Matematik, LTH
Kontinuerliga system vt 2021
Formelsamling
Formelsamligen utgör bara ett stöd för minnet. Beteckningar förklaras sålunda ej. Ej
heller anges förutsättningar för formlernas giltighet.
Fysikaliska modeller
Kontinuitetsekvationen
∂𝑞
+ ∇ ⋅ 𝒋 = 𝑘.
∂𝑡
Diffusion
𝒋 = −𝐷 ∇𝑢,
∂𝑢
− 𝐷 Δ𝑢 = 𝑘.
∂𝑡
(Allmännare
∂𝑢
− ∇ ⋅ (𝐷 ∇𝑢) = 𝑘.)
∂𝑡
Värmeledning
𝒋 = −𝜆 ∇𝑢,
d𝑞 = 𝜌𝑐 d𝑢,
∂𝑢
𝑎
− 𝑎 Δ𝑢 = 𝑘
∂𝑡
𝜆
där 𝑎 =
𝜆
.
𝜌𝑐
(Allmännare 𝜌𝑐
Elektrostatisk potential
Δ𝑢 = −
∂𝑢
− ∇ ⋅ (𝜆 ∇𝑢) = 𝑘.)
∂𝑡
𝜌
.
𝜖𝜖0
Svängande sträng och membran
𝑓
∂2 𝑢
− 𝑐2 Δ𝑢 =
𝜌
∂ 𝑡2
där 𝑐2 =
𝑆
.
𝜌
(Allmännare 𝜌
∂2 𝑢
− ∇ ⋅ (𝑆 ∇𝑢) = 𝑓.)
∂ 𝑡2
Longitudinella svängningar
2
𝑓
∂2 𝑢
2∂ 𝑢
−
𝑐
=
2
2
𝜌𝑙
∂𝑡
∂𝑥
där 𝑐2 =
𝛼
,
𝜌𝑙
𝑆=𝛼
Svängningar i gaser (ljud)
𝑢=
𝑝 − 𝑝0
𝑝0
(tryckstörning),
𝛾 𝑝0
∂2 𝑢
− 𝑐2 Δ𝑢 = 0 där 𝑐2 =
.
2
𝜌0
∂𝑡
För svängningar i gaser (ljud) gäller efter linjärisering att
1 ∂ 𝑝̃
∂ 𝑣̃
+ 𝑣0
= 0,
⎧
∂𝑥
⎪ 𝛾 ∂𝑡
⎪
∂ 𝑣 ̃ 𝑝0 ∂ 𝑝 ̃
⎨𝑣0 ∂ 𝑡 + 𝜌 ∂ 𝑥 = 0,
0
⎪
⎪
𝑝 ̃ = 𝛾 𝜌.̃
⎩
där 𝑝 ̃ =
𝑝 − 𝑝0
𝑣
och 𝑣 ̃ = .
𝑝0
𝑣0
∂𝑢
.
∂𝑥
Vektoranalys
Gauss formel
∫ ∇ ⋅ 𝒖 d𝑉 = ∫
Ω
Stokes formel
𝒖 ⋅ d𝑺.
∂Ω
∫ ∇ × 𝒖 ⋅ d𝑺 = ∫ 𝒖 ⋅ d𝒓.
𝑆
∂𝑆
∫ ∇𝑢 ⋅ ∇𝑣 d𝑉 = ∫
Greens formel I
Ω
𝑢
∂Ω
∂𝑣
d𝑆 − ∫ 𝑢 Δ𝑣 d𝑉.
∂𝒏
Ω
∫ (𝑢 Δ𝑣 − 𝑣 Δ𝑢) d𝑉 = ∫ (𝑢
Greens formel II
Ω
∂Ω
∂𝑣
∂𝑢
−𝑣
) d𝑆.
∂𝒏
∂𝒏
Laplaceoperatorn i cylindriska koordinater
Δ=
1 ∂ ∂
1 ∂2
∂2
𝑟
+ 2 2+ 2
𝑟 ∂𝑟 ∂𝑟 𝑟 ∂𝜙
∂𝑧
∂2
1 ∂
1 ∂2
∂2
= 2+
+
+
.
𝑟 ∂ 𝑟 𝑟2 ∂ 𝜙2 ∂ 𝑧2
∂𝑟
Laplaceoperatorn i sfäriska koordinater
Δ=
1 ∂2
1
1 ∂ 2 ∂
1
𝑟+ 2 Λ= 2
𝑟
+ 2Λ
2
𝑟 ∂𝑟
𝑟
𝑟 ∂𝑟 ∂𝑟 𝑟
∂2
2 ∂
1
= 2+
+ Λ,
𝑟 ∂ 𝑟 𝑟2
∂𝑟
Λ=
1
∂
∂
1
∂2
sin(𝜃)
+
,
∂ 𝜃 sin2 (𝜃) ∂ 𝜙2
sin(𝜃) ∂ 𝜃
Λ=
∂
∂
1
∂2
(1 − 𝑠2 ) +
∂𝑠
∂ 𝑠 1 − 𝑠 2 ∂ 𝜙2
om 𝑠 = cos(𝜃),
(𝜃 polardistans, 0 < 𝜃 < π, 𝜙 längdgrad, 0 ⩽ 𝜙 < 2π.
Ortogonalutvecklingar
(𝑢 | 𝑣) = ∫ 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) 𝑤(𝑥) d𝑥,
‖𝑢‖2 = (𝑢 | 𝑢).
𝐼
Om (𝜑𝑗 | 𝜑𝑘 ) = 0, 𝑗 ≠ 𝑘, så 𝑢 = ∑ 𝑐𝑘 (𝑢) 𝜑𝑘 med 𝑐𝑘 (𝑢) =
Parseval
(𝑢 | 𝑣) = ∑
(𝜑𝑘 | 𝑢)
, där 𝜌𝑘 = (𝜑𝑘 | 𝜑𝑘 ).
𝜌𝑘
1
(𝜑 | 𝑢) (𝜑𝑘 | 𝑣) = ∑ 𝜌𝑘 𝑐𝑘 (𝑢) 𝑐𝑘 (𝑣).
𝜌𝑘 𝑘
Sturm-Liouville
𝒜𝑢 =
1
(−∇ ⋅ (𝑝 ∇𝑢) + 𝑞 𝑢).
𝑤
Speciella funktioner
Gammafunktionen och Betafunktionen
∞
Γ (𝑧) = ∫ 𝑡𝑧−1 e−𝑡 d𝑡,
0
𝐵(𝑝, 𝑞) =
Γ (𝑝) Γ (𝑞)
.
Γ (𝑝 + 𝑞)
Γ (𝑧 + 1) = 𝑧 Γ (𝑧),
Γ (𝑛 + 1) = 𝑛!,
Γ (1/2) = √π,
Felfunktion/Error function
Besselfunktioner
𝑥
2
erf(𝑥) =
∞
2
√π
2
∫ e−𝑦 d𝑦,
∫ e−𝑦 d𝑦 =
0
0
√π
.
2
∞
ei𝑟 sin(𝜃) = ∑ J𝑛 (𝑟) ei𝑛𝜃 ,
−∞
π
J𝑛 (𝑧) =
1
∫ ei(𝑧 sin(𝜃)−𝑛𝜃) d𝜃,
2π −π
𝑛 heltal,
∞
𝑧 𝜈
1
𝑧2 𝑘
J𝜈 (𝑧) = ( ) ∑
(− ) ,
2 𝑘=0 𝑘! Γ (𝑘+𝜈+1)
4
𝜈 ≠ −1, −2, …
Bessels differentialekvation
1
𝜈2
𝑢″ + 𝑢′ + (𝜆 − 2 )𝑢 = 0
𝑟
𝑟
har den allmänna lösningen
𝑎 J𝜈 (√𝜆 𝑟) + 𝑏 Y𝜈 (√𝜆 𝑟) om 𝜆 > 0 ,
{ 𝑎 𝑟𝜈 + 𝑏 𝑟−𝜈
om 𝜆 = 0, 𝜈 ≠ 0,
𝑎 + 𝑏 ln(𝑟)
om 𝜆 = 𝜈 = 0.
Normuttryck
𝑅
2
𝑟
𝑅2
𝑅2 ′
∫ ||J𝜈 ( 𝛼𝜈𝑘 )|| 𝑟 d𝑟 =
J𝜈+1 (𝛼𝜈𝑘 )2 =
J (𝛼 )2 .
𝑅
2
2 𝜈 𝜈𝑘
0
Nollställen till Besselfunktioner J𝑛 (𝑥), J𝑛 (𝛼𝑛𝑘 ) = 0.
𝑘\𝑛
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2,405
3,832
5,136
6,380
7,588
8,771
9,936
11,086
12,225
13,354
14,475
2
5,520
7,016
8,417
9,761
11,065
12,339
13,589
14,821
16,038
17,241
18,433
3
8,654
10,173
11,620
13,015
14,372
15,700
17,004
18,288
19,554
20,807
22,047
4
11,791
13,324
14,796
16,223
17,616
18,980
20,321
21,641
22,945
24,234
25,509
5
14,931
16,471
17,960
19,409
20,827
22,218
23,586
24,935
26,267
27,584
28,887
6
18,071
19,616
21,117
22,583
24,019
25,430
26,820
28,191
29,546
30,885
32,212
7
21,212
22,760
24,270
25,748
27,199
28,627
30,034
31,423
32,796
34,154
35,500
8
24,352
25,904
27,421
28,908
30,371
31,812
33,233
34,637
36,026
37,400
38,762
9
27,493
29,047
30,569
32,065
33,537
34,989
36,422
37,839
39,240
40,628
42,004
10
30,635
32,190
33,716
35,219
36,699
38,160
39,603
41,031
42,444
43,844
45,232
5
6
7
8
9
10
Nollställen till J′𝑛 (𝑥), J′𝑛 (𝛼′𝑛𝑘 ) = 0.
𝑘\𝑛
0
1
2
3
4
1
0,000
1,841
3,054
4,201
5,317
6,416
7,501
8,578
9,647
10,711
11,771
2
3,832
5,331
6,706
8,015
9,282
10,520
11,735
12,932
14,115
15,287
16,448
3
7,016
8,536
9,969
11,346
12,682
13,987
15,268
16,529
17,774
19,005
20,223
4
10,173
11,706
13,170
14,586
15,964
17,313
18,637
19,942
21,229
22,501
23,761
5
13,324
14,864
16,347
17,789
19,196
20,575
21,932
23,268
24,587
25,891
27,182
6
16,471
18,015
19,513
20,972
22,401
23,804
25,184
26,545
27,889
29,219
30,534
7
19,616
21,164
22,672
24,145
25,590
27,010
28,410
29,791
31,155
32,505
33,842
8
22,760
24,311
25,826
27,310
28,768
30,203
31,618
33,015
34,397
35,764
37,118
9
25,904
27,457
28,978
30,470
31,938
33,385
34,813
36,224
37,620
39,002
40,371
Sfäriska Besselfunktioner
Differentialekvationen
2
ℓ(ℓ + 1)
𝑢″ + 𝑢′ + (𝜆 −
)𝑢 = 0
𝑧
𝑧2
har den allmänna lösningen
√
√
⎧ 𝑎 jℓ ( 𝜆 𝑧) + 𝑏 yℓ ( 𝜆 𝑧) om 𝜆 > 0,
⎪
𝑎 𝑧ℓ + 𝑏 𝑧−ℓ−1
om 𝜆 = 0, ℓ ≠ −1/2,
⎨ 𝑎 + 𝑏 ln(𝑧)
⎪
om 𝜆 = 0, ℓ = −1/2,
√𝑧
⎩
där
jℓ (𝑧) =
π
J
(𝑧),
√ 2𝑧 ℓ+1/2
yℓ (𝑧) =
π
Y
(𝑧) .
√ 2𝑧 ℓ+1/2
Speciellt är
sin(𝑧)
sin(𝑧) − 𝑧 cos(𝑧)
,
j1 (𝑧) =
,
𝑧
𝑧2
cos(𝑧)
cos(𝑧) + 𝑧 sin(𝑧)
y0 (𝑧) = −
, y1 (𝑧) = −
.
𝑧
𝑧2
j0 (𝑧) =
Legendrefunktioner
Legendrepolynomen (Pℓ )∞
0 är ortogonala i L2 (𝐼), 𝐼 = (−1, 1).
Legendres differentialekvation
d
d𝑢
((1 − 𝑥2 ) ) + ℓ(ℓ + 1) 𝑢 = 0,
d𝑥
d𝑥
ℓ = 0, 1, 2, …
har allmänna lösningen
𝑎 Pℓ (𝑥) + 𝑏 Qℓ (𝑥)
där Qℓ ej är begränsad i (−1, 1) och
Pℓ (𝑥) =
1
Dℓ (𝑥2 − 1)ℓ .
2ℓ ℓ!
Rekursionsformel för Legendrepolynom:
P0 (𝑥) = 1 ,
P1 (𝑥) = 𝑥 ,
Pℓ+1 (𝑥) =
2ℓ + 1
ℓ
𝑥 Pℓ (𝑥) −
P (𝑥).
ℓ+1
ℓ + 1 ℓ−1
Associerade Legrendreekvationen
d
d𝑢
𝑚2
𝑢 + ℓ(ℓ + 1) 𝑢 = 0
((1 − 𝑥2 ) ) −
d𝑥
d𝑥
1 − 𝑥2
har allmänna lösningen
𝑚
𝑎 P𝑚
ℓ (𝑥) + 𝑏 Qℓ (𝑥)
där Q𝑚
ℓ ej är begränsad och
2 𝑚/2 𝑚
P𝑚
D Pℓ (𝑥).
ℓ = (1 − 𝑥 )
Greenfunktioner
Fundamentallösningar till Laplaceoperatorn (− ΔK = δ)
K(𝒙) = −
K(𝒙) =
1
ln|𝒙|
2π
1
4π|𝒙|
i ℝ2 ,
i ℝ3 .
Poissonkärnor
P(𝑟, 𝜃) =
1
1 − 𝑟2
2π 1 + 𝑟2 − 2𝑟 cos(𝜃)
(enhetscirkeln),
P(𝑥, 𝑦) =
𝑦
1
2
π 𝑥 + 𝑦2
(halvplanet 𝑦 > 0).
Greenfunktion för Dirichlets problem
− Δ𝒙 G(𝒙, 𝜶) = δ𝜶 (𝒙),
{
G(𝒙, 𝜶) = 0,
𝒙 ∈ Ω,
𝒙 ∈ ∂Ω.
Om − Δ𝑢 = 𝑓 i Ω, 𝑢 = 𝑔 på ∂Ω så
∂G
(𝒙, 𝜶) 𝑔(𝜶) d𝑆𝜶 .
∂ 𝒏𝜶
∂Ω
𝑢(𝒙) = ∫ G(𝒙, 𝜶) 𝑓(𝜶) d𝑉𝜶 − ∫
Ω
Konjugerade punkter med avseende på cirkeln (sfären) |𝒙| = 𝜌
|𝜶||𝜶|̃ = 𝜌2 ,
|𝜶|
|𝒙 − 𝜶| =
|𝒙 − 𝜶|̃
𝜌
Värmeledning
1
2
e−𝑥 /4𝑎𝑡 ,
⎧ G(𝑥, 𝑡) =
√4π𝑎𝑡
⎪
⎪
∂G
∂2 G
− 𝑎 2 = 0,
⎨
∂𝑥
⎪ ∂𝑡
⎪
⎩ G(𝑥, 0) = δ(𝑥),
då |𝒙| = 𝜌.
𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0,
𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0,
𝑥 ∈ ℝ.
Vågutbredning
d’Alembert
𝑥+𝑐𝑡
1
1
⎧
ℎ(𝑦) d𝑦,
⎪𝑢(𝑥, 𝑡) = 2 (𝑔(𝑥 − 𝑐𝑡) + 𝑔(𝑥 + 𝑐𝑡)) + 2𝑐 ∫
𝑥−𝑐𝑡
⎨
⎪
⎩𝑔(𝑥) = 𝑢(𝑥, 0), ℎ(𝑥) = 𝑢𝑡 (𝑥, 0).
Karakteristikor
{
𝑎11 𝑢″𝑥𝑥 + 2𝑎12 𝑢″𝑥𝑦 + 𝑎22 𝑢″𝑦𝑦 + 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦 ) = 0,
𝑎11 d𝑦2 − 2𝑎12 d𝑥 d𝑦 + 𝑎22 d𝑥2 = 0.
Kvasilinjära
∂𝑢
∂𝑢
+𝛽
= 𝑓,
∂𝑦
{ ∂𝑥
𝑢(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝑢0 (𝑥0 , 𝑦0 ), för 𝑔(𝑥0 , 𝑦0 ) = 0,
𝛼
𝑥̇ = 𝛼, 𝑥(0) = 𝑥0 ,
{ 𝑦 ̇ = 𝛽, 𝑦(0) = 𝑦0 ,
𝑧 ̇ = 𝑓, 𝑧(0) = 𝑢0 (𝑥0 , 𝑦0 ).
Fouriertransformer
∞
ˆ =∫
ℱ𝑓(𝜉) = 𝑓(𝜉)
e−i𝜉𝑥 𝑓(𝑥) d𝑥,
−∞
∞
ˆ
(ℱ −1 𝑓)(𝑥)
= 𝑓(𝑥) =
1
ˆ d𝜉.
∫ ei𝜉𝑥 𝑓(𝜉)
2π −∞
Parsevals formel
∞
∞
∫
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) d𝑥 =
−∞
1
ˆ 𝑔ˆ (𝜉) d𝜉.
∫ 𝑓(𝜉)
2π −∞
ℱ
⟶
(1)
𝜆 𝑓(𝑥) + 𝜇 𝑔(𝑥)
ˆ + 𝜇 𝑔(𝜉)
𝜆 𝑓(𝜉)
̂
(2)
𝑓(𝑎𝑥)
1 ˆ 𝜉
𝑓( )
|𝑎|
𝑎
(3)
𝑓(𝑥 − 𝑥0 )
ˆ
e−i𝑥0𝜉 𝑓(𝜉)
(4)
ei𝜉0𝑥 𝑓(𝑥)
ˆ − 𝜉0 )
𝑓(𝜉
(5)
𝑓′ (𝑥)
ˆ
i𝜉 𝑓(𝜉)
(6)
𝑥 𝑓(𝑥)
i
(7)
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥)
ˆ 𝑔ˆ (𝜉)
𝑓(𝜉)
(8)
δ
1
(9)
1
(10)
e−𝑥 θ(𝑥)
2π δ
1
1 + i𝜉
(11)
e−|𝑥|
(12)
1
1 + 𝑥2
(13)
e−𝑥
(14)
θ(𝑥 + 1) − θ(𝑥 − 1)
2
(15)
θ(𝑥)
1
1
pv( ) + π δ
i
𝜉
d
d𝜉
ˆ
𝑓(𝜉)
2
1 + 𝜉2
π e−|𝜉|
2
2
√π e−𝜉 /4
θ(𝑥) = {
1,
0,
𝑥 > 0,
𝑥 < 0,
𝑓(𝑥) δ = 𝑓(0) δ,
θ′ = δ,
sin(𝜉)
𝜉
1, 𝑥 > 0,
sgn(𝑥) = {
−1, 𝑥 < 0,
𝑓(𝑥) δ′ = 𝑓(0) δ′ −𝑓′ (0) δ .
Laplacetransformer
∞
ℒ 𝑓(𝑠) = ℒII 𝑓(𝑠) = ∫
e−𝑠𝑡 𝑓(𝑡) d𝑡,
𝛼 < Re 𝑠 < 𝛽,
𝑠 = 𝜎 + i𝜔,
−∞
𝜍+i∞
𝑓(𝑡) =
1
∫
e𝑠𝑡 𝐹(𝑠) d𝑠,
2πi 𝜍−i∞
𝛼 < 𝜎 < 𝛽,
ℱ𝑓(𝜔) = ℒII 𝑓(i𝜔),
ℒI 𝑓 = ℒII (θ 𝑓).
ℒII
⟶
(16)
𝜆 𝑓(𝑡) + 𝜇 𝑔(𝑡)
𝜆 𝐹(𝑠) + 𝜇 𝐺(𝑠)
(17)
𝑓(𝑎𝑡)
1
𝑠
𝐹( )
|𝑎| 𝑎
(18)
𝑓(𝑡 − 𝑡0 )
e−𝑡0𝑠 𝐹(𝑠)
(19)
e𝑎𝑡 𝑓(𝑡)
𝐹(𝑠 − 𝑎)
(20)
𝑓′ (𝑡)
𝑠 𝐹(𝑠)
(21)
𝑡 𝑓(𝑡)
−
(22)
(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑡)
′
d
d𝑠
𝐹(𝑠)
𝐹(𝑠) 𝐺(𝑠)
(23)
θ(𝑡) 𝑓 (𝑡)
𝑠 ℒII (θ 𝑓)(𝑠) − 𝑓(0)
(24)
δ
(25)
θ(𝑡)
(26)
θ(𝑡) − 1
1
1
,
𝑠
1
,
𝑠
(27)
𝑡𝑘 e𝑎𝑡 θ(𝑡)
(28)
sin(𝑏𝑡) θ(𝑡)
(29)
cos(𝑏𝑡) θ(𝑡)
(30)
e−𝑡
√π e𝑠 /4
(31)
𝑡𝛼−1 θ(𝑡)
Γ (𝛼)
,
𝑠𝛼
(32)
|𝑎| e−𝑎 /4𝑡
θ(𝑡)
3/2
√4π 𝑡
e−|𝑎|√𝑠
1
e−|𝑎|√𝑠
2
𝜎>0
𝜎<0
𝑘!
, 𝜎 > Re(𝑎)
(𝑠 − 𝑎)𝑘+1
𝑏
, 𝜎>0
2
𝑠 + 𝑏2
𝑠
, 𝜎>0
2
𝑠 + 𝑏2
2
2
(33)
√π𝑡
2
e−𝑎 /4𝑡 θ(𝑡)
√𝑠
Re(𝛼) > 0, Re(𝑠) > 0
Fourierserier
∞
∞
𝑓(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘 ei𝑘𝜔𝑡 = 𝑐0 + ∑ 𝑎𝑘 cos (𝑘𝜔𝑡) + 𝑏𝑘 sin (𝑘𝜔𝑡),
𝑘=−∞
1
∫
e−i𝑘𝜔𝑡 𝑓(𝑡) d𝑡,
𝑇 period
𝑐𝑘 =
{
𝜔𝑇 = 2π,
𝑘=1
2
cos(𝑘𝜔𝑡) 𝑓(𝑡) d𝑡,
⎧𝑎𝑘 = ∫
𝑇
⎪
period
⎨
2
⎪ 𝑏𝑘 = ∫
sin(𝑘𝜔𝑡) 𝑓(𝑡) d𝑡,
𝑇 period
⎩
𝑎𝑘 = 𝑐𝑘 + 𝑐−𝑘 ,
1
⎧ 𝑐𝑘 = 2 (𝑎𝑘 − i𝑏𝑘 ),
𝑏𝑘 = i(𝑐𝑘 − 𝑐−𝑘 ),
⎨
1
⎩𝑐−𝑘 = 2 (𝑎𝑘 + i𝑏𝑘 ).
Parsevals formel
∞
1
∫
𝑓(𝑡)𝑔(𝑡) d𝑡 = ∑ 𝑐𝑘 (𝑓)𝑐𝑘 (𝑔),
𝑇 period
𝑘=−∞
∞
∞
1
∫
|𝑓(𝑡)|2 d𝑡 = ∑ |𝑐𝑘 |2 ,
𝑇 period
𝑘=−∞
1
1
∫
|𝑓(𝑡)|2 d𝑡 = |𝑐0 |2 + ∑ (|𝑎𝑘 |2 + |𝑏𝑘 |2 ).
𝑇 period
2 𝑘=1
Halvperiodutvecklingar
Cosinusserie
Sinusserie
∞
𝑓(𝑥) = 𝑐0 + ∑ 𝛼𝑘 cos(
𝑘=1
𝑘π
𝑥),
𝐿
∞
𝑓(𝑥) = ∑ 𝛽𝑘 sin(
𝑘=1
𝐿
𝛼𝑘 =
2
𝑘π
∫ 𝑓(𝑥) cos( 𝑥) d𝑥,
𝐿 0
𝐿
𝑐0 =
1
∫ 𝑓(𝑥) d𝑥.
𝐿 0
𝑘π
𝑥),
𝐿
𝐿
𝛽𝑘 =
2
𝑘π
∫ 𝑓(𝑥) sin( 𝑥) d𝑥,
𝐿 0
𝐿
𝐿
Några trigonometriska formler
cos(𝛼 + 𝛽) = cos(𝛼) cos(𝛽) − sin(𝛼) sin(𝛽),
sin(𝛼 + 𝛽) = sin(𝛼) cos(𝛽) + cos(𝛼) sin(𝛽),
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
) cos(
),
2
2
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
cos(𝛼) − cos(𝛽) = −2 sin(
) sin(
),
2
2
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
sin(𝛼) + sin(𝛽) = 2 sin(
) cos(
),
2
2
𝛼+𝛽
𝛼−𝛽
sin(𝛼) − sin(𝛽) = 2 cos(
) sin(
),
2
2
cos(𝛼) + cos(𝛽) = 2 cos(
𝑎 cos(𝛼) + 𝑏 sin(𝛼) = 𝑐 cos(𝛼 − 𝛾),
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 ,
tan(𝛾) = 𝑏/𝑎.