שאלה 6מתוך קיץ 2017מועד ב' )בגרות במתמטיקה 5יחידות(
2
1
+
נתונה הפונקציה:
x - 2 ( x - 2 )2
a . f ( x ) = a -הוא פרמטר.
ענה על סעיף א .הבע את תשובותיך באמצעות aבמידת הצורך.
א (1) .מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה ). f ( x
) (2מצא את המשוואות של האסימפטוטות המאונכות לצירים.
) (3מצא את שיעורי נקודות הקיצון של גרף הפונקציה ) ) f ( xאם יש כאלה( ,וקבע את סוגן
) (4מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה ) . f ( x
נתון כי גרף הפונקציה ) f ( xמשיק לציר ה­ .x
ב .מצא את .a
הצב את הערך של aשמצאת וענה על הסעיפים ג­ד.
ג .סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ) . f ( x
ד .נתונה הפונקציה . g ( x) = f ( x ) + k
ידוע שגרף הפונקציה ) g ( xמשיק לאסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה ) . f ( x
מצא את ) kמצא את שתי האפשרויות( .נמק את תשובתך.
פתרון :אx ¹ 2 .1
א( 3, a -1) min .3
אx = 2 , y = a .2
בa = 1 .
א .4עלייה x > 3 :או , x < 2ירידה2 < x < 3 :
ג .סקיצה
ד k = 1 .או k = -1
פתרון מלא:
סעיף א')(1
מכנה משותף
2
a ( x - 2) - 2x + 4 + 1
2
)( x - 2
2
=
2
a × ( x - 2) - 2 × ( x - 2 ) + 1
2
=
)( x - 2
ax 2 - 4 ax + 4a - 2 x + 5
2
)( x - 2
= )f ( x
)( x - 2
®
2
1
f ( x) = a+
x - 2 ( x - 2 )2
a ( x2 - 4x + 4) - 2x + 5
2
)( x - 2
=
מציאת תחום הגדרה:
x¹2
®
x-2¹ 0
®
2
( x - 2) ¹ 0
®
¹ 0מכנה
כלומר ) x ¹ 2 :עבור נקודה זו המכנה מתאפס(
תשובה סופית סעיף א')(1
חל איסור חוקי להעתיק ,לשכפל ,לשדר ו /או לקלוט קבצים אלו בכל אמצעי אלקטרוני
ללא אישור בכתב מאתר melumad.co.il
1
סעיף א')(2
מציאת אסימפטוטות
מציאת אסימפטוטות אנכיות
למציאת אסימפטוטות אנכיות נשווה את המכנה לאפס:
x=2
®
2
( x - 2) = 0
® x-2=0
= 0מכנה
®
)נוודא ש­ x = 2לא מאפס את המונה(
מציאת אסימפטוטות אופקיות
למציאת אסימפטוטות אופקיות נבדוק מעלת המונה ומעלת המכנה
ax 2 - 4ax + 4a - 2 x + 5
ax 2 - 4ax + 4a - 2 x + 5
=
2
x2 - 4x + 4
)( x - 2
y=a
a
®
1
מעלת המונה
נחלק את
® שווה ממעלת ®
®
המקדמים
המכנה
=y
= )f ( x
2
a x - 4ax + 4a - 2 x + 5
2
= )f ( x
1 x - 4x + 4
לסיכום ,האסימפטוטות המקבילות לצירים הןx = 2 , y = a :
תשובה סופית סעיף א') (2
סעיף א')(3
מציאת נקודות קיצון של הפונקציה ) f ( x
שלב א' ­ f ¢ ( x ) = 0
2
1
+
x - 2 ( x - 2 )2
)2 x - 2
64(74
8
}0
2
2 ¢
) 1¢ × ( x - 2 ) - 1× ( x - 2
(
)
2
2
) )(( x - 2
2
)2 ( x - 2
)2 ( x - 2) - 2 ( x - 2
2
=
2
4
4
)( x - 2) ( x - 2
)( x - 2
1
6
47
4
8
}
2¢ × ( x - 2 ) - ( x - 2 )¢ × 2
0
+
2
)( x - 2
f ( x) = a -
0
}
f ¢( x ) = a¢ -
) 0 - 1× 2 0 - 1× 2 ( x - 2
= 0+
=
2
4
)( x - 2
)( x - 2
2 x 2 - 8x + 8 - 2 x + 4
2 x 2 - 10 x + 12
=
=0
4
4
)( x - 2
)( x - 2
=
2 ( x2 - 4x + 4) - 2x + 4
4
)( x - 2
=
נשווה לאפס
חל איסור חוקי להעתיק ,לשכפל ,לשדר ו /או לקלוט קבצים אלו בכל אמצעי אלקטרוני
ללא אישור בכתב מאתר melumad.co.il
2
x2 - 5x + 6 = 0
/:2
®
2 x 2 - 10 x + 12 = 0
2 x 2 - 10 x + 12
=0
4
)( x - 2
®
®
x1 = 3
5 ± 25 - 24 5 ± 1 Z
=
2
2
]
מחוץ לתחום
ההגדרה
2
( -5 ) - 4 ×1 × 6
=
5±
2 ×1
= x1,2
®
x2 = 2
שלב ב' ­ ט בלה
נציב בטבלה את נקודות התאפסות הנגזרת x = 3ואת תחום ההגדרה x ¹ 2
x=4
x = 2.5
x =1
¯
¯
¯
3
2
) (+
Z
)( -
) (+
]
Z
x
)f '( x
)f ( x
min
2 x 2 - 10 x + 12
4
)x - 2
(1
424
3
= )f '( x
+
f ' (1) = 2 ×12 - 10 ×1 + 12 = 2 - 10 + 12 = 4 > 0
x = 1:
f ' ( 2.5 ) = 2 × 2.52 - 10 × 2.5 + 12 = - 0.5 < 0
x = 2.5 :
f ' ( 4 ) = 2 × 42 - 10 × 4 + 12 = 32 - 40 + 12 = 4 > 0
x = 4:
xmin = 3
שלב ג' – נציב בפונקציה המקורית
( 3, a -1) min
®
תשובה סופית סעיף א')(3
2
1
+
x - 2 ( x - 2 )2
f ( x) = a -
f (3) = a -
xmin = 3 :
2
1
2 1
+
= a - + 2 = a - 2 +1 = a -1
3 - 2 (3 - 2)2
1 1
חל איסור חוקי להעתיק ,לשכפל ,לשדר ו /או לקלוט קבצים אלו בכל אמצעי אלקטרוני
ללא אישור בכתב מאתר melumad.co.il
3
סעיף א')(4
מציאת תחומי עלייה וירידה
על פי הטבלה:
עלייה x > 3 :או x < 2
ירידה2 < x < 3 :
תשובה סופית סעיף א') (4
סעיף ב'
הגרף משיק לציר ה­ xולכן שיעור ה­ yשל נקודת ההשקה:
= 0נק' השקה y
נתון כי גרף הפונקציה ) f ( xמשיק לציר ה­ ,x
כלומר ,קיימת נקודת חיתוך אחת )נקודת השקה( בין גרף הפונקציה לציר ה­ ,xולכן:
שיעורי נקודת הקיצון , ( 3, a -1) minהם גם שיעורי נקודת ההשקה.
מצאנו כי שיעור נקודת הקיצון הוא ( 3, a -1) min :ולכן:
a =1
®
a -1 = 0
®
= y minנק' השקה y
תשובה סופית סעיף ב'
סעיף ג'
נצייר סקיצה של הפונקציה ) f ( x
y
x=2
y =1
x
) ( 3, 0
תשובה סופית סעיף ג'
חל איסור חוקי להעתיק ,לשכפל ,לשדר ו /או לקלוט קבצים אלו בכל אמצעי אלקטרוני
ללא אישור בכתב מאתר melumad.co.il
4
סעיף ד'
נתונה הפונקציה . g ( x) = f ( x ) + k
) g ( xזהה לפונקציה ) , f ( xכאשר "מזיזים" אותה אנכית kיחידות.
ידוע שגרף הפונקציה ) g ( xמשיק לאסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה ) . f ( x
מצאנו כי האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה ) f ( xהיא , y = 1ולכן:
y
) g ( xמשיק לאסימפטוטה
האופקית של גרף
הפונקציה ) . f ( x
)g ( x
k
)( 3,1
y =1
·
k
)f ( x
x
) ( 3, 0
x=2
כלומר ,נקודת ההשקה היא ) ( 3,1ולכן:
k = 1או k = -1
תשובה סופית סעיף ד'
®
k =1
® 0 + k =1
®
f (3) + k = 1
{
®
g (3) = 1
0
חל איסור חוקי להעתיק ,לשכפל ,לשדר ו /או לקלוט קבצים אלו בכל אמצעי אלקטרוני
ללא אישור בכתב מאתר melumad.co.il
5
0
