Travail de renforcement de mathématiques
Nom :
No :
Année : 2014/2015
Classe : 5ème
Algèbre
Exercice 1 :
Calculer :
a) 2 × 3 + 7
b) 2 × (3 + 7 )
c) 2 × (− 3) + 7
d) − 2 × (− 3 + 7 )
e) − 2 × (− 3 − 7 )
Exercice 2 :
On donne a = -2,5 ; b = -3,2 et c = -1,8.
Calculer puis ordonner A = a(b − c ) ; B = −ab + c(b − c ) et C = 2(a − b ) − 4bc
Exercice 3 :
Calculer :
A = 5 − 3 × 2 + 2 × (−2)
B = −3(6 − 2) + 3 × (−3) − 5
C = −(3,2 − 1,5 + 3) − [13 − (5 + 3,1− 2,5)]+ (2,5 − 7)
D = (15,1 + 0,1) × (2,5 × 2) − [10 − (− 12)]
E = 232 − 11 × 9 + 4 × 2,5
Exercice 4 :
Ecrire sous la forme d’une seule puissance:
2 ×2
3
5
; 9 ×9 ; 3 ×9
12
4
4
; 8 × 16 ;
2
(a ) × a ;
5 2
3
2
2
 32   9 
  ×   .
 7  7
Exercice 5 :
Ecrire chacune des expressions suivantes sous forme d’un produit de puissances de 2, 3, 5, 7 ou 11 :
A = (2 × 3) × 3 × 2 5
3
B = 9 2 × 27 × 25 2 × 5 3
C = 33 × 9 × 7 2 × 21
D = 12 2 × 18 3 × 55 2
1/6
Exercice 6 :
Calculer :
E = 5 2 × 4 − 2 × (4 2 − 5 × 3)
A = 2 + 3 × 42
100
B = (5 − 3 ) × 3 + 5
2
F = (3 + 3 × 2 2 ) − 180 ÷ 3 + 3 − 5 2
2
C = (13 − 3 × 4 ) + 16
5
G = 517 × (0,2) − (2 2 ) + 5
17
D = (9 − 4 × 3 ) − 7 × 3 2 + (6 − 2 )
2
2
3
(
)
H = 4 7 × 0,25 7 + (10 − 3 × 3) + (9 − 5) ÷ 3
7
3
0
Exercice 7 :
Simplifier les fractions suivantes :
5 × 112 × 7
45
140
;
;
;
60
105
7 × 113
12 × 5
.
2 × 3 × 53
4
Exercice 8 :
Calculer et donner la réponse sous la forme d’une fraction irréductible :
1 1 5
− +
3 2 6
1 1 2
B = 1− + −
3 9 18
2 5 3
C= × + ×4
5 3 2
A=
D =1+ 3×
E=
 −2 
 −5 
+2×
 7
 15 
 1 1  5
−
÷ 1+
−2
 3 2   3
Exercice 9:
Calculer en donnant la réponse sous forme d’une fraction irréductible :
A=
5 − 12
1
×3+
12 + 2
7−5
2
2
1 12 1

B = 1 −  + 2 × −
×
5
5 10 2

13  7 3  8 2
C =
× − + − ×3
2 3 5 5 5
Exercice 10:
Des candidats participent à un jeu télévisé.
A la fin de la première semaine, le quart des candidats est éliminé.
A la fin de la deuxième semaine, les deux tiers de ceux qui restent sont éliminés.
A la fin de la troisième semaine, les trois cinquièmes restants sont éliminés.
Calculer la fraction des candidats qui participeront à la finale pendant la quatrième semaine.
2/8
Exercice 11 :
3
des voitures sont grises et les voitures restantes sont rouges.
5
1
1
des voitures grises ont un toit ouvrant et
des voitures rouges ont un toit ouvrant.
15
10
Quelle fraction des voitures de ce parking représentent les voitures avec un toit ouvrant ?
Sur un parking,
Exercice 12:
On donne A = 8 2 × 15 3 et B = 14 3 × 10 2 .
a) Donner la décomposition de A et B sous forme de produit de puissances de facteurs premiers.
A
b) Réduire .
B
c) Donner au centième près par défaut la valeur approchée de cette fraction.
Exercice 13:
Réduis la fraction
540
puis trouve la fraction qui lui est égale et dont la différence des termes à 14.
288
Exercice 14 :
Réduire les termes semblables dans chacune des expressions algébriques suivantes :
a) 3 x 2 y − 5 x 3 y 2 − 2 xy 2 + 2 x 3 y 2 − 9 xy 2 − 6 x 2 y
b) − 13a 3 b 2 c − 2ac 2 − 15b 3 c + 21a 3b 2 c − 17b 3 c
Exercice 15:
On donne les expressions algébriques :
M = x 4 − 2 x 3 + 5x 2 − x
N = 2 x 4 − 2 x 2 + 11x − 1
P = −3 x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 − 7 x − 5
Calculer : M + N – P ;
M–N+P
et M – 2N +3P.
Exercice 16 :
Calculer la valeur numérique de chacune des expressions suivantes :
A = 3a 3 + 2a 2 − 6 pour a = 2.
B=
(a − b )c pour a = 3, b = -2 et c = -4.
a − bc
Exercice 17 :
3
2
2
3
2
On donne M = 5 x + 2 x − x , N = 2 x − 2 x + 5 et P = − x − x − 2
a) Calculer R=2M – N – 3P.
3/8
b) trouver la valeur numérique de R pour x=2.
Exercice 18 :
Développer et réduire :
A = 3(x − 1) + x (x − 5) − 2(−3 + x ) + 2x
B = 6(a 4 − 2a 2 + 5)+ a(a 3 + 3a 2 )− 2a(a − 2)
C = 2 − (x + 3) + 2x (x − 5)
D = (5a − 9)(3a − 2) − (a + 1)(a − 1)
E = 2(a − 3)(a − 1) − 3(a + 1)(a + 2)
F = (2z + 3)(2z − 3) − (z − 4 )(3z + 1) + z(2 − 3z)
G = ( x − 3)( x − 1) − ( x − 2 )(1 − x 2 )
H = 2(a − 3)(a − 1) − 3(a + 1)(a + 2 )
(
)
(
)
I = x 2 + 1 (2 x − 3) − x 2 − 1 ( x − 2) + 1
J = − x ( x + 1) + (x + 2)( x − 2)
2
Exercice 19 :
Factoriser :
A = x 3 + 3x
B = 15 x 2 y 2 − 25 x 3 y 2 + 20 x 2 y
C = 2(a + 3) − 3a (a + 3)
D = (2 x + 1) − 2 y (2 x + 1)
E = ( x − 1) − ( x − 1)(3 x − 2 )
F = 5( z − 3) − 10a 2 ( z − 3)
G = 18b 5 − 36b
H = (c − 3)(2c − 1) + (c + 1)(2c − 1)
I = 5 x 3 + 2 x 2 − 15 x − 6
J = 5a (x − 8) − 10b( x − 8)
K = ( y − 1) − ( y − 1)(3 y − 2 )
Exercice 20 :
Résoudre chacune des équations suivantes :
2x + 5 = 4x + 2
6(3m + 1) − 7 = 4m
3(x − 1) − x = 2 x − 3
2( x − 3) − x = 3x − 8
1 c
e) 2c − =
4 8
f) 3x − 2 = x − 2
a)
b)
c)
d)
g) 2(a − 3) + 5(a − 1) = 2(a − 2)
12 x
 x 3
h)
− 1 = 2 − 
3
3 2
x

i) 10 + 11 = 0
5

1x  1
j)
 + 1 =
23  9
4/8
Exercice 21 :
Un panier de pommes et un autre de raisins pèsent ensemble 20 kg. Le premier panier pèse 8 kg de
plus que le second.
Combien pèse chaque panier ?
Exercice 22 :
Deux nombres ont pour somme 400.
Calculer ces deux nombres sachant que l’un d’eux est le triple de l’autre.
Exercice 23:
La somme de trois entiers consécutifs est 102.
Trouver ces nombres.
Exercice 24 :
Un garçon a 30 ans de moins que son père. Dans 7 ans, son âge sera le tiers de celui de son père.
Quels sont les âges du fils et du père ?
Géométrie
Exercice 1 :
ABC est un triangle isocèle en A. M est le milieu de [BC].
Sur [BC], on place les deux points E et F tels que : BE=CF.
a) Démontrer que AEF est isocèle.
b) Démontrer que M est le milieu de [EF].
Exercice 2 :
On donne un triangle isocèle ABC de sommet principal A tel que BC=5cm et ABˆ C = 50° .
La perpendiculaire en C à (AC) et la perpendiculaire en B à (AB) se coupent en M.
a) Faire la figure.
b) Calculer les angles MBˆ C et MCˆ B . En déduire la nature du triangle MBC.
c) Démontrer que les deux triangles ABM et ACM sont superposables.
Exercice 3 :
SAC est un triangle isocèle de sommet principal S tel que SA=SC=4cm.
On prolonge, au-delà de S les côtés [AS] et [CS] d’une même longueur SO=SI=2cm (O est sur (AS)
et I sur (CS)).
a) Démontrer que les deux triangles SIA et SOC sont superposables.
b) Démontrer que les deux triangles IAC et OAC sont superposables.
5/8
Exercice 4 :
ABC est un triangle isocèle de sommet principal A. [BL) et [CK) sont les bissectrices respectives
des angles ABˆ C et ACˆ B .
[BL) et [CK) se coupent en M.
a) Démontrer que CBL et CBK sont deux triangles superposables. En déduire que AK = AL.
b) Quelle est donc la nature du triangle AKL ? Compare alors les angles AKˆ L et ALˆ K .
c) Démontrer que BKˆ L = CLˆ K .
d) Démontrer que BKL et CLK sont superposables. En déduire la nature du triangle KLM.
Exercice 5 :
ABCest un triangle isocèle de sommet principal A. la bissectrice de l’angle BAˆ C coupe [BC] en
M.
a)
b)
c)
N est un point de [AM] ; démontrer que les deux triangles ANB et ANC sont
superposables.
Déduire que le triangle NBC est isocèle.
Soit E un point de [MA) tel que A appartient à [ME]. Démontrer que les deux triangles
EAB et EAC sont superposables.
Exercice 6 :
Données :
• ABC triangle équilatéral
• [Cz) bissectrice de ACˆ x
ˆ .
a) Calculer ACD
b) Démontrer que : (Cz) est parallèle à (AB).
c) La perpendiculaire en A à (AB) coupe (Cz) en I et (BC) en D. Quelle est la nature du
triangle ACD ?
d) Déduire que : CD=AB.
Exercice 7 :
Construire un triangle ABC tel que AB=5cm, BAˆ C = 70° et ABˆ C = 40° .
[CM] est le segment médiane relatif à [AB], le point D est le symétrique de C par rapport à M.
a) Faire la figure.
b) Démontrer que les triangles ADM et BMC sont superposables.
6/8
En déduire que (AD) // (BC).
Exercice 8 :
ABC est un triangle isocèle de sommet principal A. Placer le point E du segment [AB] tel que
AE=1,5cm.
La parallèle à (BC) menée de E coupe [AC] en G.
Quelle est la nature du triangle AEG ? Expliquer.
Exercice 9 :
MNP est un triangle équilatéral de côté 4cm. Sur la demi-droite [NP), on place le point E (E est à
l’extérieur de [NP]). La parallèle menée de E a (MN) coupe (MP) en F.
a) Calculer les angles du triangle PEF.
b) Quelle est la nature du triangle PEF ? Justifier.
Exercice 10 :
BCD est un triangle quelconque. [BO] est la médiane relative à [DC].
Les perpendiculaires abaissées de D et de C à (BO) coupent le support de (BO) en M et N
respectivement.
a) Démontrer que (DM) et (CN) sont parallèles.
b) Démontrer que les deux triangles DMO et CNO sont superposables.
c) Déduire que O est le milieu de [MN].
Exercice 11 :
a) Construire un quadrilatère SAMI tel que (SA) soit parallèle à (IM) et (SI) soit parallèle à
(AM).
b) Démontrer que les deux triangles SAI et MAI sont superposables. Déduire que SA=IM.
c) La bissectrice de ASˆI coupe (AM) en E.
i.
Démontrer que SAE est isocèle.
ii.
Déduire que AE=IM.
Exercice12 :
ABC est un triangle quelconque. [BM] et [CN] sont les segments-médianes relatifs à [AC] et [AB]
respectivement. E est le point symétrique de B par rapport à M. F est le point symétrique de C par
rapport à N.
a) Démontrer que (AE) est parallèle à (BC).
b) Démontrer que (AF) est parallèle à (BC).
c) Déduire que E, A et F sont alignés.
Exercice 13 :
Soit ABC est un triangle rectangle en B. on place sur (BC) le point D tel que B soit le milieu
de [CD].
a) Que représente (AB) pour [CD] ? Justifier la réponse.
b) Déduire la nature du triangle ACD.
c) On trace la parallèle à (BC) passant par A.
On place sur cette parallèle un point M tel que AM=BC, M et C étant du même côté de
(AB).
i. Montrer que MAˆ C = ACˆ B .
7/8
ii.
Démontrer que les deux triangles ABD et AMC sont superposables.
Exercice14 :
ABC est un triangle isocèle en A tel que BC = 5 cm et AB=6cm.
La perpendiculaire à [AC] en C coupe (AB) en D et la perpendiculaire à [AB] en B coupe (AC)
en E.
a) Montrer que les triangles ACD et ABE sont superposables.
b) Montrer que les triangles BCD et BCE
BC sont superposables.
c) Soit O le point d’intersection des segments [CD] et [BE].
Déduire que le triangle OBC est isocèle en O.
d) Montrer que (AO) est la bissectrice de BAˆ C .
e) Déduire que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
Comment appelle –t-on
on le quadrilatère BCED ?
Exercice15 :
Dans la figure ci-contre,
contre, ABC est un triangle équilatéral.
M et N sont les milieux respectifs de [AB] et [AC].
On désigne par H, I et J les pieds des perpendiculaires
respectives de A, B et C à la droite (MN).
a) Montrer que les droites (AH), (BI) et (CJ) sont
parallèles.
b) Démontrer que les deux triangles AHM et MIB sont
superposables.
c) Démontrer que AH=CJ.
d) Montrer que MAˆ H = HAˆ N .
Déduire que IBˆ M = NCˆ J .