PARTE Nº 2
Límite doble. Límite iterado, Relación entre el límite doble e iterado. Funciones
continuas. Propiedades.
nº5. Calcular los límites dobles de las expresiones
lim
5x³ - 3y²
(x,y)(2,1) 2 x ² y ³
(3 y²).sen x
x
xy - x² 3
lim
(x,y)(0,1) x ² y ³
lim
(x,y)(0,0)
y.sen(x - 2)
x² - 4
3.sen(x.y)
lim
(x,y)(0,0)
x
lim
(x,y)(2,0)
lim y.sen
(x,y)(0,0)
x
x³ 2y² - 1 si (x, y) (-1,2)
lim F(x, y); siendo F(x, y)
(x, y) (-1,2)
7 si (x, y) (-1,2)
Para que exista debe ser 8
nº6. Calcular los límites iterados. Decir si existe límite doble.
F(x,y)
3x² y²
en P(0,0)
x² y²
F(x,y)= y.sen (/x) en P(0,0)
Solo remplazando
F(x, y) (x y). sen sen en P(0,0)
x
y
2x 3y
en P(1,2)
F(x,y)
x-y
Nose ??
nº7. Calcular los límites iterados y el límite direccional sobre la curva dada, en el punto
P(0,0). Decir si existe el límite doble en dicho punto.
a) F(x,y)
y=x
x² y²
;
x².y² (x - y)²
b) F(x,y)
x.y
; y=x²
x² y²
c) F(x,y)
x.y - 1
; y=mx
x³ - y³
Existe
Iterado
No existe limite, ya que el x- y x+
cuando se remplza dan diferentes,
pero si x- da lo mismo que los
limites iterados = -infinito
nº8. Verificar la continuidad de las siguientes funciones.
26
x² 2y² si (x, y) (1,2)
;
si(x, y) (1,2)
0
P(1,2)
b) F(x, y)
sen(x² y²)
si (x, y) (0,0)
;
x² y²
1
si(x, y) (0,0)
P(0,0)
2x² 2y²
si (x, y) (0,0)
c) F(x, y) e x.y .(x² y²)
;
2
si(x, y) (0,0)
P(0,0)
a) F(x, y)
x³.sen y - y².sen x
si x.y 0
; P(0,0)
x.y
0
si x.y 0
x² - y²
e) F(x,y)
; P(0,0)
x² y²
x² - y² - 1
f) F(x,y)
; P(2,1)
x² - 4y
d) F(x, y)
g) Estime la posibilidad de la existencia del limite en el origen de
(
)
(
)
Redefina las funciones para que sean continuas en todo punto del plano real
nº9. Si f(2,3)=4; se puede concluir algo acerca de
lim f(x, y) 4 ? Proponga ideas.
(x,y)(2,3)
nº10. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas(F). si son
falsas, explicar porqué.
a)
lim f(x, y) 0 lim f(x,0) 0
(x,y)(0,0)
x 0
b) G y H son funciones continuas de x e y f(x, y) G(x) H(y) es continua
27
Límites
Hay varias maneras de evaluar límites con este programa. Vamos a ver las
distintas alternativas y luego deciden cuál les resulta más sencilla.
Primero evaluaremos límites iterados por ser éstos los más sencillos.
Para ello, buscamos en la barra de herramientas llamada "Calculus", el ícono
del límite:
. Para hacer los límites iterados, debemos insertar otra expresión de
lim
límite en la zona correspondiente a la función, dento de un paréntesis:
lim
lim
Luego, definimos nuestra función y el punto hacia el cual tiende la función.
Para evaluar numéricamente este límite, debemos ver que la linea azul que
aparece debajo de nuestra función, abarque toda la expresión. Luego
insertamos el símbolo de evaluación numérica que se encuentra en la barra
de herramientas llamada "Evaluation", o presionando "control + .":
lim lim
Luego damos Enter y obtenemos el resultado numérico de
nuestro límite.
Supongamos la siguiente función:
2
f( x y ) 5x y x y
2
que tiende al punto (3;1).
lim 5x2 y x y 2 42 o
x 3 y 1
lim
lim
lim f( x y) 42
x 3 y 1
Luego,
lim
lim f( x y) 42
y 1 x 3
Si queremos evaluar el límite doble de esta función, debemos definir el punto
de la siguiente manera:
p f( 3 1)
Nuevamente podemos elegir entre escribir toda la función o sólo su nombre.
Veamos ahora un ejemplo en que los límites iterados no son iguales:
28
h ( x y )
2
2
2
2
3x y
x y
que tiende a (0;0)
lim h( x y) 3
lim lim h( x y) 1
y 0 x 0
lim
x 0 y 0
Si queremos ver que sucede con el límite doble hacemos: q h ( 0 0)
lim h( x y)
h q
En este caso, la función no está definida en el punto y por lo tanto no se puede
evaluar el límite así como se encuentra definida la función.
Para el caso de funciones definidas de la siguiente manera, es algo más difícil.
Por ejemplo: v ( x y )
x3 2y2 1 if (x y) (1 2)
7 if ( x y )
( 1 2)
Para definir esta función vamos a necesitar de la barra de herramientas
llamada "Programming".
Primero nombramos la función como las veces anteriores: v ( x y )
Luego usamos al función "Add Line" de la barra de programación.
Obtendremos:
v ( x y )
Ahora tenemos que definir la función. En nuestro caso será:
v ( x y )
x3 2y2 1
Ahora debemos agregar las condiciones. Para ello, luego de escribir el
argumento, usamos la función "if" de la barra de programación. Los signos
igual, distinto, mayor, etc, se encuentran en la barra de herramientas llamada
"Boolean".
v ( x y )
x3 2y2 1 if (x y) (1 2)
7 if ( x y )
( 1 2)
Una vez definida nuestra función, definimos el punto y luego calculamos el
límite.
t v ( 1 2)
t7
lim v( x y) 7
v t
También puede utilizarse la función "otherwise" en lugar de usar dos veces la
función "if". En ese caso nos quedaría:
r( x y )
x3 2y2 1 if (x y) (1 2)
7 otherwise
d r( 1 2)
29
lim r( x y) 7
r d
Lo que no podemos realizar es la evaluación de los límites iterados, de esta
manera.
30
0
