Nur Ali Amri 1
Integral: Teori dan aplikasi keteknikan
PENDAHULUAN
Pengertian atau logika dasar integral
Integral merupakan bagian dari ilmu matematika yang membicarakan tentang anti (kebalikan)
derivatif atau penurunan, yang sifatnya disebut integrasi. Pengertian integrasi berkaitan dengan
penyatuan (kumpulan/himpunan) tentang sesuatu.
Ketika kita berbicara garis, maka garis sesungguhnya merupakan himpunan titik-titik
sedemikian hingga membentuk suatu lini. Lingkaran merupakan himpunan titik-titik yang
jaraknya (distance) terhadap titik pusatnya selalu sama. Dengan lain kalimat, dikatakan bahwa
kumpulan/himpunan titik-titik sedemikian hingga jaraknya terhadap titik tertentu (titik pusat)
sama panjang dinamakan lingkaran.
Ketika kita berbicara luasan, maka dia merupakan kumpulan dari garis garis yang sedemikian
rapat sehingga membentuk benda yang memiliki luasan.
Demikian juga ketika kita berbicara tentang volume (isi), adalah kumpulan dari luasan-luasan.
Demikian seterusnya.
Jadi kata kunci dari pengertian integral adalah kumpulan (himpunan).
Secara umum dapat diformulasikan sebuah proses integrasi (tanpa batas) terhadap fungsi y=f(x)
terhadap derivatif dx, sebagai berikut:
 df ( x) =  f ( x)dx =F ( x) + c
Batas sajian dan kegunaan
Materi yang akan disajikan pada buku ini adalah integral fungsi yang lazim kita kenal dalam
keseharian, terutama dalam bidang keteknikan. Sekadar mengingatkan kembali tentang
pengertian fungsi.
Fungsi secara implikatif (domain and codomain area) adalah hubungan unik yang digambarkan
sebagai hubungan fungsional dimana untuk satu nilai dalam daerah domain (asal) terdapat suatu
nilai tertentu dalam daerah codomain (jelajah). Sebagai gambaran, ketika kita memiliki y=x2
maka untuk x=0 harga implikasi y=0; untuk x=1 maka harga implikasi y=1; untuk x=2 harga
y=4, dan seterusnya. Bagaimana untuk harga lainnya, katakanlah x=-1, x=2, dst.
Ketika x diberi harga -1, maka harga y=1 (yang tidak lain sama dengan ketika harga x=1.
Demikian juga untuk x=-2 maka y=4, yang tidak lain sama dengan harga x=2. Demikian
seterusnya. Artinya apa?.
Secara umum untuk satu harga x (pada domain area) akan membawa implikasi pada suatu
pasangan pada codomain area, yang dimungkinkan lebih dari satu harga yang sama.
Secara formula dapat ditulis, y=f(x)=x2, dimana x merupakan sebuah variabel yang bersifat
independen dan y merupakan variabel yang bersifat dependen.
Nur Ali Amri 2
Integral: Teori dan aplikasi keteknikan
Independensi x disebabkan karena pemilihan harganya bersifat bebas (independent) dan tak
terbatas (tak berhingga). Pada contoh di atas, harga x bisa saja -2; -,1,99999; ....., -1; ...
0,999999; ....,1, ...., 2 dan seterusnya. Sementara harga y bergantung (depend on) pada harga x.
Pada kondisi dimana harga x tak berhingga banyak sehingga harga y juga tak berhingga, maka
fungsinya (dengan syarat-syarat tertentu) disebut fungsi kontinu.
Integral memiliki kegunaan, baik di bidang non-teknik maupun keteknikan.
Rumus dasar Integral:
Jika y=f(U)=Un maka integral,
1
 f (U )dU =  U dU = n + 1U
n
n +1
+ c , n  −1
Ketentuan n1 merupakan suatu larangan bahwa n tidak boleh berharga -1. Artinya, untuk n=1 akan berlaku hasil yang secara fisik berbeda (akan dibahas pada sub bagian berikut).
Integral sebagai anti derivatif
Integral sering juga disebut sebagai anti derivatif (anti turunan/anti differensial), karena secara
faktual harga intergasinya jika diderivatifkan akan menghasilkan fungsi asal. Sebagai
gambaran, ketika kita mengintegrasikan fungsi y=f(x)=x2.
1
 f ( x)dx = x dx = 2 + 1 x
2
2+1
+c =
Pada kondisi demikian, F(x)=
1 3
x +c
3
1 3
x yang derivatifnya adalah:
3
dF ( x) d  1 3 
=  x  = x 2 = f ( x)
dx
dx  3 
Pengembangan dasar logika
Dengan melihat kenyataan sebagaimana rumus dasar di atas maka jika y=f(U)=ax+b,
1
 (ax + b) dx = a  (ax + b) d (ax + b)
n
=
n
1 1
.
(ax + b) n+1 + c
a n +1
Bentuk umum semacam ini sesungguhnya dapat dicari dengan proses substitusi atau pemisalan.
Sebagai contoh awal, carilah  (ax + b) n dx =?
Jawab:
Nur Ali Amri 3
Integral: Teori dan aplikasi keteknikan
Kita lakukan substitusi dengan memisalkan ax+b=U, maka
dU = adx
dU
= dx
a
Sehingga,
 (ax + b) dx = U
n
=
n
1 1
dU 1
U n+1 + c
=  U n dU == .
a n +1
a
a
1 1
.
(ax + b) n+1 + c
a n +1
Contoh 1.
Carilah  (2 x + 1) 2 dx = ?
Jawab:
Dalam hal ini a=2; b=1; dan n=2, sehingga:
1 1
2
2+1
 (2 x + 1) dx = 2 . 2 + 1 (2 x + 1) + c
=
1
(2 x + 1) 3 + c
6
4
= x 3 + 2x 2 + x + 1 + c
3
Check:
Kita tahu bahwa, (2 x + 1) 2 = (2 x + 1)(2 x + 1) = 4 x 2 + 4 x + 1 sehingga:
 (2 x + 1) dx =  (4 x + 4 x + 1)dx =
2
2
4
= x 3 + 2x 2 + x + C
3
Catatan: Pada kondisi ini maka 1+c=C.
Contoh 2.
Carilah  (3 x + 5) 4 dx = ?
Jawab:
Dalam hal ini a=3; b=5; dan n=4, sehingga:
1 1
4
4+1
 (3x + 5) dx = 3 . 4 + 1 (3x + 5) + c
=
1
(3x + 5) 5 + c
15
Nur Ali Amri 4
Integral: Teori dan aplikasi keteknikan
Contoh 3.
Carilah  ( 2 x + 1) dx = ?
Jawab:
Dalam hal ini a=2; b=1; dan n=1/2, sehingga:
1
 (2 x + 1)dx =  (2 x + 1) 2 dx =
1 1
1
= .
(2 x + 1) 2 +1 + c
2 12 + 1
=
3
1
(2 x + 1) 2 + c
3
1
= (2 x + 1) (2 x + 1) + c
3
Bagaimana jika n= -1 ?
Jika n= -1 maka
dU
 f (U )dU =  U dU =  U = ln U + c
−1
Contoh 4.
Carilah 
dx
x
Jawab:
dx
 x = ln x + c
Contoh 5.
Carilah 
dx 2
x2
Jawab:
dx 2
2
 x 2 = ln x + c
Oleh karena d(x2)=2xdx, maka
2 xdx
2
 x 2 = ln x + c
Pengembangan dasar logika
1 d (ax + b)
−1
 (ax + b) dx = a  (ax + b)
Nur Ali Amri 5
Integral: Teori dan aplikasi keteknikan
1
= ln ax + b + c
a
Atau dengan cara substitusi dapat dicari sebagai berikut,
Misalkan ax+b=U, maka
dU = adx
dU
= dx
a
Sehingga,
 (ax + b) dx =  U
−1
=
−1
1
dU 1 dU
== . ln U + c
= 
a
a
a U
1
ln (ax + b) + c
a
Contoh 6.
Carilah 
dx
x +1
Jawab:
dx
 x + 1 = ln x + 1 + c
Contoh 7.
Carilah 
dx
3x + 2
Jawab:
dx
1
 3x + 2 = 3 ln 3x + 2 + c
Contoh 7.
Carilah 
dx 3
x3
Jawab:
dx 3
3
 x 3 = ln x + c
Oleh karena d(x3)=3x2dx, maka
3x 2 dx
3
 x 3 = ln x + c
Contoh 8.
x 2 dx
Carilah  3
x
Jawab:
Nur Ali Amri 6
Integral: Teori dan aplikasi keteknikan
Misal U=x3 maka dU=3x2dx, atau x 2 dx =
dU
3
Dengan demikian,
x 2 dx
dU 1
 x 3 =  3U = 3 ln U + c
1
= ln x 3 + c
3
( ) +c
= ln x 3
1
3
= ln x + c
Check:
Kita tahu bahwa,
x 2 dx
dx
 x 3 =  x = ln x + c
Contoh 9.
Carilah 
x 2 dx
( x 3 + 1)
Jawab:
Misal U=x3+1 maka dU=3x2dx, atau x 2 dx =
Dengan demikian,
x 2 dx
1 dU 1
 (x 3 + 1) = 3  U = 3 ln U + c
1
= ln x 3 +1 + c
3
(
)
Contoh 10.
(2 x + 2)dx
Carilah  2
x + 2x + 5
Jawab:
Misal U=x2+2x+5 maka dU=(2x+2)dx
(2 x + 2)dx
dU
 x 2 + 2x + 5 =  U = ln U + c
= ln ( x 2 + 2 x + 5) + c
Contoh 10.
cos xdx
Carilah 
sin x
Jawab:
Misal U=sin x maka dU=cos x dx sehingga,
dU
3
Nur Ali Amri 7
Integral: Teori dan aplikasi keteknikan
cos xdx
dU
 sin x =  U = ln U + c
= ln sin x + c
Catatan: Karena
cos x
= ctgx maka kelak contoh soal ini akan dijadikan sebagai dasar dalam
sin x
mencari rumus,
 ctgxdx = ln sin x + c
Contoh 11.
sin xdx
Carilah 
cos x
Jawab:
Misal U=cos x maka dU=- sin x dx sehingga,
dU
sin xdx
 cos x = −  U = − ln U + c
= − ln sin x + c
= ln sin −1 x + c = ln
1
+c
sin x
= ln cos ec x + c
Catatan: Karena
sin x
= tgx maka kelak contoh soal ini akan dijadikan sebagai dasar dalam
cos x
mencari rumus,
 tgxdx = ln cosecx + c