TỔ HỢP TOÁN ỨNG DỤNG HCMUT
➖➖➖➖➖
TÀI LIỆU VIP LƯU HÀNH NỘI BỘ
CHUYÊN ĐỀ: MA TRẬN
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ MA TRẬN
1. Ma trận là gì?
- Trong toán học, ma trận là một mảng chữ nhật, hoặc hình vuông (được gọi là ma trận vuông
nếu có số dòng bằng số cột). Gọi m, n lần lượt là các số nguyên dương ứng với số hàng (dòng)
và cột tương ứng.
• Kí hiệu : A�×� = ���
��
0 2
1 0 0
1 2
• Ví dụ : A2×2 =
, A3×2 = 3 4 , I3×3 = 0 1 0
3 4
5 6
0 0 1
- Chúng ta thường gặp các khái niệm ma trận khác như sau :
+ Ma trận vuông : là ma trận có n = m ( số dòng bằng số cột ).
+ Ma trận đơn vị : kí hiệu là I� (n ≥ 2), là ma trận vuông có đường chéo chính là những số 1,
và các phần tử còn lại là số 0.
• Ví dụ : I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+ Ma trận bậc thang (ma trận tam giác) : là ma trận sau khi qua phép biến đổi tạo thành
những bậc thang mang các phần tử là số 0.
2. Các thuật toán của ma trận
a) Đường chéo chính, vết của ma trận và ma trận chuyển vị
- Đường chéo chính của một ma trận vuông là đường nằm giữa và chia ma trận làm 2 tam giác
trên và dưới.
- Vết của ma trận (Trace A) là tổng đường chéo chính của ma trận vuông cấp n.
1 2
• Ví dụ : A =
⇒ Trace A = 1 + 4 = 5
3 4
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 1
- Ma trận chuyển vị (�� ) là một ma trận được xếp bằng cách lấy từng hàng của ma trận A xếp
vào từng cột của ma trận A.
• Ví dụ : A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
T
⇒ A =
1 4
2 5
3 6
7
8
9
b) Ma trận bậc thang
- Ma trận dạng bậc thang (hay còn gọi là ma trận bậc thang) là linh hồn của môn Đại Số Tuyến
Tính. Đây là nền tảng cốt lõi nhất để chúng ta học tốt môn này.
• Ví dụ về ma trận dạng bậc thang :
A=
1
0
0
2
1
0
1
0
0
1
, D=
0
2
1
3
,
0
G=
1
0
0
2
4
0
3 4
8 9
0 1
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 2
c) Ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng
- Ma trận đối xứng là ma trận thỏa mãn điều kiện : A = AT
- Ma trận phản đối xứng là ma trận thỏa mãn điều kiện : AT = A−1 (Ma trận nghịch đảo)
3. Các dạng toán của ma trận
a) Sự bằng nhau của ma trận
- Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau và được ký hiệu là A = B, nếu chúng có cùng kích
thước và từng phần tử ở các vị trí tương ứng đều bằng nhau.
• Ví dụ : Cho ma trận A =
1 −�
1 2
,B=
. tìm x và y
4 �
4 4
b) Phép cộng và trừ hai ma trận
- Để cộng hoặc trừ hai ma trận thì điều kiện là hai ma trận đang xét phải cùng kích thước với
nhau.
- Các để cộng hoặc trừ hai ma trận : Lấy từng vị trí của ma trận A cộng hoặc trừ cho từng vị trí
của ma trận B.
• Ví dụ : Ta có A =
A−B=
A+B=
1 2
2 3
và B =
. Thực hiện phép cộng và trừ hai ma trận trên.
3 4
4 5
1−2 2−3
−1 −1
=
3−4 4−5
−1 −1
1+2
3+4
2+3
3
=
4+5
7
5
9
c) Phép nhân của ma trận
- Đối với phép của ma trận ta chia làm hai dạng toán
+ Nhân cho ma trận với một hằng số k ( k ≠ 0).
• Ví dụ : A =
1 2
2
⇒ 2.A =
3 4
6
4
8
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 3
+ Nhân hai ma trận với nhau : Điều kiện để hai ma trận nhân được với nhau thì số cột của ma trận
A bằng với số hàng của ma trận B.
Tổng quát : A�×� × B�×� = C�×�
- Để nhân hai ma trận chúng ta sẽ sử dụng quy tắc : Hàng trước, cột sau tức là ta sẽ lấy hàng
m của ma trận A nhân vô hướng với cột n của ma trận B ứng với vị trí ��×� của ma trận C.
1 2
1 2 3
,B=
3 4
4 5 6
• Ví dụ : A =
C11 = 1 × 1 + 2 × 4 = 9
C12 = 1 × 2 + 2 × 5 = 12
C13 = 1 × 3 + 2 × 6 = 15
⇒ A.B =
Lưu ý:
9
12 15
▸
A.B ≠ B.A
▸ (�. �)� = �� .��
▸(A.B).C = A.(B.C)
▸ A.�� = �� .A
d) Ma trận lũy thừa
- Cho ma trận A vuông cấp n ta có định nghĩa như sau :
A0 = I, A1 = A , A2 = A.A ⇒ An = A.A.A.....A.A
- Bằng cách phương pháp quy nạp chúng ta có thể suy ra công thức tổng quát của A rồi suy
ra ma trận A mũ n.
• Các tính chất của ma trận : Cho A và B là hai ma trận, α và β là các số thực khác 0 ta có
9. ��9..A9.�=��.A
A.
� .A
��A.��= =
1.1.
AA
++
BB
==
BB
++
A.A.
=��=
A.=A.
A.A.
10.
=
0 không
được
=
0 và
10.10.
A.B
=A.B
0=không
suysuy
rasuy
được
A =A0A
=B0B
2.2.
(A(A
++
B)B)
+C+C
==
AA
++
(B(B
++
C).C).
A.B
0 không
rara
được
=và
0B
và
==
0.0.
�
�
�
�
�
�
� � .�
0=
11.�)
(�.
11. 11.
=�)
(�.(�.
�)
3.3.
AA
++
0=
A.A.
= =��.�.��.�. .
�
� � +��� .
��� +
(�
A.(B.C)
(A.B).C
12. 12.
(�12.
+(�
�)
= �)
. � .
++
�)
4.4.
A.(B.C)
==
(A.B).C
= =����+
�
�
�
α.(A
α.A
α.B.
13.
α�.�. � .
(�.
�)
13. 13.
=
α� .�= .=
(�.(�.
�)�)
5.5.
α.(A
++
B)B)
==
α.A
++
α.B.
α.�
α.(β.A)
(αβ).A.
6.6.
α.(β.A)
==
(αβ).A.
β).A
α.A
β.A.
7.7.
(α(α
++
β).A
==
α.A
++
β.A.
2
2
2
2
2
2
= (A
+ B).(A
+ B)
A.B
B.A
2A.B
8.8.(A(A
++
B)B)
= (A
+ B).(A
+ B)
= =A2A + +
A.B
++
B.A
+ +B2B ≠ ≠A2A + +
2A.B
+ +B2B. .
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 4
4. Dùng phép biến đổi sơ cấp để đưa một ma trận về dạng bậc thang ( Quan trọng )
- Chúng ta có 3 phép biến đổi sơ cấp đối với hàng (cột) của ma trận như sau :
a. Nhân hoặc chia một hàng (cột) tùy ý của A với một số khác 0 : αℎ� → ℎ� , (α ≠ 0).
b. Cộng vào hàng (cột) i một hàng (cột) j khác đã được nhân với một số tùy ý :
αℎ� + βℎ� → ℎ� , (α, β ≠ 0, i ≠ j).
c. Đổi chỗ hai hàng (cột) tùy ý : ℎ� ↔ ℎ� .
II. HẠNG CỦA MA TRẬN
1. Khái niệm về hạng của ma trận (��×� )
- Hạng của ma trận là số lượng lớn nhất của cột hoặc hàng độc lập tuyến tính của ma trận.
Hay hiểu nôm na là số lượng hàng khác không của ma trận bậc thang.
- Hạng của ma trận không thể vượt quá số hàng hoặc số cột của ma trận.
▸ Kí hiệu : r(A) = rank(A) = a ≤ Min �, �
2. Cách tìm hạng của ma trận
- Để tìm hạng của một ma trận, chúng ta sẽ có 2 bước :
+ Bước 1 : Đưa ma trận cần tính về ma trận dạng bậc thang.
+ Bước 2 : Kết luận ⇒ r(A) = số hàng có phần tử khác 0.
Ví dụ : A =
1 2
0 1
2 4
3
0
6
→
1 2 3
0 1 0
0 0 0
⇒ r(A) = 2
▸ Một số tính chất của hạng ma trận :
+ Nếu một ma trận vuông cấp n, để hạng của ma trận bằng n thì định thức của nó khác 0.
+ Nếu một ma trận vuông cấp n, để hạng của ma trận khác n (cụ thể là < n) thì định thức
của nó bằng 0.
+ r(A) = r(AT ).
+ r(A + B) = min r(A), r(B) ≠ r(A) + r(B).
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 5
1
BTGH 1: Cho ma trận A =
a) Tính AT + B.
1 −1
5 2
và B =
.
2 4
7 3
b) Tính A − B .
c) Tính A.B.
d) Tìm ma trận X thỏa mãn A.X = B.
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 6
e) Tính B.A
BTGH 2: Cho ma trận A =
BTGH 3: Cho A =
1 −2 3
2 −4 1
3 −5 3
và đa thức f(�) = 3�2 − 2� + 5. Tính f(A).
1 �
−1 2
và B =
. Tìm x và y sao cho AB = BA
4 2
� 5
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 7
2
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN - MA TRẬN LŨY THỪA
BTGH 4: Tìm ma trận X thỏa mãn.
a)
1 2
−3 4
3 0
1 −2
+ 2X =
2 1
5 7
b) (X + 2A)BT = 3B + 2X.
biết rằng A =
1
−3
2
1 −2
và B =
4
5 7
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 8
BTGH 5: Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình AX + 2B = XB + 3AT .
Biết A =
−1 2
2
,B=
2 3
3
−1
.
0
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 9
1 2 1
BTGH 6: Cho A =
,B=
−1 1 −2
BTGH 7: Cho ma trận A =
3
−1 2
0 2 ,C=
−1 1
2 1 0
−1 1 1 . Tính 2AC − (CB)� .
0 2 −1
1 0
. Tính �2 , �3 , từ đó suy ra �� .
4 1
ĐƯA MA TRẬN VỀ DẠNG BẬC THANG
BTGH 8: Đưa các ma trận sau về ma trận dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp.
a) A =
1 1 2
2 3 3 .
4 6 6
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 10
b) B =
c) C =
d) D =
1 2 1
2 4 2
6 12 6
1
2 .
6
0 1 3
1 2 1
1 2 4
4
−1 .
0
−6 −6 −4
11 10 5 .
−5 −4 −1
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 11
4
BÀI TOÁN TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN
BTGH 9: Tìm hạng của các ma trận sau.
a) A =
2 1
0 3
1 4
3
2 .
3
b) B =
1 4
.
−1 2
c) C =
3 �
.
9 4
d) D =
2 −1
5
2
1 −1 .
−1 −1 �
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 12
BTGH 10: Tìm m để hạng của ma trận A =
1
−1
−1
BTGH 11: Biện luận theo a,b hạng của ma trận A =
0 4 �
2 2 1
−1 1 2
1 1
� 1
4 3
bằng 3.
2 1
−1 2 .
� 5
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 13
BTGH 1: Tìm ma trận X thỏa mãn AB(X + BT ) = A − 2X
với A =
2 1
0
,B=
1 3
1
BTGH 2: Cho ma trận A =
2
.
1
1 −2 3
5 −1 1
1 −5 2
và đa thức f(x) = 3�2 − 4x + 3. Tính f(A).
BTGH 3: Tìm ma trận X thỏa mãn A(X − BT ) = BA + 2X
với A =
3
2
2
,B=
7
1 −1
.
2 1
BTGH 4: Tính A2024 , với
a) A =
b) A =
c) A =
1 3
.
0 1
2 3
.
0 2
1 1
.
1 1
BTGH 5: Đưa các ma trận sau về dạng bậc thang bằng phép biến đổi sơ cấp.
a) A =
b) B =
0
1
2 −1
−1 1
2 3
−4 3 .
3 0
1 2 1 1
5 10 5 6 .
3 6 3 4
BTGH 6: Cho ma trận A =
c) C =
d) D =
2 2 −1 3
3 3 1 −2 .
5 5 3 −7
2 1
1 2
1 1 2 1 1
3 1
và B =
2 1 1 −1 3
2 1
2
.
3
−1 1 2
0 1 3
và ma trận C = �� � .Tìm phần tử �35 ( phần tử nằm ở hàng 3 cột 5 của ma trận C).
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 14
BTGH 7: Cho A =
trận f(A).
� �
và đa thức f(x) = 2�2 − 3x − 5. Tính phần tử hàng 2 cột 1 của ma
1 2
BTGH 8: Cho hai ma trận A ∈ �2×3 , B ∈ �3×5 và hai ma trận X,Y thỏa mãn Y = AXB. Hãy
tìm kích cỡ của ma trận Y.
1 4 −1 0 2
. Tìm vết của ma trận B = AT .A.
−2 1 1 −1 1
BTGH 9: Cho ma trận A =
1
0 −2
BTGH 10: Cho ma trận A =
0
3 −1
−2 −1
2
a) Tính A.B và B.A.
, ma trận B =
b) Tìm mối liên hệ giữa A.B và B.A.
cosα
sinα
BTGH 11: Cho ma trận A=
−sinα
. Tính A� .
cosα
BTGH 12: Cho ba số thực a, b, c ∈ ℝ và hai ma trận A =
Tìm vết của ma trận C = A.B.
BTGH 13: Cho ma trận A =
của ma trận B là?
BTGH 14: Cho ma trận A =
1
−2
3 −1
2
−1
1 −2
2 −2
0
1 2
1 −1
0 1
−2
−1
và ma trận AB =
5
6
2 −1
3 −2
�
� ,B=
�
−2 1 3
0 2 1 .
−1 � −�
2 −1
. Tổng cột 1 và cột 2
−9 3
Biết f(�) = �100 + 5�49 + 6� + 3 . Tính f(A).
BTGH 15: Cho ma trận A =
−1
0
7
, B = A2021 . Tìm phần tử b12 .
−1
BTGH 16: Biện luận và tìm hạng của ma trận sau
a) A =
1 2
−2 2
1 8
1
−1
2
b) B =
1 2 1 2
2 3 −1 1
3 4 −3 2
2 3 −1 3
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 15
1
1
3
2
c) C =
2
3
8
1
−3 −2
−3
−2
0
−4
− 7 −2 −11
− 9 −10 −3
d) D =
� 1 1
1 � 1
1 1 �
1 1 −1
2 3 1
3 5 �
e) F =
BTGH 17: Tìm m để hạng của ma trận sau nhỏ nhất.
A=
0
2
3
3
2 1 2
1 1 −1 .
1 � −1
2 1 −2
BTGH 18: Tìm m để r(A) = 3 với A =
BTGH 19: Tìm m để r(A) = 3
A=
1
2
3
4
1
1
3
4
6
4
4 �+4
1
2
−1
2
1
1
0
0
1 2 3
2 � 7 .
5 −1 1
1
1
6
�+7
BTGH 20: Tìm m để r(A) = 4
A=
2 1
0 2
1 �
� 2
HẾT
• Tài liệu biên soạn bởi : Bùi Trần Gia Hưng
• Link Facebook : https://www.facebook.com/btgh.2954
“Phấn đấu không phải để thành công, mà là để có giá trị”
Đại Số Tuyến Tính | Bùi Trần Gia Hưng
Trang : 16