КУРСОВА РАБОТА 4 по ГЕОМЕТРИЯ за специалност
ИНФОРМАТИКА II курс задочно обучение, 2024/2025
Виктория Минчева, ФН: 2401262041
Задача 1: Намерете уравненията на допирателната равнина
и нормалата на повърхнината S в точка M, ако:
a) S : ⃗r(u, u2 − 2v, u3 − 3uv), M (1, 3, 4);
Решение:
Нека първо намерим параметрите u и v за точката M (1, 3, 4).
⃗r(u, v) = (u, u2 − 2v, u3 − 3uv)
(1)
От първата координата имаме u = 1. За втората координата: u2 − 2v = 3 ⇒ 1 − 2v = 3 ⇒
v = −1.
Проверяваме третата координата: u3 − 3uv = 13 − 3 · 1 · (−1) = 1 + 3 = 4.
Следователно (u, v) = (1, −1)
Намираме базовите допирателни вектори ⃗ru и ⃗rv за произволна точка от S (т.е пресмятаме
производните):
⃗ru = (1, 2u, 3u2 − 3v)
⃗rv = (0, −2, −3u)
(2)
(3)
⃗ru (1, −1) = (1, 2 · 1, 3 · 12 − 3 · (−1)) = (1, 2, 3 + 3) = (1, 2, 6)
⃗rv (1, −1) = (0, −2, −3 · 1) = (0, −2, −3)
(4)
(5)
В точката (u, v) = (1, −1):
1
Нормалният вектор към допирателната равнина е векторното произведение:
⃗n = ⃗ru × ⃗rv
⃗k
⃗i ⃗j
= 1 2
6
0 −2 −3
(6)
(7)
2
6
1 6
1 2
− ⃗j
+ ⃗k
−2 −3
0 −3
0 −2
= ⃗i(2 · (−3) − 6 · (−2)) − ⃗j(1 · (−3) − 6 · 0) + ⃗k(1 · (−2) − 2 · 0)
= ⃗i
= ⃗i(−6 + 12) − ⃗j(−3) + ⃗k(−2)
= ⃗i · 6 + ⃗j · 3 − ⃗k · 2
= (6, 3, −2)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Така допирателната равнина към S в т. M SM е равнина, минаваща през точка с координати (1,3,4) и с нормален вектор (6,3,-2):
Следователно уравнението на допирателната равнина е:
6(x − 1) + 3(y − 3) − 2(z − 4) = 0
6x − 6 + 3y − 9 − 2z + 8 = 0
6x + 3y − 2z − 7 = 0
(13)
(14)
(15)
Параметричните уравнения на нормалата са:
y−3
z−4
x−1
=
=
6
3
−2
(16)
б) S : ⃗r u2 , cosu v , sin v , M (u = 1, v = 0).
Решение:
Координатите на точката M са (заместваме u = 1 и v = 0 в израза за S):
2 cos 0
⃗r(1, 0) = 1 ,
, sin 0 = (1, 1, 0)
1
(17)
Намираме базовите допирателни вектори ⃗ru и ⃗rv за произволна точка от S (т.е пресмятаме
производните):
cos v ⃗ru = 2u, − 2 , 0
(18)
u
sin v
⃗rv = 0, −
, cos v
(19)
u
2
В точката (u, v) = (1, 0):
cos 0
⃗ru (1, 0) = 2 · 1, − 2 , 0 = (2, −1, 0)
1
sin 0
, cos 0 = (0, 0, 1)
⃗rv (1, 0) = 0, −
1
(20)
(21)
Нормалният вектор към допирателната равнина е векторното произведение:
⃗n = ⃗ru × ⃗rv
⃗i ⃗j
= 2 −1
0 0
(22)
⃗k
0
1
(23)
−1 0 ⃗ 2 0 ⃗ 2 −1
−j
+k
0 1
0 1
0 0
= ⃗i · (−1) − ⃗j · 2 + ⃗k · 0
= ⃗i
(24)
= (−1, −2, 0)
(25)
(26)
Така допирателната равнина към S в т. M SM е равнина, минаваща през точка с координати (1,1,0) и с нормален вектор (-1,-2,0):
Следователно уравнението на допирателната равнина е:
−1 · (x − 1) − 2 · (y − 1) + 0 · (z − 0) = 0
−x + 1 − 2y + 2 = 0
−x − 2y + 3 = 0
x + 2y − 3 = 0
(27)
(28)
(29)
(30)
Параметричните уравнения на нормалата са:
y−1
z−0
x−1
=
=
−1
−2
0
(31)
Задача 2: Дадена е повърхнината S : ⃗r(u cos v, u sin v, u2). Намерете:
a) първата и втората основна форма на S в производна нейна точка;
Решение:
3
Първо ще намерим производните:
⃗ru = (cos v, sin v, 2u)
⃗rv = (−u sin v, u cos v, 0)
(32)
(33)
За да намерим първата основна форма, трябва да изчислим:
g11 = ⃗ru · ⃗ru = cos2 v + sin2 v + 4u2 = 1 + 4u2
g12 = ⃗ru · ⃗rv = − cos v · u sin v + sin v · u cos v + 0 = 0
g22 = ⃗rv · ⃗rv = u2 sin2 v + u2 cos2 v = u2
(34)
(35)
(36)
Така първата основна форма е:
I = g11 du2 + g12 dudv + g22 dv 2 = (1 + 4u2 )du2 + 0 · du · dv + u2 dv 2 = (1 + 4u2 )du2 + u2 dv 2 (37)
За втората форма:
⃗ = ⃗ruu · (⃗ru × ⃗rv )
h11 = ⃗ruu · N
|⃗ru × ⃗rv |
⃗ = ⃗ruv · (⃗ru × ⃗rv )
h12 = ⃗ruv · N
|⃗ru × ⃗rv |
⃗ = ⃗rvv · (⃗ru × ⃗rv )
h22 = ⃗rvv · N
|⃗ru × ⃗rv |
За да намерим втората основна форма, трябва първо да изчислим нормалния вектор:
⃗n0 = ⃗ru × ⃗rv
(38)
⃗k
⃗i
⃗j
= cos v
(39)
sin v 2u
−u sin v u cos v 0
= ⃗i(sin v · 0 − 2u · u cos v) − ⃗j(cos v · 0 − 2u · (−u sin v)) + ⃗k(cos v · u cos v − sin v · (−u sin v))
(40)
= ⃗i(−2u2 cos v) − ⃗j(2u2 sin v) + ⃗k(u cos2 v + u sin2 v)
(41)
= (−2u2 cos v, −2u2 sin v, u)
(42)
Нормиран единичен вектор:
p
p
√
√
|⃗n0 | = 4u4 cos2 v + 4u4 sin2 v + u2 = 4u4 + u2 = u2 (4u2 + 1) = u 4u2 + 1
⃗n0
1
1
⃗n =
= √
(−2u2 cos v, −2u2 sin v, u) = √
(−2u cos v, −2u sin v, 1)
|⃗n0 |
u 4u2 + 1
4u2 + 1
(43)
4
(44)
Сега трябва да изчислим вторите производни:
d
d
⃗ru =
(cos v, sin v, 2u) = (0, 0, 2)
du
du
d
d
⃗ruv = ⃗ru =
(cos v, sin v, 2u) = (− sin v, cos v, 0)
dv
dv
d
d
(−u sin v, u cos v, 0) = (−u cos v, −u sin v, 0)
⃗rvv = ⃗rv =
dv
dv
⃗ruu =
Коефициентите на втората основна форма са:
1
2
h11 = ⃗ruu · ⃗n = (0, 0, 2) · √
(−2u cos v, −2u sin v, 1) = √
2
4u + 1
4u2 + 1
h12 = ⃗ruv · ⃗n
1
= (− sin v, cos v, 0) · √
(−2u cos v, −2u sin v, 1)
4u2 + 1
1
=√
(2u sin v cos v − 2u sin v cos v) = 0
4u2 + 1
1
(−2u cos v, −2u sin v, 1)
h22 = ⃗rvv · ⃗n = (−u cos v, −u sin v, 0) · √
4u2 + 1
1
2u2
=√
(2u2 cos2 v + 2u2 sin2 v) = √
4u2 + 1
4u2 + 1
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
Така втората основна форма е:
2
2u2
II = √
du2 + 0 · du · dv + √
dv 2
4u2 + 1
4u2 + 1
(51)
б) ъгъла между кривите C1 и C2 , които лежат върху повърхнината S,
ако C1 : u + 1 = v, C2 : u + v = 3;
Решение:
Ще ползваме формулата:
g11 du δu + g12 (du δv + dv δu) + g22 dv δv
p
cos φ = p
g11 du2 + 2g12 du dv + g22 dv 2 g11 δu2 + 2g12 δu δv + g22 δv 2
Където (du, dv) са координатите на допирателния вектор към кривата c1 в точката на пресичане; (δu, δv) – координатите на допирателния вектор към c2 в същата точка; g11 , g12 и g22 –
коефициентите на първата основна форма на S в т. на пресичане на c1 и c2 :
От системата:
5
u+1=v
u+v =3
Намираме координатите на пресечната точка: u = 1 и v = 2
Пресмятаме g11 , g12 и g22 в т. P :
P
g11
= 1 + 4u2 = 1 + 4 = 5;
P
g12
= 0;
P
g22
= u2 = 1
За c1 : u + 1 = v =⇒ v = u + 1 Ако изразим c1 параметрично спрямо u: c1 (u, u + 1) Тогава
допирателният вектор е (du, dv) = (1, 1)
За c2 : u + v = 3 =⇒ v = 3 − u Ако изразим c2 параметрично спрямо u: c2 (u, 3 − u) Тогава
допирателният вектор е (δu, δv) = (1, −1)
Заместваме: cos φ = √
5·1·1+0·(1·(−1)+1·1)+1·1·(−1)
5·12 +2·0·1·1+1·12
5−1
4
cos φ = √5+1√5+1 = √6√6 = 64 = 23
√
5·12 +2·0·1·(−1)+1·(−1)2
Оттук намираме ъгъла: φ = arccos 23 ≈ 48.19
в) гаусовата и средна кривина на S в производна нейна точка;
Решение:
Гаусовата кривина се пресмята по формулата:
K=
h11 h22 − h212
2
g11 g22 − g12
(52)
Знаем, че:
2
h11 = √
4u2 + 1
h12 = 0
2u2
h22 = √
4u2 + 1
g11 = 1 + 4u2
g12 = 0
g22 = u2
6
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
(58)
Така:
K=
=
h11 h22 − h212
2
g11 g22 − g12
(59)
2u2
2
√ 2
· √4u
2 +1 − 0
4u2 +1
(1 + 4u2 ) · u2 − 02
(60)
4u2
4u2 +1
= 2
u + 4u4
4u2
(4u2 + 1)(u2 + 4u4 )
4u2
=
(4u2 + 1)(u2 (1 + 4u2 ))
4
=
2
(4u + 1)2
=
(61)
(62)
(63)
(64)
Средната кривина се пресмята по формулата:
H=
g11 h22 − 2g12 h12 + g22 h11
2
2(g11 g22 − g12
)
(65)
Заместваме:
2
H=
2u
2 √ 2
(1 + 4u2 ) · √4u
2 +1 − 2 · 0 · 0 + u ·
4u2 +1
2((1 + 4u2 ) · u2 − 02 )
(66)
=
2u2 (1+4u2 )
2u2
√
+ √4u
2 +1
4u2 +1
2
2
2u (1 + 4u )
(67)
=
2u2 (1+4u2 )+2u2
√
4u2 +1
2
2u (1 + 4u2 )
(68)
2u2 (1+4u2 +1)
√
2
= 2 4u +1 2
2u (1 + 4u )
(69)
2u2 (2 + 4u2 )
√
2u2 (1 + 4u2 ) 4u2 + 1
2 + 4u2
√
=
(1 + 4u2 ) 4u2 + 1
2(1 + 2u2 )
√
=
(1 + 4u2 ) 4u2 + 1
=
7
(70)
(71)
(72)
г) нормалната кривина на S в точка M (u = 1, v = 2) по допирателното
направление на кривата C1 .
Решение:
Нормалната кривина в допирателното направление на кривата C1 в точката M (1, 2) се
изчислява по формулата:
h11 (du)2 + 2h12 (du)(dv) + h22 (dv)2
v=
g11 (du)2 + 2g12 (du)(dv) + g22 (dv)2
(73)
Заместваме коефициентите в точката M (1, 2):
g11 = 1 + 4u2 = 1 + 4 · 12 = 5
g12 = 0
g22 = u2 = 12 = 1
2
2
2
h11 = √
=√
=√
4u2 + 1
4 · 12 + 1
5
h12 = 0
2 · 12
2
2u2
=√
=√
h22 = √
2
2
4u + 1
4·1 +1
5
(74)
(75)
(76)
(77)
(78)
(79)
Сега можем да пресметнем нормалната кривина:
v=
=
=
=
h11 (du)2 + 2h12 (du)(dv) + h22 (dv)2
g11 (du)2 + 2g12 (du)(dv) + g22 (dv)2
√2 · 12 + 2 · 0 · 1 · 1 + √2 · 12
5
5
5 · 12 + 2 · 0 · 1 · 1 + 1 · 12
√2 + √2
5
5
5+1
√4
5
(80)
(81)
(82)
(83)
6
4
= √
6 5
2
= √
3 5
(84)
(85)
8
Задача 3: Дадена е повърхнината S : ⃗r(u2 + v 2, u2 − v 2, uv).
Намерете:
a) първата и втората основна форма на S в производна нейна точка.
Решение:
Първо ще намерим производните:
⃗ru = (2u, 2u, v)
⃗rv = (2v, −2v, u)
(86)
(87)
За да намерим първата основна форма, трябва да изчислим:
g11 = ⃗ru · ⃗ru = 4u2 + 4u2 + v 2 = 8u2 + v 2
g12 = ⃗ru · ⃗rv = 2u · 2v + 2u · (−2v) + v · u = 4uv − 4uv + uv = uv
g22 = ⃗rv · ⃗rv = 4v 2 + 4v 2 + u2 = 8v 2 + u2
(88)
(89)
(90)
Така първата основна форма е:
I = g11 du2 + 2g12 dudv + g22 dv 2 = (8u2 + v 2 )du2 + 2uvdudv + (8v 2 + u2 )dv 2
(91)
За втората форма:
⃗ = ⃗ruu · (⃗ru × ⃗rv )
h11 = ⃗ruu · N
|⃗ru × ⃗rv |
⃗ = ⃗ruv · (⃗ru × ⃗rv )
h12 = ⃗ruv · N
|⃗ru × ⃗rv |
⃗ = ⃗rvv · (⃗ru × ⃗rv )
h22 = ⃗rvv · N
|⃗ru × ⃗rv |
За да намерим втората основна форма, трябва първо да изчислим нормалния вектор:
⃗n0 = ⃗ru × ⃗rv
⃗k
⃗i
⃗j
= 2u 2u v
2v −2v u
= ⃗i(2u · u − v · (−2v)) − ⃗j(2u · u − v · 2v) + ⃗k(2u · (−2v) − 2u · 2v)
= ⃗i(2u + 2v ) − ⃗j(2u − 2v ) + ⃗k(−4uv − 4uv)
= (2(u2 + v 2 ), −2(u2 − v 2 ), −8uv)
2
2
2
2
9
(92)
(93)
(94)
(95)
(96)
Нормиран единичен вектор:
|⃗n0 |2 = 4(u2 + v 2 )2 + 4(u2 − v 2 )2 + 64u2 v 2
= 4(u4 + 2u2 v 2 + v 4 ) + 4(u4 − 2u2 v 2 + v 4 ) + 64u2 v 2
= 8u4 + 8v 4 + 64u2 v 2
= 8((u2 + v 2 )2 + 6u2 v 2 )
(97)
(98)
(99)
(100)
p
(101)
8((u2 + v 2 )2 + 6u2 v 2 )
1
⃗n0
=p
(2(u2 + v 2 ), −2(u2 − v 2 ), −8uv)
⃗n =
2
2
2
2
2
|⃗n0 |
8((u + v ) + 6u v )
|⃗n0 | =
(102)
Сега трябва да изчислим вторите производни:
⃗ruu = (2, 2, 0)
⃗ruv = (0, 0, 1)
⃗rvv = (2, −2, 0)
(103)
(104)
(105)
Коефициентите на втората основна форма са:
h11 = ⃗ruu · ⃗n
(106)
1
= (2, 2, 0) · p
(2(u2 + v 2 ), −2(u2 − v 2 ), −8uv)
2
8((u + v 2 )2 + 6u2 v 2 )
1
=p
[4(u2 + v 2 ) − 4(u2 − v 2 )]
2
2
2
2
2
8((u + v ) + 6u v )
1
=p
· 8v 2
2
2
2
2
2
8((u + v ) + 6u v )
8v 2
=p
8((u2 + v 2 )2 + 6u2 v 2 )
h12 = ⃗ruv · ⃗n
(107)
(108)
(109)
(110)
(111)
1
= (0, 0, 1) · p
(2(u2 + v 2 ), −2(u2 − v 2 ), −8uv)
2
2
2
2
2
8((u + v ) + 6u v )
1
=p
· (−8uv)
8((u2 + v 2 )2 + 6u2 v 2 )
−8uv
=p
2
8((u + v 2 )2 + 6u2 v 2 )
10
(112)
(113)
(114)
h22 = ⃗rvv · ⃗n
(115)
1
= (2, −2, 0) · p
(2(u2 + v 2 ), −2(u2 − v 2 ), −8uv)
2
2
2
2
2
8((u + v ) + 6u v )
1
=p
[4(u2 + v 2 ) + 4(u2 − v 2 )]
8((u2 + v 2 )2 + 6u2 v 2 )
1
· 8u2
=p
2
2
2
2
2
8((u + v ) + 6u v )
8u2
=p
8((u2 + v 2 )2 + 6u2 v 2 )
(116)
(117)
(118)
(119)
Така втората основна форма е:
II = h11 du2 + 2h12 dudv + h22 dv 2
(120)
8v 2
16uv
8u2
=p
du2 − p
dudv + p
dv 2
8((u2 + v 2 )2 + 6u2 v 2 )
8((u2 + v 2 )2 + 6u2 v 2 )
8((u2 + v 2 )2 + 6u2 v 2 )
(121)
б) нормалната кривина на S в точка M (u = 1, v = 1) по допирателното
направление на кривата C : v = u2 върху S;
Решение:
За кривата C : v = u2 , допирателният вектор е (du, dv) = (1, 2u). В точката M (1, 1) имаме
(du, dv) = (1, 2).
Нормалната кривина се изчислява по формулата:
v=
h11 (du)2 + 2h12 (du)(dv) + h22 (dv)2
g11 (du)2 + 2g12 (du)(dv) + g22 (dv)2
(122)
Нека намерим стойностите на коефициентите в точката M (1, 1):
g11 = 8u2 + v 2 = 8 · 12 + 12 = 9
g12 = uv = 1 · 1 = 1
g22 = 8v 2 + u2 = 8 · 12 + 12 = 9
11
(123)
(124)
(125)
За |⃗n0 |, имаме:
p
8((u2 + v 2 )2 + 6u2 v 2 )
p
= 8((12 + 12 )2 + 6 · 12 · 12 )
p
= 8(4 + 6)
√
= 80
√
=4 5
|⃗n0 | =
(126)
(127)
(128)
(129)
(130)
Коефициентите на втората основна форма:
8v 2
8 · 12
2
= √ =√
|⃗n0 |
4 5
5
−8uv
−8 · 1 · 1
−2
√
h12 =
=
=√
|⃗n0 |
4 5
5
2
2
8·1
2
8u
= √ =√
h22 =
|⃗n0 |
4 5
5
h11 =
(131)
(132)
(133)
Сега изчисляваме нормалната кривина:
v=
=
=
=
h11 (du)2 + 2h12 (du)(dv) + h22 (dv)2
g11 (du)2 + 2g12 (du)(dv) + g22 (dv)2
−2
√2 · 12 + 2 · √
· 1 · 2 + √25 · 22
5
5
9 · 12 + 2 · 1 · 1 · 2 + 9 · 22
2
√ − √8 + √8
5
5
5
9 + 4 + 36
√2
5
(134)
(135)
(136)
(137)
49
2
= √
49 5
(138)
в) гаусовата и средна кривина на S в производна нейна точка.
Решение:
Гаусовата кривина се пресмята по формулата:
K=
h11 h22 − h212
2
g11 g22 − g12
12
(139)
Знаем, че:
8v 2
|⃗n0 |
−8uv
h12 =
|⃗n0 |
8u2
h22 =
|⃗n0 |
g11 = 8u2 + v 2
g12 = uv
g22 = 8v 2 + u2
h11 =
(140)
(141)
(142)
(143)
(144)
(145)
Така:
K=
=
h11 h22 − h212
2
g11 g22 − g12
(146)
2
8v 2
· 8u
−
|⃗
n0 | |⃗
n0 |
−8uv
|⃗
n0 |
2
(147)
(8u2 + v 2 )(8v 2 + u2 ) − (uv)2
2 v2
64u2 v 2
− 64u
|⃗
n0 |2
|⃗
n0 |2
=
(8u2 + v 2 )(8v 2 + u2 ) − u2 v 2
=
(148)
0
(149)
(8u2 + v 2 )(8v 2 + u2 ) − u2 v 2
=0
(150)
Това означава, че във всяка точка на повърхнината Гаусовата кривина е 0.
Средната кривина се изчислява по формулата:
H=
g11 h22 − 2g12 h12 + g22 h11
2
2(g11 g22 − g12
)
(151)
Заместваме:
H=
g11 h22 − 2g12 h12 + g22 h11
2
2(g11 g22 − g12
)
2
2
=
=
(152)
8u
− 2(uv) · −8uv
+ (8v 2 + u2 ) · |⃗8v
(8u2 + v 2 ) · |⃗
n0 |
|⃗
n0 |
n0 |
2((8u2 + v 2 )(8v 2 + u2 ) − (uv)2 )
8v 2 (8v 2 +u2 )
8u2 (8u2 +v 2 )
16u2 v 2
+
+
|⃗
n0 |
|⃗
n0 |
|⃗
n0 |
2((8u2 + v 2 )(8v 2 + u2 ) − u2 v 2 )
13
(153)
(154)
Опростявайки числителя:
8u2 (8u2 + v 2 ) + 16u2 v 2 + 8v 2 (8v 2 + u2 )
|⃗n0 |
4
2 2
64u + 8u v + 16u2 v 2 + 64v 4 + 8u2 v 2
=
|⃗n0 |
4
2 2
64u + 32u v + 64v 4
=
|⃗n0 |
(155)
(156)
(157)
Опростяваме:
(8u2 + v 2 )(8v 2 + u2 ) − u2 v 2 = 64u2 v 2 + 8u4 + 8u2 v 2 + v 4 − u2 v 2
= 8u4 + v 4 + 71u2 v 2
(158)
(159)
Така средната кривина е:
64u4 +32u2 v 2 +64v 4
|⃗
n0 |
H=
4
4
2(8u + v + 71u2 v 2 )
64u4 + 32u2 v 2 + 64v 4
2|⃗n0 |(8u4 + v 4 + 71u2 v 2 )
64u4 + 32u2 v 2 + 64v 4
= p
2 8((u2 + v 2 )2 + 6u2 v 2 )(8u4 + v 4 + 71u2 v 2 )
=
14
(160)
(161)
(162)