B€I TŠP XC SU‡T THÈNG K–
Dòng cho c¡c lîp khoa Vªn t£i Kinh t¸
8/2018
Chó þ èi vîi sinh vi¶n
B i 1.5. Mët doanh nh¥n câ mët chuéi gçm 3 cûa h ng
1. T i li»u n y ÷ñc bi¶n so¤n cho c¡c sinh vi¶n khoa
Vªn t£i kinh t¸ sû döng trong håc ph¦n X¡c su§t thèng
k¶. C¡c b i tªp ð ¥y ÷ñc sû döng chung trong c¡c gií
b i tªp cõa håc ph¦n n y. Y¶u c¦u v· vi»c chu©n bà b i
tªp cho tøng tu¦n s³ ÷ñc gi£ng vi¶n thæng b¡o trüc
ti¸p cho sinh vi¶n.
vªt li»u x¥y düng ho¤t ëng ëc lªp vîi nhau. X¡c su§t
º méi cûa h ng câ doanh thu trong mët ng y tr¶n 50
tri»u çng l 0, 7; 0, 8 v 0, 6. H¢y t½nh x¡c su§t º trong
mët ng y:
a) C£ ba cûa h ng câ doanh thu tr¶n 50 tri»u çng;
b) Câ ½t nh§t hai cûa h ng câ doanh thu tr¶n 50 tri»u
çng.
1. ¤i c÷ìng v· lþ thuy¸t X¡c su§t
B i 1.6. Mët sinh vi¶n mîi ra tr÷íng çng thíi nëp
B i 1.1. Trong tõ l¤nh cõa c«ng tin câ 12 hëp súa bèn hç sì xin vi»c cho bèn cæng ty, phäng v§n tr¼nh
chua trong â câ ba hëp ¢ qu¡ h¤n sû döng. Ng÷íi
b¡n h ng chån ng¨u nhi¶n 4 hëp súa chua tø â º b¡n
cho mët nhâm sinh vi¶n. T½nh x¡c su§t cõa sü ki»n:
a) Trong bèn hëp súa chua â câ óng hai hëp ¢ qu¡
h¤n sû döng;
b) Trong bèn hëp súa chua â câ ½t nh§t mët hëp ¢
qu¡ h¤n sû döng.
ë v chí k¸t qu£. Cho bi¸t x¡c su§t º méi cæng ty
nhªn sinh vi¶n â v o thû vi»c t÷ìng ùng l 0, 2; 0, 35;
0, 5 v 0, 65. T½nh x¡c su§t cõa sü ki»n "câ ½t nh§t mët
cæng ty nhªn sinh vi¶n â v o thû vi»c çng thíi cæng
ty thù ba khæng nhªn sinh vi¶n â".
B i 1.7. Mët sinh vi¶n mîi ra tr÷íng çng thíi nëp
hç sì xin vi»c cho bèn cæng ty, phäng v§n tr¼nh ë
B i 1.2. Mët khu phè câ 10 ùa tr´. V o ¶m Hal- bèn
v chí k¸t qu£. Cho bi¸t x¡c su§t º méi cæng ty nhªn
∗∗
loween mët gia chõ trong khu phè n y °t tr÷îc cûa
mët ¾a kµo gçm 100 c¡i v c¡c mân qu kh¡c. Nhúng
ùa tr´ cõa khu phè ¸n â l§y i c¡c mân qu hay
nhúng chi¸c kµo trong ¾a. S¡ng hæm sau gia chõ â
th§y trong ¾a cán l¤i 45 c¡i kµo. H¢y t½nh x¡c su§t cõa
sü ki»n:
a) Méi mët ùa tr´ cõa khu phè â ¢ l§y ra khäi ¾a
½t nh§t l mët c¡i kµo;
b) Méi mët ùa tr´ cõa khu phè â ¢ l§y ra khäi ¾a
½t nh§t l hai c¡i kµo.
sinh vi¶n â v o thû vi»c t÷ìng ùng l 0, 5; 0, 6; 0, 3 v
0, 1. T½nh x¡c su§t cõa sü ki»n "câ ½t nh§t hai cæng ty
nhªn sinh vi¶n â v o thû vi»c çng thíi cæng ty thù
t÷ khæng nhªn sinh vi¶n â".
B i 1.8. Mët nh ¦u t÷ dü t½nh trong hai phi¶n giao
dàch li¶n ti¸p s³ °t l»nh mua hai m¢ chùng kho¡n kh¡c
nhau. Méi phi¶n giao dàch æng ta °t mua 2 l»nh; méi
l»nh mua mët m¢ chùng kho¡n. Ð méi phi¶n, x¡c su§t
º l»nh mua m¢ thù nh§t ÷ñc thüc hi»n th nh cæng l
Ng÷íi ta s­p x¸p ng¨u nhi¶n 10 sinh vi¶n nam 0, 4; x¡c su§t º l»nh mua m¢ thù hai ÷ñc thüc hi»n
v 5 sinh vi¶n nú th nh mët h ng dåc. T½nh x¡c su§t th nh cæng l 0, 6. T½nh x¡c su§t º x£y ra sü ki»n: sè
º x£y ra sü ki»n khæng câ hai sinh vi¶n nú n o ùng l»nh °t mua ÷ñc thüc hi»n th nh cæng ð hai phi¶n l
nh÷ nhau.
c¤nh nhau.
B i 1.3.
B i 1.4. Câ bèn h nh kh¡ch ÷ñc s­p x¸p ng¨u nhi¶n B i 1.9. Mët nh ¦u t÷ °t bèn l»nh mua bèn m¢
chùng kho¡n kh¡c nhau trong mët phi¶n giao dàch. X¡c
su§t º méi l»nh mua ÷ñc thüc hi»n th nh cæng t÷ìng
ùng l 0, 7; 0, 75; 0, 6; 0, 5. T½nh x¡c su§t cõa sü ki»n
trong bèn l»nh mua cõa nh ¦u t÷ câ óng mët l»nh
÷ñc thüc hi»n th nh cæng.
l¶n mët o n t u câ 6 toa. T½nh x¡c su§t º x£y ra sü
ki»n
a) Bèn ng÷íi l¶n bèn toa kh¡c nhau;
b) Câ hai ng÷íi l¶n còng mët toa v hai ng÷íi cán l¤i
l¶n còng mët toa kh¡c.
1
2
B i tªp X¡c su§t thèng k¶ - Vªn t£i Kinh t¸
B i 1.10. T¤i mët gian h ng cõa si¶u thà ng÷íi ta °t lo¤i hai â ÷ñc ch¸ bi¸n tø nguy¶n li»u cõa nh cung
v o â 15 gâi b¡nh trong â câ 6 gâi b¡nh m h¤n sû
döng ch¿ cán khæng qu¡ ba ng y. Mët kh¡ch h ng muèn
l§y mët gâi b¡nh m h¤n sû döng cán tr¶n ba ng y º
bä v o giä h ng cõa m¼nh. Ng÷íi â chån ng¨u nhi¶n
tøng gâi b¡nh º kiºm tra h¤n sû döng. N¸u gâi b¡nh
÷ñc chån câ h¤n sû döng ch¿ cán khæng qu¡ ba ng y
th¼ lo¤i ra v chån ti¸p gâi b¡nh kh¡c. T½nh x¡c su§t
cõa sü ki»n ng÷íi â chån ÷ñc gâi b¡nh m¼nh muèn
sau khi kiºm tra 4 gâi b¡nh.
B i 1.11. Mët sinh vi¶n i tø nh ¸n tr÷íng ph£i i
qua 2 và tr½ câ ±n t½n hi»u giao thæng. H» thèng ±n
t½n hi»u thù nh§t °t thíi gian 40 gi¥y m u xanh, 5
gi¥y m u v ng, v 60 gi¥y m u ä. H» thèng ±n t½n
hi»u thù hai °t thíi gian 45 gi¥y m u xanh, 5 gi¥y
m u v ng, v 75 gi¥y m u ä. C¡c h» thèng ±n t½n
hi»u ho¤t ëng ëc lªp vîi nhau. T½nh x¡c su§t º sinh
vi¶n â g°p óng 2 l¦n ±n câ m u kh¡c nhau khi i
¸n tr÷íng.
c§p thù ba.
B i 1. 15. Cho bi¸t tuy¸n vªn t£i h nh kh¡ch nèi
hai th nh phè A, B ÷ñc ba cæng ty vªn t£i «ng kþ
khai th¡c vîi t¿ l» ÷ñc ph¥n bê tr¶n têng sè chuy¸n
t÷ìng ùng l 0, 4; 0, 35 v 0, 25. T¿ l» xe cõa méi h¢ng
khæng £m b£o c¡c y¶u c¦u v· kh½ th£i t÷ìng ùng l
0, 3; 0, 4; 0, 5.
a) T½nh t¿ l» c¡c chuy¸n xe kh¡ch khæng £m b£o c¡c
y¶u c¦u v· kh½ th£i cõa tuy¸n vªn t£i h nh kh¡ch tr¶n.
b) Kiºm tra ng¨u nhi¶n mët chuy¸n xe cõa tuy¸n vªn
t£i h nh kh¡ch tr¶n v th§y xe khæng £m b£o c¡c y¶u
c¦u v· kh½ th£i.T½nh x¡c su§t º xe â thuëc v· cæng
ty vªn t£i thù ba.
B i 1.16.
C£nh s¡t ti¸n h nh l­p °t 4 h» thèng camera º kiºm so¡t ng÷íi vi ph¤m luªt giao thæng t¤i 4 và
tr½ kh¡c nhau ð mët khu vüc. Bi¸t r¬ng thíi gian ho¤t
ëng cõa c¡c h» thèng l¦n l÷ñt l 50%, 60%, 20%, 30%
thíi gian trong ng y. Mët ng÷íi tham gia giao thæng
Mët nh m¡y câ ba ph¥n x÷ðng t÷ìng ùng v÷ñt qu¡ tèc ë câ x¡c su§t i qua c¡c và tr½ câ camera
s£n xu§t 20%, 50%, 30% têng s£n ph©m. T¿ l» ph¸ ph©m kiºm so¡t l¦n l÷ñt l 0, 3; 0, 3; 0, 15; 0, 25.
a) T½nh x¡c su§t º ng÷íi i qu¡ tèc ë bà c¡c camera
cõa tøng ph¥n x÷ðng t÷ìng ùng l 1%, 2%, 3%.
ph¡t hi»n.
a) T½nh t¿ l» ph¸ ph©m chung cõa nh m¡y.
b) Chån ng¨u nhi¶n mët s£n ph©m ÷ñc s£n xu§t v b) Chån ng¨u nhi¶n mët ng÷íi i qu¡ tèc ë nh÷ng
nhªn ÷ñc ph¸ ph©m. T½nh x¡c su§t º ph¸ ph©m â khæng bà camera ph¡t hi»n. T½nh x¡c su§t º â l
ng÷íi i qu¡ tèc ë khi qua và tr½ thù ba.
do ph¥n x÷ðng thù nh§t s£n xu§t.
B i 1.12.
i 1.17. Cho bi¸t câ 14% têng sè cæng nh¥n cõa mët
B i 1.13. Thà tr÷íng truy·n h¼nh c¡p ð mët th nh Bx½ nghi»p
bà m­c c¡c b»nh ngh· nghi»p v câ 60% cæng
phè lîn câ c§u tróc nh÷ sau: C¡c nh cung c§p A, B, C
t÷ìng ùng chi¸m 30%; 43%; 27% thà ph¦n. Cho bi¸t t¿
l» thu¶ bao cõa c¡c h¢ng khæng sû döng gâi k¶nh HD
t÷ìng ùng l 70%, 80%, 90%.
a) T½nh t¿ l» thu¶ bao khæng sû döng gâi k¶nh HD trong
to n bë thà tr÷íng.
b) Chån ng¨u nhi¶n mët thu¶ bao câ sû döng gâi k¶nh
HD. T½nh x¡c su§t º thu¶ bao â thuëc v· nh cung
c§p B .
nh¥n cõa x½ nghi»p ph£i l m vi»c trong mæi tr÷íng ëc
h¤i. T l» m­c b»nh ngh· nghi»p cõa c¡c cæng nh¥n
ph£i l m vi»c trong mæi tr÷íng ëc h¤i g§p bèn l¦n
t l» t÷ìng ùng cõa c¡c cæng nh¥n cán l¤i. Chån ng¨u
nhi¶n mët cæng nh¥n ph£i l m vi»c trong mæi tr÷íng
ëc h¤i. T½nh x¡c su§t º cæng nh¥n â l ng÷íi m­c
b»nh ngh· nghi»p.
B i 1.18. Måi s£n ph©m cõa mët nh m¡y ·u ph£i
kh¥u kiºm tra ch§t l÷ñng v câ 62, 2% têng s£n
B i 1.14. Mët x½ nghi»p ch¸ bi¸n tæm xu§t kh©u nhªp qua
ph©m ¤t y¶u c¦u. Do kh¥u kiºm tra ch÷a thªt sü ho n
nguy¶n li»u tø ba nh cung c§p v ph¥n lo¤i s£n ph©m
sau khi sì ch¸ th nh s£n ph©m lo¤i 1 v s£n ph©m lo¤i
2. T l» tæm nguy¶n li»u ÷ñc nhªp tø c¡c nh cung
c§p t÷ìng ùng l 60%, 25%, 15%. T l» s£n ph©m lo¤i
mët thu ÷ñc tø c¡c nguçn nguy¶n li»u t÷ìng ùng vîi
tøng nh cung c§p l 80%, 60%, 50%.
a) T½nh t l» s£n ph©m lo¤i mët trong têng s£n ph©m
do nh m¡y ch¸ bi¸n.
b) Chån ng¨u nhi¶n mët gâi s£n ph©m v nhªn ÷ñc
s£n ph©m lo¤i 2. H¢y t½nh x¡c su§t º gâi s£n ph©m
¤i håc Giao thæng Vªn t£i
h£o n¶n câ 93% s£n ph©m tèt ¤t y¶u c¦u v công câ
5% s£n ph©m x§u ¤t y¶u c¦u.
a) T½nh t¿ l» s£n ph©m tèt cõa nh m¡y.
b) T½nh t¿ l» s£n ph©m tèt trong sè s£n ph©m ¤t y¶u
c¦u kiºm tra.
c) T½nh t¿ l» s£n ph©m x§u trong sè s£n ph©m ¤t y¶u
c¦u kiºm tra.
B i 1.19. Cho bi¸t x¡c su§t º mët lo¤i i»n tho¤i di
ëng sû döng ÷ñc tr¶n 48 th¡ng l 0, 3. Trong mët
Th¡ng 8 n«m 2018
Bë mæn ¤i sè v X¡c su§t thèng k¶
3
ng y mët cûa h ng b¡n ra 10 chi¸c i»n tho¤i lo¤i â. X l sè chai m ng÷íi â ph£i kiºm tra. H¢y lªp b£ng
H¢y t½nh x¡c su§t cõa sü ki»n trong 10 chi¸c i»n tho¤i ph¥n phèi x¡c su§t cõa X v t½nh gi¡ trà trung b¼nh
÷ñc b¡n ra ng y hæm â câ 2 chi¸c sû döng ÷ñc tr¶n cõa X .
48 th¡ng.
Mët cæng ty lüa chån ÷ñc 20 nh¥n vi¶n gçm
Cho bi¸t x¡c su§t º mët cûa h ng b¡n h¸t 11 nam v 9 nú õ ti¶u chu©n i håc n¥ng cao tr¼nh ë
mët læ h ng gçm 20 thòng bia trong váng mët th¡ng l ð n÷îc ngo i. Ng÷íi ta cho 20 nh¥n vi¶n n y rót th«m
0, 7. Mët ¤i lþ chuyºn ¸n 6 cûa h ng, méi cûa h ng º chån bèn ng÷íi i håc ñt ¦u ti¶n. Gåi X l ¤i
mët læ h ng gçm 20 thòng bia. H¢y t½nh x¡c su§t cõa l÷ñng ng¨u nhi¶n ch¿ sè nh¥n vi¶n nam câ m°t trong 4
sü ki»n trong 6 cûa h ng nhªn bia tø ¤i lþ câ ½t nh§t ng÷íi ÷ñc chån. H¢y lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa
bèn cûa h ng b¡n h¸t h ng trong váng mët th¡ng.
X v t½nh gi¡ trà trung b¼nh cõa X .
B i 1.20.
B i 2.5.
B i 2.6. T¤i mët gian h ng cõa si¶u thà ng÷íi ta °t
2. ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ríi r¤c
v o â 16 lon bia trong â câ 3 lon s­p h¸t h¤n sû döng.
kh¡ch h ng chån ng¨u nhi¶n 5 lon bia tø 16 lon
B i 2.1. Mët d¥y chuy·n gçm bèn bë phªn ÷ñc kiºm Mët
cõa gian h ng â º bä v o giä h ng cõa m¼nh. Gåi X
tra an to n. N¸u bë phªn tr÷îc ¤t ti¶u chu©n an to n
th¼ kiºm tra ti¸p bë phªn sau. N¸u câ mët bë phªn
n o §y khæng ¤t ti¶u chu©n an to n th¼ døng vi»c
kiºm tra l¤i º sûa chúa. X¡c su§t º c¡c bë phªn ¤t
ti¶u chu©n t÷ìng ùng l 0, 75; 0, 8; 0, 9; 0, 95. Gåi X
l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ch¿ sè bë phªn ¤t ti¶u chu©n
an to n m qu¡ tr¼nh kiºm tra ¢ x¡c nhªn. H¢y lªp
b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X v t½nh E X .
B i 2.2. Nh¥n vi¶n t i vö cõa mët cæng ty c¦u ÷íng
l sè lon bia s­p h¸t h¤n sû döng ÷ñc kh¡ch h ng â
lüa chån. H¢y lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X v
t½nh gi¡ trà trung b¼nh cõa X .
B i 2.7. Mët nh nghi¶n cùu ÷ñc c§p kinh ph½ º ti¸n
h nh th½ nghi»m khæng qu¡ 3 l¦n. C¡c th½ nghi»m ÷ñc
ti¸n h nh ëc lªp vîi x¡c su§t th nh cæng l¦n l÷ñt l
0, 3; 0, 4; 0, 5. C¡c th½ nghi»m ti¸n h nh ¸n khi th nh
cæng ho°c h¸t sè l¦n th½ nghi»m th¼ døng.
a) T½nh x¡c su§t nh nghi¶n cùu ph£i ti¸n h nh th½
nghi»m ð l¦n thù 3.
b) T½nh sè ti·n ti·n trung b¼nh º ti¸n h nh cæng vi»c
tr¶n. Bi¸t méi l¦n ti¸n h nh th½ nghi»m h¸t 20 tri»u
çng.
thüc hi»n vi»c kiºm tra c¡c hç sì ho n cæng theo 4
b÷îc. Gi£ thi¸t r¬ng n¸u ph¡t hi»n sai sât ð b§t cù
b÷îc n o th¼ s³ khæng kiºm tra c¡c b÷îc cán l¤i v tr£
hç sì v· c¡c ëi thi cæng º bê sung, ch¿nh sûa. Cho
bi¸t x¡c su§t ph¡t hi»n sai sât ð tøng b÷îc t÷ìng ùng
l 0, 2; 0, 4; 0, 15; 0, 25. Gåi X l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n
Méi sinh vi¶n ph£i «ng kþ håc v thi mët
ch¿ sè b÷îc kiºm tra ÷ñc thæng qua èi vîi mët hç sì.
håc ph¦n b­t buëc câ 3 t½n ch¿ cho ¸n khi thi ¤t y¶u
H¢y lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X v t½nh trung
c¦u º ÷ñc t½nh l ¢ ho n th nh håc ph¦n. Håc ph½
b¼nh cõa X .
cho méi l¦n «ng kþ håc v thi cõa håc ph¦n n y l
Mët doanh nh¥n câ mët chuéi gçm 3 cûa h ng 420 ngh¼n çng. X¡c su§t º c¡c sinh vi¶n thi ¤t y¶u
i»n tho¤i ho¤t ëng ëc lªp vîi nhau. X¡c su§t º méi c¦u trong méi l¦n håc v thi håc ph¦n n y l 0, 83. Gi£
cûa h ng câ doanh thu trong mët ng y tr¶n 70 tri»u sû r¬ng c¡c l¦n håc v thi l ëc lªp vîi nhau. Chån
çng l 0, 4; 0, 7 v 0, 8. Gåi X l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ng¨u nhi¶n mët sinh vi¶n ¢ ho n th nh håc ph¦n n y.
ch¿ sè cûa h ng cõa æng ta trong 1 ng y (n o §y) câ a) T½nh x¡c su§t cõa sü ki»n sinh vi¶n ÷ñc chån l
doanh thu tr¶n 70 tri»u çng. H¢y lªp b£ng ph¥n phèi sinh vi¶n ¢ «ng kþ håc v thi håc ph¦n n y ½t nh§t
3 l¦n.
x¡c su§t cõa X .
b) Gåi X l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ch¿ têng sè håc ph½
T¤i mët gian h ng cõa si¶u thà ng÷íi ta °t sinh vi¶n â ¢ ph£i nëp cõa håc ph¦n n y cho ¸n khi
v o â 20 chai n÷îc ²p hoa qu£ trong â câ 3 chai m ho n th nh nâ. T½nh gi¡ trà trung b¼nh cõa X .
h¤n sû döng ch¿ cán khæng qu¡ mët th¡ng. Mët kh¡ch
h ng muèn l§y mët chai m h¤n sû döng cán tr¶n mët
T¤i qu¦y thanh to¡n cõa si¶u thà, ¦u åc
th¡ng º bä v o giä h ng cõa m¼nh. Ng÷íi â chån m¢ v¤ch câ kh£ n«ng åc ch½nh x¡c m¢ v¤ch tr¶n s£n
ng¨u nhi¶n tøng chai º kiºm tra h¤n sû döng. N¸u ph©m vîi x¡c su§t 88%. N¸u ¦u åc khæng åc ÷ñc
chai ÷ñc chån l chai m h¤n sû döng ch¿ cán khæng m¢ v¤ch tr¶n s£n ph©m n o §y th¼ nh¥n vi¶n thu ng¥n
qu¡ mët th¡ng th¼ lo¤i ra v chån ti¸p chai kh¡c. Gåi ph£i nhªp m¢ sè cõa s£n ph©m â v o m¡y t½nh theo
B i 2.8.
B i 2.3.
B i 2.4.
B i 2.9.
¤i håc Giao thæng Vªn t£i
Th¡ng 8 n«m 2018
4
c¡ch l m thõ cæng. Gåi X l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ch¿
sè l÷ñng s£n ph©m m ¦u åc åc ÷ñc m¢ v¤ch tr¶n
â giúa hai l¦n thu ng¥n nhªp m¢ sè theo kiºu thõ
cæng.
a) H¢y lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X .
b) T½nh x¡c su§t cõa sü ki»n ¦u åc åc ÷ñc m¢ v¤ch
khæng qu¡ bèn l¦n li¶n ti¸p.
B i tªp X¡c su§t thèng k¶ - Vªn t£i Kinh t¸
n¤n ð mùc ÷ñc chi tr£ b£o hiºm th¼ cæng ty s³ chi
ti·n sè ti·n b£o hiºm l 15 tri»u çng. Cho bi¸t x¡c
su§t g°p tai n¤n ð mùc ÷ñc chi tr£ b£o hiºm cõa méi
håc sinh trong mët n«m l 0, 0055. H¢y t½nh sè ti·n l¢i
trung b¼nh cõa cæng ty khi b¡n b£o hiºm cho 180.000
håc sinh â.
B i 2.15. Thèng k¶ v· tai n¤n giao thæng cho th§y t¿
B i 2.10. Mët nh ¦u t÷ muèn b¡n i mët l÷ñng cê l» tai n¤n xe m¡y (vö/têng sè xe/n«m) chia theo mùc
phi¸u v æng °t l»nh b¡n to n bë sè cê phi¸u n y méi
ng y mët l¦n v li¶n ti¸p tøng ng y cho ¸n khi l»nh
b¡n ÷ñc thüc hi»n th nh cæng. Cho bi¸t r¬ng x¡c su§t
º l»nh b¡n ÷ñc thüc hi»n th nh cæng trong méi ng y
l 0, 45. Gåi X l sè ng y nh ¦u t÷ ÷a ra l»nh b¡n
sè cê phi¸u â.
a) H¢y lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X .
b) T½nh gi¡ trà trung b¼nh cõa X .
ë nhµ v n°ng t÷ìng ùng l 0, 001 v 0, 005. Mët cæng
ty b¡n b£o hiºm xe m¡y vîi mùc thu ph½ h ng n«m l
50000 çng v sè ti·n b£o hiºm trung b¼nh 1 vö l 1
tri»u çng èi vîi tr÷íng hñp nhµ v 3 tri»u çng èi
vîi tr÷íng hñp n°ng. Häi lñi nhuªn trung b¼nh h ng
n«m m cæng ty thu ÷ñc èi vîi méi hñp çng b£o
hiºm l bao nhi¶u, bi¸t r¬ng thu¸ doanh thu ph£i nëp
l 10% v têng t§t c£ c¡c chi ph½ kh¡c chi¸m 15% doanh
thu.
B i 2.11. Nhúng chi ti¸t m¡y ÷ñc th½ nghi»m b¬ng B i 2.16. Mët cæng ty x¥y düng c¦u ÷íng câ 3 ëi
c¡ch cho sû döng qu¡ t£i. X¡c su§t º méi mët chi ti¸t
chàu ÷ñc th½ nghi»m b¬ng 0, 8 v ëc lªp nhau. Ti¸n
h nh th½ nghi»m tøng chi ti¸t mët v vi»c th½ nghi»m
s³ k¸t thóc sau khi câ chi ti¸t ¦u ti¶n khæng chàu ÷ñc
th½ nghi»m.
a) Lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa sè l¦n th½ nghi»m.
b) T½nh sè l¦n th½ nghi»m trung b¼nh.
thi cæng, méi ëi thi cæng câ 10 xe æ tæ t£i ho¤t ëng
ëc lªp vîi nhau. X¡c su§t trong mët ng y méi æ tæ bà
häng l nh÷ nhau v b¬ng 0, 15.
a) T¼m luªt ph¥n phèi x¡c su§t cõa sè æ tæ t£i bà häng
trong mët ng y cõa mët ëi thi cæng.
b) Trung b¼nh trong mët ng y, cæng ty n y câ bao nhi¶u
xe æ tæ t£i bà häng?
Mët cæng ty qu£ng c¡o l­p °t mët d¢y 14 c) N¸u méi thñ câ thº sûa chúa tèi a 2 xe æ tæ bà häng
biºn qu£ng c¡o t§m lîn tr¶n mët tuy¸n ÷íng cao tèc. trong mët ng y trüc, th¼ cæng ty c¦n bè tr½ bao nhi¶u
Cæng ty ph£i chi cho méi biºn qu£ng c¡o sè ti·n l 32 thñ trüc sûa chúa méi ng y l hñp lþ nh§t?
tri»u çng/n«m v thu cõa kh¡ch h ng thu¶ biºn sè
Mët tuy¸n xe bus câ 14 iºm døng ân
ti·n 130 tri»u çng/n«m. X¡c su§t º méi t§m biºn kh¡ch. Gi£ sû t¤i méi iºm døng sè kh¡ch l¶n xe tu¥n
÷ñc thu¶ trong méi n«m l 0, 65. Gåi X l ¤i l÷ñng theo luªt ph¥n phèi Poisson vîi tham sè λ = 8. Bi¸t
ng¨u nhi¶n ch¿ sè ti·n l¢i cõa cæng ty thu ÷ñc tø 14 méi kh¡ch i xe ph£i tr£ 7000 çng.
biºn qu£ng c¡o â. H¢y t½nh ký vång v ph÷ìng sai cõa a) T½nh x¡c su§t cõa sü ki»n trong 14 iºm døng câ 10
X.
iºm câ khæng ½t hìn 3 h nh kh¡ch l¶n xe.
B i 2.12.
B i 2. 17.
T½nh sè ti·n trung b¼nh thu ÷ñc khi ch¤y mët
B i 2.13. H» thèng i»n ð mët nh m¡y æng l¤nh b)
chuy¸n xe bus tr¶n.
÷ñc thi¸t k¸ câ 5 ëng cì · pháng khi m§t i»n. C¡c
ëng cì n y ho¤t ëng ëc lªp vîi x¡c su§t häng b¬ng
nhau v b¬ng 0, 3. Nh m¡y khi m§t i»n th¼ h» thèng
tü ëng k½ch ho¤t c¡c ëng cì.
a) Lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t ch¿ sè ëng cì ho¤t
ëng khi nh m¡y bà m§t i»n.
b) T½nh x¡c su§t º nh m¡y cán duy tr¼ s£n su§t. Bi¸t
nh m¡y cán ti¸p töc s£n su§t n¸u ½t nh§t 4 ëng cì
ho¤t ëng.
B i 2.14. Mët cæng ty b£o hiºm b¡n b£o hiºm cho
B i 2.18. Mët chõ xe câ bèn xe æ tæ º cho thu¶ h ng
ng y. Sè y¶u c¦u thu¶ xe X trong méi ng y l mët ¤i
l÷ñng ng¨u nhi¶n câ ph¥n phèi Poisson vîi tham sè
λ = 3, 2.
a) T½nh x¡c su§t º c£ bèn xe cõa chõ xe ·u ÷ñc thu¶
trong mët ng y.
b) Gåi Y l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ch¿ sè xe cõa chõ xe
â ÷ñc thu¶ trong mët ng y. H¢y t½nh gi¡ trà trung
b¼nh cõa Y .
B i 2.19.
180.000 håc sinh trong mët n«m vîi mùc b¡n 220.000
Mët tr¤m cho thu¶ xe câ 3 xe taxi. H ng
çng mët håc sinh. N¸u håc sinh câ b£o hiºm bà tai ng y ph£i nëp thu¸ 8$/1xe dò xe câ ÷ñc thu¶ hay
¤i håc Giao thæng Vªn t£i
Th¡ng 8 n«m 2018
Bë mæn ¤i sè v X¡c su§t thèng k¶
5
B i 3.4.
khæng. Méi chi¸c xe taxi ÷ñc thu¶ vîi gi¡ 20$/1 ng y.
Cho bi¸t thíi gian giao dàch cõa mët kh¡ch
Gi£ sû y¶u c¦u thu¶ xe cõa tr¤m l X câ ph¥n phèi h ng t¤i mët qu¦y thanh to¡n cõa si¶u thà ÷ñc mæ
Poisson vîi tham sè λ = 2, 8.
h¼nh hâa bði ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X (t½nh theo phót)
a) T½nh sè ti·n l¢i trung b¼nh cõa tr¤m thu ÷ñc trong vîi h m mªt ëx¡c su§t
0
mët ng y.
n¸u x 6∈ [0, 3],
f (x) =
20
b) Gi£i b i to¡n trong tr÷íng hñp tr¤m câ 4 xe. Tø ¥y

(3x3 − x4 ) n¸u x ∈ [0, 3].
÷a ra k¸t luªn tr¤m n¶n câ 3 hay 4 xe?
243
B i 2.20.
Sè l¦n sinh vi¶n gåi i»n tho¤i câ ph¥n phèi
Poisson vîi sè l¦n trung b¼nh l 15.5 l¦n méi ng y. Méi
l¦n gåi i»n chi ph½ h¸t 2000 çng.
a) T½nh x¡c su§t º sè l¦n gåi i»n tho¤i trong 1 ng y
khæng qu¡ 5 l¦n.
b) T½nh chi ph½ trung b¼nh cõa sinh vi¶n sû döng i»n
tho¤i méi th¡ng (30 ng y).
a) H¢y t½nh thíi gian trung b¼nh º thüc hi»n mët giao
dàch.
b) Mët kh¡ch h ng ¸n mët qu¦y thanh to¡n v ph£i
ñi 4 ng÷íi ¸n tr÷îc â. T½nh x¡c su§t º c£ bèn
ng÷íi câ m°t tr÷îc ·u thüc hi»n giao dàch khæng qu¡
hai phót.
B i 3.5. Cho bi¸t thíi gian chuyºn ti·n giúa hai t i
kho£n cõa hai ng¥n h ng kh¡c nhau ÷ñc mæ h¼nh hâa
3. ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n li¶n töc
b¬ng ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X (t½nh theo gií) câ h m
l
B i 3.1. Cho ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X câ h m mªt ë mªt ë x¡c su§t

x¡c su§t l :
(
a cos x n¸u |x| < π2 ,
f (x) =
0
n¸u |x| ⩾ π2 .
a) T¼m h» sè a v v³ ç thà h m sè f (x).
b) T½nh P (0 < X < π/4).
c) T¼m h m ph¥n phèi x¡c su§t F (x).
B i 3.2. Mët c¥y ATM ÷ñc n¤p ti·n méi tu¦n mët
0
n¸u x 6∈ [0, 4]
3
 (4x − x2 ) n¸u x ∈ [0, 4]
32
a) H¢y t½nh ký vång v ph÷ìng sai cõa ¤i l÷ñng ng¨u
nhi¶n X
b) H¢y cho bi¸t câ bao nhi¶u ph¦n tr«m giao dàch
chuyºn ti·n ÷ñc thüc hi»n vîi thíi gian nhi·u hìn
ba gií.
f (x) =
B i 3.6.
l¦n, méi l¦n n¤p ti·n ng÷íi ta º trong c¥y ATM â 85
Cho bi¸t thíi gian gûi ti·n thüc t¸ X cõa c¡c
tri»u çng. L÷ñng ti·n rót trong mët tu¦n cõa c¥y n y sê ti¸t ki»m khæng ký h¤n l mët ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n
l mët bi¸n ng¨u nhi¶n X (ìn và: tr«m tri»u çng), câ h m mªt ë nh÷ sau:

câ h m mªt ë x¡c su§t
0
n¸u x < 0 (th¡ng),
(
5(1 − x)4 , n¸u x ∈ (0; 1)
50
f (x) =
f (x) =

n¸u x ⩾ 0 (th¡ng).
(x + 5)3
0,
n¸u x 6∈ (0; 1).
a) T½nh x¡c su§t º mët sê ti¸t ki»m khæng ký h¤n câ
thíi gian gûi lîn hìn 1 th¡ng.
b) Trong mët ng y mët pháng giao dàch lªp 10 sê ti¸t
ki»m khæng ký h¤n mîi. T½nh x¡c su§t cõa sü ki»n
Cho bi¸t thíi gian mua x«ng cõa c¡c xe æ tæ trong 10 sê ti¸t ki»m â câ 2 sê câ thíi gian gûi lîn
t¤i mët c¥y x«ng ÷ñc mæ h¼nh hâa bði ¤i l÷ñng ng¨u hìn 1 th¡ng.
nhi¶n X (t½nh theo
Cho bi¸t thíi gian gûi ti·n thüc t¸ X cõa
 phót) vîi h m mªt ë x¡c su§t
0
c¡c
sê
ti¸t
ki»m ký h¤n 3 th¡ng l mët ¤i l÷ñng ng¨u
n¸u x 6∈ [2, 8]
f (x) =
1
nhi¶n câ h m mªt ë nh÷ sau:

(8x2 − x3 ) n¸u x ∈ [2, 8]

324
0
n¸u x 6∈ [0, 4]
a) H¢y t½nh thíi gian trung b¼nh º mët xe æ tæ mua
f (x) =
1
 (16x − x3 ) n¸u x ∈ [0, 4]
x«ng.
64
b) Mët xe ¸n trö bìm x«ng v ph£i ñi 3 xe ¸n tr÷îc
â. T½nh x¡c su§t º c£ ba xe â ·u thüc hi»n vi»c a) T½nh x¡c su§t º mët sê ti¸t ki»m ký h¤n 3 th¡ng
mua x«ng khæng qu¡ n«m phót.
bà rót ra tr÷îc khi ¡o h¤n.
a) Cho bi¸t x¡c su§t º trong mët tu¦n c¥y ATM â
h¸t ti·n l bao nhi¶u.
b) H¢y t½nh x¡c su§t cõa sü ki»n: trong 4 tu¦n ho¤t
ëng li¶n ti¸p câ duy nh§t mët tu¦n c¥y ATM h¸t ti·n.
B i 3.3.
B i 3.7.
¤i håc Giao thæng Vªn t£i
Th¡ng 8 n«m 2018
6
B i tªp X¡c su§t thèng k¶ - Vªn t£i Kinh t¸
b) Trong mët ng y mët pháng giao dàch lªp 10 sê ti¸t kh¡ch l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X (t½nh theo n«m) câ
ki»m ký h¤n 3 th¡ng mîi. T½nh x¡c su§t cõa sü ki»n h m mªt ë nh÷ sau
(
trong 10 sê ti¸t ki»m â câ 4 sê bà rót ra tr÷îc khi ¡o
0
n¸u x < 0
h¤n.
f (x) = 1 − 1 x
e 4
n¸u x ⩾ 0
4
Theo ti¶u chu©n kÿ thuªt, mët lo¤i b¶ tæng
t÷ìi ¢ º qu¡ 3 gií th¼ khæng ÷ñc ph²p ê v o và tr½ a) T½nh x¡c su§t º mët thi¸t bà mîi câ thíi gian sû
thi cæng núa. Thíi gian º vªn chuyºn b¬ng xe tø tr¤m döng khæng qu¡ 3 n«m.
trën ¸n mët cæng tr¼nh v s­p x¸p thi¸t bà º bìm
h¸t b¶ tæng tø xe v o và tr½ thi cæng l ¤i l÷ñng ng¨u b) Mët ëi xe ÷ñc nhªn 3 thi¸t bà tr¶n gçm hai thi¸t
bà mîi v mët thi¸t bà cô ¢ sû döng 1 n«m. T½nh x¡c
nhi¶n X câ h m mªt ë l
su§t º c£ ba thi¸t bà â ·u câ thíi gian sû döng ti¸p

theo khæng qu¡ 3 n«m.
0
n¸u x < 1 (gií),
384
f (x) =
Mët cæng ty mua mët læ gçm 20 m¡y t½nh

n¸u x ⩾ 1 (gií).
(x + 1)7
º b n v trang bà cho c¡c nh¥n vi¶n. Cho bi¸t tuêi thå
cõa c¡c m¡y t½nh l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n câ ph¥n phèi
a) T½nh x¡c su§t º mët xe b¶ tæng bà qu¡ h¤n khæng mô vîi gi¡ trà trung b¼nh l 4,5 n«m.
÷ñc ph²p ê b¶ tæng v o và tr½ thi cæng núa.
a) T½nh x¡c su§t º mët chi¸c m¡y t½nh câ tuêi thå tr¶n
b) Trong 100 xe b¶ tæng t÷ìi ÷ñc vªn chuyºn ¸n cæng 4 n«m.
tr¼nh â, gi¡ trà trung b¼nh cõa sè xe bà qu¡ h¤n l bao b) Sau 4 n«m sû döng gi¡ trà trung b¼nh cõa sè m¡y
nhi¶u?
t½nh (trong 20 m¡y tr¶n) ¢ ph£i thay th¸ l bao nhi¶u?
B i 3.8.
B i 3.12.
B i 3.9. Mët lo¤i thüc ph©m câ thíi h¤n sû döng ba B i 3.13. Thíi gian sû döng ên ành (khæng ph£i sûa
th¡ng. Gi¡ th nh s£n xu§t cõa méi gâi s£n ph©m l 20
ngh¼n çng. Nh s£n xu§t b¡n s¿ cho c¡c ¤i lþ ph¥n
phèi vîi gi¡ b¡n l 35 ngh¼n çng tr¶n mët gâi s£n
ph©m v khæng l§y ti·n c¡c s£n ph©m bà tr£ v· do h¸t
h¤n sû döng. Cho bi¸t thíi gian ph¥n phèi s£n ph©m
X t½nh tø ng y s£n xu§t cho ¸n ng y mët gâi s£n
ph©m ¸n tay ng÷íi ti¶u dòng (÷ñc sû döng) l mët
¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n câ h m mªt ë nh÷ sau:

0
n¸u x < 0 (th¡ng),
648
f (x) =

n¸u x ⩾ 0 (th¡ng).
(x + 6)4
chúa) cõa mët lo¤i m¡y gi°t câ ph¥n phèi mô vîi gi¡
trà trung b¼nh l 5,5 (n«m).
a) T½nh x¡c su§t º m¡y gi°t ph£i sûa chúa tr÷îc 7
(n«m).
b) Gi£ sû thíi gian b£o h nh cõa m¡y gi°t l 3 n«m.
T½nh x¡c su§t º trong 10 m¡y gi°t ÷ñc b¡n câ khæng
qu¡ 1 chi¸c m¡y gi°t ph£i b£o h nh.
B i 3.14. Mët kh¡ch s¤n l­p °t 25 chi¸c i·u háa.
Bi¸t tuêi thå cõa méi chi¸c i·u háa tu¥n theo luªt
ph¥n phèi mô vîi gi¡ trà trung b¼nh l 6,5 (n«m).
a) T½nh x¡c su§t º mët chi¸c i·u háa câ tuêi thå tr¶n
8 n«m.
a) T½nh x¡c su§t º mët gâi s£n ph©m ÷ñc ng÷íi ti¶u b) Sau 8 n«m sû döng gi¡ trà trung b¼nh sè i·u háa
dòng sû döng câ thíi gian ph¥n phèi d÷îi hai th¡ng. (trong 25 m¡y tr¶n) ¢ ph£i thay th¸ l bao nhi¶u?
b) T½nh lñi nhuªn trung b¼nh cõa nh s£n xu§t khi xu§t
Doanh thu h ng ng y cõa mët gian h ng
x÷ðng mët læ h ng gçm 80.000 gâi s£n ph©m.
trong mët si¶u thà h ng i»n tû l mët ¤i l÷ñng ng¨u
Cho bi¸t thíi gian bèc dï h ng hâa cõa méi nhi¶n câ ph¥n phèi chu©n vîi gi¡ trà trung b¼nh l 22
t u vªn t£i biºn t¤i mët h£i c£ng l mët ¤i l÷ñng ng¨u tri»u çng v ë l»ch ti¶u chu©n l 4 tri»u çng. N¸u
ng y n o gian h ng ¤t doanh thu tr¶n 25 tri»u çng
nhi¶n X câ ph¥n phèi mô vîi trung b¼nh l 4 ng y.
a) T½nh x¡c su§t º mët t u biºn câ thíi gian bèc dï th¼ c¡c nh¥n vi¶n b¡n h ng ÷ñc nhªn 1 iºm th÷ðng
do câ doanh thu cao.
h ng hâa tr¶n 3 ng y.
b) H¢y cho bi¸t 5% sè t u biºn câ thíi gian bèc dï h ng a) T½nh x¡c su§t º sau mët ng y b¡n h ng c¡c nh¥n
l¥u nh§t ùng vîi thíi gian bèc dï h ng l bao nhi¶u. vi¶n cõa gian h ng ÷ñc nhªn 1 iºm th÷ðng.
b) T½nh x¡c su§t º trong trong 1 tu¦n (gçm 7 ng y)
Cho bi¸t thíi gian sû döng cõa mët thi¸t c¡c nh¥n vi¶n b¡n h ng t½ch lôy ÷ñc ½t nh§t 3 iºm
bà gi¡m s¡t h nh tr¼nh cõa ph÷ìng ti»n vªn t£i h nh th÷ðng.
B i 3.15.
B i 3.10.
B i 3.11.
¤i håc Giao thæng Vªn t£i
Th¡ng 8 n«m 2018
Bë mæn ¤i sè v X¡c su§t thèng k¶
7
B i 3.16. L÷ñng i»n n«ng ti¶u thö cõa mët si¶u thà 4. ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n hai chi·u
trong mët ng y l mët ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X câ ph¥n B i 4.1. Mët dàch vö vªn chuyºn h ng tø H Nëi v o
phèi chu©n vîi trung b¼nh l 245 (Kwh), ë l»ch chu©n
l 14 (Kwh).
a) T½nh x¡c su§t º mët ng y n o §y l÷ñng i»n n«ng
ti¶u thö cõa si¶u thà lîn hìn 270 (Kwh)
b) Trong mët th¡ng (30 ng y) sè ng y l÷ñng i»n n«ng
ti¶u thö cõa si¶u thà lîn hìn 270 (Kwh) câ trung b¼nh
l bao nhi¶u?
TP. Hç Ch½ Minh cho c¡c trang b¡n h ng online quy
chu©n cho trång l÷ñng X cõa nhúng gâi h ng l 0, 2
kg, 0, 5 kg, 1 kg v mùc gi¡ vªn chuyºn Y (t½nh theo
ngh¼n çng) cho nhúng gâi h ng l 16, 25, 35. H m
khèi x¡c su§t çng thíi cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n hai
chi·u (X, Y ) câ d¤ng
B i 3.17. T gi¡ hèi o¡i giúa USD v VND câ bi¸n f (x, y) = c(10x+y), vîi x = 0, 2; 0, 5; 1v y = 16; 25; 35.
ëng trong méi ng y v ÷ñc mæ h¼nh hâa l mët ¤i
l÷ñng ng¨u nhi¶n tu¥n theo luªt ph¥n phèi chu©n vîi
ký vång µ = 21.600 v ë l»ch ti¶u chu©n σ = 125.
a) T½nh x¡c su§t trong mët ng y t gi¡ hèi o¡i giúa
hai çng ti·n tr¶n khæng d÷îi 21.400.
b) T½nh x¡c su§t º trong mët tu¦n l¹ (7 ng y) câ óng
ba ng y t gi¡ hèi o¡i giúa hai çng ti·n tr¶n dao ëng
tø 21.400 ¸n 21.800.
B i 3.18. Tuêi thå cõa mët lo¤i bâng ±n l bi¸n ng¨u
nhi¶n câ ph¥n phèi (x§p x¿) chu©n, vîi trung b¼nh 960
gií, ë l»ch ti¶u chu©n 80 gií. Thíi gian b£o h nh l
920 gií. N¸u bâng ±n khæng ph£i b£o h nh th¼ cæng
ty l¢i 200 ngh¼n çng, cán bâng ±n ph£i b£o h nh th¼
cæng ty lé 100 ngh¼n çng.
a) T¼m t¿ l» bâng ±n lo¤i n y ph£i b£o h nh.
b) T¼m sè ti·n l¢i trung b¼nh khi cæng ty b¡n 5 bâng
±n.
a) T¼m h» sè c.
b) T½nh mùc gi¡ vªn chuyºn trung b¼nh cho mët gâi
h ng.
c) Nhúng gâi h ng câ gi¡ vªn chuyºn 35 ngh¼n çng câ
trung b¼nh khèi l÷ñng quy chu©n l bao nhi¶u.
B i 4.2. Mët nhâm sinh vi¶n tham gia c¥u l¤c bë bâng
¡ v c¥u l¤c bë bâng chuy·n câ làch luy»n tªp cè ành
h ng tu¦n méi mæn 3 buêi. Mët sinh vi¶n trong nhâm
câ thº khæng tham gia mët v i buêi tªp trong tu¦n cõa
nhâm v¼ cán tham gia c¡c ho¤t ëng kh¡c. Chån ng¨u
nhi¶n mët sinh vi¶n, t÷ìng ùng ta gåi X l ¤i l÷ñng
ng¨u nhi¶n ch¿ sè buêi tªp bâng ¡ trong tu¦n, Y l
¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ch¿ sè buêi tªp bâng chuy·n trong
tu¦n m anh ta tham gia ÷ñc. H m khèi x¡c su§t çng
thíi cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n hai chi·u (X, Y ) câ d¤ng
f (x, y) = c(2 + xy), vîi x, y = 1, 2, 3.
a) T¼m h» sè c.
B i 3.19. Thíi gian i tø nh ¸n tr÷íng cõa mët sinh b) T½nh x¡c su§t chån ÷ñc sinh vi¶n câ sè buêi tham
vi¶n A l mët bi¸n ng¨u nhi¶n (ìn và: phót) câ ph¥n
phèi chu©n, vîi thíi gian trung b¼nh l 20 phót, ë l»ch
ti¶u chu©n l 8 phót. Thíi iºm v o håc l 7 gií.
a) Bi¸t mët hæm sinh vi¶n A xu§t ph¡t lóc 6 gií 45
phót, t½nh x¡c su§t º A bà muën buêi håc ng y hæm
â.
b) N¸u t¿ l» ng y bà muën håc cõa A l 17% th¼ A
th÷íng xu§t ph¡t lóc m§y gií?
c) Vîi thíi gian xu§t ph¡t ð c¥u b, t½nh x¡c su§t º
trong 30 buêi håc th¼ sinh A bà muën ½t nh§t 2 l¦n.
gia tªp bâng ¡ nhi·u hìn sè buêi tham gia tªp bâng
chuy·n.
c) C¡c sinh vi¶n tham gia t§t c£ c¡c buêi tªp bâng
¡ câ trung b¼nh bao nhi¶u buêi tªp bâng chuy·n mët
tu¦n.
B i 4.3. Mët håc vi¶n håc l¡i æ tæ muèn ho n th nh
b i thi s¡t h¤ch th¼ sè léi lþ thuy¸t m­c ph£i khæng
v÷ñt qu¡ 3 v sè léi thüc h nh m­c ph£i công khæng
v÷ñt qu¡ 3. èi vîi mët håc vi¶n ¢ ho n th nh b i
thi s¡t h¤ch ta gåi X l sè léi lþ thuy¸t v Y l sè léi
Sè kwh i»n n«ng sû döng trong mët th¡ng thüc h nh cõa ng÷íi â. H m khèi x¡c su§t çng thíi
cõa méi hë gia ¼nh l mët ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n câ cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n hai chi·u (X, Y ) câ d¤ng
ph¥n phèi chu©n vîi trung b¼nh 130kwh v ë l»ch
f (x, y) = c(1 + 3x + y), vîi x, y = 0, 1, 2, 3.
chu©n l 20kwh. Méi hë gia ¼nh ÷ñc trñ gi¡ 100 kwh
mët th¡ng.
a) T¼m h» sè c.
a) T½nh x¡c su§t º mët hë gia ¼nh sû döng l÷ñng i»n b) T½nh P(X = 3|Y = 2) v P(Y = 2|X = 3). X v Y
n«ng trong mët th¡ng khæng v÷ñt qu¡ mùc trñ gi¡.
câ ëc lªp hay khæng? T¤i sao?
b) Khu phè câ 50 hë gia ¼nh. T½nh x¡c su§t º mët c) Mët håc vi¶n ¢ ho n th nh b i thi s¡t h¤ch câ trung
th¡ng n o §y câ óng 5 gia ¼nh câ l÷ñng i»n n«ng b¼nh bao nhi¶u léi lþ thuy¸t, bao nhi¶u léi thüc h nh
ti¶u thö trong mët th¡ng khæng v÷ñt qu¡ mùc trñ gi¡. khi thi.
B i 3.20.
¤i håc Giao thæng Vªn t£i
Th¡ng 8 n«m 2018
B i tªp X¡c su§t thèng k¶ - Vªn t£i Kinh t¸
8
B i 4.4. Mët nh tuyºn döng y¶u c¦u c¡c ùng vi¶n h ng. T½nh gi¡ trà trung b¼nh cõa sè l÷ñng h ng
thüc hi»n hai b i thi tr­c nghi»m ð váng thi thù nh§t. khuy¸n m¢i ÷ñc ti¶u thö trong ng y v gi¡ trà trung
N¸u ùng vi¶n n o m­c ph£i khæng qu¡ 3 léi ð méi b i b¼nh cõa sè ti·n b¡n h ng khuy¸n m¢i.
thi tr­c nghi»m s³ ÷ñc v o váng 2. èi vîi mët ùng
vi¶n ¢ v÷ñt qua váng 1 ta gåi X l sè léi ð b i thi thù
Cho h m khèi x¡c su§t çng thíi cõa (X, Y )
nh§t, Y l sè léi ð b i thi thù hai. H m khèi x¡c su§t
çng thíi cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n hai chi·u (X, Y ) câ nh÷ sau:
d¤ng
f (x, y) = c.3|x−2y| , x = 1, 3; y = 0, 1, 2.
B i 4.7.
f (x, y) = c(1 + x + y + xy), vîi x, y = 0, 1, 2, 3.
a) T¼m h» sè c.
b) T½nh hi»p ph÷ìng sai giúa X v Y .
a) T¼m h» sè c.
b) X, Y câ ëc lªp vîi nhau hay khæng? T¤i sao?
Cho h m khèi x¡c su§t çng thíi cõa (X, Y )
c) T½nh x¡c su§t º mët ùng vi¶n v÷ñt qua váng 1 câ nh÷ sau:
têng sè léi khæng v÷ñt qu¡ 2.
f (x, y) = c.|xy|, x = 1, 3, 4; y = −1, 1, 2.
Ch÷ìng tr¼nh khuy¸n m¢i cõa mët nh¢n hi»u
thíi trang cho ph²p méi kh¡ch h ng ÷ñc mua tèi a 3 a) T¼m h» sè c.
s£n ph©m çng gi¡. C¡c lo¤i ¡o ÷ñc b¡n khuy¸n m¢i b) T½nh hi»p ph÷ìng sai giúa X v Y .
vîi gi¡ chung l 250.000 çng/chi¸c. C¡c lo¤i qu¦n ÷ñc
b¡n khuy¸n m¢i vîi gi¡ chung l 200.000 çng/chi¸c.
Cho h m khèi x¡c su§t çng thíi cõa (X, Y )
èi vîi méi kh¡ch h ng ta kþ hi»u X l sè ¡o v Y l nh÷ sau:
sè qu¦n ÷ñc khuy¸n m¢i m ng÷íi â quy¸t ành mua.
f (x, y) = c.2−|3x−2y| , x = 1, 2, 3; y = 2, 3, 5.
H m khèi x¡c su§t çng thíi cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n
hai chi·u (X, Y ) câ d¤ng
a) T¼m h» sè c.
(
b) T½nh hi»p ph÷ìng sai giúa X v Y .
−(x+y)
c.2
n¸u 1 ⩽ x + y ⩽ 3,
f (x, y) =
0
trong tr÷íng hñp kh¡c.
èi vîi méi hë gia ¼nh ta gåi X l sè l÷ñng
lao ëng v Y l sè xe m¡y c¡ nh¥n. B£ng ph¥n phèi
a) T¼m h» sè c.
x¡c su§t çng thíi cõa (X, Y ) ÷ñc cho nh÷ sau:
b) Méi kh¡ch h ng mua trung b¼nh bao nhi¶u s£n ph©m
Y
1
2
3
4
khuy¸n m¢i v mua h¸t trung b¼nh bao nhi¶u ti·n.
X
c) Chån ng¨u nhi¶n mët kh¡ch h ng v chån ÷ñc ng÷íi
1
0, 1 0, 1 0, 05
0
mua mët chi¸c ¡o khuy¸n m¢i. H¢y t½nh sè ti·n trung
2
0, 05 0, 1 0, 2 0, 1
b¼nh cõa ng÷íi â chi ra khi mua c¡c s£n ph©m khuy¸n
3
0
0, 1 0, 15 0, 05
m¢i.
a) T½nh sè xe m¡y trung b¼nh cõa mët gia ¼nh v sè
Ch÷ìng tr¼nh khuy¸n m¢i cõa mët nh¢n lao ëng trung b¼nh cõa mët gia ¼nh.
hi»u thíi trang b¡n çng gi¡ c¡c lo¤i ¡o vîi gi¡ chung b) T½nh hi»p ph÷ìng sai v h» sè t÷ìng quan cõa X v
l 250.000 çng/chi¸c, c¡c lo¤i qu¦n vîi gi¡ chung l Y .
200.000 çng/chi¸c. Méi kh¡ch h ng ÷ñc mua tèi a
Mët cæng ty kinh doanh vi»c cho thu¶ c¡c
2 chi¸c ¡o v ÷ñc mua tèi a 2 chi¸c qu¦n. èi vîi
xe æ tæ tü l¡i. Kþ hi»u X l sè ng y ÷ñc thu¶ v Y
méi kh¡ch h ng ta kþ hi»u X l sè ¡o v Y l sè qu¦n
l mùc gi¡ thu¶ xe (t½nh theo tr«m ngh¼n çng/ng y).
÷ñc khuy¸n m¢i m ng÷íi â quy¸t ành mua. H m
B£ng ph¥n phèi x¡c su§t çng thíi cõa (X, Y ) ÷ñc
khèi x¡c su§t çng thíi cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n hai
cho nh÷ sau:
chi·u (X, Y ) câ d¤ng
Y
8
9
10
12
−|x−y|
X
f (x, y) = c.2
vîi x, y = 0, 1, 2.
1
0, 1 0, 1 0, 05 0, 05
a) T¼m h» sè c.
2
0, 05 0, 1 0, 1 0, 05
b) Gi£ sû méi ng y cûa h ng câ 80 kh¡ch ¸n mua
3
0, 05 0, 2 0, 1 0, 05
B i 4.8.
B i 4.5.
B i 4.9.
B i 4.10.
B i 4. 6.
B i 4.11.
¤i håc Giao thæng Vªn t£i
Th¡ng 8 n«m 2018
Bë mæn ¤i sè v X¡c su§t thèng k¶
a) H¢y lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X v Y .
b) T½nh sè ti·n trung b¼nh cæng ty thu ÷ñc khi cho
thu¶ mët xe.
c) T½nh hi»p ph÷ìng sai v h» sè t÷ìng quan cõa X v
Y.
9
a) T½nh sè ti·n trung b¼nh cæng ty thu ÷ñc khi cho
thu¶ mët xe.
b) T½nh hi»p ph÷ìng sai v h» sè t÷ìng quan cõa X v
Y.
B i 4.15. Mët cæng ty tê chùc cho thu¶ c¡c m¡y xóc
theo th¡ng. Kþ hi»u X l sè th¡ng ÷ñc thu¶ v Y l
B i 4.12. èi vîi méi hë gia ¼nh ta gåi X l sè l÷ñng mùc
gi¡ thu¶ m¡y (t½nh theo tri»u çng/th¡ng). B£ng
lao ëng v Y l sè xe æ tæ c¡ nh¥n. B£ng ph¥n phèi ph¥n phèi x¡c su§t çng thíi cõa (X, Y ) ÷ñc cho nh÷
x¡c su§t çng thíi cõa (X, Y ) ÷ñc cho nh÷ sau:
sau:
Y
Y
25
32
40
50
0
1
2
X
X
1
0, 1 0, 15 0, 15 0, 05
1
0, 1 0, 05
0
2
0, 05 0, 1 0, 1 0, 1
2
0, 3 0, 25 0, 05
3
0, 05 0, 05 0, 1
0
3
0, 1 0, 1 0, 05
a) T½nh sè ti·n trung b¼nh cæng ty thu ÷ñc khi cho
a) T½nh sè æ tæ trung b¼nh cõa mët gia ¼nh v sè lao thu¶ mët m¡y xóc.
ëng trung b¼nh cõa mët gia ¼nh.
b) T½nh hi»p ph÷ìng sai v h» sè t÷ìng quan cõa X v
b) T½nh hi»p ph÷ìng sai v h» sè t÷ìng quan cõa X v Y .
Y.
Mët trung t¥m phöc hçi chùc n«ng câ c¡c
Mët lo¤i thüc ph©m câ h¤n sû döng l ba gâi dàch vö ch«m sâc sùc khäe vîi c¡c mùc thíi gian
ng y v ÷ñc âng s®n trong c¡c gâi vîi trång l÷ñng l (t½nh theo tu¦n) l 10; 15; 20 c¡c mùc gi¡ (t½nh theo
0, 2; 0, 5; 1 (kg). Mët nhâm kh¡ch h ng th÷íng mua tri»u çng) l 15, 20, 25, 30. èi vîi méi kh¡ch h ng cõa
méi l¦n khæng qu¡ ba gâi v c¡c gâi â câ còng khèi trung t¥m, kþ hi»u X l thíi gian v Y l mùc gi¡ cõa
l÷ñng. èi vîi méi kh¡ch h ng cõa nhâm n y ta gåi X gâi dàch vö m kh¡ch h ng â mua. B£ng ph¥n phèi
l trång l÷ñng cõa méi gâi v Y l sè l÷ñng c¡c gâi. x¡c su§t çng thíi cõa (X, Y ) ÷ñc cho nh÷ sau:
Y
B£ng ph¥n phèi x¡c su§t çng thíi cõa (X, Y ) nh÷ sau
15
20
25
30
X
Y
10
0, 1 0, 1 0, 05 0, 05
1
2
3
X
15
0, 05 0, 15 0, 15 0, 05
0, 2
0, 1 0, 1 0, 05
20
0
0,1
0,1
0,1
0, 5
0, 25 0, 2 0, 05
a) T½nh ë d i trung b¼nh, mùc gi¡ trung b¼nh cõa c¡c
1
0, 1 0, 1 0, 05
gâi dàch vö.
a) T½nh sè ti·n trung b¼nh m méi kh¡ch h ng cõa b) T½nh hi»p ph÷ìng sai v h» sè t÷ìng quan giúa thíi
nhâm tr¶n chi ra méi l¦n º mua lo¤i thüc ph©m n y, gian v mùc gi¡.
c) T½nh chi ph½ trung b¼nh cõa nhúng kh¡ch h ng mua
bi¸t r¬ng gi¡ b¡n cõa nâ l 180.000 çng/1kg.
b) T½nh hi»p ph÷ìng sai v h» sè t÷ìng quan cõa X v mët gâi dàch vö câ ë d i 20 tu¦n.
Y.
Kh¡ch h ng câ nhu c¦u ph¡t mët clip qu£ng
B i 4.13.
B i 4.16.
B i 4.17.
c¡o tr¶n mët k¶nh truy·n h¼nh câ thº lüa chån mët
B i 4.14. Mët cæng ty kinh doanh vi»c cho thu¶ c¡c trong c¡c ë d i (t½nh theo phót) l 0, 5; 1; 2 v mët
xe æ tæ tü l¡i. Kþ hi»u X l sè ng y ÷ñc thu¶ v Y
l mùc gi¡ thu¶ xe (t½nh theo tr«m ngh¼n çng/ng y).
B£ng ph¥n phèi x¡c su§t çng thíi cõa (X, Y ) ÷ñc
cho nh÷ sau:
Y
8
9
10
12
X
1
0, 05 0, 1 0, 1 0, 05
2
0, 05 0, 15 0, 05 0, 05
3
0, 1 0, 15 0, 1 0, 05
¤i håc Giao thæng Vªn t£i
trong mùc gi¡ (t½nh theo tri»u çng) l 15, 20, 25, 30.
Kþ hi»u X l ë d i v Y l mùc gi¡ cõa mët clip ÷ñc
ph¡t. B£ng ph¥n phèi x¡c su§t çng thíi cõa (X, Y )
÷ñc cho nh÷ sau:
Y
15
20
25
30
X
0, 5
0, 1 0, 05 0, 03 0, 02
1
0, 05 0, 1 0, 2 0, 15
2
0
0, 1 0, 1 0, 1
Th¡ng 8 n«m 2018
B i tªp X¡c su§t thèng k¶ - Vªn t£i Kinh t¸
10
a) T½nh ë d i trung b¼nh v mùc gi¡ trung b¼nh cho a) T½nh gi¡ trà trung b¼nh cõa méi ìn h ng.
mët l¦n ph¡t sâng cõa c¡c clip.
b) T½nh hi»p ph÷ìng sai cõa sè b¼nh v gi¡ ti·n.
b) T½nh hi»p ph÷ìng sai v h» sè t÷ìng quan giúa ë
d i v mùc gi¡.
c) T½nh P(Y = 25|X = 1).
P SÈ
B i 4.18. Kh¡ch h ng cõa mët nh cung c§p truy·n 1. ¤i c÷ìng v· lþ thuy¸t X¡c su§t
h¼nh c¡p câ thº lüa chån vi»c thanh to¡n méi th¡ng
mët l¦n ho°c 12 th¡ng/l¦n hay 24 th¡ng/l¦n. C¡c gâi
12
41
1.1.
a) ,
b) .
c÷îc câ gi¡ (t½nh theo ngh¼n çng/th¡ng) l 110, 250,
55
55
270, 290. èi vîi méi hâa ìn ÷ñc kh¡ch h ng thanh
to¡n, ta kþ hi»u X l sè th¡ng ÷ñc thanh to¡n v Y
l mùc c÷îc thu¶ bao. B£ng ph¥n phèi x¡c su§t çng
thíi cõa (X, Y ) ÷ñc cho nh÷ sau:
Y
110 250 270 290
X
1
0, 1 0, 2 0, 2 0, 1
12
0, 05 0, 07 0, 08 0, 1
24
0, 04 0, 02 0,03 0,01
a) T½nh gi¡ trà trung b¼nh cõa sè ti·n ÷ñc thanh to¡n
cho mët hâa ìn.
b) T½nh P(X = 24|Y = 270).
c) T½nh h» sè t÷ìng quan giúa X v Y .
1.2. a) CC ,
9
54
9
64
b)
9
C44
.
9
C64
1.3. 132 .
1.4. a) 185 , b) 725 .
1.5. a) 0, 336, b) 0, 788.
1.6. 0, 409.
1.7. 0, 405.
B i 4.19. Mët cæng ty vªn t£i cho thu¶ xe æ tæ º tê 1.8. 0, 3856.
chùc c¡c o n du làch. Kþ hi»u X l sè xe ÷ñc thu¶
v Y l sè ng y muèn thu¶. B£ng ph¥n phèi x¡c su§t 1.9. 0, 1175.
çng thíi cõa (X, Y ) ÷ñc cho nh÷ sau:
Y
1.10. 913 .
1
2
3
4
X
.
1.11. 272
525
1.12. a) 2, 1%,
1.13. a) 79, 7%,
1.14. a) 70, 5%,
B i 4.20. Mët cæng ty kinh doanh c¡c s£n ph©m b£o 1.15. a) 38, 5%,
hë lao ëng câ b¡n c¡c lo¤i b¼nh chúa ch¡y cho c¡c
hë gia ¼nh. èi vîi méi ìn h ng, ta kþ hi»u X l sè 1.16. a) 43, 5%,
l÷ñng b¼nh chúa ch¡y ÷ñc mua v Y l gi¡ ti·n méi
b¼nh (t½nh theo ngh¼n çng). Méi gia ¼nh ch¿ mua duy 1.17. 0.2.
nh§t mët lo¤i b¼nh. B£ng ph¥n phèi x¡c su§t çng thíi
1.18. a) 65%,
cõa (X, Y ) ÷ñc cho nh÷ sau:
Y
1.19. ≈ 0, 2335.
160 180 240
X
1
0, 1 0, 1 0, 1
1.20. ≈ 0, 7443.
1
0, 1 0, 1 0, 05 0, 05
2
0, 05 0, 05 0, 1 0, 1
3
0
0
0,2
0,2
a) Sè xe trung b¼nh ÷ñc thu¶ cho mët o n du làch l
bao nhi¶u?
b) Nhu c¦u thu¶ xe cõa c¡c o n câ thíi gian du làch 4
ng y câ trung b¼nh l bao nhi¶u?
2
3
4
¤i håc Giao thæng Vªn t£i
0, 1
0
0
0, 2 0, 1
0, 1 0, 1
0, 05 0, 05
b) ≈ 0, 09524.
b) ≈ 0, 4236.
b) ≈ 0, 2542.
b) ≈ 0, 3247.
b) ≈ 0, 2124.
b) ≈ 0, 9719,
c) ≈ 0, 0281.
2. ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ríi r¤c
Th¡ng 8 n«m 2018
Bë mæn ¤i sè v X¡c su§t thèng k¶
11
2.1. B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X :
2.11. a) B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X :
X 0
1
2
3
4
P 0, 25 0, 15 0, 06 0, 027 0, 513
E X = 2, 403.
2.2. B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X :
X 0
1
2
3
4
P 0, 2 0, 32 0, 072 0, 102 0, 306
E X = 1, 994.
X
0
1
2
3
P 0, 036 0, 252 0, 488 0, 224
2.4. B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X :
1
17
20
P
2
51
380
3
17
1140
4
1
1140
7
EX = .
6
2.5. B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X :
X
0
1
2
3
4
42
308 660 495 110
P
1615 1615 1615 1615 1615
11
EX = .
5
2.6. B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X :
X
0
1
2
3
33 55 22
2
P
112 112 112 112
EX =
15
.
16
2.7. a) 0, 42,
b) 42, 4 tri»u çng.
2.8. a) 0, 0289,
b) ≈ 506, 0241 ngh¼n çng.
2.9. a) B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X :
X 0
1
2
3
...
k
...
P 0, 12 0, 88 × 0, 12 (0, 88)2 × 0, 12 (0, 88)3 × 0, 12 . . . (0, 88)k × 0, 12 . . .
b) ≈ 0, 4723.
2.10. a) B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X :
X 1
2
3
...
k
...
P 0, 45 0, 55 × 0, 45 (0, 55)2 × 0, 45 . . . (0, 55)k−1 × 0, 45 . . .
b) E X =
1
≈ 2, 2222.
0, 45
¤i håc Giao thæng Vªn t£i
b) E X = 5.
2.12. E X = 735; V X = 53826, 5.
2.13. a) Gåi X l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ch¿ sè ëng cì
ho¤t ëng. B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X :
X
0
1
2
3
4
5
P 0, 00243 0, 02835 0, 1323 0, 3087 0, 36015 0, 16807
2.3. B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X :
X
X 1
2
3
...
k
...
2
k−1
P 0, 2 0, 8 × 0, 2 (0, 8) × 0, 2 . . . (0, 8)
× 0, 2 . . .
b) 0, 52822.
2.14. 24,75 t çng.
2.15. 21,5 ngh¼n çng.
2.16. a) Gåi X l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ch¿ sè æ tæ t£i
bà häng trong mët ng y cõa mët ëi thi cæng. B£ng
ph¥n phèi x¡c su§t cõa X :
X
0
1
2
...
9
10
P (0, 85)10 10.(0, 85)9 .0, 15 45.(0, 85)8 (0, 15)2 . . . 10.0, 85.(0, 15)9 (0, 15)10
b) Gåi Y l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ch¿ sè æ tæ t£i bà
häng trong mët ng y cõa cæng ty. E Y = 4, 5.
c) Ta t½nh ÷ñc P(Y ⩽ 6) ≈ 0, 8474; P(Y ⩽ 8) ≈
0, 9722; P(Y ⩽ 10) ≈ 0, 9971. N¸u bè tr½ 4 thñ sûa xe
th¼ vi»c õ thñ º sûa c¡c xe häng ÷ñc £m b£o vîi
mët x¡c su§t cao l tr¶n 97%. N¸u bît i mët thñ th¼
x¡c su§t câ õ thñ º sûa xe gi£m i kh¡ nhi·u cán g¦n
85%. M°t kh¡c vi»c bè tr½ nhi·u hìn 4 thñ º h¤ th§p
rõi ro (x¡c su§t khæng õ thñ ch÷a ¸n 3%) l khæng
thªt sü c¦n thi¸t. Nh÷ vªy bè tr½ 4 thñ sûa xe l hñp
lþ nh§t.
2.17. a) 3, 1189 × 10 , b) 784.000 çng.
2.18. a) ≈ 0, 3975, b) E Y ≈ 2, 8055.
2.19. a) Gåi X l ti·n l¢i trong mët ng y cõa tr¤m xe.
−5
E X ≈ 20, 77316$
b) Gåi Y l ti·n l¢i trong mët ng y cõa tr¤m xe khi
tr¤m câ bèn xe. E Y ≈ 18, 93441$. Nh÷ vªy sû döng ba
xe l hñp lþ hìn.
2.20. a) 0, 00197,
b) 930.000 çng.
3. ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n li¶n töc
√
1
3.1. a) a =2 , b) 42 ,
n¸u x < − π2 ,
c) F (x) = 21 (1 + sin x) n¸u − π2 ⩽ x < π2 ,


1
n¸u x ⩾ π2 .

0
Th¡ng 8 n«m 2018
B i tªp X¡c su§t thèng k¶ - Vªn t£i Kinh t¸
12
3.2. a) ≈ 7, 5938 × 10 , b) 3, 0368 × 10 .
4.5. a) c = 49 ; b) E(X + Y ) = 169 ;
3.3. a) ≈ 4, 9778, b) 0, 1199.
E Z = 400.000 çng vîi Z = 250.000X + 200.000Y .
c) E(X + Y |X = 1) ≈ 364.285, 7143 çng.
3.4. a) E X = 2, b) ≈ 0, 04513.
3.5. a) E X = 2, V X = 0, 8, b) 15, 625%.
4.6. a) c = 112 ,
3.6. a) 0, 6944, b) 0, 00165.
b) E Z = 160 vîi Z l sè l÷ñng s£n ph©m khuy¸n m¢i
÷ñc b¡n.
3.7. a) ≈ 0, 8086, b) ≈ 0, 0044.
E T = 36 (tri»u çng) vîi T l sè ti·n b¡n c¡c s£n ph©m
1
khuy¸n m¢i.
3.8. a) 64 , b) Trung b¼nh câ 1,5625 xe.
4.7. a) c = 661 ; b) cov(X, Y ) = − 118 ≈ −0, 7272.
3.9. a) , b) 370, 37037 tri»u çng.
3.10. a) ≈ 0, 4724, b) Tø 11, 9829 ng y trð l¶n.
4.8. a) c = 321 ; b) cov(X, Y ) = 0.
3.11. a) ≈ 0, 5276, b) ≈ 0, 1469
3.12. a) ≈ 0, 4111, b) Trung b¼nh l 11, 7778 chi¸c. 4.9. a) c = 128
; b) cov(X, Y ) ≈ 0, 5573.
333
3.13. a) ≈ 0, 7199, b) 0, 0353.
4.10. a) E X = 2, 05; E Y = 2, 55.
3.14. a) ≈ 0, 2921, b) Trung b¼nh l 17, 6983 chi¸c. b) cov(X, Y ) = 0, 2725; ρ(X, Y ) ≈ 0, 400041.
4.11. a) B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X :
3.15. a) 0, 2266, b) ≈ 0, 1967.
X
1
2
3
3.16. a) 0, 0367, b) Trung b¼nh l 1, 101 ng y.
P 0, 3 0, 3 0, 4
3.17. a) 0, 9452, b) ≈ 0, 003565.
B£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa Y :
3.18. a) 0, 3085, b) 537, 25 ngh¼n çng.
Y
8
9
10
12
P 0, 2 0, 4 0, 25 0, 15
3.19. a) 0, 69146, b) 6 gií 32 phót, c) ≈ 0, 9733.
b) E(XY ) = 2 (tri»u çng).
3.20. a) 0, 0668, b) ≈ 0, 1256.
−5
−4
37
64
c) cov(X, Y ) = 0, 05; ρ(X, Y ) ≈ 0, 048348.
4. ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n hai chi·u
1
4.1. a) c = 279
, b) EY ≈ 27, 27599,
4.12. a) E X = 2, 1; E Y = 0, 6.
b) cov(X, Y ) = 0, 09; ρ(X, Y ) ≈ 0, 2173.
4.13. a) E(Z) = 169.200 çng vîi Z = 180.000XY .
c) E(X|Y = 35) ≈ 0, 5934.
b) cov(X, Y ) = 0, 005; ρ(X, Y ) ≈ 0, 024376.
17
4.2. a) c = 541 , b) P(X > Y ) = 54
,
4.14. a) E(XY ) = 1, 985 (tri»u çng).
c) E(Y |X = 3) = 2, 25.
4.3.
1
a) c =
; b) P(X = 3|Y = 2) = 0, 4;
112
6
P(Y = 2|X = 3) = , X, Y khæng ëc lªp.
23
c) E X ≈ 1, 85885, E Y ≈ 1, 54098.
1
4.4. a) c = 100
; b) X, Y ëc lªp.
c) P(X + Y ⩽ 2) = 0, 15.
¤i håc Giao thæng Vªn t£i
b) cov(X, Y ) = −0, 1; ρ(X, Y ) ≈ −0, 0967.
4.15. a) E(XY ) = 63, 25 (tri»u çng).
b) cov(X, Y ) = 0, 075; ρ(X, Y ) ≈ 0, 01223.
4.16.
a) E X = 15 (tu¦n); E Y = 22, 5 (tri»u çng).
b) cov(X, Y ) = 6, 25; ρ(X, Y ) ≈ 0, 33157.
c) E(Y |X = 20) = 25(tri»u çng)
4.17. a) E X = 1, 2 (phót); E Y = 23, 6 (tri»u çng).
b) cov(X, Y ) = 0, 855; ρ(X, Y ) ≈ 0, 30093.
c) P(Y = 25|X = 1) = 0, 4.
Th¡ng 8 n«m 2018
Bë mæn ¤i sè v X¡c su§t thèng k¶
13
4.18. a) E(XY ) = 1, 5168 (tri»u çng).
trën ¸n mët cæng tr¼nh v s­p x¸p thi¸t bà º bìm
3
h¸t b¶ tæng tø xe v o và tr½ thi cæng l ¤i l÷ñng ng¨u
b) P(X = 24|Y = 270) = , c) cov(X, Y ) = −54.
31
nhi¶n X câ h m mªt ë l

17
0
n¸u x < 1 (gií),
≈ 2, 428571.
a) E X = 2, 1, b) E(X|Y = 4) =
7
1024
f (x) =

n¸u x ⩾ 1 (gií).
(x + 3)5
a) E(XY ) = 420 (ngh¼n çng).
b) cov(X, Y ) = 6, 3
a) T½nh x¡c su§t º mët xe b¶ tæng bà qu¡ h¤n khæng
÷ñc ph²p ê b¶ tæng v o và tr½ thi cæng núa.
b) Trong 120 xe b¶ tæng t÷ìi ÷ñc vªn chuyºn ¸n cæng
tr¼nh â, gi¡ trà trung b¼nh cõa sè xe bà qu¡ h¤n l bao
Bë mæn ¤i sè v X¡c su§t thèng k¶ tr¥n trång giîi nhi¶u?
thi»u mët sè m¨u · thi k¸t thóc håc ph¦n mæn X¡c
T¤i mët cûa h ng b¡n qu¤t i»n, câ 3 lo¤i qu¤t
su§t thèng k¶. º câ sü chu©n bà tèt cho ký thi sinh
vîi mùc gi¡ 1 tri»u, 2 tri»u v 5 tri»u çng. Câ hai ng÷íi
vi¶n c¦n l÷u þ c¡c iºm sau:
kh¡ch còng ¸n v chån mua méi ng÷íi mët c¡i. Gåi
1. Thíi gian l m b i èi vîi méi · thi l 70 phót. X l sè ti·n mua cõa ng÷íi thù nh§t, Y l sè ti·n mua
cõa ng÷íi thù hai. Cho bi¸t b£ng ph¥n phèi x¡c su§t
Sinh vi¶n dü thi khæng ph£i ch²p ·.
çng thíi cõa (X, Y ) nh÷ sau:
2. Khæng ÷ñc mang t i li»u trong pháng thi. Khæng
Y
mang i»n tho¤i v o pháng thi. Sinh vi¶n vi ph¤m
1
2
5
X
s³ nhªn iºm 0 v bà ¼nh ch¿ thi.
1
0, 2 0, 15 0, 05
2
0, 25 0, 1 0, 05
3. Mang th´ sinh vi¶n khi i thi, mang m¡y t½nh,
b£ng tra º sû döng trong gií thi.
5
0, 01 0, 05 0, 05
4.19.
4.20.
MˆU — THI K˜T THÓC HÅC PH†N
C¥u 4.
4. Sinh vi¶n khæng ÷ñc nh¡p hay vi¸t v³ g¼ v o · a) T½nh hi»p ph÷ìng sai giúa X v Y .
thi, ph£i nëp l¤i · thi còng b i l m khi h¸t gií b) T½nh h» sè t÷ìng quan giúa X v Y .
l m b i.
— SÈ 1
— SÈ 2
C¥u 1. Cho bi¸t tuy¸n vªn t£i h nh kh¡ch nèi hai
C¥u 1. Mët sinh vi¶n mîi ra tr÷íng çng thíi nëp th nh phè A, B ÷ñc ba cæng ty vªn t£i «ng kþ
khai th¡c vîi t¿ l» ÷ñc ph¥n bê tr¶n têng sè chuy¸n
t÷ìng ùng l 0, 42; 0, 33 v 0, 25. T¿ l» xe cõa méi h¢ng
khæng £m b£o c¡c y¶u c¦u v· kh½ th£i t÷ìng ùng l
0, 2; 0, 3; 0, 4.
a) T½nh t¿ l» c¡c chuy¸n xe kh¡ch khæng £m b£o c¡c
y¶u c¦u v· kh½ th£i cõa tuy¸n vªn t£i h nh kh¡ch tr¶n.
b) Kiºm tra ng¨u nhi¶n mët chuy¸n xe cõa tuy¸n vªn
Mët tuy¸n xe bus câ 16 iºm døng ân kh¡ch. t£i h nh kh¡ch tr¶n v th§y xe khæng £m b£o c¡c y¶u
Gi£ sû t¤i méi iºm døng sè kh¡ch l¶n xe tu¥n theo c¦u v· kh½ th£i.T½nh x¡c su§t º xe â thuëc v· cæng
luªt ph¥n phèi Poisson vîi tham sè λ = 7. Bi¸t méi ty vªn t£i thù ba.
kh¡ch i xe ph£i tr£ 7000 çng.
Mët cæng ty b£o hiºm b¡n b£o hiºm cho
a) T½nh x¡c su§t cõa sü ki»n trong 16 iºm døng câ 10
250.000 håc sinh trong mët n«m vîi mùc b¡n 280.000
iºm câ khæng ½t hìn 3 h nh kh¡ch l¶n xe.
b) T½nh sè ti·n trung b¼nh thu ÷ñc khi ch¤y mët çng mët håc sinh. N¸u håc sinh câ b£o hiºm bà tai n¤n
ð mùc ÷ñc chi tr£ b£o hiºm th¼ cæng ty s³ chi ti·n sè
chuy¸n xe bus tr¶n.
ti·n b£o hiºm l 15 tri»u çng. Cho bi¸t x¡c su§t g°p
Theo ti¶u chu©n kÿ thuªt, mët lo¤i b¶ tæng tai n¤n ð mùc ÷ñc chi tr£ b£o hiºm cõa méi håc sinh
t÷ìi ¢ º qu¡ 3 gií th¼ khæng ÷ñc ph²p ê v o và tr½ trong mët n«m l 0, 003. H¢y t½nh sè ti·n l¢i trung b¼nh
thi cæng núa. Thíi gian º vªn chuyºn b¬ng xe tø tr¤m cõa cæng ty khi b¡n b£o hiºm cho 250.000 håc sinh â.
bèn hç sì xin vi»c cho bèn cæng ty, phäng v§n tr¼nh
ë v chí k¸t qu£. Cho bi¸t x¡c su§t º méi cæng ty
nhªn sinh vi¶n â v o thû vi»c t÷ìng ùng l 0, 15; 0, 35;
0, 3 v 0, 25. T½nh x¡c su§t cõa sü ki»n "câ ½t nh§t mët
cæng ty nhªn sinh vi¶n â v o thû vi»c çng thíi cæng
ty thù ba khæng nhªn sinh vi¶n â".
C¥u 2.
C¥u 2.
C¥u 3.
¤i håc Giao thæng Vªn t£i
Th¡ng 8 n«m 2018
B i tªp X¡c su§t thèng k¶ - Vªn t£i Kinh t¸
14
C¥u 3. Mët kh¡ch s¤n l­p °t 36 chi¸c i·u háa. Bi¸t nh¥n vi¶n b¡n h ng ÷ñc nhªn 1 iºm th÷ðng do câ
tuêi thå cõa méi chi¸c i·u háa tu¥n theo luªt ph¥n
phèi mô vîi thíi gian trung b¼nh l 7,5 (n«m).
a) T½nh x¡c su§t º mët chi¸c i·u háa câ tuêi thå tr¶n
6 n«m.
b) Sau 6 n«m sû döng sè i·u háa (trong 36 chi¸c tr¶n)
¢ ph£i thay th¸ câ trung b¼nh l bao nhi¶u?
doanh thu cao.
a) T½nh x¡c su§t º sau mët ng y b¡n h ng c¡c nh¥n
vi¶n cõa gian h ng ÷ñc nhªn 1 iºm th÷ðng.
b) T½nh x¡c su§t º trong trong 1 tu¦n (gçm 7 ng y)
c¡c nh¥n vi¶n b¡n h ng t½ch lôy ÷ñc ½t nh§t 3 iºm
th÷ðng.
C¥u 4. Trong mët cuëc phäng v§n tuyºn ng÷íi cõa C¥u 4. Chi ph½ qu£ng c¡o X (tri»u çng) v doanh
cæng ty, ng÷íi ta ch§m iºm kÿ n«ng giao ti¸p v thu Y (tri»u çng) cõa mët cæng ty trong th¡ng ÷ñc
chuy¶n mæn. Gåi X v Y l iºm kÿ n«ng giao ti¸p cho bði b£ng ph¥n phèi x¡c su§t sau ¥y:
v iºm chuy¶n mæn t÷ìng ùng cõa mët ng÷íi. Cho
Y
400 700 1000
bi¸t b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa (X, Y ) nh÷ sau:
X
Y
3
5
8
10
0, 05
0, 05
0, 2
0, 05
0, 3
0, 15
0, 15
0, 05
X
5
10
a) T½nh hi»p ph÷ìng sai giúa X v Y .
b) T½nh iºm trung b¼nh cõa mët ng÷íi.
20
40
0, 2
0, 1
0, 1
0, 25
0, 05
0, 3
a) T½nh hi»p ph÷ìng sai giúa X v Y .
b) T½nh h» sè t÷ìng quan giúa X v Y .
— SÈ 4
— SÈ 3
C¥u 1. Mët nh ¦u t÷ dü t½nh trong hai phi¶n giao
2 và tr½ câ ±n t½n hi»u giao thæng. H» thèng ±n t½n
hi»u thù nh§t °t thíi gian 35 gi¥y m u xanh, 5 gi¥y
m u v ng, v 60 gi¥y m u ä. H» thèng ±n t½n hi»u
thù hai °t thíi gian 45 gi¥y m u xanh, 5 gi¥y m u
v ng, v 40 gi¥y m u ä. C¡c h» thèng ±n t½n hi»u
ho¤t ëng ëc lªp vîi nhau. T½nh x¡c su§t º sinh vi¶n
â g°p óng 2 l¦n ±n câ m u kh¡c nhau khi i ¸n
tr֒ng.
l»nh mua mët m¢ chùng kho¡n. Ð méi phi¶n, x¡c su§t
º l»nh mua m¢ thù nh§t ÷ñc thüc hi»n th nh cæng l
0, 5; x¡c su§t º l»nh mua m¢ thù hai ÷ñc thüc hi»n
th nh cæng l 0, 7. T½nh x¡c su§t º x£y sü ki»n: sè
l»nh °t mua ÷ñc thüc hi»n th nh cæng ð phi¶n thù
nh§t ½t hìn phi¶n thù hai.
m¢ v¤ch câ kh£ n«ng åc ch½nh x¡c m¢ v¤ch tr¶n s£n
ph©m vîi x¡c su§t 87%. N¸u ¦u åc khæng åc ÷ñc
m¢ v¤ch tr¶n s£n ph©m n o §y th¼ nh¥n vi¶n thu ng¥n
ph£i nhªp m¢ sè cõa s£n ph©m â v o m¡y t½nh theo
c¡ch l m thõ cæng. Gåi X l ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ch¿
sè l÷ñng s£n ph©m m ¦u åc åc ÷ñc m¢ v¤ch tr¶n
â giúa hai l¦n thu ng¥n nhªp m¢ sè theo kiºu thõ
cæng.
a) H¢y lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X .
b) T½nh x¡c su§t cõa sü ki»n ¦u åc åc ÷ñc m¢ v¤ch
khæng qu¡ bèn l¦n li¶n ti¸p.
b¡n ÷ñc thüc hi»n th nh cæng. Cho bi¸t r¬ng x¡c su§t
º l»nh b¡n ÷ñc thüc hi»n th nh cæng trong méi ng y
l 0, 33. Gåi X l sè ng y nh ¦u t÷ ÷a ra l»nh b¡n
sè cê phi¸u â.
a) H¢y lªp b£ng ph¥n phèi x¡c su§t cõa X .
b) T½nh gi¡ trà trung b¼nh cõa X .
dàch li¶n ti¸p s³ °t l»nh mua hai m¢ chùng kho¡n kh¡c
C¥u 1. Mët sinh vi¶n i tø nh ¸n tr÷íng ph£i i qua nhau. Méi phi¶n giao dàch æng ta °t mua 2 l»nh; méi
C¥u 2. Mët nh ¦u t÷ muèn b¡n i mët l÷ñng cê
v æng °t l»nh b¡n to n bë sè cê phi¸u n y méi
C¥u 2. T¤i qu¦y thanh to¡n cõa si¶u thà, ¦u åc phi¸u
ng y mët l¦n v li¶n ti¸p tøng ng y cho ¸n khi l»nh
C¥u 3. Cho bi¸t thíi gian gûi ti·n thüc t¸ X cõa c¡c sê
ti¸t ki»m ký h¤n 3 th¡ng l mët ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n
câ h m mªt ë nh÷ sau:

0
n¸u x 6∈ [0, 4]
Doanh thu h ng ng y cõa mët gian h ng trong
f (x) =
15

(16x2 − x4 ) n¸u x ∈ [0, 4]
mët si¶u thà h ng i»n tû l mët ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n
2048
câ ph¥n phèi chu©n vîi gi¡ trà trung b¼nh l 35 tri»u
çng v ë l»ch ti¶u chu©n l 5 tri»u çng. N¸u ng y a) T½nh x¡c su§t º mët sê ti¸t ki»m ký h¤n 3 th¡ng
n o gian h ng ¤t doanh thu tr¶n 40 tri»u çng th¼ c¡c bà rót ra tr÷îc khi ¡o h¤n.
C¥u 3.
¤i håc Giao thæng Vªn t£i
Th¡ng 8 n«m 2018
Bë mæn ¤i sè v X¡c su§t thèng k¶
15
b) Trong mët ng y mët pháng giao dàch lªp 10 sê ti¸t
ki»m ký h¤n 3 th¡ng mîi. T½nh x¡c su§t cõa sü ki»n
trong 10 sê ti¸t ki»m â câ 6 sê bà rót ra tr÷îc khi ¡o
h¤n.
a) T½nh x¡c su§t º mët gâi s£n ph©m ÷ñc ng÷íi ti¶u
dòng sû döng câ thíi gian ph¥n phèi d÷îi mët th¡ng.
b) T½nh lñi nhuªn trung b¼nh cõa nh s£n xu§t khi xu§t
x÷ðng mët læ h ng gçm 60.000 gâi s£n ph©m.
nh÷ sau:
nh÷ sau:
C¥u 4. Cho h m khèi x¡c su§t çng thíi cõa (X, Y ) C¥u 4. Cho h m khèi x¡c su§t çng thíi cõa (X, Y )
f (x, y) = c(x + y), x = 1, 2, 3; y = 1, 3.
a) T¼m h» sè c.
b) T½nh hi»p ph÷ìng sai giúa X v Y .
C¥u 1.
f (x, y) = cxy, x = 2, 3; y = 3, 5, 6.
a) T¼m h» sè c.
b) T½nh hi»p ph÷ìng sai giúa X v Y .
— SÈ 5
Thà tr÷íng i»n tho¤i di ëng ð mët th nh phè
lîn câ c§u tróc nh÷ sau: C¡c h¢ng A, B, C t÷ìng ùng
chi¸m 27%; 35%; 20% thà ph¦n, c¡c h¢ng kh¡c chi¸m
18% thà ph¦n. Theo sè li»u ¢ bi¸t t¿ l» h ng gi£ h ng
nh¡i cõa c¡c h¢ng A, B, C t÷ìng ùng l 15%, 5%, 10%.
T¿ l» h ng gi£ h ng nh¡i cõa c¡c h¢ng cán l¤i l 16%.
a) T½nh t¿ l» h ng gi£ h ng nh¡i chung cõa m°t h ng
i»n tho¤i di ëng trong c£ thà tr÷íng.
b) Chån ng¨u nhi¶n mët kh¡ch h ng sû döng i»n tho¤i
ch½nh h¢ng. T½nh x¡c su§t º chi¸c i»n tho¤i do ng÷íi
â sû döng l i»n tho¤i cõa h¢ng C .
C¥u 2. T¤i mët gian h ng cõa si¶u thà ng÷íi ta °t
v o â 24 chai n÷îc ²p hoa qu£ trong â câ 3 chai m
h¤n sû döng ch¿ cán khæng qu¡ mët th¡ng. Mët kh¡ch
h ng muèn l§y mët chai m h¤n sû döng cán tr¶n mët
th¡ng º bä v o giä h ng cõa m¼nh. Ng÷íi â chån
ng¨u nhi¶n tøng chai º kiºm tra h¤n sû döng. N¸u
chai ÷ñc chån l chai m h¤n sû döng ch¿ cán khæng
qu¡ mët th¡ng th¼ lo¤i ra v chån ti¸p chai kh¡c. Gåi
X l sè chai m ng÷íi â ph£i kiºm tra. H¢y lªp b£ng
ph¥n phèi x¡c su§t cõa X v t½nh gi¡ trà trung b¼nh
cõa X .
C¥u 3. Mët lo¤i thüc ph©m câ thíi h¤n sû döng ba
th¡ng. Gi¡ th nh s£n xu§t cõa méi gâi s£n ph©m l 25
ngh¼n çng. Nh s£n xu§t b¡n s¿ cho c¡c ¤i lþ ph¥n
phèi vîi gi¡ b¡n l 45 ngh¼n çng tr¶n mët gâi s£n
ph©m v khæng l§y ti·n c¡c s£n ph©m bà tr£ v· do h¸t
h¤n sû döng. Cho bi¸t thíi gian ph¥n phèi s£n ph©m
X t½nh tø ng y s£n xu§t cho ¸n ng y mët gâi s£n
ph©m ¸n tay ng÷íi ti¶u dòng (÷ñc sû döng) l mët
¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n câ h m mªt ë nh÷ sau:

0
n¸u x < 0 (th¡ng),
50
f (x) =

n¸u x ⩾ 0 (th¡ng).
(x + 5)3
¤i håc Giao thæng Vªn t£i
Th¡ng 8 n«m 2018