Juan Mayorga-Zambrano
Cálculo Diferencial
para Ciencias e Ingenierı́a
– con ayuda de Maxima –
Versión preliminar al 11 de agosto de 2019
[ NOMBRE INSTITUCIÓN AUSPICIANTE ]
Ciudad - Paı́s
Resumen.
En este trabajo se presentan tópicosXXX XXX xXXX
[Sello Institución Auspiciante]
Matemática Superior para Ingenierı́a
– con ayuda de Maxima –
c 2015 Juan Ricardo Mayorga Zambrano
Publicado por [Nombre Editorial]
http://www.XXXXXX [Página web Editorial]
Primera edición.
Este trabajo está amparado por la Ley de Propiedad Intelectual, ninguna parte podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico,
incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación
en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en
sistemas de información sin el consentimiento por escrito del autor.
Este libro ha sido preparado de manera tal que el estudiante apoye su trabajo con Maxima, un Sistema
Computacional Algebraico del tipo software libre. Se
ha trabajado con la versión 5.27 usando la interface
wxMaxima versión 15.04.0.
Logo de Maxima.
Preparado por Sven Hodapp
Este texto ha sido preparado con LATEX. Se ha adaptado la plantilla svmono disponible en la página web
de la casa Springer-Verlag.
CTAN lion drawing by Duane Bibby;
thanks to www.ctan.org
Dedicado a mis hijos Daniel, Keren, Jaya y Jaim.
!M‫ הש‬K‫ברו‬
Se cuenta...
Sin la paciencia XXXX XXXX
vi
“Existe una opinión muy generalizada según la cual
la matemática es la ciencia más difı́cil cuando
en realidad es la más simple de todas.
La causa de esta paradoja reside en el hecho de que,
precisamente por su simplicidad,
los razonamientos matemáticos equivocados quedan a la vista.
En una compleja cuestión de polı́tica o arte,
hay tantos factores en juego y tantos desconocidos o inaparentes,
que es muy difı́cil distinguir lo verdadero de lo falso.
El resultado es que cualquier tonto se cree en condiciones de discutir
sobre polı́tica y arte - y en verdad lo hace mientras que mira la matemática desde una respetuosa distancia”.
Ernesto Sábato, Uno y el Universo.
Presentación de los pares revisores
La obra sadsad dsadsad as dasdas dasdas
Borys Álvarez Samaniego, Ph.D.
Núcleo de Investigadores Cientı́ficos
Universidad Central del Ecuador
Par revisor
Paúl Medina Vásquez, Ph.D.
Instituto “Gregorio Millán Barbany”
Universidad Carlos III de Madrid
Par revisor
vii
Tabla resumida de contenidos
Presentación de los pares revisores
vii
Prefacio
xi
Breve reseña del autor
xiii
Detalle de contenidos
xviii
Introducción general
1
6
Sucesiones reales
153
7
Lı́mites y continuidad
189
8
La derivada y sus aplicaciones
225
A El cuerpo de los números complejos
261
Soluciones y/o pautas para los problemas
273
Referencias
277
ix
Prefacio
Este texto tiene su génesis en
R6
Crı́ticas, ideas y observaciones son siempre bienvenidas. Para ello me puede escribir a jrmayorgaz@gmail.com
Juan Mayorga Zambrano
CIUDAD POR DEFINIR, MES 2015
xi
Breve reseña del autor
Juan Mayorga Zambrano nació en Ambato - Ecuador, 1976. Se graduó con summa cum laude como mejor
estudiante de la promoción 2001 de la Escuela Politécnica Nacional obteniendo el tı́tulo de Matemático. En 2006 obtuvo el tı́tulo de PhD en Ciencias de la
Ingenierı́a (mención en Modelación Matemática) en
Universidad de Chile. Cuenta con dos postdoctados:
Universidad de Talca (Chile, 2006 - 2007) y Technion
(Israel, 2007 - 2008).
Ha sido profesor, investigador y/o directivo en Technion - Israel Institute of Technology (Israel), Université
Paris Dauphine (Francia), ICTP - International Centre for Theoretical Physics (Italia), Universität Wien (Austria), Universidad de Chile (Chile), Universidad de Talca (Chile), Yachay Tech - Universidad de Investigación de
Tecnologı́a Experimental (Ecuador), ESPE - Universidad de las Fuerzas Armadas (Ecuador), Pontificia Universidad Católica del Ecuador (Ecuador), Escuela Politécnica Nacional (Ecuador), Universidad Técnica de Ambato
(Ecuador), Universidad Tecnológica Indoamérica (Ecuador) y Universidad Tecnológica Israel (Ecuador).
Juan Mayorga Zambrano es observante de las Siete Leyes de los Hijos de Noé, Código de Ética universal
que les corresponde a las naciones no-judı́as de la tierra. Sobre este tópico ha traducido del inglés al español
los libros “The Seven Colors of the Rainbow” (Bindman) y “The Path of the Righteous Gentile” (Clorfene &
Rogalsky). Fue Coordinador para Chile (2006) y Coordinador Internacional (2007) de la Fundación Luz de Vida
Internacional; miembro del staff de Universidad Noájida (2009 - 2011).
xiii
Detalle de contenidos
Presentación de los pares revisores
vii
Prefacio
xi
Breve reseña del autor
xiii
Detalle de contenidos
xvi
Introducción general
1
1
Sucesiones reales
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Acotamiento y entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Monotonı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Las funciones exponencial y logarı́tmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Propiedades importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Equivalencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Propiedades importantes (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Propiedades importantes (III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Completitud de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Criterio del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14 Otros criterios para convergencia y divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15 Relaciones recurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.16 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
6
7
11
14
17
19
22
23
27
28
31
32
33
35
36
2
Lı́mites y continuidad
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Definiciones de lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Teoremas y Proposiciones sobre lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Tipos de discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Teoremas sobre continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 El Método de las Bisectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Cálculo de lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Lı́mites Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Cambio de Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Infinitésimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
47
53
55
56
56
58
59
61
61
62
63
65
68
xv
xvi
2.7
3
Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
La derivada y sus aplicaciones
83
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Reglas y fórmulas para derivar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3 La Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5 La regla de Bernoulli - L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6 Derivación de una función implı́cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.7 Monotonı́a y Puntos Crı́ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.8 Convexidad y puntos de inflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.9 Extremos de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.10 Rectas Tangente y Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.11 Ası́ntotas oblı́cuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.12 Cálculos aproximados via diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.13 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A Extregg sda
119
Soluciones y/o pautas para los problemas
121
Sı́mbolos
123
Referencias
125
Índice alfabético
127
Fuentes adicionales
129
Introducción general
“Porque las cosas de este mundo no pueden llegar a entenderse
sin un conocimiento de matemáticas”
Roger Bacon
ACTUALIZACIÓN NECESARIA!!!!
La Enseñanza de Matemáticas para Ingenierı́a ha experimentado una transición desde los años ochenta. En
buena medida estos cambios surgieron de la posibilidad de aprovechar recursos computacionales cada vez
más poderosos.
Hoy en dı́a es indudable que el estudiante de Ingenierı́a debe conectarse temprano en su carrera con software
matemático que le permita resolver problemas con efectividad y eficiencia; pero, al mismo tiempo, estamos
convencidos de que él debe ser amo de su software y no en el otro sentido. Por tanto, en este libro tenemos
presente que, para saltar al computador, el estudiante debe primero tener cimentados sus conocimientos con
un número apropiado de horas de trabajo con papel y lápiz.
Enfoque
A lo largo del texto se mantiene un enfoque orientado hacia la Ingenierı́a. Creemos que, en general, un
Ingeniero no demuestra teoremas; pero debe ser capaz de administrarlos y aplicarlos a la resolución de
problemas. Por tanto, presentamos sólo las demostraciones que, a nuestro criterio, son relevantes para mejorar
la comprensión de la materia. El sı́mbolo u
t indica que se da por terminada una demostración.
Observaciones importantes serán indicadas con el buho que aparece a la izquierda.
La notación usada a lo largo del texto es casi siempre la estándar. Se ha hecho un esfuerzo por enunciar
explı́citamente los dominios de las funciones; esto se debe a que una función es el ejemplo más simple de
modelo matemático y a un hecho práctico: problemas que los estudiantes encuentran “casi imposibles” se
resuelven, a menudo, simplemente aclarando el universo de estudio donde trabajan las funciones.
Tópicos y prerequisitos
Los temas tratados en esta obra se presentan habitualmente en el los primeros niveles de Matemáticas en
las carreras de Ingenierı́a. Se sugiere tanto al estudiante como al profesor que apoyen su trabajo con otros
libros de texto como [XXX] y [XXXX]. Un mismo tema que un estudiante encuentra claro en un libro puede
resultar obscuro para otro estudiante. ¡Y no hay tiempo para desperdiciar! Un estudiante de Ingenierı́a está
normalmente sometido a una gran presión y exigencia.
Al final de cada uno de los capı́tulos se presenta un conjunto de problemas seleccionados. No afirmamos que
los problemas presentados sean originales (si bien hay un buen número de nuestra autorı́a); más bien hemos
tratado de seleccionarlos a partir de varias fuentes y adaptarlos a nuestro curso. Los ejercicios marcados con
1
2
Introducción general
un asterisco, *, tienen un grado de dificultad mayor. Al final del libro se presentan las soluciones y/o pautas
para la mayorı́a de ellos. El material presentado en este curso supone que el estudiante trae XXX.
Maxima
Escogimos el software Maxima para apoyar el estudio de la materia bajo tres consideraciones. Por un lado,
Maxima es un Sistema Computacional Algebraico (CAS) de manera que permite obtener soluciones analı́ticas
(cuando es posible) y hacer un seguimiento paso a paso del procedimiento de resolución de un problema
determinado. Como consecuencia, a más de tener una forma rápida para verificar el dominio propio de las
herramientas matemáticas, permite una aplicación fluida de las competencias1 matemáticas a materias de
Ingenierı́a (Termodinámica, Teorı́a de Control, etc.). Por otro lado, si bien Maxima es un CAS y por tanto no
tiene el poder numérico de una Plataforma de Cálculo Cientı́fico (como Scilab o Matlab), permite trabajar
numéricamente a un buen nivel. Finalmente, Maxima es software libre de manera que los estudiantes pueden
instalarlo en sus computadores de forma gratuita. Esta última consideración es importante pues piratear
software es un delito y el profesor debe buscar alternativas de calidad para los estudiantes que no tienen los
recursos económicos suficientes para invertir en software licenciado.
En la preparación de la primera edición de este libro se ha usado la versión 5.27 de Maxima con apoyo de la
interface wxMaxima. El código Maxima presentado para resolver un determinado problema ha sido probado y
preparado de manera tal que sea claro para el estudiante al punto que lo motive a adaptarlo para la resolución
de otros problemas.
Tip de Maxima No. 1.
Por mi experiencia docente he evitado presentar una introducción a Maxima; es más efectivo dar tips y
requerir de los estudiantes la resolución de problemas concretos.
A lo largo del libro el código de Maxima se presenta sombreado. En el ejemplo a la derecha se calcula
el seno de π/4. Como se ve, por defecto, Maxima
presenta el resultado exacto y simbólico, sin cifras
decimales.
( %i1)
x: %pi/4;
(x)
( %i2)
%pi
4
sin(x);
( %o2)
1
√
2
Descripción de capı́tulos
En el Capı́tulo YYYY se hace
Se han incluido NNN apéndices. En el Apéndice XXX se presenta una breve introducción a
1 En este libro por competencia se entiende la capacidad para resolver un problema.
Capı́tulo 1
Sucesiones reales
“ En tanto que las leyes de las matemáticas se refieren a la
realidad, son falsas; y, en tanto que sean ciertas, no se refieren a
la realidad ”
Albert Einstein
1.1.
Introducción
Cuando se quiere resolver un problema de Ingenierı́a con ayuda de un computador, se recurre habitualmente a aproximaciones discretas del modelo matemático seleccionado; por ello, el concepto de sucesión es
fundamental en Matemática Aplicada. No es nuestra intensión entrar en demasiados detalles sobre el excitante
tema de las sucesiones, pero creemos que es una herramienta importante que debe manejar un Ingeniero pues,
finalmente, todas las tareas que realiza un computador son procesos contables (en un número finito de pasos
el computador presenta al usuario una solución aproximada) es decir, truncaciones de sucesiones.
Una excelente introducción al Análisis Matemático, en particular al estudio de sucesiones reales, es [2]. El estudiante
deberı́a repasar la clase sobre el cuerpo de los números reales de el nuestro texto sobre Precálculo.
Definición 1.1 [Sucesión real]
Dado A un conjunto no-vacı́o, llamamos sucesión en A a toda función cuyo dominio es N o N∗ = N ∪ {0} y
cuyo codominio es A. en particular, a una sucesión cuyo codominio es R se le denomina sucesión real.
Es claro que el rango de una sucesión1 es un conjunto discreto; por ello, a las sucesiones en un conjunto A
se las suele denotar
(xn )n∈N ⊆ A, (yn )n∈N ⊆ A, (zn )n∈N ⊆ A, etc.
(1.1)
o, alternativamente,
La notación (xn )n∈N
(xn )n∈N ∈ A∞ ,
(yn )n∈N ∈ A∞ ,
(zn )n∈N ∈ A∞ ,
etc.
∈ A∞ permite interpretar a una sucesión como una extensión de los conjuntos ordenados
(x1 , x2 ) ∈ A2 , (x1 , x2 , x3 ) ∈ A3 , (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ A4 , ..., (x1 , x2 , x3 , x4 , ..., xn ) ∈ An , ...
Ejemplo 1.1 A los enteros pares positivos se los puede expresar de forma ordenada mediante la sucesión
(2, 4, 6, 8, ...) = (2n)n∈N ⊆ R.
Tip de Maxima No. 2.
La orden fib(n) calcula el n-ésimo elemento de la serie de Fibonacci.
1 En términos más generales, el dominio puede ser cualquier conjunto con cardinalidad ℵ , e.g. Z.
0
3
4
1 Sucesiones reales
Tip de Maxima No. 3.
La orden map(f, expr1, expr2,...,exprn) devuelve una expresión cuyo operador principal es el mismo que
aparece en las expresiones expr1 , ..., exprn pero cuyas subpartes son los resultados de aplicar f a
cada una de las subpartes de las expresiones.
Ejemplo 1.2 Supongamos, que se quiere empezar un negocio de crı́a de conejos. Una función que modela matemáticamente
tal fenómeno o proceso es la sucesión de Fibonacci. En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sucesión
de Fibonacci: la cantidad de pétalos de una flor y la cantidad de espirales en una piña, etc. El negocio tiene perspectivas de
ser rentable pues la población de conejos crece a buen ritmo. En efecto, la sucesión de Fibonacci
(Fn )n∈N∗ ⊆ R,
está definida por


0,
si n = 0,




Fn = 
1,
si n = 1,



Fn−1 + Fn−2 , si n ≥ 2.
La fórmula anterior nos dice que a partir de n = 2 se obtiene F(n) al sumar los dos elementos anteriores de la sucesión. Los
primeros elementos de la sucesión de Fibonacci son:
(%i1)
( %o1)
map( fib, [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]);
[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]
Los computadores no trabajan con R, el conjunto de los números reales, y, de hecho, ni siquiera lo hacen con
Q, el conjunto de números racionales. A pesar de que con cada dia que pasa la capacidad de almacenamiento
de memoria que tienen los computadores se incrementa y el tamaño fı́sico de los dispositivos se reduce, un
computador no es siquiera capaz de manejar un único número como
π ≈ 3.14159...
Esto equivale a decir que un computador no es capaz de manejar el rango de la sucesión (xn )n∈N∗ donde
x0 = 3,
x1 = 1,
x2 = 4,
x3 = 1,
x4 = 5,
x5 = 9,
.. ..
. .
Los computadores trabajan con números de tipo flotante, que constituyen subconjunto finito de Q. El número
π tiene infinitas cifras decimales en tanto que la capacidad de memoria de cualquier computador es finita ¡puede ser muy grande pero no deja de ser finita!2 Por tanto, cuando se alcanza el tope de la capacidad de
memoria del computador, al ir introduciendo más y más cifras decimales del número π, se recibe el mensaje
de error por underflow.
Si un computador no puede manejar un número real como π, ¿cómo puede manejar una función real de
variable real? La respuesta es que no lo hace: se vale de truncaciones y procesos de aproximación. Estas dos
herramientas tienen que ver directamente con el concepto matemático de sucesión.
Ejemplo 1.3 Consideremos un número fijo x ∈ R. Si bien en una calculadora se puede ver el sı́mbolo ex , en realidad no
se calcula ex . En su lugar, dado un cierto tamaño de error aceptable > 0, se escoge un n ∈ N de manera que
2 Si no se puede introducir una cosa infinita (como el número π) en algo finito (como la memoria de un computador), ¿serı́a
concecible que el Infinito (o sea Dios) pueda introducirse en un cuerpo finito (como el de un ser humano)?
1.1 Introducción
5
|sn − ex | < ,
donde la sucesión (sn )n∈N ⊆ R está definida mediante
sn =
n
X
1
k=0
k!
xk .
Usando Maxima experimentemos un poco para mostrar lo mencionado. Definimos la aproximación de n + 1 términos:
s(n):= sum(xˆk/factorial(k), k, 0, n);
n
X
xk
( %o1) s (n) :=
k!
( %i1)
k=0
Observemos que para
( %i2)
(x) 2
x: 2;
Se tiene que
( %i3)
( %o3)
%eˆx, numer;
7.38905609893065
Para cada n ∈ N definimos la distancia entre el valor ex y la aproximación con n + 1 términos:
( %i4)
( %o4)
d(n):= abs(%eˆx-s(n));
d (n) := %ex − s (n)
Para n = 1, 2, 3 los valores de n, s(n)d(n) se presentan a continuación:
sd(n):= matrix([n],[s(n)],[d(n)]);


 n 


( %o5) sd (n) :=  s (n) 


d (n)
( %i5)
map(sd, [1,2,3]), numer;

 
 

1
2
3

 
 


 
 6.333333333333333
3
5
( %o6) [
 , 
 , 
]

 
 

4.38905609893065 2.38905609893065 1.055722765597317
( %i6)
Hacemos lo mismo para n = 4, 5, 6:
map(sd, [4,5,6]), numer;

 
 

4
5
6

 
 







7.0
( %o7) [
 ,  7.266666666666667  ,  7.355555555555555 ]

 
 

0.3890560989306504 0.1223894322639838 0.03350054337509523
( %i7)
Obsérvese que, conforme n crece, el valor de s(n) se acerca a e2 como lo evidencia la distancia d(n), que es cada vvez más
pequeña. Terminemos de evidenciar este fenómeno tomando n = 10, 20, 30:
6
1 Sucesiones reales
map(sd, [10,20,30]), numer;

 
 

20
30
10

 
 

 7.388994708994708   7.389056098930604   7.389056098930649 
( %o8) [
 , 
 , 
]

 
 

6.138993594273501 · 10−5 4.618527782440651 · 10−14 1.77635683940025 · 10−15
( %i8)
1.2.
Acotamiento y entornos
Para el estudio de lı́mites y continuidad de funciones reales ası́ como para establecer la convergencia de
sucesiones reales es indispensable el concepto de entorno.
Definición 1.2 [-entorno de un punto]
Sea > 0. Se denomina -entorno de x0 ∈ R al conjunto de puntos que distan menos que de x0 , esto es al
conjunto
B(x0 , ) = (x0 − , x0 + )
= {x ∈ R / |x − x0 | < } .
(1.2)
Al punto x0 y al número en (1.2) se les refiere como centro y radio del entorno, respectivamente.
Cuando se generaliza (1.2) al cuerpo C, se refiere a B(x0 , ) como el -disco centrado en x0 ∈ C = R2 . Cuando se generaliza
(1.2) a dimensiones n ≥ 3 se refiere a B(x0 , ) como la -bola centrada en x0 ∈ Rn .
Se dice que una sucesión real está acotada inferiormente (o superiormente) si su rango es un conjunto
acotado inferiormente (o superiormente); esto es,
i) (xn )n∈N ⊆ R está acotada inferiormente si
∃c ∈ R, ∀n ∈ N :
xn ≥ c.
(1.3)
xn ≤ C.
(1.4)
ii) (xn )n∈N ⊆ R está acotada superiormente si
∃C ∈ R, ∀n ∈ N :
Se dice que una sucesión está acotada si está, a la vez, acotada superior e inferiormente.
Proposición 1.1 La sucesión (xn )n∈N ⊆ R está acotada ssi existen x∗ ∈ R y r > 0 tales que
xn ∈ B(x∗ , r),
∀n ∈ N.
(1.5)
Por tanto, una sucesión está acotada cuando sus elementos están contenidos en algún entorno. Este resultado
se requiere como ejercicio al final del capı́tulo.
Ejemplo 1.4 Consideramos la sucesión (xn )n∈N ⊆ R definida mediante
xn = 2n .
Puesto que
xn ≥ 0,
∀n ∈ N,
se tiene que (xn )n∈N ⊆ R está acotada inferiormente; sin embargo, no está acotada superiormente.
1.3 Convergencia
7
Ejemplo 1.5 Consideramos la sucesión (xn )n∈N ⊆ R definida mediante
xn =
1
.
n
Puesto que
−1 ≤ xn ≤ 2,
∀n ∈ N,
se tiene que (xn )n∈N ⊆ R está acotada superior e inferiormente. Por tanto (xn )n∈N ⊆ R está acotada.
1.3.
Convergencia
Establezcamos los conceptos de convergencia y lı́mite de una sucesión.
Definición 1.3 [Convergencia y Lı́mite de una sucesión]
Se dice que la sucesión (xn )n∈N ⊆ R es convergente ssi existe un número x ∈ R tal que
∀ > 0, ∃N ∈ N :
n > N ⇒ |xn − x| < .
(1.6)
En este caso se dice que x es el lı́mite de (xn )n∈N ⊆ R y se denota
lı́m xn = x
(1.7)
n→∞
o, alternativamente,
n
xn −→ xn .
(1.8)
Si una sucesión no es convergente, se dice que es divergente.
Tenga presente que (1.6) puede escribirse
∀ > 0, ∃N ∈ N :
n > N ⇒ xn ∈ B(x, ),
de manera que cualquiera que sea el grado de cercanı́a > 0, el entorno B(x, ) atrapa todos los elementos de la
sucesión (xn )n∈N ⊆ R, salvo un número finito de ellos.
En en marco de la Definición 1.3 se dice que (xn )n∈N ⊆ R converge a x ∈ R por la izquierda o por debajo si
se cumple que
xn ≤ x, ∀n ∈ N.
(1.9)
Asimismo, se dice que (xn )n∈N ⊆ R converge a x ∈ R por la derecha o por encima si se cumple que
xn ≥ x,
∀n ∈ N.
(1.10)
Recordemos la Propiedad Arquimediana de los números reales, la misma que es útil para el estudio de
lı́mites de sucesiones y funciones reales.
Teorema 1.1 [Propiedad Arquimediana]
Se tiene que
∀α > 0, ∀y ∈ R, ∃N ∈ N :
N · α > y.
(1.11)
La Propiedad Arquimediana establece que, por más pequeño que sea un número positivo α, siempre se lo
puede amplificar, al multiplicarlo por un entero positivo apropiado N, para que supere al número dado y ∈ R.
Ejemplo 1.6 Consideramos la sucesión (xn )n∈N ⊆ R definida mediante
8
1 Sucesiones reales
1
xn = 1 + .
n
(1.12)
Estudio intuitivo. Como se puede ver en la tabla, a medida que n se hace cada vez más grande, es decir cuando n tiende
a +∞, xn tiende a 1.
n 1 2 4 10 100 1000 1’000000 1 × 1020 · · ·
xn 2 1.5 1.25 1.1 1.01 1.001 1.000001 1 + 1 × 10−20 · · ·
|xn − 1| 1 0.5 0.25 0.1 0.01 0.001 0.000001 1 × 10−20 · · ·
En otras palabras, a medida que el argumento n se hace más y más grande, el valor xn se aproxima más y más a 1. Intuimos
entonces que
lı́m xn = 1.
(1.13)
n−→∞
Adicionalmente, por lo expuesto en la tabla anterior parecerı́a que dada cualquier distancia > 0 - por más que sea muy
pequeña - siempre se puede hallar un N = N() ∈ N de manera que la distancia entre xn y 1 sea menor que a partir de
N, es decir,
∀ > 0, ∃N = N() ∈ N : n > N ⇒ |xn − 1| < .
(1.14)
Por ejemplo, obsérvese que para 1 = 0.5, se puede tomar N(1 ) = 4. Para 2 = 0.001, funciona N(2 ) = 1000000.
Estudio analı́tico. Ahora probemos que (1.13) - o equivalentemente (1.14) - se cumple. Sea > 0, cualquiera. Por la
Propiedad Arquimediana de los números reales, existe un N ∈ N tal que
N > 1,
es decir
<
Si n ∈ N es tal que
1
.
N
(1.15)
n>N
se tiene que
1
1
< ;
n N
por tanto, en virtud de (1.15), se cumple que:
|xn − 1| = 1 +
1
1
1
1
−1 =
= < < .
n
n
n N
Puesto que fue elegido arbitrariamente, se ha probado (1.14).
Observación 1.1 Por lo visto en el Ejemplo 1.6 se tiene que
lı́m
1
n→∞ n
= 0.
(1.16)
De manera que si en un cociente se mantiene fijo el numerador y se hace tender el denominador a ∞ (o a −∞), entonces el
cociente tiende a cero.
El siguiente ejemplo es muy importante pues refleja una estrategia para demostrar, mediante la Definición
1.3, la convergencia de una sucesión real
Ejemplo 1.7 Sea β ∈ (0, 1). Nos proponemos probar que
lı́m βn = 0.
n→∞
(1.17)
Por (1.6), probar (1.17) es equivalente a probar que
∀ > 0, ∃N = N() ∈ N :
n > N ⇒ βn < .
(1.18)
1.3 Convergencia
9
Primero encontraremos una idea apropiada para la demostración para entonces redactarla correctamente.
Idea. Tenemos que construir la relación (1.18). Supongamos que n, N ∈ N son tales que
n > N.
(1.19)
Teniendo presente que expβ , la función exponencial en base β ∈ (0, 1), es estrictamente decreciente, se tiene como consecuencia de (1.19) que
βn = expβ (n) < expβ (N) = βN .
(1.20)
Por tanto para terminar la construcción de (1.18), necesitariamos que para un > 0 sea posible elegir un N ∈ N que
cumpla
βN < .
(1.21)
Usando el hecho de que logβ , la función logarı́tmica en base β ∈ (0, 1), es estrictamente decreciente, observamos que (1.21)
es equivalente a
logβ (βN ) > logβ ()
N · 1 > logβ ().
(1.22)
La elección de N es posible por la Propiedad Arquimediana de los números reales.
Ahora que tenemos las ideas, ordenemos las mismas para escribir la demostractión.
Demostración. Tenemos que probar que:
∀ > 0, ∃N = N() ∈ N :
n > N ⇒ βn < .
(1.23)
Tomamos > 0, genérico. Por la Propiedad Arquimediana, existe un N ∈ N tal que
N · 1 > logβ ().
(1.24)
Puesto que β ∈ (0, 1), la función expβ es estrictamente decreciente y, por ello, (1.24) implica que
expβ (N) < expβ (logβ ())
βN < .
(1.25)
Supongamos ahora que n ∈ N es tal que n > N. Se tiene, por la monotonı́a de expβ , que
βn < β N .
Por (1.25) y (1.26) se tiene que
Se ha probado entonces que
(1.26)
βn < βN < .
n>N
⇒
βn < .
Puesto que fue elegido arbitrariamente y N dependı́a únicamente de , se ha probado (1.23).
t
u
Observación 1.2 Del Ejemplo 1.7 se debe sacar a limpio que la idea de la demotración no es lo mismo que la demostración.
En todo caso, la importancia de la idea es notable pues, sin ella, parecerı́a que la demostración aparece por arte de magia.
Teorema 1.2 [Unicidad del lı́mite]
Si una sucesión real es convergente, su lı́mite es único.
Demostración. Sea (xn )n∈N ⊆ R convergente y supongamos que tiene dos lı́mites distintos, es decir que
10
1 Sucesiones reales
lı́m xn = L1 ,
(1.27)
lı́m xn = L2 ,
(1.28)
n→∞
n→∞
con
L1 , L2 .
Tomamos
Por (1.27), existe un N1 ∈ N tal que
Por (1.28), existe un N2 ∈ N tal que
|L2 − L1 |
.
1 , 2 ∈ 0,
2
(1.29)
n > N1 ⇒ |xn − L1 | < 1 .
(1.30)
n > N2 ⇒ |xn − L2 | < 2 .
(1.31)
Entonces, por (1.29), (1.30) y (1.31) se sigue, para n ≥ máx{N1 , N2 }, que
|L2 − L1 | = |L2 − L1 + xn − xn |
≤ |L2 − xn | + |L1 − xn |
< 1 + 2
|L2 − L1 | |L2 − L1 |
<
+
2
2
= |L2 − L1 |
que es una contradicción. Por tanto, L1 = L2 .
t
u
El siguiente Teorema es muy importante por sus aplicaciones.
Teorema 1.3 [Teorema Fundamental]
Sea c ∈ R y sea (xn )n∈N ⊆ R tal que lı́m xn = L. Se tiene que:
n→∞
i) si L > c, entonces
∃N ∈ N :
n ≥ N ⇒ xn > c.
∃N ∈ N :
n ≥ N ⇒ xn < c.
ii) si L < c, entonces
Demostración. Puesto que lı́m xn = L se tiene que
n→∞
∀ > 0, ∃N = N() ∈ N :
n ≥ N ⇒ L − < xn < L + .
(1.32)
i) Tomamos = L − c y N = N(L − c) de manera que por (1.32) se tiene que
n ≥ N ⇒ xn > L − = L − (L − c) = c.
ii) Tomamos = c − L y N = N(c − L) de manera que por (1.32) se tiene que
n ≥ N ⇒ xn < L + = L + (c − L) = c.
t
u
La siguiente Proposición establece que
1) el lı́mite de una suma es igual a la suma de los lı́mites; y,
2) el lı́mite de una sucesión multiplicada por una constante es igual a la constante multiplicada por el lı́mite
de la sucesión.
1.4 Divergencia
11
Proposición 1.2 [Linealidad del lı́mite]
Sea c ∈ R. Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R tales que lı́m xn = α y lı́m yn = β. Entonces se tiene que
n→∞
n→∞
lı́m (cxn + yn ) = cα + β.
n→∞
(1.33)
La Proposición 1.2 establece que la suma de sucesiones convergentes es una sucesión convergente. Asimismo
indica que la convergencia de una sucesión permanece cuando a todos los elementos de la sucesión se les
multiplica por un mismo número.
Proposición 1.3 Toda sucesión (xn )n∈N ⊆ R convergente es acotada.
Demostración. Puesto que (xn )n∈N ⊆ R es convergente, para algún L ∈ R se tiene que
∀ > 0, ∃N = N() ∈ N :
n > N ⇒ |xn − L| < .
Tomamos = 1. Entonces si n > N se tiene que
|xn | = |xn + L − L| ≤ |xn − L| + |L| < 1 + |L|.
Por tanto,
donde
|xn | < R,
∀n ∈ N,
R = máx{1 + |L|, |x1 |, |x2 |, ..., |xn |}.
t
u
La proposición anterior es equivalente al siguiente criterio que permite establecer que una sucesión no es
convergente.
Corolario 1.1 Toda sucesión (xn )n∈N ⊆ R no acotada es divergente.
1.4.
Divergencia
En la siguiente definición estabblecemos un tipo especial de divergencia.
Definición 1.4 [Divergencia al infinito]
Se dice que la sucesión (xn )n∈N ⊆ R diverge a +∞ si se cumple que
∀K > 0, ∃N ∈ N :
En este caso denotamos
lı́m xn = +∞,
n→∞
n > N ⇒ xn > K.
o
n
xn −→ ∞.
(1.34)
(1.35)
Se dice que la sucesión (xn )n∈N ⊆ R diverge a −∞ si se cumple que
∀K > 0, ∃N ∈ N :
En este caso denotamos
lı́m xn = −∞,
n→∞
n > N ⇒ xn < −K.
o
n
xn −→ −∞.
(1.36)
(1.37)
12
1 Sucesiones reales
Observación 1.3 Tenga presente que una sucesión tiene lı́mite ssi es convergente. Las notaciones (1.35) y (1.37) no
indican que existe un lı́mite sino que expresan un tipo de divergencia.
Ejemplo 1.8 Consideramos la sucesión
√
(Sn )n∈N = ( n)n∈N ⊆ R.
Calculamos los primeros elementos de la sucesión:
√
√
n
n
n
n
1 1.000000... 7 2,645751...
2 1.414213... 8 2.828427...
3 1.732050... 9 3.000000...
4 2.000000... 10 3.162277...
5 2.236067... 11 3.316624...
.
..
6 2.449489... ..
.
Se puede observar que, a medida que n crece, Sn también crece.
Probemos que
lı́m Sn = ∞.
(1.38)
n→∞
Sea K > 0, cualquiera. Por la Propiedad Arquimediana de los números reales, existe N ∈ N tal que
N · 1 > K2 .
Por tanto, si n ∈ N es tal que n > N, se tiene que
n > N > K2 ,
es decir,
√
n > K.
Sn =
Puesto que K fue elegido arbitrariamente, se ha probado que
∀K > 0, ∃N ∈ N :
n ≥ N ⇒ Sn > K,
es decir que se tiene (1.38).
Ejemplo 1.9 La sucesión (xn )n∈N ⊆ R definida mediante
xn = (−1)n π,
n ∈ N,
es divergente. Esta divergencia no es hacia +∞ ni hacia −∞.
Proposición 1.4 Sea (xn )n∈N ⊆ R tal que lı́m xn = +∞. Entonces se tiene que
n→∞
α>0
⇒
α<0
⇒
lı́m (αxn ) = +∞;
(1.39)
lı́m (αxn ) = −∞.
(1.40)
n→∞
n→∞
La demostración de la Proposición 1.4 es sencilla y se requiere como ejercicio al final del capı́tulo.
Proposición 1.5 Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R. Se tiene que
lı́m xn = +∞ ∧ lı́m yn = +∞
⇒
lı́m xn = −∞ ∧ lı́m yn = −∞
⇒
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
lı́m (xn + yn ) = +∞;
(1.41)
lı́m (xn + yn ) = −∞.
(1.42)
n→∞
n→∞
1.4 Divergencia
13
Tenga presente que la Proposición anterior considera la suma de sucesiones que convergen ambas hacia +∞ o ambas
hacia −∞. Con respecto a la resta no se puede afirmar nada a priori y esto lo evidenciamos en los Ejemplos 1.12 y 1.10.
Proposición 1.6 Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R. Se tiene que
lı́m xn = +∞ ∧ lı́m yn = +∞
⇒
lı́m xn = +∞ ∧ lı́m yn = −∞
⇒
n→∞
n→∞
n→∞
lı́m (xn · yn ) = +∞;
(1.43)
lı́m (xn · yn ) = −∞.
(1.44)
n→∞
n→∞
n→∞
Ejemplo 1.10 Consideramos la sucesión (xn )n∈N ⊆ R definida por la fórmula
xn = n2 − n
Observe que
lı́m n2 = +∞,
n→∞
lı́m (−n) = +∞,
n→∞
de manera que, en principio, no sabemos si la sucesión converge o diverge. Probaremos de dos maneras que
lı́m xn = +∞.
n→∞
(1.45)
Primera forma (lenta - sin usar teoremas). Probar (1.45) equivale a probar que
∀K > 0, ∃N = N(K) ∈ N :
n > N ⇒ n2 − n > K.
(1.46)
Tomamos K > 0, genérico. Por la Propiedad Arquimediana, existe un N1 ∈ N tal que
N1 · 1 > K,
de manera que
N1 + 1 > N1 > K.
Escogemos
N = N1 + 1
En particular se tiene que
Por (1.47) y (1.48) se tiene entonces que
Supongamos ahora que n ∈ N es tal que
de manera que
De (1.50) y (1.51) se sigue que
Por (1.49) y (1.52) se tiene que
Se ha probado entonces que
(1.47)
⇐⇒
N − 1 = N1 ∈ N.
N > N − 1 ≥ 1.
(1.48)
N(N − 1) > N − 1 > K.
(1.49)
n > N,
(1.50)
n − 1 > N − 1.
(1.51)
n(n − 1) > N(N − 1).
(1.52)
n2 − n = n(n − 1) > N(N − 1) > K.
n>N
⇒
n2 − n = n(n − 1) > N(N − 1) > K.
Puesto que K fue elegido arbitrariamente y N dependı́a únicamente de K, se ha probado (1.46) y, por tanto, también (1.45).
Segunda forma (rápida - usando teoremas). Observamos que
donde
∀n ∈ N :
xn = yn · zn ,
yn = n,
zn = n − 1.
14
1 Sucesiones reales
Puesto que
lı́m yn = +∞
lı́m zn = +∞,
∧
n→∞
se sigue por la Proposición 1.6 que
n→∞
lı́m xn = +∞.
n→∞
1.5.
Monotonı́a
Se dice que una sucesión (xn )n∈N ⊆ R es
i) creciente si
ii) estictamente creciente si
iii) decreciente si
iv) estictamente decreciente si
xn ≤ xn+1 ,
∀n ∈ N;
(1.53)
xn < xn+1 ,
∀n ∈ N;
(1.54)
xn ≥ xn+1 ,
∀n ∈ N;
(1.55)
xn > xn+1 ,
∀n ∈ N.
(1.56)
Se dice que una sucesión (xn )n∈N ⊆ R es monótona si es creciente o decreciente.
Tenga presente que las sucesiones constantes son, a la vez, crecientes y decrecientes.
Teorema 1.4 [Convergencia y monotonı́a]
Sea (xn )n∈N ⊆ R monótona. Entonces (xn )n∈N ⊆ R es convergente ssi es acotada.
Demostración. En virtud de la Proposición 1.3 basta probar que el acotamiento de (xn )n∈N ⊆ R implica su
convergencia.
i) Supongamos que (xn )n∈N ⊆ R es creciente. Puesto que (xn )n∈N ⊆ R está acotada, existe un R > 0 tal que
−R < xn < R,
de manera que el conjunto
∀n ∈ N,
U = {xn / n ∈ N}
está acotado superiormente. Entonces, por el Axioma del Supremo,
sup(U) = L ∈ R.
(1.57)
Entonces, por la caracterización del supremo, se tiene que
∀ > 0, ∃N ∈ N :
L − < xN .
Ahora, puesto que (xn )n∈N ⊆ R es creciente y puesto que (1.57) implica que
xn ≤ L,
se sigue por (1.58) que
Por tanto
∀ > 0, ∃N ∈ N :
∀n ∈ N,
n > N ⇒ L − < xN ≤ xn ≤ L < L + .
(1.58)
1.5 Monotonı́a
15
∀ > 0, ∃N ∈ N :
n > N ⇒ |an − L| < ,
(1.59)
ası́ que (xn )n∈N ⊆ R es convergente.
ii) El caso en que (xn )n∈N ⊆ R es decreciente queda como ejercicio para el lector.
t
u
Ejemplo 1.11 Sea β > 0. Pobemos que
1
= 0,
n→∞ nβ
lı́m
(1.60)
al mostrar que la sucesión (xn )n∈N ⊆ R dada por
xn =
1
,
nβ
n ∈ N,
es acotada y monótona.
Tomamos n ∈ N, genérico. Se tiene que
0 < 1 ≤ n < n + 1,
de manera que
0<
1
1
< ≤ 1,
n+1 n
y, entonces:
β
1 β
1
<
≤1
n+1
n
1
1
0<
<
≤1
(n + 1)β nβ
0 < xn+1 < xn ≤ 1
0<
(1.61)
Puesto que n fue elegido arbitrariamente, (1.61) prueba que
∀n ∈ N :
xn+1 < xn ;
∀n ∈ N :
0 < xn ≤ 1,
de manera que (xn )n∈N ⊆ R es decreciente y acotada.
Observación 1.4 [Sı́mbolo producto]
Recuerde que dados n, k ∈ N ∪ {0} con k ≤ n se escribe
!
n
n!
.
=
k! · (n − k)!
k
(1.62)
Recuerde el sı́mbolo producto
n
Y
ak = a1 · a2 · ... · an .
(1.63)
k=1
Proposición 1.7 [El número e]
La sucesión (xn )n∈N ⊆ R definida mediante
1 n
xn = 1 +
,
n
(1.64)
e = 2.718281828459045...
(1.65)
es convergente y su lı́mite es el número
16
1 Sucesiones reales
Demostración (Esquema de la Demostración). Aplicamos el Teorema 1.4.
i) Por el Teorema del Binomio de Newton se tiene para n ∈ N:
1 n
xn = 1 +
n
!
n
X
n 1
=
k nk
k=0
n!
n!
n! 1
n! 1
1
1
+
+
+ ... +
(n − 1)! n (n − 2)! 2! n2 (n − 3)! 3! n3
0! n! nn
1
1
1
2
1
1
2
n−1
1
1− +
1−
1 − + ... +
1−
1 − · ... · 1 −
= 2+
2!
n
3!
n
n
n!
n
n
n
!
n
k−1
X
Y
j
1
= 2+
1− .
k!
n
= 1+
k=2
(1.66)
j=1
Aplicando (1.66) se tiene que
xn+1 = 2 +
n+1
k−1
X
1Y
k=2
= 2+
n
X
k=2
k!
1
k!
j=1
k−1
Y
j
1−
n+1
1−
j=1
!
!
j
1
+
.
n+1
(n + 1)n+1
(1.67)
Puesto que
1−
se sigue por (1.66) y (1.67) que
j
j
≤ 1−
,
n
n+1
∀n, j ∈ N,
xn ≤ xn+1 ,
∀n ∈ N,
2n−1 ≤ n!,
∀n ∈ N.
es decir que (xn )n∈N ⊆ R es creciente.
ii) Por
y (1.66) se tiene, para n ∈ N, que
xn = 2 +
n
k−1
X
1Y
k=2
≤ 2+
j=1
!
n
X
1
k=2
≤ 2+
k!
j
1−
n
k!
n−1
X
1
k=1
2k
(1/2)n − 1
−1
(1/2) − 1
n
1
= 3−2·
2
< 3,
= 2+
ası́ que (xn )n∈N ⊆ R está acotada.
t
u
1.6 Las funciones exponencial y logarı́tmica
1.6.
17
Las funciones exponencial y logarı́tmica
Se define la función exponencial, exp : R → R, mediante
y se denota
x n
exp(x) = lı́m 1 +
,
n→∞
n
(1.68)
exp(x) = ex ,
(1.69)
x ∈ R.
Observe que la función exponencial es estrictamente monótona (y por tanto inyectiva) y que
Adicionalmente se tiene que
Rg(exp) = (0, ∞).
(1.70)
lı́m exp(n) = lı́m en = ∞.
(1.71)
n→∞
Se tiene que
n→∞
exp(x + y) = exp(x) · exp(y),
∀x, y ∈ R.
(1.72)
Se define la función logarı́tmica, ln : (0, ∞) → R, como la función inversa de la función R 3 x 7→ exp(x) ∈ (0, ∞).
Por tanto, se tiene que
ln(exp(x)) = x,
exp(ln(x)) = x,
En virtud de (1.72) se tiene que
∀x ∈ R;
(1.73)
∀x ∈ (0, ∞).
(1.74)
ln(x · y) = ln(x) + ln(y),
∀x, y ∈ (0, ∞).
(1.75)
Sea a ∈ (0, ∞) \ {1}. Se define la función exponencial en base a, expa : R → R, mediante
y se denota
Figura 1.1 Forma de la
función expa , para a > 1.
expa (x) = ex ln(a)
(1.76)
expa (x) = ax .
(1.77)
18
1 Sucesiones reales
Figura 1.2 Forma de la
función expa , para 0 < a < 1.
Sea a ∈ (0, ∞) \ {1}, a , 1. Se define la función logarı́tmica en base a, loga : (0, ∞) → R, mediante
loga (x) =
Figura 1.3 Forma de la
función loga , para a > 1.
Figura 1.4 Forma de la
función loga , para 0 < a < 1.
ln(x)
.
ln(a)
(1.78)
1.7 Propiedades importantes
19
Proposición 1.8 [Propiedades de la función exponencial]
Sea a > 0. Se tiene que
ax+y = ax · a y ,
∀x, y ∈ R;
(1.79)
expa (x) = 1 ⇔ x = 0.
(1.80)
La demostración de la proposición anterior se requiere como ejercicio al final del capı́tulo.
Observación 1.5 Tenga presente que para a > 1, las funciones expa y loga son estrictamente crecientes; en tanto que
para 0 < a < 1, expa y loga son estrictamente decrecientes.
Proposición 1.9 [Propiedades de la función logarı́tmica (I)]
Sea a ∈ (0, ∞) \ {1}. Se tiene que
loga (x · y) = loga (x) + loga (y),
∀x, y ∈ (0, ∞);
(1.81)
loga (x ) = y · loga (x),
∀x > 0, ∀y ∈ R;
(1.82)
loga (x) = 0 ⇔ x = 1.
(1.83)
y
La demostración de la proposición anterior se requiere como ejercicio al final del capı́tulo.
El siguiente resultado permite resolver inecuaciones que involucran a la función logarı́tmica.
Proposición 1.10 [Propiedades de la función logarı́tmica (II)]
Si a > 1, se tiene que
loga (x) > 0 ⇔ x ∈ (1, ∞);
(1.84)
loga (x) < 0 ⇔ x ∈ (0, 1).
(1.85)
loga (x) > 0 ⇔ x ∈ (0, 1);
(1.86)
loga (x) < 0 ⇔ x ∈ (1, ∞).
(1.87)
Si 0 < a < 1, se tiene que
1.7.
Propiedades importantes
El siguiente resultado establece el comportamiento de una sucesión compuesta por un término que converge
y uno que diverge.
Proposición 1.11 Sean (xn )n∈N ⊆ R acotada y (yn )n∈N ⊆ R divergente. Se tiene que
i) (xn + yn )n∈N ⊆ R es divergente;
ii) si lı́m yn = +∞, entonces lı́m (xn + yn ) = +∞;
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
iii) si lı́m yn = −∞, entonces lı́m (xn + yn ) = −∞.
En la siguiente Proposición se establece como calcular el lı́mite de una sucesión cuyos elementos son los
inversos multiplicativos de otra sucesión.
20
1 Sucesiones reales
Proposición 1.12 [Inversión de un lı́mite]
Sea (xn )n∈N ⊆ R tal que
lı́m xn = L , 0.
n→∞
Entonces,
1
1
= .
n→∞ xn
L
lı́m
(1.88)
Demostración (Esquema de la demostración). i) Se prueba que
n > N∗ ⇒ |xn | >
∃N∗ ∈ N :
ii) Se tiene que
∀1 > 0, ∃N1 ∈ N :
|L|
.
2
(1.89)
n > N1 ⇒ |xn − L| < 1 .
iii) Sea > 0, cualquiera. Tomamos
1 =
|L|2
,
2
y N = máx{N∗ , N1 } de manera que
1 1
|xn − L|
− =
xn L
|L| · |xn |
21
< 2
|L|
= .
Puesto que fue elegido arbitrariamente, se ha probado (1.88).
t
u
El siguiente resultado complementa la Proposición 1.2; establece, a grosso modo, que el lı́mite de un producto
se puede calcular como el producto de los lı́mites (cuando estos existen).
Proposición 1.13 [Lı́mites de productos y cocientes]
Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R tales que
lı́m xn = α;
lı́m yn = β.
n→∞
n→∞
(1.90)
Entonces se tiene que
lı́m xn · yn = α · β;
n→∞
lı́m
xn
n→∞ yn
α
,
β
=
(1.91)
si β , 0.
(1.92)
Demostración. Basta probar (1.91).
i) Puesto que (xn )n∈N ⊆ R es convergente, es acotada, es decir, existe un M > 0 tal que
|xn | ≤ M,
∀n ∈ N.
ii) Por (1.90) se tiene que
∀1 > 0, ∃N1 ∈ N :
n > N1 ⇒ |xn − α| < 1 ;
∀1 > 0, ∃N2 ∈ N :
n > N2 ⇒ |yn − β| < 1 ;
(1.93)
1.7 Propiedades importantes
Por tanto,
21
∀1 > 0, ∃N = máx{N1 , N2 } ∈ N :
n>N ⇒
iii) Sea > 0, cualquiera. Tomamos
1 =
|xn − α| < 1 ∧ |yn − β| < 1 .
(1.94)
.
M + |β|
Entonces por (1.93) y (1.94) se tiene, para n > N, que
|xn yn − αβ| = |xn yn − xn β + xn β − αβ|
= |xn (yn − β) + β(xn − α)|
≤ |xn | · |yn − β| + |β| · |xn − α|
< M1 + |β|1
= .
Puesto que fue elegido arbitrariamente, se ha probado (1.91).
t
u
El siguiente resultado añade a las propiedades establecidas en las Proposiciones 1.2 y 1.13
Teorema 1.5 [Lı́mite de una potencia]
Sea β ∈ (0, ∞) \ {1}. Si lı́m xn = α, entonces
n→∞
lı́m βxn = βα .
n→∞
(1.95)
Demostración. Puesto que (xn )n∈N ⊆ R converge a α, se tiene que
∀1 > 0, ∃N1 ∈ N :
Caso β > 1.
n > N ⇒ α − 1 < xn < α + 1 ,
(1.96)
La función expβ es estrictamente creciente de manera que (1.96) implica que
n > N ⇒ βα−1 < βxn < βα+1 .
∀1 > 0, ∃N1 ∈ N :
(1.97)
Sea > 0, cualquiera. Tomamos 1 > 0 de manera que
β1 = 1 +
Se tiene que
βα−1 =
.
βα
βα
β2α
β2α − 2
>
= βα − .
=
βα + βα + 1 + βα
(1.98)
Asimismo se tiene que
βα+1 = βα 1 +
!
= βα + .
βα
(1.99)
Entonces por (1.97), (1.98)y (1.99) y por la arbitrariedad de , se tiene que
∀ > 0, ∃N1 ∈ N :
n > N1 ⇒ |βxn − βα | < ,
es decir que (1.95) se cumple.
Caso 0 < β < 1. La función expβ es estrictamente decreciente de manera que (1.96) implica que
∀1 > 0, ∃N1 ∈ N :
n > N ⇒ βα−1 > βxn > βα+1 .
Sea > 0, cualquiera. Tomamos 1 > 0 de manera que
(1.100)
22
1 Sucesiones reales
β1 =
Se tiene que
βα−1 =
Asimismo se tiene que
β
α+1
=β
α
βα
.
βα + βα
= βα + .
(1.101)
!
βα
β2α − 2
>
= βα − .
βα + βα + (1.102)
βα
βα +
Entonces por (1.100), (1.101)y (1.102) y por la arbitrariedad de , se tiene que
∀ > 0, ∃N1 ∈ N :
n > N1 ⇒ |βxn − βα | < ,
es decir que (1.95) se cumple.
t
u
1.8.
Equivalencia de sucesiones
Por Análisis del Comportamiento al Infinito de una sucesión entendemos que se busca establecer si dicha
sucesión es convergente (en cuyo caso en lo posible debe calcularse su lı́mite) o divergente (en cuyo caso
deberı́a establecerse si existe divergencia hacia +∞ o −∞).
Definición 1.5 [Equivalencia de sucesiones]
Se dice que dos sucesiones (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R son equivalentes si se cumple que
xn
= 1.
n→∞ yn
(1.103)
lı́m xn − yn = 0.
(1.104)
lı́m
o, equivalentemente,a
n→∞
a En tanto que a partir de un cierto N ∈ N, y , 0 cuando n > N.
n
Criterio de equivalencia de sucesiones.
Para el análisis del comportamiento al infinito de una sucesión (rn )n∈N ⊆ R en cuya fórmula aparece xn ,
se puede reemplazar xn por cualquier fórmula yn tal que (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R sean equivalentes.
Ejemplo 1.12 Sea α > 0. Consideramos la sucesión (rn )n∈N ⊆ R definida por la fórmula
√
√
rn = n + α − n, n ∈ N.
Se tiene que
lı́m
n→∞
√
n + α = +∞,
√
lı́m (− n) = −∞.
n→∞
Probemos que las sucesiones definidas por las fórmulas
√
xn = n + α,
son equivalentes. Para ello, probemos que
lı́m
n→∞
√
n+α−
yn =
√
n
√ n = 0.
Sea > 0. Por la Propiedad Arquimediana de los números reales, existe un N ∈ N tal que
(1.105)
1.9 Propiedades importantes (II)
23
42 N > 1.
Por tanto, si n > N, se tienen que
42 n > 42 N > 1.
(1.106)
Por (1.106) se tiene que
√
√
√
√
n+α− n = n+α− n
√
√ √
√ n+α− n
n+α+ n
=
√
√
n+α+ n
α
= √
√
n+α+ n
α
< √
2 n
< .
Puesto que fue elegido arbitrariamente, se sigue que
∀ > 0, ∃N ∈ N :
√
√
n > N ⇒ | n + α − n| < ,
de manera que se tiene (1.105) y, por tanto,
√
√
√ lı́m
n+α− n = 0
∧
lı́m
n→∞
n→∞
n+α
= 1.
√
n
Proposición 1.14 Sean α > 0 y β1 , ..., βk ∈ (−∞, α). Se tiene que
nα
= 1.
n→∞ nα + nβ1 + ... + nβk
lı́m
1.9.
(1.107)
Propiedades importantes (II)
Recuerde que la función real más importante es la función valor absoluto. El siguiente resultado establece,
a grosso modo, que el lı́mite de un valor absoluto es igual al valor absoluto del lı́mite.
Proposición 1.15 [Convergencia absoluta]
Si la sucesión (xn )n∈N ⊆ R es convergente, entonces (|xn |)n∈N también es convergente y se cumple que
lı́m |xn | = lı́m xn .
n→∞
n→∞
(1.108)
La demostración de la proposición anterior se requiere como ejercicio al final del capı́tulo.
Ejemplo 1.13 El recı́proco de la Proposición 1.15 no es verdadero. considere e.g. la sucesión definida por la fórmula
xn = (−1)n π,
n ∈ N.
Los siguientes dos resultados son importantes para estudiar el comportamiento de una sucesión al infinito.
Teorema 1.6 Sea (xn )n∈N ⊆ R una sucesión convergente. Entonces,
(∀n ∈ N : xn ≥ 0)
⇒
L = lı́m xn ≥ 0.
n→∞
(1.109)
24
1 Sucesiones reales
Demostración. Supongamos que L < 0. Se tiene que
∀, ∃N ∈ N :
n > N ⇒ − < xn − L < .
(1.110)
Ahora, tomando = −L en (1.110) se sigue, para n > N, que
xn − L < −L,
de manera que
xn < 0,
n > N.
∃n ∈ N :
xn < 0.
En particular,
t
u
Corolario 1.2 Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R convergentes. Entonces,
(∀n ∈ N : xn ≤ yn )
⇒
lı́m xn ≤ lı́m yn .
n→∞
n→∞
(1.111)
El siguiente resultado, conocido como el Teorema del Sánduche o de la Doble Desigualdad es sumamente
importante.
Teorema 1.7 [Teorema del Sánduche]
Sean (xn )n∈N ⊆ R, (yn )n∈N ⊆ R y (wn )n∈N ⊆ R tales que
xn ≤ wn ≤ yn ,
Se tiene que
lı́m xn = lı́m yn = L
n→∞
∀n ∈ N.
lı́m wn = L.
⇒
n→∞
(1.112)
n→∞
La demostración del Teorema del Sánduche es un excelente ejercicio que se requeire al final del capı́tulo. Como
consecuencia se tienen los siguientes corolarios que, por sı́ mismos, son muy útiles.
Corolario 1.3 Sea (xn )n∈N ⊆ R. Se tiene que
lı́m |xn | = 0
⇒
n→∞
lı́m xn = 0.
n→∞
(1.113)
Corolario 1.4 [Cociente con denominador grande]
Sea (xn )n∈N ⊆ R una sucesión acotada y sea (yn )n∈N ⊆ R tal que lı́m |yn | = ∞. Se tiene que
n→∞
xn
= 0.
n→∞ yn
(1.114)
lı́m
El siguiente corolario del Teorema del Sánduche nos dice que el “sánduce”, es decir la doble desigualdad,
puede fallar en una cantidad finita de elementos de las sucesiones involucradas.
Corolario 1.5 [Sánduche incompleto]
Sean (xn )n∈N ⊆ R, (yn )n∈N ⊆ R y (wn )n∈N ⊆ R tales que
∃N ∈ N, ∀n > N :
Se tiene que
lı́m xn = lı́m yn = L
n→∞
n→∞
xn ≤ wn ≤ yn .
⇒
lı́m wn = L.
n→∞
(1.115)
1.9 Propiedades importantes (II)
25
Ejemplo 1.14 Sea θ ∈ R. Probemos de dos maneras que
lı́m
n→∞
sen(nθ)
= 0.
n
(1.116)
Antes de esto, invitamos al lector a que intente por unos minutos demostrar el resultado usando la Definición 1.3.
encontrará que es extremadamente difı́cil.
Primera forma. Puesto que Rg(sen) = [−1, 1] se tiene que
∀n ∈ N :
−1 ≤ sen(nθ) ≤ 1,
1 sen(nθ) 1
≤ ,
− ≤
n
n
n
∀n ∈ N :
(1.117)
Puesto que
1
1
= lı́m − = 0,
n→∞ n
n→∞ n
(1.117) implica, por el Teorema del Sánduche, que
lı́m
lı́m
n→∞
sen(nθ)
= 0.
n
Segunda forma. Definimos las sucesiones (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R de manera que
xn = sen(nθ),
yn = n.
Puesto que Rg(sen) = [−1, 1], la sucesión (xn )n∈N ⊆ R es acotada. Por otro lado, se tiene que
lı́m n = ∞.
n→∞
Por el Corolario 1.4, se tiene entonces que
lı́m
n→∞
sen(nθ)
xn
= lı́m
= 0.
n→∞ yn
n
El siguiente resultado establece, a grosso modo, que el lı́mite de un logaritmo es el logaritmo del lı́mite de
una sucesión.
Teorema 1.8 [Lı́mite de la función logarı́tmica]
Sea (xn )n∈N ⊆ R tal que
xn > 0,
∀n ∈ N;
(1.118)
lı́m xn > 0.
(1.119)
n→∞
Entonces,
lı́m ln(xn ) = ln lı́m xn .
n→∞
n→∞
Para probar el Teorema 1.8 necesitamos el Teorema Fundamental.
Teorema 1.9 [Teorema Fundamental]
Sea c ∈ R y sea (xn )n∈N ⊆ R tal que lı́m xn = L. Se tiene que:
n→∞
i) si L > c, entonces
∃N ∈ N :
n ≥ N ⇒ xn > c.
∃N ∈ N :
n ≥ N ⇒ xn < c.
ii) si L < c, entonces
(1.120)
26
1 Sucesiones reales
Demostración (Demostración del Teorema 1.8). Sea > 0, cualquiera. Denotemos β = lı́m xn . Tenemos que
n→∞
xn
= 1.
n→∞ β
lı́m
Puesto que
0 < e− < 1
∧
(1.121)
e > 1
se sigue, por (1.121) y el Teorema Fundamental, que existe un N ∈ N tal que
n>N
⇒
e− <
xn
< e
β
y, puesto que la función ln es estrictamente creciente,
!
xn
< ,
− < ln
β
o, equivalentemente,
| ln(xn ) − ln(β)| < .
t
u
Corolario 1.6 Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R sucesiones convergentes tales que
lı́m xn = α > 0,
n→∞
Entonces,
lı́m yn = β ∈ R.
(1.122)
n→∞
y
lı́m x n = αβ .
n→∞ n
(1.123)
Ejemplo 1.15 [Lı́mite fundamental de sen]
Probemos que
lı́m n · sen
n→∞
1
= 1.
n
(1.124)
Recordemos que
sen(x)
1
<
.
x
cos(x)
(P4)
sen 1
1
1
n
.
0 < cos
<
<
1
n
cos 1
(1.125)
∀x ∈ (0, π/2) :
0 < cos(x) <
Por tanto, si tomamos x = 1/n en (P4) se tiene
∀n ∈ N :
n
n
Puesto que
1
lı́m cos
= 1,
n→∞
n
de (1.125) y del Teorema del Sánduche se sigue que
lı́m n · sen
n→∞
Ejemplo 1.16 [Lı́mite fundamental de ln]
El lı́mite
es consecuencia del lı́mite
que se presentó en la Proposición 1.7.
1
= 1.
n
1
lı́m n · ln 1 +
= 1,
n→∞
n
1 n
lı́m 1 +
= e,
n→∞
n
(1.126)
1.10 Subsucesiones
27
Ejemplo 1.17 [ Exponencial versus factorial]
Sea α > 0. Se tiene que
αn
= 0.
n→∞ n!
La demostración de este resultado se requiere de dos manera distintas al final del capı́tulo.
lı́m
(1.127)
Proposición 1.16 Sea (xn )n∈N ⊆ R. Se tiene que
0 < lı́m xn < 1
lı́m (xn )n = 0.
⇒
n→∞
n→∞
(1.128)
La demostración de la Proposición 1.16 se requiere como ejercicio al final del capı́tulo. Se puede realizar usando
el corolario del sánduche incompleto.
1.10.
Subsucesiones
Consideramos una sucesión (xn )n∈N ⊆ R. Se denomina subsucesión de (xn )n∈N ⊆ R a toda sucesión de la
forma
(xnm )m∈N ⊆ R,
(1.129)
donde la indexación
(nm )m∈N ⊆ N,
es estrictamente creciente.
Observación 1.6 Tenga presente que
nm ≤ m,
∀m ∈ N.
(1.130)
Toda sucesión es subsucesión de sı́ misma.
Ejemplo 1.18 Consideramos la sucesión real
(xn )n∈N =
1
1 1 1
= (x1 , x2 , x3 , x4 , ...) = 1, , , , ... .
n n∈N
2 3 4
La indexación definida por la fórmula
nm = 2m
define la siguiente subsucesión de (xn )n∈N ⊆ R:
(xnm )m∈R =
1
1 1 1
= (x2 , x4 , x6 , ...) = , , , ... .
2m m∈R
2 4 6
La indexación definida por la fórmula
nk = k2
define la siguiente subsucesión de (xn )n∈N ⊆ R:
(xnk )k∈R =
1
1 1 1
=
(x
,
x
,
x
,
x
,
...)
=
1,
,
,
,
...
.
9
1
4
16
4 9 16
k2 k∈R
Proposición 1.17 [Convergencia de subsucesiones]
Sea (xnm )m∈N ⊆ R una subsucesión de (xn )n∈N ⊆ R. Se tiene que
lı́m xn = L
n→∞
⇒
lı́m xnm = L.
m→∞
(1.131)
28
1 Sucesiones reales
Observación 1.7 [Criterio para establecer la divergencia de una sucesión]
La Proposición 1.17 establece que todas las subsucesiones de una sucesión convergente son convergentes y tienden
al mismo lı́mite. Por tanto, cada una de las siguientes condiciones son suficientes para establecer que una sucesión
(xn )n∈N ⊆ R es divergente.
1) Existe alguna subsucesión (xnm )m∈N ⊆ R divergente.
2) Existen dos subsucesiones (xnm )m∈N ⊆ R y (xnk )k∈N ⊆ R tales que
lı́m xnm , lı́m xnk .
m→∞
k→∞
Ejemplo 1.19 Consideramos la sucesión definida por la fórmula
n


sen π2 + nπ 

 .
xn = 1 +


n
La subsucesión definida por la indexación
nm = 2m,
verifica
m ∈ N,
lı́m xnm = e.
m→∞
La subsucesión definida por la indexación
nk = 2k + 1,
(1.132)
k ∈ N,
verifica
lı́m xnk = e−1 .
k→∞
(1.133)
Por (1.132) y (1.133) se sigue que (xn )n∈N ⊆ R es divergente.
Recordemos que una sucesión convergente es necesariamente acotada. Por otro lado, como ya hemos visto
en ejemplos, una sucesión acotada puede ser divergente. Sin emabrgo se tiene el siguiente resultado importante.
Teorema 1.10 [Teorema de Bolzano-Weierstrass]
Una sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
Para una demostración del Teorema de Bolzano-Weierstrass véase e.g. [2].
1.11.
Propiedades importantes (III)
Proposición 1.18 Sea r > 1. Se tiene que
lı́m rn = +∞.
n→∞
(1.134)
Demostración. Sea K > 0, cualquiera. Por la Propiedad Arquimediana de los números reales, existe un N ∈ N
tal que
N ≥ logr (K).
(1.135)
Por tanto, para n > N, se tiene por (1.135) que
rn > rN > K,
pues la función expr es estrictamente creciente. Entonces, puesto que K fue elegido arbitrariamente se tiene que
1.11 Propiedades importantes (III)
29
∀K > 0, ∃N ∈ N :
n > N ⇒ rn > K,
es decir que se tiene (1.18).
t
u
El siguiente resultado se deriva del Corolario 1.4.
Corolario 1.7 Sea (xn )n∈N ⊆ R. Se tiene que
lı́m |xn | = +∞
⇔
lı́m
1
n→∞ xn
n→∞
= 0.
(1.136)
Como consecuencia del Corolario 1.7 se tiene el siguiente resultado.
Corolario 1.8 Sea (xn )n∈N ⊆ R tal que lı́m xn = 0. Se tiene que
n→∞
i) si
∃N ∈ N, ∀n > N :
entonces
lı́m
1
n→∞ xn
ii) si
= +∞;
∃N ∈ N, ∀n > N :
entonces
lı́m
1
n→∞ xn
xn > 0,
xn < 0,
= −∞.
Proposición 1.19 Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R tales que
lı́m xn = +∞,
n→∞
∃N ∈ N, ∀n > N :
Entonces,
yn ≥ c > 0.
(1.137)
(1.138)
lı́m xn · yn = +∞.
n→∞
La demostración de la Proposición 1.19 se requiere como ejercicio al final del capı́tulo.
Teorema 1.11 [Lı́mite y equivalencia de un polinomio]
Sea m ∈ N y p ∈ Pm definido mediante
p(x) = am xm + am−1 xm−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 ,
con am , 0. Se tiene que



∞,
lı́m p(n) = 

n→∞
−∞,
Asimismo,
si am > 0,
si am < 0.
p(n)
= 1.
n→∞ am nm
lı́m
(1.139)
(1.140)
La demostración del Teorema 1.11 no es complicada y se requiere como ejercicio al final del capı́tulo.
30
1 Sucesiones reales
Proposición 1.20 Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R. Se tiene que
i) si lı́m xn = ∞ y
n→∞
∃N ∈ N, ∀n > N :
xn ≤ yn ,
∃N ∈ N, ∀n > N :
yn ≤ xn ,
entonces lı́m yn = +∞;
n→∞
ii) si lı́m xn = −∞ y
n→∞
entonces lı́m yn = −∞.
n→∞
Ejemplo 1.20 Sea α > 1. Probemos que
lı́m nα = +∞.
n→∞
Se tiene que
n1 < nα ,
∀n ∈ N :
lı́m n = ∞
n→∞
Por tanto, la Proposición 1.20 implica que
lı́m nα = +∞.
n→∞
Observación 1.8 Tenga presente que una sucesión creciente que no está acotada superiormente diverge a +∞. Análogamente, una sucesión decreciente que no está acotada inferiormente diverge a −∞.
El siguiente resultado es muy útil para calcular lı́mites de la forma 1∞ .
Teorema 1.12 [Indeterminación 1∞ ]
Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R tales que
lı́m yn = β , 0,
(1.141)
lı́m xn = +∞.
(1.142)
yn xn
lı́m 1 +
= eβ .
n→∞
xn
(1.143)
n→∞
n→∞
Entonces
Para una demostración de este Teorema vèase e.g. [4].
Ejemplo 1.21 [Construcción del número e]
Calculemos
√ !3n2 +n−1
n2 + 1 + n n
L = lı́m
.
n→∞
n2 + 1
Primero observemos que
√
n2 + 1 + n n
lı́m
= 1 ∧ lı́m 3n2 + n − 1 = ∞,
n→∞
n→∞
n2 + 1
por lo que tenemos una indeterminación de la forma 1∞ . Se tiene, para n ∈ N, que
1.12 Completitud de R
31
√ !3n2 +n−1
√ !3n2 +n−1
n2 + 1 + n n
n2 + 1 + n n
= 1−1+
n2 + 1
n2 + 1
!3n2 +n−1
√
n
n
= 1+ 2
n +1
3n2 +n−1

!n2 +1  n2 +1
√
n


n


=  1 + 2


n +1
(1.144)
Puesto que
lı́m
n→∞
√
n
n = 1,
se sigue por (1.144) que
lı́m n2 + 1 = ∞,
n→∞
3n2 + n − 1
= 3,
n→∞
n2 + 1
lı́m
√ !3n2 +n−1
n2 + 1 + n n
L = lı́m
= e3 .
n→∞
n2 + 1
Ejemplo 1.22 [Un lı́mite fundamental]
Sean a, b ∈ R+ \ {1}. Se tiene que que
h i
a
.
lı́m n · a1/n − b1/n = ln
n→∞
b
La demostración se requiere como ejercicio al final del capı́tulo.
1.12.
(1.145)
Completitud de R
En esta sección establecemos que toda sucesión que cumple el criterio de Cauchy es convergente; esta propiedad es referida como la completitud de R. Más adelante en sus estudios el estudiante tendrá la oportunidad
de encontrarse con otros conjuntos que son completos, e.g. C, R3 , Rn , etc.
Definición 1.6 [Sucesión de Cauchy]
Se dice que (xn )n∈N ⊆ R es de Cauchy si
∀ > 0, ∃N ∈ N :
n.m > N ⇒ |xn − xm | < .
(1.146)
Observe que en la definición anterior se compara la distancia entre elementos de la sucesión; por otro lado, en
la definición de convergencia se compara la distancia entre los elementos de la sucesión y un elemento externo,
su lı́mite. Por esta razón, el siguiente resultado establece un mecanismo para establecer la convergencia (o
divergencia) de una sucesión sin conocer a priori un candidato a ser su lı́mite.
Teorema 1.13 [Criterio de Cauchy]
Una sucesión (xn )n∈N ⊆ R es convergente ssi es de Cauchy.
Demostración. i) Supongamos que (xn )n∈N ⊆ R es convergente. Existe entonces L ∈ R tal que
∀1 > 0, ∃N ∈ N :
n > N ⇒ |xn − L| < 1 .
Sea > 0, cualquiera. Tomamos
1 =
en (1.147) de manera que si n, m > N se cumple que
2
(1.147)
32
1 Sucesiones reales
|xn − xm | = |xn − xm + L − L|
≤ |xn − L| + |xm − L|
< +
2 2
= .
Puesto que fue elegido arbitrariamente se ha probado que (xn )n∈N ⊆ R es de Cauchy.
ii) Supongamos ahora que (xn )n∈N ⊆ R es de Cauchy. Entonces
∀1 > 0, ∃N ∈ N :
m, n > N ⇒ |xn − xm | < 1 .
(1.148)
Tomando 1 = 1 y m = N + 1 en (1.148) se sigue que
|xn | − |xN+1 | ≤ |xn − xN+1 | < 1,
es decir,
|xn | ≤ 1 + |xN+1 |,
Ahora, tomando
∀n > N,
∀n > N.
(1.149)
R = máx{1 + |xN+1 |, |x1 |, |x2 |, ..., |xN |}
se tiene por (1.149) que
|xn | ≤ R,
∀n ∈ N,
es decir que (xn )n∈N ⊆ R es acotada. Por el Teorema de bolzano-Weierstrass existe entonces una subsucesión
(xnm )m∈N que converge a algún L ∈ R, es decir que
∀2 > 0, ∃N ∈ N :
m > N ⇒ |xnm − L| < 2 .
(1.150)
Sea > 0, cualquiera. Tomando 1 = 2 en (1.148) y 2 = 2 en (1.150) se sigue, para n, m > N, que
|xn − L| = |xn − L + xnm − xnm |
≤ |xn − xnm | + |xnm − L|
< +
2 2
= .
Puesto que fue elegido arbitrariamente, se ha probado que
lı́m xn = L.
n→∞
t
u
1.13.
Criterio del cociente
Tenga presente que en el siguiente resultado no se establece nada respecto al caso L = 1.
Teorema 1.14 [Criterio de Cociente (I)]
Sea (xn )n∈N ⊆ R tal que
lı́m
n→∞
Entonces
xn+1
= L < 1.
xn
lı́m xn = 0.
n→∞
Demostración. Se tiene que
1.14 Otros criterios para convergencia y divergencia
33
∀ > 0, ∃N ∈ N :
n > N ⇒ L− <
xn+1
< L + .
xn
(1.151)
Ahora, puesto que 0 < L < 1, tomamos r ∈ (L, 1) y = r − L > 0. Entonces por (1.151) se tiene que
xn+1
< r,
xn
∀n > N.
(1.152)
Pero entonces se tiene, para m ∈ N, que
0≤
xn+m
< rm ,
xn
∀n > N.
(1.153)
Puesto que lı́m rm = 0, se tiene que
m→∞
lı́m xn+m = 0.
m→∞
t
u
Teorema 1.15 [Criterio de Cociente (II)]
Sea (xn )n∈N ⊆ R tal que
lı́m
n→∞
y
xn+1
= L > 1,
xn
∃N ∈ N, ∀n > N :
Entonces
xn > 0.
lı́m xn = +∞.
n→∞
Ejemplo 1.23 Analicemos el comportamiento al infinito de la sucesión definida por la fórmula
xn =
2n
.
n!
Tomamos un n ∈ N, genérico. Se tiene que
2n+1
xn+1
2
xn+1
(n+1)!
lı́m
=0<1
= lı́m 2n =
= lı́m
n→∞ xn
n→∞
n→∞ xn
n
+
1
n!
Por tanto, por el Criterio del Cociente, se concluye que
2n
= 0.
n→∞ n!
lı́m xn = lı́m
n→∞
1.14.
Otros criterios para convergencia y divergencia
En esta sección se presentan algunos criterios adicionales para convergencia o divergencia de sucesiones
reales.
Proposición 1.21 [Media aritmética]
Se tiene
lı́m xn = L
n→∞
n
⇒
1X
xn = L.
n→∞ n
lı́m
k=1
(1.154)
34
1 Sucesiones reales
Teorema 1.16 [Media geométrica]
Sea (xn )n∈N ⊆ R+ . Entonces,
lı́m xn = L
v
t n
Y
lı́m n
⇒
n→∞
n→∞
xk = L.
(1.155)
k=1
Como una consecuencia del Teorema 1.16 se tiene el siguiente resultado.
Corolario 1.9 [Criterio de D’Alambert]
Sea (xn )n∈N ⊆ R+ . Entonces,
xn+1
=L
lı́m
n→∞ xn
√
lı́m n xn = L.
⇒
n→∞
(1.156)
Proposición 1.22 Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R tales que
lı́m Xn = α,
lı́m Yn = β,
n→∞
donde
Xn =
n
X
n→∞
xn ,
Yn =
k=1
Suponga que existe un K > 0 tal que
n
X
n
X
(1.157)
yn
k=1
|yn | < K,
∀n ∈ N.
k=1
Entonces se tiene que
lı́m
n→∞
n
X
Xk · yn−k+1 = αβ.
(1.158)
k=1
Teorema 1.17 Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R+ tales que
lı́m
n→∞
lı́m xn = α,
(1.159)
yk = +∞.
(1.160)
n→∞
n
X
k=1
Entonces,
n
X
lı́m
n→∞
xk yk
k=1
n
X
= α.
yk
k=1
Como consecuencia del Teorema 1.17 se tiene el siguiente resultado.
(1.161)
1.15 Relaciones recurrentes
35
Corolario 1.10 [Criterio de Stolz]
Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R+ tales que
xn
= α,
(1.162)
yk = +∞.
(1.163)
lı́m
n→∞ yn
lı́m
n→∞
Entonces,
n
X
k=1
n
X
k=1
lı́m n
n→∞ X
xk
= α.
(1.164)
yk
k=1
1.15.
Relaciones recurrentes
Dada una sucesión (xn )n∈N ⊆ R se dice que tiene una forma recurrente de orden k ∈ N si existe una función
f : Rk → R tal que
xn = f (xn−1 , xn−2 , ..., xn−k ),
n > k.
(1.165)
Ejemplo 1.24 La sucesión de Fibonacci se expresa en forma recurrente de orden 2:


F1 = 0,




F = 1,


 2

Fn = Fn−1 + Fn−2 , n > 2.
Ejemplo 1.25 [Progresión geométrica]
Sean c, r ∈ R. La progresión geométrica
(xn )n∈N = (c rn−1 )n∈N
se puede escribir con una forma recurrente de orden 1:



x1 = c,


xn = rxn−1 , n > 1.
36
1.16.
1 Sucesiones reales
Problemas
1.1. (*) Pruebe que una sucesión (xn )n∈N ⊆ R está acotada ssi existen x∗ ∈ R y r > 0 tales que
xn ∈ B(x∗ , r),
1.2. Sea β ∈ (−1, 1). Pruebe que
∀n ∈ N.
lı́m βn = 0.
n→∞
(1.166)
(1.167)
1.3. Sea β > 0. Usando la definición pruebe que
lı́m nβ = +∞.
n→∞
1.4. Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R tales que
lı́m xn = +∞,
n→∞
∃N ∈ N, ∀n > N :
Pruebe que
yn ≥ c > 0.
(1.168)
(1.169)
lı́m xn · yn = +∞.
n→∞
1.5. Usando la definición de lı́mite pruebe que
5
= 0,
(1.170)
= 1,
n2
15n
15
lı́m
= .
n→∞ 2n + 3
2
(1.171)
lı́m
lı́m
n→∞ n
n2 + 1
n→∞
(1.172)
1.6. Usando la definición de lı́mite pruebe que
1 − 2n
= −2,
!
lı́m
−
= 2.
n→∞ n − 1
n+1
lı́m
n→∞ n + 3
n2
n2
(1.173)
(1.174)
1.7. (*) Usando la definición de lı́mite pruebe que
lı́m βn · n = 0,
n→∞
si β ∈ (−1, 1).
(1.175)
1.8. Usando la definición de lı́mite pruebe que
lı́m a1/n = 1, a > 0,
lı́m ln 1 + a1/n = ln(2).
n→∞
n→∞
Sugerencia. Puede ser útil considerar primero a = e.
1.9. (*) Sea c ∈ R. Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R tales que
lı́m xn = α
n→∞
∧
lı́m yn = β.
n→∞
(1.176)
(1.177)
1.16 Problemas
37
Pruebe que
lı́m (cxn + yn ) = cα + β.
(1.178)
n→∞
1.10. Sea (xn )n∈N ⊆ R tal que lı́m xn = +∞. Pruebe que
n→∞
α>0
⇒
α<0
⇒
lı́m (αxn ) = +∞;
(1.179)
lı́m (αxn ) = −∞.
(1.180)
n→∞
n→∞
1.11. ¿Qué problema puede presentarse si en las hipótesis del Teorema 1.5 no se asume que β , 1?
1.12. Sea (xn )n∈N ⊆ R tal que lı́m xn = L. Pruebe que lı́m x2n = L2 .
n→∞
n→∞
1.13. Analice el comportamiento al infinito de la sucesión (xn )n∈N ⊆ R.
6n + 2
;
7n − 3
(−2)n + 3n
xn =
;
(−2)n+1 + 3n+1
n−1
X
i
;
xn =
n2
i=1
xn =
n−1 2
X
i
xn =
n3
i=1
(1.181)
(1.182)
(1.183)
.
(1.184)
1.14. Sea (xn )n∈N ⊆ R una sucesion convergente, entonces se cumple la propiedad telescópica:
lı́m
n
X
n→∞
(xi − xi+1 ) = x1 − lı́m xn .
n→∞
i=1
Use la propiedad telescópica para calcular los siguientes lı́mites
n
X
L1 = lı́m
n→∞
L2 = lı́m
1
,
(2i − 1)(2i + 1)
i=1
n
X
(−1)i−1 (2i + 1)
n→∞
i(i + 1)
i=1
.
1.15. Verifique si los siguientes lı́mites son correctos.
lı́m
n→∞
lı́m
n→∞
n
X
i=0
ri =
1
,
1−r
lı́m
n→∞
lı́m
n→∞
1.16. Verifique si los siguientes lı́mites son correctos.
n
X
1
i=1
2i
si |r| < 1;
n
X
i
i=1
n2
n
X
i(i + 1)
i=1
= 1;
n3
1
= ;
2
1
= .
3
(1.185)
38
1 Sucesiones reales
lı́m
n→∞
n
X
(2i − 1)3i
lı́m
n
X
3i − 2
n→∞
lı́m
n
X
n→∞
i=1
lı́m
n→∞
= 3;
n · 3n
i=1
3
= ;
2
n2
i=1
1
1
= ;
i(i + 1)(i + 2) 4
n
X
(−1)i · i2
1
= .
2
n2
i=1
1.17. Verifique si los siguientes lı́mites son correctos.
lı́m
n
X
3i
n→∞
n
X
lı́m
n→∞
i=1
i=1
1
1
= ,
(a + i − 1)(a + i) a
3n
1
= ;
2
si a , 0;
n nY
1
1
1− = ;
n→∞ 2
i
2
lı́m
i=2
n Y
1
1
1− 2 = .
n→∞
2
i
i=2
lı́m
1.18. Analizar el comportamiento al infinito de las sucesión (xn )n∈N ⊆ R.
!n
n3 − 2n2 + 1
;
xn = 3
n + 8n2 + n + 3
! n2
n3 − 2n2 + 1
xn = 3
;
n + 8n2 + n + 3
!n
n3 − 2n2 + 1
;
xn = 3
n − 2n2 + n + 3
√
√
2n2 + 5n + 1 − n2 + 1
xn =
.
n
1.19. (**) Calcule
1 1/n
L = lı́m 1 −
n→∞
n
Idea. Tenga presente que
n−1 n
=
n
1
1 n−1
1 + n−1
1
1 + n−1
.
1.20. (*) Sean x0 , y0 ∈ R tales que y0 > x0 > 0. Para cada n ∈ N se define
yn =
xn−1 + yn−1
,
2
i) Pruebe que
∀n ∈ N :
xn =
√
xn−1 · yn−1 .
yn ≥ xn .
ii) Pruebe que (yn )n∈N es decreciente y que (xn )n∈N es creciente.
iii) Pruebe que (yn )n∈N y (xn )n∈N son sucesiones de Cauchy.
1.16 Problemas
39
iv) Pruebe que
lı́m (yn − xn ) = 0.
n→∞
x n
existe.
1.21. Pruebe que el lı́mite lı́m 1 +
n→∞
n
Idea. Para x , 0, considere el cambio de variable m = n/x.
1.22. Sea a > 0. Pruebe que
ax+y = ax · a y ,
∀x, y ∈ R;
(1.186)
expa (x) = 1 ⇔ x = 0.
(1.187)
1.23. Sea a ∈ (0, ∞) \ {1}. Pruebe que
loga (x · y) = loga (x) + loga (y),
∀x, y ∈ (0, ∞);
(1.188)
loga (x ) = y · loga (x),
∀x > 0, ∀y ∈ R;
(1.189)
loga (x) = 0 ⇔ x = 1.
(1.190)
y
1.24. Halle el dominio de definición de la fórmula f (x).
2+x
f (x) = ln
;
2−x
f (x) = ln x4 + 5 x3 − 13 x2 − 53 x + 60 ;
f (x) = ln x2 − 1 .
1.25. Considere la función definida por la fórmula
1+x
.
1−x
f (x) = 0,
x ∈ R.
f (x) =
1) Halle el dominio de definición de f (x).
2) Resuelva la ecuación
3) Halle el conjunto
x+ y
I = (x, y)R : f (x) + f (y) = f
1 + xy
(
!)
2
.
1.26. Las funciones seno hiperbólico, denotada sinh, y coseno hiperbólico, denotada cosh, se definen mediante
1
sinh(x) = (ex − e−x ),
2
1
cosh(x) = (ex + e−x ).
2
1) Halle Dom(sinh) y Dom(cosh).
2) Resuelva la ecuación
3) Resuelva la ecuación
sinh(x) = 0,
x ∈ R.
cosh(x) = 0,
x ∈ R.
(1.191)
(1.192)
4) Pruebe que
cosh2 (x) − senh2 (x) = 1,
∀x ∈ R.
(1.193)
40
1 Sucesiones reales
5) Pruebe que
senh(x) · cosh(x) =
1
senh(2x),
2
∀x ∈ R.
(1.194)
1.27. Considere la función definida por la fórmula f (x) = ln(ln(x)).
1) Halle Dom( f ).
2) Resuelva la ecuación
f (x) = 0,
3) Resuelva la inecuación
x ∈ R.
f (x − a) > 0,
donde a ∈ R.
Solución: CS =]a + e, ∞[.
1.28. Considere la función definida por la fórmula f (x) = ln(5x − 3) · ln(2x + 3).
1) Halle Dom( f ).
2) Resuelva la ecuación
f (x) = 0,
3) Resuelva la inecuación
x ∈ R.
f (x) > 0.
Solución: CS =]4/5, ∞[.
1.29. (*) Sean (xn )n∈N ⊆ R acotada y (yn )n∈N ⊆ R divergente. Pruebe que
i) (xn + yn )n∈N ⊆ R es divergente;
ii) si lı́m yn = +∞, entonces lı́m (xn + yn ) = +∞;
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
iii) si lı́m yn = −∞, entonces lı́m (xn + yn ) = −∞.
1.30. Sea β ∈ (0, ∞) \ {1}. Pruebe que
lı́m xn > 0
⇒
n→∞
lı́m logβ (xn ) = logβ lı́m xn .
n→∞
n→∞
Idea. Considere los casos 0 < β < 1 y β > 1.
1.31. Sea α > 0. Pruebe que
lı́m
n→∞
√
n
α = 1.
(1.195)
Idea. Considere los casos α ∈ (0, 1), α = 1 y α ∈ (1, ∞).
1.32. Suponga que la sucesión (xn )n∈N ⊆ R es convergente. Pruebe que (|xn |)n∈N también es convergente y que
lı́m |xn | = lı́m xn .
n→∞
n→∞
(1.196)
1.33. (**) Sean (xn )n∈N ⊆ R, (yn )n∈N ⊆ R y (wn )n∈N ⊆ R tales que
xn ≤ wn ≤ yn ,
Pruebe que
lı́m xn = lı́m yn = L
n→∞
n→∞
∀n ∈ N.
⇒
lı́m wn = L.
n→∞
(1.197)
1.16 Problemas
41
1.34. Sea α > 0. Considere la sucesión definida por la sucesión definida por xn =
αn
.
n!
1) Pruebe que (xn )n∈N ⊆ R es acotada inferiormente.
2) Pruebe que (xn )n∈N ⊆ R es decreciente.
3) Concluya que
αn
= 0.
n→∞ n!
lı́m
1.35. Sea α > 0. Considere la sucesión definida por la sucesión definida por xn =
(1.198)
αn
.
n!
1) Para n, N ∈ N, con n > N, encuentre la descomposición xn = xN · g(n, N).
2) Aplique el Teorema del Sánduche para demostrar que
lı́m
αn
= 0.
n→∞ n!
(1.199)
lı́m n1/n = 1;
(1.200)
ln(n)
= 0.
n
(1.201)
1.36. Pruebe los siguientes lı́mites
n→∞
lı́m
n→∞
Idea. a) Para probar (1.201), use (1.200). b) Para probar (1.200) aplique el Teorema del Binomio de Newton a
(1 + xn )n , donde xn = n1/n − 1. Luego aplique el Teorema del Sánduche para probar que lı́m bn = 0.
n→∞
1.37. (*) Sea (xn )n∈N ⊆ R. Pruebe que que
0 < lı́m xn < 1
⇒
n→∞
lı́m (xn )n = 0.
n→∞
(1.202)
1.38. Sea m ∈ N y p ∈ Pm definido mediante
p(x) = am xm + am−1 xm−1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 ,
con am , 0. Pruebe que



∞,
lı́m p(n) = 

n→∞
−∞,
si am > 0,
si am < 0,
(1.203)
= 1.
(1.204)
y que
lı́m
p(n)
n→∞ am nm
1.39. Calcule el lı́mite de la sucesión (xn )n∈N ⊆ R:
2n + 1 n
;
3n + 5
r
 3n+5

 4−5n
1
−
n

xn = 
;
1 − 2n 
50n + 1 n
xn =
;
n2 + 1
(2n + 1)3 − (2n − 1)3
xn =
;
3n2 + 1
√ 3
−n3 + n + 2n
xn =
.
n2 − 2n5/2
xn =
42
1 Sucesiones reales
1.40. Verifique si el lı́mite es correcto.
ln(1 + ean ) a
= , a, b > 0;
n→∞ ln(1 + ebn )
b
√
lı́m log2 n − n2 − n = −1;
lı́m
n→∞
n + cos(nπ/3) 1
= ;
n→∞
2n + 3
2
√
√
3
n2 − 3n − n2 − 1 = − ;
lı́m
n→∞
2
h
i
2
1/2
lı́m (n − 2n) − n = −1;
n→∞
√
√
3
3
n + 1 − n = 0;
lı́m
n→∞
h
i
2
lı́m (n3 − 2n2 )1/3 − n = − ;
n→∞
3
(−4)n − (−3)n
1
=− .
lı́m
n→∞ (−4)n+1 + 3n+1
4
lı́m
1.41. (*) Sean a, b ∈ R+ \ {1}. Pruebe que
h i
a
.
lı́m n · a1/n − b1/n = ln
n→∞
b
(1.205)
1.42. Pruebe que la sucesión definida por
xn =
nn
,
en n!
n ∈ N,
es convergente.
Idea. Pruebe que (xn )n∈N ⊆ R es decreciente y acotada inferiormente.
1.43. Sean (xn )n∈N ⊆ R y (yn )n∈N ⊆ R sucesiones convergentes tales que
lı́m xn = α > 0,
n→∞
Se tiene que
lı́m yn = β ∈ R.
n→∞
y
lı́m x n = αβ .
n→∞ n
Justifique los pasos siguientes que prueban 1.207:
y
lı́m x n = lı́m e yn ·ln(xn )
n→∞ n
n→∞
lı́m(yn ·ln(xn ))
=e
= elı́m yn ·lı́m ln(xn )
= eβ·ln(α)
= αβ .
1.44. Calcule el lı́mite de la sucesión (xn )n∈N ⊆ R:
(1.206)
(1.207)
1.16 Problemas
43
!n
n2 + 1
;
n2
3n2 +5
4n − 1 4−5n
xn =
;
4n
n
1 2
xn = 1 + − 2 ;
n n
(n + 5)n − (n + 3)n
;
xn =
(n + 4)n − (n + 2)n
(n3 − 2n2 − n + 2)n
xn =
.
n3n
xn =
1.45. Sea 0 < r < 1. Pruebe que la sucesión definida por la fórmula
n
π
xn = r + sen
+ nπ
2
es divergente.
1.46. Estudie el comportamiento al infinito de la sucesión (xn )n∈N ⊆ R. Si (xn )n∈N ⊆ R es divergente pero acotada,
extraiga una subsucesión convergente.
xn = (−1)n π;
(−1)n
;
xn =
n
n
3 − 2n
.
xn =
2n
1.47. Estudie el comportamiento al infinito de la sucesión (xn )n∈N ⊆ R. Si (xn )n∈N ⊆ R es divergente pero acotada,
extraiga una subsucesión convergente.
nπ
n
xn = 1 +
;
cos
n+1
2
n
1−n
xn =
;
n
(−n2 + 4n − 3)n
xn =
.
n2n
1.48. Estudie el comportamiento al infinito de la sucesión (xn )n∈N ⊆ R. Si (xn )n∈N ⊆ R es divergente pero acotada,
extraiga una subsucesión convergente.
1−n
n
nπ
+
cos
;
n
n−3
2
2 − 5n 5n + 7
nπ
xn =
− 2
sen
;
n
2
n +1
!n2 +n+1
5 − n2
xn =
.
n2
xn =
1.49. Estudie el comportamiento al infinito de la sucesión (xn )n∈N ⊆ R. Si (xn )n∈N ⊆ R es divergente pero acotada,
extraiga una subsucesión convergente.
xn =
n
en · (n2 + 1)
;
xn = n · rn , |r| < 1;
!
βn
αn
xn = n+1
+
, |α| < |β|.
α + βn+1 αn+1 + βn+1
44
1 Sucesiones reales
1.50. Estudie el comportamiento al infinito de la sucesión (xn )n∈N ⊆ R. Si (xn )n∈N ⊆ R es divergente pero acotada,
extraiga una subsucesión convergente.
(n!)2
;
(2n)!
3n
;
xn =
5 + 3n
xn =
xn =
nn
,
an · n!
a ∈ R \ {0}, |a| , e;
n
Y
xn =
(2k − 1)
k=1
n! · 2n
.
1.51. Estudie el comportamiento al infinito de la sucesión (xn )n∈N ⊆ R. Si (xn )n∈N ⊆ R es divergente pero acotada,
extraiga una subsucesión convergente.
√
n
n;
√
n
xn = n!.
xn =
1.52. Encuentre la forma recurrente de la sucesión dada por la fórmula
xn = n2 ,
n ∈ N.
1.53. Verifique si lı́mn→∞ xn = L.

xn +xn−1


, n > 1,
2x2 + x1
xn+1 =
2
;
L=


x1 , x2 ∈ R,
3

√


xn = √ 6 + xn−1 , n > 1,
L = 3;


x1 = 6 ∈ R,

√


xn = 2 + xn−1 , n > 1,
L = 2;


x1 > 0 ∈ R,
1.54. Pruebe que (xn )n∈N ⊆ R es convergente y trate de calcular su lı́mite.
q

√


xn = 1 + xn−1 , n > 1,


x = 1 ∈ R.
1

3(1+xn−1 )


xn = 3+xn−1 , n > 1,


x1 = 3 ∈ R.

√


xn = 1 − 1 − xn−1 , n > 1,


0 < x1 < 1.

√


xn = c + xn−1 , n > 1, c ≥ 0,
√


x1 = c.
1.55. Sean α > 0 y x1 >
√
α. Pruebe que lı́m xn =
n→∞
xn =
√
α donde
1
α
xn−1 +
,
2
xn−1
1.56. Calcule el lı́mite de la sucesión (xn )n∈N ⊆ R tal que
n > 1.
(1.208)
1.16 Problemas
45
√
x1 = 2,
q
√
x2 = 2 2,
r q
√
2
2 2,
x3 =
s r
x4 =
2
q
2
√
2 2, ...
1.57. Calcule los siguientes lı́mites
1 1 1
1
+ + + ... + n ;
n→∞ 2
4 8
2
!
n−1
(−1)
1 1 1
lı́m 1 − + −
+ ... + n−1 ;
n→∞
3 9 27
3
n sen(n!)
.
lı́m
n→∞ n2 + 1
lı́m
(1.209)
(1.210)
(1.211)
1.58. Consideramos la sucesión (xn )n∈N ⊆ R, definida mediante



x1 = x2 = 1,


xn = 3(xn−1 + xn−2 ) + 1, n ≥ 3.
Pruebe que para cada n ∈ N,
1) x3n+2 − 1 es divisible por 2;
2) 3x3n+1 + 5 es divisible por 8;
3) x3n + x3n+1 es divisible por 32.
1.59. Pruebe que la sucesión (xn )n∈N ⊆ R es de Cauchy.
1
;
n2 + 1
si 0 < r < 1.
xn =
xn = rn ,
1.60. (**) Sea (xn )n∈N ⊆ R+ . Pruebe que
lı́m
n→∞
xn+1
=L
xn
⇒
√
lı́m n xn = L.
n→∞
Idea. Considere la sucesión definida mediante



si n = 1,
a1 ,
bn = 

 aan , si n ≥ 2.
n−1
(1.212)
Capı́tulo 2
Lı́mites y continuidad
“ En tanto que las leyes de las matemáticas se refieren a la
realidad, son falsas; y, en tanto que sean ciertas, no se refieren a
la realidad ”
Albert Einstein
2.1.
Introducción
Recomendamos como apoyo adicional los textos clásicos [1] y [3].
Usamos una serie de ejemplos para pasar revista a los casos de lı́mites que se pueden presentar.
Los ejemplos 2.1 y 2.2 corresponden a lı́mites finitos, esto es existe convergencia.
En los ejemplos 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 y 2.7 no hay convergencia, es decir hay divergencia.
Los ejemplos 2.3 y 2.4 corresponden a una divergencia hacia ∞ ó −∞, estos casos suelen referirse como
lı́mites infinitos.
Finalmente en los Ejemplos 2.5, 2.6 y 2.7 la función respectiva diverge (no tiene lı́mite donde se analiza)
pero no se presentan lı́mites infinitos.
Ejemplo 2.1 Consideremos la función f : R −→ R definida mediante
f (x) = 1 + x.
Queremos analizar el comportamiento de f (x) cuando x se acerca a x∗ = 0, es decir, queremos ver si de alguna manera
tiene sentido escribir
lı́m f (x) = L,
(2.1)
x−→x∗
para algún número real L. ¿Será posible hacer un análisis como el que hicimos sobre la sucesión definida por la fórmula
yn = 1 + 1/n?
Para empezar, si reemplazamos la variable independiente x por el camino (x̂n )n∈N =
1
n n∈N ⊆ R, tenemos que
lı́m x̂n = x∗ = 0
n−→∞
y se puede observar el siguiente comportamiento de f (x) cuando x se acerca a x∗ = 0 siguiendo el camino x̂n :
n
1 2 4 10 100 1000 1’00000
1 × 1020 · · ·
x = x̂n 1 0.5 0.25 0.1 0.01 0.001 0.000001 1 × 10−20 · · ·
f (x) 2 1.5 1.25 1.1 1.01 1.001 1.000001 1 + 1 × 10−20 · · ·
| f (x) − 1| 1 0.5 0.25 0.1 0.01 0.001 0.000001 1 × 10−20 · · ·
Al ver esta tabla nos sentimos tentados a afirmar la veracidad de la fórmula (2.1) con L = 1. Sin embargo, esto es prematuro
pues, en tanto que x̃n es un camino que tiende a x∞ = 0; y lo que buscamos es el comportamiento de f (x) cuando x se
acerca a x∞ = 0 siguiendo cualquier camino.
Indaguemos entonces un poco más. Analicemos el comportamiento de f (x) cuando x se acerca a x∞ = 0 siguiendo el
camino (x̃n )n∈N = (sin(1/n))n∈N ⊆ R, que claramente cumple
47
48
2 Lı́mites y continuidad
lı́m x̃n = x∗ = 0.
n−→∞
Aquı́ se tiene:
n
1
2
4
10
100 1’00000
1 × 1020 · · ·
x = x̃n
1
0.5
0.25
0.1 0.01 0.000001 1 × 10−20 · · ·
f (x) 1.8415 1.4794 1.2474 1.0998 1.001 1.000001 1 + 1 × 10−20 · · ·
| f (x) − 1| 0.8415 0.4794 0.2474 0.0998 0.001 0.000001 1 × 10−20 · · ·
Viendo esta tabla reforzamos nuestra intuición de que (2.1) es válido, es decir conforme a la información disponible
parecerı́a que
lı́m f (x) = 1,
x−→0
¡pero sigue sin ser suficiente! Recordemos que lo que necesitamos es que a través de todo camino (xn )n∈N tal que a
lı́mn−→∞ xn = x∗ = 0 se cumpla que
lı́m f (xn ) = L = 1.
n−→∞
Vamos más allá y veamos si el gráfico de la función f refuerza esta intuición:
Figura 2.1 La función dada
por f (x) = 1 + x tiene lı́mite
finito cuando x → 0.
En el gráfico anterior observamos que cuando x se va acercando a x∗ = 0 desde la izquierda el valor de f (x) se acerca a
L = 1. Esto se denota mediante
lı́m− f (x) = lı́m f (x) = 1.
x−→0
x↑0
Asimismo cuando x se va acercando a x∞ = 0 desde la derecha el valor de f (x) se acerca a L = 1. Esto se denota mediante
lı́m f (x) = lı́m f (x) = 1.
x−→0+
x↓0
Para estas instancias nuestra confianza en la validez de (2.1) es alta. Sin embargo, no hemos probado la validez de (2.1)
pues para ello se necesita definir matemáticamente qué es un lı́mite. Esto será abordado en la siguiente sección.
Ejemplo 2.2 Aprovechemos los caminos (x̂n )n∈N ⊆ R y (x̃n )n∈N ⊆ R usados en el Ejemplo 2.1 para estudiar el comportamiento de la función definida por la fórmula
g(x) = (1 + x)1/x ,
(2.2)
cuando x tiende a x∗ = 0. Para empezar, obsérvese que
Dom(g) = R \ {0},
2.1 Introducción
49
es decir, no es necesario que la función g esté definida en x∗ = 0, pero necesitamos que sı́ lo esté en torno a x∗ . Llamamos la
atención sobre la similitud de la fórmula (2.2) con la fórmula
1 n
lı́m 1 +
= e.
n→∞
n
Sospechamos entonces que
lı́m g(x) = e ≈ 2.718281828
x−→0
(2.3)
Para el camino (x̂n )n∈N ⊆ R la tabla de valores es
x = x̂n
f (x)
| f (x) − e|
aprox.
aprox.
aprox.
1
1.0000000 2.000000000 0.7182818285
2
0.5000000 2.250000000 0.4682818285
3
0.3333333 2.370370370 0.3479114581
4
0.2500000 2.441406250 0.2768755785
5
0.2000000 2.488320000 0.2299618285
10
0.1000000 2.593742460 0.1245393684
50
0.0200000 2.691588029 0.0266937994
100 0.0100000 2.704813829 0.0134679990
1000 0.0010000 2.716923932 0.0013578962
1000000 0.0000010 2.718280469 1.35913966 × 10−6
1 × 1012 1 × 10−12 2.718281828
1.35 × 10−12
..
..
..
..
.
.
.
.
n
Para el camino (x̃n )n∈N ⊆ R, la tabla de valores es
x = x̃n
f (x)
| f (x) − e|
aprox.
aprox.
aprox.
1
0.8414710 2.0659540 0.6523278
2
0.4794255 2.2635248 0.4547570
3
0.3271947 2.3753259 0.3429560
4
0.2474040 2.4437576 0.2745242
5
0.1986693 2.4896172 0.2286646
10
0.0998334 2.5939326 0.1243492
50
0.0199987 2.6915898 0.0266921
100 0.0099998 2.7048141 0.0134678
1000 0.0010000 2.7169239 0.0013579
1000000 0.0000010 2.7182805 0.0000014
..
..
..
..
.
.
.
.
n
A partir de las dos tablas anteriores nos sentimos más confiados sobre la validez de (2.3); sin embargo, vamos más allá
y veamos si el gráfico de la función g refuerza esta intuición.
En el gráfico observamos que cuando x se va acercando a x∗ = 0 desde la izquierda el valor de f (x) se acerca a
L = e ≈ 2.718281828, esto se denota mediante
lı́m f (x) = lı́m f (x) = e.
x−→0−
x↑0
Asimismo cuando x se va acercando a x∗ = 0 desde la derecha el valor de f (x) se acerca a L = e ≈ 2.718281828, esto se
denota mediante
lı́m+ f (x) = lı́m f (x) = e.
x−→0
x↓0
Recalquemos que no hemos probado la validez de (2.3); en todo caso, sı́ estamos en condiciones de pronosticar tal validez.
50
2 Lı́mites y continuidad
Figura 2.2 La función dada
por g(x) = (1 + x)1/x tiene
lı́mite finito cuando x → 0.
Ejemplo 2.3 Consideremos la función h : R −→ R definida mediante
h(x) = x3 − 2x2 − x + 2.
Tanteemos con algunos valores para obtener alguna información sobre como se comporta h(x) a medida que x crece a +∞.
x 1 3 4 10 100
1000 · · ·
h(x) 0 8 30 792 979902 9.98 × 108 · · ·
|h(x)| 0 8 30 792 979902 9.98 × 108 · · ·
Como se puede ver en la tabla, a medida que x tiende a +∞, h(x) también tiende a +∞. En otras palabras, a medida que el
argumento x se hace más y más grande, el valor h(x) también se hace más y más grande. Esto se denota como
lı́m h(x) = +∞.
x−→∞
También se puede escribir
h(x) −→ +∞,
cuando x −→ +∞.
Finalmente obsérvese que dado cualquier tamaño M > 0 - por más que sea muy grande - siempre se puede hallar un
x0 = x0 (M) ∈ R de manera que h(x) sea más grande que M a partir de x0 , es decir,
∀M > 0, ∃x0 = x0 (M) ∈ R :
x > x0 ⇒ h(x) > M.
Por ejemplo, obsérvese que para M1 = 10, se puede tomar x0 (M1 ) = 4. Para M2 = 9000, funciona x0 (M2 ) = 100.
Ahora veamos como se comporta h(x) a medida que x decrece a −∞.
···
−1000
−100
−10 −4 −2 −1 x
9
· · · −1.002 × 10 −1019898 −1188 −90 −12 0 h(x)
· · · 1.002 × 109 1019898 1188 90 12 0 |h(x)|
Como se puede ver en la tabla, a medida que x tiende a −∞, h(x) tiende a −∞. Esto se denota como
lı́m h(x) = −∞.
x−→−∞
También se puede escribir
h(x) −→ −∞,
cuando x −→ −∞.
Finalmente obsérvese que dado cualquier tamaño M > 0 - por más que sea muy grande - siempre se puede hallar un
x0 = x0 (M) ∈ R de manera que h(x) sea menor que −M a partir de x0 , es decir,
2.1 Introducción
51
∀M > 0, ∃x0 = x0 (M) ∈ R :
x < x0 ⇒ h(x) < −M.
Por ejemplo, obsérvese que para M1 = 10, se puede tomar x0 (M1 ) = −2. Para M2 = 9000, funciona x0 (M2 ) = −100.
Con la información que hasta ahora tenemos hemos deducido que
lı́m h(x) = ∞ y
x−→∞
lı́m h(x) = −∞.
x−→−∞
Pero, como en los ejemplos anteriores, recalquemos que no hemos probado la validez de estos lı́mites - ¡ni siquiera hemos
definido qué es estrictamente un lı́mite! De hecho, aún con la información provista por el gráfico (que a continuación
presentamos) no contamos con una demostración de tal validez; lo que sı́, nuestra convicción aumenta...
Figura 2.3 La función dada
por h(x) = 2 − x − 2x2 + x3 .
Ejemplo 2.4 Consideremos la función γ : R −→ R definida mediante
γ(x) =
1
.
|x − 1|
Nos interesa saber como comporta γ(x) a medida que x se acerca a x0 = 1. Para empezar observemos que Dom(γ) = R \ {1}.
Nuevamente, no importa que la función no esté definida en x0 , el punto donde buscamos lı́mite, pero necesitamos que tal
función sı́ esté definida en torno a x0 .
x
γ(x)
0.9000000000
10
0.9900000000
100
0.9990000000
1000
0.9999000000 10000
0.9999999999 1 × 1010
..
..
.
.
1.0000000000 no definido
..
..
.
.
1.0000000001 1 × 1010
1.0001000000 10000
1.0010000000
1000
1.0100000000
100
1.1000000000
10
Como se puede ver en la tabla, a medida que x tiende a x0 = 1 desde la izquierda, γ(x) crece hacia +∞, es decir,
52
2 Lı́mites y continuidad
lı́m γ(x) = lı́m− γ(x) = +∞.
x↑1
x−→1
Asimismo, a medida que x tiende a x0 = 1 desde la derecha, γ(x) crece hacia +∞, es decir,
lı́m γ(x) = lı́m+ γ(x) = +∞.
x↓1
x−→1
Si a esta información numérica le sumamos el gráfico de la función γ sentimos (¡pero no probamos!) que
lı́m γ(x) = +∞.
x−→1
Figura 2.4 La función dada
1
por γ(x) = |x−1|
.
Ejemplo 2.5 Si f : R → R es una función periódica que no es constante, entonces no existen
lı́m f (x),
x−→∞
lı́m f (x).
x−→−∞
A este caso pertenecen las funciones trigonométricas.
Figura 2.5 La función seno
no converge en ∞ ni en −∞.
Ejemplo 2.6 A partir del gráfico de las función signo es claro que no existe el lı́mite cuando x tiende a 0.


1,
si x > 0,




sgn(x) = 
0,
si x = 0,



−1, si x < 0.
2.2 Definiciones de lı́mites
53
Figura 2.6 La función
signo no converge cuando
x tiende a x0 = 0.
Ejemplo 2.7 A partir del gráfico de las función tangente es claro que no existe el lı́mite cuando x tiende a π2 + kπ, con
k ∈ Z.
Figura 2.7 La función
tangente es divergente en
los puntos π2 + kπ, k ∈ Z,
pero no existen lı́mites
infinitos.
2.2.
Definiciones de lı́mites
En la Sección 2.1 presentamos intuitivamente la idea de lı́mite. Mencionamos también que no siempre existe
el lı́mite buscado. Todo fue intuitivo y apelando al sentido común. Pero, como también fue mencionado, nunca
se probó la existencia o no-existencia de tales lı́mites pues, para ello, se necesitan definiciones precisas sobre lo
que se está buscando - ese es el tema de esta sección.
Observación 2.1 De la definición de continuidad de una función (Definición 2.7) se hará evidente que necesitamos
conocer cómo calcular lı́mites para establecer la continuidad de una función. Por esta razón una variedad de técnicas para
el cálculo de lı́mites se presentan recién en la Sección 2.5. De esta manera buscamos que el estudiante optimice su tiempo
dedicado a ejercicios.
Definición 2.1 [Lı́mite finito de una función real]
Sean x∗ ∈ I = (a, b) y f una función real tal que I \ {x∗ } ⊆ Dom( f ). Se dice que L ∈ R es el lı́mite de la función f
cuando x tiende a x∗ si para toda sucesión (xn )n∈N ⊆ I \ {x∗ } se cumple que
lı́m xn = x∗
⇒
n−→∞
En este caso escribimos
lı́m f (xn ) = L.
n−→∞
lı́m f (x) = L.
x−→x∗
En la Definición 2.1 también se dice que la función f converge a L cuando x tiende a x∗ .
Observación 2.2 La Definición 2.1 equivale a
(2.1)
(2.2)
54
2 Lı́mites y continuidad
∀ > 0, ∃δ > 0 :
|x − x∗ | < δ ⇒ | f (x) − L| < .
(2.3)
Definición 2.2 [Lı́mite infinito de una función real]
Sean x∗ ∈ I = (a, b) y f una función real tal que I \ {x∗ } ⊆ Dom( f ). Se dice que f diverge a ∞ cuando x tiende a x∗
si para cada sucesión (xn )n∈N ⊂ I \ {x∗ } se cumple que
lı́m xn = x∗ ,
lı́m f (xn ) = ∞.
⇒
n−→∞
En este caso escribimos
n−→∞
lı́m f (x) = ∞.
(2.4)
(2.5)
x−→x∗
De forma análoga se define lı́m f (x) = −∞.
x−→x∗
Observación 2.3 La Definición 2.2 equivale a
∀K > 0, ∃δ > 0 :
|x − x∗ | < δ ⇒ f (x) > K.
(2.6)
Observación 2.4 En las Definiciones 2.1 y 2.2 necesitamos que a través de todo camino (xn )n∈N tal que lı́m xn = x∗
n−→∞
se cumpla que
lı́m f (xn ) = L
n−→∞
para concluir que
lı́m f (x) = L,
x−→x∗
donde L ∈ R ∪ {+∞, −∞}. Véanse los Ejemplos 2.1, 2.2 y 2.4.
Finalmente establezcamos qué es exactamente un lı́mite lateral.
Definición 2.3 [Lı́mite lateral por la izquierda]
Sean x∗ ∈ I = (a, b) y f una función real tal que I \ {x∗ } ⊆ Dom( f ). Se dice que L ∈ R es el lı́mite por la izquierda
de la función f cuando x tiende a x∗ si para toda sucesión (xn )n∈N ⊂ I \ {x∗ } se cumple que
lı́m xn = x∗ ∧ (∀n ∈ N : xn < x∗ ) ⇒
lı́m f (xn ) = L.
(2.7)
n−→∞
En este caso escribimos
n−→∞
lı́m f (x) = lı́m f (x) = L.
x−→x−
∗
(2.8)
x↑x∗
Definición 2.4 [Lı́mite lateral por la derecha]
Sean x∗ ∈ I = (a, b) y f una función real tal que I \ {x∗ } ⊆ Dom( f ). Se dice que L ∈ R es el lı́mite por la derecha de
la función f cuando x tiende a x∗ si para toda sucesión (xn )n∈N ⊂ I \ {x∗ } se cumple que
lı́m xn = x∗ ∧ (∀n ∈ N : xn > x∗ ) ⇒
lı́m f (xn ) = L.
(2.9)
n−→∞
En este caso escribimos
n−→∞
lı́m f (x) = lı́m f (x) = L.
x−→x+
∗
x↓x∗
Presentamos ahora la definición de lı́mite al infinito de una función real. Véase el Ejemplo 2.3.
(2.10)
2.3 Teoremas y Proposiciones sobre lı́mites
55
Definición 2.5 [Lı́mite al infinito (I)]
Sea f una función real tal que Dom( f ) no está acotado superiormente. Decimos que f diverge a ∞ cuando x
tiende a ∞, lo cual se denota
lı́m f (x) = ∞,
x−→∞
si para toda sucesión (xn )n∈N ⊂ Dom( f ) se tiene que
lı́m xn = +∞
lı́m f (xn ) = ∞.
⇒
n−→∞
n−→∞
(2.11)
De la misma manera se definen lı́m f (x) = −∞, lı́m f (x) = ∞ y lı́m f (x) = −∞.
x−→∞
x−→−∞
x−→−∞
Observación 2.5 La Definición 2.5 equivale a
∀K > 0, ∃M > 0 :
M < x ∈ Dom( f ) ⇒ f (x) > K.
(2.12)
Definición 2.6 [Lı́mite al infinito (II)]
Sea f una función real tal que Dom( f ) no está acotado superiormente. Decimos que f converge a L ∈ R cuando
x tiende a ∞, lo cual se denota
lı́m f (x) = L,
x−→∞
si para toda sucesión (xn )n∈N ⊂ Dom( f ) se tiene que
lı́m xn = +∞
lı́m f (xn ) = L.
⇒
n−→∞
n−→∞
(2.13)
De la misma manera se define lı́m f (x) = L.
x−→−∞
Observación 2.6 La Definición 2.6 equivale a
∀ > 0, ∃M > 0 :
2.3.
M < x ∈ Dom( f ) ⇒ | f (x) − L| < .
(2.14)
Teoremas y Proposiciones sobre lı́mites
Para empezar veamos de qué manera los conceptos de lı́mite finito y lı́mite lateral se vinculan.
Proposición 2.1 Sean L ∈ R, x∗ ∈ I = (a, b) y f una función real tal que I \ {x∗ } ⊆ Dom( f ). Se tiene que
!
lı́m f (x) = L ∧ lı́m f (x) = L
⇔
lı́m f (x).
x↑x0
x−→x0
x↓x0
Cuando un lı́mite existe, es único; ese es el contenido de la siguiente Proposición.
Proposición 2.2 [Unicidad del lı́mite]
Sean L ∈ R, x∗ ∈ I = (a, b) y f una función real tal que I \ {x∗ } ⊆ Dom( f ). Si
L1 = lı́m f (x)
x−→x0
entonces
∧
L2 = lı́m f (x),
L1 = L2 .
x−→x0
(2.1)
56
2 Lı́mites y continuidad
La demostración de la Proposición 2.2 es consecuencia de la unicidad del lı́mite de una sucesión, resultado
que fue establecido en el capı́tulo anterior.
En la siguiente proposición establecemos como se puede operar con los lı́mites finitos.
Proposición 2.3 [Operaciones con lı́mites]
Sean L1 , L2 ∈ R, x∗ ∈ I = (a, b) y f, g funciones reales tales que I \ {x∗ } ⊆ Dom( f ) ∩ Dom(g). Supongamos que
L1 = lı́m f (x) y L2 = lı́m g(x). Se tiene que
x−→x0
x−→x0
lı́m ( f + g)(x) = L1 + L2 = lı́m f (x) + lı́m g(x);
(2.2)
lı́m ( f · g)(x) = L1 · L2 = lı́m f (x) · lı́m g(x).
(2.3)
x−→x0
x−→x0
x−→x0
x−→x0
Si L2 , 0,
lı́m
x−→x0
x−→x0
!
lı́m f (x)
f
L1 x−→x0
(x) =
=
.
g
L2
lı́m g(x)
(2.4)
x−→x0
Si L2 > 0,
! lı́m f (x)
lı́m g(x)
x−→x0
2.4.
x−→x0
f (x)
x−→x0
L
= L2 1 = lı́m g(x)
x−→x0
.
(2.5)
Continuidad
Cuando hablamos de continuidad de una función en un punto nos referimos intuitivamente al hecho de
que el gráfico de la función se puede trazar de manera continua o de un solo trazo - sin levantar el lápiz cuando nos movemos en las cercanı́as de tal punto. Viéndolo ası́ es claro que, en tanto que la función seno es
continua en el punto x = 0, la función signo no lo es.
Definición 2.7 [Continuidad]
Una función real f es continua en el punto x0 ∈ Dom( f ) si se cumple que
lı́m f (x) = f (x0 );
x−→x0
(2.1)
caso contrario decimos que f es discontinua en x0 . Decimos que f es continua en la región A si es continua en
todo punto x ∈ A ⊆ Dom( f ).
Observación 2.7 Las funciones más comunes como polinomios, exponenciales, logarı́tmicas, trigonométricas son continuas en su dominio.
2.4.1.
Tipos de discontinuidad
Ejemplo 2.8 Hay varios tipos de discontinuidad y para hacer un apronte a ello, consideremos la función real f cuyo
gráfico se presenta a continuación.
2.4 Continuidad
57
y
6
q
-4
]
JJ
J
J
J
J
J
J
J
Js
q
q
q
-3
-2
-1
c
q3
q2
c
q
1,5
q1
q
q
q
q
q
3
4
5
6
0,5
q
s
q
1
-0,5
q
2
q
q
7
8
x
q -1
q -2
s
Veamos lo que sucede en torno a los puntos
x1 = −1.0, x2 = 1.0,
x3 = 2.0, x4 = 2.5.
i xi lı́m f (x) lı́m f (x)
x↑xi
1 -1.0
2 1.0
3 2.0
4 2.5
f (xi )
Continuidad
0.5
-0.5
-2.0
no existe
No
Sı́
No
No
x↓xi
0.5
-0.5
-2.0
2.0
-0.5
-0.5
+∞
2.0
Obsérvese que para concluir que una función es continua en el punto x2 = 1.0 necesitamos que f (x2 ) y lı́m f (x)
x−→x2
existan y sean iguales. En el punto x1 = −1.0 coinciden lı́m f (x) y f (x1 ) pero no lı́m f (x); lo mismo acontece con x3 . En
x↑x1
x↓x1
el punto x4 coinciden los dos lı́mites laterales pero x4 < Dom( f ). Para clasificar los tipos de discontinuidad que presenta
la función en los puntos x1 , x3 y x4 , introducimos la siguiente Definición.
Definición 2.8 [Tipos de discontinuidad]
Sea f una función real de variable real y sea x0 ∈ R. Supongamos que f es discontinua en x0 . Decimos entonces
que f tiene una discontinuidad de primera especie en x0 si
lı́m f (x) ∈ R
x↑x0
y
lı́m f (x) ∈ R;
x↓x0
caso contrario decimos que f tiene una desigualdad de segunda especie en x0 . Si
lı́m f (x) = lı́m f (x) ∈ R,
x↑x0
x↓x0
decimos que f tiene una desigualdad evitable en x0 .
Observación 2.8 Obsérvese que la discontinuidad evitable es un caso particular de la discontinuidad de primera especie.
Observación 2.9 Sea f una función real de variable real y sea x0 ∈ R. Supongamos que se cumple que
lı́m f (x) = lı́m f (x) = L ∈ R;
x↑x0
pero
x↓x0
58
2 Lı́mites y continuidad
f (x0 ) , L
∨
x0 < Dom( f ),
entonces f tiene una discontinuidad evitable en x0 . En este caso se puede definir una nueva función fˆ que mantendrá casi
toda la información que trae consigo la función original f pero que elimina la discontinuidad en x0 (por eso el término
evitable):
fˆ : Dom( f ) ∪ {x0 } −→ R



 f (x), si x ∈ Dom( f ) \ {x0 }
x 7−→ fˆ(x) = 

L,
si x = x0 .
En el Ejemplo 2.8, en x3 la función f tiene una discontinuidad de segunda especie. La función f tiene
discontinuidades de primera especie en los puntos x1 = −1.0 y x4 = 2.0. De hecho, en x4 hay una discontinuidad
evitable y entonces la función
fˆ : Dom( f ) ∪ {x4 } −→ R



 f (x), si x ∈ Dom( f ) \ {x4 }
ˆ
x 7−→ f (x) = 

2.0, si x = x4 ,
es continua en x4 .
2.4.2.
Teoremas sobre continuidad
Al analizar la continuidad de funciones, hay que tener presente que
i) La suma y el producto de un número finito de funciones que son continuas en una región determinada es,
a su vez, una función continua en esa misma región.
ii) El cociente de dos funciones continuas en una región determinada, es también una función continua, para
todos los valores del argumento (en la misma región) en que no se anula el denominador.
Observación 2.10 Consideramos una función f : X → Y.
1) Se denomina imagen directa de A ⊆ X al conjunto
f (A) = {y = f (x) ∈ Y/ x ∈ A}.
(2.2)
2) Se denomina imagen inversa de B ⊆ Y al conjunto
f −1 (B) = {x ∈ X/ ∃y ∈ B : y = f (x)}.
(2.3)
En el siguiente teorema se establece que la composición de funciones continua es continua.
Teorema 2.1 Sea f y g dos funciones reales tales que
1) g es continua en A ⊆ Dom(g);
2) f es continua en g(A) = Rg(g) ⊆ Dom( f ).
Entonces g ◦ f es continua en A.
El siguiente resultado es de suma importancia - resume las propiedades de una función que es continua en
un intervalo cerrado.
2.4 Continuidad
59
Teorema 2.2 [Continuidad sobre un intervalo cerrado]
Sea f una función continua en [a, b] ⊆ Dom( f ), donde a < b. Se cumplen los siguientes puntos.
i) La función f está acotada en [a, b], es decir, existe un cierto número M > 0 tal que
| f (x)| ≤ M,
∀x ∈ [a, b].
ii) La función f alcanza en [a, b] su valor máximo y su valor mı́nimo, es decir, existen puntos xmin y xmax en [a, b]
tales que
fmax ≡ f (xmax ) ≥ f (x), ∀x ∈ [a, b],
fmin ≡ f (xmin ) ≤ f (x),
∀x ∈ [a, b].
iii) La función f toma todos los valores entre fmin y fmax , es decir,
∀y0 ∈ [ fmin , fmax ], ∃x0 ∈ [a, b] :
f (x0 ) = y0 .
En el marco del Teorema 2.2,
f ([a, b]) = [ fmin , fmax ].
(2.4)
Como consecuencia del punto iii) del Teorema 2.2 tenemos el siguiente corolario que nos dice que una
función continua que tiene diferente signo en los extremos de un intervalo debe pasar por cero.
Corolario 2.1 [Teorema de Bolzano]
Sea f una función continua en [a, b] ⊆ Dom( f ), donde a < b. Si f (a) · f (b) < 0, entonces existe al menos un
x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = 0.
Recordemos que dado x0 ∈ R y r > 0 se denota
B(x0 , r) = (x0 − r, x0 + r) = {x ∈ R/ |x − x0 | < r}.
Finalmente señalemos la siguiente importante propiedad de las funciones continuas. A grosso modo esta
establece que si una función continua tiene signo en un punto, en todos los puntos cercanos también tendrá el
mismo signo.
Proposición 2.4 Sea f una función real que es continua en (a, b) ⊆ Dom( f ) y sea x0 ∈ (a, b). Entonces,
1) Si f (x0 ) > 0, existe > 0 tal que
2) Si f (x0 ) < 0, existe un > 0 tal que
f (x) > 0,
∀x ∈ B(x0 , ).
f (x) < 0,
∀x ∈ B(x0 , ).
La demostración de este resultado se requiere como ejercicio al final del capı́tulo.
2.4.3.
El Método de las Bisectrices
Supongamos que se quiere resolver la ecuación
f (x) = 0,
x ∈ I ⊆ R.
(2.5)
60
2 Lı́mites y continuidad
donde f (x) es una fórmula que no permite “despejar x”, esto es no existe un método analı́tico que permita
hallar los valores de x ∈ I ∩ Dom( f ) que verifican (2.5). En este caso, antes de ponerse a buscar una solución
de la ecuación - que pudiera no existir - se deberı́a usar el Corolario 2.1, esto es, deberı́amos inspeccionar si
existen puntos a y b en I ∩ Dom( f ) de manera que
i) f es continua en [a, b] y
ii) f (a) y f (b) tienen diferente signo, o sea f (a) f (b) < 0.
y 6
q
q f(a)
s
q
0
q
q
q
q
a
q
q Xssol q
q
q
q
b
q
q
q
-
x
s
q f(b)
q
Bajo estas condiciones tenemos la seguridad de que existe una solución xsol a nuestro problema en el intervalo
[a, b] sin siquiera haber empezado a buscar mecánicamente alguna solución de (2.5).
Tenga presente que
podrı́a haber más de una solución en el intervalo [a, b]. El Teorema de Bolzano simplemente nos garantiza que existe al menos
una solución.
Ahora podrı́amos aplicar algún método numérico para obtener un valor aproximado de xsol . Describimos a
continuación un algoritmo conocido como el Método de las Bisectrices.
1) Iniciamos el proceso poniendo
xI = x1 ;
(2.6)
xF = x2 ;
(2.7)
2) Para cada paso i ≥ 3, ponemos
xi =
Si
xI + xF
.
2
sgn f (xi ) = sgn f (xI ),
ponemos
xI = xi ,
caso contrario,
xF = xi .
La sucesión (xn )n∈N ⊆ R definida de esta manera es tal que
lı́m xn = xsol ,
n−→∞
donde xsol es una solución de la ecuación (2.5) que yace en el intervalo [a, b].
En pseudocódigo el Método de las Bisectrices se puede presentar de la siguiente manera.
2.5 Cálculo de lı́mites
61
Require: f (x)
Require: xI , xF ∈ R
Ensure: xI < xF ∧ f (xI ) · f (xF ) < 0
Require: ∈ R
Ensure: > 0
1: xsol ← (xI + xF )/2
2: F ← f (xsol )
3: while |F| > do
4:
if f (xI ) · f (xsol ) > 0 then
5:
xI ← xsol
6:
else
7:
xF ← xsol
8:
end if
9:
xsol ← (xI + xF )/2
10:
F ← f (xsol )
11: end while
12: return xsol
En el algoritmo anterior, el valor > 0 corresponde al máximo valor de error aceptable. Entonces, la búsqueda
continua mientras la distancia entre el valor aproximado f (xsol ) sea mayor que .
2.5.
Cálculo de lı́mites
Para calcular lı́mites nos valemos de varios recursos. La noción intuitiva juega un rol importante ası́ como
el manejo de los teoremas y proposiciones sobre lı́mites. Por otro lado hay un buen número de lı́mites que
aparecen con frecuencia y que deben ser bien conocidos por el estudiante para que pueda confrontar ejercicios
con un mayor grado de complejidad - como cuando hay que tratar con indeterminaciones 00 , 00 , 1∞ , etc.
2.5.1.
Lı́mites Fundamentales
En lo que sigue, las letras x e y representan siempre variables reales.
Proposición 2.5 Se tiene que
sin x
= lı́m y · sin 1/y = 1.
x−→0 x
y−→∞
lı́m
(2.1)
El primer lı́mite que aparece en (2.1) corresponde a una indeterminación del tipo 0/0, es decir el lı́mite del
cociente de dos funciones que tienden a 0 en tanto que el argumento tiende a su objetivo. El segundo lı́mite
que aparece en (2.1) corresponde a una indeterminación del tipo ∞ · 0, es decir el lı́mite del producto de dos
funciones, una de las cuales tienden a cero y la otra tiende a ∞ cuando el argumento tiende a su objetivo.
La siguiente proposición corresponde al caso más básico de indeterminaciones de la forma 1∞ .
Proposición 2.6 Se tiene que
lı́m
x−→+∞
1+
1 x
= lı́m 1 + y 1/y = e = 2.71828...
x
y−→0
(2.2)
62
2 Lı́mites y continuidad
La proposición anterior es equivalente a la siguiente que corresponde a una indeterminación 0/0.
Proposición 2.7 Se tiene que
lı́m
x−→0
ln(1 + x)
= 1.
x
(2.3)
Los siguientes lı́mites también son muy útiles.
Proposición 2.8 Se tiene que
ex − 1
= lı́m y · e1/y − 1 = 1;
y−→∞
x−→0 x
lı́m
lı́m
x−→0
arcsin(x)
= 1.
x
lı́m xp · ln(x) = 0,
x↓0
(1 + x)α − 1
= 1,
x→0
αx
lı́m
(2.4)
(2.5)
p ≥ 1,
(2.6)
α ∈ R \ {0},
(2.7)
Proposición 2.9 Sean a ∈ R ∪ {−∞, ∞}, k > 0 y f, g funciones reales tales que
lı́m f (x) = k,
x→a
lı́m g(x) = ∞.
x→a
Entonces se tiene que



∞,
lı́m f (x) g(x) = 

0,
x−→a
si k > 1
si 0 < k < 1.
(2.8)
Observación 2.11 Tenga presente que varios resultados que se estudiaron sobre lı́mites de sucesiones son inmediatamente
aplicables a funciones cuando x tiende a ∞ o, como se verá en la siguiente sección, previo un cambio apropiado de variable.
2.5.2.
Cambio de Variable
La mejor manera de presentar esta estrategia es via ejemplos.
Ejemplo 2.9 Supongamos que queremos saber si el siguiente lı́mite existe, en cuyo caso nos interesa su valor:
sin(x2 )
.
x−→0
x2
lı́m
Este lı́mite no aparece entre los lı́mites fundamentales presentados en la Sección 2.5.1. Sin embargo, si observamos con
detenimiento, caemos en cuenta que x2 aparece tanto en el numerador como en el denominador. Se vuelve natural entonces
que hagamos el cambio de variable
y = x2 .
Entonces, puesto que
y −→ 0,
cuando x −→ 0,
se tiene, en virtud de la Proposición 2.1, que
sin(y)
sin(x2 )
= lı́m
= 1.
2
y
x−→0
y−→0
x
lı́m
2.5 Cálculo de lı́mites
63
Veamos un ejemplo un poquito más complicado.
Ejemplo 2.10 Supongamos que queremos saber si el siguiente lı́mite existe, en cuyo caso nos interesa su valor:
lı́m(x − 2)3 cos(x − 2) ln(x − 2).
x↓2
Este lı́mite no aparece entre los lı́mites fundamentales presentados en la Sección 2.5.1. Sin embargo, si observamos con
detenimiento, caemos en cuenta que x − 2 aparece en más de una ocasión. Se vuelve natural entonces que hagamos el
cambio de variable
y = x − 2.
Entonces, puesto que
y ↓ 0,
cuando x ↓ 2,
se tiene, en virtud de las Proposiciones 2.8 y 2.3, que
lı́m(x − 2)3 cos(x − 2) ln(x − 2) = lı́m y3 cos(y) ln(y)
x↓2
y↓0
(2.9)
= lı́m cos(y) · lı́m y3 ln(y)
(2.10)
= 1·0
(2.11)
= 0.
(2.12)
y↓0
y↓0
A partir de los lı́mites presentados en la Sección 2.5.1 se pueden obtener, a través de cambios de variable
apropiados, otros lı́mites que también son de gran utilidad. Por ejemplo, el siguiente resultado generaliza la
Proposición 2.6.
Proposición 2.10 Sea k ∈ R y sean f y g dos funciones tales que
lı́m g(x) = k ∈ R,
x−→a
lı́m f (x) = ∞.
x−→a
Entonces,
g(x)
f (x)
! f (x)
= ek .
(2.13)
a x − bx
a
= ln
.
x
b
x−→0
(2.14)
lı́m 1 +
x−→a
El siguiente resultado generaliza (2.4).
Proposición 2.11 Sean a, b > 0. Se tiene que
lı́m
La demostración de la Proposición 2.11 se requiere como ejercicio al final del capı́tulo.
2.5.3.
Infinitésimos
Sea f una función real. Se dice que f tiene un infinitésimo en a ∈ R ∪ {−∞, ∞} si
lı́m f (x) = 0.
x→a
(2.15)
64
2 Lı́mites y continuidad
De esta definición es claro que la suma y producto de infinitésimos (cuando x −→ a) es un infinitésimo (cuando
x −→ a).
Ejemplo 2.11 Puesto que
lı́m xp = 0,
x↓0
p > 0,
(2.16)
se tiene que la función definida por la fórmula αp (x) = xp es un infinitésimo cuando x −→ 0+ .
La siguiente definición tiene que ver con la rapidez con que un infinitésimo se acerca al número 0.
Definición 2.9 [Rapidez de un infinitésimo]
Supongamos que f y g son funciones reales que tienen infinitésimos en a ∈ R ∪ {−∞, ∞}. Se dice que
i) el infinitésimo de f es de orden superior al de g si
lı́m
f (x)
x→a g(x)
= 0;
(2.17)
ii) los infinitésimos son del mismo orden si
f (x)
= c , 0;
x→a g(x)
lı́m
(2.18)
iii) en particular, se dice que los infinitésimos son intercambiables si
lı́m
f (x)
x→a g(x)
= 1.
(2.19)
Cuando f y g son funciones reales que tienen infinitésimos intercambiables en a ∈ R ∪ {−∞, ∞} se denota
f (x) ∼ g(x),
cuando x → a.
(2.20)
La relación ∼ es de equivalencia.
Ejemplo 2.12 Puesto que
√
cos(x + π/4) · (ex − 1)
2
lı́m
=
,
x
2
x−→0
se sigue que las funciones definidas por las fórmulas
α(x) = cos(x + π/4) · (ex − 1),
β(x) = x
tienen infinitésimos del mismo orden cuando x −→ 0.
Observación 2.12 Si 0 < p < q se tiene claramente que
xq
= lı́m xq−p = 0.
x↓0 xp
x↓0
lı́m
Entonces q > p > 0 implica que xq converge a 0 más rápido que xp cuando x ↓ 0.
Teorema 2.3 Sean f y g funciones reales que tienen infinitésimos en a ∈ R ∪ {−∞, ∞}. Si el infitésimo de f es
de orden menor al de g, entonces
f (x) + g(x) ∼ f (x), cuando x → a.
(2.21)
2.5 Cálculo de lı́mites
65
Corolario 2.2 [Uso de infinitésimos]
Sean f y g funciones reales que tienen infinitésimos en a ∈ R ∪ {−∞, ∞}. Sea H una función real para la que
existe lı́m H(x).
x→0
i) Si los infinitésimos de f y g son intercambiables, entonces
lı́m H( f (x)) = lı́m H(g(x)).
x→a
x→a
(2.22)
ii) Si el infitésimo de f es de orden menor al de g, entonces
lı́m H( f (x) + g(x)) = lı́m H( f (x)).
x→a
x→a
(2.23)
Ejemplo 2.13 Usamos el Corolario 2.2, la Observación 2.12 y el cambio de variable y = sin2 (x) para calcular
L = lı́m
arctan(sin2 (x))
x−→0 sin2 (x) − sin4 (x)
arctan(y)
y − y2
arctan(y)
= lı́m
y
y−→0
= 1.
= lı́m
y−→0
Ejemplo 2.14 Usando el cambio de variable y = x2 calculamos
ln(1 + x2 )
x−→0 tan(x2 )
ln(1 + y)
= lı́m
y−→0 tan(y)
ln(1 + y)
= lı́m cos(y) ·
sin(y)
y−→0
ln(1 + y)
= lı́m cos(y) · lı́m
y−→0
y−→0 sin(y)
y
= 1 · lı́m
y−→0 y
= 1.
L = lı́m
(2.24)
Ejemplo 2.15 Nuevamente usando infinitésimos calculamos
√
3
x3 + 5x4
L = lı́m
x−→0 ln(1 + 2x)
√
3
x3
= lı́m
x−→0 2x
1
=
2
2.5.4.
Infinitos
Sea f una función real. Se dice que f tiene un infinito en a ∈ R ∪ {−∞, ∞} si
lı́m f (x) = ∞.
x→a
(2.25)
66
2 Lı́mites y continuidad
De esta definición se hace inmediato que la suma (no la resta) y el producto de infinitos (cuando x −→ a) es un
infino (cuando x −→ a).
Ejemplo 2.16 Puesto que
lı́m xp = 0,
p > 0,
x→∞
(2.26)
se tiene que la función definida por la fórmula αp (x) = xp es un infinito cuando x −→ ∞.
La siguiente definición tiene que ver con la rapidez con que crece un infinito.
Definición 2.10 Sea a ∈ R∪{−∞, ∞} y sean α y β dos funciones que tienen infinitos cuando x −→ a. Supongamos
que
α(x)
lı́m
= C ∈ R.
x−→a β(x)
i) Si C , 0, decimos que α y β tienen infinitos del mismo orden cuando x −→ a.
ii) En particular, si C = 1 decimos que α y β tienen infinitos equivalentes o intercambiables cuando x −→ a, esto
se denota como
α(x) ∼ β(x), cuando x −→ a.
(2.27)
iii) Si C = 0 decimos que β tiene un infinito de orden superior al de α cuando x −→ a.
La relación ∼ definida en (2.27) es de equivalencia.
Observación 2.13 La definición anterior es análoga a la definición de infinitésimo que presentamos en la sección anterior.
Sin embargo obsérvese que cuando C = 0 el infinito de orden superior es el denominador (para el caso de infinitésimos era
el numerador).
Ejemplo 2.17 Puesto que
lı́m
cos x1 + π/4 /(e1/x − 1)
x
x−→∞
√
2
=
,
2
se sigue que las funciones definidas por las fórmulas
α(x) =
cos x1 + π/4
e1/x − 1
,
β(x) = x
tienen infinitos del mismo orden cuando x −→ ∞.
Observación 2.14 Si 0 < p < q se tiene claramente que
1
xp
= lı́m q−p = 0.
q
x−→∞ x
x−→∞ x
lı́m
Entonces q > p > 0 implica que xq crece más rápidamente que xp cuando x −→ ∞.
El siguiente resultado es sumamente útil pues permite reemplazar un infinito complicado por otro más
simple en tanto que sean equivalentes.
Teorema 2.4 Sean f y g funciones reales que tienen infinitos en a ∈ R ∪ {−∞, ∞}. Si el infinito de f es de orden
mayor al de g, entonces
f (x) + g(x) ∼ f (x), cuando x → a.
(2.28)
2.5 Cálculo de lı́mites
67
Corolario 2.3 Sean f y g funciones reales que tienen infinitos en a ∈ R ∪ {−∞, ∞}. Sea H una función real para
la que existe lı́m H(x).
x→∞
i) Si los infinitos de f y g son intercambiables, entonces
lı́m H( f (x)) = lı́m H(g(x)).
x→a
x→a
(2.29)
ii) Si el infinito de f es de orden mayor al de g, entonces
lı́m H( f (x) + g(x)) = lı́m H( f (x)).
x→a
x→a
(2.30)
Observación 2.15 Las potencias xp con p ≥ 1 son infinitos de orden superior con respecto a ln(x), es decir,
ln(x)
= 0..
x−→∞ xp
lı́m
Ejemplo 2.18 Usando el cambio de variable y = 1 + x2 calculamos
ln(1 + x2 )
x−→∞ 1 + x2
ln(y)
= lı́m
y−→∞ y
= 0.
L = lı́m
Ejemplo 2.19 Usamos la proposición anterior y los cambios de variable y = ln(x) y z = y−2 para calcular
2
L = lı́m (ln2 (x) + ln(x)) · 1 − e1/ ln (x)
x−→∞
2
= lı́m (y2 + y) · 1 − e1/y
y−→∞
2
= lı́m y2 · 1 − e1/y
y−→∞
ez − 1
z
z−→0
= −1.
= − lı́m
(2.31)
68
2.6.
2 Lı́mites y continuidad
Ejercicios resueltos
Ejemplo 2.20 Consideremos los polinomios definidos por las fórmulas
p(x) = 1 + 2x2 − 5x3 ,
q(x) = 2 + 2x3 ,
r(x) = −3 + 4x2 + 2x4 ,
s(x) = −2 + x + x2 .
Usamos infinitos para calcular
p(x)
x−→∞ q(x)
L1 = lı́m
1 + 2x2 − 5x3
x−→∞
2 + 2x3
−5x3
= lı́m
x−→∞ 2x3
5
=− .
2
= lı́m
L2 = lı́m
p(x)
x−→∞ r(x)
1 + 2x2 − 5x3
x−→∞ −3 + 4x2 + 2x4
−5x3
= lı́m
x−→∞ 2x4
5
1
= − · lı́m
2 x−→∞ x
= 0.
= lı́m
L3 = lı́m
p(x)
x−→∞ s(x)
1 + 2x2 − 5x3
x−→∞ −2 + x + x2
−5x3
= lı́m
x−→∞ x2
= lı́m −5x
= lı́m
x−→∞
= −∞.
Ejemplo 2.21 Usando infinitos calculamos
√
3
−x3 + 5x4
L = lı́m
x−→∞ x4/3 − x
√
3
5x4
= lı́m 4/3
x−→∞ x
√
3
= 5
2.6 Ejercicios resueltos
69
Observación 2.16 Para el análisis del cociente de dos polinomios p y q se recomienda simplificarlo de manera que
quede el numerador y el denominador sean primos relativos. Esta estrategia puede aplicarse frecuentemente a expresiones
irracionales a través de un cambio de variable apropiado. Veamos un par de ejemplos al respecto.
Ejemplo 2.22 Calculamos
2x2 − 8
x−→2 x2 − 3x + 2
2(x − 2)(x + 2)
= lı́m
x−→2 (x − 2)(x − 1)
2(x + 2)
= lı́m
x−→2 x − 1
= 8.
L = lı́m
Ejemplo 2.23 Usamos el cambio de variable
1 + 2x = y6 ,
para calcular
√
L = lı́m √
3
x−→0
= lı́m
1 + 2x − 1
1 + 2x − 1
y3 − 1
y−→1 y2 − 1
y2 + y + 1
y+1
y−→1
3
= .
2
= lı́m
Ejemplo 2.24 Usamos los cambios de variable y = 2x y z = −2y2 e infinitésimos equivalentes para calcular
2
L = lı́m (cos(x))1/x
x−→0
2
= lı́m [1 + (−1 + cos(x))]1/x
x−→0
2
= lı́m [1 − 2 sin2 (x/2)]1/x
x−→0
2
= lı́m [1 − 2 sin2 (y)]1/(4y )
y−→0
2
= lı́m [1 − 2y2 ]1/(4y )
y−→0
= lı́m [1 + z]−1/(2z)
z−→0
−1/2
= lı́m [1 + z]1/z)
z−→0
1
= √ .
e
(2.32)
Ejemplo 2.25 Calculemos el lı́mite
x5 − 4x4 + 2x3 − x2 + 2x + 1
x→∞
x5 − 2x4 + x3 + x2 − x + 2
L = lı́m
!x+1
.
Puesto que
x5 − 4x4 + 2x3 − x2 + 2x + 1
x5
=
lı́m
=1
x→∞ x5 − 2x4 + x3 + x2 − x + 2
x→∞ x5
lı́m
y
(2.33)
70
2 Lı́mites y continuidad
lı́m x + 1 = ∞,
x→∞
estamos tratando con una indeterminación 1∞ , que está relacionada con el lı́mite clásico
1 x
= lı́m 1 + y 1/y .
e = lı́m 1 +
x→∞
y→0
x
Entonces, escribimos (2.33) como
"
! #x+1
x5 − 4x4 + 2x3 − x2 + 2x + 1
L = lı́m 1 +
−1
.
x→∞
x5 − 2x4 + x3 + x2 − x + 2
(2.34)
Ponemos
x5 − 4x4 + 2x3 − x2 + 2x + 1
−1
x5 − 2x4 + x3 + x2 − x + 2
−2x4 + x3 − 2x2 + 3x − 1
= 5
x − 2x4 + x3 + x2 − x + 2
y=
y puesto que
−2x4 + x3 − 2x2 + 3x − 1
−2x4
= 0,
=
lı́m
x→∞ x5 − 2x4 + x3 + x2 − x + 2
x→∞ x5
lı́m y = lı́m
x→∞
tenemos a partir de (2.34) que
h
i(y(x+1))
L = lı́m 1 + y 1/y
x→∞
y→0
"
#(y(x+1))
= lı́m lı́m 1 + y 1/y
x→∞ y→0
= lı́m e y(x+1) .
(2.35)
x→∞
Ahora, puesto que
(x + 1)(−2x4 + x3 − 2x2 + 3x − 1)
x→∞
x5 − 2x4 + x3 + x2 − x + 2
−2x5 − x4 − x3 + x2 + 2x − 1
= lı́m 5
x→∞ x − 2x4 + x3 + x2 − x + 2
−2x5
= lı́m 5
x→∞ x
= −2,
lı́m y(x + 1) = lı́m
x→∞
se sigue, a partir de (2.35), que
L = e−2 .
Ejemplo 2.26 Calculemos el lı́mite
h
i7/(arctan(ex2 −1))
L = lı́m 1 + ln 1 + sin2 (x)
.
x→0
(2.36)
Es claro que tratamos con una indeterminación de la forma 1∞ . Puesto que sin(x) ∼ x, cuando x → 0, tenemos que
h
i7/(arctan(ex2 −1))
L = lı́m 1 + ln 1 + x2
.
x→0
Ponemos ahora
y = x2 ,
x→0
⇒
y → 0,
(2.37)
2.6 Ejercicios resueltos
ası́ que
71
y
L = lı́m 1 + ln 1 + y 7/(arctan(e −1)) .
y→0
Ahora, puesto que cuando y → 0, se tiene que
ln(1 + y) ∼ y,
e y − 1 ∼ y,
arctan(y) ∼ y,
se sigue a partir de (2.38) que
L = lı́m 1 + y 7/y
y→0
= e7 .
Ejemplo 2.27 Calculemos el lı́mite
2ex − ln(x)
L = lı́m x 2
x−→∞ e + x − 5x + 1
Puesto que
2ex − ln(x)
lı́m
x−→∞ ex + x2 − 5x + 1
y
!3x+1−ln(x)
.
2ex
= 2,
x−→∞ ex
= lı́m
lı́m (3x + 1 − ln(x)) = +∞,
x−→∞
se sigue por la Proposición 2.9 que
L = ∞.
Ejemplo 2.28 Calculemos el lı́mite
x3 + x2 − ln(x)
x−→∞
3x3 + 1
!ln(x2 )
L = lı́m
.
Puesto que
x3 + x2 − ln(x)
x3
1
= lı́m
= ,
3
3
x−→∞
x−→∞ 3x3
3x + 1
lı́m
y
lı́m ln(x2 ) = lı́m 2 ln(x) = +∞,
x−→∞
x−→∞
se sigue por la Proposición 2.9 que
L = 0.
Ejemplo 2.29 Calculemos el lı́mite
ln(cxp − x + ln(x))
,
x−→∞ ln(axq + bx2 − ln(x))
L = lı́m
donde p > 1, q ∈]1; 2[, a, b, c ∈ R+ . Tenemos que
ln(cxp − x + ln(x))
x−→∞ ln(axq + bx2 − ln(x))
ln(cxp )
= lı́m
x−→∞ ln(bx2 )
ln(c) + p · ln(x)
= lı́m
x−→∞ ln(b) + 2 ln(x)
p · ln(x)
= lı́m
x−→∞ 2 ln(x)
p
= .
2
L = lı́m
(2.38)
72
2 Lı́mites y continuidad
Ejemplo 2.30 Estudiemos la continuidad de la función determinada por la fórmula

2 ln(1 + 3 sin(x − 1))



, si x ∈ [0.8; 2.5] \ {1},

3 tan(e2(x−1) − 1)
f (x) = 


q,
si x = 1,
donde q ∈ R. Conforme al Teorema 2.1, la función f es continua en [0.8; 2.5] \ {1} (¿por qué?). Por lo que sólo resta analizar
si f es o no continua en x = 1. Calculemos entonces
2 ln(1 + 3 sin(x − 1))
.
x−→1 3 tan(e2(x−1) − 1)
L = lı́m f (x) = lı́m
x−→1
Para ello, hacemos el cambio de variable
y = x − 1,
x −→ 1
ası́ que
L = lı́m
⇒
y −→ 0,
2 ln(1 + 3 sin(y))
3 tan(e2y − 1)
y−→0
(2.39)
.
Ahora, observamos que cuando y −→ 0,
sin(y) ∼ y;
ln(1 + y) ∼ y
ln(1 + 3y) ∼ 3y;
⇒
ey − 1 ∼ y
⇒
e2y − 1 ∼ 2y;
tan(y) ∼ y
⇒
tan(2y) ∼ 2y;
por lo cual
L = lı́m
2 ln(1 + 3 sin(y))
3 tan(e2y − 1)
2 ln(1 + 3y)
= lı́m
y−→0 3 tan(2y)
2 · 3y
= lı́m
y−→0 3 · 2y
= 1.
y−→0
Entonces, puesto que f (0) = q, se tiene que
a) f es continua en [0.8; 2.5] \ {1} si q , 1;
b) f es continua en [0.8; 2.5] si q = 1.
Para finalizar esta sección presentamos un ejercicio resuelto que abarca muchos de los puntos tratados.
Ejemplo 2.31 Considere la ecuación
donde
f (x) = 0,
x∈R



si x ≤ 5,
−x2 + 6x − 5,
f (x) = 

(x − 5)2 · ln(x − 5) − sin(x − 5), si x > 5.
a) ¿Existe una solución de (2.40) en [3.0, 5.8]?
b) ¿Existe una solución de (2.40) en [5.8, 8.0]?
c) ¿Existe una solución de (2.40) en ] − ∞, 3.0]?
d) Para el literal a): si existe solución halle una aproximación con error aceptable = 0.15.
(2.40)
(2.41)
2.6 Ejercicios resueltos
73
Empecemos observando que Dom( f ) = R. Es bastante claro que f es continua en R \ {5}.
¿Es f continua en x = 5? A partir de (2.41) es claro que
f (5) = 0 = lı́m f (x).
x↑5
Por tanto, para concluir que f es continua en x = 5 (y entonces en todo R) nos basta probar que
lı́m f (x) = 0.
x↓5
Lo último es cierto. Para ello hacemos el cambio de variable y = x − 5 y usamos la indicación:
lı́m f (x) = lı́m(x − 5)2 · ln(x − 5) − sin(x − 5)
x↓5
x↓5
= lı́m y2 · ln(y) − sin(y)
y↓0
= lı́m y2 · ln(y) − lı́m sin(y)
y↓0
y↓0
= 0.
Concluimos entonces que f es continua en R.
Se tiene que
f (3.0) = 4 > 0,
f (5.8) = −0.86017 < 0,
f (8.0) = 9.7464 > 0.
a) Puesto que f es continua en [3.0, 5.8] y además f (3.0) y f (5.8) tienen diferente signo, concluimos por el Teorema de
Bolzano (véase Corolario 2.1) que existe xsol1 ∈ (3.0, 5.8) tal que
f (xsol1 ) = 0.
b) Puesto que f es continua en [5.8, 8.0] y además f (8.0) y f (5.8) tienen diferente signo, concluimos por el Teorema de
Bolzano (véase Corolario 2.1) que existe xsol2 ∈ (5.8, 8.0) tal que
f (xsol2 ) = 0.
b) Puesto que f es continua en (−∞, 3.0] y además f (3.0) = 4 > 0, podremos concluir que existe un xsol3 ∈ (−∞, 3.0) tal que
f (xsol3 ) = 0
si encontramos un x∗ ∈ (−∞, 3.0) tal que f (x∗ ) < 0. Poniendo x∗ = 0 estamos listos pues
f (0) = −5 < 0.
d) Para calcumar aproximadamente xsol3 ∈ (−∞, 3.0) usamos el Método de las Bisectrices con = 0.15. Tenemos:
i
xi
f (xi )
| f (xi )|
1 0.00000 -5.00000000 5.00000000
2 3.00000 +4.00000000 4.00000000
3 1.50000 +1.75000000 1.75000000
4 0.87500 -0.51562500 0.51562500
5 1.18750 +0.71484375 0.71484375
6 1.03125 +0.12402300 0.12402300
..
..
..
..
.
.
.
.
74
2 Lı́mites y continuidad
Entonces
xsol3 ≈ 1.03125.
Este valor cumple con el error máximo aceptable que impusimos al aplicar el método de las bisectrices, = 0.15. Por otro
lado, obsérvese que la solución exacta es
xsol3 = 1.00000.
2.7 Problemas propuestos
2.7.
75
Problemas propuestos
2.1. (**) Sea f una función continua en [a, b] ⊆ Dom( f ), donde a < b. Suponga que f (a) · f (b) < 0. Pruebe que
existe al menos un x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = 0.
2.2. (*) Sea f una función real que es continua en (a, b) ⊆ Dom( f ) y sea x0 ∈ (a, b). Pruebe que
1) si f (x0 ) > 0, existe > 0 tal que
2) si f (x0 ) < 0, existe un > 0 tal que
2.3. Sean a, b > 0. Muestre que
f (x) > 0,
∀x ∈ B(x0 , );
f (x) < 0,
∀x ∈ B(x0 , ).
a
ax − bx
= ln
.
x
b
x−→0
lı́m
(2.1)
2.4. Considere la función definida por la fórmula
 2


 x −3x+2
x−2 , si x , 2,
f (x) = 

A,
si x = 2.
¿Qué valor debe tomar A para que la función f sea continua? Construya la gráfica de f .
2.5. Considere la función definida por la fórmula



si x ≤ α,
ax2 ,
f (x) = 

2x + b, si x > α,
donde α ∈ R. ¿Qué relación deben verificar a y b para que la función f sea continua?
2.6. Considere la fórmula f (x). Halle su dominio de definición y analice la continuidad de la función correspondiente. Cuando sea posible, redefina la función para que resulte continua.
f (x) =
(1 + x)n − 1
,
x
donde n ∈ N.
1 − cos x
.
x2
ln(1 + x) − ln(1 − x)
.
f (x) =
x
x
−x
5 −2
f (x) =
.
x
f (x) =
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
76
2 Lı́mites y continuidad
x2
.
f (x) =
x−2
√
7+x−3
f (x) =
.
x2 − 4
x
f (x) = .
|x|
x
f (x) =
.
sen x
1
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
f (x) = e 1+x .
(2.10)
− 12
x
(2.11)
f (x) = e .
1
.
f (x) = (1 + x) arctan
1 − x2
(2.12)
2.7. Hallar lı́m f (x).
x−→∞
√
x
f (x) = r
;
q
√
x+ x+ x
x2 − 5x + 6
;
7x − 3
(4x + 1)3 (2x − 1)2
f (x) =
;
x5 − 2x2 + 1
5x2 − 4
;
f (x) = √
x4 + 1
x2 − 5x + 6
f (x) =
;
7x − 3
(4x + 1)3 (2x − 1)2
f (x) =
.
x5 − 2x2 + 1
f (x) =
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
2.8. Hallar lı́m f (x).
x−→∞
π
;
x
2
x+1 x
;
f (x) =
2x − 3
!x3
x2 − 1
f (x) =
;
2x2 − 3
!1/ sin(x)
cos(x + π/8) arctan(x)
f (x) = 1 −
.
x2 − 5
f (x) = x sin
2.9. Hallar lı́m f (x).
x−→∞
(2.19)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
2.7 Problemas propuestos
77
2
f (x) = (cos(1/x))1/ sin (x) ;
2x + 1
f (x) = ln
;
x+2
x
f (x) = √
;
x2 − x3/2 − 1
ex − e−x
f (x) = x −x ;
e +e
x+1
f (x) = x · ln
;
x
sin(ex − 1)
f (x) =
.
ln(1 + x)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
2.10. Hallar lı́m f (x).
x−→0
(y + x)3 − y3
;
x
√
−1 + 1 + x2
;
f (x) =
√
3
−1 + 1 + x2
√
√
1 + x3 − 1 − x3
f (x) =
;
x3
√
√
3
y+x− 3 y
f (x) =
;
x
1 − cos(sin2 (x))
f (x) =
;
sin4 (x)
tan(x2 ) − sin(x2 )
f (x) =
;
x6
p
1 − cos(sin(x))
;
f (x) =
sin2 (x)
p
p
1 + sin(x) − 1 − tan(x)
;
f (x) =
arctan(x)
!arctan(x)/ sin(x)
x2 − 2x + 3
f (x) = 2
;
x − 3x + 2
r

1  1 + x 
f (x) = ln 
.
x
1−x
f (x) =
(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
(2.34)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
(2.38)
2.11. Hallar lı́m f (x).
x−→a
x4 − 1
, a = −1;
x4 + 3x2 + 2
x2 − (a + 1)x + a
f (x) =
, a ∈ R;
x3 − a3
f (x) =
(2.39)
(2.40)
78
2 Lı́mites y continuidad
1
3
,
f (x) =
−
1 − x 1 − x3
√
√
3
3
x4 − 2 x2 + 1
f (x) =
,
(x2 − 1)2
√
√
x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6
f (x) =
,
x2 − 4x + 3
sin(πx)
f (x) =
,
sin(3πx)
πx
f (x) = (1 − x) tan
,
2
cos πx
2
f (x) =
√ ,
1− x
a = 1;
(2.41)
a = 1;
(2.42)
a = 3;
(2.43)
a = 1;
(2.44)
a = 1;
(2.45)
a = 1.
(2.46)
2.12. Hallar lı́m f (x) y lı́m f (x).
x↓a
x↑a
1
, a = 0;
1 + e1/x
| sin(x)|
f (x) =
, a = 0;
x
x−1
, a = 1;
f (x) =
|x − 1|
x
, a = 2.
f (x) =
x−2
f (x) =
2.13. La ecuación
x3 − 3x + 1 = 0,
(2.47)
(2.48)
(2.49)
(2.50)
x ∈ R,
tiene una solución x0 en el intervalo [1, 2]. ¿Por qué? Calcúlela aproximadamente mediante el Método de las
Bisectrices.
Indicación.- x0 ≈ 1.5320888.
2.14. La ecuación
h(x) = 0,
x ∈ R,
tiene una solución x0 en el intervalo [a, b]. Grafique h(x) en [a,b] y calcúle la solución aproximadamente.
1) h(x) = x − tan x + 1, con a = 0, b = 1.74;
2) h(x) = x − esen x + 2, con a = −3, b = 0.
2.15. Considere la fórmula
φ(x) = x ln x − x.
1) Halle el dominio de definición de φ(x) y grafı́que la función correspondiente.
2) Analice la continuidad de φ y, en caso de ser posible, extiéndala a una función continua φ̂ sobre [0, ∞[.
3) Resuelva la ecuación
φ(x) + 0.5 = 0,
en el intervalo [0, 1].
Indicación.- x1 ≈ 0.1866823.
4) Resuelva la ecuación anterior en [1, 3].
Indicación.- x1 ≈ 2.1555353.
2.16. Denotemos por r1 y r2 a las raı́ces de la ecuación
2.7 Problemas propuestos
79
ax2 + bx + c = 0,
x ∈ R.
Si los coeficientes b y c se mantienen constantes, ¿qué pasa con r1 y r2 cuando a −→ 0?
2.17. El punto X1 divide al segmento AB = l en dos partes iguales; el punto X2 divide al segmento AX1 en dos
partes también iguales; el punto X3 divide, a su vez, el segmento X2 X1 en dos partes iguales; el punto X4 hace
lo propio con el segmento X2 X3 y ası́ sucesivamente. Determinar la posición lı́mite de Xn , cuando n −→ ∞.
2.18. Halle las constantes k y b de manera que se cumple que
!
x3 + 1
lı́m kx + b − 2
= 0.
x−→∞
x +1
2.19. Calcule el lı́mite indicado
!x
x4 − 2x3 + x
;
L = lı́m 4
x→∞ x − 2x3 − x2 + 2x + 1
!x2
x4 − 2x3 + 1
L = lı́m 4
;
x→∞ x − 3x3 − x2 + 2
!x
5x10 + ln(x)
;
L = lı́m
x→∞ 2x10 − 5x2 − ln(x) + 2
ln(xp − 2x2 + 1)
,
x→∞ ln(3xq − x + 2)
L = lı́m
p ∈]2; ∞[, q ∈]1; ∞[;
3
L = lı́m [1 − 2 arctan(x + 2)] ln(1+2 sin(x+2)) ;
x→−2
h
i −3
L = lı́m 1 + ln(1 + sin(x3 )) x3 ;
x→0
!x
x2 + 3ex + ln(x)
.
L = lı́m
x→∞
4ex + ln(x)
(2.51)
(2.52)
(2.53)
(2.54)
(2.55)
(2.56)
(2.57)
2.20. Dada la función definida por la fórmula f (x), analice su continuidad, es decir, halle el conjunto donde la
función es continua.

arctan(3 sin(x))




 3 tan(ex − 1) , si x ∈ [−1; 1] \ {0},
f (x) = 

2


 ,
si x = 0;
3

ln(1 + 3 sin(x − 1))



, si x ∈ [0.9; 2.0] \ {1},

3
arctan(e2(x−1) − 1)
f (x) = 


0,
si x = 1;
 2

2x + 2x − 12



 2x2 − 12x + 16 , si x ∈ R \ {2},
f (x) = 

5


− ,
si x = 2.
2
(2.58)
(2.59)
(2.60)
2.21. Dada la función definida por la fórmula f (x), analice su continuidad, es decir, halle el conjunto donde la
función es continua.
80
2 Lı́mites y continuidad
 3 sin(x) arctan(2x)

e
−e


, si x ∈ [−0.5; 0.0[,



5 arcsin(ex − 1)



5
f (x) = 
,
si x = 0;


6


2


 3 ln(1 + 2x ) ,

si x ∈]0.0; 0.5[;
 10 ln(1 + 3x2 )
 3 sin(x−1) arctan(2(x−1))
e
−e


, si x ∈ [0.5; 1.0[,



5 arcsin(e(x−1) − 1)



1
f (x) = 
,
si x = 1;


5

2

3 ln(1 + 2(x − 1) )



,
si x ∈]1.0; 1.5[.

10 ln(1 + 3(x − 1)2 )
(2.61)
(2.62)
2.22. Calcule el lı́mite indicado
2
2
5x − 2x
L = lı́m
;
x→0 sin(x2 )
p
p
1 + sin(x3 ) − 1 − ln(1 + x3 )
L = lı́m
;
3
x→0
arctan(ex − 1)
1/ arctan2 (x−1)
L = lı́m cos(sin(ex−1 − 1))
.
x→1
2.23. Calcule los siguientes lı́mites
√
x
;
lı́m r
q
x→∞
√
x+ x+ x
x2 − (a + 1)x + a
;
x→a
x3 − a3
3
1
.
−
lı́m
x→1 1 − x
1 − x3
lı́m
√
(2.63)
(2.64)
(2.65)
lı́m √
3
1+x−1
;
1+x−1
√
3
x−1
lı́m √
;
x→1 4 x − 1
√
√
3
x2 − 2 3 x + 1
.
lı́m
x→1
(x − 1)2
x→0
(2.66)
(2.67)
(2.68)
2.24. Calcule los siguientes lı́mites
p
x(x + a) − x ;
x→∞
√
3− 5+x
;
lı́m
√
x→4 1 − 5 − x
√
√
1+x− 1−x
lı́m
.
x→0
x
lı́m
(2.69)
(2.70)
(2.71)
√
√
x+α− x
lı́m
;
α→0
α
√
√
3
x+α− 3 x
lı́m
;
α→0
α
√
3
lı́m x + 1 − x3 .
x→∞
(2.72)
(2.73)
(2.74)
2.25. Calcule los siguientes lı́mites
πx
lı́m(1 − x) tan
;
2
x→1
π
lı́m cotg(2x) cotg
−x ;
x→0
2
1 − 2 cos(x)
lı́m
;
π − 3x
x→π/3
(2.75)
(2.76)
(2.77)
cos(mx) − cos(nx)
;
x2
tan(x) − sen(x)
lı́m
;
x→0
x3
sen(x) − sen(a)
lı́m
.
x→a
x−a
lı́m
x→0
(2.78)
(2.79)
(2.80)
2.7 Problemas propuestos
81
2.26. Calcule los siguientes lı́mites
tan(πx)
;
x→−2 x + 2
1 − x2
lı́m
;
x→1 sen(πx)
cos πx
2
lı́m
√ ;
x→1 1 − x
lı́m
(2.81)
(2.82)
(2.83)
1−
p
cos(x)
;
lı́m
x→0
x2
p
p
1 + sen(x) − 1 − sen(x)
lı́m
;
x→0
x3
cos(x) − cos(a)
lı́m
.
x→a
x−a
(2.84)
(2.85)
lı́m tanh(x);
(2.90)
(2.86)
2.27. Calcule los siguientes lı́mites
ln(cos(x))
;
x→0
x2
senh(x)
lı́m
;
x→0
x
cosh(x) − 1
;
lı́m
x→0
x2
lı́m
(2.87)
x→−∞
(2.88)
x→0− 1 + e1/x
(2.89)
x→2+ x − 2
lı́m
lı́m
1
x
;
(2.91)
.
(2.92)
2.28. Hallar números enteros p ∈ Z y q ∈ Z \ {0}, primos entre sı́ y tales que x = p/q.
x = 0.1355555...
(2.93)
x = 5.34457457457457...
(2.96)
x = 0.3711111...
(2.94)
x = 4.1913913913913....
(2.97)
x = 4.8799999...
(2.95)
x = 4.599999999...
(2.98)
2.29. Hallar el lı́mite de los perı́metros de los polı́gonos regulares de n lados inscritos en una circunferencia de
radio R, si n → ∞.
2.30. El segmento AB = a de la Figura 2.8 está dividido en n partes iguales. Sobre cada una de ellas, tomándola
como base, se ha construido un triángulo isósceles, cuyos ángulos en la base son igaules a α = π/4. Demostrar
que el lı́mite del perı́metro de la lı́nea quebrada ası́ formada es diferente de la longitud del segmento AB, a
pesar de que, pasando al lı́mite cuando n → ∞, la lı́nea quebrada se confunde geométricamente con el segmento
AB.
Figura 2.8
Capı́tulo 3
La derivada y sus aplicaciones
“ En tanto que las leyes de las matemáticas se refieren a la
realidad, son falsas; y, en tanto que sean ciertas, no se refieren a
la realidad ”
Albert Einstein
3.1.
Introducción
El lector puede apoyar el estudio de la presente sección con [3] y [1]. En el apunte anterior se estudiaron los
conceptos de continuidad y lı́mite de una función real de variable real. A grosso modo dijimos que una función
es continua cuando su gráfica no presenta cortes o saltos. El objetivo de este capı́tulo es estudiar el concepto
de derivabilidad. Intuitivamente, una función f será derivable en un punto x0 ∈ Dom( f ) si la gráfica de f es
continua en x0 y, además, el cambio de f (x) es suave cuando x está en las cercanı́as de x0 - dicho de otra manera,
cuando la gráfica de f no presenta una punta en x0 .
y 6
q
q
s
q
q
q
q
q
0
q
q
q
qb
a
q
q
c
q
s
q
c
s
q
d
s
q
q
-
x
Conforme a la noción intuitiva que acabamos de mencionar, tenemos que la función representada en el gráfico
es derivable en x = a pero no lo es en los puntos x ∈ {b, c, d}.
La noción recién presentada es consistente con la siguiente Definición.
Definición 3.1 [Derivabilidad en un punto y en una región]
Sea f una función continua en el intervalo (a, b) y sea x0 ∈ (a, b). Se dice que f es derivable en x0 ∈ Dom( f ) si
lı́m
h−→0
f (x0 + h) − f (x0 )
≡ f 0 (x0 ) ∈ R.
h
(3.1)
En este caso, se dice que f 0 (x0 ) es la derivada de f en el punto x = x0 . Si f es derivable en todo punto x ∈ I ⊆ Dom( f ),
decimos que f es derivable en I.
Observación 3.1 También suelen encontrarse las siguientes notaciones alternativas para la derivada de una función f
en un punto x0 :
83
84
3 La derivada y sus aplicaciones
df
(x0 ) = f˙(x0 ) = fx (x0 ) = Dx f (x0 ).
(3.2)
dx
Nosotros usaremos principalmente la primera notación y, sólo cuando hace las cosas más intuitivas, la segunda notación.
f 0 (x0 ) =
Nuestra primera proposición nos dice que para que f 0 (x0 ) exista, la suavidad de la curva de la función f ,
cuando x tiende a x0 tiene que ser la misma si nos movemos desde la derecha o desde la izquierda. Para medir
la suavidad desde la izquierda introducimos la idea de derivada por la izquierda de f en x = x0 :
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
h↑0
f−0 (x0 ) ≡ lı́m
Para medir la suavidad desde la derecha introducimos la idea de derivada por la derecha de f en x = x0 :
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
h↓0
f+0 (x0 ) ≡ lı́m
Proposición 3.1 [Derivadas laterales]
Para que exista la derivada de una función f en x0 ∈ Dom( f ) es necesario y suficiente que
i) f sea continua en x = x0 ;
ii) f+0 (x0 ) = f−0 (x0 ) ∈ R.
En este caso,
f 0 (x0 ) = f+0 (x0 ) = f−0 (x0 ).
Ejemplo 3.1 Consideremos la función valor absoluto:



si x ≥ 0,
x,
Abs(x) = 

−x, si x < 0.
A partir de su definición podemos ver que



si x > 0,
1,
Abs0 (x) = 

−1, si x < 0;
pero, puesto que
Abs0+ (0) = 1 , −1 = Abs0− (0),
la función valor absoluto no es derivable en x = 0.
Figura 3.1 La función valor
absoluto es derivable en
todos los puntos de R \ {0}.
En los siguientes dos ejemplos derivamos mediante la fórmula (3.1) las funciones seno y logarı́tmica.
Ejemplo 3.2 Sea f (x) = ln(x), si x > 0. Usamos el cambio de variable α = h/x0 para calcular f 0 (x0 ):
(3.3)
3.2 Reglas y fórmulas para derivar
85
f (x0 + h) − f (x0 )
h
h−→0
ln(x0 + h) − ln(x0 )
= lı́m
h
h−→0
ln((x0 + h)/x0 )
= lı́m
h
h−→0
ln(1 + xh0 )
= lı́m
h
h−→0
ln(1 + α)
= lı́m
αx0
α−→0
ln(1 + α)
1
=
· lı́m
x0 α−→0
α
1
= .
x0
f 0 (x0 ) = lı́m
Ejemplo 3.3 Sea f (x) = sen(x), x ∈ R. Usamos el hecho que
sen(A + B) − sen(A − B) = 2 sen(B) cos(A),
A, B ∈ R,
y el cambio de variable α = h/2, para calcular f 0 (x0 ), cuando x = x0 ∈ R:
f (x0 + h) − f (x0 )
h
h−→0
sen(x0 + h) − sen(x0 )
= lı́m
h
h−→0
2 sen(h/2) cos(x0 + h/2)
= lı́m
h
h−→0
!
sen(h/2)
= lı́m cos(x0 + h/2) · lı́m
h/2
h−→0
h−→0
sen(α)
= cos(x0 ) · lı́m
α
α−→0
= cos(x0 ).
f 0 (x0 ) = lı́m
3.2.
Reglas y fórmulas para derivar
Usando las herramientas vistas en el apunte de lı́mites y la fórmula (3.1) se puede proceder como en los
Ejemplos 3.2 y 3.3 para obtener las siguientes reglas de derivación.
Proposición 3.2 [Reglas de derivación]
Sean c ∈ R una constante, u y v dos funciones reales y x ∈ Dom(u) ∩ Dom(v). Se tiene que
i) (c)0 = 0;
ii) (x)0 = 1;
iii) (u + v)0 (x) = u0 (x) + v0 (x);
iv) (c u)0 (x) = c u0 (x);
v) (u · v)0 (x) = u0 (x) · v(x) + u(x) · v0 (x);
0
u0 (x) v(x) − u(x) v0 (x)
u
vi)
(x) =
, si v(x) , 0;
v
v2 (x)
0
v0 (x)
1
vii)
(x) = − 2 , si v(x) , 0;
v
v (x) v(x)
v
0
viii) (u ) (x) = (uv )(x) · v0 (x) ln(u(x)) + u(x) u0 (x) , si u(x) > 0.
86
3 La derivada y sus aplicaciones
Las fórmulas para las derivadas de las funciones básicas se presentan en la siguiente tabla:
f0 (x)
Observación
p−1
px
p,0
cos(x)
− sen(x)
sec2 (x)
x ∈ Dom(tan)
2
− csc (x) x ∈ Dom(cotg)
1
arc sen(x) √
|x| < 1
1 − x2
1
arc cos(x) − √
|x| < 1
1 − x2
1
arctan(x)
1 + x2
ex
ex
x
x
a
a ln(a)
a>0
ln(x)
1/x
x>0
1
loga (x)
x > 0, a ∈ R+ \ {1}
x ln(a)
f(x)
xp
sen(x)
cos(x)
tan(x)
cotg(x)
Ejemplo 3.4 Usamos la Proposición 3.2 para calcular la derivada de la función definida por la fórmula
f (x) = x4 cos(x) − arctan(x) ln(x).
Tenemos, para x ∈ Dom( f ) ∩ Dom( f 0 ), que
0
f 0 (x) = x4 cos(x) − arctan(x) ln(x)
0
= x4 cos(x) − (arctan(x) ln(x))0
0
= x4 cos(x) + x4 (cos(x))0 − (arctan(x))0 ln(x) − arctan(x) (ln(x))0
1
1
ln(x) − arctan(x) ·
x
1 + x2
ln(x)
arctan(x)
= 4x3 cos(x) − x4 sen(x) −
.
−
x
1 + x2
= 4x3 cos(x) − x4 sen(x) −
Ejemplo 3.5 Calculemos la derivada de la función definida por la fórmula
f (x) = (sen(x) + ex )x +5x−1 .
2
Para aplicar el punto 8 de la Proposición 3.2, escribimos
f (x) = (u(x))v(x) ,
donde
u(x) = sen(x) + ex ,
v(x) = x2 + 5x − 1.
Tenemos, para x ∈ Dom( f ) ∩ Dom( f 0 ), que
u0 (x) = (sen(x) + ex )0
= (sen(x))0 + (ex )0
= cos(x) + ex ,
(3.1)
y
0
v0 (x) = x2 + 5x − 1
= (x2 )0 + (5x)0 + (−1)0
= 2x + 5.
(3.2)
3.3 La Regla de la Cadena
87
Entonces, por (3.1) y (3.2), tenemos que
x x2 +5x−1
f (x) = (sen(x) + e )
0
3.3.
!
x2 + 5x − 1
x
· (2x + 5) ln(sen(x) + e ) +
(cos(x) + e ) .
sen(x) + ex
x
La Regla de la Cadena
En la siguiente proposición presentamos la Regla de la Cadena, fórmula que permite derivar funciones
compuestas. La idea es simple: si y = f (u) y u = g(x) entonces podemos escribir
Y = f (g(x)),
donde usamos Y en vez de y para recordarnos que “ha cambiado la variable u por la variable x”; entonces
dY dy du
=
· .
dx du dx
(3.1)
Obsérvese que en el lado derecho de (3.1) uno intuivamente puede pensar que se simplica el factor du para obtener el
lado izquierdo.
Proposición 3.3 [Regla de la Cadena]
Consideremos las funciones reales
g : Dom(g) −→ R
x
7−→ u = g(x),
(3.2)
y
f : Dom( f ) −→ R
u
7−→ y = f (u).
(3.3)
Supongamos que g es derivable en x0 ∈]a, b[⊆ Dom(g) y que f es derivable en u0 = g(x0 ) ∈]c, d[⊆ Dom( f ).
Entonces,
( f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x0 )) · g0 (x0 ),
(3.4)
o, denotando Y = f ◦ g,
dy
du
dY
(x0 ) =
(u0 ) · (x0 ).
dx
du
dx
(3.5)
Observación 3.2 [Estrategia para derivar funciones compuestas (ERC)]
En la práctica, cuando derivamos una función h que resulta de la composición de dos o más funciones, trabajamos de afuera
hacia adentro, es decir detectamos cual es la última operación que se ejecuta para calcular h(x) y empezamos a derivar
por la función que le corresponde, respetando el argumento que aparece en su interior. A este resultado multiplicamos por
la derivada de la función correspondiente a la penúltima operación ejecutada para calcular h(x), respetando el argumento
que aparece en su interior. Continuamos este proceso hasta agotar las operaciones.
Ejemplo 3.6 Derivemos la función definida por la fórmula
h(x) = tan3 (x).
Para ello, observemos como trabaja h(x): toma x y cálcula su tangente, para entonces elevar ese resultado al cubo. Ahora
aplicamos (ERC), para x ∈ Dom(h) ∩ Dom(h0 ):
88
3 La derivada y sus aplicaciones
0
h0 (x) = tan3 (x)
= 3 tan2 (x) · (tan(x))0
= 3 tan2 (x) · sec2 (x).
Ejemplo 3.7 Derivemos la función definida por la fórmula
h(x) = arctan(x7 + 4x3 + 5).
Para ello, observemos como trabaja h(x): toma x y cálcula x7 + 4x3 + 5, para entonces obtener el arco tangente de este
resultado. Ahora aplicamos (ERC), para x ∈ Dom(h) ∩ Dom(h0 ):
0
h0 (x) = arctan(x7 + 4x3 + 5)
=
=
=
1
1 + (x7 + 4x3 + 5)2
1
1 + (x7 + 4x3 + 5)2
· (x7 + 4x3 + 5)0
· (7x6 + 12x2 )
7x6 + 12x2
.
1 + (x7 + 4x3 + 5)2
Ejemplo 3.8 Derivemos la función definida por la fórmula
h(x) = sen5 (ln(x)).
Para ello, observemos como trabaja h(x): toma x y cálcula su logaritmo; entonces calcula el seno de ese resultado para
finalmente elevarlo a la potencia 5. Ahora aplicamos (ERC), para x ∈ Dom(h) ∩ Dom(h0 ):
0
h0 (x) = sen5 (ln(x))
= 5 sen4 (ln(x)) · (sen(ln(x)))0
= 5 sen4 (ln(x)) · cos(ln(x)) · (ln(x))0
1
= 5 sen4 (ln(x)) · cos(ln(x)) ·
x
5 sen4 (ln(x)) · cos(ln(x))
.
=
x
Una apropiada aplicación de las reglas y fórmulas descritas anteriormente, más la regla de la cadena, permiten derivar
prácticamente toda función (derivable). Para adquirir esta capacidad el estudiante debe desarrollar tantos ejercicios como sean
necesarios hasta que él mismo sienta dominio sobre la técnica. Al final de este capı́tulo hay un número moderado de ejercicios
- para algunos estudiantes puede ser un número apropiado de ejercicios, para otros pueden ser demasiados ejercicios y para
otros pueden no ser suficientes, ¡el estudiante debe autoevaluarlo!
3.4.
Derivadas de orden superior
Como ya hemos visto, la derivada f 0 de una función f es también una función. Si f 0 es a su vez derivable,
denotamos
f 00 = ( f 0 )0
o, lo que es lo mismo,
!
d2 f
d df
,
=
d x2 dx d x
3.4 Derivadas de orden superior
89
d2 f
y se dice que f 00 = d x2 es la derivada de segundo orden de f . En tanto que se pueda seguir derivando, la
derivada de orden m ∈ N de f estará dada por
!
dm f
d dm−1 f
=
.
d xm dx d xm−1
(3.1)
Ejemplo 3.9 Hallemos la derivada de segundo orden de la función definida por la fórmula
h(x) =
tan3 (x)
+ tan(x) + x.
3
Tenemos, para x ∈ Dom(h) ∩ Dom(h0 ), que
!0
tan3 (x)
h (x) =
+ tan(x) + x
3
1
= (tan3 (x))0 + (tan(x))0 + (x)0
3
= tan2 (x) · (tan(x))0 + sec2 (x) + 1
0
= tan2 (x) sec2 (x) + sec2 (x) + 1
= sec2 (x) (tan2 (x) + 1) + 1
= sec4 (x) + 1;
y, entonces, para x ∈ Dom(h) ∩ Dom(h0 ) ∩ Dom(h00 ),
h00 (x) = (h0 (x))0
= (sec4 (x) + 1)0
= (cos−4 (x) + 1)0
= −4 cos−5 (x) · (− sen(x))
= 4 sec4 (x) tan(x).
Ejemplo 3.10 Sea α ∈ R. Calculemos la derivada de segundo orden de la función definida por la fórmula
!
x · sen(α)
.
f (x) = arctan
1 − x · cos(α)
Por (ERC) tenemos, para x ∈ Dom( f ) ∩ Dom( f 0 ), que
"
f 0 (x) = arctan
=
x · sen(α)
1 − x · cos(α)
!#0
!0
x sen(α)
x sen(α) 2 ∗ 1 − x cos(α) .
1
1 + 1−x cos(α)
(3.2)
Sacamos aparte
x sen(α)
1 − x cos(α)
!0
(x sen(α))0 (1 − x cos(α)) − (x sen(α))(1 − x cos(α))0
(1 − x cos(α))2
sen(α)
=
.
(1 − x cos(α))2
=
Entonces, reemplazando (3.3) en (3.2) y operando se alcanza
f 0 (x) =
Entonces
sen(α)
.
2(1 − x cos(α))
(3.3)
90
3 La derivada y sus aplicaciones
!0
sen(α)
2(1 − x cos(α))
sen(α)
− cos(α)
=−
·
2
(1 − x cos(α))2
sen(2α)
.
=
4(1 − x cos(α))2
f 00 (x) =
3.5.
La regla de Bernoulli - L’Hôpital
La Regla de Bernoulli - L’Hôpital, (BH), es una herramienta muy útil que permite en muchos casos levantar
indeterminaciones de la forma 0/0 y ∞/∞ cuando tanto el numerador como el denominador de r = f /g son
funciones diferenciables.
Regla (BH)
Sea r = f /g una función diferenciable en (a, b). Supongamos que L ∈ R ∪ {−∞, ∞}, x0 ∈ (a, b) y que
f 0 (x0 )
= L.
g0 (x0 )
Si
lı́m f (x) = lı́m g(x) = 0,
x−→x0
∨
x−→x0
entonces,
lı́m
lı́m |g(x)| = +∞,
x−→x0
f (x)
x−→x0 g(x)
= L.
En la Regla (BH) se puede considerar el caso en que x0 es +∞ o −∞.
Demostración. Consideremos únicamente el caso en que L ∈ R y lı́m f (x) = lı́m g(x) = 0. Puesto que f (x0 ) =
x−→x0
g(x0 ) = 0, se tiene que
x−→x0
f (x)− f (x0 )
f (x)
x−x0
lı́m
= lı́m g(x)−g(x
x→x0 g(x)
x→x0
0)
x−x0
f (x0 +h)− f (x0 )
h
= lı́m g(x +h)−g(x
0
0)
h→0
h
f 0 (x0 )
= 0
g (x0 )
= L.
Observación 3.3 A veces es necesario aplicar sucesivamente más de una vez (BH) para calcular un lı́mite planteado
como una una indeterminación 0/0 o ∞/∞.
Ejemplo 3.11 Tenemos que
3.5 La regla de Bernoulli - L’Hôpital
91
sen(x)
(sen(x))0
= lı́m
x
(x)0
x−→0
x−→0
cos(x)
= lı́m
1
x−→0
= 1.
lı́m
Ejemplo 3.12 Tenemos que
ln(1 + x)
(ln(1 + x))0
= lı́m
x
(x)0
x−→0
x−→0
lı́m
1
= lı́m 1+x
x−→0 1
= 1.
Ejemplo 3.13 Queremos calcular
x3 − 3x2 + x + 1
.
x−→−∞
2x3 − 2
Por supuesto, podrı́amos recurrir al uso de infinitos como lo mencionamos en el capı́tulo anterior pero preferimos en esta
ocasión usar (BH) para ejemplificar su uso. En este caso, es necesaria la aplicación sucesiva de (BH).
lı́m
(x3 − 3x2 + x + 1)0
x3 − 3x2 + x + 1
= lı́m
3
x−→−∞
x−→−∞
2x − 2
(2x3 − 2)0
3x2 − 6x + 1
= lı́m
x−→−∞
6x2
(3x2 − 6x + 1)0
= lı́m
x−→−∞
(6x2 )0
6x − 6
= lı́m
x−→−∞ 12x
(6x − 6)0
= lı́m
x−→−∞ (12x)0
1
= .
2
lı́m
Ejemplo 3.14 Queremos calcular
x3 − 2x2 − x + 2
.
x−→1
x3 − 7x + 6
Observemos que tanto el numerador como el denominador tienden a cero cuando x −→ 1, es decir estamos tratando con
una indeterminación 0/0. Por supuesto, podrı́amos dividir tanto el numerador como el denominador por el factor (x − 1)
para intentar levantar la indeterminación pero preferimos usar (BH) para ejemplificar su uso.
lı́m
(x3 − 2x2 − x + 2)0
x3 − 2x2 − x + 2
=
lı́m
x−→1
x−→1
x3 − 7x + 6
(x3 − 7x + 6)0
3x2 − 4x − 1
= lı́m
x−→1 3x2 − 7x
3 · (1)2 − 4 · (1) − 1
=
3 · (1)2 − 7
1
= .
2
lı́m
92
3.6.
3 La derivada y sus aplicaciones
Derivación de una función implı́cita
A veces la función que establece la dependencia entre las variables x e y no está dada de manera explı́cita,
esto es mediante una fórmula
y = f (x),
sino de manera implı́cita,
F(x, y) = cte.,
(3.1)
dy
lo cual quiere decir que posiblemente no se puede despejar y en términos de x. En este caso, para hallar y0 = dx
derivamos (3.1) con respecto a x considerando que y es función de x, es decir usamos la regla de la cadena.
dy
Como segundo paso, despejamos y0 = dx .
dx
Observación 3.4 Ahora, si lo que buscamos es dy
, podemos proceder de manera análoga, es decir derivando (3.1) con
dy
respecto a y considerando a x como función de y. Como alternativa, para cuando ya se tiene calculado dx , se puede hacer:
1
dx
= dy .
dy
(3.2)
dx
dy
Ejemplo 3.15 Buscamos y0 = dx cuando las variables x e y están ligadas por la función determinada por la fórmula
x5 + y5 − 5a xy = 1,
(3.3)
donde a ∈ R es una constante. Para ello derivamos (3.3):
d
d 5
x + y5 − 5a xy =
(1)
dx
dx
5x4 + 5y4 · y0 − 5a(y + xy0 ) = 0,
de donde, despejando y0 , obtenemos
y0 =
ay − x4
.
y4 − ax
dx
Ahora, si buscamos dy
, aplicamos (3.2) y obtenemos
y4 − ax
dx
1
1
=
.
= dy =
ay−x4
dy
ay − x4
dx
y4 −ax
dx
Ejemplo 3.16 Buscamos x0 = dy
cuando las variables x e y están ligadas por la relación
y − sen(x) − ln(x2 − 5x + 4) = 0.
(3.4)
Una primera estrategia para proceder serı́a derivar directamente con respecto a y en (3.4), lo cual involucra varias veces
la aplicación de la regla de la cadena (tema en el que suele tener dificultades el principiante). Por otro lado, observamos
que es más fácil derivar (3.4) con respecto a x, ası́ que optamos por esta vı́a para entonces aplicar (3.2):
d d
y − sen(x) − ln(x2 − 5x + 4) =
(0)
dx
dx
dy
2x − 5
− cos(x) − 2
= 0,
dx
x − 5x + 4
de donde obtenemos
y finalmente
dy
2x − 5
= cos(x) + 2
,
dx
x − 5x + 4
3.6 Derivación de una función implı́cita
93
dx
2x − 5 −1
.
= cos(x) + 2
dy
x − 5x + 4
Observación 3.5 El método de derivación de una función dada implı́citamente es una alternativa al punto 8 de la
dy
Proposición 3.2, cuando se busca dx y las variables x e y están ligadas por la función definida por la fórmula
y = (u(x))v(x) ,
(3.5)
donde, a su vex, u y v son funciones de x. La nueva estrategia requiere tomar ln en (3.5) para entonces derivar con respecto
a x.
dy
Ejemplo 3.17 Buscamos dx cuando las variables x e y están ligadas por la fórmula dada por la fórmula
2
y = (sen(x))x −5x+4 .
Tenemos que
2
ln(y) = ln (sen(x))x −5x+4
= (x2 − 5x + 4) · ln(sen(x)).
(3.6)
Entonces, derivando con respecto a x en (3.6):
y0
cos(x)
= (2x − 5) · ln(sen(x)) + (x2 − 5x + 4) ·
,
y
sen(x)
ası́ que
#
"
cos(x)
2
y = y · (2x − 5) · ln(sen(x)) + (x − 5x + 4) ·
sen(x)
"
#
cos(x)
2
= (sen(x))x −5x+4 · (2x − 5) · ln(sen(x)) + (x2 − 5x + 4) ·
.
sen(x)
0
dy
Ejemplo 3.18 Buscamos dx cuando las variables x e y están ligadas por la función dada por la fórmula
sen(x)
y = (arctan(x))x
.
Tenemos que
sen(x) ln(y) = ln (arctan(x))x
= xsen(x) · ln(arctan(x)).
(3.7)
Puesto que en (3.7) todavı́a tenemos el problema de una función eleveda a otra función volvemos a tomar ln:
ln(ln(y)) = ln xsen(x) · ln(arctan(x)) ,
= sen(x) · ln(x) + ln(ln(arctan(x))).
Entonces, derivando con respecto a x en (3.8):
y0
1
1
= cos(x) · ln(x) + sen(x) · +
,
y · ln(y)
x (1 + x2 ) arctan(x) · ln(arctan(x))
ası́ que
"
#
sen(x)
1
y0 = y · ln(y) · cos(x) · ln(x) +
+
.
x
(1 + x2 ) arctan(x) · ln(arctan(x))
(3.8)
94
3 La derivada y sus aplicaciones
3.7.
Monotonı́a y Puntos Crı́ticos
Para empezar, consideremos una función real de variable real f cualquiera, no requerimos su derivabilidad.
Recordemos que
f es creciente, denotado f %, si se cumple que
f (x1 )≤ f (x2 ),
∀x1 , x2 ∈ Dom( f ), x1 < x2 .
f es estrictamente creciente, denotado f %%, si se cumple que
f (x1 )< f (x2 ),
∀x1 , x2 ∈ Dom( f ), x1 < x2 .
f es decreciente, denotado f &, si se cumple que
f (x1 )≥ f (x2 ),
∀x1 , x2 ∈ Dom( f ), x1 < x2 .
f es estrictamente decreciente, denotado f &&, si se cumple que
f (x1 )> f (x2 ),
∀x1 , x2 ∈ Dom( f ), x1 < x2 .
Recuerde a una función que es creciente o decreciente se dice que es monótona.
El conjunto de ceros de una función real f se denota Z[ f ], es decir
Z[ f ] = {x ∈ Dom/ f (x) = 0}.
(3.1)
Para una función, aquellos puntos donde la derivada se anula son importantes tanto para el análisis de
monotonı́a como para el estudio de extremos locales.
Definición 3.2 [Puntos crı́ticos]
Sea f una función real derivable en x0 ∈ Dom( f ). Decimos que x0 es un punto crı́tico de f si se tiene que
f 0 (x0 ) = 0. Al conjunto de puntos crı́ticos de f se le denota K [ f ], es decir,
K [ f ] = {x ∈ Dom( f ) : f 0 (x) = 0}.
(3.2)
Observación 3.6 Dada una función f , para hallar K [ f ] hay que resolver la ecuación
f 0 (x) = 0,
x ∈ Dom( f ).
Proposición 3.4 Sea f una función derivable en I ⊆ Dom( f ). Entonces, f es creciente en I si y sólo si
f 0 (x) ≥ 0,
∀x ∈ I.
(3.3)
f 0 (x) ≤ 0,
∀x ∈ I.
(3.4)
Asimismo, f es decreciente en I si y sólo si
En la proposición anterior, podemos hablar de crecimiento o decrecimiento estrictos en tanto que las desigualdades (3.3) y (3.4) sean también estrictas. También se deduce que los puntos crı́ticos de una función
probablemente son aquellos donde el signo de su derivada cambia.
Ejemplo 3.19 Consideramos la función determinada por la fórmula
3.7 Monotonı́a y Puntos Crı́ticos
95
1
2
1
f (x) = x4 − x3 − x2 + 2x.
4
3
2
Los puntos crı̀ticos de f son las soluciones de la ecuaciòn
f 0 (x) = x3 − 2x2 − x + 2 = 0,
es decir,
K [ f ] = {−1, 1, 2}.
Para conocer donde la función es creciente o decreciente, consideramos los intervalos
I1 = (−∞, −1],
I2 = [−1, 1],
I3 = [1, 2],
I4 = [2, ∞)
(obsérvese que son intervalos cerrados) y evaluamos f 0 en puntos de cada uno de estos intervalos; por ejemplo en los puntos
x1 = −1.5 ∈ I1 ,
Tenemos que
Por tanto, la función f es creciente en
y decreciente en
x2 = 0.0 ∈ I2 ,
x3 = 1.5 ∈ I3 ,
x4 = 2.5 ∈ I4 .
f 0 (x1 ) = −4.375 < 0,
f 0 (x2 ) = 2.0 > 0,
f 0 (x3 ) = −0.625 < 0,
f 0 (x4 ) = 2.625 > 0.
I2 ∪ I4 = [−1, 1] ∪ [2, ∞[,
I1 ∪ I3 =] − ∞, −1] ∪ [1, 2].
Ejemplo 3.20 Consideramos la función definida mediante
f (x) = x · ln(x) − x,
x ∈ (0, ∞).
Los puntos crı̀ticos de f son las soluciones de la ecuación
f 0 (x) = ln(x) = 0,
es decir,
x ∈ (0, ∞),
K [ f ] = {1}.
Para conocer donde la función es creciente o decreciente, consideramos los intervalos
I1 = (0, 1],
I2 = [1, +∞)
(obsérvese que son intervalos cerrados) y evaluamos f 0 en puntos de cada uno de estos intervalos; por ejemplo en los puntos
x1 = 0.5 ∈ I1 ,
Tenemos que
f 0 (x1 ) = −0.69314 < 0,
Por tanto, la función f es creciente en
y decreciente en
x2 = 1.5 ∈ I2 .
f 0 (x2 ) = 0.40546 > 0.
I2 = [1, ∞),
I1 = (0, 1].
Ejemplo 3.21 Puesto que para la función ln se tiene que
(ln(x))0 =
1
> 0,
x
x > 0,
es claro que ln no tiene puntos crı́ticos y además es estrictamente creciente en todo su dominio.
Ejemplo 3.22 Puesto que para la función exp se tiene que
96
3 La derivada y sus aplicaciones
exp0 (x) = ex > 0,
x ∈ R,
es claro que exp no tiene puntos crı́ticos y además es estrictamente creciente en todo su dominio de definición.
3.8.
Convexidad y puntos de inflexión
El concepto de convexidad es muy útil para determinar en variadas situaciones la existencia de un único
mı́nimo local. Para hablar de convexidad no se requiere en principio la derivabilidad de la función bajo
estudio; pero, cuando la función tiene derivada de segundo orden, el estudio de la convexidad se ve reducido
al signo de la segunda derivada.
Definición 3.3 [Convexidad de una función]
Se dice que una función real φ es convexa en [a, b] ⊆ Dom( f ) si se cumple que
φ(tx + (1 − t)y) ≤ tφ(x) + (1 − t)φ(y),
∀x, y ∈ [a, b], ∀t ∈]0; 1[.
(3.1)
Si en (3.1) la desigualdad cambia de sentido, diremos que φ es una función cóncava en [a, b].
Si en la definición anterior, la desigualdad es estricta diremos que φ es estrictamente convexa. De la misma
manera definimos el concepto de concavidad estricta.
Intuitivamente, podemos decir que una función f es convexa (respectivamente cóncava) en un intervalo I = [a, b] ⊆ Dom( f )
cuando su gráfica presenta una abertura hacia arriba (respectivamente hacia abajo).
Definición 3.4 [Puntos de inflexión]
Sea f una función real y sea x0 ∈ Dom( f ). Se dice que x0 es un punto de inflexión de f si existe un intervalo
[a, b] ⊆ Dom( f ), tal que x0 ∈ (a, b) y tal que se cumple una de las siguientes condiciones
a) f es cóncava en [a, x0 ] y convexa en [x0 , b];
b) f es convexa en [a, x0 ] y cóncava en [x0 , b].
Al conjunto de puntos de inflexión de f se le denota por I[ f ].
En las cuatro gráficas que siguen se presentan funciones que no tienen puntos de inflexión; en las Figuras 3.2
y 3.4 las funciones son estrictamente convexa y en la Figuras 3.3 y 3.5 las funciones son estrictamente cóncavas.
Figura 3.2 La función
definida por f (x) = x2 + 1 es
es estrictamente convexa.
Ejemplo 3.23 A partir de la gráfica de la función
f (x) = x3 − 1
3.8 Convexidad y puntos de inflexión
97
Figura 3.3 La función
definida por f (x) = −x2 − 1
es es estrictamente cóncava.
Figura 3.4 La función
definida por f (x) = ex + 1 es
estrictamente convexa.
Figura 3.5 La función
definida por f (x) = −ex − 1
es es estrictamente cóncava.
(Figura 3.6) podemos intuir que es cóncava en ] − ∞; 0] y convexa en [0, ∞[ ası́ que x0 = 0 es un punto de inflexión de f .
Figura 3.6 La función dada
por la fórmula f (x) = x3 − 1
tiene un punto de inflexión
en x = 0.
Ejemplo 3.24 Las funciones pueden cambiar su comportamiento de convexo a cóncavo (o viceversa) varias veces y por
tanto pueden tener varios (incluso infinitos) puntos de inflexión. Véanse por ejemplo Figuras 3.7 y 3.8 de las funciones
definidas por las fórmulas f (x) = x3 − 2x2 − x + 2 y g(x) = sen(x).
Para encontrar los puntos de inflexión de una función que tiene derivada de segundo orden es útil la
siguiente proposición.
98
3 La derivada y sus aplicaciones
Figura 3.7 La función
dada por la fórmula f (x) =
x3 − 2x2 − x + 2 tiene un
punto de inflexión en
x = 2/3.
Figura 3.8 La función dada
por la fórmula g(x) = sen(x)
tiene puntos de inflexión
en x = kπ, k ∈ Z.
Proposición 3.5 Sea f una función real que tiene derivada de segundo orden en x0 ∈ (a, b) ⊆ Dom( f ). Si
f 00 (x0 ) = 0 y existe un > 0 (probablemente pequeño) tal que una de las relaciones siguiente se cumple
a) f 00 (x) > 0, ∀x ∈ (x0 − ; x0 )
b) f 00 (x) < 0, ∀x ∈ (x0 − ; x0 )
∧
∧
f 00 (x) < 0, ∀x ∈ (x0 ; x0 + );
f 00 (x) > 0, ∀x ∈ (x0 ; x0 + ),
entonces x0 es un punto de inflexión de f .
Ejemplo 3.25 Consideremos la función definida por la fórmula f (x) = x3 − 1 cuyo gráfico fue presentado en el Ejemplo
3.23 y a partir del cual intuimos que deberı́a haber un punto de inflexión en x0 = 0. Veamos si a través de la Proposición
3.5 confirmamos nuestra intuición y si quizá existen más puntos de inflexión. Tenemos que
ası́ que f 00 (0) = 0. Es bastante claro que
y que
ası́ que por la Proposición 3.5 se tiene que
f 00 (x) = 6x,
x ∈ R,
f (x) < 0,
∀x < 0,
f (x) > 0,
∀x > 0,
I[ f ] = {0}.
Ejemplo 3.26 Consideremos la función determinada por la fórmula f (x) = x3 − 2x2 − x + 2 cuyo gráfico fue presentado
en el Ejemplo 3.24 y a partir del cual podemos intuir que hay un punto de inflexión en las cercanı́as de x = 1. Tenemos que
f 00 (x) = 6x − 4,
ası́ que f 00 (2/3) = 0. Es bastante claro que
x ∈ R,
3.9 Extremos de una función
99
y que
ası́ que por la Proposición 3.5 se tiene que
f (x) < 0,
∀x < 2/3,
f (x) > 0,
∀x > 2/3,
I[ f ] = {2/3}.
La siguiente Proposición es también útil.
Proposición 3.6 Sea f una función real y sea x0 ∈ (a, b) ⊆ Dom( f ). Si f 00 (x0 ) = 0 y f 000 (x0 ) , 0, entonces x0 es
un punto de inflexión de f .
Ejemplo 3.27 Consideremos la función definida por la fórmula f (x) = sen(x) cuyo gráfico fue presentado en el Ejemplo
3.24 y a partir del cual podemos intuir que deberı́an haber infinitos puntos de inflexión. Tenemos que
f 00 (x) = − sen(x),
ası́ que
f 00 (kπ) = 0,
f 000 (x) = − cos(x),
∀k ∈ Z.
Ahora bien, puesto que



−1, si k es par,
f 000 (kπ) = 

+1, si k es impar,
se sigue por la Proposición 3.6 que
3.9.
I[ f ] = {kπ : k ∈ Z}.
Extremos de una función
Presentamos en la Sección 3.7 el concepto de punto crı́tico y dijimos que el cálculo de puntos crı́ticos de
una función es una buena herramienta para encontrar los puntos donde localmente se optimiza (minimiza o
maximiza) la función. En efecto, como veremos más adelante, un punto crı́tico es un punto de máximo, de
mı́nimo o es un punto de ensilladura.
Definición 3.5 [Máximos y mı́nimos]
Sea f una función real y sea x0 ∈ Dom( f ). Se dice que x0 es un punto de máximo local de f si existe una región
I = (a, b) ⊆ Dom( f ) tal que
i) x0 ∈ I;
ii) f (x) ≤ f (x0 ), para todo x ∈ I.
Se dice que x0 es un punto de mı́nimo local de f si se cumple que
i) x0 ∈ I;
ii) f (x) ≥ f (x0 ), para todo x ∈ I.
Observación 3.7 Si en la definición anterior se tiene que I = Dom( f ), cambiaremos el término local por global.1
Llamamos punto de extremo a todo punto de máximo o mı́nimo, ya sea local o global. A un punto crı́tico que no es punto
de máximo ni de mı́nimo se le llama punto de ensilladura.
1 En estas definiciones se puede cambiar la palabra local por relativo), y global por absoluto.
100
3 La derivada y sus aplicaciones
Teorema 3.1 [Criterio para extremos y puntos de ensilladura]
Sea x0 un punto crı́tico de la función f . Supongamos que la primera de las derivadas de f , que no se anula en x0
es de orden n. Entonces,
i) Si n es impar, x0 es un punto de ensilladura;
ii) caso contrario, si n es par, x0 es un punto de extremo y más aún
a) x0 es un punto de máximo local si f (n) (x0 ) < 0;
b) x0 es un punto de mı́nimo local si f (n) (x0 ) > 0.
Observación 3.8 En el teorema anterior lo más frecuente es tratar con n = 2. Entonces, para encontrar los extremos de
una función f (usualmente) se deberá
1) Hallar los puntos crı́ticos de f , es decir hallar el conjunto K ( f ) = {x ∈ Dom( f ) : f 0 (x) = 0}.
2) Para cada x0 ∈ K( f ), verificar el signo de f 00 (x0 ):
a) x0 es un punto de máximo local si f 00 (x0 ) < 0;
b) x0 es un punto de mı́nimo local si f 00 (x0 ) > 0.
Ejemplo 3.28 Consideramos la función determinada por la fórmula
2
1
1
f (x) = x4 − x3 − x2 + 2x.
4
3
2
Como vimos en el Ejemplo 3.19, los puntos crı̀ticos de f son las soluciones de la ecuaciòn
f 0 (x) = x3 − 2x2 − x + 2 = 0,
es decir,
K [ f ] = {−1, 1, 2}.
Para ver de qué tipo son estos puntos crı́ticos tenemos que evaluar
f 00 (x) = 3x2 − 4x − 1
en tales puntos:
f 00 (−1) = 6.0 > 0,
f 00 (1) = −2.0 < 0,
f 00 (2) = 3.0 > 0.
Por tanto, por el Teorema 3.1, tenemos que
1) f (x1 ) = f (−1.0) = −19
12 es un mı́nimo local de f ;
2) f (x2 ) = f (1.0) = 13
12 es un máximo local de f ;
3) f (x3 ) = f (2.0) = 23 es un mı́nimo local de f .
Además, observando el gráfico de f está claro que no tiene máximo global.
Ejemplo 3.29 Consideramos la función determinada por la fórmula
f (x) = x · ln(x) − x.
Como vimos en el Ejemplo 3.20, los puntos crı́ticos de f son las soluciones de la ecuaciòn
f 0 (x) = ln(x) = 0,
es decir,
Puesto que al evaluar
K [ f ] = {1}.
3.9 Extremos de una función
101
Figura 3.9 La función
determinada por f (x) =
1 4
2 3
1 2
4 x − 3 x − 2 x + 2x.
1
f 00 (x) = ,
x
en x1 = 1 tenemos f 00 (1) = 1 > 0, tenemos por el Teorema 3.1 que f (x1 ) = f (1) = −1 es un mı́nimo local de f . Viendo la
gráfica de f nos damos cuenta que de hecho es un mı́nimo global.
Figura 3.10 La función
determinada por f (x) =
x · ln(x) − x.
Ejemplo 3.30 Consideremos la función f (x) = x3 − 1 que fue estudiada parcialmente en los Ejemplos 3.23 y 3.25. Tenemos
que
f 0 (x) = 3x2 , f 00 (x)6x, f 000 (x) = 6,
ası́ que
f 0 (0) = f 00 (0) = 0,
f 000 (0) = 6 , 0,
y entonces, por el Teorema 3.1, se sigue que x1 = 0 es un punto de ensilladura para f .
Ejemplo 3.31 Consideremos la función determinada por la fórmula
f (x) =
x
.
1 + x2
Los puntos crı́ticos de f son las soluciones de la ecuación
f 0 (x) =
es decir,
1 − x2
= 0,
(1 + x2 )2
K [ f ] = {−1, 1}.
Evaluando
f 00 (x) =
2x5 − 4x3 − 6x
(1 + x2 )4
102
3 La derivada y sus aplicaciones
en los puntos crı́ticos de f tenemos
1
1
> 0, f 00 (1) = − < 0,
2
2
ası́ que f tiene un mı́nimo local en x1 = −1 y un máximo local en x2 = 1.
f 00 (−1) =
Figura 3.11 La función
determinada por f (x) =
x
.
1 + x2
3.10.
Rectas Tangente y Normal
Consideremos una función real f y supongamos que en x0 ∈ Dom( f ) se tiene
f (x0 ) = α,
f 0 (x0 ) = β.
Recta tangente
Busquemos en primer lugar la ecuación de T, la recta tangente a la gráfica de f en el punto x = x0 . Escribimos
T(x) = m1 · x + b1 ,
x ∈ Dom( f ).
(3.1)
Puesto que en el punto x0 tanto f como T tienen la misma pendiente se sigue que
m1 = f 0 (x0 ) = β,
(3.2)
y entonces, puesto que T(x0 ) = f (x0 ) = α se sigue que
m1 · x0 + b1 = α,
de donde
b1 = α − β · x0 .
(3.3)
La ecuación de la recta tangente a f en el punto x = x0 está dada entonces por
T(x) = β · (x − x0 ) + α,
x ∈ Dom( f ).
(3.4)
3.11 Ası́ntotas oblı́cuas
103
Recta normal
Busquemos ahora la ecuación de la recta normal N a la gráfica de f en el punto x = x0 . Para ello debemos
suponer adicionalmente que
β , 0.
Escribimos
N(x) = m2 · x + b2 ,
x ∈ Dom( f ).
(3.5)
Puesto que en el punto x0 las gráficas de f y T se cortan ortogonalmente, se sigue que
m2 = −
1
1
=− ,
m1
β
(3.6)
y entonces, puesto que N(x0 ) = f (x0 ) = α se sigue que
m2 · x0 + b2 = α,
de donde
b2 = α +
x0
.
β
(3.7)
La ecuación de la recta normal a f en el punto x = x0 está dada entonces por
1
N(x) = − (x − x0 ) + α,
β
3.11.
x ∈ Dom( f ).
(3.8)
Ası́ntotas oblı́cuas
Consideramos una función dada por la fórmula f (x). Si existen los lı́mites
f (x)
= lı́m f 0 (x),
x→∞ x
x→∞
m1 = lı́m
y
b1 = lı́m ( f (x) − m1 x)
x→∞
entonces la recta dada por
y = m1 x + b1
es una ası́ntota oblicua a la derecha para f . Si existen los lı́mites
m2 = lı́m
x→−∞
y
f (x)
= lı́m f 0 (x),
x→−∞
x
b2 = lı́m ( f (x) − m2 x)
x→−∞
entonces la recta dada por
y = m2 x + b2
es una ası́ntota oblicua a la izquierda para f .
Análisis de una función.- Corresponde a establecer el dominio de definición, rango, continuidad, derivabilidad, puntos
crı́ticos, puntos de inflexión, ası́ntotas, máximos, mı́nimos, monotonı́a, inyectividad y sobreyectividad.
104
3.12.
3 La derivada y sus aplicaciones
Cálculos aproximados via diferenciales
En su calculadora electrónica encuentra el sı́mbolo correspondiente a la función exponencial, exp(x) = ex ,
¿cierto? Y quizás al usar esa función, lo mismo que sen, cos, etc., usted está convencido de que usa realmente
tal función. Pero, ¿es realmente cierto? No. Su calculadora hace una aproximación apropiada del valor ex para
un x introducido por el usuario.2 Si x es un valor cercano a 0, entonces se puede usar un polinomio de Taylor /
McClaurin para aproximar ex :
n
X
1 k
x,
ex ≈
k!
k=0
para una cierta n ∈ N. En particular, para n = 1,
ex ≈ 1 + x.
Veamos en la siguiente tabla qué tan buena es la aproximación. Para ello definimos como error cometido,
denotado E, a la distancia entre el valor real y el valor aproximado.
x
ex
1+x
E
-1.00000 0.3678794412 0.0000000000 0.3678794412
-0.50000 0.6065306597 0.5000000000 0.1065306597
-0.10000 0.9048374180 0.9000000000 0.0048374180
-0.01000 0.9900498337 0.9900000000 0.0000498337
-0.00100 0.9990004998 0.9990000000 0.0000004998
-0.00010 0.9999000050 0.9999000000 0.0000000049
+0.00000 1.0000000000 1.0000000000 0.0000000000
+0.00010 1.0001000050 1.0001000000 0.0000000050
+0.00100 1.0010005000 1.0010000000 0.0000005001
+0.01000 1.0100501670 1.0100000000 0.0000501670
+0.10000 1.1051709180 1.1000000000 0.0051709180
+1.00000 2.7182818280 2.0000000000 0.7182818285
..
..
..
..
.
.
.
.
Cuadro 3.1 Aproximación polinomial de la función exponencial
Como se puede ver en el Cuadro 3.1, la aproximación 1 + x de ex es buena cuando los valores de x son más y
más cercanos a 0.
El tipo de aproximación que acabamos de presentar es la materia de esta sección. De hecho nuestra maquinaria servirá no solo para la función exponencial sino para toda función derivable en torno a un punto x = x0
(no necesariamente entorno a 0). Para ello necesitamos introducir el concepto de diferencial.
Recordemos que si una función real f es derivable en un punto x0 , se tiene que
f (x0 + h) − f (x0 )
h
h→0
f (x) − f (x0 )
= lı́m
x→x0
x − x0
f 0 (x0 ) = lı́m
(3.1)
Ahora bien, si denotamos la variación en x0 por
∆x0 = x − x0
y la correspondiente variación de los valores de la función por
2 Aquı́ la palabra “apropiada” es un tanto subjetiva pues depende del contexto del problema bajo estudio. Por poner un ejemplo,
un error de 1 milı́metro en el diseño de la estructura de un avión puede provocar que este se estrelle pero esa misma distancia será
despreciable si lo que se está midiendo es la distancia entre dos estrellas.
3.12 Cálculos aproximados via diferenciales
105
∆y0 = y − y0 ,
donde
y0 = f (x0 ),
entonces (3.1) se transforma en
y = f (x),
∆y0
.
x→x0 ∆x0
(3.2)
∆y0
,
∆x0
(3.3)
f 0 (x0 ) = lı́m
Entonces se tiene, para |∆x0 | es pequeño, que
f 0 (x0 ) ≈
es decir
∆y0 ≈ f 0 (x0 ) · ∆x0 ,
(3.4)
f (x0 + ∆x0 ) ≈ f (x0 ) + f (x0 ) · ∆x0 .
(3.5)
0
En virtud de la notación
f 0 (x0 ) =
df
(x0 )
dx
a (3.4) se le representa usualmente mediante
dy = f 0 (x0 ) · dx
(3.6)
y se dice que dy es el diferencial de y en el punto x0 .
A un cálculo realizado mediante la aplicación de (3.4) y (3.5) se le refiere como una aproximación mediante diferenciales.
Ejemplo 3.32 Queremos aproximar via el uso de diferenciales el valor
V = (1.01)3 − 2 ∗ (1.01)2 − 4.
Para ello, consideramos la función definida por la fórmula,
f (x) = x3 − 2x2 − 4,
y ponemos
x0 = 1.00,
Para usar (3.5) calculamos
∆x0 = 0.01.
f 0 (x) = 3x2 − 4x,
ası́ que
V ≈ Vaprox
= f (1.00) + f 0 (1.00) × (0.01)
= −5 + (−1) × (0.01)
= −5.01
Si comparamos esta aproximación con el valor,
tenemos un error
V = −5.009899,
E = |V − Vaprox | = 0.000101.
Ejemplo 3.33 Queremos aproximar via el uso de diferenciales el valor
V = e0.01 ,
106
3 La derivada y sus aplicaciones
valor que aparece en el Cuadro 3.1 que presentamos al inicio de esta sección. Para ello consideramos la función definida
por la fórmula
f (x) = ex ,
y ponemos
x0 = 0.00,
Para usar (3.5) calculamos
∆x0 = 0.01.
f 0 (x) = ex ,
ası́ que
V ≈ Vaprox
= f (1.00) + f 0 (1.00) × (0.01)
= 1 + (1) × (0.01)
= 1.01
Si comparamos esta aproximación con el valor,
V = 1.010050167,
tenemos un error
E = |V − Vaprox | = 0.00005016708416.
Ejemplo 3.34 Queremos aproximar via el uso de diferenciales el valor
√
V = sen(−0.02) + 0.98.
Para ello consideramos la función definida por la fórmula
f (x) = sen(x) +
y ponemos
x0 = 0.00,
Para usar (3.5) calculamos
√
1 + x,
∆x0 = −0.02.
1
f 0 (x) = cos(x) + √
,
2 1+x
ası́ que
V ≈ Vaprox
= f (0.00) + f 0 (0.00) × (−0.02)
= 1 + (1.5) × (−0.02)
= 0.97
Si comparamos esta aproximación con el valor,
V = 0.969950827,
tenemos un error
E = |V − Vaprox | = 0.0004917303217
3.13 Problemas
3.13.
107
Problemas
3.1. Usando la definición de derivada calcule f 0 (x).
f (x) = x3 ;
√
f (x) = x;
1
f (x) = 2 ;
x
f (x) = tan(x);
f (x) = x ,
n
n ∈ N.
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
3.2. Sean α, β, a, b, constantes positivas. Considere la fórmula y = f (x).
1) Halle Dom( f ).
2) Calcule f 0 (x).
3) Halle Dom( f 0 ).
q
y = α sen2 (x) + β cos2 (x);
1
y = arc sen(x2 ) · arc cos(x);
2
!
x
;
y = arc sen √
1 + x2
!
q
x
2
2
2
y = x β − x + β arc sen
;
β
y = arc sen(ln(x));
2
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
y = eax cos(bx);
√
p
y = a cos(x) · cos(x);
x−1
y = ln cos
;
x
y = ln(ln(3 − 2x3 ));
(3.12)
y = α ln (ax + b);
1
y = arctan(ln( ));
x
g(x)
y= 0 .
g (x)
1) Halle Dom( f ).
2) Calcule f 0 (x) y f 00 (x).
3) Halle Dom( f 0 ) y Dom( f 00 ).
(3.7)
y = esen (x) ;
β
3.3. Considere la fórmula y = f (x).
(3.6)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
108
3 La derivada y sus aplicaciones
2
y = ex ;
(3.19)
y = sen (x);
√
3
y = ln 1 + x2 ;
√
y = ln x + a2 + x2 ;
(3.20)
2
y = (1 + x2 ) · arctan(x);
g(x)
y= 0 .
g (x)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
(3.24)
3.4. Considere la función definida por la fórmula
!
x · sen(α)
f (x) = arctan
.
1 − x · cos(α)
1) Halle Dom( f ).
2) Halle f 0 (x), f 00 (x) y f 000 (x).
3) Halle los dominios de definición de f 0 , f 00 y f 000 .
3.5. Calcule la derivada de n-ésimo orden de la función determinada por la fórmula y = f (x).
y = sen(x);
(3.25)
y = cos(αx);
(3.26)
βx
y=e ;
(3.27)
y = ln(1 + x);
1
;
y=
1+x
y = sen2 (x);
(3.28)
(3.29)
(3.30)
y = ln(αx + β);
1+x
y=
.
1−x
(3.31)
(3.32)
dy
dx
3.6. Sean a, b ∈ R constantes. Halle dy
y dx cuando las variables x e y están ligadas por función determinada por
la fórmula indicada.
y = 3x + x3 + a;
(3.33)
y − ln(x) + sen(xy) = a;
(3.34)
2x − 5y + 10 = b;
(3.35)
x2
y2
+
= 1;
a 2 b2
x3 + x2 y + y2 = 0;
x− y
= y3 ;
x+ y
x2 y2
+
= 1;
a 2 b2
a cos2 (x + y) = b;
!
x
xy = arctan
;
y
e y = x + y;
y=x
(3.37)
(3.38)
(3.39)
(3.40)
(3.41)
(3.42)
sen(x)
;
(3.43)
sen(x)
;
(3.44)
= a.
(3.45)
y = (cos(x))
y
−x
(x2 − 5)cos(x) · e
(3.36)
3.13 Problemas
109
dy
d2 y
dx
, dx y dx2 cuando las variables x e y están ligadas por función determinada por la fórmula indicada.
3.7. Halle dy
y = x7 + sen(x) + ln(tan(x));
y = arctan (x),
p
p , 0;
y = (1 + x ) · e
2
sen(x)
(3.46)
(3.47)
;
(3.48)
5y − sen(xy) + x2 = 0;
(3.49)
ln(y) + sec(xy) = x;
(3.50)
arc sen(x) + arc cos(xy) = x y .
(3.51)
2 3
3.8. Halle la derivada de orden n de la función determinada por la fórmula y = f (x).
y = (ax + b)n ,
a , 0, b ∈ R;
(3.52)
y = sen(x);
(3.53)
y = ln(ax + b),
a , 0, b ∈ R;
a+x
y=
,
a, b ∈ R.
b−x
(3.54)
(3.55)
3.9. Halle dn y/dxn en el punto P = (x0 , y0 ).
x2 + 5xy + y2 − 2x + y − 6 = 0,
n = 2, P = (1, 1);
(3.56)
x − xy + y = 1,
n = 2, P = (0, 1);
(3.57)
x + 2xy + y − 4x + 2y − 2 = 0,
n = 3, P = (1, 1).
(3.58)
4
2
4
2
3.10. La ley del movimiento de un punto está dada por la función determinada por la fórmula
x(t) = 3t2 − t + 5,
donde la distancia x se da en centı́metros y el tiempo t, en segundos. ¿A qué será igual la velocidad media de
este punto durante el intervalo de tiempo comprendido entre t = 1 y t = 2?
3.11. Una partı́cula se mueve siguiendo la ley


 X(t) 
 Y(t) 
P(t) = 
 ,


Z(t)
t ∈ I,
donde t representa el tiempo, I ⊆ R es un intervalo. Aquı́, la posición P de la partı́cula viene dada por las
coordenadas (x, y, z) que son (cada una) función del tiempo. Cálcule la velocidad y aceleración de la partı́cula
para el tiempo t, es decir, calcule
 0 
 00 
 X (t) 
 X (t) 




v(t) =  Y0 (t)  y a(t) =  Y00 (t) 
 0 
 00 
Z (t)
Z (t)
1) X(t) = 2t2 + 3t + 5, Y(t) = −t2 + 2t + 2, Z(t) = 5 − t, I = R;
2) X(t) = ln(t) + 1, Y(t) = −t2 + 2, Z(t) = sen(t), I = R+ ;
3) X(t) = sen(t), Y(t) = cos(t), Z(t) = t, I = [0, ∞);
4) X(t) = a · sen(t), Y(t) = b · cos(t), Z(t) = c·, I = (0, ∞), donde a, b, c ∈ R son constantes.
3.12. Grafique la trayectoria de una partı́cula que se mueve siguiendo la ley X(t) = sen(t), Y(t) = cos(t), Z(t) = t,
para t ∈ [0, ∞).
110
3 La derivada y sus aplicaciones
3.13. Determinar puntos crı́ticos, extremos (locales y/o globales si es que existen) y regiones de crecimiento /
decrecimiento de la función definida por la fórmula y = f (x)
1) y = x2 − 2x + 5;
2) y = 1/(x + a), donde a > 0;
√
3
3) y = 2x + 3 x2 ;
x
4) y = x−2
;
x−a
5) y = x−b , donde a, b ∈ R;
6) y = x ln(x) − x;
2
7) y = e−x ;
8) y = arc sen(1 + x);
x
9) y = ex ;
10) y = 2x3 + 3x2 − 12x + 5;
3
11) y = x2x+3 ;
12) y = √ 42 ;
x +8
p
3
13) y = (x2 − 1)2 ;
14) y = 2 sen(2x) + sen(4x);
15) y = 2 cos 2x + 3 cos 3x ;
16) y = x ln2 (x);
17) y = x2 e−x ;
18) x arctan(x);
x
19) y = 1+x
2;
20) y = sen4 (x) + cos4 (x);
21) y = x3 en el segmento [−1, 3];
22) y = 2x3 + 3x2 − 12x + 1
a) en [−1, 5],
b) en [−10, 12];
3.14. Determinar los coeficientes p y q del polinomio definido por la fórmula
y = f (x) = x2 + px + q,
de forma que y = 3 sea un valor mı́nimo de f cuando cuando x = 1. Grafique el polinomio.
3.15. Dada la función definida por la fórmula f (x) halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la
gráfica de f en el punto x0 .
f (x) = x ln(x) − x, x0 = 5;
(3.59)
f (x) = x ln(x ) − x , x0 = 5;
(3.60)
f (x) = sen(x) ln(x) − cos(ln(x)), x0 = 10;
(3.61)
2
2
2
x2
f (x) = e , x0 = 1.
3.16. Halle lı́m f (x).
x−→a
(3.62)
3.13 Problemas
111
ex
,
x5
ln(x)
f (x) = √
,
3
x
x cos(x) − sen(x)
,
f (x) =
x3
ln(sen(mx))
f (x) =
,
ln(sen(x))
f (x) = ln(x) · ln(x − 1),
x
1
f (x) =
−
,
x − 1 ln(x)
f (x) = xx ,
f (x) =
f (x) = x
sen(x)
,
a = ∞;
(3.63)
a = ∞;
(3.64)
a = 0;
(3.65)
a = 0;
(3.66)
a = 1+ ;
(3.67)
a = 1;
(3.68)
a = 0+ ;
(3.69)
+
a=0 .
(3.70)
3.17. ¿En cuánto aumentará aproximadamente el lado de un cuadrado si su área aumenta de 9m2 a 9.1m2 ?
3.18. Mediante diferenciales hallar aproximadamente el incremento ∆y de la función definida por la fórmula
y = f (x) para x = x0 si
1) f (x) = 5x + x2 − sen(x), x0 = π/2 y ∆x = h = 0.001;
2) f (x) = 2x−1/2 , x0 = 9 y ∆x = h = −0.01;
3) f (x) = ln(sen(x)), x0 = π/4 y ∆x = h = 0.03.
3.19. ¿En cuánto aumenta, aproximadamente, el volumen de una esfera, si su radio R = 15cm se alarga en 2mm?
3.20. Deducir la fórmula aproximada
√
√
∆x
3
3
x + ∆x ≈ x + √
3
3 x2
√
√
√
3
3
3
y hallar los valores aproximados de 10, 70 y 200.
3.21. Usando diferenciales, hallar el valor aproximado de f (x0 ) si
1) f (x) = x3 − 4x2 + 5x + 3, x0 = 1.03;
2) f (x) =
3) f (x) =
√
1 + x, x0 = 0.2;
q
3
1−x
1+x , x0 = 0.1;
2
4) f (x) = e1−x , x0 = 1.05.
3.22. Dada la fórmula y = f (x), use la regla del máximo dominio para determinar la función f . Estudie la
monotonı́a, inyectividad y sobreyectividad y convexidad de f .
y = ln(x5 );
(3.71)
y = | sen(x)|;
(3.72)
y = ln(x );
(3.73)
3
−x2
y=e ;
√
y = x + x2 .
Haga un bosquejo de la gráfica de f .
(3.74)
(3.75)
112
3 La derivada y sus aplicaciones
3.23. Dada la fórmula y = f (x), use la regla del máximo dominio para determinar la función f . Estudie la
monotonı́a, inyectividad y sobreyectividad y convexidad de f .
f (x) = ln(x2 − 5x + 3);
(3.76)
f (x) = ln(2 ln(x));
(3.77)
f (x) = ln(x − 7x + 13);
(3.78)
f (x) = | − 1 + ln(x )|.
(3.79)
2
2
Haga un bosquejo de la gráfica de f .
3.24. Dada la fórmula y = f (x), use la regla del máximo dominio para determinar la función f . Estudie la
monotonı́a, inyectividad y sobreyectividad y convexidad de f .
y = 1 − 4x − x4 ;
(3.80)
y = x − 2x − x + 2x;
(3.81)
y = x (x − 3);
x
y=
;
x−2
(x + 1)
y=
;
(x − 1)2
(x − 3)2
y= 2
.
(x − 6x − 16)2
(3.82)
4
3
2
2
(3.83)
(3.84)
(3.85)
Haga un bosquejo de la gráfica de f .
3.25. Dada la fórmula y = f (x), use la regla del máximo dominio para determinar la función f . Estudie la
monotonı́a, inyectividad y sobreyectividad y convexidad de f .
√
y = (x − 3) x;
√
y = (x − 4) x + 1;
(3.87)
y = arcsin(x + 1);
(3.88)
x2 −4x
y = 2·e
(3.86)
;
(3.89)
;
(3.90)
y = x·e .
(3.91)
−x2
y=e
−x
Haga un bosquejo de la gráfica de f .
3.26. Dada la fórmula y = f (x), use la regla del máximo dominio para determinar la función f . Estudie la
monotonı́a, inyectividad y sobreyectividad y convexidad de f .
y = (x − 1)2 · e−x ;
4
y= √
;
x2 + 8
y = −1 + x − ln(1 + x);
x
;
y= √
3
x2 − 1
2
y = (2 + x2 ) · e−x ;
1
y= 2
+ ln(x2 − 1).
x −1
(3.92)
(3.93)
(3.94)
(3.95)
(3.96)
(3.97)
Haga un bosquejo de la gráfica de f .
3.27. Dada la fórmula y = f (x), use la regla del máximo dominio para determinar la función f . Estudie la
monotonı́a, inyectividad y sobreyectividad y convexidad de f .
3.13 Problemas
113
y = x5 − 5x4 + 5x3 + 5x2 − 6x;
(3.98)
y = x − 3x + x + x − 2x;
x √
3
y = − x;
3
x √
5
y = − x;
5
y = x · ln(sen(x));
ex
y= .
x
(3.99)
5
4
3
2
(3.100)
(3.101)
(3.102)
(3.103)
Haga un bosquejo de la gráfica de f .
3.28. Dada la fórmula y = f (x), use la regla del máximo dominio para determinar la función f . Estudie la
monotonı́a, inyectividad y sobreyectividad y convexidad de f .
y = sen(x) · ex ,
x ≥ 0;
(3.104)
y = sen(x) · e , x ≥ 0;
p
3
y = (x2 − 1)2 ;
(3.105)
−x
(3.106)
2
y = x · ln (x);
(3.107)
x2
y = (a + )ex/a , a > 0;
a
y = x + sen(x);
(3.108)
(3.109)
y = ln(sen(x));
y=
(3.110)
1
+ ln(x2 − a), a > 0;
x2 − a
1
y=
+ ln(ln(x));
ln(x)
y = xx ;
y=x
1/x
(3.111)
(3.112)
(3.113)
.
(3.114)
Haga un bosquejo de la gráfica de f .
3.29. Queremos calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles, A y B. Desde dos puntos accesibles C y D
[ = 5 π, ACB
d = 8 π, ACD
[ = 23 π y BDC
[ = 2 π. Calcular la distancia
tomamos las siguientes medidas CD = x, ADB
36
45
90
9
entre A y B en términos de x.
3.30. Para un volumen dado, halle la superficie total de un cilindro en términos del radio de las tapas.
3.31. Dos circunferencias son tangentes exteriormente y sus radios miden respectivamente R y r con R > r.
Sea α la mitad del ángulo que forman las lı́neas tangentes comunes (a las circunferencias). Cálcule todas las
funciones trigonométricas de α.
3.32. Las densidades lineales de una barra AB = l en sus porciones AC = l1 , CD = l2 y CB = l3 son respectivamente
iguales a q1 , q2 y q3 . Expresar la masa de una porción variable AM = x de esta misma barra, como función de x.
l1
l2
-
A
C
l3
-
-
r
M
D
Indicación.- La densidad lineal refiere a la masa por unidad de longitud.
B
114
3 La derivada y sus aplicaciones
Respuesta:


q x,


 1

m=
q1 l1 + q2 (x − l1 ),



q1 l1 + q2 l2 + q3 (x − l1 − l2 ),
si x ∈ [0, l1 ],
si x ∈ (l1 , l1 + l2 ],
si x ∈ (l1 + l2 , l].
3.33. Divida un número a > 0 en dos sumandos de tal forma que su producto sea el mayor posible.
3.34. Torcer un trozo de alambre de longitud dada l > 0, de manera que forme un rectángulo cuya área sea la
mayor posible.
3.35. ¿Cuál de los triángulos rectángulos de perı́metro dado, igual a 2p, tiene mayor área?
3.36. De una hoja de cartón cuadrada, de lado a > 0, hay que hacer una caja rectangular abierta, que tenga la
mayor capacidad posible, recortando para ello cuadrados en los ángulos de la hoja y doblando después los
salientes de la figura en forma de cruz ası́ obtenida.
Respuesta: El lado del cuadrado que se recorta debe ser igual a a/6.
3.37. Un depósito abierto, de hoja de lata, con fondo cuadrado, debe tener capacidad para v litros. ¿Qué
dimensiones debe tener dicho depósito para que en su fabricación se necesite la menor cantidad de hoja de
lata?
Respuesta: La altura debe ser dos veces menor que el lado de la base.
3.38. ¿Cuál de los cilindros de volumen dado tiene menor superficie total?
3.39. Determine la fórmula para la cantidad E(x) por la cual un número x ∈ R excede a su cuadrado. Haga una
gráfica para E cuando 0 ≤ x ≤ 1. Estime el número positivo menor o igual a uno que excede a su cuadrado en
la máxima cantidad.
3.40. Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie lateral posible.
3.41. Inscribir, en una elipse dada, un rectángulo de la mayor área posible, que tenga los lados paralelos a los
ejes de la propia elipse.
3.42. Sean p, a > 0. Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de la parábola 2py − x2 = 0
cortado por la recta y = 2a.
3.43. En el segmento recto AB = a, que une entre sı́ dos focos luminosos A (de intensidad p) y B (de intensidad q),
hallar el punto menos iluminado M (la iluminación es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
al foco luminoso).
3.44. Si tenemos N pilas eléctricas idénticas, con ellas podemos formar baterı́as por procedimientos distintos,
uniendo entre sı́ grupos de n pilas en serie y, después, los grupos ası́ formados, (en número Nn ) en paralelo. La
intensidad de la corriente que proporciona una baterı́a de este tipo se determina por la fórmula
I=
NnE
,
NR + n2 r
donde E es la fuerza electromotriz de una pila, r es su resistencia interna, y R es su resistencia externa.
Determinar para que valor de n es mayor la intensidad de la corriente que proporciona la baterı́a.
3.13 Problemas
115
3.45. Si x1 , x2 ,...,xn , son los resultados de mediciones igualmente precisas de la magnitud x, su valor más
probable, denotado x̄, será aquel que minimiza la suma de los cuadrados de los errores
σ(x) =
n
X
(x − xi )2 .
i=1
Demostrar que que el valor más probable de x es la media aritmética de los resultados de las mediciones, es
decir,
n
1X
x̄ =
xi .
n
i=1
Hálle el valor del error mı́nimo.
3.46. Pruebe que para valores de |x| pequeños son válidas las siguientes relaciones
1
≈ 1 − x;
1+x
√
x
1+x ≈ 1+ ;
2
√
x
2
a + x ≈ a + , a > 0;
2a
(1 + x)n ≈ 1 + nx, n ∈ N.
(3.115)
(3.116)
(3.117)
(3.118)
√
√
√
Usando estas fórmulas calcule aproximadamente los valores de 1/1.02, 1/0.97, 15, 1.043 , 0.934 , 1.06 y 0.97.
Compare los valores obtenidos con los que le provée su calculadora.
3.47. ¿En que puntos la derivada de la función definida por la fórmula f (x) = x3 coincide numéricamente con
el valor de la propia función?
3.48. Halle el ángulo que forman las funciones definidas por las fórmulas f (x) y g(x) en su(s) punto(s) de
intersección.
f (x) = 1/x,
f (x) = e
x/2
f (x) = (x − 2) ,
2
,
g(x) = x2 ;
(3.119)
g(x) = 100x − 198;
(3.120)
2
g(x) = −4 + 6x − x ;
(3.121)
g(x) = x .
(3.122)
f (x) = x ,
2
3
3.49. ¿En qué punto la tangente a la parábola dada por f (x) = x2 − 7x + 3 es paralela a la recta dada por
g(x) = −3 + 5x?
3.50. Hallar los parámetros b y c de la parábola dada por f (x) = x2 + bx + c para que sea tangente a la recta dada
por g(x) = x, en el punto (1,1).
3.51. ¿En qué punto de la curva dada por y2 − 2x3 = 0, la tangente es perpendicular a la recta dada por
4x − 3y + 2 = 0?
3.52. Escribir las ecuaciones de la recta tangente y de la normal a la curva dada por f (x) en el punto (x0 , y0 ).
f (x) = x3 + 2x2 − 4x − 3,
√
3
f (x) = x − 1,
(x0 , y0 ) = (−2, 5);
(3.123)
(x0 , y0 ) = (1, 0);
(3.124)
f (x) = tan(2x),
(x0 , y0 ) = (0, 0);
(3.125)
x−1
,
2
f (x) = arc cos (3x) ,
(x0 , y0 ) es el punto de intersección con el eje x;
(3.126)
(x0 , y0 ) es el punto de intersección con el eje y;
(3.127)
f (x) = ln(x),
(x0 , y0 ) es el punto de intersección con el eje x.
(3.128)
f (x) = arc sen
116
3 La derivada y sus aplicaciones
2
3.53. Escribir las ecuaciones de la recta tangente y de la normal a la curva dada por f (x) = e1−x en los puntos
de intersección con la recta dada por g(x) = 1.
Escibir las ecuaciones de la recta tangente y de la normal a la curva dada por


1+t

x = t3 ,


 y = 32 + 2t1 ,
2t
en el punto (x0 , y0 ) = (2, 2).
3.54. Escibir las ecuaciones de la recta tangente y de la normal a la curva dada por



x = t cos(t),


 y = t sen(t),
en el origen de coordenadas y en el punto correspondiente a t0 = π/4.
3.55. Escribir las ecuaciones de la recta tangente y de la normal a la curva dada por
F(x, y) = 0,
en el punto (x0 , y0 ).
F(x, y) = x2 + y2 + 2x − 6,
y0 = 3;
(3.129)
F(x, y) = x5 + y5 − 2xy,
(x0 , y0 ) = (1, 1);
(3.130)
F(x, y) = 4x4 + 6xy − y4 ,
(x0 , y0 ) = (1, 2).
(3.131)
3.56. Analice la función definida por la fórmula f (x) y grafı́quela.
x2
f (x) =
;
x−2
f (x) = sen(π/x);
1 + x3
f (x) =
;
1+x
x
f (x) =
;
sen(x)
1
f (x) = (1 + x) arctan
;
1 − x2
f (x) = ln(cos(x));
f (x) = e1/(x+1)
(3.132)
(3.133)
(3.134)
(3.135)
x
f (x) = ln tan
;
2
2
f (x) = e−1/x ;
1
;
f (x) = arctan
x
f (x) = x5 + x4 − 20 x3 − x2 − x + 20;
(3.141)
f (x) = e · sen(x);
(3.143)
x
(3.136)
(3.137)
(3.139)
f (x) = e
−x
2
(3.140)
(3.142)
· cos(x );
(3.144)
f (x) = tan(ln(x)).
(3.145)
(3.138)
3.57. Analice la función definida por la fórmula f (x) y grafı́quela.
√
3
f (x) = 2x + 3 x2 ;
f (x) = x3 − 3x + 3;
x
f (x) =
;
x−2
1
f (x) =
;
(x − 1)2
x
f (x) = 2
;
x − 6x − 16
(3.146)
(3.147)
(3.148)
(3.149)
(3.150)
3.13 Problemas
117
f (x) = x + sen(x);
(3.151)
f (x) = x ln(x);
(3.152)
f (x) = arc sen(1 + x);
(3.153)
f (x) = 2 e
x2 −4x
f (x) = 2
;
(3.154)
.
(3.155)
1/x−a
√
f (x) = (x − 3) x;
x √
3
f (x) = − x;
3
f (x) = x ln2 (x);
x3
f (x) = 2
;
x +3
f (x) = x − arctan(x);
ex
;
x
f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 5;
4
;
f (x) = √
x2 + 8
x
f (x) = √
;
3
x2 − 4
f (x) = x2 e−x .
f (x) =
(3.156)
(3.157)
(3.158)
(3.159)
(3.160)
(3.161)
(3.162)
(3.163)
(3.164)
(3.165)
3.58. De una hoja circular hay que cortar un sector tal que enrollado nos de un embudo de la mayor capacidad
posible.
3.59. Un recipiente abierto está formado por un cilindro, terminado por su parte inferior en una semiesfera; el
espesor de sus paredes es constante. ¿Qué dimensiones deberá tener dicho recipiente para que, sin variar su
capacidad, se gaste en hacerlo la menor cantidad de material?
3.60. Inscribir en una elipse dada, un rectángulo de mayor área posible, que tenga los lados paralelos a los ejes
de la propia elipse.
3.61. Inscribir un rectángulo de mayor área posible en el segmento de la parábola dada por x2 − 2py = 0 cortado
por la recta dada por y = 2a.
3.62. Hallar el punto de la curva dada por f (x) = 1/(1 + x2 ), en el que la recta tangente forme con el eje de las x
el ángulo de mayor valor absoluto posible.
3.63. Determinar la altura mı́nima h = OB que puede tener la puerta de una torre vertical ABCD, para que a
través de ella se pueda introducir en la torre una barra rı́gida MN, de longitud l, cuyo extremo M resbalará a
lo largo de la lı́nea horizontal AB. La anchura de la torre es d < l. Véase la Figura 3.12.
3.64. Un corredor tiene que ir desde el punto A, que se encuentra en una de las orillas de un rı́o, al punto B,
que se halla en la otra. Sabiendo que la velocidad de movimiento por la orilla es k veces mayor que la del
movimiento por el agua, determinar bajo que ángulo deberá atravesar el rı́o, para llegar al punto B en el menor
tiempo posible. La anchura del rı́o es h; la distancia entre los puntos A y B (por la orilla) es d.
118
Figura 3.12
3 La derivada y sus aplicaciones
Apéndice A
Extregg sda
“ Las ciencias... ”
XXXXXX
sadas
119
Soluciones y/o pautas para los problemas
Capı́tulo ??
?? Trabaje como en la demostración de (??).
?? Trabaje como en la demostración de (??).
A = (0, π + 1/4];
B = [1/2; 5/2).
?? Mire el Ejemplo ?? y el tip de Maxima que le antecede.
?? Se tiene que
121
Sı́mbolos
∩ Operación de intersección de conjuntos.
∧ Conjunción de proposiciones.
∪ Operación de unión de conjuntos.
∨ Disyunción de proposiciones.
⇔ Bicondicional de proposiciones.
ssi Abreviación de sı́ y sólo si (bicondicional).
\ Diferencia de conjuntos.
∅ Conjunto vacı́o.
× Operación producto cartesiano.
A ⊆ B o B ⊇ A Contenencia del conjunto A en el conjunto B.
A ⊂ B o B ⊃ A Contenencia del conjunto A en el conjunto B.
∀ Cuantificador para todo.
∃ Cuantificador existencial.
N Conjunto de los números naturales.
N∗ Conjunto de los números enteros no-negativos.
Z Conjunto de los números enteros.
Q Conjunto de los números racionales.
R Conjunto de los números reales.
C Conjunto de los números complejos.
P(Ω) Partes de un conjunto Ω.
f : A → B Función con dominio A y codominio B.
g ◦ f Composición de las funciones g y f
{Aλ }λ∈Λ Familia de conjuntos con ı́ndices en Λ.
#[A] Cardinalidad del conjunto A.
ℵ0 Cardinalidad de N.
(xn )n∈N ⊆ A Sucesión de elementos del conjunto A.
Mm,n (R) Conjunto de las matrices de m filas y n columnas sobre el campo R.
det(A) Determinante de la matriz A.
Ck (Ω; Υ) Conjunto de las funciones ψ : Ω ⊆ Rn → Υ ⊆ Rm con derivadas continuas al menos hasta orden
k ∈ N∗ . En particular, Ck (Ω) = Ck (Ω; R).
∞
C (Ω; Υ) Conjunto de las funciones ψ : Ω ⊆ Rn → Υ ⊆ Rm con derivadas de todos los órdenes.
< D > Cápsula o espacio vectorial generado por el conjunto D.
kuk Norma del vector u.
L(V, W) Conjunto de aplicaciones lineales con dominio V y codominio W.
ker(A) Núcleo o kernel de la aplicación lineal A.
i Raı́z imaginaria.
z Conjugado del número complejo z.
(a, b) Intervalo abierto.
ux o ∂u
Derivada de la función u con respecto a la variable x.
∂x
L f
Transformada de Laplace de la función f
Ec Conjunto de funciones de orden exponencial c ∈ R.
123
124
Lp (Ω) Espacio p de Lebesgue (funciones p-integrables).
F (I) Funciones reales con dominio I ⊆ R.
conv( f, g) Convolución en [0, ∞) de las funciones f y g.
δ(·) Delta de Dirac.
L(V, W) Espacio de operadores acotados de V en W.
supp(u) Soporte de la función u.
T∗ Operador adjunto al operador T.
F f o fˆ Transformada de Fourier de la función f .
f ∗ g Convolución en R de las funciones f y g.
∆ Operador Laplaciano.
S (R) Conjunto de funciones de decrecimiento rápido.
S 0 (R) Conjunto de distribuciones temperadas.
Sı́mbolos
Referencias
1. T. M. Apostol, Mathematical analysis: a modern approach to advanced calculus, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading,
Mass., 1957.
2. E. Gaughan, Introducción al análisis, Editorial Alhambra, Madrid, 1972.
3. L. Leithold, El Cálculo, Oxford University Press, 1998.
4. J. Toro, Sucesiones, Escuela Politécnica Nacional, Ecuador, 1992.
125
Índice alfabético
Función
- como modelo matemático, 1
dominio de una -, 1
Polinomio
-s de Taylor, 4
Matlab, 2
Maxima, 2
- como software libre, 2
- como un Sistema Computacional Algebraico, 2
comando de - para evaluar una función en varios argumentos, 4
- para la serie de Fibonacci, 3
interface wxMaxima de -, 2
Tip de No. 1, 2
No. 2, 3
No. 3, 4
Scilab, 2
Software
- libre, 2
- matemático, 1
Sucesión
- de Fibonacci, 4
definición de -, 3
notación de -, 3
Teorema
- como herramienta para Ingenierı́a, 1
127
Fuentes adicionales
Objeto
Uso
Objetos no referenciados en el texto
Fuente / Autor
En observaciones importantes http://amigoslibro.blogspot.com/
En tips de Maxima
Sven Hodapp
En la Sección ??
https://es.wikipedia.org
129