Matemáticas Avanzadas II 2024-1
Control 5
Tiempo: 30 minutos
Nombre .........................................................................................
PREGUNTA
PUNTAJE MÁXIMO
1
30
2
30
TOTAL
60
PUNTOS OBTENIDOS
NOTA
Observaciones:
Cada respuesta debe ser justificada con claridad.
Durante el desarrollo del control no se responde ningún tipo.
Está permitido el uso de calculadora simple. Prohibido mirar celulares. Mochilas adelante.
El o la estudiante que sea sorprendido o sorprendida usando o intentando utilizar procedimientos ilı́citos durante el desarrollo de la prueba, será enviado a investigación por infracción
al código de honor.
1. Considere la función f (x) = 3x4 − 2x3 − 12x2 + 15.
a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f .
b) Determine los intervalos donde f es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.
c) Esboce el gráfico de f .
Solución.
a. Calculamos la primera derivada,
f ′ (x) = 12x3 − 6x2 − 24x = 6x(2x2 − x − 4),
√
Los respectivos puntos crı́ticos son x1 = 0, x3 = 1−4 33 ,
Realizamos el respectivo análisis de signos,
√
x2 = 1+4 33 .
]−∞, x2 [ ]x2 , 0[ ]0, x3 [ ]x3 , ∞[
6x
+
+
2x2 − x − 4
+
+
′
f (x)
+
+
Con lo cual, f es creciente en los intervalos ]x2 , 0[∪]x3 , ∞[ y decreciente en los intervalos
] − ∞, x2 [∪]0, x3 [.
b. Para analizar la concavidad, comenzamos calculando la segundo derivada,
f ′′ (x) = 36x2 − 12x − 24 = 12(x + 1)(x − 2).
Con lo cual debemos realizar el siguiente análisis de signos,
x+1
x−2
f ′′ (x)
]−∞, 1[ ] − 1, 2[ ]2, ∞[
+
+
+
+
+
De donde se tiene que el gráfico de f es concava hacia arriba en los intervalos ]−∞, −1[∪]2, ∞[
y concava hacia abajo en el intervalo ] − 1, 2[.
c. Un posible esbozo del gráfico es
Asignación de puntaje.
1.a) Asignar 3 puntos por calcular correctamente la primera derivada.
1.a) Asignar 3 puntos por determinar correctamente los puntos criticos y plantear los intervalos a analizar.
1.a) Asignar 3 puntos por determinar correctamente los intervalos de crecimiento.
1.a) Asignar 3 puntos por determinar correctamente los intervalor de decrecimiento.
1.b) Asignar 3 puntos por calcular correctamente la segunda derivada.
1.b) Asignar 3 puntos por determianr correctamente los intervalos a analizar.
1.b) Asignar 3 puntos por determinar correctamente los intervalos donde es concava hacia
arriba.
1.b) Asignar 3 puntos por determinar correctamente los intervalos donde es concava hacia
abajo.
1.c) Asignar 3 puntos por dar cuenta en el esbozo de gráfico, los intervalos de cremiento.
1.c) Asignar 3 puntos por dar cuenta en el esbozo de gráfico, los intervalos de concavidad.
2. Un estudio de eficiencia del turno de la mañana de una fábrica indica que un trabajador
promedio, que comienza a trabajar a las 8 : 00 a.m. habrá producido
Q(t) = −t3 + 9t2 + 12t,
unidades t horas despúes. Determine, usando el criterio de la segunda derivada, el momento
en que el trabajador se desempeña con mayor eficiencia
Solución:
Comencemos calculando la primera derivada de la función Q(t),
Q′ (t) = −2t2 + 18t + 12.
√
√
Con lo cual obtenemos dos posibles puntos crı́ticos, t1 = 3 − 13, t2 = 3 + 13. El primero
de los valores no lo podemos considerar ya que es negativo.
Verifiquemos si t2 es el máximo local buscado, haciendo uso de la segunda derivada,
Q′′ (t) = −6t + 18,
la segunda derivada
es positivo en el intervalo ]0, 3[ y negativa en el intervalo ]3, ∞[ con lo
√
cual t2 = 3 + 13 resulta ser el punto donde se maximiza la eficiencia.
Asignación de puntaje:
Asignar 10 puntos por derivar y calcular el punto crı́tico respectivo.
Asignar 15 puntos por calcular la segunda derivada y realizar el analisis de signo para
analizar la naturaleza del punto crı́tico.
Asignar 5 puntos por responder correctamente lo pedido.