Notes de cours de
l’École Normale Supérieure de Lyon
2 juillet 2018
Géométries affine, projective et euclidienne
Florian Lavigne
Cours de préparation à l’agrégation de 2015-2016 de M. Thomas Letendre
Ce polycopié a été tapé lors du cours de préparation à l’agrégation de 2015-2016 de géométrie. Les erreurs qui s’y trouvent ne sont donc aucunement du fait de M. Thomas Letendre. 1
1. http ://perso.ens-lyon.fr/thomas.letendre/
2
TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
I
Géométrie Affine
6
1 Espaces affines
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Définition alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
8
2 Barycentres
8
3 Sous-espaces affines
9
3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Opérations sur les sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Familles libres, familles génératrices et repères
4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Repère affine et repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Applications des coordonnées barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
13
14
5 Applications affines
5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Zoologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Calculs en coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
16
18
19
21
6 Groupe affine
6.1 Dégression algébrique : produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Groupe affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Existence de points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Homothéties-translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Groupe spécial affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
21
23
24
25
25
7 Autres structures
26
II
27
Géométrie projective
8 Espaces projectifs
8.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Sous-espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Lien affine-projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Coordonnées homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Topologie des espaces projectifs sur R ou C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
27
29
31
31
9 Homographies
9.1 Cas de la droite projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Repère projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Lien affine projectif II : Le défi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
33
34
35
TABLE DES MATIÈRES
3
10 Dualité projective
10.1 C’est quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Exemple de théorèmes duaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Incidences et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
37
38
11 Birapport
11.1 Définition et calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Birapport et homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Quelques remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
39
40
41
III
43
Géométrie euclidienne
12 Espaces euclidiens
12.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Isométries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Isométries affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
43
43
44
45
13 Groupe orthogonal
13.1 L’ensemble des générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Cas de O2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Forme réduite - cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
45
47
47
14 Classification des isométries
14.1 Forme réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Cas de la dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Cas de la dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
48
49
49
15 Angles
15.1 Notions d’angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Structure de groupe sur les angles orientés (n = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Mesure des angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Mesure des angles non orientés - valable en toute dimension . . . . . . . . . . .
15.5 Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
50
51
52
53
53
IV
Introduction aux coniques sur K = R ou C
54
16 Rappels sur les formes quadratiques
54
16.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
16.2 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
17 Coniques projectives
17.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.2 Transformation par homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3 Classification des coniques projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4 Intersection avec une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
56
57
58
59
4
TABLE DES MATIÈRES
Introduction
La géométrie "classique vient de la Grèce Antique, même si avant cela, il existait des "recettes". Les Grecs ont apportés une certaine rigueur, car la géométrie était au départ une science
expérimentale. Ils cherchaient à étudier tout ce qui était longueur, angle, et aire. Par exemple,
le théorème de Thalès permet de connaître la hauteur d’une tour, via un bâton.
Avant le XIX e siècle, l’approche devînt plus axiomatique. En effet, Euclide propose pour
la géométrie dite euclidienne ces célèbres axiomes (V I e siècle avant J.C.) :
(i) Il existe toujours une droite qui passe par deux points du plan.
(ii) Tout segment peut être étendu suivant sa direction en une droite (infinie).
(iii) A partir d’un segment, il existe un cercle dont le centre est un des points du segment
et dont le rayon est la longueur du segment.
(iv) Tous les angles droits sont égaux entre eux.
(v) Etant donné un point et une droite ne passant pas par ce point, il existe une seule droite
passant par ce point et parallèle à la première.
Ensuite, apparût la géométrie projective, définie par des axiomes. Elle traite des objets dans
le plan ou l’espace, comme des droites, des cercles, des coniques (Kepler), etc.
Le point de vue changea avec Felix Klein (1872) avec le programme d’Erlangen - reformuler
toute la géométrie en terme d’action de groupes. En effet, les groupes apparaissent d’abord
comme les groupes de transformations de certains objets :
• bijection entre ensembles.
• groupes des symétries : groupes diédraux, A4 (isométrie directe du tétraèdre).
• groupes linéaires.
• groupe de Galilée (qui apparaît lors de changement de référentiel en physique).
La notion abstraite de groupe était apparue pendant la première moitié du XIX e siècle
grâce à Galois.
Dans ce cours, on fera agir principalement des groupes dérivés de GL(E) par extension,
quotient, sous-groupes, etc.
Illustrations d’intéractions groupes/géométrie
Exemple. Le groupe orthogonal On (R) est engendré par des involutions (réflexions de Rn ). Le
problème principal sera d’écrire une rotation dans R2 comme produit de deux réflexions.
Exemple. Soit deux rotations affines de centres différents, dans le plan euclidien, notés rA,α
et rB,β . On saura que la composée r est une rotation par classification des isométries du plan
euclidien. On sait même que c’est une rotation d’angle αβ. Le centre est en fait le point O créé
sous dessous.
O
α/2
A
B
−β/2
Remarque. Le langage des groupes sert aussi en dehors des mathématiques. En physique par
exemple, on parle d’homogénéité pour l’invariance par translation d’un espace. L’isotropie correspond à l’invariance sous l’action du groupe orthogonal.
TABLE DES MATIÈRES
5
Dans ce cours, on étudie 3 types de géométries différentes, les groupes associés et leurs
invariants :
• affine, avec les notions de parallélisme et de barycentre.
• projective, où on définira l’incidence et l’alignement.
• euclidienne, qui aura des angles et classifiera des isométries.
L’idée importante pour résoudre un problème géométrique est donc d’identifier la géométrie,
puis faire agir le groupe associé pour se ramener à une situation standard, et utiliser des
structures supplémentaires.
Géométries non-euclidiennes
Le cinquième axiome d’Euclide n’est pas une conséquence des 4 autres. Il existe des géométries dans lesquelles celle-ci est fausse.
Lobachevsky a découvert en 1826 la géométrie hyperbolique, pour laquelle la notion de droite
n’a plus de sens, et c’est pourquoi on la généralise en géodésique (demi-cercles). Dans celle-ci,
il y a une infinité de géodésique passant par un point. Pour approfondir ce sujet, le chapitre 4
du livre de Fresnel est conseillé.
Dans le dessin ci-après, les géodésiques bleue, cyan et rouge sont parallèles à la noires,
cependant elles passent toutes les trois en A.
A
D
6
1 ESPACES AFFINES
Première partie
Géométrie Affine
On considère ici des corps commutatifs et les espaces vectoriels sont de dimension finie.
1
Espaces affines
1.1
Définitions
Définition. Un espace affine est un triplet (E, E, t) avec E un ensemble, E un kev, et t une
action de E sur E simplement transitive.
Remarque. Quand il y n’a pas d’ambiguïté, on parle de l’espace affine E.
Remarque. Il suffit juste de vérifier que t est fidèle et transitive.
Définition. Les éléments de E sont appelés des points. Ceux de E sont appelés des vecteurs.
Définition. On dit que E est la direction de E, ou encore que E est dirigé par E.
Définition. Pour u ∈ E, t(u) est appelée la translation de vecteur u. Dans la suite on notera
A + u à la place de t(u)(A).
Exemple. Un espace vectoriel est tautologiquement un espace affine dirigé par lui-même.
Exemple. Soit f : E → F linéaire et x ∈ F . Alors f −1 (x) est un espace affine dirigé par
ker(f ), qui est un espace vectoriel (vu comme noyau d’une application linéaire).
En effet, soit A, B ∈ f −1 (x). Soit K = B − A. Alors comme f est linéaire :
f (K) = f (B) − f (A) = x − x = 0.
L’action t(K)(A) = A+K est donc transitive. Si on considère K, K 0 ∈ ker f , avec K.A = K 0 .A,
alors il est évident que K = K 0 . Donc l’action est en fait simplement transitive.
Remarque. Si (E, E) est un espace affine et si F est en bijection avec E, alors cette bijection
permet de munir F d’une structure d’espace affine dirigée par E.
Définition. On appelle dimension de E la dimension de E en tant que Kev.
Remarque. On n’attribue aucune dimension si E = ∅.
Définition. On dit que E est :
• un point si dim E = 0.
• une droite si dim E = 1.
• un plan si dim E = 2.
1.2
Propriétés élémentaires
−→
Définition. Soit A, B ∈ E. On note AB l’unique vecteur de E tel que :
−→
A + AB = B.
−→
Proposition 1. Soit A ∈ E. Alors AA = 0.
1.2 Propriétés élémentaires
7
Démonstration. A + 0 = A nous donne l’égalité souhaitée.
−→
−→
Proposition 2. Soit A, B ∈ E. Alors AB = −BA.
−→
−→
Démonstration. On sait que t(−BA) = t(BA)−1 . Donc :
−→
t(−BA)(A) = B,
−→
ce qui affirme A − BA = B.
Proposition 3. (Relation de Chasles)
−→ −−→ −→
Pour tout A, B, C ∈ E, AB + BC = AC.
Démonstration. Comme t est un morphisme, on a :
−→ −−→
−→
−−→
−−→
A + (AB + BC) = (A + AB) + BC = B + BC = C.
Proposition 4. (Règle du parallélogramme)
Soit A, A0 , B, B 0 ∈ E. Alors :
−−→0 −−→0
−→ −−→
AA = BB ⇔ AB = A0 B 0 .
Démonstration. On a alors :
→
−−→
−→ −−
AB = A0 B 0 ⇔ A + A0 B 0 = B
−−→ −−→
⇔ A + AB 0 + A0 A = B
−−→
⇔ B 0 + A0 A = B
−−→ −−→
⇔ BB 0 = AA0 .
Proposition 5. Soit (E, E, t) un espace affine et A ∈ E. L’application suivante est une bijection :
ΘA : E → E
u 7→ A + u
−→
Remarque. AB = Θ−1
A (B).
Définition. On dit qu’on vectorialise E en A, si on identifie E et E via ΘA .
Remarque. Cette structure d’espace vectoriel induite n’est pas du tout canonique. Le neutre
additif est A.
8
2 BARYCENTRES
1.3
Définition alternative
Proposition 6. E est un espace affine dirigé par E si et seulement s’il existe φ : E 2 → E tel
−→
que si on note AB = φ(A, B), on a :
−→
∀A ∈ E, φA : B 7→ AB est bijective
−→ −−→ −→
∀A, B, C ∈ E, AB + BC = AC.
Démonstration. Le sens direct est clair. Montrons l’autre sens, c’est-à-dire que (E, Imφ) est
affine pour l’action u.A = φ−1
A (u).
Vérifions d’abord qu’on a bien ainsi définit une action.
−→ −→ −→
−→
Soit 0 ∈ E. On sait que AA + AA = AA. Ainsi AA = 0. Donc 0.A = A.
Soit u, w ∈ E et A ∈ E. Posons les points B = w.A et C = u.B. Alors :
−−→ −→
−→
(u + w).A = (BC + AB).A = AC.A = C = u.(w.A).
On a donc ainsi définit une action.
−→
Soit A, B ∈ E. Posons u = AB. Alors u.A = B, par définition. L’action est donc bien
transitive.
Soit u, w ∈ Imφ et A, B ∈ E avec u.A = w.A = B. Alors :
φA (B) = u = w.
L’action est donc simplement transitive. Ainsi (E, Imφ) est un espace affine.
2
Barycentres
On considère ici un espace affine E sur le corps k. Soit A1 , ..., An ∈ E et λ1 , ..., λn ∈ k.
Remarque. Pour tout M, N ∈ E, on a :
n
X
n
X
−−→
λi M Ai =
i=1
!
λi
n
−−→ X −−→
MN +
λi N A i .
i=1
i=1
P
−−→
λi M Ai est bijective si
λi 6= 0 constante sinon.
P
Définition. Soit A1 , ..., An ∈ E et λ1 , ..., λn ∈ k avec
λi 6= 0. On appelle barycentre l’unique
antécédent de 0 par l’application φ.
On note parfois Bar((A1 , λ1 ), ..., (An , λn )).
Remarque. L’application φ : M →
P
Proposition 7. Le point G barycentre des (Ai ) avec les points (λi ) est caractérisé par
X −−→
λi GAi = 0,
i
ce qui est équivalent à :
n
X
−−→
∀M ∈ E,
M Ai =
n
X
i=1
i=1
!
λi
−−→
M G.
Définition. Soit A1 , ..., An ∈ E avec car(k) 6= n. On appelle isobarycentre des Ai le barycentre
des (Ai , 1).
Si n = 2, on parle de milieu.
9
Proposition 8. (Homogénéité)
P
Soit A1 , ..., An ∈ E et les poids λ1 , ..., λn ∈ k avec
λi 6= 0. Soit a ∈ k ∗ . Alors :
Bar((Ai , λi )) = Bar((Ai , aλi )).
P −−→
−−→
λi GAi = 0 donne
λi GAi = 0.
P
Remarque. On peut donc toujours se ramener au cas où
λi = 1.
Démonstration. Soit G = Bar((Ai , aλi )). Alors a
P
Proposition 9. (Associativité)
P
Soit (Aij , λij )1≤i≤p,1≤j≤qi des points pondérés de E avec j λij 6= 0, pour tout i, et :
X
λij 6= 0.
i,j
Alors, en notant Gi = Bar((Aij , λij )), on obtient :
X
Bar((Gi ,
λij )) = Bar((Aij , λij )).
j
Démonstration. Soit G le barycentre de gauche. Alors :
!
−−→ −−−→ X −−−→
X X
−−→ X
λij GAij .
0=
λij GGi + Gi Aij =
λij GGi =
i
j
i,j
ij
Corollaire 10. Les médianes d’un triangle sont concourantes.
Démonstration. Considérons un triangle ABC et M le milieu de [BC].
Soit G = Bar((A, 1), (M, 2)).
Or M = Bar((B, 1), (C, 1)). Donc G = Bar((A, 1), (B, 1), (C, 1)) l’isobarycentre de ABC.
Interprétation du calcul barycentrique
Soit E un kev. On note e = (1, 0) dans k × E. Posons E = e + E espace affine dirigé par E.
−→
Si A = e + a et B = e + b, alors AB = b − a ∈ E, qu’on peut aussi écrire B − A comme
vecteurs de k × E.
P
Si Ai = e + ai ∈ E et λi ∈ k avec
λi = 1, alors avec M = e + x, on a :
P
M = Bar((Ai , λi )) ssi x = i λi ai .
3
Sous-espaces affines
3.1
Définitions
Définition. Soit E un espace affine. Une partie F de E est appelée sous-espace affine si elle
est stable par barycentres.
Proposition 11. Soit (E, E) un espace affine et F ⊂ E. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) F sous-espace affine de E.
10
3 SOUS-ESPACES AFFINES
(ii) il existe F sev de E tel que pour tout A ∈ F, Θ−1
A (F) = F .
(iii) pour tout A ∈ F, Θ−1
(F)
est
un
sev
de
E.
A
(iv) il existe A ∈ F, Θ−1
A (F) est un sev de E.
On notera Θ−1
(F)
=
F
par
F = A + F.
A
Démonstration. Il est clair que (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv).
−1
Montrons que (iv)
P⇒ (i). Soit A ∈ F avec ΘA (F) un sev de E noté F . Soit (Ai , λi ) points
pondérés de F avec
λi = 1. Posons G = Bar(Ai , λi ). Alors :
−→ X −−→
AG =
λi AAi ∈ F,
i
−−→
car F est un sev et AAi ∈ F . Donc G ∈ A + F = F.
Montrons maintenant que (i) ⇒ (iii). Soit A ∈ F. On note F = Θ−1
A (F). On sait que 0 ∈ F
−→
car 0 = AA. Soit u, w ∈ F et λ ∈ k. Posons B = A + u et C = A + w. Donc B, C ∈ F.
Montrons que u + λw ∈ F . Notons G le barycentre :
G = Bar((B, 1), (C, λ), (A, −λ)).
−→ −→
−→
Alors AG = AB + λAC = u + λw. Ainsi G ∈ F car G est un barycentre d’éléments de F qui
est un sous-espace affine de E.
−1
0
Montrons finalement que (iii) ⇒ (ii). Soit A, B ∈ F. Notons F = Θ−1
A (F) et F = ΘB (F).
Il suffit de montrer que F = F 0 . Soit u ∈ F 0 . Donc B + u ∈ F . Or :
−→
B + u = A + (AB + u) ∈ F.
−→
−→
Donc AB + u ∈ F . Comme B ∈ F, AB ∈ F. D’où u ∈ F . Ainsi F 0 ⊂ F , puis par symétrie on
a F = F 0.
Exemple. Soit f : E → F linéaire et c ∈ F . Alors f −1 (c) est un sea de E.
Proposition 12. Soit F un sea de (E, E) et F l’unique sev de E tel que pour tout A ∈ F, F =
A + F.
La restriction à F et F de l’action de E sur E définit une structure d’espace affine(F, F ).
Démonstration. Si u ∈ F , t(u) stabilise F car F = A + F , pour tout A ∈ F. Donc l’action est
bien définie.
Si t(u) a un point fixe dans F il admet donc un point fixe dans E. Par simple transitivité
de E y E, u = 0.
On a F = A + F pour tout A ∈ F. Donc l’action est bien transitive.
Remarque. Un sea de (E, E) dirigé par F est une orbite pour l’action induite de F y E.
Définition. On appelle codimension d’un sea F de E la dimension de E/F . C’est aussi la
différence :
codim(F) = dim E − dim F.
Si codim(F) = 1, F est appelé hyperplan de E.
Remarque. Si F sea de E, alors dim(F) ≤ dim(E) avec égalité si et seulement si E = F.
Définition. Deux sous-espace affines (F, F ) et (G, G) de (E, E) sont parallèles (au sens fort)
si F = G. Ils sont parallèles (au sens faible) si F ⊂ G.
Remarque. On utilise plus facilement la notion de parallélisme au sens fort qui est une relation
d’équivalence. La deuxième ne l’est pas : il s’agit d’une mauvaise terminologie.
3.2 Opérations sur les sous-espaces affines
3.2
11
Opérations sur les sous-espaces affines
Proposition 13. Soit (Fi , Fi ) une famille de sea de (E, E). Alors ∩Fi est un sea de E dirigé
par ∩Fi .
Démonstration. Chacun des Fi est stable par barycentre, donc ∩Fi l’est aussi.
Si ∩Fi = ∅, on peut considérer n’importe quelle direction.
−1
Sinon on considère A ∈ ∩Fi . Alors ∩Fi = ∩Θ−1
A (Fi ) = ΘA (∩Fi ).
Proposition 14. Soit (F, F ) et (G, G) deux sea de (E, E). Alors :
−→
F ∩G =
6 ∅ ⇔ ∃A ∈ F, B ∈ G, AB ∈ F + G
−→
⇔ ∀(A, B) ∈ F × G, AB ∈ F + G
−→
Démonstration. Si F ∩ G =
6 ∅, on considère A = B ∈ F ∩ G. Alors AB = 0 ∈ F + G.
−→
Supposons qu’il existe deux points (A0 , B0 ) ∈ F × G avec AB ∈ F + G. Alors :
−→ −−→ −−−→ −−→
AB = AA0 + A0 B0 + B0 B ∈ F + G.
−→
Supposons que pour tout A ∈ F, pour tout B ∈ G, le vecteur AB ∈ F + G. On a alors la
−→
décomposition AB = u + w, avec u ∈ F et w ∈ G. Alors :
C = A + u = B − w ∈ F ∩ G.
Remarque. Si F + G = E, on a toujours F ∩ G =
6 ∅. Dans ce cas :
codim(F ∩ G) = codim(F) + codim(G).
Définition. Si F + G = E, on dit que F ∩ G est une intersection transverse.
Remarque. Si F ⊕ G = E, alors F ∩ G est un point.
4
Familles libres, familles génératrices et repères
4.1
Définitions
Définition. Soit A ⊂ E. On appelle sous-espace engendré par A l’intersection de tous les sea
de E contenant A. On le note hAi.
Remarque. hAi est l’ensemble de tous les barycentres des points de A.
Proposition 15. Soit A une partie d’un espace affine (E, E). Soit A ∈ A. Alors :
−→
hAi = A + V ect {AB, B ∈ A} .
−→
Démonstration. On pose F = A + V ect {AB, B ∈ A} . On a clairement que A ⊂ F. Comme
F est un espace affine, hAi ⊂ F.
Soit M ∈ F. Alors il existe (λB )B∈A une famille presque nulle telle que :
X −→
M =A+
λB AB.
B∈A
Donc M est un barycentre de points de A, par définition. Donc M ∈ hAi. Ainsi F = hAi.
12
4 FAMILLES LIBRES, FAMILLES GÉNÉRATRICES ET REPÈRES
Corollaire 16. Soit A ⊂ E. Alors dimhAi ≤ #A − 1.
Définition. Une famille de points (Ai )i∈I de (E, E) est dite génératrice si E = h(Ai )i∈I i.
Proposition 17. Soit (Ai ) des points de E. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) ∀j ∈ I, Aj ∈
/ h{Ai , i 6= j}i.
−−−→
(ii) ∀j ∈ I, la famille {Aj Aii6=j } est libre.
(iii) pour tout B ∈ h{Ai }i, pour tout j ∈ I, il existe une unique famille (µi )i6=j presque
nulle telle que :
−−→ X −−−→
Aj B =
µi Aj Ai .
i6=j
(iv) il existe j ∈ I, pour tout B ∈ h{Ai }i, il existe une unique famille (µi )i6=j presque nulle
telle que :
−−→ X −−−→
Aj B =
µi Aj Ai .
i6=j
(v) pour tout B ∈ h{Ai }i, il existe une unique famille presque nulle (λi ) telle que
et B = Bar((Ai , λi )).
Une telle famille est dite (affinement) libre.
P
λi = 1
Démonstration. Il est évident que (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv).
−−−→
Montrons que (i) ⇒ (ii). Soit i0 ∈ I avec (Ai0 Ai )i6=i0 est liée. Il existe alors j 6= i0 telle que :
X −−−→ −−−→
µi Ai0 Ai = Ai0 Aj .
i6=i0 ,j
P
Donc Aj = Bar((Ai , µi )i6=i0 ,j , (Ai0 , 1 − µi )).
Montrons que (iv) ⇒ (v). Soit B ∈ h{Ai }i et j ∈ I vérifiant (iv). Alors, en considérant des
poids de somme unité :
−−→ X −−−→
B = Bar((Ai , λi )) ⇔ Aj B =
λi Aj Ai
X
X
−−→
−−−→
⇔ Aj B =
λi Aj Ai et λj = 1 −
λi
i
i6=j
P
Par (iv), λi = µi pour i 6= j et λj = 1 − µi . On obtient donc l’unicité.
Il neP
reste plus qu’à prouver (v) ⇒ (i). Si Aj ∈ h{Ai , i 6= j}i, alors il existe des coefficients
λi avec
λi = 1 et Aj = Bar((Ai , λi )i6=j ). Or c’est aussi le barycentre des (Ai , 0) (avec i 6= j)
et de (Aj , 1), ce qui contredit l’unicité dans (v).
Remarque. Le point (ii) de la propriété donne qu’un famille libre possède au plus dim E + 1
éléments.
Définition. Une famille qui n’est pas affinement libre est affinement liée.
Définition. Une famille de points de E qui est libre et génératrice est appelée repère affine ou
base affine.
Remarque. L’existence de base de E donne l’existence de repère affine.
Proposition 18. Les repères affines sont de cardinal dim E + 1.
Exemple. Si A, B ∈ E, avec A 6= B, alors (A, B) est un repère de la droite (AB).
Proposition 19. Une famille libre de cardinal dim E + 1 est un repère affine.
Une famille génératrice de cardinal dim E + 1 est un repère affine.
4.2 Repère affine et repère cartésien
13
Définition. Soit (A0 , ..., An ) un repère
P affine de E. Pour tout A ∈ E, il existe une unique
famille λi avec A = Bar((Ai , λi )) et
λi = 1. La famille (λ0 , ..., λn ) est appelée coordonnées
barycentriques de A.
Remarque. Si on ne demande pas la normalisation, les coordonnées barycentriques sont définies
à un scalaire près.
4.2
Repère affine et repère cartésien
Définition. Soit (E, E) un espace affine. Un repère cartésien de E est la donnée d’une origine
O et d’une base (e1 , ..., en ) de E.
Remarque. Cela revient à vectoraliser en O en prenant une base.
Proposition 20. Soit (A0 , ..., An ) ∈ E. Alors :
−−−→ −−−→
(A0 , ..., An ) est un repère affine ⇔ (A0 , A0 A1 ..., A0 An ) est un repère cartésien.
−−−→
−−−→
Démonstration.
⇒ On a E = h{Ai }i = A0 + V ect(A0 Ai ). D’autre part, la famille A0 Ai est
libre. On obtient donc bien un repère cartésien.
−−−→
⇐ On a E = V ect(A0 Ai ) et E = A0 + E. Alors pour tout B ∈ E, il existe un unique n-uplet
(x1 , ..., xn ) tel que :
n
−−→ X −−−→
A0 Ai .
A0 B =
i=1
Donc B = Bar((Ai , xi ), (A0 , 1 −
P
xi )) et l’unicité des xi donne la liberté de la famille.
Remarque. Un ensemble définit par une équation polynômiale en coordonnée cartésienne
P est
définie par une équation polynômiale de même degré en coordonnées barycentrique (avec λi =
1).
Equation barycentrique
Soit (A0 , ..., Ak ) une famille libre de E et F = h(A0 , ..., Ak )i. On suppose E muni de coordonnées barycentriques avec (Aj ) = (aij )i .
Alors on a que la matrice (aij ) est de rang (k+1). Soit M ∈ E, qu’on associe aux coordonnées
(xi ). Alors la famille (A0 , ..., Ak , M ) est liée ssi la matrice suivante est de rang k + 1 :


a00 · · · a0k x0
 ..
..
.. 
 .
.
. 
an0 · · · ank xn
 
 
a0
b0
Exemple. Dans le plan, on considère A =  a1  et B =  b1  qui forment une famille
a2
b2
libre. Alors :
 
x
a0 b 0 x
M =  y  ∈ (AB) ⇔ det a1 b1 y = 0
z
a2 b 2 z
⇔ z(a0 b1 − a1 b0 ) + y(a2 b0 − a0 b2 ) + x(a1 b2 − a2 b1 ) = 0
Remarque. Par multilinéarité du det, on peut choisir des coordonnées non normalisées pour les
(Ai ) et pour M .
14
4 FAMILLES LIBRES, FAMILLES GÉNÉRATRICES ET REPÈRES
Equation cartésienne
Soit (A0 , e1 , ..., en ) un repère cartésien de E et F = A + F un sea de E.
n−k
L’espace
linéaire surjective. Soit

vectoriel F est d’équation

f (x) = 0 avec f : E → K
x1
a1
 .. 
 .. 
M =  .  ∈ E. On pose A =  . . Alors :
xn
an
−−→
M ∈ F ⇔ f (AM ) = 0
⇔ f (x1 − a1 , ...xn − an ) = 0
⇔ f (x) = f (a) = (b1 , ..., bn )
X
⇔ ∀i,
fij xj = bi
j
Equation paramétrique
Si F = A + F avec F = V ect(e1 , ..., ek ), alors :
−−→ X
M ∈ F ⇔⇔ ∃(λ1 , ..., λk ), AM =
λi ei .
i
P



a1 + λi ei1






.
..
Donc F = 
 , λi ∈ K .


P


an + λi ein
4.3
Applications des coordonnées barycentriques
−→
−→
Définition. Soit A, B, C ∈ E alignés. Il existe donc un unique α ∈ k tel que AB = αAC. On
pose alors :
AB
= α.
AC
Théorème 21. (Menelaüs)
Soit A, B, C un vrai triangle d’un plan affine. Soit A0 ∈ (BC), B 0 ∈ (AC) et C 0 ∈ (AB).
Alors :
0
0
0
B BC C A
A0 , B 0 , C 0 sont alignés ssi A
.
.
= 1.
A0 C B 0 A C 0 B
C
B’
B
A
C’
A’
4.3 Applications des coordonnées barycentriques
15
Démonstration. On travaille en coordonnées barycentrique. Alors :






0
b
c
A0 =  a  ; B 0 =  0  ; C 0 =  1 − c  .
1−a
1−b
0
−−→
−−→
0B
On a aA0 B + (1 − a)A0 C = 0, ce qui donne A
= a−1
.
a
A0 C
0
0
C
A
et CC0 B
. Alors :
De même, on a : B
= b−1
= c−1
b
c
B0A
0
1−b
c
A , B , C sont alignés ⇔ det
a
0 1 − c = 0 = (1 − b)(1 − c)(1 − a) + abc
1−a
b
0
A0 B B 0 C C 0 A
⇔ 0 . 0 . 0 =1
AC BA C B
0
0
0
Théorème 22. (Gergonne)
Soit (A, B, C) un repère affine du plan. Soit A0 ∈ (BC), B 0 ∈ (AC) et C 0 ∈ (AB). Si les
droites (AA0 ), (BB 0 ) et (CC 0 ) sont concourantes en M , alors :
M A0 M B 0 M C 0
+
+
= 1.
AA0
BB 0
CC 0
C
B’
A’
B
A
C’
Démonstration.
 On
 considère les mêmes notations que dans la preuve précédente.
x
Soit M =  y  avec x + y + z = 1.
z
−−→
−−→
On sait que M ∈ (AA0 ). Alors il existe µ ∈ k tel que µAM + (1 − µ)A0 M = 0, ce qui revient
A0
à dire que µ = M
.
AA0
De plus, M = Bar((A, µ), (A0 , 1 − µ)) et A0 = Bar((B, a), (C, 1 − a)). Ainsi :
 


1
0
M = µ  0  + (1 − µ)  a  .
0
1−a
−
−−
→0
A
Donc x = M
−−→0 . De même on a :
AA
−−→0
−−→0
MB
MC
y = −−→ ; z = −−→ .
BB 0
CC 0
Or x + y + z = 1. On obtient ainsi la relation souhaitée.
16
5 APPLICATIONS AFFINES
5
Applications affines
5.1
Définitions
Définition. Soit deux espaces affines (E, E) et (F, F ).
Une application f : (E, E) → (F, F ) est dite affine si elle préserve les barycentres id est :
Bar((f (Ai ), λi )) = f (Bar((Ai , λi ))).
Exemple. Les fonctions constantes, les translations et les application de la forme x 7→ ax + b
avec a ∈ k et b ∈ k sont des applications affines.
Proposition 23. Soit f : E → F et g : F → G deux applications affines.
Alors (g ◦ f ) est affine et si f est inversible, alors f −1 est affine.
Démonstration. Le premier résultat provient directement de la définition des applications affines.
Considérons donc f bijective. Soit (Bi , λi ) des points pondérés de F de barycentre H. On
note Ai = f −1 (Bi ) et G = Bar(Ai , λi ). Alors :
f (G) = Bar((f (Ai ), λi )) = H.
Donc G = f −1 (H).
Proposition 24. Soit f : E → F affine, A ⊂ E et B ⊂ F deux sous-espaces affines. Alors :
• f (A) est un sea de F.
• f −1 (B) est un sea de E.
• Si E = F alors F ix(f ) est un sea de E.
Démonstration. Les deux premiers points sont clairs. Montrons le dernier. Soit Ai des points
de F ix(f ). Alors :
f (Bar(Ai , λi )) = Bar((f (Ai ), λi )) = Bar((Ai , λi )).
Remarque. En particulier, les applications affines préservent l’alignement. On a une réciproque
partielle appelée le théorème fondamentale de la géométrie affine :
Soit f : E → F une bijection avec n = dim E = dim F ≥ 2 deux espaces affines sur R. Alors
si f préservent les alignements, elle est affine.
Proposition 25. Soit f : E → F. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) f est affine.
−
→
−
→
(ii) ∀A ∈ E, ∃!fA ∈ L(E, F ), ∀u ∈ E, f (A + u) = f (A) + fA (u).
→
−
→
−
(iii) ∃! f ∈ L(E, F ), ∀A ∈ E, , ∀u ∈ E, f (A + u) = f (A) + f (u).
−
→
−
→
(iv) ∃!A ∈ E, ∃!fA ∈ L(E, F ), ∀u ∈ E, f (A + u) = f (A) + fA (u).
−
→
Démonstration. Montrons d’abord (i) ⇒ (ii). Soit A ∈ E. Le seul candidat possible pour fA
−−−−−−→
−
→
−→
est AB 7→ f (A)f (B). On vérifie la linéarité. En effet, fA (0) = 0. De plus, si on considère
u, w ∈ E, λ ∈ K, on pose B = A + u, C = A + w et G = Bar((A, −λ), (B, 1), (C, λ)). Alors
−→
AG = u + λw et :
−−−−−−→ −−−−−−→
−−−−−−→ −
−
→
→
−
→
fA (u + λw) = f (A)f (G) = f (A)f (B) + λf (A)f (C) = fA (u) + λfA (w),
5.1 Définitions
17
ce qui donne la linéarité.
Ensuite, prenons A, B ∈ E et u ∈ E. Supposons (ii). Alors :
−
→
−→
f (B) + fB (u) = f (B + u) = f (A + AB + u)
−
→ −→
−
→
= f (A) + fA (AB) + fA (u)
−−−−−−→ −
→
= f (A) + f (A)f (B) + fA (u)
−
→
= f (B) + fA (u)
−
→ −
→
Par unicité, fB = fA .
L’implication (iii) ⇒ (iv) est claire.
−→ P −−→
Enfin, terminons par la preuve de (iv) ⇒ (i). Soit
G
=
Bar((A
,
λ
)).
Alors
AG = λi AAi ,
i
i
P
en supposant (pour simplifier les notations) que
λi = 1. Alors :
X −−−−−−−→
−
→ X −−→
f (G) = f (A) + fA (
λi AAi ) = f (A) +
λi f (A)f (Ai ).
Donc f (G) = Bar((f (Ai ), λi )).
→
−
Définition. Soit f : E → F affine. L’application f est appelée partie linéaire de f .
Proposition 26. Soit deux applications affines f : E → F et g : F → G. Alors :
−−→ − →
−
• g◦f =→
g ◦ f.
−→ →
−
• f −1 = f −1 .
Démonstration.
• On a pour A ∈ E et u ∈ E :
→
−
→
−
−
(g ◦ f )(A + u) = g(f (A) + f (u)) = g(f (A)) + →
g ( f (u)).
Par unicité, on a l’égalité cherchée.
• Soit A ∈ E et u ∈ E. Alors :
−→ →
−→ →
−
−
A + u = f −1 (f (A)) + f −1 ( f (u)) = A + f −1 ( f (u)).
−→ →
−
→
− −→
Par unicité, f −1 ◦ f = idE . De même, f ◦ f −1 = idF . Ainsi :
−→
→
−
f −1 = f −1 .
Proposition 27. Soit f : E → F affine. Alors :
→
−
(i) f (E) est dirigé par f (E).
→
−
(ii) f −1 (F) est dirigé par f −1 (F ).
−−−−−−→ →
−−→ →
−−→
− −→
→
−
−
Démonstration.
(i) On a f (A)f (B) = f (AB) ∈ f (E). Donc f (E) ⊂ f (E), avec f (E) la
direction de f (E).
−−−−−−−−−→ →
−−→
−
Soit u ∈ E. Alors f (A)f (A + u = f (u) ∈ f (E). On a donc que la direction de f (E) est
→
−
bien f (E).
−−−−−−→
→
− −→
−
−→ →
(ii) Soit A, B ∈ f −1 (F). Alors f (AB) = f (A)f (B) ∈ F . Donc AB ∈ f −1 (F ).
−−−−→
−−−−−−−−−→ →
→
−
−
Soit u ∈ f −1 (F ). Alors : f (A)f (A + u) = f (u) ∈ F. D’où u ∈ f −1 (F).
18
5 APPLICATIONS AFFINES
Proposition 28. Soit G et G 0 deux sea parallèles de E et une application affine f : E → F.
Alors f (G) f (G 0 ).
Démonstration. On a G = A + G et G 0 = A0 + G, avec A, A0 ∈ E et G sev de E. Alors, par la
→
−
→
−
propriété précédente, on a f (G) = f (A) + f (G) et f (G 0 ) = f (A0 ) + f (G).
Proposition 29. Si f : E → F est affine, alors :
→
−
dim(f (E)) + dim(ker( f )) = dim(E).
5.2
Zoologie
→
−
Définition. Soit u ∈ E. La translation de vecteur u est l’application affine tu avec tu = Id
définie par :
tu (A) = A + u.
→
−
Proposition 30. Soit f : E → E affine avec f = idE , alors f est une translation.
−−−−→
Démonstration. Soit A ∈ E. On note u ∈ Af (A). Soit B ∈ E. Alors :
→
− −→
−→
−→
f (B) = f (A) + f (AB) = f (A) + AB = A + u + AB = B + u.
On a donc que f = tu .
Définition. Soit O ∈ E, λ ∈ k ∗ . L’homothétie de centre O et de rapport λ est l’application
affine :
−→
h0,λ : A 7→ O + λOA,
de partie linéaire λId.
Définition. Soit F et G avec E = F ⊕ G et F un sea de E dirigé par F . La projection sur F
parallèlement à G est l’application affine A 7→ p(A) avec :
{p(A)} = (A + G) ∩ F.
−
Sa partie linéaire est →
p le projecteur vectorielle sur F parallèlement à G.
Définition. Soit F et G avec E = F ⊕ G. Soit F sea de E de direction F et λ ∈ k ∗ . On note
p la projection sur F parallèlement à G.
L’affinité de base F de rapport λ parallèlement à G est l’application A 7→ A0 avec :
−−−−→0
−−−−→
p(A)A = λp(A)A.
Sa partie linéaire est pF + λpG .
Définition. Si G 6= {0}, on appelle l’affinité de base F de rapport -1 parallèlement à G la
symétrie par rapport à F parallèlement à G.
5.3 Applications
5.3
19
Applications
Théorème 31. (Thalès)
Soit E un ea et trois hyperplans affines parallèles de direction F , noté F1 , F2 et F3 .
Soit D et D0 deux droites avec D ⊕F = E = D0 ⊕F . On définit Ai = D ∩Fi et Bi = D0 ∩Fi .
Alors on a :
A1 A2
B1 B2
=
.
A1 A3
B1 B3
Si A1 = B1 , alors :
A1 A2
A1 B2
A2 B2
=
=
.
A1 A3
A1 B3
A3 B3
Démonstration. Soit p la projection affine sur D0 parallèlement à F . Alors p(Ai ) = Bi .
−−−→
−−−→
−
De plus →
p (Ai Aj ) = Bi Bj .
−−−→
−−−→
−−−→
−−−→
−
−
Soit α tel que A1 A2 = αA1 A3 . Alors, comme →
p (A1 A2 ) = α→
p (A1 A3 ), on a :
−−−→
−−−→
B1 B2 = αB1 B3 .
On a donc prouvé la première partie. Considérons donc maintenant le cas où A1 = B1 .
On étudie l’application h = hA1 ,α . Alors h(A1 ) = A1 et h(A3 ) = A2 . Comme h est affine et
→
−
que h = αid, h(B3 ) est alignés avec A1 et B3 .
De plus h(F3 ) est envoyé sur un hyperplan parallèle à F3 passant par A2 . Donc h(F3 ) = F2 .
Donc h(B3 ) = B2 . Donc :
−−−−−−−−→ −−−→
− −−−→
−−−→ →
αA3 B3 = h (A3 B3 ) = h(A3 )h(B3 ) = A2 B2 .
Théorème 32. (Céva)
Soit (ABC) un vrai triangle. Soit A0 ∈ (BC), B 0 ∈ (AC) et C 0 ∈ (AB) des points différents
de leurs sommets. Alors (AA0 ), (BB 0 ) et (CC 0 ) sont parallèles ou concourantes ssi :
A0 B B 0 C C 0 A
.
.
= −1.
A0 C B 0 A C 0 B
Démonstration. Si les droites sont concourantes en O = (x, y, z). Remarquons que comme
B0 ∈
/ (AB), z 6= 0. De même, x 6= 0 et y 6= 0. Posons a tel que A0 = Bar((B, a), (C, 1 − a)).
Alors :
−−→
−−→
aA0 B + (1 − a)A0 C = 0,
0
B
ce qui donne A
= a−1
. On sait de plus que A, O et A0 sont alignés. Donc :
a
A0 C
1 x
0
0 y
a
= 0 = y(1 − a) − za.
0 z 1−a
0
0
0
B
C
A
Donc yz = − A
. De même, xz = − B
et xy = − CC0 B
. On obtient donc l’égalité souhaitée.
A0 C
B0A
Supposons qu’elles sont parallèles. Soit les coordonnées A0 = (0, a, 1 − a), B 0 = (b, 0, 1 − b)
et C 0 = (c, 1 − c, 0). Par théorème de Thalès :
0
BA
1
• sur le triangle BCC 0 , on a 1 − a = BA
= BC
0 = c.
BC
0
AB
AB
• sur le triangle B 0 AB, on a (1 − c)−1 = AC
0 = AC = 1 − b.
0
CA
1
• sur le triangle BCB 0 , on a a = CA
= CB
0 = b.
CB
20
5 APPLICATIONS AFFINES
D’une part, via les deux premières égalités obtenues on a ac(1 − b) = 1. D’autre part :
A0 B B 0 C C 0 A
a−1 b c−1
b c−1
−1
=− 2
= 2 2
= −1.
. 0 . 0 =
0
a b−1 c
ac b − 1
a c (b − 1)2
AC BA C B
Supposons maintenant l’égalité et que les droites considérées ne sont pas parallèles. Quitte à
permuter les points, on peut supposer que (AA0 )∩(CC 0 ) 6= ∅. Soit O = (x, y, z) leur intersection.
On considère la encore les coordonnées barycentriques de A0 , B 0 , C 0 définies précédemment.
Alors par le raisonnement qu’on a fait précédemment (dans le cas où les droites étaient
sécantes) on a :
az = (a − 1)y et cy = (c − 1)x.
Montrons que O ∈ (BB 0 ). On a :
O ∈ (BB 0 ) ⇔ bz = (1 − b)x
a−1 c−1
.
=1−b
⇔b
a
c
a−1 b c−1
⇔
= −1
a b−1 c
A0 B B 0 C C 0 A
⇔ 0 . 0 . 0 = −1
AC BA C B
On a donc finit de démontrer l’équivalence dans le théorème de Céva.
Théorème 33. (Pappus)
Soit D et D0 deux droites distinctes de E. Considérons A, B, C ∈ D et A0 , B 0 , C 0 ∈ D0 . Alors
si (AB 0 ) (A0 B) et (B 0 C) (BC 0 ) alors (AC 0 ) (A0 C).
C’
B’
B
A
A’
C
Démonstration. Si D ∩ D0 = {O}, on pose hO l’homothétie de centre O qui envoie A sur B, et
h0O celle qui envoie B sur C.
Comme hO est une homothétie, les points O, B 0 , hO (B 0 ) sont alignés. De plus, une application
affine conserve les parallélismes. Donc (AB 0 ) (BhO (B 0 )). Ainsi hO (B 0 ) est l’intersection de D0
avec la droite parallèle à (AB 0 ) passant par B. Donc hO (B 0 ) = A0 . De même on a h0O (C 0 ) = B 0 .
Soit h = h0O ◦hO . Alors h(A) = C et h(C 0 ) = A0 . Donc par théorème de Thalès, (AC 0 ) (A0 C).
−→ −−→ −−→ −−→
−→ −−→
Si D D0 , alors AB = B 0 A0 et BC = C 0 B 0 . Comme AC = C 0 A0 , la règle du parallélogramme
−−→ −−→
donne AC 0 = CA0 . Donc (AC 0 ) (CA0 ).
Théorème 34. (Desargues)
Soit ABC et A0 B 0 C 0 deux vrais triangles sans sommets en commun.
Supposons que (AB) (A0 B 0 ), (AC) (A0 C 0 ) et (BC) (B 0 C 0 ). Alors (AA0 ), (BB 0 ) et (CC 0 )
sont soit concourantes soit parallèles.
5.4 Calculs en coordonnées
21
Démonstration. Supposons qu’elles ne sont pas parallèles. Quitte à permuter les points, on peut
supposer que (AA0 ) ∩ (BB 0 ) 6= ∅. Soit O ∈ (AA0 ) ∩ (BB 0 ). Posons f = hO,a avec f (A) = A0 .
Comme (AB) (A0 B 0 ), par le théorème de Thalès, on obtient :
OA0
OB 0
=
.
OA
OB
Donc f (B) = B 0 . Montrons que f (C) = C 0 . Comme (BC)
a=
(C 0 B), on a :
OB 0
OC 0
=
.
OB
OC
−−→
−→
Donc OC 0 = aOC. Donc f (C) = C 0 , ou encore O, C et C 0 sont alignés.
5.4
Calculs en coordonnées
Proposition 35. Soit f : E → F application affine. Alors f est totalement déterminée par
l’image d’un repère affine ou cartésien.
→
−
Démonstration. En particulier, si O ∈ E, O0 ∈ F et f ∈ L(E, F ), alors il existe une unique
→
−
application affine f : E → F telle que f (O) = O0 de partie linéaire f .
Soit (A0 , ..., An ) un repère affine de E et (B0 , ..., Bm ) de F.
P
On a pour tout j, f (Aj ) = Bar(Bi , λij ). Il existe une unique famille λij telle que j λij = 1
pour tout i.
Soit A = Bar(Aj , xj ). Alors :
X
f (A) = Bar(f (Aj ), xj ) = Bar(Bar(Bj , λij ), xj ) = Bar(Bj ,
λij xj ).
i
Si A a pour coordonnées X = (x0 , ..., xn ) dans le repère (A0 , ..., An ), alors f (A) a pour coordonnées M X dans le repère (B0 , ..., Bm ), avec :
M = (λij ) .
Définition. La matrice M construite dans la démonstration est appelée la matrice de f dans
les repères (Ai ) et (Bj ).
6
Groupe affine
6.1
Dégression algébrique : produit semi-direct
Si on a N / G non trivial, on a une suite exacte :
0 → N → G → G/N → 0,
et N et H := G/N sont "plus petits" que G. On peut alors "décomposer" G en briques
élémentaires, qu’on appelle groupes simples.
Deux problèmes algébriques arrivent :
• Peut-on classifier des groupes (finis) simples ?
• Peut-on reconstruire G à partir de N et de H ?
22
6 GROUPE AFFINE
Le but de cette partie est de tenter de comprendre qui est le groupe G, si on a une suite
exacte
0 → N → G → G/N → 0.
Le candidat naturel est le produit N × H, cependant cela ne suffit pas. En effet si le groupe G
est de cardinal 6, on a la suite :
0 → Z/3Z → G → Z/2Z → 0.
G peut donc être Z/6Z ou Sn .
Définition. On considère la suite exacte :
p
0 → N → G → G/N → 0.
Un morphisme de groupes s : H → G avec p ◦ s = idH est appelée section. On dit que la suite
exacte est alors scindée.
Remarque. Grâce à cette section, H y N par automorphisme :
h.n = s(h)ns(h)−1 .
Lemme 1. Posons f : N × H → G; (n, h) 7→ ns(h). Alors f est une bijection.
Démonstration. Si n1 s(h1 ) = n2 s(h2 ), alors (n2 )−1 n1 = s(h2 h−1
1 ) ∈ s(H) ∩ N .
−1
Or la suite est exacte. Donc n1 = n2 et s(h2 h1 ) = 1, puis en appliquant p on obtient
h2 = h1 .
On a donc montrer l’injectivité. Soit g ∈ G et h = p(g). Alors p(g) = h = p(s(h)). Donc
n := gs(h−1 ) ∈ N et g = ns(h) = f (n, h). D’où la bijectivité de f .
ATTENTION L’application f n’est pas un morphisme.
Définition. Soit N et H deux groupes et φ : H → Aut(N ) morphisme de groupes. Le produit
semi-direct N oφ H est l’ensemble N × H muni de la loi interne :
(n, h).(m, k) = (n(φ(h)m), hk).
Proposition 36. N oφ H est un groupe. L’inverse de (n, h) est (φ(h)−1 n−1 , h−1 ).
Démonstration. Tout d’abord, on vérifie aisément que la loi est bien interne.
Soit (n, h), (m, k), (i, j) ∈ N oφ H. Alors :
(n, h) [(m, k)(i, j)] = (n, h)(mφ(k)(i), kj)
= (nφ(h)(mφ(k)i), hkj)
= (nφ(h)(m)φ(h)(φ(k)i), hkj)
= (nφ(h)(m)φ(hk)(i), hkj)
= (nφ(h)(m), hk)(i, j)
= [(n, h)(m, k)] (i, j)
Soit (n, h). Alors (n, h)(eN , eH ) = (nφ(h)eN , heH ) = (n, h), car φ(h) ∈ Aut(N ). Donc le
neutre dans N oφ H est (eN , eH ).
Ensuite (n, h)(φ(h)−1 n−1 , h−1 ) = (nφ(h)φ(h)−1 n−1 , hh−1 ) = (e, e).
6.2 Groupe affine
23
Remarque. f devient un morphisme de groupes entre N oφ H et G.
Remarque. On sait que G et N oφ H sont isomorphes. Ainsi ι(N ) C N oφ H avec ι le morphisme
entre N et G dans la suite exacte. Soit s : H → G; h 7→ (1, h), qui est une section de la suite
exacte.
Proposition 37. G ≃ N oφ H ssi on a une suite exacte scindée :
p
0→N →G→H→0
←
s
Remarque. Z/4Z n’est pas simple et n’est pas produit semi-simple. En effet, le seul sous-groupe
non-trivial est Z/2Z et la seule suite exacte non triviale est :
0 → Z/2Z → Z/4Z → Z/2Z → 0,
qui n’est pas scindée car 1 et 3 ne sont pas d’ordre 2.
6.2
Groupe affine
Définition. Soit E un kea de direction E. On note Af f (E) le groupe des bijections affines de
E, appelé groupe affine.
Proposition 38. L’application suivante est un morphisme de groupes surjectifs :
Φ : Af f (E) → GL(E)
→
−
f 7→ f
Démonstration. Ceci provient des propriétés sur les parties linéaires.
Proposition 39. ker Φ est le sous-groupe distingué des translations. On a donc la suite exacte :
Φ
0 → E → Af f (E) → GL(E) → 0
et Af f (E) ≃ E o GL(E) avec existence des sections.
Démonstration. Soit A ∈ E. Alors sA : φ 7→ ΘA ◦ φ ◦ Θ−1
A est une section de Φ.
Remarque. On a Af f (E) ≃ E o GL(E) et l’isomorphisme dépend de A.
Remarque. Pour tout f ∈ Af f (E), pour tout A ∈ E, il existe un unique couple (u, φ) ∈
E × Af f (E) tel que :
f = tu ◦ φ et φ(A) = A.
Remarque. ∀f ∈ Af f (E), ∀A ∈ E, ∃!(w, ψ) ∈ E × Af f (E), ψ(A) = A et f = ψ ◦ tw .
ATTENTION En général, les vecteurs u et w des remarques précédentes sont en général
différents.
Remarque. Af f (E) agit transitivement et même 2-transitivement sur E, mais pas n-transitivement
pour n ≥ 3. L’obstruction à ce fait est qu’en dimension supérieure ou égale à deux, l’alignement
qui doit être préservé, et en dimension 1 l’ordre.
Af f (E) agit transitivement sur les sous-espaces affines de dimension k, mais pas 2-transitivement.
L’obstruction de ce fait est le parallélisme.
Af f (E) agit simplement transitivement sur les repères affines (resp. cartésiens).
24
6.3
6 GROUPE AFFINE
Existence de points fixes
→
−
Proposition 40. Soit f ∈ Af f (E). Alors f a un unique point fixe ssi ker( f − id) = {0}.
Démonstration. Si O est un point fixe de f , on a alors :
→
− −→
f (A) = A ⇔ f (O) + f (OA) = A
→
− −→
−→
⇔ f (OA) = OA.
→
−
Donc O est unique ssi ker( f − id) = {0}.
→
−
Soit M ∈ E. Supposons que le noyau de f − id = {0}. Alors :
→
− −−→
−−→ −−−−−→
f (A) = A ⇔ f (AM ) − AM = M f (M ).
→
−
Comme f − id est injective (donc bijective), il existe un unique u ∈ E tel que :
−−−−−→
→
−
u − u = M f (M ).
Ainsi A = M − u est l’unique point fixe de f .
→
−
→
−
Proposition 41. Soit f ∈ Af f (E) avec E = ker( f − id) ⊕ Im( f − id). Alors il existe un
unique couple (u, g) ∈ E × Af f (E) tel que :
• g a un point fixe.
→
−
• f (u) = u.
• f = tu ◦ g.
De plus tu et g commutent, et f a un point fixe si et seulement si u = 0.
→
−
→
−
Démonstration. Soit O ∈ E. Alors il existe (u, v) ∈ ker( f − id) × Im( f − id) tel que :
−−−−→
→
−
Of (O) = u + f (v) − v.
−→
Soit A ∈ E avec v = AO. Alors :
−−−−→ −→ −−−−→ −−−−−−→
Af (A) = AO + Of (O) + f (O)f (A)
→
−
→
− −→
= v + u + f (v) − v + f (OA)
→
−
−→
= u + f (v + OA) = u
Posons g = t−u ◦ f . On a g(A) = f (A) − u = A. On a donc f = tu ◦ g, g(A) = A et
→
−
u ∈ ker( f − id).
Montrons la commutativité de g avec tu . On sait d’abord :
−−−−−−−→
g ◦ tu ◦ g −1 = id.
Donc il existe w ∈ E avec g ◦ tu = tw ◦ g.
−
Or tw (A) = g(A + u) = A + →
g (u) = A + u = f (A). Donc w = u.
Montrons l’unicité du couple. On suppose que f = tu ◦ g = tw ◦ h, avec g(A) = A, h(B) = B,
−−−−→
−−−−→
u = Af (A) et w = Bf (B).
−−−−−−→
→
− −→
→
−
→
−
−→
−→
Alors AB = u + f (A)f (B) − w = u − w. Donc f (AB) − AB ∈ ker( f − id) ∩ Im( f − id).
Donc u = w, ce qui nous donne l’unicité.
Si u = 0, f = g admet un point fixe.
Si f a un point fixe, alors f = t0 ◦ f et par unicité u = 0.
6.4 Homothéties-translations
6.4
25
Homothéties-translations
Rappel. H := Z(GL(E)) = {λid, λ ∈ k ∗ } / GL(E).
Définition. On appelle groupe des homothéties-translations :
→
−
HT (E) = {f ∈ Af f (E), f = λid, λ ∈ k ∗ } = Φ−1 (H).
Proposition 42. HT (E) / Af f (E)
Démonstration. Cela vient du fait que HT (E) = Φ−1 (H) et que H est distingué dans GL(E).
Proposition 43. HT (E) = E / H.
Démonstration. On a la suite exacte scindée :
0 → E → HT (E) → H → 1,
de section s = sA pour un certain A ∈ E. Soit f ∈ HT (E).
→
−
−−−→ .
Si f = id, alors f est une translation et pour tout A ∈ E, f = t−
Af (A)
→
−
→
−
Si f 6= id, alors il existe λ ∈
/ {0, 1}. Alors 1 n’est pas valeur propre de f . Donc f a un
unique point fixe O. Alors :
−→
f (A) = O + λOA,
donc f = hO,λ .
Remarque. Pour tout A ∈ E, O = Bar
λ
− 1−λ
,A ,
1
, f (A)
1−λ
.
Proposition 44. Soit f ∈ HT (E). Alors :
→
−
• f = id ssi f a au moins 2 points fixes ssi f = id et f a au moins un moins fixe.
→
−
• f = tu , u 6= 0 ssi f n’a pas de point fixe ssi f = id et f 6= id.
→
−
• f = hO,α , α 6= 1 ssi f a un unique point fixe ssi f = {λid, λ ∈ k \ {0, 1}}.
→
Proposition 45. Soit u ∈ E et f ∈ Af f (E). Alors f ◦ tu ◦ f −1 = t−
.
f (u)
∗
−1
Soit O ∈ E, λ ∈ k et f ∈ Af f (E). Alors f ◦ fO,λ ◦ f = hf (O),λ .
Définition. Le centralisateur de g ∈ G est {h ∈ G, hg = gh} < G
→
−
Corollaire 46. Le centralisateur de tu dans Af f (E) est {f, f (u) = u}.
Le centralisateur de tu dans HT (E) est E.
Le centralisateur de hA,α dans Af f (E) est {f, f (A) = A}.
Le centralisateur de hA,α dans HT (E) est {hA,λ , λ ∈ k ∗ }.
Corollaire 47. Z(Af f (E)) = {id} et Z(HT (E)) = {id}.
6.5
Groupe spécial affine
Définition. Le groupe spécial affine de E est :
→
−
SAf f (E) = {f ∈ Af f (E), det( f ) = 1}.
C’est le sous-groupe des applications affines qui préservent les volumes orientés.
Proposition 48. SAf f (E) . Af f (E) et SAf f (E) = E o SL(E).
−· )).
Démonstration. Le premier point vient de SAf f (E) = ker(det(→
Le second vient de la suite exacte scindée :
0 → E → SAf f (E) → SL(E) → 1.
26
7
7 AUTRES STRUCTURES
Autres structures
On a vu que ΘA permet de définir une structure de k-ev sur E non canonique. En effet,
−→
−1
ΘA ◦ ΘB (u) = u + AB.
Ainsi toute notion invariante par les changements de cartes Θ−1
A ◦ ΘB définit une notion sur
E.
Par exemple, la notion de fonction polynômiale de degré fixé d. On peut parler de sousvariétés algébriques de degré d d’un espace affine.
Si k = R, sur E, on a une mesure de Lebesgue unique (à constante près). Elle est invariante
par les changements de cartes donc on a une mesure de Lebesgue sur E unique à constante
près. E admet une unique topologie normée (car il est de dimension finie). On peut munir E
d’une topologie en imposant que les ΘA soient des homéomorphismes. Cela est possible car les
changements de cartes sont des homéomorphismes. On a une unique topologie normée sur E.
∞
De même, les Θ−1
A ◦ ΘB sont des C -difféomorphismes et on a une structure différentielle
naturelle sur E.
Soit f : E → F est différentiable en A s’il existe LA : E → F telle que :
f (A + u) = f (A) + LA (u) + o(kuk).
Cette définition ne dépend pas de la norme. Dans ce cas, LA est unique appelée différentielle
en A de f , notée dfA .
27
Deuxième partie
Géométrie projective
8
Espaces projectifs
8.1
Définitions
Définition. Soit V un kev. L’espace projectif associé, noté P(V ) est l’ensemble des droites
vectorielles de V .
Remarque. On a P(V ) = V \ {0}/ ∼ où x ∼ y ssi il existe λ ∈ k ∗ , x = λy.
Remarque. P(V ) est l’ensemble des orbites de l’action k ∗ y V \ {0}.
Exemple. Si V = {0}, alors P(V ) = ∅.
Exemple. Si dim V = 1, alors P(V ) = {V }.
Définition. Si dim V = n + 1, on dit que P(V ) est de dimension n.
Si n = 0, on dit que P(V ) est un point.
Si n = 1, on dit que P(V ) est une droite (projective).
Si n = 2, on dit que P(V ) est un plan (projectif).
Définition. Si V = k n , on préfère noter l’espace projectif Pn−1 (k).
8.2
Sous-espaces projectifs
Définition. Soit P ⊂ P(V ). On dit que P est un sous-espace projectif si π −1 (P ) ∪ {0} est un
sev de V , avec π la projection sur l’espace quotient.
Remarque. Directement grâce à la définition, on voit qu’un sous-espace projectif est un espace
projectif.
Définition. Soit P = π(W \ {0}) ⊂ P(V ). On appelle codimension de P la quantité suivante :
codim(P ) := dim(P(V )) − dim P = codim(W ).
Si codim(P ) = 1, alors P est qualifié d’hyperplan projectif.
Proposition 49. Une intersection d’espaces projectifs est un sous-espace projectif.
Démonstration. Si Pi = π(Wi \ {0}) ⊂ P(V ) avec Wi des sev de V , alors :
π −1 (∩Pi ) = ∩π −1 (Pi ) = ∩Wi =: W.
Ainsi W est un sev de V . Donc ∩Pi est bien un sous-espace projectif.
Définition. Soit A une partie de P(V ). On appelle sous-espace projectif engendré par A le plus
petit sous-espace projectif contenant A. On le note hAi.
Remarque. On a pour toute partie A de P(V ) :
\
hAi =
P = π V ect(π −1 (A)) \ {0} .
P sep,A⊂P
28
8 ESPACES PROJECTIFS
Définition. On dit que A est une famille projectivement génératrice si hAi = P(V ).
Remarque. Si hAi = P(V ), alors V = V ect(π −1 (A)). Donc #A ≥ dim V = dim(P(V )) + 1.
Proposition 50. Soit P et Q deux sous-espaces projectifs de P(V ) avec :
dim(P ) + dim(Q) ≥ dim(P(V )),
alors P ∩ Q 6= ∅.
Démonstration. Soit P = P(E) et Q = P(F ) avec E, F sous-espaces vectoriels de V . Alors :
dim E = dim P + 1 ; dim Q + 1 = dim F.
D’où dim E + dim F > dim V . Donc E ∩ F est un sous-espace vectoriel de dimension supérieure
à 1. Donc P ∩ Q = P(E ∩ F ) 6= ∅.
Remarque. En particulier, deux droites d’un plan projectif s’intersectent toujours. Il n’y a plus
de droites parallèles.
Proposition 51. Soit P = P(E) et Q = P(F ) sous-espaces projectifs de P(V ). Alors :
hP ∪ Qi = P(E + F ).
Démonstration. On a :
hP ∪ Qi = π(V ect(π −1 (P ∪ Q)) \ {0})
= π(V ect(E ∪ F ) \ {0})
= π((E + F ) \ {0}).
Proposition 52. Soit P, Q sous-espaces projectifs de P(V ). Alors :
dim(hP ∪ Qi) = dim P + dim Q − dim(P ∩ Q).
Démonstration. On pose P = P(E) et Q = P(F ), avec E et F sev de V . Alors :
dimhP ∪ Qi = dim(P(E + F ))
= dim(E + F ) − 1
= dim E + dim F − dim(E ∩ F ) − 1
= dim(P(E)) + dim(P(F )) − dim(P(E ∩ F ))
= dim P + dim Q − dim(P ∩ Q).
Remarque. En particulier, deux droites distinctes d’un plan projectif s’intersectent en un point.
Définition. Soit x0 , ..., xk ∈ P(V ). On dit que la famille (xi ) est projectivement libre si :
dimh{xi , 0 ≤ i ≤ k}i = k.
Remarque. Soit a0 , ..., ak ∈ V \ {0} avec xi = π(ai ). Alors :
(x0 , ..., xk ) projectivement libre ⇔ dim(V ect({ai })) = k + 1
⇔ (a0 , ..., ak ) est libre dans V.
8.3 Lien affine-projectif
29
Remarque. Si (x0 , ..., xk ) est libre, alors k ≤ dim P(V ).
Proposition 53. Une famille génératrice de cardinal dim(P(V )) + 1 est libre.
Une famille libre de cardinal dim(P(V )) + 1 est génératrice.
ATTENTION Une famille libre et génératrice ne sera pas un repère projectif. Nous verrons
cela plus loin.
Remarque. Si on a des points a0 , ..., an de V et qu’on définit xi = π(ai ), alors :
(x0 , ..., xn ) est libre et génératrice ⇔ (a0 , ..., an ) est une base de V.
8.3
Lien affine-projectif
On considère ici V un kev de dimension n + 1. Soit φ ∈ V ∗ \ {0}.
On note E = ker(φ), H = P(E) et U = P(V ) \ H.
Proposition 54. E agit sur U .
Démonstration. On sait déjà que E agit linéairement sur V par :
∀v ∈ V, ∀x ∈ E, x.v = v + φ(v)x.
En particulier, x.(λv) = λ(x.v) et pour tout x ∈ E \ {0}, on a F ix(x) = E.
De plus, l’action stabilise V \ E. En effet, si v ∈
/ E, on a :
x.v = v + φ(v)x ∈
/ E,
car sinon v = x.v − φ(v)x ∈ E ce qui est impossible.
Ainsi l’action E y V \ {0} passe au quotient. On a donc que E agit sur P(V ), et comme
l’action stabilise V \ E, l’action quotient stabilise U . Ainsi par restriction on obtient l’action
voulue.
Proposition 55.
• Cette action E y U munit U d’une structure d’espace affine dirigé
par E.
• De plus, pour tout t ∈ k ∗ , π induit un isomorphisme d’espaces affines de Et = φ−1 (t)
sur U .
Démonstration.
• Soit v ∈ U et ṽ ∈ π −1 (x).
Ainsi si x.v = v, alors x.ṽ = ṽ + φ(ṽ)x ∈ π −1 (v), mais π −1 (v) ⊕ E = V et x ∈ E. Ainsi
φ(ṽ) = 0 ou x = 0. Or ṽ ∈
/ ker φ. Donc x = 0. Le seul vecteur de E qui agit avec un
point fixe est 0.
Montrons que l’action est transitive. Soit v, w ∈ U . Alors on considère ṽ ∈ π −1 (v). Or
E ⊕ π −1 (w) = V . Donc (ṽ + E) ∩ π −1 (w) est un singleton. Cela veut dire qu’il existe un
unique y ∈ E tel que ṽ + y ∈ π −1 (w). Or φ(ṽ) 6= 0. Ainsi il existe un unique x ∈ E tel
que ṽ + φ(ṽ)x ∈ π −1 (w). Cela donne donc que x.v = w.
• Pour tout x ∈ U , on a π −1 (x) ⊕ E = V . Donc π −1 (x) ∩ Et est un point. Ainsi pour tout
t ∈ k ∗ , il existe un unique y ∈ Et tel que π(y) = x.
Donc π|Et : Et → U est une bijection. Soit A, B ∈ Et . Posons x = π(A) et y = π(B).
Ainsi :
−→
1 −→
AB .
B = A + AB = A + t
t
−→
−→
D’où 1t AB.A = B. En passant au quotient, on a 1t AB.x = y. Cela nous affirme que :
−−−−−→
−
→ = 1−
xy
π(A)π(B).
t
−
→
−
Donc π(B) = π(A) + 1 AB. Enfin π est affine et →
π = 1 id.
t
t
30
8 ESPACES PROJECTIFS
Remarque. dim(U ) = dim(E) = dim(V ) − 1 = dim(P(V )).
Remarque. Souvent on identifie U et E1 par π.
Proposition 56. Soit P un sous-espace projectif de P(V ) avec P ∈
/ H. Alors P ∩ U est un sea
de U de même dimension que P .
Soit A un sea de U . Alors P = hAi est de même dimension que A et P ∩ U = A.
Remarque. Cette dernière propriété justifie la terminologie de point, droite et plan projectifs.
Définition. U est appelé une carte affine sur P(V ).
Définition. H = P(V ) \ U est appelé hyperplan à l’infini et tout point de H est appelé point
à l’infini.
Remarque. La notion de point à l’infini n’est pas intrinsèque à P(V ).
Exemple. On a P1 (k) = k 2 \ {0}/k∗ . Soit la forme linéaire φ : (x, y) 7→ y. On définit ainsi
E = k × {0} et E1 = k × {1}.
Soit D ∈ P1 (k). Alors D = E ou D ∩ E est un point. Alors P1 (k) ≃ U ∪ {E}.
Proposition 57. Soit D une droite affine de U de direction D ∈ H. Alors hDi ∩ H = {D}.
Démonstration. E1 ∩(π −1 (D)∪{0}) est une droite affine de E1 dirigée par D, qu’on note A+D.
Alors :
V ect(π −1 (D)) = V ect(π −1 (D) ∩ E1 ) = k.A ⊕ D.
D’où hDi = π[(k.A ⊕ D) \ {0}]. Donc :
hDi ∩ H = π[((k.A ⊕ D) ∩ E) \ {0}].
On sait que A ∈ V \ E et D ⊂ E. Donc D = E ∩ (k.A ⊕ D). Enfin :
hDi ∩ H = π(D \ {0}) = {D}.
Remarque. En particulier, deux droites parallèles de U s’intersectent en un unique point de
H = P(E) qui est leur direction.
Remarque. Plus généralement, si F ⊂ U est un sous-espace affine de U de direction F ⊂ E,
alors :
hFi ∩ H = P(F ).
Remarque. Inversement, si E est un kea de direction E, alors :
E ≃ {1} × E ⊂ k × E =: V,
et E ≃ P(V ) \ P(E) par la projection canonique.
Proposition 58. Tout espace affine peut être vu comme une carte affine dans un espace projectif
de même dimension.
Définition. On dit que P(V ) est un complété projectif de E.
8.4 Coordonnées homogènes
8.4
31
Coordonnées homogènes
Dans cette section, V = k n+1 où on a choisi une base de V , qu’on notera (e0 , ..., en ).
Définition. Soit x ∈ P(V ) et x̃ = (x0 , ..., xn ) ∈ π −1 (x), avec les xi non tous nuls. On note :
x := [x0 : ... : xn ].
On dit que [x0 : ... : xn ] sont les coordonnées homogènes de x.
Remarque. On a [x0 : ... : xn ] = [y0 : ... : yn ] ssi il existe λ ∈ k ∗ tel que xi = λyi pour tout i.
Remarque. Notons Hi := {x ∈ P(V
h ), xi = 0}
i (hyperplan projectif) et Ui = P(V ) \ Hi . Soit
x0
xn
x ∈ Ui . Alors x := [x0 : ... : xn ] = xi : ... : xi . On a l’isomorphisme :
kn
(x0 , ..., xbi , ..., xn )
→
E1 = {x̃ ∈ V, xi = 1}
7
→
(x0 , ..., xi−1 , 1, xi+1 , ..., xn )
→
Ui
7
→
[x0 : ... : xi−1 : 1 : xi+1 : ... : xn ]
Exemple. P1 (V ) = H1 ∪ U1 = {[1 : 0]} ∪ {[x : 1], x ∈ k}.
P
P
Remarque. Sur U = {x ∈ P(V ), xi 6= 0} P
≃ H := {x̃ ∈ V, xi = 1}, les coordonnées
homogènes (éventuellement renormalisées par
xi = 1) correspondent aux coordonnées barycentriques de x̃ dans le repère affine (e0 , ..., en ) de H.
8.5
Topologie des espaces projectifs sur R ou C
Remarque. On peut munir ici V de la topologie d’espace vectoriel normé. On munit alors P(V )
de la topologie quotient.
Alors on a les cartes affines Ui → k n ; [x0 : ... : xn ] 7→ x0 , ..., xbi , ..., xn . Plus généralement,
xi
∗
xi
xi
−1
si φ ∈ V \ {0} et U = P(V \ ker φ), l’application π : φ (t) → U est un homéomorphisme pour
tout t ∈ k ∗ .
Proposition 59. P(V ) est séparé.
Démonstration. Soit D et D0 deux droites de V .
Il existe E hyperplan de V tel que D⊕E = V = D0 ⊕E (par exemple l’hyperplan médiateur).
Donc il existe une carte affine U = P(V \ E) qui contient π(D) et π(D0 ), avec U qui est un
ouvert homéomorphe à k n . Donc U est séparé. Il existe alors deux voisinages disjoints de π(D)
et π(D0 ) dans U donc dans P(V ).
Remarque. Dans Rn , on peut créer facilement ces voisinages. En effet, on peut créer des cônes
autour des droites qui ne se rencontrent qu’en 0. Ces deux volumes privés de l’origine forment
des voisinages convenables.
32
9 HOMOGRAPHIES
Proposition 60. P(V ) est compact.
Démonstration. On sait que P(V ) est séparé. De plus, c’est l’image, d’une sphère de V (compacte) par π qui est continue.
Remarque. Sur Q, P(V ) n’est pas quotient de la sphère.
Remarque. Si k = R ou C, Pn (k) est séparé et les φi : Ui → k n sont des homéomorphismes.
De plus, les applications suivantes sont lisses sur R, biholomorphes sur C :
φj ◦ φ−1
i : φi (Uj ) → φj (Ui )
xi−1 1 xi+1
c
x0
x0
x0
, ...,
, ,
, ..., , ...,
.
(x0 , ...xbi , ..., xn ) 7→
xj
xj xj xj
xj
xj
Donc Pn (R) est une variété compacte lisse, et Pn (C) est une variété complexe compacte.
On a f : Pn (R) ,→ P( C) car Rn+1 ,→ Cn+1 Pn (C). Deux vecteurs de Rn+1 sont colinéaires
sur C si et seulement s’ils le sont sur R.
Donc f passe au quotient. Il existe alors f : Pn (R) → Pn (C) qui est injective.
Dans les cartes affines standards, les φi : Ui ⊂ Pn (C) → Cn sont des homéomorphismes.
Ainsi φi (Ui ∩ Pn (R)) = Rn ⊂ Cn .
9
Homographies
Remarque. Soit f : V → W linéaire. En général, f ne passe pas au quotient P(V ) → P(W ). En
effet, f (ker f ) = {0}. On doit donc se restreindre au cas des fonctions injectifs au moins.
Définition. Une homographie f : P(V ) → P(W ) est l’application quotient d’un isomorphisme
f de V vers W .
Remarque. Le diagramme suivant commute :
f
→
V
W
π
↓
↓
π
P(V ) → P(W )
f
9.1 Cas de la droite projective
33
Proposition 61. Soit f : P(V ) → P(W ) et g : P(W ) → P(X) deux homographies, avec g ◦ f
qui existe.
• g ◦ f = g ◦ f est une homographie.
−1
• f est une bijection (homéomorphisme, si on est sur R ou C) et f
= f −1 est une
homographie.
Remarque. En particulier, l’ensemble des homographies de P(V ) dans lui-même est un groupe.
Il s’agit de P GL(V ) := GL(V )/k ∗ . Pour V = k n+1 , on le note P GLn+1 (k) qui agit sur Pn (k).
Proposition 62. L’image d’un sous-espace projectif de P(V ) par une homographie f : V → W
est un sous-espace projectif de P(W ), de même dimension.
Remarque.
• L’image réciproque d’un sous-espace projectif par une homographie est un
−1
sous-espace projectif de même dimension, car f est une homographie.
• Les homographies préservent l’alignement.
Remarque. On a une réciproque partielle qu’on admet là-encore (cf. Fresnel, p.92). Elle s’appelle
théorème fondamental de la géométrie projective :
Soit P(V ) et P(W ) qui sont deux espaces projectifs REELS de même dimension n ≥ 2 et
f : P(V ) → P(W ) une bijection qui préservent l’alignement. Alors f est une homographie.
Remarque. Si V et W sont équipés de bases, et f : V → W P
a pour matrice
P A = (ai,j )0≤i,j≤n .
Dans les
P coordonnées homogènes associées, f [x0 : ... : xn ] = [ a0j xj : ... : anj xj ].
Si
a0j xj 6= 0, alors :
P
P
a1j xj
anj xj
f (x) = 1 : P
: ... : P
.
a0j xj
a0j xj
Lues dans les cartes affines standards, les homographies sont des "fractions rationnelles".
En particulier, elles sont lisses sur R et holomorphes sur C. Ainsi, sur R ou C, les homographies
préservent les tangences.
9.1
Cas de la droite projective
On se place dans P1 (k) avec des coordonnées homogènes. Ainsi :
P1 (k) = {[x : 1], x ∈ k} ∪ {[1 : 0]}.
On a k ≃ {[x : 1], x ∈ k} et [1 : 0] = ”∞”.
Soit f : k 2 → k 2 isomorphisme linéaire ayant pour matrice :
a b
M=
.
c d
Alors f [x : y] = [ax + by : cx + dy]. Il n’y a qu’à étudier, là où ça a du sens :
az + b
f [z : 1] =
:1 .
cz + d
De plus [1 : 0] = [a : c] = [ ac : 1]. Ainsi :
f : P1 (k) = k ∪ {∞} → P1 (W )
az + b
z 7→
cz + d
avec les conventions f (∞) = a/c et f (−d/c) = ∞.
34
9 HOMOGRAPHIES
9.2
Repère projectif
Rappel. Soit une famille xi = π(ai ). Alors (x0 , ..., xn ) est libre et génératrice ssi elle est libre
ssi elle est génératrice ssi (a0 , ..., an ) est une base de V .
Remarque. Soit f : P(V ) → P(W ) une homographie et (x0 , ..., xn ) une famille libre et génératrice. On a f (xi ) = f ◦ π(ai ) = π(f (ai )). Donc f (xi ) détermine f (ai ) à une constante de k ∗
près. En particulier, connaître f (x0 ) et f (x1 ) ne permet par de connaître
f (π(e0 + e1 )) = π(f (e0 ) + f (e1 )).
Proposition 63. Soit une famille (x0 , ..., xn+1 ) de P(V ). Alors les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) Toute sous-famille à n + 1 éléments est libre et génératrice.
P
(ii) Si ei ∈ V avec xi = π(ei ), alors (e0 , ..., en ) est une base de V et en+1 =
λi ei avec
pour tout i ∈ J0, nK, λi 6= 0.
P
(iii) Il existe (e0 , ..., en+1 ) tel que xi = π(ei ), (e0 , ..., en ) est une base de V et en+1 = ei .
Une telle famille est appelée repère projectif.
Démonstration.
(i) ⇒ (ii) On sait que (x0 , ..., xn ) est libre et génératrice. Donc (e0 , ..., en )
est une base. De plus, il existe λ0 , ..., λn tel que :
en+1 =
n
X
λi ei .
i=0
Si λi0 = 0, alors (e0 , ..., ec
c
i0 , ..., en+1 ) est liée. Donc (x0 , ..., x
i0 , ..., xn+1 ) est liée ce qui est
impossible.
P
(ii) ⇒ (iii) On a en+1 =
λi ei avec λi 6= 0. On pose e0n+1 = en+1 et e0i = λi ei pour
0 ≤ i ≤ n. La famille (e0i ) convient.
(iii) ⇒ (i) On sait que n + 1 vecteurs parmi (e0 , ..., en , e0 + ... + en ) forment une base. Donc
n + 1 points parmi (x0 , ..., xn+1 ) forment une famille libre et génératrice.
Exemple. En dimension 1, trois points distincts forment un repère projectif ((0, 1, ∞) dans
P1 (k)).
En dimension 2, quatre points tels que trois quelconques ne soient pas alignés forment un
repère projectif
Remarque. Toute les bases satisfaisant (iii) définissent les mêmes coordonnées homogènes.
Proposition 64. Soit P(V ) et P(W ) deux espaces projectifs de même dimension notée n. Soit
(x0 , ..., xn+1 ) (resp. (y0 , ..., yn+1 )) un repère projectif de P(V ) (resp. P(W )). Il existe alors une
unique homographie f : P(V ) → P(W ) tel que pour tout i, f (xi ) = yi .
Démonstration. Soit (ei ) base de V avec π(ei ) = xi pour 0 ≤ i ≤ n et π(e0 + ... + en ) = xn+1
et (fi ) base de W avec π(fi ) = yi pour 0 ≤ i ≤ n et π(f0 + ... + fn ) = yn+1 .
Si f : V → W linéaire projective est telle que f (xi ) = yi pour tout i, alors pour tout
i ∈ J0, nK, f ◦ π(ei ) = f (xi ) = yi = πP
◦ f (ei ). Il existe
doncP
λi ∈ k ∗ tel que f (ei ) = λi fi .
P
De plus, il existe λ ∈ k ∗ tel que
λi fi = f ( ei ) = λ fi .
Ainsi pour tout 0 ≤ i ≤ n, λi = λ. Donc f est de la forme fλ : ei → λfi , qui induisent toutes
la même homographie. On a donc l’existence et l’unicité.
Remarque. En particulier, P GL(V ) agit simplement transitivement sur les repères projectifs
de P(V ).
9.3 Lien affine projectif II : Le défi
35
Exemple. Sur P1 (k), un repère projectif est (0, 1, ∞). Si A = [a : 1], B = [b : 1] et C = [c : 1]
distincts, il existe alors une unique homographie qui envoie A sur ∞, B sur 0 et C sur 1 qui
est :
c−a z−b
z 7→
.
.
c−b z−a
9.3
Lien affine projectif II : Le défi
Soit V de dimension n + 1, φ ∈ V ∗ \ {0} et E = ker φ et E1 = φ−1 (1). On pose H = P(E)
et U = π(V \ E). On sait que U est un espace affine dirigé par E et π|E1 : E1 → U est un
isomorphisme affine de partie linéaire id|E1 .
Proposition 65. Soit f : P(V ) → P(V ) homographie qui stabilise H. Alors f |U est un isomorphisme affine de U dans U .
Inversement, si g : U → U est un isomorphisme affine, il existe une unique homographie
f : P(V ) → P(V ) telle que f |U = g.
Démonstration. Soit u ∈ E1 . On a V = ku ⊕ E. Soit f : V → V un relevé de f .
On a nécessairement f (E) = E et f (V \ E) = V \ E, car f stabilise H et U . On a :
f (u) = αu + e,
avec α ∈ k ∗ et e ∈ E. Quitte à considérer α1 f on peut supposer α = 1. Alors :
f (E1 ) = f (u + E) = f (u) + f (E) = u + E = E1 .
On a f ◦ π = π ◦ f . Donc f ◦ π|E1 = π|E1 ◦ f|E1 . Donc :
f = π|E1 ◦ f|E1 ◦ (π|E1 )−1 .
→
−
−−→
Donc f est affine et f = f|E1 = f|E .
Montrons la réciproque. Soit f : V → V linéaire avec f : P(V ) → P(V ) induit g, c’est-à-dire
f |U = g. Alors f stabilise U et donc H. Donc f stabilise E. Quitte à considérer α1 f , on peut
supposer f (E1 ) = E1 . Ainsi par le sens direct, on a :
−
f (u) = (πE1 )−1 ◦ g ◦ (π|E1 )(u) ; f|E = →
g.
Cela définit un unique f0 . Si f (E1 ) 6= E1 , il existe α tel que α1 f (E1 ) = E1 et α1 f|U = g. Donc
1
f = f0 et f = αf0 . L’homographie sera donc la même, ce qui donne l’unicité.
α
→
−
Remarque. f ne dépend pas du choix du relevé ! Ici on a normalisé le relevé.
10
Dualité projective
10.1
C’est quoi ?
Définition. Soit V un kev de dimension n + 1 et V ∗ son dual. Pour E sev de V , on note :
E ⊥ = {φ ∈ V ∗ , φ|E = 0}.
Rappel. On a V ∗∗ ≃ V (canoniquement), E ⊥⊥ = E et dim E + dim E ⊥ = n + 1.
Remarque. .⊥ induit une bijection entre :
36
10 DUALITÉ PROJECTIVE
{sev de V de dimension k}⊥ et { sev de V ∗ de dimension (n + 1 − k)}.
Exemple. On a :
∼
⊥: {hyperplans de V } → P(V ∗ )
ker φ 7→ [φ].
Remarque. .⊥ induit une bijection entre :
{ sep de P(V ) de dimension k}⊥ et { sep de P(V ∗ ) de dimension (n − 1 − k)},
pour 0 ≤ k ≤ n − 1.
Exemple. On a :
P(V ∗ ) → {hyperplans projectifs de P(V )}
[φ] 7→ P(ker φ)
∗
π({φ ∈ V \ {0}, φ|H = 0}) ←[ π(H)
Remarque. Si E ⊂ F alors F ⊥ ⊂ E ⊥ .
Rappel. Au niveau vectoriel, on a (E ∩ F )⊥ = E ⊥ + F ⊥ et (E + F )⊥ = E ⊥ ∩ F ⊥ .
Proposition 66. Soit P et Q deux sous-espaces projectifs de P(V ). Alors :
• (P ∩ G)⊥ = hP ⊥ ∪ Q⊥ i.
• hP ∪ Gi⊥ = P ⊥ ∩ Q⊥ .
Démonstration. Soit E, F deux sevs de V avec π(E) = P et π(F ) = Q. Alors :
• (P ∩ Q)⊥ = π((E ∩ F )⊥ ) = π(E ⊥ + F ⊥ ) = hπ(E ⊥ ) ∪ π(F ⊥ )i = hP ⊥ ∪ Q⊥ i.
• hP ∪ Qi⊥ = π((E + F )⊥ ) = π(E ⊥ ∩ F ⊥ ) = P ⊥ ∩ Q⊥ .
Remarque. .⊥ échange les notions d’incidence et d’alignement.
Exemple. Pour n = 2, .⊥ échange les points de P(V ) et les droites de P(V ∗ ), mais aussi les
droites de P(V ) avec les points de P(V ∗ ). En particulier :
• Si D et D0 sont deux droites distinctes de P(V ), alors {x} = D ∩ D0 . Ainsi :
{x}⊥ = hD⊥ ∪ (D0 )⊥ i,
qui est la droite de P(V ∗ ) engendrée par les points D⊥ et (D0 )⊥ .
• Si x et y sont deux points de D une droite de P(V ), alors x⊥ et y ⊥ sont deux droites de
P(V ∗ ) et D⊥ ∈ P(V ∗ ). Ainsi :
D⊥ = hx ∪ yi⊥ = x⊥ ∩ y ⊥ .
Remarque. .⊥ envoie trois points alignés sur trois droites concourantes et réciproquement.
10.2 Exemple de théorèmes duaux
10.2
37
Exemple de théorèmes duaux
Théorème 67. (Pappus-projectif )
Soit D et D0 deux droites distinctes d’un plan projectif. Soit A, B, C ∈ D \ D0 distincts et
A0 , B 0 , C 0 ∈ D0 \ D. On pose α = (BC 0 ) ∩ (B 0 C), β = (AC 0 ) ∩ (A0 C) et γ = (AB 0 ) ∩ (A0 B).
Alors α, β et γ sont alignés.
C
B
α
A
γ
β
A’
B’
C’
Remarque. Le cas affine revient à envoyer (αβ) à l’infini. Ce qui permet par la même occasion
d’en déduire le théorème de Pappus-projectif.
Théorème 68. (Pappus-dual)
Soit D et D0 deux points distincts d’un plan projectif. Soit A, B, C trois droites distinctes
contenant D mais pas D0 . Soit A0 , B 0 , C 0 trois droites distinctes contenant D0 mais pas D.
Soit α la droite passant par B ∩ C 0 et B 0 ∩ C, β la droite passant par A ∩ C 0 et A0 ∩ C et γ
la droite passant par B ∩ A0 et B 0 ∩ A.
Alors α, β et γ sont concourantes.
γ
C0
β
C
D0
α
B0
D
B
A
A0
Remarque. Le schéma suivant illustre le théorème de Pappus dual, où on voit l’importance du
point à l’infini. En effet, les droites vertes sont parallèles, donc se coupent au point ∞.
38
10 DUALITÉ PROJECTIVE
D
C
γ
α
β
B0
10.3
C0
D0
B
A
A0
Incidences et perspectives
Soit D une droite d’un plan P(V ) projectif et a ∈ P(V ) \ D. On a :
a⊥ = π{φ ∈ V ∗ \ {0}, φ(a) = 0}.
Soit π(φ) ∈ a⊥ . Alors π(φ)⊥ est une droite de P(V ) passant par a. Toutes les droites projectives
passant par a sont de cette forme. Ainsi :
a⊥ ≃ {droites projectives de P(V ) passant par a}.
De même π(φ) est similaire à ker φ.
Définition. Soit ia,D : a⊥ → D avec i(∆) = D ∩ ∆ et i(π(φ)) = D ∩ ker(φ). Cette application
est appelée incidence de a⊥ sur D.
Proposition 69. ia,D est une homographie.
Démonstration. Soit (e0 , e1 , e2 ) base de V telle que π(e0 ) = a et π(e1 ), π(e2 ) ∈ D. Soit (e∗0 , e∗1 , e∗2 )
la base duale dans V ∗ . Alors :
a⊥ = π(ke∗1 ⊕ ke∗2 ).
Soit φ ∈ a⊥ , alors on l’écrit φ = αe∗1 + βe∗2 . Donc :
ker φ ∩ (ke1 ⊕ ke2 ) = V ect(βe1 − αe2 ).
Donc i est le quotient de l’application linéaire bijective suivante :
ĩ : π −1 (a⊥ ) = ke∗1 ⊕ ke∗2 → ke1 ⊕ ke2 = π −1 (D)
(α, β) 7→ (β, −α)
Donc i est une homographie.
Définition. Soit D et D0 deux droites d’un plan projectif P(V ). Soit a ∈
/ D ∪ D0 . On appelle
projection de centre a de D sur D0 l’application :
pa : D → D 0
x 7→ (ax) ∩ D0
On parle aussi de perspective.
39
Proposition 70. Une perspective pa est une homographie de D sur D0 .
Démonstration. On a deux homographies ia,D et ia,D0 et pa = ia,D0 ◦ (ia,D )−1 qui est donc une
homographie.
Remarque. L’application pa est la projection de pba - la projection centrale dans V de π −1 (D) sur
π −1 (D0 ) centrée en ã ∈ π −1 (a). Cette projection est linéaire en restriction à π −1 (D) et π −1 (D0 ).
Remarque. En dimension supérieure, on peut définir des perspectives entre deux hyperplans
projectifs. Ce sont des homographies, mais plus des composées d’incidence.
11
Birapport
11.1
Définition et calcul
Définition. Soit a, b, c et d des points d’une droite projective D avec a, b, c distincts. Alors il
existe une unique homographie h : D → P1 (k) avec :
h(a) = [1 : 0] = ∞, h(b) = [0 : 1] = 0 et h(c) = [1 : 1] = 1.
On appelle birapport de a, b, c et d :
[a, b, c, d] := h(d) ∈ P1 (k).
Remarque. Soit z ∈ P1 (k). Il existe un unique d ∈ D tel que [a, b, c, d] = z.
Exemple. [a, b, c, a] = ∞ et [a, b, c, c] = 1.
Remarque. Comme a, b, c est un repère projectif, il existe des coordonnées homogènes telles
que :
a = [1 : 0] ; b = [0, 1] ; c = [1 : 1].
Il existe un relevé de h de matrice I2 dans la base associée de V et la base canonique de k 2 . Si
d = [α0 : α1 ] ∈ D, alors h(d) = [α0 : α1 ] ∈ P1 (k). Si d 6= a, on a α1 6= 0 et :
α0
;1 .
h(d) =
α1
Par abus de langage [a, b, c, d] = αα10 ∈ k ∪ {∞}.
Remarque. Plus généralement, si D est munie de coordonnées homogènes, on pose :
a = [α : 1] ; b = [β : 1] ; c = [γ : 1],
avec α, β, γ ∈ k ∪ {∞}. Dans ces coordonnées :
h : D → P1 (k)
z−β γ−α
z 7→
.
z−α γ−β
Pour d = [z : 1], on a :
[a, b, c, d] =
z−β γ−α
.
.
z−α γ−β
40
11.2
11 BIRAPPORT
Birapport et homographies
Proposition 71. Soit f : P(V ) → P(W ) et a, b, c, d ∈ P(V ) alignés, avec a, b, c distincts.
Alors [f (a), f (b), f (c), f (d)] = [a, b, c, d]. (Cela a bien un sens car une homographie est
bijective par hypothèse, et préserve l’alignement)
Démonstration. Soit h : ha, b, ci = D → P1 (k) avec h(a) = ∞, h(b) = 0, h(c) = 1. Alors :
h ◦ f|f−1(D) : f (D) → P1 (k)
f (a) 7→ ∞
f 0 b) 7→ 0
f (c) 7→ 1
Donc [f (a), f (b), f (c), f (d)] = h ◦ f −1 (f (d)) = h(d) = [a, b, c, d].
Proposition 72. Soit a, b, c, d ∈ D distincts et a0 , b0 , c0 , d0 ∈ D0 distincts. Il existe une homographie f : D → D0 tel que f (a) = a0 , f (b) = b0 , f (c) = c0 et f (d) = d0 ssi [a, b, c, d] = [a0 , b0 , c0 , d0 ].
Démonstration. Le sens direct est en fait la proposition précédente. Montrons donc la réciproque.
Il existe h : D → P1 (k) et h0 : D0 → P1 (k). Alors f = h0−1 ◦ h convient.
Remarque. Cette homographie f est forcément unique.
En particulier, le birapport classifie les orbites de quadruplets de points de D sous l’action
de P GL(V ) avec D = P(V ). C’est l’obstruction à la 4-transitivité de P GL2 (k) y P1 (k) et il
classifie les orbites.
Lemme 2. Soit A0 , ..., Ap ∈ P(V ) et f : P(V ) → P(W ) préservant l’alignement.
Alors f (hA0 , ..., Ap i) ⊂ hf (A0 ), ..., f (Ap )i.
Démonstration. Raisonnons par récurrence sur p. Le résultat est évident pour p = 0. Supposons
donc le résultat vrai au rang p.
Par hypothèse de récurrence, on a f (hA0 , ..., Ap i) ⊂ hf (A0 ), ..., f (Ap )i. Si la famille A0 , ..., Ap+1
est liée, alors f (hA0 , ..., Ap+1 i) = f (hA0 , ..., Ap i) et hf (A0 ), ..., f (Ap+1 )i = hf (A0 ), ..., f (Ap )i : le
résultat est donc clair.
Supposons donc la famille libre. Soit H = hA0 , ..., Ap i qui est un hyperplan de hA0 , ..., Ap+1 i.
Soit M ∈ hA0 , ..., Ap+1 i \ (H ∪ {Ap+1 }). On définit alors {B} = (Ap+1 M ) ∩ H. Comme B, M
et Ap+1 sont alignés, alors f (B), f (M ) et f (Ap+1 ) le sont aussi. De plus, par hypothèse de
récurrence f (B) ∈ hf (A0 ), ..., f (Ap )i puis f (M ) ∈ hf (A0 ), ..., f (Ap+1 )i. On a donc l’hérédité.
Lemme 3. Si f : P(V ) → P(W ) est surjective et préserve l’alignement entre des espace de
même dimension, alors l’image d’un repère projectif est un repère projectif.
Démonstration. Soit (A0 , ..., An+1 ) un repère de P(V ) et I ⊂ {0, ..., n + 1} de cardinal (n + 1).
Alors P(V ) = hAi , i ∈ Ii. Ainsi :
P(W ) = f (P(V )), car f est surjective
= f (hAi , i ∈ Ii)
⊂ hf (Ai ), i ∈ Ii par le lemme 2
⊂ P(W )
Donc P(W ) = hf (Ai ), i ∈ Ii. Comme dim P(V ) = dim P(W ), la famille (f (Ai ))i∈I est aussi
libre. Donc pour tout I ⊂ {0, ..., n + 1} de cardinal (n + 1) la famille (f (Ai ))i∈I est libre et
génératrice.
Donc (f (A0 ), ..., f (An+1 )) est un repère.
11.3 Quelques remarques
41
Lemme 4. Soit f : P(V ) → P(V ) surjective qui préserve l’alignement et le birapport, et qui
fixe les points d’un repère.
Alors f = id|P(V ) .
Démonstration. On raisonne par récurrence sur la dimension.
• n = 1 : Soit (A, B, C) le repère de P(V ) fixé par f . Si D ∈ P(V ) \ {A, B, C}, alors :
[A, B, C, f (D)] = [f (A), f (B), f (C), f (D)] = [A, B, C, D].
Donc f (D) = D.
• Supposons la propriété vraie en dimension n ≥ 1. On suppose que dim(P(V )) = n + 1,
et on se donne (A0 , ..., An+2 ) un repère fixé point par point par f .
Soit H = hA0 , ..., An i hyperplan de P(V ). Par le lemme 2, on a f (H) ⊂ H. Soit {B} =
(An+1 An+2 ) ∩ H. Alors :
f (B) ∈ (f (An+1 )f (An+2 )) ∩ f (H) ⊂ (An+1 An+2 ) ∩ H.
Donc f (B) = B. Si (A0 , ..., An , B) n’est pas un repère de H, alors il existe I ⊂ {0, ..., n}
de cardinal n et tel que B ∈ hAi , i ∈ Ii. Mais alors An+2 ∈ (An+1 B), ce qui donne :
An+2 ∈ h{Ai , i ∈ I} ∪ {An+1 } ∩ {B}i = h{Ai , i ∈ I} ∪ {An+1 }i,
ce qui contredit le fait que (Ai )i∈I , An+1 , An+2 est libre. Par l’absurde, on a montré que
(A0 , ..., An , B) est un repère de H. On sait que f fixe ce repère point par point, et donc
par hypothèse de récurrence f|H = id|H .
Soit M ∈ P(V ) \ (H ∪ {An+1 , An+2 }), puis Ni l’intersection de H avec (M An+i ) pour
i ∈ {1, 2}. On a f (Ni ) = Ni . On sait que Ni , M, An+i sont alignés, donc leur image le
sont aussi. Donc f (M ) ∈ (Ni An+i ) pour tout i ∈ {1, 2}. Donc, si M ∈
/ (An+1 An+2 ), on
a:
{f (M )} = (N1 An+1 ) ∩ (N2 An+2 ) = {M },
puis f (M ) = M . Si M ∈ (An+1 An+2 ), f préserve cette droite et fixe le repère (An+1 , An+2 , B)
point par point. Comme f préserve le birapport f est l’identité sur cette droite.
Théorème 73. Soit f : P(V ) → P(W ) entre deux espaces projectifs de même dimension. Alors
f est une homographie ssi elle vérifie les trois points suivants :
• f est surjective.
• f préserve l’alignement.
• f préserve les birapports.
Démonstration. Le sens direct a déjà été traité. Montrons le sens réciproque.
Soit (A0 , ..., An+1 ) un repère de P(V ). Alors par le lemme 3, (f (A0 ), ..., f (An+1 )) est un
repère de P(W ). Soit g l’unique homographie avec g ◦ f (Ai ) = Ai pour tout i. On a ainsi que :
• g ◦ f préserve encore l’alignement, et le birapport.
• g ◦ f est surjectif.
• g ◦ f fixe le repère (A0 , ..., An+1 ) point par point.
Par le lemme 4, on a g ◦ f = id, donc f = g −1 est une homographie.
11.3
Quelques remarques
Définition. Soit a, b, c, d des points distincts sur une droite projective. On dit que (a, b, c, d)
forme une division harmonique si [a, b, c, d] = −1.
42
11 BIRAPPORT
Remarque. Soit D = P1 (k) et d = ∞. Alors :
c−a
= −1
c−b
a+b
⇔c=
2
[a, b, c, d] = −1 ⇔
Remarque. Dans un plan projectif P(V ), P(V ∗ ) est l’ensemble des droites projectives de P(V ).
Soit quatre droites D1 , D2 , D3 , D4 de P(V ). Alors :
elles sont concourantes dans P(V ) ssi elles sont alignées dans P(V ∗ ).
Définition. Si D1 , D2 , D3 , D4 sont quatre droites concourantes, on définit leur birapport comme
leur birapport en tant qu’éléments de P(V ∗ ).
Si [D1 , D2 , D3 , D4 ] = −1 on parle de faisceau harmonique.
Remarque. Soit a, b, c, d des points d’une droite projective réelle dans P1 (C) = C ∪ {∞}. Alors :
[a, b, c, d]R = [a, b, c, d]C .
Ainsi a, b, c, d ∈ P1 (C) sont sur une même droite projective réelle ssi [a, b, c, d] ∈ R.
Remarque. Projection stéréographique et sphère de Riemann
∞
projection
0
stéréographique
R
0
Les droites réelles de P1 (C) lues dans des cartes affines sont des cercles ou des droites
(cercles passant par l’infini). Sur la sphère ce sont des grands cercles. Les homographies de
P1 (C) préservent le birapport, donc l’alignement au sens réel.
L’image d’un cercle ou d’une droite (réelle) de C ⊂ P1 (C) par une homographie est un cercle
ou une droite.
On a un critère de cocyclicité pour quatre points de C :
a, b, c, d sont cocycliques ssi [a, b, c, d] ∈ R.
43
Troisième partie
Géométrie euclidienne
Dans ce chapitre, le corps de base est R et les espaces sont de dimension finie.
12
Espaces euclidiens
12.1
Définitions
Définition. Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel E muni d’un produit scalaire.
Définition. Un espace affine euclidien est un espace affine (E, E) dont la direction E est munie
d’un produit scalaire.
Remarque. On note h., .i le produit scalaire et k.k la norme associée sur E. Si (E, E, h., .i) est
un espace affine euclidien, on définit une distance sur E par :
q
−→
−→ −→
d(A, B) = kABk = hAB, ABi.
12.2
Isométries vectorielles
Définition. Si φ : E → F linéaire entre deux espaces euclidiens, on dit que φ est une isométrie
si :
∀x, y ∈ E, hφ(x), φ(y)iF = hx, yiE .
Remarque. Une isométrie est injective.
Remarque. La définition est équivalente à vérifier que pour tout x ∈ E, kφ(x)kF = kxkE , grâce
aux identités de polarisation :
kx + yk2 − kxk2 − kyk2
.
2
Proposition 74. Si φ : E → F et ψ : F → G sont des isométries entre des espaces euclidiens,
alors ψ ◦ φ est une isométrie.
hx, yi =
Proposition 75. Si φ : E → F est une isométrie surjective entre deux espaces euclidiens,
alors φ est un isomorphisme et φ−1 est encore une isométrie.
Définition. Soit (E, h., .i) un espace vectoriel euclidien. L’ensemble des isométries de E dans
E est un groupe appelé groupe orthogonal et noté O(E). On notera On (R) si E = Rn .
Exemple. L’identité, les rotations et les symétries orthogonales sont dans O(E).
Rappel. Si φ : E → F linéaire entre des espaces vectoriels euclidiens. Son adjoint φ∗ : F → E
est l’unique application linéaire telle que :
∀x ∈ E, ∀y ∈ F, hφ∗ (y), xiE = hy, φ(x)iF .
Proposition 76. O(E) = {u ∈ L(E), u∗ u = id}.
Définition. Une base (ei ) de E est dite orthonormée si :
1 si i = j
∀i, j, hei , ej i =
0 sinon
Dans une telle base M at(u∗ ) = M at(u)t .
44
12 ESPACES EUCLIDIENS
Remarque. Le choix d’une base orthonormée c’est le choix d’une identification entre (E, h., .i)
et Rn avec son produit scalaire usuel. Cela permet ainsi d’identifier O(E) avec On (R).
Ainsi O(E) est une sous-variété de L(E) de dimension n(n−1)
.
2
Remarque. det : O(E) → {±1} est un morphisme de groupes surjectif.
Définition. On appelle groupe spécial orthogonal, qu’on note SO(E), le noyau de det : O(E) →
{±1}.
Remarque. On verra que SO(E) est une composante connexe (par arcs) de O(E). Donc SO(E)
.
est aussi une sous-variété de L(E) de dimension n(n−1)
2
Remarque. SO(E) est l’ensemble des isométries directes, id est qui conserve les orientations.
Ceci ne suppose pas que l’espace est orienté.
12.3
Isométries affines
Définition. Soit f : E → F une application entre des espaces affines euclidiens. On dit que f
est une isométrie (affine) si f préserve la distance.
Remarque. Une isométrie f est injective et préserve l’alignement. En effet, si A, B, C ∈ E alignés
dans cet ordre alors :
d(A, C) = d(A, B) + d(B, C).
Donc d(f (A), f (B)) = d(f (A), f (B)) + d(f (B), f (C)) qui est le cas d’égalité de l’inégalité
triangulaire. Donc f (A), f (B), f (C) sont alignés.
Théorème 77. Une isométrie est une application affine.
Démonstration. En dimension n ≥ 2, comme f préserve l’alignement c’est une conséquence du
théorème fondamental de la géométrie affine.
En dimension n = 1, si on écrit C = Bar((A, α), (B, 1 − α)), on peut se ramener au cas où
(B),f (C))
= d(f
.
C ∈ [A, B]. Alors α = d(B,C)
d(B,A)
d(f (B),f (A))
On a aussi f (A), f (C), f (B) qui sont alignés dans cet ordre.
Donc f (C) = Bar((f (A), α), (f (B), 1 − α)).
→
−
Proposition 78. Si f : E → F est une isométrie affine, alors f : E → F est une isométrie
vectorielle.
→
−
Proposition 79. Si f : E → F est affine avec f isométrie, alors f est une isométrie affine.
Corollaire 80. La composée de deux isométries est une isométrie.
Remarque. Une isométrie surjective est un isomorphisme dont l’inverse est une isométrie.
Définition. Sot (E, E, h., .i) un espace affine euclidien. L’ensemble des isométries de E est un
sous-groupe de Af f (E), qu’on note Isom(E).
Exemple. Les translations, les symétries orthogonales et les rotations sont des isométries.
Définition. L’application suivante est un morphisme surjectif :
Isom(E) → {±1}
→
−
f 7→ det( f )
dont le noyau est noté Isom+ (E). C’est le groupe des isométries directes.
12.4 Repères
45
Définition. Soit f ∈ Isom(E). Si f ∈ Isom+ (E), f est appelé déplacement, et sinon un antidéplacement.
Proposition 81. Isom(E) ≃ E o O(E) et Isom+ (E) ≃ E o SO(E).
Démonstration. On a les suites exactes scindées :
0 → E → Isom(E) → O(E) → 0
→
−
u 7→ ut f 7→ f
et 0 → E → Isom+ (E) → SO(E) → 0, où les sections sont données par le choix d’une origine
pour E.
12.4
Repères
Définition. Soit (E, E, h., .i) un espace affine euclidien. Un repère cartésien de E est la donnée
d’une origine O ∈ E et d’une base orthonormée (e1 , ..., en ) de E.
Remarque. Le choix d’une base de E (ou d’un repère de E) induit une orientation.
Remarque. Isom(E) agit simplement transitivement sur les repères cartésiens. Par contre il y
a deux orbites pour l’action de Isom+ (E) sur les repères (les invariants sont les rotations).
L’action de O(E) sur E a pour invariant total k.k et les orbites sont donc les sphères.
La distance d est un invariant total pour l’action Isom(E) y E × E. Ceci est toujours vrai
pour Isom+ (E) sauf si dim E = 1.
13
Groupe orthogonal
13.1
L’ensemble des générateurs
Ici on considère (E, h., .i) un espace vectoriel euclidien de dimension n.
Rappel. Si u ∈ O(E) et F est un sous-espace vectoriel stable par u, alors :
F ⊥ = {y ∈ E, ∀x ∈ F, hx, yi = 0}
est aussi stable par u.
Rappel. Si u ∈ O(E) ses valeurs propres sont de module 1. De plus si u est diagonalisable sur
R alors :
E = ker(u − id) ⊕⊥ ker(u + id).
Donc u est une symétrie orthogonale par rapport à ker(u − id).
Définition. Si u est une symétrie orthogonale et si dim(ker(u − id)) = n − 1, on dit que u est
une réflexion c’est-à-dire dans une base orthonormée u a pour matrice :


1
0
 ..

.



.


1
0
−1
Théorème 82. Soit u ∈ O(E). On note r = rg(u − id). Alors u est le produit de r réflexions
et pas moins. En particulier les réflexions engendrent O(E).
46
13 GROUPE ORTHOGONAL
Démonstration. On raisonne par récurrence sur r. Si r = 0, alors u = id ce qui donne le résultat
immédiatement.
Supposons que le théorème est établi pour rg(u−id) ≤ r. Soit u ∈ O(E) tel que rg(u−id) =
r + 1. Comme rg(u − id) ≥ 1, il existe a ∈ E tel que u(a) 6= a. Soit s la réflexion orthogonale
par rapport à (u(a) − a)⊥ (l’hyperplan médiateur).
Pour tout x ∈ ker(u − id), on a :
hx, u(a) − ai = hx, u(a)i − hx, ai = hu(x), u(a)i − hx, ai = 0.
Donc ker(u − id) ⊂ (u(a) − a)⊥ = ker(s − id). Donc tout x ∈ ker(u − id) est point fixe de s ◦ u.
Par ailleurs, on a :
hu(a) + a, u(a) − ai = ku(a)k2 − kak2 = 0.
u(a)−a
+
= u(a)+a
− u(a)−a
= a.
Donc (u(a) + a) ∈ (u(a) − a)⊥ . Alors s(u(a)) = s u(a)+a
2
2
2
2
Posons f = s ◦ u, avec ker(u − i) ⊕ V ect(a) ⊂ ker(f − id). On sait que f ∈ O(E) et que
rg(f − id) ≤ r. Donc f est le produit de réflexions. Ainsi :
f = s ◦ u = s1 ◦ ... ◦ sk ,
ce qui décompose bien u en réflexions.
On a vu que le nombre de réflexions est inférieur à r. Prenons donc une décomposition :
u = s1 ◦ ... ◦ sp ,
avec chaque si une symétrie par rapport à un hyperplan Hi . Alors H1 ∩ ...Hp ⊂ ker(u − id). Or
H1 ∩ ... ∩ Hp est de dimension supérieure à dim E − p, ce qui donne r ≤ p. On a donc bien r
réflexions.
→
−
Conséquence. Si (E, E, h., .i) est un espace affine euclidien, f ∈ Isom(E) et r = rg( f − id),
alors f est produit de r réflexions par rapports à des hyperplans affines si f a un point fixe (et
pas moins). Si f n’a pas de points fixes, elle se décompose en r + 2 réflexions (et pas moins).
Démonstration.
• Si f admet un point fixe, en vectorisant en ce point, on est ramené au
cas vectoriel.
• Sinon, on écrit f comme produit d’une translation t et d’une application affine g avec
un point fixe. On peut alors décomposer t en 2 réflexions et g en r. Il faut maintenant
voir que le nombre r + 2 est minimal.
On ne peut pas l’écrire comme produit d’un nombre strictement inférieur à r de réflexions, sinon cela contredirait le résultat vectoriel pour la partie linéaire.
De plus, comme la partie linéaire est de déterminant (−1)r , on ne peut pas avoir un
produit de r + 1 réflexions.
Montrons alors que f n’est pas le produit d’exactement r réflexions. Raisonnons par
l’absurde. Notons H1 , ..., Hr les hyperplans associés à ces réflexions. Par le cas vectoriel
appliqué à la partie linéaire, on sait que ces hyperplans se coupent transversalement :
l’intersection des directions de H1 , ..., Hk ne contient pas celle de Hk+1 (pour tout k).
Ainsi par récurrence on montre que l’intersection des H1 , ..., Hk est un sous-espace affine
de codimension k, pour tout k. En particulier, l’intersection de tous les Hi n’est pas vide
est contient des points fixes de f , ce qui est impossible.
Exemple. Soit u ∈ E. Alors t2u se décompose en produit de deux réflexions. En effet, soit P
un hyperplan et Q = tu (P ). Alors t2u = sP ◦ sQ qu’on vérifie directement.
Remarque. Pour tout f ∈ Isom(E), f est produit d’au plus n + 1 réflexions, car si le rang de
→
−
f − id est n, alors f admet un point fixe.
13.2 Cas de O2 (R)
13.2
47
Cas de O2 (R)
Remarque. Un élément de O2 (R) \ {id} est le produit de 1 ou 2 réflexions.
Ainsi O2 (R)\SO2 (R) est l’ensemble des réflexions orthogonales. En particulier, ces éléments
sont diagonalisables dans une base orthonormée avec valeurs propres {±1}.
De plus, SO2 (R) est formé d’éléments qui sont produits de deux réflexions.
a c
Remarque. Soit M =
∈ O2 (R). Alors :
b d
2
a + b2 = 1
ac + bd = 0
Cela revient à écrire que d = εa et c = −εb, pour ε = det(M ) = ±1. Donc les matrices de
a −b
SO2 (R) sont de la forme
avec a2 + b2 = 1 et celles de O2 \ SO2 (R) sont de la forme
b
a
a b
.
b −a
Remarque. On a un morphisme de groupe surjectif :
R → SO2 (R)
cos(Θ) − sin(Θ)
Θ 7→
sin(Θ) cos(Θ)
de noyau 2πZ. On a donc SO2 (R) ≃ R/2πZ ≃ S 1 .
Conséquence. SO2 (R) est commutatif.
Remarque.
Si on a pas choisi
d’orientation le morphisme précédent n’est pas canonique, car
cos(Θ) sin(Θ)
Θ 7→
fait la même chose.
− sin(Θ) cos(Θ)
Définition. L’image de Θ est appelée rotation d’angle Θ. Les éléments de SO2 (R) sont appelées
les rotations.
13.3
Forme réduite - cas général
Proposition 83. Soit u ∈ O(E). Il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice
de u est de la forme :


Is
(0)


−It




R(Θ1 )

 , où R(Θ) = cos(Θ) − sin(Θ)


sin(Θ) cos(Θ)


..


.
(0)
R(Θp )
avec t, s ∈ N et Θi 6≡ 0[π].
Démonstration. On raisonne par récurrence sur la dimension n. On a déjà montré le résultat
pour n = 1 ou 2.
Si c’est vrai en dimension inférieure ou égale n, on considère u ∈ O(E) avec dim E = n + 1.
48
14 CLASSIFICATION DES ISOMÉTRIES
• Si u a une valeur propre réelle, c’est forcément soit 1 soit −1 qu’on note ε. Alors :
E = ker(u − εid) ⊕⊥ (ker(u − εid))⊥ ,
avec chaque sous-espace qui est stable par u. On applique ainsi l’hypothèse de récurrence
à ker(u − εid)⊥ .
• Si u n’a pas de valeur propre réelle, il existe x ∈ E \ {0} tel que F = V ect(x, u(x)) soit
stable par u et de dimension 2 (car le polynôme minimal de u est produit d’irréductibles
de degré 2 sur R). Ainsi E = F ⊕ F ⊥ avec F et F ⊥ stables par u. On applique alors
l’hypothèse de récurrence à F et F ⊥ .
Corollaire 84. SO(E) est connexe par arcs.
Corollaire 85. O(E) a exactement deux composantes connexes (par arcs) qui sont SO(E) et
O(E) \ SO(E).
Remarque. Si u ∈ O(E) \ SO(E), alors l’application suivante est un homéomorphisme qui
échange SO(E) et O(E) \ SO(E) :
O(E) → O(E)
f 7→ f ◦ u
Proposition 86. Soit u ∈ O(E). Alors :
E = ker(u − id) ⊕⊥ Im(u − id).
Démonstration. Il suffit de montrer qu’il sont orthogonaux. Soit x ∈ ker(u − id) et y ∈ E.
Alors :
hx, u(y) − yi = hx, u(y)i − hx, yi = hu(x), u(y)i − hx, yi = 0.
14
Classification des isométries
14.1
Forme réduite
Théorème 87. Soit f ∈ Isom(E). Alors il existe un unique couple (g, v) ∈ Isom(E) × E tel
que :
• f = g ◦ tv .
→
−
• le sous-espace affine F ix(g) est dirigé par ker( f − id) (en particulier non vide).
→
−
• v ∈ ker( f − id).
De plus, g ◦ tv = tv ◦ g.
→
−
Démonstration. On a f ∈ O(E). Donc :
→
−
→
−
E = ker( f − id) ⊕⊥ Im( f − id).
Via la proposition 41, on sait qu’il existe alors un unique couple (g, v) ∈ Af f (E) × E avec
→
−
f = g ◦ tv = tv ◦ g, g admettant un point fixe (au moins) et v ∈ ker( f − id). Il ne reste plus
→
−
qu’à vérifier que g ∈ Isom(E) et que F ix(g) est dirigé par ker( f − id).
→
−
−
On sait que f = →
g ∈ O(E). Donc g est bien une isométrie affine.
14.2 Cas de la dimension 2
49
De plus pour x ∈ F ix(g) :
−−−−−→ →
y ∈ F ix(g) ⇔ g(x)g(y) = −
xy
→
−
−
→ = f (−
→ =−
→
⇔→
g (−
xy)
xy)
xy
→
−
⇔ y ∈ x + ker( f − id)
Remarque. En particulier F ix(f ) 6= ∅ si et seulement si v = 0 et f = g.
14.2
Cas de la dimension 2
Soit P un plan affine euclidien et f ∈ Isom(P ).
→
−
Remarque. Si f ∈ Isom+ (P ) (id est f ∈ SO(P )), alors :
→
−
• si f = id|P , f est une translation (éventuellement f = id|P ).
→
−
→
−
• sinon 1 n’est pas valeur propre de f . Donc f a un unique point fixe. De plus f est une
rotation, puis f est une rotation affine de centre son point fixe.
Dans les deux cas (si f 6= id|P ), f est produit de 2 réflexions et on peut choisir l’une des deux
"arbitrairement".
Remarque. On construit ainsi le centre d’un produit de deux rotations.
O
α/2
A
B
−β/2
→
−
Remarque. Si f ∈
/ Isom+ (E) alors f est une réflexion. Ainsi :
→
−
→
−
E = D ⊕⊥ Im( f − id), D = ker( f − id).
Il existe un unique u ∈ D tel que f = sD ◦ tu (forme réduite de l’isométrie).
Si u = 0, alors f est une symétrie orthogonale par rapport à D.
Sinon f est une symétrie glissée.
Remarque. Une symétrie glissée est produit de trois réflexions et pas moins.
14.3
Cas de la dimension 3
→
−
Soit E un espace affine euclidien de dimension 3. Soit f ∈ Isom(E) \ {id}. Alors f a au
moins une valeur propre réelle valant ±1 (car son polynôme caractéristique est de degré 3).
Remarque. Supposons que f est une isométrie directe.
→
−
• Si f = idE 
alors f est une translation.

1
0
0
→
−
• Sinon f =  0 cos(Θ) − sin(Θ) . Si f a un point fixe, c’est une rotation affine d’axe
0 sin(Θ) cos(Θ)
→
−
→
−
−
F ix(f ). Si f n’a pas de points fixes, alors f = g ◦ tv avec →
g = f et v ∈ ker( f − id).
→
−
Ainsi g est une rotation affine d’axe dirigé par ker( f − id). On dit que f est un vissage.
50
15 ANGLES
Remarque. Supposons que 
f est une isométrie
indirecte. Plusieurs cas se présentent :

1 0 0
→
−
• f est semblable à  0 1 0 . Si f a un point fixe, f est une symétrie orthogonale
0 0 −1
par rapport à F ix(f ) (ou encore une réflexion).
Si f n’a pas de points fixes, alors f = g ◦ tv avec g une réflexion par rapport à F ix(g)
→
−
→
−
qui est dirigé par ker(
− id). On dit que f est une symétrie glissée.
 f − id), et v ∈ ker( f 
−1
0
0
→
−
• f est semblable à  0 cos(Θ) − sin(Θ)  avec Θ 6≡ 0[2π]. Alors f admet un unique
0 sin(Θ) cos(Θ)
→
−
point fixe (car 1 n’est pas valeur propre) . Si Θ ≡ π[2π] alors f = −id et f est une
symétrie centrale de centre son point fixe. Sinon f est composée d’une rotation r et d’une
réflexion s avec :
−
−
ker(→
r − id) ⊕⊥ ker(→
s − id).
{z
}
{z
}
|
|
axe de r
15
Angles
15.1
Notions d’angles
points fixes de s
On se place dans (E, h., .i) euclidien de dimension n ≥ 2.
Définition. On appelle demi-droite de E tout ensemble du type :
Du = {tu, t ∈ R+
∗ },
avec u ∈ E \ {0}.
Remarque. On peut alternativement considérer des vecteurs unitaires dans la suite.
Remarque. O(E) et SO(E) agissent transitivement sur les droites de E et sur les demi-droites
de E. On a aussi une action naturelle de O(E) et SO(E) sur les couples de droites et les
couples de demi-droites : ces actions ne sont plus transitives. On appelle angles leurs orbites.
Plus précisément on définit quatre notions d’angles.
Définition. Voici selon les objets et le groupes qui agit les termes qu’on utilise pour parler des
angles :
O(E)
SO(E)
Droites
Angles de droites non orientés
Angles de droites orientés
Demi-droites
Angles de demi-droites non orientés
Angles de demi-droites orientés
Proposition 88. Les angles sont des invariants totaux pour ces actions.
Proposition 89. Les isométries (resp. directes) préservent les angles (resp. orientés).
Remarque. On a pas besoin d’orienter E pour parler d’angles orientés.
En dimension supérieure à 3, les notions d’angles orientés et non orientés coïncident. En
effet, il existe une réflexion qui fixe un couple de (demi) droites donné. Ainsi, la notion d’angles
orientés sera réservée pour la suite à la dimension 2.
La notion d’angles orientés de demi-droites est plus fine que les autres.
En dimension 2, une réflexion envoie un angle orienté sur son opposé.
15.2 Structure de groupe sur les angles orientés (n = 2)
15.2
51
Structure de groupe sur les angles orientés (n = 2)
Remarque. Soit A l’ensemble des angles orientés de demi-droites. Soit u, v deux demi-droites
de E. Il existe φ ∈ SO(E) tel que φ(u) = v. L’unicité provient de la dimension 2. On peut ainsi
définir :
Φ : { couples de demi-droites } → SO(E)
(u, v) 7→ φ avec φ(u) = v
Proposition 90. Soit u, v, u0 , v 0 quatre demi-droites. Alors Φ(u, v) = Φ(u0 , v 0 ) si et seulement
si (u, v) et (u0 , v 0 ) définissent le même angle orienté de demi-droites.
Démonstration. Montrons le sens réciproque. Il existe donc r ∈ SO(E) tel que u0 = r(u) et
v 0 = r(v). Soit φ ∈ SO(E) tel que φ(u) = v. Or SO(E) est commutatif. Ainsi :
φ(u0 ) = φ(r(u)) = r ◦ φ(u) = r(v 0 ).
Donc Φ(u, v) = Φ(u0 , v 0 ).
Montrons le sens direct. Soit φ ∈ SO(E) tel que φ = Φ(u, v) = Φ(u0 , v 0 ) et r ∈ SO(E) avec
r(u) = u0 (qui existe par transitivité de l’action de SO(E) sur les demi-droites). Alors :
r(v) = r(φ(u)) = φ(r(u)) = φ(u0 ) = v 0 .
Donc (r(u), r(v)) = (u0 , v 0 ), ce qui veut justement dire que (u, v) et (u0 , v 0 ) définissent le même
angle.
Corollaire 91. Φ passe au quotient et définit une bijection φ : A → SO(E). On munit ainsi
A de l’unique structure de groupe qui fait de Φ un isomorphisme.
Remarque. A est un groupe commutatif, car A ≃ SO2 (R) ≃ S 1 .
Remarque. L’application A → SO(E) est canonique mais SO(E) → SO2 (R) est non canonique
car il dépend d’un choix d’orientation.
Remarque. On utilise de façon cruciale que SO(E) agit sur les demi-droites simplement transitivement et que SO(E) est commutatif. Cela est entièrement faux en dimension supérieure à
3.
Proposition 92. (Relation de Chasles)
Soit u, v, w trois demi-droites de E. Alors :
(u, v) + (v, w) = (u, w),
en ne distinguant plus entre couples de demi-droites et les angles associés.
Démonstration. Si φ(u) = v et ψ(v) = w, avec φ, ψ ∈ SO(E), on a ψ ◦ φ(u) = w. Ainsi :
Φ((u, v) + (v, w)) = Φ(v, w) ◦ Φ(u, v) = ψ ◦ φ = Φ((u, w)).
On conclut par bijection.
Définition. Si Φ(u, v) = Id|E , on dit que (u, v) est l’angle nul.
Si Φ(u, v) = −Id|E , on dit que (u, v) est un angle plat, qui est le seul élément d’ordre 2 de
A.
Si (u, v) est d’ordre 4 dans A on dit que c’est un angle droit.
Remarque. Il y a exactement deux angles droits.
52
15 ANGLES
Remarque. On peut faire la même chose avec les angles orientés de droites. En notant A0
l’ensemble des angles orientés de droites, on construit l’isomorphisme :
0
Φ : A0 → SO(E)/{±Id|E }.
Alternativement, si D et D0 sont deux droites de E, on peut choisir quatre demi-droites associées, qu’on note :
0
0
0
0
(D+ , D+
), (D+ , D−
), (D− , D+
), (D− , D−
).
On a en tant qu’angles de demi-droites :
0
0
0
0
) + angle plat.
) + angle plat = (D+ , D−
) = (D− , D+
) = (D− , D−
(D+ , D+
Il existe donc une bijection A0 → A/{ angles nuls et plats }. On peut alors voir A0 comme
quotient de A.
15.3
Mesure des angles orientés
Rappel. On
naturels R/2πZ → SO2 (R) qui sont :
a deux isomorphismes
cos(θ) − sin(θ)
• θ 7→
.
sin(θ)
cos(θ)
cos(θ) sin(θ)
• θ 7→
.
− sin(θ) cos(θ)
Si on suppose R2 orienté par sa base canonique, on a un isomorphisme canonique qui est le
premier ci-dessus.
Remarque. Soit E euclidien orienté de dimension 2. Par le choix d’une base directe on a un
isomorphisme SO(E) ≃ SO2 (R) ≃ R/2πZ. Deux tels isomorphismes diffèrent d’un changement
de bases orthonormées directes dans E, ce qui correspond à la conjugaison par un élément de
SO(E), qui est commutatif : ces isomorphismes sont donc les mêmes.
Soit φ ∈ SO(E). Il existe un unique θ ∈ R/2πZ tel que la matrice de φ soit :
rθ =
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
dans toute base orthonormée directe.
On a donc :
R R/2πZ ≃ SO(E) ≃ A
θ 7→
θ
7→
rθ
Définition. On appelle la mesure d’un angle orienté de demi-droites l’unique θ ∈ R/2πZ dont
il est l’image. Si θ ∈ R est un relèvement de θ, on dit parfois que θ une mesure de cet angle.
Remarque. De même pour les angles de droites orientés, si E est orienté, on a des morphismes
canoniques :
R R/πZ ≃SO(E)/{±id} ≃ A0
On définit de même la mesure d’un angle de droites orienté.
15.4 Mesure des angles non orientés - valable en toute dimension
15.4
53
Mesure des angles non orientés - valable en toute dimension
Si Du et Dv sont deux demi-droites dirigées par u et v respectivement, (Du , Dv ) et (Dv , Du )
définissent le même angle non orienté.
Si θ est une mesure de (Du , Dv ) orienté, alors −θ est une mesure de (Dv , Du ) orienté. Ainsi
|θ| est associé à l’angle non orienté (Du , Dv ). A un angle non orienté de demi-droites, on peut
associer une mesure dans (R/2πZ)/{θ ∼ −θ} dans le sens ensembliste.
Plus pragmatiquement, toutes les mesures de (Du , Dv ) ou (Dv , Du ) (orientés) ont le même
cosinus :
hu, vi
.
cos(θ) =
kuk.kvk
A tout angle non orienté de demi-droites on peut associer un unique réel θ défini par
hu, vi
Arccos
∈ [0, π].
kuk.kvk
Remarque. Pour les angles géométriques de droites, on obtient selon les choix de demi-droites
θ ou π − θ. On peut donc associer à un couple de droites un réel unique dans [0, π/2].
15.5
Similitudes
Définition. On appelle similitude (vectorielle) tout u ∈ L(E) tel que :
∀x ∈ E, ku(x)k = kkxk,
pour un certain k > 0.
→
−
Définition. On appelle similitude affine toute application affine f telle que f est une similitude vectorielle.
→
−
Définition. On parle de similitude directe ou indirecte selon le signe de det( f ).
Exemple. Toute composée d’une isométrie et d’une homothétie est une similitude et ce sont
les seules.
Proposition 93. Les similitudes (resp. directes) préservent les angles (resp. orientés).
Proposition 94. Dans le plan affine euclidien, les similitudes (resp. directes) sont exactement
les applications affines qui préservent les angles (resp. orientés).
54
16 RAPPELS SUR LES FORMES QUADRATIQUES
Quatrième partie
Introduction aux coniques sur K = R ou C
Pourquoi diable les coniques ?
Jusqu’à présent, nous nous sommes restreint à des "mathématiques de degré 1". Le but
des coniques est d’étudier des "mathématiques de degré 2" : algébriquement il s’agira de forme
quadratique, et géométriquement la notion de courbure apparaît.
La première étude de ces objets a été faite par Appollonius de Perge (-200) qui s’intéressait
aux sections de cône. Il donna les noms utilisés aujourd’hui à savoir ellipse, hyperbole, parabole.
Pour les mathématiciens modernes, c’est le prototype de la géométrie algébrique.
Exemple. (Théorème de Bézout)
Le nombre de points d’une droite interceptant une conique est au plus 2 (sauf dans des cas
dégénérés).
Mais en géométrie projective complexe, le résultat est 2, quitte à compter avec multiplicité.
Applications des coniques euclidiennes
• Loi de Kepler : un mouvement à force centrale donne une trajectoire qui est une conique.
• Propriétés optiques : lois de réflexion de Descartes (1637) ou de Snell (1621) qui sont
apparues dans un parchemin perse en 983 écrit par Idn Sahl. Elles sont, par exemple,
utilisées pour des miroirs paraboliques de télescopes.
• Ellipses : foyers conjugués - aspect dynamique (billard elliptique).
Etude des coniques
Problème 1 : Est-ce qu’une conique est un ensemble de points ou une équation... En effet
sur R, les équations X 2 + 1 et X 2 + Y 2 + 1 définissent le vide mais elles sont algébriquement
très différentes.
Problème 2 : Quand est-ce qu’une conique est dégénérée ?
Par exemple, X 2 + Y = 1 définit une parabole : elle est géométriquement non dégénérée,
mais algébriquement dégénérée car sa forme quadratique a un noyau.
Parallèlement, X 2 − Y 2 = 0 est géométriquement dégénérée (deux droites) mais non algébriquement dégénérée.
Problème 3 : Classification des coniques (projective, affine, euclidienne, sous l’action des
similitudes) par la réduction des formes quadratiques.
16
Rappels sur les formes quadratiques
16.1
Vocabulaire
Définition. Soit E un Kev et B : E × E → K bilinéaire. On dit que B est symétrique si :
∀x, y ∈ E, B(x, y) = B(y, x).
Dans ce cas, qB : x 7→ B(x, x) est la forme quadratique associée.
16.1 Vocabulaire
55
Remarque. On a B(x, y) = qB (x−y)−q2B (x)−qB (y) . Donc B 7→ qB est une bijection.
En fait c’est même un isomorphisme de Kevs entre les formes bilinéaires symétriques et les
formes quadratiques.
Définition. Soit q une forme quadratique. La forme bilinéaire symétrique associée à q, notée
Bq , est appelé sa forme polaire.
P
P
Remarque. Dans une base (e1 , ..., en ) de E, si x = xi ei et y =
yi ei , alors :
B(x, y) =
n
X
xi yj B(ei , ej ) = xt M y,
i,j=1
où M = (B(ei , ej ))1≤i,j≤n . Ainsi qB (x) = xt M x.
En particulier, dans toute base qB est un polynôme homogène de degré 2 en les composantes.
Inversement, si :
X
P =
aij Xi Xj ,
i≤j
P est une forme quadratique de matrice :

aij
2
a11
..

M =
aji
2


.
.
ann
Définition. Soit B une forme bilinéaire symétrique sur E. On dit que x et y ∈ E sont orthogonaux pour B si B(x, y) = 0. On le note parfois x ⊥B y.
Définition. Soit q une forme quadratique sur E. On dit que x est isotrope pour q si q(x) = 0
(id est x ⊥Bq x).
Définition. L’ensemble des vecteurs isotropes d’une forme quadratique q est un cône id est
invariant par homothétie. On l’appelle cône isotrope de q.
Remarque. Si q 0 = λq avec λ ∈ K ? et q, q 0 deux formes quadratiques, alors q et q 0 ont le même
cône isotrope.
La réciproque est fausse. Par exemple X 2 +Y 2 et X 2 +2Y 2 sur R2 ont le même cône isotrope
mais ne sont pas proportionnelles.
Remarque. Soit B une forme bilinéaire symétrique sur E. Alors l’application suivante est linéaire :
φB : E → E ∗
x 7→ B(x, ·)
Définition. Le noyau d’une forme quadratique q est le noyau de φBq et son rang est le rang
de φBq .
Définition. On dit qu’une forme quadratique q est propre si ker(q) = {0} et dégénérée sinon.
P
Remarque. Dans la base (e1 , ..., en ), on écrit B = i,j B(ei , ej )e∗i ⊗ e∗j . Ainsi :
!
X
X X
φB (x) =
B(ei , ej )xi e∗j =
B(x, ej )e∗j .
j
i
j
Donc la matrice de φB dans (e1 , ..., en ) et (e∗1 , ..., e∗n ) est M = (B(ei , ej ))1≤i,j≤n . En particulier :
rg(q) = rg(M ) ; ker(q) = ker(M ).
56
17 CONIQUES PROJECTIVES

1 0 0
Exemple. Sur K 3 , la forme quadratique q = X 2 + Y 2 de matrice  0 1 0  est dégénérée.

 0 0 0
1 0 0
Par contre la forme quadratique X 2 − 2Y Z de matrice  0 0 1  est propre.
0 1 0

16.2
Classification
Théorème 95. (Rappel)
Sur un corps K de caractéristique différente de 2, toute forme quadratique (resp. bilinéaire
symétrique) admet une base orthogonale (id est sa matrice dans cette base est diagonale).
Théorème 96. (Classification sur C)
Soit q une forme quadratique sur E un Cev de dimension n. Il existe une base de E dans
laquelle q est de matrice :
Ir 0
,
0 0
avec r = rg(q).
Conséquence. Soit E un Cev.
Le rang est un invariant total pour l’action de GL(E) sur l’ensemble des formes quadratiques
par :
f.q = q ◦ f −1 .
De même c’est un invariant de GLn (C) sur Symn (C) par congruence.
Théorème 97. (Classification sur R)
Soit q une forme quadratique sur E un Rev de dimension n. Il existe une base de E dans
laquelle la matrice de q est :


Ip
0
0
 0 −Ir−p 0  ,
0
0
0
avec r = rg(q) et p = max{dim(F ), q soit définie positive sur le sev F de E}.
Conséquence. Soit E un Rev.
La signature (p, r − p) est un invariant total pour l’action de GL(E) sur l’ensemble des
formes quadratiques par :
f.q = q ◦ f −1 .
De même c’est un invariant de GLn (R) sur Symn (R) par congruence.
17
Coniques projectives
17.1
Définition
On considère jusqu’à la fin de ce polycopié E un Kev de dimension 3, et Q l’espace vectoriel
des formes quadratiques sur E.
Définition. On appelle conique du plan projectif P(E) les éléments de P(Q).
On appelle image de la conique C ∈ P(Q) la projection dans P(E) de son cône isotrope. On
la note :
C := π(q −1 (0)),
où π : E \ {0} → P(E) et q est un antécédent de C.
17.2 Transformation par homographies
57
Remarque.
• C ne dépend que de C.
• 0 ne définit pas une conique. En particulier, P(E) n’est pas une conique.
• dim(P(Q)) = 5.
• Si P est un polynôme homogène sur K 3 :
P (λX, λY, λZ) = λdeg(P ) P (X, Y, Z).
Cela ne définit donc pas une fonction sur P(E) mais l’ensemble des zéros est bien défini.
• C = {[x : y : z] ∈ P(E), q(x, y, z) = 0} où q est un relevé de C. On notera abusivement
C = C −1 (0).
Définition. Soit C ∈ P(Q). On dit que C est une conique propre si q est propre pour un /
tout relevé q de C. Elle est dite dégénérée sinon.
ATTENTION : Sur R, la forme quadratique q = X 2 + Y 2 + Z 2 est associée à une conique
q ∈ P(Q) propre d’image ∅.
17.2
Transformation par homographies
Remarque. Soit f ∈ GL(E) et q ∈ Q. Alors q ◦ f −1 est une forme quadratique sur E de polaire :
Bq (f −1 , f −1 ).
Ainsi GL(E) agit sur Q par f.q = q ◦ f −1 et cette action est linéaire. Donc GL(E) agit sur
P(Q) par homographies :
f.q = q ◦ f −1 .
Proposition 98. L’action des homothéties est triviale.
Démonstration. Soit λ ∈ K ? . Alors :
1
1
(λId).q = q ◦ id = 2 q = q.
λ
λ
Conséquence. On peut passer au quotient dans l’action précédente. On obtient alors l’action
P GL(E) y P(Q) définie par :
f .q := q ◦ f −1 .
Proposition 99. Soit h ∈ P GL(E), C ∈ P(Q) et C = C −1 (0). Alors :
(h.C)−1 (0) = h(C).
Démonstration. Soit f ∈ GL(E) telle que f = h et q ∈ Q un antécédent de C.
On a C = π(q −1 (0)). Ainsi :
(h.C)−1 (0) = π((f.q)−1 (0)) = π(f (q −1 (0))) = π ◦ f ◦ π −1 (C) = h(C).
58
17.3
17 CONIQUES PROJECTIVES
Classification des coniques projectives
Théorème 100. (Formes normales sur C)
Soit C une conique d’un plan projectif complexe P. Il existe alors des coordonnées homogènes
[x : y : z] sur P dans lesquelles C est de l’une des formes suivantes :
• C = X 2 + Y 2 + Z 2 (rang 3).
• C = X 2 + Y 2 (rang 2).
• C = X 2 (rang 1).
Conséquence. Les orbites de l’action P GL(E) y P(Q) sont classifiées par le rang de C.
Remarque. Si f ∈ GL(E), on a l’égalité des dimensions entre ker(q ◦ f −1 ) = f (ker q). Donc q
et f.q ont le même rang.
Corollaire 101. Il existe une unique conique projective propre modulo homographies. De plus,
on peut exprimer les images des coniques :
• si le rang est 1, C = {X 2 = 0} = {X = 0} est une droite projective (double).
• dans le cas où le rang est 2, C = {X 2 + Y 2 = 0} = D− ∪ D+ , avec D− = {X − iY = 0}
et D+ = {X + iY = 0}. Ces deux droites s’intersectent transversalement et la conique
possède un unique point double D− ∩ D+ .
• si son rang vaut 3, C = {X 2 + Y 2 + Z 2 = 0} est sans partie réelle. Dans d’autres
coordonnées, C est d’équation :
X 2 + Y 2 − Z 2 = 0 ou X 2 − Y Z = 0.
Théorème 102. (Formes normales sur R)
Soit C une conique projective du plan réel P. Il existe des coordonnées homogènes [x : y : z]
sur P dans lesquelles C est de l’une des formes suivantes :
• Q = X 2 + Y 2 + Z 2 de signature (3, 0) ou (0, 3). (propre)
• Q = X 2 + Y 2 − Z 2 de signature (2, 1) ou (1, 2). (propre)
• Q = X 2 + Y 2 de signature (2, 0) ou (0, 2). (dégénérée de rang 2)
• Q = X 2 − Y 2 de signature (1, 1). (dégénérée de rang 2)
• Q = X 2 de signature (1, 0) ou (0, 1). (dégénérée de rang 1)
Remarque. L’action des homographies ne modifie pas la signature d’une conique (principe de
conjugaison), en tant que paire (pas en tant que couple).
Conséquence. Les orbites de P GL(E) y P(Q) sont classifiées par la paire {p, r − p}.
Remarque. On peut exprimer les images des coniques projectives réelles :
• si la signature est (1, 0), alors C est une droite projective (double).
• lorsque la signature vaut (2, 0), C = {X 2 + Y 2 = 0} = {X = Y = 0} est un point.
• pour une signature valant (1, 1), on a C = {X 2 − Y 2 = 0} = D− ∪ D+ avec les droites
D− = {X − Y = 0} et D+ = {X + Y = 0} qui s’intersectent transversalement avec un
unique point double.
• dans le cas où la signature est (3, 0), C = {X 2 + Y 2 + Z 2 } = ∅.
• si la signature vaut (2, 1), C = {X 2 + Y 2 − Z 2 } ⊂ P2 (R) est la projection d’un cône.
Dans ce dernier cas, selon la carte affine qu’on choisit, on voit l’une des trois coniques affines,
à savoir une ellipse, une parabole ou encore une hyperbole.
17.4 Intersection avec une droite
59
Figure 1 – Conique projective propre non vide dans les cartes affines
Corollaire 103. Il existe une unique conique projective réelle propre non vide modulo homographies.
17.4
Intersection avec une droite
Soit C ∈ P(Q) d’image C et D une droite de P(E).
Théorème 104. (Bézout complexe - "très très" faible)
On a l’une des situations suivantes :
• #(D ∩ C) = 1 ou 2.
• D ⊂ C.
Démonstration. Soit P = π −1 (D) et q un représentant de C. Alors :
π −1 (D ∩ C) = {x ∈ P, q(x) = 0}.
• Si q|P est de rang 2, q|P est de la forme X 2 + Y 2 = 0 dans une certaine base de P . On a
donc deux droites isotropes dans P notées D− et D+ , et D ∩ C = {π(D± )}.
• Si q|P est de rang 1, q|P est de la forme X 2 = 0 dans une certaine base de P . On a donc
une unique droite isotrope dans P notée D, et D ∩ C = {π(D)}.
• Si q|P = 0, alors D ⊂ C.
Définition. Si D ∩ C = {M }, on dit que D est la tangente à C en M .
Si #(D ∩ C) = 2, on dit que D et C sont sécantes.
Remarque. Si #(D ∩ C) ≥ 3, alors D ⊂ C. Dans ce cas, C est dégénérée.
Théorème 105. (Bézout réel - "très très" faible)
On a l’une des situations suivantes :
• #(D ∩ C) = 0 ou 1 ou 2.
• D ⊂ C. (auquel cas C est dégénérée)
Définition. Soit C une conique propre. Soit D une droite coupant deux fois celle-ci aux points
A et B. On appelle pôle de la droite (AB) le point d’intersection des tangentes en ces points.
Si D est une tangente de la conique, tout point de cette droite sera appelé par extension
pôle de D.
Théorème 106. Soit C une conique propre et quatre points O0 , O1 , O2 et O3 tels que les Oi
pour i 6= 0 appartiennent à C et le point O0 soit le pôle de la droite (O1 O2 ). Il existe alors trois
formes linéaires f0 , f1 et f2 telles que pour toute permutation (ijk) la droite (Oi Oj ) ait pour
équation homogène fk = 0 et C = π(f02 − f1 f2 ).
60
17 CONIQUES PROJECTIVES
Démonstration. Les quatre points constituent un repère projectif, car le triangle O0 O1 O2 est
non aplati et que O3 ne peut pas être aligné avec deux des trois autres points. Nous pouvons
donc considérer le système de coordonnées homogènes adapté à ce repère. Notons M la matrice
de la forme quadratique :


a b d
M =  b c e .
d e f
Le point O0 a pour coordonnées homogènes (0, 0, 1) et la droite (O1 O2 ) a pour équation homogène :
 T
 
0
X
 0  M  Y  = 0,
1
Z
soit dX + eY + f Z = 0. Or son équation est Z = 0. Ainsi d = e = 0. Des considérations
analogues sur les tangentes en O1 et O2 montrent qu’on a :


0 b 0
M =  b 0 0 .
0 0 f
Enfin, comme O2 = (1, 1, 1) appartient à la conique, on a 2b + f = 0 et une équation de C
s’écrit simplement :
Z 2 − XY = 0.
Si on appelle (e0 , e1 , e2 ) une base adaptée au repère projectif, les trois formes e∗i répondent au
problème.
Théorème 107. Soit E un Kev de dimension 3, Q l’ensemble des formes quadratiques sur E
et C, C 0 ∈ P(Q).
• Si K = C et C et C 0 ont même image, alors C = C 0 .
• Si K = R et C et C 0 ont même image formée d’au moins deux points distincts, alors
C = C 0.
Démonstration.
• Cas complexe : Si l’une des conique est propre, elle n’a pas de point
double et il en est de même de l’autre. On choisit un repère affine du plan constitué de
trois points O1 , O2 et O3 de l’image commune. Les tangentes en O1 et en O2 sont les
tangentes à C et ne dépendant pas de la conique. Le pôle O0 est donc indépendant de la
conique. Nous obtenons ainsi un repère projectif lié à C et indépendant de la conique.
Par le théorème précédent, l’unique conique ayant pour image C est π(f02 − f1 f2 ). Il
y a donc bijection entre les coniques propres et leurs images. Si l’une des coniques est
impropre , il s’agit de la réunion de deux droites D1 et D2 ou une droite D0 . Dans le
premier cas, la conique est π(f1 , f2 ) et dans le second π(f02 ) avec Di les zéros de fi .
• Cas réel : Le soucis est de pouvoir définir un repère projectif du plan réel dont trois
points constituent les sommets d’un triangle inscrit dans la conique. Pour cela, il faut
que la conique possède au moins trois points : d’où la restriction de l’hypothèse. L’image
de la conique possède alors deux points A et B. Raisonnons par disjonction de cas :
* Si la conique est propre, une droite passant par A et distincte de la tangente en A et
de la droite (AB) recoupe la conique en un point C. Le triangle ABC est inscrit dans
la conique, et on peut construire le repère projectif convoité, permettant d’achever
le raisonnement comme dans le cas complexe.
* Si la conique est impropre mais que son image ne se réduit pas à la droite (AB), il
existe deux formes linéaires f0 et f1 telles que la conique soit π(f0 , f1 ).
* Si l’image de la conique se réduit à la droite (AB) la conique est π(f 2 ).