Antônio
Carlos
pegouum táxiparair à casade
Í ! f lÊ t Ì 1 E f . 5 n
suanamorãdâ
quefca a 15km dedistância.0
va or
cobrado
engloba
o preçodaparcela
fÌxa(bandeiradâ) Chama-se
fr-tniìàc
polinr)rÌì
al |,) 1! gr;rLt,
ou tr,r,
de R$ 4,00 maisR$ 1,60porquilômetro
Íodado. çãoâfirn,a qualquer
f!nção/ de R em R dadapor
umâleidâformaf(x)= ax + b,emqueo e b sãonú,
0uântoeÌepagouaotâxÌsta?
merosreaisdadoseâ + 0.
Nâíunçãof(x)= ax + b, o número
d é chamado
coeficiente
dexe o número
b é chamâdo
tefmoconstan(e.
Vejamos
ê gunsexemplos
defunçÒes
polinomtars
do 19grau:
. f (x )= 5 x -3 , e mq u e a = 5 e b = 3
. f (x )= 2 , , -7 , " rO r. a = -2 e b = ?
. r r x) =ã+ 21)
e b= i
;,em queâ=ã
. f( x)= 11x,em
quea=11eb= 0
Elepãgou15.R$1,60= R$24,00petadisrância
percorrida
e maisR$4,00pelabandeirãda;
ouseja,
pâgou
R$24,00+ R$4,00= R$28,00.
Seâ caseda namorada
Íicêssea 25 km de dis0 gráficode umafunçãopolinomjâl
do 19grau,
tãncia,
q!al seriao preçodacorridâ?
dosetxos
: - ar' b,coÍ a - 0, é uma-etàobl,qJê
Temos:
25 R$1,60+ R$4,00= R$44,00.
0 x e0 9 .
Podemos
notarque,parâcadâdistânciâÌ
percur
ridapelotáxi,há cerropreçoc(x) pâraa cornda.
0 valorc(x)é umafur'ìção
dex.
Éfácilencontrara
fórmula
queexpressa
c(x)em
o gráfico da Íunção
funçãodex:
bratte0
I=3x- 1
c(x)=t'56
"*O'OO
quee umexemplo
defunção
poinoÌnialdo
19grau
ou
funçãoafim.
Comoo prãfcoe urnereÌa.DasÌa
obterdots
de seusporÌtos
e ligá-los
como auxílio
de uma
requa:
3rì
. Para
g = 3 0 1=-1;portanto,
x = 0,temos
umponto
é (0, 1).
da reÌãque
Vejamos
comoobtera equâção
passapelosponlosP(-1,3)e 0(1,1.).
. Pa rga= 0 , t e mo s0 =3 x1 ip o rta n to ,x= +e
3
A retaPQtem
PreciserÌìos
equâçãog=êx+b.
à retâ:
determinaÍ
o e b. Como( 1,3) peÍtence
or,rooon,o
la. oì.
'
" \l /
b=3
3 = a ( 1 )+ b , o u s e ja , -a +
/i
\
'J
/
N 4è r ca mos
os pontos(0. -1) e { -. 0) ^ o
à reta,temos:
Como(1,1) pertence
retâ
osdoiscomLrma
plânocanesiêno
e LÌgâmos
1 = a 1 + b , o u s e la , a + b = 1 '
'
Assìm,d
e b satìsfazem
o sistemâ
,i r
I
â+b=3
[â+b=1
0t
c u ja s o lu ç ã o é a 1
= e b = 2 -P o n a n t o , â e q u aç ã o
p ro c u ra d a é g = -x + 2 .
+o
plâneja
aumen[Jmamontadora
deveículos
tar.uã prod.çàoãc e-ce^tando,
eÍ cèdames.
produzida
no
r veícuosa maisqueâ quântidade
é possívelsamêsanteriorNográÍico
a seguir,
no 59e 209
beronúmero
deveículos
fabricados
doplan0
mês(contedos
a partirdaimplantação
deexpansão).
de
oualé o valorden? Qualíoiâ quantidade
veÍculos
vendidos
no 129mês?
vam 0 s conslrur o gÍáfico da íunç ã o
!= 2 x+3
. Pâr â x=0 ,temosg=-2
'0+3=3;portên t o ,
umpontoé (0,3).
. Par ag = 0 , temos0 = -2x + 3; porta n t o ,
1
/r
é (:, 0
x=; e ouÌroponÌo
8000
5 000
\
J.
Noperíodode
15meses(59ao209mês)são
p ro d u z id oBs0 0 0 - 5 0 0 0 = 3 0 0 0 v e í c u los .
concluímos
mensal
é constânte,
comoo aLtmento
03
+o
q -e , o o rn e . . s a o Í a bic è d o 5 ' : . " "
15
200vet.
culos(n = 200).
Do59ao 129mês (7 meses)sãofabricados
200 7 = 1400veículos
ê mais.Assim,no 129
rnês,a prod!ção
seráde 1400+ 5 000 = 6400
ve cul0s.
chemâda
Alê ig = 2 x+3 étambém
'i'
f
ffi Ëlxtrí'f,íciçls
l. Façao gráficodasseguintes
tunçõesde R em R:
b) y= 2 Ì+4
c) Y =3x+2
d) y= .-z
700
550
lï. TodasasfunçOesseguintessãodo legnu€pos
suemtermo independentenulo. Sãochamadas
íirncõcslineâr.rs.Façao gráÊcode cada urna,
destacando uma propriedade comum.
a ) Y=2 x
5000 8 000
(vendâs
mênsais
em rcais)
a) Encontre a Ìei da função representadapor
.1
c)
y=T x
b ) v= :'
3. I- .ada caso,..presente,no mesmosistema
cartesiano,
os gráficosdasfunçÕesíe& destâ
candoascoordenadas
do ponto de interseção
dessesgráficos:
ií\ì - 2i 3
r/ I
l:, I i,xr- 2x
l gíx'- r
h
lglvì-rrt
=*+
t
ty { f(x)
l g( x) =x+3
b) QuaÌ é a parte 6na do saláÌio?
c) AÌguém da loja âfirmou ao vendedor que,
seele conseguisse
dobrar asvendas,seusaltuio têmbém dobmÌia. Tal êfinnação é 1er
dadeira? Explique.
7"Durante uma década,verificou-seque úm co
legio;pre.enrou
urn decre,cimol;neJrno nd
nero de matrículas,como mosira o gráficoseguinte:
4. A um mêscìeuma competição,
um atletade
75kg é submetidoa um treinameÌ1toespecíâco
paraaumentode massarnuscuìar,
em que se
anuncìamgaÍìos de 180gramaspor dia.Suponìa que issorealÌnenteocorm.
â) Determineo "peso"do adetaapósumase
mana(le úeÌnamento.
b) EìÌcontrea lei que çlaciona o "peso"do
atleta(p) emfunçâodo númerodediasde
treinamento(r). Esboceo gráÊcodessa
fiinção.
c) Seú possiveÌque o atletâ atinja ao menos
80kg em um mêsdetreinamento?
L5. Qual é a Ìei da funçãocujo gráficoé uma reta
quepassapelospontos:
.a) ( - 1,s) e(2,4)? c) (0,0)e(t,a) ?
b ) ( 3,2) e (2,sX
d) (3,2)e(5,2)?
Ê, t m renrledor
re.ebeumsalario
fi\oe maisuma
pdrle\rrià\el,conerpondente
) (omi,..ìo\o
bre o total vendidoem um mês.O gráficoseguinteinforma algumaspossibilidades
de salá
rios em funçãodasvendas.
4ü
a) QuantosaÌunosâ escoÌa
possuíaem 2001?
b) QuantosaÌunosa escolaperdeude 1995
a 2005?
c) Suponhâ
que,a partir de2005,hajaum aumento de 30 mâtículas por ano. Quantos
aÌunosteráo colégioem 2010?
5
_ ü . I. -|- -| ,rv \_P
r u v d t o ra lu a ld e u n )ama q u ì nje
R$ 10000,00.
Xstimase que,após10 anosde
uso,seuvalorcairáparaR$ 1 000,00.Escreva
umafunçãoÌineârquerepresente
o valor Vdessa
máquiÌìaemfunFo do tempof,medidoemanos.
Y, A !dloridçaoanualdopre5oemreci.7deumr
peçade ârte é constante.Seupreço atual é
R$ 4 500,00.Quatroanosatrás,â peçacustava
R$ 3 300,00.Qualseráo preçodessapeçada
qÌri a cincoanos?
{
CaÌcule:
10. (UF-sC, adâptado) Dois líqüidos diferentes
têú
encontram se em recipientesidêÌlticos e
t L{asde evaporaçãoconstantes.o liqúdo I en
cont.a-seinicialmenteem um nívelde 100mm
no quadragé\ìmo Í.4. o uoÌo. d. .,ma máquina agrícola,adquirida
e evdporasecomplelrmenle
porUS$ 5000,00,soíre,nosprimeitus ânos,de
dia. O Ìíquido II, iniciaÌmente com nível de
preciação(desvalorizâção)
ìinearde US$240,00
80 mm, evapor4-secompÌetamente no quadrapor ano. ale Jlìn8ir 28oodo v;ìor de rquigésimooitavo dja.
sição,estabilizando-seem toÌno dessevaÌoÌ
a) Encontre,paracadalíquido, a lei dâ lunção
que representao nível (/), em mm, atingi
a) Qual é o tempo íanscoÍrido até a estaÌrili
do no recipiente pelo liquido no dia r.
zâção de seu vaÌor?
b) Deiermine,antescÌaevâporaçãocompleia
b) Qual é o valor mínimo da máquina'7
de ambos,ao finaÌ de qual dia os Ìíquidos
c) Façaum gráfico que representea situação
terãoo mesmo nível (em mm) lessesmesdescritano problema.
mos reclplentes,
''(+)
11. Na Ìei y = a + 2,5x,em çlue,r é uma constante)
í;,ì ernre.ri'.p.rgo
e.rarela.ion.rdoo r alor1el.rì
pof um usúário que acessoua internet por
,r horas,em um cibercafé.SabeniÌoque uma pes
soaque usou a redepor 2 horaspagouR$ 8,00:
a) determine o valor de d;
b) enconüeo valor pago por um usuário qüe
acessouâ redepor 5 horasj
cr ã\d o grafiLode uem íun.;odeÁ /\io l-er
mitidos fracionâmentosde hora).
b) f(3)
, t(+)
dnfunçã*
iloefíciegrts*
ãfirn
daÍunçãoafimI = ax+ b
Jávirnosqueo gráfico
é umareta.
en_
coeíìciente
dex, o, é chamedo
0 coeÍiciente
daretaemrela
gLrlafdaretae se refereà ìnclinação
no capÍtulo
12, (ur nl) u-;a.oclúbe propõeâ seusclientes çãoaoeixo0x,conformeâprenderernos
deGêometria
Analíticâ.
três opções de Pagamento:
I
b, é chamàdo,:''.t
taxa de adesão anual,
0 termoconsranÌe,
' opção I: R$ 40,00 de
mais R$ 1,20por DVD alugadoj
neafdâreta.Pãrax= 0,temos
V=a' 0 + b= b.Assim,
. opção lI: R$ 20,00 de ta-ra de adesãoanuaÌ' o coeficiente
dopontoem quea
lineaÍé a ordenadâ
mais R$ 2,00por DVD aÌugadoi
retacortâo eixo09.
. opçaolll: R$100 por D\ D alugrdo. tàxa
'em
de adesão.
Um cliente escolheua opção lI e gastouR$ 56,00
no ano. nssecÌieüteescolheuá melbor opção
de pagamentopara o seu caso?lustrfique sua
m
ffiil *Hercieimç
rngularra c o 'oefi'
X5, ldcntifique
o coelìciente
cientelinear (r) de cadafunçãosegulnte:
a) y= 2x+5
b) y=3x I
c) Y=qx
d) v=x+:
eJv
respostâ.
13. Considereuma tunçãot cujo domínio é [0,6]
e seugráfrcoé representâdoa seguir.
4t
t
lr.ii. No gráíìcoseguintecsrárepresenrrdo
o voÌun1ede petróleoexistente
em um reservatórlo
de26 m3iniciaÌmenre
vazio.
Cdlculo
daêbscissê
doponÌoerr queo grálico
deh(x)= -2x + 10cortao êixodasabscissâs.
0 pontoer queo g.áÍico
cortâo eixodosx e
aquele
emquehír) 0, enrào:
h(x)= 0 +-2x+ 10= 0:+ x= s
5 200
2600
f
.- 'l
lfÌk#ffi
f;ií"ii"ilt,f ;,ii$ ffi
i :'', Resolva,
emR,asseguintes
equações
de t egrau:
a) Ì2x+5=2x+8
b ) 5 (3 -x )+ 2 (x + 1 )= -x + s
c l 5 x + 2 0 (t -x )= 5
d) -x + 4(2 x) = -2x (10+ 3x)
ì) Im quanto tempo o reservâtório€stará
úeio?
b) Qualé a Ìei quee.pressa
o volume(r:),em
ütros.dcperroleo
cü,renlerìorc\er\.rtorio
em frÌnçãodo tempo(r), em horas?
''
rì
"i
1 5=
x4
*
3 - 2
2
J
ó x x + 3 =a-'
2
ìÌrri, (UF-PE)Pedrotem 6boÌasdemetatde ucslro
peso p. Pâm calcuÌarp, Pedrocolocou 5 boÌas
em um dos pmtos de uma balançae a qLLeres
tou, juntâmenteconÌ unì cubo pesando100g,
no outro pÌato, e observou que os pratos da
balança ficaram equilibrados (veja figura abai
r.o).Indiquep, nedido em granìas.
ãwnn
Chemâ-se
z!-Dou Jt; dafunçãopolÌnomial
do
19grauf(x)= ax+ b, a + 0, o número
realxtal que
f(x) = 0.
Ìemos:
'f( x) =0 =ax+U=0=x=-!
a
Então,a raizdafunçãof(x) = ax + b é a sotução
daequâção
do 19grauax+ b = 0, ouseja,x = -!
Vejamos
algunsexemplos:
. obtençãodozero.daflnção Í(x) = 2x - 5:
Í(x)=0 +z x -5=0+x =!
2
CálcLrlo
darâizdãfunçãog(x)= 31a 6,
a
i.,ii. Um pai quer distribuiÌ Rg 120,00enÍe seus
três fìÌhos, aqri detominados Á, B e C, de
modo que B recebao dobro de C e Á recebao
dobro de B somado ao que cabe a C. euanto
receberácâdâum?
i i l , Cartose + anosmaisvelhoqueseuìÌmão An dré.
Há 5 anos,â soma de suasidadeserâ 34 ânos.
a) QuaÌ é a idadearuaÌde cadaum?
b) Dâqui â quantosanos a soma de suâsida
desseráigual a um século?
g ( x) =0=3x+6=0=,x=-2
ìv
?i., (ur rt) MaÌia faz hoje 44 anos e tem clado
um duro danado para sustentarsuastrês fithas: Marina, de 10 ínos; ÌvÍarisâ,de 8 anos;
e Màrd.dc' dno..MJriadccidiut1u.Írra uma
no
\ iJgemao NoÍde"lcpdra r i.i.ar
'eLt'pai"
dia do seu aniversário,quando sua idade
for iguaÌ à soma das idades de suas três filhas. Com que idade Mâria pretende fâzer a
víagem?
L
: r, 1 1 ,rr; : 2 r' : 1
25
: i3 , ' r, ; t s : r, ,
{
Notemos
que,quando
o vâlordex,
aumenternos
li Ê. oetet-i". a raiz de cada una das seguintes oscorrespondentes
valoÍes
degtambém
aumentam.
tunçoes:
Diz e mo s , e n t ã o , q u e e f u n ç ã o ! =13éxc-re ! : ce n l e .
a) Y=3x 1
0bservenovamente
seugráfico.
b) Y=-2x +1
ConsÌderemos
â Íunçãog = 2x+3.
-ì ,,,
")|-
31 5
d) v= +*
.2xl
â3. seja / uma fìnçao reaÌ definida pela lei
f(x) = ar 3. Se-2 é raiz da tunção,qual é o
vaÌordef(3)?
â4, seja r a reta representàtivado gráfico da função
y = 2x- 2 eA e B os pontosem que Iintercepta
\e O e a or igenì
o\ cì\o. Ì e /. re\p<Lr:ramenlc.
do sistena cêrtesiano,quaÌ é a áÌeâ do trjânguÌo OAB?
ax e
Vamosetribuirvalorescadavezrnaiores
observaro queocorrecom9:
ffiïsiffiü1ffi&ãil
r,g ,11
,'
_3ìir
-27
:+::
5: :rl
: r: ri, : :
?L
e
ilnms*irnmnt*
de*rrysçirn*ntr:
3 r : , j' l
Notemos
que,quendo
aumentâmos
ovalordex,
Dizemos,
oscorrespondentesvalores
deg dimìnuem.
então,quea funçãog =-2x+ 3 é d€'l]r.scí r.0bservenovâmente
seugréfico.
g = 3x 1.
Considefemosa
Íunçãodo19grau
Regrageral:
ax e
VamosatribuirvelorescadavezmaioTes
observâr
o queocorrecomg:
4i
r,.Afunçãodo19grau
f(x)=ax+ b é crescente
(â > 0).
quando
positivo
o coeíiciêntedêxé
' A funçàodo 19grauf(x) - ax r b é decrescentequandoo coêficientê
de xé negetivo
(a< o).
i
l
Vêmosdiscutir,
emfunçèodo pârâmetro
m,
(decrescente,
a vãriação
constente,
crescente)
=
dâfLrnção
g (m- 2)x+ 3.
Sena eideumafunção
aparecef
outravâráve a ém dãsd!âs que eslãose relâcionando
(x e g), essavariével
é châmada
. Nâ
expressão
(m 2)x+ 3 a variável
prìncipâlé
x, e
m é um parâmetro.
0 coeficiente
dex nessaequação
é rn - 2.
assm,tem0s:
 Í1. êo é dêrre5ce.tese m - 2
Vamos
estudar
o sinaldafunçãog = 2x 1
Essaíunçãopolinomla
do 19graLt
apresenta
a -2
'Oe ët/
I A ru n c oeo c . e s c e neì ea
^ - I'
retacortèo eixo0x nooonro
L
I
I
zL
'Ì,Yto
0. o. )eju.
sem<2Af u n ç ã océo n sta nse
tem 2 :0 , o u se ja,
se
m:2.
AÍ|]nção
é crescerìte
sem 2>0,oLtsejâ,se
m>2.
,rlrlirl:1.iiiiii
q> o =
"> 4
='.+
s1ÏÌÉÏï$i,j,
.: i i i, .'
I r . r . . r I q. e\ . r.r.rL Ì,rL l d .l t
itïfÉílã#.ffitr
r..,i ...9 |
rl ., .tn
crescenrcou oecresceÌìÌ!è:
Vâmos
estudar
o sinaldefunção
g = -2x + 5
EssaÍunção
do199Ëuapresenta
a= 2 { 0
iì ) , Í = 3x - 2
bl , v = Ì + . i
5 2r
- r ..e) v= ( r + 3)r
e râizx =:. Afunção
é decrescente
e â fetacortâ
o ex0 ^5
ux no p0nÌ0
(x+ ì)r
ã.
l '.r . q u e\"l nr'. r.ri. l, ,,, .r rjì.,r^Jct'n id
'
!,
2
a) l( \ l = lÌ L
2 é c rc s c e ü te ?
b) g(x) = (m + 3)x + I édecresceDre?
cl
h( x ) = (
m L 2 )x é c re s c e n te ?
ì:
;.1!dâro sinãldeumafunçãoqualquer
g = f(x)
é . Je ter m in a r o svaloresdexpâra
osquaisg é pos it i!,0.oLrgé zero,oug é negativo.
.i.:
-.+
",+
1::i,1,:l-l::(1.
,,=
,:".'ii'li'i,"i i":ii"tl:,ffiffi*
i#Àmffi
Em cada caso,estudeo sinâ1da função Ícprescntadì to gráfico:
Vamos
resolver
â inequâção:
4 (x + 1 ) 5 < 2 (x + 3 )
Essaé LImêinequação
do 19gÉu quepode
qen o e< udode cina dè Íu çào
.er re.olvida
afim.Vejarnos:
19)0esenvolvemos
os pârênteses:
4x+4 5<2x+6
2") Passamos
todosostermosquecontêma lncógnltâ
x parao 19membro:
4x 1 2x<6
Passamos
para
todosos termosconstantes
o 29membro:
4 x 2 x < 6 + 1 -2 x < 7
4ï DividÌmos
pelocoeficiente
os doismembros
dex:
"=+
:: i
E Í t dc
s={-em
o sìn a Ì de cada utra dâs lìnções se-
guintes:
"<}}
Vâmos
resoveralnequação
1 < 2x+3 < x+ 5.
Defato,sãoduasinequações
sÌmultâneas:
5
1< 2x+3 @
'2
e
2x+3< x+ 5 @
ràcalnosG_).1= zx+ I
,.::l liâca o estudodo sinal c1afunção represertada
no gráÍìcoseguinte:
1 < 2 x + 3 = -2 x < 3 -1 =
2x<2+x>
0bservemos
que,aodividirambosos mem
bÍosporum número
negativo,
devemos
inverter
o sentido
dadesiguâldade.
vamosresorver
!z_lzx+.J< x+ 5
2 x + 3 < x + 5 = 2 x -x <
5 -3 9 x < 2
AgoÍa
a interseção
dasduassolLrções:
s2
Re s p o s t a : -1 < x < 2
)= tx
4r
1
c u{ -1= x1.1
f
rr 3ïl
::'-=
x+7
4
PararesolveÍ
a inequação-produto
s) ( x- 3F ( 1 x) r
(a-3x) . (2x 7) >0,devemosâplicaroêstudo
.:i :., ,e.dif..."ça entre o dobro de um númeÌo e â
dosinaldaÍunçãoafim.
sua nìeiade é menor que 6. Quais os inteiros
FaçamoS
gt = 4 3x e estudemos
o sinâlde
positì1'osque sãosoÌuçõcsdesseprobÌema?
.
49Ì. le r n o sA=J<-UeTaZX =3,Lnleo:
.i,:i, Como p.esented. aniversário,Mauríqo rece
beu RS 190,00de sua âvó. A partir do mês
seguinte,ele passoLL
a Ìetira! mensaÌmente,
R( .28.00
d. Ine,ada.tLe recehe
discu, p. i.. r
fim de fornur um pé de-meia.
o!.
Vamos
determinar
o sinalde92= 2x- 7 Íe,
mosa= 2 > 0 e raizx=á. Então:
z
.-.
Estudemos
âgoÍao sinaldoproduto
U1 U2.
;.ì.lr Em uma cidade,h:t duas empresasde taxr:a c
B. A empresaÁ cobraR$j4,00pelabandejradae
utt adicionalde 65 centar-os
por km rodado;a
empÌesaB coìrra R$ 3,20 a bandeiradae um
âdicionaÌde 70 centavospor kÌr rodado.
.)
Qual ó â opçãomais econômìcaparaquem
fizer unta viagemd€ 6 km? E 30 km?
bì q p. t. deqr.'r'ro.<Irilonrrtrord.
riagcrn
a cmprcsaB cleixade se1Ìnais ecorórnica?
!z
32
tt tz
a) Conro seexpressa
o valor (r) que Mauricro
terá guardadopassadosr |ìesesdê datx de
scu ani1.€rsário?
b) Quâl é o tempomtuimo necessário
para quc
ovaloracumuÌadopor elcsupereR$500,00?
l
"Para
pergunta:
A Ìnequação
quevelores
dex
temosU1 92> 0?".
emummes
";i'ì Duaslan loascs,Ac B,localizadas
no bâirro.Jdor,,rrrrr n., d'fc cnrc, dc prcn'ìos
ços,eÌì funcàodo teÌnpo de acesso,como
tÌa o gráfìcoseguinte:
Re' llsD o 1<x
sË : <4
,,.':I
*ïqffi ilj{:r1lfl
i: ïi,rt];b{ffi
"::l11.nesoÌva,
em R, asseguintes
inequações:
â) x- 3 < x+5
b) 3. ( x 1)+4x<-10
c) 2( x- l) - 5(l -x) > 0
Qual deÌascobra entrada?Qual é o valor
d) i-*+*<x
e)
x
Ì
3
x-2,^ ='
2
b ) A partir de quantos minutos de acessoé
mêiseconômìcoescoÌheta lan houseB?
t
\
3 5. 1uf-n1 U-u op"tadorade celuÌaroferececlois
pÌanosno sistemapós pago.No pÌanoA,pagase uma assinaturade R$ 50,00 e cada minuto
em ÌigaçõesÌocaiscustaR$ 0,25.No pÌano B,
paga-seum valor fixo de R$ 40,00 para até 50
minutos em ligaçõesÌocaise, a partir de 50 minutos, o custo de cadâ minuto em ligaçõeslocaisé de R$ 1,50.
a) CaìcuÌeo valor da conta em cadaplano paÌa
um consumomensaÌde 30 minutos em ligaçõeslocaN,
b) Determinea partìr de quantosminÌrtos,em
ììgaçòe,
ìocai..o planoB deixr d< ,<r mai.
vantaioso do que o plano Á.
3,J. n
as seguintes
inequações
simultâneas,
"otva
serlclo r.l = K:
a ) -1 < 2 x < 4
b ) 3 < x -l< 5
c ) 4 > -x >
1
d) 3<x+1<
x+6
e) 2x< x+9<5x+21
',ÌtÌ. ResoÌ,la,
em R, os seguìntes
sisremaide inequaçoes:
^ \ l-3 x < 1 2 x
" Ì+ : (z-*)>x
,,
ol Íx+ 1< 5x
is' < - *+ 2
Í*sz-'
"ì"'
JE. íU.ËViçosdM6ì Um, omercidnre
de.ejrcomprâr um entre dois canos usados,O catro Á
custaR$ 5 000,00e 1ãz8,4 quiÌômetrospor Ìi. tro de gasoÌina,enquantoo B custaR$ 7 000,00
e faz 12 quiÌômetrcspor Ìitro. À gasoÌìnacusta
cerca de R$ 2,00 o litro. Ambos os carros estão
en boas condições,portanto espera-seqúe o
custode consertossejadesprezíveÌ
a médio plazo. Considerando essesdados,faça o que se
pede:
1 x + l> 2 x 4
3)< sx+Ì5
ls - 2 ( x
;3Ë. grnu 1n.o6or"4"
oferecetrês.pla"utomóveis
nosa seusclientes:
. planoA: diáriaa R$ 80,00com quilometragemlivre;
. planoB:diáriaâ R$30,00e maisR$0,60por
quilòmetro rodado;
r planoC diáriaa R$40,00e maisR$0,50por
quiÌômetrorodado.
a) Qualéaopçãomú econômicaparaalguém
a) CaìcuÌe o valor, em rcais, gasto com com
quedesejarcdar 60 km por dia?E B0km
bustível dos carros Á e B, após rodarem
por dia?
2 520km.
b) A partir de quantosquilômetrcsinteiros
b) Aralise o gráfico abaixo, que representa
rodados
emum diao planoÁ é maiseconô
quiÌômetros rodados por gâstos(com
micoqueos outrosdois?
combustíleìe custo do carro) e determÌne
quantos quiÌômetros o comeÌciantedeve
rodar antesque o calro B setome â meÌhoÌ
rl i,,. nesolva,em R, asìnequâçõesproaluto:
a ) (x 1 ) (x -2 ) > 0
b ) ( 2 x + 1 ). (3 x -6 )> ó
c ) (s x + 2 ). (l-x )< 0
d ) (3- 2 x ) (4 { + 1 ) (s x + 3 ) > 0
e ) -x . (2 x 1 ) (x 3 ) > 0
' i I . O u u n r" nt u me ' o , , n t e iro
s t a -/ e m
d rt
J in e q u i ção(3x- 5) . ( 2x + 7) > 0?
lj. , Estabet.a o domínioda funçãodefinidapor
(? x 1 ). ( 4 x + 8 ).
{13, ResoÌva
asseguintes
inequações
em R:
a ) (2 -x ). (x 2 ) > 0
b ) (x -3 )i (2 x 6 ) > o
c) (2x- l) (1 2x)> 0
47
t
negativo,
dependendo
dovalordex), nãosâberemos
seo sinalda
desigualdade
deverá
serman!roooLinverr:do.
Poíisso.JÌili7ã'eÍoso segun
te procedimento:
Vam o ste solvere inequâçào
quocent e
1 0 x 1 5 - '^
dosÌnaÌdegL= 10x 15
" Estudo
à =I0>0 e r aizx=+
tl
<a-tl
a<n-
2- A
? x
= ( x+3) 4( 2 x) <o=
2x
I
3
2
5, 5 <u
*
E agorâ
âplicarnos
a mesmatécnÌca
vÌstano
exemp
o 12.
e .'
. Estudo
dosinaldeVz= 5 4x
a = 4{0 e r aìzx=!
4
0utrââplicação
do estudodo sinalseriâa
obtenção
dodomínio
deumafunçã0.
' .. e
Vejânosromo obtero domrnro
da funcdo
t---=
= / ÌÌ1.
porí1x.1
clefinrda
!!
Estudo
dosinâldoquociente
\
92
Devemos
imporqueo radicândo
sejanãonegâtivo,istoé:
q
2
1
1 +. x
x+3 > n
1+2x
-Y1
E ãgoraâplicamo.a me-maIec^ cd v \la
exemplo12.
"Paraq,e v"lo e. de
A -equeçao
pe'guntà:
"
Re "o o sÌà:
\'
'ou,(.
4
J - - Q 9ç q1' pp6 r6 q
--lNoÌemoso u e
Z \
- 0pLl
i,' :,''i ì,. Íii*qffi
i:r,.,.,rr
It#,ffi.#
'
-0 .| -s o n o s
K .çOr\J ( r t{ n\ IneqJn.^e\ qr urrr ìL\:
a) -Il!=
9z
obnqa
a rnclurr
apenas
a raizdeq,.l
0
.1
?L;.6
b)++<o
--l
uer.rrìì r. u !onJr ìrú luru\duca\ rr,Ì0Jçocç
quocieÌÌieseguintes,sendoU = R:
v!t
Vamos
resoverà nequaçáo
(x+ 1) (x-2)
< 4.
b)
Se,simplesmente,
muhiplicarmos
ambosos
membros
por 2 x (quepodeseÍ positlvooLr
<0
(2 + x) . (-rx- l)
oq3j4=
4!1
' '" j" K es olv . renì
. L { j J r L L ì(q u a ç o e s :
" - > -l
2x 1
:l
,
4 r +l
D)
- -l ^
-<
c)
- <Ì
d)
:!ll
:+:>
a) f(x) g(x) > 0
<o
ul -!9f
glxl
,. ,: EstabeÌeça
o domíniode cadafunçãoseguinte:
;ì rì, A paÍú do giáfìco seguinte resoÌva as inequaçoes.
(u
E
c'
c,
o
(J
t!
.
/ 4 x -3
_
r-:-=
b ) y' = J x + / +x -r
\
Funçõescusto, receita e lucro
Umêpequenadoçâria,ìnstaladaem uma gaÌeriacomercial,produze comerciaÌizâchocopor CF,qu€inclui
Ìates.Parafabricá los, há um custoÊxomensaÌde R$ 360,00,representâdo
da
há um custovariável(Cv),quedepende
contadeluz,impostos,etc.Além desse,
alugueÌ,
(r).
prepârados lstima sequeo custodeprodÌrçãodeum chocoquantidade
dechocolates
ÌatesejâR$ 0,30.
e
c)
íu
(J
!
E
'{=
'.(o
E
0)
g
íu
Assim,o custototal rÌeÍsÀI, C (C = CF+ Cv), é dado por:
C(x) = 369 * q't ì(
o preço de venda unitário do úocoÌête é R$ 1,20.ÀcìÌniúemos, neste momento, que o
preço de vendaìndependede outros fàtores.
A ïeccitâ(faturamentobmto) dessadoçariaé definidapor:
R(x) = 1'2 x
ou sejd,é dada peÌo produto entre o pleço unitríio de venda e o número de unidades produ_
zidase vendidas(x).
é uma funÉo de
Por fìm, o lucro mensal,l (faturamentolíqÌrido),desseestabelecimento
grdudaddpor:
'ç
L(x):R(x )-C(x )
L(x) = 1,2x (360+ 0,3x)= 0,9x- 360
"ì .r
f
Vamosobservar,a seguiÌ,os gtáÊcosdasÂrnçõescustoe receita.
600
y= 0,3x+ 360
480
424
390
360
!
240
100
200
500 x (!ndadesprocruzidas
queasretasseinteÌceptam
Verificâmos
em P(400,480).
O pontoP é chamadoporto d€ nivel n€rìio (ou ponto criricÒ),pois en] p â receitáé
sufrcieÌÌtepara iguaìaro custototal, fazendocornque â loja deix€de ter prcjuízo.
Obsewetambémno giáíico:
. regiãoI: C(x) > R(x) (x < a00) L(x) < 0 * prejulzo;
. regiãoII: C(x) < R(x) (x > 400)-* L(x) > 0 * lucro.
ImagineÌrm mêsem quesejarnprotìuzidos
e vendidosó00brigadeiros:
. o custototaÌmensaÌemreaisé C = 360+ 0,3 600= 540;
. a receitamensalobtidaem reaisé R = 1,2 600= 720;
. o luqo mensalcorrespondente
em reaisé 720- 540= 180
(oul= 0,9.600- 360= 540 360= 180).
Por outro lado,se em um determiÌ1ado
mês a doçarìaopeÍaÌ com um prejuízode
R$ 90,00,podemosdeiermiÌÌara quantidadede brigade;ros
comerciâÌizados
da seguinte
ComoL(x) = 0,9x 360,fâzemos:
-90 = 0,9x- 360+ 0,9x= 270+ x = 300
ForamcomerciaÌizados
300brigadeiros.
#ilffiR*ffi*{iffi
de vestibularesffim
1 .(U|-ES)O bancoMlÌtreta& CambaÌachocobrâuma
tarìfaparâmdlutenção de conta(TMC)da seguinte
formê: uÌìa tâxa de R$ 10,00mensaise maìs uma
taxadeR$ 0,Ìs por cliequeemitido.O bancoDakah
TorÌ Mâlah .obÌâ .le TMC uDra taxa d€ R$ 20,00
m er ' J . . e n. i. r' ìJ J \d d e R r 0 .l 2 p o Í rh .q ". ri
i:,;.1
tido. O sÌ. Zé Doular é correnÌÌstrdos dois bancos€
emite,mensâlmente,20 chequcsde cadabanco.
A somadasTMCS,eÌn reais,pigasmcnstìlncntepoÌ
â) Ì0,15
bl 20,12
c) 30,27
d) 3i,40
e) s0,27
í, í t nr c dp- P lì q tu n ç J od e fi n i d an o c o n j u n l o do\
pelografco na figurd abdixo.e:
reai\.representâda
7. (UE PA) Nasfeirasde artesanatode Belémdo Pará,
e.omum.no penodonaraLro.
a renú de arvo-e.
de nataÌ feìtâscom raiz de pâtchouÌi. Um artesão
paraenç-e,ol\euincremoLar'ua p"oduçaoirrestindo R$ 300,00na conprã de matériâ-prìmapara
conÍeccionálasaopreçode custodeR$ 10,00â unidade.Com a intençãodercnder cadaârore aopreço de R$ 25,00,quantasdeverávendeÌ paÌa obteÌ
b) Y= t'+x+ I
c) y=3 x
d ) Y= x+ z
e ) v = 2x+2
3 . (puc ttlc) pu.u," to'nar rentável,umagrarja deve
enüar parâ o âbâter. frangospor dia, de modo qüe
l,5x + 80 < 2,5x- 20.
sejâsãtisfeitaâ desiguaÌdade
pode-seafirmaÌqueo menor\alor
Nessâs
condiçoes,
c) 300
d) 400
a) 100
b) 200
, tm I qcq.umdjndu.srÌüfab'cou4 000unj4. { tààp-SP
dadesde um determinadopÌoduto.A cadaano,poIém, â€res€enta
duzentase cinqüentaunidad€sà sua
pÌodução.Seesseritmo de Gescimentofor manhdo,
5eri:
a produçaoda indút rìanum anor qudlquer
a) 2s0t
d) 4 000 2sot
b) 4 000t
e) 4000t+ 250
c) 4000+ 250t
5 . {ruc-nD} a"o-
$
-*-. ",r-er".
sentaessenúmero.
a). 0
d) 3 horas
b) s horas
" Il
que.rri 5fãzem
d
' enl enl r u
é:
â) 13
b) 12
")+
II.
Éí)ì I {/-r ì
(ul
c)I
b)0
o '+
-x
,r-r
d) 10
e.) e
LU. íUnirio-Rl)o. comercidnte'
do Grupo Coposuco
compramcadaganaíade 600ml de sucopÌoÍto ao
preçode R$ 1,20e revendemseuÌíquido usaìdo coposde 290mL cobrandoR$ 1100cadacopo desuco.
Sabendoque,em um certo dia, elesvendeiâm 100
gaÌrafasde sücopronto e quesomenteforam vendìdoscoposcompletamentecheios,€aÌcuÌeo ÌucÌo dos
comeÌciantesnessedia.
â) R$ 120,00
d) R$9o,oo
b) R$ 107,00
e) R$86,00
c) R$98,00
b.(UF-AM)Atunçào/.definiddporfíxr'-J.,,,.
estár€presentada
abaüo:
a) -l
-- ^
' -)t
c) r r
b)r
Então,
o elor de+é:
t
V. ' vune.p-SPrCarlo'úabalhacomodnr iortevrDI
' e cobraüma taxa fixa de R$ 100,00,nais R$ 20,00
por hora,paraanimaruma festa.Daniel,na mesmâ
tunção,cobrâ umâ taxa fixa de R$ 55,00,mais
R$35,00por hora.O tempomáximodeduraçiode
uma festa,paÌa quea contÌataçãode Daniel não fi
quemaiscaraquea de CarÌos,é:
r"ailre a opçãoqueapre-
'33
Mais de 8 e menosde 12tuvores.
Mais de 12e menosde 15 áÌvores..
Mais de ls e menosd€ 18 árvores.
Mais de 18e rnenosde 20 árvoÍes.
Mâìsde 20 áÌlores.
9. (udfoÌ-CE) A somade todos os númerosirteiros
*'""a* } eq',r
"ii-*.
"
"
a"r*
â)
b)
c)
d)
e)
ílbme.-RJ)Pduio
e lo;o.lo inÌro{:o rnplodr idâde
deIoaoé igualaoquíntuploda idadedePauÌo.sabe
seque,há 10 anos,a somada idadede loão com o
dobrodâdePauÌoeraigrìala 14anos.Daquìâ s :úos,
o maisvelho dosdois irmãosterá:
12anos
d) 25 aìos
l7 anos
e) 30 aìos
20 anos
o
JI
12. ,UF AN4
' O dom,no d" tun.,oi \,
a) l-Ì, 7l
b) t-Ì, 7l
c) t Ì,7l
d) ls,+-t
r1
/jÌ
v7
\
eo
Í5, (ucls-N,ís)o gráfico
a sesuirapÌesenta
a pÌodução de cmjsetas de umâ mi.roempÍesa, em milhâÌes de unidades,de 1992até 2003.
e) l-1,+-t
2003
13. (Enen1-MEC)
LeiaestecÌassificado:
Portanto,podemosafirmar quea produçãode 1997
íoi de:
al 60000
d) rs0oo
b) 45000
e) 10000
c) 30000
parâ asvâgasdesseanúncio,feitapoÌ
Na seleçâo
teÌeíon€oü corÌeio eletrónico,propunha-seâos
cândidatos
uma questãoa seÌ ÌesoÌvìdana hora.
D*eriam caÌcuÌaÌseusaÌáriono primeiromés,s€
vendessem
s00m deiecidocomÌargurade Ì,40m,
e no segundomés,sevendessem
o dobÌo.form
b€n{ucedidos osjovensque responderdn,respec
a)
b)
c)
d)
e)
I+.
15.
Ií.
' U . F. Londri -d P R I t m cdmponê'ddcu,-e
-m
moinho ao pÌeço de R$ 860,00.Com o pâssardo tm
po, ocorre umâ depreciatro Linearno preço desse
equipamento.ConsideÌeqüe,em 6 anos,opreçodo
moinho seÌáde R$ 500,00.Com basenessasinformações,é coÌreto afirmar:
a)
R$300,00e RSs00,00.
R$550,00e R$ 8s0,00.
R$6s0,00e R$I 000,00.
R$ós0,00e R$ 1 300,00.
R$9s0,00e R$ Ì 900,00.
Em três mos, o moiúo
vaÌerá sOo/odo preço de
bl Em noveanos,o preçodo noinho seráum múl
tipÌo de nove.
.ì t ne.F\.âri o uÍn In\e\ri ne tn mdi or qu e
R$ 450,00paÌa compÌar esseequipamentoapós
U. t. Ì ondrird-PRì
de umddgéncid
O gerenre
dc
turismo promovepasseiosde bote pala desceÌca
choeiras.Ele percebeuque quandoo preço pedido
paraessepasseio
eÌâR$2s,00,o númeromédìode
pâsageiros
por senanaerade s00.Quandoo pÌeço
eÌâreduzidoparaR$20,00,o núneromédiodeíre
gueses
por semana
sofriaum acÌéscimo
de 100passaseúos.
ConsìdeÌandoqueessadenandasejaÌinear,
seo preçofor reduzidoparaR$ 18,00,o númeÌo
médiodepassaseiros
por semâÌaserá:
€sperado
a) 360
d) 700
b) s40
e) 1360
c) 640
d) SeÌãorecessáriosl0 anosparaque o valor desse
equipamento sejâ núerior a R$ 200,00.
e) o Ìnoinho terá valoÌ de venda ainda que renìa
decorrido 13 ânos.
Iõ.
/U t--\4C ìt m e.ÌJdJ Le pi Jrei outal erumd vi dgem
de férias e reservou uma certa quantia em dinìeiro
para o pasamerÌto de dìárias. Ele tem duas opçõesde
hospedagern:
a PousâdâÁ,com di,íriade R$ 25,00,e
a PousadaB, com diáÌìa de R$ 30,00.Seescolhera
Pousâda]1
em vezda PousadaB,elepoderáficar rrês
diasâ mais de fériâs.
Nessecaso,é coÌÌeto alìrmar que, para o pâgamenio
de diárias,esseestudantereservoü:
a) R$100,00
c) R$350,00
pt c-rp \ 8 ho"i, ae(errodid.um rì ìque.cJja
b) R$600,00
d) R$450,00
capacidâde
é de 2 000litros,estavacheiode água;
entÌetâDto,um turo oa basedessetanquefez con
19, (ur er) o
totâ1d€fabricação
deum
"u"to
que a águapoÌ eÌeescoasse
a uma mzao constante.
-""saÌ
certo pÌoduto
é iguâÌ
à somade um valor fixo de
Seàs14horasdessemesmodia o tanqueestâvâcom
R$ 700,00como cüstode produçãode R$0,60por
Jpero( 760 ilro'.enldoa igur en sr in e-ior\e
unidadefabÌìcadano mês.Cadaunidadeé vendìda
reduziuà netade àr:
por R$ 1,00.
Ded ordo,oÌ J. inrormrçde'dddÀr,
â) 21horasdo mesmodia.
aoatircà(àfimatìvasabaixo.
b) 23horasdo mesmodia.
c) 4 horasdo diâ sesuinte.
a) O custodeproduÉo de lso unidad€séR$90,00.
d) 8 horâsdo dia seguint€.
b) EIn l]m mêseÌnquefoÌam fabÌicadas
200unidae) t horasdo diaseguìnte.
des,o custototal mensalfoi de R$820,00.
5Ê
t
cl O gráficoda tunçãocusto mensaÌ total, em
reais,em funçãodo núÌnero r de unidades
ser(x)= {,ovalor aea e:
+ ")+
")+ Ò
u)+
b)2
21.
)
I
I
2 000uni
d) Ëmuì1nlêsen qüeforaÌnfabdcadar
foi
de
R$
I
s0'00.
o Ìucro
dade's,
e) Em ruÌÌ mét paÌanàoha\€r PÌeiuízo,de'em ser
no mínimo,I 7s0 unidades
veDdidas,
(ESPM-SP)DocentÌo de umacidadeatéo aeropor
to são40 kÌn poÌ uma grandeâve]1 a. Os taüs qlÌe
saemdo aeropoúocobramR$ 3,60peÌabandeinda
e R$ 0,80 por quilômeiro rodado os que saen do
cenúo cobram lì$ 2,00 pela bandeirâdae RS 0,60
poÌ qüiÌômetrorodado.Dois amigosseencontÌârtÌm
Ì1um restâuranteque ficâ nessaavenida,sendoque
umtomou o táÌi que saido aeroportoe o outro tomou o quc partedo centroe, pafasuryresxdos dois'
os scusgastosforaÌn exatanent€iguais.r\ distàÌÌcir
do rcÍâurnÌ1teao aeroPortoé de:
al Ì0Ì(m
b) 12 km
dossrâ
20. (lvhckenzle
SP)Nâfigüa,temososesboços
g.
ficosdãsfunçÕes
/e
c) Ì4Ìon
d) Ì6kfl
e) r8È m
2 2 . (U. r. \kosâ-Mc) sejâ,ÌÁ c 3 ospontosdeiúeÌÍ +2e
fG) =
dasfunções
seçâo
dosgrálìcos
a
g(x) =
2 como eixo dos4Ìespecti',menie.
;x+
gúSâbendo-seque
Cé o ponto de interseçãodesses
Êcos,a áreâdo triânguloABC é iguaÌa:
a) Ì4
b) 12
c) 10
d) 16
e) r8
a seguìnteprohoção pataa diáÌia do aiugueÌde un
1. Duranteasférias,umalocadorade automóveis1aDçop
caÌÌo: "Paradistânciasde até r20 km é cobÌadaumaiaÌa fixa e Ìnaisp Ìeâìspor quilômetroÍodado'QuaÌ
queÌ quiÌômetroercedenteteÌì descoúode 20%sobrePi
80 km e r80 km e queo primeiro pcgou
sabe"àoque dois cl;entesrodâramem um dia, resPectivamente'
delermine:
R$57,20a menosqueo segundo,
b) o vâÌoÌda tnxafi{a.
a) oraÌordep;
2. (UF-ES,adaptado)A tabeÌaabal{oapresentaa poPuÌ.ção'Ììundial e o consumomundiâÌ de ásua,em mr,
nosanosde 1940e 1990:
por habitanie,
1990
800mr
5,3x loe
Àdmita que o consumo mundial de água(em m3) tennâ crescidoÌinearmente nessescinqüenta anos Quèntos
metros cúbicos de áeua foram coÌÌsumidos no mundo' em 1950?
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