Teoria i filozofia pomiaru
Pomiar – empiryczny proces obiektywnego przyporządkowania liczb właściwościom
obiektów (przedmiotów) i zdarzeń świata realnego w sposób umożliwiający
opisanie tych obiektów i zdarzeń.
Kiedy właściwość przedmiotu lub zdarzenia jest scharakteryzowana liczbą, to liczba ta „niesie”
informację o tej właściwości.
Pomiar jest procesem uniwersalnym i szeroko rozpowszechnionym.
Pomiar pewnych właściwości fizycznych jest intuicyjnie oczywisty – od dziecka uczymy się
mierzenia długości lub ciężaru, powierzchni, objętości, czasu, temperatury.
Istnieją właściwości, które trudno mierzyć, np. twardość, smarowalność (np. masła), zginalność
(np. papieru), zwartość (np. sterty węgla) – są to bardzo ważne właściwości charakteryzujące
podatność substancji na obróbkę za pomocą narzędzi.
Nauki społeczne i biologiczne stwarzają jeszcze większe problemy przy tworzeniu skal
pomiarowych. Trudno mierzyć smak, zapach, inteligencję, obłęd, poziom konfliktu w grupie,
poziom życia w społeczeństwie.
Pomiar jest podstawową metodą naukowego poznawania świata.
Galileusz: „policz to co można policzyć, zmierz to co można zmierzyć, a to co jest niemierzalne
uczyń mierzalnym”.
Nowoczesna technologia uczyniła ogromny krok w rozwoju instrumentalnych środków
pozyskiwania informacji od obiektów i zjawisk fizycznych. Informacje te są kodowane w
postaci sygnałów fizycznych i mogą być przetwarzane za pomocą różnego rodzaju maszyn
informacyjnych.
Krótka historia:
 świat starożytny – początki badań nad istotą pomiaru, np. Szkoła Pitagorasa - związki miedzy liczbami a
światem realnym, Akademia Platona - teoria wielkości obiektów, „Metafizyka” Arystotelesa - pojęcie
pomiaru,
 Newton - pierwsza wyczerpująca matematyczna teoria fizyki, w tym teoria wielkości oparta na
arytmetyce,
 Helmholtz – 1887 r. – podwaliny pod nowoczesną teorię pomiaru – analiza logiczna istoty liczenia i
mierzenia,
 Campbell – 1920 r. – analiza istoty pomiarów wielkości fizycznych, zwłaszcza addytywnych, czyli
takich, które można dodawać, np. długości czy ciężaru,
 Tarski – 1954 r. – „filozoficzne” opracowanie pomiaru wielkości nieaddytywnych, teoria użyteczności i
teoria systemów relacji i modeli, rozważanie pomiaru jako ustanowienia odpowiedniości między
[zbiorem przejawów własności i relacji miedzy nimi] a [zbiorem liczb i relacji między nimi].
Natura i właściwości pomiaru
Pomiar - przyporządkowanie liczb właściwościom obiektów i zdarzeń.
Opis właściwości obiektów i zdarzeń a nie samych obiektów i zdarzeń.
Mierzy się nie obiekt, ale jego długość, ciężar, temperaturę itd.
Zakłada się istnienie jednoznacznego pojęcia mierzonej właściwości jako abstrakcyjnej
cechy całej klasy obiektów i zdarzeń, której indywidualne przypadki (przejawy lub wartości)
są przedmiotem pomiaru.
Zakłada się istnienie liczb jednoznacznie przyporządkowanych danym wartościom badanej
właściwości (wielkości), przy czym różnym wartościom badanej właściwości za pomocą tego
samego procesu pomiarowego przyporządkowywane są różne liczby.
Stąd liczbowe relacje pomiędzy liczbami (wynikami pomiarów) wynikają z empirycznych
relacji między wartościami badanej właściwości.
Jeżeli liczby – wyniki pomiarów – są równe, to i badane właściwości badanych obiektów
(różnych lub tego samego w innym czasie) są takie same (nierozróżnialne).
Jeżeli liczby – wyniki pomiarów – można uporządkować wg relacji większości, to istnieje
empiryczna relacja, która odpowiednio porządkuje obiekty pod względem badanej właściwości.
Odwrotnie: dany empiryczny porządek obiektów pod względem badanej właściwości wywołuje
odpowiedni porządek liczb – wyników pomiarów.
Wniosek: pomiar polega na porównaniu badanego przejawu (wartości) danej właściwości
obiektu (wielkości) z innymi przejawami tej samej właściwości innego obiektu.
Mówi się nawet, że liczba – wynik pomiaru danej właściwości – wyraża się stosunkiem
badanego przejawu (wartości) tej właściwości do ustalonej wartości wzorcowej tej właściwości,
ustalonej i przyjętej za tzw. jednostkę miary.
Obiektywność pomiaru – w granicach błędu liczby przyporządkowywane właściwościom
obiektów muszą być niezależne od obserwatora (mierniczego).
Błąd pomiaru wynika z realnie subiektywnej próby uzyskania (eksperyment wykonanego przez
mierniczego) wyniku obiektywnego.
Empiryczny (doświadczalny, eksperymentalny) charakter pomiaru –
– pomiar musi być wynikiem obserwacji, a nie wymyślenia.
Systemy relacyjne i bezpośrednie skale pomiarowe
 - klasa obiektów lub zdarzeń 
posiadających przejawy (wartości) q
pewnej badanej właściwości L.
Przejawów tych może być wiele,
a nawet nieskończenie wiele i tworzą
one zbiór Q.
   – obiekty fizyczne, procesy, zdarzenia
L – właściwość  (długość, ciężar, temperatura,
lepkość, ...)
q  Q – przejawy (wartości) właściwości L
(liczby)
Skala pomiarowa opiera się na
- ustanowionym dla przejawów (wartości) q  Q empirycznym porządku „  ”
- operacji ich łączenia „” (addytywności), formalne o właściwościach dodawania
(przemienność, łączność, istnienie elementów neutralnego i przeciwnego).
Dla relacji porządku „  ” musi być określona relacja równoważności „” dla obiektów
nierozróżnialnych ze względu na przejaw (wartość) badanej właściwości.
Łączenie obiektów 1 i 2   o przejawach (wartościach) odpowiednio q1 i q2  Q danej
właściwości L prowadzi do powstania nowego obiektu 3   i posiadającego przejaw
(wartość) q3 tej właściwości L też należący do Q, przy czym:
q1  q2  Q
q1  q2  q2  q1
q1  (q2  q3)  (q1  q2)  q3
q1  q2  q1  q3  q2  q3
(q1  q2  q3  ...  qn oraz q1  q 0 )  n : q 0  q1  q2  q3  ...  qn
(warunek Archimedesa: jeżeli obiekt A jest większy od obiektu B, to złożenie pewnej liczby
mniejszych obiektów B da nowy element C większy od obiektu A)
Zbiór {Q,,  ,} spełniający te postulaty ma właściwości formalne takie same jak liczbowy
system relacyjny {R,=,<,+}.
Bezpośrednia skala pomiarowa jest konstruowana następująco:
 pojedynczy obiekt (zdarzenie) 1 o przejawie q1 właściwości L wybiera się jako wzorzec tej
właściwości i przyporządkowuje mu się liczbę 1 jako opisującą przejaw q1 właściwości L –
q1 wybiera się jako jednostkę bezpośredniej skali pomiarowej (jednostkę miary),
 konstruuje się (lub znajduje spośród już istniejących) inny obiekt (zdarzenie) 1’ o przejawie
q1’ właściwości L taki, że q1  q1’,
 łącząc te dwa obiekty (zdarzenia) otrzymuje się nowy obiekt (zdarzenie) 2  1  1’ o
przejawie q2  q1  q1’ właściwości L i przyporządkowuje mu liczbę 2,
 łącząc obiekty (zdarzenia) 1 i 2 otrzymuje się nowy obiekt (zdarzenie) 3  1  2 o
przejawie q3  q1  q2 właściwości L i przyporządkowuje mu liczbę 3, itd.,
 wzorce ułamków właściwości L obiektów (zdarzeń) otrzymuje się konstruując (lub znajdując
spośród już istniejących) inne obiekty (zdarzenia) o przejawach właściwości L takich, że
q1 ~ q 1  q 1 ~ q 1  q 1  q 1 ~ q 1  q 1  q 1  q 1 ~ ...; wtedy:
2
2
3
3
3
4
4
4
4
1
obiektowi (zdarzeniu)  1 o przejawie q 1 właściwości L przyporządkowuje się liczbę ,
2
2
2
1
obiektowi (zdarzeniu)  1 o przejawie q 1 właściwości L przyporządkowuje się liczbę ,
3
3
3
1
obiektowi (zdarzeniu)  1 o przejawie q 1 właściwości L przyporządkowuje się liczbę , itd.
4
4
4


Otrzymuje się zbiór obiektów (zdarzeń) – wzorców ..., 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 ,... o


4
3
2


przejawach (wartościach) ..., q 1 , q 1 , q 1 , q1 , q 2 , q3 , q 4 ,... właściwości L i przypisanych im


4
3
2
 1 1 1

liczbach ..., , , ,1,2,3,4,...
 4 3 2

Pomiar właściwości L dowolnego obiektu (zdarzenia)  o przejawie q
odbywa się przez znalezienie obiektu (zdarzenia) i o przejawie qi  q właściwości L,
a jako liczbę – wynik pomiaru wartości właściwości L obiektu (zdarzenia)  przyjmuje się
liczbę i przyporządkowaną obiektowi – wzorcowi i.
Przedstawiony powyżej zapis przedstawia skalę uszeregowaną wg relacji większości.
Pomiary pośrednie
Często skale pomiarowe właściwości obiektów i zdarzeń są konstruowane pośrednio przez
związki danej właściwości z innymi właściwościami o już zdefiniowanych skalach
pomiarowych.
Jest to powodowane np. niemożliwością ustalenia bezpośredniej skali pomiarowej o cechach
addytywności.
Nie można np. określić bezpośredniej skali pomiarowej lepkości czy gęstości, ponieważ nie
istnieją addytywne operacje łączenia wartości tych właściwości.
Inny powód konstruowania pośrednich skal pomiarowych - dążenie do utworzenia logicznego
systemu wszystkich skal pomiarowych, składającego się z możliwie małej liczby skal
określonych bezpośrednio (skal podstawowych) i dużej liczby skal określonych pośrednio.
Przykład. Dla empirycznej relacji między gęstością , masą m i objętością V bryły materiału
m
jednorodnego:   , dysponując wyznaczonymi skalami pomiarowymi masy i objętości
V
m
można, przez powiązanie ich związkiem empirycznym , skonstruować skalę pomiarową
V
gęstości ciał jednorodnych.
Zwykle definicja pośredniej skali pomiarowej dla właściwości L jest przyjmowana jako
definicja tej właściwości (dla gęstości jest to stosunek masy materiału jednorodnej do
zajmowanego przez nią objętości).
Pomiary wielowymiarowe lub pośrednie - pomiary wykorzystujące pośrednie skale
pomiarowe bazujące na wielu innych skalach pomiarowych.
Pomiar a informacja. Maszyna informacyjna.
Istotą informacji jest symboliczna reprezentacja badanego obiektu lub zdarzenia.
Informacje o elementach jakiegoś zbioru są przenoszone przez elementy innego zbioru gdy
znana jest relacja między elementami tych zbiorów, najlepiej wzajemnie jednoznaczna.
Informacja składa się z symbolu należącego do zbioru symboli, np. określonej skali
pomiarowej, oraz relacji pomiędzy tym symbolem a przejawem właściwości obiektu
(zdarzenia) jaki symbolizuje.
Dokonując pomiaru uzyskuje się pewien symbol – liczbę – miarę, a znając relację pomiędzy
tym symbolem a mierzonym przejawem badanej właściwości badanego obiektu lub zdarzenia
uzyskuje się informację o tej właściwości, czyli i o samym obiekcie lub zdarzeniu.
Maszyny informacyjne - klasa urządzeń, które pobierają, przetwarzają, gromadzą i prezentują
informacje: przyrządy pomiarowe, komputery, systemy i urządzenia
komunikacyjne oraz układy regulacyjne.
Nośnikiem informacji jest przepływ energii lub masy.
Symbolami przenoszącymi informacje w maszynach informacyjnych mogą być wartości
chwilowe pewnych wielkości fizycznych lub pewne parametry czasowej zmienności tych
wielkości fizycznych.
Sygnał - wielkość fizyczna, której wartość lub czasowa zmienność przenosi informację.
Maszyna informacyjna działa przetwarzając wejściowy sygnał fizyczny w wyjściowy sygnał
fizyczny.
Oba te sygnały niosą informacje, przy czym sygnał wyjściowy w stosunku do sygnału
wejściowego jest przetworzony zgodnie z potrzebami systemu pomiarowego.
Teoria pomiaru w naukach przyrodniczych
Pomiar w naukach fizycznych opiera się na
- ustanowieniu bezpośrednich, addytywnych skal pomiarowych dla niewielkiej liczby wielkości
fizycznych
- konstrukcji pośrednich skal pomiarowych dla pozostałych wielkości fizycznych, skal
określonych przez iloczyny potęg wielkości podstawowych.