Análisis
dimensional de
las ecuaciones
de variación
1
Qué es una variable adimensional?
Una variable es dimensional si su valor numérico depende de la escala usada en su
medida; esto es, depende del sistema de unidades elegido.
Ej. de cantidades dimensionales: la longitud, el tiempo, la fuerza, la energía, etc.
Ej. de cantidades adimensionales: los ángulos, la relación entre dos longitudes, el
rendimiento.
A veces tiene mas sentido conocer la magnitud de una variable adimensional (p.ej:
el cociente de dos variables), a conocer la magnitud de una variable.
Para qué se hace un análisis adimensional?
Para reducir el número de variables originales del fenómeno problema a un conjunto
más pequeño de “parámetros/variables” que son adimensionales y son función de
dichas variables. De esa forma:
(1) Permite un análisis cualitativo, (algunos parámetros adimensionales se pueden
considerar como el cociente de dos fuerzas que actúan en el fenómeno)
(2) Muestra la dependencia entre las variables y
(3) Simplifica las relaciones entre variables.
2
Experiencia de Reynolds
3
Semejanza: a) modelo; b) prototipo
4
Cómo se hace un análisis adimensional?
Conociendo las ecuaciones diferenciales que describen el fenómeno que se está
investigando y condiciones de contorno (iniciales y de borde) del sistema
Ecuación simplificada de continuidad para densidad constante
.v  0
5
Estas ecuaciones
describen el comportamiento del
sistema.
Los Números de Re y Fr son los
“factores de escala”: si éstos se
mantienen y las condiciones de
contorno son iguales, hay
semejanza dinámica.
Estas agrupaciones
adimensionales involucran
parámetros característicos de las
fuerzas involucradas en esos
sistemas
6
Para flujo en conductos de sección circular :
con v* 

vz
r
y r* 
vz
D
v*  2 1  4 r * 
2

Todos los flujos en
conductos circulares
en régimen laminar y
μ y ρ constantes,
tienen idéntico perfil
de velocidad
adimensional
7
Para la profundidad del vórtice de un tanque agitado:
- Se quiere predecir la profundidad del vórtice de un aceite , en función de las
velocidad del agitador, N (rpm), en un tanque sin deflectores.
- En qué condiciones debo hacer el ensayo a escala ?
Para la semejanza
dinámica tiene que
haber:
- Semejanza
geométrica (cond.
límites)
- Condiciones
iniciales semejantes
8
Para la profundidad del vórtice de un tanque agitado:
Se reescribe el problema en términos adimensionales y se llega a las siguientes
conclusiones:
- El Re y el Fr deben ser iguales en ambos sistemas
- De la igualdad del Fr: N del tanque pequeño, debe ser mayor a la del tanque
grande
- De la igualdad del Re: la viscosidad cinemática del fluido empleado en del
tanque pequeño, debe ser menor a la del tanque grande.
9
El Análisis Dimensional: (1) Permite un análisis cualitativo, (2) Muestra la
dependencia entre las variables y (3) Simplifica las relaciones entre
variables.
Un parámetro dimensional se puede considerar como el cociente de dos
fuerzas que actúan en el fenómeno, indicándose, mediante la magnitud
relativa de este cociente, la importancia de una de las fuerzas con respecto a
la otra. Si en un fenómeno dado, ciertas fuerzas resultan mucho mayores
que otras, entonces es posible despreciar, a menudo, el efecto de las fuerzas
más pequeñas.
10
Distribuciones de velocidad con
mas de una variable independiente.
Soluciones exactas y aproximadas.
11
Resumen
En esta unidad se estudian algunas aplicaciones de las ecuaciones de variación en
las cuales se requiere la resolución de una ecuación en derivadas parciales, ya
que la velocidad depende de más de una variable. La resolución de las ecuaciones
de Navier-Stokes en sistemas de flujo no estacionario y en flujo de dos y tres
dimensiones es muy difícil. Lo mas frecuente es que se apliquen métodos
especiales para encontrar la solución analítica, se apliquen métodos numéricos
para resolverlas o se simplifiquen para casos límite.
Se analizan los siguientes casos y algunos ejemplos para ellos de gran interés en
ingeniería:
- i) flujo viscoso no estacionario, ejemplo en las proximidades de una pared que se
pone en movimiento
- ii) aproximaciones para flujo inviscido: distribución de presión alrededor de un
cilindro
- iii) aproximación de flujo reptante: fuerza de arrastre en una esfera
- iv) teoría de la capa límite. Modelo de Prandtl
12
i) Flujo viscoso no estacionario
Flujo viscoso en las inmediaciones de una pared que se pone súbitamente en
movimiento
Condiciones:
Fluido de ρ y μ constantes
No hay gad.P ni grad.g
v x  v x t , y 
v y  vz  0
Continuidad:
de la tabla
3.4.1
 v x 
 v x 
 0;
0
x
x
Ec de Movimiento: de la tabla 3.4.2
En x:
En y:
En z:
  2vx 
  2vx 
v x 
vx
 vx

 vx
   2 
    2 ; 
x 

y

t
 t


 y 
p
0    g y
y
p
0
z
13
Flujo viscoso en las inmediaciones de una pared que se pone súbitamente en
movimiento
v x   v x

t
 y 2
2
Condiciones de contorno: v (t , y )
0
x
( t  0;y )
v x (t , y ) ( t 0; y 0)  V
v x (t , y ) ( t ; y  )  0
Para resolver este problema se emplea el “método de
combinación de variables” que reduce la ecuación
diferencial en derivadas parciales en una EDO simple.
Este método se puede aplicar porque 2 condiciones de
contorno se pueden agrupar en una sola.
Solución:
vx
 y 
 1  erf 

V
 4t 
Cuando η= 2 la erf(2)=0,99
Se define como “espesor de capa límite, δ” a la
distancia y para la cual la V disminuyó un 99%
aumenta y
aumenta t
y
4t
14
ii) Aproximaciones para flujo inviscido
En esta simplificación se supone que las fuerzas viscosas existentes en
el sistema son despreciables frente a las fuerzas inerciales.
15
Dv

 p   g
Dt
v
 p  g  v..v 
t
Dv v

 v..v
Dt t
 v2 
v..v     v    v 
2

Rotacional: a lo largo de una
línea de corriente, rot.v es cero
g  g x x  g y y  g z z 
 p ˆ v2 
v

     
t
2

ˆ   g
En estado estacionario y para un elemento de volumen a lo largo de una línea de corriente:
ଶ
Ecuación de Bernoulli
16
Punto de estancamiento anterior
Punto de estancamiento posterior
v2=0, p2=ρ(v12/2)+p1
v3=0, p3= ρ(v12/2)+p1
Siguiendo a una partícula fluida:
En 2 y en 3 la totalidad de la energía cinética se transforma en energía de presión
17
La simplificación de flujo inviscido supone una distribución simétrica de
presiones alrededor del cilindro, lo que resulta en una fuerza de arrastre
nula.
-A pesar de que el flujo inviscido no permite realizar cálculos de fuerzas
de arrastre si es posible predecir distribuciones de velocidad y presión
en diferentes sistemas aerodinámicos: al ser menor la presión en la parte
superior del ala aparece una fuerza de sustentación de dirección “y”
positiva
18
iii) Aproximación de flujo reptante
En esta simplificación se supone que las fuerzas inerciales existentes en el
sistema son despreciables frente a las fuerzas viscosas.
19
Ej:
௥
ఏ
po
20
21
A diferencia del flujo inviscido, en el flujo reptante los
elementos de volumen que circulan alrededor de la
esfera pierden energía por roce y como no pueden
tomarla de la inercia, lo hacen de la energía de presión
provocando una disminución de la misma en la parte
posterior de la esfera. Esta diferencia de presión genera
una fuerza neta de arrastre.
Sobre una partícula esférica que cae en un fluido en reposo actúan:
-El peso de la partícula
-El empuje
-El arrastre que de acuerdo a la ley de Stokes es proporcional a la velocidad.
En el estado estacionario se alcanza la “velocidad límite o terminal” y:
22
iv) Teoría de la capa límite. Modelo de Prandtl
(1904)
Suposiciones:
-Lejos de los sólidos se supone que el flujo es inviscido.
-En contacto con el sólido existe una capa muy delgada de fluido (capa límite)
en la cual las fuerzas de inercia y las viscosas son del mismo orden.
El espesor de la capa límite (δ) se define como la distancia desde la pared
del sólido hasta el punto donde la velocidad del fluido difiere en un 1% del
valor de la velocidad lejos del sólido (v∞).
Ecuaciones
simplificadas:
23
“Esta división no corresponde a ningún límite físicamente obvio. El borde de la capa
límite no corresponde a ningún cambio repentino en el flujo sino mas bien a una
definición matemática arbitraria. Aun con esta simplificación, los cálculos son muy
difíciles y en general, solo son posibles soluciones aproximadas. No obstante esta idea
clarificó numerosos fenómenos inexplicables y proporcionó una base intelectual sólida
para analizar flujos complicados. La capa límite se ha convertido en una idea estándar
en los mecánicos de fluidos y mas aún, se probó una idea análoga en la transferencia de
calor y en la transferencia de masa.” de Nevers
24
Blasius obtuvo la siguiente expresión para el espesor de capa límite
hidrodinámica laminar (Rex< 3 105)
5x
x
 ( x) 
5
 v
Re x
Al aumentar la velocidad o el Re
la capa límite se “achata”
-Fuerza de arrastre:
Fx  0.664W v
 v L

La fuerza de arrastre que se ejerce sobre
la placa será mayor cuando mayor es la
velocidad del fluido y mayores sean su
viscosidad y densidad.
En el borde frontero, la capa límite es laminar, pero si Uinf es muy grande o la placa
de suficiente longitud, el régimen pasaría a ser turbulento, aumentando el espesor
de la capa como la tensión rasante.
Se llama xcrit, a la distancia a partir de la cual la capa límite deja de ser laminar.
Problemas 13 y 14 de Calleja Pardo.
25
Efecto: Separación de capa límite
En la interfase fluido-sólido se formará
una capa límite análoga a la analizada en
la placa plana. Fuera de la capa límite
debe existir la distribución de presión de
un flujo inviscido.
En el punto en el cual ocurre flujo inverso
por primera vez la pendiente del perfil de
velocidad en la pared del sólido es cero,
se denomina punto de separación de la
capa límite.
Si bien un elemento de volumen es
retrasado por aquellos mas cercanos al
sólido también es acelerado por
aquellos que se encuentran mas cerca
del borde externo de la capa límite.
B
A
C
26
-La separación de capa límite
origina torbellinos en la parte
posterior del objeto.
-Los torbellinos inicialmente son estacionarios pero a medida que crecen cambian en el
tiempo apareciendo a uno y otro lado del cilindro, generando los llamados vórtices de Von
Karman.
-Los objetos sumergidos se alargan en su parte posterior para reducir el gradiente de
presión adverso evitándose la separación de la capa límite y reduciéndose el arrastre de
forma. Esto incrementa algo la fricción de piel, pero en el balance total siempre se
disminuye el arrastre. Formas aerodinámicas como el perfil del ala de un avión.
-En el otro extremo: La presencia de torbellinos en la capa límite turbulenta provoca un
gran mezclado entre los elementos de volumen lo que conduce a una mayor transferencia
de cantidad de movimiento entre estos que en el caso de la capa límite laminar. A veces se
trata de provocar esta transición adrede, para que esta mayor Transferencia de CdeM
permita vencer el gradiente de presión. Pelotas de golf
27
Efecto: Régimen de flujo en conductos
28
Distribuciones de velocidad en
flujo turbulento
29
Las ecuaciones de variación son aplicables
a régimen turbulento ?
Si son aplicables considerando que los tamaños de los
remolinos son grandes comparados con el recorrido libre
medio de las moléculas.
 Se obtienen valores medios (no los instantáneos) de
velocidad y presión que presentan grandes fluctuaciones
alrededor de los valores medios.
 Se promedian las ecuaciones de variación en un
intervalo de tiempo pequeño.
 Aparece en las ecuaciones un τ que no está definido con la
Ley de Newton sino con otras expresiones empíricas que
tienen en cuenta movimientos y consecuencias del azar y
teorías estadísticas.

xy
(t)
30
Fluctuaciones y magnitudes de tiempo ajustado
Vimos que la velocidad instantánea en un tubo circular en flujo laminar (Re<2100):
2
2




P0  PL R
r
r 
vz 
1      v z ,max 1    
4 L
  R  
  R  
1
 P0  PL R 4
y v z  v z ,max ; Q 
 P  kQ
2
8 L
2
Para flujo turbulento se demostró experimentalmente que (Re= 104-105):
1
 r 7
v z  v z ,max 1  
 R
4
y v z  v z ,max ;
5
7
 P  kQ 4
31
Fluctuaciones de la velocidad en el flujo turbulento
Si en un tubo aumentamos paulatinamente
el gradiente de presión que da lugar al
flujo, la velocidad media aumentará
también. Si fijamos la atención en un punto
en donde el régimen es turbulento, la
componente axial de la velocidad será:
vz  vz  vz

Notar que el ΔP varía y
fluctúa también: p  p  p
- Velocidad instantánea
- Velocidad media
- Velocidad fluctuante
t t
1 0
vz 
v z dt
t0 t

vz  0
v

vz  0  z
vz
2
Fluctuación axial y radial
2
Intensidad de la turbulencia:
puede ser de hasta el 10% en
flujo en tubos
Son mayores las fluctuaciones axiales
32
Ajuste de tiempo de las ecuaciones de variación para fluido
incompresible
Haciendo un promedio en delta t:
Por ejemplo:
i)
 
t
t
 
1 vx
 1
v
dt

vx  x
   v x dt  

t 0 x
x  t 0
x
 x



t
t
1 v x
 1
 
ii )
dt    v x dt   0

t 0 x
x  t 0
 


0
La ecuación de continuidad queda igual pero en
términos de los valores medios
La ecuación de movimiento posee nuevos
términos que están relacionados con las
fluctuaciones de la velocidad: “esfuerzos de
Reynolds”
33
Conclusiones





No se disponen de métodos directos para calcular los perfiles de velocidad en
régimen turbulento.
Para los τ(t) existen expresiones empíricas y para cada solución se debe
determinar al menos una constante a partir de medidas experimentales.
En la formulación analítica de la transferencia de momento en flujo turbulento,
el número de incógnitas excede al número de ecuaciones. El resultado es un
enfoque semi-empírico a la predicción de un flujo turbulento en el cual los
datos experimentales juegan el papel principal.
Se pueden calcular “difusividades (de CdeM, Energia y materia) turbulentas”
pero no sólo no se pueden predecir a priori, sino que no son propiedades
físicas del fluido y por lo tanto dependen del punto considerado y de cada
sistema y sus condiciones.
La solución es recurrir a coeficientes empíricos: “coeficientes de transporte”
34