תוכן עניינים
וקטורים1.............................................................................................................................
ישרים ומישורים במרחב2.......................................................................................................
טופולוגיה2...........................................................................................................................
פונקציות3............................................................................................................................
גבולות ורציפות3...................................................................................................................
נגזרות חלקיות ודיפרנציאביליות5.............................................................................................
כלל השרשרת6.....................................................................................................................
נגזרות מסדר גבוה6...............................................................................................................
אינטגרל עם פרמטר7.............................................................................................................
פונקציות סתומות7.................................................................................................................
משפט טיילור9......................................................................................................................
אקסטרמום מקומי9................................................................................................................
אינטגרלים10........................................................................................................................
חישוב האינטגרל הכפול11......................................................................................................
אינטגרל משולש12................................................................................................................
אינטגרל קווי13....................................................................................................................
משפט גרין13.......................................................................................................................
שדה משמר14.......................................................................................................................
פונקציה וקטורית של שני משתנים14........................................................................................
אינטגרל משטחי מסוג ראשון14................................................................................................
אינטגרל משטחי מסוג שני15...................................................................................................
משפט גאוס15......................................................................................................................
אלמנטים של אנליזה וקטורית15...............................................................................................
משפט סטוקס16....................................................................................................................
שדה משמר במרחב16............................................................................................................
נספחים17............................................................................................................................
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום קורס חדו"א 2מ'
וקטורים
מבוא
G
G G G
יהיו u , v , wוקטורים בעלי 3רכיבים כ"א למשל ) , u = (u1 , u2 , u3אזי:
G G
u = vאם"ם כל אחד מרכיביהם שווים בהתאמה.
G
G
G G
u & vאם"ם u = cvכאשר cסקלר .אלו וקטורים קולינאריים.
G G
G G
u ⊥ vאם"ם . u ⋅ v = 0
G
אורך ,או נורמה ,של וקטור. u =| u |= u12 + u2 2 + u32 :
וקטור יחידה הוא וקטור שאורכו 1ומסומן ˆ . uוקטורי היחידה הבאים מסמלים את כיווני הצירים:
). k̂ = (0, 0,1) , ˆj = (0,1, 0) , iˆ = (1, 0, 0
כאשר נתונות שתי נקודות A, Bאז הווקטור המחבר ביניהם נתון ע"י
JJJG
) , AB = ( B1 − A1 , B2 − A2 , B3 − A3והוא מצביע מ A -ל. B -
מרחק בין שתי נקודות הוא אורך הוקטור המחבר אותן.
פעולות בין וקטורים
G
כפל בסקלרcu = (cu1 , cu2 , cu3 ) :
G G
u ⋅v
G G
מכפלה סקלרית . u ⋅ v = u1v1 + u2 v2 + u3 v3 :הזווית φשבין הווקטורים נתונה ע"י cos φ = G G
| | u || v
̂ˆj k
ˆi
G G G G
G G
מכפלה ווקטורית . u × v = u1 u2 u3 :וגם u × v =| u || v | sin φ
v1 v2 v3
חיסור וקטורים הוא חיסור הרכיבים ,כמו בין שתי נקודות .חיבור ווקטורים הוא חיבור הרכיבים.
w1 w2 w3
G G G
מכפלה מעורבת. w ⋅ (u × v ) = u1 u2 u3 :
v1 v2 v3
דברים שכדאי
לזכורG G G :
G
uG ⋅ vG= v ⋅Gu G
uG ×Gv = G−v × u
2
= uG⋅ u
G | u G| G G G G
(u G+ vG) ⋅ w =Gu ⋅Gw + v ⋅ w
(cu
G ) ⋅Gv = Gc(u ⋅Gv ) G G G
(u G+ v )G× w =Gu ×Gw + v × w
) (Gcu )G× v = c(u × v
uG× uG= 0G G G G
)(u × v ) ⋅ w = u ⋅ (v × w
שלושה וקטורים הם קופלנרים )=הם על אותו מישור( אם המכפלה המעורבת שלהם היא .0
לחישוב שטח מקבילית שבנויה על שני וקטורים ,יש לבצע מכפלה וקטורית ,ולקחת נורמה.
לחישוב שטח משולש שבנוי על שני וקטורים ,כנ"ל אך לחלק בשניים.
לחישוב שטח מקבילון שבנוי על שלושה וקטורים יש לבצע מכפלה מעורבת ,ולקחת ערך מוחלט.
מכפלה וקטורית בין שני וקטורים מניבה וקטור הניצב לשניהם.
1
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
סמסטר אביב תשס"ז
ישרים ומישורים במרחב
ישרים
⎧ x = x0 + at
x − x0 y − y0 z − z0
⎪
=
=
.
ישר נתון או בצורה פרמטרית L : ⎨ y = y0 + bt :או בצורה קנונית:
a
b
c
⎪ z = z + ct
0
⎩
G
בשני המקרים וקטור הכיוון הוא ) l = ( a, b, cוהישר עובר בנקודה ) M 0 ( x0 , y0 , z0
מישורים
משוואת מישור באופן כללי. Ax + By + Cz + D = 0 :
משוואת המישור העובר בA( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 : M 0 ( x0 , y0 , z0 ) -
אם D = 0המישור עובר בראשית הצירים.
G
G
הוקטור הנורמל )=ניצב( למישור הוא ) . N = ( A, B, Cגם cNהוא ניצב למישור לכל סקלר . c
G G
A
D
B
C
שני מישורים הם מקבילים אם"ם , N1 & N 2ומתלכדים אם בנוסף ) . 1 = 1 (= 1 = 1
A2 D2
B2 C2
G G
שני מישורים הם ניצבים אם"ם . N1 ⋅ N 2 = 0
G G
N1 ⋅ N 2
הזווית φשביניהם נתונה ע"י. cos(180 − φ ) = G G :
| | N1 || N 2
| | Ax0 + By0 + Cz0 + D
G
מרחק נקודה ממישור:
||N
למציאת מישור המכיל שני ישרים נחתכים :מוצאים את נקודת החיתוך שלהם , M 0מחשבים את נורמל
G G G
למישור N = l1 × l2 :ואז . A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
l = B− A
1ואז כמו מקודם.
למציאת מישור העובר דרך שלוש נקודות מוצאים שני ישרים
l2 = C − A
מציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים :לבטא אותם בצורה פרמטרית ...אחד באמצעות משתנה tושני
) ⎧⎪ x(t ) = x( s
באמצעות משתנה . sלדרוש ) ⎨ y (t ) = y ( sולפתור את המערכת .אם המערכת אינה פתירה אז הם או
)⎪⎩ z (t ) = z ( s
מקבילים או מצטלבים.
= .d
טופולוגיה
משטחים במרחב
משטח באופן כללי. F ( x, y, z ) = 0 :
ספירה :קבוצת הנק' במרחק קבוע Rמהנק' ) . ( x − a) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 − R 2 = 0 . ( a, b, c
פרבלואיד . z = x 2 + y 2 :קונוס )=חרוט(. z 2 = x 2 + y 2 :
גליל בעל רדיוס . R 2 = x 2 + y 2 : Rגליל זה סימטרי סביב ציר . z
x2 y 2 z 2
+
+
אליפסואיד= 1 :
a 2 b2 c2
x2 y 2 z 2
x2 y 2 z 2
היפרבולואיד חד יריעתי . 2 + 2 − 2 = 1 :ודו יריעתי. 2 − 2 − 2 = 1 :
a
b
c
a
b
c
2
x
y2
פרבלואיד היפרבולי . 2 − 2 = z :כדאי לראות את ההדגמות בקישור הבא:
a
b
http://www2.norwich.edu/frey/LiveGraphics3D/QuadricSurfaces.htm
.
2
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
קבוצות פתוחות סגורות קשירות וחסומות
סביבה כדורית של ) ( a, b, cברדיוס . ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c) < ε 2 : ε
קבוצה תסומן באות . D
נקודת שפה היא נקודה שכל סביבה כדורית שלה מכילה גם נקודות ששייכות ל D -וגם נקודות שלא
שייכות ל . D -אוסף כל נקודות השפה של Dהיא השפה של Dונסמן . ∂D
Dפתוחה אם"ם היא אינה מכילה את נקודות השפה שלה )=היא מוגדרת באמצעות אי-שיוויונים חזקים(
Dסגורה אם"ם היא מכילה את כל נק' השפה שלה )= היא מוגדרת באמצעות אי-שיוויונים חלשים(
Dקשירה אם"ם אפשר לחבר כל שתי נקודות מתוכה באמצעות עקום המוכל כולו ב. D -
Dחסומה אם קיים כדור המכיל את . D
2
2
2
פונקציות
פונקציה וקטורית של משתנה אחד
G
באופן כללי. r (t ) = x (t )iˆ + y (t ) ˆj + z (t ) kˆ :
) ⎧ x = x(t
⎪
תאור גיאומטרי⎨ y = y (t ) :
) ⎪ z = z (t
⎩
) ⎧ lim x(t ) = x(t
0
⎪ t → t0
G
G
⎪
רציפות lim r (t ) = r (t0 ) :אם"ם ) . ⎨lim y (t ) = y (t0
t →t0
t →t
⎪ 0
) z (t ) = z (t0
⎪ lim
⎩ t →t0
G
G
) r (t0 + Δt ) − r (t0
G
G
ˆ
ˆ
ˆ
r '(t0 ) = limו. r '(t ) = x '(t )i + y '(t ) j + z '(t ) k -
נגזרת:
Δt →0
Δt
G
G
) r '(tהוא וקטור הכיוון של הישר המשיק ל r (t ) -בנקודה . t
פונקציות של משתנים אחדים
) f ( x, y , zאו ) f ( x, yפונקציה של שני משתנים ניתן לצייר במערכת צירים תלת-מימדית כאשר
) . z = f ( x, y
קווי גובה , C = f ( x, y ) :הקווים נמצאים על מישור . xy
משטחי רמה. C = f ( x, y, z ) :
גבולות ורציפות
משפט אריתמטיקה של גבולות
א( אם ) f ( xרציפה ב x = a -אז ) . lim f ( x) = f (a
x →a
y →b
ב( אם lim f ( x, y ) = Lו lim g ( x, y ) = M -ובתנאי שלא נגיע למצב של אי ודעות אז:
x→a
y →b
x→a
y →b
. lim f ( x, y ) ± g ( x, y ) = L ± M .1
x →a
y →b
. lim α f ( x, y ) = α L .2
x→a
y →b
. lim f ( x, y ) ⋅ g ( x, y ) = L ⋅ M .3
x →a
y →b
f ( x, y ) L
.4
=
g ( x, y ) M
. lim
x→a
y →b
3
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
משפט
אם lim f ( x, y ) = Lו ϕ (t ) -רציפה ב L -אז ). lim ϕ ( f ( x, y )) = ϕ ( L
x →a
y →b
x→a
y →b
משפט
) ⎧ x = x(t
⎨ C :שמקיים lim y (t ) = b , lim x(t ) = aיתקיים
אם lim f ( x, y ) = Lאז לכל עקום
t →t0
t →t0
x→a
) ⎩ y = y (t
y →b
גם. lim f ( x(t ), y(t )) = L :
t →t0
מסקנה חשובה :אם נמצא שני עקומים כנ"ל ולאחר שנציב את הפרמטריזציה שלהם בפונקציה נקבל שני
גבולות שונים ,אזי הגבול אינו קיים.
xy
lim 2אינו קיים ,וניתן להראות זאת באמצעות המסקנה מהמשפט הקודם.
דוגמה :הגבול
x →0 x + y 2
y →0
משפט הסנדוויץ'
אם ) g ( x, y ) ≤ f ( x, y ) ≤ h( x, yבסביבת ) (a, bפרט אולי לנקודה ) (a, bעצמה ,ואם
lim g ( x, y ) = lim h( x, y ) = Lאז גם . lim f ( x, y ) = L
x→a
y →b
x→a
y →b
x →a
y →b
וריאציה :אם ) | f ( x, y ) |≤ g ( x, yבסביבה הנ"ל ו lim g ( x, y ) = 0 -אז . lim f ( x, y ) = 0
x→a
y →b
x→a
y →b
משפט
אם ) f ( x, yחסומה בסביבת ) (a, bואם lim g ( x, y ) = 0אז . lim f ( x, y ) ⋅ g ( x, y ) = 0
x→a
y →b
x →a
y →b
מעבר לקוארדינטות פולריות
(cos
)
x
r
t
=
x→0
⎧
⎨ נקבל
ואם מציבים
המשפט הנ"ל שימושי כאשר הגבול הוא מהצורה
y→0
) ⎩ y = r sin(t
) . lim f ( x, y ) = lim F (r )G (tלרוב ) G (tחסומה כי היא צירוף של סינוסים וקוסינוסים ,וF ( r ) -
r →0+
x →0
y →0
שואפת לאפס ,ואז נוכל להשתמש במשפט הנ"ל.
הגדרת הרציפות
) f ( x, yאשר מוגדרת בסביבת ) (a, bתהיה רציפה ב (a, b) -אם ). lim f ( x, y ) = f (a, b
x →a
y →b
משפט
כאשר ) , f ( x, yו g ( x, y ) -רציפות ב (a, b) -גם הפונקציות הבאות רציפות ב: (a, b) -
. f ( x, y ) ± g ( x, y ) .1
. f ( x, y ) ⋅ g ( x, y ) .2
. α f ( x, y ) .3
) f ( x, y
.4אם g ( a, b) ≠ 0אז גם
.
) g ( x, y
.5אם ) ϕ (tרציפה ב f (a, b) -ואם )) ϕ ( f ( x, yמוגדרת בסביבת ) (a, bאז גם
)) ϕ ( f ( x, yרציפה ב. (a, b) -
משפט
אם ) f ( x, yרציפה ב (a, b) -ואם f ( a, b) > 0אז קיימת סביבה של ) (a, bכך שf ( x, y ) > 0 -
בכל הסביבה.
הגדרה
) f ( x, yרציפה ב D -קבוצה פתוחה אם ) f ( x, yרציפה בכל נקודה . ( a, b) ∈ D
4
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
משפט ויירשטראס
אם ) f ( x, yרציפה בקבוצה סגורה וחסומה אז fמקבלת את ערכי המינ' והמקס' שלה בקבוצה הנ"ל.
משפט ערך הביניים
אם ) f ( x, yרציפה ב D -קבוצה פתוחה וקשירה ואם (a1 , b1 ) ∈ Dוגם (a2 , b2 ) ∈ Dואם
) ) f (a1 , b1 ) < c < f (a2 , b2או ההפך( אז קיימת נק' ( a, b) ∈ Dכך ש. f ( a, b) = c -
נגזרות חלקיות ודיפרנציאביליות
נגזרות חלקיות – הגדרה
תהי ) f ( x, yמוגדרת בסביבת ) . ( x0 , y0אם הגבולות הבאים קיימים וסופיים אז:
) ∂f ( x0 , y0
) f ( x0 + Δx, y0 ) − f ( x0 , y0
= f 'x ( x0 , y0 ) = lim
Δx →0
∂x
Δx
) ∂f ( x0 , y0
) f ( x0 , y0 + Δy ) − f ( x0 , y0
.
= f ' y ( x0 , y0 ) = lim
Δy → 0
∂y
Δy
בגזירה חלקית מתייחסים לשאר המשתנים כאל קבועים למשל
)) ∂ ( x 2 sin( y
)) ∂ ( x 2 sin( y
= 2 x sin( y ),
) = x 2 cos( y
.
∂x
∂y
דיפרנציאביליות – הגדרה
) f ( x, yהמוגדרת בסביבת ) ( x0 , y0תהא דיפ' שם אם קיימים מספרים A, Bופונקציה ) ε (Δx, Δy
כך שf ( x0 + Δx, y0 + Δy ) = f ( x0 , y0 ) + AΔx + BΔy + ε (Δx, Δy ) ⋅ (Δx) 2 + (Δy ) 2 -
וגם . lim ε (Δx, Δy ) = 0כאשר Δx, Δyמספיק קטנים.
Δx → 0
Δy →0
אם הנ"ל מתקיים אז ) A = f 'x ( x0 , y0ו. B = f ' y ( x0 , y0 ) -
משפטים בנושא דיפרנציאביליות
כל הנגזרות החלקיות
קיימות ורציפות
קיום מישור
משיק בנקודה
דיפרנציאביליות
רציפות הפונקציה
Δf ( x0 , y0 ) = f 'x Δx + f ' y Δy
+ε (Δx) 2 + (Δy ) 2
ε →0
ובכיוון ההפוך:
הפונ' לא רציפה
לא דיפרנציאבילית = אין
מישור משיק בנקודה
לפחות אחת הנגזרות החלקיות
לא קיימת או לא רציפה
5
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
מישור משיק
כאשר הפונקציה היא דיפרנציאבילית המישור המשיק יהיה נתון ע"י:
) z − z0 = f 'x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f ' y ( x0 , y0 )( y − y0
G
ו. N = ± ( f 'x , f ' y , −1) -
נגזרת מכוונת – הגדרה
G
G
תהא ) f ( x, yמוגדרת בסביבת ) ( x0 , y0ויהי . l = (a, b) ≠ 0הנגזרת המכוונת היא:
) f ( x0 + at , y0 + bt ) − f ( x0 , y0
DlG f ( x0 , y0 ) = lim
t →0
t a2 + b2
חישוב לפי גרדיאנט :אם fדיפרנציאבילית אז הנגזרת המכוונת נתונה ע"י המכפלה הסקלרית:
G
G
G
l
ˆ
DlG f ( x0 , y0 ) = ∇f ( x0 , y0 ) ⋅ l = ∇f ( x0 , y0 ) ⋅ G
| |l
כלל השרשרת
קיימות הרבה אפשרויות להרכבה של שתי פונקציות )או יותר( .הנה כמה מהן ,כאשר בכולן אנו דורשים
דיפרנציאביליות בנקודה הרלוונטית )ראה הערה( .להלן כמה מהאפשרויות:
f ( x, y ) = f (u ( x), v( y )) ⇐ , u = u ( x), v = v( y ) , f (u, v) .1ואז הנגזרות הן:
⎧ f 'x = f 'u ⋅ u 'x
⎨.
⎩ f ' y = f 'v ⋅ v ' y
f ( x, y ) = f (u ( x, y ), v( x, y )) ⇐ , u = u ( x, y ), v = v( x, y ) , f (u, v) .2ואז:
⎧ f 'x = f 'u ⋅ u 'x + f 'v ⋅ v 'x
⎨.
⎩ f ' y = f 'u ⋅ u ' y + f 'v ⋅ v ' y
f ( x, y ) = f (t ( x, y )) ⇐ , t = t ( x, y ) , f (t ) .3ואז:
⎧ f 'x = f 't ⋅ t 'x
⎨.
⎩ f ' y = f 't ⋅ t ' y
f (t ) = f (u (t ), v(t )) ⇐ , u = u (t ), v = v(t ) , f (u, v) .4ואז:
. f ' = f 't = f 'u ⋅ u 't + f 'v ⋅ v 't
הערה בנוגע ל"נקודה הרלוונטית" :כאשר מכניסים פונקציה אחת ,שדיפרנציאבילית בנקודה מסוימת
לתוך פונקציה אחרת ,הפונקציה האחרת צריכה להיות דיפ' בנקודה שונה .
למשל במקרה השני uוגם vצריכות להיות דיפ' ב ( x0 , y0 ) -אך fצריכה להיות דיפ' ב(u0 , v0 ) -
כאשר ) u0 = u ( x0 , y0ו. v0 = v( x0 , y0 ) -
נגזרות מסדר גבוה
סימון
∂ f
∂ f
ו= f ''xy -
מסמנים ,לדוגמא= f ''xx :
∂y∂x
∂x 2
במקרה השני קודם גוזרים לפי , xמקבלים פונקציה חדשה ואז גוזרים לפי . y
משפט
אם f ''xy , f '' yxרציפות ב ( x0 , y0 ) -אז ) . f ''xy ( x0 , y0 ) = f '' yx ( x0 , y0
2
2
.
הגדרה
אם כל הנגזרות מסדר nשל פונקציה fרציפות בתחום Dאז נכתוב ). f ∈ C (D
וברור כי ) f ∈ C k (Dלכל . k < n
n
6
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
אינטגרל עם פרמטר
הגדרה
} f ( x, y ) . R = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ dמוגדרת ב . R -אם לכל yהפונ' ) g ( x) = f ( x, y
b
אינטגרבילית ב . F ( y ) = ∫ f ( x, y )dx : [a, b] -בביצוע האינטגרל yמשמש כפרמטר.
a
משפט
) F ( yהנ"ל רציפה ב. [c, d ] -
משפט לייבניץ
b
אם ) f ( x, yו f ' y ( x, y ) -רציפות ב R -אז . F '( y ) = ∫ f ' y ( x, y )dx
a
משפט
אם ) f ( x, yו f ' y ( x, y ) -רציפות ב β ( y ) , R -מוגדרת וגזירה ב y ∈ [c, d ] -וa ≤ β ( y ) ≤ b -
)β ( y
)β ( y
ו ϕ ( y ) = ∫ f ( x, y )dx -אז. ϕ '( y ) = ∫ f ' y ( x, y ) dx + f ( β ( y ), y ) ⋅ β '( y ) :
a
a
)β ( y
באופן דומה אם ϕ ( y ) = ∫ f ( x, y )dx :אז:
)α ( y
)β ( y
) . ϕ '( y ) = ∫ f ' y ( x, y )dx + f ( β ( y ), y ) ⋅ β '( y ) − f (α ( y ), y ) ⋅ α '( y
)α ( y
פונקציות סתומות
משפט הפונקציות הסתומות
תהי ) F ( x, yהמקיימת:
א( . F ( x0 , y0 ) = 0
ב( F ( x, y ) ∈ C1בסביבת ) . ( x0 , y0
ג( . F ' y ( x0 , y0 ) ≠ 0
אזי קיימת בסביבת x0פונקציה ) y ( xהמקיימת:
. y ( x0 ) = y0 .1
F ( x, y ( x)) = 0 .2לכל xבסביבת . x0
) F ' ( x, y
y '( x) = − xבסביבת . x0
.3
) F ' y ( x, y
y ( x) .4הנ"ל היה יחידה.
עבור פונקציה ) F ( x, y, zנדרוש בערך את אותם תנאים .תנאי ג( יהיה . F 'z ( x, y, z ) ≠ 0נקבל את
F 'y
'F
אותן המסקנות ,מתוקנות להכיל את הפונקציה ) , z ( x, yכאשר z 'x = − xו-
. z 'y = −
F 'z
F 'z
גרדיאנט
G
∂f
ˆ ∂f ˆ ∂f
. gradf = ∇f = iˆ +
עבור פונ' f ( x, y, z ) ∈ C1נגדיר ) j + k = ( f 'x , f ' y , f 'z
∂x
∂y
∂z
הוקטור שמצביע בכוון הגדילה המקסימלית של ) z = f ( x, yהוא ) . ( f 'x , f ' y , f 'x 2 + f ' y 2כלומר
G
G
כיוון ההתקדמות המקס' במישור הוא ∇fוהנגזרת המכוונת בכוון זה היא | . | ∇fעבור הקטינה
המקסימלית פשוט יש להוסיף מינוס להכל .הגרדיאנט הוא תכונה נקודתית.
7
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
מישור משיק לפונקציה סתומה
. F 'x ( M 0 )( x − x0 ) + F ' y ( M 0 )( y − y0 ) + F 'z ( M 0 )( z − z0 ) = 0
משפט
יהי העקום F ( x, y ) = 0ותהי ) M 0 ( x0 , y0נקודה על העקום .נניח F ∈ Cבסביבת M 0וגם
G
. ∇F ( M 0 ) ≠ 0הישר המשיק לעקום נתון ע"י. F 'x ( M 0 )(x − x0 ) + F ' y ( M 0 )( y − y0 ) = 0 :
G
הוקטור ) ∇F ( M 0הוא ניצב )נורמל( לישר המשיק.
משפט עבור שתי משוואות בשלוש נעלמים
תהיינה ) F ( x, y, z ), G ( x, y, zשתי פונק' המוגדרות ב ( x0 , y0 , z0 ) -וסביבתה .נניח שמתקיים:
א( . F ( x0 , y0 , z0 ) = 0, G ( x0 , y0 , z0 ) = 0
ב( F , Gבעלות נגזרות חלקיות רציפות בנקודה ) ( x0 , y0 , z0וסביבתה.
1
ג( היעקוביאן ≠ 0
F 'y
F 'x
G 'y
G 'x
לא מתאפס בנקודה ) . ( x0 , y0 , z0
אזי קיימת סביבה של ) ( x0 , y0 , z0שבה מוגדרות 2פונקציות יחידות ) x( z ), y ( zשמקיימות:
⎧ F ( x( z ), y ( z ), z ) = 0
⎨ לכל zבסביבה של ) . ( x0 , y0 , z0
.1
⎩G ( x( z ), y ( z ), z ) = 0
. x0 = x( z0 ), y0 = y ( z0 ) .2
x( z ), y ( z ) .3גזירות ברציפות )ולכן גם רציפות בעצמן( ב z0 -וסביבתה.
ניתן לחשב את הנגזרות באמצעות חיתוך של שני משטחים במרחב.
חיתוך שני משטחים במרחב
כאשר נתונים שני משטחים F ( x, y, z ) = 0, G ( x, y, z ) = 0החיתוך ביניהם הוא עקום ,ואת וקטור
G
G
הכיוון של המשיק לעקום בנקודה ) ( x0 , y0 , z0ניתן לחשב ע"י המכפלה הוקטורית . ∇F × ∇Gכזכור
) ⎧ x = x( z
⎨ כאשר וקטור הכיוון של המשיק הוא
עקום ניתן לבטא באמצעות פרמטריזציה
)⎩ y = y( z
) . ( x '( z0 ), y '( z0 ),1חישוב הנגזרות במקרה של שתי פונקציות סתומות ב 3-נעלמים יעשה כך:
G
G
) . α ( x '( z0 ), y '( z0 ),1) = ∇F ( x0 , y0 , z0 ) × ∇G ( x0 y0 , z0
משפט עבור שתי משוואות בארבע נעלמים
תהיינה ) F ( x, y, u , v), G ( x, y, u , vמוגדרות בנקודה ) M 0 ( x0 , y0 , u0 , v0וסביבתה .אם מתקיים:
א( . F ( M 0 ) = 0, G ( M 0 ) = 0
ב( F , G ∈ C1בסביבת . M 0
ג( היעקוביאן ≠ 0
F 'v
F 'u
G 'v
G 'u
לא מתאפס ב. M 0 -
אזי קיימת סביבה של ) M 0 ( x0 , y0 , u0 , v0שבה מוגדרות שתי פונקציות יחידות ) u ( x, y ), v( x, y
שמקיימות:
⎧ F ( x, y, u ( x, y ), v( x, y )) = 0
⎨ לכל ) ( x, yבסביבת ) . ( x0 , y0
.1
⎩G ( x, y, u ( x, y ), v( x, y )) = 0
. u0 = u ( x0 , y0 ), v0 = v( x0 , y0 ) .2
u ( x, y ), v( x, y ) .3גזירות ברציפות )ולכן רציפות בעצמן( ב ( x0 , y0 ) -וסביבתה.
⎞ F 'y
נוסחה מטריצית לחישוב הנגזרות⎟ :
⎠ G 'y
−1
F 'v ⎞ ⎛ F 'x
⎜ ⎟
G 'v ⎠ ⎝ G 'x
8
⎞ u 'y
⎛ F 'u
⎜⎟ = −
⎠ v 'y
⎝ G 'u
⎛ u 'x
⎜.
⎝ v 'x
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
סמסטר אביב תשס"ז
משפט טיילור
משפט
תהי ) f ( x, yבעלת נגזרות חלקיות רציפות עד לסדר 4בנקודה ) . ( x0 , y0אזי:
= ) f ( x0 + h, y0 + k
= f ( x0 , y0 ) +
1
+ ⎡⎣ f 'x ( x0 , y0 )h + f ' y ( x0 , y0 )k ⎤⎦ +
!1
1
⎡ f ''xx ( x0 , y0 )h 2 + 2 f ''xy ( x0 , y0 )hk + f '' yy ( x0 , y0 ) k 2 ⎤⎦ +
⎣ !2
+
1
⎡⎣ f '''xxx ( x0 , y0 )h3 + 3 f '''xxy ( x0 , y0 )h 2 k + 3 f '''xyy ( x0 , y0 ) hk 2 + f ''' yyy ( x0 , y0 ) k 3 ⎤⎦ +
!3
+ R3
כאשר R3היא השארית ו . h = Δx = x − x0 , k = Δy = y − y0 -רואים כי כל חישובי הנגזרות
נעשים בנקודה ) , ( x0 , y0ולכן עבור 3משתנים נרשום בקיצור:
= ) f ( x 0 + h, y0 + k , z0 + l
= f ( x0 , y0 , z0 ) +
1
+ ⎡⎣ f 'x h + f ' y k + f 'z l ⎤⎦ +
!1
1
+ ⎡⎣ f ''xx h 2 + f '' yy k 2 + f ''zz l 2 + 2 f ''xy hk + 2 f ''xz hl + 2 f '' yz kl ⎤⎦ +
!2
+ R2
+
הערה :ניתן לפתח טורי טיילור של פונציות כגון ) sin( x 2 yע"י פיתוח )מוכר( של ) sin(tואז החלפת t
ב. x 2 y -
אקסטרמום מקומי
הגדרה
א( ) ( x0 , y0היא נקודת מינימום של ) f ( x, yאם ) f ( x0 , y0 ) ≤ f ( x, yבסביבת ) . ( x0 , y0
ב( ) ( x0 , y0היא נקודת מקסימום של ) f ( x, yאם ) f ( x0 , y0 ) ≥ f ( x, yבסביבת ) . ( x0 , y0
תנאי הכרחי
G
G
אם הפונקציה בעלת נגזרות חלקיות בנקודה ) ( x0 , y0אז ∇f ( x0 , y0 ) = 0
נק' קריטית – הגדרה
G
G
נק' ) ( x0 , y0תקרא קריטית אם ∇f ( x0 , y0 ) = 0או לפחות אחת הנגזרות החלקיות אינה קיימת בנק'.
מיון נק' קריטיות
כאשר ) f ( x, yבעלת נגזרות חלקיות רציפות מסדר 2בנקודה הקריטית ) , ( x0 , y0מחשבים את:
f ''xy
f ''xx
f '' yy
f ''xy
= ) . Δ( x0 , y0ואז:
Δ > 0וגם ⇐ f ''xx > 0זוהי נק' מינימום.
Δ > 0וגם ⇐ f ''xx < 0זוהי נק' מקסימום.
⇐ Δ < 0זוהי נק' אוכף )כמו נק' פיתול ,אבל בשני משתנים(.
2
אם לא זוכרים אפשר להיזכר ע"י חישוב Δב (0, 0) -עבור . g = xy , f = x + y 2
ב f -זו נק' מינימום )הרי זהו פרבלואיד( וב g -זוהי נק' אוכף.
9
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
במקרה של שלושה משתנים
f ''xz
f ''xy
f ''xx
f '' yz
f ''zz
f '' yy
f '' yz
. Δ = f ''xy
f ''xz
מינימום ומקסימום מוחלטים בתחום סגור וחסום
עבור Dחסום וסגור ,ששפתו מורכבת ממספר סופי של עקומים חלקים )גזירים ברציפות( מחלקים את
העבודה לארבעה חלקים:
.1בודקים כמו מקודם בתחום הפתוח . D - ∂D
.2מוצאים את כל הנקודות הקריטיות )חשודות( על שפת התחום )למשל ע"י הצבת
הפרמטריזציה וגזירה לפי המשתנה היחיד(.
.3מוצאים את ה"פינות" כלומר את הנקודות שנמצאות בחיבור שני עקומים על השפה .לא
תמיד יש פינות.
.4מחשבים את ערכי הפונקציה בכל הנק' הנ"ל .הגדולה ביותר היא המקס' והקטנה היא המינ'.
נק' קריטית עם אילוץ -שיטת כופלי לגרנז'
נתונה פונקציה ) f ( x, y, zוצריך לבדוק נק' קיצון על פני המשטח g . g ( x, y, z ) = 0הוא אילוץ.
רושמים ) . ϕ ( x, y, z , λ ) = f ( x, y, z ) + λ g ( x, y, zבונים את מערכת המשוואות הבאה:
⎧ϕ 'x = 0
⎪ϕ ' = 0
⎪
.⎨ y
⎪ϕ 'z = 0
⎪⎩ϕ 'λ = 0
פותרים את המערכת למציאת כל הנקודות הקריטיות .במקרה של שני משתנים יש משוואה אחת פחות.
אינטגרלים
משפט
יהי תחום Dסגור וחסום ובעל שפה שמורכבת ממספר סופי של פונקציות.
.1אם ) f ( x, yרציפה ב D -אזי היא אינטגרבילית שם.
ניקח ) f ( x, y ) , g ( x, yאינטגרביליות:
. ∫∫ [α f ( x, y ) + β g ( x, y )]dxdy = α ∫∫ f ( x, y )dxdy + β ∫∫ g ( x, y )dxdy .2
D
D
D
∫∫ dxdy .3הוא השטח של Dונסמן אותו ). S (D
D
.4אם f ( x, y ) ≥ 0ב D -אז ∫∫ f ( x, y )dxdyהוא הנפח הכלוא בין המישור xyלגרף
D
) . f ( x, y
.5אם f ( x, y ) ≥ 0ב D -אז . 0 ≤ ∫∫ f ( x, y )dxdy
D
.6אם ) g ( x, y ) ≤ f ( x, yב D -אז . ∫∫ g ( x, y )dxdy ≤ ∫∫ f ( x, y )dxdy
D
D
.7אם m ≤ f ( x, y ) ≤ Mב D -אז ). m ⋅ S (D) ≤ ∫∫ f ( x, y )dxdy ≤ M ⋅ S (D
D
.8אם D = D1 ∪ D2ואין להן נק' פנימיות משותפות אז
. ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( x, y ) dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy
D2
D1
10
D
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
חישוב האינטגרל הכפול
משפט
Dסגורה וחסומה ו f ( x, y ) -רציפה שם .נסמן . I = ∫∫ f ( x, y )dxdy
D
⎛
⎞
.1אם }) D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( xאז . I = ∫ ⎜ ∫ f ( x, y )dy ⎟ dx
⎜
⎟
) a ⎝ y1 ( x
⎠
) d ⎛ x2 ( y
⎞
.2אם } D = {( x, y ) : x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ), c ≤ y ≤ dאז . I = ∫ ⎜ ∫ f ( x, y )dx ⎟ dy
⎜
⎟
) c ⎝ x1 ( y
⎠
כלומר מחשבים את האינטגרל הפנימי כאשר המשתנה האחר הוא פרמטר ואז מחשבים את האינטגרל
החיצוני.
החלפת סדר אינטגרציה
יש לצייר את התחום . D
.1אם }) D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( xנרצה למצוא את הגבולות הקבועים של
) y2 ( x
b
yואת הגבולות הלא קבועים של . x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ) xפה יש להיעזר בציור .ייתכן כי
נצטרך יותר מזוג פונקציות וגבולות קבועים -במקרה זה יש להשתמש בתכונה 8מתחתית העמוד
הקודם.
.2אם } D = {( x, y ) : x1 ( y ) ≤ x ≤ x2 ( y ), c ≤ y ≤ dנרצה למצוא את הגבולות הקבועים של
xואת הגבולות הלא קבועים של . y1 ( x) ≤ y ≤ y2 ( x) yפה יש להיעזר בציור .ייתכן כי
נצטרך יותר מזוג פונקציות וגבולות קבועים -במקרה זה יש להשתמש בתכונה 8מתחתית העמוד
הקודם.
החלפת משתנים
u
=
u
(
x
,
y
)
⎧
⎨.
ניקח ( x, y ) ∈ D, (u, v) ∈ Δונבנה העתקה חד-חד ערכית D → Δ
) ⎩ v = v ( x, y
u 'y
ואז
v 'y
x 'v
y 'v
u 'x
)⎧ x = x(u, v
)∂ (u , v
= * . Jקיימת העתקה הפוכה Δ → D
⎨ שבה
=
∂ ( x, y ) v ' x
)⎩ y = y (u , v
'x
) ∂ ( x, y
= u
y 'u
)∂ (u , v
= Jולזה קוראים היעקוביאן .אנו נתעניין בערכו המוחלט .לרוב קל יותר
לחשב את * , Jואז נעזר ב. J ⋅ J * = 1 -
משפט
ניקח ) f ( x, yרציפה ב) D -סגורה וחסומה( נניח שקיימת העתקה D R Δכמו מקודם .אזי:
. ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(u , v), y (u, v)) | J | dudv
Δ
D
הערה :לפעמים קשה לבודד את ) , x(u, v), y (u, vואז נציב לתוך אגף ימין את הכול לפי , x, yבתקווה
שלאחר שחלק מהפונקציה יצטמצם עם חלק מהיעקוביאן ,נישאר עם ביטוי שקל לבטאו ע"י . u, v
הערה נוספת :לרוב עדיף לבנות את ההעתקה כך שתפשט את תחום האינטגרציה ולא את האינטגרנד.
קואורדינטות פולריות – רגילות ומוזזות
) ⎧ x(r , φ ) = r cos(φ
) ⎧ x(r , φ ) = a + r cos(φ
⎨ .היעקוביאן יהיה
⎨ ,או בהזזה
זוהי העתקה מאד נפוצה:
) ⎩ y (r , φ ) = b + r sin(φ
) ⎩ y (r , φ ) = r sin(φ
⎧0 ≤ φ ≤ 2π
⎨ = . Δאם למשל נרצה לאנטגרל כאשר
| J |= rותחום האינטגרציה המקסימלי יהיה
⎩ 0≤r
b ≤ yאז ניקח רק . 0 ≤ φ ≤ πבאופן כללי הזווית φהולכת מהכוון החיובי של ציר xנגד כיוון
השעון.
11
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
אינטגרל משולש
נבחר ) V ∈ \ 3זוהי האות , Vמעוגלת( קבוצה סגורה ,חסומה וקשירה ושפתה מורכבת ממספר סופי
של משטחים מהסוג y = y ( x, z ), z = z ( x, y ) :או ) . x = x( y, zתחום כזה יקרא לשם קיצור תחום
כנ"ל.
משפט
תכונות האינטגרל הכפול נכונות בהתאמה עבור האינטגרל המשולש.
משפט
) f ( x, y, zרציפה ב V -כנ"ל ונסמן . I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
V
.1אם }) V = {( x, y, z ) : ( x, y ) ∈ D, z1 ( x, y ) ≤ z ≤ z2 ( x, yאז
) z2 ( x , y
f ( x, y, z )dz
∫
) z1 ( x , y
I = ∫∫ dxdy
D
b
.2אם } V = {( x, y, z ) : a ≤ z ≤ b, ( x, y ) ∈ S zאז . I = ∫ dz ∫∫ f ( x, y, z )dxdy
a
Sz
החלפת משתנים
) f ( x, y, zרציפה ב V -כנ"ל .נבנה העתקה V R Δחד-חד ערכית ע"י:
) ⎧ x = x(u , v, w) ⎧ u = u ( x, y, z
⎪
⎪
) . ⎨ y = y (u, v, w) , ⎨ v = v( x, y, z
) ⎪ z = z (u , v, w) ⎪ w = w( x, y, z
⎩
⎩
x 'w
y 'w
z 'w
x 'v
y 'v
z 'v
x 'u
) ∂ ( x, y , z
= ,J
= y 'u
)∂ (u , v, w
z 'u
u 'z
u 'y
v 'z
w 'z
v 'y
w 'y
u 'x
)∂ (u , v, w
= J
= v 'x
) ∂ ( x, y , z
w 'x
*
אזי:
. J ⋅ J = 1 .1
. ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f ( x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) | J | dudvdw .2
*
Δ
V
קואורדינטות גליליות
) ⎧ x = r cos(φ
⎧0 ≤ φ ≤ 2π
⎪
⎨.
) ⎨ y = r sin(φו . | J |= r -תחום מקסימלי
⎩ 0≤r
⎪ z=z
⎩
קואורדינטות כדוריות
) ⎧ x = r cos(φ ) sin(θ
⎪
2
) ) ⎨ y = r sin(φ ) sin(θאשפר גם בהזזה כמו במקרה הדו-מימדי( ו φ . | J |= r sin(θ ) -נמדדת
) ⎪ z = r cos(θ
⎩
במישור xyכמו מקודם ו θ -יחסית לציר . z
התחום המקסימלי הוא
⎧0 ≤ φ ≤ 2π
⎪
.⎨ 0 ≤θ ≤ π
⎪ 0≤r
⎩
z
) ( x, y , z
θ
r
y
φ
12
x
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
אינטגרל קווי
הגדרה
G
) . a ≤ t ≤ b , L : r (t
G
L .1הוא עקום חלק אם קיים ) r '(tבקטע ]. [a, b
G
G
L .2הוא עקום חלק למקוטעין אם ) r (tרציפה ב , [a, b] -ו r '(t ) -קיימת פרט אולי למספר סופי של
נקודות.
אינטגרל קווי מסוג ראשון
אינטגרל קווי מסוג ראשון הוא מהצורה . ∫ f ( x, y, z )d A
L
משפט
b
אם Lעקום חלק אז . ∫ f ( x, y, z )d A = ∫ f ( x(t ), y (t ), z (t )) ( x '(t )) 2 + ( y '(t )) 2 + ( z '(t ))2 dt
L
a
שדה וקטורי – הגדרה
G
.1תלת מימדי F ( x, y, z ) = P( x, y, z )iˆ + Q( x, y, z ) ˆj + R( x, y, z )kˆ :או בקיצור:
G
ˆ. F = Piˆ + Qjˆ + Rk
G
G
.2דו מימדי F ( x, y ) = P ( x, y )iˆ + Q( x, y ) ˆj :או בקיצור. F = Piˆ + Qjˆ :
הגרדיאנט ,אם הוא מחושב באופן כללי ולא בנקודה ספציפית ,הוא שדה וקטורי.
אינטגרל קווי מסוג שני
G G
אינטגרל קווי מסוג שני הוא מהצורה ∫ F ⋅ dr = ∫ Pdx + Qdyבמקרה הדו-מימדי או
L
L
G G
∫ F ⋅ dr = ∫ Pdx + Qdy + Rdzבמקרה התלת-מימדי.
L
L
באינטגרל הקווי מסוג שני יש חשיבות לכיוון ההליכה .אם t : a 6 bו A( x(a), y (a), z (a )) -ו-
)) B ( x(b), y (b), z (bאז
∫. ∫ = −
BA
AB
משפט
G
G G
אם Fרציף ו L -חלק אז. ∫ F ⋅ dr = ∫ [ P( x(t ), y (t )) x '(t ) + Q( x(t ), y (t )) y '(t ) ]dt :
L
L
ובאופן דומה גם עבור תלת-מימד.
הגדרה
, L .1עם קצוות A, Bיקרא סגור אם . A = B
.2אם Lסגור במישור אז הכיוון החיובי של ההתקדמות עליו הוא נגד כיוון השעון .ונסמן
משפט גרין
הגדרה
Dסגור ,חסום ,קשיר ושפתו ∂Dמורכבת ממספר סופי של עקומים סגורים.
אם נסמן את העקום החיצוני ב , C -ואת הפנימי בL1 -
G G
G G
G G
.
F
⋅
dr
=
F
⋅
dr
+
F
∫
L
∫>
אז ?∫ ⋅ dr
L
C
∂D
C
1
שימו לב לכיוון האינטגרציה :על כל מסלול חיצוני
נאנטגרל נגד כיוון השעון ועל כל מסלול פנימי נאנטגרל
D
עם כיוון השעון .לחלופין אפשר לבצע את כל האינטגרלים
נגד כיוון השעון אך לשים מינוסים על האינטגרלים של המסלולים הפנימיים.
כל הנ"ל תקף במישור.
משפט
G
G G
1
ˆ
ˆ
Dכמו בהגדרה ו . F = Pi + Qj ∈ C -אזF ⋅ dr = ∫∫ (Q 'x − P ' y )dxdy :
D
ושוב ,מדובר במישור.
13
∫.
∂D
∫. v
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
שדה משמר
הגדרה
G
G G
הפונקציה Uהיא פונקצית פוטנציאל של Fב D -אם מתקיים שם . F = ∇U
משפט
G
אם Uהיא פונקצית פוטנציאל של Fב D -ואם העקום Lנמצא ב D -ו L : A 6 B -אז:
G G
). ∫ F ⋅ dr = U ( B ) − U ( A
L
הגדרה
G
Fשדה משמר ב D -אם קיימת לו פונקצית פוטנציאל שם.
G
הערה F :משמר גם בכל תת-קבוצה של . D
משפט
G
Dקשירה ו F -רציף בה .הטענות הבאות שקולות:
G
F .1משמר ב. D -
G G
.2לכל C ⊂ Dעקום סגור אז . v∫ F ⋅ dr = 0
C
.3לכל עקום Lהמחבר שתי נק' קבועות A, Bכך ש L : A 6 B -שנמצא כולו ב: D -
G G
האינטגרל ∫ F ⋅ drאינו תלוי במסלול.
L
הגדרה
תחום Dבמישור נקרא פשוט קשר אם שפתו מורכבת מעקום סגור אחד בלבד.
)אפילו אם יש נקודה בודדת בתוך Dשבה התחום אינו מוגדר -התחום אינו פשוט קשר(.
משפט
G
ˆ
ˆ
אם Dבמישור הוא פשוט קשר אז F = Pi + Qjיהיה משמר אם"ם . P ' y = Q 'x
פונקציה וקטורית של שני משתנים
בכל פרק זה Sמשטח המקיים:
.1דו-צדדי.
.2חלק למקוטעין.
. r 'u × r 'v ≠ 0 .3
הגדרה
G
ˆ
ˆ
ˆ r (u , v) = x(u , v)i + y (u, v) j + z (u, v)kהיא פונקציה וקטורית של שני משתנים. u, v ∈ Δ ,
)⎧ x = x(u , v
⎪
צורה פרמטרית . ⎨ y = y (u , v) :צורה קרטזית. F ( x, y, z ) = 0 :
)⎪ z = z (u , v
⎩
הגדרה
G G
אם r 'u , r 'vרציפות ב Δ -אז אומרים ש S -משטח חלק.
G
אם rרציפה ב Δ -ומורכבת ממספר סופי של משטחים חלקים אומרים ש S -חלק למקוטעין.
G G
G
הערה :כאשר מחפשים מישור משיק ל S -אז ) . N = r 'u (u0 , v0 ) × r 'v (u0 , v0
אינטגרל משטחי מסוג ראשון
משפט
אם Sחלק ואם ) f ( x, y, zרציפה אז:
G
G
. ∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x(u, v), y (u, v), z (u, v)) | r 'u × r 'v | dudv
Δ
אם ) S : z = z ( x, yאז . dS = 1 + ( z 'x ) 2 + ( z ' y ) 2 dxdy
14
S
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
אינטגרל משחי מסוג שני
G
G
N
G
G
G
ˆ S : r (u , v) = x(u , v)iˆ + y (u, v) ˆj + z (u , v)kהנורמל הוא . nˆ = G , N = ± r 'u × r 'vהסימן של
||N
G
Nנקבע ע"י תנאי השאלה.
הגדרה
G
G
G G
ˆ
ˆ
ˆ . F = Pi + Qj + Rkהאינטגרל המשטחי מסוג שני הוא ∫∫ F ⋅n̂dSאו . ∫∫ F ⋅dS
S
S
הערה :אם Sמשטח סגור ולא מצוין אחרת בשאלה ,הנורמל מכוון החוצה ממנו.
P
Q
R
G
G
ˆ = F ⋅ (r 'u × r 'v )dudv = ± x 'u y 'u z 'u dudv
. F ⋅ ndS
x 'v y 'v z 'v
משפט גאוס
הגדרה
G
ˆ
ˆ
ˆ
, F = Pi + Qj + Rk ∈ C1נגדיר את הדיברגנץ ) ( divergenceכך:
G G G
. divF = ∇ ⋅ F = P 'x + Q ' y + R 'z
משפט גאוס
G
1
יהי Vגוף החסום ע"י המשטח הסגור . ∂Vאם ) F ∈ C (Vו nˆ -פונה החוצה אז:
G
G G
ˆ = ∫∫∫ (∇ ⋅ F )dxdydz
. ∫∫ F ⋅ ndS
∂V
V
לאינטגרל )משטחי מסוג שני( מצד שמאל קוראים שטף .משפט זה מועיל במיוחד כאשר הדיברגנץ הוא
קבוע כלומר לא תלוי במשתנים x, y, zואז פשוט נחשב את הנפח של הגוף .במידה וניתקל באינטגרל
מסוג שני שמאוד לא נוח לחישוב כי המשטח מסובך ,אך נשים לב כי הדיברגנץ של הפונקציה מאד פשוט,
נשלים את המשטח למשטח סגור ,באמצעות תוספת שקל לחשב את השטף דרכה ,ונשתמש במשפט גאוס.
אלמנטים של אנליזה וקטורית
רוטור
G
∂
∂
∂
ˆ ∇ = iˆ + ˆj + kהוא אופרטור בצורת וקטור .הוא אינו וקטור אמיתי אך נח לרשום אותו כך.
∂x
∂y
∂z
בהכפלה בו אנו מפעילים אותו על פונקציה כלומר גוזרים אותה .למשולש ההפוך קוראים נבלה )(nabla
או . del operatorהכרנו את הגרדיאנט ואת הדיברגנץ .עכשיו נכיר את הרוטור .באנגליתrotor/curl :
ˆj
ˆi
ˆk
∂
) = ( R ' y − Q 'z , P 'z − R 'x , Q 'x − P ' y
∂z
R
∂
∂y
Q
G
G G G
∂
= . rotF = curlF = ∇ × F
∂x
P
לפלסיאן
G
∂ f ∂ f ∂ f
הלפלסיאן הוא . ∇ 2 f = Δf = div( gradf ) = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
G2
פונקציה המקיימת ∇ f = 0נקראת פונקציה הרמונית.
בונוס
G
G
2
כאשר F ∈ Cאז . div(rotF ) = 0
זהו אמצעי לסינון שגיאות.
אם אתם לא בטוחים בחישוב הרוטור ,הפעילו דיברגנץ ותבדקו שקיבלתם .0
2
2
2
15
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
משפט גרין עבור לפלסיאן
G
∂f
.w
אם f ∈ C 2אז dS = ∫∫∫ ∇ 2 fdxdydz
∫∫
ˆ∂n
∂V
V
משפט סטוקס
יהי Sמשטח ששפתו היא עקום סגור . L = ∂S
משפט סטוקס
G G
G G
G
ˆ
. >∫ F ⋅ dr = ∫∫ (∇ × F ) ⋅ ndS
אם F ∈ C 2ו n̂ -ו L -מכוונים לפי כלל היד הימנית אז
L
S
ניתן להשתמש במשפט סטוקס פעמיים ,כלומר במקום לחשב אינטגרל על משטח מסובך ,לעבור דרך
משפט סטוקס למשטח יותר קל .העיקר שלשני המשטחים יהיה את אותה השפה.
כלל היד הימנית
אם למשטח יש שפה אחת 4 :האצבעות המעוגלות של יד ימין מצביעות בכוון האינטגרציה ,והאגודל
מצביע בכוון הנורמל .אם למשטח יש שני שפות :אדם ש"מטייל" על המשטח ומחזיק בשפה עם יד ימינו
כאילו שהשפה היא מעקה )הוא מטייל בכוון האינטגרציה( – הראש שלו מצביע בכוון הנורמל.
שדה משמר במרחב ,ומשפט גאוס במישור
הגדרה
Vבמרחב נקרא פשוט קשר אם לכל עקום סגור , C ⊂ Vקיים משטח S ⊂ Vכך ש. ∂S = C -
משפט
G
G
G
G
G
1
. F ∈ C 1אם Fמשמר אזי . rotF = 0בנוסף ,אם Vהוא פשוט קשר ו F ∈ C -שם אז Fמשמר
G
אם"ם . rotF = 0
משפט גאוס במישור
G
1
יהי Dתחום במישור כך ששפתו מורכבת ממספר סופי של עקומים סגורים .אם F = Piˆ + Qjˆ ∈ C
G
אזיˆ A = ∫∫ ( P 'x + Q ' y )dxdy :
. ∫ F ⋅ ndכאשר ˆ nמכוון כלפי חוץ.
D
∂D
16
סמסטר אביב תשס"ז
סיכום בחדו"א 2מ' מאת גיל וולף gilwolff@gmail.com
נספחים
ab
1
אי שיוויון מפורסם≤ :
2
2
a +b
xy
הפונקציה
f ( x, y ) = 2היא פונקציה שמתנהגת מוזר בראשית .אם מבקשים דוגמא לפונקציה
x + y2
שמקיימת משהו חריג -ישר לבדוק על הפונקציה הזו.
G
G G
−y
x
I = v∫ F ⋅ dr
:F = ( 2
, 2
עבור הפונקציה )
2
C
x + y x + y2
.1אם Cמסלול סגור המכוון נגד כוון השעון ומקיף את הראשית אז . I = 2π
.2אם Cסגור אך לא מקיף את הראשית אז ) . I = 0לפי גרין(
.3אם Cסגור ומקיף את הראשית nפעמים נגד כוון השעון ו m -פעמים עם כוון השעון אז
). I = 2π (n − m
2
2
2
2
נוסחת הטרינום. (a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc :
⎞ ⎛ d −b
−1
⎜
⎟
⎠ −c a
⎞ ⎛a b
⎝
⎜.
היפוך מטריצה , det = ad − bc : 2x2
= ⎟
det
⎠⎝c d
.
2
x2 y 2
קואורדינטות אליפטיות דו-מימדיות :עבור התחום : 2 + 2 ≤ 1
a
b
) ⎧ x(r , φ ) = ar cos(φ
⎨ | J |= abr ,ו. 0 ≤ r ≤ 1 -
) ⎩ y (r , φ ) = br sin(φ
x2 y 2 z 2
+
+
תלת-מימדיות :עבור ≤ 1
a 2 b2 c2
) ⎧ x = ar cos(φ ) sin(θ
⎪
2
) | J |= abcr sin(θ ) , ⎨ y = br sin(φ ) sin(θו. 0 ≤ r ≤ 1 -
) ⎪ z = cr cos(θ
⎩
:
בשני המקרים θו φ -כרגיל r .מאבד את המשמעות הקודמת שלו -הוא כבר אינו הרדיוס.
זהויות טריגונומטריות שמועילות באינטגרלים:
1
−
cos(2
)α
) 1 + cos(2α
= ) . sin 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1 , sin 2 (α
= ) , cos 2 (α
2
2
b
b
1
) . ∫ sin(θ ) cos(θ )dθ = sin 2 (θ
2
a
a
2π
2π
1
(2π ) = π
2
0
0
ברוב המוחלט של המשפטים שמדברים על נגזרות )למשל גאוס וסטוקס( התנאי של המשפט הוא
שהנגזרות החלקיות יהיו רציפות עד לסדר שמופיע במשפט .בסטוקס וגאוס זה סדר ,1כלומר הנגזרות
החלקיות צריכות להיות רציפות ,ובמשפט גרין עבור לפלסיאן זהו סדר 2כי הלפלסיאן גוזר פעמיים.
= . ∫ sin 2 (θ )dθ = ∫ cos 2 (θ )dθ
להערות ותיקונים נא לשלוח לי אימייל.
בהצלחה!
Copyright © Gil Wolff.
Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU
Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software
Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts.
17
0
advertisement
Related documents
Download
advertisement
Add this document to collection(s)
You can add this document to your study collection(s)
Sign in Available only to authorized usersAdd this document to saved
You can add this document to your saved list
Sign in Available only to authorized users