȱǻǼȱȱȱǻǻǼǼǯȱǱȱ ŗǯ Řǯ řǯ Śǯ n = 0 ȱmȱ n ȱzȱǻǼȱ n→ ∞ n n lim = ∞ mȱȱ{ȱǻ n Ǽȱ n →∞ n n 1 lim = mȱȱzȱǻŘǼȱ n → ∞ 2n 2 2n lim = 2 mȱŘȱzȱǻǼȱ n→∞ n lim 1 Algorithmen – grundlegende Konzepte 15 ȱȱȱđȱȱ §ǰȱȱȱȱûǱȱ ǻǼȱǀȱȱǀȱȱȉȱǻǼȱǀȱŘȱǀȱřȱǀȱŘǰȱȱȱȱǻǻǼǼȱ£ȱǻǼȱ£ȱǻȱǻǼǼȱ£ǻŘǼȱ £ȱǻřǼȱ£ȱǻŘǼǯȱȱ ǱȱŗŖȱƸȱśȱǻǼȱƸȱŞȱȱ∈ȱǻǼǰȱŞȱ∈ȱǻŘǼǰȱŜśȱȱ∈ȱǻŗǼǰȱŗŖŖŖȱȱ∈ȱǻŘǼǯȱ ȱ ȱȱ ¡§ȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱûȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱûȱȱȬ n ȱ §¨ ·¸ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¨ 2¸ © ¹ ȱ ȱ ȱ ¡§ȱ ǻŘǼǯȱ ȱ ãȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱȱ ¡§ơ̇̄ǻŘǼȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱ ȱ ȱ ¡§ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱûȱȱȱȱȱȱ ûȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȬ ǰȱȱ ȱȱȱ ȱãȱȱȱǰȱȱȱȱȱ ȱãǰȱȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ûȱ ȱ ȱȱȱȱȱ£ȱǻ ¡§Ǳȱ̋ǻȱǻǼǼǼǯȱ ǱȱǻȱƸȱǻǼǼȱƽȱǻǼǰȱȱǻǼȱǀȱǰȱǻǷȱƸȱřǼȱƽȱǻǷǼǰȱȱřǀǷǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱ ¡§ȱȱ££ȱȱȬ ȱ¢ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 16 Grundlegende Algorithmen mit Java ¢ȱȱ ¡§ǯȱ ȱȱȱȱǱȱ ŗǯ ȱȱ Řǯ ȱ←Ŗǰȱȱ←ȱŖǰȱȱ←ȱŖȱ řǯ ȱǻȱȱǀȱȱǼȱȱ ȱȱȱ ȱ ȱȱȱ←ȱȱƸȱŗȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱ←ȱȱȮȱŗȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ←ȱȱƸȱŗȱ ȱȱȱȱȱȱȏȱ Śǯ ȱ←ȱŖȱ śǯ ȱǻȱȱǀȱřȱǼȱȱ ȱȱȱ ȱ ȱ←ȱȱȬȱŗȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱ←ȱȱƸȱŗȱ ȱȱȱȱȱȱȏȱ Ŝǯ ȱǰȱȱ ȱŘȱȱřȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ řȱ ûȱ Ř ǰȱ ȱ ȱ ȱ ř ȱ ǰȱ ãȱ ȱ ȱŜȱǯȱ ȱŚȱȱȱǯȱ ȱ ȱ śȱ ȱ Řȉřȱ ǰȱ řȱ ȱ ȱ řȱ ȱ ǰȱȱȱŗŘȱǯȱ ȱ ǱȱřƸŜƸŗƸŗŘȱƽȱŗŞƸŚȱ ȱđȱȱ ¡§ȱȱǻǼǯȱ ȱ ¢ȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ££ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱãǱȱȱȱȱȱŗȱƸȱŘȱƸȱǯǯǯȱƸȱǯȱȱ ȱ ȱȱ ȱ←ȱŖȱ ȱǻȱ←ȱŗǰȱǼȱ ȱȱȱȱ←ȱȱƸȱȱ Ƹŗȱ ǰȱȱ ȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ǱȱŘȱƸȱŗȱ ǻǼȱ ȱȱ ȱ←ȱŖȱ ȱǻȱȱ←ȱŗǰȱȱǼȱȱ ȱȱȱǻȱȱ←ȱŗǰȱȱǼȱ ȱȱȱȱȱ←ȱȱƸȱŗȱ ŗƸǻƸŗǼȦŘȱ ȱ ȱȱȱȱǻƸŗǼȦŘȱȱ ȱ ȱ ȱ ǱȱŘȱƸȱȱƸȱŗȱ ǻŘǼȱ ȱȱ ȱ←ȱȘǻƸŗǼȱȦȱŘȱ ŗȱǰȱȱ ŗȱǰȱȱ ŗȱǰȱȱ ŗȱ ȱ ȱ ǱȱŚȱ ǻŗǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ £ȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 1 Algorithmen – grundlegende Konzepte 17 Wachstum von O(g(n)) – vergleichendes Beispiel ȱ ǻȱǼȱ ȱȱȱǻǻǼǼȱǻȱǱƽȱǼȱ ȱ ȱȱȱ Řȱ ȱ ȱȱ ǻȱǼŘȱ ŗŖȱ ŗŖŘȱ ŗŖřȱ ŗŖŚȱ ŗŖśȱ ŗŖŜȱ Řȱ řȱ řȱ Śȱ Śȱ Śȱ řȱ ŝȱ ŗŖȱ ŗřȱ ŗŝȱ ŘŖȱ ŗŗȱ ŚŚȱ şşȱ ŗŝŝȱ ŘŝŜȱ řşŝȱ ŗŖȱ ŗŖŖȱ ŗŖŖŖȱ ŗŖǯŖŖŖȱ ŗŖŖǯŖŖŖȱ ŗǯŖŖŖǯŖŖŖȱ řřȱ ŜŜŚȱ şşŜŜȱ ŗřŘǯŞŝŝȱ ŗǯŜŜŖǯşŜŚȱ ŗşǯşřŗǯśŜşȱ ŗŖŘȱ ŗŖŚȱ ŗŖŜȱ ŗŖŞȱ ŗŖŗŖȱ ŗŖŗŘȱ Řȱ Ƿȱ ŗŖřȱ ŗŖřŖȱ ŗŖřŖŗȱ ŗŖřǯŖŗŖȱ ŗŖřŖǯŗŖřȱ ŗŖřŖŗǯŖřŖȱ ŗŖśȱ ŗŖşŚȱ ŗŖŗŚřśȱ ŗŖŗşřřśȱ ŗŖŘŚřǯřřŞȱ ŗŖŘǯşřřǯřŜşȱ ¡§ȱûȱȱǱȱ ŗǯ ȱȱ ǰȱȱȱȱȱȱ ¡§ȱǻǻȱ ǼǻȱǼǼȱ ǯȱ Řǯ ȱ ¡§ȱûȱȱȱȱȱǻǼǰȱ ȱȱûȱȱȱ ȱȱ ȱûǯȱ řǯ ûȱȱ§ȱȱ§ȱȱ ¡§ȱǻȱǼǰȱ ȱȱûȱ ȱǻŗȱƸȱȱǼȱ ȱûȱ ǯȱȱ Śǯ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ǻȱ ¡ȱ Ǽǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǻȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱǼǯȱȱ ¡§ȱȱȱ¡ǱȱǻǼǯȱȱ Die reelle Zeit eines Algorithmus (polynomial vs. exponentiell) ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ §ǰȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǰȱȱȱȱ£ȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱ µsȱȱŗŖȬŜȱǯȱ ȱȱȱȱ ȱǻ¢ȱȱ¡ȱǼȱ ȱ ȱ ǻǼȱƽȱȱ ǻǼȱƽȱȱǻǼ ǻǼȱƽȱŘȱ ǻǼȱƽȱřȱ śȱ ŗŖȱ ŘŖȱ śŖȱ ŗŖŖȱ ŖǯŖŖśȱΐȱ Ŗǯŗȱΐȱ ŖǯŖŘȱΐȱ ŖǯŖśȱΐȱ Ŗǯŗȱΐȱ ŖǯŖřȱΐȱ Ŗǯŗȱΐȱ ŖǯŚȱΐȱ Řǯśȱΐȱ ŗŖȱΐȱ ŖǯŖŗȱΐȱ ŖǯŖřȱΐȱ ŖǯŖşȱΐȱ ŖǯŘŞȱΐȱ ŖǯŜŜȱΐȱ Ŗǯŗřȱΐȱ ŗȱΐȱ Şȱΐȱ ŗŘśȱΐȱ ŗŖŖŖȱΐȱ ǻǼȱƽȱŘȱ ŖǯŖřȱΐȱ ŗȱΐȱ ŗŖŖŖȱΐȱ ŗřȱȱ Śȱ¡ȱŗŖŗřȱ ȱ 18 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ ≥ȱ śŖȱ ȱ £ȱ ûȱ ǻǼȱ ƽȱ Řȱ ȱ £ȱ đȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱãǰȱ ûȱȱ ûȱȱƽȱŗŖŖȱȱŚŖǯŖŖŖǯŖŖŖȱ ȱ§ȱǯȱ Klassifizierung der Probleme (P, NP, NP-vollständig, NP-hart) ȱ ȱ ȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ Ȭȱ £ǯȱ Ȭ§ȱ ȱ Ȭȱ ȱȱȱǯȱȱȱȱȱ £ûȱȱȱȱȱ£ȱǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ đȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ £ȱ ãȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ £ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £§ȱ ȱ ǻǯȱ ǯǰȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǽǯȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱ ȱ ȱǻȱǰȱȱȱ ȱǼǰȱȱȱȱǱȱǮ ȱ ȱ£§ǵȄǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ûûȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ Ȯȱ ȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱȱǯȱȱȱǱȱǮȱ ȱȱȱȱ ȱ§ǰȱȱȱȱȱ ȱǵȄǯȱ ãȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ¢ȱ ãȱ ǲȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ NP ȱãȱǻǼȱ ǯȱȱȱ ȱ P ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £§£ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǮȬȱ ¢Ȅȱ ãȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǱȱûȱȱ £ȱȱǰȱȱȱȱǮ Ȅȱãȱ ǰȱȱ ȱȱȱȱ¢ȱȱûûȱ ǯȱȱȱ£ȱ ȱ ȱ ȱ Ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȃȱ ǵȄǯȱ ȱ £ȱ Ǯ Ȅȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǰȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȃȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ £ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ 1 Algorithmen – grundlegende Konzepte 19 ȱ£ ȱ ȱȱ Ȃȱǰȱǯȱǯǰȱȱȱûȱȱ ȱǿǰȱȀȱȱ ȱȱ ȱ ǿǻǼǰȱ ǻǼȀȱ ȱ Ȃȱ ȱ ȱ Ȃȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱȱȱ£ȱȱȱ ȱ ȱȱ Ȃǯȱ ȱãȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ƽŗŖŖȱ ǰȱ ȱ ȱȱ ȱǮ Ȅǰȱȱȱȱȱȱ ȱȱ¡ȱŗŖŖȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱȬȱȱȱȱǰȱȱȱûȱȱ ȱ ȱ ȱǼȱȱ ȱǯȱȱȱȱȱȱ ǰȱȱȱ ȱȱȱ ¢ȱ£ȱȱǰȱȱȱ ȱ£ȱȱǮ Ȅȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǯ Ȅȱ ȱ ǮȄǯȱ ȱ ȱ £ȱ û£ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ǯ Ȅȱ ǰȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ãȱ ãȱ ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ǮȄȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ǻ ȱ ûȱ ȱ ãȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱãǼǯȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ãȱ ȱ Ȭǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǱȱǮ ȱ ȱãȱȱȱ ȱȱ§ȱãđȱȱ ǵȄǯȱȱ ȱȱȱǰȱȱǰȱȱȱȱ ȱ £ȱ ȱȱȱ£ȱ ȱ Ȭȱãǰȱ ȱûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǮ ȄǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱǱȱ Ǯ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱȱǵȄǯȱ Probleme NP-vollständig (NP-complete) ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ NP ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱǯȱ£ȱ£ȱȱ NPC P ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱ ȱǯȱ ȱ ȱ đȱ Ȭ§ȱ ǻǯȱ ȬǼǰȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱȱǰȱȱȱ£ȱȱ ȱȱ£§ǰȱȱȱ £ȱȱǯȱȱ 20 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȬ§ȱǱȱ • Ȭȱ ǻ ȱ ȱ ǼǱȱ ȱ £ ȱ Ȭ ȱ ȱǵȱ • §ȱ ǻ ȱ ȱ ǼǱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ≥ȱ ŗȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱȱȱãǰȱȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱŗǰȱŘǰȱ ǳǰȱȱ£ȱ§ǰȱȱȱ ȱȱȱǯȱ ȱ ȱȱȬ§ȱȱ ǵȱ • ȱ Ǳȱ ¡ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ §ǰȱ ȱȱ§ȱȱȱȱȱǰȱȱȱȬ ȱȱǵȱ • ȱǻȱȱǼǱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱǵȱ • ûȱǻȱȱǼǱȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱûȱȱȱǯȱ ȱ ȱȱãǰȱȱȱȱȱ¡ȱȱȱȬ £ǵȱ • ȱǻ ȱǼǱȱȱȱȱȱȱȱ £§ȱ ǰȱȱȱȱȱȱȱ ãđȬȱȱ ȱȱȬ ȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱǰȱûȱȱǰȱ ȱȱȱȱãȱȱđȱȱȱȱ ȱǵȱ Das Erfüllbarkeitsproblem (SAT) ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ŗşŝŗȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ǰȱ ǯȱ ŗśŗȬŗśŞǰȱ ǯȱ ȱ Ȭ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱǻǰȱȱengl. satisfiabilityǼǰȱȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ Ȭ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ ãȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ ãǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Prof. Dr. Stephen Arthur Cook ȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ (geb. 1939) ¢ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ ȱȱãǰȱȱ¡ȱûȱȱȬ ȱȱ¢ȱȱȱãǯȱȱ 1 Algorithmen – grundlegende Konzepte 21 ȱ ȱ Ȭǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡§ȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǵȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ£ȱȱǰȱûȱȱȱȱ ȱǵȱȱ ȱ ǯȱȱǰȱȱȱȱȱǻ Ǽȱǰȱȱȱȱ ȱ ( y11 ∨ y12 ∨ ... ∨ y1n1 ) ∧ ( y11 ∨ y12 ∨ ... ∨ y1n 2 ) ∧ ... ∧ ( y11 ∨ y12 ∨ ... ∨ y1n m ) ǰȱ ȱ ȱȱ¢ȱȂȱȱȱȱȱǿ¡ŗǰȱ¡Řǰȱǳǰȱ¡ǰȱ"¡ŗǰȱ"¡Řǰȱǳǰȱ"¡Ȁȱ ǯȱȱ ȱ ȱȱȱȱ Ȭȱ ȱƽȱǻ¡ŗȱ∨ȱ"¡ŘǼȱ∧ȱǻ¡Řȱ∨¡řǼȱ∧ȱǻ"¡ŗ∨"¡Ř∨"¡řǼȱ∧ȱǻ¡ŗ∨"¡řǼȱ ǰȱȱ ȱûȱ ǰȱȱȱȱ ȱȱȱ¡ŗǰȱ ¡Řǰȱ ¡řȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱȱ ȱȱ£ ȱȱ ȱǯȱ ȱ ¡ ŗȱ ¡Řȱ ¡řȱ ȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ Ŗȱ ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ Ŗȱ Die Klasse der NP-harten Probleme ȱȱȱ ȱȬȱȱȱȱȱȱ ǰȱ ȱȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱ ȱ Ȭǯȱ Ȭȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ ǻ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǽǯȱȱȱȱǰȱȱȱ£ȱûȱȱȱ ȱ ȱ ãȱ £ȱ ǰȱ ǯǯȱ ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱãȱ£ȱǯȱ ȱȱ£ȱ ȱȱ ȱȱȱȱ ȱǰȱȱûȱȱȱãȱǰȱȱǮȱȱ ȱ ãȄȱ ǯȱ £ȱ ãȱ ǯǯȱ §ȱ ǰȱ ûȱ £ȱ ȱ££¢ȱ¢ǰȱȱȱȱȱûȱȱǯȱ 22 Grundlegende Algorithmen mit Java Aufgaben ŗǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ǵȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǯȱ Řǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱȱǰȱȱȱȱȱȱŘřŘŘȱȱŜśŚȱ£ȱǯȱ řǯ ȱ ǰȱ ȱ £ ȱ ûȱ ȱ £ ȱ £ȱ ǯȱ Śǯ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱȱȱ£ȱǯȱȱ ¡§ȱȱǵȱ śǯ ȱȱȱȱȱûȱȱ£ȱȱȱ§ȱǯȱ ȱ ¡§ȱ ȱȱǵȱȱȱȱǰȱȱ ȱ§ȱȱǵȱ Ŝǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ǻǼȱ ȱ ȱ ǯǯȱȱǯǯ¢ȱȱȱ Ȭ Ȭȱȱȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱ ǯȱ ŝǯ ȱȱȱǰȱȱȱȱ £ȱȱȱǵȱ Şǯ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ £ǯȱ Ǳȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱȱȱȱǯȱ şǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǵȱȱ ŗŖǯ ȱȱȱ §ȱȱ ȱȱȱǵȱ ŗŗǯ ȱȱ£ȱȱǵȱ ŗŘǯ ȱȱȱȱȱ ȱ£ ǯȱȱ¢ȱȱǵȱ ŗřǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǵȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱ ŗŚǯ ȱ ȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ǵȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ̋ǰȱȱơ̇̄ȱǯȱȱ ŗśǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ǵȱ ȱȱȱûȱȬ§ȱǯȱȱ ŗŜǯ ȱ ȱ ȱ Ȭǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱȬ§ȱǵȱ ŗŝǯ ȱȱȱ ȱȱȬȱǵȱ ŗŞǯ ȱȱȱ ȱǵȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱŘȱ∈ǻřǼȱȱȱȱȱȱǯȱřȱ∈ǻŘǼȱȱȱȱȱǯȱŘƸŗȱ∈ȱǻŘǼȱȱȱȱǯȱǻƸŗǼǷȱ∈ȱǻǷǼȱ ŗşǯ §ǯȱȱȱȱ ǰȱȱ§ȱȱȱ £ȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ §ȱ £ȱûǯȱȱȱûȱȱ§ȱȱŚȱȱǱȱ 1 Algorithmen – grundlegende Konzepte § ȱ ȱ §ȱȱȱȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 23 24 Grundlegende Algorithmen mit Java ŘŖǯ ȱȱȱ ¡§ȱȱȱǱȱ ȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱȱȱ¡ȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱȱȱ¡ȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱśȱ¡ȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱƸŗȱ¡ȱ ȱȱȱǿȱȀȱ ȱȱȱǿȱȀȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱȱȱ¡ȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱȱȱ¡ȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱŜȱ¡ȱ ȱȱȱ←ȱŗǰȱȱ¡ȱ ȱȱȱȱ←ȱŗǰȱȱ¡ȱȱȱ ȱȱȱȱȱ←ȱŗǰȱȱ¡ȱ ȱȱȱȱǿȱȱȱȀȱ ȱȱȱȱȱȱȱǿȱȱȱȀȱ ȱ ȱȱǰȱ§ȱ ȱ Verschachtelte Schachteln 2 ȱ ȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱȱȱ¢ȱȱ ǯȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱȱ ȱȱãǰȱȱȱȱ£ȱȱûǯȱȱȬ ȱ ȱ ȱ Ȭǰȱ ȱ đȱ £ûȱ ȬȦȬȱ ¢ȱ ǯȱ Problembeschreibung ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ǯȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱȱǻŘǰȱřǼȱȱȱȱȱ§ȱřȱȱ ȱ ȱ Řȱ §ǯȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱȱǻŚǰȱŞǰȱşǼȱȱȱ ȱ §ȱ Śǰȱ ȱ ȱ Şȱ ȱ ȱ ãȱ şȱ §Ȭ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £Ȭ ǰȱȱ ȱãȱȱǯȱȱȬ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ƽȱ ǻŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ƽȱ ǻŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ Ǽȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ πȱ ȱ ǿŗǰȱ Řǰȱ ǳǰȱ Ȁȱ ǰȱ ȱ ȱ aπ (i ) < bi ȱ ûȱ ȱ ȱ ∈ȱ ǿŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ Ȁǯȱ ȱ đǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱǯȱȱȱŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱƸŗȱǻŗȱ≤ȱȱǀȱǼȱǯȱȱ ȱȱȱȱȱȱƽȱǻŘǰȱŜǼȱȱȱȱȱƽȱǻŝǰȱřǼǰȱ ȱȱȬ ȱȱȱȱ ȱãȱ£ȱȱƽȱǻŜǰȱŘǼȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱƽȱǻşǰȱśǰȱŝǰȱřǼȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ƽȱ ǻŘǰȱ ŗŖǰȱ Ŝǰȱ ŞǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǯȱȱȱȱȱƽȱǻşǰȱśǰȱŝǰȱŗǼȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȬ ȱ£ȱǻŗǰȱşǰȱśǰȱŝǼȱȱ ȱãȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱǯȱ Ǳȱ ȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱ ȱȱǰȱȱȱ£ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱȱ 26 Grundlegende Algorithmen mit Java Ǳȱȱǰȱ ȱûȱȱ¡ȱȱȱȱǰȱȱȬ ȱǯȱûȱȱ ǰȱȱȱȱȱ¡ȱȱǰȱ ȱ ȱȱȱȱǰȱ ȱȱǯȱ£ȱȱǯȱȱ¡ȱ£Ȭ £ȱ §ȱȱȱȱŘśŖǰȱȱȱȱŗǯȱȱ¡ȱ£ȱ ȱȱȱȱ£ȱȱřŖŖǯȱȱȱǰȱȱȱȱȱ Ƿȱ Ǳȱ ȱ schachteln.in schachteln.out 5 2 Laenge: 4 -------------3 7 3 1 4 5 8 10 ******************************* 5 2 12 7 Laenge: 4 21 18 8 6 -------------7 2 5 8 5 2 20 1 30 10 ******************************* 23 15 7 9 11 3 40 50 34 24 14 4 Laenge: 5 9 10 11 12 13 14 -------------31 4 18 8 27 17 5 4 2 7 9 44 32 13 19 41 19 ******************************* 1 2 3 4 5 6 80 37 47 18 21 9 9 5 7 14 2 1 3 49 80 15 50 10 90 53 17 60 11 4 3 2 15 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 89 53 17 60 11 3 2 1 14 9 92 54 65 19 15 ǻȱ ȱȱȱŗşşŖǰȱȱǯȱȱ¡Ǽȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung £ȱŗǯȱ ȱȱȱȬȱȱȱƽȱǻŗǰȱŘǰȱǳǰȱȬŗǰȱǼȱȱȱƽȱǻŗǰȱ ŘǰȱǳǰȱȬŗǰȱǼȱȱȱȱȱ ≤ȱƸŗǰȱȱ ≤ȱƸŗȱûȱȱȱȱŗȱȱȬŗȱǻȱȬ ȱ ȱ ȱ Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱ ȱȱǀȱȱûȱȱ∈ǿŗǰȱŘǰǯǯǯǰȱȀǯȱ ǯȱȱ£ȱȱ ȱȱǯȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱ∈ǿŗǰȱŘǰǯǯǯǰȱȀȱǰȱȱȱ ȱ≥ȱ ȱǯȱ ȱȱȱȱ ȱȱ 2 Verschachtelte Schachteln 27 ȱǱȱȱǀȱȱûȱȱ∈ǿŗǰȱŘǰǯǯǯǰȱȬŗȀȱȱȱ≥ȱȱǯȱȱȱȱȱ ȱǰȱǰȱȱȱȱ≥ȱȱȱûȱȱ∈ǿƸŗǰȱǯǯǯǰȱȀȱǯȱȱ£ȱãǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱ<ȱȱȱûȱ ǰȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǿŗǰȱŘǰȱǳǰȱȬŗȀǯȱȱȱȱ£ȱ ȱȱǯȱ ȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱ≥ȱǰȱȱȱȱȱȱǯȱǷȱ ȱȱȬ ȱȱȱȱ ȱȱȱ ǯȱ÷ȱ ȱ ȱȱȱ£ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱûȱȱǯȱȱ£ ȱȱȱȱ¡ȱȬ ȱȱǰȱȱȱȱȱûȱǯȱȱȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱǻȱȱǷǼǰȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱǻȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱãđȱȱǰȱȱȱȱȱãǷǼǯȱȱȱȬ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ Ǯ≤ȃȱ ȱ £ȱ £ȱ Ǯȃǯȱ ûȱ ȱ ȱ £ȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱûǱȱ ȱ ŗǯȱȱȱȱȱ ûȱȱȱ 3 7 8 10 5 2 12 7 21 18 3 7 8 10 2 5 7 12 18 21 Řǯȱ¡ȱȱȱȱ ȱȱȱûȱȱȱ 3 7 8 10 2 5 7 12 18 21 2 5 (3) 3 7 (1) 7 12 (4) 8 10 (2) 18 21 (5) ȱ ȱȱȱ§ȱȱȱȱȱȱȱȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Şȱ ǯȱ ȱ ¡ȱ ȱȱȱȱ£ȱǮȄȱȱǻŘǰȱśǼȱ→ȱǻřǰȱŝǼȱ→ȱǻŝǰȱŗŘǼȱ→ȱǻŗŞǰȱŘŗǼǰȱ ȱȱȱȱ£ȱȱȱ§ȱŚǯȱȱȱȱûȱȱ ȱȱǻřȱŗȱŚȱśǼȱȱȱǯȱ Der Algorithmus ȱȱȱȱŗǰȱȱŘǰȱǯǯǯǯǰȱȱȱ¢ȱǰȱȱȱȱȱ ûȱ ȱ ǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ£ȱȱǯȱûȱȱ ȱ£ ȱȱǽǾȱȱǽǾǯȱȱ§Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǽǾȱ ǻǽǾƽȬŗǰȱ ȱǽǾƽŗǼǯȱǱȱ ȱ 28 Grundlegende Algorithmen mit Java - ȱ - ǽǾȱȱȱ¡ȱ§ȱȱǰȱȱȱȬ ǰȱȱ£ȱȱȱǯȱȱȱ Ǳȱ ǽŗǾȱ←ȱŗȱǻȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱȬ ȱȱȱȱǼǰȱ ǽǾȱ←ȱŗȱƸȱ¡ǿǽǾȱǀȱȱȱȱȱ ȱ ȱȱȀȱǻȱȱȱ£ȱȱȱ Ǽǯȱ ǽǾȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǻ ȱȱȱȱ§ȱǰȱȱȱȱȱȬŗǼǱȱ ǽŗǾȱ←ȱȬŗȱȱǻȱȱȱȱȱ§Ǽǰȱ ǽǾȱ←ȱǰȱǽǾȱ¡ȱȱǻǀȱȱȱȱȱǼǯȱ ȱȱȱȱȱ¡ȱ§ȱǰȱȱȱ ȱȱǯȱ ȱ ȱȱǽǾȱȱǽǾȱ ȱ£ȱûǯȱȱ£ȱȱȱȬ ȱ¡ȱ£ȱȱȱȱȱ ¡ǯȱȱȱ§ȱǽǾȱûȱȱ ȱȱãđȱȱȱȱǽ¡Ǿȱǰȱȱ ȱ¡ȱȱȱǯȱ ȱãȱ ȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȏ ȏ ȱ ȱ ŗǯ ȱ¡ȱŗǰȱŘǰȱǯǯǯȱȱ ȱ Řǯ ȱǻȱ←ȱŗǰȱǲȱȱŗǼȱ¡ȱ ȱ ȏǻǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ řǯ ȏ¡¢ǻŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱǼȱ ȱ Śǯ ǽŗǾȱ←ȱŗǰȱǽŗǾȱ←ȱȬŗǰȱ¡ȱ←ȱŗȱ ȱ śǯ ȱǻȱ←ȱŘǰȱǲȱȱŗǼȱ¡ȱ ȱ ȱśǯŗǯȱǽǾȱ←ȱŗǰȱǽǾȱ←ȱȬŗȱȱ ȱ ȱśǯŘǯȱȱǻȱ←ȱŗǰȱȬŗǲȱȱŗǼȱ¡ȱ ȱ ȱ ȱȱ ȱǻȱȱȱȱȱǽǾƸŗȱǁȱǽǾǼȱȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾȱ←ȱǽǾƸŗȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾȱ←ȱȱ ȱ ȱ ȱȱȏ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ śǯřǯ ȱǻǽǾȱǁȱǽ¡ǾǼȱȱȱ ȱ ȱȱ¡ȱ←ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱŜǯȱ¡ȱǻǽŗǯǯǾǰȱǽǾǰȱ¡Ǽȱ ȱ ȏ ȏ ȏ ȱ ȱ 2 Verschachtelte Schachteln ȱ ¡§ȱ ȱ ȱ ȱ O (n 2 m + nm log m) ǰȱ 29 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǻȱȱŘȱȱ O(nm log m) ǰȱ ȱȱȱȱǲȱȱȱśȱȱǻŘǼǰȱ ȱȱ£ ȱȱȬ ȱȱȱ§ȱȱǲȱȱȱ£ ȱȬȱȱûȱȱȬȱ ǻǼǼǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǽǾȱȱȱȱ ¡ȱ¡ȱǱȱ ȱ ȏȱǻǽŗǯǯǾǰȱǽǾǰȱ¡Ǽȱ ȱ ȱȱȱȱȱǲȱ ȱ ȱȱȱȱ ¡ȱƜȱ¡ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǻȱ ¡ȱǁƽȱŖȱǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱǯȱǻȏǻǽ ¡ǾǼǼǲȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱ ¡ȱƜȱǽ ¡Ǿȱ ȱ ȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱȱ ȱ ȏ ȏȱȱǻǽŗǯǯǾǰȱǽǾǰȱǼȱ ȱ ȱ ȱ ¡§ȱȱȱȱȱǻǼǯȱȱ Das Programm ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ǻȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ Ǽȱ ȱȱ¢ȱȱǯȱȱȱ ¡ǻǼǰȱǻǼȱȱ ǻǼȱ ȱȱȱȱȱ¢ȱ¡ǯȱ ȱ import java.io.*; import java.util.*; public class P01_BoxInBox { private static class Box implements Comparable<Box> { private int dimensions[]; private int index; public Box(int boxIndex, int boxDimensions[]) { this.index = boxIndex; this.dimensions = boxDimensions; } 30 Grundlegende Algorithmen mit Java public int compareTo(Box otherBox) { assert this.dimensions.length == otherBox.dimensions.length : " Schachteldimensionen sind nicht einheitlich!"; int rt = 0; for (int i = 0; i < this.dimensions.length && rt == 0; i++) { rt = this.dimensions[i] - otherBox.dimensions[i]; } return rt; } public int getIndex() { return index; } public boolean fitIn(Box otherBox) { assert this.dimensions.length == otherBox.dimensions.length : " Schachteldimensionen sind nicht einheitlich!"; boolean fit = true; for (int i = 0; fit && i < this.dimensions.length; i++) { fit = this.dimensions[i] < otherBox.dimensions[i]; } return fit; } } public static void main(String args[]) { Scanner scanner = null; PrintWriter out = null; try { scanner = new Scanner(new File("schachteln.in")); out = new PrintWriter(new File("schachteln.out")); while (scanner.hasNextInt()) { Box boxes[] = new Box[scanner.nextInt()]; int numDimensions = scanner.nextInt(); for (int i = 0; i < boxes.length; i++) { int boxDimensions[] = new int[numDimensions]; for (int j = 0; j < numDimensions; j++) { boxDimensions[j] = scanner.nextInt(); } Arrays.sort(boxDimensions); boxes[i] = new Box(i, boxDimensions); } Arrays.sort(boxes); 2 Verschachtelte Schachteln int v[] = new int[boxes.length]; Arrays.fill(v, 1); int vPred[] = new int[boxes.length]; Arrays.fill(vPred, -1); int indexMax = 0; for (int i = 1; i < boxes.length; i++) { Box currBox = boxes[i]; for (int j = 0; j < i; j++) { if (boxes[j].fitIn(currBox) && v[j] + 1 > v[i]) { v[i] = v[j] + 1; vPred[i] = j; } } if (v[i] > v[indexMax]) { indexMax = i; } } out.print("Laenge: "); out.println(v[indexMax]); StringBuilder bf = new StringBuilder(); for (int currIdx = indexMax; currIdx >= 0; currIdx = vPred[currIdx]) { bf.insert(0, ' ').insert(0, (boxes[currIdx].getIndex() + 1)); } out.println(bf); out.println("*******************************"); } } catch (Throwable th) { th.printStackTrace(); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } 31 32 Grundlegende Algorithmen mit Java Die Programmanalyse ǯȱ ȱ ȱ ¢ȱ ¡ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ £ȱ ȱȱȱȱǯȱȱȱȱ§ȱȱȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǻ £Ǽȱ Ǳȱ ȱ ȱȱȱȱ£ȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱȱȱȬ ǯȱȱȱ ȱȱ ¡ȱȱȱȱȱȱãȬ ǯȱȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱû ȱȱ§ȱ ȱȱ ȱȱ ǰȱȱȱǯȱ ȱ ȱȬ ȱûǰȱ ȱȱȱȱ ȱȱ ǰȱûȱȱȬ ȱ£ȱȱȱȱȱãȱûȱ ǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ£ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱȱȱ £ȱǱȱ ȱ public Box(int boxIndex, int boxDimensions[]) { this.index = boxIndex; this.dimensions = boxDimensions; } ȱ ȱ£ȱ ȱȱȱǻǼȬȱȱȱȱ¢ȱ¡Ǳȱ ȱ boxes[i] = new Box(i, boxDimensions); ȱ ȱûȱȱ ȱ ȱ ȱ¡ǰȱ£ȱȱȱȬ ȱȱȬ ȱȱǰȱȱ ȱȱȱȬ ȱ ȱȱȱǯȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱ ȱ ǰȱ£ȱȱȱȱȬ ǯȱ ȱ ¢ǯȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ Ǯȱ ȱ ȃǯȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ Ȭȱ ǻûȱ ǰȱ ǯȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ û¢ȱ ǻûȱ ǰȱ ǯȱ Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱȱûȱȱǯǯ¢ǯǻǼǰȱȱȱȱȬ ȱȱ¢ȱǽǾȱȱȱȱȱȱȱ¢ȱ¡ǽǾǯȱ ȱ 2 Verschachtelte Schachteln 33 ȱȱȱ ȱ¡ǯȱȱ ȱ¡ȱȱȱȱȱ ȱǻǯȱȱ ȱǼȱȱŖŗȏ¡ ¡ǯȱȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱ ȱȱȱ£ȱ ȱȱȱȱȱȱ £ȱ ǯȱȱ ȱ¡ȱȱǰȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱđȱ£ȱ£Ȭ ǯȱ ȱ ȱ ȱǯǯǯȱ ǰȱȱȱȱǰȱãȱȬ ȱȱ ȱȱȱȱ ȱ£ǰȱ£ȱȱȱ ǯȱȱ ȱȱȱû ȱȱȱȱȱȬ ȱ ǰȱȱȱ ȱ ȱ £ȱãǰȱȱȱȱ ȱ ȱǯȱȱ ȱȱ ȱ§ȱȱȱ£ȱȱȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ Ǳȱ ǯǯǰȱ Ȭ ǯǯǰȱ ǯǯǰȱ ǯǯ£ǰȱ ǯǯǰȱ Ȭ ǯǯ ǰȱǯǯǰȱǯǯǰȱǯǯǯȱȱãǰȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǻǽǾȱ Ǽȱ ȱȱ ȱ¢ȱǰȱȱȱȱȱǯȱǱȱȱ ȱ Arrays.sort(boxes); ȱ ûȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ȭ Ǳȱ ȱ public int compareTo(Object o) ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǻǼǰȱȱȱȱ £ȱȱ ȱ ȱ Ǯûȱ ȃȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ǯȱ ȱ Ȭ ȱȱ ȱãǯȱǻǼȱȱ ȱǀȱŖǰȱ ȱȱȱȱȱȱ£ȱȱǰȱ ȱȱȱȱŖǰȱ ȱȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱȱ ȱǁȱŖǰȱ ȱȱȱȱȱȱ£ȱȱǰȱ £ûǯȱ ȱ ȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱ¢ǯǻǽǾȱǼȱȱȱȬ ¢ȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱǯǯ¢ȱȱǰȱȱ¢ȱȱȱ¢ȱ ȱȱǰȱǰȱǰȱǰȱǰȱûȱȱȱ ãđȱǯȱǯǯ¢ȱȱȱȱȱǻǼǰȱȱȱ¢ȱȱ ȱ§ǯȱȱ ȱȱȱ¡ǰȱ ȱȱ££Ȭ 34 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ£ȱȱǯȱȱ ȱȱȱȱȱȱ¢ǯǻǼȱ ȱ¢ǯǻǼǯȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱȱȱ¢ȬȬ ǯȱȱȱȱȱ Ǳȱȱ ȱ try { Anweisung; … } catch (Ausnahmetyp_1 x1) { Anweisung; … } catch (Ausnahmetyp_2 x2) { Anweisung; … } … catch (Ausnahmetyp_n xn) { Anweisung; … } [ finally { … } ] ȱ ȱ ǰȱȱȱȱ¢Ȭȱǰȱãȱȱȱûȱ£ȱȬ ȱȱȱ¢ȱ¢ȏȱûǯȱȱȱǰȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȬȱ ûǰȱȱ ȱȱȱȱȱ ¢ȱ§ǯȱȱȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ Ȭ £ȱ £ûǯȱ ȱ ¢Ȭ ȱ ȱ ȱ ¢ȬȬ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǻȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱ Ȭȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱ§ȱûǰȱ §ȱ £ȱ ǻ£ǯȱ ǯȱ ȱ £Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ £ȱ đǯȱȱ ȱ 2 Verschachtelte Schachteln 35 ȱ ȱ ǯȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ śȱ ûȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ Ȭ ȱȱȱ£ȱȱǯȱȱ ȱȱȱȬ ǻǼȱȱǻǼǰȱȱȱ¢ȱ£ǱȱǻǼȱûȱȱ ȱȱȬ ȱȱȱȱȱ£ǰȱǻǼȱûȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱǯȱȱȱ ȱȱ ȱśȱûǯȱȱȱȱ£ȱȱȱ £ǯȱǯȱȱ§ȱ ȱǯǯǯȱȱ £ȱȱȱȱȱȱ ¡ǰȱȱȱ¢ȱȱȱȱǯȱȱûȱ Ȭ Ǳȱ • ȱ£ȱȱȬȱ ȱȱȬȬ ȱȱȬ ǰȱ ȱȱȱǱȱ ȱ scanner = new Scanner(new File("schachteln.in")); ȱ ǻȱȱȱ£ ǰȱȱȱȱȱ £ȱ ȱȱȱ¢ȬȬǼȱ • ȱȱȱȱȱ¡ǻǼȱǰȱȱȱǱȱ ȱ Box boxes[] = new Box[scanner.nextInt()]; int numDimensions = scanner.nextInt(); for (int i = 0; i < boxes.length; i++) { int boxDimensions[] = new int[numDimensions]; for (int j = 0; j < numDimensions; j++) { boxDimensions[j] = scanner.nextInt(); } … ȱ • ȱ¡£ȱȱȱȱȱ¢ȱȱȱȱȬ ¡ǻǼȱûǰȱȱȱǱȱ ȱ while (scanner.hasNextInt()) { … ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǯȱȱȱãǰȱȱȱȬ ¢ȱȱȱ¡ȱȱ£ǰȱȱ£ ȱǱȱ • ȱ ǰȱ £ǯȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ Ȭ ȱ£ǰȱȱȱȱȱȱ ȱǱȱ 36 Grundlegende Algorithmen mit Java out = new PrintWriter(new File("schachteln.out"));ȱ ȱ • ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǻ¢Ǽȱȱǻ¢Ǽǯȱ ȱȱȱ ȱ ȱȱǱȱ ȱ out.print("Laenge: "); out.println(v[indexMax]); StringBuilder bf = new StringBuilder(); … out.println(bf); out.println("*******************************"); ȱ ȱȬ ȱȱȱȱ ȱŗǯŚǯȱȱȱȱ£ǰȱǰȱȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ £ȱ ûûǯȱ §đȱ Ȭ ȱȱȱ ȱȱȱǻȱ ûȱȱ §Ȭ §Ǽǯȱȱȱȱȱȱûȱ£ȱǰȱȱȱȱȱȱ ȱŗǯŚȱȱ ȱȮȱŗǯŚȱǰȱȱ ȱŗǯśȱȮȱŗǯśȱȱȱ ȱŗǯŜȱȮȱŗǯŜǯȱ ȱȱȬ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ Ȭ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ û ȱ £ȱ ãȬ ǯȱȱȱȱȱȬ ȱǱȱ ȱ assert Ausdruck1 [ : Ausdruck2 ]; ȱ ȱ ȱ£ȱ£ȱûǰȱȱŗǰȱȱȱ¢ȱȱȱǰȱ ȱ ǯȱȱǰȱûȱȱȱȱȬ ǰȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱ ¢ȱ ǯǯȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ Řȱ ȱ ¡ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǯȱ ȱ ȱ ȱ Řǰȱȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱȱûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǯȱ ȱ ¢ȱ ȱ Řȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱ £ûǯȱȱ ȱȱȱȱȱȬ ȱȱȱȬ ȱ ǻǼȱȱȱ ǻǼǰȱȱ£ȱ£ǰȱȱ£ ȱȱȱȬ ȱǱȱ ȱ assert this.dimensions.length == otherBox.dimensions.length : " Schachteldimensionen sind nicht einheitlich!"; ȱ 2 Verschachtelte Schachteln 37 Aufgaben ŗǯ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱûȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱȬ ǵȱ ǯȱ Řǯ ȱȱȱȱȱȱȱǻǼǯȱȱ řǯ ȱãȱǰȱȱȱȱȱȱȱǻȱǰȱ§ȱ ȱȱ£ȱđȱȱȱ ǯǼǯȱ ȱȱȱȱ ǰȱȱȱ ȱȱȱûȱ ǯȱ Śǯ ȱȱȱǰȱȱȱđȱȱûȱȱ ȱǰȱȱûȱȱȱȱǯȱȱȱȬ ȱȱǰȱȱȱȱȱ§£ȱȱđȱȱȱ §ȱȱȱȱȱȱǯȱ śǯ ȱãȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ §ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱ ǯȱ Ŝǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱȱȱȱãǰȱȱȱ£ȱȱȱ ȱȱȱ£ȱǯȱ ŝǯ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȏȏȱ £ȱ ¢Ȭ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ¢ǰȱ ȱ ȱȬȬ ǯȱ Şǯ ȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱǯǯȱȱ ȱ Ȭ Ȭǰȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱ ȱȱȱǻǼȱȱȱ ȱǻ ¢Ǽȱǯȱ şǯ ȱ ȱ ȱ Ȭ Ȭȱ ûȱ ȱ ȱ ǯǯǰȱ ǯǯǰȱ ǯǯǰȱ ǯǯ£ǰȱ ǯǯǰȱ ǯǯ ǰȱ ǯǯǰȱ ǯǯȱ ȱ ǯǯȱ ǯȱ ȱȱǰȱȱȱȱ ȱ£ǯȱ ŗŖǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȬȬ Ǳȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱȱȬ ǰȱȱ¢Ȭ ȱȱǯȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭãȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱȱǱȱ¡ǰȱ ¡Ȭ ¡ǰȱ ¡ǰȱ ¢¡ǰȱ Ȭ ¡ǰȱ ¡ǰȱ ¢£¡ǰȱ Ȭ ¡ȱǻȱȱȱȱǯǼȱ ŗŗǯ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ¢Ȭ ȱȱȱȱȱȱǯȱ Ǳȱȱ Ȭ 38 Grundlegende Algorithmen mit Java ǰȱ ûȱ ǻǻǼǰȱ ǻǼǼǰȱ ãȱ ǻǻǼǰȱ ǻǼǼȱ ȱȱ §ȱ ȱ ȱ ǻǻǼǰȱ ǻǼǼǰȱ ȱ ȱ §ȱ ǻǻǼǰȱ¢ǻǼǼǰȱ ȱȱȱǯǯȱǻǻǼǼǯȱ£ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱ Anmerkungen ȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱǱȱ ŗǯ ȱȱ¢ȱǯȱ Řǯ ȱ £ȱ ȱǰȱ¢ǯȱ řǯ ȱ £ȱȱȱȱ ǯȱ Śǯ ȱ ȱǯǯǯȱ śǯ ȱ ȱǯǯǯȱ Ŝǯ ȱȱȱȱ ȱȱ¢ȬȬȱȱȬ ǯȱ ŝǯ ȱȱȱ¢ȱȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱǯǯȱ Şǯ ȱȱȱ¢ȱȱȱȱȱǯǯǯȱ ȱ ȱ ¢ȱȱǰȱȱ ȱ 3 Greedy ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Grundlagenȱ ¢Ȭȱ ǻǯȱ ¢ȱ ƽȱ Ǽȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱȱ §ǯȱȱûȱȱȱȱ£ȱȬ ûȱȱȱ ǰȱȱ£ȱ ȱȱȱ Ȭ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǯȱ ȱ đȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱûȱȱȱȬ ǰȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱȱ ¢Ȭȱȱûȱȱȱȱãǰȱȱȱȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭȱ ǰȱ ȱȱȱȱ ȱ§ǯȱȱȱȱȱȬ§ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ûȱ £ȱ ȱ §ǰȱȱȱ§ȱȱȱȱ££ȱȱȱȬ ǯȱȱ ȱȱȱȱȱGreedyȬǱȱ ȱ ȱ ȏ ¢ǻȱǼȱ ŗȱȱȱȱȱ←ȱȱ ȱ←ȱ∅ȱ ȱȱǻȱȬǼȱȱ ȱȱȱ¡ȱ←ȱȱȱ¢ȱȱȱȱŗȱ ȱȱȱŗȱȱ←ȱŗȱȱǿ¡Ȁȱ ȱȱȱ ȱǻȱ∪ȱǿ¡Ȁȱ¢ȱǼȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱ←ȱȱȱȱ∪ȱȱǿ¡Ȁȱ ȱȱȱȏ ȱ ȏȱ ȏ ȏ ¢ǻȱǼ 40 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ ȱ û£ȱ ȱ ȱ ȱ ǻDijkstraǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻPrim, KruskalǼǰȱȱȱǰȱ Ȭ ǯȱ Problem 1. Rucksackproblem ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱȱȱȱȱȱȱ £§ȱȱȱȱ ȱȱȱȱ£ ǯȱ ǯȱȱȱ ȱãǰȱȱȱȱȱȱ£ȱûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ǻȱ ǮȬ ȃǼȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱǱȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £§ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǻ ǰȱǼȱûȱȱǰȱȱȱȱǯȱǱȱȱȱȱȱȬ ȱǯȱȱ£ ǯȱȱȱûȱȱǰȱ ȱȱǱȱ ȱ rucksack.in rucksack.out 41 Objekt 2: 23.45 600.54 - vollstaendig 12.34 123.99 Objekt 1: 12.34 123.99 - vollstaendig 23.45 600.54 Objekt 3: 12.78 90.67 - 5.21kg 12.78 90.67 9.34 45.32 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ Ȧ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱ£ȱȱ ȱȱ ȱ ȱȱȱȱ ǯȱȱȱȱ ȱǰȱȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ ǻ Ǽǰȱ ȱ ǻǼȱ ȱ Ȭ ¡ȱ ǻ¡Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ǻǼǯȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ£ȱǰȱȱȱȱǻǼȱȱȱ ȱȱǰȱ ȱȱȱȱǯȱǱȱȱ ȱ Collections.sort(v); ȱ ûȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ȭ Ǳȱ public int compareTo(Object o) 3 Greedy 41 ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǻǼǰȱȱȱȱ £ȱȱ ȱ ȱ Ǯûȱ ȃȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ǯȱ ȱ Ȭ ȱȱ ȱãǯȱǻǼȱȱ ȱǀȱŖǰȱ ȱȱȱȱȱȱ£ȱȱǰȱ ȱȱȱȱŖǰȱ ȱȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱȱ ȱǁȱŖǰȱ ȱȱȱȱȱȱ£ȱȱǰȱ £ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ Ȧ ǯȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱ£ȱȱǯȱȱȱ£ȱȱȱȱǰȱȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱȱ ǻȱ≤ȱŖȱǰȱȱȱȱȱǼǯȱȱ ¡§ȱȱȬ ȱȱǻȱȱǼǰȱ ȱȱȱȱȱǻǼȱ§ȱǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǱȱ ȱ out.print(v.get(i));ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǻǼȱȱȱ ȱȱȱȬ ǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P01Rucksack { private static final String FileInputName = "rucksack.in"; private static final String FileOutputName = "rucksack.out"; public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner( new File(FileInputName)).useLocale(Locale.ENGLISH); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); float M = scanner.nextFloat(); List<RucksackObject> v = new ArrayList<RucksackObject>(); int index = 0; 42 Grundlegende Algorithmen mit Java while (scanner.hasNextFloat()) { float weight = scanner.nextFloat(); if (!scanner.hasNextFloat()) break; float value = scanner.nextFloat(); v.add(new RucksackObject(++index, weight, value)); } Collections.sort(v); int i = v.size() - 1; while (i >= 0 && M > 0) { float wgt = v.get(i).getWeight(); if (M >= wgt) { M -= wgt; --i; } else { M = -M; } } for (int j = v.size() - 1; j > i; --j) { out.print(v.get(j)); out.println(" - vollstaendig"); } if (i >= 0 && M < 0) { out.print(v.get(i)); out.print(" - "); out.print(-M); out.print(" kg"); } } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } class RucksackObject implements Comparable<RucksackObject> { private int index; private float weight, value; RucksackObject(int index, float weight, float value) { this.index = index; this.weight = weight; this.value = value; 3 Greedy 43 } public int compareTo(RucksackObject other) { float diff = this.value / this.weight – other.value / other.weight; return diff > 0f ? 1 : (diff < 0f ? -1 : 0); } public String toString() { return "Objekt " + this.index + ": " + this.weight + " " + this.value; } public float getWeight() { return weight; } } Aufgaben ŗǯ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǯȱǰȱȱȱȱȱȱ ȱ public int compare(Object o1, Object o2) ȱ Řǯ ǯȱȱȱȱȱȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭȱ ȱȱȱȱãǯȱȱȱȱȱûǯȱȱ Problem 2. Kartenfärbung ȱȱȱ£ȱȱǻŘȱ≤ȱȱ≤ȱŘŖǼȱȱ§ȱȱȱ£ãȱȱȱ ¡ȱǽǾǽǾȱǰȱȱȱǽǾǽǾȱƽȱŗȱǰȱ ȱȱ§ȱȱȱȱȱǰȱȬ ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ƽȱ Ŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ £§ǰȱ ȱ £ ȱ §ǰȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱȱȱûǯȱ ȱȱȱȱȱȱȱ £ ȱȱûȱȱŗȱȱȱȱǯȱǱȱ ȱ map.in colors.out 7 1 2 3 4 1 2 5 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 44 Grundlegende Algorithmen mit Java 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ¡§ǯȱ ȱ ¢Ȭȱ ȱ £ ȱ ȱ £ȱ£ȱȱǰȱȱȱȱȱȱ£ǯȱȱ§ȱȱ ȱ ȱ ȱ Ŗȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǻȱȱȱȱ§ȱǼȱǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P02MapColoring { private static final String FileInputName = "map.in"; private static final String FileOutputName = "colors.out"; public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); int n = scanner.nextInt(); int a[][] = new int[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { a[i][j] = scanner.nextInt(); } } int col[] = new int[n]; col[0] = 0; for (int i = 1; i < n; i++) { - col[0] ← 0 int j = -1; - ȱ ȱȱȱȱûȱȱ boolean ok = false; ûȱ ȱ ȱ ȱ ǻ ȱ ȱ ȱ ǮȄȱ ȱ do { ȱȱ ¡ȱȱȱȱǰȱȱ j++; 1==a[k][i] && col[k]==jȱ ǰȱ ȱ §ȱ ok ok = true; ȱ false)ȱ for (int k = 0; ok && k < i; k++) if (1 == a[k][i] && col[k] == j) 3 Greedy 45 ok = false; } while (!ok); col[i] = j; } out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); for (int i = 0; i < n; i++) { out.print(col[i] + 1); out.print(" "); } } finally { if (scanner != null) scanner.close(); if (out != null) out.close(); } } } ȱ Aufgabe ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ãȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ Śȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ§ȱǰȱȱ£ ȱ§ȱȱȱȱȱ ǯȱ Problem 3. Springer auf dem Schachbrett ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ )ȬȱǻŚȱ≤ȱǰȱȱ≤ȱŗŖŖǼȱȱȱǰȱȱȱȱȱ ȱȱȱǯȱǱȱ ȱȱȱǯȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ãđȱǰȱȱȱȱȱ£ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ ǰȱ Ǽȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱȱȱȱȱǯȱȱȱǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱ ȱ ȱ ȱûȱȱŗȱ£§ȱ ǯȱȱȱãȱȱ ǰȱȱȱ ȱǮ ȱǷȃȱǯȱǱȱ ȱ springer.in springer.out 5 5 19 12 7 2 21 2 2 6 1 20 17 8 11 18 13 22 3 14 5 24 9 16 25 10 15 4 23 5 5 Keine Loesung! 2 3 46 Grundlegende Algorithmen mit Java Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ǯǯȱ ȱȱŗŞŘřȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱãȱȱȱ £ȱȱãȱûǯȱȱȱ ȱȱȱ £ȱȱ ȱ ȱ ãȬ ȱȱǰȱȱȱûȱȱǰȱ ȱȱȱûȱ ¡ǯȱȱȱȱȱ ǰȱȱȱ §ȱȱ£ ǯȱȱ ǰȱȱȱȱ£ȱȱȱãȱ ǯȱȱ§Ȭ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ãȱ ûȱȱȱȱǱȱȱ ȱȱȱȱȱ§ȱȱǰȱȱ ȱȱǰȱ£ûȱȱ£ȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱȱ Ȭ ȱȱȱȱȱȱȱ ȱãǯȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱȱ¡ȱǽǾǽǾȱǯȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ¡ǽǾȱ ȱ ¢ǽǾȱ ȱǻȱǼǯȱȱ ȱȱȱȱǻ¡ǰȱ¢ǼȱǰȱȱȱȱȬ ȱȱãȱ¡Ƹ¡ǽǾǰȱ¢Ƹ¢ǽǾȱȱƽŖǰǯǯǯǰŝǯȱȱȱ ǻǼȱȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ £ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ¡ǰȱ ¢Ǽȱ ȱ £ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼǱȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ûȱ ȱȱ£ ǯȱȱȱȱȱȱ£ȱȱ ȱûȱ ȱ£ûȬ ǯȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱȬ ǰȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȬ ȱǻȱȱ£ȱȱ ȱûǼȱȱȱ ȱ¡ȱȱ¢ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱȱ ȱȱȱǻǼȱǯȱȱȱȱ £§ȱȱûȱȱǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P03Knight { private static final String FileInputName = "springer.in"; private static final String FileOutputName = "springer.out"; private static final int dx[] = { -2, -2, -1, -1, 1, 1, 2, 2 }; private static final int dy[] = { -1, 1, -2, 2, -2, 2, -1, 1 }; private static boolean onTheTable(int x, int y, int m, int n) { return (0 <= x && x < m) && (0 <= y && y < n); } 3 Greedy 47 private static int nrAllowedSteps(int a[][], int m, int n, int x, int y) { int nr = 0; int xn, yn; for (int i = 0; i < 8; i++) { xn = x + dx[i]; yn = y + dy[i]; if (onTheTable(xn, yn, m, n) && a[xn][yn] == 0) nr++; } return nr; } static boolean findBestSucc(int a[][], int m, int n, int xy[]) { int aux = Integer.MAX_VALUE; int xn, yn, xx = 0, yy = 0; for (int i = 0; i < 8; i++) { xn = xy[0] + dx[i]; yn = xy[1] + dy[i]; if (onTheTable(xn, yn, m, n) && a[xn][yn] == 0) { int steps = nrAllowedSteps(a, m, n, xn, yn); if (steps < aux){ aux = steps; xx = xn; yy = yn; } } } if (aux < Integer.MAX_VALUE) { xy[0] = xx; xy[1] = yy; return true; } return false; } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); int m = scanner.nextInt(); int n = scanner.nextInt(); int l = scanner.nextInt(); int c = scanner.nextInt(); l--; 48 Grundlegende Algorithmen mit Java c--; int[][] a = new int[m][n]; a[l][c] = 1; int ctr = 1; int xy[] = new int[2]; xy[0] = l; xy[1] = c; while (findBestSucc(a, m, n, xy)) { a[xy[0]][xy[1]] = ++ctr; } if (ctr == m * n) { for (int i = 0; i < m; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { out.printf("%4d ", a[i][j]); } out.println(); } } else { out.println("Keine Loesung!"); } } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ȱȱȱȱȱûȱȱǯȱ Problem 4. Minimaler Spannbaum (Kruskal-Algorithmus) ȱ ȱ ȱ £§ȱ ãǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ£ȱǱȱ ȱ ŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ƽǻǰȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱȱȱȱ ȱǻǰȱǯȱǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ )ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǻãǰȱǯȱǼȱǯȱ ȱ Řǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ƽǻǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ƽǻǰȱǼȱȱȱǰȱȱ§ȱȱǻ ȱȱȱ ǰȱȱȱȱ ȱȱ ȱ Ǽǯȱȱ 3 Greedy 49 ȱřǯȱȱ ƽǻǰȱǼȱȱ ǯȱȱȱǱȱȱŘȱ[ ǰȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱ ȱ ǯȱ ȱ Śǯȱ ȱ ƽǻǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ƽǻǰȱ Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ£ȱȱȱȱȱ ȱȱ Ǳȱȱ ȱ c( H ) = ¦ c(e) ǯȱ e∈E ȱ ȱ śǯȱ ȱ ȱ ȱ ƽǻǰȱ Ǽȱ đȱ £§ǰȱ ȱ ûȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £Ȭ §ǯȱ ȱ Ŝǯȱ ȱ ƽǻǰȱ Ǽȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ǰȱ ȱ ǰȱȱ ȱȱȱǯȱ ȱ ŝǯȱ ȱ £§ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱȱ ȱ§ȱǯȱȱ ȱȱȱȱ§ȱ ȱ ȱ Şǯȱ ȱ ȱ ƽǻǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ƽǻǰȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǰȱđȱǯȱ ȱ şǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 50 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ ȱ ȱ ś ȱ ȱ 2 6 4 ȱ ȱ ȱ 5 9 Ŝ 7 ř 9 10 4 3 ŗ 8 2 9 Ş 3 ŗŖ 1 9 ŝ Ř 4 Ś 8 18 9 9 ş ȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŗȱ ≤ȱ ȱ ≤ȱ ŘŖŖǼȱ ȱ ȱ ȱ §ȱȱȱȱȱ¡ǰȱȱȱ ȱȱ ȱǯȱ ȱȱ ǽǾǽǾǁŖǰȱȱȱȱ ȱȱ ȱǻǰȱǼǯȱ ȱǽǾǽǾƽŖǰȱȱȱȱ ȱǻǰȱ ǼǯȱȱȱǽǾǽǾȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱ §ǰȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱûȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ đȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ kruskal.in kruskal.out (2, 3) -> 1.0 10 (6, 7) -> 2.0 0 4 3 10 0 0 0 0 18 0 (6, 8) -> 2.0 4 0 1 0 5 0 0 0 0 0 (1, 3) -> 3.0 3 1 0 9 5 0 0 0 0 0 (8, 10) -> 3.0 10 0 9 0 7 8 0 9 8 0 (2, 5) -> 5.0 0 4 5 7 0 9 9 0 0 0 (4, 5) -> 7.0 0 0 0 8 9 0 2 2 0 0 (4, 6) -> 8.0 0 0 0 0 9 2 0 4 0 6 (4, 9) -> 8.0 0 0 0 9 0 2 4 0 9 3 -------------------18 0 0 8 0 0 0 9 0 9 Gewicht: 39.0 0 0 0 0 0 0 6 3 9 0 3 Greedy 51 Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱȱ ȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǯȱ ŘşǯŖŗǯŗşŘŞǰȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱŗşśŜȱȱȱȱȱȱȱ¢ȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǻŗşśŜǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ƽǻǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ Řȱ [ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ƽǻǰȱ xǼǰȱ ȱȱ ȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȬŗȱ ȱȬ ǯȱȱûȱ ȱȱ ȱȱȱȱ ȱ ȱ£ǯȱȱȬ ȱ ȱȱȱȱȬŗȱ ǯȱ£ȱ §ȱ ȱȱȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱȱǰȱȱȱ¢ȱȱȱȱȬ §ȱ ȱ£ǯȱȱđǰȱ ȱȱȱûȱȱ ȱȱȬ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ŗǯȱ ȱȱǰȱ ȱȱȬŗȱ ȱ §ȱǯȱȱ ȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǯȱ ȱ ȏ ǻ ȱ Ǽȱ ȱ ȱȱȱǻŗǰȱŘǰȱǳǰȱǼȱ ȱ ȱȱȱȱǻƜŗǰȱǲȱȱŗǼȱ¡ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ ǽǾȱƜȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȦȦȱȱ ȱ£ȱ ȱ ȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱ ȱƜȱŖȱ ȱ ȱȱȱȱƜȱŖȱ ȱ ȱȱȱȱǻǀȬŗǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǻǰȱǼȱƜȱ¡ǻǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻ ǽǾȱƽȱ ǽǾǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻǰȱǼȱƜȱ¡ǻǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ǯǻǻǰȱǼǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱƜȱ ƸǻǰȱǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƜȱƸŗȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ¡ȱƜȱ¡ǻ ǽǾǰȱ ǽǾǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƜȱǻ ǽǾǰȱ ǽǾǼȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻƜŗǰȱǲȱȱŗǼȱ¡ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȦȦȱ£ ȱ ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ǻȱ ǽǾƽ¡Ǽȱȱ ǽǾƜȱȱȏ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȏ ȏ ǻ ȱ Ǽȱ 52 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱ ȱȱȱȱ £ȱǰȱȱ ȱȱȬ ǰȱȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱȱȱǯǰȱȱȱȱȱȱûȱȬ ȱǯȱȱ ȱȱȱûȱǰȱȱ ȱȱ ȱ ȱ ȱȱãǰȱ ȱ ȱȱûȱȱȱ£ǯȱȱ ȱ TreeMap<Double, List<Integer>> E = new TreeMap<Double, List<Integer>>(); ȱȱȱ£ȱȱ ȱȱ ȱǰȱ§ȱȘƸȱȱ ȱǻǰȱǼȱǻȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱȱ£ȱǱȱȱȱѥȱȱǰȱѥȱ ȱǼǯȱȱȱ ¡ȱ¢ȱ£ȱ ȱǰȱȱ ȱ ȱȱȱûȱȱ Ǳȱ ȱ for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { double aux = scanner.nextDouble(); if (i < j && aux != 0D) { putInMultimap(E, aux, i * n + j); ȦȦȱȱǻ¡ǰȱȘƸǼȱûȱ } } } ȱȱȱȱǻûǰȱǼȱ££ûǰȱȱ ȱȱȬ ȱ ǻǼǱȱȱȱûȱȱȱûȱȱȱȱǻvalues == nullǼǰȱȱ ȱȱȱǻ¢ǰȱǼǰȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱ ûȱȱȱȱȱȱ£ǯȱȱȱûȱȱȱûȱȬ ȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱǯȱ ȱ private static void putInMultimap(TreeMap<Double, List<Integer>> mmap, Double key, Integer value) { List<Integer> values = mmap.get(key); if (values == null) { values = new ArrayList<Integer>(); mmap.put(key, values); } values.add(value); } ȱȱȱ£ȱǰȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱȱ ȱȱ¢ǻǼǰȱǻǼǰȱ¡ǻǼȱȱǻǼǯȱȱȱȱȱ ȱ ǯǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯǯ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ tȬ ǯȱ 3 Greedy 53 Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P04SpanningTree { private static final String FileInputName = "kruskal.in"; private static final String FileOutputName = "kruskal.out"; public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner( new File(FileInputName)).useLocale(Locale.ENGLISH); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); int n = scanner.nextInt(); TreeMap<Double, List<Integer>> E = new TreeMap<Double, List<Integer>>(); for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { double aux = scanner.nextDouble(); if (i < j && aux != 0D) { putInMultimap(E, aux, i * n + j); } } } int C[] = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) C[i] = i; TreeMap<Double, List<Integer>> H = new TreeMap<Double, List<Integer>>(); int szH = 0; while (szH < n - 1) { TreeMultimapIterator it = new TreeMultimapIterator(E); it.next(); int uu = it.value().intValue() / n; int vv = it.value().intValue() % n; while (C[uu] == C[vv]) { it.next(); uu = it.value().intValue() / n; vv = it.value().intValue() % n; } putInMultimap(H, it.key(), it.value()); szH++; it.remove(); int mi = Math.min(C[uu], C[vv]); 54 Grundlegende Algorithmen mit Java int ma = Math.max(C[uu], C[vv]); for (short i = 0; i < n; i++) if (C[i] == ma) C[i] = mi; } double cost = 0; Set<Map.Entry<Double, List<Integer>>> hEntries = H.entrySet(); for (Map.Entry<Double, List<Integer>> entry : hEntries) { List<Integer> values = entry.getValue(); double key = entry.getKey(); for (int value : values) { ǮȬȃȱ out.printf("(%d, %d) -> ", value / n + 1, value % n + 1); out.println(key); cost += key; } } out.println("--------------------"); out.println("Gewicht: " + cost); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } private static void putInMultimap(TreeMap<Double, List<Integer>> mmap, Double key, Integer value) { List<Integer> values = mmap.get(key); if (values == null) { values = new ArrayList<Integer>(); mmap.put(key, values); } values.add(value); } private static class TreeMultimapIterator { private Iterator<Map.Entry<Double, List<Integer>>> mmapIt; private ListIterator<Integer> currValuesIt; private Integer currValue; 3 Greedy 55 Map.Entry<Double, List<Integer>> currEntry; TreeMultimapIterator(TreeMap<Double, List<Integer>> mmap) { this.mmapIt = mmap.entrySet().iterator(); } boolean next() { if (this.currValuesIt != null && this.currValuesIt.hasNext()) { this.currValue = this.currValuesIt.next(); return true; } else if (mmapIt.hasNext()) { this.currEntry = this.mmapIt.next(); this.currValuesIt = this.currEntry.getValue().listIterator(); this.currValue = this.currValuesIt.next(); return true; } else { return false; } } Double key() { return this.currEntry.getKey(); } Integer value() { return this.currValue; } void remove() { this.currValuesIt.remove(); if (this.currEntry.getValue().isEmpty()) { this.currValuesIt = null; this.mmapIt.remove(); } } } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱ ȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱȱǯȱ 56 Grundlegende Algorithmen mit Java Problem 5. Huffman-Kodierung ȱ ȱ ȱ ŘŜŘȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱȱǯȱȱ¡ȱȱȱȱ ȱȱǰȱǰȱǰȱ¡ǰȱ¢ǰȱȱ£ǰȱ ȱȱŗŖŖȱ ǰȱȱŗŝȱǰȱȱ£ ǰȱ¡ȱśŞȱǰȱ¢ȱŞŖȱȱȱ£ȱûȱ ǯȱȱ ȱ tȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ŗȱ ȱ ŗȱ £ȱ §ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ §ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ £ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ§ȱ §ȱ ûǰȱ §ȱȱȱȱûȱȱȱȱ ȱãǯȱǱȱƽŖŖŖǰȱƽŖŖŗǰȱƽŖŗŖǰȱ¡ƽŖŗŗǰȱ¢ƽŗŖŖǰȱ£ƽŗŖŗǯȱ ȱȱ ȱ¡ȱŘŜŘȱȉȱřȱƽȱŝŞŜȱȱ£ǯȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱ§ǰȱȱȱȱȱ£ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ £ȱ ȱ §ȱ ȱȱ ǯȱȱûȱȱ¡ǱȱƽŖǰȱƽŗŗŖŗǰȱƽŗŗŖŖŖǰȱ¡ƽŗŗŗǰȱ¢ƽŗŖǰȱ £ƽŗŗŖŖŗǯȱȱ £ȱȱȱȱûǱȱŗŖŖȉŗȱƸȱȱŗŝȉŚȱƸȱŘȉśȱȱƸȱȱśŞȉřȱƸȱŞŖȉŘȱƸȱśȉśȱƽȱ śřŝǯȱȱȱŜŞǰřȱ£ȱȱŝŞŜǰȱȱȱȱ ȱûȱȱȱȱ ȱ§ȱřŗǰŝȱ£ȱ£ȱǯȱ ȱ ȱȱȱȱȱ§ȱûȱȱ¡ȱȱŘŜŘȱȱ ȱȱǰȱǰȱǰȱ¡ǰȱ¢ǰȱ£ȱȱȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ¢ȱ £ȱ ȱȱ §ȱ ŗŖŖȱ ŗŝȱ Řȱ śŞȱ ŞŖȱ śȱ Ȭȱ ŝŞŜȱ ȱ§ȱ ŖŖŖȱ ŖŖŗȱ ŖŗŖȱ Ŗŗŗȱ ŗŖŖȱ ŗŖŗȱ śřŝȱ ȱ§ȱ Ŗȱ ŗŗŖŗȱ ŗŗŖŖŖȱ ŗŗŗȱ ŗŖȱ ŗŗŖŖŗȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ §¡ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §¡ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ § ȱ ŗŖŗŗŖŖŖŗŗŖŖŗŖŗŗŗȱ ȱ ȱ ȱ£ȱ¢£¡ȱǯȱ ȱ ȱȱ ȱǻŗşŘśȬŗşşşǼȱȱŗşśŘȱǻȱ ȱȱȱ ǯǯǯǰȱǯȱŗŖşŞȬŗŗŖŘǼȱ ȱ§¡ȱǯȱ ȱ ȱȱ§ǰȱȱ§ȱȱ ȱȱ¢ǯȱȱ ȱûȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱ£ȱȱ£ȱȱ§ȱȱȱŖȱǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ŗǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ȭ 3 Greedy 57 §ȱȱ§ȱǻȱ ȱȱȱȱ£ ȱ§Ǽȱȱ ȱȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ûȱ ȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱ§ǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ£ǰȱȱȱȱȩȩȱ§ȱǻȱûȱȱ Ǽȱ ȱ ȩȩȬŗȱ ǯȱ ȱ ǻǼȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱûȱȱ¡ȱ ¦ f (c) ⋅ h(c) ȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱ ȱ c∈C ȱǯȱȱ ȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱ ¢ȱǱȱȱ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȩȩȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȩȩȬŗȱ £ȱ ȱ ȱ đȱ ȱ §ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱȱ£ ȱ§ȱ ŗȱ ȱŘȱȱ ȱ ȱǰȱȱ£ȱ ȱȱȱ£ȱ ǰȱȱŗȱȱŘȱȱ§ȱȱȱȬ ȱ ȱȱȱȱ ȱȱŗȱȱŘȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǰȱ §Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǰȱȱ §ȱȱûȱȱ£ ȱ ŗȱ ȱ ŗŖŖŖǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯǰȱ ȱȱǱȱ ȱ huffman.in huffman.out p 100 p 0 q 17 y 10 r 2 r 11000 x 58 z 11001 y 80 q 1101 z 5 x 111 Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ £ǰȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǱȱ ȱ ȱ ȱ r:2 z:5 q:17 x:58 y:80 p:100 58 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱȱȱ§ȱȱȱ ȱȱȱ£Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 7 r:2 q:17 x:58 y:80 p:100 z:5 £ȱ£ȱ ȱȱ§ȱȱȱ ȱŝȱȱŗŝǱȱ ȱ ȱ 24 y:80 p:100 x:58 ȱ ȱ 7 q:17 ȱ ȱ ȱ r:2 z:5 ȱ ȱȱ§ȱȱȱ ȱŘŚȱȱśŞǱȱ ȱ 82 y:80 ȱ p:100 ȱ ȱ 24 x:58 ȱ ȱ 7 ȱ q:17 ȱ ȱ r:2 z:5 ȱ ȱ ȱ§ȱȱȱ ȱŗŖŖȱȱŗŜŘǱȱ ȱ 162 p:100 ȱ ȱ 82 y:80 ȱ ȱ ȱ 24 x:58 ȱ ȱ 7 ȱ q:17 ȱ ȱ r:2 z:5 3 Greedy 59 ȱȱȱ£ȱ£ȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱ Ȭ ȱȱŖȱȱŗȱǯȱ ȱ 262 ȱ 1 0 ȱ ȱ 162 p:100 0 1 ȱ ȱ 82 y:80 ȱ 0 1 ȱ ȱ 24 x:58 0 1 ȱ ȱ 7 q:17 ȱ 0 1 ȱ ȱ r:2 z:5 ȱ ȱȱ§ȱ§ȱãȱ ȱȱ Ȭ ȱȱȬ ȱǰȱ ȱ ȱȱȱȱȱ£ȱȱ£ȱ ȱȱ ǯȱ ȱȱȱǱȱ ȱ ȱ ȏ ǻǼȱ ȱ ȱȱȱȱѥû§ǻǼȱ ȱ ȱȱȱȱǻȱȱȱȱȱǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱŗǰȱŘȱѥ§ǻǼǰȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱǯȱǻŗǰȱŘǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱѥ£ǻŗǰȱŘǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱǯǻǼȱ ȱ ȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱȱ ǻǼȱ ȱ ȏȱ ȏ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ¡§ȱȱȱȱǻȱȱǼȱȱȱȱȱȱ ȱ§ǯȱȱ Ȭȱûȱ£ȱȱȱ ǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ǯȱ ȱûȱȱȱ£ǯȱ ǯȱȱǽŖŚǾȱȱǽ şŝǾǯȱ ȱ 60 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ûȱ ȱ §ǰȱ ȱ £ ȱ ȱ ǰȱ £ȱ £ȱ ȱ ȱ §ǰȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱǯȱȱ ȱȱ §ȱȱȱȱȱȱȱ¢ȱȱǰȱ ȱȱûȱȱ ȱǯȱȱȱ ȱ£ ȱ§ȱȱȱȱãǰȱȱ ȱȱȱȱ§ǯȱȱûȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱȱǯȱ ȱȱȱ ȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱ §ȱȱȱ ȱ£ȱȱȱȱȱǻ ȱȱ ǻȱǰȱȱǼǼǰȱȱȱȱȱȱȱãǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P05HuffmanCode { private static final String FileInputName = "huffman.in"; private static final String FileOutputName = "huffman.out"; public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); TreeMap<Integer, List<Node>> map = new TreeMap<Integer, List<Node>>(); while (scanner.hasNext()) { String s = scanner.next(); ` Integer cost = new Integer(scanner.nextInt()); List<Node> list = map.get(cost); if (list == null) { list = new ArrayList<Node>(); map.put(cost, list); } list.add(new Node(cost, s.charAt(0))); } if (map.isEmpty()) return; while (map.size() > 1) { Iterator<Map.Entry<Integer, List<Node>>> it = map.entrySet().iterator(); Map.Entry<Integer, List<Node>> entry = it.next(); 3 Greedy 61 ListIterator<Node> listIt = entry.getValue().listIterator(); Node first = listIt.next(); listIt.remove(); if (!listIt.hasNext() && !listIt.hasPrevious()) { it.remove(); entry = it.next(); listIt = entry.getValue().listIterator(); } Node second = listIt.next(); listIt.remove(); if (!listIt.hasNext() && !listIt.hasPrevious()) { it.remove(); } Node newNode = new Node(first, second); List<Node> list = map.get(newNode.getCost()); if (list == null) { list = new ArrayList<Node>(); map.put(newNode.getCost(), list); } list.add(newNode); } out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); map.entrySet().iterator().next().getValue(). iterator().next().writeCosts( out, new ArrayList<Boolean>()); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } class Node implements Comparable<Node> { private int cost; private char ch; Node left, right; Node(int cost, char ch) { this.cost = cost; this.ch = ch; } Node(Node left, Node right) { 62 Grundlegende Algorithmen mit Java this.left = left; this.right = right; this.cost = left.cost + right.cost; } int getCost() { return cost; } public int compareTo(Node o) { return this.cost - o.cost; } void writeCosts(PrintStream out, List<Boolean> pathPrefix) { if (left == null || right == null) { // Blattknoten out.print(this.ch); out.print('\t'); for (Boolean b : pathPrefix) { out.print(b.booleanValue() ? 1 : 0); } out.println(); } else { pathPrefix.add(Boolean.FALSE); left.writeCosts(out, pathPrefix); pathPrefix.set(pathPrefix.size() - 1, Boolean.TRUE); right.writeCosts(out, pathPrefix); pathPrefix.remove(pathPrefix.size() - 1); } } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ Śǯ śǯ ȱȱȱ Ȭ§ȱûȱȱ ȱȱãȱǰȱ ȱȱ ǯȱ ȱǰȱȱȱ Ȭȱ £ȱȱȱ ȱ ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ Ȭ £ȱ ȱ Ȭ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǯȱ £ȱȱȱȱǰȱȱȱȱ¡ȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ §ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ƹŗȱ §ȱǯȱ 3 Greedy Ŝǯ 63 ȱǰȱȱȱ£ȱȱ§ȱ§§ȱȱȱ ȱȱ ȬȱȬȱǱȱ Cn = 1 § 2n · ¨ ¸ ǯȱ n + 1 ¨© n ¸¹ ȱ ȱ Řȱȱ ȱ ȱ řȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŗŚȱ§ȱ§§ȱȱŚȱȱ ǯȱȱ ȱ ȱ ȱȱ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǯȱ§ȱȱ ãȱ ȱ Data Ordering Problem 4 ȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱȬ§ȱȱǰȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ Ǳȱ £§ȱ ãȬ ǰȱ ¡ȱ ȱ ¢ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §£ȱ £ȱ ãǯȱ ȱ Ȭ ȱ ȱȱȱ§ǰȱ ȱȱȱȱȱȬ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £Ǳȱ Ȭ ǰȱ ȱȱȱȱ§ȱȱȱ¡ȱȬ ȱ ȱ ȱ Ȭǰȱ Ȭȱ ǻǮȱ Ȭ §Ȭ ȃǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱ Ȭǰȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱǻȱȱȱ ȱŜȱ£ȱǼǰȱȱȱ Ȭ £Ȭǯȱȱ Problembeschreibung ȱȱȱȱȱȱȱȱ§ ãȱȱ§ȱǻǼǯȱ ȱȱȱǰȱȱûȱȱȱȱȱȱȱǰȱ Ȭ ȱ ȱȱȱ ȱǯȱȱ ȱȱȱȱȱãȱûȬ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǯȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ § ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱûǰȱȱ ȱȱȱȱ§ȱȱȱȱ §ȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱ ȱ§ ȱûȱ ǰȱȱ ȱȱ£ ȱȱȱȱ ȱ ǮŗȱřȱŜȱŞȃȱûȱȱǰȱ ȱȱȱ£ ȱȱȱȱȱ ȱȱǯȱȱ§ȱȱûȱ ǰȱ ȱȱȱǮŗȱřȱŜȱŞȃȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱŗǰȱřǰȱŜȱȱŞǯȱȱȱȱȱ£ ȱ§ ǯȱ ȱ ȱȱȱȱ§ȱȱȱ ȱȱ£ ȱȱȱȬ ȱŗȱȱśǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱ§ȱȬ ǯȱ ȱ § ȱ ǰȱȱûȱȱ ȱȱ ȱ £ȱ ŖȱŗȱŖȱŖȱŗȱŗȱŗȱŖȱ ŖȱŗȱŖȱŖȱŗȱŗȱŗȱŖȱ Ŗȱ ŗȱŗȱŗȱŖȱŗȱŖȱŗȱŗȱ ŗȱřȱŜȱŞȱ Śȱ ŖȱŗȱŗȱŖȱŖȱŖȱŗȱŗȱ ŗȱśȱ Řȱ ȱ 66 Gundlegende Algorithmen mit Java ȱǰȱȱȱȱ£ ȱ£ ȱȱȱȱȬ ȱ £ǰȱ £ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱãȱȱ§ȱȱ£ ǯȱȱ ǯȱ ȱ ãȱ ȱȱȱȱãȱȱ §ǰȱȱȱ £ȱȱȬ ȱȱ ǯȱȱȱȱȱȱǰȱ£ȱǰȱȱȬ ȱǮȱȱȃǯȱ ȱȱȱȱŗşşŚȱȱȬȱȱǰȱȱȱȱãȱ ȱȱtȱȱȱ ȱãǰȱȱȱ£ȱ ȱ £ȱȱǻǽşŚǾǼǯȱȱ ȱ ȱ ŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ § ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ £ȱ ǻŖȱ →ȱ ŗǰȱ ŗȱ →ȱ ȱ ŖǼǯȱ ȱ w ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ £ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ ƽȱ ŗŖŗŗŖŖŖŗǰȱ w ȱȱƽȱŖŗŖŖŗŗŗŖȱȱ 10110 = 01001 ǯȱ ȱ ûȱ ȱ Ȭȱ ǻ ȱ ƽȱ ȱ ȱ Ǽȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ § ãȱȱȱȱȱûǯȱȱ ȱȱûȱȱȱǰȱ ȱ ȱȱȱ¡Ȭȱûȱȱ ǰȱȱȱ££ǯȱȱȱȮȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȯȱ ȱ Ȭ§ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ¡ȱûȱȱȱ ȱ£ǯȱǯȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ǻ Ȭ ȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ tȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱǯȱȱ Problemdomäne, Definitionen ȱŘǯȱ Ȭ£ǯȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱûǰȱ ȱȱ£ȱȱãȱȱȱ k d ( wr , ws ) = ¦ wrj ⊕ wsj ǰȱȱȱȱ§ȱȱȱãȱȱȱȱǻŗǼǰȱ j =1 ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ Ȭ£ȱ £ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǻŗǼȱȱ ȱȱ ȱȱȬȱȱȱȱ§ȱȱ ȱȱȱ⊕ȱȱȱȱȱ¡Ȭ ȱǱȱ ¡ȱ ¢ȱ ¡⊕¢ȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ Ŗȱ ȱ ǱȱǻŗŖŖŖŗŗŗŖǰȱŗŖŗŗŖŗŗŗǼȱƽȱŚǯȱ 4 Data Ordering Problem 67 £ȱŗǯȱȱȱȱȱȱ£ȱǯȱȱ Ȭ£ǰȱȱȱȱȱȱ ãȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱûǱȱ ȱ ǻŗǼȱǻ¡ǰȱ¢Ǽȱ≥ȱŖȱûȱȱ¡ǰȱ¢∈ȱǰȱǻ¡ǰȱ¢ǼȱƽȱŖȱ⇔ȱ¡ȱƽȱ¢ȱ ǻŘǼȱ¢Ǳȱǻ¡ǰȱ¢Ǽȱƽȱǻ¢ǰȱ¡Ǽȱûȱȱ¡ǰȱ¢∈ȱȱ ǻřǼȱǱȱǻ¡ǰȱ¢Ǽȱ≤ȱǻ¡ǰȱ£ǼȱƸȱǻ£ǰȱ¢Ǽȱûȱȱ¡ǰȱ¢ǰȱ£ȱ∈ȱȱ Ǳȱ ŗǯȱȱǻ¡ǰ¢ǼȱƽȱŖȱǱȱȱ k ¦ d ( x , y ) = 0 ȱȱȱȱȱBȱȱûȱȱƽŗǰȱǳǰȱȱȱȱ¡ ȱȱƽȱȱ¢ ȱȱǻ¡ ȱȱ¢ ȱȱȱǰȱȱȱȱ j j j =1 ãȱ¡ȱȱ¢ȱǼǯȱ ȱ Řǯȱȱ¢ȱȱȱȱȱ¢ȱȱȱ⊕ǯȱ řǯȱȱȱǰȱȱȱãȱ¡ǰȱ¢ȱȱ£ȱȱ§ȱ¡ŗǯǯǯ¡ǰȱ¢ŗǯǯǯ¢ȱȱ £ŗǯǯǯ£ȱǯȱȱȱȱûȱãȱȱ§ȱŗȱ ȱȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱ ǰȱȱȱ ȱûȱȱûȱǻǰȱǼȱȱǻǰȱǼƸǻǰȱǼȱȱǱȱ ȱȱûȱǻǰȱǼȱȱǻǰȱǼȱƸȱǻǰȱǼȱ ȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ ŗȱ ȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗȱ ȱ ǻǰȱǼȱ ǻǰȱǼȱƸȱǻǰȱǼȱ Ŗ Ŗȱ Ŗȱ ŗ Ŗȱ Řȱ Ŗ ŗȱ ŗȱ ŗ ŗȱ ŗȱ Ŗ ŗȱ ŗȱ ŗ ŗȱ ŗȱ Ŗ Ŗȱ Řȱ ŗ Ŗȱ Ŗȱ ȱ ȱȱǰȱȱȱȱûȱȱãȱȱ§ȱŗȱûȱǰȱ ȱȱǰȱȱȱȱûȱãȱȱ§ȱ ȱǰȱ ȱ ȱȱȱȬ ǯȱ÷ȱ ȱ ȱřǯȱ £ȱȱǯȱ ȱȱȱ§ ãȱ ŗǰȱ Řǰȱǯǯǯǰȱ ǰȱ ȱ ȱ σȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ 68 Gundlegende Algorithmen mit Java ȱ ǿ ŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ ȀǼȱ ȱ ȱ ȱ δȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ȱǿŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱȀȱȱȱȱǿŖǰŗȀǼǰȱȱûȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱǯȱȱ £ȱȱȱȱȱǱȱ ȱ NT = n −1 ¦ d (wσδ , wσδ ( j) ( j) j =1 ( j +1) ( j +1) ) ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŘǼȱ ȱŚǯȱ££¡ǯȱûȱȱ £ȱȱȬȱȱ Ȭȱǻ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ££¡ȱ ƽǻǼȱȱȱȱƽȱǻ ǰȱ Ǽǯȱ ȱ Ǳȱûȱȱƽȱřȱȱȱƽȱśȱȱȱ££¡ȱûȱȱãȱ ŗȱƽȱŖŖŖŗŗǰȱ Řȱƽȱ ŗŖŗŗŖȱȱ řȱƽȱŖŗŖŗŗȱȱǱȱ ȱ §0 3 1· ȱ ¸ ¨ ȱȱ A = ¨ 3 0 4¸ ¨ 1 4 0¸ ȱ ¹ © ȱ ǻȱǻ ŗǰȱ ŗǼȱƽȱŖǰȱǻ ŗǰȱ ŘǼȱƽȱřǰȱǻ ŗǰȱ řǼȱƽȱŗǰȱǳȱǼǯȱȱ ȱ £ûȱȱ££¡ȱȱȱǱȱ ŗǯȱȱ££¡ȱȱ¢ȱ£ȱ ǯȱȱȱ¢ȱȱ Ȭ£ȱȱȱ ȱ d ( wi , w j ) = d ( w j , wi ) aij = a ji ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻřǼȱ ȱ Řǯȱȱȱȱȱ ȱȱǯȱȱȱȱȱ Ȭ £ȱǰȱȱ ȱ d ( wi , wi ) = 0 a ii = 0 ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŚǼȱ ȱ řǯȱȱ££¡ȱ§ȱȱǰȱ ȱȱȱãȱǯȱ ȱ d ( wi , w j ) = d ( wi , w j ) ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻśǼȱ ȱ Śǯȱȱȱȱ§ȱȱãȱǰȱȱ ȱ 4 Data Ordering Problem 69 d ( wi , w j ) = d ( wi , w j ) = k − d ( wi , w j ) = k − aij ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŜǼȱ śǯȱȱ ȱȱãȱȱȱûǰȱ ȱȱȱǰȱ ȱȱ ȱȱ ȱ §ȱ ȱ ãȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱǯȱ ȱŗǯȱ ȱȱȱƽȱřǰȱȱƽȱŗŘȱȱȱãȱ ȱ ŗȱƽȱŖŗŖŗŖŖŗŗŗŖŖŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ŘȱƽȱŖŖŗŖŗŖŗŖŖŗŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ řȱƽȱŖŖŗŗŗŗŖŗŗŖŗŗȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱ££¡ȱ ȱ § 0 8 7· ȱ A = ¨ 8 0 7¸ ¨ ¸ ȱ ¨ 7 7 0¸ © ¹ ȱ ȱ ȱȱãȱ ȱȱǰȱȱȱ £ȱȱȱ ȱ N T = a12 + a 23 = 15 ȱ ȱȱȱ£ ȱȱǰȱȱ ȱ N T = ( k − a12 ) + ( k − a 23 ) = (12 − 8) + (12 − 7) = 9 ȱ ȱ ȱŚŖȱ£ȱǯȱ ȱŘǯȱûȱȱƽȱŝǰȱȱƽȱŗśȱȱȱãȱ ȱ ŗȱƽȱŖŖŗŖŗŖŗŖŖŗŗŖŗŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ŘȱƽȱŖŖŖŖŖŖŖŖŗŗŗŗŗŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ řȱƽȱŖŖŗŗŗŗŖŗŗŖŗŖŖŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ŚȱƽȱŖŖŖŖŗŖŖŗŗŗŗŖŗŗŗȱȱȱȱȱȱȱȱ śȱƽȱŖŖŖŖŖŗŗŗŗŖŗŗŖŗŗȱȱȱȱȱȱȱȱ ŜȱƽȱŖŖŖŗŗŖŖŗŖŖŖŗŗŖŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ŝȱƽȱŖŖŖŖŖŗŖŗŖŖŖŗŗŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱȱ££¡Ǳȱ 70 Gundlegende Algorithmen mit Java ȱ §0 5 7 5 9 8 ȱ ¨ ¨5 0 8 4 6 7 ȱ ¨7 8 0 6 6 7 ȱ ¨ A = ¨5 4 6 0 6 7 ȱ ¨9 6 6 6 0 9 ¨ ȱ ¨8 7 7 7 9 0 ȱ ¨ ©8 5 7 7 5 4 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ 8· ¸ 5¸ 7¸ . ¸ 7¸ 5 ¸¸ 4¸ ¸ 0¹ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ 6 N T = ¦ a t ,t +1 = 38 ȱ t =1 ȱ ȱȱãȱȱȱȱ ǰȱ ŗ ǰȱ Ř ǰȱ Ś ǰȱ ř ǰȱ ś ǰȱ ŝ ȱǰȱȱ Ŝ NT = a12 + a24 + a43 + a35 + a57 + a76 = 30 ȱ ȱȱȱ£ȱȱŘŜǯŝȱ£ǯȱ ȱ ȱřǯȱ ȱȱȱƽȱŞǰȱȱƽȱŗřȱȱȱãȱ ȱ ŗȱƽȱŗŗŗŗŖŗŖŗŗŗŖŖŗȱȱȱȱȱȱȱȱ ŘȱƽȱŗŖŗŖŗŖŖŗŗŖŗŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ řȱƽȱŖŖŖŖŖŖŗŗŗŗŗŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ŚȱƽȱŗŗŗŗŖŗŗŖŗŖŖŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ śȱƽȱŖŖŖŗŗŗŗŖŗŗŖŗŗȱȱȱȱȱȱȱȱ ŜȱƽȱŖŗŗŖŖŗŖŖŖŗŗŖŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ŝȱƽȱŖŖŖŗŖŗŖŖŖŗŗŗŖȱȱȱȱȱȱȱȱ ŞȱƽȱŗŖŖŖŗŗŖŗŗŖŗŖŖǯȱ ȱ ȱȱ££¡Ǳȱ ȱ ȱ § 0 8 9 5 7 6 8 7· ¨ ¸ ȱ ¨ 8 0 5 7 9 8 8 3¸ ȱ ¨ 9 5 0 8 6 7 5 6¸ ¨ ¸ ȱ ¨ 5 7 8 0 6 7 7 8¸ ǯ ȱ A=¨ ¸ ȱ ¨ 7 9 6 6 0 9 5 8¸ ¨ 6 8 7 7 9 0 4 7¸ ȱ ¨ ¸ ȱûȱȱãȱ 8 8 5 7 5 4 0 ȱǯȱȱȱ 7 ¨ ¸ ¨ 7 3 6 8 8 7 7 0¸ © ¹ 4 Data Ordering Problem 71 7 N T = ¦ a t ,t +1 = 47 ȱ t =1 ȱûȱ ȱȱǱȱ ȱ w1 → w3 → w4 → w8 → w2 → w5 → w6 → w7 ȱ ȱ ȱ£ȱȱȱ£ȱȱȱȱřŞǰřȱ£ǰȱȱ ȱ N T = (13 − a13 ) + (13 − a34 ) + (13 − a 48 ) + a82 + (13 − a 25 ) + a56 + a 67 = 29 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ ȱȱãȱȱ ȱȱãǯȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǰȱ ãȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ǰȱȱȱȱãȱ£ȱǯȱȱȱȱȱȱ ǰȱûȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ãȱ ȱ ãȱ ǰȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱśǯȱȱǻȱȱǼȱȱȱȱȱσȱȱȱȱ ãȱ ŗǰȱ Řǰȱǳǰȱ ǰȱȱȱȱ £ȱȱȱ n −1 ȱ ȱ NT = ¦ d ( wσ ( j ) , wσ ( j +1) ) ȱ ȱ ǻŝǼȱ j =1 ȱ ǯȱ ȱ ȱŜǯȱ ȱǻȱȱȱȱ Ǽȱȱȱȱȱ σȱȱȱ ȱδȱȱȱȱãȱ ŗǰȱ Řǰȱǳǰȱ ǰȱȱȱȱ £ȱ ȱȱ ȱ NT = n −1 ¦ j =1 ȱ d ( wσδ (( jj )) , wσδ (( jj ++11)) ) ȱ ǻŞǼȱ ȱ ǯȱ DOP und DOPI sind NP-vollständig ȱ ǽşśǾȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ ãȱ Ǳȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ Ȯȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ Ȯȱ ȬǼȱ ȱ ¢ȱ ǻȱ ǰȱȱǰȱȱȱǼǯȱ 72 Gundlegende Algorithmen mit Java ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǵȱ ǰȱ ûȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ǯȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ãȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱ£ȱ§ǯȱ ȱ ȱ ãȱǰȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ǰȱȱ£ȱȬ§ǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ǰȱ ǰȱ £ Ȭ ǰȱȱȱǰȱȱȱǰȱǰȱȱȱȬ ǰȱȬȱȱǰȱǰȱ ǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱ ǯȱȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ § ãȱ ŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ǯȱȱ ǯȱ ȱȱȱȱ σȱȱȱ ȱ δȱȱȱ ŗǰȱ Řǰȱǳǰȱ ȱ ȱ ãǰȱȱȱ NT = n −1 ¦ d (wσδ , wσδ ( j) ( j) j =1 ( j +1) ȱȱȱȱȱȱǻşǼȱ ( j +1) ) ≤ m ȱ δ ( wi ) = wi ȱȱ δ ( wi ) = wi ǵȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ§ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ§ȱ ȱǰȱ ȱȱȱãđȱȱ£ûȱȱȬ ȱǯȱȱ ȱȱȱ ǰȱȱ ȱȬ§ȱǯȱ Algorithmen für DOP und DOPI ûȱ ȱãȱ ȱȱ¢ȱȱȱǰȱȱȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǯȱ ûȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ § ãȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ǻȱ ȱ ãǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ãǼǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ Ǳȱ Ȭǰȱ ¡Ȭǰȱ£ ȱ ¢Ȭȱȱ£ȱȱȱȱȱ ȱǻǯȱ ȱǼǰȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ 4 Data Ordering Problem 73 ȱȱȱãȱ ȱ ȱ ȱƽȱŖŗŖŗŗŖŖŗŗȱ ŘȱƽȱŗŖŗŗŗŖŖŖŖȱ řȱƽȱŖŖŗŖŖŖŖŖŗȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ŚȱƽȱŗŗŗŖŗŖŖŖŗȱ śȱƽȱŗŗŗŖŗŗŗŗŗȱȱȱȱȱȱ ŜȱƽȱŖŖŖŗŖŗŗŗŗȱ ŝȱƽȱŗŖŖŖŗŖŖŖŗȱ ŞȱƽȱŖŖŗŖŖŗŗŗŗȱ ŗ §0 ¨ ¨5 ¨5 ¨ ££¡ȱŞşƽȱ ¨ 4 ¨ ¨5 ¨4 ¨ ¨4 ¨6 © 5 5 4 5 4 4 6· ¸ 0 4 3 6 7 3 7¸ 4 0 3 6 5 3 3¸ ¸ 3 3 0 3 8 2 6¸ ¸ 6 6 3 0 5 5 3¸ 7 5 8 5 0 6 2¸ ¸ 3 3 2 5 6 0 6¸ 7 3 6 3 2 6 0 ¸¹ ȱ ȱ£ȱȱ£ȱȱ Şşȱǻ ȱƽŞȱȱƽşȱǼȱȱ ȱȱ ȱ £ûǰȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ đȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱȱȱȱȱ ȱûȱ ǰȱȱřŘǯȱ Zufällige-Lösung-Algorithmen (RAN) ȱ§ȬãȬȱûȱȱȱȱ£§ȱȱȱ ȱȱ£ȱȱȱȱ ȱǯȱûȱ ȱȱȱ £§£ȱȱ£§ȱǰȱȱȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȏȱȏǻǰȱǰȱ ŗǯǯ Ǽȱ ȱ ȱ←ȱȱȱ ȱǰȱǻǼȱ ȏȱ ȏȱȏǻǰȱǰȱ ȏȏ ǻǰȱǰȱ ǯǯ ŗ ǯǯ ǯǯ ŗ Ǽȱ Ǽȱ ȱ←ȱȱȱ ȱ←ȱȱȱ ȱǰȱǰȱǻǰȱǼȱ ȏȱ ȏȏ ǻǰȱǰȱ ŗ Ǽ 74 Gundlegende Algorithmen mit Java £ûȱ Şşȱȱȱȱȱ£ȱȱûȱȱȱǻŝǰȱŞǰȱŚǰȱŘǰȱřǰȱśǰȱ Ŝǰȱ ŗǼȱ ȱ ȱ řŚǯȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǻŝǰȱŗǰȱ řǰȱ Şǰȱśǰȱ ŘǰȱŚǰȱ ŜǼȱ ȱȱ ȱǻŖǰȱŗǰȱŖǰȱŗǰȱŗǰȱŗǰȱŖǰȱŖǼȱ ȱȱřŞȱǯȱȱ ¡§ȱȬ ȱȱȱǻǼǯȱ Exakt-Algorithmen (EX) ȱ¡Ȭȱûȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ûǯȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ûǯȱ ȏȱ ȏ ǻǰȱǰȱ ǯǯ ŗ Ǽȱ ȱ←ȱȱǻǼȱ ȱ←ȱȱǻǼȱ ȱǻȱǻǼȱǼȱ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǻȱǻǼȱǼȱ¡ȱ ȱȱȱȱȱȱȱ ǻǻǰȱǼǀǻǰȱǼǼȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ←ȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ←ȱȱ ȏ ȱȱȱȏȱȱȱȱȏȱ ȱǰȱǰȱǻǰȱǼȱ ȏȱ ȏȱ ȏ ǻǰȱǰȱ ǯǯ ŗ Ǽȱ £ûȱ Şşȱȱ ȱȱȱûȱȱȱǻŗǰȱŜǰȱŞǰȱřǰȱŘǰȱŝǰȱŚǰȱśǼȱȱ ȱ ȱ Řŗǯȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗŜǰȱ ȱ ȱ ȱûȱȱȱǻŗǰȱŞǰȱŘǰȱŜǰȱŚǰȱŝǰȱřǰȱśǼȱȱȱ ȱǻŖǰȱŗǰȱŖǰȱŗǰȱŖǰȱŖǰȱŖǰȱŗǼȱ ǯȱ ȱ ¡§ȱ ȱ ȏȬȱ ȱ ǻǷǼǰȱ ȱ ȱ ȏ Ȭ ȱȱǻǷȉŘǼǯȱȱ Greedy_Min-Algorithmen (GM) ȱȱ ¢ȏȬ£ȱãȱ ȱ ȱȱȱȱ ǯȱ ȱǱȱ • ȱȱ ȱûȱȱãȱãȱȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ãȱ ûȱ ȱ ǯȱ 4 Data Ordering Problem • • 75 ȱȱȱȱ£ǯȱ §ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǮȄȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ£ȱ£ûȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ûȱ ûȱ ȱ ȱ §ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱȱǯȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ¡§ȱȱȱȱ¢ȱǻŘǼǯȱûȱ Şşȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ǻśǰȱ ŗǰȱ Ŝǰȱ Şǰȱ řǰȱ Śǰȱ ŝǰȱ ŘǼȱ ȱ ȱ ŘŘȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǻśǰȱřǰȱŝǰȱŚǰȱŜǰȱŘǰȱŞǰŗǼȱȱȱ ȱȱǻŗǰȱŖǰȱŖǰȱŖǰȱŗǰȱ ŖǰȱŗǰȱŖǼȱ ȱȱŗŜǯȱ Greedy_Min Simplified-Algorithmen (GMS) ȱ ȱ ȱ ¢ȏȬ£ȱ ǻ Ǽȱ ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ûȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ûȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ đȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱȱ ¡§ȱȱȱȱȱ¢ȱǻŘǼǯȱ ȱ £ûȱ ŞşȱȱȱȱȱȱȱǻŚǰȱŝǰȱŘǰȱřǰȱŞǰȱŜǰȱŗǰȱśǼȱȱ Ȭ ȱȱŘřȱȱȱ ȱȱȱǻŚǰȱŜǰȱŞǰȱŗǰȱŘǰȱŝǰȱřǰȱśǼǰȱȱ ȱǻŖǰȱŗǰȱ ŗǰȱŖǰȱŗǰȱŗǰȱŗǰȱŖǼȱȱȱ ȱŗşǯȱ Algorithmen mit unterer Schranke (LB) ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ£ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ Ȭ£ȱ £ ȱ ãȱ §ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ûȱ ȱ ǻȱ ǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǼǱȱ d ( wi , w j ) = d ( wi , w j ) ȱȱ d ( wi , w j ) = d ( wi , w j ) ǯȱ ûȱ ȱ£ȱ ȱȱǰȱȱ ȱ£ ȱ ȱȱ£ ȱ ȱ ǰȱȱûȱȱ ǯȱ ȱȱ ȱûȱ ȱȱȱ ȱȱȱǰȱȱȱ ȱǰȱȱȱȱ ȱȱȱȱȬ§ǯȱȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱ£ ǯȱȱȱȱȱȱ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱđǯȱȱȱãȱȱȱǻȱȱ¡ȬȱǼȱȱ ȱ ȱ ȱ đȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ 76 Gundlegende Algorithmen mit Java ȱ ȱ ǻǯȱ ȱ Ǽȱ ãȱ ȱ ȱ đȱ £ȱ ȱ §£ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭȱ ǰȱ ȱ ȱ ¡Ȭȱ ãȱ ȱȱȱȱ£ȱȱȱ£ǯȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱȱȱǻ ȱȱ Ǽȱȱȱȱ ȱǻ ȱȱ Ǽǯȱ ȱ £ȱ ȱ Ȭȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Śȱ ȱ ȱ ¢Ȭ ȱȱǯȱ ȱ £ûȱ Şşȱȱ ȱȱȱȱǱȱǻŚǰȱŝǼȱȬǁȱŘȱȩȱǻŜǰȱŞǼȱȬǁȱŘȱȩȱǻŘǰȱŚǼȱȬǁȱ řȱȩȱǻřǰȱŚǼȱȬǁȱřȱȩȱǻřǰȱŞǼȱȬǁȱřȱȩȱǻŚǰȱśǼȱȬǁȱřȱȩȱǻŗǰȱŚǼȱȬǁȱŚǯȱ ȱ w1 ȱ ȱ 4 ȱ w2 ȱ 3 ȱ 3 w4 w8 2 w6 w3 3 ȱ 3 ȱ 2 ȱ w5 ȱ ȱ ȱ w7 ȱ ȱȱûȱǰȱ Şşȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱŘŖǯȱȱ ȱ ȱ ȱ£ȱ ȱȱȱǻŚǰȱŜǼȱȬǁȱŗȱȩȱǻŘǰȱŜǼȱȬǁȱŘȱȩȱǻŘǰȱŞǼȱȬǁȱŘȱȩȱǻŚǰȱŝǼȱȬǁȱŘȱȩȱǻŗǰȱŞǼȱȬ ǁȱřȱȩȱǻŘǰȱśǼȱȬǁȱřȱȩȱǻřǰȱŚǼȱȬǁȱřȱȱȱ ȱŗŜǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ w3 w4 3 1 2 w6 2 3 w2 w5 2 w8 3 w1 w7 ȱȱûȱ ǰȱ Şşȱǻȱȱûȱãȱȱȱȱ ȱ£ǰȱȱȱȱȱ ǯǼȱ ȱ ȱ ¡§ȱȱȱȱ¢ȱǻŘǼǯȱ 4 Data Ordering Problem 77 Implementierungsdetails ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ûȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǯȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱ§ȱȱȬ ȱȱȱȱ §ȱȱ£ȱ£ǯȱȱûȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱȱǯǯȱȱȱȱȱǽǾǯȱ ȱȱȱ ȱŖŗȏ ȱȱȱǱȱ Ȭ Ǳȱ£ȱȱȱ§ ãǲȱ Ȭ Ǳȱ§ȱȱãǲȱ Ȭ ǽǾǱȱȱ¢ȱȱȱȱ¢ȱǰȱȱȱãȱǲȱ Ȭ ǽǾǽǾǱȱ£ ȱ¢ȱûȱȱ££¡ǲȱ Ȭ ǽǾǱȱ¢ǰȱȱȱȱûȱ ǽǾȱǲȱ Ȭ Ǳȱȱ ȱȱ¢ȱȱûȱȱãȱ ǽǾǯȱ ȱ ȱ ȱ Ŗŗȏ ǻȱ ǰȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱ £§ȱ § ãȱ ȱ ǽǾǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ££¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱȱȱȱǽǾȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱȱȱǱȱ Ȭ ǻǼǱȱȱ£§ȱ §ȱȱȱȱȱ ǽǾȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ǯǲȱ Ȭ ǻǼǱȱȱȱ ȱûȱȱȱȱǽǾȱȱȱ ££¡ȱǽǾǽǾǰȱȱȱȱ£ȱȱȱǲȱ Ȭ ǻǼǱȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ£ûǲȱ Ȭ ǻǼǱȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ w permi ȱ w permi −1 ȱ ȱ a[ permi −1 ][ permi ] ȱ£ȱȱǰȱ ȱǽǾȱƽȱǽȬŗǾȱǰȱ ȱȱ ȱȬ a[ permi −1 ][ permi ] ǲȱ Ȭ ǻǼǱȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾǰȱ £ȱ £§ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱ ȱ£ûǲȱ ȱ ûȱȱ¡ȱȱûȱȱȱ ȱûȱ ȱȱȱȱ §ȱȱǯȱȱ ȱûȱȱȬǰȱȱȱȱ ǽŖŜǾȱȱȱŗŝřȱȱǯȱȱ 78 Gundlegende Algorithmen mit Java ȱ£ȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱȱǻŗǰȱŘǰȱǳǰȱǼȱǯȱ ȱ ȱ ȱȱǱȱ ȱ ȏ ȏǻǰȱǼȱ ȱ ŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰ ȱȱǀȱƸŗȱǻŗ≤ǀǼȱûǯȱ ȱŘǯȱûȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱǰȱȱȱǁȱȱȱǻǀǼȱûǯȱǻȱȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱ£ǰȱȱ§ȱȱƸŗǼǯȱ ȱřǯȱȱȱȱ ȱȱȱȱǯȱ ȱŚǯȱȱȱȱ£ȱƸŗƸŘǳȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǻǼȱ ȏȱ ȏ ȏǻǰȱǼȱ ȱ ȱ ȱȱ ȱ ¡ȱ ǰȱ ȱ ãđȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱǯȱǱȱȱȱȱƽȱŜȱȱ ȱ ȱȱȱȱȬ ȱǻŜǰȱřǰȱśǰȱŚǰȱŘǰȱŗǼȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱǀȱƸŗȱȱŘȱǻ ȱřȱǀȱśȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱûǼǯȱ£ûȱȱƽȱŘȱȱ ŚȱƽȱŚȱ ȱȱȱȱǰȱȱãđȱȱŘȱƽȱřȱǯȱȱȱȱŘȱȱŚȱ 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¡ȏǻǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭǰȱ ȱ ȱ ȱ ǽŖŜǾǰȱ ȱ ŗŜŞǰȱȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȏ ȏȱǻ¡Ȭŗǰȱ¡ȬŘǰȱǳǰȱ¡ŗǰȱ¡ŖǼȱ ŗǯ ȱ←ȱȱȱ ¡ȱȱ¡ȱƽȱŖȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ Řǯ ȱǻ ¡ȱȱ¡Ǽȱȱ ȱ ȱ ¡ȱ ƽȱ Ŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻ←ŖǲȱǀǲȱȱŗǼȱ¡ȱ←ȱŖȱȱ ȱ ȱ¡ȱ←ȱŗȱȱ¡ȱ←ȱŖȱûȱȱȱ≤ȱ ȱ Ȭŗǯȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ¡ȱ←ȱŗȱ ȱ Ǳȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŗŖŖŖŗŗŗǼƽŗŖŖŗŖŖŖȱǻƽřǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȃȱȱȱǷȄȱȱȱȱ ȱ ȏȱ ȏ ȏȱǻ¡Ȭŗǰȱ¡ȬŘǰȱǳǰȱ¡ŗǰȱ¡ŖǼȱ ȱ ¡ ǻǼȱȱȱȱãȱûȱȱ ȬǰȱȱȱȱȬ ȱǻǰȱǼȱȱȱ ȱûǰȱȱȱȱȱȱǻȬ ȱ Ǽȱȱȱȱǯȱȱǰȱ ȱȱȱȱǻǰȱǼȱǯȱ ȱ ȱ 4 Data Ordering Problem 81 ȱ ¢ȬȬȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ Ȭ ǯȱȱ ȱȱȱ ȱȱ ȱǻŖǰȱŖǼȱȱȱȱ ȱ ȱȱ£ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱȱȱȬǽǾǽǾȱûǯȱȱ ȱ if (isDOPI && k - a[i][j] < cost) { i0 = i; j0 = j; cost = k - a[i][j]; } ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱǯȱȱȱ ¡ȱȱȱȱ ¡ǰȱȱ ȱ ȱȱȬ ȱǽ ¡ƸŗǾȱǰȱûȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱ ǻȱǽŖǾȱȱǽ ¡ǾǼǱȱ ȱ boolean found = false; for (int tmpIdx = 0; tmpIdx <= pIdx; tmpIdx++) { if (p[tmpIdx] == i) { found = true; break; } }ȱ ȱ ȱȱƽȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱ ȱûȬ ȱȱ£ȱûȱȱȱ ȱûȱǽǾǯȱ ȱ if (found) { if (a[j0][i] < aux) { aux = a[j0][i]; next = i; } if (isDOPI && k - a[j0][i] < aux) { aux = k - a[j0][i]; next = i; } }ȱ ȱ ȱȱãȱ ȱȱȱȱ¡ȱȱ ¡ȱȱȱȱ ȱȱ¡ȱȱ ȱȱ ǰȱȱ ȱȱȱȱ Ǳȱ ȱ p[++pIdx] = next; cost += aux; 82 Gundlegende Algorithmen mit Java ûȱȱ ȱȱ Ȭȱȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱãǱȱ if (isDOPI) { boolean bLast = b.get(bIdx); b.set(++bIdx, !(aux == a[j0][next])^bLast); }ȱ ȱ ȱȱȱ£ȱȱȱȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱ£ȱ¡→ǰȱǽŖǾǽ¡Ǿ→ǰȱ→Ǳȱȱ ȱȱǱȱ ȱ ȱ if (a=b) !(bLast^(aux==a[j0][next]))ȱȱ res Ɯc n res Ɯ!((a=b)^c) ȱ else res Ɯ!cȱȱ ȱ§ȱ£Ǳȱ ȱ a b c a=b res (a=b)^c !((a=b)^c) ȱ 0 0 0 0 0 1 1 if(aux==a[j0][next]){ 1 1 0 0 1 1 0 b.set(++bIdx, bLast); 1 1 0 1 0 0 0 }else { 0 0 0 1 1 0 1 b.set(++bIdx, !bLast); 1 1 1 0 0 0 0 }ȱ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 ȱ 1 1 1 1 1 1 0 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ¢Ȭȱ ȱ ǻ Ǽǰȱ ȱ ȱ ¢ȬȬȱ ȱ ǻ Ǽȱ §ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ££ûǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ £ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱ ǯǰȱ ȱȱȱȱȱ ȱŜǯŖȱȱȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ û£ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ Ǽȱ £ȱ ǯȱ ûȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ£ ȱȱ£ȱ ǯȱȱȱȱȱûȱǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ûǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 4 Data Ordering Problem 83 ¢ȱȱ ȱ ȱ Ȧȱȱ ȱ ȱ ûȱȱȱ ǻǼȱ ǻǼȱ ûȱȱȱ ǻǼȱ ǻǼȱ ãȱȱȱ ǻǼȱ ǻǼȱ ãȱȱȱ ǻǼȱ ǻǼȱ ȱȱȱ ǻǼȱ ǻǼȱ ȱȱȱ ǻǼȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ££ûǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱûȱȱǰȱȱȱ ȱȱ ǯȱ ȱȱȱȱ ǰȱȱȱ£ûǯȱ ȱ ȱ ǻǼȱȱ ȱȱ£ȱ ȱȱ ȱȱȱ¡ȱȱ¢ȱ ¢ǀ ǁȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ¢ȱ ¢ǀǁȱ£ǯȱȱȱȱ£ȱ£ȱ ȱȱŖȱȱŖȱȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ãȱ £ǯȱ ûȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱ¡ȱȱǻȱȱǼǰȱûȱ ȱȱãǰȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ £ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ¡ȱȱȱȱ¡ǯȱđȱȱ ȱ¡ȱȱǰȱ ȱ ȱȱ¡ȱȱȱȱȱȱ ȱûȱȱ ȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȬ £ǰȱȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱ Śȱ ȱ ¢Ȭ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǻǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱûȱȱ ȱ ȬǽǾǽǾȱǯȱȱȱȱ Ȭȱ ȱ ȱ §ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ Ȭ ǀ ǰȱǀǽǾǁǁȱȱȱ ȱ ȱȱ Ȭ ȱ Ȭ ȱȱȱȱ ǻǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ŝȱ £Ȭȱ ŗǰȱ Řǰȱ ǰȱ ŗǰȱ Řǰȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱ¢ȱȱ£ȱȱ£ǯȱ ȱȱȱŗǰȱŘǰȱȱȱ ȱȱ£ȱȱȱãȱûȱȱ £ȱǱȱ ŗȱȱŘȱȱȱ ȱǰȱȱȱȱȱȱȱ ǯȱ ȱ §ȱȱȱȱȱ§ȱȱȱãǱȱŗȱȱŘȱȱȱ ȱûȱȱ§ȱ ǰȱȱȱȱȱȱȱ ǯȱȱ§ ãȱ£ȱȱȱ £§ǯȱ 84 Gundlegende Algorithmen mit Java for(int n=n1; n<=n2; n+=sn) for(int k=k1; k<=k2; k+=sk)ǳȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȦȦȱûȱȱȱȱǳȱ ȱ ȱ ȱȱȱ£ȱȱǱȱ ȱ java P01_DOPI 5 8 1 25 65 20 ȱ ǰȱȱȱȱȱǻȱȱ Ǽȱȱȱȱǯ¡ȱ ȱȱȱǱȱ n k | 5 25 | 5 45 | 5 65 | 6 25 | 6 45 | 6 65 | ... RAN 48 90 134 66 114 158 DOP EX 40 79 117 55 95 146 GMS 41 84 120 55 98 155 GM 40 79 117 55 95 146 DOPI LB | RAN EX 37 | 61 35 79 | 91 76 117 | 134 116 55 | 58 47 95 | 121 86 142 | 167 136 GMS 38 79 118 47 88 139 GM 35 76 116 47 86 136 LB 34 76 115 47 84 136 ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ ǰȱȱȱȱ¡ǰȱ §ȱȱ£ȱǯȱ ȱȱ ȱȱȱûȱȱ£ȱȱȱãǯȱȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P01_DOPI { private int n; private int k; private BitSet w[]; private int a[][]; private int p[]; private BitSet b; ///////////////////////////////////////////////////// P01_DOPI(int n, int k) { this.n = n; this.k = k; // Wörter generieren Random random = new Random(); this.w = new BitSet[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { BitSet wAux = new BitSet(k); for (int j = 0; j < k; j++) { 4 Data Ordering Problem wAux.set(j, random.nextBoolean()); } w[i] = wAux; } // Aufbau der Matrix this.a = new int[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++) for (int j = 0; j < n; j++) { a[i][j] = hammingDist(w[i], w[j], k); } // Initialisierung der Permutation und des BitStrings this.p = new int[n]; this.b = new BitSet(n); for(int i=0; i<n; i++){ p[i]=i; b.set(i, false); } } ///////////////////////////////////////////////////// private static int hammingDist(BitSet w1, BitSet w2, int size) { int t = 0; for (int i = 0; i < size; i++) if (w1.get(i) != w2.get(i)) t++; return t; } ///////////////////////////////////////////////////// private void shufflePermutation() { for (int idx = p.length - 1; idx > 0; idx--) { // Wähle einen beliebigen Index zwischen 0 und idx int randLoc = (int) (Math.random() * (idx + 1)); int temp = p[randLoc]; p[randLoc] = p[idx]; p[idx] = temp; } } ///////////////////////////////////////////////////// private int getCostDOP(int perm[]) { int t = 0; for (int i = 1; i < n; i++) t += a[perm[i - 1]][perm[i]]; return t; } 85 86 Gundlegende Algorithmen mit Java ///////////////////////////////////////////////////// int getRandomCostDOP() { for (int i = 0; i < n; i++) p[i] = i; this.shufflePermutation(); return getCostDOP(p); } ///////////////////////////////////////////////////// private int getCostDOPI(int perm[], BitSet bs) { if (this.n <= 1) return 0; int t = 0; for (int i = 1; i < n; i++) t += (bs.get(i) == bs.get(i - 1)) ? a[perm[i - 1]][perm[i]] : k - a[perm[i - 1]][perm[i]]; return t; } ///////////////////////////////////////////////////// int getRandomCostDOPI() { this.b.clear(); Random rand = new Random(); for (int i = 0; i < n; i++) { p[i] = i; this.b.set(i, rand.nextBoolean()); } this.shufflePermutation(); return getCostDOPI(p, b); } ///////////////////////////////////////////////////// private static void swap(int arr[], int i, int j) { int temp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = temp; } ///////////////////////////////////////////////////// private static void reverse(int arr[], int i, int j) { int half = (i + j - 1) / 2; for (int k = i; k <= half; k++) { swap(arr, k, i + j - k); } } 4 Data Ordering Problem /////////////////////////////////////////////////////// private static boolean nextPermutation(int[] arr) { int k = arr.length - 2; while (k >= 0 && arr[k] > arr[k + 1]) k--; if (k >= 0) { int t = arr.length - 1; while (arr[t] < arr[k]) t--; swap(arr, k, t); reverse(arr, k + 1, arr.length - 1); return true; } else { return false; } } ///////////////////////////////////////////////////// int getExactDOP() { int[] r = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++){ r[i] = i; p[i]=i; } int t = getCostDOP(p); while (nextPermutation(r)) { int aux = getCostDOP(r); if (aux < t) { t = aux; System.arraycopy(r, 0, p, 0, n); } } return t; } ///////////////////////////////////////////////////// private static boolean nextBitSet(BitSet bs, int numBits) { int clearBit = bs.nextClearBit(0); if (clearBit < numBits) { bs.set(clearBit); bs.clear(0, clearBit); return true; } else { return false; } } 87 88 Gundlegende Algorithmen mit Java ///////////////////////////////////////////////////// int getExactDOPI() { int[] r = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++){ r[i] = i; p[i]= i; } b.clear(); int t = getCostDOPI(p, b); while (nextPermutation(r)) { BitSet bs2 = new BitSet(n); do { int aux = getCostDOPI(r, bs2); if (aux < t) { t = aux; System.arraycopy(r, 0, p, 0, n); b.clear(); b.or(bs2); } } while (nextBitSet(bs2, n)); } return t; } ///////////////////////////////////////////////////// int getGMS(boolean isDOPI) { int pIdx = -1; b.clear(); int bIdx = -1; int i0 = 0, j0 = 1; int cost = a[i0][j0]; for (int i = 0; i < n - 1; i++) for (int j = i + 1; j < n; j++) { if (a[i][j] < cost) { i0 = i; j0 = j; cost = a[i0][j0]; } if (isDOPI && k - a[i][j] < cost) { i0 = i; j0 = j; cost = k - a[i0][j0]; } } p[++pIdx] = i0; p[++pIdx] = j0; if (isDOPI) { b.clear(++bIdx); 4 Data Ordering Problem 89 b.set(++bIdx, a[i0][j0] != cost); } while (pIdx < n - 1) { int next = -1; int aux = k + 1; for (int i = 0; i < n; i++) { boolean found = false; for (int tmpIdx = 0; tmpIdx <= pIdx; tmpIdx++) { if (p[tmpIdx] == i) { found = true; break; } } if (found) { if (a[j0][i] < aux) { aux = a[j0][i]; next = i; } if (isDOPI && k - a[j0][i] < aux) { aux = k - a[j0][i]; next = i; } ȱ£Ǳȱ if (isDOPI){ } b.set(bIdx+1, } !(aux == a[j0][next])^bLast); p[++pIdx] = next; bIdx++; cost += aux; } if (isDOPI) { boolean bLast = b.get(bIdx); b.set(++bIdx, !(aux == a[j0][next])^bLast); } j0 = next; } return cost; } ///////////////////////////////////////////////////// int getGM(boolean isDOPI) { b.clear(); Deque<Integer> pAux = new ArrayDeque<Integer>(); Deque<Boolean> bAux = null; bAux = new ArrayDeque<Boolean>(); int i0 = 0, j0 = 1; int cost = a[i0][j0]; for (int i = 0; i < n - 1; i++) for (int j = i + 1; j < n; j++) { if (a[i][j] < cost) { i0 = i; j0 = j; 90 Gundlegende Algorithmen mit Java cost = a[i0][j0]; } if (isDOPI && k - a[i][j] < cost) { i0 = i; j0 = j; cost = k - a[i0][j0]; } } pAux.addLast(i0); pAux.addLast(j0); if (isDOPI) { bAux = new ArrayDeque<Boolean>(); bAux.addLast(false); bAux.addLast(a[i0][j0] != cost); } while (pAux.size() < n) { int next = -1; int aux = k + 1; for (int i = 0; i < n; i++) { Integer iObj = null; for (Integer itPAux : pAux) { if (itPAux.intValue() == i) { iObj = itPAux; break; } } if (iObj == null) { if (a[j0][i] < aux) { aux = a[j0][i]; next = i; } if (a[i0][i] < aux) { aux = a[i0][i]; next = i; } if (isDOPI && k - a[j0][i] < aux) { aux = k - a[j0][i]; next = i; } if (isDOPI && k - a[i0][i] < aux) { aux = k - a[i0][i]; next = i; } } } cost += aux; if (a[j0][next] == aux || 4 Data Ordering Problem (isDOPI && k - a[j0][next] == aux)) { pAux.addLast(next); if (isDOPI) { bAux.addLast(!(aux == a[j0][next])^bAux.getLast()); } j0 = next; } else { pAux.addFirst(next); if (isDOPI) { bAux.addFirst( !(aux == a[i0][next])^ bAux.getFirst() ); } i0 = next; } } Iterator<Integer> pAuxIt = pAux.iterator(); for (int i = 0; i < n; i++) { p[i] = pAuxIt.next(); } if (isDOPI) { Iterator<Boolean> bAuxIt = bAux.iterator(); for (int i = 0; i < n; i++) { b.set(i, bAuxIt.next()); } } return cost; } ///////////////////////////////////////////////////// private static void putInMultimap( TreeMap<Integer, List<int[]>> mmap, Integer key, int[] value ) { List<int[]> values = mmap.get(key); if (values == null) { values = new ArrayList<int[]>(); mmap.put(key, values); } values.add(value); } ///////////////////////////////////////////////////// private static class TreeMultimapIterator { private Iterator<Map.Entry<Integer, List<int[]>>> mmapIt; private ListIterator<int[]> currValuesIt; private int[] currValue; 91 92 Gundlegende Algorithmen mit Java Map.Entry<Integer, List<int[]>> currEntry; TreeMultimapIterator(TreeMap<Integer, List<int[]>> mmap) { this.mmapIt = mmap.entrySet().iterator(); } boolean next() { if ( this.currValuesIt != null && this.currValuesIt.hasNext() ) { this.currValue = this.currValuesIt.next(); return true; } else if (mmapIt.hasNext()) { this.currEntry = this.mmapIt.next(); this.currValuesIt = this.currEntry.getValue().listIterator(); this.currValue = this.currValuesIt.next(); return true; } else { return false; } } Integer key() { return this.currEntry.getKey(); } int[] value() { return this.currValue; } void remove() { this.currValuesIt.remove(); if (this.currEntry.getValue().isEmpty()) { this.currValuesIt = null; this.mmapIt.remove(); } } } ///////////////////////////////////////////////////// int getLB(boolean isDOPI) { int cost = 0; TreeMap<Integer, List<int[]>> E = new TreeMap<Integer, List<int[]>>(); for (int i = 0; i < n - 1; i++) for (int j = 0; j < n; j++) { int[] e = {i, j}; 4 Data Ordering Problem 93 putInMultimap(E, a[i][j], e); if (isDOPI) putInMultimap(E, k - a[i][j], new int[]{i,j}); } int C[] = new int[n]; for (int i = 0; i < C.length; i++) C[i] = i; TreeMap<Integer, List<int[]>> H = new TreeMap<Integer, List<int[]>>(); int szH = 0; while (szH < n - 1) { TreeMultimapIterator it = new TreeMultimapIterator(E); it.next(); int uu = it.value()[0]; int vv = it.value()[1]; while (C[uu] == C[vv]) { it.next(); uu = it.value()[0]; vv = it.value()[1]; } putInMultimap(H, it.key(), it.value()); szH++; cost += it.key(); it.remove(); int mi = Math.min(C[uu], C[vv]); int ma = Math.max(C[uu], C[vv]); for (int i = 0; i < n; i++) if (C[i] == ma) C[i] = mi; } return cost; } ///////////////////////////////////////////////////// public static void main(String args[]) throws IOException { if (args.length != 6) { throw new IOException( "Invalid number of parameters ! Required: 6; Provided: " + args.length); } int n1 = Integer.parseInt(args[0]); int n2 = Integer.parseInt(args[1]); int sn = Integer.parseInt(args[2]); int k1 = Integer.parseInt(args[3]); int k2 = Integer.parseInt(args[4]); int sk = Integer.parseInt(args[5]); PrintStream out = new PrintStream(new File("report.txt")); 94 Gundlegende Algorithmen mit Java try { out.printf("%25s%35s%n", " DOP", " DOPI"); out.printf("%5s%5s |%5s%5s%5s%5s%5s ||%5s%5s%5s%5s%5s%n", "n", "k", "RAN", "EX", "GMS", "GM", "LB", "RAN", "EX", "GMS", "GM", "LB"); for (int n = n1; n <= n2; n += sn) { for (int k = k1; k <= k2; k += sk) { int kk = 3; while(kk-->0){ P01_DOPI dopi = new P01_DOPI(n, k); out.printf("%5d%5d |", n, k); out.printf("%5d%5d%5d%5d%5d ||", dopi.getRandomCostDOP(), dopi.getExactDOP(), dopi.getGMS(false), dopi.getGM(false), dopi.getLB(false)); out.printf("%5d%5d%5d%5d%5d%n", dopi.getRandomCostDOPI(), dopi.getExactDOPI(), dopi.getGMS(true), dopi.getGM(true), dopi.getLB(true)); }} } } finally { out.close(); } } } Auswertung der Ergebnisse ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ Ȭȱ Ȭǰȱ Ȭȱ ȱ Ȭȱ ȱûȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱśȱŝȱŗȱŘŖŖȱŜŖŖȱŘŖŖȱ ǯȱ n 5 5 5 6 6 6 7 7 7 ȱ ȱȦ ȱûȱȱȱ ȱ DOP DOPI k | RAN EX GMS GM LB || RAN EX GMS GM LB 200 | 390 373 374 373 372 || 399 371 373 371 370 400 | 779 753 774 773 752 || 792 740 752 743 739 600 | 1145 1133 1183 1133 1127 || 1148 1090 1100 1094 1076 200 | 530 480 488 482 479 || 513 449 454 449 447 400 | 1013 950 963 960 950 || 1006 935 943 941 931 600 | 1478 1442 1444 1442 1436 || 1488 1428 1444 1428 1428 200 | 604 547 547 547 545 || 580 534 539 534 533 400 | 1197 1152 1169 1163 1151 || 1190 1121 1132 1121 1119 600 | 1778 1718 1735 1722 1717 || 1785 1699 1707 1699 1697 4 Data Ordering Problem 95 ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ Ȭȱ ûȱ ȱ £ȱ ȱ ȱȱȬǰȱȱȱȱǰȱȱãđȱȱ ǯȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ đȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱǯȱ ûȱđȱȱȱ§ȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱ§ȱȱȱ ǯȱȱȱ£ȱǰȱȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱȱŗŘśŖǰȱŗŚśŖǰȱ ǯǯǯǰȱ ŘŖśŖȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗśǰȱ řŗśȱ ȱ Ŝŗśǯȱ đȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱǰȱ ȱȱ£ȱȱȱ ûǯȱȱûȱȱȱ ∆ȱ ǰȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ£ȱǯȱ ȱȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱ 1250 15 1250 315 1250 615 1450 15 1450 315 1450 615 1650 15 1650 315 1650 615 1850 15 1850 315 1850 615 2050 15 2050 315 2050 615 ȱ ȱ 9341 196999 383842 10868 228241 445842 12363 259686 507187 13915 291342 568827 15277 322854 630214 ȱ 2480 163523 337871 2766 189220 391117 3031 214691 444244 3315 239950 497320 3570 265499 550324 ȱ 2478 163535 337861 2755 189217 391146 3041 214698 444233 3314 239984 497371 3588 265533 550376 ∆ȱ -2 +12 -10 -11 -3 +29 +10 +7 -11 -1 +34 +51 +18 +34 +52 ȱ 2102 160951 334211 2342 186318 386907 2582 211377 439538 2890 236325 492047 3025 261566 544575 ȱ ȱȱȱȱȱȱ ¢Ȭȱ ȱȱȬ ǰȱȱûȱȱǯȱđȱȱ ǰȱȱȱ ¢ȬȱȱȬȱ ȱ§ȱǰȱȱȱ ǰȱȱȱ ¢Ȭȱȱȱȱȱ¡Ȭ ȱȱǯȱ ȱȱŜȱȱŗśȱ§ȱȱ ȱȱȱ ǯȱ ȱ ȱ 96 Gundlegende Algorithmen mit Java ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ ∆ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 2083 1250 15 9372 2087 +4 1709 161427 1250 315 196813 161481 +44 159040 334411 1250 615 384281 334452 +41 330858 2308 1450 15 54189 2315 +7 1803 186626 1450 315 228251 186702 +76 183975 387106 1450 615 445764 387119 -13 383004 2513 1650 15 12295 2522 -9 1889 211933 1650 315 259779 211935 -2 208841 439712 1650 615 506744 439734 +22 435103 2741 1850 15 13836 2750 -9 1969 237099 1850 315 291321 237102 +3 233542 492231 1850 615 568973 492307 +76 487102 2950 2050 15 15366 2952 -2 1975 262273 2050 315 322770 262282 +9 258412 544788 2050 615 260096 544804 +16 539004 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ śȱ ȱ ŗśȱ §ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱǯȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ Śǯ śǯ Ŝǯ ŝǯ ȱȱȱȱȱûǵȱȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ Ȭ£ȱ ǻȬ£ǰȱ ȱ ǯȱŞǯȱ¢ȱǰȱȱŗřǼȱȱ ȱǰȱȱ ȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱ ǰȱ ȱȱȱȱǯȱ ȱȱ££¡ȱ¢ȱ£ȱ ȱǰȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ¡ȱ £ȱ ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ¢ȱȱǻȬŗǼȱƸȱǻȬŘǼȱƸȱǳƸŗȱƽȱǻȬŗǼȦŘȱȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ £ȱȱȱȱȱǻǼȱȱȬ ǻǼȱ£ȱȱȱǻȱ Ǽǯȱȱȱ ȱûȱȱȱ¡ǻǼȱȱ¡ ǻǼǯȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱǱȱȱ ȱ ãǰȱ ȱ ££¡ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱûȱȱȱȱȱȱǻǰȱǼǯȱ 4 Data Ordering Problem 97 Şǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱ£§£ȱȱ£ȱȱȱǯȱ şǯ ȱȱȱȬȱȱ ȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱ£ǯȱ ŗŖǯ ȱȱȱûȱãđȱ £ȱǻđȱȱȱǼǯȱ ŗŗǯ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱȱȱ¡ȱȱȱȱȬȱ ǯȱǱȱȱ ȱ Tastatur perm.out ȱ 3 1 2 3 ȱ 1 3 2 2 1 3 ȱ 2 3 1 ȱ 3 1 2 ȱ 3 2 1 ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡Ȭ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ Ȭ ûȱȱǵȱ ŗŘǯ ȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱ§ȱȱȱ¡Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ǯȱ Ǳȱȱ ȱ Tastatur bitstrings.out 2 00 ȱ 01 ȱ 10 ȱ 11 ȱ £ȱȱȱȱǰȱȱȱȱ¡ȱȬ ǯȱȱȱȱȱûȱȱûȱȱǵȱ ŗřǯ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ £ǯȱ £ȱȱȱȱȱȱȱǻȱ Ǽǰȱȱ££ǰȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱ ŗŚǯ ȱȱȱȱǮȬȃȱ ǰȱȱȱȱ ȱśȱûȱ ǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱȱȱ ǯȱ ŗśǯ ȱ ȱ ǯǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼǰȱ ǻǼȱȱǻǼǰȱȱȱ £ȱǯȱ£ȱȱȱȬ ȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱȱǻǼǰȱ ǻǼȱȱǻǼǯȱ ŗŜǯ ȱȱȱǻǼȱ£ȱ ȱûȱȱȬ £ǰȱȱȱȬ ȱȱǰȱȱȱǰȱȱȱȱ ȱ¡£ȱȱǽǾȱ 98 Gundlegende Algorithmen mit Java ȱ ǯȱȱ ȱȱȱȱûȱȱ ȱȱ ȱ ȱȱȱ ȱǻ ¢Ǽȱȱǻ ȱȱǽŘǾǼǯȱ ȱȱȱ ȱȱ ȱȱȱ ȱǱȱ TreeMap<Double, List<Integer>> H = new TreeMap<Double, List<Integer>>(); ŗŝǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ŝȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ Ȭȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱ ȱ¢ǯȱ ŗŞǯ ¢ȱ ȱ ȱ ¢Ȭ ȱ ǻȱ §ȱ ãđǼȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ £§§ǰȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭǯȱȱ ȱ¢ȱȱȱȱǯǯǰȱ ȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǯǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ §ǯȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ Ȭȱ ǻ£ ǯȱ ȬǼȱ ȱ £§ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ûȱ ȱ ǻ£ ǯȱ Ǽȱ ȱ đȱ ȱ ȱ ǻ£ ǯȱ Ǽȱûǯȱȱ£ȱȱ£ȱȱãȱ ȱȱ¢ǯǻǼȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱȱȱ 5 Rekursion ȱ Vollständige Induktion ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ǯȱ ȱ ûȱ ȱ Wȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ Wȱ £ȱ ǰȱȱȱȱȱȱûȱȱ ûȱȱ ǰȱ ȱȱ£ȱȱ ȱ§ǯȱȱ Giuseppe Peano (1858-1932) ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Wȱ ȱ ûȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ śȱ §£ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ ȱǻȱ¡ǼǱȱ ȱ ȱ Ǳȱȱ ȱ Ǳȱȱ Ŗȱȱȱûȱǯȱȱ ȱûȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱûȬ ȱȱǯȱȱ ȱ Ǳȱȱ Ŗȱȱȱȱûȱȱ ȱ Ǳȱȱ ȱȱûȱȱȱȱȱ ȱǱȱ ǻ ¡ǼǱȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱŖȱȱȱȱûȱȱȱȱȱȱ§ǯȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ §ȱ ǯȱȱ§ȱ ȱǻǮȱȱȱȱƸŗȃǼȱ ȱ ȱ ǰȱȱȱûȱûȱȱ£ȱ ǯȱȱȱ ȱ ȱûȱȱ§ȱ£ȱ ǯȱ 100 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱȱ§ȱ Ǳȱ ȱ ȱǻȱŗǼǱȱȱ£ȱǰȱȱȱȱûȱȱȬ ȱǻ£ǯȱǯȱûȱƽŖȱȱƽŗǼȱ ȱǯȱ £ȱ ȱǻȱŘǼǱȱȱȱȱǰȱȱȱȱǻǼȱ ûȱȱûȱȱȱȱWȱ ȱǯȱȱ ȱ ȱǻȱřǼǱȱȱȱȱ£ǰȱȱȱǻƸŗǼȱûȱǰȱ ȱǻǼȱ ȱǯȱȱȱȱȱ£ǰȱȱȱǰȱȱûȱȱ ǰȱȱûȱȱȱǯȱȱ ȱ đȱǰȱȱȱ ǻŖǼȱ ȱ ȱ ǻȱ ŗǼȱ ȱ ȱ ȱ Ǯ ȱ ǻǼǰȱ ȱ ǻƸŗǼȃȱ ȱ ȱ ǻȱřǼǯȱ ȱǰȱȱȱȱȱûȱȱûȱȱǯȱȱȱȱ ûȱȱŖȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱûȱȱŗȱ£Ȭ ǰȱûȱȱŘȱǰȱ ǯȱ ȱǱȱ • • • ȱ ȱȱȱȱ ȱ£ȱǰȱȱȱ Ȭ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ Ȯȱ ûȱ ȱ ǯȱ ȱȱȱȱƽŖȱǯȱȱȱǰȱȱȱûȱȱãđȱ Ŗȱ £ȱ ǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ãȱȱǯȱȱȱȱȱ§ȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ đȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ Ȭ §ȱ ȱ ȱ ǯȱ n ȱȱŗǯȱǯȱȱǰȱȱ ¦ k (k + 1) = n + 1 ȱûȱȱȱ≥ȱŗǯȱȱȱȱȱ 1 n ǻŗǼȱ k =1 ȱ ǯȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ¡Ǳȱ 5 Rekursion n 101 n 1 1 · 1 1 1 1 1 1 1 n §1 ǯȱ = =1− = ¨ − ¸ = − + − + ... + − k (k + 1) k =1 © k k + 1 ¹ 1 2 2 3 n n +1 n +1 n +1 k =1 ¦ ¦ ÷ȱ ȱ ȱ §ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ n ¦ k (k + 1) = n + 1 ȱȱûȱ ǰȱȱȱ ȱȱûȱȱȱ≥ȱŗǯȱȱ 1 n k =1 ȱǻ ǼǱȱǻŗǼȱȱ Ǳȱ 1 1 = ǯȱ 1⋅ 2 2 n £ȱǻ ǼǱȱǻǼǱȱȱ 1 n ¦ k (k + 1) = n + 1 ȱȱ ǯȱ k =1 ȱǻ ǼǱȱȱûȱ£ǰȱȱǻƸŗǼȱȱ ȱǯȱ ȱ ȱ ǻƸŗǼȱ Ǳȱ n +1 n +1 1 ¦ k (k + 1) = n + 2 ǯȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ k =1 ȱ Ǳȱ n +1 1 1 n 1 1 n ¦ k (k + 1) = (n + 1)(n + 2) + ¦ k (k + 1) = (n + 1)(n + 2) + n + 1 = k =1 ȱ k =1 1 + 2n + n 2 (n + 1) 2 n +1 ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ = = = ǯȱ (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) n + 2 §đȱȱ£ȱȱ§ȱ ȱǰȱȱȱȱǻǼȱûȱȱ ûȱȱȱȱȱ≥ȱŗȱ ȱǯȱȱ÷ȱ ȱ Řǯȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ǯ ȱ ȱ ȱ £ȱȱȱȱûȱǰȱȱȱ n p − n ȱȱȱȃȱ ȱǯȱ ȱȱ§ȱ Ǳȱȱ£ȱȱȱȱǻǼǯȱȱ ȱǻ ǼǱȱǻŖǼȱȱǻŗǼȱȱ Ǳȱ n p − n ƽŖȱȱŖȱȱȱȱǯȱ £ȱǻ ǼǱȱǻǼǱȱǮ n p − n ȱȱȱȃȱȱ ǯȱ 102 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱǻ ǼǱȱȱûȱ£ǰȱȱȱǻƸŗǼȱ ȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ( n + 1) p − ( n + 1) ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱǱȱ § p· § p· § p · ¸¸n + 1) − (n + 1) = ȱ (n + 1) p − (n + 1) = (n p + ¨¨ ¸¸ n p−1 + ¨¨ ¸¸n p−2 + ... + ¨¨ ©1¹ ©2¹ © p − 1¹ § p· § p· § p · ¸¸n ǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ = (n p − n) + ¨¨ ¸¸ n p−1 + ¨¨ ¸¸n p−2 + ... + ¨¨ ©1¹ ©2¹ © p − 1¹ § p· § p· ȱ ȱ ȱȱȱȱǻŘǼȱ § p · ¸¸ ȱȱȱȱǯȱȱ ȱȱȱǰȱǰȱȱȱȱ ¨¨ ¸¸ ǰȱ ¨¨ ¸¸ ǰȱǳǰȱ ¨¨ ©1¹ ©2¹ © p − 1¹ ȱ £ȱ ȱ ǰȱȱȱ n − n ȱȱȱȱǯȱȱ ȱȱȱȱ£ȱȱȱȱǻŘǼȱȱȱǰȱȱǻƸŗǼȱȱ ǯȱ p §đȱȱ£ȱȱ§ȱ ȱǰȱȱȱȱǻǼȱûȱȱ ûȱȱ ȱǯȱ÷ȱ ȱřǯȱȱ¢Ȭ £Ȭȱǻ £ȱǼǯȱȱȱȱ ȱ û£ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǱȱȱȱǻǼǰȱ¢ȱǻȱǼǰȱȬ ǰȱ ȱȱǯȱȱŗǰȱŘǰȱǳǰȱǰȱŗǰȱŘǰȱǳǰȱȱȱȱǰȱ ȱȱûȱȱûȱȱȱ≥ȱŗǱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ (a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 ) ≥ (a1b1 + a2 b2 + ... + an bn ) 2 ǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻřǼȱ ȱ ȱ ǯȱȱ ȱ ȱȱȱãȱ ȱǰȱȱȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ¡Ǳȱ ȱ (a1 x + b1 ) 2 + (a2 x + b2 ) 2 + ... + (an x + bn ) 2 = 0 ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŚǼȱ ȱ ȱ ȱǻŚǼȱȱ¡ȱȱ£ȱǻȱȱȱȱ £ȱȱ ȱãđȱȱȱŖȱûȱȱȱȱ¡Ǽȱȱãȱȱȱ§Ȭ ȱȱȱ Ǳȱ 5 Rekursion 103 (a12 + a22 + ... + an2 ) x 2 + 2(a1b1 + a2b2 + ... + an bn ) x + (b12 + b22 + ... + bn2 ) = 0 ǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ǻśǼȱ ȱ ȱȱȱ ȱ¡ȱȱ£ȱǰȱȱȱȱȱ ȱȱȱŖǱȱ ȱ D = 4(a1b1 + a2b2 + ... + an bn ) 2 − 4(a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 ) ≤ 0 ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ǻŜǼȱ ȱ ȱǻŜǼȱȱ§ȱ£ȱǻřǼǯȱ÷ ȱ ȱȱ§ȱ ǯȱȱ£ȱǻřǼȱȱǻǼǯȱȱ ȱǻ ǼǱȱǻŗǼȱȱ Ǳȱ a12 b12 ≥ (a1b1 ) 2 = a12b12 ȱûȱȱŗǰȱŗȱ∈ȱ[ǯȱ £ȱǻ ǼǱȱǻǼȱȱ ǯȱ ȱǻ ǼǱȱȱûȱ£ǰȱȱǻƸŗǼȱȱ ȱǯȱ ǻƸŗǼǱȱ (a12 + a22 + ... + an2+1 )(b12 + b22 + ... + bn2+1 ) ≥ (a1b1 + a2 b2 + ... + an +1bn +1 ) 2 ȱ ȱ °(a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 ) + an2+1 (b12 + b22 + ... + bn2 ) + ⇔ȱ ® °̄+ bn2+1 (a12 + a22 + ... + an2 ) + an2+1bn2+1 ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + an+1bn+1 ) 2 ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŝǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ £ȱǱȱȱ ȱ a12 + a22 + ... + an2 ⋅ b12 + b22 + ... + bn2 ≥ a1b1 + ... + anbn ȱ ȱ 2an +1bn +1 ( a1b1 + ... + anbn ) ≤ 2an +1bn +1 a12 + a22 + ... + an2 ⋅ b12 + b22 + ... + bn2 ≤ ȱ an2+1 (b12 + ... + bn2 ) + bn2+1 ( a12 + ... + an2 ) ȱ ȱ ȱȱȱ ǻŞǼ £ȱȱȱ ȱ 2 xy ≤ x 2 + y 2 für alle x, y ∈ [ (n ( x − y ) 2 ≥ 0 ) (a12 + a22 + ... + an2 )(b12 + b22 + ... + bn2 ) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + an bn ) 2 an2+1 (b12 + ... + bn2 ) + bn2+1 (a12 + ... + an2 ) ≥ 2an+1bn+1 (a1b1 + ... + anbn ) ȱ an2+1bn2+1 = an2+1bn2+1 ȱ ȱ ȱȱȱȱǰȱȱ Ǳȱ 104 Grundlegende Algorithmen mit Java (a12 + a22 + ... + an2 + an2+1 )(b12 + b22 + ... + bn2 + bn2+1 ) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + an bn + an+1bn+1 ) 2 ǰȱ ȱ ȱȱȱǻƸŗǼǯȱ §đȱȱ£ȱȱ§ȱ ȱǰȱȱȱȱǻǼȱûȱȱ ûȱȱȱ≥ȱŗȱ ȱǯȱ÷ȱ ȱ Aufgaben ŗǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱȱûǱȱ ȱȱȱȱ n Ǽȱ k =1 n Ǽȱ k4 ¦ (2k − 1)(2k + 1) = k =1 ȱ Řǯ n(n + 1) k ¦ (2k − 1)(2k + 1)(2k + 3) = 2(2n + 1)(2n + 3) ȱûȱȱȱ≥ȱŗǯȱ n(n + 1)(n 2 + n + 1) ȱûȱȱȱ≥ȱŗǯȱ 6(2n + 1) ȱȱȱȱȱûȱȱȱûȱȱ ȱ ȱǱȱȱ n Ǽȱ S n = 1 ⋅1!+2 ⋅ 2!+... + n ⋅ n!= ¦ k ⋅ k! ȱûȱȱȱ≥ȱŗǯȱ k =1 n 1 · 1 · § 1· § § Ǽȱ Pn = ¨1 − ¸ ⋅ ... ⋅ ¨1 − 2 ¸ = ¨1 − 2 ¸ ȱûȱȱȱ≥ȱŘǯȱ © 4¹ © n ¹ k =2 © k ¹ ∏ řǯȱȱ ȱ¡ȱȱȱȱȱ¡ȱ≠ȱ±ȱŗǯȱ ȱȱûȱȱ∈ȱWǱȱ ȱ 1 2 2n 1 2 n +1 ǯȱ + + ... + = + n n +1 2 x −1 1− x2 1+ x 1+ x 1+ x2 ȱ Śǯȱȱ ȱǰȱȱûȱȱûȱȱȱ≥ȱŗȱȱȱżz[Ǳȱ ȱ Ǽȱ cos α ⋅ cos 2α ⋅ ... ⋅ cos 2 n α = sin 2 n +1α ȱ 2 n +1 sin α n +1 α sin nα 2 ǯȱȱ sin Ǽȱ sin α + sin 2α + ... + sin nα = α 2 sin 2 5 Rekursion 105 śǯȱȱ ȱǯȱ ȱǰȱȱûȱȱȱ¡ȱȱ¡ȱǁȱȬŗȱȱȱ ∈ȱWȱǱȱ 1 + nx ≤ (1 + x) n ǯȱȱ Ŝǯȱȱ ȱǰȱȱûȱȱûȱȱȱ≥ȱŗȱȱȱǱȱȱ Ǽȱ 11n + 2 + 12 2 n +1 ȱȱȱŗřřȱǲȱȱ Ǽȱ 4 n + 15n − 1 ȱȱȱşȱǲȱȱ Ǽȱ 3 ⋅ 52 n +1 + 23n +1 ȱȱȱŗŝȱǲȱȱ Ǽȱ 27 n + 3 + 32 n +1 ⋅ 54 n +1 ȱȱȱȱŘřǯȱ ŝǯȱ ȱȬȱȱ ȱȱûȱȱȱ≥ȱŘȱǱȱǻŖǼȱƽȱŖǰȱǻŗǼȱƽȱŗǰȱǻǼȱƽȱ ǻȬŗǼȱƸȱǻȬŘǼǯȱȱǱȱ Ǽȱ F ( n + m) = F ( m + 1) ⋅ F (n) + F (m) ⋅ F ( n − 1) ȱûȱȱǰȱȱzWŮ0. Ǽȱ F (n ⋅ k ) ȱȱȱȱ F (n) ȱûȱ ǰȱ zWŮ0. Ǽȱ ûȱ ȱ ǰȱ z WŮ0ȱ Ǳȱ F ( kn − 1) ≡ F k ( n − 1) ( mod F 2 (n)) ȱ ȱ F (kn − 2) ≡ (−1) k +1 F k (n − 2) (mod F 2 (n)) ǯȱ Ǽȱ F (n ⋅ F (n)) ȱȱȱ F 2 ( n) ȱûȱȱȱzWŮ0. Ǽȱ F (n ⋅ F m (n)) ist ûȱȱȱzWȱȱzWŮ0ȱ F m+1 ( n) ȱǯ Rekursion: Grundlagen ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ƽȱ £ûǼȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȃȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱȱȬ £ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ £ǯȱ ǯȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ǰȱ ȱȱȱȱ ȱȱ ǯȱȱȱȱȱǮûȱȱ ȃȱ§ȱȱȱȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻûȱȱȱ£ȱȱȱȱǼȱȱȱǻȱ Ȭ ȱȱ ȬǼǯȱ ȱ ȱȱȱȱ£ȱ ǰȱȱȱȱ£ȱǰȱ ȱȱ ȱûȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȬ 106 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱȱǷǼǰȱǯǯȱ ȱȱȱǰȱȱûȱǰȱȱȱ ȱȱȱȱ ǯȱȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱǯȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱ ȱ £ȱȱȱ§ȱȱȱ ãđȱȱ ȱ£Ȭ ȱǱȱ • ȱǱȱȱȱȱȱȱãȱãȱȱ Ȭ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ §ǰȱ Ȭ ǰȱȱȱȱȱȱȱ¢ǯȱ • £ ȱȱǻǮȱȃǼǱȱȱȱȱȱȱãȱ ȱ£ ȱȱȱ ȱȱǯȱ ȱȱȱûȱ ȱ ȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱ ûȱȱ£ȱ ȱȱǻǱȱȬǰȱ £Ǽǯȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ Ȭ ȱ£ȱãǯȱ • ȱȱǻǮȱȃǼǱȱȱȱûȱȱȬ ȱȱȱȱ ȱȱȱȱǯȱȱȱ ȱȱȱǻǱȱǰȱȬǼȱ • ȱ ǻȱ Ǽȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ§ȱǻǱȱǻřƸŗǼȬȱȱ£Ȭ Ǽǯȱ ȱ ȱȱ¢ȱãȱȱȱȱǱȱ • ȱǱȱȱȱȱȱȱȱȱ • ȱǱȱȱ£ ȱǰȱȱȱǯȱȱ Problem 1. Quersumme und Spiegelung einer natürlichen Zahl ȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱûȬ ȱȱȱǻǁŖǼȱǯȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱǱȱ ȱ Tastatur Bildschirm n= 34690213776 sumDigits(n)= 48 reverse(n)= 67731209643 ȱ 5 Rekursion 107 Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱȱȱǻǼǰȱǻǼǰȱ ǻǼȱȱǻǼǰȱȱ ȱȱ£ȱãǯȱȱȱȱ§ȱȱȱ §ȱûȱȱȱȱ ǯȱȱûȱȱȱȱȱ ȱǱȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ȱ £ȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱŗȱǻǻȱȱŗŖǼȘ ǻŗŖǰǻǼȬŗǼǼǰȱȱ Ȭȱȱȱȱȱȱȱȱȱ£ȱȱǻȱȱŗŖǼǱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻǻȱȱŗŖǼȘ ǻŗŖǰǻǼȬŗǼƸǻȱȱŗŖǼǼǯȱ Programm import java.util.*; public class P1DigitsSumAndReverse { ȱȱȱûȱȱȱ ȱȱȱȱ£ȱȱǻȱȱ ŗŖǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ ŗŖǼǯ private static long sumDigits(long number) { return number==0 ? number : number%10+sumDigits(number/10); } private static long noDigits(long number) { return number==0 ȱ£ȱȱȱȱûȬ ? number : 1+noDigits(number/10); ȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ Ȭ } ȱǻȱ ŗŖǼǯȱ private static long pow(long base, long exp) { return exp==0 °1, wenn n = 0 ? bn = ® 1 : base *pow(base, exp-1); °̄b ⋅ b n −1 , wenn n > 0 } private static long reverse(long number){ return number==0 ? 0 : ((number%10)*pow(10,noDigits(number)-1)+reverse(number/10)); }; public static void main(String[] args) { System.out.print("n= "); 108 Grundlegende Algorithmen mit Java Scanner sc = new Scanner(System.in); long n = sc.nextLong(); System.out.print("sumDigits(n)= "); System.out.println(sumDigits(n) ); System.out.print("reverse(n)= "); System.out.println(reverse(n)); } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱûȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǻǼǰȱǻǼǰȱ ǻǼȱȱǻǼǯȱȱ ȱȱȱȱ ǻǼȱȱȱ£Ǳȱ ȏ ȱ ȱǻǰȱǼȱȱȱ ȱȱŗǯȱ e = e0 + e1 ⋅ 2 + e2 ⋅ 22 + ... + er ⋅ 2 r ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŖǰȱŗǰȱǳǰȱȱzȱǿŖǰȱŗȀȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻȱȱȱȱ§¢Ǽȱ ȱȱŘǯȱ e = e0 + 2 ⋅ (e1 + 2 ⋅ (e2 + 2 ⋅ (... + 2(er −1 + 2 ⋅ er ))...)) ȱ e e ȱȱřǯȱ b e = (...(((b r ) 2 ⋅ b r −1 ) 2 ⋅ b r −2 ) 2 ⋅ b r −3 ) ⋅ ...) 2 ⋅ b 0 ȱȱ e e e ȱȱŚǯȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ£ȱȱȱȱŗȱ£ ǯȱǰȱȱǰȱ ei ȱŖȱȱŗȱǯȱ ȏȱ ȱ ȱǻǰȱǼȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ Śǯ śǯ ȱ ¡§ȱȱȱȱǻȱǼǰȱ ȱȱȱ¡ȱǯȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱǷȱƽȱŗȉŘȉǳȉȱȱ ǻǼȱƽȱŗȱƸȱŘȱƸȱǳȱƸȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱǻǰȱ ǼȱƽȱȱƸȱǻƸŗǼȱƸȱǳȱƸȱȱȱǻ ȱǁȱǰȱȱȱȱŖȱǼǯȱ Problem 2. Die Zahl 4 ȱȱȱȱȱûȱȱȱ Ȭ ǰȱûȱȱȱ £ȱȱûȱȱȱȬ ǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱûȱȱȱȱȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ 5 Rekursion 109 Ǳȱ Ǽ ȱûȱȱȱȱȱŚȱ£ǲȱ Ǽ ȱûȱȱȱȱȱŖȱ£ǲȱ Ǽ ȱȱȱȱŘȱǻ ȱȱȱȱǼǯȱ ȱȱ§ȱȱŘśŘŚǰȱ ȱȱȱȱȱŚȱȱȱȱ £ȱ ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Śǯȱ£ǰȱ ȱȱ ȱȱȱȱŚȱȱ ȱȱȱȬ ȱǰȱȱȱȱȱȱȱŚǯǯȱǱȱ ȱ nr4.in nr4.out 2524 4->2->1->10->5->50->504->252->2524 564 4->44->22->224->112->56->564 12 4->2->24->12 3 4->2->24->12->6->3 ǻȱȱȱ ȱ£ȱ ǰȱǱȱǯ ǯȱǼȱ ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱȱȱ£ȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱ £ȱŚȱǯȱ£ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱǱȱ ȱ ′ǼȱȱȱȱȱŚǰȱ ȱȱȱȱǲȱ ′ǼȱȱȱȱȱŖǰȱ ȱȱȱȱǲȱ ′Ǽȱȱ£ȱȱȱȱŘǯȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱûȱȱȱȱȱȱ£ȱȱȱŚȱ ȱǯȱȱãȱȱȱȱ£ȱȱ£ȱȱûȱȱ Ȭ ȱȱ ȱûǯȱȱûȱȱǰȱ ȱȱ£ǰȱȱȱȱȬ ȱȱ ≥ȱŚȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱȱȱŘȱȱȱȱȱǯȱȱ£ȱȱ ȱȱȱȱûȱȱ Ǳȱȱ ȱ Ǽ ŗŖȱ→ȱǲȱȱ Ǽ ŗŖȱƸȱŘȱ→ȱŘŖȱƸȱŚȱ→ȱŘǲȱ Ǽ ŗŖȱƸȱŚȱ→ȱȱ→ȱŘǲȱ Ǽ ŗŖȱƸȱŜȱ→ȱŘŖȱƸȱŗŖȱƸȱŘȱ→ȱŚŖȱƸȱŘŖȱƸȱŚȱ→ȱŚȱƸȱŘǲȱ Ǽ ŗŖȱƸȱŞȱ→ȱŘŖȱƸȱŗŖȱƸȱŜȱ→ȱŚŖȱƸȱřŖȱƸȱŘȱ→ȱŞŖȱƸȱŜŖȱƸȱŚȱ→ȱŞȱƸȱŜǯȱ÷ȱȱ ȱ ûȱȱ ȱȱȱȱǻǼǯȱȱ ȱ 110 Grundlegende Algorithmen mit Java Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P02Number4 { private static final String FileInputName = "nr4.in"; private static final String FileOutputName = "nr4.out"; private static StringBuilder numberFour(int number, StringBuilder out) { if (number != 4) { switch (number % 10) { case 0: case 4: numberFour(number / 10, out); break; default: numberFour(number * 2, out); } out.append("->"); } out.append(number); return out; } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName)); while (sc.hasNextInt()) { int number = sc.nextInt(); out.println(numberFour(number, new StringBuilder())); } } finally { if (sc != null) { sc.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } 5 Rekursion 111 Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱȱȱȱûȱȱȱȱŚǯȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱûǯȱ Problem 3. Rest großer Potenzen ȱȱȱȱ R = B P mod M ǰȱ ȱǰȱȱȱȱûȱȱǰȱȱ Ŗȱ≤ȱǰȱȱ≤ȱŘŖŖǯŖŖŖǯŖŖŖȱȱŖȱ ≤ȱȱ≤ȱśŖǯŖŖŖǯȱǱȱ ȱȱȱǯȱȱȱ ȱ §ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱȱȱûȱȱȱǻǰȱǰȱǼȱȱȱ R = B mod M ǯȱȱǱȱ p bigmod.in 3 18132 17 17 1765 3 2374859 3029382 36123 bigmod.out 13 2 13195 ǻǱȦȦǯǯȦȦřȦřŝŚǯǼȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱȱ§ȱ£ȱǰȱȱ ȱȱ ȱ ȱȱȱ ȱǯǯȱȱ ȱȱȱ ãȱȱȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ £ ȱ ȬȱȱȱȮŗǰȱŖȱȱŗȱ£ûǯȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱ ¢ȱǱȱȱ ȱ ǻ ȱǼȱȱȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱȱǻǼȱ£ûȱ ǻ ȱ¡ǰȱ ȱǼȱȱȱ ȱ ȱ Ȭ £ȱ £ûǰȱ ȱ ȱ this exp mod m ȱ ǻȱ¢Ǽȱȱȱ ȱ ȱ £ûǰȱ ȱ Ȭ ȱ ȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱ ££ȱȱȱ ȱ ȱ£ȱȱȱ ȱ ȱȱǯȱȱȱȱȱ§ȱȱtȱȱ ȱȱ ǻǼȱȱȱȱȱ ǯȱ £ǯȱûȱȱǰȱǰȱȱ∈ȱW{0},ȱȱǻȉǼȱȱƽȱǻǻȱȱǼȉǻȱȱǼǼȱȱǯȱȱ ȱ ŗǯȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ£ ȱŖȱȱȬŗǰȱûȱȱȱ¡ȱȬȱ¡ȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱ ȱ£ȱ£ǰȱȱ a ⋅ b − (a%c) ⋅ (b%c) ȱȱȱǯȱȱȱȱ ȱ µȱȮȱǻȱȱǼµǻȱȱǼȱƽȱµȱȮȱµȱǻȱȱǼȱƸȱµȱǻȱȱǼȱȮȱǻȱȱǼµǻȱȱǼȱƽȱȱ 112 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƽȱȱµȱǻȮȱǻȱȱǼǼȱƸȱǻȱȱǼȱµȱǻȮǻȱȱȱǼǼȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱ. ÷ ȱŘǯȱ §đȱȱ′ȱ£ȱȱ ȱ£Ǳȱ ∃R ∈ {0,..., c − 1} so dass a ⋅ b = Q ⋅ c + R → R = (a ⋅ b)%c = a ⋅ b − Q ⋅ c ∃R1 ∈ {0,..., c − 1} s.d. a = Q1 ⋅ c + R1 , R1 = a mod c ∃R2 ∈ {0,..., c − 1} s.d. b = Q2 ⋅ c + R2 , R2 = b mod c ǻŗǼȱ (2) a ⋅ b = Q3 ⋅ c + R1 ⋅ R2 (a ⋅ b) mod c = ( R1 ⋅ R2 ) mod c = ( a mod c ⋅ b mod c) mod c . ÷ ȱ ȱ ȱȱȱȱǻǼȱǰȱȱȱȱ£ȱǱȱ ȱ a ) 1, wenn P = 0 °b) 0, wenn nicht a) gilt und B = 0 ° °c) B%M , wenn nicht a) oder b) gilt und ( B = 0 oder P = 1) °° bigMod ( B, P, M ) = ®d) (BigMod(B, P/ 2,M)2 )%M , wenn nicht a), b) oder c) ȱ ° gilt und P gerade ist ° °e) (BigMod(B, P-1, M) ⋅ (B % M))%M , wenn nicht ° ¯° a), b), c) oder d) gilt und P ungerade ist Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P03BigMod { private static final String FileInputName = "bigmod.in"; private static final String FileOutputName = "bigmod.out"; private static long bigMod(long b, long p, long m) { if (0 == p) return 1; if (0 == b) return 0; if (1 == b || 1 == p) return b % m; 5 Rekursion 113 if (1 == m) return 0; if (0 == p % 2) { long aux; aux = bigMod(b, p / 2, m); return (aux * aux) % m; } else return (bigMod(b, p - 1, m) * (b % m)) % m; } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName)); while (sc.hasNextLong()) { long b = sc.nextLong(); long p = sc.nextLong(); long m = sc.nextLong(); out.println(bigMod(b, p, m)); } } finally { if (sc != null) { sc.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ Śǯ śǯ ȱȱȱȱȱûȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ƽȱ ȱ Ȯȱ ǻȱ ȱǼǰȱǻǻȱȱǼȉǻȱȱǼǼȱȱȱƽȱǻǻȬǻȱȱǼǼµǻȬǻȱȱǼǼǼȱƽȱǯǯǯȱ ȱȱȱȱȱ Ȭ ȱǻǱȦȦǯǯȦȦŜȦȦȦǼȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ǯȱ ãȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱ ǻǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ Ƿȱ ǻȱ §Ǽȱûȱȱđȱȱȱ£ȱǯȱǱȱǷȱƽȱŗµŘµǳµǯȱȱ 114 Grundlegende Algorithmen mit Java Ŝǯ ȱȱȱûȱȱŗǰȱŘǰȱǳǰȱǰȱȱȱȱŘǯŖŖŖǯŖŖŖǰȱȱȱ ȱȱǀśŖǯŖŖŖǯȱȱȱȱǰȱȱȱȱǻŗ⋅Ř⋅ǯǯǯ⋅Ǽȱ ŝǯ Şǯ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ £ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǯǯ ȱȱȱȱȱ ǯȱ ȱ ȱǰȱȱȱȱȱǯǰȱȱȱãǰȱ ȱȱ £ȱ£ȱǯȱȱȱȱȱȱ Ȭ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱ ȱ ǯȱ tan π 4 = 1 ȱȱ π = 4 ⋅ arctan 1 ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱ ȱȱǻřǼȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ǻŗŜřŞȬŗŜŝśǼȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǻŗŜŚŜȬŗŝŗŜǼȱȱǯȱŗŜŝŖȱ§ȱȱȱȱȱ ȱûȱȱǱȱ arctan x = x − x3 x 5 x 7 + − + ..., ûȱȱ¡ȱz[ȱȱ¡≤ȱŗȱȱ 3 5 7 ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŚǼȱ ȱȱȱȱȱ Ǳȱ ȱ arctan x = ȱ § x 2 n +1 · ¸, ȱûȱȱ¡ȱz[ȱȱ¡≤ȱŗȱ (−1) n ¨¨ ¸ n=0 © 2n + 1 ¹ ∞ ¦ ȱ ȱ ǻśǼȱ ȱ ȱ ȱ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) James Gregory (1638-1675) ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ π = 4 ⋅ arctan 1 ȱǰȱȱ ȱȱ Ǳȱ 5 Rekursion 115 ≅ȱπȱ 0 4 1 2.666666666666667 2 3.4666666666666668 3 2.8952380952380956 4 3.3396825396825403 5 2.9760461760461765 100000 3.1416026534897203 100001 3.1415826537897158 200000 3.1415976535647618 200001 3.1415876536397613 300000 3.1415959869120198 300001 3.1415893202786864 400000 3.1415951535834941 400001 3.1415901536022441 ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱȱǁȱ πǼǰȱ ȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ǀȱ πǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǯȱ ȱ £ȱ πȱ ȱ ŗŖŖȱ ȱ ¡ȱǯȱȱ ȱȱȱǯȱ ȱ ȱŗŝŖŜȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ǻŗŜŞŖȬŗŝśŗǼȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ πȱ ȱ ǯȱȱȱȱȱȱπȱȱŗŖŖȱȱȱǱȱ ȱ şǯ π 1 1 = 4 arctan − arctan 4 5 239 (6) ȱȱȱǰȱȱπȱȱŗŖŖŖȱȱȱȱǻŜǼǰȱǻŚǼȱȱȱ ȱȱǯȱ Problem 4. Die Torte (lineare Rekursion) ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ đȱ ȱ ûǯȱ ȱ 1 ȱ ȱ ãȱ ȱ ŝȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ 6 2 ȱ¡ȱȱȱȱǵȱǻȱȱ 7 ȱȱȱȱȱȱ¡ȱ£ǰȱ ȱȱȱ ȱȱǵǼȱǱȱ ȱȱ 5 3 ȱ ǯȱ ȱ £ ȱ ȱ £ȱ ȱ Ȭ 4 ȱȱǻŖȱ ≤ȱȱ ≤ȱŘǯŖŖŖǼǯȱǱȱȱȱ ȱ ǯȱ ȱ ¡ȱ £ȱ ȱ ûǰȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱȱǯȱǱȱ 116 Grundlegende Algorithmen mit Java torte.in 0 1 2 9 10 2000 678 ȱ torte.out 0 Schnitte -> 1 Stuecke! 1 Schnitte -> 2 Stuecke! 2 Schnitte -> 4 Stuecke! 9 Schnitte -> 46 Stuecke! 10 Schnitte -> 56 Stuecke! 2000 Schnitte -> 2001001 Stuecke! 678 Schnitte -> 230182 Stuecke! Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱ¡ȱ£ȱȱ ȱûȱȬŗȱȱȱ ȱǻȬŗǼȱǰȱ ȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱ£Ǳȱ ȱ ǻŖǼȱȱƽȱŗȱȱȱǻȱȱ→ȱȱȱȱûǱȱȱ£ȱǼȱ ǻǼȱƽȱȱƸȱǻȬŗǼȱǰȱûȱȱǁŖȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŗǼȱ ȱ ȱȱǻŗǼȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱ ǻǼǯȱȱ ȱ Programm 4.1. import java.io.*; import java.util.*; public class P4Tart1 { private static final String FileInputName = "torte.in"; private static final String FileOutputName = "torte.out"; private static int S(int n){ if(n<1)return 1; else return n + S(n-1); } public static void main(String args[]) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out= null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName )); while(sc.hasNextInt()) { int n = sc.nextInt(); out.printf( "%4d Schnitte -> %7d Stuecke!%n", n, S(n)); } 5 Rekursion 117 } finally { if (sc!=null) { sc.close(); } if(out!=null) { out.close(); } } } }ȱ ȱ ȱǰȱȱȱȱûȱãđȱȱȱȱǻǼȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱ£ȱȱȱǯȱȱȱǻŗǼȱȱǰȱȱȱ n ⋅ (n + 1) ǯȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŘǼȱ ǻǼȱƽȱȱƸȱǻȬŗǼȱƽȱȱƸȱǻȬŗǼȱƸȱǻȬŘǼȱƽȱǳȱƽȱ 1 + 2 ȱ Programm 4.2. import java.io.*; import java.util.*; public class P4Tart2 { private static final String FileInputName = "torte.in"; private static final String FileOutputName = "torte.out"; public static void main(String args[]) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out= null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName )); while(sc.hasNextInt()) { int n = sc.nextInt(); out.printf( "%4d Schnitte -> %7d Stuecke!%n", n,1 + n*(n+1)/2); } } finally { if (sc!=null) { sc.close(); } if(out!=null) { out.close(); } } } }ȱ 118 Grundlegende Algorithmen mit Java Aufgabe ȱȱǯȱȱȱȱ¡ȱ£ȱȱ ȱǰȱȱȱȬ n(n + 1) £ȱȱȱȱǯȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱ 1 + ȱȬ 2 ǯȱǱȱ ȱ reg.in reg.out 56 10 2001001 2000 230182 ȱ 678ȱ ȱ Problem 5. Die Ackermannfunktion (Verschachtelte Rekursion, "compound recursion") ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱûȱȱȱȱŗşŘŜȱȱȱǰȱȱ¡Ȭ ȱ ȱ §ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱȱȱ ǯȱȱȱȱȱ£ȱȱȬ ȱûȱȱȱǯȱ ȱ Die ȱû ǰȱ ∈ W ȱȱǱȱ m + 1, wenn n = 0 ° Ack (n, m) = ® Ack (n-1, 1), wenn m = 0 ° Ack (n-1, Ack (n, m-1)), wenn m ≠ 0 und n ≠ 0 ¯ ȱ ȱ §ȱ ȱ Ǳȱ ǻřǰȱ ŚǼƽŗŘśǰȱ ȱ ǻŚǰȱ ŘǼȱ £ȱ Ȭ ȱŗşŝŘşȱ£Ƿȱȱȱȱǰȱȱȱȱ ûȱȱǻǰȱǼȱǯȱǱȱ ack.in 0 2 2 0 3 4 3 5 3 2 ȱ ack.out Ack(0, 2)= 3 Ack(2, 0)= 3 Ack(3, 4)= 125 Ack(3, 5)= 253 Ack(3, 2)= 29 5 Rekursion 119 Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P5Ack { private static final String FileInputName = "ack.in"; private static final String FileOutputName = "ack.out"; private static long ack(long n, long m){ if(0==n) return m+1; else if(0==m) return ack(n-1, 1); else return ack(n - 1, ack(n, m - 1)); } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out= null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName )); while(sc.hasNextLong()) { long n = sc.nextLong(); long m = sc.nextLong(); out.print("Ack("); out.print(n); ȱ£Ǳȱ out.print(", "); out.println("Ack(" + n + ", " + m + ")= " + ack(n, m)); out.print(m); out.print(")= "); out.println(ack(n, m)); } } finally { if (sc!=null) { sc.close(); } if(out!=null) { out.close(); } } } }ȱ 120 Grundlegende Algorithmen mit Java Aufgabe Ȭǯȱ ȱȱȱǰȱȱȱûȱȱȱ£ȱȱȱȱ¡ȱȱȱȬŗŖŖŖȱȱ≤ȱ ¡ȱ≤ȱŗŖŖŖȱȱȱȱ ȱȱȱǮȬȃȬȱȱǻ¡ǼȱȱǱȱ ȱ x − 1, wenn x ≥ 12 ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ¯ f ( f ( x + 2)), wenn x < 12 ȱǱȱ]Ř] f ( x) = ® Ǳȱ mp.in 12 34 56 -123 98 678 -234ȱ mp.out Manna-Pnueli(12)= 11 Manna-Pnueli(34)= 33 Manna-Pnueli(56)= 55 Manna-Pnueli(-123)= 11 Manna-Pnueli(98)= 97 Manna-Pnueli(678)= 677 Manna-Pnueli(-234)= 11 Problem 6. Rekursive Zahlenumwandlung (Dezimalsystem in System mit Basis p) ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱǻŖȱ≤ȱȱ≤ȱşǯŖŖŖǯŖŖŖǼȱȱ ȱ£¢ȱȱȱ¢ȱȱȱȱǻŘ≤≤ŗŖǼȱ ǯȱǱȱ ȱ baseP.in baseP.out 324123534 2 324539 9 654789045 6 675432 4 9000000 8 3 2 8 6 324123534 zur Basis 2 = 10011010100011011101110001110 324539 zur Basis 9 = 544158 654789045 zur Basis 6 = 144550222433 675432 zur Basis 4 = 2210321220 9000000 zur Basis 8 = 42252100 3 zur Basis 2 = 11 8 zur Basis 6 = 12 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱȱȱȱȱǯȱûȱȱȱ¢ȱȱǻȬ Ȭ ȱ ûȱ Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ££ǯȱ Ȭ ȱ¡ȱ£ȱȱȱ¢ȱǻ¢ǰȱǰȱǰȱǰȱǰȱǼȱȱ £ȱȱ¢ȱȱȱǯȱȱȬ ȱȱȱȱȱ ȱ static String toString(long i, int radix) ȱ ȱ ȱ ȱ £ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ££ȱ ǰȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱ 5 Rekursion 121 ȱȱ Long.toString(n, p)ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱ£ȱǰȱȬ ȱȱtǰȱ ȱ£ȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱȱȱȱȬŗǳŗŖȱȱ¢ȱȱȱȱȱǰȱȱǱȱ ȱ N = ak ak −1...a1a0 = ak p k + ak −1 p k −1 + ... + a1 p + a0 , ak , ak −1,..., a0 ∈{0,1,..., p − 1} ȱ ȱ ȱȱ N = p(ak p k −1 + ak −1 p k − 2 + ... + a1 ) + a0 ǯȱȱ ȱ ȱȱȱȱǱȱ ȱ ȱ ȏŗŖǻǰȱǼȱ ȱ ȱȱȱ ȱǻǁŖǼȱ¡ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ ȏŗŖǻȱȱǰȱǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱǻȱƖȱǼȱ ȱ ȱȱȱȱȏ ȱ ȱ ȏȱ ȏŗŖȱǻǰȱǼȱ ȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P6BaseP { private static final String FileInputName = "baseP.in"; private static final String FileOutputName = "baseP.out"; private static void transfBase10ToP(long n, int p, PrintStream out) { if(n>0){ transfBase10ToP(n/p, p, out); out.print(n%p) ; } } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out= null; 122 Grundlegende Algorithmen mit Java try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName )); while(sc.hasNextLong()) { long n = sc.nextLong(); int p = sc.nextInt(); out.printf("%10d zur Basis %d = ", n, p); transfBase10ToP(n, p, out); out.println(); } } finally { if (sc!=null) { sc.close(); } if(out!=null) { out.close(); } } } }ȱ ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ Śǯ ȱȱȱȬȱǰȱȱȱȱãǯȱ ȱȱȱȱ Ȭȱûȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱȱ£ǯȱ ȱ ȱ ȱ §ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱȱȱȬ ȱȱãǯȱ ȱȱȱȱǻȱȱȱǼȱûȱȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǰȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ¢ȱȱȱȱȱȱȱ££ȱ ǯȱǱȱ ȱ baseP10.in 42252100 8 11 2 12 6 ȱ baseP10.out 9000000 3 8ȱ ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱȱȱǻǼȱȱȱ ȱǯȱ 5 Rekursion 123 Problem 7. Summe zweier Wurzeln (verzweigte Rekursion) − Sx + P = 0 ȱȱǰȱȱ ∈ȱ[ȱǯȱ¡ŗȱȱ¡ŘȱȱȱȬ n n £ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Tn = x1 + x2 für n ∈ Wȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱ ȱ x 2 ȱǰȱȱȱ£ȱ¡ŗȱȱ¡Řȱ£ȱǯȱȱȱȱǰȱȱȱȬ śŖŖȱ≤ȱȱǰȱȱ≤ȱśŖŖȱȱȱûȱȱȱǻŖȱ≤ȱȱ≤ȱŘŖǼȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱǯȱǱȱ ȱ equation.in equation.out 5 6.54 3.22 7799.79 0 3 4 2 1 3.45 6.78 3.45 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ¡ŗȱ ȱ ¡Řȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ x 2 − Sx + P = ( x − x1 )( x − x2 ) ǯȱ ȱȱ x1 + x2 = S ȱ x1 ⋅ x2 = P ȱǻȱȬǼǯȱȱȱûȱȱȱǱȱ ȱ 2, wenn n = 0 ° ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ Tn = ® x1 + x2 , wenn n = 1 °ST − PT , wenn n > 1 n−2 ¯ n−1 ȱ ȱ ǻŗǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ãȬ ǰȱȱ¢ȱȱ£ǯȱȱ¡ȱȱȱ ȱśȱȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ƸƸǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȬȦ ȱ ȱ ȱ ǯǯȱȱǯǯȱȱ§ȱȱǻȱ§£ǼȱȬ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ Ȭ ȱȱȬȱ£ȱȱȱȱǻǼȱȱ ǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P7Equation { private static final String FileInputName = "equation.in"; private static final String FileOutputName = "equation.out"; private static double sum(int n, double s, double p){ if(0==n) return 2; if(1==n) return s; 124 Grundlegende Algorithmen mit Java return s*sum(n-1, s, p)-p*sum(n-2, s, p); } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out= null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner( new File(FileInputName)).useLocale(Locale.ENGLISH); Formatter formatter = new Formatter(out, Locale.ENGLISH); while(sc.hasNextInt()) { int n = sc.nextInt(); double s = sc.nextDouble(); double p = sc.nextDouble(); formatter.format("%.6g%n", sum(n, s, p)); } } finally { if (sc!=null) { sc.close(); } if(out!=null) { out.close(); } } } }ȱ ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ ȱȱȱȱǻŗǼȱȱȱȱ§ȱ ǯȱ ȱȱȱȱȱ Ȯ ȱǻǱȦȦǯǯȦȦŜȦȦǼȱȱȬ ȱȱȱȱȱȱ ȱȱǯȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ x k − S1 x k −1 + ... + (−1) k S k = 0 ȱ ȱ ȱ £ȱ ¡ŗǰȱ ¡Řǰȱ ǳǰȱ ¡ȱ ȱ ȱ Tn = x1n + x2n + ... + xkn ǯȱȱ ȱ Ǳȱȱȱȱȱȱ Tn = S1Tn−1 − S 2Tn−2 + ... + (−1) k −1 ⋅ S k ⋅ Tn−k ǯȱ ȱ 5 Rekursion 125 Problem 8. Collatz-Funktion (nicht-monotone Rekursion) ȱ£Ȭȱȱȱ ȱǱȱ ȱ 1, wenn n = 1 °n ° ȱ f (n) = ® , wenn n gerade °2 °¯3 ⋅ n + 1, wenn n ungerade ȱȱȱǰȱȱȱȱŗȱǮȃǯȱȱȱ ȱûȱƽŗŘȱ ȱȱ£ǱȱŗŘǰȱŜǰȱřǰȱŗŖǰȱśǰȱŗŜǰȱŞǰȱŚǰȱŘǰȱŗȱȱȱȱȱȱ§ȱşǰȱ ȱȱȱ şȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱǰȱȱȱ£ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ȭ Ǳȱ ȱ collatzSeq.in collatzSeq.out 1 <0> 1 12 12 6 3 10 5 16 8 4 2 1 <9> 67 1003 67 202 101 304 152 76 38 19 58 29 88 44 22 11 234 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1 <27> 1003 3010 1505 4516 2258 1129 3388 1694 847 2542 1271 3814 1907 5722 2861 8584 4292 2146 1073 3220 1610 805 2416 1208 604 302 151 454 227 682 341 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 <41> 234 117 352 176 88 44 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1 <21> ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱȱȱȱ£ǻǼȱǰȱȱȱȱȬ ȱȱȱȱ£ȱȱȱ£§ǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P08CollatzSeq { private static final String FileInputName = "collatzSeq.in"; 126 Grundlegende Algorithmen mit Java private static final String FileOutputName = "collatzSeq.out"; private int step; private PrintStream out; public P08CollatzSeq(PrintStream outStream) { this.step = 0; this.out = outStream; } public void calculate(long n) { this.out.print(n); this.out.print(' '); if (n != 1) { this.step++; this.calculate(n%2 == 0 ? n/2 : 3*n+1); } else { out.print("<" + this.step); out.print('>'); out.println(); out.println(); } } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName)); while (sc.hasNextLong()) { P08CollatzSeq col = new P08CollatzSeq(out); col.calculate(sc.nextLong()); } } finally { if (sc != null) { sc.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } 5 Rekursion 127 Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱȱȱȱȱȱûȱȱǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ Ǯ ȃȬȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǮřƸŗȃȬ ǯȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱãȱȬȱȱȬ ȱ£§ȱ ǯȱûȱƽŗŘȱȱȱ£ǯȱǯȱŝȱȬȱȱŘȱȬȱȬ ǲȱûȱƽŗŖŖřȱȱȱŘşȱȬȱȱŗŘȱȬȱǯȱȱ ȱȱȱǰȱȱȱûȱȱȱȱȬ ȱ ȱǰȱûȱȱȱãȱȱȱ£ȬȱȬ ¡ȱ ȱ ǻ£ǯȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǽŚśǲȱ ŚśşǾȱ ȱ ȱ řŘŝǰȱ ûȱ ȱ ŗŚřȱ ȱãȱǼǯȱȱȱȱȱȱȱȱ ǰȱûȱȱȱ £ȱȱȬȱ£ ǯȱȬȱ¡ȱ ǯȱ Problem 9. Quadrate und Quadrätchen ȱǰȱȱȱȱ£ȱȱ ȱǰȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱ§ȱǯȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱ§ȱŘƸŗȱȱ ãđȱȱǯȱûȱȱûȱȱȱȬ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱǱȱ ǻǼ ȱãđȱȱȱȱ ãđȱȱǻȱ§ȱȱŘƸŗǼȱȱȱȱ ȱ £ȱ ȱ ãđȱ ŗŖŘŚȱ £ȱ ǻȱ £ȱ ȱ ȱ §ȱ ŘŖŚşǼǲȱ ǻǼ ûȱȱ ãđȱȱȱȱǱȱŗȱǂȱȱǂȱśŗŘǲȱ ǻǼ ȱǰȱȱãđȱȱŗȱǰȱȱȱȱȱ ãđȱȱȱŘȱ ȱȱȱȱȱ£ǲȱ ǻǼ ȱȱȱȱȱ£ȱȱȱ ȱǻŖǰȱŖǼȱȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱǻŘŖŚŞǰȱŘŖŚŞǼǯȱ ûȱȱȱȱȱãȱ ȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱȱ £ǯȱȱȱ ȱȱ£ȱ ȱȱȱǰȱ ȱ ȱȱǯȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱǱȱ ȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱǰȱ¡Ŗȱ ȱ ¢Ŗȱ ȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǯȱȱ£ȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱǻ¡Ŗǰȱ ¢ŖǼȱǯȱǱȱ ȱ quadrate.in quadrate.out 56 1012 1000 1 500 1000 1000 4 500 113 941 5 1100 512 512 5 ǻȱȱȱǰȱŗşşŘǼȱ 128 Grundlegende Algorithmen mit Java Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱããȱ §ǰȱȱûȱȱȱ£ȱûǰȱȱȱȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱǻ¡Ŗǰȱ¢Ŗǰȱ¡ǰȱ¢ǰȱǼǰȱȱȱûȱǯȱȱȬ ȱ£ȱȱȱǻ¡Ŗǰȱ¢ŖǼȱȱȱȱȱȱȱǻ¡ǰȱ¢Ǽȱȱ ȱ ãđȱǯȱȱȱǻǼȱ£§ǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ǯȱȱ ȱȱûȱȱȱ£ȱȱȱ ãđȱȦŘȱǯȱȱ ȱ £ǯȱȱ ȱȱȱ£ȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ǰȱûȱȱȱȱȱȱȱȱûȱȱȱȱȱȱȱ ǯȱ ȱ II I III IV ȱ ȱ ǯȱȱȱȱ§ȱȱȱȱǰȱȱȱ ǰȱȱ k k k ȱȱȱ£ȱȱȱȱ§ȱȱȱ§ȱ ǰȱ ǰȱ ǰȱ 2 4 8 k ǳǰȱ n ǰȱǯǯǯȱǯȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱǱȱ 2 ȱ k k k k 1 · § + 2 + 3 + ... + n = k ⋅ ¨1 − n ¸ ǯȱ 2 2 2 2 © 2 ¹ 5 Rekursion 129 1 · § ȱȱ k ⋅ ¨1 − n ¸ ûȱȱƽȱŖǰȱŗǰȱŘǰȱǯǯǯȱȱȱȱȱȱǯȱȱǰȱ © 2 ¹ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱȱȱ¢ȱȱȱûȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ£ãȱȱ ǰȱ ȱȱ ǯȱ÷ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱȱûȱȱȱǰȱȱȱȱȱǻȱȱȱûȱȱŚȱ Ǽǯȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P9QuadrateRek { private static final String FileInputName = "quadrate.in"; private static final String FileOutputName = "quadrate.out"; private int step = 0; private boolean inSquare(int x0, int y0, int cx, int cy, int k){ int x1 = cx - k; int x2 = cx + k; int y1 = cy - k; int y2 = cy + k; return (x1 <= x0 && x0 <= x2 && y1 <= y0 && y0 <= y2); } public void count(int x0, int y0, int cx, int cy, int k) { int x1, x2, y1, y2; if(inSquare(x0, y0, cx, cy, k)) this.step++; if(k>1){ ȱ£ ȱǱȱ x1 = cx - k; ǳȱ x2 = cx + k; if(inSquare(x0, y0, x1, y1, k)) y1 = cy - k; count(x0, y0, x1, y1, k/2, n); y2 = cy + k; if(inSquare(x0, y0, x1, y2, k)) count(x0, y0, x1, y1, k/2); count(x0, y0, x1, y2, k/2, n); count(x0, y0, x1, y2, k/2); if(inSquare(x0, y0, x2, y1, k)) count(x0, y0, x2, y1, k/2, n); count(x0, y0, x2, y1, k/2); count(x0, y0, x2, y2, k/2); if(inSquare(x0, y0, x2, y2, k)) count(x0, y0, x2, y2, k/2, n); } … } 130 Grundlegende Algorithmen mit Java public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out= null; try { int k, x0, y0; out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName )); while(sc.hasNextInt()) { k = sc.nextInt(); x0 = sc.nextInt(); y0 = sc.nextInt(); P9QuadrateRek q = new P9QuadrateRek(); q.count(x0, y0, 1024, 1024, k); out.println(q.step); } } finally { if (sc!=null) { sc.close(); } if(out!=null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgabe ȱȱȱȱȱ§ȱȱ§ȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱȱǯȱȱ Problem 10. Quadrate (direkte Rekursion) ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱȱǯȱ ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱȱȱȱȱ §ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ §ȱ ȦŘȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȦŘȱ 5 Rekursion 131 £ȱȱȱŗŜȱȱȱ §ȱȦŚȱȱȱȱȱ ǰȱȱ ȱ§ȱȱ ȱŗŖȱ¡ȱđȱ ǯȱȱ ȱ Programm import java.awt.*; import javax.swing.*; public class P10PaintQuadrate extends JPanel{ private static final long serialVersionUID = -3249277353528332376L; public void paint(Graphics g) { Dimension dim = this.getSize(); drawSquare(g, dim.width/2, dim.height/2, Math.min(dim.width/2, dim.height/2)); } private void drawSquare(Graphics g, int x, int y, int l) if (l > 10) { drawSquare(g, x-l/2, y-l/2, l/2); drawSquare(g, x-l/2, y+l/2, l/2); drawSquare(g, x+l/2, y-l/2, l/2); drawSquare(g, x+l/2, y+l/2, l/2); g.drawRect(x-l/2, y-l/2, l, l); } } { public static void main(String args[]) { JFrame frame = new JFrame("Rekursivitaet Beispiel"); P10PaintQuadrate quadratePanel = new P10PaintQuadrate(); frame.getContentPane().add(quadratePanel); quadratePanel.setPreferredSize(new Dimension(400, 400)); frame.pack(); frame.setDefaultCloseOperation( WindowConstants.EXIT_ON_CLOSE); Dimension screenDim = Toolkit.getDefaultToolkit().getScreenSize(); Dimension frameDim = frame.getSize(); frame.setLocation ((screenDim.width-frameDim.width)/2, (screenDim.height-frameDim.height)/2); frame.setVisible(true); } } ȦȦȱ£ȱȱ 132 Grundlegende Algorithmen mit Java Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱãđȱǯȱ ȱȱǰȱ ȱ ȱȱ£ȱ ǯȱ ȱ ȱprivate static final long serialVersionUID = -3249277353528332376L; ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱǰȱ ȱ ȱȱȱãǵȱ řǯ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǻȱŘǼǯȱ ȱȱȱȱȱ£ȱȱ ȱ ǰȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ đȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱŗȱ ȱ Śǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱŘȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯ ǯȱ ȱ ¡ǯ ǯ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱȱ£ȱ ǯȱ 5 Rekursion 133 Problem 11. Quadrate und Kreise (indirekte Rekursion) ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȦŘȱ ǰȱ ȱ ȱȱȱȱǯȱȱ ȱȱǰȱȱȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱǰȱȱȱȱ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ §ȱȱ ȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ §ȱ ŗȱ ȱ ȱȱǯȱ ȱ Programm import java.awt.*; import javax.swing.*; public class P11PaintQuadrateCircle extends JPanel { private static final long serialVersionUID = -6741198167758549984L; public void paint(Graphics g) { Dimension dim = this.getSize(); drawSquare(g, dim.width / 2, dim.height / 2, Math.min(dim.width / 2,dim.height / 2)); } private void drawCircle(Graphics g, int x, int y, int r) { if (r > 25) { g.drawOval(x-r/2, y-r/2, r, r); drawSquare(g, x, y, r); } } 134 Grundlegende Algorithmen mit Java private void drawSquare(Graphics g, int x, int y, int l) { if (l > 1) { g.drawRect(x-l/2, y-l/2, l, l); drawCircle(g, x-l/2, y-l/2, l/2); drawCircle(g, x-l/2, y+l/2, l/2); drawCircle(g, x+l/2, y-l/2, l/2); drawCircle(g, x+l/2, y+l/2, l/2); } } public static void main(String args[]) { JFrame frame = new JFrame("Rekursivitaet Beispiel"); P11PaintQuadrateCircle quadratePanel = new P11PaintQuadrateCircle(); frame.getContentPane().add(quadratePanel); quadratePanel.setPreferredSize(new Dimension(400, 400)); frame.pack(); frame.setDefaultCloseOperation( WindowConstants.EXIT_ON_CLOSE); Dimension screenDim = Toolkit.getDefaultToolkit().getScreenSize(); Dimension frameDim = frame.getSize(); frame.setLocation((screenDim.width - frameDim.width) / 2, (screenDim.height - frameDim.height) / 2); frame.setVisible(true); } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱȱȱȱ §ȱȱ ǯȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱȱ ǰȱȱȱ ȱǱȱȱ Ȭ ȱȱ ȱȱȱ ȱȱǻ£ȱ ȱ ȱ ȱȱȦŘǰȱȱȱȱȱȱǼǰȱȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ£ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǰȱȱȱȱ ȱ£ȱ ȱȱȬ ȱȱȱǼǰȱȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ£ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ£ȱȱȱ§ȱȦŘǼǯȱ ȱ 5 Rekursion 135 Problem 12. Die Koch’sche Schneeflockenkurve ȱ Ȭ ȱ ȱ ŗşŖŚȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŗŞŝŖȬŗşŘŚǼȱ ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ Ȭ ȱ ȱȱȱȱ £ȱǯȱȱȱȱȱȱ ȱ ǰȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱ ȱ ûȱ ûȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ Ǯȱ ȱ ȃȱ ǰȱ ȱȱȱ£Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ Ȭ ȱȱȱȱǯȱȱ ȱȱȱãȱȱȱ£ȱȱȱȱȱȱŚǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱǰȱ ȱȱȱ £ȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ȱǻȱ ǯǼǱȱ ȱ ȱ ȱƽȱŗȱ ȱƽȱŘȱ 136 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱƽȱŚȱ ȱƽȱŜȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ 0 xA yB Q xN xM xB ż x B D N yN C yM yA A ż P M y ȱ ûȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ǻ¡ǰȱ¢Ǽȱȱ ǻ¡ǰȱ¢Ǽȱûȱ ȱȱ ȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱȱȱȬ Ǳȱ ȱ ǰȱȱ∈ȱǰȱ AC ȱǓȱ CD ȱǓȱ DB ȱǓȱ CM ȱǓȱ MD ȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ£ȱȱȱȱȱ AB ȱȱǻ¡ǰȱ¢Ǽǯȱȱ ȱ ȱȱǱȱ ȱ 5 Rekursion 137 xN = x A + xB , 2 yN = y A + yB ǯȱ ȱ 2 ȱ ȱ ȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱȱǯȱȱǱȱ ȱ 2 x + xB xC − x A 1 ǰȱ = 3 xC − 3x A = xB − x A xC = A 3 xB − x A 3 yC − y A 1 2 y + yB = 3 yC − 3 y A = y B − y A yC = A ǯȱȱ yB − y A 3 3 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ£Ǳȱȱ xD = x A + 2 xB y + 2 yB und y D = A ǯȱȱ ȱ 3 3 ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱ§ȱ ȱ ȱ AB ȱȱȱ ãȱ MN ȱǰȱ 3 Ǳȱ ȱ MN = CM ⋅ sin π 3 = AB 3 3 ⋅ = ⋅ AB ǯȱȱ 3 2 6 ȱ ȱǰȱżȱ = ȱǻȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǱȱȱ±ȱȱ±Ǽǯȱ ȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ sin α = y A − yB AB und cos α = xB − x A AB ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǱȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ∆x = MN ⋅ sin α = y − yB 3 3 ⋅ AB ⋅ A = ⋅ ( y A − yB ) ȱ 6 6 AB ȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ∆y = MN ⋅ cos α = 3 3 x − xA ⋅ AB ⋅ B = ⋅ ( xB − x A ) ǯȱ 6 6 AB ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 138 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱȱ ȱȱȱǱȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱ xM = xN + ∆x = x A + xB 3 + ⋅ ( y A − yB ) ȱȱȱȱ 2 6 ȱ ȱ ȱ ȱ yM = y N + ∆y = y A + yB 3 + ⋅ ( xB − x A ) ǯȱȱ 2 6 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱ ȱ ȱãȱ ȱȱǽşşǾȱ§ǯȱȱ ȱ Programm import java.awt.*; import java.io.*; import java.util.*; import javax.swing.*; public class P12Koch extends JPanel { private static final long serialVersionUID = 7412004320518032437L; private static final double Sqrt3 = Math.sqrt(3.0); private static final double Sqrt3Div6 = Math.sqrt(3.0) / 6.0; private static final String FileInputName = "iteration.in"; private int iterations; public P12Koch(int numIterations) { this.iterations = numIterations; } public void paint(Graphics g) { Dimension rect = this.getSize(); int diff = rect.width - rect.height; PaintInvariant paintInv = new PaintInvariant(g, 5); int l; if (diff < 0) { diff *= -1; l = rect.width / 2; paintInv.dx = 0; paintInv.dy = diff / 2; } else { 5 Rekursion 139 l = rect.height / 2; paintInv.dx = diff / 2; paintInv.dy = 0; } double xa, ya, xb, yb, t = l; xa = l; ya = l - t; xb = l - Sqrt3 * t / 2; yb = l + t / 2; drawKoch(paintInv, this.iterations, (int) xa, (int) ya, (int) xb, (int) yb); xa = l + Sqrt3 * t / 2; ya = l + t / 2; drawKoch(paintInv, this.iterations, (int) xb, (int) yb, (int) xa, (int) ya); xb = l; yb = l - t; drawKoch(paintInv, this.iterations, (int) xa, (int) ya, (int) xb, (int) yb); } private void drawKoch(PaintInvariant paintInv, int n, double xa, double ya, double xb, double yb) { if (n > 1) { double xc, yc, xm, ym, xd, yd; xm = (xa + xb) / 2 + Sqrt3Div6 * (ya - yb); ym = (ya + yb) / 2 + Sqrt3Div6 * (xb - xa); xc = (2 * xa + xb) / 3; yc = (2 * ya + yb) / 3; xd = (xa + 2 * xb) / 3; yd = (ya + 2 * yb) / 3; drawKoch(paintInv, n - 1, xa, ya, xc, yc); drawKoch(paintInv, n - 1, xc, yc, xm, ym); drawKoch(paintInv, n - 1, xm, ym, xd, yd); drawKoch(paintInv, n - 1, xd, yd, xb, yb); } else { paintInv.g.drawLine( (int) xa, (int) ya, (int) xb, (int) yb); } } public static void main(String args[]) throws IOException { Scanner sc = new Scanner(new File(FileInputName)); int numIterations; try { numIterations = sc.nextInt(); 140 Grundlegende Algorithmen mit Java JFrame frame = new JFrame("Rekursivitaet Beispiel"); P12Koch quadratePanel = new P12Koch(numIterations); frame.getContentPane().add(quadratePanel); quadratePanel.setPreferredSize(new Dimension(400, 400)); frame.pack(); frame.setDefaultCloseOperation( WindowConstants.EXIT_ON_CLOSE); // Frame auf den Bildschirmmittelpunkt einstellen Dimension screenDim = Toolkit.getDefaultToolkit().getScreenSize(); Dimension frameDim = frame.getSize(); frame.setLocation((screenDim.width - frameDim.width) / 2, (screenDim.height - frameDim.height) / 2); // den Frame anzeigen frame.setVisible(true); } finally { sc.close(); } } } class PaintInvariant { Graphics g; int dx, dy, minL; PaintInvariant(Graphics g, int minL) { this.g = g; this.minL = minL; } } Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱȱ§ǰȱȱȱ Ȃȱȱûȱȱȱ Ȭ ȱȱđǯȱȱȱȱȱ§ȱǯȱȱȱȬ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱǰȱȱȱȱȱȱ£ȱ§ǯȱȱ ȱȱȱûȱȱǯȱȱ Ȭǯȱȱ ȱ ȱȱǯȱ ȱ ȱȱȱ ȱ £ȱȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱȱǯȱ 5 Rekursion 141 ȱ ȱ ȱ ȱ đȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ûȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱǱȱ ȱ ȱƽȱŗȱ ȱƽȱřȱ ȱƽȱśȱ ȱƽȱŝȱ ȱ řǯ ȱȱûȱȱȱ ȱȱȱ§ȱȱȬ ǯȱȱȱ §ȱȱȱȱȱȱȱ §ȱǯȱȱȱȱȱ§ȱûȱȱǰȱȱȱȬ ȱȱ§ǯȱ ûȱȱǻǯȱȬȱǼǯȱȱȱȱȱǻŖǰȱŗǼȱƽȱǿǻ¡ǰȱ ¢Ǽȱ ȩȱ Ŗȱ ǀȱ ¡ǰȱ ¢ȱ ǀȱ ŗȀȱ ǰȱ ǯȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǻŖǰȱŖǼǰȱǻŖǰȱŗǼǰȱǻŗǰȱŗǼȱȱǻŗǰȱŖǼǯȱǽşřǾȱȱȱ ȱȱǰȱ ȱȱ ȱȱǻŖǰȱŗǼȱȱȱûȱǯȱ ȱȱȱȱ¢ȱǱȱ ȱ ¡ȱ ŗȱ Řȱ řȱ Śȱ ȱ ȱ Ŗȱ Ŗǯśȱ Ŗǯśȱ Ŗȱ ȱ Ŗǯśȱ Ŗȱ Ŗȱ ȬŖǯśȱ ȱ Ŗǯśȱ Ŗȱ Ŗȱ ȬŖǯśȱ ȱ Ŗȱ Ŗǯśȱ Ŗǯśȱ Ŗȱ ȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗǯśȱ ŗȱ ȱ Ŗȱ Ŗǯśȱ Ŗǯśȱ Ŗǯśȱ 142 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱ Ŗȱȱ ȱȱǻŖǰȱŗǼǯȱûȱȱûȱȱ Ŗȱ ȱȱ ȱ Ƹŗȱȱȱ ȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȬ ȱȱ£Ǳȱȱ ȱ ª x º ª an wn « » = « ¬ y ¼ ¬ cn bn º ª x º ª en º fûȱȱƽŗǰȱǳǰȱŚǯȱ + d n »¼ «¬ y »¼ «¬ f n »¼ ȱ ȱȱǱȱȱȱ ȱ xn ,i +1 = an ⋅ xi + bn ⋅ yi + en fûȱȱƽŗǰȱǳǰȱŚǯȱȱ ® ¯ yn,i +1 = cn ⋅ xi + d n ⋅ yi + f n ȱ ȱȱûȱȱȱãđȱȱȱŖȱȱǱȱȱ ȱ 4 K i +1 = {( x n , i +1 , yn , i +1 ) ( xi , yi ) ∈ K i } ǯȱ n =1 ȱ ȱȱȱǰȱȱȱ ȱ Ŗȱ£ȱȱȱȬ ȱ ŗŘȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ tȱ ȱ ȱȱȱȱǽŜŝǾȱȱ£§£ȱ ȱǯȱ ȱ ǯȱȱûȱ ȱ ŖǱȱȱ ȱ y 1 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 0 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 1 x 5 Rekursion 143 ȱ ȱ Ŗǰȱ ŗǰȱǳǰȱ ŗŗǱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱȱȱ ǰȱûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱđȱȱûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȇȱ ȱ ȱ¢ȱȱȱ¢ǯȱ ȇȱȱ ȱȱǯȱȱ ȱ Ȭ ȱ Teile und Herrsche 6 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Grundlagen ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǱȱ ȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱ £ãȱ ãȱ ȱ ǯȱ ǻŗŚŜŗȬŗŚŞřǼȱ ǯȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǻŗŖŖȱ ǯȱ ǯȬŚŚȱ ǯȱ ǯǼȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱȱȱȱ ȱȱȱ§ȱȱ ȱ §ȱȱȬ ȱȱǰȱȱȱ£ȱȱȱûȱȱ£ȱǯȱ ȱ ȱȱǮȱȱ ȃȱȱȱ ȱ£ȱ ǯȱ ȱȱȱǰȱđȱȱ¡ȱȱ £ ǯȱȱ £ȱ §ǰȱȬ ȱ ȱȱȱȱȱ£ǰȱȱ ȱȱȱȱãȱãȬ ȱȱȱ ǯȱȱȱȱȱȱ ȱđȱ £ȱȱ ãǯȱȱǱȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱûȱ ȱ ǱȱǮ£ ȱȱǷȱûȱǯȱȮȱȱȱǷȱȱ ǯȃȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ãǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱãȱ ȱãǯȱȱ ȱ ȱȱûȱȱãȱȱȱȱǮȱȱ ȃǱȱ • Ǳȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱ ȱǰȱȱȱȱ£ȱãȱǲȱ • Ǳȱãȱȱǲȱ • Ǳȱ£ȱȱãȱ ȱ£ȱȱ ãȱ£ǯȱ 146 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱȱȱȱǱȱȱ ȱ ȏ ǻǰȱǰȱǼȱ ȱȱȱȱ ȱǻ≤ŖȱǼȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǻǰȱǰȱǼȱ ȱȱȱȱȏ ȱ ȱȱȱȱȱ¡ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǻǰȱǼȱȱǻŗǰȱŗǼǰȱǻŘǰȱŘǼǰȱǳǰȱǻǰȱǼȱ ȱȱȱȱȱȱȱ ǻŗǰȱŗǰȱŗǼȱ ȱȱȱȱȱȱȱ ǻŘǰȱŘǰȱŘǼȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǳȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ǻǰȱǰȱǼȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱŗǰȱŘǰȱǳǰȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȏȱ ȱȏȱ ȏ ǻǰȱǰȱǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ûȱ ȱ ǯȱ ǰȱ ǰȱ Problem 1. Größter gemeinsamer Teiler mehrerer Zahlen ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱ £Ȭ ȱȱǯȱȱȱȱǰȱȱȱãđȱȱȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǰȱ ȱȱȱȱȱŖȱǯȱ ȱ ggt.in Bildschirm ggT = 5 45 60 125 345 65 9875 4555 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ¢ǀ ǁǰȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱȱȱȱ ãȱȱȱûȱȱȱȱ£ȱǯȱ ȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱ ȱ§ǯȱȱ ȱ 6 Teile und Herrsche 147 Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P01GGT { private static final String FileInputName = "ggt.in"; private static int gcd(int a, int b) { while (b != 0) { ȏǻǰȱǼȱ int r = a % b; ŗǯ ŗȱbȱǰȱŗȱbȱǰȱȱbȱŗȱ a = b; Řǯ ȱǻȱ≠ȱŖǼȱȱ b = r; Řǯŗǯ ȱȱƸŗȱbȱȱ } ŘǯŘǯ ȱȱƸŗȱbȱȱǻƽȱȱǼȱ return a; } ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŘǯřǯȱȱȱȱȱȱȱȱbȱƸŗȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱȱřǯȱǻǰȱǼȱƽȱȬŗȱ private static int divide_et_impera(List<Integer> a, int iMin, int iMax) { if (iMin < iMax) { int middle = (iMin + iMax) / 2; int d1 = divide_et_impera(a, iMin, middle); int d2 = divide_et_impera(a, middle + 1, iMax); return gcd(d1, d2); } return 0 <= iMin && iMin < a.size() ? a.get(iMin) : 0; } public static void main(String[] args) throws IOException { List<Integer> list = new ArrayList<Integer>(); Scanner sc = new Scanner(new File(FileInputName)); try { while (sc.hasNextInt()) { list.add(sc.nextInt()); } int sz = list.size(); if (sz > 0) { System.out.println( " ggT = " + divide_et_impera(list, 0, sz - 1)); } } finally { sc.close(); } } } ȱ 148 Grundlegende Algorithmen mit Java Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱȱȱǰȱȱȱ ȱ ǰȱȱȱ ȱȱãđȱȱȱǯȱ£ȱǯȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱǯȱǰȱ ȱȱȱȱȱȱǯȱ Problem 2. Die Türme von Hanoi ȱȱȱ£ȱȱȱȱ ȱŗŞŞřȱȱȱ ȱ§ȱ ȱȱȱǱȱȱûȱȱ ǯȱȱȱȱȱûȱȬ ȱȱ ȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱ§ȱǰȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ đȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱ ãđȱȱǰȱȱãđȱ ȱȱǯȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȬȱȱȱȱȱ£ȱ£ǰȱ Ȭ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱǯȱ ȱȱȱǱȱ ȱ • ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ • ȱȱȱãđȱȱȱȱȱȱȱ ȱ A B C ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ û£ȱ £ȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯǰȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ Tastatur 3 ȱ hanoi.out (A,C)(A,B)(C,B)(A,C)(B,A)(B,C)(A,C) 6 Teile und Herrsche 149 Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱãȱȱȱȱȱȱǱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ£ȱ£ǰȱȱȱ£ȱȬŗȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ →ȱ ûȱȱȱȬŗȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱ ǯǯǱȱ A → C , wenn n = 1 Hanoi ( n, A, C , B ) = ® ¯ Hanoi (n − 1, A, B, C ), A → C , Hanoi (n − 1, B, C , A), anderenfalls Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P02Hanoi { private static final String FileOutputName = "hanoi.out"; private PrintStream out; P02Hanoi(PrintStream out) { this.out = out; } private void write(char a, char b) { out.print('('); out.print(a); out.print(','); out.print(b); out.print(')'); } public void hanoi(int n, char a, char c, char b) { if (1 == n) write(a, c); else { hanoi(n - 1, a, b, c); write(a, c); hanoi(n - 1, b, c, a); } } public static void main(String[] args) throws IOException { PrintStream out = new 150 Grundlegende Algorithmen mit Java PrintStream(new File(FileOutputName)); try { System.out.print(" n = "); Scanner sc = new Scanner(System.in); int n = sc.nextInt(); new P02Hanoi(out).hanoi(n, 'A', 'C', 'B'); } finally { out.close(); } } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ Śǯ ȱǰȱȱȱ£ȱȱûȱ 2 n − 1 ȱǯȱ ȱȱȱǰȱȱȱãȱȱȱȱãȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ£ȱȱûȱãǱȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȬ ȱȱȱȱ£ȱǰȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ§ȱȱȱȱ£¢ȱ£ȱǳȱȱȬ ȱǮȃȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱǻȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱãđȱȱȱǼǯȱ ȱȱȱȱûȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 2 n − 1 ȱ ûȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŖ≤≤ŗŖŖǼȱ ȱ ȱ ǻŖ≤≤ 2 n − 1 ǼȱȱȬȱȱǯȱ Problem 3. Integral mit Trapezregel ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ §ȱ £ ȱ ȱ ¡Ȭȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱȱȱȱȱȱȱȱ£ ȱȬ ȱǰȱ£ȱȱ ȱȱǯȱȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱȱȱ ȱȱȬ ȱȱ ȱǽǰǾȱǻȱȱȱ§ȱȱǼȱȬ ȱ £§ǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¡Ȭȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱ ȱȱ ǰȱȱȱ ȱ£§ǯȱȱȱȱ§ȱ£ȱǰȱ£ȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱûȱȱ£ȱǯȱ 6 Teile und Herrsche ȱȱ b 151 1 ³ 1 + x dx ȱȱ£ȱȱ£ǰȱ ȱȱ ãȱȱȬ a 2 £ȱ £ȱ ȱ ȱ ƽŖǯŖŖŖŗȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǰȱ Ǽǰȱ ȬŘŖŖȱ ≤ȱ ǰȱ ȱ ≤ȱ ŘŖŖǰȱ ȱ ≤ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǯȱȱ ȱȱȱȱȱǯȱȱȱǯȱ ȱ integral.in integral.out 0 1 I(0, 1) = 0.785383 90.09 123.45 I(90.09, 123.45) = 0.00299929 -45.6 23 I(-45.6, 23) = 3.07615 Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ§ȱȱ£ȱȱȱȱǻǰȱŖǼǰȱǻǰȱŖǼǰȱǻǰȱ § f (a ) + f (b) · ¸ ǯȱȱ 2 © ¹ y ǻǼǼȱȱǻǰȱǻǼǼȱǱȱȱȱ (b − a )¨ ȱȱȱȱ§£ȱȱȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ §ȱȱȱ ȱãđȱȱȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱȱ£ȱ¡ǯȱ ȱ f(b) f(x) f(a) x a b Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P03Integral { private static final String FileInputName = "integral.in"; private static final String FileOutputName = "integral.out"; private static final double EPS= 0.0001; private static double f(double x) { return 1 / (1 + x * x); } private static double integral(double a, double b) { if (b - a > EPS) { double c = (a + b) / 2; return integral(a, c) + integral(c, b); } else { return (b - a) * (f(b) + f(a)) / 2; } } 152 Grundlegende Algorithmen mit Java public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner( new File(FileInputName)).useLocale(Locale.ENGLISH); while (sc.hasNextDouble()) { double a = sc.nextDouble(); double b = sc.nextDouble(); out.print("I("); ȱ£Ǳȱ out.print(a); out.println("I("+a+", " + b + out.print(", "); ") = "+ integral(a, b)); out.print(b); out.print(") = "); out.println(integral(a, b)); } } finally { if (sc != null) { sc.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǻȱ Ȭ £Ǽǯȱ £ȱȱȱȱȱȬȬ ǰȱȱȱ ȱ£ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ¡Ȭ ȱȱȱȱȱȱ ǰȱȱȱ§Ȭ ȱ£§ǯȱȱ ãȱȱȱûȱȱ ȱǽǰǾȱȱǻǻƸǼȦŘǼǯȱ Problem 4. QuickSort ȱȱȱǯȱȱȱȱûȱǯȱ ȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱǯȱǱȱ ȱ ȱ ȱ 6 Teile und Herrsche QSort.in 345 67 13 789 90 76 -45 153 QSort.out -45 13 67 76 90 345 789 Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱǰȱȱǯǯǯȱ ȱǻǯȱŗşřŚǼȱŗşŜŘȱȱǰȱȱ ȱ£ȱǯȱȱȱȱǰȱ ȱđȱȱȱ ȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱ ȱȬȱǻȱǼȱǯȱȱȱȱȱȱȱ£ ȱȬ ȱǯȱȱȱȱȱȱȱãđȱȱȱȱȬǰȱȱ ȱȱȱ£ ȱȱȱȱȱǻȱȱȱȱȱȬ ȱȱȱǼǯȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȬ ȱ ȱǰȱȱ£ ȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱȬ ǯȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǽǾǰȱǽƸŗǾǰȱǳǰȱǽǾǰȱȱ ȱ ȱȱ§ȱȱȱǰȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ǯȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱ Ȭ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȬǼȱ £ȱ ȱ ȱ Ȭȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱ ǻƽǼǯȱ ȱ ¡§ǯȱȱȱȱȱ£ ȱȱǰȱȱ ȱȱȱ ǰȱȱȱȱ ¡§ȱȱȱǻȱȱǼǯȱȱûȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ §ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱȱǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P04QSort { private static final String FileInputName = "QSort.in"; private static final String FileOutputName = "QSort.out"; private static void quickSort(int[] arr, int inf, int sup) { 154 Grundlegende Algorithmen mit Java if (inf < sup) { int pivot = arr[inf], aux; int i = inf + 1, j = sup; while (i <= j) { while (i <= sup && arr[i] <= pivot) i++; while (j >= inf && arr[j] > pivot) j--; if (i < j && i <= sup && j >= inf) { aux = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = aux; i++; j--; } } i--; arr[inf] = arr[i]; arr[i] = pivot; quickSort(arr, inf, i - 1); quickSort(arr, i + 1, sup); } } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName)); List<Integer> list = new ArrayList<Integer>(); while (sc.hasNextInt()) { list.add(sc.nextInt()); } int idx = list.size(); int arr[] = new int[idx]; for(int i=0; i<idx; i++) arr[i] = list.get(i); quickSort(arr, 0, idx - 1); for (int i = 0; i < idx; i++) { out.print(arr[i]); out.print(' '); } } finally { if (sc != null) { sc.close(); } 6 Teile und Herrsche 155 if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ ȱȱȱȱȱȱȱûȱȱȱȱǻǯǼǯȱ £ȱȱȱȱȱǰȱȱȱȬȱ£§ȱȱ ȱ ȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ǻŖ≤ȱ ǀǼȱ ȱ ǰȱ ȱ ¢ȱ ǰȱ ȱ ȱȱ£ȱǯȱ Problem 5. MergeSort (Sortieren durch Verschmelzen) ȱȱȱǯȱȱȱȱûȱǯȱ ȱȱȱ ȱǰȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱ ǯȱǱȱ ȱ MSort.in MSort.out 345 67 13 789 90 76 -45 -45 13 67 76 90 345 789 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱǰȱȱ ȱǰȱȱ£ȱǯȱȱȱ ȱ ȱǱȱȱ¢ȱȱȱȱ ȱȱ£ ȱȱǰȱȱȱ ȱ ȱȱǯȱđȱ ȱȱ£ȱȱȱ¢ȱȬ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¡§ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ¡§ȱȱȱȱȱǻȱȱǼǰȱȱ§ȱ£ȱȱȱ §ȱȱȱǯȱ ȱ 156 Grundlegende Algorithmen mit Java Programm ȱ import java.io.*; import java.util.*; public class P05MergeSort { private static final String FileInputName = "MSort.in"; private static final String FileOutputName = "MSort.out"; private static void mergeSort(int arr[]) { if (arr.length <= 1) return; int v1[] = new int[arr.length / 2]; int v2[] = new int[arr.length - v1.length]; System.arraycopy(arr, 0, v1, 0, arr.length/2); System.arraycopy(arr, arr.length/2, v2, 0, arr.length-v1.length); mergeSort(v1); mergeSort(v2); int i1 = 0, i2 = 0; for (int k = 0; k < v1.length + v2.length;) if ((i2 >= v2.length) || (i1 < v1.length && v1[i1] <= v2[i2])) { arr[k++] = v1[i1++]; } else { arr[k++] = v2[i2++]; } } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; 6 Teile und Herrsche 157 PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName)); List<Integer> list = new ArrayList<Integer>(); while (sc.hasNextInt()) { list.add( sc.nextInt() ); } int arr[] = new int[list.size()]; for(int i=0; i<list.size(); i++) arr[i] = list.get(i); mergeSort(arr); for (int i = 0; i < arr.length; i++) { out.print(arr[i]); out.print(' '); } } finally { if (sc != null) { sc.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgabe £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ¢ȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱǰȱ£ Ȭ ȱȱȱ¢ȱȱ Ǳȱ private static void mergeSort(int arr[], int i, int j).. Problem 6. Quad-Bäume Ȭ§ȱȱ§ǰȱȱȱ ȱ¡ȱȱ ȱȱûǯȱȱ ȱ ǯǯȱ £ȱ ȱ £ǯȱ ȱ ȱ Ȭ§ȱ ȱ £ȱ Ȭ§ǰȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱ ȱȱȱȱ ȱûȱȱȱǯȱ ȱ ȱ£ȱȱ ȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱǻȬ Ǽȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǯȱ ȱȱȱȱȬȱ ȱȱȱȱȱ£ȱ§Ȭ ǰȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǻȱȱȱȬ 158 Grundlegende Algorithmen mit Java Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ǰȱ Ȭ ǯȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱ£ǰȱ ȱȱȬ ȱ ȱ §ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ §ȱ ȱǰȱǯǯȱȱ§ȱȱȱûȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱȱȱ £ đȱȱȱřŘȱȱ£ȱȱǯȱȱ ȱǮȄȱ£ ȱǰȱȱȱȱȱ£ȱ£ǯȱ ȱȱ ȱȱ ¡ȱ £ǰȱ ȱ ȱȱȱ ȱ¡ȱȱȱȱ £ȱ ǯȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱ £ȱȱȱǯȱȱ ûȱȱȱǰȱȱȱ£ ȱȱȬ ǰȱ ȱ £ȱȱȱȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȬȬȱ £ ȱȱȱ£ȱȱ £ȱ¡ȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ £Ȭ ǰȱȱȱǰȱȱȱȱȬ§ǰȱȱȬȬȱǻ ȱȱ §Ǽȱȱđȱȱ£ȱȱ £ȱ¡ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ§ǰȱ ȱ ȱ ȱȬȬȱ££ȱǯȱȱȱȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ đȱ ûȱ ǯȱ ȱ ȱ 6 Teile und Herrsche 159 ȱȱûȱȱûȱȱȱȬǯȱǱȱȱȱȱȱȱ ǯȱûȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱǱȱ quad.in quad.out ppeeefpffeefe pefe- ppeeefpffeefe + pefepeefe = ppeeefffpeefe 448 + 320 = 640 peefe ------------------------------------peeef + peefe = peeff peeef 256 + 256 = 512 peefe ------------------------------------peeef + peepefefe = peepefeff peeef 256 + 128 = 384 peepefefe ------------------------------------ppeeefffpeefe + peepefeff = ppeeeffff ppeeefffpeefe 640 + 384 = 832 peepefeff ------------------------------------e + pfffe = pfffe e 0 + 768 = 768 pfffe ------------------------------------ǻǰȱȬȱǰȱŗşşŚȬŗşşśǰȱ£Ǽȱ ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱ¢ǻǼȱȱûȱ£ ȱȱȬȬȱȬ £ȱ Ȭ§ȱ ȱ Ǯȃȱ ǻ£ȱ £ȱ ¡Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱȱȱȱ§ȱȱ§ȱǰȱȱȱȱȱȱ ȱ ǰȱȱ ȱȱ§ȱ¡ȱȱȱȱ ȱûȱȱȬ ȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱ£ ȱȱǻƽŗǰȱǯǯǯǰŚǼȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ¡ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱ£ȱ ȱȱǱȱ ȱ private static int subTree(StringBuilder ss, StringBuilder sr, int t) {…} ȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱȱ£ûȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ǰȱ §ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱ ȱȱ £ȱȱ ǰȱȱȱ£ȱȱǯȱ ȱȱǰȱ ȱ ǰȱȱȱȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ûȱ ȱ ȱ Śȱ ȱ ǰȱ ǯǯȱ ȱ ȱ Śȱ £ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱ ȱǯȱ ȱ£§ȱ ȱ ȱřȱ£ȱ ȱ£ǯȱȱȱȱȱ ȱȱȱ ǰȱȱ ȱȱȱȱŗǯȱȱȱ ȱ 160 Grundlegende Algorithmen mit Java Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P06QuadTree { private static final String FileInputName = "quad.in"; private static final String FileOutputName = "quad.out"; private StringBuilder unifiedTree; P06QuadTree() { this.unifiedTree = new StringBuilder(); } private static boolean isLeaf(char c) { return 'e' == c || 'f' == c; } public void unifyTrees(StringBuilder t1, StringBuilder t2) { if ('p' == t1.charAt(0) && 'p' == t2.charAt(0)) { this.unifiedTree.append('p'); int i1 = 1, i2 = 1; StringBuilder sr1 = new StringBuilder(); StringBuilder sr2 = new StringBuilder(); for (int i = 0; i < 4; i++) { i1 = subTree(t1, sr1, i1); i2 = subTree(t2, sr2, i2); this.unifyTrees(sr1, sr2); } ; } else if (t1.charAt(0) == 'f' || t2.charAt(0) == 'f') this.unifiedTree.append('f'); else if ('e' == t2.charAt(0)) this.unifiedTree.append(t1); else if ('e' == t1.charAt(0)) this.unifiedTree.append(t2); } private static int subTree(StringBuilder ss, StringBuilder sr, int t) { sr.setLength(0); if ('p' == ss.charAt(t)) { for (int n = 1; n != 0 && t < ss.length();) { if (isLeaf(ss.charAt(t))) n--; else n += 3; sr.append(ss.charAt(t++)); 6 Teile und Herrsche } } else { sr.append(ss.charAt(t++)); } return t; } private static int getValue(StringBuilder ss, int v) { if ('p' == ss.charAt(0)) { StringBuilder sr = new StringBuilder(); int t = 1; int suma = 0; for (int i = 0; i < 4; i++) { t = subTree(ss, sr, t); suma += getValue(sr, v / 4); } return suma; } else return 'f' == ss.charAt(0) ? v : 0; } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName)); while (sc.hasNext()) { StringBuilder t1 = new StringBuilder(sc.next()); StringBuilder t2 = new StringBuilder(sc.next()); P06QuadTree p6 = new P06QuadTree(); p6.unifyTrees(t1, t2); out.printf("%s + %s = %s\n", t1, t2, p6.unifiedTree); out.printf("%d + %d = %d\n", getValue(t1, 1024), getValue(t2, 1024), getValue(p6.unifiedTree, 1024)); out.println("-------------------------------------"); } } finally { if (sc != null) { sc.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } 161 162 Grundlegende Algorithmen mit Java Aufgabe ȱ §ȱȱǻǼȱȱȱǯȱȱȱûȱȱȬ ȱȬȱȱ§ǰȱȱȱ £ȱ¡ȱǯȱ ȱ Problem 7. Diskrete Fourier-Transformation (DFT) ȱȱȬȱȱȱ ȱ£ȱȱȱȬ ȱȱ ȱ£ȱ ȱȱȱȱȱȱ£Ȭ ȱ ǯȱ ȱ ȱ řȬ ȱ £ȱ ȱ £ȱ Ȭ ǯȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱûȱǰȱǰȱȬȱȱȱǻǼȱǯȱȱȱȱȬ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ £ȱ a = (a0 , a1 ,..., an−1 ) ǯȱ ȱ ȱȱȱȱ ωn0 , ωn1 , ωn2 ,..., ωnn −1 ȱȱ£ȱȱ X n − 1 = 0 ǻ £Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ P ( x) = n −1 ¦ a ⋅ x ǯȱ ȱ ȱ Ȭȱ j j j =0 ȱȱȱȱ y = ( P (ω ω 0 n ), P ( ω nn−1 )) ǯȱȱȱȱ¢ƽǻǼǯȱ 1 n ),..., P ( Ǳȱ ȱȱȱǯȱȱȱȱ £ȱǰȱȱȬ ȱȱ¡ȱȱǻȱȱȬȱȱ §ȱȱȱǼȱȬ ȱǯȱȱ£ȱȱȱȱȱȱȱȱ£ȱȱŘǯȱǱȱȬ ȱȱȱǯȱȱȱȬȱȱ¢ȱûȱǯȱ fourier.in 3.45 2.1 0.8 7.6 -5.4 3.1 -7.4 2.1 7.6 43.21 6.54 32.1 8.76 43 3.12 -3.21 ȱ fourier.out 17.47 130 52.6993 -87.8464 -33.12 10.83 -33.8606 -17.3687 11.35 52.82 18.8007 -22.6936 48.5 -12.41 -54.2394 -36.5313 Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱȱȱ£ȱǻŘǼǯȱ ȱȱȱ £ǰȱ§ȱȱȱȱ Ǳȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ǻǯȱȱȱǼǯȱȱ 6 Teile und Herrsche 163 ȱȱ£ȱȱȱȱ Ȭ£ǯȱȱȱȱ£ ȱȱ¢ȱ Ŗǻ¡Ǽȱȱŗǻ¡Ǽȱȱ ȱȦŘǰȱȱȱȱȱ ȱȱ Ȭ £ȱȱǻ¡Ǽȱȱ£ȱȱ£ȱ ¡ȱȱǱȱ A0 ( x) = a0 + a 2 x + a4 x + ... + an − 2 2 A1 ( x) = a1 + a 3 x + a5 x + ... + an −1 2 n −1 x2 , n −1 x2 ȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŗǼȱ ȱ ȱǱȱȱ P ( x) = A0 ( x 2 ) + xA1 ( x 2 ) ȱ ȱ ǻ¡Ǽȱȱ ȱȱȱȱ ωn0 , ω n1 , ω n2 ,..., ωnn−1 Ǳȱ ŗǯ ȱ ȱ Ŗǻ¡Ǽȱ ȱ ŗǻ¡Ǽȱ ǻ ȱ ȦŘǼȱ ȱ ȱ ȱ (ω ) , (ω ), (ω ) ,..., (ω ) ǯȱ 0 2 n 1 n 2 2 n n −1 2 n Řǯ ȱȱǻ¡ǼȱȱǻŗǼǯȱ ȱȱȱȱǱȱ ȱ ȏǻȱǼȱ ȱ ŗǯ ȱ←ȱ£ǻǼȱ ȱ Řǯ ȱǻƽŗǼȱȱȱȱ ȱ 2π 2π ȱ řǯ ωn ← cos ȱ + i sin ȱ n n ȱ Śǯ ω ← 1 ȱ ȱ śǯ A0 ← ( a0 , a2 ,..., an − 2 ) ȱ ȱ Ŝǯ A1 ← ( a1 , a3 ,..., an −1 ) ȱ ȱ ŝǯ Ŗȱ←ȱ ȏǻŖǼȱ ȱ Şǯ ŗȱ←ȱ ȏǻŗǼȱ ȱ şǯ ȱǻ←Ŗǲȱ≤ȦŘȬŗǲȱȱŗǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ yk ← Y0 ( k ) + ω ⋅ Y1 ( k ) ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ y n ← Y0 ( k ) − ω ⋅ Y1 ( k ) ȱ k+ ȱ 2 ȱ ȱȱȱȱȱȱȱ ω ← ω ⋅ ωn ȱ ȱ ȏȱ ȱ ȱȱȱȱŗŖǯȱȱ¢ȱ ȱ ȏ ȱȏǻȱǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǯȱ ȱ Ȭ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ£ûǯȱȱ 164 Grundlegende Algorithmen mit Java Komplexe Zahlen – kurze Einführung §ȱȱǯȱȱȱȱ ȱ£ȱȱȱûȱȱȬ ȱ ȱ ǻŗŝŖŝȬŗŝŞřǼȱ ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ¡ŶȱƸȱ¡ȱƸȱȱƽȱŖȱȱǻȱǰȱ∈ȱ[ȱ ȱȱ≠ȱŖǼǰȱȱȱȱ[ȱãȱǰȱ£ȱãǯȱ ȱ§ȱȱȱǻȱȱǼȱȱȱȱȱȱ §ȱãȱȱ ȱȱ¡ŶȱƽȱȬŗǰȱȱȱȱŘȱƽȱȬŗǯȱȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ǯȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱȱȱ£ȱƽȱ¡ȱƸȱ⋅¢ǰȱ ȱ¡ȱȱ¢ȱȱȱǯȱȱ ȱȱǱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ x = Re(z ) ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻȱȱ£Ǽȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ y = Im(z ) ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻ §ȱȱ£Ǽȱ z = x − iy ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻ ȱȱ£Ǽȱ ȱz = x 2 + y 2 ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻȱȱ£Ǽȱ ȱ ȱ ȱ z1 + z 2 = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 ) z1 − z 2 = ( x1 − x2 ) + i ( y1 − y2 ) z1 ⋅ z 2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ) z1 ( x1 x2 + y1 y2 ) + i ( x2 y1 − x1 y2 ) = z2 x22 + y22 §z · z 2 z = z , z ⋅ z = z , z1 ± z 2 = z1 ± z 2 , z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 , ¨¨ 1 ¸¸ = 1 © z2 ¹ z2 z z z1 − z 2 ≤ z1 ± z 2 ≤ z1 + z 2 , z1 ⋅ z 2 = z1 ⋅ z 2 , 1 = 1 z2 z2 ȱ ȱȱ£ ȱ¡ȱȱ£ŗƽȱ¡ŗȱƸȱ¢ŗǰȱ£Řȱƽȱ¡ŘȱƸȱ¢Řȱȱ¡ŗǰȱ¡Řǰȱ¢ŗǰȱ¢Řȱ∈ȱ[ǯȱ ȱ ȱȱȱȱȱãȱȱûȱ¡ȱȱȱ ȱȱȱ Ǳȱ ȱ §ȱȱȱȱ[ȱȱȱȱȱȱȱȱ§ǰȱ ȱȱȱȱPȱȱ¡ȱȱȱȱǻ¡ȱǰȱđȱ 6 Teile und Herrsche 165 Ǽȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȉȱ Ȉȱ ȱ Pȱ ȱ £ ȱȱǯȱȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P07Fourier { private static final String FileInputName = "fourier.in"; private static final String FileOutputName = "fourier.out"; private static List<Complex> fft(List<Complex> a) { int n = a.size(); if (n <= 1) return a; Complex wn = new Complex(Math.cos(2 * Math.PI / n), Math.sin(2 * Math.PI / n)); Complex w = new Complex(1.0, 0.0); List<Complex> a0 = new ArrayList<Complex>(); List<Complex> a1 = new ArrayList<Complex>(); List<Complex> y = new ArrayList<Complex>(); for (int i = 0; i < n; i++) { Complex c = a.get(i); if (i % 2 == 0) a0.add(c); else a1.add(c); y.add(new Complex(0, 0)); } List<Complex> y0 = fft(a0); List<Complex> y1 = fft(a1); for (int i = 0; i < n / 2; i++) { Complex aux = w.multiply(y1.get(i)); y.set(i, y0.get(i).add(aux)); y.set(i + n / 2, y0.get(i).substract(aux)); w = w.multiply(wn); } return y; } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new 166 Grundlegende Algorithmen mit Java File(FileInputName)).useLocale(Locale.ENGLISH); List<Complex> a = new ArrayList<Complex>(); while (sc.hasNextDouble()) { double re = sc.nextDouble(); double im = sc.nextDouble(); a.add(new Complex(re, im)); } List<Complex> y = fft(a); for (Complex c : y) { out.println(c); } } finally { if (sc != null) { sc.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } class Complex { private double re, im; Complex() { this(0, 0); } Complex(double newRe, double newIm) { re = newRe; im = newIm; } public String toString() { return this.re + " " + this.im; } public Complex add(Complex z) { return new Complex(re + z.re, im + z.im); } public Complex substract(Complex z) { return new Complex(re - z.re, im - z.im); } public Complex multiply(Complex z) { return new Complex(re * z.re - im * z.im, re * z.im + im * z.re); } } 6 Teile und Herrsche 167 Aufgabe ȱȱȱȱȱȱȱȱȬȱûȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱȱȱǯȱȱȱ ȱȱǱȱ List<Complex> y = new ArrayList<Complex>(); w.setRe(1); w.setIm(0); for(int k=0; k<n; k++){ Complex yk = new Complex(0, 0); E.setRe(Math.cos(2*PI*k/n)); E.setIm(Math.sin(2*PI*k/n)); w.setRe(1); w.setIm(0); for(int j=0; j<n; j++){ yk = yk.add(a.get(j).multiply(w)); w=w.multiply(E); } y.add(yk); } ȱȱǻǼȱȱ ǻǼȱȱȱȱȬȱûȱȱȱ£ ǯȱ §ȱȱǯȱ ȱ ȱȱ £ȱȱ ȱȱȱȱǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱûǰȱȱȱǰȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱȱǰȱǯǯǯȱȱȱ¢ȱȱȱǰȱȱ ǯȱ ȱȱȱ Backtracking 7 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȬȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱãȬ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱǱȱǮȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱǷȃǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱûǰȱȱ£ȱǰȱȱȱ ȱ£ȱãȱȱǯȱ Problem 1. Das Problem der n Damen ǯȱȱ¢ȱȱ¡ȱ££ȱǻŗŞŘŚȬŗŞŝŗǼȱȱȱȱȱ Şȱ ȱ ŗŞŚŞȱ ȱ ȱ Ǯȱ £ȃȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ£ȱȱãȱãȱǯȱȱȱ ȱşŘȱ ȱȱ ȱ ŗŞśŖȱ ȱ ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ Ȉ£ȱ ȱ Ȉȱ ȱ ǯȱ ȱȱȱȱȱ đȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱ§ȱ ȱȱ£ûûǯȱȱ ȱǰȱȱ ȱ ǰȱ ȱȱãȱȱ ȱȱûȱȱȱȱȱ×Ȭȱǰȱȱȱȱȱ ǯȱ ȱ ŗşşŗȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱǯȱŘǰȱǯȱŝȱǯȱȱŗşşŘȱȱãǰȱȱȱ ȱȱ £ȱ£ ȱȱȱȱȱȱǯȱȱ ǯȱȱȱȱȱȱȱ×ȱȱǯȱȱȱ ȱãǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱǰȱ ȱ ȱȱȱȱȱ ȱǰȱȱȱȱȱȬ ǯȱȱȱǰȱȱŚȱ≤ȱȱ≤ȱŘŖǯȱ Ǳȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ ȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱǯȱ ȱ ȱ£ȱȱȱȱ£ȱȱȱȱȱ£ȱȱãȱǯȱ ȱ 170 Grundlegende Algorithmen mit Java Tastatur n = 4 n = 8 nQueens.out 2 4 1 3 3 1 4 2 4 2 1 5 8 6 3 7 2 4 1 6 8 3 7 4 2 5 … 6 3 1 7 5 8 2 4 … 8 3 1 6 2 5 7 4 8 4 1 3 6 2 7 5 8 92 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱǰȱȱȱƽȱŚȱǯȱȱ ȱȱãȱǰȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱŚ×ŚȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȬ ȱǯȱ ȱȱ ȱãȱ ȱǵȱȱ£ȱȱȱȱȱǻŗǰȱŗǼǰȱȱȱ ȱȱ£ ȱȱȱȱ£ ȱȱ£ȱ£ǲȱ ȱǰȱȱȱȱ ãȱȱȱȱ£ ȱȱȱȱȱȱȱǻŘǰȱřǼȱȱǻȱȱ ȱȱȱȱȱȱǼǯȱ ȱ£ ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǻŘǰȱřǼǰȱȱȱŗǯȱȱ ȱ ȱȱ ȱǰȱȱȱȱãȱǰȱȱȱȱȱȱȱ£Ȭ Ǳȱȱŗȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ £ ȱȱȱȱȱȱŘǰȱřȱȱŚȱûȱǻȱŘǼǯȱȱȱȬ ȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱãȱ £ȱǰȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ £ ȱ ȱ £ûȱ ȱ ûȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǻȱřǼǯȱ ȱȱȱȱȱȱ£ ȱȱǰȱȱȱȱ ȱ£ȱȱǻȱŚǼǯȱȱ£ȱȱȱȱȱȱȱȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǻȬ ȱśǼǯȱ ȱȱȱǰȱȱ ȱȱ£ȱ§ȱȱûǰȱȱȱ §ȱȱȱǮȃȱȱŘȱȱȱȱ£ȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱûǰȱ ȱȱřȱȱŚȱȱȱ£ ȱȱȱ ǯȱȱȱ ȱ£ȱȱŘǰȱȱȱȱȱȱ£ȱǯȱ ȱǰȱȱ ȱ£ȱȱȱ£ûȱûȱȱȱŘȱȱ§ȱȬ ȱȱ£ȱǻȱŜǼǯȱûȱȱ£ ȱȱȱȱȱ£ ȱ 7 Backtracking 171 ȱȱȱ£ȱȱȱȱǻȱŝǼǯȱȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱȱȱȱȱ£ȱ ȱǻȱŞǼǯȱđȱȱûȱȱ£ȱ ȱȱȱȱȱȱȱŚȱǻȱşǼǯȱȱȱȱȱȱ£ǰȱ ȱ ȱȱȱãȱûȱȱǯȱȱ ȱ ȱȱãȱ ȱãȱ£ȱǰȱ ȱ ǰȱ ȱȱǰȱ Ȭ ȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱ£ȱãǰȱȱȱȱŗŖȱ £ȱǯȱǻȱǰȱȱȱãȱȱȱȱȱãȱǼǯȱȱ ȱ ȱȱȱ§ȱãȱûȱȱȱŗŗȱȱȱȱȱȱ Ŗȱȱȱãǯȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱȱãȱûȱ ȱƽȱŚȱ ȱǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱŗȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŘȱ ȱȱȱȱȱȱȱřȱȱ ȱŚȱ ȱ ȱȱȱȱśȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŜȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱşȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱŝȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱŗŖȱ ȱ ȱŞȱ ȱŗŗȱ 172 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱǱȱ ȱ ŗǯ ȱȱȱȱȱȱȱǯȱ Řǯ ȱȱȱȱȱȱȱǯȱ řǯ ȱãȱȱãȱȱȱȱ¢ȱ¡ǽǾȱȱȱȱ Ǳȱ ¡ǽǾȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ £ǯȱ ȱ ȱ ãȱȱ ȱȱȱ ¡ǽŚǾȱƽȱǿŘǰȱŚǰȱŗǰȱřȀȱǰȱȱ£ ȱãȱȱ ¡ǽŚǾȱƽȱǿřǰȱŗǰȱŚǰȱŘȀǯȱȱȱ §ǰȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱǯȱ Śǯ ȱ ãȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱǱȱ¡ǽǾȱ≠ȱ¡ǽǾȱǻȱȱûȱȱǼǯȱ śǯ ûȱ£ ȱȱ ȱȱǰȱȱ ǀȱǰȱȱȱ ȱãȱǱȱȱûȱ ȱȱȱȱȱȱǯȱȱãȱȱȬ ȱãȱǱȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǽǾ ȱ ¡ǽǾ ¡ǽǾȱ ¡ǽǾ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ - ȱȱȱȱȱǱȱ j − i = x[i ] − x[ j ] ȱ - ȱ£ ȱȱȱȱǱȱ j − i = x[ j ] − x[i ] ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǰȱȱ Ǳȱ j − i = x[i ] − x[ j ] ǯȱ ȱ ȱ ȱ 7 Backtracking 173 ȱȱȱȱȱȱȱ Ǳȱ ȏȏȱ ȱ←ȱŗȱ ȱ¡ǽŗǾȱ←ȱŖȱ ȱǻȱǁȱŖǼȱ¡ȱȱ ȱȱȱȱȱȱ←ȱȱȱ¢ȱȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŗǰŘǰȱǯǯǯǰȱȬŗȱ§ȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱǻȱ¡Ǽȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ¡ǽǾȱ←ȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǻȱƽȱǼȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻ¡ǽŗǾǰȱ¡ǽŘǾǰȱǯǯǯǰȱ¡ǽǾǼȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǻȱǀȱǼȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ←ȱȱƸȱŗȱȱȱȱȱȱȦȦȱȱȱȱǻ Ǽȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ¡ǽǾȱ←ȱŖȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȦȦȱ ȱ£ȱȱȱȱŖȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ¡ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ←ȱȱȮȱŗȱȱȱȱȱȱȱȱȦȦȱȱ£ûȱȱǻ Ǽȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱȱȱȱȏ ȱ ȏȱ ȏ ȏȏȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ãǯȱȱȱȱ ȱǯȱ ȱ Programm BP 1:import java.io.*; 2:import java.util.*; 3:public class P01NQueens { 4: private static final String FileOutputName = 5: "nQueens.out"; 6: public static void main(String[] args) 7: throws IOException{ 174 Grundlegende Algorithmen mit Java 8: PrintStream out = 9: new PrintStream(new File(FileOutputName)); 10: try { 11: System.out.print(" n = "); 12: Scanner sc = new Scanner(System.in); 13: if (!sc.hasNextInt()) { 14: return; 15: } 16: int n = sc.nextInt(); 17: int noSol = 0; 18: int[] x = new int[n]; 19: int k = 0; 20: x[k] = -1; 21: while (k >= 0) { 22: boolean flag = false; 23: while (!flag && x[k] < n - 1) { 24: x[k]++; 25: flag = true; 26: for (int i = 0; i < k; i++) 27: if ( x[i] == x[k] || 28: Math.abs(x[i] - x[k]) == k – i 29: ) 30: flag = false; 31: } 32: if (flag) { 33: if (k == n - 1) { 34: for (int i : x) { 35: out.print(i + 1); 36: out.print(' '); 37: } 38: out.println(); 39: noSol++; 40: } else 41: x[++k] = -1; 42: } else 43: k--; 44: } 45: out.print(n); 46: out.print(' '); 47: out.println(noSol); 48: } finally { 49: out.close(); 50: } 51: } 52:}ȱ ȱ 7 Backtracking 175 Ǳȱȱ ȬȱȱȱŘŗȱ ȱûǰȱȱ ȱȱȱȱ ûȱȱǻ£ ȱŖȱȱȬŗǼȱǯȱ ȱȱŘřȱȱȱ Ȭȱǰȱȱ ȱ §ȱ ãȱ ȱ ¡ǽǾȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǽǾȱ £ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ §ǯȱȱ ȱȱȱǮ§ȃȱȱ¡ǽǾȱȱǻȱȬ ȱȱȱřŘȱûȱǼǰȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱȱ£ȱȱǻȱřřǼȱȱȱȱȬ ȱãǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ£ȱ§ȱȱȬ ȱ Śŗȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ Ŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǯ§ȃȱ ȱ ȱ ȱǰȱȱȱ ȱȱȱ£ûȱǻȱŚřǼǯȱ ȱȱûȱȱȱȱ ǰȱȱȱ£ȱȱȱȱ ȱ §ǰȱȱ ¡§ȱȱȱȱ¡ǯȱ ȱ Allgemeine Bemerkungen zum Backtracking-Verfahren ȱȱȱ§ȱȱȱǻ ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŗȱ ŗǳŗǼȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ û£ȱǰȱȱǻŗȱŗǳǼȱ£ȱȱãȱûȱǷǼǰȱȱȱ£ȱ£ȱ ¡ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ããȱ ȱ ǻ£ǯǯȱ ȱ ¢ Ǽǯȱ ûȱȱ ȱȱȱȱãȱȱǱȱ ȱ ȱ • ȱȱûȱȱȱȱãȱãȱǯȱ • ȱ ãȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ §ȱȱȱȱ£ȱȱȱǯȱ • ȱãȱȱ ȱȱ Ǳȱ¡ǽŗǾǰȱ¡ǽŘǾǰȱǳ¡ǽǾǯȱ • ȱȱȱãȱ ȱǰȱȱȱ£ȱȬȱȱ£ãȱȱ ¡ǽǾȱ£ȱȱãȱûǰȱ ȱȱȱ¡ǽŗǾǰȱ¡ǽŘǾǰȱǳ¡ǽȬŗǾȱȱ ȱ ǯȱ • ȱãȱǰȱȱ ȱȱãȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ §ȱȱã¢ȱȱȱȬȱȱȱ ȱȬ ȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǻȬȬǼǰȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ǻȱ ȱ ȱ ûȱ Ǽǰȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ¢ǰȱ ǰȱȱǼǯȱȱ ȱ 176 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǽǾȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗǰȱ Řǰȱ ǳǰȱ ȱ ȱãǯȱȱ ȱ ȱȱȱ£ȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȏȏ ȱ ȱ ȱ←ȱŗȱ ȱ ȱǻ≥ŗǼȱȱ ȱ ȱȱȱ ȱǻȱ∃ǻȱȱȱ ȱûȱ¡ǽǾǼȱǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ¡ǽǾȱ←ȱȱȱȱ ȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱûȱȱȬȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱǻ¡ǽŗǾǰȱ¡ǽŘǾǰȱǳǰȱ¡ǽǾȱȱãǼȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻ¡ǽŗǾǰȱ¡ǽŘǾǰȱǳǰȱ¡ǽǾǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱ←ȱƸŗȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȦȦȱȱ §ȱ ȱ ȱȱȱȱȱ←ȱȬŗȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȦȦȱȱû § ȱ ȏȱ ȱ ȏ ȏȏ ȱ ȱ ȱ ȱȬȱãȱȱȱȱ ǰȱ£ǯȱǯȱȱȬ ȱǱȱ ȱ ȱ ȏȏǻǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱǻȱãȱȱȱ¡ǽǾǼȱ¡ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱ ȱǻ¡ǽŗǾǰȱ¡ǽŘǾǰȱǳǰȱ¡ǽǾȱ£ȱȱãȱûȱǼȱ¡ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǻ¡ǽŗǾǰȱ¡ǽŘǾǰȱǳǰȱ¡ǽǾȱȱãȱǼȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻ¡ǽŗǾǰȱ¡ǽŘǾǰȱǳǰȱ¡ǽǾǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȏȏǻƸŗǼȱ ȱ ȱȱȱȱȏȱ ȱ ȏ ȏȏǻǼȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ûȱ ȱ Ȭ ȏȏǻŗǼȱǯȱ ȱ Aufgaben ŗǯ ȱ ȱ ȱ ã¢ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱȱǯȱ 7 Backtracking Řǯ řǯ 177 ȱȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱǯǯȱȱȱȬ £ȱȱ ǰȱȱȱȱȱȱ¢ȱǽǾȱ Ȭ ȱ ǯȱȱȱȱȱȱǵȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱãǯȱȱûȱȱ ȱǱȱ ȱ void back(List<Integer> x, int n, PrintStream out){ int i, xk, k=x.size(); boolean flag; for(xk=0; xk<n; xk++){ flag = true; if(x.size()==k+1) x.remove(x.size()-1); for(i=0; flag && i<k; i++) if(x.get(i)==xk || Math.abs(xk-x.get(i))==k-i) flag=false; if(flag){ x.add(xk); if(k==n-1) writeSolution(x, out); else back(x, n, out); } } } ȱ Śǯ ȱȱȱȱ£ȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱǯȱȱ£ȱȱȱ Ǳȱȱ if(x.size()==k+1) x.remove(x.size()-1); ǵ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱȬȱȱ£ȱǰȱȱȱûȱȱŗǰȱŘǰȱǳǰȱŘȱȬ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱŚǱȱ §16 3 2 13 · ¸ ¨ ¨ 5 10 11 8 ¸ ȱ A=¨ 9 6 7 12 ¸ ¸ ¨ ¨ 4 15 14 1 ¸ ¹ © ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ n(n 2 + 1) ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ 2 ȱ ȱ ȱ ȱ Śȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ǯȱ ȱȱȱȱǰȱȱûǰȱȱȱȱ×Ȭ¡ȱȱŚȱ ≤ȱȱ≤ȱśŖȱȱȱȱǯȱ 178 Grundlegende Algorithmen mit Java Problem 2. Das Problem der n Türme ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ×ȱ ǯȱ ȱ ȱȱãǰȱ ȱȱȱûȱȱȱǰȱȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ǻŘȱ ûȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱȱǼǯȱȱȱȱǰȱȱŚȱ≤ȱȱ≤ȱŘŖȱǯȱ Ǳȱtȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱǯȱ Ǳȱ ȱȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱ£ȱȱãǰȱȱȱȱȱȱ£ȱǯȱ Ǳȱ ȱ Tastatur nTowers.out n = 5 1 2 3 4 5 1 2 3 5 4 … 5 4 3 1 2 5 4 3 2 1 5 120 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ ȱ ȬȬȱ ȱ §ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ £ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱûǯȱȱǰȱȱȱãȱûȱȱȬȬȱ ȱ ȱ ãȱ ûȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ §ȱ ȱ ãȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ¡ǽǾǰȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ Ǽȱ §ȱ ȱ £ȱ ȱ ãǯȱȱ£ȱ ȱȱȱȱȱûȱȱãȱ ¡ǽǾǰȱ ȱ ¡ǽŖǾǰȱ ¡ǽŗǾǰȱ ǳǰȱ ¡ǽȬŗǾȱ ȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŚȬśȱ ȱȱȱûȱȱȱȱȱ£ȱđȱȱȱŘŝȬ řŗȱǱȱ ȱ 27-31: if(x[i]==x[k]) flag=false; ȱ ǻ ȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱǰȱǰȱȱȱȱ ȱ¡ǽŗǾǰȱ¡ǽŘǾǰȱǳǰȱ¡ǽǾȱȱ ȱûȱȱãȱǷǼǯȱȱ ȱ Ǳȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱǰȱȱ ȱȱ£ȱȱãȱǷǯȱ ȱ 7 Backtracking 179 Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱȱȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱȱȱ¡ȱȱ ǯȱ Problem 3. Das Problem der Türme auf den ersten m Reihen ȱȱȱãǰȱȱ¡ȱ£ȱȱûȱȱȱȱȬ ȱȱȱȱȱȱȱȱ£ȱ£ǰȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱǻŚȱ≤ȱȱ≤ȱŘŖǰȱŗȱ≤ȱȱ≤ȱȱǼǯȱǱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ȭ ȱȱȱȱ£ȱȱǰȱȱȱȱ£ȱȱãǰȱ ȱȱǱȱ ȱ Tastatur nmTowers.out n = 6 1 2 3 4 m = 4 1 2 3 5 … 6 5 4 2 6 5 4 3 6 4 360 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ¡ȱ£ȱȱûȱȱȱȱȱȱǯȱȱ Ȭ ȱûȱȱȱȱȱŘȱȱǰȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǰȱ££ȱȱȱȱȱ£ȱ£ ǯȱ§ȱȱ ȱȱǱȱ ȱ 27-31: if(x[i]==x[k]) flag=false; ǻȱȬûȱǼȱ 33: if(k==m-1){ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻãȱǰȱ ȱȱȱȱǼǯȱ ȱ Ǳȱȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱûȱǯȱȱ£ȱ ȱãȱȱȱ n! = n(n − 1)(n − 2)...(n − m + 1). ȱ (n − m)! Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱǰȱȱȱ¡ȱȱ ǯȱ 180 Grundlegende Algorithmen mit Java Problem 4. Das Problem der aufsteigenden Türme auf den ersten m Reihen ȱȱȱãǰȱȱ¡ȱ£ȱȱȱûȱȱ ȱ ×Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǻŚȱ≤ȱȱ≤ȱŘŖǰȱŗȱ≤ȱȱ≤ȱȱǼǯȱǱȱȱȱȱȱȱȱûȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ǰȱ ȱȱȱ£ȱȱȱȱǰȱȱȱȱ£ȱȱãȱǰȱȱȬ Ǳȱ ȱ Tastatur nmATowers.out n = 6 1 2 3 4 m = 4 1 2 3 5 … 2 4 5 6 3 4 5 6 6 4 15 ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ûȱ ¡ǽŗǾǰȱ ¡ǽŘǾǳȱ ¡ǽǾȱ ȱ ǰȱ ȱûȱȱǰȱȱ∈ȱǿŗǰȱŘǰȱǳǰȱȀǰȱȱȱǀȱǰȱǱȱ¡ǽǾȱǀȱ¡ǽǾǯȱǱȱûȱƽŞȱȱƽśȱȱ £ ȱãǱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱ£ȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȬ ȱ ȱǯȱȱȱ£ ȱãǰȱ ȱȱȱȱǯȱȱȱ ȱȱȱ¡ǽƸƸǾȱȱȱȱȱȱŚŗȱȱ¡ǽȬŗǾǯȱȱȱ£ ȱ ãȱȱȱûȱȱǁȱŗȱȱ¡ǽȬŗǾȱǀȱ¡ǽǾǯȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱȱȱtǯȱȱ ȱ 7 Backtracking 181 Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǯȱ ȱ £ȱȱãȱȱȱ n! n(n − 1)(n − 2)...(n − m + 1) = .ȱ m!(n − m)! m! Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱȱȱȱ ǯȱ ȱȱ¡ȱ£ȱȱ ȱȱȱȱȬ ¡ǯȱ Problem 5. Die Freundschafts-Jugendherberge ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱȱȱ£ȱȱȱ ȱȱȱǯȱȱ£ ȱȱ ȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ Ȭ ȱ£ȱãǯȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱŗǰȱŘǰȱǳǰȱȱȬ ȱ ǯȱǱȱȱȱȱûȱȱȱǯȱǱȱȱ£ãȱ ȱȱǯȱǰȱȱȱǯȱȱ£ȱȱȱȱȱȱȬ £ȱȱãȱǯȱǱȱ ȱ Tastatur friends.out n=5 1 3 5 2 4 … 3 5 2 4 1 … 5 3 1 4 2 5 10 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung đȱȱǰȱȱȱȱȱȱ¡ǽǾȱȱȱûǰȱȱ ȱȱ£ȱûǰȱȱȱ£ȱ£ ȱȱȱȱŗȱȱȬ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭŗȱ ȱ ǻŗȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǽǯȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱŘŜȬřŖȱ£ȱǱȱ ȱ if(k==n-1&&(abs(x[k]-x[0])==1||Math.abs(x[k]-x[0])==n-1)) flag=false; if(k>0&&(abs(x[k]-x[k-1])==1||Math.abs(x[k]-x[k-1])==n-1)) flag=false; for(i=0; i<k; i++) if(x[i]==x[k]) flag=false; ȱ 182 Grundlegende Algorithmen mit Java Aufgaben ŗǯ Řǯ ãȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱ§ȱȱûȱȱ£ȱȱãǯȱ Problem 6. Partitionen einer natürlichen Zahl ȱûȱȱ§ȱȱȱȱûȱȱǯȱûȱȱȬ ȱ ãđȱ ŗȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱȱȱȱûȱȱȱǻŗ≤ȱȱ≤ȱŝśǼǰȱȱȱȱ £ȱȱãǯȱǱȱ ȱ Tastatur nPart.out 5 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 2 1 + 1 + 3 1 + 2 + 2 1 + 4 2 + 3 5 Anzahl der Loesungen = 7 50 … 24 + 26 25 + 25 50 Anzahl der Loesungen = 204226 75 … 36 + 39 37 + 38 75 Anzahl der Loesungen = 8118264 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱǰȱȱȱãȱȱȱȱ¢ȱ¡ǽŗǾǰȱ¡ǽŘǾǰǳǰȱ¡ǽǾȱȱȱ ȱȱ ȱǱȱ • ȱȱȱȱȱǯȱ • ȱȱȱǯȱ ȱ£ȱ¡ǽŗǾǰȱ¡ǽŘǾǰȱǳǰȱ¡ǽǾȱȱȱ ȱûȱȱãȱǻãȱ£ȱȱãȬ ȱ ûǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱȱ¡ǽǾȱ£ȱǰȱȱ ȱ¡ǽǾȱȱ¡ǽȬŗǾȬŗȱȱ ȱȱ ȱ ǽǾǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ¡ǽǾȱ ǯȱ ȱ ǽǾƽȱǰȱȱ ȱȱãǯȱ ȱ 7 Backtracking Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P06NPart { private static final String FileOutputName = "nPart.out"; public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(System.in); int n = sc.nextInt(); int noSol = 0; int x[] = new int[n + 1]; int s[] = new int[n + 1]; boolean isSuccessor, isCandidate = false; int k = 1; while (k > 0) { do { if (x[k] < n) { isSuccessor = true; x[k]++; s[k] = s[k - 1] + x[k]; isCandidate = s[k] <= n; } else isSuccessor = false; } while (isSuccessor && !isCandidate); if (isSuccessor) if (s[k] == n) { out.print(x[1]); for (int i = 2; i <= k; i++) { out.print(" + "); out.print(x[i]); } out.println(); noSol++; } else { ++k; x[k] = x[k - 1] - 1; } else k--; } out.print(" Anzahl der Loesungen = "); out.print(noSol); 183 184 Grundlegende Algorithmen mit Java } finally { if (sc != null) { sc.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ Śǯ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡Ȭ ȱȱȱ ǯȱ n.in nPart.out 5 5 2 + 3 1 + 4 1 + 2 + 2 1 + 1 + 3 1 + 1 + 1 + 2 1 + 1 + 1 + 1 + 1 Anzahl der Loesungen = 7 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ¡ǽǾȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȬȬȱ ǻȱ ŗǼȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǿǳȀ ȱ ȱ ȱ ǿȀȱ ȱǯǼǯȱ ȱȱȱȱǯȱ ȱ£ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ£ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǯȱȱûȱƽśǱȱ ȱ Partitionen Anzahl unterschiedlicher Zahlen 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 2 1 + 1 + 1 + 2 2 1 + 1 + 3 2 1 + 2 + 2 2 1 + 4 2 2 + 3 1 5 ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ǱȱȱȱȱȱȱŗŘȱ 7 Backtracking 185 ȱ£ȱȱȱȱȱȱȱȱŗŘǯȱȱȱȱȬ ǰȱȱȱ£ȱûȱŗȱ≤ȱȱ≤ȱŚŖȱǯȱ ȱ ȱȱȱȱȬ ǯȱ£ȱȱȱǱȱ parti.out 2 2 2 OK … 5 12 12 OK … 27 11732 11732 OK 28 14742 14742 OK … 40 177970 177970 OK Problem 7. Erdkunde-Referate ȱ Ȭȱ ãǰȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱȱȱûȱȱȱûȱȱȱǰȱǻȱ≤ȱǼȱȱȱȱȬ ȱȱȱ ȱǯȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱûȱǰȱ ȱȱȱȱȱ ǯȱ ǱȱtȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱǱȱȱ ȱȱȱȱǯȱȱãȱȱȱȱȱ£ȱȱ ãǯȱǱȱ ȱ Tastatur referat.out n=3 1 1 2 m=2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 Anzahl der Loesungen = 6 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ǯȱ ȱ ȱ Ǳȱ →ȱ đȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǻ¡Ǽȱûȱȱ¡ȱzȱȱȱǻ∀¢ȱ∈ȱ∃¡ȱ∈Ǳȱǻ¡Ǽƽ¢Ǽǯȱ ȱ ȱȱȱ£ȱãǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱȬ ȱƽǿŗǰȱŘǰȱǳǰȱȀȱȱȱȱƽǿŗǰȱŘǰȱǳǰȱȀȱǯȱȱȬ ¢ȱȱȱȱȱȱȱ§ǯȱȱ£ȱȱȱ¡ǽǾǰȱ ȱ ȱ ãȱ £ǰȱ ȱ ûȱ ¡ǽǾȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ûȱǰȱȱ¡ǽŖǾǰȱ¡ǽŗǾǰȱǳǰȱ¡ǽǾȱȱȱãȱǯȱđȱȬ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾȱ ǰȱ ȱ ǽǾȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 186 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱ¡ǽŖǾǰȱǳǰȱ¡ǽǾȱ ȱ ǯȱ ȱȱ ȬǰȱȱȱȱȱȬ ȱȱûȱ¡ǽǾȱǰȱ ȱ Ǳȱȱ • ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ¡ǽǾȱ ȱ ȱ ǻif(x[k]>=0)…Ǽȱ ȱ £ȱȱȱ¡ǽǾȱȱ¢ȱǽǾȱȱǻvMark[x[k]]--Ǽǲȱ • ȱ ȱ §ȱ Ȭ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ £§ǰȱȱȱȱ¡ǽŖǾǰȱ¡ǽŗǾǰȱǳǰȱ¡ǽǾȱǲȱ • ȱȱ£ȱȱȱȱ£ȱȱȱûȱȱǻȬ ŗȬǼȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ£ǰȱȱ ȱãȱȱ ãȱȱ¡ǽŖǾǰȱ¡ǽŗǾǰȱǯǯǯǰȱ¡ǽǾȱȱȱȱǯȱ ȱ Ǳȱȱ£ȱȱȱȱ ȱȱȱ ƽǿŗǰȱ ŘǰȱǳǰȱȀȱȱȱȱƽǿŗǰȱŘǰȱǳǰȱȀȱȱȱȱȱȱǱȱ ȱ S j ( n, m ) = m −1 i § m· § m· ¦ (−1) ¨¨© i ¸¸¹(m − i) = m − ¨¨© 1 ¸¸¹ ⋅ (m − 1) + ... + (−1) n n n m −1 ⋅ m ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ǻŗǼȱ i =0 ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱȱȱȱȱȱȱȱ ǯȱ ȱ §ǰȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P07Referat { private static final String FileOutputName = "referat.out"; public static void main(String[] args) throws IOException { PrintStream out = new PrintStream( new File(FileOutputName)); try { Scanner sc = new Scanner(System.in); System.out.print(" n = "); int n = sc.nextInt(); System.out.print(" m = "); int m = sc.nextInt(); int x[] = new int[n]; int xIdx = 0; int vMark[] = new int[n]; x[0] = -1; int noSol = 0; while (xIdx >= 0) { int k = xIdx; boolean flag = false; while (!flag && x[k] < m - 1) { 7 Backtracking 187 if (x[k] >= 0) vMark[x[k]]--; vMark[++x[k]]++; flag = true; int noMarked = 0; for (int i = 0; i <= k; i++) if (vMark[i] != 0) noMarked++; if (noMarked + n - 1 - k < m) flag = false; } if (flag) { if (k == n - 1) { for (int i : x) { out.print(i + 1); out.print(' '); } out.println(); noSol++; } else x[++xIdx] = -1; } else { if (x[k] >= 0) vMark[x[k]]--; xIdx--; } ȱ ȱ ȱ ǮforeachȬȃǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ śȱ ûȱ ǰȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǮforȃǱȱ for (int i : x)ȱ ȱǱȱ for(type iterVar:iterableObj) Anweisung; } out.print("Anzahl der Loesungen = out.print(noSol); } finally { out.close(); } "); } }ȱ ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ Śǯ ȱȱȱȱȱǰȱȱȱãȱȱ¡ȱ ȱȱ ǯȱ ȱȱȱǰȱ ȱȱȱûȱȱȱŜȱȱ ȱûȱ¡ǽǾȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǽǰȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱǯȱ ǮforeachȬȃǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱȱȱȱȱȱȱ¡£ȱ 188 Grundlegende Algorithmen mit Java śǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ Ȭ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǮforeachȬȃȱ ȱ ȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱûȱȱ ¢ȱ£ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŗǼǰȱ ȱ ȱ §ȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱȱûȱȱȱȱ£ȱȱȱȬ ȱ£ ȱȱȱ ƽǿŗǰȱŘǰȱǳǰȱȀȱȱȱȱ ƽǿŗǰȱŘǰȱǳǰȱȀǯȱȱȱȱǰȱȱȱ£ȱǯȱȬ Ǳȱ nm.in noSurj.out 3 2 6 7 4 8400 Problem 8. Alle Wege des Springers ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ś×śȬǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱûȱȱȱǯȱ ȱãȱ ǻȱ Ǽȱ ȱ ȱ ¡ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ¢ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ȭ ǯȱ ȱȱ£ȱ ȱȱ ŗȱȱȱûȱȱȱ ȱȱŘȱȱŘśȱ £§ǰȱȱǯȱȱȱǮȱǷȃǰȱ ȱȱȱãȱǯȱ ȱ Tastatur springer.out 4 2 Loesung: 1 19 14 3 8 25 2 9 18 13 4 15 20 5 24 7 10 1 22 17 12 21 16 11 6 23 … Loesung: 56 23 12 7 4 21 6 17 22 13 8 11 24 5 20 3 16 1 18 9 14 25 10 15 2 19 ȱ ȱ ȱ 7 Backtracking 189 Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱãȱ ȱãȱȱȱȱǯȱ ȱǻ¡ǰȱ¢Ǽȱȱ ȱȱȱǰȱȱãȬ ȱȱȱȱǱȱǻ¡ȬŘǰȱ¢ȬŗǼǰȱǻ¡ȬŘǰȱ¢ƸŗǼǰȱ ǻ¡Ȭŗǰȱ ¢ȬŘǼǰȱ ǻ¡Ȭŗǰȱ ¢ƸŘǼǰȱ ǻ¡Ƹŗǰȱ ¢ȬŘǼǰȱ ǻ¡Ƹŗǰȱ ¢ƸŘǼǰȱ ǻ¡ƸŘǰȱ ¢ȬŗǼǰȱ ǻ¡ƸŘǰȱ ¢ƸŗǼǯȱȱȱȱȱ ȱȱȱ Ŗȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ǻǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱȱǯȱȱ ȱ ȱǰȱȱ ȱȱǻ¡ ǰȱ¢ Ǽȱ ȱ ûȱȱãȱǰȱȱ ȱûǰȱȱ ȱȱ ȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱŖȱȱǻȱȱ ȱȱȱǼǯȱȱȱȱȱ ȱ£ȱ ǰȱȱ ȱǻ ǰȱ ǰȱƸŗǼȱǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P08Springer { private static final String FileOutputName = "springer.out"; private int nSol; private int[][] table; private PrintStream out; private int n; public P08Springer(int n, PrintStream out) { this.n = n; this.table = new int[n][n]; this.out = out; } private void writeSolution() { out.print(" Loesung: "); out.println(++nSol); for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) out.printf("%3d ", table[i][j]); out.println(); } 190 Grundlegende Algorithmen mit Java } void run(int l, int c) { this.nSol = 0; this.table[l - 1][c - 1] = 1; this.back(l - 1, c - 1, 1); } private void back(int l, int c, int step) { if (n * n == step) { writeSolution(); return; } int dx, dy, lnew, cnew; for (dx = -2; dx < 3; dx++) for (dy = -2; dy < 3; dy++) if (Math.abs(dx * dy) == 2) { lnew = l + dx; cnew = c + dy; if (0 <= lnew && lnew < n && 0 <= cnew && cnew < n && table[lnew][cnew] == 0) { table[lnew][cnew] = step + 1; back(l + dx, c + dy, step + 1); table[lnew][cnew] = 0; } } } public static void main(String[] args) throws IOException { PrintStream out = new PrintStream( new File(FileOutputName)); try { Scanner sc = new Scanner(System.in); int l = sc.nextInt(); int c = sc.nextInt(); new P08Springer(5, out).run(l, c); } finally { out.close(); } } } Aufgaben ŗǯ Řǯ £ȱȱȱȱǰȱȱȱȱ £ȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱûȱȱǯȱ 7 Backtracking řǯ 191 ȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱûȱȱȱȱ ǯȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱǰȱ ȱȱȱȱȱǯȱ Problem 9. Das Fotoproblem ȱ £ đȱȱȱȱȱ¡ȱȱȱȱȱǯȱȱ§Ȭ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ûǰȱȱ ȱȱǯȱȱ£ȱȱȱȱȱǰȱȱ ȱ ȱ §ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ Ǳȱ Řǰȱ řǰȱ ǳǰȱ Ƹŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ãȱ ȱ £ȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱǱȱ ȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱȱȱ ¡ȱǻ¡ȱŗŖŖǼȱȱȱȱȱȱ§ȱ¡ǯȱǱȱȱȱȱ ȱȱǯȱ£ȱȱ£ȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱǰȱȬ ȱȱ§ȱǰȱȱȱȱȱȱȱŘǰȱřǰȱǳǰȱȱƸŗȱǰȱ ȱȱǱȱ ȱ foto.in foto.out 3 4 5 2 2 0 3 3 1 1 0 1 1 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 4 4 0 3 3 1 1 0 1 1 4 0 3 3 0 1 0 1 1 0 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ǰȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱȱȱǯȱȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P09PhotoProblem { private static final String FileInputName = "foto.in"; private static final String FileOutputName = "foto.out"; private int m, n; private int[][] a; 192 Grundlegende Algorithmen mit Java P09PhotoProblem(int[][] a, int m, int n) { this.a = a; this.m = m; this.n = n; } private void color(int i, int j, int col) { if (0 <= i && i < m && 0 <= j && j < n && 1 == a[i][j]) { a[i][j] = col; color(i, j - 1, col); color(i, j + 1, col); color(i - 1, j, col); color(i + 1, j, col); } } void run(PrintStream out) { int col = 1; for (int i = 0; i < m; i++) for (int j = 0; j < n; j++) if (1 == a[i][j]) color(i, j, ++col); out.println(col); for (int i = 0; i < m; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { out.print(a[i][j]); out.print(' '); } out.println(); } } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName)); int m = sc.nextInt(); int n = sc.nextInt(); int[][] a = new int[m][n]; for (int i = 0; i < m; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { a[i][j] = sc.nextInt(); } } new P09PhotoProblem(a, m, n).run(out); 7 Backtracking 193 } finally { if (sc != null) { sc.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱǻȱȱȱȱ¡ȱ ȱȱǼǯȱûȱȱȱȱȱǯȱ Problem 10. Der ausbrechende Ball ȱȱȱ×Ȭ¡ȱȱȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ãȱ ǻȱ Ǽȱ ȱ Ȭ ǯȱ ȱ£ȱ ȱȱǰȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ã ȱ ǰȱ ȱ Ǯȃȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ǰȱ ûȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǯ ȃȱ ȱ §đȱ ȱȱȱȱ¡ȱǰȱȱȱȱǯȱȱȱȱǰȱȱ ȱ ã ȱȱ¡ȱȱ §ȱǰȱȱȱ ȱȱȱãȱ ǯȱǱȱ ȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŚȱ ≤ȱǰȱȱ≤ȱŘŖǼǰȱȱȱ§ȱȱȱȱ¡ȱȱȱ ãȱȱȱȱ £ȱȱȱ ȱȱǯȱǱȱ ȱȱ§ȱȱãȬ ȱȱȱȱ£ȱǮ £ȃȱȱ¡ǯȱǱȱ ȱ ball.in ball.out 4 4 (3, 2) (2, 2) (1, 2) 1 1 0 1 (3, 2) (2, 2) (2, 3) (1, 3) 3 2 1 3 (3, 2) (3, 1) 4 5 2 3 (3, 2) (3, 3) (2, 3) (1, 3) 3 6 1 0 (3, 2) (3, 3) (4, 3) 3 2 ȱ 194 Grundlegende Algorithmen mit Java Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ãȱ ȱ ȱȱȱǯȱ ȱ ȱȱ ȱȱ ȱ £ȱ ȱ Ǳȱ ûȱ ȱ ȱ ǻǰȱ Ǽȱ ȱ Ŗȱ ≤ȱ ȱ ǀȱ ǰȱ Ŗȱ ≤ȱ ȱ ǀȱ ȱ ȱ ¡ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ←ȱ ȘƸǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ ←ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ←ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ¡ȱȱ£ȱǯȱȱȱȱ ȱǻǼȱǻȱǰȱȱȱȱȱ¡ȱȱȱ§đȱȱ ȱ Ȧȱ ȱ ȱ Ǽǰȱ ȱ ǻǼȱ ǻȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ Ǽǯȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǽǾȱ ȱ đȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱǰȱȱ ȱǻǼȱûȱȱȱȱȱ ãȱȱȬ ǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P10Ball { private static final String FileInputName = "ball.in"; private static final String FileOutputName = "ball.out"; private static boolean onTheBorder(int k, int m, int n) { int l = k / n; int c = k % n; boolean flag = false; if (0 == l || m - 1 == l) flag = true; if (0 == c || n - 1 == c) flag = true; return flag; } private static boolean onTheTable(int line, int col, int m, int n) { return (0 <= line && line < m) && (0 <= col && col < n); } private static void writeSolution(List<Integer> x, int T[][], int n, PrintStream out) { for (int i = 0; i < x.size(); i++) { out.print('('); out.print(x.get(i) / n + 1); 7 Backtracking out.print(", "); out.print(x.get(i) % n + 1); out.print(") "); } out.println(); } private static void back(List<Integer> x, int T[][], int m, int n, PrintStream out) { int k = x.size() - 1; int xk = x.get(k); if (onTheBorder(xk, m, n)) { writeSolution(x, T, n, out); return; } int l = xk / n; int c = xk % n; int lnew, cnew, dx, dy; for (dx = -1; dx < 2; dx++) for (dy = -1; dy < 2; dy++) if (1 == Math.abs(dx + dy)) { lnew = l + dx; cnew = c + dy; if ( onTheTable(lnew, cnew, m, n) && T[lnew][cnew]< T[l][c]) { x.add(lnew * n + cnew); back(x, T, m, n, out); x.remove(x.size() - 1); } } } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName)); int m = sc.nextInt(); int n = sc.nextInt(); int[][] t = new int[m][n]; for (int i = 0; i < m; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { t[i][j] = sc.nextInt(); } 195 196 Grundlegende Algorithmen mit Java } int l0 = sc.nextInt() - 1; int c0 = sc.nextInt() - 1; List<Integer> x = new ArrayList<Integer>(); x.add(l0 * n + c0); back(x, t, m, n, out); } finally { if (sc != null) { sc.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱûȱȱǯȱ Problem 11. Orangensport ȱ ȱ ȱ ȱ £§ȱ ȱ ǰȱ ȱȱ ȱȱȱǯȱȱȱ ȱ ŗŖŖȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱ ŗŖŖǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ đȱ ǰȱ ȱ £ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱȱȱ ȱȱȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ŗȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ǯǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱŗȱǲȱ ȱȱȱ ãđȱȱŗȱǰȱȱȱȱȱ ȱ ȱ Ƿȱ ȱ Řřȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱǻ Ǽȱǰȱȱȱȱȱȱǯȱȱ ǰȱȱȱȱȱȱȱûǯȱȱ§ȱ ȱȱǰȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱ ǯȱ §ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱãǯȱȱȱȱǰȱȱȱ£ȱ ȱǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǯȱ ȱ ȱ ȱ 7 Backtracking 197 ãȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱǰȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱ ǰȱ ȱȱȱǻȱȱǼȱȱȱȱǿŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱŗŖŖȀȱȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱãǰȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱûȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱǰȱȱđȱȱ ȱȱȱ ȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱ§ȱ ȱ ȱãǯȱȱȱȱȱãđȱȱ ȱȱǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǿŗǰȱ Řǰȱ ȱ ǯǯǯǰȱ ŗŖŖȀȱ £ȱ §ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱȱȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱ ûȱ ûûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱǿŗǰȱŘǰȱȱǯǯǯǰȱŗŖŖȀȱȱǰȱȱȱ ȱȱǯȱ ȱ ȱ ŗǱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ řŚřȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ Śşǰȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ Ǳȱȱ£ȱãǰȱřŚřȱ£ȱǰȱȱǰȱȱȱŝȱȱŚşȱȱ £ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ãǰȱ ȱ Śşȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ Śşǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǻȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱȱǷǼǯȱ ȱ ŘǱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗşŚȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ŗŝŞǰȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Řȱ ȱ şŝȱ ȱ ǯȱ ȱ £ ȱȱȱȱȱãȱŘȱȱŞşǯȱȱ ȱ ǰȱȱȱ£ ȱȱ ȱǰȱǰȱȱȱȱûǰȱȱ ȱȱ£ ȱǯȱ ȱřǱȱ ȱ ǱȱŗřŞȱȱŘśŞǯȱȱŗřŞȱ£ȱǰȱȱ ȱȱ ãȱǻŜǰȱŘřǼǰȱǻřǰȱŚŜǼǰȱǻŘǰȱŜşǼǰȱǻŘǰȱřǰȱŘřǼǯȱȱãȱǰȱȱȱȱ ȱȱŜȱȱŘřȱȱȱȱȱ£ ȱȱȱřȱȱŞŜǯȱȱȱ ȱ£ ȱȱȱȱȱ ȱȱǯȱ ȱŚǱȱ ȱ ǱȱŗŘřŜȱȱŗŖŖǯȱȱȱȱãǰȱȱŗŘřŜȱ £ȱǰȱȱûȱȱȱǯȱȱȱȱȱŗŖŖȱ£ȱ£ǰȱȱȱ ȱãȱǻŗŖŖǼǰȱǻśǰȱŘŖǼǰȱǻŚǰȱŘśǼǰȱǻŘǰȱśŖǼȱȱǻŘǰȱśǰȱŗŖǼǰȱȱȱȱ£ ȱȱ ȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱǯȱǱȱûȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǱȱ 198 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ Der erste Spieler gewinnt! Der zweite Spieler gewinnt! Der erste luegt! Der Zweite gewinnt! Der zweite luegt! Der Erste gewinnt! Beide luegen! Unentschieden!ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱŗȱȱŗŖŖȱ£ȱ ȱãǰȱ ȱȱȱȱȱ ãđȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱȱǯȱȱȱȱ£ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ǮDer Zweite hat sich verrechnet! Der Erste gewinnt!” §ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ đȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱ ȱȱûȱȱȱ ȱǯȱǱȱ ȱ orangen.in orangen.out Der zweite Spieler gewinnt! 110 119 Der Zweite luegt! Der Erste gewinnt! 294 202 Der zweite Spieler gewinnt! 343 49 Der erste Spieler gewinnt! 610 3599 Der zweite Spieler gewinnt! 138 258 Beide luegen! Unentschieden! 941 2234 Der Erste luegt! Der Zweite gewinnt! 1236 100 Der erste Spieler gewinnt! 6231 1500 Beide luegen! Unentschieden! 151 127 Der Zweite luegt! Der Erste gewinnt! 1 101 ǻȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱŗşşŞǰȱ £Ǽȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǿŗǰȱ Řǰȱ ǳǰȱ ŗŖŖȀȱ Ȭ ȱǯȱȱȱȱûȱȱȱȱ£ȱǰȱȬ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱãđȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ Ȭ ȱȱȱ£ ȱȱȱȱǼǯȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱ £ȱȱ ȱȱȱȬ ȱȱûȱǯȱȱȱȱȱȱǻȱȱȱȱ ȱǼȱȱûȱǯȱȱ ȱȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ǀǀ ǁǁȱ ǯȱ ȱ ȱ ǻȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ǻǼȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ûǯȱ 7 Backtracking 199 ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ¡ǯǻǼƽƽǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯǻȬŗǼȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱȱ ǰȱȱ ȱȱ¡ǯǻǼƽƽǰȱ ȱȱȱȬ ȱ ȱǼǯȱȱȱǻǼȱȱ ȱǱȱ • ȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱǯȱ • ȱȱƽȱǰȱȱȱ ȱȱȱûȱǰȱȱȱȱȱȱȬ ȱ£ûȱ ǯȱȱ • ȱȱƾȱǰȱȱ£ȱ ȱ¡ǽǾȱ£ȱȱȱȱȱȱǯȱ • ¡ǽǾȱ ȱ ǰȱ ǯǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǻǼȱȱƸŗȱǯȱ • đȱ£ȱ ȱ¡ǽǾȱȱǯȱȱȱȱǻǽȬŗǾȱȱǼȱãȬ ȱȱȱȱȱ ȱȱ ǰȱ ȱǻȉȱǽȬŗǾǼȱ ȱȱȱȱȱǻȱãȱ£ȱȱȱȱûǼǯȱȱȬ n = 1 ȱǻȱ ȱǽȬŗǾȱȱ£ȱ p ⋅ a[k − 1] n ȱȱȱǼȱȱ > a[ k − 1] ȱǻȱȱȱȬ p ⋅ a[ k − 1] ȱȱǰȱȱ ȱ ȱ ȱȱ£ǼǱȱ if (0==(n/p)%a.get(k-1)) { ȦȦȱȱȱȉǽȬŗǾ x.set(k); if (1==(n/p)/a.get(k-1)||(n/p)/a.get(k-1)> a.get(k-1)) {…}… ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £Ȭ ûǱȱǻǰȱǼǯȱ ȱ ȱȱǻǼȱȱȱȱȱȱȱŗȱȱ Řǰȱ ȱ £ ǯȱȱȱȱ ȱǯȱȱ ȱȱ ȱȱ ȱȱȱȱȬǯȱȱ£ȱȱǰȱȱȱȱȬ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ £ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǯȱȱȱ ǻǼȱȱǰȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱȱǻȱȱ£ ȱǰȱȱȱȱȱȱǼǯȱȱ ȱ Programm 1 import java.io.*; import java.util.*; 200 Grundlegende Algorithmen mit Java public class P11Orangensport { private static final String FileInputName = "orangen.in"; private static final String FileOutputName = "orangen.out"; static void makeDecision(int n1, int n2, PrintStream out) { List<Set<Integer>> b = new SetsList(n1).getValue(); List<Set<Integer>> c = new SetsList(n2).getValue(); if (b.isEmpty() && c.isEmpty()) out.println("Beide luegen! Unentschieden!"); else if (b.isEmpty()) out.println("Der Erste luegt! Der Zweite gewinnt!"); else if (c.isEmpty()) out.println("Der Zweite luegt! Der Erste gewinnt!"); else if (n1 < n2) if (isADisjointCombination(b, c)) out.println("Der zweite Spieler gewinnt!"); else out.println("Der erste Spieler gewinnt!"); else if (isADisjointCombination(b, c)) out.println("Der erste Spieler gewinnt!"); else out.println("Der zweite Spieler gewinnt!"); } private static boolean isACommonElement(Set<Integer> setA, Set<Integer> setB) { for (Integer el : setA) { if (setB.contains(el)) { return true; } } return false; } private static boolean isADisjointCombination (List<Set<Integer>> b, List<Set<Integer>> c) { boolean flag = false; short bSiz = (short) b.size(), cSiz = (short) c.size(); for (short i = 0; !flag && i < bSiz; i++) for (short j = 0; !flag && j < cSiz; j++) if (!isACommonElement(b.get(i), c.get(j))) flag = true; return flag; } public static void main(String[] args) throws IOException { 7 Backtracking Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName)); while (sc.hasNextInt()) { int n1 = sc.nextInt(); int n2 = sc.nextInt(); makeDecision(n1, n2, out); } } finally { if (sc != null) { sc.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } class SetsList { private BitSet x; private List<Integer> a; private List<Set<Integer>> value; SetsList(int n) { this.value = new ArrayList<Set<Integer>>(); this.a = new ArrayList<Integer>(); this.x = new BitSet(); for (int i = 2; i <= 100; i++) if (0 == n % i) a.add(i); back(n, 1, this.value); } List<Set<Integer>> getValue() { return value; } private void addSet(int k, List<Set<Integer>> b) { Set<Integer> auxSet = new HashSet<Integer>(); for (int i = 1; i < k; i++) if (x.get(i)) auxSet.add(a.get(i - 1)); b.add(auxSet); } 201 202 Grundlegende Algorithmen mit Java private void back(int n, int k, List<Set<Integer>> b) { int p = 1; int aSiz = (int) a.size(); for (int j = 1; j < k; j++) if (x.get(j)) p *= a.get(j - 1); if (p == n) { addSet(k, b); } else if (k <= aSiz) for (int i = 0; i < 2; i++) { x.set(k, 0 != i); if (i == 0) back(n, k + 1, b); else if (0 == (n / p) % a.get(k - 1)) { x.set(k); if (1 == (n / p) / a.get(k - 1) || (n / p) / a.get(k - 1) > a.get(k - 1)) back(n, k + 1, b); } } } } ȱ ȱ§ȱȱȱȱȱȱǰȱȱ ȱǯȱȱûȱ ȱǯȱûȱȱȱȱȱ£ȱ£ȱȱǯȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱ ǯǯȱȱ Ǳȱȱȱȱ£ǰȱ ȱȱ ȱȱ ǯȱȱ ȱȱ ȱ£ȱȱȱǀǁȱ£ûǯȱȱȬ ȱȱȱŗȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱȬ ȱȬȱǻǼȱǯȱȱȱ§ȱȱȱȱ ȱ£ȱȱȱȱǻȱȱȱȱȱǼǰȱȱ ȱȱȱûȱ ȱǰȱȱȱǻǼȱȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱǱȱ ȱ • §ȱ ȱȱǰȱȱȱȱȱȱǯȱûȱȱȬ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱǰȱȱãđȱȱȱ ǰȱȱȱȘȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱȬ ȱ ǻûȱ ȱ ȱ Ɩȱ ȱ Ǽȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ £ûǯȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼǯȱ đȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǯȱ 7 Backtracking • 203 ȱ ȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱȱŗŖŖȱǰȱ ȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱ ȱȱ ȱȱȱȬ ȱȱ£ȱǻǼǰȱȱȱȱȱȱ ȱûȱȱ ȱȱȱȱȱȱ§ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱ Řǰȱ ȱ£ ǯȱȱȱȱ ȱǯȱ £ȱ ȱ£§ȱȱãȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱ Řȱ ȱ ȱ ȱ £ǻǼȱ ǯȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱȱ£ȱȱȱȱȱ£ ȱȱȱȱǻȱȱ£ ȱ ǰȱȱȱȱȱȱǼǯȱȱȬȱǻȱ Ǽȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱǯȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱǯȱ ȱ Programm 2 (Dr. Eric Müller) import java.io.*; import java.util.*; public class P11Orangensport02 { private static final String FileInputName = "orangen.in"; private static final String FileOutputName = "orangen.out"; private static final int BOUND = 100; static private List<BitSet> factorizations(int n) { List<BitSet> list = new ArrayList<BitSet>(); if (n == 1) { BitSet one = new BitSet(2); one.set(1); list.add(one); } else back(n, 2, new BitSet(BOUND+1), list); return list; } static void back(int n, int k, BitSet found, List<BitSet> l) { for (int f = k; f < BOUND && f*f < n; f++) { if (n%f == 0) { found.set(f); back(n/f, f+1, found, l); found.clear(f); } 204 Grundlegende Algorithmen mit Java } if (n <= BOUND) { BitSet copy = (BitSet) found.clone(); copy.set(n); l.add(copy); } } static void makeDecision(int n1, int n2, PrintStream out) { List<BitSet> b = factorizations(n1); List<BitSet> c = factorizations(n2); if (b.isEmpty() && c.isEmpty()) out.println("Beide luegen! Unentschieden!"); else if (b.isEmpty()) out.println("Der Erste luegt! Der Zweite gewinnt!"); else if (c.isEmpty()) out.println("Der Zweite luegt! Der Erste gewinnt!"); else if (n1 < n2) if (isADisjointCombination(b, c)) out.println("Der zweite Spieler gewinnt!"); else out.println("Der erste Spieler gewinnt!"); else if (isADisjointCombination(b, c)) out.println("Der erste Spieler gewinnt!"); else out.println("Der zweite Spieler gewinnt!"); } private static boolean isADisjointCombination (List<BitSet> list1, List<BitSet> list2) { for (BitSet b: list1) for (BitSet c: list2) if (!b.intersects(c)) return true; return false; } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName)); while (sc.hasNextInt()) { int n1 = sc.nextInt(); int n2 = sc.nextInt(); makeDecision(n1, n2, out); 7 Backtracking 205 } } finally { if (sc != null) sc.close(); if (out != null) out.close(); } } } ȱȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ Śǯ śǯ Ŝǯ ŝǯ Şǯ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǯȱ £ȱȱȱȱǻǼȱȱȱȱȱȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ǯǯǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǯȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ£ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Řȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ £ǵȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǻǼȬȱ ȱ ȱȱȱ£ȱ ȱǯȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǯǀ ǁȱ ȱ ǯǯǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȬȱ ȱ ǯǯǰȱ ǯǯǀ ǁȱ ȱ ǯǯ¢ǵȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ãȱ ûȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ǻ ȱ ãȱ ȱ ûȱ ȱ ǲȱ ȱȱûȱȱȱȱ ãȱǰȱȱȱȱûȱǮȬ ȃȱȱǮȃǼǯȱ ȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȬȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǿŗǰȱŘǰȱǳǰȱŗŖŖȀȱǯȱȱ 206 Grundlegende Algorithmen mit Java Problem 12. Testmusterkompaktierung ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱ£ȱȱȱ′ȱ ȱ§ȱ£ǰȱȱȱȱûȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱ′ȱǯȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱƽȱǿȁŖȂǰȱȁŗȂǰȱ ȁȂǰȱ ȁȂǰȱ ȁȂȀȱ §ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ŖŗŖŗǰȱ ŗŖŖŖŗŗŗǯȱ ȱ ȱ ŗǯȱ ȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȁȂȱǻȂȱǼȱǯȱ ȱ£ȱȱȱȱȁ≡ ≡Ȃȱȱȱ §ȱȱȁ≠ȂǯȱȱȱȬ ȱȱȱȱǰȱȱ£ȱǻǼȱȱ£ȱǰȱ ȱ ȱȱȱǰȱȱ ȱȱ£ȱȱȱȱǻǼǰȱȱȱȁȂȱ ǯȱȱ §ȬȱȱȱȬȱȱȱȱȱȱ ǻȁȘȂȱȱȱǼǯȱ §ȬȬȱ ≡ 0 1 U Z X 0 0 * * * 0 1 * 1 * * 1 U * * U * U Z * * * Z Z X 0 1 U Z X ȱ ȱ Řǯȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȬ ȱȱ£ ȱȱǰȱȱǯȱȱ£ ȱȱȱ£ȱȱ ȱȱǰȱȱȱȱ£ ȱȱȱȱȱȱȬ ȱ£ǯȱǱȱȱȱŗȱƽȱŗŖŖȱȱŘȱƽȱŖŗŖȱȱǰȱ ȱ ŗǻǼȱ≡ ≡ȱŘǻǼǰȱûȱȱȱ∈ȱǿŗǰȱŘǰȱǳǰȱŝȀǯȱǻŗǰȱŘǼȱƽȱŗŖŗŖǯȱ ȱ ȱ ȱȱûȱȱȱȱȱȱǯȱ Ǳȱ ȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱ§ǰȱȱȱȱǻãȬ ȱŚŖȱǰȱȱ¡ȱ§ȱ§ȱŗŖŖŖȱǼǯȱǱȱȱȱȱȱ ȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻ£ȱȱ §ȱȱǼǰȱȱȱ£ ȱȱȱ£ȱȱȱȱȱȬ ȱȱȱ£ȱȱ£ǰȱȱȱȱȱȱ£ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱȱȱȱȱǯȱǱȱ ȱ ȱ 7 Backtracking 207 tests.in UU0XXZZU XUU0XX11 XXUXZXXX UUU0ZZ11 0XX111XX XUU0XX11 U0XXXUXU XXXX1XXX UXXXXZZU 011111ZZ 0XX1XXXX XXUXZXXX U0UXZU0U XUUXZX1X 0UXZX11U tests.out 15 8 5 33.3333% UU0X1ZZU 011111ZZ U0UXZU0U 0UUZZ11U UUU0ZZ11 ǻȱǰȱ ã ȱ¢ǰȱȱ đǼȱ ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱȱ ȱȱ§ȱȱ§£ǰȱȱȱǰȱȱãȱ £ȱǯȱ ȱ £ȱŗǯȱȱŖȱ≠ȱŗȱǻȱǼǰȱŖȱ≡ȱŘȱǻǼȱȱǻŖǰȱŘǼȱƽȱřǰȱȱřȱ ≠ȱŗǯȱȱ ǯȱ ȱ Ŗȱ ȱ ŗȱ ȱ ȱ ǰȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǰȱȱȱŖǽǾȱ≠ȱŗǽǾǯȱȱȱȬȱǻŖǰȱŘǼȱƽȱřȱǰȱȱ řǽǾȱƽȱŖǽǾǰȱȱřǽǾȱ≠ȱŗǽǾǰȱ ȱȱȱȱȁȂȱǯȱȱǰȱȱŗȱȱřȱȱ ȱǯȱ÷ȱ ȱ £ȱŘǯȱȱŖȱ≡ȱŗȱȱǻŖǰȱŗǼȱƽȱŘǰȱŘȱ≡ȱřȱȱǻŘǰȱřǼȱƽȱŚǰȱȱȱǰȱȱŖȱ ≡ȱŚȱȱŗȱ≡ȱŚǯȱȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ŗȱ ȁȂȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Śȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȁȂȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱȱȱŚȱ£ǯȱ÷ȱ ȱ £ȱřǯȱȱt0 ≡ t1 t1 ≡ t2ǰȱȱȱǰȱ t0 ≡ t2. Beweis. : ŖȱƽȱŗǰȱŗȱƽȱǰȱŘȱƽȱŖȱǻȱȱǷǼǯȱ÷ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱȱ£ ȱȱȱȱȱ£ȱȱ£ȱ ǯȱ ȱȱ ȱȱûȱȱ£ȱȱȱ ǯȱȱ 208 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ ȱ ȱûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱ£ ȱǻȱȱȱȱȱǷǼǯȱȱȱȱȬ ȱȱǰȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱ£ȱȱãȱãǯȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ û£ȱ ȱ ȱ ȱ ãȬ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ Ȭ ǯȱȱȱû£ȱǰȱȱ ȱȱȱȱ£ǯȱȱ ȱȬǱȱ ȱ ȱ ȏ ȏȏǻȱȱǰȱǭȱȱǼȱ ȱȱ ȱ ȱ←ȱȱ ȱ ȱǻƽŗǰ£ǻǼȬŗǲȱȱŗǼȱ¡ȱ ȱ ǻȱƽƸŗǰȱ£ǻǼǲȱȱŗȱǼȱ¡ȱ ȱ ȱ ȱȱ ǻȱȱǼȱȱ ȱ ȱ←ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ←ȱǻǰȱǼȱ ȱ ȱ ȱ ǯǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ǯǻǼȱ ȱ ǯǻǼȱ ȱ ȏ ȏȏǻǰȱȱǼȱ ȱ ȱȱ ȱȱȏ ȱ ȱ ȱ ȏȱ ȱ ȏȱ ȱ ȱǻǼȱ¡ȱ ȱ ȱ ǻȱ£ǻǼȱǁȱ£ǻǼȱǼȱȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ←ȱ¢ȏǻȱȱǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏ ȱȱȱ ȱ ȱȱǲȱ ȱ ȏ ȱ ȱ ȱ ȏ ȱȏ ȏȏȱ ȱ ȱ ȱȱǯȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ǻȱ £ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £Ǽǰȱ ȱȱȱȱ §ȱ ȱǯȱȱ ȱ ¡§ȱȱǯȱȱȱȱȱ¡ȱȱ ãȱȱǻ£ȱ ȱ ȬǼǯȱȱ £ȱȱȱȱ §ȱȱǱȱȱ n n(n − 1) (n − 1)(n − 2) (n − 2)(n − 3) k (k − 1) n!⋅(n − 1)! 2 ⋅1 ǯȱȱ ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ = = 2 2 2 2 2 2 n −1 k =2 ∏ 7 Backtracking ȱ ¡§ȱȱȱ O( 209 n!⋅(n − 1)! ) ǯȱ÷ȱȱ 2n ȱ ȱȱȱǻǼȱǻûǰȱȱ£ ȱȱȱǼǰȱ ǻǼȱǻûǰȱȱ£ ȱȱȱǼǰȱǻǼȱǻûȱȱȬ ȱȱ£ ȱȱǼȱȱǻǼȱǻûȱȱȬȱȱ£ ȱ ȱǼȱǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P12Compactation { private static final String FileInputName = "tests.in"; private static final String FileOutputName = "tests.out"; private static boolean compatibleChars(char c1, char c2){ return c1 == c2 || c1 == 'X' || c2 == 'X'; } private static boolean compatibleLines(String str1, String str2) { int len = str1.length(); if (len != str2.length()) return false; for(int i = 0; i<len; i++) if(!compatibleChars(str1.charAt(i), str2.charAt(i))) return false; return true; } private static char mergeChars(char c1, char c2) { return compatibleChars(c1, c2)?('X' == c1 ? c2 : c1) : '*'; } private static String mergeLines(String str1, String str2) { int len = str1.length(); if (len != str2.length()) return null; char chars[] = new char[len]; for (int i = 0; i < len; i++) { chars[i] = mergeChars(str1.charAt(i), str2.charAt(i)); } return new String(chars); 210 Grundlegende Algorithmen mit Java } private static void recExactCompact(List<String> v, List<String> vRet) { List<String> vCopy = new ArrayList<String>(v); boolean compact = true; for (int i = 0; i < vCopy.size() - 1; i++) for (int j = i + 1; j < vCopy.size(); j++) if (compatibleLines(vCopy.get(i), vCopy.get(j))) { compact = false; String str = mergeLines(vCopy.get(i), vCopy.get(j)); vCopy.remove(i); vCopy.remove(j - 1); vCopy.add(str); recExactCompact(vCopy, vRet); } if (compact) { if (vRet.size() > vCopy.size()) { vRet.clear(); for (int i = 0; i < vCopy.size(); i++) vRet.add(vCopy.get(i)); } return; } } private static double doRecExactCompact (List<String> v, List<String> vRet, PrintStream out) { recExactCompact(v, vRet); out.print(v.size()); out.print(' '); out.println(v.get(0).length()); out.print(vRet.size()); out.print(' '); out.print(vRet.size()*100.0/v.size()); out.println('%'); out.println(); for (String s : vRet) { out.println(s); } return vRet.size()*100.0/v.size(); } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner sc = null; PrintStream out = null; try { 7 Backtracking 211 out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); sc = new Scanner(new File(FileInputName)); List<String> v = new ArrayList<String>(); while(sc.hasNext()) { v.add(sc.next()); } List<String> vRet = new ArrayList<String>(v); doRecExactCompact(v, vRet,out); } finally { if (sc != null) { sc.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } Aufgaben ŗǯ Řǯ £ȱȱȱ ȱȱȱȱ¢ȱǽǾǯȱ ȱȱȱǱȱȱ Ǽ ȱȱȱ£ȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ǯȱǱȱûȱǯȱȱȱȱȱȱ£ȱŚŗǯȱ Ǽ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ £ȱ ȱ ǰȱȱ§ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱ Ǽ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȏȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ §Ǽȱ ȱ ǯȱ ȱ ûȱ ȱȱȏȱŞǱȱ ȱȱ 5 Zeilen (Tests), 5 Spalten (Länge) 15 Zeilen (Tests), 9 Spalten (Länge) 1XUU1 UX1U0 Z10XX 000X0 0XZ0U XXXXZXXXX X1X1ZXXXX X1X1ZXX1X X1X1Z111Z XXXXZX1XX XXXXZXXXX 11X1Z111Z X1X1ZXX1X 212 Grundlegende Algorithmen mit Java XXX1ZXX1X 1000U0UU0 XXXXZXXXX X00ZU0ZZU XXXXZ11XX XXXXZXXXX X1X1ZXXXX ȱ řǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ¡§ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ £ §ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ãȱ ȱ ȱ ¢Ȭȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǯȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ¢ȬǱȱ ȏ ȏȱ ȱǽŗǯǯǾȱ ȱȱ ȱ←ȱȱȱ ȱǻȱǼȱ¡ȱȱ ȱ ǻȱ∃ǰȱǱȱȱȱȱǼȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻȱȱǻǰȱǼȱ¡Ǽ ȱ ȱ ȱ←ȱȱ ȱ ȱ ȱ←ȱǻǰȱǼȱ ȱ ȱ ǯǻǼȱ ȱ ȱ ǯǻǼȱ ǯǻǼȱ ȱȱ ȏ ȱ ȱ ȱ¡ȱ ȱ ȱ ȱ←ȱȱ ȱ ȏȱ ȏȱ ȏ ȏȱ ȏȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱãđȱǯȱȱ Ǽ ȱȱȱǰȱȱȱȱǯȱȱ Ǽ §£ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŗȱ ȱȱ ¢Ȭǯȱȱ Ǽ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £§ȱ ȱ £ȱȱȱȱ ¢Ȭȱ£ǯȱȱȱȱȱ 7 Backtracking 213 £ȱ ȱ ¢Ȭǯȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ£ȱ ȬȱȏȱŘśǰȱ Ȭȱ £ȱ ȱ ŗŖŖȱ ȱ ŗŖŖŖȱ ȱ ȱ ȱ ŗŖŖȱ ǻŗŖŖȏ¡¡¡ǯ¡ȱ ȱ ŗŖŖŖȏ¡¡¡ǯ¡Ǽǰȱ Ȭȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǻ§ȱ ȱ Ǽȱ ȱ ŗŗśȱȱşŗśȱȱȱȱŘŖŖȱǻ¡¡¡ȏŗŗśǯ¡ȱȱ¡¡¡ȏşŗśǯ¡Ǽǯȱ ȱȱǯȱãȱȱǱȱ ȱ report.out file_name #lines #cols #comps comp_rate time(sec) f100_115.txt 100 115 549 36.00% 1 f100_315.txt 100 315 850 24.00% 1 f100_515.txt 100 515 1503 20.00% 1 f100_715.txt 100 715 647 28.00% 1 f100_915.txt 100 915 973 26.00% 2 … Śǯ ȱ f600_115.txt 600 115 35915 33.83% 82 f600_315.txt 600 315 29436 30.33% 123 f600_515.txt 600 515 17916 29.83% 163 f600_715.txt 600 715 37335 30.17% 190 f600_915.txt 600 915 8452 26.83% 186 … f1000_115.txt 1000 115 16218 32.80% 213 f1000_315.txt 1000 315 89951 33.90% 394 f1000_515.txt 1000 515 28579 29.70% 813 f1000_715.txt 1000 715 258987 17.90% 227 f1000_915.txt 1000 915 86154 16.30% 495 ǻǛȱȱȱ£ȱȱûȱȱǷǼȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ¢Ȭǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §đȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǯȱȱ ǯȱȱȱȱ£ǯȱ ǯǱȱ ȏȱ śŖǲȱ £ȱ śȱ Ȭȱ řśȱ ȱ £ȱ śȱ Ȭȱ şȱ ǻȱ ȱ ǼȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱǮȘȘȄȱȱ §ǰȱ ûȱ ȱ ȱ ȏȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ Ȭ ¢ȏȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȏǰȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ¢Ȭǵȱȱȱǰȱ ȱǰȱûȱȱǷȱ 214 Grundlegende Algorithmen mit Java report.out file_name f_5_5.txt f_5_6.txt f_5_7.txt … f_11_7.txt f_11_8.txt f_11_9.txt f_12_5.txt … f_20_6.txt f_20_7.txt f_20_8.txt … f_35_5.txt f_35_6.txt f_35_7.txt f_35_8.txt f_35_9.txt #lin #col 5 5 5 6 5 7 GREEDY_COMPACT #cps c_rate t(s) 3 60.00% 0 1 80.00% 0 4 60.00% 0 BACK_COMPACT c_rate t(s) 60.00% 0 80.00% 0 60.00% 0 11 11 11 12 7 8 9 5 12 13 4 58 54.55% 45.45% 63.64% 16.67% 0 0 0 0 45.45% 45.45% 63.64% 16.67% 0 ** 0 0 0 20 20 20 6 7 8 48 31 61 55.00% 35.00% 50.00% 0 0 0 55.00% 35.00% 50.00% 0 3 1 35 35 35 35 35 5 6 7 8 9 90 201 150 71 116 54.29% 40.00% 40.00% 57.14% 51.43% 0 0 0 0 0 45.71% 395 ** 37.14% 3689 ** 40.00% 2677 57.14% 82 51.43% 254 ȱ śǯ Ŝǯ ȱȱȱȱ¢ȱǰȱ ȱȱ ȱǿŖǰȱŗǰȱǰȱǰȱȀȱȱ śȱ ȱ ȱ ǻǯǯȱ ȱ ȱ ȱ Şȱ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ řǼǯȱ ȱȱȱǰȱȱȱȬȱǯȱȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱ£ȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ǯȱ Problem 13. Sudoku ȱȱȱȱȱȱȱãȱȱȬ§ȱȱȬ ȱ ȱ ûȱ ǵȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ şȱ ȱ ȱ şȱ ȱǰȱȱȱȱ£ȱûǰȱȱşȱãȱȱȱř×řȱǻȱ Ǽǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱŗȱȱşȱǯȱȱ§Ȭ ȱȱȱȱȱȱȱûǰȱȱȱȱǰȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǻȱȱȱ ȱȱ ȱ ǮȬȃǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȬ ȱ£ ȱŘŘȱȱřŜǼǰȱȱ ȱȱǰȱȱȱ£ȱãǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ¢ȱ ǯȱ ûûȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŗŝŖŝȬŗŝŞřǼȱ §ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ·ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãđȱ şȱ ǰȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱ ȱȱȱȱđȱȱȱãǯȱ 7 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Backtracking 215 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ şȱ řȱ ś śȱ ȱ ȱ ȱ Śȱ ȱ Ŝȱ ŝȱ ş ȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŝȱ ȱ Śȱ ȱ ȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ş ř ȱ şȱ ȱ ȱ řȱ Ŝ śȱ Ś ŝȱ Ş ŗȱ Śȱ ŝ Şȱ Ŝȱ Ř şȱ řȱ ś śȱ Řȱ Ş ŝȱ şȱ ř Śȱ Ŝȱ ŗ şȱ řȱ Ŝ ŗȱ śȱ Ś Řȱ ŝȱ Ş Şȱ ȱ ȱ ȱ ŝȱ Ś ȱ ȱ ȱ ȱ ś Şȱ ȱ ȱ Ř Ŝȱ ŝȱ ş řȱ Řȱ Ś śȱ ŗȱ Ş řȱ Şȱ Ř şȱ ŗȱ ś Ŝȱ ŝȱ Ś Śȱ ŗȱ ś Ŝȱ Şȱ ŝ řȱ şȱ Ř Řȱ śȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱ ȱ ȱ ŝȱ ȱ ȱ ř Řȱ ȱ ȱ ȱ ŝȱ şȱ ŗ Śȱ śȱ Ŝ Řȱ Şȱ ř Řȱ śȱ Ŝ Şȱ řȱ ş ŗȱ Śȱ ŝ Şȱ Śȱ ř ŝȱ Řȱ ŗ śȱ Ŝȱ ş ȱ ȱûȱȱȬ§ȱ ȱȱȱȱȱãǰȱȱȱȱȱǯȱȱǯȱȱȬ ȱȅȘȂȱ ȱûȱȱȱǯȱȱ ȱȱãȱãȱȱȱȱ ǯȱ ȱȱȱǻȱȱȱȱ§ȱȱȱãǰȱȱ ȱȱȱȱûȱ ǰȱȱȱȱ ȱȱȱǰȱ ȱãȬ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ûȱȱǻȱǼȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ£ǯȱȱ ȱȱãȱǰȱȱȱȱǯ ȱ sudoku.in sudoku.out 1 4 7 5 2 8 9 3 6 ***5*8936 8 6 2 7 9 3 1 5 4 *****3*54 9 3 5 4 6 1 2 7 8 9354***78 6 7 9 3 8 2 4 1 5 679*8***5 3 2 4 9 1 5 6 8 7 *******8* 5 1 8 6 7 4 3 9 2 *1**74**2 7 9 1 2 5 6 8 4 3 7**25***3 4 5 6 8 3 9 7 2 1 4*****72* 2 8 3 1 4 7 5 6 9 ***1***** 8 1 5 7 3 9 4 2 6 *1***94** 6 7 4 2 8 5 3 9 1 *74***39* 3 9 2 4 1 6 5 8 7 3*****5** 2 8 1 9 5 4 6 7 3 2***5*673 7 5 9 8 6 3 1 4 2 7***63*4* 4 3 6 1 7 2 8 5 9 **6**28** 9 2 3 5 4 1 7 6 8 ********* 1 4 7 6 2 8 9 3 5 **7*2**35 5 6 8 3 9 7 2 1 4 568*9**1* 216 Grundlegende Algorithmen mit Java Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱ£§ȱȱȱ£ȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱȱȱȱ ǰȱȱ ȱȱȬȱûȱǻȱûȬ ȱ£ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŘǼǯȱȬ §ȱ§ȱ ȱȱȱǱȱ • • ǽǾǽǾǱȱ£ ȱ¢ȱȱȱ§ȱǻȱ ¡ǱȱȬ ǰȱ£ ȱ ¡ǱȱǰȱȱŖȱȱŞȱǼǯȱȱŖȱȬ ǰȱȱȱȱȱȱûȱǰȱȱãđȱȱȱȱȱǯȱ ǽǾȱȱǽǾǱȱȱ¢ǰȱȱȱȱȱȱȱȱ ǻȱƽȱȱǼȱȱȱǻȱƽȱȱǼȱǯ ȱ ȱŗǱȱȱȱȱǽŖǾȱƽȱǿřǰȱśǰȱŜǰȱŞǰȱşȀȱ ȱ ȱ ȱ śȱ ȱ Ş şȱ řȱ Ŝ ȱŘǱȱȱȱȱǽŗǾȱƽȱǿřǰȱŚǰȱśȀȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ř ȱ śȱ Ś ȱřǱȱȱȱȱǽŘǾȱƽȱǿřǰȱŚǰȱśǰȱŝǰȱŞǰȱşȀȱ şȱ řȱ ś Śȱ ȱ ȱ ȱ ŝȱ Ş ȱŚǱȱȱȱȱǽřǾȱƽȱǿśǰȱŜǰȱŝǰȱŞǰȱşȀȱ ȱśǱȱȱȱȱǽŚǾȱƽȱǿŞȀȱ Ŝȱ ŝȱ ş ȱ Şȱ ȱ ȱ ȱ ś ȱŜǱȱȱȱȱǽśǾȱƽȱǿŗǰȱŘǰȱŚǰȱŝȀȱ ȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Şȱ ȱ ȱŝǱȱȱȱȱǽŜǾȱƽȱǿŘǰȱřǰȱśǰȱŝȀȱ ȱ ŗȱ ȱ ȱ ŝȱ Ś ȱ ȱ Ř ȱŞǱȱȱȱȱǽŝǾȱƽȱǿŘǰȱŚǰȱŝȀȱ ŝȱ ȱ ȱ Řȱ śȱ ȱ ȱ ȱ ř ȱşǱȱȱȱȱǽŞǾȱƽȱǿŗȀȱ Śȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŝȱ Řȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱŗǱȱȱǽŖǾȱƽȱǿŚǰȱŜǰȱŝǰȱşȀȱ ȱŘǱȱȱǽŗǾȱƽȱǿŗǰȱřǰȱŝȀȱ ȱřǱȱȱǽřǾȱƽȱǿśǰȱşȀȱ ȱŚǱȱȱǽřǾȱƽȱǿŗǰȱŘǰȱŚǰȱśȀȱ ȱśǱȱȱǽŚǾȱƽȱǿśǰȱŝǰȱŞȀȱ ȱŜǱȱȱǽśǾȱƽȱǿřǰȱŚǰȱŞȀȱ ȱŝǱȱȱǽŜǾȱƽȱǿŝǰȱşȀȱ ȱŞǱȱȱǽŝǾȱƽȱǿŘǰȱřǰȱśǰȱŝǰȱŞȀȱ ȱşǱȱȱǽŞǾȱƽȱǿŘǰȱřǰȱŚǰȱśǰȱŜǰȱŞȀȱ ȱ ȱȱ ȱȱȱȱ¢ȱȱûǯȱ • ǽǾǽǾǱȱ £ ȱ ¢ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱǻȱƽȱȱǼǯȱ ȱ ǻŖǰȱŖǼǱȱȱǽŖǾǽŖǾȱƽȱǿřǰȱȱśǰȱȱşȀȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǲȱǻŖǰȱŖǼȱƽȱȱȱȱȱȱ ǻŖǰȱŗǼǱȱȱǽŖǾǽŗǾȱƽȱǿřǰȱȱŚǰȱȱśǰȱȱŞȀȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǲȱǻŖǰȱŗǼȱƽȱȱȱȱȱȱ ǻŖǰȱŘǼǱȱȱǽŖǾǽŘǾȱƽȱǿřǰȱȱŚǰȱȱśǰȱȱŜǰȱȱŝǰȱȱŞǰȱȱşȀȱȱȱǲȱǻŖǰȱŘǼȱƽȱȱȱȱȱȱ ȱ 7 Backtracking 217 ǻŗǰȱŖǼǱȱȱǽŗǾǽŖǾȱƽȱǿŗǰȱȱŜǰȱȱŝǰȱȱşȀȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǲȱǻŗǰȱŖǼȱƽȱȱȱȱȱȱ ǯȱ ǻŗǰȱŗǼǱȱȱǽŗǾǽŗǾȱƽȱǿŚǰȱȱŝǰȱȱŞȀȱ ǻŗǰȱŘǼǱȱȱǽŗǾǽŘǾȱƽȱǿŘǰȱȱśǰȱȱŞȀȱ ǻŘǰȱŖǼǱȱȱǽŘǾǽŖǾȱƽȱǿŚǰȱȱŝȀȱ ǻŘǰȱŗǼǱȱȱǽŘǾǽŗǾȱƽȱǿŗǰȱȱŘǰȱȱśȀȱ ǻŘǰȱŘǼǱȱȱǽŘǾǽŘǾȱƽȱǿŘǰȱȱřǰȱȱŝȀȱ ȱ ȱȱȱȱ¢ȱ ȱ §ȱȱȱǯȱ ȱ • Ǳȱȱȱȱ ȱ£ȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱ£ãȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱ¢ȱȱȱǻȱȱȱȱǻǼǰȱȱ£ȱûǰȱȱȱ ȱȱȱȱȱȬȱ £ǰȱ ȱȱȬ ȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ§ǼǯȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ Ŗȱ Ǽǯȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ şȱ ǻ Ǽȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱŖȱȱǻl++; c=0;Ǽǯ if (Character.isDigit(ch) || ch == V) { if (ch != V) { if (!set(Character.digit(ch, 10))) return; } if (DIM == ++c) { l++; c = 0; } } ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ §ȱȱ ȱȱ§ȱȱȱûȱȱǻȱȱȱȱǰȱûȱȱ ǽǾǽǾȱȱǼǯȱ ȱȱûǰȱȱ ȱȱãȱǯȱȱǰȱȱ ǰȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱ şȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ £ȱ £ǯȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱ£ǰȱȱȱȱȱǯȱ §£ȱ§ȱȱȱȱȱûȱȱȱȱŘȱǰȱȱȱ ãȱǻȱȱȱȱȱǼȱǰȱȱȱ ȱŘȱȱȱ £ûȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ƽřǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ǯȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ ãđȱǯ 218 Grundlegende Algorithmen mit Java Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P13Sudoku { private static final String FileInputName = "sudoku.in"; private static final String FileOutputName = "sudoku.out"; private static final char V = '*'; private static final int N = 3; private static final int DIM = N*N; private BitSet sl[]; private BitSet sc[]; private BitSet[][] sb; private int[][] v; private static int anzahl = 0; P13Sudoku() { this.sl = new BitSet[DIM]; this.sc = new BitSet[DIM]; for (int i = 0; i < DIM; i++) { this.sl[i] = new BitSet(); this.sc[i] = new BitSet(); } this.sb = new BitSet[N][N]; for (int i = 0; i < N; i++) for (int j = 0; j < N; j++) sb[i][j] = new BitSet(); this.v = new int[DIM][DIM]; } boolean set(int l, int c, int value) { if (!sl[l].get(value) && !sc[c].get(value) && !sb[l / N][c / N].get(value)) { sl[l].set(value); sc[c].set(value); sb[l / N][c / N].set(value); v[l][c] = value; return true; } else return false; } 7 Backtracking void unset(int l, int c, int value) { sl[l].clear(value); sc[c].clear(value); sb[l/N][c/N].clear(value); v[l][c] = 0; } void run(Scanner scanner, PrintStream out) { int l = 0, c = 0; while (scanner.hasNext() && l < DIM) { String s = scanner.next(); for (int i = 0; i < s.length(); i++) { char ch = s.charAt(i); if (Character.isDigit(ch) || ch == V) { if (ch != V) { if (!set(l, c, Character.digit(ch, 10))) return; } if (DIM == ++c) { l++; c = 0; } } } } back(0, -1, out); } private void writeSolution(PrintStream out) { for (int l=0; l < DIM; l++) { out.print(v[l][0]); for (int c=1; c < DIM; c++) { out.print(' '); out.print(v[l][c]); } out.println(); } out.println(); } private void back(int l, int c, PrintStream out) { do { c++; 219 220 Grundlegende Algorithmen mit Java if (c == DIM) { c = 0; l++; if (l == DIM) { writeSolution(out); return; } } } while (v[l][c] != 0); for (int value = 1; value <= DIM; ++value) { if (set(l, c, value)) { back(l, c, out); unset(l, c, value); } } } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); new P13Sudoku().run(scanner, out); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { System.out.print(anzahl); out.close(); } } } } Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱȱȱȱȬǰȱȱȱȱȱȱȱûȱȬ ȱȱȱȱǻǼȱǻǯȱǯȱȱȱȱȬȱȱǻǼȱȬ ȱȱȱûȱǽǾǽǾȱȱǰȱȱȱǼȱȱŗȱȬ ãȱ ǰȱȱȱȱȱȱȱ£§£ȱȱǯȱ ǯȱ ȱȱȱŗȱȱ£ȱȱȱ§ȱȱȱȬ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ Ȭ 7 Backtracking řǯ Śǯ 221 ȱ ȱ ȱ ǰȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ £ȱ ȱ ǰȱȱȱȱȬȱ£ȱǻȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱ ǰȱûȱȱȱ ȱȱȱȱãȱǼǯȱ£ȱȱ £ȱȱȬ ȬȱȱǻǼȱȱȱǰȱȱûȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȬȱȱȬ ȱ ǰȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãđȱ £ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǻǯȱ ȱ ŗǼȱ ûȱȱûȱȱȱȱǯȱǱȱȱ ȱ tȱ §ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ǯȱ ȱ tȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱ§ȱǮȃȱãȱ£ȱãǰȱȬ ȱȱȱǱȦȦ ǯǯǯ.ȱ ȱȱȱȱȱûȱȱǯȱ ȱ ǰȱ £ǯȱ ǯȱ ǱȦȦ ǯ¡ǯȦȦ¡ǯȱ ȱ ǱȦȦ ǯǯȦȦȦȏŖşȏŖśȏŖśǯȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ£ǯȱ ǯȱ ǰȱ ǰȱ ¡ȱ ǰȱ ȱ ǰȱ ǯǼǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ãǯȱȱȱǰȱ ȱãǰȱȱȱȱ£ȱ ǰȱȱȱȱãȱǯȱ Problem 14. Das Haus des Nikolaus ȱ ȱ£ȱȱ ȱǻȱȱȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ 4 ǯȱȱȱȱȱ 5 3 ££ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 1 2 ȱ ȱ ǰȱ ȱ ǯȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱãȱǰȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ§ǯȱȱȱ ȱ ȱȱȱ ȱȱǯȱȱãȱȱ ȱǮŗśřŗŘśŚřŘȄȱ ǰȱȱȱȱȱȱŗȱǰȱȱȱ£ȱȱśȱ£ǰȱȱ£ȱȱřȱ ǯǯǯȱ ȱȱȱ¡ȱȱȱȱãȱȱȱȱ ȱǯǯȱǱȱ 222 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ nikolaus.out Loesung 1: 1 2 3 1 5 3 4 5 2 ................. Loesung 26: 1 3 5 2 3 4 5 1 2 .................... Loesung 44: 1 5 4 3 5 2 3 1 2 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǯȱ ûȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ££¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ¢ȱǽǾǽǾǱȱȱ ȱ 1, wenn eine Kante von i nach j existiert ǯȱ aij = ® ¯0, wenn es keine Kante zwischen i und j gibt ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ £ȱ ȱ ¢ȱ ǽǾȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǽǾȱ Ȭ ȱ ǰȱȱ ȱȱȱǮ£Ȅȱ ȱǻǽȬŗǾǰȱǽǾǼǯȱȱȱ ȱȱûȱ ȱȱ ȱ ȱ£ǯȱȱ Programm import java.io.*; public class P14SantaClaus { private static final String FileOutputName = "nikolaus.out"; private int a[][] = { new int[] { 0, 1, 1, 0, 1 }, new int[] { 1, 0, 1, 0, 1 }, new int[] { 1, 1, 0, 1, 1 }, new int[] { 0, 0, 1, 0, 1 }, new int[] { 1, 1, 1, 1, 0 } }; private int b[] = new int[9]; private int sol = 0; private PrintStream out; P14SantaClaus(PrintStream out) { this.out = out; } 7 Backtracking void run() { back(1); } private void writeSol() { out.print("Loesung "); out.print(++sol); out.print(": "); for (int i = 0; i < 9; i++) { out.print(b[i] + 1); out.print(' '); } out.println(); } void back(int k) { int i; if (9 == k) writeSol(); else for (i = 0; i < 5; i++) if (a[i][b[k - 1]] == 1 && i != b[k - 1]) { b[k] = i; a[i][b[k - 1]] = 0; a[b[k - 1]][i] = 0; back(k + 1); a[i][b[k - 1]] = 1; a[b[k - 1]][i] = 1; } } public static void main(String[] args) throws IOException { PrintStream out = new PrintStream( new File(FileOutputName)); try { new P14SantaClaus(out).run(); } finally { out.close(); } } } ȱ 223 224 Grundlegende Algorithmen mit Java Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱȱȱȱȱûȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱŚȱȱȱȱȱȱ ȱŗǯȱ 4 7 7 3 5 6 8 4 6 8 1 2 5 9 9 3 1 2 4 10 3 ȱ 1 2 ȱ ȱ Noch 10 Probleme ŗǯ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ đȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ Ȭǯȱ ȱ ȱ ǻǼǻǼȱ ȱ ǻǻǼǼȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼǼǻȱ ȱ ǼǻǻǼȱ ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ đȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ § 2n · ȱ Cn = 1 ¨ ¸ Ǳȱ n + 1 ¨© n ¸¹ ȱ ǻǼǻǼǰȱǻǻǼǼȱ ǻǼǻǼǻǼȱǰȱȱǻǼǻǻǼǼǰȱǻǻǼǼǻǼǰȱȱǻǻǼǻǼǼǰȱǻǻǻǼǼǼȱ ŘȱȱÆȱŘȱãȱ řȱȱÆȱśȱãȱ ǻǼǻǼǻǼǻǼǰȱǻǼǻǼǻǻǼǼǰȱǻǼǻǻǼǼǻǼǰȱǻǼǻǻǼǻǼǼǰȱǻǼǻǻǻǼǼǼǰȱ ǻǻǼǼǻǼǻǼǰȱǻǻǼǼǻǻǼǼǰȱǻǻǼǻǼǼǻǼǰǻǻǻǼǼǼǻǼǰȱǻǻǼǻǼǻǼǼǰȱ ǻǻǼǻǻǼǼǼǰȱǻǻǻǼǼǻǼǼǰȱ ǻǻǻǼǻǼǼǼǰȱǻǻǻǻǼǼǼǼ ȱ ŚȱȱÆȱŗŚȱãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȬȱǯȱǱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Tastatur n=3 ȱ ȱ ()()() , klammern.out ()(()), (())(), (()()), ((())) 7 Backtracking 2. 225 §ǯȱȱ£ȱȱ§ȱȱǻŘȱ≤ȱȱ≤ȱŘŖǼȱȱȱ£ãȱ ȱȱ¡ȱǽǾǽǾȱȱǰȱȱȱǽǾǽǾȱƽȱŗȱǰȱ ȱȱ§ȱȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ǰȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ƽȱ Ŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ £§ǰȱ ȱ £ ȱ §ǰȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ȱ ûǯȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ£ȱȱȱ ǯȱ ȱȱ£ ȱȱȱȱȱ£ ȱȱûȱȱ ŗȱȱȱȱȱǯ karte.in 7 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 řǯ farben.out 4 1 2 3 4 1 3 2 ȱ £ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ £ȱ§ǯȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ǻŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ∈ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗ×Ř×ǯǯǯ×Ǳȱ ȱ n ∏ A = A × A × ... × A = {(a , a ,..., a ) a ∈ A ∀i = 1,2,..., n} ȱ i 1 2 n 1 2 n i i i =1 ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱȱ | A1 | ⋅ | A2 | ⋅...⋅ | An | ǯȱ ȱȱȱ ȱ ȱȱȱ ȱǿŗǰȱŘǰȱǯǯǰȱ ŗȀ×ǿŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱ ŘȀ×ǯǯǯ×ǿŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȀȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǯȱȱȬȱ ȱȱȱȱǯȱȬ ǰȱȱȱǯȱǱȱ ȱ kart.in kart.out 2 3 1 4 1 1 1 1 1 1 1 2 … 2 3 1 4 ȱ 226 Grundlegende Algorithmen mit Java Śǯ śǯ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǿ¡ǰȱ ¢ǰȱ £ȱ ∈ȱ Wȱ ȱ Ř¡¢Ƹ¡¢£ƸŚ£ƽŗśŘȀǯȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱǯȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱǱȱ đǰȱǰȱ ǰȱǰȱǰȱûȱȱ £ǯȱȱȱȱȱȱȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ đǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ǯǰȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ flag.out Gelb Weiss Orange ... Blau Gelb Rot ... Weiss Orange Gelbȱ ȱ ȱ Ŝǯ ȱ ȱǰȱȱȱȱǱȱȱȱȱȱǵȱ ȱȱȱȱȱȱǵȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȬ ȱȱǯȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱȱȱȬ ȱ ȱ §ȱ ûȱ ȱ ǯȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭǯȱ 7 Backtracking 227 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱǰȱȱȱ ȱ ȱ 228 Grundlegende Algorithmen mit Java ŝǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǵȱ ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ û£ȱ ŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ ȱ £ȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ¢ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ û£ȱȱȱ§ȱȱǻŖȱȱ≤ȱȱ≤ȱŗŘŖŖǰȱŗȱȱ≤ȱȱ ≤ȱśŖǼǯȱȱãȱ ȱȱȱ£ǯȱǯȱǱȱ ȱ bezahlen.in 136 12 1 5 25 bezahlen.out Loesung 1: 136x1 ... Loesung 431: 1x1 + 2x5 + 5x25 ȱ Şǯ ȱ¢ǯȱȱ¢ȱȱȱȱ×ȱ¡ȱȱǰȱȱȬ ȱȱȱǯȱȱ§ȱȱȱŖȱȱȱȱ§£ȱȱŗȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱȱȱȱȱ ǯȱǱȱ ȱ labyrinth.in 4 7 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 X 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 labyrinth.out ... Loesung 3: 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 3 0 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 ... ȱ şǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ Ş×ŞȬȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱ ȱȱ ȱûȱȱȱûȱǰȱȱȱ ȱȱǯȱȱǰȱȱȱȱȱȱ £ȱǰȱ ȱȱ ȱȱŞȱȱǰȱȱȱȱȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ £Ȭȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ Şȱ ǰȱ ȱ ȱ Şȱ ǰȱ ȱ Şȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȅǯ′ȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȅ′ȱȱ £ǯȱǱȱ ȱȱȱǯȱȱǱȱ 7 Backtracking ǯ ǯ Ǳȱ ȱ 229 ȱȱ¡ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱ ȱǮ £ƽȄǰȱȱȱ£ȱȱ £ȱȱȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ǮƽȄȱ ȱ ȱ ȱ £ȱȱǲȱ ȱȱȱȱȱǰȱǮ ȱǷȄǯȱȱ bauern.in bauern.out Grenzbauern=19 ........ Verbandsbauern=21 ....BB.. ...B.... .BBBBB.. BBBBB... BBBBB... ..B.B... .....B.. Kein Verband! ....B... ...B.B.. ..B...B. ...B...B ....B.B. .....B.. ........ ........ ǻȱȱ Ȭ¢ǰȱ óǰȱ§ǰȱŘŖŖŖǼȱ ȱ ŗŖǯ ȱǯȱȱȱȱûȱȱŗǰȱŘǰȱǳǰȱȱǻŗȱ≤ȱȱ≤ȱřŖǼȱǰȱ ȱ¡ȱşȱȱȱǯȱȱ ȱǰȱȱ ȱ¢ȱ ȱȱȱȱǰȱȱ ȱǰȱȱȱȱ¢ȱȱȱ £ ȱŘȱȱŗŖȱȱȱǯȱȱȱûȱȱȱ¡ȱȱ ¢ȱȱȱǰȱȱȱȱȱ ȱȱ§ȱǰȱ ȱȱȱȱ£ȱ ȱȱǯȱǱȱȱȬ £ȱ ŗǰȱ Řǰȱ ǳǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǯȱ Ǳȱ ȱǯȱȱȱȱȱȱȱǻǰȱǼȱȱȱ£Ȭ ȱȱȱȱ ǰȱ ȱȱǯȱ ȱȱ£ȱȱȱ ȱȱȱ ȱǯȱǱȱ ȱ basis.in basis.out 12102 34215 1231 1010101 343421 2314 23413 28756 28457 n Basis(n) 12102 6 34215 6 2314 9 28756 9 1231 10 n Dezimal 1766 4835 1714 19572 1231 230 Grundlegende Algorithmen mit Java 1010101 4 4369 23413 5 1733 28457 9 19330 343421 5 12361 Intervall: [1231,19572] ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻȱȱ Ȭ¢ǰȱóǰȱ§ǰȱŗşşŝǰȱ£Ǽȱ ȱ ǱȱȱãȱȱȱȬȱ£ǰȱ£ǯȱǯǱȱ void back(int k){ if(k==n) processThisCombination(); else for(int i=base[k]; i<=10; i++) { x[k]=i; back(k+1); } } ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ • ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱǻƽǼǰȱȱûȱ ǰȱȱȱ £ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǯȱȱ • ȱ ȱ Ȭ ȱ Ȭ ȱ ȱ ǻǀǼǰȱ ȱ £ȱ ¡ǽǾȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ûȱȱ Ȭȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ǽǾǼȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ Ƹŗȱǯȱ ȱ £ȱȱȱȱȱȱ ȱȱǰȱȱ ȱ Dynamische Programmierung 8 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Grundlagen, Eigenschaften des Verfahrens 1. Ursprung des Konzeptes.ȱ ȱ ¢Ȭ ȱȱȱȱȬ ȱ ǰȱ ȱ Ȭ ȱ £ȱ ãǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗşŚŖȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŗşŘŖȮŗşŞŚǼȱǯȱȱ ȱȱȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ £ȱ ȱ ¢ȱ Ȭ ǯȱ ȱ Richard Bellman 2. Optimalitätsprinzip.ȱ ĸ ȱ ¢ȱǰȱȱȱ ȱ ¢ȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱŗşŝşȱ ȱ ȱȱȱ ȱ ȱ ȱ §£ǯȱ ȱ ǱȦȦ ǯǯȦ£Ȧȱ đǰȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ¢ȏȦȦǯȱ £ȱ ȱȱȱȱȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱãǰȱȱȱȱãȱȱȱ£ȱǯȱȱȬ §£ȱȱȱûȱȱǯȱȱ ȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱȱ£ ȱȱ ȱȱȱ ȱȱ ȱȱ ǯȱȱȱ£ȱǰȱȱ ȱȱȱȱ ȱ §ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ đȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱȱȱȱȱȱȱ§ȱȱ£ȱ ȱȱǰȱȱȬ ȱȱ£ ȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱ£ ȱȱȱȬ ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱ ȱ 232 Grundlegende Algorithmen mit Java ŘŗŚ řş ŘŜŞ i ŗś j ǳ ŘŗŖ Śŗ ȱȱȱȱ£ ȱ£ ȱ ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ §£ȱ ȱ Ȭ ȱǱȱ ȱ ŗǯ ȱȱȱȱȱȱ Řǯ ȱãȱȱȱȱȱȱřȬȬȱ řǯ ȱȱȱãȱȱǰȱȱȱȱãȱ ȱȱ£ȱȱ ȱ 3. Überlappung der Probleme, Speicherung der optimalen Teilproblemlösungen (Memoization).ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ tȬ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǯȱ tȱǰȱȱȱȱãȱȱȱ£ȱȱ ȱãȱǰȱȱȱȱ ȱǯȱȬ £ȱǰȱȱȱãȱȱȱûȱȱ§ȱȱ ȱ ǰȱȱȱ£ȱ£ȱǯȱ ȱ 4. Einführendes Beispiel – die Fibonacci-Folge.ȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȬȱ£ȱǯȱȱȱ ȱȱǱȱȱ ȱ • ǻŖǼȱƽȱŖǰȱǻŗǼȱƽȱŗȱȱ ȱ ȱ ȱ • ǻǼȱƽȱǻȬŗǼȱƸȱǻȬŘǼȱûȱȱȱ≥ȱŘȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǻŗǼ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǻśǼȱȱȱȬȱ£ȱǰȱȱ ȱȱȱǻŚǼȱȱǻřǼǯȱ ǱȱȱȱȱȱȱǻǼȱ£ȱǰȱȱȱǻȬŗǼȱȱǻȬŘǼǯȱ ȱȱȱ§ȱȱȱ §ǰȱ£ǯȱǯȱȱȱȬ ȱǰȱûȱȱȱȱȱ ǯȱȱ ȱǻśǼǱȱȱ ȱ ȱ 8 Dynamische Programmierung 233 ȱȱȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ǻśǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŚǼȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻřǼȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻřǼȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŘǼȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŘǼȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŗǼȱ ȱ ǻŖǼ ǻŗǼ ǻŘǼ ǻřǼ ǻŚǼ ǻśǼ ǻŘǼȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻŗǼȱȱȱȱǻŗǼȱȱȱȱȱȱȱǻŖǼȱȱȱȱȱȱȱȱǻŗǼȱȱȱȱǻŖǼȱ ȱ ǻŗǼȱ ȱȱǻŖǼȱ ȱȱǻśǼǱȱȱȱȱȱ£¢ȱ ȱǻǯȱȬ ȱ¢ȱǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǻŘǼȱ ȱ ȱ ȱ ǻřǼȱ £ ǯȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱȱȱȱǻŘǼǰȱǻřǼǰȱǻŚǼǰȱǯǯǯǰȱǻǼǰȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ£ȱ Ǳȱ ȱ ȱȱȱȱ£ȱȱȱȬȱ ȱ ȱȱȱȬȱȬ Ȭȱȱ ȏǻǼȱ ȱȱȱ ȱǻƽƽŖȱȱȱȱƽƽŗǼȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȏ ȱ ȱȱȱȱ¡ȱ ȱȱȱȱȱȱȱǻȬŗǼƸǻȬŘǼȱ ȱȱȱȏȱ ȏȱ ȏȱǻǼ ȱȱȱȬȱȬ ȱǻ¢ȱǼȱ ȏ ǻǼȱ ȱȱȱǽŖǾȱ←ȱŖȱ ȱȱȱǽŗǾȱ←ȱŗȱ ȱȱȱȱǻȱƽŘǲȱ≤ǲȱȱŗȱǼȱ¡ȱ ȱȱȱȱȱǽǾȱȱ←ȱǽȬŗǾȱƸȱǽȬŘǾȱ ȱȱȱȏȱ ȱȱȱȱǽǾȱ ȏȱ ȏ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱȱȱǱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 234 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱ£ȱûȱȱȱȱȱȱ ȱ N F(n) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 9227465 14930352 24157817 39088169 63245986 102334155 165580141 267914296 433494437 701408733 1134903170 1836311903 2971215073 4807526976 7778742049 12586269025 20365011074 Laufzeit rekursiver Fibonacci Laufzeit iterativer Fibonacci 3 5 7 11 18 30 46 76 122 198 320 522 845 1361 2211 3710 5904 <1 <1 <1 <1 <1 <1 <1 <1 <1 <1 <1 <1 <1 <1 <1 <1 <1 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ǰȱ ȱ§ȱȱȱ§ȱ ȱ ǯȱȱ ¡§ȱ · § ȱȱȱ¡Ǳȱ O¨ §¨ 5 + 1 ·¸ ¸ ǯȱȱ£ ȱȱ ȱȱ n ¨¨ ¨ ©© 2 ¸ ¸¸ ¹ ¹ §£ǯȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȬ ȱǰȱȱȱ§ȱ ȱȱ£ȱãǯȱȱ ¡§ȱȬ ûȱȱǱȱǻǼǯȱȱȱȱȱȱŗȱȱȱȬȱ£ûǯȱ ȱ 5. Bottom-up versus top-down.ȱ ȱȱȱȱȱ¢ȱ ȱȱȱȱȱ§£Ǳȱ ȬȬ£Ǳȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ãǯȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ £ǰȱ ȱ ȱ ãȱ ûȱ ãđȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ǱȱǻǼȱȱ£ȱ ǰȱȱȱǯȱ Ȭ Ȭ£Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ãȱ ûȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǯȱȱȱ ȱȱȱȱȱãǯȱȱ ȱ 6. Vergleich mit anderen Verfahren.ȱ ȱ ȱ ȱ ȬȬ Ȭ ǰȱ ȱȱȱȱ§ȱ ȱȱ ûǰȱ ȱȱ 8 Dynamische Programmierung 235 ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȬ ȱȱȱȱãȱȱȱãȱȱ ǰȱȱ£ȱȱ§Ȭ ȱȱȱ£ûȱ£ȱãǰȱȱȱȱȱ£ȱûȱ ǻ£Ǽǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ǯǯȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ Ȭ ȱȱȱtǰȱȱȱ£ȱȱȱȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱãȱȱ ǰȱȱȱãȱ§ȱ£ȱûȬ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱ ¢Ȭȱȱȱȱ£ȱȱȱȱ §ȱ ȱȱ¢ȱȱȱ§£ȱ£ǯȱȱ ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ ȱ ȱ ȱ ȱ §£ǰȱ tȱ ȱ ǰȱ £ǯȱȱ ȱȱȱ ȱȱ¢ȱǵȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ Ȭ ȱȱȱȱȱ£Ǳȱ §n· ¨¨ ¸¸ = 1, ȱ ȱȱƽȱŖȱȱȱƽȱ ©k ¹ § n · § n − 1· § n − 1· ¸¸ ǰȱȱǁȱǰȱȱȱ≠ȱŖȱ ¸¸ + ¨¨ ¨¨ ¸¸ = ¨¨ © k ¹ © k − 1¹ © k ¹ ȱ ǻŘǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ǰȱ £¢Ȭ § 4· © 2¹ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ¨¨ ¸¸ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱǻśǼǯȱ 236 Grundlegende Algorithmen mit Java Problem 1. Das Zählen der Kaninchen ǯȱ ŗŗŞŖȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȉȱ Ȉȱ ǻȱ ȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ û ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǰȱȱ£ǯȱǯǱȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱ ȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱ£ǰȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱ£ ȱȱȱǵȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱǱȱŖƽŖǰȱŗƽŗȱȱ ȱƸŗƽƸȬŗǯȱȱȱȬȱȱǱȱŖǰȱŗǰȱŗǰȱŘǰȱřǰȱśǰȱŞǰȱŗřǰȱŘŗǰȱřŚǰȱśśǰȱ ŞşǰȱŗŚŚǰȱŘřřǰȱřŝŝǰǯǯǯȱ ȱ ȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȬ ȱȱȱśŖȱȬȱǰȱȱȱȱȱ£ȱûȱȱ ȱȱȱǱȱ ȱ N FibRec(N) Zeit(FibRec(N)) FibIt(N) Zeit(FibIt(N)) .......... 33 3524578 t1= 2 3524578 t2= 0 34 5702887 t1= 3 5702887 t2= 0 35 9227465 t1= 4 9227465 t2= 0 36 14930352 t1= 7 14930352 t2= 0 37 24157817 t1= 11 24157817 t2= 0 .......... ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱȱȱŗǻǼȱȱŘǻǼȱǰȱȱȱȱȬ ǯȱȱȱȱȱ§ȱȱȱȬǯȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾȱ ȱ ȱ ȱȱǽȬŗǾȱȱǽȬŘǾȱ£ǯȱȱȱȱ ȱȱȱȬ 8 Dynamische Programmierung 237 ȱ ¢ǯǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ǯǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱȱŗǯŗǯŗşŝŖǰȱŖŖǱŖŖȱǰȱȱ£ȱȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱȱȱȱȱ¢ȱȱ£ûǱȱ ȱ public static long currentTimeMillis () Programm import java.io.*; public class P01Fibo { private static final String FileOutputName = "FiboReport.txt"; private static final int N = 50; private static long fibo1(int n) { if (n <= 1) return n; return fibo1(n - 1) + fibo1(n - 2); } private static long fibo2(int n) { if (n < 2) { return n; } long prevprev = 0; long prev = 1; for (int i = 2; i < n; i++) { long temp = prev; prev += prevprev; prevprev = temp; } return prev + prevprev; } public static void main(String[] args) throws IOException { PrintStream out = new PrintStream( new File(FileOutputName)); try { for (int i = 0; i < N; i++) { long tm = System.currentTimeMillis(); long f = fibo1(i); tm = System.currentTimeMillis() - tm; out.printf("%4d %15d t1=%6d", i, f, 238 Grundlegende Algorithmen mit Java Math.round(tm / 1000)); tm = System.currentTimeMillis(); f = fibo2(i); tm = System.currentTimeMillis() - tm; out.printf(" %15d t2=%6d%n", f, Math.round(tm / 1000)); out.flush(); } } finally { out.close(); } } } Aufgaben ŗǯ ȱ Řǯ ȱȱŖƽŘǰȱŗƽŗȱȱƽȬŗƸȬŘȱȱȱđȱȬǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ Ȭȱ ûǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ Ȭȱȱȱȱȱ£ȱǯȱ ȱȱȬȱȱȱȬȱȱȱȱ§Ȭ ȱ ȱ £ǯȱ ǯȱ ŘƸŘȉǻȬŗǼȬŗȱ ƽȱ śŘǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱûȱȱƽȱŖǰȱŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱŘśȱûȱȱȱȱǰȱ£ǯȱǯȱȱǱȱ n L(2n)+2(-1)^(n-1) 5F(n)^2 __________________________________________ 0 0 0 OK! 1 5 5 OK! 2 5 5 OK! .......... 22 1568397605 1568397605 OK! 23 4106118245 4106118245 OK! 24 10749957120 10749957120 OK! 25 28143753125 28143753125 OK! ȱ řǯ ȱ ȱ ŖƽŖǰȱ ŗƽŗǰȱ ŘƽŘȱ ǻȱ řƽŚǼȱ ȱ ƽ ȬŗƸ ȬŘƸ ȬřǻƸ ȬŚǼȱ ȱ ȱđȱȬȱǻȬǼǯȱȱȱûȱȱȬ ȱ ƽŘȬŗȱ ûȱȱǁȱŖȱȱ Ŗȱ ƽȱŖǯȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȬȬȱȱ£ȱȱȱȱǱȱȱ ȱ ƽŖǰȱ ŗƽŗǰȱǯǯǯǰȱ ȬŗƽŘȬŗȱȱ ȱƽȱ ȬŗȱƸȱ ȬŘƸǯǯǯƸ Ȭȱûȱȱ≥ȱȱ Ŗ ȱ 8 Dynamische Programmierung 239 £ȱȱȱǰȱȱûȱûȱȱȱȱȱȱ ȱȬ ǰȱȱȱȱȱǯȱ£ȱȱûȱȱȱȱ¢Ȭ ȱǯȱǱȱ ȱ kBonacci.in kBonacci.out 3 50 n kBonacci(3, n) __________________________ 0 0 1 1 2 2 3 3 4 6 ... 47 1424681173049 48 2620397211992 49 4819661885417 50 8864740270458 5 57 n kBonacci(5, n) __________________________ 0 0 1 1 2 2 3 4 4 8 5 15 ... 55 7280158119874827 56 14312414018268228 57 28137465101354548 ȱ Śǯ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȬ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ đȱ ȱ ȱ ǻ ȱǯǯ Ǽǯȱ ȱȱ ȱȱ¢ȱȱȱȱȱ §n· ©k ¹ ȱ£ȱ ¨¨ ¸¸ ǰȱȱȱȱȱȱȱǻŘǼȱȱǯȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱ£ȱȱȱȱ ǯȱȱȱ£ȱûǰȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ £ȱ ûȱ ȱ ȱ £ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱȱȱȱãȱȱȱ ǯȱȱûȱȱƽȱřǱȱȱ ȱ ȱ 240 Grundlegende Algorithmen mit Java 0 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 1 3 1 Problem 2. Längste aufsteigende Teilfolge ȱȱ ȱȱ ȱǽŖŘǾǰȱȱŗśŚǰȱȱȱȱȱæȱȱ £Ǳȱ £ȱ ǻĘǰȱ £Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ ŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ Ƹŗȱ ȱ Ƹŗȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ai1 < ai2 < ... < aim+1 ȱȱȱȱǻŗȱǀȱŘȱǀȱǳȱǀƸŗǼȱ ȱ§ȱƸŗȱȱȱȱȱ a j1 > a j 2 > ... > a j n +1 ȱȱȱǻŗȱǀȱŘȱǀȱǳȱǀƸŗǼȱ ȱ §ȱ Ƹŗȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱȱȱȱǽŖŘǾȱ£ȱǯ÷ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ§ȱȱȱȱȱȱ ȱȱ ǯȱǱȱ ȱȱȱǯȱȱȱȱȱȬ ûȱ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ §ȱ ãȱ ŘŖŖŖǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŘŖǯŖŖŖǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ§ȱȱȱǯȱǱȱ aufsteigend.in aufsteigend.out 3 5 76 1 45 2 31 89 90 0 4 15 23 47 95 21 67 8 13 11 5 145 132 77 --- Eingabe: Laenge: 24 Die Elemente: 3 5 76 1 45 2 31 89 90 0 4 15 23 47 95 21 67 8 13 11 5 145 132 77 --- Ausgabe: Laengste aufsteigende Teilfolge: 1 2 4 15 23 47 95 145 Laenge: 8 ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱȱǽǾȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾȱȱ ǽǾȱǱȱ ȱ ǽŖǾȱ←ȱŗǰȱȱ ǽǾȱ←ȱŗȱƸȱ¡ǿǽǾȱȱȱǀȱȱȱȱȱǽǾȱǀȱǽǾȀǰȱȱƽȱŗǰȱǳǰȱȬŗȱ 8 Dynamische Programmierung 241 ȱ ȱȱȱ ȱ ǽŖǾȱȱ←ȱȬŗȱȱǻȱȱȱȱȱ§Ǽȱ ȱȱ¡ȱȱȱǽ¡Ǿȱƽȱ¡ǿǽǾȱǀȱȱǽǾȱǀȱǽǾȀȱǰȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ£ȱǽǾȱƽȱ¡ǲȱ ȱǽǾȱƽȱȬŗȱǻȱȱȱ§Ǽǯȱ ǽǾȱȱȱ§ȱȱ¡ȱǰȱȱȱǽǾȱȱ£ȱȱ ǯȱǱȱȱȱȱŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱȱǯȱȱȱ§ȱȱȬ ȱȱǰȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ǽǾȱȱȱ ¡ȱȱ§ȱȱȱȱȱȱ§ȱȬ ȱȱȱȱ£ȱǯȱȱȱǰȱȱ§ȱȱȱȱ ȱȱǻǼȱ£ǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǰȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ tǯȱ ȱ ȱ ǯȱ ǻȱ ȦȬ§ǼȱȱȱȱȱŗǯŚǯȱȱ ȱ£ǯȱȱȱ Ȭ ȱ Ǳȱ ǰȱ ¢ǰȱ ǰȱ ǰȱ ǰȱ ǰȱ ǰȱ ǯȱȱȱȱȱǰȱȱȱ£ȱȱȱȱȬ ȱ¢ȱ§ǯȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱǻǼȱȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ǯȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ãȱ ȱ £ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ Ȭ ȱ ȦȬ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ Ȭǯȱ ȱ ȦȬ ȱ ȱȱǻǼȱȱ ǻǼȱȱȱȱȱûǯȱ ȱ ȱ ȱŖŘǻǀ ǁǼȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ §ȱ ǯ£ǻǼǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.nio.*; import java.util.*; public class P02Ascending { private static final String FileInputName = "aufsteigend.in"; private static final String FileOutputName = "aufsteigend.out"; private List<Integer> a; private IntBuffer v, vPred; 242 Grundlegende Algorithmen mit Java private int imax; P02Ascending(List<Integer> list) { this.a = list; this.v = IntBuffer.allocate(list.size()); this.vPred = IntBuffer.allocate(list.size()); } void process() { int j, i, n; v.put(1); vPred.put(-1); this.imax = 0; n = (int) a.size(); for (i = 1; i < n; i++) { v.put(1); vPred.put(-1); for (j = 0; j < i; j++) if (a.get(j) < a.get(i) && v.get(j) + 1 > v.get(i)) { v.put(v.position() - 1, v.get(j) + 1); vPred.put(vPred.position() - 1, j); } if (v.get(i) > v.get(imax)) this.imax = i; } } private void recoverSubstring(int i, PrintStream out) { if (vPred.get(i) + 1 != 0) recoverSubstring(vPred.get(i), out); out.print(a.get(i)); out.print(' '); } void writeData(PrintStream out) { ȱ ȱ ȱ ǮȬȃǰȱ ȱ out.println("--- Eingabe: "); ȱ ȱ ȱ śȱ ûȱ ǰȱ ȱ out.print("Laenge: "); ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ out.println(a.size()); ǮforȃǱȱ out.print("Die Elemente: "); for (Integer i : a)ȱ for (Integer i : a) { ȱǱȱ out.print(i); for(type iterVar:iterableObj) out.print(' '); Anweisung; } out.println(); out.println("--- Ausgabe: "); out.print(" Laengste aufsteigende Teilfolge: "); recoverSubstring(imax, out); out.println(); 8 Dynamische Programmierung 243 out.print(" Laenge: "); out.println(v.get(this.imax)); } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); List<Integer> list = new ArrayList<Integer>(); while (scanner.hasNextInt()) { list.add(scanner.nextInt()); } P02Ascending p = new P02Ascending(list); p.process(); p.writeData(out); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ Śǯ ȱ £ȱȱȱȱǰȱȱȱûȱȱȱȱ¢ȱ Ȭ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ Ȭȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯǯ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ£ǯȱȱ ȱãȱȱȱǰȱȱȱ¡ȱ§ȱǯȱ ȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱ¡ȱ§ȱȬ ȱǯȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱ§ȱȱȱ ȱ Ǳȱ 244 Grundlegende Algorithmen mit Java teilfolge.in teilfolge.out 3 5 76 1 45 2 31 89 90 0 4 15 23 47 95 21 67 8 13 11 5 145 132 77 -1 -2 57 --- Eingabe: Laenge: 24 Die Elemente: 3 5 76 1 45 2 31 89 90 0 4 15 23 47 95 21 67 8 13 11 5 145 132 77 --- Ausgabe: Laengste aufsteigende Teilfolge : 1 2 4 15 23 47 95 145 Length: 8 --Laengste absteigende Teilfolge : 76 45 31 23 21 13 11 5 -1 -2 Length: 10 ȱ śǯ Ŝǯ ȱȱȱȱǰȱȱȱ£ȱȱæȱȱ£ȱûȱ ȱ§£ȱûǯȱȱȱ ȱȱȱǱȱȱûȱȬ ȱ ȱ£§ȱǲȱȱȱûȱȱǰȱȱȱȱǂȱȱȱȱƽȱƸŗȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ǯȱ £ȱ ȱȱȱǯȱ ȱ ãǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ¡ǰȱ ȱ ȱ ãȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ££ȱ ǯȱȱȱȱǰȱȱȱ§ȱȱȱãȱȱ ȱ¡ȱǰȱûȱȱǰȱȱȱȱ£ȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱ§ȱȱûǯȱ Ǳȱ ȱȱȱ ǯȱȱȱãȱǻȱȱ¡ȱŗśȱȱ ȱŘȱȱǼǰȱȱȱ£ȱȱȱǻȬ Ǽȱȱǯȱ Ǳȱ ǯȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱ £ȱ ȱ ãȱ ȱ §ȱ ǰȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱȱǰȱȱȱǯȱǱȱ ȱ woerter.in griul visului ultim cazu imprecis in clipa aceea de isterie iesita parca din tainite vechi si tenebroase woerter.out 7 griul ultim imprecis isterie iesita tainite tenebroase 8 Dynamische Programmierung 245 Problem 3. Längste gemeinsame Teilfolge (LCS) ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ǻǯȱ ȱ ȱ Ȭ Ǽȱȱȱȱȱȱ¢ȱǯȱȱ ȱŗǯȱȱȱȱƽȱǻ¡ŗǰȱ¡Řǰȱǯǯǯǰȱ¡Ǽȱȱȱƽȱǻ£ŗǰȱ£Řǰȱǯǯǯǰȱ£Ǽȱ£ ȱȱȱȱ£ ǯȱȱ ǰȱ ȱǰȱȱzWǰȱǰȱȱ≥ȱŗȱȱȱ≥ȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱ ¡ȱŗǰȱŘǰȱǳǰȱȱǰȱȱȱûȱȱƽŗǰȱǯǯǯǰȱȱǯȱȱ ǱȱûȱƽǿŗŖǰȱŚǰȱŘŖǰȱŗŖǰȱŚŖǰȱŘǰȱŖǰȱŜŖȀȱȱƽǿŚǰȱŗŖǰȱŘǰȱŖȀȱȱȱȱ§ȱŚǯȱ ƽǿŚǰȱŗŖǰȱŘǰȱŚŖȀȱȱȱȱȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱ ȱȱǯȱȱđǰȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ ȱǯȱȱȱȱȱȱûȱȱ ȱ§ǯȱȱ ȱȱ§ȱȱǯȱ ȱȱ£ ȱȱȱƽȱǻ¡ŗǰȱ¡Řǰȱ ǯǯǯǰȱ¡Ǽȱȱȱƽȱǻ¢ŗǰȱ¢Řǰȱǯǯǯǰȱ¢Ǽȱȱŗ≤ȱǰȱȱ≤śŖŖǯȱ ȱȱȱ§ȱȱǰȱȱȬ ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱ ǱȱûȱƽǿŗŖǰȱŚǰȱŘŖǰȱŗŖǰȱŚŖǰȱŘǰȱŖǰȱŜŖȀȱȱƽǿŚǰȱşŖǰȱŝǰȱŗŖǰȱŝŖǰȱŘǰȱŝŗǰȱŞŗǰȱŖȀȱȱƽǿŚǰȱŗŖǰȱ ŘǰȱŖȀȱȱȱ§ȱŚȱȱ§ȱȱǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ £ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ £ȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱ¢ȱǯȱǱȱ Ȭ ȱȱȱȱȱǯȱȱ§ȱȱȱǯȱǱȱ ȱ lcs.in lcs.out 8 9 Maximale Laenge: 4 4 10 2 0 10 4 20 10 40 2 0 60 4 90 7 10 70 2 71 81 0 14 22 Maximale Laenge: 8 34 67 8 0 12 3 45 91 34 5 67 8 8 9 0 12 3 45 6 78 91 231 12 34 45 67 79 57 8 321 55 0 33 12 1 2 3 44 45 56 91 21 22 23 Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱ£ȱȱ ȱȱ§ȱǻǼȱȱȱȱƽȱǿ¡ŗǰȱ¡Řǰȱ ǳǰȱ¡Ȁȱȱȱƽȱǿ¢ŗǰȱ¢Řǰȱǳǰȱ¢ȀȱȱŖ≤ȱȱ≤ȱǰȱŖȱ≤ȱȱ≤ȱȱȱǽǾǽǾȱǯȱȱ¡ȱƽȱ¢ȱǰȱȱŗƸǽȬ ŗǾǽȬŗǾȱȱ§ȱȱ§ȱȱǻǼǯȱȱ¡ȱƾȱ¢ȱǰȱȱȱȬ 246 Grundlegende Algorithmen mit Java ¡ȱ ȱ ǽȬŗǾǽǾȱ ȱ ǽǾǽȬŗǾȱ ȱ §ȱ ȱ §ȱ ȱ ǻǼǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ǰȱ ȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱȱǱ ȏȱǻȱƽȱǿ¡ŗǰȱ¡Řǰȱǳǰȱ¡Ȁǰȱȱƽȱǿ¢ŗǰȱ¢Řǰȱǳǰȱ¢ȀǼȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱǻƽŖǲȱǀǲȱȱŗǼȱ¡ȱȱǽǾǽŖǾȱƽȱŖȱȱȏȱ ȱȱȱȱǻƽŖǲȱǀǲȱȱŗǼȱȱ¡ȱȱȱǽŖǾǽǾȱƽȱŖȱȱȏȱ ȱȱȱȱȱȱȱǻƽŗǲȱǀǲȱȱŗǼȱ¡ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǻƽŗǲȱǀǲȱȱŗǼȱ¡ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǻ¡ƽ¢Ǽȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾǽǾȱƽȱŗȱƸȱǽȬŗǾǽȬŗǾȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾǽǾȱƽȱ¡ǻǽȬŗǾǽǾǰȱǽǾǽȬŗǾǼȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱȱȱȏȱ ȱȱȱȱǽǾǽǾȱ ȏȱ ȏȱǻȱƽȱǿ¡ŗǰȱ¡Řǰȱǳǰȱ¡Ȁǰȱȱƽȱǿ¢ŗǰȱ¢Řǰȱǳǰȱ¢ȀǼȱ ûȱȱȱȱȱȱȱȱ§ȱȱȱ¡ȱǽǾǽǾǯȱȱȬ ȱ ȱ ¢ȱ Ѧ ѥ XQG ѫȱ ȱ ££ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ȱ ǻǰȱ ǰȱ £ ǯȱ Ǽǯȱ ȱ ȱ ȱ§ȱȱȱǻȱȱȱ§ǰȱ ȱȱ ȱ Ǽȱ ȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ŗȱ ¢ ŗȱ Śȱ Řȱ şŖȱ řȱ ŝȱ Śȱ ŗŖȱ śȱ ŝŖȱ Ŝȱ Řȱ ŝȱ ŝŗȱ Şȱ Şŗȱ şȱ Ŗȱ ¡ȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ Ŗȱ ŗȱ ŗŖȱ Ŗȱ ѦŖȱ ѦŖȱ ѦŖȱ ѫŗȱ ѥŗȱ ѥŗȱ ѥŗȱ ѥŗȱ ѥŗ Řȱ Ŗȱ Śȱ Ŗȱ ѥŗȱ ѥŗȱ ѥŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ řȱ ŘŖȱ Ŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Śȱ ŗŖȱ Ŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ ѫŘȱ ѥŘȱ ѥŘȱ ѥŘȱ ѥŘȱ ѥŘ śȱ ŚŖȱ Ŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ ѦŘȱ ѦŘȱ ѦŘȱ ѦŘȱ ѦŘȱ ѦŘȱ Ŝȱ Řȱ Ŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ ѦŘȱ ѦŘȱ ѫřȱ ѥřȱ ѥřȱ ѥř ŝȱ Ŗȱ Ŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ ѦŘȱ ѦŘȱ Ѧřȱ Ѧřȱ Ѧřȱ ѫŚȱ Şȱ ŜŖȱ Ŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ Ѧŗȱ ѦŘȱ ѦŘȱ Ѧřȱ Ѧřȱ Ѧřȱ ѦŚȱ ȱ ȱȬǱȱȱȱȱ 8 Dynamische Programmierung 247 ȱȱȱȱȱȱȱȱ¢ȱ¡ǽǾȱȱ¢ǽǾȱȱ ǰȱȬ ȱ ȱȱ¡ȱǽǾǽǾȱȱƸŗȱȱȱƸŗȱǰȱ ȱȱȱȬ ȱȱŖȱ£ȱ Ǳ int[][] c = new int[m + 1][n + 1]; ȱ ȱ ȱȱȬȱǰȱȱȱȱȱȱ¡ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱ£ȱ ȱȱȱȬȱȱȬ ǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǱȱ ȱ¡ǽǾȱƽȱ¢ǽǾȱȱǻȱȱȱȱȱûȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ûȱȱȱȱǼǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾǽǾȱȬ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ûǯȱ đȱȱ ȱȱȱȱ ȱȱȱǰȱ£ȱȱ ȱ ȱȱȱȱŗǯȱ ȱ¡ǽǾȱƾȱ¢ǽǾȱǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱǽǾǽǾȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ǯȱȱȱȱȱȱ £ȱȱȱȱ ǯȱȱȱtȱȱ ȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱȱ ǰȱ£ȱȱ ȱȱȱŗǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ Ǽȱ ǯȱȱ ȱȱȱãǰȱȱȱȱȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ £Ȭ £ǰȱȱȱȱ£ȱ§ȱȱȱȱȱ££ûǯȱ Programm ȱ import java.io.*; import java.util.*; public class P03LCS { private static final String FileInputName = "lcs.in"; private static final String FileOutputName = "lcs.out"; public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { 248 Grundlegende Algorithmen mit Java scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); int m = scanner.nextInt(); int n = scanner.nextInt(); int x[] = new int[m]; for (int i = 0; i < m; i++) { x[i] = scanner.nextInt(); } int y[] = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { y[i] = scanner.nextInt(); } int[][] c = new int[m + 1][n + 1]; for (int i = 1; i <= m; ++i) for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (x[i - 1] == y[j - 1]) { c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1; continue; } ; if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1]) { c[i][j] = c[i - 1][j]; } else { c[i][j] = c[i][j - 1]; } } int ll = m, cc = n; List<Integer> v = new ArrayList<Integer>(); while (ll != 0 || cc != 0) { if (ll != 0 && cc != 0 && x[ll - 1] == y[cc - 1]) { v.add(x[ll - 1]); --ll; --cc; continue; } if (ll != 0 && c[ll][cc] == c[ll - 1][cc]) { ll--; continue; } if (cc != 0 && c[ll][cc] == c[ll][cc - 1]) { cc--; } } out.printf("Maximale Laenge: %d%n", c[m][n]); 8 Dynamische Programmierung 249 ListIterator<Integer> lit = v.listIterator(v.size()); while (lit.hasPrevious()) { out.print(lit.previous()); out.print(' '); } } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ Śǯ ȱȱȱȱǰȱȱȱ§ȱȱȬ ȱȱǽǾǽǾȱǯȱ ȱȱȱȱ Ȭ Ȭȱȱȱȱ ȱȬ ǯǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱȱȱȱȱ£ǯȱ ȱȱȱȱȱûȱȱȬǯȱ ǯȱ ȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱȬ ȱǻȱ≥ȱŘǼȱȱ§ȱȱȱǯȱ Problem 4. Zahlen-Dreieck ȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȬ ȱȱ£ȱ£ȱȱǰȱȱ£ ȱǰȱȱǰȱȱȱȱȱǰȱ ȱ£ȱȱȱȱȱȱȱȱ ǯȱȱȱȬ ȱǰȱûȱȱȱȱȱȱȱ¡ȱǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ Ȭǰȱ ȱ ȱûȱȱ ȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ǯȱȱȱãȱŗŖŖȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱŗŖŖǯȱ Ǳȱ ȱȱȱǯȱȱ£ȱȱȱ¡ȱȱȱ Ȭ ǰȱȱȱȱ§ȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱ ȱǯȱ ȱ dreieck.in 7 10 dreieck.out Maximale Summe = 346 1 250 82 81 4 6 10 2 14 35 7 41 3 52 26 15 32 90 11 87 56 23 54 65 89 32 71 9 31 Grundlegende Algorithmen mit Java 2 3 3 3 4 5 ǻ ǰȱ ǰȱŗşşŚǼȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ §ȱ ȱ ãđȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱ£ȱȱãȱûǯȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ŞŘȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ §ȱ ûǰȱ ȱ §ȱ ȱ ãȱ ǰȱ ȱ ȱ£ȱ §ǰȱȱȱřŚŜȱǻȱãǼǯȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ǽǾǽǾȱ ǰȱ ȱ ȱ ¢ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ Ȭ ȱǱȱ ȱ ǽǾǽǾȱȱȱãđȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱȱ£ȱȱǰȱȱ ǽǾǽǾȱǰȱȱ ȱǯȱ ȱ ȱȱȱȱûȱȱǽǾǽǾȱ£ȱǰȱ ȱ ȱȱ¢ȱǽŗŖŖǾǽŗŖŖǾǰȱ ȱȱǱȱ ǽǾǽǾȱƽȱȮŗȱûȱȱȱǰȱȱ ǽǾǽǾȱƽȱŖǰȱ ȱȱȱǰȱȱȱǽǾǽǾȱǰȱȱȱȱǽȬŗǾǽȬŗǾȱ ȱǯȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱ ǽǾǽǾȱ ƽȱ ŗǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǽȬŗǾǽǾȱ ȱǯȱȱȱȱȱȱȱǯȱ ǽǾǽŖǾȱȱȱŗǰȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱûȱȱ ȱȱǻȱȱȱȱǽȬŗǾǽȬŗǾǷǼǯȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ¢ȱ ǽǾȱ ǰȱ ǽǾȱȱ ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǯȱȱȱ¢ȱǽǾǽǾȱȱ ǽǾȱȱ ǰȱȬ ȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ǽǾǽǾǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǱȱ ȱ w[n - 1] = 0; for (int j = 0; j <= n - 1; j++) if (s[n - 1][j] > s[n - 1][w[n - 1]]) { w[n - 1] = j; } ȱ ȱãȱ ȱȱ ȱȱǽǾǽǾȱȱãȱȱ ȱǱȱ ȱ ȱ 8 Dynamische Programmierung 251 for (int i = n - 2; i >= 0; i--) { if (vPred[i + 1][w[i + 1]] == 0) w[i] = w[i + 1] - 1; ȦȦȱȱȱȱ else w[i] = w[i + 1]; ȦȦȱȱȱȱ } ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P04Triangle { private static final String FileInputName = "dreieck.in"; private static final String FileOutputName = "dreieck.out"; static void process(int a[][], int n, int s[][], int vPred[][], int w[]) { s[0][0] = a[0][0]; vPred[0][0] = -1; for (int i = 1; i < n; i++) { s[i][0] = a[i][0] + s[i - 1][0]; vPred[i][0] = 1; for (int j = 1; j <= i; j++) { if (s[i - 1][j - 1] >= s[i - 1][j]) { vPred[i][j] = 0; s[i][j] = a[i][j] + s[i - 1][j - 1]; } else { vPred[i][j] = 1; s[i][j] = a[i][j] + s[i - 1][j]; } } } w[n - 1] = 0; for (int j = 0; j <= n - 1; j++) if (s[n - 1][j] > s[n - 1][w[n - 1]]) { w[n - 1] = j; } for (int i = n - 2; i >= 0; i--) { if (vPred[i + 1][w[i + 1]] == 0) w[i] = w[i + 1] - 1; else w[i] = w[i + 1]; } } 252 Grundlegende Algorithmen mit Java static void writeData(PrintStream out, int s[][], int w[], int n) { out.print(" Maximale Summe = "); out.println(s[n - 1][w[n - 1]]); for (int i = 0; i < n; i++) { out.println(w[i] + 1); } } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); int n = scanner.nextInt(); int a[][] = new int[n][]; int s[][] = new int[n][]; int vPred[][] = new int[n][]; int w[] = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { a[i] = new int[i + 1]; s[i] = new int[n]; vPred[i] = new int[i + 1]; for (int j = 0; j <= i; j++) { a[i][j] = scanner.nextInt(); } } process(a, n, s, vPred, w); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); writeData(out, s, w, n); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱȱȱȱȱȱûȱȱȱ ǵȱȱȱȱ Ȭ ȱûȱȱȱǻǰȱǼǵȱȱ ȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ¡ȱȱǯȱȬ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱ ǯȱ 8 Dynamische Programmierung řǯ Śǯ śǯ 253 ûȱȱȱȱȱȱ£ǰȱȱȱȱȱûȬ ȱȱȱȱǻǰȱǼȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ£ȱǯȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱ£ȱ §ȱȱ£ȱǯȱûȱȱȱȱǷȱ Problem 5. Domino ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱȱǯȱȱȱȱ§Ȭ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ûȱ £ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ£ ȱ ȱûǯȱȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱŗȱȱŜǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱȱ§ȱȱ ȱȱȱȱȱǯȱȬ Ǳȱ ȱ domino.in 5 6 1 1 2 5 3 2 1 5 6 4 5 1 5 3 2 1 1 4 5 5 5 2 3 3 domino.out 6 6 5 5 2 2 3 3 5 5 5 5 2 ǻȱǽŖŖǾǼȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ£ȱȱȱ £ȱȱ¡ȱ ȱŖśȱǯȱ£ȱȬ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼǱȱ ȱ ǻǰȱ Ȭ ǯ¡ ǻǼǼǯȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȬ ȱ¢ǰȱȱȱ ȱȱȱû£ȱǱȱ 254 Grundlegende Algorithmen mit Java Ȭ Ȭ Ȭ Ȭ ȱ ȱ ǻȱ ǰȱ ȱ Ǽȱ £ȱȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱǲȱ ǻȱǰȱȱǼȱûǰȱȱȱȱȱȱȱȱ£Ȭ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱȱȱǲȱ ǻǼȱȱȱȱȱ¢ȱȱ£ûǰȱȱȱȱȱ ȱǯǲȱ ȱ ûȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ǯǯȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱȱȱûȱȱǯȱ ȱ ȱȱ£ ȱ¢Ǳȱ ȱ ǽŘŖŖǾǽŘǾȱȱȱǱȱ ǽǾǽŖǾȱƽȱȱ¡ȱ§ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ §ǰȱȱȱȱȱ ǽǾǽŗǾȱƽȱȱ¡ȱ§ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ §ǰȱȱȱȱ ȱ ¡ǽŘŖŖǾǽŘǾǰȱȱȱǱȱ ¡ǽǾǽŖǾȱȱƽȱȱȱȱȱȱǻȱȱȱǼȱȱȱ¡ȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱ¡ǽǾǽŗǾȱƽȱȱȱȱȱȱǻȱȱǼȱȱȱ¡ȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱȱ£ ȱȱǱȱ ¡ȱȱ ȱ ƽȱ¡ȱûȱȱ ȱ¡ȱȱ ȱǻŖȱȱŗǼȱȱȱ ƽȱȱȱȱȱȱȱ¡ȱǰȱȱȱ¡ȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ§ȱ ȱǻŖǰȱ ȱȱǰȱȱŗǰȱ ȱǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ǽǾǽŖǾȱ ȱ ǽǾǽŗǾȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱȱȱ¡ȱȱǯȱ ȱ ȱȱ ǻǼȱû§ȱȱȱȱȱǯȱȱ ȱȱ ȱ¢ȱȱȱȱȱȱ¡ȱȱǯȱ ȱ¡ȱ ȱ ȱȱ £ ȱȱȱ ȱȱȱȱ¡ȱȱǰȱȱȱȬ ȱȱȱȱ£ȱȱǻ ȱ ȱȱȱ¡ǽǾǽǾǰȱ ȱȱ ȱ Ǽǯȱ ȱ 8 Dynamische Programmierung 255 Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P05Domino { private static final String FileInputName = "domino.in"; private static final String FileOutputName = "domino.out"; private static class Piece { int first, second; Piece(int first, int second) { this.first = first; this.second = second; } boolean fits(Piece other, boolean reversed){ return second == (reversed ? other.second : other.first); } Piece reverse(){ return new Piece( second, first ); } public String toString() { return first + " " + second; } } private List<Piece> vP; int iMax, bit; int vNext[][], v[][]; P05Domino(List<Piece> pieces) { this.vP = pieces; this.vNext = new int[pieces.size()][2]; this.v = new int[pieces.size()][2]; } void doProcess() { int n = vP.size(); v[n - 1][0] = 1; vNext[n - 1][0] = n; v[n - 1][1] = 1; vNext[n - 1][1] = n; iMax = n - 1; bit = 0; 256 Grundlegende Algorithmen mit Java for (int i = n - 2; i >= 0; i--) { v[i][0] = 1; vNext[i][0] = n; v[i][1] = 1; vNext[i][1] = n; for (int j = i + 1; j < n; j++) { if ( vP.get(i).fits(vP.get(j), false) && v[i][0] < v[j][0] + 1 ) { v[i][0] = v[j][0] + 1; vNext[i][0] = j; } if (vP.get(i).fits(vP.get(j), true) && v[i][0] < v[j][1] + 1) { v[i][0] = v[j][1] + 1; vNext[i][0] = j; } if (vP.get(i).reverse().fits(vP.get(j), false) && v[i][1] < v[j][0] + 1) { v[i][1] = v[j][0] + 1; vNext[i][1] = j; } if (vP.get(i).reverse().fits(vP.get(j), true) && v[i][1] < v[j][1] + 1) { v[i][1] = v[j][1] + 1; vNext[i][1] = j; } } int auxMax = v[i][0] > v[i][1] ? v[i][0] : v[i][1]; if (auxMax > v[iMax][bit]) { iMax = i; bit = v[i][0] >= v[i][1] ? 0 : 1; } } } void write(PrintStream out) { int aux; out.println(v[iMax][bit]); int n = (int) vP.size(); if (0 == bit) { aux = vP.get(iMax).second; out.println(vP.get(iMax)); } else { aux = vP.get(iMax).first; out.println(vP.get(iMax).reverse()); } iMax = vNext[iMax][bit]; while (iMax != n) { 8 Dynamische Programmierung 257 if (aux == vP.get(iMax).first) { out.println( vP.get(iMax) ); aux = vP.get(iMax).second; bit = 0; } else { out.println(vP.get(iMax).reverse()); aux = vP.get(iMax).first; bit = 1; } iMax = vNext[iMax][bit]; } } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); List<Piece> vP = new ArrayList<Piece>(); while (scanner.hasNextInt()) { int first = scanner.nextInt(); vP.add(new Piece(first, scanner.nextInt())); } P05Domino domino = new P05Domino(vP); domino.doProcess(); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); domino.write(out); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ȱ ŗǯ ȱȱȱ§ȱȱǯȱ Řǯ řǯ û£ȱȱȱȱȬǯȱ ȱȱȱȱ£ ȱ¢ȱǽǾǽǾȱ£ ȱȬ ȱ¢ǱȱǽǾȱȱ ǽǾǽŖǾȱȱǽǾȱȱ ǽǾǽŗǾǯȱ ȱȱȱȬ ȱȱǯȱ 258 Grundlegende Algorithmen mit Java Problem 6. Verteilung der Geschenke ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱǰȱȱȱ ȱȱȱ£ ȱŗȱ ȱŗŖŖȱȱȱȱȱ¡ȱśŖȱ ȱûȱ ȱ ûȱ ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱãȱȱ ǯȱ ȱǱȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ûȱ ȱ Ǳȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ£ ǯȱ Ǳȱ ȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱ ǰȱ ȱȱ ȱ ȱȱ ȱ ȱǰȱȱ£ ȱǯȱȱ£ ȱȱȱȱ ȱȱȱûȱȱ ȱûȱȱȱûǯȱǱȱ ȱ geschenke.in 7 28 7 11 8 9 7 27 15 12 43 8 90 13 5 78 34 1 97 31 65 80 15 17 geschenke.out 48 49 28 11 9 7 8 7 27 294 295 12 43 90 13 5 34 97 8 78 1 31 65 80 15 17 ǻ ǰȱǰȱŗşşśǼȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱ ȱ §ǰȱȱȱȱ ȱ£ȱȱȱȱȱȱ ȱ£ȱǯȱȱȱȱ£ǰȱȱȱ ¡§ȱȱ¡ǯȱȱ ȱûȱȱ¢ȱǽǾȱȱȱȱȱ ǯȱȱȱãȬ ãȱȱȱȱȱȱǽǾȱȱȱǱȱ ȱ - ǽŖǾȱƽȱŖȱ - ǽǾȱƽȱǰȱûȱȱ∈ǿŗǰȱǯǯǰȱȀǰȱǯǯȱȱ£ȱûȱǰȱȱȱ ȱ ȱ£ȱǰȱȱǽǾǲȱ - ǽǾȱƽȱInteger.MAX_VALUEǰȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ǯȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱƸǽǾǯȱȱȱǱȱǽǾȱǀȱȱǻȱ ȱȱȱȱ£ȱȱ 8 Dynamische Programmierung ȱ £ûȱ ȱȱ£ȱ ǰȱ ȱ ȱ 259 ȱ ȱ Ǽǯȱ aS[0] = 0; Arrays.fill(aS, 1, aS.length, Integer.MAX_VALUE); for (int i = 1; i <= presents.length; i++) for (int j = 0; j <= sumDiv2 - aPresents[i - 1]; j++) if (aS[j] < i && Integer.MAX_VALUE == aS[j + aPresents[i - 1]]) { aS[j + aPresents[i - 1]] = i; } ȱ ȱȱȱǽǾȱǯȱȱǰȱ ȱȱȱǻǼȱȱ ȱȬ ǯǯ¢ȱȱȱȱȱ ȱȱ¢ȱȱȱȱȬ ǯȱǱȱ ȱ fill(Object[] a, int fromIndex, int toIndex, Object val)ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱãȱȱǯȱ £ȱãȱ ȱȱȱȱȱȱȬ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼǯȱȱȱȱ¢ȱǽǾȱȱ ȱȱŗǰȱȱȱȱûȱ ãȱǻȱ ȱȱȱȱȱȱǽǾȱȱŖǼǱȱ ȱ if (aS[i] > 0) { int idx = aS[i] - 1; recoverPresents(i - aPresents[idx], out); out.print(aPresents[idx]); out.print(' '); bset.set(idx); } ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P06Presents { private static final String FileInputName = "geschenke.in"; private static final String FileOutputName = "geschenke.out"; private int aPresents[]; private int sum; private BitSet bset; private int aS[]; 260 Grundlegende Algorithmen mit Java P06Presents(int[] presents) { this.bset = new BitSet(); this.aPresents = presents; for (int i : presents) { this.sum += i; } int sumDiv2 = sum / 2; this.aS = new int[sumDiv2 + 1]; aS[0] = 0; Arrays.fill(aS, 1, aS.length, Integer.MAX_VALUE); for (int i = 1; i <= presents.length; i++) for (int j = 0; j <= sumDiv2 - aPresents[i - 1]; j++) if (aS[j] < i && Integer.MAX_VALUE == aS[j + aPresents[i - 1]]) { aS[j + aPresents[i - 1]] = i; } } private void recoverPresents(int i, PrintStream out) { if (aS[i] > 0) { int idx = aS[i] - 1; recoverPresents(i - aPresents[idx], out); out.print(aPresents[idx]); out.print(' '); bset.set(idx); } } void write(PrintStream out) { for (int i = sum / 2; i >= 0; i--) if (aS[i] != Integer.MAX_VALUE) { out.print(i); out.print(' '); out.println(sum - i); recoverPresents(i, out); out.println(); break; } for (int i = 0; i < aPresents.length; i++) if (!bset.get(i)) { out.print(aPresents[i]); out.print(" "); } } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; 8 Dynamische Programmierung 261 PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); int aPresents[] = new int[scanner.nextInt()]; for (int i = 0; i < aPresents.length; i++) { aPresents[i] = scanner.nextInt(); } P05Presents p = new P05Presents(aPresents); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); p.write(out); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ŗǯ ȱȱȱȱȱ Ȭ ȬȱȱȱȱȱȬ ȱȱ ȱǯǯ¢ȱǯȱȱȱȱǰȱȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼǰȱ ǻǼȱ ȱ ¢ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Problem 7. Ähnliche Summe ȱȱȱûȱȱȱȱȱȱȱûȱȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ£ȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱȱûǯȱǯȱǯȱãȱ ûȱ ȱ ƽȱ ŚśŜşȱ ȱ ȱ ƽȱ ǿŚśřŚśǰȱ ŜśŞşŘǰȱ ŝŞŜŝŞǰȱ ŗŗŗŗśřǰȱ ŗşŖŘŘřǰȱ ŜŝśŚśŗǰȱ śŚřŞŝŜǰȱ ŘřşŞŖǰȱ şşŚśřǰȱşşŖŗŘŗǰȱŜśŜśśśǰȱŚřŘşŖŞǰȱŗŘřŜŗȀȱȱȱƽǿŘřşŞŖǰȱŜŝśŚśŗǰȱŗşŖŘŘřǰȱŝŞŜŝŞǰȱ ŜśŞşŘǰȱŚśřŚśȀȱȱǱȱȱ ȱ ŘřşŞŖȱƸȱŜŝśŚśŗȱƸȱŗşŖŘŘřȱƸȱŝŞŜŝŞȱƸȱŜśŞşŘȱƸȱŚśřŚśȱƽȱŗŖŝşśŜşȱ ȱȱ ûȱ ȱ ƽȱ Şȱ ȱ ȱ ƽȱ ǿŜśşŜŞǰȱ ŜśŚřŘǰȱ ŜśŚřşŞŝŜǰȱ şŖŝŞŜśśǰȱ śŜŝŚřǰȱ śŚřŘŗǰȱ ŜśŚřŘşŞǰȱ ŚśřŗŘşǰȱ śŚřŘŗǰȱşşşşşşşǰȱśŜŝśŚřȀȱãȱȱȱȱȱǿşşşşşşşǰȱŜśŚřŘşŞǰȱśŜŝŚřǰȱŜśşŜŞȀȱ Ǳȱȱ şşşşşşşȱƸȱŜśŚřŘşŞȱƸȱśŜŝŚřȱƸȱŜśşŜŞȱƽȱŗŜŜŜŜŖŖŞȱ ȱ 262 Grundlegende Algorithmen mit Java Ǳȱ ȱȱȱ£ǯȱȱȱȱûȱȱǰȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ǽŖǰȱ ŘǯŖŖŖǯŖŖŖǯŖŖŖǾǼǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱûǰȱ ǯȱȱȱ ȱȱȱȱǰȱȱûȱȱȱȱȱ ȱǯȱȱȱȱãȱǰȱȱȱǱȱȱǷǯȱǱȱ ȱ zahlen.in 4569 45345 65892 78678 111153 190223 675451 543876 23980 99453 990121 656555 432908 12361 8 65968 65432 65439876 9078655 56743 6543298 453129 54321 9999999 567543 45678 65432 65439876 9078655 56743 54321 6543298 453129 54321 9999999 567543 zahlen.out 23980 675451 190223 78678 65892 45345 9999999 6543298 56743 65968 keine Loesung! Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱȱśȱȱ§ǯȱȱ ȱȱȱ¢ȱǽǾȱȱŗŖŖŖȱȱǰȱȱ ȱȱȬŗȱǯȱ Ȭ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱûȱ ȱ ǯȱȱ ȱȱȱȱȱ ȱǱȱȱ - ǽ¡¢£Ǿȱ§ȱȬŗǰȱ ȱȱȱȱȱ ǰȱȱ£ȱ ȱȱ¡¢£ȱǲȱ - ǽ¡¢£Ǿȱ §ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱȱȱȱǰȱȱ£ȱȱȱ¡¢£ȱǯȱ ȱ ȱ£ǯȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŚśřŚśȱǰȱ ȱǽřŚśǾȱ ȱŖȱ£ǰȱ ȱ ȱȱ ¡ȱȱ£ǯȱȱŖȱ£§ǯȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱ ȱȱȱǻ¡ȱ ←ȱǽǾǰȱûȱƽŖǰȱŗǰȱŘǰȱǳǼǱȱ ȱ • ȱȱȱȱȱȱ ǰȱȱȱȱ£ȱȱȬ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ûȱ ǻǽ¡ƖŗŖŖŖǾƽƽȬ ŗǼǰȱȱȱ ȱȱ ¡ȱȱȱȱȱȱǽ¡ƖŗŖŖŖǾǱȱ int aux = vElem.get(i); if (-1 == vLast[aux % 1000]) { vLast[aux % 1000] = i; } ȱ 8 Dynamische Programmierung • 263 ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǽǾƾȬŗǼȱ ȱ ȱ ȱ ãȬ ȱ£ȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱãǰȱ ȱ ȱ¡ȱ ȱ ǻ←ǻ¡ƸǼƖŗŖŖŖǼǯȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱãȱȱȱǽǾȱȱȬŗȱǰȱȱ ȱȱȱǱȱȱ ȱ for (int j = 0; j < 1000; j++) { if (vLast[j]!=-1 && j!=aux%1000 && vLast[j]!=i) { int sum = (aux + j) % 1000; if (-1 == vLast[sum]) { vLast[sum] = i; } } } ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭŗȱ ȱ ȱ ǰȱ§ȱ ȱȱȱǯȱȱ ȱȱȱǽǾȱãȱ ȱȱȬ ȱȱ ȱȱȱǱȱ ȱ ȱȱƽȱǳǯŗŘŝȱȱ£ȱȱ ȱȱƽȱǳśŚřȱȱǻŗŘŝǁśŚřǼǰȱȱȱ ȱ←ȱǳśŞŚȱǻŗŗŘŝȬśŚřǼȱ ȱȱƽȱǳǯśŚřȱȱ£ȱȱ ȱȱƽȱǳŗŘŝȱȱǻŗŘŝǀśŚřǼǰȱȱ ȱ←ȱǳŚŗŜȱǻśŚřȬŗŘŝǼȱ while (vLast[i] >= 0) { out.print(' '); out.print(vElem.get(vLast[i])); int j = i; if (i < vElem.get(vLast[i]) % 1000) { i = 1000 + i - vElem.get(vLast[i]) % 1000; } else { i = i - vElem.get(vLast[i]) % 1000; } vLast[j] = -1; } ȱȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P07SameSums { private static final String FileInputName = "zahlen.in"; private static final String FileOutputName = "zahlen.out"; private static final int MinusEins = -1; 264 Grundlegende Algorithmen mit Java public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); int start = scanner.nextInt(); List<Integer> vElem = new ArrayList<Integer>(); while (scanner.hasNextInt()) { vElem.add(scanner.nextInt()); } int vLast[] = new int[1000]; Arrays.fill(vLast, MinusEins); for (int i = 0; i < vElem.size(); i++) { int aux = vElem.get(i); if (MinusEins == vLast[aux % 1000]) { vLast[aux % 1000] = i; } for (int j = 0; j < 1000; j++) { if (vLast[j] != MinusEins && j != aux % 1000 && vLast[j] != i) { int sum = (aux + j) % 1000; if (MinusEins == vLast[sum]) { vLast[sum] = i; } } } } int i = start % 1000; if (i != 0) vLast[0] = MinusEins; if (vLast[i] != MinusEins) { while (vLast[i] >= 0) { out.print(' '); out.print(vElem.get(vLast[i])); int j = i; if (i < vElem.get(vLast[i]) % 1000) { i = 1000 + i - vElem.get(vLast[i]) % 1000; } else { i = i - vElem.get(vLast[i]) % 1000; } vLast[j] = MinusEins; } } else 8 Dynamische Programmierung 265 out.print("keine Loesung!"); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } Aufgaben ŗǯ ȱ ȱ ãȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ûǵȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱ£ȱȱ£ȱȱûȱǰȱȱȱȱ ȱȱȱ Ǳȱȱȱ ȱ zahlen1.in 4569 45345 65892 78678 111153 190223 675451 543876 23980 99453 990121 656555 432908 12361 65432 453219 781 65968 65432 65439876 9078655 56743 6543298 453129 54321 9999999 567543 4565 67543 45365 34546 zahlen1.out ...569: 7 23980 675451 190223 78678 65892 45345 ...781: 5 567543 54321 6543298 56743 65439876 ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ûȱ ȱǰȱȱȱȱȱûȱȱ§ǰȱ¡ȱȬ ȱȱȱ ¡ǯȱȱȱȱǰȱȱ ¡ȱ¡Ȭ ȱȱ£ȱǯȱ ȱ Řǯ ȱ řǯ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱ§ȱȱȱǻȱȱ ȱ¡ȱ£ȱȱǼǯȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱ§£ȱ ȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱ Śǯ ȱ £ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱǻȱ Ǽȱ ȱȱȱûǯȱ 266 Grundlegende Algorithmen mit Java śǯ ȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻȱȱWǲȱŖȱ≤ȱȱ≤ȱŗŖŖŖǰȱȬ ȱ ȱ ãđȱ ȱ Ŗȱ ȱ ȱ ȱ ŘǯŖŖŖǯŖŖŖǯŖŖŖǼǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȬȱ£ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱȱûǯȱ Ŝǯ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ¡ȱ řȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱȬ ǰȱȱȱȱȱȱȱûȱȱǯȱȱ ȱȱȱȱûǯȱǱȱ ȱ ȱ numbers4.in 0.123 6.789 10.125 115.117 11.03 12.12 7511.1 315.79 113.02 17.985 ȱ ŝǯ numbers4.out 10.125 7511.1 315.79 17.985 ȱȱȱǰȱȱȱȱûȱȱȱǯȱȱȱ ȱ ȱȱǯȱ Problem 8. Schotten auf dem Oktoberfest ȱȱȱȱ ȱȱȱȱǯȱȱȱȱûȬ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ǯȱ ȱȱȱ ȱ£ȱȱȱȱȱǰȱȱȱ ûȱ£ ȱȱ ȱǯȱȱȱȱȱŘȱǰȱȱȱȱûȱȱ ȱȱȱȱǯȱȱûȱȱȱȱ£ ȱȱđȱ ȱǯȱ ȱȱ£ȱǰȱȱȱȱ£ȱǰȱȱû£ȱȱ£ȱ ǰȱ ȱȱ ȱȱǯȱȱȱȱȱ ȱȱû£ȱȱȱ ȱǮ ȃȱȱȱȱȱȱǮȃȱȱ£ ǯȱûȱȱȱȱãȬ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱ£ȱȱȱǰȱȱ ǯȱ ȱ đȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǵȱȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ǯ Ȭ ȃȱȱŘȬŘȱûǯȱȱ£ȱȱȱ£ ȱȱȱûȱȱȱ ȱȱûǵȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 8 Dynamische Programmierung 267 Ǳȱ ȱǯȱȱȱûȱȱǰȱȱ£ ȱŗȱȱ śŖŖȱȱȱȱ§ȱǻŘȱȱȱȱȱǼǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯǰȱȱȱȱ ȱǱȱȱȱȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ Śȱ £Ȭ ȱȱȱǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ oktoberfest.in 1 2 3 4 5 6 56 345 432 500 oktoberfest.out 1: 0.0000 2: 0.5000 3: 0.6250 4: 0.6875 5: 0.7266 6: 0.7539 56: 0.9241 345: 0.9696 432: 0.9728 500: 0.9747 ǻȱȱȬȱȱȱŗşşŜǰȱȱǯȱǼȱ 268 Grundlegende Algorithmen mit Java Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ û£ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ƙǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ£ȱȱȱȱǯȱȱǰȱȱȱ£ȱȱȱ ȱǰȱȱȱŗȬǯȱȱ£ȱ ȱȱǻǰȱǼȱȱȱ ûǰȱȱȱȱûȱȱȱǮ ȃȱ ȱ ǯȱ ȱȱȱƽȱŖȱȱȱƽȱȱȱǻǰȱ ǼȱƽȱŗȦŘǱȱ P(m,0) = P (m, m) = 1 2m ȱ ȱ §ȱ ȱ Ǳȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱȱƙǯȱȱ§ȱƙȱ⋅ȱƙǰȱ ȱȱȱ£ ȱȱȱ ȱȱȱƜȱ ⋅ȱ ƙȱ ƽȱ ŗȦŘřǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱŖȱȱŗȱ ȱȱ§ȱǰȱȱ£ȱ §ǰȱȱȱȱȱǲȱȱȱȱǰȱȱ ȱ£ȱȱȱȱŘǯǯǯǼǯȱȱȱ≠ȱŖȱȱȱ≠ȱǰȱȱȱȱȬ Ǳȱ ȱ 1 1 P (m, s ) = P (m − 1, s ) + P (m − 1, s − 1) ȱ 2 2 ȱ ȱȱȱȱûȱȬȱǮ ȃȱ£ȱǰȱȱ ȱǰȱ ǻǰȱǼȱƽȱ ȱȱ£ȱ ǰȱ ȱȱȱȬŗȱûȱȱȱȬȱ Ǯ ȃȱȱ ȱǰȱ Ǯ ȃȱ£ȱ ǰȱ ȱȱȱȬŗȱûȱȱȱǻȬŗǼȬȱ Ǯ ȃȱȱ ƙǻȬŗǰȱǼȱ ȱ ȱȱ Ǳȱ 1 °° m , wenn s ∈ {0 , m} P (m, s ) = ® 2 ° 1 ⋅ P (m − 1, s ) + 1 ⋅ P (m − 1, s − 1), wenn s ∈{1, 2 , ..., m-1} 2 ¯° 2 ȱ Ƹȱ ƙǻȬŗǰȱȬŗǼȱ 8 Dynamische Programmierung 269 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ £ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ǻŘȬŘǰȱ ȬŗǼȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ŘȬŘȱ ûȱ §ȱ ȱ ǻȬŗǼȬȱ ȱ ȱȱȱȱȱǰȱǯǯȱȱȱ ȱǼǯȱȱ ȱ£ȱ ȱȱȱŗȬǻŘȬŘǰȱȬŗǼǯȱ ȱ Programm 1.ȱȱȱȱȱȱȱǱȱ import java.io.*; import java.util.*; public class P08Oktoberfest1 { private static double f(int n) { double r = 1; for (int i = 0; i < n; i++) r *= 0.5; return r; } private static double p(int m, int q) { if (q == 0 || q == m) return f(m); return 0.5 * p(m - 1, q) + 0.5 * p(m - 1, q - 1); } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = new Scanner(System.in); try { System.out.print("Wahrscheinlichkeit: "); int n = scanner.nextInt(); System.out.printf(Locale.ENGLISH, "%.4f%n", 1 - p(2 * n - 2, n - 1)); } finally { scanner.close(); } } } ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǱȱȱ£Ƿȱȱ ȱǰȱ ȱȱȬ £ȱûȱȱǁȱŗŘȱȱ §ǯȱȱǰȱ ȱȱȱǻ ȱȱȱȱȬ ȬǼȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱȱûȱǻśǰȱřǼǱȱ ȱ 270 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ ȱ ǻśǰřǼ ȱǻŚǰřǼ ǻřǰřǼ ǻŚǰŘǼ ȱǻřǰŘǼ ȱǻřǰŘǼ ǻřǰŗǼ ǻřǰȱŖǼ ȱǻŘǰŗǼ ȱǻŘǰŘǼ ǻŘǰŗǼ ǻŘǰŘǼ ǻŘǰŗǼ ȱ ȱ ȱ ǻŗǰŗǼ ȱǻŗǰŖǼ ǻŗǰȱŗǼ ǻŗǰŖǼ ǻŗǰŗǼ ǻŗǰŖǼ ȱ ȱȱ£ȱ ȱǰȱȱȱ ȱȱȱȬ ȱȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱûȱûȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱśŖŖȱ ȱ ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ¢ȱ ǽŖǯǯǾǽŖǯǯǾȱ ǰȱ ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ȱȱûȱǰȱȱȱȱûȱȱȱȱ ȱȱû£ȱȱ ǯȱ ȱ p[0][0] p[1][0] p[1][1] p[2][0] p[2][1] p[2][2] p[3][0] p[3][1] p[3][2] p[3][3] .................................... p[m][0] p[m][1] p[m][2] ......p[m][m] Programm 2 import java.io.*; import java.util.*; public class P08Oktoberfest2 { private static final String FileInputName = "oktoberfest.in"; private static final String FileOutputName = "oktoberfest.out"; private static final int NMAX = 500; public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { float p[][] = new float[2 * NMAX + 1][2 * NMAX + 1]; 8 Dynamische Programmierung p[0][0] = 1; p[1][0] = p[1][1] = 0.5f; for (int i = 2; i <= 2 * NMAX - 2; i++) { p[i][0] = p[i][i] = p[i - 1][0] * 0.5f; for (int j = 1; j < i; j++) p[i][j] = 0.5f*p[i-1][j] + 0.5f*p[i-1][j-1]; 271 } scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); while (scanner.hasNextInt()) { int n = scanner.nextInt(); out.printf(Locale.ENGLISH, "%3d: %.4f%n", n, 1 - p[2 * n - 2][n - 1]); } } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱ ȱȱ¢ȱǽǾǽǾȱ£ ȱ ûǰȱȱȱ ȱȱȱȱ§£ȱ£ǯȱȱȱ ȱȱ£ ȱȱȱ£ȱǰȱûȱãȱȱȱȱ£ȱûȱȱ ǯȱ ûȱ ȱ ƽȱ śŖŖȱ ȱ ȱ ¢ȱ ǽǾǽǾȱ ŗǯŖŖŘǯŗŖŗȱ ȱ ȱ Ȭ ¢ȱǯȱ ȱȱȱȱŚȱ¢ȱǰȱǯǯȱ ȱȱŚȱȘȱŗǯŖŖŘǯŖŖŗȱƽȱ ŚǯŖŖŞǯŖŖŚȱ¢ȱǻǯȱřǰşȱǼǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱǻȱûȱȱȱȱ§£ȱȱȱûȱȱȱǼǰȱȱ ȱȱ ǰȱȱȱȱǰȱȱȱȱǻǰȱȦŘǼȱûȱȱȱȬ ǯȱȱǱȱȱ£ȱđȱ£ ȱǰȱȱȱȱȬ ȱ ǻǰȱ ȦŘǼȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǰȱŖǼǰȱǻǰȱŗǼȱȱǻǰȱǼȱûȱȱȱȱǯȱȱ§ȱȱȱȬ Ǳȱȱ ȱ Programm 3 import java.io.*; import java.nio.*; import java.util.*; 272 Grundlegende Algorithmen mit Java public class P08Oktoberfest3 { private static final String FileInputName = "oktoberfest.in"; private static final String FileOutputName = "oktoberfest.out"; private static final int NMAX = 1001; public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { FloatBuffer a = FloatBuffer.allocate(NMAX); FloatBuffer c = FloatBuffer.allocate(NMAX); a.put(0.5f); a.put(0.5f); c.put(1); for (int i = 2; i < NMAX; i++) { float aux1 = a.get(0); a.put(0, 0.5f * aux1); for (int j = 1; j < i; j++) { float aux2 = a.get(j); a.put(j, 0.5f * aux1 + 0.5f * aux2); aux1 = aux2; } a.put(a.get(0)); if (0 == i % 2) c.put(a.get(i / 2)); } scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); while (scanner.hasNextInt()) { int n = scanner.nextInt(); out.printf(Locale.ENGLISH, "%3d: %.4f%n", n, 1 - c.get(n - 1)); } } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } 8 Dynamische Programmierung 273 Andere Lösungsmöglichkeit ȱǰȱȱȱȱȱûȱǻǰȱǼȱȱȱȱûȱȬ £ȱȱ§ȱǯȱȱãȱȱȱȱ ȱȱȱȱ ǻŘǰȱǼǰȱȱȱ∈ȱȱǿŖǰȱŗǰȱŘǰȱǳǰȱśŖŖȀǯȱȱ ȱȱû£ȱȱûȱǻŘǰȱǼȱȱ ȱȱȱǱȱ ȱ ŗȱƽȱȱȱȱȱȱŘȱǰȱȱŖȱȱŗȱȱãȱǻŖȱȱŗȱ ǰȱ ȱ£ ǯȱȱ£ȱǼȱ ŘȱƽȱȱȱȱȱȱŘȱȱȱȱȱȱȱŖȱȱȱȬ ȱȱȱȱŗȱǰȱȱȱȱȱȱ£ȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱ ȱȱ£ȱ M2 ǯȱ M1 § 2n · «ŗȱ«ȱȱŘŘǯȱȱ«Řȱ«ȱȱȱ §ȱȱ ¨¨ ¸¸ ǯȱ ȱȱǱȱ ©n¹ § 2n · ¨¨ ¸¸ n Tn = © 2 n+1¹ ȱ 2 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǻŗǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱǻŘǼȱ ȱ ȱǻŗǼȱȱȱȱȱȱȱǱȱ ȱ Tn = 2n − 1 Tn −1 ȱȱŖȱƽȱŗȱ 2n ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǻŘǼȱ£ȱ ȱȱȱǯȱ Programm 4 import java.io.*; import java.util.*; public class P08Oktoberfest4 { private static final String FileInputName = "oktoberfest.in"; private static final String FileOutputName = "oktoberfest.out"; private static final int NMAX = 501; public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { 274 Grundlegende Algorithmen mit Java float t[] = new float[NMAX]; t[0] = 1f; for (int i = 1; i < NMAX; i++) { t[i] = (2f * i - 1.0f) / (2f * i) * t[i - 1]; } scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); while (scanner.hasNextInt()) { int n = scanner.nextInt(); out.printf(Locale.ENGLISH, "%3d: %.4f%n", n, 1 - t[n - 1]); } } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǵȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗȱ ȱȱȱȱŘȱǵȱ ȱ ȱ ŗȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ŗȦŘȱ £ȱ Ȭ ǯȱȱȱȱȱȱǱȱ ȱ double f(int n){ double p = 1d; for(int i=0; i<n; i++) p*=2; return 1/p; }ȱ ȱ řǯ Śǯ śǯ ȱȱŘȱȱ ȱȱ¢ǰȱȱȱ ȱȱȱȱȱ ȱ ȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱȱ ȱ£ȱ ȱȱ ȱȱȱ ȱ ȱ ǯȱ £ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ Ȭ ȱûȱȱȱȱȱȱȱ ǯȱ Ȭ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱ¢ȱ ǯȱ ȱȱȱȱãǰȱȱȱȱǻŘǼȱ£ǯȱ 8 Dynamische Programmierung Ŝǯ ŝǯ 275 § 2n · §ȱǰȱ ȱ«Řȱ«ȱ §ȱȱ ¨¨ ¸¸ ȱǯȱ ©n¹ ȱȱȱ£ȱ£ ȱȱȱȱȬǰȱûȱȱȱȱ £ǯȱǯȱȱǽŖŜǾȱȱȱãǯȱ Problem 9. Springer auf dem Schachbrett ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱȱ ȱȱ ȱȱǱȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱǯȱȱû£ȱȱûȱȱȱ £ ȱȱȱȱǯȱ Ǳȱ ȱǯȱȱȱśȱûȱȱǰȱŗǰȱŗǰȱŘǰȱŘȱ ȱ ȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ǻŚȱ ≤ȱ ȱ ≤ȱ ŘŖǼȱ ȱ ŗǰȱ ŗǰȱ Řǰȱ Řȱ ȱ ȱ Ǯ ȃȱ ȱȬȱȱǯȱ Ǳȱ ȱǯȱ ȱ£ȱȱ§ȱȱû£ȱȬ ȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱǯȱȱȱȱȱǰȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱǯȱǱȱ springer.in 8 1 1 8 7 5 5 2 1 4 15 2 13 14 15 springer.out Laenge kuerzester Weg: 5 (1, 1)(3, 2)(5, 3)(7, 4)(6, 6)(8, 7) Laenge kuerzester Weg: 2 (5, 2)(3, 3)(1, 4) Laenge kuerzester Weg: 6 (2, 13)(4, 14)(6, 15)(8, 14)(10, 15)(12, 14)(14, 15) ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱ£ȱ ȱȱȱ£ȱȱûȱûȱȱǰȱȱ ȱȱȱ£ȱȱȱ£ȱǯȱȱ ȱȱȱ£ǰȱȱ ȱȱǰȱ ȱȱ ȱȱȱȱ£ȱȱȱȬ ȱ£ȱȱ ȱȱ£ǯȱûȱȱ£ ȱȱȱȱȱ ȱȱǱȱ ȱ 3 2 1 2 3 2 3 2 3 0 3 2 1 2 3 2 3 4 1 2 3 2 3 2 3 276 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ £ȱ ǰȱ Ȭ £ȱ ȱȱǱȱ ȱ int table[NMAX][NMAX]; ȦȦȱȱȱȱ£Ȭ int n; ȦȦȱȱȱȬȱȱ£ȱȱ int pred[NMAX*NMAX]; ȦȦȱȱȱ§Ȭǰȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǰȱǰȱȱȱȱȬ ǰȱȱȱȱȱûȱȱȱȱ£ȱȱ§ǯȱȱ ȱ£ȱǰȱȱ ȱȱ§ȱȱǱȱ ȱ - ȱǻǼǱȱȱȱȱȱȱȱ ǯȏȱǻȬ ȱ ȱ ȱ Ǽǲȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ǯȃǰȱ ȱ ȱ ȱ£ǰȱȱȱȱȱ ǰȱȱǯȱ - ȱǻǼǱȱȱȱ£ûǰȱ ȱȱȱȱǻǰȱǼȱȱȱȬ ȱǰȱȱǰȱ ȱȱȱȱǯȱȱ - ȱ¢ǻǼǱȱȱǰȱȱȱȱȱǯȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȉȱȱȱȬ §ǰȱ£ǯȱǯȱûȱȱƽȱśǱȱȱȱ ȱ - ȱ ȱ ǻǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ŗȱ ŗȱ Řȱ řȱ Śȱ ȱȱ⋅ȱȱƸȱȱȱ ȱȱśȱ Ŝȱ ŝȱ Şȱ şȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗŖȱ ŗŗȱ ŗŘȱ ŗřȱ ŗŚȱ ȱȱȱ¡ǱȱǻȱȱȱǰȱȱȱȱǼȱ ŗśȱ ŗŜȱ ŗŝȱ ŗŞȱ ŗşȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ŗȱ ŘŖȱ Řŗȱ ŘŘȱ Řřȱ ŘŚȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱƸȱŗȱȱȱȱȱȱȱƸȱŗȱǻȱȱȬ ȱȱȱȱŗǷǼȱ - ȱ ǻǼǱȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱǰȱûȱȱȱ£ȱȱȱǯȱûȱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ £ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ûȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǼǯȱ ȱ ȱȱããȱ §ȱȱ ȱȱȱ ǯȱ ȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱǯȱ ȱ£ ȱ ȱǻǰȱǼȱȱǻǰȱǼȱûȱ ȱȱ ȱǰȱ ȱȱȱǻǰȱǼȱȱȱȱ ȱȱȱǻǰȱǼȱȱǯȱȱȱȱ ȱãȱȱȱ 8 Dynamische Programmierung 277 ȱ ȱ ȱ ǻȱ Ȯȱ ȱ ȱ Ǽȱ ¢ǯȱ ȱ ȱ ȱ ûȱȱȱȱȱǯȱȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P09Knight { private static final String FileInputName = "springer.in"; private static final String FileOutputName = "springer.out"; private int pred[]; private int table[][]; P09Knight(int szTable) { this.table = new int[szTable][szTable]; for (int[] tLine : this.table) { Arrays.fill(tLine, Integer.MAX_VALUE); } this.pred = new int[szTable * szTable]; } private boolean onTheTable(int x, int y) { int szTable = this.table.length; return x >= 0 && x < szTable && y >= 0 && y < szTable; } private static class Position { int row; int column; Position(int row, int column) { this.row = row; this.column = column; } } void doMove(int x, int y, int c) { ArrayList<Position> v = new ArrayList<Position>(); int szTable = this.table.length; for (int i = -2; i < 3; i++) for (int j = -2; j < 3; j++) if (2 == Math.abs(i * j)) { int xNew = x + i; int yNew = y + j; if (onTheTable(xNew, yNew) && 278 Grundlegende Algorithmen mit Java this.table[xNew][yNew] > c) { this.pred[xNew * szTable + yNew] = x * szTable + y; this.table[xNew][yNew] = c; v.add(new Position(xNew, yNew)); } } Position p; while (v.size() > 0) { int lastIdx = v.size() - 1; p = v.get(lastIdx); doMove(p.row, p.column, c + 1); v.remove(lastIdx); } } private void recoverWay(PrintStream out, int k, int c) { if (c != 0) { recoverWay(out, pred[k], c - 1); int szTable = this.table.length; out.printf("(%d, %d)", k / szTable + 1, k % szTable + 1); } } void writeResult(PrintStream out, int l2, int c2) { if (this.table[l2][c2] == Integer.MAX_VALUE) { out.print("keine Loesung"); return; } out.print("Laenge kuerzester Weg: "); out.println(this.table[l2][c2]); this.recoverWay(out, l2 * this.table.length + c2, this.table[l2][c2] + 1); } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); int szTable = scanner.nextInt(); int l1 = scanner.nextInt(); int c1 = scanner.nextInt(); int l2 = scanner.nextInt(); int c2 = scanner.nextInt(); 8 Dynamische Programmierung 279 l1--; l2--; c1--; c2--; P09Knight p = new P09Knight(szTable); p.doMove(l1, c1, 1); p.writeResult(out, l2, c2); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ŗǯ ȱȱȱû£ȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱȱ §đȱȱȱȱ£ȱȱǻȱȱȱǼǯȱȱȱ ȱãȱǰȱȱȱǱȱȱǯȱ 2 5 0 4 1 2 3 6 4 7 1 0 4 8 7 ȱ 3 6 6 ȱȱ£ ȱȱǻƽśȱȱƽşǼȱ springer1.in 5 5 2 1 4 9 1 3 7 9 8 1 1 8 7 15 14 13 1 2 springer1.out Laenge kuerzester Weg: 4 (5, 2)(4, 4)(2, 3)(3, 5)(1, 4) Laenge kuerzester Weg: 8 (1, 3)(2, 5)(1, 7)(2, 9)(4, 8)(2, 7)(3, 9) (5, 8)(7, 9) keine Loesung Laenge kuerzester Weg: 12 (14, 13)(13, 15)(11, 14)(9, 15)(7, 14)(5, 15) (3, 14)(2, 12)(1, 10)(2, 8)(1, 6)(2, 4)(1, 2) 280 Grundlegende Algorithmen mit Java Řǯ řǯ Śǯ ãȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ûȱ ȱ ȱ ãȱ £ȱ ǵȱȱǰȱ ȱ ȱȱȱȱûȱǰȱȱȱȱûȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǻȱ ȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǻȱȱŞȬŗŜȱȱȱûȱȱǼǵȱ ȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ǽŘǾȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ã£ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼǯȱ ƽśȱ ȱ ȱ ȱ ǻŗǰȱ ŚǼǰȱ ǻŘǰȱ śǼȱ ȱ ǻřǰřǼȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ§ȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱãȬ ȱȱȱûȱȱȱȱǯȱ ȱȱ for (i = -2; i < 3; i++) for (j = -2; j < 3; j++) if (2 == Math.abs(i * j)) { int xNew = x + i; int yNew = y + j; ȱ śǯ £ȱȱǯȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱȱȬ £ȱȱ×ȱ9ȱǻŗȱ≤ȱȱ≤ȱŘŖǰȱŗȱ≤ȱȱ≤ȱŘŖǼȱ£ȱǰȱȱȱȱ ȱȱȱȱãǯȱ Problem 10. Summen von Produkten ȱȱûȱȱȱǀȱřŖȱȱŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱǰȱȱȱȱŗŖŗǰȱǯȱȬ ȱȱȱȱŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱǰȱȱǱȱ ȱ bi = ¦ ak1 ⋅ ak 2 ⋅ ... ⋅ aki ȱ 1≤ k1 < k 2 <...< k i ≤ n ȱ ȱȱûȱȱƽȱřǱȱ ȱ b1 = a1 + a2 + a3 b2 = a1 ⋅ a2 + a1 ⋅ a3 + a2 ⋅ a3 ȱ b3 = a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ȱ ȱȱŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱȱȱȱȱ¢ȱǯȱ 8 Dynamische Programmierung 281 Ǳȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ŗǰȱ Řǰȱ ǯǯǯǰȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ Ǽǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱǱȱ prodsum.in prodsum.out 1 10 8 35 5 50 6 24 8 17 6 105 16 295 14 374 15 168 1 2 3 4 2 1 7 3 4 ǻǰȱȬȱȱȱŗşşşǰȱ£Ǽȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱȱȬȱȱ£ǰȱȱ£ Ǳȱ ȱ¡ŗǰȱ¡Řǰȱǯǯǯǰȱ¡ȱȱ£ȱȱ Ǳȱ ȱ x n + cn −1 x n −1 + cn −2 x n−2 + ... + c0 = 0 ȱ ȱ ǰȱȱǱȱȱ ȱ ȱ ¦ x x x = −c n −3 ȱ ȱ ȱ ǻŗǼȱ ȱ n x1 + x2 + ... + xn = ¦ x = −c i i =1 n −1 n x1 x2 + x1 x3 + ... + xn −1 xn = ¦x x = c i j i , j =1 i< j n −2 n x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + ... + xn −2 xn −1 xn = i j k i , j ,k =1 (i< j <k ) ǻŘǼȱ ............................................................ x1 x2 ⋅ ... ⋅ xn = (−1) n c0 ȱ ȱǻŗǼȱȱȱȱȱǱȱ ȱ ( x − x1 )( x − x2 ) ⋅ ... ⋅ ( x − xn ) = 0 ȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻřǼȱ 282 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ ȱǰȱȱȱ£ȱȱ ȱǻřǼȱȱȱ ŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱȱ ǰȱȱȱȱȱȬǰȱȱȱȱŗȱȱȬŗȱ£ȱ Ȭ £ȱȱ ȱǻŗǼȱȱãȱȱȱǯȱȱȱ ȱ £ȱȱǯȱȱȱ f = a0 + a1 X + ... + an X n ȱ¢ȱȬȱ ȱǻŖǼǯȱȱ α1 ,α 2 ,...,α n ȱ£ȱȱȱǰȱȱǱȱ ȱ an −1 °α1 + α 2 + ... + α n = − a , n ° ° an − 2 °α1α 2 + α1α 3 + ... + α1α n + ... + α n −1α n = a , n ° ° an − 3 , °α1α 2α 3 + α1α 2α 4 + ... + α n − 2α n −1α n = − an ° ° ȱȱȱ ®... ° a °α1α 2 ...α k + α1α 2 ...α k −1α k +1 + ... + α n − k +1α n − k + 2 ...α n = (−1) k n − k , an ° °... ° ° n a0 °α1α 2 ...α n = (−1) a . n ° °¯ ȱ ǻŚǼȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ α1 ,α 2 ,...,α n ȱ £ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱȱǻŚǼȱûǯȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ǻŗǼȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ǽǾȱ ƽȱ ȱ ûȱȱȱƽȱŖǰȱŗǰȱǳǰȱǯȱ ȱȬȱȱ£ȱȱȱȱ¢ȱȱȱ ¢ȱǻ −ȱȱǼǯȱȱ¢ȱȱȱ−ȱŗǰȱ ȱȱ Ǳȱ ȱ ǽŖǾȱƽȱ−ȱǽŖǾǲȱ ȱȱȱ ȱ ǽŗǾȱƽȱŗǲȱ ȱ ûȱȱȱȱŗȱȱ−ŗȱȱ ȱȱȱǱȱ ȱ ǻ−ǽǾǼǻǽŖǾȱƸȱǽŗǾȱƸȱǯǯǯǯȱƸȱǽ−ŗǾȬŗȱƸȱǽǾǼȱ ȱ ȱ ȱ ǻśǼȱ ȱ ȱȱȱ ȱ ǽǾȱȱȱȱ ȱ £ȱȱ¢ȱ ȱǻŚǼǱȱ ȱ 8 Dynamische Programmierung 283 ǽŖǾȱȱȱȱȱÅȱ−ǽŖǾȘǽǾȱ ȱ ǽǾȱȱȱȱȱȱÅȱȱǽ−ŗǾȮǽǾȘǽǾȱûȱȱȱȱŗȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ǻŜǼȱ ȱ ǽƸŗǾȱÅȱȱǽǾȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ §đȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱȱŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱȱȱǻ−ŗǼǽǾǰȱȱǻ−ŗǼȬŗǽȬŗǾǰȱǯǯǯǰȱǽŖǾȱǯȱȱ ȱ ȱȱȱ¢ȱǽǾȱǱȱ j = 1; if (szArr % 2 != 0) j = -1; for (k = 0; k <= szArr; k++) { arr[k] = j * p[k]; j *= -1; } ȱ đȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǻǼǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P10SumsOfProducts { private static final String FileInputName = "prodsum.in"; private static final String FileOutputName = "prodsum.out"; private int szArr; private long[] arr; P10SumsOfProducts(int szArr, long[] arr) { this.szArr = szArr; this.arr = arr; } private int sumDigits(long nr) { int s = 0; while (nr != 0) { s += nr % 10; nr /= 10; } return s; } void write(PrintStream out) { for (int i = szArr - 1; i >= 0; i--) { 284 Grundlegende Algorithmen mit Java out.print(sumDigits(arr[i])); out.print(' '); out.println(arr[i]); } } void process() { int j, k; long p[] = new long[szArr + 1]; long q[] = new long[szArr + 1]; p[0] = -arr[0]; p[1] = 1; for (k = 1; k < szArr; k++) { q[0] = (-1) * p[0] * arr[k]; for (j = 1; j <= k; j++) { q[j] = p[j - 1] - p[j] * arr[k]; } q[k + 1] = p[k]; for (j = 0; j <= k + 1; j++) p[j] = q[j]; } j = 1; if (szArr % 2 != 0) j = -1; for (k = 0; k <= szArr; k++) { arr[k] = j * p[k]; j *= -1; } } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); List<Long> list = new ArrayList<Long>(); while (scanner.hasNextLong()) { list.add( scanner.nextLong() ); } long arr[] = new long[list.size()+1]; for(int i=0; i<list.size(); i++) arr[i] = list.get(i); if (arr.length == 0) { return; } out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); 8 Dynamische Programmierung 285 P10SumsOfProducts p = new P10SumsOfProducts(list.size(), arr); p.process(); p.write(out); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ Śǯ ȱȱ¢ȱ ǰȱȱȱȱȱ£ȱǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǯǯ¢ȱ £ȱ ǰȱ ȱ£ȱȱȱ¢ǯȱ ȱǰȱȱȱȱŗǰȱŘǰȱǯǯǯǰȱȱȱȱǰȱ§ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱ ȱ ǯ ȱȱûȱȱ ȱǯǯ ǯȱ ȱȱȱ £ȱȱǻŜǼȱȱȱȱȱȱ ¢ȱǰȱ ȱȱȱȱȱǽƸŗǾǰȱǽǾǰȱǳǰȱǽŖǾȱȱ ǯȱȱȱȱǰȱȱ£ ȱŘȱ¢ȱȬȱȱȬ ȱ ǯȱȱȱȱȱȱǻǼǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ §ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭ ȱ£ ȱ ȱȱǻ f = a0 + a1 X + a2 X 2 Ǽȱȱȱȱ¢ȱȱ ȱǻ f = a0 + a1 X + a2 X 2 + a3 X 3 Ǽǯȱ śǯ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ f = X 3 − 10 X 2 + 29 X − 20 ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱżŗǰȱżŘȱȱżřȱȱ¢ǰȱ ȱǱȱ α1 + α 2 = α 3 ǯȱȱ Ŝǯ ȱȱƆȱȱȱ 2 x 3 − 4 x 2 − 7 x + λ = 0 ǰȱ ȱȱ đǰȱȱ ȱ£ ȱȱȱȱŗȱǯȱ ŝǯ ȱȱȱ ȱ x 3 + ax 2 + bx + c = 0 ȱȱȱȱżŗǰȱżŘȱȱżřȱ Ȭ ǯȱȱȱ£ ȱ ȱȱȱȱŽŗǰȱŽŘǰȱȱŽřǰȱȱ Ǳȱ Ǽȱ β1 = 3α1 + α 2 + α 3 ǰ β 2 = 3α 2 + α1 + α 3 ǰȱ β3 = 3α 3 + α1 + α 2 ȱ 1 1 1 Ǽȱ β1 = α1 ǰ β 2 = α 2 ǰ β3 = α 3 ȱ 2 2 2 c) β1 = −α1 + α 2 + α 3 , β 2 = −α 2 + α1 + α 3 , β3 = −α 3 + α1 + α 2 . 286 Grundlegende Algorithmen mit Java Problem 11. Minimale Triangulierung eines konvexen Vielecks ȱ¡ȱȱȱȱ¢ǰȱȱȱȱ ȱȱȱŗŞŖ°ȱǻȱȬ đǱȱπǼȱǯȱȱȱȱ¡ȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱǯȱȱ£ȱȱȱ ûȱȱ¡ȱǻƸŘǼȬȱȱȱȬȱȬǱȱ Cn = 1 §¨ 2n ·¸ ǯȱȱ ¨ ¸ n +1© n ¹ ȱ Śȱ ȱÆȱŘȱãȬ ȱ śȱ ȱÆȱśȱãȬ ȱ Ŝȱ ȱ Æȱ ŗŚȱ ãȬ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȬ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ Ǽǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ§ȱȱȱȱȱȱȱ ȱǻȱȱȱ £ȱȱǼǰȱȱȱȱȱǯȱ Ǳȱ ȱ triang.in -4 -9 2 -9 8 8 -1 11 -8 8 -8 -5ȱ triang.out Kleinste Umfangssumme = 152.8 bei Triangulierung: 0 1 5 1 4 5 1 2 4 2 3 4ȱ ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ ȱ ȱ Ŗǰȱ ŗǰȱ Řǰȱ ǳǰȱ Ȭŗȱ ȱ ȱ ȱ ¢ǯȱ ȱ §ȱ ȱ ãȱȱ ȱȱ ǻǰȱǰȱǼȱǰȱ ȱǰȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ 8 Dynamische Programmierung 287 ȱȱǰȱȱȱ ȱǯȱȱ£ȱ ȱȱǽǾǽǾǰȱȱ Ŗȱ ≤ȱȱǀȱȱ ≤ȱȬŗǰȱȱ ȱȱȱȱûȱȱ¢ȱȱȱ ȱǰȱƸŗǰȱƸŘǰȱǳǰȱǯȱȱ ȱûȱȱȱȱȱǽŖǾǽȬŗǾǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ Ȭ ŗ ȱûȱȱ¢ȱȱȱȱǰȱƸŗǰȱ ƸŘǰȱ ǳǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ŗ ȱȱȱȱȱǀǀǰȱȱȱȱȱ ȱǱȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻǽǾǽǾǼƸǻǽǾǽǾǼƸ ǻǰȱǰȱǼȱȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ∆Ǽǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ǯȱȱ ȱ ȱȱ¢ȱȱȱ£ȱȱȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǻȱ ȱ £ȱ ¢Ǽǯȱ ûȱ ȱ¢ǰȱȱȱȱȬȱȱȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱ ȱȱȱǱȱ ȱ °0 für k = i + 1 C[i ][k ] = ®min{C[i][ j ] + C[ j ][k ] + w(i, j, k )} für k > i + 1 ȱ °̄ i< j<k ȱ ȱ ȱǻŗǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ûȱȱǰȱȱȱŖȱ ≤ȱȱǀȱȱ ≤ȱȬŗǯȱȱȱȱȱ ȱãȱ ȱ ȱȱȱûȱȱ ȱȱ¢ȱǻǽǾǽǾȱȱǀǼǰȱ ȱ Ȭ ȱ ȱȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱ£ȱȱȬ ȱ £ȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǰȱ ȱȱȱȱǯȱ ȱ ȏȏ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱǻƽŗǲȱǀǲȱȱŗǼȱ¡ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȦȦȱȱ§ȱ¢ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻȱȱǻǰȱǼ←ǻŖǰȱǼǰǻŗǰȱƸŗǼǰǳǰȱǻȬȬŗǰȬŗǼǼȱ¡ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱȏ ȏȏŗǻǽǾǽǾǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾǽǾȱ←ȱǰȱǯǯȱǽǾǽǾƽ min {C [ i ][ j ] + C [ j ][ k ] + w ( i , j , k )} ȱ ȱ i < j< k ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȏȱ ȏȏ ȱ ȱ 288 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱǰȱȱȱȱȱǱȱ ȱ ȱ ȏǻǰȱȱǼȱ ȱ ȱȱȱȱ ȱǻȱȬǁŗȱǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱƜȱǽǾǽǾȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȏǻǰȱǰȱǼȱȱ ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȏǻǰȱǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȏǻǰȱǼȱ ȱ ȱȱȱȱȏ ȱ ȱ ȏȏǻǰȱǼȱ ȱ ȱ ȱŗǻ¡ŗǰȱ¢ŗǼȱȱŘǻ¡Řǰȱ¢ŘǼȱ£ ȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱǱȱ P1 P2 = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 ǯȱȱȱȱȱȱȱǻǼȱǯȱ ȱȱǻǼȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȬ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ¡ȱ ȱȱãȱ§ȱȱûȱȱȱ£ȱȱȱ ȱ £ǱȱǻŖǰȱŗǰȱŘǼǰȱǻŖǰȱŗǰȱřǼǰȱǳǰȱǻȬřǰȱȬŘǰȱȬŗǼǯȱȱȱǻǼȱȱȱȱȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŖǰȱ Ŗǰȱ ŖǼȱ ȱ ǰȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱȱ ǻǰȱǰȱǼȱȱŖȱ ≤ȱ ȱ ǀȱȱǀȱȱ ¡ǰȱȱ¡Ȭ ȱȱȱǻŖǰȱŖǰȱŖǼȱǰȱȱȱǻŖǰȱŖǰȱŖǼȱȱȱ ȱǯȱȱ£ȱȬ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱǀȱŖȱ ££ûȱȱȱȱƽŖȱȱǀŖȱ ȱȱȱȱƽŖǰȱƽŖȱȱǀŖǱȱ ȱ ⏐ǿǻǰȱǰȱǼȱȩȱȱǀȱŖȀ⏐ȱƸȱ⏐ǿǻǰȱǰȱǼȱȩȱŖȱƽȱǰȱȱǀȱŖȀ⏐ȱƸȱ⏐ǿǻǰȱǰȱǼȱȩȱŖȱƽȱǰȱŖȱƽȱǰȱȱǀȱŖȀ⏐ȱ ȱ ûȱȱȱ ǀŖȱȱȱ §¨ n − i − 1·¸ ȱȱȱǻȱȱȱ£ȱȱȱǻǰȱǼȱ ¨ © 2 ¸ ¹ ȱŖȱ ≤ȱȱǀȱȱǀȱȱǀȱȱǰȱȱđȱȱȱǻǰȱǼȱȱȱǀȱȱȱȱȱǿŖƸŗǰȱŖƸŘǰȱǳǰȱȬ ŗȀǼǯȱûȱƽŖȱ ȱȱȱŖȱȱȱȬŖȬŗȱȱǻ§ȱûȱƽŖƸŗǰȱŖƸŘǰȱǳǰȱȬŗǼǯȱ ûȱƽŖǰȱƽŖȱȱǀŖȱȱȱŖȬŖȬŗȱǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P11ConvexPolygonMinimalTriangulation { private static final String FileInputName = "triang.in"; 8 Dynamische Programmierung 289 private static final String FileOutputName = "triang.out"; private List<Point> vP; private List<Double> w; private double c[][]; private static class Point { double x; double y; Point(double x, double y) { this.x = x; this.y = y; } P1 P2 = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 double dist(Point p) { return Math.sqrt(Math.pow(this.x - p.x, 2) + Math.pow(this.y - p.y, 2)); } } static double perimeter(Point p1, Point p2, Point p3) { return p1.dist(p2) + p2.dist(p3) + p3.dist(p1); } P11ConvexPolygonMinimalTriangulation(List<Point> vPoints) { this.vP = vPoints; this.w = new ArrayList<Double>(); int szVP = vP.size(); for (int i = 0; i < szVP - 2; i++) for (int j = i + 1; j < szVP - 1; j++) for (int k = j + 1; k < szVP; k++) { this.w.add(perimeter(vP.get(i), vP.get(j), vP.get(k))); } this.c = new double[szVP][szVP]; } private double getW(int i0, int j0, int k0) { int n = this.vP.size(); ȱãȱȱûȱȱ¡ȱ int p = 0; ȱȱǱȱ for (int i = 0; i < i0; i++){ int p=0; p += (n-i-1)*(n-i-2)/2; int i2, j2, k2; } for(i2=0; i2<i0; i2++) for (int j=i0+1; j<j0; j++){ for(j2=i2+1; j2<n-1; j2++) for(k2=j2+1; k2<n;k2++) p++; p += n-j-1; for(j2=i0+1; j2<j0; j2++) } for(k2=j2+1; k2<n; k2++) p++; p += k0-j0-1; p+=k0-j0-1; return w.get(p); return w[p]; 290 Grundlegende Algorithmen mit Java } void doProcess() { int szVP = this.vP.size(); for (int p = 1; p < szVP; p++) { for (int i = 0; i < szVP - p; i++) { int k = i + p; if (1 == p) c[i][k] = 0; else { int j = i + 1; c[i][k] = c[i][j] + c[j][k] + getW(i, j, k); c[k][i] = j; for (j = i + 2; j < k; j++) { double val = c[i][j] + c[j][k] + getW(i, j, k); if (val < c[i][k]) { c[i][k] = val; c[k][i] = j; } } } } } } private void writeTriang(PrintStream out, int i, int j) { if ((j - i) > 1) { int k = (int) c[j][i]; out.printf(" %d %d %d%n", i, k, j); writeTriang(out, i, k); writeTriang(out, k, j); } } void write(PrintStream out) { int idx = vP.size() - 1; out.printf(Locale.ENGLISH, " Kleinste Umfangssumme = %.4f%n bei Triangulierung: %n", c[0][idx]); writeTriang(out, 0, idx); } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); 8 Dynamische Programmierung 291 List<Point> vPoints = new ArrayList<Point>(); while (scanner.hasNextDouble()) { double x = scanner.nextDouble(); double y = scanner.nextDouble(); vPoints.add(new Point(x, y)); } P11ConvexPolygonMinimalTriangulation p10 = new P11ConvexPolygonMinimalTriangulation(vPoints); p10.doProcess(); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); p10.write(out); ŗǯ ȱȱǻǼȱ } finally { Řǯ ȱ§ȱǻǰȱ Ǽȱ if (scanner != null) { řǯ ȱǽǾǽǾȱȱȱȱ ǰȱȱ scanner.close(); Śǯ ȱǽŖǾǽȬŗǾȱ } śǯ ȱȱȱ if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ ǰȱȱȱȱ§ȱȱȱȱǰȱȱȱȬ ǰȱȱȱȱǰȱȱȱȱǰȱȱǯȱ ȱǰȱȱȱ¡£ȱȱûȱǻŖǰȱŖǰȱŖǼȱȱǱȱ ȱ § n − 1· § n − i0 − 1· § n − j0 − 1· § n − k 0 − 1· ¸¸ + ¨¨ ¸¸ + ¨¨ ¸¸ + ¨¨ ¸¸ ȱ getW (i0 , j0 , k 0 ) = ¨¨ 3 2 1 © 3 ¹ © ¹ © ¹ © ¹ řǯ ȱȱ£ȱ ȱȱȱ ǻǼȱȱǻǼȱȱ ȱ ǯǯȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ Ȭȱ ȱ Ȭ ȱȱ ȱȱȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱ£ǱȱȱǻǻǼǰȱǻǼǰȱǻǼǰȱǻǼǰȱǻǼǰȱ ǻǼǼǰȱ ȱ ȱ ¡ȱ ǻǻǼǰȱ ¡ǻǼǼǰȱȱ ǻ¡ǻǼǰȱ ǻǼǰȱ ǻǼǰȱǻǼǼǰȱȱȱȱǻǻǼǰȱǻǼǰȱǻǼǰȱǻǼǼǯȱ Problem 12. Multiplikation einer Matrizenfolge ȱ £ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ £ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱ ȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǰȱȱȱȱȉȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱȬ ȱȱȉȱȱȉȱȱȱǯȱ 292 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱȱãȱȱȱ ȱǻǰȱǰȱȱzWǿŖȀǼǱȱ ȱ § a11 a12 ... a1n · § b11 b12 ... b1 p · ¨ ¸ ¸ ¨ ¨ a 21 a 22 ... a 2 n ¸ ¨ b21 b22 ... b2 p ¸ ȱ A=¨ , B=¨ ... ... ... ... ¸ ... ... ... ... ¸ ¸ ¨ ¨ ¸ ¨a ¸ ¨ bn1 bn 2 ... bnp ¸ © m1 a m 2 ... a mn ¹ ¹ © ȱ ȱȱȱ¡ȱȱƽȱ⋅ȱȱȱǱȱ ȱ § c11 ¨ ¨ c 21 C =¨ ... ¨ ¨ c m1 © c12 c22 ... cm 2 ... c1 p · ¸ ... c2 p ¸ ȱ ... ... ¸ ¸ ... cmp ¸¹ n ȱȱƽȱŗȘŗƸŘȘŘƸǳƸȘȱƽȱ ¦ a ⋅ b ȱûȱȱȱ∈ǿŗǰǳǰȱȀǰȱ∈ǿŗǰǳǰȱȀǯȱȱ ik kj k =1 ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȉȱ ȱ ȉȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǻȱ ȱȱûȱȱȱȱȱŗȱ ≤ȱȱ ≤ȱǰȱŗȱ ≤ȱȱ ≤ȱǼǯȱȱȱȬ £ȱŖŗǳȱ£ȱ£ȱãǰȱȱȱǰȱȱȱ¡ȱȱ ûȱȱȱȱŖȱȱȱǀȱȱȱȱȱǰȱ ȱƸŗȱȱǰȱûȱǱȱȱȱȱ ȱȱ £ȏȱǻǼƽ£ȏǻƸŗǼȱûȱȱ∈ǿŖǰȱǳǰȱȬŗȀȱ ȱȱ Cn = 1 § 2n · ¨ ¸ ȱãȱ ȱûȱȱȱŖŗǳǰȱ ȱȱ n + 1 ¨© n ¸¹ ȱȬȱȬȱǯȱȱȱȱȱȱ£ȱȱãǰȱƸŗȱȬ ȱȱȱȱ£ȱ£Ǳȱ ȱ ȱǻȱǼǰȱǻȱǼȱȱ řȱȱ→ȱŘȱãȱ ȱǻȱǻȱǼǼǰȱȱǻǻȱǼȱǼǰȱȱ ȱ ǻȱǼȱǻȱǼǰȱǻȱǻȱǼǼȱȱ Śȱȱ→ȱȱśȱãȱ ǻǻȱǼȱǼȱȱ ȱ ȱ ȱǻȱǻȱǻȱǼǼǼǰȱȱǻȱǻǻȱǼȱǼǼȱ ȱ ȱǻǻȱǼȱǻȱǼǼǰȱȱǻǻȱǻȱǼǼȱǼȱ ȱ ȱǻǻǻȱǼȱǼȱǼǰȱǻȱǼȱǻȱǻȱǼǼȱ śȱȱ→ȱȱŗŚȱãȱ ǻȱǼȱǻǻȱǼȱǼǰȱǻȱǻȱǼǼȱǻȱǼȱ ǻȱǻȱǻȱǼǼǼǰȱǻȱǻǻȱǼȱǼǼȱȱ ȱ ǻǻȱǼȱǼȱǻȱǼǰȱǻǻȱǼȱǻȱǼǼȱȱ ǻǻȱǻȱǼǼȱǼȱǰȱǻǻǻȱǼȱǼȱǼȱȱ 8 Dynamische Programmierung 293 ȱȱȱȱǱȱŖȱƽȱŗǰȱŗȱƽȱŗǰȱŘȱƽȱŘǰȱřȱƽȱśǰȱŚȱƽȱŗŚǰȱśȱƽȱŚŘǰȱŜȱƽȱŗřŘǰȱŝȱƽȱ ŚŘşǰȱŞȱƽȱŗŚřŖǰȱşȱƽȱŚŞŜŘǰȱŗŖȱƽȱŗŜŝşŜǰȱŗŗȱƽȱśŞŝŞŜǰȱǳȱ ȱ ȱ£ȱȱǻǰȱǼȱȱ¡ȱȱȱȱȱ ȱǯȱȱ ȱ£ȱ ȱȱ£ȱŖǻŚŖǰȱřŖǼǰȱŗǻřŖǰȱŗŖǼȱȱŘǻŗŖǰȱŘǼȱǰȱȱȱ£ ȱãȬ ǰȱȱȱŖŗŘȱ£ȱǱȱ ǻŖŗǼŘȱȮȱãȱȱŚŖȉřŖȉŗŖȱƸȱŚŖȉŗŖȉŘȱƽȱŗŘŞŖŖȱȱǲȱ ŖǻŗŘǼȱ Ȯȱ ȱ ȱ ŚŖȉřŖȉŘȱ Ƹȱ řŖȉŗŖȉŘȱ ƽȱ řŖŖŖȱ ȱ ǰȱ ȱȱŘřǰŚŚȱ£ȱȱŗŘŞŖŖǯȱȱȱ£ȱȱ£ȱ §ǰȱȱãȬ ȱȱ£ȱ£ ȱȱȱãȱȱ ǯȱȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Şȱ £ȱ ȱ ȱ ŝȱ ƽȱ ŚŘşȱ ãǯȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ŖǻřŚǰȱ ŘřǼǰȱ ŗǻŘřǰȱ ŗŘǼǰȱ ŘǻŗŘǰȱ ŘǼǰȱ řǻŘǰȱ śǼǰȱ Śǻśǰȱ ŞŖǼǰȱ śǻŞŖǰȱ řǼǰȱ ŜǻřǰȱřǼǰȱŝǻřǰȱŗŘǼȱǰȱȱãȱȱȱŖŗǳŝȱȱȱ Ȭ Ǳȱ ȱ ǻŖǻŗǻǻŘřǼŚǼǼǼǻǻśŜǼŝǼȱȮȱãȱŗŘśŞŖŖȱȱǲȱ ǻŖǻŗŘǼǼǻǻǻřǻŚśǼǼŜǼŝǼȱȮȱãȱŚŘśŘȱȱǰȱȱȱřǰřŞȱȱ £ȱȱ£ȱûȱȱȱ Ƿȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱ£ǰȱǯǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ûȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǯȱ Ǳȱ ȱ ȱ ȱ ¡ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǰȱ §ȱȱȱǻ£ȏǰȱ£ȏǼȱȱȱǯȱȱȱ¡ȱŗŖŖȱ £ǰȱȱȱ£ȱ ȱȱȱȱȱȱȱ ¢ȱǯȱ Ǳȱ ȱȱȱ¡ǯȱȱȱȱ£ȱȱȱȬ ȱ ǰȱȱȱȱȱ ǯȱǱȱ ȱ matrix.in matrix.out minimal = 4252 34 23 (A0(A1A2))(((A3(A4A5))A6)A7) 23 12 12 2 2 5 5 80 80 3 3 3 3 12 294 Grundlegende Algorithmen mit Java Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱ£ȱŖǰȱŗǰȱǳǰȱȱǰȱȱȱȬȱȱ£ȱȱ ¡ȱȱȱ ȱȱȱȱƸŗǯȱȱȱȱȱǻǰȱǼȱǰȱȱȱȬ ȱ£ȱȱȱȱûȱȱȱȱƸŗǳȱ§Ȭ ǯȱȱȱ Ǳȱ ȱ ǻǰȱǼȱƽȱŖȱûȱȱƽŖǰȱǳǰȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǻŗǼȱ ǻǰȱƸŗǼȱƽȱȱȉȱƸŗȱȉȱƸŘȱûȱȱƽŖǰȱǳǰȱȬŗȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱǻŘǼȱ ȱ ȱȱȱȱǻřǼȱ C (i, j ) = min(C (i, k ) + C ( k + 1, j ) + d i ⋅ d k +1 ⋅ d j +1 ) ȱûȱŖȱ≤ȱȱǀȱȱ≤ȱȬŗȱȱȱ i≤ k < j ȱ ǻǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ Ƹŗǯǯǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ƹŗȱ ǯȱ ǻƸŗǰȱ Ǽȱ ȱ ȱ ȱ£ȱȱȱȱȱȱƸŗƸŘǳǯȱȱȬ ȱȱȱ¡ȱȱƸŗȱȱȱƸŗȱǯȱȱȱȱȬ£ȱ £ȱ£ǰȱȱȱȱȱȱȉȱƸŗȱȉȱƸŗȱȱǯȱȱ ȱ ȱȱȱǻǰȱǼȱȱûȱ£ȱȱ§ȱŘǰȱřǰȱǳǰȱȱȬ ǯȱȱȱȱǻǰȱǼȱȱȱȱȱ ȱȱ£ Ȭ ȱ ¢ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱȱȱ ȱ£ȱûǯȱȱ ȱȱ ȱǻŗǼǰȱǻŘǼȱ ȱǻřǼȱȱ ȱȱȱǻǼǰȱȱȱ£ ȱ¢ȱǽǾǽǾȱ ûǯȱȱȱȱȱȱȱ£ȱǰȱȱãȱȱȱ ȱ ǽŖǾǽȬŗǾȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼǰȱ ȱ ȱ ¢ȱ ǽǾȱ ȱǽǾȱȱȱȱǱȱ ǽǾȱȮȱ£ȱãȱ ȱȱȱ¡ȱȱ ǽǾȱȮȱ£ȱđȱ ȱȱȱ¡ȱȱ ûȱȱȱȱǻǰȱǼȱ ȱȱȱȱȱȱȱǻřǼȱȱǽǾǽǾȱ ǯȱȱđǰȱȱȱ£ȱǳȱȱƸŗǳȱȱȱ Ȭ Ǳȱ int k = (int) c[j][i]; if (i != k) { op[i]++; cl[k]++; } if (k + 1 != j) { op[k + 1]++; cl[j]++; } ȱȱ ȱ ȱȱȱǱȱ 8 Dynamische Programmierung 295 ȱ constructOrder(i, k); constructOrder(k + 1, j); ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǯ ȱ ȱ ¢ȱ ǽǾȱ ȱ ǽǾȱ ȱ ȱȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P12MatrixSequenceMultiplication { private static final String FileInputName = "matrix.in"; private static final String FileOutputName = "matrix.out"; private int d[]; private int op[], cl[]; private long c[][]; P12MatrixSequenceMultiplication(int[] d) { this.d = d; int szD = d.length; this.op = new int[szD]; this.cl = new int[szD]; this.c = new long[szD][szD]; } void doProcess() { int n = d.length - 1; int i, j, k, p; for (j = 0; j < n; j++) { for (i = 0; i < j; i++) c[i][j] = Long.MAX_VALUE; c[j][j] = 0; } for (p = 1; p < n; p++) for (i = 0, j = p; j < n; i++, j++) for (k = i; k < j; k++) { long aux = c[i][k] + c[k+1][j] + d[i]*d[k+1]*d[j+1]; if (c[i][j] > aux) { c[i][j] = aux; c[j][i] = k; } } 296 Grundlegende Algorithmen mit Java } private void constructOrder(int i, int j) { if ((j - i) > 1) { int k = (int) c[j][i]; if (i != k) { op[i]++; cl[k]++; } if (k + 1 != j) { op[k + 1]++; cl[j]++; } constructOrder(i, k); constructOrder(k + 1, j); } } void write(PrintStream out) { int n = d.length - 1; out.printf("minimal = %d%n", c[0][n - 1]); constructOrder(0, n - 1); for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < op[i]; j++) out.print('('); out.print('A'); out.print(i); for (int j = 0; j < cl[i]; j++) out.print(')'); } } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); List<Integer> list = new ArrayList<Integer>(); while (scanner.hasNextInt()) { int i = scanner.nextInt(); int j = scanner.nextInt(); int szD = list.size(); if (szD == 0) { list.add(i); } else if (list.get(szD - 1).intValue() != i) { throw new IOException("Ungueltige Eingabedaten!"); 8 Dynamische Programmierung 297 } list.add(j); } int arr[] = new int[list.size()]; for (int k = 0; k < list.size(); k++) arr[k] = list.get(k); P12MatrixSequenceMultiplication p = new P12MatrixSequenceMultiplication(arr); p.doProcess(); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); p.write(out); } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } Aufgabe ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ Ȭ ȱ ǯȱȱȱȱ ȱ£ȱȱȱŘȱȱȬ ȱǰȱȱȱȱ ȱȱȱ£ȱ¡ȱǯȱ ȱ matrix.in 34 23 23 12 12 2 2 5 5 80 80 3 3 3 3 12 matrix.out minimal = 4252 (A0(A1A2))(((A3(A4A5))A6)A7) maximal = 125800 (A0(A1((A2A3)A4)))((A5A6)A7) 3.38 % Problem 13. Edit-Distanz ȱȱȱȱȱǻǼȱȱȱǯȱȱȱȱ ȱȱ§ȱǻǼȱǰȱȱ ȱȱȱȱ 298 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱǻȱǼǯȱȱȱǱȱ)ȱȱ →ȱ[ȱȱȱȱ ǰȱ ȱȱȱȱûȱǱȱ ȱ ǻŗǼȱǻ¡ǰȱ¢Ǽȱ≥ȱŖȱûȱȱ¡ǰȱ¢∈ȱǰȱǻ¡ǰȱ¢ǼȱƽȱŖȱ⇔ȱ¡ȱƽȱ¢ȱ ǻŘǼȱ¢Ǳȱǻ¡ǰȱ¢Ǽȱƽȱǻ¢ǰȱ¡Ǽȱûȱȱ¡ǰȱ¢∈ȱȱ ǻřǼȱǱȱǻ¡ǰȱ¢Ǽȱ≤ȱǻ¡ǰȱ£ǼȱƸȱǻ£ǰȱ¢Ǽȱûȱȱ¡ǰȱ¢ǰȱ£ȱ∈ȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ£ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ ȱ ãȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǯȱ Ǳȱ ȱ Ȭ Ȭ£ȱ£ ȱȱãȱȱȱȱȱ£ ǰȱ ȱȱȱȱ £ ȱȱǻŘȱȱŚǼȱȱûǯȱȱȱȱ ȱ£ȱ£ǰȱȱȱ Ȭ£ȱȱȱȱûǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ£ǰȱ ȱ Ȭ£ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǯȱ ŗşřśǼǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱŗşŜśȱȱǼǯȱ ȱ£ȱȱȱãȱȱȱȱȱȬ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ Ǳȱãȱȱûȱȱǰȱ£ȱȱȱ ȱȱǯȱȱȬ£ȱ£ ȱãȱŗȱȱŘȱȱȱȱȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱ ȱ ŗȱ ȱ Řȱ £ȱ ûûǯȱ ȱ Ǳȱ ǻǰȱǼȱƽȱřǰȱ ȱȱȱȱǮȃȱȱȱȱ£ȱǮȃȱȬ ȱǱȱȱ →ȱȱ →ȱȱ →ȱȱǻûȱȱŗǰȱ£ȱȱřȱȱŚǼǯȱ ȱȬ£ȱûȱȱȱȱǯȱȱ ȱȱȱ¡ȱǯǯȱ ȱȱȱ ǱȱûǰȱȬ¢ǰȱȬ ǰȱǰȱ ǰȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱȱȱ ȱ ȱȱȬ£ȱ£ ȱ£ ȱȱãȱ ǯȱȱãȱȱȱȱȱȱȱȱ£ȱȱȱ¡ȱŗŖŖȱ ȱǯȱȱ ȱ Ǳȱ ȱǯȱȱȱȱǰȱȱȱǯȱȱ Ǳȱ ȱȱȱǯȱȱȱȱȬ£ȱûȱȱȱȱǯȱ ǯȱǱȱ ȱ edit.in anne marie klipp klar mathematik informatik probleme loesungen baerchen zwerglein edit.out d(anne, marie) = 3 anne I(1) --> manne T(3) --> marne T(4) --> marie ======================== d(klipp, klar) = 3 8 Dynamische Programmierung boese gute 299 klipp D(3) --> klpp T(3) --> klap T(4) --> klar ======================== d(mathematik, informatik) = 5 mathematik T(1) --> iathematik T(2) --> inthematik T(3) --> infhematik T(4) --> infoematik T(5) --> informatik ======================== d(probleme, loesungen) = 8 probleme T(1) --> lrobleme T(2) --> loobleme T(3) --> loebleme T(4) --> loesleme T(5) --> loesueme T(6) --> loesunme T(7) --> loesunge I(9) --> loesungen ======================== d(baerchen, zwerglein) = 5 baerchen T(1) --> zaerchen T(2) --> zwerchen T(5) --> zwerghen T(6) --> zwerglen I(8) --> zwerglein ======================== d(boese, gute) = 4 boese D(1) --> oese T(1) --> gese T(2) --> guse T(3) --> gute ======================== ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱȱȱǰȱȱȱãȱ¡ȱƽȱ¡ŗ¡Řǳ¡ȱȱ¢ȱƽȱ¢ŗ¢Řǳ¢ȱȱȱ§ȱȱ ȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱ£ ȱȱ £ȱ ȱ ȱ ǰȱ §ȱ ȱ Ȭ£ȱ £ ȱ ȱ ¡ȱ ǻǰȱ Ǽǯȱȱ£ȱȱǰȱ ȱȱȱȱǯȱȱããȬ ȱȱǰȱȱ¢ȱǽǾǽǾȱȱƸŗȱȱȱƸŗȱȱ£ǰȱȱ ȱ Ȭ£ȱ £ ȱ ¡ŗ¡Řǳ¡ȱ ǻŖȱ ≤ȱ ȱ ≤ȱ Ǽȱ ȱ ¢ŗ¢Řǳ¢ȱ ǻŖȱ ≤ȱ ȱ ≤ȱ Ǽȱ §ȱ ǻȱ£ȱȱȱǼǯȱȱȱ ȱȱȱȱŖȱȱȱȬ ȱ Ŗǰȱ ŗǰȱ Řǰȱ ǳǰȱ ȱ ûȱ ǻȱ ȱ ȱ ȱ ¡ŗ¡Řǳ¡ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǰȱ ȱȱûȱȱȱãǼǯȱȱȱŖȱ ȱ ȱȱȱŖǰȱŗǰȱŘǰȱǳǰȱȱûȱǻȱȱȱȱȱȱȱ¢ŗ¢Řǳ¢ȱ£ȱûȬ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ £Ǽǯȱ ȱ ȱ £ȱǽǾǽǾȱ£ ȱȱãȱ¡ŗ¡Řǳ¡ȱǻŗȱ ≤ȱǼȱȱ¢ŗ¢Řǳ¢ȱǻŗȱ ≤ȱǼȱ£ȱǰȱ ȱȱȱãǱȱ ȱ • ȱ ǽȬŗǾǽȬŗǾǱȱ ȱ ȱ ¡ȱ ƽȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱãȱǽǾǽǾȱƽȱǽȬŗǾǽȬŗǾȱǲȱ ȱ¡ȱ ≠ȱ¢ǰȱ ȱ¡ȱȱ¢ȱ £ǰȱ ȱȱãȱǽǾǽǾȱƽȱǽȬŗǾǽȬŗǾƸŗȱǯȱ • ȱǽȬŗǾǽǾǱȱ¢ŗ¢Řǳ¢Ȭŗȱ ȱȱǽȬŗǾǽǾȱȱȱ¡ŗ¡Řǳ¡ȱȱȬ ǯȱǯǯȱ¢ŗ¢Řǳ¢ȱȱȱ¡ŗ¡Řǳ¡ȱȱǽȬŗǾǽǾƸŗȱǰȱ ȱȱ £ȱȱȱ £ûȱȱȱ¢ȱǯȱȱ 300 Grundlegende Algorithmen mit Java • ȱ ǽǾǽȬŗǾǱȱȱȱ£ȱȱǰȱȱ ¢ŗ¢Řǳ¢ȱȱ¡ŗ¡Řǳ¡ȬŗȱȬ £ǰȱȱǽǾǽȬŗǾǯȱǯǯȱȱ¢ŗ¢Řǳ¢ȱȱ¡ŗ¡Řǳ¡ȱȱǽǾǽȬŗǾƸŗȱȬ ȱǰȱ ȱȱ£ȱȱȱãȱȱȱ¡ȱǯȱ ȱ ȱ£ȱǻǰȱǼȱƽȱŖǰȱ ȱ¡ȱƽȱ¢ǰȱȱ ȱǻǰȱǼȱƽȱŗǰȱ ȱ¡ȱ≠ȱ¢ǯȱȱđȱȱȱ j , wenn i = 0 , j = 1, ..., m ° T [i ][ j ] = ®i, wenn j = 0, i = 1, ..., n °min (T [i-1][ j-1] + b (i, j ) , T [i-1][ j ] + 1, T [i ][ j-1] + 1) , wenn i = 1, ..., n, j = 1, ..., m ¯ ȱ ȱȬ£ȱ£ ȱ ¡ŗ¡Řǳ¡ȱȱ¢ŗ¢Řǳ¢ȱȱȱǽǾǽǾǯȱûȱȱȱȬ ȱȱȱȱ¢ȱǽǾǽǾȱȱǱȱ ȱ ȱ ȏȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȏȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȏȱȱȱ Ŗȱ ŗȱ Řȱ řȱ Śȱ ȏȱ Ŗȱ ŗȱ Řȱ řȱ Śȱ śȱ ȱ ŗȱ ŗȱ Řȱ řȱ Śȱ ȱ ŗȱ Ŗȱ ŗȱ Řȱ řȱ Śȱ ȱ Řȱ ŗȱ Řȱ řȱ Śȱ ȱ Řȱ ŗȱ Ŗȱ ŗȱ Řȱ řȱ ȱ řȱ Řȱ Řȱ řȱ Śȱ ȱ řȱ Řȱ ŗȱ ŗȱ Řȱ řȱ ȱ Śȱ řȱ řȱ řȱ Śȱ ȱ Śȱ řȱ Řȱ Řȱ Řȱ řȱ ȱ śȱ Śȱ Śȱ Śȱ řȱ ȱ Ȭ£Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ¢ȱ ǽǾǽǾȱ ǯȱ ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ Ȭ ȱ ȱ û §ȱ ȱ ǽŖǾǽŖǾǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ£ȱ ǽǾǽǾȱûȱǰȱȱȱȱûȱǯȱ ǽǾǽǾȱȱȱ ȱ ȱ ȱ £Ǳȱ ȱ ȱ ǰȱ ûȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱȱȱ£ȱȱãȱȱǮȃȱȱȱȱȱǯȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ £ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǯȱ ȱȱȱ ǻǼȱȱȱǯȱȱ ȱȱȱ ȱȬ ȱȱȱȱãȱȱȱȱǽǾǽǾǯȱȱ£ȱȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ãȱ ȱȱȱǰȱ ȱ ȱȱȱǯȱȱ ȱ 8 Dynamische Programmierung 301 ȱ £ȱ ȱ ¡ȱ ƽȱ ¢ȱ ȱ ǽȬŗǾǽȬŗǾȱ ƽȱ ǽǾǽǾȱ ǰȱ ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ǽȬ ŗǾǽȬŗǾȱȱȱȱȱȱ ȱ£ȱȱȱȱȱȱǻ ȱ ȱûȱǽǾǽǾȱȱ§ȱǷǼȱȱȱ ǻǼȱȱȱ ȱǱȱ ȱ flag = true; writeSolution(out, m - 1, n - 1, new StringBuilder(yaux)); ȱ ȱ¡ȱ ≠ȱ¢ȱȱǽȬŗǾǽȬŗǾƸŗȱƽȱǽǾǽǾȱǰȱȱȱǽǾǽǾȱȱǽȬŗǾǽȬŗǾȱȱȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ ȱ ȱ ûȱ ǽǾǽǾȱ ȱ §ȱ ǷǼǯȱ ȱ ûȱ ȱ ûȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ¢Ȭ ¡ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ£ȱȱȱȱȱȱǱȱ ȱ flag = true; yaux.replace(n-1, n, x.substring(m-1, m)); writeSolution(out, m - 1, n - 1, new StringBuilder(yaux)); out.printf("%s T(%d) --> ", yaux, n); ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ǽǾǽȬŗǾȱ ȱ §ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ǻǽǾǽǾȱ ƽȱ ǽǾǽȬŗǾƸŗǼȱ ȱ ǽȬŗǾǽǾȱ ȱ §ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ǻǽǾǽǾȱ ƽȱ ǽȬŗǾǽǾƸŗǼǱȱ ûȱ ûǰȱ ǻǼȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱ ¡ȱŖȱǰȱȱ ȱȱ ȱ £ǯȱ ǯȱ ǻǻ¡ǯǻȬŗǼƽƽ¢ǯǻȬŗǼǳǼȱ ȱ ¡ǯǻǼƽƽ¢ǯǻǼǯȱ Ȭ ȱȱȱȱȱȱǻǰȱǰȱǰȱǼǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P13EditDistance { private static final String FileInputName = "edit.in"; private static final String FileOutputName = "edit.out"; private int T[][]; private StringBuilder x, y; P13EditDistance(StringBuilder x, StringBuilder y) { this.x = x; this.y = y; 302 Grundlegende Algorithmen mit Java this.T = new int[y.length() + 1][x.length() + 1]; } private int getEditDistance() { int m = x.length(); int n = y.length(); if (m == 0) return n; if (n == 0) return m; for (int i = 0; i <= m; i++) T[0][i] = i; for (int i = 0; i <= n; i++) T[i][0] = i; for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= m; j++) { if (x.charAt(j - 1) == y.charAt(i - 1)) { T[i][j] = T[i - 1][j - 1]; } else { T[i][j] = T[i - 1][j - 1] + 1; } if (T[i][j] > T[i - 1][j] + 1) T[i][j] = T[i - 1][j] + 1; if (T[i][j] > T[i][j - 1] + 1) T[i][j] = T[i][j - 1] + 1; } return T[n][m]; } private void writeSolution(PrintStream out, int m, int n, StringBuilder yaux) { boolean flag = false; if (m != 0 || n != 0) { if (m > 0 && n > 0) { if (x.charAt(m - 1) == y.charAt(n - 1)) { if (T[n - 1][m - 1] == T[n][m]) { flag = true; writeSolution(out, m - 1, n - 1, yaux); } } else { if (T[n - 1][m - 1] + 1 == T[n][m]) { flag = true; yaux.replace(n-1, n, x.substring(m-1, m)); writeSolution(out, m - 1, n - 1, new StringBuilder(yaux)); out.printf("%s T(%d) --> ", yaux, n); } } 8 Dynamische Programmierung 303 } if (n > 0 && !flag) { if (T[n][m] == T[n - 1][m] + 1) { flag = true; yaux.delete(n-1, n); writeSolution(out, m, n - 1, new StringBuilder(yaux)); out.printf("%s I(%d) --> ", yaux, n); } } if (m > 0 && !flag) { if (T[n][m] == T[n][m - 1] + 1) { yaux.insert(n, x.charAt(m-1)); writeSolution(out, m - 1, n, new StringBuilder(yaux)); out.printf("%s D(%d) --> ", yaux, n + 1); } } } } void writeSolution(PrintStream out) { out.printf("d(%s, %s) = %d%n", this.x, this.y, this.getEditDistance()); writeSolution(out, x.length(), y.length(), new StringBuilder(this.y)); out.println(this.y); out.println("========================"); } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); while (scanner.hasNext()) { StringBuilder x = new StringBuilder(scanner.next()); if (!scanner.hasNext()) break; StringBuilder y = new StringBuilder(scanner.next()); new P13EditDistance(x, y).writeSolution(out); } } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); 304 Grundlegende Algorithmen mit Java } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǯǯȱ ȱ ȱ Ȭ Ȭȱ ǯȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǯǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ¢ȱǽǾȱ ȱǻȱ ȱȱȱ¢ǻǼǼǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ûȱ ȱ £ȱ ǰȱ ûȱ ȱãȱǰȱûȱȱûȱǯȱȱ ȱȱȱȱǻǰȱȱȱȱǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱǰȱȱȱ ȱȱ ǯȱǱȱ ȱ ȱ řǯ edit1.in edit1.out probleme loesungen 4 2 1 baerchen zwerglein 5 3 1 boese gute 2 3 1 d(probleme, loesungen) = 17 probleme D(1) --> robleme D(1) --> obleme D(1) --> bleme D(1) --> leme I(2) --> loeme D(4) --> loee I(4) --> loese I(5) --> loesue I(6) --> loesune I(7) --> loesunge I(9) --> loesungen ======================== d(baerchen, zwerglein) = 19 baerchen D(1) --> aerchen D(1) --> erchen I(1) --> zerchen I(2) --> zwerchen D(5) --> zwerhen D(5) --> zweren I(5) --> zwergen I(6) --> zwerglen I(8) --> zwerglein ======================== d(boese, gute) = 7 boese D(1) --> oese T(1) --> gese T(2) --> guse T(3) --> gute ======================== ȱ ȱ ȱ λȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ ȬȬ ȬȱȱȱȱȱǱȱ ǻλǰλǼȱƽȱŖȱ ǻ¡ŗ¡Řǳ¡ǰȱλǼȱƽȱȱȱûȱȱȱ≥ŗȱ ǻλǰȱ¢ŗ¢Řǳ¢Ǽȱƽȱȱȱûȱȱȱ≥ŗȱ ȱ 8 Dynamische Programmierung 305 °max{m, n}, wenn es keine gemeinsamen Buchstaben gibt ° d ( x1 x2 ...xm , y1 y 2 ... y n ) = ®min ( d ( x1 ..xi −1 , y1 .. y j −1 ) + d ( xi +1 ..xm , y j +1 .. y n )), ȱ ° xi = y j °¯ wenn es mindestens einen gemeinsamen Buchstaben gibt Śǯ ȱ ȱȱȱȱûǯȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ Ȭȱ ȱ Ȭ ȱȱȱȱȱȱȱ ȱǯȱȱȱȱ ǰȱȱȱȱȱ ǰȱ£ǯȱǯȱǱȱȱ Ȭ ǰȱȱûȱ¡ȱǻǻǼǰȱǻǼǰȱǻǼǼǰȱ§Ȭ ȱȱȱǻǻǼǼǰȱȱȱȱǻǻǼǰȱȬ ǻǼǰȱ ǻǼǰȱ ǻǼǰȱ ǻǼǼǰȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ ǻ¡ǻǼǰȱ ¡ǻǼǼǰȱ £ȱ ȱ ȱ ǻ ǻǼǰȱ ǻǼǰȱǻǼǼǰȱ ȱǻǻǼǼǯȱ Problem 14. Arbitrage ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱȱȱȱ§ȱ ȱ£ȱ£ǯȱȱȬ ȱ ȱ ȱ ȱ §ǯȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭȱ Ŗǰśŗȱ ȱȱȱãǰȱȱȱȱȱŗǰŚŞȱȱȱȱȱ ȱ ŗǰřŜȱ Ȭǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŗǰŖŘŜśŘŞȱ ȱ ȱ ȱ ŘǰŜȱ £ȱ ǯȱȱ ȱ ŗǞȱȘȱŖǰśŗǡȦǞȱȘȱŗǰŚŞǧȦǡȱȘȱŗǰřŜǧȦǞȱƽȱŗǰŖŘŜśŘŞǞȱ ȱ ȱȱȱȱ¡ȱûȱ£ȱǰȱȱ ȱȱđȱǯȱ ȱȱȱǰȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱȱȱǻȱ ǰȱȱȱǼǯȱȱǱȱ ȱȱȱȬ ǯȱ ãȱ ȱ ȱ §ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ Ȭȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ §ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱǰȱȱȱȱŘ≤≤ŘŖǯȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱ§Ȭ ȱ£ǰȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱ§ȱŗȱ £ȱȱȱ Ȭŗȱ§Ȭ ȱ ǻ£ȱ §ȱ Řǰȱ řǰȱ ǳǰȱ Ǽǰȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ§ȱŘȱ£ȱȱȱ§ȱǻ£ȱ§ȱŗǰȱřǰȱŚǰȱǳǰȱǼȱ ǯȱǱȱ 306 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ûǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ǯȱ ȱ ȱŘȱȬǁȱŗȱȬǁȱŘȱ£ȱȱ§ȱ£ ȱȱǻȱ§ȱŘȱȱ ȱ§ȱŗȱǰȱȱȱ ȱ§ȱŘǼǯȱ ȱȱȱ ǯȱ ȱȱȱȱ£ȱǻȱŗǱǼǰȱȱȱȱȱȬȱȱ §Ȭ ȱ ȱ ǻȱ ŘǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ đȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ £ǯȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱ ȱǰȱȱȱȱ ȱȱ§ȱ ǯȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱ Ȭ ȱǮȱȱȱǷȃȱǯȱ arbitrage.in 3 1.2 .89 .88 5.1 1.1 0.15 4 3.1 0.0023 0.35 0.21 0.00353 8.13 200 180.559 10.339 2.11 0.089 0.06111 2 2.0 0.45 arbitrage.out Fall 1: Waehrung 2 2 -> 1 -> 2 1.056 Fall 2: Waehrung 3 3 -> 1 -> 2 -> 3 2.189 Fall 3: Es gibt keine Loesung! ǻǰȱ ȱȱǰȱŘŖŖŖǰȱ£Ǽȱ ȱ Problemanalyse und Entwurf der Lösung ȱ£ ȱ¢ȱǽǾǽǾȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱǰȱȱȱȱǮȃȱ ȱ ǯȱȱȱȱȬ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ §ǯȱûȱȱȱ ȱȱûûǰȱȱûȱȱȱȱȱû£ǯȱ ûȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ŗǯȱ ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ȱȱ£ȱȬȱǯȱȱ 8 Dynamische Programmierung 307 ȱ ȏ ȏ ǻǼȱ ȱ ȱȱ ȱ¡ȱǽǾǽǾȱȱȱ¢ȱȱ ȱ ȱȱȱǻƜŗǰȱǲȱȱŗǼȱ¡ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǻƜŗǰȱǲȱȱŗǰȱƾǼȱ¡ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱǻƜŗǰȱǲȱȱŗǰȱƾǼȱ¡ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ǻǽǾǽǾȘǽǾǽǾȱǁȱǽǾǽǾǼȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾǽǾȱƜǽǾǽǾȘǽǾǽǾȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾǽǾȱƜǽǾǽǾȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱǽǾǽǾȱ ȱ ȏ ȏȱ ȏ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱ − ȱ ǻǼǱȱ ȱ ȱ Ȭǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱȱ£ȱȱ§ȱȱ ȱȱȱ£ǰȱȱȱȬȱȱ §ǯȱȱ ȱȱȱȱȱȱ ≥ȱŗǯŖŗȱǰȱȱȱȱ ȱûȱãǰȱȱ ȱǯȱȱȱȱȱǰȱȱ ȱãȱûǲȱ − ȱ ǻǼǱȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ǽǾǽǾǰȱ ȱ ȱ ȱ £ûȱ £ȱ ǯȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ ȱ ȱ §ȱ ǽǾǽǾȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǽǾǽǾȱȱȬŗǯȱȱȱǽǾǽǾȱȱȱȱ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¡ȱ ȱ £ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻȱ £ȱ ¡ ǰȱ ȱȱȱ§ȱȱȱȱ§ȱȱ Ǽǯȱ ȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P14StocksFluctuation { private static final String FileInputName = "arbitrage.in"; private static final String FileOutputName = "arbitrage.out"; private static void recoverPath(PrintStream out, int pred[][], int i, int j) { int t = pred[i][j]; if (i != t) { 308 Grundlegende Algorithmen mit Java recoverPath(out, pred, i, t); out.print(" -> "); out.print(t + 1); } } static boolean find(PrintStream out, int n, float table[][], int pred[][]) { int i, j, k; for (k = 0; k < n; k++) for (i = 0; i < n; i++) for (j = 0; j < n; j++) if (table[i][k] * table[k][j] > table[i][j]) { pred[i][j] = pred[k][j]; table[i][j] = table[i][k] * table[k][j]; if (i == j && table[i][j] >= 1.01) { out.print(" Waehrung "); out.println(i + 1); out.print(' '); out.print(i + 1); recoverPath(out, pred, i, i); out.print(" -> "); out.println(i + 1); out.printf(Locale.ENGLISH, " %.3f%n", table[i][i]); return true; } } return false; } public static void main(String[] args) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner( new File(FileInputName)).useLocale(Locale.ENGLISH); out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); int numCase = 0; while (scanner.hasNextInt()) { int n = scanner.nextInt(); float table[][] = new float[n][n]; int pred[][] = new int[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++) { table[i][i] = 1.0f; for (int j = 0; j < n; j++) if (i != j) { table[i][j] = scanner.nextFloat(); 8 Dynamische Programmierung 309 pred[i][j] = i; } pred[i][i] = -1; } out.printf("Fall %d: %n", ++numCase); if (!find(out, n, table, pred)) out.println(" Es gibt keine Loesung!"); } } finally { if (scanner != null) { scanner.close(); } if (out != null) { out.close(); } } } } ȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ řǯ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ȱȱȱ ȱȱȱȱ£ȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱȱ ǯȱ ȱȱȱȱȱȱǻȱȱȱ£ǯȱǯȱȱ ȱȬ Ǽȱȱȱȱǰȱȱȱȱ ûȱȱ ȱȱȱ ȱǯȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱûȱȱȱȱȱȱȬǯȱ ȱ ãȱȱ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱǰȱȱ ȱ ȱ ȱ 9 Potenzsummen ȱ ȱ Problembeschreibung ȱȱȱûȱȱȱ≥ȱŖȱǯȱȱ£ȱûȱȱǱȱ ȱ S k (n) = 1k + 2 k + 3k + ... + n k ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŗǼȱ ȱ ȱȱ ȱǻȱ§ȱ ȱȱȱǻŗřǼȱǼǰȱȱǻǼȱ ȱ¢ȱǻƸŗǼȬȱ ȱȱȱǰȱȱȱȱ £ȱǰȱǯǯȱȱȱ ǻǼȱȱǱȱ ȱ 1 ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŘǼȱ S k ( n) = (ak +1n k +1 + a k n k + ... + a1n + a0 ) ǯȱ M ȱ ȱ ȱ Ƹŗǰȱ ǰȱ ǯǯǯǰȱ ŗǰȱ Ŗȱ ȱ £ȱ ǰȱ ȱ ȱ đȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǰȱ Ƹŗǰȱ ǰȱ ǯǯǯǰȱ ŗǰȱ ŖǼȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱûȱȱȱûȱȱǯȱ ǱȱȱȱǯȱȱȱȱȱûȱȱǻŖȱ≤ȱȱȱ≤ȱŘŖǼǯȱ ǱȱȱǯȱȱûȱȱȱȱȱȱȱȱǰȱƸŗǰȱǰȱǯǯǯǰȱŗǰȱŖȱ ȱ ǰȱ ȱȱȱȱȱǯȱǱȱ ȱ psum.in 2 5 0 16 psum.out 6 2 3 1 0 12 2 6 5 0 –1 0 0 1 1 0 510 30 255 680 0 -2380 0 8840 0 -24310 0 44200 0 -46988 0 23800 0 -3617 0 ȱȱȱȱȱȱȱǻȱȬȱȱȱȱǰȱŗşşŝȬşŞǼȱȱ Problemanalyse. Algebraische Modellierung. ȱȱǻǼȱǱȱ S 0 (n) = n ¦i = n 0 i =1 ǻřǼȱ 312 Grundlegende Algorithmen mit Java n S1 (n) ¦i = i =1 n(n + 1) 1 2 = ( n + n) ȱ 2 2 n ¦i = S2 (n) = 2 i =1 n S 3 ( n) = 3 i =1 n S 4 ( n) = ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŚǼȱ n(n + 1)(2n + 1) 1 = ( 2n3 + 3n 2 + n) ȱȱ 6 6 ȱ ȱ ȱ ȱ ǻśǼȱ n 2 (n + 1) 2 1 4 = ( n + 2n 3 + n 2 ) ȱ 4 4 ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŜǼȱ n(n + 1)(2n + 1)(3n 2 + 3n − 1) 1 = (6n5 + 15n 4 + 10n3 − n) ȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ 30 30 ȱ ǻŝǼȱ ¦i = ¦ i4 = i =1 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ǯȱ ȱ ãȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ǯȱȱ ȱ£ȱśǻǼȱǯȱȱ ȱȱ ȂȱȬ ȱȱ Ǳȱ § 6· §6· §6· §6· § 6· (i − 1) 6 = i 6 − ¨¨ ¸¸i 5 + ¨¨ ¸¸i 4 − ¨¨ ¸¸i 3 + ¨¨ ¸¸i 2 − ¨¨ ¸¸i + 1 ©1 ¹ © 2¹ ©3¹ © 4¹ ©5¹ (8) ȱ ȱȱ§ȱ£Ǳȱ ȱ i 6 − (i − 1) 6 = 6i 5 − 15i 4 + 20i 3 − 15i 2 + 6i − 1 (9) ȱȱȱŗȱȱȱ§ȱǱȱ ȱ n n n n n n n i =1 i =1 ¦ (i − (i − 1) ) = 6¦ i − 15¦ i + 20¦ i − 15¦ i + 6¦ i − ¦1 , 6 i =1 6 5 i =1 4 i =1 3 i =1 2 k =1 (10) ȱ£ȱȱȱȱȱȱǱȱ n 6 = 6 S 5 (n) − 15S 4 (n) + 20S 3 (n) − 15S 2 (n) + 6S1 (n) − S 0 (n) (11) ȱ ȱǻŗŗǼȱ ȱãȱ£Ǳȱ ȱ S 5 (n) = n 2 (n + 1) 2 (2n 2 + 2n − 1) 1 = ( 2n 6 + 6n 5 + 5n 4 − n 2 ) 12 12 ȱȱȱȱȱûȱ£Ǳȱ ȱ (12) 9 Potenzsummen 313 (k + 1) S k (n) = § k + 1· § k + 1· § k + 1· § k + 1· ¸¸S k −1 (n) − ¨¨ ¸¸ S k −2 (n) + ... + (−1) p ¨¨ ¸¸ S k − p+1 (n) + ... + (−1) k ¨¨ ¸¸ S1 (n) + (−1) k +1 S 0 (n) n k +1 + ¨¨ 2 3 p © ¹ © ¹ © ¹ © k ¹ (13) Von der Rekursionsgleichung zum Algorithmus ȱ ǻŗřǼȱ ǰȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǰȱ Ƹŗǰȱ ǰȱ ǯǯǯǰȱ ŗǰȱ ŖǼȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ãǰȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ǰȱ §ȱ Ŗǰȱ ŗǰȱ ǯǯǯǰȱ Ȭŗǰȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ £ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ £ȱ £ȱ ãǯȱȱ ȱȱ¢ȱǽǾȱ£ǰȱȱȱȱǽŖǾǰȱǽŗǾǰȱǽŘǾǰǳǰȱǽǾȱ ȱ ȱ ȱ Ǳȱ ǽǾȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱûȱǻǼǰȱŖȱ≤ȱȱ≤ȱǯȱ ȱ ȱ£ ȱ¢ȱǽǾǽǾȱȱ ȱȱȱȱǻƸŗǰȱǰȱǯǯǯǰȱŗǰȱ ŖǼȱûȱŖȱ ≤ȱȱ ≤ȱȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ £ȱ ûȱǻǼȱǯȱ ȱ ȱȱȱ¡ȱǽǾǽǾȱȱȱȱǽǾȱ ǽŖǾǽŖǾȱ ǽŖǾǽŗǾȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǽŖǾȱ ǽŗǾǽŖǾȱ ǽŗǾǽŗǾȱ ǽŗǾǽŘǾȱ ȱ ȱ ȱ ǽŗǾȱ ǽŘǾǽŖǾȱ ǽŘǾǽŗǾȱ ǽŘǾǽŘǾȱ ȱ ȱ ȱ ǽŘǾȱ ǯǯǯȱ ǯǯǯȱ ȱ ǯǯǯȱ ȱ ȱ ǯǯǯȱ ǽȬŗǾǽŖǾȱ ǽȬŗǾǽŗǾȱ ǽŗǾǽŘǾȱ ǯǯǯȱ ǽȬŗǾǽǾȱ ȱ ǽȬŗǾȱ ǽǾǽŖǾȱ ǽǾǽŗǾȱ ǽǾǽŘǾȱ ǯǯǯȱ ǽǾǽǾȱ ǽǾǽƸŗǾȱ ǽǾȱ ȱ ȱȱȱȱȱǻŘǼȱǱȱ ȱ S k (n) = ( ) 1 A[k ][k + 1]n k +1 + A[k ][k ]n k + ... + A[k ][1]n + A[k ][0] ȱ M [k ] ȱ ȱ ǻŗŚǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ǻǽǾǰȱ ǽǾǽƸŗǾǰȱ ǽǾǽǾǰȱ ǳǰȱ ǽǾǽŗǾǰȱ ǽǾǽŖǾǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻǽǾǰȱ ǽǾǽƸŗǾǰȱ ǽǾǽǾǰȱ ǳǰȱ ǽǾǽŗǾǰȱǽǾǽŖǾǼȱûȱŖȱ ≤ȱȱǀȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱ ȱǰȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ§ǯȱȱȱ£Ǳȱ 314 Grundlegende Algorithmen mit Java ( k + 1) S k (n) = n k +1 § k + 1· 1 k k −1 + ¨¨ ¸¸( M [k − 1] ( A[k − 1][k ]n + A[k − 1][k − 1]n + ... + A[k − 1][1]n + A[k − 1][0])) 2 © ¹ § k + 1· 1 ¸¸( (A[k − 2][k − 1]n k −1 + A[k − 2][k − 2]n k −2 + ... + A[k − 2][1]n + A[k − 2][0])) − ¨¨ © 3 ¹ M [k − 2] ǻŗśǼ + ... + § k + 1· 1 ¸¸( ( −1) p ¨¨ ( A[k + 1 − p ][k + 2 − p ]n k + 2− p + ... + A[k + 1 − p ][1]n + A[k + 1 − p ][0])) © p ¹ M [k + 1 − p] + .. § k + 1· 1 ¸¸( ( −1) k ¨¨ ( A[1][2]n 2 + A[1][1]n + A[1][0])) + © k ¹ M [1] § k + 1· 1 ¸¸( ( −1) k +1 ¨¨ ( A[0][1]n + A[0][0])) © k + 1¹ M [0] ȱ ȱȱȱȱȱȱȱŖǰȱŗǰȱǯǯǯǰȱȱȱȱȱȱǻŗřǼȱȱ¢ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱȱ ȱǻƸŗǼǱȱ ȱ (k + 1) S k (n) = n k +1 + § k + 1· A[k − 1][k ] ¸¸ )+ n k (¨¨ © 2 ¹ M [k − 1] § k + 1· A[k − 1][k-1] § k + 1· A[k − 2][k − 1] ¸¸ ¸¸ )+ n k −1 (¨¨ - ¨¨ © 2 ¹ M [k-1] © 3 ¹ M [k − 2] § k + 1· A[k − 1][k − 2] § k + 1· A[k − 2][k − 2] § k + 1· A[k − 3][k − 2] ¸¸ ¸¸ ¸¸ − ¨¨ + ¨¨ )+ n k −2 (¨¨ © 2 ¹ M [k − 1] © 3 ¹ M [k − 2] © 4 ¹ M [k − 3] ... ǻŗŜǼ § k + 1 · A[ p − 1][ p] § k + 1· A[k − 1][ p] § k + 1· A[k − 2][ p] ¸¸ ¸¸ ¸¸ − ¨¨ + ... + (−1) k + 2-p ¨¨ )... n p (¨¨ 2 3 − − [ 1 ] [ 2 ] M k M k © ¹ © k + 2 − p ¹ M [ p − 1] © ¹ § k + 1· A[k − 1][1] § k + 1· A[k − 2][1] § k + 1· A[0][1] ¸¸ ¸¸ ¸¸ − ¨¨ + ... + (−1) k +1 ¨¨ )+ n(¨¨ 2 3 − − [ 1 ] [ 2 ] M k M k © ¹ © ¹ © k + 1¹ M [0] § k + 1· A[k − 1][0] § k + 1· A[k − 2][0] § k + 1· A[0][0] ¸¸ ¸¸ ¸¸ − ¨¨ + ... + (−1) k +1 ¨¨ (¨¨ ) 3 2 − − [ 1 ] [ 2 ] M k M k © ¹ © ¹ © k + 1¹ M [0] ȱȱȱǻŗŜǼȱãȱȱ £ǰȱȱȱȱȱȱ ûȱǰȱ£ȱ ȱ£Ǳȱ ȱ 9 Potenzsummen § k +1 · ¨¨ ¸¸ k +1-t © k + 1 − t ¹ W [t ] = ( −1) , ûȱȱȱȱŖȱǂȱȱǂȱȬŗȱ M [t ] 315 (17) ȱǻŗŝǼȱ ȱȱǻŗŜǼȱ£Ǳȱ ȱ ( k + 1) S k ( n) = n k +1 + n k (W [k − 1] A[ k − 1][k ]) + n k −1 (W [k − 1] A[ k − 1][k − 1] + W [ k − 2] A[ k − 2][k − 1]) + n k − 2 (W [k − 1] A[ k − 1][k − 2] + W [k − 2] A[k − 2][k − 2] + W [k − 3] A[ k − 3][k − 2]) + ... ǻŗŞǼ n p (W [ k − 1] A[ k − 1][ p ] + W [k − 2] A[k − 2][ p ] + ... + W [ p − 1] A[ p − 1][ p]) + ... n(W [k − 1] A[ k − 1][1] + W [k − 2] A[k − 2][1] + ... + W [0] A[0][1]) + (W [k − 1] A[k − 1][0] + W [ k − 2] A[ k − 2][0] + ... + W [0] A[0][0]) ȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱǽŖǾǽŖǾƽŖȱ§ȱȱȬ ȱǽŖǾǽŖǾǽŖǾȱ ǯȱȱ £ȱȱ£ȱȱȱȱȱ ȱãȬ ȱȱȱ¢ȱȱȱûȱǽǾȱȱ Ǳȱ ȱ k −1 ° W [t ] A[t ][0] für p = 0 ° t =1 °° k −1 (19) F [ p ] = ® W [t ] A[t ][ p] für alle p mit 1 ≤ p ≤ k °t = p −1 °1 für p = k + 1 ° °¯ ¦ ¦ ȱ ȱȱǻŗşǼȱȱǻŗŞǼȱ£ǰȱǱȱȱ ȱ S k ( n) = ȱ 1 ( F [ k + 1]n k +1 + F [ k ]n k + F [ k-1]n k-1 + ...F [1]n + F [0]) k +1 (20) ȱȱȱǰȱȱȱȱȱȱȱ§ȱǯȱȱ ûȱ ȱȱȱȱȱȱǯȱȱȱ ǰȱȱ ȱȱ ȱȱȱȱǽŖǾǰȱǽŗǾǰȱǳǰȱǽǾǰȱǽƸŗǾȱȱȱȱȱȬ ǯȱȱ ȱȱȱǻŘŖǼǱȱ ȱ 316 Grundlegende Algorithmen mit Java 1 ( F'[ k + 1]n k +1 + F'[k ]n k + F'[k-1]n k-1 + ...F'[1]n + F'[0]) , ȱ ȱ ȱǻŘŗǼȱ ( k + 1)Q F'[r ] = F [r ] ⋅ Q, 0 ≤ r ≤ k + 1 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǽǾȱ ǰȱ ȱ ȂǽǾȱ£ȱǰȱȱǻƸŗǼȱȱȱȱȱûȱǻǼȱǯȱ S k (n) = Der Algorithmus ȱȱȱȱȱǰȱȱǽŖǾƽŗǰȱǽŖǾǽŗǾƽŗǰȱǽŖǾǽŖǾƽŖǯȱȱ ȱȱȱǱȱ ȱ ȏȱ ȱ ŗǯ ȱȱǻŖȱ≤ȱȱ≤ȱŘŖǼȱ ȱ Řǯ ǻȱǽƸŗǾǽƸŗǾȱǼȱ ȱ řǯ ǽŖǾƽŗǰȱǽŖǾǽŗǾƽŗǰȱǽŖǾǽŖǾƽŖȱ Śǯ ȱǻȱ←ȱŗǰȱǲȱȱŗǼȱ¡ȱȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŚǯŗǯȱȱƽȱŗȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŚǯŘǯȱȱǻȱ←ȱȬŗǰȱŖǲȱȱȬŗǼȱ¡ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾȱƽȱ¢ǻȱȘȱǽƸŗǾǽƸŗȬǾȦǽǾǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƽȱȱȘȱǻȬŗǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱŚǯřǯȱȱǻȱ←ȱǰȱŖǲȱȱȬŗǼȱ¡ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾȱƽȱǻŖȦŗǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻȱ←ȱȬŗǰȱȬŗǲȱ≥ȱŖǲȱȱȬŗǼȱ¡ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾǯȱǻǽǾȘǽǾǽǾǼȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱŚǯŚǯȱǽƸŗǾȱƽȱȱǻŗȦŗǼȱ ȱ ȱȱȱŚǯśǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƽȱȱǻǽǾǰȱƸŗǼȱ ȱ ȱȱȱŚǯŜǯȱǽǾȱȱȱƽȱǻƸŗǼȘȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱŚǯŝǯȱȱǻȱ←ȱƸŗǰȱŖǲȱȱȬŗǼȱ¡ȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ¡ȱȱȱƽȱ¢ȱǻǽǾȘǼȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾǽǾȱƽȱǻ¡Ǽȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȏȱ śǯȱȱȱȱȱȱȱȱǽǾǰȱǽǾǽƸŗǾǰȱǽǾǽǾǰȱǳǰȱǽǾǽŗǾǰȱǽǾǽŖǾȱ ȱ ȱȏ ȏ ȱ ȱ 9 Potenzsummen • 317 ȱȱŘȱȱȱȱ£ȱȱ£ȱȱƸŗȱǻ§đȱ ȱ ǻŗřǼȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ȱ Ƹŗǰȱ ȱ ǻǼȱ £ȱ Ǽǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱ¢ȱ ȱȱ ȱȱǱȱ ȱ • • • • 1 1 • ȱ ȱȱǻŗşǼȱȱȱŚǯśȱȱȱǽƸŗǾȱȱ ȱȱ • ȱ ȱ Śǯśȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǽŖǾǰȱ ǽŗǾǰȱ ǯǯǯǰȱ ǽǾǰȱ ǽƸŗǾȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǻȱǼȱ ȱȱŚǯŜȱ ȱȱȱǽǾȱ§đȱǻŘŖǼȱ£ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Śǯŝȱ ȱ ȱ ȱ ǻŘŖǼȱ ȱȱ ǽǾǽƸŗǾǰȱ ǽǾǽǾǰȱ ǳǰȱǽǾǽŖǾȱǯȱ • • ȱȱ ǽǾǽŖǾȱƽȱǽǾǽǾȱƽȱŗȱûȱŖȱ≤ȱȱ≤ȱƸŗȱ ǽǾǽǾȱƽȱǽȬŗǾǽȬŗǾƸǽȬŗǾǽǾȱûȱȱŗ≤ȱȱ≤ȱƸŗǰȱŗȱ≤ȱȱǀȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱȱřȱ ȱȱȱȱûȱŖǻǼȱȱǻǻŘǼƸǻŗŚǼǼȱ ȱŚȱȱȱǰȱȱȱ ȱȱȱǽǾǽŖǾǰȱǽǾǽŗǾǰȱǯǯǯǰȱ ǽǾǽƸŗǾǰȱǽǾǰȱŗȱ≤ȱȱ≤ȱȱûȱ ǰȱȱȱȱãȱûȱŗǰȱŘǰǯǯǯǰȱȱ §đȱȱȱȱ ŚǯŗȱȱŚǯŘǱȱȱûȱǽǾȱ ȱȱȱǻŗŝǼȱǯȱȱȱ ¢ǻǼȱ ȱ ȱ û£ȱ ȱ ȱ ȱ £ûǯȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱãđȱȱȱ ȱȱȱ§ȱǰȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ Śǯřȱ ȱ ȱ ûȱ ǽǾȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŗşǼȱ ȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ǻȱ ȱȱ ȱ £ ȱ ȱ ûȱ Ǽȱ ¡§ȱȱ ȱȱǯȱȱ ¡§ȱȱȱȱ ǻřǼȱ ǻȱ Śȱ ȱ ȱ ȱ ȬǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ£ȱǯȱȱ ȱ £ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǯȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ãǱȱ ǻŖǼǰȱ ǻŗǼǰȱǯǯǯǰȱǻȬŗǼǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱûȱǻǼǱȱ ȱ Lösung ( Pk ) = Kombination( Lösung ( P0 ) ,Lösung ( P1 ) ,...,Lösung ( Pk −1 )) ȱ ȱ 318 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱãȱȱȱǻǼȱȱȱȱãȱȱȱǻƸŗǼǰȱǻƸŘǼǰȱǳȱ ǰȱ ȱ ȱȱãȱȱȱȱȱȱȱǰȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱ ȱ £ȱ £ȱ ãǯȱ ȱȱȱȱȱ¢ȱǯȱ ȱ A[k][0] A[k][1] A[k][2] A[k][3] A[k][4] A[k][5] 0 0 0 0 0 1 1 1 0 -1 1 3 1 0 2 2 10 1 15 6 A[k][6] M[k] 1 2 6 4 30 ← ãȱȱƽȱŖ ← ãȱȱƽȱŗ ← ãȱȱƽȱŘ ← ãȱȱƽȱř ← ãȱȱƽȱŚ ← ãȱȱƽȱś ȱ §Ǳȱûȱȱ ȱ ȱȱȱȱȱ §ȱ ȱ ȱǰȱȱȱ ȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ §ǰȱȱȱȱȱȱǯȱ Programm import java.io.*; import java.util.*; public class P01SumOfPowers { private static final String FileInputName = "psum.in"; private static final String FileOutputName = "psum.out"; private final static int MAX_NO = 20; private static void genCombinations(long C[][], int n) { C[0][0] = 1; £ȱǻȱ for (int i = 1; i <= n; i++) { ǼǱȱ C[i][0] = C[i][i] = 1; §n· for (int j = 1; j < i; j++) ¨ ¸ = 1, wenn k = 0 oder n = k C[i][j] = C[i-1][j-1]+C[i-1][j]; ¨© k ¸¹ } § n · § n − 1· § n − 1· ¨¨ ¸¸ = ¨¨ ¸¸ + ¨¨ ¸¸, n > k , k ≠ 0 } © k ¹ © k − 1¹ © k ¹ (ȱûȱȱ ȱȱ ¢ȱ) public static void main(String args[]) throws IOException { Scanner scanner = null; PrintStream out = null; try { scanner = new Scanner(new File(FileInputName)); 9 Potenzsummen out = new PrintStream(new File(FileOutputName)); Fraction fr[] = new Fraction[MAX_NO+2]; Fraction W[] = new Fraction[MAX_NO+1]; long C[][] = new long[MAX_NO+2][MAX_NO+2]; genCombinations(C, MAX_NO+1); long M[] = new long[MAX_NO+1], Q; M[0] = 1; long A[][] = new long[MAX_NO+1][MAX_NO+2]; A[0][1] = 1; A[0][0] = 0; for (int p = 1; p <= MAX_NO; p++) { int sign = 1; for (int t = p-1; t >= 0; t--) { W[t] = new Fraction(sign*C[p+1][p+1-t], M[t]); sign *= -1; } for (int t = p; t >= 0; t--) { fr[t] = new Fraction(); for (int r = p-1; r >= t-1 && r >= 0; r--) { fr[t].add(W[r].multiply(A[r][t])); } } fr[p+1] = new Fraction(1, 1); Q = Fraction.lcmDenomin(fr, p+1); M[p] = (p+1)*Q; for (int t = p+1; t >= 0; t--) { A[p][t] = fr[t].multiply(Q).getNumerator(); } } while (scanner.hasNextInt()) { int k = scanner.nextInt(); out.print(M[k]); out.print(' '); for (int t = k+1; t >= 0; t--) { out.print(A[k][t]); out.print(' '); } out.println(); } } finally { if (scanner != null) scanner.close(); if (out != null) out.close(); } } } 319 320 Grundlegende Algorithmen mit Java class Fraction { private long numerator; private long denominator; Fraction(long numerator, long denominator) { this.numerator = numerator; this.denominator = denominator; this.simplify(); } Fraction() { this.numerator = 0; this.denominator = 1; } long getNumerator(){ return numerator; } void add(Fraction other){ this.numerator = numerator*other.denominator + denominator*other.numerator; this.denominator = denominator*other.denominator; this.simplify(); } Fraction multiply(long n){ return new Fraction(numerator*n, denominator); } private static long gcd(long a, long b) { while (b != 0) { ȱȱǻǼǱȱ long r = a % b; ȱ ȱ ãđȱ ȱ ȱ a = b; ǻǼȱ£ ȱûȱȱ b = r; } return a; } void simplify() throws ArithmeticException { long d = gcd(this.numerator, this.denominator); this.numerator /= d; Ȭȱ ȱ ȱ ãđȱ ȱ this.denominator /= d; ȱȱȱȱ§ȱȱ if (this.denominator < 0) { Ȭȱ û£ȱȱȱ this.denominator *= -1; Ȭȱ ȱ ƽƽŖǰȱ ȱ ¡ȱ this.numerator *= -1; ȱ } } 9 Potenzsummen 321 static long lcm(long a, long b) { return (a/gcd(a, b))*b; } ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ûȱȱȱȱȱȱȱ a ⋅ b ȱ gcd( a, b) static long lcmDenomin(Fraction fr[], int n) { long gcd = 1; ȱ ȱ ȱ if (n == 0) ȱȱȱ return 1; ǻǼȱ ȱ ȱ ȱ ûȱ ǽǾǰȱ gcd = fr[0].denominator; ȱȱȱǱȱ for (int i = 1; i < n; i++) { gcd = lcm(gcd, fr[i].denominator); ȱǻµµǼȱƽȱȱǻǻµǼµǼȱȱ ȱ } ǻȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ return gcd; £ȱ ȱ ǰȱȱ } ȱ ȱ ȱ ȱ £ȱ ãđȬ } ȱ£ȱ£ȱûǯǯǯǼȱ Aufgaben ŗǯ Řǯ ȱǰȱȱûȱřȱȱûȱȱǰȱǰȱȱǱȱȱȱǻµµǼȱƽȱ ȱǻǻµǼµǼǯȱ ȱȱǰȱȱȱ£ȱȱȱȱǱȱ S k (n) = Fk +1n k +1 + Fk n k + ... + F1n + F0 ǰȱȱ ȱ ȱƸŗǰȱǰȱǯǯǯǰȱŖȱû£ȱûȱǰȱ£ǯǯǱȱȱ n S0 ( n) = ¦i = n ȱ ȱ 0 ȱ ȱ ȱ ȱ i =1 n S1 (n) = ¦ i = 2 n + 2 n ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 1 i =1 n S 2 ( n) = 1 2 ȱ ¦ i = 3 n + 2 n + 6 n ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ 2 1 3 1 2 1 i =1 ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱǯȱ Ǳȱ psum.in 2 5 0 ȱ řǯ psum.out 1/3 1/2 1/6 0 1/6 1/2 5/12 0 –1/12 0 0 1 0 ȱȱȱȱǱȱ ȱȱȱȱȱȱȱǼȱ S3 ( x ) = ( S1 ( x)) 2 ȱ 322 Grundlegende Algorithmen mit Java Ǽȱûȱȱȱ≥ȱŗȱǱȱȱ¢ȱ S k (x) ȱȱȱ S1 ( x) ȱȱȱ S k ( x) = S k (−1 − x) ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ǻŘŘǼȱ Ǽȱûȱȱȱȱ≥ȱŗȱǱȱȱ¢ȱ S k (x) ȱȱȱ S 2 ( x) ȱȱȱ ȱ S k ( x) = − S k (−1 − x) ȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ǻŘřǼȱ Ǽȱûȱȱȱ≥ȱřȱǱȱȱ¢ȱ S k (x) ȱȱȱ S3 ( x) ȱǯȱ Ǽȱ ȱ S k ( n) = ak +1n k +1 + ak n k + ... + a1n + a0 ȱȱ ak − 2 = ak − 4 = ... = 0 ǯȱȱ Ǳȱ ȱ ãȱ ȱ £ȱ £ ȱ S k (x) ȱ ȱ S k ( − x) ȱ ȱ ȱ ȱ ǻŘŘǼȱȱǻŘřǼȱǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱôȱȱȱ§ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱǯȱȱ ȱ ¢ȱ ȱ Literaturverzeichnis ȱ ȱ ǽŖŘǾȱ ǽŞřǾȱ ǽşřǾȱ ǽşŚǾȱ ǽŝŗǾȱ ǽŖŚǾȱ ǽŖŖǾȱ ǽşşǾȱ ǽŖŘǾȱ ǽşŜǾȱ ǽ şŗǾȱ ǽ ŝşǾȱ ȱǰȱ ûȱǯȱǰȱȱ ȱȱ ǰȱȱȬ ǰȱŘŖŖŘǯȱ ȱǰȱȱȱ©ȱȱȱȱ©ȱ ǰȱ ȱ©ȱóȱ©ǰȱóǰȱŗşŞřǯȱ ¢ǰȱǯȱǯǰȱȱ¢ ǯȱȱǰȱȱȱ ǯǰȱ ǰȱŗşşřǯȱ ǰȱ ǯǰȱ ǰȱ ǯǰȱ Ȭ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱ Ȧǰȱ ȱ Ȃȱ ȱȱ ȱ ȱǰȱŗşşŚǯȱ ǯȱ ǯǰȱ ǯǰȱ ȱ ¡¢ȱ ȱ Ȭȱ ǰȱ ǯȱ řȱ Ȭ ȱȱ¢ǯȱ¢ȱȱǰȱǯȱŗśŗȬŗśŞǯȱ ǯȱ ǯȱǰȱǯȱǯȱǰȱǯȱǰȱǯȱǰȱȬȱȬ ûǰȱȱǰȱûǰȱŘŖŖŚǯȱ ȱǰȱ ǰȱȬǰȱ ǰȱŘŖŖŖǯȱ ǰȱǯǰȱǰȱǯǰȱ¡ȱȂȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǯǰȱ ǯȱ řŖřȬřŖŜǰȱ ŗşşşȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ Ȃȱ ¢ǰȱ ǰȱŘŖŖŘǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ǰȱ ȱ ǰȱ ǰȱ ŗşşŜǯȱ ȱ ǰȱ ȱ óȱ ȱ ȱ ©ǰȱ ȱ ©ǰȱ óǰȱŗşşŗǯȱ ¢ǰȱǯȱǯǰȱȱ ǰȱǯȱǯǰȱȱȱȱ ¢Ǳȱȱ ȱȱȱ ¢ȱȱȬǰȱȱǯȱ ǯȱǰȱ ȱȱǯȱ 324 ǽ Ǿȱ ǽ şŚǾȱ ǽ ŖřǾȱ ǽ ŖŘǾȱ ǽ şŝǾȱ ǽ şşǾȱ ǽ ûŖŜǾȱ ǽŖŗǾȱ ǽŖśǾȱ ǽŖśǾȱ ǽŖśǾȱ ǽŖŜǾȱ ǽŖŜǾȱ ǽŖŜǾȱ ǽŖŜǾȱ ǽŖŝǾȱ ǽ§ŖŗǾȱ Grundlegende Algorithmen mit Java £ȱ©ǰȱȱ£ǰȱȱȱ ȱ ǯȱ ǯǰȱ ȱ ǯȱ ǯǰȱ ȱ ǯǰȱ ȱ ǰȱ Ȭ¢ǰȱŗşşŚǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ǯȱ ûȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ £ȱ ǰȱ Řǯȱ ǰȱ ȱ ǰȱ Ȭ ǰȱŘŖŖřǯȱ ȱ óǰȱ ȱ ©ǰȱ ôȱ ǰȱ ȱ ©ǰȱ ȱ ƸƸǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭǰȱ ȱ ǰȱ óǰȱ ŘŖŖŘǯȱ ȱǯȱ ǰȱȱȱȱȱǰȱȱ ǱȱȬ ȱ ǰȱ Ȭ¢ȱ ǰȱ ǲȱ Ǳȱ řǯȱ ǯǰȱ ŗşşŝǯȱ ȱǯȱ ǰȱȱǯȱǰȱȱǯȱ Ȭ ǰȱǰȱȱǯǰȱȱǰȱŗşşşǯȱ ȱ ûǰȱ ȱȱ ȬǰȱŚǯǰȱȱȬ ǰȱȬ¢ǰȱûǰȱŘŖŖŜǯȱȱ ȱ ©ǰȱ ƸƸǯȱ ȱ £ȱ óȱ ǰȱ ȱ ǰȱ óǰȱŘŖŖŗǯȱ ȱ ©ǰȱ ȱ ȱ ǰȱ ǰȱ ŗśȦŘȱ ŘŖŖśǰȱ ǯȱ ŚŖȬŚřǰȱ ǱȱǱȦȦ ǯǯȦȦŗśȏŘȦŘǯǯȱ ȱ ©ǰȱ kȱ ȱ ǰȱ ǰȱ ŗśȦśǰȱ ŘŖŖśǰȱ ǯȱ řŜȬŚŗǰȱ ȱ Ǳȱ ǱȦȦ ǯǯȦȦŗśȏśȦŗǯǯȱ ȱ©ǰȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱƸƸǰȱ ǰȱŗśȦśǰȱǯȱŘŝȬřŖǰȱǱȱ ǱȦȦ ǯǯȦȦŗśȏśȦŗǯǯȱ ȱ©ǰȱ£ȱ©ȱÉȱǯȱôǰȱȱǰȱ óǰȱ ŘŖŖŜǯȱ ȱ ©ǰȱ ȱ ǰȱ ȱ ¢ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ řȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱȱǻ ǼǰȱȱřşŖŝǰȱǯȱřŘŖȬřřŗǰȱ ǰȱŘŖŖŜǯȱ ȱ©ǰȱ ¢ȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ŘŖŖŜǰȱȱ ¢Ȭ ȱȱȱǰȱǯȱŜśȬŞŖǰȱ óǯȱ ȱ ©ǰȱ ȱ ȱ ãȱ ȱ ƸƸǰȱ Ȭ ǰȱǰȱŘŖŖŜǯȱ ȱ ©ǰȱ ȱ ȱ Éȱ ƸƸǯȱ ôǰȱ ǰȱ óǰȱ ŘŖŖŝǯȱ ȱ đȱ §ǰȱ ȱ ȱ ǯȱ ȱ ǯǰȱ ûǰȱŘŖŖŗǯȱ Literaturverzeichnis ǽŖŘǾȱ ǽşśǾȱ ǽşŝǾȱ ǽşŞǾȱ ǽ©ŞřǾȱ ǽŖŚǾȱ ǽşŞǾȱ ǽşŝǾȱ ǽşşǾȱ ǽŖřǾȱ ǽşŝǾȱ ǽŞŜǾȱ ǽŜŜǾȱ ǽŜŝǾȱ ǽŖŜǾȱ ǽŞŗǾȱ ȱ 325 ǯȱ ñǰȱ ǯȱ ñìǰȱ ȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱǰȱŘŖŖŘǯȱ ǰȱǯǰȱǰȱǯǰȱ ǰȱǯȱǯǰȱȱȱȱȱȬ ǰȱȱ Ȃȱȱȱȱ¢ǯǰȱŗşşśǯȱ ǰȱ ǯǰȱ ǰȱ ǯǰȱ ǰȱ ǯȱ ǯǰȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ȱǰȱȱ ȱ Ȃȱǯȱȱ ǰȱŗşşŝǯȱ ǰȱǯǰȱǰȱǯǰȱǰȱǯǰȱȱȱȱȬ ȱȱ£ȱǰȱȱȱȱǯǰȱǯȱŜşŚȬŜşŝǰȱŗşşŞǯȱ ǯȱ ©©ǰȱ ǯȱ ô©ǰȱ ǯȱ ǰȱ ǯȱ ôǰȱ ¡ôȱ óȱ ȱ ȱ ©ǰȱȱ©ȱóȱ©ǰȱóǰȱŗşŞřǯȱ ȱ £ǰȱ ȱ ûȱ ǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ ǰȱ ȱǰȱǰȱŘŖŖŚǯȱ £Ȭȱ ǰȱ ȱ ûǰȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǯȱǰȱ ȱȱȱ ǰȱŗşşŞȱ ȱǰȱȱǯȱȱȱȱ ȬǰȱȱȱȬ ǰȱǰȱŗşşŝǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ǰȱǰȱŗşşşǯȱ ȱ ǯȱ ǰȱ ȱ ǯȱ ǰȱ ȱ ǯȱ ȱ Ȭ ȱȱȱǰȱȬǰȱ ȱǰȱŘŖŖřǯȱ ǰȱǯǰȱ ȱȱȱ¢ȱȱǰȱȬ ǰȱǰȱ ǯȱ ǯȱǰȱǯȱǰȱȱǰȱȬǰȱ Ȭ ǰȱŗşŞŜǯȱ ȱǰȱûȱȱȱãȱǰȱȱ Ǳȱ ǰȱ ǯȱǰȱûȬǰȱŗşŜŜǯȱ ȱǰȱûȱȱȱãȱǰȱȱ ǱȱȱȬ ȱ ȱ ȱ §ǰȱ ǯȱ ǰȱ ûȬǰȱ ŗşŜŝǯȱ ȜȱǰȱȱȱŜȱ ȱǰȱȱ£Ǳȱ ǱȦȦǯǯȦȦŜȦȦȦǰȱȱ¢ǰȱ ǰȱŘŖŖŜǯȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ©ȱ óȱ ȱ ǰȱ ȱ ©ȱóȱ©ǰȱóǰȱŗşŞŗǯȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ 326 Grundlegende Algorithmen mit Java ȱ£ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱǱȦȦǯ ǯȦ Ȧ ȱ ȱǱȦȦǯǯȦȦȱȱ ȱǱȦȦǯǯǯȦȱȱ ȱǱȦȦ ǯ ǯȦȱȱ ȱǱȦȦ¢ǯǯȦȦȦȦȱȱ ȱǱȦȦ¢ǯ ǯǯȦȦȱȱ ȱǱȦȦ ǯǯȦȱȱ ȱǱȦȦ ǯ ǯȦȱȱ ȱǱȦȦ ǯȬȬǯȱ ȱǱȦȦ ǯǯȦȱȱ ȱǱȦȦǯǯȦǅřȦŖǯȱȱ ȱǱȦȦǯȦȬȦȱȱ ȱǱȦȦ ǯǯǯȦȦȦŘǯȱ ȱǱȦȦ ǯǯȱ ȱǱȦȦ ǯȬǯȱ ȱǱȦȦ ǯȬǯȦǯȱ ȱǱȦȦ ǯǯǯȦ ȦŘŖŖŜȦŖŜŖŘŗŚȏǯȱȱ ȱǱȦȦ Ȭŗǯǯ ȬǯȦǅȱ ȱǱȦȦ ȬǯǯȦǅȦȦǯȱ ȱǱȦȦǯǯȦȦŜȦȦȦȦȦ¢ǯȱ ȱǱȦȦǯȦȬȦ ȦȦǯȱ ȱǱȦȦ ǯǯȬȱ ǯȦȦŘŖŖřȦ¢ȦȦŖřŖşǯȱ ȱ ȱ ȱȱȱ ȱ ȱ Stichwortverzeichnis ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ řȬȬȱȱŘřŘȱ ̋ȬȱȱŗŘȱ ̛Ȭȱȱŗřȱ ƋȱȱŗŗŚǰȱŗŜśȱȱȱ A ȱȱŗŖŜȱ absȱȱŗŝŚǰȱŗŞŗǰȱŗşŖǰȱŘŝŝȱ ȱȱȱŘŚŖȱȱ ȱȱŗŗȱ ȱ ȇȱ ȱ ȱ ȱ Ȭ £ȱȱŗȱ §§ȱȱřŜȱ ǰȱȱȱŗŗŞȱȱ ȱȱŗŗŞȱ addȱȱŚŘǰȱśŚǰȱŜŖǰȱşŗǰȱŗřŗǰȱŗřŚǰȱŗŚŖǰȱŗŚŝǰȱŗŜśȱ addFirstȱȱşŗȱ addLastȱȱşŖȱȱȱ £ȱȱŘŘŘȱȱȱ ££¡ȱȱŞǰȱŜŞǰȱŘŘŘȱȱ §ȱȱȱŘŜŗȱȱȱ ȱŗŖǻǼȱȱ ȱǻǼȱȱŘşȱ ȱ ȏǻǼȱȱŘŞŞȱȱȱ ȏȏ ȱȱŗŝŜȱȱȱ ȏȏȱȱŗŝŜȱȱ ȏ ȏ ȱȱśȱȱ ȏȏ ȱȱŘŞŝȱȱȱ ȏ ȱȱŗŚŜȱ ȏŗŖȱȱŗŘŗȱȱȱ ȏ ȱȱŘȱ ȏ ȏ ȱȱŝŚȱ ȏȱȱŗŜřȱȱȱ ȏ ȱȱŘřřȱ ȏȱȱŘřřȱ ȏ ¢ȱȱřşȱȱ ȏ ȏȱȱŘŗŘȱ ȏ ȱȱśşȱ ȏ ȱȱśŗȱ ȏȱȱŘŚŜȱȱ ȏȏȱȱŗŝřȱȱ ȏ ȏȱȱŞŖȱȱ ȏ ȏȱȱŝŞȱȱ ȏ ȏȏȱȱŘŖŞȱȱȱ ȏȱȱřŗŜȱ ȏȏȱȱŝřȱ ȏȏ ȱȱŝřȱ ȏȱȱŝşȱȱ ȏŘȱȱŞŖȱ ȏ ȏ ȱȱŗŖŞȱȱ ȏ ȏ ȱȱŚȱ ȏȱȱŝşȱ ȏ ȱȱŜȱ ȏ ȏ ȱȱŘŞȱ ȏ ȏ ȱȱřŖŝȱ ȱǻǼȱȱȱȱŗŜŚȱ ȱȱȱȱȱŝśȱȱ ȱȱŗŖȱ Ȭȱȱŗȱ ȱȱŗŖȱ allocateȱȱŘŚŘǰȱŘŝŘȱ ¢ȱȱ ¡§ȱȱŗŜȱ £ȱȱ ȱȱŗŞŗȱ 328 £ȱȱȬȱȱŗŝŞȱ £ȱȱȱȱŗŝşȱ £ȱ ȱ ȱ ûȱ ȱ Ȭ ȱȱřŖŚȱ £ȱȱ £ȱ¡ȱȱŗśŞȱ £ȱȱȱȱȱŗŞŜȱ £ȱȱȱȱȱȱŗŖŝȱ £ȱȱûǰȱûȱȱ ȱȱŗśŖȱȱ £ȱ§ȱ§§ȱȱŜřȱ appendȱȱřśǰȱŗŗŖǰȱŗŜŖȱ ȱȱřŖśȱ ArithmeticExceptionȱȱřŘŖȱ arraycopyȱȱŞŖǰȱŞŝȱ ArrayDequeȱȱŞřǰȱŞşȱ ArrayListȱȱŚŗǰȱśŘǰȱśŚǰȱŜŖǰȱşŗǰȱŗŚŜǰȱŗśŚǰȱŗŜśȱ ArraysȱȱřŖǰȱřřȱ asListȱȱřřȱ assertȱȱřŖǰȱřŜȱ AssertionErrorȱȱřŜȱȱȱ ȱȱŘřŞȱȱȱ ȱȱȱŘŝǰȱŘŚŖȱ ȱȱřŚȱ ¢ȱȱřŚȱ ȱŗŖŖȱ ȱȱȱȱşŚȱȱȱ B ȱȱŗŜşǰȱŘřśȱ ǰȱǰȱȱȱ ȱȱŘŘŜȱ ȱȱȱȱȱŘŘŞȱȱ ȱȱŚşǰȱŗŖśǰȱŗśŝǰȱŘřřȱ ȱȱǵǱȱȱŚřǰȱŜŘǰȱŗŘŜǰȱŗŚŝǰȱŗŜŗǰȱ ŘŖşǰȱŘśśȱ ȱȱŘśǰȱŗŝŘȱ ǰȱȱȱŘřŗȱ ȱ£ȱȱŗŜşȱȱȱ ȱȱȱŗŖśȱ ȱȱŗŖȱȱ ȱȱȱȱȱŘřŗȱ ȱȱŗŗǰȱŗŖŖǰȱŗŖşǰȱŗŗŗǰȱŗŘŞǰȱŘŚŖȱ ȱ ȱ §ȱ ȱ ȱ ŗŖŗǰȱ ŗŖřȱȱȱ ££ǰȱ¡ȱȱŗŜşȱ BigDecimalȱȱŗŗŚȱ Grundlegende Algorithmen mit Java BigIntegerȱȱŗŗŗǰȱŘřşȱȱ ȱȱȱŗŞȱ §ȱȱśŜȱȱȱ §ȱȱȱŚȱ § ȱȱśŜǰȱŜśȱȱȱ £ȱȱŘřśǰȱŘřşǰȱŘŝřǰȱřŗŞȱȱȱ ȱ £ȱ ǻ Ȃȱ Ȭ ǼȱȱŗŖŘǰȱřŗŘȱȱȱ Ȭȱ BitSetȱȱŞŚǰȱŘŖŗǰȱŘŗŞȱ ȱȱśŜȱ BooleanȱȱŜŘǰȱŞşȱ ȬȬ£ȱȱŘřŚȱ ȬȬȱȱŜŜȱȱ C P ] 164ȱȱ ·ȱȱȱŘŗŚȱȱ §ǰȱ ȱȱŗŚśȱȱȱ ȬȱȱŜřǰȱŘŘŚǰȱŘŝśǰȱŘŞŜǰȱŘşŘȱ catchȱȱřŗǰȱřŚȱȱȱ ¢Ȭ £Ȭȱ ǻ £Ȭ ȱǼȱȱŗŖŘȱ CharacterȱȱŘŗŝȱ charAtȱȱŜŖǰȱŗŜŖǰȱŘŖşǰȱřŖŘȱ clearȱȱŞŝǰȱŘŖřǰȱŘŗŖǰȱŘŗşȱ cloneȱȱŘŖřȱȱȱ closeȱȱřŗǰȱŚŘǰȱŚśǰȱŚŞǰȱśŚǰȱŜŗǰȱşŚǰȱŗŗŖȱ Ȭȱȱŗşȱȱ ȱȱȱ§ȱȱśŜȱ ȱȱȱ§ȱȱśŜȱ £ȬȱȱŗŖŜǰȱŗŘśȱ CollectionsȱȱŚŖǰȱŚŘȱȱȱ ȏȱȱŘŗŗȱ ComparableȱȱŘşǰȱřřǰȱŚŘǰȱŜŗȱ compareȱȱŚřȱ compareToȱȱřŖǰȱřřǰȱŚŖǰȱŚřǰȱŜŘȱ ȱȱȱŗŖŜǰȱŗŗŞȱ ǰȱȱǰȱǯȱǯȱȱŘŖȱ currentTimeMillisȱȱŘřŝȱȱȱ D ȱȱŝǰȱřŘǰȱŗŘŗȱ Stichwortverzeichnis ȱȱȱȱŜśȱȱȱ ȱȱřŘǰȱŚŖǰȱŗŜřǰȱŘśśǰȱřŗşȱ ȱȱŜśȱ ȱȱ £ȱȱ ȱŗŜŝȱ Ȭ ȱȱřŘȱ ȱȱśŜȱ deleteȱřŖřȱ DequeȱȱŞŘǰȱŞşȱ ȱȱŗŖȱȱ ȱȱȱŘȱȱ ȱȱŚȱȱŗŖŞȱ digitȱȱŘŗŝȱ DimensionȱȱŗřŗǰȱŗřřǰȱŗřŞȱȱȱ ȱȱȱŗŖŜǰȱŗřŖȱȱ ȱ ȱȱŗŖŖǰȱŗŖŘǰȱŗŖşǰȱŗŗŗǰȱŗŘŞȱȱȱ ȱ Ȭȱ ǻǼȱȱ ŗŜŘȱ ȱȱ ȱȱŗŚśȱȱ ȱȱȱȱŗŗŗȱȱ ȱȱŘśřȱ ȱȱûȱȱŗŜŞȱ ǰȱ ȱȱŜŜǰȱŝŗȱ DoubleȱȱśŘȱ ȱȱȱȱŞŘȱ drawLineȱȱŗřşȱ drawOvalȱȱŗřřȱ drawRectȱȱŗřŗǰȱŗřŚȱ ȱȱŜŝȱȱ Ȭ §ȬȱȱŝŞȱ ¢ȱȱȱŘŝǰȱŘřŗȱȱȱ E Ȭ£ȱȱŘşŝȱȱȱ £ȱȱŗŜŘȱ ȱȱȱŗŗȱ ȱȱŗŖȱ ȱȱŗŖŜȱ enstrySetȱȱśśǰȱŜŖǰȱşŘȱȱȱ ȱȱŗŞǰȱŝŘȱ ȱȱ ¢ȱȱřȱ ûȱȱŘŖȱ ȱȱȱşśȱ ȱ ȱȱşŜȱ ȱȱŘȱȱȱ 329 ȱȱȱŘŞŞȱȱ ȱȱȱŘǰȱřŘŖȱ ǰȱȱȱŗŜŚǰȱŘŗŚȱ ¡ȬȱǻǼȱȱŝŚȱ EXIT_ON_CLOSEȱȱŗřŗǰȱŗřŚȱȱȱ ¡ȬȱȱŜŜȱ F ȱȱȱǻǼȱȱȱ ȱȱȱŗŖŜǰȱŗŘřȱ ȱǻȱǼȱȱŘřŜȱȱȱ ȬȱȱŗŖśǰȱŘřŘȱ FileȱȱřŖǰȱřśǰȱŚŗǰȱŚŚǰȱśřǰȱŜŖǰȱŗŗŖȱ FileReaderȱřśȱ fillȱȱřŗǰȱŘśşǰȱŘŝŝȱȱȱ finallyȱȱřŗǰȱřŚǰȱŚśǰȱǳǰȱŗŗŖǰȱǳȱ FloatBufferȱȱŘŝŘȱ flushȱȱŘřŞȱ Ȭȱ ȱ śŚǰȱ ŜŘǰȱ şŖǰȱ ŗŜŜǰȱ ŗŝŚǰȱ ŗŞŝǰȱ ŘŖŚǰȱŘŗŖǰȱŘŚŘǰȱŘŜŖǰȱŘŝŝȱ FormatterȱȱŗŘřȱ ȱȱŗśŞȱ ȱȱŗşŗȱ ȱȱŗřśȱȱȱ ȱȬȱȱŗŚŗȱ G gcdȱȱŗŗŗȱ £ȱȱřŘȱ ȱȱŘŖŞǰȱřŗŝȱ ȱȱŗřśȱ ȱȱȬȱȱŞŖȱ ȱȱȬȱȱŝŞǰȱŗŝŖȱ ȱȱȱȱŗŝşȱ ȱȱȱŗŘŞȱ £ȱȱȱȱŜŝȱ getȱȱŚŘǰȱśŘǰȱŜŖǰȱşŗǰȱŗŚŝǰȱŗŜśǰȱǳǰȱŘŗŖǰȱŘŚŘȱ getContentPaneȱȱŗřŗǰȱŗřŚǰȱŗŚŖȱ getDefaultToolKitȱȱŗřŗȱ getFirstȱȱşŗȱ getKeyȱȱśśȱ getLastȱȱşŗȱ getScreenSizeȱȱŗřŗȱ 330 getSizeȱȱŗřŗǰȱŗřřǰȱŗřŞǰȱŗŚŖȱ getValueȱȱśśǰȱŜŗȱ ȱȱ ȱȱŚşȱ ȱȱ Ȭȱȱśŝȱ ȱȱ ȱȱŚşȱ ¢ȱȱǰȱȱȱřŞȱ ȱȱŗŖŘǰȱŗŘřǰȱŘŘśǰȱŘŞŗȱ ȱȱȱȱřŗŖȱȱȱ ȱȱşǰȱŗŞǰȱŚŞǰȱŝśǰȱŘřřȱ §ȱȱŘŖȱ ȱȱŘŖȱȱ GraphicsȱȱŗřŗǰȱŗřřǰȱŗřŞȱ ¢ȱȱřşǰȱŘřśȱ ¢ȬȬȱǻ ǼȱȱŝŚȱ ¢ȬȬȬȱ ǻ Ǽȱȱ ŝŚȱ ¢ǰȱ ȱȱŗŗŚȱ £ ȱȱŗŚȱ ãđȱȱȱȱŘǰȱŗŚŜǰȱřŘŖȱ H ȱȱŗşȱȱȱ Ȭ£ȱȱŜŜǰȱŘşŞȱ ȱȱŗŞǰȱřşȱ HashSetȱȱŘŖŗȱ hasNextȱȱśśǰȱŜŖǰȱŘŗşȱ hasNextDoubleȱȱŗśŘǰȱŗŜŜȱ hasNextFloatȱȱŚŘȱȱȱ hasNextIntȱȱřŖǰȱřśǰȱŗŗŖǰȱŗŗŜǰȱŗŘŚǰȱŗŚŝǰȱŗśŚȱ hasNextLongȱȱŗŗşǰȱŗŘŗǰȱŗŘŜǰȱŘŞŚȱ hasPreviousȱȱŜŗǰȱŘŚşȱȱȱ ȱȱȱȱŘŘŗȱ heightȱȱŗřŗǰȱŗřřǰȱŗřŞȱ ǰȱǯȱǯȱǯȱȱŗśřȱ £ȱȱȱȱȱŘřŖȱ ǰȱȱȱśŜȱ ȬȱȱśŜȱ Ȭ ȱȱśŜȱȱȱ I §ȱȱȱŗȱ §ȱȱŗŜŘȱȱȱ ȱȱȱŗŖŜǰȱŗřřȱ Grundlegende Algorithmen mit Java ȱȱŗŖŖȱ ȱȱŗŖŖȱ £ȱȱŗŖŖȱ ȱȱŗřśȱ insertȱřŗǰȱřśǰȱřŖřȱȱȱ IntBufferȱȱŘŚŗȱ Integer śŘǰȱŜŖǰȱŞşǰȱǳǰȱŗśŚ Integer.MAX_VALUEȱȱŚŝǰȱŘśŞǰȱŘŝŜȱȱȱ ȱȱŗśŖȱ ȱȱřřȱ intersectsȱȱŘŖŚȱ intValueȱȱśřǰȱşŖȱ ȱȱŜŜȱ IOExceptionȱȱŚŗǰȱŚŚǰȱŚŝǰȱśřǰȱŜŖǰȱşřǰȱŗŗŗȱ isDigitȱȱŘŗŝȱ isEmptyȱȱśśǰȱŜŖǰȱŘŖŚȱ ȱȱŗŞȱ isProbablePrimeȱȱŗŗŗȱ IteratorȱȱśŚǰȱŜŖǰȱşŗȱ iteratorȱȱśśǰȱŜŖǰȱşŗȱȱȱ J JFrameȱȱŗřŗǰȱŗřŚǰȱŗřşȱ JPanelȱȱŗřŗǰȱŗřřǰȱŗřŞȱ K ȱȱȱȱŘŚȱ ȱȱřŘȱȱȱ §ȱȱŝǰȱŚřǰȱŘŘŚȱȱȱ ȱǻǼȱȱȱȱŗŜŚȱ ȱȱȱŘŘśȱ ȬȬȱȱŘřŞȱȱȱ keyȱȱśřǰȱşřȱȱȱ ȱȱ¢ȱȱŜřȱȱȱ ȱȱȱ ȬȱȱŘŘŚȱ £ȱȱȱȱŗŞȱȱ ȱȱȱȱřŘŗȱ ȱôȱȱřŘŘȱ ǰȱ ȱȱȱŗřśȱ Ȃȱȱȱŗřśȱ ȱȱśŜȱȱȱ ȱȱŗŞŗȱ £Ȭȱȱşřȱȱ Stichwortverzeichnis ȱȱŘŖŜȱȱ ȱȱȱŘŖŜȱȱ ȱȱȱŘŖŜȱȱȱ ¡ȱȱȱŗŜŘȱȱȱ ¡§ȱȱŗŖǰȱŗŘǰȱŚŗǰȱśşǰȱŝŚǰȱŗśřǰȱŗśśǰȱŘŖŞǰȱ ŘřŚǰȱřŗŝȱȱ ȱȱǻ ǼȱȱŘŗȱ ȱ ȱȱŗŘȱȱ ȱȱŘşǰȱřŘȱȱȱ ¡ȱ ûȱȱŗśȱ ȱȱŗŘŝǰȱŗřŜȱ ȱȱŗŖȱȱȱ ǰȱȱ ȱȱŗşȱ ǰȱ ȱȱȱśŗȱȱ ȬȱȱŚŞǰȱŞřȱ L ¢ȱȱŘŘŞȱ §ȱȱȱȱŘŚŖȱȱȱ §ȱȱȱȱŘŝǰȱŘŚŖȱȱȱ §ȱȱȱȱŘŚśȱ £ȱȱŗŚȱ £ǰȱ ȱȱȱŗŗŚȱ lengthȱȱŞśǰȱŗŜŖǰȱŘŖşǰȱŘŝŝȱȱȱ ǰȱȱȱŘşŞȱ Ȭ£ȱȱŘşŞȱ ¡ȱȱŘŝǰȱŝŞǰȱŗŝşǰȱŘŘŗǰȱŘŞŞȱ ȱȱȱŘřŜȱȱ ȱȱȱŗŖŜǰȱŗŗśȱ ListȱȱŚŗǰȱśŘǰȱŜŖǰȱşŗǰȱŗŚŝǰȱŗśŚȱ ListIteratorȱȱśŚǰȱŜŗǰȱşŗǰȱŘŚşȱ listIteratorȱȱśśǰȱŜŗǰȱşŘǰȱŘŚşȱ LocaleȱȱŚŗǰȱśřǰȱŗŘŚȱ ȱȱȱŘŗǰȱŞŘȱ LongȱȱŗŘŖȱ Long.MAX_VALUEȱȱŘşśȱ ȱȱȱŝŜȱ ǰȱȱȱŗŚŞȱ ȬȱȱŘřŞȱȱȱ ȱ ǯǰȱ ãȱȱŗŚśȱ M ǰȱ ȱȱŗŗśȱ 331 ȱȱȱŗŜşǰȱŗŝŝȱȱȱ ȬȬȱȱŗŘŖȱȱȱ ȱȱȱȱŝȱ Map.EntryȱȱśŚǰȱŜŖǰȱşŗȱ Math.absȱȱŗŝŚǰȱŗŞŗǰȱŗşŖǰȱŘŝŝȱ Math.cosȱȱŗŜśȱ Math.maxȱȱśŚǰȱşřȱ Math.minȱȱśřǰȱşřǰȱŗřŗǰȱŗřřȱ Math.PIȱȱŗŜśȱ Math.powȱȱŘŞşȱ Math.randomȱȱŞśȱ Math.roundȱȱŘřŞȱ Math.sinȱȱŗŜśȱ Math.sqrtȱȱŗřŞǰȱŘŞşȱ maxȱȱśŚǰȱşřȱ ¡ȱȱȱȱŘŜȱ ȱȱřřȱȱȱ £ȱȱŘřŘȱȱ ûȱȱŘŖȱȱ ȱȱŗŚŜǰȱŗśśȱ ȱȱŜŝǰȱŘşŝȱ ȬȱȱŘşŞȱ minȱȱśřǰȱŗřŗǰȱŗřřȱȱȱ ȱȱȱŘŞŜȱȱȱ ȱȱȱŚşǰȱŝŜȱ ȱȱȱȱŗřŜȱ ȱȱȱȱȱŗŘȱ modPowȱȱŗŗŗȱ ȱȱŝśȱ Ȭ £ȱȱśŘǰȱŞřȱȱȱ ȱȱ£ȱȱŘşŗȱȱȱ ȱȱŘşřȱȱȱ N ȬȱȱŝŞȱ ûȱȱȱřřǰȱŚŗȱ ǰȱ£ǰȱǯȱȱŗŜşȱ ȬȬȱȱŗŜşȱȱȱ ȬȱȱȱŘśȱȱȱ nextȱȱśśǰȱŜŖǰȱŘŗşȱ nextBooleanȱȱŞśȱ nextClearBitȱȱŞŝȱ nextDoubleȱȱśŘǰȱŗŘŚǰȱŗśŘǰȱŗŜŜȱ nextFloatȱȱŚŘǰȱřŖŞȱ 332 nextIntȱ ȱ řŖǰȱ řśǰȱ ŚŚǰȱ Śŝǰȱ ŜŖǰȱ ŗŗŖǰȱ ŗŗŜǰȱ ŗŘŘǰȱ ŗřşǰȱŗŚŝǰȱŗśŚǰȱŗŝŚǰȱŗŞŜǰȱŗşŖǰȱŗşŘȱ nextLongȱȱŗŖŞǰȱŗŗřǰȱŗŗşǰȱŗŘŘǰȱŗŘŜǰȱŘŞŚȱ ȱ ȱ ǻǼȱ ȱ ȱ ŗŖŜǰȱ ŗŘśȱ ȬȱȱŘŗȱ Ȭ§ȱȱŗşǰȱŝŗȱ ȬûȬȱȱŗŝŞȱ NullPointerExceptionȱȱřřȱȱȱ O ȱȱȱŗřȱ ȱ ǻȱ Ǽȱ ȱ ȱ ŗŖŜǰȱ ŗŘśȱ Ȭȱȱŗřȱ §ȱȱŗśǰȱŘřŗȱȱȱȱ §£ȱȱŘřŗȱ ȱȱŗŞȱ ȱȱŗşŜȱȱȱ [ȱȱŞȱ ȱȱřŘȱȱȱ ȱȱřŘȱ P packȱȱŗřŗǰȱŗřŚǰȱŗŚŖȱ paintȱȱŗřŗǰȱŗřřǰȱŗřŞȱ parseIntȱȱşřȱ ȱȱûȱȱȱŗŞŘȱȱȱ ȱãȱȱŘŚŚȱȱȱ ȬȱȱŘśȱȱ ǰȱ ȱȱşşȱȱȱ ȱ¡ȱȱşşȱȱȱ ȱȱŘśǰȱŜŝǰȱŝŝȱȱȱ ȱǻƋǼȱȱŗŗŚǰȱŗŜśȱȱȱ ǰȱȱǻǼȱȱŘřŜȱȱȱ Ȭȱȱŗśřȱ Ȭȱȱŗśŝȱ ¢ȱȱŘŞŜȱȱȱ ¢ȱřŘȱȱȱ ¢ȱȱŗŜřǰȱŘŞŘǰȱřŗŖȱ positionȱȱŘŚŘȱȱȱ £ǰȱȱȱŗŖŝȱȱȱ £ǰȱȱȱŗŖŞȱ Grundlegende Algorithmen mit Java £ȱȱřŗŗȱȱ powȱȱŘŞşȱȱ §¡ȱȱśŜȱȱȱ ȬȱȱȱŗśŞȱ previousȱȱŘŚşȱ £ȱȱřŘŗȱȱȱ £ȱȱřǰȱŗŖŗȱ printȱȱřŗǰȱřŜǰȱŚŗǰȱŚŘǰȱŚśǰȱŜŘȱ printfȱȱŚŞǰȱśŚǰȱşŚǰȱŗŗŜȱ printlnȱȱřŗǰȱřŜǰȱŚŘǰȱŚŞǰȱśŚǰȱŗŗŖǰȱŗŗřȱ printStackTraceȱȱřŗǰȱřŚȱ PrintStreamȱȱŚśǰȱŚŝǰȱŜŖǰȱşřǰȱŗŗŖǰȱŗŗřȱ PrintWriterȱȱřŖǰȱřśȱȱ ȱȱȱûȱȱȱȱȱȬ ȱȱŗŝşȱȱȱ ȱȱȱûȱȱȱ ȱȱȱȱŗŞŖȱ ¡ȱȱŘşŘȱ putȱȱśŘǰȱśŚǰȱŜŖǰȱşŗǰȱŘŚŘǰȱŘŝŘȱȱȱ Q Ȭ§ȱȱŗśŝȱȱȱ ȬȱȱŘřŞȱȱȱ ȱȱŗŘŝǰȱŗśŞȱ ȱȱȱȱŗŖŜȱ ȱȱŗŚŜǰȱŗśŘȱ R ȱǻȱȱǼȱȱŗŗȱ RandomȱȱŞŚȱ randomȱȱŞśȱ ûȱȱȱŗŚŗȱ ȱȱŗŜŘȱ ȱȱŗśŘȱȱȱ ȱȱŗŖśȱ ȱȱŗśȱȱȱ ȱȱȱŗŝȱ ȱȱşşȱ ȱȱŘŜŞǰȱřŗřȱ ȱȱŘŜŞǰȱřŗřȱ ȱȱȱŗŖśȱ ȱ ȱȱŗŘŖȱ ȱ£ȱȱŗŖŝȱ Stichwortverzeichnis removeȱȱśśǰȱŜŗǰȱŗŝŝǰȱŘŗŖȱ replaceȱȱřŖŘȱȱȱ ȱđȱ£ȱȱŗŗŗȱ £ȱȱŜȱ roundȱȱŘřŞȱȱȱ ȱȱŘŖǰȱŚŖȱ §ȱȱŘŘȱȱȱ S ȱȱŘŖȱ £ȱǻĘǰȱ£ǼȱȱŘŚŖȱȱȱ £ȱȱȱǻȱǼȱȱŗŘřǰȱŘŞŘȱ ScannerȱȱřŖǰȱřśǰȱŚŗǰȱŚŚǰȱŚŝǰȱśřǰȱŜŖǰȱŗŖŞȱ ȬȱȱŗŖǰȱŘŖȱ ȱȱȱȱƸŗȱȱşşȱȱ ȱ£ȱȱŗŖŞȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱȱ ŗśȱ ȱȱȱȱȱŘŜŜȱ §ȱȱȱ ȱȱŗŚřȱ £ȱȱǻ¢Ȭ £ȬǼȱȱŗŖŘȱ SetȱȱŘŖŗȱ setȱȱŞŝǰȱŘŖřȱ setDefaultCloseOperationȱȱŗřŗǰȱŗřŚȱ setLocationȱȱŗřŚǰȱŗŚŖȱ setPrefferedSizeȱȱŗřŗǰȱŗřŚǰȱŗŚŖȱ setVisibleȱȱŗřŗǰȱŗřŚǰȱŗŚŖȱȱ ȱȱȱȱřȱȱȱ ȬȱȱŗŚŖȱ sizeȱȱŜŖǰȱşŖǰȱŗŚŝǰȱŘśśȱ 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ȱȱśŜȱ ȱȱśŝȱ ȱȱŗŗȱȱȱ ȱȱŗşŞȱ §ȬãȬȱȱŝřȱ £§ǰȱ ȱȱŚşȱ ȱȱŜȱ ȱȱŜŞȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ W ȱȱǻǻǼǼȱȱŗŝȱ ȱȱŘŜŞȱȱȱ ȱȱŚşȱ ȱȱȱȱđȱȱŗŚŚȱȱȱ ȬȱȱŚŜȱ ȱȱŘŜǰȱŘŚŖȱ widthȱȱŗřŗǰȱŗřřǰȱŗřŞȱ WindowConstantsȱȱŗřŗǰȱŗřŚȱ Ȭȱ¡¢ȱȱŗŚȱȱȱ Ȭ ȱȱŗŘŖȱȱ ȱȱû£ȱȱŘŜŜȱ ££ȱȱȱȱŗŘřǰȱŘŞŘȱ Z ȬȱȱŘŚşȱȱȱ ¢ȱȱŗŘŖȱȱȱ ǰȱȱȱŗŘŖȱȱȱ ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱ

Grundlegende Algorithmen mit Java: Algorithms Textbook

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