2. 연립일차방정식 Systems of linear equations
2.3 생성원 집합과 일차독립 Spanning Sets and Linear Independence
1
1 −1
예) 1. 벡터 2 은, 두 벡터 0 , 1 의 선형독립인가?
3
3 −3
2
1 −1
2. 벡터 3 는, 두 벡터 0 , 1 의 선형독립인가?
3 −3
4
Thm.2.4.) b가 A의 열들의 선형결합이다.
iff 첨가 행렬이 [A|b]인 연립일차방정식이 해를
가진다.
Linear Algebra: A Modern introduction 4th.
2.3- 1
벡터의 생성원 집합 Spanning Sets of Vectors
Def) S = {v1, v2, . . . , vk}가 ℝ𝑛 의 벡터의 집합일 때,
이들의 선형결합 전체의 집합 span (v1, v2, ..., vk) or
span(S), <S>를 v1, v2, ..., vk의 생성span이라 함.
<S>= ℝ𝑛 이면, S를 ℝ𝑛 에 대한 생성원 집합 spanning
set이라 함.
2 1
예) ℝ = span( , )임을 보여라.
1 3
2
Linear Algebra: A Modern introduction 4th.
2.3- 2
벡터의 생성원 집합 Spanning Sets of Vectors
예) 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 가 ℝ3 의 기본 단위벡터면,
< 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 > = ℝ3 이다.
< 𝑒1 , 𝑒2 , ⋯ , 𝑒𝑛 > = ℝ𝑛 이다.
1 −1
예) 생성 < 0 , 1 >을 구하라.(기하학적 의미, 외적)
3 −3
Linear Algebra: A Modern introduction 4th.
2.3- 3
일차독립 Linear Independence
Def.) 벡터 v1, v2, . . . , vk 에 대해, c1v1 +...+ckvk =0이면,
스칼라 c1, c2, ..., ck 가 모두 0이면, 벡터 v1, v2, . . . , vk 를
선형/일차 독립 linearly independent 이라 함. 그렇지 않으면,
선형/일차 종속 linearly dependent 이라 함.
Thm.) ℝ𝑛 의 벡터 v1, v2, . . . , vk 가 선형독립이다
iff 적어도 한 벡터가 다른 벡터의 선형결합으로 표현된다.
Linear Algebra: A Modern introduction 4th.
2.3- 4
일차독립 Linear Independence
▪ {v}가 선형종속 iff
1
2
3
▪ u=
, v=
, w=
. 1) {u,v}는 선형독립?
2
4
4
▪ {u, v}가 선형종속 iff
▪ {0, v1, v2, …, vn}은 선형(
)
▪ If A= 선형종속. A⊂ B, then B=(
)
Cf) A=[𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎𝑛 ] .
𝑥1 𝑎1 + 𝑥2 𝑎2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑎𝑛 = 0 = Ax (행렬방정식)
Linear Algebra: A Modern introduction 4th.
2.3- 5
일차독립 Linear Independence
예) 다음은 선형독립인가?
Linear Algebra: A Modern introduction 4th.
2.3- 6
일차독립 Linear Independence
Thm.2.6.) v1, v2, . . . , vm이 ℝ𝑛 의 열벡터이고,
𝑛 × 𝑚 행렬 A= [v1 v2 . . . vm ]일 때, 다음이 성립한다.
첨가행렬이 [A|0]인 선형시스템이 비자명해를 갖는다.
iff v1, v2, . . . , vm이 선형종속이다.
즉,
첨가행렬이 [A|0]인 선형시스템이 비자명해를 안
갖는다.
iff
v1, v2, . . . , vm이
Linear Algebra: A Modern introduction 4th.
이다.
2.3- 7
일차독립 Linear Independence
Thm.2.7.) v1, v2, . . . , vm이 ℝ𝑛 의 행벡터이고,
A가 이들을 행으로 갖는 𝑚 × 𝑛 행렬일 때, 다음이
성립한다.
v1, v2, . . . , vm이 선형종속이다.
iff Rank(A) < 𝑚
Thm.2.8.) 𝑚 > 𝑛 이면, 𝑚개의 ℝ𝑛 벡터는
선형종속이다.
2 1 2
예)
,
, 은
이다.
1 3 3
Linear Algebra: A Modern introduction 4th.
2.3- 8
2.4 응용 Applications
유한 선형게임 Finite Linear Games
예제 2.36)
1
2
1) 누르는
2) 한 번 =
3
.
.
Linear Algebra: A Modern introduction 4th.
2.4- 9
2.4 응용 Applications
유한 선형게임 Finite Linear Games
x1a + x2b + x3c = t in ℤ3
Linear Algebra: A Modern introduction 4th.
2.4- 10