Nur Ali Amri 1 Integral: Teori dan aplikasi keteknikan PENDAHULUAN Pengertian atau logika dasar integral Integral merupakan bagian dari ilmu matematika yang membicarakan tentang anti (kebalikan) derivatif atau penurunan, yang sifatnya disebut integrasi. Pengertian integrasi berkaitan dengan penyatuan (kumpulan/himpunan) tentang sesuatu. Ketika kita berbicara garis, maka garis sesungguhnya merupakan himpunan titik-titik sedemikian hingga membentuk suatu lini. Lingkaran merupakan himpunan titik-titik yang jaraknya (distance) terhadap titik pusatnya selalu sama. Dengan lain kalimat, dikatakan bahwa kumpulan/himpunan titik-titik sedemikian hingga jaraknya terhadap titik tertentu (titik pusat) sama panjang dinamakan lingkaran. Ketika kita berbicara luasan, maka dia merupakan kumpulan dari garis garis yang sedemikian rapat sehingga membentuk benda yang memiliki luasan. Demikian juga ketika kita berbicara tentang volume (isi), adalah kumpulan dari luasan-luasan. Demikian seterusnya. Jadi kata kunci dari pengertian integral adalah kumpulan (himpunan). Secara umum dapat diformulasikan sebuah proses integrasi (tanpa batas) terhadap fungsi y=f(x) terhadap derivatif dx, sebagai berikut: df ( x) = f ( x)dx =F ( x) + c Batas sajian dan kegunaan Materi yang akan disajikan pada buku ini adalah integral fungsi yang lazim kita kenal dalam keseharian, terutama dalam bidang keteknikan. Sekadar mengingatkan kembali tentang pengertian fungsi. Fungsi secara implikatif (domain and codomain area) adalah hubungan unik yang digambarkan sebagai hubungan fungsional dimana untuk satu nilai dalam daerah domain (asal) terdapat suatu nilai tertentu dalam daerah codomain (jelajah). Sebagai gambaran, ketika kita memiliki y=x2 maka untuk x=0 harga implikasi y=0; untuk x=1 maka harga implikasi y=1; untuk x=2 harga y=4, dan seterusnya. Bagaimana untuk harga lainnya, katakanlah x=-1, x=2, dst. Ketika x diberi harga -1, maka harga y=1 (yang tidak lain sama dengan ketika harga x=1. Demikian juga untuk x=-2 maka y=4, yang tidak lain sama dengan harga x=2. Demikian seterusnya. Artinya apa?. Secara umum untuk satu harga x (pada domain area) akan membawa implikasi pada suatu pasangan pada codomain area, yang dimungkinkan lebih dari satu harga yang sama. Secara formula dapat ditulis, y=f(x)=x2, dimana x merupakan sebuah variabel yang bersifat independen dan y merupakan variabel yang bersifat dependen. Nur Ali Amri 2 Integral: Teori dan aplikasi keteknikan Independensi x disebabkan karena pemilihan harganya bersifat bebas (independent) dan tak terbatas (tak berhingga). Pada contoh di atas, harga x bisa saja -2; -,1,99999; ....., -1; ... 0,999999; ....,1, ...., 2 dan seterusnya. Sementara harga y bergantung (depend on) pada harga x. Pada kondisi dimana harga x tak berhingga banyak sehingga harga y juga tak berhingga, maka fungsinya (dengan syarat-syarat tertentu) disebut fungsi kontinu. Integral memiliki kegunaan, baik di bidang non-teknik maupun keteknikan. Rumus dasar Integral: Jika y=f(U)=Un maka integral, 1 f (U )dU = U dU = n + 1U n n +1 + c , n −1 Ketentuan n1 merupakan suatu larangan bahwa n tidak boleh berharga -1. Artinya, untuk n=1 akan berlaku hasil yang secara fisik berbeda (akan dibahas pada sub bagian berikut). Integral sebagai anti derivatif Integral sering juga disebut sebagai anti derivatif (anti turunan/anti differensial), karena secara faktual harga intergasinya jika diderivatifkan akan menghasilkan fungsi asal. Sebagai gambaran, ketika kita mengintegrasikan fungsi y=f(x)=x2. 1 f ( x)dx = x dx = 2 + 1 x 2 2+1 +c = Pada kondisi demikian, F(x)= 1 3 x +c 3 1 3 x yang derivatifnya adalah: 3 dF ( x) d 1 3 = x = x 2 = f ( x) dx dx 3 Pengembangan dasar logika Dengan melihat kenyataan sebagaimana rumus dasar di atas maka jika y=f(U)=ax+b, 1 (ax + b) dx = a (ax + b) d (ax + b) n = n 1 1 . (ax + b) n+1 + c a n +1 Bentuk umum semacam ini sesungguhnya dapat dicari dengan proses substitusi atau pemisalan. Sebagai contoh awal, carilah (ax + b) n dx =? Jawab: Nur Ali Amri 3 Integral: Teori dan aplikasi keteknikan Kita lakukan substitusi dengan memisalkan ax+b=U, maka dU = adx dU = dx a Sehingga, (ax + b) dx = U n = n 1 1 dU 1 U n+1 + c = U n dU == . a n +1 a a 1 1 . (ax + b) n+1 + c a n +1 Contoh 1. Carilah (2 x + 1) 2 dx = ? Jawab: Dalam hal ini a=2; b=1; dan n=2, sehingga: 1 1 2 2+1 (2 x + 1) dx = 2 . 2 + 1 (2 x + 1) + c = 1 (2 x + 1) 3 + c 6 4 = x 3 + 2x 2 + x + 1 + c 3 Check: Kita tahu bahwa, (2 x + 1) 2 = (2 x + 1)(2 x + 1) = 4 x 2 + 4 x + 1 sehingga: (2 x + 1) dx = (4 x + 4 x + 1)dx = 2 2 4 = x 3 + 2x 2 + x + C 3 Catatan: Pada kondisi ini maka 1+c=C. Contoh 2. Carilah (3 x + 5) 4 dx = ? Jawab: Dalam hal ini a=3; b=5; dan n=4, sehingga: 1 1 4 4+1 (3x + 5) dx = 3 . 4 + 1 (3x + 5) + c = 1 (3x + 5) 5 + c 15 Nur Ali Amri 4 Integral: Teori dan aplikasi keteknikan Contoh 3. Carilah ( 2 x + 1) dx = ? Jawab: Dalam hal ini a=2; b=1; dan n=1/2, sehingga: 1 (2 x + 1)dx = (2 x + 1) 2 dx = 1 1 1 = . (2 x + 1) 2 +1 + c 2 12 + 1 = 3 1 (2 x + 1) 2 + c 3 1 = (2 x + 1) (2 x + 1) + c 3 Bagaimana jika n= -1 ? Jika n= -1 maka dU f (U )dU = U dU = U = ln U + c −1 Contoh 4. Carilah dx x Jawab: dx x = ln x + c Contoh 5. Carilah dx 2 x2 Jawab: dx 2 2 x 2 = ln x + c Oleh karena d(x2)=2xdx, maka 2 xdx 2 x 2 = ln x + c Pengembangan dasar logika 1 d (ax + b) −1 (ax + b) dx = a (ax + b) Nur Ali Amri 5 Integral: Teori dan aplikasi keteknikan 1 = ln ax + b + c a Atau dengan cara substitusi dapat dicari sebagai berikut, Misalkan ax+b=U, maka dU = adx dU = dx a Sehingga, (ax + b) dx = U −1 = −1 1 dU 1 dU == . ln U + c = a a a U 1 ln (ax + b) + c a Contoh 6. Carilah dx x +1 Jawab: dx x + 1 = ln x + 1 + c Contoh 7. Carilah dx 3x + 2 Jawab: dx 1 3x + 2 = 3 ln 3x + 2 + c Contoh 7. Carilah dx 3 x3 Jawab: dx 3 3 x 3 = ln x + c Oleh karena d(x3)=3x2dx, maka 3x 2 dx 3 x 3 = ln x + c Contoh 8. x 2 dx Carilah 3 x Jawab: Nur Ali Amri 6 Integral: Teori dan aplikasi keteknikan Misal U=x3 maka dU=3x2dx, atau x 2 dx = dU 3 Dengan demikian, x 2 dx dU 1 x 3 = 3U = 3 ln U + c 1 = ln x 3 + c 3 ( ) +c = ln x 3 1 3 = ln x + c Check: Kita tahu bahwa, x 2 dx dx x 3 = x = ln x + c Contoh 9. Carilah x 2 dx ( x 3 + 1) Jawab: Misal U=x3+1 maka dU=3x2dx, atau x 2 dx = Dengan demikian, x 2 dx 1 dU 1 (x 3 + 1) = 3 U = 3 ln U + c 1 = ln x 3 +1 + c 3 ( ) Contoh 10. (2 x + 2)dx Carilah 2 x + 2x + 5 Jawab: Misal U=x2+2x+5 maka dU=(2x+2)dx (2 x + 2)dx dU x 2 + 2x + 5 = U = ln U + c = ln ( x 2 + 2 x + 5) + c Contoh 10. cos xdx Carilah sin x Jawab: Misal U=sin x maka dU=cos x dx sehingga, dU 3 Nur Ali Amri 7 Integral: Teori dan aplikasi keteknikan cos xdx dU sin x = U = ln U + c = ln sin x + c Catatan: Karena cos x = ctgx maka kelak contoh soal ini akan dijadikan sebagai dasar dalam sin x mencari rumus, ctgxdx = ln sin x + c Contoh 11. sin xdx Carilah cos x Jawab: Misal U=cos x maka dU=- sin x dx sehingga, dU sin xdx cos x = − U = − ln U + c = − ln sin x + c = ln sin −1 x + c = ln 1 +c sin x = ln cos ec x + c Catatan: Karena sin x = tgx maka kelak contoh soal ini akan dijadikan sebagai dasar dalam cos x mencari rumus, tgxdx = ln cosecx + c
0
You can add this document to your study collection(s)
Sign in Available only to authorized usersYou can add this document to your saved list
Sign in Available only to authorized users(For complaints, use another form )