ESTRUCTURAS II
UNIDAD 2.5: DEFORMACIONES EN PIEZAS FLEXADAS
TEOREMA DE CASTIGLIANO
RESOLUCIÓN DE HIPERESTÁTICOS SIMPLES
CÁTEDRA DE ESTRUCTURAS II
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNLP
PROFESOR TITULAR: ING. GUSTAVO ADOLF SOPRANO
AUTOR DEL APUNTE JEFE TRABAJOS PRÁCTICOS: ING. DANIEL M. ZANGARA
VIADUCTO DE MILLAU, FRANCIA
Cálculo de deformaciones por Métodos Energéticos
Energía Potencial Elástica
Veremos el Teorema de Castigliano que es un método para el cálculo de deformaciones que se basa en la Energía de deformación
Elástica que las cargas originan en los cuerpos elásticos, también llamada Energía Potencial elástica.
Todo cuerpo elástico al deformarse por la acción de las cargas incorpora energía elástica que al desaparecer las cargas, también
desaparece.
Por el equilibrio reinante el Trabajo Externo (Te) es Igual Trabajo Interno (Ti) o a la Energía Interna U.
Veamos como calcular el trabajo Interno producido por las distintas Tensiones posibles, originadas en las distintas deformaciones.
Tomaremos un elemento diferencial del cuerpo elástico con cada una de las tensiones.
Al actuar la Tensión Normal según x el elemento sufre una
deformación Δdx y el Trabajo Interno que es Igual a la Energía
Potencial Elástica, U es:
Ti = U = Fuerza x corrimiento / 2
por ser un Trabajo Elástico, no físico, la causa produce el
efecto, la fuerza produce la deformación.
Fuerza
Deformación
dU = ½ . σx . dy . dz . Δdx = ½ . σx . dy . dz . εx . dx
dU = ½ . σx2 . dy . dz . dx / E
como en general se trabaja con la Energía Potencial Elástica por unidad de volumen, U*, la expresión nos queda:
U* = dU/dVol = ½ . σx . εx = ½ . σx2 / E
El asterisco significa que es específico, o sea en este caso por unidad de volumen.
Veremos esto mismo con una tensión Tangencial
Al actuar la Tensión Tangencial en una cara z, según y, el elemento sufre
una deformación angular γzy y el Trabajo Interno que es Igual a la Energía
Potencial Elástica, U es:
Ti = U = Fuerza x corrimiento / 2
por ser un Trabajo Elástico, no físico
dU = ½ . τyz , dx . dz γyz . dy =
dU = ½ . τyz2 . dy . dz . dx / G como en general se trabaja con la Energía
Potencial Elástica específica, U*, la expresión nos queda:
U* = dU / dVol = ½ . τyz . γyz = ½ . τyz2 / G
Teorema de Castigliano
Este teorema nos dice que la derivada de la Energía Potencial Elástica respecto de una carga P, ubicada en un punto de un cuerpo
elástico que es solicitado por un estado de cargas, es igual a la deformación que sufre el cuerpo, (corrimiento), en la dirección de la
carga P.
Expresado en una fórmula matemática sería:
ꝺU / ꝺP = δP
Si en el enunciado anterior reemplazamos la carga P por un momento M y el corrimiento por un giro, la expresión matemática sería:
ꝺU / ꝺM = fM
Demostración del Teorema de Castigliano
Para esto supondremos tener un cuerpo elástico solicitado a un sistema de cargas. Por este sistema de cargas dicho cuerpo obtendrá
un Trabajo Externo Te, y una deformación δP en la dirección de la carga P.
Supongamos ahora que en esta situación se ejerce una dP en el punto de aplicación de la carga P y en su dirección. Por este
incremento de la carga P se producirá un dTe = ꝺTe / ꝺP . dP.
En esta situación el Te total vendría expresado de la siguiente manera:
Te + dTe = Te + ꝺTe / ꝺP . dP
Supongamos tener ahora la siguiente situación:
Tenemos el mismo cuerpo elástico y lo solicitamos con un dP, que me originará un dδP. Luego aplico el mismo sistema de cargas que
en el anterior caso aplique primero, que me originará un Trabajo externo Te y un δP.
Veamos la expresión del Te resultante en este caso:
dP . dδP / 2 + Te + dP . δP en donde la expresión dP . dδP / 2 es despreciable ya que se trata de un infinitésimo de orden superior.
Por supuesto que los dos casos terminan siendo similares con lo cual el trabajo externo total es el mismo. Igualando obtenemos:
Te + ꝺTe / ꝺP . dP =
Te + dP . δP
quedándonos
ꝺTe / ꝺP = δP
Como Te = Ti = U nos queda demostrada la expresión del Teorema de Castigliano:
ꝺU / ꝺP = δP
Vamos a aplicar este teorema para calcular deformaciones en piezas flexadas.
Como sabemos, en este caso, el efecto del Momento Flector tiene una preponderancia muy notoria frente al efecto producido por el
Esfuerzo de Corte, es por eso que vamos a considerar solamente la Energía interna de Deformación producida por el Momento Flector.
Hemos visto que esta Energía Potencial Interna de deformación tenía para las Tensiones Normales la siguiente expresión:
dU = ½ . σx2 . dy . dz . dx / E
si reemplazamos la expresión de σx respecto del Momento Flector, σx = My . y / Jz nos queda:
dU = ½ . Mz2 . y2 . dy . dz . dx / ( E . Jz2 )
integrando queda
U = ‫ ½ ׬‬. Mz2 . y2 . dy . dz . dx / ( E . Jz2 )
y haciendo dA = dy . dz
U = ‫ ½ ׬‬. Mz2 . y2 . dA . dx / ( E . Jz2 )
si tenemos en cuenta que Jz = ‫ 𝑨𝒅 𝟐𝒚 ׬‬nos queda:
U = ‫ ½׬‬.
𝑴𝒛𝟐
𝑬.𝑱𝒛
dx
Integrando la anterior expresión respecto de la carga P, que es la carga en la dirección de la cual queremos hallar el corrimiento,
según lo visto en el Teorema de Castigliano, nos queda:
𝝏𝑼
𝑴𝒛 .𝝏𝑴𝒛
= ‫𝑬 ׬‬.𝑱𝒛𝝏𝑷
𝝏𝑷
dx = δp
y esta integración es a lo largo de toda la longitud de la pieza flexada.
Por una cuestión práctica, que luego veremos, le daremos a P el nombre de P*. Entonces la expresión final del teorema de
Castigliano para piezas Flexadas nos queda:
𝑴𝒛 𝝏𝑴𝒛
𝝏𝑼
∗.
𝝏𝑷
= ‫𝑬 ׬‬.𝑱𝒛 dx = δp
𝝏𝑷∗
Método de Castigliano Ejercitación
Para ello comenzaremos con el caso particular de una ménsula con una carga P en el extremo libre.
Realizamos los diagramas de esfuerzos, en especial el de Momentos y
hallamos su ecuación a lo largo de toda la viga:
Mz = - P . x
Como deseamos calcular el descenso en el extremo libre deberemos
calcular la derivada parcial de My respecto de la carga que está en el punto
elegido y en la dirección elegida. En este caso esto se da tomando a P
como P*, o sea en éste caso deberemos derivar My respecto de P.
𝝏𝑴𝒛
=-x
𝝏𝑷
Luego aplicamos la expresión de Castigliano:
𝑷.𝒍𝟑
𝒍 −𝑷.𝒙 .(−𝒙)
𝒍 𝑷𝒙𝟐 .
δp = ‫𝟎׬‬
dx = ‫׬‬
dx =
descenso en el punto de aplicación de P. El signo + significa que el corrimiento
𝟎 𝑬.𝑱𝒛
𝑬.𝑱𝒛
𝟑.𝑬.𝑱𝒛
coincide con el sentido de P
𝑷.𝒍𝟑
δp =
𝟑.𝑬.𝑱𝒛
Valor coincidente con el hallado por los métodos anteriormente vistos.
Hallaremos la elástica máxima de una viga simplemente apoyada con carga puntual en el centro.
Del mismo modo que en el anterior ejercicio debemos realizar los diagramas de esfuerzos,
en especial de momentos flectores y hallar las ecuaciones de este en toda la longitud de la
viga.
Tramo 1
0<x<l/2
Tramo 2
l/2 < x < l
Mz = P/2 . x = P . x / 2
Mz = P/2 . x – P . ( X - l/2) = P/2 . (l-x)
𝝏𝑴𝒛
= x/2
𝝏𝑷
𝝏𝑴𝒛
= (l-x)/2
𝝏𝑷
En este caso igual que en el anterior como P coincide con P* derivamos respecto de P. Ahora colocamos todo en la expresión del
Teorema de Castigliano:
𝑷
𝒙 𝒙
. 𝒍−𝒙 .(𝒍−𝒙)/𝟐
𝒍/𝟐 𝑷.𝟐 .(𝟐)
𝒍
𝒍/𝟐 𝑷/𝟒.𝒙𝟐
𝒍 𝑷/𝟒.(𝒍−𝒙)𝟐
𝟐
δp = ‫׬‬
dx + ‫׬‬
dx = ‫׬‬
dx + ‫׬‬
dx
𝟎
𝒍/𝟐
𝟎
𝒍/𝟐
𝑬.𝑱𝒛
𝑬.𝑱𝒛
𝑬.𝑱𝒛
𝑬.𝑱𝒛
𝑷.𝒍𝟑
𝑷.𝒍𝟑
𝑷.𝒍𝟑
𝑷.𝒍𝟑
𝑷.𝒍𝟑
𝑷.𝒍𝟑
𝑷.𝒍𝟑
𝑷.𝒍𝟑
δp =
+
+
+
=
𝟗𝟔.𝑬.𝑱𝒛
𝟒.𝑬.𝑱𝒛 𝟒.𝑬.𝑱𝒛
𝟏𝟐.𝑬.𝑱𝒛 𝟖.𝑬.𝑱𝒛
𝟏𝟔.𝑬.𝑱𝒛 𝟗𝟔.𝑬.𝑱𝒛
𝟒𝟖.𝑬.𝑱𝒛
𝑷.𝒍𝟑
δp =
𝟒𝟖.𝑬.𝑱𝒛
Hallaremos la elástica máxima de una viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida en toda su longitud.
0<x<l
Mz = q . l / 2 . x - q . x . x / 2 = q . l / 2 . x - q . x2 / 2
Para hallar la derivada de My respecto de P* como no hay una P*en el punto en
donde queremos hallar el corrimiento deberemos colocarla, realizar la ecuación
de momento con ella, hallar la derivada y luego hacer nula la P*.
Nosotros para una mejor organización utilizaremos el Principio de Superposición
de los efectos y consideraremos a la P* en una estructura similar aparte y luego
sumaremos los efectos.
0 < x < l/2
Mz* = P*/2 . x
𝜕𝑀𝑧∗
=x/2
𝜕𝑃∗
l/2 < x < l
Para
x = l/2
Mz* = P*/2 . x – P* . (x – l/2)
𝜕𝑀𝑧∗
= x / 2 – (x – l/2) = (l – x)/2
𝜕𝑃∗
Llevamos todo a la expresión del Teorema de Castigliano:
𝒍/𝟐 q . l / 2 . x − q . x2 / 2 .𝒙/𝟐
𝒍 q . l / 2 . x − q . x2 / 2 . ( 𝒍−𝒙 )/𝟐
δp = ‫׬‬
dx + ‫׬‬
=
𝟎
𝒍/𝟐
𝑬.𝑱𝒛
𝑬.𝑱𝒛
𝒍/𝟐 q . l / 4 .x2 − q . x3 / 𝟒
𝒍 .( q .l
δp = ‫׬‬
dx + ‫׬‬
𝒍/𝟐
𝟎
𝑬.𝑱𝒛
𝒒.𝒍𝟒
δp =
𝟗𝟔.𝑬.𝑱𝒛
-
𝒒.𝒍𝟒
𝒒.𝒍𝟒
+
𝟐𝟓𝟔.𝑬.𝑱𝒛
𝟖.𝑬.𝑱𝒛
-
𝒒.𝒍𝟒
𝟏𝟐.𝑬.𝑱𝒛
-
2 / 4 . x − q . l . x2 / 4 − q. 𝒍 .x𝟐+𝒒/𝟒 .x3
𝒒.𝒍𝟒
𝒒.𝒍𝟒
+
𝟏𝟐.𝑬.𝑱𝒛
𝟏𝟔.𝑬.𝑱𝒛
𝟓 𝒒.𝒍𝟒
δp =
𝟑𝟖𝟒 𝑬.𝑱𝒛
𝟒
𝑬.𝑱𝒛
-
𝒒.𝒍𝟒
𝒒.𝒍𝟒
𝒒.𝒍𝟒
+
+
𝟑𝟐.𝑬.𝑱𝒛
𝟗𝟔.𝑬.𝑱𝒛
𝟗𝟔.𝑬.𝑱𝒛
-
dx =
𝒒.𝒍𝟒
=
𝟐𝟓𝟔.𝑬.𝑱𝒛
Analicemos la elástica de la siguiente viga y calculemos el corrimiento del punto C
Hallamos las reacciones y los diagramas de esfuerzos característicos. Tenemos tres tramos para calcular la ecuación de momentos
Tramo 0 < x < l/2
Mz = - ( 1/2 . P + M/l ). x
𝜕𝑀𝑧
= -1/2 . x
𝜕𝑃
Tramo l/2 < x < l
Mz = - ( 1/2 . P + M/l ). x + M
𝜕𝑀𝑧
= -1/2 . x
𝜕𝑃
Tramo l < x < 3/2 . l
Mz = - ( 1/2 . P + M/l ). x + M + ( 3/2 P + M/l ) .(x – l) = P . x – 3/2 P . l
𝜕𝑀𝑧
= (x -3/2 l)
𝜕𝑃
Debemos ahora colocar todo en la expresión del Teorema de Castigliano y
resolver la integral.
𝟏
𝑴
𝟏
𝟏
𝑴
𝟏
𝟑
𝟑
− ( 𝟐.𝑷+ 𝒍 ).𝒙+𝑴 .(− 𝟐.𝒙)
𝒍/𝟐 − 𝟐.𝑷+ 𝒍 . 𝒙 .(− 𝟐.𝒙)
𝒍
𝟑/𝟐𝒍 𝑷.𝒙 − 𝟐.𝑷 .𝒍 .(𝒙 − 𝟐.𝒍)
𝛅p = ‫𝟎׬‬
dx + ‫׬‬
dx + ‫׬‬
dx =
𝒍/𝟐
𝒍
𝑬.𝑱𝒛
𝑬.𝑱𝒛
𝑬.𝑱𝒛
𝑷
𝟒
𝟐
𝒍/𝟐 ( .𝒙 +
𝛅p = ‫𝟎׬‬
𝑷.𝒍𝟑
𝑴 𝟐
.𝒙 )
𝟐.𝒍
𝑬.𝑱𝒛
𝑴.𝒍𝟑
𝒍
dx + ‫׬‬
𝒍/𝟐
𝑷.𝒍𝟑
𝑴.𝒍𝟑
𝑷
𝟒
( .𝒙𝟐 +
𝑴 𝟐 𝑴
.𝒙 − .𝒙)
𝟐.𝒍
𝟐
𝑬.𝑱𝒛
𝑴.𝒍𝟐
𝑷.𝒍𝟑
𝟑
𝟗
𝟐𝟕.𝟐.𝑷.𝒍𝟑
𝟐𝟕.𝑷.𝒍𝟑
𝟐
𝟐
𝟑/𝟐𝒍 (𝑷 . 𝒙 − 𝟐𝑷 .𝒙.𝒍 .𝟐+𝟒𝑷 . 𝒍 .
dx + ‫׬‬
dx =
𝒍
𝑬.𝑱𝒛
𝑴.𝒍𝟑
𝑴.𝒍𝟐
𝟐𝟕.𝑷.𝒍𝟑
𝑷.𝒍𝟑
𝟑.𝟐 .𝑷.𝒍𝟑
𝟗.𝑷.𝒍𝟑
𝛅p = 𝟏𝟐 𝑬.𝑱𝒛 + 𝟔.𝒍.𝑬.𝑱𝒛 + 𝟏𝟐.𝑬.𝑱𝒛 + 𝟔.𝒍.𝑬.𝑱𝒛 - 𝟒.𝑬.𝑱𝒚 - 𝟗𝟔.𝑬.𝑱𝒛 - 𝟒𝟖.𝒍.𝑬.𝑱𝒛 + 𝟏𝟔.𝑬.𝑱𝒛 + 𝟐𝟒.𝑬.𝑱𝒛 - 𝟏𝟔 .𝑬.𝑱𝒛 + 𝟖 .𝑬.𝑱𝒛 - 𝟑 .𝑬.𝑱𝒛 + 𝟒 .𝑬.𝑱𝒛 - 𝟒 .𝑬.𝑱𝒛 =
Considerando que M = P.l
𝟓.𝑷.𝒍𝟑
𝛅p = 𝟒𝟖 .𝑬.𝑱𝒛
Debemos tener en cuenta que como en éste método tenemos que derivar el Momento Mz según la carga P, que actúa en el punto en
donde queremos hallar el corrimiento y en la dirección deseada, no podemos llamar P a otras fuerzas ni los Momentos tenerlos en
función de P. Por esta razón es que al final colocamos el valor de M = P.l . Observen que las reacciones las calculamos en función de
M y no consideramos en ese momento que M = P.l .
Pará situaciones como estas o para cuando no existe la carga P en el punto en donde queremos conocer el corrimiento, es que
decíamos trabajar con P*.
Por ejemplo calcularíamos el momento Mz con las cargas como las quisiéramos llamar y para hallar la derivada de My respecto de
P*, tomamos la misma Estructura solamente cargada con P* en el punto y la dirección en donde queremos calcular el corrimiento.
Hallamos el Mz* y lo derivamos. Por ejemplo nuestro caso quedaría así:
0<x<l
Mz* = - 1/2 P* . x
𝜕𝑀𝑧∗
= - 1/2 . x
𝜕𝑃∗
Esto es lo que utilizamos
l < x < 3/2.l
Mz* = - 1/2 P* . x + 3/2 .P*. (x-l) = P* . x – 3/2 . P* . l
𝜕𝑀𝑧∗
= x – 3/2 . L
𝜕𝑃∗
Esto es lo que utilizamos
Así mismo al trabajar de esta manera si nos pidieran sobre el mismo ejercicio otra incógnita no tendríamos que hacer todo de
vuelta, si no solo el diagrama de momento Mz* debido al P* si nos piden un corrimiento o debido al M* si nos piden un giro.
Veamos ahora un ejemplo sencillo para calcular algún giro con el Teorema de Castigliano.
Consideremos calcular el giro en uno de los apoyos de una viga simplemente apoyada con carga en el centro.
De la grafica respectiva que la tenemos en páginas anteriores podemos sacar la ecuación de momentos Mz.
Para 0<x<l/2
Mz= P/2 . x
Para l/2<x<l
Mz= P/2 . x – P . (x – l/2) = P . (l – x) / 2
Para calcular el giro en A debemos colocar un momento M* en este punto y con el
en la misma estructura, hallamos Mz* y lo derivamos respecto del M*.
Mz* = -M* + Ra . x = -M* + M*/ l . x
𝜕𝑀𝑧∗
=-1+x/l
𝜕𝑀∗
Colocamos todo en la expresión del Teorema de Castigliano.
𝟏
.𝑷.𝒙 .
𝟐
𝒍/𝟐
𝛅p = ‫𝟎׬‬
𝑬.𝑱𝒛
𝑷
𝒙
( 𝒍 −𝟏)
𝒙
𝒍 𝑷 .(𝒍−𝒙)/𝟐.( 𝒍 − 𝟏)
dx + ‫׬‬
dx
𝒍/𝟐
𝑬.𝑱𝒛
𝑷
𝑷
𝒍
𝒙
𝟐
𝟐
𝒍/𝟐 (𝟐.𝒍.𝒙 −𝑷.𝒙/𝟐)
𝒍 ( 𝟐 .𝒙−𝟐.𝒍.𝒙 −𝑷.𝟐+𝑷.𝟐)
𝛅p = ‫𝟎׬‬
dx + ‫׬‬
dx
𝒍/𝟐
𝑬.𝑱𝒛
𝑬.𝑱𝒛
𝑷.𝒍𝟐
𝑷.𝒍𝟐
𝑷.𝒍𝟐
𝑷.𝒍𝟐
𝑷.𝒍𝟐
𝑷.𝒍𝟐
𝑷.𝒍𝟐
𝑷.𝒍𝟐
𝑷.𝒍𝟐
𝑷.𝒍𝟐
𝑷.𝒍𝟐
𝛅p =- 𝟏𝟔.𝑬.𝑱𝒛 + 𝟒𝟖.𝑬.𝑱𝒛 + 𝟒.𝑬.𝑱𝒛 - 𝟔.𝑬.𝑱𝒛 − 𝟐.𝑬.𝑱𝒛 + 𝟒.𝑬.𝑱𝒛 − 𝟏𝟔.𝑬.𝑱𝒛 + 𝟒𝟖.𝑬.𝑱𝒛 + 𝟒.𝑬.𝑱𝒛 − 𝟏𝟔.𝑬.𝑱𝒛 = − 𝟏𝟔.𝑬.𝑱𝒛
𝑃.𝑙 2
𝛅p = −
16.𝐸.𝐽𝑧
Valor que coincide con lo dado por los otros métodos y que el alumno puede verificar.
El signo menos significa que el giro es contrario al sentido dado al M*, cosa que se puede ver al observar la deformada de la
estructura.
El Teorema de Castigliano entre sus bondades se encuentra que sirve para calcular deformaciones no sólo en vigas rectas, si no
en distintos tipos de estructuras. Veremos algunos ejemplos simples.
Calcularemos el corrimiento horizontal en el punto C de esta estructura quebrada.
Hallamos las reacciones, los diagramas de esfuerzos y hallamos las ecuaciones de los My en cada parte de la estructura
Columna
0<x<6m
Dintel
0<x<6m
Mz = 6000 . x – 1000 . x2 / 2
Mz = 6000 . x – 1000 . x2 / 2
Colocamos la carga P* en el punto donde queremos hallar el corrimiento y en la dirección deseada. Luego calculamos la derivada
del Mz* respecto de P*.
Columna
0<x<6m
Dintel
0<x<6m
Mz* = P* . x
Mz* = P* . x
𝝏𝑴𝒛∗
=x
𝝏𝑷∗
𝝏𝑴𝒛∗
=x
𝝏𝑷∗
Colocamos todo en la expresión del Teorema de Castigliano.
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟐
𝟔 𝟔𝟎𝟎𝟎.𝒙 − 𝟐 .𝒙 .𝒙
𝟔 (𝟔𝟎𝟎𝟎.𝒙𝟐 −𝟓𝟎𝟎 .𝒙𝟑 )
𝛅CH = 2 . ‫𝟎׬‬
dx = 2 . ‫׬‬
dx =
𝟎
𝑬.𝑱𝒛
𝑬.𝑱𝒛
si E = 2.100.000 Kg/cm2 y Jy= 45.850 cm4
➔
𝟓𝟒𝟎.𝟎𝟎𝟎 𝒙 𝟏𝟎𝟎𝟑
𝑬.𝑱𝒛
𝛅CH = 5,6 cm
Veremos ahora como calcular con Castigliano las deformaciones en un Reticulado.
Habíamos visto la Energía de deformación Elástica producida por el Momento Flector y comentábamos que tanto la producida por
el Esfuerzo Axil como la originada por el Esfuerzo de Corte eran pequeñas frente a la primera. Pero es que en los reticulados solo
tenemos Esfuerzo Axil, entonces en este caso tendremos que la expresión de la Energía Potencial Elástica es la siguiente:
2
dU = ½ . σx2 . dy . dz . dx / E debemos reemplazar σx= N/A y dy.dx = A ➔ dU = ½ . (N/A) . A . dx / E =
dU =
½ . N2
𝑬.𝑨
dx entonces el teorema de Castigliano para reticulados queda expresado como:
½ . N2
𝑬.𝑨
𝝏𝑼
𝑵 .𝝏𝑵
𝝏𝑷
= ‫𝑬 ׬‬.𝑨
𝝏𝑷
dx
dx = δp
Como en cada barra del reticulado el esfuerzo axil es constante la integral se transforma en una sumatoria que involucra cada
barra de la estructura :
𝝏𝑵¿
𝝏𝑼 σ𝒏 𝑵𝒊 .𝝏𝑷∗.𝒍𝒊
δp =
= 𝒊
𝝏𝑷∗
𝑬.𝑨𝒊
Expresión del teorema de Castigliano para
Reticulados
Hallemos el descenso del punto A del siguiente Reticulado
Debemos hallar los esfuerzos en las barras debido a las cargas. Las fuerzas se encuentran dadas en KN.
También hallaremos los esfuerzos en las barras del reticulado debido a una P*=1 ubicada en el Punto A. Esto es así porque en
definitiva como el esfuerzo N es directamente proporcional a P*, su derivada respecto de P* será igual a los esfuerzos al
considerar P*=1. Ver figura de la derecha.
Esfuerzos en las barras del reticulado en función de las cargas
Esfuerzos en las barras del reticulado producido por P* = 1
Luego con todos estos datos hacemos una tabla para el cálculo del corrimiento considerando la expresión del Teorema de
Castigliano para estructuras reticuladas:
𝝏𝑵¿
𝑵𝒊
.
.𝒍𝒊
𝒏
𝝏𝑼
𝝏𝑷∗
δp =
Cálculo de corrimiento en reticulado por el teorema de Castigliano
1
2
3
4
Barra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Longitud
cm
152
150
25
152
150
158,11
50
150
158,11
152
25
150
152
Área
cm2
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
Módulo E
KN/cm2
21000
21000
21000
21000
21000
21000
21000
21000
21000
21000
21000
21000
21000
𝝏𝑷∗
= σ𝒊
𝑬.𝑨𝒊
5
Ni (KN)
𝝏𝑵𝒊
𝝏𝑷 ∗
-182,483
180
-20
-182,483
120
63,246
0
120
63,246
-182,483
-20
180
-182,483
-3,041
3
0
-3,041
3
0
1
3
0
-3,041
0
3
-3,041
1*4*5/2/3
0,211402211
0,203007519
0
0,211402211
0,135338346
0
0
0,135338346
0
0,211402211
0
0,203007519
0,211402211
δ=
1,52
cm
Veremos ahora como se pueden resolver hiperestáticos simples con el cálculo de las deformaciones y el Principio de Superposición
Resolución de Hiperestáticos en estructuras flexadas
Veamos esta estructura y calculemos las reacciones de la misma
Estructura Original
Isostático Fundamental
Estructura Correctora
Utilizando el Principio de Superposición y sabiendo calcular por alguno de los métodos conocidos 𝜹0 y 𝜹x , podemos plantear la
ecuación de Congruencia o de Deformaciones que nos falta, que en este caso es:
𝜹0 + 𝜹x = 0
𝟓 𝒒.(𝟐.𝒍)𝟒
Siendo δ0 =
𝟑𝟖𝟒 𝑬.𝑱𝒚
y
𝑿.(𝟐.𝒍)𝟑
δx = 𝟒𝟖.𝑬.𝑱𝒚
➔
X=
𝟐𝟒𝟎 .𝒒.𝟐.𝒍
𝟑𝟖𝟒
➔
X=
𝟓 .𝒒.𝒍
= Vb
𝟒
El valor positivo obtenido para X, significa que la dirección supuesta es correcta.
El Principio de Superposición, nos dice en este caso, que todo lo que ocurre en el Isostático Fundamental más lo que ocurre en
Estructura Correctora, es igual a todo lo que pasa en la Estructura Original, que en este caso es un hiperestático.
De esto es que Vb = X
Conocido Vb calculamos el resto de las reacciones con las ecuaciones de la estática.
De la misma manera realizamos cualquier hiperestático que se nos presente.