응용 역학1 및 연습
1. 단위, 힘 및 모멘트
응용역학1 및연습
Chapter. 1 단위, 힘 및 모멘트
Part 1
>> 단위
SI 단위계
1. 기본단위
- 길이 (m)
- 질량(kg)
- 시간 (s)
- 전류 (A)
- 온도 (K)
- 물질량(mol): 화학 분야에서 질량을 통해서 입자의 개수를 세는 단위
- 광도(cd)
2. 유도 단위: 어떤 관련된 양들을 물리적 원리에 따라 기본 단위를 조합하여 형성
- 넓이, 부피, 속력, 속도, 가속도, 밀도, 힘 등
3. 힘 (N, Newton)
1 N = 1 kg × 1 m/s2 = 1 N = 1 kg·m/s2
4. 에너지 (J, joule)
1 J = 1 N × 1 m = 1 J = 1N·m
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응용역학1 및연습
Chapter. 1 단위, 힘 및 모멘트
Part 1
>> 단위
힘의 단위 환산
1 N의 의미: 질량 1 kg의 물체를 1m/s2의 가속도로 발생시키는 힘
1kgf의 의미: 질량 1 kg의 물체가 받는 중력의 크기
1 kgf = 1kg × 9.8 m/s2 = 1kgf = 9.8 kg·m/s2
⇒1 kgf = 9.8 N
예제 1
420 kgf/mm2을 MPa 단위로 환산 하시오.
1. MPa의 단위: N/mm2
2. 1kgf = 9.8 N
⇒ 420*9.8 = 4116 N/mm2
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응용역학1 및연습
Chapter. 1 단위, 힘 및 모멘트
>> 힘
Part 2
힘의 정의 (F = ma)
물체의 운동, 방향 또는 구조를 변화시킬 수 있는 상호작용
힘의 3요소
방향
작용점: 힘이 작용하는 점
크기
크기: 가하는 힘의 크기
작용점
방향: 힘이 가해지는 방향
힘의 합성과 분해
1. 동일한 지점에 작용하는 두 힘의 합성과 분해
합력 (R)
B
c
=
P2
+ + 2 α
R
합력의 방향
α
α
θ
o
P1
A
tθ =
α
+ α
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응용역학1 및연습
Chapter. 1 단위, 힘 및 모멘트
Part 2
>> 힘
2. 동일한 지점에 작용하는 여러가지 힘의 합성과 분해
y
P1= 200 N
P1
P2
P2= 300 N
P3= 200N
45°
30°
x
O
60°
합력 결정 방법
1. 평행사변형 법의 반복
2. 힘의 다각형(시력도)
P3
3. 해석법
해석법?
힘의 작용점 O를 원점으로 하는 직각 좌표축을 정하여 힘이 x축과 이르는 각을
결정하고, 수평 및 수직 분력을 계산하여 합력을 결정하는 방법.
(이때, 힘의 부호는 수평 분력은 오른쪽이 +, 수직 분력은 위로 향하는 경우가 +)
합력의 방향 (θ의 위치)
∑H ≤ 0
2 상한
1 상한
∑V ≥ 0
∑V > 0
3 상한
∑H < 0
∑V ≤ 0
∑H > 0
O
4 상한
∑H ≥ 0
∑V < 0
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응용역학1 및연습
Chapter. 1 단위, 힘 및 모멘트
Part 2
>> 힘
2. 동일한 지점에 작용하는 여러가지 힘의 합성과 분해
y
P1= 200 N
P1
P2
P2= 300 N
P3= 200N
45°
30°
O
x
60°
P3
수평 분력
H1 = P1cos45°=200× =141.4 N
H2 = P2cos30°=-300× =-259.8 N
∑ = 1 + 2 + 3 = -218.4 N
H3 = P3cos60°=-200×=-100 N
수직 분력
V1 = P1sin45°=200× =141.4 N
V2 = P2sin30°=300×=150 N
∑ = 1 + 2 + 3 = 118.2 N
V3 = P3sin60°=-200× =-173.2 N
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응용역학1 및연습
Chapter. 1 단위, 힘 및 모멘트
>> 힘
Part 2
2. 동일한 지점에 작용하는 여러가지 힘의 합성과 분해
y
P1= 200 N
P1
P2
P2= 300 N
P3= 200N
45°
30°
O
x
60°
P3
합력 (R)
=
∑ + ∑ = (−218.4) +(118.2) = 248.3 N
합력의 방향
∑
tθ = ∑= -0.5412 =- 28.42=-28°25`=331°35`
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Chapter. 1 단위, 힘 및 모멘트
>> 모멘트
Part 3
힘이 물체를 어떤 점이나 축을 중심으로 하여 회전하게 하려는 작용으로, 힘의 회전
효과라고 하며, 힘의 모멘트 또는 모멘트라 칭함.
모멘트(M)= 힘(P)×점(또는 축)에서 힘의 작용선까지의 수직 거리(L)
바리농의 정리
두 힘의 임의점에 대한 모멘트의 대수합은 그들의 합력의 그 점에 대한 모멘트와 같다.
P1 = 100
R
P2= 50
A 지점에서 B 지점까지의 거리 30 m
R에서 B지점 까지의 거리 x
(R=100+50 = 150 N)
A
B
O
바리농의 정리를 이용한 계산
B지점에서의 Moment
Þ 150·x= 100 N ·30
x = 300/150 = 20
우력 모멘트
우력: 크기가 같고 방향이 반대이며 동일 작용선상에 있지 않은 한쌍의 나란한 힘
P
a
P
b
O
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Chapter. 1 단위, 힘 및 모멘트
Part 3
>> 모멘트
라미의 정리
서로 평행하지 않은 세 힘이 균형을 유지하고 있으며, 각각의 사잇각을 θ1, θ2, θ3 라고
할 때, 폐합 삼각형 ABC를 만들려면 세 힘은 동일 평면상에 있고, P1과 P2의 합력은
P3의 작용선상에 있어야 하므로 세 힘은 1점에서 마주친다.
P1
θ3
P2
P2
θ2
θ1
180-θ2
180-θ3
P1
180-θ1
P3
P3
삼각형의 sin 법칙에서
1
2
3
=
=
sin(180° − 1) sin(180° − 2) sin(180° − 3)
1
2
3
=
=
sin 1 sin 2 sin 3
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Chapter. 1 단위, 힘 및 모멘트
>> 과제
Part 4
문제 1
다음 좌표를 이용하여 합력의 크기와 방향을 결정하고, 합력의 x축 절점을 구하라.
(-1,6)
(4,6)
30 kN
50 kN
(-1,3) (0,3)
(0,-2)
(4,-2)
40 kN
문제 2
중량 500 kg 되는 물체가 로프에 지지되어 있을 때, 줄 AB, BC가 받는 장력을 구하라.
A
60°
30°
C
B
500 kg
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응용 역학1 및 연습
2. 단면 성질
응용역학1 및연습
Chapter 2. 단면 성질
>> 단면 도심
Part 1
단면 도심
평면 면적(x, y 좌표계를 가질때, 임의점 O를 원점으로 하는)
y
1. 단면적 (A)
A =∫
ㅡ
c
x
x
·
dA
2. X와 y축에 관한 면적의 1차 모멘트 (단면 1차 모멘트)
ㅡ
y
Qx =∫
y
ρ
x
O
Qy =∫
(단면 1차모멘트의 단위는 단위의 3제곱으로 표현)
도심: 도형의 면적이 임의의 한 점에 집중되어 분포되어 있는 단면의 1차 모멘트와 같아지는 어느 한 점.
1. 도심 C의 좌표 ̅ , 는 1차모멘트를 그 면적으로 나눈 값과 같음.
̅ =
=
=
=
∫
∫
∫
∫
2. 대칭축에 관한 1차 모멘트는 0.
3. 대칭 형태에 따른 1차 모멘트의 결정
(1) 1축 대칭
(2) 2축 대칭
y
y
c
(3)점대칭
x
도심 위치: 대칭 축(x 혹은 y) 위에 표시
c
y
x
대칭축의 교점(육안 판별)
c
x
대칭중심과 일치(육안 판별)
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응용역학1 및연습
Chapter 2. 단면 성질
Part 1
>> 단면 도심
불규칙 경계를 가지는 단면의 단면 1차모멘트의 결정:
도형을 작은 유한요소로 나누어 그 적분들을 합산으로 대치 시킴
Q = = ∆
∫
∑
∆
⇒ = = = ∑
∆
∫
Q = ∫ = ∑ ∆
∫
∑
∆
⇒ ̅ = = = ∑
∆
∫
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Chapter 2. 단면 성질
Part 1
>> 단면 도심
예제 1. 단면 1차 모멘트를 계산하시오.
y
직선의 방정식
h
·
ℎ
=− +ℎ
dy
x
x
b
=
ℎ− = 1−
ℎ
ℎ
이 평면 요소의 면적
폭: x, 높이: dy 로 이루어진 얇은 수직띠의 형태로 dA를 결정하면
= = 1 −
ℎ
해당 평면의 면적은 다음과 같이 계산.
= ∫ = 1 −
ℎ
=
ℎ
2
각 축에 대한 단면 1차 모멘트의 계산
= ∫ = 1 −
= ∫ = 1 −
ℎ 2
=
ℎ
6
2ℎ
=
ℎ
6
ℎ 2
ℎ
=
= 6 =
ℎ
3
2
2ℎ
̅ =
= 6 =
ℎ
3
2
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Chapter 2. 단면 성질
>> 단면 도심
Part 1
예제 2. 다음 도형의 도심 C의 좌표를 구하여라.
y
= ()
곡선의 방정식
h
̅
c·
= = ℎ(1 − )
·
2
x
b
이 평면 요소의 면적
폭: dx, 높이: y 로 이루어진 얇은 수직띠의 형태로 dA를 결정하면
= = ℎ 1 −
해당 평면의 면적은 다음과 같이 계산.
2ℎ
= ∫ = ℎ 1 − =
3
각 축에 대한 단면 1차 모멘트의 계산
ℎ
= ∫ =
1−
2
2
4ℎ 2
=
15
=
2ℎ
=
5
̅ =
3
=
8
2ℎ
= ∫ = ℎ 1 − =
4
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Chapter 2. 단면 성질
Part 1
>> 단면 도심
합성 단면의 도심
y
̅
A =∑
A1
Qx =∑
1 c1
·
1
O
·c
c2
· 2
A2
2
Qy =∑
x
합성 단면의 단면적
= 1 + 2
x축에 대한 단면 1차모멘트
= 11+22
y축에 대한 단면 1차모멘트
= 11+22
도심의 좌표
̅ =
11 + 22
=
1 + 2
=
11 + 22
=
1 + 2
과제: D.1-3, D2.-2
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Chapter 2. 단면 성질
>> 단면 2차 모멘트(관성 모멘트)
Part 2
단면 2차모멘트(관성모멘트)의 특징
1. +의 값을 갖는다.
2. 축이 다르게 선택되면 같은 재료, 같은 양이라도 다른 값을 갖는다.
3. 도심을 지나가는 축에서 구한 단면 2차모멘트는 제일 작다(0은 아님.)
= ∫
= ∫ y
ℎ
2
A
x
c
ℎ
2
B
2
2
A
B
A-A 축을 중심으로 단면 2차모멘트의 계산
3
1
= = [
] =
ℎ
3 12
B-B 축을 중심으로 단면 2차모멘트의 계산
1
= = ℎ
3
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응용역학1 및연습
Chapter 2. 단면 성질
>> 단면 2차 모멘트(관성 모멘트)
Part 2
임의의 특수 축에 관한 합성단면의 단면 2차모멘트
y
ℎ
C
ℎ1
x
=
1
1
ℎ − 1ℎ1
12
12
1
다음 단면의 경우, Y축에 대한 단면 2차모멘트는 평행축 정리의 사용을 통하여 결정해야함.
y
ℎ
c
ℎ1
x
ℎ
1
c
ℎ1
x
1
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Chapter 2. 단면 성질
Part 3
>> 관성모멘트의 평행 축 정리
1. 도심에 대한 관성모멘트와 도심 축에 평행한 임의의 축에 대한 관성 모멘트 사이의 관계
y
y
d2
c
x
·c
y
x
c
d
d1
O
x
x축에 대한 관성모멘트
도심에서 단면 1차모멘트=0
= ∫ ( + 1) = ∫ + 21∫ + 1 ∫
= +1
y축에 대한 관성모멘트
= +2
평면상의 임의의 축에 대한 면적의 관성 모멘트는 이와 평행한 도심축에 대한
관성모멘트에, 면적과 두 축간의 거리의 곱을 더한 것과 같다.
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Chapter 2. 단면 성질
Part 3
>> 관성모멘트의 평행 축 정리
예제 3. 평행 축 정리를 이용하여 도심 축에 대한 관성모멘트를 결정하라.
y
y
c
̅
ℎ
x
c·
c
x
해당 평면의 면적은 다음과 같이 계산.
2ℎ
= ∫ = ℎ 1 − =
3
도심의 좌표
̅ =
3
=
8
=
2ℎ
=
5
단면 2차모멘트
16ℎ 3
=
105
2ℎ 3
=
15
도심축에 대한 단면 2차모멘트
16ℎ 3 2ℎ 2ℎ
= − =
−
105
3
5
2ℎ 3 2ℎ 3
= − ̅ =
−
15
3
8
8ℎ 3
=
175
19ℎ 3
=
480
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응용역학1 및연습
Chapter 2. 단면 성질
>> 회전 반경
Part 4
정의:
도형의 면적이 어느 한점에 집중되어 분포되어 있는 단면의 2차모멘트와 동일한 값을
가지게 하는 어느 한점
평면 면적에 대한 회전 반지름은 그 면적에 관한 관성모멘트를 그 자체의 면적으로 나눈
값의 제곱근
=
=
=
=
예제 4. 직경 d인 원의 회전 반경
도심 축에 대한 단면 2차 모멘트
4
=
64
2
=
4
회전 반경
=
=
4
64 =
2
4
2
=
16 4
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응용역학1 및연습
Chapter 2. 단면 성질
>> 극 관성 모멘트
Part 5
비틀림에 대한 저항을 나타내는 물리량으로, 각 축의 관성모멘트의 합으로 표현
y
x
dA
ρ
y
x
O
= ∫ = ∫ ( + ) = +
극관성 모멘트의 평행 축 정리
yc
y
d2
x dA
y
·c
d
O
xc
= + ,
= + c
= +1 ,
+2
=
+ = + + (1 + 2)
= +
d1
x
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응용역학1 및연습
Chapter 2. 단면 성질
Part 5
>> 극 관성 모멘트
예제 4. 다음 단면 내에 있는 B 점에서의 극 관성 모멘트?
y
dρ
r
ρ
x
O
·B
도심에서의 극 관성 모멘트
= ∫ = 2 = 2
4
=
2
B점에 대한 극 관성 모멘트
= +
4
=
+ 2()2
2
34
=
2
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응용 역학1 및 연습
3. 인장, 압축 그리고 전단
응용역학1 및연습
Chapter 3. 인장, 압축 및 전단
Part 1
>> Introduction
인장: 축 방향으로 당기는 힘(+)
압축: 축방향으로 누르는 힘 (-)
전단: 서로 다른 쪽에서 힘이 작용하여 단면을 자르고 나가는 힘
재료역학
해석의 목적: 구조물에 작용하는 하중에 대한 구조물과 그 부품들의 응력, 변형률, 및
변위 결정
여러가지 형태의 하중을 받는 고체의 거동을 취급하는 응용역학의 한 분야
접근 방법
1) 이론적 해석
2) 실험적 결과
단위의 통일
1) 국제 단위 체계 (SI)
2) 미국 관용 단위 체계 (USCS)
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응용역학1 및연습
Chapter 3. 인장, 압축 및 전단
Part 2
>> 수직응력과 변형률
응력: 도심에 하중이 작용할 경우를 가정하며, 재료는 균질(Homogeneous)로 가정.
P
P
δ
P
P
σ
P
인장 응력: 신장을 일으키는 인장력에 의해 단면에 발생하는 응력.
응력: 연속적으로 분포하는 단위면적당 힘. =
단위: kgf/cm2, MPa, psi, ksi
압축 응력: 압축에 의해 발생하는 응력
1) 수직 응력: 단면에 수직으로 발생하는 응력(인장(+), 압축(-))
2) 전단응력: 면에 평형으로 발생하는 응력.
변형률 (Strain): 단위 길이당 신장량 (인장 변형률, 압축 변형률)
=
예제 1. 단면적 (20x40 mm), 길이 2.8 m 하중 70 kN이 작용하여 길이가 1.2 mm가 늘어 났을 때,
수직 응력과 변형률을 계산 하시오.
=
=
70
70
=
=
= 87.5
20 × 40 800 2
1.2
=
= 429 × 10 = 429
2800
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응용역학1 및연습
Chapter 3. 인장, 압축 및 전단
>> 응력- 변형률 선도(curve)
Part 3
응력 변형률 선도: 재료의 특성을 나타내며, 역학적 성질과 거동 유형에 관한 정보를 제공함.
공칭 응력: 초기 단면적을 사용한 응력 (cf. 진응력)
A: 비례 한도, 탄성한도
′
··
·
B: 항복점 (Yielding point)
·
C: 변형 경화점
·
D: 극한 응력
E: 파단점
E’: 실제 파괴점
선형 영역
완전 소성
변형 경화 necking
off set 항복 응력 (0.2% off set)
뚜렷한 항복점이 없고 비례한도를 지나
큰 변형이 발생하는 재료의 항복 응력 결정
0.2%
연성(Ductility): 파단 되기까지 큰 변형에 견디는 성질
à 압축과 인장의 응력-변형률 관계와 유사
취성(Brittle): 비교적 적은 변형률에서 급격스럽게 파괴
à 인장보다 압축에서 큰 극한응력 보유
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응용역학1 및연습
Chapter 3. 인장, 압축 및 전단
>> 탄성과 소성
Part 4
탄성(Elasticity): 하중 제거에 따라 원래 위치로 돌아 가려는 성질
소성(Plasticity): 탄성한도 이상에서 비탄성적인 변형이 일어나는 과정
탄성 한도
loading
·
·
loading
·
unloading
unloading
reloading
elastic
plastic
residual elastic
strain recovery
크리프(Creep)
장기 하중에 의해 탄성변형 외에 추가적으로 시간에 따라 발생하는 변형
릴렉세이션(Relaxation)
변형이 일정할때, 시간이 지남에 따라 하중이 감소
creep
relaxation
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Chapter 3. 인장, 압축 및 전단
Part 5
>> 선형 탄성과 Hook’s law
탄성계수: 선형, 탄성적인 응력-변형률 곡선의 기울기
=
포아송비(Poisson’s ratio)
=
가로변형률
≤ 0.5
축방향 변형률
= (1 + )(1 − ) (1 − )
2, 3
무시
= (1 + − 2)
∆ = − 0 = (1 − 2)
a
a
c
⟸
⟹
bε
cε
b
체적 변화율 (e)
∆
= 1 − 2 = (1 − 2)
0
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Chapter 3. 인장, 압축 및 전단
Part 5
>> 선형 탄성과 Hook’s law
탄성계수: 선형, 탄성적인 응력-변형률 곡선의 기울기
=
포아송비(Poisson’s ratio)
=
가로변형률
≤ 0.5
축방향 변형률
= (1 + )(1 − ) (1 − )
2, 3
무시
= (1 + − 2)
∆ = − 0 = (1 − 2)
체적 변화율 (e)
∆
= 1 − 2 = (1 − 2)
0
예제 2. 원형 단면봉(항복 강도: 415 MPa), P=85 kN, L = 3.0 m, d = 30 mm, E=70 GPa
=
85
=
= 120.3 탄성 상태
× 302 2
4
120.3
= =
= 0.001718 = 1718
70
=
1
3
= = 1718 × 3.0 = 5.15
1
= − = − × 0.001718 = −0.005726 = −5726
3
∆ = = −5726 × 30 = −0.0172
∆ = 0 1 − 2 = 1210 3
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Chapter 3. 인장, 압축 및 전단
Part 6
>> 전단 응력, 전단 변형률
전단 응력
=
a
q
p
b
s
순수 전단: 전단응력만을 받는 상태
전단변형률(ϒ): 찌그러짐 또는 모양의 변화를 나타내는 척도(rad)
전단 Hook’s law
=ϒ
G:전단 탄성 계수
=
2(1 + )
예제 3. 전단 응력을 계산하시오.
↓P=116 kN
D=19 mm
6 mm plate
116
=
= 409
× 192 2
4
전단 면적 = × 19 × 6 = 358 2
=
= 324
전단 응력 =
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응용역학1 및연습
Chapter 3. 인장, 압축 및 전단
Part 7
>> 허용응력과 허용 하중
강도: 부하 능력
안전계수(factor of safety)
=
실제 강도
≥ 1.0
필요 강도
허용 응력(allowable stress)
σ σu
σallow =
n
강도 설계(극한 하중 설계)
극한 하중 = 실제하중× 하중 계수
예제 4. 다음 물체의 직경을 결정 하시오.
σu = 240 MPa, P = 580 kN, t = 25 mm, n = 3 (S.F)
↓P
t
σall =
240
= 80 Ma
3
580 × 103
=
=
= 7250 mm2
σall
80
d
↑P = 580 kN
2 − 2 2
=
−
= ( − )
4
4
= 117.3
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응용 역학1 및 연습
4. 축하중을 받는 부재
응용역학1 및연습
Chapter 4. 축하중을 받는 부재
Part 1
>> 개요
축하중을 받는 부재: 인장과 압축만을 받는 구조물의 부품
(축 방향: 재료의 길이방향)
해석과 설계의 차이
1) 해석 (Analysis): 응력, 변형률, 변위, 반력 등을 계산
구조물의 치수, 구성 재료를 가정 à 구조물 거동 파악
2) 설계 (Design): 주어진 기능을 충족 시킬 수 있는 구조물의 기하학적인 윤곽 결정
- 크기, 형상 등을 결정 (토목의 경우: 안전성-생명과 재산 보호)
- 최적화(Optimization)
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Chapter 4. 축하중을 받는 부재
Part 2
>> 축하중을 받는 부재의 처짐
P
P
δ
P
P
=
=
Hook’s law 적용 (ie. 탄성 재료로 가정)
= =
→=
이때, EA: 축 강성(Axial rigidity)
Spring의 경우
P
선형 탄성 스프링의 축강성 K: 단위 신장량을 발생시키는 힘
1
= =
=
(: 스프링 상수)
(: 스프링의 유연도)
축하중을 받는 봉의 K =
=
(단위하중에 의한 처짐)
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응용역학1 및연습
Chapter 4. 축하중을 받는 부재
>> 축하중을 받는 부재의 처짐
Part 2
축방향 길이 변화의 일반화
=∑
축하중과 단면이 연속적으로 변할 경우,
()
= =
()
예제 1. E=200 GPa(constant), 자중 무시, a=b 일때, c점의 처짐량?
0.5 m
160 mm2
a
b
26
0.8 m
100 mm2
B점에 작용하는 수직력(D점 하중에 의해)
=
10
=
→ 26
26
10 × 0.8
16 × 0.5
−
200 × 100 2 200 × 160 2
= 0.4-0.25 = 0.15 mm
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응용역학1 및연습
Chapter 4. 축하중을 받는 부재
Part 3
>> 부정정 구조물
- 부정정: 정역학적 평형 방정식만으로 축력과 반력을 계산할 수 없는 구조물
- 해석 방법의 종류
(1) 유연도(응력)법(Flexibility method): 단위하중법, 최소일의 방법, 3연 모멘트법, 매트릭스
응력법
(2)강성도(변위)법(Stiffness method): 처짐각 법, 모멘트 분배법, 매트릭스 변위법
(a) 유연도법: 미지의 반력 중 하나를 정역학적 여분력(statical redundant)으로 선정
P
·
RA
( + )
P
·
cf)적합 조건식 (Eqn. of compatibility)
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Chapter 4. 축하중을 받는 부재
Part 3
>> 부정정 구조물
(b) 강성도법: 변위를 미지의 양으로 설정
+ =
P
·
P
·
+
=
=
=
( + )
를 대입하면
=
=
=
=
예제 2. 교재의 예제 2-8
(a) 강철 실린더에 작용하는 압축력과 구리관에 작용하는 압축력
(b) 이에 대응되는 압축응력
(c) 조립체의 수축량
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응용역학1 및연습
Chapter 4. 축하중을 받는 부재
>> 부정정 구조물
Part 3
(a) 강철 실린더에 작용하는 압축력과 구리관에 작용하는 압축력
(1) 평형 방정식:
∑ = + − = 0
모멘트 계산 할 수 없으므로, 부정정 구조물
(2) 적합 방정식: 강철과 구리의 수축량은 동일
=
=
=
(3) 3개의 방정식을 연립하여 계산
=
= (
) = (
)
+
+
(b) 이에 대응되는 압축응력
= (
)
+
= (
)
+
(c) 조립체의 수축량
=
=
=
+
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응용역학1 및연습
Chapter 4. 축하중을 받는 부재
Part 4
>> 온도 효과와 사전 변형 효과
- 등질, 등방성 재료의 경우
1) 온도 변화 à 체적 변화 발생
= (∆)
α: 열팽창 계수(1/°C)
= = ∆
- 부재가 일정하게 온도 변화를 받는 경우
1) 정정 구조물: 응력 발생 없음
2) 부정정 구조물: 응력 발생 (온도 응력)
- 부재가 불균일한 온도 변화를 받는 경우
1) 모든 부재에 온도 응력 발생
- 온도 응력 발생의 예 (일정 온도 변화, 부정정 구조물)
∆
R
= ∆
∴ = ∆
=
− = ∆ −
=0
∴ = = ∆
사전 변형(Prestrain), 사전 응력 (Prestress)
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Chapter 4. 축하중을 받는 부재
>> 경사 단면 위의 응력
Part 5
m
P
p
θ
P
1
n
q
θ
P
P
P
=
=
=
1
=
1 =
= 2 = 2
= − = −
= − = −
1
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Chapter 4. 축하중을 받는 부재
Part 5
>> 경사 단면 위의 응력
or
θ → −90° to 90°
0.5
−90°
−45°
45°
90°
θ
−0.5
2
2
2
=
2
2
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Chapter 4. 축하중을 받는 부재
Part 5
>> 경사 단면 위의 응력
예제 3. A=1200 mm2, P= -90 kN, θ= 25° 일 때, 응력 상태?
= 2 = −
90 × 103
× cos 2 25 = −75 × cos 2 25 = −61.6 MPa
1200 2
τ = − sin = − −75 MPa × cos 25 × sin 25 = 28.7 MPa
′ = [cos(90 + 25)]2 = −13.4 MPa
13.4 MPa
28.7 MPa
θ
61.6 MPa
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Chapter 4. 축하중을 받는 부재
Part 6
>> 변형 에너지
1
1
1
P: 0 → P
1
= 11
= 11
: 일량 (외적 일)
=
U: 내적일 (변형 에너지)
탄성 변형 에너지, 비탄성 변형 에너지
OABD의 면적: 영구적 변형에 소모된 에너지
BDC의 면적: 회복 가능한 에너지
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Chapter 4. 축하중을 받는 부재
>> 변형 에너지
Part 6
선형 탄성 거동
=W=
2
P=
δ=
위 두 관계식으로부터
1
2
=
=
=
2
2
2
강성도 (k)로 대치하면 =
2
=
2
or
1
2
=
=
=
2
2
2
2
=
2
or
총 변형에너지의 일반식
2
=
2
à 재료가 선형탄성, 내부축력이 일정한 경우
2
=
()
2
à 연속적으로 변하는 축력, 불균일 단면
Toughness: 재료가 파단하기 전까지의 에너지 흡수 능력
- 터프니스 계수: 파괴 지점까지의 변형에너지 밀도, 응력-변형률 곡선의 면적
탄성범위에서
변형에너지 2
2
=
=
2
2
체적
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Chapter 4. 축하중을 받는 부재
Part 6
>> 변형 에너지
예제 4. 하중 P와 자중에 의한 변형 에너지는? (단면적: A, 비중: γ)
P
1. 하중 P만을 고려한 변형 에너지
2
=
2
2. 하중 P와 자중을 함께 고려한 변형 에너지
= P + γ( − )
+ −
=
2
2
()
1
=
2 + 2 − + 22 − 2 ()
2
2 2 23
=
+
+
2
2
6
자중에 의한 변형 에너지
P에 의한 변형에너지 양쪽 하중에 관련된 에너지
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Chapter 4. 축하중을 받는 부재
Part 7
>> 비선형 거동
응력-변형률 선도
non-linear
Linear
elastic
탄성-비선형 선도
Perfectly plastic
Linear
elastic
탄소성 선도
Linear
elastic
복선형 선도
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Chapter 4. 축하중을 받는 부재
>> 비선형 거동
Part 7
예제 5. L= 2.2 m, A= 480 mm2, P1= 108 kN, P2= 27 kN
이때, E= 70 GPa, σ0=260 MPa, m = 10 사용, =
3
7
(알루미늄 합금)
= +
0 0
0
0.5
P2
0.5
P1
0
= +
0
를 구하시오. (P1, P2가 각각 작용, P1+P2 작용)
1
10
=
+
70 × 103 628.2 260
a) P1만 작용할 때,
1
= 225 , = 0.003589, → = = 0.003589 × 2200 = 7.9
b) P2만 작용할 때,
2
= 56.25 , = 0.0008036, → = 0.5 = 0.0008036 × 1100
= 0.884
1
c) 봉 하부:
= 225 , = 0.003589
봉 상부:
1 + 2
= 281.25 , = 0.007510
→ = 0.003589 × 1100 + 0.007510 × 1100 = 3.95 + 8.26
= 12.2
7.9 + 0.884 ≠ 3.95 + 8.26
비선형 구조물에서는 다수의 하중이 동시에 작용하여 발생한 변위는 개별하중에 의한
변위의 합과 다르다.
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응용역학1 및연습
Chapter 4. 축하중을 받는 부재
>> 비선형 거동
Part 7
부정정 구조물의 소성해석: 변위를 알아야 계산 가능
(응력-변형률 선도에 의하므로 계산이 복잡)
F1
F1
F2
1 1
1 1
2 2
Rigid Plate
P
i) < , = 21 + 2 , 1 = 2
11 22
=
11 22
→ 1 = 2 라고 하면
1 =
12
212 + 21
2 =
1 =
1
2
=
1 212 + 21
2 =
ii) =
1 =
12
를 대입
21 2
21
212 + 21
2
1
=
2 212 + 21
1 > 2 → 2 > 1, 2 =
212
= (2 +
)
1
12 12
=
2 = 2
21
1
22 22 2
=
=
=
2
1 = 2
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응용역학1 및연습
Chapter 4. 축하중을 받는 부재
>> 비선형 거동
Part 7
부정정 구조물의 소성해석: 변위를 알아야 계산 가능
(응력-변형률 선도에 의하므로 계산이 복잡)
F1
F1
F2
1 1
1 1
2 2
Rigid Plate
P
iii) 1 =
1 = 1
2 = 2
= (21 + 2)
=
11
=
11 1
1
=
2
211 + 21
=
212 + 21
2
1 = 22
1 =
2
4
=2
=
3
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응용역학1 및연습
Chapter 4. 축하중을 받는 부재
Part 8
>> 피로
피로(Fatigue): 반복하중으로 인하여 정하중보다 낮은 응력에서 파괴되는 현상
S-N curve
피로 한계
피로 한계 (Fatigue Limit)
하중 재하 횟수와 관계없이 피로 파괴가 발생하지 않는 응력
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응용역학1 및연습
Chapter 4. 축하중을 받는 부재
Part 9
>> 응력 집중
응력 집중: 갑작스런 기하학적 변화에 의하여 생긴 높은 국부 응력
응력 집중점으로부터 폭 b와 같은 양의 거리만큼 떨어지면 응력 집중 효과는
심각한 문제가 안되며, 일반식으로 계산 가능
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응용 역학1 및 연습
5. 비틀림
응용역학1 및연습
Chapter 5. 비틀림
Part 1
>> 개요
비틀림 (Torsion)
길이 방향의 축에 대해 회전을 일으키는 우력을 부과하여 부재가 비틀리는 것
표현 방법
1) 쌍두 화살표: 오른손 법칙
2) 곡선 화살표 : 비틂 방향
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응용역학1 및연습
Chapter 5. 비틀림
Part 2
>> 원형 봉의 비틀림
순수 비틀림 (Pure torsion)
Ø: 비틀림 각
=
′
=
∅
∅
=
θ
= θ
∅
→ = =
순수 비틀림의 경우
∅
=
전단 응력
= =
원형 단면내 응력
=
합 우력
Ø의 변화율
······①
······②
→ =
······③
= ∫ = ∫ = ∫ 2 = ··④
이때,
=
T
G
= ∫ 2
극관성 모멘트 (단면2차모멘트)
TL
∅=
G
······⑤
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응용역학1 및연습
Chapter 5. 비틀림
Part 2
>> 원형 봉의 비틀림
순수 비틀림 (Pure torsion)
최대 전단 응력
식 ⑤, ②
비틀림 공식
Tr
max =
원형 강봉의 최대 전단 응력
max =
중심에서 거리 ρ인 점의 전단응력
=
16T
d3
T
속이 비어있는 원형 관(hollow circular bars): 원형 봉에 비해 비틀림 저항에 효율적
=
π
(24 − 14)
32
(반지름에 비하여) t가 매우 작은 경우
≑ 2π3 =
3
4
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Chapter 5. 비틀림
Part 2
>> 원형 봉의 비틀림
예제 1. d= 60 mm, L = 4 m, τall= 40 MPa, 허용 비틀림 각 θ =1°/m 설계
(a) G= 80 GPa, 최대 허용 비틀림 각 T ?
(b) 비틀림 각 Ø?
(a) G= 80 GPa, 최대 허용 비틀림 T ?
max =
Tr
π3
π × 603 × 40
1 =
=
= 1700
16
16
π × 4 1°/ × 2π
2 = = ×
×
= 1776
32
360°
=
2π
( )
360°
max = 1700
(b) 비틀림 각 Ø?
TL
1700 × 1000 × 4000
∅=
=
= 0.0667 = 3.8°
G
80 × 1000 × 1,273,345
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Chapter 5. 비틀림
>> 순수 전단
Part 3
순수 전단: 원형봉이 비틀림을 받을 때의 응력 상태는 순수 전단을 보임
경사면 응력
A0secθ = A0s θ + A0 θ θ
∴ = 2s θ θ
A0secθ = A0 θ − A0 θ θ
∴ = ( 2θ − s 2θ)
삼각 함수 배각 공식 2 θ = 2θ − s 2θ
= s2 θ
2 θ = 2s θ θ
= 2 θ
−90° −45°
45°
90°
0°
−
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Chapter 5. 비틀림
Part 3
>> 순수 전단
전단 변형률
θ = 0°
=
=
θ = 45°
=
G
=
=
ν
= + = (1 + ν)
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Chapter 5. 비틀림
Part 4
>> 탄성계수 E와 전단탄성계수 G
= 2ℎ 1 + max
2
+ )
2
1 + max 2 = 1 − ( + )
2
= ℎ2 + ℎ2 − 2ℎ2 (
1 + 2max + max2 = 1 +
max2 ≑ 0
max =
= = 2max = 2
1+ν
G
G
≑
2
→=
2(1 + ν)
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Chapter 5. 비틀림
>>
Part 5
순수 전단과 비틀림에서의 변형에너지
(두께: t)
h
δ
= ℎ
= ℎ
ℎ ℎ ℎ2
==
=
=
2
2
2
체적: ℎ2 이므로,
변형에너지 밀도
u: 전단응력-변형률 곡선의 면적
=
=
2
2
2
=
2
2
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Chapter 5. 비틀림
Part 5
>>
순수 전단과 비틀림에서의 변형에너지
순수 비틀림을 받는 원형봉
2
1 T 2
22
=
=
=
2 2
2 2
T
=
요소 관에 생긴 변형에너지 d
22
= =
2 2
→ 1 → 2
= 2
2 2
2
= ∫
=
=
2 2
2
Ip
TL
∅=
G
이므로,
∅2
=
2
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응용역학1 및연습
Chapter 5. 비틀림
Part 5
>>
순수 전단과 비틀림에서의 변형에너지
비틀림-회전각 선도
=
∅
∅
2
TL
∅=
G
이므로,
2
=
2
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6. 전단력과 휨 모멘트
응용역학1 및연습
Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 1
>> 보의 종류, 하중 및 반력 종류
보 (Beam)
부재가 부재 축에 대해 측면으로 작용하는 힘을 저항하기 위해 설계된 경우, 부재를 보라 한다.
하중 종류
1) 집중 하중 (kN, N)
2) 분포하중 (kN/m, N/m) …… 등분포 하중, 등변분포하중
3) 모멘트(N · m, kN · m)
정정 (Statically Determinate)
- 평형방정식만으로 반력이 계산 되는 것
지점의 종류
1)
roller (롤러): 수직 반력
2)
hinge (힌지): 수직, 수평 반력
3)
fix (고정): 수직, 수평, 휨 반력
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 1
>> 보의 종류, 하중 및 반력 종류
보의 종류 (예시)
- 단순 지지보(Simply supported beam), 단순보 (simple beam)
- 캔틸레버보 (Cantilever beam)
2
1
- 내민보 (Overhanging beam)
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응용역학1 및연습
Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 2
>> 전단력 및 휨 모멘트
- 전단력 (Shear Force): 단면에 평행하게 작용하는 합력
- 휨모멘트(Bending Moment): 굽힘 우력에 의한 모멘트
=
=
부호 약속
전단력
(−)
(+)
모멘트
(−)
(+)
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응용역학1 및연습
Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 2
>> 전단력 및 휨 모멘트
예제 1.
M0
4
∑MB = 0
4
+
2
∑FY = 0 ↑+
3
RA × − P × + M0 = 0
4
3
M0
∴ RA = −
4
RA + R = P
1
M0
∴ RB = +
4
1) 중간 바로 왼쪽
1
M0
= RA − P = − −
4
L
L 3
M0 1
= RA × − P × = −
−
2
4 8
2
4
1
M0
= −
8
2
2) 중간 바로 오른쪽
1
M0
= RA − P = −R = − −
4
L
L
1
= RA × − P × + M0 = R ×
2
4
2
1
M0
= +
8
2
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 3
>>
하중, 전단력, 휨 모멘트 사이의 관계
하중이 재하 되지 않은 경우
∑V = 0
∴ = 0
− ( + ) = 0
+
à 하중이 없는 부분의 전단력은 일정
∑Ma = 0
+
+ − ( + ) = 0
∴
= = constant
à 하중이 없는 부분의 휨모멘트 변화율은 일정
분포하중이 재하된 경우
∑V = 0
+
+
− + − = 0
→ = −
∴
= −
à 전단력의 변화는 분포하중 wx와 같다(방향성 고려)
∑Mb = 0
− ( + )
2
=0
−
2 − = 0
∴
=
2
+ −
=0
à 휨 모멘트의 변화율은 그 점의 전단력과 같다.
2
∗
=
= −
2
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 3
>>
하중, 전단력, 휨 모멘트 사이의 관계
집중하중이 재하된 경우
P
∑V = 0
− − ′ = 0
∴ ′ = −
à 집중하중 작용점에서 전단력이 급격히 변화
모멘트 하중이 재하된 경우
∑M = 0
− 0 − ′ ≑ 0
∴ = − 0
à 모멘트 작용점에서 휨 모멘트가 급격히 변화
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 4
>>
전단력도와 휨 모멘트도
전단력도 (Shear Force Diagram)
단면 위치에 따른 전단력 변화를 나타내는 선도
전단력도 (Shear Force Diagram)
1) 하중 재하가 없는 부분의 전단력도 기울기는 “0”
2) 등분포 하중 부분의 전단력도 기울기는 일정 à 전단력도는 경사 직선
3) 집중하중이 작용하면 전단력도는 불연속이 되며, 변화량은 작용하중과 동일
4) 두 단면 사이의 전단력 변화
= −
= − (a, b 사이의 분포하중 면적)
cf) 분포하중+집중하중
− = − = −∑
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 4
>>
전단력도와 휨 모멘트도
휨모멘트도 (Bending Moment Diagram)
단면 위치에 따른 모멘트 변화를 나타내는 선도
휨모멘트도 (Bending Moment Diagram)
1) 전단력이 일정한 구간에서의 휨모멘트도는 직선이다.
2) 전단력이 직선적으로 변화하는 구간의 휨모멘트도는 곡선이 된다.
3) 집중하중 작용점에서 전단력이 급격히 변화하므로 휨모멘트의 기울기도 변화
à 휨 모멘트는 동일점에서 2개의 기울기를 가짐.
4) 극대 및 극소 휨모멘트는 전단력도가 “0”인 지점에서 발생
5) 집중하중만을 받을때 최대 휨 모멘트는 집중하중 작용점 중의 한점에서 발생
=
− = = (a, b 사이의 분포하중 면적)
cf) 집중 외력 모멘트가 있을 경우,
− = − ∑M
(M이 반시계 방향 작용으로 가정)
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
>>
Part 4
전단력도와 휨 모멘트도
단순보에서의 SFD와 BMD
1) 집중하중 작용 경우
A
① 반력 계산
∑FY = 0 ↑+
RA + R = P
∑MB = 0
+
∴ RA =
RA × − P × = 0
∴ RB = − RA =
② 전단력도 작성, 휨 모멘트도 작성
(1)0 ≤ ≤
∑FY = 0 ↑+
RA − = 0
→ RA =
∑M = 0
+
RA × − M = 0
∴ = RA
i) = 0, = 0
ii) = , = RA =
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 4
>>
전단력도와 휨 모멘트도
단순보에서의 SFD와 BMD
1) 집중하중 작용 경우
A
(2) ≤ ≤ ( + )
∑FY = 0 ↑+
RA − − = 0→ = RA − = − RB
∑M = 0
+
RA × − P − − M = 0
∴ = RA − +
i) = , = RA − + = RA
ii) = , = RA − + =
− +
= − + + = 0
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Part 4
>>
전단력도와 휨 모멘트도
(+)
SFD
(−)
(+)
BMD
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 4
>>
전단력도와 휨 모멘트도
예제 2.
120
4
2
① 반력 계산
∑FY = 0 ↑+
120
RA =
=
× 2 = 40
6
RB = − RA = 80
② 전단력
(1)0 ≤ ≤ 4
= RA = 40
(2)4 ≤ ≤ 6
= RA − = −80
③ 모멘트
(1)0 ≤ ≤ 4
(2)4 ≤ ≤ 6
= RA = 40
= RA − +
= 40 − 120 + 120 × 4
= −80 + 480
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 4
>>
전단력도와 휨 모멘트도
예제 2.
120
2
4
120
2
4
40
(+)
( )
(−)
( )
80
= 160 ·
(+)
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 4
>>
전단력도와 휨 모멘트도
단순보에서의 SFD와 BMD
2) 등분포하중 작용 경우
① 반력 계산
∑FY = 0 ↑+
RA + R =
∑MB = 0
+
RA × − ×
=0
2
2
∴ RA =
② 전단력도 작성, 휨 모멘트도 작성
( ) 2
(+)
(−)
( )
8
2
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 4
>>
전단력도와 휨 모멘트도
캔틸레버보에서의 SFD와 BMD
1) 등분포하중 작용 경우
① 반력 계산
∑FY = 0 ↑+
RA =
RA − = 0
∑MB = 0
+
−A + × = 0
2
2
∴ A =
2
② 전단력도 작성, 휨 모멘트도 작성
( )
(+)
(−)
( )
2
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 4
>>
전단력도와 휨 모멘트도
예제 3.
A
① 반력 계산
∑FY = 0 ↑+
RA + R =
∑MB = 0
+
RA × − ( × )( + ) = 0
2
∴ RA =
( + )
2
∴ RB = − R
=
( + )
2
② 전단력
(1)0 ≤ ≤
= RA
(2)a ≤ ≤ +
= RA − ( − )
(3) + ≤ ≤
= RA − = RB
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 4
>>
전단력도와 휨 모멘트도
예제 3.
A
③ 모멘트
(1)0 ≤ ≤
= RA
(2) ≤ ≤ +
= RA − −
= RA −
(3) + ≤ ≤
−
2
− 2
2
= RA − ( − − )
2
= RB ( − )
④ 전단력도 작성, 휨 모멘트도 작성
A
-
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
>>
Part 4
전단력도와 휨 모멘트도
예제 4.
A
B
2
2
① A점의 반력과 모멘트 계산
∑FY = 0 ↑+
∑M = 0
∴ RA = ×
+
=
2
2
A + ×
+
=0
2 4 2
32
∴ A = −
8
② 전단력
(1) 0 ≤ ≤
(2)
2
≤≤
2
2
=
− −
= −
2
2
=
③ 모멘트
(1) 0 ≤ ≤
(2)
2
≤≤
2
32
=−
+
8
2
32
=−
+ −{
−
8
2
2
2
2}
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
>>
Part 4
전단력도와 휨 모멘트도
예제 4.
A
B
2
2
① A점의 반력과 모멘트 계산
∑FY = 0 ↑+
∑M = 0
∴ RA = ×
+
=
2
2
+
=0
2 4 2
32
∴ A =
8
− A + ×
② 전단력
(1) 0 ≤ ≤
(2)
2
≤≤
2
2
=
− −
= −
2
2
=
③ 모멘트
(1) 0 ≤ ≤
(2)
2
≤≤
2
32
=−
+
8
2
32
=−
+ −{
−
8
2
2
2
2}
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 4
Q1.
>>
전단력도와 휨 모멘트도
다음 단순보가 있을때 A점의 수직 반력을 구하시오.
50
30 °
A
10
B
10
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 4
Q2.
>>
전단력도와 휨 모멘트도
다음 그림과 같은 보에서 A 점의 반력이 B 점의 반력의 두배가 되도록 하는 거리 x는?
A
40 20
3
B
15
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 4
Q3.
>>
전단력도와 휨 모멘트도
다음 단순보에서 A점의 반력을 계산하시오.
5
2
A
B
9
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Chapter 6. 전단력과 휨 모멘트
Part 4
Q4.
>>
전단력도와 휨 모멘트도
다음 캔틸레버보에서 C점의 휨모멘트를 구하시오.
A
B
C
2
2
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응용 역학1 및 연습
7. 보의 응력
응용역학1 및연습
Chapter 7. 보의 응력
Part 1
>> Introduction
순수 휨 (Pure bending)
일정한 휨모멘트 상태에서의 보의 휨 (전단력 = 0)
불균일 휨 (Non-uniform bending)
휨 모멘트가 변화하는 상태, 전단력 존재 상태에서의 휨
(순수 휨)
1
1
처짐 곡선
처짐
2
(실제 휨)
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Chapter 7. 보의 응력
>> 보의 곡률과 길이방향 변형률
Part 2
곡률
1
2
′
곡률 중심 (Center of curvature): O’
곡률 반경 (Radius of curvature): ρ’
곡률
= ≑
1
κ= =
부호 약속
-
+
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Chapter 7. 보의 응력
>> 보의 곡률과 길이방향 변형률
Part 2
길이방향 변형률(Normal Strain)
0
중립면(Neutral surface)
길이변화가 없는 면
1
0
중립축(Neutral axis)
중립면과 단면과의 교선
e-f 점의 길이
1 = − = −
−
=
= − = −κ (재료의 성질과 무관)
횡방향 변형률
= −ν = νκ
0
0
1 =
ν
κ1 = νκ
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Chapter 7. 보의 응력
Part 3
>> 보의 수직 응력
선형 탄성 재료 (Hooke 법칙 성립)
= = − κ
0
2
1
= 0 , 단면 1차 모멘트
힘의 평형에 따르면,
= − κ = −κ = 0
= 0 = − = − κ 2 = −κ
1
=−
∴ = −κ → κ =
κ
-κ
휨 응력
= − κ = −
최대 수직 응력
1 = 1 =
1
2 = 2 =
2
−
= 휨 공식
단면 계수
1 =
1
2 =
2
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Chapter 7. 보의 응력
Part 3
>> 보의 수직 응력
1. 폭 b, 높이 h인 직사각형 단면보의 단면계수
단면 2차 모멘트
ℎ 3
I=
12
단면 계수
ℎ 2
=
6
2. 지름이 d인 원형 단면
단면 2차 모멘트
4
I=
64
단면 계수
3
=
32
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Chapter 7. 보의 응력
Part 3
>> 보의 수직 응력
예제 1. 다음 단면을 갖는 보의 최대 수직 인장 응력을 계산하시오.
20
200 mm
2 /
400 mm
5
① 반력 계산
∑FY = 0 ↑+
RA + R = 30 kN
RA = 15 kN, RB = 15 kN
20
2 /
5
15
( )
(+)
10
(−)
15
10
2 2 × 52
=
=
8
8
6.25
(+)
1) 등분포 하중에 의한 모멘트
( )
25
=
20 × 5
=
4
4
(+)
2) 집중 하중에 의한 모멘트
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Chapter 7. 보의 응력
Part 3
>> 보의 수직 응력
예제 1. 다음 단면을 갖는 보의 최대 수직 인장 응력을 계산하시오.
20
200 mm
2 /
400 mm
5
② 최대 휨 인장 모멘트
= 6.25 kN + 25kN = 31.25 kN
③ 최대 수직 인장 응력
ℎ 3 200 × 4003
I=
=
= 1066666667 4
12
12
=
31.25
400
=
×
= 5.9 (단면의 중립축이 중앙에 있으므로)
1066666667
2
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Chapter 7. 보의 응력
>> 보의 수직 응력
Part 3
예제 2. 최대 인장응력 및 최대 압축응력을 계산하시오.
300 mm
3 /
3.0
t =12 mm
1.5
∑MA = 0
3 /
+
−RB × 3 + 3 × 4.5 ×
3.0
1.5
4.5
=0
2
∴ RB = 10.125 kN
∑FY = 0 ↑+
4.5
3.375
80 mm
RA + R = 13.5 kN
(+)
(+)
∴ RA = 3.375 kN
(ㅡ)
1.125 m
1. 5 m
5.625
+ Mmax = 1.898 kN m
1.898 m
−3.375 m
ㅡ Mmax = −3.375 kN m
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Chapter 7. 보의 응력
>> 보의 수직 응력
Part 3
예제 2. 최대 인장응력 및 최대 압축응력을 계산하시오.
300 mm
3 /
3.0
1.5
t =12 mm
80 mm
단면 도심 및 단면 2차 모멘트
도심 길이
y=
∑Aiyi
∑Aiyi
=
= 18.48 mm
∑Ai
3312 + 960 + 960
1 = 80 − 18.48 = 61.52 mm
2 = 18.48 mm
단면 2차모멘트
= ∑ + 2
= 2.469 × 106 4
최대 응력
+ Mmax
ㅡ Mmax
t =
1.898
=
× 61.52 = 47.3
2.469 × 106
c =
1.898
=
× −18.48 = −14.2
2.469 × 106
t =
3.375
=
× 18.48 = 25.3
2.469 × 106
3.375
c = =
× −61.52 = −84.2
2.469 × 106
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Chapter 7. 보의 응력
Part 4
>> 보의 전단 응력
사각형 단면 보
b
⇒
h
z
V
n
x
m
y
Complementary (상보) 전단응력
보의 상단과 하단(상보 전단응력 = 0)에서
전단응력 = 0
보 내부의 전단응력 확인
h
h
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Chapter 7. 보의 응력
Part 4
>> 보의 전단 응력
근접 단면에서의 전단 응력
m
m1
h/2
+
y1
p
h/2
p1
n
n1
dM = 0이면, mn과 m1n1에 작용하는
dM ≠ 0이면, ∑ = 0 이므로
가 같으므로 = 0 가 됨
( =
)
PnP1n1에 작용하는 힘을 계산하면,
1 = ∫
2 = ∫
( + )
3 =
F3= F2 - F1 이므로
= ∫
+
− ∫
1
(전단 공식)
=
∫ = ∫ =
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Chapter 7. 보의 응력
Part 4
>> 보의 전단 응력
근접 단면에서의 전단 응력
단면 1차 모멘트
ℎ
ℎ2
−
1
= ( − 12)
1 + 2
2 4
2
ℎ
=
− 1
2
ℎ
2 2
2
= ∫ = = =
1
ℎ2
= ( − 12)
2 4
1 = 0 (중립축) 일때,
ℎ2 3
3
=
=
=
8
2 ℎ 2
원형 단면 보
전단 응력
4
=
4
= 2
2 4
2 3
=
=
2 3
3
2 3
4
4
3
=
= 4 =
=
3
3
2 4
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Chapter 7. 보의 응력
>> 플랜지를 가진 보의 웨브에서의 전단응력
Part 5
b
h1/2
t
h
z
e
f
y1
h1/2
y
전단 응력 (e-f 위치)
ℎ ℎ1
− )
2 2
ℎ1
= ( − 1 )
2
= (
ℎ ℎ1
=
−
2 2
=
ℎ ℎ1
ℎ1 2 − 2
ℎ1
+
+
− 1
2
2
2
ℎ1
− 1
1 + 2
2
2
ℎ − ℎ12 + (ℎ12 − 412)
8
8
=
=
[ ℎ2 − ℎ12 + ℎ12 − 412
8
=
2
ℎ − ℎ1 2
8
=
[ℎ 2 − ℎ12 + ℎ 12]
8
설계시 전단력
=
ℎ1
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Chapter 7. 보의 응력
>> 플랜지를 가진 보의 웨브에서의 전단응력
Part 5
예제 3. T형 단면보의 web에서 발생하는 최대 전단 응력을 계산하시오. (V=45 kN)
100 mm
200 mm
176 mm
t= 24 mm
y
도심 (c)
=
2 × (38 × 24 × 12) + 200 × 24 + 100
= 75.77
2 × 38 × 24 + (200 × 24)
도심에서의 단면 2차모멘트 (I)
= + 12
=2×
1
× 38 × 243 + 38 × 24 × 75.77 − 12 2
12
1
+
× 24 × 2003 + 24 × 200 × 100 − 75.77 2
12
→ = 26.3 × 106 4
단면 1차 모멘트 (Q)
= 24 × 124.33 ×
124.33
= 185 × 103 3
2
전단응력 ()
(45 × 103) × (185 × 103)
=
=
= 13.2 MPa
(26.2 × 106) × (24)
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Chapter 7. 보의 응력
>> 축하중과 휨을 받는 보
Part 6
Q
P
= ( − )
x
= −
N
y
L
=
+
응력 상태
⨁
⊖
+
≡
or
or
⨁
축하중 응력
휨 응력
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Chapter 7. 보의 응력
Part 6
>> 축하중과 휨을 받는 보
예제 4. 다음 보의 축하중 응력, 휨 응력, 합성 응력을 계산하시오 (단면: b×h).
2
2
x
∑ = 0 − = 0 → =
∑ = 0 × − = 0 → =
∑ = 0 + = 0 → = −
1) 축하중 응력
0≤≤
→ = −
2
ℎ
≤ ≤ → = 0
2
2) 휨 응력
0≤≤
→ =
2
≤≤
2
최대 모멘트 =
=±
2
12 ℎ
3
=
±
ℎ 3 2 2
ℎ 2
→ =
−
최대 모멘트 = −
2
=±
3
ℎ 2
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Chapter 7. 보의 응력
Part 6
>> 축하중과 휨을 받는 보
예제 4. 다음 보의 축하중 응력, 휨 응력, 합성 응력을 계산하시오 (단면: b×h).
2
2
x
3) 최대 합성 응력
하중 작용점 왼쪽
= −
3
−
ℎ ℎ 2
= −
하중 작용점 오른쪽
3
+
ℎ ℎ 2
3 3
=
ℎ 2
ℎ 2
3
3
=0− 2 =− 2
ℎ
ℎ
= 0 +
최대 인장 응력: 하중 작용점 오른쪽 윗면에
3
ℎ 2
최대 압축 응력: 하중 작용점 왼쪽 윗면에 −
3
−
ℎ ℎ 2
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Chapter 7. 보의 응력
Part 6
>> 축하중과 휨을 받는 보
편심 축력(Eccentric Axial Load)
P·e
x
e
P
≡
P
y
=
+
보의 중립축
0=
+
0
→ 0 = −
2방향 편심 축력
=
+
+
강릉원주대학교 건설환경공학과
응용역학1 및연습
Chapter 7. 보의 응력
Part 6
>> 축하중과 휨을 받는 보
단면의 핵심 (Core)
단면 내에 압축력이 작용할 경우, 전 단면에 압축응력이 발생하도록 하는 영역
(인장력이 작용할 경우는 이와 반대)
사각형 단면
e
= −
e
2
ℎ 3
ℎ2
ℎ = =
=
6ℎ
6
∴=
원형 단면
ℎ
+
=0
2
ℎ
6
e
e
r
= −
+
=0
=−
4
+
=0
2 3
∴=
→ 4 =
4
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응용 역학1 및 연습
8. 보의 응력(합성 단면)
응용역학1 및연습
Chapter 8. 보의 응력(합성보)
>> 합성보
Part 1
합성보 (Composite beam): 한가지 재료 이상으로 구성된 보
1) 평면 유지 법칙 성립 à 변형률이 선형적으로 변화
1
1 = 11
①
1 = −1κ
2 = −2κ
②
2
2 = 22
2 > 1
2) 중립축 (합력이 0이 되는 지점)
1 + 2 = 0
⇒ 1 + 2 = 0
→ − 1κ − 2κ = 0
, 는 전체 단면 중립축에 대한 단면 1차모멘트
3) 휨 응력
= = 1 + 2 = 0
= −κ1 ∫ 2 − κ2 ∫ 2 = −κ(11 + 2 2)
κ=
1
=−
11 + 2 2
= −κ
1 =
1
11 + 2 2
= 1 + 2
2 =
2
11 + 2 2
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응용역학1 및연습
Chapter 8. 보의 응력(합성보)
>> 합성보
Part 1
예제 1. 다음 합성 단면의 최대 및 최소 응력을 계산하시오.
①
M = 4 kN·m
h1
150 mm
E1 = 7 GPa
12 mm
h2
②
E2 =140 GPa
100 mm
= −
ℎ1
150 − ℎ1
ℎ1 × 100 +
150 − ℎ1 × 100
2
2
= (15 × 103 2 ) × (75 − ℎ1)
= (156 − ℎ1) × 12 × 100 = 1200 2 × (156 − ℎ1)
∴ 1 + 2 = 0
ℎ1 = 124.8 mm
I1 =
ℎ2 = 162 − ℎ1 = 37.2 mm
100
× 1503 + 100 × 150 × ℎ1 − 75 2 = 65.3 × 106 4
12
I2 =
100
× 123 + 100 × 12 × ℎ2 − 6 2 = 1.2 × 106 4
12
= 1 + 2 = 66.5 × 106 4
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응용역학1 및연습
Chapter 8. 보의 응력(합성보)
Part 1
>> 합성보
예제 1. 다음 합성 단면의 최대 및 최소 응력을 계산하시오.
①
M = 4 kN·m
h1
150 mm
E1 = 7 GPa
12 mm
h2
②
E2 =140 GPa
100 mm
① 재료의 응력
1
(7 × 103) × (4 × 103 × 103)
1 =
=
× (−124.8)
11 + 2 2
7 × 103 × 65.3 × 106 + (140 × 103) × (1.2 × 106)
= −5.59
1
(7 × 103) × (4 × 103 × 103)
1 =
=
× (ℎ2 − 12)
11 + 2 2
7 × 103 × 65.3 × 106 + (140 × 103) × (1.2 × 106)
= 1.13
② 재료의 응력
2
(140 × 103) × (4 × 103 × 103)
2 =
=
× (37.2)
11 + 2 2
7 × 103 × 65.3 × 106 + (140 × 103) × (1.2 × 106)
= 33. 3
2
(140 × 103) × (4 × 103 × 103)
2 =
=
× (ℎ2 − 12)
11 + 2 2
7 × 103 × 65.3 × 106 + (140 × 103) × (1.2 × 106)
= 22.6 ⇒ 20 × 1
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응용역학1 및연습
Chapter 8. 보의 응력(합성보)
Part 2
>> 환산 단면법
합성 단면법:
한가지 이상의 재료로 구성된 단면을 한가지 재료로 치환하여 만든 등가 단면을 사용하여 해석
1) 계수비 (n) = (E2/E1)
예제 2. 예제 1을 환산 단면법을 이용하여 계산하시오.
100 mm
150 mm
h1
h2
12 mm
2000 mm
=
2
= 20
1
ℎ1 =
(100 × 150 × 75) + (2000 × 12 × 156)
= 124.9
100 × 150 × 2000 × 12
ℎ2 = 162 − 124.9 = 37.1
=
100
2000
× 1503 + (100 × 150) × ℎ1 − 75 2 +
× 123 + (2000 × 12) × ℎ2 − 6 2
12
12
= 88.98 × 106
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응용역학1 및연습
Chapter 8. 보의 응력(합성보)
Part 2
>> 환산 단면법
예제 2. 예제 1을 환산 단면법을 이용하여 계산하시오.
100 mm
150 mm
h1
h2
12 mm
2000 mm
4 × 106
1 = =
× −124.9 = −5.61
88.98 × 106
4 × 106
1 = =
× ℎ2 − 12 = 1.13
88.98 × 106
4 × 106
2 = =
× 37.2 = 1.67
88.98 × 106
이때, 환산시킨 부분의 응력은 n배 만큼 곱하여 최종적으로 제시.
2 = 1 = 22.6
2 = 2 = 33.4
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응용역학1 및연습
Chapter 8. 보의 응력(합성보)
Part 3
>> 경사하중을 받는 2축 대칭보
=
=
= − = −
= − = −
=
−
임의의 A점에 대하여 My(인장), Mz(압축)
중립축
−
=0
t =
=
=
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응용역학1 및연습
Chapter 8. 보의 응력(합성보)
Part 3
>> 경사하중을 받는 2축 대칭보
예제 3. 보의 응력을 계산하시오.
(1) I 형강이 정확하게 설치된 경우
(2) I 형강의 시공오차로 1° 경사된 경우(시계 방향으로)
=4
610 × 305 × 149
45
(1) I 형강이 정확하게 설치된 경우
=
(45 ) × (4 ) × (304.8 )
=
=
= 44.12
124,341 × 104 4
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응용역학1 및연습
Chapter 8. 보의 응력(합성보)
Part 3
>> 경사하중을 받는 2축 대칭보
예제 3. 보의 응력을 계산하시오.
(1) I 형강이 정확하게 설치된 경우
(2) I 형강의 시공오차로 1° 경사된 경우(시계 방향으로)
=4
500
45
(2) I 형강의 시공오차로 1° 경사된 경우(시계 방향으로)
= − = 45 × cos 1° × 4 = 180
= − = 45 × sin 1° × 4 = 3.14
124,341 × 104
t = =
tan(1°) = 0.2561
8,471 × 104
= 14.4°
A 점 좌표: z= 154.2 mm, y=-304.8 mm
3.14 × 106 152.4 (180 × 106 )(−304.8 )
=
−
=
−
8,471 × 104 4
124,341 × 104 4
= 5. 65 + 44.12 = 49.77 (1)의 경우보다 13% 증가
= −49.77
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