Exercice 1 : (5 points) Dans une raffinerie, on fait la distillation de deux types de pétroles brut, désignés par B1 et B2 pour produire trois qualités d’essence : E1, E2 et E3. Le coût de chaque type de pétrole brut est le suivant : • Pétrole brut B1 : Coût = 150 dinars par mètre cube. • Pétrole brut B2 : Coût = 120 dinars par mètre cube. La raffinerie doit approvisionner un distributeur d’essences. La distillation de 100 litres de B1 fournit 10 litres de E1, 10 litres de E2 et 20 litres de E3, alors que la distillation de la même quantité de B2 fournit 50 litres de E1, 20 litres de E2 et 20 litres de E3. La raffinerie doit satisfaire d’au moins une commande de 500 litres de E1, 400 litres de E2 et 600 litres de E3. Formuler sans le résoudre le programme linéaire qui minimise les coûts de brut utilisées pour la satisfaction de la commande, sachant qu’un mètre cube équivaut à 1000 litres. (Les variables de décision (1 point), la fonction objectif (1 point), les contraintes (3 points)) ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ ............................................................................................................ 1 Exercice 2 : (8 points) On considère un problème de programmation linéaire à deux variables x et y, où le domaine réalisable, formé par l’intersection de toutes les contraintes associées aux droites ( D1), ( D2), ( D3) et ( D4), est illustré dans la figure ci-dessous et coloré en gris. Le problème consiste à maximiser la fonction objectif suivante: Z = 3x + 4y. 2 1. À partir de la figure, donner les expressions des contraintes du problème. Décrire chaque contrainte en termes de variables x et y. (2,5 points) ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 2. Tracer sur la figure la ligne de niveau Z = 24 pour la fonction objectif considérée. (0,5 point) 3. Tracer sur la figure le vecteur gradient de la fonction objectif considérée. (1 point) 4. Déterminer graphiquement la solution optimale de ce programme linéaire. (1 point) ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 5. Déterminer les contraintes saturées et les contraintes non-saturées de ce problème en justifiant votre réponse. (1 point) ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 6. Y a-t-il un changement sur le résultat de ce problème, si on élimine la contrainte associée à la droite ( D1), tout en conservant les autres contraintes et la même fonction objectif? Justifier votre réponse. (1 point) ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 7. Si on élimine les deux contraintes associées aux droites ( D1) et ( D3), tout en conservant les autres contraintes et la même fonction objectif, le programme linéaire admet-il une solution optimale? justifier votre réponse. (1 point) ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 3 Exercice 3: (7 points) Soit le programme linéaire (P ) suivant : Maximiser Z = 2X1 + 5X2 − X3 Sous contraintes: X1 + X2 + 5X3 ≤ 10 (P ) 5X1 + X2 + X3 ≤ 5 X1 + X2 + X3 ≤ 20 X1 , X2 , X3 ≥ 0 1. Donner la forme standard du programme linéaire (P ). (1 point) ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 2. Dresser le premier tableau du Simplexe. (0.5 point) 3. Identifier la variable entrante et la variable sortante, en justifiant votre réponse. (1 point) ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 4 4. Dresser le deuxième tableau de l’algorithme du Simplexe en précisant les variables de base et les variables hors base, ainsi que la solution réalisable de base. (2 points) 5. Est-ce qu’il s’agit d’une solution optimale ? justifier votre réponse. (0.5 point) ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 5 6. Déterminer le programme dual (D) du programme linéaire (P ). (1 point) ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 7. Déduire la solution duale du programme dual (D). (1 point) ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... ...................................................................................................... 6
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