École supérieure polytechnique de Nouakchott
Département Génie Civil Hydraulique &
Environnement
Travaux dirigés
GC432-Introduction à la méthode des éléments finis
Mohamed Cheikh TEGUEDY
med_cheikh.teguedy@esp.mr
May 5, 2020
TD 1: Élément de ressort
Exercice 1: Pour le systeme de ressort avec des elements numerotés arbitrairement, trouver la matrice
de rigidité global du systeme
Figure 1
Exercice 2: Déterminer les valeurs de champ (déplacements nodaux et forces internes) pour le système
structural suivant : Données : k=40000 N/m, F=5000N
Figure 2
Exercice 3: Considérez le système de ressort illustré ci-dessous. Trouvez la matrice de rigidité globale
pour l’ensemble du système.
2
Figure 3
Exercice 4: Meme question pour la structure ci-dessous. Données : k1 = 1300N/m,k2 = 1400N/m,
k3 = 1500N/m, k4 = 1600N/m, k5 = 1700N/m, F = 8000N
Figure 4
3
TD 2: Éléments de barre en 1D et 2D
Exercice 1: Déterminer les forces de réaction d’appuis aux deux extrémités de la barre ci-dessous,
compte tenu des données suivantes : Données : P=6.0×104 N/m, E = 2.0×104 N/mm2 , A=250mm2 ,
L=150mm ∆=1.2mm.
Figure 5
Exercice 2: On considère le treillis illustré sur la Figure 6. La section transversale des barres est égale à
65 mm2 et le module d’élasticité est égal à E = 6.9 GPa.
• (a) Déplacement en chaque nœud du treillis.
• (b) Réactions d’appuis
• (c) La contrainte dans chaque barre.
Exercice 3 (CONTRAINTE MULTIPOINT):
Fig. 7, on donne : P=1000 kN, E = 210×104 N/mm2 ,
√ Pour−le4 treillis
2
−
4
2
A=6×10 m pour les éléments 1 et 2 et A=6 2 × 10 m pour l’élément 3 , L=1m. Déterminer les forces
de réaction d’appuis et les déplacements nodaux.
Exercice 4 : Soit le treillis de Fig. 8 formé de deux barre et un ressort. Déterminer les forces de réactions
d’appui, les contraintes dans chaque barre et les déplacements nodaux.
P=1000 kN/m, E = 210 GPa, A=100mm2 , L=10m, F=10kN.
4
1
60°
2
3
450N 3
1
2.5 m
Figure 6
Figure 7
5
2
Figure 8
6
TD 3: Poutres et portiques
Exercice 1 : Soit la poutre console avec charge latérale répartie p comme indiqué ci-dessus (figure 1).
Trouver : La flexion et la rotation à l’extrémité droite, la force et le moment de réaction d’appui.
Figure 1
Exercice 2 : Trouver les deflexions, les rotations et les forces de réaction. P = 50kN, k = 200kN/m, L =
3m, E = 210GPa, I = 2 × 10−4 m4
Figure 2
Exercice 3 : Soit le portique de la figure 3. Déterminer les forces de réactions d’appui dans les nœuds.
Données : A = 6.5 × 103 mm2 ; I = 8.5 × 107 mm4 ; E = 70GPa
Exercice 4 : Soit le portique de la Figure 4. Déterminer les forces de réactions d’appui dans les nœuds.
Données : A = 4 × 103 mm2 ; I = 2 × 107 mm4 ; E = 70GPa
7
18 kN/m
2
1
2m
2
1
2.5 m
Figure 3
Figure 4
8
3
TD 4: Éléments 2D à contrainte plane
Exercice 1 : Un élément de membrane triangulaire e d’une épaisseur t=0,1 cm, avec les coordonnées
(x,y) des nœuds indiquées à coté des numéros de nœuds, est représenté à la figure 1. Si le matériau de
l’élément est de l’acier avec module d’Young E = 207GPa et rapport de Poisson ν = 0.3, déterminer ce
qui suit :
1. Fonctions de forme de l’élément, Ni ( x, y), Nj ( x, y), etNk ( x, y);
2. Matrice [ B] qui relie les déformations aux déplacements nodaux;
3. Matrice d’élasticité [ D ];
4. Matrice de rigidité des éléments [k ]
Figure 1
Exercice 2 : Pour l’élément de membrane triangulaire considéré dans l’exercice précédente, une charge
repartie de magnitude p0x = 50N/m2 et p0y = −30N/m2 agissent sur le bord (face) limitée par les
nœuds 1-3. Trouver les vecteurs de force équivalente aux nœuds.
Exercice 3 : Pour une plaque mince soumise à une force de pression surfacique illustrée sur la figure 2,
déterminer les déplacements nodaux et les contraintes dans les éléments. L’épaisseur de la plaque t =
26mm, E = 207GPa, ν = 0.3.
9
Figure 2
Exercice 4 : Pour une plaque mince soumise illustrée sur la figure 3, déterminer les déplacements
nodaux et les contraintes dans les éléments.
Figure 3
10