10. LOGARITMICKÉ A EXPONENCIÁLNE FUNKCIE
EXPONENCIÁLNA FUNKCIA: funkcia daná rovnicou:
f: y = a x ; a > 0; a ≠1
Základ exponenciálnej funkcie:
a – je konštantný pre danú funkciu
Čím je základ funkcie „a“ viac vzdialený od hodnoty 1, tým strmšia je funkcia
Graf exponenciálnej funkcie
f: y = ±ab.x ± c ± d
- c posúva graf funkcie v smere osi x (x+c doľava, x-c doprava)
- d posúva graf funkcie v smere osi y (+d hore, -d dole)
- pred a mínus graf prevrátený osovo vzhľadom na x;
- b < 0 prevrátený osovo vzhľadom na y
f: y = ax ; a > 1
y
y = 2^x
10
9
Vlastnosti:
8
D R
H R+
prostá
rastúca: x1; x2 D(f): x1 < x2 f(x1) < f(x2)
ohraničenie: d ≤ 0
h – nie je
nemá maximum ani minimum
[0;1] f; f y = {1}
7
6
5
4
3
2
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
x
f: y = a
; a (0;1)
y
y = 0,5^x
10
Vlastnosti:
9
8
DR
H R+
prostá
klesajúca: x1; x2 D(f): x1 < x2 f(x1) > f(x2)
ohraničenie: d ≤ 0
h – nie je
nemá maximum ani minimum
[0;1] f; f y = {1}
-3
7
6
5
4
3
2
1
x
-2
-1
1
-1
LOGARITMICKÁ FUNKCIA
Funkcia inverzná k exponenciálnej; definovaná rovnicou:
f: y = loga x; a > 0; a ≠1
log a a = 1
log a 1= 0
x = a y ; a = yx
2
3
4
- pre 1 nie je definovaný preto, lebo by pre x existovalo nekonečne veľa hodnôt, čo by
už podľa definície nebola funkcia
Základ logaritmickej funkcie
a – konštantný pre danú funkciu
Graf logaritmickej funkcie:
f: y = ±loga (b.x ± c) ± d
- c posúva graf v smere osi x(x+c doľava, x-c doprava)
- d posúva graf funkcie v smere osi y (+d hore, -d dole)
- pred log(...) mínus graf prevrátený osovo vzhľadom na x;
- b < 0 prevrátený osovo vzhľadom na y
y
y = logx/log2
4
x
f: y = a
f -1: y = loga x; a > 0; a ≠1
3
2
Vlastnosti:
1
x
D (0;∞)
HR
rastúca, prostá
nemá maximum ani minimum
neohraničená
f-1 x = {1}
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
y
y = logx/log0,5
5
f: y = (1/a)x
4
f -1: y = log1/a x; a > 0; a ≠1
3
2
Vlastnosti:
1
D (0;∞)
HR
klesajúca, prostá
nemá maximum ani minimum
neohraničená
f-1 x = {1}
x
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
Prirodzený logaritmus a exponenciálna funkcia so základom „e“:
y
y = e^x
y = ln x
5
e – Eulerovo číslo e = 2, 718...
4
3
f: y = e x
(modrá)
ex je taká exponenciálna funkcia, ktorej derivácia
v bode x je rovná funkčnej hodnote v tomto bode
2
1
x
-1
f : loge x = ln x
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
Dekadický logaritmus:
log10 x = log x
Vety o logaritmoch:
I:
a > 0 a ≠ 1; r, s R+
loga (r.s) = loga r + loga s
II:
a > 0 a ≠ 1; r, s R+
loga (r/s) = loga r – loga s
III:
a > 0 a ≠ 1; r R+; s R
loga r s = s . log a r
logr t = logs t / logs r
pomôcka pre kalkulačky:
logr t = log t / log r
PRÍKLADY:
1.
Over, či platí: (6/19)3,3 < (6/19)2,6
2.
Over:
3.
V akom vzťahu musí byť m a n, aby platilo:
4.
Nakreslite grafy funkcií:
5.
Vypočítaj:
25x = 1/5
6.
Vypočítaj:
32x – 12.3x + 27 = 0
7.
Vypočítaj:
23x + 23x-1 + 23x-2 + 23x-3 = 120
a(√3/2) < a(4/3)/a(13/2)
a) f1: y = 0,3x
b) f2: y = -0,3|x|
c) f3: y = 3 – 0,3x+2
(√13+2)m > (√13+2)n
8.
√(3x-56) – 7.√(3x-60) = 162
Vypočítaj:
6 5 x
9. Nájdite všetky x R, pre ktoré platí: a) 0,4 25 x
1
c)
3
x2
3 x
d) 6
a) 5
10. Riešte v R:
2 x 1
4 x 1
6 1290
x
b) 16 0,125
25
4
e) 8
8x
4096
5x 4
b) 2 x 2 2 x1 2 x1 2 x2 9
2x 2
52
3
d) x 2 2 2 x 9x 22 x 8x 2 x 22 2 x 9 x 2 2 x 8x 16
4 x 2 2 x 1 8
c)
11.
Urči definičný obor: a) y = log5 (x-1)√(x-4)
b) y = log (x/|x+3|)
12.
Over, či platí: a) log9 14 ≤ log0,4 14
b) log0,1 3 > log2 3
13.
Nakresli graf funkcií: a) f1: y = log 3 (x+1)
b) f2: y = -log 0,5 (x+2) + 3
14.
Uprav:
a) 4 log6 3 + 5 log6 2 – log6 12 =
b) log 203 – log 2 + log 10-1 =
15.
Vyjadrite t:
m = m0 (1/2)t/T
16.
Vypočítaj:
log6 x = (2/5)[4 log6 11 – (1/6)log6 4 + log6 5]
17.
Urči, pre ktoré x platí nerovnosť:
18. Riešte:
4 3x
1
x
5
c) log 0, 2 ( x 3) log 0, 2 x log 0, 2 2
b) log 0,1 ( x 6) 2
a) log 1
d)
log5 x + 1/(log5 x) > 2
e)
19.
Rieš sústavu rovníc: xy = 40
x log y = 4
20.
Nakresli inverznú funkciu a jej predpis:
21.
Zistite základ logaritmu:
22.
10 x.log x – 6 log x = 5 log x + 2
23.
(10x – 6)log x = log x3 + 4
f)
f: y = 2 2x – 6
logx 27 = logx (1/3) + 1
0