1
Функции и их графики. Переменные величины. Понятие функции.
График функции. Способы задания функции
Определение. Функцией f называют правило, которое каждому элементу x ∈ X ставит в
соответствие единственный элемент y ∈ Y .
Обычно x называют аргументом функции (или независимой переменной). Элемент
𝑦0 ∈ Y, соответствующий фиксированному значению аргумента 𝑥0 , называют
значением функции и обозначают через f( 𝑥0 ): 𝑦0 = f(x0). При изменении аргумента x
значение функции y = f(x), как правило, также изменяются, и поэтому y часто называют
зависимой переменной.
Множество X называют областью определения функции f и обозначают D(f).
Множество
всех значений функции f, которые она принимает на элементах множества X,
называют множеством значений функции f (или областью её значений) и обозначают
E(f).
В рассмотренном выше примере значение f(x) равно x3: f(x) = x3. Областью
определения D(f) этой функции является множество всех положительных чисел. Это же
множество будет множеством ее значений E(f).
Рис. 1:
Если задана функция f с областью определения D(f), то каждому значению аргумента
x ∈ D(f) соответствует значение функции y = f(x)(рис. 1).
По двум числам 𝑥0 и 𝑦0 = f(x0) можно построить на координатной плоскости точку
M(x0;f(x0)). Совокупность всех таких точек образует график функции f.
2𝑥+3
Пример. Найдём область определения функции √ 𝑥+1 + √𝑥 2 − 2.
Решение. Квадратные корни можно извлекать только из неотрицательных чисел,
поэтому данная функция определена для тех значений x, для которых выполнено
условие
2𝑥 + 3
≥ 0,
{𝑥+1
𝑥 2 − 2 ≥ 0.
Эту систему неравенств решим методом интервалов. Её решением является множество
3
𝐷(𝑓) = (−∞; − 2] ∪ [√2; +∞).
Рис. 2:
Нахождение множества значений E(f) функции f при x ∈ D(f) связано с решением
уравнений. Действительно, для того чтобы число 𝑦0 являлось значением функции f,
необходимо и достаточно, чтобы уравнение 𝑦0 = f(x) имело корень x ∈ D(f). Это
уравнение в зависимости от значения 𝑦0 может иметь одно решение, несколько решений
или не иметь совсем. Рисунок 2 иллюстрирует это утверждение: значение 𝑦0 функция f
принимает в двух точках x1 и x2; значение y1 — в одной точке x3; значение y2 — в одной
точке x4; значение y3 функция f не принимает совсем.
4𝑥+8
Пример. Найдём множество E(f) значений функции 𝑥 2 +5.
Решение. Функция
4𝑥+8
𝑥 2 +5
определена для всех действительных значений x, так как
знаменатель x +5≠0 для всех x in(−∞;+∞). Поэтому нам достаточно найти множество тех
значений 𝑦0 , при которых
2
2𝑦+8
𝑦0 = 𝑥 2 +5
(1)
имеет решение x ∈ D(f) = (−∞;+∞).
Запишем уравнение (1) в виде
𝑦0 𝑥 2 − 4x + 5𝑦0 − 8 = 0.
(2)
Если 𝑦0 ≠ 0, то уравнение (2) — квадратное уравнение, имеющее решение тогда и
только тогда, когда его дискриминант D неотрицательный. Имеем
D= (−42 ) − 4𝑦0 (5𝑦0 − 8) = −20𝑦02 + 32𝑦0 + 16.
2
Решая неравенство −20𝑦02 + 32𝑦0 + 16 > 0, получим 𝑦0 ∈ [− 5 ; 2].
2
Но 𝑦0 ≠ 0по предположению, поэтому 𝑦0 ∈ [− 5 ; 0) ∪ (0; 2].
Если 𝑦0 = 0, то уравнение (2) принимает вид 4x + 8 = 0.
Оно имеет решение x = −2. Таким образом, 𝑦0 = 0 тоже принадлежит множеству
4𝑥+8
2
значений функции 𝑥 2 +5. Окончательно получаем 𝐸(𝑓) = [− 5 ; 2]
Способы задания функции:
1. Аналитический — задание функции формулой y = f(x), показывающей способ
вычисления значения функции по соответствующему значению аргумента. Если
при этом ничего не говорится об области определения, то считается, что функция
определена на множестве тех значений аргумента, для каждого их которых
аналитическое выражение имеет смысл. Множество всех таких значений аргумента
иногда называется естественной областью определения функции.
2. Табличный — указание значений функции от соответствующих значений
аргумента. Способ применяется в тех случаях, когда область определения функции
дискретна, т. е. состоит из конечного числа значений. В виде таблиц записывают
результаты экспериментального исследования каких-либо процессов. При этом
способе значения независимой переменной выписываются в определенном порядке
x1,x2,...,xn, а рядом с ними указываются соответствующие им значения функции
y1,y2,...,yn. Например,
x1 x2 x3 x4 ...
y1 y2 y3 y4 ...
3. Графический. Графическим способом задания функции пользуются в тех случаях,
когда он становится единственно доступным и наиболее удобным. Например, в
технике, физике и т.
д. Хотя этот способ является наглядным, однако он не позволяет точно определить
числовые значения аргумента и функции, поскольку по чертежу значения y,
отвечающие данным значениям x, находятся приближенно.
Графиком Гf функции y = f(x) с областью определения D(f) называется множество
всех точек координатной плоскости Oxy вида (x,f(x)), x ∈ D(f).
4. Кусочно-заданная
функция — функция одной переменной, определённая на
множестве вещественных чисел, заданная на каждом из интервалов, составляющих
область определения, отдельной формулой или другим способом задания функции.
Функция называется кусочно-линейной, если числовую прямую можно разбить на
промежутки ненулевой длины, внутри каждого из которых эта функция линейна.
Приведем примеры кусочно-линейных функций.
−1, если 𝑥 < 0,
𝑦 = sign x={ 0, если 𝑥 = 0,
1,
если 𝑥 > 0.
2
Виды
функций.
Монотонность
функций.
Промежутки
знакопостоянства. Точки максимума и минимума. Наибольшее и
наименьшее значение функции на промежутке. Чтение графиков
2.1
Четные и нечетные функции
Рассмотрим точки A(x;f(x)) и B(−x;f(−x)) на графике функции f(x). Если функция f четная,
то f(x) = f(−x) и поэтому точки A и B расположены симметрично относительно оси Oy
(рис. 3). Отсюда следует, что график четной функций симметричен относительно оси
Oy.
Рис. 3:
Рис. 4:
Примером четной функции является функция x2, рассмотренная
Действительно, f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x).
График этой функции — парабола, симметричная относительно оси Oy.
Пример. Выясним, будет ли четной функция
2𝑥 4 −3𝑥 2
𝑥 2 +4
выше.
, −∞ < 𝑥 < +∞.
Решение. Область определения данной функции — множество (−∞+∞), симметрична
относительно точки x = 0. Рассмотрим
f(-x)=
2(−𝑥)4 −3(−𝑥)2
(−𝑥)2 +4
=
2𝑥 4 −3𝑥 2
𝑥 2 +4
= 𝑓(𝑥)
Значит, исследуемая функция является четной.
Определение. Функция f называется нечетной, если при изменении знака аргумента
значение функции изменяет только знак, т. е.
f(−x) = −f(x).
Точка B(−x;−f(x)) симметрична точке A(x;f(x)) относительно начала координат (рис.
4), поэтому график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
𝑘
𝑘
𝑘
Например, функция 𝑥 , 𝑥 ≠ 0, нечетная, так как f (−𝑥) = −𝑥 = − 𝑥 = −𝑓(𝑥). Её
график симметричен относительно начала координат. Это свойство мы отмечали уже
𝑘
при построении графика функции 𝑥 .
2𝑥 3 −𝑥
Пример. Выясним, будет ли нечетной функция 𝑥 2 +1 , −∞ < 𝑥 < +∞.
Решение. Область определения функции — множество (−∞;+∞), симметрична
относительно точки x= 0. Рассмотрим
(−𝑥) =
2(−𝑥)3 −(−𝑥)
(−𝑥)2 +1
=
−2𝑥 3 +𝑥
𝑥 2 +1
=−
2𝑥 3 −𝑥
𝑥 2 +1
= −𝑓(𝑥).
Этим доказано, что функция нечетная.
Пример. Функция x3, −∞< x<+∞, нечетная, так как f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x).
Не следует думать, что функции делятся на четные и нечетные. Это не так. Например,
функция f(x) = x2 + x не является ни четной, ни нечетной:
f(−x) = x2 −x ≠ f(x) = x2 + x,
2.2
f(−x) = x2 −x ≠ −f(x) = −x2 −x.
Монотонность функций
Определение. Функция f называется возрастающей на промежутке I, если для любых
x1, x2 ∈ I и таких, что x1 < x2, следует, что f(x1) < f(x2).
Определение. Функция f называется убывающей на промежутке I, если для любых x1, x2
∈ I и таких, что x1 < x2, следует, что f(x1) > f(x2).
Пусть a ≤ x1 <b,a< x2 ≤ b и пусть для всех таких x их неравенства x1 < x2 следует
неравенство f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)). В этом случае говорят, что функция f возрастает
(убывает) на отрезке [a;b].
Рис. 5:
Рис. 6:
Определение. Функции, возрастающие или убывающие на промежутке I, называются
монотонными на этом промежутке.
1
1
Пример. Найти промежутки монотонности функции y=1−𝑥 + 1+𝑥.
1
1
2
Решение. Отметим, что 𝑦 = 1−𝑥 + 1+𝑥 = 1−𝑥 2. Составим разность y(x1) − y(x2). Имеем
2
2(𝑥 2 −𝑥 2 )
2
2
− 1−𝑥 2 = (1−𝑥 21)(1−𝑥
2 ).
1−𝑥 2
1
2
1
2
Область определения исходной функции
D(y) = (−∞;−1) ∪ (−1;1) ∪ (1;+∞).
Соответственно рассмотрим три промежутка.
1. Пусть x1 < x2 <−1. Тогда 𝑥12 − 𝑥22 > 0, 1 − 𝑥12 < 0, 1 − 𝑥22 < 0 . Следовательно,
y(x1)−y(x2) >0 на промежутке (−∞;−1), т. е. функция убывает.
2. Пусть −1 < x1 < x2 <1. Тогда 1-𝑥12 > 0, 1 − 𝑥22 > 0. При этом 𝑥12 − 𝑥22 > 0, если
-1< 𝑥1 < 𝑥2 ≤ 0, если 0 ≤ x1 < x2 <1. Следовательно, y(x1) − y(x2) >0 на (-1; 0], т. е.
функция убывает на этом промежутке, и y(x1)−y(x2) <0 на [0; 1), т. е. функция
возрастает на этом промежутке.
3. Пусть 1 < x1 < x2. Тогда 𝑥12 − 𝑥22 < 0, 1 − 𝑥12 < 0, 1 − 𝑥22 < 0. Следовательно, y(x1)
− y(x2) <0 на промежутке (1;+∞), т. е. функция возрастает.
Итак, данная функция на промежутках (−∞;−1) и (-1; 0] убывает, а на промежутках [0;
1) и (1;+∞) возрастает.
2.3
Точки максимума и минимума
Определение Окрестностью точки 𝑥0 называют интервал (𝑥0 −h;𝑥0 + h).
Изменяя число h, будем получать различные окрестности точки 𝑥0 (рис. 7)
(рис. 7)
Определение Точка 𝑥0 называется точкой минимума функции f, если ее значение в точке
𝑥0 x0 меньше всех других ее значений, принимаемых в некоторой окрестности этой
точки:
f(𝑥0 ) < f(x), x ≠ 𝑥0 .
Значение функции f в точке x0 называют минимумом и обозначают
𝑦𝑚𝑖𝑛 = f(𝑥0 ).
Определение. Точка x0 называется точкой максимума функции f, если ее значение в
точке x0 больше всех других ее значений, принимаемых в некоторой окрестности этой
точки:
f(𝑥0 x0) > f(x), x ≠ 𝑥0 .
Значение функции f в точке x0 называют максимумом и обозначают
𝑦𝑚𝑎𝑥 = f(𝑥0 ).
Точки минимума и максимума называются точками экстремума (от латинского
extremum — крайнее), а значения функции в этих точках — экстремумами.
2.4
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Самое большое среди всех значений, которое функция f принимает на заданном
промежутке I, называется наибольшим значением функции на промежутке и
обозначается
x∈I
M = maxf(x),
Самое маленькое среди всех значений, которое функция f принимает на заданном
промежутке I, называется наименьшим значением функции на промежутке I
обозначается
x∈I
m = minf(x),
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
𝑦=
𝑥 2 −2𝑥+2
𝑥 2 +1
.
Решение. Найдем множество значений данной функции. Для этого найдем такие
значения a, для которых имеет решение уравнение
𝑥 2 −2𝑥+2
𝑥 2 +1
= 𝑎.
(1)
Так как x2 + 1 ≠ 0, то, домножая обе части уравнения (1) на x2 + 1 и приводя подобные,
получим
(1 − a)x2 − 2x + (2 − a) = 0.
(2)
При a = 1 решением уравнение (2) служит x = 0,5. При a ≠ 1 необходимо и достаточным
условием того, что уравнение (2) имеет действительные корни, является выполнение
неравенства
D = −4a2 + 12a − 4 ≥ 0.
Отсюда следует, что уравнение (2) при
3−√5
2
≤𝑎≤
3+√5
2
, a≠ 1 имеет два различных или
совпадающих корня x1 и x2, причем y(x1) = y(x2) = a. Кроме того, a = 1 принадлежит
выписанному промежутку. Следовательно, функция принимает все значения из отрезка
3−√5 3+√5
[ 2 ;
2
] и только их.
3−√5
3+√5
Поэтому yнаим= 2 , yнаиб= 2 . Найдем значение x, в которых достигаются найденные
наибольшее и наименьшее значения функции. Из формулы для корней уравнения (2)
3−√5
4
3+√5
следует, что при a= 2 числа 𝑥1 = 𝑥2 = 3−√5 = 3 + √5, а при a= 2
4
3+√5
= 3 − √5.
Значит, yнаим=y(3+√5) =
2.5
числа 𝑥1 = 𝑥2 =
3−√5
и yнаиб.=y(3-√5) =
2
Периодические функции
3+√5
2
.
Функция y = f(x) называется периодической, если существует такое число T >0,
называемое периодом, что для каждого x ∈ D(f):
1. точки x + T и x −T принадлежат области определения функции;
2. f(x) = f(x + T).
Если T — период функции, то ее периодом будет также и число kT, k ∈ Z. Наименьший
из положительных периодов периодической функции (если он существует) называется
ее основным (главные) периодом.
В качестве примера рассмотрим следующую
функцию: y = x = x − |x| — «дробная часть x». Ее основной
период T = 1.
Теорема. Пусть T1 >0 — период функции f(x), а T2 >0 — период функции g(x), причем
T1 и T2 соизмеримы. Если существуют значения x, принадлежащие одновременно D(f) и
D(g), то функция h(x) = f(x) + g(x) — периодическая, имеющая периодом число T =
НОК(T1,T2).
Если T = НОК(T1,T2), то существуют такие целые числа k и m, что T = kT1 и T = kT2.
Пусть x — любое значение из D(h). Тогда h(x + T) = f(x + T) + g(x + T) = f(x + kT1) + g(x +
mT2) = f(x) + g(x) = h(x).
2.6
Чтение графиков
Процедура, с помощью которой по заданному графику функции установили наоичие
(или отсутствие) свойств функции, называется чтением графика функции.
3
Задания
3.1
Средний уровень
1. Дана функция f(x)=
(a)
2𝑥+1
.
𝑥 2 +1
3
1
Какое значение принимает эта функция при 𝑥 =7; 2 ; −4; 𝑡 ; 2𝑡 − 1?
(b) Существуют ли значения x, при которых 𝑓 (𝑥) =1;
𝑓 (𝑥) =2; 𝑓(𝑥) =
1+√5
2
?
𝑥 2 +1
2. Дана функция 𝑓(𝑥) =
(a)
𝑥 3 −2𝑥
, 𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≠ ±√2.
Какое значение эта функция принимает при 𝑥 =−1; 𝑥 =0,3?
(b) Найдите f(2x), f(x + 1), f(x2), f(2t + 3), f2(x).
(c)
Справедливо ли равенство f(−x) = −f(x)?
3. Найдите область определения функции:
(a)
2
𝑦=
√𝑥−3
𝑥−1
(b) 𝑦 =
(c)
√𝑥−1
3
;
;
𝑦 = 𝑥−2 𝑥 ;
√
(d) 𝑦 =
2
.
√𝑥 2 −6𝑥+8−2
4. Найдите область значений функции:
(a)
𝑦 =x2 + 2;
(b) 𝑦 =3 − 4x2;
(c)
𝑦 =3x −x2;
(d)
𝑦 =3x2 − 6x + 1.
5. Определить, какие из функций являются четными, нечетными и какие не являются
ни четными, ни нечетными:
(a)
𝑦 =x2 −x4;
(b) 𝑦 =x3 −x5;
(c)
𝑦 =x3 −x2;
(d) 𝑦 = (x − 3)3;
(e)
𝑦 = (2 − x)3 − (2 + x)3;
(f)
𝑦=
(g)
𝑦 = 3√𝑥;
1
𝑥+
1
1
𝑥+
𝑥
;
(h) 𝑦 = √2|𝑥| − 1;
𝑦 = |4𝑥 − 2|.
6. Выясните, какие из следующих функций являются четными, какие нечетными, а
какие не принадлежат ни одному из этих классов:
(i)
(a)
(b)
(c)
1
1
1+𝑥+𝑥 2
𝑥 3 −𝑥
− 1−𝑥+𝑥 2 ;
;
𝑥 2 +1
𝑥 4 +𝑥 2 +1
𝑥 2 +1
;
+ (𝑥 − 1)4 ;
(e) 𝑥 4 − 4𝑥 + 5;
(d) (𝑥 + 1)
(f)
𝑥 3 +1
𝑥 2 +1
;
4
(g)
𝑥+4
𝑥−4
+
𝑥−4
.
𝑥+4
Достаточный уровень
3.2
1.
5𝑥
a) 𝑦 = 2|𝑥+1|−5. При каком значении аргумента значение функции равно 2?
1
b) 𝑦 = |𝑥+2|−|𝑥−2|. При каком значении аргумента значение функции равно 1?
5
c) 𝑦 = |𝑥−2|−|2𝑥+3|. При каком значении аргумента значение функции равно -1?
4𝑥
d) 𝑦 = |𝑥−3|−3|𝑥+1|. При каком значении аргумента значение функции равно 4?
2.
Найдите область определения функции:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
3.
𝑥+3
√𝑥 3 −𝑥 2 −𝑥+1
4𝑥+3
√𝑥 2 −2𝑥−8
;
;
√15 − 2𝑥 − 8𝑥 2 ;
1
√𝑥 3 −6𝑥 2 +11𝑥−6
√4 − |𝑥| +
1
;
1
𝑥−1
;
+ √5 − 2𝑥.
𝑥 2 −3𝑥+2
Найдите область определения функции (3-4):
(a)
3−2𝑥−𝑥 2
𝑦 = √𝑥 2 +7𝑥+12 ;
−𝑥 2 +6𝑥−8
(b) 𝑦 = √
(c)
𝑥 2 +5𝑥+6
2
𝑦 = √𝑥 2
+𝑥−20
;
+ √𝑥 2 + 5𝑥 − 14;
(d) 𝑦 = √20 − 𝑥 − 𝑥 2 −
3
√14−5𝑥−𝑥 2
.
4.
(a)
√17−15𝑥−2𝑥 2
𝑦=√
𝑥+3
7−𝑥
(b) 𝑦 = √
√4𝑥 2 −19𝑥+12
(c)
−4𝑥 2 +4𝑥+3
𝑦 = √ √2𝑥 2
−7𝑥+3
√6+7𝑥−3𝑥 2
(d) 𝑦 = √
−3𝑥 2 +2𝑥+8
5.
;
;
.
Найдите область значений функции:
(a)
5
𝑦 = 𝑥−2 ;
(b) 𝑦 =
(c)
𝑦=
(d) 𝑦 =
6.
;
𝑥
𝑥+1
2
;
𝑥 2 +2
𝑥 2 +1
𝑥
;
;
Найдите множество значений функции:
(a)
2𝑥+1
𝑥 2 +6
;
(b)
(c)
(d)
1+𝑥 2
2+𝑥
2𝑥+3
, 𝑥 ≥ 0;
;
𝑥−2
𝑥−3
.
𝑥 2 +𝑥+4
Существует ли среди значений функции самое большое и самое малое? Если да, то
в каких точках функция принимает эти значения?
Пусть 𝑓(𝑥) =
7.
𝑥 2 −𝑥
2
, 𝜑(𝑥) =
𝑥 2 −𝑥
2
. Докажите, что:
f(1 + x) + 𝜑(1 − x) = x;
(b) f(−x) + 𝜑(1 + x) = 0;
(a)
(c)
f(x2 + 1) + 𝜑(1 − x2) = x2.
Исследуйте функцию на четность (8 – 9):
8.
(a) f(x) = (x + 3)|x − 1| + (x − 3)|x + 1|;
(b) 𝜑(x) = (x + 5)|x − 3| − (x − 5)|x + 3|;
|𝑥−7|
|𝑥+7|
|𝑥−4|
|𝑥+4|
(c) 𝑔(𝑥) = 𝑥+1 + 𝑥−1 ;
(d) ℎ(𝑥) = 𝑥+2 + 𝑥−2 .
9.
(a) f(x) = (x + 2)(x + 3)(x + 4) − (x − 2)(x − 3)(x − 4);
(b) 𝜑(x) = (x − 5)8(x + 7)11 + (x + 5)8(x − 7)11;
(c)
g(x) = (x − 6)9(x + 3)5 + (x + 6)9(x − 3)5;
(d) h(x) = (x2 − 3x + 5)(x3 − 8x2 + 2x − 1) − (x2 + 3x + 5)(x3 + 8x2 + 2x + 1).
10. Представить функцию в виде суммы четной и нечетной функции:
(a)
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 6𝑥 2 + 2𝑥 + 4;
(b) 𝑓(𝑥) =
𝑥 4 +𝑥
.
𝑥 2 +𝑥+1
11. Представьте в виде суммы четной и нечетной функции следующие функции:
(a)
(b)
(c)
(d)
3x2 −x + 7;
𝑥 2 +1
𝑥 2 +𝑥+1
𝑥 3 +1
𝑥 2 +4
𝑥 2 +4
;
;
.
𝑥 3 +1
Высокий уровень
3.3
Найдите область определения функции:
(a) 𝑦 = √12𝑥 2 − 4𝑥 3 − 9𝑥 −
√2 − |𝑥|;
1.
(b) 𝑦 = √|𝑥 − 1|(3𝑥 − 6) +
3
(c)
;
𝑥 2 +4𝑥−21
√(𝑥 2 −4𝑥−21)|𝑥+2|
𝑦=
𝑥 2 +𝑥−72
;
(d) 𝑦 = √5 − √4𝑥 2 − 20𝑥 + 25 −
√|𝑥|(2𝑥 − 10).
2.
Найдите область значений функции:
(a)
𝑦 = 1−
(b) 𝑦 = 2 −
(c)
5
√𝑥−1+1
3
;
2𝑥 2 −8𝑥+9
;
𝑦 = 1 − √9 − √2𝑥 2 + 6√2𝑥 + 9;
(d) 𝑦 = 3 − √16 − √4𝑥 2 − 4√3𝑥 + 3.
3.
Исследуйте функцию на четность:
(a)
𝑓(𝑥) =
(b) 𝜑(𝑥) =
(c)
𝑥 3 −2−2𝑥 2
𝑥+1
𝑥 5 −2𝑥 2 −3
𝑥−4
(𝑥−1)5
−
+
𝑥 3 +2𝑥 2
;
𝑥1
𝑥 5 +2𝑥 2 +3
𝑥+4
(𝑥+1)5
;
𝑔(𝑥) = (3𝑥+4)3 + (3𝑥−4)3 ;
(d) ℎ(𝑥) =
(𝑥−2)3 (𝑥+1)5 (𝑥−5)7
2𝑥+1
+
(𝑥+2)3 (𝑥−1)5 (𝑥+5)7
2𝑥−1
.
Найдите промежутки возрастания и убывания функции
– 5):
4.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2x−1
4x+1
3−4x
;
;
1+3x
4x−1
−1−6x
3x+7
;
;
6x+1
−3x+1
4−9x
ax+b
cx+d
;
.
5.
(a) 2x3 + 4x − 5;
(b) 1 − 6x − 3x3;
(c) −x3 −x + 3;
(d) x4 + 3x2;
(e) 2x4 + 5x2;
(f) (f) −x4 −x2.
6.
Найти наименьшее и наибольшее значения функции:
(a)
2𝑥+1
𝑦 = 𝑥 2 +𝑥+1 ;
(b) 𝑦 =
𝑥+1
.
𝑥 2 +2𝑥+3
(4