Determinación de la densidad de portadores de carga positivos, velocidad de
deriva y constante RH para una lamina de germanio dopado tipo p mediante el
Efecto Hall
D. García, S. Romero, J. Rubiano
Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá
Junio 2025
1.
Resumen
2.
Introducción
En este experimento se estudió el Efecto Hall en una mues-
El efecto Hall es un fenómeno que se manifiesta cuando
tra de germanio tipo-p con el objetivo de determinar la den-
una corriente eléctrica atraviesa un material conductor o se-
sidad y la movilidad de los portadores de carga. Se realiza-
miconductor ubicado en un campo magnético perpendicular.
ron dos series de mediciones experimentales: la variación del
Bajo estas condiciones, los portadores de carga son desviados
voltaje Hall en función de la corriente a campo magnético
hacia los extremos laterales por la fuerza de Lorentz, lo que
constante y la variación del voltaje Hall en función del campo
genera un voltaje transversal conocido como voltaje Hall. Este
magnético a corriente constante. Por razones de seguridad y
voltaje depende del tipo de portadores (electrones o huecos),
conservación del material, no fue posible realizar directamen-
de su densidad, de su movilidad y de la intensidad del campo
te la medición del voltaje Hall en función de la temperatura,
magnético aplicado.
debido al riesgo de daño por dilatación térmica de la mues-
El estudio del efecto Hall tiene uso en la caracterización de
tra. Sin embargo, para este análisis se utilizaron datos propor-
materiales semiconductores, debido a que permite determinar
cionados por el profesor, obtenidos en mediciones previas. A
parámetros como la densidad y la movilidad de los portadores
partir de los datos experimentales y suministrados, se calcu-
de carga. Además, su sensibilidad a la temperatura posibilita
laron parámetros fundamentales como la densidad de huecos,
observar la transición entre la conducción extrínseca, domi-
la movilidad de los portadores y el coeficiente de Hall. Ade-
nada por portadores introducidos por dopaje, y la conducción
más, se observó la transición desde la conducción extrínseca,
intrínseca, donde predominan los portadores generados térmi-
dominada por los portadores generados por el dopaje, hacia la
camente.
conducción intrínseca, donde los portadores generados térmicamente predominan. Los resultados confirmaron la relación
En esta práctica se investigó el efecto Hall en una muestra
teórica entre el voltaje Hall, la corriente y el campo magné-
de germanio tipo-p con el objetivo de determinar la densidad
tico, y permitieron evidenciar el cambio de signo del voltaje
de huecos y su movilidad. Se realizaron dos series principales
Hall a altas temperaturas, asociado al predominio de los electrones como portadores mayoritarios. Este estudio demuestra
de mediciones: una en función de la corriente con campo mag-
la utilidad del Efecto Hall como herramienta para la caracte-
corriente constante. Adicionalmente, se analizó el comporta-
rización de materiales semiconductores.
miento del voltaje Hall frente a la temperatura mediante datos
nético constante, y otra en función del campo magnético con
experimentales proporcionados por el docente, debido a las li-
Palabras clave: Efecto Hall, germanio, dopaje tipo p, movilidad de portadores, densidad de portadores de carga, con-
mitaciones técnicas que impedían la medición. Estos análisis
permitieron confirmar las relaciones teóricas del efecto Hall y
ducción extrínseca e intrínseca, semiconductores.
estudiar cómo las propiedades eléctricas del germanio varían
en diferentes regímenes de conducción.
1
3.
Marco teórico
Los semiconductores son materiales que tienen comportamientos que oscilan entre los conductores eléctricos y aislantes eléctricos, dependiendo de condiciones como la temperatura a la que se encuentren o el tipo y cantidad de impurezas
que tengan en su estructura. Los elementos semiconductores
más utilizados son el silicio y el germanio.[1]
Figura 1: Posiciones cualitativas de los niveles de estado de
energía de los donadores y aceptores relativas al valor mínimo
de la banda de conducción Ec y el valor máximo de la banda
de valencia Ev . Las cantidades Ed y Ea son las energías de
ionización del donador y aceptor, respectivamente.
Una propiedad especial de los semiconductores que no se
encuentra en los conductores ni en los aisltantes, es la capacidad de alterar la conductividad hasta varios ordenes de
magnitud a través de la adición de pequeñas cantidad de otras
sustancias. Estas adiciones a su vez determinan si la conducti-
Cuando una corriente eléctrica atraviesa un conductor ubi-
vidad es de naturaleza de ’electrón’ o de ’hueco’ (si es dopaje
cado dentro de un campo magnético, dicho campo genera una
tipo n o tipo p, respectivamente).
fuerza perpendicular que actúa sobre los portadores de carga
Existen dos tipos de semiconductores: Extrínsecos e in-
en movimiento, desviándolos hacia un costado del conductor.
trínsecos. Los semiconductores intrínsecos (también llamados
Este fenómeno se aprecia con mayor claridad en conductores
puros) son aquellos a los que no se les ha añadido impureza
delgados y planos, como el que se muestra en la figura 2. A
alguna, por otro lado, los extrínsecos son aquellos a los que se
medida que las cargas se acumulan en los bordes del conduc-
les ha añadido impurezas. El procedimiento para añadir im-
tor, se genera un voltaje entre sus lados opuestos que com-
purezas se hace de manera controlada y se denomina ’dopa-
pensa la acción del campo magnético. Este voltaje transversal
je’.[2] El dopaje tipo p es aquel donde el elemento añadido
observable recibe el nombre de efecto Hall.
tiene menos electrones en la capa de valencia, por lo que los
átomos del semiconductor serán los donadores así perdiendo
un electrón y agregando un hueco; por ejemplo, si el semiconductor es de germanio (grupo 4), algunos de los elementos
más utilizados para dopaje tipo p son Galio o Indio (grupo 3),
y esto se debe a que son metales postransicionales, donde una
de sus características es la facilidad de crear enlaces covalentes. Para el dopaje tipo n es igual, no obstante las impurezas
son elementos con mayor cantidad de electrones en la capa de
Figura 2: Efecto Hall en una lámina rectangular de espesor d,
altura b y longitud w. En condiciones de equilibrio la fuerza
de Lorentz Fz que actúa sobre las cargas en movimiento está
en equilibrio con la fuerza eléctrica FE que aparece debido al
campo eléctrico del efecto Hall.
valencia, de tal modo que los átomos del semiconductor son
aceptores y así recibiendo electrones.[3]
Si una corriente I fluye a través de la lámina rectangular,
el voltaje de Hall es perpendicular tanto al campo magnético
como a la corriente debido al efecto Hall, tomando el valor:
U H = RH
IB
d
(1)
donde RH es el coeficiente de Hall, el cual depende del material y la temperatura. En condiciones de equilibrio (Figura
2
2) para campos magnéticos débiles, RH puede ser escrita coRH =
mo función de las densidades de cargas y las mobilidades de
electrones y huecos.
1 ρ − nk 2
e0 (ρ + nk)2
(6)
Para semiconductores puros la dependencia con la tempe1 ρµ2p − nµ2n
RH =
e0 (ρµp − nµn )2
ratura de los portadores de carga se asume como
(2)
donde e0 es el valor de la carga del electrón; ρ = ρS + ρE ,
Eg
n = n0 exp −
2kb T
(7)
Eg
ρ = ρ0 exp −
2kb T
(8)
siendo ρS la densidad de los huecos extrínsecos y ρE la densidad de los huecos extrínsecos; n la densidad de electrones;
µp la mobilidad de los huecos y µn la mobilidad de los electrones.
Eg
=⇒ nρ = N0 exp −
kb T
Para el dopaje tipo p de germanio, a temperatura ambiente
la densidad de huecos ρS puede predominar sobre las densidades de carga intrínsecos y de electrones. En este caso donde
En este caso, Eg = 0,70eV [4]
las densidades de carga de portadores extrínsecos predominan
Donde la constante de Boltzmann tiene el valor de: kb =
debido a los huecos, ρE = nE ≈ 0. La densidad de carga en-
J
[4]
1,36 × 10−23 K
tonces puede determinarse a partir de la medición del voltaje
de Hall como función de la corriente, entonces a partir de las
Además, el producto de las densidades equivale a
ecuaciones (1) y (2) se obtiene:
B I
ρS =
e0 d UH
nρ = nE (ρS + ρE ) = η 2
(9)
(3)
Para los portadores de carga intrínsecos (semiconductor pu-
La movilidad es una medida de interacción entre los por-
ro), las densidades de carga de electrones y huecos son equi-
tadores de carga y el cristal. En el caso de los aceptores, la
valentes, es decir, ρE = nE . Entonces, reemplazando en la
movilidad se representa como:
ecuación (9), la densidad de portadores de carga intrínsecos:
µp =
vd
E
ρS
+
ρE = −
2
(4)
r
ρ2S
+ η2
4
(10)
La velocidad de deriva vd se puede determinar con la con-
[4]Ahora, para encontrar la dependecia del voltaje de Hall
dición de equilibrio, donde la fuerza de Lorentz compensa a
UH con la temperatura T , se parte de la ecuación (1) y se
la fuerza eléctrica debido al campo de Hall:
reemplaza el valor de RH de la expresión (6),
e0 vd B = e0 EH
UH = RH
Por lo tanto,
IB
IB 1 ρ − nk 2
=⇒ UH =
d
d e0 (ρ + nk)2
Expandiendo la densidad neta y usando la condición de la
UH
vd =
bB
equivalencia de densidad de electrones y de portadores intrínsecos,
(5)
Respecto a las movilidades, se asume que son diferentes,
introduciendo el ratio de movilidad k = µµnp , por lo tanto, la
UH =
ecuación (2) se reescribe como:
=
3
IB 1 ρS + ρE − ρE k 2
d e0 (ρS + ρE + ρE k)2
IB 1 ρS + ρE (1 − k 2 )
d e0 (ρS + ρE (1 + k))2
Finalmente, dejando la expresión en términos de ρS y T ,
mente, se realizó la compensación del voltaje Hall en ausencia de campo para eliminar errores sistemáticos. La corriente

UH =
IB 
de0
ρS + (1 − k )(− ρ2S +
2
(ρS + (1 + k)(− ρ2S +
ρ2S
− −Eg
kb T
)
4 + N0 e

aplicada a la muestra se varió desde 0 mA hasta 30 mA, realizando cinco mediciones para diferentes valores fijos de cam-
ρ2S
− −Eg
kb T
))2
4 + N0 e

po magnético: 76,4 mT, 138,8 mT, 201,95 mT, 260,25 mT y
q
q
308,10 mT. Estos valores de campo magnético correspondie-
(11)
ron a incrementar de a 1 A la corriente suministrada a las bobinas, comenzando desde 1 A hasta 5 A. Durante cada medi-
4.
Materiales y Métodos
ción, la intensidad del campo se verificó con la sonda Hall y se
registró el voltaje Hall correspondiente para distintos valores
El experimento se llevó a cabo utilizando una base pa-
de corriente aplicada a la muestra.
ra efecto Hall equipada con una muestra de germanio tipo-p
montada en una tarjeta plug-in. Esta tarjeta se conectó al sis-
Posteriormente, en la segunda etapa, se mantuvo constante
tema de adquisición mediante el Sensor CASSY, el cual esta-
la corriente que atravesaba la muestra y se estudió la variación
ba vinculado a un computador con el software CASSY Lab,
del voltaje Hall en función del campo magnético. Para este
que permitió registrar y analizar los datos obtenidos. El cam-
caso, se realizaron seis mediciones, variando la corriente en la
po magnético necesario se generó mediante un núcleo en U
muestra desde 5 mA hasta 30 mA, con incrementos de 5 mA
con piezas polares perforadas y bobinas de 250 espiras, las
entre cada medición. En cada caso, se registró el voltaje Hall
cuales fueron alimentadas con fuentes de poder de corriente
para diferentes intensidades del campo magnético.
directa con rangos de hasta 16 V y 5 A. La intensidad del cam-
La tercera parte del experimento, correspondiente a la me-
po magnético se midió utilizando una sonda de Hall (Combi
dición del voltaje Hall en función de la temperatura, no se
B-Sensor S), que permitió realizar una medición precisa del
llevó a cabo directamente. Por indicación del profesor, este
campo en la región donde estaba ubicada la muestra. También
procedimiento conllevaba un riesgo elevado de daño por dila-
se emplearon cables de conexión adecuados para garantizar la
tación térmica en la muestra de germanio, lo que podía ocasio-
correcta adquisición de las señales.
nar su fractura. En su lugar, se utilizaron datos experimentales
El montaje experimental seguido en esta práctica se presen-
proporcionados por el docente, obtenidos previamente bajo
ta en la Figura 6, la cual fue tomada directamente de la guía
condiciones controladas. Estos datos permitieron analizar el
proporcionada para el desarrollo del experimento [4].
comportamiento del voltaje Hall frente a la temperatura y estudiar la transición desde la conducción extrínseca, dominada
por los portadores generados por el dopaje, hacia la conducción intrínseca, donde los portadores térmicamente activados
se vuelven predominantes.
5.
Resultados y análisis
El primer conjunto de datos que se analizó fue la relación
entre el voltaje de Hall (UH ) y la corriente (I) del superconductor con valores fijos del campo magnético (B). Como se
puede ver, la dispersión de los datos se puede ajustar con una
recta (la corriente aumenta con el aumento del voltaje de Hall)
Figura 3: Montaje experimental para la medición del voltaje
Hall en función de la corriente y el campo magnético.
que tendrá como pendiente (m) RHd B , donde RH será la constante de Hall y d el espesor de la lámina (1 × 10−3 m) de ger-
En la primera etapa del experimento, se estudió la varia-
manio. Despejando esta relación se obtiene: RH = md
B , con
ción del voltaje Hall en función de la corriente aplicada a la
la que se calculará la constante para cada regresión que se ob-
muestra, manteniendo constante el campo magnético. Previa-
serva en la figura 4.
4
En el segundo conjunto de datos se analizó la relación entre
el voltaje de Hall y el campo magnético fijando la corriente
de la lámina de germanio. En este caso, como se observa en la
figura 5, la dispersión de los datos se puede aproximar a una
recta al igual que en la figura 4. Sin embargo, en este caso la
I
pendiente será RH
d .
Figura 4: Gráfica del voltaje Hall (UH ) vs. la corriente del superconductor para 5 valores diferentes de campo magnético.
El intercepto mostrará los voltajes involucrados en la medición externos al efecto Hall, los cuales explican que las medidas no empiecen en el origen (punto 0 de los ejes). El error
del campo magnético se consiguió con la medida mínima del
Figura 5: Gráfica del voltaje Hall (UH ) vs. el valor del campo
magnética del superconductor para 6 valores diferentes de la
corriente.
voltímetro.
B±0.01(mT)
76.4
139
202
260
308
pendiente (mV/mA)
0.677±0.003
1.192±0.005
1.653±0.009
2.123±0.010
2.466±0.010
intercepto (mV)
-2.55±0.07
-1.44±0.10
-2.02±0.18
-1.07±0.20
-0.55±0.19
Los puntos de corte registrados en el cuadro 3 siguen representando los voltajes externos al efecto Hall que se sumaron a
las medidas.
I±0.1(mA)
5.0
10
15
20
25
30
Cuadro 1: Puntos de corte e intercepto para cada regresión
lineal hecha en la figura 4
Por otro lado, con la información registrada en el cuadro 1,
se puede encontrar la densidad de huecos (ρs ) usando la ecua-
UH
−2
) (mV/mT)
B (×10
3.46±0.06
7.90±0.07
12.4±0.07
16.8±0.06
20.1±0.11
22.8±0.11
intercepto (mV)
-1.36±0.12
-2.93±0.12
-1.44±0.13
-2.70±0.12
-2.93±0.22
-2.49±0.22
ción 3 del marco teórico, donde se puede reemplazar I/UH
Cuadro 3: Puntos de corte e intercepto para cada regresión
como 1/m, siendo m la pendiente. Por consiguiente, se obtie- lineal hecha en la figura 5
ne la relación de densidad: ρs = e0Bdm . Los resultados tanto
de ρs como de RH se encuentran en el cuadro 2 con sus respectivos errores calculados con propagación.
B±0.01(mA)
76.4
139
202
260
308
RH (×10−6 )
8.861±0.039
8.576±0.036
8.183±0.046
8.165±0.038
8.006±0.032
En este caso, la constante de Hall se definirá con la relación:
UH
RH = md
I , y con la relación de pendiente obtenida ( I ) se
23
ρs ( ×10
m3 )
7.04±0.03
7.28±0.03
7.63±0.04
7.65±0.04
7.80±0.03
puede modificar la ecuación 5 del marco teórico para conseguir una nueva igualdad de la velocidad de deriva: vd = m
b ,
donde b será el alto de la lámina de germanio (0,02m).
Cuadro 2: Valores calculados de RH y ρs para cada valor del
campo magnético usando las pendientes obtenidas en el cuadro 1
5
I±0.1(mA)
5.0
10
15
20
25
30
RH (×10−5 )
6.92±0.18
7.90±0.10
8.27±0.07
8.42±0.05
8.02±0.05
7.61±0.04
vd (m/s)
3.46±0.06
7.90±0.07
12.4±0.70
16.8±0.60
20.1±0.11
22.8±0.11
tes portadores de carga positivos disponibles son los que se
encuentran en la banda conductora, entonces los electrones
saltarán desde la banda de valencia invirtiendo la polaridad
del superconductor. La curva se estabiliza finalmente en un
valor cercano a los -4mV, dado que a temperaturas muy altas
la densidad de portadores positivos es aproximadamente igual
a la densidad de portadores negativos.
Cuadro 4: Puntos de corte e intercepto para cada regresión
lineal hecha en la figura 5
6.
Conclusiones
En el cuadro 4 se registran los valores encontrados para este
Los resultados que se obtuvieron confirman la relación li-
conjunto de datos de la constante de Hall y la velocidad de
neal existente entre el voltaje de Hall y la corriente aplicada
deriva para cada corriente. El error de la corriente se obtuvo
para un campo magnético fijo, de la misma manera entre el
del instrumento de medición y los demás errores se calcularon
voltaje de Hall y el campo magnético con una corriente fija.
con teoría de propagación de errores.
La constante de Hall RH pudo ser calculada a través de los
Por último, se analizó la relación entre el voltaje de Hall y
valores de las pendientes de las relaciones encontradas, igual-
la temperatura del filamento manteniendo fijo la corriente y el
mente con la densidad de portadores de carga ρS ; mostrando
campo magnético. Esta vez, la dispersión de los datos crean
valores estables de la constante de Hall para valores grandes
una curva exponencial que se puede ajustar dada la ecuación
del campo magnético. Por otro lado, la densidad de los por-
11.
tadores presenta una relación inversa con el campo, disminuyendo a medida que el valor del campo magnético incremente; comportamiento esperado de un semiconductor con dopaje
tipo p. Adicionalmente, el análisis del voltaje de Hall en función de la temperatura muestra que inicialmente los valores
del voltaje son positivos, sin embargo, a partir de los 395K
presenta valores negativos, y esto se debe a que al elevar la
temperatura del semiconductor, los electrones que ya habían
ocupado el último nivel de la banda de Valencia, comienzan
a saltar al nuevo nivel de energía creado por los aceptores,
permitiendo así el flujo de los electrones hacia la banda de
conducción, de esta manera, la polaridad cambia.
Figura 6: Gráfica del voltaje Hall (UH ) vs. la temperatura del Referencias
superconductor para para una corriente fija I = 30mA y un
campo magnético fijo B = 342mT .
[1] Universidad Anáhuac México. “¿Qué son los semiconductores?” (2023), dirección: https : / / www .
anahuac . mx / mexico / noticias / Que - son -
Como muestra la figura 6, el voltaje de Hall empieza en
los-semiconductores.
valores positivos dado a que los portadores de carga mayoritarios son positivos. A medida que aumenta la temperatura,
[2]
los electrones empiezan a movilizarse y rellenar los huecos
H. Ibach y H. Lüth, Solid-State Physics: An Introduction
to Principles of Materials Science, 4th. Springer, 2009.
proporcionados por los aceptadores; esto, provoca que decai-
[3]
ga el voltaje. Por otro lado, el valor del voltaje de Hall alcanza
N. W. Ashcroft y N. D. Mermin, Solid State Physics.
Philadelphia: Saunders College Publishing, 1976.
valores negativos en los puntos más altos de la temperatura.
Este fenómeno se debe a que los huecos que añaden los aceptores del dopaje tipo p han sido llenados. Luego, los siguien6
[4]
LD Didactic GmbH, Efecto Hall - P7.2.1.4, Guía de
laboratorio proporcionada por el docente, LD Didactic
GmbH, 2011.
7