Chương 2
NGUYỄN PHI LONG
April 2025
1
3-8 Calculate the iterated ỉntergral
1.1
Bài 3
Z 2Z 2
1
(y + 2xey ) dx dy
0
Ta có:
Z 2Z 2
Z 2
Z 2
2
2
(y + 2xey ) dx dy =
yx + x2 ey 0 dy =
(2y + 4ey ) dy = y 2 + 4ey 1 = 4 + 4e2 − 1 − 4e = 4e2 − 4e + 3
1
0
1.2
1
1
Bài 4
Z 1Z 1
0
Ta có:
Z 1Z 1
0
1.3
yexy dx dy =
Z 1
0
0
1
[exy ]0 dy =
Z 1
0
1
(ey − 1) dy = [ey − y]0 = e − 1 − 1 = e − 2
Bài 5
Z 1Z x
0
Ta có:
Z 1Z x
2
Z 1
cos x dy dx =
0
1.4
yexy dx dy
0
0
0
cos x2 dy dx
0
x
y cos x2 0 dx =
Z 1
x cos x2 dx =
0
sin 1
2
Bài 6
Z 1 Z ex
0
Ta có:
Z 1 Z ex
2
Z 1
3xy dy dx =
0
x
0
3xy 2 dy dx
x
3 ex
xy x dx =
1
Z 1
0
xe3x − x4 dx =
10e3 − 4
45
1.5
Bài 7
Z π Z 1 Z √1−y2
y sin x dz dy dx
0
0
0
Ta có:
Z π Z 1 Z √1−y2
Z πZ 1
y sin x dz dy dx =
0
0
0
0
=
1.6
Z πZ 1p
Z 1Z πp
√ 2
1−y
dy dx =
[zy sin x]0
1 − y 2 y sin x dy dx =
1 − y 2 y sin x dx dy
0
0
0
0
0
Z 1 p
Z 1h p
iπ
2
2 1 − y 2 y dy =
− 1 − y 2 y cos x dy =
3
0
0
0
Bài 8
Z 1Z yZ 1
6xyz dz dx dy
0
Ta có:
Z 1Z yZ 1
Z 1Z y
6xyz dz dx dy =
0
0
x
0
0
0
x
1
3xyz 2 x dx dy =
Z 1
=
(
0
Z 1Z y
0
(3xy − 3x3 y) dx dy =
0
y
Z 1
3x2 y 3x4 y
−
) dy
(
2
4
0
0
3y 3
3y 5
1
−
) dy =
2
4
4
2
RR
9-10 Write R f (x, y) dA as an iterated integral, where R is the region
shown and f is an arbitrary continuous function on R.
2.1
Bài 9
Miền R là một phần hình quạt:
• Đường tròn bên trong: x2 + y 2 = 4 (R=2).
• Đường tròn bên ngoài: x2 + y 2 = 16 (R=4).
• Đường y = x: θ = π/4.
• Đường y = −x: θ = −π/4.
Miền R: r từ 2 đến 4, θ từ −π/4 đến π/4.
Tích phân thành:
Z π/4 Z 4
f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ
−π/4
2
2
2.2
Bài 10
Ta có:
Với (0, 4) và (4, 0) thì y = −x + 4
Với (0, 4) và (−4, 0) thì y = x + 4
Vậy tích phần chia thành 2 phần:
f (x, y) dy dx
f (x, y) dy dx +
f (x, y) dA =
−4
R
3
Z 4 Z −x+4
Z 0 Z x+4
ZZ
0
0
0
Bài 11
Mô tả miền có diện tích được xác định bởi tích phân:
Z π/2 Z sin 2θ
r dr dθ
0
0
Ta có:
• θ từ 0 đến π/2, tương ứng với góc phần tư thứ nhất.
• r từ 0 đến sin 2θ, với sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
p
Trong tọa độ cực: x = r cos θ, y = r sin θ, r = x2 + y 2 . Giới hạn r ≤ sin 2θ:
sin 2θ = 2 sin θ cos θ =
r ≤ sin 2θ
⇒
p
x2 + y 2 ≤
2xy
x2 + y 2
2xy
x2 + y 2
⇒
(x2 + y 2 )3/2 ≤ 2xy
(x2 + y 2 )3 ≤ 4x2 y 2
Miền là tập hợp các điểm (x, y) trong góc phần tư thứ nhất (x ≥ 0, y ≥ 0) sao cho:
(x2 + y 2 )3/2 ≤ 2xy
4
13-14 Calculate the iterated integral by first reversing the order of
integration.
4.1
Bài 13
Z 1Z 1
0
cos y 2 dy dx
x
Ta có:
Miền tích phân ban đầu là:
0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1
3
Sau khi đổi thứ tự tích phân:
0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1
Tích phân trở thành:
Z 1Z y
0
0
Z 1
=
0
4.2
cos y 2 dx dy
y
x cos y 2 0 dy =
Z 1
y cos y 2 dy =
0
sin1
2
Bài 14
2
Z 1Z 1
yex
dx dy
3
√
y x
0
Ta có:
Miền tích phân ban đầu là:
√
y ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1
Sau khi đổi thứ tự tích phân:
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2
Tích phân trở thành:
Z 1 Z x2
0
Z 1
"
=
0
y 2 ex
2x3
0
2
yex
dy dx
x3
# x2
2
Z 1
dx =
0
0
2
e−1
xex
dx =
2
4
5
15-28 Calculate the value of the multiple integral
5.1
Bài 15
ZZ
yexy dA, R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3}
R
Ta có:
Z 3Z 2
xy
ye
0
5.2
Z 3
dx dy =
0
0
2
[yexy ]0 dy =
Z 3
0
(ye2y − y) dy =
17
5e6
−
4
4
Bài 16
ZZ
xy dA, D = {(x, y) | y 2 ≤ x ≤ y + 2, 0 ≤ y ≤ 1}
D
Ta có:
Z 1 Z y+2
xy dx dy =
0
y2
Z 1 2 y+2
Z 1
x y
y(y + 2)2
y3
5
dy =
(
− ) dy =
2
2
2
3
2
0
0
y
4
5.3
Bài 17
ZZ
y
2
D 1+x
trong đó D là vùng được giới hạn bởi các đường y =
Ta có
√
Miền ban đầu là 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
√
dA,
x, y = 0, x = 1
Tích phân cần tính là
Z 1 Z √x
0
5.4
0
y
dy dx =
1 + x2
Z 1
0
√x
Z 1
y2
ln 8 ln 4
x
dx =
−
dx
=
2
2
2(1 + x ) 0
4
4
0 2(1 + x )
Bài 18
ZZ
1
dA,
1
+
x2
D
trong đó D là vùng tam giác với các đỉnh (0, 0), (1, 1), (0, 1).
Ta có:
Miền D giới hạn: 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1
Tích phân cần tính:
Z 1Z 1
0
5.5
x
1
dy dx =
1 + x2
Z 1
0
1
Z 1
y
x
1
−
) dx = 0, 438824
dx =
(
2
2
1+x x
1 + x2
0 1+x
Bài 19
ZZ
y dA,
D
trong đó D là vùng trong góc phần tư thứ nhất, được giới hạn bởi các parabol x = y 2 và x = 8 − y 2 .
Ta có:
Miền D giới hạn: y 2 ≤ x ≤ 8 − y 2 , 0 ≤ y ≤ 2
Tích phân cần tính:
Z 2 Z 8−y2
Z 2
y dx dy =
0
5.6
y2
0
8−y 2
[xy]y2 dy =
Z 2
(8 − y 2 )y − y 3 dy = 8
0
Bài 20
ZZ
y dA,
D
D là vùng trong góc phần tư thứ nhất nằm trên đường hyperbol xy = 1 và đường thẳng y = x và dưới đường thẳng
y = 2.
Ta có:
Với y = 1/x và y = x
5
−→ (1, 1)
Với y = 1/x và y = 2
−→ (1/2, 2)
Với y = x và y = 2
−→ (2, 2)
Vậy miền D là: 12 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2
Tích phân cần tính là:
Z 2Z 2
Z 2
[xy] 1 dy =
y dx dy =
0
5.7
1
2
Z 2
2
2
0
y
(2y − ) dxy = 3
2
0
Bài 22
ZZ
x dA
D
trong đó D là vùng trong góc phần tư thứ nhất nằm giữa hai đường tròn x2 + y 2 = 1 và x2 + y 2 = 2.
Ta có:
D = {(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0, 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2}
Đổi thành;
√
D = {(r, θ) | 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π2 }
Tích phân cần tính là:
Z π2 Z √2
0
5.8
1
√
√2
Z π2 √
Z π2 3
r cos θ
(2 2 − 1) cos θ
2 2−1
dθ =
r cos θ dr dθ =
dθ =
3
3
3
0
0
1
2
Bài 23
ZZZ
xy dV
E
trong đó E = (x, y, z) | 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ x + y.
Tích phân cần tính là:
Z 3 Z x Z x+y
Z 3Z x
xy dz dy dx =
0
0
0
0
0
x+y
[zxy]0 dy dx =
x
Z 3 4
Z 3 2 2
xy 3
x x4
81
x y
(x y+xy ) dy dx =
+
dx =
+ dx =
2
3 0
3
2
0 2
0
0
Z 3Z x
0
2
2
5.9
Bài 24
6
29-34 Find the volume of the given solid
6.1
Bài 29
Dưới paraboloid z = x2 + 4y 2 và trên hình chữ nhật R = [0, 2] × [1, 4]
6
Tích phân cần tính là:
Z 2Z 4
V =
0
x2 + 4y 2 dy dx =
1
4
Z 2
Z 2
4y 3
x2 y +
3x2 + 84 dx = 176
dx =
3 1
0
0
,→ Thể tích cần tính; V = 176
6.2
Bài 30
Nằm dưới mặt phẳng z = x2 y và trên tam giác trong mặt phẳng xy có các đỉnh tại (1, 0), (2, 1), (4, 0) .
Miền D bị giới hạn dưới bởi:
y = 0, từ x = 1 đến x = 2 bởi y = x − 1 và y = 0,
x = 2 đến x = 4 bởi y = − 21 x + 2 vày = 0.
Chia tích phân thành 2 phần:
Z 2 Z x−1
Z 4 Z − 21 x+2
2
x y dy dx +
V =
1
0
2
x2 y dy dx
0
Z 4 2 2 − 12 x+2
Z 2 2
Z 4 2 x
Z 2 2 2 x−1
x (− 2 + 2)2
x y
x (x − 1)2
31 32
53
x y
dx +
dx =
dx +
dx =
+
=
=
2 0
2 0
2
2
60 15
20
2
1
2
1
7
Bài 45
(
C(x + y) nếu 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2
f (x, y) =
0
ngoài khoảng này
(a) Tìm giá trị của hằng số C.
(b) Tìm P (X ≤ 2, Y ≥ 1).
(c) Tìm P (X + Y ≤ 1).
a) Ta có:
R∞ R∞
Xác suất mật độ: −∞ −∞ f (x, y) dx dy = 1
Z 3Z 2
Z 3Z 2
f (x, y) dy dx =
0
0
C(x + y) dy dx = C
0
0
C=
2
Z 3
Z 3
y2
xy +
dx = C
2x + 2 dx = 15C
2 0
0
0
1
15
Vậy:
(
f (x, y) =
(x+y)
15
0
nếu 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2
ngoài khoảng này
b)
Z 2Z 2
P (X ≤ 2, Y ≥ 1) =
0
1
(x + y)
1
dy dx =
15
15
7
2
Z 2
Z 2
y2
1
3
1
xy +
dx =
x + dx =
2
15
2
3
0
0
1
c) Miền: x từ 0 đến 1, y từ 0 đến 1 − x
Z 1 Z 1−x
P (Y ≤ 1 − X) =
0
0
(x + y)
1
dy dx =
15
15
1−x
Z 1
Z 1
y2
1 − x2
1
1
xy +
dx =
dx =
2
15
2
45
0
0
0
8