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4. Betrachten Sie das Modell einer Volkswirtschaft mit Banken aus der Vorlesung.
Die Nutzenfunktion eines repräsentativen Haushaltes ist gegeben durch
1+
( +1 ) = ln + ln(+1) −
1+
wobei den Konsum, Depositen, das Preisniveau und die Arbeitszeit
bezeichnen. Die Budgetrestriktion des Haushaltes lautet
+
+ +1
+1 = + (1 + −1) + (1 + −1) + + Γ + Γ
Anleihen zum Zinsatz , Transfers und Γ
wobei den Lohnsatz, +1
Gewinne bezeichnen. Die Zielfunktion einer repräsentativen Bank umfasst den
abdiskontierten Gegenwartswert der Gewinne
⎧
⎨
Γ +
⎩
⎫
⎬
1
1
Γ
Γ
+
+1
+2 + ⎭
b
b
b
1 +
(1 + )(1 + +1)
(13)
Im Gegensatz zum Modell im Kapitel 3.1 ist angenommen, dass b gilt. Das
Management der Bank ist somit stärker gegenwartsorientiert (bzw. ungeduldiger)
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als andere Marktteilnehmer. Zudem wird angenommen, dass Banken zwar risikofreie Anleihen zum Zinssatz kaufen können, aber nicht selber zur Finanzierung
ausgegeben können,
≥ 0
+1
(14)
da ihnen — aufgrund der grundsätzlichen Möglichkeit von Bank-Runs — nicht die
höchste Bonität zugewiesen wird. Der Gewinn der Bank in Periode ist gegeben
durch
+(1+
Γ = +1 −(1+−1) − −+1
−1) −+1 +(1+−1)
Die Bank maximiert (13) unter Berücksichtigung von (14) und einer ausreichenden
Reservehaltung
+1 ≤
Das Firmenproblem ist im Vergleich zum Modell im Kapitel 3.1 unverändert.
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(a) Zeigen sie, dass die optimale Depositenhaltung der Haushalte die folgende
Bedingung erfüllt
1 −
= ·
+1
1 +
1
Antwort:
— Die Lagrangefunktion lautet
1+
= ln + ln(+1) −
1+
⎛
+ ⎝ln +1 + ln(+2+1) −
Ã
⎞
1+
+1
⎠
1+
+
!
− − +1 − +1 + + (1 + −1)
+
+(1 + −1) +
Ã
−
−+1+1 − +2
+2 + +1+1 + (1 + )+1
+ +1
+(1 + )+1 +
und führt zu den folgenden Bedingungen erster Ordnung für Konsum,
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Depositen und Bonds
−1
= −1
(+1)−1−1 + +1(1 + ) =
+1(1 + ) =
Substitution von von +1 liefert
1 +
−1
−1
=
(+1) +
1 +
Ã
!
1 +
−
−1
−1
⇔ (+1) = 1 −
=
1 +
1 +
−1 −
−1
⇔ (+1) =
1 +
−1
wobei im letzten Schritt = −1
verwendet wurde.
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(b) Beschreiben Sie die optimalen Bankentscheidungen bezüglich der Kreditvergabe und der Anleihenkäufe. Vergleichen Sie diese mit den Entscheidungen
einer nicht-gegenwartsorientierten Bank (b = ). Gilt das Modigliani-Miller
Theorem?
Antwort:
— Die Lagrangefunktion nach dem Kuhn-Tucker Ansatz lautet
L =
n
o
Γ + ( − +1) + +1
o
1 n
+
Γ+1 + +1 (+1 − +2) + +1+2
b
1 +
— Die Optimalitätsbedingungen lauten
1 +
L
= 0⇔1−
− = 0
b
+1
1 +
L
= 0 ⇔ − + = 0
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1 +
L
= 0 ⇔ −1 +
+ = 0
b
+1
1 +
1 +
L
=b
= 0 ⇔ −1 +
=
0
⇔
+1
1 + b
sowie ≥ 0, +1
≥ 0, und die Komplentaritätsbedingung
= 0
+1
Die dritte Bedingung impliziert einen positiven Multiplikator 0
(1 + )
=
³
(1 − ) 1 + b
⇐⇒ = 1 −
wobei b verwendet wurde.
1 +
1 + b
´
— Da der Multiplikator positiv ist, gilt +1
= 0 wegen der Komplentaritätsbedingung, so dass Banken keine Anleihen kaufen. Aufgrund der
Ungeduld b , ist das Halten von Bonds weniger rentabel. Wegen der
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relativ niedrigen Verzinsung , hätten Banken einen Anreiz sich in Bonds
zu verschulden, was jedoch nicht zulässig ist. Sie bieten Kredite zu einer
höheren Verzinsung = b an.
— Aus dem Firmenproblem ist nun bekannt (siehe Vorlesung), dass die optimale Kreditaufnahme und die Arbeitsnachfrage folgende Bedingungen
erfüllen
(1 + ) = (1 + ) (1 + )
= (1 + )
wobei den Multiplikator der Finanzierungsrestriktion bezeichnet.
— Im Fall höherer Kreditzinsen , erhöht die Finanzierungsrestriktion
die Kosten der Beschäftigung, 0, so dass der angebotete Realohn
sinkt. Die Beschäftigung wird tendenziell sinken und das Modigliani-Miller
Theorem ist nicht gültig.
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(c) Welchen Einfluss hat die Gegenwartsorientierung (b ) auf die Depositennachfrage der Haushalte?
Antwort:
1+
• Die Bedingung für die optimale Depositenhaltung der Bank lautet 1− b −
1+
= 0 und impliziert für den Depositenzins
³
´
³
´
1 + = 1 + b (1 − )
• Mit einem höheren Diskontsatz b und damit höheren Kreditzinsen werden
Banken im Wettbewerb höhere Depositenzinsen an die Anleger zahlen. Gemäß Depositennachfrage der Haushalte
1 −
=
+1
1 +
1
steigt mit einer geringeren Zinsspanne tendenziell das Depositenangebot der
Haushalte.
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• Da aber gleichzeitig höhere Kreditzinsen die Beschäftigung und damit das
Einkommen sowie den Konsum der Haushalte negativ beeinflussen können,
ist der Gesamteffekt auf Depositen im Gleichgewicht uneindeutig.
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