Διανύσματα: Έννοιες, Πράξεις και Εσωτερικό Γινόμενο

1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1 ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1.3 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ 1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Η έννοια του Διανύσματος 8 Σίσκας Χρήστος – Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο Ορισμός Διανύσματος Βασικοί Συμβολισμοί Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα καλείται μηδενικό διάνυσμα.  Έτσι λοιπόν το διάνυσμα ΑΑ που η αρχή συμπίπτει με το τέλος του  είναι μηδενικό διάνυσμα και συμβολίζεται με 0 .   Δηλαδή ΑΑ  0 . Μέτρο Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζουμε κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα. Δηλαδή κάθε ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή ή σημείο Β (πέρας) εφαρμογής, ενώ το δεύτερο λέγεται πέρας  του διανύσματος. ΑΒ  Έστω το διάνυσμα ΑΒ  Το Α είναι η αρχή του διανύσματος. Α (πέρας)  Το Β είναι το τέλος του διανύσματος.  Αρκετές φορές για το συμβολισμό των διανυσμάτων χρησιμοποιούμε τα μικρά γράμματα του ελληνικού ή του     λατινικού αλφαβήτου π.χ. α, β ή u, v . Μηδενικό Διάνυσμα 1.1 Η έννοια του Διανύσματος  Μέτρο ή μήκος ενός διανύσματος ΑΒ λέγεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ δηλαδή η απόσταση των σημείων Α και Β.    Το μέτρο του ΑΒ συμβολίζεται με ΑΒ    Αν ΑΒ  1 το ΑΒ λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα   α  0 , δηλαδή το μέτρο είναι μη αρνητικός αριθμός   0 0     α  0  α  0 , δηλαδή το μοναδικό διάνυσμα με μηδενικό μέτρο είναι το μηδενικό διάνυσμα. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 9 Η έννοια του Διανύσματος Φορέας Διανύσματος Παράλληλα ή Συγγραμμικά Διανύσματα Ομόρροπα Διανύσματα Αντίρροπα Διανύσματα Α   Ως φορέα ενός μηδενικού διανύσματος ΑΑ  0 θεωρούμε οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α Η  ε  και κάθε άλλη ευθεία διανύσματος.  ΑΑ Α  ε / /  ε είναι η διεύθυνση του Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά αν έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς. Σε αυτή την περίπτωση, λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση.   Αν τα ΑΒ, ΓΔ είναι συγγραμμικά ή παράλληλα   το συμβολίζουμε ΑΒ / /ΓΔ Δύο μη μηδενικά διανύσματα που είναι συγγραμμικά (ίδια διεύθυνση) και έχουν την ίδια φορά λέγονται ομόρροπα.   Αν τα ΑΒ, ΓΔ είναι ομόρροπα το   συμβολίζουμε ΑΒ  ΓΔ Α Δ Β Γ ή Β Α Γ Δ Α Δ Β Γ ή Α Β Δ Γ Δύο μη μηδενικά διανύσματα που είναι ΒΔ συγγραμμικά (ίδια διεύθυνση) και έχουν Α Β αντίθετη φορά λέγονται αντίρροπα. ή Α   Αν τα ΑΒ, ΓΔ είναι αντίρροπα το Δ   συμβολίζουμε ΑΒ  ΓΔ Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται συγγραμμικό, ομόρροπο, αντίρροπο με κάθε διάνυσμα. 10 Σίσκας Χρήστος – Φακόπουλος Επαμεινώνδας (ε) Β Η ευθεία (ε) πάνω στην οποία κινείται ένα μη μηδενικό διάνυσμα είναι ο φορέας του διανύσματος. Γ Γ ο 1 Κεφάλαιο Γωνία δύο διανυσμάτων Αντίθετα Διανύσματα Ίσα Διανύσματα Δύο μη μηδενικά διανύσματα θα λέμε ότι είναι ίσα όταν: είναι ομόρροπα    ίσα έχουν ίσα μέτρα  Β Α Δ Γ Β Α Δ Γ ή   Συμβολισμός ΑΒ=ΓΔ    Αν ΑΒ=ΓΔ και έχουν διαφορετικό φορέα τότε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο Β  Από το διπλανό σχήμα εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι Α    ΑΓ  ΒΔ      Δ ΑΒ  ΓΔ  ΔΒ  ΓΑ Γ    ΒΑ  ΔΓ    Μ Β Α  Μ μέσο του ΑΒ  ΑΜ  ΜΒ Δύο μη μηδενικά διανύσματα θα λέμε ότι είναι αντίθετα όταν: είναι αντίρροπα    αντίθετα έχουν ίσα μέτρα      Συμβολισμός ΑΒ  ΓΔ ή ΓΔ   ΑΒ   Προφανώς ΑΒ  ΒΑ   Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α, β . Με αρχή ένα τυχαίο σημείο Ο παίρνουμε τα     διανύσματα ΟΑ  α , ΟΒ  β . Ονομάζουμε    και γωνία των α και β την κυρτή γωνία ΑΟΒ    ή β,α  ή αν δεν τη συμβολίζουμε με α,β     προκαλείται σύγχυση με κάποιο μικρό γράμμα.    Ισχύει ότι 0  θ  π με θ  α,β Β Α Γ Δ Γ Β Δ Α Α Β Α Β  β  α Α  α θ Ο  β Β    Η γωνία δύο διανυσμάτων είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 11 Η έννοια του Διανύσματος Γωνία δύο διανυσμάτων     0  α  β  α,β     π α  β  α,β      β  α  α  β    Δύο διανύσματα α, β είναι κάθετα ή  π    ορθογώνια αν α,β β 2    α Συμβολισμός α  β    Αν ένα από τα α, β είναι το μηδενικό διάνυσμα τότε ως γωνία των   α, β θεωρούμε οποιαδήποτε γωνία θ με 0  θ  π . Γι’ αυτό και το μηδενικό διάνυσμα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι ομόρροπο, αντίρροπο, κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμα.   12 Σίσκας Χρήστος – Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1     Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε ώστε ΒΔ=ΓΑ και ΓΕ=ΒΑ . Να αποδείξετε ότι το Α είναι μέσον του ΔΕ. Λύση   Αρκεί να δείξουμε ότι ΔΑ  ΑΕ      ΑΓ  ΒΔ Αν ΑΒ  ΓΔ τότε     ΔΒ  ΓΑ Έχουμε:     ΒΔ  ΓΑ οπότε ΑΓΒΔ παρ/μο άρα ΔΑ  ΒΓ     ΓΕ  ΒΑ οπότε ΑΕΓΒ παρ/μο άρα ΑΕ  ΒΓ   Από τις 1  και  2  έχουμε ότι: ΔΑ  ΑΕ 1  Ε Δ Α  2 Γ Β Παράδειγμα 2   Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ και ΓΔ που έχουν διαφορετικούς φορείς. Να   αποδείξετε ότι ΑΒ  ΓΔ αν και μόνο αν τα τμήματα ΑΔ και ΒΓ έχουν κοινό μέσο. Λύση    Αν ΑΒ  ΓΔ , τότε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι ίσα και παράλληλα. Έτσι το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο, οπότε οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Άρα, τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ και ΒΓ έχουν κοινό μέσο.  Αν τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΔ και ΒΓ έχουν κοινό μέσο, τότε το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι   παραλληλόγραμμο, οπότε ΑΒ  ΓΔ Δ Γ Ο Β Α Ε Παράδειγμα 3 Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και το παραλληλόγραμμο ΑΕΓΖ, να δείξετε ότι:     α) ΔΖ=ΕΒ β) ΔΕ=ΖΒ Λύση α) Αφού ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο θα ισχύει ότι:   ΑΒ  ΔΓ  ΑΓ και ΒΔ κοινό μέσο 1  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 13 Η έννοια του Διανύσματος Αφού ΑΕΓΖ παραλληλόγραμμο θα ισχύει ότι:   ΑΕ  ΓΖ  ΑΓ και ΖΕ κοινό μέσο  2 Για να δείξουμε ότι δύο   διανύσματα ΚΛ και ΜΝ είναι ίσα αρκεί να δείξουμε ότι τα τμήματα ΚΝ και ΛΜ έχουν κοινό μέσο. Ζ β) Από τις 1  και  2  συμπεραίνουμε ότι οι ΒΔ και   ΖΕ έχουν κοινό μέσο άρα ΔΖ  ΕΒ οπότε θα είναι   και ΔΕ  ΖΒ Δ Γ Β Α Ε Παράδειγμα 4 Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές των Δ και  Β αντίστοιχα στη διαγώνιο ΑΓ, να αποδειχθεί ότι τα διανύσματα ΔΖ  και ΒΕ είναι αντίθετα. Λύση   Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΖΓ είναι ίσα γιατί α) είναι ορθογώνια β) ΑΔ  ΒΓ και  Ε  Β Γ Ζ (ως εντός εναλλάξ) γ) Δ Α Από την ισότητα των τριγώνων έχουμε ότι ΔΕ  ΒΖ . Άρα ΔΕ//  ΒΖ απ’ όπου προκύπτει ότι το τετράπλευρο ΔΕΒΖ είναι παραλληλόγραμμο.   Τελικά λοιπόν ΔΖ  ΒΕ 14 Σίσκας Χρήστος – Φακόπουλος Επαμεινώνδας Δ Α Γ Ζ Ε Β ο 1 Κεφάλαιο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1) 2) 3) Δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία Α, Β και Γ. Αν Δ και Ε είναι σημεία     που ορίζονται από τις ισότητες ΑΔ  ΒΓ και ΒΕ  ΑΓ , να αποδείξετε ότι:   α) ΔΓ  ΓΕ β) Το Γ είναι μέσο του ΔΕ   Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε. Αν ισχύουν οι ισότητες ΒΔ  ΓΕ και   ΑΓ  ΕΒ , να αποδείξετε ότι το σημείο Ε είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΔΑ.  Στα παρακάτω σχήματα να σημειώσετε τη γωνία των διανυσμάτων α και  β  β 4) 5)  β  β  α  α  α Το διπλανό σχήμα είναι ισοσκελές τραπέζιο. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ).     α) ΑΒ  ΓΔ β) ΑΔ  ΓΒ     γ) ΑΔ  ΓΒ δ) ΑΔ  ΒΓ Α Β Δ Γ Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του. Να βρείτε τις γωνίες:         α) ΒΑ,ΒΓ β) ΑΒ,ΓΑ γ) ΒΓ,ΔΑ δ) ΒΑ,ΑΔ         Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 15 Η έννοια του Διανύσματος 16 Σίσκας Χρήστος – Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 1.2 Πρόσθεση – Αφαίρεση Διανυσμάτων   α , β . Με αρχή ένα    α τυχαίο σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα ΟΑ  α και στη συνέχεια με αρχή το σημείο Α     α παίρνουμε διάνυσμα ΑΒ  β . Το διάνυσμα ΟΒ λέγεται άθροισμα ή συνισταμένη των Ο   διανυσμάτων α και β και συμβολίζεται με   α β .    Άρα έχουμε ότι ΟΑ  ΑΒ  ΟΒ Πρόσθεση Διανυσμάτων Έστω δύο διανύσματα  β Α  β Β   α β α) Για να προσθέσουμε δύο διανύσματα λοιπόν πρέπει να τα καταστήσουμε διαδοχικά. β) Αν προσθέσουμε δύο διανύσματα τότε προκύπτει ένα διάνυσμα που έχει αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και πέρας το πέρας του δεύτερου διανύσματος. γ) Με το ίδιο τρόπο που προσθέτουμε δύο Β Α διανύσματα μπορούμε να προσθέσουμε και Ο περισσότερα.          Γ Ζ ΟΑ  ΑΒ  ΓΔ  ΔΖ  ΟΒ  ΒΔ  ΔΖ  ΟΖ      ΒΓ Δ  ΒΔ  ΟΒ Ιδιότητες Πρόσθεσης Διανυσμάτων   δ) Το άθροισμα α  β είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σημείου Ο 1. 2. 3. 4.     α β  β  α       α β  γ  α  β γ    α0 α    α  α  0       (Αντιμεταθετική Ιδιότητα) (Προσεταιριστική Ιδιότητα)  ( 0 το ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση)   ( α, α είναι αντίθετα διανύσματα) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 17 Αφαίρεση Διανυσμάτων Πρόσθεση – Αφαίρεση Διανυσμάτων   Ορίζουμε ως διαφορά του β από το α και το      β α συμβολίζουμε με α  β το άθροισμα των -β   διανυσμάτων α και β . Για να αφαιρέσουμε    α β λοιπόν δύο διανύσματα, ουσιαστικά -β προσθέτουμε στο ένα το αντίθετο του άλλου.      α Δηλαδή α  β  α  β       Η εξίσωση β  x  α έχει μοναδική λύση το διάνυσμα x  α  β       Δηλαδή β  x  α  x  α  β    Από το παραλληλόγραμμο του διπλανού σχήματος και θεωρώντας ότι     ΑΒ  α , ΑΔ  β είναι φανερό ότι       ΑΓ  α  β καθώς και ΒΔ  α  β  α Α Β  β  β Δ  α Γ Διάνυσμα Θέσεως Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του επιπέδου. Τότε για κάθε σημείο Μ το  διάνυσμα ΟΜ καλείται διάνυσμα θέσεως ή διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ. Το σημείο Ο που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσματικών ακτινών καλείται σημείο αναφοράς. Κάθε διάνυσμα ισούται με την διανυσματική ακτίνα του πέρατος μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής. Απόδειξη Θεωρούμε Ο σημείο αναφοράς του επιπέδου  Α καθώς και ένα τυχαίο διάνυσμα ΑΒ Χρήσιμοι Κανόνες Από το διπλανό σχήμα είναι φανερό ότι       ΑΒ  ΑΟ  ΟΒ  ΑΒ  ΟΑ  ΟΒ      ΑΒ  ΟΒ  ΟΑ    Δηλαδή ΑΒ  ΟΒ  ΟΑ Ο Β  Προσθέτουμε διανύσματα αν αυτά είναι διαδοχικά σύμφωνα με τη    σχέση: ΟΑ  ΑΒ  ΟΒ  Αφαιρούμε διανύσματα αν αυτά έχουν κοινή αρχή σύμφωνα με τη    σχέση: ΟΒ  ΟΑ  ΑΒ 18 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων 1 Κεφάλαιο   Έστω δύο τυχαία διανύσματα α , β και το   άθροισμά τους α  β . Εφαρμόζοντας την τριγωνική ανισότητα στο διπλανό τρίγωνο προκύπτει ότι       α  β  α β  α  β Θα ισχύει ότι        α  β  α  β  α  β        α  β  α  β  α  β  β  α   α β  β  α    α β β  α   α β Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 19 Πρόσθεση – Αφαίρεση Διανυσμάτων ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1  Στα παρακάτω σχήματα να εκφράσετε το διάνυσμα x σαν συνάρτηση των άλλων διανυσμάτων που δίνονται:  γ α)  β  α  δ  x β)  ε  α  γ  x  β Λύση α) Αρχικά ονομάζουμε τις κορυφές του σχήματος για να δουλέψουμε πιο άνετα Έτσι λοιπόν έχουμε:             x  OX , α  ΧΑ , β  ΒΑ , γ  ΒΓ , δ  ΔΓ , ε  ΔΧ        Οπότε: x  OX  OΔ  ΔΓ  ΓΒ  ΒΑ  ΑΧ        -ε  δ - γ  β - α β) Όπως λειτουργήσαμε στο α) ερώτημα έχουμε:         x  OX , α  ΑΟ , β  ΑΒ , γ  ΧΒ      Οπότε: x  OX  OΑ  ΑΒ  ΒΧ      -α  β - γ  γ Β  β  α  Γ δ Δ ε Α Ο  x Χ γ Ο  x Χ Β  β  α Α Παράδειγμα 2     Δίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ. Αν ΑΒ  α και ΒΓ  β να εκφράσετε το    διάνυσμα ΓΔ ως συνάρτηση των α, β Λύση Σε ένα κανονικό εξάγωνο το μήκος της πλευράς του ισούται με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.    Οπότε τα ΑΒΓΟ, ΒΓΔΟ είναι ρόμβοι δηλαδή ΑΟ  ΟΔ  β και έχουμε:             ΑΒ  ΒΓ  ΓΔ  ΑΔ  α+β+x=β+β  x=β-α 20 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Β Α  α Ζ  β Γ  x Δ Ε ο 1 Κεφάλαιο Απόδειξη – Μετασχηματισμός ισότητας με διανύσματα 1ος τρόπος  Προσπαθούμε να εντοπίσουμε στη δοθείσα ισότητα διανύσματα που είναι διαδοχικά και αντικαθιστούμε το άθροισμά τους με βάση την ισότητα    ΑΒ  ΒΓ  ΑΓ  Προσπαθούμε να εντοπίσουμε στη δοθείσα ισότητα διανύσματα που έχουν κοινή αρχή και αντικαθιστούμε τη διαφορά τους με βάση την ισότητα    ΑΒ  ΑΓ  ΓΒ 2ος τρόπος Θεωρούμε σημείο αναφοράς κάποιο από τα άκρα των διανυσμάτων που υπάρχουν στη δοθείσα ισότητα (συνήθως αυτό που εμφανίζεται τις περισσότερες φορές) ή κάποιο άλλο τυχαίο σημείο και εκφράζουμε κάθε διάνυσμα της ισότητας με αρχή το σημείο αναφοράς βάση της ισότητας:    ΑΒ  ΛΒ  ΛΑ (σημείο αναφοράς το Λ) Παράδειγμα 3 Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Κ, Λ, Μ. Να αποδείξετε ότι:       ΑΚ+ΒΛ+ΓΜ  ΑΜ+ΒΚ+ΓΛ Λύση 1ος τρόπος Θεωρούμε ότι η δοθείσα διανυσματική ισότητα ισχύει       ΑΚ  ΒΛ  ΓΜ  ΑΜ  ΒΚ  ΓΛ          ΑΚ  ΒΛ  ΓΜ  ΑΜ  ΒΚ  ΓΛ  0          ΑΚ  ΑΜ  ΒΛ  ΒΚ  ΓΜ  ΓΛ  0       ΜΚ  ΚΛ  ΛΜ  0     ΜΜ  0     0  0 Προφανώς ισχύει Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 21 Πρόσθεση – Αφαίρεση Διανυσμάτων 2ος τρόπος Έστω σημείο αναφοράς το Α. Θεωρούμε επίσης ότι η δοθείσα διανυσματική σχέση και γράφουμε όλα τα διανύσματα με αρχή το σημείο αναφοράς Α Έτσι λοιπόν έχουμε:       ΑΚ  ΒΛ  ΓΜ  ΑΜ  ΒΚ  ΓΛ             ΑΚ  ΑΛ ΑΒ  ΑΜ ΑΓ  ΑΜ  ΑΚ  ΑΒ  ΑΛ ΑΓ     0  0 Προφανώς ισχύει Παράδειγμα 4 Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Μ για τα οποία ισχύει ότι        ΜΓ+ΒΔ+ΓΕ+ΔΖ+ΕΑ+ΖΒ  0 Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ ταυτίζεται με το σημείο Α Λύση 1ος τρόπος        ΜΓ  ΒΔ  ΓΕ  ΔΖ  ΕΑ  ΖΒ  0          ΜΓ  ΓΕ  ΒΔ  ΔΖ  ΕΑ  ΖΒ  0        ΜΕ  ΒΖ  ΕΑ  ΖΒ  0        ΜΕ  ΕΑ  ΒΖ  ΒΖ  0     ΜΑ  0 και αποδείχτηκε το ζητούμενο Για να δείξουμε ότι δύο σημεία Α και Β ταυτίζονται αρκεί να δείξουμε ότι   ΑΒ  0 2ος τρόπος Έστω σημείο αναφοράς το Α        ΜΓ  ΒΔ  ΓΕ  ΔΖ  ΕΑ  ΖΒ  0               ΑΓ  ΑΜ  ΑΔ  ΑΒ  ΑΕ  ΑΓ  ΑΖ  ΑΔ  ΑΕ  ΑΒ  ΑΖ  0      ΑΜ  0     ΜΑ  0 και αποδείχτηκε το ζητούμενο 22 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο Παράδειγμα 5 Δίνονται τα διαφορετικά μεταξύ τους σημεία Α, Β, Γ και Δ, τα οποία δεν     είναι συνευθειακά. Αν ΟΑ+ΟΓ=ΟΒ+ΟΔ , όπου Ο τυχαίο σημείο του επιπέδου, να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Λύση Για να δείξουμε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο αρκεί να   δείξουμε ότι ΑΒ//  ΓΔ ή αλλιώς αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ  ΔΓ . Ξεκινάμε από τη δοθείσα διανυσματική σχέση όπου παρατηρούμε ότι όλα τα διανύσματα που υπάρχουν έχουν κοινή αρχή άρα μπορούμε να τα αφαιρέσουμε. Για αυτό το λόγο αλλάζουμε με κατάλληλο τρόπο μέρος στα διανύσματα. Έτσι λοιπόν έχουμε:     ΟΑ  ΟΓ  ΟΒ  ΟΔ       ΟΓ  ΟΔ  ΟΒ  ΟΑ     ΔΓ  ΑΒ και αποδείχτηκε το ζητούμενο Παράδειγμα 6        Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α, β, γ ισχύει ότι α  β  γ  0 και    β γ     α  να αποδείξετε ότι α) α  β β) β  γ 2 3 Λύση  α κ    Έστω α    κ   β  2κ με κ  * 2 3   γ  3κ                 α)Ισχύει ότι α  β  γ  0  α  β   γ  α  β   γ  α  β  γ  α  β  3κ (1)  β  γ  1           Όμως α  β  κ+2κ  α  β  3κ  α  β  α  β  α  β                β)Ισχύει ότι α  β  γ  0  β  γ  α  β  γ  α  β  γ  α  β  γ  κ (2) 2           Όμως β  γ  2κ-3κ  β  γ  κ  β  γ  β  γ  β  γ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 23 Πρόσθεση – Αφαίρεση Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1)  Στις παρακάτω περιπτώσεις να εκφράσετε το διάνυσμα x ως συνάρτηση των διανυσμάτων που σημειώνονται στα σχήματα:  x  α  β  x  α  β  δ  γ  γ  δ  β  x  α  ε 2) Στο διπλανό σχήμα το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι Β Α παραλληλόγραμμο. Να συμπληρώσετε τις Ο παρακάτω ισότητες:   α) ΑΒ  ΑΔ  .......... Γ Δ   β) ΑΒ  ΑΔ  ..........   γ) ΑΒ  ΓΔ  ..........       δ) ΟΑ  ΟΓ  .......... ε) ΔΟ  ..........  ΔΓ στ) ΑΒ  ..........  ΔΒ 3) Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε. Να αποδείξετε ότι:      ΑΕ  ΒΑ  ΒΓ  ΕΔ  ΔΓ 4) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ζ του χώρου, για τα οποία ισχύει ότι     ΑΓ  ΔΕ  ΔΓ  ΒΕ . Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α και Β συμπίπτουν. 5) Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και το σημείο Ο για το οποίο ισχύει     ΑΓ  ΒΟ  ΒΔ  ΓΔ . Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ο, Α συμπίπτουν. 6) Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ μέσον του ΑΒ. Να αποδείξετε ότι:     ΜΓ  ΜΔ  ΑΓ  ΔΒ 24 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 7) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τυχαίο σημείο Ρ της πλευράς ΒΓ. Ορίζουμε το     σημείο Μ από τη σχέση ΡΜ  ΑΡ  ΡΒ  ΡΓ . Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΜΓ είναι παραλληλόγραμμο. 8) Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σημείο του επιπέδου. Να αποδείξετε ότι το     διάνυσμα f Ρ   2ΡΑ  5ΡΒ  3ΡΓ είναι ανεξάρτητο από τη θέση του σημείου Ρ, δηλαδή σταθερό. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 25 Πρόσθεση – Αφαίρεση Διανυσμάτων 26 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο Ιδιότητες Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα Ορισμός Πολλαπλασιασμού Αριθμού με Διάνυσμα 1.3 Πολλαπλασιασμός Αριθμού με Διάνυσμα Έστω λ ένας πραγματικός αριθμός με λ  0 και  α ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Ονομάζουμε  γινόμενο του λ με το α και το συμβολίζουμε   με λ  α ή λα ένα διάνυσμα το οποίο:  • Είναι ομόρροπο του α , αν λ  0 και α ντίρροπο του α , αν λ  0 .   • Έχει μέτρο λα  λ  α  α  2α  2α Σημείωση     • Αν λ  0 ή α  0 τότε ορίζουμε λα  0  α 1 • Όταν γράφουμε εννοούμε α λ λ        λ α  β  λ α  λβ     λ  μ  α  λα  μα    λμ  α  λ μα   με λ,μ  ℝ   Ως συνέπεια του ορισμού του γινομένου αριθμού με διάνυσμα και των παραπάνω ιδιοτήτων έχουμε τις παρακάτω ιδιότητες:      λα  0  λ  0 ή α  0      λα  λ α   λα      λ α  β  λ α  λβ με λ,μ  ℝ      λ  μ  α  λα  μα      Αν λα  λβ και λ  0 τότε α  β      Αν λα  μα και α  0 τότε λ  μ         Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 27 Διανυσματική Ακτίνα Μέσου Τμήματος Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα   Αν α , β δύο διανύσματα, ορίζουμε ως γραμμικό συνδυασμό τους,     κάθε διάνυσμα u της μορφής u  κα  λβ όπου κ, λ  . Ανάλογα ορίζεται και ο γραμμικός συνδυασμός τριών ή περισσότερων διανυσμάτων.    Για παράδειγμα το διάνυσμα u  5α  3β είναι γραμμικός συνδυα      σμός των διανυσμάτων α , β ενώ το διάνυσμα v  2α  β  3γ είναι    γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α , β , γ .     Αν α , β είναι δύο διανύσματα με β  0 τότε ισχύει     α / /β  α  λ  β , λ  ℝ Απόδειξη Ορθό     Έστω α  λβ και β  0 Από τον ορισμό του γινομένου πραγματικού αριθμού με διάνυσμα   έχουμε α / /β . Αντίστροφο  α       Έστω α / /β και β  0 . Θέτουμε κ   , οπότε α  κ β β Συνεπώς      Αν α  β , τότε α  κβ (είναι: λ  κ )      Αν α  β , τότε α  κβ (είναι: λ  κ )      Αν α  0 , τότε α  0  β (είναι: λ  0 Σε κάθε περίπτωση υπάρχει λ και μάλιστα μοναδικός τέτοιος   ώστε α  λβ  Αν ΑΒ τυχαίο διάνυσμα και Ο ένα σημείο αναφοράς ισχύει ότι:    ΟΑ  ΟΒ Μ μέσο του ΑΒ  ΟΜ  2 Απόδειξη   Μ μέσο του ΑΒ  ΑΜ  ΜΒ  Α      ΟΜ  ΟΑ  ΟΒ  ΟΜ     Μ  2ΟΜ  ΟΑ  ΟΒ    Β  ΟΑ  ΟΒ Ο  ΟΜ  2 28 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1      α) Να δείξετε ότι 2ΑΜ  3ΒΝ  2ΑΝ  5ΝΜ  3ΒΜ       β) Να δείξετε ότι 3ΑΜ  ΒΝ  2ΓΝ  3ΑΝ  ΒΜ  2ΓΜ Λύση      α) 2ΑΜ  3ΒΝ  2ΑΝ  5ΝΜ  3ΒΜ         2ΑΜ  3ΒΝ  2ΑΝ  5ΝΜ  3ΒΜ  0         2 ΑΜ  ΑΝ  3 ΒΜ  ΒΝ  5ΝΜ  0           2ΝΜ  3ΝΜ  5ΝΜ  0      5ΝΜ  5ΝΜ  0    00 Διανυσματικές Σχέσεις Για να αποδείξουμε μια διανυσματική ισότητα είτε μεταφέρουμε όλα τα διανύσματα στο ένα μέλος και κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις, είτε θεωρούμε ένα σημείο ως σημείο αναφοράς. β) Ας είναι Α σημείο αναφοράς       3ΑΜ  ΒΝ  2ΓΝ  3ΑΝ  ΒΜ  2ΓΜ             3ΑΜ  ΑΝ  ΑΒ  2 ΑΝ  ΑΓ  3ΑΝ  ΑΜ  ΑΒ  2 ΑΜ  ΑΓ                 3ΑΜ  ΑΝ  ΑΒ  2ΑΝ  2ΑΓ  3ΑΝ  ΑΜ  ΑΒ  2ΑΜ  2ΑΓ           3ΑΜ  3ΑΝ  ΑΒ  2ΑΓ  3ΑΝ  3ΑΜ  ΑΒ  2ΑΓ    00 Παράδειγμα 2      Αν 5ΑΒ  6ΒΓ να δείξετε ότι 11ΜΒ  5ΜΑ  6ΜΓ Λύση 1ος τρόπος        Είναι 11ΜΒ  5ΜΑ  6ΜΓ  6ΜΒ  5ΜΒ  5ΜΑ  6ΜΓ           6ΜΒ  6ΜΓ  5ΜΑ  5ΜΒ  6 ΜΒ  ΜΓ  5 ΜΑ  ΜΒ             6ΓΒ  5ΒΑ  6ΒΓ  5ΑΒ  6ΒΓ  5ΑΒ που ισχύει από υπόθεση Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 29 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 2ος τρόπος Ξεκινάμε από τη σχέση που ισχύει θεωρώντας ως σημείο αναφοράς το Μ γιατί στη σχέση που θέλουμε να καταλήξουμε υπάρχει το Μ. Έτσι λοιπόν έχουμε:       5ΑΒ  6ΒΓ  5 ΜΒ  ΜΑ  6 ΜΓ  ΜΒ           5ΜΒ  5ΜΑ  6ΜΓ  6ΜΒ       5ΜΒ  6ΜΒ  6ΜΓ  5ΜΑ      11ΜΒ  5ΜΑ  6ΜΓ Παράδειγμα 3     Αν ΔB  ΓΕ  ΔΓ  ΑΕ να δείξετε ότι τα σημεία Α και Β ταυτίζονται. Λύση 1ος τρόπος Ας είναι Α σημείο αναφοράς     ΔB  ΓΕ  ΔΓ  ΑΕ          ΑB  ΑΔ  ΑΕ  ΑΓ  ΑΓ  ΑΔ  ΑΕ            ΑB  ΑΔ  ΑΕ  ΑΓ  ΑΓ  ΑΔ  ΑΕ     ΑB  0 άρα Α  Β Σημεία που ταυτίζονται Για να δείξουμε ότι δύο σημεία Α και Β ταυτίζονται αρκεί να δείξουμε ότι:   α) ΑB  0 ή   β) ΟΑ  ΟΒ με Ο σημείο αναφοράς 2ος τρόπος         ΔB  ΓΕ  ΔΓ  ΑΕ  ΔB  ΔΓ  ΓΕ  ΑΕ        ΓB  ΓΕ  ΕΑ  ΓB  ΓΑ άρα Α  Β Παράδειγμα 4 Δίνονται τα μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ και ένα τυχαίο σημείο Μ .     Να δείξετε ότι το διάνυσμα u  2ΜA+3ΜB  5ΜΓ είναι σταθερό. Λύση 30 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 1ος τρόπος Ας είναι Α σημείο αναφοράς     u  2ΜA+3ΜB  5ΜΓ        2AΜ+3 ΑB  ΑΜ  5 ΑΓ  ΑΜ            2AΜ+3ΑB  3ΑΜ  5ΑΓ  5ΑΜ      3ΑB  5ΑΓ άρα u σταθερό   β) Είτε κάνοντας εξαρχής προφανείς διανυσματικές πράξεις στη δοσμένη διανυσματική ισότητα.      2ΓA  3ΓB άρα u σταθερό Μπορεί να φανεί περίεργο ότι καταλήξαμε σε «διαφορετικά» διανύσματα. Ουσιαστικά όμως καταλήξαμε στο ίδιο διανύσμα αλλά σε διαφορετικές μορφές αυτού. Αν θέλετε δείξτε ότι     3ΑB  5ΑΓ  2ΓΑ  3ΓΒ  u Β Α Αν θέλουμε να αποδείξουμε  ότι ένα διάνυσμα u που είναι εκφρασμένο συναρτήσει διανυσμάτων που το ένα άκρο τους είναι μεταβλητό τότε αρκεί να δείξουμε ότι η δοσμένη σχέση είναι ανεξάρτητη του μεταβλητού σημείου. Αυτό το επιτυγχάνουμε: α) Θεωρώντας σημείο αναφοράς ένα από τα σταθερά σημεία και κατόπιν με προφανείς πράξεις απαλλασσόμαστε από το μεταβλητό σημείο 2ος τρόπος     u  2ΜA+3ΜB  5ΜΓ       2ΜA+3ΜB  3ΜΓ  2ΜΓ       2 ΜA  ΜΓ +3 ΜB  ΜΓ   Σταθερό Διάνυσμα Γ Παράδειγμα 5 Δίνονται τα σημεία Ο, Μ, Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει ότι      ΟA+3ΜΑ  2ΜΟ  ΜΓ  3ΟΒ α) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά β) Να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Β, Γ. Λύση Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 31 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα   α) Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΒ / /ΑΓ Συνευθειακά Σημεία Ας είναι Α σημείο αναφοράς οπότε από τη δοθείσα διανυσματική σχέση έχουμε:      ΟA  3ΜΑ  2ΜΟ  ΜΓ  3ΟΒ            ΑΟ  3ΑΜ  2 ΑΟ  ΑΜ  ΑΓ  ΑΜ  3 ΑΒ  ΑΟ                ΑΟ  3ΑΜ  2ΑΟ  2ΑΜ  ΑΓ  ΑΜ  3ΑΒ  3ΑΟ          ΑΟ  3ΑΜ   ΑΟ  3ΑΜ  ΑΓ  3ΑΒ      0  ΑΓ  3ΑΒ       ΑΓ  3ΑΒ άρα ΑΒ / /ΑΓ   β) Αφού ΑΓ  3ΑΒ συμπεραίνουμε ότι τα διανύσματα   ΑΓ και ΑΒ είναι αντίρροπα άρα τα σημεία Β, Γ είναι Για να δείξουμε ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε ότι δύο από τα    διανύσματα ΑB , ΑΓ , ΒΓ είναι συνευθειακά. Δηλαδή αρκεί να δείξουμε ότι      ΑB / /ΑΓ δηλ. ΑB  λΑΓ      ΑB / /ΒΓ δηλ. ΑB  λΒΓ      ΑΓ / /ΒΓ δηλ. ΑΓ  λΒΓ Για να δείξουμε μια από τις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σημείο αναφοράς. εκατέρωθεν του σημείου Α όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα Γ Α Β Παράδειγμα 6 Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ. Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε:     ΜΑ  ΜΒ  2ΑΓ  0 Λύση Ας είναι Α σημείο αναφοράς          ΜΑ  ΜΒ  2ΑΓ  0   ΑΜ  ΑΒ  ΑΜ  2ΑΓ  0       2ΑΜ  ΑΒ  2ΑΓ  0     Γ Μ  2ΑΜ  ΑΒ  2ΑΓ  Α 1  2 ΑΒ Β  1    ΑΜ  ΑΒ  ΑΓ 2 Άρα το σημείο Μ προσδιορίζεται 32 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Εύρεση Σημείου Για να προσδιορίσουμε τη θέση ενός σημείου που ικανοποιεί μια διανυσματική ισότητα προσπαθούμε να εκφράσουμε ένα διάνυσμα με αρχή γνωστό σημείο ως γραμμικό συνδυασμό γνωστών διανυσμάτων. ο 1 Κεφάλαιο Παράδειγμα 7 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Μ ένα σημείο που ανήκει στην ΑΒ και Ν ένα σημείο που ανήκει στην ΑΓ τέτοια ώστε να ισχύουν  1   1  ΑΜ  ΑΒ και ΑΝ  ΑΓ 6 7 Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Μ, Ν είναι συνευθειακά Λύση Α Μ Βασικά Διανύσματα Σχήματος Β Όταν έχουμε ένα σχήμα τότε ονομάζουμε τα διανύσματα     ΑB  α και ΑΓ  β Ν Γ Δ και εκφράζουμε οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα του σχήματος ως γραμμικό συνδυασμό των   α, β .      Ας είναι ΑΒ  α και ΒΓ  β  ΑΔ   Αρκεί να δείξουμε ότι ΜΝ / /ΜΔ  1   1  Είναι ΑΜ  ΑΒ  ΑΜ  α (1) 6 6  1   1    1    1  1  Ακόμη ΑΝ  ΑΓ  ΑΝ  ΑΒ  ΒΓ  ΑΝ  α  β  ΑΝ  α  β (2) 7 7 7 7 7    1  1  1  1  1  1 ΜΝ  ΑΝ  ΑΜ  α  β  α   α  β 2  7 7 6 42 7 Με πράξεις προσπα   1  1   1  θούμε να δημιουργήΜΔ  ΑΔ  ΑΜ  ΒΓ  α  β  α ΑΔ=ΒΓ σουμε τα ίδια δεύτε6 6 ρα μέλη. Έτσι λοιπόν έχουμε 1  1          ΜΝ   42 α  7 β 42ΜΝ  α  6β   42ΜΝ  6ΜΔ  ΜΔ  7ΜΝ          6ΜΔ  α  6β ΜΔ   1 α  β  6     Άρα ΜΔ / /ΜΝ (και μάλιστα ΜΔ  ΜΝ )     Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 33 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Παράδειγμα 8 Με βάσεις τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά τα πα ραλληλόγραμμα ΒΓΔΕ, ΓΑΖΗ και ΑΒΘΙ. Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΙΖ ,   ΕΘ και ΗΔ σχηματίζουν τρίγωνο. Λύση Θ Β Ι Γ Α Ζ Διανύσματα ορίζουν τρίγωνο Ε Για να δείξουμε ότι τρία διανύσματα ορίζουν τρίγωνο αρκεί να δείξουμε ότι το άθροισμά τους είναι το μηδενικό διάνυσμα. Δ Η    ΙΖ  ΙΑ  ΑΖ                  Είναι ΕΘ  ΕΒ  ΒΘ  ΙΖ  ΕΘ  ΗΔ  ΙΑ  ΑΖ  ΕΒ  ΒΘ  ΗΓ  ΓΔ (1)     ΗΔ  ΗΓ  ΓΔ        Όμως από το σχήμα έχουμε ΙΑ  ΒΘ (2) και ΑΖ  ΓΗ (3) και ΕΒ  ΔΓ (4) Έτσι λοιπόν η (1) με τη βοήθεια των (2), (3), (4) γίνεται:          ΙΖ  ΕΘ  ΗΔ  ΘΒ  ΓΗ  ΔΓ  ΒΘ  ΗΓ  ΓΔ         ΙΖ  ΕΘ  ΗΔ  ΘΘ  ΓΓ  ΔΔ          ΙΖ  ΕΘ  ΗΔ  0 άρα τα ΙΖ, ΕΘ, ΗΔ σχηματίζουν τρίγωνο Παράδειγμα 9 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ μέσο της πλευράς ΒΓ. Γράφουμε τα διανύσματα     ΜΔ  ΒΑ και ΜΕ  ΑΓ . Να δείξετε ότι το Γ είναι μέσο του ΔΕ. Λύση    Αφού Μ μέσο ΒΓ είναι ΒΓ  2ΒΜ  2ΜΓ       Άρα ΒΓ  ΒΑ  ΑΓ  2ΜΓ  ΒΑ  ΑΓ      2ΜΓ  ΜΔ  ΜΕ     ΜΔ  ΜΕ  ΜΓ  2 Άρα Γ μέσο του ΔΕ με Μ σημείο αναφοράς 34 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Α Β Δ Μ Γ Ε ο 1 Κεφάλαιο Παράδειγμα 10 Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ, Ν είναι τα μέσα των ΑΔ και ΒΓ να δεί 1   ξετε ότι ΜΝ  ΑΒ  ΔΓ 2   Λύση  Υπολογίζουμε το διάνυσμα ΜΝ με δύο τρόπους     Από πάνω: ΜΝ  ΜΑ  ΑΒ  ΒΝ (1)     Από κάτω: ΜΝ  ΜΔ  ΔΓ  ΓΝ (2) Με πρόσθεση κατά μέλη των (1) και (2) έχουμε:        2ΜΝ  ΜΑ  ΑΒ  ΒΝ  ΜΔ  ΔΓ  ΓΝ  Β Α Ν Μ Δ Γ   Μ μέσο ΑΔ  ΑΜΜΔ           2ΜΝ  ΜΑ  ΑΒ  ΝΓ  ΑΜ  ΔΓ  ΓΝ  Ν μέσο ΒΓ ΒΝΝΓ         2ΜΝ   ΑΜ  ΑΒ  ΓΝ  ΑΜ  ΔΓ  ΓΝ          2ΜΝ   ΑΜ  ΑΒ  ΓΝ  ΑΜ  ΔΓ  ΓΝ      2ΜΝ  ΑΒ  ΔΓ     ΑΒ  ΔΓ  ΜΝ  2 Παράδειγμα 11     Δίνονται τα διανύσματα α , x , β , y για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις         α  x  6β  3y και 6y  7x  11α  66β   Να δείξετε ότι τα διανύσματα x , y είναι ομόρροπα Λύση   Λύνουμε το σύστημα και εκφράζουμε τα διανύσματα x , y ως γραμμικό συνδυ  ασμό των διανυσμάτων α , β .             α  x  6β  3y (1) x  3y  6β  α  2  2x  6y  12β  2α                  6y  7x  11α  66β 7x  6y  66β  11α 7x  6y  66β  11α        9x  9α  54β  x  α  6β (2) 2           3 Τότε η 1   α  α  6β  6β  3y  2α  12β  3y  α  6β  y (3) 2  3   Από (2) και (3) έχουμε ότι x  y άρα x  y 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 35 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Παράδειγμα 12    Αν α , β και r είναι οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α, Β και Μ MA κ αντιστοίχως και  , να αποδείξετε ότι MB λ    λα  κβ α) Αν Μ εσωτερικό του ΑΒ τότε r  λ κ    λα  κβ β) Αν Μ εξωτερικό του ΑΒ τότε r  λ κ Λύση       α) Ας είναι Ο σημείο αναφοράς. Τότε ΟΑ  α , ΟΒ  β , ΟΜ  r   Είναι ΑΜ  ΜΒ  κ  ΜΑ κ κ Ακόμη   ΜΑ  ΜΒ  ΑΜ  ΜΒ ΜΒ λ λ λ Ο  κ     Άρα ΑΜ  ΜΒ  λΑΜ  κΜΒ    β λ α r      λ ΟΜ  ΟΑ  κ ΟΒ  ΟΜ      Μ Α  λΟΜ  λΟΑ  κΟΒ  κΟΜ       λr  λα  κβ  κr            λα  κβ  λr  κr  λα  κβ   λ  κ r  λα  κβ  r  λ κ     Β       β) Ας είναι Ο σημείο αναφοράς. Τότε ΟΑ  α , ΟΒ  β , ΟΜ  r   Είναι ΑΜ  ΜΒ  κ  ΜΑ κ κ Ακόμη   ΜΑ  ΜΒ  ΑΜ  ΜΒ Ο ΜΒ λ λ λ       κ  Άρα ΑΜ   ΜΒ  λΑΜ  κBM  r α β λ      λ ΟΜ  ΟΑ  κ ΟΜ  ΟΒ  Β Μ Α      λΟΜ  λΟΑ  κΟΜ  κΟΒ       λr  λα  κr  κβ            λα  κβ  λr  κr  λα  κβ   λ  κ  r  λα  κβ  r  λ κ    36 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας  ο 1 Κεφάλαιο Παράδειγμα 13   Δίνονται τα μη συγγραμμικά και μη μηδενικά διανύσματα α , β για τα ο   ποία ισχύει ότι κα  λβ  0 με κ, λ  ℝ. Να δείξετε ότι κ  λ  0 Βασική Πρόταση Έστω κ  0 τότε έχουμε ότι Άρα κ  0 και Λύση      κα  λβ  0  κα   λβ     λ  α   β  α / /β Άτοπο κ        β0 κα  λβ  0  λβ  0  λ  0 οπότε κ  λ  0 Παράδειγμα 14    Δίνονται τα μη συγγραμμικά ανά δύο διανύσματα α , β , γ για τα οποία ισχύουν       β / / 2α  γ και γ / / α  β    Να δείξετε ότι α / / γ  2β       Λύση           λ 1 Είναι β / / 2α  γ  2α  γ  λβ  2α  λβ  γ  α  β  γ (1) 2 2          γ / / α  β  α  β  κγ  α  κγ  β (2)     Από (1) και (2) προκύπτει:   λ 1     κγ  β  β  γ  2κγ  2β  λβ  γ  2 2       2κγ  2β  λβ  γ  0       2κ  1  γ  β  2  λ   0   Αφού β, γ μη συγγραμμικά έχουμε ότι:  λ  2 λ  2  0  λ  2       1 1  2κ  0 2κ  1 κ  2   1          Για λ  2 η (1)  α  β  γ  2α  2β  γ  γ  2β  2α  γ  2β / /2α 2   Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 37 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Παράδειγμα 15       Δίνονται τα μη συγγραμμικά διανύσματα α , β  0 . Αν για τα ΟΑ , ΟΒ , ΟΓ  λ      λ   λ     ισχύουν ΟΑ  α  2β , ΟΒ  4α    1  β , ΟΓ  2α    2  β να υπολο3 3  3  γισθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά. Λύση     Αφού Α, Β, Γ συνευθειακά έχουμε ΑΒ / /ΑΓ  ΑΒ  κΑΓ (1) Θεωρώντας Ο σημείο αναφοράς έχουμε:     λ  λ   λ    λ   ΑΒ  ΟΒ  ΟΑ  4α    1  β   α  2β   4α    1  β  α  2β  3  3  3  3  λ λ   α  4      3 β 3 3       λ  λ   λ    λ   ΑΓ  ΟΓ  ΟΑ  2α    2  β   α  2β   2α    2  β  α  2β  3  3  3  3  λ λ   α  2      4 β 3 3    λ λ λ λ     Τότε η (1)  α  4      3  β  κ α  2      4  β  3 3 3 3        λ λ κλ   κλ      α  4      3  β  α  2κ      4κ  β  3 3 3  3      λ λ κλ   κλ       α  4      3  β  α  2κ      4κ  β  0  3 3 3  3     Δες παράδειγμα    λ κλ   λ κλ  13 στη σελίδα 37.  α  4   2κ      3   4κ  β  0  3 3  3 3   κλ  λ 4  3  2κ  3  0 12  λ  6κ  κλ  0       12  6κ  9  12κ  0   λ  3  κλ  4κ  0 λ  9  κλ  12κ  0 (1)  3 3 1  3  6κ  0  6κ  3  κ   2 λ (1)  λ  9   6  0  2λ  18  λ  12  0  3λ  30  λ  10 2 38 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Διανυσματικές Ισότητες – Παράλληλα Διανύσματα – Συνευθειακά Σημεία 1) Να αποδειχτούν οι παρακάτω διανυσματικές ισότητες      α) 2ΑΒ  3ΓΑ  2ΜΒ  3ΜΓ  ΜΑ        β) 3ΑΜ  5ΒΜ  8ΓΜ  16ΟΜ  3ΑΟ  5ΒΟ  8ΓΟ      γ) 7ΑΓ  2ΒΔ  5ΔΑ  2ΑΒ  7ΔΓ      δ) 2ΓΒ  3ΑΔ  5ΒΔ  3ΒΑ  2ΔΓ 2)         Αν ΒΜ  ΜΓ και ΑΒ  ΑΓ  ΑΔ  ΑΕ να δείξετε ότι θα είναι και ΔΜ  ΜΕ 3)     Αν 3ΑΓ  2ΒΓ να δείξετε ότι ΑΓ  2ΒΑ 4)      Αν 3ΑΔ  2ΒΔ να δείξετε ότι 5ΔΓ  3ΑΓ  2ΒΓ 5)         Αν ΔΑ  ΓΒ και ΣΓ  3ΒΣ να δείξετε ότι 2ΣΑ  3ΓΔ  ΒΣ  ΔΣ 6) 7)   Το διάνυσμα f K   2AB  3KΓ αν το σημείο Κ συμπέσει με το Α γίνεται    f  Α   2AB  3ΑΓ  ΟΚ και αν συμπέσει με το Β γίνεται    f Β   2AB  3ΒΓ  ΟΛ . Να δείξετε ότι ισχύει η διανυσματική ισότητα    ΚΛ  3ΑΒ  0 . Να σχεδιάσετε τα διανύσματα έτσι ώστε να ισχύουν οι ισότητες            α) ΑΓ  ΓΒ  ΑΓ β) ΑΒ  2ΚΛ γ) ΑΒ  ΒΓ  3ΑΔ δ) α  β   γ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 39 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 8)     Για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι γνωστό ότι ΒΓ  ΑΕ  ΑΔ  ΒΕ . Να δείξετε ότι τα σημεία Δ και Γ ταυτίζονται. 9)       Για τα σημεία Ρ, Κ, Μ, Ν, Σ είναι γνωστό ότι ΒΜ  ΡΑ  ΣΒ  ΓΝ  ΡΓ  ΣΑ . Να δείξετε ότι τα σημεία Μ και Ν ταυτίζονται 10)       Αν ισχύει ΜΑ  2ΜΒ  3ΜΓ  ΝΑ  2ΝΒ  3ΝΓ να δείξετε ότι τα σημεία Μ και Ν ταυτίζονται. 11) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και ένα μεταβλητό σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι      το διάνυσμα u  ΜΑ  4ΜΒ  2ΜΓ  3ΜΔ είναι σταθερό. 12) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ , ένα μεταβλητό σημείο Μ και οι πραγματικοί    αριθμοί κ, λ, μ. Να δείξετε ότι το διάνυσμα u   κ  λ  ΑΜ   λ  κ ΒΜ είναι σταθερό. 13)         Αν 2ΑΛ  3ΒΛ  2ΜΒ  ΑΚ  ΑΜ  ΒΚ να δείξετε ότι ΚΛ  ΜΛ 14) Να δείξετε ότι τα σημεία Μ, Ν, Ρ είναι συνευθειακά όταν ισχύει     2ΑΜ  3ΜΒ  2ΑΝ  3ΡΒ 15) Να δείξετε ότι τα σημεία Μ, Ν, Ρ είναι συνευθειακά όταν ισχύει      3ΒΜ  7ΑΝ  5ΑΜ  ΒΡ  2ΑΒ 16)     Δίνονται τα σημεία Π, Α, Ο, Κ ώστε 3ΠΑ  ΠΟ  4ΠΚ  0 α) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Ο, Κ είναι συνευθειακά β) Να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Ο, Κ 40 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 17) Δίνονται τα σημεία Ο, Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει ότι:    3OA  4OB  7OΓ α) Να γράψετε τη σχέση χρησιμοποιώντας ως σημείο αναφοράς το Α β) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά γ) Να δείξετε ότι το Γ είναι μεταξύ των Α και Β 18) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ. Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε     ΜΑ  ΜΒ  2AΓ  0 19) Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρεθεί σημείο Μ τέτοιο ώστε      2ΜΑ  3ΜΒ  ΜΓ  2ΜΔ  0 Διανυσματική Ακτίνα Μέσου 20) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν Μ και Ν αντίστοιχα τα μέσα των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ να δείξετε ότι:  1   α) ΜΝ  ΑΒ  2ΒΓ 2  21) 22)       β) 4ΜΝ  ΑΔ  ΑΒ  ΓΔ  ΓΒ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, Κ το κέντρο του, Μ το μέσο του ΚΓ. Να δείξετε ότι:    Δίνονται τα διανύσματα ΑΒ και ΑΒ . Αν Μ και Μ΄ είναι μέσα των ΑΒ και     ΑΒ αντίστοιχα να δείξετε ότι ΑΑ  ΒΒ  2ΜΜ . Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 41 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 23) Στην πλευρά ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε διαδοχικά τα σημεία Κ, Μ, Λ τέτοια ώστε ΒΚ  ΚΜ  ΜΛ  ΛΓ .      Να αποδειχτεί η ισότητα: ΑΒ  ΑΚ  ΑΛ  ΑΓ  5ΑΜ 24) Σε κύκλο κέντρου Ο θεωρούμε δύο κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται στο σημείο Σ. Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες:      α) ΟΑ  ΟΒ  ΟΓ  ΟΔ  2ΟΣ      β) ΣΑ  ΣΒ  ΣΓ  ΣΔ  2ΣΟ 25) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Μ και Ν των πλευρών ΑΒ και ΓΔ   αντίστοιχα. Ορίζουμε διανύσματα ΑΣ  2ΜΝ . Να δείξετε ότι:      α) 2ΜΝ  ΑΓ  ΒΔ β) ΒΝ  ΒΣ Γραμμικός Συνδυασμός Διανυσμάτων 26) 27) 28)        Έστω Ο, Α, Β, Γ, Δ σημεία τέτοια ώστε ΟΑ  α , ΟΒ  β , ΟΓ  α  2β και         ΟΔ  2α  β . Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΑΓ, ΒΔ ως γραμμι  κό συνδυασμό των α και β .    4  3 3  Να δείξετε ότι τα διανύσματα v  2α  β  γ και u  α  β  γ είναι 3 2 4 συγγραμμικά.    Δίνονται τα διανύσματα u , v , w και τα σημεία Ο, Α, Β, Γ τέτοια ώστε             ΟΑ  u  v  2w , ΟB  u  2v  w και ΟΓ  u  5v  2w Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 42 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 29) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ με διανύσματα θέσης ως προς σημείο αναφοράς          το Ο τα ΟΑ  α , ΟΒ  β , ΟΓ  3α  2β όπου α , β μη συγγραμμικά διανύσματα.    α) Να γράψετε τα διανύσματα ΑΒ , ΑΓ ως γραμμικό συνδυασμό των α και  β. β) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 30) Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και ένα εσωτερικό του σημείο Δ τέτοιο ώ  2 στε ΑΔ  ΔΒ . Αν τα διανύσματα θέσης των Α και Β είναι ΟΑ  α και 5      2    5α  2β ΟΒ  β να δείξετε ότι ΑΔ  β  α και ΟΔ  . 7 7  31) 32)      Σε ένα παραλληλόγραμμο ΟΑΒΓ είναι ΟΑ  α , ΟΓ  γ και ένα σημείο Δ βρίσκεται στην πλευρά ΑΒ έτσι ώστε ΔΒ  2ΑΔ . Να εκφράσετε τα διανύ       σματα ΓΒ , ΒΓ , ΑΔ , ΟΔ , ΑΓ ως γραμμικό συνδυασμό των α , γ .       Δίνεται ένα τραπέζιο ΟΑΒΓ με ΟΑ  α , ΟΓ  γ και ΓΒ  2ΟΑ . Αν Δ, Ε είναι μέσα των ΑΒ και ΓΒ αντίστοιχα, τότε:    α) Να γράψετε τα διανύσματα ΓΑ , ΑΒ , ΕΔ ως γραμμικό συνδυασμό των   α, γ   β) Να δείξετε ότι ΓΑ  2ΕΔ 33) Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ε, Ζ της ΑΓ ώστε     1 ΑΕ  ΖΓ  ΑΓ . Αν ΑΒ  α , ΒΓ  β τότε: 4     α) Να εκφράσετε τα ΔΕ και ΕΖ ως γραμμικό συνδυασμό των α , β β) Να αποδείξετε ότι το ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 43 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 34) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε, Ζ ώστε       3ΑΔ  ΑΒ , 2ΓΕ  ΒΓ και 5ΑΖ  3ΑΓ Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ δεν είναι συνευθειακά. 35) Στο διπλανό σχήμα τα σημεία Α και Β έχουν δια Α νύσματα θέσης ως προς Ο τα 6α και 6β αντίστοι  χα. Το Μ είναι μέσο του ΟΑ και ΑΔ  2ΔΒ . Αν Ε είΜ ναι το μέσο της ΟΔ:   α) Να εκφράσετε ως γραμμικό συνδυασμό των α α      Οβ και β τα διανύσματα ΑΒ , ΟΔ και ΜΕ . Δ Ε Β β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΜΑΔΕ είναι τραπέζιο.     36) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ  α και ΑΓ  β . Αν Δ, Ε, Ζ τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα    α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΕ , ΒΖ και ΓΔ ως γραμμικό συνδυασμό   των α και β    β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΑΕ , ΒΖ και ΓΔ σχηματίζουν τρίγωνο. 37) Δίνεται το τραπέζιο στο διπλανό σχήμα. Αν   ΓΔ  3ΑΒ , ΕΓ  3ΕΑ , ΑΒ  α και ΒΓ  β   α) Να εκφράσετε συναρτήσει των α και β τα δια    νύσματα ΑΓ , ΑΕ , ΒΕ και ΒΔ  Α α Β Ε Δ  β Γ β) Να δείξετε ότι τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά.       38) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ΑΔ  κΑΒ  λΑΓ και ΑΕ  λΑΒ  κΑΓ με κ, λ πραγ  ματικοί αριθμοί να δείξετε ότι ΔΕ / /ΒΓ . 44 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 39) Δίνονται τα σημεία Ο, Α, Β, Γ του επιπέδου για τα οποία ισχύει:     4κΟΑ   2  4κ  ΟΒ  3ΟΓ  ΟΒ Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού κ. 40) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σημείο Δ ώστε:    ΑΔ  κΑΒ  λΑΓ με κ  λ  1 Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Β, Γ είναι συνευθειακά. 41) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε τα σημεία Α, Β, Γ που     ικανοποιούν τη σχέση  λ 2  2λ  ΟΑ   λ 2  λ  2  ΟΒ   λ  2  ΟΓ  0 να είναι συνευθειακά. 42) Να βρεθεί η τιμή του x ώστε τα σημεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά όταν ισχύει η διανυσματική ισότητα     x2  3x  2  ΟΑ   x2  5x  3 ΟΒ   x2  13x  3 ΟΓ 43) Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ για τα οποία ισχύει          ΟΑ  3α  5β , ΟΒ  λα  β και ΟΓ  4α  κβ όπου Ο τυχαίο σημείο αναφοράς και κ, λ πραγματικοί αριθμοί με κ  λ  -3 Αν Α, Β, Γ είναι συνευθειακά σημεία να βρεθούν τα κ και λ. 44) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα σημεία Μ και Ν ώστε να είναι:     ΑΜ  κΑΔ και ΑΝ  λΑΒ με κ, λ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδέν. Αν είναι κ  λ  κλ να δείξετε ότι τα σημεία Μ, Ν, Γ είναι συνευθειακά. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 45 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 45)   Έστω ότι α  0 . Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ ισχύει:     λ 2  5λ+10  α  α  3α    46) Δίνονται τα μη συγγραμμικά ανά δύο διανύσματα α , β , γ για τα οποία ισχύουν:        α  β  / /2γ και  α  6γ  / /2β    Να δείξετε ότι α  β  6γ  47)     Δίνονται τα μη συγγραμμικά ανά δύο διανύσματα α , β , γ για τα οποία ισχύουν:       α  12γ / /3β και 6β  α / /4γ      Να δείξετε ότι α / / 2γ  β  48)       Δίνονται τα μη συγγραμμικά ανά δύο διανύσματα α , β , γ για τα οποία ισχύουν:       α / / β  2γ και β / / γ  2α        Να δείξετε ότι β  4α  2γ 49)    Δίνονται τα μη συγγραμμικά ανά δύο διανύσματα α , β , γ για τα οποία ισχύουν:       α / / β  γ και β / / γ  α       Να δείξετε ότι α  β  γ  0 46 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας   ο 1 Κεφάλαιο 50) 51)      3u  4v  α Αν ισχύει     να εκφράσετε τα διανύσματα u , v ως γραμμικό 4u  3v  β   συνδυασμό των α , β .      u  2v  α Αν ισχύει    να εκφράσετε τα διανύσματα u , v ως γραμμικό u  v  β   συνδυασμό των α , β . Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 47 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 48 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 1.4 Συντεταγμένες Διανύσματος Άξονας Άξονας λέγεται κάθε ευθεία x΄x πάνω στην οποία έχουμε επιλέξει δύο σημεία Ο και Α, έτσι   ώστε ΟΑ  i να έχει μέτρο 1 (μοναδιαίο διάνυ-  Ο i x΄ Α x Τετμημένη σημείου πάνω σε Άξονα σμα). Το Ο λέγεται αρχή του άξονα. Έστω Μ τυχαίο σημείο ενός άξονα x΄x. Επειδή   ΟM / / i αποδεικνύεται ότι υπάρχει ακριβώς   ένα x  ℝ ώστε ΟM  x  i και αντίστροφα σε  x΄ Ο i Α Μ x κάθε x  ℝ αντιστοιχεί μοναδικό σημείο Μ του άξονα x΄x. Τον αριθμό x τον ονομάζουμε τετμημένη του σημείου Μ Σύστημα Συντεταγμένων Σύστημα συντεταγμένων (ορθοκανονικό) ή καρτεσιανό επίπεδο, λέγεται ένα σύστημα από δύο κάθετους μεταξύ τους άξονες x΄x και y΄y με   κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα i , j . y  j  x΄ Ο i y’ x Συμβολίζεται με Οxy Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 49 Συντεταγμένες Διανύσματος Έστω Μ τυχαίο σημείο πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy. Ας είναι M1 η προβολή του Μ στον άξονα x΄x και Μ2 η προβολή του Μ στον άξονα y΄y. y M2 M(x,y)  j Ο i M1 x Ονομάζουμε:  Τετμημένη του Μ την τετμημένη x του Μ1, ως προς τον άξονα x΄x.  Τεταγμένη του Μ την τεταγμένη y του Μ2, ως προς τον άξονα y΄y Συντεταγμένες Σημείου Η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου Μ λέγονται συντεταγμένες του Μ Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγμένων. Αλλά και αντίστροφα, σε κάθε ζεύγος (x,y) πραγματικών αριθμών αντιστοιχεί μοναδικό σημείο Μ του επιπέδου που βρίσκεται με την παρακάτω διαδικασία: Πάνω στους άξονες x΄x και y΄y παίρνουμε τα σημεία Μ1 και Μ2 αντίστοιχα. Από το Μ1 φέρνουμε κάθετη στον x΄x και από το Μ2 κάθετη στον y΄y που τέμνονται στο Μ. Αυτό είναι το ζητούμενο σημείο. Αν x η τετμημένη και y η τεταγμένη του σημείου Μ συμβολίζουμε Μ(x,y) Συντεταγμένες Διανύσματος  Κάθε διάνυσμα α του καρτεσιανού επιπέδου Οxy γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των μοναδιαίων διανυ  σμάτων i , j . Δηλαδή, υπάρχουν μοναδικά x, y  ℝ ώστε:    α  xi y j Απόδειξη   Έστω OA  α και Α1, Α2 οι προβολές του Α στους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα. 50 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο    Έχουμε OA  OA1  OA 2 (1)  α Αν x, y οι συντεταγμένες του Α, τότε ισχύει     OA1  x  i και OA2  y  j A2  A  α j Ο i A1 Επομένως η (1) γράφεται       OA  x  i  y  j  α  x  i  y  j (2) Μοναδικότητα Θα δείξουμε ότι x, y είναι μοναδικοί.    Έστω ότι υπάρχουν x΄, y΄ ώστε α  x   i  y   j (3) με x   x Συντεταγμένες Διανύσματος Από τις σχέσεις (2) και (3) έχουμε       x  i  y  j  x   i  y   j   x  x    i   y   y   j  (4)  y y  i j x x    Δηλαδή i / / j που είναι άτοπο Άρα x   x και από (4) για x   x προκύπτει y   y Παρατηρήσεις  1. Οι αριθμοί x και y λέγονται συντεταγμένες του α   x  τετμημένη του α Συγκεκριμένα    y  τεταγμένη του α    2. Τα διανύσματα x  i και y  j λέγονται συνιστώσες του α κατά τη   διεύθυνση των i και j αντίστοιχα.  3. Για να δηλώσουμε ότι ένα διάνυσμα α έχει τετμημένη x και τε ταγμένη y, γράφουμε α   x,y  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 51 Συντεταγμένες Διανύσματος  4. Ένα διάνυσμα α   x,y  είναι το μηδενικό διάνυσμα αν και μόνο Συντεταγμένες Διανύσματος αν καθεμία από τις συντεταγμένες είναι μηδέν. x  0    Δηλαδή: α  0   και y  0    5. Δύο διανύσματα α   x1 ,y1  και β   x2 ,y 2  είναι ίσα αν και μό- νο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες. Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων  x1  x 2    Δηλαδή: α  β   και y  y  1 2   Αν α   x1 ,y1  και β   x 2 ,y 2  τότε έχουμε:   1. α  β   x1  x 2 ,y1  y 2   2. λα   λx1 ,λy1    3. λα  μβ   λx1  μx 2 ,λy1  μy 2  Απόδειξη       Είναι α   x1 ,y1   x1 i  y1 j και β   x 2 ,y 2   x2 i  y2 j Έχουμε         1. α  β  x1 i  y1 j  x2 i  y2 j   x1  x2  i   y1  y2  j        x1  x2 ,y1  y 2       2. λα  λ x1 i  y1 j  λx1 i  λy1 j   λx1 ,λy1      3. λα  μβ   λx1 ,λy1   μx2 ,μy2     λx1  μx 2 ,λy1  μy 2  52 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο Αν Α(xΑ,yΑ) και Β(xΒ,yΒ) τότε ισχύει: Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος x A  xB   xM  2  Μ(xΜ,yΜ) μέσο του ΑΒ   και  y y  yM  A B  2 Απόδειξη Είναι    OA   x A ,y A  , OB   xB ,yB  και OM   x,y  Όμως όπως είναι γνωστό    OA  OB 1 OM    xM ,yM    x A ,y A    xB ,yB    2 2   xM ,yM   y A(xA,yA) Μ(xΜ,yΜ) B(xB,yB) x Ο 1 x x y y  x A  xB ,y A  yB    xM ,yM    A B , A B  2  2  2 Άρα xM  x A  xB y y και yM  A B 2 2 Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα  Αν Α(xΑ,yΑ) και Β(xΒ,yΒ) τότε ισχύει ΑΒ   xB  x A ,yB  y A  Απόδειξη  Ας είναι ΑΒ   x,y    Είναι OA   x A ,y A  , OB   xB ,yB  Όμως    ΑΒ  OB  OA   x,y    xB ,yB    x A ,y A   y A(xA,yA) B(xB,yB) Ο x   x,y    xB  x A ,yB  y A  Άρα x  xB  x A και y  yB  y A  Οπότε ΑΒ   xB  x A ,yB  y A  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 53 Συντεταγμένες Διανύσματος Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα Συνοπτικά = =  ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ ΑΒ  ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ ΑΒ ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ Β ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ Β - ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ Α ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ Α Παρατηρήσεις  1. Αν το διάνυσμα α   x,y  είναι παράλληλο στον άξονα x΄x τότε y  0  2. Αν το διάνυσμα α   x,y  είναι παράλληλο στον άξονα y΄y τότε x  0   Αν α   x,y  τότε το μέτρο του είναι α  x 2 +y 2 Απόδειξη Έστω το σημείο Α με διανυσματική ακτίνα   OA  α οπότε οι συντεταγμένες του Α είναι (x,y) Av Α1, Α2 οι προβολές του Α στους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα τότε: y A2  A(x,y) α Ο Μέτρο Διανύσματος  OA1   x και  OA 2   y  α x A1 Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο ΟΑΑ1 προκύπτει: 2 2 2 2 2 2  OA    OA1    A1 A   α   OA1    OA2   2 2  2 2  α  x  y  α  x 2  y 2  α  x2  y2  Αν Α(xΑ,yΑ) και Β(xΒ,yΒ) τότε ισχύει ΑΒ   Είναι ΑΒ   xB  x A ,yB  y A   Άρα ΑΒ  Απόδειξη  xB  x A    yB  y A  2 54 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 2  xB  x A    y B  y A  2 2 ο 1 Κεφάλαιο Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Μέτρο Διανύσματος Παρατηρήσεις 1. Κάθε σημείο απέχει από τον άξονα x΄x απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή της τεταγμένης του. Δηλαδή d  Α,xx   y A 2. Κάθε σημείο απέχει από τον άξονα y΄y απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή της τετμημένης του. Δηλαδή d  Α,yy   x A   Αν α   x1 ,y1  και β   x2 ,y 2  τότε ισχύει:    α / / β  det α,β  0    όπου det α,β είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων α και β για την     οποία ισχύει:  x1 det α,β  x2    y1  det α ,β  x1 y 2  x 2 y1 y2   Παρατήρηση     α / / β  det α,β  0   Γωνία μη Μηδενικού Διανύσματος με το άξονα x΄x  Ας είναι α   x,y  ένα μη μηδενικό διάνυσμα   και Α σημείο τέτοιο ώστε OA  α Ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα  α με τον άξονα x΄x τη γωνία φ που διαγράφει ο x΄x αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα) μέχρι να συμπέσει με  το φορέα του OA . Ισχύει ότι 0  φ  2π  α y  α Ο φ A + x Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος  Ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος α   x,y  με x  0 τον αριθμό λ y , x0 x και συμβολίζεται με λ ή με λ α Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 55 Συντεταγμένες Διανύσματος   Αν α , β διανύσματα με συντελεστές διεύθυνσης λ α , λ β ισχύει ότι:   α / / β  λ α  λ β Απόδειξη   Ας είναι α   x1 ,y1  και β   x2 ,y 2  Τότε λ α  y1 y και λβ  2 x1 x2    x Οπότε α / / β  det α,β  0  1 x2 Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος    x1 y 2  x 2 y1  y1 0 y2 y 2 y1   λ α  λ β x 2 x1 Παρατηρήσεις 1. Ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύ σματος α   x,y  δεν ορίζεται αν x  0 δηλαδή δεν ορίζεται αν το διάνυσμα είναι παράλληλο στον άξονα y΄y (ή κάθετο στον x΄x) 2. συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσμα τος α   x,y  είναι ίσος με το 0 αν το διάνυσμα είναι παράλληλο στον άξονα x΄x.  Δηλαδή α / /xx  λ α  0 Β Ο yA=yB Α xA=xB Α Β Ο  3. Ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσματος α   x,y  είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας φ που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x΄x. Δηλαδή λ α  εφφ 56 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συντεταγμένες Σημείου και Διανύσματος Παράδειγμα 1 Δίνεται το σημείο Α  λ 2  5λ  6,λ 2  λ  6  με λ  ℝ Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε α) Το Α να είναι σημείο του x΄x β) To A να είναι σημείο μόνο του y΄y γ) To A να μην ανήκει σε κανένα άξονα δ) Το Α να βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο Λύση α) Το Α είναι σημείο του x΄x αν και μόνο αν Ας είναι Α(α,β) λ 2  λ  6  0   λ  3  λ  2   0   Α ανήκει στον x΄x  β  0  λ  3 ή λ  2  Α ανήκει στον y΄y  α  0  Α ανήκει μόνο στον x΄x β) Το Α είναι σημείο μόνο του y΄y αν και μόνο αν  β  0 και α  0  Α ανήκει μόνο στον y΄y λ 2  5λ  6  0   λ  3  λ  2   0   α  0 και β  0 λ 3 ή λ 2  Α ανήκει στο 1ο τεταρτημόριο  α  0 και β  0 γ) Το Α δεν ανήκει σε κανένα άξονα αν και μόνο αν  λ 2  5λ  6  0   λ  3  λ  2   0   2  λ  λ  6  0   λ  3  λ  2   0  λ  3 και λ  2   λ  3 και λ  2  Α ανήκει στο 2ο τεταρτημόριο  α  0 και β  0  Α ανήκει στο 3ο τεταρτημόριο  α  0 και β  0  Α ανήκει στο 4ο τεταρτημόριο  α  0 και β  0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 57 Συντεταγμένες Διανύσματος Τελικά λοιπόν πρέπει λ  ℝ  2,2,3 δ) Το Α βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο αν και μόνο αν λ2  λ  6  0 λ λ2  λ  6  -2 + λ 2  5λ  6  0 και  3 - + λ2  λ  6 2 +  3 - + Άρα λ   ,2    3,   Άρα λ   , 2    3,   -2  λ 2 3 Τελικά λοιπόν λ   , 2    3,   Παράδειγμα 2 Να βρεθεί η θέση στο καρτεσιανό επίπεδο των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει: α) x  2 β) y  3 γ) x  1 δ) y  2 ε) y  1 και 1  x  2 Λύση α) Τα σημεία Μ(x,y) που έχουν τετμημένη 2 ανήκουν στη διπλανή κατακόρυφη ευθεία. Ο β) Αρχικά έχουμε y  3  y  3 ή y  3 -3 58 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 2 ο 1 Κεφάλαιο Τα σημεία Μ(x,y) που έχουν τεταγμένη 3 ή -3 ανήκουν στις οριζόντιες ευθείες 3 Ο ε1, ε2 του διπλανού σχήματος. γ) Αρχικά έχουμε x  1  1  x  1 Τα σημεία Μ(x,y) για τα οποία είναι 1  x  1 ανήκουν στο χωρίο που βρίσκεται με των κατακόρυφων ευθειών ε1, -1 Ο ε2 (με τα σημεία των ευθειών) όπως φαίνεται στο διπλανό 1 σχήμα. δ) Αρχικά έχουμε y  2  2  y  2 Τα σημεία Μ(x,y) για τα οποία είναι 2  y  2 ανήκουν 2 στο χωρίο που βρίσκεται με των οριζόντιων ευθειών ε1, ε2 Ο -2 (χωρίς τα σημεία των ευθειών) όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. ε) Τα σημεία Μ(x,y) που έχουν τεταγμένη 1 και τετμημένη x με 1  x  2 ανήκουν στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ του διπλανού σχήματος χωρίς το άκρο Β. Α Β -1 Ο 2 Παράδειγμα 3 Να βρεθούν οι συντεταγμένες των παρακάτω διανυσμάτων:         α) α  3i  4j β) β  3j  2i γ) γ  2012i      δ) δ  2 3i  900j  3 2i  60j     Λύση    α) α  3i  4j   3,4       β) β  3j  2i  2i  3j   2,3     Αν α  xi  yj  τότε α   x,y  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 59 Συντεταγμένες Διανύσματος     γ) γ  2012i  2012i  0j   2012,0           δ) δ  2 3i  900j  3 2i  60j  6i  1800j  6i  180j    1980j   0,1980      Παράδειγμα 4 Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε τα διανύσματα   α   2λ 2  λ  3,λ 2  1  και β   λ 2  2λ  1, λ  1  να είναι ίσα. Λύση Διαδοχικά έχουμε   α  β   2λ 2  λ  3,λ 2  1    λ 2  2λ  1,λ  1   2λ  λ  3  λ  2λ  1  2   λ  1  λ  1 2 2 2λ 2  λ  3  λ 2  2λ  1  0  2   λ  1  λ  1  0 Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι  ίσες. Δηλαδή αν α   x1 ,y1   και β   x 2 ,y2  τότε:  x1  x 2   λ 2  3λ  2  0 1  α  β   και  2 y  y  1 2 2  λ  λ  2  0 λ  1  λ  1 Λύνοντας την (1) έχουμε  ενώ λύνοντας την (2) έχουμε  λ  2 λ  2   Η ζητούμενη τιμή του λ είναι η κοινή λύση των εξισώσεων (1) και (2) δηλαδή λ 2. Παράδειγμα 5  Έστω το διάνυσμα α   2λ 2  λ  3,2λ 2  7λ  6  με λ  ℝ Να βρείτε την τιμή του λ ώστε      α) α  0 β) α  0 και α / /xx Λύση   2 α) Είναι α  0  2λ  λ  3  0 (1) και 2λ 2  7λ  6  0 (2) 1 1  5  Για την (1) έχουμε Δ  25 άρα λ1,2   3 4   2 60 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας  Ας είναι α   x,y     α  0  x  0 και y  0    α0x0 ήy0   α / /xx  y  0   α / /yy  x  0 ο 1 Κεφάλαιο  2 7  1   3 4   2 3 Άρα λ   2   2 2 β) Είναι α  0  2λ  λ  3  0 ή 2λ  7λ  6  0  και α / /xx  2λ 2  λ  3  0 Για την (2) έχουμε Δ  1 άρα λ1,2  Έτσι λοιπόν πρέπει 2λ 2  7λ  6  0  λ  2 ή λ   και 2λ 2  λ  3  0  λ  3 και λ   3 2 3 2 Άρα είναι λ  2 Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Παράδειγμα 6    Δίνονται τα διανύσματα α   3, 1  , β   2,1  και γ   12, 5  . Να γρά   ψετε το διάνυσμα γ ως γραμμικό συνδυασμό των α, β . Λύση    Αρκεί να βρούμε λ, μ  ℝ τέτοια ώστε γ  λα  μβ Έτσι λοιπόν έχουμε:    γ  λα  μβ  12, 5   λ  3, 1   μ  2,1    12, 5    3λ,  λ    2μ,μ    12, 5    3λ  2μ,  λ  μ    3λ  2μ  12 3λ  2μ  12 1        λ  μ  5  3λ  3μ  15  2μ  3μ  12  15  μ  3   Α) Αν α   x1 ,y1  και β   x 2 ,y2  και λ, μ ℝ τότε:    α  β   x1  x2 ,y1  y 2    λα   λx1 ,λy1     λα  μβ   λx1  μx2 ,λy1  μy 2  Β) Για να γράψουμε ένα διάνυσμα  u ως γραμμικός συνδυασμό των   α και β αρκεί να βρούμε κ, λ    έτσι ώστε u  κα  λβ (1). Έτσι λοιπόν, θεωρούμε τη σχέση (1) και από την ισότητα των διανυσμάτων βρίσκουμε τα κ, λ. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 61 Συντεταγμένες Διανύσματος Για μ  3 η 1   3λ  2  3   12   3λ  6  12  3λ  6  λ  2 Παράδειγμα 7 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,2), Β(-3,-4), Γ(4,-2) Να βρείτε:  α) Τις συντεταγμένες της διαμέσου ΑΜ   β) Τις συντεταγμένες του Ρ αν ΑΡ  ΒΓ γ) Τις συντεταγμένες του κέντρου Κ του παραλληλογράμμου ΑΡΓΒ Λύση α) Αφού Μ μέσο του ΒΓ είναι x x  1 x  Β Γ   M 1  2   xM  2 άρα M , 3    2   y M  yΒ  y Γ  yM  3  2 Ρ Α Γ Β  1   1  Οπότε ΑΜ   xM  x A ,yM  y A     1, 3  2     , 5  2   2  β) Ας είναι Ρ(xP,yP)   ΑΡ  ΒΓ   xΡ  x A ,yΡ  y A    xΓ  xΒ ,yΓ  yΒ   x  1  7 x Ρ  8   xΡ  1,yΡ  2    7,2    Ρ  άρα Ρ(8,4)  yΡ  2  2  yΡ  4 γ) Το παραλληλόγραμμο ΑΡΓΒ έχει διαγώνιο την ΑΓ 62 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο Άρα το κέντρο του Κ είναι το μέσο της ΑΓ  x x y y  5  Δηλαδή Κ  A Γ , A Γ  ή Κ  ,0  2 2 2    Παράδειγμα 8 Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1,2), Β(-3,4) και Γ(2,-5). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Δ β) Να δείξετε ότι οι διαγώνιές του διχοτομούνται Λύση α) Αφού ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο έχουμε ότι   ΑB  ΔΓ   4,2    2  x Δ , 5  y Δ   2  x Δ  4 x Δ  6   άρα Δ(6,-7) 5  y Δ  2 y Δ  7 Β Α Γ Δ β) Για να δείξουμε ότι οι διαγώνιες του παραλληλογράμμου διχοτομούνται αρκεί να δείξουμε ότι έχουν κοινό μέσο. Το μέσο της ΒΔ έχει συντεταγμένες  xΒ  x Δ yΒ  y Δ   3 3  ,   ή  ,  2  2 2  2 Το μέσο της ΑΓ έχει συντεταγμένες  x Α  xΓ y Α  yΓ   3 3  ,   ή  ,  2  2 2  2 Άρα πράγματι η ΒΔ και η ΑΓ έχουν κοινό μέσο οπότε και διχοτομούνται. Παράδειγμα 9 Σε ένα σύστημα συντεταγμένων οι τετμημένες δύο σημείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης x 2   λ 2  5λ  14  x  7  0 (1) ενώ οι τεταγμένες είναι ρίζες της εξίσωσης y 2   λ 2  3λ  2  yΣίσκας  5  0Χρήστος (2). - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 63 Να βρεθούν οι τιμές του λ  ℝ ώστε το μέσο του τμήματος ΑΒ να έχει συντεταγμένες (4,6) Συντεταγμένες Διανύσματος Λύση Αφού xA, xB είναι ρίζες της εξίσωσης (1) από τους τύπους του Vieta προκύπτει ότι: x Α  xΒ     λ 2  5λ  14  1  x Α  x Β  λ 2  5λ  14 (3) Αφού yA, yB είναι ρίζες της εξίσωσης (2) από τους τύπου του Vieta προκύπτει ότι: y Α  yΒ     λ2  3λ  2  1  y Α  yΒ  λ 2  3λ  2 (4)  λ 2  5λ  14 λ 2  3λ  2  x x y y  Αλλά Μ μέσο του ΑΒ οπότε M  A B , A B  ή M ,  2  2 2  2   Όμως Μ(4,6) άρα είναι  λ2  5λ  14 4  2  λ  5λ  14  8  λ2  5λ  6  0 2    και  και  και    2  2  2  λ  3λ  2  12  λ  3λ  10  0  λ  3λ  2  6  2  λ  3 λ  2   0 λ  3 ή λ  2    και  και  λ 2  λ  5 λ  2  0 λ  5 ή λ  2     Τελικά λοιπόν λ  2 Παράλληλα Διανύσματα – Συνευθειακά Σημεία Παράδειγμα 10    Δίνονται τα διανύσματα α   2x  y,x  1  , β   3x  2y,y  2  , v   2,12   Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 64 Σίσκας και u   3, 12  με x, y  ℝ    Να βρεθούν οι τιμές των x, y  ℝ ώστε τα διανύσματα γ  α  β και      δ  α  β να είναι παράλληλα αντίστοιχα προς τα διανύσματα v και u . ο 1 Κεφάλαιο Λύση   Αρχικά βρίσκουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων γ και δ    γ  α  β   2x  y,x  1   3x  2y,y  2    5x  3y,x  y  1    δ  α  β   2x  y,x  1   3x  2y,y  2    x  y,x  y  3 Αν δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά τότε η ορίζουσα αυτών είναι ίση με το μηδέν. Η παραπάνω συνθήκη     5x  3y x  y  1 Έχουμε γ / / v  det γ,v  0  0 2 12   Έτσι λοιπόν στις ασκήσεις για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι συγ-  60x  36y  2  x  y  1   0  γραμμικά αρκεί να δείξουμε ότι η ορίζουσά  60x  36y  2x  2y  2  0  τους είναι ίση με το μη-  58x  38y  2  0  29x  19y  1  0 (1)     x  y x  y  3 Ακόμη δ / / v  det δ,v  0  0 3 12   είναι ικανή και αναγκαία. δέν. Και, αντιστρόφως αν γνωρίζουμε ότι δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά τότε η ορίζουσά της είναι ίση με μηδέν.  12x  12y  3x  3y  9  0  9x  9y  9  0  x  y  1  0 (2) Έχουμε λοιπόν το σύστημα 29x  19y  1  0 29x  19y  1  0     29  29x  29y  29  0  -  x  y  1  0 10y  30  0  10y  30  y  3 Για y  3 η (2)  x  3  1  0  x  2  0  x  2 Παράδειγμα 11 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 65 Συντεταγμένες Διανύσματος   Δίνονται τα διανύσματα v   3κ  1,2κ 2  4  και u   1,κ  2  με κ  ℝ   Να βρεθεί η τιμή του κ  ℝ ώστε τα διανύσματα v και u να είναι ομόρροπα. Λύση     Αφού v  u  v / /u οπότε   3κ  1 2κ2  4 det v,u  0  0 3 κ 2     3κ  1κ  2   3  2κ2  4   0  3κ 2  6κ  κ  2  2κ2  4  0   κ2  5κ  6  0   κ  6 κ  1  0  κ  6 ή κ  1    Για κ  6 είναι v   19,76  και u  1, 4    Δηλαδή v   19,76   19 1, 4   19u   Άρα v  u οπότε η τιμή κ=6 απορρίπτεται    Για κ  1 είναι v   2,6  και u  1,3     Δηλαδή v   2,6   2 1,3  2u άρα v  u Τελικά λοιπόν κ  1 Παράδειγμα 12 Δίνονται τα διανύσματα    ΟΑ   x  1,x  , ΟB   2x  1,x  1  και ΟΓ   1,3  Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. Λύση 66 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο   Αρκεί να δείξουμε ότι τα σημεία Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά δηλαδή AB / / AΓ    Έχουμε AB  ΟΒ  ΟΑ   2x  1,x  1   x  1,x    x  2, 1    και AΓ  ΟΓ  ΟΑ   1,3    x  1,x    1  x  1,3  x    2  x,3  x    x 2 1 Οπότε det ΑΒ,ΑΓ    x  2  3  x    2  x   2  x 3  x    3x  x2  6  2x  2  x  x 2  4x  8     Δ  16  32  16 άρα x 2  4x  8  0  det ΑΒ,ΑΓ  0 οπότε AB / / AΓ   Μέτρο Διανύσματος Παράδειγμα 13    Δίνεται το διάνυσμα α  3i  4j  α) Να βρείτε το α   β) Να βρείτε διάνυσμα β αντίρροπο του α και με διπλάσιο μέτρο Λύση   2 α) Είναι α   3, 4  άρα α  32   4   9  16  25  5     β) Είναι β  α άρα β  λ  α με λ  0  Οπότε β  λ  3,4    3λ,4λ    Αλλά β  2 α  9λ 2  16λ2  10  λ 0  5 λ  10  5λ  10  λ  2   Άρα β  -2  α  2  3, 4    6,8  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 67 Συντεταγμένες Διανύσματος Παράδειγμα 14 Να βρεθεί σημείο Κ που να ισαπέχει από τα σημεία Α(2,2), Β(0,4) και να ισαπέχει επίσης από τα σημεία Γ(1,-4), Δ(-2,3). Λύση     Ας είναι Κ(x,y) με ΚΑ   ΚΒ   ΚΑ  ΚΒ και ΚΓ   ΚΔ   ΚΓ  ΚΔ   Όμως ΚΑ   2  x,2  y  άρα ΚΑ  2  x   2  y  2 2   2 ΚΒ   x,4  y  άρα ΚΒ  x 2   4  y  Δ   ΚΓ   1  x, 4  y  άρα ΚΓ  1  x    4  y    ΚΔ   2  x,3  y  άρα ΚΔ   2  x    3  y    Οπότε ΚΑ  ΚΒ  2 Α Β 2 Κ 2 2 Γ  2  x    2  y   x2   4  y   2 2 2  4  4x  x 2  4  4y  y2  x 2  16  8y  y 2   4y  4x  8  y  x  2 (1)   Ακόμη ΚΓ  ΚΔ  1  x    4  y    2  x    3  y   2 2 2 2  1  2x  x 2   4  y   2  x   9  6y  y 2  2 2  1  2x  x 2  16  8y  y2  4  4x  x2  9  6y  y 2  3 2  14y  6x  4  y  x  (2) 7 7 68 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο  2 3 2 (1)  x  2  x   7x  14  3x  2  4x  16  x  4 7 7 Έτσι λοιπόν (2)  y   12 2   y  2 7 7 Άρα Κ(-4,-2) Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος Παράδειγμα 15 Δίνονται τα σημεία Α(2,3), Β(6,7), Γ(3,0), Δ(0, 3 )   α) Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης των ΑΒ και ΓΔ  β) Να βρείτε τη γωνία φ που σχηματίζει το ΑΒ με τον x΄x   γ) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους τα ΑΒ και ΓΔ Λύση   4 3      α) Είναι AΒ   4,4  άρα λ AΒ  1 και ΓΔ  3, 3 άρα λΓΔ 4 3    1  εφφ  1 άρα φ  β) Έχουμε λ AΒ  π 4 Β Α    γ) Έχουμε λΓΔ 3 3 5π  εφω   άρα φ  3 3 6 Δ Γ     5π π 7π Έτσι λοιπόν  AΒ,ΓΔ   φ  ω    6 4 12   Αν έχουμε θεωρητική άσκηση που δεν παρουσιάζονται συντεταγμένες μπορούμε μόνοι μας να βάλουμε συντεταγμένες. Συνήθως τοποθετούμε το σχήμα μας έτσι ώστε μια κορυφή (ή άλλο χαρακτηριστικό του σημείο) να βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και μια πλευρά του (ή άλλη χαρακτηριστική ευθεία του σχήματος) να βρίσκεται σε έναν άξονα. Με αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνουμε να έχουμε λιγότερους αγνώστους άρα ευκολότερες πράξεις. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 69 Συντεταγμένες Διανύσματος Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Να δείξετε ότι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό αυτής. Λύση Ας είναι το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ΒΓ   ΒΓ Αρκεί να δείξουμε ότι ΑΔ  2 Παράδειγμα 16 Χωρίς περιορισμό της γενικότητας θεωρούμε Α(0,0) Β Δ Α Γ Τότε είναι Γ(0,γ) και Β(β,0) x x y y  β γ Επίσης Δ μέσο ΒΓ άρα Δ  B Γ , B Γ  ή Δ  ,  2  2 2  2 2 2 2 2   β γ   β 2  γ2 β γ β 2  γ2 β  γ Άρα ΑΔ   ,  οπότε ΑΔ           (1) 4 4 4 2 2 2 2 2   2 καθώς και ΒΓ   β,  γ  οπότε ΒΓ  β2   γ   β2  γ2 (2)   ΒΓ Από τις σχέσεις (1) και (2) εύκολα προκύπτει ότι ΑΔ  2 Παράδειγμα 17 Δίνεται κύκλος (O,R) και 2 χορδές του ΑΒ, ΓΔ κάθετες στο Σ. Να δείξετε ότι:      α) 2ΟΣ  ΟΑ  ΟΒ  ΟΓ  ΟΔ β) Αν Κ, Λ μέσα των ΑΔ, ΒΓ αντίστοιχα τότε το ΟΚΣΛ είναι παραλληλόγραμμο. Λύση α) Ας είναι Σ(0,0), Α(α,0), Β(β,0), Γ(0,γ), Δ(0,δ)  α β γ  δ  Το κέντρο του κύκλου έχει συντεταγμένες Ο  ,  2   2 70 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο      Έτσι λοιπόν έχουμε 2ΟΣ  ΟΑ  ΟΒ  ΟΓ  ΟΔ  α β γδ   α β γδ   α β γδ    2  , , ,   α    β   2 2   2 2   2 2   γ  δ   α β γδ  α β   ,γ  ,δ    2 2   2 2    2α  α  β γ  δ   2β  α  β γ  δ    α  β,  γ  δ    , ,   2 2   2 2    α  β 2γ  γ  δ   α  β 2δ  γ  δ    , ,   2 2 2 2      α β γ  δ   β α γ  δ    α  β,  γ  δ    , ,   2   2 2   2  α  β γ  δ   α  β δ  γ   , ,   2   2 2   2  α  β β  α α  β α  β γ  δ γ  δ γ  δ δ  γ    α  β,  γ  δ       ,     2 2 2 2 2 2 2   2  2α  2β 2γ  2δ    α  β,  γ  δ    ,  2 2     α  β,  γ  δ    α  β, γ  δ  που ισχύει α δ β γ β) Κ μέσο ΑΔ άρα Κ  ,  και Λ μέσο ΒΓ άρα Λ  ,   2 2 2 2 Γ Α Ε Ο Σ Ζ Λ Β Κ Δ Έτσι λοιπόν έχουμε   β γ   α α β δ γ  δ   β γ   β γ   ΛΣ  ΟΚ  2  0  ,0      ,      ,     ,  2 2  2 2 2 2   2 2  2 2  που ισχύει Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 71 Συντεταγμένες Διανύσματος ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Συντεταγμένες Σημείου – Συντεταγμένες Διανύσματος 1) Δίνεται το σημείο Α  λ 2  4λ  3,λ 2  λ  6  με λ  ℝ Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε: α) Το σημείο Α να ανήκει στον άξονα x΄x β) Το σημείο Α να ανήκει μόνο στον άξονα y΄y γ) Το σημείο Α να μην ανήκει σε κανένα άξονα δ) Το σημείο Α να είναι η αρχή των αξόνων 2) Δίνεται το σημείο Α  λ  2,λ  1 με λ  ℝ Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε α) Το σημείο Α να βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο β) Το σημείο Α να βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο γ) Το σημείο Α να βρίσκεται στο 3ο τεταρτημόριο δ) Το σημείο Α να βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο 3) Δίνονται τα σημεία M(x,y). Να βρεθεί η θέση των σημείων Μ στο καρτεσιανό επίπεδο για το οποία ισχύει ότι: α) x  3 β) y  4 72 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας γ) x  3 ο 1 Κεφάλαιο ε) x  1 και y  1 δ) y  2 4) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των παρακάτω διανυσμάτων         α) α  7i  6j β) β  5j  4i γ) γ  3i        δ) δ  4j ε) u  5 i  4j  9 3i  2j  5) στ) y  4 και x  1    Να βρείτε τα κ, λ  ℝ ώστε τα σημεία Α  κ  1,2  , Β  λ  2,λ  να είναι συμμετρικά ως προς α) Την αρχή των αξόνων β) Τον άξονα x΄x γ) Την διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων 6) Δίνονται τα διανύσματα   λ  α 2 , 3  ,  λ 1   2  β   , λ2  4λ  1  3  με λ  ℝ  1,1   Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε τα διανύσματα α , β να είναι ίσα. 7)   Δίνονται τα διανύσματα α  κ  1,λ  2  και β   λ,2κ  1 . Να βρείτε τα κ, λ ώστε:  α) Το α να είναι το μηδενικό διάνυσμα   β) Τα α , β να είναι ίσα   γ) Τα α , β να είναι αντίθετα 8)  Δίνεται το διάνυσμα u   2κ  3λ,κ  λ  1  με κ, λ  ℝ  Να βρείτε τα κ, λ  ℝ ώστε το u να είναι το μηδενικό διάνυσμα. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 73 Συντεταγμένες Διανύσματος 9) Δίνονται τα διανύσματα   α   4λ2  λ  2,5λ2  λ  1 και β   λ 2  λ  1,3λ2  2λ  2  με λ  ℝ   Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ ώστε τα α , β να είναι αντίθετα 10)   Δίνονται τα διανύσματα α  κ2  4μ  1,2ρ  3 και β  μ 2  2κ  4,ρ  με   κ, μ, ρ ℝ. Να βρείτε τους κ, μ, ρ ώστε να είναι α  β . 11)  Δίνεται το διάνυσμα α   λ2  5λ  6,λ2  9  με λ  ℝ. Να βρείτε τις τιμές του λ  ℝ ώστε      α) α  0 β) α / /x x και α  0 12)    γ) α / /yy και α  0 Δίνεται το σημείο Α(2,3) Να βρείτε:  α) Τις συντεταγμένες του διανύσματος AB όταν Β(3,2)  β) Τις συντεταγμένες του Γ όταν AΓ   2,4    γ) Τις συντεταγμένες του Δ όταν 2AΔ  3ΔΕ και Ε(5,4) 13) Δίνονται τα σημεία Α(x,4), B(5,y) και Μ(2,3) με x, y ℝ. Nα βρείτε τις τιμές των x, y ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ. 14) Δίνονται τα σημεία Α(-2,-1) , Β(4,0) και Γ(6,1) α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου του Α ως προς το Β 74 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου του Γ ως προς το μέσο του ΑΒ 15) Δίνεται το σημείο Α(-2,3) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β όταν τα Α, Β είναι συμμετρικά ως προς το Κ(0,1) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Β όταν τα Α, Β είναι αντιδιαμετρικά σημεία κύκλου με κέντρο το Κ(-1,0). 16) Δίνονται τα σημεία Α(-3,-4), Β(2,3), Γ(4,5), Δ(-1,-2) α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ 17) Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(-3,5), Β(1,7) και Μ(1,1) κέντρο του παραλληλογράμμου. Να βρείτε τις συντεταγμένες των άλλων κορυφών του. Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων 18)    Δίνονται τα διανύσματα α   2,3 , β   5, 2  και γ   3, 4  Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων        α) u  3α  β β) v  α  2β  3γ 19)   Δίνονται τα διανύσματα α   2,4  και β   3,2  . Να βρεθεί διάνυσμα  u   x,y  ώστε να είναι Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 75 Συντεταγμένες Διανύσματος    α) u  α  β   γ) u  κα , κ ℝ 20) 21) 22)    β) u  α  β    δ) u  κα  λβ , κ, λ  ℝ    Δίνονται τα διανύσματα α   2,3 , β   1,7  και u  10, 13  . Να γρά   ψετε το u ως γραμμικό συνδυασμό των α, β .    Δίνονται τα διανύσματα α  1,2  , β   2, 1 και u   3,4  . Να γράψετε    το u ως γραμμικό συνδυασμό των α, β . Δίνονται τα σημεία Α(5,7), Β(-2,4) και Γ(3,-5) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων       α) ΑΒ , ΒΓ , ΑΓ β) u  2ΑΒ  3BΓ 23) Δίνονται τα σημεία Α  6,4x  , B  y2  5y,2x 2  x  2  και   Γ  y  8,x 2  3x  1 με x, y ℝ. Να βρείτε τους x, y ώστε ΑΒ  ΑΓ . 24) Α) Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(-2,-3), Β(4,1), Γ(2,2) και Δ(-1,0).    Να εκφραστεί το ΑΓ ως γραμμικός συνδυασμός των ΑΒ , ΑΔ  1    Β) Αν είναι ΒΑ  ΑΓ και ΔΚ  2ΚΑ 2  α) Να εκφραστεί εφόσον είναι δυνατόν το ΑΔ ως γραμμικός συνδυα  σμός των ΑΒ , ΓΔ .    β) Να εκφραστεί το ΚΔ ως γραμμικός συνδυασμός των ΑΒ , ΓΔ . 76 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 25) Δίνονται τα σημεία Α(3,0), Β(-6,0), Γ(-8,0). Αν Μ, Ν τα μέσα των ΑΒ, ΒΓ αντίστοιχα και Κ, Λ τα μέσα των ΑΓ και ΜΝ αντίστοιχα να βρείτε: α) Τις συντεταγμένες των σημείων Μ και Ν β) Τις συντεταγμένες των σημείων Κ και Λ     γ) Τις συντεταγμένες του σημείου Ρ για το οποίο ισχύει ΡΑ  ΡΒ  ΡΓ  0 26) Δίνονται τα σημεία Κ(4,0), Λ(6,2) και Μ(3,5) τα οποία είναι μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ αντίστοιχα ενός τριγώνου ΑΒΓ. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου. 27)    α  2β  1, 8    Δίνονται τα διανύσματα α, β για τα οποία ισχύει ότι    3α  β   3,9    Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων α, β 28) Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης x 2   λ 2  3λ  2  x  199  0 με λ  ℝ Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ να έχει τετμημένη ίση με 3 29) Έστω ότι οι συντεταγμένες ενός σημείου Α είναι ρίζες της εξίσωσης x 2   λ 2  3λ  2  x  λ  2  0 και οι συντεταγμένες ενός σημείου Β είναι ρίζες της x 2   λ  2  x  3  2λ  0 με λ  ℝ  1 . Αν για το σημείο   Μ(xM,yM) ισχύει ΑΜ  λΜΒ και xM  yM  5 να βρείτε το λ. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 77 Συντεταγμένες Διανύσματος Παράλληλα Διανύσματα – Συνευθειακά Σημεία 30) 31) 32)   Δίνονται τα διανύσματα α   x2  y 2 , 3  και β   2y  3,1  . Να βρεθούν   οι x, y ℝ ώστε α//β   Δίνονται τα διανύσματα α   x  y,y2  y  x  1 και β   2,x  y  . Να   βρεθούν οι x, y ℝ ώστε α//β Δίνονται τα σημεία Α 1  2λ,5λ  4  και Β  λ 2  2λ,λ 2  2  με λ  ℝ. Να  βρεθούν οι τιμές του λ ώστε το διάνυσμα ΑΒ να είναι: α) Παράλληλο στον y΄y 33) β) Παράλληλο στον x΄x Δίνονται τα σημεία Α  λ 2  λ  2,λ 2  λ  1  και Β  λ 2  2λ,λ 2  1  με λ  ℝ.  Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε το διάνυσμα ΑΒ να είναι παράλληλο στο  διάνυσμα u   λ  5,λ  4  . 34) Να βρείτε τα α, β ℝ ώστε        α  3  i  βj / /yy και  α  1  i  2βj / / i  j       35) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(-6,1), Β(-2,3) και Γ(-10,-1) είναι συνευθειακά. 78 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 36) Να βρείτε τις τιμές του μ  ℝ ώστε τα σημεία Α(1,0), Β  μ 2 ,3  και Γ  5μ,9  να είναι συνευθειακά. 37) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(1,-1), Β(2,1) και Γ(-1,5) είναι κορυφές τριγώνου. 38) Να βρείτε τις τιμές του λ  ℝ ώστε τα σημεία Α(-3,1), Β(μ,3) και Γ  5,1  μ  να είναι κορυφές τριγώνου. 39)    Δίνονται τα διανύσματα α   1,2  , β   2,5  και γ   0, 1  .   α) Να δείξετε ότι τα διανύσματα α, β δεν είναι παράλληλα   β) Να αναλύσετε το διάνυσμα γ σε δύο συνιστώσες παράλληλες στα α  και β 40)   Δίνονται τα διανύσματα α   x,1  και β   9,x  με x  ℝ. Να βρείτε τις   τιμές του x ώστε τα α, β να είναι αντίρροπα. Μέτρο Διανύσματος 41)    Δίνονται τα διανύσματα α   2,5  , β   3,4  και γ   1,2  .        α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των u  2α  3β και v  α  2β  γ      β) Να βρείτε τα μέτρα των α, β, γ, u, v Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 79 Συντεταγμένες Διανύσματος 42)    Δίνονται τα διανύσματα α   2,3  , β   1,1  και γ   2,3  .          Να υπολογίσετε τα α) α  β  γ β) α  β  β  γ  α  γ 43) 44) 45) 46)   Αν α   λ,λ  1  με λ  ℝ. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε 3α  15  Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος α για τα οποία ισχύει ότι   α  α  4,8          Αν u  1,2  , v   1,0  και α  u  α  v να βρείτε το α Δίνονται οι κορυφές Α(2,9), Β(3,4), Γ(5,7) του τριγώνου ΑΒΓ και το διάνυ σμα x  κ  2,λ  5  με κ, λ  ℝ.    α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΒ , ΒΓ , ΑΓ . β) Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών κ, λ για τις οποίες ισχύει    x  BΓ  2ΑΒ  γ) Να υπολογίσετε το x . δ) Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ. ε) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Γ. 47)         Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ  3i  4j και ΑΓ  12i  5j όπου i, j γνωστά μοναδιαία διανύσματα, κάθετα μεταξύ τους.    α) Να εκφραστεί το ΒΓ ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων i, j και να υπολογιστούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. 80 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο  β) Να εκφραστεί η διάμεσος ΑΜ ως γραμμικός συνδυασμός των διανυ  σμάτων i, j και να υπολογίσετε το μήκος της. 48) 49)   Να βρείτε διάνυσμα β αντίρροπο του διανύσματος α   6,8  με μέτρο  τριπλάσιο από το α    Δίνεται το διάνυσμα v  i  2j . Να βρείτε διάνυσμα που να έχει μέτρο   διπλάσιο του v και να είναι ομόρροπο του v . 50) Να βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα το οποίο είναι ομόρροπο με το διάνυ   σμα α  2i  j 51) Δίνονται τα σημεία Α(-2,1), Β(-5,2). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x΄x ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ορθογώνιο στο Γ. 52) Δίνονται τα σημεία Α(-2,-5) και Β(3,-4). Να βρείτε σημείο Γ του άξονα x΄x ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά ΑΒ. Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος 53)  Δίνονται τα διανύσματα α   δ  1,  3      2,  2  , β   0, 1  , γ   2,0  και α) Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης καθενός από τα διανύσματα     α, β, γ, δ αν ορίζονται. β) Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζει καθένα από τα διανύσματα     α, β, γ, δ με τον άξονα x΄x. 54)  Nα βρείτε τη γωνία φ που σχηματίζει με τον x΄x το διάνυσμα ΑΒ όταν Α(2,4) και Β(4,2). Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 81 Συντεταγμένες Διανύσματος 55) 56) 57) 58)   Δίνονται τα διανύσματα α   2,1  και β   3,1  . Αν φ και ω οι γωνίες που   σχηματίζουν τα διανύσματα α , β αντίστοιχα με τον x΄x, να δείξετε ότι π φω  4   Δίνονται τα διανύσματα α   x  1,2  και β   x,2x  1  με x  ℝ   α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα α , β δεν είναι συγγραμμικά για κάθε x  ℝ  β) Αν x  3 να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το α με τον x΄x   γ) Aν x  1 να γράψετε το διάνυσμα γ  3i ως γραμμικό συνδυασμό   των α και β  δ) Αν x  2 να βρείτε ένα διάνυσμα αντίρροπο του α που να έχει μέτρο 10 Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy δίνεται το σημείο  A  x  y,3y  και το διάνυσμα OB   2x  y,x  y  με x, y ℝ. Να βρείτε τα   x, y ώστε το OA να σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 315ο και AB  4 .  Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος v αν είναι γνωστό ότι σχη ματίζει μη κυρτή γωνία με τον ημιάξονα Οx, έχει v  10 και είναι παράλληλο  προς το διάνυσμα u   3, 4  Γεωμετρικά Θέματα 59) Να δείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τα μέσα των απέναντι πλευρών κυρτού τετραπλεύρου και τα μέσα των διαγωνίων του, διχοτομούνται. 60) Να δείξετε ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται. 82 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 61) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ, Ε, Ζ σημεία τέτοια ώστε να ισχύουν  2     5  AΔ  AB , ΒΕ  5ΒΓ , AΖ  AΓ . Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι 3 7 συνευθειακά 62) Με βάση την πλευρά ΑΒ τετραγώνου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε στο εσωτερικό του ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ. Στη συνέχεια με βάση την πλευρά του ΒΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά το ισόπλευρο τρίγωνο ΒΓΖ. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 83 ο 1 Κεφάλαιο Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου Ιδιότητες Εσωτερικό Γινόμενο 1.5 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων  Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη   μηδενικών διανυσμάτων α και β το συμ  βολίζουμε με α  β τον πραγματικό αριθμό:     α  β  α  β  συνφ  β φ  α       Όπου φ   α,β  η γωνία των διανυσμάτων α , β         Αν ένα τουλάχιστον από τα α , β είναι το 0 τότε ορίζουμε α  β  0 Άμεσες συνέπειες του παραπάνω ορισμού είναι οι εξής:     1) α  β  β  α (Αντιμεταθετική ιδιότητα)     2) α  β  α  β  0       3) α  β  α  β  α  β       4) α  β  α  β   α  β 2  2 2     2 5) α  α (Απόδειξη: α  α  α  α  α  συν0= α )       6) i  j  j  i  0 αφού i  j ( όπου i, j τα μοναδιαία διανύσματα) 2  2 2  2 7) i  i  1 καθώς και j  j  1 Το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων    β   x2 , y2  είναι α  β  x1 x2  y1 y2 Απόδειξη Έστω το διπλανό καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Με αρχή το σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσμα    τα OA  α και OB  β  α   x1 , y1  Α(x1,y1) B(x2,y2)  β και  α Ο Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 83 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε ότι:   ΑΒ    ΟΑ    ΟΒ   2  ΟΑ  ΟΒ  συν  ΑΟΒ  (1) Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου 2 2 2 η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία Ο, Α, Β είναι συνευθειακά. Όμως είναι 2  2 2 2 2 2 2   ΑΒ   ΑΒ   x2  x1    y2  y1    x2  x1    y2  y1   2 2 2   OA   OA  x12  y12  x12  y12  2 2 2   OB   OB  x22  y22  x22  y22 Από τη σχέση (1) λοιπόν διαδοχικά έχουμε:     x2  x1    y2  y1   x12  y12  x22  y22  2 ΟΑ ΟΒ συν  ΑΟΒ   2 2    x22  2 x1 x2  x12  y22  2y1 y2  y12  x12  y12  x22  y22  2ΟΑ  ΟΒ     2 x1 x2  2y1 y2  2ΟΑ  ΟΒ     ΟΑ  ΟΒ  x1 x2  y1 y2     α  β  x1 x2  y1 y2 Δηλαδή: Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους. Με τη βοήθεια της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου των διανυσμάτων προκύπτουν οι παρακάτω ιδιότητες:       1) λα  β  α  λβ  λ α  β Ιδιότητες       Απόδειξη   Έστω α   x1 , y1  και β   x2 , y2       λα β   λx1 ,λy1    x2 , y2   λx1 x2  λy1 y2  λ  x1 x2  y1 y2   λ α  β      α λβ   x1 , y1    λx2 ,  y2   λx1 x2  λy1 y2  λ  x1 x2  y1 y2   λ α  β       Άρα λα β  α λβ  λ α  β                  2) α  β  γ   α  β  α  γ (Επιμεριστική Ιδιότητα)     Απόδειξη    Έστω α   x1 , y1  , β   x2 , y2  και γ   x3 , y3     α  β  γ   x1 , y1    x2 , y2    x3 , y3     x1 , y1    x2  x3 , y2  y3     84 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο  x1  x2  x3   y1  y2  y3   x1 x2  x1 x3  y1 y2  y1 y3        x1 x2  y1 y2    x1 x3  y1 y3   α  β  α  γ     3) α  β  λ α  λ β  1 εφόσον α,β / / y'y Απόδειξη   Έστω α   x1 , y1  και β   x2 , y2      α  β  α  β  0  x1  x2  y1  y2  0  y1  y2   x1  x2  y y y y  1 2  1  1  2  1  α  β  1 x1  x2 x1 x2 ΠΡΟΣΟΧΗ !!! Παρακάτω θα αναφέρουμε μερικές βασικές ιδιότητες που δεν ισχύουν, για αποφυγή λαθών 1) Δεν ισχύει γενικά η προσεταιριστική ιδιότητα δηλαδή είναι       α  β  γ  α  β  γ γιατί το α΄ μέλος είναι ένα διάνυσμα παράλλη λο με το γ ενώ το β΄ μέλος είναι ένα διάνυσμα παράλληλο με το  α . Η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει μόνο στις παρακάτω περιπτώσεις:      Αν ένα από τα α, β, γ είναι το 0      Αν α  β και β  γ    Αν α / /γ 2) Δεν ισχύει η ιδιότητα της διαγραφής       Δηλαδή α  γ  β  γ δεν συνεπάγεται ότι α  β .       Ισχύει όμως το αντίστροφο, δηλαδή α  β  α  γ  β  γ Επίσης αποδεικνύεται ότι ο νόμος της διαγραφής ισχύει μόνο αν      τα α, β, γ είναι συγγραμμικά και γ  0         3) Δεν ισχύει η σχέση α  β  α  β δηλαδή α  β  α  β Ιδιότητες     Η ισότητα ισχύει μόνο στις περιπτώσεις όπου      α0 ή β0    α / /β   2  2 2   2  2 2 4) Δεν ισχύει η σχέση α  β  α  β δηλαδή α  β  α  β     Η ισότητα ισχύει μόνο στις περιπτώσεις όπου      α0 ή β0    α / /β Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 85 Ταυτότητες Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Ισχύουν οι παρακάτω ταυτότητες:   2 2   2  2   2 1) α  β  α  2α  β  β  α  2α  β  β   2  2   2  2    2 2) α  β  α  2α  β  β  α  2α  β  β      2 2  2  2 3) α  β α  β  α  β  α  β    2  2 2 2       4) α  β  γ  α  β  γ  2α  β  2α  γ  2γ  β          Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα Συνημίτονο Γωνίας δύο Διανυσμάτων Δεν ορίζονται οι δυνάμεις διανυσμάτων με περιττούς εκθέτες  Από το ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων προκύπτει ότι       α β συνφ    όπου φ   α,β  α β      Αν επιπλέον είναι α   x1 , y1  και β   x2 , y2  τότε από τον παραπάνω τύπο προκύπτει ότι     x1 x2  y1 y2 συνφ  όπου φ   α,β  x12  y12  x22  y22    Για τον υπολογισμό του εσωτερικού γινομένου χρήσιμος είναι ο παρακάτω πίνακας: 0 ο 30 ο 45 60 90 120 135 150 φ 0 π π π π 2π 3π 5π συνφ 1 6 3 2 ο 4 2 2 ο 1 3 2 ο 2 0   Έστω α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με   α  0 . Με αρχή ένα σημείο Ο θεωρούμε τα     διανύσματα ΟΑ  α και ΟΒ  β . Από το σημείο Β φέρνουμε ΒΒ1 κάθετη στη διεύθυνση   του α . Το διάνυσμα ΟΒ1 λέγεται προβολή του     β στο α και συμβολίζεται με ΟΒ1  προβα β . 86 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 1 2 ο 4  2 2 ο -1 2  α  β Ο π 6  3  β ο 180 Β Α  Β1 α ο Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα 1 Κεφάλαιο     Ισχύει ότι α  β  α  προβα β Απόδειξη Διαδοχικά έχουμε            α Β1Β   α  β  α ΟΒ1  Β1Β  α  ΟΒ1  α  Β1Β   α  προβα β   α Β1Β  0  Αποδεικνύεται ότι η προβα β είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 87 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ   Αν γνωρίζουμε τα μέτρα δύο διανυσμάτων α, β και τη γωνία τους   α,β τότε μπορούμε να υπολογίσουμε:    Το α  β     Το μέτρο οποιουδήποτε διανύσματος v  λα  μβ υπολογίζοντας το 2  2   2  2  2   v  v  λα  μβ  λα  μβ  2λα  μβ  2 2   2 2    λ 2 α  μ2 β  2λμα  β  λ 2 α  μ2 β  2λμα  β   και κατόπιν το v     Τη γωνία δύο διανυσμάτων της μορφής v1  λ1 α  μ1 β και    v2  λ 2 α  μ 2 β από τη σχέση         v1  v 2 συν v1 , v2    με v1 ,v2  0 v1  v 2             Τη προβολή οποιουδήποτε διανύσματος που είναι γραμμικός συν  δυασμός των α, β πάνω σε ένα μη μηδενικό διάνυσμα που είναι   επίσης γραμμικός συνδυασμός των α και β Παράδειγμα 1     Έστω α , β δύο διανύσματα του επιπέδου με α  1 , β  2 και     π α, β  . Να υπολογισθούν τα εσωτερικά γινόμενα: 3             2 α) α  β β) α  β α  β γ) α  β δ) 2α  β α  2β       Λύση       1 α) α  β  α  β  συν α,β  1  2   1 2      2 2  2  2 β) α  β α  β  α  β  α  β  12  22  1  4  3      88 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας    ο 1 Κεφάλαιο   2  2   2  2 2 γ) α  β  α  2α  β  β  α  2  β  12  2  22  1  2  4  3       2     2  2  2 δ) 2α  β α  2β  2α  4αβ  αβ  2β  2 α  5αβ  2 β      2  12  5  1  2  22  15 Παράδειγμα 2        2π Αν α  2 , β  5 και α, β  να υπολογισθεί το 5α - 4β 3   Λύση   Αρχικά υπολογίζουμε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α, β        2   1 α  β  α  β  συν α,β  2  5συν    10     5  3   2   Έτσι λοιπόν είναι:  2   2  2    2 5α  4β  5α  4β  5α  2  5α  4β  4β  2  2 2  2  25α  40αβ  16β  25 α  40αβ  16 β         25  22  40   5   16  52  100  200  400  700   Άρα 5α  4β  700  10 7 Για να βρούμε το μέτρο ενός διανύσματος θεωρούμε το τετράγωνο του μέτρου. Παράδειγμα 3      3 Αν α  2 2 , β  4 και α, β  4   α) Να υπολογισθεί το εσωτερικό γινόμενο α  β      β) Να εκφράσετε ως γραμμικό συνδυασμό των α , β το διάνυσμα x για     το οποίο ισχύει ότι x  α  4 και x  β  5 Λύση        2  3π  α  β  α  β  συν α,β  2 2  4συν    8 2     8  4   2     Για να εκφράσουμε το διάνυσμα x ως γραμμικό συνδυασμό των α, β αρκεί να    βρούμε κ, λ  ℝ τέτοια ώστε x  κα  λβ (1)   Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 89 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Επιπλέον από τα δεδομένα έχουμε ότι 1       2  2  x  α  4  κα  λβ  α  4  κα  λαβ  4  κ α  λαβ  4     κ 2 2   λ  8  4  8κ  8λ  4  2κ  2λ  1 (2) 2 1         2  2 x  β  5  κα  λβ  β  5  καβ  λβ  5  καβ  λ β  5     κ  8   λ  4   5  8κ+16λ  5 (3) 2 Λύνοντας το σύστημα των (2) και (3) έχουμε: 8κ+16λ  5 8κ+16λ  5    1  λ    2κ  2λ  1  4 8κ  8λ  4 8     Από τη σχέση (2) προκύπτει ότι 2κ  1 3 3  1  2κ   κ  4 4 8  3 1 Άρα x  α  β 8 8 Παράδειγμα 4   Δίνονται τα διανύσματα α, β για τα οποία ισχύουν      π α  2 , β  3 και α, β  3   α) Να υπολογισθεί το α  2β      β) Να υπολογισθεί το συν α, α  2β    Λύση   α) Αρχικά υπολογίζουμε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α, β       π 1 α  β  α  β  συν α,β  2  3συν    6    3  3 2 Έτσι λοιπόν είναι:  2   2  2   2 2   2 α  2β  α  2β  α  2  2αβ  2β  α  4αβ  4β  2  2  α  4αβ  4 β  22  4  3  4  32  4  12  36  52           Άρα α  2β  52  2 13 90 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Μέτρο διανύσματος άρα θεωρούμε το τετράγωνο του μέτρου. ο 1 Κεφάλαιο        α  α  2β β) Έχουμε συν α,α  2β     (1) α  α  2β     Ισχύει ότι:     α β συν α,β    α β      2   2 Επιπλέον α  α  2β  α  2αβ  α  6  4  6  10      Άρα από τη σχέση (1) προκύπτει ότι συν α,α  2β    2  21013  5 2613   Αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων α, β τότε για να υπολογίσουμε το εσωτερικό τους γινόμενο χρησιμοποιούμε τον τύπο:     α  β  x1 x2  y1 y2 με α   x1 ,y1  και β   x2 ,y2  Παράδειγμα 5   Αν α   1,3  και β   2,5  τότε: α) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα     i) α  β ii) 2α  3β        iii) α  β  3α  β    β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λ  ℝ, ώστε το εσωτερικό γινό  μενο των διανυσμάτων u   κ,λ  και β να είναι ίσο με το μηδέν. Ποια  η σχέση όλων των διανυσμάτων u στην περίπτωση αυτή; Λύση   α) i) α  β   1,3    2,5    1   2  3  5  2  15  13     ii) 2α  3β  6α  β  6  13  78       iii)  α  β    3α  β     1,3    2,5    3  1,3    2,5      3, 2    3,9    2,5     3, 2    1,14   3  28  25   5 β) u  β  0   κ,λ    2,5   0  2κ  5λ  0  2κ  5λ  κ   λ 2   Όλα τα διανύσματα u είναι κάθετα στο β αφού όπως γνωρίζουμε από τη     θεωρία μας α  β  α  β  0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 91 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Παράδειγμα 6   Για δύο διανύσματα α, β ισχύει ότι       α  2 , β  6 και 4α  2β  3α  4β   Να δείξετε ότι α  β     Λύση         Αφού 4α  2β  3α  4β  4α  2β  3α  4β  0         2     2  12α  16αβ  6αβ  8β  0  2  2  12 α  10αβ  8 β  0   2  12  22  10αβ  8  6  0    48  10αβ  48  0     10αβ  0  αβ  0 Παράδειγμα 7   Για δύο διανύσματα α, β ισχύει ότι         2α  β  α  β και α  2β  2α  β        Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι κάθετα αρκεί να δείξουμε ότι έχουν εσωτερικό γινόμενο μηδέν.    Να βρείτε το συν α,β   Λύση Έχουμε         2α  β  α  β  2α  β  α  β  0          2     2  2   2  2α  2αβ  αβ  β  0  2α  αβ  β  0         α  2β  2α  β  α  2β  2α  β  0       Κάθετα διανύσματα άρα … εσωτερικό γινόμενο μηδέν. (1)   2     2  2   2  2α  αβ  4αβ  2β  0  2α  3αβ  2β  0 (2) Έχουμε λοιπόν το παρακάτω σύστημα       2α 2  αβ  β2  0   3 6α2  3αβ  3β2  0     2  2  2 5 2   2  8α  5β  0  α  β (3)   2   2   2 8 2α  3αβ  2β  0 2α  3αβ  2β  0 92 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 3 5 2 8   2  2 5 2 4  1 2 4 1   2 β  αβ  β  0  αβ  β  β  αβ   β     α β συν α,β    α β  2 5 2 2 5 2  5  Επιπλέον  3   α  β  α  β  α  β 8 8 8   1 2 1 2 1    β  β    α β 2 10 4 Άρα συν α,β      4  4      20 5 5 2 5 2 5 α β ββ β 8 8 2 2   Παράδειγμα 8   Αν τα διανύσματα α   xy, y 2  2x  και β   x  6,2  με x,y  ℝ*+ είναι κάθετα, να βρείτε τα x, y. Λύση     α  β  α  β  0   xy,y 2  2x    x  6,2   0   xy  x  6   2  y2  2x   0  διαιρούμε  x 2 y  6xy  2y2  4x  0  με 2xy  0  x 2 y 6xy 2y 2 4x    0 2xy 2xy 2xy 2xy x y 2 x y 2   3    0     3 (1) 2 x y 2 x y Όμως 3 Άρα 3 3 3 x y 2   1 2 x y x y 2 x 3 y 3 2          33   2 x y 2 x y Κάθετα διανύσματα άρα … εσωτερικό γινόμενο μηδέν και αφού γνωρίζουμε τις συντεταγμένες θα δουλέψουμε με την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου. Ισχύει ότι αν α 3 +β3 +γ3  3αβγ τότε α+β+γ  0 ή α=β=γ 3  x2 3 3 x2  2y y  x y  2  x y 2      Οπότε 3    3    3   ή      2  2 x y 2 x xy  4 y xy  4   x2 y  2 y   2  x  2 x 3  8  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 93 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Παράδειγμα 9 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(1,2), Β(-1,-2) και Γ(-3,4). Να βρείτε την γωνία που σχηματίζει η διάμεσος ΑΜ με την πλευρά ΑΓ. Λύση     ΑΜ  ΑΓ Ισχύει ότι συν ΑΜ,ΑΓ    ΑΜ  ΑΓ  Α(1,2)  Αφού το Μ μέσο της ΒΓ έχουμε ότι Β(-1,-2) Γ(-3,4) Μ xB  xΓ 1  3   x M  2 x M  2 x  2   M άρα Μ(-2,1)  yM  1  y M  yB  yΓ  y M  2  4   2 2   2 2 Έτσι λοιπόν ΑΜ   3, 1  με ΑΜ   3    1   10   Καθώς και ΑΓ   4,2  με ΑΓ   4   22  20 2   Τέλος, ΑΜ  ΑΓ   4,2    3, 1  4  3  2  1  10     10 2 Έτσι λοιπόν συν ΑΜ,ΑΓ   συν ΑΜ,ΑΓ  2 10 2         π Οπότε ΑΜ,ΑΓ  γιατί ως γνωστόν 0  ΑΜ,ΑΓ  π 4     Προβολή Διανύσματος    Η προβ u είναι ένα διάνυσμα παράλληλο με το v  0 . Για να υπολογί   σουμε την προβολή του διανύσματος u πάνω στο v  u  v    Θέτουμε προβv u = λv v      Αντικαθιστούμε στη σχέση u  v  v  προβv u , οπότε         2   2 u v u  v  v  λv  u  v  λv  u  v  λ v  λ   2 v    u v  άρα προβv u =  2 v v   94 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας  προβu v  v ο 1 Κεφάλαιο Παράδειγμα 10  Να βρείτε την προβολή του διανύσματος α   2,3  πάνω στο διάνυσμα  β   3, 4  . Λύση   Με βάση την παραπάνω μεθοδολογία ισχύει ότι προββ α = λβ (1)  Πολλαπλασιάζοντας την (1) με το διάνυσμα β έχουμε       2 βπροββ α βα   2 β  προββ α = λβ  βα = λ β   2  3  3   4   λ  32   4   6  12  5λ  λ   2 6 5    18 24  6 Άρα από την (1) έχουμε προββ α    3, 4   προββ α =   ,  5  5 5  Παράδειγμα 11     Δίνονται τα διανύσματα α και β για τα οποία ισχύει α  2 , β  2 και   α  β  2 . Να δείξετε ότι:   α) Τα α , β δεν είναι παράλληλα     β) Να υπολογίσετε τα κ, λ  ℝ ώστε προβ α κα   2  κ  β  = 4κα  2λβ Λύση α) Διαδοχικά έχουμε           π α β 2 2 συν α,β     συν α,β   συν α,β   α,β  2 4 2 2 α β   Άρα α , β δεν είναι παράλληλα            β) Η προβα κα   2  κ  β  είναι παράλληλη στο α οπότε θα είναι -2λ=0  λ=0 Έτσι λοιπόν    προβα κα   2  κ  β   4κα          κα   2  κ  β  προβα κα   2  κ  β   4κα κα   2  κ  β          κα   2  κ  β  α  4κα κα   2  κ  β   2   2    κα   2  κ  α  β  4κ 2 α  4κ  2  κ  α  β  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 95 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 2 2  κ α   2  κ   2  4κ2 α  4κ  2  κ   2  2 2  κ  2   2  κ   2  4κ2  2  4κ  2  κ   2   2κ  4  2κ  8κ2  16κ  8κ2   4  16κ  κ  1 4 Ανάλυση Διανύσματος σε Κάθετες Συνιστώσες  Α) Όταν θέλουμε να αναλύσουμε το διάνυσμα γ σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες όπου η μία έχει τη διεύθυνση γνωστού διανύ σματος v , ισχύει:     γ  γ1  γ2 (1)       γ  γ1  γ1 //v οπότε γ1  λv (2) v       γ2  v οπότε γ2  v  0 γ 2     Αντικαθιστούμε την (2) στη σχέση (1) και γίνεται γ  λv  γ2   Πολλαπλασιάζουμε εσωτερικά με το διάνυσμα v οπότε    2     2  γ  v  λv  γ2  v  γ  v  λ v και υπολογίζουμε το λ   Από την (2) βρίσκουμε το γ1 και στην συνέχεια από την (1)  βρίσκουμε το γ2  Β) Όταν θέλουμε να αναλύσουμε ένα διάνυσμα γ σε δύο άλλες συνιστώσες παράλληλες ή κάθετες γνωστών διανυσμάτων, τότε γρά φουμε το γ ως γραμμικό συνδυασμό των παραλλήλων διανυσμάτων προς τις συνιστώσες και με αντικατάσταση των συντεταγμένων των διανυσμάτων δημιουργούμε σύστημα για να βρούμε τις συνιστώσες. Παράδειγμα 12   Δίνονται τα διανύσματα α   1,2  και β   3,1  . Να αναλύσετε το διάνυ σμα α σε δύο συνιστώσες, κάθετες μεταξύ τους, που η μία να έχει τη διεύ θυνση του β 96 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο Λύση    Έστω γ1 , γ2 οι ζητούμενες συνιστώσες του α      Έχουμε ότι α  γ1  γ2 (1) με γ1  γ2 (2)     Θεωρούμε ότι το γ1 έχει τη διεύθυνση του β δηλαδή γ1  λβ (3) Διαδοχικά λοιπόν έχουμε από τη σχέση (1)            2  2 α  λβ  γ2  γ1 α  λγ1 β  γ1 γ2  λαβ  λ2 ββ  λαβ  λ2 β  λαβ  λ2 β  0     λ  0  2 2  λ  λ  9  1  0   λ  10λ  0  λ  1  10λ   0   ή  1 λ   10     Για λ  0 από τη σχέση (3) προκύπτει ότι γ1  0  γ1   0,0  το οποίο απορρίπτεται. Για λ   1 από τη σχέση (3) προκύπτει ότι 10    3 1   1 1  γ1  - β  γ1  -  3,1   γ1   ,   10 10  10 10  ενώ από τη σχέση (1) προκύπτει ότι     1    7 21   3 γ2  α  γ1  γ2  1,2    ,    γ2    ,   10 10   10 10     Έστω ότι για τα α, β, γ γνωρίζουμε τα μέτρα τους και ότι ισχύει η σχέση     α+κβ+μγ  0 (1) Αν θέλουμε να υπολογίσουμε        Τα α  β, β  γ, γ  α   Π.χ. το α  β τότε μετασχηματίζουμε την (1) ώστε στο ένα μέλος να εί  ναι τα α, β και παίρνουμε την ισότητα των τετραγώνων. Δηλαδή:      2  2 1   α+κβ=-μ γ οπότε α+κβ = -μγ  ...        Το α  β  β  γ  γ  α και είναι κ  μ  1 τότε από τη σχέση:        2 α+β+γ  0 έχουμε α+β+γ  0  ...       Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 97 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Παράδειγμα 13       Αν για τα διανύσματα α, β , γ έχουμε ότι α  2 , β  3 , γ  1 και           2α-β+3γ  0 να βρεθεί το α  β+β  γ+γ  α Λύση        Είναι 2α-β+3γ  0  β  3γ  2α (1)               Οπότε Α  α  β  β  γ  γ  α  α  2α  3γ  2α  3γ  γ  γ  α  2     2    2α  3αγ  2αγ  3γ  αγ  2  2   2 α  6αγ  3 γ  11  6αγ (2)    Επίσης β  3γ  2α άρα 2   2 2 2   2 β  3γ  2α  β  9γ  12αγ  4α  2 2  2  β  9γ  12αγ  4α    9  9  12αγ  16    12αγ  16   16  αγ    12  4  αγ   3 4 Από τη σχέση (2) έχουμε Α  11  6  11  8  3 3           Αν έχουμε μια σχέση των α, β, γ  0 και μια σχέση των μέτρων τους π.χ.    α β γ     α+κβ+μγ  0 (1) και   (2) και θέλουμε να δείξουμε π.χ. λ1 λ 2 λ 3     α  β ή α  β τότε θέτουμε τους λόγους της (2) ίσον με το λ και    εκφράζουμε τα α , β , γ συναρτήσει του λ.    α β γ    Δηλαδή    λ οπότε α  λ  λ1 , β  λ  λ 2 , γ  λ  λ 3 λ1 λ 2 λ 3 Αρκεί να δείξουμε        Για α  β ότι α  β  α  β        Για α  β ότι α  β   α  β 98 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο Παράδειγμα 14       Αν για τα διανύσματα α, β , γ έχουμε ότι α  2 , β  1 , γ  3 και         2α+β+γ  0 να αποδείξετε ότι α  β και γ  β Λύση        Για να δείξουμε ότι α  β αρκεί να δείξουμε ότι α  β   α  β   Από την υπόθεση έχουμε ότι  α  β  2 (1)       Επιπλέον 2α  β  γ  0  2α  β   γ (2) Υψώνοντας την σχέση (2) στο τετράγωνο έχουμε   2  2 2   2 2 2α  β   γ  4α  4α  β  β  γ  2   2 2  4 α  4α  β  β  γ     16  4α  β  1  9     4α  β  8     α  β  2 (3)           Από (1) και (3) προκύπτει ότι α  β   α  β άρα α  β        Για να δείξουμε ότι γ  β αρκεί να δείξουμε ότι β  γ  β  γ   Από την υπόθεση έχουμε ότι β  γ  3 (4)       Επιπλέον 2α  β  γ  0  β  γ  2α (5) Υψώνοντας την σχέση (5) στο τετράγωνο έχουμε   2  2  2   2 2 β  γ  2α  β  2β  γ  γ  4α  2   2 2  β  2β  γ  γ  4 α     1  2β  γ  9  16     2β  γ  6     β  γ  3 (6)       Από (1) και (3) προκύπτει ότι β  γ  β  γ άρα γ  β     Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 99 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Σε θεωρητικές ασκήσεις εφαρμόζουμε τις ιδιότητες που ισχύουν για τα διανύσματα. Αν έχουμε μέτρα, υψώνουμε στο τετράγωνο για να φύγουν τα μέτρα. Όταν πρόκειται να δείξουμε μια ισότητα είτε ξεκινάμε από κάποιο μέλος για να καταλήξουμε στο άλλο ή κάνουμε πράξεις και στα δύο μέλη για να καταλήξουμε σε κάτι που ισχύει. Παράδειγμα 15         Αν για τα διανύσματα α, β είναι 5α  3β  5α  3β να δείξετε ότι α  β  0 Λύση Έχουμε      2  2 5α-3β  5α+3β  5α-3β  5α+3β    2   2  5α-3β  5α+3β  2   2 2   2  25α -30αβ+9β  25α +30αβ+9β     -30αβ  30αβ     60αβ  0  αβ  0 Παράδειγμα 16        Αν α  2β  α  2 β να αποδείξετε ότι: 3α  2β  α  13     Ισότητα με μέτρα διανυσμάτων οπότε υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο. Λύση Έχουμε να αποδείξουμε μια σχέση υπό συνθήκη οπότε αρχικά μετασχηματίζουμε τη συνθήκη.      2  2   2 2 α-2β  α  α-2β = α  α-2β =α  2  2 2  α -4αβ+4β  α   2  -4αβ  4β  0  2  2   4β  4αβ  β  αβ (1)    2  2 2 2 α  2β  α  2β  α  4β (2)   Έτσι λοιπόν έχουμε:      2  2   2 2 3α+2β  α  13  3α  2β  13 α  3α  2β  13α     1 2   2 2   9α  12α  β  4β  13α    2 2 2 2 2  9  4β  12β  4β  13  4β  2 2  52β  52β , που ισχύει 100 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο Παράδειγμα 17   Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α, β του επιπέδου. Να αποδειχθεί ότι:             α) α  β  α  β  α  β β) α  β  α  β  α  β Λύση   Έστω θ η γωνία των α , β . Τότε έχουμε:         α β  0   2   2 α) α  β  α  β   α β  α  β   α  β 0   2 2   2  α β  α 2 α β  β  2   2  2   2  α  2α  β  β  α  2 α β  β             2 α  β συν  α,β   2 α β       συνθ=1  συνθ=συν0  θ=0  α  β        2   2 β) α  β  α  β  α  β  α  β    2 2   2  α β  α 2 α β  β  2   2  2   2  α  2α  β  β  α  2 α β  β             2 α  β συν  α,β    2 α β       συνθ  -1  συνθ  συνπ  θ  π  α  β Παράδειγμα 18         2π Αν α = β =1 , και α,β  να βρεθεί η γωνία 2α+β,2α . 3     Λύση Με βάση τον τύπο του εσωτερικού γινομένου έχουμε ότι:           2α+β  2α  2α+β 2α συν 2α+β,2α         2α+β  2α     συν 2α+β,2α =    2α+β 2α       (1) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 101 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Υπολογίζουμε αριθμητή και παρονομαστή χωριστά.  Για τον αριθμητή έχουμε:     2  2     2α+β  2α  4α +2αβ  4 α  2 α β  α,β       4  2συν 2π  π  4  2συν  π-   3  3  4  2συν π 1  4  2  4  1  3 (2) 3 2  Για τον παρονομαστή έχουμε:  2   2  2   2 2α+β  2α+β  4α +4αβ+β    2      2  4 α  4 α β συν α,β  β     4  4συν 2π  π  1  5  4συν  π-   3  3  5  4συν   π 1  5  4  5  2  3  2α+β  3 (3) 3 2    1  συν 2α+β,2α    3 3 3 3 3 3        2 3 2α 2 3 α 2 3 23          συν 2α+β,2α  συν  2α+β,2α  6 6     Παράδειγμα 19 Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(1,2), Β(3,4), Γ(5,4) και Δ(3,-2). Στην προέκταση της ΒΓ προς το Γ, παίρνουμε τμήμα ΓΕ, έτσι ώστε ΒΓ=2ΓΕ. Αν Κ, Λ, Ν είναι τα μέσα των ΑΒ, ΓΔ και ΑΔ αντίστοιχα να αποδειχθεί ότι ΚΛ  ΝΕ . Λύση   Αρκεί να δείξουμε ότι ΚΛ  ΝΕ  0 Θα βρούμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων   ΚΛ, ΝΕ , ώστε να χρησιμοποιήσουμε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου.  1+3 2+4  Κ μέσο ΑΒ  Κ  ,  άρα Κ(2,3) 2   2 102 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Α Κ Β Γ Λ Ν Δ Ε ο 1 Κεφάλαιο  5+3 4-2  Λ μέσο ΓΔ  Λ  ,  άρα Λ(4,1)  2 2   1+3 2+  -2   Ν μέσο ΑΔ  Ν  ,  άρα Ν(2,0) 2   2   ΒΓ=2ΓΕ  ΒΓ  2ΓΕ   5-3,4-4   2  x Ε -5,y Ε -4     2,0    2x Ε -10,2y Ε -8   2x -10=2 2x Ε =12 x Ε=6  Ε    Ε  6,4  2y Ε -8=0 2y Ε=8 y Ε=4   Οπότε ΚΛ=  4-2,1-3  =  2,-2  και ΝΕ=  6-2,4-0  =  4,4      Άρα ΚΛ  ΝΕ   4,4    2,-2   8  8  0 δηλαδή ΚΛ  ΝΕ Εύρεση Γεωμετρικού Τόπου ενός σημείου Μ  Αν το σημείο Μ επαληθεύει μια διανυσματική σχέση γραμμικού συνδυασμού, τότε δίνουμε στη   σχέση τη μορφή ΑΜ  λ  α , όπου Α σταθερό ση μείο και α γνωστό διάνυσμα. Τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι ευθεία ή τμήμα ευθεία που περνά από το σημείο Α και έχει τη διεύθυνση του  διανύσματος α . Α Μ  α  Αν το σημείο Μ επαληθεύει μια σχέση με μέτρα διανυσμάτων, τότε καταλήγουμε σε μια από τις παρακάτω σχέσεις  o ΜΑ  κ όπου Α σταθερό σημείο και κ > 0, ο- Μ πότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος κέντρου Α και ακτίνας κ. κ   o ΜΑ  ΜΒ , όπου Α, Β σταθερά σημεία, οπότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. (ε) Μ Α Β Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 103 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων   2 o ΜΑ  ΜΒ  κ όπου Α, Β σταθερά σημεία και 4κ   ΑΒ   0 Τότε παίρνουμε το μέσον Ο του ΑΒ και έχουμε: Μ       ΜΑ  ΜΒ  κ  ΟΑ  ΟΜ  ΟΒ  ΟΜ  κ      Α Ο Β   ΟΑ  ΟΜ  ΟΑ  ΟΜ  κ         2  2   2  ΟΑ  ΟΜ  κ  ΟΜ  κ  ΟΑ Οπότε ο γ.τ. είναι κύκλος με κέντρο το Ο και ακτίνα: ρ= 4κ  ΟΑ 2  Αν το σημείο Μ επαληθεύει μια σχέση εσωτερικού γινομένου, τότε:   o Όταν ΟΜ  ΑΒ  0 , όπου Ο, Α, Β σταθερά σημεία, τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κάθετη ευθεία από το Ο στο ΑΒ.   o Όταν ΜΑ  ΜΒ  0 όπου Α, Β σταθερά σημεία τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι κύκλος διαμέτρου ΑΒ.  o Όταν προβ ΑΜ  c , όπου Α, Β σταθερά σηΑΒ μεία, τότε ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι ευθεία κάθετη στην ΑΒ, που απέχει από το Α απόσταση c. Γενική Μέθοδος Ο Μ Β Α Μ Α Ο Β   Αν για το σημείο Μ δίνεται ότι ισχύει μια από τις σχέσεις ΜΑ  ΜΒ  λ  2  2  2  2 ή ΜΑ  ΜΒ  λ ή ΜΑ  ΜΒ  λ με λ  , τότε θεωρούμε το μέσο    Ο του ΑΒ και εκφράζουμε τα διανύσματα ΜΑ  ΜΟ  ΟΑ και    ΜΒ  ΜΟ  ΟΒ για να καταλήξουμε σε μια από τις παραπάνω σχέσεις. 104 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο Παράδειγμα 20 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, για τα     οποία ισχύει ΑΒ  ΑΜ  ΑΓ  ΑΜ  0 . Λύση Ας είναι Κ το μέσο του ΒΓ τότε θα είναι    ΑΒ+ΑΓ    ΑΚ   ΑΒ+ΑΓ  2ΑΚ (1) 2 1         ΑΒ  ΑΜ+ΑΓ  ΑΜ  0  ΑΜ  ΑΒ+ΑΓ  0     2ΑΜ  ΑΚ  0     ΑΜ  ΑΚ  0     ΑΜ  ΑΚ   Β Κ Μ Γ Α Άρα ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι ευθεία κάθετη στο ΑΚ που διέρχεται από το σημείο Α. Παράδειγμα 21 Δίνονται τα σταθερά σημεία Α και Β. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των    2  2 σημείων Μ, για τα οποία ισχύει ΜΑ  2ΜΒ  ΜΑ  4ΜΒ . Λύση Διαδοχικά έχουμε:    2  2   2  2  2 2 ΜΑ  2ΜΒ  ΜΑ  4ΜΒ  ΜΑ  2ΜΒ  ΜΑ  4ΜΒ    2  2  2  ΜΑ  2ΜΒ  ΜΑ  4ΜΒ   2    2  2  2  ΜΑ  4ΜΑ  ΜΒ  4ΜΒ  ΜΑ  4ΜΒ         4ΜΑ  ΜΒ  0  ΜΑ  ΜΒ  0  ΜΑ  ΜΒ   Μ Α Β Άρα ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι κύκλος διαμέτρου ΑΒ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 105 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ        α  β  α  β  συν α,β   1)   Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων α , β σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις:  5π   α) Αν α  1 , β  3 και α,β  6    β) Αν α  2 , β  2 και α,β  300        γ) Αν α  2 3 , β  12 και α,β  1350   2) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα α  β   συν α,β 2 3 1 3 1 7   5 3 3) 12 7 -11  2π   Αν το διάνυσμα α είναι μοναδιαίο, β  2 και α,β  να υπολογίσετε 3 τις παρακάτω παραστάσεις:         2 α) α  β β) α  2β  α  β γ) α  3β    4)   α β      π     Έστω δύο διανύσματα α , β του επιπέδου με α  3 , β  4 και α,β  . 2 Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:   2 2     α) α  β β) α και β γ) α  β  α  β      2 δ) α  β       ε) 3α  2β  α  2β   106 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας   2 2 στ) α  β    ζ) α  β ο 1 Κεφάλαιο 5)     Έστω δύο διανύσματα α , β του επιπέδου με α  2 , β  3 και   α  β  4 . Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις:    α) 2α  3β  α      β) 3α  β  2α  5β       δ) α  β α  β  6)       2 γ) α  β     2 ε) α  2β    π   Αν β  2 α  2 και α,β  να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος 2       u  α  β  β  2α  3β     7) 8)  5π     Δίνονται τα διανύσματα α και β με α  3 , β  2 και α,β  6   α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α  β      β) Να βρείτε το διάνυσμα u , τέτοιο ώστε u  α  2 και u  β  3         Αν β  2 α  2 5 , α,β  120 και v  2α  β , να υπολογίσετε:    β) Τις γωνίες α,ν ,  α) Το v 9) 10)  v,β      π   Αν α  2 , β  2 2 , α,β  να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων 4    16  3 2 α  β, β . Δίνεται ότι = 0,61 και συν52ο=0,61. 17    π Αν α  3 , β  1 , α,β  να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων 6     2 7 α  β , α  β . Δίνεται ότι = 0,75 και συν41ο=0,75. 7     Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 107 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 11)  2π   Αν α  3 , β  5 και α,β  να υπολογιστούν τα 3       α) α  β β) α  β γ) α  2β       12) Αν α  3 , β  1 και α  β  2 να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος    v  α  2β 13) 14)      π     Αν α  β  1 , 2α  3β  3 και α+β,2α-3β  3   των διανυσμάτων α , β   να βρεθούν τα μέτρα       Έστω ότι για τα διανύσματα α , β ισχύει α  2, β  3 και α  β  5   α) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας των α , β β) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων       u  2α+3β και v  α-2β   γ) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων u, v   δ) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u, v 15)       Αν α  3 , β  γ  1 και α  β  4γ  0 τότε:   α) Να βρείτε το α  β  β) Να υπολογίσετε την α,β   γ) Να δείξετε ότι α  3β        16) Έστω τα διανύσματα α, β με α  1 , β  2 , α,β  60 και το τρίγωνο ΑΒΓ       με ΑΒ  α  β , ΒΓ  3α  β . Να βρείτε το μήκος της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ.   108 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 17)  π       Έστω τα διανύσματα α , β, γ με α  1 , β  2 , γ  3 και α,β  , 3  π  β,γ  . Να γραφτεί το διάνυσμα β ως γραμμικός συνδυασμός των 6   α, γ . Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου     α  β  x1 x 2  y1 y 2 για α   x1 , y1  και β   x 2 , y 2      8 18)   Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α  β στις ακόλουθες περιπτώσεις     1  α) α  1,4  και β   1,3  β) α   1,  και β   3,4   2   γ) α  3,3 και β  1,2 3  19)      Αν α   1,2  και β  1,3  να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα:     2     α) α  β β) α  2β γ) α δ) α  β  α  2β    20)      Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων α, β στις ακόλουθες περιπτώσεις:     α) α  3, 3 και β  3,-1 β) α  1, 3 και β  - 3,3      γ) α   2,3  και β   1,5        1 3  δ) α   -1,4  και β   3-6,- -2 3  2 2  21)   1     Αν α   3, 4  και β   i  j να βρείτε τη γωνία των α, β 7 22)         Αν α  1, 1  , β  1,1  , 2v+u  β και v+2u  α να βρείτε:   α) Τα διανύσματα v, u      β) Το συν  v, u    Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 109 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 23) 24) 25)    Έστω τα διανύσματα α   2,4  , β   -3,1  . Για το διάνυσμα γ ισχύει      α  γ  18 και β  γ  8 . Να βρεθεί το διάνυσμα γ    Έστω τα διανύσματα α   3,4  , β   -5,2  . Για το διάνυσμα γ ισχύει      α  γ  8 και β  γ  6 . Να βρεθεί το διάνυσμα γ    Έστω τα διανύσματα α   2,3  , β   -1,2  , γ   2,2  . Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις                α) α  β  β  γ  γ  α β) α  β  γ  β  γ  α  γ  α  β 1  1  1  γ)   α    β    γ α β γ   26) 27)          Δίνονται τα διανύσματα α   1,2  και β   0,1  . Αν ΑΒ  α  2β και     ΑΓ  2α  β να υπολογίσετε το ΒΓ . Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,-2), Β(2,3), Γ(0,1). Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:       α) ΑΒ  ΑΓ β) ΑΒ  ΑΔ όπου για το σημείο Δ ισχύει: ΒΔ  2ΔΓ    γ) ΑΜ  ΒΓ  ΑΓ όπου Μ μέσον του ΒΓ   Καθετότητα Διανυσμάτων 28) 29)   Να βρείτε για ποια τιμή του λ τα διανύσματα α, β είναι κάθετα στις παρακάτω περιπτώσεις     λ   α) α   λ,2  και β   λ-3,1  β) α   ,λ  και β   3λ+1,1-3λ   λ+1    2 γ) α   2λ,1  και β   4λ , 1       Αν α  3 και β  6 να βρείτε το λ ώστε τα διανύσματα v  3α+λβ και    u  3α-λβ να είναι κάθετα. 110 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 30)          Αν για τα διανύσματα α, β, γ ισχύει α+3β  γ  0 και γ  3 β να δείξετε    ότι: α  α  6β .  31) 32) 33) 34) 35)   Να βρείτε το διάνυσμα που είναι κάθετο στο v  1,2  και έχει μέτρο 5.   α β   Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν:   2 και η γωνία των διανυα    σμάτων α  β , α είναι 450 , να αποδείξετε ότι:     α) α  β β) α  β    Έστω τα διανύσματα α  1,3  , β   3, 1  και γ   1,0  . Να βρείτε το       διάνυσμα v  λα+μβ ώστε να είναι v  10 και v  γ     Δίνονται τα διανύσματα α, β του επιπέδου με α  β  1 και τα διανύ        σματα u  3α-2β , v  α+β . Αν u  v να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων   α, β .   Δίνονται δύο κάθετα διανύσματα u  4 και v  5 Α) Να υπολογίσετε τα   2 α) v  u       β) 2u  3v u  4v    Β) Να βρείτε το x  ℝ αν   2     α) xu  v  34 β) xu  v xu  v  23      Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 111 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 36) 37)    α β          Δίνονται τα διανύσματα u  α  β  γ - α  γ  β και v   2  α -β . α     Να δείξετε ότι u  α και v  α         Δίνονται τα διανύσματα α, β για τα οποία ισχύουν α  β  1 και        α  β  1  β  α  β . Να αποδείξετε ότι τα α, β είναι ίσα ή αντίθετα.  38) 39)      Αν για τα διανύσματα α, β ισχύουν: α  β ,     και α  β  2 να βρείτε τα α , β .     4α 3 3 β και    Έστω τα διανύσματα α, β και γ ώστε       α  β  1 , γ  2 και α  β  γ   α) Να δείξετε ότι α  β 40)    α  β    α  3β  β) Να υπολογίσετε τη γωνία α,γ   Έστω τα μη μηδενικά διανύσματα   α, β με  π    α  2α  3β . Να αποδείξετε ότι α,β  6     Προβολή Διανύσματος 41)    α β β  α) Να αποδείξετε ότι προββ α = 2 β     β) Αν α   2,3  και β   1,4  να βρείτε την προβολή του α πάνω στο β   112 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 42) 43) 44) 45)  Να βρείτε την προβολή του διανύσματος α   1,2  στο διάνυσμα  β   3, 4     Αν α  1 , β  2 και α,β  600 να βρείτε την προβολή του διανύσματος     v  2α  β πάνω στο διάνυσμα α .           Αν α   1,2  , β   4,3  και v  α  β  α  3β να βρείτε την προβα v    2π   Αν α  1 , β  2 και α,β  να βρείτε το λ ώστε: 3    προβα λα  β  2α    46)   Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με  ΑΒ   3 ,  ΑΓ   4 , ΒΑΓ  1200 και ΑΜ διάμεσος.  Να υπολογίσετε την προβ ΑΜ . ΑΓ Ανάλυση Διανύσματος σε Συνιστώσες 47) 48) 49)   Δίνονται τα διανύσματα α   2,7  και β  1, 3  . Να αναλύσετε το διά νυσμα α σε δύο συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη   στο β και η άλλη κάθετη στο β .   Δίνονται τα διανύσματα α   2,1  και β  1,3  . Να αναλύσετε το διά       νυσμα α σε δύο συνιστώσες γ και δ ώστε να είναι: δ / /β και γ  α   Έστω τα διανύσματα α   3, 4  και β   5,10  . Να αναλύσετε το διάνυ σμα β σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μια να  είναι παράλληλη στο α . Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 113 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 50) 51) 52) 53) 54) 55) 56)  Να αναλυθεί το διάνυσμα u   8,1  σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις  οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το α   2, 3  .    Δίνονται τα διανύσματα u   3,1  , β   2,3  , γ   4,1  . Να αναλυθεί το    διάνυσμα u σε δύο συνιστώσες παράλληλες προς το β και γ .  Να αναλυθεί το διάνυσμα u   5, 5  σε δύο συνιστώσες κάθετες των δι  ανυσμάτων α   2,1  και β   3, 4    Δίνονται τα διανύσματα α  1,2  και β   3,4  . Να βρείτε τα διανύσμα         τα p και q ώστε να είναι: α  p  q , p / /α , q  β   Δίνονται τα διανύσματα α   3,4  και β   1, 2   α) Να υπολογίσετε το διάνυσμα προβα β  β) Να αναλύσετε το β σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία  να είναι παράλληλη και η άλλη κάθετη στο α *****       Αν 2 α  β  4 γ  4 και α  β  3γ να υπολογίσετε την τιμή της παρά      στασης: Α  α  β  β  γ  γ  α    Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν        α  β  γ  0 και α  3, β  5, γ  7 Να υπολογίσετε:  α) Τη γωνία α,β         β) Την παράσταση Α  α β  2β  γ  3γ  α 114 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 57) 58) 59) 60) 61)        Αν τα διανύσματα α, β, γ είναι μοναδιαία και ισχύει α  2β  γ  0 να       υπολογίσετε την παράσταση: Α  α  β  β  γ  γ  α       Αν για τα διανύσματα α, β, γ ισχύουν α  2, β  3, γ  1           2α  β  3γ  0 να υπολογιστεί ο αριθμός α  β  β  γ  γ  α  2 2    Αν το διάνυσμα α είναι μοναδιαίο και ισχύει: β  γ  α 2β  α , να υ    πολογίσετε την παράσταση Α  α  β  β  γ  63) 64)         Αν τα διανύσματα α, β, γ είναι μοναδιαία και ισχύει α  β  β  γ  2 να    αποδείξετε ότι: α  β  γ .       Αν α  1 και β  2 , α,β  60 και α  β  γ  0 , να υπολογίσετε:       β) Το α  γ  β  γ  α) Το γ 62) και    Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ για τα οποία ισχύουν   α  γ     α  2β  γ  0 και β 2 4      Να αποδείξετε ότι α) α  β β) α  2β  0    Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α, β, γ ισχύει        β γ α  β  γ  0 και α   2 3     Να αποδείξετε ότι: α) β  2α β) β  γ 2      Αν α  5β 2α  5β να αποδείξετε ότι: α  β   Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 115 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 65)      Έστω τα διανύσματα α, β με α =2 β και α,β  1200    α) Να αποδείξετε ότι α-3β  0       β) Να βρείτε διάνυσμα x ώστε: x / / α-3β και α  β-x    66) 67) 68) 69) 70) 71)      Δίνονται τα διανύσματα α   3,4  και β   2, 3  . Να βρείτε τα δια         νύσματα x, y ώστε να είναι α  2x  3y και x  y και y / /β          Αν β  0 και α  v  u με v / /β και u  β , να αποδείξετε ότι:    α β  v  2 β β    α β     Αν v   2  β και u  v  α να αποδείξετε ότι: β       α) v  u β) Αν α / /β τότε v  α    Δίνονται τα διανύσματα α   2,1  , β   1,1  και γ   3,5  . Να βρείτε το       διάνυσμα x ώστε να είναι x  α  β  2x  γ          Αν x  x  α  β  γ με 1  α  β  0 , να αποδείξετε ότι:         αγ αγ      β α) x  α  β) x  γ  1  α β 1  α β     Δίνονται τα διανύσματα α   3,4  και β   4,3  . Βρείτε μοναδιαίο διάνυσμα, που να βρίσκεται στη διχοτόμο τους. 116 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο 72) 73) 74)        Δίνονται τα διανύσματα α, β . Να δείξετε ότι το διάνυσμα x  α  β  β  α   είναι συγγραμμικό με τη διχοτόμο της γωνίας των α, β    Έστω τα διανύσματα α, β και γ . Να δείξετε ότι              α) α  β  α  β β) α  γ  β  β  γ-α  γ  α-β     Έστω τα διανύσματα α, β .  2  2 2 2 α) Να δείξετε ότι α  β  α  β  2 α  2 β β) Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία της παραπάνω πρότασης; Γεωμετρικές 75) Στο ισοσκελές τρίγωνο δείξτε ότι η διχοτόμος που άγεται από την κορυφή του είναι και ύψος. 76) Στο ισοσκελές τρίγωνο δείξετε ότι η διάμεσος που άγεται από την κορυφή του είναι και ύψος. 77) Να δείξετε ότι οι διαγώνιες ενός ρόμβου τέμνονται κάθετα. 78) Δείξτε ότι κάθε γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. 79) Δείξτε ότι η διάμεσος ενός ορθογωνίου τριγώνου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό αυτής. 80) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα τμήματα ΑΔ  =ΑΒ και ΑΕ  =ΑΓ εκτός   του τριγώνου. Αν Μ το μέσο του ΕΔ, να δειχτεί ότι ΑΜ  ΒΓ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 117 Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Γεωμετρικοί Τόποι 81) Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα με (ΑΒ)=2α και ένα μεταβλητό σημείο Μ του επιπέδου. Αν Ο είναι το μέσο του ΑΒ, τότε    2  2 α) Να αποδείξετε ότι ΜΑ  ΜΒ  ΟΜ  α β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα   οποία ισχύει ΜΑ  ΜΒ  κ όπου κ σταθερός αριθμός. 82) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του  2      επιπέδου για τα οποία ισχύει: ΑΜ  ΑΒ  ΑΓ ΑΜ  ΑΒ  ΑΓ  0 . 83) Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των  2  2 σημείων Μ, τα οποία έχουν την ιδιότητα ΜΑ  ΜΒ  α 2 όπου α στα-   θερός πραγματικός αριθμός. 84) 85) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του       επιπέδου για τα οποία ισχύει: ΜΑ  ΜΒ  ΜΓ  3ΜΓ  2ΜΑ  ΜΒ .  Έστω Α, Β δύο σταθερά σημεία με ΑΒ  8 . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τό  πος των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΜΑ  ΜΒ  9 118 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις    α) Αν ΑΒ  ΒΓ  ΑΓ τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά    β) Ισχύει ότι ΑΒ  ΟΑ  ΟΒ     γ) Αν ΑΒ  ΒΑ τότε ΑΒ  0       δ) Αν ΑΒ  ΒΓ  ΓΔ  0 τότε ΑΔ  0    ΑΒ  ΑΓ ε) Αν ΑΜ διάμεσος τριγώνου ΑΒΓ τότε ΑΜ  2 στ) Κάθε διάνυσμα είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του τέλους του συν τη διανυσματική ακτίνα της αρ- Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ χής του 2) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις     α) Αν α  β τότε αναγκαστικά α  β     β) Αν α  λ β με λ  ℝ τότε αναγκαστικά α / /β       γ) Αν α  β  α  β τότε τα α και β είναι πάντα συγ- γραμμικά Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 119 Ερωτήσεις Κατανόησης   δ) Για τα ομόρροπα διανύσματα α και β ισχύει     α  β  α β Σ Λ Σ Λ   ε) Για οποιαδήποτε διανύσματα α και β ισχύει       α  β  α β  α  β 3) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Τα αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα β) Δύο αντίθετα διανύσματα έχουν αντίθετους συντελεστές διεύθυνσης       γ) Αν α  β τότε α,β  β,α  2π     δ) Όταν οι συντελεστές διεύθυνσης δύο διανυσμάτων είναι αντίθετοι αριθμοί τότε τα διανύσματα είναι κάθετα      ε) Αν το α  β είναι συγγραμμικό του α , τότε το α  β  είναι συγγραμμικό και με το β 4) Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις  α) Είναι j  1,0  120 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Σ Λ ο 1 Κεφάλαιο   β) Είναι det i, j  0   Σ Λ   γ) Είναι det α, α  1 Σ Λ  δ) Αν φ η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α με τον Σ Λ Σ Λ   άξονα x΄x τότε είναι 0  φ  2π ε) Αν Α(x1,y1), B(x2,y2) και Μ το μέσο του ΑΒ είναι  x  x y  y  Μ 1 2 , 1 2  2   2 5) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις     α) Αν α  β  0 τότε α,β είναι οξεία Σ Λ    β) Το α  β  γ παριστάνει διάνυσμα Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ       γ) Το λα  β με λ  ℝ παριστάνει διάνυσμα         δ) Ισχύει ότι α  β  γ  α  β  γ           ε) Αν α  β  α  γ τότε είναι β  γ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 121 Ερωτήσεις Κατανόησης 6) Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα που βρίσκεται στην αριστερή στήλη Α με το κάθετό του στη δεξιά στήλη Β 1. Στήλη Α Στήλη Β Διάνυσμα Κάθετο Διάνυσμα  α) e   0,κ   α   2κ,1   2. β   κ, 1  3.  γ   κ  1,κ  4.   1 δ   0,   κ  1  β) u   ,1  κ    1 γ) v   1,   κ  δ) t   9,0   ε) w  1, 2κ   στ) r  κ, κ  1  ζ) m  κ2 ,0  7) 1 2 3 4 Να αντιστοιχίσετε κάθε διάνυσμα που βρίσκεται στην αριστερή στήλη Α με το μέτρο του στη δεξιά στήλη Β Στήλη Α Στήλη Β Διάνυσμα Μέτρο α) 2  α  1, 1  2. β   2ημθ,2συνθ   3. γ  2,1 β) 0  1 3  δ   ,  2 2  ε) 3 στ) 2 1.  4.  1 γ) 1 2 δ) 3 3 122 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 4 ο 1 Κεφάλαιο 8)      π Δίνεται ότι α  β  γ  1 και α,β  , 6     α,γ  π . Να αντιστοιχίσετε   κάθε εσωτερικό γινόμενο που βρίσκεται στη στήλη Α με την τιμή του που βρίσκεται στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Διάνυσμα Μέτρο α) -1 1. 2. 3.   α β   αγ β) 0   γ β 9) 2 3 2 δ)  ε) 1 3 2 γ) 3 1 2 Κάθε διάνυσμα της στήλης Α έχει μέτρο ένα αριθμό που βρίσκεται στη στήλη Β. Να κάνετε τη σωστή αντιστοίχιση. Στήλη Α Στήλη Β Διάνυσμα Μέτρο α) 2 β) ημθ  συνθ 3.    8 i  j   x i  y  j   2ημθ   i   2συνθ   j 4.    x  y   i  2 xy  j ε) ημθ  συνθ 1. 2. 1 γ) 3 δ) x 2  y2 2 3 4 στ) 2 ζ) x  y Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 123 Ερωτήσεις Κατανόησης 10) Να συμπληρωθούν οι στήλες στον παρακάτω πίνακα Διανύσματα Γωνία που Γωνία που σχηματίζει το σχηματίζει το σχηματίζoυν τα     α με τον x΄x β με τον x΄x β και α μεταξύ  β  α που Γωνία τους 11) (2,0) (0,-3) (2,2) (-3,3) (2,2) (3,3) (0,2) (-2,0) Να συμπληρωθούν οι στήλες στον παρακάτω πίνακα Διανύσματα Γωνία  α  β   α,β (-1,4) (2,-3) π 3 (3,2) (-1, π 6 (1, 3)  1 6 ,    2 2    2) (1,1) π 4  3 1  ,   3   3 5π 6 Μέτρο  α 124 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Μέτρο  β Εσωτερικό Γινόμενο   α β ο 1 Κεφάλαιο 12) Σε καθεμία από τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση   i. Αν α , β ομόρροπα διανύσματα και κ, λ  ℝ* διάφοροι του 1 και    κα  λβ  0 , τότε: Α. κ, λ θετικοί Β. κ, λ αρνητικοί Γ. κ, λ αντίστροφοι Δ. κ, λ ετερόσημοι Ε. κανένα από τα προηγούμενα    ii. Αν ισχύει κα  λβ  0 με κ, λ  ℝ* τότε:   Α. Τα α , β έχουν την ίδια φορά   Β. Τα α , β είναι κάθετα   Γ. Τα α , β είναι αντίρροπα   Δ. Τα α , β έχουν το ίδιο μέτρο   Ε. Τα α , β έχουν την ίδια διεύθυνση  iii. Το διάνυσμα α  ημθ,συνθ  είναι το μηδενικό με: π 4 Α. θ  2κπ Β. θ  2κπ  Δ. θ  2κπ  π Ε. καμία τιμή του θ Γ. θ  2κπ  π 2 iv. Αν Α(1,2) και Ο η αρχή του ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων,  το ΟΑ ισούται με:   Α. i  2j   Β. 2i  j   Γ. i  2j   Δ. 2i  j Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 125 Ερωτήσεις Κατανόησης  v. Ο συντελεστής διεύθυνσης του μοναδιαίου διανύσματος j είναι Α. λ  1 Β. λ  0 Γ. δεν ορίζεται Δ. λ  1   vi. Τα διανύσματα α   λ2  1,2λ 2  1 και β   1,1 με λ  ℝ είναι συγ- γραμμικά για: Α. λ  1 Β. λ  0 Γ. λ  1 Δ. καμία τιμή του λ  ℝ   vii. Αν α  β  0 τότε  Α. α  0  Β. β  0     Γ. α  β Δ. α  β   Δ. α  β   viii. Είναι α  β  0 . Από τις παρακάτω σχέσεις δεν μπορεί να ισχύει:     π Γ. α  β και α,β  2  Α. α  0   Β. α  β   π Δ. α,β  4     π Ε. α  β  1 και α,β  6         ix. Αν α είναι μη μηδενικό διάνυσμα και β ένα οποιοδήποτε άλλο διάνυ- σμα, τότε :     Α. α  β  α  προββ α     Β. α  β  α  προβα β     Δ. α  β  α  προβα β     Ε. α  β  β  προββ α 126 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας     Γ. α  β  β  προβα β ο 1 Κεφάλαιο 1ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α1) Να ορίσετε τα παρακάτω : α) Ίσα διανύσματα γ) Ομόρροπα διανύσματα β) Αντίθετα διανύσματα , δ) Αντίρροπα διανύσματα Α2) Να αποδείξετε ότι αν Μ μέσο ενός τμήματος ΑΒ , να αποδείξετε ότι :    ΟΑ  ΟΒ ΟΜ  2 Α3) Να χαρακτηρίσετε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις :   1. Αν α ομόρροπο του β τότε ισχύει πάντα λ α  λβ    2. Το (α  β)  γ παριστάνει αριθμό       3. Αν α  β  α  γ τότε β  γ     4. Αν α  β  0 τότε α  β      5. Αν α  β  0 τότε α  0 ή β  0    6. Το (α  β)  γ παριστάνει διάνυσμα     7. Αν α  β  α  β τότε η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων είναι αμβλεία     8. Αν λ  α  μ  β και α , β μη παράλληλα διανύσματα τότε λ  μ  0   9. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ ισχύει ότι AB  ΓΔ   10. Το διάνυσμα β  (2, 3) έχει ίδιο μέτρο με το α  (2,3) ΘΕΜΑ Β Β1) Δίνονται τα σημεία Α,Β,Γ για τα οποία ισχύει     2  ΜΑ  ΜΒ  3  ΜΓ  0 Να δείξετε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά Β2) Δίνονται τα διανύσματα    κ  (3, 1) , v  (2,1) , u  (12, 5) α) Αποδείξτε ότι τα παραπάνω διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά    β) Να γράψετε το u ως γραμμικό συνδυασμό των κ , v Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 127 Διαγωνίσματα ΘΕΜΑ Γ      Δίνονται διανύσματα α και β με α  3 και β  4 και α,β  60 0   Γ1) Να βρείτε το εσωτερικό τους γινόμενο   Γ2) Να υπολογίσετε το α  2β     1  Γ3) Να εξετάσετε αν τα διανύσματα v  α  2β και u  β  2α έχουν ίδιο μέτρο 2 και αν είναι κάθετα μεταξύ τους. ΘΕΜΑ Δ  Δ1. Να αναλύσετε το διάνυσμα v  (8,1) σε δυο κάθετες συνιστώσες από τις ο ποίες η μια είναι παράλληλη στο διάνυσμα u  (2,3)    Δ2. Δίνονται τα διανύσματα α   2, 2  , β   x,1  και γ   2, 1  ,όπου x  ℤ. Αν   γνωρίζετε ότι για την γωνία θ των διανυσμάτων α και β ισχύει συνθ  να βρείτε : α) την τιμή του x  ℤ   β) την γωνία φ των διανυσμάτων β και γ 128 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 5 5 ο 1 Κεφάλαιο 2ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α  Α1) α) Να δώσετε τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων α και  β  β) Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο ενός διανύσματος α με ένα   διάνυσμα v είναι ίσο με το εσωτερικό γινόμενο του α με την προβολή   του v πάνω στο α .   300 και Α2) Έστω ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με AB  6 , γωνία BAΓ Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση   α) Το AB  AΓ ισούται με i) 18 ii) 2 3 iii) 6 3 iv) 18 3 v) 36 iii) - 6 3 iv) 36 v) -12 iii) -36 iv) 6 3 v) -12 iii) -36 iv) 6 v) 0   β) Το ΒΑ  ΟΒ ισούται με i) 18 ii) -1   γ) Το ΔΓ  ΑΒ ισούται με i) 36 ii) -18   δ) Το ΔΑ  ΔΟ ισούται με i) 36 ii) -6 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 129 Διαγωνίσματα ΘΕΜΑ Β     Β1) α) Να αποδείξετε ότι α  β  α  β . Πότε ισχύει η ισότητα;       β) Να αποδείξετε ότι αν α  β  α  β τότε α  β    Β2) Δίνονται τα διανύσματα α , β , γ για τα οποία ισχύει    α β γ     α  β  γ  0 και   2 3 5   Να αποδείξετε ότι: α) α  β   β) β  γ  2   Β3) Αν ΑΗ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει η ισότητα AB  ΒΓ  ΒΗ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. ΘΕΜΑ Γ Γ1) Δίνεται κύκλος (Ο,R) και δύο κάθετες μεταξύ τους χορδές ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται στο Σ. Να αποδείξετε ότι:      α) 2ΟΣ  ΟΑ  ΟΒ  ΟΓ  ΟΔ β) Αν Κ, Λ είναι τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντιστοίχως να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΟΚΣΛ είναι παραλληλόγραμμο. Γ2) Να αποδείξετε ότι όταν ισχύει καθεμία από τις παρακάτω ισότητες, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.      α) 3ΑΚ  2ΛΓ  ΛΑ  3ΒΚ  ΛΑ     β) 2004ΟΑ  1821ΒΟ  183ΓΟ  0 130 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 1 Κεφάλαιο ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε στο επίπεδο τα σημεία Α(-1,3), Β(1,1) και Γ(-4,0) Δ1) Να βρείτε σημείο Θ του επιπέδου τέτοιο ώστε να ισχύει     4ΘΑ  3ΘΒ  5ΘΓ  0 Δ2) Σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχούμε τον πραγματικό αριθμό f M από την ισότητα       f M  ΜΑ  ΜΒ  2ΜΒ  ΜΓ  3ΜΓ  ΜΑ α) Να αποδείξετε ότι f Γ   18  2 β) Να αποδείξετε ότι f M  6ΜΘ  f  Θ  γ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ όταν ισχύει f M  f Γ  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 131 Διαγωνίσματα 132 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 2ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.0 ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ 2.1 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 2.3 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Εξίσωση Γραμμής 134 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 2.0 Εξίσωση Γραμμής Εξίσωση Γραμμής Ονομάζουμε εξίσωση της γραμμής (c), κάθε εξίσωση της μορφής f  x,y   0 για την οποία ισχύουν:  Κάθε σημείο Μ x,y  της γραμμής την επαληθεύει f  x,y  =0 f2  x,y  =0 Μ f1  x,y  =0  Κάθε σημείο Μ x0 ,y 0  που την επαληθεύει ανήκει στη γραμμή (c). f1  x,y  =0  Μ:  f2  x,y  =0 Μ  x 0 ,y 0  =0  f  x 0 ,y 0  =0 Σκοπός μας είναι να δώσουμε αλγεβρική μορφή στα γεωμετρικά σχήματα δηλαδή να μεταμορφώσουμε  Την ευθεία σε εξίσωση Στόχοι  Τον κύκλο σε εξίσωση f  x,y  =0  Την έλλειψη σε εξίσωση  Την παραβολή σε εξίσωση  Την υπερβολή σε εξίσωση Γεωμετρική Μορφή Αλγεβρική Μορφή Και αντί να δουλεύουμε τα γεωμετρικά σχήματα, θα δουλεύουμε την εξίσωσή τους. Δηλαδή τα γεωμετρικά θέματα θα τα μετατρέψουμε σε αλγεβρικά. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 135 Εξίσωση Γραμμής ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Για να δείξουμε ότι ένα σημείο  x 0 ,y0  ανήκει σε μια γραμμή αρκεί οι συντεταγμένες του σημείου να επαληθεύουν την εξίσωση της γραμμής δηλαδή αρκεί f  x 0 ,y 0   0 Παράδειγμα 1 Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(1,1), Β(-1,3), Γ(0,0) ανήκουν ή όχι στη γραμμή με εξίσωση x 2  y 2  3x  y  0 . Λύση Θέτουμε f  x,y   x2 +y2 -3x+y και έχουμε f 1,1   12 +12 -3 1+1=0 άρα Α   C  f  -1,3    -1 +32 -3   1 +3=1+9+3+3  16  0 άρα Β  C  2 f  0,0   02 +02 -3  0+0=0 άρα Γ   C  Παράδειγμα 2 Να βρείτε το λ  ℝ ώστε το σημείο Α(2λ+1,λ) να ανήκει στη γραμμή (c) με εξίσωση x - 3y  4  0 Λύση Θέτουμε f  x,y   x-3y+4 Αφού Α  2λ+1,λ    C  έχουμε f  2λ+1,λ   0  2λ+1-3λ+4=0  -λ+5=0  λ=5 Παράδειγμα 3 π ώστε η γραμμή (c) με εξίσωση 2 x 2  y 2  2x  κ 2  1  0 να διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α(ημθ,συνθ). Να βρείτε τα κ,θ με 0<θ< Λύση Θέτουμε f  x,y   x +y -2x+κ -1 2 2 2 Αφού Ο  0,0    C  έχουμε f  0,0   0  κ2 -1  0  κ2  1  κ  1 Αφού Α ημθ,συνθ    C  έχουμε f ημθ,συνθ   0  ημ2θ+συν2θ-2ημθ  0   1-2ημθ  0  2ημθ  1  ημθ  136 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 1 π θ 2 6 ο 2 Κεφάλαιο ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ► Συμμετρικό Σημείου Αν το σημείο Μ έχει συντεταγμένες  x,y  τότε:  Το συμμετρικό του Μ1 ως προς τον άξονα xx έχει συντεταγμένες  x,-y  y  Το συμμετρικό του Μ2 ως προς τον άξονα yy έχει συντεταγμένες  -x,y  M(x,y) x x’  Το συμμετρικό του Μ3 ως προς την αρχή Ο(0,0) έχει συντεταγμένες  -x,-y  M4(y,x) M2(-x,y) Ο(0,0) M3(-x,-y) M1(x,-y) y’  Το συμμετρικό του Μ4 ως προς τη διχο έχει συντεταγμένες  y,x  τόμο της xΟy ► Συμμετρική Γραμμής Ας θεωρήσουμε τη γραμμή με εξίσωση f  x,y   0  Αν f  x,y   f  x,-y  για κάθε  x,y  τότε η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα xx . Με την ίδια λογική αν θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της συμμετρικής γραμμής της f  x,y   0 ως προς τον xx βρίσκουμε το f  x,-y   0 αντικαθιστώντας στην y f  x,-y  =0 x΄ x f  x,y  =0 y΄ εξίσωση f  x,y   0 το y με το -y .  Αν f  x,y   f  -x,y  για κάθε  x,y  τότε η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα yy . Με την ίδια λογική αν θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της συμμετρικής γραμμής της f  x,y   0 ως προς τον yy βρίσκουμε το f  -x,y   0 αντικαθιστώντας στην f  x,y  =0 y f  -x,y  =0 x x΄ y΄ εξίσωση f  x,y   0 το x με το -x . Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 137 Εξίσωση Γραμμής  Αν f  x,y   f  -x,-y  για κάθε  x,y  τότε η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς την αρχή Ο(0,0). Με την ίδια λογική αν θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της συμμετρικής γραμμής της f  x,y   0 ως προς την αρχή Ο(0,0) βρίσκουμε το f  -x,-y   0 αντικαθιστώντας στην f  x,y  =0 y x x΄ f  -x,-y  =0 εξίσωση y΄ f  x,y   0 τα x, y με τα -x, -y αντίστοιχα.  Αν f  x,y   f  y,x  για κάθε  x,y  τότε η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική ως προς  τη διχοτόμο της xΟy Με την ίδια λογική αν θέλουμε να βρούμε την εξίσωση της συμμετρικής γραμμής της f  x,y  ως  προς τη διχοτόμο της xΟy βρίσκουμε το f  y,x  αντικαθιστώντας στην y f  x,y  =0 x x΄ εξίσωση f  y,x  =0 y΄ f  x,y   0 τα x, y με τα y, x αντίστοιχα. Παράδειγμα 4 Δίνεται η γραμμή με εξίσωση x 2  y 2  3x  5  0 Να εξετάσετε αν είναι συμμετρική ως προς τους άξονες x΄x, y΄y και την αρχή των αξόνων. Ας είναι f  x,y   x  y  3x  5 2 Λύση 2 Έτσι λοιπόν έχουμε:  f  x,-y   x 2    y   3x  5  x2  y2  3x  5  f  x,-y   f  x,y  2 Άρα η γραμμή είναι συμμετρική ως προς τον x΄x  f  -x,y    x   y 2  3  x   5  x2  y2  3x  5  f  -x,y   f  x,y  2 Άρα η γραμμή δεν είναι συμμετρική ως προς τον y΄y  f  -x,-y    x     y   3  x   5  x 2  y 2  3x  5  f  -x,y   f  x,y  2 2 Άρα η γραμμή δεν είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων 138 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο Παράδειγμα 5 Δίνονται οι γραμμές με εξισώσεις:  c1  : 3x-4y+5  0 ,  c2  : x2 +y2 -2x+3y  1  0 ,  c3  : x2 +y2  9 Βρείτε τη: α) συμμετρική της c1 ως προς τον x΄x β) συμμετρική της c2 ως προς τον y΄y γ) συμμετρική της c3 ως προς την αρχή των αξόνων Λύση α) Για τη συμμετρική της c1 ως προς τον x΄x θέτουμε στην εξίσωσή της όπου y το – y και έχουμε: 3x-4  -y  +5  0  3x+4y+5  0 β) Για τη συμμετρική της c2 ως προς τον y΄y θέτουμε στην εξίσωσή της όπου x το – x και έχουμε:  -x  +y 2 -2  -x  +3y  1  0  x2 +y2 +2x+3y  1  0 2 γ) Για τη συμμετρική της c3 ως προς την αρχή των αξόνων θέτουμε στην εξίσωσή της όπου x το – x, y το – y και έχουμε:  -x  +  -y   9  x 2 +y 2  9 που είναι η ίδια. 2 2 ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΓΡΑΜΜΩΝ Για να βρούμε τα κοινά σημεία δύο γραμμών αρκεί να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων των δύο γραμμών.  Αν το σύστημα έχει μόνο μια λύση τότε οι δύο γραμμές έχουν ένα κοινό σημείο.  Αν το σύστημα έχει δύο λύσεις διαφορετικές οι γραμμές έχουν δύο κοινά σημεία.  Αν το σύστημα έχει μια διπλή πραγματική λύση τότε οι γραμμές εφάπτονται.  Αν το σύστημα είναι αδύνατο τότε οι γραμμές δεν έχουν κοινά σημεία. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 139 Εξίσωση Γραμμής ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές διέρχονται από την αρχή των αξόνων: α) 2010x-y  0 2) γ) x 2 -y 2 -2x+1  0 Να βρείτε ποια από τα σημεία Α(0,1), Β(2,1) και Γ(-1,3) ανήκουν στις παρακάτω γραμμές: α) x 2 +y 2 -5x+2y-3  0 3) β) 4x 2 +4y 2 -20x+8y  0 β) y 2 =-9x γ) x-y  1 Να βρείτε το λ ώστε οι γραμμές που έχουν τις παρακάτω εξισώσεις να διέρχονται από την αρχή των αξόνων: α) 3x-λy+λ-2  0 β)  x-1  +y 2 -λ 2 -1  0 2 γ) λx 2 +  y-1 -1  0 2 δ) λx2  λy  2  0 4) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω γραμμές έχουν άξονα συμμετρίας των x΄x, τον y΄y και ποιες κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. α)  c1 : x+y2 -1  0 5) β)  c2 : 2x2 +y2 -5  0 Δίνεται η γραμμή  c : x2 +y2 -3x+2y-10  0 Να βρείτε τη συμμετρική (c΄) της (c) ως προς α) Τον άξονα x΄x β) Τον άξονα y΄y γ) Την αρχή των αξόνων 6)  δ) Τη διχοτόμο της γωνίας xΟy Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραμμών α)  c1 : 4x-3y-1  0 και  c2 : 5x+y  6 β)  c1 : 4x-3y-1  0 και  c2 : x2 +y2 +3x-4y-9  0 γ)  c1 : x2 +y2 -3x+4y-3  0 και  c2 : x2 +y2 +x+y-4  0 140 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο Εξίσωση Γραμμής 2.1 Εξίσωση Ευθείας 2.2 Γενική Εξίσωση Ευθείας Μια εξίσωση με δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση μιας γραμμής (c) όταν οι συντεταγμένες των σημείων της (c), και μόνο αυτές, την επαληθεύουν. Γωνία που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα x΄x Ας είναι Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και (ε) μια ευθεία που τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο Α.  Τη γωνία ω που σχηματίζει ο άξονας x΄x όταν στραφεί γύρω από το σημείο Α κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ευθεία (ε) τη λέμε γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x΄x. (ε) y Ο Α + ω x y  Αν η ευθεία (ε) είναι παράλληλη προς τον άξονα x΄x τότε λέμε ότι σχηματίζει με αυτόν γωνία ω=0 (ε) Ο x Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας (ε)  Σε κάθε περίπτωση για τη γωνία ω ισχύει ότι 0  ω  π Συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) ορίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα x΄x και τον συμβολίζουμε συνήθως με λ ε . Δηλαδή λ ε  εφω  Αν η γωνία ω είναι οξεία ( ω  90 ) τότε λ ε  0  Αν η γωνία ω είναι αμβλεία ( ω  90 ) τότε λ ε  0  Αν η γωνία ω είναι μηδέν τότε λ ε  0  Αν η γωνία ω είναι ορθή τότε λ ε δεν ορίζεται Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 141 Συνθήκη Παραλληλίας Ευθειών Υπολογισμός Συντελεστή Διεύθυνσης Ευθείας Σχέση Συντελεστών Διεύθυνσης Διανύσματος και Ευθείας που είναι παράλληλα Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας  Έστω ένα διάνυσμα δ παράλληλο σε μια ευθεία (ε). Αν φ και ω είναι  οι γωνίες που σχηματίζουν το δ και η (ε) με τον x΄x αντιστοίχως, τότε θα ισχύει ότι φ=ω ή φ=π+ω Σε κάθε περίπτωση είναι: εφφ  εφω  λ δ  λ ε y  δ φ y (ε) φ ω x (ε) ω x  δ Προσοχή!!! Η παραπάνω πρόταση δεν ισχύει στην περί πτωση που το διάνυσμα δ και η ευθεία (ε) είναι κάθετα στον άξονα τον x΄x γιατί τότε δεν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης τους. y  δ (ε) x Ο συντελεστής διεύθυνσης λ ε μιας ευθείας που διέρχεται από τα y -y σημεία Α  x1 ,y1  και Β  x 2 ,y 2  με x1  x 2 είναι λ ε  2 1 x 2 - x1 Απόδειξη y Αφού x1  x 2 η ευθεία δεν είναι κατακόρυφη.  Α(x1,y1) Επειδή ο φορέας του ΑΒ είναι η ευθεία ΑΒ, το  ΑΒ είναι παράλληλο στην ευθεία ΑΒ. x B(x2,y2) Άρα λ ε  λ    y y Όμως ΑΒ   x 2  x1 ,y 2  y1  και λ   2 1  x 2  x1 y y Επομένως λ ε  2 1 x 2  x1 Αν δύο ευθείες ε1 , ε2 είναι παράλληλες τότε λ ε1  λ ε2 Απόδειξη     Θεωρούμε τα διανύσματα δ1 , δ2 τέτοια ώστε δ1 / / ε1 και δ2 / / ε2 Τότε λ δ  λ ε1 και λ δ  λ ε2 1 2   Έχουμε ε1 / /ε2  δ1 / /δ2  λ δ  λ δ  λ ε1  λ ε2 1 142 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 2 ο Εξίσωση Ευθείας 1 (Γνωστό σημείο και συντ. διευθ.) Συνθήκη Καθετότητας Ευθειών 2 Κεφάλαιο Αν δύο ευθείες ε1 , ε2 είναι κάθετες τότε λ ε1  λ ε2  1 Απόδειξη     Θεωρούμε τα διανύσματα δ1 , δ2 τέτοια ώστε δ1 / / ε1 και δ2 / / ε2 Τότε λ δ  λ ε1 και λ δ  λ ε2 1 2   Έχουμε ε1  ε2  δ1  δ2  λ δ  λ δ  1  λ ε1  λ ε2  1 1 2 Η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α(x0,y0) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y - y0 = λ(x - x0) Απόδειξη Έστω ότι το Μ(x,y) είναι διαφορετικό του Α y Έχουμε: Α(x0 ,y0) λ  λ  y  y0   λ  Μ  ε   ΑΜ / /  ε   λ ΑΜ  λ  x ε x  x0  y  y 0  λ  x  x 0  (1) Επιπλέον, αφού η (1) επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου A  x 0 ,y 0  συμπεραίνουμε ότι αυτή είναι η εξίσωση της (ε). Η ευθεία (ε) που διέρχεται από τα σημεία A  x1 ,y1  και B  x 2 ,y 2  Εξίσωση Ευθείας 2 (Γνωστά δύο σημεία από τα οποία διέρχεται) έχει εξίσωση: y y y  y 1 = 2 1  x  x1  ή x  x 1 x 2  x1 Απόδειξη y y  Αν x1  x 2 τότε λ ε = 2 1 x 2  x1 y Α(x1 ,y1) Επειδή η (ε) διέρχεται από το A  x1 ,y1  και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ  λ ε , B(x2 ,y2) x η εξίσωσή της είναι: y y y  y1 = 2 1  x  x1  x 2  x1  Αν x1  x2 , τότε η (ε) είναι κατακόρυφη. Οπότε κάθε σημείο της έχει τετμημένη x1 Άρα η εξίσωση της (ε) είναι x  x1 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 143 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας Η εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Α(0,β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y  λx  β Απόδειξη y Αφού η ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και διέρχεται από το σημείο Α(0,β) η εξίσωσή x της είναι: Α(0,β) y  y Α  λ  x  x Α   y  β  λx  y  λx  β Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y  λx Απόδειξη y Αφού η ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και διέρχεται από το σημείο Ο(0,0) η εξίσωσή x της είναι: Ειδικές Περιπτώσεις Εξισώσεις Ευθειών y  y 0  λ  x  x 0   y  λx Πιο συγκεκριμένα   Η διχοτόμος της γωνίας xΟy (1ης και 3ης γωνίας των αξόνων) έχει εξίσωση: yx   Η διχοτόμος της γωνίας yΟx΄ (2ης και 4ης γωνίας των αξόνων) έχει εξίσωση: y=-x y y=x x y  x Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(x0,y0) και είναι παράλληλη στον άξονα x΄x είναι: y  y 0 Απόδειξη  y Α(x0 ,y0) Ας είναι δ1 / / ε1 τότε λ δ  λ ε1 1  Αφού ε1 / / x΄x  δ1 / / x΄x  λ δ  0  λ ε1  0 x 1 Άρα η εξίσωσή της θα είναι: y  y 0  λ  x  x0   y  y0  0  y  y0  Ο άξονας y΄y έχει εξίσωση x  0  Ο άξονας x΄x έχει εξίσωση y  0 144 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Αx  By  Γ  0 με Α  0 ή Β  0 Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της παραπάνω μορφής παριστάνει ευθεία. Απόδειξη Ευθύ y Θα δείξουμε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έ(ε) χει εξίσωση της μορφής Αx  By  Γ  0 με Α  0 ή Β  0 Α(0,β) Έστω (ε) μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο. Ο x Διακρίνουμε περιπτώσεις: Έστω ότι η (ε) δεν είναι κατακόρυφη. Έτσι η (ε) τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο Σ(0,β) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ τότε θα έχει εξίσωση y  λx  β  λx - y  β  0  λ  x   1   y  β  0 η οποία έχει τη μορφή Αx  By  Γ  0 με Α  λ , Β  -1  0 και Γ  β Αν η (ε) είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το σημείο Ρ(x0,y0), τότε θα έχει εξίσωση x  x0  x  x0  0  1  x  0  y  x0  0 η οποία έχει τη μορφή Αx  By  Γ  0 με Α  1  0 , Β  0 και Γ  -x 0 Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση της ευθεία παίρνει τη μορφή Αx  By  Γ  0 με Α  0 ή Β  0 Αντίστροφο Θα δείξουμε ότι κάθε εξίσωση της μορφής Αx  By  Γ  0 με Α  0 ή Β  0 (1) παριστάνει ευθεία Διακρίνουμε περιπτώσεις Α Γ  Αν Β  0 τότε η (1)  By  -Αx -Γ  y  - x - που είναι εξίσωση B B ευθείας.  Αν Β  0 τότε από την (1) έχουμε Α  0 και Αx  Γ  0  Αx  Γ  x   Γ Α Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 145 Διάνυσμα Παράλληλο ή Κάθετο σε Ευθεία Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας Άρα σε κάθε περίπτωση η (1) παριστάνει ευθεία. Η ευθεία με εξίσωση Αx  By  Γ  0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα  δ   B, - Α  Απόδειξη Έστω η ευθεία (ε) με εξίσωση Αx  By  Γ  0 Διακρίνουμε περιπτώσεις Α Γ  Αν Β  0 τότε Αx  By  Γ  0  By  -Αx -Γ  y  - x B B  Α Α Άρα λ ε  - και λ δ  - οπότε λ δ  λ ε  άρα  ε  / /δ B B    Αν Β  0 τότε  ε  / /yy και δ / /yy οπότε  ε  / /δ  Επομένως σε κάθε περίπτωση  ε  / /δ  Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι και το διάνυσμα δ   Β,Α  είναι παράλληλο στην (ε). Η ευθεία με εξίσωση Αx  By  Γ  0 είναι κάθετη στο διάνυσμα  η   Α,Β  Απόδειξη  Από προηγούμενη απόδειξη το διάνυσμα δ  Β,-Α  είναι παράλληλο στην ευθεία (ε) με εξίσωση Αx  By  Γ  0 Επίσης παρατηρούμε ότι   δ  η  Β,-Α    Α,Β   Β  Α - Α  Β  0     Είναι λοιπόν δ  η και αφού  ε  / /δ θα είναι  ε  / /η  Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι και το διάνυσμα ε    Α,  Β  είναι κάθετο στην (ε). 146 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Εύρεση Συντελεστή Διεύθυνσης Ευθείας Για να βρούμε το συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας αρκεί να γνωρίζουμε κάτι από τα παρακάτω:  Τις συντεταγμένες δύο σημείων Α, Β από τα οποία διέρχεται η ευθεία (ε). Τότε θα είναι: y y λ  Β Α xΒ  x Α Τα σημεία Α, Β δεν πρέπει να έχουν την ίδια τετμημένη !!!  Τη γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα x΄x. Τότε θα είναι: λ   εφω Η γωνία ω δεν πρέπει να είναι ορθή !!!  Την εξίσωση μιας ευθείας (ε1) ή τις συντεταγμένες ενός διανύ σματος δ1 στα οποία η (ε) είναι παράλληλη. Τότε θα είναι: λ   λ 1 ή λ   λ αντίστοιχα 1  Η ευθεία (ε1) ή το διάνυσμα δ1 δεν πρέπει να είναι κάθετα στον άξονα x΄x !!!  Την εξίσωση μια ευθείας (ε2) ή τις συντεταγμένες ενός διανύ σματος δ2 στα οποία η (ε) είναι κάθετη. Τότε θα είναι: λ   λ 2  -1 ή λ   λ   -1 αντίστοιχα 2  Η ευθεία (ε2) ή το διάνυσμα δ2 δεν πρέπει να είναι παράλληλα στον άξονα x΄x !!! Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 147 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας Παράδειγμα 1 Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνση της ευθείας που: α) Διέρχεται από τα σημεία Α(3,-5) και Β(6,-4)  β) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ   2,4022   γ) Είναι κάθετη στο διάνυσμα η   2010,1  δ) Σχηματίζει γωνία 3π με τον άξονα x΄x 4 Λύση  α) Ισχύει ότι λ   λ ΑΒ  Όμως ΑΒ   6  3, 4  5    3,1  1 1 οπότε και λ ε  3 3   β) Αφού  ε  / / δ και δ / / y΄y έχουμε ότι λ   λ δ Άρα λ   ΑΒ 4022  2011 οπότε λ   2011 2   γ) Αφού  ε   δ και δ / / x΄x έχουμε ότι λ   λ δ  1 (1) Όμως λ δ  Όμως λ δ   1 . 2010 1  λ  Από τη σχέση (1) έχουμε: λ      1  λ   2010   1   2010  2010  δ) Ισχύει ότι: λ   εφ 3π π  π  λ   εφ  π -   λ   εφ  λ   1 4 4  4 Παράδειγμα 2 Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x΄x, η ευθεία ε, που α) Διέρχεται από τα σημεία Α(2,3) και Β(4,1) β) Διέρχεται από τα σημεία Α(2,6) και Ρ(2,1) γ) Διέρχεται από τα σημεία Η(2,3) και Σ(4,3) δ) Έχει εξίσωση 3 x  3y  9  0 ε) Είναι κάθετη στην ευθεία  η  : 5 x  5 y  10  0 148 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο Λύση  α) Έχουμε ΑΒ   4  2,1  3    2, 2  2 Άρα λ    1 ΑΒ 2   λ  1  εφω= -1 Όμως λ   λ ΑΒ  Οπότε ω   Αν λ α δεν ορίζεται τότε  α  x΄x   Αν α   0,y  με y  0 τότε  α  x΄x 3π 4  Αν λ α  0 τότε  α / /x΄x   Αν α   x,0  με  β) Έχουμε ΑΡ   2  2,1  6    0, 5   δεν ορίζεται Άρα λ ΑΡ x  0 τότε  α / /x΄x  π Δηλαδή ΑΡ  x΄x οπότε και  ε   x΄x άρα ω  2  γ) Έχουμε ΗΣ   4  2,3  3    2,0    Άρα λΗΣ 0 0 2   λ  0  εφω=0 άρα ω  0 Όμως λ   λΗΣ  Δηλαδή  ε  / /x΄x δ) Έχουμε  ε  : 3x  3y  9  0 Οπότε λ    3 3 3 π  λ   εφω  άρα ω= 3 3 3 6 Αν η εξίσωση μιας ευθείας (ε) είναι της μορφής Αx  By  Γ  0 με Β  0 5 ε) Αφού  η : 5x  5y  12  0 είναι λη    λη  1 5 Όμως  ε    η  λ ε  λη  1  λ ε  1  εφω=  1 άρα ω= τότε λ ε   Α Β 3π 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 149 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας (ε) πρέπει να γνωρίζουμε: Τις συντεταγμένες ενός σημείου της Α  x 0 ,y 0  και το συντελεστή διεύθυνσής της λ ή ένα άλλο σημείο της. ► Πιο συγκεκριμένα αν ζητείται να βρεθεί η εξίσωση μιας ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α  x 0 ,y 0  τότε ακολουθούμε τα εξής βήματα:  Γράφουμε την εξίσωσή της η οποία είναι   ε : y  y 0  λ  x  x0  (1) ή x  x0 (2)  Ελέγχουμε αν η ευθεία x  x 0 είναι λύση του προβλήματος  Με ένα άλλο δεδομένο βρίσκουμε το λ, όποτε και την εξίσωση της (ε). ► Αν ζητείται να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία A  x1 ,y1  και Β  x2 ,y 2  τότε χρησιμοποιούμε τον τύπο: y y y  y1 = 2 1  x  x1  αν x2  x1 x 2  x1 Ενώ αν x1  x2 τότε (ε): x  x1 Ειδική Περίπτωση Αν η ευθεία (ε) διέρχεται από το Α  x 0 ,y 0  και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο, τότε έχουμε τους περιορισμούς ότι η (ε) δεν είναι παράλληλη στους άξονες και επιπλέον δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Οπότε η εξίσωσή της είναι: y x0  ε : y  y 0  λ  x  x0  με λ  0 και λ  0 Χρήσιμη Παρατήρηση Αν ένα σημείο A  x1 ,y1  ανήκει στην ευθεία  ε : y  λx  β τότε 150 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο Παράδειγμα 3 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(2,-1) και  α) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ   5,5   β) Είναι κάθετη στο διάνυσμα δ   7,1  γ) Είναι παράλληλη στην ευθεία  ζ  : y  3x+1 δ) Είναι κάθετη στην ευθεία  η  : 2y  4x  1 Λύση Σε κάθε ένα από τα ερωτήματα θα θεωρήσουμε ότι η ζητούμενη ευθεία είναι η (ε) ώστε να μην επαναλαμβανόμαστε. Αφού γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου Α από το οποίο διέρχεται αρκεί να βρούμε το συντελεστή διεύθυνσής. 5 α) Είναι λ δ   λ δ  -1 -5  Αφού  ε  / /δ  λ ε  λ δ  λ ε  -1 Άρα  ε  : y - y A  λ ε  x - x A   y -  -1  -1  x - 2   y  1  -x  2  y  -x  1 β) Είναι λ δ  1 7  1 Αφού  ε   δ  λ ε  λ δ  -1  λ ε   -1  λ ε  -7 7 Άρα  ε  : y - y A  λ ε  x - x A   y -  -1  -7  x -2   y  1  -7x  14  y  -7x  13 γ) Είναι λ ζ  3 Αφού  ε  / /  ζ   λ ε  λ ζ  λ ε  3 Άρα  ε  : y - y A  λ ε  x - x A   y -  -1  3  x - 2   y  1  3x - 6  y  3x - 7 1 άρα λη  -2 2 1 Αφού  ε    η  λ ε  λη  -1  λ ε   -2   -1  λ ε  2 1 1 1 Άρα  ε  : y - y A  λ ε  x - x A   y -  -1   x - 2   y  1  x -1  y  x -2 2 2 2 δ) η : 2y  4x  1  2y  -4x  1  y  -2x  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 151 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας Παράδειγμα 4 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-3,2) και α) Σχηματίζει γωνία 135ο με τον άξονα x΄x β) Είναι παράλληλη στον άξονα x΄x γ) Είναι κάθετη στον άξονα x΄x δ) Έχει κλίση ίση με 2010 Λύση Σε κάθε ένα από τα ερωτήματα θα θεωρήσουμε ότι η ζητούμενη ευθεία είναι η (ε) ώστε να μην επαναλαμβανόμαστε. α) Είναι λ ε  εφ135  λ ε  εφ 180 - 45   λ ε  -εφ  45   λ ε  -1 Άρα  ε  : y - y A  λ ε  x - x A   y -2  -1  x  3  y -2  -x - 3  y  -x -1 β) Αφού  ε  / /xx είναι  ε  : y  y A  y  2 Αν η ευθεία (ε) διέρχεται από το Α(x0,y0) και γ) Αφού  ε   x x είναι  ε  : x  x A  x  3   ε   x΄x τότε δ) Αφού η κλίση της (ε) είναι 2010 έχουμε ότι λ ε  2010   ε   y΄y τότε x  x0 Άρα  ε  : y - y A  λ ε  x - x A   y - 2  2010  x  3   y  y0  y - 2  2010x  6030  y  2010x  6032 Παράδειγμα 5 Δίνονται τα σημεία Α(14,5) και Β(2,-1) α) Να δείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β έχει εξίσωση  ε  : x - 2y - 4  0 β) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της (ε) με τους άξονες. Λύση α) Αρχικά βρίσκουμε το συντελεστή διεύθυνσης της (ε)  (1) Είναι λ ε  λ ΑΒ  6 1 Όμως ΑΒ   2  14, 1  5    12, 6  άρα λ    ΑΒ 12 2 152 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο Από την (1) προκύπτει ότι λ ε  1 2 y A Επιπλέον η (ε) διέρχεται από το σημείο Α οπότε για την εξίσωσή της έχουμε: 1  ε  : y - y A  λ ε  x - x A   y - 5   x -14   2 1 1  y - 5  x - 7  y  x - 2 (2) 2 2 β)  Για x  0 από τη σχέση (2) έχουμε y  -2 Άρα η (ε) τέμνει τον y΄y στο Γ(0,-2) x΄ B x y΄ Στην ίδια εξίσωση θα καταλήγαμε αν θεωρούσαμε ότι η (ε) διέρχεται από το σημείο Β. Δοκιμάστε το !!! 1 1  Για y  0 από τη σχέση (2) έχουμε 0  x - 2  x  2  x  4 2 2 Άρα η (ε) τέμνει τον x΄x στο Δ(4,0) Παράδειγμα 6 Δίνονται τα σημεία Α(3,1), Β(0,2) και Γ(1,0) α) Να αποδείξετε ότι τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές γ) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΓΕ του τριγώνου ΑΒΓ δ) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ ε) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της ΑΓ στ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής του ύψους ΓΕ με τη διάμεσο ΑΔ Λύση α) Διαδοχικά έχουμε   ΑΒ   0  3,2  1    3,1  και ΑΓ  1  3,0  1    2, 1    3 1 det ΑΒ,ΑΓ   32  5  0 2 1   Άρα ΑΒ / / ΑΓ οπότε Α, Β, Γ μη συνευθειακά δηλαδή Α, Β, Γ σχηματίζουν τρίγωνο.   Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 153 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας  2 2 β) Είναι ΑΓ   2    1   5  Επιπλέον ΒΓ  1  0,0  2   1, 2  άρα  2 ΒΓ  12   2   5   Αφού ΒΓ  ΑΓ  ΒΓ    ΑΓ  έχουμε ότι ΑΒΓ ι- y B x΄ Δ Λ Ε Α Κ x Γ y΄ (ε) σοσκελές     Ακόμη ΑΓ  ΒΓ  2  1   1  2   2  2  0 άρα ΑΓ  ΒΓ Οπότε ΑΒΓ και ορθογώνιο με ορθή γωνία τη Γ    1   -1  λ   γ) ΓΕ  ΑΒ  λΓΕ  λ ΑΒ   -1  λΓΕ  3 ΓΕ   3 Άρα για την εξίσωση του ΓΕ έχουμε: ΓΕ  : y - yΓ  λΓΕ  x - xΓ   y  3  x -1   y  3x - 3 xΒ  x Γ 0  1 1  x Δ  2  2  2 1  δ) Δ μέσο ΒΓ   άρα Δ  ,1  2   y Δ  y Β  yΓ  2  0  1  2 2   1 0   5    Οπότε ΑΔ    3,1  1     ,0  άρα λ  0 ΑΔ 5 2   2   2 Έτσι λοιπόν η ΑΔ είναι παράλληλη στον άξονα x΄x και η εξίσωσή της θα είναι:  ΑΔ  : y  y Α  y  1 ε) Ας είναι (ε) η μεσοκάθετος της ΑΓ με Κ μέσο του ΑΓ x A  xΓ 3  1  xK  2  2  2  1 Κ μέσο ΑΓ  άρα K  2,   2  yK  y A  yΓ  0  1  1  2 2 2 1 Επιπλέον  ε   ΑΓ  λ ε  λ ΑΓ  1  λ ε   1  λ ε  2 2 Άρα για την εξίσωση της (ε) έχουμε: 154 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 1 1  -2  x - 2   y -  -2x  4  2 2 1 9  y  -2x  4   y  -2x  2 2  ε  : y - yΚ  λ ε  x - xΚ   y - στ) Από προηγούμενα ερωτήματα έχουμε: ΓΕ  : y  3x - 3 (1) και  ΑΔ  : y  1 (2) Λύνουμε το σύστημα των (1) και (2) 2 1  1  3x - 3  4  3x  x  4 3 Για να βρούμε το σημείο τομής δύο ευθειών λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους. 4  Άρα το σημείο τομής των ΓΕ και ΑΔ είναι το Λ  ,1  3  Παράδειγμα 7 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών  ε1  : x  y - 5  0 και  ε 2  : 3x  2y -11  0 και είναι κάθετη στην ευθεία  ε  : 3x  5y - 4  0 . Λύση Έστω (ζ) η ζητούμενη ευθεία. Αρχικά βρίσκουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των (ε1) και (ε2) y (ε)  x  y - 5  0 1   x  y  5   -2     3x  2y -11  0 3x  2y  11 -2x - 2y  -10  3x  2y  11  (ζ) x x΄ y΄ (ε2) (ε1) x 1 Για x  1 η 1   1  y - 5  0  y - 4  0  y  4 άρα Α(1,4) το σημείο τομής των (ε1) και (ε2) Για το συντελεστή διεύθυνσης της (ζ) έχουμε: 3  5  ζ    ε   λ ζ  λ ε  1  λ ζ      1  λ ζ  5 3 Αν (ε): Αx+Βy+Γ=0 με Α  0 τότε Α λ   Β Έτσι λοιπόν η εξίσωση της (ζ) είναι: 5 3 5 3  ζ  : y - y A  λ ζ  x - x A   y - 4   x -1   y  x - 5 5 7 4  y  x 3 3 3 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 155 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας Παράδειγμα 8 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,4) και έστω x  y  1 , y  6 , οι εξισώσεις ενός ύψους και μιας διαμέσου αντίστοιχα. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ. Λύση Αρχικά παρατηρούμε αν το Α ανήκει στο ύψος  ε1  : x  y  1 (1) ή στη διάμεσο  ε2  : y  6 (2)  Για x  1 και y  4 η (1)  5  1 που δεν ισχύει Βοηθητικό Σχήμα (ε1) Α (ε2) Μ Άρα το Α δεν ανήκει στην (ε1) Προφανώς το Α δεν ανήκει στην διάμεσο (ε2) αφού Γ Β η τεταγμένη του δεν είναι 6. Ας θεωρήσουμε λοιπόν ότι το ύψος (ε1) διέρχεται από την κορυφή Β  xB ,yB  και η διάμεσος (ε2) διέρχεται από την κορυφή Γ  xΓ ,yΓ  . Διαδοχικά έχουμε:    yΓ  6 οπότε Γ  xΓ ,6  Επιπλέον  ε2   ΑΓ  λ ε λ ΑΓ  -1 (3)  Γ  ε2 2 Όμως λ   ΑΓ (3)  - yΓ - y Α 6 - 4 2 και λ ε2  -1   xΓ - x Α xΓ -1 xΓ -1 2 2  -1   1  2  xΓ -1  3  xΓ άρα Γ(3,6) xΓ -1 xΓ -1    xΒ  yΒ  1  yΒ  1 - xΒ οπότε Β  xB ,1 - xB   Β  ε1 Θεωρούμε Μ μέσο ΑΒ και έχουμε: x Α  xB 1  x B  xΜ  2  2   y Μ  y Α  yB  4  1 - x B  5 - x B  2 2 2 y Β (ε2) Γ Μ  1  x B 5 - xB  άρα Μ ,  2   2 Όμως Μ   ε2   5 - xB  6  5 - xB  12  xB  -7 άρα Β(-7,8) 2 156 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Α x΄ (ε1) y΄ x ο 2 Κεφάλαιο Παράδειγμα 9 Δίνεται παραλληλόγραμμο του οποίου οι δύο πλευρές έχουν εξίσωση 2x  y - 4  0 και x - y - 2  0 και το κέντρο του έχει συντεταγμένες (-4,2). Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών. Λύση Παρατηρούμε ότι οι δύο εξισώσεις των πλευρών δεν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης άρα δεν είναι παράλληλες. Ας είναι ΑΒΓΔ το παραλληλόγραμμο με κέντρο Κ(-4,2) Βοηθητικό Σχήμα  ΑΒ  : 2x  y - 4  0 (1) ΒΓ  : x - y - 2  0 (2) Α Κ(-4,2) Για να βρούμε τις εξισώσεις των ΑΔ, ΔΓ αρκεί να βρούμε τις συντεταγμένες της κορυφής.  Β Γ Δ Λύνουμε το σύστημα των (1) και (2) για να βρούμε το Β 2x  y - 4  0 2x  y  4    3x  6  x  2  x - y - 2  0 x - y  2 Για x  2 η (2)  2  2  y - 4  0  4  y - 4  0  y  0 άρα Β(2,0)  Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του Δ xΒ  x Δ 2  xΔ   xΚ  2 -4  2 -8  2  x Δ x  -10 Κ μέσο του ΒΔ      Δ 4  y Δ y Δ  4 y  y Β  y Δ 2  0  y Δ  Κ  2  2 άρα Δ(-10,4)  Για την εξίσωση της ΑΔ έχουμε  ΑΔ  / / ΒΓ   λ ΑΔ  λΒΓ  λ ΑΔ  1 Άρα  ΑΔ  : y - y Δ  λ ΑΔ  x - x Δ   Δ  y - 4  x  10  y  x  14 y Α Κ x Β x΄ Γ  Για την εξίσωση τη ΔΓ έχουμε y΄  ΔΓ  / /  ΑΒ   λ ΔΓ  λ ΑΒ  λ ΔΓ  -2 Άρα  ΔΓ  : y - y Δ  λ ΔΓ  x - x Δ   y - 4  -2  x  10    y - 4  -2x - 20  y  -2x -16 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 157 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας Παράδειγμα 10 Να βρείτε την ευθεία (ε) που διέρχεται από το σημείο Μ(2,1), τέμνει τους άξονες στα σημεία Α και Β, έτσι ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ. Λύση Η ευθεία x  2 δεν αποτελεί λύση γιατί προφανώς δεν τέμνει τους άξονες x΄x, y΄y. Έτσι λοιπόν η ζητούμενη ευθεία (ε) θα έχει εξίσωση της μορφής  ε : y - yM  λ  x - xM   y -1  λ  x - 2  y  λx - 2λ  1 (1) με λ  0 (γιατί;) y  Βρίσκουμε το σημείο τομής της (ε) με τον y΄y Για x  0 η (1)  y  -2λ  1 Α Άρα η (ε) τέμνει τον y΄y στο Α  0,-2λ  1  Μ  Βρίσκουμε το σημείο τομής της (ε) με τον x΄x y΄ Για y  0 η (1)  0  λx-2λ  1  λx  2λ -1  x  2λ -1 λ  2λ -1  Άρα η (ε) τέμνει τον x΄x στο Β  ,0   λ  2λ -1  x Α  xΒ   x  λ  Μ 2  2  M μέσο του ΑB    2  y  y Α Β  yΜ   -2λ  1 1   2  2 2λ -1  4λ  2λ -1 2λ  -1 1 2    λ2λ   2 2λ  -1 2  -2λ  1 2λ  -1 Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι: 1 1  1 (1)  y  - x - 2  -   1  y  - x  2 2 2  2 158 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Β x x΄ ο 2 Κεφάλαιο Παράδειγμα 11 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το Μ(1,4) και τέμνει τις ευθείες  ε1  : x  y - 4  0 και  ε 2  : 2x - y  3  0 στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ Λύση  Αρχικά ελέγχουμε αν η κατακόρυφη ευθεία  ε : x  1 αποτελεί λύση του προβλήματος.  Βρίσκουμε το κοινό σημείο της (ε) με την (ε1)  x  y - 4  0 1  y - 4  0  y  3    x  1 x  1 x  1 y Μ Α άρα Α(1,3)  Βρίσκουμε το κοινό σημείο της (ε) με την (ε2) 2x - y  3  0 2 - y  3  0  y  5    x  1 x  1 x  1 Β x΄ x (ε2) y΄ (ε) (ε1) άρα Β(1,5)  11 3 5  Το μέσο του ΑΒ είναι το σημείο  ,  ή 1,4  που είναι το σημείο 2   2 Μ άρα η μια ευθεία είναι η  ε : x  1  Έστω τώρα ότι η (ε) δεν είναι κατακόρυφη. Τότε:  ε  : y - yΜ  λ  x - xΜ   y - 4  λ  x -1   y  λx - λ  4 (1)  Βρίσκουμε το κοινό σημείο της (ε) με την (ε1): x  y - 4  0 (2) λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους. 1  (2)  x  λx  λ  4  4  0  1  λ  x  λ  x  Για x  λ 1λ λ λ λ 3λ  4 η (2)  y-4  0  y  4y 1λ λ 1 λ 1 λ 1  λ 3λ  4  άρα Α  ,   λ 1 λ 1  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 159 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας  Βρίσκουμε το κοινό σημείο της (ε) με την (ε2): 2x - y  3  0 (3) 1  (3)  2x -  λx - λ  4   3  0  2x - λx  λ  4  3  0   2 - λ  x  1  λ  x  Για x  1λ 2- λ 1- λ 1- λ 2 - 2λ η (3)  2 -y3  0  -y 3  0  2- λ 2- λ 2- λ  y  3 x Α  xΒ  xΜ  2 Όμως Μ μέσο ΑΒ    yΜ  y Α  yΒ  2 2 - 2λ 8 - 5λ  1 - λ 8 - 5λ  y άρα Β  ,  2- λ 2- λ  2 - λ 2- λ  4 5 x  xΒ λ 1- λ  x Α  xΒ  2   2 2 λ 1 2- λ 4  1  Α  λ  2 - λ    λ  1 1 - λ   2  2 - λ  λ  1    2λ - λ 2  1 - λ 2  4λ  4 - 2λ 2 - 2λ  2λ  1  2λ  4  1  4 Αδύνατη Τελικά η μοναδική ευθεία είναι η  ε : x  1 Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας με Γνωστό Συντελεστή Διεύθυνσης Αν μας δίνεται ότι η ευθεία (ε) έχει γνωστή διεύθυνση η οποία καθορίζεται από το συντελεστή διεύθυνσής της λ, τότε θα θεωρούμε ότι η εξίσωσή της είναι: y  λx  β και το β θα βρίσκεται από άλλο δεδομένο. Το λ θα μας δίνεται έμμεσα αν γνωρίζουμε  Τη γωνία που σχηματίζει η (ε) με τον άξονα x΄x  Tην εξίσωση μιας ευθείας (η) ή τις συντεταγμένες ενός διανύσματος  δ που είναι παράλληλα στην (ε) αλλά όχι στον y΄y  Την εξίσωση μιας ευθείας (η) ή τις συντεταγμένες ενός διανύσματος  δ που είναι κάθετα στην (ε) αλλά όχι στον x΄x 160 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο Παράδειγμα 12 Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες στην ευθεία  η : y  4 x και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 8 τετραγωνικές μονάδες. Λύση Ας είναι  ε  : y  λx  β y Επειδή (ε) // (η) είναι λ ε  λη  λ ε  -4 Άρα  ε  : y  -4x  β (1) (ε2) Βρίσκουμε τα σημεία τομής της (ε) με x΄x και y΄y x΄  Για x  0 η 1  y  β άρα τέμνει τον y΄y στο σημείο Β(0,β)  Για y  0 η 1  0  -4x  β  4x  β  x  Β Α Ο x (ε1) (η) y΄ β άρα τέμνει τον x΄x στο σημείο 4 β  Α  ,0  4  Επιπλέον: Για Κ(x,y) είναι:  dK,x x   y 1 Ε   8    ΟΑ    ΟΒ   8   ΟΑ  ΟΒ   16   2 β  8 β 2  β   16  β  64  β2  64   4 β  8  dK,y y   x Οπότε οι ζητούμενες ευθείες είναι οι  ε1  : y  -4x  8 και  ε2  : y  -4x - 8 Παράδειγμα 13 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές, με εμβαδόν ίσο με 2 τετραγωνικές μονάδες. Λύση Ας είναι  ε  : y  λx  β (1) με λ  0 αφού  ε  / / y΄y Βρίσκουμε τα σημεία τομής της (ε) με τους ημιάξονες Για x  0 η 1  y  β Άρα τέμνει τον Οy στο σημείο Α(0,β) με β  0 y Β x΄ Ο y΄ Α x (ε) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 161 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας Για y  0 η 1  0  λx  β  λx  -β  x  - β λ β  β  Άρα τέμνει τον Οx στο σημείο Α  - ,0  με -  0 λ  λ  Αφού το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές έχουμε ότι:  ΟΑ    ΟΒ   β  - β β>0 β 1  β  -  1  -  λ  -1 λ - β 0 λ λ λ Επιπλέον: 1 Ε   2    ΟΑ    ΟΒ   2   ΟΑ  ΟΒ   4   2 β  2 β 2  β  - 4 β 4 λ β  2 Απορρίπτεται γιατί β  0 Η ζητούμενη ευθεία λοιπόν είναι η  ε  : y  -x  2 Συμμετρίες Για να βρούμε τις συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου Μ΄ ενός σημείου Μ ως προς μια ευθεία (ε) ακολουθούμε τα εξής βήματα:  Βρίσκουμε την εξίσωση της κάθετης ευθείας x΄ (η) από το σημείο Μ προς την ευθεία ε.  Με επίλυση του συστήματος των εξισώσεων των (ε) και (η) βρίσκουμε τις συντεταγμένες της προβολής Κ του Μ πάνω στην ευθεία (ε).  y (η) Μ Κ Μ΄ y΄ x (ε) Από τις συντεταγμένες του μέσου Κ του τμήματος ΜΜ΄ βρίσκουμε τις συντεταγμένες του Μ΄. Παράδειγμα 14 5 Δίνεται η ευθεία  ε  : y   x  2 και το σημείο Μ(3,-2) 2 α) Να δείξετε ότι το σημείο Μ δεν ανήκει στην ευθεία (ε) β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Μ στην ευθεία (ε) γ) Να βρείτε το συμμετρικό σημείο του Μ ως προς την ευθεία (ε) 162 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο Λύση 5 α) Για x  3 και y  -2 η  ε  : y  - x  2 (1) δίνει: 2 15 -2  -  2  -4  -11 που δεν ισχύει 2 β) Άρα το σημείο Μ δεν ανήκει στην ευθεία (ε) Για να δείξουμε ότι ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία αρκεί να δείξουμε ότι οι συντεταγμένες του, επαληθεύουν την εξίσωσή της Φέρνουμε ΜΚ   ε  Το Κ είναι η προβολή του σημείου Μ στην (ε) Άρα θέλουμε να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ Βρίσκουμε την εξίσωση της ΜΚ Ισχύει ότι y (ε) x΄ Ο x Κ Μ Λ y΄ 2  5 ΜΚ   ε   λΜΚ  λ ε  -1  λΜΚ   -   -1  λΜΚ  5  2 2 2 6 Οπότε: ΜΚ : y - yΜ  λΜΚ  x - xΜ   y  2   x - 3   y  2  x -  5 5 5 2 6 2 16  y  x- -2  y  x(2) 5 5 5 5 Από (1) και (2) έχουμε: 5 2 16 52 - x  2  x -  -25x  20  4x - 32  -29x  -52  x  2 5 5 29 52 2 52 16 104 16 104 464 360 72 Για x  η (2)  y   -  -  29 5 29 5 145 5 145 145 145 29  52 72  Άρα Κ  ,-   29 29  γ) Προεκτείνουμε τη ΜΚ κατά τμήμα ΚΛ=ΜΚ Το συμμετρικό του Μ ως προς την (ε) είναι το Λ  x Λ ,y Λ  xΜ  x Λ  52 3  x Λ   29  2 xΚ  2 104  87  29x Λ Κ μέσο ΜΛ      -144  -58  29y Λ  yΚ  yΜ  y Λ - 72  -2  y Λ  2  29 2 17   x Λ  29  17 86   -29x Λ  -17 άρα Λ  ,-     29 29   -29y Λ  86  y Λ  - 86  29 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 163 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας Παράδειγμα 15 Ένα γήπεδο ποδοσφαίρου είναι τοποθετημένο στο επίπεδο (ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων) έτσι ώστε η μεσαία γραμμή να είναι τμήμα 4 10 της ευθείας  ε  : y  x  . Αν το σημείο του πέναλτι στη μία περιοχή 3 3 έχει συντεταγμένες (20,-20), να βρείτε: α) Τις συντεταγμένες του σημείου που γίνεται η έναρξη του αγώνα β) Τις συντεταγμένες του σημείου του πέναλτι στην άλλη περιοχή Λύση α) Έστω ότι το σημείο του πέναλτι είναι το Α(20,-20) Έστω Κ το σημείο έναρξης του αγώνα. Φέρνουμε από το Α κάθετη στην (ε) Το Κ είναι το σημείο τομής της ΑΚ με την (ε) Α ΑΚ   ε   λ ΑΚ  λ ε  -1  Κ 3 4  λ ΑΚ     -1  λ ΑΚ  3 4   Έτσι λοιπόν είναι: 3  x - 20   4 3 3  y  20  - x  15  y  - x - 5 (1) 4 4 4 10 Λύνοντας το σύστημα των (1) και  ε : y  x  (2) έχουμε: 3 3 4 10 3 x   - x - 5  16x  40  -9x - 60  25x  -100  x  -4 3 3 4 Για x  -4 η (1)  y  3 - 5  y  -2 ά ρα Κ(-4,-2) ΑΚ : y - y Α  λ ΑΚ  x - x Α   y  20   (ε) Β β) Το σημείο Β του πέναλτι στην άλλη περιοχή είναι συμμετρικό του Α ως προς το Κ άρα έχουμε: x Α  xΒ 20  xΒ   xΚ  2  4  2 -8  20  xΒ x  -28 Κ μέσο ΜΛ      Β -4  -20  yΒ  yΒ  16  yΚ  y Α  yΒ -2  -20  yΒ   2 2 Οπότε Β(-28,16) 164 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο Μεσοπαράλληλος Ευθειών  Για να βρούμε τη μεσοπαράλληλο δύο παράλληλων ευθειών  ε1  : y  λx  β1 και  ε2  : y  λx  β2 ακολουθούμε τα εξής βήματα:  Βρίσκουμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής Α, Β με τον y΄y των (ε1) και (ε2) αντίστοιχα y Α Μ x x΄ Β (ε1) (η) y΄ (ε2)  Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ  Βρίσκουμε το συντελεστή διεύθυνσης της μεσοπαραλλήλου (η) των (ε1) και (ε2) εκμεταλλευόμενοι ότι (η) // (ε1)  Βρίσκουμε την εξίσωση της μεσοπαραλλήλου των (ε1) και (ε2) αφού γνωρίζουμε ένα σημείο από το οποίο αυτή διέρχεται (το Μ) καθώς και το συντελεστή διεύθυνση της.  Στην περίπτωση που οι δύο ευθείες (ε1) και (ε2) είναι παράλληλες στον y΄y τότε η μεσοπαράλληλος αυτών θα είναι κάθετη στον x΄x και η εξίσωσή της θα είναι της μορφής x  xΜ όπου Μ το μέσο του ΑΒ. Παράδειγμα 16 Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών  ε1  : x  2y  3  0 και  ε2  : 2x  4y  5  0 Λύση  Βρίσκουμε το σημείο τομής της y Α  ε1  : x  2y  3  0 (1) με y΄y Για x  0 η (1)  -2y  3  0  -2y  -3  y   3 άρα η (ε1) τέμνει τον y΄y στο σημείο A  0,   2 Β 3 2 x΄ y΄ Μ (ε1) (η) (ε2) x  Βρίσκουμε το σημείο τομής της  ε2  : 2x  4y  5  0 (2) με y΄y Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 165 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας Για x  0 η (2)  -4y  5  0  -4y  -5  y  5 άρα η (ε2) τέμνει τον y΄y στο 4  5 σημείο B  0,   4 x A  xB   xM  0 x M  0 xM  2    11  3 5 Έστω Μ μέσο ΑΒ    11 άρα M  0,     8  y  y A  yB y  2 4 yM  8 M   M  2 2  Ας είναι (η) η μεσοπαράλληλη των (ε1), (ε2) Έχουμε: η / /  ε1   λη  λ ε1  λη  1 2 Έτσι λοιπόν είναι: η : y - yΜ  λη  x - xΜ   y - 11 1 1 11  xy x 8 2 2 8 Πότε μια εξίσωση της μορφής Ax  By  Γ  0 παριστάνει ευθεία Αν μας δίνεται μια εξίσωση της μορφής Ax  By  Γ  0 όπου τα Α, Β, Γ εκφράζονται με τη βοήθεια μιας παραμέτρου και μας ζητείται να βρούμε τις τιμές της παραμέτρου για οποίες είναι ευθεία τότε θα θεωρούμε το σύστημα Α  0  Β  0 Για τις τιμές της παραμέτρου που θα προκύψουν η εξίσωση δεν είναι ευθεία. Οπότε είναι ευθεία για όλες τις υπόλοιπες τιμές. Παράδειγμα 17 Δίνεται η εξίσωση  λ 2 +λ - 2  x   λ -1  y  3  0 (1) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση (1) να παριστάνει ευθεία Λύση Για να παριστάνει η (1) ευθεία ΔΕΝ πρέπει να μηδενίζονται ταυτόχρονα το λ 2 +λ -2 και το λ -1 λ 2 +λ -2  0 (2) Έστω  (3) λ -1  0 166 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο Για την (2) έχουμε : Δ  1 - 4  -2   1  8  9 , λ1,2  -1  3 1  2 -2 Για την (3) έχουμε: λ -1  0  λ  1 Άρα οι (2) και (3) μηδενίζουν ταυτόχρονα για λ  1 Οπότε πρέπει λ  1 δηλαδή λ  ℝ  1 Παράδειγμα 18 Για ποια τιμή του λ  ℝ η ευθεία  ε  : 2λx   λ  4  y  1  0 είναι παράλληλη στην ευθεία  η  : 2x - 3y  2010  0 Λύση 2λ -2 2 καθώς και λη   λ4 -3 3 2λ 2 Όμως  ε  / / η  λ ε  λη    -6λ  2λ  8  -8λ  8  λ  -1 λ4 3 Έχουμε ότι λ ε  - Μονοπαραμετρική Οικογένεια Ευθείών Αν μας δίνεται μια παραμετρική εξίσωση ευθείας και θέλουμε να αποδείξουμε ότι όλες οι ευθείες που σχηματίζονται, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου, διέρχονται από το ίδιο (ή από σταθερό σημείο) τότε ακολουθούμε τα εξής βήματα:  Δίνουμε δύο τυχαίες τιμές στην παράμετρο και βρίσκουμε δύο ευθείες που ανήκουν στην αρχική οικογένεια ευθειών. Δηλαδή βρίσκουμε δύο «εκπροσώπους» της αρχικής οικογένειας.  Βρίσκουμε το σημείο τομής των «εκπροσώπων»  Εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες του σημείου τομής των «εκπροσώπων» επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.  Αν την επαληθεύουν, τότε όλες οι ευθείες που ανήκουν στην αρχική οικογένεια διέρχονται από το σημείο αυτό. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 167 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας Παράδειγμα 19 Δίνεται η εξίσωση  ε λ  :  3λ 2  λ  2  x   2λ 2  λ  1  y  λ  1  0 με λ  ℝ α) Να δείξετε ότι η  ε λ  παριστάνει εξίσωση ευθείας, για κάθε τιμή της παραμέτρου λ β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες  ε λ  διέρχονται από σταθερό σημείο. Λύση α) Για να δείξουμε ότι (ελ) παριστάνει εξίσωση ευθείας αρκεί να δείξουμε ότι δεν υπάρχει λ  ℝ ώστε ταυτόχρονα να είναι 3λ2  λ  2  0 και 2λ2  λ  1  0 Έτσι λοιπόν έχουμε: 3λ2  λ  2  0 με Δ  1 - 4  2  3  1 - 24  -23  0 Άρα 3λ2  λ  2  0 για κάθε λ  ℝ Οπότε (ελ) παριστάνει εξίσωση ευθείας για κάθε λ  ℝ β) Βρίσκουμε δύο «εκπροσώπους» της αρχικής οικογένειας θέτοντας δύο τυχαίες αλλά βολικές τιμές στο λ  Για λ  0 έχουμε  ε0  : 2x  y  1  0  y  2x  1 (1)  Για λ  1 έχουμε  ε1  : 6x  4y  0 (2) Βρίσκουμε το σημείο τομής των παραπάνω «εκπροσώπων» λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους  1 (2)  6x - 4  2x -1  0  6x - 8x  4  0  -2x  -4  x  2 Για x  2 η (1)  y  3 Άρα οι  ε0  ,  ε1  διέρχονται από το Μ(2,3) Παρατηρούμε αν οι συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο «εκπροσώπων» επαληθεύουν την εξίσωση της οικογένειας των ευθειών Για x  2 και y  3 η αρχική οικογένεια των ευθειών δίνει: y 3λ  λ  2  2  2λ  λ  1  3  λ  1  0  2 2 (ε0) (ε1)  6λ  2λ  4  6λ  3λ  3  λ  1  0  2 2  0  0 ισχύει για κάθε λ  Οπότε όλες οι ευθείες (ελ) διέρχονται από το σημείο Μ(2,3) 168 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας x x΄ y΄ ο 2 Κεφάλαιο Σχετική θέση ευθειών Για να βρούμε τη σχετική θέση δύο ευθειών λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους. Πιο συγκεκριμένα:  Αν το σύστημα έχει μια λύση τότε οι ευθείες τέμνονται δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο  Αν το σύστημα είναι αδύνατο τότε οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο δηλαδή είναι παράλληλες  Αν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις τότε οι ευθείες έχουν άπειρα κοινά σημεία δηλαδή ταυτίζονται. Στην περίπτωση που οι εξισώσεις των ευθειών περιέχουν παράμετρο, τότε μας συμφέρει να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων με τη μέθοδο των οριζουσών και στη συνέχεια να κάνουμε διερεύνηση. Παράδειγμα 20 Δίνονται οι ευθείες  ε1  :  λ - 4  x  3y  λ  1 και  ε2  : 3x   λ  4  y  2λ  8 , λ   Να βρεθεί το λ ώστε α) οι  ε1  και  ε 2  να τέμνονται β) οι  ε1  και  ε 2  να είναι παράλληλες γ) οι  ε1  και  ε 2  να ταυτίζονται δ) οι  ε1  και  ε 2  να είναι κάθετες Λύση  λ - 4  x  3y  λ  1 Έχουμε το σύστημα  3x   λ  4  y  2λ  8 (Σ) Αρχικά βρίσκουμε D , Dx , Dy D λ-4 3   λ  4  λ - 4  - 9  λ 2 -16 - 9  λ 2 - 25   λ - 5  λ  5  3 λ4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 169 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας Dx  Dy  λ 1 3   λ  1  λ  4  - 3  2λ  8    λ  1  λ  4  - 6  λ  4    λ  4  λ - 5  2λ  8 λ  4 λ-4 λ4 3 2λ  8   λ - 4  2λ  8  - 3  λ  1   2  λ - 4  λ  4  - 3λ - 3   2λ 2 - 32 - 3λ - 3  2λ 2 - 3λ - 35 α) Για να τέμνονται οι (ε1) και (ε2) αρκεί το (Σ) να έχει μοναδική λύση. λ - 5  0 λ  5   Δηλαδή D  0   λ - 5  λ  5   0   και   και  λ  5  0  λ  5   β) Για να είναι παράλληλες οι (ε1) και (ε2) αρκεί το (Σ) να είναι αδύνατο. Δηλαδή D  0 και ( Dx  0 ή Dy  0 ) D  0  λ  5 ή λ  5  λ  4  0  λ  4   Έστω Dx  0   λ  4  λ - 5   0   ή  ή λ - 5  0 λ  5   Άρα πρέπει λ  4 και λ  5 Έστω Dy  0  2λ 2 - 3λ - 35  0 , Δ   -3  -4  2  -35   9  280  289 2  5 3  17  7 Οπότε λ1,2    ή άρα πρέπει λ   και λ  5 4 2  7  2 γ) Τελικά λοιπόν (ε1) και (ε2) παράλληλες για λ=-5 Για να ταυτίζονται οι (ε1) και (ε2) αρκεί το (Σ) να είναι αόριστο δηλαδή D  Dx  Dy  0 Όμως 7 D  0  λ  5 ή λ  5 , Dx  0  λ  4 ή λ  5 , Dy  0  λ   ή λ  5 2 δ) Για να είναι (ε1)  (ε2) πρέπει: λ 4 3  λ 4 λ 1  λ2  -1    1     1  3  λ4 λ4  λ  4   λ  4  2λ  0  λ  0 για λ  4 Αν λ  4 τότε  ε1  : 8x  3y  3 και  ε2  : 3x  0 που δεν είναι κάθετες. 170 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο Οξεία γωνία ευθείων Για να βρούμε την οξεία γωνία δύο ευθειών (ε1) και (ε2) ακολουθούμε τα εξής βήματα:  Βρίσκουμε τις συντεταγμένες δύο διανυ  σμάτων δ1 , δ2 που είναι παράλληλα στις ευθείες (ε1) και (ε2) αντίστοιχα.      Βρίσκουμε το συν  δ1 ,δ2  οπότε και τη γω  νία των δύο διανυσμάτων άρα και τη γωνία των ευθειών. y (ε1)  δ1  δ2 x΄ (ε2) x y΄     Στην περίπτωση που το συν  δ1 ,δ2  είναι θετικός αριθμός τότε   έχουμε βρει την οξεία γωνία των ευθειών (ε1) και (ε2). o     Στην περίπτωση όμως που το συν  δ1 ,δ2  είναι αρνητικός α  ριθμός τότε έχουμε βρει την αμβλεία γωνία των ευθειών (ε1) και (ε2) οπότε η ζητούμενη οξεία γωνία θα είναι η παραπληρωματική της. o Παράδειγμα 21 Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες:  ε1  : x  5y  7  0 και  ε2  : 3x  2y - 5  0 Λύση     Ας είναι δ1   5, 1  και δ2   2,3  με δ1 / /  ε1  και δ2 / /  ε2      5  2   1  3 δ1  δ2 Τότε συν δ1 ,δ2      Αν (ε): Αx+Βy+Γ=0 2 2 δ1  δ2  5   1  32  22 τότε   13 13 1 2     2 26  13 2 13  13 2   3π Άρα δ1 ,δ2  οπότε η οξεία γωνία των (ε1) και (ε2) είναι 4 3π π π  4 4     δ1  Β,  Α  πα- ράλληλο στην (ε)   δ2   Α,Β  κάθετο στην (ε) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 171 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας Παράδειγμα 22 Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες:  ε1  : y  μ  x και  ε2  :  1  μ  x   1  μ  y με μ  ℝ Λύση Φέρνουμε τις εξισώσεις των δύο ευθειών στην γενική τους μορφή Οπότε είναι  ε1 : μx  y  0 (1) καθώς και  ε2 : 1+μ  x  1-μ  y  0 (2)     Ας είναι δ1   1, μ  και δ2   μ  1, μ  1  με δ1 / /  ε1  και δ2 / /  ε2      1  μ -1 +  -μ    -μ-1 δ1  δ2 Τότε συν δ1 ,δ2      2 2 2 2 δ1  δ2  -1 +  -μ   μ -1 +  -μ -1     μ+1+μ 2 +μ 1+μ 2  μ 2 - 2μ+1+μ 2  2μ+1 μ2 +1 2 μ2 +1  μ 2 +1  μ 2 +1 1+μ2  2μ2 +2  μ 2 +1 1 2   2 2 2  μ +1  2    π π Άρα δ1 ,δ2  οπότε η οξεία γωνία των (ε1) και (ε2) είναι η 4 4   Η εξίσωση Α  x 2  Β  y 2  Γ  x  y  Δ  x  Ε  y  Ζ  0 (1)  Αν μια εξίσωση είναι της μορφής (1) τότε θα παριστά δύο ευθείες των οποίων τις εξισώσεις θα βρίσκουμε σχηματίζοντας τριώνυμο ως προς y και βρίσκοντας τη διακρίνουσα Δ, η οποία θα βγαίνει πάντα τέλειο τετράγωνο. Εναλλακτικά μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε το 1ο μέλος της σχέσης. Παράδειγμα 23 Δίνεται η εξίσωση : 2x 2  2y 2  3xy  5 y  2  0 (1) α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει δύο ευθείες β) Να βρείτε τη σχετική θέση των δύο ευθειών Λύση Θεωρώντας την (1) τριώνυμο ως προς y έχουμε: -2y 2 +y  3x+5  +2x2  2  0 Δ   3x+5  - 4  -2   2x 2  2   9x2 +30x+25+16x2 -16  2  25x 2 +30x+9   5x  +2  3  5x+32   5x+3  2 172 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 2 ο 2 Κεφάλαιο Οπότε είναι -3x - 5  5x+3 2x - 2   1 1  y  y   -  3x+5    5x+3    y  - x  : ε1  -4 -4 y    2 2 -4  y  -3x - 5 - 5x - 3  y  -8x - 8  y  2x+2 : ε2     -4 -4 Για να βρούμε τη σχετική θέση των ευθειών (ε1) και (ε2) λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους. Έτσι λοιπόν έχουμε: 1 1   y  - x+ 2 2   y  2x+2 Για x  - 1   -x+1  4x+4  -5x  3  x  - 3 5 3 1 3 1 3 1 8 4 η 1   y  -  -  +  +   2  5  2 10 2 10 5 5  3 4 Άρα οι ευθείες (ε1) και (ε2) τέμνονται στο σημείο Α  - ,   5 5 Εύρεση γεωμετρικού τόπου σημείων  Αν θέλουμε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ f  λ  ,g  λ   , λ  ℝ όπου f  λ  , g  λ  παραστάσεις με λ, τότε: x  f  λ   Θεωρούμε ότι Μ x,y  οπότε είναι   y  g  λ   Μετά κάνουμε απαλοιφή του λ, λαμβάνουμε υπόψη τυχόν αρχικούς περιορισμούς για τα x, y , βρίσκουμε τη σχέση που συνδέει τα x με τα y οπότε και το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ.  Αν θέλουμε να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ α+βημθ,γ+δσυνθ  , θ ℝ τότε  x  α+βημθ (1) Θεωρούμε ότι Μ x,y  οπότε είναι   y  γ+δσυνθ (2)  Μετά λύνουμε τις (1) και (2) ως προς ημθ και συνθ αντίστοιχα και αντικαθιστώντας αυτά στην τριγωνομετρική ταυτότητα ημ 2θ+συν2θ=1 βρίσκουμε τη σχέση που συνδέει τα x με τα y οπότε και το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ. 1 Αρκετές φορές χρήσιμη είναι και η ταυτότητα  1  εφ2θ 2 συν θ  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 173 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας Παράδειγμα 24 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων στις παρακάτω περιπτώσεις α) Μ  3λ  4,5  λ  , λ  ℝ γ) Μ  λ 2010 +3,1  , λ  ℝ β) Μ  2,6  λ  , λ  ℝ γ) Μ  συνλ-3,0  , λ  ℝ Λύση α) Έστω Μ x,y  . Τότε είναι: x  3λ - 4 x  3λ - 4  άρα x  3  5 - y  - 4   y  5 - λ λ  5 - y  x  15 - 3y - 4   3y  -x+11  y (ε) x x΄ 1 11  y  - x+ 3 3 y΄ 1 11 Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία  ε : y  - x+ 3 3 x  2 β) Έστω Μ x,y  . Τότε είναι:  y  6 - λ Από τις παραπάνω σχέσεις αντιλαμβανόμαστε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η κατακόρυφη ευθεία x  2 y x x΄ y΄ x  λ 2010 +3 γ) Έστω Μ x,y  . Τότε είναι:  y  1 y Η σχέση y  1 παριστάνει οριζόντια ευθεία Όμως επιπλέον έχουμε x  λ 2010 +3  x  3 Άρα τελικά ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ημιευθεία του διπλανού σχήματος 174 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας x x΄ y΄ ο 2 Κεφάλαιο  x  συνλ - 3 δ) Έστω Μ x,y  . Τότε είναι:  y  0 Η σχέση y  0 παριστάνει τον x΄x y Α Β x x΄ Όμως επιπλέον είναι -1  συνλ  1  -4  συνλ-3  -2  -4  x  -2 y΄ Άρα τελικά ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με άκρα τα σημεία Α(-4,0) και Β(-2,0) Παράδειγμα 25 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ  2  3συν2θ,2  3ημ 2θ  , θ ℝ Λύση Έστω Μ x,y  . Τότε είναι: x-2  συν2θ  2 2 x  2+3συν θ x - 2  3συν θ  3    2 2  y  2+3ημ θ  y - 2  3ημ θ ημ2θ  y - 2  3 1  2 x Όμως είναι: x΄ y-2 x-2 ημ 2θ+συν2θ  1  +  1  y - 2+x - 2  3  3 3  y+x - 4  3  y  -x+7 y΄ (ε) Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία  ε : y  -x+7 Παράδειγμα 26 Δίνονται τα σημεία Α(1,2), Β(5,-1) και Γ(2λ-5,3λ-1) όπου λ  ℝ α) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου του ΑΓ β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο της κορυφής Μ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΜ Λύση α) Έστω Λ  x,y  το μέσο του ΑΓ. Τότε είναι: x A  xB 2λ - 4   1  2λ-5  x x Λ  2 x    2 2  x  λ - 2   λ  x  2       2y  1  3λ 2y  1  3λ  y Λ  y A  yB  y  2  3λ-1  y  1  3λ      2 2 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 175 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας 3 7  2y  1  3  x  2   2y  1  3x  6  2y  3x  7  y  x  2 2 3 7 Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Λ είναι η ευθεία  ε : y  x  2 2 β) Έστω Μ x,y  . Αφού ΑΒΓΜ είναι παραλληλόγραμμο έχουμε:   ΑΜ  ΒΓ   x -1,y - 2    2λ - 5-5,3λ-1+1     x -1,y - 2    2λ -10,3λ   x -1  2λ -10 x  9  2λ     y - 2  3λ  y  3λ  2 x9  x9 λ   2  2 y3 2  y  3λ  2 3x 27 3 31  y   2  y  x 2 2 2 2 Βοηθητικό Σχήμα Α Μ Β Γ 3 31 Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία  ε : y  x  2 2 Παράδειγμα 27 Δίνονται οι ευθείες  ε1  : λ  x  3y  2 και  ε2  :  2λ  1  x  2y  4 με λ  ℝ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων τομής τους. Λύση Βρίσκουμε το σημείο τομής τους λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους με τη μέθοδο των οριζουσών. λ -3 2 -3 D  2λ  6λ - 3  8λ - 3 , Dx   4  12  16 , 2λ -1 2 4 2 Dy  λ 2  4λ  4λ  2  2 2λ-1 4 3 D D  2   16 Τα σημεία τομής τους είναι τα Α  x , y  ή Α  ,  με λ  8  8λ-3 8λ-3  D D 16 16   x  8λ-3 1  8λ-3  x 2 1 Ας είναι Α  x,y  τότε:   y y x 16 2 2 8 y  y  2  x  8λ-3  8λ-3 ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων χωρίς όμως την αρχή των αξόνων διότι από (1), (2) έχουμε ότι x  0 και y  0 . 176 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο Παράδειγμα 28 Δίνεται η ευθεία  ε  : 3  x  5y  1  0 και το σημείο Ρ(2,-1) εκτός αυτής. Σημείο Α κινείται στην (ε). Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του ΡΑ. Έστω Μ(x,y) και Α(κ,λ) Λύση 5 1 Α   ε  άρα 3κ - 5λ+1  0  3κ  5λ-1  κ  λ 3 3 5 1  Οπότε Α  λ - ,λ  3 3  5 1  xΡ  x Α 2 λ  5 5 x   3 3  Μ 2x   λ 2  x  Όμως Μ μέσο ΡΑ    2 3 3     yΜ  yΡ  y Α   -1  λ 2y  λ -1 y   2  2 6x  5  5λ   6x  5  5  2y  1   6x  5  10y  5 2y  1  λ 3  6x  10y  10  10y  6x  10  y  x  1 ευθεία 5 3 Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία  ε : y  x  1 5 Παράδειγμα 29 Δίνονται τα σημεία Α(1,2), Β(-3,1) και Γ(0,0). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει:     ΜΑ  ΜΒ  ΜΒ  ΜΓ Λύση Θεωρώντας Μ(x,y) έχουμε:    ΜΑ  1 - x,2 - y  και ΜΒ   -3 - x,1 - y  και ΜΓ   -x,-y  Έτσι λοιπόν είναι     ΜΑ  ΜΒ  1 - x,2 - y    -3 - x,1 - y   ΜΑ  ΜΒ   -2 -2x,3 -2y      ΜΒ  ΜΓ   -3 - x,1 - y    -x,-y   ΜΒ  ΜΓ   -3 - 2x,1 - 2y  Οπότε:     2 2 2 2 ΜΑ  ΜΒ  ΜΒ  ΜΓ   -2 - 2x    3 - 2y    -3 - 2x   1 - 2y   Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 177 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας   2  2x    3 - 2y  2 2 2   3  2x   1 - 2y  2 2 2   4  8x  4x 2  9 -12y  4y 2  9  12x  4x 2  1 - 4y  4y 2   4  8x -12y  12x  1 - 4y   -12y  4y  12x - 8x  1  4   -8y  4x  3  1 3 y- x 2 8 178 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Εύρεση Συντελεστή Διεύθυνσης 1) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που: α) Διέρχεται από τα σημεία Α(2,1) και Β(3,2) β) Διέρχεται από τα σημεία Α(2,1) και Β(2,3) γ) Διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(3,2) 2) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που :  α) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ  1,3   β) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα v   0,2   γ) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα u   2,0  3) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που  α) Είναι κάθετη στο διάνυσμα u   2,1   β) Είναι κάθετη στο διάνυσμα v   0,2   γ) Είναι κάθετη στο διάνυσμα δ   2,0  4) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που σχηματίζει γωνία με τον άξονα x΄x π 3π π α) β) γ) 0 δ) 4 4 2 5) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης κάθε μιας από τις παρακάτω ευθείες: α)  ε1  : y  8x+7 γ)  ε3  : y - 5  0 β)  ε2  : x  8y+7 δ)  ε4  : x+1  0 ε)  ε5  : 2x+3y+7=0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 179 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας 6) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που α) Είναι παράλληλη στην  ε1  : y  5x β) Είναι κάθετη στην  ε2  : 2x+y+3  0 γ) Είναι παράλληλη στην  ε3  : 2y - x  0 δ) Είναι παράλληλη στην  ε4  : 2011y - 4022  0 ε) Είναι κάθετη στην  ε5  : 7x - 8  0 7) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει μια ευθεία με τον x΄x αν έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 α) 1 β) 3 γ) -1 δ)  ε) 0 3 8) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει μια ευθεία με τον x΄x αν α) Διέρχεται από τα σημεία Α(3,4) και Β(4,5) β) Διέρχεται από τα σημεία Α(3, 3 ) και Β(-1,-3 3 ) γ) Διέρχεται από τα σημεία Α(2,4) και Β(1,4) δ) Διέρχεται από τα σημεία Α(1,3) και Β(1,2) 9) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει μια ευθεία με τον x΄x αν α) Είναι παράλληλη στην ευθεία  ε1  : y  x+5 β) Είναι κάθετη στην ευθεία  ε2  : 3y - 3x  0  γ) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ   7,-7   δ) Είναι κάθετη στο διάνυσμα η   -2,2   ε) Είναι κάθετη στο διάνυσμα v   0,2   στ) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα u   0,1  10) Δίνονται οι ευθείες  ε1  : y  3x και  ε2  : y  x α) Να βρείτε τις γωνίες που σχηματίζουν οι ευθείες (ε1) και (ε2) με τον άξονα x΄x 180 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο β) Να σχεδιάσετε τις ευθείες γ) Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι (ε1) και (ε2) 11) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,2), Β(3,0), Γ(5,-4) Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης α) Των πλευρών του β) Των υψών του γ) Των διαμέσων του δ) Των μεσοκαθέτων των πλευρών του 12) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(1,2), Β(-3,4), Γ(2,-1). Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των πλευρών και των διαγωνίων του. 13) Δίνονται τα διακεκριμένα σημεία Α(-2,3), Β  1,λ 2  , Γ(μ-1,4) α) Να βρεθεί το λ ώστε η ευθεία ΑΒ να σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 150ο β) Να βρεθούν τα λ, μ ώστε η ευθεία ΒΓ να είναι κατακόρυφη γ) Να βρεθούν τα λ, μ ώστε η ευθεία ΒΓ να είναι παράλληλη στον άξονα x΄x Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας με Γνωστό Σημείο 14) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(2,-3) και α) Έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 β) Είναι παράλληλη στην ευθεία  ε1  : y  5x+3 γ) Είναι κάθετη στην ευθεία  ε2  : y  -x - 3 δ) Είναι παράλληλη στην ευθεία  ε3  : 3x - 4y+2  0 ε) Είναι κάθετη στην ευθεία  ε4  : 4x - 5y  3  0  στ) Είναι παράλληλη στο διάνυσμα v  1,0   ζ) Είναι κάθετη στο διάνυσμα u   0,1  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 181 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας 15) α) Να βρεθεί η εξίσωση την ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Δ(2,3) και Γ(-3,4) β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (η) που διέρχεται από τα σημεία Α(2,34) και Β(3,33) γ) Να βρεθεί το σημείο τομής των (ε) και (η) 16) Δίνονται τα σημεία του επιπέδου Α(2,5) και Β(4,3) Να βρείτε α) Την εξίσωση της ευθείας ΑΒ β) Το σημείο τομής της ΑΒ με τους άξονες γ) Τη γωνία που σχηματίζει η ΑΒ με τον x΄x 17) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3,1), Β(2,-1) και Γ(4,-2) α) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΑΔ β) Του ύψους ΒΕ γ) Της μεσοκάθετης της πλευράς ΑΒ 18) Δίνεται τρίγωνο με κορυφές Α(1,1), Β(-1,3) και Γ(2,-4) α) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους του τριγώνου από την κορυφή Α β) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου του τριγώνου από την κορυφή Β γ) Το σημείο τομής των παραπάνω ευθειών 19) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην  ε  : y  2x  3 στο σημείο όπου αυτή τέμνει τον y΄y. 20) Nα βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην  ε  : y  x  1 . Ποιας χαρακτηριστικής ευθείας βρήκατε την εξίσωση; 21) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(5,3) και είναι παράλληλη  α) Στη διχοτόμο της xΟy  β) Στη διχοτόμο της xΟy 182 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 22) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το σημείο Α(8,2) 23) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(1,2) και από το σημείο τομής των ευθειών  ε1  : y  6x  3 και  ε2  : y  x  7 24) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο τομής των  ε1  : x - y+3  0 ,  ε2  : 2x+y - 6  0 και είναι κάθετη στην ευθεία η : 3x+2y - 5  0 . Κατόπιν να βρεθεί το πλησιέστερο σημείο της (ε) από την αρχή των αξόνων. 25) Η ευθεία  ε  : 3x - y - 2  0 περνά από το σημείο Α(α,β) και η ευθεία  δ  : x+2y - 8  0 περνά από το σημείο Β(β,α). Να βρεθεί η εξίσωση της ευθεία ΑΒ. 26)    Έστω τα διανύσματα α   2,3  και β  4  j Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α(  1  1,3) και είναι κάθετη στο διάνυσμα v  3α -  β και μετά το πλησιέστερο 2 σημείο της (ε) από το Ο. 27) Οι συντεταγμένες των κορυφών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι Α(1,1), Β(-2,1) και Γ(3,5). Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή Α και είναι κάθετη στη διάμεσο ΒΛ του τριγώνου. 28) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Α(2,1) Τα ύψη ΒΔ και ΓΕ έχουν αντίστοιχα εξισώσεις x - 2y+3  0 και x+2y+2  0 Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 183 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας 29) Δίνονται τα σημεία Μ(-3,4) , Ν(1,-4) και Κ(7,2) μέσα των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου και οι συντεταγμένες των κορυφών του. 30) Δίνεται η κορυφή Α(2,1) ενός τριγώνου ΑΒΓ και έστω ότι οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο από τα ύψη του έχουν εξισώσεις 3x+y -11  0 και x - y  3  0 . Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών και τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ του τριγώνου ΑΒΓ. 31) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,3) και έστω x - 2y  1  0 και y  1 οι εξισώσεις δύο διαμέσων του. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών και τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ του τριγώνου. 32) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Α(2,5), Η(-10,14) το ορθόκεντρο του τριγώνου και η εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ είναι  ε : x  4y  16  0 να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του. 33) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α  4,6  και οι ευθείες  ε1  : x  y  4  0 και  ε2 : 2x  3y  3  0 πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο εσωτερικοί διχοτό- μοι του. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ. 34) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,2) και Β(-1,0) Αν η εξίσωση της διχοτόμου ΑΔ είναι y=2x να βρείτε α) Το συμμετρικό σημείο του Β ως προς την ευθεία ΑΔ β) Την εξίσωση της πλευράς ΑΓ 184 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 35) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Η πλευρά ΑΒ ανήκει στην ευθεία με εξίσωση y  7x  41 και η πλευρά ΑΔ στην ευθεία με εξίσωση 3 19 y  x  . Οι διαγώνιοί του ΑΓ, ΒΔ τέμνονται στο σημείο Κ(4,3). 5 5 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής Γ β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η πλευρά ΒΓ γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η διαγώνιος ΒΔ 36) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ του οποίου δύο πλευρές έχουν εξισώ8 1 σεις y  2x  1 , y   x  και μια διαγώνιός του έχει εξίσωση 3 3 3 3 y   x  . Να βρείτε τις εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών καθώς και 2 2 τις συντεταγμένες των κορυφών του. 37) Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ του οποίου δύο πλευρές έχουν εξισώ1 σεις y   x και y  2x  3 και το κέντρο του Κ έχει συντεταγμένες 2 (1,2). Να βρείτε: α) Τις εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών του β) Τις συντεταγμένες των κορυφών του 38) Δίνονται οι εξισώσεις 2x - 3y  5  0 , 3x  2y  7  0 δύο πλευρών παραλληλογράμμου και η κορυφή Α(2,-3). Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών του. 39) Δίνονται τα σημεία Α(3,3), Β(2,-4), Γ(-5,-5), Δ(-4,2) α) Να δείξετε ότι ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο β) Να δείξετε ότι ΑΒΓΔ είναι ρόμβος γ Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του ΑΒΓΔ δ) Να βρείτε το κέντρο του ΑΒΓΔ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 185 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας 40) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ(-1,-2) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. 41) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Α(1,2) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. 42) Να βρείτε τις εξίσώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σημείο Μ(2,-4) και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 2 τ.μ. 43) Δίνεται η ευθεία  ε  : 4x - 3y  2  0 και τα σημεία Μ(-1,1) και Ν(-2,3). Δύο παράλληλες ευθείες  ε1  και  ε2  διέρχονται από τα σημεία Μ και Ν αντίστοιχα και τέμνουν την ευθεία (ε) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα έτσι ώστε να είναι  ΑΒ   5 . Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών  ε1  και  ε2  . 44) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Μ(2,1) και τέμνει τις ευθείες  δ1  : y  x+1 και  δ2  : y  x  1 στα Α, Β αντίστοιχα ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ. 45) Δίνονται οι ευθείες  ε1  : x - 3y  10  0 και  ε2  : 2x  y  8  0 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Μ(0,1) και τέμνει τις (ε1), (ε2) στα σημεία Α, Β αντίστοιχα ώστε το σημείο Μ(0,1) να είναι μέσο του ΑΒ. 46) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α(1,0) και τέμνει τις ευθείες  δ1  : y  x και  δ2  : y  x  2 στα Β, Γ αντίστοιχα ώστε το μήκος του ΒΓ να είναι 2. 186 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 47)  5 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ 2,   3 και τέμνει τις ευθείες  ε1  : x  2y  2  0 ,  ε2  : 3x  y  7  0 στα Α και Β   αντιστοίχως ώστε ΑΜ  2  ΜΒ Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας με Γνωστό Συντελεστή Διεύθυνσης 48) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που είναι παράλληλη στην ευθεία 2 η : y   x και τέμνει τους άξονες x΄x, y΄y στα σημεία Α και Β αντίστοι3 χα ώστε x Α  yΒ  15 . 49) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ευθεία 1  δ  : y   x+2 και τέμνει τους άξονες x΄x, y΄y στα σημεία Α και Β αντί2 στοιχα ώστε το άθροισμα της τετμημένης του Α και της τεταγμένης του Β να είναι ίσο με 3. 50) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που είναι παράλληλη στην ευθεία  δ  : y  2x - 8 και σχηματίζει με τον άξονα x΄x και την ευθεία 1 2  ε  : y   x  3 τρίγωνο με εμβαδόν 5 τετραγωνικές μονάδες. 51) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που σχηματίζουν με τον άξονα x΄x γωνία 30ο και επιπλέον, το τρίγωνο που σχηματίζουν με άξονες να έχει εμβαδόν 2 3 Συμμετρίες 52) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,2), Β(2,-3) και Γ(3,2) Να βρεθεί το συμμετρικό του Γ ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία ΑΒ 53) Δίνεται η ευθεία  ε  : y  x -1 και το σημείο Α(1,3) Να βρεθούν α) Η προβολή Κ του Α πάνω στην (ε) β) Σημείο Β που είναι συμμετρικό του Α ως προς την (ε) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 187 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας 54) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι συμμετρική της  ε  : y  2x -1 1 2 ως προς τη  δ  : y  x  3 3 55) Δίνεται η ευθεία  ε  : 5x - 6y+2  0 Να βρείτε τη συμμετρική της (ε) ως προς α) Τον άξονα x΄x β) Τον άξονα y΄y γ) Την αρχή των αξόνων 56)  δ) Το φορέα της διχοτόμου της γωνία xΟy Δίνεται το σημείο Α(2,5) και οι ευθείες:  ε1 : 4x-3y-18=0 και  ε2 : 2x-6y+2=0 α) Να βρείτε το συμμετρικό σημείο Β του Α ως προς την ευθεία (ε1) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην (ε2) και διέρχεται από το Β. 57) Να βρείτε την προβολή του σημείου Μ(1,-1) στην ευθεία 2x  3y  2 58) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-2,-1) και χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα Τ(2,3), Σ(-1,2) σε δύο τμήματα ΤΚ,  ΤΚ   3 ΣΚ έτσι ώστε  ΣΚ  Μεσοπαράλληλος Ευθειών 59) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών  ε1  : x - 3y  4  0 και  ε2  : x  3y  15  0 60) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι μεσοπαράλληλη των ευθειών  ε1  : y  -2x  1 και  ε2  : y  -2x  5 188 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο η : x - 2y  1  0 είναι μεσοπαράλληλος των ευθειών  ε1  : x - 2y  α  0 και  ε2  : 2x  4y  α  2  0 να βρείτε το α. 61) Αν η ευθεία 62) Δίνονται οι ευθείες  ε1  : y  x  2 και  ε2  : x - y - 4  0 . Να δείξετε ότι (ε1)//(ε2) και να βρεθεί η d  ε1 ,ε2  63) Δίνονται οι ευθείες  ε1  : x  y  1  0 και  ε2  : 2μx  2y  λ  0 . Να βρεθούν τα ζεύγη τιμών των λ,μ  ℝ ώστε (ε1)//(ε2) και d  ε1 ,ε2   2 2 Πότε μια εξίσωση Αx+By+Γ=0 παριστάνει Ευθεία 64) Δίνεται η εξίσωση  λ - 3  x   λ -1  y  λ  0 (1) όπου λ  ℝ Α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του λ Β) Να βρεθεί το λ ώστε α) Η παραπάνω ευθεία να είναι παράλληλη στον x΄x β) H παραπάνω ευθεία να είναι παράλληλη στον y΄y γ) H παραπάνω ευθεία να διέρχεται από την αρχή των αξόνων 65) Να βρεθούν οι τιμές του κ ℝ ώστε η κ2 - 4  x  κ2 - 3κ  2  y  2  κ να είναι εξίσωση ευθείας γραμμής. Κατόπιν, να βρεθούν οι τιμές του κ ώστε κανένα σημείο της ευθείας να μην ανήκει στο 4ο τεταρτημόριο. 66) Δίνονται οι εξισώσεις : κ - 2κ - 3  x  3κ - 2 y+1  0 (1) και  3κ -11κ  6  x  κ -1  y - 5  0 (2) 2 2 2 Να εξεταστεί αν είναι εξισώσεις ευθειών και αν ναι, να βρεθεί ο κ ℝ ώστε οι παραπάνω ευθείες να είναι κάθετες μεταξύ τους. 67) Δίνεται η εξίσωση κ2  κ - 2  x  κ 2 - 4  y+2κ  4  0 α) Να βρεθούν οι τιμές του κ ℝ ώστε η παραπάνω εξίσωση να παριστάνει ευθεία β) Να βρεθούν οι τιμές του κ ℝ για τις οποίες οι ευθείες αυτές να διέρχονται από το σημείο Α(1,1). Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 189 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας 68) Να βρεθούν οι τιμές των α, β ℝ ώστε η  3α -β  x   2α  3β  y  5α  2β να είναι εξίσωση ευθείας. Κατόπιν να βρεθεί εκείνη η ευθεία της παραπάνω εξίσωσης που περνά από το σημείο Α(1,1). 69) Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις  ε1  : κ+1 x+y   κ - 2 3x - 4y   κ  0 και  ε2  : x - 2y  3  0 α) Να δείξετε ότι η  ε1  παριστάνει ευθεία για κάθε κ ℝ β) Να βρεθεί ο κ ώστε  ε1    ε2  Μονοπαραμετρική Οικογένεια Ευθειών 70) Δίνεται η εξίσωση  εκ  :  κ  1  x  κ  2  y  κ  3  0 α) Να δείξετε ότι η  εκ  παριστάνει εξίσωση ευθείας για κάθε τιμή της παραμέτρου κ. β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες  εκ  διέρχονται από σταθερό σημείο. γ) Να βρεθεί ο μ  ℝ ώστε η απόσταση του κοινού σημείου των παραπάνω ευθειών από το Α(μ,0) να ισούται με 2 2 71) Δίνεται η εξίσωση  ελ  :  λ  2λ  2  x   2λ  3λ  3  y - 2λ  λ  1  0 2 2 2 α) Να δείξετε ότι η  ελ  παριστάνει εξίσωση ευθείας για κάθε τιμή του λℝ β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες  ελ  διέρχονται από σταθερό σημείο. 72) Δίνονται οι ευθείες  εκ  :  2  3κ  x   3  κ  y  3κ  4  0  ελ  : 1  λ  x  1  λ  y  1  λ  0 με κ, λ πραγματικοί αριθμοί. α) Να δείξετε ότι κάθε μια από τις παραπάνω οικογένειες ευθειών διέρχονται από σταθερό σημείο. β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από αυτά τα σημεία 190 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 73) Δίνεται η εξίσωση 2κx  κ  1  y  3κ  1  0 (1) όπου κ ένας πραγματικός αριθμός. α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την (1) διέρχονται από σταθερό σημείο. γ) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ ώστε μια ευθεία που ανήκει στην παραπάνω οικογένεια να περνά από το μέσο του ΑΒ με Α(1,5) και Β(5,-1) 74) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που εκφράζονται από την εξίσωση κ  μ - 3 x  κ  4μ -1  y  2μ -κ  5  0 όπου κ, μ πραγματικοί αριθμοί, δε διέρχονται από σταθερό σημείο. Κατόπιν να βρεθούν εκείνες οι ευθείες που είναι κάθετες στην ευθεία  ε  : 2x - y - 2  0 και περνούν από το σημείο Κ(0,1). 75) Να δείξετε ότι δε διέρχονται από το ίδιο σημείο όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση  λ 2  1  x  λy  λ 2  3λ  2  0 όπου λ ένας πραγματικός αριθμός. 76) Δίνεται η εξίσωση 2λx   λ 2  1  y  2λ 2  2λ  3  0 (1) όπου λ  ℝ α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε λ  ℝ β) Να δείξετε ότι δε διέρχονται από το ίδιο σημείο όλες οι ευθείες που ορίζονται από την (1) Σχετική Θέση Ευθειών 77) Δίνονται οι ευθείες  ε1  : λx -  λ  1  y -1  0 και  ε2  : x - 2y  λ - 2  0 Να βρεθεί το λ ώστε: α) Οι (ε1) και (ε2) να τέμνονται β) Οι (ε1) και (ε2) να είναι παράλληλες γ) Οι (ε1) και (ε2) να ταυτίζονται δ) Οι (ε1) και (ε2) να είναι μεταξύ τους κάθετες Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 191 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας 78) Δίνονται οι ευθείες  ε1  : κ -1  x  κy  3  0 και  ε2  : κ -1  x  κ  2 y  3κ  2  0 2 Να βρεθούν οι τιμές του κ ώστε: α) Οι (ε1) και (ε2) να τέμνονται β) Οι (ε1) και (ε2) να είναι παράλληλες γ) Οι (ε1) και (ε2) να ταυτίζονται δ) Οι (ε1) και (ε2) να είναι μεταξύ τους κάθετες 79) 80) Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών (ε1), (ε2) και (ε3) στις παρακάτω περιπτώσεις: α)  ε1  : x  2y  -1 β)  ε1  : x  2y  5  ε2  : 2x  y  1  ε3  : 3x  2y  5  ε2  : 2x  5y  1  ε3  : x  3y  5 γ)  ε1  : 2x  y  0 δ)  ε1  : 3x  2y  1  ε2  : 4x  2y  3  ε3  : x  y  1  ε2  : x  3y  0  ε3  : 2x  6y  5 Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού κ ώστε οι ευθείες  ε1  : κx  y  2  0 ,  ε2  : x  κy  κ  0 ,  ε3  : x  y  κ  0 να συντρέχουν. Οξεία Γωνία Ευθειών 81) Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών:  ε1  : x  7y  2  0 και  ε2  : 3x  4y  1  0 82) Δίνονται οι ευθείες  ε1  : λx  y  2 και  ε2  :  λ -1 x   λ  1 y  1  0 όπου λ ένας πραγματικός αριθμός. Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών (ε1) και (ε2) . 192 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 83) Αν οι ευθείες  ε1  : y  λ1 x+β και νία θ να δείξετε ότι ημθ   ε2  : y  λ 2x+γ σχηματίζουν οξεία γω- λ1 - λ 2 1+λ12 1+λ 22 . Η εξίσωση Αx2+By2+Γxy+Δx+Ey+Z = 0 84) Να δείξετε ότι η εξίσωση x 2  2y 2  3xy  x  3y  2  0 παριστάνει 2 ευθείες. 85) Να δείξετε ότι η εξίσωση 2x 2  2y2  3xy  6x  7y  4  0 παριστάνει 2 ευθείες κάθετες μεταξύ τους. 86) Να δείξετε ότι η εξίσωση 3x 2  3y2  8xy  9x  23y  30  0 παριστάνει 2 ευθείες των οποίων να βρεθεί η γωνία. 87) Να δείξετε ότι η εξίσωση 9x 2  12xy  4y2  4  0 παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες. Να βρεθεί το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει κορυφές τα σημεία τομής των παραπάνω ευθειών με τους άξονες x΄x και y΄y. 88) Δίνεται η εξίσωση y2  3x2  0 (1) α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει δύο ευθείες (ε1) και (ε2). β) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x΄x κάθε μια από τις (ε1) και (ε2). γ) Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζει η ευθεία  η : x  y  0 με την (ε1) και την (ε2). Γεωμετρικοί Τόποι 89) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ στις παρακάτω περιπτώσεις: α) Μ λ  1, 2λ  3  , λ  ℝ 1  2λ   β) Μ 2  λ,  , λℝ 3   Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 193 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας γ) Μ 3, 1  λ  , λ  ℝ δ) Μ 4, λ  , λ  ℝ ε) Μ λ  3, 1  , λ  ℝ στ) Μ λ, 2  , λ  ℝ ζ) Μ ημλ  2, 2  , λ  ℝ 90) η) Μ 2  συνλ, 3  , λ  ℝ θ) Μημ 2θ  1, συν2θ  3  , θ  ℝ ι) Μ1  2ημ 2θ, συν2θ  3  , θ  ℝ Δίνονται οι ευθείες  ε1  :  λ+1  x   λ-2 y  2λ -1  0 και  ε2  : 2x  y  4 όπου λ  ℝ - 1 α) Να δείξετε ότι οι (ε1) και (ε2) τέμνονται. β) Έστω Μ το κοινό σημείο των (ε1) και (ε2). Να δείξετε ότι το σημείο Μ κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. 91) Δίνονται τα σημεία Α(-1,1), Β(2,-5) και Γ(3,0). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει:  2  2  2 ΜΑ  2ΜΒ - 3ΜΓ  0 92) Αν το σημείο Α(κ,λ) κινείται στην ευθεία  ε  : 4x  5y  9  0 να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ(2κ+1,5λ-3) όπου κ, λ πραγματικοί αριθμοί. 93) Δίνονται τα σημεία Α(3,0) και Β(0,6) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: ΜΑ   ΜΒ   8 2 2 Γεωμετρικά Θέματα 94) Έστω Δ τυχαίο σημείο της πλευράς ΑΒ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στην προέκταση της ΓΑ προς το Α θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΑΕ=ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ  ΒΓ 95) Να αποδείξετε ότι σε κάθε τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ και ΓΔ ισχύει ΑΓ 2  ΒΔ2  ΑΔ2  ΒΓ 2  2ΑΒΓΔ 194 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 96) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Στις προεκτάσεις των διαμέσων του ΒΔ και ΓΕ παίρνουμε σημεία Κ και Λ αντίστοιχα τέτοια ώστε ΔΚ=ΒΔ και ΕΛ=ΓΕ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ, Δ και Λ είναι συνευθειακά και ότι ΑΚ=ΑΛ. 97) Να αποδείξετε ότι κάθε γωνία εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο είναι ορθή. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 195 Εξίσωση Ευθείας – Γενική Εξίσωση Ευθείας 196 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 2.3 Απόσταση Σημείου από Ευθεία Εμβαδόν Τριγώνου Έστω (ε) μια ευθεία με εξίσωση Αx  By  Γ  0 y (ε) Απόσταση Σημείου από Ευθεία και Μ x 0 ,y 0  ένα σημείο εκτός αυτής. d(M,ε) Η απόσταση d M,ε  του σημείου Μ από την ευθεία (ε) είναι: Αx 0  By 0  Γ d M,ε   Α 2  Β2 Ειδικότερα Μ(x0,y0) Ο x y x=α Μ(x0,y0)  Αν (ε1): x=α, τότε d M,ε1   x 0  α  Αν (ε2): y=β, τότε d M,ε2   y 0  β y=β Ο x Εμβαδόν Τριγώνου Έστω Α  x1 ,y1  , Β  x2 ,y 2  και Γ  x3 ,y3  τρία σημεία του καρτεσιανού y επιπέδου. Α(x1,y1) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι:   1 1 x x  ΑΒΓ   det AB,AΓ   2 1 2 2 x 3  x1   y 2  y1 y 3  y1 Γ(x3,y3) Β(x2,y2) Ο x Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 197 Απόσταση Σημείου από Ευθεία – Εμβαδόν Τριγώνου ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Απόσταση Σημείου από Ευθεία Παράδειγμα 1 Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Α(1,2) από τις ευθείες: α)  ε1  : 3x  4y  1  0 β)  ε 2  : x  5 γ)  ε 3  : y  7 δ)  ε 4  : y - x  0 Λύση α) d  A,ε1   3x A  4y A  1  3  8 1 25 3 4 β) d  A,ε2   x A  5  1  5  4 2 2  10 5 y γ) d  A,ε3   y A  7  2+7  9 δ) Φέρνουμε την (ε4) στην γενική της μορφή  ε4  : x  y  0 d  A,ε4   x A  y A  1  12 2  1  2 2 ε2 Α  x΄ Ο x ε4 1 2  2 2 ε3 ε1 y΄ Παράδειγμα 2 Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ Η πλευρά ΑΒ βρίσκεται πάνω στην ευθεία  ε1  : 3x  4y  1  0 και η πλευρά του ΑΔ βρίσκεται πάνω στην ευθεία  ε 2  : 4x  3y  5  0 και μια κορυφή του έχει συντεταγμένες (2,-1). Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ. Λύση Αλλά d Γ,ε1   και d Γ,ε2   3  2  4   -1   1 3 4 4  2  3   -1   5 2 3 4 2 2 2   6  4 1 25  Δ 3 5 3 16 48 16 άρα  AΒΓΔ     τ.μ. 5 5 5 25 198 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας d(Γ,ε2) ε2 ε1 ) Βοηθητικό Σχήμα Β Α d(Γ,ε1) Το σημείο (2,-1) εύκολα διαπιστώνουμε ότι δεν αληθεύει καμία από τις (ε1) και (ε2) οπότε αναγκαστικά η θα είναι Γ(2,-1). Ισχύει ότι  AΒΓΔ   ΓΒ   ΓΔ   d Γ,ε1   d Γ,ε2  Γ(2,-1) ο 2 Κεφάλαιο Παράδειγμα 3 Δίνονται οι παράλληλες ευθείες  ε1  : y  λx  β1 και  ε 2  : y  λx  β2 . α) Να δείξετε ότι d  ε1 ,ε 2   β1  β 2 λ2  1 β) Να βρεθεί η απόσταση των παράλληλων ευθειών  ε1  : 3x  4y -1  0 και  ε 2  : 6x  8y  5  0 . Λύση α) Αρχικά φέρνουμε τις εξισώσεις και των δύο ευθειών στη γενική τους μορφή. Έτσι λοιπόν είναι:  ε1  : λx  y  β1  0 (1) και  ε2  : λx  y  β2  0 (2) Η έννοια της απόστασης δύο ευθειών έχει νόημα στην περίπτωση που αυτές είναι παράλληλες. y Επιλέγουμε ένα σημείο της (ε1) Α(0,β1) Για x  0 η (1)  y  β1 άρα είναι Α(0,β1) d  ε1 ,ε2   d Α,ε2   x x΄ Οπότε ισχύει ότι: λ  0  β1  β2 λ 2  12  β1  β2 λ2  1 ε1 y΄ ε2 3 άρα οι ευθείες (ε1) και (ε2) είναι παράλληλες. 4 1  1 Για x=0 η (ε1) δίνει ότι y  άρα Α  0,  ένα σημείο της (ε1) 4  4 1 60  8  5 25 7 4 Οπότε d  ε1 ,ε2   d Α,ε2     10 10 62  82 β) Είναι λ ε1  λ ε2   Παράδειγμα 4 Δίνονται οι ευθείες  ε1  : x - 2y  0 και  ε 2  : 3x  4y -1  0 . Να βρείτε τα σημεία της (ε1) που απέχουν από την (ε2) απόσταση ίση με 1. Λύση Ας είναι Α  x A ,y A  . Αφού Α   ε1   x A  2y A  0  x A  2y A (1) Όταν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 199 Απόσταση Σημείου από Ευθεία – Εμβαδόν Τριγώνου Επιπλέον είναι: d  Α,ε2   1  3  xA  4  yA  1 32  42  1  3  xA  4  yA  1  5  1   6  y A  4  y A  1  5  10y A  1  5  y Α1 10y A  1  5 10y A  6    10y A  1  5 10y A  4 3 6  άρα x A   y A  5 5  2 4 y A   άρα x A    5 5 x΄ x ε 1 Α2 ε2 y΄ 6 3  4 2 Οπότε τα ζητούμενα σημεία είναι τα Α1  ,  και Α 2   ,   5 5  5 5 Παράδειγμα 5 Δίνονται οι ευθείες  ε1  : 3x  2y  1  0 ,  ε2  : 2x  3y  5  0 και  ε3  : x  y  0 . Να βρείτε τα σημεία της (ε3) που ισαπέχουν από τις (ε1) και (ε2). Λύση Ας είναι Α  x A ,y A  . Αφού Α   ε3   x A  y A  0  y A  x A (1) d  Α,ε1   d Α,ε2   3  xA  2  yA  1 32  22  2  xA  3  yA  5 32  22  3x A  2x A  1  2x A  3x A  5  x A  1  5  x A  xA  1  5  xA     x A  1  5  x A 2x A  4   x A  2 άρα y A  2 1  5 Αδύνατη Οπότε το μοναδικό σημείο είναι το Α(2,-2) 200 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας  ε3 y ε1 ε2 x΄ Α y΄ x ο 2 Κεφάλαιο Παράδειγμα 6 Βρείτε την ευθεία που περνά από το σημείο Α(3,1) και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 3. Λύση Αφού μας δίνεται ένα σημείο απ’ το οποίο διέρχεται η ευθεία θεωρούμε ότι η εξίσωσή της είναι της μορφής: Είναι  εΑ  : y -1  λ   x - 3   y -1  λx - 3λ   λx - y - 3λ  1  0 (1) Επιπλέον d  O,εΑ   3   λ  0   1   0  3λ  1 λ 2   1  3λ  1 2 3 y - y 0  λ   x - x0  Στο τέλος θα ελέγξουμε αν και η κατακόρυφη ευθεία αποτελεί λύση του προβλήματος  3  3λ  1  3 λ 2  1  λ 1 2  3λ  1  9  λ 2  1   1  3λ   9  λ 2  1   2 2  1  6λ  9λ 2  9λ 2  9  6λ  8  λ   4 3 4 4  4 Οπότε  εΑ  : - x - y - 3  -   1  0  y  - x  5 καθώς και η x=3 αποτελεί λύση 3 3  3 Παράδειγμα 7 Να βρείτε τις ευθείες που απέχουν από την ευθεία  ε  : 3x  4y  1  0 απόσταση ίση με 2 μονάδες. Λύση Ας είναι  δ  : y  λ  x  β η ζητούμενη ευθεία Αφού μας δίνεται ο συντελεστής Για να ορίζεται η απόσταση των (ε) και (δ) πρέπει οι ευθείες να διεύθυνσης της 3 ευθείας και δε είναι παράλληλες. Οπότε έχουμε  ε  / /  δ   λ ε  λ δ  λ  μπορούμε να 4 βρούμε ένα σημείο από το ο3 ποίο διέρχεται Άρα  δ  : y  x  β (1) θεωρούμε ότι έ4 χει εξίσωση της Για x  0 η (1)  y  β δηλαδή Α(0,β) ένα σημείο της (δ) μορφής Όμως y  λx  β 3  0 - 4  β -1 d  δ,ε   2  d Α,ε   2   2  -4  β -1  10  9  16 9 3 11   δ : y   x  β  4 4β  1  10 4β  9 4 4  4  β  1  10     4β  1  10 4β  11 β   11   ζ  : y  3  x  9  4 4 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 201 Απόσταση Σημείου από Ευθεία – Εμβαδόν Τριγώνου Παράδειγμα 8 Η ευθεία  η  : x  2y  3  0 είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών που απέχουν d  2 5 . Να βρείτε τις εξισώσεις αυτών. Λύση Οι ζητούμενες ευθείες θα είναι παράλληλες στην (η) οπότε για το συντελεστή διεύθυνσής τους έχου1 με: λ  λ η  λ   2 Η εξίσωσή τους θα είναι της μορφής: y η ζ ε x΄ 1 y΄ (ε): y  λ  x  β  y   x  β (1) 2 Κάθε μια από τις ζητούμενες ευθείες θα απέχει από την (η) απόσταση ίση με d  5 2 Για x  0 η (1)  y  β δηλαδή Α(0,β) ένα σημείο της (ε) d  ε,η  5  d Α,η  5  1  0  2 β - 3 14  5  2β - 3  5  2β - 3  5 2β  8 β  4    2β - 3  5 2β  2 β  1 1 1 Οπότε οι ζητούμενες ευθείες είναι οι  ε : y   x  4 και  ζ : y   x  1 2 2 Εμβαδόν Τριγώνου Παράδειγμα 9 Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(1,2), Β(3,0), Γ(5,4). Λύση   Είναι ΑΒ   2, 2  και ΑΓ   4,2    1 1 2 2 1 Οπότε  ΑΒΓ   det AB,ΑΓ   4  8  2 τ.μ. 2 2 4 2 2   202 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας x ο 2 Κεφάλαιο Παράδειγμα 10 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο Α(1,3) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 2 τ.μ. Λύση Έστω  εΑ  : y - y Α  λ   x - x Α   y - 3  λ  x -1    y - 3  λx - λ  y  λx - λ  3 (1) Βρίσκουμε τα σημεία τομής της (εΑ) με τους άξονες  Για x=0 η (1)  y  3 - λ άρα Β(0,3-λ)  Για y=0 η (1)  0  λx - λ  3  x  λ -3  λ -3  άρα Γ  ,0  λ  λ     λ - 3  Οπότε είναι ΟΒ   0,-λ+3  και ΟΓ   ,0   λ    1  ΟΒΓ   2  det ΟΒ,OΓ  2  2   0 -λ+3 λ -3 λ 0 4  λ - 3 3 - λ   4  λ  3λ - λ 2 - 9+3λ  4λ  -λ 2 +6λ - 9  4λ  -λ 2 +2λ - 9  0 -λ 2 +6λ - 9  4λ  2  2 -λ +6λ - 9  -4λ -λ +10λ - 9  0 2  3  Για την (2) έχουμε Δ  4  36  32  0 αδύνατη y ζ Α(1,3) x΄ x  Για την (3) έχουμε Δ  100  36  64  0 Οπότε λ1,2  10  8 1  2 9 ε y΄ Άρα από τη σχέση (1) οι ζητούμενες ευθείες είναι οι:  ε : y  x  2 και  ζ : y  9x  6 Παράδειγμα 11 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που περνά από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με την ευθεία  ε  : x  y  3 και τον y΄y τρίγωνο εμβαδού 9 τ.μ. Λύση Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 203 Απόσταση Σημείου από Ευθεία – Εμβαδόν Τριγώνου Έστω (δ) η ζητούμενη ευθεία. Αφού η (δ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων η εξίσωσή της θα είναι της μορφής  δ : y  λx Βοηθητικό Σχήμα Βρίσκουμε το σημείο τομής της (ε) με τον y΄y y Για x=0 η (ε) δίνει y=3 άρα Α(0,3) Α(0,3) Από το διπλανό βοηθητικό σχήμα γίνεται αντιληπτό ότι για να εκμεταλλευτούμε ότι το εμβαδόν Γ x Ο του τριγώνου που σχηματίζεται από το Ο(0,0) τον x΄ y΄y και τις 2 ευθείες απαιτείται να βρούμε το σημείο τομής τους Γ. y΄ 1  2  y  λx Διαδοχικά έχουμε:   x+y+3  0 1  3 3λ και από 1   y  λ+1 λ+1    3 3λ  3λ   3 Άρα Γ  ,, οπότε είναι ΟΑ   0,-3  και ΟΓ     λ+1 λ+1   λ+1 λ+1   2  x+λx+3  0  1+λ  x  -3  x  -  ΟΑΓ   9     1 det ΟΑ,OΓ  9  2   0 -3 -3 λ+1 -3λ λ+1  18  9  18  18λ+18  9  λ+1 1   λ   2 18λ+18  9 18λ  9    18λ+18  9 18λ  27  λ   3  2 y x΄ x y΄ η ε ζ 1 3 Έτσι λοιπόν οι ζητούμενες ευθείες είναι οι  δ : y   x και  ζ : y   x 2 2 Γεωμετρικοί Τόποι Παράδειγμα 13 Δίνονται οι παράλληλες ευθείες  ε1  : 4x  6y  5  0 και  ε2  : 2x  3y  1  0 . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων που ισαπέχουν από τις παράλληλες. (Εξίσωση Μεσοπαραλλήλου) 204 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο Λύση Έστω Μ(x,y) τα σημεία των οποίων το γεωμετρικό τόπο ζητάμε. Είναι d Μ,ε1   d Μ,ε2    4x  6y  5 16  36 4x  6y  5 2 13   2x  3y  1 49 2x  3y  1 13  4x  6y  5 52  2x  3y  1 13   4x  6y  5  2 2x  3y  1   4x  6y  5  4x  6y  2  4x  6y  5  4x  6y  2     4x  6y  5  4x  6y  2 5  2 8 7 2 7  y  x y  x 12 12 3 12  12y  8x  7 2 7 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία y  x  3 12 Παράδειγμα 14 Δίνονται οι ευθείες  ε1  : 3x  y  4  0 και  ε 2  : x  3y  5  0 . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ των οποίων ο λόγος των 2 αποστάσεων από τις (ε1) και (ε2) είναι ίση με 3 Λύση Έστω Μ(x,y) τα σημεία των οποίων το γεωμετρικό τόπο ζητάμε. 3x  y  4 d Μ,ε1  2 9  1  2  3x  y  4  2  Είναι   x  3y  5 3 dΜ,ε2  3 x  3y  5 3 19 9x  3y  12  2x  6y  10  9x  3y  12  2x  6y  10    9x  3y  12  2x  6y  10 7 22  y  x  3y  7x  22  3 3   9y   11x  2 11  y   x  2  9 9 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι οι δύο παραπάνω ευθείες. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 205 Απόσταση Σημείου από Ευθεία – Εμβαδόν Τριγώνου Παράδειγμα 15 Δίνονται τα σημεία Α(3,1) και Β(-1,-2) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του Μ αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΜ είναι 8 τ.μ. Λύση Έστω Μ(x,y) τα σημεία των οποίων το γεωμετρικό τόπο ζητάμε.   Είναι ΑΜ   x  3,y  1  και ΑΒ   4, 3  Οπότε έχουμε:  ΑΒΜ  8    1 det ΑΒ,ΑΜ  8  2   x - 3 y -1 -4 -3  16   -3x+9+4y - 4  16  -3x+4y+5  16  3 11  y  x+  -3x+4y+5  16 4y  3x+11 4 4     ή  ή  ή -3x+4y+5  16 4y  3x -21  3 21   4y  x  4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι οι δύο παραπάνω ευθείες. Παράδειγμα 16 Δίνονται οι ευθείες  ε1  : 4x  3y  5  0 και  ε2  : 6x  8y  5  0 Να βρείτε τις εξίσωσεις των διχοτόμων τους. (εξίσωση διχοτόμου) Λύση Ας είναι Μ(x,y) τα σημεία του επίπεδου που ανήκουν στις διχοτόμους των ευθειών (ε1) και (ε2). Τότε έχουμε: d  Μ,ε1   d Μ,ε2   4x  3y  5 16  9  6x  8y  5 36  64  4x  3y  5 5  6x  8y  5 10  5  4x  3y  5  3x  4y  1  2   4x  3y  5  6x  8y  5   2 4x  3y  5  3x  4y  5  2 8x  6y  10  6x  8y  5 2x  2y  5  0   8x  6y  10  6x  8y  5 14x  14y  15  0 206 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Απόσταση Σημείου από Ευθεία 1) Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ(4,2) από τις ευθείες α)  ε1  : x  2y  5  0 β)  ε2  : y  x γ)  ε3  : x  1 2) Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ(-1,2) από τις ευθείες α)  ε1  : 3x  4y  1  0 β)  ε2  : y  x γ)  ε3  : x  2011 3) δ)  ε4  : y  2 δ)  ε4  : y  2010 Να βρεθεί η απόσταση των ευθειών α)  ε1  : 3x  4y  12  0 και  ε2  : 3x  4y  27  0 . β)  ε1  : 6x  8y  11  0 και  ε2  : 6x  8y  13  0 . 4) Να βρείτε τα σημεία της ευθείας  ε  : x  y  1  0 που απέχουν από την ευθεία  ζ  : 3x  4y  2  0 απόσταση ίση με 2. 5) Δίνονται οι ευθείες  ε  : 5x  12y  10  0 και  ζ  : 5x  12y  20  0 . Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (η) που είναι παράλληλη προς την (ε) και η απόσταση των (η) και (ε) είναι διπλάσια από την απόσταση των (η) και (ζ). 6) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι κάθετες στην ευθεία  ε  : 2x  y  2  0 και απέχουν από το σημείο Α(3,0) απόσταση 2 5 μονάδες. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 207 Απόσταση Σημείου από Ευθεία – Εμβαδόν Τριγώνου 7) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το κοινό σημείο των ευθειών  ε1  : x  3y  1  0 ,  ε2  : 2x  5y  9  0 και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 2 μονάδες. 8) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-2,0) και απέχουν από το σημείο Β(5,-3) απόσταση ίση με 3 μονάδες. 9) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων και ισαπέχουν από τα σημεία Α(-2,3) και Β(4,1). 10) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α(3,5) και ισαπέχει από τα σημεία Β(-7,3) και Γ(11,-5). 11) Η ευθεία  ε  : 6x  8y  9  0 είναι μεσοπαράλληλη των παράλληλων ευθειών (ε1) και (ε2) που έχουν απόσταση 2 μονάδες. Να βρείτε τις εξισώσεις των (ε1) και (ε2). 12) Η ευθεία  ε  : 2x  y  1  0 είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών (ε1) και (ε2) που απέχουν των ευθειών αυτών. 5 μονάδες. Να βρείτε τις εξισώσεις 13) Δίνονται οι ευθείες  ε1  : 3x  y  10  0 και  ε2  : x  3y  16  0 . Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που ορίζουν οι (ε1) και (ε2). 14) Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες  ε1  : 3x  2y  4  0 και  ε2  : 2x  3y  6  0 . 208 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 15) Δίνονται οι ευθείες  ε1  : μx  y  1  0 και  ε2  : x  μy  3λ  0 . Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών λ, μ ώστε οι (ε1) και (ε2) να είναι παράλληλες και η απόστασή τους να είναι ίση με 2 . 16) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(5,6), Β(2,-1) και Γ(3,3). Να βρείτε το μήκος του ύψους ΑΔ του τριγώνου. 17) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2,-7). Αν  ε1  : 3x  y  2  0 (1) και  ε2  : x  2y  7  0 (2) είναι οι εξισώσεις ενός ύψους και μιας διαμέσου αντίστοιχα που φέρονται από διαφορετική κορυφή να βρείτε: α) Τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ β) Τα μήκη του ύψους και της διαμέσου που δίνονται από τις εξισώσεις (1) και (2) αντίστοιχα. 18) Δίνεται η ευθεία  ε  : x  y  1  0 . Να βρεθεί ποιο σημείο της (ε) απέχει από την αρχή των αξόνων την ελάχιστη απόσταση καθώς και η απόσταση αυτή. 19) Δίνεται η εξίσωση  ελ  : 2x  y  4  λ  x  2y  3   0 όπου λ πραγματικός αριθμός. α) Να δείξετε ότι η (ελ) παριστάνει ευθεία που διέρχεται από σταθερό σημείο. β) Να βρείτε την ευθεία (ελ) ώστε η απόσταση του Δ(2,-3) από αυτήν να ισούται με 10 . γ) Να βρείτε το λ ώστε τα σημεία Α(-1,1) και Β(1,0) να ισαπέχουν από την ευθεία (ελ). Εμβαδόν Τριγώνου 20) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ στις παρακάτω περιπτώσεις α) Α(-5,3), Β(2,0), Γ(-1,-3) β) Α(7,-4), Β(1,6), Γ(4,4) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 209 Απόσταση Σημείου από Ευθεία – Εμβαδόν Τριγώνου 21) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-1,4) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 1 τετραγωνική μονάδα. 22) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(1,2) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν 4 τετραγωνικές μονάδες. 23) Δίνονται οι ευθείες  ε1  : x  y  1  0 και  ε2  : 3x  y  5  0 . Να βρείτε τις    ευθείες που είναι παράλληλες στο διάνυσμα u  i  j και σχηματίζουν με τις ευθείες (ε1) και (ε2) τρίγωνο με εμβαδόν 2 τετραγωνικές μονάδες. 24) Δίνονται τα σημεία Α(1,1), Β(5,5) και η ευθεία  ε  : x  2y  1  0 . Να βρείτε σημείο Γ της (ε) ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ να είναι ίσο με 4 τετραγωνικές μονάδες. 25)    Δίνονται τα διανύσματα θέσης α   1,2  , β   3, 2  και γ   0,2  των σημείων Α, Β, Γ αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. β) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. γ) Αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο να βρεθεί το εμβαδόν του. 26) Ισοσκελές τρίγωνο έχει κορυφή το σημείο Α(1,2). Η βάση του βρίσκεται στην ευθεία  ε  : x  2y  10  0 και το εμβαδόν είναι 5 τετραγωνικές μονάδες. Να βρείτε τις συντεταγμένες των άλλων δύο κορυφών του. 27) Δίνονται τα σημεία Α(λ,1), Β(λ-1,λ+1) και Γ(λ+5,λ+3) όπου λ πραγματικός αριθμός. α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ τα Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. β) Να βρείτε το λ ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ να είναι ίσο με 1. 210 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 28) Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ είναι 12 τετραγωνικές μονάδες και Α(-1,3), Β(-2,4). Να βρείτε συντεταγμένες των δύο άλλων κορυφών του αν οι διαγώνιοί του τέμνονται στον άξονα x΄x. 29) Nα δειχθεί ότι η εξίσωση 9x 2  12xy  4y 2  4  0 παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες. Να βρεθεί το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει κορυφές τα σημεία τομής των παραπάνω ευθειών με τους άξονες x΄x και y΄y. Γεωμετρικοί Τόποι 30) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τα οποία ισαπέχουν από τις ευθείες  ε1  : 3x  2y  4  0 και  ε2  : 3x  2y  6  0 . 31) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(6,6), Β(-3,0) και Γ(3λ-1,2λ+3) όπου λ  ℝ α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής Γ. β) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 32) Δίνονται τα σημεία Α(-2,1), Β(3,5) και Γ(2,4) α) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου. β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει ΜΒΓ   3  ΑΒΓ  33) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου έτσι ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ με Α(-2,-1), Β(3,2) να είναι σταθερό και ίσο με 12 τετραγωνικές μονάδες. 34) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τις ευθείες  ε1  : x  2y  0 και  ε2  : x  2y  0 ισούται με 2. 35) Δίνονται οι ευθείες  ε1  : x  y -1  0 και  ε2  : x - y - 3  0 . Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ του επιπέδου των ευθειών των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τις ευθείες (ε1) και (ε2) είναι ίσος με 2. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 211 Απόσταση Σημείου από Ευθεία – Εμβαδόν Τριγώνου 36) Δίνονται οι ευθείες  ε1  : 2x  y  3  0 και  ε2  : x  y  1  0 . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει 5  d M,ε1   2  dM,ε2  . 37) Δίνονται οι μεταβλητές ευθείες  ε1  : y  λx  3 και  ε2  : y   2λ+5  x+2 Να δείξετε ότι το κοινό σημείο των (ε1) και (ε2) κινείται σε μια ευθεία (ε). 212 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 2ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ άξονα x΄x β) Mια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x΄x έχει συντελεστή διεύθυνσης λ  0 γ) Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(α,β) και Β(α,γ) έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με το μηδέν. δ) Μια ευθεία κάθετη προς τον άξονα x΄x έχει συντελεστή διεύθυνσης λ  1 ε) Οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων x΄x και y΄y είναι ευθείες κάθετες. στ) Οι ευθείες y  λ και y  λx είναι παράλληλες 2) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις λ α) Οι ευθείες y  κx  1 και y  x  1 είναι παράλληλες 2 αν και μόνο αν λ  2κ β) Οι ευθείες y  2x  5 και 2x  y  10  0 είναι παράλληλες Σ Λ Σ Λ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 213 Ερωτήσεις Κατανόησης γ) Οι ευθείες 2x  3y  1  0 και 3x  2y  1  0 είναι κά- Σ Λ δ) Οι ευθείες 2x  y  7  0 και 4x  2y  9  0 τέμνονται Σ Λ ε) Τα σημεία Α(3,5), Β(-1,5), Γ(0,5) είναι συνευθειακά Σ Λ θετες 3) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Η εξίσωση Αx  Βy  Γ  0 με Α  0 είναι εξίσωση ευ- Σ Λ Σ Λ Σ Λ ισχύει Σ Λ ε) Η ευθεία 3x  5y  2  0 είναι παράλληλη στο διά νυσμα δ   5,3  Σ Λ θείας. β) Η εξίσωση Αx  Βy  Γ  0 με Α  Β παριστάνει ευθεία. γ) Η ευθεία Αx  Βy  Γ  0 είναι παράλληλη στο διάνυ σμα α   Β,Α  δ) Αν d είναι η απόσταση του σημείου Μ(x0,y0) από την ευθεία  ε : Αx  Βy  Γ  0 , τότε Αx 0  Βy 0  Γ  d  A 2  B2 4) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Η εξίσωση y  5  λ  x  2  με λ  ℝ παριστάνει για τις διάφορες τιμές του λ  ℝ όλες τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(-2,5). 214 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Σ Λ ο 2 Κεφάλαιο β) Η ευθεία y  3 είναι παράλληλη με τον άξονα x΄x γ) H εξίσωση  α  1  x   α 2  3α  2  y  3  0 με α ℝ παριστάνει πάντοτε ευθεία. δ) Η ευθεία x  2y  3  0 διέρχεται από το σημείο Α(1,-2) ε) Η ευθεία 2x  3y  1  0 είναι κάθετη στο διάνυσμα  δ   2,3  στ) Είναι d M,ε   0 αν και μόνο αν το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία (ε). 5) Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) είναι λ  y1  y 2 για x1  x 2 Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ κάθε x1 και x2. β) Η ευθεία 2x  3y  5  0 είναι παράλληλη στο διάνυ   σμα α  3i  2j γ) Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(1,2) έχουν τύπο y  2  λ  x  1  δ) Η ευθεία y  3x είναι παράλληλη στο διάνυσμα    α  i  3j Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 215 Ερωτήσεις Κατανόησης       ε) Αν α  μ,ν  , β   x,y  με α  0 η σχέση α  β  15 πα- Σ ριστάνει ευθεία. Λ 6) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις   α) Αν α   x1 ,y1  , β   x2 ,y2  με x1 x2  y1 y 2  0 και δύο   ευθείες ε1 και ε2 με ε1 / /α και ε2  β , τότε είναι Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ ε1 / /ε2 β) Η εξίσωση x 2  y 2 παριστάνει δύο ευθείες      γ) Αν α / /ε1 και β / /ε2 τότε α,β   ε1 ,ε2    δ) Η απόσταση της αρχής των αξόνων από την ευθεία 2x  4  0 είναι ίση με 1 ε) Η απόσταση του σημείου Α(α,-α) από την ευθεία x  y  α  0 είναι ίση με 7) α 2 Δίνεται η εξίσωση  λ 2  1  x   λ 2  4λ  3  y  5  0 . Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις. α) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του λ Σ Λ β) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία κάθετη στον x΄x, για λ=3 Σ Λ γ) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία κάθετη στον y΄y, για λ=-1 Σ Λ Σ Λ δ) Η εξίσωση παριστάνει ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων για λ=1 216 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 8) Να αντιστοιχίσετε καθεμία από τις προτάσεις της πρώτης στήλης στην κατάλληλη από τις προτάσεις της δεύτερης στήλης. Στήλη Α 1. 2. Στήλη Β  ε1  : y  αx  0, α  0 α) Η ευθεία είναι κάθετη στον x΄x  ε2  : y  α  0, α  0 3.  ε3  :  α2  1  x  y  α2  1  0, α  0 4.  ε4  : y  αx  1  0, α  0 5.  ε5  : y  α  1, α  1 6.  ε6  : x  α  0, α  0 β) Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων γ) Η ευθεία τέμνει του άξονες σε σημεία διαφορετικά από το 0 δ) Η ευθεία είναι κάθετη στον άξονα y΄y. 1 9) 2 3 4 5 6 Να αντιστοιχίσετε καθεμία από τις ευθείες της πρώτης στήλης στο παράλληλο προς αυτή διάνυσμα της δεύτερης στήλης. Στήλη Α Στήλη Β Ευθεία Παράλληλο Διάνυσμα 1. x3 2. y4 0 3. y  2x  5 4. y  2x  3  0 5. xy2  0    α) α  i  j  β) β   0,3    γ) γ  2i    δ) δ  3i  6j  ε) ε   2,1   στ) η   1,2  1 2 3 4 5 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 217 Ερωτήσεις Κατανόησης 10) Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία της πρώτης στήλης στη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x΄x. Στήλη Α Στήλη Β Ευθεία Γωνία με x΄x 1. 3x  3y  0 2. x y2  0 3. 3y  3x  2 4. y3  0 5. 17x  384  0 11) α) 0o 1 β) 45o 2 γ) 135o 3 δ) 90o 4 ε) o 30 στ) 120 5 o Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία της πρώτης στήλης στον συντελεστή διεύθυνσής της, που βρίσκεται στη δεύτερη στήλη. Στήλη Α Στήλη Β Ευθεία Συντελεστής Διεύθυνσης 1. 2x  3  0 2. 2y  3  0 3. 2x  3y  1  0 4. 3x  2y  4  0 5. x y  2 3 2 α) β  γ) 2 3 1 2 3 3 0 δ) δεν ορίζεται ε) 218 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας  3 2 2 4 5 ο 2 Κεφάλαιο 12) Σε καθεμία από τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση  i. Αν το διάνυσμα δ   3, 2  είναι παράλληλο στην ευθεία (ε) τότε ο συ- ντελεστής διεύθυνσης της (ε) είναι: Α.  3 2 Β.  2 3 Γ. 2 3 Δ. 3 2 ii. Αν η ευθεία που ορίζεται από τα σημεία Γ(2,x) και Δ(4,7) είναι παράλληλη στην ευθεία που ορίζεται από τα σημεία Α(1,3) και Β(2,5) τότε το x είναι: Α. -3 Β. 3 Γ. 5 Δ. 2 iii. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(1,-3) και είναι παράλληλη στην ευθεία y  2x  1 έχει εξίσωση: Α. y  2x  1 Β. y  2x  3 Γ. y  2x  7 Δ. y  2x  1 iv. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(1,2) και είναι κάθετη στην ευθεία x  2y  5  0 έχει εξίσωση: Α. y  2x  4 Γ. y  2  1  x  1 2 1 Β. y   x 2 Δ. y  2x Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 219 Ερωτήσεις Κατανόησης v. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(-1,3) και είναι  παράλληλη στο διάνυσμα δ   2,4  είναι: Α. y  3   1 x  1 2 1 Γ. y   x  1 2 Β. y  2x  1 Δ. 2y  x  1  0 vi. Η μεσοκάθετος του τμήματος που ορίζεται από τα σημεία Α(-1,3) και Β(2,5) έχει εξίσωση: Α. 6x  4y  19  0 2 1  Β. y  4   x   3 2 Γ. 4x  6y  19  0 3 3 Δ. y   x  2 4 vii. Αν οι ευθείες  ε1 : 2x  3y  5  0 και  ε2 : αx  y  7  0 είναι παράλληλες τότε το α είναι:. Α. 2 Β. 2 3 Γ.  2 3 Δ.  3 2 viii. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ 3λ  1,2λ  3  με λ  ℝ είναι η ευθεία με εξίσωση: Α. y  2x  3 Β. x  3y  1 Γ. 2x  3y  7  0 Δ. y  x  2 220 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 13) Σε καθεμία από τις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση i. Η ευθεία x  3y  1  0 σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία : Α. 30ο Β. 60ο Γ. 90ο Δ. 180ο ii. Αν η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(α,γ) είναι κάθετη στον άξονα x΄x είναι: Α. α  1 Β. α  2 Γ. α  0 Δ. α  3 iii. Η εξίσωση αx  βy  γ  0 παριστάνει ευθεία όταν: Α. α  β Β. α  β  0 Γ. α  0  Δ. Το διάνυσμα μ   α,β  είναι μηδενικό. iv. Η ευθεία που σχηματίζει οξεία γωνία με τον άξονα x΄x είναι η: Α. y  λ x  4 με λ  0 Β. 2x  3y  6  0 Γ. λ x  3  0 με λ  0 Δ. y  λ v. Το τρίγωνο που σχηματίζουν οι ευθείες  ε1 : y  x ,  ε2 : y  x και  ε3 : x  1 έχει εμβαδό: Α. 1 2 Β. 1 Γ. 2 Δ. 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 221 Ερωτήσεις Κατανόησης 3 1 vi. Αν μια ευθεία είναι παράλληλη στην ευθεία y  x  και απέχει από 4 4 αυτήν απόσταση ίση με 2 τότε μπορεί να έχει εξίσωση: 3 7 Α. y  x  4 4 3 Β. y  x  2 4 Γ. 3x  4y  11  0 Δ. 4x  3y  2  0 vii. Οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(3,4) έχουν τύπο: Α. x  3 Γ. x  3 ή y  4  λ  x  3  , λ  ℝ Β. y  4  λ  x  3  , λ  ℝ Δ. y  4 viii. Η απόσταση του σημείου Α(1,1) από την ευθεία x  y  1  0 είναι: Α. 3 2 Β.  3 2 Γ. 3 2 Δ.  3 2  ix. Η ευθεία που είναι παράλληλη στο διάνυσμα α   0,3  και διέρχεται από το σημείο Α(1,2) είναι η: Α. y  2  x  1 Β. y  1  x  2 Γ. y  2 Δ. x  1 222 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 3ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΥΘΕΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1) Έστω ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς Οxy και ένα σημείο Α(x0,y0). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y  y 0  λ   x  x0  Α2) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις : α) Αν Α  0 ή Β  0 η εξίσωση Ax  By  Γ  0 παριστάνει ευθεία β) Η εξίσωση y  x παριστάνει τις διχοτόμους των αξόνων  γ) Η ευθεία Ax  By  Γ  0 είναι κάθετη στο διάνυσμα δ   A,B  δ) Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) με x1  x 2 είναι λ  y 2  y1 x 2  x1 ΘΕΜΑ Β Σε ορθοκανονικό σύστημα Οxy θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2,1) και τις ευθείες  ε1  : 3x  y  11  0 ,  ε2  : x  y  3  0 πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο από τα ύψη του τριγώνου. Β1) Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ Β2) Τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 223 Διαγωνίσματα Β3) Την εξίσωση της ευθείας ΒΓ Β4) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Β5) Τις συντεταγμένες του ορθόκεντρου του τριγώνου ΑΒΓ ΘΕΜΑ Γ Γ1) Έστω η εξίσωση:  α  2α  3  x   α  3α  2 y  α  8α  1  0 (1) με α ℝ 2 2 2 α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία. β) Να δειχθεί ότι όλες οι ευθείες της μορφής (1) διέρχονται από σταθερό σημείο του οποίου να βρεθούν οι συντεταγμένες. γ) Να βρεθεί ο α ℝ ώστε η παραπάνω εξίσωση (1) να σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία ίση με π . 4 Γ2) Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών  ε1  :  3  x  y  2  0 και  ε2  : x  3  y  4  0 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση x 2  y 2  8x  16  0 (1) Δ1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει δύο ευθείες (ε1) και (ε2) Δ2) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες (ε1) και (ε2) είναι κάθετες Δ3) Να βρείτε σημείο Κ(α,β), με α  0 και β  0 τέτοιο ώστε το διάνυσμα  δ1   4,α  να είναι παράλληλο σε μια από τις δύο ευθείες (ε1) και (ε2) και το  διάνυσμα δ2   8,2β  να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία 224 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 4 ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΥΘΕΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Ax  By  Γ  0 με Α  0 ή Β  0 Α2) Έστω μια ευθεία (ε) με εξίσωση Ax  By  Γ  0 και Μ0(x0,y0) ένα σημείο εκτός αυτής. Να γράψετε τον τύπο που δίνει την απόσταση του σημείου Μ0 από την ευθεία. Α3) Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Α4) Στη στήλη Α δίνονται οι εξισώσεις ευθειών και στη Στήλη Β τα κάθετα σε αυτές διανύσματα. Να κάνετε τη σωστή αντιστοίχιση Στήλη Α Στήλη Β Ευθεία Παράλληλο Διάνυσμα 1. y  3x  5 2. y  7 3. x 1 α) (-2,7) β) (3,-1) γ) (1,3) δ) (4,0) ε) (0,-3) 1 2 3 ΘΕΜΑ Β Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,1), Β(-1,3) και Γ(2,-4) Β1) Να βρεθεί η εξίσωση του ύψους ΑΔ Β2) Να βρεθεί η εξίσωση της διαμέσου ΒΜ Β3) Να βρεθεί το κοινό σημείο των παραπάνω ευθειών Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 225 Διαγωνίσματα ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι ευθείες  ε1  :  λ  2 x  λy  3λ  1  0 και  ε2  :  2λ  1  x  λy  5  0 με λ  ℝ  0 Γ1) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε οι ευθείες (ε1) και (ε2) να είναι παράλληλες . Γ2) Για λ  3 α) Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθείων (ε1) και (ε2) β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών (ε1) και (ε2) ΘΕΜΑ Δ Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Α(3,6). Η πλευρά ΒΓ του τριγώνου έχει εξίσωση 4x  3y  9  0 Επιπλέον το σημείο Μ(3,1) είναι το μέσο της ΒΓ και το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι 45 τετραγωνικές μονάδες. Δ1) Να υπολογίσετε την απόσταση του σημείου Α από τη ΒΓ Δ2) Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΒΓ Δ3) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ 226 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 5ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΥΘΕΙΑ - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α 2  2 Α1) Να αποδείξετε ότι α  α   Α2) Αν α   x1 ,y1  και β   x2 ,y2  να αποδείξετε ότι        α  β  γ  α β  α  γ     Α3) Αν ορίζονται οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων α, β να αποδείξ  τε ότι α  β  λ α  λ β  1 . Α4) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω προτάσεις στο τετράδιό σας. 1. Η γωνία ω που σχηματίζει ένα διάνυσμα με τον άξονα x΄x είναι 2. 0  ω  2π .     Αν α  β τότε α  β  1 . 3. Η ευθεία με εξίσωση Αx  Βy  Γ  0 είναι κάθετη στο διάνυσμα  η  B,A  . 4. Αν η ευθεία  ε  : y  y 0 είναι κάθετη στην ευθεία ε1 τότε ο συντελε- 5. στής διεύθυνσης της ε1 δεν ορίζεται.   Για δύο διανύσματα α, β που έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1 και λ2   αντίστοιχα ισχύει ότι: λ1  λ 2  det α,β  0   Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 227 Διαγωνίσματα ΘΕΜΑ Β Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(-1,2), Β(1,3) και Γ(3,-2). Β1) Να βρείτε την εξίσωση του ύψους ΑΔ. Β2) Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου ΒΕ. Β3) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο τομής Κ των ευθειών ΑΔ και ΒΕ και είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ. ΘΕΜΑ Γ         π Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α  1 , β  1,1  και  α,β   . Έστω τα   4       διανύσματα u  2α  3β και v  α  2β . Να υπολογίσετε :     Γ1) Τα μέτρα u , v των διανυσμάτων u και v .   Γ2) Το εσωτερικό γινόμενο u  v .   Γ3) Να δείξετε ότι η γωνία των διανυσμάτων u και v είναι αμβλεία .  Γ4) Να αναλύσετε το γ   1,3  σε δυο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από  τις οποίες η μια να έχει τη διεύθυνση του β . ΘΕΜΑ Δ Δ1) Έστω η εξίσωση:  α  2α  x   α  α  1  y  α  2  0 (1) όπου α ℝ . 2 2 2 α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε α ℝ 228 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής (1) διέρχονται από σταθερό σημείο του οποίου να βρεθούν οι συντεταγμένες. Δ2) Δίνεται η εξίσωση x 2  y 2  4λy  2λx  3λ 2  0 (2) όπου λ  ℝ α) Να δείξετε ότι η (2) παριστάνει δύο κάθετες ευθείες και να βρείτε το σημείο τομής τους Κ. β) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο στον οποίο ανήκει το Κ και να ορίσετε την αρνητική τιμή του α για την οποία η ευθεία (1) είναι κάθετη στον γεωμετρικό τόπο. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 229 Διαγωνίσματα 230 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 3ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΚΥΚΛΟΣ 3.2 ΠΑΡΑΒΟΛΗ 3.3 ΕΛΛΕΙΨΗ 3.4 ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Κύκλος 232 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο 3.1 Κύκλος Εξίσωση Κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων Θεώρημα 1 Ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: x 2  y 2  ρ2 Απόδειξη Έστω C o κύκλος και έστω Μ(x,y) ένα τυχαίο σημείο του επιπέδου που ανήκει στον κύκλο. Ως γνωστό κάθε σημείο ενός κύκλου απέχει πάντα σταθερή απόσταση από το κέντρο αυτού ίση με την ακτίνα του. Έτσι λοιπόν έχουμε: y Μ(x,y) ρ x΄ x Ο(0,0) y΄ M(x,y)  C   OM   ρ  x2  y2  ρ  2  x2  y 2  ρ2  x2  y2  ρ2 και αποδείχτηκε το ζητούμενο. Ειδική περίπτωση: Ο κύκλος με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ  1 έχει εξίσωση x 2  y 2  1 Εξίσωση Εφαπτομένης Κύκλου με κέντρο Ο(0,0) Θεώρημα 2 Η εφαπτομένη ε  c  : x 2  y 2  ρ2 σε A  x1 , y1  , έχει του ένα κύκλου σημείο y ε Α(x1,y1) εξίσωση ρ xx 1  yy 1  ρ2 Απόδειξη Αφού το σημείο Α  x1 ,y1  ανήκει στον κύκλο συμπεραίνουμε ότι οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου (c). Έτσι λοιπόν είναι: x12  y12  ρ2 (1) x΄ Ο Μ(x,y) x y΄ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 233 Εξίσωση Εφαπτομένης Κύκλου με κέντρο Ο(0,0) Κύκλος Επιπλέον     Μ x,y    ε   ΟΑ  ΑΜ  ΟΑ  ΑΜ  0    x1 ,y1  x  x1 ,y  y1   0   x1  x  x1   y1  y  y1   0  x1 x  x1 2  y1 y  y1 2  0  1   x1 x  y1 y  x12  y12  xx1  yy1  ρ2 Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι: xx1  yy1  ρ2 Εξίσωση Κύκλου με κέντρο τυχαίο σημείο Θεώρημα 3 Ο κύκλος με κέντρο Κ  x 0 , y 0  και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: y  c  :  x  x 0    y  y 0   ρ2 2 2 Απόδειξη Έστω κύκλος (c) με κέντρο K  x0 , y0  και ακτίνα ρ. Έχουμε: M(x,y)  C  KM  ρ  KM  ρ2  2 2 Μ(x,y) ρ Κ(x0,y0) y΄  x - x0    y - y 0   ρ  2 2   x - x 0    y - y 0   ρ2 2  2 x x΄ 2 Γενική Εξίσωση Κύκλου Θεώρημα 4 Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής:  c  : x 2  y 2  Ax  By  Γ  0 , με A2  B2  4Γ  0 (1) και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει κύκλο Απόδειξη Ορθό Θα αποδείξουμε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής (1) Όπως δείξαμε παραπάνω κάθε κύκλος με κέντρο ένα τυχαίο σημείο K  x0 , y0  του επιπέδου έχει εξίσωση:  x - x0    y - y 0   ρ2  x2 - 2xx0 +x0 2 +y2 - 2yy0 +y02  ρ2   x2 +y2 +  -2x 0  x+  -2y 0  y+x 02 +y 02 - ρ2  0     2 2 A B  x +y +Αx+Βy+Γ  0 2 2 Άρα ο κύκλος (c) έχει εξίσωση της μορφής (1) 234 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Γ ο Γενική Εξίσωση Κύκλου 3 Κεφάλαιο Αντίστροφο Θα αποδείξουμε ότι κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει κύκλο. Έχουμε: x 2 +y 2 +Αx+Βy+Γ  0  x2 +y 2 +Αx+Βy  -Γ  2 2 2 2 Α Β Α Β  Α  Β  x 2 +2   x+   +y 2 +2   y+      +   -Γ  2 2 2 2  2  2 2 2 2 2  Α   Β  Α +Β - 4Γ   x+  +  y+   (2) 4  2   2 Η εξίσωση (2) λόγω της (1) και επειδή Α 2 +Β2 - 4Γ>0 παριστάνει κύκλο Α 2 +Β2 - 4Γ  Α Β με κέντρο Κ  - ,-  και ακτίνα ρ  2  2 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 235 Κύκλος ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Εύρεση Εξίσωσης Κύκλου Γενική Μέθοδος Για να βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου αρκεί να βρούμε τις συντεταγμένες του κέντρου και την ακτίνα του. 1η περίπτωση Αν γνωρίζουμε το κέντρο K  x 0 ,y 0  και την ακτίνα του ρ τότε η εξίσωση του κύκλου είναι  c  :  x - x 0    y - y 0   ρ2 2 2 Παράδειγμα 1 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(-1,3) και ακτίνα ρ=2 Λύση Αφού γνωρίζουμε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι η εξίσωσή του θα είναι η  c  :  x - xΚ    y - y Κ   ρ2   x  1    y - 3   4 2 2 2 2η περίπτωση 2 y Αν γνωρίζουμε το κέντρο K  x 0 ,y 0  και ότι ο κύ- A(xA,yA) κλος διέρχεται από ένα σημείο Α  x Α ,y Α  τότε είναι ρ  ΚΑ  . Άρα βρίσκουμε και την ακτίνα του. K(x0,y0) O x Παράδειγμα 2 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(3,4) Λύση Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το Ο(0,0) η εξίσωσή του θα είναι:  c  : x2  y2  ρ2 (1) 236 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Επιπλέον : ρ   ΟΑ   Αν Α(xA,yA) και Β(xB,yB) τότε η απόστασή τους είναι:  3  0    4  0   9  16  25  5 2 2  ΑΒ    xΒ -x A  +  yB -y A  2 2 Άρα (1)  x 2  y 2  25 3η περίπτωση Αν γνωρίζουμε το κέντρο K  x 0 ,y 0  και ότι ο κύκλος εφάπτεται σε γνωστή ευθεία (ε) τότε είναι ρ  d Κ,ε  ε y ρ • Αν ο κύκλος εφάπτεται στον x΄x τότε ρ  y 0 y0 • Αν ο κύκλος εφάπτεται στον y΄y τότε ρ  x 0 O K(x0,y0) x0 x • Αν ο κύκλος εφάπτεται και στους δύο άξονες τότε ρ  x 0  y 0 Σε κάθε περίπτωση λοιπόν βρίσκουμε την ακτίνα του. Παράδειγμα 3 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(-3,1) και εφάπτεται της ευθείας  ε  : 3x  4y  1  0 Λύση Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το Κ(-3,1) η εξίσωσή του θα είναι:  c  :  x  3   y -1   ρ2 (1) 2 Επιπλέον είναι ρ  d Κ,ε   2 3   3   4  1  1 Άρα (1)   x  3    y -1   2 2 3 4 2 2 Απόσταση σημείου Α(xA,yA) από ευθεία (ε): Αx+By+Γ=0: d  Α,ε    6 25  Α  xΑ  Β  yΑ  Γ Α 2  B2 6 5 36 25 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 237 Κύκλος Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(2,3) και εφάπτεται στον άξονα x΄x. Λύση Αφού ο κύκλος έχει κέντρο το Κ(2,3) η εξίσωσή του θα είναι: y K(2,3)  c  :  x  2   y - 3   ρ2 (1) 2 2 Επιπλέον επειδή ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα x΄x έχουμε: ρ  yΚ  3  3 ρ Άρα (1)   x  2    y - 3   9 2 x x΄ y΄ 2 4η περίπτωση Αν γνωρίζουμε το κέντρο K  x 0 ,y 0  και ότι ο κύκλος εφάπτεται σε έναν άλλο κύκλο (c΄) με γνωστό κέντρο Λ  x0 ,y0  και ακτίνα ρ΄ τότε: • Αν οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά είναι ΚΛ  =ρ+ρ K(x0,y0) Λ(x0΄,y0΄) K(x0,y0) Λ(x0΄,y0΄) • Αν οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά είναι ΚΛ  = ρ - ρ Παράδειγμα 5 Δίνεται ο κύκλος  c  : x 2  y 2  2x  2y  1  0 και το σημείο του Α(2,1). Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται του (c) εξωτερικά και έχει ακτίνα διπλάσια της ακτίνας του (c). Λύση Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο Κ(1,1)  2 +  2  - 4 2 και ακτίνα ρ  2 1 2 Ας είναι (c΄) ο κύκλος του οποίου θέλουμε να βρούμε την εξίσωση. 238 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Αν ο κύκλος έχει εξίσωση της μορφής x2+y2+Αx+By+Γ=0  Α Β τότε είναι Κ  - ,-  και  2 2 ρ Α 2 +Β2 - 4Γ 2 ο 3 Κεφάλαιο  Για την ακτίνα του έχουμε: ρ  2ρ  2  Μένει λοιπόν να βρούμε το κέντρο Κ΄ του ζητούμενου κύκλου Θεωρούμε ότι Κ΄(x0,y0) Αφού οι (c) και (c΄) εφάπτονται εξωτερικά συμπεραίνουμε ότι το κέντρο Κ΄ του (c΄) θα ανήκει στην ευθεία ΚΑ.  Για την εξίσωση του ΚΑ έχουμε ΚΑ  1,0  οπότε ΚΑ  : y  1 Έτσι λοιπόν είναι y 0  1 οπότε Κ΄(x0,1) Επιπλέον είναι: ΚΚ΄ =ρ+ρ   x 0  1   1  1   3  2  2 Κ2΄ Κ  x0  1   3  x0  1  3  2 ρ Α ρ΄ Κ1΄ x  1  3 x  4  0  0  x 0  1  3 x 0  2 Άρα είναι Κ1΄(4,1) ή Κ2΄(-2,1) οπότε οι ζητούμενοι κύκλοι είναι οι:  c1  :  x  4    y -1   4 και  c2  :  x  2   y -1   4 2 2 2 2 5η περίπτωση Αν γνωρίζουμε ότι ο κύκλος εφάπτεται σε 2 ευθείες (ε1) και (ε2) τότε: • Αν οι (ε1) και (ε2) τέμνονται, το κέντρο του κύκλου ανήκει στη διχοτόμο των (ε1) και (ε2) (ε2) (δ) Α K • Αν οι (ε1) και (ε2) είναι παράλληλες, το κέντρο του κύκλου ανήκει στη μεσοπαράλληλή τους. Και για τις 2 περιπτώσεις ισχύει ότι ρ  d Κ,ε1   d Κ,ε2  απ’ όπου και υπολογίζουμε την ακτίνα του κύκλου. (ε1) (ε1) K (δ) (ε2) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 239 Κύκλος Παράδειγμα 6 Δίνονται οι ευθείες  ε1  : 2x  y  3  0 και  ε 2  : 2x  y  1  0 . Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των (ε1), (ε2) και έχει το κέντρο του στην ευθεία x=1. Λύση Ας είναι Κ(x0,y0) το κέντρο και ρ η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου Παρατηρούμε ότι  ε1  / /  ε2  Αφού Κ   ε  με  ε  : x  1 έχουμε ότι x 0  1 άρα Κ(1,y0) Είναι ρ  d Κ,ε1   2  y0  3 Επιπλέον ρ  d Κ,ε2   5  5  y0 2  y0  1 5 5  (1) 3  y0 5 (ε1) (2) K Από (1) και (2) έχουμε 5  y 0  3  y 0  (ε) (ε2) 5  y 0  3  y 0 5  3 Αδύνατο    y0  4 5  y 0  3  y 0 Άρα Κ(1,4) και από (1)  ρ  54 5  1 5 1 2 2  άρα  c  :  x  1    y - 4   5 5 5 Παράδειγμα 7 Δίνονται οι ευθείες  ε1  : x  y  2  0 και  ε 2  : x  y  14  0 . Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των (ε1), (ε2) και διέρχεται από το σημείο Α(4,2). Λύση Ας είναι Κ(x0,y0) το κέντρο και ρ η ακτίνα του κύκλου. Αρχικά παρατηρούμε ότι  ε1    ε2  αφού λ ε1   λ ε2   1 Βρίσκουμε το σημείο τομής των (ε1) και (ε2)  x  y  2  0 1      2x  12  0  x  6 και από (1)  8  y  0  y  8  x  y  14  0 240 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Έτσι λοιπόν οι (ε1) και (ε2) τέμνονται στο σημείο Β(6,8) x0  y0  2 Ισχύει ότι ρ  d Κ,ε1    2 1 1 K ρ ρ Α (ε1) (2) 2 x0  y0  2 Β ρ Θ x 0  y 0  14 Από (1) και (2) έχουμε: Λ (1) 2 Επιπλέον ρ  d Κ,ε2   (ε2) x 0  y 0  14 2  x 0  y 0  2  x 0  y 0  14  x 0  y 0  2  x 0  y 0  14  2y 0  16  y 0  8     ή  ή  ή x  y  2  x  y  14 2x  12 x  6  0 0 0 0  0  0  οπότε το Όπως παρατηρούμε στο διπλανό σχήμα η ΒΚ είναι διχοτόμος της ΘΒΛ τρίγωνο ΒΘΚ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Από πυθαγόρειο θεώρημα στο ΒΘΚ έχουμε: ΒΘ    ΘΚ   ΒΚ   ρ2  ρ2   x0  6    y 0  8   2 2 2 2 2  2ρ2   x 0  6    y 0  8  (3) 2 Επιπλέον ρ   ΑΚ   ρ  2  x 0  4    y 0  2   ρ2   x 0  4    y 0  2   2 2 2 2 3  2ρ2  2  x 0  4   2  y 0  2   2 2   x0  6    y0  8   2  x 0  4   2  y0  2   2 2 2 2  x 02  12x 0  36  y 0 2  16y 0  64  2x 0 2  16x 0  32  2y 0 2  8y 0  8   x 02  y 0 2  4x 0  8y 0  60  0 (4)  Για y 0  8 η (4)  x 02  64  4x 0  64  60  0  x 02  4x 0  68  0 Δ  16  272  256  0 άρα η εξίσωση είναι αδύνατη  Για x 0  6 η (4)  36  y02  24  8y0  60  0  y02  8y0  48  0 Δ  64  192  256  0 άρα y 0   Κ  6,4  8  16 4  2  12  Κ  6, 12  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 241 Κύκλος  Για Κ  6,4  από (3)  2ρ2   6  6    4  8   2ρ2  16  ρ2  8 2 2 Άρα  c1  :  x  6    y - 4   8 2 2  Για Κ  6, 12  από (3)  2ρ2   6  6    12  8   2ρ2  400  ρ2  200 2 2 Άρα  c2  :  x  6    y  12   200 2 2 6η περίπτωση Αν ο κύκλος διέρχεται από τρία γνωστά σημεία Α  x Α ,y Α  , Β  xΒ ,yΒ  , Γ  xΓ ,yΓ  (δηλαδή είναι περιγεγραμμένος στο τρίγωνο ΑΒΓ) τότε: Α΄τρόπος Γ Β K Α Θεωρούμε ότι η εξίσωσή του είναι της μορφής x 2  y 2  Ax  By  Γ  0 και επειδή τα σημεία Α, Β, Γ ανήκουν στον κύκλο, οι συντεταγμένες τους θα επαληθεύουν την εξίσωσή του. Έτσι δημιουργούμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους (τους Α, Β, Γ) το οποίο και επιλύουμε. Β΄ τρόπος Βρίσκουμε το κέντρο Κ του κύκλου παρατηρώντας ότι είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των χορδών ΑΒ και ΑΓ ενώ για την ακτίνα του έχουμε ότι ρ  ΚΑ  ή ρ  ΚΒ  ή ρ  ΚΓ  Παράδειγμα 8 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Μ(0,0), Κ(2,0) και Λ(3,1). Λύση Α΄ τρόπος Θεωρούμε ότι ο κύκλος έχει εξίσωση της μορφής:  c  : x2  y2  Ax  By  Γ  0 242 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Μ c   Γ  0 Γ 0 Κ   c  : 4  2A  Γ  0  4  2A  0  A  2 Γ 0 Λ   c  : 9  1  3A  Β  Γ  0  10  6  Β  0  Β  4 Α 2 Άρα η εξίσωση του είναι:  c  : x2  y 2  2x  4y  0 (*) Β΄ τρόπος Ας είναι Ν το κέντρο του κύκλου και ρ η ακτίνα του. Το Ν θα είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των χορδών (ΚΜ), (ΚΛ). Μ Η Ν Θ Κ Λ Άρα πρέπει να βρούμε τις εξισώσεις των μεσοκαθέτων των χορδών (ΚΜ), (ΚΛ) και κατόπιν επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεών τους να βρούμε τις συντεταγμένες του κέντρου Ν του κύκλου μας.  Εύρεση εξίσωσης μεσοκαθέτου της ΚΜ  x x y y  Έστω Η το μέσο της ΚΜ με Η K M , K M  δηλαδή Η(1,0) 2   2     0  ΚΜ / /x΄x οπότε ΝΞ  x΄x Παρατηρούμε ότι ΚΜ   2,0  άρα λΚΜ Άρα για την εξίσωσή της έχουμε ΝΞ : x  1 (1)  Εύρεση εξίσωσης μεσοκαθέτου της ΚΜ x x y y  5 1 Έστω Θ το μέσο της ΚΛ με Θ  K Λ , K Λ  δηλαδή Θ  ,  2 2   2 2    1 . Όμως ΝΘ  ΚΛ άρα λ Παρατηρούμε ότι ΚΛ  1,1  άρα λΚΜ ΝΘ  1 Έτσι λοιπόν για την εξίσωσή της έχουμε ΝΘ : y - y Θ  λΝΘ  x  xΘ   y - 1  5  -1  x    y  -x  3 (2) 2  2 Από (1) και (2) έχουμε y  2 άρα Ν(1,2) οπότε ρ  ΝΜ  12  22  5 Άρα η εξίσωση του είναι:  c  :  x -1    y - 2   5 (**) 2 2 Προφανώς οι (*) και (**) είναι ισοδύναμες εξισώσεις Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 243 Κύκλος Παράδειγμα 9 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεία (ε):2x+y+1=0 και διέρχεται από τα σημεία Α(-1,2) και Β(3,-1). Λύση Θεωρούμε Κ(x0,y0) το κέντρο του κύκλου. Αφού μας δίνονται δύο σημεία από τα οποία διέρχεται ο κύκλος εκμεταλλευόμαστε ότι το κέντρο του κύκλου ανήκει στη μεσοκάθετο της χορδής που ορίζουν τα σημεία αυτά. Αφού το Κ ανήκει στην ευθεία (ε) έχουμε ότι: 2x 0  y 0  1  0  y 0  2x 0  1 (1) Άρα είναι K  x 0 , 2x 0  1  Επιπλέον το κέντρο παρατηρούμε ότι ανήκει στη μεσοκάθετο της χορδής ΑΒ. Βρίσκουμε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της χορδής ΑΒ x x y y   1 Έστω Θ το μέσο της ΑΒ με Θ  Α Β , Α Β  δηλαδή Θ  1,  2   2  2  3 4 Παρατηρούμε ότι ΑΒ   4, 3  άρα λ    . Όμως ΚΘ  ΑΒ άρα λΚΘ  ΑΒ 4 3 Έτσι λοιπόν για την εξίσωσή της έχουμε ΚΘ : y - yΘ  λΚΘ  x  xΘ   y - 1 4   x  1  2 3 (ε) 4 4 1 4 5 y  x  y  x 3 3 2 3 6 Α Κ Θ Β 4 5 Αφού Κ  ΚΘ   -2x 0 -1  x 0   -12x 0 - 6  8x 0 - 5  3 6  -20x 0  1  x 0  - (1)  y 0  1 20 1 9  1 9   1  y0   άρα είναι K  - ,-  10 10  20 10  2 2 1  9 149  Για την ακτίνα του κύκλου έχουμε ότι ρ  ΚΑ    1     2    20   10  4  2 2 1   9  149  Άρα ο κύκλος έχει εξίσωση:  c  :  x     y    16  10   10  244 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο 7η περίπτωση Αν ο κύκλος εφάπτεται σε τρεις γνωστές ευθείες ε1 , ε2 , ε3 (δηλαδή είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο που ορίζουν οι ευθείες αυτές) τότε βρίσκουμε το κέντρο του παρατηρώντας ότι είναι το σημείο που ισαπέχει από αυτές. Α Γ Για την ακτίνα του έχουμε ότι ρ  d Κ,ε1  ή ρ  d Κ,ε2  ή ρ  d Κ,ε3  (ε2) (ε1) Β (ε3) Προσοχή Σε 3 ευθείες ε1 , ε2 , ε3 έχουμε γενικά 4 κύκλους που εφάπτονται σε αυτές. Έναν τον εγγεγραμμένο στο τρίγωνο που αυτές ορίζουν και τρεις παρεγγεγραμμένους. Θέλει λοιπόν προσοχή στο να αποφανθούμε ποιος από όλους είναι ο εγγεγραμμένος. Παράδειγμα 10 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των ευθειών  ε1  : 3x  2y  1  0 ,  ε2  : 2x  3y  5  0 ,  ε3  : 2x  3y  1  0 Λύση Ας είναι Κ(x0,y0) το κέντρο του ζητούμενου κύκλου και ρ η ακτίνα του. Ισχύει ότι:  ρ  d Κ,ε1   3x 0  2y 0  1 ρ  d Κ,ε2   2x 0  3y 0  5 13 13 (1) (2) και ρ  d Κ,ε3   2x 0  3y 0  1 13 (3) Από (1) και (2) έχουμε: 3x 0  2y 0  1 13  2x 0  3y 0  5 13  3x 0  2y 0  1  2x 0  3y 0  5  3x 0  2y 0  1  2x 0  3y 0  5 x 0  5y 0  6 (4)   3x 0  2y 0  1  2x 0  3y 0  5  y 0  5x 0  4 (5) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 245 Κύκλος  Από (2) και (3) έχουμε: 2x 0  3y 0  5 13  2x0  3y 0  1 13  2x 0  3y 0  5  2x0  3y0  1  2  y0  (6)  2x  3y  5  2x  3y  1 6y  4    0 0 0 3  0  0  2x 0  3y 0  5  2x 0  3y 0  1 4x 0  6 x   3 (7)  0 2 Έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις λοιπόν  Αν y0  2 τότε (4)  x0  5  2  6  x0  8 άρα το κέντρο του είναι Κ  8 , 2  3 3 3 3 3 8 2 4 3  2 1 7  25 3 3 3 ενώ η ακτίνα του είναι ρ  d Κ,ε1     13 13 3 13 2 2  8   2   25  Η εξίσωσή του είναι  c1  :  x -    y -      3   3   3 13  2  Αν y0  2 τότε (5)  2  5x0  4  x0   2 άρα το κέντρο του είναι Κ  - 2 , 2  3 3  3 3 3 2 4  2 3      2   1 3  3 3 5 3   ενώ η ακτίνα του είναι ρ  d Κ,ε1     13 13 3 13 2 2  2  2  5  Η εξίσωσή του είναι  c2  :  x     y -      3   3   3 13  2  Αν x 0   3 τότε (4)  - 3  -5  y 0  6  y 0  3 άρα το κέντρο του είναι 2 2 2 3 9  3 3   -   2  -1 22 5 2  3 3  2 Κ   ,  ενώ η ακτίνα του είναι ρ  d Κ,ε1     13 13 2 13  2 2 2 2  3  3  5  Η εξίσωσή του είναι  c3  :  x     y -      2   2   2 13  246 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 2 ο 3 Κεφάλαιο  Αν x 0  - 3 7  3 τότε (5)  y 0  5  -   4  y 0  - άρα το κέντρο του είναι 2 2  2  3  7 3   -   2   -  -1 25  3 7  2  2 Κ  - ,-  ενώ η ακτίνα του είναι ρ  d Κ,ε1    13 2 13  2 2 2 2 7   25   3  Η εξίσωσή του είναι  c3  :  x     y     2   2 13   2  2 8η περίπτωση Αν μας δίνεται ότι ο κύκλος έχει διάμετρο ΑΒ με γνωστά άκρα τότε το κέντρο του K  x 0 ,y 0  είναι το μέσο του ΑΒ οπότε είναι x A  xB  x 0  2   y 0  y A  yB  2 Για την ακτίνα του έχουμε ότι ρ   ΑΒ   ΚΑ  ΚΒ     2 Παράδειγμα 11 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ΑΒ με Α(-2,1) και Β(4,3). Λύση Αφού ο κύκλος έχει διάμετρο ΑΒ το κέντρο του Κ(x0,y0) θα είναι το μέσο του ΑΒ. x A  xB -2  4   x 0  2 x 0  2 x  1 Έτσι λοιπόν είναι:    0 άρα Κ(1,2) y0  2  y 0  y A  yB  y0  3  1   2 2  ΑΒ    4  2    3  1   Επιπλέον είναι ρ  2 2 2 36  4 40   10 2 2 2 Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι:  c  :  x  1    y  2   10 2 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 247 Κύκλος Παράδειγμα 12 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(3,-2) και αποκόπτει από την ευθεία  ε  : 3x  4y  2  0 χορδή με μήκος 8. Λύση Γνωρίζουμε το κέντρο του κύκλου άρα αρκεί να βρούμε την ακτίνα του. Μ Α Φέρνουμε το απόστημα ΚΜ της χορδής ΑΒ. Β Κ Το Μ είναι μέσο του ΑΒ άρα ΒΜ  4 Επιπλέον είναι ΚΜ  ΑΒ  Αρχικά υπολογίζουμε το μήκος του ΚΜ (ΚΜ)  dΚ,ε   3  3  4   2   2 3 4 2  2 15 3 5  Έπειτα παρατηρούμε ότι το τρίγωνο ΚΜΒ είναι ορθογώνιο οπότε από πυθαγόρειο θεώρημα σε αυτό προκύπτει ότι: ΚΜ  ΒΜ  ΒΚ   42  32  ρ2  ρ  5 2 2 2 Η εξίσωση λοιπόν του κύκλου είναι  c  :  x  3    y  2   25 2 2 Εύρεση Εξίσωσης Εφαπτομένης Κύκλου με Γνωστό το Σημείο Επαφής Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης ενός κύκλου αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:  Αν ο κύκλος έχει εξίσωση x 2  y 2  ρ2 η εφαπτομένη του στο σημείο Α  x1 ,y1  έχει τύπο xx1  yy1  ρ2  Αν ο κύκλος έχει κέντρο K  x 0 ,y 0  δηλαδή η εξίσωσή του είναι της μορφής y K(x0,y0)  x - x0    y - y 0   ρ2 για να βρούμε την 2 2 εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο του Α  x1 ,y1  θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ(x,y) Α(x1,y1) O Μ(x,y) x (ε) της  εΑ  και έχουμε:     ΚΑ  ΑΜ  ΚΑ  ΑΜ  0 και προχωράμε με προφανείς πράξεις 248 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Παράδειγμα 13 Να βρεθεί η εφαπτομένη του κύκλου x 2  y 2  25 στο Α(-3,4) και στο αντιδιαμετρικό του. Λύση Για την εφαπτομένη στο Α(-3,4) έχουμε:  εΑ : xx Α  yy Α  ρ2  3x  4y  25  4y  3x  25  y  Το αντιδιαμετρικό του σημείου Α είναι το συμμετρικό του σημείο ως προς την αρχή των αξόνων. Ως γνωστό δύο σημεία που είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων έχουν αντίθετες τετμημένες και αντίθετες τεταγμένες. Έτσι λοιπόν αν ονομάσουμε Α΄ το συμμετρικό του Α τότε θα είναι Α΄(3,-4) και η εφαπτομένη του κύκλου στο Α΄ θα έχει εξίσωση: 3 25 x 4 4 Α Α΄  εΑ'  : xx Α΄  yy Α΄  ρ2  3x  4y  25  4y  3x  25  y  Ο εΑ εΑ΄ 3 25 x 4 4 Παράδειγμα 14 Να βρεθεί η εφαπτομένη του κύκλου  x  1    y - 2   5 στο Α(1,1) 2 2 Λύση Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο Κ(-1,2) και η ακτίνα του είναι ρ  5 Φέρνουμε την εφαπτόμενη του κύκλου στο σημείο Α αυτού Θεωρούμε τυχαίο σημείο Μ(x,y) που ανήκει στην (εΑ) Διαδοχικά έχουμε:   ΑΜ   x-1,y-1  και ΑΚ   2,-1    ΑΜ  ΑΚ  0  2  x-1    y-1   0  Κ Α εΑ  2x  2  y  1  0   2x  1  y  0  y  2x  1 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 249 Κύκλος Εύρεση Εξίσωσης Εφαπτομένης Κύκλου με Άγνωστο το Σημείο Επαφής  Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης ενός κύκλου και δε γνωρίζουμε το σημείο επαφής αλλά γνωρίζουμε ένα σημείο Α(x0,y0) από το οποίο διέρχεται θεωρούμε ότι έχει εξίσωση της μορφής y - y 0  λ  x - x 0  και βρίσκουμε το λ από κατάλληλο δεδομένο. Πάντα στο τέλος ελέγχουμε αν η κατακόρυφη ευθεία αποτελεί λύση του προβλήματος.  Επίσης αν η εφαπτομένη  Είναι παράλληλη σε γνωστή ευθεία (ε1)  Είναι κάθετη σε γνωστή ευθεία (ε2)  Σχηματίζει γνωστή γωνία ω με τον x΄x τότε θεωρούμε ότι η εφαπτομένη έχει εξίσωση της μορφής y  λx  β Ο συντελεστής διεύθυνσης βρίσκεται με ένα από τα παραπάνω δεδομένα Το β βρίσκεται • Είτε απαιτώντας d K,ε   ρ • Είτε απαιτώντας το σύστημα των εξισώσεων της εφαπτομένης και του κύκλου να έχει μοναδική λύση (δηλαδή Δ=0). Παράδειγμα 15 Δίνεται ο κύκλος  c  : x 2  y 2  9 και το σημείο Β(5,3). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου (c) που διέρχεται από το σημείο Β. Λύση Αρχικά παρατηρούμε ότι το σημείο Β(5,3) δεν ανήκει στον κύκλο άρα το Β δεν είναι το σημείο επαφής. Ο κύκλος μας έχει κέντρο το σημείο Κ(0,0) και ακτίνα ρ3 Αφού η εφαπτομένη του κύκλου διέρχεται από το σημείο Β(5,3) η εξίσωση της θα είναι της μορφής: 250 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Κ ρ Β εΒ ο 3 Κεφάλαιο  εΒ : y - yΒ  λ  x - xΒ   y - 3  λ  x - 5  y - 3  λx - 5λ  λx - y - 5λ  3=0 Ισχύει ότι: ρ  d Κ,εΒ   5λ  3 λ2  1 2   3  3  5λ  3 λ 2  1  3  5λ  3 λ 2  1  2   3  5λ   9λ 2  9  9  30λ+25λ 2  9λ 2  9  16λ 2  30λ  0  2 λ  0 λ  0 λ  0   2λ  8λ  15   0     15 8λ  15  0 8λ  15    λ  8 Έτσι λοιπόν έχουμε:  Για λ  0 η (1)  -y  3=0  y  3 άρα  εΒ : y  3  Για λ  15 15 25 15 1 15 1 η (1)  x - y -  3=0  y  x - άρα  εΒ : y  x 8 8 8 8 8 8 8 Τέλος ελέγχουμε αν η κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από το σημείο Β αποτελεί λύση του προβλήματος παρατηρώντας αν η απόστασή της από το κέντρο του κύκλου ισούται με την ακτίνα του κύκλου. Η κατακόρυφη ευθεία που διέρχεται από το Β είναι η  ε : x  5 Είναι d Κ,ε   5  1  ρ άρα η (ε) δεν αποτελεί εφαπτομένη του κύκλου. Παράδειγμα 16 Δίνεται ο κύκλος  c  : x 2  y 2  2x  4y  0 και η ευθεία  ε  : x  2y  3  0 . Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου που είναι κάθετη στην (ε). Λύση  Α Β Ο κύκλος μας έχει κέντρο το σημείο Κ   ,   ή Κ 1, 2  και  2 2 ακτίνα ρ  Α 2 +Β2 - 4Γ 4+16 20    5 2 2 2 1 2 Αφού η εφαπτομένη του κύκλου είναι κάθετη στην ευθεία (ε) ο συντελεστής διεύθυνσής της λ θα είναι αντιθετοαντίστροφος του λ ε άρα λ  -2 Η δοθείσα ευθεία  ε : x - 2y+3  0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ ε  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 251 Κύκλος Έστω ότι η εφαπτομένη έχει εξίσωση  ε1 : y  λx+β  y  -2x+β  2x+y -β  0 Ισχύει ότι: ε1 ρ  d Κ,ε1   22β 4 1  5 β 5 ρ Κ  5 ε ε2 β  5  β 5 β  -5 Άρα  ε1 : y  -2x+5 ή  ε2 : y  -2x-5 Σχετικές Θέσεις Σχετική θέση σημείου Α ως προς κύκλο (c) Έστω κύκλος (c) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ και ένα σημείο Α  x A ,y A   Αν ΚΑ   ρ τότε το Α   c  Α1  Αν ΚΑ   ρ τότε το Α είναι εσωτερικό Α2 σημείο του κύκλου K  Αν ΚΑ   ρ τότε το Α είναι εξωτερικό Α3 σημείο του κύκλου Σε κάθε περίπτωση λοιπόν για να βρούμε τη σχετική θέση ενός σημείου και ενός κύκλου βρίσκουμε την απόσταση του σημείου από το κέντρο του κύκλου και τη συγκρίνουμε με την ακτίνα. Σχετική θέση ευθείας (ε) ως προς κύκλο (c) ε 1 Έστω κύκλος (c) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ και ευθεία (ε) ε2 • Αν d Κ,ε   ρ τότε η (ε) εφάπτεται στον ε3 κύκλο Α1 Α2 • Αν d Κ,ε   ρ τότε η (ε) δεν έχει κοινά σηΑ3 μεία με τον κύκλο K • Αν d Κ,ε   ρ τότε η (ε) τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία Σε κάθε περίπτωση λοιπόν για να βρούμε τη σχετική θέση μιας ευθείας με έναν κύκλο βρίσκουμε την απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία και τη συγκρίνουμε την ακτίνα του κύκλου. 252 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Σχετική θέση δύο κύκλων (c1) και (c2) Έστω κύκλος (c1) με κέντρο Κ1, ακτίνα ρ1 και κύκλος (c2) με κέντρο Κ2, ακτίνα ρ2 με ρ1  ρ2 • Αν Κ1Κ2   ρ1  ρ2 τότε οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο. • Αν Κ1Κ2   ρ1  ρ2 τότε οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά δηλαδή έχουν ένα κοινό σημείο. • Αν Κ1Κ2   ρ1  ρ2 τότε ο (c2) εξωτερικός του (c1) δηλαδή δεν έχουν κοινά σημεία. ρ1 K2 K1 K2 ρ1-ρ2 K1 ρ1 • Αν Κ1Κ2   ρ1  ρ2 τότε ο (c2) εσωτερικός του (c1) δηλαδή δεν έχουν κοινά σημεία. • Αν ρ1  ρ2  Κ1Κ2   ρ1  ρ2 τότε (c2) και (c1) τέμνονται δηλαδή έχουν δύο κοινά σημεία. ρ2 K1 ρ2 K2 K1 K2 Α K1 K2 Συνοπτικά για τη σχετική θέση των δύο κύκλων έχουμε τον παρακάτω πίνακα Κ1Κ2 ρ1  ρ2 0 Σχ. Θέσεις (c1) και (c2) (c2) εντός (c1) ο (c2) εφ. εσ. τέμνονται του (c1) ρ1  ρ2 εφάπτονται εξωτερικά (c2) εκτός (c1) ρ1 > ρ2 Παράδειγμα 17  c  : x 2  y 2  8x  12  0 και οι ευθείες  ε1  : x  2y  6  0 ,  ε2  : x  y  0 ,  ε3  : x  3y  0 . Να βρεθεί η θέση Δίνεται ο κύκλος κάθε ευθείας σχετικά με τον κύκλο. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 253 Κύκλος Λύση ε2 Ο κύκλος μας έχει κέντρο το σημείο Κ(4,0) και ακτίνα ρ  2 ε3 Α +Β - 4Γ 64-48 16   2 2 2 2 K Έτσι λοιπόν έχουμε:  d Κ,ε1  =  d Κ,ε2    ε1 2 46 2 1 2 4 = 2 2 5  ρ άρα η (ε1) τέμνει τον κύκλο 5 5 = 4 4 2   2 2  ρ άρα η (ε2) δεν έχει κοινά σημεία 2 1 1 2 με τον κύκλο 4 4 d Κ,ε3     2  ρ άρα η (ε3) εφάπτεται του κύκλου 13 2  Παράδειγμα 18 Δίνονται οι κύκλοι  c1  : x 2  y 2  1 και  c2  :  x - 3    y - 4   16 . 2 2 α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. β) Να βρεθεί το κοινό τους σημείο γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κοινών τους εφαπτομένων. Λύση α) Ο κύκλος (c1) έχει κέντρο το σημείο Κ1(0,0) και ακτίνα ρ1=1 Ο κύκλος (c2) έχει κέντρο το σημείο Κ2(3,4) και ακτίνα ρ2=4 Κ1Κ2    3  0    4  0   9  16  25  5  ρ1  ρ2 2 2 Για να δείξουμε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά αρκεί να δείξουμε ότι η διάκεντρος ισούται με το άθροισμα των ακτινών τους Άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. β) Για να βρούμε το κοινό σημείο των δύο κύκλων λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους.  x2 +y 2  1  x2 +y 2  1 x 2 +y 2  1 1      2  2 2 2 2 2  x - 3  +  y - 4   16 x - 6x+9+y - 8y+16  16  x +y - 6x - 8y  -9 Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει: 254 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο 3 5 6x  8y  10  8y  -6x  10  y  - x  (2) 4 4 Από την (1) με τη βοήθεια της (2) έχουμε: 2 5 9 30 25  3 x 2 +  - x    1  x 2 + x2  x   1  16x2 +9x2  30x  25  16  4 16 16 16  4  25x 2  30x  9  0   5x  3   0  5x  3  0  x  2 Για x  3 5 3 3 3 5 9 5 16 4 η (2)  y  -    y  -   y  y 5 4 5 4 20 4 20 5 3 4 Άρα A  ,  το κοινό σημείο των δύο κύκλων 5 5 γ) Αφού οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά θα έχουν μια κοινή εσωτερική εφαπτομένη και δύο κοινές εξωτερικές εφαπτομένες.  Αρχικά αναζητούμε την κοινή εσωτερική εφαπτομένη Η εφαπτομένη του (c1) στο σημείο Α έχει εξίσωση: 3 4 εA : xx A  yy A  ρ12  x  y  1  3x  4y  5  5 5 3 5  4y  -3x  5  y  - x  4 4  Κατόπιν αναζητούμε τις κοινές εξωτερικές εφαπτομένες  Αν δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά τότε έχουν τρεις κοινές εφαπτομένες  Αν δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά τότε έχουν μια κοινή εφαπτομένη.  Αν δύο κύκλοι τέμνονται τότε έχουν δύο κοινές εφαπτομένες.  Αν ένας κύκλος είναι εξωτερικός ενός άλλου τότε οι κύκλοι έχουν τέσσερις κοινές εφαπτομένες.  Αν ένας κύκλος είναι εσωτερικός ενός άλλου τότε δεν έχουν κοινές εφαπτομένες. Ας είναι  ε1 : y  αx  β  αx - y  β  0 η εξίσωση της μιας κοινής εξωτερικής εφαπτομένης των δύο κύκλων β Είναι d Κ1 ,ε1   ρ1   1  β  α 2 +1 (3) 2 α +1  3  3α-4+β 3α-4+β Επιπλέον d Κ 2 ,ε1   ρ2   4  4  3α-4+β  4 β  β α2  1 4  β  α 3α-4+β  4β 3α-4  3β  3    3α-4+β  4β 3α-4  -5β β  - 3α + 4  5 5 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 255 Κύκλος  Για β  α(3)  α- 4 η 3 4 3α-4  α 2 +1   α2 +1  3α-4  3 α2 +1  3 3 2  3α-4  9α 2 +9  9α 2 -24α  16  9α 2 +9   -24α  -7  α  Οπότε β  7 4 7 32 25 - β  - β  24 3 24 24 24 Άρα  ε1 : y   7 24 7 25 x 24 24 3α 4 + η 5 5 3α 4 -3α+4 (3)  - +  α 2 +1   α2 +1  3α-4  5 α2 +1  5 5 5 Για β  - 2  3α-4  25α 2 +25  9α 2 -24α  16  25α 2 +25   16α 2 +24α+9  0   4α+3   0  4α+3  0  α  2 3 4 3 3  4 9 4 25 5 Οπότε β  -  -  +  β  +  β  β  5 4  5 20 5 20 4 3 5 Άρα  εΑ : y   x  την οποία είχαμε βρει και παραπάνω. 4 4  Η τρίτη κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων θα είναι η κατακόρυφη ευθεία  ε3 : x  1 256 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Μέγιστες και Ελάχιστες Αποστάσεις Σημείο και Κύκλος Έστω κύκλος (c) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ και Α ένα σημείο που δεν ανήκει στον κύκλο Α d • Η ελάχιστη απόσταση που απέχει το σηc Μ ρ K μείο Α από ένα σημείο του (c) είναι: ρ dmin   AM   AK   MK    AK   ρ Ν • Η μέγιστη απόσταση που απέχει το σηM d c μείο Α από ένα σημείο του (c) είναι: Α ρ K ρ dmax   AΝ   AK   KΝ   AK   ρ N Ευθεία και Κύκλος Έστω κύκλος (c) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ και (ε) μια ευθεία που δεν τέμνει τον κύκλο. Α • Η ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα d σημείο του (c) από την (ε) είναι: ε M ρ dmin  MA    AK   KM  d K,ε   ρ K ρ • Η μέγιστη απόσταση που απέχει ένα σηN μείο του (c) από την (ε) είναι: dmax  NA   NK   KA   d K,ε   ρ Δύο κύκλοι Έστω κύκλος (c1) με κέντρο Κ, ακτίνα ρ1 και κύκλος (c2) με κέντρο Λ, ακτίνα ρ2, οι οποίοι ο ένας είναι εξωτερικός του άλλου. Α • Η ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα ρ σημείο του (c1) από ένα σημείο του (c2) Κ είναι: ρ dmin  BΓ   ΚΛ   KΒ    ΛΓ   1 1  ΚΛ   ρ1  ρ2 Β d Γ • Η μέγιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο του C από την (ε) είναι: dmax   ΑΔ   ΚΛ   ΚΑ    ΛΔ    ΚΛ   ρ1  ρ2 Δύο σημεία του ίδιου κύκλου Έστω κύκλος (c) με κέντρο Κ και ακτίνα ρ. Η μέγιστη απόσταση που απέχουν δύο σημεία του (c) είναι: dmax   ΑΒ   2ρ ρ2 ρ2 Λ Δ d Α ρ Κ ρ Β Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 257 Κύκλος Παράδειγμα 19 Να βρείτε το μικρότερη απόσταση του κύκλου 2 2 16x  16y  48x  8y  43  0 από την ευθεία  ε  : 8x  4y  73  0 . Λύση 1 43 16x2  16y 2  48x - 8y - 43  0  x 2  y 2  3x - y 0 2 16 Άρα ο κύκλος μας έχει κέντρο το σημείο  3 1 K - ,   2 4 και ακτίνα 1  43  1 43 9  -4  -  9  4  16  4 4  9  11  20  5 ρ  2 2 2 2 Φέρνουμε την ευθεία (ζ) κάθετη από το κέντρο του κύκλου στην ευθεία (ε). Θ Α Από το διπλανό σχήμα γίνεται κατανοητό ότι:  3 1 8  -   4  73 12  1  73 4  2 dmin  d K,ε     64  16 80  Α Κ ε ζ 60 6 80 12 5   8 4 80 Κοινή Χορδή δύο Τεμνόμενων Κύκλων Έστω  c1  : x2  y 2  A1 x  B1 y  Γ1  0 και  c2  : x2  y2  A 2x  B2 y  Γ 2  0 δύο τεμνόμενοι κύκλοι. Για να βρούμε την εξίσωση της κοινής χορδής τους ακολουθούμε την εξής μέθοδο. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των  c1  και  c2  βρίσκοντας τα κοινά τους σημεία Α και Β. Τότε εύκολα βρίσκουμε την εξίσωση της ΑΒ αφού γνωρίζουμε τις συντεταγμένες δύο σημείων από τα οποία αυτή διέρχεται. 258 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Α Β ο 3 Κεφάλαιο Παράδειγμα 20  c1  :  x - κ   y 2  1 και  c2  :  x -1   y 2  4 με 2 Δίνονται οι κύκλοι 2 κ  ℝ - 1 . Να βρεθεί για ποιες τιμές του κ οι κύκλοι τέμνονται και να βρε- θεί η εξίσωση της κοινής χορδής τους. Λύση y Για να τέμνονται οι κύκλοι πρέπει η διάκεντρος να είναι μικρότερη από το άθροισμα των ακτινών τους και μεγαλύτερη τιμή από τη διαφορά των ακτινών τους. Α K1 O Β O κύκλος (c1) έχει κέντρο το Κ1(κ,0) και ακτίνα ρ1=1 ενώ ο κύκλος (c2) έχει κέντρο το Κ2(1,0) και ακτίνα ρ2=2. Είναι Κ1Κ2   K2 x κ  1  κ  1 2 Πρέπει ρ2  ρ1  Κ1Κ2   ρ1  ρ2  1  κ  1  3   κ  1  1 κ  1  1 ή κ  1  1     κ  1  3 3  κ  1  3 κ  2 ή κ  0   κ   -2,0    2,4  2  κ  4 Επιπλέον αφού θέλουμε ο κ να είναι ακέραιος αρνητικός αριθμός, εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι η μοναδική τιμή του κ που γίνεται δεκτή είναι η κ = -1. Για να βρούμε την εξίσωση της κοινής χορδής των δύο κύκλων αρχικά βρίσκουμε τα κοινά τους σημεία.  x  1 2  y 2  4  2 2  x  1   y  1 1       x  1    x  1   3  x2 - 2x  1  x2  2x  1  3  2 2  4x  3  x   2 3 4 2 49 2  3   7 Από την σχέση (1) έχουμε    1   y 2  4      y 2  4  y 4  16  4   4 y  15  49  y 2  64  y2  15   y   15 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 259 Κύκλος Τα σημεία τομής λοιπόν των δύο κύκλων είναι τα  3   3  Α   , 15  και Β   ,  15   4   4   Παρατηρούμε ότι ΑΒ  0, 2 15 άρα η χορδή ΑΒ είναι κατακόρυφη οπότε η   εξίσωσή της θα είναι η x   3 4 Παράδειγμα 21 Δίνεται κύκλος  c  : x 2  y 2  ρ2 και το σημείο Α  x1 ,y1  εκτός του κύκλου. Από το Α φέρνουμε τις εφαπτομένες ΑΒ και ΑΓ στον κύκλο. Να δειχθεί ότι η εξίσωση της χορδής ΒΓ είναι xx1  yy1  ρ2 . ***Η χορδή ΒΓ ονομάζεται πολική του κύκλου Λύση Ας είναι Β(x2,y2) και Γ(x3,y3) τα σημεία επαφής Α Γ Οι εφαπτόμενες του (c) στα σημεία Β και Γ έχουν εξισώσεις:  ε1 : xx2  yy2  ρ και  ε2 : xx3  yy3  ρ 2 Ο Β 2 αντίστοιχα. Οι ευθείες (ε1) και (ε2) διέρχονται από το σημείο Α(x1,y1) αν και μόνο αν x1x 2  y1 y2  ρ2 και x1x 3  y1 y 3  ρ2 Παρατηρούμε ότι η εξίσωση της ευθείας x1x  y1 y  ρ2 επαληθεύεται από τα σημεία Β και Γ άρα αυτή θα είναι και η εξίσωση της χορδής ΒΓ. Παραμετρική Εξίσωση Κύκλου Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια παραμετρική εξίσωση (cλ) παριστάνει κύκλο ακολουθούμε τα εξής βήματα: • Τη φέρνουμε στη μορφή x 2  y 2  Ax  By  Γ  0 • Δείχνουμε ότι A 2  B2  4Γ  0 για κάθε λ  ℝ 260 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Οικογένεια Κύκλων από Σταθερό Σημείο Αν μας δίνεται μια παραμετρική εξίσωση κύκλου και θέλουμε να αποδείξουμε ότι όλοι οι κύκλοι που σχηματίζονται, για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου, διέρχονται από το ίδιο (ή από σταθερό σημείο) τότε ακολουθούμε τα εξής βήματα: Δίνουμε δύο τυχαίες τιμές στην παράμετρο και βρίσκουμε δύο κύκλους που ανήκουν στην αρχική οικογένεια κύκλων. Δηλαδή  Βρίσκουμε δύο «εκπροσώπους» της αρχικής οικογένειας.  Βρίσκουμε τα σημεία τομής των «εκπροσώπων»  Εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες των σημείων τομής των «εκπροσώπων» επαληθεύουν την αρχική εξίσωση.  Αν την επαληθεύουν, τότε όλες οι ευθείες που ανήκουν στην αρχική οικογένεια διέρχονται από το σημείο αυτό. Παράδειγμα 22 Δίνεται η εξίσωση  cκ  : x 2  y 2  x  1  κ  x  y   0 (1), κ  ℝ α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού κ. β) Δείξτε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (1) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία. γ) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής όλων των κύκλων που ορίζονται από την (1). Λύση α) Αρχικά μετασχηματίζουμε τη δοθείσα εξίσωση ώστε να τη φέρουμε στη μορφή: x 2  y 2  Ax  By  Γ  0 Έτσι λοιπόν έχουμε:  cκ  : x2  y2  x  1  κ  x  y   0  x2  y2  x  1  κx  κy  0   x 2  y 2  κ  1  x  κy 10      Γ Β Α Α 2 +Β2 -4Γ  κ  1    κ   4  1   2 2  κ 2  2κ  1  κ2  4  2κ2  2κ  5 Είναι Δ  22 -4  2  5  -36  0 άρα 2κ 2  2κ  5  0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 261 Κύκλος β) Θέτουμε δύο τυχαίες τιμές στην παράμετρο κ και βρίσκουμε δύο κύκλους της οικογένειας.  Για κ = 0 (1)  x 2  y 2  x  1  0 (2)  Για κ = 1 (1)  x 2  y 2  x  1  x  y  0  x 2  y2  2x  y  1  0 (3) Αφαιρώντας κατά μέλη τις (2) και (3) προκύπτει: x  1  2x  y  1  0   x  y  0  y  x (4)  4  (2)  x 2  x 2  x  1  0  2x2  x  1  0 Είναι Δ  12 -4   -2   1  9  0 άρα x1,2   1 1  3   1 4  2  Για x  1 από τη σχέση (4) έχουμε y  1 άρα Α(-1,-1) Α 1  Για x  από τη σχέση (4) έχουμε 2 1 1 1 y  άρα B  ,  2 2 2 Β Οι δύο κύκλοι λοιπόν της οικογένειας τέμνονται στα σημεία 1 1 Α(-1,-1) και B  ,  2 2 Κατόπιν, εξετάζουμε αν οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β επαληθεύουν την εξίσωση της οικογένειας. Έτσι λοιπόν έχουμε:  Για x  1 και y  1 η (1)  1  1  1  1  κ  -1  1   0  0  0  Για x  1 1 1 1 1 1 1 και y  η (1)     1  κ     0  0  0 4 4 2 2 2 2 2 Οπότε ότι όλοι οι κύκλοι διέρχονται από τα σημεία Α και Β. γ) Η κοινή χορδή των κύκλων είναι η ΑΒ   3 3  AB   ,  άρα λ   1 οπότε  AB  : y  1  x  1  y  x AB 2 2 262 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Παράδειγμα 23 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ  3  συνα, - 2 - ημα  Λύση Έστω ότι Μ(x,y) Είναι:  x  3  συνα  x  3  συνα  x  3  συνα     y  2  ημα  y  2  ημα   y  2  ημα Ως γνωστό από την τριγωνομετρία ισχύει ότι: y x Κ ημ 2α+συν2α  1   x  3     y  2   1  2 2   x  3   y  2   1 2 2 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι κύκλος με κέντρο Κ(3,-2) και ακτίνα ρ = 1. Παράδειγμα 24 Δίνεται ο κύκλος x 2  y 2  25 και το σημείο του Α(3,4). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Α. Λύση Ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο Κ(0,0) και ακτίνα ρ=5. Ας είναι Μ(x,y) τα μέσα όλων των χορδών που διέρχονται από το σημείο Α. Ενώνουμε το κέντρο του κύκλου με το Μ  Έχουμε ΚΜ   x,y  και  AΜ   x-3,y-4  Είναι   ΚΜ  ΑΜ  x  x - 3  y  y - 4   0  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 263 Κύκλος  x 2 - 3x  y 2 - 4y  0  x 2  y2 - 3x - 4y  0 Α 2 +Β2 -4Γ=  3   4   9  16  25  0 2 2 25 5 3  Άρα η (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Λ  ,2  και ακτίνα ρ=  2 2 2  Παράδειγμα 25 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής των ευθειών  ε1  : 2λx   λ  1  y  3λ  1 και  ε2  :  3λ  1  x   λ  1  y  6λ  2 με λ  ℝ Λύση Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των δύο ευθειών. D 2λ -  λ  1  2λ  λ -1    3λ  1  λ  1   3λ  1 λ 1  2λ 2 - 2λ  3λ 2  3λ  λ  1  5λ 2  2λ  1 Ισχύει ότι Δ  22 -4  1  5  -16  0 άρα D  0 για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ. Οπότε οι ευθείες μας τέμνονται. 3λ  1 -  λ  1    3λ -1  λ -1    6λ  2  λ  1   6λ  2 λ 1 Dx    3λ -1  λ -1   2  3λ  1  λ  1    3λ -1  3λ  1  Dy  2λ 3λ  1  2λ  6λ - 2    3λ  1  3λ  1   3λ  1 6λ  2  4λ  3λ -1    3λ  1  3λ  1    3λ  1  λ  1  Έτσι λοιπόν είναι: x Dx  3λ -1  3λ  1   D 5λ 2  2λ  1 και y  Dy D   3λ -1  λ  1  5λ 2  2λ  1 Άρα τα σημεία τομής των ευθειών έχουν συντεταγμένες της μορφής   3λ -1  3λ  1   3λ -1  λ  1   M ,  2 5λ 2  2λ  1   5λ  2λ  1 264 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Έστω Μ(x,y). Είναι   3λ -1  3λ  1  x  5λ 2  2λ  1   y   3λ -1  λ  1   5λ 2  2λ  1 1  3λ -1  x  3λ  1  5λ2  2λ  1 x y     y 3λ -1 3λ  1 λ  1   2  λ  1 5λ  2λ  1  x  λ  1    3λ  1  y  λx  x  3λy  y  λx  3λy  x  y   λ  x  3y   x  y  λ  xy με x  3y x  3y Έτσι λοιπόν η σχέση (1) γράφεται:  x  y  x  y   3 x  3y -1  3 x  3y  1    x 2 xy  xy  5 2 1  x  3y  x  3y  2 xy 3x  3y - x  3y 3x  3y  x  3y  xy   5x   2x x     x  3y x  3y x  3y  x  3y   x  y   2x2  2xy  x  2x  6y  4x   5x 2 x  3y x  3y x  3y  x  3y  2  x  y   2x2  2xy  x  8x2  24xy  2 2 x  3y  x  3y   x  3y  2  5x  5x  x  y    x  3y   2x 2  2xy    x  3y  x  8x2  24xy  2 2  5x  x2  2xy  y 2   2x3  2x 2 y  6x 2 y  6xy 2   x2  6xy  9y2  x  8x2  24xy   5x 3  10x 2 y  5xy2  2x 3  2x 2 y  6x 2y  6xy2  x 3  6x 2y  9y 2x  8x 2  24xy   8x3  8xy2  14xy - 8x2  0  x  0   2 2 7   8x  x  y  y - x   0   2 2 7 4   x  y  4 y - x  0  Από την σχέση x  0 έχουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι ο άξονας x΄x χωρίς όμως την αρχή των αξόνων (μη ξεχνάτε ότι πρέπει x  3y ) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 265 Κύκλος  7 49 65 Από την σχέση x 2  y 2  y - x  0 και επειδή Α 2 +Β2 -4Γ  1  έ4 16 16 χουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο το σημείο 65  7  57 19  K  1,  και ακτίνα ρ  χωρίς τα σημεία Ο(0,0) και Α  ,  8 4    40 40  Παράδειγμα 26 α) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1,3), Β(0,4) και Γ(-2,1). Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου του τριγώνου που εί 2  2  2 ναι τέτοια ώστε να ισχύει: ΜΑ  ΜΒ  ΜΓ  7 είναι κύκλος. β) Να βρείτε τις τιμές του λ  ℝ ώστε η ευθεία  ε  :  2  3λ  x+  2λ  1  y  3  6λ  0 να εφάπτεται στον προηγούμενο κύκλο. Λύση α) Ας είναι Μ(x,y) οι συντεταγμένες του σημείου Μ. Είναι  2  2  2  2  2  2 ΜΑ  ΜΒ  ΜΓ  7  ΜΑ  ΜΒ  ΜΓ  7   x  1    y  3   x2   y  4    x  2    y  1   7  2 2 2 2 2  x 2  2x  1  y 2  6y  9  x2  y 2  8y  16  x2  4x  4  y 2  2y  1  7   x 2  2x  1  y 2  9   x  1   y 2  9 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι κύκλος με κέντρο το Κ(-1,0) και ακτίνα ρ=3 2 β) Η ευθεία εφάπτεται στον παραπάνω κύκλο αν και μόνο αν  2  3λ  1    2λ  1  0  3  6λ d K,ε   ρ  3 2 2  2  3λ    2λ  1   1  9λ  2  3λ    2λ  1  2  3  1  9λ  3  2  3λ    2λ  1   2 2 2 2 2  1  9λ   9   2  3λ    2λ  1       1  18λ  81λ 2  36  81λ 2  108λ  36λ 2  36λ  9   18λ 2  45λ  22  0 266 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 2 ο 3 Κεφάλαιο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Εύρεση Εξίσωσης Κύκλου 1) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που: α) Έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα 2 2 β) Έχει κέντρο το σημείο Α(3,-1) και ακτίνα 5 2) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που α) Έχει κέντρο το σημείο τομής των ευθειών  ε1 : y - 2011x  0 ,  ε2 : 2011y  x  0 και έχει ακτίνα 1. β) Είναι ομόκεντρος με τον μοναδιαίο κύκλο και έχει ακτίνα 5 γ) Έχει κέντρο το σημείο Κ(-1,3) και ακτίνα ίση με το μέτρο του διανύσματος    u  3 i  4  j δ) Έχει κέντρο το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α(-3,7) και Β(5,-9) και ακτίνα ίση με το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης 2x 2  10x  7  0 3) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(8,-6) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 4) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(-2,1) και διέρχεται από το σημείο Α(-2,3). 5) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση: α) x 2 +y 2  25 β) x 2  5  y 2 γ)  x -1  +  y - 2   9 δ)  x+3  +  y -1   1 ε) x 2 +y 2 - 2x - 6y  0 στ) x 2 +y 2 - 4x+2y -1  0 ζ) x  x -1  +  y - 3  y+1   0 η) 2x 2 +2y 2 - 4x+1  0 2 2 2 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 267 Κύκλος ******** 6) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας  ε : 3x+y  10 7) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(-3,2), εφάπτεται στον άξονα y΄y και διέρχεται από το σημείο Α(-6,2). 8) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(-3,1) και εφάπτεται στην ευθεία  ε : 4x - 3y+5  0 . 9) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(3,3) και εφάπτεται των αξόνων x΄x και y΄y. 10) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που είναι ομόκεντρος του κύκλου  c : x2 +y2 - 2x+4y+1  0 και εφάπτεται της ευθείας που διχοτομεί την 1η και 3η γωνία των αξόνων. 11) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(-3,1), εφάπτεται της ευθείας που διέρχεται από το Α(-2,-1) και είναι κάθετη στην ευθεία  ε : 3x+4y+1  0 . 12) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Όταν εφάπτεται της ευθείας  ε1 : 4x  3y+6  0 στο σημείο τομής της με τον άξονα y΄y και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία  ε2 : y  2x β) Όταν εφάπτεται της ευθείας  ε1 : x - y+1  0 στο σημείο Α(2,3) και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 268 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο 13) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει ακτίνα ίση με 4, εφάπτεται στον άξονα x΄x και διέρχεται από το σημείο Α(5,4). ******** 14) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται εσωτερικά στον κύκλο  c : x2 +y2  2 στο σημείο του Μ(1,-1) και έχει ακτίνα ίση με το μισό της ακτίνας του (c). 15) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου  c : x2 +y2 - 2x - 2y+1  0 στο σημείο Α(2,1) και έχει ακτίνα διπλάσια από την ακτίνα του (c). 16) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στον κύκλο  c : x2 +y2 +4x+6y+3  0 στο σημείο Α(-3,0) και διέρχεται από το σημείο Β(-1,2). ******** 17) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο Α(1,0) και εφάπτεται των ευθειών  ε1 : 3x+y+6  0 και  ε2 : 3x+y -12  0 18) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των ευθειών  ε1 : 2x+y - 5  0 ,  ε2 : 2x+y+15  0 και το ένα σημείο επαφής είναι το Α(2,1). 19) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται των ευθειών  ε1 : 3x+4y -10  0 ,  ε2 : 4x+3y-5  0 και διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 269 Κύκλος 20) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που το κέντρο του ανήκει στην ευθεία  ε1 : x-2y+1  0 και εφάπτεται στις ευθείες  ε2 : x-y+1  0 και  ε3 : x+y-3  0 . ******** 21) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(5,2), Β(4,3) και το κέντρο του Κ απέχει από την ευθεία  ε : x+y-2  0 απόσταση ίση με 2. 22) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(8,9), Β(10,7) και έχει ακτίνα ρ=10. 23) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο με ακέραιες συντεταγμένες, ακτίνα ίση με 10 και τέμνει την ευθεία  ε : x-2y+4  0 στα σημεία Α και Β με τεταγμένες 1 και 3 αντίστοιχα. 24) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(7,10), Β(9,-4) και Γ(-5,-6). 25) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(1,1), Β(1,-1) και Γ(2,0). 26) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεία  ε : x+y+5  0 και διέρχεται από τα σημεία Α(2,3) και Β(4,1). 27) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α(3,1) και Β(-1,3) και το κέντρο ανήκει στην ευθεία  ε : y  3x-2 . 270 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο 28) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που το κέντρο του ανήκει στην ευθεία  ε : 2x+y+1  0 και διέρχεται από τα σημεία Α(-1,2) και Β(3,-1). ******** 29) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ΑΒ με Α(3,4) και Β(-1,-2). 30) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στον άξονα y΄y στο σημείο Α(0,3) και αποκόπτει από τον άξονα x΄x χορδή ΒΓ της οποίας το μήκος είναι 8 μονάδες. 31) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(5,1) και αποκόπτει από την ευθεία  ε : 4x-3y+3  0 χορδή μήκους 6 μονάδες. 32) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει ακτίνα ρ=5, διέρχεται από το σημείο Α(-2,4) και αποκόπτει από την ευθεία  ε : 3x+4y+10  0 χορδή μήκους 6 μονάδες. 33) Δίνεται ο κύκλος (c1) με κέντρο Κ(-2,-2) ο οποίος διέρχεται από το σημείο Α(-5,-3) και ο κύκλος (c2) με κέντρο Λ(1,4) ο οποίος εφάπτεται στην ευθεία  ε : 4x-3y-17  0 . Να βρείτε: α) Τις εξισώσεις των κύκλων (c1) και (c2) β) Τα κοινά σημεία Β και Γ των κύκλων (c1) και (c2) γ) Την εξίσωση του κύκλου (c3) που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ. 34) Έστω το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α(1,2), Β(3,2), Γ(3,4), Δ(1,4). α) Να δείξετε ότι η εξίσωση  x-1  x-3  +  y-2  y-4   0 παριστάνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του ΑΒΓΔ. β) Να δείξετε ότι οι ΑΓ και ΒΔ είναι διάμετροι του κύκλου αυτού. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 271 Κύκλος Εφαπτομένη Κύκλου με Γνωστό το Σημείο Επαφής 35) Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου  c : x 2 +y 2  25 στα σημεία: α) Α(3,-4) 36) β) Β(5,0) γ) Γ(0,5) Να βρείτε την εφαπτομένη του μοναδιαίου κύκλου στα σημεία:  3 1 α) A  ,   2 2 β) Β(0,1) γ) Γ(1,0) δ) Δ(ημθ,συνθ) 37) Να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου που έχει διάμετρο την ΑΒ με Α(2,3), Β(4,5) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. 38) Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου  c :  x-2  +  y-1   8 στο σημείο του Μ(4,3). 39) Να βρείτε την εφαπτομένη καθενός από τους παρακάτω κύκλους στα σημεία που δίνονται: 40) 2 α)  c1 : x 2 +y 2 +6x-2y  0 , Α(-2,4) β)  c2 : x2 +y 2 +2x-6y-35  0 , Β(5,6) γ)  c3 : x2 +y2 +10x-6y+14  0 , Γ(-1,5) δ)  c 4 : x 2 +y 2 +8x-10y+36  0 , Δ(-2,6) 2 Δίνεται η εξίσωση x 2 -6x+y 2 -8y  0 α) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. β) Να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β του παραπάνω κύκλου με τον άξονα y΄y. γ) Να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου στα σημεία Α και Β καθώς και το σημείο τομής των δύο αυτών εφαπτομένων 272 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Εφαπτομένη Κύκλου με Άγνωστο το Σημείο Επαφής 41) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων: α) Του κύκλου  c1 : x 2 +y 2  4 που είναι παράλληλες στην ευθεία x+y  0 . β) Του κύκλου  c2 : x2 +y 2  9 που διέρχονται από το σημείο Α(0,6). 42) Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου  c : x2 +y 2  1 : α) Που διέρχεται από το σημείο Μ(-3,4) β) Που είναι παράλληλη στην ευθεία y  2x+1 43) Να βρείτε την εφαπτομένη του κύκλου  c :  x-2  +  y-1   8 που διέρχεται από το σημείο Μ(3,4). 44) Να βρεθούν οι εφαπτομένες του κύκλου  c : x 2 +y 2 -4x+6y+8  0 2 2 α) Που είναι κάθετες στην ευθεία  ε1 : 2x-y+4  0 . β) Που είναι παράλληλες στην ευθεία  ε2 : 6x-2y+5  0 45) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου  c : x 2 +y 2  20 που σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 25 τ.μ. 46) Δίνεται ο κύκλος  c : x 2 +y 2 -4x-2y-5  0 και εξωτερικό σημείο Ρ(6,3). Φέρνουμε τις εφαπτομένες ΡΑ και ΡΒ. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων ΡΑ, ΡΒ και το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. 47) Δίνεται ο κύκλος  c : x 2 +y 2 +10x  4y-3  0 και το σημείο Α(3,5). Να βρεθεί το μήκος του εφαπτόμενου τμήματος ΑΒ από το σημείο Α προς τον κύκλο (c). Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 273 Κύκλος 48) Να αποδειχθεί ότι οι εφαπτομένες του κύκλου  c : x 2 +y 2  25 από το σημείο Ρ(1,7) είναι κάθετες μεταξύ τους. 49) Δίνεται κύκλος (c) ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(2,4) και ορίζει στην ευθεία  ζ : 3x-4y+5  0 χορδή μήκους 4. α) Nα βρείτε την εξίσωση του κύκλου (c). β) Nα δείξετε ότι το σημείο Α(4,5) ανήκει στον κύκλο (c) και να βρείτε την εφαπτομένη του (c) στο Α. γ) Να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου (c) που είναι παράλληλες στο  διάνυσμα ΟΚ όπου Ο η αρχή των αξόνων. Σχετικές Θέσεις 50) Δίνεται ο κύκλος  c : x 2 +y 2  4x+4y+2 . Να βρεθεί η σχετική θέση καθενός από τα παρακάτω σημεία ως προς τον παραπάνω κύκλο (c). α) A(-2,-3) 51)  β) Β 2  10 ,2  γ) Γ(0,0) Δίνεται ο κύκλος  c : x2 +y2 +x+y  0 . Να βρείτε τη σχετική θέση των παρακάτω ευθειών με τον κύκλο (c). α)  ε1 : x-2y+2  0 β)  ε2 : 2x-4y+1  0 γ)  ε3 : 10x-20y+11  0 52) Δίνεται ο κύκλος  c : x2 +y2 -2x-1  0 και η ευθεία  ε : y  x-3 . Να αποδείξετε ο η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο και στη συνέχεια να βρεθεί το σημείο επαφής. 53) Να δείξετε ότι η ευθεία  ε : x+y  2 εφάπτεται στους κύκλους  c1 : x +y  2 και  c2 : x +y +3x+3y-8  0 στο ίδιο σημείο. 2 2 2 2 274 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο 54) Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου  c :  x-1  +  y+2   ρ2 έτσι ώστε: 2 2 α) ο κύκλος να εφάπτεται στην ευθεία  ε : y  3x+1 . β) ο κύκλος να διέρχεται από το σημείο Μ(3,4). 55) Να βρεθεί για ποια τιμή του λ  ℝ το σημείο Μ(2λ+1,λ) ανήκει στον κύκλο  c :  x-3  +  y+4   100 έτσι ώστε ο κύκλος να εφάπτεται στην ευθεία  ε : y  3x+1 . 2 56) 2 Δίνεται ο κύκλος  c : x2 +y2 -2λx+λ 2 -5  0 με λ  ℝ. α) Να βρεθεί η τιμή του λ  ℝ ώστε ο κύκλος να εφάπτεται στην ευθεία  ε : y  2x-1 . β) Για λ  1 να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου (c) που διέρχονται από το σημείο τομής της (ε) με τον x΄x. 57) Έστω οι ευθείες  ε1 : λx+y+μ  0 ,  ε2 : 4x+λy+2  0 και ο κύκλος  c : x +y -2x+4y  0 με λ,μ  ℝ . Να βρεθούν οι τιμές των λ, μ ώστε οι ευ2 2 θείες (ε1) και (ε2) να εφάπτονται του κύκλου (c). 58) Να βρεθεί η σχέση μεταξύ των α,β ℝ ώστε η ευθεία  ε  : x y +  1 να α β εφάπτεται στον κύκλο  c : x2 +y 2  ρ2 . 59) Να βρεθεί η τιμή του ρ ℝ ώστε η ευθεία  ε  : x  συνθ  +y ημθ  -ρ  0 να εφάπτεται στον κύκλο  c : x 2 +y 2 -  2ασυνθ   x-  2βημθ   y-α2ημ2θ  0 . 60) Δίνoνται οι κύκλοι  c1 :  x-3  +  y+2   4 και  c2 :  x-α  +  y+1   4 . Να βρείτε τη σχετική θέση των παραπάνω κύκλων αν: 2 α) α   9 10 β) α  3 2 γ) α  2 2 2 δ) α  3 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 275 Κύκλος 61) Να δείξετε ότι οι κύκλοι  c1 :  x-2  +y2  4 και  c2 : x 2 +y 2 -2x  0 εφάπτονται εσωτερικά. 62) Να 2 δείξετε ότι οι κύκλοι  c1 : x2 +y2 -8x-2y+8  0 και  c2 : x2 +y2 -2x+6y+6  0 εφάπτονται και να βρεθεί το σημείο επαφής. 63) Δίνονται οι κύκλοι  c1 : x2 +y 2 -2x  0 και  c2 : x 2 +y 2 +6x-6y+2  0 . α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. β) Να βρεθεί το κοινό τους σημείο. γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων τους. 64) Δίνονται οι κύκλοι  c1 : x2 +y 2 -2x-6y+9  0 και  c2 : x 2 +y 2 +6x-2y+1  0 . α) Να δείξετε ότι ο ένας είναι εξωτερικός του άλλου. β) Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων τους. 65) Δίνονται οι κύκλοι  c1 : x2 +y2 -2αx-2βy-α2 +β2  0 και  c2 : x2 +y2 -2βx+2αy+α2 -β2  0 . α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι τέμνονται. β) Να δείξετε ότι τα σημεία τομής τους είναι τα  2αβ β+α   β-α β+α   Α(0,β-α) και Β  2 2 ,  β2 +α2   β +α γ) Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες στα σημεία τομής τους είναι κάθετες. Μέγιστες και Ελάχιστες Αποστάσεις 66) Δίνεται ο κύκλος  c : x 2 +y 2  4 και το σημείο Α(8,-6). Να βρείτε σημείο Μ του κύκλου (c) τέτοιο ώστε η απόσταση (ΑΜ) να είναι ελάχιστη. 276 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο 67) Δίνεται το σημείο Ρ(10,7) και ο κύκλος  c : x 2 +y 2 -4x-2y-20  0 . Να βρεθεί η μεγαλύτερη και η μικρότερη απόσταση που μπορεί να έχει ένα σημείο του κύκλου από το Ρ. 68) Να βρεθεί σημείο του κύκλου  c :  x-4  +  y-4   13 που έχει τη μέγιστη 2 2 και ελάχιστη απόσταση από την ευθεία  ε : 3x-2y-30  0 . 69) Δίνεται ο κύκλος  c : x 2 +y 2 -2x-4y-13  0 και το σημείο Σ(6,-8). Α) Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα του κύκλου (c). Β) Να βρείτε τη μέγιστη απόσταση που μπορούν να απέχουν δύο σημεία του κύκλου (c). Γ) Nα βρείτε τα σημεία του κύκλου (c) που απέχουν τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη απόσταση από το σημείο Σ. Δ) Έστω (ζ) η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Σ και τέμνει τον x΄x στο σημείο με τετμημένη 10. Να βρείτε: α) Την εξίσωση της ευθείας (ζ) β) Τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο του κύκλου (c) από την ευθεία (ζ). γ) Τις εφαπτομένες του κύκλου (c) που είναι κάθετες στην ευθεία (ζ). 70) Δίνονται οι κύκλοι  c1 : x2 +y 2  1 και  c2 :  x-3  +  y-2   4 2 2 Α) Να δείξετε ότι οι κύκλοι δεν έχουν κοινό σημείο. Β) Να βρείτε την εξίσωση της διακέντρου. Γ) Από όλα τα ζεύγη σημείων (Α,Β) όπου το Α ανήκει στον (c1) και το Β ανήκει στον (c2) να βρεθεί αυτό για το οποίο τα Α, Β απέχουν τη μικρότερη απόσταση καθώς και να υπολογιστεί η μικρότερη απόσταση. Δ) Να βρεθεί το ζεύγος σημείων (Γ,Δ) (το Γ στον c1, το Δ στον c2) με τη μεγαλύτερη απόσταση καθώς και να υπολογιστεί η μεγαλύτερη απόσταση. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 277 Κύκλος 71) Έστω το σημείο Μ(x,y) του κύκλου  c : x 2 +y 2  1 Α) Έστω ότι 3x+4y  c  x2 +y 2  1 Να δείξετε ότι το σύστημα   3x+4y  c έχει λύση αν και μόνο αν 25-c2  0 . Β)Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει η παράσταση Α  3x+4y  c . Κοινή Χορδή δύο Τεμνόμενων Κύκλων 72) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής των κύκλων:  c1 :  x-1  +  y-2   4 και  c2 :  x-2 +  y-1   4 2 2 2 2 73) Δίνονται οι κύκλοι  c1 : x2 +y 2 -2y  0 και  c2 : x 2 +y 2 -4x-2y+1  0 . Να βρείτε το μήκος της διακέντρου του και το μήκος της κοινής χορδής τους. 74) Δίνεται ο κύκλος  c : x2 +y2 +2αx+2βy-γ2  0 όπου α, β, γ μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου με α<β<γ. Αν Ρ(α,β) είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου (c) και φέρουμε τις εφαπτομένες ΡΑ και ΡΒ να αποδείξετε ότι η χορδή ΑΒ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 75) Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση  c : x2 +y 2  ρ2 και το εξωτερικό σημείο Ρ(x0,y0). Φέρνουμε τις εφαπτομένες ΡΑ και ΡΒ. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΡΑΒ είναι: Ε= ρ  x0 2  y 0 2  ρ2  x0 2  y 0 2 278 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 3 ο 3 Κεφάλαιο Παραμετρική Εξίσωση Κύκλου – Οικογένεια Κύκλων από Σταθερό Σημείο 76) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1-t  x2 + 1-t  y 2 -2 1+t  x-2  2-t  y+3  0 παριστάνει κύκλο για κάθε t ℝ  1 . 77) Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2 +y 2 -4x-2αy+2α  4 παριστάνει κύκλο για κάθε α ℝ του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. B) Να βρεθεί η τιμή του α ώστε ο παραπάνω κύκλος να εφάπτεται α) του άξονα x΄x β) της ευθείας y=-x 78) Να δείξετε ότι για κάθε λ  ℝ η εξίσωση x 2 +y 2 +  λ+2  x-2  0 παριστάνει κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. 79) Να εξετάσετε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού μ η εξίσωση x 2 +y 2 -2x-4y+1+μ  x 2 +y 2 -4x-2y+1   0 παριστάνει κύκλο. 80) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ  ℝ η εξίσωση x 2 +y2 +3λx+y+2λ 2 + 81) Δίνεται η 3λ -1  0 παριστάνει κύκλο 2 x 2 +y 2 +  ημ2ω   x+  συν2ω   y-ημω  συνω  0 , εξίσωση  π ω   0,  . Να βρεθούν οι τιμές του ω για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση  4 παριστάνει κύκλο. 82) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ  ℝ η εξίσωση  3λ +4  x +2  λ -1  y -x  λx-28  +4y  λy-28  -28  0 2 2 2 2 παριστάνει κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 279 Κύκλος 83) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που έχουν εξίσωση: x 2 +y 2 +  λ+6  x+  3λ+4  y+3-λ  0 με λ  ℝ-{-2} διέρχονται από σταθερό σημείο. 84) Δίνεται η εξίσωση x 2 +y 2 -2λx-1  0 Α) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λ  ℝ. Β) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι της παραπάνω οικογένειας διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β των οποίων να βρεθούν οι συντεταγμένες. Γ) Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής χορδής ΑΒ καθώς και το μήκος της. 85) Δίνεται η εξίσωση  x-1  +  y+3  -20+λ  3x+y-10   0 (1) 2 2 Α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ  ℝ. Β) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που παριστάνει η (1) για τις διάφορες τιμές του λ  ℝ διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Α και Β των οποίων να βρείτε τις συντεταγμένες. Γ) Έστω ότι το κέντρο Κ του κύκλου που παριστάνει η εξίσωση (1) ανήκει στην ευθεία  ε : 2x+y+8=0 . α) Να βρείτε τον αριθμό λ β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΚΒ 86) Να δείξετε ότι η εξίσωση x 2 +y 2 -16+λ  x 2 +y 2 -8x-8y+16   0 παριστάνει κύκλο για κάθε λ  ℝ - -1 ο οποίος διέρχεται από τα σημεία τομής των κύκλων  c1 : x2 +y 2  16 και  c2 :  x-4  +  y-4   16 . 2 2 Γεωμετρικοί Τόποι 87) Δίνεται η εξίσωση x 2 +y 2 +  λ-2  x-2  λ+2  y+13λ-20  0 , λ  ℝ Α) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λ  ℝ. Β) Να βρείτε τα κέντρα των παραπάνω κύκλων και να αποδείξετε ότι αυτά κινούνται σε μια ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται. Γ) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι της παραπάνω οικογένειας διέρχονται από δύο σταθερά σημεία. 280 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο 88) Α) Να δείξετε ότι για κάθε θ   0,2π  η εξίσωση x 2 +y 2 -  2συνθ  x-  2ημθ  y-1  0 (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. π να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου που παρι2 στάνετε από την (1) στο σημείο Μ(1,2). Γ) Να δείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1. Β) Αν θ= 89) Δίνεται η εξίσωση  c  : x2 +y2 +2x-3y-1+κ  x+y-2   0 με κ ℝ Α) Να δείξετε ότι η (c) παριστάνει κύκλο για κάθε κ ℝ και να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του κέντρου καθώς και την ακτίνα του. Β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων (c) Γ) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Δ) Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής χορδής των κύκλων. 90) 91) 13 κ+14  0 2 Α) Να βρείτε για ποιες τιμές του κ ℝ η (c) παριστάνει κύκλο και να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του κέντρου καθώς και την ακτίνα του. Β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων (c) Δίνεται η εξίσωση  c  : x2 +y2 +x-  4κ+1 y+       Α) Είναι α  β-1 x- 2-α  β y+4  0 (1) με α  β  ℝ     α) Να δείξετε ότι όλες οι παραπάνω ευθείες διέρχονται από σταθερό σημείο.       π β) Αν α, β μοναδιαία διανύσματα και  α,β   να βρείτε την εξίσωση   3 της ευθείας που παριστάνει η (1). 1 . Να βρείτε την τιμή του κ ώστε η 10 ευθεία του θέματος Α) στο ερώτημα β) να εφάπτεται του παραπάνω κύκλου. Β) Δίνεται ο κύκλος  x-κ  +  y+2   2 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 281 Κύκλος 92) Δίνεται κύκλος  c : x2 +y2  4 και σημείο Θ(5,0). Από το Θ φέρνουμε τυχαία ευθεία που τέμνει τον (c) στα σημεία Α και Β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών ΑΒ. 93) Δίνεται κύκλος  c :  x  4 2 +  y  7 2  4 και σημείο Θ(-2,3). Αν Ρ τυχαίο σημείο του κύκλου να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου Μ του τμήματος ΘΡ. 94) Δίνεται κύκλος  c : x2  y2  12x  6y  20  0 και η ευθεία  ε : 4x  3y  10  0 . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μέσων Μ των χορδών του κύκλου που είναι παράλληλες προς την ευθεία (ε). 95) Δίνονται οι ευθείες:  ε1 : ημθ  x-  συνθ  y  ημ2θ και  ε2 :  συνθ  x+ ημθ  y  συν2θ με θ ℝ Α) Να δείξετε ότι οι (ε1) και (ε2) τέμνονται για κάθε θ ℝ Β) Να δείξετε ότι το σημείο τομής των (ε1) και (ε2) κινείται σε κύκλο. 96) Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β(3,0). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων για τα οποία:  2  2  2  2 α) ΜΑ + ΜΒ =10 β) 2 ΜΑ +3 ΜΒ =15 97) Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β ώστε (ΑΒ)=8. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία:          α) ΜΑ  ΜΒ=9 β) ΜΑ  ΜΑ  2ΒΑ =36 γ) ΜΑ + ΜΒ = 2ΜΑ - ΜΒ  98)  Δίνονται τα σταθερά σημεία Α(3,4) και Β(-1,4) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ο λόγος των 2 αποστάσεών τους από τα Α, Β είναι 3 282 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο 99) Δίνονται οι κύκλοι  c1  : x2 +y2 -2x+3y - 3  0 και  c2  : x 2 +y 2 +2x+y - 4  0 . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία οι εφαπτόμενες ΜΑ και ΜΒ στους δύο κύκλους έχουν αντίστοιχα το ίδιο μήκος. 100) Δίνονται δύο κύκλοι με εξισώσεις 2 2 2 2  c1 :  x - 3 +  y - 4   6 και  c2 :  x -1 +  y - 2   4 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ ώστε το εφαπτόμενο τμήμα ΜΡ από το Μ στον (c1) να είναι διπλάσιο από το εφαπτόμενο τμήμα ΜΣ από το Μ στον (c2). 101) Δίνονται οι ευθείες  ε1 : 3x+4y  2 και  ε2 : 4x - 3y+1  0 . Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεών τους από τις δύο ευθείες να είναι σταθερό. 102) Δίνεται η εξίσωση  c : x2 +y2 -  2κ+5  x - 6y+4κ - α  0 με α,κ ℝ Α) Να βρεθεί για ποιες τιμές του α ℝ η (c) παριστάνει κύκλο για κάθε κ ℝ Β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων Γ) Για τη μικρότερη ακέραια τιμή του α, να δειχθεί ότι η ευθεία x=2 τέμνει όλους τους κύκλους στα ίδια σημεία. 103) Έστω τα σημεία Α(4,6), Β(2,8) και Γ το μέσο του ΑΒ. Να βρείτε το γεωμε 2     τρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει: ΟΜ  2  ΟΓ  ΟΜ- ΟΑ  ΟΒ 104) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x,y) για τα οποία το διά  2 π νυσμα v  ΟΜ -1,2y σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία . 6   Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 283 Κύκλος 284 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Ορισμός Παραβολής 3.2 Παραβολή Ορισμός Έστω ευθεία (δ) και ένα σημείο Ε εκτός αυτής. Παραβολή με εστία Ε και διευθετούσα δ, λέγεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από το σημείο Ε και την ευθεία δ. Δηλαδή είναι: ΜΕ  d(M,δ) Μ Α Κ Ε (δ)  Αν από την εστία Ε φέρουμε ΕΑ   δ  τότε είναι προφανές ότι το μέσο Κ του ΕΑ είναι σημείο της παραβολής C και λέγεται κορυφή της. Εξίσωση Παραβολής  Η ευθεία ΕΑ, είναι ο άξονας συμμετρίας για την παραβολή C και λέγεται απλά άξονας της παραβολής. y Η εξίσωση της παραβολής με κορυφή την αρχή p>0 p  των αξόνων, με εστία Ε  ,0  στον άξονα x΄x 2  O p p  x Ε  ,0  και διευθετούσα την  δ  : x=- είναι 2  2 p 2 δ  : x= y =2px 2 όπου p είναι μια σταθερά που λέγεται παράμεy  δ : x=- p p<0 τρος της παραβολής και η p παριστάνει την 2 απόσταση της εστίας Ε από τη διευθετούσα (δ). Παρατήρηση Από την εξίσωση y 2 =2px είναι προφανές ότι p και x ( x  0 ) είναι αριθμοί ομόσημοι. p  Ε  ,0  2  O x Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 285 Εξίσωση Παραβολής Παραβολή Η εξίσωση της παραβολής με κορυφή την αρχή  p των αξόνων, με εστία Ε  0,  στον άξονα x΄x  2 p και διευθετούσα την  δ  : y=- είναι 2 x 2 =2py όπου p είναι μια σταθερά που λέγεται παράμετρος της παραβολής και η p παριστάνει την απόσταση της εστίας Ε από τη διευθετούσα (δ). y p>0  p Ε  0,   2 O  δ : y=- Παρατήρηση Από την εξίσωση x 2 =2py είναι προφανές ότι p και y ( y  0 ) είναι αριθμοί ομόσημοι. p<0 x p 2 y  δ : y=- O p  Ε  ,0  2  p 2 x Ιδιότητες Παραβολής  Η παραβολή με εξίσωση y 2 =2px έχει τις παρακάτω ιδιότητες:  Βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσα δ και η εστία Ε  Ο άξονας x΄x είναι ο άξονας συμμετρίας της  Η παραβολή με εξίσωση x 2 =2py έχει τις παρακάτω ιδιότητες:  Βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσα δ και η εστία Ε Εξίσωση Εφαπτομένης Παραβολής  Ο άξονας y΄y είναι ο άξονας συμμετρίας της  Η εξίσωση της εφαπτομένης ε της παραβολής y 2 =2px στο σημείο Α(x1,y1) είναι: y xx1 =p  y+y1  O  c : y 2 =2px Α(x1,y1) x (εΑ)  Η εξίσωση της εφαπτομένης ε της παραβολής x 2 =2py στο σημείο Α(x1,y1) είναι: yy1 =p  x+x1  286 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας y  c : x2 =2py Α(x1,y1) O (εΑ) x ο Ανακλαστική Ιδιότητα Παραβολής 3 Κεφάλαιο Η κάθετη (η) στην εφαπτομένη (ε) μιας παραβολής (c) στο σημείο επαφής Α, διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία ΑΕ και η ημιευθεία At που είναι ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής. y η ε Α φ O φ=θ t θ x Ε c Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 287 Παραβολή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Εύρεση Εξίσωσης Παραβολής Για να βρούμε την εξίσωση μιας παραβολής ακολουθούμε τα εξής βήματα: 1) Βρίσκουμε τη μορφή της εξίσωσής της Η μορφή της εξίσωσης καθορίζεται είτε αν γνωρίζουμε τον άξονα όπου βρίσκεται η εστία της είτε αν γνωρίζουμε την εξίσωση της διευθετούσας είτε αν γνωρίζουμε τον άξονα συμμετρίας της. Ως γνωστό αν η εστία είναι στον x΄x τότε η εξίσωση της παραβολής θα είναι της μορφής y 2  2px ενώ αν η εστία είναι στον άξονα y΄y τότε η εξίσωση της παραβολής θα είναι της μορφής x 2  2py . 2) Βρίσκουμε την παράμετρο p από κατάλληλο δεδομένο Παράδειγμα 1 Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον x΄x σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις α) Όταν έχει εστία το σημείο Ε(2,0) β) Όταν έχει διευθετούσα την ευθεία x=3 γ) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(-1,4) Λύση Αφού η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον x΄x συμπεραίνουμε ότι η εξίσωσή της θα είναι της μορφής:  c : y2  2px α) Όπως είναι γνωστό η εστία της παραβολής (c) έχει συp  ντεταγμένες Ε  ,0  2  p Άρα είναι  2  p  4 . 2 Οπότε η εξίσωση της παραβολής μας θα είναι:  c : y2  8x 288 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Ε(2,0) O (δ): x=-2  c : y 2 =8x ο 3 Κεφάλαιο β) Όπως είναι γνωστό η διευθετούσα της παραβολής (c) p έχει εξίσωση  δ  : x= 2 p O Ε(-3,0) Άρα είναι   3  p  6 . 2 Οπότε η εξίσωση της παραβολής μας θα είναι:  c : y 2 =  12x (δ): x=3  c : y2  -12x γ) Αφού A   c  έχουμε ότι: 42  2p  -1   16  2p  p  8 . Ε(-4,0) Οπότε η εξίσωση της παραβολής μας θα είναι: O  c : y2  16x  c : y =-16x 2 (δ): x=-4 Παράδειγμα 2 Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  6x α) Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της β) Να βρείτε τα σημεία της παραβολής που απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 4 μονάδες. Λύση Χρήσιμος Κανόνας α) Από την εξίσωση της παραβολής (c) προκύπτει ότι η εστία της βρίσκεται στον άξονα x΄x. Επίσης είναι 2p  6  p  3 . Η εστία μιας παραβολής βρίσκεται στον άξονα της μεταβλητής που είναι υψωμένη στην 1η. 3  Οπότε η παραβολή έχει εστία Ε  ,0  2  και διευθετούσα  δ  : x= - 3 2 Μ1 β) Ας είναι Μ(x,y) το ζητούμενο σημείο. Ο Μ   c   y  6x (1) Ε 2 1  Ακόμη είναι  ΟΜ  4  x +y  4  x +y  16  2 2 2 2 δ : x  - 3 2 Μ2 c   x 2 +6x  16  x2 +6x-16  0 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 289 Παραβολή Δ=100 άρα x1,2   -6  10  x1  2  2  x 2  -8 Για x  2 από την (1) προκύπτει ότι y  2 3  y  12    y  -2 3 2     M  2,-2 3   M1 2,2 3 2 Για x  -2 από την (1) προκύπτει ότι y 2  -12 που είναι αδύνατη Παράδειγμα 3 Δίνεται η παραβολή  c1  : x 2  -4y α) Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της β) Να βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής με τον κύκλο  c2  : x 2 +y 2  5 Λύση Από την εξίσωση της παραβολής προκύπτει ότι η εστία της βρίσκεται στον y΄y. Ακόμη 2p  -4  p=-2 . Άρα η παραβολή έχει εστία Ε(0,-1) και διευθετούσα την (δ): y=1. Για να βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής (c1) με τον κύκλο (c2) λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους. Μ2 Ε(0,-1) Έτσι λοιπόν έχουμε: x2 +y2  5  -4y+y2  5  y2 - 4y - 5  0  2 x  -4y Δ  16+20  36 άρα y1,2  4  6 5  2 -1 x  2  Για y  -1 από τη (c1) προκύπτει ότι x 2  4   x  -2  M1  2,-1   M2  -2,-1  Για y  5 από τη (c1) προκύπτει ότι x 2  -20 που είναι αδύνατη 290 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Μ1 ο 3 Κεφάλαιο Εξίσωση Εφαπτομένης Παραβολής Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης μιας παραβολής ακολουθούμε τα εξής βήματα: α) Θεωρούμε Α(x1,y1) το σημείο επαφής β) Ανάλογα με τη μορφή της εξίσωσης της παραβολής θα έχουμε και αντίστοιχη μορφή για την εξίσωση της εφαπτομένης  Αν  c  : y 2  2px τότε  εΑ : yy1  p  x+x1   Αν  c  : x 2  2py τότε  εΑ : xx1  p  y+y1  γ) Εκμεταλλευόμαστε ότι το σημείο επαφής Α ανήκει στην παραβολή όποτε έχουμε μια σχέση μεταξύ των x1 , y1 . δ) Η άλλη σχέση θα προκύψει από κατάλληλο δεδομένο Πχ  Η εφαπτομένη είναι παράλληλη σε μια γνωστή ευθεία  Η εφαπτομένη είναι κάθετη σε μια γνωστή ευθεία  Η εφαπτομένη διέρχεται από σημείο με γνωστές συντεταγμένες Παράδειγμα 4 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής  c  : y 2  6x που είναι παράλληλη στην ευθεία  ε  : y  3x-1 . Λύση Από την εξίσωση της παραβολής προκύπτει ότι 2p  6  p=3 Α Ας είναι Α(x1,y1) το σημείο επαφής. Έχουμε Α   c   y12  6x1 (1) Ε Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής (c) στο σημείο Α θα είναι:  εΑ : yy1  3  x+x1   yy1  3x+3x1  y  Όμως είναι  εΑ  //  ε   λ εΑ  λ ε  εΑ ε 3 3x1 (2) x+ y1 y1 3  3  y1  1 y1 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 291 Παραβολή Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι 1  6x1  x1  1 6 1  Άρα το σημείο επαφής είναι το Α  ,1  και η εξίσωση της εφαπτομένης από τη 6  σχέση (2) θα είναι:  εΑ : y  3x+ 1 2 Παράδειγμα 5 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής  c  : y 2  2x που είναι κάθετη στην ευθεία  ε  : y  -4x+1 . Λύση Από την εξίσωση της παραβολής προκύπτει ότι 2p  2  p=1 Α εΑ Ας είναι Α(x1,y1) το σημείο επαφής. Έχουμε Α   c   y12  2x1 (1) Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής (c) στο σημείο Α θα είναι:  εΑ : yy1  x+x1  y  ε x 1 x+ 1 (2) y1 y1 Όμως είναι  εΑ    ε   λ εΑ  - 1 1 1    y1  4 λε y1 4 Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι 16  2x1  x1  8 Άρα το σημείο επαφής είναι το Α  8,4  και η εξίσωση της εφαπτομένης από τη σχέση (2) θα είναι:  εΑ  : y  1 x+2 4 Παράδειγμα 6 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής  c  : y 2  8x που διέρχεται από το σημείο Ρ(-1,-1). Λύση 292 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Από την εξίσωση της παραβολής προκύπτει ότι 2p  8  p=4 Ας είναι Α(x1,y1) το σημείο επαφής. Α2 Έχουμε Α   c   y12  8x1 (1) Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής (c) στο σημείο Α θα είναι: Α1  εΑ : yy1  4  x+x1   yy1  4x+4x1 (2) Όμως είναι Ρ   εΑ   -y1  -4+4x1  y1  4 - 4x1 (3) Από τη σχέση (1) προκύπτει ότι:  4 - 4x1   8x1  16 - 32x1 +16x12  8x1  2  16x12 - 40x1 +16  0  2x12 - 5x1 +2  0 Δ  25 -16  9 άρα  x 1  2 53  x1,2   ή 4  1 x 1   2  Για x1  2 από τη σχέση (3) έχουμε y1  -4 άρα είναι Α1(2,-4)  Για x1  1 1 από τη σχέση (3) έχουμε y1  2 άρα είναι Α2( ,2) 2 2 Τελικά λοιπόν έχουμε: Η εφαπτομένη της παραβολής (c) στο Α1(2,-4) από τη σχέση (2) είναι η:  ε : -4y  4x+8  y  -x - 2 Α1 1 Η εφαπτομένη της παραβολής (c) στο Α2( - ,2) από τη σχέση (2) είναι η: 2  ε : 2y  4x+2  y  2x+1 Α2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 293 Παραβολή Σχετική Θέση Ευθείας και Παραβολής Για να βρούμε τη σχετική θέση μιας ευθείας με μια παραβολή (η ευθεία να είναι μη παράλληλη στον άξονα συμμετρίας της παραβολής) λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους με τη μέθοδο της αντικατάστασης. Στην πορεία επίλυσης του συστήματος θα καταλήξουμε σε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού οπότε έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:  Αν Δ>0 τότε η εξίσωση άρα και το σύστημα έχουν δύο λύσεις δηλαδή η ευθεία και η παραβολή τέμνονται.  Αν Δ=0 τότε η εξίσωση άρα και το σύστημα έχουν μία λύση, δηλαδή η ευθεία εφάπτεται της παραβολής.  Αν Δ<0 τότε η εξίσωση άρα και το σύστημα είναι αδύνατο, δηλαδή η ευθεία και η παραβολή δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Παράδειγμα 7 Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  4x α) Να δείξετε ότι η ευθεία  ε1  : y  x+1 εφάπτεται της παραβολής  c  β) Να δείξετε ότι η ευθεία  ε 2  : y  2x-4 τέμνει την παραβολή  c  γ) Να δείξετε ότι η ευθεία  ε 3  : y  -x-2 δεν έχει κανένα κοινό σημείο με την παραβολή  c  Λύση Σε κάθε περίπτωση λύνουμε το σύστημα της εξίσωση της παραβολής (c) με κάθε μία από τις ευθείες. 2 2 y  4x α)    x+1   4x  x 2 +2x+1  4x  x2 -2x+1  0  y  x+1   x-1  0  x-1  0  x  1 2 Για x=1 από την εξίσωση της (ε1) έχουμε ότι: y=2 Άρα η παραβολή και η ευθεία εφάπτονται στο σημείο Α(1,2) y 2  4x 2 2 2 β)    2x-4   4x  4  x-2   4x   x-2   x  y  2x-4 294 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο  x 2 -4x+4  x  x 2 -5x+4  0 Δ  25 -16  9 άρα x1,2  ε1 5  3 x 1  4  2 x 2  1  Για x=1 από την εξίσωση της (ε2) έχουμε ότι: y=-2 ε2  Για x=4 από την εξίσωση της (ε2) έχουμε ότι: y=4 ε3 Άρα η παραβολή και η ευθεία τέμνονται στα σημεία Α(1,-2) και Β(4,4) 2 2 y  4x γ)    -x -2   4x  x 2 +4x+4  4x  x 2  -4 αδύνατη y  -x -2 Άρα η παραβολή και η ευθεία δεν έχουν κοινά σημεία Παράδειγμα 8 Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  2px και η ευθεία με εξίσωση  ε  : x-2y+p2 -3  0 . Να βρεθεί το p ώστε η (ε) να εφάπτεται της παραβολής και να βρεθούν τα σημεία επαφής. Λύση Για να εφάπτεται η ευθεία (ε) με την παραβολή (c) αρκεί το σύστημα των εξισώσεών τους να έχει μοναδική λύση. Έτσι λοιπόν έχουμε:  y 2  2px y2  2px   y2  2p  2y -p2 +3    2 2 x -2y+p -3  0 x  2y -p +3  y2  4py - 2p3 +6p  y 2 - 4py+2p3 - 6p  0 Αρκεί Δ  0  16p2 - 8p3  24p  0  p  0 Aπορρίπτεται  8p  -p2 +2p+3   0   2 -p +2p+3  0 Για την -p2 +2p+3  0 έχουμε: Δ  4  12  16 άρα p1,2  2  4 p1  1  2 p2  3 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 295 Παραβολή Κοινές Εφαπτόμενες Κύκλου και Παραβολής Α) Αν θέλουμε να δείξουμε ότι δύο κωνικές τομές εφάπτονται μεταξύ τους αρκεί να δείξουμε ότι στα κοινά τους σημεία δέχονται κοινές εφαπτόμενες. Β) Αν θέλουμε να βρούμε τις κοινές εφαπτόμενες ενός κύκλου και μιας παραβολής θεωρούμε  ε  : y  λx+κ την εξίσωσή της κοινής εφαπτόμενης και βρίσκουμε τα λ, κ απαιτώντας καθένα από τα συστήματα της (ε) με τον κύκλο και της (ε) με την παραβολή να έχει μοναδική λύση. Εξετάζουμε μήπως υπάρχουν και κατακόρυφες Παράδειγμα 9 75 Δίνεται ο κύκλος  c1  : x 2 +y 2  25 και η παραβολή  c2  : y 2  x . Να βρεί4 Λύση τε τις κοινές εφαπτόμενες αυτών. Λύση Αρκεί να βρούμε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ έτσι ώστε η ευθεία  ε : y  λx+κ να εφάπτεται του κύκλου και της παραβολής.  Από το σύστημα του (c1) και της (ε) έχουμε: x2 +y 2  25 2  x 2   λx  κ   25  x2  λ 2 x2  2κλx  κ2 - 25  0   y  λx  κ   1  λ 2  x 2  2κλx  κ 2 - 25  0 Για να έχει η παραπάνω δευτεροβάθμια εξίσωση μόνο μια πραγματική λύση πρέπει: Δ  0   2κλ   4 1  λ 2 κ 2 - 25   0  2  4κ 2 λ 2  4κ 2  100  4κ2 λ 2  100λ 2  0   4κ 2  100λ 2  100  κ2  25λ 2  25 (1)  Από το σύστημα της (c2) και της (ε) έχουμε:  2 75 75 75 2 y  x 2 2 2 4   λx  κ   x  λ x  2κλx  κ  x  0   4 4  y  λx  κ 296 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο  4λ 2x 2   8κλ  75  x  4κ2  0 Για να έχει η παραπάνω δευτεροβάθμια εξίσωση μόνο μια πραγματική λύση πρέπει: Δ  0   8κλ-75   64κ 2 λ 2  0   8κλ-75    8κλ   0  2 2 2   8κλ  75  8κλ  8κλ  75  8κλ   0   75 16κλ  75   0  16κλ  75  0  16κλ  75  κ  75 (2) 16λ Από την (1) και με τη βοήθεια της (2) έχουμε: 2 752  75  2  25λ  25   25λ 2  25  752  162  25λ 4  162  25λ2    2 2 16λ 16 λ    75  75  162  25λ 4  162  25λ 2  3  75  162 λ 4  162 λ 2   256λ 4  256λ 2  225  0 Δ  2562  4  225  256  256  256  900   256  1156  162  342  5442 9  2 λ1   256  544  16 Άρα λ 21,2   512  λ 22   25 Απορρίπτεται  16  Για λ  3 25 από τη σχέση (2) έχουμε κ  4 4 3 25 Άρα  ε1 : y  x+ 4 4 ε1 3 25  Για λ   από τη σχέση (2) έχουμε κ   4 4 ε2 3 25 Άρα  ε2 : y   x  4 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 297 Παραβολή Χορδή Παραβολής με Γνωστό Μέσο Για να βρούμε την εξίσωση της χορδής ΑΒ της παραβολής  c  : y 2  2px , που έχει μέσο το σημείο Μ(xM,yM) ακολουθούμε τα εξής βήματα:  Θεωρούμε Α(x1,y1), B(x2,y2) δύο σημεία της παραβολής. Οπότε έχουμε y12  2px1 και y 22  2px 2  Αφαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη προκύπτει y1 2 -y22  2px1 -2px 2  y12 -y 22  2p  x1 -x2     y1 -y 2  y1 +y 2   2p  x1 -x 2   y -y 2p  1 2 x1 -x 2 y1 +y2 y1 +y2  2yΜ  2p p  λ ΑΒ   λ ΑΒ  2y Μ yΜ Οπότε η εξίσωση της χορδής ΑΒ είναι: y-yΜ  p  x-xM  yΜ Παράδειγμα 10 Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  12x . Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της χορδής που ορίζεται από την ευθεία  ε  : 3x-2y  1 Λύση Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων της παραβολής και της ευθείας για να βρούμε τα κοινά τους σημεία  y2  12x  y 2  12x y 2  12x     2y+1  3x - 2y  1 3x  2y+1 x  3   y2  12 1 Β  2y+1  y 2  8y+4  y2 - 8y - 4  0 3 Μ Α ε  84 5 y1   y  4  2 5 8  80  2 Δ  64  16  80 άρα y1,2    1 2 y 2  4  2 5 y  8  4 5  2 2 298 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο  Για y  4  2 5 από την (1) έχουμε ότι: x   Για y  4  2 5 από την (1) έχουμε ότι: x    2 4  2 5 +1  3  2 4  2 5 +1 3  94 5 3  94 5 3 Άρα η ευθεία τέμνει την παραβολή στα σημεία:   94 5  94 5  A  4  2 5,  και B  4  2 5,  3  3    Έτσι λοιπόν για τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ έχουμε: x Α  xΒ  xΜ  2 x  6  Μ άρα Μ(6,4)   yΜ  4 y  y Α  yΒ  Μ 2 Παράδειγμα 11 Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  12x . Να βρείτε την εξίσωση της χορδής που έχει μέσο το Μ(3,2). Λύση Ας είναι ΑΒ η χορδή της παραβολής με μέσο το Μ(3,2) Αφού γνωρίζουμε ένα σημείο από το οποίο διέρχεται η ΑΒ αρκεί να βρούμε τον συντελεστή διεύθυνση της. Θεωρούμε Α(x1,y1) και Β(x2,y2) Ισχύει ότι λ ΑΒ  Β Μ Α y 2 -y1 x 2 -x1 ε Διαδοχικά έχουμε: A   c  : y12  12x1 (1) και B   c  : y 22  12x 2 (2) Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι: y 22  y12  12x 2  12x1   y2  y1  y2  y1   12  x2  x1    y 2  y1 2yM y 2  y1  y2  y1   12 y2  y1 x 2  x1  λ ΑΒ x2  x1  λ ΑΒ 2yM  12  λ ΑΒ 4  12  λ ΑΒ  3 Οπότε  ΑΒ  : y-yΜ  λ ΑΒ  x-xΜ   y-2  3  x-3  y  3x-7 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 299 Παραβολή Θεωρητικά Θέματα Παράδειγμα 12 Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  2px και η ευθεία  ε  : y  λx+κ με λ  0 . Να βρείτε τη συνθήκη για την οποία η (ε) εφάπτεται της παραβολής. Λύση Για να εφάπτεται η ευθεία (ε) στην παραβολή (c) πρέπει το σύστημα των εξισώσεών τους να έχει μοναδική λύση. Έτσι λοιπόν έχουμε: 2 2 y  2px   λx  κ   2px  λ2 x2  2κλx  κ 2  2px   y  λx  κ  λ 2x2  2κλx - 2px  κ2  0   λ 2x2   2κλ - 2p  x  κ2  0 Για να έχει το σύστημα μοναδική λύση πρέπει και η παραπάνω δευτεροβάθμια εξίσωση να έχει μοναδική λύση. Πρέπει λοιπόν Δ  0   2κλ -2p  - 4κ 2 λ2  0  4κ2 λ 2  8pκλ  4p2 - 4κ2 λ2  0  2  8pκλ  4p2  0  4p2  8pκλ  p  2κλ Παράδειγμα 13 Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  2px και η εφαπτόμενη στο Μ(x1,y1) που τέμνει τον x΄x στο Α. Αν Ε είναι η εστία της παραβολής (c) να δείξετε ότι το τρίγωνο ΕΑΜ είναι ισοσκελές. Λύση p  Η εστία της παραβολής (c) είναι το Ε  ,0  2  Η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Μ έχει εξίσωση:  εΜ : yy1  p  x+x1  Βρίσκουμε το σημείο τομής Α της (εΜ) με τον x΄x Για y=0 από την (εΜ) έχουμε  εΜ  : 0  p  x+x1   x+x1  0  x  -x1 Άρα Α(-x1,0) 300 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο  AΕ   EM  2 p p 2 2  xE  x A    yE  y A    +x1   +x1 2 2  2 p 2 2  xE  xM    yE  yM    -x1   y12 (1) 2  Μ Α Ε Όμως M  c   y12  2px1 (2) 2 p 2 2 p 2 2 2 2 1  EM    -px1  x12  2px1     px1  x12  p p p p      2 x 1  x 12    x 1    x 1 2 2 2 2  Αφού (ΑΕ)=(ΕΜ) το τρίγωνο ΑΕΜ είναι πράγματι ισοσκελές. Παράδειγμα 14 Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  2px . Αν Μ τυχαίο σημείο της (c) να δείξετε ότι ο κύκλος με διάμετρο την ΕΜ εφάπτεται στον y΄y. Λύση Έστω ότι ο κύκλος έχει κέντρο το σημείο Κ και ακτίνα R Για να δείξουμε ότι ο κύκλος εφάπτεται στον y΄y αρκεί να δείξουμε ότι: R  xΚ Ας είναι Μ(x1,y1) p  Η παραβολή μας έχει εστία το σημείο Ε  ,0  2  Το κέντρο του κύκλου είναι το μέσο του ΕΜ. Άρα έχουμε: p  xΕ  xΜ  x1   x  2 x   Κ  2  Κ 2   y  y  Ε yΜ  y1 Κ y Κ   2  2 p   2  x 1 y1  άρα είναι Κ  ,  2  2   Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 301 Παραβολή Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με : 2 p  2 2 2  -x1   y1 x  x  y  y     (ME) E M E M 2  (1) R   2 2 2 Όμως M  c   y12  2px1 (2) 2 2 p p 2 2   -px1  x1  2px1    px1  x1 2 2 2   1  R    2 2 2 Μ Κ Ε 2 p p p  p 2  x1    2 x1  x1   x1  2 2 2 2      xΚ 2 2 2 Παράδειγμα 15 Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  2px . Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες της (c) που άγονται από τυχαίο σημείο Μ της διευθετούσας είναι μεταξύ τους κάθετες. Λύση Ας είναι Α τυχαίο σημείο της διευθετούσας της παραβολής και ΑΓ, ΑΒ τα εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από το Α στην παραβολή.  p  Τότε Α   ,y 0   2  Κάθε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α θα έχει εξίσωση: p 2 p 2  εA : y - y A  λ  x - x Α   y - y 0  λ  x    y  λ  x    y 0   Για να εφάπτεται η (εΑ) στην παραβολή αρκεί το σύστημα των εξισώσεών τους να έχει μοναδική λύση.  y 2  2px 2   p    λ x   y   0   2px   p   2    y  λ  x  2   y0    302 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο 2  p  p  λ 2  x    2λ  x   y 0  y 02  2px   2  2  p2   λ 2  x2  px    2λy 0 x  λpy 0  y 02  2px  4   λ 2x 2  λ 2px  λ 2 p2  2λy 0 x  λpy 0  y 02 - 2px  0  4  λ 2x 2  x  λ 2p  2λy 0 - 2p   λpy 0  y 02  λ 2 p2 0 4 Πρέπει: 2  p2  Δ  0   λ 2p  2λy 0 - 2p  - 4  λpy 0  y 02  λ 2  λ 2  0  4    λ 2p  2λy 0 - 2p  - 4y 02 λ 2 - λ 4p2 - 4λ 3py 0  0  2  λ 4p2 +4λ 2 y 0 2 +4p2 +4λ 3py 0 - 4λ 2p2 - 8λy 0p - 4y 0 2 λ 2 - λ 4p2 - 4λ 3py 0  0   λ 4p2 +4λ 2 y 02 +4p2 +4λ 3py 0 - 4λ 2p2 - 8λy 0p -4y 0 2 λ 2 - λ 4p2 -4λ 3py 0  0   4p2 - 4λ 2p2 - 8λy 0p  0   4p  λ 2p  2λy 0 -p   0   λ 2p  2λy 0 -p  0 Θεωρώντας το 1ο μέλος της παραπάνω εξίσωσης τριώνυμο ως προς λ και με τη βοήθεια των τύπων του Vieta έχουμε:   β p λ1  λ 2 = -  λ1  λ 2 = -  λ1  λ 2 = -1 οπότε ΑΓ  ΑΒ α p Β  p Ε  0,   2 Α Γ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 303 Παραβολή Γεωμετρικοί Τόποι Παράδειγμα 16 Δίνεται ο κύκλος  c  :  x-2  +y 2  4 . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων Μ των κύκλων (c΄) που εφάπτονται στον άξονα y΄y και στον κύκλο (c) εξωτερικά. 2 Λύση Ο κύκλος (c) έχει κέντρο το Κ(2,0) και ακτίνα ρ=2 Ας είναι Μ(x,y) τα κέντρα των κύκλων που εφάπτονται στον y΄y και εξωτερικά στον κύκλο (c). Αφού ο κύκλος (c΄) εφάπτεται στον y΄y έχουμε ότι : ρ  x Επιπλέον αφού ο κύκλος (c΄) εφάπτεται εξωτερικά του (c) έχουμε ότι: ρ+ρ  ΚΜ  2+ x   2+ x   xM  x K    yM  y K   2 2   x  2   y2   2+ x    x  2   y2 2 2 2  2  4+4 x +x2  x 2  4x  4y 2  4 x  4x  y 2 (1) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις  Αν x  0 τότε από την (1) προκύπτει: 4x  4x  y 2  y 2  8x οπότε σε αυτή την περίπτωση ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η παραβολή με εστία Ε(2,0) και διευθετούσα (δ): x = -2  Αν x  0 τότε από την (1) προκύπτει: -4x  4x  y 2  y 2  0  y  0 οπότε σε αυτή την περίπτωση ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι ο αρνητικός ημιάξονας των x΄x. 2 Κ 304 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 4 ο 3 Κεφάλαιο Παράδειγμα 17 Δίνονται οι παραβολές  c1  : y 2  -4x και  c2  : y 2  8x . Αν η εφαπτομένη της (c1) τέμνει τη (c2) στα Α και Β να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του ΑΒ. Λύση Ας είναι Α(x1,y1) και Β(x2,y2) τα σημεία τομής της παραβολής (c2) από την εφαπτμένη της παραβολής (c1) στο σημείο Ρ(xo,yo) αυτής. 2 x Είναι  εΡ : yy 0  -2  x+x 0   y  -  x+ 0 (1) y0 y0 c2 Ρ O Α c1 Ακόμη: Μ Β Α   c 2   y12  8x1 (2) και Β   c2   y22  8x2 (3) Αφαιρώντας κατά μέλη τις (2) και (3) έχουμε: y1 2  y22  8x1  8x2   y1  y 2  y1  y1   12  x1  x2    Όμως y1  y 2  y1  y2   8 (4) x1  x 2 y1  y 2 2 καθώς και y1  y 2  2yM  λ ε  x1  x 2 y0 Οπότε από τη σχέση (4) προκύπτει ότι  2 2yM  8  4yM  8y 0  yM  2y 0 (5) y0 Επιπλέον: A   εΡ : y1  - 2 x 2 x  x1 + 0 (6) και B   εΡ : y 2  -  x 2 + 0 (7) y0 y0 y0 y0 Προσθέτοντας κατά μέλη τις (6) και (7) έχουμε: y1 +y 2  - 2 2x 2 2x   x1 +x2  + 0  2 yM  -  2xM + 0  y0 y0 y0 y0  5  4 y 0   4xM 2x 0 +  4 y 0 2  4xM +2x 0  y0 y0 x  4xM  4 y 0 2 +2x 0  xM  y 0 2 + 0 (8) 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 305 Παραβολή Όμως Ρ   c1   y 02  -4x 0 (9) Οπότε η (8) με τη βοήθεια της (9) γράφεται: x 7x 2x 4xM  4 y 02 +2x 0  xM  4x 0 + 0  xM   0  x 0   M (10) 2 2 7 y Από τη σχέση (5) έχουμε: y 0   M (11) 2 Τελικά από την (9) και με τη βοήθεια των (10) και (11) προκύπτει ότι: yΜ2 8xΜ 32   y Μ 2  xΜ 4 7 7 Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η παραβολή με εξίσωση: 32 y2  x 7 306 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Εύρεση Εξίσωσης Παραβολής 1) Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας των x΄x σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις: Α) Όταν έχει εστία α) το σημείο Ε(1,0) β) το σημείο Ε΄(-1,0) Β) Όταν έχει διευθετούσα α) την ευθεία (δ): x=-2 β) την ευθεία (δ): x=2 Γ) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(1,2) 2) Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το Ο(0,0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) Είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p=5. β) Eίναι συμμετρική ως προς τον άξονα Οx και διέρχεται από το σημείο Α(-1,4). γ) Είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Οy και διέρχεται από το σημείο Β(2,2). δ) Έχει άξονα συμμετρίας τον Οy και εστία Ε(0,-4). ε) Έχει εστία Ε(-2,0) και διευθετούσα (δ): x-2=0 3) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Όταν έχει εστία το σημείο Ε(0,1) β) Όταν έχει διευθετούσα την ευθεία (ε):3y-2=0 γ) Όταν διέρχεται από το σημείο Α(2,1) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 307 Παραβολή 4) Να βρείτε τις εξισώσεις των παρακάτω σχεδιασμένων παραβολών δ -4 Ε Ε δ 3 δ 1 2 Ε δ 2 Ε 5) Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα καθεμίας από τις παρακάτω παραβολές: α)  c1 : y 2  4x β)  c2 : y 2  4x γ)  c3 : x 2  -8y δ)  c 4 : x2  8y ε)  c5 : 1 2 y x 6 στ)  c6 : 1 2 x y 5 6) Δίνεται η παραβολή  c : y 2  4x και η ευθεία  ε : x+y  1 α) Να βρείτε την εστία Ε και την εξίσωση της διευθετούσας της (c) β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της (c) με την (ε) 7) Δίνεται η παραβολή  c : y 2  4x α) Να βρείτε την εστία Ε και την εξίσωση της διευθετούσας της (c). β) Να βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής (c) με την ευθεία (ε) που διέρ   χεται από την εστία της (c) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα v  i  j 8) Δίνονται οι παραβολές  c1 : y2  16x ,  c2 : y2  16x ,  c3 : x2  16y ,  c 4 : x2  16y Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου που σχηματίζεται από τα σημεία τομής των παραπάνω παραβολών που είναι διάφορο του Ο(0,0). 308 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο 9) Δίνονται οι παραβολές  c1 : y 2  4x και  c2  : x 2  4y α) Να βρείτε την εστία Ε1 της (c1) και την εστία Ε2 της (c2) β) Να βρείτε το σημείο τομής Α των (c1) και (c2) που είναι διάφορο του Ο(0,0). γ) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου (ΑΕ1Ε2) 10) α) Να δείξετε ότι η παραβολή  c : y 2  2px και η ευθεία y=x έχουν δύο κοινά σημεία. β) Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου p ώστε η απόσταση των παραπάνω σημείων να είναι ίση με 8 2 11) 1 2 Δίνεται η παραβολή  c1 : y   x2 και ο κύκλος  c2 : x2 +  y+1   10 2 α) Να βρείτε την εστία Ε και τη διευθετούσα της β) Να βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής με τον κύκλο 12) Δίνεται η παραβολή  c : 2y 2  x α) Να βρεθούν η εστία και η διευθετούσα της β) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου της Α(2,1) από την εστία Ε και να συγκριθεί με την απόσταση (ΟΕ). γ) Να δείξετε ότι το σημείο της παραβολής με τη μικρότερη απόσταση από την εστία της είναι η κορυφή Ο. Εξίσωση Εφαπτομένης Παραβολής 13) Δίνεται η παραβολή  c : y 2  4x και η ευθεία  ε : 4x - 5y  4  0 α) Να βρεθούν τα σημεία τομής Α, Β της παραβολής (c) με την ευθεία (ε). β) Να βρεθούν οι εφαπτομένες της παραβολής στα Α, Β καθώς και το σημείο τομής τους. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 309 Παραβολή 14) Να βρεθούν οι εφαπτομένες της παραβολής  c : y 2  24x στα σημεία 3  Α  ,6  και Β(24,-24) και να δείξετε ότι τέμνονται κάθετα πάνω στη διευ2  θετούσα της. 15) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της παραβολής  c : y 2  4x 1  στα σημεία Α(4,4) και Β  , 1  και να δείξετε ότι τέμνονται κάθετα πάνω 4  στη διευθετούσα της. 16) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής  c : y 2  4x σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Αν είναι παράλληλη στην  ε1 : y  x -1 β) Αν είναι κάθετη στην  ε2 : y  2x  1 γ) Αν διέρχεται από το σημείο Α(-2,1) 17) Από το σημείο Α(-2,3) προς την παραβολή  c : y 2  8x γράφονται δύο εφαπτόμενες ευθείες. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών και να δείξετε ότι είναι κάθετες. 18) Δίνεται η παραβολή  c : y 2  4x . Να βρείτε: α) Την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής β) Τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν 2 από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 2 γ) Την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία  ε : y  x -1 19) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής  c : y 2  6x που απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση d  3 . 310 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο 20) Να εξετάσετε αν υπάρχει εφαπτομένη της παραβολής  c : y2  8x που απέχει από την εστία Ε της παραβολής απόσταση d  3 . Κοινές Εφαπτομένες Κύκλου – Παραβολής, Παραβολής - Παραβολής 21) Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες του κύκλου  c1 : x2  y 2  2 και της παραβολής  c2 : y 2  8x και να δείξετε ότι είναι κάθετες. 22) Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες του κύκλου  c1 : x2  y 2  64 και της παραβολής  c2 : x 2  12y . 23) Δίνεται ο κύκλος  c1 : x2  y2  4x  1  0 και η παραβολή  c2 : y 2  2px . Αν το σημείο Α(1,λ), λ>0 είναι κοινό σημείο των (c1) και (c2) τότε: α) Να βρείτε τα λ και p β) Nα βρείτε το άλλο κοινό σημείο των (c1) και (c2) γ) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της παραβολής (c2) στο Α εφάπτεται στον κύκλο (c1) και μετά να βρείτε την άλλη κοινή εφαπτομένη στο άλλο κοινό σημείο. 24) Δίνεται ο κύκλος  c1 :  x - 3   y2  8 και η παραβολή  c2 : y 2  4x α) Να βρείτε τα κοινά του σημεία Α, Β β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της παραβολής (c2) στα σημεία Α και Β γ) Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής στα Α και Β εφάπτονται και στον κύκλο. δ) Τι συμπεραίνετε για τον κύκλο και την παραβολή; 25) Να 2 αποδείξετε ότι η παραβολή  c1 : x2  2y και ο κύκλος  c2 : x2   y  3   5 εφάπτονται (Δηλαδή σε κάποιο κοινό σημείο τους οι 2 εφαπτομένες τους συμπίπτουν). Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 311 Παραβολή 26) Δίνεται η παραβολή με εξίσωση  c : y 2  16x . Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου ακτίνας ρ=10 που το κέντρο του είναι στον άξονα x΄x και εφάπτεται της παραβολής. Σχετική Θέση Παραβολής – Ευθείας 27) Δίνεται η παραβολή  c : y2  x α) Να δείξετε ότι η ευθεία  ε1  : y  3x+1 δεν έχει κανένα κοινό σημείο με την παραβολή. β) Να δείξετε ότι η ευθεία  ε2  : y  2x -1 τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία. γ) Να δείξετε ότι η ευθεία  ε3  : 4y - 4x  1 εφάπτεται της παραβολής. 28) Δίνεται η παραβολή  c : y2  4x και η ευθεία  ε  : λx  4y  7  0 με λ  ℝ. Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε η (ε) να εφάπτεται της παραβολής (c). 29) Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  2x και η ευθεία  ε  : x  λy  8  0 . Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού λ ώστε η (ε) να εφάπτεται της παραβολής. Στην περίπτωση αυτή να βρεθεί το σημείο επαφής. 30) α) Να δείξετε ότι η παραβολή  c  : y 2  2px και η ευθεία  ε  : y  x έχουν δύο κοινά σημεία. β) Για ποια τιμή της παραμέτρου p η απόσταση των δύο αυτών σημείων ισούται με 8 2 . 31) Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  2x και η ευθεία (ε) που τέμνει την παραβολή στα σημεία Α και Β και διέρχεται από το σημείο Γ(2,0). Να δείξετε ότι  AΟB  90o . 312 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Χορδή Παραβολής με Γνωστό Μέσο 32) Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής ΑΒ της παραβολής  c : y2  8x η οποία έχει ως μέσο το σημείο Μ(4,1). 33) Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής της παραβολής  c : y2  10x η οποία έχει ως μέσο το σημείο Μ(-5,1). 34) Να αποδείξετε ότι τα μέσα των χορδών της παραβολής  c : y2  4x που έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ=1 ανήκουν σε ευθεία γραμμή της οποίας να βρεθεί και η εξίσωση. 35) Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  12x . Να βρείτε την ευθεία που διέρχεται από την εστία της και αποκόπτει από την παραβολή χορδή μήκους 15. 36) Δίνεται η παραβολή  c : y2  8x και η ευθεία  ε  : y  2x+β . Α) Να βρείτε για ποιες τιμές του β ℝ η ευθεία (ε) τέμνει την παραβολή (c) σε δύο διακεκριμένα σημεία. Β) Έστω ότι η ευθεία (ε) τέμνει την παραβολή (c) στα σημεία Α και Β και έστω Μ μέσο του ΑΒ α) Να γράψετε τις συντεταγμένες του Μ συναρτήσει του β β) Αν το σημείο Μ απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 2 5 , να βρείτε τον αριθμό β. Θεωρητικά Θέματα 37) Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  2px και μια χορδή της ΑΒ, παράλληλη με τον άξονα y΄y η οποία διέρχεται από την εστία. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 313 Παραβολή Να δείξετε ότι: α) (ΑΒ)=2(ΕΚ) όπου Κ το σημείο που τέμνει ο άξονας x΄x την διευθετούσα β) Οι εφαπτόμενες στα σημεία Α και Β διέρχονται από το Κ. 38) Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  2px η εστία της Ε και οι εφαπτόμενες ευθείες (ε1) και (ε2) σε δύο σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) αντίστοιχα. Αν οι (ε1) και (ε2) τέμνονται στο σημείο Μ και Ν είναι το μέσο του ΑΒ τότε: α) Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου Μ συναρτήσει των y1, y2 και p.  β) Να δείξετε ότι MN//xx γ) Το μέσο του τμήματος ΜΝ ανήκει στην παραβολή (c) δ) Να δείξετε ότι ΕΜ  ΕΑ    ΕΒ  2 39) Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  2px και η εφαπτομένη σε ένα τυχαίο σημείο Μ αυτής. Έστω η χορδή ΑΒ της παραβολής που διέρχεται από την εστία της Ε και είναι παράλληλη της εφαπτομένης στο Μ. α) Να δείξετε ότι (ΑΒ)=4(ΜΕ) β) Αν Ν μέσο της ΑΒ και Λ, Κ οι προβολές των Ν και Μ πάνω στη διευθετούσα της παραβολής και Ρ το μέσο της ΝΛ να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΜΡΛ είναι παραλληλόγραμμο. 40) Δίνεται η παραβολή  c  : y 2  2px με κορυφή το Ο και δύο μεταβλητά σημεία A  x1 ,y1  και B  x 2 ,y2  ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να είναι πάντα ορθογώνιο στο Ο. Να δείξετε ότι α) x1x 2  4p2 και y1 y2  4p2 β) Οι συντεταγμένες του μέσου Μ της υποτείνουσας επαληθεύουν την εξίσωση y 2  p  x -2p  γ) Η ευθεία ΑΒ διέρχεται πάντα από ένα σταθερό σημείο Ρ. 314 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο δ) Αν οι εφαπτόμενες στα σημεία Α και Β τέμνονται στο Κ, τότε αυτό το σημείο κινείται πάνω σε μια ευθεία και ισχύει ότι ΚΜ//x΄x. Γεωμετρικοί Τόποι 41)  2α 2α  Αν α  0 να δείξετε ότι το σημείο Μ  2 ,  με α σταθερό, κινείται σε λ λ  παραβολή όταν το λ μεταβάλλεται στο ℝ*. 42) Δίνονται τα σημεία του επιπέδου  x,y    2pκ 2 ,2pκ  με κ ℝ α) Να δείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε μια παραβολή β) Αν Α  2pκ12 ,2pκ1  και Β  2pκ22 ,2pκ2  είναι δύο σημεία της παραβολής αυτής να δείξετε ότι αν η ΑΒ διέρχεται από την εστία είναι 4κ1κ2=-1 43) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει y 4  16x 2  0 44) Αν το σημείο Α κινείται στην παραβολή  c  : y2  x να βρείτε που κινεί  ται σημείο Μ για το οποίο ισχύει OM  2  MA . 45) Δίνεται σταθερό σημείο Α και ευθεία (ε) που δε διέρχεται από το Α να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που διέρχονται από το Α και εφάπτονται στην (ε) είναι παραβολή. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 315 Παραβολή 316 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Ορισμός Έλλειψης 3.3 Έλλειψη Ορισμός Έστω Ε΄, Ε δύο σταθερά σημεία ενός επιπέδου. Έλλειψη με εστίες Ε΄ και Ε, λέγεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα Ε΄ και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (Ε΄Ε). Μ Ε Ε΄ (ΜΕ)+(ΜΕ΄)=σταθ.=2α (ΕΕ΄)=2γ α>γ Σημείωση Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε, συνήθως, με 2α ενώ την απόσταση (Ε΄Ε) με 2γ και την ονομάζουμε εστιακή απόσταση. Εξίσωση Έλλειψης Εξίσωση Έλλειψης με Εστίες στον Άξονα x΄x Η εξίσωση της έλλειψης C ως προς σύστημα συντεταγμένων Οxy, με άξονα των x την ευθεία που ενώνει τις δύο εστίες και άξονα των y τη μεσοκάθετο του Ε΄Ε, είναι: x2 y2  1 α 2 β2 Μ(x,y) O Ε΄(-γ,0) Ε(γ,0) όπου β2  α2  γ2 και α, γ όπως ορίστηκε στον προηγούμενο ορισμό. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 317 Έλλειψη Εξίσωση Έλλειψης Εξίσωση Έλλειψης με Εστίες στον Άξονα y΄y Η εξίσωση της έλλειψης C ως προς σύστημα συντεταγμένων Οxy με άξονα των x τη μεσοκάθετο του Ε΄Ε και άξονα των y την ευθεία Ε΄Ε είναι: Ε(0,γ) Μ(x,y) O x2 y2  1 β2 α2 Ε΄(0,-γ) όπου β2  α2  γ2 και α, γ όπως ορίστηκαν στον ορισμό της έλλειψης. Ας είναι η έλλειψη  c  : x2 y2  1 α 2 β2 1) Αν M1 (x1 ,y1 )   c  α) M2 (x1 , y1 )   c  δηλαδή ο άξονας x΄x είναι άξονας συμμετρίας της (c) Ιδιότητες Έλλειψης β) M3 (x1 ,y1 )   c  δηλαδή ο άξονας y΄y είναι άξονας συμμετρίας της (c) γ) M4 (x1 , y1 )   c  δηλαδή η αρχή των αξόνων Ο είναι κέντρο συμμετρίας της (c) δ) Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της έλλειψης 2) Η εξίσωση  c  : Μ3(-x1,y1) Μ1(x1,y1) O Μ4(-x1,-y1) Μ2(x1,-y1) x2 y2  1 α 2 β2 α) Για x=0 η εξίσωση της (c) δίνει y2  1  y2  β2  y  β άρα η (c) τέ2 β μνει τον y΄y στα σημεία Β(0,β) και Β΄(0,-β) Β(0,β) Κ Α΄(-α,0) Α(α,0) Λ β) Για y=0 η εξίσωση της (c) δίνει x2  1  x 2  α2  x  α άρα η (c) α2 τέμνει τον x΄x στα σημεία Α(α,0) και Α΄(-α,0) 318 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Β΄(0,-β) ο 3 Κεφάλαιο  Τα σημεία Α, Α΄, Β, Β΄ λέγονται κορυφές της έλλειψης (c)  Κάθε ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ που τα άκρα του Κ, Λ είναι σημεία της έλλειψης και διέρχεται από το κέντρο Ο, λέγεται διάμετρος της (c) (προφανώς τα Κ, Λ είναι σημεία συμμετρικά ως προς το Ο). 3) Η έλλειψη (c) περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες x=-α, x=α, x=-β και x=β γιατί αποδεικνύεται ότι για κάθε (x,y)   c  ισχύουν Β(0,β)  α  x  α   β  y  β Α(α,0) Αποδεικνύεται ότι 2β  ΚΛ   2α Α΄(-α,0) Ιδιότητες Έλλειψης  Το ευθύγραμμο τμήμα Α΄Α με (Α΄Α)=2α λέγεται μεγάλος άξονας ενώ το Β΄Β με (Β΄Β)=2β λέγεται μικρός άξονας της έλλειψης. Β΄(0,-β) Ορισμός Εκκεντρότητα της έλλειψης  c  : ονομάζουμε το λόγο ε  γ α Παρατηρήσεις 1) Είναι προφανές ότι 0  ε  1 x2 y2  1, α 2 β2 ε3 ε2 ε1 ε1>ε2>ε3 Εκκεντρότητα Έλλειψης 2) Αν αντικαταστήσουμε γ  α2  β2 κατόπιν πράξεων προκύπτει ότι β  1  ε2 α Από τον τύπο αυτό καταλαβαίνουμε ότι όσο μεγαλύτερη η εκκεντρόβ τητα τόσο μικραίνει ο λόγος και επομένως τόσο πιο επιμηκής γίνεα ται η έλλειψη και αντίστροφα.  Αν το ε τείνει στο 1 τότε το β τείνει στο 0 και η έλλειψη τείνει να γίνει ευθύγραμμο τμήμα.  Αν το ε τείνει στο 0 τότε το α τείνει να γίνει ίσο με το β και η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος. Οι ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα ε, επομένως τον ίδιο β λόγο , λέγονται όμοιες α Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 319 Έλλειψη Εξίσωση Εφαπτομένης Έλλειψης Εφαπτομένη έλλειψης που έχει εστίες στον x΄x Η εξίσωση της εφαπτομένης ε στην έλλειψη x2 y2  c  : 2  2  1 στο σημείο της M(x1 ,y1 ) είναι: α β (ε) Μ(x1,y1) xx1 yy1  1 α 2 β2 Εφαπτομένη έλλειψης που έχει εστίες στον y΄y Η εξίσωση της εφαπτομένης ε στην έλλειψη x2 y2  c  : 2  2  1 στο σημείο της M(x1 ,y1 ) είναι: β α Μ(x1,y1) Ανακλαστική Ιδιότητα Έλλειψης xx1 yy1  1 β2 α 2 Η κάθετη (δ) στην εφαπτομένη (ε) μιας έλλειψης (c), στο σημείο της Μ διχοτομεί τη γωνία (ε) (ε) Μ(x1,y1) φ φ  Ε΄ΜΕ , όπου Ε΄, Ε οι εστίες της έλλειψης. 320 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας (δ) ο 3 Κεφάλαιο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Εύρεση Εξίσωσης Έλλειψης Για να βρούμε την εξίσωση μιας έλλειψης ακολουθούμε τα εξής βήματα: 1) Βρίσκουμε τη μορφή της εξίσωσής της Η μορφή της εξίσωσης καθορίζεται από τον άξονα όπου βρίσκονται οι εστίες της. Ως γνωστό, αν οι εστίες είναι στον x΄x τότε η εξίσωση της έλλειψης θα x2 y2 είναι της μορφής  c  : 2  2  1 ενώ αν οι εστίες είναι στον άξονα α β x2 y 2 y΄y τότε η εξίσωση της έλλειψης θα είναι της μορφής  c  : 2  2  1 . β α 2) Βρίσκουμε τα α και β από κατάλληλα δεδομένα Παράδειγμα 1 Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες Ε΄(-3,0), Ε(3,0) και μικρό άξονα ίσο με 8. Λύση Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον x΄x άρα η εξίσωση της (c) θα είναι της μορφής c : 2 4Β 2 x y  2 1 2 α β Α΄ -5 Επιπλέον από τις συντεταγμένες των εστιών έχουμε ότι γ3 Ε΄ Ε 3 -3 Α 5 -4 Β΄ Αφού ο μικρός άξονας ισούται με 8 είναι 2β  8  β  4 Όμως από θεωρία είναι γνωστό ότι β2  α2  γ2  α2  β2  γ2  α2  16  9  α2  25  α  5 Έτσι λοιπόν η εξίσωση της έλλειψης είναι c : x2 y2  1 25 16 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 321 Έλλειψη Παράδειγμα 2 Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες Ε΄(-2,0), Ε(2,0) και εκ1 κεντρότητα . 2 Λύση Εστίες στον x΄x άρα  c  : x2 y2  1 α 2 β2 2 3 Β Ακόμη γ  2 . Α΄ -4 1 γ 1 2 1 Όμως ε       α  4 2 α 2 α 2 Ε΄ -2 Ε 2 Α 4 2 3 Β΄ Επίσης β2  α2  γ2  β2  16  4  β2  12  β  2 3 Άρα  c  : x 2 y2  1 16 12 Παράδειγμα 3 Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει που οι εστίες της βρίσκονται 1  στον y΄y και διέρχεται από τα σημεία Κ(1,-1) και Λ  ,2  . 2  Λύση Εστίες στον y΄y άρα  c  : Κ  c  : y2 x2  1 α2 β2 1 1 4 4   1  2  2  4 (1) α 2 β2 α β Α΄ Ε Β΄ Β Ε΄ 1 Α 4 4 4 1 Λ   c  : 2  2  1  2  2  1 (2) α β α 4β Με αφαίρεση κατά μέλη των (1) και (2) προκύπτει 4 1 15 5  2  3  16  1  12β2  15  12β2  β2   β2  2 β 4β 12 4 5 4 16 4 4 Για β2  η (1)  2  4   2   α2  5 4 α 5 α 5 y2 x2 y2 4x 2 Άρα  c  :  1  1 5 5 5 5 4 322 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Παράδειγμα 4 Μια έλλειψη έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων και τις εστίες της βρίσκονται πάνω στον άξονα y΄y. Να βρεθεί η εξίσωσή της αν η εκκεντρότητα εί1 ναι και το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου που σχηματίζεται από τον 3 περιγεγραμμένο και τον εγγεγραμμένο κύκλο της έλλειψης είναι 4π. Λύση Εστίες στον y΄y άρα  c  : y2 x2  1 α2 β2 Α 1 γ 1 Ακόμη ε     α  3γ (1) 3 α 3 Όμως α β Β΄ Β Ο 1 β2  α2  γ2  β2  9γ2  γ2  β2  8γ2  β  2 2γ (2) Α΄ Ας είναι (c1) o περιγεγραμμένος κύκλος της έλλειψης και (c2) o εγγεγραμμένος κύκλος .  1 Η ακτίνα του (c1) θα είναι R1   OA   α  3γ 2 Η ακτίνα του (c2) θα είναι R2   OΒ   β  2 2γ Έτσι λοιπόν είναι ΕΔακτυλίου  Εc1  Εc2  4π  πR12  πR22  4  9γ2  8γ2  4  γ2  γ  2 Οπότε από (1)  α  6 και από  2   β  4 2 Άρα  c  : x 2 y2  1 32 16 Εύρεση Στοιχείων Έλλειψης Αν γνωρίζουμε την εξίσωση έλλειψης μπορούμε να προσδιορίσουμε, τις κορυφές της, το μήκος του μικρού άξονα, το μήκος του μεγάλου άξονα, τις εστίες της καθώς και την εκκεντρότητα της. 1) Αν η εξίσωση της έλλειψης δεν είναι σε μια από τις μορφές ή x2 y2  1 α 2 β2 x2 y2   1 τη φέρνουμε με κατάλληλες πράξεις. β2 α2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 323 Έλλειψη 2) Βρίσκουμε τον άξονα που είναι οι εστίες της Οι εστίες βρίσκονται στον άξονα της μεταβλητής με τον μεγαλύτερο παρονομαστή. Παράδειγμα 5 Να βρείτε τις κορυφές, τα μήκη του μικρού και του μεγάλου άξονα, τις εστίες και την εκκεντρότητα καθεμίας από τις παρακάτω ελλείψεις: x2 y2 α)  1 β) 16x 2  25y 2  400 γ) 25x 2  4y 2  1 9 4 Λύση α) Από την εξίσωση της έλλειψης έχουμε ότι α2  9  α  3 και β2  4  β  2 Όμως β2  α2  γ2  γ2  α2  β2  γ2  5  γ  5 Οι κορυφές της έλλειψης είναι Α(3,0), Α΄(-3,0), Β(0,2), Β΄(0,-2) Οι εστίες της έλλειψης είναι Ε  5,0  και Ε   5,0  Το μήκος του μεγάλου άξονα είναι  ΑΑ΄  2α  6 Το μήκος του μικρού άξονα είναι ΒΒ΄  2β  4 Η εκκεντρότητα είναι ε  2Β Α΄ Ε΄ -4  5 Ε 5 Α 4 -2 Β΄ Χρήσιμος Κανόνας Οι εστίες μιας έλλειψης βρίσκονται πάντα στον άξονα της μεταβλητής με τον μεγαλύτερο παρονομαστή. γ 5  α 3 β) Αρχικά μετασχηματίζουμε την εξίσωση της έλλειψης 16x 2 25y2 x2 y2  1   1 400 400 25 16 Από την εξίσωση της έλλειψης έχουμε ότι 16x 2  25y2  400  3Β Α΄ -4 α2  25  α  5 και β2  16  β  4 Όμως β2  α2  γ2  γ2  α2  β2  γ2  9  γ  3 Οι κορυφές της έλλειψης είναι Α(5,0), Α΄(-5,0), Β(0,4), Β΄(0,-4) Οι εστίες της έλλειψης είναι Ε  3,0  και Ε  3,0  324 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Ε΄ -3 Ε 3 -3 Β΄ Α 4 ο 3 Κεφάλαιο Το μήκος του μεγάλου άξονα είναι  ΑΑ΄  2α  10 Το μήκος του μικρού άξονα είναι ΒΒ΄  2β  8 Η εκκεντρότητα είναι ε  γ 3  α 5 γ) Αρχικά μετασχηματίζουμε την εξίσωση της έλλειψης x 2 y2 25x  4y  1   1 1 1 25 4 Από την εξίσωση της έλλειψης έχουμε ότι 2 1 2 21 10 2 Α Ε Β΄ 1  5 1 1 1 1 1 α   α  και β2   β  4 2 25 5 Ε΄ Β 1 5 2 Α΄ Α 21  10 2 Όμως β2  α2  γ2  γ2  α2  β2  γ2  1 1 21 21   γ2  γ 4 25 100 10 1 1   1   1  Οι κορυφές της έλλειψης είναι Α  0,  , Α   0,   , Β  ,0  , Β΄  ,0  2 5   2   5    21  21  Οι εστίες της έλλειψης είναι Ε  0,  και Ε΄ 0,   10   10   Το μήκος του μεγάλου άξονα είναι  ΑΑ΄  2α  1 Το μήκος του μικρού άξονα είναι ΒΒ΄  2β  2 5 21 γ 21 10 Η εκκεντρότητα είναι ε    1 α 5 2 Παράδειγμα 6 Να βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι εγγεγραμμένο στην έλx2 y2 λειψη  c  :  1 49 36 Λύση Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 325 Έλλειψη Από την εξίσωση της έλλειψης έχουμε ότι α2  49  α  7 και β2  36  β  6 Χωρίς περιορισμός της γενικότητας θεωρούμε Μ1(x1,y1) τυχαίο σημείο της έλλειψης με x1  0 και y1  0 οπότε Μ2(-x1,y1), Μ3(-x1,-y1), Μ4(x1,-y1) αφού η έλλειψη έχει άξονα συμμετρίας τόσο τον x΄x όσο και τον y΄y. Έτσι λοιπόν είναι M1M4   2y1 και M3M4   2x1 Μ2 Μ1 Μ3 Μ4 Όμως το τετράπλευρο Μ1Μ2Μ3Μ4 είναι τετράγωνο άρα έχουμε M1M4   M3M4   2x1  2y1  x1  y1 Άρα Μ1(x1,x1) Επιπλέον M1   c  : x 12 x 1 2 36x12  49x12  1  1  85x12  49  36  49 36 49  36  x 12  49  36 49  36 42  x1   x1  85 85 85 Τελικά λοιπόν M1M2M3M4   M3M4    2x1   4x12  4  2 2 422 7056  85 85 Σχετική Θέση Σημείου ως προς Έλλειψη Έστω η έλλειψη  c  : x2 y2   1 και ένα τυχαίο σημείο Μ(x1,y1) α 2 β2 x1 2 y1 2  1 α 2 β2  To M είναι σημείο της έλλειψης αν και μόνο αν  To M είναι εσωτερικό σημείο της έλλειψης αν και μόνο αν x1 2 y 1 2  1 α 2 β2  To M είναι εξωτερικό σημείο της έλλειψης αν και μόνο αν x1 2 y1 2  1 α 2 β2 326 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Παράδειγμα 7 Να δείξετε ότι το σημείο Μ(3,4) είναι εξωτερικό σημείο της έλλειψης:  c  : 9x2  16y 2  25 Λύση Μ Αρχικά μετασχηματίζουμε την εξίσωση της έλλειψης 9x 2 16y 2 x2 y2  1   1 (1) 25 25 25 25 9 16 ο Για x  3 και y  4 από το 1 μέλος της (1) έχουμε 9x 2  16y2  25  9 16 81 256 337     1 25 25 25 25 25 9 16 άρα Μ εξωτερικό σημείο της έλλειψης Παράδειγμα 8 Δίνεται η έλλειψη  c  : x 2  4y 2  12 και η ευθεία  ε  : x  2y  2  0 . Να δείξετε ότι η (ε) τέμνει την (c) σε δύο σημεία Α, Β και να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου του ΑΒ Λύση Λύνουμε το σύστημα των  c  : x 2  4y 2  12 (1) και  ε  : x  2y - 2  0  x  2  2y (2)  2 (εΜ) (ε) Α (1)   2 - 2y   4y 2  12  4 - 8y  4y 2  4y2  12  2 Μ Β  8y2  8y  8  0  y2  y  1  0 Δ  4  4  8  0 άρα y1,2  2  8 2  2 2 1  2   2 2 1  2     • Για y  1  2 η  2   x  2  2 1  2  x  2  2  2 2  x  2 2  Άρα είναι Α 2 2,1  2  • Για y  1  2 η  2   x  2  2 1  2  x  2  2  2 2  x  2 2  Άρα είναι Β 2 2,1  2  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 327 Έλλειψη Εύρεση εξίσωσης μεσοκάθετης (εΜ) του ΑΒ  x A  xB -2 2  2 2  x Μ  xΜ  2 x  0  2 Μ μέσο του ΑΒ     Μ άρα Μ(0,1)  yΜ  1  y  y A  yB y  1  2  1  2  Μ  Μ 2 2   λ ΑΒ yB - y A 1  2  1  2 2 2 1    xB - x A 2 2 2 2 2 4 2 Ο συντελεστής διεύθυνσης της μεσοκαθέτου θα είναι αντιθετοαντίστροφος του  δηλαδή λ λ ΑΒ ε  2 Οπότε  ε  : y  yM  λ εΜ  x  xM   y  1  2x  y  2x  1 Εξίσωση Εφαπτομένης Έλλειψης με Γνωστό Σημείο Επαφής Αν μας δίνεται το σημείο επαφής Μ(x1,y1) τότε  Αν  c  : x2 y2 xx yy   1 είναι  εΜ  : 21  21  1 α β α 2 β2  Αν  c  : yy xx y2 x2  2  1 είναι  εΜ  : 21  21  1 2 α β α β  Αν η εξίσωση της έλλειψης είναι στη μορφή 2 2 2 2 2 2  c  : β x  α y  α β τότε για την αποφυγή πράξεων μπορούμε να ισχυριστούμε ότι  εΜ  : β2 xx1  α 2 yy1  α2β2  Αν η εξίσωση της έλλειψης είναι στη μορφή 2 2 2 2 2 2  c  : β y  α x  α β τότε για την αποφυγή πράξεων μπορούμε να ισχυριστούμε ότι  εΜ  : β2 yy1  α 2xx1  α2β2 Παράδειγμα 9 x2 y2   1 στα κοινά ση50 8 μεία της με την ευθεία  ε  : 2x  5y  0 είναι παράλληλες μεταξύ τους. Να δείξετε ότι εφαπτομένες της έλλειψης Λύση 328 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας c : ο 3 Κεφάλαιο Αρχικά βρίσκουμε τα κοινά σημεία της έλλειψης (c) με την ευθεία (ε)  x 2 y2  x2 y2   1 (1)    1  50 8   50 8  (εΑ) 2x  5y  0 x  5y (2)  (ε)  Α 2 (2) 25y 2 y2 y 2 y2 y2 (1)   1   1  1  Β 200 8 8 8 4 2 (εΒ)  y  2   x5  y2  4    2  y  2  x  5 Τα κοινά σημεία λοιπόν της έλλειψης με την ευθεία είναι τα Α(5,2) και Β(-5,-2) xx A yy A 5x 2y 2   1    1  2x  5y  20  y   x  4 50 8 50 8 5 xxB yyB -5x -2y 2  εB :   1    1  2x  5y  20  y   x  4 50 8 50 8 5 2 Αφού λ εΑ   λ εΒ    έχουμε ότι  εΑ  //  εΒ  5  εΑ : Εξίσωση Εφαπτομένης Έλλειψης όταν δε δίνεται το Σημείο Επαφής Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης μιας έλλειψης όταν δεν γνωρίζουμε το σημείο επαφής ακολουθούμε τα εξής βήματα: α) Θεωρούμε Α(x1,y1) το σημείο επαφής β) Ανάλογα με τη μορφή της εξίσωσης της έλλειψης θα έχουμε και αντίστοιχη μορφή για την εξίσωση της εφαπτομένης  Αν  c  : x2 y2 xx yy  2  1 τότε  εA  : 21  21  1 2 α β α β  Αν  c  : yy xx y2 x2  2  1 τότε  εA  : 21  21  1 2 α β α β γ) Εκμεταλλευόμαστε ότι το σημείο επαφής Α ανήκει στην έλλειψη όποτε έχουμε μια σχέση μεταξύ των x1 , y1 . δ) Η άλλη σχέση θα προκύψει από κατάλληλο δεδομένο Πχ  Η εφαπτομένη είναι παράλληλη σε μια γνωστή ευθεία  Η εφαπτομένη είναι κάθετη σε μια γνωστή ευθεία  Η εφαπτομένη διέρχεται από σημείο με γνωστές συντεταγμένες Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 329 Έλλειψη Παράδειγμα 10 Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης  c  : 4x 2  y 2  20 που είναι παράλληλες στην ευθεία  ε  : 4x  y  4 . Λύση Ας είναι Α(x1,y1) το σημείο επαφής Α   c  : 4x12  y12  20 (1) (ε) (εΒ) (εΑ) Α Επιπλέον  εΑ : 4xx1  yy1  20  4xx1  yy1  20  0 (2) Άρα λ εΑ   4x1 y1 Β Επίσης  ε  : y  4x  4 άρα λ ε  4 Αφού εΑ / /ε είναι λ εΑ  λ ε   4x1  4  y1  x1 (3) y1  3 x1  2   y1  2 (1)  4x1  x1  20  5x1  20  x1  4   3  y1  2 x1  2   3 2 2 2 2 Άρα τα σημεία επαφής είναι τα Α(2,2) και Β(-2,-2)  Από (2) η  εΑ : 8x  2y  20  0  2y  8x  20  y  4x  10  Από (2) η  εB  :  8x  2y  20  0  2y  8x  20  y  4x  10 Παράδειγμα 11 Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης  c  : 4x 2  y 2  20 που διέρχονται από το σημείο Α(0,10). Λύση Ας είναι Μ(x1,y1) το σημείο επαφής Α M  c  : 4x12  y12  20 (1) Επιπλέον  εM  : 4xx1  yy1  20 (2) A   εM  : 10y1  20  y1  2 (3) 330 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Μ2 (ε2) Μ1 (ε1) ο 3 Κεφάλαιο 3  Για y1  2 η (1)  4x12  4  20  4x12  16   x1  2  x1 2  4    x1   2 Άρα τα σημεία επαφής είναι τα Μ1(2,2) και Μ2(-2,2)  Από (2) η  ε1 : 8x  2y  20  2y  8x  20  y  4x  10  Από (2) η  ε2 :  8x  2y  20  2y  8x  20  y  4x  10 Παράδειγμα 12 Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες Ε΄(-3,0) , Ε(3,0) και εφάπτεται της ευθείας  ε  : x  y  5  0 Λύση Αφού οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον x΄x έχουμε: Εξίσωση Έλλειψης αν γνωρίζουμε ότι εφάπτεται σε γνωστή ευθεία x2 y2  c  : 2  2  1 με γ  3 α β Για να βρούμε την εξίσωση της έλλειψης (c) που εφάπτεται στην ευθεία  ζ  : y  λx  κ ακολουθούμε τα εξής βήματα: Ας είναι Α(x1,y1) το σημείο επαφής α) Θεωρούμε ότι η έλλειψη έχει xx yy  εΑ  : 21  21  1  β2xx1  α2yy1  α2β2  α β  α 2 yy1  β2xx1  α 2β2  β2xx α 2 β2 y 2 1  2  α y1 α y1 y 2 2 β x1 β x (1) 2 α y1 y1 Όμως από δεδομένα έχουμε ότι  ε  : x  y  5  0  y  x  5 (2) εξίσωση της μορφής c  : x2 y2  1 α 2 β2 β) Η εξίσωση της εφαπτομένης της (c) στο σημείο της Μ(x1,y1) είναι: ε : xx1 yy1  1  α 2 β2 y β2 x1 β2 x+ y 1 α 2 y1 γ) Οι ευθείες (ε) και (ζ) ταυτίζονται αν και μόνο αν  β2 x 1 λ   y1 α 2   2 κ  β  y1 δ) Από το παραπάνω σύστημα Αφού οι ευθείες (ε) και (εΑ) ταυτίζονται και με τη βοήθεια των (1) και (2) έχουμε: βρίσκουμε τα α, β άρα και την εξίσωση της έλλειψης Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 331 Έλλειψη 2  β2 x1  2  α2 2 2 2β  β x  α y β x  α x    2  1  2 2 1 1 1  1  α y1 β x  α y1  5   5 2  2 1    2   β 2 2 β  5y β β β y   5  1 1  y  y  5  1 1  y1  5  5 α 4 β4 x y α2 β2 Όμως A   c  : 12  12  1  252  252  1    1  α2  β2  25 (3) α β α β 25 25 2 2 Επιπλέον από θεωρία είναι γνωστό ότι β2  α2  γ2  β2  α2  9 (4) (ε) (3)  α 2  α2  9  25  2α2  34  α2  17 -3 Ε΄ Α 4 Από (4)  β2  8 Η εξίσωση λοιπόν της έλλειψης θα είναι  c  : 3 Ε x2 y 2  1 17 8 Παράδειγμα 13 x2 y2   1 και η ευθεία  ε  : x  λy  8  0 με λ>0. 32 8 α) Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου λ ώστε η (ε) να εφάπτεται της (c). Δίνεται η έλλειψη  c  : β) Nα βρεθεί το σημείο επαφής Λύση α) Έχουμε το σύστημα των εξισώσεων της έλλειψης και της ευθείας  x 2 y2  x2 y2   1   1   32 8  32 8 x  λy  8  0 x  8  λy   (1) (2) Αφού η (ε) εφάπτεται της έλλειψης (c) θα έχει ένα μόνο κοινό σημείο με αυτή άρα η δευτεροβάθμια εξίσωση που θα προκύψει επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεών τους θα έχει Δ=0  8  λy   y2  1  8  λy 2  4y2  32  (1)    2 (2) 32 8  64  16λy  λ2 y2  4y2  32  0   λ 2  4  y2  16λy  32  0 (3) Πρέπει Δ  0   16λ   4  32   λ2  4   0  256λ2  128λ2  532  0  2 λ  2  128λ 2  532  λ2  4   λ  2 Απορρίπτεται 332 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο β) Για λ  2 από (3)  8y 2  32y  32  0  (ε)  y 2  4y  4  0  Α   y  2  0  y  2 2 Για y  2 από (2) x  8  4  x  4 Οπότε το σημείο επαφής είναι το Α(4,2) Κοινές Εφαπτομένες Κωνικών Τομών Για να βρούμε την κοινή εφαπτομένη δύο κωνικών τομών (c1) και (c2) ακολουθούμε τα εξής βήματα: α) Θεωρούμε  ε  : y  λx  κ την κοινή εφαπτομένη β) Η (ε) τόσο με τη (c1) όσο και με τη (c2) έχει μόνο ένα κοινό σημείο άρα το σύστημα της (ε) με τη (c1) θα έχει μοναδική λύση (οπότε Δ=0) καθώς και το σύστημα της (ε) με τη (c2) θα έχει μοναδική λύση (οπότε Δ΄=0). γ) Από τις σχέσεις Δ=0 και Δ΄=0 προσδιορίζουμε τα λ, κ. Παράδειγμα 14 Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης  c1  : x2  2y 2  4 και της παραβολής  c2  : y 2  4 6x της έλλειψης Λύση Ας είναι  ε  : y  λx  κ η κοινή εφαπτομένη των (c1) και (c2)  Θεωρούμε το σύστημα της ευθείας (ε) και της έλλειψης (c1) x2  2y 2  4 2  x 2  2  λx  κ   4  x2  2λ2 x2  4κλx  2κ2  4  0   y  λx  κ  1  2λ 2  x 2  4κλx  2κ 2  4  0 Πρέπει Δ  0  16κ2 λ 2  4 1  2λ 2  2κ2  4   0   16κ2 λ 2  8κ 2  16κ 2 λ2  16  32λ 2  0   8κ2  16  32λ 2  0  8κ2  16  32λ2   κ2  4λ 2  2 (1) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 333 Έλλειψη  Θεωρούμε το σύστημα της ευθείας (ε) και της έλλειψης (c1)  y 2  4 6x 2   λx  κ   4 6x  λ 2 x 2  2κλx  4 6x  κ2  0   y  λx  κ    λ2 x2  2κλ  4 6 x  κ2  0  Πρέπει Δ  0  2κλ  4 6   4λ κ  0  2 2 2  4λ 2κ2  16 6κλ  96  4λ 2κ 2  0   16 6κλ  96  0  16 6κλ  96   6κλ  6  κλ  6  κλ  6 (2) 6 1  (2)  κ 2 λ 2  6   4λ 2  2  λ 2  6   4λ 4  2λ 2  6  0  θλ2  2λ  λ  3  0  2θ2  θ  3  0 4 2 θ0 Δ  25 , θ1,2   1 1  5   3 4   2 , Απορρίπτεται Για θ=1 είναι λ 2  1  λ  1 ή λ  1  Αν λ=1 από (2)  κ  6  Αν λ=-1 από (2)  κ   6 Οι κοινές εφαπτομένες λοιπόν θα είναι οι  ε1 : y  x  6 και  ε2 : y  x  6 Παράδειγμα 15 Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες της έλλειψης  c1  : x 2  13y 2  13 και του κύκλου  c2  : x 2  y 2  12x  35  0 Λύση Ας είναι Μ(x1,y1) το σημείο επαφής της έλλειψης M   c1  : x12  13y12  13 (1) και  εΜ : xx1  13yy1  13  xx1  13yy1  13  0 (2) 334 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Για να εφάπτεται η (εΜ) στον κύκλο (c2) αρκεί: d K,εΜ   ρ (3) Α 2  Β2  4Γ 144  140  1 2 2 Οπότε d K,εΜ    4 (3)  6x1  13 x1  169y1 6x1  13 x12  169y12 2 2 Κύκλου - Έλλειψης Για να βρούμε τις κοινές εφαπτομένες μιας έλλειψης: Ο κύκλος έχει κέντρο Κ(6,0) και ακτίνα ρ Κοινές Εφαπτομένες (4)  c1  : x2 y2  1 α2 β2 και ενός κύκλου: c2  :  x-x0    y-y 0   ρ2 2 2 εργαζόμαστε ως εξής α) Θεωρούμε Μ(x1,y1) το σημείο επαφής με την έλλειψη (c1). β) To σημείο Μ ανήκει στη (c1) άρα: 1  x12 y 12  1 α 2 β2 (1)  6x1  13  x12  169y12  γ) Η εφαπτομένη της (c1) στο Μ έχει εξίσωση:   6x1  13   x1 2  169y12  xx1 yy1  1 α 2 β2 2  36x1 2  156x1  169  x12  169y12   35x12  156x1  169  169y12 (5) δ) Η ευθεία (ε) εφάπτεται και στον κύκλο (c2), αν και μόνο αν: d K,ε  ρ (2) όπου Κ(x0,y0) το κέντρο του (c2) Όμως από (1)  13y12  13  x12 (6) ε) Από τις σχέσεις (1) και (2) βρίσκουμε τις τιμές των x1 και y1. Έτσι λοιπόν 6  (5)  35x12  156x1  169  13 13  x12    35x1 2  156x1  169  169  13x12   48x12  156x1  0  48x12  156x1  0   x1  0  x1  0 x  0    x1  48x1  156   0   1   156 13  x1  48x1  156 x1    48  4 y  1  Για x1  0 η (6)  13y12  13  y12  1   1  y1  1 Οπότε είναι Α(0,1) και Β(0,-1) δύο σημεία επαφής  3  y1  13 169 13 3 4 2 2 2  Για x1  η (6)  13y1  13   y 1  1   y1   4 16 16 16 y   3  1 4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 335 Έλλειψη  13 3   13 3 Οπότε είναι Γ  ,  και Δ  ,   άλλα δύο σημεία επαφής 4   4 4   4 Με τη βοήθεια της σχέσης (2) οι κοινές εφαπτομένες των δύο κωνικών τομών είναι οι παρακάτω:  εΑ : 13y  13  y  1 ,  εΒ :  13y  13  y  1  εΓ : x 13 3 1 3  13y  13  x  y  1  x  3y  4  4 4 4 4  3y  x  4  y    εΓ : x 3 4 3 x 3 3 13 3 1 3  13y  13  x  y  1  x  3y  4  4 4 4 4   3y  x  4  y  3 4 3 x 3 3 Α Γ Δ Β Θεωρητικά Θέματα Παράδειγμα 16 x2 y2   1 και οι εφαπτομένες ΣΜ και ΣΝ από εα 2 β2 ξωτερικό σημείο Σ(x0,y0). Nα αποδειχτεί ότι η χορδή ΜΝ που ορίζεται από xx yy τα σημεία επαφής έχει εξίσωση 20  20  1 (Εξίσωση Πολικής) α β Δίνεται η έλλειψη  c  : 336 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Λύση Ας είναι Μ(x1,y1) και Ν(x2,y2) τα σημεία επαφής Οι εφαπτόμενες της (c) στα σημεία Μ και Ν έχουν εξισώσεις: xx1 yy1 xx yy  2  1 και  ε2 : 22  22  1 αντίστοιχα. 2 α β α β  ε1 : Οι ευθείες (ε1) και (ε2) διέρχονται από το σημείο Σ(x0,y0) αν και μόνο αν x 0 x 1 y 0 y1 xx y y  2  1 και 0 2 2  0 2 2  1 α2 β α β Σ Μ xx yy Παρατηρούμε ότι η εξίσωση της ευθείας 02  02  1 εα β παληθεύεται από τα σημεία Μ και Ν άρα αυτή θα είναι και η εξίσωση της χορδής ΜΝ. Ν Παράδειγμα 17 x2 y2   1 , δύο σημεία της Μ1(x1,y1), M2(x2,y2) και α 2 β2 τα σημεία Ν1(εx1,0) και Ν2(εx2,0). Nα αποδείξετε ότι (Μ1Ν2)=(Μ2Ν1). Δίνεται η έλλειψη  c  : Λύση Αρχικά έχουμε: M1   c  : Επίσης Μ1Ν2   x1 2 y1 2 x 22 y 22   1 (1) και M  c :   1 (2)   2 α 2 β2 α 2 β2  εx2  x1   y12 και Μ2Ν1    εx1  x2   y22 2 2 Ας είναι Μ1Ν2   Μ2Ν1    εx2  x1   y12   εx1  x2   y22  2  2 2 2  εx2  x1   y1 2   εx1  x2   y22  2 2   εx 2  x1   y12   εx1  x2   y 22  2 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 337 Έλλειψη  ε2x22  2εx1 x2  x12  y1 2  ε2x12  2εx1 x2  x 22  y 22   ε 2 x 2 2  x 1 2  y 1 2  ε2 x 1 2  x 2 2  y 2 2   x12  ε2x12  y12  x 22  ε2x 22  y 22   1  ε2  x1 2  y1 2  1  ε2  x 22  y 22    γ2  γ2    1  2  x1 2  y 1 2   1  2  x 22  y 22   α   α   α 2  γ2  2  α2  γ2  2 2 2  x  y  1  1   x2  y2  2 2 α α      β2 2 β2 2 2 x  y  x  y 22  1 2 1 2 2 α α Μ1 Ν2 Ν1 Μ2  β 2 x 1 2  α 2 y 1 2  β2 x 2 2  α 2 y 2 2   β2 x12 α 2 y12 β2 x22 α2 y22     α 2β2 α 2β2 α2β2 α2β2  x12 y12 x 22 y 22 1      α 2 β2 α2 β2 2  1  1 που ισχύει Γεωμετρικοί Τόποι Παράδειγμα 18 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(3ημθ, 4συνθ) με θ ℝ Λύση Ας είναι Μ(x,y). Διαδοχικά έχουμε  2 x x2  ημ θ  ημθ    x  3ημθ 3   9     2  y  4συνθ συνθ  y συν2θ  y   4 16 x 2 y2 x 2 y2    1 9 16 9 16 Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η παραπάνω έλλειψη  ημ 2θ  συν2θ  338 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Παράδειγμα 19 Δίνεται η έλλειψη  c  : β 2 x 2  α 2 y 2  α 2β2 . Η κάθετη της έλλειψης σε ένα τυχαίο σημείο της Ρ τέμνει τον άξονα x΄x στο Κ και τον άξονα y΄y στο Λ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου Μ του ΚΛ. Λύση Ας είναι Ρ(x1,y1). H εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο Ρ είναι: β2 x α y1  εΡ : β2xx1  α2yy1  α2β2 με λ ε   2 1 Ρ Ας είναι  ζ    εΡ  οπότε λ ζ  α 2 y1 β2 x1 ζ ε 2 αy Έτσι λοιπόν  ζ :y - yΡ  λ ζ  x - xΡ   y - y1  2 1  x - x1  (1) β x1 Κ Ρ Μ Λ  Για x=0 η (1)  y - y1  -x1 α 2 y1 α2 y β2 - α2  y  y1 - 2 1  y  y1 2 β x1 β β2  β2 - α 2  Άρα είναι Λ  0, 2 y1  β    Για y=0 η (1)  - y1   x - x1  α 2 y1 α2  -1  x x  -β2x1  α 2  x - x1     1 β2 x 1 β2x1  -β2x1  α 2x - α 2x1  -β2x1  α 2x1  α2 x  x  α 2  β2 x1 α2  α 2  β2  Άρα είναι Κ  x1 ,0  2  α    α 2  β2 γ2 xΚ  x Λ  x  x x  x1 x  Μ 1 Μ    Μ 2α 2 2α2 2  Μ μέσο ΚΛ άρα      2 2 2  yΜ  yΚ  y Λ y  β - α y y  - γ y 1  Μ  Μ 2β2 1  2 2β2  γ2 γ2  Άρα είναι Μ 2 x1 ,- 2 y1  2β  2α  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 339 Έλλειψη Ας είναι Μ(x,y)  2α2  γ2 x  x  x  1 γ2 x (2)  2α 2 1  Τότε έχουμε   2 2 y  - γ y  y  - 2β y (3) 1  1 2β2 γ2  2  2α 2  2  2β2  x  - γ2 y   2   γ2  x1 2 y1 2    1  Όμως   c  : 2  2  1   3 α β α2 β2 4α 4 2 4β4 2 x y x2 y2 x2 y2 γ4 γ4    1    1   1 2 2 γ4 γ4 α2 β2  γ2   γ2   2α   2β  4α 2 4β2     Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι έλλειψη 340 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Εύρεση Εξίσωσης Έλλειψης 1) Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(-3,0), Ε(3,0) και μεγάλο άξονα 10. Κατόπιν να βρεθεί ο μικρός της άξονας. β) Όταν έχει εστίες στον άξονα y΄y, κορυφές Α΄(-2,0), Α(2,0) και μεγάλο άξονα 6 γ) Όταν έχει εστίες Ε΄(-3,0), Ε(3,0) και εκκεντρότητα ε  3 5 δ) Όταν έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, μεγάλο άξονα των x΄x και διέρχεται από τα σημεία Μ(3,-4) και Ν(-6,2). 2) Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(-2,0), Ε(2,0) και μεγάλο άξονα 10 β) Όταν έχει μεγάλο άξονα 20 και εκκεντρότητα ε  3 5 γ) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(-3,0), Ε(3,0) και διέρχεται από το σημείο  21  Ρ  2,  2   δ) Όταν έχει εστίες στον άξονα x΄x κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρ 3 21   3 χεται από τα σημεία Μ 1,  και Ν ,   2 2 4  3) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες στον x΄x, διέρχεται  9 από το σημείο Μ 4,  και το εμβαδόν του δακτυλίου, που ορίζουν ο πε 5 ριγεγραμμένος και ο εγγεγραμμένος κύκλος στην έλλειψη είναι ίσο με 16π Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 341 Έλλειψη 4) Να βρεθεί η εξίσωση των παρακάτω σχεδιασμένων ελλείψεων: 10 Β 4 Ε 3 Α΄ 6 -2 Α -3 -3 Β΄ -4 Εύρεση Στοιχείων Έλλειψης 5) Να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι εστίες καθεμίας από τις παρακάτω ελλείψεις: 2 α) 6) x  y2  1 4 8) γ) 9x 2  25y 2  225 Να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι εστίες καθεμίας από τις παρακάτω ελλείψεις: α) x 2  9y 2  9 7) β) x 2  9y 2  36 β) 11x 2  3y 2  66 γ) 2x 2 3y 2   24 3 2 Να υπολογίσετε την εκκεντρότητα της έλλειψης x2 y 2  c  : 2  2  1 στο διπλανό σχήμα α β Στο διπλανό σχήμα τα σημεία Ε΄, Ε είναι οι εστίες x2 y 2 της έλλειψης  c  : 2  2  1 . Αν το τρίγωνο Ε΄ΒΕ α β είναι ισόπλευρο να βρείτε την εκκεντρότητα της έλλειψης. 342 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Β Α΄ Ε΄ Ε΄ Ε Α Β Α Α΄ Ε Ε΄ Β΄ ο 3 Κεφάλαιο 9) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η καμπύλη με εξίx2 y2 σωση  c  :   1 να παριστάνει έλλειψη και να βρεθούν οι ελ 2 8 λ στίες της. Σχετική Θέση Σημείου ως προς έλλειψη 10) Να βρείτε τη σχετική θέση των παρακάτω σημείων με την έλλειψη c  : α) Μ1(5,2) x2 y2  1 16 25 β) Μ2(-2,4) γ) Μ3(4,5) x2 y2   1 ώστε η γωνία ΟΜΑ 36 9 να είναι ορθή (Α κορυφή του άξονα ΑΆ=2α). c  : 11) Να βρεθεί σημείο Μ της έλλειψης 12) Να βρεθεί το σημείο Μ της έλλειψης στο διπλανό σχήμα. 13) Δίνεται η έλλειψη  c  : Μ r -4 4r 4 x 2 y2  1 16 12 Να βρείτε τα σημεία της έλλειψης των οποίων η απόσταση από το μεγάλο άξονά της είναι ίση με 3. 14) Δίνεται η έλλειψη  c  : x2 y 2   1 και η ευθεία  ε  : y  2x  1 4 2 Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου της χορδής ΑΒ που ορίζεται από την ευθεία και την έλλειψη. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 343 Έλλειψη 15) Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής της έλλειψης  c  : έχει μέσο το σημείο Μ(2,1). 16) x2 y 2   1 η οποία 16 4 Δίνεται η έλλειψη  c  : 27x2  36y 2  972 και το σημείο Μ(4,2) α) Να αποδείξετε ότι το Μ είναι εσωτερικό της έλλειψη β) Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της έλλειψης που έχει μέσο το Μ. 17) x2  1  y 2  1 και το σημείο Μ 2,  . Να βρείτε την 4  2 εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ και τέμνει την έλλειψη στα σημεία Α και Β έτσι ώστε το Μ να είναι μέσο του ΑΒ. Δίνεται η έλλειψη  c  : Εξίσωση Εφαπτομένης Έλλειψης 18) Να βρείτε την εφαπτομένη της έλλειψης  c  : έχει τετμημένη 1 και θετική τεταγμένη. 19) Δίνεται η έλλειψη  c  : x2 y 2   1 στο σημείο που 9 3 x2 y 2   1 και η ευθεία  ε  : x  y  3 8 2 Να βρεθούν οι εφαπτομένες της έλλειψης (c) στα σημεία τομής της με την ευθεία (ε). 20) Να βρείτε την  c  : 4x2 +25y2  100 εξίσωση της εφαπτόμενης της έλλειψης η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία  ε  : 2x  3y  1 . 344 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο 21) Να βρείτε την  c  : 9x2 +16y2  144    v  2011  i  2011  j . 22) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της έλλειψης  c  : 2x2 +3y 2  24 η εξίσωση της που είναι εφαπτόμενης της παράλληλη στο έλλειψης διάνυσμα οποία είναι κάθετη στην ευθεία  ε  :  x  2y+5  0 . 23) Δίνεται ο κύκλος  c1  : x 2 +y 2  4 και η έλλειψη  c2  : x2 +4y2  10 α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης (ε) του κύκλου στο σημείο του A  3,1 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε΄) της έλλειψης που είναι κάθετη στην (ε) 24) Να βρείτε της εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης  c  : οι οποίες διέρχονται από το σημείο Μ(0,4). 25) x2 y 2  1 9 4 Δίνεται η παραβολή  c1  : y2  2x και η έλλειψη  c2  : x2 +y 2  3 . α) Να βρείτε τα σημεία τομής τους Α και Β (yA<yB) β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της έλλειψης στο σημείο Α 26) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της έλλειψης  c  : x2 +3y 2  3 η οποία σχηματίζει με τους άξονες Οx και Οy ισοσκελές τρίγωνο. 27) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει εστίες τα σημεία Ε΄(-2,0), Ε(2,0) και εφάπτεται της ευθείας  ε  : y  x+4 . Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 345 Έλλειψη 28) Δίνεται η έλλειψη  c  : x2 +4y 2  4 και το σημείο Σ(0,2). Η ευθεία  ε  : 3x  2y  4  0 διέρχεται από το Σ και τέμνει τις εφαπτόμενες της (c) στα άκρα του μεγάλου άξονα στα σημεία Μ και Μ΄. α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου (c΄) με διάμετρο ΜΜ΄ β) Να εξετάσετε αν ο κύκλος (c΄) διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης 29) Δίνεται η έλλειψη  c  : θεία  ε  : y  x  4 x2 y 2   1 με α  0 η οποία εφάπτεται στην ευα2 4 α) Να βρείτε την τιμή του α2 β) Να βρείτε τις εφαπτόμενες της έλλειψης (c) που είναι κάθετες στην ευθεία (ε). 30) Να βρείτε την τιμή της παραμέτρου λ  ℝ, αν είναι γνωστό ότι η ευθεία  ε  : y  2x  λ εφάπτεται στην έλλειψη  c  : 8x2  y2  16 . Κοινές Εφαπτομένες Κωνικών Τομών 31) Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες της έλλειψης  c1  : παραβολής  c2  : y 2  12x 32) Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες των ελλείψεων  c1  : 33) x2 y2   1 και της 4 3 x2 y2  y2  1 και  c2  : x2   1 4 4 Δίνονται οι εξισώσεις της έλλειψης  c1  : x 2  4y 2  16 και του κύκλου  c2  : x2  y2  12x  28  0 . Να βρεθεί σημείο Μ του κύκλου από το οποίο οι εφαπτόμενες προς την έλλειψη να είναι κάθετες. 346 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Θεωρητικά Θέματα 34) Να αποδείξετε ότι το γινόμενο των αποστάσεων των εστιών μιας έλλειψης από μια τυχούσα εφαπτόμενή της είναι σταθερό. 35) Έστω η έλλειψη  c  : x2 y 2   1 και η εφαπτόμενή της σε ένα σημείο α 2 β2 Ρ1(x1,y1) η οποία τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα σημεία Μ και Ν αντιστοίχως. Έστω Κ, Λ οι προβολές του Ρ1 στους άξονες x΄x και y΄y αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι: α)  ΟΚ  ΟΜ  α 2 β)  ΟΛ  ΟΝ  β2 x2 y 2   1 και η εφαπτόμενη (ε) αυτής στο σηα 2 β2 μείο Μ. Η (ε) τέμνει την εφαπτόμενη της (c) στο Α στο σημείο Ρ. Να δείξετε ότι ΟΡ//Α΄Μ. (Είναι Α(α,0) και Α΄(-α,0)). 36) Δίνεται η έλλειψη  c  : 37) Δίνεται η έλλειψη  c  : β2x2  α 2 y2  α2β2 η διάμετρος ΡΣ και η χορδή ΜΝ που είναι παράλληλη στη διάμετρο ΡΣ και διέρχεται από την εστία β2 2 Ε΄(-γ,0). Να δείξετε ότι Ε΄ΜΕ΄Ν  2  ΟΡ  . α 38) Δίνεται η έλλειψη  c  : x2 y 2   1 με α>β>0, η εστία της Ε(γ,0) και η εα 2 β2 φαπτομένη (ε) της (c) σε ένα σημείο Μ(x1,y1) διαφορετικό από τις κορυφές της. Φέρνουμε την ευθεία (ζ) κάθετη στην (ε) στο σημείο Μ και έστω Ρ το σημείο τομής της (ζ) με τον άξονα y΄y. Να αποδείξετε ότι  γ2  y1  α) Ρ  0,  2  β    x 2β4  y12α 4  2 γ) ΡΜ   1  β4   δ)  β 4  γ2  y 1 2  2 β) ΡΕ    γ2  β4   ΡΕ   ε , όπου ε η εκκεντρότητα της έλλειψης (c) ΡΜ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 347 Έλλειψη Γεωμετρικοί Τόποι 39) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων  2  2t 2 6t  1   α) Μ(2ημθ,3συνθ) β) Ν συνθ, ημθ  γ) Λ  , με t ℝ 2 2  2    1t 1t  40) Δίνονται οι κύκλοι  c1  :  x+2   y 2  49 και  c1  :  x-2   y 2  4 α) Να βρείτε τη σχετική θέση τους β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται στους δύο κύκλους. 41) Δίνεται η έλλειψη  c  : 42) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου που σχηματίζουν με τα σημεία Α(-8,0) και Β(8,0) τρίγωνο με περίμετρο ίση με 16 μονάδες. 43) Δίνεται ο κύκλος  c1  : x2  y 2  4 και η έλλειψη  c2  : 2 2 x2 y 2   1 και οι χορδές της, των οποίων ο συντε4 9 2 λεστής διεύθυνσης είναι λ  . Να αποδείξετε ότι τα μέσα των χορδών 2 αυτών βρίσκονται σε διάμετρο της έλλειψης της οποίας να βρείτε την εξίσωση. x2 y2  1 . 2 6 α) Να δείξετε ότι το σημείο Μ 1,  3 είναι κοινό τους σημείο και στη   συνέχεια να βρείτε όλα τα κοινά τους σημεία. β) Να δείξετε ότι τα κοινά τους σημεία είναι κορυφές ορθογωνίου παραλληλογράμμου. γ) Να βρεθούν τα σημεία Μ(x0,y0) ώστε x 02  y 0 2  4 και ΜΕ΄  ΜΕ   2 6 (Ε, Ε΄ οι εστίες της έλλειψης (c2)) 44) Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το μέσο του Κ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει:  2 1           ΜΚ   ΜΑ  ΜΒ συν  ΜΑ,ΜΒ   ΜΑ  ΜΒ   1 2     348 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Ορισμός Υπερβολής 3.4 Υπερβολή Ορισμός Έστω Ε΄, Ε δύο σταθερά σημεία ενός επιπέδου. Υπερβολή με εστίες Ε΄ και Ε, λέγεται ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα Ε΄ και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση (Ε΄Ε). Μ Ε Ε΄ (ΜΕ)-(ΜΕ΄)=σταθ.=2α (ΕΕ΄)=2γ α<γ Σημείωση Τη σταθερή αυτή διαφορά τη συμβολίζουμε, συνήθως, με 2α ενώ την απόσταση (Ε΄Ε) με 2γ και την ονομάζουμε εστιακή απόσταση. Εξίσωση Υπερβολής Επιπλέον ισχύει ότι ΜΕ΄   ΜΕ   Ε΄Ε  δηλαδή 2α<2γ οπότε α<γ Εξίσωση Υπερβολής με Εστίες στον Άξονα x΄x Η εξίσωση της υπερβολής C ως προς σύστημα συντεταγμένων Οxy, με άξονα των x την ευθεία ΕΕ΄ και άξονα των y τη μεσοκάθετο του Ε΄Ε, είναι: x2 y2  1 α 2 β2 Μ(x,y) Ε΄(-γ,0) O Ε(γ,0) όπου β2  γ2  α 2 και α, γ όπως ορίστηκαν στον προηγούμενο ορισμό. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 351 Υπερβολή Εξίσωση Υπερβολής Εξίσωση Υπερβολής με Εστίες στον Άξονα y΄y Η εξίσωση της υπερβολής C ως προς σύστημα συντεταγμένων Οxy με άξονα των x τη μεσοκάθετο του Ε΄Ε και άξονα των y την ευθεία Ε΄Ε είναι: y2 x2  1 α 2 β2 Ε(0,γ) Μ(x,y) Α(0,α) Α΄(0,-α) Ε΄(0,-γ) όπου β2  γ2  α 2 και α, γ όπως ορίστηκαν στον ορισμό της υπερβολής. Ας είναι η υπερβολή  c  : x2 y 2  1 α 2 β2 1) Αν M1 (x1 ,y1 )   c  α) M2 (x1 , y1 )   c  δηλαδή ο άξονας x΄x είναι άξονας συμμετρίας της (c) β) M3 (x1 ,y1 )   c  δηλαδή ο άξονας y΄y Μ3(-x1,y1) Μ1(x1,y1) είναι άξονας συμμετρίας της (c) O Ιδιότητες Υπερβολής γ) M4 (x1 , y1 )   c  δηλαδή η αρχή των αξόνων Ο είναι κέντρο συμμετρίας της (c) δ) Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της υπερβολής 2) Η εξίσωση  c  : Μ4(-x1,-y1) Μ2(x1,-y1) x2 y 2  1 α 2 β2 Ε΄(0,-γ) Α(α,0) β) Για y=0 η εξίσωση της (c) δίνει Α΄(-α,0) α) Για x=0 η εξίσωση της (c) είναι αδύνατη άρα η υπερβολή δεν τέμνει τον y΄y Ε(γ,0) x2  1  x 2  α2  x  α άρα η υπερβολή 2 α x=α x=-α τέμνει τον x΄x στα σημεία Α(α,0) και Α΄(-α,0) τα οποία ονομάζονται κορυφές της υπερβολής 352 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο x2 y 2 x2 y2   1 έχουμε ότι  1   0 άρα α 2 β2 α2 β2 3) Απ’ την εξίσωση x  α x2  1  x2  α2   2 α  x  α Άρα τα σημεία της υπερβολής βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x  α και x  α δηλαδή η υπερβολή αποτελείται από δύο χωριστούς κλάδους. 4) Η υπερβολή  c  : x2 y 2   1 έχει δύο ασύμπτωτες, τις ευθείες α 2 β2 β β x και  ε2  : y   x α α Ασύμπτωτη μιας γραμμής (c) λέγεται μια β β ευθεία όταν έχει την εξής ιδιότητα: y x y x α α Όταν η τετμημένη (το x) ενός σημείου της (c) αυξάνεται απεριόριστα κατ’ απόλυτη Λ Κ Α΄ Α τιμή, τότε η απόσταση του σημείου αυτού Ε Ε΄ Μ Ν από την ευθεία τείνει προς το μηδέν. Οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι φορείς των διαγωνίων του ορθογωνίου ΚΛΜΝ με κορυφές τα σημεία Κ(α,β), Λ(-α,β), Μ(-α,-β), Ν(α,-β). Το ορθογώνιο αυτό λέγεται ορθογώνιο βάσης της υπερβολής Ιδιότητες Υπερβολής  ε1  : y  Μνημονικός Κανόνας Εύρεσης Ασυμπτώτων x2 y 2  1 α 2 β2  Θέτουμε στην εξίσωση της υπερβολής όπου 1 το 0 οπότε έχουμε x2 y 2  x y  x y   2  0        0 2 α β  α β  α β   Εξισώνουμε κάθε παράγοντα με το 0, λύνουμε ως προς y και προκύπτουν οι εξισώσεις των ασυμπτώτων Έστω ότι έχουμε την υπερβολή  c  : x y y x β   α  β  0  β  α  y  α x    x  y  0 y   x y   β x  α β  β α α  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 353 Υπερβολή Ισοσκελής Υπερβολή Αν είναι α=β τότε η υπερβολή λέγεται ισοσκελής και η εξίσωσή της γράφεται:  c  : x2 y2   1  x 2  y2  α 2 αν έχει εστίες στον x΄x α2 α 2 y 2 x2   1  y 2  x2  α 2 αν έχει εστίες στον y΄y α2 α 2 Παρατήρηση Η ισοσκελής υπερβολή έχει ασύμπτωτες τις ευθείες  ε1 : y  x και  ε2 : y  x  c  : Εκκεντρότητα μιας υπερβολής ονομάζουμε το λόγο ε γ  1 (γιατί γ>α) α Παρατηρήσεις β  ε2  1 α 2) Όσο πιο μικρή είναι η εκκεντρότητα της υπερβολής τόσο πιο επιμηκές είναι το ορθογώνιο βάσης και κατά συνέπεια τόσο πιο κλειστή η υπερβολή. Εκκεντρότητα Υπερβολής 1) Αποδεικνύεται ότι 3) Η ισοσκελής υπερβολή έχει εκκεντρότητα ε  2 Εφαπτομένη Υπερβολής ε1>ε2 Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) στην υπερβολή x2 y 2  c  : 2  2  1 στο σημείο της Μ(x1,y1) είναι α β xx1 yy1  1 α 2 β2 Η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) στην υπερβολή y2 x2  c  : 2  2  1 στο σημείο της Μ(x1,y1) είναι α β yy1 xx1  1 α 2 β2 354 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Μ(x1,y1) Μ(x1,y1) ο Ανακλαστική Ιδιότητα Υπερβολής 3 Κεφάλαιο (c) Η εφαπτομένη μιας υπερβολής σε ένα σημείο φ=ω Μ  φω της Μ διχοτομεί τη γωνία ΕΜΕ όπου Ε΄, Ε οι εστίες της υπερβολής. Ε΄ Ε (ε) Όπως είναι φανερό το θεωρητικό κομμάτι της υπερβολής είναι πολύ πιο πλούσιο σε σύγκριση με τα αντίστοιχα της παραβολής και της έλλειψης. Για καλύτερη εμπέδωση λοιπόν παραθέτουμε όλα τα παραπάνω «κωδικοποιημένα» στον παρακάτω πίνακα: Εστίες στον x΄x Εξίσωση: 2 Εστίες στον y΄y 2 x y  1 α 2 β2 Εξίσωση: y 2 x2  1 α 2 β2 Κορυφές: Α(α,0), Α΄(-α,0) Κορυφές: Α(0,α), Α΄(0,-α) Εστίες: Εστίες: Ε(γ,0), Ε΄(-γ,0) β β Ασύμπτωτες: y  x και y   x α α Εφαπτομένη στο Μ1(x1,y1): xx1 yy1  1 α 2 β2 Ε(0,γ), Ε΄(0,-γ) α α Ασύμπτωτες: y  x και y   x β β Εφαπτομένη στο Μ1(x1,y1): yy1 xx1  1 α 2 β2 Σημείο Τομής με y΄y: Κανένα Σημείο Τομής με y΄y: Κανένα Σημεία Τομής με x΄x: Α(α,0), Α΄(-α,0) Σημεία Τομής με x΄x: Α(0,α), Α΄(0,-α) Ορθογώνιο Βάσης: ΚΛΜΝ με Κ(α,β) Ορθογώνιο Βάσης: ΚΛΜΝ με Κ(β,α) Λ(-α,β) Μ(-α,-β) Λ(β,-α) Μ(-β,-α) Ν(α,-β) Ν(-β,α) γ Εκκεντρότητα: ε  α γ Εκκεντρότητα: ε  α Σχέση μεταξύ α, β, γ: β2  γ2  α 2 Σχέση μεταξύ α, β, γ: β2  γ2  α 2 Ε΄ Λ Κ Α΄ Α Μ Ν Ε Ε Λ Μ Κ Α Α΄ Ν Ε΄ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 355 Υπερβολή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Εύρεση Εξίσωσης Υπερβολής Για να βρούμε την εξίσωση μιας υπερβολής ακολουθούμε τα εξής βήματα: 1) Βρίσκουμε τη μορφή της εξίσωσής της Η μορφή της εξίσωσης καθορίζεται από τον άξονα όπου βρίσκονται οι εστίες της. Ως γνωστό, αν οι εστίες είναι στον x΄x τότε η εξίσωση της υπερβολής x2 y 2 θα είναι της μορφής  c  : 2  2  1 ενώ αν οι εστίες είναι στον άξοα β να y΄y τότε η εξίσωση της υπερβολής θα είναι της μορφής y2 x2 c  : 2  2  1 . α β 2) Βρίσκουμε τα α και β από κατάλληλα δεδομένα Παράδειγμα 1 Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής η οποία έχει εστίες τα σημεία Ε(5,0) και Ε΄(-5,0) και οι κορυφές της απέχουν 8 μονάδες. Λύση Η εξίσωση της υπερβολής (c) θα είναι της μορφής c : x 2 y2  1 α2 β2 Από τις συντεταγμένες των εστιών έχουμε ότι γ  5 Επιπλέον, αφού οι κορυφές απέχουν 8 μονάδες προκύπτει ότι 2α  8  α  4 Όμως από θεωρία είναι γνωστό ότι β2  γ2  α2  β2  25  16  β2  9  β  3 Έτσι λοιπόν η εξίσωση της υπερβολής είναι c : x2 y2  1 16 9 356 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας -5 -4 Ε΄ Α΄ 4 5 Α Ε ο 3 Κεφάλαιο Παράδειγμα 2 Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει εστίες τα σημεία Ε΄(0,-13) 13 και Ε(0,13) και εκκεντρότητα . 12 Λύση Αφού η υπερβολή έχει εστίες στον y΄y η εξίσωσή της θα είναι της μορφής c : y2 x2  1 α 2 β2 12 -12 Είναι γ  13 Ακόμη ε  13 γ 13 13 13      α  12 12 α 12 α 12 Επιπλέον β2  γ2  α2  β2  132  122  β2  169  144  β2  25  β  5 Άρα  c  : y2 x2  1 144 25 Παράδειγμα 3 Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει εστίες τα σημεία Ε΄(0,-5), Ε(0,5) και διέρχεται από το σημείο Μ(3,4 2) . Λύση Αφού η υπερβολή έχει εστίες στον y΄y η εξίσωσή της θα είναι της μορφής 2 Ε Μ 2 y x c : 2  2  1 α β Ε΄ Είναι γ  5  4 2   3  1  32  Ακόμη Μ  c  : 2 α 2 2 β2  γ2  α2 2 β2 25 α2 β α 2 9 1  25  α2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 357 Υπερβολή   25  α2  32  9α2  α2  25  α2    800  32α2  9α2  25α2  α 4  θ  α2  α 4  66α 2  800  0  θ2  66θ  800  0 θ 0 66  34 50  2 16 Δ  4356  3200  1156  342  0 άρα θ1,2   Αν α2  50 τότε από β2  γ2  α2  β2  25  50  β2  25 αδύνατο  Αν α2  16 τότε από β2  γ2  α2  β2  25  16  β2  9 Άρα  c  : y2 x 2  1 16 9 Παράδειγμα 4 Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει ασύμπτωτες τις ευθείες 3 3  ε1  : y  x ,  ε2  : y   x και διέρχεται από το σημείο Μ(3,4 2) . 2 2 Λύση Διακρίνουμε Περιπτώσεις  Αν η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα x΄x τότε  c  : x 2 y2  1 α2 β2 Από τις εξισώσεις των ασύμπτωτων έχουμε β 3 3 9   β  α άρα β2  α 2 (1) α 2 2 4  4 2 32 Ακόμη Μ  c  : 2  α β2    1   9  32  1  2 1 α2 9 2 α 4 9 128 81 128 47  2  1  2  2  1   2  1 αδύνατο 2 α 9α 9α 9α 9α Αν η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα y΄y τότε  c  : 358 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας y2 x2  1 α 2 β2 ο 3 Κεφάλαιο  Από τις εξισώσεις των ασύμπτωτων έχουμε α 3 3 9   α  β άρα α2  β2 (2) β 2 2 4 Μ  4 2   3  1   32  9  1  Ακόμη Μ  c  : 2 α2  2 β2 2 9 2 β 4 β2 128 81 47 47  2  1  2  1  β2  2 9β 9β 9β 9 9 47 47 Οπότε από τη σχέση (2) έχουμε α2    α2  4 9 4 Άρα  c  : y2 x2  1 47 47 4 9 Εύρεση Στοιχείων Υπερβολής Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της υπερβολής μπορούμε να προσδιορίσουμε, τις κορυφές της, το μήκος του άξονα, τις εστίες της καθώς και την εκκεντρότητα της. 1) Αν η εξίσωση της υπερβολής δεν είναι σε μια από τις μορφές x2 y2 y2 x2   1 ή   1 τη φέρνουμε με κατάλληλες πράξεις. α 2 β2 α 2 β2 2) Βρίσκουμε τον άξονα που είναι οι εστίες της Οι εστίες βρίσκονται στον άξονα της μεταβλητής που έχει θετικό πρόσημο μπρος από το κλάσμα Παράδειγμα 5 Να βρείτε εστίες, τις κορυφές, τις ασύμπτωτες, τις κορυφές του ορθογωνίου βάσης και την εκκεντρότητα σε καθεμία από τις παρακάτω υπερβολές: α) 16x 2  25y 2  400 β) x 2  y 2  1 Λύση Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 359 Υπερβολή α) Αρχικά μετασχηματίζουμε την εξίσωση και έχουμε 16x 2  25y2  400  x2 y2  1 25 16 Οπότε είναι α2  25  α  5 και β2  16  β  4 Επίσης β2  γ2  α2  γ2  α2  β2  γ2  41  γ  41 Άρα η υπερβολή έχει Εστίες: Ε  41,0  , Ε   41,0  Κορυφές: Α(5,0), Α΄(-5,0) Ορθογώνιο Βάσης: Κ(5,4), Λ(-5,4), Μ(-5,-4), Ν(5,-4) 4 4 Ασύμπτωτες:  ε1  : y  x ,  ε2  : y   x 5 5 γ 41 Εκκεντρότητα: ε   α 5 β) Είναι α2  1  α  1 και β2  1  β  1 Σχόλιο Ας εφαρμόσουμε το μνημονικό κανόνα εύρεσης ασύμπτωτων x2 y2  0 25 16 y  x y x        0   5 4  5 4  y  x y x        0   5 4  5 4  x y    0  5 4  x  y  0  5 4 4 y x   y x   5  4 5   y   x y  4 x  4 5  5 Επίσης β2  γ2  α2  γ2  α2  β2  γ2  2  γ  2 Άρα η υπερβολή έχει Εστίες: Ε  2,0  , Ε   2,0  Κορυφές: Α(1,0), Α΄(-1,0) Ορθογώνιο Βάσης: Κ(1,1), Λ(-1,1), Μ(-1,-1), Ν(1,-1) Ασύμπτωτες:  ε1  : y  x ,  ε2  : y  x Εκκεντρότητα: ε  γ 2   2 α 1 Παράδειγμα 6 Να βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής της οποίας η ασύμπτωτη β β  ε1  : y  x σχηματίζει με την ασύμπτωτη  ε2  : y   x γωνία 30ο. α α 360 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Λύση     Θεωρούμε δ1   α,β  με δ1 / /  ε1  και δ2   -α,β  με δ2 / /  ε2         Αφού  ε1 ,ε2   30ο θα είναι και  δ1 ,δ2   30ο         3 Άρα συν  δ1 ,δ2   συν30ο  2         δ1  δ2 3 α2  β2 Όμως συν  δ1 ,δ2        2 2 2 2 2   δ1  δ2 α  β   -α   β  3 β2  α 2 3 α2  β2 β =γ -α    2 2  2 2 α β α2  β2  α2  β2  3 α2  γ2  α2 3 γ2  2α2  2 2    2 α  γ  α2 2 γ2  3 α2 α2 2  3 α2 2  3 12 2  2 2   2   2 γ γ 2 γ 4  γ2 4 γ      4 2  3  ε2  4 2  3  ε  2 2  3 2 α 2 3 α 2 2    2 2  Εξίσωση Εφαπτομένης Υπερβολής με Γνωστό Σημείο Επαφής Αν μας δίνεται το σημείο επαφής Μ(x1,y1) τότε  Αν  c  : xx yy x2 y 2  2  1 είναι  εΜ  : 21  21  1 2 α β α β  Αν  c  : yy xx y2 x2   1 είναι  εΜ  : 21  21  1 α 2 β2 α β  Αν η εξίσωση της υπερβολής είναι στη μορφή  c  : β2x2  α2 y2  α2β2 τότε για την αποφυγή πράξεων μπορούμε να ισχυριστούμε ότι  εΜ  : β2 xx1  α 2 yy1  α2β2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 361 Υπερβολή  Αν η εξίσωση της έλλειψης είναι στη μορφή  c  : β2 y 2  α 2x2  α2β2 τότε για την αποφυγή πράξεων μπορούμε να ισχυριστούμε ότι  εΜ  : β2 yy1  α2xx1  α2β2 Παράδειγμα 7 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην εφαπτόμενη της x2 y2 υπερβολής  c  :   1 στο σημείο Μ 10,12 2 . 20 72   Λύση Η εφαπτόμενη της υπερβολής στο σημείο Μ έχει εξίσωση  εΜ  : xxM yyM 10x 12 2y  1   1  20 72 20 72 x 2y   1  2 6 Μ ε εΜ  3x  2y  6  0   3x  2y  6  0 Άρα λ εΜ   3 3 2  λ εΜ   2 2 Ο συντελεστής διεύθυνσης της κάθετης ευθείας (ε) της (εΜ) θα είναι αντιθετοαντίστροφος του λ εΜ άρα λε   Οπότε  ε  : y  yM  1 2 2 2 2    λ εΜ 3 2 6 3 2 2  x  xM   y  12 2   x  10   3 3 y 2 10 2 x  12 2   3 3 y 2 46 2 x 3 3 362 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Σχόλιο Αν γνωρίζουμε το συντελεστή διεύθυνσης και ένα σημείο από το οποίο διέρχεται μια ευθεία μπορούμε να βρούμε την εξίσωσή της. ο 3 Κεφάλαιο Εξίσωση Εφαπτομένης Υπερβολής όταν δε δίνεται το Σημείο Επαφής Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης μιας υπερβολής όταν δεν γνωρίζουμε το σημείο επαφής ακολουθούμε τα εξής βήματα: α) Θεωρούμε Α(x1,y1) το σημείο επαφής β) Ανάλογα με τη μορφή της εξίσωσης της υπερβολής θα έχουμε και αντίστοιχη μορφή για την εξίσωση της εφαπτομένης  Αν  c  : xx yy x2 y 2   1 τότε  εA  : 21  21  1 α 2 β2 α β  Αν  c  : yy xx y2 x2  2  1 τότε  εA  : 21  21  1 2 α β α β γ) Εκμεταλλευόμαστε ότι το σημείο επαφής Α ανήκει στην υπερβολή όποτε έχουμε μια σχέση μεταξύ των x1 , y1 . δ) Η άλλη σχέση θα προκύψει από κατάλληλο δεδομένο Πχ  Η εφαπτομένη είναι παράλληλη σε μια γνωστή ευθεία  Η εφαπτομένη είναι κάθετη σε μια γνωστή ευθεία  Η εφαπτομένη διέρχεται από σημείο με γνωστές συντεταγμένες Παράδειγμα 8 Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής  c  : 9x 2  y 2  32 που είναι παράλληλες στην ευθεία  ε  : 9x  y  9  0 . Λύση Ας είναι Α(x1,y1) το σημείο επαφής Α   c   9x12  y12  32 (1) Επιπλέον  εΑ  : 9xx1  yy1  32  9x1 x  y 1 y  32  0 (2) Άρα λ εΑ  9x1 y1 Β Α εΒ ε ε Α Επίσης  ε  : y  9x  9 άρα λ ε  9 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 363 Υπερβολή Αφού  εΑ  / /  ε   λ εΑ  λ ε   3 9x1  9  y1  x1 (3) y1 (1)  9x12   x1   32  9x12  x12  32  8x12  32  x12  4  2  x  2  1 x  2  1  3   3  y1  2 y1  2 Άρα τα σημεία επαφής είναι τα Α(2,-2) και Β(-2,2)  Από τη σχέση (2) η  εA  :18x  2y  32  0  2y  18x  32  y  9x  16  Από τη σχέση (2) η  εB  : 18x  2y  32  0  2y  18x  32  y  9x  16 Παράδειγμα 9 Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της  c  : 9x 2  y 2  32 που διέρχονται από το σημείο Μ(0,-16). υπερβολής Λύση Ας είναι Α(x1,y1) το σημείο επαφής Α   c   9x12  y12  32 (1) Β Επιπλέον  εΑ  : 9xx1  yy1  32 (2) M  εΑ  :16y1  32  y1  2 Α εΒ ε εΑ x  2 Για y1  2 η (1)  9x12  4  32  9x12  36  x12  4   1 x1  2 Άρα τα σημεία επαφής είναι τα Α(2,-2) και Β(-2,2)  Από τη σχέση (2) η  εA  :18x  2y  32  0  2y  18x  32  y  9x  16  Από τη σχέση (2) η  εB  : 18x  2y  32  0  2y  18x  32  y  9x  16 364 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Παράδειγμα 10 Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής  c  : 3x 2  4y 2  12 οι οποίες σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. Λύση Ας είναι Α(x1,y1) το σημείο επαφής Α   c   3x12  4y12  12 (1) Επιπλέον  εΑ  : 3xx1  4yy1  12 (2)  Για x  0 η (2)  4yy1  12  y   3 y1 άρα η (εΑ) τέμνει τον y΄y στο  3 Β  0,   y1    Για y  0 η (2)  3xx1  12  x  4  4 άρα η (εΑ) τέμνει τον x΄xστο Γ  ,0  x1  x1  Αφού το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές έχουμε:  OB    OA    3 4 3 4     y1 x1 y1 x1 4 3 4y  x1  1 x  y   1  3 1   4 3   x   4y1 1  x1 y1 3   Για x1  (3) (4) 4y1 16y12 16y12 η (1)  3  4y12  12   4y12  12  3 9 3  4y12  12  4y12  36  y12  9  3  y  3  1 y  3  1  3   3  x1  4 x1  4 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 365 Υπερβολή  Για x1   4y1 16y12 η (1)  3  4y12  12  3 9  16y1 2  4y12  12  3 Α3 4y 2  1  12  3  4y12  36  y12  9   y  3  1 y  3  1  4  4  Α2 Α1 Α4 x1  4 x1  4 Άρα τα σημεία επαφής είναι τα Α1(4,3), Α2(-4,-3), Α3(-4,3), Α4(4,-3)    Από τη σχέση (2) η εA1 :12x  12y  12  x  y  1  y  x  1    Από τη σχέση (2) η εA2 : 12x  12y  12  x  y  1  y  x  1    Από τη σχέση (2) η εA3 : 12x  12y  12  x  y  1  y  x  1    Από τη σχέση (2) η εA4 :12x  12y  12  x  y  1  y  x  1 Παράδειγμα 11 Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που εφάπτεται στις ευθείες  ε1  : 5x  2y  9  0 και  ε2  : y  5x  3 και έχει εστίες στον x΄x. Λύση Αφού η ζητούμενη υπερβολή έχει εστίες στον άξονα x΄x η εξίσωσή της θα είναι x2 y2 της μορφής: 2  2  1 α β Θεωρούμε το σύστημα της (c) με την (ε1) οπότε:  x2 y2  2  2 1 β α 5x  2y  9  0  366 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 1 2 ο 3 Κεφάλαιο 2   2y  5x  9  y  3 x2  5x  9  1   2  α  4 β2 5x  9 (3) 2 ε1 2 ε2 1  x2 25x 2  90x  81  1 α2 4β2  4β2 x 2  25α2 x 2  90α2 x  81α2  4α2β2    4β2  25α2  x 2  90α2 x  81α2  4α2β2  0 Πρέπει Δ  0   90α2   4  4β2  25α2  81α2  4α2β2   0  2  8100α 4  4  324α2β2  16α2β4  2025α 4  100α 4β2   0   8100α 4  1296α 2β2  64α2β4  8100α 4  400α 4β2  0  α0  α2β2 1296  64β2  400α2   0  β 0 Αφού η ζητούμενη υπερβολή εφάπτεται σε καθεμία από τις ευθείες τότε το σύστημα των εξισώσεων της υπερβολής (c) με την ευθεία (ε1) και με την ευθεία (ε2) θα έχει μοναδική λύση.  64β2  400α2  1296  0   4β2  25α2  81  0 (4) Θεωρούμε το σύστημα της (c) με την (ε2) οπότε:  x2 y2  2  2 1 β α y  5x  3   5 x 2 1  2 α Άρα καθεμία από τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις που θα προκύψουν θα έχουν Δ=0. 1  5  5x  3  1  x  5x  6 5x  9  1   2 2 β2 2 α2 β2  β2 x2  5α2 x 2  6 5α2 x  9α2  α2β2   β2  5α2  x 2  6 5α2 x  9α2  α2β2  0  Πρέπει Δ  0  -6 5α 2   4 β  5α  9α  α β   0  2 2 2 2 2 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 367 Υπερβολή  180α 4  4  9α2β2  α2β4  45α 4  5α4β2   0   180α 4  36α2β2  4α2β4  180α 4  20α 4β2  0  α0  α2β2  9  β2  5α2   0  β 0  β2  5α 2  9  0 (6) Από τις σχέσεις (5) και (6) έχουμε το παρακάτω σύστημα 2 2 2 2 4β  25α  81  0 4β  25α  81  0   2  2   4  -4β2  20α2  36  0    β  5α  9  0 5α2  45  0  5α2  45  α2  9 Για α2  9 είναι (6)  9  β2  45  0  β2  36 Άρα η υπερβολή είναι  c  : x2 y2  1 9 36 Παράδειγμα 12 Δίνεται η υπερβολή  c  : 9x 2  5y 2  180 και η ευθεία  ε  : 3x  λy  6  0 . α) Να βρεθεί η τιμή της θετικής παραμέτρου λ ώστε η (ε) να εφάπτεται της (c). β) Nα βρεθεί το σημείο επαφής Λύση α) Έχουμε το σύστημα των εξισώσεων της υπερβολής και της ευθείας: 9x2  5y2  180 2 2 2 2 9x  5y  180 9x  5y  180      λy  6 3x  λy  6  0 3x   λy  6 x  3   λy  6  λy  6  2 1  9    5y  180  9 9  3   2 2  λ2 y2  12λy  36  5y2  180  0    λ 2  5 y2  12λy  144  0 (3) 368 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 2  5y 2  180  1  2 ο 3 Κεφάλαιο Πρέπει Δ  0  144λ 2  4  λ 2  5   144   0  Α  144λ2  576λ 2  2880  0  720λ2  2880  λ  2  λ2  4   και αφού λ  0 είναι λ  2 λ  2 ε 3 β) Για λ  2 είναι  ε  : 3x  2y  6  0  2y  3x  6  y   x  3 (4) 2 Επίσης η (3)  y2  24y  144  0 , Δ  242  4  1 144   0 άρα y   24  12 2 3 Οπότε από (4)  12   x  3  24  3x  6  3x  30  x  10 2 Το σημείο επαφής λοιπόν είναι το Α(-10,12) Κοινές Εφαπτομένες Κωνικών Τομών Για να βρούμε την κοινή εφαπτομένη δύο κωνικών τομών (c1) και (c2) ακολουθούμε τα εξής βήματα: α) Θεωρούμε  ε  : y  λx  κ την κοινή εφαπτομένη β) Η (ε) τόσο με τη (c1) όσο και με τη (c2) έχει μόνο ένα κοινό σημείο άρα το σύστημα της (ε) με τη (c1) θα έχει μοναδική λύση (οπότε Δ=0) καθώς και το σύστημα της (ε) με τη (c2) θα έχει μοναδική λύση (οπότε Δ΄=0). γ) Από τις σχέσεις Δ=0 και Δ΄=0 προσδιορίζουμε τα λ, κ. Παράδειγμα 13 Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής εφαπτομένης της παραβολής  c1  : y 2  32x και της υπερβολής  c2  : 4x 2  5y 2  20 Λύση Ας είναι  ε  : y  λx  κ η κοινή εφαπτομένη των (c1) και (c2)  Θεωρούμε το σύστημα της ευθείας (ε1) και της παραβολής (c1) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 369 Υπερβολή 2 2 y  32x   λx  κ   32x  λ 2 x 2  2κλx  κ2  32x  0   y  λx  κ  λ 2 x 2   2κλ  32  x  κ2  0 ε2 Πρέπει Δ  0   2κλ  32   4κ2 λ 2  0  2  4κ2 λ2  128κλ  1024  4κ2 λ2  0   128κλ  1024  λ   8 (1) κ ε1 Θεωρούμε το σύστημα της ευθείας (ε1) και της υπερβολής (c2) 2 2 2 4x  5y  20  4x 2  5  λx  κ   20   y  λx  κ  4x2  5  λ2 x2  2κλx  κ2   20  0   4x2  5λ 2 x 2  10κλx  5κ2  20  0    4  5λ2  x 2  10κλx  5κ2  20  0 Πρέπει Δ  0   10κλ   4  4  5λ 2  5κ2  20   0  2  100κ2 λ2  100κ2 λ 2  400λ 2  80κ2  320  0   80κ2  400λ2  320  κ2  5λ2  4 (2)  1 2 64 8 (2)  κ  5    4  κ2  5  2  4  κ 4  320  4κ2  κ κ 2 θ κ2  κ 4  4κ2  320  0  θ2  4θ  320  0 θ0 Δ  16  4  320   1296  362 άρα θ1,2  4  36 20, Aπορρίπτεται  2 16  1  κ  4  λ 2  Οπότε κ2  16    1 κ  4  λ  2  Οι κοινές εφαπτόμενες λοιπόν θα είναι οι  ε1  : y  2x  4 και  ε2  : y  2x  4 370 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Παράδειγμα 14 Να βρείτε τις κοινές εφαπτομένες της υπερβολής  c1  : 2x 2  3y 2  24 και του κύκλου  c2  : x 2  y 2  10 Λύση Ας είναι Μ(x1,y1) το σημείο επαφής Κοινές Εφαπτομένες Μ  c1   2x1  3y1  24 (1) 2 2 Κύκλου - Υπερβολής Για να βρούμε τις κοινές εφαπτομένες μιας υπερβολής:  εΜ  : 2xx1  3yy1  24  2x1x  3y1 y  24  0 (2)  c1  : Για να εφάπτεται η (εΜ) στον κύκλο (c2) αρκεί και ενός κύκλου: d  K,εΜ   ρ c2  :  x-x0    y-y 0   ρ2 2 2x1  0  3y1  0  24  4x1  9y1 2 24 4x1  9y1 2 2  10  2 α) Θεωρούμε Μ(x1,y1) το σημείο επαφής με την υπερβολή (c1). β) To σημείο Μ ανήκει στη (c1) άρα:  10  x 1 2 y1 2   1 (1) α 2 β2 γ) Η εφαπτομένη της (c1) στο Μ έχει εξίσωση: 576  10  4x1  9y12 xx1 yy1  1 α 2 β2 2 δ) Η ευθεία (ε) εφάπτεται και στον κύκλο (c2), αν και μόνο αν:  576  40x1  90y1 (3) 2 2 εργαζόμαστε ως εξής Ο κύκλος έχει κέντρο Κ(0,0) και ακτίνα ρ  10 Οπότε d  K,εΜ   ρ  x2 y 2  1 α2 β2 2 d K,ε  ρ (2) όπου Κ(x0,y0) το κέντρο του (c2) Από τις σχέσεις (1) και (3) προκύπτει το παρακάτω σύστημα ε) Από τις σχέσεις (1) και (2) βρίσκουμε τις τιμές των x1 και y1. 2 2  20  40x12  60y12  480 2x1  3y1  24   2 2 2 2 40x1  90y1  576 40x1  90y1  576    150y12  96  y12  96  150 4  y1   16  5  y 12    25 y   4  1 5 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 371 Υπερβολή  Για y1  4 16 48 648 η (1)  2x12  3   24  2x12   24  2x12   5 25 25 25 18  x1   324  5  x 12   25 x   18  1 5 18  x1   4  5  Για y1   ομοίως η (1) δίνει  5 x   18  1 5 Τα σημεία επαφής λοιπόν είναι τα  18 4   18 4   18 4   18 4  A  ,  , B  ,  , Γ  ,  , Δ   ,  5 5  5 5  5 5  5  5 Με τη βοήθεια της σχέσης (2) οι εφαπτόμενες είναι  εA  : 36 12 x  y  24  0  36x  12y  120  0  y  3x  10 5 5  εΒ  :   εΓ  : 36 12 x  y  24  0  36x  12y  120  0  y  3x  10 5 5 36 12 x  y  24  0  36x  12y  120  0  y  3x  10 5 5  εΔ  :  36 12 x  y  24  0  36x  12y  120  0  y  3x  10 5 5 εΒ εΔ εΑ εΓ Β Α Δ Γ 372 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Εξίσωση Χορδής Παράδειγμα 15 Δίνεται η υπερβολή  c  : 2x 2  y 2  62 και το σημείο Μ(8,1). Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής που έχει μέσο το σημείο Μ. Λύση Ας είναι Α(x1,y1) και Β(x2,y2) τα άκρα της χορδής Α Αφού γνωρίζουμε ένα σημείο απ’ όπου διέρχεται η χορδή αρκεί να βρούμε το συντελεστή διεύθυνσής της. Είναι λ ΑΒ  Μ Β y 2  y1 x 2  x1 A   c  : 2x12  y12  62 (1) και B   c   2x 22  y 22  62 (2) Αφαιρώντας κατά μέλη τις (1) και (2) προκύπτει 2x12  2x 22  y12  y22  0  2  x12  x22    y12  y22   0   2  x1  x 2  x1  x2    y1  y2  y1  y 2   0 (3) x1  x 2  xM  2 x  x  16 Αλλά Μ μέσο ΑΒ άρα   1 2  y1  y 2  2  y M  y1  y 2  2 Από (3)  32  x1  x2   2  y1  y 2   0  y y y y  32  2 1 2  0  32  2 2 1  0  x1  x 2 x2  x1  32  2λ ΑΒ  0  λ ΑΒ  16 Οπότε  ΑΒ  : y  yΜ  λ ΑΒ  x  xΜ   y  1  16  x  8    y  1  16x  128  y  16x  127 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 373 Υπερβολή Παράδειγμα 16 x2  y 2  1 και η ευθεία  ε  : y  x  2 . 4 α) Να δείξετε ότι η ευθεία (ε) τέμνει την υπερβολή (c) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της χορδής που ορίζεται Δίνεται η υπερβολή  c  : γ) Να υπολογίσετε το μήκος αυτής Λύση α) Αρκεί το σύστημα των εξισώσεών τους να έχει δύο λύσεις. Έτσι λοιπόν έχουμε:  x2  y2  1  4 y  x  2   2 x2 1  4   x  2  1  2 1 2 x2  x 2  4x  4  1  4 Μ Α Β  x 2  4x2  16x  16  4  0   3x 2  16x  20  0  3x 2  16x  20  0 Δ  16  4  3  20  16  16  4 2 x1,2   10 6   3 2  y0  2  y 4 3  10 4  Άρα η ευθεία (ε) τέμνει την υπερβολή (c) στα σημεία Α(-2,0), B   ,   3  3 x x y y   10 4   5 2 β) Μ μέσο ΑΒ άρα M  A B , A B  ή M   ,   ή M   ,   2  6  6  3 3  2 2 2 16 16 32 4 2  10   4  γ)  AB      2      0      9 9 9 3  3   3  374 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο Θεωρητικά Θέματα Παράδειγμα 17 Να δείξετε ότι η ευθεία c : 2  ε  : y  λx  κ εφάπτεται της υπερβολής 2 x y  2  1 αν και μόνο αν κ 2  α 2 λ 2  β2 2 α β Λύση Για να εφάπτεται η (ε) της (c) αρκεί το σύστημα των εξισώσεών τους να έχει μοναδική λύση. Έχουμε το σύστημα Α  x 2 y2  2  2  1 1 α β  y  λx  κ  2    2 x2 1  2 α ε  λx  κ   1  β2 x2  α2 λ2 x2  2α2κλx  κ2α2  α2β2  0   2 β2  β2  α2 λ2  x 2  2α2κλx  κ2 α2  α2β2  0 Πρέπει Δ  0   2α2κλ   4 β2  α2 λ 2  κ 2α2  α2β2   0  2  4α 4κ2 λ 2  4α2 β2  α2 λ 2 κ2  β2   0   α2κ2 λ 2  β2  α2 λ 2 κ2  β2   0   α2κ2 λ 2  β2κ2  β4  α2κ2 λ 2  α2β2 λ 2  0   β2κ2  β4  α2β2 λ 2  0   β2 κ2  β2  α2 λ2   0  κ2  β2  α2 λ2  0  κ2  α2 λ2  β2 Παράδειγμα 18 x2 y2   1 . Να δείξετε ότι το γινόμενο των αποα 2 β2 στάσεων ενός τυχαίου σημείου αυτής από τις ασύμπτωτες είναι σταθερό. Δίνεται η υπερβολή  c  : Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 375 Υπερβολή Λύση Ας είναι Μ(x1,y1) ένα τυχαίο σημείο της υπερβολής Μ  c  : ε1 ε2 x 12 y 12   1 (1) α2 β1 Μ Οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι ευθείες  ε1  : y  β β x και  ε2  : y   x α α Είναι  ε1  : αy  βx  βx  αy  0 και  ε2  : αy  βx  βx  αy  0 Οπότε d  Μ,ε1   βx1  αy1 β2  α2 και d  Μ,ε2   Έτσι λοιπόν d  Μ,ε1   d  Μ,ε2    βx1  αy1 β2  α2 βx1  αy1 βx1  αy1   β2  α 2 β2  α2 β2 x12  α2 y12 β2  α 2 2  β2 x12  α2 y12 β2  α 2 (2) Όμως από (1)  β2 x12  α2 y12  α2β2 (3)  3 Άρα (2)  d  Μ,ε1   d  Μ,ε2   α2β2 β2  α  2 α2β2  σταθερό β2  α2 Παράδειγμα 19 Να δείξετε ότι κάθε χορδή παράλληλη στον άξονα της ισοσκελούς υπερβολής  c  : x 2  y 2  α 2 φαίνεται από τις κορυφές υπό ορθή γωνία. Λύση Ο άξονας της  c  : x 2  y2  α2 είναι ο x΄x και οι κορυφές της τα σημεία Α(α,0) και Α΄(-α,0). Ας είναι Κ(x1,y1) ένα τυχαίο σημείο της υπερβολής. Από το Κ φέρνουμε παράλληλη στον x΄x που τέμνει τον άλλο κλάδο της υπερβολής στο σημείο Λ(-x1,y1). 376 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Λ Κ Α ο 3 Κεφάλαιο   Είναι Α Κ   x1  α,y1  και Α Λ   x1  α,y1    Οπότε Α Κ  Α Λ   α  x1  α  x1   y12  α2  x12  y12  α2   x12  y12  (1) Αλλά Κ   c  : x12  y12  α2 (2) 2      (1)  ΑΚ  Α Λ  α2  α2  0 άρα Α Κ  ΑΛ   Ομοίως δείχνουμε ότι ΑΚ  ΑΛ Γεωμετρικοί Τόποι Παράδειγμα 20 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων  2  Μ ,εφθ  με  συνθ   π π θ  ,   2 2 Λύση Ας είναι Μ(x,y) Διαδοχικά έχουμε 2 2   συνθ  2 x    x   συνθ  x    συνθ   2  y  εφθ  y  ημθ  y2  ημ θ  συνθ  συν2θ 2 2  2 1  συνθ  x x    y2  2 2 2 y 2  1  συν θ    συν2 θ x 4 x2  4 1 2 2 x  y2  x2  x2  4y 2  4  x  y2  1  y2  4 4 4 2 x x2 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η παραπάνω υπερβολή Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 377 Υπερβολή Παράδειγμα 21 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου των οποίων 3 η απόστασή τους από το σημείο Ρ(0,6) είναι τα της απόστασής τους από 2 την ευθεία  ε  : 3y  8  0 . Λύση Ας είναι Μ(x,y) Τότε ΡΜ  x 2   y  6  και d  Μ,ε   2 3y  8 9  3y  8 3 3  3y  8 3 2 Αλλά ΡΜ  d  Μ,ε   x2   y  6    2 6  x   y  6  2 2 9   3y  8  36 2  x  y  6 2 2  3y  8    2 4  4x2  4  y2  12y  36   9y2  48y  64   4x2  4y2  48y  144  9y2  48y  64   4x2  5y2  80  5y2  4x2  80  y2 x 2  1 16 20 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η παραπάνω υπερβολή Ρ ε 378 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ Εύρεση Εξίσωσης Υπερβολής 1) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει τις εστίες της στον άξονα x΄x και α) Έχει εστιακή απόσταση ΕΕ   6 και εκκεντρότητα ε  3 2 β) Έχει εστιακή απόσταση ΕΕ   20 και εξισώσεις ασύμπτωτων  ε1  : y  4 4 x και  ε2  : y   x 3 3 γ) Έχει εστιακή απόσταση ΕΕ   4 και ασύμπτωτες τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων. 2) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις α) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(-12,0), Ε(12,0) και η απόσταση των κορυφών είναι 16 β) Όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(-5,0), Ε(5,0) και εκκεντρότητα ε  3) 5 3 Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής όταν έχει κέντρο το Ο(0,0), τις εστίες της στον άξονα x΄x και διέρχεται από τα σημεία Μ(3,2) και  3 2 1 Ν   ,  . Να προσδιορίσετε την εκκεντρότητα και να γράψετε τις  4 4 εξισώσεις των ασύμπτωτων της υπερβολής. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 379 Υπερβολή 4) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής, με τις εστίες στον άξονα y΄y, ό-   ταν διέρχεται από το σημείο Μ 4, 2 και έχει ασύμπτωτες τις ευθείες 1 1 με εξισώσεις  ε1  : y  x και  ε2  : y   x 4 4 5) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που οι εστίες της βρίσκονται στον άξονα x΄x και το κέντρο συμμετρίας της ταυτίζεται με την αρχή των αξόνων, αν είναι ε  2 και οι εστίες της συμπίπτουν με τις εστίες της έλλειψης  c  : 9x 2  225y2  225 6) Να βρεθεί η εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη  c  : 7) x2 y2  1 25 16 Να βρεθεί η εξίσωση των παρακάτω σχεδιασμένων υπερβολών y  2x 4 6 2 3 5  6 y  2x 380 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας y 3 x 2 ο 3 Κεφάλαιο 8) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής με κέντρο την αρχή των αξόνων, μεγάλο άξονα στον y΄y, εκκεντρότητα 2 3 και με μήκος χορδής που διέρχεται από μια εστία και είναι κάθετη στο μεγάλο άξονα 18. Εύρεση Στοιχείων Υπερβολής 9) Να βρείτε τις εστίες, τις κορυφές, τις ασύμπτωτες, τις κορυφές του ορθογωνίου βάσης και την εκκεντρότητα σε καθεμία από τις παρακάτω υπερβολές α) 9x 2  16y2  144 10) β) 25x 2  16y2  400 γ) x 2  y2  4 Να βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής  c  : x 2 y2  1, α β  0 α 2 β2 αν η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ασύμπτωτες είναι 60ο, 11) Δίνεται η υπερβολή  c  : περβολής είναι ίση με x 2 y2   1 , α  β . Αν η εκκεντρότητα της υα 2 β2 2 να βρείτε μια από τις γωνίες των ασύμπτω3 τών της. 12) Να βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής  c  : x 2 y2   1 της οποίας α 2 β2    β η ασύμπτωτη  ε1  : y   x είναι κάθετη στο διάνυσμα v  5  i  13  j α 13)    20 ,0  και εκκεντρό- Δίνεται η υπερβολή (c) με εστίες E  20 ,0 , E τητα ε  5 . Να βρείτε: Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 381 Υπερβολή α) Την εξίσωση της υπερβολής (c) β) Τις κορυφές και τις ασύμπτωτες της υπερβολής (c) γ) To εμβαδόν του ορθογωνίου βάσης της υπερβολής (c) 14) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση x2 y2   1 παριστάνει λ 1 λ  7 2 υπερβολή και κατόπιν να βρείτε τις εστίες της υπερβολής. 15) Δίνεται η υπερβολή  c  : 4x2  5y 2  80 και η ευθεία  ε1  : 2x  y  3  0 . Αν Κ και Λ είναι τα σημεία τομής της υπερβολής με την ευθεία (ε2) που διέρχεται από την εστία Ε και είναι παράλληλη της ευθείας (ε1) να βρεθεί το μήκος της χορδής ΚΛ. 16) Η έλλειψη  c1 : κx2  9y2  9κ και η υπερβολή  c2 : 3κx2  κ2 +4  y2  3κ κ2 +4  έχουν τις ίδιες εστίες. Να εξετάσετε αν έχουν τις ίδιες εκκεντρότητες. Εξίσωση Εφαπτομένης 17) Να βρεθούν οι εφαπτόμενες των παρακάτω υπερβολών στα αντίστοιχα σημεία: α)  c1  : 8x 2  6y2  48 στο Μ(3,2) β)  c2  : x 2 y2   1 στο Ν 3 2,3 12 18  382 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας  ο 3 Κεφάλαιο 18) Να βρείτε την εφαπτόμενη της υπερβολής  c : x2 y 2   1 σε σημείο 4 9 της που ανήκει στο πρώτο τεταρτημόριο και έχει τετμημένη διπλάσια της τεταγμένης του. 19) Δίνεται η υπερβολή  c : x2 y 2   1 . Να βρείτε την εφαπτόμενή της 5 4 που είναι παράλληλη στην ευθεία  ε  : y  2x  10 . 20) Να βρείτε τις  c : x2  4y2  4 εξισώσεις που των εφαπτόμενων της υπερβολής είναι παράλληλες στην ευθεία  ε : 2x  2y  1  0 καθώς και την απόστασή τους. 21) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της υπερβολής  c : y2  9x2  9 που είναι κάθετες στην ευθεία  ε : x  y  2  0 . 22) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της υπερβολής  c : x2  2y2  3  που είναι κάθετη στο διάνυσμα v   2, 1  . 23) Δίνεται η υπερβολή  c  : x 2  y 2  4 . Να βρείτε τις εξισώσεις των εφα-  πτόμενων της υπερβολής που διέρχονται από το σημείο M 2,2  2 2  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 383 Υπερβολή 24) Να βρεθούν οι εξισώσεις της εφαπτόμενης και της κάθετης σε αυτή στο σημείο (-3,1), στην υπερβολή  c  : x2  6y2  3 . Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης της (c) που σχηματίζει γωνία 45ο με τον άξονα x΄x. 25) Να βρεθεί η τιμή του κ ώστε η ευθεία  ε  : y  2x  κ να εφάπτεται της ισοσκελούς υπερβολής  c  : x2  y2  κ  6 . 26) Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ, ώστε η ευθεία  ε  : y  3x  λ να εφάπτεται στην υπερβολή  c : 81x 2  25y2  225 . 27) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει τις εστίες της στον άξονα y΄y και εφάπτεται στην ευθεία  ε  : y  x  2 στο σημείο Μ(2,4). 28) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που έχει εστίες Ε(6,0) , Ε΄(-6,0) και εφάπτεται της ευθείας  ε  : 2x  y  8  0 . 29) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής (c) με κέντρο Ο την αρχή των αξόνων και εστίες στον άξονα x΄x  ε1 : y  2x  8 και  ε2 : y  x  2 . 384 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας που εφάπτεται των ευθειών ο 3 Κεφάλαιο 30) Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες της έλλειψης  c1  : 4x 2  3y2  12 και της υπερβολής  c2  : 4x 2  5y2  20 . 31) Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες της υπερβολής  c1  : 4x 2  9y2  36 και του κύκλου  c2  : x 2  y2  4 . Εξίσωση Χορδής 32) Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής της υπερβολής  c  : x2 y2   1 η ο9 16 ποία έχει μέσο το σημείο Μ(4,1). 33) Δίνεται η υπερβολή (c) με εστίες Ε΄(-3,0) και Ε(3,0) στην οποία η απόσταση των κορυφών της είναι ίση με 4. Να βρείτε α) Την εξίσωση της υπερβολής (c) β) Την εξίσωση της χορδής της (c) που έχει μέσο το σημείο Μ(8,5) Θεωρητικά Θέματα 34) Δίνεται η υπερβολή  c  : x2 y2   1 . Να δείξετε ότι κάθε παράλληλη α2 β2 προς μια ασύμπτωτη τέμνει την υπερβολή σε ένα μόνο σημείο. 35) Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή  c : x2  y2  α2 και τυχαίο σημείο της Μ. Αν η κάθετος της υπερβολής στο σημείο Μ τέμνει τους ημιάξονες Οx, Oy στα σημεία Α και Β να δείξετε ότι το Μ είναι μέσο του ΑΒ. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 385 Υπερβολή 36) Να δείξετε ότι για τις εκκεντρότητες ε1, ε2 των υπερβολών  c1  : x2 y2  1 α 2 β2 και  c2  : y2 x2  1 β2 α2 αντίστοιχα ισχύει ότι ε12  ε22  ε12ε22 37) Δίνεται  c2  : η έλλειψη  c1  : x 2 y2  1 α 2 β2 και η υπερβολή x2 y2   1 με α  β  0 . α2  αβ αβ  β2 α) Να αποδείξετε ότι η έλλειψη και η υπερβολή έχουν τις ίδιες εστίες β) Αν ε1 είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης (c1) και ε2 η εκκεντρότητα 2 ε  της υπερβολής (c2) να δείξετε ότι  1   ε22  2  ε2  38) Δίνεται η υπερβολή  c1  : x2 y2   1 , α  β και το σημείο της Μ(x0,y0). α 2 β2 Έστω Ρ η ορθή προβολή του Μ στον άξονα x΄x. Aν Α, Α΄ οι κορυφές της  2   υπερβολής να δείξετε ότι: α2  ΜΡ  β2  ΡΑ  ΡΑ Γεωμετρικοί Τόποι 39) 3   Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M  4εφθ,  με συνθ    π π θ  ,  .  2 2 386 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο 40) Δίνεται το σημείο Ε(5,0) και η ευθεία  δ  : 5x  16  0 . α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος (c) των σημείων Μ του επιπέδου για 5 τα οποία είναι ΜΕ   d M,δ  . 4 β) Να βρεθούν οι εστίες, oι κορυφές, η εκκεντρότητα και ασύμπτωτες της (c). 41) Δίνονται οι ημιευθείες  ε1  : y  λx και  ε2 : y  λx με 0  λ  1 , x  0 και η ευθεία (ε) που τις τέμνει στα σημεία Α και Β. α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των Α και Β συναρτήσει των συντεταγμένων (x0,y0) του μέσου Μ του ΑΒ.   β) Αν η ευθεία (ε) κινείται έτσι ώστε να ισχύει OΑ  OB  1  λ2 να δείξετε ότι το σημείο Μ γράφει ένα κλάδο υπερβολής. 42) Δίνεται η υπερβολή  c1  : x2 y2   1 και ένα σημείο της Μ(x1,y1) διαα 2 β2 φορετικό από τις κορυφές της. Θεωρούμε την εφαπτόμενη (ε1) της υπερβολής στο Μ και την κάθετη (ε΄) της (ε) στο Μ η οποία τέμνει τους άξονες x΄x, y΄y στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα. α) Να βρεθεί συυναρτήσει των x1, y1 η εξίσωση της (ε΄) β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των Γ και Δ γ) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Ν του ΓΔ δ) Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του Ν είναι μια υπερβολή (c) ε) Να δείξετε ότι οι υπερβολές (c) και (c1) έχουν τις ίδιες εκκεντρότητες αλλά τις εστίες σε διαφορετικούς άξονες. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 387 Υπερβολή 388 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 3ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Η εξίσωση x 2  y 2  Ax  By  0 παριστά κύκλο. 2 Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ 2 A   B  A 2  B2  4Γ  β) Η εξίσωση  x     y    παριστά 2  2 4  κύκλο. γ) Οι κύκλοι x 2  y 2  Ax  By  Γ και x 2  y 2  Ax  By  Δ με ΓΔ  0 δεν έχουν κοινά σημεία. δ) Τα κέντρα των κύκλων  c1 : x 2  y 2  αx  βy  γ  0 και  c2 : x2  y2  βx  αy  γ  0 είναι συμμετρικά ης ης σημεία ως προς τη διχοτόμο της 1 και 3 γωνίας των αξόνων. ε) Η εξίσωση x 2  y 2  αx  αy  α  0 παριστάνει κύκλο όταν α  0 . στ) Ο κύκλος x 2  y 2  Ax  By  Γ  0 έχει κέντρο στον άξονα x΄x όταν Α  0 2) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Ο  c :  x  α    y  β   β2 εφάπτεται στον x΄x 2 2 Σ Λ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 389 Ερωτήσεις Κατανόησης β) Aν το κέντρο του κύκλου ανήκει στην  ε : y  x τότε ο κύκλος έχει εξίσωση  c :  x  α    y  α   α 2 2 2 Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ γ) Για το εσωτερικό σημείο Μ(x1,y1) κύκλου κέντρου Κ(x0,y0) και ακτίνας ρ ισχύει  x 0  x 1    y 0  y1   ρ . 2 2 2 δ) Οι κύκλοι x 2  y2  By  0 και x 2  y2  By  0 εφάπτονται στην αρχή των αξόνων. ε) Η εξίσωση λx 2  λy 2  Ax  By  Γ  0 παριστά κύκλο όταν λΓ  0 3) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Η κορυφή της παραβολής ισαπέχει από την εστία και τη διευθετούσα της. β) Αν Μ σημείο της παραβολής  c : y  1 2 x , τότε το Μ 2p ισαπέχει από την εστία Ε της παραβολής και τον άξο- Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ να x΄x. γ) Αν η παραβολή  c : y  1 2 x περνά από το σημείο 2p (2,3) τότε έχει διευθετούσα y   1 3 δ) Στην παραβολή με άξονα συμμετρίας τον x΄x, αν το p είναι θετικό, τότε και το x είναι θετικό. 390 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο ε) Όλες οι εφαπτομένες μιας παραβολής τέμνουν τη διευθετούσα της. 4) Σ Λ Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Η εξίσωση  c : β2x2  α 2 y2  α2β2 με β2  α 2  γ2 παριστάνει έλλειψη με εστίες Ε΄(-γ,0), Ε(γ,0) και σταθε- Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ ρό άθροισμα 2α. β) Η εξίσωση  c : α 2x2  β2 y 2  α2β2 με β2  α 2  γ2 παριστάνει έλλειψη με εστίες Ε΄(0,-γ), Ε(0,γ) και σταθερό άθροισμα 2α. γ) H έλλειψη  c : x2 y 2   1 περιέχεται στο ορθογώνιο α 2 β2 που ορίζουν οι ευθείες x  α , x  α , y  β , y  β . δ) Δύο από τις κορυφές και οι εστίες μιας έλλειψης είναι συνευθειακά σημεία. ε) Όσο η εκκεντρότητα μιας έλλειψης πλησιάζει στο 1, τόσο η έλλειψη τείνει να γίνει ευθύγραμμο τμήμα. στ) Ο κύκλος μπορεί να θεωρηθεί σαν έλλειψη με εκκεντρότητα 0. ζ) Τα σημεία μιας έλλειψης περιέχονται σε ορθογώνιο διαγωνίου δ  2 2β2  γ2 η) Οι ελλείψεις με τις ίδιες εστίες είναι όμοιες. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 391 Ερωτήσεις Κατανόησης θ) Η εφαπτομένη της  c : x2 y 2   1 σε σημείο της α 2 β2 Μ(x1,y1) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ   5) β2 y 1 . α 2 x1 Σ Λ Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Η υπερβολή  c : x2 y 2   1 έχει κορυφές τα σημεία α 2 β2 Σ Λ x2 y 2   1 είναι πάντα α  β α 2 β2 Σ Λ y2 x2 β β  2  1 έχει τις y  x , y   x 2 α β α α Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Α α,0  , Α  α,0  . β) Στην εξίσωση της  c : γ) Η υπερβολή  c : ασύμπτωτες. δ) Οι διχοτόμοι των αξόνων δεν τέμνουν την υπερβολή  c : λx2  λy2  1 για καμία τιμή του λ. ε) Μια υπερβολή με κέντρο Ο(0,0) τέμνει και τους δύο άξονες. στ) Υπάρχει υπερβολή με εκκεντρότητα 3 . 2 ζ) Όσο πιο μεγάλη είναι η εκκεντρότητα, τόσο πιο ανοικτή είναι η υπερβολή. η) Οι κορυφές και οι εστίες μιας υπερβολής είναι συνευθειακά σημεία. 392 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο θ) Οι ασύμπτωτες των  c1 : y2 x2 y 2 x2   1 , c :  2 2  2 1 β2 α 2 α β είναι ανά δύο κάθετες. Σ Λ 6) Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Η εξίσωση x 2  y 2  1  α2 παριστάνει κύκλο για κάθε α ℝ. β) Η ευθεία x  1 εφάπτεται του κύκλου x 2   y  1   1 2 γ) Η εξίσωση  2x  2   4y 2  4 παριστά κύκλο με ακτίνα Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ 2 ρ2 δ) Η εφαπτομένη του κύκλου x 2  y 2  25 στο σημείο Α(4,3) είναι η 3x  4y  25 ε) Ο κύκλος x 2   y  1   1 εφάπτεται του άξονα y΄y 2 στ) Αν ο κύκλος  x  2    y  α   α 2  2α  4 εφάπτεται 2 2 του άξονα x΄x τότε α  2 ζ) Το σημείο Μ(4,4) είναι εσωτερικό σημείου του κύκλου x 2  y 2  25 η) Οι κύκλοι x 2  y 2  1 και  x  2   y 2  1 εφάπτονται. 2 θ) Αν η εξίσωση x 2  y 2  2x  βy  γ2  0 παριστάνει κύ2 β κλο τότε    1  γ2 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 393 Ερωτήσεις Κατανόησης ι) Ο κύκλος  x  1    y  1   1 δεν εφάπτεται των αξό2 2 Σ νων x΄x και y΄y. 7) Λ Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις p  α) To σημείο Ε  ,0  είναι εστία της παραβολής x  2py 2 2  Σ Λ Σ Λ Σ Λ 1 1   δ) Η παραβολή x 2  y έχει εστία το σημείο Ε  0,   16  4  Σ Λ ε) Η εξίσωση 2y  3x2  0 παριστάνει παραβολή Σ Λ στ) Η εξίσωση 3y2  x 2  0 παριστάνει παραβολή Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ β) Η παραβολή y 2  6x έχει διευθετούσα  δ : x  3 2 p  γ) Η παραβολή με κορυφή Ο(0,0), εστία Ε  ,0  και διευ2  p θετούσα  δ : x   έχει εξίσωση 2px  y 2 2 ζ) Αν η παραβολή y2  4px διέρχεται από το σημείο Μ(1,2) τότε p  1 η) Η ευθεία y  x  2 είναι εφαπτομένη της παραβολής y 2  8x στο σημείο της Μ(2,4). θ) Η ευθεία x  2y  1  0 εφάπτεται της παραβολής x 2  4y στο σημείο της Μ(2,1). 394 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 3 Κεφάλαιο ι) Αν η παραβολή y2  2px έχει εστία Ε(-2,0) τότε p  1 . ια) Αν y  2 είναι η διευθετούσα της παραβολής x 2  2py τότε 4p  1 . 8) Σ Λ Σ Λ Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις α) Τα σημεία Α(-2,0) και Α΄(2,0) είναι κορυφές της έλλειψης x2 y 2  1. 4 2 Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ Σ Λ β) Η εκκεντρότητα της έλλειψης 5x 2  13y 2  65 είναι 2 10 5 γ) Το μήκος του μικρού άξονα της έλλειψης 9x 2  4y2  36 είναι 2 δ) Η εφαπτομένη της έλλειψης x2 y 2   1 στο σημείο α 2 β2 Α(α,0) είναι η y  α ε) Η εστιακή απόσταση της έλλειψης x2 y 2   1 είναι α 2 β2 2γ  α  β στ) Όσο η εκκεντρότητα μιας έλλειψης πλησιάζει προς το 0 τόσο η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος. ζ) Μια ευθεία που έχει μόνο ένα κοινό σημείο με μια έλλειψη είναι πάντοτε εφαπτομένη της. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 395 Ερωτήσεις Κατανόησης η) Το ορθογώνιο βάσης της έλλειψης x2 y 2   1 έχει εμα 2 β2 βαδόν 2αβ. θ) Το ορθογώνιο βάσης μιας έλλειψης έχει κοινά σημεία με την έλλειψη. 9) Σ Λ Σ Λ Να αντιστοιχίσετε κάθε κύκλο της στήλης Α με τις κατάλληλες προτάσεις της στήλης Β. Στήλη Α Στήλη Β α) Ο κύκλος έχει το κέντρο του στην αρχή των αξόνων 1.  c1  : x 2  y 2  9 2.  c2  :  x  2   y2  4 3.  c3  : x   y  2   4 4.  c4  :  x  2  +  y  2  =4 β) Ο κύκλος διέρχεται από το σημείο  A 1, 8 2  γ) Ο κύκλος εφάπτεται μόνο στον άξονα x΄x 2 2 2 δ) O κύκλος εφάπτεται μόνο στον άξονα y΄y. 2 ε) O κύκλος εφάπτεται και στους δύο άξονες. στ) O κύκλος έχει το κέντρο του στον y΄y. ζ) O κύκλος έχει το κέντρο του στον x΄x. 1 2 396 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 3 4 ο 3 Κεφάλαιο 10) Να αντιστοιχίσετε κάθε κύκλο της στήλης Α με εκείνη την ευθεία της στήλης Β που διέρχεται από το κέντρο του. Στήλη Α 11) Στήλη Β α) x  y  7 1.  c1  : x 2  y 2  9 2.  c2  :  x  1   y 2  9 γ) x  y  1 3.  c3  : x  y  2x  2y  1  0 δ) x  y  0 4.  c 4  : x  y  14x  1  0 2 2 2 1 β) y  3x 2 2 3 4 ε) 2x  3y  11 2 Να αντιστοιχίσετε κάθε έλλειψη της πρώτης στήλης με τις εστίες της που βρίσκονται στη δεύτερη στήλη Στήλη Α Στήλη Β Έλλειψη Εστίες    5,0        7,0       3,0  α) E  5,0 , E 1.  c1  : x2 y2  1 4 9 β) E 0,  5 , E 0, 5 2.  c2  : x2 y 2  1 16 9 γ) E  7,0 , E 3.  c3  : x2  4y2  4 δ) E 0,  3 , E 0, 3   1 2 3 ε) E  3,0 , E Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 397 Ερωτήσεις Κατανόησης 12) Να αντιστοιχίσετε κάθε παραβολή της πρώτης στήλης με την εστία της που βρίσκεται στη δεύτερη στήλη. 1. 13) Στήλη Α Στήλη Β Παραβολή Εστία 1 x  y2 3 1 2 x 16 2. y 3. 1 x   y2 8 4. 1 y  x2 5 α) E  0, 4   5 β E  0,   4 1 2 γ) E  2,0  3 3  δ) E  ,0  4  4  5 ε) E  0,   2 Να αντιστοιχίσετε κάθε υπερβολή της πρώτης στήλης με τις εστίες της που βρίσκονται στη δεύτερη στήλη Στήλη Α Στήλη Β Έλλειψη Εστίες 1. x 2 y2  c1  :   1 9 16 2.  c2  : 3.  c3  : y2 x2  1 36 64 x2  y2  4 4 α) E  0, 5  , E  0,5  1 β) E  5,0  , E  5,0  2 γ) E  0, 10  , E  0,10  3 δ) E  10,0  , E 10,0     ε) E 2 5,0 , E 2 5,0 398 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας  ο 3 Κεφάλαιο 14) Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της πρώτης στήλης με τα είδη των γραμμών που βρίσκονται στη δεύτερη στήλη Στήλη Α Στήλη Β Εξίσωση Γραμμή 1.  c1  : x2  y 2  2x  3y  1  0 α) Έλλειψη 1 2.  c2  : 4y 2  20  5x2  c3  : x  3y  7  c 4  : x2  y 2  5  c5  : x2  y 2  2x  1  0  c6  : 8y2  x  0  c7  : 9x2  4y 2  36 β) Παραβολή 2 3. 4. 5. 6. 7. γ) Σημείο δ) Κύκλος ε) Υπερβολή στ) Ισοσκελής Υπερβολή 3 4 5 6 7 ζ) Ευθεία Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 399 ο 2 Κεφάλαιο 6ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΜΑ Α Α1) Δείξτε ότι η εφαπτομένη του κύκλου x 2  y 2  ρ2 στο σημείο του Α(x1,y1) έχει εξίσωση xx1  yy1  ρ2 Α2) Να δώσετε τον ορισμό της παραβολής. Α3) Να αντιστοιχίσετε κάθε εξίσωση της στήλης Α στο είδος της κωνικής που παριστάνεται στη στήλη Β. Στήλη Α 1. y2  2px 2. x 2  2py 3. x2 y 2   1 με 0  α  β α 2 β2 Στήλη Β α) Παραβολή με εστία στον y΄y β) Παραβολή με εστία στον x΄x γ) Yπερβολή με εστίες στον x΄x δ) Έλλειψη με εστίες στον y΄y 4. 2 2 x y  1 α 2 β2 ΘΕΜΑ Β Δίνεται ο κύκλος  c : x2  y 2  25 Β1) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που άγονται από΄το  σημείο M 4 2,3 2  Β2) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει εστία το σημείο Ε στον οποίο τέμνει τον ημιάξονα Οx ο κύκλος Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 399 Διαγωνίσματα Β3) Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων του κύκλου και της παραβολής του Β2) ερωτήματος ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι εξισώσεις  λ  2  x  3λy  6λx  3λy  4  0 με λ  ℝ (1) 2 2 2 και x 2  y 2  μ  1  x  μy  μ 1  με μ  ℝ (2) 2 4 Γ1) Να βρείτε για ποια τιμή του λ  ℝ η (1) παριστάνει κύκλο: Γ2) Να δείξετε ότι η εξίσωση (2) παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του μ  ℝ του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Γ3) Να δείξετε ότι οι κύκλοι με εξίσωση την (2) περνάνε από δύο σταθερά σημεία από τα οποία το ένα είναι συμμετρικό ως προς τον y΄y με το κέντρο του κύκλου του Γ1 ερωτήματος. Γ4) Να βρείτε την υπερβολή που έχει εστία το άλλο σταθερό σημείο των κύκλων με εξίσωση (2) και εκκεντρότητα 1. ΘΕΜΑ Δ Δίνονται οι εξισώσεις  c1 : x 2  y 2  6x  1  0 και  c2 : y2  4x Δ1) Να δείξετε ότι η (c1) παριστάνει κύκλο του να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. Δ2) Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής (c2) Δ3) Nα βρείτε τα κοινά σημεία Α και Β των (c1) και (c2) Δ4) Να βρείτε τις εφαπτομένες (ε1) και (ε2) της (c2) στα Α, Β και να δείξετε ότι εφάπτονται και στον κύκλο (c1). 400 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 7ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΝΙΚΟ ΘΕΜΑ Α Α1) Να αποδείξετε ότι κάθε εξίσωση της μορφής  c  : x2  y2  Ax  By  Γ  0 με A2  B2  4Γ  0 Α2) Έστω δύο σημεία Ε και Ε΄. Τι ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε και Ε΄; Α3) Να χαρακτηρίσετε ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ) τις παρακάτω προτάσεις στο τετράδιό σας.  p 1. Η παραβολή y2  2px,  p  0  έχει εστία την E  0,   2 2. Η εξίσωση Αx  Βy  Γ  0 παριστάνει ευθεία αν Γ  0 .  3. Η ευθεία Αx  Βy  Γ  0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα u   B,A  4. Η παραβολή y2  2px, p  0  έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα x΄x. 5. Η εξίσωση x 2  y 2  Ax  By  Γ  0 παριστάνει κύκλο όταν Α 2  Β2  4Γ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η παραβολή  c  : y2  4x και η ευθεία  ε  : y  x  1 Β1) Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής  c  Β2) Να δείξετε ότι η ευθεία (ε) διέρχεται από την εστία της παραβολής. Β3) Να βρείτε τα κοινά σημεία Α, Β της ευθείας (ε) και της παραβολής  c  Β4) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής στα σημεία Α, Β είναι κάθετες. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 401 Διαγωνίσματα ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι κύκλοι  c1  :  x  1    y  2   4 και  c2  :  x  2    y  2   9 2 2 2 2 Γ1) Να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα κάθε κύκλου. Γ2) Να δείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. Γ3) Να βρείτε το σημείο επαφής. Γ4) Να βρεθεί η εξίσωση της κοινής εσωτερικής εφαπτομένης. ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση x 2  y 2  λx   3λ  10  y  0 (1) Δ1) Να αποδείξετε ότι (1) παριστάνει κύκλο για κάθε λ  ℝ του οποίου να βρείτε το κέντρο . Δ2) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι της παραπάνω οικογένειας διέρχονται από δύο σταθερά σημεία. Δ3) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων. Δ4) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα δύο σταθερά σημεία του ερωτήματος (γ) και το κέντρο του κύκλου, της παραπάνω οικογένειας, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Α(-1,1). 402 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 2 Κεφάλαιο 8ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΝΙΚΟ ΘΕΜΑ Α Α1) Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και Α(x0,y0) ένα σημείο του επιπέδου. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.  Α2) Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α και  β; Α3) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: α) Η ευθεία με εξίσωση Ax  By  Γ  0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα  δ  B,- A  β) Η εξίσωση  c : x2 y2   1 παριστάνει υπερβολή 4 9 p  γ) Η εξίσωση της παραβολής (c) με εστία E  ,0  και διευθετούσα 2  δ : x   p είναι y2  2px 2     δ) Αν α , β / / yy τότε ισχύει α  β  λ1 λ 2  1 όπου λ1  λ α και λ 2  λ β ε) Κάθε κύκλος με ακτίνα ρ  1 ονομάζεται μοναδιαίος Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 403 Διαγωνίσματα ΘΕΜΑ Β Δίνεται η έλλειψη  c : x2 y2  1. 16 25 Β1) Να βρείτε τις εστίες Ε και Ε΄ Β2) Να βρείτε τα μήκη των αξόνων Β3) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο Β(4,0) ΘΕΜΑ Γ         Δίνονται τα διανύσματα α , β και u  α  2β , v  α  3β έτσι ώστε:      α  β , u  v και α  6    2 Γ1) Να αποδείξετε ότι u  v  6 1  β   Γ2) Να αποδείξετε ότι β  1  Γ3) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος u ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε την εξίσωση x 2  y 2  4αx  2αy  4α 2  α  1  0 με α ℝ Δ1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο για κάθε α ℝ Δ2) Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του Δ3) Να αποδείξετε ότι για κάθε α ℝ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται πάνω σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση Δ4) Να δείξετε ότι για α  0 ή για α  1 η ακτίνα του κύκλου αυτού είναι ίση με 1 Δ5) Για την μεγαλύτερη τιμή του α του προηγούμενου ερωτήματος να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Μ(0,1). 404 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 4ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4.1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου 406 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 4 Κεφάλαιο 4.1 Μαθηματική Επαγωγή Η μαθηματική ή τέλεια επαγωγή είναι μια αποδεικτική μέθοδος που μας εξασφαλίζει την αλήθεια ενός ισχυρισμού P  v  για κάθε θετικό ακέραιο ή για κάθε φυσικό αριθμό μεγαλύτερο ή ίσο ενός ορισμένου φυσικού αριθμού v0 . Η μαθηματική επαγωγή στηρίζεται στη λεγόμενη «αρχή της μαθηματικής επαγωγής». Αρχή της μαθηματικής επαγωγής Έστω P  v  ένας ισχυρισμός που αναφέρεται στους θετικούς ακεραίους Αν α) Ο ισχυρισμός είναι αληθής για τον ακέραιο 1, δηλαδή αληθεύει ο P 1  και β) Η αλήθεια του P  v  συνεπάγεται την αλήθεια του P  v  1  για κάθε v  ℕ* τότε ο ισχυρισμός P  v  αληθεύει για όλους του θετικούς ακεραίους ν. Για να αποδείξουμε έναν ισχυρισμό P  v  , για κάθε φυσικό αριθμό v  v0 με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ακολουθούμε τα εξής τρία βήματα: 1ο βήμα: Αποδεικνύουμε ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής για τον μικρότερο φυσικό αριθμό που μας ζητούν (για v  v0 ) δηλαδή α- ποδεικνύουμε τον P  v0  . 2ο βήμα: Υποθέτουμε ότι ο ισχυρισμός αληθεύει για έναν τυχαίο φυσικό αριθμό ν, δηλαδή υποθέτουμε ότι ο P  v  είναι αληθής. 3ο βήμα: Αποδεικνύουμε ότι ο ισχυρισμός αληθεύει για τον αριθμό v  1 δηλαδή αποδεικνύουμε ότι ο ισχυρισμός P  v  1  είναι αληθής. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 407 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ – ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει 2  4  6  ...  2ν  ν  ν  1  Λύση Για v  1 η ισότητα γράφεται: 2  1  1  1  2  2 που ισχύει Έστω ότι η πρόταση ισχύει για v  κ δηλαδή: 2  4  6  ...  2κ  κ κ  1 (1) Θα δείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για v  κ  1 δηλαδή: 2  4  6  ...  2κ  2 κ  1   κ  1 κ  2  Έτσι λοιπόν έχουμε  1 2  4  6  ...  2κ  2  κ  1   κ κ  1  2 κ  1   κ  1κ  2  Οπότε πράγματι η σχέση ισχύει για κάθε v  ℕ* Παράδειγμα 2 Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει 1 1 1 1 ν    ...   13 35 57  2ν  1    2ν  1  2ν  1 Λύση Για v  1 η ισότητα γράφεται: 1 1 1 1    που ισχύει 1  3 2 1  1 3 3 Έστω ότι η πρόταση ισχύει για v  κ δηλαδή: 1 1 1 1 κ    ...   (1) 13 3 5 57  2κ  1   2κ  1 2κ  1 Θα δείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για v  κ  1 δηλαδή: 408 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 4 Κεφάλαιο 1 1 1 1 1 κ 1    ...    (1) 13 35 57 2κ  1  2κ  1 2 κ  1  1  2 κ  1  1 2 κ  1  1 Έτσι λοιπόν έχουμε 1  1 1 1 1 1    ...    13 3 5 57 2κ  1   2κ  1 2 κ  1  1  2 κ  1  1    κ 1 κ 1     2κ  1 2 κ  1  1  2 κ  1  1 2κ  1  2κ  1   2κ  3  κ  2κ  3  1 2κ  1   2κ  3 2κ κ  1   κ  1  2κ2  3κ  1 2κ 2  2κ  κ  1    2κ  1   2κ  3  2κ  1  2κ  3  2κ  1κ  1  κ  1  κ  1  κ  1 2κ  1   2κ  3  2κ  1 2κ  3 2κ  3 2κ  2  1 2 κ  1  1  Οπότε πράγματι η σχέση ισχύει για κάθε v  ℕ* Παράδειγμα 3 Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει 7 ν+1  6ν  7 Λύση Για v  1 η ανισότητα γράφεται: 71+1  6  1  7  71+1  6  1  7  49  13 που ισχύει Έστω ότι η πρόταση ισχύει για v  κ δηλαδή: 7κ+1  6κ  7 (1) Θα δείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για v  κ  1 δηλαδή: 7κ+2  6  κ  1  7  7κ+2  6κ  13 (2) (1)  7κ+1  6κ  7  7κ+2  7  6κ  7   7κ+2  42κ  49 Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι 42κ  49  6κ  13  36κ  36  κ  1 που ισχύει διότι κ  0 Έτσι λοιπόν η πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο ν Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 409 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Παράδειγμα 4 Να δείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν  10 ισχύει 2 ν  ν 3 Λύση Για ν  10 η ανισότητα γράφεται 210  103 που ισχύει Έστω ότι η πρόταση ισχύει για ν  κ δηλαδή: 2κ  κ 3 (1) Θα δείξουμε ότι η πρόταση ισχύει για ν  κ  1 δηλαδή: 2κ+1   κ  1 3 (1)  2κ+1  2κ 3 Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι 3 3 2 2κ 3  κ  1  κ 3   κ  1  κ3  κ3   κ  1  κ  κ  1   κ  1  1     κ 3  κ2  2κ  1  κ  2  κ3  κ2  3κ  3  κ3  κ2  3κ  3   0 Αυτό όμως ισχύει διότι κ  10  κ 3  1000 (2)     2 2   κ  3κ  130  κ  3κ  3  133 (3) κ  10  3κ  30  κ2  100 Αφαιρώντας κατά μέλη τις (2) και (3) είναι κ 3  κ 2  3κ  3  877  0 Έτσι λοιπόν η πρόταση ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο ν  10 Παράδειγμα 5 Έστω α ένας πραγματικός αριθμός με 1  α  0 . Να αποδείξετε ότι για όλους τους θετικούς ακέραιους ν με ν  2 ισχύει  1  α   1  να ν Ανισότητα Bernoulli Λύση Για ν  2 έχουμε 1  α   1  2α  1  α2  2α  1  2α  α 2  0 2 που ισχύει διότι α  0 Έστω ότι ισχύει για ν  κ δηλαδή 1  α   1  κα (1) κ 410 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 4 Κεφάλαιο Θα δείξουμε ότι ισχύει για ν  κ  1 δηλαδή 1  α  κ+1 Πολλαπλασιάζοντας την (1) με 1  α έχουμε 1  α  κ+1  1  κ  1 α  1  κα  1  α  Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι 1  κα 1  α   1  κ  1 α  1  κα 1  α   1  κ  1 α  0   1  κα 1  α   1  ακ  α  0  Η ανισότητα Βernoulli μπορεί να χρησιμοποιηθεί χωρίς απόδειξη σε ασκήσεις  1  κα 1  α    α  1  ακ  0   1  α 1  κα  1  ακ  0   1  α  κα  ακ  0   κα2  0 που ισχύει διότι κ  2  0 και α2  0 Παράδειγμα 6 Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο ν  2 ισχύει ότι 3 ν  4 ν  2  5ν Λύση Από την ανισότητα Bernoulli έχουμε 3ν  1  2   1  2ν ν 4 ν   1  3  1  3ν ν Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις έχουμε 3ν  5ν  2  5ν Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 411 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ 1) Να δείξετε ότι 12  22  32  ...  ν2  2) Να δείξετε ότι 1  2  3  ...  ν  3) Να δείξετε ότι 3 3 3 3 ν  ν  1 2ν  1  6 ν2  ν  1  για κάθε v  ℕ* 2 4 για κάθε v  ℕ* ν2 για κάθε φυσικό αριθμό ν με ισχύει 2  21  3  22  4  23  ...  ν  2ν 1   ν  1  2ν 4) Να δείξετε ότι 12  22  32  42  ...   1  ν 1 ν2   1  ν 1 ν  ν  1 2 για κάθε v  ℕ* 5) Να δείξετε ότι 1  2  2  5  3  8  ...  ν  3ν  1  ν2  ν  1  για κάθε v  ℕ* 6) Να δείξετε ότι ν  ν  1 12 22 32 ν2    ...   για κάθε 13 3 5 57  2ν  1  2ν  1 2  2ν  1 v  ℕ* 412 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο 4 Κεφάλαιο 7) Να δείξετε ότι 3 5 7 2ν  1 1  2 2  2 2  ...  1 2 2 2 2 1 2 2  3 3  4 ν  ν  1  ν 2 για κάθε v  ℕ* με ν  2 8) Να δείξετε ότι για κάθε v  ℕ* ισχύει ν  ν  3 1 1 1 1    ...   12 3 23 4 3 4  5 ν  ν  1    ν  2  4  ν  1 ν  2  9) Να δείξετε ότι 3v  ν2 για κάθε v  ℕ με ν  4 10) Να δείξετε ότι για κάθε v  ℕ είναι 2v  5v  7v  11ν 11) Για κάθε φυσικό αριθμό ν, να αποδείξετε ότι Α) 10v  1  ν 1  4ν  Β) 27v   1  2ν  3 ν αv  1  α  1  *   για κάθε v  ℕ 2 2   12) Να αποδείξετε ότι αν α  0 τότε 13) Αν α, β  0 να αποδείξετε ότι βv 1   ν  1  α ν  β  ν  α ν+1 για κάθε v  ℕ* 14) Να αποδείξετε ότι ν v 1   ν  1 για κάθε φυσικό αριθμό ν με ν  3 ν Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 413 Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου 414 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Επαναληπτικά Θέματα 416 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΖΗΤΗΜΑ 1Ο Για τα διανύσματα του διπλανού σχήματος ισχύουν οι Δ σχέσεις:        ΑΒ  α, ΒΓ  β, ΓΔ  2α και ΔΕ  2β   Α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΑΓ και ΓΕ συναρτήσει   των διανυσμάτων α και β . Ε  Β) Το διάνυσμα ΑΕ είναι ίσο με:           α. 3α  β β. 3α  β γ. 3α  3β δ. α  3β ε. 2α  4β Γ Β Α     Γ) Αν ισχύει α  β , τότε να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΑΓ και ΓΕ είναι με- ταξύ τους κάθετα. ΖΗΤΗΜΑ 2Ο   Για τα διανύσματα α και β ισχύουν οι σχέσεις:     2α  3β   4, 2  και α  3β   7,8    Α) Να δείξετε ότι α   -1,2  και β   2, 2      Β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ, ώστε τα διανύσματα κα  β και 2α  3β να είναι κάθετα.  Γ) Να αναλυθεί το διάνυσμα γ   3, 1  σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις ο ποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα α . Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 417 Επαναληπτικά Θέματα ΖΗΤΗΜΑ 3Ο         π Για τα διανύσματα α και β δίνεται ότι α  1 , β  2 και  α,β   . Έστω τα δια  3       νύσματα u  2α  3β , v  α  2β . Να υπολογίσετε:   Α) Το εσωτερικό γινόμενο α  β     Β) Τα μέτρα u , v των διανυσμάτων u , v   Γ) Το εσωτερικό γινόμενο u  v   Δ) Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και v ΖΗΤΗΜΑ 4Ο        Αν ΡΑ  ΡΒ  2ΡΓ  0 και ΡΑ  6 , ΡΒ  ΡΓ  2 3 να δείξετε ότι: Α) Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Β) Το σημείο Γ είναι ανάμεσα στα σημεία Α, Β.  Γ) Η γωνία ΑΡΒ  90     Δ) Το διάνυσμα v  ΡΒ  ΡΓ είναι κάθετο στο ΑΓ ΖΗΤΗΜΑ 5Ο   Δίνονται τα διανύσματα α  1,2  και β   2,3     Α) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος γ  5α  3β  Β) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα γ με τον άξονα x'x  Γ) Να βρείτε τον αριθμό κ ℝ ώστε το διάνυσμα v  κ 2  κ,κ  να είναι κάθετο  στο διάνυσμα α 418 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα ΖΗΤΗΜΑ 6Ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι             2π ΑΒ  2α  β και ΑΓ  3β όπου α  β  1 και  α,β   .   3 Α) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:     2 α  β , 4β  2α ,    2  α  β   Β) Αν Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ να εκφράσετε τα διανύσματα, ΑΜ και ΒΓ   συναρτήσει των α , β .   Γ) Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων ΑΜ , ΒΓ . ΖΗΤΗΜΑ 7Ο   Α) Δίνονται τα μη συγγραμμικά διανύσματα α , β . Να αποδείξετε ότι:   α) Υπάρχει λ  ℝ ώστε προβα β  λα .     α β   β) προβα β    2  α .  α   γ) Να αναλυθεί το διάνυσμα v  1,2  σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις ο ποίες η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα u   3,4  . Β) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ύψος ΑΔ και πλευρές (ΑΒ)=γ, (ΑΓ)=β. Να α   ποδείξετε ότι β  συνΓ ΒΔ  γ  συνΒ ΓΔ  0 .     ΖΗΤΗΜΑ 8Ο Σε σύστημα συντεταγμένων Οxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ, του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει η ισότητα:    2ΟΑ  4ΒΓ  ΑΓ Να αποδείξετε ότι: Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 419 Επαναληπτικά Θέματα    Α) Για τις διανυσματικές ακτίνες των Α, Β, Γ ισχύει η σχέση: 3ΟΑ  4ΟΒ  5ΟΓ   Β) Τα διανύσματα ΟΑ, ΟΒ είναι κάθετα.        3 Γ) Για τη γωνία των διανυσμάτων ΟΑ, ΟΓ είναι συν ΟΑ,ΟΓ  5     Δ) Αν det ΟΑ,ΟΒ είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων ΟΑ, ΟΒ , τότε:     det ΟΑ,ΟΒ  1   ΖΗΤΗΜΑ 9Ο   Δίνονται τα διανύσματα α , β για τα οποία ισχύουν:    5 α  4 , β  5 και προβα β  α 8   Α) Να αποδείξετε ότι: α  β  10   Β) Να βρείτε τη γωνία των α και β    Γ) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u  α  β       Δ) Αν το διάνυσμα v  α  β  α  κ  β , κ ℝ είναι κάθετο στο διάνυσμα β , να   βρείτε την τιμή του κ. ΖΗΤΗΜΑ 10Ο   Δίνονται τα διανύσματα α , β για τα οποία ισχύουν:      1  α  1,8  α  β και β   2, β 5      α) β  5 β) α  β  5  Α) Να αποδείξετε ότι  420 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα     Β) Να υπολογίσετε τη γωνία  α,β  .     Γ) α) Να αποδείξετε ότι προββ α  β  β) Να αναλύσετε το διάνυσμα α σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η  μια να είναι παράλληλη με το β . ΖΗΤΗΜΑ 11Ο         2π Δίνονται τα διανύσματα α , β με α  2 , β  3 και α,β  . 3 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ διάμεσός του για το οποίο ισχύουν:       ΑΒ  2α  β και ΑΜ  3α  β   Α) Να βρείτε το α  β .    Β) Να εκφράσετε το ΑΓ ως γραμμικό συνδυασμό των α και β .  Γ) Να υπολογίσετε το μήκος της διαμέσου ΑΜ   π Δ) Να αποδείξετε ότι η γωνία των ΑΜ και α είναι ίση με . 6 ΖΗΤΗΜΑ 12Ο        Δίνονται τα διανύσματα α  i  2j , β  2i  5j και γ   7,3    α) Να δείξετε ότι τα διανύσματα α, β, γ είναι μη συγγραμμικά ανά δύο    β) Να γράψετε το διάνυσμα γ ως γραμμικό συνδυασμό των α και β    γ) Να δείξετε ότι α  β  γ   Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 421 Επαναληπτικά Θέματα    δ) Αν u, v, w είναι τα διανύσματα θέσης των σημείων Α, Β, Γ αντίστοιχα ως προς          την αρχή Ο των αξόνων με u  α  κ  1 β , v  2κα   3  κ  β , w  γ  7α και τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ. ΖΗΤΗΜΑ 13Ο       π Δίνονται τα διανύσματα α, β με α  4 , β  6 και α,β  3    1    2 Α) Αν u  α  β και v  α  β να βρείτε 2 3   α) Το εσωτερικό γινόμενο u  v   β) Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u, v     Β) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με AB  α και AΓ  β  α) Αν Μ είναι το μέσο της ΒΓ να βρείτε το μέτρο του διανύσματος AΜ  β) Αν Δ είναι η προβολή του Β στην ΑΜ, να εκφράσετε το διάνυσμα ΒΔ ως    14  συνάρτηση των διανυσμάτων α, β και να αποδείξετε ότι ΑΔ  ΑΜ 19 ΖΗΤΗΜΑ 14Ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι           π AB  α  2β , AΓ  2α  β με α  2 , β  1 και α,β  3 Α) Να υπολογιστούν οι παραστάσεις       α) α  β β) α  β γ) α  β   Β) Έστω Μ μέσο του ΒΓ. Να εκφράσετε τα διανύσματα AM και BΓ ως γραμμικό   συνδυασμό των α και β   Γ) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας AM,ΒΓ   Δ) Να βρεθεί το μέτρο της προβολής του AM στο ΒΓ    422 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας  Επαναληπτικά Θέματα ΕΥΘΕΙΑ ΖΗΤΗΜΑ 15Ο Σε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς δίνονται τα σημεία A 1,4  και B  1, 5  Να βρείτε: α) Την εξίσωση της μεσοκάθετης του τμήματος ΑΒ β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των συντεταγμένων. γ) Την απόσταση του σημείου Μ(-1,1) από την ευθεία ΑΒ. ΖΗΤΗΜΑ 16Ο Δίνονται οι ευθείες:  ε1  :  λ  1  x  2λy  2λ και  ε2  : x  2y  3 Να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει τιμή του λ  για την οποία οι ευθείες  ε1  και  ε2  είναι κάθετες. β) Οι  ε1  και  ε2  τέμνονται σε ένα σημείο Ρ για κάθε λ  του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες. γ) Όταν το λ μεταβάλλεται το σημείο Ρ κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. ΖΗΤΗΜΑ 17Ο Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,2), Β(1,3) και Γ(3,-2). Να βρείτε: α) Την εξίσωση του ύψους ΑΔ. β) Την εξίσωση της διαμέσου ΒΕ. γ) Την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο τομής Κ των ευθειών ΑΔ και ΒΕ και είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ. ΖΗΤΗΜΑ 18Ο Δίνεται η εξίσωση  α  2α  x   α  α  1  y  α  2  0 , α ℝ (1) 2 2 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 423 Επαναληπτικά Θέματα α) Να αποδείξετε ότι για κάθε α ℝ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία. β) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1) διέρχονται από το ίδιο σημείο. γ) Να βρείτε εκείνη την ευθεία (ε) που ορίζεται από την εξίσωση (1) και είναι κάθετη στην ευθεία  ε : x  y  3  0 . δ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία  η : y  2x δεν ανήκει στην οικογένεια των ευθείων που ορίζεται από την εξίσωση (1) ΖΗΤΗΜΑ 19Ο Δίνεται η εξίσωση 6x2  y 2  xy (1) α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες  ε1  και  ε2  . β) Να βρείτε την οξεία γωνία θ που σχηματίζουν οι  ε1  και  ε2  γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο Μ(0,1) και τέμνει τις ευθείες  ε1  και  ε2  στα σημεία Α και Β αντιστοίχως ώστε το σημείο Μ να είναι μέσο του ΑΒ. ΖΗΤΗΜΑ 20Ο Δίνονται οι ευθείες:  ε1  :  λ  1  x  λy  3λ και  ε2  : λx   λ  1  y  3λ  1 α) Να αποδείξετε ότι οι  ε1  και  ε2  τέμνονται για κάθε λ  ℝ . β) Να δείξετε ότι το σημείο τομής των  ε1  και  ε2  βρίσκεται σε μια ευθεία (η). γ) Αν Α(-1,2) να βρείτε σημείο Β της ευθείας (η), που να απέχει από την ευθεία ΟΑ απόσταση ίση με 2 5 . δ) Να βρείτε σημείο Ν της ευθείας (η) ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΝΑΟ να είναι 2. ΖΗΤΗΜΑ 21Ο Δίνονται τα σημεία Α(λ-1,3), Β(λ,2) και Γ(λ+1,-1) α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου για κάθε λ  ℝ. 424 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα β) Για λ  1 να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ ώστε (ΜΑΒ)=2(ΑΒΓ) γ) Για λ  1 να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Ν ώστε dΝ,ΑΒ   5 d Ν,ΒΓ  ΖΗΤΗΜΑ 22Ο Δίνονται τα σημεία Α(1,3) , Β(-2,2) και η ευθεία  ε  : 3x  y  α  0 όπου α ℝ. Α) Αν η απόσταση του Α από το Β είναι ίση με την απόσταση του Α από την ευθεία ε, να βρείτε την τιμή του α. Β) Για την τιμή α  4 να βρείτε: α) Το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές τα σημεία Α, Β και το σημείο Γ που η ευθεία (ε) τέμνει τον άξονα y’y. β) Ποιο σημείο της ευθείας (ε) έχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή Ο των αξόνων. ΖΗΤΗΜΑ 23Ο Δίνεται η εξίσωση  2α  1  x   α  1  y  3  0 (1) Α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε α ℝ. Β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του α ℝ οι ευθείες της μορφής (1) διέρχονται από το σημείο Μ(-1,2). Γ) Δίνεται η ευθεία  ε  : x  5y  3  0 . Αν Α και Β είναι τα σημεία τομής της (ε) με τις ευθείες που προκύπτουν από την (1) για α  0 και α  1 αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΒ είναι 3 τ.μ. ΖΗΤΗΜΑ 24Ο Στο καρτεσιανό επίπεδο Οχψ δίνονται τα σημεία Α(2,0), Β(4,5), Γ(6,κ) με κ ℝ  10 Α) Να δείξετε ότι: α) Τα σημεία Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 425 Επαναληπτικά Θέματα β) Η εξίσωση της ευθείας της διαμέσου (ε) που φέρνουμε από την κορυφή Β του τριγώνου ΑΒΓ, είναι x  4 Β) Να προσδιορίσετε την κορυφή Γ του τριγώνου ΑΒΓ, αν το εμβαδόν του είναι (ΑΒΓ)= 8 τετραγωνικές μονάδες Γ) Για κ = 2 να βρείτε την εξίσωση της ευθείας του ύψους (η) που φέρνουμε από την κορυφή Α του τριγώνου ΑΒΓ, καθώς και τις συντεταγμένες του σημείου Δ στο οποίο τέμνονται οι ευθείες (η) και (ε). ΖΗΤΗΜΑ 25Ο Δίνονται τα σημεία Α(14,5) και Β(2,-1). Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σημεία Α και Β είναι x  2y  4  0 . Β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες x΄x, y΄y στα σημεία Κ(4,0) και Λ(0,-2) αντιστοίχως. ΖΗΤΗΜΑ 26Ο Δίνονται οι εξισώσεις  λ  1 x   λ  2  y  1 (1) και  λ  1 x  1  2λy (2) με λ  ℝ Α) Να δείξετε ότι η (1) και η (2) παριστάνουν ευθείες για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ Β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (1) διέρχονται από το ίδιο σημείο Γ) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (2) διέρχονται από το ίδιο σημείο Δ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ανήκει και στις δύο οικογένειες των ευθειών ΖΗΤΗΜΑ 27Ο Δίνεται η εξίσωση y 2  y  x (1) Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο ευθείες ε1 και ε2 που τέμνονται στην αρχή των αξόνων 426 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα   Β) Να δείξετε ότι το σημείο Μ 2  2, 2 ισαπέχει από τις ε1 και ε2 Γ) Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ε1 και ε2 ΖΗΤΗΜΑ 28Ο Δίνεται η εξίσωση x 2  y 2  2  2x  2y  xy   5 Α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους. Β) Αν (ε1), (ε2) οι δύο ευθείες του Α) ερωτήματος να βρείτε την απόσταση των ευθειών Γ) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης (ε) τα των ευθειών (ε1) και (ε2) Δ) Αν το σημείο Ρ(κ,λ) κινείται στην ευθεία (ε1) και το σημείο Σ(μ,ν) κινείται στην λν   κ μ (ε2), να αποδείξετε ότι το σημείο M   1,  1  κινείται στην ευθεία 2  2  (ε1) και το εμβαδόν του τριγώνου ΡΣΜ παραμένει σταθερό. ΖΗΤΗΜΑ 28Ο Δύο ευθείες με συντελεστές διεύθυνσης αντίθετους αριθμούς σχηματίζουν γωνία 60ο και τέμνονται στο σημείο Α(0,κ) με κ ℝ. Επίσης η ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης θετικό αριθμό διέρχεται από το σημείο Β(-3,0). α) Να βρείτε τις εξισώσεις των δύο ευθειών β) Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των δύο γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες. ΖΗΤΗΜΑ 29Ο Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με εξισώσεις διαγωνίων BΔ  : y  x  1 και  AΓ  : y  2x  3 . Η διαγώνιος ΒΔ είναι η μεσοπαράλληλος των ευθειών (ε1) και (ε2) των οποίων η μεταξύ τους απόσταση είναι d  2 2 και οι οποίες διέρχονται  από τις κορυφές Α και Γ αντιστοίχως. Αν ΑΔ   4,6  τότε: Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 427 Επαναληπτικά Θέματα α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του Κ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ β) Να δείξετε ότι οι ευθείες ε1, ε2 έχουν εξισώσεις και  ε1  : x  y  1  0 και  ε2  : x  y  3  0 γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α, Β, Γ, Δ του παραλληλογράμμου δ) Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου (ΑΒΓΔ) ΖΗΤΗΜΑ 30Ο Δίνεται η εξίσωση  2λ  1 x   λ  1 y  3  0 (1) με λ  ℝ Α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε λ  ℝ και όλες αυτές διέρχονται από σταθερό σημείο Μ. Β) Να βρείτε εκείνη την ευθεία που απέχει τη μέγιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων Γ) Αν η (1) τέμνει τους άξονες στα σημεία Α και Β, να βρεθεί το λ ώστε το Μ να είναι μέσο του τμήματος ΑΒ. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΖΗΤΗΜΑ 31Ο Δίνεται η εξίσωση x 2  y 2  4x  2y  3  0 και το σημείο Μ(2,1). Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Κ(2,-1) και ακτίνα ρ  2 . Β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο Μ(2,1). Γ) Αν Α, Β είναι τα σημεία επαφής των παραπάνω εφαπτομένων με τον κύκλο, να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ. ΖΗΤΗΜΑ 32Ο Δίνεται η παραβολή y 2  4x . Να βρείτε: Α) Την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής. 428 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα Β) Τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 2 . Γ) Την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία y  x  1 ΖΗΤΗΜΑ 33Ο Δίνεται η εξίσωση x 2  y 2  2xσυνθ  2yημθ  1  0 , 0  θ  2π . Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. Β) Αν θ  Μ(1,2). π , να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο 2 Γ) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ  1 . ΖΗΤΗΜΑ 34Ο Δίνεται ο κύκλος  c  : x2  y 2  25 και  ε1  ,  ε2  οι εφαπτομένες του κύκλου από το σημείο (0,-10). Αν Α και Β είναι τα σημεία επαφής των  ε1  ,  ε2  με τον κύκλο, να βρείτε: Α) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων  ε1  ,  ε2  . Β) Τις συντεταγμένες των σημείων επαφής Α και Β. Γ) Την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχεται από τα σημεία Α και Β. ΖΗΤΗΜΑ 35Ο Η παραβολή με εξίσωση y 2  αx διέρχεται από το σημείο Α(2,4), όπου α ℝ. Α) Να αποδείξετε ότι η εστία της παραβολής είναι το σημείο Ε(2,0). Β) Έστω Ε΄ το συμμετρικό της εστίας Ε ως προς τον άξονα y΄y. Αν Μ(x,y) είναι ένα  2   οποιοδήποτε σημείο για το οποίο ισχύει ΜΕ  ΜΕ  ΕΕ , να αποδείξετε ότι το Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 429 Επαναληπτικά Θέματα σημείο Μ(x,y) ανήκει στον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) και ακτίνα 2. Γ) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του παραπάνω κύκλου που διέρχονται από το σημείο Α. ΖΗΤΗΜΑ 36Ο Δίνεται η εξίσωση  x  1  x  3    y  3  y  5   0 . Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. Β) Στο τοπογραφικό σχεδιάγραμμα, με καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy τα σημεία Α(1,3), Β(3,3), Γ(3,5) και Δ(1,5) παριστάνουν τις θέσεις τεσσάρων δήμων. Να αποδείξετε ότι μπορεί να χαραχθεί περιφερειακός κυκλικός δρόμος που να διέρχεται από τους τέσσερις δήμους. Γ) Αν θεωρήσουμε ότι στο ίδιο σύστημα αξόνων του ερωτήματος (Β), οι συντεταγμένες ενός αυτοκινήτου Κ για κάθε χρονική στιγμή t (t>0) είναι (t,t+2) να βρείτε αν η γραμμή, στην οποία κινείται το αυτοκίνητο Κ, συναντά τον κυκλικό περιφερειακό δρόμο και αν ναι, σε ποια σημεία; ΖΗΤΗΜΑ 37Ο Η εστία της παραβολής  c1  : y 2  2px , p  0 συμπίπτει με μία εστία της έλλειψης x2 α y2 β  c2  : 2  2  1 , 0  β  α . p p Α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ ,  ανήκουν σε μια ισοσκελή υπερβολή. α β Β) Έστω  ε1  ,  ε2  οι εφαπτομένες της παραβολής που άγονται από την εστία της έλλειψης που δεν είναι εστία της παραβολής. α) Να βρείτε τις εξισώσεις των  ε1  ,  ε2  και να γράψετε τις συντεταγμένες των σημείων επαφής Α, Β των  ε1  ,  ε2  με την παραβολή  c1  . β) Να δείξετε ότι οι  ε1  ,  ε2  τέμνονται κάθετα. γ) Αν τα σημεία Α, Β ανήκουν στην έλλειψη  c2  να αποδείξετε ότι για την εκκεντρότητά της ισχύει ότι: ε  3  2 2 430 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα ΖΗΤΗΜΑ 38Ο Δίνεται η εξίσωση  C  : x 2  y 2   ημθ  x   συνθ  y  2 (1) όπου θ ℝ. Α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Β) Να αποδείξετε ότι, όταν το θ μεταβάλλεται, τα κέντρα των κύκλων C κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση. Γ) Να βρείτε τις τιμές του θ  0,π  αν είναι γνωστό ότι ο κύκλος C διέρχεται από το σημείο Μ(1,-1). Δ) Έστω Κ το κέντρο του κύκλου C και Α, Β τα σημεία τομής του με την ευθεία ΟΚ (όπου η αρχή των αξόνων). Να υπολογίσετε τις αποστάσεις (ΟΑ) και (ΟΒ). ΖΗΤΗΜΑ 39Ο Δίνεται η εξίσωση:  λ  1  x2   2λ  3 y2  6  2  λ  x  16  λ  1  (1) λ  ℝ Α) Αν λ  1 , να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει παραβολή  c1  της οποίας να βρείτε τη διευθετούσα δ και την εστία Ε. Β) Αν λ  2 , να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο  c2  , του οποίου να βρείτε το κέντρο Ο και την ακτίνα R. Γ) Να βρείτε την εξίσωση και την εκκεντρότητα της έλλειψης, που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων, μία εστία της κοινή με την εστία Ε της παραβολής  c1  και μεγάλο άξονα ίσο με την ακτίνα R του κύκλου  c2  . Δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία Ρ1 και Ρ2 των κωνικών τομών  c1  και  c2  , και να αποδείξετε ότι: d Ρ1 ,δ   Ρ1Ε   d Ρ2 ,δ   Ρ2Ε  ΖΗΤΗΜΑ 40Ο Δίνεται η εξίσωση: x2 ψ2   1 (1) όπου μ  ℝ  2,3 μ  2 3 μ Α) Να βρείτε την τιμή του μ ώστε η εξίσωση (1) να παριστάνει κύκλο. Β) Για ποιες τιμές του μ η εξίσωση (1) παριστάνει έλλειψη; Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 431 Επαναληπτικά Θέματα 1  Γ) Αν μ   2,  , τότε: 2  α) Να δείξετε ότι η έλλειψη που προκύπτει από την (1) έχει τις εστίες της πάνω στον άξονα ψ’ψ. β) Να υπολογίσετε την τιμή του μ ώστε η εκκεντρότητα της έλλειψης (1) να εί3 ναι ίση με 2 ΖΗΤΗΜΑ 41Ο Σε ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς Οxy με Μ(x,y) παριστάνουμε τα σημεία μιας περιοχής. Στο Κ(12,6) είναι τοποθετημένος ένας πομπός κινητής τηλεφωνίας. Η λήψη σε ένα σημείο της περιοχής θεωρείται «πολύ καλή» αν αυτό βρίσκεται στον κυκλικό δίσκο που ορίζεται από τον κύκλο  c1  , ο οποίος έχει κέντρο Κ και ακτίνα ρ1  10 , ενώ η λήψη θεωρείται «καλή», αν το σημείο είναι εξωτερικό του  c1  και εσωτερικό του  c2  , που γράφεται με κέντρο Κ και ακτίνα ρ2  4 . Α) Να γράψετε τις εξισώσεις των κύκλων  c1  και  c2  . Β) Να εξετάσετε αν η λήψη στα σημεία Α(10,7) και Β(9,4) είναι «καλή» ή «πολύ καλή». Γ) Ένας αυτοκινητόδρομος της περιοχής (θεωρούμενος ως ευθεία) έχει εξίσωση  ε  : x  y  1  0 . Να εξετάσετε αν υπάρχει τμήμα του αυτοκινητόδρομου στο οποίο η λήψη είναι «καλή» ή «πολύ καλή». ΖΗΤΗΜΑ 42Ο Δίνονται η ευθεία  ε  : 2x  y  3  0 και ο κύκλος  c  : x 2  y2  x  y  2  0 Α) Να δείξετε ότι η ευθεία (ε) και ο κύκλος (c) τέμνονται Β) Να δείξετε ότι η εξίσωση  cλ  : x2  y2  x  y  2  λ 2x  y  3  0 (1) Για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ παριστάνει κύκλο ο οποίος διέρχεται από τα σημεία Μ και Ν Γ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων (cλ) καθώς το λ διατρέχει το ℝ 432 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα ΖΗΤΗΜΑ 43Ο Δίνεται η εξίσωση x 2  y 2  2  2xlnθ  ln2θ  4lnθ με θ ℝ και θ  0 Α) Να βρεθούν οι τιμές του θ ώστε η παραπάνω εξίσωση να παριστάνει κύκλο Β) Για τις τιμές του θ που βρήκατε στο α) ερώτημα να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου Γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του θ ώστε η ευθεία  ε  : x  y  3 να εφάπτεται του κύκλου ΖΗΤΗΜΑ 44Ο Δίνεται η εξίσωση x2  y2  3  4y (1) Α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του Β) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων ευθειών του κύκλου που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Γ) Θεωρούμε την υπερβολή x 2 y2   1 με β2  α2  2 . Να βρείτε τους πραγματια2 β2 κούς αριθμούς α, β ώστε οι ασύμπτωτες της υπερβολής να είναι οι ευθείες του ερωτήματος β) ΖΗΤΗΜΑ 45Ο Δίνονται τα σημεία Α(α,0) και Β(0,β) με α  β  2011 , α, β ℝ Α) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ΑΒ Β) Να βρεθεί η εξίσωση της γραμμής που ανήκουν τα κέντρα των παραπάνω κύκλων Γ) Να δείξετε ότι οι κύκλοι αυτοί διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Γ και Δ Δ) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής χορδής του ΓΔ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 433 Επαναληπτικά Θέματα ΖΗΤΗΜΑ 46Ο Δίνεται η εξίσωση  c λ  : x 2  y2  4λx  2  λ  2  y  4λ  4  0 με λ  ℝ Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ  0 παριστάνει κύκλο. Τι συμβαίνει αν λ  0 Β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται τα κέντρα των κύκλων (cλ) Γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει κύκλος (cλ) ο οποίος εφάπτεται στον x΄x Δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει κύκλος (cλ) ο οποίος εφάπτεται στον y΄y E) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι (cλ) έχουν κοινή εφαπτομένη, την οποία και να βρείτε. ΖΗΤΗΜΑ 47Ο Δίνεται η εξίσωση  c : x2  y 2  8x  6y  0 (1) Α) Να δειχθεί ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. Β) Να δείξετε ότι ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Γ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης του κύκλου στο σημείο Ο(0,0). Δ) Έστω τα σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) με x1, x2, y1, y2 ∈ℝ και ικανοποιούν τις ισό- τητες x12  y12  8x1  6y1 και x 22  y22  8x 2  6y2 . Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης Π   x1  x 2  +  y1  y2  2 2 ΖΗΤΗΜΑ 48Ο Δίνεται η παραβολή  c : y2  4x και η ευθεία  ε  : x y  1  0 3 4 Α) Να βρείτε το σημείο Μ(x1,y0), με y 0  0 , της παραβολής, ώστε αν Α είναι η προβολή του στη διευθετούσα, να ισχύει MAE   Β) Να αποδείξετε ότι 434 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 5 8 Επαναληπτικά Θέματα α) Η ευθεία δεν έχει κοινό σημείο με την παραβολή και να βρείτε την απόσταση d τυχαίου σημείου της παραβολής από την ευθεία, ως συνάρτηση της τεταγμένης του σημείου. β) Η ελάχιστη τιμή της απόστασης d είναι 39 και να βρείτε τις συντεταγμένες 20 του σημείου της παραβολής που είναι το πλησιέστερο στην ευθεία (ε). ΖΗΤΗΜΑ 49Ο Δίνεται η εξίσωση x 2 +y 2 -4x  2λ  y  1   0 (1) όπου λ πραγματικός αριθμός α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β) Για λ=1 να βρείτε την εφαπτόμενη του κύκλου (c1) που ορίζεται από την (1), στο σημείο του Α(1,μ), μ>0 γ) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (1) διέρχονται από δύο σταθερά σημεία δ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που ορίζονται από την (1) ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑ 50Ο Δίνεται η εξίσωση x 2  y 2  6x  9  0 . Α) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει 2 ευθείες  ε1  και  ε2  . Β) Να δείξετε ότι οι ευθείες  ε1  και  ε2  είναι κάθετες. Γ) Να βρείτε ένα σημείο Μ(κ,λ) με κ  0 και λ  0 τέτοιο ώστε το διάνυσμα  α   3,κ  να είναι παράλληλο προς τη μία από τις δύο ευθείες  ε1  και  ε2   και το διάνυσμα β   16,4λ  είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία. Δ) Να γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων Ο, άξονα συμμετρίας τον άξονα x΄x και διέρχεται από το σημείο Μ. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 435 Επαναληπτικά Θέματα ΖΗΤΗΜΑ 51Ο Δίνεται ένα τρίγωνο με κορυφές Α  2λ  1,3λ  2  , Β(1,2) και Γ(2,3) όπου λ  ℝ με λ 2. Α) Να αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο ℝ. Β) Εάν λ  1 , να βρείτε: α) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. β) Την εξίσωση του κύκλου, που έχει κέντρο την κορυφή Α(1,5) και εφάπτεται στην ευθεία ΒΓ. ΖΗΤΗΜΑ 52Ο Δίνονται οι παράλληλες ευθείες  ε1  : 3x  4y  6  0 και  ε2  : 3x  4y  16  0 . Α) Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών  ε1  και  ε2  . Β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των  ε1  και  ε2  . Γ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο τομής της ευθείας  ε1  με τον άξονα x΄x και αποκόπτει από την ευθεία  ε2  χορδή μήκους d4 3 . ΖΗΤΗΜΑ 53Ο   Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α , β , τα οποία σχηματίζουν μεταξύ τους π γωνίας φ  , και η εξίσωση: 3     x 2  y 2  2 α x  β y  α  β  0 (1) Α) Να αποδείξετε ότι:   α) 2α  β β) Η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με ακτίνα ρ  436 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 1   2α  β . 2 Επαναληπτικά Θέματα Β) Αν Κ(1,1) είναι το κέντρο του παραπάνω κύκλου, να αποδείξετε ότι:   α) α  1 , β  2 και ρ  1 . β) Ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία 3x  4y  12  0 .    γ) Η προβολή του β στο α είναι ίση με το α . ΖΗΤΗΜΑ 54Ο Έστω τα σημεία Α(-1,ψ) και Β(2x,ψ) με x ,ψ  ℝ του καρτεσιανού επιπέδου Οxψ.   Α) Αν είναι ΟΑ  ΟΒ τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,ψ) ανήκουν στην παραβολή  c1  : ψ2  2x , της οποίας να βρείτε την εστία Ε και τη διευθετούσα (δ).  2  2 Β) Αν ισχύει 3ΟΑ  ΟΒ  15 , τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ(x,ψ) ανήκουν στον κύκλο  c2  : x2  ψ2  3 , του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Γ) Να αποδείξετε ότι:    α) Τα κοινά σημεία των  c1  και  c2  είναι το K 1, 2 και το Λ 1,  2  β) Η εφαπτομένη της  c1  στο Κ είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη του  c2  στο Λ. ΖΗΤΗΜΑ 55Ο x2 y2   1 και το σημείο Κ(0,β). Μια ευθεία (ε) που έχει α 2 β2 συντελεστή διεύθυνσης λ  0 διέρχεται από το Κ και τέμνει τις εφαπτομένες της C στις κορυφές της Α΄ και Α, στα σημεία Μ και Ρ αντίστοιχα. Δίνεται η υπερβολή  c  : Α) Να γράψετε την εξίσωση της (ε) και να αποδείξετε ότι: Μ α, αλ  β  και Ρ  α,αλ  β  . Β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου ου έχει διάμετρο τη ΜΡ είναι η: x 2   y  β   α 2 1  λ 2  . 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 437 Επαναληπτικά Θέματα Γ) Να βρείτε το λ ώστε η ακτίνα του κύκλου του ερωτήματος (Β) να είναι ίση με την απόσταση των κορυφών της υπερβολής. Δ) Αν ε η εκκεντρότητα της υπερβολής και ο κύκλος του ερωτήματος (Β) διέρχεται από τις εστίες της, να αποδείξετε ότι: λ  2ε2  2 . ΖΗΤΗΜΑ 56Ο Δίνεται η έλλειψη  c  : x2 y 2   1 και η παραβολή y2  16x . 25 9 Α) Να βρείτε τις εστίες της έλλειψης και την εστίας της παραβολής. Β) Έστω Ε΄, Ε οι εστίες της έλλειψης (η Ε΄ να έχει αρνητική τετμημένη). α) Να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της παραβολής στα σημεία της Μ(4,8) και Μ΄(4,-8), και να δείξετε ότι τέμνονται στο Ε΄.   β) Να αποδείξετε ότι ΕΜ  ΕΜ  0 . γ) Αν Ν είναι το μέσο του Ε΄Μ να αποδείξετε ότι ΕΝ//Ε΄Μ΄. ΖΗΤΗΜΑ 57Ο Έστω ο μη αρνητικός ακέραιος ν και ο πραγματικός αριθμός φ   0,2π  . Α) Να αποδείξετε ότι 3ν  ν2  1 για κάθε ν  1 . Β) Θεωρούμε την εξίσωση x 2  y2   4συνφ  x   4ημφ  y  4  3ν  ν2  0 (1) α) Να αποδείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο C. β) Να γράψετε τις συντεταγμένες του κέντρου του C και να βρείτε την ακτίνα του. γ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου του παραπάνω κύκλου. δ) Να αποδείξετε ότι: δ1) Η εξίσωση  ε  :  συνφ  x  ημφ  y  1  0 παριστάνει ευθεία για κάθε φ   0,2π  . δ2) Αν η ευθεία (ε) εφάπτεται του κύκλου C, τότε ν  0 . 438 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα ΖΗΤΗΜΑ 58Ο Έστω ν θετικός ακέραιος. Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ν  2 είναι 2ν  3ν  5 . B) Δίνεται η εξίσωση: x2 y2   1 (1) 2ν 5  3ν Να αποδείξετε ότι: α) Για ν  1 η εξίσωση (1) παριστάνει ισοσκελή υπερβολή. Να βρείτε τις εστίες της και να γράψετε την εκκεντρότητα και τις εξισώσεις των ασυμπτώτων της. β) Για κάθε ν  2 η εξίσωση (1) παριστάνει έλλειψη που οι εστίες της βρίσκονται στον άξονα x΄x. ΖΗΤΗΜΑ 59Ο Ο κύκλος C του σχήματος έχει κέντρο το σημείο Κ(0,1) και ακτίνα ρ  2 . Το σημείο Μ(α,β) είναι εσωτερικό του C. Μ(α,β) Α) Να αποδείξετε ότι: Κ(0,1) α) Oι συντεταγμένες του σημείου Μ(α,β) επαληθεύουν την σχέση: x 2   y  1   4 . 2 β) Η ευθεία x  2 , αν προεκταθεί, εφάπτεται στον κύκλο C. O x=2 Β) Δίνεται η εξίσωση: λ 2  x  2   2λ  y  1   x  2  0 (1), όπου λ  ℝ. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία. β) Θεωρούμε τα σημεία Ν x 0 ,y 0  με x 0  2 , τα οποία δεν ανήκουν σε ευθεία με εξίσωση της μορφής (1). Να βρείτε το γεωμετρικό τους τόπο. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 439 Επαναληπτικά Θέματα ΖΗΤΗΜΑ 60Ο Α) Δίνεται η εξίσωση x 2  y 2  6μx  8λy  0 όπου μ, λ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός. Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή των μ, λ, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο. Β) Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς μ, λ ισχύει η σχέση 3μ  2λ  0 . α) Να δείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση x 2  y 2  6μx  8λy  0 για τις διάφορες τιμές των μ και λ έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) Να βρείτε τα μ, λ έτσι, ώστε, αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του αντίστοιχου   κύκλου με την ευθεία x  y  2  0 , να ισχύει ΟΑ  ΟΒ  0 . γ) Για τις τιμές των μ, λ που βρήκατε στο ερώτημα (β) να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. ΖΗΤΗΜΑ 61Ο Δίνονται τα σημεία Κ(1,3) και Λ(5,1) Α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που ισαπέχουν από τα σημεία Κ και Λ Β) Να δείξετε ότι οι ευθείες αυτές είναι παράλληλες στην ΚΛ ή διέρχονται από το μέσο Μ του ΚΛ Γ) Να βρείτε ποια από τις ευθείες αυτές είναι η μεσοκάθετος του ΚΛ Δ) Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει κορυφές τα σημεία στα οποία η μεσοκάθετος του ΚΛ τέμνει τους άξονες και έχει άξονες συμμετρίας τους x΄x και y΄y. Να βρείτε τις εστίες της έλλειψης αυτής καθώς και τα μήκη των αξόνων της. ΖΗΤΗΜΑ 62Ο   Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα α, β για τα οποία ισχύει       α  2β  21 , 2α  β  2 και α  β  1   Α) Να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων α και β 440 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα   Β) Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων α και β   Γ) Να δείξετε ότι προβα β  α     Δ) Αν ΟΑ  α και ΟΒ  β όπου Ο η αρχή των αξόνων, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ ΖΗΤΗΜΑ 63Ο Δίνονται οι ευθείες    ε1  : 2 α x  y  5 ,  ε2  : 4 β x  y  3 ,  ε3  : x  4y  2      όπου α, β δύο διανύσματα και u  α  2β    2π Αν  ε1  / /  ε2  ,  ε2    ε3  και α, β  τότε να δείξετε ότι 3    Α) α  2 , β  1 και u  2 3     Β) β  u  3      Γ) β,u  5 2β,u     ΖΗΤΗΜΑ 64Ο Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3,2), Β(-1,0) και Γ(-3,4) Α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του α) Ορθόκεντρού του Η β) Βαρύκεντρού του G γ) Περικεντρού του Ο δ) Έγκεντρού του Ι Β) Να βρεθεί η εξίσωση του περιγεγραμμένου κύκλου στο ΑΒΓ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 441 Επαναληπτικά Θέματα ΖΗΤΗΜΑ 65Ο λ 2    1  Δίνονται τα σημεία Α  2,  και Β   , 1  με λ  1 λ  1 λ     Α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από τα σημεία Α, Β για τις διάφορες τιμές του λ ανήκουν στην οικογένεια των ευθειών  ελ  : λx   λ  1 y  λ  2  0 Β) Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες (ελ) διέρχονται από σταθερό σημείο Γ) Να βρείτε την ευθεία (ε) της οικογένειας (ελ) ώστε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ να είναι ίσο με 1 Δ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) εφάπτεται στον κύκλο  c  : x 2   y  3  13 2 Ε) Να βρείτε σημείο Λ του άξονα x΄x ώστε το συμμετρικό του Κ ως προς την ευθεία (ε) να βρίσκεται στον άξονα y΄y. ΖΗΤΗΜΑ 66Ο Δίνονται τα σημεία Α(1,5), Β(5,-2) και Γ(-3,-3) Α) Αν Μ(x,y) είναι τυχαίο σημείο του επιπέδου, να αποδείξετε ότι:  2  2  2 α) ΜΑ  ΜΒ  ΜΓ  70  2  2  2 β) Αν ισχύει ΜΑ  ΜΒ  ΜΓ  85 , τότε το σημείο Μ κινείται σε κύκλο (c) του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Β) Να αποδείξετε ότι το σημείο Ρ(3,1) περιέχεται στον κύκλο αυτό Γ) Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες του κύκλου που άγονται από το σημείο Τ(0,3) ΖΗΤΗΜΑ 67Ο Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων θεωρούμε τα σημεία Α(-1,0) και Β(1,0). Σημείο Μ(x0,y0) του επιπέδου κινείται ώστε να ισχύει:    2   ΜΑ  ΜB  2ΜO  ΜΑ  ΜB  18 442 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα Α) Να αποδείξετε ότι α) Το σημείο Μ κινείται σε έλλειψη της οποίας να βρείτε την εξίσωση β) 9 8   4 , με την προϋπόθεση ότι x 0 ,y 0  0 x 02 y 02 Β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο Σ(1,-1) και τέμνει την έλλειψη στα σημεία Ρ, Τα έτσι ώστε το Σ να είναι μέσο του τμήματος ΡΤ. ΖΗΤΗΜΑ 68Ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α(1,2) , η εξίσωση του ύψους BΔ  : x  4y  5  0 και η εξίσωση της διαμέσου ΓΜ : 3x  2y  3  0 α) Βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ και τις συντεταγμένες της κορυφής Γ β) Βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της πλευράς ΑΒ και της κορυφής Β. γ) Αν Ε το σημείο τομής των ΓΜ και ΒΔ τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΕΒΓ δ) Δίνεται η γραμμή (c) με εξίσωση x2  y2  λx   λ  8  y  3  0 (1). Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λ  και να βρείτε την τιμή του λ, ώστε ο κύκλος (1) να έχει διάμετρο την πλευρά ΒΓ. ΖΗΤΗΜΑ 69Ο Δίνεται η εξίσωση x 2  y2  2yx  8x  8y  12  0 Α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες (ε1) και (ε2) οι οποίες είναι παράλληλες Β) Αν  ε1  : x  y  2  0 και  ε2  : x  y  6  0 είναι οι δύο ευθείες που παριστάνει η (1) α) Βρείτε την εξίσωση του κύκλου (c) που εφάπτεται στις ευθείες (ε1) και (ε2) και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία  ε  : y  3x Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 443 Επαναληπτικά Θέματα β) Βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη απόσταση του σημείου τομής των ευθειών (ε1) και (ε2) από τον κύκλο (c). Γ) Βρείτε την εξίσωση της υπερβολής (c1) με εστίες στον άξονα x΄x, που έχει ασύμπτωτη την  ε  : y  3x και εστιακή απόσταση 2γ  10ρ2 , όπου ρ η ακτίνα του κύκλου (c). ΖΗΤΗΜΑ 70Ο   Δίνονται τα δύο μη μηδενικά διανύσματα α, β και η εξίσωση               α  β  α  β x  α  β  α  β y  α  β  0 (1) Α) Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει πάντα ευθεία Β) Με την προϋπόθεση ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ορίζεται να δείξετε ότι είναι μη αρνητικός   Γ) Αν α  β να δείξετε ότι η (1) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x   Δ) Αν α  β να δείξετε ότι η (1) είναι παράλληλη στον άξονα y΄y   E) Αν η (1) διέρχεται από την αρχή των αξόνων να δείξετε ότι α  β ΖΗΤΗΜΑ 71Ο   Σε καρτεσιανό σύστημα αξόνων x΄x και y΄y, τα σημεία A 0,α 3 , Β  α,0  και Γ  α,0  , α  0 παριστάνουν τρεις πόλεις. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΑΓ πα- ριστάνουν δύο εθνικούς δρόμους που συνδέουν την πόλη Α με τις πόλεις Β και Γ αντίστοιχα. Πάνω στον εθνικό δρόμο ΑΒ βρίσκεται το αεροδρόμιο Δ που εξυπη1 ρετεί και τις τρεις αυτές πόλεις σε σημείο ώστε AΔ  ΔΒ ενώ πάνω στον εθνικό 2 δρόμο ΑΓ βρίσκεται ο κεντρικός σιδηροδρομικός σταθμός Ε που εξυπηρετεί και τις τρεις αυτές πόλεις ώστε AΕ  2ΕΓ 444 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα Α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του αεροδρομίου Δ και του σιδηροδρομικού σταθμού Ε ως συνάρτηση του α. Β) Ένας ευθύγραμμος δρόμος ΒΕ συνδέει την πόλη Β με το σιδηροδρομικό σταθμό Ε και ένας ευθύγραμμος δρόμος ΓΔ συνδέει την πόλη Γ με το αεροδρόμιο Δ Στο σημείο που τέμνονται οι δύο δρόμοι χτίζεται ένα μεγάλο συνεδριακό κέντρο. Να βρείτε τις συντεταγμένες του συνεδριακού κέντρου ως συνάρτηση του α. Γ) Να αποδείξετε ότι ο ευθύγραμμος δρόμος που συνδέει την πόλη Α με το συνεδριακό κέντρο, τέμνει κάθετα το δρόμο ΒΕ. Δ) Αν η τριγωνική περιοχή ΑΒΕ έχει εμβαδόν 150 3 τετραγωνικά χιλιόμετρα, να βρείτε το α και στη συνέχεια την απόσταση του συνεδριακού κέντρου από το σιδηροδρομικό σταθμό και το αεροδρόμιο. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΖΗΤΗΜΑ 72Ο Δίνεται η εξίσωση x 2  y2   4λ  2  x   4λ  2  y  8λ2  1  0 Α) Να αποδείξετε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ του οποίου κύκλου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Β) Να δείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων κινούνται σε μια ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. Γ) Να βρείτε το σημείο της ευθείας του Β) ερωτήματος που απέχει από την αρχή των αξόνων την μικρότερη απόσταση καθώς και την τιμή της απόστασης. ΖΗΤΗΜΑ 73Ο Δίνεται η εξίσωση  c : x2  y2  2x  0 και η ευθεία  ε : xσυνθ  yημθ  1  συνθ  π με θ   0,   2 Α) Να δείξετε ότι η (c) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 445 Επαναληπτικά Θέματα Β) Να δείξετε ότι η ευθεία (ε) εφάπτεται στον κύκλο (c). Γ) Αν η ευθεία (ε) σχηματίζει με τον άξονα των τετμημένων γωνία 135ο να βρείτε την τιμή του θ. Δ) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα των τετμημένων και έχει εστία Ε(x0,y0) όπου Ε(x0,y0) οι συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου (c). ΖΗΤΗΜΑ 74Ο Δίνεται η υπερβολή  c : 64x2  100y2  6400 Α) Να βρείτε τις εστίες της, τις ασύμπτωτές της και την εκκεντρότητα της. Β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου βάσης. Γ) Αν Ε είναι η εστία της υπερβολής με θετική τετμημένη και (ε1) η ασύμπτωτη με θετικό συντελεστή διεύθυνσης να υπολογίσετε την απόσταση της Ε από την (ε1).  1344  Δ) Αν Μ1  11,  ένα σημείο του επιπέδου, να υπολογίσετε το γινόμενο 10   των αποστάσεων του Μ1 από τις ασύμπτωτες. ΖΗΤΗΜΑ 75Ο Δίνεται η εξίσωση  ε  :  2  λ  x  1  2λ  y  λ  5  0 Α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (ε) παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ. Β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία (ε) διέρχεται από ένα σταθερό σημείο Α, καθώς το λ μεταβάλλεται. Γ) Αν το τετράγωνο ΑΒΓΔ, όπου Α είναι το σημείο του ερωτήματος Β), έχει μία πλευρά του στην ευθεία η: 5x  12y  10  0 , να βρείτε το εμβαδόν του. ΖΗΤΗΜΑ 76Ο Δίνεται η παραβολή Μ(x0,y0) με x0, y0 ≠0.  c : y2  2px , p  0 . Θεωρούμε σημείο της παραβολής Α) Να εκφράσετε την τετμημένη του Μ σαν συνάρτηση του y0. Β) Για κάθε θέση του Μ ορίζουμε την ευθεία (ε) ως εξής: 446 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα Φέρνουμε την προβολή Ν του σημείου Μ στον άξονα y΄y και την ευθεία (ε) κάθετη από το Ν προς την ΟΜ α) Βρείτε τις εξισώσεις των παραπάνω ευθειών (ε) που σχηματίζουν με τους άξονες x΄x και y΄y ισοσκελές τρίγωνο. β) Δείξτε ότι όλες οι ευθείες (ε) όπως ορίστηκαν στο Β) ερώτημα διέρχονται από σταθερό σημείο το οποίο να προσδιορίσετε. ΖΗΤΗΜΑ 77Ο Σε ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι  ΑΒ   2   ΑΔ  και έστω σημείο Μ τέτοιο ώστε       ΔΜ  3  ΜΓ . Αν είναι ΑΒ  α και ΑΔ  β .     Α) Να εκφράσετε τα ΑΓ, ΒΜ ως συνάρτηση των α και β Β) Να αποδείξετε ότι ΑΓ  ΒΜ Γ) Εάν επιπλέον Κ είναι το σημείο τομής των διαγωνίων να αποδείξετε ότι     ΔΑ  ΔΒ  ΔΓ  4ΔΚ ΖΗΤΗΜΑ 78Ο   Δίνονται τα διανύσματα α   1,2  και β   2,3    Α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος γ  5α  3β  Β) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος γ  Γ) Να βρείτε την τιμή του κ  ℝ* ώστε το διάνυσμα u  κ 2 ,κ  να είναι κάθετο  στο διάνυσμα α   1,2  Δ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(2,1) και  είναι παράλληλη στο διάνυσμα α   1,2  ΖΗΤΗΜΑ 79Ο Δίνεται η εξίσωση x 2  y2  2λx  2λy   λ  1   0 (1) όπου λ  ℝ Α) α) Να δείξετε ότι για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ η (1) παριστάνει κύκλο Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 447 Επαναληπτικά Θέματα β) Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ των παραπάνω κύκλων για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων Κ των παραπάνω κύκλων Β) Αν λ  1 και  c  : y2  8x βρείτε: α) Την εστία Ε της παραβολής β) Τις εξισώσεις των εφαπτόμενων από το κέντρο Κ του κύκλου προς την παραβολή (c). ΖΗΤΗΜΑ 80Ο Δίνονται τα σημεία Α(1,3) και Β(5,7) Α) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου (ε) της ΑΒ Β) Να βρεθούν τα σημεία τομής Γ, Δ της (ε) με τους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα Γ) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΟΓΔ είναι 32 τετραγωνικές μονάδες Δ) Να βρείτε το πλησιέστερο σημείο Ν της ευθείας (ε) στην αρχή των αξόνων Ε) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΜΑΒ   2  ΟΓΔ  ΖΗΤΗΜΑ 81Ο Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κορυφές τα σημεία Α(-2,-1), Β(-1,1), Γ(3,3), Δ(x,y) με x, y πραγματικοί αριθμοί. Α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ.    Β) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων ΑΓ , ΒΔ , ΔΜ όπου Μ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ.  Γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΕ , όπου Ε η προβολή του σημείου Α στο φορέα ΒΔ.  Δ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΟΝ , όπου Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ΑΓ, ΒΔ και Ν το μέσο του τμήματος ΑΔ.   Ε) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ΑΒ , ΒΓ 448 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα ΖΗΤΗΜΑ 82Ο   Δίνονται τα σημεία Ο(0,0), το σημείο Β 1, 3 και τα διανύσματα ΟΑ , ΟΓ με     ΟΑ  3 και ΟΓ  3ΟΑ  2ΟΒ . Δίνεται επίσης το εσωτερικό γινόμενο   ΟΑ  ΟΒ  3   Α) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΟΑ και ΟΒ είναι μη συγγραμμικά   Β) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο ΟΑ  ΟΓ  Γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος ΓΟ   ΟΑ Δ) Να βρείτε την προβολή προβΟΒ        ΟΑ  κΟΒ  0 Ε) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ ώστε προβΟΒ  2ΟΑ   ΖΗΤΗΜΑ 83Ο Δίνεται η εξίσωση x 2  y2  2λx  2(2  λ)y  4λ  4  0 , λ  ℝ - {0} Α) Να δείξετε ότι παριστάνει κύκλο για κάθε λ  ℝ - {0} Β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου ως προς λ. Γ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων που ανήκει το κέντρο. Δ) Για λ=  2 βρείτε την εξίσωση της έλλειψης η οποία έχει εστίες τα σημεία στα οποία ο κύκλος τέμνει τον άξονα y΄y και μήκος μικρού άξονα τη διάμετρο του κύκλου. Ε) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής με κέντρο την αρχή των αξόνων, εστίες  στον άξονα y΄y, ασύμπτωτη παράλληλη στο διάνυσμα u   4, 2  και εστιακή απόσταση ίση με το μήκος του μεγάλου άξονα της έλλειψης. ΖΗΤΗΜΑ 84Ο Δίνονται το σημείο Ε(0,-6) και η ευθεία (ε): y  3  0 Α) Να προσδιορίσετε το σύνολο των σημείων Μ(x,y) του επιπέδου, για τα οποία ισχύει: 2  d M,ε   (ΜΕ) Β) Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας (δ) που είναι παράλληλη στο διά   νυσμα v  2i  j και διέρχεται από το σημείο Α(-1,2). Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 449 Επαναληπτικά Θέματα Γ) Να προσδιορίσετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων (ε1) και (ε2) στην καμπύλη του ερωτήματος (Α) που είναι παράλληλες προς την ευθεία του ερωτήματος (Β). ΖΗΤΗΜΑ 85Ο Δίνεται η εξίσωση (ελ): (λ  1)x  λy  λ  3  0 , (1) λ  ℝ Α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ  ℝ η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία. Β) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της παραπάνω οικογένειας διέρχονται από σταθερό σημείο. Γ) Να δείξετε ότι οι ασύμπτωτες της υπερβολής  c  : στην οικογένεια (ελ). y2 x2   1 δεν ανήκουν 16 9 Δ) Να βρείτε συναρτήσει του λ, το συνημίτονο της οξείας γωνίας που σχηματίζει κάθε ευθεία της οικογένειας (ελ) με την ευθεία (ζ): y  x  1 Ε) Να βρείτε ποιες ευθείες της οικογένειας (ελ) σχηματίζουν γωνία θεία (ζ): y  x  1 π με την ευ4 ΖΗΤΗΜΑ 86Ο   Δίνονται τα διανύσματα ΟΓ   x  1,2x  4  και ΟΔ   x  2,x  3 όπου x  ℝ Α) Να βρείτε το x ώστε τα παραπάνω διανύσματα να είναι κάθετα Β) Για τη μεγαλύτερη τιμή του x που βρήκατε στο ερώτημα Α) α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ΓΔ β) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου στα σημεία Γ, Δ γ) Αν Β το σημείο τομής της εφαπτομένης στο Γ με τον άξονα y΄y και Α το σημείο τομής της εφαπτομένης στο Δ με τον x΄x, να βρεθεί η εξίσωση και η εκκεντρότητα της έλλειψης με κέντρο την αρχή των αξόνων και μια κορυφή στον άξονα y΄y στο Β και μια στον άξονα x΄x στο σημείο Ζ  2x A ,0  . 450 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα ΖΗΤΗΜΑ 87Ο    Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα α, β, γ και η εξίσωση:       4x2  4y2  4 α x  4 β y  1  α  β  β  γ  0 (1) Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο του Β) Αν ο κύκλος της εξίσωσης (1) εφάπτεται με την ευθεία  ε  : x  y  1 τότε: 2 1 α) Να αποδείξετε ότι η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με 1 μονάδα β) Να υπολογίσετε τις γωνίες που σχηματίζουν μεταξύ τους τα μοναδιαία δια   νύσματα α, β, γ ΖΗΤΗΜΑ 88Ο Δίνεται η εξίσωση x 2  y2  2λx  4λy  5λ2  1  0 (1), λ  ℝ Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει ίσους κύκλους για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ. Β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλων. Γ) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι της εξίσωσης (1) εφάπτονται σε δύο σταθερές παράλληλες ευθείες των οποίων να βρεθούν οι εξισώσεις. Δ) Αν για τους α1 , α 2 , β1 , β2  ℝ ισχύει η σχέση:  α1  λ   β1  2λ    α2  λ   β2  2λ  2 2 2 2 να αποδείξετε ότι 0   α1  α2   β1  β2   4 2 2 ΖΗΤΗΜΑ 89Ο Α) Δίνεται η παραβολή (c): y2  2ρx , ρ  0 και η ευθεία (ε): 2α2 x  2αy  ρ  0 , α  0 Να αποδείξετε ότι:  ρ ρ α) Το κοινό σημείο τομής τους είναι το Μ  2 ,   2α α  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 451 Επαναληπτικά Θέματα β) Η ευθεία (ε) εφάπτεται στην παραβολή (c) στο σημείο Μ γ) Η απόσταση της εστίας της παραβολής από την ευθεία (ε) είναι d 1 ρ 2 α α2  1 Β) Δίνεται η παραβολή  c  : y2  4x και η ευθεία (ε΄) που εφάπτεται στην (c΄). Αν η (ε΄) σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 45ο, τότε: α) Να αποδείξετε ότι (ε): x  y  1  0 β) Να βρείτε τα σημεία τομής Β και Γ της (ε΄) με τους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα γ) Αν Ε είναι η εστία της παραβολής (c΄), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΓΕΒ ΖΗΤΗΜΑ 90Ο Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2,4), Β(4,0), Γ(6,0) Α) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικά μέρη. Β) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου (c) που διέρχεται από τα Α, Β, Γ Γ) Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης της οποίας η μία εστία είναι το σημείο Β και η μια κορυφή είναι το σημείο Γ. Δ) Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη απόσταση του συμμετρικού του σημείου Γ ως προς την αρχή των αξόνων από τον κύκλο του ερωτήματος Β). Ε) Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Α και αποκόπτει 428848 από τη ευθεία (ε) χορδή μήκους 53 ΖΗΤΗΜΑ 91Ο Α) Στο σύστημα αναφοράς Οxy θεωρούμε τα σημεία Α(3,2), Β(1,0) και Γ(10,4). Η ΑΓ τέμνει τον Οx στο Δ και η ΑΒ τον Οy΄ στο Ε α) Να βρείτε την τετμημένη του Δ και την τεταγμένη του Ε 452 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Επαναληπτικά Θέματα β) Αν Ι το μέσο του ΟΑ, Μ το μέσο του ΒΓ και Κ το μέσο του ΕΔ, να εξετάσετε αν τα σημεία Ι, Μ, Κ είναι συνευθειακά. Στην περίπτωση που τα σημεία Ι, Μ, Κ είναι μη συνευθειακά να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου που αυτά σχηματίζουν. Β) Μια μεταβλητή ευθεία (ε): y  λx  β τέμνει την παραβολή (c): y2  4x στα σημεία Α, Β  2  λβ 2  Να δείξετε ότι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ είναι Μ  2 ,  λ  λ Κατόπιν, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ στις παρακάτω περιπτώσεις: α) Αν λ  1 και β  ℝ β) Αν β  0 και λ  ℝ* Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 453 Απαντήσεις ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 8) Θεωρείστε σημείο αναφοράς ένα από τα Α, Β, Γ και κάνοντας πράξεις απαλλαγείτε από το σημείο Ρ στο f(Ρ). 1) α) Δείξτε ότι ΑΒΓΔ και ΑΓΕΒ είναι παραλληλόγραμμο.   3) Δείξτε ότι ΔΕ  ΕΑ 1.2 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ 1) α) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς. 4) α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ο ο ο β) Θεωρείστε Μ σημείο αναφοράς. γ) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς. ο 5) α) 60 β) 120 γ) 90 δ) 150 δ) Θεωρείστε Δ σημείο αναφοράς. 1.3 ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1)    x  α  β      x βα δγ       x  β  δ  γ  α  ε 2) Θεωρείστε Μ σημείο αναφοράς.   3) Ξεκινήστε από το 3ΑΓ  2ΒΓ και θεωρείστε Α σημείο αναφοράς.   4) Ξεκινήστε από το 3ΑΓ  2ΒΔ και θεωρείστε Γ σημείο αναφοράς.   5) Ξεκινήστε από τη ΔΑ  ΓΒ και θεωρείστε Σ σημείο αναφοράς.       2) α) ΑΓ β) ΔΒ γ) 0 δ) 0 ε) ΔΓ στ) ΔΒ   6) f(Β)  f(Α)  ΟΛ  ΟΚ  ... 3) Θεωρείστε σημείο αναφοράς ένα από τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε. 8) Θεωρείστε Δ σημείο αναφοράς και δείξτε   ότι ΔΓ  0 . 4) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς και δείξ  τε ότι ΑΒ  0 . 9) Θεωρείστε Μ σημείο αναφοράς και δείξ  τε ότι ΜΝ  0 . 5) Θεωρείστε Ο σημείο αναφοράς και δείξ  τε ότι ΟΑ  0 . 6) Αφού Μ μέσο του ΑΒ έχουμε ότι   ΜΑ  ΒΜ . Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς.   7) Δείξτε ότι ΑΒ  ΜΓ . 10) Θεωρείστε Μ σημείο αναφοράς και   δείξτε ότι ΜΝ  0 . 11) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς και κά νοντας πράξεις στο u διώξτε το μεταβλητό σημείο Μ. 12) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς και κά νοντας πράξεις στο u διώξτε το μεταβλητό σημείο Μ. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 457 Απαντήσεις 13) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς. 14) Θεωρείστε Μ σημείο αναφοράς και δείξ  τε ότι ΜΝ / /ΜΡ . 15) Θεωρείστε Μ σημείο αναφοράς και δείξ  τε ότι ΜΝ / /ΜΡ . 16) α) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς και   δείξτε ότι ΑΟ / /ΑΚ . β) Κ μεταξύ των Α και Ο   17) α) 4ΑΒ  7ΑΓ  1   18) ΑΜ  ΑΒ  ΑΓ 2 σημεία Κ, Μ, Λ και το Μ αποτελεί μέσο των ΚΛ και ΒΓ.     24) α) Είναι ΟΑ  ΟΒ  ΟΓ  ΟΔ       ΟΑ  ΟΒ  ΟΓ  ΟΔ     2ΟΜ  2ΟΝ (1)     Όπου Μ και Ν τα μέσα των χορδών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. Οπότε τα τμήματα ΟΜ και ΟΝ είναι αποστήματα των χορδών και το τετράπλευρο ΟΜΣΝ είναι ορθογώνιο και με τη βοήθεια της σχέσης (1) αποδεικνύεται το ζητούμενο. ο  1  1  1  19) ΑΜ  ΑΒ  ΑΔ  ΓΒ 3 3 6  20) α) Στο ΑΒΔ είναι Ν μέσο ΒΔ άρα    ΑΒ  ΑΔ ΑΝ  (1) 2  Στο ΒΓΔ είναι Ν μέσο ΒΔ άρα    ΓΒ  ΓΔ ΓΝ  (2) 2 Προσθέστε κατά μέλη τις (1) και (2)  και κατόπιν στο ΓΝΑ είναι Μ μέσο ΑΓ άρα:    ΝΑ  ΝΓ ΝΜ  2 β) Όμοιο με α) ερώτημα    21) Παρατηρήστε ότι: ΑΔ  ΑΒ  2ΑΚ  ...    ΜΑ  ΜΒ  22) Είναι: ΜΜ  2 ο 23) Ξεκινήστε από το 1 μέλος και παρατηρήστε ότι λόγω των αρχικών ισοτήτων η πλευρά ΒΓ τετραχοτομείται από τα 448 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας β) Ξεκινήστε από το 1 μέλος και θεωρείστε σημείο αναφοράς το Ο. 25) α) Θεωρείστε Ο σημείο αναφοράς και   χρησιμοποιήστε ότι ΟΝ, ΟΜ διανυσματικές ακτίνες μέσων. β) Θεωρείστε Κ μέσο του ΑΣ και δείξτε ότι το ΑΜΝΚ είναι παραλληλόγραμμο.          26) ΑΒ  β  α, ΒΓ  α  β, ΓΔ  α  3β,      ΑΓ  2β, ΒΔ  2α  2β.  4 27) v  u 3   28) ΑΓ  4ΑΒ       29) α) ΑΒ  β  α, ΑΓ  2 β  α    2  30) Παρατηρήστε ότι ΑΔ  ΔΒ 5   31) ΓΒ  α,   ΒΓ  α,  1  ΑΔ  γ, 3 Απαντήσεις   1  ΟΔ  α  γ, 3    ΑΓ  γ  α 45) λ = 2 ή λ = 3.        1   32) α) ΓΑ  α  γ, ΑΒ  α  γ, ΕΔ  α  γ . 2    1    1   33) α) ΔΕ  α  3β , ΕΖ  α  β , 4 2  β) Εκφράστε το ΖΒ ως γραμμικό συν  δυασμό των α, β           35) α) ΑΒ  6β  6α , ΟΔ  4β  3α ,    ΜΕ  2β  2α   β) Δείξτε ότι ΜΕ / /ΑΔ  1   1    1   36) α) ΑΕ  α, ΒΖ  β  α , ΓΔ  α  β 2 2 2     β) Δείξτε ότι ΑΕ  ΒΖ  ΓΔ  0.     38) ΔΕ  (κ  λ)ΒΓ.   48) Δείτε το παράδειγμα 14 σελ. 37 49) Δείτε το παράδειγμα 14 σελ. 37  1 2  1 1 51) u  α  β, v   α  β 3 3 3 3 1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ      1   37) α) ΑΓ  α  β, ΑΕ  α  β , 4  1      ΒΕ  β  3α , ΒΔ  β  3α, 4   β) ΒΔ  4ΒΕ     47) Δείξτε ότι α  6 2γ  β  3  4   4  3  50) u  α  β v  α  β 25 25 25 25   34) Δείξτε ότι ΔΖ / / ΔΕ  46) Δείτε το παράδειγμα 14 σελ. 37  1) α) λ  3 ή λ  2 β) λ  1 ή λ  3 γ) λ  ℝ 2,1,3 δ) λ  3 2) α) λ   2,   β) λ   1,2  γ) λ   2,1 δ) λ    ,2  3) α) β) 4  4κ  39) ΒΓ  ΒΑ 3 3 -4   40) ΓΔ  κΓΒ. δ) γ) 41) λ  2. 1 -3 3 42) x  4 ή x  1 κ  2  43)  και ή λ  5    44) ΜΝ  λΜΓ κ  3   και λ  6  1 -1 ε) 4 -1 1 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 449 Απαντήσεις  4) α) α   7, 6   γ) γ   3,0   ε) u   22, 2   β) β   4,5  δ) δ   0, 4  β) λ  2 , κ  3 γ) λ  0 , κ  1 7) α) λ  2 , κ  1 β) λ  3 , κ  2 γ) λ  1 , κ  2 2 3 , κ 5 5  57  56  20) u  α  β 17 17   22) α) ΑΒ   7, 3 , ΑΓ   2, 12  ,  ΒΓ   5, 9   β) u   29,21  γ) u   2κ,4κ  9) Δεν υπάρχει καμία τιμή του λ 10) κ  1 , μ  2 , ρ  1 β) λ  3 23) x  1 , y  2 γ) λ  2   19 18  12) α) ΑΒ  1, 1 β) Γ(0,7) γ) Δ  ,   5 5  1   24) Α) ΑΓ  ΑΒ  ΑΔ 2    Β) α) ΑΔ  2ΑΒ  ΓΔ  4  2  β) ΚΔ   ΑΒ  ΓΔ 3 3 13) x  1 , y  2 14) α) Α΄(10,1) β) Γ΄(-4,-2) 15) α) Β(2,-1) β) Γ΄(0,-3)   16) α) Παρατηρήστε ότι ΑΒ  ΔΓ   5,7  22) α) Ν  7,0   11  β) Λ   ,0   4   11  γ) Ρ   ,0   3  26) Α(-1,3), Β(5,-3), Γ(7,7) 1 1 β) Κ  ,  2 2   27) α   1,2  , β   0, 3 17) Γ(5,-3) και Δ(1,-5)  18) α) u   13,7   γ) u   2κ,4κ   11  2  21) u  α  β 5 5 6) λ  2 11) α) λ  3  β) u   1, 2   δ) u   2κ  3λ,4κ  2λ  5) α) λ  2 , κ  5 8) λ   19) α) u   5,6  28) λ  5 ή λ  2  β) v   17,19  450 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Απαντήσεις 29) λ  43) λ  4 ή λ  3 6  59 2  44) α   6,8  30) x  0 , y  3  5 45) α  2 31) x  1 , y  1 32) α) λ  3 ή λ  2 β) λ  1 ή λ  1    46) α) ΑΒ  1, 5 ΑΓ   3, 2  ΒΓ   2,3 33) λ  6 β) κ  2 , λ  18 34) α  3 , β  2  γ) x  13   35) Δείξτε ότι det AB,AΓ  0  36) μ  1 ή μ   2 3   37) Δείξτε ότι det AB,AΓ  0   38) μ  1 και μ  4   39) α) Δείξτε ότι det α,β  0      β) γ  γ1  γ2   με γ1   2,4  και γ2   2, 5 40) x  3   41) α) u   5,22  , v   9,1    β) α  29 , β  5 , γ  5   u  509 , v  82    42) α) α  β  γ  50       β) α  β  β  γ  α  γ  11  17 ε)  65 δ) ΑΜ  2 Δείξτε ότι ισχύει το Πυθαγόρειο  2  2  2 Θεώρημα δηλ. ΑΒ  ΒΓ  ΑΓ    47) α) ΒΓ  9i  j ,  ΑΓ   13 ,  ΑΒ   5 , ΒΓ   82  15 9  306 β) ΑΜ  i  j ,  ΑΜ  2 2 4  48) β  18, 24   49) u   2,4   2 5 5 50) u   ,  5 5   51) Γ(-4,0) ή Γ (-3,0)  2  52) Γ   ,0   5  53) α) λ α  1 , λβ  δεν ορίζεται , λ γ  0 , λ δ  3 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 451 Απαντήσεις  7π β) Το α σχηματίζει γωνία 4  3π Το β σχηματίζει γωνία 2  Το γ σχηματίζει γωνία π  4π Το δ σχηματίζει γωνία 3 54) 61) Θεωρείστε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή την κορυφή Β και   δείξτε ότι det ΔΕ,ΔΖ  0 .  62) Θεωρείστε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή την κορυφή Β. 7π 4 1.5 1 1 και εφω  2 3 Κατόπιν χρησιμοποιήστε τον τύπο: εφφ  εφω εφ  φ  ω   1  εφφ  εφω  ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 55) Παρατηρήστε ότι εφφ  1) α) 3 β) 2 3 γ) 6 2. 2) 56) α) Παρατηρήστε ότι:   det α,β  2x 2  x  1  0  α β για κάθε x  ℝ     συν  α ,β    2 3 1 3 2 5 84 7 1 7 12 3 7 11 21 -11 3) α) -1 β) 12 γ) 43. 4) α) 0 δ) 25 β) 9 και 16 ε) -37 γ) -7 στ) 25 5) α) 20 δ) -5 β) 31 ε) 56. γ) 5   β) 5π 4  δ) v  57) x   3 γ) γ  α 2  2, 2 2  2 10 10 , y 5 5  58) v   6, 8  59) Θεωρείστε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή μια από τις κορυφές του τετραπλεύρου. 60) Θεωρείστε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με αρχή μια από τις κορυφές του τετραπλεύρου και άξονα τετμημένων φορέα μιας εκ των πλευρών του παραλληλόγραμμου.   6) u  2 10. 7) α) 3  1  β) u  α  β 3          π 8) α) v  2 5 β)  α,v    β,v       3 452 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας   α β ζ) 5 Απαντήσεις  26) ΒΓ  10. ο 9) 52 ο 10) 41 27) α) 14 11) α) β) 7 19 γ) 139. β) 18 28) α) λ = 1 ή λ = 2 β) λ=  2  12) v  1. γ) λ = 1  27  7 13) α  , β . 5 5 5 14) α) 6 3 δ)  51 785 1570      2  30) α  3β  γ  α  3β  γ2  ...    32) α) Δείξτε ότι α  β  0    2 2 2 β) α  β  α  β  α  β  λ3  33)  και ή μ  1    3  17) β  α  γ 3 γ) 7 3 19) α) 5 β) -10 γ) 5 π β) /3 π λ  3     μ 1  34) π δ) -10 35) Α) α) 41 β) -332 3 20) α) 0  31) (2, -1) ή (-2, 1).  16) ΑΜ  19. β) -1 ή λ=0 ή λ=1 2 3   15) α) 3 β) 0 γ) Παρατηρήστε ότι α  β 18) α) 11 3 29) λ = /2 ή λ = - /2.   β) u  v  51   γ) u  157 v  2 5 γ) (-24, 72). Β) α) /4 ή - /4 β) 3 ή  3 2π γ) /4 δ) /3. 3π 21) /4.  1   1  22) α) v   ,1  , u   , 1  β)  4 5 3  3  3     36) Δείξτε ότι u  α  0 και v  α  0 37)         α β  1β  α  β  ...  συν α,β  1   38) α  3 , β  1 23)  1, 5  20 11  24)   ,    13 13  25) α) 16 β) (2,34), γ) 1 (20 1326 565 2,30 1352 565 2). 130     π 39) α) Δείξτε ότι α  β  0 β) α,γ  4    2 8 41) β)   ,   3 3  33 44  42)   ,   25 25  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 453 Απαντήσεις   43) προβα v  α  4 8 44)   ,   5 5 45) λ   9 2   46) προβ ΑΜ  5ΑΓ  ΑΓ   19 57    39 13  47) u1    ,  u2   ,   10 10   10 10    48) γ  (7, 14) δ  (5,15)   49) u1   3,4  u2   8,6    50) u1   2, 3  u2   6,4  60) Πολλαπλασιάστε με -2 και προσθέστε   και στα δύο μέλη με 2α 2 και 2β2 61) α) 7, β) 7.        62) α) α  2β  γ  0  γ  2β  α  2   2  γ  2β  α ...   β) Χρησιμοποιήστε το προήγουμενο ερώτημα.        63) α) α  β  γ  0  α  β   γ    2 2  α β  γ          β) α  β  γ  0  β  γ  α    2 2  βγ α     2 3    28 7  51) u1   ,  u2   ,   10 10   10 10    64) α  5β   52) u1  1, 2  u2   4, 3  65) α) Με απαγωγή σε άτοπο    53) p  α  (1,2) q  (0,0)  33 44  54) α)   ,   ,  25 25    33 44    8 6 β) u1    ,   u2   ,   25 25 25 25     5 55)  . 2 56) α) π 5π ή β) -107. 3 3 57) 3. 58) 3. 59) 1. 454 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας  5  β) x  α  5β 3   51 17    4 6 66) x    ,  και y    ,   .  26 13   13 13  ο 67) Ξεκινήστε από το 2 μέλος και χρησιμοποιήστε τα δεδομένα.   68) α) Δείξτε ότι v  υ  0  69) x   7, 3  . 70) Ξεκινήστε από τα σύνθετα μέλη.  2 7 2 71)  ,  .  10 10  Απαντήσεις       ΑΓ  ΒΔ  ΑΒ  ΒΓ ΒΓ  ΓΔ      72) Δείξτε ότι συν α,x  συν x,β              2  2  ΒΓ  ΑΒ ΒΓ  ΑΒ  ΒΓ  ΑΒ            73) α) α  β  α  β συν  α,β   α  β              β) β γ  α  γ α β  β γ  α  γ α β  ...       2  2  ΒΓ  ΑΒ  0 78) Α ο 74) α) Ξεκινήστε από το 1 μέλος. 75) Β Γ Ο Α       ΑΒ  ΑΓ  ΑΟ  ΟΒ ΑΟ  ΟΓ   θθ Β  Γ Δ   Α 79) Μ Γ  θ Δ  Γ θ    80) Μ Δ Ε Α θ Β Β Γ       2    ΑΜΒΜ  ΑΜ ΑΜ  ΒΜ  ΜΒ  ΑΜ  0    2  2    ΒΓ  ΑΜ  ΒΜ  ΑΜ  ΒΜ  ΒΜ  2  Α        ΑΒ  ΒΓ  0  ΑΜ  ΜΒ ΒΜ  ΜΓ  0           ΑΜ ΒΜ ΑΜΜΓ  ΒΜΜΒ  ΜΒ ΜΓ  0      ΑΒ  ΑΓ  ΑΔ  ΒΓ   ΒΓ  2 1      ΑΒ  ΒΓ  ΑΓ  ΒΓ  2   1    ΑΒ  ΒΓ συν(π-θ)  ΑΓ  ΒΓ συνθ  0 2 77)  Β Α θ Β π-θ   2  2  ΑΟ  ΟΒ  0      ΑΔ  ΒΓ  ΑΔ  ΒΑ  ΑΓ           ΑΔ  ΒΑ  ΑΔ  ΑΓ  ΑΔ  ΑΒ  ΑΔ  ΑΓ        ΑΔ  ΑΒ συνθ  ΑΔ  ΑΓ συνθ  0 76)      2  2  ΑΟ  ΟΒ ΑΟ  ΟΒ  ΑΟ  ΟΒ  Γ   1     ΑΒ  ΒΓ  ΑΕ  ΑΔ ΒΑ  ΑΓ  2         1  ΑΕ  ΒΑ  ΑΕ  ΑΓ  ΑΔ  ΒΑ  ΑΔ  ΑΓ  2      Δ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 455 Απαντήσεις  1      ΑΕ  ΑΒ  ΑΔ  ΑΓ  2   6) 1     π     π     ΑΕ  ΑΒ συν  θ  ΑΔ  ΑΓ συν  θ   0 2 2   2  8) 83) Ευθεία κάθετη στο ΑΒ. 84) Κύκλος με κέντρο το βαρύκεντρο του τριγώνου. 9) 85) Κύκλος με κέντρο το μέσο του ΑΒ. 10) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1) 2) 3) 4) 5) α) β) γ) δ) ε) στ) Λ Λ Σ Σ Σ Λ α) β) γ) δ) ε) Λ Σ Σ Λ Σ α) β) γ) δ) ε) Σ Λ Σ Λ Σ α) β) γ) δ) ε) Λ Σ Λ Λ Σ α) β) γ) δ) Σ Σ Λ Λ 456 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 2) 3) 4) ε) β) στ) δ) 1) 2) 3) 4) στ) α) ε) γ) 1) 2) 3) γ) α) δ) 1) 2) 3) 4) γ) δ) στ) δ) 7) 81) Κύκλος με κέντρο το μέσο του ΑΒ. 82) Κύκλος με διάμετρο την πλευρά ΒΓ 1) Διανύσματα   Γωνία  α με τον x’x Γωνία  β με α β (2,0) (0,-3) 0 π (2,2) (-3,3) π 3π (2,2) (3,3) π (0,2) (-2,0) π 11)  α 4 π 2 4 2 0 4 0 π (-1,4) (2,-3) π (3,2) (-1, 2 ) π (1, 3 ) (1,1) π  1 6 ,    2 2   3 1   3 , 3    5π 3 6 4 6 2 α β    α β 17 13 11 13 3 3 13 2 2 2 2 6       α ,β    2 π π 2 β α,β τον x’x 4 Διανύσματα  Γωνία   3 2 - 2 2 Απαντήσεις ΘΕΜΑ Δ 12) i) ii) iii) iv) v) vi) vii) Δ Ε Ε Α Γ Δ Δ viii) ix) Ε Β     38 57   66 34  Δ1) v  v1  v2   ,    ,    13 13   13 13  Δ2) α) x  3 β) π 2ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α1) α) Θεωρία ΘΕΜΑ Α Α1) Θεωρία Α3) 1) 2) 3) 4) 5) Λ Λ Λ Σ Λ 6) 7) 8) 9) 10) Σ Λ Σ Λ Σ Β2) α) Διαδοχικά δείξτε ότι    det κ,v  0 , det v,u  0 , det κ,u  0 ΘΕΜΑ Γ   Γ1) α  β  6   Γ2) α  2β  7     Γ3) v  u και v  u β) γ) δ) v) iv) i) iv)         Β1) α) α  β  α  β συν  α,β   ...   Β1) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς και δείξτε   ότι ΑΒ / /ΑΓ    β) u  2κ  3v α) ΘΕΜΑ Β ΘΕΜΑ Β   β) Θεωρία Α2) Α2) Θεωρία   4          2   2 β) α  β  α  β  α  β  α  β  ...     Β2) α) Δείξτε ότι: α  β  α  β     β) Δείξτε ότι: β  γ  β  γ   Β3) Δείξτε ότι: ΑΒ  ΑΓ  0 ΘΕΜΑ Γ Γ1) α) Δείτε το παράδειγμα 17 σελ. 70 β) Δείτε το παράδειγμα 17 σελ. 70 Γ2) α) Θεωρώντας Α σημείο αναφοράς δείξτε   ότι: ΑΒ  ΑΓ β) Θεωρώντας Α σημείο αναφοράς δείξτε   ότι: ΑΒ  ΑΓ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 457 Απαντήσεις ΘΕΜΑ Δ 3) α) -2, β) 0, γ) δεν ορίζεται  7 5 Δ1) Θ   ,   4 4   Δ2) α) Είναι ΓΑ   3,3 , ΓΒ   5,1 γ) Κύκλος με κέντρο το Θ 2.0 1) α) ναι ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ β) ναι γ) όχι 4) α) 1 β) -1 γ) 0 δ) δεν ορίζεται 1 5) α) 8 β) /8 γ) 0 1 γ) Α → όχι, Β → ναι, Γ → όχι 1 6) α) 5 β) /2 γ) /2 δ) 0 ε) 0 7) α) π π 3π 5π , β) , γ) , δ) , ε) 0. 4 3 4 6 8) α) π π , β) , γ) 0, 4 3 9) α) π 4 β) δ) π 4 ε) 0 2) α) Α → ναι, Β → όχι, Γ → όχι β) Α → όχι, Β → όχι, Γ → ναι 2 δ) δεν ορίζεται ε) - /3 δ) π 2 2π 3π γ) 3 4 στ) π 2 3) α) λ = 2 β) λ = 0 γ) λ ∈ℝ δ) Για καμία τιμή του λ π    π    π 10) α)  ε1 , xx   και  ε2 , xx   γ) 12   3   4 4) α) έχει άξονα συμμετρίας τον xx , 3 11) α) λ ΑΒ  1, λΒΓ  2, λ ΑΓ   , 2 β) έχει άξονες συμμετρίας τους xx και yy και κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. 5) α) x 2  y 2  3x  2y  10  0, 2 2 β) x  y  3x  2y  10  0, γ) x 2  y 2  3x  2y  10  0, δ) x 2  y 2  2 x  3y  10  0. 6) α)  1,1 , β)  2,5 και  4, 1 ,  38 59  γ)  1,1 και   ,   .  25 25  2.1 – 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1 2 β) λ ΑΔ  , λΒΕ  , λΓΖ  1, 2 3 γ)  114 2 1 2 , , 1, δ) , , 1. 3 3 2 3 1 12) λ ΑΒ  λ ΔΓ   , λΒΓ  λ ΑΔ  3, 2 1 λ ΑΓ  1, λΒΔ  . 3 13) α) λ   3  3 , β) μ  2 και λ  2, γ) μ  2 και λ  2. 14) α) y  3x  9, γ) y  x  5, 1) α) 1, β) δεν ορίζεται γ) 0. 2) α) 3, β) δεν ορίζεται γ) 0. 458 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας β) y  5x  13, δ) 3x  4y  18  0, ε) 5x  4y  2  0, στ) y  3 ζ) y  3. 15) α) x  5y  17  0, β) x  y  36  0, Απαντήσεις 31) (3, 1), (5,1), y  x  2, x  2y  7  0, x  4 y  1  0.  163 19  γ)  ,  . 4   4 16) α) y  x  7, β) (7,0) και (0,7), γ) 3 . 4 17) α) (ΑΔ): x  3 β) (ΒΕ): x  3y  5  0 γ)  : 2 x  4 y  5  0 18) α) 3x  7y  4  0, β) 9x  5y  6  0,  11 9  γ)  ,  .  39 13  3 13 35) α) Γ(1,-2) β) y  x  γ) y  x+7 5 5 20) y  x. 36) 8x  3y  13  0, y  2x  1, Β(5, 9), Γ(8, 17), Δ(1, 3). 21) α) y  x  2, β) y  x  8. 1 22) y  x. 4 23) y  7x  5.  20 30  24) 2x  3y  10  0 και   ,  .  13 13  25) α  2, β  4, y  x  6.  162 189  26) 6x  7y  27  0 και   , .  85 85  37) α) y  2x  5, x  2y  10  0, 10 5 β) Α(2,1), Β( ,  ), 3 3 4 17 Γ(0,5), Δ( , ). 3 3 3 38) 2x  3y  13  0, y   x 2 39) γ)  ΑΓ  : y  x,  ΒΔ  : y  x  2, δ) (1, 1). 41) y  x  3, y  x  1. 28) (ΑΒ): y  2x  3, (ΑΓ): y  2x  5, (ΒΓ): y  6x  21. 42) y  x  2, y  4x  4. 43)  ε1  : x  2y  3  0 ,  ε2  : x  2y  8  0  ΑΒ  : y  x  7,  ΑΓ  : x  5y  19  0, ΒΓ  : y  2x  16, Α(9, 2), Β(3,10), Γ(11, 6). Β(4, 1), Γ(4, 1), y  x  3, y  1. Α(2,5), 40) y  x  3, y  x  1. 1 3 27) y   x  2 2 30)  16 4   2 13  33) Β  ,   , Γ   ,    5 5  3 9  3 4 34) α)  ,   , β) y  7x 5 5 5 19) x  2y  6  0. 29) 32) (ΑΒ): y  4x  3 (ΑΓ): y  2x  1 4 5 (ΒΓ): y  x  3 3 ή  ε1  : 3x  y  4  0 ,  ε2  : 3x  y  9  0 44) x = 2. x  3y  1  0, 45) x  4y  4  0. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 459 Απαντήσεις 46) x  1 ή y  0. 47) 67x  57y  229  0. 2 48) y   x  6. 3 65) Για κάθε κ  ℝ  2 η εξίσωση παριστά ευθεία. Για να μην ανήκει κανένα σημείο της ο ευθείας στο 4 τεταρτημόριο πρέπει: κ   1,2    2,   2 49) y  2x  6. 50) y  2x  2, y  2x  22. 51) y  3 3 x 2 ή y  x  2. 3 3 66) κ = -1 ή κ = /3. 67) α) κ  ℝ  2 β) Το (1, 1) δεν διέρχεται από την μονοπαραμετρική οικογένεια. 68) 5x  4 y  9  0 23  11 16  52) Γ   ,  .  13 13  5 3 53) Κ  ,  , Β(4,0). 2 2 54) x  2y  3  0. 55) α) 5x  6y  2  0, β) 5x  6y  2  0, γ) 5x  6y  2  0, δ) 5y  6 x  2  0. 56) α) Β 10, 1 β) 2x  5y  25  0  25 5  57) Μ ,  .  13 13  58) 13x  7y  19  0. 59) 2x  6y  19  0. 60) y  2x  3. 69) β) κ= /10 70) β) Κ(1, 2) γ) μ = -1 ή μ = 3 71) β) Κ(  4,3).  13 18  72) α) Κ   ,  , Λ(0,1),  7 7  β) 11x  13y  13  0. 73) β) Κ(2, 1), γ) κ = -3/5. 74) κ   17 31 , μ 6 12 75) Θέστε δύο τυχαίες τιμές στο λ, βρείτε δύο ευθείες που ανήκουν στην οικογένεια, βρείτε το σημείο τομής των δύο αυτών ευθειών και τέλος δείξτε ότι οι συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών δεν επαληθεύει την εξίσωση της οικογένειας. 76) β) Όμοια με 75 61) α = 2/3. 62) d  3 2.  λ  10  63) μ  1 και  ή λ  6  64) α) λ = 3 β) λ = 1 γ) λ = 0. 460 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 77) α) λ  1, β) δεν υπάρχει λ  ℝ γ) λ = 1, δ) λ = -2/3. 78) α) κ  1, β) κ = 1, γ) Δεν υπάρχει κ  ℝ δ) Δεν υπάρχει κ  ℝ 79) α) τέμνονται στο (1, -1), Απαντήσεις β) κοινά σημεία ανά δύο Α(1,2), Β(-2,1), Γ(23,-9) γ) ε1 //ε2 , κοινό σημείο των ε1 , ε3 το 1 1 (-1,2) και των ε2 ,ε3 το ( /2, /2) δ) ε2 //ε3 κοινό σημείο των ε1 ,ε3 το 2 13 3 3) α) 39/5, β) 12/5. 4) Α(-8,9), Β(12,-11). 5) 5x  12y  50  0 ή 15x  36y  10  0. 1 (- /7, /14) και των ε1 ,ε2 το ( /7,- /7). 6) x  2y  13  0, x  2y  7  0. 80) κ   2. 7) 3x  4y  10  0, x  2. π 81) /4. 8) y  2, 21x  20y  42  0. 82) 45 84) y  x  2 και x  2y  1  0. 9) y  2x, x  3y  0. 85) x  2y  1  0 και 2 x  y  4  0. 10) x  3y  18  0, 3x  2y  1  0. 86) x  3y  5  0, 3x  y  6  0 και ε1  ε2 . 11) 6x  8y  29  0, 6x  8y  11  0. 87) Ε = 4/3. 7 3 12) y  2x  , y  2x  . 2 2 π 2π 5π π 88) β) /3 και /3, γ) /12 και /12. 89) α) y  2x  1, β) 2 x  3y  5  0, γ) x = 3, δ) x = 4, ε) y = 1, στ) y = 2, ζ) y = 2, η) y = 3, θ) y   x  5, ι) x  2y  5  0. 90) β) y  2x  4 91) 4x  6y  11  0. 13) y  x  13, 2x  2y  3  0. 14) y  x  2, y  x  2.   μ  1  μ  1 μ  1  μ  1     15)  και ή  και ή  και ή  και λ  1   λ  1  1 1   λ   λ   3 3   92) y  2x  8. 16) d(Α,ΒΓ)  93) 6x  12y  35  0. 2.3 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 5 17 . 17 17) α) Γ(5,-6), Β(0,-2) β) μήκος ύψους: 17 10 10 μήκος διαμέσου: 1) α) 2) α) 2, 5, β) 2, γ) 3, 73 2 δ) 4. 2 β) , γ) 2012, δ) 2008. 2 18) Α(-1/2,-1/2) και d (,  )  2 . 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 461 Απαντήσεις 2 36) x  2y  4  0, x  . 3  1 1 19) α)    ,   ,  2 2 β) λ      5 11  8 3 ή 71 5 11  8 3 71 9 3 γ) λ = - /4 ή λ = - /4. λ 37) α) y  5x  8 εκτός από το  0,8  , ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 20) α) 15, β) 9. 1) α) β) γ) δ) ε) στ) Σ Σ Λ Λ Σ Λ α) β) γ) δ) ε) Σ Σ Σ Λ Σ α) β) γ) δ) ε) Σ Σ Σ Σ Σ α) β) γ) δ) ε) στ) Λ Σ Λ Σ Λ Σ α) β) γ) δ) ε) Λ Λ Λ Σ Σ α) β) γ) δ) ε) Σ Σ Σ Λ Σ α) β) γ) δ) Λ Σ Σ Λ 34) 3x  2y  0, x  6y  0. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 35) x  3y  5  0, y  3x  7. β) δ) γ) γ) δ) α) 21) y  2x  2 ή y  8x  4. 22) y  2x  4 ή y  (6  4 2)x  4  4 2 2) ή y  (6  4 2)x  4  4 2. 23) y  x  1, y  x  7. 3) 24) (3,1) ή (-5,-3). 25) β) 2, γ) 4. 4) 26) (0,5), (4,3). 1 2 27) α)    , β)   0 ή    . 3 3 5)  (7, 3)   (17, 3)  28)   ή  . (6, 4) (18, 4) 29) 4/3. 6) 30) 3x  2y  5  0. 15 31) α) 2x  3y  11  0, β) /2. 7) 32) β) y  x  1, y  x  5. 33) 3x  5y  23  0, 3x  5y  25  0. 8) 462 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Απαντήσεις ΘΕΜΑ Β 9) 1) 2) 3) 4) 5) β) γ) δ) στ) α) 1 1 Β1)  ΑΒ  : y  x  3 ,  ΑΓ  : y  x  3 3 Β2) Β(4,-1), Γ(-4,-1) 10) 1) 2) 3) 4) 5) Β3)  ΒΓ  : y  1 β) γ) ε) α) δ) Β4)  ΑΒΓ   8 τ.μ. 1) 2) 3) 4) 5) δ) γ) α) ε) β) Β5) Μ(2,5) 11) ΘΕΜΑ Γ Γ1) α) Παρατηρήστε ότι για καμία τιμή του α∈ℝ δεν μηδενίζουν ταυτόχρονα τα α 2  2α  3 και α 2  3α  2 12) i) ii) iii) iv) B) B) A) Δ) v) vi) vii) viii) B) Α) Γ) Γ) β) Α(1,2) γ) α   13) i) ii) iii) iv) v) A) A) Γ) Α) Β) vi) vii) viii) ix) Γ) Γ) Γ) Δ) 1 5 Γ2) Θεωρώντας Α σημείο αναφοράς δείξτε π ότι: θ  6 ΘΕΜΑ Δ Δ1)  ε1  : y  x  4 ,  ε2  : y  x  4 Δ2) Απλό 3ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΥΘΕΙΑ ΘΕΜΑ Α Δ3) Κ(4,4) 4ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΥΘΕΙΑ ΘΕΜΑ Α Α1) Θεωρία Α1) Θεωρία Α2) Θεωρία Α2) Θεωρία Α3) 1) 2) 3) 4) 5) Σ Λ Λ Σ Λ Α3) Θεωρία Α4) 1) 2) 3) β) ε) δ) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 463 Απαντήσεις ΘΕΜΑ Β 1 23 Β3)  ε  : y  x  2 10 3 4 Β1)  ΑΔ  : y  x  7 7 ΘΕΜΑ Γ   Γ1) u  34 , v  5 9 6 Β2)  ΒΜ : y   x  5 5   Γ2) u  v  -11  11 63  Β3) Ζ  ,   39 91      11 Γ3) συν  u,v    0 170      Γ4) γ  γ1  γ2  1,1   2,2  ΘΕΜΑ Γ Γ1) λ  3 Γ2) α) d(ε1 ,ε2 )= 3 34 34 ΘΕΜΑ Δ Δ1) α) Παρατηρήστε ότι για καμία τιμή του α∈ℝ δεν μηδενίζουν ταυτόχρονα τα α 2  2α και α 2  α  1 β)  εΜ  : 10x  6y  13  0 ΘΕΜΑ Δ β) Α(-1,-2) Δ1) d(Α,ΒΓ)  3 Δ2) α)  ε1  : y  x  3λ ,  ε2  : y  x  λ , Δ2) (ΒΓ)  30 Κ(λ,-2λ) Δ3) Β(12,12), Γ(-6,-11) 5ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΥΘΕΙΑ - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ β)  ε3  : y  2x , α  13  3 2 3.1 ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΜΑ Α Α1) Θεωρία 1) α)  c1  : x 2  y 2  8 Α2) Θεωρία β)  c2  :  x  3   y  1  25 2 Α3) Θεωρία Α4) 2 2) α)  c1  : x 2  y 2  1 1) 2) 3) 4) 5) Σ Λ Λ Σ Λ β)  c2  : x 2  y 2  5 γ)  c3  :  x  1   y  3  25 2 ΘΕΜΑ Β 2 δ)  c 4  :  x  1   y  1  25 2 2 2 12 Β1)  ΑΔ  : y  x  5 5 3)  c  :  x  8    y  6   100 Β2)  ΒΕ  : x  1 4)  c  :  x  2    y  1  4 464 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 2 2 2 2 Απαντήσεις 5) α) Κ1(0,0), ρ1  5  c2  :  x   β) Κ2(0,0), ρ2  5 γ) Κ3(1,2), ρ3  3 δ) Κ4(-3,1), ρ4  1  c  :  x  2    y  1  20 19)  c1  :  x  5  y2  25 2 2 2 20) 6)  c  : x 2  y 2  10 2  c1  :  x  3    y  2   2 2 2 1 2  c2  :  x  1    y  1   2 7)  c  :  x  3   y  2   9 2 2 2 21) 8)  c  :  x  3   y  1  1 2 2 22) 2 2 9 2 23) 2 2 8   16  100  12) α)  c1  :  x     y    11  121  11   2 2 7  169  17   β)  c2  :  x     y    2   2 2   c1  :  x  1   y  4   16  c1  :  x  2    y  1  100 2 2 2  c1  :  x  1  y2  10 2  c2  :  x  1    y  4   10 2 2 24)  c  :  x  1   y  2   100 25)  c  :  x  1  y2  1 26)  c  :  x  2    y  3  52 27)  c  :  x  2    y  4   10 28)  c  :  x  29)  c  :  x  1   y  1  13 30)  c1  :  x  5   y  3  25 2 2 2 2  c2  :  x  9    y  4   16 2 1 2 2 2 2 2 2  c2  :  x  16    y  15  100 11)  c  :  x  3   y  1   4 2 2 2 2 10)  c  :  x  1   y  2    c1  :  x  3    y  1   5  c2  :  x  1   y  1  25 9)  c  :  x  3   y  3   9 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 14)  c  :  x     y    15)  c1  :  x  1    y  4   4  2 2  2 2 2 1   9  149  y    20   10  16 2  c2  :  x  1    y  2   4 2 2 2 2 16)  c  :  x  4    y  3   10 17)  c1  :  x  2  2  c2  :  x  105   y  100   1452 στ) Κ6(2,-1), ρ6  6  2 18) ε) Κ5(1,3), ρ5  10 13) 2 1   7  81  y    10   10  10 2 2 2 2  c2  :  x  5   y  3  25 2 2 2 19   27  81  y    10   10  10 31)  c  :  x  5   y  1  25 2 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 465 Απαντήσεις 32)  c1  :  x  9    y  7   25 2 2  c2  :  x  2    y  1  25 2 2 33) α)  c1  :  x  2    y  2   10 2 Κ(3,4) και ρ  5 β) Α(0,0) και Β(0,8) 2  c2  :  x  1   y  4   25 2 40) α) Παρατηρήστε ότι Α2  Β2  4Γ  0 , 2 β) Β(-3,1), Γ(1,-1) γ)  c3  :  x  1  y2  5 2 3 3 32 γ)  εΑ  : y   x ,  εΒ  : y  x  4 4 3  64 16  Γ ,   9 3  41) α)  ε1  : y  x  2 2 ,  ε2  : y  x  2 2 34) α) Αρχικά παρατηρούμε ότι καθένα από τα σημεία ανήκουν στη δοθείσα γραμμή. Κατόπιν δείχνουμε ότι η δοθείσα γραμμή παριστάνει κύκλο. 42) α)  ε1  : 6  6 x  4y  2  3 6  0 β) Δείξτε ότι το κέντρο Κ(2,3) του κύκλου αποτελεί μέσο των ΑΓ και ΒΔ.  ε2  :  6  6  x  4y  2  3 6  0 3 25 35) α)  εΑ  : y  x  4 4 β)  εΒ  : x  5 γ)  εΓ  : y  5 36) α)  εΑ  : y   3x  2 β)  εΒ  : y  1 γ)  εΓ  : x  1 δ)  εΔ  : ημθ  x  συνθ  y  1  0 37)  εΑ  : y  x  5 ,  εΒ  : y  x  9 38)  εΜ  : y  x  7 1 10 39) α)  εΑ  : y   x  3 3 β)  εΒ  : y  2x  16 γ)  εΓ  : y  2x  3 δ)  εΔ  : y  2x  2 466 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας β)  ε1  : y  3x  6 ,  ε2  : y   3x  6   β)  ε1  : y  2x  5 ,  ε2  : y  2x  5 1 25 43)  ε1  : y  x  7 ,  ε2  : y  x  7 7 1 3 1 13 44) α)  ε1  : y  x  ,  ε2  : y  x  2 2 2 2 β)  ε1  : y  3x  6  5 2 ,  ε2  : y  3x  9  5 2 45)  ε1  : y  2x  10 ,  ε2  : y  2x  10  ε3  : y  2x  10 ,  ε4  : y  2x  10 1 2  ε5  : y  x  5 , 1 2 1 2  ε6  : y  x  5 1 2  ε7  : y   x  5 ,  ε6  : y   x  5 1 46)  ε1  : y  3x  15 ,  ε2  : y   x  5 3  ΑΒ   2 5 47)  ΑΒ   9 Απαντήσεις 48) Παρατηρήστε ότι:  ε1  : y  58) ρ2  3 25 4 25 x  ,  ε2  : y   x  4 4 3 4 49) α)  c  :  x  2    y  4   17 2 2 β) Δείξτε ότι οι συντεταγμένες του Α επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου.  εΑ  : y  2x  13 γ)  ε1  : y  2x  85 ,  ε2  : y  2x  85 50) α) Εξωτερικό σημείο του κύκλου β) Ανήκει στον κύκλο α2β2 α2  β2 59) ρ  ασυν2θ+βημ 2θ+ α2 +β2ημ2θ ή ρ  ασυν2θ+βημ 2θ - α2 +β2ημ2θ 60) α) εφάπτονται εξωτερικά β) Τέμνονται γ) Τέμνονται δ) ο ένας εξωτερικός του άλλου 61) Δείξτε ότι  Κ1Κ2   ρ1  ρ2 β) Εφαπτόμενη του κύκλου 62) Δείξτε ότι το σύστημα των εξισώσεων των δύο κύκλων έχει μοναδική λύση το  11 7  Α  ,   που είναι το σημείο επα 5 5 φής. γ) Τέμνουσα του κύκλου 63) α) Δείξτε ότι  Κ1Κ2   ρ1  ρ2 γ) Εσωτερικό σημείο του κύκλου 51) α) Εξωτερική ευθεία του κύκλου 52) Παρατηρήστε ότι d  Κ,ε   ρ Το σημείο επαφής είναι το Α(2,-1) 53) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων του κάθε κύκλου με την εξίσωση της ευθείας και δείξτε ότι το σημείο είναι το Α(1,1) 7 10 54) α) ρ  10 β) ρ  2 10 55) Για καμία τιμή του λ 56) α) λ  2 β)  ε1  : y  2 5x  5 ,  ε2  : y  2 5x  5 57)  λ,μ    2,9  ή  λ,μ    2, 1 ή  λ,μ    22,24  35 2  ή  λ,μ    22,24  35 2  1 3 β) Α  ,   5 5 24 x7 , 7  ε2  : y  1 γ)  ε1  : y    ε3  : y  4 1 x 3 3 64) α) Δείξτε ότι  Κ1Κ2   ρ1  ρ2 3 5 β)  ε1  : y   x  , 4 2  ε3  : y  4 x, 3  ε2  : y  4 ,  ε4  : x  0 65) α) Δείξτε ότι ρ1  ρ2  Κ1Κ2   ρ1  ρ2 8 6 66) Μ ,    5 5 67) mind  5 , max d  15 68) Α(7,2), Β(2,6) 69) Α) Κ(1,2), ρ  3 2 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 467 Απαντήσεις Β) max d  6 2  5  3 10 10  6 10  Γ) Α  ,  5 5    5  3 10 10  6 10  Β  ,  5 5   Δ) α)  ζ  : y  2x  20 β) mind  19 5  15 2 , 5 19 5  15 2 max d  5 1 5  3 10 γ)  ε1  : y   x  , 2 2 1 5  3 10  ε2  : y   x  2 2 70) Α) Δείξτε ότι  Κ1Κ2   ρ1  ρ2 2 Β)  Κ1Κ2  : y  x 3  3 13 2 13  Γ) Α  ,  13   13  39  6 13 26  4 13  Β  ,  13 13   mind  13  3  3 13 2 13  Δ) Γ   ,  13   13  39  6 13 26  4 13  Δ  ,  13 13   max d  13  3 71) Α) Παρατηρήστε ότι η εξίσωση 3x  4y  c παριστάνει ευθεία, οπότε για να έχει λύση το σύστημα των εξισώσεων της ευθείας και του κύκλου πρέπει η ευθεία να έχει 468 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με τον κύκλο. Πρέπει δηλαδή: max d  Κ,ε   ρ  ... Β) 12  Α  12 72)  ε  : y  x 73)  Κ1Κ2   2 ,  ΑΒ   15 2 74) Δείξτε ότι  ΑΒ  : αx  βy  0 75) Αποδεικτική 76) Είναι: Α2  Β2  4Γ  ...  8t2  4t  8 1  t  2 0 για κάθε t ℝ  1 77) Α) Α2  Β2  4Γ  ...  4α2  8α  32  0 για κάθε α  ℝ Β) α) α  4 β) α  2 , 3 78) Α2  Β2  4Γ  λ 2  4λ  12  0 για κάθε λ  ℝ λ 2  4λ  12  λ 2  Κ  ,0  , ρ  2 2   79) Για κάθε μ  ℝ  1 80) Για κάθε λ    ,5  1,    π 81) Για κάθε ω  0,   4 21  1  82) Για λ  3 , Κ   ,2  , ρ  2 2   Για λ  2 , Κ  1,4  , ρ  19 83) Α(-2,1) 84) Α) Α2  Β2  4Γ  4λ2  4  0 για κάθε λ  ℝ Απαντήσεις Δ)  ΑΒ  : y  x  2 Β) Α(0,1), Β(0,-1) Γ) (ΑΒ): x  0 , (ΑΒ)  2 85) Α) Α  Β  4Γ  10λ  40λ  80  0 2 2 2 για κάθε λ  ℝ Β) Α(5,-5), Β(3,1) Γ) α) λ  86) Α2  Β2  4Γ  64λ  64  λ  1 2 16κ2  18κ  54  1 4κ+1  Κ  , , ρ 2  2 2  Β) Δύο ημιευθείες: 7 95 β) (ΑΚΒ)  τ.μ. 6 6 2 21   39   90) Α) κ    ,     ,   16   16    Αx  : x   0 για κάθε λ  ℝ Κατόπιν βρείτε τα σημεία τομής των (c1) και (c2) και δείξτε ότι οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωση της οικογένειας. 87) Α) Α2  Β2  4Γ  5λ2  40λ  100  0 για κάθε λ  ℝ  2λ  Β) Κ  ,λ  2  ,  ε  : y  2x  4 2   Γ) Α(1,7), Β(-3,5)  1 17  χωρίς το Α   ,   8   2 Βx  : x   1 8 91) Α) α) Α(-4,4) β)  ε  : y   x  3 3 16κ2  18κ  54  1 4κ+1  Κ  , , ρ 2  2 2  Β) κ  15 ή κ  13 2 Κ(συνθ,ημθ), ρ  1 43 με y  2 8  1 43  χωρίς το Β   ,   2 8  88) Α) Α  Β  4Γ  5  0 , 2 1 17 με y   2 8 92) Ο κύκλος 5 2 5 2 2  c  :  x    y2   25 χωρίς 4 το σημείο Θ(5,0) Β)  ε  : y  x  3 93) Ο κύκλος  c  :  x  1   y  2   1 Γ) Απλό 94) Η ευθεία  ε  : 3x  4y  6  0 2 89) Α) Α2  Β2  4Γ  2κ2  6κ  17  0 , για κάθε κ  ℝ 2κ  6κ  17  κ  2 3  κ  Κ , , ρ 2 2   2 2 Β)  ε  : y  x  5 2  3 7 Γ) Α 1,1 , Β   ,   2 2 2 95) Α) Παρατηρήστε ότι D  1  0 Β) Τα σημεία τομής των ευθειών είναι τα Μ(συνθ,-ημθ) που κινούνται στον μοναδιαίο κύκλο  c  : x 2  y2  1 . 96) α) Κύκλος  c1  :  x  2    y  1  12 2 2 2 2 2  11   β) Κύκλος  c2  :  x     y    2 5  5  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 469 Απαντήσεις 2 2  x x   y y  97) α)  c1  :  x  Α Β    y  Α Β   100 2   2   β)  c2  :  x  xΒ    y  yΒ   400 2 2 γ)  c3  :  x  xΒ    y  yΒ   64 2 2 2 2304 2  31  98)  c  :  x     y  4   5 25  99)  ε  : y  2x  1 που είναι η μεσοκάθετος 2 του ΑΒ 2 2 4  140  1  100)  c  :  x     y    3 3 9    101) 2 2 2   11     y    4λ όπου λ 25 25     το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων του Μ από τις (ε1), (ε2).  c  :  x  102) Α) α  15 , Γ) Δείξτε ότι όλοι οι κύκλοι διέρχονται από σταθερά σημεία με τετμημένη 2. 103)  c  :  x  3   y  7   2 2  3) α)  c1  : x 2  4y 8 β)  c2  : x2   y 3 1 γ)  c3  : x 2  y 2 4) α)  c1  : y 2  16x β)  c2  : x2  4 3y γ)  c3  : y 2  8x δ)  c 4  : x 2  2y 5) α) Ε(1,0),  δ  : x  1 β) Ε(-1,0),  δ  : x  1 γ) Ε(0,-2),  δ  : y  2 δ) Ε(0,2),  δ  : y  2 3 3  ε) E  ,0  ,  δ  : x   2 2   5  5 στ) E  0,  ,  δ  : y   4  4 Β)  ε  : y  3 104)  c  : x 2  y  3 ε)  c 5  : y 2  8x 2  4 6) α) Ε(1,0),  δ  : x  1   Β  3  2 2, 2  2 2  β) Α 3  2 2, 2  2 2 , 2 7) α) Ε(0,1),  δ  : y  1 β) Α 1,2  8) 256 τ.μ. ΠΑΡΑΒΟΛΗ 9) α) Ε1(1,0), Ε2(0,-1) β) Α  4, 4  γ) 1) Α) α)  c1  : y2  2x β)  c2  : y 2  2x 10) α) Ο  0,0  , Α  2ρ,2ρ  β) ρ  4 Β) α)  c3  : y 2  4x β)  c 4  : y 2  4x 1 1  11) α) Ε  0,   ,  δ  : y  4 4  Γ)  c 5  : y 2  4x 2) α)  c1  : y 2  10x β)  c2  : y 2  16x γ)  c3  : x2  2y δ)  c 4  : x 2  16y 470 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας β) Α  6 , 3 , Β   6 , 3 1 1  12) α) Ε  ,0  ,  δ  : x   4 4   7 τ.μ. 2 Απαντήσεις  65 , Β  6 , 3 4 β)  ΑΕ    1  13) α) Α  4,4  , Β  ,1  4   β) Β 1,  2 2 2 x και δείξ2 2 τε ότι d Κ,εΑ   ρ και d Κ,εΒ   ρ γ) Βρείτε  εΑ  : y  1 1 β)  ε1  : y  x  2 ,  ε2  : y  2x  2 2 όπου Κ, ρ το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου (c1) αντίστοιχα. 1 14)  εΑ  : y  2x  3 ,  εΒ  : y   x  12 2 1 1 15)  εΑ  : y  x  2 ,  εΒ  : y  2x  2 2 16) α)  ε1  : y  x  1 , 1 β)  ε2  : y  x  2 2 1 γ)  ε3  : y  x  2 ,  ε4  : y  x  1 2 1 17)  ε1  : y  x  4  ε2  : y  2x  1 2 18) α) Ε(1,0) ,  δ  : x  1 β)  ε1  : y  x  1 ,  ε2  : y  x  1 γ)  ε3  : y  x  1 19)  ε1  : y  3 3 2 x , 2 2 2 3 2 x 2 2  ε2  : y    Ακόμη ,  εΒ  : y   2 2 x . 2 2 24) α) Α 1,2  , Β 1, 2  β)  εΑ  : y  x  1 ,  εΒ  : y  x  1 γ) Δείξτε ότι d Κ,εΑ   ρ και d Κ,εΒ   ρ δ) εφάπτονται. 25) Βρείτε τα κοινά τους σημεία και δείξτε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής (c1) εφάπτονται και του κύκλου (c2). 26)  c1  :  x  10   y2  100 , 2  c2  :  x   2 41  2   y  100 4  27) α) Λύστε το σύστημα β) Ομοίως 28) λ  γ) Ομοίως 16 7 1 1 29)  ε1  : y  x  2 ,  ε2  : y   x  2 4 4 20) Δεν υπάρχει 30) α) Ο(0,0), Α  2ρ,2ρ  β) ρ  4 21)  ε1  : y  x  2 ,  ε2  : y  x  2   31) Δείξτε ότι ΟΑ  ΟΒ  0 22)  ε1  : y   ε2  : y   2  2 10 8  8 10 x , 3 3 2  2 10 8  8 10 x 3 3 23) α) λ  2 , ρ  1 32)  ε1  : y  4x  15 33)  ε  : y  5x  24 34)  ε  : y  2 35)  ε1  : y  2x  12 ,  ε2  : y  2x  12 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 471 Απαντήσεις  2 β  36) Α) β  1 Β) α) Μ ,2  β) β  6  2  37) Θεωρητική y2 x2 y2 x2   1 ,  c4  :  1 16 9 100 64  c3  : 3 , Ε 2 5) α) ε  y y y y  38) α) Μ 1 2 , 1 2  2   2ρ  41)  c  : y2  2αx 42) α)  c  : y2  2px   β) ε  2 2 , Ε 4 2,0 , Ε 4 2,0 3 γ) ε  4 , Ε  4,0  , Ε  4,0  5 39) Θεωρητική 40) Θεωρητική  3,0 , Ε   3,0  6) α) ε     2 2 , Ε 2 2,0 , Ε 2 2,0 3 43)  c1  : y 2  16x ,  c2  : y 2  16x β) ε  2 22 , Ε  0,4  , Ε  0, 4  11 2 44) α)  c  : y2   x 3 γ) ε  5 , Ε 2 5,0 , Ε 2 5,0 3 45) ΕΛΛΕΙΨΗ x2 y2 x 2 y2   1 β)  c2  :  1 25 16 9 4 1) α)  c1  : x 2 y2 x 2 y2 γ)  c3  :   1 δ)  c4  :  1 25 16 45 20 2) α)  c1  : x 2 y2 x2 y2   1 β)  c2  :  1 25 21 100 64 γ)  c3  : δ)  c4  : x2 y2  1 27  3 3 3 3 2 7) ε  2 2 8) ε  2 2    3)  c  : x 2 y2  1 25 9 4)  c1  : x2 y2 x 2 y2   1 ,  c2  :  1, 25 16 13 9 472 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας   9) λ   2,5   5,8  10) α) εξωτερικό β) εσωτερικό γ) εξωτερικό    11) Μ 2,2 2 ή Μ 2, 2 2   15 63  12) Μ  ,   4 4  13) Μ1  2,3 , Μ2  2, 3 , Μ3  2,3 , Μ3  2, 3 2 x y  1 4 3   1 1  14) Μ  ,   6 24  1 15)  ε  : y   x  2 2 16) α) Δείξτε ότι 27xΜ2 36yΜ2  1 972 972 Απαντήσεις 3 β) y   x  8 2 29) α) α 2  12 β)  ε1  : y  x  5 17) y  x  2 30) λ  2 6 ή λ  2 6 6 3 6 18) y   x 12 4 31))  ε1  : y  1 7 19)  ε1  : y   x  2 ,  ε2  : y   x  10 2 2 2 34 2 34 20)  ε1  : y  x  ,  ε2  : y  x  3 15 3 15 21)  ε1  : y  x  5 ,  ε2  : y  x  5 22)  ε1  : y  2x  2 14 ,  ε2  : y  2x  2 14 23) α) y   3x  4 β)  ε1  : y  24)  ε1  : y   3 210 x 3 6   33) Α(4,2) Β(4,-2) 35) Αποδεικτική   λ  36) Δείξτε ότι λ ΟΓ ΑΜ 37) Αποδεικτική x2 y2   1 β)  c2  : x 2  4y 2  1 4 9 x 2 y2  1 4 9 40) α) Τέμνονται β) Έλλειψη με εστίες τα κέντρα των δύο κύκλων 1 2 1 2 26)  ε1  : y   x  ,  ε2  : y  x  9 3 9 3 1 2 1 2  ε3  : y  x  ,  ε4  : y   x  9 3 9 3 41) y   9 2 x 4 42)  c  : x 2 y2  1 100 36   43) α) Κ 1, 3 , x 2 y2  1 10 6    Λ 1, 3   Μ 1,  3 , Ν 1,  3 28) α)  c  :  x  2    y  2   3 β) όχι 2  ε3  : y  x  5 ,  ε4  : y   x  5 γ)  c3  : 2 3 2 β)  ε  : y  x 2 2 27)  c  : 6 6  2 155 6  2 155 x 2 6  2 155 32)  ε1  : y  x  5 ,  ε2  : y  x  5 , 39) α)  c1  : 2 3 x4 3    ε2  : y   38) Αποδεικτική 2 3 x4 3 25) α) Β 1, 2 , Α 1,  2 6 6  2 155 6  2 155 x 2 6  2 155 34) Είναι d  Ε,ε   d  Ε,ε   β2  σταθερό 3 210  ε2  : y  x  3 6  ε2  : y  4 4 ,  ε2  : y  x  3 3 2      β) Δείξτε ότι ΚΛ  ΜΝ και ΚΛ  ΚΜ Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 473 Απαντήσεις     γ) Μ 1, 3 ή Μ 1, 3 ή    Μ 1,  3 ή Μ 1,  3 Ν(4,-5), ε    1) α)  c1  : Κ(2,2), Λ(-2,2), Μ(-2,-2), Ν(2,-2), ε  2 . 2 2 x y x y   1 β)  c2  :  1 4 5 36 64 γ)  c3  : x  y  2 2 2) α)  c1  : 2 x 2 y2 x 2 y2   1 β)  c2  :  1 64 80 9 16 3) ε  3 ,  ε1  : y  2x ,  ε2  : y   2x 4)  c  : y2  x2 1 16 10) ε  11) 2 3 3 π 3 12) ε  194 5 13) α)  c  : x 2 y2  1 4 16 β) Α(2,0), Β΄(-2,0),  ε1  : y  2x ,  ε2  : y  2x 5x 2 5y 2 5)  c  :  1 24 96 γ) 32 τ.μ. 6)  c  : 2x 2  2y 2  3 14) λ  7 , Ε 7)  c1  : x 2 y2 x 2 y2   1 ,  c2  :  1 , 9 16 6 12  c3  : y2 x2 x 2 y2   1 ,  c4  :  1 6 3 12 8 8)  c  : 121y 2  11x 2  81 9) α) Ε(5,0), Ε΄(-5,0), Α(4,0), Α΄(-4,0), Β(0,3), 3 3 Β΄(0,-3),  ε1  : y  x ,  ε2  : y   x , 4 4 5 Κ(4,3), Λ(-4,3), Μ(-4,-3), Ν(4,-3), ε  4 β) Ε  Β(0,2), Β΄(0,-2),  ε1  : y  x ,  ε2  : y  x , ΥΠΕΡΒΟΛΗ 2   γ) Ε 2 2,0 , Ε 2 2,0 , Α(2,0), Α΄(-2,0), 44) Έλλειψη με εστίες τα Α, Β και μήκος μεγάλου άξονα ίσο με 2 2 41 . 4  41,0 , Ε   41,0  , Α(4,0), 5 Α΄(-4,0), Β(0,5), Β΄(0,-5),  ε1  : y  x , 4 5  ε2  : y   x , Κ(4,5), Λ(-4,5), Μ(-4,-5), 4 474 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας  λ  3λ  14λ  50 ,0 4 3  Ε  λ 4  3λ 3  14λ  50 ,0  15)  ΚΛ   2 5 16) όχι 17) α)  ε1  : y  2x  4 β)  ε2  : y  3 2 x  12 2 9 18)  ε  : y  x  3 10 2 19)  ε1  : y  2x  4 ,  ε2  : y  2x  4 20)  ε1  : y  2 2 x  1 ,  ε2  : y  x 1 2 2 21)  ε1  : y  x  2 2 ,  ε2  : y  x  2 2 Απαντήσεις 22)  ε1  : y  2x  3 13 3 13 ,  ε2  : y  2x  13 13 23)  ε1  : x  2 ,  ε2  : y   2  3 x  4 1 1 24)  ε1  : y  x  ,  ε2  : y  2x  7 2 2 10 10 ,  ε4  : y  x   ε3  : y  x  2 2 28)  c  : x 2 y2  1 20 16 29)  c  : x 2 y2  1 20 16 30)  ε1  : y  2x  4 , καθώς και Β  0,2yM  . x 2 y2  1 16 9 β) Απλό  ε2  : y  2x  4 2 10 2 65 x 5 5 2 10 2 65 x 5 5 2 10 2 65 x 5 5  ε4  : y   2 10 2 65 x 5 5 64 247 x 9 9 2 y2 x2  1 9 16 40) α) Η υπερβολή  c  :  ε3  : y   33) α)  c  : Α  2xΜ ,0  ότι 39) Η υπερβολή  c  :  ε3  : y  2x  4 ,  ε4  : y  2x  4 2 ρήστε 38) Αποδεικτική y2 x2 27)  c  :  1 8 4 32)  ε1  : y  Θεωρείστε ότι Μ xΜ ,yM  και παρατη- 37) Αποδεικτική 26) λ  4 , λ  4  ε2  : y  35) β x κ α και παρατηρήστε ότι το σύστημα των εξισώσεων της (ε) με την υπερβολή (c) έχει μια μόνο λύση. Θεωρείστε την ευθεία  ε : y  36) Προβληματική Εκφώνηση 25) κ  6 , κ  3 31)  ε1  : y  34) x y   1 β)  ε : y  2x  11 4 5  y  λx 0  41) α) Α  0 ,y 0  λx 0  , λ    λx  y  Β  0 0 ,y 0  λx 0  λ   β) Ο δεξιός κλάδος της y2 λ  c  : x 02  02  1 , 42) α)  ε  : y   α 2 y1 α 2  β2 x  y1 β2 x 1 β2  α 2  β2   α2  β2  β) Γ  x ,0 , Δ y1    0, 1 2 α2  α     α2  β2 α2  β2  γ) Ν  x , y1  , 1 2 2β2  2α  δ)  c  : x2  γ2     2α  2  y2  γ2     2β  2 1 , ε) Απλό Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 475 Απαντήσεις ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 3ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 7) 1) β) γ) δ) ε) στ) Λ Σ Σ Σ Σ Λ α) β) γ) δ) ε) στ) ζ) η) θ) ι) ια) Λ Λ Σ Σ Σ Λ Σ Λ Λ Λ Λ α) β) γ) δ) ε) α) β) γ) δ) ε) στ) Σ Λ Σ Σ Σ Σ Λ Λ Λ Λ Σ α) β) γ) δ) ε) ζ) η) θ) Σ Λ Σ Σ Λ Σ Λ Σ 1) 2) 3) 4) α) ζ) στ) ε) 2) 3) α) 8) 9) 4) α) β) γ) δ) ε) στ) Σ Σ Σ Σ Σ Σ ζ) η) θ) Σ Λ Λ 10) 1) 2) 3) 4) β),δ) γ) δ) α) 11) 5) α) β) γ) δ) ε) στ) Σ Λ Λ Σ Λ Λ ζ) η) θ) Σ Σ Σ 12) 1) 2) 3) β) γ) ε) 1) 2) 3) 4) δ) α) γ) β) 1) 2) 3) β) γ) ε) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) δ) α) ζ) στ) γ) β) ε) 13) 6) α) β) γ) δ) ε) στ) Σ Σ Λ Λ Λ Σ ζ) η) θ) ι) Λ Σ Σ Λ 476 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 14) Απαντήσεις 6ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Δ4)  ε1  : y  x  1  ε2  : y  x  1 ΘΕΜΑ Α Α1) Θεωρία 7ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΝΙΚΟ Α2) Θεωρία Α3) 1→β, 2→α, 3→δ, 4→γ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β Α1) Θεωρία Β1)  ε1  : y  7x  25 2 1 7  ε2  : y   x  Α3) 1→Λ, 2→Λ, 3→Λ, 4→Σ, 4→Λ 25 2 7 ΘΕΜΑ Β Β2)  c  : y  20x 2 Β3)  ε3  : y   ε4  : y   Α2) Θεωρία Β1) Ε(2,0),  δ  : x  2 401  1 x 2 401  1 x 2 50 2 401  1 50 2 401  1 Β2) Δείξτε ότι οι συντεταγμένες της Ε επαληθεύουν την εξίσωση της (ε).    Β3) A 3  2 2,2  2 2 , Β 3  2 2,2  2 2 Β3) Δείξτε ότι λ1λ 2  1 ΘΕΜΑ Γ ΘΕΜΑ Γ Γ1) λ  2 Γ1) Κ1 1,2  , ρ1  2 , Κ2  2, 2  , ρ2  3  μ 1 μ  Γ2) Δείξτε ότι Α2  Β2  4Γ  0 , Κ  ,  2  2 Γ2) Δείξτε ότι  Κ1Κ2   ρ1  ρ2 ρ 2μ 2  2 2 1  1  Γ3) Α  0,  , Β  1,   2 2    Γ4)  c  : y2 4x 2  1 4 15  1 2 Γ3) Α   ,   5 5 3 1 Γ4)  c  : y   x+ 4 4 ΘΕΜΑ Δ Δ1) ΘΕΜΑ Δ Δ1) Κ  3,0  , ρ  2 2 Δ2) Ε  1,0  ,  δ  : x  1  Δείξτε ότι λ 3λ  10   Κ  ,  2   2 Α2  Β2  4Γ  0 , Δ2) Ο  0,0  , Β  3,1 Δ3) ευθεία  ε  : y  3x  5 Δ3) Α  1,2  , Β  1, 2  Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 477 Απαντήσεις Δ4) 5 τ.μ. 2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ο 8 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΝΙΚΟ ΘΕΜΑ Α Α1) Θεωρία ο Ζήτημα 1       Α) ΑΓ  α  β , ΓΕ  2α  2β    Γ) Δείξτε ότι ΑΓ  ΓΕ  0 Β) β) Α2) Θεωρία Α3) 1→Σ, 2→Σ 3→Σ, 4→Σ, 4→Λ ο Ζήτημα 2 Β) κ  Α) Λύστε το σύστημα 3 2      Γ) γ  γ1  γ2 με γ1   1, 2  και γ2   2,1 ΘΕΜΑ Β Β1) Ε(0,3), Ε΄(0,-3) Β2) Το μήκος του μικρού άξονα είναι 8 μονάδες και το μήκος του μεγάλου άξονα είναι 10 μονάδες. ο Ζήτημα 3   Α) α  β  1   Β) u  2 13 , v  13       23 Γ) u  v  -23 Δ) συν u,v 26   Β3) x  4 ο Ζήτημα 4 ΘΕΜΑ Γ       Γ1) Είναι u  v  α  2β α  3β  ... ,        Γ2) Αφού u  v  u  v  0 και χρησιμοποιήστε το Γ1) ερώτημα  Γ3) u  10 Α) Θεωρώντας Α σημείο αναφοράς δείξτε ότι   ΑΒ / /ΑΓ Β) Χρησιμοποιήστε το Α) ερώτημα   Γ) Δείξτε ότι ΡΑ  ΡΒ  0   Δ) Δείξτε ότι v  ΑΓ  0 ο Ζήτημα 5 ΘΕΜΑ Δ Δ1) Δείξτε ότι Α  Β  4Γ  0 2 2 Δ2) Κ  2α,α  και ρ  α2  α  1 Δ3) ευθεία  ε  : y  2x Δ4) Χρησιμοποιήστε το Δ2) ερώτημα Δ5)  ε  : y  1 478 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας  Α) γ  2 Β) 3π 4 Γ) κ  0 ή κ  1 ο Ζήτημα 6     2   2 1 Α) α  β   , 4β  2α  12 , α  β  3 2       π Β) ΑΜ  α -β , ΒΓ  2α  4β Γ) 3     Απαντήσεις ο Ζήτημα 7 Β)   Α) α) Ισχύει ότι προβα β / /α β) Από α) ερώτημα και χρησιμοποιώντας     ότι α  β  α  προβα β    γ) v  v 1  v 2 με   3 4  v1    ,   5 5   8 6  v2   ,   5 5 και π 4   Γ) α) Είναι προββ α  λ  β και δείξτε ότι λ  1     β) α  α1  α2 με α1  12,1 και  α 2   1,2  ο Ζήτημα 11   Α) α  β  3 Β) Αποδεικτική    Β) ΑΓ  4α  3β ο Ζήτημα 8 Γ)  ΑΜ  3 3 Α) Θεωρείστε Α σημείο αναφοράς   3 Δ) Δείξτε ότι συν ΑΜ,α  2    Β) Δείξτε ότι ΟΑ  ΟΒ  0  Γ) Από το Α) ερώτημα έχουμε       3ΟΑ  4ΟΒ  5ΟΓ  4ΟΒ  5ΟΓ  3ΟΑ  2   2 άρα 4ΟΒ  5ΟΓ  3ΟΑ  ...     Δ) Παρατηρήστε ότι  ΑΟΒ   1 . 2 ο Ζήτημα 12     α) Δείξτε ότι det α,β  0 και det β,γ  0      β) γ  41α  17β     γ) Δείξτε ότι α  β γ  0  δ) κ  ο Ζήτημα 9    17  801 8     Α) Ισχύει ότι α  β  α  προβα β ο π Β) 3 Ζήτημα 13 Γ) 9 Δ) κ  16    13 Α) α) υ  v  8 β) β   13 Ζήτημα 10     Β) α) ΑΜ  4 β) ΒΔ  β  α 2 β  Α) α) Είναι β  4  5 Ζήτημα 14 ο ο     1  β) Είναι α  β  2  8  α  β β 5         Α) α) α  β  1 β) α  β  7 γ) α  β  3 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 479 Απαντήσεις  3  3     Β) ΑΜ  α  β , ΒΓ  α  β 2 2 β)  ^  3 21 Γ) συν  ΑΜ,ΒΓ   21   π 4 1 γ) y   x  1 , y  12x  1 2 ο Ζήτημα 20  3  ΑΜ  Δ) προβΒΓ 6 β)  η: y  x  1 α) Δείξτε ότι Δ  0 γ) Β(-11,12) ή Β(9,-8) 5 2 δ) Ν(-1,2) ή Ν  ,   3 3 ο Ζήτημα 15 2 1 α) y   x  9 2 β) 1 2 γ) 33 13 13 ο Ζήτημα 21   α) Δείξτε ότι det ΑΒ,ΑΓ  0  ο Ζήτημα 16 α) λ   λ3  β) Ρ   λ,  2   1 3 ο 1 2 ο Ζήτημα 17 Ζήτημα 22 β) y  x  1 Α) α  4 ή α  16  6 2 Β) α) 10 τ.μ. β) Ρ   ,    5 5 1 5 γ) y  x  2 2 ο Ζήτημα 23 α) Δείξτε ότι δεν υπάρχει τιμή του α που να ο Ζήτημα 18 α) Δείξτε ότι δεν υπάρχει τιμή του α που να μηδενίζει ταυτόχρονα το α 2  2α και το μηδενίζει ταυτόχρονα το 2α  1 και το α 1 β) Δείξτε ότι οι συντεταγμένες του σημείου α2  α  1 γ) α  1 β) Α(2,3) β)  ε1 : y  2x  1 ,  ε2 : y  2x  3 γ)  ε3  : y  x  5 ,  ε4 : x   1 3 γ) y   x  2 2 2 12 α) y  x  5 5  δ) Θεωρείστε ότι ανήκει και καταλήξτε σε άτοπο. ο επαληθεύουν την εξίσωση της οικογένειας των ευθειών (1)  ΑΜΒ     1 det AM,AB 2   Ζήτημα 19 Ζήτημα 24 α)  ε1 : y  2x ,  ε2 : y  3x   Α) α) Δείξτε ότι det ΑΒ,AΓ  0 480 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας ο   γ) Είναι Απαντήσεις β) Θεωρείστε Μ μέσο ΑΓ και παρατηρήστε ότι x M  4 γ) Α(7,8), Β(-3,-4), Γ(1,2), Δ(11,14) δ)  ΑΒΓΔ   12 τ.μ. Β) Γ(6,2) ή Γ(6,18) 2 4  4 Γ)  η : y  x  , Δ  4,  . 3 3  3 ο Ζήτημα 30 1 5 Β)  ε  : y   x  2 2 Α) Μ(1,2) ο Ζήτημα 25 Γ) λ  Α) Απλό Β) Απλό ο Ζήτημα 31 ο Ζήτημα 26  1 Β) Α(-1,1) Γ) Β  1,   2 1 4 1 Δ) y  x 4 Α) Δείξτε ότι Α2  Β2  4Γ  0 με Α  4 , Β2 , Γ 3 Β)  ε1  : y  x  1 ,  ε2  : y  x  3 ο Ζήτημα 27 Α)  ε1  : y  0 ,  ε2  : y  x Γ)  δ1  : y  3  2 2  x ,  δ2  : y  3  2 2  x ο Ζήτημα 28 Α)  ε1  : y  x  5 ,  ε2  : y  x  1 Β) d  ε1 ,ε2   3 2 Γ)  ε  : y  x  2    3 Δ)  ΡΕΜ   τ.μ.   2 ο Ζήτημα 29 α) Κ(4,5) β) Έστω Μ(x,y) τα σημεία του επιπέδου που ανήκουν στις (ε1) και (ε2). Θα είναι Γ)  ΜΑΒ   1 τ.μ. ο Ζήτημα 32 Α) Ε(1,0),  δ  : x  1 Β) Καμία Γ)  ε  : y  x  1 ο Ζήτημα 33 Α) Είναι Α2  Β2  4Γ  8  0 Β)  ε  : y  x  3 Γ) Παρατηρήστε ότι Κ(συνθ,ημθ) ο Ζήτημα 34 Α)  ε1  : y  3x  10 ,  ε2  : y   3x  10 d  Μ,ΒΔ   2 2  ... Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 481 Απαντήσεις και προσπαθήστε να εμφανίσετε το 5 3 5  5 3 5 Β) Α  ,   , Β   ,   2 2  2  2 Γ)  c  : x 2   γ ε α λόγο 15 y 2 ο Ζήτημα 38 ο Ζήτημα 35 Α) Παρατηρήστε ότι το σημείο Α ανήκει στην 3  ημθ συνθ  Α) Κ  ,  και ρ  2 2   2 Β)  c1  : x 2  y 2  4 παραβολή Β) Δείξτε ότι x 2  y 2  4 Γ) θ  3 5 Γ)  ε1  : y  x  ,  ε2  : x  2 4 3 π 4 Δ)  ΟΑ   4 ,  ΟΒ   2 ο Ζήτημα 36 Ζήτημα 39 Α) Κ(2,4), ρ  2 Β) Παρατηρήστε ότι ΑΒΓΔ τετράγωνο 3 3  Α)  c1  : y2  6x με Ε  ,0  και  δ  : x   2 2  Γ) Παρατηρήστε ότι τα σημεία Κ κινούνται Β)  c2 : x 2  y 2  16 , Κ(0,0), R  4 ο στην ευθεία  ε1  : y  x  2 για την οποία είναι x  0 . Το παραπάνω κομμάτι της ευθείας συναντά τον περιφερειακό κυκλικό δρόμο στα σημεία Α(1,3) και Γ(3,5).    Δ) Ρ1 2,2 3 , Ρ2 2, 2 3  ο Α) μ  4γ4 Α)  c3 : y  x  2 2 αβ 2 Β) α)  ε1  : y  x  γ ,  ε2  : y  x  γ , Α(γ,2γ), Β(γ,-2γ) Αφού Α   c2  προκύπτει 1 2 1 1   Β) μ   2,    ,3  2 2   1  Γ) α) Παρατηρήστε ότι για μ   2,  είναι 2  β) Παρατηρήστε ότι λ ε1  λ ε2  1 γ) x 2 4y 2 3  1 , ε  4 7 4 Ζήτημα 40 ο Ζήτημα 37 2 Γ)  c3 : ότι γ2 4γ4   1 και μετά κάντε πράξεις α 2 β2 482 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας μ  2  3 μ β) Για καμία τιμή του μ. Απαντήσεις ο ο Ζήτημα 41 Ζήτημα 44 Α) Κ(0,2), ρ  1 Α)  c1  :  x  12    y  6   10 , 2 2 Β) λ   3  c2 :  x  12    y  6   16 2 2 Β) Στο σημείο Α η λήψη είναι «πολύ καλή» Γ) α  1 , β  3 ενώ στο σημείο Β η λήψη είναι «καλή» Γ) Στο κομμάτι της ευθείας που βρίσκεται μεταξύ των σημείων ο Ζήτημα 45 Α) x 2  y2  αx   2011  α  y  0  19  2 7 17  2 7  Μ ,  ή 2 2   Β) y  x   19  2 7 17  2 7  Θ  ,  2 2    2011 2011  Γ) Γ(0,0), Δ  ,  2   2 2011 2 Δ) y  x ο Ζήτημα 42 Α) Δείξτε ότι d  Κ,ε   ρ  11  41 4  41  Β) Μ ,  , 5  10   11  41 4  41  Ν  ,  5  10  1 1 Γ)  ε  : y   x  2 4 ο Ζήτημα 46 Α) Παρατηρήστε ότι Α2  Β2  4Γ  4λ 2 . Για λ  0 η εξίσωση παριστάνει ένα σημείο Κ(0,2) 1 Β)  ε  : y   x  2 2     Γ)  c1 : x2  y2  2 5+1 x  5  3 y  2 5  6  0  c2 : x2  y2  21  5  x   3  5  y  6  2 5  0 Ζήτημα 43 ο Δ) Δεν υπάρχει  1 1  Α) θ   0,    ,    e e  Ε)  ε  : y  2x  2 Β) Κ(lnθ,0) και ρ  Γ) θ  e 2 2 , θe lnθ  1 3 2 8 2 2 ο Ζήτημα 47 Α) Κ(4,-3), ρ  5 Β)  ε  : 4x  3y  0 Γ) 100 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 483 Απαντήσεις ο ο Ζήτημα 48 Ζήτημα 51 1  Α) Μ ,1  4  3 7 Α)  ε  : y  x  2 2 Β) α) Δείξτε ότι το σύστημα εξισώσεων της Β) α)  ΑΒΓ   ευθείας (ε) και της παραβολής (c) είναι αδύνατο, d yθ2  3y θ  12 5 3 τ.μ. 2 β)  x  1    y  5   2 όπου 2 9 2 Θ(xθ,yθ), τυχαίο σημείο της παραβολής β) Παρατηρήστε ότι η d ελαχιστοποιείται ο Ζήτημα 52 όταν το τριώνυμο y 2  3y  12 ελαχι- Α) d  ε1 ,ε2   2 στοποιείται. Το ζητούμενο σημείο εί- Β)  ε  : 3x  4y  11  0  9 3 ναι το Ζ  ,   16 2  Γ)  c  :  x  2   y2  63 2 ο Ζήτημα 49 Ζήτημα 53 α) Κ(2,-λ), ρ  λ 2  2λ  4   Α) α) Θεωρήστε ότι β  2α και καταλήξτε σε ο άτοπο 2 1 β)  ε  : y  x  3 6    γ) Β 2  3, 1 , Γ 2  3, 1 β) Παρατηρήστε ότι  δ) Η κατακόρυφη ευθεία x  2 ο Ζήτημα 50   2   2 Α2  Β2  4Γ  3 α  α  β   β  Β) α) Είναι Κ α ,   2   Α)  ε1  : y  x  3 ,  ε2  : y  x  3 β) Δείξτε ότι d  Κ,ε   ρ Β) Δείξτε ότι λ ε1 λ ε2  1   γ) Είναι προβα β  λα Γ) Μ(3,4) Δ)  c  : y2  16 x 3 ο Ζήτημα 54   1  Α) Είναι ΟΑ  ΟΒ  0  ... , Κ  ,0  , 2   δ : x   484 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 1 2 Απαντήσεις 2 2  2  2 Β) 3ΟΑ  ΟΒ  15  3 ΟΑ  ΟΒ  15  ... ο Ζήτημα 58 Α) Με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής Γ) α) Λύστε το σύστημα των εξισώσεων των (c1) και (c2) β) Δείξτε ότι λ ε1  λ ε2 όπου ε1 η εφαπτομένη της (c1) στο Κ και ε2 η εφαπτομένη της (c2) στο Λ. Β) α)  c  : x 2  y2  2 , ε  2 ,  ε1  : y  x ,  ε2  : y  x β) Δείξτε ότι 5  3ν  0 για κάθε ν  2 . ο Ζήτημα 59 Α) α) Εκμεταλλευτείτε ότι το Μ είναι εσωτεο Ζήτημα 55 ρικό σημείο του κύκλου Α)  ε  : y  λx  β β) Δείξτε ότι η απόσταση του κέντρου του Β) Το κέντρο του κύκλου θα είναι το Κ(0,β) και ρ  κύκλου από την ευθεία x  2 ισούται με την ακτίνα του κύκλου ΜΡ  Β) α) Φέρτε την εξίσωση στη μορφή 2 Αx  By  Γ=0 και δείξτε ότι για καμία Γ) λ  3 τιμή του λ δεν μηδενίζονται ταυτόχρονα τα Α και Β ο Ζήτημα 56 Α) Ε(4,0), Ε΄(-4,0), Ε΄΄(4,0) Β) α)  ε1  : y  x  4 ,  ε2  : y  x  4 β) Η κατακόρυφη ευθεία x  2 ο Ζήτημα 60 Α) Παρατηρήστε ότι ο Ζήτημα 57 Α) Με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής Β) α) Παρατηρήστε ότι Α2  Β2  4Γ  ν2  3ν  20 β) Κ(2συνφ,2ημφ) , ρ  ν2  3ν  20 1 γ) Κύκλος  c  : x  y  4 2 Α2  Β2  4Γ  36μ 2  36λ 2  0 Β) α)  ε  : y  2x β) λ  1 , μ   2 3 γ) 2 10 τ.μ. 2 δ) δ1) Δείξτε ότι για καμία τιμή του φ δε μηδενίζονται ταυτόχρονα το ημφ και συνφ δ2) Ισχύει ότι d K,ε   ρ  ... ο Ζήτημα 61 1 Α)  ε1  : y  2x  4 ,  ελ  : y   x  λ , 2 5 λ     2  Β) Απόρροια του Α) ερωτήματος Γ) Η (ε1) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 485 Απαντήσεις Δ)  c  : x2 y2   1 , E 0,2 3 , E 0,  2 3 , 4 16     2α  8 , 2β  4 . ο π 2 ο Ζήτημα 67 Α) α)  c  : Ζήτημα 62   Α) α  3 , β  2 Β) θ  Β) Δείξτε ότι (ΚΡ)  ρ Γ) 8x 2 9y2  1 9 4 8 17 Β)  ε  : y  x  9 9 π 3 ο     Γ) Είναι α  β  α  προβα β Δ)  ΟΑΒ   3 τ.μ. 2 ο Ζήτημα 68 18   1 α)  ΑΓ  : y  4x  2 , Γ  ,    11 11   3 1  13 12  β) Μ  ,  , Β   ,   7  7 7  7 63 τ.μ. 178 Ζήτημα 64 γ)  1  Α) α) Η(-1,0) β) G   ,2   3  δ) Δείξτε ότι Α2  Β2  4Γ  0 για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού λ. γ) Ο(0,3) Β)  c  : x 2   y  3  10 2 ο Ζήτημα 65 Α) Δείξτε ότι οι συντεταγμένες των σημείων επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας Β) Γ(1,-2) Γ)  ε  : 2x  3y  4  0 Δ) Δείξτε ότι η απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία ισούται με την α 16  κτίνα Ε) Λ(4,0) ή Λ   ,0   5  ο Ζήτημα 69 Α)  ε1  : x  y  2  0 ,  ε2  : x  y  6  0 Β) α)  c  :  x  1   y  3  2 2 β) dmin  γ)  c  : 2 10  2 2 10  2 2 , dmax  2 2 2x 2 2y2  1 25 225 ο Ζήτημα 70 Α) Δείξτε ότι δεν μηδενίζεται ταυτόχρονα ο συντελεστής του x και του y ο Ζήτημα 66  2  2  2 2 Α) α) ΜΑ  ΜΒ  ΜΓ  3  x  1  y2   70   β) Κ(1,0) και ρ  5 486 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας     α β  α  β B) Παρατηρήστε ότι λ       α β  α  β και χρησιμοποιήστε       α  β  α β  α  β τη σχέση Απαντήσεις ο Γ) Δείξτε ότι λ=0 Ζήτημα 76 Δ) Δείξτε ότι το λ δεν ορίζεται   Ε) Δείξτε ότι α  β  0 Α) x 0  y 02 2ρ Β) α) (ε1 ): y  x  2ρ , (ε2 ): y  x  2ρ ο Ζήτημα 71 β) Α(2ρ,0) ο Ζήτημα 77      1  Α) ΑΓ  α  β , ΒΜ  β  α 4   Β) Δείξτε ότι ΑΓ  ΒΜ  0 ο Ζήτημα 72 Α) Κ  2λ  1,2λ  1 , ρ  1 Β) y  x  2 Γ) Α 1,  1 , ο Ζήτημα 78  Α) γ   1,1  2  Β) γ  2 ο Ζήτημα 73 Γ) κ  -2 Α) Κ  1,0  , ρ  1 Δ) y  2x  3 Β) Δείξτε ότι d(K,ε)  ρ Γ) θ  π 4 ο Ζήτημα 79 Α) α) Δείξτε ότι Α2  Β2  4Γ  0 για κάθε τιμή Δ) y 2  4x του πραγματικού αριθμού λ. β) Κ(λ,-λ), ρ  2λ 2  λ  1 ο Ζήτημα 74    Α) Ε 2 41,0 , Ε 2 41,0  4 4 41  ε1 : y  x ,  ε2 : y   x , ε  5 5 5 Β) 320 τ.μ Δ) ο ης Β) α) Ε(-2,0) β) (ε1 ): y  x 2 3  , 1 3 1 3 (ε2 ): y  x 2 3  1 3 1 3 Γ) 8 1500 41 ο Ζήτημα 75 Β) Α(3,-1) ης γ) Διχοτόμος 1 – 3 γωνίας των αξόνων Ζήτημα 80 Γ) 1 τ.μ Α) y  x  8 Β) Γ(8,0), Δ(0,8) Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 487 Απαντήσεις ο Δ) Ν(4,4) Ζήτημα 84 Ε) Ευθείες y  x  50 , y  x  34 ο Ζήτημα 81 Α) Δ(2,1)     3  Β) ΑΓ   5,4  , ΒΔ   3,0  , ΔΜ    ,0   2  Γ) Ε(-2,1) Α) Η υπερβολή y2 x2  1 18 18 x 5 Β) y   2 2 1 3 6 1 3 6 Γ)  ε1 : y  x  ,  ε2  : y  x  2 2 2 2 ο   1  Δ) ΟΝ    , 1  2     Ε) ΑΒ  ΒΓ  0 Ζήτημα 85 Α) Δείξτε ότι δεν υπάρχει τιμή του λ που να μηδενίζει ταυτόχρονα τα λ και λ  1 Β) Α(3,-2) Γ) Οι ασύμπτωτες της υπερβολής διέρχονται ο Ζήτημα 82     Α) Δείξτε ότι ΟΑ  ΟΒ   ΟΑ  ΟΒ   Β) ΟΑ  ΟΓ  3  Γ) ΟΓ  7 από την αρχή των αξόνων. Από την οικογένεια των ευθειών μόνο μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και δεν είναι καμία από τις δύο ασύμπτωτες. Δ)   3 3 3   ΟΑ    Δ) προβΟΒ  4 ,  4    Ε) κ  3 2 Ε) 2 2 2λ  2λ  1 2  ε1 : y  2 ,  ε2 : x  3 ο Ζήτημα 86 Α) x  2 , x  ο Ζήτημα 83 Α) Δείξτε ότι Α2  Β2  4Γ  0 για λ ∈ ℝ - {0}. 7 3   Β) ΟΑ  ΟΓ  3 2 2 Β) Κ  λ,  2  λ  , 1 1  1  α) (c):  x     y    2 2  2  Γ) Η ευθεία y  2  x χωρίς το Α(0,-2) β)  εΓ  : y  x  1 ,  εΔ  : y  x  1 2 2 Δ) x y  1 8 12 Ε) 5y2 5x 2  1 12 48 γ) x2 3  y2  1 , ε  4 2 ο Ζήτημα 87  1 1 Α) Δείξτε ότι Α2  Β2  4Γ  0 , Κ   ,    2 2 488 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας Απαντήσεις Β) α) ρ  d(K,ε) ο Ζήτημα 88 Α) Δείξτε ότι έχουν σταθερή ακτίνα Β) y  2x Γ)  ε1 : y  2x  2 5 ,  ε2 : y  2x  2 5 Δ) Θεωρήστε ότι Α(α1,β1) και Β(α2,β2) σημεία του κύκλου. ο Ζήτημα 90 Β) α) Το σημείο επαφής είναι το Α(1,2) β) Β(-1,0), Γ(0,1) γ) 1 τετραγωνική μονάδα ο Ζήτημα 90 2 Α) y  x 7 Β) (x  5)2  (y  3)2  10 Γ) x 2 y2  1 36 20 Δ) dmax  130  10 dmin  130  10 Ε) (x  2)2  (y  4)2  2012 ο Ζήτημα 91 Β) α) Δ(-4,0), Ε(0,-1) β) δεν είναι συνευθειακά, 2,5 τ.μ. Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας 489 Απαντήσεις 490 Σίσκας Χρήστος - Φακόπουλος Επαμεινώνδας

Διανύσματα: Έννοιες, Πράξεις και Εσωτερικό Γινόμενο

Products

Support

Διανύσματα: Έννοιες, Πράξεις και Εσωτερικό Γινόμενο

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib