I
LEMMA DELLO SCAMBIO
r= x
7272
7
=
.
d vettori in un lineme
libera
x d vettor in un intera
.
di
generator
DIMOSTRAZIONE
&V
Sv
,
,
.
. .
. . .
.
..
we
.
d generatori
n]
l insieme libero
=
insieme
=
Voglie dimostrare che
nor
e
se
L
S
(Teke
Qualche Xi
ottimentsarebbechea
w
= V+
.
.
.
.
+
eve
-
Inscemo
&
che
Posso
supporre
in,
cioe
che Xinfo
=> =..
W,
=>
Va
e
= - ... e
Y
-G ,
= Un
=
<, 0, + XeV, +.
,
v
, ...,
+
...
Combinario lière di
Vediamo che Gr
↑
Xe
XaVa
Gr
Y
,
V
,
. .-
-
--
-
va]
sitema digeneratori
un
perché
funz è
VF
V +
, ,
F
,
....
V +
,
+
Mae
Va +
+
Ma va
UreVa Un
....
+
(
(Mad) ( ynx0)V
,
w +
,
+
+
,
,
Quind GW
v
, ,
We =
.
an
...
Bw +
,
,
Qualche Xixo
=
+
.
. . --
.
, ,
..
+
+
{w
,
....
+
LmVar)
(Ma Madm)
+
-
V
, ,
....,
Vn-
Uncy
di generator
X Vi-z
(ultimentlineornate indipendent
wo-B v =E
,
sone
d generator
-
e un sistema
XV +
um inviso
G, +& V, +... + SaVe
Wi + doV, +
Combinarione hineors d
=>
=
è ancora
va
Tin veV
=
Xx
,
che
-
)
que essere pato v...in
m
Posso supporre Vi In fo
=
=> V
= We -
Cantinazione lineore d Sw
,
wo V
,
....,
Va ]
Applicando lo steve ragianate Gwwe
sistema di generator
un
, , ...-
L
.
In generale si ottiene un sistema di generator
Gr
, , ...,
Te
No ...
,
asty per ogni
fare
en
Ev Wal
, , ...,
Allocar
Mon
=>
wax =
e
125152
riha
un
Cr
,
:
insieme
di
X w, +. .. awa =
,
può essere
rin
N72
...
,a , Max s ..., ve
27k
(
Generator
Gr valg
,
.
.
.
è
liv dai
.
Assurd !
e
# Teorema
OI GRASSMANN
FORMULA
della
vettoriale finemente generato
Sia V
pario
sottosari vettoriali d V
Allora
.
·
Siamo W
,
:
dim T dim W dim (EnW)
W)
(E
#im
+
+
=
FORMULA
DI
GRASSMANN
DIMOSTRAZIONE
Portiamo da
GV val
Sia
, , . ...,
Possiamo
S
v
completare ad
V, ...
,
Vr U
, ....,
,
(diEW r)
base d ENW
vettori linearmente
sono
v
ve
, ....,
una
FrW .
una
us
=
indipendent in.
s)
I
t)
I
base d V
.
:
(dimt
base d. E
=
2+
Ej
, ....,
ve
Possiamo
[V
vettori lineormente indipendent in W
son
completare ad
, ..., ve ,
w
, ...,
una
base I W
we] based W
.
:
(diW
=
e +
Vedreme che
Ev
, ...,
Outtiamo
:
Ve M,
Mr , w, ...
...,
,
fore
dim (t w)
=>
,
we]
e + s+t
=
↓ (2 s) (e t) 2
+
+
+
E +W
Sv
che
, ...,
di [ ew)
, ...., Is,
.
W,
...
wig è
,
una
lase d
.
Sono generatori ?:
1
Yia ve+ W => v
Ev
, ...,
vo e
,
, ....,
usy
è
, , ...,
Ve, w,
.. .
.,
wag
è
=>
=> v
=
m+ w =
=
2 V, +
=
mette weW
con
....
,
+ GrVe +
B V, +.
,
...
+
BeVz +M
,
w +
,
,
u,+
( B )v+.... (2 Be)vz X
,
+
,
X u +. + Xsks
,
,
-- -
+
...
lase d W
una
w=
u+w
base d. I
una
=> M
Ev
Ve, M
-
-
ww
di
Dimostriano
base d E + W
è una
vere :
came
+
-
+
+
+
Castinazione lineare di Ev
, , ...,
Vr M
,
,
. .
.. .
,
.
MzWE
+a
,
us ,, ...
+
y
,
we
w +... +
,
queve
Quind e un sistema di generator
Tone lincarmente indipendent :
-
↓
v, +
↓
.
v, +
ArVe 2 , +
+
...
.
,
ArVe 2
+
...
,
l
-
1, +
-
+ GjMs +B, W+.... +
We
- -
+ LjMs =
- -
-
B w,
-
,
=
-
BeWt
-
....
Ew
EJ
EU1W
B w,
=
-
-
,
B W,
>
=
=>
M
- -
...
,
,
2
,
M
=>
X, v, +
,
= 0
,
.
.
GV
=>
Quind
,
=
0
,
,
wig
w
, ..,
.
The
= 0
,
B
,
+
,
X
.
,
... Ve 2
↓
Na
.
.
v, +
. .
V, +
,
.
. . .
+
,.
.. .
.
sono una
bas
fVe
,
SV, ...,
=>
Bot M
Ev va]
di EW
+ w
MrVe B +.... +By =
V, +... +
Ta
Perché
Bere E UnW
-
....
.
...,
.
..
,
=0
,
Xr
=
...
1, +
-
-
- -
. rVe 2
+
Ve , e , ...,
0
,
6
,
libera perché
e
,
us
,
pt
è
-
- -
v
u
w
, ...,Vr, , .., Ms , , ..., we
-
B W,
-
,
Bet
-
....
dimento
perché è
una
based E
=0
sone
linearmente indipendent
quind formanc una bass o E W
+
:
+ 2jMs =
libera
, ...., 25
=0
.
based W
=0
+ GjMs =
l, +
è una
a
teorema
#
L V
:
:
lineare
W
V
dim (V) dim
Allora
nullità
di
=
più
Rango
finemente generato
(Ker(f) dim (Tm(f)
+
DIMOSTRAZIONE
Sia
Gv ve base d Ker(x) (di (For(t) 2)
=
, , ...,
Completo la base d Kor()) ad
Ev
, ..., Ve, Ven, ....
.
Ekof)
=>
V
f
~
dim(V)
,
=
una
based V
:
Vees]
EV ma Ele(f)
2+ s
V
-
.
...,
V
-
Ve
,
Vet,
f)
WI
Sono generator
di
Tm(x)
....,
Vas
+s
WS
EV
Tm(f)
↳ vettor
{v wiz
=
w
,
=
.
..
wa
.,
.
X
,
w
, +....
+ sw, =
X (Ve 1) +
+
,
data che f lineare
è
f(X
Allora
=>
=>
,
&
=>
=>
+
Xsf(ve s) =
,
....
+
+
SW waz
, , ...,
.
,
&V +
,
è un
una
=
XsVets
1 ... Va, Ver,
, Xi
=0
-
...
-- avehedi e
[V
d.
wig è
dim (Tm(x)
..
=
LaVe-X Vex-
, ...., Xe
= 0
,
Xsvr s) =
,
X vent .... Vers
Sw
+
Ven +.... +
.
=>
.
.
:
Camb Creare
,
.
X Ven +..... + ↓svets eFer(f)
X, Vit
=> X
linearmente indipendent ?
sono
, ...,
no
, ....,
Xs
....
=
&
Natiy
= 0
insieme
libero
base
d. Im(x)
E
Based. V
dim (ker(x)
=>
dim V
#
=
=
e
dim (V)
,
2+
=
dim (Ker(f) + dim
teorema
rouche-Capelli
di
Il intera AX 0
(Im(x)
ammette
=
rango (1)
soluzioni se
e
solo se
range (A18)
=
DIMOSTRAZIONE
(A(b) A... A
11
A
=
A
,
...
An
...
=
I
I
A, ,..., An E
*
colame d A
Be
.
S
a
,
-----
..
Ti ha Ax =
Am
!
am------- Amn
A , X,
.
. .
.
.
. AXu
i
I
An X, + ----AuXu
,
V
In
*
a
am
I
X,
i
=
&
/
+
---- ..
!
ann
Ami
=
A, +
X,
!
+X
.......
+
XxAx
Quind il sistema AX E ammette solver
=
8
I
è
combinazione lineare di A ,
.
che il
Ye Be
A
,
ranger(1)
A
, ,
. .
.
dim
Ye Be
.
..,
An
(A
An
......
rage
.....,
An
,
dim
(A An)
,,...,
Genito sabricio allora
1)
=
r
:
A, ..., An f
=.
,
(di )A
(A) TangeA
A , ..., An
dim) A
An
=
=2
A
=>
.
,
An
..
, ,...,
=>
An
↓
Be
Tapp
...,
, ,...,
{na
=
evite
2+
An ,
soluzione
allora
:
Frange (1)
Quind il intera ammetto soluzione
=
range(1)
=
range
(A18)
#
AEMatu (1) allora
Teorema
RANGO
RANGO
Per
Colonne
or
PER
RIGHE DI A
=
Il
Il
2kr(t)
2kc(t)
A
Rango di
=
A
Il
2k(A)
DIMOSTRAZIONE
A
Amatrice
>
operazion sulle righa
a
scalo
sulle righe non cambiano 2k = Skr(1) = rx(A)
operazion
· A sono matica di F:K Km
·
e
f(x)
rispetto
a
=
basi diverse d Km
.
allora rx (A) Tm(f)
=
,
=>
A
basta dice che 2k(A)
matrice
è
a
2xc
2k,
(A)
(1)
.
.
=
non =
nelle d . A
D'altra parte per nullit
,
<Ta
=
=
scala le righ non sulle sono lim. inclipe
2Kc(A) #d righe
2k
Ax
c(A) dim (Tm(f)
=
=
x
-
#d pivot
+
rage
dim (Ker(f) *
Ker(f) (x ( *: f(x) 83
=
:
=
A
ha Ax -e
AX =È ha le stere
=
&
soluzion
Utitirando la sostituzione all'indietro
per
risolvers
ilvitema AX T e ricavano le variabili corrispondat
=
alle colonne dominante in termini delle veriabil coriyandat
alle colame new-dominant (che rimagene libered
variare
Quind
dim (Ke(f)
:
=
#
parametr
=
liberi d
#d colore
dominant di A
variare
-#
=
·
Y
#
=>
dim (Ker(f)
=
non
di
-
pivot
colonna
riglo ddaminant
#di pirot
*
= 2k,
(A)
=
12
-
(n #quot) # pivot
=
-
Il
dim (ker(f) Ke(t)
Teorema
#
di
Dragonalizzazione
A -Matu (1) e diagenaticabile se
e
solo
se :
② Il policino caratteristico d A ammette litte
le radici in I
gl autovalori e /K)
(tutt
-La molteplicato algebrica
e
la molteplicita
genetica coincider por ogni autovalore
DIMOSTRAZIONE
diaginativabile
simile act
matrice diagnale
Supponiamo
) A
=
è
A
una
0-)Matuxu((k)
a
M
S
O
A et sono simili
det (A
**
(0 (n) det
(n)
(-1) -1) (1)
=
-
det
s
-
=
me
=
.
=>
Tutte le radia del
appartengers
a
Ik
polinaio caratteristico di A X ,
,
men3
em ,
:
Siane
Th, + Met
VX autospazio relative
,
V autaspario relativo
+ Mr = N
X
a ,
a
.
...
to
"e autospario relatio to
a
A
è
diagnativabile
=>
esiste una base costituto dis autovettor
=>
dimk + die VX
m
.
g dX
.
,
mig di to
+
....
+
dieVa
z
.
g
.
=
d Xz
.
s
,
a
a
mat
,
11
m a
.
Il
Il
Il
M,
+
d Xe
.
.
Me
+....... +
Mr =
Quindi
dim Vr
=
me
3
m
.
g
.
M a
.
.
c) Supponiamo che
det (A (1(n) ( (1-1 ) ( -1)Atalan
=
-
,
.
XA
,
conclusione Esten
.
:iMa
..
{v" !",, Vm]
[V" Vi]
base
{v . , Vi]
base
V ara una base
,
ara
una
.
i
Ve ara una
,
,
,
v
V
v
"
.
....
....
....
Prendiamo tutt gli autovettor trovati
:
VI V e a
,
, e
e
tutte le radiaappartenger alk
M , + The + + Mr = M
V
. .-
lineormate
nopendati
perché
lineormate
lineormate
idpedat
udpedat
...
-
bas
serché bas
serché bas
I
I
linearmento indipendate perche basi diverso
Il
linconiato indipendate
numero
=>
Si
di vettori
e
quind
i
m, + me +.... + Mr =
travata una base formato da autovettor
A
diagationabile
è
DISUGUAGLIANZA
#
Fr weR"
,
v
n,
weIR"
0 =
CAUCHY-SCHWARZ
OI
wavI Dal
.
.
DIMOSTRAZIONE
de
Ilv + aw/
=
+
(v aw) (v aw)a( a(w)a (r)
+
+
.
-
v v+v
.
.
(a w) (aw)v mu()
-
+
+
fl(v1 (c(ov w)) alwll
+
.
15 bx T
S
=
ax +
+ c =
VI
↑(2)
0
020
E
=>
f(x)
* Non pe esere
=
6 -ac
(0(v w))) ollull (lv11
I
+(v w) -Il wil Ilv1)(v w) el wl/v11
=
.
=
=>
T
↳
discriminate
=>
-
.
.
.
Iv w/EllvIIIwIl
.
-
+
Tia E c/" sottopazio di dimensione
#I TEOREMA
.
Allora dim
=
n
-
-
e
-Ut IR"
=
DIMOSTRAZIONE
Sia
[u
,
Cavide
v =
..
. . .
.,
Mr]
base d..
(tR"um
vettore incognite
Vettel
u
M5 V
.
U
,
=
0
(= )
O
VER
A
Extr
Sia A IR" :
f(x) AX
=
=
ker(f) E
=
chim (ner(x) chim (Tm(f) clim (11)
+
dim (54)
=
range (1)
=
u
=>
dim (4)
=
x-range(1)
dim (54)
=>
cange(t)
= -
M
=
n
perche
lin inly
, ...., tr sono
-
2
ve1Ü[
=
vv =)
Iv1
=0
#
Questodimostra che [15 [5]
V= 8
=
Pertante
di
:
(E =2)
+
=
clim[
climt-dir(ENE)
2
dim (E 52)
=>
+
+
n
-
2
O
=
m
U += Ri
=
=>
=>
#
Teorema
R= Ut
Tia
f: - linear
*
*
Allor & e immetria la matrice d. A rispetto
ad una bas ortmormale
è
ortagenale
DIMOSTRAZIONE
Sia
base ortogonale d IR
GV vn]
I =
,
. . .
.,
Utilivieremo la seguente osservazione
:
OSS :
-
(X ....n) eIR
M ( y4n) -IR"
Sianc u we/R" con coordinate X
,
=
,
=
rispetto alla base
+ Vajw M
( cioe X
u
=
Allora
,
V, +
u. w =
=
,
....
,
v, +
- -
X
..
.
+
.,
funvn)
DIMOSTRAZIONE
u=
v=
1x
=
w=
canP
Pq
=
( ....(
Sv via
PTp
(px)(Py) N (px)7(pu) (x p -)(p()
,
e
...,
las coranormale
>
=
P e orloginale
=>
= a
↑
.
=
=
(a,b c(
=> u w =
1)
-
u w =
.
=
Xy
.
.
!
b arb)
=
X(p P)m
=
-
=> Tupperiane fisometria
Devo divostra che A
Siano
u
Siamo X
>
-
Oss :
=
u w
.
/
X.
X v + .... Va
=
=
=
ME(f)
w
,
,
(X Xn) =R
, ,
...
= V, .... Va
,
qu
,
,
ortagiate
e
=
(ym
,
...
,
Tun) EIR
ipoten (f e isometrica)
per
X(u) X(w) (AX) (Aqu)
.
·
Ts coordinate d XCV
risette alla base
-
↳ tat() re
OSS
coordinate
Quind X p
(AX) (A (n) XX qu /R
=
.
.
,
.
Xo
(AX)Ap X A-Age
=> /A-Ayu
VX y /R
y
=
=
-
,
=>
(514 X A Ay
=
=>
X (7) A-A) yu
0
-
-
-
-
Prender X
qu
=
=
Ci
ej
=
=
(0
=
(0
....,
,
VX
8
....,
,
m
-
XX, +(R
,,
0
0
.......,
0 7 0
,
,
......,
0)
0
(x-AA)
coloro j d 11-ATA
AA
=
1)
=>
1
=>
A
è
ortogonale
7) Temperiano che A M(f)
e
ortogonale (cioe A)
=> e
ej
=
0
(1) ATA)ij
-
=
Devo
che
Sianc
u=
w
u.w =
at
f
X v ++
,
,
+.
.
. .
+
+
,
D'altra porte
XV /pu
,
,
= V
X
isometrica
è
3
AA
=
-
compenente ij
d 11-ATA
=
MnVn
=
() , 1)
=
:
f(u) f(w)(Ax) (Aqu) (t)) (Aqu) (Ay)(Aqx)
-
=
=
.
.
coordinated Coordinate d. X()
=>
u w
.
=
fu) rapetto
rigetto alla bas
alla baser
w
f(u) f(v) f
-
=
e
isometria
to
(A) per
Yoga"Xya
#
TEOREMA
A-IMatux((R) simetica, il polineis
caratteristico
fattorio completamente in Termini
d
primo grado coefficienti reali
(cioe possiede esattamentein coefficient reali
Te
e
no
si
a
.
DIMOSTRAZIONE
det
X
) (X (n)
⑫(x
X11)
(A
-
sedrera
=
-
,
-
.
.
.
.
.
fondamentale dove Xi .....
,
DELL'ALGEBRA
ne
Drone
le radic che sono
gl
autoulor d . A
Vogliamo dimostrare che X......, E (sono reali)
u
Sia X
-
D uno degliuntavalor d A
Fv e "un autorettora
Av Iv
=
Prendo il corrigato complesse Av Xv
=
=>
Ar In ma A
=>
Av Ir Q
=
=
=
e
sia
Av ( = (Av)=
=
=>
VA Xur
=
A A = vA
=
0
Moltiplico
(1)
+
=
Xv
detra
a
per v
=
vAuturü
Q I
vi([v)
=
(X-F)v
= a
Tutuf
v=
(
vi
=
I
=
(z
,...
(z 1 +
,
(1-1) viv
0
.
zn)
...
>0
.
+zn)
poché v
-
=
X to
= T
X =R
=
-
=
,
e real
#
TEOREMA
Yia AcMatun (IR) simmetrica
Sia vi autovettore d A relativo all'autovalore Xi
.
Sia vi autovettore di A relativo all'autoalore j
Se tit vievi
sono
ortagenali
DIMOSTRAZIONE
Avi Xi Vi
Avi = jv,
=
(Av)
(divi) (i(vjvi)
(Av) (Avi) ~A
S
ab ad +vit(Xjvi) ((v -vi) ti(vivi)
~
=
vi
=
Il
vi A
=
=
=
=
=
n
generale Xi (vil
in
=>
Xi (Vjvi)
=>
(di -tj) (vjvi)
Fo
=
(j(Vjvi)
=0
= Vivi = o
=> Vi
e
vi
sono
ortagenali