KREYSZIG 공업수학, 개정 10판 문제풀이 해설 편 집 부 불법복사는 지적재산에 대한 중대한 범죄행위입니다 [ ] 저작권법 제136조의 5(권리의 침해죄)에 따라 지적재 산권을 침해한 자는 5년 이하의 징역 또는 5천만원 이 하의 벌금에 처하거나 이를 병과할 수 있습니다. 발간사 이 책은 Erwin Kreyszig 교수가 저술한 Advanced Engineering Mathematics, 개정 10판에 수록된 연습문제와 복습문제의 풀이집으로서, 주어진 문제에 대한 풀이방법과 그 해를 제공하기 위하여 만들어진 책이다. 이 문제풀이집은 가능한 한 풀이 과정을 상세히 기술하였기 때문에, 단순한 하나의 해 답집이라기보다는 혼자서 스스로 원리를 터득해 가면서 수학에 대한 흥미를 느낄 수 있 도록 집필되어 있는데, 그 원칙은 다음과 같다. 1. 풀이 과정은 상세히 기술한다. 2. 모든 과정은 논리적으로 전개한다. 3. 이해를 돕기 위하여 필요한 경우, 그림과 도표를 제시한다. 공업수학을 공부하는 데 있어서 제일 좋은 방법은 가능한 많은 문제를 풀어보되, 다른 사람이 만들어 놓은 풀이집에 의존하지 말고 자신이 직접 풀 수 있도록 노력하는 과정에 서 얻어진다는 것이다. 따라서 이 해설집을 수험 준비의 도구로만 이용하지 말고 자신의 노력을 확인하는 보조 교재로 활용하기 바란다. 이 책의 원서는 6부 23장으로 구성되어 있으나 각 대학의 실정에 맞추어 18장 복소수 해석과 퍼텐셜 이론까지의 문제만 다뤘다. 부디 좋은 길잡이가 되었으면 하는 것이 우리 의 바램이다. 2011년 12월 편집부 iii 차례 Part A 상미분방정식 제 1 장 제 2장 제 3장 제 4장 제 5장 제 6장 1계 상미분방정식 …………………………………………………………………… 1 2계 선형상미분방정식 …………………………………………………………… 23 고계 선형상미분방정식 ………………………………………………………… 49 연립상미분방정식. 위상평면. 정성법 ………………………………………… 57 상미분방정식의 급수해. 특수함수 ……………………………………………… 75 Laplace 변환 ……………………………………………………………………… 95 Part B 선형대수. 벡터미적분 제 7장 선형대수: 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식 …………………………… 117 제 8장 선형대수: 행렬의 고유값 문제 ………………………………………………… 137 제 9장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 ………………………………………………… 151 제 10 장 벡터적분. 적분정리 ……………………………………………………………… 179 Part C Fourier 해석. 편미분방정식 제 11 장 제 12 장 Fourier 해석 ……………………………………………………………………… 203 편미분방정식 ……………………………………………………………………… 231 Part D 복소해석 제 13 장 복소수와 복소함수. 복소미분 ………………………………………………… 259 제 14 장 복소적분 …………………………………………………………………………… 275 제 15 장 멱급수, Taylor 급수……………………………………………………………… 287 제 16 장 Laurent 급수. 유수적분 ………………………………………………………… 299 등각사상 …………………………………………………………………………… 307 복소해석과 퍼텐셜 이론 ………………………………………………………… 313 제 17 장 제 18 장 v CHAPTER 1 1계 상미분방정식 1.1 Basic Concepts. Modeling 1. ′ sin 을 적분하면 2 sin cos 이다. 2. 라 치환하여 ′ 을 적분하면 제1 장 1계 상미분방정식 이다. 3. 이므로 이다. 4. 이므로 이다. 5. cos cos sin 이다. 6. sin cos , cos sin 이므로 11. (a) ′ 이므로 는 주어진 방정식의 해이다. (b) 이므로 특이해는 이다. (c) sin sin , cos cos 이다. 따라서 sin cos 이다. 7. sinh 이다. cosh 8. ″′ 을 적분하면 이고, 다시 적분하면 이다. ′ ″ 따라서 해는 이다. 12. (a) 식 을 정리하면 ′ 이므로 는 주어진 방정식의 해이다. 이다. 9. (a) ′ 이므로 는 주어진 방정식의 해이다. (b) 이므로 이다. (b) 이므로 이다. 따라서 특이해는 이다. (c) 따라서 특이해는 이다. (c) 13. (a) ′ 10. (a) ′ 이므로 는 주어진 방정식의 해이다. 이므로 는 주어진 방정식의 해이다. (b) 이므로 특이해는 (c) 이다. (b) 이므로 이다. 따라서 이고 특이해는 이다. (c) 이므로 도 해이다. 17. 예제 5에서 주어진 방정식의 해는 (여기서 ∙ sec )이다. 처음에 주어진 양의 반을 구하면 이다. 반감기를 구하기 위하여 이 양을 위 식에 대입하면 이다. 즉 ln ∙ sec 이다. 14. (a) ′ sin cos sin cot cot 18. 예제 5에서 (여기서 는 처음 Radium의 이므로 sin 는 주어진 방정식의 해이다. 양)이고 Radium의 반감기가 이므로 (b) 이므로 이다. 이다. 즉, ln 이다. 따라서 이고 특이해는 sin 이다. 따라서 방정식의 일반해는 이다. (c) (a) , 이므로 이다. (b) 이므로 이다. 19. 모델링하면 방정식 ″ 과 초기조건 , ′ 을 얻는다. 위 식을 적분하면 ′ 이고 ′ 이다. 즉, ′ 이다. 이 식을 다시 적분하면 이고 이다. 15. 상수인 해를 찾기 위하여 라 하면 ′ 이다. 이를 주어진 방정식에 대입하면 이다. 따라서 이다. 20. 물리적 정보에 의하여 모델링하면 방정식 ′ 과 초기조건 을 얻는다. 이 방정식의 해는 이 이차방정식을 풀면 또는 이므로 이다. 여기서 이므로 상수인 해는 또는 이다. 16. ′ 를 주어진 방정식에 대입하면, 에서 압력이 반으로 줄었음을 알 수 있다. ′ ′ 이다. 따라서 은 일반해이다. 약 2배인 에서 압력은 로 줄어든다고 ′ 을 주어진 방정식에 대입하면, 예측할 수 있으므로 이다. ′ ′ 1.2 Geometric Meaning of ′ . Direction Fields 1. 2. 1.2 Geometric Meaning of y ′= f (x, y). Direction Fields 3 3. 8. 4. 9. ′ cos 를 적분하면, sin 이다. 4 제1 장 1계 상미분방정식 5. 이다. 10. ′ 의 일반해는 6. ※ 속도는 위치함수를 미분하면 얻어지므로 ′ 이다. 12. ′ 이므로 이다. 7. 13. ′ 이므로 이다. 5 미분방정식은 ′ 이다. sin 이면 (d) ′ sin 이면 17. 15. 미분방정식은 이다. 이므로 이다. . 임계속도에서 이므로 16. (a) ′ , ≤ ≤ ≤ ≤ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.000 1.100 1.120 1.331 1.464 1.611 1.772 1.949 2.144 2.358 2.594 1.000 1.105 1.221 1.350 1.492 1.649 1.822 2.014 2.226 2.460 2.718 0.000 0.005 0.011 0.019 0.028 0.038 0.051 0.065 0.082 0.102 0.125 1.2 Geometric Meaning of y ′= f (x, y). Direction Fields (b) 를 미분하면 ′ 이므로 14. ′ 이다. 6 제1 장 1계 상미분방정식 18. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 1.000 1.010 1.020 1.030 1.041 1.051 1.062 1.072 1.083 1.094 1.105 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.000 0.000 0.001 0.005 0.014 0.029 0.051 0.081 0.119 0.166 0.220 1.000 1.010 1.020 1.030 1.041 1.051 1.062 1.073 1.083 1.094 1.105 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.000 0.000 0.003 0.009 0.020 0.038 0.063 0.096 0.136 0.184 0.238 0.000 0.000 0.002 0.004 0.006 0.009 0.012 0.015 0.017 0.018 0.019 20. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 1.000 1.000 0.998 0.973 0.850 0.554 0.247 0.120 0.065 0.037 0.023 1.000 0.402 0.186 0.095 0.053 0.031 0.019 0.013 0.008 0.006 0.004 0.000 0.598 0.812 0.878 0.797 0.523 0.228 0.108 0.056 0.031 0.019 19. 1.3 Separable ODEs. Modeling 1. 적분상수를 무시하고 를 구한 후 적분상수를 붙이면 해가 안 될 수 있다. 방정식 ′ 을 고려하자. 이 방정식을 정리하면 이므로 적분상수를 무시하고 해를 구하면 주어진 방정식의 해가 아니다. 2. 주어진 식을 정리하면 이다. 즉, 이다. 따라서 일반해는 이다. ln , 이다. 후에 적분상수를 붙이면 음함수의 미분법에 의하여 위 식을 미분하면 이다. ′ 이므로 주어진 미분방정식의 해이다. 여기서 ′ 이므로 ≠이면 은 3. 주어진 방정식을 정리하면 cos 이다. 반각공식을 적용하면 cos 이다. 따라서 일반해는 sin 이다. 음함수의 미분법에 의하여 위 식을 미분하면 cos cos 을 적용하면 ′ cos 이다. 따라서 주어진 미분방정식의 해이다. cos 4. 주어진 식을 정리하면 이다. sin cos , ln lnsin sin 이다. 따라서 일반해는 sin 이다. 음함수의 미분법에 의하여 위 식을 미분하면 ′ cos 이다. 양변에 를 곱하면 이므로 주어진 미분방정식의 해이다. 9. 로 치환하면, ′ ′ 이다. 주어진 방정식을 정리하면 ′ 이다. , 이므로 이다. 즉, 7 다시 역치환하면 일반해는 이다. 1.3 Separable ODEs. Modeling ′ ′ cos 이다. 이 식에 배각공식 ′ sec tan 이므로 위의 일반해를 미분하면 ′ ′ 이다. 따라서 일반해는 주어진 미분방정식의 해이다. 10. 로 치환하면, ′ ′ 이다. ′ cos , ′ sin cos 이므로 주어진 방정식을 정리하면 ′ 이다. 주어진 미분방정식의 해이다. 즉, , ln 이다. 다시 역치환하면 5. , 이므로 일반해는 이다. 일반해는 ln 이다. 음함수의 미분법을 이용하면, ′ 이므로 위의 일반해를 미분하면 ′ ln 주어진 미분방정식의 해이다. 이므로 주어진 미분방정식의 해이다. , 이므로 6. 일반해는 이다. 위의 일반해를 미분하면 ′ 이므로 주어진 미분방정식의 해이다. 7. 로 치환하면, ′ ′ 이다. 주어진 방정식을 정리하면 ′ sin 이다. 즉, csc , cot 이므로 arccot 이다. 다시 역치환하면 일반해는 arccot 이다. 위의 일반해를 미분하면 ′ arccot 11. 이므로 ln ln 이다. 따라서 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 이므로 이고 특수해는 이다. 이므로 arctan 이다. 12. 따라서 일반해는 tan 이다. 초기조건에 의하여 tan 이므로 이고 특수해는 tan 이다. 13. csc sech 이므로 미분방정식의 일반해는 cot tanh 이다. 이다. cot csc 이므로 초기조건에 의하여 cot tanh 이므로 ′ sin 이다. 따라서 위의 일반해는 이고 특수해는 cot tanh 이다. 주어진 미분방정식의 해이다. 8. 로 치환하면, ′ ′ 이므로 주어진 , 방정식을 정리하면 ′ , arctan , tan 이다. 다시 역치화하면 일반해는 tan 이다. 위의 일반해를 미분하면 14. 이므로 ln 이다. 따라서 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 이므로 특수해는 이다. 15. 이므로 이다. 따라서 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 이므로 특수해는 이다. 16. 로 치환하면, ′ ′ 이므로 , arctan 이다. ′ , 8 즉, tan 이다. 제1 장 1계 상미분방정식 따라서 일반해는 tan 이다. 초기조건에 의하여 tan 이므로 이를 다시 적분하면 이다. 여기서 이므로 이다. 따라서 × × m 이다. 이므로 특수해는 tan 이다. 23. 모델링하면 방정식 을 얻는다. 17. 로 치환하면, ′ ′ 이다. 이 방정식을 정리하면 이다. 주어진 방정식을 정리하면 ′ cos 이다. 즉, sec , tan 이므로 arctan 이다. 따라서 일반해는 arctan 이다. 초기조건에 의하여 arctan 이므로 이므로 특수해는 arctan 이다. 18. 초기조건 을 만족하는 해 를 얻기 위하 여 식 (3)을 정적분 형태로 변형하면 이다. 19. 박테리아의 증가율이 현재 박테리아의 양에 비례 하므로 시간 에서의 효모의 양을 라 하면, , 이다. 이 식을 적분하면 ln ln 따라서 일반해는 이다. 24. 모델링하면, 방정식 ′ 과 초기 조건 을 얻는다. 따라서 이 방정식의 해는 1시간은 60분이므로 이다. 이다. 25. 모델링하면 방정식 와 초기조건 , 조건 를 얻는다. ′ 이다. 따라서 이다. 이 방정식을 정리하면 이다. 조건에서 이므로 ln , , 이 이 식을 적분하면 ln ln 이다. ln 이고 다. 따라서 일반해는 이다. ln 이므로 2주 후는 4배, 4주 초기조건에 의하여 이므로 후는 16배이다. 이고, 조건 이므로 20. (a) 생성 객체수를 , 소멸 객체수를 , 현존 객체수를 라 하자. 조건에 의하여 ln 이다. (여기서, 는 상수)이다. 따라서 해는 이다. 모델링하면, 방정식 이면 ≒sec이다. ′ 을 얻을 수 있다. 따라서 일반해는 이다. (b) lim → ∞ ∞ 21. 예제 4에 의하여 이다. ≒ 이므로 이다. × msec 이다. 22. 가속도는 시간 초 동안에 입자가 이동거리를 라 하면 속도는 ′ , 가속도는 ′ ″ 이다. 주어진 문제를 모델링하면 방정식은 ″ 이다. 초기속도 와 초기조건 을 만족한다. 방정식 ″ 을 풀면 ′ 이다. 여기서 이므로 ′ 이다. 26. Gompertz 모델인 방정식 ′ ln 을 정리하면 이다. 이 식을 적분하면, ln lnln , ln , 따라서 일반해는 이다. 이다. 27. 습기의 양을 라 하고 모델링하면 방정식 ′ 을 얻는다. 이 방정식의 일반해는 이다. 습기의 반을 잃는데 10분이 걸리므로 , ln 이다. 따라서 해는 이다. ln 을 풀면 ≒min 이다. 28. 10분 후 습기의 양은 처음 습기의 양의 가 된다. 다시 10분 후, 즉 20분 후 습기의 양은 , 30분 후 습기의 양은 , 40분 후 습기의 양은 , 50분 후 습기의 양은 , 60분 후 습기의 양은 이고 70분 후 습기의 양은 이다. 문제에서 ≥ 이므로 ≥ ≒ 이고 약 8회이다. 34. (a) 중심이 원점이고 반지름이 인 원의 방정식은 이다. 문제 27번에서 의 습기를 이다. 음함수의 미분법을 이용하여 이 잃었으므로 처음 습기의 가 되는 시간을 구하면 식을 미분하면 ′ 이다. 60분과 70분 사이가 된다. 따라서 ′ 이다. 수적으로 변하므로 주차 시부터 체포된 직후의 30 분간 온도 차이를 , 체포 후 다음 30분간의 온도 차이를 라 하면, ℉ ℉ ℉이 다. 따라서 주차 직후의 냉각수 온도를 라 하면 ℉ ℉ ℉ ℉이다. 이때 냉각 수를 순수한 물이라 가정하면 물의 기화온도가 ℉이므로 범인의 진술은 성립되지 않는다. 30. 로켓의 높이를 라 하면 속도는 이고 가속도는 이다. 주어진 조건에 의하여 이므로 속도는 이다. (b) 음함수의 미분법을 이용하여 을 미분하면 ′ 이다. 따라서 ′ 이다. (c) 기울기가 고 원점을 지나는 직선의 방정식은 이다. 따라서 ′ 이다. 35. (a) 의 Maclaurin 급수는 ⋯ 이므로 ⋯ 이다. 따라서 일반해는 ⋯이다. 이다. 36. Torricelli의 법칙에 의해 ′ 초기속도 이므로 이다. 여기서 는 배수 단면적, 는 탱크 수면의 단면 이다. 이를 적분하면 이동거리 이고 적이다. 따라서 , 초기조건 이므로 이다. , ′ , 따라서 × × × ≒ m 이다. 이다. 31. 원점을 지나는 직선 을 고려하면, 이다. 따라서 ′ 상수이다. 32. 중력가속도 의 경사면을 따르는 방향성분은 이므로 일 때 이라 하면 sin이고, 법선방향성분은 cos이며, 마찰계수가 이므로 가속도는 sin cos 이다. 초기속도가 0이므로 방정식을 적분하면 이다. 따라서 이동거리는 이다. 전체 움직인 거리가 이므로 (a) (b) ≒sec≒min 이다. 즉 속도는 × msec 이다. 33. 그림 13과 비례상수 에 의해 ∆ ∆ 를 이다. ≒sec≒min 얻는다. ∆→ 으로 하면, , 1.4 Exact ODEs. Integrating Factors 1. 이므로 완전미분방정식이다. 에서 ′ 이므로 이다. 따라서 일반해는 이다. 2. 이므로 완전미분방정식이다. ′ 에서 이므로 이다. 따라서 일반해는 1.4 Exact ODEs. Integrating Factors 29. Newton의 냉각법칙에 의하여 냉각수의 온도는 대 9 , 이다. cos sin sin 이므로 3. sin cos sin sin cos sin 이므로 주어진 방정식은 완전미분방정식이다. 완전미분방정식이다. 10 sin cos cos cos 에서 제1 장 1계 상미분방정식 cos sin ′ cos sin 이므로 이다. 따라서 일반해는 cos cos 이다. 4. 주어진 방정식을 정리하면 이다. 이므로 완전미분이다. 에서 ′ 이므로 이다. 따라서 일반해는 이다. 방정식이 아니다. 적분인자를 구하면 따라서 일반해는 cos 이다. 9. 방정식을 정리하면 cos sin 이다. cos sin sin 이므로 주어진 방정식은 완전미분방정식이다. ln 에서 ′ 이므로 이다. 따라서 일반해는 , 이다. 6. 이므로 완전미분방정식이다. 에서 cos cos 에서 이다. 따라서 일반해는 cos 이다. cos 이다. 10. 양변에 cos 를 곱하면 주어진 방정식은 cos cos sin 으로 정리된다. cos cos sin cos sin 이므로 완전미분방정식이다. cos sin 에서 sin cos ′ sin cos 이므로 이다. 따라서 일반해는 sin 이다. 11. 방정식을 정리하면 cosh cos sinh sin 이다. cosh cos cosh sin sinh sin cosh sin ′ 이므로 이다. 따라서 일반해는 이다. 7. tan sec sec 이므로 완전미분방정식이 아니다. 적분인자를 구하면 exp sec sec 이다. 이를 주어진 미분방정식에 적용하면 tan sec 이 된다. tan tan 에서 sin ′ sin 이므로 sin ′ sin 이므로 이다. 이다. 이를 주어진 미분방정식에 적용하면 이 된다. 초기조건 에 의하여 이므로 특수해는 5. 이므로 완전미분 exp cos cos 에서 sec ′ sec 이므로 이다. 따라서 일반해는 tan 이다. 8. 방정식을 정리하면 cos sin 이다. 이므로 완전미분이 아니다. 적분인자를 구하면 cosh sin sinh sin ln si n h exp sinh 이다. 이를 주어진 미분방정식에 적용하면 sinh cosh cos sinh sin 이 된다. sinh cosh cos sinh cos 에서 sinh sin ′ sinh sin 이므로 이다. 따라서 일반해는 sinh cos 이다. 12. 방정식을 정리하면 이다. 이므로 완전미분이다. 에서 이므로 주어진 방정식은 sec ′ 이므로 이다. 따라서 일반해는 이다. 13. 양변에 를 곱하면 주어진 방정식은 이다. ′ sec 이므로 tan 이다. 따라서 일반해는 tan 이다. 이므로 이다. 이므로 일반해는 tan 이다. (c) < 정리 1 또는 2를 이용 > 따라서 일반해는 이다. exp ln 이므로 exp 14. 양변에 를 곱하면 주어진 방정식은 으로 정리된다. 이므로 완전미분방정식이다. 에서 ′ 이므로 이다. 따라서 일반해는 이다. 15. 이므로 일 때 에서 ′ 이므로 이다. 따라서 일반해는 이다. 16. (a) sinh cosh < 완전미분방정식의 방법 적용 > sinh sinh cosh 이므로 에서 ′ 이므로 이다. 따라서 일반해는 이다. < 변수분리형의 방법 적용 > 주어진 방정식을 으로 나누어 정리하면, ′ 이다. 로 치환하면, , ln ln 즉, , 이다. 이다. 따라서 일반해는 (d) < 정리 1 또는 2를 이용 > exp ln exp 을 양변에 곱하므로 방정식은 완전미분방정식이다. 이다. 주어진 방정식은 ′ ′ 이므로 ′ 이다. 완전미분방정식이 된다. sinh cosh 에서 cosh ′ cosh 이므로 이다. 따라서 일반해는 cosh 이다. < 변수분리형의 방법 적용 > cosh sinh , tanh 이므로 일반해는 lncosh 이다. (b) cos cos < 정리 2를 이용 > sin cos exp lncos cos exp 으로 정리된다. 에서 ′ 이므로 이다. 따라서 일반해는 이다. < 변수분리형의 방법 적용 > , 이므로 일반해는 ln ln , 이다. 18. (a) sin sin 이므로 1.4 Exact ODEs. Integrating Factors 에서 ′ 11 cos , sec cos 이므로 완전미분방정식이다. < 변수분리형의 방법 적용 > 으로 정리된다. 에서 (c) 초기조건 에 의하여 이므로 완전미분방정식이 아니다. 특수해는 sec 이다. 적분인자를 계산하면 exp sin ln sin 초기조건 ± 에 의하여 ∓ 이므로 이다. 이를 주어진 방정식의 양변에 곱하면 sin 12 제1 장 1계 상미분방정식 이다. sin cos 에서 특수해는 이다. cos ∓ 초기조건 ± 에 의하여 ∓ 이므로 특수해는 이다. cos ∓ ′ 이므로 이다. 따라서 일반해는 cos 이다. 초기조건 ±에 의하여 ∓ 이므로 (b) 주어진 방정식을 정리하면 특수해는 이다. cos ∓ sin , cos 이다. (d) 따라서 일반해는 이다. cos 1.5 Linear ODEs. Bernoulli Equation. Population Dynamics 1. 로그법칙 ln ln 이용 2. ln 4. 3. 5. 6. ln cos 이다. 8. ln cos cos cos 초기조건에 의하여 이므 cos 에서 cos ln 로 특수해는 cos 이다. cos cos sin cos sin cos 이므로 cos cos sin 이다. 따라서 일반해는 cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , 이므로 특수해는 cos sin 이다. 9. cos cos cos cos 초기조건에 의하여 , 이므로 특수해는 cos 이다. 7. 주어진 방정식을 정리하면 ′ 이므로 일반해는 10. 주어진 방정식을 정리하면 ′ sec sec 이다. 따라서 일반해는 tan tan sec (b) cos 이므로 일반해는 ln cos ∙ ln cos sin sin tan tan tan 이다. 초기조건에 의하여 , 이므로 특수해는 tan 이다. 15. 과 가 식 (2)의 해이면, ′ 이고 ′ 이다. ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 이므로 와 은 식 (2)의 해이다. 과 가 식 (1)의 해이면, ′ 이고 ′ 이다. 11. ln si n sin ln si n cot csc cot ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ sincsc sin 12. 주어진 방정식을 정리하면, ′ 이다. ln 16. 대입하면 당연히 성립한다. 17. 을 식(1)의 해라 하고, 를 식 (2)의 해라 하면, 따라서 일반해는 ln 이므로 와 은 식 (2)의 해가 아니다. ′ 이고 ′ 이다. ′ ′ ′ ′ ′ 이다. 초기조건에 의하여 이므로 특수해는 이다. 이므로 는 식 (1)의 해이다. 18. 과 가 식 (1)의 해이면, ′ 이고 ′ 이다. ′ ′ ′ ′ ′ 이므로 는 식 (2)의 해이다. 19. 을 식(1)의 해라 하면, ′ 이다. ′ ′ ′ 이므로 은 방정식 ′ 의 해이다. 20. ′ 이고 ′ 이면, 13. 로 치환하면, ′ ′ 이므로 ′ tanh 이다. ln cosh cosh 이므로 일반해는 cosh 이다. 14. (a) cos 이므로 일반해는 ln cos ∙ ln cos sin sin 이다. 만약 초기조건이 이면 이다. ′ ′ ′ ′ ′ 이므로 는 방정식 ′ 의 해이다. 21. , 라 하면 ′ 이고 ′ ′ ′ 이다. ′ ′ ′ ′ ′ ′ 이므로 ′ 이고 13 1.5 Linear ODEs. Bernoulli Equation. Population Dynamics 이다. 초기조건이 이면 이다. 26. 주어진 방정식을 정리하면 cot 이므로 이다. 22. Bernoulli 방정식이므로 로 치환하면, lnsin ln ′ ′ , ′ 이다. 즉 이므로 14 이다. 따라서 일반해는 sin 이다. 초기조건에 의하여 , 이므로 특수해는 sin 이다. 일반해는 이다. 제1 장 1계 상미분방정식 초기조건에 의하여 이므로 이다. 특수해는 27. 방정식을 정리하면 이다. 이므로 완전미분방정식이 아니다. 적분인자를 구하면 exp 23. Bernoulli 방정식이므로 로 치환하면, 이다. 이를 주어진 미분방정식에 적용하면 ′ ′ , ′ 이다. 즉 이 된다. 이므로 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 이므로 특수 해는 이다. 에서 ′ 이므로 이다. 따라서 일반해는 이다. 28. 로 치환하면, ′ ′ , ′ 이다. 즉 ln ln 24. Bernoulli 방정식이므로 로 치환하면, ′ ′ , ′ 이다. 즉 ′ 을 Riccati 방정식에 30. (a) ′ ′ 이므로 일반해는 이다. 25. Bernoulli 방정식이므로 로 치환하면, ′ ′ , ′ 이다. 즉 이므로 일반해는 이다. 대입하면, ′ ′ 이다. Y가 Riccati 방정식의 해이므로, ′ 이다. ′ 따라서 , 이므로 ′ , ′ 이다. 일반해는 이다. 즉, 로 치환하므로 항이 소거되고 Riccati 방정식은 Bernoulli 방정식으로 변형된다. 다음 로 치환하면 Bernoulli 방정식을 선형 ODE로 변형시킨다. ′ 이므로 주어진 방정식의 해이다. 로 치환하면, 이다. 33. 미분방정식이 ′ 이므로 15 이다. 이므로 이다. 34. 를 전염병에 감염된 사람의 비율이라 하면 다음 ′ , ′ 이다. 과 같은 모델링이 가능하다. ′ 이고 여기서 는 비감염자의 비율이므로 는 이다. 감염자와 비감염자의 접촉율이라 할 수 있다. 방정식에서 증가율이 ′ 인 정적인 상태의 해는 (c) ′ ′ 을 에 대하여 미분하면, ′ ″ ′ ″ ′ ″′ 이다. 과 이다. 즉, ″ 또는 ′ 이다. 이때 이면 ′ 이고 이면 ″ 이면 이고 이를 주어진 방정식에 때는 불안정, 일 때는 안정한 상태가 된다. 대입하면 이므로 이고 위의 미분방정식의 해를 구하면 이다. 이다. ′ 이며 이면 ′ 이다. 따라서 일 ′ 이면 이고 →∞ 이면 → 이다. 여기서 이라는 것은 이를 주어진 방정식에 대입하면 모두가 감염이 되어 더 이상 추가 감염이 없는 , 이므로 이다. 정적인 상태를 의미한다. 따라서 →∞ 이면 ′ ′ 대입하면, ′ ′ 이므로 Clairaut 방정식의 해이다. ′ ′′ ′ ′′ ′ 이다. ′ 이므로 ′ ′ 이다. Clairaut 방정식의 해이다. 과 조건 을 만족한다. 약 3년이다. 위의 미분방정식을 정리하면 이므로 이므로 이다. 시간은 이므로 31. 모델링하면 이고 초기조건 이므로 이다. 따라서 오염물의 양이 이 되는데 소요되는 따라서 ′ ′ 을 만족하는 는 극단적으로 모두가 감염자가 됨을 의미한다. 35. 를 오염물의 양이라 하면 (d) ′ 를 Clairaut 방정식에 36. 모델링하면 ′ 이다. 평형(equilibrium)상태( ′ )의 해는 또는 이다. 여기서 는 만큼의 이다. 초기조건에 의하여 , 이다. 조건에 의하여 , 수확을 전체 객체수의 변화 없이 계속해서 얻을 수 있는 양을 의미한다. 37. 문제 36번에서 라 하면 ln 이다. ′ 이다. 따라서 특수해는 이다. ℉이면 , min 이다. 32. 주어진 식을 정리하면 ′ cos 이다. 여기서 이다. 따라서 일반해는 이다. 이므로 이고 해는 이다. 1.5 Linear ODEs. Bernoulli Equation. Population Dynamics 이므로 따라서 cos sin (b) ′ ′ 을 방정식에 대입하면, 따라서 일반해는 16 제1 장 1계 상미분방정식 →∞ 이면 → 이다. 즉 전체 어획량이 이면 39. 총 객체수를 , 가임 암객체수를 , 가임 수객체 객체수는 로 수렴한다. 또한 (수확을 하지 수를 라 가정하면 ′ 않는다)일 때 방정식은 ′ 이고 이다. 여기서 은 생산비례상수, 는 사망비례상 이다. →∞ 이면 → 이다. 수이고 이다. 즉 수확을 하지 않아도 전체 객체수는 일정한 에서 가 정적인 상태 값으로 수렴함을 의미한다. 의 상수해이다. 위의 미분방정식의 해를 구하면 38. 문제 37번에 의해 ≤ ≤ 일 때 이므로 이다. 이다. 이면 이므로 가 증가함수이다. 이는 ≤ ≤ 일 때 이므로 이다. ≤ ≤ 일 때 , 이고 지속적인 객체수 증가를 의미한다. 이면 이므로 가 감소함수이다. 따라서 이고 소멸을 의미한다. 40. 모델링을 하면 ′ , 이므로 ′ 이므로 이다. 이다. 초기조건 에 의하여 이므로 따라서 이면 min 이다. 일반해는 이다. ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 1.6 Orthogonal Trajectories. Optional 1. 초점이 과 인 타원의 방정식은 이다. 따라서 이다. 2. 중심이 직선 위에 있으므로, 중심의 좌표를 이라 하면, 원의 방정식은 이다. 원점을 지나므로 이다. 따라서 이다. 3. 축으로 만큼, 축으로 만큼 평행이동하면 cosh 이다. 따라서 cosh 이다. ′ 를 풀면 7. ′ ′ 이므로 이다. 17 ln 이다. 따라서 직교절선은 ′ 를 풀면 8. ′ 이므로 이다. ′ ′ 이므로 ′ 를 풀면 5. 이다. ′ 를 풀면 6. ′ ′ 이므로 이다. ′ 를 풀면 9. ′ 이므로 ln 이다. 10. , ′ ′ ′ 이므로 ′ 을 정리하면 ′ 라 치환하면 (Bernoulli 방정식)이다. ′ ′ , ′ 이다. 이다. 따라서 이고 1.6 Orthogonal Trajectories. Optional ′ 을 만족한다. 4. ′ 이므로 직교절선은 따라서 이다. 13. 를 미분하면 ′ , ′ 이다. ′ 로 치환하면 ′ 이므로 , 이다. 18 제1 장 1계 상미분방정식 14. 주어진 방정식을 미분하면 ′ ′ 이다. 11. 를 미분하면 ′ , ′ 이다. ′ 로 치환하면 ′ 이므로 (직선)이다. 이다. 이를 미분하여 다시 정리하면 ′ , ′ ′ 로 치환하면 ′ , 이다. ′ 이다. 양변에 을 곱하면 ′ ′ , , 이므로 , 이면 (직선)이다. 이면 (포물선)이다. 12. 을 전개하여 정리하면 ′ 이다. 직교절선은 을 만족하므로 이다. → 이면 주어진 도형이 수직선이므로 직교절선은 이다. → 이면 주어진 도형이 수평선 수평선 이므로 직교절선은 수직선 이다. 15. 를 미분하면 이므로 ′ 이고 ′ 이다. 따라서 직교절선은 방정식 을 만족한다. 직교절선이 이므로 을 만족한다. 따라서 이다. sin 에서 sin 이므로 sin 이고 cos 이다. cos cos 이고 sin ′ sin 이므로 이다. 따라서 직교절선은 cos 이다. 1.7 Existence and Uniqueness of Solutions for Initial Value Problems 1. 이므로 이다. 와 은 구간 ≤ 에서 연속이므로 같은 구간에 대하여 와 는 당연히 있으므로 의 최대값은 ∞ 이다. 즉 min 이다. 식 (1)의 해는 구간 의 모든 에 대하여 존재한다. 연속이다. 따라서 는 정리들의 가정을 4. ≠ 이면 해가 존재하지 않으므로 존재성에 위반 만족한다. 선형 ODE에 대해서는 존재성과 된다. 이면 의 값이 결정되지 않아서 무수히 유일성의 정리가 필요하지 않다. 많은 해를 갖게 되므로 유일성에 위반된다. 2. ln ln 5. 이므로 ≤ 일 때 이므로 일반해는 이다. 임의의 에 대하여 이므로 조건 은 성립하지 않는다. 따라서 초기값 문제의 해는 존재하지 않는다. ≤ 이다. ≤ 이므로 정리의 조건을 만족하는 주어진 문제를 표준형으로 바꾸면 최적의 는 이다. 즉, 정리에 의하여 존재성이 ′ 이다. 여기서 함수 는 에서 보장받는 구간은 이다. 정의되지 않는다. 위의 결과가 정리들과 모순이 이므로 되는 것은 아니다. 3. 조건 ≤ 를 만족한다면 는 무한히 클 수 일반해는 이다. 이다. 이므로 이고 초기조건에 의하여 이므로 특수해는 이다. 이고 이다. 에서 해가 존재한다. 초기조건에 의하여 이므로 6. (b) 이므로 이고 이다. 이므로 ′ 이므로 일반해는 8. 가 ≤ 에서 연속이므로 ≤ 에서 이다. 초기조건에 의하여 이므로 이고 이다. 이다. 개의 해는 초기조건 을 만족한다. 따라서 ≤ 9. 두 개의 해가 의 한 점 에서 만나면, 두 ≤ 이다. 이므로 따라서 Lipschitz 조건을 만족한다. (c) 이므로 ≤ 이다. ≤ 이므로 정리의 조건을 만족하는 최적의 는 이다. 등을 얻는다. 주어진 방정식을 정리하면, 7. 이므로 ≤ 일 때 등을 얻는다. 없다. ln ln 10. 이므로 이다. ≠ 또는 ≠ 이면 해가 존재하지 않는다. 또는 이면 무수히 많은 해를 갖는다. 임의의 에 대하여, ≠ 그리고 ≠ 이면 정확히 한 개의 등을 얻는다. 주어진 방정식을 정리하면, 이므로 이고 일반해는 Chapter 1 유일성에 위반되므로 두 개의 해는 교점을 가질 수 해를 갖는다. Review Questions and Problems 1. 상미분방정식(ODE)은 미분하는 독립변수가 하나 4. 주어진 미분방정식을 평면 위 몇 개의 점에서 인 미분방정식을 말하고 편미분방정식(PDE)은 미 선요소라고 부르는 짧은 선분으로 기울기를 분하는 독립변수가 두 개 이상인 미분방정식을 말 나타내는 것을 방향장이라 한다. 5. 1계미분방정식을 으로 한다. 미분방정식의 계수(order)는 방정식 중에 가장 높은 미분차수를 말한다. 일반해는 미분방정식만을 만족하는 해를 말하고 특 수해는 초기조건까지 만족하는 해를 말한다. 2. 1계미분방정식을 ′ 인 형태로 표현할 수 있을 때, 미분방정식을 선형(linear)이라고 한다. 3. 미분방정식 ′ 에서 함수 가 까지 근방에서 연속이면 해가 존재하고, 근방에서 연속이면 그 해는 유일하다. 정리한다. 적당한 함수 에 대하여 이 미분 의 형태이면, 미분방정식을 완전미분방정식(exact ODE)이라고 한다. 주어진 방정식 은 이므로 완전미분방정식이다. 6. 완전미분방정식이 아닌 미분방정식에 적당한 함수를 곱하여 완전미분방정식으로 만들 수 있다. 19 Chapter 1 Review Questins and Problems (d) 주어진 방정식을 정리하면 이므로 이고 일반해는 이다. 실제로 해를 구하여 보면 이므로 따라서 일반해는 , 이다. 이 경우 곱하여 지는 함수를 적분인자(integrating factor)라 부른다. 7. 미분방정식을 푸는 방법은 변수분리형, 완전미분을 이용한 방법, 선형미분방정식의 일반적인 해법 등 이 있다. 20 변수분리형 미분방정식은 변수 와 가 분리되어, 방정식의 우변에는 만 그리고 좌변에는 만이 제1 장 1계 상미분방정식 나타나는 형태로 양변을 적분하여 해를 얻는다. 완전미분방정식은 어떤 함수의 완전미분이 되는 방정식으로, 음함수의 해를 얻는다. 선형미분방정식은 1.5절의 해 공식 (4)에 의하여 해를 구한다. 8. 많은 미분방정식은 이 장에서 공부한 방법 모두로 14. 주어진 식을 정리하면 ′ 이므로 일반해는 풀 수 있다. 예를 들어 혼합 문제 또는 난방문제는 ln 변수분리형과 선형미분방정식의 해법으로 해를 이다. ln 구할 수 있다. 9. 물리 또는 다른 분야의 문제로부터 미분방정식을 유도하는 과정을 모델링이라 한다. 10. 공기의 저항을 무시한 경우와 같은 자유낙하문제. 11. 15. cos cos sin cos sin 이다. 12. 주어진 식을 정리하면 을 위 식에 적용하여 식 적분하면 ln ln 이다. 따라서 일반해는 , 이다. 이다. 13. 주어진 식을 정리하면 을 위 식에 적용하여 식 적분하면 ln ln 이다. 16. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.200 0.216 0.233 0.251 0.270 0.289 0.310 0.331 0.353 0.376 0.400 0.200 0.216 0.234 0.252 0.272 0.292 0.313 0.335 0.357 0.381 0.405 0.000 0.000 0.001 0.002 0.002 0.003 0.003 0.004 0.004 0.005 0.005 특수해는 sin 이다. 24. Bernoulli 방정식이므로 로 치환하면, ′ ′ , ′ 이다. 이 식을 풀면 이므로 일반해는 이다. 특수해는 이다. 25. 주어진 식을 정리하면 cos cos 이다. 변수분리형이므로 일반해는 sin sin 이다. 이다. 초기조건에 의하여 이므로 특수해는 18. 선형 ODE이므로 일반해는 sin sin sin 이다. sin cos sin cos 이다. 19. 변수분리형이므로 이므로 일반해는 이다. 20. Bernoulli 방정식이므로 로 치환하면, ′ ′ , ′ 이다. 이므로 완전미분방정식이 아니다. 적분인자는 ln 에서 ′ 이므로 이다. 따라서 일반해는 이다. 이다. 초기조건에 의하여 이므로 특수해는 cosh 이다. 주어진 조건에 의하여 이다. (a) 박테리아의 수가 처음의 두 배일 때는 식 을 만족하므로 이다. ln 따라서 ≒ 일이다. ln (b) 박테리아의 수가 처음의 세 배일 때는 식 ln 따라서 ≒ 일이다. ln 28. 시간 일 때 소금의 양을 라 하자. 소금 양의 변화율을 유입량과 유출량의 차이이므로 이를 모델링하면 방정식 ′ 을 얻는다. 또한 초기조건 이다. 22. 선형 ODE이므로 일반해는 초기조건에 의하여 , 이므로 특수해는 을 만족하므로 이다. 이고, 주어진 미분방정식은 따라서 일반해는 cosh 이다. 위의 미분방정식을 풀면 이다. 21. 이 얻는다.(여기서 는 현재 박테리아의 수이다.) 이다. 일반해는 이 된다. 변수분리형이므로 일반해는 lncosh ln 다. 27. 모델링하면 방정식 ′ 과 조건 를 이 식을 풀면 이므로 exp sinh 26. 주어진 식을 정리하면 이다. cosh 이다. sin 23. 변수분리형이므로 이므로 일반해는 sin 이다. 초기조건에 의하여 sin , 이므로 위 방정식을 풀면 이다. 따라서 시간이 지나면 이론적으로 탱크는 소금으로 가득차게 된다. × 인 시간을 구하면 초이다. 29. , 로부터 임을 알 수 있다. 인 시간은 , 이므로 Chapter 1 Review Questins and Problems 초기조건에 의하여 , 이므로 17. 선형 ODE이므로 일반해는 21 ln ≒ 이다. ln ln 마찬가지로 인 시간은 ≒ ln 이다. 22 31. Newton의 냉각법칙에 의해 모델링을 하면 ′ 이고 일반해는 이다. 제1 장 1계 상미분방정식 조건 , 에 이하여 , 이고 이다. 따라서 온도가 ℃가 되는 시간은 , min 이다. CHAPTER 2 2계 선형상미분방정식 2.1 Homogeneous Linear ODEs of Second Order 1. ′ 의 일차미분방정식이 된다. ′ ′ 2. ″ 이므로 인 일차미분방정식이 된다. 24 3. ′ 으로 치환하면, ′ 이므로 이다. 제2장 2계 선형상미분방정식 따라서 일반해는 이다. 4. ′ 으로 치환하면 ′ , 이다. 이므로 ln ln , 따라서 일반해는 이다. 5. ′ 으로 치환하면, ′ 이므로 방정식은 일계미분방정식 으로 정리된다. 일계미분방정식 으로 정리된다. 이므로 ln ln 이다. 따라서 이다. 이 식을 다시 정리하면 이므로 일반해는 이다. 11. 문제의 조건을 모델링하면 방정식 ″ ′ 과 초기조건 ′ 을 얻는다. ′ 으로 치환하면, ′ 이므로 이다. 이므로 이다. ′ 이므로 이다. 이므로 이고 이다. 이므로 ln ln 이다. 이므로, 일반해는 이다. 따라서 6. 미분방정식을 정리하면, ″ ′ 이다. 식 (9)에 의하여 ln ′ cos cos cos cos sin 이므로 tan 이다. cos sin 따라서 일반해는 이다. 7. ′ 으로 치환하면, ′ 이므로 방정식은 일계미분방정식 cos 으로 정리된다. cos , 이므로 일반해는 sin 12. 주어진 문제를 정리하면 ″ ′ 이다. ′ 으로 이므로 치환하면, ′ arcsinh , sinh 이다. 즉, ′ sinh 이므로 cosh 이다 초기조건에 의하여 cosh , cosh 이므로 cosh 이고 cosh cosh 이다. cos 이다. 8. ′ 으로 치환하면, ′ 이고 이므로 arctan , tan 이다. 따라서 일반해는 lncos 이다. 13. 모델링하면 방정식 ′ ″ 을 얻는다. 이다. 9. 방정식을 정리하면 ″ ′ ′ 으로 치환하면, ′ 이고 이다. 이므로 ln , 식 (9)에 의하여 ′ 이므로 ln 이다. 따라서 일반해는 이다. 10. ′ 으로 치환하면, ′ 이므로 방정식은 따라서 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 이다. 14. 모델링하면 방정식 ′ 을 얻는다. ″ ′ 으로 치환하면, ′ 이고 이다. 이므로 , 따라서 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 , 25 이고 특수해는 이다. 15. cos sin 라 하자. cos (a) cot ≠ 이므로 일차독립이다. sin ′ sin ′ cos 이고 ″ cos ″ sin 이므로 17. 라 하자. ≠ 이므로 일차독립이다. (a) ′ ′ 이고 는 주어진 방정식의 해이다. ″ ″ 이므로 즉, 는 주어진 방정식의 해의 기저이다. 는 주어진 방정식의 해이다. (b) 일반해는 cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 cos sin 이다. 즉, 는 주어진 방정식의 해의 기저이다. (b) 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 이다. 16. 라 하자. ≠ 이므로 일차독립이다. (a) ′ ′ 이고 ″ ″ 이므로 는 주어진 방정식의 해이다. 즉, 는 주어진 방정식의 해의 기저이다. (b) 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 이다. 18. ln 라 하자. (a) ≠ 이므로 일차독립이다. ln ln ′ ′ ln 이고 ″ ″ 이므로 는 주어진 방정식의 해이다. 즉, 는 주어진 방정식의 해의 기저이다. (b) 일반해는 ln 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 ln 이다. 2.1 Homogeneous Linear ODEs of Second Order ′ 이므로 ″ cos 이므로 주어진 방정식의 해이다. 즉, 는 주어진 방정식의 해의 기저이다. (b) 일반해는 cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 26 특수해는 sin 이다. 제2장 2계 선형상미분방정식 19. cos sin 라 하자. cos cot ≠ 이므로 (a) sin 일차독립이다. ′ cos sin ′ sin cos , ″ sin 2.2 Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients 1. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 일반해는 이다. 일반해는 이다. 2. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 14. 을 풀면, (중근)이므로 cos sin 이다. 3. 특성방정식 을 풀면, ± 이다. 이므로 13. 을 풀면, (중근)이므로 4. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 일반해는 cos sin 이다. 5. 특성방정식 을 풀면, (중근) 이므로 일반해는 이다. 6. 특성방정식 을 풀면, 일반해는 이다. 15. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 sin 이다. 일반해는 cos 16. 주어진 기저에 대응하는 특성방정식은 이므로 대응하는 미분방정식은 ″ ′ 이다. 17. 주어진 기저에 대응하는 특성방정식은 이므로 대응하는 (중근)이므로 일반해는 이다. ′ 이다. 미분방정식은 ″ 7. 특성방정식 을 풀면, 18. 주어진 기저에 대응하는 특성방정식은 이므로 일반해는 이다. 이므로 8. 을 풀면, ± 일반해는 cos sin 이다. 9. 을 풀면, 이므로 일반해는 이다. 10. 특성방정식 을 풀면, ±이므로 일반해는 cos sin 이다. 11. 을 풀면, 이므로 일반해는 이다. 12. 특성방정식 을 풀면, 이므로 일반해는 이다. 이므로 대응하는 미분방정식은 ″ 이다. 19. 주어진 기저에 대응하는 특성방정식은 이므로 대응하는 미분방정식은 ″ ′ 이다. 20. 주어진 기저에 대응하는 특성방정식은 이므로 대응하는 미분방정식은 ″ ′ 이다. 21. 특성방정식이 이므로 ± 이고 일반해는 cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 cos sin 이다. 22. 일반해 cos sin 에 조건을 30. 특성방정식이 이므로 적용하면 , 대응하는 일반해는 이다. ′ 이므로 초기조건에 의하여 , 이고 특수해는 sin 이다. 23. 이므로 대응하는 특수해는 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 이다. 이다. ≠ 이므로 일차독립이다. 31. ≠ 이므로 일차독립이다. 32. ln ln ≠ 이므로 일차독립이다. 33. 24. 이므로 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 , ln 이므로 일차종속이다. 34. ln ′ 이므로 sin sin cos 35. 이므로 일차종속이다. sin cos sin cos 이고 36. 이므로 일차종속이다. cos 특수해는 이다. 37. 특성방정식이 이므로 25. 이므로 일반해는 이다. 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 , 첫 번째 초기조건에 의하여 ′ 이므로 이고 , ′ 이므로 특수해는 이고 특수해는 이다. 이다. 26. 특성방정식이 이므로 일반해는 두 번째 초기조건에 의하여 이다. , ′ 이므로 초기조건에 의하여 , 이고 특수해는 ′ 이므로 이다. 이고 특수해는 이다. 27. 일반해 에 조건을 적용하면 , ′ 이므로 이고 특수해는 이다. 28. 이므로 일반해는 이므로 이다. (b) 문제 ″ ′ 에서 (ⅰ) 특성방정식이 이므로 일반해는 이다. 38. (a) (ⅱ) ′ 로 치환하면 ′ 이므로 이다. 즉, ′ 이므로 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 이다. 에 29. 일반해 cos sin 초기조건을 적용하면 , ′ 이므로 sin 이다. 이고 특수해는 이다. 문제 ″ ′ 에서 (ⅰ) 특성방정식이 이므로 일반해는 이다. (ⅱ) ′ 로 치환하면 ′ 이므로 이다. 즉, ′ 이므로 이다. 27 2.2 Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients 일반해는 이다. ′ 이므로 이고 (c) 중근 을 가지므로 이고 이다. 라 하면, ′ , ″ 28 이고 ″ ′ 제2장 2계 선형상미분방정식 이다. 따라서 는 방정식의 해이다. 방정식 ″ ′ 의 특성방정식은 이므로 은 아니므로 은 해가 아니다. (d) 방정식 ″ ′ 의 기저는 과 이므로 도 해이다. → 이면 방정식은 ″ ′ 이 되고 특성방정식이 이므로 이중근 를 갖는다. 또한 lim 이다. lim → → 주어진 방정식의 해이다. 그러나 가 중근이 2.3 Differential Operators. Optional 1. sinh sinh cosh sin sin cos 2. cos sin sin cos cos sin cos 3. 4. sin sin sin cos sin cos 5. 6. 이므로 일반해는 9. 이므로 (중근) 이고 일반해는 이다. (중근)이고 일반해는 이다. 11. 이므로 이고 일반해는 이다. 12. 이므로 ± 이고 일반해는 cos sin 이다. 이다. 7. 이므로 ± 이고 13. ″ ′ ″ ″ ′ ′ ″ ′ ″ ′ 따라서 연산자 은 선형연산자이다. 14. 주어진 방정식 ″ ′ 의 특성방정식의 해가 와 이므로 이고 이다. 라 하면 ′ 이고 ″ 이다. 즉, ″ ′ ≡ 이므로 주어진 방정식의 해이다. 이므로 주어진 방정식은 ″ ′ 으로 변형된다. → 이면 방정식은 ″ 이 되고 특성 방정식은 이중근 를 갖는다. 또한 이고 이므로 ± 8. 이고 일반해는 cos sin 이다. 10. 이므로 일반해는 이다. lim 이다. lim → → 15. 이면 와 은 당연히 성립한다. 역으로 이고 이다. 이면, 따라서 두 가지의 조건은 동치이다. 2.4 Modeling of Free Oscillations of a Mass-Spring System 1. 식 (4) cos sin 에서 초기조건 cos sin 이다. 이라 하면 cos sin 이다. ″ sin ≈ 이므로 ″ ″ ″ 이다. 따라서 이다. 8. 를 평형상태에서 추가로 더 내려간 깊이라고 하면 힘 평형 관계식에 의해 ″ 이 성립한다. 여기서 는 추가로 더 잠긴 부분의 부피를 나타낸다. ″ ″ 이므로 이다. 따라서 이고 주기 은 정수)일 때 ± 을 값에 이므로 이다. 상관없이 지나게 된다. 따라서 무게는 ∙ 이다. 2. Hook의 법칙에 의하여 이므로 용수철 상수는 이다. 질량은 이고 이므로 이다. ″ , ″ 이다. 3. 라 하자. (ⅰ) (ⅱ) 9. 문제의 조건을 모델링하면 질량이 커지면 진동수는 감소한다. 4. 단진자 운동에서 운동체의 진동수(또는 1/주기)는 또는 로 구할 수 있다. 5. 이므로 (ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) 이므로 6. 이므로 이다. 이고 ∙ ∙ 이므로 ″ 이다. 따라서 , 이므로 이다. 이다. 10. (a) 이므로 따라서 1분 동안 번이다. (b) 라 하자. 이므로 이다. 따라서 cos sin 이다. 초기조건으로부터 ′ 이므로 이고 sin 이다. (c) ′ 라 하자. cos sin 이므로 초기조건으로부터 , ′ 이므로 이고 cos sin 이다. 11. 에 초기조건을 29 2.4 Modeling of Free Oscillations of a Mass-Spring System ′ 에 의하여 이고 7. 단진자의 접선력을 고려하면 적용하면 , ′ 이다. 따라서 , 이다. 30 arctan . 따라서 극값이 마다 존재하므로 극대값은 마다 존재한다. 17. sin 이므로 ′ cos sin 이다. 12. 과감쇄 운동방정식의 일반해는 제2장 2계 선형상미분방정식 이므로 이면 ′ 일 때 tan 이므로 이어서 이 되는 시각은 ⋯ 이다. 일 때 유일하게 한번 존재하고 ≥ 일 때는 ⋯ 일 때 극대이다. ⋯ 일 때 극소이며 존재하지 않는다. 13. 식 (8)에서 이고, 식 (8)을 미분하면 ′ 이므로 이다. 따라서 이다. 즉, 이다. (ⅰ) 이고 이므로 이다. 14. 사륜차를 고려하면 각 바퀴당 하중은 이다. 임계감쇄의 경우 일 때, 이므로 ∙ ∙ 이다. 15. ≈ 예제 2번에서 이므로 이다. ∙ ∙ 이항정리에 의한 근사식 계산값이 실제 계산값 에 거의 근접한다. 18. 문제 17번에서 극값은 매 마다 존재하므로 이고 문제 11번에서 sine과 cosine 의 주기는 이므로 진폭비의 표현을 위해서는 이다. 진폭비를 표시하면 이다. 따라서 진폭비의 자연대수값 ∆ 이다. ″ ′ 에서 특성방정식이 을 풀면 ± 16. cos sin sin , 이다. 즉, 이므로 ∆ 이다. arctan 이므로 19. 극대치 주기가 이므로 은 에 ′ cos sin 이다. ′ 일 때 tan , 이므로 해당한다. 따라서 ln ln 이고 × × 이다. arctan , 2.5 Euler-Cauchy Equations 1. 식 (2)이 중근을 갖는다면 이다. 과 가 식 (2)의 서로 다른 실근이라고 하자. ln 라 하면 ln 라 하면 ′ ′ ln 이고 ′ ln ln 이고 ′ ln 이므로 이므로 이를 주어진 방정식에 대입하면 이를 주어진 방정식에 대입하면 만족하므로 따라서 ln 은 주어진 방정식의 해가 아니다. ln 는 주어진 방정식의 해이다. ″ ′ ≠ 이다. 2. 을 풀면 이므로 일반해는 이다. 3. 주어진 방정식을 정리하면 ″ ′ 이다. 을 풀면 (중근) 이므로 일반해는 ln 이다. 31 4. 을 풀면 이므로 5. 주어진 방정식을 정리하면 ″ 이다. 을 풀면 ± 이므로 일반해는 cosln sinln 이다. 6. 을 풀면 이므로 일반해는 이다. 7. 을 풀면 이므로 14. 을 풀면 ± 이므로 일반해는 cosln sinln 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이다. 따라서 특수해는 sinln 이다. 일반해는 이다. 8. 을 풀면 (중근)이므로 일반해는 ln 이다. 9. 을 풀면 (중근)이므로 일반해는 ln 이다. 10. 을 풀면 ± 이므로 일반해는 cosln sinln 이다. 이므로 11. 을 풀면 ± ln sin ln 이다. 일반해는 cos 12. 을 풀면 이므로 15. 을 풀면 (중근)이므로 일반해는 ln 이다. 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 초기조건에 의하여 , , ′ 이므로 ′ 이므로 이다. 이다. 따라서 특수해는 ln 이다. 따라서 특수해는 이다. 16. 을 풀면 (중근)이므로 13. 을 풀면 이므로 일반해는 ln 이다. 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 , 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이다. ′ 이므로 따라서 특수해는 ln 이다. 이다. 따라서 특수해는 이다. 2.5 Euler-Cauchy Equations 일반해는 이다. 32 제2장 2계 선형상미분방정식 17. 을 풀면 ±이므로 20. (a) 이 Euler-Cauchy 방정식 ″ ′ 일반해는 cosln sinln 이다. 의 해라 하자. 초기조건에 의하여 , ′ ′ ′ ′ , ″ ″ ′ ′ ″ 이다. 즉, 이므로 특수해는 cosln sinln 이다. ″ ′ ″ ′ ′ ′ ″ ′ ′ ″ 이라 하면 ′ ′ ″ 이므로 이다. ′ ′ , 따라서 이다. 이다. (b) 과 이 해인 Euler-Cauchy 방정식은 18. 을 풀면 (중근)이므로 ″ ′ 이다. 일반해는 ln 이다. 따라서 도 위의 방정식의 해이다. 초기조건에 의하여 , → 이면 방정식은 ″ ′ ′ 이므로 이다. 으로 변형되고 보조방정식은 이중근 을 따라서 특수해는 ln 이다. 갖는다. ln lim ln 이다. lim → → (c) ln 라 하자. ′ ln , ″ ln 이므로 ″ ′ ln 이다. 따라서 ln 는 Euler-Cauchy 방정식의 해이다. 19. 을 풀면 이므로 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이다. 따라서 특수해는 이다. (d) 으로 치환하면, 이고 ′ ″ 이므로 ″ ′ (e) 특성방정식이 중근 를 가질 때 두 번째 기저는 이다. ln 이므로 ln ln ln 이다. 2.6 Existence and Uniqueness of Solutions. Wronskian 33 1. ′ ′ 에서 Theorem 2에 의하여 ≠ 이므로 일차독립이다. ′ ′ 따라서 미분방정식은 ″ 이다. (b) coscos sin sin ≠ ′ 이다. 이므로 일차독립이다. (b) ≠ 이면 (c) 초기조건에 의하여 , ′ ′ ′ 이므로 이다. ′ ′ ′ 따라서 특수해는 cos sin 이다. 10. (a) 이므로 이다. 이다. 2. Theorem 2에 의하여 ≠ 이므로 일차독립이다. 3. ≠ 이므로 일차독립이다. (b) ≠ 이면 ≠ 이므로 일차독립이다. Theorem 2에 의하여 ≠ 이므로 일차독립이다. 따라서 미분방정식은 ″ ′ 이다. ≠ 이므로 일차독립이다. 4. (c) 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이다. ≠ 이므로 일차독립이다. 따라서 특수해는 이다. Theorem 2에 의하여 ≠ 이므로 일차독립이다. 5. 11. (a) ±이므로 이다. 따라서 미분방정식은 ″ ′ 이다. cos sin cos sin cos sin (b) ≠ 이므로 일차독립이다. Theorem 2에 의하여 ≠ 이므로 일차독립이다. 6. cos sin cos sin cos sin 이므로 일차독립이다. (c) 초기조건에 의하여 , cos cot ≠ 이므로 일차독립이다. sin ′ 이므로 Theorem 2에 의하여 ≠ 이므로 일차독립이다. cos sin 이다. 7. cosh cosh sinh sinh cosh coth ≠ 이므로 일차독립이다. sinh Theorem 2에 의하여 ≠ 이므로 일차독립이다. 8. cosln sinln cosln sinln cosln sinln cosln cotln≠ 이므로 일차독립이다. sinln 이다. 따라서 특수해는 12. (a) 이므로 이다. 따라서 미분방정식은 ″ ′ 이다. (b) ln ln ≠ 이므로 일차독립이다. (c) 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이다. 따라서 특수해는 ln 이다. 13. (a) 이므로 이다. 따라서 미분방정식은 ″ ′ 이다. (b) ≠ 2.6 Existence and Uniqueness of Solutions. Wronskian 9. (a) ±이므로 이다. (a) ≠ 이면 과 는 일차종속이다. 이는 과 가 이므로 일차독립이다. (c) 초기조건에 의하여 , 기저를 구성한다는 사실에 모순이 된다. ′ 이므로 이다. 34 따라서 특수해는 이다. 따라서 기저인 두개의 해는 같은 점에서 최대값 또는 최소값을 가질 수 없다. (d) 14. (a) ±이므로 이다. 제2장 2계 선형상미분방정식 즉, 미분방정식은 ″ ′ 이다. (b) cos sin cos sin cos sin ≠ ′ ′ ′ 이다. (e) 인 에 대하여 ≥ 이면, 이고 이다. 따라서 과 는 일차독립이다. 이므로 일차독립이다. (c) 초기조건에 의하여 , ≥ 이면, ∙ ∙ 이고, ′ 이므로 이면, ∙ ∙ 이다. 이다. 따라서 특수해는 따라서 이다. cos sin 이다. 과 가 만족하는 Euler-Cauchy 방정식은 15. cosh , sinh (a) 이므로 이다. 따라서 미분방정식은 ″ 이다. (b) coshcosh sinhsinh ≠ 이므로 일차독립이다. ′ 이므로 이다. 즉, 특수해는 cosh sinh 이다. 16. (a) (a) , (b) cosh sinh cosh sinh 이므로 ″ ′ 이다. 표준형으로 고치면 ″ ′ 이고 , 이다. 가 에서 불연속이므로 정리 2의 조건을 만족하지 않는다. (c) 초기조건에 의하여 , 보조방정식 을 갖는다. 따라서 Euler-Cauchy 방정식은 따라서 정리 2에 모순된 고 볼 수 없다. (f) ″ ′ 이고 ″ ′ 이므로 를 소거하면, ″ ″ ′ ′ 이다. ′ ′ 이므로 ′ ′ ′ ″ ′ ′ ″ ″ ″ 이다. 이다. (b) 과 가 방정식의 해라고 가정하자. 만약 이고 이면 인 점에서 이다. 따라서 구간의 모든 점에서 ′ ′ ln 이므로 exp 이다. ≡ 이고, 과 는 일차종속이다. 이는 과 문제 6번에서 cos sin 을 해로 갖는 가 기저를 구성한다는 사실에 모순이 된다. 방정식이 ″ ′ 이므로 따라서 기저인 두개의 해는 같은 점에서 이 될 수 없다. 이다. exp 이다. (c) 만약 과 가 같은 점 에서 최대값 또는 최소값을 갖는다면 ′ 이고 ′ 이다. 즉, 인 점에서 이고 ′ ′ ∙ ∙ 이므로 이다. 따라서 이다. 2.7 Nonhomogeneous ODEs 1. 특성방정식 을 풀면, 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. ′ , ″ 이므로 이다. 따라서 이므로 일반해는 이다. 2. 특성방정식 을 풀면, 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하자. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 이다. 따라서 cos sin 이므로 일반해는 cos sin 이다. 3. 특성방정식 을 풀면, 이다. 미정계수법에 이므로 의하여 라 하자. ′ , ″ 이므로 이다. 이다. 4. 특성방정식 을 풀면, 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하자. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 cos 이므로 일반해는 따라서 5. 특성방정식 을 풀면, (중근) 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하자. ′ cos sin sin cos , ″ sin cos 이므로 이다. 따라서 sin 이므로 일반해는 sin 이다. 6. 을 풀면, ± 이므로 cos sin 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하자. cos sin cos sin 라 하자. ′ sin cos cos sin sin cos ″ cos sin sin cos cos sin 이므로 이다. cos sin cos sin 이다. 9. 특성방정식 을 풀면, 이므로 미정계수법에 의하여 라 하자. ′ , ″ 이므로 이다. 따라서 이므로 일반해는 이다. 10. 특성방정식 을 풀면, (중근) 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하자. ′ cos sin , ″ cos sin 이므로 이다. 따라서 cos sin 이므로 일반해는 cos sin 이다. 미정계수법에 의하여 ″ cos sin 이다. 미정계수법에 의하여 11. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 sin 8. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 cos sin 이다. ′ cos 일반해는 이다. 이다. cos 이다. 따라서 cos sin 이므로 일반해는 이다. 이다. 따라서 이므로 cos sin 이므로 이다. 따라서 cos 이므로 일반해는 cos sin cos 이다. 7. 특성방정식 을 풀면, 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. ′ , 라 하자. ′ , ″ 이므로 이다. 따라서 이므로 일반해는 cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이다. 따라서 특수해는 cos 이다. 12. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 cos sin 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하자. 35 2.7 Nonhomogeneous ODEs 따라서 이므로 일반해는 ″ 이므로 ′ cos sin , ′ 이므로 이고 ″ cos sin 이므로 특수해는 ln 이다. 이다. 따라서 cos 이므로 일반 36 16. 을 풀면, 이므로 제2장 2계 선형상미분방정식 해는 cos sin cos 이다. 이다. 미정계수법에 초기조건에 의하여 , ′ 라 하자. 이므로 이고 특수해는 ′ , cos sin cos 이다. ″ 이므로 13. 특성방정식 을 풀면, 의하여 이다. 따라서 이므로 일반해는 이므로 이다. 미정계수법에 이다. 의하여 cosh sinh 라 하자. 초기조건에 의하여 , ′ sinh cosh , ″ cosh sinh ′ 이므로 이고 이므로 이다. 특수해는 이다. 따라서 cosh sinh 이므로 일반해는 17. 을 풀면, ± 이므로 cosh sinh 이다. cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , 미정계수법에 의하여 라 하자. ′ 이므로 ′ , ″ 이므로 이고 특수해는 cosh sinh 이다. 14. 특성방정식 을 풀면, (중근) 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하자. ′ cos sin sin cos , ″ sin cos 이므로 이다. 따라서 sin 이므로 일반해는 sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 sin 이다. 15. 을 풀면 이므로 일반해는 이다. 미정계수법에 의하여 이다. 따라서 이므로 일반해는 cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 cos sin 이다. 18. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 cos sin 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin cos sin 라 하자. ′ sin cos sin cos , ″ cos sin cos sin 이므로 이다. 따라서 cos sin cos sin 이므로 일반해는 cos sin cos sin cos sin ln 라 하자. ′ , ″ 이므로 초기조건에 의하여 , 이다. 따라서 ln 이므로 ′ 이므로 일반해는 ln 이다. 이고 특수해는 초기조건에 의하여 , cos cos sin cos sin 이다. 2.8 Modeling: Forced Oscillations. Resonance 3. 방정식 을 풀면, 이다. cos sin 라 하자. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 이다. 즉, 정상상태 해는 cos sin 이다. 이다. 4. 을 풀면, ± cos sin 라 하자. cos sin 이다. ′ sin cos , cos sin 라 하자. ″ cos sin 이므로 ′ cos sin sin cos , 이다. 즉, 정상상태 해는 cos sin 이다. 5. 을 풀면, ± 이다. 11. 특성방정식이 이므로 ± 이고 ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 이다. 따라서 정상상태 해는 cos sin 이다. 6. 방정식 을 풀면, 이다. cos sin cos sin 라 하자. ′ sin cos sin cos , ″ cos sin cos sin 이므로 이다. 따라서 정상상태 해는 cos sin cos sin 이다. 7. 을 풀면, (중근)이다. cos sin 라 하자. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 이다. 따라서 정상상태 해는 cos sin 이다. 8. 을 풀면, ± 이므로 cos sin 이다. cos sin 라 하자. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 , 이고 cos sin 이다. 즉, 따라서 cos sin sin 이다. cos sin cos sin cos sin 이다. cos sin 라 하자. ′ cos sin sin cos , ″ sin cos cos sin 이므로 이고 cos sin 이다. 따라서 cos sin cos sin 이다. 12. 특성방정식이 이므로 ± 이고 cos sin 이다. cos sin 라 하자. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 이고 sin 이다. 따라서 cos sin sin 이다. 13. 특성방정식이 이므로 ± 이고 cos sin 이다. cos sin 라 하자. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 이고 sin 이다. sin 이다. 따라서 cos sin 14. 특성방정식이 이므로 ± 이고 cos sin 이다. cos sin 라 하자. ′ cos sin , ′ cos sin 이므로 이고 cos sin 이다. 따라서 cos sin cos sin 이다. 이다. 9. 특성방정식이 이므로 ± 이고 cos sin 이다. 15. 특성방정식이 이므로 ± 이고 cos sin 이다. cos sin 라 하자. ′ sin cos , cos sin 라 하자. ″ cos sin 이므로 이고 ′ sin cos , ″ cos sin cos sin 이다. 따라서 이므로 이고 sin 이다. cos sin cos sin 이다. 10. 특성방정식이 이므로 ± 이고 따라서 cos sin sin 이다. 16. 특성방정식이 이므로 ± 이고 37 2.8 Modeling: Forced Oscillations. Resonance cos sin 라 하자. ″ sin cos cos sin 이므로 이고 sin 이다. cos sin 이다. cos sin 라 하자. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 이고 sin 이다. 38 따라서 cos sin sin 이다. 제2장 2계 선형상미분방정식 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 18. 특성방정식이 이므로 ± 이고 cos sin 이다. cos sin sin 이다. cos sin 라 하자. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 이고 cos sin 이다. 즉, cos sin cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 cos cos sin 이다. 17. 특성방정식이 이므로 ± 이고 cos sin 이다. cos sin cos sin cos sin 라 하자. ′ sin cos sin cos sin cos ″ cos sin cos sin cos sin 이므로 이고 sin sin sin 이다. 따라서 19. 특성방정식이 이므로 ± 이고 cos sin 이다. cos sin 라 하자. ′ cos sin , cos sin sin sin sin ′ cos sin 이므로 이다. 초기조건에 의하여 , 이고 cos sin 이다. 따라서 ′ 이므로 이고 특수해는 sin sin sin 이다. cos sin cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 cos sin cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 cos cos 이다. 23. (a) 이다. 따라서 ≤ 이고 20. 특성방정식이 이므로 ± cos sin 이다. 이면 ≥ 이므로 m ax 는 증가한다. 24. 만일 ≤ ≤ 이면 특수해를 cos sin 라 하자. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 이므로 대입하면 라 하자. 이를 식에 대입하면 이다. 또한 cos sin 이 이고 cos sin 이다. 따라서 일반해는 이 므로 일반해는 cos sin cos sin cos sin ′ 이므로 다. , 이다. 초기조건에 의하여 cos 이다. 이므로 ′ , 이면 방정식이 ″ 이므로 cos sin 이다. 이고 특수해는 cos cos sin sin 이다. 이 ′ 이므로 cos sin 이다. 따라서 고 cos ≤ ≤ cos sin 25. (a) 특성방정식이 이므로 ± 이고 cos sin 이다. cos sin 라 하자. ′ sin cos 이고 ″ cos sin 이므로 21. 공식 cos cos sin sin 에 의하여 이고 cos 이다. 따라서 cos cos sin sin 이다. cos 이다. 일반해 는 cos sin 22. 특성방정식이 이므로 ± 이고 이므로 초기조건에 의하여 cos sin 이다. cos sin 라 하자. ′ sin cos , 이다. ″ cos sin 이므로 ′ sin cos sin 이므로 이고 cos 이다. 따라서 ′ 이고 일반해는 cos sin cos 이다. 39 2.8 Modeling: Forced Oscillations. Resonance (b) 의 값에서 cos cos cos cos sin sin 이다. 2.9 Modeling: Electric Circuits 40 제2장 2계 선형상미분방정식 1. -회로를 모델링하면 이고 미분 하면 ′ 이고 이다. 2. -회로에서 sin 일 때 모델링하면 sin 이고 미분하면 ′ cos 이다. 따라서 cos cos sin 여기서 arctan 이다. 여기서 로 놓으면 cos sin 를 방정식에 대입하면, sin cos 따라서 cos 이다. ′ 이므로 이고 이다. sin 이다. cos cos cos 이다. 이고 3. -회로를 모델링하면 ′ 이므로 이고 이므로 ± 이고 cos 이다. cos 이고 미분하면 ″ cos 이다. 특성방정식은 이다. 일 때, cos cos 이다. 6. 문제 5번에서 이라 하자. 이면 ′ 이고 ″ 이다. 이므로 일 때를 도시하면 이다. 따라서 sin 이다. cos 이므로 ′ 이고 이다. cos 일 때의 해는 위의 그림과 같이 급격하게 전류 값이 로 수렴하여 직류회로에서는 에 의한 변화는 거의 없다. 4. ′ sin 와 1.5절의 식 (4)로부터 다음의 해를 얻는다. sin sin cos sin arctan 5. -회로를 모델링하면 ′ sin cos 이다. 7. 음향기기 조율시 과 의 값이 변하므로 식 (5)에서 이다. 여기서 , 일 때 의 값이 이다. 최대이므로 이다. 8. sin 이면 ′ cos 이므로 모델링을 하면 ″ ′ cos 이다. 특성방정식은 이므로 ± 이다. cos sin 라 하자. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 이다. 따라서 cos sin 이다. 9. 이면 ′ 이므로 모델링을 하면 ″ ′ 이다. 따라서 이다. 10. sin 이면 ′ cos 이므로 모델링을 cos sin 라 하자. cos sin 이므로 →∞ 이면 이다. 의 값들에서 → 이다. 일반해는 이므로 →∞ 이면 → 가 된다. 15. -회로에서 ″ ′ ′ 로 ′ sin cos , ″ cos sin 놓으면 단진자 운동계에서 ″ ′ 와 이므로 이다. 비교로, 따라서 cos sin 이다. 11. sin 이면 ′ cos 이므로 모델링을 하면 ″ ′ cos 이다. 이므로 이다. 임계감쇄 저감쇄 ′ sin cos , (Ⅱ) 임계감쇄 조건 : ″ cos sin 이므로 , 과감쇄 이므로 동일한 방식으로(판별식을 통해) (Ⅰ) 과감쇄 조건 : cos sin 라 하자. (Ⅲ) 저감쇄 조건 : ＜ 이다. 즉, cos sin 이다. 12. sin 이면 ′ cos 이므로 모델링을 하면 ″ ′ cos 이다. 이므로 ±이다. cos sin 라 하자. ※ 이면 ′ 이므로 ′ , ′ 이다. 미분방정식은 ″ ′ ′ 이다. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 16. sin 이면 이고 ′ cos , 이다. 이므로 모델링을 하면 따라서 cos sin 이다. 이므로 (중근)이다. ″ ′ cos 이고 ′ 이다. 13. sin 이면 ′ cos 이므로 모델링을 하면 ″ ′ cos 이다. 이므로 ± 이다. 즉, 이다. cos sin 라 하자. ′ sin cos , cos sin 라 하자. ″ cos sin 이므로 , ′ sin cos , 이다. 즉, cos sin 이다. ″ cos sin 이므로 , 이다. 즉, cos sin 이다. 14. -회로를 모델링하면 ′ 이고 미분하면 ″ ′ ′ 이다. 특성방정식이 이다. 이라 할 때 따라서 cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 해는 cos sin 이다. 41 2.9 Modeling: Electric Circuits 하면 ″ ′ cos 이다. 특성방정식은 이므로 ± 이다. cos sin 라 하자. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 , 이고 cos sin 이다. 42 제2장 2계 선형상미분방정식 즉, cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , 17. cos sin 이면 이고 ′ sin cos 이므로 모델링을 하면 ″ ′ sin cos 이고 ′ 이다. 특성방정식이 이므로 ′ 이므로 이고 해는 ± 이고 cos sin 이다. cos sin cos sin 라 하자. 이다. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 이고 cos sin 이다. 따라서 cos sin cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 , 이고 해는 ″ ′ 20. cos sin cos sin 이라 하면 ′ , ″ 이고 주어진 방정식은 으로 변형된다. 이다. 여기서 이다. 따라서 cos sin cos sin cos sin 18. cos 이면 이고 ′ sin 이므로 모델링을 하면 ″ ′ sin 이고 ′ 이다. 특성방정식이 이므로 이고 이다. sin cos 이므로 이다. 2.10 Solution by Variation of Parameters 1. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 cos sin 이다. coscos sin sin 이므로 sin cos cos sin cos cos sin 6. 특성방정식 을 풀면, (중근) 이므로 이다. 따라서 일반해는 이므로 cos sin cos sin 이다. cos sin 이다. coscos sin sin 이므로 sin csc cos csc sin cos 따라서 일반해는 이므로 3. 을 풀면, 이므로 따라서 일반해는 이다. 4. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 cos sin 이다. sin cos sin 따라서 일반해는 8. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 cos sin 이다. sin cosh cos cosh sin cosh cos sin csc cos csc sin cos sin lnsin 따라서 일반해는 cos sin cosh 이다. 9. 특성방정식 을 풀면, (중근) 이므로 이다. 따라서 일반해는 cos sin cos sin lnsin 이다. 5. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 이므로 cos sin 이다. coscos sin sin 이므로 sincos sin coscos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ∙ ∙ 따라서 일반해는 이다. 10. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 cos sin 이다. cos sin cos sin cos sin 따라서 일반해는 이다. 이다. 이므로 coscos sin sin 이므로 cos sin cos sin cos 이므로 ∙ ∙ 이다. ln arctan 이므로 이다. 이다. 이다. cos sin cos sin lnsin cos 7. 특성방정식 을 풀면, (중근) 따라서 일반해는 43 ln arctan cos sin lnsin 이므로 2.10 Solution by Variation of Parameters 2. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 ∙ ∙ sin ∙ sec cos ∙ sec sin cos ″ cos sin 이므로 이고 cos sin 이다. 매개변수변환법에 의하여 sin tan 이므로 따라서 일반해는 44 하자. ′ sin cos , cos sin sin tan 이다. 제2장 2계 선형상미분방정식 11. 을 풀면, 이므로 cos sin 이므로 ∙ ∙ 이다. (b) 특성방정식 이므로 (중근) 이고 이다. 따라서 일반해는 이다. 13. 을 풀면, ± 이므로 에 대하여 매개변수변환법을 적용하면 이므로 이다. ∙ ∙ ∙ ∙ 이므로 이다. ∙cos ∙cos 이다. 에 대하여 미정계수법을 적용하면 따라서 일반해는 이다. 라 하자. ′ , 14. (a) 특성방정식 이므로 ″ 이므로 이고 이고 이다. 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 Chapter 2 Review Questions and Problems 1. 대부분의 mechanics 모델링 문제에서는 뉴턴 제 2 법칙인 ″을 적용한 2차 미분방정식의 형태로 유도되기 때문이다. 2. 초기값 문제는 방정식 ″ ′ 와 주어진 을 가진 2개의 초기조건 와 ′ 로 구성된다. 3. 대응하는 제차방정식의 일반해를 라 하고 주어진 비제차방정식의 특수해를 라 하면 비제차방정식의 일반해는 와 의 합으로 표현된다. 를 결정하는 실제적인 문제는 매개변수변환법과 미정계수법에 의해 풀 수 있다. 4. mass-spring damper system에서의 변위는 RLC 회로에서의 전류치에 대응되고, , , 에 각각 대응되는 값으로 2계 운동방정식과 전기회로 방정식이 유사하게 표현된다. 5. 입력주파수와 기본주파수가 같을 때 발생하는 큰 진동을 공명현상이라 한다. 6. 2계상미분방정식 ″ ′ 에서 함수 , 가 구간 에서 연속이면 일반해가 존재한다. 7. 방정식 을 풀면, 이므로 이다. 8. 방정식 을 풀면, 이므로 이다. 9. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 cos sin 이다. 10. 을 풀면, ± 이므로 cos sin 이다. 11. 특성방정식 을 풀면, (중근) 이므로 이다. 12. 특성방정식 을 풀면, (중근)이므로 이다. 13. 을 풀면, 이므로 이다. 14. 을 풀면, ± 이므로 이다. 15. 특성방정식 을 풀면, 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. ′ , ″ 이므로 , 이므로 이고 일반해는 이다. 45 이므로 cos sin 이다. cos sin 라 하자. ′ cos sin sin cos , 20. 특성방정식 을 풀면, ″ sin cos 이므로 이므로 이다. 이다. 따라서 cos 이므로 cos sin 라 하자. 일반해는 cos sin cos 이다. 17. 특성방정식 을 풀면, (중근) 이므로 이다. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 이다. 따라서 cos sin 이므로 일반해는 cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , 라 하자. ′ , ″ 이므로 이다. 따라서 이므로 ′ 이므로 이고 특수해는 cos sin 이다. 일반해는 이다. ″ ′ 18. 주어진 방정식을 정리하면 이다. 이 식을 ′ 적분하면 ln′ ln 이다. 즉, ′ 이다. ′ 다시 정리하면 이고 적분하면 ln 이다. 따라서 이다. 19. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 cos sin 이다. 라 하자. ′ , ″ 이므로 이다. 따라서 이므로 일반해는 cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 21. 을 풀면 ± 이므로 이다. 매개변수변환법에 의하여, 이므로 ∙ ∙ 따라서 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 이다. 이고 특수해는 cos sin 이다. 22. 을 풀면 (중근)이므로 Chapter 2 Review Questins and Problems 16. 특성방정식 을 풀면, ± ln 이다. 이다. 초기조건에 의하여 , ′ 이므로 이고 특수해는 ln 이다. 27. 이므로 모델링하면 ″ ′ sin 이다. 따라서 이고 ′ sin , 즉, cos 인 RLC-회로이다. 46 28. 주어진 조건을 모델링하면 제2장 2계 선형상미분방정식 ″ cos sin 이고, 특성방정식이 ± 이므로 cos sin 이다. cos sin 라 하면, 이므로 cos sin 이다. 따라서 일반해는 23. sin 이면 ′ cos 이므로 모델링을 하면 ″ ′ cos 이다. 특성방정식 을 풀면 ± 이다. cos sin 라 하자. ′ sin cos , ″ cos sin 이므로 , 이므로 24. ± cos sin 이다. ′ 이므로 이고 cos sin cos sin 이다. 공진주파수는 이므로 이다. 29. 주어진 조건을 모델링하면, 이다. 따라서 cos sin cos sin 이다. sin 이다. cos 25. sin 이면 ′ cos 이므로 모델링을 ″ cos ′ 이다. 특성방정식이 이므로 ± 이고 cos sin 이다. cos sin 라 하면 이므로 cos 이다. 따라서 cos sin cos 이다. 하면 ″ ′ cos 이다. 특성방정식 ± 을 풀면 이다. ′ 이므로 cos sin 라 하자. , ′ sin cos , 두 주파수 역시 미소한 차이를 보이므로 맥놀이 ″ cos sin 이므로 , 이다. 따라서 cos sin 이다. 이고 cos cos 이므로 이므로 현상이 발생한다. 30. 주어진 조건을 모델링하면 ″ ′ sin 이다. 이를 최대진폭조건 에 적용 하면 m ax 이다. 이때의 최대진폭을 구하면 ″ ′ cos 이고, 이다. m ax 특성방정식이 ± 한편 미정계수법을 이용한 정상상태의 최대진폭을 이므로 cos sin 이다. 이므로 구하면 m ax 26. 주어진 조건을 모델링하면 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하면, 이므로 cos sin 이다. 따라서 일반해는 cos sin cos sin cos sin 이고 이를 초기 모델링 식에 대입하면 이고 cos sin 이다. 이때 이므로 위 결과와 동일하다. 47 Chapter 2 Review Questins and Problems CHAPTER 3 고계 선형상미분방정식 3.1 Homogeneous Linear ODEs 1. 라 하자. ′ ″ ″′ , 제3장 고계 선형상미분방정식 ′ ″ ″′ 일차독립이다. 2. 라 하자. ′ ″ ″′ , ′ ″ ″′ , ′ ″ ″′ ′ cos sin ″ cos sin ″′ cos sin ′ ′ ′ 이므로 주어진 방정식의 해이다. 5. cos sin 라 하자. 이므로 주어진 방정식의 해이다. ′ ″ ″′ ′ sin cos ″ sin cos ″′ sin cos 이므로 는 일차독립이다. 이므로 는 이므로 주어진 방정식의 해이다. ″ ″ ″ ′ ″ ″′ , 50 ′ ′ ′ ′ ″ ″′ , ″ ″ ″ cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos 이므로 는 일차독립이다. 6. 라 하자. 이므로 는 일차독립이다. 3. cos sin cos sin 이면 ′ ″ ″′ , ′ ″ ″′ ′ sin ″ cos ″′ sin cos , ′ ″ ″′ 이므로 주어진 ′ cos ″ sin ″′ cos sin , 방정식의 해이다. ′ cos sin ″ sin cos ″′ cos sin sin cos ′ sin cos ″ cos sin ″′ sin cos cos sin 일차독립이다. 7. 상수계수 미분방정식이라면 특성방정식이 모두 이므로 주어진 방정식의 해이다. 이므로 는 일차식과 이차식의 곱으로 인수분해 되므로 2차와 ′ ′ ′ ′ ″ ″ ″ ″ ″′ ″′ ″′ ″′ cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 이므로 는 일차독립이다. 다를 것이 없다.(단, 5차 이상에서는 근의 공식이 존재하지 않는다.) ∙ 이므로 일차종속이다. 8. ∙ ∙ 9. tan cot sec csc csc sec sec tan csc cot 이므로 일차독립이다. 4. 라 하자. 10. ′ ″ ″′ ″ ′ ″′ ′ ″ ″′ 이므로 주어진 방정식의 해이다. 이므로 일차독립이다. cos sin 11. cos sin sin cos cos sin 이므로 일차독립이다. 12. sin cos cos 이므로 일차종속이다. 13. sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin 일차종속이지만, 실수 전체에서는 일차독립이다. 이므로 일차독립이다. 예를 들어, 과 는 양수 구간에서는 14. ∙cos ∙sin ∙ 이므로 일차종속이다. 15. ∙cosh ∙sinh ∙ 이므로 위의 문제(문제20. (a)(3))의 예와 같은 예이다. (5) 일차독립이다. 위의 문제(문제20. (a)(2))의 예와 같은 예이다. (6) 일차종속이다. 16. (a) (1) 일차종속이다. ≡ 라 하면, 상수 ≠ 와 모든 0인 상수 에 의하여 식 (4)를 만족한다. 따라서 상수함수 0을 포함하는 집합은 일차종속이다. 예를 들어, ∙ ∙ 을 만족하는 0이 아닌 가 존재한다. (2) 일차독립이다. 만약 가 구간 에서 일차종속이라면, 식 (4)을 만족하는 상수 ≠ 이 구간 위에 존재한다. 구간 는 의 부분구간이므로 위에서 같은 상수 에 의하여 식 (4)을 만족한다. 즉 가 구간 에서 일차종속이 되고, 이는 가정에 모순이다. 따라서 는 구간 에서 일차독립이어야 한다. 가정에 의하여, 에 속하는 함수 ⋯ 에 대하여 모두 0이 아닌 상수 ⋯ 이 존재하여 ⋯ 을 만족한다. 이 식에 ∙ (함수 는 에 속한다)들을 더해도 합은 0이다. 따라서 는 일차종속이다. (b) 주어진 함수가 연속인 계수를 갖는 재차선형 미분방정식의 해라면 일차독립을 판별하기 위하여 Wronskia을 이용할 수 있다. 일차독립을 판별하기 위한 다른 방법으로는 함수들 사이의 관계(예를 들어, 삼각함수의 공식, ln ln 등)를 이용하는 것 또는 비례항을 발견할 수 있는지 보기 위하여 주어진 함수의 값을 계산해 보는 것 등이 있다. (3) 일차독립일 수도 있다. 3.2 Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients 1. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 일반해는 cos sin 이다. 2. 을 풀면, ± (중근)이므로 일반해는 cos sin 이다. 3. 을 풀면, (중근), ± 이므로 일반해는 cos sin 이다. 4. 을 풀면, (중근), 이므로 일반해는 이다. 5. 을 풀면, ± ± 이므로 일반해는 cos sin cos sin 이다. 6. 을 풀면, ± (중근)이므로 일반해는 cos sin 이다. 7. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 일반해는 cos sin 이다. cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ , ″ 이므로 이다. 따라서 특수해는 cos sin 이다. 9. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 일반해는 cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ , ″ 이므로 이다. 따라서 특수해는 cos 이다. 10. 을 풀면, ± ± 이므로 일반해는 초기조건에 의하여 , cos sin cos sin 이다. ′ , 초기조건에 의하여 , ″ 이므로 이다. 따라서 특수해는 cos sin 이다. 8. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 일반해는 ′ , ″ , ″′ 이므로 이다. 51 3.2 Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients 일차종속이다. (4) 일차종속일 수도 있다. 따라서 특수해는 특수해는 이다. cos sin 이다. 11. 을 풀면, ± ± 이므로 52 이고 cos sin cos sin 14. (a) 상수계수를 갖는 선형미분방정식의 해가 제3장 고계 선형상미분방정식 일반해는 cos sin 이다. 이라는 것을 안다면 특성방정식을 초기조건에 의하여 , 으로 나눈다. (b) 이 주어진 방정식의 해이므로 ′ , ″ , ″′ ″ ′ 이다. 이라 ″′ 이므로 하면 ′ ′ ′ , ″ ″ ′ ′ ″ , 이고 ″′ ″′ ″ ′ ′ ″ ″′ 이다. 특수해는 cos 이다. 12. 을 풀면, ± ± 이므로 주어진 방정식에 대입하면 ″′ ″ ′ ′ ″ ′ ″ ′ ″′ 이다. 즉 일반해는 이다. ′ ″ ′ ″ ′ ″′ 초기조건에 의하여 , 이다. 따라서 ′ , ″ ′ ′ ′ ″ 인 ″ , 에 대해 ″′ 이므로 이고 특수해는 이다. 13. 을 풀면, ± 이므로 일반해는 cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ , ″ , 이고 으로서 새로운 해 를 구할 수 있다. (c) 주어진 방정식을 표준형으로 정리하면 ″′ ″ ′ 이므로 이고 이므로 ″ ′ , ″ 이다. 특성방정식이 이므로 ± 이고 이다. 따라서 ″′ 이므로 이고, 이다. 3.3 Nonhomogeneous Linear ODEs 1. 을 풀면, (삼중근)이므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하면 이다. 따라서 이고 일반해는 이다. 2. 을 풀면, 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하면 이다. 따라서 이고 일반해는 이다. 3. 을 풀면, ± ± 이므로 cos sin cos sin 이다. 미정계수법에 의하여 cosh sinh 라 하자. 이므로 sinh 이고 일반해는 cos sin cos sin sinh 이다. 4. 을 풀면, ± 이므로 cos sin 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하면 이다. 따라서 cos sin 이고 일반해는 cos sin cos sin 이다. 5. 을 풀면, (중근), 이므로 ln 이다. 매개변수변환법에 의하여, 이므로 ln ln cos sin cos sin sin 이다. ln ln 9. 을 풀면, ± ± 이므로 이므로 sin 이고 일반해는 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하자. ln ln ln 이고 특수해는 cos sin cos sin 이다. ln ln ′″ 이므로 초기조건에 의하여 , ′ , ″ , ′″ 이므로 이고 특수해는 cos sin 이다. 10. 을 풀면, (삼중근) 이므로 ln ln 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. 이다. 따라서 일반해는 이므로 이고 일반해는 ln 이다. ln ln 이다. 6. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 cos sin 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하면 이다. 따라서 cos 이고 일반해는 cos sin cos 이다. 7. 을 풀면, (삼중근)이므로 이다. 초기조건에 의하여 , ′ , ″ 이므로 이고 특수해는 ln ln 이다. 12. 을 풀면, 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하면 이므로 이고 일반해는 이다. 따라서 cos sin 이고 이다. 일반해는 cos sin 이다. 8. 을 풀면, ± ± 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. 이므로 이고 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 , ′ , 초기조건에 의하여 , ′ , ″ 이므로 이고 특수해는 이다. 13. 을 풀면, ± 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하자. 이므로 cos sin 이고 53 3.3 Nonhomogeneous Linear ODEs ″ , 일반해는 cos sin 이다. 이를 풀면 이므로 초기조건에 의하여 , 이다. ′ , 매개변수변환법을 적용하면 ″ 이므로 54 이고 특수해는 cos sin 이다. 14. 방정식 ″′ ″ ′ 에 대한 제3장 고계 선형상미분방정식 특성방정식은 이다. 이를 풀면, (삼중근)이므로 이다. 이므로 미정계수법을 적용하자. ln ln ln 라 하면 이다. 따라서 이다. ln 방정식 ″′ ″ ′ ln 에서 이다. 을 얻는다. Chapter 3 Review Questions and Problems 1. 중첩의 원리란 제차 선형미분방정식에 대해 해의 일차결합이 다시 해가 되는 성질을 의미한다. 즉, 해들의 합과 상수 곱도 다시 해가 되는 성질이다. 2. 제차 선형미분방정식에서 일반해를 구하는 중첩의 원리, 비제차 미분방정식의 특수해를 구하는 미정 계수법과 매개벼수변환법 3. 대응하는 제차방정식의 일반해를 라 하고 주어 진 비제차방정식의 특수해를 라 하면 비제차방정 cos sin 이다. 미정계수법에 의하여 cosh sinh 라 하자. 이므로 sinh 이고 일반해는 cos sin sinh 이다. 이므로 10. 을 풀면, ± 일반해는 이다. 식의 일반해는 와 의 합으로 표현된다. 를 11. 을 풀면, 결정하는 실제적인 문제는 매개변수변환법과 미정 (삼중근)이므로 일반해는 계수법에 의해 풀 수 있다. 이다. 4. 초기값 문제는 계 선형미분방정식과 주어진 ⋯ 을 가진 개의 초기조건 ⋯ 으로 구성된다. 5. Wronskian은 개의 함수들의 계 도함수까지 의 함수들로 만들어진 × 행렬의 행렬식을 의미 한다. 일차독립성을 증명하는데 유용하며 제차 미 분방정식의 기저로부터 일반해를 구하는 매개변수 변환법에 응용된다. 6. 을 풀면, ± ± 이므로 일반해는 cos sin 이다. 7. 을 풀면, ± 이므로 일반해는 cos sin 이다. 8. 을 풀면, 이므로 이다. 12. 을 풀면, ± 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 cosh sinh 라 하자. 이므로 cosh 이고 일반해는 cosh 이다. 13. 을 풀면, (삼중근)이므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. 이므로 이고 일반해는 이다. 14. 을 풀면, ± ± 이므로 미정계수법에 의하여 라 하자. 이다. 이므로 이고 일반해는 미정계수법에 의하여 라 하자. 이다. 이므로 이고 일반해는 9. 을 풀면, ± ± 이므로 이다. 15. 을 풀면, 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. 이므로 이고 일반해는 이다. 이므로 일반해는 이다. 이므로 이고 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 , ′ , 초기조건에 의하여 , ″ 이므로 ′ , ″ 이므로 이고 특수해는 이다. 이고 특수해는 이다. 17. 을 풀면, , ± 이므로 cos sin 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. 이므로 이고 일반해는 이다. cos sin 초기조건에 의하여 , ′ , ″ 이므로 이고 cos 이다. 18. 을 풀면, ± ± 이므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. 이므로 이고 일반해는 이다. 초기조건에 의하여 , ′ , ″ , ″′ 이므로 이고 이다. 19. 을 풀면, 이므로 이다. 20. 을 풀면, (삼중근)이므로 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하면 이다. 따라서 cos sin 이고 일반해는 cos sin 이다. 초기조건에 의하여 , ′ , ″ 이므로 이고 특수해는 cos sin 이다. 55 Chapter 3 Review Questins and Problems 16. 을 풀면, (중근), 미정계수법에 의하여 라 하자. CHAPTER 4 연립상미분방정식. 위상평면. 정성법 4.1 Systems of ODEs as Models in Engineering Applications 1. 예제 1에서 를 고려하면 유체 유동률을 2 배로 하면 이고 탱크의 크기를 로 해도 이므로 동일한 결과를 얻는다. 58 2. 주어진 조건에 의해 제4장 연립상미분방정식. 위상평면. 정성법 ′ ′ 이므로 ′ 이다. ′ det 이므로 이다. 이므로 이고 이다. ′ ′ ′ ′ 이다. 따라서 이고 이다. 이 고 이므로 이고 이다. 두 식을 연립하면 이고 이다. 따라 서 이고 고유벡터는 와 이다. ′ ′ 이므로 일반해는 7. 예제 1번에서 일반해가 , 이므로 이다. 따라서 일반해는 , 이다. 8. 주어진 조건을 모델링하면 이다. ′ 에서 이며 이에 대응하는 고유벡터는 와 이다. 따라서 이다. 미정계수법에 의하여 라 하면 이므로 일반해는 이다. , 이다. 초기조건에 의하여 , 이므로 ′ 이다. ′ 이다. 따라서 에서 det 이며 이에 대응하는 고유벡터는 와 이다. 따라서 일반해는 이다. , 이다. 10. (a) ′ 로 두면 ′ ′ ′ 이므로 이다. ′ det 일반해는 탱크의 크기나 유동률 만의 값이 아닌 둘 사이의 비율 에 관하여 표현되었으며 값이 커 에서 이며 이에 대응하는 고유벡터는 와 이다. 그러므로 이다. 지면 정상상태 도달시간이 짧아진다. 5. 주어진 조건을 모델링하면 ′ ′ 따라서 이다. (b) 을 풀면, 이므로 ′ 이므로 ′ ′ ′ 6. 문제 5번에서 특성방정식은 는 , , 이다. 따라서 9. 예제 2에서 4. 와 같은 값을 갖는 계를 모델링하면 tan 며 이고 이에 대응하는 고유벡터 det 3. ′ ′ 이므로 이 이다. 에서 이고 고유벡터는 , det 일반해는 이다. 11. (a) ′ 로 두면 ′ ′ ′ 이므로 이다. ′ det 에서 이며 이에 대응하는 고유벡터는 와 이다. 그러므로 따라서 이다. (b) 을 풀면, 이므로 일반해는 이다. 14. (a) 주어진 조건을 모델링하면 따라서 이다. ″ 이다. ″ ″ ″ 이므로 (b) 을 풀면, 이므로 일반해는 이다. (b) 라 하면 ″ 이다. 12. (a) ′ ″ 로 두면 ′ ′ ′ 이므로 로 치환하면 이므로 고유치는 ′ ′ 이다. ′ 이고 고유벡터는 와 이므로 이다. ± ± det 에서 이며 대응하는 고유벡터는 , 와 이다. 그러므로 이다. 따라서 이다. (b) 을 풀면, 이므로 일반해는 이다. cos sin cos sin 따라서 일반해는 cos sin cos sin cos sin cos sin 이다. (c) mode 해석 일 때는 과 가 초기에 같은 13. (a) ′ 로 두면 ′ ′ 방향으로 움직이면 물체의 조화운동에서 두 개의 ′ 이므로 이다. ′ 스프링이 동시에 수축 또는 팽창되는 것을 의미 det 에서 이며 이에 대응하는 고유벡터는 와 이다. 그러므로 한다. 일 때는 과 가 초기에 다른 방향으로 움직이면 물체의 조화운동 역시 하나의 스프링이 압축될 때 다른 스프링은 인장되는 것을 의미한다. 이다. 4.3 Constant-Coefficient Systems. Phase Plane Method ′ 1. ′ det , 이다. 에서 ′ 3. ′ 에서 고유치는 이고 이에 대응하는 고유벡터는 det , 이다. 고유치는 이고 이에 대응하는 고유벡터는 일반해는 , 이다. ′ 2. ′ 에서 det , 이다. 일반해는 , 이다. ′ 4. ′ 고유치는 이고 이에 대응하는 고유벡터는 det , 이다. 일반해는 에서 고유치는 (중근)이고 이에 대응하는 59 4.3 Constant-Coefficient Systems. Phase Plane Method 이다. 고유벡터는 이다. 일반해는 , 이다. 이므로 로 선택하면, ′ 5. ′ 60 에서 det 제4장 연립상미분방정식. 위상평면. 정성법 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. 따라서 일반해는 , 이다. ′ 6. ′ 에서 det 이다. 따라서 고유치는 ± 이다. 일 때 고유벡터는 이고, 일 때 고유벡터는 이다. 일반해는 cos sin cos sin 이다. 그러므로 일반해는 , 이다. ′ 9. ′ ′ ′ 7. ′ ′ 이다. 따라서 고유치는 이고 고유벡터는 , , 이다. 일반해는 , , 이다. ′ 10. ′ 에서 이다. 그러므로 일반해는 일 때 고유벡터는 , 일 때 이고, 일 때 고유벡터는 , 이다. 초기조건으로부터 , 이므로 이고 특수해는 , 이다. ′ 11. ′ 이다. 고유벡터는 일반해는 이므로 고유치는 이고 고유벡터는 , det ± 이다. 이므로 det det 이다. cos sin det , cos sin 에서 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. cos sin 그러므로 일반해는 , 이다. 이다. 초기조건으로부터 ′ 8. ′ det , 이므로 에서 고유치는 (중근)이고, 고유벡터는 이므로 첫 번째 기저는 이다. 두 번째 독립인 기저를 라 하고 주어진 방정식에 대입하면, 이고 특수해는 , 이다. ′ 12. ′ det 에서 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. 즉, ′ ″ ′ 이다. 이다. 위 두 식에 의하여 ″ ′ ′ 이다. 일반해는 , 이다. 따라서 ″ ′ 이다. 초기조건으로부터 , 특성방정식이 이므로 (중근) 이므로 이고 이다. 일반해는 특수해는 , 이다. , ′ 61 이다. 4.4 Criteria for Critical Points. Stability ′ 13. ′ det 17. 항을 소거하면, ′ ′ 이다. 에서 고유치는 이고 고유벡터는 , 즉, ′ ′ 이다. 첫 번째 식을 에 대하여 미분하면, ″ ′ ′ 이다. 즉, ′ ″ ′ 이다. 이다. 일반해는 , 위 두 식에 의하여 ″ ′ ′ 이다. 이다. 초기조건으로부터 따라서 ″ ′ 이다. , 이므로 특성방정식이 이므로 ± 이고 이고 특수해는 cos sin , , 이다. 이다. 18. 주어진 조건을 모델링하면 ′ 14. ′ det ′ sin cos ′ ′ 이므로 에서 고유치는 ± 이다. 일 때 고유벡터는 이고, 일 때 ′ ′ det 에서 고유치 고유벡터는 이다. 그러므로 일반해는 는 이고 고유벡터는 , cos sin 이다. 일반해는 , 이다. 초기조건으로부터 cos sin , 이므로 이다. 초기조건으로부터 , , 이다. 이므로 이고 특수해는 cos , sin 이다. ′ 15. ′ det 이고 특수해는 19. Kirchhoff의 전압법칙을 적용하여 그림 88을 회로와 회로의 두 폐회로로 분리하여 두 회로의 전압강하는 각각 에서 ′ 이다. 일반해는 , 이다. 초기조건으로부터 , 이므로 이고 특수해는 , 이다. 16. 항을 소거하면, ′ ′ 이다. 을 대입한 후 정리하면 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. ′ ′ det 에서 고유치는 이고 고유벡터는 , 즉, ′ ′ 이다. 이다. 일반해는 , 첫 번째 식을 에 대하여 미분하면, ″ ′ ′ 이다. 4.4 Criteria for Critical Points. Stability ′ 1. ′ cos sin ∆ 이므로 불안정한 마디점 (unstable node)이다. 62 det 에서 고유치는 이고 고유벡터는 , 제4장 연립상미분방정식. 위상평면. 정성법 이다. 그러므로 일반해는 , 이다. ∆ 이므로 안정한 흡인적 마디점 (stable and attractive node)이다. det , 이다. 그러므로 일반해는 ∆ 이므로 안정한 흡인적 마디점 (stable and attractive node)이다. 에서 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. 그러므로 일반해는 , 이다. ′ 3. ′ , 이다. ′ 7. ′ ∆ 이므로 불안정한 안장점 (unstable saddle point)이다. det 에서 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. 그러므로 일반해는 ∆ 이므로 안정한 중심점(stable center)이다. ′ 6. ′ 에서 고유치는 이고 고유벡터는 ′ 2. ′ det 이다. 에서 고유치는 det 이고 고유벡터는 , 이다. 그러므로 일반해는 cos sin , 이다. ′ 8. ′ ∆ 이므로 불안정한 안장점 (unstable saddle point)이다. det 에서 cos sin 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. 이다. 이다. 그러므로 일반해는 ′ 4. ′ ′ 9. ′ ∆ 이므로 불안정한 안장점 ∆ 이므로 불안정한 마디점 (unstable saddle point)이다. (unstable node)이다. det 에서 det 에서 고유치는 이고 고유벡터는 , 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. 그러므로 일반해는 이다. 그러므로 일반해는 이다 ′ 5. ′ , 이다. ′ 10. ′ ∆ 이므로 안정한 나선점(stable ∆ 이므로 안정한 나선점(stable spiral point)이다. spiral point)이다. det det 에서 고유치는 ± 이고 고유벡터는 , 고유치는 ± 이고 고유벡터는 에서 이다. 그러므로 일반해는 , 이다. cos sin 그러므로 일반해는 cos sin cos sin 11. 특성방정식이 이므로 ± 이고 는 변하지 않는다. 15. 임계점으로 중심을 가지므로 이다. 이다. ≠ 이면 안정은 불안정으로, 불안정은 안정으로 바뀐다. 와 ∆ 가 변하지 않으므로 임계점의 종류 cos sin 이다. 연립방정식 ′ ′ 로 변형된다. 즉, ∆ 이므로 임계점의 종류는 나선점이다. ′ 이다. ′ ∆ 이므로 안정한 흡인적 나선 (stable and attractive spiral point)이다. 12. 특성방정식이 이므로 ± 이고 cos sin 이다. ′ 로 치환하면 주어진 방정식은 연립방정식 ′ ′ 로 변형된다. 즉, ′ ′ 이다. ≠ , 이므로 16. 임계점으로 중심을 가지므로 이다. 라 하자. 를 라 치환하면 이므로 ≠ , ∆ 이므로 임계점의 종류는 나선점이다. 이면 흡인적 안정(stable and attractive)이고 이면 불안정(unstable)이다. 17. 예제4번에서 계수들의 행렬 을 ∆ 이므로 안정한 중심(stable 로 바꾸면 center)이다. , ′ 13. (10) ′ ∆ 이므로 불안정한 마디점이다. ′ (11) ′ ∆ 이므로 불안정한 안장점이다. ′ (12) ′ ∆ 이므로 안정한 중심이다. ′ (13) ′ ∆ 이므로 안정한 나선점이다. 14. 라 치환하면 이다. ∆ 이다. (a) 안장점 : 따라서 (b) 안정한 흡인적 마디점 : ∆ ≥ 따라서 ≤ (c) 안정한 흡인적 나선점 : ∆ 따라서 (d) 불안정한 나선점 : 또는 ∆ 따라서 ′ ′ 이므로 변환된 연립방정식은 (e) 불안정한 마디점 : 이 곱해진 형태이다. 따라서 는 로 변하지 따라서 ≤ ∆ ≥ 만, 와 ∆ 는 변하지 않는다. 가 로 변하므로 4.5 Qualitative Methods for Nonlinear Systems 1. 축과 만날 때는 가장 높이 올라갔을 때의 상태 (속력 )이고, 축과 만날 때는 진자가 가장 저점 2. 극한사이클은 주변의 모든 직교절선과의 거리가 (가장 가까운 점이 없다.)이고, 중심 주위의 한 을 통과할 때의 상태(속력은 최대)이다. 직교절선은 주변의 모든 직교절선과의 거리가 이 곡선의 직교절선은 진자가 회전을 하고 있는 아니다.(가장 가까운 두 점이 존재한다.) 상태를 나타내는데 축과 만나는 점은 가장 저점을 통과하는 순간이다. 4. ′ ′ 을 풀면 임계점은 이다. 63 4.5 Qualitative Methods for Nonlinear Systems ′ 로 치환하면 주어진 방정식은 라 하자. 를 라 치환하면 임계점 에서 ′ ≈ 이므로 이고 ∆ 이다. 따라서 마디점(node)이다. 로 두면 주어진 임계점 에서 방정식은 64 ′ ≈ , ′ 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 안장점(saddle point)이다. 8. ′ ′ 을 풀면 임계점은 이다. 제4장 연립상미분방정식. 위상평면. 정성법 로 변형되므로 이고 임계점 에서 ′ ≈ , ′ ≈ 이므로 ∆ 이다. 따라서 안장점(saddle point)이다. 5. ′ ′ 을 풀면 임계점은 이다. 이고 ∆ 이다. 따라서 안장점(saddle point)이다. 로 두면 주어진 임계점 에서 방정식은 ′ ≈ ′ , 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 임계점 에서 ′ ≈ 이므로 이고 ∆ 이다. 따라서 안장점(saddle point)이다. 로 두면 임계점 에서 주어진 방정식은 ′ , ′ ≈ 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 따라서 중심(center)이다. 7. ′ ′ 을 풀면 임계점은 이다. 임계점 에서 ′ ≈ 이므로 이고 ∆ 이다. 따라서 나선점(spiral point)이다. 로 두면 주 임계점 에서 어진 방정식은 ′ ≈ 방정식은 ′ ≈ , ′ ≈ 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 따라서 중심(center)이다. 로 두면 주어진 임계점 에서 방정식은 ′ ≈ , ′ ≈ 이다. 따라서 중심(center)이다. 6. ′ ′ 을 풀면 임계점은 따라서 안장점(saddle point)이다. 로 두면 주어진 임계점 에서 임계점 에서 ′ ≈ 이므로 이고 ∆ 이다. ′ 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 따라서 중심(center)이다. 로 두면 주어 임계점 에서 진 방정식은 ′ ≈ , ′ ≈ 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 따라서 안장점(saddle point)이다. 9. ′ 로 두면 ′ ′ 이다. 을 풀면 임계점은 이다. 임계점 에서 ′ ≈ 이므로 이고 ∆ 이다. 따라서 안장점(saddle point)이다. 로 두면 주어진 임계점 에서 방정식은 ′ , ′ ≈ 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 따라서 중심(center)이다. 로 두면 주어 임계점 에서 진 방정식은 ′ , ′ ± ≈ 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 따라서 중심(center)이다. 10. ′ 로 두면 ′ ′ 이다. 12. ′ 로 두면 ′ ′ 이다. 을 풀면 임계점은 이다. 65 임계점 에서 ′ ≈ 이므로 이고 ∆ 이다. 이다. 임계점 에서 ′ ≈ 이므로 이고 ∆ 이다. 따라서 중심(center)이다. 로 두면 임계점 에서 주어진 방정식은 따라서 중심(center)이다. 로 두면 주어진 임계점 에서 ′ , ′ ≈ 로 변형되므로 이고 ∆ 방정식은 ′ , ∆ 이다. 따라서 중심(center)이다. 이다. 따라서 안장점(saddle point)이다. ′ ≈ 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 따라서 안장점(saddle point)이다. 로 두면 임계점 에서 주어진 방정식은 ′ , 13. ′ 로 두면 ′ ′ sin 이다. sin 을 풀면 임계점은 정수 이다. 로 두면 임계점 에서 주어진 방정식은 ′ ≈ ′ sin sin ≈ ′ , 로 변형되므로 이고 ∆ 로 변형되므로 이다. 따라서 안장점(saddle point)이다. 이고 cos 을 풀면 임계점은 ∆ 이다. 따라서 중심(center)이다. 로 임계점 에서 두면 주어진 방정식은 ′ , 11. ′ 로 두면 ′ ′ cos 이다. 정수 이다. 임계점 에서 로 두면 주어진 방정식은 ′ , 이다. 따라서 안장점(saddle point)이다. 임계점 에서 로 두면 주어진 방정식은 ′ , ′ cos cos sin ≈ ′ sin sin sin ≈ 이고 ∆ 이다. 따라서 안장점(saddle point)이다. 로 변형되므로 이고 ∆ 로 변형되므로 ′ cos cos sin ≈ 14. (a) ′ 로 치환하면, ′ ′ 이다. 임계점이 이므로 ′ ≈ 이므로 이고 ∆ 이다. (ⅰ) ≥ 이면 불안정한 마디점. (ⅱ) 이면 불안정한 나선점. (ⅲ) 이면 안정한 중심. (ⅳ) 이면 안정한 흡인적 나선점. (ⅴ) ≥ 이면 안정한 흡인적 마디점. 4.5 Qualitative Methods for Nonlinear Systems 을 풀면 임계점은 로 변형되므로 이고 → 이면 예제 5번의 식 (11)이 으로 변형된다. 따라서 이다. 등경사선 66 (isocline)은 으로 변형되므로 제4장 연립상미분방정식. 위상평면. 정성법 원점을 지나는 직선들이 된다. (b) Rayleigh 방정식을 미분하면 ″′ ′ ″ ′ ′ ″ ′ , ′ ′ 이다. 두 식을 곱하면 ′ ′ , ′ ′ 이다. 양변을 에 대하여 적분하면 , 이다. 15. ′ 로 치환하면, ′ ′ 이다. 두 식을 곱하면 ′ ′ , ″′ ′ ″ ′ 이다. ′ ′ 이다. 양변을 에 대하여 ′ 이라 치환하면 ″ ′ (Van 적분하면 이다. der Pol 방정식)이다. (c) ′ 로 치환하면, 4.6 Nonhomogeneous Linear Systems of ODEs 1. 가 제차방정식 ′ 의 해이고 가 식 (1)의 특수해이므로 ′ 이고 ′ 이다. 따라서 ′ ′ ′ 이므로 는 식 (1)의 해이다. 가 식 (1)의 해라고 가정하면 ′ 이다. 따라서 ′ ′ ′ 이므로 는 제차방정식 ′ 의 해이다. 따라서 이다. ′ cos 2. sin ′ det 에서 det 에서 고유치는 ± 이고 고유벡터는 , 이다. 그러므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. 이므로 이고 이다. 따라서 일반해는 , 이다. ′ cosh 4. ′ cosh sinh 에서 고유치는 ± 이고 고유벡터는 , det 이다. 고유치는 이고 고유벡터는 , 그러므로 이다. 이다. 그러므로 . 미정계수법에 의하여 cos sin 라 미정계수법에 의하여 cosh sinh 라 하자. 하자. cos sin 이므로 이고 sin 이다. 따라서 일반해는 cosh sinh 이므로 이고 cos sin , sinh 이다. 따라서 일반해는 cos sin sinh , 이다. sinh ′ 3. ′ 이다. ′ 5. ′ 에서 det 이므로 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. 그러므로 미정계수법에 의하여 라 하자. 이고 이므로 이다. 일반해는 이고 , 이다. 따라서 일반해는 , ′ 6. ′ 에서 고유치는 ± 이고 고유벡터는 , 이다. 그러므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. 이므로 이고 이다. ′ 10. ′ 에서 이다. 그러므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. 이므로 이고 이다. 일반해는 , 이다. 초기조건에 의하여 , 이므로 이다. 따라서 특수해는 , 따라서 일반해는 이다. 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. det det , 이다. ′ 7. ′ 에서 det 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. ′ 11. ′ det 에서 고유치는 ± 이고 고유벡터는 , 이다. 이다. 그러므로 그러므로 이다. 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. 미정계수법에 의하여 라 하자. 이므로 67 4.6 Nonhomogeneous Linear Systems of ODEs 이다. 이다. 일반해는 이고 68 , 이므로 , 이다. 이다. 초기조건에 의하여 , 따라서 이고 특수해는 이므로 cos sin sin , cos sin 이다. 제4장 연립상미분방정식. 위상평면. 정성법 이다. 따라서 특수해는 , 이다. ′ 12. ′ 에서 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. 그러므로 이다. 미정계수법에 의하여 det 에서 고유치는 ± 이고 고유벡터는 , 이다. det ′ 14. ′ 라 하자. 이다. 그러므로 미정계수법에 의하여 라 하자. 이므로 이고 이다. 따라서 일반해는 cos sin 이다. 초기조건에 의하여 이므로 , cos sin 이다. 따라서 일반해는 , 이므로 이다. 이다. 초기조건에 의하여 , 따라서 고 특수해는 이므로 이다. cos sin , 따라서 특수해는 , 이다. cos sin ′ cos 13. sin ′ det 에서 고유치는 ± 이고 고유벡터는 , 이다. 이다. ′ 15. ′ det 에서 이다. 그러므로 고유치는 ± 이고 고유벡터는 , 미정계수법에 의하여 cos sin 라 그러므로 이다. 하자. 미정계수법에 의하여 라 cos sin 이므로 이고 sin 이다. 따라서 일반해는 sin cos sin sin cos sin 이다. 초기조건에 의하여 이다. 하자. 이므로 이고 이다. 따라서 일반해는 cos sin 라 하면 , 이므로 이다. 초기조건에 의하여 이고 특수해는 cos sin 이다. 일반해는 cos sin , cos sin 이다. 17. 주어진 조건을 Kirchhoff의 전압법칙에 의해 이다. 19. 초기조건에 의하여 모델링하면 ′ ′ ′ ′ 이므로 ′ 이다. det 에서 이고 고유벡터는 고유치는 ± , 이다. 그러므로 이다. 미정계수법에 의하여 이므로 라 하면 이다. 일반해는 이다. 18. 주어진 조건을 Kirchhoff의 전압법칙에 의해 모델링하면 이므로 이다. 20. 주어진 조건을 Kirchhoff의 전압법칙을 이용하여 모델링하면 이다. ′ det 에서 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. 그러므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하면 이므로 이다. 따라서 일반해는 ′ sin ′ ′ ′ 이므로 sin ′ sin 이다. det 에서 이고 고유벡터는 고유치는 ± , 이다. 그러므로 이다. 미정계수법에 의하여 이다. 초기조건에 의하여 이므로 이다. 따라서 특수해는 이다. Chapter 4 Review Questions and Problems 69 Chapter 4 Review Questins and Problems , 이므로 1. 2개의 탱크를 갖는 혼합문제 2. population dynamics는 포식자와 먹이 사이의 개체수에 대한 모형을 의미한다. 3. 차의 선형미분방정식에서 ′ ″ ⋯ 70 로 치환하면 일차의 연립방정식 으로 바꿀 수 있다. 제4장 연립상미분방정식. 위상평면. 정성법 4. 정성법(qualitative method)은 실제로 방정식의 9. 선형화(linearization)는 ′ 형태의 비선형 방정식에서 를 특정한 점 근처에서 로 근사시키는 것이다. ′ 11. ′ ∆ 이므로 불안정(unstable)한 안장점(saddle point)이다. 에서 고유치는 해를 구하지 않고 정성적인 방식으로 해의 det 일반적인 특성을 조사하는 방법이다. 정성법은 ± 이고 고유벡터는 , 이다. 해석적 방법으로 해를 구하기가 어렵거나 불가능한 일반해는 , . 연립방정식에 대하여 특히 가치가 있는 방법인데. 실제적으로 주요한 많은 1계비선형연립방정식이 이와 같은 경우가 된다. 상평면법(phase plane method)은 정성법이다. 5. 선형연립방정식의 해를 라 할 때, ′ 12. ′ ∆ 이므로 불안정(unstable)한 마디점 (node)이다. 에서 평면을 상평면(phase plane)라 한다. 상평면법 det (phase plane method)은 주로 독립변수 가 고유치는 이고 고유벡터는 , 명시적으로 나타나지 않는 연립방정식인 자율계 이다. 일반해는 , 이다. (autonomous system)에 적용하여 상평면에 해곡선의 모임 전체를 나타낸다. 확장된 해법을 이용하여 해에 대한 다양한 일반적 성질들의 특성을 나타내므로 하나의 해를 제공하는 수치해법보다 더 좋은 장점을 갖는다. 상투영 (phase portrait)는 상평면에 궤적들을 채운 것이다. 6. 가 해일 때, 상평면의 점 는 ′ 13. ′ ∆ 이므로 안정한 흡인적(stable and attractive) 나선점(spiral point)이다. det 에서 고유치는 ± 이고 고유벡터는 , 한 점으로 이루어진 궤적인데 이 점을 임계점 이다. 그러므로 일반해는 (critical point)라 한다. 임계점은 계가 평형을 cos sin 이루는 점이므로 그 점 주변의 해의 모양을 아는 것은 계를 이해하는데 매우 중요하다. 마디점(node) ; 주변의 모든 궤적이 모두 들어오거나 모두 나가는 임계점 안장점(saddle) : 두 방향의 들어오는 궤적과 두 방향의 나가는 궤적이 있는 임계점 중심(center) : 주면의 모든 궤적이 폐곡선인 임계점 나선점(spiral) : 주변의 모든 궤적이 (접선을 가지지 않으면서) 모두 들어오거나 모두 나가는 임계점 7. 주어진 × 행렬 에 대하여 어떤 벡터 ≠ 에 대하여 식 이 성립하는 스칼라 를 의 고유값(eigenvalue)라 하고 이 벡터 를 고유값 에 대응하는 의 고유벡터(eigenvector)라 한다. 방정식 ′ 에서 의 고유값과 고유벡터를 구하면 는 해가 된다. 8. 안정성(stability)은 어느 순간의 물리적 계의 작은 cos sin 이다. ′ 14. ′ ∆ 이므로 불안정(unstable)한 안장점(saddle point)이다. det 에서 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. 일반해는 , 이다. ′ 15. ′ ∆ 이므로 안정한 흡인적(stable 변화가 이후의 모든 시간에서의 계의 거동에 단지 and attractive) 마디점(node)이다. 작은 변화만을 주는 것을 의미한다. 어느 순간에 det 임계점에 충분히 접근한 궤적이 이후의 모든 시간에서 임계점에 근접한 상태로 남아 있다면 임계점을 안정한 임계점이라 한다. 에서 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. 일반해는 , 이다. ′ 16. ′ det ∆ 이므로 안정(stable)한 중심 (center)이다. det ′ 21. ′ 에서 고유치는 그러므로 일반해는 cos sin ± 이고 고유벡터는 , 이다. 그 러므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. cos sin 이므로 이다. 이고 ′ 17. ′ 이다. 따라서 일반해는 ∆ 이므로 안정한 흡인적(stable , and attractive) 나선점(spiral point)이다. 이다. 에서 det 고유치는 ± 이고 고유벡터는 , 이다. 그러므로 일반해는 cos sin cos sin 이다. 18. ∆ 이다. 따라서 안장점(saddle point)이다. 19. ∆ 이다. 따라서 나선점(spiral point)이다. ′ 20. ′ 에서 고유치는 det (중근)이고 고유벡터는 이다. 제차방정식의 두 번째 해를 라 ′ 하자. 이를 에 대입하면 ′ 을 얻을 수 있다. 그러므로 이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. 이므로 이고 이다. 따라서 일반해는 , 이다. ′ sin 22. ′ det 에서 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. 그러므로 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하자. cos sin 이므로 이고 cos sin 이다. 일반해는 cos sin , cos sin 이다. ′ cos 23. cos sin ′ det 에서 고유치는 이고 고유벡터는 , 이다. 그러므로 이다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하자. cos sin 이므로 이고 cos sin 이다. 따라서 일반해는 cos sin , 71 Chapter 4 Review Questins and Problems ± 이고 고유벡터는 , 이다. 에서 고유치는 이다. 24. 주어진 조건을 모델링하면 ′ ′ 이므로 72 제4장 연립상미분방정식. 위상평면. 정성법 에서 , 이다. 그러므로 일반해는 , 이다. 이다. 초기조건에 의하여 26. 주어진 조건을 Kirchhoff의 전압법칙을 이용하여 이므로 이다 따라서 특수해는 , 25. 주어진 조건을 Kirchhoff의 전압법칙에 의해 모델링하면 ′ sin ′ sin 이다. det 제차방정식의 두 번째 해를 ′ 에 대입하면 을 얻을 수 ′ 있다. 그러므로 이다. 미정계수법에 의하여 이므로 cos sin 이다. 일반해는 cos sin cos sin 이다. 초기조건에 의하여 이다. 초기조건에 의하여 이다. 따라서 특수해는 , 이다. cos sin 라 하면 이므로 라 하자. 이를 , 에서 고유치는 이고 고유벡터는 이다. ± 이고 고유벡터는 , sin ′ 에서 고유치는 이다. 그러므로 일반해는 이므로 모델링하면 ′ 이다. det 이다. cos sin cos sin 고유치는 이고 고유벡터는 이므로 이다. 따라서 ′ 이다. ′ det 27. ′ ′ 을 풀면 임계점은 이다. 임계점 에서 ′ ≈ 이므로 이고 ∆ 이다. 따라서 안 장점(saddle point)이다. 로 두면 주어진 임계점 에서 방정식은 ′ , ′ ≈ 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 따라서 중심(center)이다. 로 두면 주어 임계점 에서 진 방정식은 ′ , 로 두면 임계점 에서 ′ ≈ ′ ≈ , 로 변형되므로 이고 ′ 주어진 방정식은 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 따라서 중심(center)이다. ∆ 이다. 따라서 안장점(saddle point)이다. 정수 이다. 임계점 에서 로 두면 주어진 방정식은 ′ cos cos sin ≈ , ′ 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 따라서 중심(center)이다. 임계점 에서 로 두면 주어진 방정식은 ′ cos cos sin ≈ , ′ 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 따라서 안장점(saddle point)이다. 29. ′ ′ sin 을 풀면 임계점은 정수 이다. 로 두면 임계점 에서 주어진 방정식은 ′ , ′ sin sin ≈ 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 따라서 중심(center)이다. 임계점 에서 로 두면 주어진 방정식은 ′ , ′ sin sin sin ≈ 로 변형되므로 이고 ∆ 이다. 따라서 안장점(saddle point)이다. 30. ′ ′ 을 풀면 임계점은 이다. 임계점 에서 ′ ≈ 이므로 이고 ∆ 이다. 따라서 중심(center)이다. 73 Chapter 4 Review Questins and Problems 28. ′ cos ′ 을 풀면 임계점은 CHAPTER 5 상미분방정식의 급수해. 특수함수 5.1 Power Series Method 2. → 이므로 이다. 76 3. 로 치환하면, 변수 의 계수는 제5장 상미분방정식의 급수해. 특수함수 이다. 이고, 4. 주어진 멱급수를 정리하면 → 이다. 따라서 ∞ 이다. 5. 로 치환하면, 변수 의 계수는 이다. 즉, 이고 이고, 멱급수는 에서 수렴한다. 에서 수렴하므로 수렴반지름은 이다. , 이다. 따라서 이다. 9. ⋯ ″ 이므로 , , 이고, ′ ⋯ ″ ⋯ 이다. 로 치환하면, 변수 의 계수는 ′ ⋯ ′ ⋯ ∞ ′ ⋯ ′ 이므로 , , , , 즉, 이고 멱급수는 에서 수렴한다. 에서 수렴하므로 수렴반지름은 이다. ∞ 8. ⋯ , , 이다. 따라서 ′ ⋯ ′ ⋯ ⋯ ∞ 10. 이라 하자. ∞ ′ ∞ ∞ ∞ 으로 변형된다. 즉, ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ′ ⋯ ′ 이므로 , , , , , 이다. 따라서 ⋯ 이다. 7. ⋯ 이므로 주어진 방정식은 따라서 이다. ∞ , ″ ∞ , 이다. ′ 이므로 , , , 이다. 6. ⋯ ⋯ ⋯ cos sin ∞ ∞ 이다. 즉, , ⋯ 이다. , , , ∞ ∞ ∞ , ⋯ 이므로 일반해는 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ , , , ⋯ ∞ ⋯ 이다. ∞ 이라 하자. 13. 이므로 일반해는 ∞ ∞ 즉, , , ∞ ∞ ∞ 이다. 으로 변형된다. 즉, 이다. 즉, ⋯ 이다. ∞ ∞ ∞ 이므로 주어진 방정식은 ∞ ∞ 77 ∞ , ″ ∞ 이라 하자. ′ ∞ ∞ ′ ∞ , ″ 이므로 주어진 방정식은 이다. 즉, ∞ ∞ ⋯ 으로 변형된다. 즉, 이다. , ∞ , ∞ ∞ 이다. ∞ , ″ 이므로 주어진 방정식은 ∞ ∞ 이다. 즉, , , 이라 하자. ∞ ∞ ∞ ⋯ ⋯ ′ 이므로 일반해는 ∞ , ⋯ 12. ⋯ 이다. , , , , ⋯ 이므로 일반해는 5.1 Power Series Method ∞ 으로 변형된다. 즉, ⋯ ⋯ 11. ′ ⋯ ⋯ ⋯ ′ 이므로 , , , , 이다. ∞ 78 14. 이다. 따라서 이라 하자. 제5장 상미분방정식의 급수해. 특수함수 ∞ ′ ∞ , ″ 이다. 이므로 주어진 방정식은 ∞ ∞ 17. ⋯ ′ ⋯ ∞ 으로 변형된다. 즉, ∞ ∞ ∞ ″ ′ 이므로 , , , ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 이다. 즉, , , ⋯ 이다. 이다. 18. ⋯ ′ ⋯ 초기조건에 의하여 , ′ 이다. ″ ⋯ ″ ⋯ ⋯ ″ ′ 이므로 , , , , , , , 이다. 따라서 , 이고 이다. 19. ⋯ 이다. 즉, ⋯ 이므로 일반해는 ∞ ∞ 이다. ∞ ∞ ⋯ 15. 이다. 따라서 이고 ′ ⋯ ′ ⋯ 초기조건에 의하여 , ′ 이다. ″ ⋯ 이고 ∞ ∞ 16. ⋯ 초기조건에 의하여 이다. 초기조건에 의하여 이다. ⋯ ′ ⋯ ′ ⋯ ⋯ ′ 이므로 , , , , 이다. 따라서 이다. 5.2 Legendre's Equation. Legendre Polynomials 1. 이면, 이고 ∙ ∙ ∙ ⋯ ⋯ 10. (a) 먼저 식 (11)을 이용한 Legendre polynomial의 을 만족함을 증명하겠다. ∙ ln ln ln ⋯ ″ ′ 을 ′ 로 두고 풀면, ′ , , , ln ln , ′ ln ln ln 따라서 해의 기저는 와 ln 두 번째로 이므로 두 결과가 일치한다. ∞ ∗ 에서 함수 의 점화식을 구하겠다. 식 ∗ 의 양변을 로 미분하고 을 2. 이면, 이고 ∙ ∙ ∙ ∙ ⋯ ⋯ ⋯ ln 곱하면 ∞ 이다. 식 ∗ 를 좌변에 대입하고 의 거듭제곱으로 정리하면 이다. ∞ 3. 를 예로 들면, 이므로 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∞ ∞ 이다. ∞ ∞ 이다. 이것으로부터 ≥ 이면 은 점화식 ; 을 만족함을 알 수 있다. 4. 를 예로 들면, 같은 점화식을 만족하고 식 ∗ 에 을 ″ ′ 이다. 대입하면 , 식 ∗ 를 미분해서 을 대입하면 이므로 ≥ 이다. (b) (12)식에 cos 를 대입하면 5. 이므로 이다. ∙ 이므로 이다. ∞ cos 이다. cos 양변에 을 곱하면 ∞ cos 이다. cos 79 5.2 Legendre’ s Equation. Legendre Polynomials Pn (x) 이므로 ∙ 점화식 ; ln ⋯ ln ⋯ 코사인 제2법칙에 의하여 cos ∞ 이다. 제5장 상미분방정식의 급수해. 특수함수 13. 를 예로 들면, ∞ 이므로 이다. ∙ ∙ ∙ 이면 식 (12)에 의하여 ∞ 이다. ∞ 이므로 이다. 이면 식 (12)에 의하여 ∞ ∙ 이므로 이고 ⋯ ∙ ∙ ⋯ 이다. 14. 식 (12)을 에 대하여 미분하면, ∞ 이다. ∞ (c) 이면 식 (12)에 의하여 80 이고 이다. cos 이다. ∞ ∞ , ∞ ∞ 이다. 11. 으로 치환하면, , 이므로 이다. 의 계수를 정리하면 ′ 이고 ″ 이다. 따라서 주어진 이므로 방정식을 정리하면, Legender 방정식 이다. 이 된다. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 이므로 일반해는 이다. 이다. 해의 기저는 12. 15. 이므로 이므로 이고 다항식이므로 번 미분을 하면 차 다항식은 이다. 이다. , ″ 이므로 ′ ″ ′ 0이 된다. 즉, 미분할 때 ≥ , ≥ 인 에 대하여 합을 계산하면 된다. 이므로 은 차 이다. , ″ 이므로 ′ ″ ′ 이다. ′ , ″ 이므로 이다. ′ , ″ 이므로 이다. ″ ′ 따라서 는 식 (16)을 만족한다. 5.3 Extended Power Series Method : Frobenius Method 2. 로 치환하면 , ′ , ″ , 이므로 이다. 즉, 이므로 ∞ 이라 하자. 주어진 방정식은 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ , , 이다. 즉. , ⋯ 이다. , ⋯ 이므로 ∙ ∞ , , , , ∙ ∙ 으로 변형된다. 즉, ∞ ⋯ , , ∞ 따라서 이다. ∞ 결정방정식은 이다. 인 경우에 ∞ ∞ 이다. 주어진 방정식을 정리하면 ∞ 이다. 즉. 는 임의의 실수이고, , ⋯ 이다. ∞ sin 이다. ⋯ 이다. 따라서 이다. 따라서 ln , ln 차수축소법에 의하여, ′ ln csc , 차수축소법에 의하여, ′ sin 이므로 ln 이다. sin cos cot 이므로 cot ∙ 이다. 그러므로 ln 이다. 3. 주어진 방정식을 정리하면 ″ ′ 이므로 4. 주어진 방정식을 정리하면 ″ 이므로 이다. 즉, 이므로 이다. 즉, 이므로 결정방정식은 이다. 결정방정식은 이다. 따라서 이다. ∞ 따라서 이다. 인 경우에 ∞ 인 경우에 ∞ ′ 이라 하자. ∞ 이라 하자. 주어진 ∞ 으로 변형된다. 즉, ∞ 으로 변형된다. 즉, ∞ 이므로 주어진 방정식은 ∞ ∞ 방정식은 ∞ , ″ 이다. 즉, ⋯ 이므로 , , , ⋯ 81 5.3 Extended Power Series Method: Frobenius Method ″ ′ 이다. 따라서 ⋯이다. 따라서 이다. ∞ ln ⋯ 라 ∞ , ⋯이다. 제5장 상미분방정식의 급수해. 특수함수 ∞ ∞ 이다. 방정식은 ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ 이다. 즉, 이므로 , , , , ⋯ 이다. 즉, , , ⋯ 이다. , , ⋯ ⋯ 이다. 공식에 의하여 ln ⋯ 라 하자. , 으로 선택하면, , , , ⋯이다. 따라서 ⋯ 이다. 7. 이다. 즉, 이다. 따라서 ⋯ 이다. 공식에 의하여 이므로 결정방정식은 이다. 따라서 이다. ∞ 인 경우에 ln ⋯ 이다. 따라서 으로 변형된다. 즉, ∞ 이라 하자. 주어진 ∞ 따라서 (중근)이다. ∞ ∞ 이므로 이다. ∞ 즉, 이므로 결정방정식은 으로 변형된다. 즉, ″ ′ 5. 주어진 방정식을 정리하면 ∞ ∞ 따라서 ln ⋯ 이다. 인 경우에 이라 하자. 주어진 방정식은 하자. 으로 선택하면, , 82 인 경우에 공식에 의하여 이라 하자. 주어진 방정식은 ∞ , , , ⋯이다. 라 하자. ∞ 으로 변형된다. 즉, 따라서 ln ⋯ 이다. 6. 주어진 방정식을 정리하면 ″ ′ 이므로 이다. 즉, 이므로 결정방정식은 이다. ∞ 이다. 즉, , , ⋯ 이므로 , , , ⋯ 이므로 결정방정식은 이다. 따라서 이다. 이다. 따라서 ∞ 인 경우에 이다. 공식에 의하여 방정식은 ∞ 라 하자. 으로 선택하면, , 따라서 ⋯ 이다. ∞ 이라 하자. 주어진 으로 변형된다. 즉, ∞ ∞ ∞ ∞ 이다. 즉, ⋯ 주어진 방정식은 이다. ⋯ 이다. 즉, , ⋯ , , , , ⋯ 이다. 따라서 ⋯이다. 공식에 의하여 ln ⋯ 라 하자. , , , ⋯ 이므로 ln ⋯ 이다. 9. 주어진 방정식을 정리하면 ″ ′ 이므로 이다. 즉, ∞ , ∞ 인 경우에 이라 하자. ∞ 으로 변형된다. 즉, ∞ ∞ 따라서 이다. ∞ ∞ ∞ 이므로 , ⋯ 이다. 방정식은 ∞ 따라서 (중근)이다. 결정방정식은 이다. 8. 주어진 방정식을 정리하면 ″ ′ 이므로 이다. 즉, 이므로 , , , ⋯이다. ∞ ln ⋯ 인 경우에 이라 하자. 주어진 ∞ 으로 변형된다. 즉, ∞ ∞ ∞ 이다. 즉, ⋯ 이므로 ⋯ 이다. 이다. 따라서 10. 주어진 방정식을 정리하면 ″ ′ 이므로 이다. 즉, 이므로 결정방정식은 이다. 따라서 이다. ∞ 인 경우에 이라 하자. 주어진 방정식은 ∞ ∞ ∞ 83 5.3 Extended Power Series Method: Frobenius Method ⋯ 차수축소법에 의하여, 이므로 으로 변형된다. 즉, ∞ ∞ , ∞ 84 ′ ln , 이다. 그러므로 이다. 12. 주어진 방정식을 정리하면 ″ ′ 이다. 즉, , 제5장 상미분방정식의 급수해. 특수함수 ⋯ 이다. 이므로 이다. 즉, ⋯ , , 이므로 결정방정식은 , , ⋯ 따라서 이다. 이다. ∞ ∞ 으로 변형된다. 즉, sin cos 그러므로 cot ∙ 이다. ∞ 이므로 결정방정식은 이다. 따라서 이다. 이라 하자. 주어진 인 경우에 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ , ∞ 이다. 차수축소법에 의하여, ln csc , cot 이므로 ′ sin sin cos cot ∙ 이다. 으로 변형된다. 즉, ∞ ∞ sin 방정식은 ∞ ⋯ 이므로 ∞ 이다. 즉, , ∞ ∞ 11. 주어진 방정식을 정리하면 이다. 즉, ∞ ln ′ , cot 이다. sin sin ″ ′ 이므로 이라 하자. 주어진 방정식은 차수축소법에 의하여, 이므로 sin ⋯ 이다. 인 경우에 이다. 따라서 이다. 즉, , ⋯ 이다. , , 13. 주어진 방정식을 정리하면 ″ ′ 이므로 이다. 즉, 이므로 결정방정식은 이다. 따라서 (중근)이다. ∞ 인 경우에 ⋯ 이다. 주어진 방정식은 ∞ ∞ ∞ , 이다. 따라서 이라 하자. 으로 변형된다. 즉, ∞ ∞ ∞ ∞ 따라서 식 (16)의 결과를 얻는다. ⋯ (b) 나 가 음의 정수이면 은 언젠가부터는 이 된다. → 이다. 따라서 이다. ∞ 이다. 차수축소법에 의하여, 이므로 ′ ln , ln 이다. 14. (a) ∞ ′ , ∞ ″ ⋯ ⋯ ⋯ 이라 하자. 이므로 ∞ ∞ ∞ 이므로 ⋯ 주어진 방정식은 그러므로 ln 이다. ∞ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 이다. 으로 변형된다. 즉, ∞ ∞ 이다. 따라서 결정방정식은 이므로 이다. ∞ 이다. ∞ 이므로 ⋯ arctan 일 때, ⋯ ⋯ ∞ 이다. 즉 ⋯이므로 , ∙ , , ⋯ ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 이므로 ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∞ ∙ ∙ ⋯ arcsin 이다. 85 5.3 Extended Power Series Method: Frobenius Method 이다. 즉, ⋯ 이므로 (c) ⋯ 이다. ⋯ 15. 주어진 방정식을 정리하면 이므로 86 이므로 ⋯ ln 제5장 상미분방정식의 급수해. 특수함수 이다. 이다. ⋯ ln ∞ ∞ ∞ 이다. 따라서 (d) 일 때, ∞ 16. 이므로 이므로 따라서 이다. ⋯ ″ ′ 이므로 이다. 즉 ⋯ 이므로 , ⋯ 이다. 17. 주어진 방정식을 정리하면 ″ ′ 이므로 이므로 이다. 따라서 이다. 18. 주어진 방정식을 정리하면 이다. 이므로 따라서 ⋯ 이다. 이다. (e) 이라 치환하면 이고 이다. 이므로 이고 이다. 따라서 , 라 치환하면 해는 이다. 19. 주어진 방정식을 정리하면 이다. 이므로 이다. 라 치환하면 해는 이므로 이다. 라 치환하면 해는 이므로 이다. 20. 주어진 방정식을 정리하면 이다. 이므로 5.4 Bessel's Equation. Bessel Functions 1. → →∞ ″ ′ ″ 이므로 주어진 수렴한다. 2. 주어진 방정식은 Bessel 방정식이므로 일반해는 이다. ″ 이다. 주어진 방정식은 Bessel 방정식 으로 변형된다. 따라서 일반해는 이다. 8. 로 치환하면, 이므로 ′ , 따라서 일반해는 으로 변형된다. ″ 이다. 주어진 방정식은 Bessel 방정식 , 이므로 ′ , 7. 로 치환하면, 이므로 ′ , 4. 로 치환하면, 이다. 으로 변형된다. 이다. 따라서 으로 변형된다. 따라서 , 주어진 방정식은 Bessel 방정식 주어진 방정식은 Bessel 방정식 ″ 이다. ′ , 이므로 ′ , 로 치환하면, 이므로 ″ 이다. 로 치환하면, 3. 방정식은 ″ ′ 으로 변형된다. 이므로 ∞ 이다. 따라서 모든 에 대하여 이다. 5. 로 치환하면, 이므로 ′ , ″ 이다. 주어진 방정식은 Bessel 방정식 ″ 이다. 주어진 방정식은 Bessel 방정식 으로 변형된다. 과 은 일차종속이므로 이다. 으로 변형된다. 따라서 9. 로 치환하면, ′ ′ , 일반해는 ″ ′ ″ 이므로 이다.( 가 정수가 아닐 때) 주어진 방정식은 Bessel 방정식 ′ , 로 치환하면, ′ 6. 87 ″ ′ 으로 변형된다. 따라서 이므로 일반해는 이다.( 가 정수가 아닐 5.4 Bessel’ s Equation. Bessel Functions J v (x) 이다. 때) 존재한다. 10. 로 치환하면, ′ ′ , ″ 88 ′ ″ 이므로 다음 마찬가지로 (24a)에 의해 ′ 이고 ⇔ 이므로 ( 임) 의 주어진 방정식은 Bessel 방정식 연속된 영점 사이에는 인 점이 존재한다. ″ ′ 으로 변형된다. 이고 는 의 연속된 영점 사이의 로 치환하면, 이므로 점이므로 이 아니다. 그러므로 이점에서 제5장 상미분방정식의 급수해. 특수함수 ′ 이다. , ″ 이다. 주어진 방정식은 Bessel 방정식 으로 변형된다. 따라서 이므로 일반해는 이다.( 가 정수가 아닐 때) 즉, 의 연속된 영점 사이에는 의 영점이 적어도 하나 존재한다. 따라서 의 영점 사이에는 의 영점이 정확히 하나 존재한다. 16. 이면 ′ ′ ′ 이고 ″ ″ ′′ ″ 이면 ′ exp , 이다. exp ″ ′ 이다. 즉, 11. 12. 13. 가 양수이면 과 ± 은 동치이다. 의 영점 사이에는 Rolle의 정리에 의해 ′ 인 점이 존재한다. (24b)에 의해 ′ 이므로 인 점이 존재한다. ″ ″ ′ ′ ″ ′ ′ 이고 ″ ′ ′ ′ 이다. 따라서 ″ ′ 이다. ′ ′ ′ , 반대로 의 영점 사이에는 (24a)에 의해 ′ 이므로 인 점이 존재한다. 그러므로 의 연속된 영점 사이에는 의 영점이 꼭 하나만 존재한다. 14. 본문 식(14)를 이용하여 와 17. Bessel 방정식 ″ ′ 에 오차 0.04864 0.02229 0.01390 0.01056 ″ ″ ′ 참값 3.83171 7.01559 10.17347 13.32359 오차 -0.09528 -0.05299 -0.03671 -0.02818 위의 영점 분석 및 근사치 계산에 의한 오차분석은 Bessel 함수의 공학적 접근에서 매우 유용하다. 이면 , 이다. 따라서 주어진 방정식은 ′ ″ ′ 의 영점 근사치 3.92699 7.06858 10.21018 13.35177 ′ ′ 의 영점 참값 2.40483 5.52008 8.65373 11.79153 을 대입하자. 참값과 비교하면 표와 같다. 근사치 2.35619 5.49779 8.63938 11.78097 ″ 으로 변형된다. 18. ± 이면 식 (27)은 ″ , ″ 으로 변형된다. 특성방정식이 이므로 ± 이고 cos sin 이다. cos sin 이다. 각 단계별 근사방정식의 오차해석은 이러한 따라서 근사방정식에 대한 신뢰도를 보장한다. 일 때, 이므로 식 (27) 15. 의 영점 사이에는 Rolle의 정리에 의해 ′ 인 점이 존재한다. (24b)에 의해 ′ 이므로 의 영점 사이에는 의 영점이 적어도 하나 의 첫 번째 항을 구하면 첫 번째 식에 대입하면, 이다. ′′ sin 의 급수는 1차부터 시작하고 계수가 이므로 이고 sin 이다. ′ ′ ″ ″ ′ 이다. 21. 식 (21)의 (a)를 적분하여 을 얻었다. 22. 식 (21)의 (b)를 적분하여 이다. 을 얻었다. 또한 식 (21)의 (d)를 적분하여 cos 의 급수는 상수항부터 시작하고 상수항이 이므로 이고 cos 이다. (21a)에 의하여 ′ ′ ′ . (21a)에 의하여 ′ ′ ′ . 따라서 이다. (21a)에 의해 (문제 22번) 25. 이므로 24. 20. (21b)에서 일 때, ′ 이다. ′ 이므로 . , (21c)에 의하여 을 얻는다. 23. 19. (21b)에 의하여 ′ . . ′ ′ 이다. 5.5 Bessel Functions . General Solution 1. 일반해는 이다. 로 치환하면, ′ ′ , 4. 2. 로 치환하면, ′ ″ ′ , ″ 이므로 주어진 ′ 방정식은 Bessel 방정식 ″ ′ 으로 변형된다. 따라서 이므로 ″ 이다. 주어진 방정식은 Bessel 방정식 으로 변형된다. 따라서 일반해는 이다. 로 치환하면, 이므로 3. 로 치환하면, 이므로 ′ , 방정식은 ″ ′ 으로 변형된다. ′ , ″ 일반해는 이다. ″ ′ ″ 이므로 주어진 이다. 주어진 방정식은 Bessel 방정식 으로 변형된다. 따라서 이므로 일반해는 이다. 5.5 Bessel Functions Yv (x). General Solution 일 때, 식 (27)의 첫 번째 항을 구하면 89 이다. 이므로 로 치환하면, , 5. 90 제5장 상미분방정식의 급수해. 특수함수 으로 변형된다. 따라서 이므로 이다. 10. 11. 과 이 일차독립임을 보이면 된다. 이므로 ′ , ″ 이다. 주어진 방정식은 Bessel 방정식 으로 이다. 로 치환하면, ′ ′ , 7. ″ ′ ″ 이므로 주어진 이라 하자. 와 가 일차독립이므로, 이고 이다. 즉 이고 이다. 따라서 과 이 일차독립이다. 변형된다. 따라서 방정식은 ″ ′ 으로 12. 이면, ′ ′ , ″ ″ 이다. 즉 ″ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ′ 이므로 는 식 (12)의 해이다. 13. 5장 4절의 식 (20)으로부터 변형된다. 로 치환하면, 이므로 ′ , ″ 이다. 주어진 방정식은 Bessel 방정식 이다. 이므로 로 치환하면, ′ ′ , 8. 방정식은 ″ ′ 으로 변형된다. 로 치환하면, 이므로 ′ , ″ 이다. 주어진 방정식은 Bessel 방정식 으로 변형된다. 따라서 ∞ 14. 식 (13)으로부터 모든 실수 (와 실수 )에 대하여 가 실수임은 당연하다. 또 식 (13)에서 일 때 이므로 계수들이 모두 양수이어서 이고 영점은 없는 것이 당연하다. 하지만 일 때는 영점이 존재할 수도 있다. 예를 들어 인 경우 ⋯ ″ ′ ″ 이므로 주어진 ∞ 이다. 으로 변형된다. 따라서 방정식은 Bessel 방정식 ″ ′ 로 치환하면, , 6. ′ ′ , ″ ′ ″ 이므로 주어진 으로 변형된다. 따라서 이다. 9. 로 치환하면, 주어진 방정식은 Bessel 방정식 이므로 ′ , ″ 이다. 이므로 lim → → lim lim ∞ → 인 이다. 따라서 ∞ lim ∞ lim lim →∞ →∞ → ∞ ∞ 양수 가 존재한다. ∞ 양이 아닌 정수에서 함수값은 이므로 이다. 15. 와 가 제차방정식의 해이므로 와 의 일차결합인 도 당연히 해가 된다. Chapter 5 Review Questions and Problems 1. 미분방정식의 계수들이 해석적이면 일반적으로 ∞ 대한 표현수단이기 때문에 본질적으로 중요하다. 으로 변형된다. 즉, 미분방정식의 계수가 해석적이면 일반적으로 적용할 수 있는 방법으로 Legendre 방정식의 계수가 해석적이므로 거듭제곱급수 해법을 급수해가 존재한다. 급수는 기초함수 외의 함수에 2. 거듭제곱급수 해법(power series method)은 ∞ ∞ 이다. 즉, ⋯ 이다. 확장으로 계수가 특이점을 가질 때 적용된다. , ⋯ Bessel 방정식은 특이점 0을 가지므로 Frobenius 이므로 일반해는 적용한다. Frobenius 해법은 거듭제곱급수 해법의 ∞ 해법을 적용한다. 3. Frobenius method에서 ∞ ≠을 주어진 미분방정식에 대입하여 얻은 최저차 항의 계수가 0인 방정식을 결정방정식이라 한다. 4. 결정방정식에 의한 3가지 경우 (1) 정수차이가 아닌 두 근을 가질 때 (2) 정수차이인 두 근을 가질 때 (3) 중근을 가질 때 5. Legendre 방정식, Bessel 방정식 6. 거듭제곱 해는 다항식으로 단순화 될 수 있다. Legendre 다항식이 대표적인 예이다. 특정한 값들을 선택함으로써 방정식의 해로서 많은 수의 기초함수와 고등 특수함수를 얻을 수 있다. 이다. 12. 주어진 방정식을 정리하면 ″ ′ 이므로 이다. 즉, 이므로 결정방정식은 이다. 따라서 (중근)이다. ∞ 이라 하자. 주어진 인 경우에 방정식은 ∞ 차 우함수이고, 이 홀수이면 다항식은 차 ∞ ∞ 도입하였다. 10. 차수 ± ± ± ⋯일 때의 Bessel 함수 는 초등함수이다. 이라 하자. 주어진 방정식은 ∞ 만들 수 없다. 따라서 제 2종 Bessel 함수를 으로 변형된다. 즉, 9. 가 정수이면 와 는 일차독립이므로 기저를 11. 기함수이다. ∞ ∞ ∞ 8. Legendre 다항식은 Legendre 방정식의 해이다. Legendre 다항식 에서 이 짝수이면 다항식은 cos sin 7. 초기하방정식(hypergeometric equation)은 ″ ′ 이다. ∞ ∞ 이다. 즉, , ⋯ 이다. Chapter 5 Review Questins and Problems 91 따라서 ⋯ 이므로 ∞ 이다. ∞ 92 ∞ 제5장 상미분방정식의 급수해. 특수함수 ⋯ 이다. 따라서 이다. 이다. 즉, 이므로 결정방정식은 ∞ ∞ 이다. 따라서 이다. ∞ 이라 하자. 주어진 으로 변형된다. 즉, 이다. 즉, 는 임의의 실수이고, 방정식은 ∞ 인 경우에 이라 하자. 주어진 방정식은 이다. 즉, 는 임의의 실수이고, , 이므로 ∞ 이다. 주어진 방정식을 정리하면 ∞ 13. 로 치환하면 , ′ , ″ ∞ 으로 변형된다. 즉, ln 이므로 ln 이다. 차수축소법에 의하여, ′ ln , 인 경우에 ∞ ∞ ∞ 으로 변형된다. 즉, 이다. 즉, 는 임의의 실수이고, ⋯ 이 다. 따라서 이다. 차수축소법에 의하여, ′ , 이므로 15. 주어진 방정식은 Bessel 방정식이므로 일반해는 이다. 16. 주어진 방정식을 정리하면 ″ ′ 이므로 이다. 즉, 이므로 결정방정식은 이다. ∞ 인 경우에 이다. 그러므로 14. 로 치환하면 , ′ , ″ ∞ 이므로 이다. 즉, 이므로 결정방정식은 ∞ , 이다. 주어진 방정식을 정리하면 이라 하자. 주어진 방정식은 이다. 그러므로 따라서 이다. ∙ 이다. ⋯ 이다. 따라서 이다. ∞ 으로 변형된다. 즉, ∞ ∞ ∞ , 이다. 이다. 즉, , 따라서 이다. ⋯ 이다. 즉, ∞ 인 경우에 이라 하자. ⋯ , , 주어진 방정식은 , , ⋯ 이다. 따라서 ⋯ 이다. 공식에 의하여 ln ⋯ 라 하자. 으로 선택하면, , , , , ⋯이다. 따라서 ⋯ 이다. ″ ′ ″ 이므로 주어진 방정식은 ″ ′ 으로 변형된다. 로 치환하면, 이므로 ′ , 즉, 이므로 결정방정식은 ″ 이다. 이다. 따라서 이다. 주어진 방정식은 Bessel 방정식 이므로 이다. ∞ 인 경우에 이라 하자. 주어진 방 정식은 ∞ ∞ ∞ 이다. 즉, ⋯ 이다. 방정식은 ″ ′ 으로 변형된다. 로 치환하면, 이므로 ′ , ″ 이다. 주어진 방정식은 으로 ∞ ∞ , ⋯ 이다. 이다. , ⋯ , , , , , ⋯ 이다. 따라서 이다. 공식에 의하여 ln ⋯ 변형된다. 따라서 ∞ ∞ 으로 변형된다. 즉, ′ ″ ′ , ″ 이므로 주어진 ′ ∞ 18. 로 치환하면, 이다. Bessel 방정식 이다. 이므로 주어진 방정식은 차수축소법에 의하여, ′ ln , ∞ 이라 하자. 인 경우에 ∞ ⋯ 이므로 ∞ 결정방정식은 이다. 따라서 (중근)이다. ∞ 20. 주어진 방정식을 정리하면 ″ ′ 이므로 , 이다. 즉, 이므로 ∞ 이므로 일반해는 이다. 으로 변형된다. 즉, 으로 변형된다. 따라서 ∞ 이므로 일반해는 이다. 라 하자. , , , , ⋯ 이므로 ln ⋯ 이다. 93 Chapter 5 Review Questins and Problems 17. 주어진 방정식을 정리하면 ″ ′ 로 치환하면, ′ ′ , 19. CHAPTER 6 Laplace 변환 6.1 Laplace Transform. Linearity. First Shifting Theorem (s-Shifting) 1. ℒ 96 16. 제6 장 Laplace 변환 7. ℒcos ℒcos cos sin sin cos sin 10. 11. 이다. 14. 15. sin 20. 는 임의의 고정된 양수라 하고 13. cos ℒ ℒcosh sinh sinh 19. cosh sinh 이므로 ℒ ℒ ℒ 이다. 12. cosh ℒ 이다. 이므로 cos 18. 문제 10번에서 로 정의하면 sin ( ⋯ ) ( : 양수) 8. ℒ sin ℒ cos 9. 6. ℒ sinh ℒ 17. 5. ℒ sinh ℒ 4. ℒcos ℒ cos 3. ℒcos 2. ℒ ℒ ln 이라 정의하자. 일 때, ′ 이므로 는 증가함수이다. ln 라 하자. 이므로, 이면 이다. 즉, 이면 ln 이고 이다. 따라서 은 조건 (2)를 만족하지 않는다. 21. 이면 Laplace 변환이 존재하지 않는다. 22. 로 치환하면 이다. ℒ ∞ ∞ ∞ 23. 로 치환하면 이다. ∞ ℒ 32. ℒ ∞ ℒ ≠ 24. ℒ , ℒ 라 하자. 34. ℒ cos 즉, ℒ , ℒ 이다. Laplace 변환은 선형성이 성립하므로 ℒ ℒ ℒ 이고 35. ℒ sin 36. ℒsinh cos ℒ cos cos ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ 이다. 따라서 역변환도 선형성이 성립하다. 37. ℒ cosh sinh 26. ℒ 38. ℒ cos sin 25. ℒ ℒ 27. ℒ cos 29. ℒ ℒ ℒ sinh 40. ℒ ℒ 41. ℒ sinh 42. ℒ 43. ℒ ℒ ℒ cos sin cos sin 44. ℒ 45. ℒ 6.2 Transforms of Derivatives and Integrals. ODE 1. , , cos sin cosh sinh 30. ℒ 31. ℒ 39. ℒ 28. ℒ ℒ 97 33. ℒ 6.2 Transforms of Derivatives and Integrals. ODE ℒcos 이다. ℒ ≠ 로 정의하면, ℒcos 이므로 2. , , 3. , , 4. , 따라서 해는 이다. , 13. 라 치환하면, 이다. , ℒ 라 하자. cos sin 98 제6 장 Laplace 변환 5. , , cosh ′ 이다. 주어진 방정식을 정리하면, 이 식을 Laplace 변환하면 6. , 이므로 이다. 따라서 해는 이다. 14. 라 치환하면, 이다. , ℒ 라 하자. 주어진 방정식을 정리하면, cos sin ″ ′ ′ 이다. 이 식을 7. , Laplace 변환하면 sin 이다. 따라서 해는 이므로 8. , , , , 11. 12. 라 치환하면, 이다. , ℒ 라 하자. 주어진 방정식을 정리하면, ″ ′ ′ 이다. 이 식을 Laplace 변환하면 이므로 이다. 이다. 이 식을 Laplace 변환하면 10. , 15. 라 치환하면, 이다. , ℒ 라 하자. ″ ′ ′ , sin 이다. 주어진 방정식을 정리하면, , 9. 이다. 이므로 따라서 해는 이다. 16. cos , , ′ cos sin , ′ , ′′ sin cos , ℒ , ℒ ′′ ℒ ℒ 17. , , ′ , ℒ ′ ℒ ℒ , ℒ 18. cos , , ′ cos sin sin , ℒ ′ ℒ , ℒ ℒ , ℒ ′′ ℒ 19. cos , , ℒ ′ cos sin sin , (f) sinh , , ℒ ′ ℒ , ′ sinh cosh , ′ , 20. sin , , ′ sin cos , ′ , ′′ sin cos sin sin sin cos sin ℒ ℒ ′′ ℒ ℒ ℒ 23. ℒ ℒ ∙ ℒ ∙ 24. ℒ ℒ ∙ 21. sinh , , ′ sinh cosh sinh , ℒ ′ ℒ , ℒ ∙ 25. ℒ cos sin cos ℒ 22. (a) cos , , ′ cos sin , ′ , ′′ sin cos sin , 26. ℒ ℒ , ℒ ′′ ℒ ℒ ℒ sin cos sin cos 이다. ℒ sin (c) ℒ (d) 이므로 sin cos ℒ sin cos 이다. (e) cosh , , ′ cosh sinh , ′ , ′′ sinh cosh sinh , ℒ ∙ ℒ sinh sinh cosh ℒ ∙ ℒ cos sin sin cos sin cos 27. ℒ 이므로 (b) ℒ 28. ℒ ℒ ∙ ℒ cos sin sin cos sin cos ℒ ∙ 29. ℒ ℒ ∙ 6.2 Transforms of Derivatives and Integrals. ODE ℒ , ℒ ′′ ℒ 99 ′′ cosh sinh cosh , ℒ 30. (a) 정리 1과 정리 2는 미분방정식을 대수식으로 바꾸는 역할을 하고 정리 3은 단순히 Laplace 변환이나 역변환을 할 때 도움을 준다. 정리 1과 이므로 ℒ′ 방법을 적용하여 문제를 해결할 수 있으므로 정리 1과 정리 2가 정리 3보다 중요하다. ∞ 제6 장 Laplace 변환 ′ ′ ′ (b) ℒ′ ∞ ∞ ∞ ∞ ℒ (c) , ′ ℒ 정리 2는 반드시 적용되는 반면, 정리 3은 다른 100 이고 이다. 따라서 ℒ ℒ′ (d) Laplace 변환은 미분방정식을 대수적인 방정식으로 바꾼다. 6.3 Unit Step Function(Heaviside Function). Second Shifting Theorem(t-Shifting) 2. 주어진 함수를 정리하면 이므로 이다. Laplace 변환은 이므로 Laplace 변환은 3. 주어진 함수를 정리하면 이므로 Laplace 변환은 이다. 이다. 9. 주어진 함수를 정리하면 4. 주어진 함수를 정리하면 cos cos cos 이므로 Laplace 변환은 이다. 이므로 Laplace 변환은 이므로 Laplace 변환은 이다. sinh sinh sin sin sin 이므로 Laplace 변환은 이다. 이므로 Laplace 변환은 이다. 8. 주어진 함수를 정리하면 이다. 11. 주어진 함수를 정리하면 sin cos sin 7. 주어진 함수를 정리하면 이다. 이므로 Laplace 변환은 6. 주어진 함수를 정리하면 10. 주어진 함수를 정리하면 5. 주어진 함수를 정리하면 이므로 Laplace 변환은 이다. 이므로 s-shifting 정리에 의하여 12. ℒ 이다. ℒ 또한 t-shifting 정리를 적용하면 ℒ 21. , ′ 라 하자. cos cos cos 이므로 이다. 이다. 13. ℒ ℒ ℒ sin sin sin sin sin sin 14. ℒ ℒ ℒ 16. ℒ sinh sinh sinh sinh sinh 17. ℒ ℒ ℒ cos cos cos cos cos cos 이므로 s-shifting 정리에 의하여 cos ℒ cos 이다. 18. , cos sin cos cos cos cos cos sin cos cos cos sin cos 22. 이므로 이다. 23. sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 이므로 , 이다. 19. , 20. , 15. ℒ 101 sin sin sin sin sin 24. , 6.3 Unit Step Function. Second Shifting Theorem 102 cos sin cos sin 제6 장 Laplace 변환 25. , ′ 라 하자. coscos sinsin cos sin cos cos sin 이다. 이므로 이다. 즉, 일반해는 cos sin sin sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin 이다. 26. 라 치환하면, 이다. , ℒ 라 하면, 방정식은 ※ 28번~30번 ′ 이므로 ℒ , ″ ′ sin , , ℒ 이다. ′ 이다. sin sin sin 28. sin sin 이므로 이므로 ℒ 이다. 이므로 이다. 따라서 sin cos sin cos sin cos sin 이다. 즉, 일반해는 이다. 즉, cos sin cos sin 이다. sin cos sin cos sin cos sin 이다. 27. 라 치환하면, 이다. , ℒ 라 하면, 방정식은 29. 이므로 ℒ 이다. 이므로 ″ , cos , ′ sin 이다. 이다. 즉, 이므로 cos sin 이다. 따라서 이다. 30. 이다. 이므로 ℒ 이므로 이다. 즉, 이다. 31. 이고 이므로 ℒ ℒ ℒ , 이다. 35. cos cos cos 이다. 이므로 ℒ 이므로 이다. KVL에 의하여 이고 이므로 ′ 이므로 , 이다. 따라서 이다. 즉, sin sin sin sin sin sin 이다. ※ 32번~34번 , ′ ′ 이므로 ℒ ℒ , 이다. 32. ∙ ∙ ∙ 이므로 ℒ 이고 이다. 따라서 ∙ ∙ ∙ 이다. 즉, ∙ 이다. 이다. 36. 이므로 ℒ 이다. 이므로 이다. 즉, 33. 이므로 cos cos sin ℒ 이고 이다. 이다. 따라서 이다. 즉, 이다. 34. 이므로 ℒ 이고 이다. 37. sin sin sin 이므로 ℒ 이다. 이므로 따라서 이다. 즉, 이다. 이다. 즉, cos cos cos cos 이다. ※ 38번~40번 103 6.3 Unit Step Function. Second Shifting Theorem ※ 35번~37번 ′ 이므로 ℒ , ℒ ℒ 이다. 104 이므로 제6 장 Laplace 변환 38. 이므로 ℒ 이다. 이다. 이므로 ℒ 이다. 이므로 sin sin 40. sin sin sin 이다. 즉, 이다. 즉, cos sin cos sin 이다. 39. 이므로 이므로 이다. 즉, cos sin cos sin cos sin cos sin 이다. ℒ 이다. 6.4 Short Impulses. Dirac's Delta Function. Partial Fractions 3. , , cos sin cos cos cos cos cos 4. , , cos sin cos sin cos cos sin 5. , , sin sin sin sin sin sin sin sin sin 9. , 6. , cos sin cos sin 7. , 10. sin sin , 8. , , cos sin , cos sin 11. , , 105 6.4 Short Impulses. Dirac’ s Delta Function. Partial Fractions sin sin sin sin sin lim → ⋯ 이다. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 14. (a) ℒ 106 제6 장 Laplace 변환 , 12. sin (b) ℒ sin 13. (a) 에서 가 단순근(simple 이므로 (d) 이다. (b) 에서 가 중근이므로 ≠ 이다. ⋯ 이므로 lim 이다. → ⋯ 이므로 lim 이다. → 일반적으로 이다. ℒ ℒ 6.5 Convolution. Integral Equations 1. ∗ 15. 하면, ℒ ⋯ sin (c) ℒ coth root)이므로 ≠ 이다. lim → lim → sin cos sin cos ∙ 2. ∗sin (b) sin cos cos 3. ∗ 6. ∗ (e) ℒ , ℒ , cos sin sin 8. , , sin 9. , , 17. ℒ , 11. , cosh , 19. ℒ 16. (a) 로 치환하면, 이다. 20. ℒ ∗ cos ∗ sin sin cos sin cos cos sin 15. (a) , , cosh cossin sin sin , 14. , 13. , , sinh ∗ 18. ℒ , 12. ∗ sin 10. , , 따라서 이다. → 일 때, → → 이다. 7. ∗ 의하여 cos sin sin (d) 일 때, 적분에 대한 평균값의 정리에 cos sin cos sin (c) 적분에 대한 선형성의 결과이다. coscos cos cos 5. cos∗ 4. cos∗ cos 107 6.5 Convolution. Integral Equations 21. ℒ ∗ sinh sinh cosh cosh sin ∗ sin 24. ℒ sinsin cos cos sinh sinh 108 제6 장 Laplace 변환 22. ℒ ∗ 25. ℒ 이므로 ℒ sin sin sin sin sin sin sin sin cos ∗ sin 이다. 23. ℒ cossin sin sin sin cos sin cos cos sin ∗sinh sinh cosh cosh 26. ℒ ℒ ℒ ℒ sinh cosh ℒ ℒ 6.6 Differentiation and Integration of Transforms. ODEs with Variable Coefficients 2. ℒ sinh 9. ℒ cos 3. ℒ 4. ℒ cos 5. ℒ sin 6. ℒ sin 7. ℒ sinh 8. ℒ sin 10. ℒ ⋯ 11. ℒ sin , 14. sin ℒ ℒ , 15. sinh ℒ ℒ 이므로 16. sin ′ ∞ ln ln 이므로 19. ln 이고 ℒ ℒ sin 이다. ℒ ℒ 이고 ′ ℒ sin ℒ ′ cos 이다. ′ 이고 ℒ ′ 이다. ℒ ℒ ∞ ′ 18. arccot 이고 ′ 이므로 ℒ ∞ cos ′ 20. ln ln ln 이므로 ′ , ℒ ′ 이다. ℒ ℒ ∞ 6.7 Systems of ODEs 이므로 이다. 따라서 일반해는 , , , 이다. 이 식을 정리하면 이다. 이 식을 정리하면 이다. 따라서 일반해는 이다. 이다. 식(11)을 Laplace 변환하면 예제2)의 식을 Laplace 변환하면 , 이다. 이 식을 정리하면 , 이다. 이다. 이 식을 정리하면 따라서 일반해는 이다. 식(12)을 Laplace 변환하면 , 이므로 이다. 이 식을 정리하면 , , 이다. 이다. 따라서 일반해는 이다. (b) 식(8)을 Laplace 변환하면 ′ ′ sin 이다. 1. (a) 예제1)의 식을 Laplace 변환하면 6.7 Systems of ODEs ℒ ℒ 17. ln ln ln 이므로 109 따라서 일반해는 cos sin sin cos 이다. 식(13)을 Laplace 변환하면 , 4. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 이 식을 정리하면 , 이다. 따라서 일반해는 110 제6 장 Laplace 변환 cos sin cos sin 이다. (c) 식(3)을 Laplace 변환하면 이다. 이 식을 정리하면 이므로 일반해는 sin cos 이다. 5. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 이 식을 정리하면 이므로 이다. 따라서 일반해는 이다. 이 식을 정리하면 이므로 일반해는 cos cos ∗sin cos sin sin sin ∗sin cos 이다. 3. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 이 식을 정리하면 이므로 일반해는 cosh sinh sinh 이다. 이므로 일반해는 sin sin cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin cos 이다. 6. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 이 식을 정리하면 2. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 이 식을 정리하면 이다. 이므로 일반해는 cosh sinh cosh sinh 이다. 7. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 이 식을 정리하면 이므로 일반해는 12. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 이 식을 정리하면 8. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이므로 일반해는 이다. 이 식을 정리하면 이므로 cosh cos cosh cos 이다. 13. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 9. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 이 식을 정리하면 이다. 이 식을 정리하면 이므로 일반해는 이다. 10. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이므로 일반해는 sin cos sin cos 이다. 14. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 이 식을 정리하면 이므로 일반해는 cos cos sin sin 이다. 11. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 이 식을 정리하면 이므로 일반해는 이다. 이다. 이 식을 정리하면 이므로 일반해는 이다. 15. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 이 식을 정리하면 이므로 일반해는 111 6.7 Systems of ODEs 이다. 이다. 19. 주어진 조건을 모델링하면 Kirhhoff의 전압법칙에 의하여 ′ cos ′ 이다. 이다. 112 Laplace 변환 후 정리하면 16. 주어진 조건을 모델링하면 제6 장 Laplace 변환 ″ sin ″ sin 이다. Laplace 변형 후 정리하면 이다. 이다. 따라서 해는 따라서 해는 cos sin cos sin 이다. cos sin cos sin 두 개의 계는 반파장의 간격으로 공진운동을 반복 한다. 이다. 20. 의 경우 ≤ ≤ 에서는 문제 25와 해가 같고, 이면 다음과 같은 해가 더해진 형태의 값을 갖는다. cos sin 따라서 18. 계 내의 모든 유동이 2배가 되면 과 의 수렴 속도 역시 2배가 될 것이다. 이고, 같은 방법으로 이를 예제 1과 비교하여 해를 구하면 cos sin ≤ ≤ 이다. Chapter 6 cos sin ≤ ≤ Review Questions and Problems 1. 3. Laplace transform을 이용하면 미분방정식을 ( ⋯ ) ( : 양수) cos sin 나타났을 때 유용하다. 4. Laplace transform이 선형연산이라는 사실이 매우 유용한다. sinh ∞ 보조방정식을 얻는다. 2단계 : 보조방정식을 대수적으로 풀어 해를 구한다. 3단계 : 역변환을 결정하여 주어진 문제의 해를 ∞ ℒ ℒ 이다. ℒ cos sin ∞ 5. ℒ cosh 2. 1단계 : 주어진 미분방정식을 변환하여 구한다. 대수식으로 바꿀 수 있다. 특히 불연속 함수가 ∞ 이고 ℒℒ ∞ ∞ 이므로 ℒ≠ℒℒ 이다. 6. 단위계단함수 는 에서 0이고 에서 크기 1의 도약을 하고 일 때 1이다. ≤ ≤ 일 때, Dirac delta otherwise 함수 는 lim 이다. → 이 함수들은 불연속 함수를 나타낼 때 유용하다. 7. 적분에 관한 변환공식 ℒ ℒ을 이고 ℒ ℒ 이다. 8. Laplace 변환된 함수 가 평행이동 되었을 때 가 평행이동 되었을 때 제 2 이동정리를 적용한다. 9. Laplace 변환은 적분으로 표현되기 때문에 불연속 함수라도 적분 구간을 나눔으로서 잘 정의된다. Laplace 변환이 성립하기 위한 유한조건 을 만족하지 않는 연속함수의 Laplace 변환은 정의되지 않는다. ∞ ∞ ≠ ℒ 22. ℒ sin sin cos cos sin sin cos 23. ℒ sin 이므로 24. cos ℒ ℒ 중요한 역할을 한다. ℒ 27. ℒ cos sin 28. ℒ 12. ℒ cos sin ℒ cos sin 29. , cos ℒ 13. ℒ cos 14. ℒ ℒ 11. ℒcosh sinh ℒ 25. ℒ 이다. 따라서 ℒ≠ℒ 이다. 이러한 성질은 역변환의 존재성을 증명하는데 21. ℒ 26. ℒ ℒ 이다. 10. 만약 ≠ 이면 ∞ sin 15. ℒ ℒ 16. ℒ cos ℒ cos 17. ℒ sin 이므로 ℒcos sin 이다. 18. ℒsin ∗ cos ℒsinℒcos 19. ℒ ∗ ℒℒ 30. , 113 Chapter 6 Review Questins and Problems 제 1 이동정리를 적용하고, 변환하기 전 함수인 ℒ ℒ 적용하면 ℒ 20. ℒ 114 제6 장 Laplace 변환 cos sin cos sin cos sin , 34. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 31. ℒ cos 이다. 이 식을 정리하면 이므로 일반해는 cos cos 이므로 ℒ cos ℒ cos sin cos 이다. 35. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 이다. 이 식을 정리하면 cos sin 이므로 일반해는 이다. 36. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 32. , , cos sin 이다. 이 식을 정리하면 이므로 일반해는 cosh sinh cosh sinh 이다 33. , 이다. 이 식을 정리하면 이므로 일반해는 sin sin 이다. . 115 40. 문제 38번과 같은 방법으로 방정식 을 얻는다. 41. 이다. 이 식을 정리하면 이므로 ″ ″ ″ 이다. 이 식을 정리하면 이다. 38. 오른쪽으로 향하는 것을 양의 방향이라 하자. 가 각각 평형위치에서 의 위치에 있을 때, 스프링이 늘어난 길이는 각각 이다. Hook의 법칙에 의하여, 에 스프링에 의한 힘 이 음의 방향으로, 스프링에 의한 힘 이 양의 방향으로 작용한다. 즉, 에 작용하는 힘은 이다. 뉴턴의 제 2법칙에 의하여 ″ 이 성립한다. 마찬가지로 에 스프링에 의한 힘 이 음의 방향으로, 스프링에 의한 힘 이 양의 방향으로 작용한다. 즉, 에 작용하는 힘은 이다. 뉴턴의 제 2법칙에 의하여 ″ 이 성립한다. 39. 주어진 조건을 문제 38번에 적용하면 ″ ″ 이다. 이 연립방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 따라서 이므로 일반해는 이다. 42. ′ 이므로 이다. 이 식을 정리하면 이다. 따라서 cos sin sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos sin 이고 sin cos cos sin cos 이다. Chapter 6 Review Questins and Problems 37. 주어진 방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 43. ′ sin 116 제6 장 Laplace 변환 cos sin cos sin 44. 주어진 조건을 모델링하면 ′ ′ ′ 이다. 이 연립방정식을 Laplace 변환하면 이다. 이를 정리하면 , 이다. 따라서 해는 이다. 45. 주어진 조건을 모델링하면 ′ ′ ′ ′ 이다. 이 연립방정식을 Laplace 변환하여 정리하면 이다. 이를 정리하면 이다. 따라서 해는 이다. CHAPTER 7 선형대수: 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식 7.1 Matrices, Vectors : Addition and Scalar Multiplication 1. 처음 3개의 행렬은 크기가 × 이고 마지막 2개의 행렬은 크기가 × 이다. 따라서 크기가 다르다. 2. 118 제7 장 선형대수: 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식 예제 5번의 × 4. 예제 1번의 행렬 의 대각선 성분 : 예제 3번의 행렬 의 대각선 성분 : 예제 3번의 행렬 의 대각선 성분 : 7. 성분의 개수가 다른 행벡터와 열벡터는 더할 수 없다. 성분의 개수가 같더라도 열벡터와 행벡터는 더할 수 없다. 성분 0의 개수가 다르더라도 전체 성분의 개수가 같은 행벡터는 더할 수 있다. 없다. 는 정의되지 않는다. 13. ∙ 는 정의되지 않는다. 는 정의되지 않는다. 9. 11. 12. 8. 4개의 성분을 갖는 벡터와 × 행렬도 더할 수 벡터와 스칼라도 더할 수 없다. 6. 이므로 이다. 5. (a) (b) 예제 3번의 와 × 예제 2번의 × ∙ 3. 예제 1번의 × 10. ∙ 14. 15. 와 는 정의되지 않는다. 16. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 20. (a) 마디점 ①에서 지선 은 나가고 지선 2와 3은 는 정의되지 않는다. 들어오고 지선 4, 5와 6은 만나지 않는다. 따라서 17. 18. 이므로 마디점 ②에서 지선 , 3과 6은 만나지 않고 지선 2, 4와 5는 나간다. 따라서 , 이다. 마디점 ③에서 지선 , 2와 4는 만나지 않고 따라서 , 19. , 이다. 지선 3은 나가고 지선 5와 6은 들어온다. 이다. 이다. 따라서 (b) 이다. (c) 119 7.1 Matrices, Vectors: Addition and Scalar Multiplication 는 정의되지 않는다. 120 (d) mesh 1내에서 지선 1과 2는 회전방향이 같고 회전방향이 반대이며 지선 3과 5는 회전방향이 지선 4는 회전방향이 반대이며 지선 3, 5와 6은 같다. 따라서 없다. 따라서 이다. 이다. mesh 4내에서 지선 1, 3과 6은 회전방향이 같고 mesh 2내에서 지선 1, 2와 3은 없고 지선 4와 지선 2, 4와 5는 없다. 따라서 6은 회전방향이 같으며 지선 5는 화전방향이 이다. 제7 장 선형대수: 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식 반대이다. 따라서 따라서 이다. 이다. mesh 3내에서 지선 1, 4와 6은 없고 지선 2는 7.2 Matrix Multiplication 1. 앞 행렬의 행과 뒷 행렬의 열을 맞추어서 곱하기 이다. 따라서 이다. 때문에 앞 행렬의 열의 개수와 뒷 행렬의 행의 행렬 의 행 열의 성분을 라 하면 의 행 개수가 일치해야 곱셈이 정의된다. 열의 성분을 이다. 2. 주어진 행렬이 대칭행렬이면 이고 반대칭행렬이면 이다. 대칭행렬이면서 × 행렬 와 × 행렬 에 대해 동시에 반대칭행렬이면 이다. 따라서 이다. 표현할 수 있는 것은 아니다. 각 행이 서로 상수배이고 각 열이 서로 상수배일 때 두 벡터의 곱으로 표현할 수 있다. 4. 반대칭행렬이 될 조건은 주대각선의 성분이 모두 이고 주대각선을 기준으로 마주 보고 있는 성분의 , 이다. 7. Idempotent의 예제 : 11. 같다. 따라서 다른 값을 갖는 성분들의 최대수는 12. 8. nilpotent의 예제 : 9. (a) 이면 이고 이고 이다. 따라서 이다. (c) 이고 이다. 따라서 이다. 10. 이라 하면 이고 이다. 이므로 이다. 따라서 이다. (b) 이면 이다. 따라서 이다. 보고 있는 성분이 같아야 한다. 즉, 주대각선의 개다. 성분을 제외한 12개의 성분은 두 개씩 반드시 최대수는 개다. 5. 대칭행렬이 될 조건은 주대각선을 기준으로 마주 부호가 반대이다. 따라서 다른 값을 갖는 성분들의 6. 삼각행렬은 3. 임의의 × 행렬을 두 벡터의 곱으로 항상 13. 는 정의되지 않는다. 14. 20. 15. 는 정의되지 않는다. 16. 는 정의되지 않는다. 는 정의되지 않는다. 18. 19. 는 정의되지 않는다. 21. 17. 는 정의되지 않는다. 121 7.2 Matrix Multiplication 122 제7 장 선형대수: 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식 ⋯ 이 대칭행렬이면 이다. 따라서 가 대칭행렬이면 이고 23. 이면 가 대칭행렬이다. (e) 와 가 반대칭행렬이면 식 (10d)에 의하여 이다. 따라서 이면 가 반대칭행렬이다. 26. 전이행렬이 이고 초기 단계에서 이므로 , , 이다. 따라서 0.74와 0.722이다. 24. 이므로 이다. 28. 초기 단계에서 이고 전이행렬이 라 하자. 이므로 이고 이다. , , 29. 이므로 이다. 이다. 가 대칭행렬이면 이므로 이다. 가 반대칭행렬이면 이므로 이다. (b) 이면 이다. 이고 이므로 는 대칭행렬이다. 30. (a) cos sin sin cos 이므로 cos sin sin cos sin cos tan 이고 이다. cos sin tan 이고 이므로 는 반대칭행렬이다. 따라서 이다. 이므로 약 증가한다. . 25. (a) 이면 이다. ⋯ ⋯ ⋯ 이므로 식 (14)도 반대칭행렬이다. (c) 식 (10b)와 식 (10c)에 의하여 (d) 와 가 대칭행렬이므로 식 (10d)에 의하여 이다. 따라서 ⋯ ⋯ ⋯ 의 열벡터는 ⋯ 이 반대칭행렬이면 이다. 이므로 식 (14)도 대칭행렬이다. 22. 의 행벡터는 , , ⋯ ⋯ 따라서 는 를 만큼 반시계방향 으로 회전한 것이다. cos sin (b) 이면 이다. sin cos cos sin 일 때 라 가정하자. sin cos cos sincos sin sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos 이므로 cos coscos sinsin 이고 sin sincos cossin 이다. (d) 이므로 이면 , 를 얻는다. 상수행렬은 모든 이다. 방향으로 같은 인수만큼 늘이거나 줄인다. (c) 만큼 회전이동한 후 다시 만큼 회전이동을 123 (e) 각각 축을 중심으로 만큼, 축을 중심으로 하면 만큼 회전이동한 것과 같다. 만큼, 축을 중심으로 만큼 회전시킨다. cos sincos sin sin cos sin cos coscos sinsin sincos cossin sincos cossin sinsin coscos 7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination → → 1. 이므로 이다. → 2. 이다. 3. → → → 이므로 8. → → → 이므로 해가 없다. → 9. 11. → → → 이므로 , 와 는 임의의 실수이다. 6. → → → 이므로 해가 없다. 이므로 이다. → 10. 따라서 해가 무수히 많다. 5. → → → 실수, 이다. → → 이므로 해가 없다. 이므로 는 임의의 이다. 4. 이므로 이다. 이므로 7. → → → 이므로 , 는 따라서 해가 무수히 많다. 12. → → 임의의 실수, 이다. 이므로 , , 와 따라서 해가 무수히 많다. 는 임의의 실수이다. 따라서 해가 무수히 많다. 7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination cos sin 수학적 귀납법에 의하여 sin cos 13. → → 124 동일률 : 한 행에 1 배를 하면 원래 행렬이 된다. 대칭율 : 의 한 행을 ≠ 배하여 를 얻었다면 의 한 행을 배하면 를 얻는다. 추이율 : 의 한 행을 0 아닌 수로 상수 배를 하여 를 얻고 의 한 행을 0 아닌 수로 상수 배를 하여 를 얻었다면 그 과정을 제7 장 선형대수: 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식 → → 에 적용하여 를 얻을 수 있다. 17. 주어진 조건을 모델링하면 이다. 이므로 이다. → 14. → → → → 이므로 는 임의의 실수이다. 따라서 해가 무수히 많다. 15. (a) 행 교환이 동치관계를 만족한다. 동일률(reflexivity) : 교환한 두 행을 다시 교환하면 원래 행렬이 된다. 대칭율(symmetry) : 행렬 의 행을 교환하여 행렬 를 얻었다면, 그 과정을 역으로 시행하여 에서 를 얻을 수 있다. 추이율(transitivity) : 의 행을 교환하여 를 얻고 의 행을 교환하여 를 얻었다면, 그 과정을 모두 에 적용하여 를 얻을 수 있다. → → 대칭율 : 의 한 행에 다른 행의 배를 더하여 를 얻었다면 의 한 행에 다른 행의 배를 더하면 를 얻는다. 추이률 : 의 한 행에 다른 행의 상수 배를 더하여 를 얻고 의 한행에 다른 행의 상수 배를 더하여 를 얻었다면 그 과정을 에 적용하여 를 얻을 수 있다. (c) 한 행을 0 아닌 수로 상수 배를 하는 것이 동치관계를 만족한다. 이다 18. 주어진 조건을 모델링하면 이다. → → → 이므로 이다. 19. 주어진 조건을 모델링하면 이다. → → 동치관계를 만족한다. 행렬이 된다. 이므로 (b) 한 행에 다른 행의 상수 배를 더하는 것이 동일률 : 한 행에 다른 행의 0 배를 더하면 원래 이므로 이다. 20. 주어진 조건에서 저항 에는 전류가 흐르지 않으므로 이다. 따라서 이다. 21. 각 분기점에서의 값을 계산하면 이다. → → 번째 행의 -5배를 더하는 기본 연산, 네 번째 행을 8 배하는 기본 연산이다. 라 하면 이다. 는 임의의 실수이다. 이다. → → → 이므로 이다. 23. 주어진 조건을 모델링하면 이다. → → 이다. 이를 만족하는 가장 작은 양수는 이다. 24. (a) 가 × 행렬이라 하고, 이 행렬의 행들을 차례대로 하 하자. 즉 이고 ⋯ 는 × 행렬이다. 그러면, 22. 주어진 조건에서 이므로 이라 하면 이다. 이라 하면, 이므로 ≠ 이다. (b) 에 기본 연산을 한 번 시행하여 을 가 되므로, 각각 두 번째 행과 세 것이 이 행렬에 원래의 기본 연산을 적용하는 번째 행을 교환하는 기본 연산, 세 번째 행에 첫 것이므로 을 얻는다. 얻었다고 하자. 이제 그 기본 연산을 에 적용하여 얻어지는 기본 행렬 를 에 곱하는 7.4 Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space 125 7.4 Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space 이므로 → 1. 이므로 rank는 1이고 이다. → → 이므로 열공간의 행공간의 기저는 이다. → 126 이므로 열공간의 기저는 기저는 이다. 7. → 이다. 제7 장 선형대수: 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식 2. 이면 주어진 행렬은 행렬이다. 이므로 rank는 2이고 행공간의 기저는 따라서 rank는 0이다. ≠이면 이다. → 이므로 rank는 2이고 행공간 및 열공간의 기저는 이다. → ≠ 이면 이다. 이므로 rank는 2이고 → 8. 행공간 및 열공간의 기저는 이다. ≠ ≠ 이면 → → → → 이다. 이면 rank는 1이고 행공간 및 열공간의 기저는 이다. ≠ 이면 rank는 2이고 행공간 및 열공간의 기저는 이므로 rank는 4이고 행공간의 기저는 이다. 3. → → 이므로 rank는 3이고 이다. → 행공간의 기저는 이다. → → 이므로 열공간의 → 4. → → → → 기저는 이다. 이므로 열공간의 기저는 이므로 열공간의 기저는 이므로 rank는 3이고 행공간의 기저는 이다. 이다. → 이므로 열공간의 기저는 이다. 9. → → → → 5. → → 이므로 rank는 3이고 행공간의 기저는 이므로 rank는 3이고 행공간의 기저는 이다. 이다. → → 이므로 열공간의 기저는 이다. 6. → → 이므로 rank는 2이고 행공간의 기저는 → → → → 이므로 열공간의 기저는 이다. 10. → 이므로 rank는 1이다. 12. 정리 3에 의하여 와 는 같은 계수를 갖는다. 식 (10d)에 의하여 이므로 rank rank 이다. 13. 이라 하면 이다. 따라서 은 성립하지만 은 성립하지 않는다. 14. 가 × 인 행렬이라 하자. 는 개의 이므로 rank는 3이고 행공간의 기저는 이다. → 같으므로 의 열벡터는 일차독립이다. 정리 3에 이다. 의하여 rank 이다. 따라서 rank 이고 의 일차독립인 열벡터도 개다. 즉 열벡터도 일차독립이다. 11. (a) 이므로 16. 이라 하면 이고 ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ → ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ → ⋯ ⋮⋮ ⋮⋱ ⋮ ⋯ 이다. 이므로 이다. 따라서 두 행렬의 곱에 의하여 얻어진 행렬의 rank는 두 행렬의 rank 어느 것보다도 크지 않다. 17. → → → 이므로 rank는 2이다. 이므로 rank는 3이고 일차독립이다. (b) 이므로 → 18. ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ → ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ → ⋯ ⋮⋮⋮⋱ ⋮ ⋯ → → 이므로 rank는 2이다. (c) 이므로 이므로 rank는 4이고 일차독립이다. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ → ⋯ ⋮⋮⋮⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ 의하여 열벡터들은 일차종속이다. 열벡터는 개다. 의 행벡터가 의 열벡터와 성분을 갖는 개의 열벡터를 갖는다. 정리 4에 15. 가 × 인 정방행렬이라 하면 의 행벡터, 이므로 열공간의 기저는 127 이므로 이고 이다. 19. → → 이므로 rank는 3이고 일차독립이다. 7.4 Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space → → → 20. → → → 이므로 rank는 2이고 일차종속이다. 128 제7 장 선형대수: 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식 → 21. → → → → → → 는 원소가 아니다. 따라서 벡터공간이 아니다. 30. 2차원 벡터공간이며 기저는 번 성분만 1인 벡터( ≠ 인 벡터 ⋯ )와 번 성분만 1인 벡터( ≠ 인 벡터 ⋯ )이다. 31. 성분이 음수인 벡터만 가지므로 은 원소가 아니다. 따라서 벡터공간이 아니다. 32. 1차원 벡터공간이며 기저는 이다. 33. 1차원 벡터공간이며 기저는 이다. 34. ≤ ≤ 인 벡터 ⋯ 은 이므로 rank는 3이고 일차독립이다. 29. 가 원소이면 ≤ , ≥ 이므로 → 25. 이다. 이므로 rank는 3이고 일차종속이다. 아니다. 이면 2차원 벡터공간이고 기저는 → 28. ≠ 이면 을 포함하지 않으므로 벡터공간이 → → 24. → → 27. 2차원 벡터공간이며 기저는 이다. 이므로 rank는 2이고 일차독립이다. 이므로 이 세 백터는 일차독립니다. → 23. 26. → 이므로 rank는 2이고 일차종속이다. 않으므로 3번째와 4번째 벡터를 제거한다. → → 3열과 4열은 0이 아닌 첫 번째 성분을 가지고 있지 이므로 주어진 벡터들은 일차종속이다. 이므로 rank는 3이고 일차종속이다. 22. → 원소이지만 ⋯ 은 원소가 아니므로 벡터공간이 아니다. 35. 1차원 벡터공간이며 기저는 이다. 7.7 Determinants. Cramer's Rule 1. 정리 1에서 (a) (f) 이고 이다. (b) 1행의 -3배를 2행에 더한다. 이고 이다. (c) 1행에 4배를 한다. 이고 이다. 정리 2에서 (e) 이다. 이고 이다. (d) 2. 첫 번째 행에 대해 전개하면 이고 두 번째 행에 대해 전개하면 이다. 첫 번째 열에 대해 전개하면 이고 두 번째 열에 대해 전개하면 이므로 모두 같은 값을 갖는다. 3. 두 번째 행에 대해 전개하면 세 번째 행에 대해 전개하면 sin cos sin cos sin cos cosh sinh cosh sinh 10. sinh cosh 9. 첫 번째 열에 대해 전개하면 11. 12. ∙ ∙ 4. 차 확장행렬 계산에 번의 계산이 필요하고 각 계산마다 sec 의 시간이 소요된다고 가정하면 표에서의 값들을 얻게 된다. det det 이다. 가 × 행렬일 때, det det 라 가정하자. ⋯ ⋯ 가 × 행렬이면 이다. ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ 14. 얻은 의 부분행렬의 행렬식은 이다. 따라서 det det 수학적 귀납법에 의하여 det det 이다. 6. 첫 번째 행원소들의 소행렬식은 이고 여인수는 이다. 이고 여인수는 이다. sin coscos sinsin cos cos sin cos 8. 7. 15. 16. det 증명. 일 때 det 이므로 성립한다. 일 때 성립한다고 가정하면 일 때 행렬의 첫 행을 첫 번째 항을 제외한 모든 항은 이 되도록 만든다. 방법은 세 번째 행원소들의 소행렬식은 를 행과 열을 소거하여 얻은 의 부분행렬 이라 하면, 가정에 의하여 행과 열을 소거하여 13. 5. 가 × 행렬이면 이므로 129 7.7 Determinants. Cramer’ s Rule 두 번째 열에 대해 전개하면 ⋯ 그러면 제 1행의 1열의 값은 이 되고 다른 항은 모두 이 되므로 det ∙det ∙ 성립한다. 제7 장 선형대수: 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식 18. ≠ 이므로 rank는 3이다. → → → → 이고 이다. 따라서 이다. (e) 일반원뿔 곡선 : 이므로 이고 이다. (b) 평면의 방정식 : ∙ 이므로 이고 이다. 따라서 이다. (c) 원의 방정식 : ∙ 20. (a) 이므로 이므로 rank는 2이다. 이므로 ∙ → ≠ 이므로 rank는 2이다. 19. , 이므로 rank는 3이다. (d) 구의 방정식 : → → 이므로 rank는 2이다. 이다. ≠ 이므로 rank는 2이다. 17. 이다. 따라서 따라서 수학적 귀납법에 의하여 주어진 공식은 130 이고 ∙ 이다. 이므로 21. 이다. → 이므로 이다. 이므로 22. 이다. → 이므로 이다. 이므로 이다. 23. 따라서 이다. → → → → 이다. 24. → → → → 따라서 → → → → → 이다. 따라서 이다. 이므로 이므로 이다. 7.8 Inverse of a Matrix. Gauss-Jordan Elimination → 1. → → → 이므로 역행렬은 이다. cos sin tan sec → 2. sin cos sin cos tan sec tan sec → → sec tan sin cos cos sin → cos sin cos sin 이므로 역행렬은 이다. sin cos → 3. → 131 7.8 Inverse of a Matrix. Gauss-Jordan Elimination 25. → → 132 제7 장 선형대수: 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식 9. → → → → → → 이므로 역행렬은 이다. 이다. → → → → 이므로 역행렬은 이다. → → → → → → → → 이므로 역행렬은 이다. 7. 10. 이다. 이므로 역행렬은 6. 이므로 역행렬은 4. 정사각행렬이 아니므로 역행렬이 존재하지 않는다. 5. → → 이므로 역행렬은 존재하지 않는다. 이다. 이므로 역행렬은 8. 11. 이므로 이다. 이므로 이다. 따라서 왼쪽에 이다. 12. 식 (1)에 의하여 을 곱하면 이다. 양변의 이므로 역행렬 도 삼각행렬이다. 이다. 다시 양변의 왼쪽에 을 곱하면 18. 문제 7번의 주어진 행렬은 평면에 대한 대칭이동을 의미하므로 역행렬은 자기 자신과 이다. 13. 이므로 같다. 즉 이다. 19. det 따라서 이므로 이다. 따라서 이다. 15. 곱하면 이다. 를 20. det 이다. 에서 양변의 왼쪽에 를 에서 양변의 왼쪽에 곱하면 14. 이다. 따라서 이다. 16. 문제 2번의 행렬은 만큼 회전했을 때 생성되는 행렬이다. 역은 만큼 회전했을 때 생성되므로 문제 2번의 행렬에서 를 로 바꾸므로 이다. 역행렬을 구할 수 있다. 17. 가 인 삼각행렬이라 하자. 7.9 Vector Spaces, Inner Product Space, Linear Transformations 1. 와 와 11. 이다. 2. 실수 ≤ ≤ 에 대하여 ⋯ 이라 하자. ⋯ 이므로 ⋯ 이다. ⋯ 이 일차독립이므로 ≤ ≤ 이다. 따라서 벡터 의 표현은 유일하다. 3. 1차원 벡터공간이며 기저는 이다. 12. 이다. 13. 벡터공간이 아니다. 7. 2차원 벡터공간이며 기저는 이다. 8. det ≠det det 이므로 벡터공간이 아니다. 9. 3차원 벡터공간이며 기저는 이다. 10. 4차원 벡터공간이며 기저는 이다. 14. 6. 2차원 벡터공간이며 기저는 cos sin 이다. 이다. 이다. 5. 덧셈에 대한 역원이 존재하지 않으므로 4. 3차원 벡터공간이며 기저는 이다. 15. ∥ ∥ 7.9 Vector Spaces, Inner Product Space, Linear Transformations 이다. 133 16. ∥ ∥ 17. ∥ ∥ 18. ∥ ∥ 134 제7 장 선형대수: 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식 ∥ ∥ 20. ∥ ∥ 19. 21. 두 벡터가 직교하기 위하여 을 만족하여야 한다. 따라서 이다. 22. 이므로 과 직교하는 벡터는 이다. 이는 2차원 벡터공간이며 기저는 이다. 23. 이라 하자. 이므로 ≒ 이다. ∥ ∥ 라 하자. 이므로 이다. ∥∥ , ∥∥ 이므로 ∥∥∥∥ 이다. 따라서 ≤ ∥∥∥∥이다. 25. 라 하면 , ∥∥ ∥∥ 이므로 ∥∥ ∥∥ 이다. 이므로 , ∥ ∥ 이다. ∥ ∥ 즉, ∥ ∥ ∥ ∥ 이다. ∥ ∥ ∥ ∥ ∥∥ ∥∥ 이다. Review Questions and Problems 1. 행렬의 곱에서는 숫자의 곱과는 다른 세 가지 성질이 있다. 행렬의 rank는 행렬의 일차독립인 열벡터의 최대수와 같다. (1) 일반적으로 ≠ 이다. 행렬의 rank가 이면 0이 아닌 행렬식을 갖는 (2) 이 반드시 또는 또는 을 의미하지는 않는다. × 부분행렬이 존재하고, 행렬의 또는 그 이상의 행을 갖는 모든 정방부분행렬의 (3) 가 반드시 ( ≠ 일 때도)를 행렬식은 0이다. 8. 계수행렬의 rank가 첨가행렬의 rank보다 작으면 의미하지는 않는다. 2. 정의되는 연산 : 연립방정식이 해를 갖지 않는다. 계수행렬과 첨가행렬이 같은 rank를 가지며 행의 개수와 같을 때 연립방정식이 유일해를 갖는다. 정의되지 않는 연산 : 계수행렬과 첨가행렬이 같은 rank를 가지며 행의 3. 해를 갖지 않는 연립방정식의 예 개수보다 작을 때 연립방정식은 무수히 많은 해를 : 갖는다. 유일한 해를 갖는 연립방정식의 예 9. Gauss 소거법은 선형연립방정식의 해를 구하는데 : 무수히 많은 해를 갖는 연립방정식의 예 : 있어서 표준적인 방법이다. 이것은 체계적인 소거 과정으로 계산시간과 기억요구량이 합리적이고, 실용성이 있는 매우 중요한 방법이다. 4. 정의되는 연산 : 정의되지 않는 연산 : 5. 행렬 곱셈의 동기는 선형 변환에 있다. 즉 두 선형 변환의 합성에서 행렬의 곱셈이 튀어 나온다. 6. 정의역이 ℝ 이고 공역이 ℝ 인 선형변환에 의한 상은 적당한 × 행렬의 곱으로 표현된다. 7. 행렬의 일차독립인 행벡터의 최대수를 행렬의 rank라 한다. 24. 따라서 ∥∥ ∥∥ ≒ Chapter 7 이므로 ∥ ∥≤ ∥∥ ∥∥이다. 일반적으로 연립방정식을 풀기 위하여 가감법을 시행하는데 이것이 Gauss 소거이다. 후치환은 Gauss 소거에 의하여 정리된 연립방정식의 해를 구하기 위하여 대입법을 사용하는 것에 동기화 되었다. 10. 역행렬은 원래 행렬과의 곱이 단위행렬이 되는 행렬이다. 원래 행렬의 rank가 그 행렬의 행의 개수와 같을 때 역행렬이 존재한다. 행렬식과 여인자를 써서 역행렬을 구할 수 있다. 11. 12. 13. 이므로 이다. → → 23. 이므로 , 는 임의의 실수이다. → 24. 25. × × × 16. 26. 18. 27. 28. 이므로 rank는 2이다. 따라서 하나의 미지수가 임의의 실수로 남는다. → 30. → 이므로 rank는 1이고 22. → → → → → 이므로 rank는 1이다. 따라서 두 개의 미지수가 이다. 이므로 rank는 2이고 → 이다. 21. → → 29. → → 이므로 이다. 20. 19. → ∙ 이므로 해가 없다. 17. det det det det 135 임의의 실수이다. 15. 이므로 , 는 14. 임의의 실수로 남는다. 31. → → → 이므로 rank는 2이고 → → → Chapter 7 Review Questins and Problems 이므로 rank는 2이다. 따라서 유일한 해가 존재한다. → 32. 이므로 rank는 1이고 136 → 제7 장 선형대수: 행렬, 벡터, 행렬식, 선형연립방정식 이므로 rank는 2이다. 따라서 해가 없다. 33. 주어진 조건을 모델링하면 이므로 이다. → 이므로 이다. 34. 주어진 조건을 모델링하면 이므로 이다. → → 이므로 이다. 35. 주어진 조건을 모델링하면 이므로 이다. → → 이므로 이다. CHAPTER 8 선형대수: 행렬의 고유값 문제 8.1 The Matrix Eigenvalue Problem. Determining Eigenvalues, Eigenvectors 1. 이므로 이다. 9. 이므로 ± 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이다. 138 이면 이므로 고유벡터는 이다. 제8 장 선형대수: 행렬의 고유값 문제 2. 이므로 (중근)이고 고유벡터는 와 이다. 3. 이므로 이면 이므로 이고 고유벡터는 이다. 이면 이므로 이고 고유벡터는 이다. 10. cos sin 이므로 cos ±sin 이다. 이다. cos sin 이면 이므로 이면 이므로 이고 이고 고유벡터는 이다. 고유벡터는 이다. cos sin 이면 이므로 이면 이므로 이고 이고 고유벡터는 이다. 고유벡터는 이다. 4. 이므로 이다. 11. 이면 이므로 이고 이므로 이고 이다. 고유벡터는 이다. 이면 이므로 이면 이므로 이고 이고 고유벡터는 고유벡터는 이다. 이다. 5. 이므로 ± 이다. 이면 이므로 12. 이고 고유벡터는 이다. 이므로 이므로 이면 이므로 이다. 이고 고유벡터는 이다. 이면 이므로 고유벡터는 6. 이므로 이다. 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이면 이므로 이고 이다. 고유벡터는 이다. 이면 이므로 7. 이므로 (중근)이다. 이므로 이므로 고유벡터는 고유벡터는 이다. 이다. 8. 인 경우 이므로 ± 이다. 13. 이면 이므로 이므로 이고 고유벡터는 이면 이므로 이다. 이므로 고유벡터는 14. 이다. 이므로 ± 이다. 이므로 이다. 인 경우 이고 고유벡터는 이다. 이므로 이므로 이면 이므로 이므로 (중근) 이므로 고유벡터는 이다. 이다. 이면 이므로 이면 이므로 이므로 고유벡터는 이다. 이고 고유벡터는 이다. 이면 이므로 이므로 고유벡터는 이므로 고유벡터는 이다. 이다. 점 가 로 사상된다. 축 위의 점은 이므로 15. 이므로 이면 이므로 이고 고유벡터는 이다. 20. 139 이므로 (중근)이다. 이면 이면 이므로 이므로 이고 고유벡터는 이다. 고유벡터는 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이면 이므로 고유벡터는 와 이다. 이다. 평면 위의 점은 그 자신으로, 직선 이므로 16. 이므로 (중근)이다. 위의 점은 원점으로 사상된다. 21. × 행렬의 예 : 의 특성방정식은 이므로 고유치 2의 이다. 2에 대응하는 이면 고유벡터는 이므로 이다. 이므로 이고 고유벡터는 이다. 이면 이므로 따라서 부족지수는 1이다. × 행렬의 예 : 이고 고유벡터는 이다. 따라서 부족지수는 2이다. 22. × 행렬의 예 cos sin cos sin 고유벡터는 이므로 이다. 이므로 이고 17. 이므로 고유치 9의 이다. 9에 대응하는 이면 고유벡터는 이다. 의 특성방정식은 의 고유치는 이다. : × 행렬의 예 이므로 ± 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이다. : 의 고유치는 이다. 23. 특성방정식에서 계수들이 실수이므로 18. 특성방정식의 해는 실근을 가지거나 만약 허근을 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이다. 축 위 임의의 점 가 로 사상되므로 이 에 대응하는 고유벡터이다. 19. 갖는다면 켤레복소수도 근이다. 24. 이 존재한다는 것은 det ≠ 와 동치이다. ⋯ 이 의 고유치이므로 det ⋯ 이다. det ⋯ 이므로 det ≠ 와 은 의 고유치가 아니라는 사실은 동치이다. ≠ 가 의 고유치라면 이다. 양변에 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이면 을 곱하면 이므로 이다. 8.1 The Matrix Eigenvalue Problem. Determining Eigenvalues, Eigenvectors (중근)이다. 그 자신으로, 축 위의 점은 원점으로 사상된다. det det 이다. 따라서 은 의 고유치이다. 25. 를 정방행렬이라 하면 이므로 따라서 의 고유치는 의 고유치와 같다. 8.2 Some Applications of Eigenvalue Problems 140 1. 이므로 이다. 제8 장 선형대수: 행렬의 고유값 문제 이면 이므로 고유벡터는 이고 주방향은 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 주방향은 이다. 2. 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 주방향은 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 주방향은 이다. 3. 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 주방향은 이다. → → → 8. 이다. 따라서 이다. 9. → → → 이므로 이고 이고 주방향은 이다. 이다. 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 주방향은 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 주방향은 이다. 5. 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이므로 이고 이면 이므로 고유벡터는 4. 이므로 ± 따라서 이다. 10. 이므로 이다. 따라서 성장률은 이다. 11. 이므로 이다. 따라서 성장률은 이다. 13. 는 각 회사가 상품을 만드는데 투자된 총비용이 고 얻어지는 수입은 이다. → → → 이고 주방향은 이다. 이므로 이고 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이고 주방향은 이다. 6. 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 주방향은 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 주방향은 이다. 7. 이므로 이고 이다. 따라서 이다. 따라서 이다. 14. k회사의 상품이 각 회사에서 소비되는 양을 모두 더하면 k회사의 총생산량과 같아야 한다. 가 회사 k의 총생산 가운데 회사 j에서 소비되는 비율을 나타내므로 이다. 따라서 소비행렬의 열의 합은 1이다. 는 와 같은 고유치를 가지고 의 행의 합은 1이므로 는 고유치 1과 고유벡터 ⋯ 을 갖는다. 이므로 15. 이다. 16. 이다. ⋯ 이 의 고유치이므로 ≤ ≤ 이다. 따라서 ≤ ≤ 이므로 따라서 이므로 ⋯ ⋯ 이다. 은 에 대한 차 다항식, 은 에 대한 차 다항식, ⋯ 이므로 는 에 대한 차 다항식이다. 따라서 특성방정식 의 의 계수를 구하면 ⋯ 이다. ⋯ 이 의 고유치이므로 ⋯ 이고 의 계수는 ⋯ 이다. 따라서 ⋯ ⋯ 이다. 17. 의 특성방정식은 det det 이다. ⋯ 이 의 고유치이므로 ≤ ≤ 이다. 를 에 대응하는 의 고유벡터이다. 의 양변에 를 곱하면 이다. 따라서 ≤ ≤ 이고 ⋯ 은 의 고유치이다. 19. 문제 18번에 의하여 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 이다. 따라서 는 의 고유치이고 와 같은 고유벡터를 갖는다. 20. det 가 양수이므로 ≠ 이다. 따라서 ≤ ≤ 이므로 trace 이므로 문제 16번에 의하여 고유치의 ⋯ 는 의 고유치이다. 합은 0이다. 따라서 고유치가 모두 실수이면 를 에 대응하는 의 고유벡터라 하면 적어도 하나의 고유치는 양수이다. 특성방정식의 이다. 따라서 이므로 를 에 대응하는 의 고유벡터 허근은 켤레복소수로 존재하므로 이면 이다. 이므로 이다. 따라서 양수인 고유치가 반드시 존재한다. 이다. 18. 의 특성방정식은 8.3 Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices 1. 직교행렬이다. 141 대응하는 의 고유벡터라 하면 이다. 4. 직교행렬이다. 이므로 ± 이다. 2. 이면 반대칭행렬이다. 이므로 ± 이다. 이면 대칭행렬이다. 이므로 이다. ≠ , ≠ , 이면 직교행렬이다. 이므로 ± 이다. ≠ , ≠ , ≠ 이면 세가지 모두 아니다. 이므로 ± 이다. 3. 세가지 모두 아니다. 이므로 ± 이다. cos sin 이므로 cos ±sin 이다. 5. 대칭행렬이다. 이므로 이고 이다. 6. 대칭행렬이다. 이므로 이고 (중근)이다. 7. 반대칭행렬이다. 8.3 Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Metrices ⋯ 는 의 고유치이다. 를 에 det det det 이고 이므로 142 cos sin (e) sin cos 이고 ± 이다. 8. 직교행렬이다. 제8 장 선형대수: 행렬의 고유값 문제 이므로 대칭행렬이다. cos ±sin 이다. 9. 직교행렬이다. 이고 ± 이다. 따라서 이므로 직교행렬이다. (중근)이다. 12. (a) 와 를 직교행렬이라 하자. 이므로 도 14. 이므로 이고 이다. 직교행렬이다. 이므로 이다. 이고 이므로 도 직교행렬이다. 15. 라 하면 이다. (8.2절 예제 1번) 라 하면 이다. (8.2절 예제 회전이동의 용어로 두 회전이동의 곱이나 회전이동의 역도 회전이동임을 의미한다. 4번) cos sincos sin (b) sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin cos 따라서 와 의 고유치의 합이 의 고유치는 16. ≠ 이고 ≠ 라 하자. 가 cos sin 라 하면 sin cos ± 이므로 이다. 아니다. 이므로 직교변환이다. 대칭행렬이므로 이다. ∙ cos sin 따라서 이다. ≠이므로 ∙ cos sin sin cos 이다. 따라서 와 는 직교한다. ∙ sin cos 이므로 정리 3을 cos sin 만족한다. 역변환은 이다. sin cos 이므로 도 반대칭행렬이다. 의 고유치는 과 이므로 →∞ 일 때 발산(원형 궤적을 따라 돈다)한다. (d) 의 고유치는 과 17. 가 반대칭행렬이고 라 하자. (c) 은 회전이동이다. 이므로 →∞ 이면 0으로 이라 하면 이므로 반대칭행렬이다. 이므로 10. 대칭행렬이며 동시에 직교행렬이다. 이므로 13. 예제 1번에서 cos sin 이므로 수렴한다. 따라서 나선형 궤적을 따라간다. 18. No. 가 × 반대칭행렬이라 하고 이 홀수라 하자. det det det det det 이므로 det 이다. 따라서 는 특이행렬 (singular matrix)이다. 19. No. 반대칭행렬은 역행렬이 존재하지 않는다.(18번) 20. Yes. 예를 들면 이다. 8.4 Eigenbases. Diagonalization. Quadratic Forms 이므로 ± 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이므로 고유벡터는 이다. 고유벡터는 이다. 의 고유벡터이므로 따라서 와 가 와 가 의 고유벡터이다. 이다. 이므로 의 따라서 , 와 가 고유벡터이므로 , 와 가 의 고유벡터이다. 6. (a) 문제 1번에서 trace 이고 고유치의 합은 이다. 문제 3번에서 trace 이고 고유치의 합은 이다. 문제 5번에서 trace 이고 ± 이다. 고유치의 합은 이다. 이면 이므로 고유벡터는 (b) 라 하면 이고 이면 이므로 고유벡터는 이다. 와 가 의 고유벡터이다. 3. 따라서 trace 하면 trace 이다. 에서 왼쪽에 을, 오른쪽에 (c) 을 각각 곱하면 와 가 의 고유벡터이므로 와 가 의 고유벡터이다. 4. 이다. (d) 고유치의 순서를 바꾸려면 에서 각 고유치에 대응하는 고유벡터의 순서를 바꾸면 된다. 7. × 행렬의 예 의 고유벡터는 이므로 ℝ 의 : 기저가 될 수 없다. × 행렬의 예 이다. 이므로 이다. 이면 : 이므로 고유벡터는 이다. 가 의 고유벡터이다. 8. 5. 이다. 이므로 의 고유벡터는 이므로 ℝ 의 기저가 될 수 없다. 의 고유벡터이므로 따라서 가 고유벡터는 이다. 이고 이면 이므로 이다. 라 이면 이므로 고유벡터는 ≤ ≤ 이다. 따라서 trace 이므로 이다. 이다. ≤ ≤ 이다. 의 고유벡터이므로 즉 와 가 이면 이므로 고유벡터는 이고 이면 이고 이면 이므로 이므로 고유벡터는 이고 이라 하면 는 대칭행렬이다. 의 고유치 에 대응하는 고유벡터가 각각 8.4 Eigenbases. Diagonalization. Quadratic Forms 이다. 이면 1. 이다. 2. 143 이다. ∙ ∙ 제8 장 선형대수: 행렬의 고유값 문제 ∙ 이므로 은 정규 직교 기저이다. 9. 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고, 이면 이므로 고유벡터는 이며, 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이다. 이므로 이다. 10. 이므로 ± 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이므 이다. 11. 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이므로 이고 이면 이므로 고유벡터는 이다. 12. 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이므로 이다. 15. 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고, 이면 이므로 고유벡터는 이며, 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이므로 이다. 16. 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고, 이면 이므로 고유벡터는 이므로 이며, 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이다. 13. 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고, 이면 이므로 고유벡터는 이며, 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이므로 이다. 이다. 144 14. 이므로 ∙ ∙ ∙ 로 이므로 17. 이므로 이다. 식 (10)에 의하여 (타원)이다. 식 (10)에 의하여 (쌍곡선)이다. 이면 이므로 고유벡터는 이면 이므로 고유벡터는 이고 이면 이므로 이고 이면 이므로 이다. 이다. 18. 따라서 145 이다. 22. 이므로 ± 이다. 이므로 이다. 식 (10)에 의하여 (쌍곡선)이다. 식 (10)에 의하여 (타원)이다. 이면 이므로 고유벡터는 이면 이므로 이고 이면 이므로 이다. 이다. 따라서 이고 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이다. 따라서 23. 19. 이므로 이다. 이므로 식 (10)에 의하여 이다. 이다. 식 (10)에 의하여 이면 이므로 고유벡터는 (쌍곡선)이다. 이고 이면 이므로 이면 이므로 이다. 이고 이면 이므로 고유벡터는 이다. 따라서 20. 식 (10)에 의하여 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 이면 이므로 이다. 이다. 따라서 이다. 따라서 24. 식 (9)에 의하여 를 식 (10)으로 변환한다. 식 이므로 이다. 이다. 21. 이므로 이다. (9)의 역변환 가 존재하므로 ≠ 와 ≠ 사이에 일대일 대응이 존재한다. ≠ 에 대한 의 값은 식 (10)의 우변과 같으므로 고유값이 모두 양수라는 조건과 라는 조건은 동치이다. 또한 고유치가 모두 음수라는 조건과 라는 조건도 동치이고 고유치가 양수와 음수를 모두 갖는다는 조건과 가 양수와 음수를 모두 갖는다는 조건도 동치이다. 25. 문제 22번 에서 det 이므로 positive definite이다. 문제 23번 에서 8.4 Eigenbases. Diagonalization. Quadratic Forms 이다. 따라서 det 이므로 indefinite이다. 8.5 Complex Matrices and Forms. 이므로 (중근) 이므로 1. 이면 146 는 Hermitian이다. 제8 장 선형대수: 행렬의 고유값 문제 이므로 이다. 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 이면 이므로 이면 이므로 고유벡터는 이고 이면 이므로 고유벡터는 이다. 2. 이면 고유벡터는 과 이다. 이면 6. 이므로 이므로 는 skew-Hermitian이다. 는 Hermitian이다. 이므로 이다. 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이면 이므로 이고 이면 고유벡터는 이고 이므로 고유벡터는 이다. 이면 3. 이면 이므로 는 세 가지 모두 아니다. 이므로 ± 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이므로 고유벡터는 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이다. 7. 에서 이므로 ± 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이고 이면 이므로 에서 이므로 ± 이다. 고유벡터는 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 4. 이면 이므로 는 skew-Hermitian이며 이고 이면 이므로 고유벡터는 이다. 에서 이므로 ± 이 다. 이면 이므로 고유벡터는 unitary이다. 이므로 ± 이다. 이면 이고 이면 이므로 고유벡터는 이므로 고유벡터는 이고 이다. 이면 이므로 고유벡터는 , 이다. 5. 이면 이고 이므로 는 skew-Hermitian이며 unitary이다. , , , 8. 에서 이면 이므로 고유벡터는 이고 이면 이므로 고유벡터는 14. 이다. 에서 이고 이면 이므로 고유벡터는 이다. 에서 이면 고유벡터는 이고 이므로 고유벡터는 이다. 9. 이므로 둘 다 아니다. 이므로 10. 이므로 이므로 는 Hermitian이다. 12. 13. 는 Hermitian이고 는 skew-Hermitian이고 이고 는 unitary이므로 이고 이다. 이다. 15. 를 임의의 정방행렬이라 하자. 라 하면 이므로 는 skew-Hermitian이다. 16. 와 를 unitary라 하자. 는 skew-Hermitian이다. 이고 이다. 따라서 이므로 는 Hermitian이다. 는 skew-Hermitian이다. 는 Hermitian이고 는 skew-Hermitian이므로 이면 이므로 이므로 도 unitary이다. 를 unitary라 하고 라 하자. 이므로 도 unitary이다. 17. 이다. 18. 가 Hermitian이면 가 skew-Hermitian이면 이다. 147 8.5 Complex Matrices and Forms 이면 이므로 고유벡터는 11. 이다. 가 unitary이면 이므로 는 정규행렬 이면 이다. 이다. 19. 이므로 이고 148 제8 장 선형대수: 행렬의 고유값 문제 이다. 가 정규행렬(normal matrix)이면 이므로 는 20. 이라 하자. Hermitian도 skew-Hermitian도 아니다. 이고 이므로 는 unitary도 normal도 아니다. 이므로 이다. Chapter 8 Review Questions and Problems 1. 고유값 문제 에서 정방행렬 는 주어지고 벡터 와 스칼라 는 구하고자 한다. 2. Markov 과정을 이해하거나 단진자의 운동방정식 을 푸는데 쓰인다. Unitary 행렬 : , 고유치의 절대값이 10. 가 고유벡터의 기저를 가질 때, 를 고유벡터들 을 열벡터로 하는 행렬이라 하면 는 대각행렬이 되며, 의 고유치들이 주대각선의 3. 고유치는 특성방정식의 근이므로 모든 정방행렬은 고유치를 가진다. 원소가 된다. 이를 대각화라 한다. 를 실대칭행렬이라 하면, 는 고유벡터들로 4. 실수행렬이 복소수인 고유값을 가질 수 있다. 구성된 정규직교 기저를 갖는다. 의 대각화를 예를 들어 2차 형식에 대입한 후, 치환하고 정리하는 것을 라 하면, 이므로 주축에 대한 형식의 변환이라 한다. ± 이다. 11. 이므로 이다. 또한 복소행렬이 실수인 고유값을 가질 수 있다. 이면 이므로 고유벡터는 예를 들어 이다. 이면 이므로 이라 하면, 이므로 이다. 고유벡터는 이다. 12. 이므로 ± 이다. 이면 이므로 고유벡터는 5. × 실수행렬의 특성방정식은 계수가 모두 실수인 5차 다항식으로 5개의 근을 갖는다. 특성방정식이 복소근을 갖는다면 켤레복소수도 근이므로 복소수인 고유치는 쌍으로 존재한다. 따라서 반드시 실수인 고유치를 갖는다. × 복소행렬은 실수인 고유치를 갖지 않을 수도 있다. 6. 대수적 중복도는 고유방정식의 중근의 중복 정도를 의미한다. 7. 고유벡터들이 ℂ (또는 ℝ )의 기저가 될 수 있는데 이를 고유벡터의 기저(eigenbasis)라 한다. 행렬이 서로 다른 고유값을 가지면 고유벡터의 기저가 존재한다. 고유벡터가 기저가 된다는 사실은 행렬의 대각화에 주요한 역할을 한다. 8. 대칭행렬의 경우 직교하는 고유벡터를 찾을 수 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이다. 13. 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이다. 14. 이므로 (중근)이다. 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이면 있다. 9. 대칭행렬 : , 고유치가 모두 실수 반대칭행렬 : , 고유치가 이거나 순허수 직교행렬 : , 고유치의 절대값이 이므로 고유벡터는 와 이다. 15. 이므로 ± 이다. Hermitian 행렬 : , 고유치가 모두 실수 이면 이므로 Skew-Hermitian 행렬 고유벡터는 이다. 이면 : , 고유치가 이거나 순허수 이므로 고유벡터는 이다. 이면 이므로 이다. 16. 에서 이므로 이면 이므로 이다. 이므로 이므로 고유벡터는 이다. 이므로 이다. 에서 이므로 18. 에서 이므로 이므로 이다. 22. 따라서 이다. 이므로 이다. 에서 이므로 이다. 19. 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이므로 이다. 20. 이므로 이다. 이면 이므로 고유벡터는 이고 이면 이므로 고유벡터는 이다. 이므로 23. 이다. 이므로 이다. 이다. 이다. 이므로 17. 에서 이므로 이므로 고유벡터는 이다. 이며, 이면 이다. 에서 이므로 149 고유벡터는 이고, 이면 이다. 따라서 이다. 24. 이므로 ± 이다. 따라서 이다. 25. 이므로 이다. 따라서 이다. Chapter 8 Review Questins and Problems 이다. 21. 이므로 고유벡터는 이다. CHAPTER 9 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 9.1 Vectors in 2-Space and 3-Space 152 2. 3. 제9 장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 (4c) 4. (4d) 5. 6. (6a) (6b) 7. (4b) (6c) 8. 9. (6d) ∙ ∙ ∙ 10. 21. 11. 22. 12. 24. 13. , 문제 21번에서 이고 평형조건으로부터 을 얻는다. 15. 16. 25. 26. 라 하자. 14. 23. 17. 18. 19. 문제 12번 : 식(4b) 결합법칙 문제 13번 : 식(4a) 교환법칙 문제 14번 : 식(6a) 분배법칙 문제 15번 : 식(6a) 분배법칙 문제 16번 : 식(6a) 분배법칙 20. , 라 하자. (4a) 따라서 이다. 27. 라 하자. 문제 23번에서 이고 평형조건으로부터 을 얻는다. 따라서 이다. 28. 29. 라 하자. 문제 21번에서 이고 -평면에 평행하다는 조건으로부터 을 얻는다. 따라서 이다. 30. 라 하자. 문제 24번에서 ≡ 이고 -방향과 방향의 성분이 이라는 조건으로부터 , 을 얻는다. 따라서 이다. 31. 세 벡터의 합은 이다. 평면과 평행하려면 성분이 이어야 하므로 이다. 32. ≤ ≤ 방향에 대한 정보는 전혀 없다. 마주보는 변과 만나는 점을 라 하자. 의 33. ≤ 방향에 대한 정보는 전혀 없다. 이므로 34. 이다. 이다. 36. 두 개의 거울이 각각 축과 축에 수직으로 놓여 있다고 가정하자. 입사광선의 성분이 라면 첫 번째 반사광선( 축에 놓인 거울에 반사된 광선)은 이고 두 번째 반사광선( 축에 놓인 거울에 반사된 광선)은 이다. 이다. , 이므로 이다. 따라서 이므로 는 중점이고 이므로 중선은 에 의하여 로 내분된다. (e) 그림에 의하여 , 이다. 이고 이므로 두 벡터의 크기는 같고 방향이 반대이다. 따라서 변 와 는 평행하고 길이가 같으므로 사각형 는 평행사변형이다. 따라서 수직으로 놓인 두 개의 거울에 반사된 반사 광선은 입사광선과 평행하며 방향은 반대이다. 37. , 라 하자. 이므로 이다. 이 세 벡터가 평형을 이루므로 , 이다. 따라서 이다. 38. (a) 두 대각선을 나타내는 벡터는 , 이다. 교점 를 나타내는 위치벡터는 두 가지 방법으로 표현된다. 즉, 이다. (f) 그림에서 사각형 와 는 와 가 일차독립이므로 이다. 평행사변형이므로 대각선 와 , 와 따라서 이고 평행사변형의 대각선들은 는 서로 이등분한다. 그림과 같이 서로 이등분한다. 평행육면체의 모서리를 나타내는 벡터를 라 하자. (b) 이웃한 두변의 중점을 연결한 선분과 대각선의 교점을 라 하자. (a)와 마찬가지로 를 나타내는 위치벡터는 두 가지 방법으로 대각선 중점의 위치벡터는 , 표현된다. 대각선 중점의 위치벡터는 , 이다. 대각선 중점의 위치벡터는 , 이므로 이다. 따라서 대각선이 대각선 중점의 위치벡터는 내분되는 비율은 이다. 으로 모두 같은 위치벡터를 갖는다. 따라서 대각선들은 서로 이등분한다. (c) 마주보는 대변의 중점을 연결하면 합동인 네 개의 평행사변형이 생긴다. 작은 평행사변형에 대하여 (a)를 적용하면, 의 비율로 내분된다. 따라서 이를 큰 평행사변형에 대하여 적용하면 의 비율로 내분된다. (d) 두 개의 중선의 교점을 라 하자. 교점 의 위치벡터를 표현하는 두 가지 방법에 의하여 이다. , 이므로 이다. 따라서 중선은 의 비율로 내분된다. 중선을 긋지 않은 꼭지점과 를 지나는 직선이 (g) ⋯ 을 정 각형의 중심에서 각 꼭지점으로 그은 벡터라 하자. 이 벡터들 사이의 각은 이고 정 각형의 한 내각의 크기는 153 9.1 Vectors in 2-Space and 3-Space 이므로 35. 위치벡터를 표현하는 두 가지 방법에 의하여 이다. ⋯ 을 시작으로 다음과 같이 벡터들을 이동한다. 그러면 두 벡터 사이의 각은 이므로 의 종점에 의 시점을 붙인다. 의 종점에 의 시점을, 새로 만들어지는 도형도 정 각형이 된다. 의 종점에 의 시점을, 따라서 ⋯ 이다. 154 9.2 Inner Product(Dot Product) 제9 장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 1. ∙ ∙ ∙ 19. 2. ∙ ∙ 20. ∙ ∙ 3. 21. 두 힘의 합력이 한 일은 각각 힘이 한 일의 합과 같다. 4. 두 힘을 각각 와 라 하고, 일이 행해진 방향을 5. 분배법칙에 의하여 ∙ ∙ ∙ 이므로 라 하자. 이때 행해진 일은 ∙이다. ∙ ∙ 이다. 6. 7. ∙ 22. cos 23. cos 8. ∙ ∙ 24. 이므로 ∙ ∙ cos 이다. 9. ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 10. ∙ ∙ ∙ ∙ 25. 이므로 cos 이다. 이 충분히 크면 cos≈ 이다. 따라서 ≠ 이다. 문제 4번 : 식 (7) 삼각부등식 26. ∙ ∙ cos 문제 5번 : 식 (7) 삼각부등식 27. 는 두 벡터 와 사이의 각의 크기이다. 11. 문제 1번 : 식 (5b) 교환법칙 이고 이므로 문제 6번 : 식 (8) 평행사변형 법칙 문제 7번 : 식 (6) Cauchy-Schwarz 부등식 12. ∙ ∙ 이면 ∙ 이다. 이면 와 는 임의의 벡터이다. cos sin cos sin 이므로 ≠ 이면 가 에 수직임을 의미한다. 13. 식 (1) ∙ cos 와 cos ≤ 에 의하여 ∙ cos ≤ 이다. 14. Cauchy-Schwarz 부등식 : ∙ 이므로 삼각부등식 : 이므로 ≤ 이다. 15. ∙ ∙ ∙ ∙ 이므로 이다. 16. ∙ ∙ ≤ 이므로 ≤ 이다. 17. 18. ∙ coscos sinsin 이다. 따라서 cos coscos sinsin 이다. 이므로 28. cos 이다. 이므로 ∙≤ 이다. ∙ cos cos 이다. 두 벡터 와 의 성분이 각각 cos 이다. 이므로 cos 이다. 29. 주어진 평행사변형의 모서리는 과 으로 이루어져 있다. cos 이므로 다른 각은 이다. 반사되는 반사광선의 성분은 , 30. Hesse의 방정식에 의하여 이다. , 이다. 으로부터 평면 위 임의의 점 까지의 벡터는 이고 이므로 따라서 입사광선과 반사광선의 사이각은 이다. 35. 평행사변형의 두 변을 나타내는 벡터를 와 라 하면 두 대각선은 와 로 나타낸다. 두 대각선이 수직이므로 이다. ∙ 이다. 31. ∙ 이므로 이다. 32. 평면 의 법선벡터 : 평면 의 법선벡터 : 두 평면이 수직이므로 ∙ 이다. 따라서 이다. 33. ∙ 이고 이므로 ± ∓ 이다. 따라서 이다. 34. 세 개의 거울이 각각 평면, 평면, 평면에 따라서 이어야 두 대각선이 수직이다. ∙ ∙ ※ 36번-38번 cos 36. 37. 38. 39. 의 방향의 성분과 의 방향의 성분이 같기 위하여 cos cos 을 만족하여야 한다. 따라서 이거나 와 가 직교할 때이다. 40. 를 로 변경하여 위의 공식에 대입하면 수직으로 놓여 있다고 가정하자. 입사광선의 ∙ ∙ ∙ cos 이므로 성분은 성분이 라 하면 차례로 거울에 변함이 없다. 9.3 Vector Product(Cross Product) 1. 라 하자. ∙ × ∙ 식 (4) × × × × 식 (5) × × × × × × 2. × ×이므로 × × × 이다. 따라서 와 는 수직이다. 3. × × ∙ ×∙ 이다. 4. × 이므로 × ∙∙ ∙ × 이다. ∙∙ ∙ 이다. 따라서 × × sin cos cos ∙∙ ∙ ∙∙ ∙ 이다. 이므로 × 5. 힘 가 로 바뀌면 모멘트의 방향도 바뀐다. 즉, 이 으로 바뀌므로 반대방향으로 회전한다. 6. 회전축으로부터 거리가 로 2배가 되면 속력이 2배가 된다. 155 9.3 Vector Product(Cross Product) ∙ 이다. 따라서 이므로 평면까지의 거리는 7. 8. 이므로 이다. 따라서 제9 장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 이다. 9. 은 세 벡터 를 각각 한 변으로 하는 평행육면체의 부피를 의미한다. 즉, 이면 평행육면체의 부피가 0임을 의미한다. 11. × × ∙ 23. × ∙ ∙ ∙ ∙ × × 14. × × 16. ×∙ ∙ ∙ ∙ × ∙ ∙ 17. ×× × × 15. × × ∙ 13. × × 22. 20. ×∙ × × 12. × 19. 21. × × × × 156 18. ×× 24. (13) × × × × ∙ ∙ (14) ×× × ×∙ ×∙ (15) ×∙ × × ∙ × × ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ (16) ∙ × ×∙ ×∙ ∙ × ×∙ ×∙ ∙ × ∙ × ∙ × 25. 이므로 cos 이다. 이고 이다. 26. 이므로 cos 이다. 이고 이므로 이다. × 이다. 따라서 법선벡터는 평면의 방정식은 27. 평행사변형의 모서리를 구성하는 벡터는 과 이다. 이다. × 이므로 31. 이라 하자. 이므로 × 이다. 법선벡터는 평행사변형의 넓이는 이다. 28. 사각형 의 각 모서리의 중점은 따라서 평면의 방정식은 이다. 이다. 부피는 이다. 33. 사면체의 모서리를 나타내는 벡터는 이다. 이다 마주보는 변을 나타내는 두 벡터씩 평행하므로 사각형 는 평행사변형이다. × 이므로 넓이는 이다. 32. 이므로 평행육면체의 따라서 사각형 의 모서리를 나타내는 벡터는 30. 이라 하자. 이므로 사면체의 부피는 이다. 34. 사면체의 모서리를 나타내는 벡터는 이다. 29. 삼각형의 두변을 나타내는 벡터는 이다. × 이므로 사면체의 부피는 이다. 9.4 Vector and Scalar Functions and Their Fields. Vector Calculus : Derivatives 1. 2. 157 9.4 Vector and Scalar Functions and Their Fields. Vector Calculus: Derivatives 이므로 삼각형의 넓이는 이다. 3. 7. 4. 8. (a) 5. (b) 6. (c) 158 제9 장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 10. 타원체 (f) 11. 타원주 (g) 12. 원뿔 9.4 Vector and Scalar Functions and Their Fields. Vector Calculus: Derivatives 9. 평면 (e) (h) (d) 159 13. 포물면 17. 160 제9 장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 14. 포물선 기둥 18. 15. 19. 16. 20. 21. (a) (d) 161 2계 도함수 : cos sin 23. 라 하자. (11) ∙′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∙ ∙′ (12) ×′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ × ×′ (13) ′ ∙ ×′ ′ ∙ × ∙ ×′ ′ ∙ × ∙ ′ × ∙ ×′ ′ ′ ′ (c) 24. cos sin sin cos sin cosh cos sinh cos sinh sin cosh 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion 1. cos sin 이라 하면 직선이다. 따라서 타원기둥 과 평면 이 만나는 타원이다. 2. 라 하면 방향벡터가 이고 점 를 지나는 이다. 3. 이므로 평면 위에 놓인 방정식 을 만족하는 곡선이다. 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion 22. 1계 도함수 : sin cos (b) 4. cos sin 이므로 이다. 따라서 원기둥 과 평면 와 만나는 원이다. 162 제9 장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 9. cos sin 이므로 5. cos sin 이므로 이다. 따라서 타원기둥 과 평면 이 만나는 타원이다. 10. 이므로 이다. 따라서 쌍곡선이다. 6. cos sin 이므로 이다. 따라서 타원기둥 과 평면 이 만나는 타원이다. 7. cos sin 이므로 sin tan 이다. cos 나선(Helix) arctan 이다. 11. 이므로 cos sin 이다. cos sin 이다. 따라서 12. 이므로 cos sin 이다. 따라서 cos sin 이다. 13. 이므로 이다. 14. 방향벡터가 이므로 이다. 따라서 이다. 15. 이다. 8. cosh sinh 이므로 이다. 따라서 쌍곡선의 일부 이다. 16. 이므로 cos sin sin 이다. 따라서 cos sin sin 이다. cos sin sin 이므로 17. cos sin sin 이다. 18. cos sin 이므로 cos sin 이다. 19. cosh sinh 이므로 cosh sinh 이다. 20. 교선의 방향벡터는 163 일 때 이므로 교점은 이다. 따라서 이다. 21. cosine함수는 우함수로 로 치환하여도 cos cos 이지만 sine함수는 기함수로 sin sin 로 바뀐다. 따라서 반시계방향에서 시계방향으로 방향도 바뀐다. 22. (a) (b) 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion × 이다. 164 제9 장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 (e) 일 때를 도시하면, (c) 23. ≤ ≤ (d) sin sin 식을 만족해야 하므로 모든 정수 값에 대하여 폐곡선이다. 일 때와 일 때를 도시해 보면, ≤ ≤ sin ≤ ≤ cos sin 165 ≤ ≤ cos ≤ ≤ sin ≤ ≤ sin cos ≤ ≤ 24. ′ 이므로 이고 이다. 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion sin ≤ ≺ ≺ ≤ cos 166 제9 장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 25. ′ sin cos sin cos cos sin sin cos 28. ′ 이므로 cos sin 이고 이다. 이므로 이고 이다. sin cos 26. ′ sin cos 29. ′ sinh ′ ∙′ sinh cosh cos sin sin cos 이므로 이고 이다. 27. ′ 이므로 이고 이다. cosh cosh sinh sinh 30. ′ sin cos ′ ∙′ 이고 이므로 이다. 34. cos sin 이므로 ′ ′ cos sin ′ sin cos ′ ∙′ ′ cos sin ′ sin cos ′ 따라서 ′ 이다. cos sin sin sin 31. ′ sin cos ′ ∙′ cos 이고 이므로 이다. 일 때, 도시하면 35. 36. 32. ′ cos sin sin cos ′ ∙′ cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin 일 때, 도시하면 37. cos sin sin cos 값이 최대일 때, 정수 이다. 이다. sin cos 38. sin cos cos sin 39. cos sin cos sin cos cos sin cos sin sin tan cos cos sin sin cos sin cos cos n or m tan 33. 이므로 ′ ′ ′ ∙′ ′ 이다. 따라서 ′ ′ 이다. 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion cos 이므로 ′ sin 이다. 따라서 167 42. cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin tan cos sin sin cos n or m tan 168 제9 장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 40. sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin cos cos sin sin sin tan cos cot sin sin cos cos n or m tan 43. 지구의 공전 반지름을 이라 하자. 공전 각속도는 × sec 공전 선속도는 sec 공전 가속도는 × sec 44. × × × sec × sec × sec 45. 41. cos sin sin sin cos sin cos cos sin cos tan cos sin cos sin sin cos n or m tan sec × sec 46. min min min 47. cos sin ′ sin cos ′ ∙′ cos sin ′ sin cos ″ cos sin ′ ∙′ 이고 ′ 이므로 ″ ′ ″′ ″ ″ ′ ″ ′ ′ 이고 48. ′ 라 하자. ′ ∙′ ′ ∙′ ′ ∙′ ′ ∙″′ ∙′ ′ ∙″′ ∙′ ′ ∙″ 이다. 따라서 ″ ′ 이고 ′ ∙′ ′ ∙′ ″∙″ ∙ ′ ∙′ ′ ∙″ ′ ∙″ ′ ∙′ ′ ∙′ ′ ∙′ ′ ∙″ ″∙″ ′ ∙′ ′ ∙′ ″∙″′ ∙′ ′ ∙″ 이므로 이다. ′ ∙′ 49. ′ ′ ″ ″ . ″ ″ ′ ′″ ′ ′ 50. ∙′ ∙ × ∙ × × ∙ × ∙ × ′ ∙′ ′ ″ ″′ ′ ∙′″∙″ ′ ∙″ ′ ∙′ ′ ″ ″′ ′ ∙′″∙″ ′ ∙″ 52. ′ sin cos ″ cos sin ″′ sin cos cos cos sin cos sin sin 53. ′ ″ ″′ 이 ′ 이므로 54. ′ 이므로 ′ 이다. ′ ′ × ×′ × × ′ ′ ′ ″ ′ ′ ′ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ″′ ′ ∙″ ′ ″ ″′ 이다. ′ ′ 이므로 ′ ′ ″ 이다. 169 므로 ′ ∙′ ″∙″ ′ ″ ″′ ′ ″ ″′ ′ ′ × ×′ × × × × 55. ′ sin cos ″ cos sin ″′ sin cos 이므로 ′ ∙′ ″∙″ ′ ∙″ 이다. 51. ′ 라 하자. ′ ″ ′ , sin cos ′ ″ ″′ cos sin sin cos cos sin 9.5 Curves. Arc Length. Curvature. Torsion 9.7 Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative 1. ∇ 5. ∇ 2. ∇ 6. ∇ 170 제9 장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 3. ∇ 7. ∇ ∇ 8. ∇ ∇ ∇ 4. ∇ 9. ∇ ∇ ∇ 10. ∇ ∇ ∇ ∙∇ ∇ 11. ∇ ∇ ∇ 12. ∇ 21. cos sin ∇ 13. ∇ 14. ∇ ∇ 171 16. ∇ 17. ∇ 18. 22. 에서 23. 에서 or 24. ∇ ∇ 19. sin cosh cos sinh 25. ∇ ∇ ∇ 20. ∇ 9.7 Gradient of a Scalar Field. Directional Derivative 15. ∇ ∇ 26. ∇ ∇ grad grad 을 만족하는 두 점 에서 의 물리적 의미는 에서의 열전달 또는 유수의 입. 출 속도가 에서의 값보다 상대적으로 크다는 것을 의미한다. 30. ∇ ∇ 172 제9 장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 27. (a) 31. ∇ ∇ 32. ∇ 33. ∇ ∇ 34. ∇ ∇ (b) sin sinh 35. ∇ ∇ 36. ∇ ∇ ∙ (c) cos 37. ∇ ∇ ∙ 28. ∇ ∇ 에서 가장 가파른 비탈길의 방향은 벡터 의 방향이다. 29. 실제의 계 즉 Lagrangian System에서의 열전달 또는 유수를 분석할 때 계의 경계에서 38. ∇ ∇ ∙ ∇ 40. ∇ ∙ 41. ∇ ∇ ∙ 9.8 Divergence of a Vector Field 42. ∇ ∇ ∙ 43. , 44. , 39. ∇ ∇ 45. , ∙ 9.8 Divergence of a Vector Field 1. div (a) div div 2. div cos sin 3. div 4. div 5. div 6. div 7. ∇ cos cos 이므로 cos 이다. 따라서 cos 이다. 8. div (a) 예를들면 (b) 예를 들면 9. 라 하자 (b) div div ∙∇ (c) div∇ ∇ ∇ ∙∇ (d) div∇ div∇ ∇ ∇ ∙∇ ∇ ∇ ∙∇ ∇ ∇ , div div ∇ , 173 div ∙∇ 문제 6번에서 174 이므로 div ∇ 이다. 제9 장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 div div ∙∇ 이므로 ∇ ∇ 이고 (d) div ∇ ∇ div∇ ∇ ∇ ∙∇ 10. (a) div (e) div (b) div (f) div (c) div 11. div 이므로 비압축성이다. 이므로 이다. 이므로 이다. 즉, 이므로 이고 이다. 따라서 로 둘러싸인 정육면체는 로 둘러싸인 밑면이 평행사변형인 기둥으로 변형되므로 부피는 이다. 12. div . 이므로 이다. 즉, 16. grad divgrad 17. grad divgrad 18. grad divgrad 이므로 이고 이다. 따라서 로 둘러싸인 정육면체는 로 둘러싸인 직육면체 로 변형되므로 부피는 이다. 19. grad divgrad 13. 라 하면 이므로 div 14. 라 하면 div div 이지만 ≠ 이다. 또한 모든 상수 에 대하여 ≠ 이다. 20. grad cosh sinh divgrad cosh cosh cosh 15. grad cos sin sin cos 9.9 Curl of a Vector Field 2. 가 평면에 평행하므로 이다. curlgrad 6. curl curl 5. 3. grad divcurl curl 4. curl curl 7. curl cos sin sin 175 9.9 Curl of a Vactor Field 이므로 이다. divgrad sin cos cos sin cos cos 8. curl 9. div 이므로 비압축적이다. 176 제9 장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 curl 이므로 이다. 이므로 이고 이다. 10. div sec tan 이고 curl csc cot 이다. sec csc sec csc 이므로 cos sin arcsin 이고 ln 이다. 이므로 arcsin ln 이다. 11. div 이므로 비압축적이다. curl 이므로 이다. 따라서 이다. 12. div 이므로 비압축적이다. curl 이므로 이다. 따라서 이다. 13. div 이므로 압축적이다. curl 이므로 비회전적이다. 이므로 이고 이다. 따라서 이다. 14. (a) curl curl curl (b) curl divcurl (c) curl curl curl ∇ × (d) grad curlgrad (e) × div× curl∙ ∙ curl ※ curl , 17. curl curl curl , curl curl curl , curl , curl 18. div× curl∙ ∙ curl grad grad 19. curl curl curl curl curl ∇ × 15. curl curl curl , curl curl curl 20. grad 이므로 divgrad 이다. Chapter 9 Review Questions and Problems 1. 벡터는 크기와 방향을 가지는 양이다. 6. ′ 는 운동의 속도벡터라 하며 움직이는 물체의 벡터 함수는 함수값이 벡터인 함수이다. 순간적인 방향을 의미한다. ′ 은 속력이다. 벡터 장은 어떤 영역에 정의된 벡터 함수이다. ″ 는 가속도벡터이며 ″ 는 가속력이다. 스칼라는 크기로 결정되는 양이다. 스칼라 함수는 함수값이 스칼라인 함수이다. 스칼라 장은 어떤 영역에 정의된 스칼라 함수이다. 2. ∙ cos × 외적의 크기는 × sin이고 방향은 오른 나사의 진행 방향을 가진다. 내적은 정사영에서, 외적은 오른 나사에 작용하는 힘으로부터, 스칼라 삼중적은 평행육면체의 부피에 서 동기를 찾을 수 있다. 3. 가 오른 나사의 진행 방향을 주면 오른쪽으로 편향된 좌표계이고, 왼 나사의 진행 방향을 주면 왼쪽으로 편행된 좌표계이다. 4. 두 벡터 중 어느 하나가 벡터이거나 서로 수직일 때 내적이 이다. 두 벡터 중 어느 하나가 벡터이거나 서로 평행할 때 외적이 이다. ∆ 5. ′ lim ∆ ∆ → 운동하는 질점의 속도, 속력, 가속도를 계산하거나 곡선의 곡률, 곡률 반경을 계산할 때 사용한다. 7. cos sin 이면 ′ sin cos 이므로 항상 변화하는 속도를 가지지만, 속력은 ′ 이므로 항상 일정한다. 8. 주어진 점 에서 주어진 벡터 의 방향으로 함수 의 변화율을 에서 의 방향으로 함수 의 방향 도함수라 하고 이는 와 grad 의 내적으로 표현된 다. 9. 함수 의 기울기(gradient)는 grad 로 정의된다. 가 미분가능한 벡터함수이고 가 의 성분일 때 div , curl 이다. 10. curl , × , × ×, ∙ × , × curl , div , curl 는 의미가 있다. 11. ∙ , ∙ ∙ ∙ ∙ , ∙ 12. × , × , × , × 13. × , × × , ∙ 14. × 이므로 × ∙ 이다. × 이므로 ∙ × 이다. 177 Chapter 9 Review Questins and Problems 16. curl curl ∇ × 27. cos 이므로 의 방향의 성분은 cos 이다. ∙×는 정의되지 않는다. 15. × 이므로 28. × 이므로 sin 이다. × × 이다. 178 × 이므로 제9 장 벡터미분. 기울기, 발산, 회전 ×× 이다. 즉, 또는 sin 이다. 따라서 거리나 힘이 일 때 또는 힘과 거리가 수직일 때 모멘트가 이다. ××는 정의되지 않는다. 29. 이므로 16. 이므로 이다. 30. ∙ ∙ , 17. , , 18. 19. × , × 이므로 × × 이다. × 이므로 × ∙ 이다. × 20. × × 이므로 × × 가 성립하는 경우는 일 때이다. × sin 이므로 일 때 × 이다. 따라서 와 가 평행할 때 × × 이 성립한다. 항상 ∙ ∙ 는 성립한다. 21. 라 하자. 이므로 이고 이다. 22. 에서 평면에 평행하므로 이고 이다. 따라서 이다. ℃ 23. cos cos ℃ 24. 평면 의 법선 벡터 : 평면 의 법선 벡터 : cos ℃ 25. 이므로 ∙ 이다. 26. 의 방향의 성분과 의 방향의 성분이 같기 위하여 cos cos 을 만족하여야 한다. 따라서 이거나 와 가 직교할 때이다. × 이다. sin cos cos sin cos sin 이므로 sin tan 이다. 따라서 cos arctan (타원기둥 위의 나선)이다. 31. 사면체의 모서리를 나타내는 벡터는 이다. 이므로 부피는 이다. 32. grad grad , grad grad 33. div div 34. curl curl 35. divgrad , ∇ , ∇ ∇ 36. curl∙ 37. graddiv , 38. ∇ ∙ , 39. ∇ , ∙ 40. ∙ curl× CHAPTER 10 벡터적분. 적분정리 10.1 Line Integrals 2. ≤ ≤ ′ 180 ∙ 3. ≤ ≤ 제10 장 벡터적분. 적분정리 ′ ∙ 4. ≤ ≤ ′ ∙ 5. cos sin ≤ ≤ 9. ′ ≤ ≤ 이면 이다. ∙ sin cos sin cos ∙ sin cos sin cos sin sin cos 6. cos sin ≤ ≤ ∙ sin sin cos cos sin ′ sin cos ≤ ≤ ′ ∙ ∙ ∙ ∙ 7. cos sin ≤ ≤ ∙ cos sin sin cos ′ ′ ′ sin cos 8. ≤ ≤ cosh sinh ′ ∙ cosh sinh sinh cosh 이다. 11. ≤ ≤ ′ ∙ 10. ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos ∙ 이다. ≤ ≤ 이면 ′ sin cos 12. (a) cos sin sin ′ sin cos ∙ cos sin cos sin 라 치환하면 cos sin cossin sin ′ sin cos ∙ cossin cossin 15. sin cos cosh sinh sinh cosh cos sin cos sin 17. (c) lim → ∞ 18. sin cos ∙ lim → ∞ 19. ≤ ≤ (b) ′ ∙ cos sin sin cos ′ ≤ ≤ ′ ∙ ∙ ∙ 13. ∙′ ∙′ ∙′ ′ ≤ ′ ≤ 20. 14. ≤ ≤ 는 에서 증가함수이므로 이다. 이면 이다. ∙≤ 10.2 Path Independence of Line Integrals 3. cos cos sin sin 이므로 cos sin 이고 완전하다. cos cos sin cos 이므로 sin sin ′ sin sin , 이고 sin cos 이다. cos cos sin sin sin cos 4. 이므로 이고 완전하다. 이므로 ′ , 이고 181 10.2 Path Independence of Line Integrals 16. ∙ 라 치환하면 cos sin cos sin sin ′ sin cos .이다. sinh ′ sinh , 이고 5. sin sin cos 이므로 182 cos cos sinh cosh sinh cosh cosh 제10 장 벡터적분. 적분정리 sin sin sin 이다. 따라서 완전하다. 이다. 8. cos sin sin 이므로 sin cos 이므로 sin sin , sin sin 이다. 이고 sin 이다. 따라서 완전하다. cos ′ cos , 이고 sin 이다. sin sin , 이고 cos 이다. sin sin cos sin 6. sin ′ sin , 이고 이므로 cos sin sin cos 9. cosh sinh cosh sinh 이다. 따라서 완전하다. cos 이다. cos cos 이므로 이므로 cosh sinh 이다. 따라서 완전하다. , 이므로 이고 이다. sinh sinh cosh , sinh ′ sinh , 이고 7. sinh cosh sinh 이므로 sinh sinh cosh sinh 이다. 따라서 완전하다. sinh cosh 이므로 cosh cosh , 이고 cosh 이다. cosh sinh 이다. 이다. sinh 이고 ′ , 이고 cosh cosh 이므로 cosh sinh 이다. cosh sinh cosh sinh 라 하면 cosh sinh cosh sinh 10. (a) 이므로 이다. ≠ 이므로 평면에서 경로에 의존한다. (b) ≤ ≤ ≤ ≤ cos 이다. ′ , 이고 cos 이다. cos sin cos 라 하면 ′ . ′ 일 때 최대값 ≤ ≤ 일 때 이다. (b)에서 일 때 이므로 같은 값을 갖는다. 라 하면 ′ . ′ 11. grad arctan 이다. 따라서 적분경로에 무관하다. 이므로 , 이고 이다. ′ , 이고 이다. 17. 이므로 이다. ≠ 이므로 적분경로에 의존한다. 일 때 최대값 이다. 16. 이므로 (c) ≤ ≤ 15. 이므로 ≠ 이므로 적분경로에 의존한다. 일 때 최소값 cosh 이다. ≠ 이므로 적분경로에 의존한다. 13. cos sin 이므로 18. cos cos sin 이므로 cos cos 이다. ≠ 이므로 적분경로에 의존한다. 19. cos cos cos 이므로 sin sin 이다. sin 따라서 적분경로에 무관하다. sin cos cos 이므로 sin sin , 이고 183 14. sinh sinh 이므로 이다. 따라서 적분경로에 무관하다. sin 이므로 10.2 Path Independence of Line Integrals cos cos sin sin 10.3 Calculus Review : Double Integrals 1. 이라 하고 영역 을 × 184 라 하자. 제10 장 벡터적분. 적분정리 6. sinh cosh cosh sinh sinh 7. cosh cosh sinh sinh sinh sinh 8. 9. 10. cos sin cos sin 11. 극좌표를 이용하는 것이 편리하다. cos sin 이고 , 이다. 12. 5. 13. 4. 의 면적 이므로 인 점 이 에 존재한다. 3. 2. 14. cos cos sin sin 15. cos cos sin sin 16. 반지름을 이라 하면 이다. 17. cos cos sin sin 18. 19. 20. 185 10.4 Green's Theorem in the Plane ∙ 2. ∙ 3. ∙ 4. ∙ cosh sinh sinh sinh sinh cosh cosh 1. sinh cosh 5. ∙ cosh sinh cosh sinh cosh sinh cosh cosh cosh sinh cosh sinh cosh sinh 7. cos cos sin cos sin cos sin sin 이므로 cos sin cos ∙ 8. ∙ cos sin sin sin 9. ∙ ln ∙ 6. 10.4 Green’ s Theorem in the Plane 10. ∙ 제10 장 벡터적분. 적분정리 csc ln cos sin cos sin sin 186 ∙ cos sin cos sin cos sin , curl 이므로 curl∙ 이다. ln ′ sin cos 이므로 ∙′ cos sin sin cos 이다. 13. sinh cosh 이고 이므로 ∇ cosh 이다. cosh cosh 11. 원 의 면적은 이다. cos sin 인 경우 ′ sin ′ cos 이므로 식 (4)로부터 cos sin ∙ 14. , 12. 이라 하자. div 이다. ′ ′ 이므로 ∙ ′ ′ 이고 ∙ div curl 이므로 curl∙ ∙ ∙′ div 이므로 div . 이므로 cos sin 이다. ′ 이 단위접선 vector이므로 ′ sin cos 이다. 15. cos cos 이고 sin cos 이므로 ∇ 이다. 라 하자. cos sin cos sin 인 잘 알려진 결과를 얻는다. 이므로 ∇ 이다. cosh cosh cosh cos sin 이다. 16. 이고 이므로 ∇ 이다. 17. , 이므로 ∇ 이다. 18. 라 하자. ∇ Green 정리에 의하여 이다. ′ ′ ∇∙ ′ ′ ∇∙ 이므로 따라서 이다. 19. sin sin 이고 cos sin 이므로 ∇ 이다. 20. 이고 이므로 ∇ 이다. 10.5 Surfaces for Surface Integrals 1. ( 평면) 이면 축과 평행한 직선 이면 축과 평행한 직선, sin cos 이므로 이면 축과 평행한 직선 이므로 이다. cos sin 이다. sin cos 2. ( 평면) 이면 (원) 이면 tan (직선) cos sin sin cos 이므로 cos sin 이다. sin cos 3. 이면 (원) 5. 이면 직선 이면 (원) cos sin sin cos , 이면 포물선 cos sin cos sin . sin cos 4. (타원) 이면 cos sin sin cos 이므로 cos sin cos sin . sin cos 6. arctan 이면 arctan (나선) 187 10.5 Surfaces for Surface Integrals 이다. sin cos 이면 tan (직선) cos sin sin cos , cos sin sin cos . sin cos 188 제10 장 벡터적분. 적분정리 10. 와 는 매개변수 곡선 와 의 접선벡터이다. 따라서 두 곡선이 직교할 필요충분조건은 ∙ 이다. 이다. 11. 이므로 7. 이므로 이면 타원 (타원) 이면 cos cos cos sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin cos 이고 ≠ 이다. 12. 문제 1 : 인 점이 존재하지 않는다. 문제 2 : 원점(표현식 선택) 문제 3 : 원점(곡면의 모양) 문제 4 : 인 점이 존재하지 않는다. 문제 5 : 원점(표현식 선택) 문제 6 : 인 점이 존재하지 않는다. 문제 7 : ± (곡면의 모양) 문제 8 : 원점(표현식 선택) 13. 라 하면 이고 이다. 이므로 이다. 14. 이므로 8. (쌍곡선) 이면 이다. 이면 포물선 cosh sinh sinh cosh , sinh . sinh cosh cosh sinh cosh 15. cos sin sin cos , sin cos cos sin 18. cos sin cos sin sin cos , cos sin cos sin sin cos 189 cos sin cos cos sin cos sin sin cos 19. cosh sinh sinh cosh , cos sin cos cos sin cos sin sin cos cos cos cos sinsin cos 17. cos cos sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin cos sin cos sin cos sinh cosh cosh sinh 20. (a) 를 접평면 위의 한 점이라 하면 는 접평면 위의 벡터이다. × 는 접평면에 수직이므로 ∙ × 이다. 따라서 이다. 의 벡터들은 와 의 일차결합으로 표현되므로 이다. grad (b) 이고 ∙ 이므로 grad ∙∇ 이다. (c) 이므로 ∇ 이다. ∙∇ 이므로 이다. 10.5 Surfaces for Surface Integrals 16. cos cos sin cos sin 10.6 Surface Integrals 1. 이므로 . ∙ 190 제10 장 벡터적분. 적분정리 2. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 . ∙ 3. cos cos sin cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos cos cos cos sin sin sin cos ∙ sin cos cos cos sin cos 이므로 cos sin . ∙ cos sin cos sin si n 5. cos sin sin cos 이므로 ∙ cos sin 8. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos 이므로 cos sin . 이므로 . ∙ cos sin cos 9. cos sin ≤ ≤ cos ≤ ≤ sin cos 이므로 cos sin . ∙ cos sin coshcos sinh sinh cos sin sin cos 이므로 cos sin . ∙ sin cos sin cos sin cos sin cos 12. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 sinh sinh sinh cosh sinh 7. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 . cos sin cos sin sin cos 6. ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ 이고 이다. cos sin . 10. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ 4. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ si n 이므로 cos cos sin cos sin cos . ∙ sin sin 13. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 이고 이다. 14. cos cos sin cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos cos cos cos sin sin sin cos 이때 밀도가 균일한 곡면을 고려하면 이므로 cos cos sin cos sin cos 이고 라 하면 cos 이다. 이다. 이것을 관성능률의 정의에 대입하면 다음을 이고 각 축으로부터의 거리를 각각 얻는다. cos sincos sin cos 15. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 cos sin sin cos 이므로 cos sin 이고 . 21. 임의의 점 에서 직선 까지의 거리를 이라 하면, 이다. 곡면을 고려하면 16. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ 이다. 22. 에 대한 관성능률식을 정의하면 sin 이고 이므로 따라서 관성능률의 정의에 의해, 균일한 밀도의 이다. 이고 . cos sin 191 17. 뫼비우스의 띠는 띠상의 한 점에서 출발하여 진행 할 때 반대면을 통과하여 다시 제자리로 돌아온다. 로 돌아올 때까지 개의 사각형을 지나게 된다. 즉 띠에 표시된 사각형의 개수가 개 이면 제자리 sin 이다. 23. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos 이므로 cos sin 이고 이다. 24. 이때 은 질량중심축으로부터의 거리를 의미하므로 19. 질량 중심의 정의를 나열하면 이고 이를 대입하면 다음을 얻는다. ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos cos cos 20. 관성능률의 정의를 표현하면 회전축에서 질점까지의 거리를 이라 하면, 이다. cos cos sin cos sin 따라서 이다. 25. 직선 에서 축까지의 거리는 이며 이 때 군일한 밀도의 곡면을 고려하면, 이다. 이다. cos sin sin sin cos 이므로 cos cos sin cos sin cos 이고 cos cos 이다. 10.6 Surface Integrals cos 192 이므로 cos 이다. 따라서 cos cos cos cos 26. (a) 이므로 제10 장 벡터적분. 적분정리 의 길이는 이고 의 무게중심이 움직이는 ∙ 이다. ′ ∙ ′ ′ ′′ ′ 거리는 이므로 Pappus의 정리에 의하여 9.5절의 식 (10)으로부터 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ (f) 원기둥에서 cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ (b) 이므로 sin cos ′ ′ ′ ′ ′ ′ 이다. 이므로 이다. ′ ∙ ′ ∙ 따라서 cos 이다. ′ ′ 따라서 (c) × × ∙ × ∙ ∙ ∙ ∙ 원뿔에서 따라서 cos sin sin cos cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 이다. 따라서 (d) cos sin cos sin sin cos 이므로 ∙ cos sin ∙ sin cos cos sin ∙ cos sin 이다. 따라서 ∙ 구에서 cos sin sin sin cos ≤ ≤ ≤ ≤ sin sin cos sin cos cos sin cos sin 이므로 sin 이다. (e) 예제 5에서 따라서 sin coscos cossin sin ≤ ≤ ≤ ≤ sin sin cossin coscos sin cos sin sin cos 10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss 1. 2. 3. 계산한다. 윗면 : , ∙ sin cos sin cos sin cos 7. cos cos sin cos sin 로 치환하면 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 이다. ∙ ∙ arctan ∙ 왼쪽 면 : , ∙ 따라서 ∙ 이다. 11. div 이므로 ∙ sinh sinh sinh 8. cos cos sin cos sin 로 치환하면 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 이다. 이므로 cos 이다. cos cos cos 9. div 이므로 ∙ cos cos cos cos cos sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos cos ∙ cos 12. div 이므로 cos 이므로 cos 이다. cos cos sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos 앞면 : , 오른쪽 면 : , ≤ ≤ ≤ ≤ 이고 이다. 193 뒷면 : , sin sin ∙ 6. cos sin 로 치환하면 아랫면 : , 10. 입체가 직육면체이므로 6개의 면으로 나뉘어서 13. div sin 이므로 ∙ sin sin sin sin 14. ∙ sin sin sin sin cos 15. div cos 이므로 10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss 5. sin cos 4. ∙ cos cos 194 제10 장 벡터적분. 적분정리 ∙ sinh sinh cosh 18. div 이므로 ∙ cos sin 19. 20. sin cos cos sin cos 로 치환하면 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 이다. sin cos cos cos sin cos cos sin cos sin cos cos cos sin sin 이므로 cos 이다. ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 이다. ∙ cos sin 23. cos sin 로 치환하면 17. div 이므로 22. cos sin 로 치환하면 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 이다. 16. div sinh 이므로 21. sin cos 24. 문제 23번과 문제 22번의 Moment of Inertia는 ≤ 일 때 문제 23번의 부피가 문제 22번의 부피 보다 작으므로 당연히 작다. 반대로 ≥ 일 때는 문제 23번의 부피가 상대적으로 크므로 산술적 계 산을 통해서 ≥ 일 때 문제 22번의 Moment of Inertia의 값이 더 크다. 25. cos sin 로 치환하면 이고 이다. 따라서 이고 ≤ ≤ ≤ ≤ 이다. 문제 21번 : 이므로 ≤ ≤ ≤ ≤ ∙∇ ≤ ≤ ≤ ≤ ∙∇ 이므로 문제 22번 : 문제 23번 : 이므로 10.8 Further Applications of the Divergence Theorem 1. ∇ 이다. ≤ ≤ 이므로 문제 20번 : cos cos cos cos sin 이므로 이다. ≤ ≤ ≤ ≤ ∙∇ ≤ ≤ ≤ ≤ ∙∇ ≤ ≤ ≤ ≤ ∙∇ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ∙∇ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 2. ∇ 이다. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ∙∇ cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ ∙∇ cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ 따라서 에서 , 에서 이고 , 에서 , 에서 , 에서 , 에서 이므로 따라서 이다. ∇ ∇ ∙∇ 5. ∇ ∇ ∇ ∇ 이므로 에서 이고 , 에서 이고 에서 이고 , 에서 이고 , 에서 이고 이므로 4. ∇ ∇ ∇ 이므로 에서 이고 , 이다. ∇ ∇ ∙∇ 3. ∇ ∇ ∇ 이므로 cos cos sin ∙∇ cos sin cos 이므로 cos sin 이다. ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 따라서 . ∇ ∇ 6. ∇ ∇ ∇ ∇ 195 10.8 Further Applications of the Divergence Theorem 이다. 에서 이고 , 10. 이라 하면 ∇ ∇ ∙ ∇ ∙ cos 이므로 에서 , ∇ ∙ cos 이다. 따라서 에서 이고 , 196 제10 장 벡터적분. 적분정리 ∇ cos cos 에서 , 이고 , 에서 이고 , ∇ ∇ 7. div 이다. 따라서 이라 하면 div 이다. div 이라 하면 div 이다. div 이라 하면 div 이다. div div 11. cos cos sin cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos cos cos cos sin sin sin cos 이므로 cos cos sin cos sin cos 이 고 cos , cos cos sin cos sin 이다. cos ∙ cos cos sin cos sin cos cos cos 12. (a) 식 (8)에서 이면 가 조화함수이므로 ∇ ∇ ∙∇ ∇ 이라 하면 div 이다. 에서 이고 이므로 (b) 위에서 이므로 ∇ 이다. 즉, 에서 ∇ 이다. 따라서 에서 는 상수 함수이다. (c) 식 (9)에서 와 가 조화함수이므로 8. cos sin , ≤ ≤ ≤ ≤ 이다. ∇ ∇ 이므로 (d) 라 하면 와 가 조화함수이므로 도 9. 반구이므로 ≤ ≤ 이다. 극좌표를 이용하면 반구의 표면은 과 으로 표현할 수 있다. 이므로 조화함수이다. 위에서 이므로 이 다. (b)에 의하여 에서 는 상수함수이다. 따라 서 에서 이다. (e) divgrad ∇ 이므로 식 (2)로부터 ∇ divgrad lim → lim → grad∙ 10.9 Stokes's Theorem 1. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 . curl curl curl∙ curl∙ curl 197 따라서 ± 이다. 2. ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos 이므로 cos sin . 이므로 . curl curl sin cos curl cosh cos curl∙ cos sin sin curl cosh cos curl∙ cos 3. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 . curl cos curl∙ 따라서 ± 이다. 4. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 . curl curl curl∙ 9. ≤ ≤ 이면 ′ ≤ ≤ 이면 ≤ ≤ 이면 ′ ≤ ≤ 이면 ′ ∙ ′ 10. cos sin ≤ ≤ 이면 5. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 . curl curl curl∙ 따라서 ± 이다. ∙ ′ sin cos 11. cos sin ≤ ≤ 이면 ′ sin cos sin cos ∙ ′ sin cos 주어진 벡터장이 원점에서 연속이 아니므로 Stokes 의 정리를 적용할 수 없다. 6. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos 이므로 . curl curl curl∙ ′ sin cos sin cos 따라서 ± 이다. ′ curl cos 따라서 ± 이다. 따라서 ± 이다. 따라서 ± 이다. 7. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 . curl cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos 이므로 이다. curl 이므로 curl∙ 13. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos 이므로 이다. curl 이므로 ∙ ′ curl∙ 14. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ 10.9 Stokes’ s Theorem 8. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ 따라서 ± 이다. cos sin sin cos 이므로 ∙ ′ curl∙ 이다. curl , curl cos sin 이므로 ∙ ′ curl∙ sin cos 198 제10 장 벡터적분. 적분정리 15. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 이다. 이므로 ∙ ′ curl∙ 16. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 이다. curl curl 17. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos 이므로 cos sin 이다. curl , cos sin 이다. curl 이므로 ∙ ′ curl∙ sin sin 19. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos 이므로 cos sin 이다. curl , curl 이므로 ∙ ′ curl∙ cos cos sin cos 이므로 이므로 ∙ ′ curl∙ 18. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ curl curl cos sin 20. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos 이므로 cos sin 이다. curl sin , curl sin 이므로 ∙ ′ curl∙ curl 이므로 sin sin Chapter 10 Review Questions and Problems 1. ∙ ∙ 또는 2. 영역에서 선적분의 경로의 독립성이란 끝점이 임의의 경로상에서 주어진 함수의 적분은 영역에 놓여 있는 같은 끝점을 연결하는 모든 적분경로에 대하여 같은 적분값을 가짐을 의미한다. 경로의 독립성이 가역성을 보장하는 도구이므로 중요하다. 3. 이중적분은 Green 정리에 의하여 경계선상에서의 곡면적분은 Stokes 정리에 의하여 경계선상에서의 curl ∇× 5. 회전의 정의는 이며 완전성과 적분경로의 독립성에 대한 판정법에 사용된다. 또한 Stokes 정리에도 적용되므로 매우 중요하다. 6. 선적분을 응용하는 경우는 가해진 임에 의해 수행된 일을 계산할 때이다. 면적분을 웅용한 경우는 표면을 지나는 flux를 7. 곡면의 방향은 두 개의 가능한 단위법선벡터 중의 하나를 연속적으로 선택하여 결정된다. 곡면적분 ∙ 의 적분값은 단위법선벡터의 선택에 선적분으로 변환된다. curl∙ ∙ ′ div ∙ 계산하는 것이다. 선적분으로 변환된다. 삼중적분을 경계면에서의 면적분으로 변환한다. 4. Gauss 발산정리는 공간상의 영역에서 수행되는 의존하는 유향곡면 위에서의 적분이다. 곡면의 방 향이 바뀌면 단위법선벡터의 방향이 바뀌므로 적분 에 -1을 곱하는 것과 대응된다. 8. Gauss 발산정리는 공간상의 영역에서 수행되는 삼중적분을 경계면에서의 면적분으로 변환한다. ∙ ′ curl∙ 16. curl 이므로 적분경로에 의존하다. div ∙ cos sin ≤ ≤ 발산정리의 적용으로 열전달 방정식(heat equation) ′ sin cos cos sin sin cos 을 모델링할 수 있다. 또한 Potential 이론에서 ∙ cos sin sin cos 벡터장에 대해 먼저 정의하는 것이 바람직하다. 물리적으로 Laplace 방정식은 중력장, 전자력장 등을 구하는데 적용된다. Laplace 방정식의 해가 연속인 2계 편도함수를 갖는다면 그 해를 조화함수라 한다. 조화함수를 내부가 모두 정의역에 포함되는 닫힌곡면 위에서 적분하면 적분값은 0이다. 조화함수의 정의역이 구분적으로 매끄럽고 방향을 줄 수 있으며 내부가 정의역에 완전히 포함되는 곡면상의 모든 점에서 그 값이 0이면 함수는 내부에서 항등적으로 0이다. cos sin cos sin cos sin 이므로 이다. curl 이므로 Stokes 정리에 의하여 ∙ 이다. 따라서 ± 이다. 18. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 이다. curl cos sin cos Stokes 정리에 의하여 ′ ∙ curl∙ sin cos ∙ cos sin 이므로 이고 sin 이다. ′ 이다. 따라서 ± 이다. 12. curl 이므로 적분경로에 무관하다. 17. cos sin sin ≤ ≤ ≤ ≤ curl cos sin cos 이므로 11. ≤ ≤ 이므로 sin 이다. 따라서 19. curl 이므로 적분경로에 무관하다. 이므로 이고 이다. ′ 이므로 이다. 따라서 ∙ sin ∙ 13. ≤ ≤ ≤ ≤ 20. curl 이므로 적분경로에 무관하다. 이므로 이므로 이다. curl cos , curl cos 이므로 sinh Stokes 정리에 의하여 ∙ curl∙ cos 따라서 ± 이다. ∙ sinh cosh 이고 cosh 이다. ′ 이므로 cosh 이다. 따라서 14. Green 정리에 의하여 9. 실제로 방향성을 알아야 적분이 가능하므로 이다. 10. Laplace 방정식은 ∇ 15. curl 이므로 Stokes 정리에 의하여 ∙ cosh 21. sinh Chapter 10 Review Questins and Problems 중요한 역할을 한다. 199 22. div 이므로 제10 장 벡터적분. 적분정리 cos cos sin sin 24. 27. Gauss의 발산정리에 의하여 div 이므로 ∙ 이므로 cos cos sin cos sin cos . cos sin cos sin cos sin cos div 이므로 ∙ 28. 타원체의 매개변수 방정식은 sinh 25. 31. Gauss의 발산정리에 의하여 sin cos cos cos cos sin sin sin cos 이다. 30. cos cos sin cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ ∙ 23. ∙ 29. Gauss의 발산정리에 의하여 200 이다. 이다. 32. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ cos sin sin cos 이므로 cos sin . sin cos ∙ sin cos cos sin sin cos cos sin 33. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 . cos sin sin sin cos 이다. ∙ 타원체의 제1팔분원의 부피를 계산하면 34. cos sin ≤ ≤ ≤ ≤ sin cos 이므로 cos sin . sin 이다. cos cos sin Gauss의 발산정리에 의하여 ∙ cos cos sin div 이므로 ∙ 35. Gauss의 발산정리에 의하여 div 이므로 ∙ 201 Chapter 10 Review Questins and Problems CHAPTER 11 Fourier 해석 11.1 Fourier Series 함수의 주기는 순서대로 이다. 9. 2. 함수의 주기는 순서대로 이다. 204 3. 제11장 Fourier 해석 4. 이므로 의 주기는 이다. 한편, 이므로 의 주기는 이다. 10. 따라서 함수 cos 의 주기는 이고, 함수 cos 의 주기는 이며, 함수 cos 의 주기는 이다. 5. 상수 함수 는 임의의 에 대하여 를 만족하지만, 이것을 만족하는 가장 작은 수 는 존재하지 않으므로 기본 주기는 없다. 6. 11. 부분적분법 ′ ′ 을 이용하자. cos sin sin sin cos sin 7. cos cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos 8. 이므로 cos sin cos n 이다. 12. 부분적분을 이용하면 cos cos cos 홀수 짝수 205 이고 우함수와 기함수의 곱은 기함수이므로 sin 11.1 Fourier Series 이다. 따라서 cos cos cos ⋯ 이다. 14. 부분적분을 2번 적용하면 cos cos cos 홀수 짝수 이고 우함수와 기함수의 곱은 기함수이므로 sin 이다. 따라서 13. 부분적분을 이용하면 cos cos cos ⋯ 이다. cos cos sin cos sin cos 홀수 cos 짝수 이고 sin sin cos sin cos sin cos 홀수 짝수 이다. 따라서 cos cos cos ⋯ sin sin sin ⋯ 이다. 15. cos sin ∴ cos cos cos ⋯ sin sin sin ⋯ sin sin cos sin cos sin 206 제11장 Fourier 해석 ∴ cos cos cos ⋯ 16. cos sin sin cos 홀수 짝수 ∴ sin sin sin ⋯ sin sin sin ⋯ 18. cos 홀수 sin 짝수 ∴ sin sin sin ⋯ 17. , 주기 19. cos cos sin cos sin cos cos cos 짝수 cos 홀수 cos cos sin cos cos 홀수 짝수 sin sin cos sin ∴ cos cos cos ⋯ sin sin sin ⋯ sin sin cos sin ∴ sin sin sin sin ⋯ 20. sin sin sin ∴ sin sin sin ⋯ sin sin sin ⋯ 21. , 주기 cos cos 22. Cas Experiment. (a) ± 에서 불연속, 이점에서 Gibbs 현상이 발생한다. (11.2절에서 다룬다.) 연속 (b) 정확도는 (a)보다는 좋다. sin cos sin cos cos cos (c) 연속 207 11.1 Fourier Series cos sin 이다. 24. Cas Experiment. sin sin sin sin 이다. 예를 들어, 이것은 그림처럼 에서의 직교성을 준다. 208 제11장 Fourier 해석 23. lim 이고 lim 이므로 → → 11.2 Arbitrary Period. Even and Odd Functions. Half-Range Expansions 1. : 우함수도 기함수도 아니다. : 우함수 cos : 기함수 tan : 기함수 sinh cosh : 우함수도 기함수도 아니다. 2. sin : 우함수 ln : 우함수도 기함수도 아니다. : 기함수 3. 우함수들의 합과 곱은 우함수이다. 4. 기함수들의 합은 기함수이다. 기함수들의 곱은 우함수이다. 5. 기함수의 절댓값은 우함수이다. 6. 홀수개의 우함수의 곱은 우함수이다. 7. 8. 짝수 ∴ cos cos cos ⋯ cos cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin 홀수 sin 홀수 cos cos 짝수 9. cot : 우함수 ∴ sin sin sin ⋯ 10. sin : 우함수 sin ∴ sin sin sin ⋯ 11. cos cos sin cos cos cos ⋯ 12. 16. 주어진 함수는 기함수이므로 cos sin cos cos cos sin cos cos ⋯ cos 13. cos ∴ cos cos cos ⋯ 짝수 sin 18. cos cos cos cos cos cos cos ⋯ sin sin sin sin ⋯ 14. 홀수 cos sin 17. 주어진 함수는 우함수이므로 cos cos 209 sin sin ∴ sin ⋯ sin sin sin ⋯ cos cos cos 따라서 cos cos ⋅ cos cos ⋯ ⋅ ⋅ 이다. cos sin 19. ∴ cos cos ⋅ ⋅ cos ⋯ ⋅ 15. 주어진 함수는 기함수이므로 sin sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos cos cos sin cos cos ≠ cos cos cos cos cos 11.2 Arbitrary Period. Even and Odd Functions. Half-Range Expansions cos cos sin ∴ sin sin sin ⋯ 210 cos cos cos cos cos ⋯ 이므로 ⋯ 이다. 제11장 Fourier 해석 따라서 cos cos cos 이다. 마찬가지로 22. 문제 17의 함수에 을 곱하고 을 더하면 같은 방법으로 하면 sin sin sin 이다. 급수에 을 곱하고 을 더하면 문제 8번의 cos 에 대하여 계산하자. Fourier 급수를 얻을 수 있다. 23. cos cos cos sin sin 문제 8의 함수이다. 따라서 17번에서 구한 Fourier (a) Fourier cosine series sin sin sin sin ≠ cos sin cos cos cos cos cos cos cos cos sin ∴ sin sin sin ⋯ 24. (a) Fourier cosine series sin cos cos cos cos ⋯ (b) Fourier sine series cos cos 짝수 cos 홀수 (b) Fourier sine series ∴ cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos 따라서 cos cos cos 이다. 20. 문제 11에서 구한 급수 cos cos cos ⋯ 에 을 대입하면 cos cos sin ∴ sin sin sin sin sin sin sin sin ⋯ 25. (a) Fourier cosine series cos cos ∞ cos ∴ cos cos cos ⋯ (b) Fourier sine series ∞ ∴ sin sin sin sin ⋯ 26. (b) Fourier sine series cossin sin sin sin sin ⋯ 29. sin (a) Fourier cosine series sin sin cos sin sin cos cos ≠ sin cos sin ∴ cos cos cos cos cos cos cos cos cos ⋯ (b) Fourier sine series cos sin ∞ cos cos cos cos ∞ (a) Fourier cosine series ∴ 27. ∞ cos ∴ cos cos ⋯ ∴ sin sin sin sin sin sin sin ⋯ cos (b) Fourier sine series sin sin sin cos sin cos cos ∴ cos cos cos cos cos cos cos cos cos ⋯ 211 (a) Fourier cosine series 28. cos cos cos ∴ sin sin sin sin sin sin sin ⋯ (a) Fourier cosine series sin 11.2 Arbitrary Period. Even and Odd Functions. Half-Range Expansions sin sin sin sin ∴ cos ∙ cos cos ⋯ ∙ ∙ (b) Fourier sine series sin sin cos cos ≠ cos sin 212 30. 문제 27의 함수에서 일차함수 를 빼면 문제 26의 함수이다. 따라서 27번에서 구한 Fourier 급수에서 함수 의 Fourier 급수를 빼면 문제 26번의 Fourier 급수를 얻을 수 있다. ∴ sin 제11장 Fourier 해석 11.3 Forced Oscillations , 1. 2. 임의의 상수 와 에 대해 sin sin cos sin 이다. 7. sin 이므로 미정계수법에 의하여 cos sin 라 한다. 이를 주어진 방정식에 이므로 대입하여 계수를 구하면 sin 이다. 따라서 일반해는 이므로 이 에서 cos sin sin 최댓값을 가질 필요충분조건은 이 에서 이다. 최솟값을 갖는 것이다. 이면 cos sin sin 만약 이고 이면 는 ≥ 일 때 증가함수이므로 ≤ ≤ 일 때 최솟값을 갖는다. , , , , , 이므로 에서 최댓값을 갖는다. 위에서 본 바와 같이 가 에 비해 상대적으로 근처에서 최댓값을 갖는다. 작으면 은 한편 가 에 비해 작지 않아도 은 ≤ 에서 최댓값을 갖는다. 이면 cos sin sin 이면 cos sin sin 이면 cos sin sin 8. cos ≠ ⋯에 대하여 Euler 공식을 적용하면 3. → 이면 → 이므로 → 이다. 4. ′ 가 11.1절의 예제1에 인 사인급수에 의해 주어진 함수이다. 새로운 진폭 은 배이다. 따라서 가 가장 크고 출력은 5배의 입력진동수를 가지는 코사인진동이다. 5. 2장 8절의 그림 54과 같은 상황이다. ※ 방정식 ″ 의 특성방정식이 이다. ±이므로 cos sin 이다. 6. sin sin 이고 ≠ 이므로 미정계수법에 의하여 cos sin cos sin 라 한다. 이를 주어진 방정식에 대입하여 계수를 구하면 sin sin 이다. 이므로 따라서 일반해는 이면 cos sin sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin cos 이다. 따라서 일반해는 cos cos cos cos cos cos sin sin sin ⋯ 이다. 의 각 항에 대하여 미정계수법을 적용하자. 상수항 에 대하여 적용하면 특수해는 이다. sin 이므로 의 일반항이 11. ≠ ⋯에 대하여 Euler 공식을 적용하면 sin 짝수 홀수 이다. 따라서 Fourier 급수는 sin sin sin ⋯ cos sin 라 하자. 여기서 계수를 계산하면 이므로 213 이다. 이다. 의 각 항에 대하여 미정계수법을 적용하자. sin 이다. 따라서 일반해는 의 일반항이 sin 이므로 cos sin sin sin ⋯ cos sin 라 하자. 여기서 계수를 이다. 10. sin ≠ ⋯에 대하여 Euler 공식을 적용하면 sin sin cos cos cos 홀수 ≠ 짝수 sin cos sin cos 이다. 따라서 Fourier 급수는 cos cos cos ⋯ 이다. 의 각 항에 대하여 미정계수법을 적용하자. 상수항 에 대하여 적용하면 특수해는 이다. cos 이므로 의 일반항이 cos sin 라 하자. 여기서 계수를 이므로 계산하면 이므로 계산하면 sin 이다. 따라서 일반해는 sin sin ⋯ cos sin 이다. 13. 의 일반항이 cos sin 이므로 cos sin 라 하자. 여기서 계수를 계산하면 이고 해는 cos sin 이다. 14. 주어진 함수 의 Fourier 급수가 sin sin sin ⋯ 이다.(문제 11번) 의 일반항이 sin 이므로 cos sin 라 하자. 여기서 계수를 계산하면 이고 해는 cos sin cos sin⋯ 이다. 15. 는 기함수이므로 부분적분법에 의하여 sin 11.3 Forced Oscillations 이다. 따라서 Fourier 급수는 cos sin cos cos ⋯ cos sin cos 이다. 따라서 Fourier 급수는 sin sin sin ⋯ 이다. 의 각 항에 대하여 미정계수법을 적용하자. 214 sin 이므로 의 일반항이 제11장 Fourier 해석 cos sin 라 하자. 이고 해는 cos sin cos sin⋯ 이다. ′ 의 각 항에 대하여 미정계수법을 적용하자. 상수항 에 대하여 적용하면 특수해는 이다. cos sin 라 하자. 여기서 계수를 계산하면 cos sin sin sin sin ′ 의 일반항이 cos 이므로 ′ cos cos cos ⋯ 이다. 16. 에 대하여 Euler 공식을 적용하면 짝수 이다. 따라서 Fourier 급수는 여기서 계수를 계산하면 홀수 이고 해는 cos sin cos sin⋯ 이다. 이다. 따라서 Fourier 급수는 sin sin sin ⋯ 이다. 의 각 항에 대하여 미정계수법을 적용하자. sin 이므로 의 일반항이 cos sin 라 하자. 여기서 계수를 계산하면 이고 해는 cos sin cos sin⋯ 이다. ※ 주어진 조건에 의하여 방정식을 정리하면 ″ ′ ′ 이다. 17. ′ 이고 우함수이다. 18. ′ 이고 우함수이다. cos sin cos 홀수 짝수 이다. 따라서 Fourier 급수는 ′ cos cos ⋯ 이다. ′ 의 각 항에 대하여 미정계수법을 적용하자. 상수항 에 대하여 적용하면 특수해는 이다. cos sin 라 하자. ′ 의 일반항이 cos 이므로 여기서 계수를 계산하면 cos sin 라 하자. 여기서 계수를 계산하면 이고 해는 cos sin cos sin⋯ 이다. 이고 해는 cos sin cos sin cos sin⋯ 이다. ∞ 20. cos sin 19. ′ 는 우함수이다. cos sin cos sin cos sin cos sin ⋯ sin cos sin 이다. 따라서 Fourier 급수는 ′ cos cos cos ⋯ 이다. 이다. ′ 의 각 항에 대하여 미정계수법을 적용하자. cos 이므로 ′ 의 일반항이 따라서 cos 홀수 짝수 이다. 215 11.3 Forced Oscillations 11.4 Approximation by Trigonometric Polynomials 2. sin sin ⋯ sin 이고 이므로 216 제11장 Fourier 해석 ⋯ 이다. 1 8.104 2 4.963 3 3.567 4 2.781 5 2.279 이고 1 0.0748 2 0.0748 3 0.0119 4 0.0119 5 0.0037 3 0.6243 4 0.6243 5 0.4206 이므로 1 674.8 2 454.7 3 336.4 4 265.6 5 219.0 sin 이므로 ⋯ 이다. 1 4.14 2 1.00 1 0.5951 3 0.38 2 0.5951 4 0.18 3 0.0292 5 0.10 4 0.0292 5 0.0066 5. sin sin ⋯ sin 이고 1.1902 이므로 cos cos cos 8. ⋯ 이고 ⋯ 이다. 2 이다. 이므로 1.1902 cos 4. cos cos ⋯ 1 ⋯ ⋯ 이다. 이고 이므로 7. sin sin sin ⋯ sin cos 이고 3. cos cos ⋯ ⋯ 이다. 9. 라 하자. ≤ 이므로 ⋯ 에 대한 감소함수이다. 이다. 10. Cas Experiment. 11. 11.1절의 예제 1번에서 구한 Fourier 급수 13. 111.1절의 문제 17번에서 구한 Fourier 급수 ⋯ 이다. 이 식을 정리하면 ⋯ 이다. 14. cos cos 을 식 (8)에 적용하면 ⋯ cos 이다. ⋯ 15. cos cos cos 을 식 (8)에 이다. 적용하면 12. 11.1절의 문제 14번에서 구한 Fourier 급수 cos cos cos ⋯ ⋯ 이다. 이 식을 정리하면 cos cos 를 이용한다. 식 (8)에 이를 적용하면 이다. 이 식을 정리하면 cos 이다. 이 식을 정리하면 이다. 이다. 이 식을 정리하면 11.5 Sturm-Liouville Problems. Orthogonal Functions 1. Case 3 소거하자. ′ ′ 이므로 이므로 식 (9)의 두 번째 줄은 이다. 식 (9)의 첫 번째 줄도 이다. 식 (2b)로부터 식 (2a)로부터 ′ ′ 이다. ′ ′ 이다. ≠ 이라 하고 을 소거하면 ≠ 이라 하고 을 소거하면 ′ ′ 이므로 식 (9)의 첫 ′ ′ 이므로 식 (9)의 번째 줄도 이다. 이면 ≠ 이므로 를 두 번째 줄도 이다. 이면 ≠ 이므로 소거하자. ′ ′ 이므로 를 소거하자. ′ ′ 식 (9)의 첫 번째 줄도 이다. 이므로 식 (9)의 두 번째 줄도 이다. Case 4 식 (2b)로부터 ′ ′ 이다. ≠ 이라 하고 을 소거하면 217 를 이용한다. 식 (8)에 이를 적용하면 sin sin sin ⋯ 를 이용한다. 식 (8)에 이를 적용하면 cos cos cos ⋯ 2. 이 식 (1)과 (2)를 만족하므로 ′′ 이고 ′ ′ 이다. ′ ′ 이므로 식 (9)의 첫 ′′ ′′ ′′ 번째 줄도 이다. 이면 ≠ 이므로 를 이고 11.5 Sturm-Liouville Problems. Orthogonal Functions 계수의 감소 연속성 를만족하는가장작은 불연속 연속 불연속 일때 연속 연속 일때 연속 문제번의 연속 문제번의 ′ ′ 일반해는 cos sin 이다. 이다. 따라서 도 에 대응하는 고유치에 대한 경계조건으로부터 고유함수이다. cos sin 이므로 일 경우 3. 와 이 직교한다고 가정하면 sin , ⋯ 이다. 따라서 218 이다. 제11장 Fourier 해석 4. 문제 3에서 인 경우 cos sin sin cos 로치환 6. exp 이면 9. 일 경우 일반해는 이다. 경계조건으로부터 ( 로 치환) 5. 이고 sin ⋯ 이다. ′ 이므로 이다. 따라서 이고 이므로 고유함수는 없다. 일 경우 일반해는 이다. 경계조건으로부터 ′′ ″ 이므로 ′ 이므로 고유함수는 없다. ′ ″ ″ ′ 일 경우 이다. 이러한 변환을 하는 이유는 직교성을 결정하 일반해는 cos sin 이다. 기 위하여 필요한 가중함수(weight function)의 발 경계조건으로부터 견을 들 수 있다. ′ sin cos 이므로 7. 일 경우 일반해는 cos 이다. 따라서 이다. 경계조건으로부터 이므로 이다. 따라서 이고 이므로 고유함수는 없다. 일 경우 일반해는 이다. 경계조건으로부터 ⋯ 이다. 따라서 이고 sin ⋯ 이다. 10. 일 경우 이므로 이고 일반해는 이다. 경계조건으로부터 이므로 고유함수는 없다. 일 경우 ′ ′ 일반해는 cos sin 이다. 이므로 이고 이며 고유함수는 없다. 경계조건으로부터 일 경우 cos sin 이므로 일반해는 이다. 경계조건으로부터 sin , ⋯ 이다. 따라서 ′ ′ 이므로 이고 sin ⋯ 이다. 8. 일 경우 일반해는 이다. 경계조건으로부터 이므로 이다. 따라서 이고 이므로 고유함수는 없다. 이다. 따라서 이고 이다. 일 경우 일반해는 cos sin 이다. 경계조건에 의하여 cos sin ′ sin cos ′ 이다. 즉, 이다. sincos sin cos 일 경우 만약 cos sin ≠ 이면 역행렬이 존재하여 일반해는 이다. 경계조건으로부터 이고 이다. 이는 적합하지 않으므로 이므로 이고 cos sin 이어야 한다. 즉, cos 이고 이므로 고유함수는 없다. sin 이다. 따라서 이므로 이고 cos sin ⋯ 이다. 따라서 고유치는 ⋯ 이고 cos sin ⋯ 이다. 11. 라 치환하면 이다. ′ ′′ 으로 변형된다. 이면 이고 이면 이므로 경계조건은 이고 으로 변형된다. 일 경우 일반해는 이다. 경계조건으로부터 이므로 이고 이므로 고유함수는 없다. 일 경우 일반해는 이다. 경계조건으로부터 이므로 이고 이므로 고유함수는 없다. 일반해는 cos sin 이다. 경계조건으로부터 cos sin 이므로 sin , ⋯ 이다. 따라서 이고 sin ⋯ 이므로 sinln ⋯ 이다. 12. 일 경우 일반해는 이다. 경계조건으로부터 이므로 이고 이므로 고유함수는 없다. 일 경우 일반해는 이다. 경계조건으로부터 이므로 이고 이므로 고유함수는 없다. 일 경우 일반해는 cos sin 이다. 경계조건으로부터 cos sin 이므로 경계조건으로부터 이므로 이고 이므로 고유함수는 없다. 일 경우 일반해는 이다. 경계조건으로부터 이므로 이고 이므로 고유함수는 없다. 일 경우 일반해는 cos sin 이다. 경계조건으로부터 cos sin 이므로 sin , ⋯ 이다. 따라서 이고 sin ⋯ 이다. 14. (a) arccos 라 하면, cos ≤ ≤ 이다. cos , cosarccos , cosarccos cos cos , cosarccos cos cos cos cos sin , sin sin cos sin sin cos cos sin , 일 경우 일반해는 이다. sin sin cos cos sin arccos 라 치환하면 이므로 cosarccos cosarccos cos cos coscos ≠ ≠ 따라서 들은 직교한다. (b) ′ , ″ 219 11.5 Sturm-Liouville Problems. Orthogonal Functions 이므로 주어진 방정식은 이고 sin ⋯ 이다. 13. 일 경우 고유함수는 과 sin , ⋯ 이다. 따라서 ″′ ∞ 제11장 Fourier 해석 이다. 여기서 ∞ ∞ ∞ →∞ 이다. 따라서 이면. 220 → ∞ lim 이다. lim ⋯ ∞ ∞ 은 상수항이 0인 차 이고 다항식이므로 이다. 11.6 Orthogonal Series. Generalized Fourier Series 1. ⋯ 은 차 다항식이고 직교하며 일차 독립이므로 ⋯ 은 차 다항식의 기저이다. 그러므로 의 Fourier-Legendre 급수는 로 이루어진다. ∙ ∙ ∙ 이다. 이므로 이다. 5. 계수를 구하는 공식은 이다. 은 우함수이고 은 기함수이다. 따라서 2. 이다. 이므로 이다. 이므로 3. 4. 이다. 따라서 이다. ∙ 가 우함수이면, 이고 이다. 따라서 급수는 만 포함한다. 가 기함수이면, 이고 이다. 따라서 급수는 만 포함한다. 6. 은 우함수이므로 도 우함수이다. Fourier-Legendre 급수는 만 포함한다. 7. 다항식의 계수가 바뀌면 Fourier-Legendre 급수도 계수만 바뀐다. 8. 이다. 부터의 값은 이전까지의 값에 거의 영향을 미치지 못한다. 그러나 그림과 같이 최종 목적인 유사형태의 다항식 표현은 불가능하 다. ⋯ 221 13. ⋯ 9. ⋯ 14. (a) 즉 ′ 이다. 이므로 , (b) ∞ 이면, 10. ⋯ 라 치환하면, 이므로 . ∞ 이고 (c) 11. ⋯ ∞ ′ 이므로 ′ 이고 ′ (d) (a)의 점화식에 의해 은 차 다항식이므로 는 다항식들이 증가하는 속도보다 더 빨리 ∞ 으로 가야 의 값이 유한하다. ∞ 12. ⋯ 이고 이면 11.6 Orthogonal Series. Generalized Fourier Series ∞ ∞ ∞ ∞ ⋯ ∞ ∞ 222 ′ ∞ ∞ ∞ 제11장 Fourier 해석 ∞ (e) ′ ′ 이므로 이다. 따라서 ″ ′ 이면, ′ ′ ′ ″ ′ ′ ″ ″ ′ 따라서 ″ 이다. ″ ′ ′ ′ ′ 11.7 Fourier Integral 1. 에 식 (4)를 적용한다. ∞ cos ∞ cos sin ∞ 3. ≤ cos sin 이므로 Fourier 적분은 cos sin 이므로 Fourier 적분은 이다. 정리 1에 의하여 cos sin ∞ 이다. ≤ 에 식 (11)을 적용한다. sin sin cos cos sin sin sin 이므로 Fourier 적분은 ∞ sinsin 이다. 정리 1에 의하여 이 우함수이므로 ≥ cos 4. 식 (10)을 적용한다. cos cos cos cos sin sin cos cos cos 이므로 Fourier 적분은 ∞ sinsin sin ≤ 이다. ∞ cos ≤ sin 이다. ∞ 이다. 정리 1에 의하여 ∞ cos sin ∞ sin 2. 에 식 (11)을 적용한다. sin ∞ sin cos ′ ′ ″ cos cos 이다. 정리 1에 의하여 ∞ cos cos cos ≥ 이다. 5. 에 식 (11)을 적용한다. 이므로 Fourier 적분은 sin cos sin ∞ 이다. 정리 1에 의하여 sin ∞ sin cos 이다. 6. cos 에 식 (11)을 적용한다. ∞ cos sin sin sin ∞ ∞ sin cos ∞ sin cos cos 10. sin cos sin cos sin ∴ ∴ ∴ 8. ∞ ∴ cos sin cos ∞ 14. (a) 식 (10)으로부터 다음을 얻는다. (a1) 라 놓자. 그러면 식 (10)로부터 cos cos ∞ ∞ cos ∞ 을 얻게 된다. (a2) 식 (10)에서 sin cos 이다. 식 (11)에서 를 로 치환하면 ∞ ∞ cos ∞ cos ∞ cos ∞ cos cos sin cos ∞ (a3) 식 (10)에서 9. 식 (13)을 적용하면 sin 이다. sin cos sin sin sin cos ∞ cos ∞ cos ∞ sin cos ∴ cos cos cos 12. cos sin cos sin sin cos 이다. 7. ∞ sin cos 11. sin sin cos cos cos sin cos cos sin cos 이다. 정리 1에 의하여 ∞ 을 얻는다. 를 로 다시 치환하면 sin 이므로 Fourier 적분은 ∞ ∞ cos이다. 이다. 식 (10)에 을 적용하면 223 11.7 Fourier Integral sin sin cos cos sin 이다. 따라서 ∞ cos 이므로 ∞ cos 224 이고 이다. 제11장 Fourier 해석 (b) 문제 7번의 함수에 을 곱하므로 문제 8번의 함수를 얻을 수 있다. 따라서 문제 7번의 함수를 라 하면 문제 8번의 함수는 이다. sin 문제 7번에서 얻은 을 두 번 미분하므로 cos sin sin cos sin 이다. sin cos sin 따라서 이므로 (a3)으로부터 문제 8번의 Fourier 적분을 얻는다. (c) 주어진 함수로부터 얻은 sin cos 을 미분하면 sin cos sin cos sin 이다. 따라서 이므로 (a2)으로부터 cos sin sin ∞ 이다. (d) Fourier Sine 적분에 적용하면 다음과 같다. (d1) (d2) sin ∞ cos ∞ (d3) sin ∞ sin 16. cos sin cos sin ∴ 17. sin sin cos ∞ cos sin ∴ cos sin ∞ cos sin 18. sin sin cos cos cos ∴ 19. ∞ cos sin sin sin cos sin cos ∴ 20. sin cos sin ∞ sin sin cos sin cos ∴ sin cos sin ∞ 는 식 (11)과 같다. 11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms cos cos sin sin sin sin sin 1. 2. 식 (1b)와 문제 1번으로부터 sin sin cos ∞ ∞ sin cos sin cos ∞ 을 얻었다. 첫 번째 항은 sin cos ∞ 이고 로 치환하면 두 번째 항은 sin cos ∞ 10. 라 하면 ″ 이다. 식 (5b)에 이를 적용하면 이다. sin cos sin cos sin 6. 라 하면 ℱ ℱ 이다. 이 식을 정리하면 ℱ 12. 라 하면 ′ 이다. 식 (4b)에 이를 적용하면 ℱ ℱ 이다. Table Ⅰ의 공식 4로부터 ℱ 을 얻었다. 이 식을 이용하여 위 문제를 정리하면 ℱ 이다. 따라서 ℱ 이다. 13. 라 하면 ′ 이다. ℱ ℱ 을 얻었다. 이 식을 이용하여 위 문제를 정리하면 ℱ 이다. 문제 5번으로부터 cos sin ℱ 이다. 따라서 이다. 7. 11.7절의 식 (7)에 의하여 ∞ sin sin ℱ cos ≤ ∞ cos cos cos 은 이다. 그러나 ℱ ℱ sin sin cos 이다. 14. Table Ⅱ의 공식 4번인 ℱ sin 에 을 대입하면 ℱ sin 이다. 따라서 ∞ 이다. Table Ⅱ의 공식 2번에서 ℱ 이므로 이다. 존재하지 않는다. 8. 주어진 함수는 정적분 (1a)와 (2a)의 극한값이 ∞ 225 이다. Table Ⅰ의 공식 3으로부터 ℱ 식 (5a)에 이를 적용하면 존재하지 않는다. 9. ℱ ℱ ℱ 이고 ′ 다. 식 (4a)에 이를 적용하면 이다. sin cos sin cos sin cos 11. ″ 11.9 Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms 11.9 Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms 이다. 두 함수를 더하면 cos 3. sin cos cos sin ∞ cos 4. ∞ cos sin cos 5. , 1. cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin sin 226 9. cos sin 제11장 Fourier 해석 12. 라 하자. ∞ 6. ∞ Table Ⅲ의 공식 5번으로부터 ℱ 이다. ′ 이고 식 (9)와 식 (8)을 이용하면 ℱ ℱ ′ ℱ ℱ 이다. 위 식을 정리하면 7. ℱ ℱ 이다. 따라서 ℱ 이다. 13. Table Ⅲ의 공식 9번에 를 대입하면 ℱ 이다. 8. 14. Table Ⅲ의 공식 8번에 , 를 대입하면 ∞ 11. ∞ cos 5. ⋅ 4. ∞ ⋅ sin cos 10. cos cos sin cos sin ⋅ ⋅ 3. ⋅ 2. sin sin ℱ sin sin 이다. 다시 를 대입하면 sin ℱ 이므로 Table Ⅲ의 공식 7번을 얻는다. 15. Table Ⅲ의 공식 2번에 , 를 대입하면 sin ℱ 이다. 다시 를 대입하면 ℱ 이므로 Table Ⅲ의 공식 1번을 얻는다. 16. (a) ℱ 에서 ℱ (b) Table Ⅲ의 공식 2번에 를 대입하면 ℱ 이다. (a)를 적용하면 ℱ sin 이다. 따라서 Table Ⅲ의 공식 1번을 얻는다. (c) 에서 이다. 이므로 20. 이다. 21. 일 때 이므로 라 하자. 22. 이다. 로 치환하면 227 19. 일 때 이므로 이다. ℱ 이다. 9번의 함수는 → ∞일 때 가 으로 ℱ 이므로 이다. 이다. 로 치환하면 ℱ 이다. 다시 (d) Table Ⅲ의 공식 1번의 함수에 를 곱하면 공식 7번의 함수가 되므로 공식 1번의 변환에서 만큼 평행이동 하면 공식 7번을 얻는다. 마찬가지로 Table Ⅲ의 공식 2번의 함수에 를 곱하면 공식 8번의 함수가 되므로 공식 2번의 변환에서 만큼 평행이동 하면 공식 8번을 얻는다. 17. 문제 9번에서 주어진 함수를 미분하면 문제 11번에 주어진 함수를 얻을 수 있다. 식 (9)의 내용과는 달리 24. 이므로 이므로 이다. Chapter 11 Review Questions and Problems 1. 삼각함수급수: 주기함수를 삼각함수의 실수배의 합으로 표현하는 것이다. 푸리에급수: 주기함수를 삼각함수급수로 표현할 때 삼각함수의 계수가 오일러 공식 (11.2절의 (6))형태로 표현되는 급수이다. 반구간전개: 반쪽구간 에서 정의된 비주기 함수에 푸리에 급수를 적용하는 것이다. 2. 주기가 의 함수 를 삼각급수 ∞ cos sin 로 표현할 때 계수 을 구하는 공식을 Euler 공식이라 한다. ∞ 식 cos sin에 cos 를 곱하고 적분하면 을 구할 수 있다. 같은 방법으로 sin 를 곱하고 적분하면 을 구할 수 있다. Chapter 11 Review Questins and Problems ℱ 수렴하지 않는다. 로 치환하면 sin cos cos cos sin ≠ sin 3. cos sin 대신 cos sin 를 이용할 때 편리한 점이 있으므로, 개념의 시작을 주기 인 경우부터 하여 임의의 주기 로 확장하였다. 가 주기 의 함수라면 는 주기 의 228 제11장 Fourier 해석 함수이므로 를 급수 전개한 후에 에 대한 식으로 고치면 된다. 4. 불연속인 함수는 Taylor 급수로 전개할 수 없지만 Fourier 급수는 전개할 수 있다. 5. 푸리에 급수는 주기함수가 조각적으로 연속함수이면 가능하다. 그러나 불연속점에서는 푸리에 급수가 원래 함수의 좌극한과 우극한의 중점으로 수렴한다. 푸리에 급수의 부분합 는 불연속인 점 부근에서 진동을 보인다. 이 증가함에 따라 이러한 현상은 사라지는 대신 오히려 점점 날카로운 spike 가 된다. 이러한 현상을 Gibbs 현상이라 한다. 6. 해가 삼각함수의 합으로 표현했을 때, 가장 큰 계수를 가진 삼각함수의 주기가 이 해의 성질을 가장 잘 나타낸다. 즉, 진동 체계의 공명 주파수가 된다. 그러므로 cos sin 의 계수가 가장 크다면 외부의 힘에 배 빠르게 반응한 것이 된다. 7. 주기함수를 삼각함수의 합으로 근사할 때 차이의 -노름이 최소가 되려면 삼각함수의 계수가 푸리에 계수이어야 한다. (11.6절 정리 1 참고) 8. 푸리에 적분은 주기함수에서만 가능한 푸리에 급수의 개념을 일반적인 함수에 확장 시킨 것이다. 푸리에 사인적분은 함수가 기함수일 경우 적용된다. 9. 적분변환은 함수를 적분형태로 나타나는 다른 형태의 함수로 표현하는 것으로 상미분, 편미분, 적분방정식 등에 많이 쓰이는 것으로 대표적인 것으로 라플라스 변환과 푸리에 변환이 있다. 푸리에 변환은 푸리에 적분으로 나타내어진다. 함수 대신 함숫값을 이용하는 경우를 discrete Fourier 변환이라 한다. 10. ′′ 과 경계조건 , 을 만족하는 해가 존재하는 와 그 해를 구하는 문제를 Sturm-Liouville 문제라 한다. 특별히 주기적 경계조건이 주어진 경우 푸리에 급수의 형태를 얻게 된다. 11. cos sin sin cos cos ∴ sin sin sin ⋯ 12. 11번 문제에서 주어진 함수는 기함수인 과 상수함수인 의 합으로 볼 수 있다. 기함수는 sine 함수의 합으로 표현되므로 주어진 함수는 cosine 함수를 포함하지 않는다. 13. cos sin cos sin cos sin ∴ cos cos ⋯ sin sin sin ⋯ 14. 13번 문제에서 계산된 cosine 항은 우함수인 을 나타낸다. sine 항은 기함수인 를 나타낸다. 15. sinh cos cos sin cos cos sinhcos sin sin cos cos cos sinhcos sinh ∴ sinh cos cos ⋯ sinh sin sin ⋯ cos cos 이고 문제 16번에서 얻은 Fourier 급수를 미분하면 cos 이다. 의 두 번째 적분에서 로 치환하면 이므로 cos cos 이다. cos 229 따라서 cos cos cos coshcos sin 이다. sin sin sin sinhsin cos cos sin 21. 문제 16번을 이용하면 cos cos cos ⋯ 이다. 의 각 항에 대하여 미정계수법을 적용하자. cos 이다. 상수항 에 대하여 적용하면 특수해는 cos 이므로 의 일반항이 ∴ cos cos cos ⋯ cos sin 라 하자. 여기서 계수를 17. 문제 11에서 구한 급수 sin sin sin ⋯ 에 을 대입하면 ⋯ 이므로 ⋯ 이다. 18. 문제 16번에서 주어진 함수를 미분하면 ′ ∴ cos cos cos ⋯ 20. 확장한 형태의 함수를 나타낸다. cos cos 홀수 짝수 sin sin cos sin cos 이다. 즉 sine 항은 sinh 을 기주기 16. ∴ sin sin sin ⋯ 따라서 sin cos sin sin sin (b) Fourier 사인급수 의 두 번째 적분에서 로 치환하면 ∴ cos cos ⋯ 확장한 형태의 함수를 나타낸다. sin sin sin cos 이다. 즉 cosine 항은 cosh 을 우주기 이므로 19. (a) Fourier 코사인급수 이므로 계산하면 cos 이다. 따라서 일반해는 cos cos sin cos cos ⋯ 이다. 22. 문제 20번을 이용하면 Chapter 11 Review Questins and Problems ′ sin sin sin ⋯ cos cos cos ⋯ 의 각 항에 대하여 미정계수법을 적용하자. 상수항 에 대하여 적용하면 특수해는 이다. 제11장 Fourier 해석 이므로 계산하면 이다. 23. sin sin ⋯ sin ∴ 1 0.821 2 0.503 3 0.361 4 0.282 5 0.231 cos 이고 25. cos cos ⋯ 이므로 ⋯ 이다. 1 0.0076 2 0.0076 3 0.0012 4 0.0012 5 0.0004 square error는 배이다. 24. 함수 에 배를 하면 대응하는 minimum 28. cos 29. sin cos sin cos sin cos ⋯ 이다. cos cos sin cos sin sin ∞ ∞ 이므로 sin cos sin cos sin cos cos sin cos cos ⋯ cos 이다. 따라서 일반해는 cos sin 라 하자. 여기서 계수를 cos 27. sin cos sin cos cos 이므로 의 일반항이 이고 이다. 230 sin cos sin cos sin 26. ∞ 30. ∞ ∞ CHAPTER 12 편미분방정식 12.1 Basic Concepts of PDEs 1. , 를 second-order equation ″ 의 해라고 가정하자. 즉, 이다. 232 제12장 편미분방정식 ″ ′ ″ ″ ′ ′ ″ ′ ″ ′ ∙ ∙ 따라서 도 주어진 방정식의 해이다. 2. 이므로 이다. 이를 Wave equation에 대입하면 이다. 따라서 일 때 주어진 함수는 Wave equation의 해이다. 5. sin sin 이므로 sin cos sin sin cos sin sin sin 이다. 이를 Wave equation에 대입하면 sin sin sin sin 이고 이다. 따라서 일 때 주어진 함수는 Wave equation의 해이다. 3. cos sin 이므로 cos cos cos sin sin sin cos sin 이다. 이를 Wave equation에 대입하면 cos sin cos sin 이고 이다. 따라서 일 때 주어진 함수는 Wave equation의 해이다. 6. sin 이므로 cos sin sin 이다. 이를 Heat equation에 대입하면 sin sin 이다. 따라서 일 때 주어진 함수는 Heat equation의 해이다. 4. sin cos 이므로 sin sin sin cos cos cos sin cos 이다. 이를 Wave equation에 대입하면 sin cos sin cos 이다. 따라서 임의의 상수 에 대하여 주어진 함수는 Wave equation의 해이다. 7. cos 이므로 sin cos cos 이다. 이를 Heat equation에 대입하면 cos cos 이다. 따라서 임의의 상수 에 대하여 주어진 함수는 Heat equation의 해이다. 233 cos sin cos 이다. 이를 Laplace equation에 대입하면 cos cos 이므로 주어진 함수는 8. sin 이므로 Laplace equation의 해이다. cos sin sin 이다. 이를 Heat equation에 대입하면 sin sin 이고 이다. 따라서 일 때 주어진 함수는 Heat equation의 해이다. (ii) sin 이므로 sin cos sin 이다. 이를 Laplace equation에 대입하면 sin sin 이므로 주어진 함수는 Laplace equation의 해이다. 9. cos 이므로 sin cos cos 이다. 이를 Heat equation에 대입하면 cos cos 이고 이다. 따라서 일 때 주어진 함수는 Heat equation의 해이다. 11. arctan 이므로 이다. 이를 Laplace equation에 대입하면 이므로 주어진 함수는 12.1 Basic Concepts of PDEs 10. (i) cos 이므로 Laplace equation의 해이다. 이므로 주어진 함수는 Laplace equation의 해이다. 234 제12장 편미분방정식 12. (i) cos sinh 이므로 cos cosh cos sinh sin sinh cos sinh 이다. 이를 Laplace equation에 대입하면 cos sinh cos sinh 이므로 주어진 함수는 Laplace equation의 해이다. (ii) 이므로 이다. 이를 Laplace equation에 대입하면 이므로 주어진 함수는 Laplace equation의 해이다. (ii) sin cosh 이므로 sin sinh sin cosh cos cosh sin cosh 이다. 이를 Laplace equation에 대입하면 sin cosh sin cosh 이므로 주어진 함수는 Laplace equation의 해이다. 14. (a) 와 의 에 관한 도함수를 ′ 와 ′ 으로 표현한다. 이고 이므로 ′ ′ ″ ″ ′ ′ ″ ″ 이다. 이를 Wave equation에 대입하면 ″ ″ ″ ″ 이다. 13. (i) 이므로 이다. 이를 Laplace equation에 대입하면 따라서 주어진 함수는 Wave equation의 해이다. (b) (i) 이므로 이다. 이를 Poisson equation에 대입하면 이다. 따라서 일 때, (iii) (b)의 (iv)으로부터 함수 가 주어진 함수는 Poisson equation의 해이다. Laplace 방정식을 만족하지 않음을 보일 수 (ii) sin 이므로 있다. 이것은 cos sin cos sin (d) (i) 이므로 ′ 이고 이다. sin sin 이다. (ii) 이므로 따라서 sin 일 때, 주어진 함수는 ′ ′ 이고 Poisson equation의 해가 아니다. ′′ 이다. 따라서 이다. 이므로 (iii) 이므로 ′ ′ ′ ′ 이다. 이를 Poisson equation에 대입하면 ″ ″ ″ ″ 이다. 따라서 이다. 따라서 이다. 일 때, 주어진 15. ln 이므로 함수는 Poisson equation의 해이다. (iv) 이므로 이고 이다. 이를 Poisson equation에 대입하면 이다. 이를 Laplace equation에 대입하면 이다. 경계조건 에서 이므로 ln 이다. 따라서 이다. 이다. 따라서 두 번째 경계조건 에서 이므로 일 때, 주어진 함수는 Poisson equation의 해이다. 특성방정식 을 풀면, (중근)이므로 해는 ″ 의 해를 구한다. 특성방정식 을 풀면, ±이므로 이고 이다. 여기서 와 는 상수이다. 따라서 해는 이다. 17. 에 관한 도함수가 없으므로 상미분방정식 16. 에 관한 도함수가 없으므로 상미분방정식 ″ 의 해를 구한다. 이므로 (c) (i) ln 이다. 따라서 이다. ln 이다. 따라서 이다. (ii) ln 이므로 이고 이다. 따라서 이다. 해는 cos sin 이다. 여기서 와 는 상수이다. 따라서 해는 cos sin 이다. 18. 에 관한 도함수가 없으므로 상미분방정식 ″ 의 해를 구한다. 특성방정식 을 풀면, ± 이므로 해는 이다. 여기서 와 는 상수이다. 따라서 해는 이다. 19. 에 관한 도함수가 없으므로 상미분방정식 ′ 의 해를 구한다. (변수분리형)이므로 ln , 235 12.1 Basic Concepts of PDEs 이다. 이를 Poisson equation에 대입하면 (iii) 을 갖는 Poisson 방정식을 만족한다. , 이다. 여기서 은 상수이다. 이다. 따라서 해는 이다. 20. 에 관한 도함수가 없으므로 상미분방정식 따라서 이다. 다시 이를 에 대하여 적분하면 ″ ′ cos sin 의 해를 구한다. 236 특성방정식 을 풀면, 제12장 편미분방정식 이므로 해는 이다. 여기서 와 이다. 이고 라 하면 해는 이다. 23. 에 관한 도함수가 없으므로 상미분방정식 는 상수이다. ″ ′ 의 해를 구한다. 미정계수법에 의하여 cos sin 라 하자. 방정식 을 풀면, 이므로 이를 위의 상미분방정식에 대입하면 해는 이다. 여기서 와 는 이다. 따라서 cos sin 이고 일반해는 cos sin 이다. 주어진 편미분방정식의 해는 cos sin 이다. 상수이다. 따라서 해는 이다. 이고 tan 이므로 24. 특성방정식 을 풀면, ± , 이다. 이므로 해는 cos sin 이다. 연쇄법칙을 적용하면 21. 에 관한 도함수가 없으므로 상미분방정식 ″ ′ 의 해를 구한다. 여기서 와 는 상수이다. 미정계수법에 의하여 라 하자. 이를 위의 , 상미분방정식에 대입하면 이다. 따라서 이고 일반해는 이므로 이다. cos sin 이다. 이므로 식을 정리하면 이다. 주어진 편미분방정식의 해는 따라서 해는 이다. cos sin 이다. 22. 라 치환하면 이다. 에 관한 도함수가 없으므로 상미분방정식 의 해를 구한다. 변수분리형이므로 이고 이를 적분하면 25. 방정식 을 풀면 , 이다. 이 해를 에 대하여 두 번 미분하면 ″ ″ 이다. 따라서 이다. 따라서 이다. 12.3 Solution by Separating Variables. Use of Fourier Series 1. Frequency 이므로 string의 길이가 길수록, 단위길이당 질량이 커질수록 Frequency는 배가 커진다. 커진다. 장력이 2배가 커지면 sin sin cos cos 5. ≠ cos ∴ cos sin sin sinsin sin sin sin sin 6. 9. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 sin sin sin sin sin 7. sin cos cos sin sin 짝수 홀수 ∴ cos sin cos sin cos sin ⋯ ∴ cos sin cos sin cos sin ⋯ ≤ ≤ 10. ≤ ≤ ≤ ≤ sin sin sin 8. 이므로 홀수 sin 짝수 ∴ cos sin cos sin cos sin ⋯ sin sin sin sin sin 12.3 Solution by Separating Variables. Use of Fourier Series 237 ∴ cos sin cos sin ∴ cos sin cos sin cos sin ⋯ sin sin sin sin sin ∴ cos sin cos sin cos sin ⋯ 238 제12장 편미분방정식 11. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin 13. sin cos cos sin cos sin cos sin ⋯ cos sin cos sin cos sin cos sin ⋯ ≤ ≤ 12. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 14. ≤ ≤ ≤ ≤ sin sin ∞ ∴ sin sin sin sin 15. 로 변수분리하면 , 이므로 이다. 으로 나누어 정리하면 위의 방정식을 (여기서 는 상수)이다. cos sin cos sin cos sin ⋯ 이다. 첫 번째 미분방정식의 특성방정식 을 풀면 해가 ± ± 이므로 해는 cos sin cosh sinh 이다. 두 번째 미분방정식의 특성방정식 을 풀면 해가 ± 이므로 해는 : 번째 mode 의 진동수가 에 비례한다. 빔진동(Beam vibration) : 번째 mode 의 진동수가 에 비례한다. 19. 양 끝이 고정되었으므로 이를 정리하면 경계조건 , 을 얻는다. 첫 번째 경계조건으로부터 을 얻었고, 두 번째 조건으로부터 ′ ′ 을 얻는다. cos sin 이다. 15번 문제의 16. 첫 번째 경계조건 cos sin cosh sinh , ′ sin cos sinh cosh 으로부터 을 얻었다. 에 경계조건을 적용하면 , 두 번째 경계조건 ′ 이므로 , 이다. ″ ″ cos sin cosh sinh , 으로부터 ″ ″ 을 얻었다. ′ sin cos sinh cosh 이를 문제 15번에 적용하면 이다. 이므로 이 식을 정리하면 ≠ 이므로 이다. 따라서 sin 이고 cos 이고 더하면 cos cosh 이다. 따라서 cos cosh 이다. 17. 문제 16번으로부터 얻은 일반해 ∞ ∞ cos sin ∞ 이다. sin 20. 이면 이고 이다. 이면 ′ 이고 이다. ″ cos sin cosh sinh , 와 초기조건 을 정리하면 이다. 첫 번째 방정식에 sin sinh을 곱하고, 두 번째 방정식에 cos cosh을 곱하여 두 식을 cos sin 이다. cos cosh sin sinh sin sinh cos cosh 이므로 cos cosh sin sinh , sin sinh cos cosh sin ″′ sin cos sinh cosh 짝수 홀수 이다. 따라서 특수해는 이다. 첫 번째 방정식에 sin sinh을 곱하고, 두 번째 방정식에 cos cosh을 곱하여 두 식을 더하면 cos cosh 이다. 따라서 cos cosh 이다. 12.4 D'Alembert's Solution of the Wave Equation. Characteristics 1. 에서 의 위상은 시간이 이고 가 따라서 이다. 일 때 일정하다. 이 말은 는 시간이 흘러감에 는 기함수이므로 이다. 따라 시간의 배만큼 양의 방향으로 가는 파동임을 따라서 는 주기가 인 주기함수이다. 나타내고 같은 원리로 는 음의 방향으로 가는 파동임을 나타낸다. 2. 이므로 이다. 따라서 이고 는 기함수이다. 이므로 이다. 이다. 3. 이므로 4. 고유함수의 진동수는 이다. 239 12.4 D’ Alembert’ s Solution of the Wave Equation. Characteristics 위의 방정식을 두 개의 상미분방정식 으로 분리된다. , 18. 현진동(String vibration) 5. sin sin sin cos 240 제12장 편미분방정식 9. 이므로 elliptic이다. 특성방정식이 ′ ′ ′ 이므로 이다. 6. cos cos cos cos 라 치환하면 이다. 이 식을 풀면 이므로 해는 이다. 여기서 이다. 10. 이므로 hyperbolic이다. 특성방정식이 ′ ′ ′ 이므로 이다. 라 치환하면 이다. 이 식을 풀면 이므로 해는 이다. 여기서 7. sin sin sin cos 이다. 11. 이므로 parabolic이다. 특성방정식이 ′ ′ ′ 이므로 이다. 라 치환하면 이다. 이 식을 풀면 이므로 해는 이다. 12. 이므로 parabolic이다. 특성방정식이 ′ ′ ′ 이므로 이다. 라 치환하면 이다. 이 식을 풀면 이므로 해는 8. 이다. 13. 이므로 hyperbolic이다. 특성방정식이 ′ ′ ′ ′ 이므로 이다. 라 치환하면 이다. 이 식을 풀면 이므로 해는 이다. 여기서 이다. 이다. 여기서 이다. 17. 이므로 elliptic이다. 특성방정식이 ′ ′ ′ 이므로 이다. 14. 변수 와 를 바꾸어 생각한다. 라 치환하면 이다. 이 식을 풀면 이므로 해는 hyperbolic이다. 특성방정식이 ′ ′ ′ ′ 이므로 ′ ′ 또는 이고 이를 적분하면 또는 이다. 따라서 이다. 이다. 여기서 이다. 18. 이므로 라 치환하면 이다. parabolic이다. 위 방정식을 풀기 위하여 라 치환하면 특성방정식이 ′ ′ ′ 이므로 으로 변형된다. 즉, 이므로 이다. 다시 역치환하면 이므로 에 대해서 적분하면 해는 라 치환하면 이다. 이 식을 풀면 이므로 해는 이다. 이다. 여기서 이다. 이다. 19. 변수분리 에 의하여 상미분방정식 ″ ″ 을 얻었다. 두 번째 방정식의 해를 구하면 sin cos 15. 이므로 hyperbolic 이다. 특성방정식이 ′ ′ ′ ′ 이므로 ′ ′ 또는 이고 이를 적분하면 또는 이다. 따라서 이다. 이다. 경계조건 을 정리하면 을 얻고, 을 정리하면 ′ 을 얻는다. 위의 조건을 적용하면 , 이다. sin , cos sin 이므로 ∞ cos sin sin 이다. 라 치환하면 이다. 위 방정식을 풀기 위하여 라 치환하면 초기 속도가 이므로 이고 초기 변위가 으로 변형된다. 즉, 이므로 이므로 ∞ sin 이다. 이다. 다시 역치환하면 이므로 푸리에 사인급수를 이용하면 에 대해서 적분하면 해는 이다. 여기서 sin 을 얻는다. 20. 이다. Tricomi 방정식은 이다. upper half-plane 에서 이므로 16. 이므로 elliptic이다. elliptic이고, lower half-plane 에서는 이므로 특성방정식이 ′ ′ ′ 이므로 hyperbolic 이다. 이다. 따라서 Tricomi 방정식은 mixed type이다. 라 치환하면 변수분리 에 의하여 ″ ″ 이다. ″ ″ 으로 변형되며 으로 정리된다. 이 식을 풀면 이므로 해는 여기서, 대입하면, Airy 방정식 ″ 을 얻을 수 있다. 241 12.4 D’ Alembert’ s Solution of the Wave Equation. Characteristics 이므로 12.6 Heat Equation: Solution by Fourier Series. Steady Two-Dimensional Heat Problems. Dirichlet Problem 1. 이므로 thermal conductivity 가 클수록, 242 specific heat 가 작을수록, density 가 작을수록 decay가 빠르다. 제12장 편미분방정식 ln 이므로 이다. 2. sin cos 홀수 짝수 이다. 따라서 sin sin ⋯ 3. sin sin sin 이 세 개의 eigenfunction의 차이점은 속도의 감소에 있다. 따라서 몇 개의 부분 합에 의해 이다. 식 (9)의 근사 급수 해를 구할 수 있다. 8. 이다. 경계조건을 만족하며 ※ 주어진 조건을 정리하면 인 식 (1)의 해이다. 9. , (여기서 는 경계조건을 이다. 만족한다.)이다. 따라서 ∞ sin , sin 이다. 10. 문제 8번으로부터 , 을 얻었다. 따라서 sin sin cos ⋅ 5. 초기조건을 적용하면 ∞ sin sin 이므로 해는 이므로 이고 ≠ 이다. 따라서 sin 이다. ∞ ∞ sin sin 이다. 따라서 sin sin sin ⋯ 이다. 7. 초기조건을 적용하면 ∞ 이므로 sin 이다. bar의 중간지점( )에서 정리하면 sin 이므로 sin 6. 초기조건을 적용하면 ⋯ 이다. 따라서 다음과 같은 근사값을 얻게 된다. 11. 방정식 cos sin 을 미분하면 ′ sin cos 이다. 경계조건 을 적용하면 이고 sin 이다. 이 식을 정리하면 또는 이고 방정식은 cos ⋯ 이다. 따라서 ∞ cos 으로 변형된다. 따라서 식 (9), (10) 과 같은 방법으로 해를 구하면 이다. ∞ cos 12. 초기조건을 적용하면 ∞ cos 17. → ∞이면 ∞ → 이다. 이므로 이다. , 18. 식 (17)에 주어진 조건을 적용하면 ∞ cos sinh sin cos 홀수 이므로 짝수 이다. 따라서 sinh cos cos ⋯ sin 홀수 sinh sinh 짝수 이다. 따라서 이다. sin sinh sinh sin sinh ⋯ sinh 13. 초기조건을 적용하면 ∞ cos 이므로 이다. cos 19. 식 (17)에 주어진 조건을 적용하면 ∞ 따라서 이다. 14. 초기조건을 적용하면 이므로 sinh sin sin ∞ cos cos sinh 이므로 이고 ≠ 이다. 따라서 cos 이다. sinh 15. 초기조건을 적용하면 ∞ , sinh 홀수 ≠ sin sin 이고 짝수 sinh 이다. 따라서 이다. cos sinh sin sin ∞ cos sin sinh 20. (a) 식 (17)에 주어진 조건을 적용하면 이므로 이다. 따라서 sin sinh 이다. sinh cos sin ≠ sin cos cos ⋯ 이다. 16. 라 치환하면 주어진 편미분 sin sin sinh sin sinh 이다. 따라서 이다. sinh 243 12.6 Heat Equation: Solution by Fourier Series. Steady Two-Dimensional Heat Problems. Dirichlet Problem ∞ sin sin ※ 주어진 조건을 적용하면 sin sinh sinh sin sinh ⋯ sinh 이다. 23. 주어진 경계조건을 정리하면 244 제12장 편미분방정식 이다. 로 변수분리하여 정리하면 , 으로 분리된다. (b) 경계조건을 정리하면 이므로 두 번째 미분방정식의 해는 cos sin sin 이다. 이고 미분하면 ′ sin cos 이다. 경계조건 을 정리하면 다른 모서리에서는 단열이므로 경계조건은 ′ ′ 이므로 , cos 이므로 cos 이다. 이다. 다른 경계조건 에 의하여 따라서 sin cos 이다. 또는 sinh 이다. 따라서 해는 ∞ cos sinh 이다. 여기에 마지막 경계조건 을 적용하면 ∞ 이고 sinh cos sin , cosh sinh 이다. sinh sin 이다. cos 24. 로 변수분리하여 정리하면 21. 식 (17)에 주어진 조건을 적용하면 이므로 ∞ sinh cos 이 두 식을 미분하면 ′ sin cos 이고 ′ sinh cosh 이다. 주어진 경계조건을 이므로 sinh 정리하면 ′ 이고 ′ 이므로 이고 sin cosh sinh이다. 홀수 sinh sinh 짝수 따라서 coshcosh sinhsinh cosh 이고 cos cosh 이다. 이다. 따라서 sin cosh 이므로 sin sinh sinh sin sinh ⋯ sinh sin coscosh 에서 tan 이다. 이것은 무한히 많은 양의 해 이다. 22. 문제 21번을 이용하면 해는 이다. ⋯ 를 갖는다. 따라서 무한히 많은 해 여기서, sin sinh sinh sin sinh ⋯ sinh cos cosh tan 가 존재한다. ∞ 25. sinh sin sinh sin 12.7 Heat Equation: Modeling Very Long Bars. Solution by Fourier Integrals and Transforms 2. sin cos sin cos 9. er f sin ∞ 245 에서 cos cos ∞ ∞ ∞ sin ∞ ∞ ∴ ∞ cos ∞ 4. ∞ 5. er f sin ∞ cos cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos sin ∞ ∞ sin cos sin sin ∞ ∞ cos er f er f er f er f er f 10. Maclaurin Series는 er f ⋯ 이다. cos ∴ 7. ∞ er f이다. 따라서 기함수이다 ∴ 라 치환하면 ∴ 6. cos ∞ ∴ ∞ 13. ∞ er f ∞ ∞ ert , 14. ert 15. 식(21)에서 로 치환하면 ∞ er f 가 된다. 12.9 Rectangular Membrane. Double Fourier Series 1. frequency 으로 주어지고 이므로 장력 가 클수록, 단위면적당 질량 이 작을수록, rectangular의 크기가 작을수록 frequency는 증가한다. 배 증가하고, (c)는 배 증가한다. (a), (b)는 12.9 Rectangular Membrane. Double Fourier Series sin cos ∴ 3. 8. 제12장 편미분방정식 sin sin sin sin 12. sin sin sin sin ≠ or ≠ sin 13. sin sin sin sin 홀수 혹은 짝수 홀수 짝수 cos sin sin 이다. sin sin 7. sin sin sin sin sin 이므로 이고 sin 짝수 홀수 짝수 홀수 6. cos sin sin 이다. sin sin sin sin 5. or 짝수 홀수 246 sin 이므로 이고 sin sin sin sin 4. 이므로 ∞ ∞ cos sin sin 8. sin sin sin × sin 홀수 sin sin 이다. 여기서, 첫 번째 적분에서 라 놓으면, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ 을 Fourier 급수로 이고 이것은 전개했을 때의 계수이다. 두 번째 적분식도 비슷하게 라 놓으면, ※ 주어진 조건으로부터 이고 이다. sin sin sin sin 11. sin sin sin sin ≠ or ≠ 14. sin sin sin 10. 프로그램으로부터 다음을 알 수 있다. 이다. sin sin 을 Fourier 급수로 전개했을 이고 이것은 때의 계수이다. 16. sin cos sin cos 18. 이다. 을 식 (9)에 임을 이용한다. sin 대입하고 에 관해 미분하고 0으로 놓으면 ′ ′ ′ sin 이다. 따라서 이다. 19. sin sin sin sin sin sin × sin sin ≠ ≠ sin 이고 sin 이므로 sin sin cos 이다. 이므로 20. 막의 강제 진동 모델은 미분방정식 ∙ ∙ 혹은 짝수 홀수 로 주어진다. 여기서 는 단위면적에 수직으로 작용하는 외부 힘이다. 이다. 12.10 Laplacian in Polar Coordinates. Circular Membrane. Fourier-Bessel Series 1. 중심이 원점에 있고 반지름이 인 원판에 대하여 평형상태에서의 열전도 문제는 직교좌표 대신 극좌표 를 이용하면 계산이 훨씬 간단하다. ∆ 이면 log 이고 따라서 임의의 상수 에 대하여 log 2. cos sin라 놓으면 , tan , , 이다. 가 에 무관하다고 하자. 그러면 이다. 3. ∇ 이다. 마찬가지로 하면 을 얻는다. 따라서 ∇ 4. (a) cos 이므로 cos cos cos sin 이다. 따라서 식(5)로부터 ∇ 을 만족한다. 비슷하게 sin 도 ∇ 을 만족한다. (b) 원판 ≤ ≤ ≤ ≤ 에 247 12.10 Laplacian in Polar Coordinates. Circular Membrane. Fourier-Bessel Series cos sin cos cos cos sin 이므로 이다. 17. 대하여 Laplace 방정식의 Dirichlet 문제 (i) ≤ ≤ (ii) lim ≤ ≤ → 248 (iii) ≤ ≤ 의 해 를 구한다. 제12장 편미분방정식 로 변수분리하면 두 개의 ″ ′ 상미분 방정식 을 얻는다. 첫 번째 조건 (i)을 정리하면 으로 변형된다. 따라서 첫 번째 상미분 방정식의 해는 ≥ cos sin 이다. 두 번째 방정식은 Cauchy-Euler 방정식이다. 특성방정식 을 풀면 ± 이므로 두 번째 방정식의 해는 ln ± 주어진 조건을 적용하면 ∞ cos sin 이다. cos sin 이다. (e) 10장 4절의 식 (9)을 적용하면 이다. 두 번째 조건 (ii)을 적용하면 이다. ∞ cos sin 이다. cos sin 이므로 cos cos sin sin sin 이다. 따라서 5. sin cos sin ∞ sin cos ∴ cos cos cos ⋯ 이다. (c) 이고 ※ 이다. 이다. 세 번째 조건 (iii)을 적용하면 sin (f) 변수분리에 의해서 를 얻는다. ∞ ∇ 이다. cos sin 그러므로 중첩의 원리에 의해서 해는 sin sin sin ⋯ 이다. ∞ cos sin 을 미분하여 (d) 6. cos cos cos cos cos cos cos ∴ sin sin sin sin ⋯ 249 12.10 Laplacian in Polar Coordinates. Circular Membrane. Fourier-Bessel Series ≠ cos cos cos cos cos cos sin ∴ cos cos 10. 주어진 조건을 정리하면 이다. 따라서 cos sin sin ⋯ 이다. 11. 주어진 조건을 정리하면 7. cos sin ∴ cos cos ⋯ 이므로 cos cos sin sin 이다. 따라서 sin sin sin ⋯ 이다. 8. cos sin sin cos sin 12. (b) (c) 에 대한 부분합의 근사값은 정확하지 않다. 이 되는 이다. 따라서 인 경우는 에서 발생하고 이면 개의 지점에 Nodal line이 있다. 이므로 cos sin ∞ 18. 250 이다. ∞ 제12장 편미분방정식 따라서 이다. 19. 변수분리 를 적용하면 이다. 이다. 따라서 이고 양변을 즉, 로 나누어 정리하면 상수 과 이다. 그러므로 상미분방정식 (d) The radii of the nodal circles : 을 얻게 편미분방정식 된다. 다시 변수분리 을 적용하여 정리하면 두 개의 상미분방정식 이다. 13. frequency 으로 주어지므로 배 장력 를 2배로 늘이면 frequency는 증가한다. 14. 이 감소하면 는 증가한다. 15. 이므로 원하는 , frequency 이므로 이 되도록 장력을 주면 된다. 16. 이유는 이기 때문이다. 부분 합은 다음과 같다; ⋯ 마지막 값은 소수점 3자리까지 정확하다. 17. Nodal line는 에 대해 이 함수 의 ″ ″ ′ 을 얻는다. 20. cos sin 이고, 이라 치환하면 이므로 을 만족한다. 21. 주어진 경계조건 로부터 이므로 이다. 따라서 이다. 22. cos sin 이다. 따라서 cos sin cos 이다. 23. 주어진 조건을 이용하면 문제 22번의 식(28)로부터 임을 보일 수 있다. 24. 는 sin 이므로 이고 cos sin 이다. 25. App. 5 의 Table A1을 고려하면 이다. 12.11 Laplace's Equation in Cylindrical and Spherical Coordinates. Potential 3. cos cos cos cos cos 이다. ∆ 9. 식 (7)에 을 대입하면 ∇ ″ ′ ln ′ ln , ′ 이다. 따라서 이다. 10. ∆ 이면 이라 치환하면 exp ln 이다. 따라서 ln 이다. 4. 5.3절의 식(11′)에 의해서, 12. 문제 10의 해에서 이면 cos 이다. ln 이고 ln 이다. cos 이면 cos cos cos 이면 cos cos 이다. 이 두 식을 연립하면 이다. ln ln 따라서 이다. ln 13. 문제 11의 방정식 ″ ′ 은 Euler-Cauchy 방정식이다. 즉 ″ ′ 에서 보조방정식은 cos 7. cos cos cos cos cos′sin 여기서 ′ 을 의미한다. cos 이다. 해를 구하면 이므로 주어진 방정식의 해는 이다. 과 을 연립하면 이다. 따라서 이다. sin cos′sin sin cos′′sin cos′sincos sin cos′′sin sin cos′cos 따라서 sin sin cos cos′′sin cos′cos cos cos″ cos cos′ cos 왜냐하면 cos 은 르장드르 미분방정식 ″ ′ 을 만족하기 때문이다. 마찬가지로 에 대해서도 같은 방법으로 보이면 된다. 8. 이면 이고 14. 라 치환하면 , 이다. 이를 주어진 방정식 에 적용하면 이므로 이다. 또한 주어진 조건을 정리하면 , 이다. 변수분리 를 적용하여 정리하면 251 12.11 Laplace’ s Equation in Cylindrical and Spherical Coordinates. Potential ″ 이다. 이 식을 정리하면 이고, 적분하면 ′ 두 개의 상미분 방정식 ″ 을 얻는다. 또한 주어진 경계조건을 정리하면 이다. 첫 번째 방정식을 풀면 cos sin 252 이며 경계조건을 적용하면 , 이므로 제12장 편미분방정식 sin 이다. 두 번째 방정식을 풀면 exp ∞ 따라서 ∞ sin 이다. 이다. sin 이므로 이다. sin 이고 는 구간 ≤ ≤ 에서 직교하기 때문에 ⋯ 이다. 따라서 cos 이다. 20. cos cos cos 15. cos cossin cos cossin cossin ∞ ※ 이고 는 구간 ≤ ≤ 에서 직교하기 cos, cos sin 16. cos cos sin 때문에 ⋯ 이다. 따라서 cos cos cos 이다. 21. 원점에서의 점전하는 로 주어지고, 에서는 로 만족하고 무한에서 이다. 이런 식을 만족하는 이고 는 구간 ≤ ≤ 에서 것은 유일하므로 문제 17번을 만족하는 외부 직교하기 때문에 ⋯ 이다. 퍼텐셜 17. cossin ∞ 따라서 cos 이다. 이고 는 구간 ≤ ≤ 에서 cos , cossin 직교하기 때문에 ⋯ 이다. 이고 는 구간 ≤ ≤ 에서 따라서 이다. 직교하기 때문에 ⋯ 이다. 18. cos cossin ∞ 22. cos 에 16번을 적용하면 이고 는 구간 ≤ ≤ 에서 직교하기 때문에 따라서 이다. ⋯ 이다. 따라서 cos 이다. 19. cos cos 이므로 cos cossin 이고 는 구간 ≤ ≤ 에서 직교하기 때문에 ⋯ 이다. cos 이다. 따라서 19번을 적용하면 cos cossin cos cossin 이고 ⋯ 이다. cos 이다. 따라서 ∞ 23. cos에 경계조건을 적용하면 cos cos sin 이고 는 구간 ≤ ≤ 에서 직교하기 때문에 ⋯ 이므로 cos 이다. 따라서 평면에서 equipotential line은 일 때, 은 ∞로 다가간다. ∆ 로 나누고 ∆→ 으로 보내면 를 얻는다. (b) 전류의 변화량은 ∆ ∆ ∆ 로 표현된다. 따라서 양변을 ∆ 로 나누고 ∆→ 으로 보내면 를 얻는다. (c) 첫 번째 PDE를 얻기 위해서, 에 대해 (a)의 first transmission line equation을 미분하고 (b)의 second transmission line equation를 이용하여 를 대입한다. 이것을 정리하면 첫 번째 PDE를 얻을 수 있다. 비슷하게, 두 번째 PDE도 얻을 수 있다. (d) 라 하면 열방정식 을 얻는다. 12장 6절의 식 (9), (10)에 의해서, sin sin ⋯ 이다. sin (e) cos 25. 라 놓고 를 생각하자. 이다. 다시 위의 식을 미분하면 이다. 미분하면 24. (a) 길이 ∆ 의 케이블에서 발생하는 전압강하는 ∆ 와 ∆ 로 주어지고 그 양은 ∆ 이다. 따라서 Kirchoff 법칙에 의해 이것과 를 식 (7)에 대입하고 로 나누면 원하는 결과를 얻을 수 있다. 12.12 Solution of PDEs by Laplace Transforms ″ 이고 ″ 이므로 1. 라 하자. 이다. 2. 이다. 즉, 253 12.12 Solution of PDEs by Laplace Transforms 는 구간 ≤ ≤ 에서 직교하기 때문에 ∆ ∆ ∆ 이므로 양변을 3. 변위함수 sin 이므로 속력은 cos 이다. 4. ℒ 라 하면 254 ℒ ℒ ℒ , ℒ 이다. 을 얻는다. 정리하면, 가 주어진 편미분방정식을 정리하면 보조방정식 된다. 에 관해 적분하면 , 제12장 편미분방정식 을 얻는다. 에 관하여 1계선형미분방정식이므로 해를 구하면 을 Laplace 변환하면 이다. 이를 위의 해에 적용하면 주어진 조건 을 Laplace 변환하면 ℒ ℒ 이다. 따라서 이 보조방정식의 해에 inverse Laplace transform 이고 이를 위에서 구한 해에 적용하면 을 취하면, 이다. 따라서 이므로 ℒ ℒ 이다. 이다. 을 얻는다. 이다. 이다. 이 보조방정식의 해에 inverse Laplace transform을 7. 라 하면 ′ ′ ′ ′ 이므로 이다. 취하면 주어진 방정식의 해는 이 때 가 식을 만족하므로 ′ , ′ 이다. 따라서 이다. 이므로 이고 이다. 이다. 5. ℒ 라 하면 8. ℒ 라 하면 ℒ , ℒ 이다. ℒ , 주어진 편미분방정식을 정리하면 보조방정식 주어진 편미분방정식을 정리하면 보조방정식 ℒ 이다. , , 을 얻는다. 에 관하여 1계선형미분방정식이므로 해를 구하면 을 얻는다. 이는 에 관하여 2계 재차 선형 미분방정식이므로 해를 구하면 이다. 이다. 주어진 조건 을 Laplace 변환하면 주어진 조건 sin 을 Laplace 변환하면 ℒ 이고 이를 위에서 구한 해에 적용하면 이다. ℒ ℒsin 즉 이다. 이고 위의 해에 적용하면 이다. 이 보조방정식의 해에 inverse Laplace transform을 따라서 이고 inverse Laplace 취하면 해는 이다. 6. ℒ 라 하자. 그러면, 보조방정식 transform을 취하면 해는 sin 이다. 9. 문제의 열전도 방정식은 이고 초기조건은 이고 경계조건은 이다. 또한 → ∞이면 → 한다. 위의 방정식을 Laplace 변환하면 이고 이다. 이 방정식에 대응하는 즉, 특성방정식은 이고 이 방정식의 해는 ± 이다. ∞ 따라서 이다. 255 이다. 12. Laplace 변환표(39번)에 의하여 ℒ 이다. → ∞이면 → 이므로 이다. ℒ 이고 ∗ ℒ 이므로 이다. 이므로 Convolution 정리를 적용하면 따라서 해는 10. 이다. 와 Convolution 정리로부터 ∗ℒ 을 얻는다. 11. 이고 이므로 ℒ 이 된다. 같은 방법을 에 적용하면 이므로 임을 안다. 이것과 6장 9절의 식 (39)로부터 해를 구하면 이다. 이다. 이다. Convolution 정리를 적용하면 를 얻게 된다. 라 치환하면 이고 Chapter 12 Review Questions and Problems 1. 어떤 현상의 변화량을 다루고 그 양을 구할 때 만족하기 위해서 무한급수를 고려해야 하는데, 구하고자 하는 변수의 개수에 따라 하나만 구할 여기서 이 급수의 계수는 주어진 초기조건을 때는 상미분 방정식이 되고, 2개 이상의 변화량이 나타내는 함수들의 푸리에 계수가 되는 것이 포함되어진 방정식은 편미분 방정식이 된다. 판명되었다. 따라서 푸리에 급수 와 푸리에 적분은 2. 관성의 법칙인 를 사용하였다. 3. (a) Laplace equation: ∇ , 북의 진동, conductivity 문제 등 ⋯ (b) Parabolic equation: ∇ , 열전도 방정식, 확산 방정식, finance 등 ⋯ (c) Wave equation: ∇ , 파동 방정식 등 ⋯ 4. 파동방정식이나 열방정식과 같은 PDE의 해 (solution)를 각각의 독립변수의 곱(변수분리법)으로 표현하여 구할 수 있다. 5. 일차원 무한 영역에서 초기 조건이 주어진 파동 방정식에서 변수치환 방법이다. 6. 파동방정식이나 열방정식의 해를 구할 때 변수 분리법에 의해 구해진 해가 초기조건(경계조건)을 근본적으로 중요하다. 7. 원형의 파동 방정식에서 Bessel equation이 보이고, 3차원 Laplace 구면좌표계를 사용하는 과정에서 Legendre equation이 보인다. 8. 구간 사이에서 고정된 vibrating sting은 고유값 과 고유함수 sin 를 갖는다. 9. 편미분 방정식 에서 정의된다. (a) 타원형: , Normal Form : (b) 포물선형: , Normal Form : (c) 쌍곡선형: , Normal Form : Chapter 12 Review Questins and Problems 또한 ℒ 이다. → ∞이면 → 이다. ∞ ∞ 10. 편미분방정식에 대한 경계값 문제와 관련하여 이다. 다루고 있는 영역의 경계를 간단 한식으로 표현할 라 치환하면 이다. 수 있는 좌표계를 사용하는 것이 일반적인 이 식을 풀면 이므로 해는 원칙이다. 원형박막(북막)에 대하여 고찰하게 되는 경우는 극좌표 를 사용하는 것이 적당하다. 그 256 이유는 원형박막의 경계가 c 상수 와 같이 간단한 식으로 표시되기 때문이다. 또한, 중력, 이다. 여기서 이다. 20. 이므로 제12장 편미분방정식 정전기학, 정상상태 열 흐름, 유체흐름 등에서 자주 parabolic이다. 등장하는 라플라스 방정식에 관한 문제들은 영역의 특성방정식이 ′ ′ ′ 이므로 경계가 구면인 경우가 있는데 이런 경우는 이다. 구면좌표를 사용하는 것이 적당하다. 라 치환하면 이다. 11. 열전도 방정식은 변수분리를 통하여 시간에 대한 1차 미분방정식이 되어 이에 대한 해는 시간에 대한 decay 조건으로 exponential 해가 되고, 파동 방정식에서는 시간에 대한 2차 미분방정식이 되어 삼각 함수들의 조합이 된다. 12. 일차원 무한 영역에서 열전도 방정식의 해로 이는 통계에서 정규분포 함수를 준다. 이 식을 풀면 이므로 해는 이다. 21. 이므로 hyperbolic이다. 특성방정식이 ′ ′ ′ 이므로 13. 시간이 흐를수록 해가 decay한다. 이다. 14. (a) Dirichlet condition 라 치환하면 이다. : 경계조건이 미분이 없는 조건 (b) Neumann condition : 경계조건이 경계의 outer normal의 미분으로 주어질 때 (c) mixed boundary condition : (a)와 (b)가 조합된 경우 15. Laplace 변환의 두 가지 중요성은 첫째, smooth 하지 않은 함수를 Laplace 변환을 통해 smooth 하게 하는 성질이 있고, 둘째, 미분을 Laplace 변환 하면 미분이 없어지는 성질이 있다. 16. 특성방정식이 이므로 ±이다. 따라서 cos sin 이다. 이 식을 풀면 이므로 해는 이다. 여기서 이다. ※ 이고 이므로 이다. 초기 속도가 이므로 이고 ∞ cos sin 이다. ∞ 22. sin sin 이므로 ⋯ 이다. 해는 cos sin 이다. 17. 특성방정식이 이므로 이다. 따라서 이다. 이므로 라 하면 이다. 따라서 이므로 이고 이다. 18. 특성방정식이 이므로 이다. 따라서 이다. 조건 에 의하여 이고 이므로 조건 에 의하여 이다. 따라서 이므로 이다. 19. 이므로 hyperbolic이다. 특성방정식이 ′ ′ ′′ 이므로 23. sin sin sin 이다. ∞ sin sin sin 이므로 ⋯ 이다. 해는 cos sin cos sin 이다. 27. sin sin sin 이다. ∞ sin sin sin 이므로 ⋯ 이다. 따라서 해는 이다. ※ 이고 이므로 이다. ∞ sin 이므로 24. ∞ 이다. ∞ 28. sin cos cos 이므로 sin sin sin , 이다. cos 이다. ∞ sin cos sin 이다. 따라서 ∞ 해는 cos 이다. ∞ 29. cos cos 이므로 ⋯ 이다. 따라서 해는 cos 이다. ∞ 30. cos 이므로 , ※ 이고 이므로 이다. sin 이다. ∞ 25. 따라서 해는 sin 이다. 이므로 sin sin sin sin 이다. 해는 ∞ cos cos cos ∇ 31. 라 하면 ∇ 이다. 이므로 이다. 따라서 ∇ 이고 다시 라 하면 이다. 이다. sin , 이다. 따라서 이다. 따라서 해가 존재하기 위하여 이고 이다. ∞ sin sin 이다. sin sin 이므로 ∞ ⋯ 이다. 26. ∞ cos cos cos 이다. 의 해는 sin 이고 Chapter 12 Review Questins and Problems sin sin 257 의 해는 sin 이다. 따라서 cos cos 이다. 또한 이고 이다. 따라서 이다. 을 풀면 마지막으로 258 이다. 따라서 제12장 편미분방정식 ∞ ∞ sin sin 이다. sin sin 32. 이다. 따라서 해는 ∞ ∞ sin sin 이다. 33. 이므로 이다. 이다. 따라서 34. 35. 36. 넓이가 이므로 이다. 37. 이므로 이고 이다. 38. , 여기서, 은 구의 중심으로부터의 거리이다. 39. Cylindrical coordinate에서는 ∆ 이므로 이다. 이고 이므로 이다. 따라서 이다. 40. cos , 5.3절의 식(11‘)에 의해서 cos cos cos 이다.. CHAPTER 13 복소수와 복소함수. 복소미분 13.1 Complex Numbers and Their Geometric Representation 1. 곱셈의 정의에 의하여 × × 의 260 계산은 × × × × 이다. 이다. 따라서 이다. , 이므로 또한 그리고 , , 제13장 복소수와 복소함수. 복소미분 × × × × × × × 이다. 또한 × × 이다. 로부터 임의의 자연수 에 대해 임을 알 수 있다. , 이다. 따라서 식 (9)가 성립함을 확인할 수 있다. 5. 만약 가 순허수라 가정하면 이다. 즉, 임의의 자연수 에 대하여 은 을 로 이다. 따라서 나눈 나머지가 각각 일 때 라 가정하자. 가 된다. 라 하면 이다. 이를 위의 식에 이다. 유리화에 의하여 대입하면 이다. 이고 이며 이다. 따라서 임의의 자연수 에 대하여 은 을 로 나눈 나머지가 각각 일 때 가 된다. 2. 와 는 서로 수직인 위치에 있으며, 를 시계반대방향으로 만큼 회전 이동시키면 를 얻을 수 있다. 이를 정리하면 이므로 는 순허수이다. 6. , 라 하자. 이면 Re Im 이다. ≠ 라 하면, ≠ 가 되고 주어진 방정식은 계수가 인 의 자명해만을 갖는 제차방정식이다. 따라서 이다. 같은 방법으로, ≠ 이면 이 된다. 7. 라 하고 실수의 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙을 이용하면 다음 법칙들은 쉽게 증명할 수 있다. (a) 교환법칙 : (b) 결합법칙 : 3. 이다. 4. 일 때, , , , (c) 분배법칙 : (d) ⋅ ⋅ 8. Re Re Re 10. Re Re Re 11. 14. 12번으로부터 15. 16. Im Im Im Im Im 17. Re Re Re 18. Im Im Im 9. Re Re 13. 19. Re Re Re Re Re Re Im Im 20. Im Im 12. 13.2 Polar Form of Complex Numbers. Powers and Roots cos sin 1. 3. cos sin cos sin cos sin 2. 4. cos sin 261 13.2 Polar Form of Complex Numbers. Powers and Roots Arg tan 262 tan 제13장 복소수와 복소함수. 복소미분 cos sin 5. tan ± ± 11. Arg cos sin 6. 12. Arg 7. cos tan sin tan 이므로 Arg 이다. 13. tan cos tan sin tan 8. 14. Arg tan Arg tan tan 9. Arg tan tan 16. cos sin cos sin 17. cos sin 18. 15. cos sin 10. Arg Arg tan 이다. 20. (a) 항등식 (15)를 사용한다. cos sin (b) 항등식 cos sin 를 곱하고 의 양변에 cos cos cos cos 를 이용한다. Re Re cos Re sin Im Im Im Im 23. cos sin 이고 sign Re Im sign 와 같이 되도록 Im 의 부호를 선택한다. cos sin 이므로 가 1사분면과 2사분면에 있다면 ( ≥ ), cos sin cos sin cos sin sign 이고, 3사분면과 4사분면에 있다면 , sign 이다. 따라서 ± sign 이다. (c) (b)번 식에 대입하여 얻을 수 있다. ± ± ± cos sin 이고 21. cos sin 이므로 이다. cos sin cos sin cos sin 이다. 24. cos sin 이고 cos sin 이므로 이다. cos sin cos sin cos sin cos sin 22. cos sin tan 이고 cos sin 이므로 25. cos sin 이고 cos sin 이므로 이다. 263 13.2 Polar Form of Complex Numbers. Powers and Roots sin cos cos cos sin cos sin cos sin 264 cos sin cos sin cos sin sin cos 제13장 복소수와 복소함수. 복소미분 28. 근의 공식에 의하여 ± ± 이다. 29. 근의 공식에 의하여 ± ± 26. cos sin 이고 cos sin 이므로 ± 이다. 식 (19)를 적용하면 ⋯ 이다. 이므로 cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ± ± 이다. 30. ± cos ± sin ± 이므로 ± ± 이다. 두 인수중의 하나는 이고 다른 하나는 이다. 따라서 곱은 이다. 31. 근의 공식에 의하여 ± ± 이다. 식 (19)를 적용하면 ± ± 이다. 32. 이므로 ≤ 이다. 27. cos sin 이고 33. 좌우가 모두 음이 아닌 실수이므로 양변을 제곱한 것을 증명하여도 된다. 그 제곱에서 같은 부분을 제외하면 와 의 비교로 문제가 cos sin 이므로 귀착된다. 이 두 수 모두 음이 아닌 실수이므로 이다. 다시 이의 제곱을 비교하면 된다. 네 개의 실수 cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos 에 대해 라 하면 ≤ 이다. 이므로 자명하게 34. Re Im ≥ Re ≥ Im 이다. 35. ± ± ± ± ± 이므로 이고 ± ± ± 이다. 이 두식을 더하면 이다. 13.3 Derivative. Analytic Function 1. ≤ 265 경계제외 2. 6. Re 이 영역은 반지름이 이고 중심이 인 원의 경계제외 외부이다. 3. 중심이 이고 반지름이 와 인 열린 원환 경계제외 (annulus)이다. 7. ≤ ∈ℝ이므로, 수직선 에서 왼쪽으로 확장된 닫힌 반평면이다. 경계제외 4. ∞ ∞ 이므로, 크기가 인 열린 수평대이다. 경계포함 경계제외 8. ≥ ≥ 이다. 5. 양의 축과 대칭이고 각의 크기가 이다. 즉, 인 영역(angular region)이다. 경계포함 13.3 Derivative. Analytic Function 10. 이므로 Re Im 266 이다. 따라서 이다. 제13장 복소수와 복소함수. 복소미분 11. 이므로 24. (a) Re Im 를 이용한다. (b) lim lim ≠ 라 가정하자. → → 그러면, 임의의 에 대하여, 일 때 를 만족하는 가 존재한다. 따라서, ≤ ≤ Im Re 에 대하여 다음과 같은 모순을 얻을 수 있다. 이다. 따라서 이다. ≤ 12. 이므로 Im Re 이다. 따라서 이다. 14. → 이면 → 이므로 (c) 에서 연속이므로, 임의의 에 대해서 일 때 를 만족하는 가 존재한다. 한편, lim 이므로 → ∞ 충분히 큰 에 대하여 를 만족한다. 따라서 이러한 에 대하여 이다. (d) 증명은 미적분학의 경우와 같다. 우선, ′ 라 놓자. 그러면, Re cos cos → 극한의 정의로부터 임의의 에 대하여 이다. 이므로 는 에서 연속이다. 존재한다. 이 사실과 삼각부등식으로부터, 15. → 이면 → 이므로 일 때 를 만족하는 가 가 0으로 접근하면 sin sin → Im ′ ≤ ′ 이다. 이므로 는 에서 연속이다. 이 0으로 접근하게 된다. Im sin sin 이므로 연속이 아니다. 16. 17. → 이면 → 이므로 함수 Im 도 임의의 점에서 미분불가능하다. 이므로 는 에서 연속이다. ′ 18. 이므로 이다. ′ 19. 이므로 75이다. ′ 이다. ′ 21. 이므로 이다. ′ 22. 이므로 0이다. ′ 않는다. Re cos → 이다. 20. 이므로 ∆ ∆ (e) 이므로, 극한이 존재하지 ∆ ∆ 23. 이므로 이다. ∆ ∆ ∆ (f) ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ (i) 인 경우 : ∆ → 이면 우변은 0으로 접근한다. (ii) ≠ ∆ ∆ 인 경우 ∆ 이고 우변은 로 접근한다. : ∆ (iii) ≠ ∆ ∆ 인 경우 : 우변은 로 접근한다. 따라서, 은 에서만 미분가능하다. 13.4 Cauch-Riemann Equations. Laplace's Equation sin cos 1. cos sin 이므로 이다. 이를 식 (1)에 적용하면 sin cos cos sin cos sin sin cos 이고 이 두 식을 연립하여 풀면 이다. 2. 이므로 ≠ 이다. 따라서 해석적이 아니다. 3. cos sin 이므로 cos sin 이다. 따라서 해석적이다. 4. cos sin 이므로 cos 이다. cos 따라서 해석적이 아니다. 5. 이므로 Re Im 이다. ≠ 이므로 해석적이 아니다. 6. ≠ ± ±인 경우는 해석적이다. 이면 7. sin cos sin , cos 이므로 해석적이다. 8. 이므로 ≠ 이다. 따라서 해석적이 아니다. 9. ≠ ±인 경우는 해석적이다. 10. ln 이므로 이다. 따라서 해석적이다. 11. sin cosh cos sinh 이므로 cos cosh sin sinh 이다. 따라서 해석적이다. 12. 이므로 ≠ 이다. 따라서 조화함수가 아니다. 이다. 따라서 조화함수이다. 이므로 이다. 따라서 이다. 14. 이므로 이다. 따라서 조화함수이다. 이므로 이다. 따라서 이다. 15. 이므로 이다. 따라서 조화함수이다. 이므로 이다. 따라서 이다. 16. cos cosh sin sinh sin cosh sin cosh 이므로 이다. 따라서 조화함수이다. sin sinh cos cosh 이므로 cos sinh 이다. 따라서 sin cosh cos sinh sin cos sin cos cos sin cos sin sinh 이다. 17. 이므로 이다. 따라서 조화함수이다. 이므로 이다. 이다. 18. 이므로 이다. 따라서 조화함수이다. 이므로 이다. 즉, 이다. 19. sin sin cos sin 267 13.4 Cauch-Riemann Equations. Laplace’ s Equation sin cos cos sin cos sin sin cos 13. 이므로 이므로 sin ≠ 이다. 이므로 따라서 조화함수가 아니다. cos cos 21. sin cos 268 28. 라 하자. 이다. 따라서 가 의 harmonic conjugate이다. 이므로 cos 이다. 이므로 조화함수가 될 조건은 ± 이다. 이다. 따라서 가 의 제13장 복소수와 복소함수. 복소미분 sin cos 이므로 sin 이다. harmonic conjugate이다. 29. 가 미분가능이므로 임의의 에 대해 ′ Re ′ Im ′ 이다. 식 (4)에서 Re ′ 을 22. sin cosh cos cosh cos sinh cos cosh 식 (5)에서 Im ′ 을 구하여 ′ 을 구하면 이므로 cos cosh 이다. ′ ′ ′ 가 구해진다. 조화함수가 될 조건은 ±이다. 식 (4)에서 Im ′ 을 식 (5)에서 Re ′ 을 구하여 cos sinh sin cosh ′ 을 구하면 ′ ′ ′ 가 구해진다. 이므로 sin sinh 이다. 23. 이므로 이다. 조화함수가 될 조건은 이고 는 임의의 상수이다. 이므로 이다. 24. sinh cos cosh cos cosh sin cosh cos 30. 해석적인 함수 (a) Re const 이면 이고 Cauchy-Riemann 방정식에 의해서 이다. 즉 const 이므로 const 이다. (b) Im const 이면 이고 Cauchy-Riemann 방정식에 의해서 이므로 cosh cos 이다. 이다. 즉 const 이므로 조화함수가 될 조건은 ±이다. const 이다. cosh sin sinh cos 이므로 (c) ′ 이므로 (a), (b)에서 처럼 const 이다. sinh sin 이다. 27. 이고 이므로 따라서 const (d) 본문 example 3 을 참조하시오. 는 의 harmonic conjugate이다. 13.5 Exponential Function 1. cos sin 이므로 cos sin 이다. 모든 ∈ℝ에 대해 cos , sin 이므로 은 전함수(entire function)이다. 2. cos sin 이고 이다. 3. cos sin 이고 이다. 4. cos sin cos sin 이고 이다. 5. cos sin 이고 이다. 6. cos sin 이고 이다. 7. cos sin 이고 이다. 8. 에서 이다. , ⋯ 이다. 즉 따라서 ⋯ 이다. 9. cos tan sin tan exp tan 10. 에서 이다. 즉 , 이다. 따라서 이다. 에서 이다. 즉 , 이다. 따라서 이다. 11. 12. 13. 이다. Re cos Im sin 이다. 이므로 16. cos cos sin cos sin sin sin cos ∇ 이다. 따라서 조화함수이다. sin exp cos 이다. cos sin 이다. 15. 이므로 Re cos Im sin (d) 가정에 의하면 ′ Re exp cos sin Im exp 공액조화함수 는 Cauchy-Riemann 방정식을 만족하도록 적분하면 된다. 이므로 이다. 양변을 적분하면 를 얻는다. 첫 번째 Cauchy-Riemann 방정식에 의해서 이다. ′ 를 얻는다. 따라서 ′ 이다. 17. 이므로 두 번째 Cauchy-Riemann 방정식에 의해서 exp cos sin ′ 이다. 이다. 따라서 ′ 이다. 다시 한 번 미분하면, ″ ′ 이다. Re exp cos Im exp sin 따라서 cos sin . 을 대입하면 이다. 18. (a) cos sin 에 대하여 Cauchy-Riemann 방정식 을 만족하므로 해석적이다. 같은 방법으로, 는 ≠ 에서 해석적이다. 는 임의의 점 에서 해석적이지 않다. cos sin 는 일 때 해석적이다. (b) (i) cos sin 가 실수 이므로, sin 이어야 한다. 따라서 ±∈ ⋯ 이다. (ii) 이므로 ∈ℝ이다. 즉, 오른쪽 반평면(right half-plane)이다. (iii) cos sin 이므로 모든 복소평면 ℂ이다. 을 얻는다. 한편, ′ . 따라서 cos ′ sin 이다. cos , sin 그러므로 주어진 조건을 만족하는 함수는 유일하다. 즉, cos sin 이다. 19. ± 이 성립하면 , ± 이다. 따라서 ± ⋯이다. 20. tan 이므로 ln tan ± ⋯ 이다. 즉, ln tan ± 21. 해가 존재하지 않는다. 22. 이므로 ⋯ 이다. 269 13.5 Exponential Function 14. cos sin 이므로 (c) cos cos sin cos sin sin sin cos ln ± ⋯ 이다. 따라서 ln ± ⋯ 이다. 13.6 Trigonometric and Hyperbolic Functions. Euler's Formula 270 1. 라 하면 sin sinh sinh 8. cos cosh , cosh 제13장 복소수와 복소함수. 복소미분 cosh cos sin cos sin cos sin cosh cos sinh sin 이고 9. cosh cosh cos sinh sin coshcos sinhsin cos cos cosh sin sinh coscosh sinsinh 10. sinh sinhcos coshsin , sin cos sin cos sin cos sin sinh cos cosh sin 11. sin sinh , cos sinh 이므로 12. cos cosh , cos sinh cosh cosh cos sinh sin , sin sinh cos cosh sin cosh coshcos sinhsin 13. cos cos 이므로 cos 는 우함수이다. 이다. 2. cosh cosh sinh sinh cosh sinh cosh cosh sinh sinh 3. cosh sinh sin sin 이므로 sin 는 기함수이다. 14. 식 (7)(a)로부터 cos cos sinh cos cosh 를 얻는다. 첫 번째 등식으로 부터 cos ≥ sinh 이고 두 번째 등식으로부터 cos ≤ cosh 이다. 따라서 sinh ≤ cos ≤ cosh 이다. 같은 방법으로, 식 (7)(b)로부터 sin sin sinh sin cosh 이고 를 얻는다. cosh sinh cosh 첫 번째 등식으로 부터 sin ≥ sinh 이고 두 번째 등식으로부터 sin ≤ cosh 이다. 이므로 따라서 sinh ≤ sin ≤ cosh 이다. cosh sinh , cosh sinh cosh 이다. 4. cos sin sin cos cosh sinh cosh sinh 이므로 cos sin cosh sinh 은 모두 entire 함수이다. 5. Im cos sin sinh 이므로 15. sin cos sin sin 16. sin sin cosh cos sinh 이므로 이다. 따라서 ∇ 이다. cos sinh ± cosh ≈ 충분히 큰 Resin cos sin 이므로 이고 ≈ ≈ 이다. sin sinh cos sinh cos cosh cos sinh 따라서 ± ±이다. cos sinh sin sinh sin cosh sin sinh 이다. 따라서 ∇ 이다. 6. sin sinh 7. cos cosh cosh , 17. cosh cosh cos sinh sin 의 근은 cosh cos sinh sin 의 근이며 이므로 cos , 즉, 이다. cosh 이므로 sinh , 이 때, sin 즉, 이다. 따라서 정수 이다. 18. 문제 1번의 항등식을 이용하자. cosh cos 이고 sinh sin 이다. sinh sin 이면 또는 ± 이다. cosh cos 이면 , 이다. 19. sinh sinh cos cosh sin 의 근은 sinh cos cosh sin 의 근이며 이므로 sin , 즉, 이다. cosh 이므로 sinh , 이 때, cos 즉, 이다. 따라서 정수 이다. 분모 : cos cos cosh sin sinh cos cosh sin sinh cos sinh sin sinh cos sinh 분자 : sin cos sin cosh cos sinh ×cos cosh sin sinh sin cos cosh cos sin sinh sin cosh sinh cos sinh cosh sin cos cosh sinh 따라서 sinh cosh sin cos Im tan Retan cos sinh cos sinh 이다. 13.7 Logarithm. General Power. Principal Value 1. ln ln , ln ln ln , ln ln , 10. Ln ± ln ± tan ln ln ln , 11. Ln Ln ln ln ln , 12. ln Ln ∈ℤ정수 ln ln ln , 13. ln Ln ln ln ∈ℤ 정수 ln ln ln 14. ln ln 정수 ln ln ln , tan 2. ln ln 이다. ln ln ln ln 이고 이므로 ln ln ln 이다. 3. , Arg 라 하면 Ln ln 이다. 즉 ln 이므로 이다. 따라서 이므로 Ln 는 해석적이다. 4. , Arg 라 하면 ln ln 이다. 15. ln Ln sin ln tan cos 16. ln Ln ln tan ln tan ∈ℤ 17. ln ln , ln 18. ln 이고 ln ln arg 이므로 arg 이다. 따라서 cos sin 이다. 19. ln 이고 ln ln arg 이므로 라 하면 cos sin 이다. arg 이다. 따라서 arg 이므로 따라서 ln ln arg 이다. cos sin cos sin 5. Ln ln 이다. 6. Ln ln 20. ln 이고 ln ln arg 이므로 7. Ln ln 따라서 cos sin 이다. ± 8. Ln ± ln 9. Ln tan arg 이다. 21. ln 이고 ln ln arg 이므로 arg 이다. 따라서 cos sin 이다. 271 13.7 Logarithm. General Power. Principal Value 따라서 이다. sin cos sin 20. tan 이다. cos cos cos ln 22. Ln ln ln cosln sinln Ln ln 23. exp ln ln cos ln sin ln 272 제13장 복소수와 복소함수. 복소미분 24. Ln ln expln ln cos ln sin ln 25. Ln ln ln ln cos ln sin ln Ln 27. Ln 28. exp Ln exp ln tan cos tan sin tan 29. 는 의 켤레복소수이다. 따라서 cos ln sin ln 이다. 30. (a) cos 라 하자. 정의에 의하여 cos 이고 로그를 취하면 얻을 수 있다. sin ln (c) cosh ⇒ ⇒ ⇒ cosh ln sinh (f) tanh cosh ⇒ tanh ln (g) sin 라 하면 sin sincos cossin sin sin sincos cossin sin 를 얻는다. 에 대한 이므로 2차방정식의 해는 가 성립하므로, 함수 sin 는 무한히 많은 값을 로그를 취하면 얻을 수 있다. 갖는다. 를 얻는다. 에 대한 이므로 2차방정식의 해는 sin (e) tan cos ⇒ tan ln ln 정의에 의하여 sin 이고 (d) sinh ⇒ ⇒ ⇒ sinh ln cos sin 26. (b) sin 라 하자. Chapter 13 Review Questions and Problems 1. 2차원으로의 함수에 대한 미분은 뉴톤몫을 가지고 정의 할 수 없다. (방향도함수는 정의 가능). 이에 2. 라 하자 이고 이므로 않는다. 그래서 복소함수처럼 2차원에서 이다. 이용한 미분의 정의가 가능하다. 5. 함수가 주어진 정의역의 모든 점에서 정의되고 미분 가능할 때, 그 영역에서 해석적이라고 한다. 해석함수란 어떤 정의역에서 해석적인 함수를 의미한다. (참고: 위상동형(holomorphic)이라고도 한다.) Cauchy-Riemann 방정식을 사용하면 복소함수가 , tan 3. 비해 복소수의 나눗셈은 정의되므로 뉴톤몫을 , tan 4. calculus에서는 vector의 나눗셈이 허용되지 해석적인지의 여부를 쉽게 밝힐 수 있다. 6. 13.3절 참고 7. Cauchy-Riemann 방정식은 이다. 이 식을 복소함수의 실수부와 허수부에 적용하여 주어진 함수가 해석적인지 판정한다. 8. 13.5절(지수함수), 13.6절(삼각함수와 쌍곡선함수), 13.7절(로그함수와 멱함수)을 참고 9. 복소수이므로 argument에 대한 부분의 정의가 붙을 수밖에 없다. 이것이 정의를 복잡하게 만든다. 10. 일반적인 거듭제곱 ln 로 정의된다. 12. 13. cos sin 23. 14. cos sin 이고 ± ± 이다. 이므로 cos sin 이므로 이다. cos sin sin cos 15. 16. cos sin cos sin 17. cos sin cos sin 24. 이므로 ± 이다. cos sin tan 이므로 18. tan 이다. cos sin tan 이므로 tan 이다. 19. 20. cos sin tan 이므로 tan 이다. cos sin 21. 25. 이므로 이다. 따라서 조화함수이다. 이므로 이다. 이므로 ± ± 따라서 이다. cos sin 22. 이므로 이다. 26. 이므로 이다. 따라서 조화함수이다. 273 Chapter 13 Review Questins and Problems 11. 이므로 이다. 따라서 274 제13장 복소수와 복소함수. 복소미분 이다. 27. sin sin cos sin 이므로 이다. 따라서 조화함수이다. cos sin 이므로 cos 이다. 따라서 cos sin 이다. 28. sin cosh cos cosh cos sinh cos cosh 이므로 이다. 따라서 조화함수이다. cos sinh sin cosh 이므로 sin sinh 이다. 따라서 cos cosh sin sinh cos cos 이다. 29. exp 이면 , 이다. cos sin cos sin cos sin cos sin 이므로 이다. 따라서 조화함수이다. cos sin cos sin 이므로 sin 이다. 따라서 cos sin cos sin exp exp 이다. 30. sin sinh cos sinh cos cosh cos sinh 이므로 이다. 따라서 조화함수이다. cos cosh sin sinh 이므로 sin cosh 이다. 따라서 sin cosh cos sinh sin sin 이다. 31. cos coscosh sin sinh 32. Ln ln tan tan sin sincosh cossinh 33. tan cos coscosh sinsinh tan tanh tantanh 34. sinh sinh , sin sincosh cossinh 35. sinh sinh CHAPTER 14 복소적분 14.1 Line Integral in the Complex Plane 1. 시점이 이고 종점이 인 선분. 276 제14장 복소적분 2. 시점이 이고 종점이 인 선분. 7. 시점이 이고 종점이 이고 중심이 이고, 반지름이 2인 사분원(반시계방향). 3. 포물선 의 일부분으로 에서 으로 (오른쪽으로)움직이는 곡선. 8. 시점이 이고 종점이 이고 중심이 이고 반지름이 5인 사분원(시계방향). 4. 포물선 의 일부분으로 에서 으로 (오른쪽으로)움직이는 곡선. 9. 곡선 의 일부분으로 에서 으로 (오른쪽으로)움직이는 곡선. 인 원(시계방향). 5. 중심이 이고 반지름이 10. 장축이 2이고 단축이 1인 타원 (반시계 6. 중심이 이고 반지름이 1인 -축, -축과 만나는 1사분면의 원(시계방향). 방향). 277 16. cos sin ≤ ≤ 12. ≤ ≤ and ≤ ≤ 17. ≤ ≤ 18. ≤ ≤ 13. ≤ ≤ (교재 오류 수정) 19. ≤ ≤ 14. ≤ ≤ cos sin ≤ ≤ 20. 15. 교재의 문제를 로 바로 잡으면 cosh sinh ∞ ≤ ≤ ∞ 21. ≤ ≤ 14.1 Line Integral in the Complex Plane 11. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 이고 22. 피적분함수가 해석적이지 않기 때문에, 두 번째 제14장 복소적분 Re 이다. 30. 피적분함수가 해석적이지 않기 때문에, 두 번째 방법으로 적분하자. Re 이다. 23. 피적분함수가 해석적(완전)이기 때문에 첫 번째 0에서 로 가는 선분 : ≤ ≤ 방법으로 적분하자. 에서 로 가는 선분 : ≤ ≤ 에서 1로 가는 선분 24. 피적분함수가 해석적(완전)이기 때문에 첫 번째 : ≤ ≤ 방법으로 적분하자. 1에서 0로 가는 선분 : ≤ ≤ cos sin sin sin sinh cos Im Im Im Im Im 32. 33. , 여기서, ≤ ≤ 이고 첫 번째는 가 완전(entire)함수이기 때문에 0이다. ≤ ≤ 이다. 두 번째는 예제 5로부터 알 수 있다. 따라서 ≤ ≤ 이다. 27. 영역 를 중심이 이고 반지름이 인 원이라 하자. 함수 sec 는 에서 해석적이다. 따라서 첫 번째 방법으로 적분하자. sec 이다. 26. sinh 로 치환하면 이다. 따라서 방법으로 적분하자. 25. 피적분함수가 해석적(완전)이기 때문에 첫 번째 Re 이므로 ≤ ≤ 278 Im 방법으로 적분하자. sec tan tan tan tanh 따라서 이다. 28. 피적분함수가 해석적이지 않기 때문에, 두 번째 34. (a) 첫 번째 방법은 단순연결영역에서 해석적인 방법으로 적분하자. ≤ ≤ 경우에만 사용할 수 있는 반면, 두 번째 방법은 연속함수이기만 하면 사용할 수 있다는 특징이 29. 피적분함수가 해석적이지 않기 때문에, 두 번째 방법으로 적분하자. -축, -축에서 Im 이므로, 1에서 로 가는 선분에 대해서만 선적분을 하면 된다. 있다. (ii) (b) (i) Re Re (c) (d) Re Re 이므로 35. Re ≤ 이고 Re≤ (상계)이다. 이다. 문제 21번에서 Re 부등식에 의해 279 14.2 Cauchy's Integral Theorem 1. 아래 그림과 같이 경로 를 쪼갠다. 첫 번째와 세 번째 적분이 상쇄되고, 두 번째와 네 번째 적분이 상쇄되므로 4. 곡선의 변형원리(principle of deformation of path) 에 의하면 원환(annulus)의 같은 방향을 갖는 경계곡선에서의 적분 값은 같아야 한다. 첫 번째와 세 번째 적분이 상쇄되고, 두 번째와 네 번째 적분이 상쇄되므로 이다. 2. (a) 을 포함하지 않는 contour에서는 적분 따라서 주어진 조건을 만족하는 해석적인 함수는 존재하지 않는다. 5. 함수 cos 은 복소평면 전체에서 미분가능한 해석함수이다. 그러나 함수 은 점 ±에서 해석적이지 않다. cos 이 해석함수이기 위한 연결된 따라서 함수 영역은 점 ±을 제외하여야 한다. 예를 들어 중심이 인 단위원의 내부이다. 값이 0이다. (b) ± 을 포함하지 않는 contour에서는 6. 그림과 같이 경로 과 경로 를 따라 적분해보자. 적분 값이 0이다. 3. 아래 그림과 같이 곡선 를 쪼갠다. ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 이다. ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ cos cos sin cos cos cos cos cos sin 즉 해석함수는 경로에 무관하고 양 끝점에만 의존한다. 14.2 Cauchy’ s Integral Theorem 7. (a) 함수 은 원 에서 해석적이므로 이다. 해석함수이다. 따라서 Cauchy 적분정리를 적용할 (b) 함수 은 원 의 내부에 있는 점 280 9. 이므로 은 단위원 안에서 ±에서 해석적이지 않기 때문에 적분 값은 0이 이다. 수 있으므로 10. tan sec 이므로 tan 은 단위원 제14장 복소적분 안에서 해석함수이다. 따라서 Cauchy 적분정리를 아니다. 8. (a) 예제1 : 주어진 함수들이 복소평면 tan 이다. 적용할 수 있으므로 (단순연결영역)에서 해석적이기 때문에 Cauchy의 적분정리에 의해 적분 값이 0이 된다. 예제2 : 단위원 (단순연결영역) 내부에서 해석적이기 때문에 Cauchy 의 적분정리에 예제3 : 단위원 (단순연결영역) 내부에서 해석적이지 않기 때문에 Cauchy의 적분정리의 예제4 : 내부에서 해석적이지 않기 때문에 Cauchy의 적분정리의 가정을 만족하지 않지만 적분 값이 0인 경우로, Cauchy 의 적분정리의 가정은 함수의 적분이 0이기 위한 충분조건만을 준다.(필요조건이 아니다) (b) (i) ⋅ ⋅ ⋅ -2가 단위원 외부에 놓이므로 두 번째 적분은 0이다. Im , Re 13. 에서 이므로 는 단위원 안에서 해석함수이다. Cauchy 적분정리를 적용할 수 있으므로 이다. 14. 내부에 원점을 포함하고 있기 때문에 Cauchy의 적분 정리를 적용할 수 없다. 15. 은 Cauchy-Riemann 방정식을 만족하지 않아 해석함수가 아니므로 Cauchy 적분정리를 적용할 수 없다. Re cos cos cos sin cos sin Cauchy의 적분정리를 적용할 수 없다. ⋅ 17. 은 에서 미분이 불가능하므로 은 적분정리를 적용할 수 없다. Im 단위원 안에서 해석함수가 아니므로 Cauchy 16. 이므로, , 적분 정리를 적용할 수 없다. , 12. 주어진 함수가 해석적이지 않기 때문에 Cauchy의 (ii) ⋅ 가정을 만족하지 않는다. (c) Cauchy의 적분정리를 적용할 수 없다. 의해 적분 값이 0이 된다. 11. 이므로, ※ 이므로 ≤ ≤ 라 하자. 18. 이므로, Cauchy의 적분정리를 적용할 수 없다. ⋅ 26. tanh 의 근 ± ± ⋯이다. 19. cot cot cosec 이므로 cot 은 이 점들이 주어진 원 외부에 있기 때문에 적분은 단위원 안에서 해석함수이다. Cauchy 적분정리를 27. 원 (시계방향)과 원 (반시계방향)으로 적용할 수 있으므로 cot 이다. 부분으로 평행사변형의 외부에 있으므로 적분 값은 cos 둘러싸인 부분에서(그림 참조) 함수 는 해석함수이다. 따라서 영역의 경계가 적분경로인 적분은 Cauchy 적분정리에 의해 0이다. 0이다. 21. By path deformation, ≤ ≤ 22. 축 위의 직선부분을 , 반시계 방향의 반원부분을 라 하자. ≤ ≤ , ≤ ≤ cos cos sin cos cos sin 23. 24. 왼쪽과 오른쪽 두 부분으로 나눈 후, 각각에 Cauchy 적분공식을 적용한다. 왼쪽 : 따라서 근 ± ± ⋯가 직사각형의 외부에 있으므로 적분 값은 0이다. 이기 때문에 29. sin 은 내부에서 해석적이다. Cauchy 적분정리에 의해 적분은 0이다. 이다. 30. 오른쪽 : 28. 방정식 의 근 ± ± 와 tan 의 By path deformation, ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 이다. 25. 원 (반시계방향)과 원 (시계방향)으로 둘러싸인 부분에서(그림 참조) 는 해석함수이다. 따라서 영역의 경계가 적분경로인 적분은 Cauchy 적분정리에 의해 0이다. 따라서 이다. 281 14.2 Cauchy’ s Integral Theorem 20. Ln 의 branch cut이 1보다 큰 양의 실수 0 이다. 14.3 Cauchy's Integral Formula 1. (b) 부록 A3.1의 식 (12)를 이용하면, 식 (2)는 sin 제14장 복소적분 2. 있으므로 적분 값은 0이다. 11. 13. 이므로 이다. 외부에 있으므로 함수 는 해석적이다. 15. cosh 16. 방정식 cos 의 근 가 삼각형의 외부에 있으므로 함수 tan 는 해석적이다. tan tan 17. Ln ln sin sin tanh Ln Ln sin sin 18. 가 두 사각형 사이의 영역 내부에 있고 은 외부에 있으므로 Cauchy의 적분 공식을 10. (a) 방정식 (2)를 이용하면 이용한다. 두 번째 적분은 Cauchy 의 적분정리에 의해 0이다. 이것은 예제2의 결과와 같다는 것을 볼 수 있다.(피적분함수에 를 곱하면 예제2와 같다) sin cos cosh cosh 8. cos cos cos 14. 방정식 의 근 ln 이 원의 ※ 7. 4. 6. 0으로 접근한다. 방정식 의 근 ± 이 원의 외부에 이 된다. (그림 354)에서 → 이면 적분 값은 3. 5. sin sin sin cos sin 282 sin sin sin sinh 19. 가 원환(annulus)의 내부에 있고 은 외부에 놓이므로 Cauchy의 적분 공식을 이용한다. exp exp exp cos sin 20. (i) 이면 14장 1절의 예제 6에 의해서 이다. (ii) ≠ 이면 283 14.4 Derivatives of Analytic Functions sin cos 2. 라 하면 이다. exp exp 12. 라 하면 ′ 이다. cos sin sinh cosh cosh 6. 라 하면 ′ 이다. Ln Ln 8. sin 라 하면 ″ sin 이다. sin 9. tan 라 하면 ′ sec 이다. tan sec Ln Ln 있으므로 적분 값은 이다. 16. 는 경계곡선 로 이루어진 영역 외부에 존재하고, 는 외부원의 안쪽에 내부원의 라 하면 ′ 이다. 11. cos 면 ′ cos sin 이다. 바깥쪽에 놓인다. 존재하고, 는 외부원의 안쪽에 내부원의 라 하면 ′ 이다. 10. 는 경계곡선 로 이루어진 영역 외부에 바깥쪽에 놓인다. sin sin 15. 는 경계곡선 로 이루어진 영역 외부에 cos 이다. cos cos Ln ′ 이다. 7. cos 라 하면 Ln 14. 라 하자. 5. sinh 라 하면 cosh 이다. Ln 13. Ln 라 하면 ′ 이다. 4. cos 라 하면 ″ sin 이다. exp exp exp 3. 라 하면 이다. cos sin cos sin 17. 는 경계곡선 로 이루어진 영역 외부에 있으므로 적분 값은 이다. 18. sinh 라 하면 홀수 이다. cosh sinh 짝수 이 홀수면 sinh cosh 이고 14.4 Derivatives of Analytic Functions cos cos 1. sin 라 하면 cos 이다. 이 짝수면 sinh 이다. sinh 19. 라 하면 ″ 이다. 284 제14장 복소적분 20. (a) 만약 이러한 가 존재하지 않는다면, 모든 에 대하여 ≤ 를 만족해야 한다. 즉, 가 유계이고 완전함수(entire function)가 되어 Liouville 의 정리에 의해 상수함수가 된다. 이것은 가정에 모순이므로 이러한 가 존재한다. (b) ⋯ ⋯ ≠ 라 놓자. 그러면, 따라서 에 대해서 인 양의 실수 이 존재하게 된다. (c) ( 실수 ln 에 대해서) 이므로 (a)를 만족하는 가 존재한다. 한편, 모든 실수 에 대하여 이므로, 임의의 순허수 에 대하여 이 된다. 따라서 (b)를 만족하는 양의 실수 은 존재하지 않는다. (d) 만약, 임의의 에 대하여, ≠ 이면 는 완전(entire)이 된다. 따라서 (a)에 의해 원 의 외부에 있는 에 대하여 를 만족한다. 즉, . 이것은 (b)에 모순이다. 그러므로 상수가 아닌 임의의 다항식은 적어도 ⋯ 이고 충분히 큰 에 대해서 이 된다. 하나의 근을 갖는다. 14장 Review Questions and Problems 1. 곡선이 가진 기본적인 성질이 바로 1차원적 특성이다. 이는 1개의 독립변수에 의해 그 의존할 뿐 아니라, 경로 그 자체에도 의존한다. 지정하여 곡선을 표현하는 방식이다. 이는 곡선에 이러한 경로의 의존성은 문제를 까다롭게 만들게 대한 적분을 1변수에 대한 적분으로 바꾸어 주는 되므로, 이것을 피할 수 있는 방법을 찾게 된다. 역할을 한다. 만약 주어진 영역에서 해석적이고 그 영역이 는 복소평면 상에서 곡선의 속도벡터를 단순연결이면 적분은 경로에 의존하지 않는다. 9. 경로의 독립성과 관련하여 양끝을 고정한 채로 적분경로를 연속적으로 변형할 때 변형경로가 항상 의미한다. 해석적인 점들만을 포함하는 한, 선적분의 값은 같은 값을 유지하는데 이것을 경로변형의 원리라 여기서, ≤ ≤ 는 곡선 의 매개변수 한다. 이 원리를 이용하면 임의의 경로에 대한 방정식 4. 실수부와 허수부를 쪼개어 놓고 선적분하면 전체로는 복소선적분이지만 개별적으로는 실선적분이다. 5. Potential function을 이용하는 적분이나 Cauchy 적분공식을 이용하는 적분에는 해석성이 요구되나, 매개변수를 이용하는 직접적인 적분 방식은 일반적인 함수에도 적용이 가능하다. 6. 8. 일반적으로 복소선적분은 경로의 양 끝점에 변수에서 곡선으로 가는 함수와 변수의 영역을 2. 곡선에 대한 매끄러움(smoothness)을 가정했다. 3. Taylor 급수 표현의 확립에 핵심적인 역할을 한다. 선적분을 구체적인 경로로 변형하여 적분 값을 구할 수 있게 된다. 10. Cauchy Integral Theorem은 Analytic region에서 적분 값의 invariance를 설명한 것이다. Cauchy Integral Formula는 singularity가 곡선 내부에 있을 때, 적분 값을 계산하는 방식이다. 11. 피자 반죽을 판 형태로 만들어 놓으면 이는 simply connected이다. 내부에서 접시 하나만큼 반죽을 뜯어내면 doubly connected이다. 7. 중요한 정리는 Cauchy Integral Theorem이다. 외부곡선에 대해 반시계방향으로, 내부곡선에 대해 Cauchy의 적분공식에 의하여 해석함수가 모든 시계방향으로 적분할 때, 피적분함수가 해석적이면 계의 도함수를 갖는다는 사실이 증명되며, Cauchy 적분정리가 성립한다. 12. 가 영역 에서 해석적이면, 그것은 에서 ≤ 이다. 즉 ≤ 이면 모든 계의 도함수를 갖고 있으며, 그들 도함수도 21. 피적분함수가 해석적(완전)이다. 역시 에서 해석적이다. cosh 13. 에 있는 점 에서 이들 도함수의 값은 ′ 로 치환하면 이다. 따라서 이다. 14. 실변수를 갖는 실함수가 한 번 미분가능하다고 하더라도 고계도함수의 존재에 관해서는 아무런 이다. 22. ≤ ≤ 결과도 얻지 못한다. 그러나 복소해석함수는 모든 계의 도함수를 갖는다. 15. 일정영역 밖에서 유게인 analytic 함수는 상수함수 이면 23. 라 하면 이다. 25. tan 라 하면 ′ sec 이다. tan sec 이다. 28. 는 경계곡선 로 이루어진 영역 외부에 있으므로 적분 값은 0이다. 있으므로 두 번째 적분 값은 0이다. ∙ 20. 을 적분경로 의 길이라 하고 을 위에서 최대 함숫값이라 하자. 29. 는 경계곡선 로 이루어진 영역 외부에 ≠ 이다. ∙ 27. ≤ ≤ 이다. 19. ≤ ≤ 이라 하면 이므로 26. ≤ ≤ ≤ ≤ 이다. Im 이다. 따라서 Im ≠ Im 이다. 라 놓으면 이므로 따라서 Re 18. 좌변은 실수이지만 우변은 복소수이다. 24. ≤ ≤ 원리 참고) 따라서 적분 값은 변형에 의해 변하지 않는다. (경로변형의 17. 가 해석적이지 않은 점을 통과 하지 않는 한 Im 는 에서 해석적이다. 뿐이다. 16. 가 단순연결영역 에서 연속이고, 에 있는 cosh sinh 30. cos cos sin sin cosh Chapter 14 Review Questins and Problems 285 cosh 모든 닫힌 곡선에 대하여 cosh CHAPTER 15 멱급수, Taylor 급수 15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 288 제15장 멱급수, Taylor 급수 이므로 유계이지만 발산한다. 1. ⋅⋅ ⋅ ⋯ 2. ⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋯ 이므로 (유계)이다. cos sin , tan lim lim → ∞ → ∞ 이므로 유계이다. 3. 이므로 수렴이다. lim → ∞ 따라서 lim 이다. → ∞ 15. 수열 의 각 항이 이라 하면 이고 이다. ∞ ∞ 이다. 따라서 16. 비판정법에 의해서 lim lim 이므로 유계이다. 5. → ∞ 홀수 짝수 → ∞ 이므로 (절대)수렴한다. 이므로 발산한다. cosh 6. 이므로 유계가 아니며 발산한다. 7. 이므로 유계가 아니며 이고 lim 이다. 하면 lim → ∞ → ∞ ∞ 이므로 유계가 아니며 발산한다. 4. 이라 14. 수열 의 각 항이 ∞ 17. 이고 이 발산이므로 ln 비교판정법에 의해서 발산한다. 18. 비판정법에 의해서 → ∞ lim lim 발산한다. → ∞ 8. cos sin tan 이고 이므로 유계이다. 복소수 의 값은 단위원 위에 반복적으로 이므로 유계이다. 9. 이므로 (절대)수렴한다. ∞ 19. 이고 이 수렴하므로 비교판정법에 의해서 수렴한다. 20. 이고 나타나므로 발산한다. cos sin lim lim → ∞ → ∞ 10. ≤ 이므로 유계이다. 복소수 의 값은 이므로 발산한다. 12. 각각의 수열이 수렴하므로 임의의 에 대해 이 존재해서 에 대해 이다. max 이라 하면 에 대해 ≤ 이다. 이 임의의 양수이므로 는 로 수렴한다. 이므로 수열이 13. 에 대해 ≤ 유계이면 그 실수부와 허수부도 유계이다. 실수부와 허수부가 유계이면 그 제곱들도 유계이고 제곱들의 합도 유계이다. 즉, 수열이 유계이다. ∞ 이 발산하므로 비교판정법에 의해서 발산한다. 21. → → ∞ 이므로 ratio test에 의해 수렴한다. ⋯ 22. 이고 → ∞ → ∞ 이므로 적분 테스트를 적용하면 발산한다. 23. → → ∞ 이므로 ratio test에 의해 수렴한다. → → ∞ 이므로 24. ratio test에 의해 발산한다. 25. 조건부 수렴 ∞ 의 수렴성을 보장할 26. 조건 은 급수 수 없다. 는 ∞ 예를 들면, 조화급수 급수 ⋯는 수렴한다. 이지만 발산한다. 30. ⋯ ⋯ , 27. 예제 5에서 라 놓자. ≤ ≤ ⋯ 그러면, 연속항의 절대 값의 비는 ⋯ 이므로 정리 7에 의해 수렴한다. 하지만 이 비의 가정에 의해서, ⋯가 수렴하므로 비판정법을 이용하여 가능한 를 생각하자! Cauchy's Convergence Principle에 의해서 그러면, 삼각부등식의 우변은 충분히 큰 보다 큰 과 이다. ≤ 수열은 수렴하지 않으므로 정리 8을 적용할 수 없다. 29. ⋯ ≤ ⋯ ⋯에 대하여 임의의 보다 작게 된다. 즉, 계산에 의해 이고, ⋯ ⋯ . 이다. 좌변 ⋯ ⋯ 이므로 Cauchy's Convergence Principle에 의해서 15.2 Power Series 1. 멱급수라 하면 의 차수가 음이 아닌 정수항의 합으로 표현되어야 한다. 따라서 또는 항을 → 포함하는 급수는 멱급수라 할 수 없다. 이므로 에서만 수렴한다. 2. 주어진 급수가 수렴하도록 하는 모든 점을 이면 수렴하고 ≥ 이면 발산한다. 따라서 수렴반지름이 이다. 3. 이면 중심에서만 수렴한다. 이면 반지름이 인 원의 내부에서 수렴한다. ∞이면 모든 복소수에 대하여 수렴한다. ⋯ 이면 수렴하고 ≥ 이면 ∞ ⋯ → ∞이면 → ∞ 이므로 모든 복소수에서 수렴한다. ∞ ⋯ → ∞이면 의 수렴반경이 lim 이라 하면 ∞ 5. → ∞ ∞ 급수 ∞ 은 에서 이다. 수렴하므로 주어진 급수의 수렴반경은 이다. 6. 중심은 이고 수렴반경은 lim → ∞ 발산한다. 의 계수를 이라 할 때 lim 이다. →∞ ⋯ 한다. ∞ ∞ 포함하는 가장 작은 원의 반지름을 수렴반지름이라 4. 7. 중심은 이다. lim ⋅ → ∞ lim ∞ → ∞ 이므로 수렴반경은 ∞이다. 8. 중심은 이고 수렴반경은 → ∞ lim ∙ lim lim → ∞ → ∞ 이다. 9. 중심은 이고 수렴반경은 289 15.2 Power Series 따라서 ≤ ⋯ 이다. lim ∙ → ∞ lim ∙ → ∞ lim → ∞ lim → ∞ 이다. 이므로 수렴반경은 290 이다. 17. 중심이 이고 수렴반경은 10. 중심은 이고 수렴반경은 제15장 멱급수, Taylor 급수 → ∞ lim ∙ lim ∞ → ∞ → ∞ lim ∙ → ∞ 12. 중심이 이고 수렴반경은 18. 중심이 이고 수렴반경은 이다. lim lim ∙ → ∞ → ∞ 이므로 수렴반경은 이다. 이다. 11. 중심이 이고 수렴반경은 lim lim lim ∙ → ∞ → ∞ 이다. 13. 중심이 이고 수렴반경은 lim → ∞ 이다. 이므로 수렴반경은 lim ∞ → ∞ 이다. 20. (a) 계수가 더 빠르게 0으로 가면, 는 더 커진다. (b) (i) 수렴반경 에 변화가 없다 14. 중심이 이고 수렴반경은 lim ∙ → ∞ lim ∞ lim lim → ∞ → ∞ (ii) 수렴반경은 가 된다. → ∞ lim lim 이다. → ∞ 15. 중심이 이고 수렴반경은 lim ∙ → ∞ lim → ∞ → ∞ (iii) 새로운 급수의 수렴반경은 이 된다. lim lim → ∞ → ∞ 이다. 16. 중심이 이고 수렴반경은 (c) 예제6번을 참조하시오. (d) 이기 때문에 정리 1에 의해 이러한 급수는 존재하지 않는다. 15.3 Functions Given by Power Series ∞ 2. ∞ 의 부분합 과 의 부분합 을 항별로 더하고 (빼고) 나서 lim ± lim ± lim 을 이용하면 된다. → ∞ → ∞ → ∞ 라 놓고 ln 에 로피탈의 정리를 적용하자. 3. ln lim limln lim → ∞ → ∞ 따라서 lim 이다. → ∞ → ∞ ∞ ∞ 4. (a) ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∞ ∞ ∞ ′ ′ (b) ∞ → 5. (a) ∞ 을 두 번 항별 미분하면 (b) 기하급수 ∞ 급수 을 얻는다. 이므로 의 수렴반경은 ∞ 6. (a) → 9. (a) → ∞ ∞ ∞ ∞ 이다. 의 수렴반경도 ∞ → 8. (a) 이므로 수렴반경도 이다. (b) 임을 이용한다. ∞ 기하급수 과 ∞ 의 수렴반경도 이다. ∞ , 이므로 의 이다. 따라서 수렴반경은 급수 을 얻는다. 의 수렴반경은 을 항별 미분하면 ∞ 급수 ∞ ∞ 을 대입하면 , 이므로 이다. 이므로 수렴반경은 의 수렴반경은 이다. 이다. 따라서 → 7. (a) (b) 기하급수 의 수렴반경도 이다. ∞ 이므로 ∞ 을 얻는다. 수렴반경은 이다. 따라서 을 세 번 항별 적분하면 ∞ 급수 ∞ ∞ , 이므로 의 (b) 기하급수 급수 을 얻는다. 이므로 수렴반경도 이다. 를 항별 적분하면 의 수렴반경도 이다. 이므로 수렴반경은 이다. 의 수렴반경도 이다. ∞ ∞ 291 ∞ ∞ ∞ 의 수렴반경은 이다. 따라서 ∞ ∞ 과 ∞ 15.3 Functions Gioven by Power Series 이므로 ∞ ∞ (b) 기하급수 ∞ 이다. 따라서 ∞ 얻는다. ∞ ∞ 과 을 적분하면 급수 를 각각 항별 10. (a) → (b) ⋯ 이고 는 고정된 상수이므로 수렴반경에 영향을 미치지 못한다. ∞ 기하급수 를 번 항별 미분하면 ∞ 급수 ⋯ ∞ 을 얻는다. 이므로 의 수렴반경은 2이다. 따라서 ∞ (b) 주어진 급수는 기하급수 ∞ ⋯ 의 수렴반경도 2이다. 292 제15장 멱급수, Taylor 급수 11. (a) → 이므로 수렴반경도 이다. (b) 기하급수 급수 ∞ ∞ 을 두 번 항별 미분하면 의 수렴반경은 이다. 급수 ∞ 의 수렴반경도 이다. ∞ 12. (a) → ∞ ∞ 을 두 번 미분하면 급수 ∞ 을 얻는다. → ∞ lim ∞ → ∞ ∞ 이므로 급수 의 수렴반경은 이다. ∞ ∞ 의 수렴반경도 이다. 16. 이므로, 를 만족해야 한다. 따라서 의 계수 는 0이어야 한다. 예는 함수 cos 이다. 17. 이므로, 를 만족해야 한다. 따라서 의 계수 는 0이어야 한다. 예는 함수 sin 이다. 18. 이기 때문에, 좌변의 의 수렴반경도 ∞ lim lim ∞ 이며 의 수렴반경도 ∞ 이다. 를 만족하기 위해서는 이어야 한다. 즉, 이다. 는 좌변의 의 ⋯ 계수인 따라서 우변에 의 계수 13. (a) → (b) 주어진 급수는 기하급수 을 번 항별 적분에 의해 얻어진다. 따라서 수렴반경은 1이다. 14. (a) → 이므로 을 얻는다. 을 대입하면 , 을 대입하면 , 이므로 → ∞ 이므로 급수 ∞ ∞ 을 두 번 항별 미분하면 급수 (b) 기하급수 를 번 항별 을 얻는다. 이므로 15. (a) → ∞ ∞ 미분에 의해 얻어진다. 따라서 수렴반경은 1이다. (b) 기하급수 ∞ 와 같아야 한다. 19. series expansion을 이용한 미분 방정식의 해법에 응용된다. 20. (a) 점화식의 양변을 으로 나누면, 를 얻는다. lim 라 → ∞ 하자. 그러면, 이다. 따라서 이다. ∞ ∞ (b) 를 지난달(전달)에 현재의 한 쌍의 토끼가 를 이번 달의 토끼(한 쌍)의 수라 하고, (여기서, ). 그리고 정리 2로부터, 낳은 새끼(한 쌍)의 수 293 , ⋯ 를 얻는다. 역은 급수표현의 유일성으로부터 성립한다. 15.4 Taylor and Maclaurin Series 3. sin ⋯ ⋯ 수렴반경은 ∞이다. 를 이용해서 얻을 수 있다. (b) 주어진 함수 가 미분방정식 ′ 를 만족한다. 이것을 이용하여 도함수를 구할 수 있다. 4. 기하급수를 이용한다. (a) 피적분함수를 항별 적분하고 Cauchy Product ″ ′ ′ ⋯ ⋯ 수렴반경은 이다. 5. 기하급수를 이용한다. ⋯ ⋯ 이다. 수렴반경은 6. 기하급수를 이용한다. ∞ 수렴반경은 이다. 11. sin sin 이므로 전개식을 구하고 을 이용하여 다시 정적분하여 Maclaurin 전개식을 얻는다. 12. C ⋯ cos ⋯ ⋯ 수렴반경은 ∞이다. 13. 이므로 전개식을 구하고 er f 을 이용하여 다시 정적분하여 Maclaurin 전개식을 얻는다. ∞ ∞ 이므로 exp ⋯ 을 적분하면 ⋯이다. exp 수렴반경은 ∞이다. 10. 여러 가지 방법으로 급수표현을 얻을 수 있다. 이다. exp exp 임을 이용한다. 수렴반경은 ∞이다. 를 미분방정식에 수렴반경은 ∞이다. 8. sin cos ⋯ ⋯ ⋯ ⋅ ⋅⋅ ⋅⋅⋅ 수렴반경은 ∞이다. 대입하여 계수를 비교한다. 7. sin cos ⋯ 9. ∞ ⋯ ⋯ ∞ ′ (c) 14. Si sin ⋯ ⋯ ⋯ ∞ ∞ 라 하자. 16. 15.4 Taylor and Maclaurin Series (c) 힌트로부터 다음 식을 얻을 수 있다. 기하급수를 이용하면 없다. ∞ 된다. 18. ⋯ ⋯ 따라서 Cauchy Product 를 이용하여 계수를 비교하면 을 구할 수 있다. 294 , 수렴반경은 이다. 제15장 멱급수, Taylor 급수 ⇒ , ⇒ , ⇒ , ⋅ ⇒ ,... ⋅ 따라서 sin ⋯ ⋅ ⋯ ⋅ 수렴반경은 ∞이다. 22. cosh ⋯ 수렴반경은 ∞이다. 23. ⋯ ⋯ ′ ∞ ∞ sinh ′ ′ 이므로 ∞ cosh ∞ Ln ′ ⋯ ⋯이다. ′ ⋯ 수렴반경은 이다. ∞ ∞ sin 는 영항만 갖는다. 따라서 sin 는 0이 될 수 (b) ⋯ ⋯ ⋯ cos (c) ≠ 에 대하여, 급수 21. cos cos ⋯ ′ sin ′ ⋯ ⋯ cos sinh′ cos′ ⋯ ⋯ ⋯ sin ∞ 수렴반경은 ∞이다. ′ cos ⋯ ⋯ ′ 17. (a) ′ ⋯ ⋯ 이므로 (13장7절의 Team Project. 30을 참조하시오) 20. cos sin ⋯ 이다. cosh′ 19. ⋯ ⋯ ⋯ 수렴반경은 이다. 24. 이다. ⋯ 이므로 ⋯ 이다. 수렴반경은 ∞이다. 25. sinh sinh sinh cosh 이고 sinh ⋯ cosh ⋯ sinh ⋯ 이므로 이다. 수렴반경은 ∞이다. 15.5 Uniform Convergence. Optional 이므로 2. lim ∙ →∞ 이므로 이다. 3. lim → ∞ ≤ 에서 uniformly converge한다. ∞ lim 4. lim → ∞ →∞ 이므로 전체에서 uniformly converge한다. lim 이므로 5. lim → ∞ →∞ ≤ 에서 uniformly converge한다. tanh 이므로 6. lim tanh →∞ 이다. ≤ 에서 uniformly converge한다. 이므로 lim 7. lim → ∞ →∞ ∞ ≤ ≤ 이고 은 수렴하므로, Weierstrass M-test에 의해서 uniformly converge한다. 15. lim →∞ lim →∞ 이므로 uniformly converge한다. ∞ 16. tanh ≤ , 은 수렴하므로, Weierstrass M-test에 의해서 uniformly converge 한다. 이므로 이다. 따라서 uniformly converge한다. 18. (a) 임의의 주어진 양수 에 대해 자연수 이 ∞ lim 8. lim → ∞ →∞ 에서 이므로 이다. ≤ 9. lim → ∞ lim →∞ 가 되게 할 수 있다. 존재하여 ∞ ∞ ≤ 이므로 균등 수렴한다. 로 바꾸어 주고 정리3의 과정을 (b) ′ → → uniformly converge한다. 이므로 되풀이하면 보일 수 있다. (c) 작은 영역에 대한 bound는 항상 큰 영역에서의 bound보다 작거나 같다. (d) 큰 영역이 compact domain이면 성립한다. 그러나 일반적으로 성립하지는 않는다. ≤ 에서 uniformly converge한다. 10. 정리 1에 의해서, ∞ 이므로 모든 0을 중심으로 한 닫힌 원판에서 uniformly converge한다. 11. ≤ lim 17. lim → ∞ →∞ 아무데도 없다. sinh 295 ∞ 은 수렴하므로, Weierstrass M-test에 의해서 uniformly converge한다. ∞ 은 수렴하므로, 12. ≤ sinh 인 기하급수이므로 (e) ≠ 이면 공비가 ∞ 이고 이면 0이 된다. 19. 즉, ≤ 이다. 한다. 따라서 ≤ ∞ 은 수렴하므로, Weierstrass M-test에 의해서 uniformly converge한다. 이다. 20. 적분구간에서 이므로 sin 함수 가 연속함수이므로 유계이다. Weierstrass M-test에 의해서 uniformly converge 13. sin ≤ sin ≤ 15.5 Uniform Convergence. Optional ≤ 에서 uniformly converge한다. 14. ≤ ≤ 이므로 296 ≥ 라 가정하면 sin ≤ 이고 지수함수는 exp exp exp → 감소함수이므로 이다. 따라서 이 급수는 수렴한다. sin 이다. sin 이다. 따라서 제15장 멱급수, Taylor 급수 ( ≥ )이다. ∞ 를 생각해 보자. 이 사실과 Weierstrass M-test로부터 은 uniformly converge하고 정리 4로부터 그 합이 임을 얻게 된다. 나머지도 비슷하게 보일 수 있다. 비판정법을 적용하면 이므로, →∞일 때 15장 Review Questions and Problems 1. 급수의 수렴을 판정하는 방법으로 와 lim lim 을 구하여 판정하는 →∞ →∞ 방법과 비교판정법 등이 있다. 2. 중요함수들에 있어서의 analysis를 할 때에 그 급수 전개를 이용하는 경우가 더욱 편리할 때가 Taylor 급수를 얻을 수 있다. 11. lim →∞ lim lim lim 13. →∞ 있다. 이 급수로 구해진 멱급수이다. 이때 구한 급수가 원래 함수와 어느 정도로 같은지를 절대수렴이라 한다. 급수는 수렴하지만 절대수렴이 아니면 조건부수렴이라 하며 주어진 영역에서 수렴하는 경우 그 영역에 대한 균등수렴이라 한다. 4. 15.2절의 정리1을 보시오. 5. Taylor 급수는 준 함수를 다항식과 나머지 항으로 표현하는 방식이다. 다항식의 차수가 올라감에 ∞ → ∞ → ∞ 15. → ∞ → ∞ 16. lim lim → ∞ → ∞ ∞ Ln ∞ lim 17. lim → ∞ → ∞ ∞ 따라 나머지 항이 감소한다면 원래 함수는 lim lim lim → ∞ 14. 구별하는 방법들 또한 필요하다. 3. 각항에 절대 값을 취하여도 급수가 수렴하면 이를 lim 12. lim →∞ → ∞ 수렴반경 내부에서 멱급수로 표현된다. Maclaurin 급수는 0주위의 Taylor 급수를 말한다. 6. 멱급수의 합과 곱은 그 멱급수의 공통된 수렴 반경 내에서 정의된다. 7. 모든 함수에 대해 Taylor series approximation이 8. Maclaurin 급수는 지수함수, 삼각함수, 쌍곡함수에 대한 미분에 대한 순환성을 쉽게 증명할 수 있다. (예를 들면 sin′ cos cos′ sin ) 9. 주어진 급수가 연속함수의 균등급수라 하면 이 급수의 항별적분은 수렴하고 그 합은 함수의 적분과 같다. 10. Cauchy 적분공식에 부분적분을 계속 적용하면 18. lim → ∞ lim ∞ →∞ ∴ ∞ ∞ 가능하지는 않다. 가 대표적인 예제이다. ∞ sin 19. lim lim ∞ → ∞ →∞ ∞ sinh ∞ lim 20. lim → ∞ →∞ ∞ ∞ 에서 수렴하므로 이다. ∞ ∞ ⋯, ∞ 21. cosh ∞ 이다. 이를 미분하면 ⋯ 이고 이를 다시 미분하면 ⋯ 이다. 따라서 ⋯, 이다. ∞ 23. cos ⋯, ∞ ∞ 24. ⋯ 에서 수렴이므로 이다. 25. ∞ ⋯이므로 ⋯ ⋯이다. ∞ 26. ∞ 27. sin sin ⋯ ⋯ ∞ 28. ⋯ ⋯ 에서 수렴하므로 이다. 29. Ln Ln Ln ln Ln ln ⋯ ln ⋯ 297 Chapter 15 Review Questins and Problems 22. ⋯ 30. ⋯ ⋯ ⋯ CHAPTER 16 Laurent 급수. 유수적분 16.1 Laurent Series cos ⋯ 1. ⋯ 300 ⋯ ⋯ ∞ 제16 장 Laurent 급수, 유수적분 exp ⋯ 2. ⋯ ∞ 9. (a) 가 같은 원환(annulus)에서 두 개의 Laurent 급수로 표현 된다고 가정하자. ∞ ∞ 3. cosh ⋯ ⋯ ∞ ∞ ∞ 라 놓자. 양변에 를 곱하고 원환에 놓이는 를 중심으로 하는 원 을 따라 적분하자. (반시계방향) ∞ 4. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ∞ 5. ⋯ ⋯ ∞ ∞ ∞ ≠ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ≠ 급수가 uniform하게 수렴하므로, 항별 적분이 가능하다. 이것으로 부터 를 얻게 된다. ′ 6. 이고 즉, ±±⋯ 이다. ⋯ ⋯ ⋯이다. 이므로 따라서 ⋯ ⋯ 따라서 Laurent 급수는 유일하게 표현된다. (b) tan 는 ± ± ± ⋯에서 특이점을 갖고 ± 가 0으로 수렴하기 때문에 에서 Laurent 급수로 표현을 갖지 못한다. (c) ⋯ ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ ⋅ ⋅ 이다. sin sin 7. sin cos ⋯ sin ⋯ ⋯ ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ ⋅ ⋅ ∞ 이다. 10. 이면 이면 이면 ∞ ∞ ∞ 이다. 11. 이면 이다. ∞ 이다. 이다. ∞ 이다. ∞ ∞ 이다. 13. 이면 이면 ∞ 을 12. 이항급수 이용한다. ∞ ∞ 이다. 16.2 Singularities and Zeros. Infinity 1. sin 이면 ± ± ⋯이다. 영점들은 isolated가 아니다. 그러므로 이 함수는 상수이다. (그렇지 않으면, 정리3에 의해 isolated 여야 하는데 이것은 모순이다.) 사실 이 상수는 따라서 sin 는 위수 4인 영점 0이어야 한다. (왜냐하면, 에서 zero이기 ± ± ⋯을 갖는다. 2. 는 위수 4인 영점 을 갖는다. 3. tan 이면 ± ± ⋯이다. 때문이다.) 따라서 ≡ 이다. 따라서 tan 는 위수 2인 영점 7. 은 와 에서 ± ± ⋯을 갖는다. 정의되지 않으므로 특이점이고 이들은 위수가 4. cosh 이면 이므로 Ln ± ±이다. 따라서 cosh 는 ± 에서 위수 4인 영점을을 갖는다. 5. ≠ 이므로 이다. 따라서 은 위수 인 영졈 을 갖는다. 않으므로 특이점이고 이들은 위수가 2인 pole이다. ∞은 essential singularity이다. sin 9. 는 에서 정의되지 않으므로 특이점이고 이들은 위수가 1인 pole이다. 10. ∞ 이므로 은 essential singularity이다. 이 함수는 허수축을 따라 0으로 6. (a) 이면 ′ sin 8. tan 은 ± ± ⋯에서 정의되지 cos 2인 pole이다. ′ 이다. ≠ 이므로 ′ 는 위수 인 영점을 갖는다. (b) 가 (a)에서 주어진 함수면 접근시킨 극한은 갖지 않고, 양의 실수축을 따라 0으로 접근시킨 극한은 무한이고, 음의 실수축을 따라 0으로 접근시킨 극한은 0이다. 임의의 작은 0의 -근방에서 극한은 주어진 값 ≠ 를 cos si n 이다. 갖는다. 왜냐하면, ≠ 이므로 는 에서 해석적이다. sin cos ln 이므로 (c) 항등적으로 0이 아닌 함수이면서 그러한 점에서 이므로 정리 3에 의해 그러한 점은 isolated 이다. (d) 는 에서 해석적이고 에서 영점을 갖는다. 한편, 가 수렴하므로 이 에서 ln cos sin 이다. tan 이다. ln ln 따라서 은 은 변화시키지 않고 에 의 배수를 더함으로써 충분히 작게 만들 수 있기 때문이다. 16.2 Singularities and Zeros. Infinity ∞ ∞ 301 이면 이면 11. 충분히 작은 에 대하여 따라서 이고 를 갖는다. → ∞이다. → 이면 16.3 Residue Integration Method 302 제16 장 Laurent 급수, 유수적분 sin 1. 은 에서 위수 6인 극을 갖는다. Res limcos lim → → 은 에서 2. 단순극을 갖는다. 3. singular point는 정수 에 대해서 이고 ⋯ 따라서 이다. Res exp 9. 는 곡선 내부의 점 sin exp Res lim → cos exp exp Res lim → cos sin 이다. sin → lim Res 이다. exp exp Res lim → cos Res lim lim → → 4. 이고 에서 singular point를 갖는다. Res lim lim → → 은 곡선 내부의 점 에서 essential Res 이다. 이므로 이므로 exp sin Res Res Res exp exp exp 6. 은 에서 단순극을 갖는다. Res lim lim → → 이다. Res lim lim → → 이므로 cosh 10. 는 곡선 내부의 점 ± ±에서 singular point를 갖는다. Res Res cosh cosh Res lim → 이다. cosh cosh Res lim → 7. tan 는 곡선 내부의 점 에서 singular point를 갖고 cosh cosh Res lim → sin Res lim 이다. sin → 따라서 tan Res 이다. 8. ∞ cosh cosh Res lim → 이므로 cosh 이다. ⋯ 16.4 Residue Integration of Real Integrals 1. cos cos 을 풀면 ± 이다. 은 단위원을 벗어나므로 Res Res 이다. 따라서 을 풀면 , ± 이다. 은 단위원을 벗어나므로 이다. 5. 을 풀면 ± 이다. ∞ , Res Res 이다. ∞ 는 원내부에 존재하고 는 외부에 있으므로 ( 는 order 2 pole, 는 simple Res 7. 을 풀면 ± ±를 얻는다. 는 lower half-plane에 놓이므로 제외된다. , Res ′ , Res Res 따라서 sin 이다. cos cos 4. cos sin 을 풀면 ± ± 을 얻는다. cos cos ± 는 원내부에 존재하고 ± 는 외부에 있으므로 , Res ∞ pole) ± 는 lower half-plane에 놓이므로 제외된다. 이다. 은 upper half-plane에 놓이는 단순극이고, sin cos 이다. cos 6. 을 풀면 이다. 3. cos cos ∞ 이다. 따라서 lim Res → Res 는 lower half-plane에 놓이므로 제외된다. , Res sin Res ∞ ∞ 이다. 8. 을 풀면 ± 를 얻는다. 는 lower half-plane에 놓이므로 제외된다. , Res Res ∞ ∞ 이다. 303 16.4 Residue Integration of Real Integrals sin cos 2. 이다. cos 13. ⋯ 라 놓자. 9. 을 풀면 ± ±를 얻는다. 는 lower half-plane에 놓이므로 제외된다. 그러면 ∞ , Res ∞ , Res 304 제16 장 Laurent 급수, 유수적분 ∞ Res cos sin 이고 우변은 Rescos sin 이다. 양변의 실수부와 허수부를 비교하면 ∞ cos sin cos Im Res Re ∞ ∞ ∞ 이다. 11. 을 풀면 ± 을 얻는다. Res ∞ Res Res 이다. ∞ →∞이면 → 이고 세 번째 적분의 실수부를 택하면 ∞ ∞ cos cos ∞ Res 는 lower half-plane에 놓이므로 제외된다. ∞ 12. 을 풀면 ± ±를 얻는다. 가 해석적이므로 Cauchy 정리에 의해 적분 값은 0이 된다. 즉, ∞ (b) 이다. ∞ ∞ ∞ 이다. Res prv ∞ cos sin sin Re Res Im Res prv ∞ ∞ 좌변은 Res Res 에서 ∞ ∞ 14. (a) Res ∞ ′ 는 lower half-plane에 놓이므로 제외된다. 이다. prv ⋯ ′ ′ ′ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10. 을 풀면 ± ± 을 얻는다. ∞ Res ∞ Res prv Res ∞ ∞ ∞ 따라서 임을 이용하면, ∞ 를 얻는다. cos 16장 Review Questions and Problems 1. 주어진 함수를 정해진 점에서 그 근방에 대해 수렴하는 유리급수를 전개하는 것이 Laurent 급수이다. Laurent 급수에서 음의 지수를 가진 급수의 부분이 principal part이다. 이는 그 점에서의 pole의 차수를 보여주며 적분에서 사용된다. 2. 그 점으로 근사할 때 함숫값이 상수로 수렴하지 않으면 singularity라 부른다. removable singularity, pole, essential singularity가 있다. 3. Laurent 급수의 첫째 분수 의 계수 를 에서의 유수라 한다. 유수는 복소선적분의 값을 계산하는데 유용하다. 이면 이다. 따라서 특이점 에서 유수도 이다. 5. 주어진 특이점을 한 바퀴 도는 곡선 내부에 다른 singularity를 포함하지 않는다고 가정하자. 이 곡선을 따라 선적분한 값은 유수에 를 곱한 것과 같다. 6. 반지름이 충분히 크면, 곡선 가 모든 극을 포함하게 되어 유수정리를 이용할 수 있게 된다. 따라서 특이적분을 유수정리로 구할 수 있게 된다. 7. 정분 영역이 무한일 때 그것을 특이적분이라 한다. 먼저 적당한 영역에 대해 적분을 계산하고 그 영역을 키워나가며 원하는 적분을 계산하는데 이를 principal value라 한다. 8. 함숫값이 이 되는 점을 영점이라 한다. 9. 무한대(infinity)를 포함하는 복소평면을 확대복소 평면(extended complex plane)이라 한다. Riemann 구, 확대복소평면은 상당히 큰 에 대한 복소함수를 다루는 경우 매우 유용하다. 10. (유한)복소평면의 모든 곳에서 해석적인 함수를 완전함수(entire function)라 한다. 예를 들면, 지수함수, 사인함수, 코사인함수등이 있다. 305 Chapter 16 Review Questins and Problems 4. 가 원점 주위의 단위원일 때, 의 값은 CHAPTER 17 등각사상 17.1 Geometry of Analytic Functions : Conformal Mapping ⇒ 2. ⇒ ⇒ 308 ⇒ 제17 장 등각사상 이고 3. conformality에 의해서 성립한다. 4. 각의 수치는 보존하되 각의 방향은 뒤집는다. 5. 이므로, ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 이다. 이다. 따라서 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 이고 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 이다. 6. 라 하고 라 하면 이고 이다. 를 와 에 대입하면 , . 이것은 -평면에서 -축에 평행한 직선을 -평면에서 -축에 평행한 직선으로 사상한다. 마찬가지로 를 와 에 대입하면 , . 이것은 -평면에서 -축에 평행한 직선을 -평면에서 -축에 평행한 직선으로 사상한다. 즉 90도 회전시킨다. 7. (reflection in the unit circle 이라 한다.) Arg ∓ ∓ ∓ ∓ (이 함수는 단위원을 단위원으로 보낸다. 9. 평면에서 가 수직 (orthogonal)이기 때문에, 수직성(orthogonality)는 conformality 의 결과이다. 따라서 다음과 같은 결과를 얻는다. (a) (b) (c) (d) 10. 에서 이므로 ≤ , 는 ≤ , 로 사상된다. 11. 에서 이므로 , 는 , 로 사상된다. 12. ≤ Im ≤ ⇒ Im ≤ ≤ ⇒ 따라서 ≤ ≤ 인 띠로 보내어 진다. 13. ≥ ⇒ ⇒ ⇒ 즉, → 이므로 자기 자신으로 보내어 지는 즉, ⇒ 점은 1, -1 뿐이고 나머지는 공액복소수로 보내어 이 된다. 진다.) 따라서 ≥ 은 에 의해 8. 이다. 따라서 보내어 진다. ≤ 로 14. 라 하면 ≤ 는 ≤ , 수평방향과 로부터 를 잇는 벡터 사이의 각과 ≤ , ≤ , ≤ 이다. 고정된 벡터의 방향을 따라서 로 접근한다면, 이므로 라 하면 로부터 를 잇는 벡터와 수평방향과 이루는 각은 arg ⋯ 로 접근하며, 마지막의 편각은 와 무관하다. 따라서 에서 따라서 ≤ 에 대응하는 영역은 ≥ 이다. 교차하는 두 매끄러운 곡선의 접선들 사이의 각은 배로 확대된다. 예를 들면, cos 는 15. 3차 다항식을 라 하자. ± ′ 을 풀면 복소평면에서 해석함수이다. cos′ sin 의 ± 이다. 따라서 에서 conformal sin ⋯ ⋯ 은 에서 하지 않는다. 위수 1인 영점을 갖는다. 따라서 cos 는 을 16. 라 하자. ′ ± ± 풀면 이다. 따라서 에서 영점 ±±⋯을 제외하고 이 사상은 등각사상이다. 에서 두 접선이 이루는 각을 2배로 확대시킨다. 19. Taylor 급수에 의해서, 처음 몇 개의 도함수가 에서 0이기 때문에 ≠ conformal 하지 않는다. 17. sin 라 하자. ′ cos 을 풀면 ± ± ± ⋯이다. ∵ ≠ 따라서 arg arg arg . 따라서 ± ± ± ⋯에서 conformal 하지 않는다. 축에서 에서 곡선 의 접선까지의 각 는 lim arg → along C . 비슷하게 에서의 접선의 상까지의 각 는 18. 조건으로부터 ′ 로 표현될 수 있다. 여기서 는 의 -근방에서 해석함수이고 lim arg lim arg arg 0이 되지 않는다. ′ ⋯ 이므로 참고 : ≠ 이므로 arg 가 정의된다. 의 Taylor 급수전개는 따라서 에서의 두 곡선의 상(images)의 는 ⋯이며 따라서 접선들 사이의 각 원하는 결과를 얻게 된다. ⋯ 이고 arg arg arg ⋯ 을 얻는다. 처음 두 편각들은 각각 수평방향과 이므로 20. ′ ′ , 단위원에서 , 21. ′ ′ , 원 에서 , 22. ′ ′ , 단위원에서 , 로부터 를 잇는 벡터 사이의 각과 17.2 Linear Fractional Transformations 1. 라 놓고 ∘ 를 이다. 라 하면 직접계산하면 확인할 수 있다. 2. 이므로 3. 이므로 이다. . LFT들의 합성은 계수행렬의 곱에 대응한다. , 이다. 따라서 이다 309 17.2 Linear Fractional Transformations 이다. 같다. 만일 가 수평방향과 각 를 이루는 한 4. 이므로 ≠ 이다. 따라서 이다. 5. 이므로 ≠ 이다. 310 따라서 이다. ※ 라 하면 이다. 9. 고정점 ±를 갖기 위한 방정식은 이므로 ≠ , 이고 이어야 한다. 따라서 이다. 제17 장 등각사상 6. 을 풀면 고정점은 이다. 7. 을 풀면 이므로 고정점은 없다. 8. 을 풀면 고정점은 ±이다. 10. 고정점이 존재하지 않기 위한 조건은 , 이고 ≠ 이어야 한다. 따라서 ≠ 이다. 17.3 Special Linear Fractional Transformations 2. 이면 따라서 Re 이다. 8. 식(2)로 부터 ⋅ ⋅ 이다. 따라서 이다. 9. 식(2)로 부터 ⋅ ⋅ 이다. 따라서 이다. 3. ⇔ 4. 를 로 10. 는 가 실수일 때 실숫값을 가지며 변해야 대응시킨다. 예제 1과 같은 방법을 적용하면 한다. 그리고 전사(onto)여야 하므로 분모가 ⋅ ⋅ 있어서는 안 된다. 즉, 실수 에 대해 뿐이다. 이다. 이를 정리하면 이다. 5. ⋅ ⋅ 라 놓자. 그러면, ⋅ ⋅ 이다. 따라서 이다. ∞ 6. 식(2)로 부터 ⋅ ⋅ 이다. ∞ 따라서 ⇒ 를 얻는다. 7. ∞가 에 대응되므로 의 형태이다. 이 ∞에 대응되고, 이 에 대응되므로 11. 영역 ≤ arg ≤ 은 에 의하여 평면의 위쪽 반평면으로 대응된다. 예제 1에 의하여 위쪽 반평면을 단위원으로 대응시키는 변환이 임을 안다. 따라서 영역 ≤ arg ≤ 을 단위원으로 이다. 대응시키는 변환은 12. 2사분면은 ≤ arg ≤ 로 표현되므로 에 의하여 평면의 아래쪽 반평면으로 대응된다. 아래쪽 반평면을 단위원으로 대응시키는 변환이 이므로 2사분면을 단위원으로 대응시키는 변환은 이다. 이다. 17.4 Conformal Mapping by Other Functions ※ 라 하고 라 하자. cos sin 이므로 cos sin sin 즉, tan, tan이고 ∞ ≤ ∞ cos 이므로 직선의 방정식을 이룬다. 이다. 1. 이므로 cos sin 이다. 즉, 이고 ≤ 이므로 원의 방정식을 이룬다. 따라서 이다. 2. 이므로 cos sin이다. 따라서 arg 이다. ※ 의 극형식을 이용한다. 라 하고 라 하자. 이므로 이다. 3. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 ≤ ≤ ≤ arg ≤ 이다. cosh sinh 이므로 9. 이면 따라서 반지름이 인 원과 인 원 사이의 이다. 환이다. cosh 이므로 쌍곡선의 왼쪽 부분이다. ≤ ≤ ≤ arg ≤ 이다. sin 이므로 1사분면의 영역으로 사상된다. 6. sin cos 을 만족하는 점 ± ⋯에서 conformal이 아니다. 7. ⇒ sincosh cossinh 따라서 ⇒ ⇒ ≥ ⇒ ≤ ≠± ±⋯ ⇒ sin cos ※ 라 하고 라 하자. sin sin cosh cos sinh 이므로 sin cosh cos sinh 이다. 8. 이면 이고 이면 이다. 이면 이다. sin cos 이므로 이면 cosh sinh 이면 cosh sinh 이므로 311 이다. cosh 이므로 17.5 Riemann Surfaces Optional 4. ≤ ≤ ≤ ≤ 이므로 쌍곡선의 오른쪽 부분이다. 이면 이다. sin cos 이므로 이면 cosh sinh 타원이다. 이고 이므로 이다. 이 쌍곡선 과 타원 cosh sinh 겹치는 1사분면과 2사분면의 영역으로 사상된다. 10. cosh cos sin 11. cosh sinh 을 만족하는 점, 즉 을 만족하는 점 ± ± ⋯에서 conformal이 아니다. 12. 로 만들어지는 유계인 영역을 이라 하자. 사상 타원이다. 이므로 이고 에 의해 이다. 따라서 구하고자 하는 이고 이므로 이다. 인 따라서 1사분면의 경계선이 cosh sinh 타원의 일부분이다. 사상은 이다. 13. ln ≤ ≤ ln ≤ ≤ 14. 그림에서 5개의 점의 상은 주어진 함수 로부터 직접 계산할 수 있다. 17.5 Riemann Surfaces Optional 1. ≤ ≤ 가 에서 시작하여 시계반대방향으로 원 를 두 번 돌 때 은 같은 원을 같은 위치에서 시작해서 한 바퀴 돈다. 2. 힌트로부터 를 얻는다. 만약, 그림에서 first sheet에 A를 움직이면, second sheet 의 B로 가고 branch point 1 주위의 두 루우프를 돌고 A로 돌아온다. 를 에워싸지 않는 branch point 2 를 둘러싸는 루우프에 대해서도 비슷하다. 만일, 그림처럼 C에서 number of sheet : 2 (아래그림참조) 시작해서 C로 끝나는 경우라면 branch cut을 지나지 않으므로 같은 sheet에 있게 되고 는 각각 의 증가를 보여준다. 따라서 는 312 만큼 증가하고 평면상에서 한 루우프을 제17 장 등각사상 결정한다. 이것은 2 sheet 면 충분하다는 것을 보여준다. 3. 그림에서, 하나의 cut 을 지나면 다른 sheet로 : sheets : branch point : 없다. ( ≠ 이기 때문에) number of sheet : 2 ( ) 가고, 두 cut 을 지나면 시작한 sheet로 돌아간다. 그림은 두 개의 branch point를 둘러싸는 path(A) 한 sheet 에 있음을 보여준다. path (B)는 두 cut 을 가로지르기 때문에 각각 다른 sheet 에 4. branch point : ± 놓이게 된다. number of sheet : 2 5. branch point : ± ± 17장 Review Questions and Problems 1. 사상 에서 유향곡선들 사잇각의 크기와 방향이 보존된다면 등각사상이라 한다. 2. 인 경우 ′ 을 풀면 ± ± ± 이다. 따라서 ± 에서 conformal하지 않는다. cos 인 경우 ′ sin 을 풀면 ± ± ± ⋯이다. ± ⋯에서 conformal 따라서 ± ± 하지 않는다. 4. 선형분수변환(LFT)이란 ≠ 인 변환을 뜻한다. 여기서 상수는 복소수 또는 실수이다. 또한, 모든 선형분수변환은 확대복소평면으로부터 확대복소평면으로 가는 일대일 등각사상이므로 매우 중요하다. 5. 복소평면에 무한대의 점을 붙여서 평면을 구로 인 경우 cos sin 이므로 cos sin cos sin 이다. 이다. 즉, 따라서 (원)이다. 인 경우 이므로 이다. 이므로 이다. 따라서 이므로 이다. 8. ln 는 지수함수 의 역함수이다. 는 기본띠를 을 제외한 평면으로 사상된다. 따라서 역사상의 원리에 의하여, 주값 ln 는 보는 것이 확대복소평면이다. 선형분수변환에 대해 평면을 평면의 수평띠 ≤ 로 확대복소평면에서의 원은 그대로 원으로 보존된다. 사상시킨다. 또한 복소평면의 직선은 확대복소평면에서는 원이다. 6. 사상 의 고정점이란 그 상이 동일한 복소수가 되는 점을 말한다. 7. 인 경우 이므로 이다. 따라서 Im 이다. 인 경우 이므로 이다. 이므로 이다. 따라서 이므로 (타원)이다 9. 10. Riemann 곡면은 다변수 함수가 일변수 함수 즉, 보통의 함수가 되도록 하는 곡면이다. CHAPTER 18 복소해석과 퍼텐셜 이론 18.1 Electrostatic Fields 에 대해 변하고 Laplace 1. 는 ⇒ 방정식의 극형식 표현 ″ ′ 으로부터 ″ ⇒ ln ′ ln ′ ⇒ ′ ⇒ ln 314 ′ ⇒ 따라서 복소퍼텐셜은 제18 장 복소해석과 퍼텐셜 이론 ln ln 이다. 이 두 식을 연립하면 이다. ln (b) ⇒ ln ln ′ ⇒ 따라서 복소퍼텐셜은 ln 이다. 5. (a) 따라서 ln 이다. ln ln 을 얻는다. 주어진 조건을 적용하면 ln ln Ln 이다. 에 대해 변하고 Laplace 2. 는 ⇒ (c) ⇒ (d) ( )이면 6. tan ln ln 이다. 이 두 식을 연립하면 이고 이다. 따라서 는 조화함수이다. 방정식의 극형식 표현 ″ ′ 으로부터 ″ ⇒ ln ′ ln ′ ⇒ ′ ⇒ ln 을 얻는다. 주어진 조건을 적용하면 ln 이다. ln ln ln 따라서 ln 이다. ln ln ln ln ln ln 이므로 200V보다 작다. 3. 에 주어진 조건을 적용하면 그리고 이다. 또한 이므로 이고 ′ 이므로 ln 이다. 따라서 복소퍼텐셜은 ln ln Ln 이다. 이 두 식을 연립하면 이다. 이다. 따라서 이다. ⇒ ′ ⇒ 따라서 복소퍼텐셜은 이다. 4. 에 주어진 조건을 적용하면 7. 이면 Arg 이다. 따라서 에서 퍼텐셜은 이다. 이다. 이 두 식을 연립하면 이다. 따라서 이다. 8. ln 라 하면 이다. 이므로 이는 아폴로니우스의 원이다. 9. cos 로 놓으면 cos 이다. cos cos sin sin cos cosh sin sinh 이므로 cosh sinh 가 된다. cos sin tan ± ⇒ ±tan ± ⇒ ± ⇒ 이므로 를 상수로 두면 cos sin ± 일 때 임을 만족한다. 쌍곡선을 표시한다. ⇒ 315 ′ ⇒ 18.2 Use of Conformal Mapping. Modeling cos sin 로 보고 를 상수로 cosh sinh 두면 타원을 나타낸다. 11. 따라서 복소퍼텐셜은 이다. 18.2 Use of Conformal Mapping. Modeling 2. 이므로 , 이다. ⇒ sin sinh 평면에서 일 때 퍼텐셜이 이고, 일 때 퍼텐셜이 이므로 이다. 7. 은 단위원으로 대응된다. ⇒ 가 대응되는 원의 반지름을 라 하자. 과 가 각각 와 에 대응되어야 하므로 ′ ⇒ 에 의하여 따라서 복소퍼텐셜은 이다. 이다. 따라서 18장 1절의 예제 5에 의하여 ln 이다. 일 때 이므로 이다. 일 때 이므로 ln 이다. 이다. 따라서 이고 ln 이다. ln ln 4. cos sin 이므로 cos sin 이고 cos sin 이다. cos sin sin cos sin 8. 을 예제 2에 적용하자. cos cos sin Re 이므로 Ln 이다. ln 따라서 Re ln 이다. ln cos sin 이므로 이다. 따라서 은 조화함수이다. 5. sin sin cosh cos sinh 이므로 sin cosh cos sinh 이고 ⇒ 따라서 sin sinh 이다. 따라서 이다. sin cos cosh cos sin sinh sin cosh sin cosh ′ sin cosh cos sinh Arg 9. 가 으로 대응되어야 하므로 을 만족하여야 한다. 즉, 이고 이다. 과 를 위에 대입하면 과 이 나옴을 알 수 있다. 이다. 6. sin cosh sinh cos sinh cosh cos sinh 10. 을 예제 2에 적용하자. Ln 이고 Arg 18.3 Heat Problems 1. 라 하면 이고 이므로 일 때 ℃이므로 이다. 이다. 따라서 이다. 따라서 이고 Arg 이다. 316 7. Arg 라 하면 제18 장 복소해석과 퍼텐셜 이론 이다. 일 때 ℃이므로 이고 2. 경계와 경계 값으로부터 가 선형임을 예상 할 수 있다. 즉, 라 하자. 따라서 이고 Arg 경계조건으로부터, 이다. 8. Arg 라 하면 를 얻는다. 일 때 ℃이므로 이고 두 식을 더하면, 이다. 이것은 에 관한 항등식이므로, 이다. 로부터 ⇒ 일 때 ℃이므로 이다. 일 때 ℃이므로 이다. 따라서 이고 Arg 이다. 그러므로 이다. 이것은 복소퍼텐셜 의 실수부이다. 4. 이므로 , 이다. 이다. 9. 사상 sin 을 생각하자. 구간 은 이 사상에 의해 로 평면에서 일 때 온도가 ℃이고, 사상되고 구간 은 수직선 , 일 때 온도가 ℃이므로 이다. 으로 사상된다. 변환된 영역에서 온도는 따라서 이다. 으로 주어지고 경계조건으로부터 ⇒ ′ ⇒ 따라서 복소퍼텐셜은 이다. 따라서 이다. 결국 주어진 영역에서의 온도는 5. Arg 라 하면 일 때 ℃이므로 이고 sin 이다. 10. Arg 라 하면 일 때 ℃이므로 이다. 일 때 ℃이므로 이고 따라서 이고 Arg 이다. 6. Arg 라 하면 일 때 ℃이므로 이다. 따라서 이고 Arg 일 때 ℃이므로 이고 이다. 18.4 Fluid Flow 1. , 이므로 이면 가 해석적이다. 이므로 속력이 2. 예제 1에서 속력은 일정한 곡선은 상수(원)이다. 3. ′ 이므로 , 이다. 축 위에서 계산을 하므로 , 이다. 따라서 속력은 이다. 원기둥 주위를 흐르므로 ≥ 이다. 따라서 최댓값은 ± 일 때 이다. 4. 원기둥의 벽을 나타내는 식이 이므로 , 이다. 이다. 따라서 속력은 5. 이고 이므로 이다. 따라서 비회전적이다. 이다. 이므로 이고 즉, 이면 radially outward이고 이면 6. radially inward 이다. 317 (b) 기본흐름: 와류. 7. 따라서 streamlines은 ln const 즉, const 이다. 이것은 arg 의 증가에 의한 8. 코너의 각이 이므로 유선은 사이에 존재한다. 에서 은 위 조건을 만족한다. 따라서 이 합당한 복소 퍼텐셜이다. 9. sin or ± 흐름선(streamlines) : 단위원, 좌표축( 축) (i) 큰 에 대하여 flow 는 축에 평행하다. (ii) 작은 에서는 flow 는 1사분면 안에서 단위원 둘레이다. 10. cos 라 하면 퍼텐셜 arg 의 증가를 보여준다. (c) 흐름의 합: 과 에 대해서 ′ ′ ′ 이다. (d) 생성원가 소멸점의 결합: ln ln sin 여기서, 음의 부호는 속도벡터 ⋅ ′ ⋅ ⋅ 이므로 흐름이 소멸(sink)점방향인 반지름 안쪽 cos cosh sin sinh 이므로 방향의 결과이다. 예를 들면, (위의 cos sin 이고 cosh sinh 소멸점)에서 (수직으로 아랫방향), 즉, 이다. cosh sinh 에서 소멸점 방향이다. (e) 실린더 주위의 순환흐름: 흐름선은 이므로 타원을 나타낸다. 조건으로부터 cosh sinh 이므로 초점의 좌표 ± 이다. arg ln 11. arccosh ⇒ cosh cos sin ln 평면과 평면의 역할을 교환함으로써 이 따라서 흐름선(streamlines)은 문제는 17.4절의 사인함수의 문제로 바꿀 수 있다. Im ln 를 얻는다. 즉, 포물선 sin cos 12. 이므로 추가된 두 흐름에서, 이 흐름선이다. 따라서 조건에서 얻어진 흐름에서도 이다. 이 식을 정리하면 흐름선은 마찬가지이다. , 이다. 두개이거나 하나이거나 없는 세 가지 흐름에 의 크기에 의존하여, 실린더벽상의 정체점이 따라 구별해야 한다. 속력은 따라서 흐름선은 중심이 이고 원점을 ′ ′ 통과하는 원이다. 우선, →∞이면 → 이다. 실제로 → 이다, 13. (a) 기본흐름: 생성원과 소멸원. ′ 즉, 실린더로부터 상당히 멀리 떨어진 점에서의 흐름은 거의 평행이고 균일하다. 정체 점들은 18.4 Fluid Flow ln ln arg 방정식 의해이다. 즉, 의해 이다. 따라서 ± 이다. 18.5 Poisson's Integral Formula for Potentials 318 1. 푸아송 공식의 적분기호 안에 있는 제18 장 복소해석과 퍼텐셜 이론 cos (1) sin 은 문제 1의 으로부터 나왔다. (2)의 오른쪽은 의 실수이다. 한편 ∞ ∞ 이고 를 대입하면 ∈ cos cos cos sin sin 를 얻는다. 따라서 (3) ∞ cos cos sin sin 푸아송 공식에서 (1) 대신에 (3) 으로 바꾸고 에서 까지 항별 적분하면 구하고자 하는 식이 얻어진다. 2. sin 와 sin 에 대해서 각각의 조화공액은 ∞ (2) sin sin sin cos 7. sin ∞ cos 이다. 따라서 8. cos sin ∞ cos sin 10. (a) 식 (5)에서 이면 (b) ∇ ″ ′ ″ sin cos 가 해석함수이고, 변수분리에 의해 따라서 식(7)은 조화함수이다. ″ ′ ″ , 나타난다. cos sin , ″ ′ 이다. 이다. 따라서 해는 4. sin (c) Cauchy-Riemann 방정식에 의해서 5. cos cos cos 이므로 ∞ sin cos ∞ cos sin cos cos 6. 이다.(참고: 적분구간은 이 아니라 이다.) cos cos 이다. 그러므로 sin cos 와 3. 주어진 함수가 우함수이므로 cosine 급수로 cos cos (d) ∞ cos sin ∞ 를 이용하면, ∞ 319 ⋅ 1. , 3. (c) sin sin sinh 임을 이용하면 sinh 를 갖는다. ± 에서 maximum (d) 확장은 간단하다. 단순 닫힌곡선 의 내부 이 단순연결이므로 정리 3을 적용할 수 있다. 정리 3에 의해 maximum 는 상에 있다. (b) 가 해석적이지 않기 때문이다. 이므로 ≠ 이므로 4. 이라 놓으면 Poisson의 적분공식으로부터 정리 2를 유도할 수 있다. cos sin 6. cos sin ⋅ cos sin 7. cos sin 9. (a) (i) 극좌표를 이용하면 이므로 내점에서는 maximum 과 minimum 을 갖지 않음을 확인할 수 있다. 이므로 에서 maximum , 에서 minimum 를 갖는다. (ii) sin sin cosh cos sinh cosh 이므로 가 커질수록 그 값도 커진다. (iii) 이 단조증가임을 이용한다. 임의의 해석함수 에 대하여 const 10. 13장 6절의 cos cos sinh 임을 이용하면 cos sin 5. cos sin (참고: 13장 4절의 예제 3에서 const 이면, 인 것은 보였다.) ※ 식 (3)에 을 적용한다. 의해 상에서 minimum을 가져야 한다. 따라서 는 상수여야 한다. 이것은 가정에 모순이다. 정리 1에 모순된다. 만약 가 에서 0이 아니라면 정리 3에 sinh 를 갖는다. ± 에서 최댓값 11. ≤ 이므로 삼각부등식에 의해 ≤ 이다. 최솟값은 상에 있다. 라 하자. 를 취하면 이다. 따라서 에서 최댓값 를 갖는다. 12. cos 이고 ≤ ≤ 이다. 따라서 일 때 최댓값 을 갖는다. 13. ≤ sin ≤ ( ≤ ≤ ≤ ≤ )이므로 sin 의 maximum은 경계점인 에서 갖는다. 14. 위쪽 반원을 로 놓으면 에 의해 로 옮겨진다. 15. (i) exp cos (ii) ≤ ≥ ≥ (iii) Yes, 는 의 상이다. (iv) 전형적이다 : 는 경계에서 cos 이 단조증가임을 보임으로써 구할 수 있다. 18.6 General Properties of Harmonic Functions 18.6 General Properties of Harmonic Functions 18장 Review Questions and Problems 1. 조화함수는 라플라스 등식을 만족한다. 두 번 함수들은 조화함수에 대한 복소이론을 이용하여 320 2. 열역학, 정전기적 역학, 유체역학의 정적상태에 제18 장 복소해석과 퍼텐셜 이론 대한 방정식은 모두 라플라스 등식이 된다. 라플라스 등식을 만족하는 함수를 조화함수라 한다. 두 번 미분이 연속인 함수이고 이 등식을 만족하는 함수들은 조화함수에 대한 복소이론을 이용하여 어느 정도 구할 수 있다. 3. 라플라스 방정식의 해의 이론을 퍼텐셜 이론이라 부르고, 2계편도함수가 연속인 해를 조화함수라 한다. 두 조화함수가 Cauch-Riemann 방정식을 만족하면 그들은 어떤 해석함수의 실수부와 허수부가 되는데, 이때 허수부를 실수부의 공액조화함수라 한다. 4. 열역학, 정전기적 역학, 유체역학의 정적상태에 대한 방정식들 모두 라플라스 등식이다. 5. 정전기학, 정상상태의 열흐름 문제, 유체흐름, 중력 등에 관한 문제 6. 조화함수 와 공액조화함수 로 이루어진 함수 를 복소퍼텐셜이라 한다. 물리학적으로는 에 의미를 부여할 수 있다. 등각성에 의하여, const 인 곡선들은 const 인 등퍼텐셜선에 평면에서 직각으로 교차한다. 따라서 이 선들은 전기력의 방향을 나타내며, 이를 역선이라 부른다. 이들은 전하를 띤 입자들이 움직이는 경로를 나타낸다. 7. 유체 흐름의 비회전이 첫 번째 가정이다. 두 번째 가정은 유체가 비압축성이라는 것이다. 8. 다루기 힘든 영역에서의 potential을 구하고자 할 때에 이 영역을 보다 다루기 쉬운 영역으로 변환시켜서 그 potential을 구하고 역변환 시키는 방법을 택한다. 9. maximum modulus theorem : 가 안에서 조화이고, 의 경계 위에서 연속이면 의 최대값은 의 경계 위에서 구해진다. mean value theorem : 영역 의 한 점 에서 조화함수 의 값은 가 중심인 임의의 원에서의 의 평균값과 같다. 또한 그것은 상의 임의의 원판에서의 의 평균값과도 같다. 10. cos 11. 지수, 로그, 삼각함수 등 등퍼텐셜선은 Arg 상수이다. 13. Arg 라 하면 어느 정도 구할 수 있다. 가 중심인 이 part의 처음에 도입된 무든 함수가 중요한다. 12. Ln ln Arg 이므로 미분이 연속인 함수이고 이 등식을 만족하는 일 때 이므로 이고 일 때 이므로 이다. 따라서 이고 Arg 이다. 15. 이므로 흐름선은 상수이다. ′ 이다. 속도 벡터는 16. 이므로 흐름선은 상수이다. 17. 이므로 등온선은 상수이다. KREYSZIG 공업수학 개정10판 문제풀이 해설 2011년 12월 15일 1쇄 발행 저 자: 편 집 부 발행자: 김 윤 선 발행처: 서울특별시 종로구 신문로 2가 1-222 전화 733-2014 ~5 / 팩스 736-8696 등록 1966년 10월 6일 제1-168호 Copyright © 2011, Pan Korea Book Corporation. http://www.bumhanbook.co.kr ISBN 978 -89 -7129 -243- 3 93500 정가 15,000 원
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