МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. М.В. ЛОМОНОСОВА
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Ю.Н. ЧЕРЕМНЫХ, В.А. ЧАХОЯН,
А.Ю. ЧЕЛНОКОВ, Ф.С. КАРТАЕВ,
О.В. КАПУСТИНА
МИКРОЭКОНОМИКА
ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ УРОВЕНЬ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Под общей редакцией В.А. Чахоян
Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов России
по образованию в области экономики и экономической теории
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению 38.03.01 (080100) «Экономика»
(квалификация (степень) «бакалавр»)
МОСКВА
ИНФРА-М
2015
УДК
ББК
330.101.542(075.8)
65.012.1я73
Ч46
ФЗ
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке
в соответствии с п. 1 ч. 1 ст. 11
А в т о р ы:
д-р экон. наук, проф. Ю.Н. Черемных, канд. экон. наук,
доц. В.А. Чахоян – раздел 1–10, часть задач; кандидаты экон. наук
А.Ю. Челноков, Ф.С. Картаев, О.В. Капустина – часть задач
Р е ц е н з е н т ы:
д-р экон. наук, проф., зав. лабораторией УЭМИ РАН Ю.Н. Гаврилец;
д-р экон. наук, проф. РЭУ им. Г.В. Плеханова Т.М. Тихомирова
Ч46
Черемных Ю.Н., Чахоян В.А., Челноков А.Ю., Картаев Ф.С.,
Капустина О.В.
Микроэкономика. Промежуточный уровень: Учеб. пособие /
Под общ. ред. В.А. Чахоян. – М.: НИЦ ИНФРА-М, 2015. – 176 с. +
Доп. материалы [Электронный ресурс; Режим доступа http://www.
znanium.com]. — (Высшее образование: Бакалавриат). — www.dx.doi.
org/10.12737/5270.
ISBN 978-5-16-005377-6 (print)
ISBN 978-5-16-100232-2 (online)
Пособие содержит теоретические положения по основным разделам
изучаемого курса, чтобы студенты могли самостоятельно выполнить задания, помогающие освоить основные понятия, подходы, зависимости по рассматриваемым вопросам. Данное учебное пособие должно помочь студенту
бакалавриата в организации самостоятельной работы при изучении курса
«Микроэкономика-2».
ББК 65.012.1я73
, доступны
Материалы, отмеченные знаком
в электронно-библиотечной системе znanium
(www.znanium.com)
ISBN 978-5-16-005377-6 (print)
ISBN 978-5-16-100232-2 (online)
© Чахоян В.А., 2015
Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М
Подписано в печать 25.07.2015.
Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton.
Печать цифровая. Усл. печ. л. 11,0. Уч.-изд. л. 11,62 + 2,97 ЭБС.
Тираж 500 экз. (I – 100 экз.) Заказ №
ТК 454750-10972-250515
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru
Раздел 1
ТЕОРИЯ ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЯ НА РЫНКЕ
Основные определения и утверждения
1.1. Функции спроса по Маршаллу, косвенная
функция полезности. Функции спроса по Хиксу.
Функция расходов. Тождество Роя и лемма Шепарда
Обозначим через x̂1 величину спроса на 1-й товар, а через x̂2 –
величину спроса на 2-й товар. Они определяются как решение задачи
оптимизации потребительского выбора (1.1), (1.2):
U (x1, x2) → max,
(1.1)
p1 x1 + p2 x2 = M,
(1.2)
где p1, p2 – цены 1-го и 2-го товаров, соответственно; М – доход потребителя; х1 и х2 – количества 1-го и 2-го товаров.
Функции спроса по Маршаллу D1 и D2 для 1-го и 2-го товаров описывают множество возможных решений задачи оптимизации потребительского выбора (1.1), (1.2) при различных значениях цен p1 и p2
и дохода потребителя М, т.е.
xˆ1 = D1 ( p1, p2 , M ), xˆ2 = D2 ( p1, p2 , M ).
Функции спроса D1(p1, p2, M) и D2 (p1, p2, M) однородны нулевой
степени по всем переменным, т.е. для любого числа γ > 0
1ˆ Di ( p1, p2 , M ) = Di ( γ ⋅ p1, γ ⋅ p2 , γ ⋅ M ) = xˆi , i = 1, 2.
(1.3)
Косвенной (неявной) функцией полезности называется функция
U ( xˆ1, xˆ2 ) = U [ D1 ( p1, p2 , M ), D2 ( p1, p2 , M )] = v ( p1, p2 , M ),
(1.4)
где v ( p1, p2, M ) – максимум функции полезности в задаче (1.1), (1.2).
Свойства косвенной функции полезности можно найти в [10,
с. 26−27].
При анализе поведения потребителя наряду с задачей оптимизации потребительского выбора (1.1), (1.2) возникает задача другого
рода: заданы желаемый уровень полезности U и цены товаров, как
достичь этого уровня полезности с наименьшими затратами?
3
Аналитическая форма задачи минимизации расходов при достижении заданного уровня полезности имеет вид
m = p1x1 + p2 x2 → min;
(1.5)
U ( x1, x2 ) = U .
(1.6)
Функции спроса по Хиксу (функции компенсированного спроса)
H1 и H2 для 1-го и 2-го товаров описывают множество возможных
решений задачи оптимизации потребительского выбора (1.5), (1.6)
при различных значениях цен p1 и p2 и уровня полезности потреби⌣
⌣
теля U , т.е. x1 = H1 ( p1, p2 ,U ), x2 = H 2 ( p1, p2 ,U ).
⌣
⌣
Функции спроса x1 = H1 ( p1, p2 ,U ) и x2 = H 2 ( p1, p2 ,U ) однородны
нулевой степени по переменным p1 и p2, т.е. для любого числа > 0
⌣
(1.7)
H i ( p1, p2 , U ) = H i ( γ ⋅ p1, γ ⋅ p2 , U ) = xi , i = 1, 2.
Функцией расходов называется функция
m ( p1, p2 , U ) = p1 H1 ( p1, p2 , U ) + p2 H 2 ( p1, p2 , U ).
(1.8)
Свойства функции расходов можно найти в [13, с. 34–35].
Утверждение 1.1.1. Тождество Роя
∂v( p1, p2 , M )
∂v( p1, p2 , M )
1ˆ
= − xˆi
(i = 1, 2).
∂pi
∂M
(1.9)
Утверждение 1.1.2. Лемма Шепарда
∂m( p1, p2 ,U ) ⌣
∂m( p1, p2 ,U ) ⌣
= x1,
= x2 .
∂p1
∂p2
(1.10)
1.2. Анализ спроса: множество (линия) «доход – потребление»,
линия «цена – потребление», линии Энгеля, линии спроса.
Классификация товаров
Множество решений {( x1, x2 )} задачи оптимизации потребительского выбора (1.1), (1.2) при неизменных значениях цен p = ( p1, p2 )
и изменении только дохода потребителя М называется множеством
«доход – потребление».
В частном случае это множество может быть линией.
Множество решений {( x1, x2 )} задачи оптимизации потребительского выбора (1.1), (1.2) при изменении цены 1-го товара p1 и неиз4
менных значениях цены 2-го товара p2 и дохода М называется
линией «цена 1-го товара – потребление».
Аналогично определяется линия «цена 2-го товара – потребление».
Линия Энгеля описывает зависимость величины спроса на товар
от дохода.
Если в функции спроса по Маршаллу для i-го товара Di (p1, p2, M),
(i = 1, 2) зафиксировать цены на некотором уровне, то линия Энгеля
для этого товара будет описываться уравнением:
xˆi = Di ( p1, p2 , M ), i = 1, 2.
Линия спроса описывает зависимость величины спроса на i-й товар от цены этого товара.
Различают линии спроса двух видов: по Маршаллу и по Хиксу.
Если в функции спроса по Маршаллу для i-го товара Di (p1, p2, M),
(i = 1, 2) зафиксировать цену другого товара и доход на некотором
уровне, то получим линию спроса по Маршаллу для i-го товара. Для
1-го товара она будет описываться уравнением xˆ1 = D1 ( p1, p2 , M ),
а для 2-го товара – уравнением xˆ2 = D2 ( p1, p2 , M ).
⌣
Если в функции спроса по Хиксу для i-го товара xi = H i ( p1, p2 ,U ),
(i = 1, 2) зафиксировать цену другого товара и полезность на некотором уровне, то получим линию спроса по Хиксу, или линию компенсированного спроса для i-го товара. Для 1-го товара она опи⌣
сывается уравнением x1 = H1 ( p1, p2 ,U ), а для 2-го товара – уравне⌣
нием x2 = H 2 ( p1, p2 ,U ).
∂Di
Если для i-го товара выполняется закон спроса, т.е.
<0
∂
p
i
(i = 1, 2), то такой товар называется обыкновенным.
∂Di
Если для i-го товара не выполняется закон спроса, т.е.
>0
∂
p
i
(i = 1, 2), то такой товар называется товаром Гиффена.
Если величина спроса (по Маршаллу) на i-й товар уменьшается
∂Di
с ростом цены j-го товара и наоборот, т.е.
< 0 (i, j = 1, 2 и i j),
∂p j
то i-й товар дополняет j-й товар в потреблении и является общим дополнителем j-го товара.
Если величина спроса (по Маршаллу) на i-й товар увеличивается
с ростом цены j-го товара и уменьшается при понижении цены j-го
∂Di
товара, т.е.
> 0 (i, j = 1, 2 и i j), то i-й товар замещает j-й товар
∂p j
в потреблении и является общим заменителем j-го товара.
5
Если величина спроса (по Хиксу) на i-й товар уменьшается с рос∂H i
том цены j-го товара и наоборот, т.е.
< 0 (i, j = 1, 2 и i j),
∂p j
то i-й товар дополняет j-й товар в потреблении и является чистым дополнителем j-го товара.
Если величина спроса (по Хиксу) на i-й товар увеличивается
с ростом цены j-го товара и уменьшается при понижении цены j-го
∂H i
товара, т.е.
> 0 (i, j = 1, 2 и i j), то i-й товар замещает j-й товар
∂p j
в потреблении и является чистым заменителем j-го товара.
Если с ростом дохода потребителя величина спроса на i-й товар
увеличивается, а с понижением дохода величина спроса уменьша∂Di
ется, т.е.
> 0 (i = 1, 2), то такой товар называется нормальным.
∂M
При этом если EM (Di) 1, то говорят, что i-й товар является товаром первой необходимости. Если EM (Di) = 1, то говорят, что i-й товар
является товаром второй необходимости. И наконец, если EM (Di) > 1,
то говорят, что i-й товар является товаром роскоши.
Если с ростом дохода потребителя величина спроса на i-й товар
уменьшается, и наоборот, с падением дохода потребителя величина
∂Di
спроса на i-й товар увеличивается, т.е.
< 0 (i = 1, 2), то такой
∂M
товар называется товаром низкого качества.
1.3. Анализ благосостояния потребителя в статике: компенсационное
и эквивалентное изменение дохода по Хиксу и по Слуцкому.
Уравнения Слуцкого в частных производных и в эластичностях.
Другие уравнения агрегации
Допустим, при доходе М и ценах на товары, равных p1 и p2, потребитель выбирает набор x0 = (x10, x20). Если изменяется цена одного
из товаров, положим, цена 1-го товара становится равной p1 , то потребитель выбирает новый набор x1 = (x11, x21). Оценить изменение
благосостояния потребителя, вызванное изменением цены 1-го товара, можно, используя такие понятия, как компенсационное изменение дохода по Хиксу (∆M KH ) , компенсационное изменение дохода
по Слуцкому (∆M KS ) и эквивалентное изменение дохода по Хиксу
(∆M ЭH ) , эквивалентное изменение дохода по Слуцкому (∆M ЭS ) .
6
Определим эти понятия, используя функцию расходов m ( p1, p2, U )
и косвенную функцию полезности v ( p1, p2, M ):
∆M КH = m ( p1, p2 ,U ( x 0 )) − M = m ( p1, p2 , v ( p1, p2 , M )) − M ;
(1.11)
∆M КS = p1 x10 + p2 x20 − M = p1 x10 + p2 x20 − p1 x10 − p2 x20 = ( p1 − p1 ) x10 ; (1.12)
(
)
∆M ЭH = m p1, p2 ,U ( x1 ) − M = m ( p1, p2 , v ( p1, p2 , M ) − M ;
(1.13)
∆M ЭS = p1 x11 + p2 x21 − M = p1 x11 + p2 x21 − p1 x11 − p2 x21 = ( p1 − p1 ) x11. (1.14)
Первая версия уравнения Слуцкого:
∂Di
∂H i
∂Di
=
− Dj
, i, j = 1, 2.
∂p j
∂p j
∂M
(1.15)
Вторая версия уравнения Слуцкого:
∂D j
∂D j
∂Di
∂Di
, i, j =1, 2.
+ Dj
=
+ Di
∂p j
∂M
∂pi
∂pi
(1.16)
Уравнение Слуцкого в эластичностях:
Eij = Eijk − α j EiM
i, j = 1, 2,
(1.17)
где Eij = E p j ( Di ) – эластичность спроса (по Маршаллу) на i-й товар
по цене j-го товара; Eijk = E p j ( H i ) – эластичность компенсированного спроса (по Хиксу) на i-й товар по цене j-го товара;
EiM = EM (Di) – эластичность спроса (по Маршаллу) на i-й товар
pj Dj
– доля расходов на j-й товар в доходе потрепо доходу; α j =
M
бителя М.
Уравнение агрегации Энгеля:
α1 E1M + α 2 E2 M = 1.
(1.18)
Уравнения агрегации Курно:
α1 E11 + α 2 E21 = −α1 , α1 E12 + α 2 E22 = −α 2 .
(1.19)
Уравнения агрегации эластичностей компенсированного спроса:
k
k
k
k
α1 E11
+ α 2 E21
= 0, α1 E12
+ α 2 E22
= 0.
(1.20)
Другие уравнения агрегации:
E11 + E12 + E1M = 0, E21 + E22 + E2 M = 0.
(1.21)
7
1.4. Анализ благосостояния потребителя во времени: индексы
реального дохода и индексы цен. Слабая аксиома выявленных
предпочтений. Связь между теорией выявленных предпочтений
и индексами цен
Для оценки изменения благосостояния потребителя во времени
нам необходимо рассмотреть два периода. Допустим, начальный (базовый) период t = 0, а текущий период t = 1. Обозначим доход, цены
и потребительский набор в базовом периоде t = 0 через М 0 ,
р0 = ( р10, р20) и Х 0 = (х10, х20), соответственно. Доход, цены и потребительский набор в текущем периоде t = 1 – через М1, р1 = (р11, р21)
и Х 1 = (х11, х21). Тогда в принятых обозначениях:
• индекс номинального дохода
M 01 =
M1
,
M0
(1.22)
• индекс цен Ласпейреса (базисно взвешенный)
P01 ( X 0 ) =
p11 x10 + p21 x 20
,
p10 x10 + p20 x 20
(1.23)
• индекс цен Пааше (текуще взвешенный)
P01 ( X 1 ) =
p11 x11 + p21 x 21
,
p10 x11 + p20 x 21
(1.24)
• индекс реального дохода Ласпейреса (базисно взвешенный)
I 01 ( p0 ) =
x11 p10 + x21 p20
,
x10 p10 + x 20 p20
(1.25)
• индекс реального дохода Пааше (текуще взвешенный)
I 01 ( p1 ) =
x11 p11 + x21 p21
.
x10 p11 + x 20 p21
(1.26)
Сформулируем cлабую аксиому выявленных предпочтений (САВП).
САВП. Если потребитель прямо выявленно предпочитает набор А
набору В, он не может в то же время прямо выявленно предпочитать
набор В набору А.
Если имеет место САВП, это означает, что поведение потребителя
рационально, его вкусы не меняются и он покупает набор А, когда
8
может купить набор В, и как бы ни менялись цены товаров и доход
потребителя, он не станет покупать набор В, если ему по-прежнему
доступен набор А.
Если при ценах Р 0 потребитель прямо предпочитает набор А набору В, а при ценах Р 1 он покупает набор F или D, то это не противоречит САВП, так как наборы F и D не были доступны потребителю
при ценах Р 0 (рис. 1, а).
a)
б)
х2
х2
A
B
B
F
A
D
P0
P1
х1
P0
P1
х1
Рис. 1
Допустим, при ценах P 0 потребитель предпочитает набор А набору В (A ≻ B), а при ценах Р1 потребитель выбирает набор В, следовательно, B ≻ F и B ≻ D. В силу транзитивности предпочтений потребителя набор А косвенно выявленно предпочитается набору F или D
(рис. 1, а).
Если при ценах Р0 потребитель прямо предпочитает набор А набору В, а при ценах Р1 он покупает набор В, т.е. выявленно предпочитает набор В набору А, в то время как ему доступен набор А, то
имеет место нарушение САВП (рис. 1, б).
Формализация концепции выявленных предпочтений позволяет
получить следующие выводы:
1) если I01(p0) 1, то можно утверждать о снижении благосостояния
потребителя;
2) если I01(p0) > 1, то это само по себе не говорит о повышении благосостояния потребителя;
3) если I01(p1) > 1, то можно утверждать, что благосостояние потребителя повысилось;
4) если I01(p1) 1, то нельзя однозначно утверждать о снижении благосостояния потребителя.
9
ЗАДАЧИ
1.1
1.1.1. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = ( x1 − 3) ⋅ x21/3.
Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
2 /3
1. Выведите функции спроса по Маршаллу xˆ1 = D1 ( p1, p2 , M ),
xˆ2 = D2 ( p1, p2 , M ) и косвенную функцию полезности v (p1, p2, M).
⌣
2. Выведите функции спроса по Хиксу x1 = H1 ( p1, p2 ,U ),
⌣
x2 = H 2 ( p1, p2 ,U ) и функцию расходов m (p1, p2, U).
3. Найдите оптимальный набор потребителя при р1 = 2, р2 = 1,
М = 48.
4. Приведите геометрическую интерпретацию решения пункта 3.
5. Покажите, что косвенная функция полезности v (p1, p2, M)
и функция расходов m (p1, p2, U) взаимно обратные функции.
6. Используя лемму Шепарда, выведите функции спроса по Хиксу
для обоих товаров.
7. Используя тождество Роя, выведите функции спроса по Маршаллу для обоих товаров.
1.1.2. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = x11/ 2 + x2. Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
1. Выведите функции спроса по Маршаллу xˆ1 = D1 ( p1, p2 , M ),
xˆ2 = D2 ( p1, p2 , M ) и косвенную функцию полезности v (p1, p2, M).
⌣
2. Выведите функции спроса по Хиксу x1 = H1 ( p1, p2 ,U ),
⌣
x2 = H 2 ( p1, p2 ,U ) и функцию расходов m (p1, p2, U).
3. Найдите оптимальный набор потребителя при р1 = 2, р2 = 3,
М = 18.
4. Приведите геометрическую интерпретацию решения пункта 3.
5. Покажите, что косвенная функция полезности v (p1, p2, M)
и функция расходов m (p1, p2, U) взаимно обратные функции.
6. Используя лемму Шепарда, выведите функции спроса по Хиксу
для обоих товаров.
7. Используя тождество Роя, выведите функции спроса по Маршаллу для обоих товаров.
10
1.1.3. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = ( x1 − 2) ⋅ x21/ 4.
Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
1. Выведите функции спроса по Маршаллу xˆ1 = D1 ( p1, p2 , M ),
xˆ2 = D2 ( p1, p2 , M ) и косвенную функцию полезности v (p1, p2, M).
⌣
2. Выведите функции спроса по Хиксу x1 = H1 ( p1, p2 ,U ),
⌣
x2 = H 2 ( p1, p2 ,U ) и функцию расходов m (p1, p2, U).
3. Найдите оптимальный набор потребителя при р1 = 2, р2 = 3,
М = 18.
4. Приведите геометрическую интерпретацию решения пункта 3.
5. Покажите, что косвенная функция полезности v (p1, p2, M)
и функция расходов m ( p1, p2, U ) взаимно обратные функции.
6. Используя лемму Шепарда, выведите функции спроса по Хиксу
для обоих товаров.
7. Используя тождество Роя, выведите функции спроса по Маршаллу для обоих товаров.
1/ 3
1.1.4. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = x11/ 2 + x21/ 2 . Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
1. Выведите функции спроса по Маршаллу xˆ1 = D1 ( p1, p2 , M ),
xˆ2 = D2 ( p1, p2 , M ) и косвенную функцию полезности v ( p1, p2, M ).
⌣
2. Выведите функции спроса по Хиксу x1 = H1 ( p1, p2 ,U ),
⌣
x2 = H 2 ( p1, p2 ,U ) и функцию расходов m ( p1, p2, U ).
3. Найдите оптимальный набор потребителя при р1 = 10, р2 = 15,
М = 150.
4. Приведите геометрическую интерпретацию решения пункта 3;
5. Покажите, что косвенная функция полезности v (p1, p2, M)
и функция расходов m (p1, p2, U) взаимно обратные функции.
6. Используя лемму Шепарда, выведите функции спроса по Хиксу
для обоих товаров.
7. Используя тождество Роя, выведите функции спроса по Маршаллу для обоих товаров.
1.1.5. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = x1α1 x2α 2 (0
1 1;
0
1; 1 + 2 = 1). Бюджетное ограничение имеет форму равен2
ства: р1х1 + р2х2 = М.
1. Выведите функции спроса по Маршаллу xˆ1 = D1 ( p1, p2 , M ),
xˆ2 = D2 ( p1, p2 , M ) и косвенную функцию полезности v (p1, p2, M);
11
⌣
2. Выведите функции спроса по Хиксу x1 = H1 ( p1, p2 ,U ),
⌣
x2 = H 2 ( p1, p2 ,U ) и функцию расходов m (p1, p2, U).
3. Покажите, что косвенная функция полезности v (p1, p2, M)
и функция расходов m (p1, p2, U) взаимно обратные функции.
4. Используя лемму Шепарда, выведите функции спроса по Хиксу
для обоих товаров.
5. Используя тождество Роя, выведите функции спроса по Маршаллу для обоих товаров.
1.1.6. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Функция полезности потребителя имеет вид U(x1, x2) = а1х1 + а2х2
(а1 > 0, a2 > 0). Бюджетное ограничение имеет форму равенства
р1х1 + р2х2 = М.
1. Выведите функции спроса по Маршаллу xˆ1 = D1 ( p1, p2 , M ),
xˆ2 = D2 ( p1, p2 , M ) и косвенную функцию полезности v ( p1, p2, M ).
⌣
2. Выведите функции спроса по Хиксу x1 = H1 ( p1, p2 ,U ),
⌣
x2 = H 2 ( p1, p2 ,U ) и функцию расходов m ( p1, p2, U ).
3. Покажите, что косвенная функция полезности v ( p1, p2, M )
и функция расходов m (p1, p2, U) взаимно обратные функции.
1.1.7. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функ⎛x x ⎞
ция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = min ⎜ 1 , 2 ⎟ .
⎝5 3⎠
Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
1. Выведите функции спроса по Маршаллу xˆ1 = D1 ( p1, p2 , M ),
xˆ2 = D2 ( p1, p2 , M ) и косвенную функцию полезности v ( p1, p2, M ).
⌣
2. Выведите функции спроса по Хиксу x1 = H1 ( p1, p2 ,U ),
⌣
x2 = H 2 ( p1, p2 ,U ) и функцию расходов m ( p1, p2, U );
3. Найдите оптимальный набор потребителя при р1 = 6, р2 = 5,
М = 180 и при р1 = 5, р2 = 8, М = 196.
4. Приведите геометрическую интерпретацию решений из пункта 3
(на одном графике).
5. Покажите, что косвенная функция полезности v (p1, p2, M)
и функция расходов m (p1, p2, U ) взаимно обратные функции.
6. Используя лемму Шепарда, выведите функции спроса по Хиксу
для обоих товаров.
7. Используя тождество Роя, выведите функции спроса по Маршаллу для обоих товаров.
12
1.1.8. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функция полезности потребителя имеет вид U(x1, x2) = 5x1 + 3x2. Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
1. Выведите функции спроса по Маршаллу xˆ1 = D1 ( p1, p2 , M ),
xˆ2 = D2 ( p1, p2 , M ) и косвенную функцию полезности v (p1, p2, M).
⌣
2. Выведите функции спроса по Хиксу x1 = H1 ( p1, p2 ,U ),
⌣
x2 = H 2 ( p1, p2 ,U ) и функцию расходов m (p1, p2, U).
3. Найдите оптимальный набор потребителя при р1 = 4, р2 = 3,
М = 132 и при р1 = 3, р2 = 4, М = 132.
4. Приведите геометрическую интерпретацию решений из пункта 3.
1.1.9. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Предпочтения потребителя описываются функцией полезности
U = ln x1 + x2. Доход потребителя равен 8, цены 1-го и 2-го товаров
равны соответственно 2 и 4.
1. Выведите функции спроса по Маршаллу на каждый товар
и функцию косвенной полезности и найдите оптимальный набор
потребителя.
2. Выведите функции спроса по Хиксу на каждый товар и функцию расходов и найдите оптимальный набор полезности, равной
U = ln 2 + 1, при заданных ценах.
3. Приведите геометрическую интерпретацию решений из пунктов 1 и 2.
4. Покажите, что косвенная функция полезности v (p1, p2, M)
и функция расходов m (p1, p2, M) взаимно обратные функции.
5. Используя лемму Шепарда, выведите функции спроса по Хиксу
для обоих товаров.
6. Используя тождество Роя, выведите функции спроса по Маршаллу для обоих товаров.
1.1.10. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Предпочтения потребителя описываются функцией полезности
U = x1 + 3x2 + 4. Доход потребителя равен 12, цены 1-го и 2-го товаров
равны соответственно 2 и 3.
1. Выведите функции спроса по Маршаллу xˆ1 = D1 ( p1, p2 , M ),
xˆ2 = D2 ( p1, p2 , M ) и косвенную функцию полезности v (p1, p2, M).
⌣
2. Выведите функции спроса по Хиксу x1 = H1 ( p1, p2 ,U ),
⌣
x2 = H 2 ( p1, p2 ,U ) и функцию расходов m (p1, p2, U).
3. Найдите оптимальные наборы потребителя: при заданных в условии ценах, а также при ценах р1 = 3, р2 = 2 и М = 12.
4. Приведите геометрическую интерпретацию решений пункта 3.
13
1.1.11. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Предпочтения потребителя описываются функцией полезности
U = x 1 + 2ln x 2 . Доход потребителя равен 10, цены 1-го и 2-го товаров равны соответственно 1 и 2.
1. Выведите функции спроса по Маршаллу на каждый товар
и функцию косвенной полезности и найдите оптимальный набор
потребителя.
2. Выведите функции спроса по Хиксу на каждый товар и функцию расходов и найдите оптимальный набор полезности, равной
U = 8 при заданных ценах.
3. Приведите геометрическую интерпретацию решений из пунктов 1 и 2.
4. Покажите, что косвенная функция полезности v (p1, p2, M)
и функция расходов m (p1, p2, U) взаимно обратные функции.
5. Используя лемму Шепарда, выведите функции спроса по Хиксу
для обоих товаров.
6. Используя тождество Роя, выведите функции спроса по Маршаллу для обоих товаров.
1.1.12. Функция косвенной полезности потребителя имеет вид
M 5/ 6
v = 1/ 2 1/3 .
p1 p2
1. Выведите функцию спроса по Маршаллу для 1-го товара.
2. Выведите функцию спроса по Хиксу для 2-го товара.
1.1.13. Функция косвенной полезности потребителя имеет вид
( M − 2 p1 )2
v=
.
4 p1 p2
1. Выведите функции спроса по Маршаллу для 1-го и 2-го товаров.
2. Выведите функцию спроса по Хиксу для 1-го товара.
p22
1.1.14. Функция расходов потребителя имеет вид m = up2 −
.
4 p1
Выведите функции спроса по Маршаллу для 1-го и 2-го товаров.
1.1.15. Функция расходов потребителя имеет вид
α
β
⎛p⎞ ⎛p ⎞
m = (α + β ) u ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ , (0 < α < 1, 0 < β < 1) .
⎝ α⎠ ⎝ β ⎠
1. Выведите функции спроса по Маршаллу для 1-го и 2-го товаров.
2. Выведите функции спроса по Хиксу для 1-го и 2-го товаров.
14
1.2
1.2.1. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = ( x1 − 3) ⋅ x21/3 .
Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
Известно, что р1 = 2, р2 = 1, М = 48.
1. Выведите уравнение линии «доход – потребление» и уравнение
линии Энгеля для 1-го товара, постройте графики этих линий.
2. Выведите уравнение линий «цена 1-го товара – потребление»
и «цена 2-го товара – потребление», постройте графики этих линий.
3. Выведите уравнения линий спроса по Маршаллу и по Хиксу,
постройте их графики.
4. Является ли 1-й товар товаром низкого качества? обыкновенным товаром? товаром первой необходимости?
5. Является ли 2-й товар чистым дополнителем (комплементом)
1-го в потреблении или только общим дополнителем?
2 /3
1.2.2. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = x11/ 2 + x2.
Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
Известно, что р1 = 2, р2 = 3, М = 18.
1. Выведите уравнение линии «доход – потребление» и уравнения
линии Энгеля для 1-го и 2-го товаров, постройте графики этих линий.
2. Выведите уравнения линий «цена 1-го товара – потребление»
и «цена 2-го товара – потребление», постройте графики этих линий.
3. Выведите уравнения линий спроса по Маршаллу и по Хиксу,
постройте их графики.
4. Определите, является ли 1-й товар товаром роскоши или товаром низкого качества? товаром первой необходимости?
5. Определите, является ли 1-й товар чистым заменителем 2-го
в потреблении или только общим заменителем?
1.2.3. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = ( x1 − 2) ⋅ x21/ 4.
Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
Известно, что р1 = 2, р2 = 3, М = 18.
1. Выведите уравнение линии «доход – потребление» и уравнение
линии Энгеля для 1-го и 2-го товаров, постройте графики этих линий.
2. Выведите уравнения линий «цена 1-го товара – потребление»
и «цена 2-го товара – потребление», постройте графики этих линий.
3. Выведите уравнения линий спроса по Маршаллу и по Хиксу,
постройте их графики.
1/ 3
15
4. Определите, является ли 2-й товар чистым заменителем по отношению к 1-му товару.
5. Определите, является ли 2-й товар общим дополнителем по отношению к 1-му товару.
6. Определите, является 2-й товар нормальным товаром или товаром роскоши.
1.2.4. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = x11/ 2 + x21/ 2 .
Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
Известно, что р1 = 10, р2 = 15, М = 150.
1. Выведите уравнение линии «доход – потребление» и уравнение
линии Энгеля для 2-го товара, постройте графики этих линий.
2. Выведите уравнение линии «цена 1-го товара – потребление»,
постройте график этой линии.
3. Выведите уравнения линий спроса по Маршаллу и по Хиксу,
постройте их графики.
4. Определите, является ли 1-й товар товаром роскоши или товаром низкого качества? товаром первой необходимости?
5. Определите, является ли 1-й товар чистым заменителем 2-го
в потреблении?
1.2.5. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = x1α1 x2α 2 (0
1 1,
0
1, 1 + 2 = 1). Бюджетное ограничение имеет форму равен2
ства р1х1 + р2х2 = М.
1. Выведите уравнение линии «доход – потребление» и уравнения линии Энгеля для 1-го и 2-го товаров, постройте графики этих
линий.
2. Выведите уравнения линий «цена 1-го товара – потребление»
и «цена 2-го товара – потребление», постройте графики этих линий.
3. Выведите уравнения линий спроса по Маршаллу и по Хиксу,
постройте их графики.
4. Определите, является ли 2-й товар чистым заменителем по отношению к 1-му товару?
5. Определите, является ли 2-й товар общим дополнителем по отношению к 1-му товару?
6. Определите, является ли 2-й товар нормальным товаром? товаром роскоши?
16
1.2.6. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Функция полезности потребителя имеет вид U(x1, x2) = а1х1 + а2х2
(а1 > 0, a2 > 0). Бюджетное ограничение имеет форму равенства
р1х1 + р2х2 = М.
1. Опишите множества (линии) «доход – потребление» и уравнения линии Энгеля для 1-го и 2-го товаров, постройте графики этих
множеств или линий.
2. Опишите множества (линии) «цена 1-го товара – потребление»
и «цена 2-го товара – потребление», постройте графики этих множеств или линий.
3. Выведите уравнения линий спроса по Маршаллу и по Хиксу,
постройте их графики.
4. Определите, является ли 2-й товар чистым заменителем по отношению к 1-му товару?
1.2.7. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
⎛x x ⎞
Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = min ⎜ 1 , 2 ⎟ .
⎝5 4 ⎠
Известно, что р1 = 4, р2 = 3, М = 160.
1. Выведите уравнение линии «доход – потребление» и уравнения
линии Энгеля для 1-го и 2-го товаров, постройте графики этих линий.
2. Выведите уравнения линий «цена 1-го товара – потребление»
и «цена 2-го товара – потребление», постройте графики этих линий.
3. Выведите уравнения линий спроса по Маршаллу и по Хиксу,
постройте их графики.
4. Определите, является ли 2-й товар чистым заменителем по отношению к 1-му товару?
5. Определите, является ли 2-й товар общим дополнителем
по отношению к 1-му товару?
6. Определите, является ли 2-й товар обыкновенным? нормальным товаром? товаром роскоши?
1.2.8. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функция полезности потребителя имеет вид U(x1, x2) = 5x1 + 3x2. Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М. Известно,
что р1 = 4, р2 = 3, М = 132.
1. Опишите множества (линии) «доход – потребление» и уравнения линии Энгеля для 1-го и 2-го товаров, постройте графики этих
множеств или линий.
2. Опишите множества (линии) «цена 1-го товара – потребление»
и «цена 2-го товара – потребление», постройте графики этих множеств или линий.
17
3. Выведите уравнения линий спроса по Маршаллу и по Хиксу,
постройте их графики.
4. Определите, является ли 1-й товар чистым заменителем по отношению ко 2-му товару? совершенным заменителем 2-го товара?
1.2.9. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Предпочтения потребителя описываются функцией полезности
U = ln x1 + x2. Доход потребителя равен 8, цены 1-го и 2-го товаров
равны соответственно 2 и 4.
1. Выведите уравнение линии «доход – потребление» и уравнения
линии Энгеля для 1-го и 2-го товаров, постройте графики этих линий.
2. Выведите уравнения линий «цена 1-го товара – потребление»
и «цена 2-го товара – потребление», постройте графики этих линий.
3. Выведите уравнения линий спроса по Маршаллу и по Хиксу,
постройте их графики.
4. Определите, является ли 1-й товар нормальным товаром?
товаром роскоши или товаром первой необходимости?
5. Определите, является ли 1-й товар чистым заменителем 2-го
в потреблении или общим заменителем?
1.2.10. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Предпочтения потребителя описываются функцией полезности
U = x1 + 3x2 + 4. Доход потребителя равен 12, цены 1-го и 2-го товаров
равны соответственно 2 и 3.
1. Опишите множества (линии) «доход – потребление» и уравнения линии Энгеля для 1-го и 2-го товаров, постройте графики этих
множеств или линий.
2. Опишите множества (линии) «цена 1-го товара – потребление»
и «цена 2-го товара – потребление», постройте графики этих множеств или линий.
3. Выведите уравнения линий спроса по Маршаллу и по Хиксу,
постройте их графики.
1.2.11. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Предпочтения потребителя описываются функцией полезности
U = x1 + 2 ln x2. Доход потребителя равен 10, цены 1-го и 2-го товаров
равны соответственно 1 и 2.
1. Выведите уравнение линии «доход – потребление» и уравнения
линии Энгеля для 1-го и 2-го товаров, постройте графики этих линий.
2. Выведите уравнения линий «цена 1-го товара – потребление»
и «цена 2-го товара – потребление», постройте графики этих линий.
18
3. Выведите уравнения линий спроса по Маршаллу и по Хиксу,
постройте их графики.
4. Определите, является ли 1-й товар товаром роскоши или товаром низкого качества? товаром первой необходимости?
5. Определите, является ли 1-й товар чистым заменителем 2-го
товара в потреблении?
1.2.12. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функ⎛x x ⎞
ция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = min ⎜ 1 , 2 ⎟ .
⎝ a1 a2 ⎠
Бюджетное ограничение имеет форму равенства: р1х1 + р2х2 = М.
1. Выведите уравнение линии «доход – потребление» и уравнения
линии Энгеля для 1-го и 2-го товаров, постройте графики этих линий.
2. Выведите уравнения линий «цена 1-го товара – потребление»
и «цена 2-го товара – потребление», постройте графики этих линий.
3. Выведите уравнения линий спроса по Маршаллу и по Хиксу,
постройте их графики.
4. Определите, является ли 2-й товар чистым заменителем по отношению к 1-му товару?
5. Определите, является ли 2-й товар чистым дополнителем по отношению к 1-му товару?
6. Определите, является ли 2-й товар обыкновенным? нормальным товаром?
1.3
1.3.1. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функ2 /3
ция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = ( x1 − 3) ⋅ x21/3 .
Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
Известно, что р1 = 2, р2 = 3, М = 132.
Допустим, цена 1-го товара повысилась и стала равной 4.
1. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода потребителя по Хиксу.
2. Определите компенсационное изменение дохода по Слуцкому.
Используя уравнения Слуцкого, оцените:
3) изменение компенсированного спроса на 1-й товар при изменении его цены в точке первоначального оптимума;
4) эффекты дохода и замены по Хиксу для 1-го товара при изменении его цены в точке первоначального оптимума;
5) эластичность компенсированного спроса на 2-й товар по цене
1-го в точке первоначального оптимума.
19
Используя уравнения агрегации, оцените:
6) эластичность компенсированного спроса на 1-й товар по его
цене в точке первоначального оптимума;
7) эластичность спроса на 1-й товар по доходу в точке первоначального оптимума, используя уравнение агрегации Энгеля.
1.3.2. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Функция полезности потребителя имеет вид: U ( x1, x2 ) = x11/ 2 + x2 .
Бюджетное ограничение имеет форму равенства: р1х1 + р2х2 = М.
Известно, что р1 = 2, р2 = 3, М = 18.
Допустим, цена 2-го товара повысилась и стала равной 6.
1. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода потребителя по Хиксу.
2. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода по Слуцкому.
Используя уравнения Слуцкого, оцените:
3) изменение компенсированного спроса на 1-й товар при изменении цены 2-го товара в точке первоначального оптимума;
4) эффекты дохода и замены для 1-го товара по Хиксу при изменении цены 2-го товара в точке первоначального оптимума;
5) эластичность компенсированного спроса на 2-й товар по цене
1-го товара в точке первоначального оптимума.
Используя уравнения агрегации, оцените:
6) эластичность компенсированного спроса на 1-й товар по его
цене в точке первоначального оптимума;
7) эластичность спроса на 2-й товар по цене 1-го в точке первоначального оптимума, используя уравнение агрегации Курно.
1.3.3. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = 3( x1 − 2) ⋅ x21/ 4.
Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
Известно, что р1 = 2, р2 = 3, М = 18.
Допустим, цена 1-го товара понизилась и стала равной 5/6.
1. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода потребителя по Хиксу.
2. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода по Слуцкому.
Используя уравнения Слуцкого, оцените:
3) изменение компенсированного спроса на 2-й товар при изменении его цены в точке первоначального оптимума;
1/ 3
20
4) эффекты дохода и замены для 1-го товара по Хиксу при изменении его цены в точке первоначального оптимума;
5) эластичность компенсированного спроса на 2-й товар по цене
1-го в точке первоначального оптимума.
Используя уравнения агрегации, оцените:
6) эластичность компенсированного спроса на 2-й товар по его
цене в точке первоначального оптимума;
7) эластичность спроса на 1-й товар по цене 2-го в точке первоначального оптимума, используя уравнение агрегации Курно.
1.3.4. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = x11/ 2 + x21/ 2.
Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
Известно, что р1 = 10, р2 = 15, М = 150.
Допустим, цена 1-го товара повысилась и стала равной 20.
1. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода потребителя по Хиксу.
2. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода по Слуцкому.
Используя уравнения Слуцкого, оцените:
3) изменение компенсированного спроса на 2-й товар при изменении цены 1-го товара в точке первоначального оптимума;
4) эффекты дохода и замены для 2-го товара по Хиксу при изменении цены 1-го товара в точке первоначального оптимума;
5) эластичность компенсированного спроса на 1-й товар по его
цене в точке первоначального оптимума.
Используя уравнения агрегации, оцените:
6) эластичность компенсированного спроса на 1-й товар по цене
2-го в точке первоначального оптимума
7) эластичность спроса на 1-й товар по его цене в точке первоначального оптимума, используя уравнение агрегации Курно.
1.3.5. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = x1α1 x2α 2 (0
1 1,
0
2 1, 1 + 2 = 1). Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
Используя уравнения Слуцкого, оцените:
1) изменение компенсированного спроса на 2-й товар при изменении его цены в точке первоначального оптимума;
2) эффекты дохода и замены для 1-го товара по Хиксу при изменении его цены в точке первоначального оптимума;
21
3) эластичность компенсированного спроса на 2-й товар по цене
1-го товара в точке первоначального оптимума.
Используя уравнения агрегации, оцените:
4) эластичность компенсированного спроса на 2-й товар по его
цене в точке первоначального оптимума;
5) эластичность спроса на 1-й товар по цене 2-го в точке первоначального оптимума, используя уравнение агрегации Курно.
1.3.6. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функ⎛x x ⎞
ция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = min ⎜ 1 , 2 ⎟ .
⎝5 4 ⎠
Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
Известно, что р1 = 4, р2 = 3, М = 160.
Допустим, цена 2-го товара повысилась и стала равной 5.
1. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода потребителя по Хиксу.
2. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода по Слуцкому.
Используя уравнения Слуцкого, оцените:
3) изменение компенсированного спроса на 2-й товар при изменении цены 1-го товара в точке первоначального оптимума;
4) эффекты дохода и замены для 2-го товара по Хиксу при изменении цены 1-го товара в точке первоначального оптимума;
5) эластичность компенсированного спроса на 1-й товар по его
цене в точке первоначального оптимума.
Используя уравнения агрегации, оцените:
6) эластичность компенсированного спроса на 1-й товар по цене
2-го в точке первоначального оптимума
7) эластичность спроса на 1-й товар по его цене в точке первоначального оптимума, используя уравнение агрегации Курно.
1.3.7. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функция полезности потребителя имеет вид U(x1, x2) = 5x1 + 3x2. Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М. Известно,
что р1 = 2, р2 = 3, М = 20.
Допустим, цена 1-го товара повысилась и стала равной 3.
1. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода потребителя по Хиксу.
2. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода по Слуцкому.
22
1.3.8. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Предпочтения потребителя описываются функцией полезности
U = ln x1 + x2. Доход потребителя равен 8, цены 1-го и 2-го товаров
равны соответственно 2 и 4.
Допустим, цена 1-го товара понизилась и стала равной 1.
1. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода потребителя по Хиксу.
2. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода по Слуцкому.
Используя уравнения Слуцкого, оцените:
3) изменение компенсированного спроса на 1-й товар при изменении его цены в точке первоначального оптимума;
4) эффекты дохода и замены для 1-го товара по Хиксу при изменении цены 2-го товара в точке первоначального оптимума;
5) эластичность компенсированного спроса на 2-й товар по его
цене в точке первоначального оптимума.
1.3.9. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Предпочтения потребителя описываются функцией полезности
U = x1 + 3x2 + 4. Доход потребителя равен 12, цены 1-го и 2-го товаров
равны соответственно 2 и 3.
Допустим, цена 1-го товара повысилась и стала равной 4.
1. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода потребителя по Хиксу.
2. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода по Слуцкому.
1.3.10. Решите задачу оптимизации потребительского выбора.
Предпочтения потребителя описываются функцией полезности
U = x1 + 2 ln x2. Доход потребителя равен 10, цены 1-го и 2-го товаров
равны соответственно 1 и 2.
Допустим, цена 1-го товара повысилась и стала равной 2.
1. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода потребителя по Хиксу.
2. Определите компенсационное изменение дохода по Слуцкому.
Используя уравнения Слуцкого, оцените:
3) изменение компенсированного спроса на 2-й товар при изменении цены 1-го товара в точке первоначального оптимума;
4) эффекты дохода и замены по Хиксу для 1-го товара при изменении цены 1-го а затем и для 2-го товара в точке первоначального
оптимума.
23
1.4
1.4.1. Покажите, что можно представить индекс номинального дохода М01 следующим образом: M01 = P01(x0) I01(p1). Изобразите на графике данное разложение индекса номинального дохода М01.
1.4.2. Покажите, что можно представить индекс номинального дохода М01 следующим образом: M01 = P01(x1) I01(p0). Изобразите на графике данное разложение индекса номинального дохода М01.
1.4.3. Функция полезности потребителя имеет вид U = (Х1 – 6)Х2, где
Х1 и Х2 – количества 1-го и 2-го товара, соответственно. В базовом периоде (t = 0) потребитель располагал доходом в 48 ден. ед. Предельная
полезность 1-го товара в оптимальном наборе равнялась 8, 2-го – 4.
В текущем периоде (t = 1) номинальный доход потребителя вырос
в 11/8, цены выросли: для 1-го товара на 50%, для 2-го – на 100%.
1. Назовите индекс, изображенный на рис. 2. Что оценивает этот
индекс? Выпишите формулу этого индекса и вычислите его значение.
2. Оцените изменение цен с помощью индекса цен Пааше.
3. Оцените изменение реального дохода, используя индекс цен
Ласпейреса.
4. Дорисуйте на графике теоретический индекс цен, взвешенный
по текущей полезности. Рассчитайте его значение. Сравните значение индекса цен Пааше со значением теоретического индекса цен,
взвешенного по текущей полезности.
х2
Х1
?
Х0
Б0 Б1 Б0
х1
Рис. 2
1.4.4. Функция полезности потребителя имеет вид U = Х1(Х2 – 4), где
Х1 и Х2 – количества 1-го и 2-го товаров соответственно. В базовом
периоде (t = 0) потребитель, располагающий доходом в 36 ден. ед.,
покупал 3 единицы 1-го товара при цене 2-го товара, равной 6.
24
В текущем периоде (t = 1) номинальный доход потребителя вырос
в 20/9 раза, объем потребления 1-го товара – в 2 раза, а цена 2-го
товара – на 1/3.
1. Оцените изменение цен с помощью индекса цен Ласпейреса.
2. Оцените изменение цен с помощью теоретического индекса
цен, взвешенного по базовой полезности.
3. Оцените изменение реального дохода с помощью теоретического индекса реального дохода текущего взвешенного.
4. Оцените изменение реального дохода, используя индекс цен
Пааше.
5. Изобразите на одном графике все рассчитанные индексы.
1.4.5. Решите задачу оптимизации потребительского выбора. Функция полезности потребителя имеет вид U ( x1, x2 ) = ( x1 − 3) ⋅ x21/3 .
Бюджетное ограничение имеет форму равенства р1х1 + р2х2 = М.
Известно, что р1 = 2, р2 = 1, М = 48.
Допустим, цена 1-го товара повысилась и стала равной 4.
1. Рассчитайте индекс цен Ласпейреса и индекс реального дохода,
с которым он связан через индекс номинального дохода М01 (изобразите их на графике).
2. Какой вывод можно сделать об изменении благосостояния потребителя на основании полученного значения индекса реального
дохода?
2 /3
1.4.6. Пусть М01 > P01(x0). Покажите, что в этом случае можно
утверждать, что благосостояние потребителя повысилось.
1.4.7. Пусть М01 P01(x1). Покажите, что в этом случае можно
утверждать, что благосостояние потребителя понизилось.
1.4.8. Допустим, М01 P01(x0) или М01 > P01(x1). Покажите, что в этих
случаях нельзя определенно оценить изменение благосостояния потребителя.
1.4.9. Студент экономического факультета рассматривает два предложения работы.
Проведя анализ индексов дохода и цен, он выяснил, что если он
примет первое предложение, то его индекс номинального дохода
будет равен индексу цен Пааше и меньше индекса цен Ласпейреса.
Если же он примет второе предложение, то его индекс реального
дохода Пааше будет больше единицы.
Какое предложение выгоднее принять и почему?
25
1.4.10. В таблице приведены результаты трех наблюдений за поведением потребителя, покупающего два блага при различных размерах
дохода и изменяющихся ценах.
Наблюдение
Р1
Р2
Х1
Х2
Доход М
1
2
3а
3б
4
6
8
8
5
3
2
2
12
5,6
4
3
6,4
12,8
16
20
80
72
64
64
Представьте на графике бюджетные ограничения и потребительские наборы, представленные в таблице, и проведите анализ поведения потребителя.
Согласуется ли его поведение:
1) с максимизацией полезности потребительского набора?
2) со слабой аксиомой выявленных предпочтений?
Раздел 2
ТЕОРИЯ ФИРМЫ, ФУНКЦИОНИРУЮЩЕЙ
В УСЛОВИЯХ ЧИСТОЙ КОНКУРЕНЦИИ
Основные определения и утверждения
2.1. Задача максимизации прибыли фирмы в долговременном
и краткосрочном промежутке. Локальное рыночное равновесие
фирмы. Функции спроса на ресурсы со стороны фирмы
и функция предложения фирмы
В случае долговременного промежутка задача максимизации прибыли имеет вид (в случае двух ресурсов – капитала и труда)
PR(x1, x2) = p0 f (x1, x2) – p1x1 – p2x2 → (max),
(2.1)
где f (x1, x2) – производственная функция фирмы; p0 – цена выпускаемой фирмой продукции (например, валенок); p1 и p2 – цена капитала и труда, x1 – количество капитала; x2 – количество труда.
Данными (экзогенными) величинами являются цены p0, p1, p2, искомыми (эндогенными) величинами – количества x1 и x2 капитала
и труда. Все величины p0, p1, p2, x1 и x2, а также производственная
функция f (x1, x2) привязаны к текущему периоду (атому времени) t
(номер t в модели явно не показывается). Между базовым (нулевым)
и текущим периодом число периодов таково, что они составляют
долговременный промежуток, в течение которого фирма может свободно распоряжаться как капиталом, так и трудом.
Таким образом, если в базовом периоде фирме известны цены p0,
p1, p2 текущего периода, то, решив задачу (2.1), фирма будет знать,
какое количество капитала x10 и какое количество труда x20 должна
приобрести в текущем периоде, чтобы в этом периоде максимизировать свою прибыль.
Особо отметим, что необходимый расчет фирма производит заранее, чтобы в течение долговременного промежутка подготовить
к функционированию требуемое количество x10 капитала и требуемое количество труда x20 . Фиксированные цены p0, p1, p2 означают,
что фирма на эти цены влиять не может, т.е. принимается важная
предпосылка, что фирма является конкурентной, т.е. на рынке го27
товой продукции (например, валенок) и на рынке ресурсов фирма
функционирует в условиях чистой конкуренции.
Для решения задачи (2.1) следует выписать условия первого порядка, т.е. выписать систему двух уравнений с двумя переменными
и решить эту систему.
∂f ( x1, x2 )
∂PR
= p0
− p1 = 0,
∂x1
∂x1
∂f ( x1, x2 )
∂PR
= p0
− p2 = 0 .
∂ x2
∂ x2
(2.2)
Решение ( x10 , x20 ) системы (2.2) является точкой глобального максимума прибыли PR (x1, x2), ибо производственная функция f (x1, x2)
обладает рядом специфических свойств (в частности, изокванты, как
правило, есть линии, строго выпуклые к точке O(0, 0)).
Решение ( x10 , x20 ) системы (2.2) называется «локальным» рыночным равновесием фирмы. Термин «локальный» означает, что на
рынке готовой продукции (например, валенок) и на рынках ресурсов
(капитала и труда) фирма функционирует как одна из нескольких
фирм. В связи с тем что решение ( x10 , x20) зависит от экзогенных переменных p0, p1, p2, получается две функции спроса со стороны
фирмы на рынке ресурсов: функция спроса x10 = g1 ( p0 , p1, p2 ) на капитал и функция спроса на труд x20 = g2 ( p0 , p1, p2 ).
Функция y 0 = h( p0 , p1, p2 ) = f ( x10 , x20 ) есть функция предложения
фирмой своей продукции на рынке продукции.
Хорошо известно, что все три функции – x10 = g1 ( p0 , p1, p2 ),
x20 = g2 ( p0 , p1, p2 ) , y 0 = h( p0 , p1, p2 ) – однородны нулевой степени
по Эйлеру. Это означает, что при изменении масштаба цен значения
x10 , x20 , y 0 не меняются.
В случае краткосрочного промежутка задача максимизации прибыли имеет вид (2.1) с дополнительным условием
x1 = x1,
(2.3)
т.е. в математическом отношении это задача на абсолютный максимум
функции одной переменной PR( x1, x2 ) = p0 f ( x1, x2 ) − p1 x1 − p2 x2 .
Здесь фиксированное количество x1 капитала означает, что в течение краткосрочного промежутка между базовым и текущим периодами фирма не имеет возможности скорректировать количество x1
капитала.
28
Решение задачи (глобальной) максимизации прибыли фирмы
в случае, когда производственная функция (ПФ) f (x1, x2) фирмы есть
ПФ Кобба–Дугласа: f ( x1, x2 ) = a0 x1α1 x2α 2 (α1 ≥ 0, α1 + α 2 < 1), приведено в [10, с. 164−168].
2.2. Задача максимизации выпуска фирмы при лимите
на используемые ею ресурсы в долговременном
и краткосрочном промежутках. Функции условного спроса
по Маршаллу (по Вальрасу) на ресурсы со стороны фирмы
и функция условного выпуска фирмы
Задача максимизации выпуска фирмы при лимите на ресурсы есть
первая версия задачи максимизации прибыли фирмы. Вторая версия
задачи максимизации прибыли фирмы есть задача минимизации
издержек при фиксированном объеме выпускаемой продукции, которая анализируется в § 2.3.
Если фирма имеет лимит на ресурсы, равный V, т.е.
p1x1 + p2x2 = V,
(2.4)
то задача (2.1) максимизации прибыли фирмы в долговременном
промежутке приобретает вид PR = p0 f (x1, x2) – V → max, что эквивалентно задаче на условный экстремум
f (x1, x2) → max
(2.5)
при наличии ограничения (2.4).
Хорошо известно, что задачу (2.5), (2.4) следует решать методом
Лагранжа:
• составить функцию Лагранжа
L (x1, x2, ) = f (x1, x2) + (V – p1x1 – p2x2)
(2.6)
• и решить систему трех уравнений с тремя неизвестными x1, x2, ,
которые представляют собой условия первого порядка:
∂L( x1, x2 , λ ) ∂f ( x1, x2 )
=
− λ p1 = 0,
∂x1
∂x1
∂L( x1, x2 , λ ) ∂f ( x1, x2 )
=
− λ p2 = 0,
∂x2
∂x2
(2.7)
∂L( x1, x2 , λ )
= V − p1 x1 − p2 x2 = 0,.
∂λ
29
В связи с тем что производственная функция f (x1, x2) обладает
рядом специфических свойств, одним из которых является строгая
⌢ ⌢
выпуклость изоквант к точке O, короткая точка ( x1, x2 ) есть точка
глобального максимума целевой функции (2.5) при наличии ограни⌢ ⌢ ⌢
чения (2.4). Напомним, что длинная точка ( x1, x2 , λ ) есть единственное решение системы (2.7).
В связи с тем что формальная задача (2.5), (2.4) максимизации выпуска фирмы при лимите на ресурсы не отличается от задачи максимизации функции полезности потребителя при бюджетном ограничении (см. § 1.1), мы воспользуемся формальными результатами этого
параграфа.
⌢
⌢
Функции x1 = ϕ1 ( p1, p2 , V ), x2 = ϕ 2 ( p1, p2 , V ) называются функциями условного спроса по Маршаллу (по Вальрасу) на ресурсы со стороны фирмы на рынках ресурсов (капитала и труда). Функция
⌢
⌢ ⌢
y = f ( x1, x2 ) = f (ϕ1 ( p1, p2 , V ), ϕ 2 ( p1, p2 , V )) = h ( p1, p2 , V ) называется
функцией условного предложения фирмы на рынке продукции (например, на рынке валенок).
⌢ ⌢ ⌢
Подставив длинную точку ( x1, x2 , λ ) в первые два уравнения системы (2.7), получим равенство
⌢
⌢ ⌢
(2.8)
grad f ( x1, x2 ) = λ ⋅ ( p1, p2 ),
⌢
откуда следует, что множитель Лагранжа λ , как правило, получается
достаточно малым, ибо цены p1 и p2 на ресурсы относительно велики,
⌢ ⌢
⌢ ⌢
∂ f ( x1, x2 ) ∂ f ( x1, x2 )
а предельные производительности ресурсов
,
∂ x1
∂ x2
⌢
⌢
при значительных количествах x1 и x2 расходуемых ресурсов относительно малы.
Все функции 1 (p1, p2, V), 2 (p1, p2, V), 3 (p1, p2, V) и h (p1, p2, V)
однородны нулевой степени относительно всех трех переменных
p1, p2, V.
С изменением лимита V от нуля до + и при фиксированных
⌢ ⌢
ценах p 1 и p 2 на ресурсы множество значений точки ( x1, x2 ) =
= (ϕ1 ( p1, p2 , V ),(ϕ 2 ( p1, p2 , V )) образует на плоскости 0x1x2 линию L,
которая называется линией развития фирмы в долговременном промежутке и аналогична линии «доход – потребление» в теории поведения потребителя на рынке (см. [10, с. 170, рис. 6.1]).
Решение задачи максимизации выпуска фирмы при наличии лимита С на ресурсы в случае, когда производственная функция f (x1, x2)
фирмы есть функция Кобба – Дугласа y = a0 x1α1 x2α 2 , приведено в [10,
с. 171−173].
30
Утверждение 2.2.1. Предельный условный выпуск по лимиту равен
⌣
множителю Лагранжа λ:
∂h( p1, p2 , V )
= λ.
∂V
(2.9)
Утверждение 2.2.2. Тождество Роя. Предельный условный выпуск
⌣ ⌣
по цене pi ресурса вида i (i = 1, 2) равен − xi λ , т.е.
∂h( p1, p2 , V )
= − xi λ , i = 1, 2.
∂pi
(2.10)
Формально эти результаты ничем не отличаются от предельной
полезности по доходу и предельной полезности по цене pi продукта
Gi (i = 1, 2) в теории потребления (см. § 1.1).
Выражения (2.9) и (2.10) принято называть утверждениями (теоремами) о маргинальных значениях. Эти выражения позволяют проводить анализ чувствительности условного выпуска относительно
изменения лимита на ресурсы и цен на ресурсы.
2.3. Задача минимизации издержек фирмы при фиксированном
выпуске фирмы в долговременном и краткосрочном
промежутках. Функции условного спроса по Хиксу на ресурсы
со стороны фирмы и функция условных издержек фирмы
Вторая версия задачи максимизации прибыли фирмы есть задача
⌣
минимизации издержек при фиксированном объеме y выпускаемой
фирмой продукции.
Если фирма имеет фиксированный выпуск, т.е.
⌣
y = f ( x1, x2 ),
(2.11)
то задача (2.1) максимизации прибыли фирмы в долговременном
⌣
промежутке приобретает вид PR = p0 y – p1x1 – p2x2 → max, что эквивалентно задаче
p1x1 + p2x2 → min
(2.12)
при наличии ограничения (2.11) на условный экстремум.
Для решения задачи (2.12), (2.11) составим функцию Лагранжа
⌣
⌣
L( x1, x2 , y ) = p1 x1 + p2 x2 + λ( y − f ( x1, x2 ))
(2.13)
31
и затем выпишем условия первого порядка
∂L( x1, x2 , λ )
∂f ( x1, x2 )
= p1 − λ
= 0,
∂x1
∂λ
∂L( x1, x2 , λ )
∂f ( x1, x2 )
= p2 − λ
= 0,
∂x2
∂λ
(2.14)
∂L( x1, x2 , λ ) ⌣
= y − f ( x1, x2 ) = 0 .
∂λ
Аналогично системе (2.7) система (2.14), в которой фигурирует
производственная функция со своей спецификой, имеет единствен⌣ ⌣ ⌣
⌣ ⌣
ное решение ( x1, x2 , λ ) (длинная точка). Короткая точка ( x1, x2 ) есть
точка глобального минимума задачи (2.12), (2.11), которая формально ничем не отличается от задачи минимизации расхода при
фиксированном уровне полезности (см. § 1.1).
⌣
⌣ ⌣
⌣
Функции x1 = ψ1 ( p1, p2 , y ), x2 = ψ 2 ( p1, p2 , y ),называются функциями условного спроса по Хиксу на ресурсы со стороны фирмы
⌣
⌣
⌣
на рынках ресурсов (капитала и труда). Функция C = p1 x1 + p2 x2 =
⌣
⌣
⌣
= p1ψ1 ( p1, p2 , y ) + p2 ψ 2 ( p1, p2 , y ) = C ( p1, p2 , y ) называется функцией
условных издержек фирмы.
⌣ ⌣ ⌣
Подставив длинную точку ( x1, x2 , λ ) в первые два уравнения системы (2.14), получим равенство
⌣
⌣ ⌣
(2.15)
( p1, p2 ) = λ ⋅ grad f ( x1, x2 ),
⌣
откуда следует, что множитель Лагранжа λ , как правило, получается
достаточно большим, ибо цены p1 и p2 на ресурсы относительно велики, а предельные производительности ресурсов относительно малы.
⌣
⌣
Функции ψ1 ( p1, p2 , y ), ψ 2 ( p1, p2 , y ),однородны нулевой степени
⌣
по переменным p1 и p2, а функция C ( p1, p2 , y ),однородна первой степени по переменным p1 и p2.
⌣
С изменением объема y от нуля до + и при фиксированных це⌣ ⌣
⌣
нах p1 и p2 на ресурсы конфигурация ресурсов ( x1, x2 ) = (ψ1 ( p1, p2 , y ),
⌣
ψ 2 ( p1, p2 , y )) образует на плоскости 0x1x2 линию развития фирмы L
(см. [10, с. 176, рис. 6.1 и 6.3]).
Задача минимизации издержек фирмы при фиксированном объ⌣
еме y выпускаемой продукции в краткосрочном промежутке есть
задача (2.12), (2.11) при дополнительном ограничении
x1 = x1 .
(2.16)
Геометрическое решение этой задачи см. [10, с. 177, рис. 6.4].
32
Решение задачи минимизации издержек фирмы при фиксирован⌣
ном объеме y выпускаемой продукции в случае, когда производственная функция f (x1, х2) фирмы есть функция Кобба – Дугласа
f ( x1, x2 ) = a0 x1α1 x2α 2 ,
p1x1 + p2x2 = C (min),
⌣
y = a0 x1α1 x2α 2 ,
приведено в [10, § 6.4].
Здесь р1 и р2 – рыночные цены на ресурсы. Искомыми переменными являются объемы х1 и х2 первого и второго ресурсов.
Утверждение 2.3.1. Предельные условные издержки по объему выпуска равны множителю Лагранжа
⌣
∂C ( p1, p2 , y ) ⌣
(2.17)
= λ.
⌣
∂y
Утверждение 2.3.2. Лемма Шепарда. Предельные условные изде⌣
ржки по цене pi ресурса вида i (i = 1, 2) равны xi , т.е.
⌣
∂C ( p1, p2 , y ) ⌣
(2.18)
= xi .
∂pi
Формально эти равенства ничем не отличаются соответственно
от предельного расхода по полезности и предельного расхода
по цене pi продукта Gi (i = 1, 2) в теории потребления (см. § 1.1).
Выражения, называемые утверждениями о маржинальных значениях, позволяют проводить анализ чувствительности условных изде⌣
ржек относительно изменения выпуска y фирмы и цен на ресурсы.
ЗАДАЧИ
2.1
2.1.1. Производственная функция конкурентной фирмы имеет вид
f ( x1, x2 ) = x12 /3 ⋅ x11/ 4 (x1 – количество капитала, x2 – количество
труда). Цены на выпускаемую фирмой продукцию и на ресурсы соответственно равны p0, p1, p2.
Найдите:
1) локальное рыночное равновесие фирмы ( x10 , x20 );
2) доход R 0 = p0 f ( x10 , x20 ) ;
3) издержки C 0 = p1 x10 + p2 x20 ;
4) максимальную прибыль PR0 = R0 – C 0.
33
2.1.2. Конкурентная фирма производит единственный продукт,
реализуемый на рынке по цене p0. Цены капитала и труда соответственно равны p1 и p2. Производственная функция фирмы имеет вид
y = x11/3 ⋅ x21/ 2 (x1 – количество капитала, x2 – количество труда).
Определите эластичность функции спроса на труд по ценам
p0, p1, p2.
2.1.3. Конкурентная фирма производит единственный продукт, реализуемый на рынке по цене p0. Цены капитала и труда соответственно равны p1 и p2. Производственная функция фирмы имеет вид
y = x11/ 4 ⋅ x22 /3 (x1 – количество капитала, x2 – количество труда).
Определите эластичность функции спроса на капитал по ценам
p0, p1, p2.
2.1.4. Производственная функция фирмы имеет вид Q= K1/3 · L1/2.
Цена капитала – 2 руб., цена труда – 1 руб.
1. Пусть цена продукции фирмы равна 6 руб., и фирма максимизирует прибыль. Вычислите максимальную прибыль фирмы.
Сколько труда и капитала будет использовать фирма?
2. Пусть фирма стремится максимизировать выпуск, но может
потратить не более 320 руб. Сколько капитала и сколько труда она
будет использовать для максимизации выпуска?
3. Пусть фирме необходимо выпустить Q = 27 единиц продукции,
и она стремится сделать это с наименьшими затратами. Сколько капитала и сколько труда она будет использовать для этого? Чему будут
равны общие издержки фирмы?
2.1.5. Производственная функция фирмы имеет вид Q= K1/3 · L1/2.
Цена капитала равна r, цена труда – w.
1. Пусть цена продукции фирмы равна p, и фирма максимизирует
прибыль. Определите функции спроса фирмы на капитал и труд.
Определите функцию предложения фирмы. Определите эластичность спроса фирмы на труд по заработной плате.
2. Пусть издержки фирмы заданы и равны C, и фирма максимизирует выпуск при заданном уровне издержек. Определите функции
спроса фирмы на капитал и труд. Определите выпуск фирмы в зависимости от цен ресурсов и издержек. Определите эластичность
спроса фирмы на труд по заработной плате.
3. Пусть выпуск фирмы равен Q , и фирма минимизирует издержки при заданном уровне выпуска. Определите функции спроса
34
фирмы на капитал и труд. Определите функцию издержек фирмы
в зависимости от цен ресурсов и выпуска. Определите эластичность
спроса фирмы на труд по заработной плате.
2.1.6. Производственная функция фирмы имеет вид
⎛ K L⎞
Q = min ⎜ , ⎟ , a, b > 0. Цена капитала равна r, цена труда – w.
⎝ a b⎠
1. Каким эффектом от масштаба (положительным, нулевым или
отрицательным) характеризуется технология производства данной
фирмы?
2. Пусть издержки фирмы заданы и равны C, и фирма максимизирует выпуск при заданном уровне издержек. Определите функции
спроса фирмы на капитал и труд. Определите выпуск фирмы в зависимости от цен ресурсов и издержек. Определите эластичность
спроса фирмы на труд по заработной плате.
3. Пусть выпуск фирмы равен Q, и фирма минимизирует издержки при заданном уровне выпуска. Определите функции спроса
фирмы на капитал и труд. Определите функцию издержек фирмы
в зависимости от цен ресурсов и выпуска. Определите эластичность
спроса фирмы на труд по заработной плате.
2.1.7. Производственная функция фирмы имеет вид Q = K + L .
Цена капитала равна r, цена труда – w.
1. Каким эффектом от масштаба (положительным, нулевым или
отрицательным) характеризуется технология производства данной
фирмы?
2. Пусть цена продукции фирмы равна p, и фирма максимизирует
прибыль. Определите функции спроса фирмы на капитал и труд.
Определите функцию предложения фирмы. Определите эластичность спроса фирмы на труд по заработной плате.
3. Пусть издержки фирмы заданы и равны C, и фирма максимизирует выпуск при заданном уровне издержек. Определите функции
спроса фирмы на капитал и труд. Определите выпуск фирмы в зависимости от цен ресурсов и издержек. Определите эластичность
спроса фирмы на труд по заработной плате.
4. Пусть выпуск фирмы равен Q, и фирма минимизирует издержки при заданном уровне выпуска. Определите функции спроса
фирмы на капитал и труд. Определите функцию издержек фирмы
в зависимости от цен ресурсов и выпуска. Определите эластичность
спроса фирмы на труд по заработной плате.
35
2.1.8. Производственная функция фирмы имеет вид Q = K1/3L1/2.
Цена капитала – 2 руб., цена труда – 1 руб.
1. Пусть цена продукции фирмы равна 6 руб, и фирма максимизирует прибыль. Вычислите максимальную прибыль фирмы.
Сколько труда и капитала будет использовать фирма?
2. Пусть фирма стремится максимизировать выпуск, но может
потратить не более 320 руб. Сколько капитала и сколько труда она
будет использовать для максимизации выпуска?
3. Пусть фирме необходимо выпустить Q = 27 единиц продукции,
и она стремится сделать это с наименьшими затратами. Сколько капитала и сколько труда она будет использовать для этого? Чему будут
равны общие издержки фирмы?
2.1.9. Фирма, действующая на рынке совершенной конкуренции,
выпускает товар Y. Общие издержки фирмы (в руб.) описываются
уравнением TC = q3 − 30q2 + 350q, где q – выпуск фирмы (т). Цена
продукции фирмы составляет 158 руб. за тонну.
1. Определите оптимальный выпуск фирмы.
2. Как изменится ваш ответ, если цена упадет до 98 руб. за тонну?
2.1.10. Фирма, действующая на рынке совершенной конкуренции,
выпускает товар J. Общие издержки фирмы (в тыс. евро) описываются
уравнением TC = q3 − 6q2 + 12q + 1400, где q – выпуск фирмы (т).
1. Выпишите уравнения средних общих (АС), средних переменных (AVC) и предельных (МС) издержек фирмы. Постройте их графики на одном рисунке. Обязательно укажите на рисунке координаты всех точек пересечений графиков функций с осями координат
и друг с другом, а также минимумов функций.
2. Определите выпуск фирмы, при котором ее прибыль будет максимальна, и максимальную прибыль (минимальный убыток) фирмы
для каждого из следующих значений рыночной цены товара: 300 тыс.
евро за тонну, 147 тыс. евро за тонну, 2 тыс. евро за тонну.
2.1.11. На совершенно конкурентном рынке товара Б действуют
50 фирм и 100 потребителей. Функция издержек каждой фирмы описывается формулой TC = 0,25q2 + 5q. Функция индивидуального
спроса каждого из потребителей описывается формулой qd = 15 − p.
Рынок товара находится в равновесии.
1. Определите равновесную цену и равновесный рыночный объем
продаж. а) Сколько товара покупает в равновесии каждый потребитель? б) Чему равна прибыль каждой фирмы?
36
2. Как изменятся ответы на вопросы пункта 1, если государство
введет налог с производителей в размере 2 ден. ед. за каждую проданную единицу товара?
3. Приведите графическую иллюстрацию к пунктам 1, а и 1, б, используя график, характеризующий равновесие отдельной фирмы,
и график, характеризующий отраслевое равновесие. Покажите на этих
графиках вертикальные сдвиги кривых средних и предельных издержек фирмы и вертикальный сдвиг кривой отраслевого предложения.
4. Как изменятся ответы на вопросы пункта 1, если государство
введет аккордный (не зависящий от объема выпуска) налог в размере
10 ден. ед. с каждого производителя?
2.1.12. На рынке совершенной конкуренции отрасль с неизменными
издержками находится в состоянии долгосрочного равновесия.
Функция средних издержек типичной фирмы отрасли имеет стандартный U-образный вид.
Как изменятся параметры долгосрочного равновесия отрасли
(равновесная цена, отраслевой выпуск, выпуск типичной фирмы,
количество фирм на рынке):
1) в результате введения аккордной субсидии каждой фирме;
2) в результате введения аккордного налога на продукцию каждой
фирмы;
3) в результате введения потоварной субсидии каждой фирме;
4) в результате введения потоварного налога на продукцию каждой фирмы.
Приведите графические обоснования ответов, используя графики, характеризующие отраслевое равновесие и равновесие типичной фирмы.
2.2
2.2.1. Производственная функция конкурентной фирмы имеет вид
f ( x1 , x2 ) = x11/ 4 ⋅ x21/ 2 (x1 – количество капитала, x2 – количество
труда). Цены капитала и труда соответственно равны p1 = 4 и p2 = 5.
Лимит на ресурсы V = 120.
⌢ ⌢
1. Определите конфигурацию ресурсов ( x1, x2 ), максимизирующую выпуск фирмы при лимите на ресурсы.
⌢ ⌢
2. Определите объем максимального выпуска f ( x1, x2 ).
⌢ ⌢
3. Напишите уравнение изокванты, содержащей точку ( x1, x2 ).
⌢ ⌢
4. Постройте точку ( x1, x2 ). Постройте изокосту по трем точкам
⌢ ⌢
(одна из которых есть точка ( x1, x2 )).
5. Постройте изокванту по трем точкам (одна из которых есть
⌢ ⌢
точка ( x1, x2 ) ).
37
2.2.2. Производственная функция конкурентной фирмы имеет вид:
f ( x1 , x2 ) = x11/ 4 ⋅ x22 /3 (x1 – количество капитала, x2 – количество
труда). Цены капитала и труда соответственно равны p1 = 1 и p2 = 4.
Лимит на ресурсы V = 11.
⌢ ⌢
1. Определите конфигурацию ресурсов ( x1, x2 ), максимизирующую выпуск фирмы при лимите на ресурсы.
⌢ ⌢
2. Определите объем максимального выпуска f ( x1, x2 ).
⌢ ⌢
3. Напишите уравнение изокванты, содержащей точку ( x1, x2 ).
⌢ ⌢
4. Постройте точку ( x1, x2 ). Постройте изокосту по трем точкам
⌢ ⌢
(одна из которых есть точка ( x1, x2 )).
5. Постройте изокванту по трем точкам (одна из которых есть
⌢ ⌢
точка ( x1, x2 )).
2.3
2.3.1. Производственная функция конкурентной фирмы имеет вид
f ( x1, x2 ) = x11/ 4 ⋅ x21/ 4 (x1 – количество капитала, x2 – количество
⌣
труда). Фиксированный выпуск фирмы y = 4 . Цены на капитал
и труд соответственно равны p1 = 16, p2 = 4.
⌢ ⌢
1. Определите конфигурацию ресурсов ( x1, x2 ), минимизирую⌣
щую издержки фирмы при фиксированном объеме y = 4 выпускаемой фирмой продукции.
⌣
⌣
⌣
2. Определите минимальные издержки фирмы C = p1 x1 + p2 x2 .
⌣
3. Напишите уравнение изокосты C = p1 x1 + p2 x2 .
⌣ ⌣
4. Постройте точку ( x1, x2 ). Постройте изокосту по трем точкам
⌣ ⌣
(одна из которых есть точка ( x1, x2 )).
5. Постройте изокванту по трем точкам (одна из которых есть
⌣ ⌣
точка ( x1, x2 )).
2.3.2. Производственная функция конкурентной фирмы имеет вид
f ( x1, x2 ) = x12 /3 ⋅ x21/ 4 (x1 – количество капитала, x2 – количество
труда). Цены на капитал и труд соответственно равны p1 = 1, p2 = 3.
⌢ ⌢
1. Определите конфигурацию ресурсов ( x1, x2 ), минимизирующую издержки фирмы при фиксированном объеме выпускаемой
фирмой продукции, равном 256.
⌣
⌣
⌣
2. Определите минимальные издержки фирмы C = p1 x1 + p2 x2 .
⌣
3. Напишите уравнение изокосты C = p1 x1 + p2 x2 .
⌣ ⌣
4. Постройте точку ( x1, x2 ). Постройте изокосту по трем точкам
⌣ ⌣
(одна из которых есть точка ( x1, x2 )).
5. Постройте изокванту по трем точкам (одна из которых есть
⌣ ⌣
точка ( x1, x2 )).
Раздел 3
ТЕОРИЯ ЗАТРАТ
Основные определения и утверждения
3.1.Основное предположение.
Издержки в краткосрочном промежутке
Основным предположением теории затрат является предположение о существовании взаимно однозначной зависимости между
совокупными (общими) затратами и объемом производства фирмы.
Допустим, фирма использует два производственных фактора для выпуска некоторой продукции в количестве y. Тогда, согласно основному предположению:
ТС = g (y), и наоборот, g –1(ТС) = y = f (x1, x2),
(3.1)
где y – объем производства фирмы; x1 и x2 – количества используемых факторов производства; f (x1, x2) – производственная функция;
ТС – совокупные затраты (издержки); g(y) – функция затрат.
Пусть p1 – цена первого фактора производства и p2 – цена второго
фактора. Вектор (x1, x2) характеризует некоторый способ производства, а величина p1x1 + p2x2 оценивает совокупные затраты, необходимые для реализации данного способа.
Обозначим способ производства через Т: Т = (x1, x2), а величину
совокупных затрат через С (можно ТС):
С = p1x1 + p2x2 = g (p1, p2, y).
(3.2)
Напомним, что если фирма, осуществляя свою производственную
деятельность, выбирает те способы производства, которые минимизируют расходы на ресурсы, необходимые для производства заданного объема продукции, то функция затрат (3.2) может быть выведена на основе решения задачи (3.3), (3.4), формальное описание
которой приведено ниже.
C = p1X1 + p2X2 → min;
(3.3)
f (x1, x2) = y,
(3.4)
где y – некоторый заданный объем производства.
39
Множество решений задачи (3.2), (3.3) описывается функциями
⌣
⌣
x1 = ψ1 ( p1, p2 , y), x2 = ψ 2 ( p1, p2 , y),
(3.5)
а величина затрат (минимальных), соответствующих заданному объему производства y, равняется C = g (p1, p2, y).
Краткосрочным (для данной фирмы) называется такой промежуток времени, в течение которого не представляется возможным увеличить имеющееся количество хотя бы одного из производственных
факторов.
Допустим, в краткосрочном промежутке количество второго фактора, которым располагает фирма, равняется x2 = x2*. Обозначим через y1 объем выпуска продукции, соответствующий способу производства T1* = ( x1* , x2* ). Способ производства T1* (рис. 3.1) позволяет
произвести y1 с наименьшими затратами (при заданных ценах на факторы производства) при x2 = x2* . При y = y1, C = g ( p1, p2 , y) = C1*.
С3
С3*
С2*
С2
D
С1*
x2*
T3*
T2*
Т2
T1*
y1
0
Т3
x1*
x 12
y3
y2
x 13
x1
Рис. 3.1
Величина минимальных издержек, обеспечивающих производство продукта фирмы в объеме y1 равна C1* = p1 x1* + p2 x2* . Поэтому
способ производства T1* находится на изокосте C1* (см. рис. 3.1).
40
Для увеличения объема производства до уровня y2 или y3 фирма
может выбрать способы производства T2 = ( x12 , x2* ) или T3 = ( x13 , x2* ) .
Однако затраты на производство названных объемов продукции
с помощью способов производства Т2 и Т3 не будут минимальными:
производство y2 единиц продукции потребует затрат в объеме С2,
производство y3 единиц продукции потребует затрат в объеме С3.
При ограниченном количестве первого ресурса, равном x2* , способы производства, которые обеспечивают минимум общих затрат
( T2* – для производства y2 с минимальными затратами C2* и T3* – для
производства y3 с минимальными затратами C3* ), являются недоступными для фирмы. Фирма не может реализовать способы производства T2* и T3* , расположенные на линии эффективного роста
фирмы 0D. Следовательно, возможности эффективного функционирования фирмы в краткосрочном периоде ограниченны. Таким ограничением в рассмотренном нами случае является «доступное» количество второго ресурса – x2* . Затраты на этот ресурс равняются p2 x2*
и определяют величину постоянных (неизменных) затрат фирмы
в краткосрочном периоде.
Обозначим величину постоянных издержек фирмы через FC, величину переменных издержек – через VC. Для ситуации, изображенной на рис. 3.1, FC = p2 x2* . Величина переменных издержек
VC = p1x1 (где x1 принимает значения x1*, x12, x13 ) и при неизменных
ценах на ресурсы зависит только от количества затрачиваемого
переменного фактора производства. Для любого заданного объема
производства y в краткосрочном периоде общие издержки (ТС) являются суммой переменных и постоянных издержек:
ТС(y) = FC + VC(y).
(3.6)
Приведем некоторые простые, но важные соотношения между
показателями затрат и производства в краткосрочном периоде. Допустим, фирма использует один переменный фактор производства.
Введем следующие обозначения:
Х – количество единиц вводимого переменного фактора производства;
y – объем выпуска (производства) в соответствующих единицах;
w – цена (единицы) вводимого переменного фактора;
AРx – средний продукт переменного фактора (по определению
АPх = y/Х);
MPx – предельный продукт переменного фактора (по определению
МРх = dy/dX);
AVC(y) – средние переменные издержки при объеме выпуска, равном y;
41
VC(y) – общие переменные издержки при объеме выпуска, равном y;
MC(y) – предельные издержки при объеме выпуска, равном y;
ATC(y) и AC(y) – средние общие издержки при объеме выпуска, равном y.
Покажем, что AVC ( y) =
AVC ( y) =
VC y
y
=
w
:
APx
⎛ 1 ⎞
⎛ 1 ⎞
wX
w
⎛X⎞
w
= w⎜ ⎟ = w⎜
.
=
=
⎜⎝ AP ⎟⎠
⎝ y⎠
⎝ y / X ⎟⎠
y
APx
x
Далее покажем, что MC y =
MC y =
dVC y
dy
=
(3.7)
w
:
MPx
(3.8)
⎛ 1 ⎞
d (wX ) wdX
w
=
= w⎜
=
.
dy
dy
⎝ dy / dX ⎟⎠ MPx
Способ производства, соответствующий затратам переменного
фактора в количестве x* (объем производства y*), при котором достигается максимальное значение среднего продукта переменного
фактора АРх = y*/Х*, является технологически эффективным, так как
обеспечивает максимальную величину среднего продукта.
Экономически эффективным называется такой способ производства, при котором достигается минимальная величина средних совокупных затрат AC(y).
3.2. Издержки в долгосрочном промежутке.
Минимальный эффективный масштаб производства, индекс
эффекта масштаба SCI. Соотношение долгосрочных предельных
(LМC) и краткосрочных предельных (SMC) издержек
В долгосрочном промежутке количества всех вводимых производственных факторов могут меняться и для каждого возможного
объема производства можно найти такую комбинацию факторов
(способ производства), для которой затраты будут минимальны.
Обозначим через LTAC или LAC величину средних совокупных
долгосрочных издержек. На рис. 3.2 приведена кривая долгосрочных
средних затрат и пять кривых краткосрочных средних затрат SATCi
(i = 1, …, 5).
Кривая долгосрочных средних затрат является огибающей для
кривых краткосрочных средних затрат. Каждая из кривых SATCi касается кривой LTAC в некоторой точке.
42
SATC1
SATC4
SATC2
SATC5
LTAC
SATS3
y1
y2
y3 = y*
y4
y5
y
Рис. 3.2
Для объемов производства, меньших y3, кривые SATCi (i = 1, 2)
касаются кривой LTAC слева от точки минимума SATCi (i = 1, 2). Это
означает, что в долгосрочном промежутке экономически выгодно
работать на уровне ниже экономически эффективного объема первого и второго краткосрочных периодов, слегка недогружая производственные мощности предприятия. Наоборот, для объемов производства, превышающих y3, кривые SATCi (i = 4, 5) касаются кривой
LTAC справа от точки минимума SATCi (i = 4, 5). Значит, при таких
объемах производства экономически выгодно работать, слегка превышая экономически эффективные объемы производства четвертого
и пятого краткосрочных периодов.
Объем производства y3 = y* – это экономически эффективный
объем производства в долгосрочном промежутке, так как при
производстве y3 единиц продукции достигается минимум долгосрочных средних затрат, т.е. обеспечивается (наибольшая) эффективность
затрат. Такой объем производства называется минимальным эффективным масштабом производства – МЭМП (или minimum efficient scale,
MES).
Можно ввести определение МЭМП в терминах эффекта масштаба
производства (как частного случая изменения общих затрат).
Объем производства, при котором заканчивается стадия положительного эффекта масштаба (экономия от масштаба) и начинается
стадия постоянного эффекта, называется минимальным эффективным
масштабом производства.
Экономия от масштаба часто измеряется в показателях эластичности издержек производства по объему выпуска Ey (TC). Если
представить коэффициент эластичности как отношение предельных издержек к средним: Ey(TC) = МС(y) /АС(y), то можно получить
43
следующие оценки эффекта от увеличения масштаба: при возрастающей отдаче от масштаба Ey(TC) 1, так как при уменьшении средних издержек последние всегда превышают предельные. В точке
экономической эффективности производства (MЭМП) Ey(TC) = 1.
При убывающей отдаче от увеличения масштаба производства
Ey(TC) > 1, так как при возрастании средние издержки всегда меньше
предельных издержек.
Для удобства иногда вместо эластичности издержек применяют
показатель, называемый индекс эффекта масштаба SCI (scale index):
SCI = 1 − Ey (TC).
(3.9)
Если Ey (TC) = 1, то SCI = 0, в этом случае нет ни экономии, ни потерь от увеличения масштаба производства. Если Ey (TC) 1, то
SCI > 0, здесь имеет место экономия от масштаба. И наконец, если
Ey (TC) > 1, то SCI 0, в этой ситуации наблюдаются потери от увеличения масштаба производства.
Как соотносятся кривые долгосрочных предельных (LМC)
и кратко срочных предельных (SMC i ) издержек? Отметим, что
STACi = LATC в точках, где LTC = STCi, а кривые STACi и LATC имеют
общую касательную в этих точках. Таким образом,
d SATCi ( y)
d LATC ( y) d SATCi ( y)
d LATC ( y)
=
= y
.
и y
dy
dy
dy
dy
(3.10)
Покажем, что для объемов производства y, при которых кривые
STACi и LATC касаются друг друга, LMC(y) = SMCi (y).
LMC ( y) =
dLTC ( y) d ( y ⋅ LATC ( y))
dLATC ( y)
=
= LATC ( y) + y
,
dy
dy
dy
(3.11)
SMCi ( y ) =
d SATCi
d STC ( y) d ( y ⋅ SATCi ( y))
=
= SATCi ( y) + y
( y).
dy
dy
dy
(3.12)
Сравнивая полученные после преобразований выражения в правой части соотношений (3.11) и (3.12), можно отметить, что они
равны, так как в точке касания равны между собой и первые, и вторые слагаемые (см. параграф 3.3) этих выражений. Следовательно,
в точках касания STACi и LATC значения долгосрочных предельных
и краткосрочных предельных издержек равны: LMC(y) = SMCi (y).
На рис. 3.3 изображены возможные соотношения кривой долгосрочных средних издержек U-образной формы и трех кривых краткосрочных средних издержек. Независимо от своей формы кривая
44
LATC всегда будет огибать кривые SATCi, каждая из которых будет
касаться LATC в точке, где LMC и SMCi будут совпадать.
SMC2
SMC1
SATC3
SATC1
SMC3
LMC
LATC
SATC2
y1
y2 = MES
y3
y
Рис. 3.3
3.3. Затраты при выпуске нескольких видов продукции.
Эффект от разнообразия (свойство субаддитивности затрат).
Свойство взаимодополняемости затрат.
Оценка экономии от совмещения производства
Предположим, что фирма производит два вида продукции. Обозначим через y1 объем выпуска продукции первого вида, через y2 –
объем выпуска продукции второго вида. Тогда функция совокупных
затрат фирмы TC(y1, y2) является функцией двух переменных и называется многопродуктовой функцией затрат. По определению функция TC(y1, y2), так же как и функция C(y) для случая одного продукта, характеризует издержки на производство y1 единиц продукции
первого вида и y2 единиц продукции второго вида при условии, что
все ресурсы используются эффективно. Однако, в силу того что величина совокупных издержек зависит от того, какова доля каждого
из видов продукции в общем объеме производства, возникают следующие эффекты, свойственные именно многопродуктовым функциям затрат.
А. Эффект от разнообразия (субаддитивность затрат). Многопродуктовая функция затрат TC(y1, y2) обладает свойством эффекта
от разнообразия, если совокупные издержки при совместном производстве двух видов продуктов в количествах y1 и y2, соответственно,
меньше, чем при раздельном производстве каждого из продуктов
в том же количестве:
TC(y1, y2)
TC(y1, 0) + TC(0, y2).
(3.13)
45
Б. Взаимодополняемость затрат. Многопродуктовая функция затрат обладает свойством взаимодополняемости затрат, если предельные издержки при производстве одного вида продукции уменьшаются, когда объем производства продукции второго вида растет.
Обозначим через MC1(y1, y2) предельные издержки на производство первого товара, через MC2 ( y1, y2) – предельные издержки на
производство второго товара. Если функция затрат обладает свойством взаимодополняемости затрат, то выполняются либо (3.14), либо
(3.15), либо и (3.14) и (3.15) одновременно:
∆MC1 ( y1, y2 )
< 0,
∆y2
(3.14)
∆MC2 ( y1, y2 )
< 0.
∆y1
(3.15)
Для измерения размеров экономии от совмещения производства
двух товаров надо оценить, какую долю составляет экономия на издержках в совокупных издержках при совместном производстве двух
продуктов. Обозначим показатель, отражающий эту долю, через SC
и назовем «индекс эффекта от разнообразия». Тогда:
SC =
TC ( y1 ) + TC ( y2 ) − TC ( y1, y2 )
,
TC ( y1, y2 )
(3.16)
где TC(y1, y2) – издержки совместного производства двух продуктов;
TC(y1) – издержки раздельного производства первого продукта;
TC(y2) – издержки раздельного производства второго продукта.
Когда существует экономия в издержках от совмещения производства (эффект от разнообразия), показатель SC больше нуля. При
потерях от совмещения производства показатель SC меньше нуля.
В целом, чем больше значение показателя SC, тем больше экономия
от совмещения производства.
ЗАДАЧИ
3.1
3.1.1. Производственные функции описываются формулами:
а) Q = 4L1/2K 1/2;
в) Q = 0,6 ln L + 0,4 ln K;
б) Q = L2/3K 1/3;
г) Q = (L1/2 + K 1/2)2,
где L – затраты труда, K – затраты капитала, Q – объем производимой
продукции. Обозначим цену труда через w, а цену капитала – через r.
46
Для каждой из производственных функций выведите:
1) функцию краткосрочных общих издержек при К = 1 и К = 16.
2) функцию краткосрочных средних издержек при К = 1 и К = 16.
3) функцию краткосрочных предельных издержек при К = 1
и К = 16.
3.1.2. Производственные функции описываются формулами:
а) Q = min{L, 2K};
б) Q = min{4L, K}; в) Q = min {3L, 2K},
где L – затраты труда, K – затраты капитала, Q – объем производимой
продукции. Обозначим цену труда через w, а цену капитала – через r.
Для каждой из производственных функций выведите:
1) функцию краткосрочных общих издержек при К = 10 и К = 40.
2) функцию краткосрочных средних издержек при К = 10 и К = 40.
3.1.3. Известно, что функция общих издержек фирмы имеет вид
TC(Q) = 12 + (Q − 2)2.
1. Выведите уравнение функции средних издержек.
2. Выведите уравнение функции предельных издержек.
3. Постройте графики этих функций.
4. Найдите, при каком объеме выпуска предельные издержки
равны средним. Найдите величину средних и предельных издержек
при этом объеме.
3.1.4. Производственная функция фирмы, максимизирующей прибыль, описывается формулой Q(L, K) = L1/2K 1/2, где L – затраты
труда, K – затраты капитала, Q – объем производимой продукции.
Обозначим цену труда через w, а цену капитала – через r.
1. Выведите функцию краткосрочных издержек фирмы при затратах капитала K , равных 4 ед.
2. Выпишите функции средних и предельных краткосрочных издержек для w = 1, r = 2, постройте их графики.
3.1.5. Производственная функция фирмы, максимизирующей прибыль, описывается формулой Q(L, K) = L1/3K 2/3, где L – затраты
труда, K – затраты капитала, Q – объем производимой продукции.
Обозначим цену труда через w, а цену капитала – через r.
1. Выведите функцию краткосрочных издержек фирмы при затратах капитала K , равных 8 ед.
2. Выпишите функции средних и предельных краткосрочных издержек для w = 1, r = 2, постройте их графики.
47
3.1.6. Производственная функция фирмы, максимизирующей прибыль, описывается формулой Q(L, K) = (L − 1)1/3K 2/3, где L – затраты
труда, K – затраты капитала, Q – объем производимой продукции.
Обозначим цену труда через w, а цену капитала – через r.
1. Выведите функцию краткосрочных издержек фирмы при затратах капитала K , равных 27 ед.
2. Выпишите функции средних и предельных краткосрочных издержек для w = 1, r = 2. Постройте графики этих функций.
3.1.7. Производственная функция фирмы, максимизирующей прибыль, описывается формулой Q(L, K ) = min {4L, 3K }, где L – затраты
труда, K – затраты капитала, Q – объем производимой продукции.
Обозначим цену труда через w, а цену капитала – через r.
1. Выведите функцию краткосрочных издержек фирмы при затратах капитала K , равных 27 ед.
2. Выпишите функции средних и предельных краткосрочных издержек для w = 1, r = 4. Постройте графики этих функций.
3.1.8. Производственная функция фирмы, максимизирующей прибыль, описывается формулой: Q (L, K) = (L1/2 + K1/2)2, где L – затраты
труда, K – затраты капитала, Q – объем производимой продукции.
Обозначим цену труда через w, а цену капитала – через r.
1. Выведите функцию краткосрочных издержек фирмы при затратах капитала K , равных 4 ед.
2. Выпишите функции средних и предельных краткосрочных издержек для w = 1, r = 4, постройте их графики.
3.1.9. Производственная функция фирмы, максимизирующей прибыль, описывается формулой Q(L, K) = L3/4K1/2, где L – затраты
труда, K – затраты капитала, Q – объем производимой продукции.
Обозначим цену труда через w, а цену капитала – через r.
1. Выведите функцию краткосрочных издержек фирмы при затратах капитала K , равных 4 ед.
2. Выпишите функции средних и предельных краткосрочных издержек для w = 1, r = 4, постройте их графики.
3.1.10. Функция общих затрат для некоторой фирмы имеет вид
TC = 100q − 3q2 + 0,1q3.
1. Определите объем производства, для которого средние затраты
минимальны.
2. Определите объем производства, для которого предельные затраты минимальны.
3. Определите эластичность затрат при объеме производства, равном 12 ед.
48
3.1.11. Управляющие предприятия, выполняющего жестяные работы
и специализирующегося на прокладке трубопроводов для систем
кондиционирования воздуха, оценили функцию общих затрат для
своего производства TC = 124 + 45q − 0,3q2 + 0,005q3, где q – погонный метр стандартного воздуха.
Определите:
1) объем производства, для которого общие средние (удельные)
издержки минимальны;
2) объем производства, для которого средние переменные издержки минимальны;
3) покажите, что для уровня производства, соответствующего минимуму средних переменных издержек, предельные издержки равны
средним переменным;
4) оцените эластичность общих затрат.
3.2
3.2.1. Производственные функции описываются формулами:
а) Q = L1/2K 1/2;
г) Q = (L1/2 + K 1/2)2;
б) Q = 2L + K;
д) Q = (L1/4 + K 1/4)4;
в) Q = 0,6 ln L + 0,4 ln K;
е) Q = min {L, 2K},
где L – затраты труда, K – затраты капитала, Q – объем производимой продукции. Обозначим цену труда через w, а цену капитала –
через r.
Для каждой из производственных функций выведите:
1) функцию долгосрочных общих издержек;
2) функцию долгосрочных средних издержек;
3) функцию долгосрочных предельных издержек;
4) постройте графики средних и предельных издержек.
3.2.2. Производственная функция фирмы, максимизирующей прибыль, описывается формулой Q(K, L) = (L – 3)1/3K 2/3, где L – затраты труда, K – затраты капитала, Q – объем производимой продукции. Обозначим цену труда через w, а цену капитала – через r.
1. Выведите функцию долгосрочных издержек фирмы.
2. Выведите функцию краткосрочных издержек фирмы при затратах капитала K , равных 27 ед.
3. Выпишите функции средних и предельных долгосрочных
издержек для w = 1, r = 2.
4. Выпишите функции средних и предельных краткосрочных
издержек для w = 1, r = 2.
49
5. Постройте графики средних и предельных долгосрочных издержек, средних и предельных краткосрочных издержек (изобразите
названные графики на одном рисунке).
6. Каким видом отдачи от масштаба характеризуется производство
фирмы? Чему рана эластичность общих долгосрочных издержек по
объему производства?
7. Рассчитайте индекс эффекта масштаба производства.
8. Оцените эластичность производства (как сумму эластичностей
выпуска по труду и капиталу).
3.2.3. Производственная функция фирмы имеет вид Q = K 0,5(L − 10)0,5.
Цена капитала – 16, цена труда – 4. В краткосрочном периоде запас
капитала фиксирован и равен 2.
1. Выведите уравнения среднего продукта труда (APL) и предельного продукта труда (MPL). Постройте их графики на одном рисунке.
Укажите на рисунке координаты всех точек пересечений (касаний)
графиков друг с другом и с осями координат.
2. Выведите уравнения среднего продукта капитала (APK) и предельного продукта капитала (MPK). Постройте их графики на одном
рисунке. Укажите на рисунке координаты всех точек пересечений
(касаний) графиков друг с другом и с осями координат.
3. Определите уравнения функций краткосрочных общих (STC),
средних общих (SATC), средних переменных (SAVC) и предельных
(SMC) издержек. Определите уравнения функций долгосрочных общих (LTC), средних (LATC) и предельных (LMC) издержек.
4. Постройте на одном рисунке графики средних и предельных
издержек, найденных в предыдущем пункте. Укажите на рисунке
координаты всех точек пересечений (касаний) графиков друг с другом и с осями координат.
5. Выведите уравнение функции краткосрочного предложения
фирмы QS (P).
6. Пусть в краткосрочном периоде цена продукции фирмы
равна 32. Определите оптимальный выпуск фирмы и ее максимальную прибыль. Сколько труда будет использовать фирма?
3.2.4. Функция зависимости общих издержек фирмы от объема выпуска описывается формулой TC = 4Q 3 − 16Q 2 + 20Q.
1. Чему равен минимальный эффективный масштаб производства
(QМЭМП или QMES)?
2. Рассчитайте индекс эффекта масштаба производства.
50
3.2.5. Функция общих затрат для некоторой фирмы имеет вид:
TC = 100q − 3q2 + 0,1q3, где q – объем производства.
1. Определите объем производства, для которого средние затраты
минимальны.
2. Определите объем производства, для которого предельные затраты минимальны.
3. Определите эластичность затрат при объеме производства, равном 12 и 20 ед.
4. Покажите, что эластичности издержек при объемах производства, равных 12 и 20 ед., согласуются со значениями индекса эффекта
масштаба.
5. Постройте графики функций средних и предельных затрат.
3.2.6. Функции общих затрат TC(Q) описываются формулами:
а) TC = (1/3)Q3 − 4Q2 + 30Q + 50;
г) TC = 2Q3 − 8Q2 + 80Q;
б) TC = 4Q3 − 2Q2 + 20Q;
д) TC = (1/3)Q3 − 10Q2 + 80Q + 50;
в) TC = Q3 + 10Q + 10;
е) TC = Q3 − 6Q2 + 30Q.
Для каждой из функций общих затрат найдите:
1) функцию средних переменных затрат;
2) функцию средних постоянных затрат;
3) функцию средних затрат;
4) функцию предельных затрат;
5) постройте на одном графике линии средних переменных, средних постоянных, предельных и средних общих затрат.
3.3
3.3.1. Предположим, что функция издержек компании А, которая
выпускает два вида продукции, описывается формулой TC (q1, q2) =
= 100 − 0,5q1q2 + (q1)2 + (q2)2.
Компании необходимо произвести 5 единиц первого продукта
и 4 единицы второго.
1. Обладает ли функция затрат фирмы TC (q1, q2) свойствами субаддитивности затрат и взаимодополняемости затрат?
2. Компания А рассматривает возможность продажи своего дочернего предприятия, которое выпускает второй продукт, компании В.
Если это произойдет, компания А будет выпускать только первый
продукт. Как это решение скажется на издержках компании А, если
она будет продолжать производить 5 единиц первого продукта?
3. Рассчитайте индекс эффекта от разнообразия.
51
3.3.2. Компания производит компьютеры и программное обеспечение, используя один и тот же завод и рабочих. Функция совокупных
издержек производства компьютеров в объеме q1 и программ в объеме q2 описывается формулой ТС = аq1 + bq2 − cq1q2, где a, b, c – положительные константы.
Обеспечивает ли заданная функция совокупных издержек:
1) экономию от совмещения производства;
2) эффект от разнообразия;
3) взаимодополняемость издержек.
3.3.3. Компания выпускает два вида продукции в количествах q1 и q2,
соответственно. Аналитический отдел фирмы оценил функцию совокупных издержек фирмы как следующую: ТС = 100 + q1 + q2 − q1q2.
1. Обладает ли функция ТС свойствами субаддитивности и взаимодополняемости затрат?
2. Одна зарубежная компания предложила купить предприятие,
производящее первый товар. Как повлияет продажа этого предприятия на предельные затраты при производстве продукции второго
вида?
3. В настоящее время компания выпускает 2 ед. первого товара
и 10 ед. второго товара. Как скажется на показателе средних издержек производства второго товара продажа предприятия, выпускающего первый товар, если объем производства второго товара останется равным 10 единицам?
4. Рассчитайте индекс эффекта от разнообразия.
3.3.4. Компания производит несколько видов продукции, среди которых мужские рубашки (q1) и одеколон (q2). Пусть функция затрат,
связанных с производством этих продуктов, имеет вид TC (q1, q2) =
= 3 + (q1)1/2 + (q2)2.
1. Покажите, что производство рубашек обладает определенной
экономией от масштаба, а производство одеколона – нет. Какое
предположение можно высказать о структуре рынка одеколона?
2. Покажите, что, несмотря на отсутствие эффекта экономии от
масштабов производства одеколона, эффект экономии от разнообразия совместного производства рубашек и одеколона, наряду с определенной экономией от масштаба производства рубашек, позволяет сделать вывод о том, что рынок одеколона будет весьма концентрированным.
52
3.3.5. В состав фирмы входят два завода, производящих один
и тот же продукт в количествах q1 и q2. Функции затрат первого и второго заводов имеют вид
TC1(q1) = 200 + 10q1 + 0,5(q1)2,
TC2(q2) = 100 + 10q2 + 2(q2)2.
Найдите функцию затрат фирмы TC(Q), где Q = q1 + q2.
3.3.6. Функция совокупных издержек фирмы, производящей два
вида продукции: первого в объеме q1 и второго в объеме q2, описывается формулой TC (q1, q2) = q1 + q2 − (q1, q2)1/3.
Обеспечивает ли заданная функция совокупных издержек:
1) экономию от масштаба;
2) эффект от разнообразия;
3) взаимодополняемость затрат.
Раздел 4
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Основные определения и утверждения
4.1. Элементы теории принятия решений в условиях
неопределенности и правило ожидаемой полезности
«Неопределенность» характеризует ситуацию, в которой возможны многие исходы, но их вероятности неизвестны. «Риск» характерен для ситуаций, в которых мы можем (перечислить) описать
все возможные исходы и оценить вероятности, с которыми они могут
произойти.
В дальнейшем анализе мы будем говорить о ситуации «риска»,
используя слова «неопределенность» и «риск» как синонимы.
Согласно теории [12], чтобы принимать решение в условиях неопределенности, индивид должен определить следующие элементы
задачи принятия решений:
1) множество возможных действий (1, …, х, …, Х);
2) множество состояний природы (мира) (1, …, s, …, S);
3) функцию последствий (результатов) с(x, s), характеризующую результаты различных комбинаций действий и состояний;
4) функцию ожиданий (вероятностей) (s), выражающую надежды
индивида;
5) функцию полезности на множестве результатов v(c), измеряющую
(оценивающую) желательность различных возможных результатов.
При S = 2 (S = 1, 2), X = 2 (X = 1, 2) всю совокупность исходов
можно представить в виде таблицы (табл. 4.1).
Таблица 4.1
Состояния природы
Действия
54
S=1
S=2
X=1
C11
C12
X=2
C21
C22
Элементарной (простой) лотереей L будем называть набор
L = (С1, С2, …, Сs, …, CS;
1,
2, …,
s, …,
S),
(4.1)
где Сs – результат, который доступен индивиду при s-м состоянии
природы, а s – вероятность наступления этого состояния.
Составная лотерея L = (L1, L2, …, Lk, …, LK;
1,
2, …,
k, …,
K)
(∑ k =1α k = 1; 0 ≤ α k ≤ 1) представляет собой линейную комбинацию элементарных лотерей, т.е. порождает распределение случайной
величины, которое есть среднее взвешенное распределений, порождаемых каждой из элементарных лотерей Lk с вероятностью k.
Программу или связанный с действием х набор результатов
можно представить как лотерею Lx (см. табл. 4.1):
K
Lx = (Сх1, Сх2, …, Схs, …, СхS;
1,
2, …,
s, …,
S),
(4.2)
где Cx – S-мерный вектор-строка результатов: Cx = (Cx1, Сх2, …,
Сх s , …, Сх S ), а
– S-мерный вектор-строка вероятностей:
= ( 1, 2, …, s, …, S), s = 1.
Если выполнены условия, сформулированные в аксиомах 1−7
(см. [10, с. 114−116]), то справедливо утверждение теоремы
Дж. фон Неймана – О. Моргенштерна, согласно которому предпочтения индивида на множестве действий могут быть упорядочены
с помощью функции ожидаемой полезности U(x):
U(x)
1V(Сx1) +
2V(Сx2) + … +
SV(СxS)
∑ s =1 πSV (CxS ) ,
S
(4.3)
где v(c) – функция полезности индивида на множестве результатов.
4.2. Денежные лотереи и отношение к риску.
Меры абсолютного и относительного отклонения риска
Эрроу – Пратта. Безрисковый эквивалент
Рассмотрим лотереи, результатами которых являются некоторые
денежные суммы. Функция v(c) в этом случае будет оценивать полезность денег. Функцию полезности результатов принято называть
элементарной функцией полезности или функцией полезности Бернулли, а функцию ожидаемой полезности действий U(x) – функцией
фон Неймана – Моргенштерна.
Будем считать, что v(c) — непрерывная возрастающая функция
(v (c) > 0).
Индивид называется не склонным к риску (отклоняющим риск),
если для него безрисковый вариант поведения предпочтительнее
рискового (лотереи) с тем же математическим ожиданием.
55
Индивид называется склонным к риску (принимающим риск),
если для него рисковый вариант поведения (лотерея) предпочтительнее безрискового с тем же математическим ожиданием.
Индивид, для которого равноценны безрисковый вариант поведения и рисковый (лотерея) с тем же математическим ожиданием,
называется нейтральным по отношению к риску.
Функции полезности индивидов v(c) с различным отношением
к риску приведены на рис. 4.1.
а)
б)
v(c)
v(c2)
v(E(c))
U(L)
в)
v(c)
v(c2)
v(c)
v(c2)
U(L)
v(E(c))
v(c1)
U(L)
v(c1)
v(c1)
c1
E(c)
c2
c
c1
E(c)
c2
c
c1 E(c)
c2
c
Рис. 4.1
Пусть L = (с1, с2; 1, 2) некоторая элементарная лотерея. Тогда
Е(с) – ожидаемый доход лотереи, а U(L) – ожидаемая полезность
лотереи, т.е. U(L) = E[v(c)].
На рис. 4.1, а приведена функция полезности индивида, не склонного к риску (строго отклоняющего риск). Эта функция строго выпукла вверх, т.е. v (c) 0. Содержательно это означает, что для индивида, не склонного к риску, предельная полезность денег [v (c)] убывает с ростом дохода, а полезность от гарантированного дохода,
равного Е(с), больше, чем ожидаемая полезность рискового варианта
(лотереи) U(L), т.е. v(Е(с)) > E [v(c)].
На рис. 4.1, б приведена функция полезности индивида, склонного к риску (строго отклоняющего риск). Эта функция строго выпукла вниз, т.е. v (c) > 0. Содержательно это означает, что для индивида, строго склонного к риску, предельная полезность денег [v (c)]
возрастает с ростом дохода, а полезность от гарантированного дохода, равного Е(с), меньше, чем ожидаемая полезность рискового
варианта (лотереи) U(L), т.е. v(Е(с)) E [v(c)].
И наконец, на рис. 4.1, в приведена функция полезности индивида, нейтрального по отношению к риску. Функция полезности
такого индивида линейная, так как, согласно определению, для него
равноценны рисковый и безрисковый варианты решения, т.е.
v(Е(с)) = E [v(c)].
56
Среди индивидов, принадлежащих к одному типу по отношению
к риску, допустим, не склонных к риску, не все в одинаковой степени
отклоняют риск. Поэтому для измерения степени отклонения риска
следует ввести меру отклонения риска.
Абсолютной мерой отклонения риска Эрроу – Пратта называется
rA (c) = −
v ′′(c)
.
v ′(c)
(4.4)
Будем говорить, что индивид с функцией полезности v2(c) обладает большей несклонностью к риску, чем индивид с функцией полезности v1(c), если rA1 (c) < rA2 (c) для любого с.
Относительной мерой отклонения риска называется
rR (c) = −
v ′′(c)
c.
v ′(c)
(4.5)
Аналогичные меры можно ввести для индивида, склонного
к риску.
Безрисковый эквивалент лотереи – это гарантированный доход,
который обеспечивает индивиду такую же полезность, что и ожидаемая полезность рисковой ситуации (лотереи). Обозначим его ce.
Тогда справедливо следующее: v(ce) = E [v(c)].
(4.6)
Утверждение 4.2.1. Теорема Эрроу – Пратта. Пусть предпочтения
двух индивидов представимы функциями ожидаемой полезности
Неймана – Моргенштерна с возрастающими, строго выпуклыми
вверх, дважды дифференцируемыми элементарными функциями
полезности. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) rA1 (c) < rA2 (c) для всех с;
2) v2( ) – выпуклая вверх трансформация v1( ): v2(c) = (v1(c)), где
( ) – возрастающая, строго выпуклая вверх функция;
3) ce2 ( L) < ce1 ( L) для любой лотереи L.
Будем говорить, что функция v(c) характеризует убывание абсолютной несклонности к риску, если rA(c) является убывающей функцией с.
Утверждение 4.2.2. Изменение степени несклонности к риску. Пусть
предпочтения двух индивидов представимы функциями ожидаемой
полезности Неймана – Моргенштерна с возрастающими, строго выпуклыми вверх, дважды дифференцируемыми элементарными функциями полезности. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) функция v(c) характеризует убывание абсолютной несклонности
к риску;
57
2) при любом c2 c1, v2(z) v(c2 + z) является выпуклой вверх трансформацией функции v1(z) v(c1 + z) : v2(z)
(v1(c)), где ( ) –
возрастающая выпуклая вверх функция;
3) для любой лотереи L разница между богатством потребителя
и безрисковым эквивалентом (с − сz) убывает с ростом с, где
v(сz) = E(v(c + z)).
4.3. Оптимизация потребительского выбора
в пространстве случайных благ (товаров)
Для того чтобы применить основные методы анализа потребительского выбора для решения задачи оптимизации потребительского выбора в условиях неопределенности, необходимы следующие
модификации основных понятий.
Допустим, имеется множество состояний природы (мира)
(1, …, s, …, S). Так как величина дохода индивида зависит от того,
какое состояние природы наступает, можно ввести понятия «блага»
или «товара», как дохода индивида при определенном состоянии
природы.
Следовательно, при S состояниях природы выбор потребителя
будет осуществляться на множестве S благ. Обозначим количество
s-го блага через Cs. Тогда величина Cs будет определять величину дохода потребителя при реализации s-го состояния природы.
Если ввести «условные» цены на рассматриваемые блага, то
можно сформировать бюджетное ограничение:
p1C1 + p2C2 + … + … psCs + … + … pSCS = M,
которое описывает множество возможных результатов потребительского выбора для рискового варианта действий
L = (С1, С2, …, Сs, …, CS; 1, 2, …, s, …, S).
Согласно правилу ожидаемой полезности Неймана – Моргенштерна в качестве целевой функции потребительского выбора выступает функция ожидаемой полезности.
Тогда задачу оптимизации потребительского выбора в условиях
неопределенности можно сформулировать следующим образом:
U(x)
1V(С1) +
2V(С2) + … +
SV(СS) =
∑ s =1 πSV (CS ) → max,
S
p1C1 + p2C2 + … + … + psCs + … + … pSCS = M.
(4.7)
(4.8)
Решение задачи (4.7), (4.8) методом Лагранжа позволяет сформулировать необходимое условие экстремума функции ожидаемой полезности.
58
Утверждение 4.3.1. Основная теорема оптимизации потребительского выбора в пространстве случайных благ (товаров). Пусть
предпочтения индивида представимы функцией ожидаемой полезности Неймана – Моргенштерна с возрастающей, строго выпуклой
вверх, дважды дифференцируемой элементарной функцией полезности v(c). Пусть L некоторая рисковая альтернатива действий,
L = (С1, С2, …, Сs, …, CS; 1, 2, …, s, …, S).
Тогда оптимальный выбор потребителя достигается в точке
C * = (C1* , C2* , …, Cs* , …, CS* ), где отношения предельных полезностей,
взвешенных по вероятностям, к ценам равны для всех состояний
природы, т.е.
v ′(cs )π s
v ′(cS )π S
v ′(c1 )π 1
v ′(c2 )π 2
=…
=…
=…
.
p1
p2
ps
pS
(4.9)
ЗАДАЧИ
4.1
4.1.1. Заданы составные лотереи:
(L1, L2, L3; 1/3, 1/3, 1/3)
и (L4, L5; 1/2, 1/2),
где L1 = (1/5, 2/5, 2/5); L2 = (0, 1, 0); L3 = (1/5, 2/5, 2/5); L4 = (2/15,
8/15, 1/3); L5 = (2/15, 2/3, 1/5).
Являются ли приведенные лотереи эквивалентными?
4.1.2. Заданы составные лотереи:
(L1, L2, L3; 1/3, 1/3, 1/3)
и (L4, L5; 1/2, 1/2),
где L 1 = (2/5, 1/5, 2/5); L 2 = (1, 0, 0); L 3 = (2/5, 2/5, 1/5),
L4 = (8/15, 2/15, 1/3); L5 = (2/3, 2/15, 1/5).
Являются ли приведенные лотереи эквивалентными?
4.1.3. Функция полезности Виктора имеет вид v(c) = (c)1/2, а его исходное богатство равно 100 ден. ед. За 100 ден. ед. он может купить
рисковый актив L, который с вероятностью 1/20 принесет ему
10 000 ден. ед. либо не принесет ни копейки с вероятностью 19/20.
1. Сравните ожидаемый доход актива L с его ценой.
2. Купит ли Виктор этот актив?
3. Какую цену он готов заплатить за этот актив?
59
4.1.4. Фермер должен решить, удобрять поле или нет. Его доход зависит
не только от этого решения, но и от того, будут ли дожди, вероятность
чего равна 0,5. В таблице приведены величины его доходов в условных
денежных единицах для различных действий и состояний природы.
Не удобрять
Удобрять
Дожди
Нет дождей
16
25
9
0
Станет ли фермер удобрять поле, если его функция полезности
имеет вид:
1) v(c) = (c)1/2; 2) v(c) = с2; 3) v(c) = с + 2.
4.1.5. Предположим, что вас зачислили одновременно в два колледжа – А и Б. В колледже А более жесткие требования к успеваемости студентов, но он является более престижным, чем колледж Б.
Во всех других отношениях, кроме возможного влияния на будущую
профессиональную карьеру, оба колледжа для вас равнозначны. Выбор колледжа Б представляется более рациональным, поскольку в нем
вы будете успешно справляться с академической нагрузкой, а после
его окончания получите довольно приличную работу. Если вы сможете соответствовать требованиям, установленным в колледже А, то
после его окончания у вас появится возможность получить очень хорошую работу. Однако не исключено, что ваша успеваемость будет
низкой, и в итоге вам смогут предложить только плохую работу.
Если ваша функция полезности заработка имеет вид v(c) = С1/2,
где С – величина заработка, то:
1) какой из двух колледжей вы предпочтете посещать при условии,
что вероятность получить очень хорошую работу с заработной платой в размере 1 000 000 ден. ед. в год равняется 0,6, а величина заработной платы на приличной работе составляет 690 000 ден. ед. в год?
2) какой должна быть сумма заработка на приличной работе,
чтобы оба колледжа оказались для вас одинаково привлекательными?
4.1.6. Допустим, функция полезности индивида описывается следу1/ 2
⎛ c ⎞
ющей формулой: v(c) = ⎜
. Ему предлагается выбор из двух
⎝ 1000 ⎟⎠
альтернатив:
(А) получить доход в 250 ден. ед. достоверно и
(В) принять рисковый вариант действия: В = (810, 360, 160;
0,1; 0,5; 0,4).
Каким должен быть его выбор согласно правилу ожидаемой полезности Неймана – Моргенштерна?
60
4.1.7. Докажите, что функции полезности Бернулли, различающиеся
только выбором начала отсчета и единицы измерения, описывают
одну и ту же систему предпочтений относительно риска, и что верно
обратное: если функции полезности V(c) и W(c) описывают одно
и то же отношение предпочтения относительно риска, то выполняется равенство W(c) = a + bV(c), где b > 0.
4.1.8. Предпочтения трех индивидов на множестве результатов описываются следующими функциями: V1 = c, V2 = c1/2, V3 = c2. Каждый
из них может инвестировать в один из следующих проектов:
П1 = (480, 480; 0,5, 0,5);
Е(П1) = 480;
П2 = (850, 200; 0,5, 0,5);
Е(П2) = 525;
П3 = (1000, 0;
Е(П3) = 500.
0,5, 0,5);
1. Определите, какие проекты выберут индивиды согласно их функциям предпочтения, как их решения согласованы с математическими ожиданиями проектов?
2. Если бы индивиды могли выбирать желаемую «смесь» проектов, какие варианты они бы предпочли? (Предположим, что доходы
по проектам 2 и 3 связаны прямолинейной зависимостью.)
4.1.9. Допустим, что v(c) – функция полезности Бернулли некоторого индивида с начальным богатством с0. Имеется лотерея L = (G, B;
p, 1 – p).
1. Если индивид владеет лотереей, то какова минимальная цена,
по которой он готов ее продать (выписать соотношение для определения цены продажи)?
2. Если индивид не собственник этой лотереи, то какова максимальная цена, по которой он готов ее купить (выписать соотношение
для определения цены покупки)?
3. Равны ли цена продажи и цена покупки?
4. Пусть G = 10, В = 5, с0 = 10, v(c) = c1/2. Определите цену покупки
и продажи лотереи при этих условиях.
4.1.10. Функция полезности Анны имеет вид: v(c) = 500 − (100/C), где
C – уровень потребления. Анна имеет медицинское образование.
Если Анна станет государственным служащим, то она будет гарантированно потреблять 30 000 евро в год. Если она будет работать педиатром, то ее доход может стать равным 60 000 евро в случае подъема рождаемости и 20 000 евро – в случае спада. Вероятность бума
61
рождаемости равна 3/4, а вероятность спада – 1/4. Консалтинговая
фирма, занимающаяся демографическими проблемами, может оценить, какая ситуация, скорее всего, будет иметь место.
Определите, какую максимальную сумму Анна готова заплатить
за эту информацию?
4.2
4.2.1. Покажите, что коэффициент относительного отклонения
риска rR(c) оценивает эластичность предельной полезности дохода
(богатства) по доходу.
4.2.2. Покажите, что для функции полезности Бернулли v(c) = –e–ax,
где а > 0, абсолютная мера отклонения риска Эрроу – Пратта постоянна и равняется а > 0.
4.2.3. Приведите определение относительной меры Эрроу – Пратта.
Обладает ли функция полезности v(c) = C1/3 свойством постоянства
относительной меры Эрроу – Пратта?
4.2.4. Допустим, функции полезности Бернулли v(c) = c1/2.
1. Рассчитайте коэффициенты Эрроу – Пратта абсолютного и относительного отклонения риска при уровне богатства индивида,
равном 5.
2. Рассчитайте достоверный эквивалент и премию за риск для лотереи (16, 4; 1/2, 1/2).
3. Рассчитайте достоверный эквивалент и премию за риск для лотереи (36, 16; 1/2, 1/2). Сравните полученные оценки с аналогичными из пункта 2. Приведите содержательную интерпретацию.
4.2.5. Функция полезности индивида описывается формулой:
v(c) = 120 − 200/C. У индивида есть две возможности выбора:
1) получить достоверно 4 ден. ед.;
2) принять участие в лотерее, где он может выиграть 10 ден. ед.
с вероятностью 1/4 или выиграть 2 ден. ед. с вероятностью 3/4.
Определите:
1) каково отношение индивида к риску (постройте график функции полезности Бернулли)?
2) что предпочтительней для индивида: играть или получить
4 ден. ед.?
3) чему равен ожидаемый выигрыш лотереи?
4) чему равен безрисковый (достоверный) эквивалент лотереи?
62
4.2.6. Выпускнику МГУ (далее – В) предложили два места работы.
Безопасная работа преподавателя с заработной платой 400 ден. ед.
в месяц, либо работа, связанная с финансовым риском, с заработной
платой, равной W ден. ед. в месяц. Вероятность неудачи во втором
случае оценивается в 40%.
Функция полезности В имеет вид: v(c) = 50 − (8000/C) − Н, где
C – величина заработной платы, а Н – параметр, значение которого
равно 10 при неудаче и 0 – в нормальной ситуации.
Какой должна быть премия за риск, чтобы В предпочел стать менеджером?
4.2.7. Определите отношение к риску индивидов, чьи функции полезности описываются следующими формулами:
а) V = ln c;
г) V = c1/2;
д) V = 100 + 6c;
б) V = ac − bc2 (a, b – положительные константы);
е) V = 1 − e–c.
в) V = c2;
4.2.8. Рассмотрим лотерею с тремя возможными исходами:
100 ден. ед. можно получить с вероятностью 0,1; 50 ден. ед. – с вероятностью 0,2 и 10 ден. ед. – с вероятностью 0,7.
1. Чему равна величина ожидаемого дохода лотереи?
2. Определите безрисковый эквивалент лотереи, если функция
полезности индивида имеет вид: 1) v(c) = (c) 1/2 ; 2) v(c) = с 2 ;
3) v(c) = 2с + 5.
3. Какой частью дохода готов пожертвовать индивид, чтобы избежать риска?
4.2.9. Филипп занимается перепродажей подержанных автомобилей
и имеет функцию полезности v(c) = c1/2. Он располагает суммой
250 тыс. руб. и решает, следует ли за эти деньги приобрести автомобиль, качество которого он не может точно оценить. По его мнению,
с вероятностью 0,5 автомобиль не побывал в серьезной аварии. Тогда
после ремонта его можно будет перепродать, получив чистую прибыль 52 500 руб. Если же автомобиль побывал в аварии, то чистый
убыток от его перепродажи составит 38 400 руб.
1. Определите, приобретет ли Филипп автомобиль.
2. Какую максимальную цену Филипп готов заплатить за возможность получить точную оценку состояния автомобиля в автосервисе
до покупки (в случае покупки оплату услуг автосервиса он может
произвести после перепродажи)?
63
4.2.10. Иванов Петр имеет начальное богатство 30 ден. ед. и функцию
120
полезности Бернулли v(c) = 20 − c . У него есть возможность приобрести акцию компании «Норильский никель» за 20 ден. ед. Он считает, что с вероятностью 3/5 эта акция будет в следующем месяце
стоить 30 ден. ед., а с вероятностью 2/5 – 10 ден. ед. Также у Иванова
есть возможность приобрести эту акцию совместно еще с девятью его
товарищами на условиях равного разделения вкладов и прибылей.
Будет ли Иванов покупать акцию один или совместно?
4.2.11. Фирма с функцией полезности U(x) = x − 0,0002x2 (х – объем
производства) занимается производственными операциями, которые
требуют использования воспламеняющихся растворителей для выполнения сварочных операций в том же здании. Страховая компания
определила, что это тот тип операций высокого риска, при котором
пожар может привести к полному разрушению здания, а вероятность
возникновения пожара в рамках отрасли составляет 20%.
Если здание фирмы сгорит, то на его восстановление потребуется
400 000 евро.
Фирма обоснованно (достоверно) ожидает получить доход
от основной деятельности в размере 500 000 евро в год.
1. Определите, сколько фирма готова заплатить за страховой полис на случай пожара при условии, что в этом случае здание будет
восстановлено, если ей неизвестна вероятность возникновения пожара в рамках отрасли?
2. Какова должна быть премия по страховому полису, необходимая на случай пожара для покрытия возможного ущерба в размере
400 000 евро, если страховая компания требует премию, на 25% превышающую убытки от пожара (для покрытия накладных расходов
и получения прибыли)?
3. Стоит ли фирме покупать страховку? Для ответа на вопрос заполните матрицу решений.
Матрица решений
Пожар
Пожара нет
(вероятность 0,5) (вероятность 0,5)
Ожидаемая
полезность
Страховать
Не страховать
4. Стоит ли фирме покупать страховку, если ей известна вероятность возникновения пожара в рамках отрасли?
64
4.3
4.3.1. Докажите, что стандартные кривые безразличия индивида,
не склонного к риску, в пространстве обусловленных благ выпуклы
к началу координат, т.е. предельная норма замещения является убыdc
вающей функцией M (c, c2 ) ≡ − 2 < 0 по с1.
dc1
4.3.2. Доход индивида равен 25 ден. ед. Он может принять участие
в следующей игре: бросается шестигранная игральная кость; если
выпадет 5, то он выиграет 1 ден. ед., если появится любая другая
цифра, то он проиграет 1 ден. ед.
1. Изобразите бюджетное ограничение индивида в пространстве
случайных товаров (С1, С2).
2. Проведите линию определенности и линию равных возможностей.
3. Какой должна быть вероятность выигрыша в игре, чтобы эта
игра стала актуарно справедливой?
4.3.3. Доход индивида составляет 100 ден. ед. Он может принять
участие в следующей игре: выиграть 5 ден. ед. с вероятностью 4/5 или
проиграть 4 ден. ед. с вероятностью 1/5.
1. Изобразите бюджетное ограничение индивида в пространстве
случайных товаров (С1, С2).
2. Проведите линию определенности и линию равных возможностей.
3. Какой должна быть вероятность выигрыша в игре, чтобы эта
игра стала актуарно справедливой?
4.3.4. Индивид Б является не расположенным к риску человеком,
функция полезности которого описывается формулой V(C ) = 5C1/2.
Пусть его доход до вычета налогов составляет 2000 ден. ед. Система налогообложения функционирует согласно следующим трем принципам:
1) ставка налогообложения равняется t = 1/4;
2) налоговая декларация проверяется с вероятностью = 1/5,
и индивид Б об этом осведомлен;
3) если при проверке выяснится, что Б скрывает доходы, то ему
придется выплатить налог и заплатить f ден. ед. штрафа за каждую
денежную единицу скрытого от налогообложения дохода.
1. Постройте бюджетное ограничение индивида Б в пространстве
обусловленных товаров (С1, С2) (С1 – уровень потребления, если проверка произойдет, С2 – уровень потребления, если проверки не будет).
65
2. Отметьте точку вклада, проведите линию определенности и линию равных возможностей.
3. Определите оптимальный выбор потребителя при данной системе налогообложения. Отметьте на бюджетном ограничении точку
потребительского выбора и проведите кривую безразличия, соответствующую оптимальному набору.
4. Какую часть дохода скрыл индивид от налогообложения?
5. При какой величине штрафа за каждую денежную единицу
дохода, скрытого от налогообложения, индивиду Б будет выгодно
декларировать доход полностью?
4.3.5. Менеджер совершенно конкурентной фирмы должен определить объем производства, максимизирующий прибыль, не располагая достоверной информацией о цене продукции и издержках. При
этом он предполагает, что распределение вероятностей цены таково:
Цена
Вероятность
15 ден. ед.
16 ден. ед.
17 ден. ед.
18 ден. ед.
0,1
0,2
0,3
0,4
Что касается издержек: аналитический отдел фирмы оценил с помощью регрессионного анализа функцию средних переменных издержек как следующую: AVC = 16 − 0,024Q + 0,00002Q 2, а величина
постоянных издержек составляет 1000 ден. ед.
Определите объем производства, максимизирующий ожидаемую
прибыль.
4.3.6. Менеджер фирмы-дуополиста решает повысить цену продукции. Он надеется, что с вероятностью 60% фирма-конкурент примет
его цену, а с вероятностью 40% – оставит прежнюю цену без изменения. В настоящий момент цена равняется 50 ден. ед. Спрос фирмы
описывается функцией Q = 8000 − 280P + 200P C , где P C – цена
фирмы-конкурента. Предельные издержки фирмы постоянны и составляют 20 ден. ед.
Какую цену установит менеджер, максимизирующий ожидаемую
прибыль?
4.3.7. Рассматривается модель спроса на страховку для индивида, обладающего богатством w = 12 000 долл. Предположим, с вероятностью
= 1/2 может произойти несчастный случай, в результате которого
индивид потеряет часть своего богатства, а именно, 8000 долл. Индивид имеет возможность приобрести страховку по цене 1/2 за единицу
страхового покрытия. Предпочтения индивида описываются функ66
цией ожидаемой полезности с элементарной функцией полезности
U(x) = ln (x).
1. Какую сумму застрахует данный индивид?
2. Как изменится ваш ответ на пункт 1, если цена единицы страховки составит 3/5.
3. Опишите задачу выбора оптимальной величины страховки
в терминах случайных (обусловленных) благ.
3.1. Определите состояния природы и соответствующие случайные блага в данной модели.
3.2. Выведите бюджетное ограничение в терминах случайных благ
и изобразите графически.
3.3. Изобразите на графике оптимальную точку при цене единицы страховки, равной 1/2 и 3/5.
4.3.8. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида-рискофоба, предпочтения которого представимы функцией ожидаемой
полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности. Пусть страховка не является справедливой (цена единицы
страховки превышает вероятность наступления страхового случая).
Будет ли в этой ситуации индивид покупать полную страховку?
4.3.9. Предпочтения индивида характеризуются функцией полезности U = 3 w , где w – богатство индивида в тыс. долл.
1. Пусть w = 100. Вычислите абсолютную и относительную меры
несклонности к риску Эрроу – Пратта для данного индивида.
2. Индивид живет в пожароопасном районе. С вероятностью 10%
его дом может сгореть, в этом случае его богатство сократится со
100 до 25 тыс. долл. Вычислите премию за риск и гарантированный
эквивалент для лотереи, с которой сталкивается индивид.
3. Приведите графическую иллюстрацию решения пункта 2 в координатах (w, U(w)).
4. Индивид может воспользоваться услугами страховой компании
и застраховаться от пожара. Условия страховки следующие: за каждый доллар страховой премии компания, в случае пожара, выплачивает индивиду 7 долл.
Сформулируйте соответствующую оптимизационную задачу
в терминах случайных (обусловленных) благ. Определите богатство
индивида в каждом из состояний мира и его спрос на страховку.
5. Приведите графическую иллюстрацию решения пункта 4 в координатах (wG, wB), где wG – богатство индивида в случае, если пожар
не случился, wB – богатство индивида в случае, если пожар случился.
Не забудьте указать координаты всех ключевых точек.
67
4.3.10. Потребитель получил некоторый доход x > 0 и принимает
решение, декларировать его целиком или скрыть часть дохода от налоговых органов. Ставка подоходного налога t = 25%. Налоговые
органы осуществляют проверку декларации индивида с вероятностью p = 1/5. В случае если проводится проверка, индивиду придется
заплатить не только полную сумму налога, но и штраф в размере
75 коп. за каждый скрытый рубль налога.
1. Предполагая, что функция полезности индивида имеет вид
U = ln x, определите, какую долю своего дохода он предпочтет скрыть
от налоговых органов.
2. Как изменится ваш ответ, если предположить, что индивид нейтрален к риску?
4.3.11. Индивид Б является не расположенным к риску человеком,
функция полезности которого имеет вид v(c) = С1/2, где С – величина
дохода. Пусть его доход до вычета налогов составляет 4800 ден. ед.
Система налогообложения функционирует согласно следующим
трем принципам:
1) ставка налогообложения равняется 0,3;
2) налоговая декларация проверяется с вероятностью = 1/4,
и индивид Б об этом осведомлен;
3) если при проверке выяснится, что Б скрывает доходы, то ему
придется заплатить f = 0,6 ден. ед. за каждую денежную единицу дохода, скрытого от налогообложения.
1. Опишите рисковое действие (скрытие от декларирования одной
единицы дохода) индивида как лотерею.
2. Постройте бюджетное ограничение индивида Б в пространстве
случайных товаров (С1, С2) (С1 – уровень потребления, если проверка
произойдет, С2 – уровень потребления, если проверки не будет).
3. Опишите бюджетное ограничение с помощью цен (оценок)
случайных товаров.
4. Определите оптимальный набор индивида Б при заданном бюджетном ограничении.
dc
5. Чему равна предельная норма замещения товаров − 2 в точке
dc1
оптимума и в точке вклада?
6. Какую часть дохода скрыл от налогообложения индивид Б?
7. Какой должна быть величина штрафа при заданной ставке налога, чтобы индивиду было невыгодно скрывать свой доход?
8. Приведите графическую интерпретацию решения пунктов 4–6.
Раздел 5
РЫНОЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В СЛУЧАЕ
НЕСОВЕРШЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ
Основные определения и утверждения
5.1. Монополистическая ценовая дискриминация
Понятие ценовой дискриминации было введено в экономическую
теорию английским экономистом А. Пигу (Пигу А. Экономическая
теория благосостояния. М., 1985. Т. 1. Гл. 16), который предложил
различать три вида (степени) ценовой дискриминации: ценовая дискриминация первой степени, второй степени и третьей степени. Все
названные стратегии дискриминационного ценообразования являются различными способами присвоения излишка потребителя и его
перераспределения в пользу производителя.
Под ценовой дискриминацией первой степени понимается ценовая
стратегия, при которой фирма-монополист назначает каждому покупателю максимальную цену, которую он готов заплатить. Назовем
эту максимальную цену субъективной ценой покупателя.
Прибегая к такой ценовой стратегии, фирма может присвоить
излишек потребителя полностью и получить предельно максимальную прибыль. Поэтому этот вид ценовой дискриминации называют
еще и совершенной ценовой дискриминацией.
Рассмотрим графическое описание модели ценовой дискриминации первой степени. На рис. 5.1 представлены решения фирмы без
применения дискриминации и в условиях ценовой дискриминации
первой степени. При назначении единой цены продукции, равной р*, фирма предлагает на рынок товар в количестве Q* единиц
и (в случае нулевых постоянных издержек) получает прибыль, величину которой можно оценить площадью криволинейной фигуры
F p*BE либо площадью криволинейного треугольника F pdE. Действительно, с одной стороны, прибыль фирмы-монополиста П(Q*)
при объеме производства Q* можно оценить как
Q*
П(Q *) = TR(Q *) − TC (Q *) = p*Q * − ∫ MC (Q )dQ ,
(5.1)
0
69
с другой стороны,
Q*
Q*
Q*
П(Q *) = ∫ MR(Q )dQ − ∫ MC (Q )dQ = ∫ [ MR(Q ) − MC (Q )]dQ .
0
0
(5.2)
0
Если применяется совершенная ценовая дискриминация, каждому покупателю назначается субъективная цена и, следовательно,
объем производства определяется кривой спроса. Поэтому, до тех
пор пока цена будет превышать предельные издержки, фирма может
увеличивать прибыль, расширяя объем производства. Для объема
производства, равного Qc, цена совпадает с предельными издержками, и дальнейшее увеличение объема выпуска будет уменьшать
прибыль фирмы.
pd
p*
pc
B
С
MC
D
E
Qd
F
MR
Q*
Qc
Q
Рис. 5.1
На рис. 5.1 видно, что прибыль фирмы-монополиста стала значительно больше. Теперь она равна площади криволинейного треугольника FpdD, включающей прибыль, которую получает фирма при
назначении единой цены р* (площадь фигуры Fp*BE), излишек потребителя (сумма площадей треугольников p*pdB и CBD) и прибыль
от увеличения объема производства на (Qc − Q*) единиц (площадь
треугольника ECD).
Если оценивать прибыль фирмы до применения ценовой дискриминации площадью треугольника FP dE, то видно, что в условиях
ценовой дискриминации прибыль возросла на площадь криволинейного треугольника EpdD.
Не располагая сведениями о субъективных ценах потребителей,
фирма, тем не менее, может знать, что покупатели ее продукции различаются по высоте и эластичности спроса. Спрос одной группы
покупателей является более высоким и, следовательно, менее эластичным по цене, спрос другой группы – более низким и, следова70
тельно, более эластичным по цене. Опираясь на неполные знания
о спросе потребителях своей продукции, фирма вырабатывает отличную от совершенной ценовой дискриминации ценовую стратегию
для увеличения своей прибыли за счет излишка потребителей. Эта
ценовая стратегия называется ценовой дискриминацией второй степени
и осуществляется, как правило, либо в форме блочной схемы ценообразования, либо в форме схемы двухставочного тарифа. В обоих
случаях производитель предлагает всем покупателям единую структуру цен, предоставляя каждому из них возможность «самоотбора»,
т.е. возможность самому решать, какое количество товара покупать.
На рис. 5.2 приведена иллюстрация ценовой дискриминации второй степени с применением трех уровней цен для функции спроса
Р(Q). Обозначим через Q3 общую величину 3 блоков (партий) товара:
Q3 = qk, где qk – размер k-й партии (k = 1, 2, 3).
P
A
p1
p2
p3
MC
A
B
C
pc
F
q1
q2
Q1
E
q3
Q2
D
Q3 Qc
MC
Q
Рис. 5.2
Для первой партии товара объемом q1 единиц фирма назначает
самую высокую цену, равную р1. Для следующей партии объемом
q2 единиц – цену р2 и для третьей партии размера q3 – цену р3. При
назначении цен учитывается не только размер партии товара, но
и суммарная величина покупки:
р1 = P(Q1), р2 = P(Q2) = P(q1 + q2), р3 = P(Q3) = P(q1 + q2 + q3).
(5.3)
Если бы фирма-монополист применила дискриминацию первой
степени, то ей достался бы весь общественный излишек TS (TS –
равна площади криволинейного треугольника FAE). С другой стороны, если бы фирма использовала стратегию конкурентного ценообразования и назначила цену на уровне предельных издержек pc, то
покупатели получили бы излишек потребителя полностью (площадь
треугольника pcАЕ), а фирма довольствовалась бы лишь излишком
71
производителя (площадь криволинейного треугольника F pcE). Назначив три значения цены, которые понижаются с ростом объема
покупок, фирма извлекает значительную часть потребительского
излишка и превращает его в прибыль.
Рассмотрим математическое описание модели блочного ценообразования для осуществления ценовой дискриминации второй степени.
Пусть спрос на продукцию фирмы-монополиста описывается
функцией P = P(Q), а совокупные затраты TC = TC(Q). С учетом (5.3)
задачу максимизации прибыли фирмы в условиях ценовой дискриминации второй степени при фиксированном числе партий можно
сформулировать следующим образом:
П(q1, q2, …, qk) = {TR(q1) + TR(q2) + … + TR(qi) + … +
+ TR(qk)} – TC(q1 + q2 + … + qi + … + qk) → max,
(5.4)
где TR(qi) обозначает общий доход от продажи i-й партии по цене Р (Q i).
Или
П(q1, q2, …, qk) = {q1Р(Q 1) + q2Р(Q 2) + … + qiР(Q i) + … +
+ qkР(Q k)} − TC(Q k) → max.
(5.5)
Условие первого порядка для нахождения максимума функции
прибыли (5.5) позволяет получить следующие соотношения:
MR(q1) = p2,
MR(q2) = p3, …, MR(qi) = pi, …, MR(qk) = MC(Q k),
(5.6)
где MR(qi) обозначает частную производную TR(qi) по qi.
Следовательно, для получения максимальной прибыли при осуществлении ценовой дискриминации второй степени цены должны
назначаться согласно правилу (5.6), которое можно назвать правилом
оптимального ценообразования. Оно говорит о том, что для того
чтобы получить максимальную прибыль, фирма должна устанавливать
цену для каждой единицы i-й партии на уровне предельной выручки
от продажи последней единицы продукции предшествующей партии.
В основе ценовой дискриминации третьей степени лежит не различие цен на отдельные экземпляры (или партии) одного и того же
товара, а разделение самих покупателей на группы, для каждой
из которых устанавливается своя цена реализации продукции.
Перейдем к формальному описанию модели ценовой дискриминации третьей степени.
Предположим, что монополист производит единственный продукт при совокупных затратах ТС(q) и что на основе определенной
72
экзогенной информации он может разделить совокупный спрос на
его товар на m «групп», т.е. выделить m сегментов на рынке своего
продукта. Спрос на каждом из этих сегментов характеризуется своей
функцией спроса. Все они известны монополисту. Допустим, что
арбитраж не может возникать между группами и одновременно монополист не может осуществить дискриминацию внутри группы.
Обозначим через р1, р2, …, рm цены, которые монополист назначает на различных сегментах рынка, а через q 1 = D 1 (p 1 ), …,
qi = Di(pi), …, qm = Dm(pm) – функции спроса на этих рынках. Тогда
величина совокупного спроса на товар фирмы-монополиста q при
каждом уровне цен определяется как сумма величин спросов на всех
сегментах рынка:
m
q = ∑ Di ( pi ).
(5.7)
i =1
Монополист выбирает цены, максимизирующие суммарную прибыль П(p1, …, pm). Для этого необходимо решить задачу на определение максимума функции прибыли, которая зависит от m переменных (pi):
⎛ m
⎞
П = ∑ pi ( Di ( pi )) − TC (q ) = ∑ pi ( Di ( pi )) − TC ⎜ ∑ Di ( pi )⎟ → max. (5.8)
⎝ i =1
⎠
i =1
i =1
m
m
Обозначив
ющей форме:
П=
pi (D ( pi)) через TRi, можно переписать (5.8) в следу-
TRi(qi) − ТС( qi) → max.
(5.9)
Условие первого порядка для нахождения максимума функции
прибыли (5.9) позволяет получить следующие соотношения:
MR1(q1) = MRi (qi) = … = MRm(qm) = MC(q).
(5.10)
Таким образом, предельные доходы при оптимальных объемах
равны, но цены разные. При этом цены выше на тех сегментах
рынка, для которых эластичность спроса ниже, и наоборот. Действительно, из того, что предельный доход фирмы-монополиста равен
⎛ 1
⎞
MR = p(Q )⎜
+ 1⎟
⎝ ED
⎠
и выполняется (5.10), легко получить следующие соотношения цен,
допустим, на первом и втором рынках:
⎛ 1
⎞
⎛ 1
⎞
+ 1⎟ ,
p1 ⎜
+ 1⎟ = p2 ⎜
⎝ E2
⎠
⎝ E1
⎠
т.е.
p1 (1 + 1/E2 )
=
,
(1 + 1/E1 )
p2
(5.11)
73
где Е1 и Е2 – эластичности спроса по цене для первого и второго сегментов рынка.
Можно еще немного преобразовать соотношение (5.11):
p1
E E + E1
= 1 2
.
p2
E1 E2 + E2
(5.12)
На основании (5.11) и (5.12) можно сформулировать правило
оптимального ценообразования в условиях ценовой дискриминации
третьей степени: монополист должен назначить более высокие цены
на рынках с меньшей эластичностью.
5.2. Модель дуополии Курно
На рынке в течение производственного периода функционирует
две фирмы. Их функции издержек являются линейными функциями,
т.е. имеют вид C1 = сy1 + d1, C2 = сy2 + d2, где c = MC1 = MC2, d1 = FC1,
d2 = FC2; y1 – объем выпуска первой фирмы; y2 – объем выпуска
второй фирмы; y = y1 + y2 – суммарный выпуск обеих фирм (т.е. отраслевой выпуск); MC1 и MC2 – предельные издержки фирм; FC1
и FC2 – постоянные издержки обеих фирм.
Функция, обратная к функции рыночного спроса, предполагается
линейной и имеет вид p = a − b(y1 + y2), где a и b – положительные
параметры. Тогда доход (выручка) у первой фирмы равен R1 = py1,
а у второй – R2 = py2. Для прибыли каждой фирмы получаем следующие выражения:
PR1( y1, y2) = R1 − C1 = (a − by1 − by2)y1 − cy1 − d1,
(5.13)
PR2( y1, y2) = R2 − C2 = (a − by1 − by2)y2 − cy2 − d2.
(5.14)
Из приведенных формул следует, что прибыль каждой фирмы зависит не только от объема ее собственного выпуска, но и от объема
выпуска другой (конкурирующей с ней) фирмы.
Далее все построения будут выполнены только для первой фирмы.
Ряд результатов для второй фирмы выписывается по аналогии.
Первая фирма полагает, что выпуск второй фирмы в рассматриваемом периоде не меняется, т.е. y2 = y2 и, следовательно,
dy2
d y2
=
= 0 . В соответствии с принятой предпосылкой прибыль
dy1
dy1
первой фирмы имеет вид
PR1 = (a − c) y1 − by12 − by1 y2 − d1 .
74
(5.15)
Аналогично, если вторая фирма полагает, что выпуск первой
фирмы в рассматриваемом периоде не меняется (т.е. y1 = y1 и, слеdy
d y1
= 0, то прибыль второй фирмы имеет вид
довательно, 1 =
dy2
dy2
PR2 = (a − c) y2 − by22 − by1 y2 − d2 .
Для решения задачи максимизации прибыли PR1 следует сначала
использовать условие первого порядка
dPR1
= (a − c) − 2by1 − by2 = 0
dy1
(выписанное с учетом равенства
yˆ1 ( y2 ) =
d y2
= 0, откуда следует, что
dy1
a − c y2
− .
2b
2
(5.16)
a−c
.
2b
Для прибыли PR1 условие второго порядка имеет вид
Отметим, что 0 < ŷ1 <
d 2 PR1
dy12
= −2b < 0.
Таким образом, объем выпуска первой фирмы, равный ŷ1, максимизирует ее прибыль PR1 в течение производственного периода,
если выпуск второй фирмы равен y2 (см. (5.16)).
Аналогично, если выпуск первой фирмы равен y1 , то выпуск второй фирмы, максимизирующий ее прибыль PR2, в течение производственного периода равен yˆ2 ( y1 ):
yˆ2 =
a − c y1
− .
2b
2
(5.17)
На основании равенств (5.16) и (5.17) выписываем систему линейных алгебраических уравнений:
a − c y2
a − c y1
y1 =
− , y2 =
− ,
2b
2
2b
2
которая имеет единственное решение:
y1* = y2* =
a−c
,
3b
75
позволяющее переписать равенства (5.16) и (5.17) так:
a − c y2*
*
y1 =
− ,
(5.18)
a − c y1*
*
y2 =
− ,
(5.19)
2b
2b
2
2
т.е. если y2 = y2*, то yˆ1 = y1* , и если y1 = y1* , то yˆ2 = y2* .
Таким образом, выпуск y1* первой фирмы максимизирует ее прибыль, если вторая фирма имеет выпуск y2* , который максимизирует
ее прибыль при условии, что первая фирма имеет выпуск y1* , который максимизирует ее прибыль. Подобная пара выпусков ( y1* , y2* )
первой и второй фирм называется равновесием дуополии Курно или
просто равновесием Курно. Подробное пояснение этого фундаментального понятия экономической теории приведено в [13, § 8.7].
Напомним, что изопрофита – это линия постоянной прибыли
фирмы.
При объеме yˆ1 = yˆ1 ( y2 ) выпуска первой фирмы ее максимальная
прибыль равна
⌢
" 1 = (a − c) y⌢ − by⌢ 2 − by⌢ y − d = τ⌢ .
(5.20)
PR1 ( y1, y2 ) = PR
1
1
1 2
1
1
Уравнение изопрофиты l1(τ1 ) имеет вид PR1 ( y1, y2 ) = τ1 или в раз⌢
вернутом виде (a − c) y1 − by12 − by1 y2 − d1 = τ1, откуда следует, что
⌢
τ1 + d1 1
a−c
(5.21)
− y1 −
⋅ ,
y2 =
b
b
y1
⌢
т.е. получили, что уравнение изопрофиты l1 (τ1 ) есть уравнение ги⌢
перболы, проходящей через точку ( y1, y2 ). У этой гиперболы одна
вертикальная асимптота (y1 = 0) и одна наклонная, которая проходит
через точки G1 и G2 и описывается уравнением (рис. 5.3)
y2 =
a−c
− y1 .
b
(5.22)
⌢
⌢
В точке H = ( y1, y2 ) изопрофита l1 (τ1 ) имеет «шапочку»
⌢
(см. рис. 5.3), т.е. самая высокая точка каждой изопрофиты l1 (τ1 )
первой фирмы расположена на линии R1(y2), уравнение которой
a − c y2
−
.
имеет вид y1 =
2b
2
Линию R1(y2) можно назвать линией реакции первой фирмы на вы⌢
пуск второй фирмы, ибо эту линию образуют все точки ( y1, y2 ), пер76
y2
a – c G2
b
R1(y2)
K (–)
H
y2
a–c
2b
l1 ( 1 )
E (COU)
R2(y2)
l1( 1)
G1 y
y1 y1
(
0 y
1
y1*
a–c y
1
2b
l1( 1*)
y1
1
a–c
b
Рис. 5.3
вые координаты ŷ1 которых равны выпуску, максимизирующему
прибыль первой фирмы, если первая фирма полагает, что вторая
фирма имеет выпуск y2 .
a − c y1
− , есть
Аналогично линия R2(y1), имеющая уравнение y2 =
2b
2
линия реакции второй фирмы на выпуск первой фирмы.
На рис. 5.3 показаны две другие изопрофиты l1( 1) первой фирмы,
а также изопрофита l1 (τ1* ), проходящая через точку E (COU), которая
изображает равновесие ( y1* , y2* ) Курно.
Очевидно, что τ1* = PR1 ( y1* , y2* ) = (a − c) y1* − b( y1* )2 − by1* y2* − d1 .
⌢
Абсциссы y1′ и y1′′ точек пересечения изопрофиты l(τ1 ) с осью
⌢
0y1 находим, положив в уравнении (5.21) изопрофиты l(τ1 ) , y2 = 0.
Тогда получим квадратное уравнение
⌢
τ1 + d1
a−c
2
y1 −
y1 +
= 0,
b
b
77
корни которого y1′ и y1′′ получаем по известной формуле решения
квадратного уравнения, которая после элементарных преобразований приобретает вид
2
a−c
⌢
⎛ a − c⎞
± ⎜
− 4 y12
⎟
⎝ b ⎠
b
y1 =
2
a−c
⌢
).
(напомним, что 0 < y1 <
2b
∂PR1
= − by1 < 0, откуда
На основании формулы (5.13) имеем:
∂y2
следует, что с ростом выпуска y2 второй фирмы максимальная при! = PR ( y⌢ , y ) первой фирмы убывает, т.е. чем выше изобыль PR
1 1 2
профита, тем меньшему значению прибыли первой фирмы она
соответствует.
Если в приведенных рассуждениях первую и вторую фирмы поменять местами, то получим результаты, которые симметричны
только что приведенным (рис. 5.4).
y2
a–c
b
G2
a–c
2b
l2( 2)
E (COU)
l2( 2*)
K (I )
y2
R2( y1)
G1 y
1
0
a–c
2b
y1
a–c
b
Рис. 5.4
Точку E (COU) следует считать равновесием дуополии, в котором
прибыль первой фирмы равна τ1*, и прибыль второй фирмы равна τ *2 .
78
В этом равновесии ни одной фирме в одиночку не выгодно менять
объем выпускаемой продукции, если другая фирма этого не делает.
Описанное равновесие есть равновесие Курно дуополии. Оно представляет собой частный случай равновесия Нэша (см. [10, § 9.7]). Равновесие ( y1* , y2* ) Курно – одна из первых реализаций фундаментальной идеи экономического равновесия.
Выражения для прибыли PR1 ( y1* , y2* ) первой фирмы в равновесии
Курно, для прибыли PR2 ( y1* , y2* ) второй фирмы, для отраслевой цены
P * приведены в [9, § 8.7.2]. Там же для сравнения приведены значения этих величин в условиях чистой конкуренции.
5.3. Модель дуополии Штакельберга
Модель дуополии Курно представляет собой симметричную количественную дуополию, ибо обе фирмы придерживаются одного
типа поведения на рынке. Первая (вторая) фирма полагает, что конкурирующая с ней вторая (первая) фирма имеет фиксированный
выпуск в производственном периоде, т.е. она его не изменяет в этом
периоде, если даже первая (вторая) фирма изменит свой выпуск, что
dy
dy
формально выражается так: 1 = 0 , 2 = 0 .
dy2
dy1
Модель дуополии Штакельберга – модель асимметричной количественной дуополии, ибо каждая из двух фирм придерживается
одного из двух типов поведения: стремится стать либо лидером
по объему выпускаемой продукции, либо последователем, т.е. следовать за лидером.
В этом параграфе проанализирована ситуация, когда одна фирма
(например, первая) является лидером (по объему выпускаемой продукции), а другая фирма (вторая) является последователем.
Рассмотрим дуополию, когда издержки обеих фирм имеют соответственно вид C1 = cy + d1, C2 = cy2 + d2, т.е. MC1 = MC2 = c.
Как и раньше, символом y1 обозначим объем выпуска первой
фирмы (фирмы-лидера), символом y2 – объем выпуска второй
фирмы (фирмы-последователя) в течение фиксированного периода.
Символом y обозначена сумма y1 + y2.
Согласно первой предпосылке Штакельберга вторая фирма полагает, что выпуск первой фирмы фиксирован в производственном
79
периоде, т.е. не изменится в данном периоде, это формально означает следующее:
dy1
(5.23)
= 0,
dy2
т.е. для второй фирмы сохраняется предпосылка Курно. Собственно,
эта предпосылка делает вторую фирму фирмой-последователем.
Первая фирма, согласно второй предпосылке Штакельберга, предполагает, что вторая фирма сокращает в производственном периоде
объем производства на 1/2, в соответствии с выражением (5.17), если
первая фирма увеличивает объем своего производства на одну единицу, что формально означает, что
dy2
1
=− .
2
dy1
(5.24)
Собственно предпосылка (5.24) делает первую фирму фирмойлидером. Прибыль PR1 первой фирмы имеет вид PR1 = py1 − cy1 − d1 =
= (a − by1 − by2)y1 − cy1 − d1.
Для решения задачи максимизации прибыли PR1 первой фирмы
следует сначала использовать условие первого порядка
dPR1
dy
= a − c − 2by1 − by2 − by1 2 =
dy1
dy1
(5.24 )
3
by1 − by2 = 0,
2
т.е. первая (фирма-лидер) учитывает в функции своей прибыли равенство (5.24).
Из последнего равенства получаем уравнение реакции первой
фирмы R1( st1) ( y2 ) на выпуск y2 второй фирмы:
= a−c−
y1 =
2a−c 2
− y2 .
3 b
3
(5.25)
Прибыль PR2 второй фирмы имеет вид PR2 = py2 − cy2 − d2 =
= (a − by2 − by1)y2 − cy2 − d2.
Для решения задачи максимизации прибыли PR2 второй фирмы
следует использовать условие первого порядка
dPR2
dy
= a − c − 2by2 − by1 − by2 1 =
dy2
dy2
(5.23)
= a − c − 2by2 − by1 = 0,
80
откуда получаем уравнение реакции второй фирмы R2( st1) ( y1 ) на выпуск первой фирмы:
y2 =
a − c y1
− .
2b
2
(5.26)
Подставив выражение (5.25) в (5.26), получим
y1 =
2 a − c 2 ⎛ a − c y1 ⎞
− ⎜
− ⎟,
3 b
3 ⎝ 2b
2⎠
откуда вытекает, что
y1( st1) =
a−c
.
2b
(5.27)
Подставив (5.27) в (5.26), получим
y2( st1) =
a−c 1a−c a−c
−
=
.
2b
2 2b
4b
Выпуски y1( st1) и y2( st1) образуют равновесие Штакельберга 1, когда
первая фирма является лидером, а вторая фирма является последователем. Если лидером является вторая фирма, а первая фирма является последователем, имеем равновесие Штакельберга 2.
Отметим, что в равновесии Штакельберга 1 объем выпуска первой
фирмы в два раза больше объема выпуска второй фирмы.
Сведем все характеристики равновесий 1 и 2 по Штакельбергу
в табл. 5.1, в которую также поместим все характеристики равновесия Курно
Уравнение изопрофиты первой фирмы (фирмы-лидера), соответ" 1, имеет вид
ствующей ее максимальной прибыли PR
1 (a − c)2
2
(a − c) y1 − by1 − b1 y1 y2 − d1 =
− d1,
8
b
(5.28)
откуда следует, что
1 (a − c)2 1
a−c
− y1 −
.
y2 =
8 b2
b
y1
(5.29)
Получили уравнение гиперболы, у которой одна асимптота есть
ось 0y2 (y1 = 0), а другая – прямая G1G2 (рис. 5.3), уравнение которой
a−c
− y1.
имеет вид y2 =
b
81
Таблица 5.1
y1
y2
y
p
Курно
1a−c
3 b
1a−c
3 b
2a−c
3 b
a + 2c
3
Штакельберг-1
1a−c
2 b
1a−c
4 b
3a−c
4 b
a + 3c
4
Штакельберг-2
1a−c
4 b
1a−c
2 b
3a−c
4 b
a + 3c
4
"1
PR
"2
PR
"1
"
PR
+ PR 2
Курно
1 (a − c)2
− d1
9
b
1 (a − c)2
− d2
9
b
2 (a − c)2
− d1 − d2
9
b
Штакельберг-1
1 (a − c)2
− d1
8
b
1 (a − c)2
− d2
16
b
3 (a − c)2
− d1 − d2
16
b
Штакельберг-2
1 (a − c)2
− d1
16
b
1 (a − c)2
− d2
8
b
3 (a − c)2
− d1 − d2
16
b
1a−c
Непосредственно проверяется, что при y1( st1) =
имеем
2
b
1a−c
y2( st1) =
(действительно,
4 b
2b
1a−c
a − c 1 a − c 1 (a − c)2
−
⋅
=
y2 =
−
)
2 b
8 b2
a−c 4 b
b
dy2
1 (a − c)2 1
1
= −1 +
⋅
=
−
и
8 b2
2
dy1
y12
dy2
1 (a − c)2
4b 2
1
(действительно,
= −1 +
⋅
=
−
).
8 b2
2
dy1
(a − c)2
Из приведенных расчетов следует, что изопрофита (5.28) проходит
через точку E1( st1) (равновесие 1 по Штакельбергу) и касается линии
(5.26) в точке E1( st1) (рис. 5.5).
Геометрическая интерпретация равновесия 1 по Штакельбергу,
равновесия 2 по Штакельбергу и равновесия Курно приведены
на рис. 5.5.
82
y2
a–c
b
G2
(st1)
PR2
(st 2)
PR2
(st 2)
E2
a–c
2b
E (Cou)
a–c
4b
F
(st 1)
E1
G1 y1
a–c
4b
a–c
2b
(st1)
PR1
a–c
b
Рис. 5.5
ЗАДАЧИ
5.1
5.1.1. Спрос на продукцию монополиста, максимизирующего прибыль, описывается уравнением Q = 16 − 2P. Функция общих издержек монополиста имеет вид: TC = 2Q + 0,25Q2.
Определите:
1) оптимальный выпуск и оптимальную цену монополиста;
2) прибыль монополиста;
3) значение индекса Лернера;
4) эластичность спроса по цене в точке равновесия (вычислите ее
двумя способами: по определению и при помощи индекса Лернера);
5) потери «мертвого груза».
83
5.1.2. Действующая на монопольном рынке фирма имеет возможность использовать совершенную ценовую дискриминацию.
Известно, что функция спроса на продукцию фирмы может быть
описана следующим образом: P = 10 − 3Q. Функция предельных издержек фирмы: MC = 0,5Q2 + 2. Постоянные издержки фирмы
равны 5/3.
Определите прибыль фирмы.
5.1.3. Действующая на монопольном рынке фирма имеет возможность использовать совершенную ценовую дискриминацию.
Известно, что функция спроса на продукцию фирмы может быть
описана уравнением P = 14 − 0,5Q, а функция предельных издержек –
MC = 0,5Q2 + 4; постоянные издержки фирмы равны 1/3.
Определите прибыль фирмы.
5.1.4. Пусть известны функции среднего дохода и средних издержек
фирмы-монополиста:
AR = 1,6 − 0,1q;
1
AC = q 2 − 0,7q + 2.
6
1. Определите равновесные объемы выпуска и цену, устанавливаемую монополией. Рассчитайте прибыль.
2. Отобразите на графике функции среднего и предельного дохода, средних и предельных издержек, а также определите прибыль.
5.1.5. Фирма-монополист действует на двух сегментах рынка, функции спроса на каждом из которых представлены следующим образом:
p1 = 20 − q1;
p2 = 16 − 2q2.
Известно, что MC = 2Q, где Q = q1 + q2. Постоянные издержки
равны 20.
1. Найдите монопольную цену, объем выпуска и прибыль фирмы
при отсутствии ценовой дискриминации, а также выпишите функции совокупного среднего и предельного дохода.
2. Найдите цены, объем выпуска и прибыль фирмы в условиях
ценовой дискриминации, а также функции совокупного среднего
и предельного дохода.
3. Приведите графическую иллюстрацию к пунктам 1 и 2.
4. Докажите, что в общем случае (при ограничениях на функp
(1 + 1/E2 )
, где
ции спроса и издержек) справедливо равенство 1 =
p2
(1 + 1/E1 )
84
E1 и E2 – эластичности спроса по цене p1 и p2 соответствующих сегментов. В каком сегменте цена будет выше в соответствии с этим
правилом?
5. Как изменятся прибыль монополиста и величина потребительского излишка, если ценовая дискриминация будет запрещена (цена
будет одинаковой для двух сегментов)?
6. Определите оптимальные по критерию максимальной совокупной прибыли цены для каждого сегмента рынка, если обратная функция спроса первого сегмента станет p1 = 27 − 0,5q1, а второго – останется неизменной.
5.1.6. Фирма-монополист действует на двух сегментах рынка, функции спроса на каждом из которых представлены следующим образом:
q1 = 18 − p;
q2 = 12 − 0,5p.
Известно, что TC = 15Q, где Q = q1 + q2.
1. Выпишите функцию совокупного спроса и предельного дохода
при отсутствии ценовой дискриминации. Рассчитайте оптимальные
выпуск и цену.
2. Определите выпуск монополиста и цены в каждом сегменте при
наличии ценовой дискриминации третьей степени.
5.1.7. Фирма-монополист действует на двух сегментах рынка, функции спроса на каждом из которых представлены следующим образом:
q1 = 20 − p;
q2 = 24 − 2p.
5
Известно, что MC = Q , где Q = q1 + q2.
6
1. Выпишите функцию совокупного спроса и предельного дохода
при отсутствии ценовой дискриминации. Рассчитайте оптимальный
выпуск и цену.
2. Определите выпуск монополиста и цены в каждом сегменте при
наличии ценовой дискриминации третьей степени.
5.1.8. Фирма-монополист действует на двух сегментах рынка, функции спроса на каждом из которых представлены следующим образом:
p1 = 10 − q;
p2 = 16 − 2q.
Q2 3
+ Q + 5, где Q = q1 + q2.
Известно, что TC =
2
2
1. Найдите монопольную цену, объем выпуска и прибыль фирмы
при отсутствии ценовой дискриминации, а также выпишите функции совокупного среднего и предельного дохода.
85
2. Определите цены, объем выпуска и прибыль фирмы в условиях
ценовой дискриминации и выпишите функции совокупного среднего и предельного дохода.
3. Приведите графическую иллюстрацию к пунктам 1 и 2.
4. Определите совокупный излишек потребителей для пунктов 1 и 2.
5. Покажите, что для пункта 2 выполняется правило оптимального ценообразования. В каком из сегментов в соответствии с этим
правилом цена будет выше?
5.1.9. Фирма-монополист применяет ценовую дискриминацию второй степени. Для этого объем производимой продукции делится
на равные партии n = 4 (блока). Цена единицы продукции внутри
одной партии одинакова, но отличается для единиц из разных блоков. Обратная функция рыночного спроса p = 36 − 2Q, функция издержек фирмы TC = Q2 + 120.
1. Определите размер и цену для каждой партии, прибыль фирмы
в случае наличия и в случае отсутствия ценовой дискриминации,
величину потребительского излишка.
2. Вычислите предельный доход по третьей партии для второй
единицы третьей партии (MR3(2)).
5.1.10. Фирма-монополист решила применить ценовую дискриминацию второй степени с использованием блочной схемы ценообразования. Известно, что без использования дискриминации равновесная цена на монопольном рынке составляет 120 ден. ед., а эластичность спроса равна 1,5. Функция предельных издержек фирмы
имеет следующий вид: MC = Q + 20. Фиксированные издержки равны
нулю.
1. Найдите равновесный объем выпуска и прибыль фирмы при
отсутствии ценовой дискриминации, а также определите функцию
спроса на продукцию фирмы (если известно, что функция линейна).
2. Используя функцию спроса из пункта 1, рассчитайте объем
и стоимость каждой партии при использовании ценовой дискриминации, если объем первой партии составляет 10 единиц. Каково общее число партий?
3. Определите прибыль фирмы и величину потребительского излишка.
4. Приведите графическую интерпретацию пункта 2.
5. Пусть общее число партий равно числу партий из пункта 2 (при
этом размер каждой партии заранее не определен). Определите, ка-
86
ковы в таком случае оптимальный размер и стоимость каждый партии, а также прибыль фирмы.
5.1.11. Фирма-монополист решила применить ценовую дискриминацию второй степени с использованием блочной схемы ценообразования. Известно, что без использования дискриминации равновесная цена на монопольном рынке составляет 70 ден. ед., а эластичность спроса равна 7/3. Функция предельных издержек фирмы
имеет следующий вид: MC = 5Q + 10. Фиксированные издержки
равны нулю.
1. Найдите равновесный объем выпуска и прибыль фирмы при
отсутствии ценовой дискриминации, а также определите функцию
спроса на продукцию фирмы (если известно, что функция линейна).
2. Используя функцию спроса из пункта 1, рассчитайте объем
и стоимость каждой партии при использовании ценовой дискриминации, если объем первой партии составляет 2,5 единицы. Каково
общее число партий?
3. Определите прибыль фирмы и величину потребительского излишка.
4. Приведите графическую интерпретацию пункта 2.
5. Пусть общее число партий равно числу партий из пункта 2 (при
этом размер каждой партии заранее не определен). Определите, каковы в таком случае оптимальный размер и стоимость каждый партии, а также прибыль фирмы.
5.2
5.2.1. Докажите, что изопрофиты обеих фирм, проходящие через
точку Е (COU), пересекаются также в точке F с координатами
⎛ a − c a − c⎞
;
⎜⎝
⎟.
6b
6b ⎠
5.2.2. Обоснуйте прохождение изопрофиты, соответствующей при" ( st1) , через точку F = ⎛ a − c ; a − c ⎞ . Дайте геометрическую
были PR
⎜⎝
⎟⎠
4
b
4
b
интерпретацию.
1 (a − c)2 1
a−c
− y1 −
5.2.3. Найдите производную функции y2 =
,
8 b2
b
y1
графиком которой является изопрофита, соответствующая прибыли
" ( st1) ,в точке y = a − c . Дайте геометрическую интерпретацию.
PR
1
4b
87
5.2.4. Докажите, что изопрофиты, соответствующие прибылям
" (2st1), касаются в точке F = ⎛ a − c , a − c ⎞ . Дайте геомет" 1( st1) и PR
PR
⎜⎝
⎟
4b
4b ⎠
рическую интерпретацию.
5.2.5. Проанализируйте случай дуополии, когда dy1/dy2 = 0 (случай
Курно) и когда dy2/dy1 = h (при h = −1/2 имеем случай Штакельберга).
5.2.6. На рынке некоторого товара действуют 2 фирмы. Функция
издержек первой фирмы имеет вид TC1 = 4q1. Функция издержек второй фирмы имеет вид TC2 = 4q2. Функция спроса на рынке этого товара задана соотношением Q = 16 − P.
Определите выпуск и прибыль каждой фирмы, а также рыночную
цену в случае, если:
1) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели
олигополии Курно;
2) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели
олигополии Штакельберга, причем первая фирма является лидером,
а вторая – последователем;
3) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели
олигополии Бертрана;
4) фирмы объединились в картель и максимизируют суммарную
прибыль.
5.2.7. На рынке некоторого товара действуют 2 фирмы. Функция
издержек первой фирмы имеет вид TC1 = 8q1. Функция издержек второй фирмы имеет вид TC2 = 8q2. Функция спроса на рынке этого товара задана соотношением Q = 32 − P.
Определите выпуск и прибыль каждой фирмы, а также рыночную
цену в случае, если:
1) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели
олигополии Курно;
2) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели
олигополии Штакельберга, причем первая фирма является лидером,
а вторая – последователем;
3) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели
олигополии Бертрана;
4) фирмы объединились в картель и максимизируют суммарную
прибыль.
88
5.2.8. На рынке некоторого товара действуют 2 фирмы. Функция
издержек первой фирмы имеет вид TC1 = q12 + 60q1 . Функция издержек второй фирмы имеет вид TC2 = q22 + 44 q2 . Функция спроса
на рынке этого товара задана соотношением P = 100 − 2Q.
Определите выпуск и прибыль каждой фирмы, а также рыночную
цену в случае, если:
1) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели
олигополии Курно;
2) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели
олигополии Штакельберга, причем вторая фирма является лидером,
а первая – последователем;
3) фирмы объединились в картель и максимизируют суммарную
прибыль.
5.2.9. На рынке некоторого товара действуют 2 фирмы. Функция
издержек первой фирмы имеет вид TC1 = q12 . Функция издержек второй фирмы имеет вид TC2 = q22 . Функция спроса на рынке этого товара задана соотношением Q = 100 − P.
Определите выпуск и прибыль каждой фирмы, а также рыночную
цену в случае, если:
1) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели
олигополии Курно;
2) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели
олигополии Штакельберга, причем вторая фирма является лидером,
а первая – последователем;
3) фирмы объединились в картель и максимизируют суммарную
прибыль.
5.2.10. На рынке некоторого товара действуют N фирм. Функция
издержек i-й фирмы имеет вид TCi = 4qi. Функция спроса на рынке
этого товара задана соотношением Q = 16 − P.
Определите выпуск и прибыль каждой фирмы, а также рыночную
цену в случае, если:
1) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели
олигополии Курно;
2) фирмы объединились в картель и максимизируют суммарную
прибыль.
89
5.2.11. На рынке некоторого товара действуют N фирм. Функция
издержек i-й фирмы имеет вид TCi = qi2. Функция спроса на рынке
этого товара задана соотношением Q = 100 − P.
Определите выпуск и прибыль каждой фирмы, а также рыночную
цену в случае, если:
1) фирмы конкурируют в соответствии с предпосылками модели
олигополии Курно;
2) фирмы объединились в картель и максимизируют суммарную
прибыль.
5.2.12. На рынке некоторого товара одна из фирм является ценовым
лидером, ее функция издержек имеет вид TC = 0,25q2. Остальные
фирмы являются последователями, их суммарная функция предложения имеет вид Q f = 0,2p. Функция спроса на рынке этого товара
задана соотношением Qd = 100 − 0,8p.
Определите равновесную цену, которая установится на рынке, выпуск фирмы-лидера, суммарный выпуск всех фирм-последователей.
5.2.13. На рынке некоторого товара действуют 5 фирм, функция
издержек каждой из которых имеет вид TC = q2 + 10q + 20. Функция
спроса на рынке этого товара задана соотношением Q = 1000 − p.
Одна из фирм является ценовым лидером.
Определите цену, которая будет установлена ценовым лидером.
5.2.14. На рынке некоторого товара действуют 6 фирм, функция
издержек каждой из которых имеет вид TC = q2 + 100q + 50. Функция
спроса на рынке этого товара задана соотношением Qd = 1400 − 2p.
Две фирмы объединились в картель, который стал ценовым лидером
на данном рынке, остальные фирмы ведут себя как последователи.
1. Найдите функцию предложения последователей.
2. Найдите функцию издержек картеля.
3. Определите равновесную цену, которая будет установлена картелем.
4. Определите прибыль картеля и прибыль каждой фирмы-последователя.
5.2.15. На рынке некоторого товара действуют 2 фирмы. Издержки
первой и второй фирм имеют вид TC1 = 0,1q12 и TC2 = 0, 25q22 соответственно. Спрос на рынке задан уравнением P = 200 − Q.
1. Определите равновесные значения излишка потребителя и отраслевой прибыли для каждого из следующих типов взаимодействия фирм:
а) фирмы ведут себя как совершенные конкуренты;
90
б) фирмы взаимодействуют в соответствии с предпосылками модели Курно;
в) фирмы взаимодействуют в соответствии с предпосылками модели Штакельберга (первая фирма – лидер, вторая – последователь);
г) фирмы взаимодействуют в соответствии с предпосылками модели ценового лидерства (первая фирма – ценовой лидер, вторая –
последователь);
д) фирмы объединились в картель и максимизируют суммарную
прибыль.
2. На основе полученных результатов сделайте вывод о том, какая
из рыночных структур наиболее благоприятна для первой фирмы,
для второй фирмы, для отрасли в целом, для потребителей.
5.2.16. На рынке 2 фирмы принимают решения в соответствии с моделью Курно. Функции издержек фирм TCi = 25qi + 0,5qi2 , i = 1, 2.
Функция спроса p = 100 − 0,5Q.
1. Определите выпуски фирм, рыночную цену.
2. Постройте в пространстве (q1, q2) изопрофиту первой фирмы,
проходящую через точку равновесия. Для этого найдите ее вершину
и асимптоты, точки пересечения с осями. Покажите, что более низкая линия изопрофиты всегда соответствует более высокой прибыли.
3. Постройте в пространстве (q1, q2) линию реакции первой
фирмы, соответствующую оптимальным выпускам фирмы при фиксированном (не обязательно равновесном) выпуске второй фирмы
(уравнение находим из условия первого порядка задачи максимизации прибыли фирмы). Где на этой линии монопольный выпуск первой фирмы?
5.2.17. На рынке 2 фирмы принимают решения в соответствии с моделью Курно. В точке равновесия предельные издержки первой
фирмы равны 10, выпуск второй фирмы равен 15 единицам, рыночная цена равна 20, эластичность спроса по цене равна –1.
Определите выпуск первой фирмы и предельные издержки второй
фирмы в точке равновесия (не предполагая функции спроса и издержек линейными).
5.2.18. На рынке 2 фирмы принимают решения в соответствии с моделью Курно. Функции издержек фирм TCi = 20qi, i = 1, 2. Функция
спроса Q = 200 − p.
1. Определите выпуски фирм, рыночную цену.
2. Постройте линии реакции фирм и изопрофиту первой фирмы,
проходящую через точку равновесия.
91
5.2.19. На рынке 2 фирмы принимают решения в соответствии с моделью Штакельберга. В точке равновесия прибыль фирмы-лидера
PR1 = 500 при выпуске q1 = 50. Функция издержек фирмы-лидера
TC1 = 200 + 20q1, обратная функция спроса P = 100 − Q, где Q = q1 + q2.
dq2
Определите наклон линии реакции фирмы-последователя
dq1
в точке равновесия.
5.2.20. На рынке 2 фирмы принимают решения в соответствии с моделью Штакельберга (первая фирма – лидер). Функции издержек
фирм TCi = 20qi, i = 1, 2. Функция спроса Q = 200 − p.
1. Определите выпуски фирм, рыночную цену, постройте линии
реакции фирм.
2. Постройте изопрофиту первой фирмы, проходящую через точку
равновесия, покажите, что она касается линии реакции второй фирмы.
Пусть фирмы решили вступить в сговор с целью максимизации совокупной прибыли.
3. Покажите, что при разделе рынка пополам прибыль фирмы при
сговоре равна прибыли фирмы-лидера по Штакельбергу.
4. Постройте изопрофиты фирм, проходящие через точку выпусков при сговоре.
5. Покажите, что они касаются в этой точке.
5.2.21. Функции издержек фирм на рынке имеют вид TC1 = 11 + 7q1,
TC2 = 2 + 14q2, обратная функция спроса P = 27 − Q. Фирмы выбирают объемы производимой продукции в соответствии с моделью
Штакельберга (первая фирма – лидер).
Определите равновесные уровни выпуска.
5.2.22. Функции издержек фирм на рынке описываются формулами
TC 1 = 200 + 40q 1 , TC 2 = 100 + 40q 2 , обратная функция спроса
P = 100 − Q.
1. Заполните таблицу для различных вариантов равновесия при
количественной конкуренции в моделях дуополии.
Модель
q1
q2 Q P PR1 PR2 PR1 + PR2
Сговор
Курно
Штакельберга (1-я фирма – лидер)
Штакельберга (2-я фирма – лидер)
Борьба за лидерство
2. Сделайте выводы о соотношениях основных параметров равновесий.
Раздел 6
ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕКООПЕРАТИВНЫХ ИГР
Основные определения и утверждения
6.1. Примеры игр. Некоторые понятия теории игр
Вспомним хорошо знакомую игру орлянку.
Пример 1
Играют двое. Каждый игрок в кулаке держит свою монету, и потом игроки одновременно делают ход, разжимая пальцы. Если обе
монеты смотрятся одинаково («орлом» или «решкой»), то первый
игрок Р1 выигрывает у второго игрока Р2 одну денежную единицу
(например, один рубль), т.е. игрок Р1 выигрывает одну единицу, а игрок Р2 проигрывает ему одну единицу. Если обе монеты смотрятся
по-разному (например, на ладони игрока Р1 монета смотрится орлом, а на ладони игрока Р2 монета смотрится решкой, или наоборот),
то игрок Р2 выигрывает у игрока Р1 одну денежную единицу, т.е. игрок Р2 выигрывает, а игрок Р1 ему проигрывает одну денежную единицу. Отметим, что каждый игрок, естественно, знает, как он положил в кулак свою монету, но не знает, как кладет свою монету другой
игрок, поэтому выигрыш (проигрыш) каждого игрока зависит
не только от него самого, но и от другого игрока. Можно сказать, что,
укладывая в кулак монету определенным образом (орлом или решкой), каждый игрок принимает решение, и это решение он принимает в условиях неопределенности, ибо не знает, какое решение принял его партнер по игре.
Итак, игра в орлянку – это игра двух лиц с нулевой суммой (выигрыш одного и проигрыш другого в сумме обязательно равны нулю).
Каждый игрок может ходить только двумя способами, т.е., как принято говорить, располагает двумя стратегиями.
Известны размеры выигрыша или проигрыша каждого игрока.
После того как каждый игрок сделал свой ход и проигравший отдал
свою денежную единицу, а выигравший ее получил, игра в орлянку
считается оконченной. Игроки могут ее повторить, руководствуясь
теми же правилами. Игра в орлянку может повториться любое конеч93
ное число раз. Приведенное описание игры рационально структурировать в виде матрицы выигрышей игрока Р1.
Стратегии игрока Р2
Стратегии игрока Р1
Орел
Решка
Орел
1
−1
Решка
−1
1
Приведенная матрица выигрышей игрока Р1 толкуется элементарно. Если оба игрока положили монеты орлом или решкой, то игрок Р1 выигрывает одну единицу (а игрок Р2 проигрывает эту единицу). Если оба игрока положили монеты по-разному, то игрок Р1
проигрывает одну единицу (а игрок Р2 ее выигрывает).
Матрица выигрышей игрока Р2 выглядит аналогично.
Стратегии игрока Р2
Стратегии игрока Р1
Орел
Решка
Орел
Решка
−1
1
1
−1
Можно в дальнейшем использовать только матрицу выигрышей
игрока Р1, толкуя ее элементы как размеры выигрышей (выигрыш
со знаком минус это проигрыш) игрока Р1 и размеры проигрышей
(проигрыш со знаком минус – это выигрыш) игрока Р2.
Матрицу выигрыша игрока Р1 принято называть платежной матрицей игры с нулевой суммой.
Наконец, можно эти две матрицы объединить в одну и получить
компактное представление обо всей игре.
Стратегии игрока Р
Орел
Стратегии игрока Р
Орел
Решка
(1; −1)
(−1; 1)
Решка
1 2
3 4
(−1; 1)
(1; −1)
Здесь слева стоит размер выигрыша (проигрыша) игрока Р1,
справа – размер выигрыша (проигрыша) игрока Р2.
Рассмотрим другой пример.
94
Пример 2
На рынке товаров функционируют две фирмы (скажем, два универмага, супермаркета SM1 и SM2). Каждая фирма может торговать
по высокой цене и по нормальной цене.
Матрица выигрышей фирмы SM1 (игрока Р1) имеет вид таблицы
из четырех чисел в двойной рамке:
Стратегии фирмы SM
Высокая цена
Стратегии
фирмы SM
Высокая цена
100
Нормальная цена
150
Нормальная цена
1 2
3 4
−30
10
Матрица выигрышей фирмы SM2 (игрока Р2) имеет вид таблицы
из четырех чисел в двойной рамке:
Стратегии фирмы SM
Высокая цена
Стратегии
фирмы SM
Высокая цена
100
Нормальная цена
−40
Нормальная цена
1 2
3 4
150
10
Отметим, что в рассматриваемом примере матрицы выигрышей
не получаются одна из другой путем умножения всех элементов
на (−1), как это было в первых двух примерах. То есть рассматриваемая игра уже по существу характеризуется двумя матрицами выигрышей, а не одной. Поэтому рассматриваемая игра – это пример биматричной игры.
Каждое число двух матриц выигрышей фирм SM1 и SM2 означает
величину прибыли фирмы. Например, число 100 показывает, что
если обе фирмы торгуют по выгодной цене, то, естественно, каждая
фирма имеет высокую прибыль, равную 100 ден. ед. Если каждая
фирма торгует по нормальной цене, то и прибыль получается достаточно скромной, равной 10 ден. ед.
Обращает на себя внимание наличие двух асимметричных вариантов: одна фирма торгует по высокой цене, другая – по нормальной.
Если, например, фирма SM2 торгует по высокой цене, а фирма SM1 –
по нормальной, то, естественно, основная масса покупателей перебежит от фирмы SM2 к фирме SM1. В результате прибыль фирмы SM1
станет фактически высокой (150 ден. ед.), а фирма SM2 будет торговать с убытком, равным 40 ден. ед.
Аналогично поясняется другая асимметричная ситуация, когда
фирма SM1 торгует по высокой цене, а фирма SM2 – по нормальной.
95
В рассматриваемом примере ситуация, когда выигрыш одной фирмы
обязательно равен проигрышу другой фирмы, уже не имеет места.
Матрица выигрышей, объединяющая матрицы выигрышей обеих
фирм SM1 и SM2 (общих игроков Р1 и Р2), имеет вид:
Стратегии фирмы SM2
Стратегии
фирмы SM1
Первая
чистая стратегия
(Высокая цена)
Вторая
чистая стратегия
(Нормальная цена)
Первая
чистая стратегия
(Высокая цена)
(100; 100)
(−30; 150)
Вторая чистая
стратегия
(Нормальная цена)
⌣
(150; − 40)
1 2
3 4
" ; 10
")
(10
Если, например, фирма SM1 назначает высокую цену, т.е. выбирает свою первую стратегию, что формально означает выбор первой
строки матрицы выигрышей, а фирма SM2 назначает нормальную
цену, т.е. выбирает свою вторую стратегию, что формально означает
выбор второго столбца матрицы выигрышей, то числа (−30; 150)
в клетке, расположенной на пересечении первой строки и второго
столбца матрицы выигрышей, означают, что убыток фирмы SM1 составляет 30 ден. ед. (прибыль (выигрыш), равную −30 ден. ед.), а прибыль (выигрыш) фирмы SM2 составит 150 ден. ед.
Остальные три клетки матрицы выигрышей интерпретируются
аналогично.
Отметим, что здесь и далее (до специальной оговорки) под термином «стратегия» понимается чистая стратегия.
Как и в первом примере, каждая фирма делает только один ход
(выбирает одну из двух своих стратегий) и подсчитывает после этого
свою прибыль (или убытки). Однако игра может повторяться любое
конечное число раз или (теоретически) бесконечное число раз.
Стратегия игрока, обеспечивающая ему максимальный выигрыш,
называется оптимальной стратегией этого игрока.
Основная задача теории игр состоит в выявлении оптимальных
стратегий игроков.
Замечание. Отметим, что классификацию игр можно проводить
по числу игроков, по числу стратегий, по свойствам функций выигрыша, по возможности (или невозможности) взаимодействий между
игроками, по числу и последовательности ходов, которые делают
игроки.
96
В зависимости от числа участников рассматривают игры двух,
трех ,…, n лиц. Рассматриваются игры с бесконечным числом участников. Теорию скалярной оптимизации (т.е. теорию задач математического программирования со скалярными целевыми функциями)
можно рассматривать как теорию игр с одним участником, который
принимает решение на основе оптимального решения задачи скалярной оптимизации.
В зависимости от числа стратегий, которые могут выбирать игроки, игры делятся на конечные и бесконечные.
Каждая из двух рассматриваемых выше игр является конечной.
В бесконечной игре игроки имеют бесконечное множество возможных
стратегий.
В первом примере выигрыш (положительный) одного игрока был
равен проигрышу другого, т.е. игры описывали конфликтную ситуацию. Эти и подобные им игры называются играми с нулевой суммой,
или антагонистическими играми.
Игры с ненулевой суммой могут отражать как конфликты, так
и согласованные ходы игроков.
В рассматриваемых выше играх каждый участник (игрок) принимает решение (делает ход) совершенно самостоятельно, не зная, какое решение примет его соперник, т.е. никаких контактов, никаких
коалиций. По этой причине все рассмотренные выше и им подобные
игры называются бескоалиционными играми.
Если каждый игрок делает только один ход, игра называется статической.
Если игра разыгрывается одними и теми же участниками (игроками) повторно, она называется повторяющейся.
Если игроки делают ходы (выбирают стратегии) последовательно
один за другим, игра называется последовательной.
Повторяющиеся и последовательные игры называются динамическими.
6.2. Решение одношаговых биматричных игр
Решением биматричной игры называется поиск оптимальных
стратегий для обоих игроков. Рассмотрим два подхода к решению:
равновесие по Нэшу и эффективность по Парето.
Пара (чистых) стратегий i0 и j0 фирм SM1 и SM2 соответственно
(обоих игроков Р1 и Р2) называется равновесием по Нэшу (в чистых
стратегиях), если при выборе фирмой SM2 стратегии j0 стратегия i0
97
фирмы SM1 является для SM1 наилучшей (т.е. фирме SM1 невыгодно
отказываться от стратегии i0, если фирма SM2 выбрала стратегию j0)
и если при выборе фирмой SM1 стратегии i0 стратегия j0 фирмы SM2
является для фирмы SM2 наилучшей (т.е. фирме SM2 невыгодно отказываться от стратегии j0, если фирма SM1 выбрала стратегию i0).
Обратимся к примеру 2 из § 6.1. Напомним матрицу выигрышей
этой биматричной игры.
Стратегии фирмы SM2
Стратегии
фирмы SM1
Первая
чистая стратегия
(Высокая цена)
Вторая
чистая стратегия
(Нормальная цена)
Первая
чистая стратегия
(Высокая цена)
(100; 100)
(−30; 150)
Вторая чистая
стратегия
(Нормальная цена)
⌣
(150; − 40)
1 2
3 4
" ; 10
")
(10
Найдем равновесие по Нэшу, если оно существует.
Пусть каждый игрок (Р1 и Р2) делает только один свой ход (выбирает свою стратегию), не зная, конечно, какой ход сделает другой
игрок (какую стратегию выберет другой игрок). Спрашивается,
можно ли здесь получить однозначный ответ о том, какие ходы игроков Р1 и Р2 (независимо друг от друга) будут для них наилучшими
(рациональными).
Возьмем фирму SM1. В любом случае она выберет вторую стратегию (т.е. будет торговать по нормальной цене), ибо какую бы стратегию ни выбрала фирма SM2 (первую или вторую), фирма SM1 будет
иметь большую прибыль при выборе второй своей стратегии: если
фирма SM2 выбирает свою первую стратегию (назначает высокую
цену), то фирме SM1 выгоднее выбрать вторую стратегию (назначить
нормальную цену), ибо прибыль в 150 ден. ед., конечно, лучше, чем
прибыль в 100 ден. ед. Аналогично, если фирма SM2 выберет вторую
стратегию (назначит нормальную цену), то фирме SM1 выгоднее выбрать опять вторую стратегию (назначить нормальную цену), ибо
прибыль в 10 ден. ед. лучше убытков в 30 ден. ед. (т.е. прибыли, равной −30 ден. ед.).
Таким образом фирме SM1 в любом случае лучше выбрать вторую
стратегию (назначить нормальную цену).
Выбор игроком SM1 второй стратегии (назначение нормальной
цены) обозначим «птичками», которые поставим над размерами при98
были фирмы SM1, когда она выбирает вторую стратегию («птички»
помещаются в клетках 3 и 4).
Очевидно, вторая стратегия фирмы SM1 доминирует над ее первой
стратегией, ибо 150 > 100 и 10 > −30.
Рассуждения для фирмы SM2 совершенно аналогичны: фирма
SM2 обязательно выберет свою вторую стратегию (назначит нормальную цену). Как и в случае фирмы SM1, вторая стратегия фирмы SM2
доминирует над ее первой стратегией, ибо 150 > 100 и 10 > −40. Выбор
игроком SM2 своей второй стратегии обозначим «шляпками», которые поставим над размерами прибыли фирмы SM2, когда она выбирает вторую стратегию («шляпки» помещаются в клетках 2 и 4).
Пара доминирующих стратегий обеих фирм SM1 и SM2 (обоих
игроков Р1 и Р2) называется равновесием с доминирующими стратегиями. Это равновесие с наилучшими для каждой фирмы SM1 и SM2
вторыми стратегиями (торговать по нормальной цене) независимо
от выбора другой фирмы.
Равновесие с доминирующими стратегиями изображается клеткой 4, где присутствуют одновременно «птичка» и «шляпка».
Отметим, что в равновесии с доминирующими стратегиями в этом
примере каждая фирма SM1 и SM 2 получит прибыль, равную
10 ден. ед. Если бы каждая фирма SM1 и SM2 выбрала свою первую
стратегию (торговать по высокой цене), то она получила бы прибыль,
равную 100 ден. ед., что значительно выше 10 ден. ед. Однако, как мы
видели, выбор фирмами SM1 и SM2 своих первых стратегий менее
рационален, чем выбор фирмами SM1 и SM2 своих вторых стратегий.
Приведем объяснение этого, на первый взгляд, странного поведения фирм SM1 и SM2 (которые предпочитают иметь прибыль, равную 10 ден. ед., а не 100). Найденное равновесие с доминирующими
стратегиями (оно является обязательно и равновесием по Нэшу
в чистых стратегиях) фирм SM1 и SM2 дает каждой фирме прибыль,
равную 10 ден. ед. В то же время, если бы каждая фирма SM1 и SM2
выбрала свою первую стратегию (назначила бы высокую цену), то
каждая фирма получила бы прибыль, равную 100 ден. ед., что
больше, чем 10 ден. ед.
Равновесие по Нэшу – это некооперативное равновесие, по сути
конкурентное равновесие, ибо оно есть результат принятия решений
фирмами, не вступающими ни в какие соглашения друг с другом
и имеющими цели максимизации собственной выгоды (в данном
случае – своей прибыли).
Однако фирмы SM1 и SM2 могут договориться между собой, что
каждая из них выбирает свою первую стратегию (назначает высокую
99
цену) и получает прибыль, равную 100 ден. ед., т.е. пара первых стратегий фирм SM1 и SM2 образует кооперативное равновесие, которое
для каждой фирмы (SM1 и SM2) много выгоднее равновесия некооперативного (конкурентного). Значительный рост прибыли каждой
фирмы SM1 и SM2, естественно, происходит за счет покупателей, для
которых, конечно, более приемлемо равновесие по Нэшу, ибо для
покупателей высокая цена (в случае кооперативного равновесия)
хуже, чем нормальная цена (в случае некооперативного равновесия).
Вступая в сговор, две фирмы SM1 и SM2 по сути превращаются
в одну, т.е. в монополиста.
Возникает вопрос, почему все-таки фирмы SM1 и SM2 явно предпочитают некооперативное равновесие (равновесие по Нэшу) кооперативному равновесию.
Посмотрим на матрицу выигрышей и представим себе ситуацию,
в которой фирма SM1 соблюдает договоренность, а фирма SM2 ее
нарушает. Стимул для нарушения у фирмы SM2 есть, ибо при выборе
фирмой SM1 первой стратегии (при назначении высокой цены, что
означает соблюдение договоренности) и при выборе фирмой SM2
второй стратегии (при назначении ею низкой цены, что означает
нарушение договоренности), фирма SM 2 получит прибыль
150 ден. ед., которая больше, чем 100 ден. ед., а фирма SM1 получит
убыток 30 ден. ед. (прибыль, равную −30 ден. ед.) вместо ожидаемой
прибыли, равной 100 ден. ед. (см. клетку 2 матрицы выигрышей).
Ситуация, когда фирма SM1 нарушает договоренность, а фирма
SM2 ее соблюдает, приводит к аналогичному результату (см. клетку 3
матрицы выигрышей).
Таким образом, каждая из фирм SM1 и SM2 имеет большое искушение смошенничать и увеличить свою прибыль. Отсюда следует,
что если у фирм нет абсолютной уверенности в том, что конкурент
не нарушит договоренность, она не будет выбирать первую стратегию, а выберет только вторую.
Формально это означает, что кооперативное равновесие неустойчиво, а некооперативное равновесие устойчиво.
Обозначим символом f1(1; 1) прибыль, которую имеет фирма SM1,
когда каждая фирма (SM1 и SM2) выбирает первую (чистую) стратегию. Символом f1(1; 2) обозначим прибыль, которую имеет фирма
SM 1 , когда фирма SM 1 выбирает первую (чистую) стратегию,
а фирма SM2 выбирает вторую (чистую) стратегию. Символом f1(2; 1)
обозначим прибыль, которую имеет фирма SM1, когда фирма SM1
выбирает вторую стратегию, а фирма SM2 выбирает первую стратегию. Символом f1(2; 2) обозначим прибыль, которую имеет фирма
100
SM1, когда каждая фирма (SM1 и SM2) выбирает вторую (чистую)
стратегию.
Аналогично толкуются символы f2(1; 1), f2(1; 2), f2(2; 1), f2(2; 2)
как прибыли фирмы SM2.
Таким образом, символ fk(i; j) означает прибыль фирмы SMk,
когда фирма SM1 выбирает чистую стратегию i, а фирма SM2 выбирает чистую стратегию j. В рассматриваемом случае i = 1; 2; j = 1; 2;
k = 1; 2.
Например, f1(1; 2) = −30; f1(2; 2) = 10; f2(1; 2) = 150; f2(1; 1) = 100.
В рассматриваемом примере пара (чистых) стратегий фирм
SM1 и SM2, состоящая из первых (чистых) стратегий этих фирм, обладает следующим свойством: не существует ни одной пары (i; j)
(чистых) стратегий (j = 1; 2; k = 1; 2), отличной от пары (1; 1) фирм
SM1 и SM2 таких, что одновременно справедливы неравенства
f1(1; 1)
f1(i; j), f2(1, 1)
f2(i; j),
(6.1)
среди которых хотя бы одно было строгим.
Действительно,
100 = f1(1; 1)
f1(2; 1) = 150; 100 = f2(1; 1) > f2(2; 1) = −40,
100 = f1(1; 1) > f1(1; 2) = −30; 100 = f2(1; 1)
f2(1; 2) = 150,
100 = f1(1; 1) > f1(2; 2) = 10, 100 = f2(1; 1) > f2(2; 2) = 10.
(6.2)
(6.3)
(6.4)
Пара (чистых) стратегий (i0; j0) фирм SM1 и SM2 (игроков Р1 и Р2)
соответственно называется эффективной (оптимальной) по Парето
(в чистых стратегиях), если не существует ни одной пары (i; j) (чистых) стратегий (отличной от пары (i0; j0)) фирм SM1 и SM2 (игроков
Р1 и Р2) таких, что одновременно справедливы неравенства среди
которых хотя бы одно было строгим:
f1(i0; 1j0)
f1(i; j), f2(i0; j0)
f2(i; j).
(6.5)
На основании приведенного определения пара (чистых) стратегий
фирм SM1 и SM2, состоящая из двух первых (чистых) стратегий этих
фирм, эффективна по Парето.
Для рассматриваемого выше примера 2 из § 6.1 существует равновесие по Нэшу (в чистых стратегиях), которое неэффективно по Парето. Этот пример показывает, что равновесие по Нэшу может быть
Парето-неэффективным.
Парето-эффективность означает, что совместными усилиями (выбирая различные чистые стратегии) игроки не могут строго увеличить выигрыш какого-либо из них, не уменьшая при этом строго
выигрыш какого-либо другого.
101
Равновесие Нэша означает, что ни один игрок, действуя в одиночку (ибо у другого игрока (чистая) стратегия уже выбрана), не может строго увеличить свой выигрыш.
Эффективность по Парето (в чистых стратегиях) допускает наглядную геометрическую интерпретацию выигрышей игроков в двумерном пространстве 0f1 f2 (рис. 6.1).
f2
150
M2
150
10
M1
M4
150
0
30 40
10
100
f1
M3
Рис. 6.1
Подробно опишем наглядную геометрическую интерпретацию
для рассмотренного выше примера 2 из § 6.1.
Выигрыш игрока Р1 (прибыль фирмы SM1) обозначается переменной f1, выигрыш игрока Р2 (прибыль фирмы SM2) обозначается переменной f2. Рассмотрим плоскость 0f1 f2 (см. рис. 6.1).
В клетке 1 матрицы выигрышей имеем упорядоченную пару
(100; 100) выигрышей игроков Р1 и Р2 соответственно (прибыли
фирм SM1 и SM2). На плоскости 0f1 f2 обозначим точку М1 с координатами (100; 100), т.е. М1 = (100; 100). Точка М1 показывает, что выигрыш игрока Р1 (прибыль фирмы SM1) равен 100 и выигрыш игрока Р2 (прибыль фирмы SM2) равен 100.
В клетке 2 матрицы выигрышей имеем упорядоченную пару
(−30; 150) выигрышей игроков Р1 и Р2 соответственно (прибыли
фирм SM1 и SM2). На плоскости 0f1 f2 обозначим точку М2 = (−30; 150).
Аналогично поступаем с клетками 3 и 4 – обозначаем на плоскости 0f1 f2 (см. рис. 6.1) точки М3 = (150; −40) и М4 (10; 10).
Для каждой точки (М1, М2, М3, М4) построим прямой угол, вершина которого находится в этой точке, а стороны каждого угла параллельны осям 0f1 и 0f2 и смотрят на север и восток.
В углы, построенные на точках М1, М2, М3, не попадают никакие
другие из точек М1, М2, М3, М4. Это означает, что клетки 1, 2, 3 Парето-эффективны, точнее, каждая из клеток 1, 2, 3 соответствует паре
(чистых) стратегий, которая эффективна по Парето.
102
В угол, построенный на точке М4, очевидно, попадет точка М1. Это
означает, что клетка 4 неэффективна по Парето, точнее, клетка 4 соответствует паре (чистых) стратегий, которая неэффективна по Парето.
Рассмотрим решение биматричных игр в смешанных стратегиях.
Для биматричной игры 2 2 смешанной стратегией игрока Р1 называется двумерный вектор х = (х1, х2) (х1 + х2 = 1, х1 0, х2 0), в котором координата х1 интерпретируется или как относительная частота выбора игроком Р1 своей первой (чистой) стратегии в повторяющейся конечное число раз биматричной игре или как вероятность
возможного выбора игроком Р1 своей первой (чистой) стратегии.
Координата х2 интерпретируется или как относительная частота выбора игроком Р1 свой второй (чистой) стратегии в повторяющейся
конечное число раз биматричной игре или как вероятность возможного выбора игроком Р1 своей второй (чистой) стратегии.
Аналогично в случае биматричной игры 2 2 определяется смешанная стратегия игрока Р2 в виде вектора y = (y1, y2) (y1 + y2 = 1;
y1 0; y2 0), координаты которого интерпретируются или как относительные частоты или вероятности выбора игроком Р2 своих первой
и второй (чистых) стратегий.
Выражение
⎛ a11 a12 ⎞ ⎛ y1 ⎞
f1 ( x, y) = xAy = ( x1, x2 )⎜
=
⎝ a21 a22 ⎟⎠ ⎜⎝ y2 ⎟⎠
= a11 x1 y1 + a12 x1 y2 + a21 x2 y1 + a22 x2 y2
называется (средним) выигрышем игрока Р1, если игрок Р1 выбирает
смешанную стратегию х = (х1, х2), а игрок Р2 выбирает смешанную
стратегию y = (y1, y2).
Поскольку выражение f1(x, y) есть функция переменных x = (x1, x2),
y = (y1, y2), она еще называется функцией выигрыша игрока Р1.
Выражение
⎛ b11 b12 ⎞ ⎛ y1 ⎞
f2 ( x, y) = xBy = ( x1, x2 )⎜
=
⎝ b21 b22 ⎟⎠ ⎜⎝ y2 ⎟⎠
= b11 x1 y1 + b12 x1 y2 + b21 x2 y1 + b22 x2 y2
называется (средним) выигрышем игрока Р2, если игрок Р1 выбирает
смешанную стратегию х = (х1, х2), а игрок Р2 выбирает смешанную
стратегию y = (y1, y2). Она еще называется функцией выигрыша игрока Р2, поскольку выражение f2 (x, y) есть функция переменных
x = (x1, x2), y = (y1, y2).
Пара смешанных стратегий x 0 = ( x10, x20 ) , y 0 = ( y10, y20 ) игроков Р1 и Р2 соответственно, называется равновесием по Нэшу (в сме103
шанных стратегиях), если ни одному игроку не выгодно отклоняться
от своей стратегии x0 или y0 в одиночку, т.е. если f1(x, y0) f1(x0, y0)
и f2(x0, y) f2(x0, y0) для любых смешанных стратегии x (для игрока Р1)
и y (для игрока Р2).
Имеет место следующая важная теорема.
Теорема (Дж. Нэш). Пусть биматричная игра имеет матрицы выигрыша А и В игроков Р1 и Р2 соответственно. Тогда существует обязательно по крайней мере одно равновесие Нэша в смешанных стратегиях.
Замечания
1. Поскольку чистая стратегия игрока (Р1 или Р2) представляет
собой частный случай смешанной стратегии этого игрока, вполне
возможно, что биматричная игра имеет равновесие по Нэшу в чистых стратегиях. Однако, если биматричная игра не имеет ни одного
равновесия по Нэшу в чистых стратегиях, согласно теореме Дж. Нэша
эта биматричная игра обязательно имеет хотя бы одно равновесие
по Нэшу в смешанных стратегиях.
К сожалению, равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях
свойством единственности не обладает.
2. Формулировка теоремы Дж. Нэша, а также доказательство этой
теоремы, к сожалению, не дают никаких конструктивных рекомендаций по эффективному отысканию равновесий по Нэшу ни в чистых, ни в смешанных стратегиях, т.е. теорема Дж. Нэша не является
конструктивной.
6.2. Последовательные биматричные игры
Существуют игры (например, шахматы, шашки), в которых игроки Р1 и Р2 делают ходы не одновременно, а последовательно. Скажем, первый ход делает только игрок Р1, а второй ход делает только
игрок Р2, зная, какой ход сделал игрок Р1. Затем после игрока Р2 очередной свой ход делает игрок Р1 и т.д. Такие игры называются последовательными (или позиционными). Эти игры существенно отличаются от рассмотренных ранее биматричных игр, в которых игроки
Р1 и Р2 делают свои ходы одновременно, причем каждый из игроков
Р1 и Р2, делая свой ход, не знает, какой ход сделает другой игрок.
Игры-одноходовки можно назвать статическими играми. Статическими по существу являются также повторяющиеся игры, в которых в каждом раунде каждый игрок делает свой ход, не зная, какой
ход сделает другой игрок. Последовательные игры естественно назвать динамическими.
104
Пример 3
Рассмотрим последовательную биматричную игру.
Пусть каждый игрок (Р1 и Р2) имеет право на 2 хода: 1-й ход – выбор «В» (верх), 2-й ход – выбор «Н» (низ).
В период времени t = 1 принимает решение (выбирает чистую
стратегию) только игрок Р1, т.е. первый ход делает только игрок Р1.
В период времени t = 2 только игрок Р2, зная какой ход сделал игрок Р1, принимает решение (выбирает чистую стратегию), т.е. второй
ход делает только игрок Р2.
Будем считать, что период времени t = 2 является последним,
т.е. ходом игрока Р2 игра заканчивается.
Представим эту последовательную игру в развернутой (экстенсивной) форме в виде дерева (или графа, т.е. системы, состоящей из узлов и дуг) (рис. 6.2).
(3; 2)
B
B
2
1
Н
Н
B
(3; 1)
(2; 0)
Н
(4; 1)
2
Рис. 6.2
На рис. 6.2 в узле (в кружке) помещен номер игрока (Р1 или Р2),
принимающего решение (выбирающего свой ход). Дуги означают
само решение (выбор хода). Последние (так называемые висячие)
четыре дуги не заканчиваются узлами (кружками), что означает, что
после принятия решения игроком Р2 игра заканчивается. В конце
каждой последней (из четырех) дуги показаны размеры выигрышей
игроков Р1 и Р2. Левое число каждой из четырех пар чисел показывает выигрыш игрока Р1, правое число – выигрыш игрока Р2. Например, вторая сверху пара чисел (3; −1) означает, что если игрок Р1 в качестве своего первого шага выберет «В» (верх), а затем игрок Р2 в качестве своего ответного шага выберет «Н» (низ), то выигрыш игрока
Р1 будет равен трем, а выигрыш игрока Р2 будет равен (−1).
Проанализируем эту игру. Начнем анализ игры с конца, т.е. используем метод обратной индукции.
Если игрок Р1 выбрал «В» (верх), игроку Р2 следует выбрать
«В» (верх), ибо в этом случае выигрыш игрока Р2 будет равен 2.
105
Если бы игрок Р1 выбрал «В» (верх), а затем игрок Р2 выбрал
«Н» (низ), то выигрыш игрока Р2 равнялся бы (−1), что меньше, чем 2.
Если игрок Р1 выбрал «Н» (низ), игроку Р2 следует выбрать также
«Н» (низ). В этом случае выигрыш игрока Р1 будет равен 4, а выигрыш игрока Р2 – 1.
Если бы игрок Р1 выбрал «Н» (низ), а затем игрок Р2 выбрал
«В» (верх), то выигрыш игрока Р2 равнялся бы 0, что меньше, чем 1.
Переходим к тому, какой же свой первый ход следует сделать игроку Р1.
Если игрок Р1 выбирает «В» (верх), то, независимо от ответного
хода игрока Р2, игрок Р1 получает выигрыш, равный 3.
Если игрок Р1 выбирает «Н» (низ), то, как мы видели выше, игроку Р2 в качестве своего ответного хода лучше также выбрать
«Н» (низ). При таком раскладе ходов игроков Р1 и Р2 выигрыш игрока Р1 будет равен 4, а выигрыш игрока Р2 – 1.
Таким образом, скорее всего, в качестве своего первого хода игрок Р1 выберет «Н» (низ), и игрок Р2 выберет «Н» (низ) в качестве
своего ответного хода. В результате такой последовательности ходов
игроков Р1 и Р2 выигрыш игрока Р1 будет равен 4, а выигрыш игрока
Р2 – 1.
Итог игры в виде пары выигрышей (4 и 1) очень устраивает игрока Р1, ибо он получает максимально возможный выигрыш, равный 4. Что касается игрока Р2, то его выигрыш оказался меньше
максимально для него возможного (2) (см. рис. 6.2, самую верхнюю
пару чисел (3 и 2)).
Теперь проанализируем возможные действия игрока Р2 в целях
увеличения своего выигрыша в рассматриваемой игре.
Для того чтобы игроку Р2 в конце второго периода получить максимально возможный выигрыш (равный 2), игроку Р1 необходимо
в качестве первого шага выбрать «В» (верх), а не «Н» (низ). Но так
просто игрок Р1 на это не пойдет.
Что может предпринять игрок Р2, чтобы заставить игрока Р1 выбрать в качестве своего хода «В» (верх)?
Игрок Р2 может угрожать игроку Р1, что если игрок Р1 в качестве
своего первого хода выберет «Н» (низ), то игрок Р2 не будет вести
себя разумно и выбирать «Н» (низ), а выберет «В» (верх) в ущерб
не только себе, но и игроку Р1, выигрыш которого, равный 2, в этом
случае окажется не только меньше 4, но и меньше 3, которые игрок Р1 имел бы с гарантией, если бы он в качестве своего первого
хода выбрал «В» (верх). Вот такая ситуация!
106
Если игроки Р1 и Р2 таковы, что они ведут себя разумно, то наиболее вероятной будет такая последовательность ходов Н − Н и выигрыши игроков Р1 и Р2 будут равны соответственно 4 и 1.
Если же игрок Р2 может вести себя неразумно, то игроку Р1 лучше
иметь оценку того, с какой вероятностью игрок Р2 сможет осуществить свою угрозу. Вполне возможен такой вариант, что игрок Р1 в качестве своего первого хода выберет не «Н» (низ), а «В» (верх) и тогда
выигрыши игроков Р1 и Р2 будут равны соответственно 3 и 2.
Для представления последовательных игр используется не только
развернутая форма (в виде дерева), но и нормальная форма в виде
матрицы выигрышей, объединяющей матрицы выигрышей игроков
Р1 и Р2 и содержащей в явном виде все чистые стратегии игроков
Р1 и Р2.
Рассмотрим переход от развернутой к нормальной форме для
примера 3.
Матрица выигрышей биматричной игры в качестве своих элементов содержит упорядоченные пары чисел. Строка i0 матрицы выигрышей формально отражает чистую стратегию игрока Р1, столбец j0
матрицы выигрышей – чистую стратегию игрока Р2. Упорядоченная
пара чисел (ai 0 j 0 ; b i 0 j 0 ) , которая представляет собой элемент (клетку)
матрицы выигрышей, находится на пересечении строки i0 и столбца j0 матрицы выигрышей. Число ai 0 j 0 равно выигрышу игрока Р1,
если игрок Р1 применяет свою чистую стратегию i0, а игрок Р2 применяет свою чистую стратегию j0. Аналогично число b i 0 j 0 равно выигрышу игрока Р2, если игрок Р1 применяет свою чистую стратегию i0, а игрок Р2 применяет свою чистую стратегию j0.
Поскольку игрок Р1 делает первый ход, т.е. сначала он выбирает
свою первую чистую стратегию, постольку у игрока Р1 только две
чистых стратегии «В» (верх) и «Н» (низ). Игрок Р2 делает второй ход,
который зависит от первого хода игрока Р1. Поскольку игрок Р2 может выбирать либо «В» (верх), либо «Н» (низ) после каждого из двух
вариантов ходов игрока Р1, постольку игрок Р2 имеет уже не две, а четыре чистые стратегии: если игрок Р1 выбрал «В» (верх), то игрок Р2
имеет две возможности для выбора: «В» (верх) и «Н» (низ), если игрок Р1 выбрал «Н» (низ), то игрок Р2 опять имеет две возможности
для выбора: «В» (верх) и «Н» (низ).
Переходим к формальной записи чистых стратегий игрока Р2
в виде столбцов матрицы выигрышей. Верхняя упорядоченная пара
каждого столбца соответствует чистой стратегии «В» (верх) игрока Р1,
нижняя упорядоченная пара каждого столбца соответствует чистой
стратегии «Н» (низ) игрока Р1.
107
Первая чистая стратегия игрока Р2 представляет собой выбор
этим игроком хода «В» (верх) после того, как игрок Р1 выберет ход
«В» (верх), и после того, как игрок Р1 выберет ход «Н» (низ). Таким
образом, формально первая чистая стратегия игрока Р2 имеет вид
(3; 2)
.
a1(В, В) =
(2; 0)
Этому столбцу соответствуют верхняя и нижняя дуги В на рис. 6.2.
Здесь индекс 1 показывает номер чистой стратегии игрока Р2, левая
буква В соответствует верхней дуге В, правая буква В – нижней дуге В.
Вторая чистая стратегия игрока Р2 представляет собой выбор этим
игроком хода «Н» (низ) после того, как игрок Р 1 выберет ход
«В» (верх), и после того, как игрок Р1 выберет ход «Н» (низ). Таким
образом, формально вторая чистая стратегия игрока Р2 имеет вид
(3; −1)
а2(Н, Н) =
.
(4; 1)
Этому столбцу соответствуют верхняя и нижняя дуги Н на
рис. 6.2. Здесь индекс 2 показывает номер чистой стратегии игрока Р2, толкование букв Н аналогично толкованию букв В в а1(В, В).
Третья чистая стратегия игрока Р2 представляет собой выбор этим
игроком хода «В» (верх) после того, как игрок Р 1 выбрал ход
«В» (верх), и хода «Н» (низ) после того, как игрок Р1 выбрал ход
«Н» (низ). Таким образом, формально третья чистая стратегия игрока Р2 имеет вид
(3; 2)
.
а3(В, Н) =
(4; 1)
Этому столбцу соответствуют верхняя дуга В и нижняя дуга Н
на рис. 6.2. Здесь индекс 3 показывает номер чистой стратегии игрока Р2, левая буква В соответствует верхней дуге В, правая буква Н –
нижней дуге Н.
Четвертая чистая стратегия игрока Р2 представляет собой выбор
этим игроком хода «Н» (низ) после того, как игрок Р1 выбрал «В» (верх),
и хода «В» (верх) после того, как игрок Р1 выбрал ход «Н» (низ). Таким
образом, четвертая чистая стратегия игрока Р2 имеет вид
(3; −1)
.
а4(Н, В) =
(2; 0)
Этому столбцу соответствуют верхняя дуга Н и нижняя дуга В
на рис. 6.2. Толкование символа а4(Н, В) аналогично толкованию
символа а3(В, Н).
108
Сведем все выписанные столбцы в одну матрицу выигрышей, которая соответствует дереву на рис. 6.2:
Чистые стратегии игрока Р2
Чистые стратегии
игрока Р1
а1
а1(В; В)
⌣ ⌣
(3; 2) М1
а2
(2; 0) М5
а2(Н; Н)
а3(В; Н)
(3; 1) М2
⌣
1ˆ(4; 1ˆ) М
(3; 2) М3
⌣
1ˆ(4; 1ˆ) М7
6
а4(Н; В)
⌣
(3; −1) М4
(2; 0) М8
Отметим, что столбцы матрицы выигрышей можно было разместить в другом порядке.
Выявим равновесие Нэша, отмечая, как и раньше, «птичками»
наибольшие выигрыши игрока Р1 при условии, что игрок Р2 выбирает свою вполне определенную чистую стратегию. Далее «шляпками» отметим наибольшие выигрыши игрока Р2, когда игрок Р1
выбирает свою вполне определенную чистую стратегию.
Имеем три клетки, в которых помечены оба числа. Следовательно, рассматриваемая последовательная игра имеет три равновесия Нэша в чистых стратегиях: (3; 2); (4; 1); (4; 1).
Выше было показано, что реализация равновесия Нэша (3; 2) возможна, если велика вероятность угрозы со стороны игрока Р2 применить свой ход «В» (верх) после хода «Н» (низ) игрока Р1. Выявим
Парето-эффективные пары чистых стратегий, используя критериальное пространство 0f1 f2, где f1 и f2 – выигрыши игроков Р1 и Р2 соответственно (рис. 6.3).
f2
М1 = М3
2
1
0
1
М6 = М3
М5 = М8
2 3
4
f1
М2 = М4
Рис. 6.3
Пары чистых стратегий (а 1 , а 1 (В, В)), (а 2 , а 2 (Н, Н)),
(а1, а3 (В, Н)), (а2, а3 (В, Н)) (им соответствуют точки М1 и М4) эффективны по Парето, ибо в углах этих точек нет других точек М.
Точки М2 и М3 соответствуют парам стратегий, которые по Парето
неэффективны, ибо в углах этих точек расположены точки М1 и М4.
Таким образом, показано, что статическая биматричная игра, в которой игроки Р1 и Р2 делают ходы одновременно, не зная заранее,
109
какой ход сделает партнер (противник), может быть представлена
в нормальной форме в виде матрицы выигрышей.
ЗАДАЧИ
6.1. Напишите матрицы выигрышей для каждого игрока и двойную
матрицу выигрышей для игры, известной под названием «Семейный
спор».
Семейная пара (Он и Она) каждый выходной решает, куда пойти:
на футбол или в театр. Он любит футбол, Она – театр. Он и Она
очень привязаны друг к другу. Если Он идет с Ней в театр, то Она
очень довольна (скажем, на все 5 баллов) – Он при этом доволен
только на 3 балла, ибо не любит театр, но рад быть при ней. Если Она
идет с ним на футбол, то Он доволен на все 5 баллов, а Она только
на 3 балла, ибо не любит футбол, но рада быть с Ним. Если Он идет
на футбол, а Она – в театр, то они получают, скажем, по 2 балла, ибо
любимое для каждого зрелище не может сколь-нибудь существенно
скорректировать уныние от одиночества. Наконец, если Он идет
в театр, а Она – на футбол, то каждый из них получает по 1 баллу,
ибо нелюбимое зрелище посещается в одиночку.
6.2. Напишите матрицы выигрышей для каждого игрока и двойную
матрицу выигрышей для игры, известной под названием «Перекресток».
Два автомобилиста (Р1 и Р2) движутся по двум дорогам, которые
пересекаются, и встречаются на перекрестке. Если Р1 останавливается, то Р2 едет, в связи с чем имеет максимальный выигрыш, равный, скажем, 2. Если бы Р2 остановился, то его выигрыш был бы
более скромный, скажем, равный 1. Если Р1 едет, то Р2 останавливается и его выигрыш становится равным, скажем, 0,8 (одно дело,
когда оба автомобилиста останавливаются, а другое дело, когда один
едет, а другой не едет). Если Р1 едет и Р2 едет, то выигрыш каждого
будет минимальным, ибо вполне возможна авария. Аналогично выигрыши распределяются для автомобилиста Р1, когда Р2 останавливается на перекрестке или когда Р2 едет.
6.3. Садовый домик, стоимостью 50 000 руб., можно застраховать
за 50 руб. от пожара.
Таким образом владелец домика (игрок Р1) имеет две стратегии:
стратегия 1: страховать домик; стратегия 2: не страховать домик.
110
Игрок Р2 (в данном случае силы природы) также имеет две стратегии: стратегия 1: будет пожар; стратегия 2: не будет пожара.
Напишите матрицы выигрышей для каждого игрока и двойную
матрицу выигрышей.
6.4. Пусть матрица выигрышей, объединяющая матрицы выигрышей обеих фирм SM1 и SM2 (обоих игроков Р1 и Р2), имеет следующий вид:
Стратегии фирмы SM2
Высокая цена
Стратегии
фирмы SM1
Высокая цена
(200; 200)
Нормальная цена
(250; –40)
Нормальная цена
1 2
3 4
( 30; 150)
(50; 50)
1. Найдите доминирующие стратегии фирм.
2. Найдите равновесие по Нэшу. Является ли оно равновесием
с доминирующими стратегиями?
6.5. Пусть матрица выигрышей обеих фирм SM1 и SM2 (обоих игроков Р1 и Р2) имеет следующий вид:
Стратегии фирмы SM2
Высокая цена
Стратегии
фирмы SM1
Высокая цена
Нормальная цена
(300; 200)
(50; 50)
Нормальная цена
1 2
3 4
(50; 50)
(200; 300)
1. Найдите доминирующие стратегии фирм.
2. Найдите равновесие по Нэшу. Является ли оно равновесием
с доминирующими стратегиями?
6.6. Пусть матрица выигрышей обеих фирм SM1 и SM2 (обоих игроков Р1 и Р2) имеет следующий вид:
Стратегии фирмы SM2
Высокая цена
Стратегии
фирмы SM1
Высокая цена
(50; 70)
Нормальная цена
(100; 50)
Нормальная цена
1 2
3 4
(60; –50)
(–50; 120)
1. Найдите доминирующие стратегии фирм.
2. Найдите равновесие по Нэшу.
111
6.7. Рассмотрим игру, известную под названием «Дилемма заключенных».
Каждого из двух заключенных Р1 и Р2 (соучастников серьезного
преступления) допрашивают отдельно друг от друга. У каждого заключенного есть два варианта поведения: признаться в совершенном
преступлении и тем самым выдать не только себя, но и соучастника,
либо не признаться и тем самым полностью отрицать свое участие
в преступлении. Если признается лишь один заключенный, то его
освободят (за чистосердечное признание). Обвинение будет предъявлено другому заключенному, которого приговорят к шести годам
лишения свободы.
Если оба заключенных признаются, каждого из них приговорят
к трем годам лишения свободы (большой срок лишения свободы,
положенный за это преступление, сокращается, ибо признание учитывается как смягчающее вину обстоятельство). Если оба заключенных не признаются, то за отсутствием улик обвинение в серьезном
преступлении будет снято, но следователь может доказать их виновность в совершении менее значительного преступления, в результате
чего они получат по одному году лишения свободы.
1. Постройте матрицы выигрышей для каждого игрока.
2. Постройте двойную матрицу выигрышей.
3. Найдите равновесие по Нэшу. Выгодно ли заключенным сговориться?
4. Найдите пару стратегий, эффективных по Парето.
6.8. Найдите для следующих биматричных игр:
1) доминирующие стратегии;
2) равновесия с доминирующими стратегиями;
3) равновесия по Нэшу (в чистых стратегиях);
4) эффективные по Парето пары чистых стратегий, используя геометрическую интерпретацию в пространстве выигрышей игроков
Р1 и Р2.
а)
112
(1; 1)
(3; 1)
(1; 3)
(5; 4)
б)
(0; 1)
(−1; −3)
(−3; −1)
(1; 0)
в)
(5; 1)
(−1; −1)
(1; 1)
(1; 5)
6.9. Проанализируйте с помощью теории последовательных игр содержательную задачу, когда в отрасли доминирует фирма-монополист F2 и в эту отрасль пытается войти другая фирма F1 и потеснить
на рынке отрасли фирму-монополиста.
Фирма F1 (игрок Р1) имеет два варианта своего поведения: (В)
вступить в отрасль (в частности, построить завод по выпуску продукции) или (НВ) не вступать.
Фирма F2 (игрок Р2) имеет свои два варианта: сохранить (С) объем
выпускаемой продукции или сократить (СКР) объем выпускаемой
продукции.
Последовательная игра, описывающая содержательную задачу,
представляет собой математическую модель задачи, которую далее
мы будем называть игрой «Вступление в рынок».
Представим эту игру в развернутой форме в виде графа (рис. 6.4).
C
B
2
1
CКР
C
Н
2
( 3; 6)
(7; 7)
(2; 14)
CКР
(4; 8)
Рис. 6.4
На рис. 6.4 в кружке помещен номер игрока (номер фирмы), принимающего решение (выбирающего свою чистую стратегию). Дуги
означают само решение (выбор чистой стратегии). Последние четыре
дуги не заканчиваются кружками, что означает, что во втором периоде времени (после принятия решения фирмой F2) игра заканчивается. В конце каждой последней (из четырех) дуги показаны выигрыши игроков Р1 и Р2 (прибыли фирм F1 и F2).
1. Перейдите от игры в развернутой форме к игре в нормальной
форме.
2. Найдите равновесие по Нэшу.
3. Найдите эффективные по Парето пары стратегий, используя
геометрическое представление в пространстве выигрышей.
4. Обоснуйте аналитически (обращаясь к определению), что найденные пары стратегий эффективны (либо неэффективны) по Парето.
113
6.10. Рассмотрим пример статической биматричной игры с матрицей выигрышей:
Чистые стратегии игрока Р2
Чистые
стратегии
игрока Р1
В («верх»)
Н («низ»)
В («верх»)
(3; 2)
(3; −1)
Н («низ»)
(2; 0)
(4; 1)
1. Найдите равновесие Нэша такой биматричной игры.
2. Определите Парето-эффективные профили стратегий.
6.11. Покажите, что модель дуополии Курно есть статическая игра
с полной информацией (рассмотрите случай равных предельных
издержек у обеих фирм). Докажите аналитически неравенство
u1(S 10, S 20) ≥ u1(S1, S 20), где (S 10, S 20) – равновесие Курно, u1(S 10, S 20) =
= PR1(S 10, S20) – значение функции выигрыша фирмы F1 в равновесии
Курно, u1(S1, S 20) = PR1(S1, S 20) – значение функции выигрыша
фирмы F1, если объемы выпуска фирм F1 и F2 соответственно равны
S1 и S 20.
6.12. Пусть две фирмы выбирают модель поведения в условиях количественной дуополии. Каждая из фирм может вести себя либо как
последователь, либо как лидер. Соответственно прибыли фирм будут
приобретать следующие значения (в соответствии с различными моделями дуополии):
Фирма 2
Фирма 1
Лидер
Последователь
Лидер
(88; 188)
(250; 125)
Последователь
(25; 350)
(200; 300)
1. Найдите равновесие Нэша такой биматричной игры.
2. Определите Парето-эффективные профили стратегий.
3. Как можно объяснить то, что в этой игре равновесие Курно
не является равновесием по Нэшу, но является Парето-эффективным?
6.13. Сделайте переход от развернутой к нормальной форме, найдите
равновесия по Нэшу (в чистых стратегиях) и пары (чистых) стратегий, эффективных по Парето, для следующих биматричных игр:
Обозначения. Графики 1–2: «В» – верх, «Н» – низ;
график 3: «В» – вступать, «НВ» – не вступать,
«С» – сохранить, «СКР» – сократить;
график 4: «В» – верх, «Н» – низ, «П» – прямо.
114
B
2
B
1)
1
(3; 2)
(3; 2)
2)
1
2
1
3
2
B
(3; 2)
(3; 2)
Н
Н
(5; 1)
Н
(5; 1)
С
( 3; 6)
В
(3; 5)
СКР
С
НВ
(4; 3)
Н
B
2
B
3)
B
Н
B
Н
(4; 3)
B
(7; 4)
(0; 14)
4)
1
2
П
В
2
СКР
(0; 8)
Н
Н
Н
В
2
(3; 2)
(2; 5)
(3; 4)
(3; 2)
Н
(4; 3)
6.14. Сделайте переход от нормальной к развернутой форме для игр,
матрицы выигрышей для чистых стратегий которых представлены
ниже:
1)
3)
(−5; −5)
(1; −7)
(−7; 1)
(2; 2)
(5; 4)
(1; 1)
(2; 2)
(4; 5)
2)
4)
(−5; −5) (−5; −5)
(1; −7)
(1; −7)
(−7; 1)
(2; 2)
(−7; 1)
(2; 2)
(5; 4)
(1; 1)
(5; 4)
(1; 1)
(2; 2)
(4; 5)
(4; 5)
(2; 2)
1. Найдите равновесие по Нэшу (в чистых стратегиях);
2. Определите пары чистых стратегий, эффективных по Парето.
115
6.15. Даны матрицы А игрока P1 и B игрока P2 биматричной игры:
1.
2.
P1
P2
a21(n) = 200 + 10n;
n – номер из пункта 0.
b12(n) = 150 + 10n;
⎛ 300 −100 ⎞
A(n) = ⎜
⎝ 200 a22 (n)⎟⎠
⎛ b (n) −100⎞
B(n) = ⎜ 11
300 ⎟⎠
⎝ 200
a22(n) = 300 + 10n;
b11(n) = 300 + 20n.
⎛ 200 −40⎞
A(n) = ⎜
⎝ a21 (n) 40 ⎟⎠
⎛ 150 b12 (n)⎞
B(n) = ⎜
50 ⎟⎠
⎝ −50
0. Подставьте в 1 и 2 номера 10, 13 и 15.
1. Выпишите двойную матрицу для вариантов 1 и 2.
2. Укажите чистые стратегии каждого из игроков P1 и P2.
3. Найдите равновесие (равновесия) Нэша в чистых стратегиях
или убедитесь, что его нет. Ответ обоснуйте.
4. Дайте наглядную геометрическую интерпретацию биматричной
игры в двумерном пространстве 0 f1 f2: отметьте на плоскости 0 f1 f2
точки, изображающие равновесие (равновесия) Нэша (если они
есть), и пары чистых стратегий, которые Парето-эффективны. Ответ
обоснуйте.
5. Приведите определение смешанной стратегии биматричной
игры игрока P1. Найдите равновесие (x0, y0) Нэша в смешанных стратегиях. Обоснуйте его наличие или отсутствие.
6. Найдите выигрыши обоих игроков P1 и P2 в равновесии Нэша
в смешанных стратегиях.
7. Отметьте на плоскости 0 f1 f2 точки (x0Ay0; x0By0). Разберите случаи 1 и 2.
6.16. Фирма F1 принимает решение о вступлении в отрасль, где
функ ционирует фирма-монополист F 2. Фирма F 1 решает, входить («В») в отрасль или не входить («НВ»). Фирма F2 принимает
решение о том, сократить ей объемы выпуска («СКР») или сохранить («С»).
116
Развернутая форма биматричной игры имеет следующий вид:
( 4; 6)
С
B
2
1
СКР
С
НВ
2
(8; 10)
(0; 22)
СКР
(0; 11)
1. Сделайте переход от развернутой формы биматричной игры
к ее нормальной (стратегической) форме. Ответ обоснуйте.
2. Найдите равновесия Нэша (в чистых стратегиях). Определите
качество равновесия Нэша. Ответ обоснуйте.
3. Найдите Парето-эффективные пары чистых стратегий, используя геометрическое представление биматричной игры в нормальной
форме. Ответ обоснуйте.
6.17. Две страны осуществляют лов рыбы в одних и тех же водах. Они
договорились о взаимном ограничении добычи с целью сохранения
рыбных запасов. При этом каждая из сторон не имеет реальных
средств, чтобы контролировать соблюдение соглашения другой стороной. Это обстоятельство исключает возможность применения
санкций за нарушение соглашения.
Возможные стратегии сторон состоят в том, чтобы соблюдать или
не соблюдать принятое соглашение. Если обе страны соблюдают соглашение, т.е. выбирают стратегию «соблюдать», то они могут получить равные доходы по 12 ден. ед. (далее – у.е.). Если одна из стран
выбирает стратегию «соблюдать», а другая – «не соблюдать», то первая получает доход, равный 5 у.е., а вторая – 11 у.е. И наконец, если
обе страны нарушают соглашение (выбирают стратегию «не соблюдать»), то их доходы будут равны по 6 у.е.
1. Постройте двойную матрицу выигрышей для данной биматричной игры.
2. Найдите равновесие (равновесия) Нэша в чистых стратегиях
или убедитесь, что его нет. Ответ обоснуйте.
3. Дайте наглядную геометрическую интерпретацию биматричной
игры в двумерном пространстве 0f1 f2: отметьте на плоскости 0f1 f2
точки, изображающие равновесие (равновесия) Нэша (если они есть)
и пары чистых стратегий, которые Парето-эффективны. Ответ обоснуйте.
117
4. Приведите определение смешанной стратегии биматричной
игры игрока P1. Найдите равновесие (x0, y0) Нэша в смешанных стратегиях. Обоснуйте его наличие или отсутствие.
5. Найдите выигрыши обоих игроков P1 и P2 в равновесии Нэша
в смешанных стратегиях.
6. Отметьте на плоскости 0f1 f2 точки (x0Ay0; x0By0).
6.18. Для статических игр с полной информацией их нормальная
форма имеет следующий вид:
а)
б)
P2
P1
Л
П
Л (3; 4) (5; 2)
П (1; 3) (6; 5)
в)
P2
P1
Л
П
Л (7; 2) (6; 3)
П (8; 1) (4; 2)
P2
P1
Л
П
Л (6; 3) (5; 2)
П ( 7; 6) (4; 3)
1. Найдите равновесие Нэша в чистых и смешанных стратегиях
(если они есть) и изобразите их в пространстве 0f1 f2.
2. Выпишите Парето-эффективные профили чистых стратегий
игр.
6.19. Пусть фирма F1 принимает решение о вхождении в отрасль
и соответственно может вступать (В) или не вступать (НВ). Фирма F2
уже присутствует на рынке и размышляет о том, сохранять (С)
ей объем производства или сокращать (СКР). Последовательная игра
двух фирм представлена в следующей развернутой форме:
a)
б)
1
B
1
НВ
2
2
С СКР
B
С
НВ
2
СКР
С СКР
(0; 8) (0; 14) (7; 4) ( 3;6)
(3; 4) (2; 5)
2
С
СКР
(3; 2) (3; 5)
1. Для каждой игры сделайте переход от развернутой формы
к нормальной.
2. Найдите равновесие Нэша в чистых стратегиях, оцените их качество, выпишите Парето-эффективные профили.
3. Изобразите решение в пространстве 0 f1 f2.
118
6.20. Найдите равновесие по Нэшу в чистых и смешанных стратегиях, а также определите Парето-эффективные профили игры
в чистых и смешанных стратегиях для следующих биматричных статических игр с полной информацией:
⎛ (3; 5) (−1; −1)⎞
⎛ (−3; −3) (0; − 6) ⎞
⎛ (40; 40) (30; 60) ⎞
; б) ⎜
; в) ⎜
.
⎟
⎟
⎝ (2; 2) (5; 3) ⎠
⎝ (−6; 0) (−1; −1)⎠
⎝ (60; 30) (−30; −30)⎟⎠
а) ⎜
Приведите геометрическую интерпретацию решений.
Раздел 7
МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАТИЧЕСКОГО
ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
Основные определения и утверждения
7.1. Сфера производства модели Эрроу – Дебре.
Функция рыночного предложения и ее свойства
Модель Эрроу – Дебре представляет собой вариант описания экономики с конкуренцией наряду с моделями Вальраса и МакКензи.
Вальрас впервые дал подробное описание статического равновесия
на основе своей модели. Эрроу и Дебре (совместно) и МакКензи независимо впервые доказали существование статического экономического равновесия (общего экономического равновесия) для своих
общих моделей экономики с совершенной конкуренцией. Модель
Эрроу – Дебре (МЭД) состоит из сферы производства и сферы потребления. Описание МЭД начнем с ее сферы производства. Сферу
производства МЭД составляют фирмы. В МЭД фигурирует n фирм
F (1), …, F (n) и r продуктов G1, …, Gr. Каждая фирма F (j) (j = 1, …, n)
выпускает продукты и затрачивает ресурсы. Если продукт G i
(i = 1, …, r) выпускается фирмой F (j) в количестве yi( j ) единиц, то
yi( j ) > 0 , если продукт Gk (k = 1, …, r) затрачивается фирмой F (j) в качестве ресурса в количестве yk( j ) единиц, то yk( j ) < 0 . Вектор
y( j ) = ( y1( j ) , …, yr( j ) ) ∈ Y ( j ) ⊆ E r , где Y (j) – технологическое множество
фирмы F (j).
Технологическое множество Y ( j) удовлетворяет следующим
условиям:
1.1. Для всех j ( j = 1, …, n) множество Y ( j) Er ограничено, замкнуто и 0 Y ( j), т.е. фирма F ( j) может ничего не затрачивать и ничего не выпускать. Разные фирмы F ( j) могут выпускать и затрачивать
разные продукты. Алгебраическая сумма (сумма Минковского) множеств Y (1), …, Y (n), т.е. множество
Y = Y (1) + … + Y ( n)
(Y = { y | y = y(1) + … + y( n) , y( j ) ∈ Y ( j ) ⊆ E r , j = 1, …, n}) ,
называется технологическим множеством МЭД. Оно удовлетворяет
условию:
120
1.2. Y – выпуклое множество.
Пусть p = (p 1 , …, p r ) вектор цен в МЭД. Каждая фирма F (j)
(j = 1, …, n) максимизирует свою прибыль
p y( j)(max)
при условии, что
(7.1)
y( j) Y ( j).
(7.2)
Решение задачи максимизации прибыли фирмы F (j) обозначим
символом y° ( j )( p) ( j = 1, …, n). Решение y° ( j )( p) всегда существует,
ибо множество Y ( j) ограничено и замкнуто. Решение y° ( j )( p) называется локальным рыночным равновесием фирмы F ( j) или предложением фирмы F ( j) (j = 1, …, n), а также функцией предложения фирмы
F ( j) (j = 1, …, n). Сумма
y° ( p) = y° (1)( p) + … + y° ( n)( p)
(7.3)
называется совокупным предложением (рыночным предложением),
а также функцией совокупного предложения.
Предложение y° (1 j ) ( p) фирмы F ( j) есть функция, однородная нулевой степени своей векторной переменной p = (p1, …, pr), ибо
y° ( j )( p) = y° ( j )( γ p) ,
(7.4)
где 0
E1, поскольку обе задачи (задача (7.1), (7.2) и задача py( j)
(max) при условии (7.2)) имеют одно и то же множество максимальных решений.
Из равенств (7.3) и (7.4) следует, что
y°( p) = y°( γ p).
(7.5)
7.2. Сфера потребления модели Эрроу – Дебре.
Функция рыночного спроса и ее свойства
Сферу потребления МЭД составляют потребители (например,
домашние хозяйства). В МЭД фигурирует m потребителей
C (1), …, C (m). Каждый потребитель C (i) максимизирует свою функцию
полезности u(i)(x) (x E r+ = {x | x = (x1, …, xr), x1 0, …, xr 0}) при
наличии бюджетного ограничения px M(i), где M(i) – доход потребителя C (i) (i = 1, …, m). Таким образом, каждый потребитель C (i) решает задачу максимизации
u(i)(x(i))(max)
(7.6)
121
при условии, что
px(i)
M(i), x(i)
0.
(7.7)
Решение задачи максимизации потребителя C (i) обозначается
символом x° (i )( p) и называется локальным рыночным равновесием
потребителя C (i) или спросом потребителя C (i), а также функцией
спроса потребителя C (i) (i = 1, …, m). Сумма
x°( p) = x° (1)( p) + … + x° ( m)( p)
(7.8)
называется совокупным спросом (рыночным спросом), а также функцией совокупного спроса.
Функция полезности u(i)(x(i)), i = 1, …, m удовлетворяет следующим условиям.
2.1. Функция u(i)(x) имеет непрерывные частные производные
по всем переменным x1, …, xr.
2.2. Множество H τi = {x | x = (x1, …, xr), u(i)(x) } является строго
выпуклым.
Каждый потребитель C (i) (i = 1, …, m) имеет запас продуктов
z (i ) = ( z1(i ) , …, zr(i ) ) такой, что zk(i ) > 0 (k = 1, …, m).
Положим z = z(1) + … + z(m).
2.3. Каждый потребитель C(i) (i = 1, …, m) получает долю ij 0
°
прибыли PR( j ) фирмы F (j) (j = 1, …, n) и 1j + … + m j = 1.
Доход M(i) потребителя C (i) (i = 1, …, m) равен сумме
M (i ) = M1(i ) + M 2(i ) ,
где M1(i ) = pz (i ) = p1 z1(i ) + … + pr zr(i ) ,
M 2(i ) = ∑ j =1α ij p y° ( j )( p).
n
Спрос x° (i )( p) (i = 1, …, m) потребителя C (i) есть однородная функция нулевой степени своей векторной переменной p = ( p1, …, pr), ибо
x° (i )( p) = x° (i )(γ p), i = 1, …, m ,
(7.9)
где 0
E1, поскольку обе задачи (задача (7.6), (7.7) и задача
(i)
(i)
u (x )(max)) при условии, что
n
γ ⋅ px (i ) ≤ γ ⋅ pz (i ) + ∑ j =1α ij γ ⋅ py° (i )( p)
(7.10)
имеют одно и то же множество решений.
Из равенств (7.8) и (7.9) следует, что x°( p) = x°(γ p).
Избыточный спрос (функция избыточного спроса) определяется как
разность совокупного спроса x°( p) и суммы совокупного предложения y°( p) и совокупного ликвидного запаса z, т.е.
122
F ( p) = x°( p) − y°( p) − z,
(7.11)
где y°( p) задается формулой (7.3), x°( p) задается формулой (7.8),
а z = z(1) + … + z(m).
Равенство pF(p) = 0
(7.12)
при любом векторе цен p 0 называется законом Вальраса.
Перепишем равенство (7.12), представив избыточный спрос F(p)
в развернутой форме (7.11)
px°( p) = py°( p) + pz.
(7.13)
Равенство (7.13) содержательно интерпретируется следующим
образом. Стоимость px°( p) совокупного спроса x°( p) в ценах p равна
сумме стоимостей py°( p) + pz совокупного предложения py°( p) и совокупного ликвидного запаса pz.
7.3. Определение статического экономического равновесия МЭД
и формулировка теоремы о его существовании
Статическое экономическое равновесие (конкурентное равновесие)
модели Эрроу – Дебре есть набор векторов
{ p*, y* (1), … , y* ( n), x* (1), …, x* ( m) },
(7.14)
удовлетворяющих следующим условиям:
3.1. вектор p* 0 и p* = p1* + … + pr* = 1, вектор p* = ( p1* , …, pr* )
называется вектором цен статического экономического равновесия
МЭД;
3.2. вектор y*(i ) = y*(i )( p* ) (j = 1, …, n) есть локальное рыночное
равновесие фирмы F (j), т.е. решение задачи максимизации прибыли
PR (j) фирмы F (j) при ценах p1* , …, pr* ( p* = ( p1* , …, pr* ))
p*y (j) → max
(7.15)
(j)
(j)
при условии, что y
Y (j = 1, …, n);
*(i )
3.3. вектор x = x° (i ) ( p* ) (i = 1, …, m) есть локальное рыночное
равновесие потребителя C (i), т.е. решение задачи максимизации функции полезности u(i)(x) при ценах p1* , …, pr* u(i) (x) → max при условии,
что p* x (i ) ≤ p*z + ∑ j =1α ij p* y( j );
3.4. имеет место следующее векторное неравенство: x* y* + z
(которое означает отсутствие в МЭД дефицита по всем продуктам) и
3.5. условие дополняющей нежесткости p*(x* y* z) = 0, (7.16)
где x * = x*(1) + … + x*( m), y * = y*(1) + … + y*( n) .
n
123
Условие дополняющей нежесткости в развернутом виде выписывается так:
p1* ( x1* − y1* − z1 ) + … + pr* ( xr* − yr* − zr ) = 0.
(7.17)
В связи с тем что x1* − y1* − z 1 ≤ 0, …, xr* − yr* − z r ≤ 0 , а вектор
p* 0, равенство (7.17) означает, что если pk* > 0 , то обязательно
xk* = yk* + zk, если же x* y* + zk, то цена pk* = 0.
Равенство (7.16) представляет собой закон Вальраса в ценах равновесия p*.
Отметим, что понятие статического экономического равновесия
содержит в качестве своего исходного элемента вектор цен равновесия p*, который является основополагающим для определения
остальных элементов статического экономического равновесия. Несущей конструкцией понятия статического экономического равновесия является пункт 4, который, как уже подчеркивалось, означает
отсутствие дефицита по всем продуктам.
Теорема 7.1. При выполнении условий (1.1), (1.2), (2.1), (2.2), (2.3)
существует статическое экономическое равновесие (7.14)–(7.17) модели Эрроу – Дебре (теорема Эрроу – Дебре).
Сформулированная теорема существования статического экономического равновесия была доказана Эрроу и Дебре с помощью построения точечно-множественного отображения, которое удовлетворяет всем условиям теоремы Какутани о неподвижной точке точечно-множественного отображения. Неподвижная точка этого
специального точечно-множественного отображения и есть статическое экономическое равновесие.
Рассмотрим пример построения статического экономического
равновесия МЭД в случае, когда r = 2, m = 2, n = 1.
7.4. Пример модели Эрроу – Дебре и цен равновесия
Данный пример приведен и разобран в книге: К. Алипрантис,
Д. Браун, О. Беркеншо. Существование и оптимальность конкурентного равновесия. М.: Мир, 1995.
Имеем:
1) пространство продуктов E2;
2) два потребителя С (1) и С (2) с характеристиками: потребитель С (1)
имеет начальный запас z (1) = (1; 2) и функцию полезности u(1)(x1, x2) =
= x1 x2; потребитель С (2) имеет начальный запас z(2) = (2; 2) и функцию
полезности u(2) ( x1, x2 ) = x12 x2 ;
124
3) фирма F имеет технологическое множество Y = {(y1, y2) | y1 1
и y2 y1 / (y1 – 1)};
4) доли потребителей С (1) и С (2) в прибыли фирмы равны
11 = 21 = 1/2.
Технологическое множество Y изображено на рис. 7.1.
y2
(1; 1)
y1
Y
Точка максимума
Рис. 7.1
Требуется найти для вектора p = (p1, p2):
1) локальное рыночное равновесие;
2) максимальную прибыль фирмы F;
3) локальное рыночное равновесие для каждого из потребителей
(1)
С и С (2);
4) избыточный спрос;
5) нормированные цены равновесия;
6) статическое экономическое равновесие.
Локальное рыночное равновесие y° ( p) = ( y°1 ( p), y°2 ( p)) фирмы F
определяется как решение задачи на условный глобальный максимум:
p1y1 + p2y2(max)
(7.18)
при условии, что
y2 =
y1
.
y1 − 1
(7.19)
Очевидно, вектор цен p = (p1, p2) > 0 (p1> 0, p2> 0). Для решения
задачи (7.18)–(7.19) выпишем для функции Лагранжа условия пер-
125
вого порядка (где множитель Лагранжа
0, что легко доказывается
от противного):
⎛
y ⎞
∂L
λ
L ( y1, y2 , λ ) = p1 y1 + p2 y2 + λ ⎜ − y2 + 1 ⎟ ,
= p1 −
= 0,
y1 − 1⎠
⎝
∂y1
( y1 − 1)2
∂L
= p1 − λ = 0,
∂y2
y
∂L
= − y2 + 1 = 0.
∂λ
y1 − 1
Из первых двух уравнений получаем
(принимая во внимание неравенства
p1
= ( y1 − 1)2 , откуда вытекает
p2
p2
> 0 и y1
p1
1), что
p1
p1
, т.е. y1 = 1 −
.
p2
p2
y°1 ( p)
p2
1
Полагая
= t , имеем y°1 ( p) = 1 − t , y°2 ( p) =
=1− .
°
t
p1
y1 y 1 ( p) − 1
технологического
В силу строгой выпуклости границы y2 =
y1 − 1
°
°
множества Y к точке 0, точка ( y1 ( p) , y2 ( p)) возможного условного
локального максимума является точкой не только локального, но
и глобального условного максимума рассматриваемой задачи (7.18)
(7.19) на условный экстремум.
1⎞
⎛
Предложение фирмы F – это вектор y°( p) = ⎜1 − t, 1 − ⎟ .
⎝
t⎠
(1)
(1)
Доход M потребителя C равен
1
1 ⎛
1⎞
M (1) = pz (1) + α11 py°( p) = p1 + 2 p2 + p1 (1 − t ) + p2 ⎜1 − ⎟ .
2
2 ⎝
t⎠
Локальное рыночное равновесие ( x°1 ( p), x°2 ( p)) потребителя C (1)
определяется как решение задачи на условный глобальный максимум
1 − y1 =
u(1)(x1, x2) = x1x2(max)
(7.20)
при бюджетном ограничении
p1x1 + p2x2 = M(1).
(7.21)
Для решения задачи (7.20)–(7.21) выпишем для функции Лагранжа L(x1, x2, ) = x1x2 + (M(1) p1x1 p2x2) условия первого порядка
∂L
∂L
= x2 − p1λ = 0,
= x1 − p2 λ = 0,
∂x1
∂x2
∂L
= M (1) − p1 x1 − p2 x2 = 0.
∂λ
126
Из первых двух уравнений получаем, что p1x1 = p2x2 (в этой задаче
множитель Лагранжа
0, что легко доказывается от противного).
Из третьего уравнения имеем
(1)
(1)
M
3
5
1
M
5
3
1
2
°x1 =
= + t − t и x°2 =
= + 2 −
.
2 p1
4 4
2
2 p2
4 4t
2t
В силу строгой выпуклости к точке 0 линий безразличия функции
полезности u1(x1, x2) = x1x2 точка ( x°1 ( p), x°2 ( p)) возможного условного локального максимума является точкой не только локального,
но и глобального условного максимума рассматриваемой задачи
(7.20)–(7.21) на условный экстремум.
Таким образом, спрос потребителя C (1) – это вектор
⎛3 5
1
5
3
1⎞
x° (1)( p) = ⎜ + t 2 − t,
+ 2 − ⎟.
2
4 4t
2t ⎠
⎝4 4
Перейдем ко второму потребителю C (2). Его доход равен
1
1
1 ⎛
1⎞
M (2) = pz (2) + py°( p) = 2 p1 + 2 p2 + p1 (1 − t ) + p2 ⎜1 − ⎟ ,
2
2
2 ⎝
t⎠
( 2)
и максимизирует свою функцию полезности u ( x1, x2 ) = x12 x2 этот
потребитель при бюджетном ограничении p1x1 + p2x2 = M(2). Вновь
используя множитель Лагранжа, получаем, что для набора, максимизирующего полезность, выполнено равенство p1x1 = 2p2x2. Следовательно,
3
M (2) = p1 x1 + p2 x2 = p1 x1 = 3 p2 x2 .
2
Отсюда вытекает, что
( 2)
5 5 2 2
M ( 2)
5
5
1
( 2)
°x (2) = 2M
°
= + t − t и x2 =
= + 2 − .
1
3 p1
3 3
3
3 p2
6 6t
3t
Следовательно, спрос второго потребителя C (2) выглядит так:
2
5
5
1⎞
⎛5 5
x° (2)( p) = ⎜ + t 2 − t,
+ 2 − ⎟.
⎝3 3
3
6 6t
3t ⎠
Избыточный спрос F(p) для этой МЭД задается формулой
F ( p) = x° (1)( p) + x° (2)( p) − y( p) − z (1) − z (2) =
⎛ 35t 2 − 2t − 19 35t 2 − 2tt − 19 ⎞
=⎜
,
⎟ ≤ 0.
12
12t 2
⎝
⎠
Последнее неравенство означает, что в статическом экономическом
равновесии не должно быть дефицита ни по одному из продуктов.
127
Поскольку в рассматриваемом примере обязательно p > 0, постольку (по закону Вальраса) избыточный спрос F(p) = 0, а для этого
необходимо и достаточно, чтобы 35t2 2t 19 = 0. Решая это квадрат1 + 666
≈ 0,766 .
ное уравнение и учитывая, что t > 0, получаем t =
35
p
Так как 2 = t 2 ≈ 0,587 , p1 + p2 = 1, то цены равновесия суть
p1
p* (0,63; 0,37), p1* ≅ 0,63 , p2* ≅ 0,37.
Соответствующий луч цен равновесия в плоскости цен изображен
на рис. 7.2.
p2
p2 = p1
Луч цен равновесия
1
(0,63; 0,37)
0
p1
1
Рис. 7.2
Статическое экономическое равновесие рассматриваемой МЭД
есть набор
⎧
1⎞
⎛
{ p*, y *, x*(1), x*(2)} = ⎨( p1* , p2* ), ⎜1 − t * , 1 − * ⎟ ,
⎝
t ⎠
⎩
⎛3 5 * 2 1 * 3 1
5
1 ⎞
+
−
+
−
)
,
,
(
t
t
⎜⎝ 4 4
2
4 (t * )2 4 2t * ⎟⎠
⎛5 5 * 2 2 * 5 5 1
1 ⎞ ⎫⎪
−
(
)
,
,
+
t
−
t
+
⎜3 3
*⎟⎬
* 2
3
6
6
(t )
3t ⎠ ⎪⎭
⎝
*
где t =
128
p2*
p1*
≅ 0,766 .
ЗАДАЧИ
7.1. В моделируемой системе (МЭД) два продукта (продукт и ресурс),
одна фирма F и два потребителя C (1) и C (2). Технологическое множество Y фирмы F имеет вид
⎧⎪
4 y1 ⎫⎪
Y = ⎨( y1, y2 ) y1 < 1; y2 ≤
⎬.
y
−
1
1
⎩⎪
⎭⎪
Доли потребителей в прибыли фирмы F равны 1 = 1/4, 2 = 3/4.
У потребителя C (1) начальный запас ( z1(1) ; z2(1) ) = (1; 2) и функция полезности U (1) ( x1, x2 ) = x1 ⋅ x22 . У потребителя C (2) начальный запас
( z1(2) ; z2(2) ) = (3; 1) и функция полезности U(2)(x1, x2) = x1 x2.
1. Приведите определение локального рыночного равновесия
фирмы F и найдите его.
2. Приведите определение локального рыночного равновесия потребителя и найдите его для каждого потребителя C (1) и C (2).
3. Приведите определение функции избыточного спроса и выпишите вектор избыточного спроса.
4. Найдите цены равновесия (нормированные). Выпишите статическое экономическое равновесие.
5. Постройте технологическое множество Y фирмы F на плоскости 0y1 y2.
7.2. В модели Эрроу – Дебре два продукта (продукт и ресурс), одна
фирма F и два потребителя C (1) и C (2). Технологическое множество Y
фирмы F имеет вид
y1 ⎪⎫
⎪⎧
Y = ⎨( y1, y2 ) y1 < 4; y2 ≤
⎬.
y1 − 4 ⎪⎭
⎪⎩
Доли потребителей в прибыли фирмы F равны 1 = 1/4, 2 = 3/4.
У потребителя C (1) начальный запас ( z1(1) ; z2(1) ) = (1; 2) и функция полезности U (1)(x1, x2) = x1 x2. У потребителя C (2) начальный запас
( z1(2) ; z2(2) ) = (3; 2) и функция полезности U (2) ( x1, x2 ) = x12 ⋅ x2 .
1. Приведите определение локального рыночного равновесия
фирмы F и найдите его.
2. Приведите определение локального рыночного равновесия потребителя и найдите его для каждого из потребителей C (1) и C (2).
3. Приведите определение функции избыточного спроса и выпишите вектор избыточного спроса.
129
4. Найдите цены равновесия (нормированные). Выпишите статическое экономическое равновесие.
5. Постройте технологическое множество Y фирмы F на плоскости 0y1y2.
7.3. В рамках модели Эрроу – Дебре в некоторой экономике действуют два потребителя C (1) и C (2) и одна фирма F. Каждый потребитель характеризуется одинаковой функцией полезности U = x1 x2
и одинаковым начальным запасом z = (4; 32). Технологическое множество фирмы имеет вид y12 + 16 y2 ≤ 0 . Потребители имеют равные
доли в прибыли фирмы.
1. Найти локальное рыночное равновесие фирмы F.
2. Найти локальное рыночное равновесие для каждого из потребителей C (1) и C (2).
3. Выписать вектор избыточного спроса.
4. Найти цены равновесия (нормированные).
5. Выписать статическое экономическое равновесие.
7.4. В рамках модели Эрроу – Дебре в некоторой экономике действуют два потребителя C (1) и C (2) и одна фирма F. Каждый потребитель
характеризуется одинаковой функцией полезности U = min(x1, x2)
и одинаковым начальным запасом z = (5; 8). Технологическое множество фирмы F имеет вид y12 + y2 ≤ 0 . Потребители имеют равные
доли в прибыли фирмы.
1. Определите функцию прибыли фирмы F.
2. Определите нормированный вектор цен (p1, p2).
3. Определите равновесный объем потребления первого блага
первым потребителем.
4. Сколько единиц первого блага производит фирма F ?
7.5. В рамках модели Эрроу – Дебре в некоторой экономике действуют два потребителя C (1) и C (2) и одна фирма F. Каждый потребитель характеризуется одинаковой функцией полезности
U = min (x1, x2) и одинаковым начальным запасом z = (4; 6). Технологическое множество фирмы F имеет вид y12 + 2 y2 ≤ 0. Потребители
имеют равные доли в прибыли фирмы.
1. Найдите локальное рыночное равновесие фирмы F.
2. Найдите локальное рыночное равновесие для каждого из потребителей C (1) и C (2).
3. Выпишите вектор избыточного спроса.
4. Найдите цены равновесия (нормированные). Выпишите статическое экономическое равновесие.
130
7.6. В модели Эрроу – Дебре два продукта (продукт и ресурс), одна
фирма F и два потребителя C (1) и C (2). Технологическое множество Y
фирмы F имеет вид
⎧⎪
4 y1 ⎫⎪
Y = ⎨( y1, y2 ) y1 < 1, y2 ≤
⎬.
y1 − 1 ⎪⎭
⎪⎩
Доли потребителей в прибыли фирмы F равны 1 = 3/4, 2 = 1/4.
У потребителя C (1) начальный запас ( z1(1) ; z2(1) ) = (3; 1) и функция полезности U (1)(x1, x2) = x1 x2. У потребителя C (2) начальный запас
( z1(2) ; z2(2) ) = (1; 2) и функция полезности U (2) ( x1, x2 ) = x1 ⋅ x22 .
1. Приведите определение локального рыночного равновесия
фирмы F и найдите его.
2. Приведите определение локального рыночного равновесия потребителя и найдите его для каждого из потребителей C (1) и C (2).
3. Приведите определение функции избыточного спроса и выпишите вектор избыточного спроса.
4. Найдите цены равновесия (нормированные). Выпишите статическое экономическое равновесие.
5. Постройте технологическое множество Y фирмы F на плоскости 0y1y2.
7.7. В модели Эрроу – Дебре два продукта (продукт и ресурс), одна
фирма F и два потребителя C (1) и C (2). Технологическое множество Y
фирмы F имеет вид
⎧⎪
y1 ⎫⎪
Y = ⎨( y1, y2 ) y1 < 4, y2 ≤
⎬.
y
−
4
1
⎩⎪
⎭⎪
Доли потребителей в прибыли фирмы F равны 1 = 3/4, 2 = 1/4.
У потребителя C (1) начальный запас ( z1(1) ; z2(1) ) = (3; 2) и функция полезности U (1) ( x1, x2 ) = x12 ⋅ x2 . У потребителя C (2) начальный запас
( z1(2) ; z2(2) ) = (1; 2) и функция полезности U (2) (x1, x2) = x1 x2.
1. Приведите определение локального рыночного равновесия
фирмы F и найдите его.
2. Приведите определение локального рыночного равновесия потребителя и найдите его для каждого из потребителей C (1) и C (2).
3. Приведите определение функции избыточного спроса и выпишите вектор избыточного спроса.
4. Найдите цены равновесия (нормированные). Выпишите статическое экономическое равновесие.
5. Постройте технологическое множество Y фирмы F на плоскости 0y1 y2.
131
7.8. В модели Эрроу – Дебре два продукта (продукт и ресурс), одна
фирма F и два потребителя C (1) и C (2). Технологическое множество Y
фирмы F имеет вид
⎧⎪
y1 ⎫⎪
Y = ⎨( y1, y2 ) y1 < 2, y2 ≤
⎬.
y1 − 2 ⎪⎭
⎪⎩
Доли потребителей в прибыли фирмы F равны 1 = 1/2, 2 = 1/2.
У потребителя C (1) начальный запас ( z1(1) ; z2(1) ) = (4; 2) и функция полезности U (1)(x1, x2) = x1 x2. У потребителя C (2)начальный запас
( z1(2) ; z2(2) ) = (3; 5) и функция полезности U (2) ( x1, x2 ) = x1 ⋅ x22 .
1. Приведите определение локального рыночного равновесия
фирмы F и найдите его.
2. Приведите определение локального рыночного равновесия потребителя и найдите его для каждого потребителя C (1) и C (2).
3. Приведите определение функции избыточного спроса и выпишите вектор избыточного спроса.
4. Найдите цены равновесия (нормированные). Выпишите статическое экономическое равновесие.
5. Постройте технологическое множество Y фирмы F на плоскости
0y1 y2.
7.9. В модели Эрроу – Дебре два продукта (продукт и ресурс), одна
фирма F и два потребителя C (1) и C (2). Технологическое множество Y
фирмы F имеет вид
y1 ⎪⎫
⎪⎧
Y = ⎨( y1, y2 ) y1 < 1, y2 ≤
⎬.
y
−
1
⎪⎭
1
⎩⎪
Доли потребителей в прибыли фирмы F равны 1 = 1/3, 2 = 2/3.
У потребителя C (1) начальный запас ( z1(1) ; z2(1) ) = (2; 3) и функцию полезности U (1)(x1, x2) = x1 x2. У потребителя C (2) начальный запас
( z1(2) ; z2(2) ) = (3; 2) и функция полезности U (2) ( x1, x2 ) = x12 ⋅ x2.
1. Найдите локальное рыночное равновесие фирмы F.
2. Найдите локальное рыночное равновесие для каждого из потребителей C (1) и C (2).
3. Выпишите вектор избыточного спроса.
4. Найдите цены равновесия (нормированные). Выпишите статическое экономическое равновесие.
5. Постройте множество Y на плоскости 0y1y2.
7.10. Технологическое множество Y фирмы F имеет вид
⎧⎪1 − e y1 , y1 ≤ 0,
Y = {(y1; y2) | y1 1; y2 g(y1)}, где g ( y1 ) = ⎨
⎪⎩ln(1 − y1 ), 0 < y1 < 1.
132
1. Постройте это множество на плоскости 0y1y2.
2. Найдите сумму Y + Y, опишите аналитически северо-восточную
(эффективную) границу множества Y + Y и 2Y.
3. Постройте множество Y и Y + Y. Ответ обоснуйте.
7.11. В модели Эрроу – Дебре два продукта (продукт и ресурс), одна
фирма F и два потребителя C (1) и C (2). Технологическое множество Y
фирмы F описано в задаче 7.10. Доли потребителей в прибыли
фирмы F равны 1 = 1/4, 2 = 3/4. У потребителя C (1) начальный запас
( z1(1) ; z2(1) ) = (1; 3) и функция полезности U (1)(x1, x2) = x1 x2. У потребителя C (2) начальный запас ( z1(2) ; z2(2) ) = (2; 3) и функция полезности
U (2) ( x1, x2 ) = x1 ⋅ x22 .
1. Найдите локальное рыночное равновесие фирмы F.
2. Найдите локальное рыночное равновесие для каждого из потребителей C (1) и C (2).
3. Выпишите вектор избыточного спроса.
4. Найдите цены равновесия (нормированные). Выпишите статическое экономическое равновесие.
5. Постройте множество Y на плоскости 0y1y2.
7.12. В экономической системе (МЭД) два продукта (продукт и ресурс), две фирмы F (1) и F (2) и два потребителя C (1) и C (2). Технологическое множество Y (1) фирмы F (1) имеет вид
⎧⎪
y1 ⎫⎪
Y (1) = ⎨( y1, y2 ) y1 < 1, y2 ≤
⎬.
y
−
1
1
⎩⎪
⎭⎪
Технологическое множество Y (2) фирмы F (2) имеет вид
⎧⎪1 − e y1 , y1 ≤ 0,
(2) = {(y , y ) | y
1; y2 g(y)}, где g ( y1 ) = ⎨
Y
1 2
1
⎩⎪ln(1 − y1 ), 0 < y1 < 1.
Доли потребителей в прибыли фирмы F (1) и фирмы F (2) соответственно равны α1(1) = 2/3, α(21) = 1/3 и α1(2) = α(22) = 1/ 2 .
У потребителя C (1) начальный запас ( z1(1) ; z2(1) ) = (3; 1) и функция
полезности U (1) ( x1, x2 ) = x1 ⋅ x22 . У потребителя C (2) начальный запас
( z1(2) ; z2(2) ) = (3; 2) и функция полезности U (2)(x1, x2) = x1 x2.
1. Найдите локальное рыночное равновесие каждой фирмы.
2. Найдите локальное рыночное равновесие для каждого потребителя.
3. Выпишите вектор избыточного спроса.
4. Найдите цены равновесия (нормированные). Выпишите статическое экономическое равновесие.
5. Постройте множества Y (2) и Y = Y (1) + Y (2).
133
7.13. В экономической системе два продукта (продукт и ресурс), две
фирмы F (1) и F (2) и два потребителя C (1) и C (2). Технологическое множество Y (1) фирмы F (1) имеет вид
y1 ⎪⎫
⎪⎧
Y (1) = ⎨( y1, y2 ) y1 < 1, y2 ≤
⎬.
y
−
1
⎪⎩
⎪⎭
1
Технологическое множество Y (2) фирмы F (2) имеет вид
Y
(2)
= {(y1, y2) | y1
1; y2
⎧⎪1 − e y1 , y1 ≤ 0,
g(y1)}, где g ( y1 ) = ⎨
⎪⎩ln(1 − y1 ), 0 < y1 < 1.
Доли потребителей в прибыли фирмы F(1) и фирмы F(2) соответственно равны α1(1) = 3/ 4, α(21) = 1/ 4 , α1(2) = 1/ 2, α(22) = 2/3 . У потребителя C (1) начальный запас ( z1(1) ; z2(1) ) = (4; 2) и функция полезности U (1) ( x1, x2 ) = x1 ⋅ x22 . У потребителя C (2) начальный запас
( z1(2) ; z2(2) ) = (2; 3) и функция полезности U (2) ( x1, x2 ) = x12 ⋅ x2.
1. Найдите локальное рыночное равновесие каждой фирмы.
2. Найдите локальное рыночное равновесие для каждого потребителя.
3. Выпишите вектор избыточного спроса.
4. Найдите цены равновесия (нормированные). Выпишите статическое экономическое равновесие.
5. Постройте множества Y (1) и Y (2).
6. Постройте множества Y (1) + Y (1), 2Y (1), Y (1) + Y (2).
Раздел 8
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
БЛАГОСОСТОЯНИЯ
Основные определения и утверждения
8.1. Парето-эффективность и статическое
экономическое равновесие в экономике обмена.
Первая и вторая теоремы экономики благосостояния
В модели экономики обмена функционирует m потребителей
C1, …, Cm и r продуктов G1, …, Gr. Для каждого продукта Gk, k = 1, …, r
имеет место равенство
xk(1) + xk(2) + … + xk( m) = ak,
(8.1)
где ak – общее количество продукта Gk; xk(i ) – количество продукта G k , которое находится в распоряжении потребителя C i ,
i = 1, …, m. Каждый потребитель имеет функцию полезности ui (x(i))
(x(i) E r+ = {x | x = (x1, …, xr), x1 0, …, xr 0}). Потребители могут
добровольно (без принуждения) обмениваться продуктами, увеличивая (или не уменьшая) свою полезность.
В модели экономики обмена вместо потребителей C1, …, Cm могут
фигурировать фирмы F1, …, Fn, а вместо продуктов (товаров) G1, …, Gr
фигурировать ресурсы R1, …, Rr. Каждая фирма Fj имеет производственную функцию fi (y(j)) ( y( j ) = ( y1( j ) , …, yr( j ) ), yk( j ) ≥ 0, k = 1, …, r ,
j = 1, …, n). Фирмы могут обмениваться ресурсами, увеличивая (или
не уменьшая) объем выпуска своей продукции.
Набор векторов { x! (1) , …, x! ( m) } называется Парето-эффективным
(эффективным по Парето), если он допустим, т.е. удовлетворяет равенствам (8.1), и не существует другого допустимого набора векторов
{x(1), …, x(m)} такого, что
ui ( x (i ) ) ≥ ui ( x! (i ) ), i = 1, …, m,
(8.2)
причем хотя бы одно неравенство является строгим.
Отметим, что в определении Парето-эффективности (эффективности по Парето) отсутствуют цены на продукты.
135
Парето-эффективность при m = 2 наглядно иллюстрируется с помощью диаграммы (ящика) Эджворта (рис. 8.1).
(1)
x2
(2)
x1
l
l
(2)
(2)
x1
a2
x1
0(2)
l
L
l
H
(1)
x2
(2)
x2
Q
(1)
x2
0(1)
(2)
x2
B
(1)
x1
K
a1
(1)
l
(1)
x1
l
x1
(2)
x2
Рис. 8.1
Очевидно совокупность потребительских наборов {x(1), x(2)}, изображающая на рис. 8.1 точку В, не является Парето-эффективной, ибо
из точки В, которая изображает потребительские наборы x(1) и x(2)
потребителей C1 и C2, можно перейти в точку H, которая изображает
потребительские наборы x! (1) = ( x!1(1), x!2(1) ), x! (2) = ( x!1(2), x!2(2) ). При этом
значение функции полезности τ = u(1) ( x1(1), x2(1) ) первого потребителя C1 стало равным τ! = u(1) ( x!1(1), x!2(1) ) > τ , а значение функции полезности σ = u(2) ( x1(2), x2(2) ) второго потребителя C2 не изменилось.
Переход из точки В в точку H содержательно означает обмен продуктами, который осуществили потребители C1 и C2. Потребитель C1
передал потребителю C2 (т.е. потребитель C2 получил от потребителя C1) первый продукт в количестве x1(1) − x!1(1) = x!1(2) − x1(2) единиц.
Потребитель C1 получил от потребителя C2 (т.е. потребитель C2 передал потребителю C 1) второй продукт в количестве x!2(1) − x2(1) =
= x2(2) − x!2(2) единиц.
Переход из точки В в точку Q анализируется аналогично. Только
в этом случае значение функции полезности u1 ( x1(1), x2(1) ) первого
потребителя C1 остается неизменным, а значение функции полезности u2 ( x1(2), x2(2) ) второго потребителя C2 становится равным σ* > σ .
Точки H и Q на рис. 8.1 изображают Парето-эффективные наборы, ибо при переходе, скажем, из точки H в точку Q значение
136
функции полезности u2 ( x1(2), x2(2) ) растет и становится равным σ* > σ ,
а значение τ* функции полезности u1 ( x1(1), x2(1) ) убывает и становится
равным τ > τ* . Выйти из точки H так, чтобы значение одной функции
полезности строго выросло, а другой по крайней мере осталось неизменным, невозможно.
Линия L в диаграмме Эджворта, которая соединяет точки, изображающие Парето-эффективные наборы, называется контрактной
линией. Криволинейный отрезок QH контрактной линии L, который
находится между двумя линиями безразличия, называется переговорным множеством. Линии безразличия, проходящие через точки переговорного множества, соответствуют значениям функций полезности, которые больше (не меньше) значений функции полезности,
соответствующим линиям безразличия, проходящим через точку B
(на рис. 8.2 более детально показан фрагмент, содержащий точки
B, H и Q. На этом рисунке τ < τ" < τ*, σ < σ" < σ* . Линии безразличия
lτ" и lσ" на рис. 8.1 показаны не были).
l
l~
l
l
l~
L
H
l
l
Q
l~
B
l
l
l~
l
Рис. 8.2
Пространство полезностей 0u1u2 называется критериальным пространством экономики обмена. Образ множества 0 x1 a1, 0 x2 a2
в пространстве полезностей называется множеством достижимых полезностей U.
Эффективной границей U множества U достижимых полезностей
называется подмножество множества U достижимых полезностей
такое, что если векторы u = (u1, u2)
U и u ′ = (u1′, u2′ ) ∈ U и u u
(покоординатно), то u = u.
Очевидно, эффективная граница U множества U является образом контрактной линии L диаграммы Эджворта.
137
Построим множество U достижимых полезностей в случае m = 2.
В точке О (1) x1(1) = x2(1) = 0 , x1(2) = a1, x2(2) = a2 , поэтому u1 ( x1(1), x2(1) ) =
⌢
= u1 (0, 0) = 0 , u2 ( x1(2), x2(2) ) = u2 (a1, a2 ) = σ , т.е. образом точки О(1) в кри⌢
териальном пространстве 0u1u2 является точка O (1) = (u1, u2 ) = (0, σ)
(рис. 8.3). Аналогично, в точке О (2) x1(1) = a1 , x2(1) = a2 , x1(2) = x2(2) = 0,
⌢
п о э т о м у u1 ( x1(1), x2(1) ) = u1 (a1, a2 ) = τ , u2 ( x1(2), x2(2) ) = u2 (0, 0) = 0 ,
т.е. образом точки О (2) в критериальном пространстве 0u1u2 является
⌢
точка O (2) = (u1, u2 ) = (τ, 0) (см. рис. 8.3).
u2
(1)
= (0, )
Q=( , )
H=( , )
A = (u1, u2)
B
U
K
U
0
O(2) = ( , 0)
u1
Рис. 8.3
Образом точки H = ( x!1(1), x!2(1) ) в критериальном пространстве
0u1u2 является точка H = (u1, u2 ), где τ* = u1 = u1 ( x!1(1), x!2(1) ) , σ = u2 =
= u2 ( x!1(2), x!2(2) ) (см. рис. 8.3). Образом точки B = ( x1(1), x2(1) ), которая
не принадлежит контрактной линии и, следовательно, потребительский набор ( x1(1), x2(1) ) не является Парето-эффективным, в критериальном пространстве является точка B = (u1, u2 ), которая не принадлежит эффективной границе U. В случае точки B = (u1, u2 ),
u1 = τ = u1 ( x1(1), x2(1) ) , u2 = σ = u2 ( x1(2), x2(2) ) (см. рис. 8.3). Образом
точки Q в критериальном пространстве 0u 1 u 2 является точка
Q = (u1, u2 ) , где u1 = , u2 = σ* (см. рис. 8.3).
Геометрическая характеристика некоторой точки K (см. рис. 8.3),
принадлежащей эффективной границе U множества U достижимых
полезностей, формулируется так. Если прямой угол, вершина которого находится в точке K множества U и стороны которого параллельны осям 0u1 и 0u2, пересекается со множеством U только в самой
138
вершине K , то точка K принадлежит эффективной границе U.
Верно и обратное.
Точка A = (u1, u2 ) расположена вне множества U. Содержательно
это означает, что потребители C1 и C2 не могут ее достигнуть, ибо для
этого недостаточно запасов a1 и a2 продуктов G1 и G2.
Статическое экономическое равновесие в экономике обмена есть
набор векторов { p*, x*(1), x*( m)} такой, что он удовлетворяет следующим
условиям:
1) вектор равновесия цен
p* = ( p1* , …, pr* ) , p1* ≥ 0, …, pr* ≥ 0 , p1* + … + pr* = 1;
2) вектор x*(i ) = ( x*(1 i ), …, x*(r i ) ) – локальное рыночное равновесие
потребителя Ci, i = 1, …, m, т.е. решение следующей задачи рационального поведения потребителя Ci на рынке
ui (x(i))(max),
* (i )
* *(i )
px
= px
;
3) для каждого продукта Gk, k = 1, …, r имеет место равенство
xk(1) + … + xk( m) = ak .
В отличие от определения Парето-эффективности, в котором
цены на продукты не фигурируют, в статическом экономическом
равновесии обязательно присутствуют цены равновесия.
Взаимосвязь между Парето-эффективностью и статическим экономическим равновесием описывается двумя теоремами экономики
благосостояния.
Первая теорема экономики благосостояния – это теорема о том,
что статическое экономическое равновесие Парето-эффективно.
То есть если набор { p* , x*(1), x*( m)} есть статическое экономическое равновесие, то набор { x*(1), …, x*( m)} является Парето-эффективным.
Вторая теорема экономики благосостояния – это теорема о том,
что если набор { x*(1), …, x*( m)} Парето-эффективен, то существует такой вектор p* = ( p1*, …, pr* ) цен, что набор { p* , x*(1), x*( m)} есть статическое экономическое равновесие.
Во второй теореме следует сделать предположение о строгой выпуклости линий безразличия функций полезности потребителей
C1 и C2.
При формулировках определений Парето-эффективности
и статического экономического равновесия присутствует неявное
допущение о наличии полной информации в моделируемой экономической системе.
139
8.2. Функции общественного благосостояния и понятие
справедливости
В теории потребления каждый потребитель Ci, i = 1, …, m имеет
свою индивидуальную функцию полезности. Для выяснения того,
что является общественно желательным, целесообразно агрегировать
индивидуальные функции полезности, и агрегированную функции
полезности следует максимизировать. Индивидуальные функции
полезности можно агрегировать по-разному, но при этом необходимо
требовать, чтобы с неубыванием каждой индивидуальной функции
полезности агрегированная функция полезности также не убывала.
Агрегированная функция полезности называется функцией общественного благосостояния.
В общем виде функцию общественного благосостояния целесообразно представить в виде функции W(u1, …, um) m переменных u1, …, um, где каждая переменная ui, i = 1, …, m есть индивидуальная функция полезности потребителя C i , i = 1, …, m:
W = W(u1(x(1)), …, um(x(m))), где x (i ) = ( x1(i ), …, xr(i ) ), некоторый потребительский набор, i = 1, …, m.
Если W = u1(x(1)) + … + um(x(m)), то функция общественного благосостояния называется утилитаристской функцией или функцией
Бентама. Максимизация этой функции означает максимизацию суммарной полезности всех потребителей. На рис. 8.4 для случая двух
потребителей C1 и C2 (т.е. m = 2) представлено выпуклое множество U
достижимых полезностей. Линия уровня утилитаристской функции
общественного благосостояния W = u1 + u2 представляет собой прямую l, образующую с осями 0u1 и 0u2 углы, равные 45 ( /4). Точка
⌢ ⌢ ⌢
V (u1, u2 ) касания линии уровня l и эффективной границы U множества U есть точка максимума утилитаристской функции общественного благосостояния. В случае, представленном на рис. 8.4,
⌢ ⌢ ⌢
общественно желательной является ситуация V (u1, u2 ) , когда значение функции полезности u1 ( x1(1), x2(1) ) первого потребителя C1 равно
⌢
u1, значение полезности u2 ( x1(2), x2(2) ) второго потребителя C2 равно
⌢
⌢ ⌢
u2 и при этом получилось, что u1 > u2 (и весьма значительно).
⌢
Точка касания V есть одна из точек эффективной границы U
⌢
множества U достижимых полезностей. Точка V является образом
точки V диаграммы Эджворта (рис. 8.5), которая расположена на контрактной линии L и, следовательно, изображает Парето-эффектив⌢ ⌢
⌢
⌢ ⌢
⌢
⌢
⌢
ный набор векторов { x (1), x (2)} ( x (1) = ( x1(1), x2(1) ), x (2) = ( x1(2), x2(2) )) .
140
u2
l
V
U
V = (u1 u2
u2
u1 + u2 = u1 + u2
0
u1
u1
Рис. 8.4
⌢ ⌢ ⌢
Следовательно, общественно желаемая ситуация V = (u1, u2 ) , реа⌢ ⌢
лизуется на Парето-эффективном наборе векторов { x (1), x (2)}. Обратное, конечно, неверно. Например, Парето-эффективному набору
⌢ ⌢
векторов { x (1), x (2)} (см. рис. 8.5, точку V * с координатами ( x!1(1), x!2(1) )
⌢
(или ( x!1(2), x!2(2) ) ) соответствует точка V границы U, которая не максимизирует утилитаристскую функцию общественного благосостояния. Поскольку (в случае выпуклых вверх функций полезности)
Парето-эффективный набор порождает статическое экономическое
(1)
x2
(2)
x1
(2)
a2
x1
(2)
x1
0(2)
L
V
(1)
x2
(1)
x2
(2)
x2
V
(2)
x2
(1)
0(1)
(1)
x1
(1)
x1
a1
x1
(2)
x2
Рис. 8.5
141
⌢ ⌢ ⌢
равновесие, общественно желаемая ситуация V = (u1, u2 ) реализуется
в статическом экономическом равновесии. Статическое экономическое равновесие может и не реализовать общественно желаемую
⌢
ситуацию V . Здесь рассуждения аналогичны приведенным выше
о том, что Парето-эффективный набор векторов не обязательно
реализует общественно желаемую ситуацию.
Обобщением утилитаристской функции общественного благосостояния является функция W = 1u1 + … + mum , в которой обычно полагают 1 + … + m = 1 и 1 0, …, m 0.
u2
U
(
u2
(1)
(
u2
(2)
(
u2
U
u1
(
(1) (2)
u1 u 1
(
u1
(
0
Рис. 8.6
Коэффициенты 1, …, m принято называть весовыми множителями. Каждый такой коэффициент показывает относительную значимость соответствующей функции полезности для совокупного
общественного благосостояния. На рис. 8.6 для случая двух потребителей C1 и C2 (т.е. для случая m = 2) представлено выпуклое множество U достижимых полезностей и показаны две линии уровня
двух версий обобщенной утилитаристской функции общественного
благосостояния:
W1 = β1(1)u1 + β(21)u2 ,
W2 = β1(2)u1 + β(22)u2 .
⌢ ⌢
Точка касания (u1(1), u2(1) ) ∈ ∂U есть точка глобального максимума
⌢
⌢
функции W1, а точка касания (u1(2), u2(2) ) ∈ ∂U есть точка глобального
максимума функции W2. Очевидно, в случае выпуклого множества U
⌢ ⌢
допустимых полезностей для каждой точки (u1, u2 ) границы U до142
стижимых полезностей можно подобрать весовые множители 1 и 2
так, чтобы точка глобального максимума функции W = 1u1 + 2u2
общественного благосостояния при фиксированных запасах a1 и a2
⌢ ⌢
продуктов G1 и G2 совпадала с точкой (u1, u2 ). Таким образом, в случаях выпуклого множества U если весовые множители 1 и 2 пробегают (каждый) отрезок [0; 1] и при этом 1 + 2 = 1, то множество
⌢ ⌢
точек (u1, u2 ), которые являются решением задачи глобальной максимизации функции W(u1, u2) = 1u1 + 2u2, образуют всю эффективную границу U множества U достижимых полезностей. Случай
m = 2, проиллюстрированный на рис. 8.6, естественным образом
обобщается на общий случай W = 1u1 + … + mum.
Следующим примером функции общественного благосостояния
является функция W(x) = min((x), …, um(x)), которая называется
функцией Роулза, или роулзианской функцией общественного благосостояния.
Максимизация функции Роулза означает максимизацию уровня
благосостояния потребителя, имеющего минимальное значение из
значений остальных функций полезности.
На рис. 8.7 для случая двух потребителей C1 и C2 (т.е. для случая
m = 2) представлено выпуклое множество U достижимых полезностей
и показана линия l уровня функции общественного благосостояния
⌢ ⌢ ⌢
min(u1, u2). Точка V = (u1, u2 ) «касания» линии уровня l и эффективной границы U множества U есть точка глобального максимума функции Роулза общественного благосостояния.
u2
u2 = u1
V
l
(
u2
U
u1
(
0
дU
u1
Рис. 8.7
Выбор функции общественного благосостояния ассоциируется
с определенным толкованием понятия справедливости. Например,
143
согласно Роулзу наиболее справедливым является такое распределение продуктов G1, …, Gr между потребителями C1, …, Cm, при котором
максимизируется полезность наименее обеспеченных потребителей:
⌢
⌢
W ( x (1), …, x ( m) ) = max min(u1 ( x (1) ), …, um ( x ( m) )).
Согласно утилитаристскому подходу наиболее справедливым является такое распределение продуктов G1, …, Gr между потребителями
⌢
⌢
C1, …, Cm, при котором суммарная полезность u1 ( x (1) ) + … + um ( x ( m) )
максимальна. В этом случае вполне могут отличаться друг от друга
⌢
⌢
значения u1 ( x (1) ), …, um ( x ( m) ) функций полезности разных потребителей C1, …, Cm (см. рис. 8.4).
В рассмотренных выше случаях (см. рис. 8.7) справедливое распределение продуктов G1 и G2 между потребителями C1 и C2 было
Парето-эффективно и приводило к статическому экономическому
равновесию.
Согласно эгалитаристскому подходу наиболее справедливым является такое распределение продуктов G1, …, Gr между потребителями C1, …, Cm, при котором должно быть равное распределение
каждого продукта между всеми потребителями. На рис. 8.8 точка
a ⌢
a
⌢
⌢
⌢ ⌢
⌢
⌢
⌢
A = ( x1(1), x2(1) ) = ( x1(2), x2(2) ) такова, что x1(1) = x2(2) = 1 , x2(1) = x2(2) = 2 .
2
2
(1)
x2
(2)
x1
a2
0(2)
L
A
(1)
a1
0(1)
(2)
x2
Рис. 8.8
144
x1
Точка A иллюстрирует справедливое распределение продуктов
G1 и G2 между потребителями C1 и C2 с точки зрения эгалитаристского
подхода при r = 2 и m = 2. Если контрактная линия L не проходит
через точку А (см. рис. 8.8), то мы имеем случай, когда ни один Парето-эффективный потребительский набор ( x!1(1), x!2(1) ) ( x!1(2), x!2(2) )
не является справедливым (с точки зрения эгалитаристского подхода). Поскольку Парето-эффективный набор приводит к статическому экономическому равновесию (если все функции полезности
выпуклы вверх), постольку статическое экономическое равновесие
также может и не быть справедливым (с точки зрения эгалитаристского подхода).
Было рассмотрено три подхода к толкованию понятия справедливости, которые в порядке уменьшения равенства следует расположить так: эгалитаристский подход (каждый потребитель получает
поровну всех продуктов), роулзианский подход (максимизируется
минимальная функция полезности), утилитаристский подход (максимизируется суммарная полезность всех потребителей). К этим
трем подходам следует добавить рыночно ориентированный подход,
согласно которому справедливость устанавливает рынок.
ЗАДАЧИ
8.1
8.1.1. Приведите пример Парето-эффективного потребительского
набора ( x!1(1), x!2(2) ), который невозможно получить в процессе обмена
на конкурентных рынках.
8.1.2. В модели экономики обмена функции полезности потребителей C1 и C2 имеют соответственно вид u1( x1(1), x2(1) ) = a0 ( x1(1) )α1 ( x2(1) )α 2,
u2 ( x1(2), x2(2) ) = b0 ( x1(2) )β1 ( x2(2) )β2 . Имеем x1(1) + x2(2) = a1 , x2(1) + x2(2) = a2 .
1. Выпишите необходимые и достаточные условия Парето-эффективности;
2. Выпишите уравнение контрактной линии L и постройте ее
на диаграмме Эджворта;
3. Выпишите уравнение эффективной границы U множества U
достижимых полезностей.
145
8.1.3. Используя уравнение эффективной границы U множества U
достижимых полезностей, полученное в пункте 3 задания 8.1.2, выпишите ее конкретные уравнения и постройте графики для следующих случаев:
1
1) α1 = α 2 = β1 = β2 = , a1 = 4, a2 = 9;
4
1
2) α1 = α 2 = β1 = β2 = , a1 = 4, a2 = 9;
2
3) α1 = α 2 = β1 = β2 = 1, a1 = 4, a2 = 9;
4) α1 = α 2 = 2, β1 = β2 =
1
, a1 = 4, a2 = 9.
4
8.1.4. В экономике обмена
u1( x1(1), x2(1) ) = ( x1(1) )2 x2(1) , u2 ( x1(2), x2(2) ) = ( x1(2) )1/2 ( x2(2) )1/4,
x1(1) + x1(2) = a1 , x2(2) + x2(2) = a2 , где a1 = 8, a2 = 64.
1. Выведите уравнение контрактной линии L и постройте ее в диаграмме Эджворта.
2. Выведите уравнение эффективной границы U множества достижимых полезностей U и постройте U и U в критериальном пространстве 0u1u2 экономики обмена.
8.1.5. Рассматриваются две фирмы, одна из которых производит продукт Х, другая – продукт Y. Обе фирмы используют одни и те же ресурсы – труд (L) и капитал (К), запасы которых ограничены и составляют L = 6, К = 96. Известны производственные функции фирм,
1/4
отражающие производство продуктов: X = L13/4 K11/4 и Y = L3/4
2 K2 .
1. Определите, является ли распределение ресурсов L1 = 5, K1 = 55;
L2 = 1, K2 = 11 оптимальным по Парето.
2. Найдите одно из оптимальных по Парето распределений ресурсов между фирмами, для которого доcтигается максимум выпуска
продукта Х при производстве Y = 3.
3. Приведите геометрическую интерпретацию решения:
а) изобразите коробку Эджворта и начальное распределение ресурсов согласно пункту 2;
б) постройте график контрактной линии;
в) проведите изокванты: для продукта Y, проходящую через точку
L2 = 1, K2 = 11, и для продукта Х, проходящую через точку L1 = 5,
K1 = 55;
г) выделите на контрактной линии переговорное множество;
146
д) изобразите на графике предельные нормы технического замещения для обеих фирм в точке начального распределения песурсов;
е) отметьте найденное в пункте 2 эффективное по Парето распределение ресурсов.
4. Выведите уравнение границы производственных возможностей.
8.1.6. Пусть на рынке присутствуют две фирмы, технологии производства которых задаются следующим образом: X = L12/3 K11/3
1/3
и Y = L2/3
2 K 2 . Известно, что K = 32 , L = 4 . Для эффективных
по Парето значений справедливо pL = 16pK.
1. Определите MRTS1 и MRTS2 как норму замены труда капиталом
⎛ dk ⎞
⎜⎝ ⎟⎠ .
dL
2. Вычислите соотношение долей труда и капитала, используемых
первой фирмой, для эффективных по Парето значений.
3. Являются ли эффективными по Парето следующие соотношения ресурсов:
а) K1 = 7, L1 = 1, K2 = 21, L2 = 3;
б) K1 = 27, L1 = 1, K2 = 5, L2 = 3.
4. Определите эффективное по Парето распределение ресурсов,
если выпуск первой фирмы такой же, как при K1 = 27, L1 = 1. Как
изменится распределение ресурсов при переходе от исходной точки
к эффективному по Парето соотношению? Что произойдет с выпуском каждой из фирм?
5. Пусть первоначальное распределение ресурсов было следующим: K1 = 27, L1 = 1, K2 = 5, L2 = 3; задайте переговорное множество.
6. Определите и изобразите графически границу производственных возможностей.
8.1.7. Допустим, в экономике существуют два потребителя и два продукта: X и Y. Функции полезности потребителей имеют следующий
вид: U1 = (x1)1/3(y1)1/3, U2 = (x2)1/3(y2)1/3, где х1 и у1 – количества продуктов Х и Y, потребляемые первым потребителем, х2 и у2 – количества продуктов Х и Y, потребляемые вторым потребителем. Количество продуктов в экономике ограничено: Х = х 1 + х 2 = 80,
Y = у1 + у2 = 30.
Определите отношение цен (Рх /Ру) для оптимальных по Парето
распределений продуктов Х и Y.
8.1.8. Допустим, в экономике производится только два продукта
X и Y. При производстве этих продуктов используются два производственных ресурса: капитал (К) и труд (L), количества которых
ограниченны. Известно, что кривая производственных возможностей
147
(кривая продуктовой трансформации) этой экономики описывается
следующим уравнением в пространстве продуктов: 16Х4 + Y4 = 81.
Определите предельную норму трансформации для производиdX
.
мых продуктов MRPTyx = −
dY
8.1.9. Допустим, в экономике существуют два потребителя и два
продукта: X и Y. Функции полезности потребителей имеют следующий вид:
U1 = (x1)2 (y1)2 , U2 = (x2) (y2) ,
где х1 и у1 – количества продуктов Х и Y, потребляемые первым потребителем, х2 и у2 – количества продуктов Х и Y, потребляемые вторым потребителем. Количество продуктов в экономике ограничено:
х1 + х2 = а1, у1 + у2 = а2.
1. Выведите уравнение границы достижимых полезностей.
2. Постройте график границы достижимых полезностей при
= 1/4, а1 = 8, а2 = 2.
3. Постройте график границы достижимых полезностей при
= 3/4, а1 = 4, а2 = 1.
8.1.10. В экономике присутствуют два потребителя, которые характеризуются следующими функциями полезности: U1 = x12 y1
и U 2 = x2 y2 . Известно, что x1 + x2 = 6, y1 + y2 = 9. Пусть потребление
первого индивида составило x1 = 3, y1 = 6.
1. Определите максимально возможные объемы потребления второго индивида при заданных ограничениях и объемах потребления
первого индивида.
2. Будут ли данные объемы эффективными по Парето?
3. Постройте кривые безразличия, проходящие через исходную
точку.
4. Пусть уровень полезности второго потребителя такой же, как
и в пункте 1. Определите эффективные по Парето объемы потребления первого и второго индивида.
5. Как изменились объемы потребления при переходе к Паретоэффективным значениям? Что можно сказать об уровне благосостояния потребителей?
6. Рассчитайте MRS для Парето-эффективных значений для каждого потребителя.
8.1.11. Допустим, в экономике существуют два потребителя и два
продукта: X и Y. Функции полезности потребителей имеют вид:
U1 = (x1)2y1, U2 = 3x2(y2 2), где х1 и у1 – количества продуктов Х и Y,
потребляемые первым потребителем, х2 и у2 – количества продуктов
148
Х и Y, потребляемые вторым потребителем. Количество продуктов
в экономике ограничено: Х = х1 + х2 = 4, Y = у1 + у2 = 10.
1. Является ли следующее распределение продуктов между двумя
потребителями: х1 = 2, y1 = 3, x2 = 2, y2 = 7 эффективным по Парето?
2. Постройте диаграмму Эджворта и кривые безразличия обоих
потребителей, проходящие через точку заданного распределения
продуктов (см. пункт 1), отразите на графике предельные нормы замещения продуктов обоих потребителей в точке заданного распределения продуктов.
3. Найдите контрактную линию, изобразите ее на диаграмме
Эджворта.
4. Найдите эффективное по Парето распределение продуктов, при
котором достигается максимум полезности второго потребителя при
начальном уровне полезности первого.
5. Оцените изменение полезности второго потребителя при переходе из точки начального распределения в точку эффективного распределения продуктов, найденную в пункте 4.
6. Чему равны предельные нормы замещения в точке, эффективной по Парето из пункта 4?
8.1.12. Рассматриваются две фирмы, одна из которых производит
продукт Х, другая – продукт Y. Обе фирмы используют одни и те же
ресурсы – труд (L) и капитал (К), запасы которых ограничены и составляют L = 4, К = 32. Известны производственные функции фирм,
1/3
1/3
и X = L2/3
отражающие производство продуктов: X = L2/3
1 K1
2 K2 .
1. Определите, является ли распределение ресурсов L1 = 1, K1 = 27;
L2 = 3, K2 = 5 оптимальным по Парето.
2. Найдите одно из оптимальных по Парето распределений ресурсов между фирмами, для которого доcтигается максимум выпуска
продукта Y при производстве Х на уровне, соответствующем L1 = 1
и K1 = 27.
3. Приведите геометрическую интерпретацию решения:
а) изобразите коробку Эджворта и начальное распределение ресурсов согласно пункту 2;
б) постройте график контрактной линии;
в) проведите изокванты: для продукта Y, проходящую через точку
L2 = 3, K2 = 21, и для продукта Х, проходящую через точку L1 = 1,
K1 = 7;
г) выделите на контрактной линии переговорное множество;
д) отметьте найденное в пункте 2 эффективное по Парето распределение ресурсов.
149
4. Выведите уравнение границы производственных возможностей.
8.1.13. Допустим, в экономике существуют два потребителя и два
продукта: X и Y. Функции полезности потребителей имеют вид
U1 = (x1)2y1, U2 = x2y2, где х1 и у1 – количества продуктов Х и Y, потребляемые первым потребителем, х2 и у2 – количества продуктов
Х и Y, потребляемые вторым потребителем. Количество продуктов
в экономике ограничено: Х = х1 + х2 = 4, Y = у1 + у2 = 10.
1. Является ли следующее распределение продуктов между двумя
потребителями: х1 = 2, y1 = 4, x2 = 2, y2 = 6, эффективным по Парето?
2. Постройте диаграмму Эджворта и кривые безразличия обоих
потребителей, проходящие через точку заданного распределения
(см. пункт 1).
3. Найдите контрактную линию и переговорное множество.
4. Найдите эффективное по Парето распределение продуктов, при
котором достигается максимум полезности первого потребителя при
начальном уровне полезности второго.
5. Оцените изменение полезности первого потребителя при переходе из точки начального распределения в точку эффективного распределения продуктов, найденную в пункте 4.
6. Найдите отношение предельных полезностей для обоих потребителей в точке, эффективной по Парето, из пункта 4.
8.1.14. Допустим, в экономике производится только два продукта
X и Y. При производстве этих продуктов используются два производственных ресурса: капитал (К) и труд (L), количества которых
ограниченны. Известно, что кривая производственных возможностей (кривая продуктовой трансформации) этой экономики описывается следующим уравнением в пространстве продуктов:
4Х 2 + Y 2 = 64. Определите предельную норму трансформации для
производимых продуктов
dY
MRPTxy = −
.
dX
8.1.15. Допустим, в экономике существуют два потребителя и два
продукта: X и Y. Функции полезности потребителей имеют вид:
U1 = (x1)1/2(y1)1/2, U2 = (x2)1/2(y2)1/2, где х1 и у1 – количества продуктов
Х и Y, потребляемые первым потребителем, х2 и у2 – количества продуктов Х и Y, потребляемые вторым потребителем. Количество продуктов в экономике ограничено: Х = х1 + х2 = 100, Y = у1 + у2 = 64. Известно исходное распределение продуктов Х и Y между потребителями: (х2, у2) = (64; 49).
Найдите одно из оптимальных по Парето распределений продуктов Х и Y между потребителями, при котором достигается максимум
150
полезности первого потребителя, а уровень полезности второго остается без изменений (соответствует исходному распределению).
8.1.16. Допустим, в экономике существуют два потребителя и два
продукта: X и Y. Функции полезности потребителей имеют вид
U1 = (x1)1/2(y1)1/2, U2 = (x2)1/2(y2)1/2, где х1 и у1 – количества продуктов
Х и Y, потребляемые первым потребителем, х2 и у2 – количества продуктов Х и Y, потребляемые вторым потребителем. Количество продуктов в экономике ограничено: Х = х1 + х2 = 48, Y = у1 + у2 = 27. Известно исходное распределение продуктов Х и Y между потребителями: (х1, у1) = (9; 36).
Найдите одно из оптимальных по Парето распределений продуктов Х и Y между потребителями, при котором достигается максимум
полезности второго потребителя, а уровень полезности первого остается без изменений (соответствует исходному распределению).
8.1.17. На рис. 8.9 изображена диаграмма Эджворта для случая двух
товаров (Х и Y) и двух потребителей, предпочтения которых описываются функцией Кобба – Дугласа.
1. Какие изменения в благосостоянии потребителей вызовет переход из точки А, где предельная норма замещения товаров равняется 2, по отрезку [b, c] в точку В, где предельная норма замещения
товаров для первого потребителя (-dy1/dx1) равняется 2,5?
2. Изобразите точку В и предельные нормы замещения для первого товара в точке А и точке В на диаграмме.
y1
b
x2
0(2)
A
0(1)
x1
c
y2
Рис. 8.9
151
8.2
8.2.1. Приведите пример, в котором справедливый с точки зрения
эгалитаристского подхода потребительский набор эффективен
по Парето.
8.2.2. Пусть эффективная граница U множества U достижимых полезностей для двух индивидов представлена как U1 + U2 = 200.
1. Постройте график эффективной границы U множества U.
2. Если функция общественного благосостояния имеет вид
W(U 1 , U 2 ) = max{U 1 , U 2 }, каковы будут оптимальные значения
U1 и U2?
3. Пусть функция общественного благосостояния имеет вид
W(U1, U2) = max min {U1, U2}. Как называется такая функция общественного благосостояния? Найдите оптимальные значения U1 и U2.
4. Пусть функция общественного благосостояния имеет вид
W(U1, U2) = U1 + U2. Как называется такая функция общественного
благосостояния? Найдите оптимальные значения U1 и U2.
5. Пусть функция общественного благосостояния имеет вид
W(U1, U2) = U 1/2U 1/2. Найдите оптимальные значения U1 и U2.
6. Покажите на графике из пункта 1 точки социальных оптимумов, найденные в пунктах 2–5.
8.2.3. В экономике обмена u1( x1(1), x2(1) ) = ( x1(1) )α1 ( x2(1) )α 2 , u2 ( x1(2), x2(2) ) = ( x1(2) )α1 ( x2(2) )
u2 ( x1(2), x2(2) ) = ( x1(2) )α1 ( x2(2) )α 2 , x1(1) + x1(2) = a1 , x2(1) + x2(2) = a2 . Параметры 1, 2,
a2 и a2 равны:
1
1
а) α1 = , α 2 = , a1 = 32, a2 = 1;
2
3
1
б) α1 = , α 2 = 1, a1 = 32, a2 = 1;
2
в) α1 = 1, α 2 = 2, a1 = 32, a2 = 1.
Выполните следующие задания для каждого набора параметров.
1. Постройте диаграмму (ящик) Эджворта.
2. Выведите уравнение контрактной линии L и постройте ее в диаграмме Эджворта.
⎛ 1⎞
3. Отметьте потребительский набор ( x1(2), x2(2) ) = ⎜16; ⎟ в диа⎝ 3⎠
грамме Эджворта.
а) выпишите уравнение линий безразличия функций полезности
u1 и u2, содержащих потребительские наборы
2⎞
⎛ 1⎞
⎛
( x1(1), x2(1) ) = ⎜16; ⎟ и ( x1(2), x2(2) ) = ⎜16; ⎟ .
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
152
б) постройте в диаграмме Эджворта эти линии безразличия
(по не менее, чем трем точкам, включая обязательно точки
2⎞
⎛ 1⎞ ⎛
⎜⎝16; ⎟⎠ и ⎜⎝16; ⎟⎠ .
3
3
4. Найдите точки пересечения линий безразличия с контрактной
линией и опишите полностью обмен продуктами между потребителями C1 и C2, когда они перемещаются в точки, расположенные
на контрактной линии. Отметьте точки пересечения в диаграмме
Эджворта.
5. Выведите уравнение эффективной границы U множества достижимых полезностей U и построить U и U в критериальном пространстве 0u1u2 модели экономики обмена.
6. Постройте в критериальном пространстве 0u 1 u 2 образы
⎛ 1⎞
точки ⎜16; ⎟ и точек, найденных в пункте 4.
⎝ 3⎠
7. Найдите и отметьте в диаграмме Эджворта потребительский на⌢ ⌢
бор ( x1(1), x2(1) ), который реализует эгалитаристский подход к понятию
⌢ ⌢
справедливости. Постройте образ этого набора ( x1(1), x2(1) ) в критериальном пространстве 0u1u2.
8. Найдите и постройте в критериальном пространстве 0u1u2 кон⌢ ⌢
фигурацию (u1, u2 ) полезностей, которая максимизирует утилитаристскую и роулзианскую функции общественного благосостояния.
⌢ ⌢
Найдите и отметьте в диаграмме Эджворта прообразы ( x1(1), x2(1) )
⌢
⌢
⌢ ⌢
(( x1(2), x2(2) )) конфигураций (u1, u2 ) полезностей, которые реализуют
утилитаристский и роулзианский подходы к справедливости.
8.2.4. В экономике обмена u1( x1(1), x2(1) ) = ( x1(1) )α1 ( x2(1) )α 2 , u2 ( x1(2), x2(2) ) = ( x1(2) )β1 ( x2(2) )
u2 ( x1(2), x2(2) ) = ( x1(2) )β1 ( x2(2) )β2 , x1(1) + x1(2) = a1, x2(1) + x2(2) = a2 . Параметры 1, 2, 1,
2, a2 и a2 равны:
1
1
а) α1 = , α 2 = , β1 = 3, β2 = 2, a1 = a2 = 32;
2
3
1
1
б) α1 = 3, α 2 = 1, β1 = , β2 = , a1 = 16, a2 = 256.
2
6
1. Для каждого набора параметров выполните пункты 1−8 из задачи 8.2.3.
2. Для варианта а) параметров рассмотреть два варианта потребительского набора ( x1(1), x1(2) ): вариант ( x1(1), x1(2) ) = (4; 8) и вариант
( x1(1), x1(2) ) = (16; 8).
3. Для варианта б) параметров рассмотреть два варианта потребительского набора ( x1(2), x2(2) ): ( x1(2), x2(2) ) = (4; 64) и ( x1(2), x2(2) ) = (16; 64) .
153
8.2.5. Пусть функция общественного благосостояния имеет вид
[U ( yi )]1− e
,
W = ∑ i =1
1− e
где U(yi) = yi (i = 1, 2) есть полезность дохода для i-го индивида.
1. Определите наклон линии равного общественного благосостояния.
2. При каком значении е наклон линии равного общественного
благосостояния равен 1? Какому критерию общественного благосостояния соответствует эта ситуация?
3. Какое распределение дохода между индивидами будет соответствовать оптимуму общественного благосостояния, если ресурсное
2
ограничение экономики имеет вид ∑ i =1 yi = 1 ?
2
4. Предположим, что ресурсное ограничение экономики имеет
вид y1 + y2 = 1, > 1. Какое распределение дохода между индивидами будет в этом случае оптимальным? Приведите содержательную
интерпретацию параметров и е.
Раздел 9
ВНЕШНИЕ ЭФФЕКТЫ
И ОБЩЕСТВЕННЫЕ БЛАГА
Основные определения и утверждения
9.1. Отрицательные внешние эффекты и способы
их интернализации
Внешними эффектами (экстерналиями) называются воздействия
(не опосредованные рынком) одного экономического агента на результаты деятельности другого. Внешний эффект называется отрицательным, если деятельность одного экономического агента вызывает дополнительные издержки в деятельности другого.
Отрицательный внешний эффект имеет место, когда предприятия
(металлургический завод, фирма по выращиванию поросят) сбрасывает
отходы в реку, используемую для рыбной ловли или купания. В рассматриваемом примере внешний эффект представляет собой внешние
издержки предприятия, загрязняющего реку. Внешние издержки предприятия, загрязняющего реку, выражаются в дополнительных издержках рыболовецких и туристических фирм, которые они имеют в связи
с тем, что должны принимать дополнительные меры по очистке речной
воды. Эти внешние издержки предприятием, загрязняющим реку,
не учитываются (поэтому они и называются внешними).
Таким образом, имеет место ситуация, когда предприятие, загрязняющее реку, часть своих издержек (эта часть и есть внешние издержки) перекладывает (нерыночным способом) на другие фирмы.
Сокращая таким образом свои издержки, предприятие получает конкурентное преимущество перед предприятиями, которые имеют дополнительные издержки для сокращения или ликвидации своих
отходов. Особо отметим, что это конкурентное преимущество предприятие получает за счет деградации окружающей среды (в частности, загрязнения реки) и за счет перекладывания бремени дополнительных издержек на другие фирмы, а также и на рядовых потребителей продуктов и услуг этих фирм.
Внешние издержки предприятия, загрязняющего окружающую
среду отходами, которые оно выбрасывает в атмосферу через трубу
без очистных агрегатов, выражаются, в частности, в дополнительных
155
издержках граждан, которые вынуждены чаще красить крыши,
больше покупать лекарств, больше тратить средств для временного
переезда в рекреационные зоны и т.д. Таким образом, в случае отрицательных внешних эффектов деятельность одних экономических
агентов не благоприятствует деятельности других.
Рассмотрим простейшую однопродуктовую модель, которая иллюстрирует суть отрицательных внешних эффектов. Пусть фирма F1
функционирует в условиях чистой конкуренции и производит продукт (товар) G1 в количестве y1 единиц. Пусть p1 – рыночная цена
одной единицы продукта G1. Если фирма F1 максимизирует прибыль
⌢
⌢
⌢
при выпуске y1 = y1 то MC ( y1 ) = p1, где MC ( y1 ) – частные предельные издержки фирмы F1, которые не включают дополнительные
предельные издержки MEC(y1), равные отрицательному внешнему
эффекту (рис. 9.1). Сумма частных предельных издержек MC(y1) и дополнительных предельных издержек (внешних предельных издержек)
MEC( y1): MC(y1) + MEC(y1) = MSC(y1) представляет собой предельные
общественные издержки MSC(y1) (они по своей сути являются истинными предельными издержками фирмы F1). На рис. 9.1 представлено
также решение y1 уравнения MSC(y1) = p1.
p1
MSC(y1)
MC(y1) + t1
MC(y1)
B
N
t1
MR(y1)
)
p1
E
E
H
MEC(y1)
t1
y1
y1
y1
)
0
Рис. 9.1
⌢
На рис. 9.1 четко видно: y1 > y1 , это означает, что продукт G1
⌢
фирма F1 производит в большем объеме y1, чем y1, т.е. в объеме y1
фирма F1 производила бы продукт G1, если бы учитывала не только
частные предельные издержки MC(y1), но и внешние предельные
издержки MEC(y1). Объем y1 назовем эффективным с общественной
⌢
точки зрения, объем y1 – эффективным с точки зрения фирмы F1.
156
⌢
Таким образом, больший выпуск y1 фирма F1 обеспечивает за счет
того, что часть MEC(y1) своих истинных издержек MSC(y1) она перекладывает на другие фирмы и на общество в целом.
Проблема внешних издержек может быть решена с помощью так
называемой интернализации внешнего эффекта, которая достигается
за счет объединения (слияния) фирм, производящих, к примеру, продукты G1 (скажем, сталь) и G2 (скажем, рыбу). Здесь предполагается,
что все свои внешние издержки фирма F1 целиком перекладывает
на фирму F2. До объединения фирмы F1 и F2 решали самостоятельно
свои задачи максимизации прибыли и, следовательно, задачи дости⌢
⌢
жения максимального объема y1 и y2 продукции. Объединенная
фирма F3 решает задачу об объемах выпусков обоих продуктов
G1 и G2. После объединения у фирмы F1 уже нет внешних издержек,
а ее общественные издержки играют роль ее частных издержек, поэтому фирма F1 сокращает свой максимальный выпуск. Снижая максимальный выпуск, фирма F1 сокращает свои общественные издержки и, следовательно, объем загрязнений. Однако возможная неэффективность с ростом масштаба производства ставит пределы такому
способу решения проблемы внешних эффектов.
Другой вариант решения проблемы внешних эффектов заключается в установлении специального налога (называемого налогом
Пигу). Ставка t налога Пигу устанавливается в размере t1 = MEC ( y1 )
(см. рис. 9.1).
После введения налога Пигу линия МС(y1) частных предельных
издержек сдвигается параллельно самой себе на величину t1 . Новая
линия MC ( y1 ) + t1 пересечет линию цены МR(y1) в точке E = ( y1, p1 ),
т.е. в точке, где цена p1 равна предельным общественным издержкам
МSС(y1). Теперь издержки фирмы F1, генерирующей отрицательный
внешний эффект, равны сумме частных издержек (площадь четырехугольника 0 NH y1) и налоговых выплат (площадь четырехугольника
NBEH ).
На практике установить ставку t1 налога Пигу довольно сложно,
ибо величину MEC ( y1 ) оценить трудно. Величина MEC ( y1 ) может
существенно различаться у разных фирм. Кроме того, на величину
MEC ( y1 ) оказывает влияние уровень развития регионов.
Третий вариант решения проблемы внешних эффектов дает известная теорема Коуза, суть которой состоит в следующем. Внешние
эффекты можно интернализировать посредством закрепления прав
собственности на порождающих внешние эффекты экономических
агентах и обмена этими правами, если это не связано с большими
трансакционными издержками.
157
Отметим, что права собственности – это установление законом
правил, которые предписывают, что экономические агенты (люди,
фирмы) могут делать со своей собственностью. Например, собственник земельного участка может на нем заниматься строительством,
выращивать цветы, а может продать его целиком или какую-то его
часть.
p1
MSC1(y1) = MC1(y1) + MEC1(y1)
MC1(y1)
H"
)
B" E
H'
B'
0
MR1(y1)
B
y'1 y1
y1
y"1 y1
)
p1
N"
N' E
Рис. 9.2
Если фирма F1 выпускает y1′ единиц своей продукции, то разность
p1 − MC1 ( y1′) = B ′N ′ равна чистой прибыли фирмы F1 от производства
y1′!й единицы продукта G1. Разность MSC1 ( y1′) − MC1 ( y1′) = B ′H ′
представляет собой внешние предельные издержки, связанные
с производством y1′!й единицы продукта G1. В рассматриваемом
случае p1 − MC1 ( y1′) > MSC1 ( y1′) − MC1 ( y1′) (рис. 9.2). Величина
MSC1 ( y1′) − MC1 ( y1′) – это максимально возможная сумма, которую
фирма F2 согласится заплатить фирме F1 для того, чтобы фирма F1
не выпускала эту y1′!ю единицу продукта G1.
Поскольку максимально возможная сумма фирмы F2 меньше
чистой прибыли фирмы F1, фирма F1 не согласится с такой суммой
возмещения. Если фирма F1 выпускает y1′′ единиц своей продукции G1, то разность p1 − MC1 ( y1′′) = B ′′N ′′ равна чистой прибыли
фирмы F1 от производства y1′′!й единицы продукта G1. Разность
MSC1 ( y1′′) − MC1 ( y1′′) = B ′′N ′′ представляет собой внешние предельные
издержки, связанные с производством y1′′!й единицы продукта G1.
В рассматриваемом случае MSC1 ( y1′′) − MC1 ( y1′′) > p1 − MC1 ( y1′′)
(см. рис. 9.2). Теперь фирма F2 не согласится выплачивать фирме F1
такую большую компенсацию.
158
Очевидно, что обе фирмы F1 и F2 могут достигнуть соглашения
при y1 = y1, при котором p1 − MC1 ( y1 ) = MSC1 ( y1 ) − MC1 ( y1 ). Это означает, что фирма F1 ограничит свой выпуск величиной y1 в обмен
на денежную компенсацию MSC1 ( y1 ) − MC1 ( y1 ) = BE , которая равна
p1 − MC1 ( y1 ) чистой прибыли фирмы F1 от производства y1 !й единицы продукта G1.
Анализ ситуации, когда право собственности на чистую воду принадлежит фирме F2, проводится аналогично. В этом случае фирма F1
будет оплачивать фирме F2 согласие на загрязнение воды. Фирма F2
согласится дать такое разрешение на загрязнение, если платежи
фирмы F1 будут выше (точнее, не ниже) предельного для F2 уровня
загрязнения, равного MEC1(y1) = MSC1(y1) – MC1(y1).
Фирма F2 согласится платить за право увеличить выпуск своей
продукции на одну единицу, если этот платеж будет ниже (точнее,
не выше), чем разность MR 1 (y 1 ) – MC 1 (y 1 ). Соглашение будет
достигнуто, когда фирма F2 продает фирме F1 право произвести продукцию в объеме y1 единиц (см. рис. 9.2), который является эффективным с общественной точки зрения. Этот объем получается
независимо от того, кто наделен правом собственности, и без вмешательства органов управления на региональном и национальном
уровнях.
Теорема Коуза привлекательна для либералов, которые считают,
что органы управления на региональном и национальном уровнях
должны как можно меньше вмешиваться в экономические проблемы,
и в частности, в проблемы, порождаемые наличием отрицательных
внешних эффектов. Однако с общественной точки зрения решения,
предлагаемые на основании теоремы Коуза (если, конечно, они состоятся), не всегда обязательно будут рациональными.
Во-первых, решения на основании теоремы Коуза могут быть
конструктивными в ситуации, охватывающей ограниченное число
участников и такой, что источники отрицательных внешних эффектов легко определяются. В этом случае распределение прав собственности на ресурсы не влияет на эффективный исход переговоров, но
влияет на распределение доходов. Поэтому эффективное с общественной точки зрения решения может и не быть справедливым.
Во-вторых, решения на основании теоремы Коуза могут быть
конструктивными, если владельцы ресурсов могут четко идентифицировать источники наносимого им ущерба и легально предотвратить этот ущерб. К сожалению, такая адресная определенность далеко не всегда возможна (попробуйте определить истинных виновников смога и парникового эффекта). Отсюда следует, что не всегда
159
ясно, как легально предотвращать ущерб, наносимый отрицательными внешними эффектами, когда невозможна локализация его
источников. А если возможна, то по какому принципу распределять
меру ответственности за ущерб, наносимый этими источниками отрицательных внешних эффектов.
В-третьих, теорема Коуза содержит важное условие о необходимости невысокой стоимости переговоров, предметом которых
должно быть соглашение об эффективном с общественной точки
зрения решения конкретной проблемы внешних эффектов. Это условие может не выполняться, когда, например, речь идет о проблемах
отрицательных внешних эффектов, затрагивающих интересы миллионов граждан, владельцев личного автотранспорта, основного источника загрязнения атмосферы больших городов, и миллионов
граждан, которые являются «потребителями» грязной атмосферы.
Процесс таких переговоров непременно будет политизированным
и иметь высокую стоимость.
9.2. Положительные внешние эффекты
Внешний эффект называется положительным, если деятельность
одного экономического агента уменьшает издержки в деятельности
другого. В случае положительных внешних эффектов деятельность
одних экономических агентов благоприятствует деятельности других.
Классическим примером, иллюстрирующим наличие положительного эффекта, служит ситуация «фруктовый сад – пасека».
Здесь фирма F1 – это фруктовый (например, яблоневый) сад,
фирма F2 – пасека. Пчелы активно опыляют цветы, тем самым значительно снижают издержки фирмы F1 на опыление. Цветы хорошо
кормят пчел и тем самым значительно снижают издержки фирмы F2.
Рассмотрим пример с ремонтом дома и разбивкой цветника. Символом y обозначим объем капиталовложений (например, в рублях)
владельца дома, которые он выделяет на ремонт дома и разбивку
цветника. Пусть расценки на ремонт дома и разбивку цветника не зависят от объема ремонтных работ, поэтому линия MC горизонтальна.
Линия спроса D есть линия предельного частного выигрыша владельца дома от объема ремонта. Но ремонт также выгоден соседям,
которым, например, будет достаточно любоваться цветником владельца дома, чтобы не тратиться на собственный цветник.
Выгоды соседей отражает линия MEB предельных внешних выигрышей, которая является нисходящей, ибо по мере расширения
160
объема ремонтных работ предельный внешний выигрыш убывает
(отметим, что предельный внешний выигрыш здесь аналогичен предельной полезности потребителя, которая с ростом объема потребляемого продукта убывает).
p
MSB
D
MC
)
p
p
MEB
y
)
0
y
y
Рис. 9.3
Линия MSB предельного общественного выигрыша есть сумма
линий D и MEB, т.е. MSB = D + MEB (рис. 9.3). Владелец дома ре⌢
ально инвестирует сумму y , которая есть проекция точки пересечения линий D и MC. Эффективным с общественной точки зрения
(т.е. с точки зрения учета не только интересов владельца дома, но
и интересов соседей) является сумма y1, которая есть проекция точки
⌢
пересечения линий MSB и MC. При более низкой цене p ( p < p)
владелец дома будет реально инвестировать сумму y1, которая эффективна с общественной точки зрения.
9.3. Общественные блага. Характеристики общественных благ.
Частное и общее равновесие в экономике с общественными
благами
Обычные продукты и услуги представляют собой частные блага.
Они конкурентны и исключаемы, ибо приобретение частного блага
одним индивидуумом означает, что другой индивидуум приобрести
это же благо уже не может.
161
Общественные блага – товары и услуги, потребление которых
не изменяет их объем и доступно всем членам общества (услуги
радиовещания, телевидения, национальной обороны, дороги, городские и национальные парки).
Общественные блага обладают двумя важными характеристиками: они не конкурентны и неисключаемы.
Неконкурентность блага означает, что при любом заданном объеме
его производства предельные издержки его предоставления дополнительному потребителю равны нулю, т.е. дополнительное потребление неконкурентного блага не увеличивает издержки. Если
на шоссе нет пробок, дополнительные издержки проезда по этому
шоссе равны нулю. Дополнительное морское судно не увеличивает
эксплуатационные издержки маяка.
Частные блага конкурентны в потреблении. Если, например, индивидуум приобрел костюм, то это обстоятельство исключает возможность его приобретения другим индивидуумом.
Неисключаемость блага означает, что потребители не могут быть
исключены из сферы его потребления. Примеры неисключаемого
блага – национальная оборона, маяк, общественные радио и телевидение.
Некоторые блага исключаемы, но неконкурентны. Примером такого блага является телевизионный сигнал. Когда сигнал передан
в эфир, появление дополнительного пользователя не требует дополнительных издержек. Это означает, что телевизионный сигнал –
неконкурентное благо. Однако телевизионный сигнал может быть
закодирован и стать недоступным тем потребителям, которые
не знают его кода, т.е. телевизионный сигнал исключаемое благо.
Примером конкурентного, но неисключаемого блага является
обыкновенный воздух, неисключаемость которого очевидна. Однако
потребители чистого воздуха должны его дополнительно оплачивать,
например, приобретая путевку в экологически чистый регион.
К общественным относятся следующие блага: информационные
(непрерывные, например радио и телевидение), локальные (доступные представителям отдельного региона или социальной группы,
например районные библиотеки и ведомственные поликлиники),
ограниченного пользования (т.е. такие, которые доступны для одновременного использования ограниченному числу потребителей, например шоссе в часы пик), дискретные (картины в музеях), бесплатные (услуги травмпунктов), с положительной ценой (общественный
транспорт), с отрицательной ценой (высшее образование).
162
Общественные блага (которые, в отличие от частных, потребляются бесплатно) требуют для своего производства частных благ и услуг, объем которых лимитируется суммарными доходами государства,
в частности, образующимися от поступления различных налогов.
Проанализируем простую модель определения объема предоставления общественного блага с использованием функций спроса
и предложения общественного блага.
Функция спроса индивидуума на общественное благо определяется как зависимость получаемой индивидуумом предельной выгоды
MB от объема потребления общественного блага. Предельная выгода
равна полезности индивидуума (выраженной в денежной единице)
от потребления дополнительной единицы общественного блага. Предельная выгода показывает, сколько готов индивидуум заплатить
за дополнительную единицу общественного блага. Предполагается,
что индивидуум не ведет себя как «заяц» (или «безбилетник»), т.е. как
потребитель, который использует общественное благо за счет других
потребителей.
Линия индивидуального спроса на общественное благо является
нисходящей, ибо отражает убывающую предельную полезность
от потребления дополнительной единицы общественного блага
(рис. 9.4), на котором представлены линии D1 и D2 спроса первого
(C1) и второго (C2) индивидуумов и линия D совокупного спроса на
общественное благо G. Цены p1* и p2* показывают полезности
(в ден. ед.) индивидуумов первого (C1) и второго (C2) от потребления
дополнительной (к y*) единицы общественного блага.
p
D
p = p1 + p2
E
MC
p1
p2
0
D1
y
D2
h
g
y
Рис. 9.4
163
Линия D совокупного спроса на общественное благо строится
путем суммирования по вертикали линий D1 и D2 индивидуального
спроса, ибо каждый индивидуум потребляет весь объем общественного блага (ибо оно неконкурентно). Отметим здесь принципиальное
отличие построения линии совокупного спроса на общественное
благо от построения линии совокупного спроса на частное благо путем горизонтального суммирования линий индивидуального спроса
на это частное благо.
Частное равновесие на рынке общественного блага определяется
в виде равенства суммарной предельной выгоды (величины суммарного спроса) потребителей потребительской цене p* (предельным
издержкам), по которой готов предложить производитель (продавец)
данное количество y* общественного блага. Равновесие называется
частным потому, что речь идет лишь о рынке общественного блага
(благ). Частные блага здесь не фигурируют. На рис. 9.4 частное равновесие на рынке общественного блага показано точкой E.
Рассмотрим условие равновесия в экономике, в которой потребляется два типа благ: частные и общественные. Пусть в экономической системе только два потребительских блага – частное Gx
и общественное Gy. Имеется два потребителя (индивидуума) (C1 и С2)
со своими функциями полезности u1(x1, y) и u2(x2, y), где x1 и x2 –
количества частного блага Gx, потребляемого соответственно индивидуумами C1 и С2 (x = x1 + x2), а y – количества общественного блага,
потребляемого индивидуумами C1 и С2.
Можно вывести, что условие равновесия в этой простой экономике описывается следующим соотношением:
(1)
( 2)
MRS yx
( y * ) + MRS yx
( y * ) = MRTyx ( y * ),
1
2
(9.1)
где MRS(1) – предельная норма замещения частного блага общественным для первого потребителя, MRS(2) – предельная норма замещения частного блага общественным для второго потребителя,
MRT – предельная норма трансформации частного блага в общественное.
Содержательно формула (9.1) интерпретируется так. Предельная
норма трансформации частного блага Gx в общественное благо Gy
равна сумме предельных норм замены общественного блага Gy частным благом Gx для каждого индивидуума.
Формула (9.1) естественным образом обобщается в виде
(1)
( m)
MRS yx
( y * ) + … + MRS yx
( y * ) = MRTy x
1
164
m
(9.2)
на случай двух благ (одного частного Gx и одного общественного Gy)
и m потребителей C1, …, Cm.
Частное благо Gx в количестве x единиц распределяется между
потребителями следующим образом: x = x1 + … + xm, где xi – количество единиц частного блага Gx, которое доступно потребителю Ci,
i = 1, …, m.
Общественное благо Gy в количестве y единиц доступно каждому
потребителю в своем полном объеме y: y1 = … = ym = y.
Каждый потребитель C i имеет свою функцию полезности
(i)
u (xi, y), i = 1, …, m.
Условие равновесия в экономике с m потребителями и двумя видами благ утверждает, что
(1)
( m)
MRS yx
+ … + MRS yx
= MRTyx ,
1
m
т.е. предельная норма трансформации частного блага в общественное
равна сумме предельных норм замены общественного блага частным
благом у каждого индивидуума.
Общим равновесием в модели экономики с частными благами
и общественными благами называется набор {p*, x*, y*, z*}, состоящий из вектора цен p* на частные блага, вектора потребления частных благ x * = x*(1) + … + x*( m), вектора y* общественных благ, вектора
выпуска продукции z * = z*(1) + … + z*( n) , таких, что агрегированный
спрос при ценах p* равен агрегированному предложению, при этом
вектор y* равен спросу государства при ценах p*.
Здесь векторы p*, x*, z* (а также x * = x*(1) + … + x*( m); z * = z*(1) + … + z*( n))
r-мерные (r – размерность пространства частных благ), вектор y* k-мерный (k – размерность пространства общественных благ). Число потребителей C1, …, Cm равно m, каждый потребитель Ci имеет функцию
полезности u(i)(x(i), y), i = 1, …, m, зависимую как от объемов потребляемых частных благ x (i ) = ( x1(i ), …, xr(i ) ), так и от потребляемых общественных благ y = (y1, …, yk).
Общественное благо обладает свойством неисключаемости, ибо
нельзя его предоставлять одним индивидуумам и не предоставлять
другим. Отсюда вытекает, что у потребителей (которых может быть
довольно много) нет стимула участвовать в финансировании производства общественного блага в объеме, который соответствовал бы
их оценкам общественного блага. Таким образом, эти индивидуумы
ведут себя как «зайцы» (пассажиры-безбилетники в общественном
транспорте), ибо они потребляют общественное благо и не собираются за него платить.
165
Если потребителей конкретного общественного блага относительно немного, появление среди них «зайцев» маловероятно в связи
с достаточной простотой их выявления. Однако с ростом числа потребителей общественного блага «поголовье зайцев» будет расти
в связи с возрастающими трудностями их выявления и в связи с естественным соображением о том, что если число потребителей общественного блага велико, то его можно потреблять бесплатно.
Таким образом, рынок не может обеспечить эффективный уровень наличия общественного блага из-за существования среди его
потребителей «зайцев». Поэтому если общественное благо социально
значимо, эффективный уровень производства общественного блага
должен субсидироваться или обеспечиваться государством.
В экономической теории предложен ряд моделей в целях решения
проблемы элиминирования «зайцев» среди потребителей общественного блага. Эти модели следует оценивать с позиции трех критериев:
общественные блага должны быть предоставлены в Парето-эффективном объеме, выявление истинных потребителей должно быть в их
интересах и издержки, связанные с производством общественных
благ, должны покрываться (должны быть равными) совокупными
выплатами всех потребителей.
ЗАДАЧИ
9.1
9.1.1. Предположим, что пасека расположена рядом с яблоневым садом, принадлежащим другому владельцу. И пасека, и яблоневый
сад – фирмы в условиях совершенной конкуренции. Зависимость
общих затрат (ТС1) на производство меда от объема собираемого
меда (Q1) описываются функцией TC1 = Q12 / 100, а зависимость общих
затрат на выращивание яблок от количества яблок – функцией
TC2 = (Q22 / 100) − Q1 . Цена меда (р1) равна 2 ден. ед., а цена яблок
(р2) – 3 ден. ед.
1. Определите равновесный (оптимальный) выпуск меда и яблок,
если каждая фирма действует независимо.
2. Предположим, что пасечник и садовод объединились. Каковы
оптимальные (максимизирующие прибыль объединенной фирмы)
объемы производства меда и яблок?
166
3. Определите общественно эффективный объем производства
меда, если считать, что совокупные общественные затраты (TSC1)
на производство мeда равны TSC1 = ТС1 − Q1.
4. Какую субсидию требуется предоставить производителю меда,
чтобы выйти на общественно эффективный уровень производства,
при условии, что фирмы работают независимо?
9.1.2. Владелец хозяйства 1 разводит кроликов, которые нередко поедают капусту, выращиваемую владельцем соседнего хозяйства 2.
Зависимость общих затрат на разведение кроликов (ТС1) описывается функцией TC1 = 0,1Q12 + 5 Q1 − 0,1Q22 , где Q1 – число кроликов,
Q2 – количество выращенной капусты. Зависимость общих затрат
на выращивание капусты (ТС 2) описывается функцией ТС 2 =
= 0, 2 Q22 + 7 Q2 + 0, 025 Q12 , где Q1 – число кроликов, Q2 – количество
выращенной капусты.
Пусть цена единицы продукции, производимой в том и другом
хозяйстве, одинакова и равна 15 ден. ед. На рынке кроликов и капусты – совершенная конкуренция. Каждое хозяйство максимизирует прибыль.
1. Определите оптимальный выпуск и максимальную прибыль
от производства кроликов и капусты при раздельном ведении хозяйства каждым владельцем.
2. Предположим, что государство решило отрегулировать внешние эффекты через налоги и субсидии. Определите оптимальный
налог и субсидию на единицу продукции.
3. Предположим, что есть возможность использовать наряду с потоварными налогами и субсидиями «неискажающий» налог, который
должен перераспределить доходы хозяйств так, чтобы оставить прибыль хозяйств неизменной (такой же, как при раздельном ведении
хозяйства). Определите общую величину такого налога. Каков чистый выигрыш общества от использования неискажающего налогообложения?
4. Предположим, что огородник и кроликовод организовали совместное хозяйство (объединили свои предприятия). Каковы будут
оптимальный выпуск и прибыль нового хозяйства? На какую величину изменится прибыль по сравнению с раздельным хозяйствованием? Сравните ее с чистым выигрышем общества от использования
неискажающего налогообложения и сделайте соответствующий вывод.
167
9.1.3. Функции затрат двух конкурентных фирм, производящих одно
и то же благо, имеют вид TC1 = 2Q12 + 20Q1 − 2Q1Q2 , TC2 = 3Q22 + 60Q2 ,
где Q1 – объем производства первой фирмы, Q2 – объем производства
второй фирмы.
1. Определите выпуск каждой из фирм при предположении, что
рыночная цена продукции Р = 240.
2. Определите общественно эффективный выпуск каждой
из фирм.
3. Определите потоварную субсидию, корректирующую внешний
эффект.
4. Определите величину неискажающего налога и чистый выигрыш общества («общественный дивиденд»).
9.1.4. Целлюлозно-бумажный комбинат «Волжский» сбрасывает отходы своего производства в Волгу неподалеку от рыболовного хозяйства «Лещик». Функция затрат целлюлозно-бумажного комбината имеет вид TC1 = 10 + 15 X 1 + 0, 25 X 12 . Комбинат продает свою
продукцию по неизменной цене (Р1), равной 40. Затраты рыболовного хозяйства на выращивание и вылов рыбы возрастают при увеличении объема производства целлюлозно-бумажного комбината.
Зависимость затрат рыболовного хозяйства от объема своего выпуска
и объема выпуска комбината описывается следующей функцией:
TC2 = 5 + 5 X 2 + 0,5 X 22 + X 12 . Цена, по которой продается рыба (Р2),
равна 80. Оба предприятия стремятся к максимизации прибыли.
1. Определите объемы выпуска и прибыли каждого предприятия,
если водное пространство реки является бесплатным общественным
благом.
2. Рыболовное хозяйство имеет право взимать с целлюлозно-бумажного комбината фиксированную плату за каждую единицу его
выпуска. Какая плата будет установлена?
3. Целлюлозно-бумажный комбинат имеет право на загрязнение
воды вследствие выпуска своей продукции. 1) Какую фиксированную плату рыболовное хозяйство предложит комбинату за каждую
единицу сокращения ее выпуска? 2) Каковы будут объемы выпуска
и прибыли каждого предприятия?
4. Целлюлозно-бумажный комбинат и рыболовное хозяйство решили объединиться. Определите объем выпуска и прибыль объединенного хозяйства.
9.1.5. Готовность абитуриентов платить за учебу в вузах выражается
функцией P = 50 − 0,5N, где Р – сумма платы, N – число абитуриен168
тов (тыс. человек). Выраженная в деньгах предельная общественная
полезность высшего образования описывается функцией
MU = 70 − 0,5N, где MU – предельная общественная полезность. Зависимость общих затрат вузов на подготовку специалистов от числа
абитуриентов имеет вид ТС = 10N + N2.
1. Определите величину внешнего эффекта подготовки специалиста с высшим образованием.
2. Какое число студентов соответствует максимуму их суммарной
полезности?
3. Какое число студентов соответствует максимуму общественной
полезности?
4. Определите величину платы за обучение одного студента
и сумму дотации на его обучение, соответствующие максимуму общественной полезности высшего образования.
9.1.6. Предположим, что в нефтяной промышленности некоторой
страны имеет место совершенная конкуренция и что все фирмы добывают нефть из единственного месторождения. Мировая цена
равна 50 долл. за баррель, а затраты на эксплуатацию одной скважины равны 50 000 долл. Общая добыча (Q) на этом месторождении
зависит от количества скважин, Q = 5000N − N2.
1. Определите равновесное количество скважин и равновесный
объем добычи. Есть ли расхождение между частными и общественными затратами в нефтяной промышленности?
2. Допустим, правительство национализировало месторождение.
Сколько скважин ему надо задействовать? Каков будет выход нефти
из одной скважины? Какова будет общая добыча?
3. Правительство считает, что альтернативой национализации может быть лицензия на бурение скважин. Какой должна быть плата
за лицензию, если с ее помощью должно быть обеспечено оптимальное количество скважин?
9.1.7. Аэропорт расположен недалеко от земельного участка, который
застраивает жилыми домами девелоперская фирма. Шум от самолетов снижает ценность земли. Пусть X – число полетов в день,
а Y – количество домов, которые строит девелопер. Общая прибыль
аэропорта PR A(X) = 48X − X 2, а девелопера PRD(X, Y) = 60Y − Y 2 − XY.
Рассмотрите следующие ситуации и выполните задания.
1. «Свобода выбора». Предположим, что аэропорт и девелопер
принимают решения независимо. Найдите количество полетов и домов, прибыли фирм.
169
2. «Строгий запрет». Введен запретительный режим (девелопер
имеет право полностью запретить полеты). Какое количество домов
построит девелопер и какую прибыль он получит, если полностью
запретит полеты?
3. «Рай для юристов». Предположим, что принят закон, согласно
которому аэропорт несет ответственность за весь причиненный девелоперу ущерб. Сколько домов построит девелопер и сколько полетов позволит себе аэропорт, если они максимизируют прибыли?
4. «Конгломерат». Предположим, что некая третья фирма купила
аэропорт и бизнес девелопера. Какое количество полетов и домов
она выберет в целях максимизации своей прибыли?
5. «Сделка». Предположим, что аэропорт и девелопер остаются
самостоятельными фирмами. Может ли девелопер увеличить свою
прибыль, полностью покрыв потери аэропорта от сокращения числа
полетов на 1 единицу?
9.1.8. Фирма занимается главным образом производством и продажей продукции вида А. Однако процесс производства таков, что
на каждую выпускаемую единицу продукции А фирма получает одну
единицу продукции В (в жидком виде). Спрос на продукцию В таков,
что большая часть (но не вся) продукции не может быть продана
с прибылью. При первой же возможности фирма просто выливает
нежелательную побочную продукцию в озеро, загрязняя тем самым
окружающую среду. Специалисты по охране окружающей среды настаивают на том, чтобы этот процесс был прекращен; они предлагают установить на сливные трубы счетчики и взимать с компании
по 1000 долл. за каждый слив отходов в озеро.
Аналитический отдел фирмы оценил функции спроса и затрат
фирмы следующим образом: Р А = 8000 − 6ХА; РВ = 600 − ХВ;
ТС = 45000 + 10Х + 6Х 2, где ХА (объем производства продукции А) =
= ХВ (объем производства продукции В) = Х.
1. Каковы будут объемы производства и цены, максимизирующие
прибыль фирмы, если не взимается плата за загрязнение?
2. Каковы будут объемы производства и цены, максимизирующие
прибыль фирмы, при условии взимания платы за загрязнение?
3. Сколько готова заплатить фирма за ликвидацию загрязнения?
170
9.2
9.2.1. Допустим, в районе имеются три группы людей. Их кривые
спроса на услуги освещения дворов в зимнее время в часах (Т) заданы
формулами Р1 = 150 − Т; Р2 = 200 − 2Т; Р3 = 250 – Т. Освещение дворов может производиться с постоянными предельными издержками
200 ден. ед. в час.
Определите:
1) оптимальное число часов освещения, если освещение дворов
является чистым общественным благом;
2) оптимальное число часов освещения, которое обеспечил бы
конкурентный частный рынок.
9.2.2. Опрос показал, что готовность жильцов трех домов платить
за озеленение их двора выражается следующими функциями спроса:
P1 = 80 − Q; P2 = 60 − Q; P3 = 40 − Q, где Pi – максимальная сумма
денег, которую согласны заплатить жильцы i-го дома за очередное
дерево, Q – количество деревьев. Функция общих затрат на озеленение в зависимости от числа деревьев имет вид TC(Q) = 10 + 2Q + 0,5Q2.
Определите:
1. Парето-эффективное число деревьев во дворе дома.
2. Сколько деревьев будет посажено, если фирма-озеленитель
установит цену за каждое дерево на уровне предельных затрат Парето-эффективного числа деревьев?
3. Сколько деревьев будет посажено, если фирма-озеленитель
установит цену за каждое дерево на уровне средних затрат Паретоэффективного числа деревьев?
4. Сколько деревьев будет посажено, если все жители примут
участие в финансировании озеленения двора?
5. Приведите графическую интерпретацию решения пунктов 1−3.
9.2.3. В поселке проживают 1000 человек. Их интересуют только
фейерверки и шампанское. Фейерверки они устраивают только
на Новый год. Запуск одного фейерверка стоит потери одной бутылки шампанского. Все жители имеют абсолютно одинаковые
предпочтения. Функция полезности i-го жителя описывается формулой U(Xi, G) = Xi + (G1/2)/20, где Xi – количество литров шампанского, потребляемого за год одним жителем, а G – количество запускаемых на Новый год фейерверков. Частное использование фейерверков запрещено.
Определите Парето-оптимальное количество фейерверков.
171
9.2.4. Предположим, два студента проживают в одной комнате. Они
расходуют свой доход на частные блага (еда, одежда) и общественные
(холодильник, телевизор), которыми пользуются совместно и совместно их финансируют. Функции полезности студентов описываются формулами:
U(X1, G) = 2X1 + G,
U(X2, G) = X2G,
где X1, X2 – количество денег, расходуемых на частные блага; G – количество денег, расходуемых на общественные блага. Годовой доход
студентов составляет 8000 ден. ед.
Определите Парето-оптимальное распределение этой суммы
между расходами на частные и общественные блага.
9.2.5. В условиях совершенной конкуренции фирма готова поставить любой объем услуги при постоянных предельных издержках,
равных 4 ден. ед.
1. Найдите эффективный объем предоставления услуги, если она
представляет частное благо и спрос на нее со стороны двух потребителей описывается следующим образом: Q1 = 40 − 2P, Q2 = 20 − P.
2. Найдите эффективный объем предоставления услуги, если она
представляет общественное благо при тех же функциях спроса
на него у потребителей.
3. Приведите графическое решение задачи для пунктов 1 и 2.
9.2.6. Автомобильная дорога от пункта А до пункта В является перегружаемым общественным благом. Спрос на поездки из А в В зависит
только от времени в пути, и их зависимость выражается функцией
вида H = 20 − 0,0005X, где X – число поездок в течение дня, H – выигрыш во времени (в часах) от одной поездки. Зависимость общего
числа поездок от времени одной поездки описывается формулой
h = 2 + 0,001X. Поездка не влечет никаких других издержек. Ценность времени – 2 ден. ед за 1 час.
Определите:
1) оптимальное число поездок;
2) величину денежного налога, который надо взимать с водителей
за одну поездку, с тем чтобы обеспечить оптимальное использование
дороги.
9.2.7. В населенном пункте проживает 2000 граждан. Их интересуют
только футбол и пиво. Футбольный матч устраивают один раз в неделю. Ради посещения одного футбольного матча следует пожертвовать 10 бутылками пива. Функция полезности каждого жителя имеет
вид U(xi, G) = xi + G1/2/40, где xi – количество бутылок пива, потреб172
ляемое в неделю одним жителем; G – число посетителей футбольного
матча.
Чему равно Парето-эффективное число посетителей футбольного
матча?
9.2.8. В комнате общежития проживают два студента. Функция полезности одного студента аддитивная U1(x1, G) = 3x1 + 2G, функция
полезности другого студента мультипликативная U2(x2, G) = (x2, G)1/2.
Здесь x1 и x2 – суммы, которые расходуют студенты (соответственно,
первый и второй) на частные блага (еда, одежда), G – сумма, которую
они оба расходуют на общественные блага (холодильник, телевизор).
Месячный доход студентов 6000 ден. ед., расходуемых на частные
и общественные блага.
Найдите Парето-эффективное распределение этой суммы на частные и общественные блага.
9.2.9. В условиях чистой конкуренции предельные издержки фирмы
равны MC = 6. Фирма готова предоставить любой объем услуги.
1. Найдите оптимальный объем услуги, если она является частным
благом и если спрос на нее со стороны двух потребителей имеет следующее представление: y1 = 60 − 20p, y2 = 30 − p. Приведите геометрическую интерпретацию решения.
2. Найдите оптимальный объем предоставляемой услуги, если
фирма предоставляет общественное благо при тех же функциях
спроса на него. Приведите геометрическую интерпретацию решения.
9.2.10. В населенном пункте проживают три группы граждан. Их
линии спроса на телевидение в часах t имеют вид U 1 = a 1 − t;
U2 = a2 − 2t; U3 = a3 − t. Пусть общественное телевидение – чисто общественное благо, для производства которого требуются постоянные
предельны издержки MC.
Рассмотрите конкретный пример: а1 = 200, а2 = 400, а3 = 300,
МС = 300.
1. Определите, чему равно оптимальное число часов общественного вещания.
2. Определите, сколько часов вещания обеспечит конкурентный
рынок.
3. Приведите геометрическую интерпретацию решения пунктов
1 и 2.
Раздел 10. Примеры решения задач и ответы
173
ЛИТЕРАТУРА
Обязательная
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Современный подход. М.: ЮНИТИ, 1997.
Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика:
В 3 т. СПб.: Экон. шк., 2008.
Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические
методы в экономике: Учебник. М.: ДИС, 1999, 2001, 2004.
Количественные методы в экономических исследованиях /
Под ред. М.В. Грачевой, Л.Н. Фадеевой, Ю.Н. Черемных. М.:
ЮНИТИ, 2004. Гл. 5.
Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. М.: Экономика:
Дело, 2000.
Томпсон А., Формби Д. Экономика фирмы. М.: БИНОМ, 1998.
Хайман Д.К. Современная микроэкономика: анализ и применение: В 2 т. М.: Финансы и статистика, 1992.
Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика. Промежуточный
уровень. М.: ИНФРА-М, 2006.
Дополнительная
9.
10.
11.
12.
13.
174
Воркуев Б.Л. Количественные методы исследования в микрои макроэкономике. М.: ТЕИС, 2010.
Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень.
М.: ИНФРА-М, 2008.
Экономико-математический энциклопедический словарь. М.:
Большая Российская энциклопедия: ИНФРА-М, 2003.
Hirshleifer J., Riley J.G. The analytics of uncertainty and information.
CUP, 1999.
Laidler D., Estrin S. Introduction to Microeconomics. Philip Allan,
1989.
СОДЕРЖАНИЕ
Раздел 1. ТЕОРИЯ ПОВЕДЕНИЯ ПОТРЕБИТЕЛЯ НА РЫНКЕ ................................. 3
1.1. Функции спроса по Маршаллу, косвенная функция полезности.
Функции спроса по Хиксу. Функция расходов. Тождество Роя
и лемма Шепарда ........................................................................................... 3
1.2. Анализ спроса: множество (линия) «доход – потребление»,
линия «цена – потребление», линии Энгеля, линии спроса.
Классификация товаров ................................................................................ 4
1.3. Анализ благосостояния потребителя в статике: компенсационное
и эквивалентное изменение дохода по Хиксу и по Слуцкому.
Уравнения Слуцкого в частных производных и в эластичностях.
Другие уравнения агрегации .......................................................................... 6
1.4. Анализ благосостояния потребителя во времени: индексы реального
дохода и индексы цен. Слабая аксиома выявленных предпочтений.
Связь между теорией выявленных предпочтений и индексами цен.........8
Задачи ...................................................................................................................10
Раздел 2. ТЕОРИЯ ФИРМЫ, ФУНКЦИОНИРУЮЩЕЙ В УСЛОВИЯХ
ЧИСТОЙ КОНКУРЕНЦИИ.......................................................................... 27
2.1. Задача максимизации прибыли фирмы в долговременном и краткосрочном промежутке. Локальное рыночное равновесие фирмы.
Функции спроса на ресурсы со стороны фирмы и функция
предложения фирмы .................................................................................... 27
2.2. Задача максимизации выпуска фирмы при лимите на используемые
ею ресурсы в долговременном и краткосрочном промежутках.
Функции условного спроса по Маршаллу (по Вальрасу) на ресурсы
со стороны фирмы и функция условного выпуска фирмы ....................... 29
2.3. Задача минимизации издержек фирмы при фиксированном выпуске
фирмы в долговременном и краткосрочном промежутках. Функции
условного спроса по Хиксу на ресурсы со стороны фирмы и функция
условных издержек фирмы ......................................................................... 31
Задачи ................................................................................................................... 33
Раздел 3. ТЕОРИЯ ЗАТРАТ ............................................................................................ 39
3.1. Основное предположение. Издержки в краткосрочном промежутке ..... 39
3.2. Издержки в долгосрочном промежутке. Минимальный эффективный
масштаб производства, индекс эффекта масштаба SCI. Соотношение
долгосрочных предельных (LМC) и краткосрочных предельных (SMC)
издержек ....................................................................................................... 42
3.3. Затраты при выпуске нескольких видов продукции. Эффект
от разнообразия (свойство субаддитивности затрат). Свойство
взаимодополняемости затрат. Оценка экономии от совмещения
производства ................................................................................................ 45
Задачи ................................................................................................................... 46
Раздел 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ..................................................... 54
4.1. Элементы теории принятия решений в условиях неопределенности
и правило ожидаемой полезности .............................................................. 54
175
4.2. Денежные лотереи и отношение к риску. Меры абсолютного
и относительного отклонения риска Эрроу – Пратта.
Безрисковый эквивалент............................................................................. 55
4.3. Оптимизация потребительского выбора в пространстве
случайных благ (товаров) ............................................................................ 58
Задачи ................................................................................................................... 59
Раздел 5. РЫНОЧНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В СЛУЧАЕ НЕСОВЕРШЕННОЙ
КОНКУРЕНЦИИ........................................................................................... 69
5.1. Монополистическая ценовая дискриминация ........................................... 69
5.2. Модель дуополии Курно ............................................................................... 74
5.3. Модель дуополии Штакельберга ................................................................. 79
Задачи ................................................................................................................... 83
Раздел 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НЕКООПЕРАТИВНЫХ ИГР ...................................... 93
6.1. Примеры игр. Некоторые понятия теории игр ........................................... 93
6.2. Решение одношаговых биматричных игр ................................................... 97
6.2. Последовательные биматричные игры .................................................... 104
Задачи .................................................................................................................. 110
Раздел 7. МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАТИЧЕСКОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО
РАВНОВЕСИЯ ............................................................................................. 120
7.1. Сфера производства модели Эрроу – Дебре. Функция рыночного
предложения и ее свойства ....................................................................... 120
7.2. Сфера потребления модели Эрроу – Дебре. Функция рыночного
спроса и ее свойства .................................................................................. 121
7.3. Определение статического экономического равновесия МЭД
и формулировка теоремы о его существовании ..................................... 123
7.4. Пример модели Эрроу – Дебре и цен равновесия .................................. 124
Задачи ................................................................................................................. 129
Раздел 8. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БЛАГОСОСТОЯНИЯ .............................. 135
8.1. Парето-эффективность и статическое экономическое равновесие
в экономике обмена. Первая и вторая теоремы экономики
благосостояния ........................................................................................... 135
8.2. Функции общественного благосостояния и понятие справедливости... 140
Задачи ................................................................................................................. 145
Раздел 9. ВНЕШНИЕ ЭФФЕКТЫ И ОБЩЕСТВЕННЫЕ БЛАГА ......................... 155
9.1. Отрицательные внешние эффекты и способы их интернализации ...... 155
9.2. Положительные внешние эффекты ......................................................... 160
9.3. Общественные блага. Характеристики общественных благ. Частное
и общее равновесие в экономике с общественными благами ............... 161
Задачи ................................................................................................................. 166
Раздел 10. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ ........................... 173
Литература .....................................................................................................................174
Раздел 10
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И ОТВЕТЫ
1.1.1—1.1.4
1.1.1.
Решите
задачу
оптимизации
потребительского
потребителя имеет вид U ( x1 , x2 ) = ( x1 − 3)
2/3
выбора.
Функция
полезности
⋅ x1/3
2 . Бюджетное ограничение имеет
форму равенства р1х1 + р2х2 = М (M ≥ 3p1).
1. Выведите функции спроса по Маршаллу xˆ1 = D1 ( p1 , p2 , M ), xˆ2 = D2 ( p1 , p2 , M ) и
косвенную функцию полезности v (p1, p2, M).
2. Выведите функции спроса по Хиксу x1 = H1 ( p1 , p2 , U ),
x2 = H 2 ( p1 , p2 , U ) и
функцию расходов m (p1, p2, U).
3. Найдите оптимальный набор потребителя при р1 = 2, р2 = 1, М = 48.
4. Приведите геометрическую интерпретацию решения пункта 3.
5. Покажите, что косвенная функция полезности v (p1, p2, M) и функция расходов
m (p1, p2, U) взаимно обратные функции.
6. Используя лемму Шепарда, выведите функции спроса по Хиксу для обоих
товаров.
7. Используя тождество Роя, выведите функции спроса по Маршаллу для обоих
товаров.
Решение
1.
Функции спроса по Маршаллу определяются как решение задачи оптимизации
потребительского выбора:
U ( x1 , x2 ) = ( x1 − 3)
2/3
⋅ x1/3
2 → max,
p1 x1 + p2 x2 = M ,
где p1, p2 – цены первого и второго товаров соответственно, М – доход потребителя,
х1 и х2 – количества первого и второго товаров.
173-1
Согласно условию оптимальности
Из (10.1) следует, что x2 =
U1
P
= 1 , т.е.
U2
P2
2 x2
P
= 1.
x1 − 3 P2
(10.1)
p1
( x1 − 3).
2 p2
(10.2)
Подставив последнее выражение в бюджетное ограничение, получим функцию
спроса по Маршаллу для первого товара: D1 =
2 M + 3 p1
2M
или D1 =
+ 1 . Для того
3 p1
3 p1
чтобы вывести функцию спроса по Маршаллу для второго товара, заменим в (10.2)
х1 на D1. Итак, D2 =
M − 3 p1
.
3 p2
Косвенная функция полезности v (p1, p2, M) выводится подстановкой в функцию
полезности потребителя U(x1, x2) функций D1 и D2 вместо х1 и х2:
2
1
⎛ 2 ⎞ 3⎛ 1 ⎞ 3
v( p1 , p2 , M ) = ( M − 3 p1 ) ⎜
.
⎝ 3 p ⎟⎠ ⎜⎝ 3 p ⎟⎠
1
2
2.
Вывод функций спроса по Хиксу также опирается на условие оптимальности, из
которого следует (10.2). Но так как функции спроса по Хиксу описывают множество
решений задачи минимизации расходов при достижении заданного уровня полезности:
m = p1x1+ p2x2 → min,
U(x1, x2) = U,
то
х2
из
(10.2)
U ( x1 , x2 ) = ( x1 − 3)
2/3
надо
подставить
в
выражение
функции
полезности
⋅ x1/3
2 .
Тогда получаем
1
2
⎛ 2p ⎞ 3
⎛ p ⎞ 3
x1 = H1 ( p1 , p2 , U ) = U ⎜ 2 ⎟ + 3, x2 = H 2 ( p1 , p2 , U ) = U ⎜ 1 ⎟ .
⎝ p ⎠
⎝ 2p ⎠
1
2
2
1
⎛p⎞ 3
Функция расходов m ( p1 , p2 , U ) = 3U ⎜ 1 ⎟ ( p2 ) 3 + 3 p1 .
⎝ 2⎠
3.
Оптимальный набор потребителя при р1 = 2, р2 = 1, М = 48 обозначим А и рассчитаем
по функциям спроса по Маршаллу х1А и х2А , А = (17; 14).
173-2
4.
Приведем графическую интерпретацию решения: построим бюджетное ограничение и
кривую безразличия полезности U(A) в пространстве товаров (х1, х2).
Уравнение
бюджетной
полезности U ( A) =
линии
14
( x1 − 3)2/3 ⋅ x1/3
2
2x1 + x2 = 48,
= 14 или
уравнение
x2 =
кривой
безразличия
143
. (Вы справитесь с их
x1 − 3
построением самостоятельно.)
5.
2
1
⎛ 2 ⎞ 3⎛ 1 ⎞ 3
Покажем, что косвенная функция полезности v( p1 , p2 , M ) = ( M − 3 p1 ) ⎜
и
⎝ 3 p ⎟⎠ ⎜⎝ 3 p ⎟⎠
1
2
2
1
⎛p⎞ 3
функция расходов m( p1 , p2 , U ) = 3U ⎜ 1 ⎟ ( p2 ) 3 + 3 p1 взаимно обратные, для этого
⎝ 2⎠
выразим М из первой функции через цены и полезность – полученное выражение
совпадает с функцией расходов. Можно также выразить U из функции расходов через
цены и доход и убедиться, что получилась косвенная функция полезности.
6.
Продифференцировав функцию расходов по цене первого товара
⎛p⎞
= U ⎜ 1⎟
⎝ 2⎠
−1
3
∂m( p1 , p2 , U )
=
∂p1
1
⎛ 2p ⎞ 3
( p2 ) 3 + 3 = U ⎜ 2 ⎟ + 3, получили функцию спроса по Хиксу для
⎝ p ⎠
1
1
первого товара.
2
⎛ p ⎞ 3
∂m( p1 , p2 , U )
=U⎜ 1 ⎟ .
Аналогично
∂p2
⎝ 2 p2 ⎠
7.
Согласно
тождеству
Роя
∂v( p1 , p2 , M )
∂v( p1 , p2 , M )
= - xˆi
∂pi
∂M
(i = 1, 2)
или
∂ν( p1 , p2 , M )
xi = −
∂pi
∂ν( p1 , p2 , M )
.
∂M
173-3
Выведем функцию спроса по Маршаллу для первого товара:
1
2
5
1
⎛ 1 ⎞ 3⎛ 2 ⎞ 3
⎛ 1 ⎞ 3⎛ 2 ⎞ 3
∂ν( p1 , p2 , M )
(
3
)
,
= −3 ⎜
−
M
−
p
1 ⎜
∂p1
⎝ 3 p2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 p1 ⎟⎠
⎝ 3 p2 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 p1 ⎟⎠
2
1
∂ν( p1 , p2 , M ) ⎛ 2 ⎞ 3 ⎛ 1 ⎞ 3
=⎜
.
∂M
⎝ 3 p1 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 p2 ⎟⎠
Тогда x1 = D1 = 3 +
( M − 3 p1 )2 2 M + 3 p1
.
=
3 p1
3 p1
1.1.2.
2
⎛ p ⎞
p
p 2 + 4 Mp1
p2
M
1. D1 = ⎜ 2 ⎟ ; D2 =
, если M > 2 ,
− 2 ; ν( p1 , p2 , M ) = 2
4p
4p p
4p
p
⎝ 2p ⎠
1
2
1
1 2
1
1
⎛M⎞ 2
p2
M
; D2 = 0; v( p1 , p2 , M ) = ⎜ ⎟ , если M ≤ 2 .
и D1 =
p1
4 p1
⎝ p1 ⎠
2
⎛ p ⎞
p
p2
p
2. H1 = ⎜ 2 ⎟ ; H 2 = U − 2 ; m( p1 , p2 , U ) = Up2 − 2 , если U > 2 ,
2p
4p
2p
⎝ 2p ⎠
1
1
1
и H1 = U 2 ; H 2 = 0; m( p1 , p2 , U ) = p1U 2 , если U ≤
1
p2
.
2 p1
⎛ 9 45 ⎞
3. x* = ⎜ ;
= (0,5625; 5, 6250).
⎝ 16 8 ⎟⎠
1.1.3.
1
1
7 ⎛ 4 ⎞ 3 ⎛ 3 ⎞ 4
4 M + 6 p1
3( M − 2 p1 )
; D2 =
; v( p1 , p2 , M ) = ( M − 2 p1 ) 12 ⎜
.
1. D1 =
7 p1
7 p2
⎝ 7 p1 ⎟⎠ ⎜⎝ 7 p2 ⎟⎠
2. H1 ( p1 , p2 , U ) = U
12
3
7
4
12 ⎛ 3 p ⎞ 7
⎛ 4 p2 ⎞ 7
1
7
+
2;
H
(
p
,
p
,
U
)
=
U
2 1 2
⎜⎝ 3 p ⎟⎠
⎜⎝ 4 p ⎟⎠ ,
1
2
4
3
⎛ p ⎞ 7⎛ p ⎞ 7
m ( p1 , p2 , U ) = 7U 7 ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ + 2 p1.
⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠
12
3. x* = (6; 2).
173-4
1.1.4.
1
⎡ M ( p1 + p2 ) ⎤ 2
p2 M
p1M
D
=
;
D
=
;
v
(
p
,
p
,
M
)
=
1. 1
⎢
⎥ .
2
1 2
p1 ( p1 + p2 )
p2 ( p1 + p2 )
p
p
⎣
⎦
1 2
U 2 p22
U 2 p12
U 2 p1 p2
; H1 =
; m( p1 , p2 , U ) =
.
2. H1 =
p1 + p2
( p1 + p2 ) 2
( p1 + p2 ) 2
3. x* = (9; 4).
1.1.5.
α
α
⎛α ⎞ 1⎛α ⎞ 2
αM
α M
1. D1 = 1 ; D2 = 2 ; ν( p1 , p2 , M ) = M ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ .
p1
p2
⎝ p1 ⎠ ⎝ p2 ⎠
α
α
α
α
α
α
⎛α ⎞ 2⎛ p ⎞ 2
⎛α ⎞ 1⎛ p ⎞ 1
⎛ p ⎞ 1⎛ p ⎞ 2
2. H1 = U ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ; H 2 = U ⎜ 2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ; m = U ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ .
⎝α ⎠ ⎝ p ⎠
⎝α ⎠ ⎝ p ⎠
⎝α ⎠ ⎝α ⎠
2
1
1
2
1
2
1.1.6.
Обозначим через α наклон бюджетной линии, tg α =
p1
. Обозначим через β наклон
p2
линии безразличия, соответствующей некоторому значению функции полезности,
равному u. Легко показать, что tg β =
a1
.
a2
173-5
1.
⎧M
⎪ p , если tan β > tan α,
⎪⎪ 1
D1 = ⎨0, если tan β < tan α,
⎪ M
⎪λ , если tan β = tan α (0 ≤ λ ≤ 1);
⎪⎩ p2
⎧0, если tan β > tan α,
⎪M
⎪⎪ , если tan β < tan α,
D 2 = ⎨ p2
⎪
M
⎪(1 − λ ) , если tan β = tan α (0 ≤ λ ≤ 1);
p2
⎪⎩
⎧ M
⎪a1 p , если tan β > tan α,
1
⎪
⎪ M
, если tan β < tan α,
V ( p1 , p2 , M ) = ⎨a2
⎪ p2
⎪
M
M
+ a2 (1 − λ ) , если tan β = tan α (0 ≤ λ ≤ 1).
⎪a1λ
p1
p1
⎩
2.
⎧u
⎪ a , если tan β > tan α,
⎪⎪ 1
H1 = ⎨0, если tan β < tan α,
⎪ M
⎪λ , если tan β = tan α (0 ≤ λ ≤ 1);
⎪⎩ a1
⎧0, если tan β > tan α,
⎪u
⎪⎪ , если tan β < tan α,
H 2 = ⎨ a2
⎪
u
⎪(1 − λ ) , если tan β = tan α (0 ≤ λ ≤ 1);
a2
⎪⎩
⎧ u
⎪ p1 a , если tan β > tan α,
1
⎪
⎪ u
m ( p1 , p2 , u ) = ⎨ p2 , если tan β < tan α,
⎪ a2
⎪
u
u
⎪ p1λ + p2 (1 − λ ) , если tan β = tan α (0 ≤ λ ≤ 1).
a1
a2
⎩
173-6
1.1.7.
1. D1 =
5M
3M
M
; D2 =
; V ( p1 , p2 , M ) =
.
5 p1 + 3 p2
5 p1 + 3 p2
5 p1 + 3 p2
2. H1 = 5u; H 2 = 3u; m ( p1 , p2 , u ) = u (5 p1 + 3 p2 ).
3. Оптимальные наборы совпадают: x* = (20; 12).
1.1.12.
3
6 ⎛ p ⎞ 5
3M
D1 =
; H2 = V 5 ⎜ 1 ⎟ .
5 P1
⎝ p2 ⎠
1.1.13.
D1 =
M − 2 p1
M
+ 1, D 2 =
.
2 p1
2 p2
1.2.3.
Решите
задачу
оптимизации
потребительского
потребителя имеет вид U ( x1 , x2 ) = ( x1 − 2)
1/3
выбора.
Функция
полезности
4
⋅ x1/
2 . Бюджетное ограничение имеет
форму равенства р1х1 + р2х2 = М (M ≥ 2p1). Известно, что р1 = 2, р2 = 3, М = 18.
1. Выведите уравнение линии «доход – потребление» и уравнение линии Энгеля для
1-го и 2-го товаров, постройте графики этих линий.
2. Выведите уравнения линий «цена 1-го товара – потребление» и «цена 2-го
товара – потребление», постройте графики этих линий.
3. Выведите уравнения линий спроса по Маршаллу и по Хиксу, постройте их
графики.
4. Определите, является ли 2-й товар чистым заменителем по отношению к 1-му
товару.
5. Определите, является ли 2-й товар общим дополнителем по отношению к 1-му
товару.
6. Определите, является ли 2-й товар нормальным товаром или товаром роскоши.
173-7
Решение
1.
Выразим М из функции D1 (см. ответы к 1.1.3): M =
p1 (7 x1 − 6)
.
4
(10.3)
Подставим (10.3) в D2. После несложных алгебраических преобразований получим
уравнение линии «доход – потребление» x2 =
3 p1
( x1 − 2) при условии, что x1 ≥ 2.
4 p2
Если подставить в последнее уравнение цены, заданные в условии, то получим
конкретную линию в пространстве товаров (x1, x2): x2 =
1
( x1 − 2) при условии, что
2
x1 ≥ 2.
Подставив в D1 конкретные значения цен, заданные в условии, получим уравнение
линии Энгеля для первого товара: x1 =
2
6
M + (x1 ≥ 2, M ≥ 4).
7
7
Подставив в D2 конкретные значения цен, заданные в условии, получим уравнение
линии Энгеля для второго товара: x2 =
1
4
M − (M ≥ 4).
7
7
2.
Выразим p1 из функции D1: p1 =
4M
.
7 x1 − 6
(10.4)
Подставим (10.4) в D2. После несложных алгебраических преобразований получим
уравнение линии «Цена первого товара – потребление»: x2 =
3M ⎛
8 ⎞
1−
.
⎜
7 p2 ⎝
7 x1 − 6 ⎟⎠
(10.5)
При этом нужно учесть, что p1 ≤ 9, так как только в этом случае x2 ≥ 0 и x1 ≥ 2.
Спрос на первый товар не зависит от цены второго товара, и при заданных в условии
ценах и доходе величина спроса на первый товар составляет 6 единиц. Величина спроса
на второй товар зависит от цены первого и второго товаров. При заданных в условии
цене первого товара p1 = 2 и доходе М = 18 линия «цена второго товара – потребление»
описывается уравнением x2 =
x2 → 0).
173-8
6
(при p2 → ∞ величина спроса на второй товар
p2
3.
При заданных в условии ценах и доходе линии спроса по Маршаллу D1 =
3
72
6
+ ,
7 p1 7
4
⎛ 2⎞ 7
⎛ 3⎞ 7
6
. Линии спроса по Хиксу: H1 = 4 ⎜ ⎟ + 2 , H1 = 2 ⎜ ⎟ .
D2 =
p2
⎝ p1 ⎠
⎝ p2 ⎠
4.
∂H 2
> 0 , следовательно, второй товар является чистым заменителем первого товара
∂p1
в потреблении.
5.
∂D2
< 0 , таким образом, второй товар является общим дополнителем первого
∂p1
в потреблении.
6.
∂D2
> 0,
∂M
E2 M =
следовательно,
второй
товар
является
нормальным
товаром;
M
> 1 (E2M – эластичность спроса на второй товар по доходу), таким
M − 2 p1
образом, второй товар является товаром роскоши.
1.2.4.
2
⎛ p ⎞
1) Линия «доход – потребление»: x2 = ⎜ 1 ⎟ x1 .
⎝p ⎠
2
1.2.5.
1. Линия «доход – потребление»: x2 =
α 2 p1
x1 .
α1 p2
2. Линия «цена первого товара – потребление» (так как согласно функциям спроса по
Маршаллу спрос на каждый из товаров не зависит от цены другого, то исследуем их
изменение содержательно):
а) p1 → ∞, тогда x1 → 0, при этом x2 =
б) если x1 = 0, то x2 =
α2M
– const;
p2
M
.
p2
173-9
1.3.1.
Решите
задачу
оптимизации
потребительского
потребителя имеет вид U ( x1 , x2 ) = ( x1 − 3)
2/3
выбора.
Функция
полезности
⋅ x1/3
2 . Бюджетное ограничение имеет
форму равенства р1х1 + р2х2 = М. Известно, что р1 = 2, р2 = 3, М = 132.
Допустим, цена 1-го товара повысилась и стала равной 4.
1. Определите компенсационное и эквивалентное изменения дохода потребителя
по Хиксу.
2. Определите компенсационное изменение дохода по Слуцкому.
Используя уравнения Слуцкого, оцените:
3) изменение компенсированного спроса на 1-й товар при изменении его цены в точке
первоначального оптимума;
4) эффекты дохода и замены по Хиксу для 1-го товара при изменении его цены в точке
первоначального оптимума;
5) эластичность компенсированного спроса на 2-й товар по цене 1-го в точке
первоначального оптимума.
Используя уравнения агрегации, оцените:
6) эластичность
компенсированного
спроса
на 1-й
товар
по его
цене
в точке
первоначального оптимума;
7) эластичность спроса на 1-й товар по доходу в точке первоначального оптимума,
используя уравнение агрегации Энгеля.
Решение
Обозначим оптимальный набор потребителя при начальных ценах и доходе через А.
Тогда А = (45; 14), U(A) = 14(3)2/3. Обозначим новый оптимальный набор после
повышения цены первого товара до 4 через В. В = (23; 4/3), U(В) = 20(2/3)1/3.
Обозначим через C = ( x1c , x2c ) самый дешевый набор полезности U(A) при новых
ценах, а через D = ( x1d , x2d ) самый дешевый набор полезности U(В) при старых ценах.
1.
Для определения компенсационного изменения дохода по Хиксу (∆M КH ) следует
оценить стоимость набора C. Воспользуемся функцией расходов и оценим m(C)
(см. 1.1.3): m(C) = 126(2)2/3 + 12 ≈ 211,08. Тогда
∆M КH = 211.08 − 132 = 79, 08. Для
определения эквивалентного изменения дохода по Хиксу (∆M ЭH ) следует оценить
173-10
стоимость
набора
D:
m(D) = 60(2)1/3 + 6 ≈ 81,6.
По
определению
∆M ЭH = m(D) − 132 = −50, 6.
2.
Для определения компенсационного дохода по Слуцкому определим стоимость
набора А
в
новых
ценах.
Обозначим
ее
через
mS(A);
mS(A) = 222,
∆M КS = m S (A) − 132 = 90 .
3.
∂H1
(A) = −7.
∂p1
4.
− x1
∂D1
∂M
(A) = −15 (эффект дохода),
∂H 1
∂p1
(A) = −7 (эффект замещения).
5.
K
E21
=
2
.
3
6.
K
E11
=−
α2 K
E21 , где α1 – доля расходов на первый товар в доходе потребителя, α2 – доля
α1
K
расходов на второй товар в доходе потребителя; E11
=−
14
.
45
7.
E1M = 44/45.
1.3.2.
1. Компенсационное изменение дохода по Хиксу составляет 0,375, эквивалентное
изменение дохода по Хиксу равняется −0,375.
2. Компенсационное изменение дохода по Слуцкому составляет 0,5625.
1.3.10.
1. ∆M КH ≈ 7,2; ∆M ЭH ≈ −3,6.
2. ∆M КS = 8.
3.
∂H 2
(A) = 1.
∂p1
4. Эффект дохода равен −8, эффект замещения равен −2.
173-11
1.4.3.
1. Индекс реального дохода Ласпейреса, равен 83/96 ≈ 0,87.
2. Индекс цен Пааше равен 132/83 ≈ 1,6.
3. Индекс цен Ласпейреса равен 13/8 = 1,625. Индекс реального дохода Пааше,
связанный с ним через индекс номинального дохода, равен 11/13 = 0,85.
1.4.5.
1. Индекс цен Ласпейреса равен 41/24 ≈ 1,71. Индекс реального дохода Пааше равен
24/41 ≈ 0,59.
2.1—2.3
2.1.1.
Производственная функция конкурентной фирмы имеет вид
f ( x1 , x2 ) = x12/3 ⋅ x11/ 4
(x1 – количество капитала, x2 – количество труда). Цены на выпускаемую фирмой
продукцию и на ресурсы соответственно равны p0, p1, p2.
Найдите:
1) локальное рыночное равновесие фирмы ( x10 , x20 ) ;
2) доход R 0 = p0 f ( x10 , x20 ) ;
3) издержки C 0 = p1 x10 + p2 x20 ;
4) максимальную прибыль PR0 = R0 – C0.
Решение
Для определения локального рыночного равновесия фирмы ( x10 , x20 ) решаем задачу
максимизации прибыли фирмы:
PR = p0 x12/3 x1/4
2 − p1 x1 − p2 x2 → max .
173-12
Согласно необходимому условию экстремума функции двух переменных имеем:
∂PR 2 p0 x1/4
2
=
− p1 = 0;
1/3
∂x1
3 x1
(10.6)
p0 x12/3
∂PR
=
− p2 = 0.
∂x2
4 x23/4
(10.7)
Из (10.6) и (10.7) следует, что отношение цен p1/p2 = 8x2/3x1 и, следовательно,
x2 =
3 p1
x1.
8 p2
(10.8)
Подставив (10.8) в (10.6) или в (10.7), найдем x10 , а затем x20 и рассчитаем требуемые
показатели:
x10 =
(2 p0 )12
(3 p1 )9 (8 p2 )3
p0 y 0 =
;
4( p0 )12
(3 p1 )8 ( p2 )
(2 p0 )12
x20 =
(3 p1 )8 (8 p2 ) 4
; PR 0 =
3
; C =
( p0 )12
(3)9 ( p1 )8 ( p2 )3
11( p0 )12
0
(3)9 ( p1 )8 ( p2 )3
;
.
2.1.7.
1. Технология характеризуется отрицательным (убывающим) эффектом масштаба.
2
2
p
⎛ p⎞
⎛ p⎞
2. L = ⎜ ⎟ ; K 0 = ⎜ ⎟ ; Q 0 =
; Ew ( L0 ) = −2.
⎝ 2w ⎠
⎝ 2r ⎠
2( w + r )
0
rC
wC
⎛ w + r⎞
3. L =
; K0 =
; Q 0 = C1/2 ⎜
⎝ wr ⎟⎠
w(r + w)
r (r + w)
0
2
1/ 2
w2
; Ew ( L ) = −1 −
.
w(r + w)
0
2
2 wr
Q 2 wr
⎛ rQ ⎞
0 ⎛ wQ ⎞
0
4. L = ⎜
; K =⎜
; C =
; Ew ( L0 ) = −Q 2
.
⎟
⎟
⎝ w + r⎠
⎝ w + r⎠
w+r
w + 2 wr + r 2
0
2.1.8.
1. PR = 27, K = 27, L = 81.
2. L = 192, K = 64.
3. K = 27, L = 81, TC = 135.
2.1.9.
1. 16.
2. 0.
173-13
2.1.10.
1. MCmin = MC = 0, ACmin = AC(10) = 192, AVCmin = AVC(3) = 3.
2. q = 12, Pr = 1192; q = 9, Pr = –428; q = 0, Pr = –1400.
2.1.11.
1. P = 10, Q = 500, q = 5, Pr = 25.
2. P = 11, Q = 400, q = 4, Pr = 16.
4. P = 10, Q = 500, q = 5, Pr = 15.
2.2.1.
1. xˆ = (10;16).
2. f ( xˆ ) = 4(10)1/4 ≈ 7,1.
3. x1 =
2560
.
x22
2.2.4.
1. x = (4096; 512).
2. C = 5632.
3. x1 + 3x2 = 5632.
3.1—3.3
3.1.1.
Производственные функции описываются формулами
а) Q = 4L 1/2K 1/2;
в) Q = 0,6lnL + 0,4lnK;
б) Q = L 2/3K 1/3;
г) Q = (L 1/2 + K 1/2)2,
где L – затраты труда, K – затраты капитала, Q – объем производимой продукции.
Обозначим цену труда через w, а цену капитала – через r.
Для каждой из производственных функций выведите:
1) функцию краткосрочных общих издержек при К = 1 и К = 16;
2) функцию краткосрочных средних издержек при К = 1 и К = 16;
3) функцию краткосрочных предельных издержек при К = 1 и К = 16.
173-14
Решение
Выведем функции краткосрочных издержек при K = K , где K = 1 и K = 16 .
а) Q = 4L 1/2K 1/2.
Если K = K , то Q = 4 L1/2 K 1/2 и, следовательно, L =
Q2
.
16 K
Q2
rK
Q
STC (Q) = rK + w
; SAC (Q) =
+
.
16 K
Q 16 K
б) Q = L 2/3K 1/3.
Тогда L =
Q3/2
Q3/2
rK
Q1/2
.
;
STC
(
Q
)
=
rK
+
w
;
SAC
(
Q
)
=
+
w
Q
( K )1/2
( K )1/ 2
( K )1/2
в) Q = 0,6lnL + 0,4lnK.
ln L =
5Q − 2 ln K
; L=e
3
rK w
+ e
SAC (Q) =
Q
Q
5Q − 2 ln K
3
;
STC (Q) = rK + we
5Q − 2 ln K
3
;
5Q − 2ln K
3
.
г) Q = (L 1/2 + K 1/2) 2.
При K = K L = (Q1/2 − K 1/2 ) 2 . Следовательно,
1/2
1/2
⎡
⎡
⎛ K⎞ ⎤
⎛ K⎞ ⎤
K (r + w)
⎢
⎥
⎢
; SAC (Q) =
+ w 1 − 2⎜ ⎟ ⎥.
STC (Q) = K (r + w) + wQ 1 − 2 ⎜ ⎟
⎝ Q⎠ ⎥
⎝ Q⎠ ⎥
Q
⎢⎣
⎢⎣
⎦
⎦
3.1.2.
а) STC (Q) = 10r + wQ (0 ≤ Q ≤ 20) при K = 10.
STC (Q) = 40r + wQ (0 ≤ Q ≤ 80) при K = 40.
Q
4
(0 ≤ Q ≤ 10) при K = 10.
Q
4
(0 ≤ Q ≤ 40) при K = 40.
в) STC (Q) = 10r + w
Q
3
(0 ≤ Q ≤ 20) при K = 10.
STC (Q) = 40r + w
Q
3
(0 ≤ Q ≤ 80) при K = 40.
б) STC (Q) = 10r + w
STC (Q) = 40r + w
173-15
3.1.4.
STC (Q) = 4r + w
Q2
.
4
3.1.9.
1. STC (Q) = 12r + w
Q 4/3
.
122/3
3.1.10.
1. Средние издержки минимальны при q = 15.
2. Предельные издержки минимальны при q = 10.
3. Эластичность издержек по объему производства при q = 12 приблизительно
равно 9,1.
3.2.1.
а) LTC(Q) = 2w1/2r1/2Q; LAC(Q) = LMC(Q) = 2w1/2r1/2.
б) LTC (Q) =
rwQ
rw
; LAC (Q) = LMS (Q) =
.
w+r
w+r
⎛r
⎞
⎛r
⎞
в) LTC (Q) = Q ⎜ + w⎟ ; LAC (Q ) = LMC (Q ) = ⎜ + w⎟ .
⎝2
⎠
⎝2
⎠
3.2.2.
1/3 ⎛ r ⎞
1. LTC (Q) = 3w + 3Q( w)
2/3
⎜⎝ ⎟⎠
2
.
⎛ Q3
⎞
2. STC (Q) = 27 r + ⎜
+ 3⎟ w.
⎝ 729
⎠
6. Производство характеризуется возрастающей отдачей от масштаба. Эластичность
долгосрочных затрат по объему меньше единицы.
7. Индекс масштаба SCI > 0.
173-16
3.2.3.
3. STC = 2Q 2 + 72; LTC = 16Q + 40.
4. LAC(6) = SAC(6) = 36.
5. QS = 0,25P.
6. Q = 8.
3.2.4.
QМЭМП = 2.
3.3.3.
Компания выпускает два вида продукции в количествах q1 и q2 соответственно.
Аналитический отдел фирмы оценил функцию совокупных издержек фирмы как
следующую: ТС = 100 + q1 + q2 – q1q2.
1. Обладает ли функция ТС свойствами субаддитивности и взаимодополняемости
затрат?
2. Одна зарубежная компания предложила купить предприятие, производящее
первый товар. Как повлияет продажа этого предприятия на предельные затраты при
производстве продукции второго вида?
3. В настоящее время компания выпускает 2 ед. первого товара и 10 ед. второго
товара. Как скажется на показателе средних издержек производства второго товара
продажа предприятия, выпускающего первый товар, если объем производства второго
товара останется равным 10 единицам?
4. Рассчитайте индекс эффекта от разнообразия.
Решение
1.
Выполнение свойства субаддитивности затрат означает выполнение (3.13) (стр. 45).
Проверим его выполнение:
TC(q1, q2) = 100 + q1 + q2 – q1q2 < 200 + q1 + q2 = TC(q1) + TC(q2).
Следовательно, имеет место свойство субаддитивности затрат.
173-17
Выполнение свойства взаимодополняемости затрат означает выполнение (3.14) и
(3.15) (стр. 46). Проверим их выполнение:
MC1 = 1 − q2 ,
∂MC1
= −1 < 0;
∂q2
MC2 = 1 − q2 ,
∂MC2
= −1 < 0.
∂q2
Следовательно, функция затрат обладает свойством взаимодополняемости.
2.
До продажи MC2 = 1 – q1, после продажи TC (0, q2) = 100 – q2, MC2 = 1.
Предельные издержки возрастут.
3.
Средние издержки до продажи AC1+ 2 (q2 ) =
TC (2;10) 92
=
= 9, 2.
q1
10
Средние издержки после продажи AC2 (q2 ) =
TC (10) 110
=
= 11.
q1
10
4.
SC =
TC (2; 0) + TC (0;10) − TC (2;10) 212 − 92 30
=
=
> 0.
TC (2;10)
92
23
4.1—4.3
4.1.1.
Составные лотереи являются эквивалентными, так как их приведенные лотереи
совпадают и имеют вид Lпривед = (2/15; 9/15; 4/15).
173-18
4.1.6.
Допустим,
функция
⎛ c ⎞
v (c ) = ⎜
⎝ 1000 ⎟⎠
полезности
индивида
описывается
следующей
формулой
1/ 2
. Ему предлагается выбор из двух альтернатив:
(А) получить доход в 250 ден. ед. достоверно и
(В) принять рисковый вариант действия: В = (810, 360, 160; 0,1, 0,5, 0,4).
Каким должен быть его выбор согласно правилу ожидаемой полезности Неймана –
Моргенштерна?
Решение
Согласно правилу ожидаемой полезности следует сравнить полезность достоверного
дохода в 250 ден. ед. и ожидаемую полезность рискового варианта:
⎛ 250 ⎞
v(250) = ⎜
⎝ 1000 ⎟⎠
1/2
⎛ 810 ⎞
= 0,5; E ( B) = 0,1⎜
⎝ 1000 ⎟⎠
1/ 2
⎛ 360 ⎞
+ 0,5 ⎜
⎝ 1000 ⎟⎠
1/ 2
⎛ 160 ⎞
+ 0, 4 ⎜
⎝ 1000 ⎟⎠
1/ 2
= 0,55.
Индивид выберет рисковый вариант.
4.1.9.
Допустим, что v(c) – функция полезности Бернулли некоторого индивида с начальным
богатством с0. Имеется лотерея L = (G, B; p, 1 – p).
1. Если индивид владеет лотереей, то какова минимальная цена, по которой он готов
ее продать (выписать соотношение для определения цены продажи)?
2. Если индивид не собственник этой лотереи, то какова максимальная цена,
по которой он готов ее купить (выписать соотношение для определения цены
покупки)?
3. Равны ли цена продажи и цена покупки?
4. Пусть G = 10, В = 5, с0 = 10, v(c) = c1/2. Определите цену покупки и продажи
лотереи при этих условиях.
Решение
1.
Цена продажи (pa) находится из соотношения
pu ( w + G ) + (1 − p )u ( w + B) ≤ u ( w + pa ).
(10.9)
173-19
2.
Цена покупки (pb) находится из соотношения
pu ( w − pb + G ) + (1 − p )u (u − pb + B ) ≥ u ( w).
(10.10)
3.
Не равны: pa > pb.
4.
Подставляем в (10.9) и (10.10) исходные данные и получаем pa ≈ 7,4; pb ≈ 7,3.
4.1.10.
Приблизительно 6200 евро.
4.2.4.
1. rA(c = 5) = 0,1; rR(c = 5) = 0,5.
2. ce = 9, R = 1.
3. ce = 25, R = 1;
ce = безрисковый эквивалент,
R = премия за риск.
4.2.5.
Функция полезности индивида описывается формулой v(c) = 120 − 200/C. У индивида
есть две возможности выбора:
1) получить достоверно 4 ден. ед.;
2) принять участие в лотерее, где он может выиграть 10 ден. ед. с вероятностью 1/4
или выиграть 2 ден. ед. с вероятностью 3/4.
Определите:
1) каково отношение индивида к риску (постройте график функции полезности
Бернулли)?
2) что предпочтительней для индивида: играть или получить 4 ден. ед.?
3) чему равен ожидаемый выигрыш лотереи?
4) чему равен безрисковый (достоверный) эквивалент лотереи?
173-20
Решение
1.
Для ответа на вопрос об отношении индивида к риску надо определить свойства
функции полезности индивида. Так как
∂ 2v(c) 400
∂v(c) 200
= 2 < 0 , то можно
= 2 >0 и
∂c
∂c 2
c
c
утверждать, что индивид является не склонным к риску.
2.
Ожидаемая полезность предлагаемой индивиду лотереи U(L) = 40, а v(c = 4) = 70.
Следовательно, предпочтительнее не играть.
3.
Е(с) = 4.
4.
Безрисковый эквивалент находится как решение уравнения 40 = 120 −
200
. Откуда
c
получаем, что ce = 2,5.
4.2.6.
Премия за риск должна быть больше 100 ден. ед.
4.2.7.
а) Не склонный к риску.
в) Склонный к риску.
д) Нейтральный по отношению к риску.
4.2.11.
1. 209 000 евро.
2. 100 000 евро.
3. Стоит, так как ожидаемая полезность варианта со страхованием равняется 368 000
евро, а для варианта без страхования – только 274 000 евро.
4.3.2.
1. Уравнение бюджетного ограничения c2 = 50 – c1, при условии 0 ≤ с1 ≤ 25.
173-21
2. Уравнение линии равных возможностей c2 = 150 – 5c1.
3. Вероятность выигрыша должна быть равной 0,5.
4.3.5.
Q ≈ 820.
4.3.6.
p ≈ 47,5.
4.3.9.
1. Абсолютная мера несклонности к риску равна 0,5/w = 0,005. Относительная мера
несклонности к риску равна 0,5.
2. Ожидаемый доход лотереи E(w) = 90 + 2,5 = 92,5.
Ожидаемая полезность лотереи E(U) = 0,9 ∙ 3 ∙ 10 + 0,1 ∙ 3 ∙ 5 = 3 ∙ (9 + 0,5) = 3 ∙ 9,5 =
= 28,5.
Гарантированный эквивалент находим из равенства 3 w = 3 ⋅ 9,5 . Гарантированный
эквивалент равен 90,25. Следовательно, премия за риск равна 92,5 – 90,25 = 2,25.
4. Целевая функция: 0,9 ⋅ 3 wG + 0,1 ⋅ 3 wB . Бюджетное ограничение: 6wG + wB = 625.
Оптимальное потребление в каждом состоянии мира (приближенно!) wG = 97,
wB = 43.
Индивид потратит 3 тысячи долларов на приобретение страховки и застрахуется на
сумму 21 тыс. долл.
4.3.11.
1 3⎞
⎛
, ⎟.
1. L = ⎜ −0, 6, 0,3;
⎝
4 4⎠
3.
10
20
c1 +
c2 = 4800 при условии 1344 ≤ с1 ≤ 3360; 3360 ≤ с2 ≤ 4800.
21
21
4. C* ≈ (1883; 4124).
5. MRS(C*) = 1/2, MRS(a) = 1/3.
6. 0,4775.
7. Ставка штрафа должна равняться 0,9.
173-22
5.1—5.3
5.1.2.
Действующая на монопольном рынке фирма имеет возможность использовать
совершенную ценовую дискриминацию. Известно, что функция спроса на продукцию
фирмы может быть описана следующим образом: P = 10 − 3Q. Функция предельных
издержек фирмы MC = 0,5Q2 + 2. Постоянные издержки фирмы равны 5/3.
Определите прибыль фирмы.
Решение
При совершенной ценовой дискриминации фирма определяет объем производства Q*
согласно правилу: p(Q*) = MC(Q*) (см. 5.1).
Найдем соответствующий объем выпуска для условий рассматриваемой задачи.
P(Q) = 10 – 3Q = 0,5Q2 + 2 = MC(Q), следовательно Q* = 2.
На рис. 5.1 (стр. 70) видно, что прибыль фирмы (без вычета постоянных издержек)
равняется площади криволинейного треугольника FpdD. Оценим величину этой
площади для условий рассматриваемой задачи:
2
PR(Q = 2) + FC = S ∆ ⋅ Fp D = ∫ ( P(Q) − MC (Q))dQ =
*
d
0
2
= ∫ (8 − 3Q − 0,5Q 2 )dQ =
0
Тогда PR (Q* = 2) =
26
.
3
26 5
− = 7.
3
3
5.1.4.
1. Q m = 2; P m = 1,4; PR(Q m) = 0,27.
5.1.5.
Фирма-монополист действует на двух сегментах рынка, функции спроса на каждом
из которых представлены следующим образом:
p1 = 20 − q1,
p2 = 16 − 2q2.
Известно, что MC = 2Q, где Q = q1 + q2. Постоянные издержки равны 20.
173-23
1. Найдите монопольную цену, объем выпуска и прибыль фирмы при отсутствии
ценовой
дискриминации,
а также
выпишите
функции
совокупного
среднего
в условиях
ценовой
и предельного дохода.
2. Найдите
цены,
объем
выпуска
и прибыль
фирмы
дискриминации, а также функции совокупного среднего и предельного дохода.
3. Приведите графическую иллюстрацию к пунктам 1 и 2.
4. Докажите, что в общем случае (при ограничениях на функции спроса и издержек)
справедливо равенство
p1
(1 + 1/E2 )
=
a , где E1 и E2 – эластичности спроса по цене
p2
(1 + 1/E1 )
p1 и p2 соответствующих сегментов. В каком сегменте цена будет выше в соответствии
с этим правилом?
5. Как изменится прибыль монополиста и величина потребительского излишка, если
ценовая дискриминация будет запрещена (цена будет одинаковой для двух сегментов)?
6. Определите оптимальные по критерию максимальной совокупной прибыли цены для
каждого сегмента рынка, если обратная функция спроса первого сегмента станет
p1 = 27 − 0,5q1, а второго – останется неизменной.
Решение
1.
При отсутствии ценовой дискриминации p1 = p2 = p. Определим функцию совокупного
спроса (с учетом q1 ≥ 0, q2 ≥ 0):
q1 = 20 – p, 0 ≤ p ≤ 20;
q2 = 8 – 0.5p, 0 ≤ p ≤ 16.
3
⎧
⎪28 − p, 0 ≤ p ≤ 16;
q( p) = ⎨
2
⎪⎩ 20 − p, 16 ≤ p ≤ 20.
Тогда
⎧20 − q, 0 ≤ q ≤ 4;
⎪
AR(q ) = p (q ) = ⎨ 56 2
⎪⎩ 3 − 3 q, 4 ≤ q ≤ 28.
⎧20 − 2q, 0 < q < 4;
⎪
MR(q ) = ⎨ 56 4
⎪⎩ 3 − 3 q, 4 < q < 28.
173-24
Максимум прибыли достигается при объеме, когда MR(q) = MC(q) 1. Проверим для
каждого участка предельного дохода наличие точек пересечения и получим
q = 5,6; p ≈ 15; PR ≈ 32,6.
2.
В оптимуме предельные доходы на обоих рынках равны согласно (5.10).
MR(q) строим (эта функция соответствует решению задачи максимизации выручки при
фиксированном объеме) горизонтальным суммированием из условия MR1(q1) = MR2(q2).
p1 = 20 – q1, 0 ≤ q1 ≤ 20;
p2 = 16 – 2q2, 0 ≤ q2 ≤ 8.
MR1(q1) = 20 – 2q1, 0 ≤ q1 ≤ 20;
MR2(q2) = 16 – 4q1, 0 ≤ q2 ≤ 8.
q1= 10 – ½MR1(q1), –20 ≤ MR1(q1) ≤ 20;
q2= 4 – ¼MR2(q2), –16 ≤ MR2(q2) ≤ 16.
Получаем 3 области (отрицательная часть нам понадобится для построения кривой
средних издержек):
• в первой области предельный доход выше 16 – монополист продает только в
первом сегменте;
• во второй – монополист продает в обоих сегментах;
• в третьей – достигнут максимум продаж (8 единиц) во втором сегменте при
нулевой цене, тогда продажи могут расти только в первом.
MR
⎧
⎪10 − 2 , 16 ≤ MR ≤ 20;
⎪
1
1
⎪
q = ⎨10 + 4 − MR − MR, − 16 ≤ MR ≤ 16;
2
4
⎪
MR
⎪
⎪⎩8 + 10 − 2 , − 20 ≤ MR ≤ −16.
Тогда
⎧20 − 2q, 0 ≤ q ≤ 2;
⎪⎪ 56 4
MR (q ) = ⎨ − q, 2 ≤ q ≤ 26;
3
⎪3
⎪⎩36 − 2q, 26 ≤ q ≤ 28.
1
Возможны особые случаи, когда максимум достигается в точке с нулевым выпуском или в точке
разрыва предельного дохода (последнее не для линейных кривых спроса).
173-25
Зная MR(q), строим AR(q):
q
TR(q ) = ∫ MR (t )dt.
0
⎧20 − q, 0 ≤ q ≤ 2;
⎪4
56 2
− q, 2 ≤ q ≤ 26;
TR (q ) ⎪⎪ +
AR (q ) =
= ⎨ 3q
3
3
q
⎪ 224
⎪−
+ 36 − q, 26 ≤ q ≤ 28.
⎩⎪ q
Можно заметить, что функция AR не имеет изломов (непосредственным подсчетом
или из факта, что MR непрерывен).
Максимум прибыли достигается при объеме, когда MR(q) = MC(q). Проверим для
каждого участка предельного дохода наличие точек пересечения и получим
p1 = 15,6; p2 = 13,6; q = 5,6; PR = 33,6.
4.
См. вывод формулы (5.11).
5.
Рассчитаем величину потребительского излишка. В случае отсутствия ценовой
дискриминации
CSND ≈ 5 ∙ 5/2 + 1 ∙ 0,5/2 = 12,75.
В случае ценовой дискриминации
CSD = 4,4 ∙ 4,4/2 + 2,4 ∙ 1,2/2 = 11,12.
Тогда
ΔPR ≈ –1;
ΔCS ≈ 1,63.
6.
По аналогии с пунктом 2 выведем MR(q) и приравняем к MC(q). Получим p1 = 22,5;
q = 9; второй сегмент монополистом не обслуживается.
5.1.6.
1. q1 = 1,5, p1 = 16,5; q2 = 2,25, p2 = 19,5;
⎧24 − 4Q, 0 ≤ Q ≤ 3;
⎧30 − 1,5 p, 0 ≤ p ≤ 18;
⎪
2. Q( p ) = ⎨
MR (Q) = ⎨
4
⎩12 − 0,5 p, 18 ≤ p ≤ 24,
⎪⎩20 − 3 Q, 3 ≤ Q ≤ 15
(если не рассматривать область, где MR отрицательно), Q = 2,25; p = 19,5.
173-26
5.1.7.
⎧ 20 − p, 0 ≤ p ≤ 12,5;
1. q ( p ) = ⎨
⎩45 − 3 p, 12,5 ≤ p ≤ 20.
⎧20 − 2q, 0 ≤ q ≤ 7,5;
⎪
MR(q ) = ⎨
2
⎪⎩15 − 3 q, 7,5 ≤ q ≤ 2,5.
qm = 10; pm = 11,7; PR(qm) = 75.
2. q1 = 5,8, p1 = 14,2; q2 = 4,2, p2 = 10,2.
5.1.9.
1. qi = 2; p1 = 32; p2 = 28; p3 = 24; p4 = 20; PRd = 24; PRnd = –12; CS = 16.
2. MR3(2) = 20.
5.1.10.
Фирма-монополист решила применить ценовую дискриминацию второй степени
с использованием блочной схемы ценообразования. Известно, что без использования
дискриминации равновесная цена на монопольном рынке составляет 120 ден. ед.,
а эластичность спроса равна −1,5. Функция предельных издержек фирмы имеет
следующий вид: MC = Q + 20. Фиксированные издержки равны нулю.
1. Найдите равновесный объем выпуска и прибыль фирмы при отсутствии ценовой
дискриминации, а также определите функцию спроса на продукцию фирмы (если
известно, что функция линейна).
2. Используя функцию спроса из пункта 1, рассчитайте объем и стоимость каждой
партии при использовании ценовой дискриминации, если объем первой партии
составляет 10 единиц. Каково общее число партий?
3. Определите прибыль фирмы и величину потребительского излишка.
4. Приведите графическую интерпретацию пункта 2.
5. Пусть общее число партий равно числу партий из пункта 2 (при этом размер
каждой партии заранее не определен). Определите, каковы в таком случае оптимальный
размер и стоимость каждый партии, а также прибыль фирмы.
173-27
Решение
1.
P(1 + 1/Ed) = MC ⇒ Qm = 20;
Q = a – bP ⇒ из эластичности b = 1/4, а a = 50, т.е. Q = 50 – 0,25P или P = 200 – 4Q.
VC = Q2/2 + 20Q = 600;
PRm =1800, CS = 0,5 ∙ 20 ∙ 80 = 800.
2.
P = MC ⇒ QCK = 36, PCK = 56.
а) q1 = 10 ⇒ P1 = 160; MR1 = 200 – 8q1 = 120.
б) P2 = MR1 = 120; P2 = 200 – 4(q1 + q2) = 160 – 4q2 ⇒
⇒ q2 = 10; MR2 = 160 – q2 = 240 – Q = 80.
в) P3 = MR2 = 80; P3 = 200 – 4(q1 + q2 + q3) = 120 – 4q3 ⇒
⇒ q3 = 10; MR3 = 120 – 8q3 = 280 – Q = 40 < PCK.
г) Четвертая пария будет последней: MR4 = MC(Q) ⇒ 80 – 8q4 = 50 + q4 ⇒
⇒ q4 = 10/3 = 3,33; P4 = 66,67; Q = 33,33; VC = 1222,22.
3.
PR = 3600 + 22,22 – 1222,22 = 2400; CS = 3 ∙ 0,5 ∙ 10 ∙ 40 + 0,5 ∙ 3,33 ∙ 13,33 = 622,22.
5.
qi = (200 – 4qi – 20)/5 ∙ 4 ⇒ qi = 7,5;
Q = 30P1 = 170;
P2 = 140;
P3 = 110;
P4 = 80;
VC = 1050; PR = 3750 – 1050 = 2700.
Ответы:
1. Q m = 20; P = 200 – 4Q; PRm = 1800; CS = 800.
2. q1 = 10; p1 = 160; q2 = 10; p2 = 120; q3 = 10; p3 = 80; q4 = 10/3; p4 = 66,67.
3. PR = 2400; CS = 622,22.
5. n = 4; qi = 7,5 (i = 1, …, 4); p1 = 170; p2 = 140; p3 = 110; p4 = 80; PR = 2700.
5.1.11.
1. Q m = 6; P = 100 – 5Q; PRm = 270; CS = 90.
2. q1 = 2,5; p1 = 87,5; q2 = 2,5; p2 = 75; q3 = 2,5; p3 = 62,5; q4 = 1; p4 = 57,5.
3. PR = 354,375; CS = 49,375.
5. n = 4, qi = 2 (i = 1, …, 4); p1 = 90, p2 = 80, p3 = 70, p4 = 60; PR = 360.
173-28
5.2.8.
1. q1 = 4; q2 = 8.
2. q1 = 76/21 = 3,6; q2 = 64/7 = 9,1.
3. q1 = 0,8; q2 = 8,8.
5.2.14.
1. QsF = 2p – 200.
2. TCL = 0,5q2 + 100q + 100.
3. P = 350; QL = 200; QsF = 500; (г) PRL = 29 900; PRi = 15 575.
5.2.16.
1. q1 = 30, q2 = 30, p = 70.
3. Монопольный выпуск первой фирмы соответствует пересечению линии реакции
первой фирмы с осью q1.
5.2.17.
Выпуск первой фирмы равен 15 единиц, предельные издержки второй фирмы в точке
равновесия равны 10.
5.2.18.
q1 = 60, q2 = 60, p = 80.
173-29
6.1—6.17
6.1.
Допустим: Она – игрок Р1, а Он – игрок Р2.
Матрица выигрышей игрока Р1
Стратегии игрока Р2
Стратегии игрока Р1
Театр
Футбол
Театр
5
2
Футбол
1
3
Матрица выигрышей игрока Р2
Стратегии игрока Р2
Стратегии игрока Р1
Театр
Футбол
Театр
3
2
Футбол
1
5
Двойная матрица выигрышей
Стратегии игрока Р2
Стратегии игрока Р1
Театр
Футбол
Театр
(5; 3)
(2; 2)
Футбол
(1; 1)
(3; 5)
6.7.
2. Двойная матрица выигрышей
Стратегии игрока Р2
Стратегии игрока Р1
173-30
Молчать
Признаться
Молчать
(–1; –1)
(–6; 0)
Признаться
(0; –6)
(–3; –3)
6.9.
Проанализируйте с помощью теории последовательных игр содержательную задачу
«Вступление в рынок», когда в отрасли доминирует фирма-монополист F2 и в эту
отрасль пытается войти другая фирма F1 и потеснить на рынке отрасли фирмумонополиста.
Фирма F1 (игрок Р1) имеет два варианта своего поведения: (В) вступить в отрасль
или (НВ) не вступать.
Фирма F2 (игрок Р2) имеет свои два варианта: сохранить (С) объем выпускаемой
продукции или сократить (СКР) объем выпускаемой продукции.
Развернутая форма игры имеет следующий вид:
(–3; 6)
C
2
CKР
B
(7; 7)
1
C
HB
(0; 14)
2
CKР
(0; 8)
1. Перейдите от игры в развернутой форме к игре в нормальной форме.
2. Найдите равновесие по Нэшу.
3. Найдите эффективные по Парето пары стратегий, используя геометрическое
представление в пространстве выигрышей.
4. Обоснуйте аналитически (обращаясь к определению), что найденные пары
стратегий эффективны (либо неэффективны) по Парето.
173-31
Решение
1.
Стратегией каждого игрока в данной игре является набор действий (ходов),
определяющий его поведение в каждом из узлов, в которых ход принадлежит данному
игроку. Поэтому стратегия первого игрока совпадает с его ходом, а стратегия второго
игрока состоит из двух компонент, определяющих его действия после хода первого
игрока (В) и (НВ). Тогда нормальная форма игры имеет вид:
Стратегии игрока Р2
Стратегии игрока Р1
(С; С)
(С; СКР)
(СКР; С)
(СКР; СКР)
В
(–3; 6)
(–3; 6)
(7; 7)
(7; 7)
НВ
(0; 14)
(0; 8)
(0; 14)
(0; 8)
2.
Для отыскания равновесий по Нэшу отметим в получившейся таблице наилучшие
ответы игроков на каждую из стратегий противника.
Стратегии игрока Р2
(С; С)
(С; СКР)
(СКР; С)
(СКР; СКР)
В
(–3; 6)
(–3; 6)
ˆ
(7; 7)
ˆ
(7; 7)
НВ
(0;14)
(0; 8)
(0;14)
Стратегии игрока Р1
∧
∧
(0; 8)
Таким образом, получили три равновесия по Нэшу в чистых стратегиях: (В; (СКР; С)),
(В, (СКР, СКР)) и (НВ; (С; С)). Отметим, что последние два равновесия связаны с
недостоверными угрозами.
3.
В данной игре возможны 4 исхода. Обозначим их (поскольку выигрыши при всех
исходах различны, будем использовать их как идентификаторы, что удобно для наших
целей): М1 = (–3; 6), М2 = (7; 7), М3 = (0; 14), М4 = (0; 8).
173-32
Построим полученные точки в пространстве выигрышей (рис. 10.1).
f2
14
М3
8
М4
М2
7
М1
6
-3
0
f1
7
Рис. 10.1
Таким образом, можно заметить, что нет точек, лежащих правее и выше М2 и М3.
Следовательно, исходы М2 и М3 эффективны по Парето. Эти исходы возникают при
следующих парах стратегий: (В; (СКР; С)), (В; (СКР; СКР)), (НВ; (С; С)) и (НВ; (СКР; С)).
4.
Проверим, что исходы М2 и М3 эффективны по Парето, используя определение. Так как
М2 = (7; 7) и не существует другого исхода, для которого выигрыш первого игрока
больше или равен 7, этот исход эффективен по Парето. Так как М3 = (0; 14) и
не существует другого исхода, для которого выигрыш второго игрока больше или
равен 14, этот исход эффективен по Парето.
6.1.2.
1. Пара стратегий (Лидер, Лидер).
2. Профили
(Лидер,
Последователь),
(Последователь,
Лидер),
(Последователь,
Последователь).
3. Равновесие по Курно (Последователь, Последователь) – равновесие Нэша в игре, где
фирмы выбирают количество выпускаемой продукции, а не модель взаимодействия.
Равновесие Курно в данном случае является Парето-эффективным, поскольку все
остальные
профили
стратегий
в
данной
игре
предусматривают
суммарное
173-33
производство продукции в большем объем и, соответственно, меньшую суммарную
прибыль.
6.15.
5.
n = 10: (x0, y0) = (0,143; 0,833); x0Ay0 ≈ 233,3; x0By0 ≈ 242,9;
n = 13: (x0, y0) = (0,132; 0,841); x0Ay0 ≈ 236,6; x0By0 ≈ 247,4;
n = 15: (x0, y0) = (0,125; 0,846); x0Ay0 ≈ 238,5; x0By0 ≈ 250.
6.17.
1. Двойная матрица выигрышей биматричной игры:
Стратегии игрока Р2 (страна 2)
Соблюдать
Не соблюдать
Стратегии игрока Р1
Соблюдать
(12; 12)
(5; 11)
(страна 1)
Не соблюдать
(11; 5)
(6; 6)
2. Существуют два равновесия Нэша в чистых стратегиях: (Соблюдать; Соблюдать) и
(Не соблюдать; Не соблюдать).
4. (x0, y0) = (0,5; 0,5).
5. x 0 Ay 0 = x 0 By 0 =
7
.
12
7.1—7.13
7.1.
1. y1 = 1 − 2t ;
2
y2 = 4 − ,
t
где
t=
p2
.
p1
5
5
2
t
+ ,
x2(1) = 2 −
+ 2;
3 12
3t
6t
3t 15
15
3
+ , x2(2) = 2 −
+ 2.
x1(2) = 2t 2 −
2
8
2t
8t
2. x1(1) = t 2 −
173-34
2
3. F1 = 72t + 4t − 65 ;
24
65 − 4t − 72t 2
F2 =
.
24t 2
p2
≈ 0,92 ,
p1
4.
p1* = 0,54,
p2* = 0, 46.
{
}
(1)*
(1)*
(2)*
(2)*
*
*
* *
СЭР: ( p1 , p2 ); ( y1 , y2 ); ⎡⎣( x1 , x2 );( x1 , x2 ) ⎤⎦ =
= {(0,54; 0, 46); (−0,84;1,83); [(0,96; 2, 26); (2,19; 2,58) ]} .
7.2.
1. y1 = 4 − 2t ,
y2 = 1 −
2
,
t
где
t =
9t 2 t
− + 1,
8
2
p2
.
p1
1
1 9
−
+ ;
2
2t 8
t
11t 2
2 1 11
x1(2) =
− 2t + 4, x2(2) = 2 − + .
6
t 12
t
2. x1(1) =
x2(1) =
71t 2 − 12t − 72
,
24
72 + 12t − 71t 2
F2 =
.
24t 2
3. F1 =
4.
p2
≈ 1, 095 ,
p1
p1* = 0, 45,
p2* = 0,55.
{
}
(1)* (1)*
(2)* (2)*
*
*
* *
СЭР: ( p1 , p2 ); ( y1 , y2 ); ⎡⎣( x1 , x2 );( x1 , x2 ) ⎤⎦ =
= {(0,45; 0,55); (1,81; -0,83); [(1,8;1,5); (4,01;1,67) ]} .
173-35
7.3.
1. y1 = 8t ;
2. x
(1)
y2 = -t 2 4, где t =
p1
, PR = 8 p1t − 4 p2t 2 .
p2
⎛ 2t + t 2 + 16
⎛ 2t + t 2 + 16
⎞
2⎞
(2)
=⎜
, 2t + 16 + t ⎟ ; x = ⎜
, 2t + 16 + t 2 ⎟ .
t
t
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 32 − 4t − 6t 2
⎞
3. F ( p ) = ⎜
, -(32 − 4t − 6t 2 )⎟ ≤ 0.
t
⎝
⎠
4. p1 =
2
;
3
p2 =
1
.
3
{
}
⎧⎛ 2 1 ⎞
⎫
5. СЭР: p*, y*, x (1) x (2) = ⎨⎜ ; ⎟ , (16; -16), (12; 24), (12; 24) ⎬ .
⎩⎝ 3 3 ⎠
⎭
7.4.
1. PR =
1 p12
.
4 p2
2. (4/5, 1/5).
3. x1(1) = 6.
4. y1 = 2.
7.8.
4.
p2
9
= .
p1
8
{( p , p ); ( y , y ); ⎡⎣( x , x ); ( x , x )⎤⎦} =
*
1
*
2
*
1
*
2
(1)*
1
(1)*
2
(2)*
1
(2)*
2
= {(0, 44; 0,56); (0,875; -0, 778); [(3, 24; 2,56); (4, 64; 3, 66) ]} .
173-36
7.9.
p2
= t.
p1
ο
1⎞
⎛
1. y ( p ) = ⎜1 − t , 1 − ⎟ .
⎝
t⎠
1
5
7
1 ⎞ ο (2)
8 11
4⎞
⎛7 5
⎛ 22 16 2 8
ο (1)
2. x ( p) = ⎜ + t 2 − t ,
+ 2 − ⎟ , x ( p) = ⎜
+ t − t,
+ 2 − ⎟.
⎝6 3
⎝ 9
3
3 6t
3t ⎠
9
9
9 9t
9t ⎠
⎛ 62t 2 − 4t − 43
62t 2 − 4t − 43 ⎞
3. F ( p ) = ⎜
, −
⎟.
18
18t 2
⎝
⎠
4.
{ p , y , x , x } = {(0,57; 0,43) , (0,13; -0,16) , (2,13; 2,84) , (3; 2)}.
*
* *(1)
*(2)
8.1.1 — 8.2.5
8.1.2.
2. x2(1) =
a2 (1)
x1
a1
или
x2(2) =
a2 (2)
x1 .
a1
α1
α2
1
1
α1 +α 2
β1 +β 2
α1 +α 2 α1 +α 2
3. u1
+ u2
= a1
a2
.
8.1.3.
1. u12 + u22 = 6.
2. u1 + u2 = 6.
3. u11/2 + u1/2
2 = 6.
4. u11/4 + u22 = 6.
8.1.4.
a) y1 = 8x1.
б) u11/3 + u24/3 = 16.
173-37
8.1.5.
Рассматриваются две фирмы, одна из которых производит продукт Х, другая –
продукт Y. Обе фирмы используют одни и те же ресурсы – труд (L) и капитал (К),
запасы которых ограничены и составляют L = 6, К = 96. Известны производственные
1/4
функции фирм, отражающие производство продуктов: X = L13/4 K11/4 и Y = L3/4
2 K2 .
1. Определите, является ли распределение ресурсов L1 = 5, K1 = 55; L2 = 1, K2 = 11
оптимальным по Парето.
2. Найдите одно из оптимальных по Парето распределений ресурсов между
фирмами, для которого доcтигается максимум выпуска продукта Х при производстве
Y = 3.
3. Приведите геометрическую интерпретацию решения:
а) изобразите
коробку
Эджворта
и начальное
распределение
ресурсов
согласно пункту 2;
б) постройте график контрактной линии;
в) проведите изокванты: для продукта Y, проходящую через точку L2 = 1, K2 = 11,
и для продукта Х, проходящую через точку L1 = 5, K1 = 55;
г) выделите на контрактной линии переговорное множество;
д) изобразите на графике предельные нормы технического замещения для обеих
фирм в точке начального распределения песурсов;
е) отметьте найденное в пункте 2 эффективное по Парето распределение ресурсов.
4. Выведите уравнение границы производственных возможностей.
Решение
1.
Распределение ресурсов является оптимальным по Парето тогда, когда выполняется
условие
MRTSX = MRTSY,
MRTSY =
MPLY
3K 2
=
.
MPKY
L2
L1 + L2 = 6,
K1 + K2 = 96,
MRTS X =
MPLX
3K1
=
,
MPK X
L1
Для заданного распределения ресурсов MRTSX = 33, MRTSY = 33, L1 + L2 = 6,
K1 + K2 = 66. Следовательно, распределение не является оптимальным по Парето.
173-38
2.
Для получения ответа на данный вопрос необходимо решить систему уравнений
(в соответствии с условиями оптимальности, приведенными в пункте 1):
3K1 3K 2
;
=
L1
L2
1/4
3 = L3/4
2 K2 ;
L1 + L2 = 6;
K1 + K2 = 96.
После арифметических преобразований получаем L1 = 4,5; K1 = 72; L2 = 1,5; K2 = 24.
4.
Воспользуемся условиями оптимальности из пункта 1:
3K1 3K 2
K
K
K1 (96 − K1 )
, тогда 1 = 2 ;
; K1 = 16 L1;
=
=
L1
L2
L1
L2
L1
(6 − L1 )
X = L13/4 (16 L1 )1/4 = 2 L1.
Аналогично Y = 2L2.
L2 = 6 – L1 = 6 – ½X.
Y = 12 – X – уравнение границы производственных возможностей.
8.1.6.
1. MRTS1 = MRTS2 = 16.
2.
K1 /K
= 1.
L1 /L
3. а) нет; б) нет.
4. K1 = 12; L1 = 1,5; K2 = 20; L2 = 2,5; ΔX = 0; ΔY = 1,44.
5. Переговорное множество: L1 ∈ [1,5; 2, 22] , K1 = 8 L1.
6. Y = 8 – X.
8.1.7.
⎛ Px ⎞ 3
⎜⎝ Py ⎟⎠ = 8 .
173-39
8.1.8.
−
dX
Y3
=
.
dY
2(81 − Y 4 )3/ 4
8.1.10.
1. x2 = 3; y2 = 3.
2. Нет.
3. U 1 = 54; U 2 = 9.
4. x1 = 4; y1 = 4,5; x2 = 2; y2 = 4,5.
5. ΔU 1 = 18.
6. MRS1 = MRS2 = 9/4.
8.1.11.
1. Нет.
3. x2 =
8 x1
.
8 − x1
4. (y1y2) = (1,93; 7,21).
8.1.14.
−
dY
2X
=
..
dX
(16 − X 2 )1/ 2
9.1.1—9.3.11
9.1.1.
1. Q1* = 100, PR1* = 100; Q*2 = 150, PR2* = 325.
2. Q1Э = 150; Q 2Э = 150; PR = 450.
3. Q13 = 150.
4. s = 1.
173-40
9.1.2.
Владелец хозяйства 1 разводит кроликов, которые нередко поедают капусту,
выращиваемую
владельцем соседнего хозяйства 2. Зависимость общих
затрат
на разведение кроликов (ТС1) описывается функцией TC1 = 0,1Q12 + 5 Q1 − 0,1Q22 , где
Q1 – число кроликов, Q2 – количество выращенной капусты. Зависимость общих затрат
на выращивание капусты (ТС2) описывается функцией TC2 = 0,2 Q22 + 7 Q2 − 0,025 Q12 ,
где Q1 – число кроликов, Q2 – количество выращенной капусты.
Пусть цена единицы продукции, производимой в том и другом хозяйстве, одинакова
и равна 15 ден. ед. На рынке кроликов и капусты – совершенная конкуренция. Каждое
хозяйство максимизирует прибыль.
1. Определите оптимальный выпуск и максимальную прибыль от производства
кроликов и капусты при раздельном ведении хозяйства каждым владельцем.
2. Предположим, что государство решило отрегулировать внешние эффекты через
налоги и субсидии. Определите оптимальный налог и субсидию на единицу продукции.
3. Предположим, что есть возможность использовать наряду с потоварными
налогами и субсидиями «неискажающий» налог, который должен перераспределить
доходы хозяйств так, чтобы оставить прибыль хозяйств неизменной (такой же, как при
раздельном ведении хозяйства). Определите общую величину такого налога. Каков
чистый выигрыш общества от использования неискажающего налогообложения?
4. Предположим, что огородник и кроликовод организовали совместное хозяйство
(объединили свои предприятия). Каковы будут оптимальный выпуск и прибыль нового
хозяйства? На какую величину изменится прибыль по сравнению с раздельным
хозяйствованием? Сравните ее с чистым выигрышем общества от использования
неискажающего налогообложения и сделайте соответствующий вывод.
Решение
1.
При
раздельном
ведении
хозяйства
в
условиях
совершенной
конкуренции
производители принимают следующие решения:
P1 = MC1 → 15 = 0,2Q1 + 5 → Q1* = 50, PR1* = 290;
P2 = MC2 → 15 = 0,4Q2 + 5 → Q2* = 20, PR2* = 17,5.
173-41
2.
Для определения величины корректирующего налога и субсидии найдем общественноэффективные объемы производства кроликов и капусты.
2.1. Объединим хозяйства:
PR(Q1 , Q2 ) = 15(Q1 + Q2 ) − 0,1Q12 − 5Q1 − 0,1Q22 − 7Q2 − 0,025Q12 → max;
∂PR (Q1 , Q2 )
= 10 − (−0,25Q1 ) = 0.
∂Q1
(9.1)
∂PR (Q1 , Q2 )
= 8 − 0,2Q2 = 0.
∂Q2
(9.2)
Из (9.1) и (9.2) следует, что общественно-эффективные объемы производства
кроликов и капусты равны: Q1Э = 40, Q2Э = 40 .
2.2. Чтобы найти налог, ограничивающий производство кроликов, увеличиваем
предельные затраты на искомую величину налога t и приравниваем их к цене:
MC1t = MC1 + t → MC1t = 1, 2Q1 + 5 + t = 15 = P1.
Откуда следует, что t = 2.
2.3. Для определения субсидии, стимулирующей увеличение выращивания капусты,
уменьшаем предельные затраты выращивания капусты на величину субсидии s и
приравниваем их к цене:
MC2t = MC2 − s → MC2s = 0, 4Q2 + 7 − s = 15 = P2 .
Откуда получаем, что s = 8.
3.
Для определения величины «неискажающего» налога рассчитаем прибыли, получаемые
производителями при производстве продукции в объеме, равном общественноэффективному:
PR1Э = 400,
PR2Э = −40.
Общественно-эффективный
объем
производства убыточен для второго хозяйства. «Неискажающий» налог должен так
перераспределить прибыль между производителями, чтобы каждый из них имел по
крайней мере прежнюю величину прибыли (как при раздельном ведении хозяйства).
Таким образом, после введения потоварного налога в размере t = 2 и потоварной
субсидии в размере s = 8 можно определить величину «неискажающего» налога для
каждого производителя следующим образом:
T1 = PR1Э − tQ1Э − PR1* = 400 − 80 − 290 = 30;
T2 = PR2Э + sQ 2Э − PR2* = −40 + 320 − 17,5 = 262,5;
T = T1 + T2 = 292,5.
173-42
«Неискажающий» налог «забирает» часть прибыли первого хозяйства, а у второго
хозяйства «забирает» часть субсидии. Прибыли хозяйств остаются прежними:
PR1 = PR1Э − tQ1Э − T1 = 400 − 80 − 30 = 290;
PR2 = PR2Э − sQ 2Э − T2 = −40 + 320 − 262,5 = 17,5.
Чистая общественная выгода определяется как чистые налоговые поступления
∆W = tQ1Э − sQ 2Э + T1 + T2 = 52,5.
Эта сумма может быть использована, например, для улучшения положения одного
из хозяйств или разделена между ними в какой-либо пропорции.
4.
Оптимальные объемы производства определены в пункте 2. Прибыль возрастет на 52,5:
∆PR = 360 – (290 + 17,5) = 52,5. Следовательно, объединение хозяйств – столь же
эффективный способ превращения внешних эффектов во внутренние, что и
использование корректирующих налогов и субсидий в сочетании с «неискажающим»
налогообложением.
9.1.3.
1. Q1* = 70; PR1* = 9800; Q*2 = 30; PR2* = 2700.
2. Q1Э = 84; Q2Э = 58.
3. s = 168.
4. T1 = 4312; T2 = 7392; T = T1 + T2 = 8704; ∆W = 1960.
9.1.4.
1. x1* = 50, PR1* = 615; x2* = 75, PR2* = 307,5.
2. Ph = 20.
3. (1) Ph = 20; (2) x1* = 10, PR1* = 1015; x2* = 75, PR2* = 1907,5.
4. Q1Э = 10, Q Э2 = 75, PR Э = 2922,5.
173-43
9.1.5.
1. Внешний эффект равен 20.
2. N * = 16.
3. N Э =24.
4. P = 58, дотация в расчете на одного студента равняется 20.
9.1.6.
1. N = 4000; q = 1000; Q = qN = 4 000 000.
2. N = 2000; q =1300; Q = qN = 6 000 000.
3. Плата за лицензию должна быть равной 100 000.
9.1.7.
1. X = 24; Y = 18; PRA = 576; PRД = 324.
2. X =0; Y = 30; PRД = 900.
3. X = 9; Y = 30; PRA = 81; PRД = 900.
4. X = 12; Y = 24; PR = 1008.
5. В результате сокращения числа полетов до 23 прибыль аэропорта PRA снижается до
575, а прибыль девелопера PRД возрастает до 342. После полной компенсации потерь
аэропорта в прибыли прибыль девелопера останется выше, чем в случае 1, на 17.
9.3.1.
1. T = 100.
2. T = 50.
9.3.2.
1. Q* = 46.
2. Q* = 44.
3. При цене P = AC = 45 жильцы первого дома оплатят посадку 55 деревьев, второго –
35, третьего – 15.
9.3.3.
G = 625.
173-44
9.3.5.
1. Q = 48.
2. Q = 32.
9.3.10.
1. t* = 150.
2. t* = 50.
173-45