Centro Universitário Ítalo Brasileiro
Administração de Empresas
Ciências Contábeis
ESTATÍSTICA APLICADA
Profa Dra Liana Maria Ferezim Guimarães
Profa Dra Emilia Satoshi Miyamaru Seo
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Apresentação
Este caderno de estudo tem como objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de
exemplos práticos, os conceitos primordiais da estatística inferencial apresentando, inicialmente, uma
revisão da análise combinatória e do cálculo de probabilidades. Utiliza, para isso, uma metodologia
objetiva e de fácil compreensão.
O nível de aprofundamento apresentado, tanto na teoria como nos exercícios, assegura a
necessária preparação do aluno para o desenvolvimento de disciplinas afins em sua formação
acadêmica. Além disso, é enfatizada a importância de aplicar técnicas estatísticas para solucionar
problemas usuais do mundo real. Em todas as oportunidades será mostrado como a estatística pode,
efetivamente, facilitar a tomada de muitas decisões que administradores, contadores, economistas,
executivos e empreendedores enfrentam cotidianamente.
Profa Dr a Liana Maria Ferezim Guimarães
2
ESTATÍSTICA APLICADA
CAPÍTULO 1 - TEORIA DAS PROBABILIDADES
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:
1. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à Administração e
Economia. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
2. BUSSAB, W. O. & MORETIN, P. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. 6.ed. São Paulo:
Saraiva, 2010.
3. IEZZI, G. et al. Matemática: volume único. 3.ed. São Paulo: Atual, 2005.
4. KAZMIER, L. J. Estatística Aplicada a Economia e Administração. 4.ed. São Paulo: Bookman,
2007.
5. MEDEIROS, E. S. e colaboradores. Estatística para os Cursos de Economia, Administração e
Ciências Contábeis. Vol. 1 e 2. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2010.
6. MIRAGE, A. Apostila de Estatística. São Paulo: Universidade Ibirapuera, 1998.
7. OLIVEIRA, F. E. M. Estatística e Probabilidade. 3.ed. São Paulo: Atlas, 2009.
8. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: Harbra Harper How do
Brasil, 2001.
9. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
10. WEBSTER, A. L. Estatística Aplicada à Administração e Economia. 3.ed. São Paulo: McGraw
Hill, 2006.
Neste texto, inicialmente, serão revistos os conceitos de análise combinatória para que estes
forneçam o embasamento necessário ao desenvolvimento da teoria de probabilidades.
ANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória é a parte da Matemática que consiste em estudar métodos de contagem.
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Se determinado evento ocorre em etapas independentes; se a primeira etapa pode ocorrer de k1
maneiras diferentes; a segunda de k2 maneiras diferentes e, assim sucessivamente, então o número
total N de maneiras de ocorrer o evento, composto por n etapas, é dado por:
N  k1  k 2  k 3  ...  k n
Exemplos:
1. No Brasil, antes da alteração do sistema de emplacamento de automóveis, as placas dos veículos
eram confeccionadas usando-se duas letras do alfabeto e quatro algarismos. Qual era o número
máximo de veículos licenciados no sistema antigo?
Imaginemos a seguinte situação: Placa LG8178.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos
concluir que:
a) Para a 1a posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2 a também temos 26
alternativas.
b) Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada uma das 4
posições.
Podemos, então, afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a:
N  26  26 10 10 10 10  6.760.000 veículos licenciados.
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2. Atualmente, no Brasil, as placas dos veículos são confeccionadas usando-se três letras do alfabeto e
quatro algarismos. Qual é o número máximo de veículos que pode ser licenciado?
Nesse caso, o número total de veículos que podem ser licenciados é igual a:
N  26  26  26 10 10 10 10  175.760.000 veículos licenciados.
Percebe-se que a inclusão de apenas uma letra faz com que sejam licenciados mais 169.000.000
veículos.
3. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6 e 7?
Formar um número nessas condições é considerado uma ação constituída de três etapas:
a) escolha do algarismo das centenas: há 7 possibilidades, pois, com exceção do zero, qualquer outro
algarismo pode iniciar o número (lembre-se que o número 058 é, na verdade, 58 e possui apenas dois
algarismos);
b) escolha do algarismo das dezenas: há 7 possibilidades, pois, o algarismo zero pode ser incluído, mas
deve-se excluir o algarismo já escolhido para a centena;
c) escolha do algarismo das unidades: há 6 possibilidades, pois, deve-se escolher um algarismo
diferente dos dois anteriores.
Portanto, o resultado procurado é N  7  7  6  294 números.
FATORIAL
Para resolver problemas de Análise Combinatória precisamos utilizar uma ferramenta
matemática chamada fatorial.
Seja um número n inteiro e não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!),
como sendo:
n! = n.(n-1).(n-2) . ... .4.3.2.1 para n ≥ 2
Exemplos:
4. 4 !  4  3  2  1  24
5. 7 !  7  6  5  4  3  2  1  5.040
6. 10!  10  9  8  7  6  5  4  3  2  1  3.628.800
Perceba que 7!  7  6  5  4!
ou
10!  10  9  8  7!
Por definição, 0 !  1 e
1!  1
PERMUTAÇÕES SIMPLES
Considere o conjunto E = {a 1, a2, a3,..., an} de n elementos distintos. Chama-se permutação dos
n elementos de E, qualquer sequência formada pelos n elementos de E.
Exemplo 7:
Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não
significado na linguagem comum. Os possíveis anagramas da palavra REI são: {REI, RIE, ERI, EIR, IRE
e IER}. Cada um desses 6 anagramas é uma permutação dos elementos R, E, I.
De um modo geral, não nos interessa quais são as permutações que se podem fazer com os
elementos de um conjunto, mas, sim, quantas são as permutações possíveis com esses elementos.
Esse cálculo é bastante simples, pois ele pode ser feito por meio do princípio fundamental da contagem.
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De fato, seja E = {a1, a2, a,..., an} um conjunto qualquer de n elementos distintos. Determinar o
número de permutações dos n elementos de E é determinar o número de sequências diferentes que se
podem formar com esses elementos. Para isso, vamos analisar quantas possibilidades de escolha
existem para o 1o, 2o, 3o,...,n-ésimo termos das sequências, sem repetição de elementos. Temos, então:
Termos
N de possibilidades
o
1o
n
2o
n-1
3o
n-2
4o
n-3
...
no
1
Assim, pelo princípio fundamental da contagem, concluímos que o número de permutações de n
elementos distintos é dado por:
Pn  n  (n  1)  (n  2)  (n  3)  ...  2  1, ou ainda,
Pn  n!
Exemplos:
8. De quantos modos diferentes 6 pessoas podem se dispor em fila?
Uma fila nada mais é do que uma sequência de pessoas, isto é, mudando-se as posições de 2
pessoas numa fila, ela se altera. Então, o número de maneiras em que 6 pessoas podem se dispor em
fila é dado por:
P6  6!  720 maneiras
9. Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MUNDO?
A palavra MUNDO possui 5 letras distintas e, portanto, o número de anagramas é igual a:
P5  5!  120 anagramas
10. Quantos anagramas existem com as letras da palavra CACATUA?
Se as letras da palavra CACATUA fossem todas distintas, o número de anagramas seria:
P7  7!  5.040 anagramas
Porém, nesse cálculo, cada anagrama é computado mais de uma vez, já que as trocas de posições
apenas entre letras iguais não resultam em um novo anagrama e, como visto no exemplo anterior, estão
incluídas nesse total. Como há 3 letras A, que ocupam 3 vagas, o número de vezes que elas permutam
entre si, num mesmo anagrama é:
P3  3!  6
Já o número de vezes que as 2 letras C permutam entre si é:
P2  2!  2
Assim, cada anagrama gera 6x2 anagramas iguais, isto é, cada anagrama é computado 12 vezes
quando se calcula P7. Logo, o número de anagramas com as letras da palavra CACATUA é igual a:
P7 5.040

 420 anagramas
12
12
ARRANJOS
Considere o conjunto E = {a 1, a2, a,..., an} de n elementos. Chama-se arranjo simples dos n
elementos de E tomados r a r (n  r ) , representado por A n,r , qualquer sequência formada por r
elementos distintos de E.
Exemplo 11:
Para ilustrar como se procede ao cálculo de arranjos, considere o conjunto das vogais do
alfabeto V = { a, e, i, o, u }. Suponha que queremos saber quantos grupos existem, que contenham, por
exemplo, três das cinco vogais. Neste caso, n = 5 e r = 3. Temos, então, cinco objetos para ocuparem
3 posições, formando vários grupos distintos.
Para ocupar a primeira posição, tem-se como opção qualquer uma das cinco vogais. Escolhida
uma delas, tem-se como opção para ocupar a segunda posição a escolha de qualquer uma das quatro
5
restantes. Preenchida a segunda posição pode-se, finalmente, escolher qualquer uma das três vogais
restantes para ocupar a terceira posição.
O número total de grupos de três vogais é, portanto, o produto 5  4  3 , que se representa por
A 5,3 (lembre-se do diagrama da árvore, discutido em classe). Se quisermos usar o símbolo que
representa o fatorial podemos escrever:
A 5,3  5  4  3 
5  4  3  2 1
5!
5!


 60
2 1
2!
(5 - 3) !
Generalizando, o número de arranjos de n objetos tomados r a r é dado pela fórmula:
A n,r 
n!
(n  r )!
No exemplo acima, o cálculo mostra que podem-se formar 60 grupos com três vogais distintas.
Alguns deles são: aei , aie , eai, eia, iae, iea. Notar que esses grupos, apesar de terem os mesmos
elementos, são considerados distintos por causa da ordem em que os mesmos estão dispostos.
O cálculo de arranjos é usado em problemas onde a ordem de disposição dos
elementos é relevante.
Exemplo 12: Vinte atletas disputam uma prova esportiva, todos com chances iguais de vencer. De
quantas formas pode-se compor o pódio para os 3 primeiros lugares?
Neste problema, a ordem de disposição dos 3 vencedores no pódio é relevante e, portanto,
calcula-se o número de arranjos de 20 elementos tomados 3 a 3.
A 20,3 
20 !
 20  19  18  6.840 pódios diferentes.
(20 - 3) !
COMBINAÇÕES
Considere o conjunto E = {a 1, a2, a,..., an} de n elementos. Chama-se combinação simples dos
n elementos de E tomados r a r (n  r ) , representada por Cn,r , qualquer subconjunto de E com r
elementos. É muito importante reforçar que uma combinação é um agrupamento de elementos que
podem ser dispostos em qualquer ordem.
O cálculo de combinações é usado em problemas onde a ordem de disposição
dos elementos NÃO é relevante.
A contagem de grupos de r elementos, dentre n, onde a ordem dos elementos escolhidos não é
importante é dada por:
Cn,r 
A n,r
r!
,
ou seja, Cn,r 
n!
(n  r )! r!
Exemplo 13: De quantas formas pode-se compor uma comissão de 3 pessoas a partir de um grupo de 8
pessoas?
Numa comissão de 3 pessoas, não importa a ordem em que elas estão dispostas. Calcula-se,
portanto, o número de combinações de 8 pessoas tomadas 3 a 3:
C8,3 
8!
8  7  6  5  4  3  2 1

 56 comissões diferentes.
5! 3!
5  4  3  2  1 3  2  1
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LISTA 1A – Exercícios para fixação
ATENÇÃO: É FUNDAMENTAL SABER DIFERENCIAR OS CONCEITOS DO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM, PERMUTAÇÃO, ARRANJO OU COMBINAÇÃO PARA A RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS.
1. Nos problemas descritos nos itens abaixo, conte o número de maneiras que cada procedimento pode
ser feito.
a) Alinhar 3 pessoas para uma fotografia.
b) Priorizar 4 tarefas pendentes da mais à menos importante.
c) Organizar 5 livros da esquerda para a direita em uma estante.
d) Premiar do primeiro ao décimo lugar os dez cachorros participantes de um concurso.
2. Quantos números naturais ímpares, de 4 algarismos, há em nosso sistema de numeração?
3. Quantos números naturais divisíveis por 5 e de 5 algarismos, há em nosso sistema de numeração?
4. Quantos números de três algarismos existem? Quantos deles são formados por algarismos distintos?
5. Usando-se 5 dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sem repeti-los, quantos números pares podemos
formar?
6. A senha de um cadeado é formada por uma sequência de quatro letras, escolhidas entre as 26 letras
do alfabeto.
a) Quantas senhas podem ser formadas?
b) Quantas senhas com quatro letras distintas podem ser formadas?
c) Quantas senhas começando com vogal podem ser formadas?
d) Quantas senhas de letras distintas podem ser formadas começando e terminando por vogal?
7. Sabe-se que as placas dos veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos.
Usando somente as letras M, U, S, I, C, A e os algarismos ímpares do sistema decimal, quantas placas
diferentes podem ser formadas, de modo que não haja nenhuma letra nem algarismo repetidos?
8. Uma prova é composta por 12 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas, a prova pode
ser resolvida?
9. Uma das etapas do processo admissional de uma empresa é constituída por uma prova composta
por 8 questões com 5 alternativas cada. De quantas maneiras distintas, a prova pode ser resolvida?
10. Uma linha telefônica é formada por 7 algarismos. Quantas linhas podemos formar que tenham todos
os algarismos diferentes, comecem com 5 e terminem com zero?
11. De quantas maneiras podem ser dispostas em fila oito bolas de cores diferentes?
12. Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARTIGO?
13. Quantos anagramas podem ser gerados com as letras da palavra PAPAGAIO?
14. Quantos são os anagramas formados pela palavra CORREDOR? Quantos começam por COR?
15. Calcule o número de anagramas da palavra SINTAXE que começam e terminam por vogal.
16. Considere os anagramas formados a partir da palavra JANEIRO.
a) Quantos são?
b) Quantos começam por J?
c) Quantos começam e terminam por vogal?
d) Quantos começam por vogal e terminam por consoante?
e) Quantos apresentam as letras J, A, N juntas?
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17. Uma pesquisa deseja saber a ordem de preferência dos três maiores ídolos do esporte do Brasil.
Quantas respostas diferentes são possíveis, se a cada entrevistado é apresentada uma lista com o
nome de 15 esportistas?
18. Entre 10 conselheiros, o presidente de um clube precisa escolher um diretor de esportes, um
tesoureiro e um secretário. De quantas maneiras diferentes podem ser feitas as escolhas?
19. De quantas maneiras sete pessoas podem sentar-se em um banco com apenas três lugares?
20. Quantas comissões de quatro pessoas podem ser formadas a partir de um grupo de nove pessoas?
21. Em uma reunião de condomínio compareceram 28 condôminos. Quantas comissões de 3 pessoas
podem ser formadas para fiscalizar uma obra no condomínio?
22. Uma pizzaria possui 18 tipos de ingredientes para montar pizzas. Quantas pizzas diferentes podem
ser montadas com quaisquer 3 tipos de ingredientes?
23. Quantas possibilidades existem para escolher o presidente e o relator de uma CPI entre 54
deputados?
24. Entre cinco matemáticos e sete físicos deseja-se formar uma comissão constituída de dois
matemáticos e três físicos. De quantas maneiras isso pode ser feito?
25. O setor de emergência de um hospital conta, para os plantões noturnos, com 5 pediatras, 3 clínicos
gerais e 8 enfermeiros. As equipes de plantão deverão ser constituídas por 2 pediatras, 1 clínico geral e
3 enfermeiros.
a) Quantos trios distintos de enfermeiros podem ser formados?
b) Quantas equipes de plantão distintas podem ser formadas?
26. De um grupo de 11 deputados federais e 9 senadores será escolhida uma comissão de 8
parlamentares, constituída de 5 deputados e 3 senadores. Quantas comissões podem ser formadas?
27. Num acampamento, o monitor deve montar uma equipe de 4 jovens para fazer o almoço. Se há
8 rapazes e 6 moças, quantas equipes de 2 rapazes e 2 moças podem ser formadas?
28. Um professor entregou a seus alunos uma lista com 12 exercícios. Se ele pretende montar uma
avaliação com 4 questões dessa lista, de quantos modos poderá fazê-lo?
29. Quantos conjuntos de 6 dezenas são possíveis de ocorrerem na "Dupla-Sena", onde há 50 dezenas
disponíveis?
30. Quantos conjuntos de 6 dezenas são possíveis de ocorrerem na "Mega-Sena", onde há 60 dezenas
disponíveis?
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PRINCÍPIOS DE PROBABILIDADE
Independentemente de sua escolha profissional, uma coisa é certa: será necessário tomar
decisões. Por exemplo, um investidor precisa decidir se investe em um negócio particular com base em
suas esperanças de retorno futuro. Empreendedores, na decisão de fabricar um novo produto, perante
a incerteza da probabilidade de sucesso, devem tomar decisões mesmo com a incerteza do resultado.
Qualquer esforço para reduzir o nível de incerteza em qualquer processo de tomada de decisão
aumenta enormemente a chance de que esta seja inteligente ou fundamentada em boas informações.
Para melhorar nossa habilidade em julgar a ocorrência de eventos futuros, vamos conhecer as
maneiras como a probabilidade dos eventos pode ser medida.
A teoria de probabilidades será usada para o estudo de uma classe de fenômenos aleatórios,
chamados experimentos. Os experimentos são caracterizados por apresentarem as seguintes
características:
1.
2.
Repetitividade: caracteriza um fenômeno que pode ser repetido quantas vezes quisermos;
Regularidade: é uma característica relacionada com a possibilidade da ocorrência dos resultados
do fenômeno, cuja avaliação numérica dá origem às probabilidades.
ESPAÇO AMOSTRAL
Os experimentos relacionados com os fenômenos aleatórios em geral admitem vários
resultados. O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento é chamado de espaço
amostral e será denotado por S.
O exemplo mais simples de um experimento é lançar uma moeda e anotar a face superior. Este
é um fenômeno aleatório cujos resultados possíveis são cara (simbolizado por c) e coroa (simbolizado
por k). Então o conjunto S será:
S = { c, k }
Outro exemplo ilustrativo de um fenômeno aleatório é o lançamento simples de um dado. O
experimento será lançar um dado e anotar os pontos da face superior. O espaço amostral desse
experimento é :
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Outro exemplo: Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e anotar o naipe da carta escolhida. O
espaço amostral será:
S = { paus, copas, ouros, espadas }
Mais um exemplo: Lançar duas moedas (ou lançar uma moeda duas vezes) e anotar as faces
superiores. Neste caso:
S = { cc, ck, kc, kk }
Estes foram exemplos de espaços amostrais finitos.
Existem experimentos que apresentam infinitos resultados possíveis e, portanto, o espaço amostral
desses experimentos contém infinitos elementos. Como exemplo, temos os experimentos seguintes:
1)
Lançar uma moeda sucessivamente, até aparecer a primeira face cara. O espaço amostral será
S = { c, kc, kkc, kkkc, ... }.
2)
Lançar um dado sucessivamente, até aparecer uma face com pontos pares. O espaço amostral
será S = { p, ip, iip, iiip, ... }.
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Certos espaços amostrais são formados por elementos caracterizados por se originarem de dois ou
mais procedimentos. Por exemplo, o lançamento de uma moeda, duas vezes, gera o espaço amostral
S = { cc, ck, kc, kk }. Se a moeda for lançada três vezes, o espaço amostral será S = { ccc, cck, ckc, kcc,
ckk, kck, kkc, kkk }.
EVENTOS
Evento é um subconjunto qualquer do espaço amostral S de um experimento. Notar que o
conjunto vazio, denotado por  ou por { }, é um subconjunto de qualquer conjunto.
Então, por exemplo, considerando o experimento do lançamento simples de um dado, os
conjuntos A = { 1, 3, 5 } , B = { 2, 4, 6 } e C = { } são subconjuntos de S e portanto são eventos.
NÚMERO DE ELEMENTOS DO ESPAÇO AMOSTRAL
No caso do lançamento de uma moeda duas vezes, nota-se que no primeiro lançamento há
duas ocorrências possíveis (cara ou coroa). No segundo lançamento, também, há duas ocorrências
possíveis. O número total de elementos é o produto 2  2 , que é 4. Para o caso do lançamento de uma
moeda três vezes, nota-se, também, que no primeiro lançamento há dois resultados possíveis, assim
como no segundo e no terceiro lançamentos. Portanto, o número de elementos do espaço amostral será
2 2 2  8.
De uma forma geral, se um procedimento A pode ser realizado de m maneiras diferentes e um
procedimento B pode ser realizado de n maneiras diferentes, o encadeamento dos procedimentos
A e B pode ser feito de m  n maneiras diferentes (princípio fundamental da contagem).
Outro exemplo: Se Geórgia, ao se vestir, tem como escolha três blusas de cores diferentes e
duas calças também de cores diferentes, de quantos modos ela pode combinar seu traje?
(Desconsidere, neste caso simples, as outras peças de vestimenta). Portanto, ela pode combinar seus
trajes de 6 maneiras diferentes. Se ela dispõe ainda de 2 pares de sapatos de duas cores diferentes,
quantas serão as formas de se vestir? É fácil ver que serão 12.
ELEMENTOS DO ESPAÇO AMOSTRAL – DIAGRAMA DE ÁRVORE
Uma técnica usada para se ter todos os possíveis eventos de um experimento desse tipo é fazer
a representação pelo que se chama diagrama de árvore. Abaixo estão os diagramas de árvore que
mostram os três casos citados acima.
Lançamento de uma moeda duas vezes
10
20
S
c
cc
k
c
ck
kc
k
kk
c
k
10
Lançamento de uma moeda três vezes:
10
20
30
S
c
ccc
k
c
cck
ckc
k
c
ckk
kcc
k
c
kck
kkc
k
kkk
c
c
k
c
k
k
Trajes de Geórgia: Considere, por exemplo, blusas de cores branca, preta e vermelha, simbolizadas
por bb, bp e bv , respectivamente. Sejam ainda as calças branca e preta simbolizados por cb e cp,
respectivamente. O diagrama de árvore será:
blusas
calças
cb
S
bb-cb
cp
cb
bb-cp
bp-cb
cp
cb
bp-cp
bv-cb
cp
bv-cp
bb
bp
bv
Assim, por exemplo, o elemento bp-cb do espaço amostral S representa o traje
blusa preta-calça branca de Geórgia. Fica para o leitor o exercício de construir o diagrama onde os
sapatos são considerados no traje.
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LISTA 1B – Exercícios para fixação
1. Uma moeda é lançada três vezes. Vamos representar por n(E) o número de resultados possíveis e
representar por n(A) o número de resultados que apresentam apenas duas caras. Qual é o valor de n(E)
e n(A)?
2. Lançando-se uma moeda usual 5 vezes, seus resultados formam uma sequência. Qual é o número
de sequências possíveis?
3. Considere o seguinte experimento aleatório: "lançar três dados e observar os números obtidos nas
faces superiores". Qual é o número de elementos do espaço amostral desse experimento?
4. Em uma urna estão contidas três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-se sucessivamente duas
bolas dessa urna, obtém-se um par ordenado. Qual é o número de pares ordenados possíveis, fazendose extrações COM reposição?
5. Em uma urna estão contidas três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-se sucessivamente duas
bolas dessa urna, obtém-se um par ordenado. Qual é o número de pares ordenados possíveis, fazendose extrações SEM reposição?
6. O experimento consiste em lançar dois dados e observar a soma dos pontos das faces superiores.
Determine o espaço amostral (Sugestão: use o diagrama de árvore).
7. Lançando-se um dado honesto duas vezes, qual é o número de resultados que apresentam soma 7?
8. Dois jogadores disputam um jogo no qual é lançado, uma única vez, um par de dados. O jogador A
ganha se a soma dos resultados for 6 e B, se a soma for 10. Qual dos dois jogadores tem mais chance
de ganhar?
9. Existem 3 rodovias da cidade A até a cidade B e 4 rodovias da cidade B até a cidade C. Quantos
caminhos diferentes existem da cidade A até a C, passando por B?
10. De sua casa ao trabalho, Silva pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho à faculdade ou da
faculdade para casa, ele pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega. De
quantos modos distintos Silva, pode, no mesmo dia, ir de casa ao trabalho, do trabalho para a faculdade
e da faculdade de volta para casa?
11. Um restaurante oferece 8 tipos de salada, 10 tipos de pratos quentes e 5 tipos de sobremesa. Uma
pessoa pretende escolher uma salada, um prato quente e uma sobremesa. Quantas opções ela tem?
12. Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 6 cores diferentes com 3 tipos de acabamento
(standard, sport ou luxo) e com 3 tipos de motores (1.6, 1.8 ou 2.0), sendo que os motores podem ser
movidos a álcool ou a gasolina. Quantas são as opções de escolha de um comprador desse automóvel?
13. Considere apenas os algarismos 2, 5, 7 e 8. Quantos números de três algarismos distintos é
possível formar com esses algarismos? Quais são eles?
14. Um salão possui 10 portas. Pergunta-se:
a) quantas são as possibilidades de uma pessoa entrar no salão e sair dele?
b) quantas são as possibilidades de uma pessoa entrar por uma porta e sair por outra diferente?
15. Considere o espaço amostral do lançamento de um dado e a observação da face superior.
Descreva por seus elementos os seguintes eventos:
a) A: sair face par
b) B: sair face primo
d) D: sair face maior que 6
c) C: sair face maior que 3
e) E: sair face múltipla de 3
f) F: sair face menor ou igual a 4.
12
TEORIA DAS PROBABILIDADES
Fenômenos:
 Determinísticos: repetidos sob as mesmas condições iniciais conduzem sempre a um só resultado.
 Aleatórios: repetidos sob as mesmas condições iniciais podem conduzir a mais de um resultado.
Chamamos de probabilidade à medida de incerteza na ocorrência de um evento resultante de
uma experiência aleatória. Assim, a Teoria de Probabilidades é aplicada a fenômenos aleatórios.
Enfoques:
a) Probabilidade Clássica ou Anterior (baseada na ocorrência de um evento a priori - antes de
ocorrer)
P(E) 
número de maneiras que o ev entopode ocorrer
númerototalderesultadospossív eis
É o tipo de probabilidade mais frequentemente associada a jogos de azar. Será estudada a seguir.
b) Probabilidade Frequencialista ou Posterior (baseada na frequência relativa de um evento)
A frequência relativa usa a informação passada que foi observada empiricamente. Ela observa a
frequência com que algum evento ocorreu no passado e estima a probabilidade dele ocorrer
novamente, fundamentada em dados históricos. A probabilidade de um evento com base na frequência
relativa é determinada por:
P(E) 
número de v ezes que um ev entoocorreu
númerototaldeobserv ações
Por exemplo, assuma que durante o último mês ocorreram 50 nascimentos em um hospital.
Trinta e dois bebês recém-nascidos eram meninas. A frequência relativa revela que a probabilidade de
que um próximo nascimento (ou qualquer nascimento escolhido aleatoriamente) seja de uma menina é:
P(menina ) 
32
 0,64
50
c) Probabilidade Personalística: processo subjetivo de avaliação (crenças pessoais).
Como exemplo, podemos apresentar a seguinte situação: Por razões de tributação e de usos
alternativos de seus fundos, um investidor concluiu que a compra de lotes de terra se justifica somente
se existe uma probabilidade de pelo menos 0,90 (90%) de que o valor da terra aumente 50% ou mais
nos próximos 4 anos. Ao avaliar certo terreno, o investidor estuda as mudanças de preços na região
durante os últimos anos, considera os níveis de preços atuais, estuda o estado atual e futuro dos
projetos de desenvolvimento de terras e analisa as estatísticas relacionadas com o desenvolvimento
econômico de toda a área geográfica. Com base neste estudo, o investidor chega à conclusão de que
há uma probabilidade de 0,75 (75%) de ocorrer a necessária subida no preço da terra. Por essa razão
decide não investir no terreno.
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
Considere um experimento cujo espaço amostral contenha n elementos, ou seja, S = { a 1, a2,
a3, ..., an }. Associa-se a cada elemento ai desse conjunto, um número real que quantifica a
13
possibilidade de sua ocorrência. Essa associação é uma função, chamada função de probabilidade,
denotada por P ( ai ) , que tem as seguintes propriedades:
1) 0  P ( ai )  1
i  1, 2, 3 ... n
É mais provável que um evento ocorra se sua probabilidade estiver próxima de 1. A probabilidade de
uma certeza é 1. A probabilidade do impossível é 0.
2)  P ( a i )  1
i  1, 2, 3 ... n
A probabilidade de que ocorram todos os eventos de um espaço amostral é 1.
CÁLCULO DA PROBABILIDADE CLÁSSICA
Certos tipos de experimentos têm um espaço amostral cujos elementos têm a mesma
probabilidade de ocorrência (são equiprováveis). Se interessa calcular a probabilidade de ocorrência um
evento qualquer E, formado por um ou mais elementos a i , utiliza-se a fórmula abaixo:
P(E) 
n( a i )
n
Essa é a definição clássica que leva ao cálculo da probabilidade de ocorrência de certo número de
resultados favoráveis [n (ai)] em relação ao número total de resultados que podem ocorrer em
determinado experimento (n).
Exemplos:
1) Qual é a probabilidade de sair cara no lançamento de uma moeda honesta?
Solução: Por moeda honesta, entende-se que a probabilidade de dar cara é a mesma de dar coroa , ou
seja, P (c) = P (k). Pela primeira propriedade das probabilidades, P (c) + P (k) = 1. Então,
P (c) = 0,5 e P (k) = 0,5
2) Qual é a probabilidade de sair cara e cara no lançamento de duas moedas honestas?
Solução: Já foi visto que o espaço amostral desse experimento é S = { cc, ck, kc, kk }.
Existe somente um caso favorável, neste caso, que é o evento cc. O número total de eventos é quatro.
Portanto,
P(cc ) 
1
4
3) Qual é a probabilidade de sair pelo menos uma cara no lançamento de duas moedas
honestas?
Solução: O espaço amostral é o mesmo do exemplo anterior, ou seja, S = { cc, ck, kc, kk }, que contém
4 elementos igualmente prováveis. O evento que representa os casos favoráveis é E = { cc, ck, kc },
que contém 3 elementos. Portanto,
P (E) = P (cc, ck, kc ) 
3
4
4) Qual é a probabilidade de sair no máximo uma cara no lançamento de duas moedas honestas?
Solução: O espaço amostral é o mesmo do exemplo anterior. O evento que representa os casos
favoráveis, aqui, é E = {kc, ck, kk } e portanto,
P (E) = P(ck, kc, kk ) 
3
4
14
TABELA DE CONTINGÊNCIA E TABELA DE PROBABILIDADE CONJUNTA
Uma tabela em forma de matriz pode ser construída para indicar a frequência de ocorrência de
eventos correspondentes a duas variáveis. Os possíveis eventos de uma das variáveis são colocados
como cabeçalhos de colunas da matriz e os possíveis eventos da segunda variável como linhas da
matriz. A tabela que mostra as frequências com que ocorrem os eventos das duas variáveis em
conjunto é chamada tabela de contingência. Pela análise dos dados da tabela de contingência é
possível construir uma outra tabela, onde são colocadas nas células da matriz, as probabilidades de
ocorrência conjunta dos eventos.
Exemplo: A tabela abaixo é uma tabela de contingência onde está descrito o caso de 200 pessoas que
entraram em uma loja de aparelhos telefônicos celulares, de acordo com o sexo e a idade. A tabela de
probabilidades pode ser construída dividindo cada uma das entradas da tabela de contingência pelo
total, 200 clientes. A tabela de probabilidades é, também, chamada de Tabela de Probabilidade
Conjunta.
Tabela de contingência para clientes de uma loja segundo as variáveis: sexo e idade
Sexo
masculino
feminino
Total
Abaixo de 30 anos
30 anos ou mais
60
80
50
10
110
90
Total
140
60
200
Idade
Tabela de probabilidade conjunta correspondente à tabela de contingência acima
Sexo
masculino
feminino
Total
Abaixo de 30 anos
30 anos ou mais
0,30
0,40
0,25
0,05
0,55
0,45
Total
0,70
0,30
1,00
Idade
Nesta tabela pode-se verificar, por exemplo, que a probabilidade de o cliente ser do sexo feminino é
0,30 e que a probabilidade de o cliente ter menos de 30 anos é 0,55. Já a probabilidade de que o cliente
seja do sexo masculino e tenha 30 anos ou mais é 0,40, enquanto que, a probabilidade de ser do sexo
feminino e ter menos de 30 anos é igual a 0,25.
15
LISTA 1C – Exercícios para fixação
1. No lançamento de dois dados e na observação da soma dos pontos das faces superiores, determine
a probabilidade de cada um dos eventos seguintes:
a) A : A soma ser par;
b) B: A soma ser ímpar;
c) C: A soma ser múltiplo de 3;
d) D: A soma ser número primo;
e) E: A soma ser maior ou igual a 7;
f) F: A soma ser maior que 12.
2. Um experimento consiste em sortear um aluno em uma classe pela lista de chamada (1 a 20).
Determine a probabilidade dos seguintes eventos:
a) A: Ser sorteado um número par;
b) B: Não ser sorteado múltiplo de 5;
c) C: Ser sorteado um número maior que 12 e múltiplo de 3;
d) D: Ser sorteado um número menor que 7 e múltiplo de 4;
e) E: Ser sorteado um número menor que 13, maior que 8 e múltiplo de 7;
f) F: Ser sorteado um número real.
3. Há 50 bolas em uma urna sendo 20 azuis, 15 vermelhas, 10 brancas e 5 verdes. Misturam-se as
bolas e retira-se uma. Determine a probabilidade de que a bola escolhida seja:
a) verde; b) azul; c) não vermelha; d) amarela; e) não amarela.
4. Jogando-se uma moeda três vezes, qual é a probabilidade de se tirar cara pelo menos uma vez?
5. Uma caixa contém 15 peças defeituosas em um total de 40 peças, qual é a probabilidade de se
selecionar ao acaso uma peça não defeituosa desta caixa?
6. Se o número da placa de um carro é par, qual é a probabilidade de que o algarismo das unidades
seja zero?
7. Inserem-se em uma urna 10 bolas idênticas numeradas de 1 a 10. Se uma bola for retirada da urna,
qual é a probabilidade de que essa bola não seja número 7?
8. Um jogador recebeu uma cartela com 15 números distintos entre os números 0 e 89. De uma urna
contendo bolas numeradas de 0 a 89 é sorteada uma bola. Qual é a probabilidade de que o número
dessa bola esteja na cartela do jogador?
9. Um senhor enviou 150 cartas para um concurso no qual seria sorteada apenas uma carta de um total
de 14.250 cartas. Qual é a probabilidade de que uma das cartas desse senhor seja sorteada?
10. Numa caixa de bombons há 3 de cereja, 4 de avelã, 5 de laranja, 5 de framboesa, 6 de maracujá e
7 de menta. Uma pessoa retira um bombom da caixa e em seguida retira outro. Qual é a probabilidade
de que seja 1 de cereja e 1 de laranja?
11. Se um casal pretende ter três filhos e o primeiro é do sexo masculino, qual é a probabilidade de que
os outros dois sejam do mesmo sexo?
12. Em uma urna estão contidas 4 bolas brancas e 6 pretas. Retirando-se, sucessivamente e sem
reposição, 2 bolas, qual é a probabilidade de sair bola preta e bola branca, nesta ordem?
13. Em uma bandeja há dez pastéis dos quais 3 são de carne, 3 de queijo e 4 de camarão. Se uma
pessoa retirar, aleatoriamente e sem reposição, 2 pastéis desta bandeja, qual é a probabilidade de que
os 2 pastéis retirados sejam de camarão?
16
14. Num grupo de 60 pessoas, 10 são torcedores do time A, 5 são torcedores do time B e os demais
são torcedores do time C. Se um elemento do grupo for escolhido ao acaso, qual será a probabilidade
de que esse elemento seja torcedor do time A ou do time B?
15. Qual é a probabilidade de sair face 4 ou 5 no lançamento de um dado?
16. Qual é a probabilidade de não sair face 4 ou 5 no lançamento de um dado?
17. Qual é a probabilidade de sair face 4 e 5 no lançamento de dois dados?
18. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o curso de Psicologia há 10 anos se encontraram em
uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de
acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo.
Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. Qual é a probabilidade de que a criança
premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a)?
19. Um jogo na antiga loteria esportiva era composto por 13 jogos entre times de futebol, com 3
resultados possíveis para cada jogo (vitória, empate e derrota, correspondentes às colunas 1, 2 e 3).
Supondo que as 3 colunas têm iguais probabilidades de ocorrência em todos os jogos, qual é a
probabilidade de um apostador ganhar nesse jogo, se ele marcou 12 jogos simples e um jogo duplo?
20. A “LOTECA”, o jogo atual similar à antiga loteria esportiva é composto por 14 jogos entre times de
futebol, com 3 resultados possíveis para cada jogo (vitória, empate e derrota, correspondentes às
colunas 1, 2 e 3). Supondo que as 3 colunas têm iguais probabilidades de ocorrência em todos os
jogos, qual é a probabilidade de um apostador ganhar nesse jogo, se ele marcou 13 jogos simples e um
jogo duplo?
21. Qual é a probabilidade de se acertar na "Dupla-Sena" fazendo, apenas, um jogo de 6 dezenas?
Obs.: Nesse jogo há 50 dezenas disponíveis.
22. Qual é a probabilidade de se acertar na "Mega-Sena" fazendo, apenas, um jogo de 6 dezenas?
Obs.: Nesse jogo há 60 dezenas disponíveis.
23. O quadro abaixo representa a classificação de um grupo de 50 altos executivos, segundo o setor
comercial ou industrial em que trabalham e sua respectiva faixa salarial.
Setor
Faixa Salarial (R$)
20.001 a 30.000
30.001 a 40.000
40.001 a 50.000
50.001 a 60.000
60.001 a 70.000
Acima de 70.000
Bancário
Alimentação
Eletrônico
Telecomunicações
Varejo
5
2
0
3
1
1
6
4
1
0
3
0
3
2
1
2
1
1
1
3
2
2
1
1
2
1
0
0
0
1
Se um executivo desse grupo é escolhido ao acaso, determine a probabilidade dos seguintes eventos:
17
a) A:
b) B:
c) C:
d) D:
e) E:
f) F:
Ser do setor bancário;
Ser do setor de eletrônicos e ganhar entre R$ 30.001 e R$ 40.000;
Ganhar entre R$ 40.001 e R$ 50.000;
Ser do setor de varejo e ganhar acima de R$ 70.000;
Ser do setor de alimentação e ganhar entre R$ 20.001 e R$ 30.000;
Ganhar acima de R$ 70.000.
24. Um grupo de 500 funcionários da Eletrônica e Montadora Saturno apresenta, de acordo com o sexo
e a classificação por função, a seguinte composição:
SEXO
CLASSIFICAÇÃO
Auxiliar
Linha de Produção
Gerente
TOTAL
Masculino
Feminino
TOTAL
120
150
30
300
50
140
10
200
170
290
40
500
Se um funcionário dessa empresa é selecionado ao acaso, calcule:
a) a probabilidade de ser uma mulher;
b) a probabilidade de ser mulher e ser gerente;
c) a probabilidade de ser homem e ser auxiliar;
d) a probabilidade de ser mulher e trabalhar na linha de produção;
e) a probabilidade de ser um gerente;
f) sendo mulher, a probabilidade de ser gerente;
g) sendo homem, a probabilidade de ser auxiliar;
h) sendo gerente, a probabilidade de ser mulher;
i) sendo auxiliar, a probabilidade de ser homem.
25. Para testar a eficácia de uma campanha de anúncio do lançamento do novo sabão S, uma agência
de propaganda realizou uma pesquisa com 2.000 pessoas. Por uma falha da equipe, a agência omitiu
os dados dos campos x, y, z e w no seu relatório sobre a pesquisa, conforme mostra a tabela a seguir.
Número de pessoas que
TOTAL
Adquiriram S
Não adquiriram S
Viram o anúncio
x
y
1.500
Não viram o anúncio
200
z
500
TOTAL
600
w
2.000
Indique os valores dos campos x, y, z e w. Depois, suponha que uma dessas 2.000 pessoas
entrevistadas seja escolhida ao acaso. Nesse caso, qual é a probabilidade de que esta pessoa tenha
visto o anúncio da campanha e adquirido o sabão S?
18
CAPÍTULO 2 - DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:
1. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à Administração e
Economia. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
2. BUSSAB, W. O. & MORETIN, P. Métodos Quantitativos: Estatística Básica. 6.ed. São Paulo:
Saraiva, 2010.
3. KAZMIER, L. J. Estatística Aplicada a Economia e Administração. 4.ed. São Paulo: Bookman,
2007.
4. MEDEIROS, E. S. e colaboradores. Estatística para os Cursos de Economia, Administração e
Ciências Contábeis. Vol. 1 e 2. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2010.
5. OLIVEIRA, F. E. M. Estatística e Probabilidade. 3.ed. São Paulo: Atlas, 2009.
6. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: Harbra Harper How do
Brasil, 2001.
7. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
8. WEBSTER, A. L. Estatística Aplicada à Administração e Economia. 3.ed. São Paulo: McGraw Hill,
2006.
DEFINIÇÕES IMPORTANTES: VARIÁVEL ALEATÓRIA
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA E CONTÍNUA
Uma variável aleatória é aquela cujos valores são determinados por processos acidentais, ao
acaso, que não estão sob controle do observador. A soma das probabilidades de todos os resultados
possíveis ai é igual a 1.
 P(ai )  1
As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas.
As variáveis aleatórias discretas são aquelas que só podem tomar valores numéricos isolados.
Estes valores são determinados por fatores de chance. Geralmente simbolizados por uma letra
maiúscula. Uma variável aleatória é considerada discreta se assume valores que podem ser contados.
Exemplos:
Número de acidentes automobilísticos em uma semana, número de defeitos em determinada peça
fabricada, número de livros numa estante, etc.
Entretanto, as variáveis aleatórias discretas não precisam tomar apenas valores em números
inteiros. Por exemplo, suponha que joguemos um dado duas vezes e que M, seja a média dos dois
números que aparecem. Então, M admite os valores 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5 e 6.
Uma variável aleatória é considerada contínua quando pode tomar qualquer valor de
determinado intervalo.
Exemplos:
Altura de alunos de uma classe na universidade, vida útil de uma lâmpada, intervalo de tempo decorrido
até o decaimento de um átomo radioativo, duração da vida de uma pessoa, etc.
A distinção entre variáveis aleatórias discretas e contínuas é importante porque a utilização de
diferentes modelos (distribuições) de probabilidade depende do tipo de variável aleatória considerada.
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES
Quando resultados de probabilidade são calculados para os possíveis valores de uma variável
aleatória X, tanto por uma listagem como por uma função matemática, o resultado é uma distribuição de
probabilidades.
19
Uma distribuição de probabilidades é uma distribuição de frequências relativas para os
resultados de um espaço amostral. Mostra a proporção de vezes em que a variável aleatória tende a
assumir cada um dos diversos valores.
Exemplo:
Observando as vendas de automóveis na "DiCarlo Motors" em Saratoga, NY, EUA, por 300 dias,
concluiu-se que a distribuição de probabilidades para o número de automóveis vendidos em um dia,
obedece os dados descritos na tabela abaixo:
No de automóveis
vendidos
Xi
0
1
2
3
4
5

Número de dias
fi
Probabilidade
P(Xi )
54
117
72
42
12
3
n = 300
0,18
0,39
0,24
0,14
0,04
0,01
1,00
Observe que as frequências observadas foram convertidas, na última coluna da tabela, em
f 
n
probabilidade (ou seja, frequência relativa) para o período de 300 dias, onde P(XI) =  i  .
Nesse caso, é fácil observar que a probabilidade de serem vendidos exatamente dois
automóveis em um dia aleatoriamente escolhido é de 0,24, enquanto que a probabilidade de serem
vendidos dois ou mais automóveis em um dia é de 0,43.
FUNÇÃO PROBABILIDADE
A função probabilidade é dada por:
f(x) = P(X = xi)
onde os valores individuais de probabilidade podem ser designados pelo símbolo f(x), o que enfatiza a
existência de uma função matemática; P(X = xi), ou simplesmente P(X), designa a distribuição de
probabilidade da variável aleatória X, enfatizando que a variável aleatória pode assumir quaisquer
valores.
VALOR ESPERADO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
No estudo de distribuições de frequências feito em estatística descritiva, para fins de caracterizar
certas amostras de uma população, foram calculados parâmetros da distribuição, como média, variância
e desvio padrão de uma variável (discreta ou contínua). Esses parâmetros foram representados por x ,
s2(x) e s(x), respectivamente.
Para estudar populações serão usadas variáveis aleatórias (discretas ou contínuas), às quais se
associam probabilidades de ocorrência ao invés de frequências. Neste caso, a média populacional, a
variância e o desvio padrão serão representados por , 2(x) e (x), respectivamente.
1. Valor esperado de uma variável aleatória: é a média ponderada de todos os possíveis valores da
variável com os respectivos valores de probabilidade tomados como pesos. É calculada como:
n
f 
 = E(X) =  Xi .P( Xi ) ; onde P(XI) =  i 
n
i 1
20
Exemplo:
Para o exemplo anterior sobre o número de automóveis vendidos em um dia por um período de 300
dias pela "DiCarlo Motors", calcula-se o valor esperado da seguinte forma:
No de automóveis
vendidos
Xi
0
1
2
3
4
5

Probabilidade
P(Xi )
Valor ponderado
Xi . P(Xi)
0,18
0,39
0,24
0,14
0,04
0,01
1,00
0,00
0,39
0,48
0,42
0,16
0,05
1,50
n
Valor esperado (médio):  = E(X) =  Xi .P(Xi ) = 1,50 automóveis vendidos por dia.
i 1
2. Variância e desvio padrão de uma variável aleatória: os conceitos são análogos à variância e ao
desvio padrão de uma distribuição de frequências.
A forma geral de desvios para a fórmula da variância de uma distribuição discreta de
probabilidades é:
2(x) = E(x2) – [E(x)]2
E, portanto, o desvio padrão é dado por:
(x) =  2 ( X )
Exemplo:
Para o exemplo anterior sobre o número de automóveis vendidos em um dia por um período de 300
dias pela "DiCarlo Motors", calcula-se a variância e o desvio padrão da seguinte forma:
i
1
2
3
4
5
6
Variância:
No de automóveis
vendidos
Xi
0
1
2
3
4
5

Probabilidade
P(Xi )
0,18
0,39
0,24
0,14
0,04
0,01
1,00
Valor
ponderado
E(xi)=Xi . P(Xi)
0,00
0,39
0,48
0,42
0,16
0,05
1,50
Xi2
0
1
4
9
16
25
-----
Quadrado
ponderado
E(Xi2)=Xi2. P(Xi)
0,00
0,39
0,96
1,26
0,64
0,25
3,50
2(X) = E(Xi2) – [E(Xi)]2 = 3,50 – (1,50)2 = 3,50 – 2,25 = 1,25
Desvio padrão:
(X) =  2 ( X ) =
1,25 = 1,12 automóveis vendidos por dia.
21
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
Para uma variável aleatória discreta, todos os possíveis valores da variável aleatória podem ser
listados numa tabela com as probabilidades correspondentes, gerando, como resultado, uma
distribuição de probabilidades. Os modelos discretos de probabilidades mais utilizados são as
distribuições de probabilidade binomial e de Poisson.
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Um experimento como o lançamento de uma moeda tem apenas dois possíveis resultados: (1)
cara e (2) coroa. A probabilidade de cada resultado é conhecida e constante em cada tentativa
(lançamento) e o experimento pode ser repetido muitas vezes. Experimentos desse tipo seguem uma
distribuição binomial.
Assim, a distribuição binomial segue as seguintes hipóteses:
1. Há n observações idênticas;
2. Cada observação tem dois resultados possíveis, um chamado “sucesso” e o outro “fracasso”;
3. As probabilidades p de sucesso e (1 – p) de fracasso permanecem constantes em todas as
observações;
4. Os resultados das observações são independentes uns dos outros.
Deve estar claro que o lançamento de uma moeda preenche os requerimentos para uma
distribuição binomial.
Muitos exemplos relacionados aos negócios podem ser citados. Sindicatos frequentemente
querem saber quantos trabalhadores (1) querem se filiar ao sindicato ou (2) que não estão interessados.
Banqueiros procuram especialistas em economia para opinarem se os juros (1) vão subir ou (2) vão
cair. A equipe de marketing quer saber se o cliente (1) prefere ou (2) não prefere determinado produto.
A aplicação da distribuição binomial nos negócios é quase ilimitada.
Há dois métodos para se obter as probabilidades para uma variável aleatória discreta distribuída
binomialmente:
I. Utilização da fórmula binomial;
II. Utilização das tabelas de probabilidades binomiais.
I - UTILIZAÇÃO DA FÓRMULA BINOMIAL
A distribuição binomial é utilizada para determinar a probabilidade de obtenção de certo número
de sucessos. Três valores são necessários para isso: o número total de observações ou de tentativas n;
o número de sucessos X e a probabilidade p de sucesso em cada tentativa. A fórmula para se
determinar a probabilidade P de certo número de sucessos X em uma distribuição binomial é:
P(X) = Cn,X [P(sucesso)]X [P(fracasso)]n – X =
n!
p X (1  p)n  X
(n  X)! X!
Exemplo 1:
A probabilidade de que um presumível cliente, aleatoriamente escolhido, faça uma compra é 0,20. Se
um vendedor visita seis presumíveis clientes, qual é a probabilidade de que ele fará exatamente quatro
vendas?
P(sucesso) = 0,20 e, portanto, P(fracasso) = 0,80
22
A probabilidade de que o vendedor faça exatamente quatro vendas é determinada da seguinte
maneira:
P(X = 4) = C6,4 (0,20)4(0,80)2 =
6!
(0,0016)(0,64)  0,01536
2!4!
Ou seja, a probabilidade de que o vendedor faça exatamente quatro vendas é, aproximadamente,
igual a 1,536%.
Geralmente, existe um interesse na probabilidade acumulada de “X ou mais” sucessos ou “X ou
menos” sucessos ocorrerem em n tentativas. Em tal caso, precisa ser determinada a probabilidade de
cada resultado incluído dentro do intervalo dado, sendo tais probabilidades, então, somadas.
Exemplo 2:
No exemplo anterior, a probabilidade de que o vendedor realize 4 ou mais vendas é determinada como
se segue:
P(X  4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
onde P(X = 4) = 0,01536
P(X = 5) = C6,5 (0,20)5(0,80)1 =
6!
(0,00032)(0,80)  0,001536
1!5!
P(X = 6) = C6,6 (0,20)6(0,80)0 =
6!
(0,000064)(1)  0,000064
0!6!
P(X  4) = 0,01536 + 0,001536 + 0,000064 = 0,016960  0,01696
Ou seja, a probabilidade de que o vendedor faça quatro ou mais vendas é, aproximadamente, igual a
1,696%.
II - UTILIZAÇÃO DAS TABELAS DE PROBABILIDADES BINOMIAIS
Quando a amostra é relativamente grande ou quando se deseja determinar a probabilidade de
que o resultado ocorra em um intervalo de valores, a fórmula da binomial envolve uma quantidade
considerável de cálculos. Para resolver estes casos, utilizam-se, freqüentemente, tabelas de
probabilidades da distribuição binomial.
Há duas maneiras de calcular probabilidades através de tabelas binomiais. Uma das maneiras é
calcular as probabilidades de resultados individuais de uma variável aleatória, enquanto que a outra, é
calcular as probabilidades de um conjunto de resultados. A primeira é utilizada quando há interesse na
determinação da probabilidade de um único valor numa distribuição binomial, tal como, a probabilidade
de exatamente 4 sucessos em 6 observações (como pode ser observado no exemplo 1 acima). A
segunda maneira é utilizada quando há interesse nos resultados do tipo “mais do que” ou “menos do
que” determinado número de sucessos (como pode ser observado no exemplo 2 acima).
Exemplo 3:
Calcular a probabilidade de exatamente 5 sucessos (x = 5) em 8 observações (n = 8), quando a
probabilidade de sucesso é 0,30. Utilizar a tabela de probabilidades binomiais.
Solução:
1. Procurar no topo da tabela o valor de p de sucesso pedido;
2. Localizar o valor de n na coluna esquerda da tabela e procurar o número x desejado de sucessos;
3. A probabilidade de x sucessos se encontra na intersecção da linha descrita conforme o item 2 acima
com a coluna descrita conforme o item 1.
23
Assim, a probabilidade de se obter exatamente 5 sucessos em 8 observações, quando a
probabilidade de sucesso em cada observação é 0,30, é igual a 0,047 ou 4,70%.
Exemplo 4:
Calcular a probabilidade de 2 ou menos sucessos (isto é, x = 0 ou 1 ou 2) em 3 observações (n = 3),
com probabilidade de sucesso 0,40.
Solução:
Utiliza-se a tabela de probabilidades binomiais, realizando o mesmo raciocínio do exemplo anterior.
Tomam-se a probabilidade de sucesso p = 0,40 e sua intersecção com as linhas de n = 3 observações,
somando-se as probabilidades de x = 0, 1, 2 sucessos.
Portanto, o valor da probabilidade é:
P(x  2) = 0,216 + 0,432 + 0,288 = 0,936 (para 2 ou menos sucessos).
Assim, a probabilidade de se obter 2 ou menos sucessos em 3 observações, quando a
probabilidade de sucesso em cada observação é 0,40, é igual a 0,936 ou 93,60%.
OBS.: Para calcular a probabilidade de mais de 2 sucessos, determina-se a probabilidade de 2 ou
menos sucessos e a subtraímos de 1. Ou seja:
P(x > 2) = 1,000 – 0,936 = 0,064 (para mais de 2 sucessos)  6,40%
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Desenvolvida pelo matemático francês Simon Poisson (1781-1840), a distribuição de Poisson
mede a probabilidade de que um evento aleatório ocorra em um período de tempo ou espaço. Ela é
usada para calcular o número de fregueses que entram por hora em uma loja, o número de acidentes
por mês em uma avenida, o número de ligações defeituosas no sistema de iluminação da cidade por
quilômetro, o número de máquinas quebradas que estão esperando conserto, etc.
Para que a distribuição de Poisson possa ser aplicada, deve-se assumir que:
1. A probabilidade da ocorrência de um evento é constante para qualquer intervalo de tempo ou de
espaço;
2. A ocorrência de um evento, em qualquer intervalo, é independente da ocorrência em qualquer outro
intervalo.
Há dois métodos para se obter as probabilidades para uma variável aleatória discreta que
obedece aos pressupostos acima e, portanto, é descrita pela distribuição de Poisson:
I. Utilização da fórmula de Poisson;
II. Utilização das tabelas de probabilidades de Poisson.
A função de Poisson pode ser expressa como:
e  . x
P(x) 
x!
onde x = número de ocorrências do evento;
µ = número médio de ocorrências por unidade de tempo ou espaço;
e = 2,71828 = número de Euler.
Exemplo 1:
Suponha que estejamos interessados na probabilidade de que exatamente 5 fregueses cheguem em
uma loja na próxima hora (ou qualquer hora). Uma observação das últimas 80 horas mostra que 800
clientes entraram na loja. Assim, µ = 10 clientes por hora. Então:
24
P(5) 
2,71828 10.105
 0,0378
5!
Como essa equação não é muito fácil de manipular, pode-se utilizar a Tabela da Distribuição de
Poisson (que é fornecida nesta apostila para alguns valores).
Procure na tabela µ = 10. Desça nessa coluna até encontrar x = 5. Ali você encontra 0,0378, isto é,
3,78% de chance de que exatamente 5 clientes entrem na loja na próxima hora.
Exemplo 2:
Uma empresa de pavimentação fechou um contrato com a prefeitura para fazer o serviço de
manutenção nas estradas que servem a um grande centro urbano. As estradas recentemente
pavimentadas pela empresa tiveram uma média de 2 defeitos por quilômetro depois de um ano de uso.
Se a prefeitura continuar seu contrato com essa empresa, qual é a probabilidade de encontrar 3 defeitos
em qualquer quilômetro da estrada depois de um ano de tráfego?
P(3) 
2,71828 2.23
 0,1804
3!
Na Tabela da Distribuição de Poisson, procure a coluna onde µ = 2 e a linha x = 3. Você encontrará o
valor 0,1804, isto é, 18,04% de chance de se encontrar 3 defeitos em qualquer quilômetro da estrada
depois de um ano de tráfego.
Exemplo 3:
Uma professora recomenda a seus alunos de estatística que sejam prudentes procurando o monitor se
tiverem qualquer dúvida. Parece que as chegadas à sala do monitor se ajustam à distribuição de
Poisson com média de 5,2 alunos a cada 20 minutos. A professora está preocupada, pois, se muitos
alunos precisarem dos serviços do monitor, ele terá um aglomerado de pessoas.
a) O monitor deve determinar a probabilidade de 4 estudantes chegarem em qualquer período de 20
minutos, pois isso criaria a aglomeração que a professora teme. Se essa probabilidade for maior que
20%, um novo monitor deve ser contratado.
b) O monitor deve calcular, também, a probabilidade de mais de 4 estudantes chegarem em qualquer
período de 20 minutos. Se a probabilidade for maior que 50%, o horário de atendimento também deve
aumentar dando a oportunidade dos alunos serem atendidos com mais atenção durante esse período.
c) Se a probabilidade de mais de 7 estudantes chegarem durante qualquer período de 30 minutos for
maior que 50%, então, a própria professora vai ajudar na monitoria.
Solução:
a) P(x = 4 | µ = 5,2) = 0,1681
Como P(x = 4) = 16,81% < 20%, não é necessário um novo monitor.
b) P(x > 4 | µ = 5,2) = 0,1748 + 0,1515 + 0,1125 + 0,0731 + 0,0423 + 0,0220 + 0,0104 + 0,0045 +
0,0018 + 0,0007 + 0,0002 + 0,0001 = 0,5939
Como P(x > 4) = 59,391% > 50%, o horário de atendimento do monitor deve aumentar.
c) É dado que µ = 5,2 alunos a cada 20 minutos. Temos que verificar agora a nova meta da professora,
ou seja, para um período de 30 minutos.
Se a média é de 5,2 alunos a cada 20 minutos, calculando a proporção para 30 minutos observa-se que
µ = 7,8 alunos (monte a regra de três!). Portanto:
P(x > 7 | µ = 7,8) = 0,1392 + 0,1207 + 0,0941 + 0,0667 + 0,0434 + 0,0260 + 0,0145 + 0,0075 + 0,0037 +
0,0017 + 0,0007 + 0,0003 + 0,0001 = 0,5186
Como P(x > 7) = 51,86% > 50%, a professora também vai ajudar na monitoria dos alunos.
25
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Dentre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, distribuição exponencial,
distribuição uniforme e distribuição normal, a mais empregada em estatística é a distribuição normal,
também chamada de distribuição de Gauss. A distribuição normal de probabilidades é uma distribuição
de probabilidade contínua que é simétrica em relação à média.
O aspecto gráfico de uma distribuição normal é o da figura abaixo:
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4

6
7
8
9
10
X
Em resumo as características das curvas normais são:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real;
A curva normal tem a forma de sino;
É simétrica em relação à média ;
A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1 (100%);
A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, prolonga-se de - a +;
A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída
tomar um valor entre esses pontos;
7. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrões
entre a média e aquele ponto.
A distribuição de probabilidade normal é importante na inferência estatística por três razões
distintas:
1. As medidas produzidas em diversos processos aleatórios seguem esta distribuição;
2. Probabilidades normais podem ser usadas freqüentemente como aproximações de outras
distribuições de probabilidade, tais como, as distribuições binomiais e de Poisson;
3. As distribuições de estatísticas da amostra, tais como a média e a proporção, freqüentemente,
seguem a distribuição normal, independentemente da distribuição da população.
Como para qualquer distribuição contínua de probabilidade, o valor da probabilidade pode ser
determinado somente para um intervalo de valores da variável. A função que determina a curva normal
ou de Gauss, é dada por:
f (X) 
1
22
2
2
e  [(X  ) / 2 ]
onde  é a constante 3,1416; e é a constante 2,71828;  é a média da distribuição e  é o desvio
padrão da distribuição.
26
Como já dito anteriormente, a área sob a curva normal (na realidade, abaixo de qualquer curva
que represente uma função de densidade de probabilidade) é 1. Então, para quaisquer dois valores
específicos podemos determinar a proporção de área sob a curva entre esses dois valores. Para a
distribuição normal, a proporção de valores no intervalo dentro de um, dois ou três desvios padrão da
média são:
Intervalo
Proporção
  1
68,3%
  2
95,5%
  3
99,7%
Este resultado é usado da seguinte maneira. Suponha que os comprimentos de um particular tipo de
peixe podem ser descritos por uma distribuição normal, com média 140 mm e desvio padrão 15 mm.
Podemos calcular a proporção dos peixes que têm comprimentos entre 125 mm e 155 mm, por
exemplo, como a proporção da área sob a curva entre 125 mm e 155 mm. Então, em nosso exemplo,
68,3% dos peixes têm comprimentos entre 125 mm e 155 mm.
Uma vez que cada combinação de  e  geraria uma distribuição normal de probabilidade
diferente, as tabelas de probabilidades da normal são baseadas em uma distribuição particular: a
distribuição normal padronizada. Esta é a distribuição normal de probabilidade com  = 0 e  = 1.
Qualquer conjunto de valores X, normalmente distribuído, pode ser convertido em valores normais
padronizados z pelo uso da fórmula:
X 
z=

onde z = número de desvios padrões a contar da média; X = valor arbitrário;  = média da distribuição
normal;  = desvio padrão.
Pode-se, então, escrever que a probabilidade será P ( < X < x) = P(0 < Z < z), cujos valores são
tabelados. Note-se que z tem sinal negativo para valores de X inferiores à média e sinal positivo para
valores superiores à média.
Exemplo:
Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa
máquina. Suponha que essa variável tenha distribuição normal com média  = 2,00 cm e desvio
padrão  = 0,04 cm. Pode haver interesse em conhecer a probabilidade de parafusos produzidos terem
diâmetros com valores entre 2,00 cm e 2,05 cm. É fácil notar que essa probabilidade, que é indicada por
P(2,00 < X < 2,05), corresponde à área destacada na figura abaixo:
27
Se X é uma variável aleatória contínua com distribuição normal com média
desvio padrão  = 0,04 cm, então a variável z padronizada é:
z=
X 

=
 = 2 cm e
2,05  2
0,05
=
= 1,25
0,04
0,04
Deseja-se calcular P(2 < X < 2,05) que é igual, portanto, a P (0 < z < 1,25) para a distribuição normal
padronizada ( = 0 e  = 1), que pode ser representada graficamente, como segue:
que, como é fácil observar, corresponde exatamente à área destacada na primeira figura.
Procura-se na Tabela de Probabilidades da distribuição normal padronizada ( = 0 e  = 1), que
expressa áreas, o valor z = 1,25. Na primeira coluna encontra-se o valor 1,2. Em seguida, encontra-se,
na primeira linha, o valor 5, que corresponde ao último algarismo do número 1,25. Na intersecção da
linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944. Isso permite que se escreva que:
P(0 < z < 1,25) = 0,3944
Como P(0 < z < 1,25) = P(2,00 < X < 2,05) então P(2,00 < X < 2,05) = 0,3944.
Portanto, a probabilidade de um parafuso fabricado por essa máquina apresentar diâmetros entre a
média  = 2,00 cm e o valor x = 2,05 cm é 0,3944 ou 39,44%.
28
LISTA 2 - Exercícios para fixação
1. O número de caminhões que chegam, por hora, a um depósito, segue a distribuição de probabilidade
dada na tabela abaixo. Calcular o número esperado X de caminhões que chegam por hora e seu desvio
padrão.
No de caminhões X
0
1
2
3
4
5
6
Probabilidade P(X)
0,05
0,10
0,15
0,25
0,30
0,10
0,05
2. Na tabela abaixo está indicado o número de períodos diários que um sistema de informática fica fora
de operação durante a fase inicial de implantação em uma empresa e sua respectiva probabilidade.
No de períodos diários
que o sistema fica fora de operação
X
4
5
6
7
8
9
TOTAL
Probabilidade
P(X)
0,01
0,08
0,29
0,42
0,14
0,06
1,00
Calcular o número esperado X de vezes que o computador fica fora de operação por dia e o desvio
padrão correspondente.
3. O trem do metrô pára no meio do túnel. O defeito pode ser na antena receptora ou no painel de
controle. Se o defeito ocorrer na antena, o conserto poderá ser feito em 5 minutos. Se o defeito ocorrer
no painel, o conserto poderá ser feito em 15 minutos. O encarregado da manutenção acredita que a
probabilidade de o defeito ser no painel é de 60%. Qual é a expectativa do tempo de conserto?
4. Uma máquina fabrica placas de papelão que podem apresentar nenhum, um, dois ou três defeitos,
com probabilidades de 90%, 5%, 3% e 2%, respectivamente. O preço de venda de uma placa perfeita é
de $ 10 e à medida que apresente algum defeito, o preço cai 50% para cada defeito apresentado. Qual
é o preço médio de venda destas placas?
5. Se chover, um vendedor de guarda-chuva pode ganhar $ 400,00 em um dia. Caso contrário, pode
perder $ 80,00 em um dia. Sabendo-se que a probabilidade de chover em certo dia é de 40%, qual é o
ganho esperado nesse dia pelo vendedor?
6. Uma doceira produz cinco bolos confeitados em um dia. As probabilidades de vender nenhum, um,
dois, três, quatro ou cinco bolos valem, respectivamente, 1%, 3%, 15%, 30%, 29% e 22%. O custo total
de produção de cada bolo é R$ 15,00 e o preço unitário de venda é R$ 45,00. Calcule o lucro médio
obtido com a venda dos bolos.
7. A demanda para um produto das indústrias Califórnia, localizada em San Diego – EUA, varia muito
de mês para mês. A distribuição de probabilidade da demanda mensal da empresa pode ser observada
na tabela abaixo, baseada nos dados dos cinco últimos anos:
Demanda mensal (unidades)
3.000
4.000
5.000
6.000
7.000
8.000
Probabilidade
0,10
0,15
0,25
0,35
0,10
0,05
a) Se a empresa baseia suas ordens de compra mensais no valor esperado da demanda mensal, qual
deve ser a quantidade comprada mensalmente para esse produto?
b) Considere que cada unidade demandada gera R$ 70,00 de receita e que cada unidade comprada
tem custo total de R$ 50,00. Quanto a empresa ganhará ou perderá em um mês, se ela comprou e
vendeu o valor esperado calculado no item a?
29
8. Um produto deve ser lançado no mercado no próximo ano. A expectativa do departamento de
marketing de que o projeto seja bem-sucedido é de 80%. Neste caso, o retorno esperado durante seu
primeiro ano no mercado é de R$ 1.000.000. Se isto não acontecer, o prejuízo previsto é de
R$ 500.000. Calcule o lucro médio que a empresa poderá obter com esse produto.
Obs.: (Prejuízo = Lucro Negativo).
9. Os registros de arremessos dos atuais quatro times campeões de basquete americano mostraram
que a probabilidade de fazer uma cesta de 2 pontos era de 0,50 e a probabilidade de fazer uma cesta
de 3 pontos era de 0,39.
a) Qual é o valor esperado de um arremesso de 2 pontos para esses times?
b) Qual é o valor esperado de um arremesso de 3 pontos para esses times?
c) Se a probabilidade de fazer uma cesta de 2 pontos é maior que a probabilidade de fazer uma cesta
de 3 pontos, por que os treinadores permitem que alguns jogadores façam o arremesso de 3 pontos?
Use o valor esperado para justificar sua resposta.
10. Usando as tabelas binomiais, determinar:
a) P(X = 5  n = 9, p = 0,50)
b) P(X = 7  n = 14, p = 0,60)
c) P(X  3  n = 12, p = 0,05)
d) P(X > 12  n = 25, p = 0,30)
e) P(X  14  n = 20, p = 0,40)
11. Um levantamento da Associação Americana de Investidores Pessoa Física concluiu que 23% dos
seus membros tinham comprado ações diretamente através de uma oferta pública inicial. Em uma
amostra de 20 membros:
a) Qual é a probabilidade de que exatamente quatro membros tenham comprado tais ações?
b) Qual é a probabilidade de que menos de dois membros tenham comprado tais ações?
12. Durante um ano particular, 70% das ações ordinárias negociadas na Bolsa de Nova York tiveram
aumentadas suas cotações, enquanto 30% tiveram suas cotações diminuídas ou estáveis. No começo
do ano, um serviço de assessoria financeira escolhe 10 ações como sendo “especialmente
recomendadas”. Se as 10 ações representam uma seleção aleatória, qual a probabilidade de:
a) Todas as 10 ações terem suas cotações aumentadas?
b) Ao menos 8 ações terem suas cotações aumentadas?
c) Menos do que quatro ações terem suas cotações aumentadas?
13. Os registros de uma pequena companhia indicam que 40% das faturas, por ela emitidas, são pagas
após o vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a probabilidade de:
a) Nenhuma fatura ser paga com atraso;
b) No máximo duas faturas serem pagas com atraso;
c) Ao menos três faturas serem pagas com atraso.
14. Uma pesquisa governamental recente indica que 80% das famílias de uma comunidade, que
ganharam mais de $ 60.000 (renda bruta) no ano anterior, possuem dois carros. Supondo que esta
hipótese seja verdadeira e que seja tomada uma amostra de 10 famílias dessa comunidade, qual é a
probabilidade de exatamente 80% da amostra tenha dois carros?
15. Uma pesquisa médica indica que 20% da população sofrem efeitos colaterais negativos com o uso
de uma nova droga. Se um médico receita o produto a quatro pacientes, qual é a probabilidade de:
a) Nenhum paciente sofrer efeito colateral;
b) Todos os pacientes sofrerem efeitos colaterais;
c) Ao menos um paciente sofrer efeitos colaterais.
16. O American Almanac of Jobs and Salaries, 2004-05, revelou que 30% dos contadores estão
empregados na contabilidade pública. Considere que esta porcentagem se aplica a um grupo de 15
30
graduados em bacharelado que acabaram de entrar na profissão de contador. Qual é a probabilidade
de que pelo menos três deles serão empregados na contabilidade pública?
17. Cinco por cento dos motoristas de caminhões americanos são mulheres (Statistical Abstract of
United States, 1997). Suponha que 30 motoristas de caminhões são selecionados aleatoriamente para
serem entrevistados sobre a qualidade das condições de trabalho.
a) Qual é a probabilidade de que dois dos motoristas sejam mulheres?
b) Qual é a probabilidade de que nenhum motorista seja mulher?
c) Qual é a probabilidade de que pelo menos três motoristas sejam mulheres?
18. Existem 10% de probabilidade de que um tipo de componente eletrônico não se comporte de forma
adequada sob condições de elevadas temperaturas. Se um dispositivo possui 4 destes componentes,
aplicando a distribuição binomial de probabilidade, responda:
a) Qual é a probabilidade de que todos os componentes se comportem de forma adequada, ou seja, de
que o dispositivo funcione?
b) Qual é a probabilidade de que o dispositivo não funcione porque um dos componentes falha?
c) Qual é a probabilidade de que o dispositivo não funcione porque um ou mais componentes falham?
19. Uma pesquisa revelou que 8% dos estudantes de uma universidade particular não terminam a prova
final no tempo permitido de 60 minutos. Para uma amostra aleatória de 40 estudantes, qual é a
probabilidade de que 5 estudantes não terminem a prova no tempo permitido?
20. Cinquenta por cento dos fabricantes de médio porte dos Estados Unidos planejaram enviar
representantes ao Canadá e ao México a fim de tirarem vantagem das oportunidades comerciais
criadas pelo Acordo Americano de Livre Comércio. Um grupo de exportação-importação em Toronto,
Canadá, convidou 15 fabricantes de médio porte dos Estados Unidos para participarem de uma
conferência para explorar as oportunidades de comércio entre esses países. Usando a distribuição
binomial de probabilidades, responda:
a) Qual é a probabilidade de que 10 empresas ou mais enviem representantes?
b) Qual é a probabilidade de que não mais que 5 empresas enviem representantes?
c) Qual é o número esperado de representantes enviados pelas empresas?
d) Qual é a variância e o desvio-padrão do número de representantes enviados pelas empresas?
21. Uma universidade descobriu que 10% de seus estudantes retiram-se sem completar o primeiro
semestre do curso de Administração de Empresas. Considere uma amostra de 30 estudantes
matriculados nesse curso no primeiro semestre do corrente ano.
a) Qual é a probabilidade de que dois ou menos se retirarão?
b) Qual é a probabilidade de que exatamente três se retirarão?
c) Qual é a probabilidade de que mais de três se retirarão?
d) Qual é o número esperado de retiradas?
e) Qual é o desvio-padrão do número de retiradas?
22. Chamadas chegam em uma mesa telefônica de certo escritório na razão média de duas a cada
minuto e seguem a distribuição de Poisson. Se o operador da mesa distrair-se por um minuto, qual a
probabilidade de que o número de chamadas não atendidas seja:
a) Zero?
b) Pelo menos uma?
c) Entre 3 e 5 inclusive?
23. Um processo industrial usado para produzir artefatos de plástico tem taxa de defeito de 5 por 100
unidades. As unidades são enviadas aos revendedores em lotes de 200. Se a probabilidade de
encontrar mais de 10 itens defeituosos no lote exceder 30%, o revendedor certamente vai preferir
investir em um estoque de camisetas. O que acontecerá?
24. Você compra peças de bicicletas de um fornecedor de Minas Gerais que apresenta taxa de 3
defeitos por 100 peças. Você deseja comprar 150 peças, mas não vai aceitar uma probabilidade maior
do que 20% de 2 peças estarem com defeito. Você comprará desse fornecedor?
31
25. Os aviões chegam ao aeroporto de Miami na média de 5,1 por minuto. O controle do tráfego aéreo
pode comandar no máximo 7 aviões por minuto com segurança. Qual é a probabilidade de que a
segurança do aeroporto seja prejudicada?
26. Caminhões chegam para carregamento na razão de 9,3 por hora. Um encarregado das docas sabe
que se seis ou menos caminhões chegarem, apenas uma doca será necessária para o carregamento.
Se mais de seis caminhões chegarem, uma segunda doca deverá ser aberta. Ele deverá abrir uma
segunda doca?
27. Dado que uma população tem distribuição normal com média 25,0 e desvio padrão 2,0, determine
os valores de z para os seguintes valores da população:
a) 23,0
b) 23,5
c) 25,0
d) 25,5
e) 28,0
28. Se Z : N(0, 1), calcular:
a) P(0<Z<1,28)
b) P(-1,28  Z  0)
c) P(Z>1,28)
d) P(Z<-2)
e) P(Z>4,99)
f) P(-1,28<Z<1,28)
g) P(-3  Z  5)
h) P(3<Z<5)
i) P(1,89<Z<3,54)
j) P(Z>-1,22)
k) P(Z<2,33)
l) o valor a tal que P(0<Z<a) = 0,1879
m) o valor b tal que P(Z>b) = 0,0025
n) o valor c tal que P(Z>c) = 0,80
29. Se X : N(10, 4), calcular:
a) P(8<X<10)
b) P(9X12)
c) P(X>10)
d) P(X<8 ou X>11)
30. As vendas mensais de um determinado produto têm distribuição aproximadamente normal com
média igual a 500 unidades e desvio padrão igual a 50 unidades. Se a empresa decide fabricar 600
unidades no mês em estudo, qual é a probabilidade de que não possa atender a todos os pedidos
desse mês, por estar com a produção esgotada?
31. A renda média de uma comunidade tem distribuição aproximadamente
R$ 1.500,00 e desvio padrão R$ 300,00.
a) Que porcentagem da população terá renda superior a R$ 1.850,00?
b) Que porcentagem da população terá renda entre R$ 1.600,00 e R$ 1.850,00?
normal com média
32. Um processo industrial produz canos com diâmetro médio de 2,00” e  = 0,01”. Os canos que
variam para mais ou para menos de 0,03" a contar da média são considerados defeituosos. Supondo a
normalidade, qual a porcentagem de canos defeituosos?
33. O adulto americano médio tem 1,75 m de altura. Assuma que o desvio padrão seja 0,08 m, ao
responder as seguintes questões:
a) Qual é a probabilidade de que um homem adulto tenha mais de 1,83 m?
b) Qual é a probabilidade de que um homem adulto tenha menos de 1,52 m?
c) Qual é a probabilidade de que um homem adulto esteja entre 1,68 m e 1,78 m?
d) Qual é a probabilidade de que um homem adulto não tenha mais de 1,83 m?
34. O tempo necessário para se completar um exame final em um curso de faculdade pública é
distribuído normalmente com uma média de 80 minutos e um desvio padrão de 10 minutos. Responda:
a) Qual é a probabilidade de se completar o exame em uma hora ou menos?
32
b) Qual é a probabilidade de que um estudante complete o exame em mais de 60 minutos, porém em
menos de 75 minutos?
35. Os balancetes semanais realizados em uma empresa mostraram que o lucro realizado distribui-se
normalmente com média R$ 48.000 e desvio padrão R$ 8.000. Qual é a probabilidade de que:
a) Na próxima semana, o lucro seja maior que R$ 50.000?
b) Na próxima semana, o lucro esteja entre R$ 40.000 e R$ 45.000?
c) Na próxima semana, o lucro seja menor que R$ 35.000?
36. Um órgão de controle de pesos e medidas examina uma carga de um produto embalado em
pequenos pacotes e acomodados em caixas. Os pacotes, para estarem dentro da lei, devem ter peso
médio de 1.000 g, desvio padrão de 8 g e obedecer a distribuição normal.
a) Qual é a probabilidade de se encontrar um pacote com menos de 985 g?
b) Qual é a probabilidade de que um pacote escolhido ao acaso tenha peso entre 990 g e 1.005 g?
37. O processo de empacotamento em uma companhia de cereais foi ajustado de maneira que uma
média de 13,0 kg de cereal seja colocada em cada saco. O desvio padrão do peso líquido é 0,1 kg e
sabe-se que a distribuição dos pesos segue a distribuição normal. Determinar a probabilidade de que
um saco aleatoriamente escolhido contenha:
a) entre 12,9 e 13,2 kg de cereal;
b) mais que 13,25 kg de cereal;
c) menos de 12,85 kg de cereal.
38. O volume de comercialização de ações na Bolsa de Valores de São Paulo tem crescido nos últimos
anos. Para o primeiro semestre de 2007, o volume médio diário foi de 64 milhões de ações
comercializadas. Considere que a distribuição de probabilidade do volume diário é normal com um
desvio padrão de 10 milhões de ações comercializadas.
a) Qual é a probabilidade de que o volume de ações comercializado seja menor que 40 milhões?
b) Qual é a probabilidade de que o volume de ações comercializado esteja entre 50 e 70 milhões?
39. As alturas de 10.000 alunos de um colégio têm distribuição aproximadamente normal com média
igual a 170 cm e desvio padrão igual a 5 cm. Qual será o intervalo, simétrico ao redor da média, que
conterá 75% das alturas dos alunos?
40. O departamento comercial de certa empresa resolve premiar 5% dos seus vendedores mais
eficientes. Um levantamento das vendas individuais por semana mostrou que estas se distribuem
normalmente com média R$ 240.000 e desvio padrão R$ 30.000. Qual o volume de vendas mínimo que
um vendedor deve realizar para ser premiado?
33
Tabela para cálculo de probabilidades de uma distribuição binomial
Os espaços em branco representam probabilidades menores ou iguais a 0,0005
0,05
0,1
0,2
0,3
0,4
p
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95
0
1
2
0,903
0,095
0,003
0,810
0,180
0,010
0,640
0,320
0,040
0,490
0,420
0,090
0,360
0,480
0,160
0,250
0,500
0,250
0,160
0,480
0,360
0,090
0,420
0,490
0,040
0,320
0,640
0,010
0,180
0,810
0,003
0,095
0,903
3
0
1
2
3
0,857
0,135
0,007
0,729
0,243
0,027
0,001
0,512
0,384
0,096
0,008
0,343
0,441
0,189
0,027
0,216
0,432
0,288
0,064
0,125
0,375
0,375
0,125
0,064
0,288
0,432
0,216
0,027
0,189
0,441
0,343
0,008
0,096
0,384
0,512
0,001
0,027
0,243
0,729
0,007
0,135
0,857
4
0
1
2
3
4
0,815
0,171
0,014
0,656
0,292
0,049
0,004
0,410
0,410
0,154
0,026
0,002
0,240
0,412
0,265
0,076
0,008
0,130
0,346
0,346
0,154
0,026
0,063
0,250
0,375
0,250
0,063
0,026
0,154
0,346
0,346
0,130
0,008
0,076
0,265
0,412
0,240
0,002
0,026
0,154
0,410
0,410
0,004
0,049
0,292
0,656
0,014
0,171
0,815
5
0
1
2
3
4
5
0,774
0,204
0,021
0,001
0,590
0,328
0,073
0,008
0,328
0,410
0,205
0,051
0,006
0,168
0,360
0,309
0,132
0,028
0,002
0,078
0,259
0,346
0,230
0,077
0,010
0,031
0,156
0,313
0,313
0,156
0,031
0,010
0,077
0,230
0,346
0,259
0,078
0,002
0,028
0,132
0,309
0,360
0,168
0,006
0,051
0,205
0,410
0,328
0,008
0,073
0,328
0,590
0,001
0,021
0,204
0,774
6
0
1
2
3
4
5
6
0,735
0,232
0,031
0,002
0,531
0,354
0,098
0,015
0,001
0,262
0,393
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0,082
0,015
0,002
0,118
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0,060
0,010
0,001
0,047
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0,037
0,004
0,016
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0,234
0,313
0,234
0,094
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0,004
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0,187
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0,001
0,010
0,060
0,185
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0,303
0,118
0,002
0,015
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0,262
0,001
0,015
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0,002
0,031
0,232
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7
0
1
2
3
4
5
6
7
0,698
0,257
0,041
0,004
0,478
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0,004
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0,004
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0,131
0,261
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0,002
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0,004
0,041
0,257
0,698
n
x
2
34
0,05
0,1
0,2
0,3
0,4
p
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95
0
1
2
3
4
5
6
7
8
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0,430
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9
0
1
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0,302
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0,246
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0,001
10
0
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5
6
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10
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0
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2
3
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11
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n
x
8
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0,226
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n
x
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p
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0,209
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0,001
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0,183
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0,001
0,6
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0,8
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0,95
0,002
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0,001
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0,4890
0,4916
0,4936
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4940
0,4955
0,4966
0,4975
0,4982
0,4941
0,4956
0,4967
0,4976
0,4982
0,4943
0,4957
0,4968
0,4977
0,4983
0,4945
0,4959
0,4969
0,4977
0,4984
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4949
0,4962
0,4972
0,4979
0,4985
0,4951
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
3,0
0,4987
0,4987
0,4987
0,4988
0,4988
0,4989
0,4989
0,4989
0,4990
0,4990
54
CAPÍTULO 3 - INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
AMOSTRAGENS E DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:
1. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à Administração e
Economia. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
2. KAZMIER, L. J. Estatística Aplicada a Economia e Administração. 4.ed. São Paulo: Bookman,
2007.
3. MEDEIROS, E. S. e colaboradores. Estatística para os Cursos de Economia, Administração e
Ciências Contábeis. Vol. 1 e 2. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2010.
4. OLIVEIRA, F. E. M. Estatística e Probabilidade. 3.ed. São Paulo: Atlas, 2009.
5. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: Harbra Harper How do
Brasil, 2001.
6. TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
7. WEBSTER, A. L. Estatística Aplicada à Administração e Economia. 3.ed. São Paulo: McGraw Hill,
2006.
INTRODUÇÃO


Na parte I deste curso estudou-se como resumir e apresentar um conjunto de dados (estatística
descritiva). Já na parte II estudou-se como construir modelos probabilísticos para descrever alguns
fenômenos.
Nesta parte do curso, serão estudados estes dois tópicos juntos: a chamada Inferência
Estatística. Será estudado como fazer afirmações sobre características de uma população, tendo
como base resultados de uma amostra, já que devido a alguns fatores, tais como tempo e custo, os
parâmetros de uma população são, freqüentemente, estimados com base na estatística da amostra.
Pode-se, também, entender a inferência estatística para um caso limite, como, por exemplo, se há
interesse em observar a durabilidade de lâmpadas. Suponha que todas as lâmpadas fabricadas
fossem testadas até se queimarem. Neste caso, não restaria nenhuma para ser vendida. Dessa
forma, a solução é selecionar parte dos elementos (amostra), analisá-la e inferir propriedades para
o todo (população). Este é o objetivo da Inferência Estatística.
Inferir significa deduzir por meio de raciocínio.
A Inferência Estatística possibilita fazer afirmações sobre características de uma população
com base em resultados de uma amostra.
CONCEITOS IMPORTANTES

População é o conjunto de indivíduos ou objetos, tendo pelo menos uma variável comum
observável.

Amostra é qualquer subconjunto da população.

Amostra aleatória simples de tamanho n de uma população finita de tamanho N é uma amostra
selecionada tal que cada possível amostra de tamanho n tem a mesma probabilidade de ser
selecionada.

Amostra aleatória simples de tamanho n de uma população infinita é uma amostra selecionada
tal que as seguintes condições são satisfeitas: (a) cada elemento selecionado vem da mesma
população; (b) cada elemento é selecionado de forma independente.
55

Estimação é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar os valores de
parâmetros populacionais desconhecidos. Qualquer característica de uma população pode ser
estimada a partir de uma amostra aleatória. Entre os mais comuns estão a média e o desvio
padrão de uma população.

A capacidade de estimar parâmetros populacionais por meio de dados da amostra está ligada,
diretamente, ao conhecimento da distribuição amostral do parâmetro que está sendo usado como
estimador.

 e , denotam a média e o desvio padrão de uma população de medidas. Portanto, esses são
parâmetros populacionais.

x e s, denotam a média e o desvio padrão de uma amostra de medidas. Portanto, esses são
parâmetros amostrais que serão utilizados como estimadores dos mesmos parâmetros
populacionais.
Para facilitar a memorização, na tabela abaixo são apresentados os estimadores, mais utilizados,
como parâmetros populacionais:
Parâmetro Populacional
Estimador
Média 
Desvio Padrão 
x
s
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA x
Um dos procedimentos estatísticos mais comuns é o uso de uma média da amostra x para fazer
inferências sobre a média da população  .
Esse processo consiste em partir de uma amostra aleatória simples de n elementos, selecionada
da população, os quais fornecem um valor para a média da amostra x . O valor de x é usado para
fazer inferências sobre o valor de  . Em cada repetição do processo, antecipa-se a obtenção de um
valor diferente para a média da amostra x . A distribuição de probabilidade para todos os valores
possíveis da média da amostra é chamada de distribuição amostral da média da amostra x .
Assim, a distribuição amostral de x é a distribuição de probabilidade de todos os valores
possíveis da média da amostra x .
A distribuição de amostragem da média é descrita por dois parâmetros: a média de todos os
valores possíveis de x , que é denominado valor esperado de x e o desvio padrão da distribuição das
médias, simbolizado por  x . Além disso, a forma da distribuição amostral deve ser considerada.
Valor Esperado de x
O primeiro parâmetro, ou seja, o valor esperado de x para amostragens aleatórias simples,
independente do tamanho da amostra, é definido como:
E(x)  x  
(7.1)
onde E(x ) = valor esperado de x ; x = média da amostra;  = média da população.
56
Desvio-padrão de x
O segundo parâmetro é o desvio padrão de x , que pode ser calculado de duas formas:
x =

(7.2.1)
n
utilizado para populações infinitas ou para populações finitas com n  0,05N , onde n = tamanho da
amostra; N = tamanho da população;  = desvio padrão da população;
ou

N n
(7.2.2)
n N 1
o qual considera o fator de correção para populações finitas com n  0,05N , onde n = tamanho da
amostra; N = tamanho da população;  = desvio padrão da população.
x =
Exemplos:
1. Suponha que o diâmetro médio de uma população bastante grande de parafusos seja  = 2,50 mm e
o desvio padrão  = 0,15 mm. Determina-se a distribuição de amostragem das médias das amostras de
tamanho n = 225, em termos de valor esperado e de desvio padrão da distribuição, da seguinte forma:
E( x)    2,50 mm
Como N   (população bastante grande), então:  x =

n
=
0,15
225
 0,01mm
Note que, nesse caso, o fator de correção finita não é necessário, pois 225 < ∞ (população muito
grande).
2. Suponha que o salário médio de mulheres jornalistas na cidade de São Paulo seja  = R$ 3.618,88 e
que o desvio padrão seja  = R$ 1.024,00. Sabendo que o número de mulheres jornalistas na cidade é
aproximadamente igual a 15.000, é possível determinar o valor esperado e o desvio padrão da
distribuição de amostragem da média de uma amostra n = 64 jornalistas, da seguinte forma:
E( x)    R$ 3.618,88
Como N = 15.000 e n = 64: n  0,05N  64  0,05.15000  64  750 , então:
x =

n
=
1024,00
64
 R$128,00
Note que, nesse caso, o fator de correção finita não é necessário, pois 64 < 750.
3. Um auditor toma uma amostra aleatória de tamanho n = 16 de um conjunto de N = 100 contas a
receber com valor médio de R$ 400,00. O desvio padrão da população é R$ 62,00. Determina-se o
valor esperado e o desvio padrão da distribuição de amostragem da média da seguinte forma:
E( x)    R$400,00
Como N = 100 e n = 16: n  0,05N  16  0,05.100  16  5 , então:
57
x =

n
.
62 100  16
Nn
=
.
 R$14,28
N 1
16 100  1
Note que, nesse caso, o fator de correção finita é necessário, pois 16 > 0,05.100  16 > 5.
Mais tarde, será visto que o valor de  x é útil para determinar a distância que a média da
amostra pode estar da média da população. Devido ao papel que  x desempenha em calcular
possíveis erros de amostragem,  x é denominado erro padrão da média.
Observação: Quando o desvio padrão σ da população é desconhecido, mas sabe-se o desvio padrão s
da amostra, calcula-se o desvio padrão de x , da seguinte forma:
sx =
s
para N   ou n  0,05N
n
ou
sx =
s
n
.
Nn
N 1
para n  0,05N
Forma da distribuição de probabilidade de x
A etapa final de identificação das características da distribuição amostral de x é determinar a
forma da distribuição de probabilidade de x . Consideram-se dois casos: um no qual a distribuição da
população é desconhecida e um no qual se sabe que a população é distribuída normalmente.
Quando a distribuição da população é desconhecida, considera-se um dos mais importantes
teoremas em estatística – o teorema do limite central.
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL para n  30  Ao selecionar amostras aleatórias simples de
tamanho n, a partir de uma população, a distribuição amostral da média x pode ser aproximada pela
distribuição normal de probabilidade à medida que o tamanho da amostra se torna maior.
Portanto, a distribuição amostral de x pode ser aproximada por uma distribuição normal de
probabilidade sempre que o tamanho da amostra for grande. A condição de grande amostra pode ser
considerada para amostras aleatórias simples de tamanho 30 ou mais.
Sempre que a população for normalmente distribuída, a distribuição amostral de x tem
distribuição normal de probabilidade para qualquer tamanho de amostra.
Desde que as propriedades da distribuição amostral de x tenham sido identificadas, tais como,
tamanho da amostra n  30 ou população normalmente distribuída, será usada para a distribuição
amostral de x , a distribuição normal para responder às questões de probabilidade.
Para isso, é necessário calcular o parâmetro z, que se escreve na forma:
z
X
X
X
 z=
=
(População)


X
n
58
Exemplo:
4. Um auditor toma uma amostra aleatória simples com 36 contas a receber de uma população de
1.000. O desvio padrão da população é σ = R$ 43,00. Se o verdadeiro valor da média da população de
contas a receber é  = R$ 260,00, qual a probabilidade de que a média x da amostra seja menor ou
igual a R$ 250,00?
E( x)    R$ 260,00
Como N = 1.000 e n = 36: n  0,05N  36  0,05.1000  36  50 , então:
x =

n
=
43,00
36
 R$7,17
Como n = 36, a distribuição amostral da média x pode ser aproximada pela distribuição normal de
probabilidade segundo o teorema do limite central, assim, calculando o parâmetro z:
z=
x   250  260
=
= -1,39
7,17
x
Portanto: P( x  250   = 260;  x = 7,17) = P(z  -1,39)
Ou seja,
P(z  -1,39) = 0,5 – P(-1,39  z  0) = 0,5 – 0,4177 (Tabela Distribuição Normal)
P( x  250) = 0,0823  8,23%
A probabilidade de que a média x da amostra seja menor ou igual a R$ 250,00 é igual a 8,23%.
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA, UTILIZANDO A DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Os métodos de estimação por intervalo são baseados no pressuposto de que possa ser utilizada
a distribuição normal de probabilidade.
Muito embora a média da amostra seja útil como um estimador não tendencioso da média da
população, não existe maneira de expressar o grau de precisão de um estimador. O grau de confiança,
associado a um intervalo de confiança, indica a porcentagem de tais intervalos que incluiriam o
parâmetro que se está estimando. Os intervalos de confiança para a média são tipicamente construídos
com o estimador não tendencioso x no centro do intervalo.
Quando o uso da distribuição normal de probabilidade está garantido, o intervalo de
confiança para a média é determinado por:
X  z x
onde  x 
X  zs x
onde s x 

n
ou
s
n
59
Os intervalos de confiança mais frequentemente utilizados são os de 90%, 95% e 99%. Na
tabela abaixo, são apresentados os valores de z requeridos para tais intervalos:
Proporção de área no intervalo   z
z (número de unidades de desvios
padrões a partir da média)
1,65
1,96
2,58
0,90
0,95
0,99
Entretanto, dependendo do tamanho da amostra, o intervalo de confiança para a média terá as
seguintes formas:
1.
Para n  30 com Desvio Padrão Populacional Conhecido
X z

n
2. Para n  30 com Desvio Padrão Populacional Desconhecido
s
X z
n
3. Para n < 30 com Desvio Padrão Populacional Conhecido
X z

n
4. Para n < 30 com Desvio Padrão Populacional Desconhecido - Distribuição t-Student
X t
s
n
onde
t
X 
sx
Observação: A distribuição t-Student não será abordada neste curso.
Exemplo:
5. Para determinada semana, foi tomada uma amostra aleatória dos salários de 30 empregados horistas
selecionados de um grande número de empregados de uma fábrica. O salário semanal médio, para
esse caso, foi de x = R$ 180,00 com um desvio padrão amostral de s = R$ 14,00. Estima-se o salário
semanal médio para todos os empregados horistas da fábrica, de forma que se tenha uma confiança de
95% de que o intervalo estimado inclua a média da população, da seguinte forma:
x = R$180,00
s
14
=
= 2,56
sX =
n
30
60
Então:
x  z. s x = 180,00  1,96 . 2,56 = R$ 180,00  5,02
E, portanto, o intervalo estimado, que inclui a média da população, com confiança de 95% para todos os
salários dos empregados horistas da fábrica será de R$ 174,98 a R$ 185,02.
DETERMINAÇÃO DO TAMANHO NECESSÁRIO DA AMOSTRA PARA ESTIMAR A MÉDIA
Suponha o intervalo de confiança desejado seja conhecido, bem como, o grau de confiança a ele
associado. O tamanho necessário da amostra, baseado no uso da distribuição normal, é:
  2
n =  z  ( conhecido)
 E 

 s 2
n =  z  ( desconhecido, mas s conhecido)
 E

onde:
z = valor usado para o grau de confiança;
 = desvio padrão da população;
s = desvio padrão da amostra;
E = fator de erro “para mais ou para menos” permitido no intervalo (sempre a metade do
total do intervalo de confiança)
O fator de erro é dado por:

E=z
( conhecido)
n
E=t
s
( desconhecido)
n
Exemplo:
5. Um analista do departamento de pessoal de uma empresa deseja estimar o número médio de horas
de treinamento anual para os capatazes de uma divisão da companhia. O fator de erro admitido, em tal
caso, é de 3 horas (para mais ou para menos), com 90% de confiança. Baseado em dados de outras
divisões, ele estima o desvio padrão das horas de treinamento em  = 20 horas. O tamanho mínimo
necessário da amostra será, então:
2
2
  2
 1,65.20 
 33 
2


n = z  = 
     11  121 elementos
 E 
 3 
 3

61
LISTA 3 - Exercícios para fixação
1. Uma população tem uma média de 200 e um desvio padrão de 50. Uma amostra aleatória de
tamanho 100 será tomada e a média da amostra x será usada para estimar a média da população.
a) Qual é o valor esperado de x ?
b) Qual é o desvio padrão de x ?
2. Assuma que o desvio padrão da população seja  = 25. Calcule o erro padrão da média  x para
tamanhos de amostra de 50, 100, 150 e 200. O que você pode dizer sobre o tamanho do erro
padrão da média quando o tamanho da amostra é aumentado?
3. Suponha que uma amostra aleatória de tamanho 50 seja selecionada de uma população com
 = 10. Encontre o valor do erro padrão da média em cada um dos seguintes casos:
a) O tamanho da população é infinito;
b) O tamanho da população é N = 50.000;
c) O tamanho da população é N = 5.000;
d) O tamanho da população é N = 500.
4. O preço médio por litro de gasolina vendida nos Estados Unidos é US$1,20. Assuma que o preço
médio por litro da população seja  = 1,20 e que o desvio padrão da população seja  = 0,10.
Suponha que uma amostra aleatória de 50 postos de gasolina será selecionada e que, o preço
médio por litro da amostra será calculado para os dados coletados dos 50 postos de gasolina.
a) Qual é a probabilidade de que a amostra aleatória fornecerá uma média da amostra no intervalo
de US$1,18 e US$1,22 em relação à média da população?
b) Qual é a probabilidade de que a amostra aleatória fornecerá uma média da amostra no intervalo
de US$1,19 e US$1,21 em relação à média da população?
5. Em 1993, as mulheres tiveram uma média de 8,5 semanas de licença não remunerada de seus
empregos depois do nascimento do filho. Considere que 8,5 semanas é a média da população e 2,2
semanas é o desvio padrão da população.
a) Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 50 mulheres forneça uma licença não
remunerada média da amostra de 7,5 a 9,5 semanas depois do nascimento de um filho?
b) Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de 50 mulheres forneça uma licença não
remunerada média da amostra de 8,0 a 9,0 semanas depois do nascimento de um filho?
6. A média da população para o preço de uma casa para uma família é de US$166.500. Considere que
o desvio padrão da população é de US$42.000 e que uma amostra de 100 novas casas será
selecionada.
a) Qual é a probabilidade de que a média da amostra para as 100 novas casas estará dentro de 
US$10.000 da média da população?
b) Repita o item (a) para valores de  US$2.500 e de  US$1.000.
7. Determine intervalos de confiança de 95%, para média  de uma distribuição normal para:
Média amostral
16,0
37,5
2,1
0,60

2,0
3,0
0,5
0,10
Tamanho da amostra
16
36
25
100
8. Construa o intervalo de confiança para a média , com grau de confiança de 98%, para:
a) média amostral = 50 cm, tamanho da amostra = 81, desvio padrão populacional = 10 cm.
b) média amostral = 180 cm, tamanho da amostra = 36, desvio padrão amostral = 10 cm.
c) média amostral = 18 cm, tamanho da amostra = 20, desvio padrão populacional = 2 cm.
62
9. Você quer fazer uma pesquisa (com 90% de confiança), para saber qual o gasto dos consumidores
de internet na cidade do Recife neste ano em livrarias virtuais. Na sua amostra de 100
consumidores a média de gasto foi de R$ 200,00 no ano, com desvio padrão na amostra de
R$50,00. Dado que 20.000 pessoas acessam a internet na cidade, qual o intervalo de confiança da
média?
10. Uma amostra aleatória de 5 elementos retirados de uma população normal com desvio padrão 2
unidades, apresentou um valor médio de 52 unidades. Determine um intervalo de confiança de 95%
para a média populacional.
11. O peso de crianças recém-nascidas do sexo feminino numa comunidade tem média  e desvio
padrão desconhecido. Uma amostra de 100 recém-nascidos indicou um peso médio de 2,30 kg e
variância de 0,64 (kg)2.
a) Determine um intervalo de confiança de 90% para  .
b) Determine um intervalo de confiança de 80% para  .
12. Uma amostra aleatória de 8 elementos retirados de uma população normal com desvio padrão 5,
apresentou os seguintes valores: 22, 17, 21, 24, 15, 18, 16,19. Determine um intervalo de confiança
de 85% para a média populacional.
13. O valor de face dos títulos depositados em um banco para cobrança simples tem distribuição normal
com variância 400 (u.m.)2. Uma amostra de 10 títulos escolhidos ao acaso forneceu os seguintes
valores: 80, 120, 71, 120, 140, 200, 180, 70, 45, 87. Pede-se: Qual é o intervalo de confiança de
94% para o valor médio dos títulos da carteira?
14. A L&I produz certo componente para fabricação de lâmpadas incandescentes que tem um desvio
padrão de 164 horas relativo à sua vida útil. Qual deve ser o tamanho da amostra para que se
estime sua durabilidade, com um erro máximo de 8 horas, em um nível de confiança de:
a) 92%
b) 80%
c) 99%
15. Uma ONG decidiu conhecer as características de recém-nascidos paulistas, do sexo masculino,
cujas mães moram em favelas. Uma das medidas levantadas foi o peso médio dos bebês. Uma
amostra de 121 recém-nascidos indicou um peso médio de 2,50Kg. Se o desvio padrão populacional
é de 1,00Kg, determine:
a) um intervalo de confiança de 94% para o peso médio;
b) o grau de confiança do intervalo cuja amplitude é 0,20Kg;
c) o tamanho da amostra necessária para que o erro máximo da estimativa seja de 0,05 Kg com
96% de confiança.
16. De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia, retira-se uma amostra de 400 válvulas e
obtem-se a vida média de 800,00 horas e desvio padrão de 100,00 horas.
a) Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média populacional?
b) Com que grau de confiança dir-se-ia que a vida média é 800,000,98?
c) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95% a confiança na estimativa 800,007,84?
17. O diretor de recursos humanos de uma empresa necessita estimar o número médio de horas de
treinamento para seus vendedores. Determine o tamanho mínimo da amostra necessária para tanto,
admitindo um fator de erro de  4 horas em um nível de confiança de 95%,sendo o desvio padrão
populacional de 12 horas.
18. De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia, retira-se uma amostra de 100 válvulas e
obtem-se uma vida média de 1.000,00 horas. Sabe-se que a variância populacional da vida dessas
lâmpadas é de 625,00 (horas)2 e a vida média populacional é desconhecida.
a) Qual o intervalo de confiança de 95% para a vida média populacional?
b) Com que grau de confiança dir-se-ia que a vida média é 1.000,00  3,80 horas?
c) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 90% a confiança na estimativa 1.000,00  2,30
horas?
63
CAPÍTULO 4 - NÚMEROS-ÍNDICES
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA:
1. DOWNING, D.; CLARK, J. Estatística Aplicada. 2.ed. São Paulo: Saraiva, 2005.
2. KAZMIER, L. J. Estatística Aplicada a Economia e Administração. 4.ed. São Paulo: Bookman,
2007.
3. MARTINS, G. A.; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. 4.ed. São Paulo: Atlas, 1995.
4. PORTAL BRASIL. Apresenta texto e tabelas contendo as principais informações sobre índices
econômicos. Disponível em: < http://www.portalbrasil.net/indices.htm >. Último acesso em: 2 fev 2015.
5. STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. 3.ed. São Paulo: Harbra Harper How do
Brasil, 2001.
6. TOLEDO, G. L.; OVALLE, I. I. Estatística Básica. 3.ed. São Paulo: Atlas, 2008.
NÚMEROS-ÍNDICES
Os números-índices são um importante instrumento para sintetizar modificações em variáveis
econômicas durante um período de tempo. Atualmente, é bastante comum utilizar índices para
caracterizar a situação econômica de um país, estado ou região. Os jornais e revistas publicam vários
índices, como o índice geral de preços, o índice de custo de vida, o índice de cotação das ações na
bolsa de valores, etc. Embora esses índices sejam normalmente calculados e apresentados por
instituições oficiais, é desejável que seus usuários tenham alguma idéia sobre a forma de calculá-los.
Um número-índice é um relativo percentual dado pela razão entre uma medida em um dado
período e uma medida em um período-base fixado. As medidas podem referir-se à quantidade, preço
ou valor.
Exemplos:
O Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC), elaborado pelo IBGE, é um índice de
preços ao consumidor que foi criado, inicialmente, com o objetivo de orientar os reajustes de salários
dos trabalhadores.
O Índice Nacional de Custo da Construção (INCC), elaborado pela Fundação Getúlio Vargas,
afere a evolução dos custos de construções habitacionais.
A rigor, os números-índices não se referem apenas a comparações entre diferentes períodos de
tempo; podem também ser usados para comparações dentro do mesmo período. Por exemplo, a
comparação do número de desistências entre escolas de uma cidade ou entre taxas de criminalidade,
custo de aluguéis ou alimentação entre diferentes centros urbanos.
Entretanto, será dada ênfase nas comparações entre períodos de tempo.
Número-Índice Simples ou Relativo: é o número-índice que representa uma comparação para um
bem ou produto individual. Exemplo - Uma família nota que o preço do pão é o dobro do que era no ano
passado.
Número-Índice Agregado ou Composto: é o número-índice que representa uma comparação para um
grupo de bens ou de itens. Exemplo - Além do pão, uma família pode incluir em sua observação itens
como: leite, manteiga, carne, verduras e enlatados. Alguns desses itens podem ter tido aumentos
substanciais no preço, outros podem ter tido aumentos pequenos e ainda outros podem ter tido
redução. A finalidade do número-índice composto é sintetizar a variação global de preços para este tipo
de produtos. Mas as compras daquela família podem também ter se modificado ao longo do período.
Talvez tenha aumentado o consumo de leite e de carne. Isto ocorrerá se a família tiver aumentado, por
exemplo. O consumo de manteiga, por outro lado, pode ter diminuído por questões de saúde
(colesterol, por exemplo). Logo, é necessário incluir não só variações no preço como na quantidade
consumida a fim de se obter um quadro mais preciso da variação global.
64
NÚMERO-ÍNDICE SIMPLES OU RELATIVO
Um número-índice simples avalia a variação relativa de um único item ou variável econômica
entre dois períodos de tempo. Calcula-se como a razão do preço, quantidade ou valor em dado
período para o correspondente preço, quantidade ou valor num período-base.
Podem-se calcular números-índices para os chamados relativos de preço, quantidade e valor,
mediante as seguintes fórmulas:
Relativo do preço = Ip =
pn
po
x 100
Relativo da quantidade = Iq =
Relativo do valor = Iv =
pn q n
po q o
qn
qo
x 100
x 100
Onde: po = preço de um item no ano-base;
qo = quantidade de um item no ano-base;
pn = preço de um item em determinado ano;
qn = quantidade de um item em determinado ano.
Exemplo 1:
Dados de preço e volume de vendas para vendedores de eletrodomésticos
Ano
Preço médio de venda
Quantidade vendida
Receita (x 1000)
Ano-base 2002
3000
60
180,0
2003
3300
63
207,9
2004
3900
60
234,0
2005
4500
66
297,0
2006
4500
72
324,0
2007
4800
75
336,0
2008
4950
66
326,7
Fonte: dados hipotéticos
Ano-base = 2002 e, portanto, po = 3000. Os preços dos outros anos serão medidos em relação a esse
preço. Conseqüentemente, qo = 60.
Os números-índices (relativos) para preço, quantidade e valor para os eletrodomésticos em 2006 são:
Relativo do preço = Ip =
pn
po
x100 =
Relativo da quantidade = Iq =
Relativo do valor = Iv =
pn qn
po qo
qn
qo
4500
x100 = 150
3000
x100 =
x100 =
72
x100 = 120
60
( 4500 )( 72 )
x100 = 180
( 3000 )( 60 )
Os preços dos eletrodomésticos aumentaram 50% entre 2002 e 2006; a quantidade vendida aumentou
em 20% e o valor (receita) aumentou de 80%. Para os outros anos, o cálculo dos relativos deve ser
efetuado da mesma maneira.
65
RELATIVOS DE BASE FIXA E DE BASE MÓVEL (NÚMEROS-ÍNDICES EM CADEIA)
RELATIVOS DE BASE FIXA: números-índices que utilizam o ano-base comum (números-índices do
exemplo acima).
RELATIVOS DE BASE MÓVEL: é outra forma de número-índice, calculado tomando como base o ano
anterior. Calcula-se o preço, quantidade ou valor de cada ano em relação ao ano anterior.
Exemplo 2: Para o preço (observar tabela do exemplo 1):
P02,03 =
P03,04 =
P05,04 =
p03
p02
p04
p03
p05
p04
x100 =
3300
x100 = 110
3000
x100 =
3900
x100 = 118
3300
x100 =
4500
x100 = 115
3900
Calcula-se da mesma maneira para os preços dos demais anos, para a quantidade e para a receita.
NÚMEROS-ÍNDICES AGREGADOS OU COMPOSTOS
Para obter um índice de preços agregados, os preços dos diversos itens poderiam ser
simplesmente somados no período de interesse e no período-base e, então, comparados. Este seria um
índice não ponderado que, geralmente, não é muito útil, pois o peso implícito de cada item depende das
unidades nas quais os preços estão baseados. Os índices agregados de preços são geralmente
ponderados segundo as quantidades q dos artigos. Um dos mais conhecidos índices agregados de
preços é o índice de Laspeyres, no qual os preços são ponderados pelas quantidades associadas com
o ano-base antes de serem somados. A fórmula é:
I(L) =
 pn qo
x100
 po qo
Em lugar de usar as quantidades do ano-base como pesos, podem ser usadas as quantidades
do ano de interesse. Este é o índice de Paasche, que também é um índice ponderado de preço. A
fórmula é:
I(P) =
 pn qn
x100
 po qn
Uma outra alternativa é utilizar a média ponderada de relativos de preços, pela qual o índice
simples de preços para cada bem individual é ponderado pelo valor pq. A fórmula para esse cálculo é a
seguinte:
p
 (po qo)( n )x100
po
IP =
 po qo
66
Exemplo 3:
Calcular o índice agregado de preços de Laspeyres e de Paasche, além de calcular o índice de
preços pelo método da média ponderada dos relativos de preços para 2006. Utilize o ano de 2000,
como ano-base, para os dados da tabela abaixo.
Preços e consumo de três bens em uma particular área metropolitana, 2000 e 2006
Bem
Unidade de
Preço
Preço médio
Consumo
Consumo per
medida
po
pn
qo
capita qn
2000
2006
2000
2006
Leite A
litro
$3,00
$3,80
30
35
Pão
500 g
2,50
3,50
3,8
3,7
Café
1 kg
6,00
9,00
1,5
1,0
Solução:
Artigo
Leite A
Pão
Café
Total
I(L) =
 pn q o
I(P) =
 pn q n
 po q o
 po q n
 ( po q o)(
IP =
pnqo
114,00
13,30
13,50
140,80
poqo
90,00
8,50
9,00
108,50
x 100 =
140,80
x100 = 129,8
108,50
x 100 =
155,00
x100 = 129,0
120,20
pn
po
) x 100
 po q o
=
pnqn
133,00
13,00
9,00
155,00
poqn
105,00
9,20
6,00
120,20
pn/pox100
126,67
140,00
150,00
-----
(p0qo).(pn/pox100)
11400,00
1330,00
1350,00
14080,00
14080,00
= 129,8
108,50
MUDANÇA DO PERÍODO-BASE
Frequentemente, é conveniente mudar a base de um índice de um período para outro. Isto pode
ser feito para tornar o período-base mais recente ou para tornar comparáveis duas séries com bases
diferentes.
O processo para a mudança de base é bastante simples se for conhecida uma série de
números-índices na base antiga. Exige, apenas, que cada número-índice da série seja dividido pelo
número-índice do novo período-base. O processo está ilustrado na tabela abaixo.
ANO
2003
2004
2005
2006
2007
2008
Índices de Custo de Moradia
Número-índice antigo (%)
Número-índice novo (%)
(Base: 2000 = 100)
( Base: 2003 = 100)
80
(80/80)x100 = 100
76
(76/80)x100 = 95
84
(84/80)x100 = 105
82
(82/80)x100 = 101
88
(88/80)x100 = 110
90
(90/80)x100 = 120
67
EXEMPLOS DE ALGUNS ÍNDICES IMPORTANTES EM ECONOMIA
ÍNDICE DE PREÇOS AO CONSUMIDOR (IPC)
O IPC/FIPE é calculado mensalmente pela USP/FIPE.
O IPC/FIPE mede a variação de preços para o consumidor na cidade de São Paulo com base
nos gastos de quem ganha de um a vinte salários mínimos. Os grupos de despesas estão compostos
de acordo com o POF (Pesquisas de Orçamentos Familiares) em constante atualização. De maneira
geral a ponderação é similar ao INPC/IBGE e IPCA/IBGE.
O período de pesquisa das variações de preços ocorre a partir do primeiro ao último dia de cada
mês. A publicação dos índices ocorre normalmente no período de dez a vinte do mês subseqüente. A
FIPE divulga também as variações de preços das últimas quatro semanas imediatamente anteriores.
Deste modo este índice "evita" sustos e indica tendências fortes das variações de preços principalmente
da camada de renda da população analisada. A FIPE divulga o IPC desde Fevereiro de 1939.
ÍNDICE NACIONAL DE PREÇOS AO CONSUMIDOR (INPC)
O INPC/IBGE foi criado inicialmente com o objetivo de orientar os reajustes de salários dos
trabalhadores.
O Sistema Nacional de Preços ao Consumidor - SNIPC efetua a produção contínua e sistemática
de índices de preços ao consumidor, tendo como unidade de coleta estabelecimentos comerciais e de
prestação de serviços, concessionária de serviços públicos e domicílios (para levantamento de aluguel
e condomínio). A população-objetivo do INPC abrange as famílias com rendimentos mensais
compreendidos entre 1 (hum) e 6 (seis) salários-mínimos, cujo chefe é assalariado em sua ocupação
principal e residente nas áreas urbanas das regiões qualquer que seja a fonte de rendimentos, e
residentes nas áreas urbanas das regiões. Abrange as regiões metropolitanas de Belém, Fortaleza,
Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, São Paulo, Curitiba e Porto Alegre, Brasília e Goiânia.
Calculado pelo IBGE entre os dias 1º e 30 de cada mês, compõe-se do cruzamento de dois
parâmetros: a pesquisa de preços nas onze regiões de maior produção econômica, cruzada com a
pesquisa de orçamento familiar (POF), que abrange famílias com renda de um a oito salários mínimos.
O IBGE divulga as variações no período compreendido entre o dia oito e doze do mês seguinte.
ÍNDICE NACIONAL DE PREÇOS AO CONSUMIDOR AMPLO (IPCA)
O IPCA/IBGE foi instituído inicialmente com a finalidade de corrigir as demonstrações financeiras
das companhias abertas.
O Sistema Nacional de Preços ao Consumidor - SNIPC efetua a produção contínua e sistemática
de índices de preços ao consumidor, tendo como unidade de coleta estabelecimentos comerciais e de
prestação de serviços, concessionária de serviços públicos e domicílios (para levantamento de aluguel
e condomínio). A população-objetivo do IPCA abrange as famílias com rendimentos mensais
compreendidos entre 1 (hum) e 40 (quarenta) salários-mínimos, qualquer que seja a fonte de
rendimentos, e residentes nas áreas urbanas das regiões. Também são produzidos indexadores com
objetivos específicos, como é o caso atualmente do Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo
Especial - IPCA-E. A partir do mês de maio de 2000, passou a disponibilizar através da Internet o Índice
Nacional de Preços ao Consumidor Amplo-15 - IPCA-15. Outros índices foram divulgados nos seguintes
períodos: Índice de Preços ao Consumidor - IPC (março de 1986 a fevereiro de 1991); Índice de
Reajuste de Valores Fiscais - IRVF (junho de 1990 a janeiro de 1991); Índice da Cesta Básica - ICB
(agosto de 1990 a janeiro de 1991); Índice de Reajuste do Salário-Mínimo - IRSM (janeiro de 1992 a
junho de 1994); Índice Nacional de Preços ao Consumidor Especial - INPC-E (novembro de 1992 a
junho de 1994); Índice de Preços ao Consumidor série r - IPC-r (julho de 1994 a junho de 1995).
Abrange as regiões metropolitanas de Belém, Fortaleza, Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de
Janeiro, São Paulo, Curitiba e Porto Alegre, Brasília e Goiânia.
O IPCA/IBGE mede a variação dos custos dos gastos com alimentação, transportes, comunicação,
vestuário, habitação, saúde, cuidados pessoais e artigos de residência, no período do primeiro ao último
dia de cada mês de referência e no período compreendido entre o dia oito e doze do mês seguinte o
IBGE divulga as variações.
68
ÍNDICE GERAL DE PREÇOS DO MERCADO (IGP-M)
O IGP-M/FGV é calculado mensalmente pela FGV e é divulgado no final de cada mês de
referência.
O IGP-M quando foi concebido teve como princípio ser um indicador para balizar as correções
de alguns títulos emitidos pelo Tesouro Nacional e Depósitos Bancários com renda pós-fixadas acima
de um ano. Posteriormente, passou a ser o índice utilizado para a correção de contratos de aluguel e
como indexador de algumas tarifas como energia elétrica.
O IGP-M/FGV analisa as mesmas variações de preços consideradas no IGP-DI/FGV, ou seja, o
Índice de Preços por Atacado (IPA), que tem peso de 60% do índice, o Índice de Preços ao Consumidor
(IPC), que tem peso de 30% e o Índice Nacional de Custo de Construção (INCC), representando 10%
do IGP-M.
O que difere o IGP-M/FGV e o IGP-DI/FGV é que as variações de preços consideradas pelo
IGP-M/FGV referem ao período do dia vinte e um do mês anterior ao dia vinte do mês de referência e o
IGP-DI/FGV refere-se a período do dia um ao dia trinta do mês em referência. A cada dez dias a FGV
divulga as variações prévias que comporão o índice referente ao período completo analisado.
Atualmente o IGP-M é o índice utilizado para balizar os aumentos da energia elétrica e dos
contratos de aluguéis.
ÍNDICE NACIONAL DE CUSTO DA CONSTRUÇÃO (INCC)
Elaborado pela Fundação Getúlio Vargas, afere a evolução dos custos de construções
habitacionais. É uma estatística contínua, de periodicidade mensal para os 18 municípios das seguintes
capitais de estados do país: Aracaju, Belém, Belo Horizonte, Brasília, Campo Grande, Curitiba,
Florianópolis, Fortaleza, Goiânia, João Pessoa, Maceió, Manaus, Porto Alegre, Recife, Rio de Janeiro,
Salvador, São Paulo e Vitória. O índice nacional é levantado pela FGV desde Janeiro de 1944.
Os índices de custos da construção estão subdivididos em residenciais e obras públicas de
engenharia civil ou infra-estrutura. Os principais índices, específicos para construções residenciais, são:
Índice Nacional de Custo da Construção (INCC), Índice de Custo da Construção do Rio de Janeiro (ICCRJ) e Índice de Edificações.
O Índice Nacional de Custo da Construção (INCC) é um dos três itens que compõem o Índice
Geral de Preços (IGP), representando 10% do índice. Sua divulgação teve início em fevereiro de 1985,
como resultado do encadeamento da série do Índice de Custo da Construção - Rio de Janeiro (ICC-RJ),
mais antiga, com a série do Índice de Edificações, mais abrangente geograficamente. Como nos demais
componentes do IGP, também é apresentada a versão do INCC para o mercado (INCC-M), que é
calculado entre os dias 21 do mês anterior ao dia 20 do mês de referência.
O INCC é calculado entre o primeiro e o último dia do mês civil.
ÍNDICE DO CUSTO DE VIDA (ICV)
Elaborado pelo DIEESE - Departamento Intersindical de Estatística e Estudos SócioEconômicos, mede a variação do custo de vida das famílias com renda de 1 a 30 salários mínimos do
município de São Paulo.
O índice é calculado em três extratos distintos:
Extrato 1 - Famílias com menor renda, 1 a 3 salários mínimos (1/3);
Extrato 2 - Famílias com renda intermediária, 1 a 5 salários mínimos (1/3);
Extrato 3 - Famílias de maior poder aquisitivo, 1 a 30 salários mínimos (1/3).
O Índice Geral engloba todas as famílias e o cálculo começou a ser efetuado pelo DIEESE em
Janeiro de 1959.
ÍNDICE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL (IPI)
O Índice de Produção Industrial é divulgado mensalmente pelo IBGE e se baseia na Pesquisa
Industrial Mensal de Produção Física, cuja amostra é selecionada com base nas informações da
Pesquisa Industrial Anual de Empresa e que cobre 63% do valor da transformação industrial das
atividades das indústrias extrativas e de transformação. A amostra é composta de 3.725 unidades locais
e 824 produtos. Os procedimentos de cálculo dos índices nos vários níveis de agregação baseiam-se
69
no método de Laspeyres modificado, sendo a média de 1998/2000 o período de referência para efeito
de ponderação. Os índices são publicados segundo a Classificação Nacional de Atividades Econômicas
(CNAE). Os índices no nível nacional são calculados por ramos de indústria e categorias de uso, e
publicados em sua forma original e sazonalmente ajustados, enquanto os regionais são publicados
somente na sua forma original. Sua publicação ocorre, em torno de 40 dias, após o mês de referência.
ÍNDICE DA BOLSA DE VALORES DO ESTADO DE SÃO PAULO - IBOVESPA
O IBOVESPA é um índice que leva em conta cerca de 50 ações ordinárias negociadas na Bolsa
de Valores Estado de São Paulo. Apresenta as variações de preço no mercado de ações de São Paulo,
que possui a bolsa de valores com maior volume negociado do Brasil.
O índice é composto por uma carteira teórica com as ações que representaram 80% do volume
negociado nos últimos 12 meses e que foram negociadas pelo menos em 80% dos dias de negociação.
Ele é revisto, trimestralmente, para manter sua representatividade no volume negociado e, em média,
os componentes do IBOVESPA representam 70% do valor total das ações negociadas. O IBOVESPA é
um índice acumulativo.
MÉDIA INDUSTRIAL DOW JONES
É o mais conhecido de um grupo de índices criado pelo editor do “Wall Street Journal” e
fundador da “Dow Jones & Company”, Charles Dow. Dow compilou o índice para medir o desempenho
do setor industrial da economia americana. No entanto, o desempenho do índice continua a ser
influenciado não só por relatórios corporativos e econômicos, mas, também, por acontecimentos
políticos nacionais e estrangeiros, como guerras, terrorismo e por calamidades naturais que podem
levar a danos econômicos.
É o segundo mais antigo índice do mercado americano, sendo o primeiro o “Dow Jones
Transportation Average”, criado também por Dow.
A média Dow Jones é calculada levando em consideração as 30 ações ordinárias das maiores
empresas dos Estados Unidos de um total de 1.800 ações inscritas na Bolsa de Valores de Nova
Iorque. A parte industrial do nome é, em grande medida, histórica. Muitos dos 30 componentes têm
pouco ou nada a ver com a indústria pesada tradicional.
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