Μηχανική Ρευστών: Βαθμωτά, Διανύσματα, Τανυστές - Σημειώσεις

Μηχανική των Ρευστών Σημειώσεις Μαθήματος Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδημαϊκού Έτους 2024-2025 2η Διάλεξη: Ανασκόπηση μαθηματικών εννοιών: Βαθμωτά μεγέθη, διανύσματα και τανυστές Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Ανασκόπηση μαθηματικών εννοιών Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Το δέλτα του Kronecker 1 0 0 𝛿𝑖𝑘 = 0 1 0 0 0 1 Εφαρμογή: 𝐴𝑖 𝛿𝑖𝑘 = 𝐴𝑘 Kronecker delta (ή δέλτα σύμβολο) Τανυστής 2ης Τάξης Με όλα τα στοιχεία του μηδενικά εκτός από την διαγώνιο όπου είναι μονάδα Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Leopold Kronecker 1865 Σύμβολο Levi-Civita ή σύμβολο μετάθεσης +1, 𝜀𝑖𝑗𝑘 = −1, 0, 𝛼𝜈 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 1,2,3 , 3,1,2 , 2,3,1 𝛼𝜈 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 3,2,1 , 1,3,2 , 2,1,3 𝛼𝜈 𝑖 = 𝑗, 𝑖 = 𝑘, 𝑗=𝑘 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Τανυστής 3ης Τάξης Με όλα τα στοιχεία του μηδενικά εκτός από συγκεκριμένα Βαθμωτό Scalar Είναι ένα μέγεθος που έχει μόνο μέτρο. Παράδειγμα: α=5 Μήκος (L), Μάζα (m), Θερμοκρασία (T) Πυκνότητα (ρ), Ιξώδες (η) Βαθμωτή συνάρτηση: Είναι ένα μέγεθος που μπορεί να έχει είτε χωρική είτε χρονική εξάρτηση είτε και τις δύο μαζί. Παράδειγμα: Κατανομή Θερμοκρασίας T(x,y,z) & T(x,y,z,t) Πίεση P(x,y,z) & P(x,y,z,t) Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Ιξώδες η(γ) Διάνυσμα Vector Είναι ένα μέγεθος που έχει και μέτρο και διεύθυνση. Χρειάζεται ένα σύστημα συντεταγμένων για να ορισθεί και έχει συνιστώσες. Οι συνιστώσες είναι βαθμωτά μεγέθη και σχηματίζουν 1Δ arrays Παράδειγμα: Ταχύτητα ενός σωματιδίου Θέση ενός σωματιδίου 𝑣 𝑥 Διανυσματική συνάρτηση: Είναι ένα διανυσματικό μέγεθος που μπορεί να έχει είτε χωρική είτε χρονική εξάρτηση είτε και τις δύο μαζί. Οι συνιστώσες είναι βαθμωτές συναρτήσεις. Παράδειγμα: Ταχύτητα ρευστού 𝑣(𝑥) 𝑣(𝑥, 𝑡) Θέση ελαστικού 𝑋(𝑥) 𝑋(𝑥, 𝑡) Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Είναι μια ομαδοποίηση βαθμωτών μεγεθών α=5e1+4e2+7e3 Μοναδιαία Διανύσματα Unit Vectors  Ένα μοναδιαίο διάνυσμα είναι με μήκος 1 |e1|=|e2|=|e3|=1 α e2 e1  Τα μοναδιαία διανύσματα χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό ενός συστήματος συντεταγμένων. Τότε ισχύει: 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑖 = 1 e3 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 0 i,j =1,2,3 • Όλα τα διανύσματα μπορούν πλέον ορισθούν σε αυτή την βάση Παράδειγμα: 𝑎 = 5𝑒1 + 4𝑒2 + 7𝑒3 𝑎 = 5,4,7 𝑎 = 5,4,7 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 5 𝑎= 4 7 Είναι κάθετα μεταξύ τους. Οπότε ορίζουν μια ορθοκανονική βάση Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Μοναδιαία βάση διανυσμάτων 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧 Ισοδύναμοι συμβολισμοί 𝑖𝑗𝑘 𝑒1 𝑒2 𝑒3 Διάνυσμα Θέσης 𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 Γενική Διανυσματική απεικόνιση 𝐹 = 𝐹𝑥 𝑒𝑥 + 𝐹𝑦 𝑒𝑦 + 𝐹𝑧 𝑒𝑧 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Ισοδύναμοι συμβολισμοί Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων Μοναδιαία βάση διανυσμάτων z 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝑧 (r,θ, z) 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝑧 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝑧 y r x θ Ισοδύναμοι συμβολισμοί 𝛅𝑟 𝛅𝜃 𝛅𝑧 𝑟𝜃𝑧 Διάνυσμα Θέσης 𝑥 = 𝑟𝑒𝑟 + 𝑧𝑒𝑧 = 𝑟, 0, 𝑧 Γενική Διανυσματική απεικόνιση 𝐹 = 𝐹𝑟 𝑒𝑟 + 𝐹𝜃 𝑒𝜃 + 𝐹𝑧 𝑒𝑧 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Ισοδύναμοι συμβολισμοί Συσχέτιση κυλινδρικού και καρτεσιανού συστήματος z (r,θ, z) Συσχέτιση x  r cos( ) y  r sin(  ) z z e x   cos( )e r  sin( )e   0e z y e y   sin( )e r  cos( )e   0e z r e z  0e r  0e z  1e z θ x 𝑥2 + 𝑦2 𝑦 𝜃 = arctan 𝑥 𝑧=𝑧 𝑟= Αντίστροφη Συσχέτιση e r   cos( )e x  sin(  )e y  0e z e    sin(  )e x  cos( )e y  0e z e z  0e x  0e y  1e z Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Συσχέτιση κυλινδρικού και καρτεσιανού συστήματος z Το στοιχείο γραμμής δίνεται ως (r,θ, z) y r θ x 𝑑𝑟 = 𝑑𝑟𝑒𝑟 + 𝑟𝑑𝜃𝑒𝜃 + 𝑑𝑧𝑒𝑧 Το επιφανειακό στοιχείο σε σταθερό r 𝑑𝑆𝑟 = 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧 Το επιφανειακό στοιχείο σε σταθερό θ 𝑑𝑆𝜃 = 𝑑𝑟 𝑑𝑧 Το επιφανειακό στοιχείο σε σταθερό z 𝑑𝑆𝑧 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 To στοιχείο όγκου 𝑑𝑉 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Συσχέτιση κυλινδρικό και καρτεσιανού συστήματος: Διανύσματα Έστω το διάνυσμα α που στο καρτεσιανό και το κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων έχει τις ακόλουθες απεικονίσεις Καρτεσιανό σύστημα Κυλινδρικό σύστημα 𝑎𝑐𝑎𝑟𝑡 = 𝑎𝑥 𝑒𝑥 + 𝑎𝑦 𝑒𝑦 + 𝑎𝑧 𝑒𝑧 𝑎𝑐𝑦𝑙 = 𝑎𝑟 𝑒𝑟 + 𝑎𝜃 𝑒𝜃 + 𝑎𝑧 𝑒𝑧 Κυλινδρικό σύστημα cos(𝜃) 𝑎𝑐𝑎𝑟𝑡 = sin(𝜃) 0 −sin(𝜃) cos(𝜃) 0 0 0 ∙ 𝑎𝑐𝑦𝑙 1 Καρτεσιανό σύστημα cos(𝜃) 𝑎𝑐𝑦𝑙 = −sin(𝜃) 0 sin(𝜃) cos(𝜃) 0 0 0 ∙ 𝑎𝑐𝑎𝑟 1 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Συσχέτιση κυλινδρικό και καρτεσιανού συστήματος: Τανυστές Καρτεσιανό σύστημα Κυλινδρικό σύστημα Κυλινδρικό σύστημα Καρτεσιανό σύστημα Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων Μοναδιαία βάση διανυσμάτων z 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝜑 er 𝛿𝑟 𝛿𝜃 𝛿𝜑 𝑟𝜃𝜑 e F r e  Ισοδύναμοι συμβολισμοί Διάνυσμα Θέσης 𝑥 = 𝑟𝑒𝑟 r Γενική Διανυσματική απεικόνιση 𝐹 = 𝐹𝑟 𝑒𝑟 + 𝐹𝜃 𝑒𝜃 + 𝐹𝜑 𝑒𝜑  y x Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Συσχέτιση σφαιρικού και καρτεσιανού συστήματος z er x  r sin( ) cos( ) Συσχέτιση e F r e  𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑥 2 + 𝑦2 𝜃 = arctan 𝑧 𝑦 𝜑 = arctan 𝑥 𝑟= Αντίστροφη Συσχέτιση x z  r cos( ) 𝑒𝑥 = sin 𝜃 cos 𝜑 𝑒𝑟 + cos 𝜃 cos 𝜑 𝑒𝜃 − sin 𝜃 𝑒𝜑 𝑒𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃 sin 𝜑 𝑒𝑟 + cos 𝜃 sin 𝜑 𝑒𝜃 + cos 𝜃 𝑒𝜑 𝑒𝑧 = cos 𝜃 𝑒𝑟 − sin 𝜃 𝑒𝜃 + 0𝑒𝜑 r  y  r sin( ) sin( ) y 𝑒𝑟 = sin 𝜃 cos 𝜑 𝑒𝑥 + sin 𝜃 sin 𝜑 𝑒𝑦 + cos 𝜃 𝑒𝑧 𝑒𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 cos 𝜑 𝑒𝑥 + cos 𝜃 sin 𝜑 𝑒𝑦 − sin 𝜃 𝑒𝑧 𝑒𝜑 = − sin 𝜑 𝑒𝑥 + cos 𝜑 𝑒𝑦 + 0𝑒𝑧 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Συσχέτιση σφαιρικού και καρτεσιανού συστήματος z er e F r e  Αντίστοιχα έχουμε: 𝑑𝑆𝜃 = 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜙𝑑𝑟 𝑑𝑆𝜑 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 r  Το επιφανειακό στοιχείο σε επιφάνεια r=const 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑑𝑆𝑟 = × 𝑑𝜃𝑑𝜙 = 𝑟 2 sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙 𝜕𝜃 𝜕𝜙 y Το στοιχείο όγκου είναι 𝜕𝑥 dV = 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜙 = 𝑟 2 sin 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝜕𝑟 x 16 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Συσχέτιση σφαιρικό και καρτεσιανού συστήματος: Διανύσματα Καρτεσιανό σύστημα Σφαιρικ ό σύστημ α Σφαιρικό σύστημα Καρτεσιανό σύστημα Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Συσχέτιση σφαιρικού και καρτεσιανού συστήματος: Τανυστές Καρτεσιανό σύστημα Σφαιρικό σύστημα Σφαιρικό σύστημα Καρτεσιανό σύστημα Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Διανυσματικές Πράξεις Έστω τα διανύσματα: b a e2 e1 𝑎 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 𝑏 = 𝑏1 𝑒1 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑏3 𝑒3 Πρόσθεση Διανυσμάτων 𝑐 =𝑎+𝑏 ⇒ 𝑐 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 + 𝑏1 𝑒1 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑏3 𝑒3 = (𝑎1 + 𝑏1 )𝑒1 + (𝑎2 + 𝑏2 )𝑒2 + (𝑎3 + 𝑏3 )𝑒3 ⇒ 𝑐 = (𝑎1 + 𝑏1 )𝑒1 + (𝑎2 + 𝑏2 )𝑒2 + (𝑎3 + 𝑏3 )𝑒3 e3 Εσωτερικό Γινόμενο Εξωτερικό Γινόμενο 𝑐 = 𝑎⋅𝑏 ⇒ 𝑐 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 ⋅ 𝑏1 𝑒1 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑏3 𝑒3 = (𝑎1 𝑏1 ) + (𝑎2𝑏2 ) + (𝑎3 𝑏3 ) ⇒ 𝑐 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 𝑐 =𝑎×𝑏 𝑒1 𝑒2 𝑒3 𝑐 = 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑐 = (𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 )𝑒1 + (𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 )𝑒2 + (𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )𝑒3 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Ιδιότητες Μοναδιαίων Διανυσμάτων ως ⋅ & × Εσωτερικό Γινόμενο 𝑖=𝑗 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑖 = 1 𝑒1 ⋅ 𝑒1 = 1 𝑒2 ⋅ 𝑒2 = 1 𝑒3 ⋅ 𝑒3 = 1 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 0 𝑒1 ⋅ 𝑒2 = 0 𝑒2 ⋅ 𝑒3 = 0 𝑒3 ⋅ 𝑒1 = 0 𝑖≠𝑗 Εξωτερικό Γινόμενο 𝑖=𝑗 3 𝑒𝑖 × 𝑒𝑗 = 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑒𝑘 𝑘=1 𝑖≠𝑗 𝑒𝑖 × 𝑒𝑖 = 0 𝑒1 × 𝑒2 = 𝑒3 𝑒2 × 𝑒3 = 𝑒1 𝑒3 × 𝑒1 = 𝑒2 𝑒2 × 𝑒1 = −𝑒3 𝑒3 × 𝑒2 = −𝑒1 𝑒1 × 𝑒3 = −𝑒2 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Τανυστής Tensor Είναι ένα μέγεθος που έχει και μέτρο και >0 διευθύνσεις. Χρειάζεται ένα σύστημα συντεταγμένων για να ορισθεί και έχει συνιστώσες. Οι συνιστώσες είναι διανυσματικά ή τανυστικά μεγέθη και σχηματίζουν >0Δ arrays Παράδειγμα: Τανυστής Levi-Civita Τανυστική συνάρτηση: Είναι ένα τανυστικό μέγεθος που μπορεί να έχει είτε χωρική είτε χρονική εξάρτηση είτε και τις δύο μαζί. Οι συνιστώσες είναι διανυσματικές ή τανυστικές συναρτήσεις. Παράδειγμα: Τανυστής τάσεων στερεού 𝜎(𝑥) 𝜎 (𝑥, 𝑡) Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Είναι μια ομαδοποίηση διανυσματικών μεγεθών Συμβολισμοί διανύσματος & τανυστή Έστω μια διανυσματική ποσότητα 𝛿 Συμβολίζεται ως: 𝛿 𝛅 𝛿 𝛿𝑖 𝛿 Έστω μια τανυστική ποσότητα 𝛿 𝜏 Συμβολίζεται ως: 𝜏 𝜏 𝛕 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝜏𝑖𝑗 𝜏 𝜏 ως άθροισμα Συμβολισμοί διανύσματος & τανυστή Διάνυσμα Τανυστής 2ης Τάξης 𝑎 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 𝑎 = 𝑎11 𝑒1 𝑒1 + 𝑎12 𝑒1 𝑒2 + 𝑎13 𝑒1 𝑒3 + 𝑎21 𝑒2 𝑒1 + 𝑎22 𝑒2 𝑒2 + 𝑎23 𝑒2 𝑒3 + 𝑎31 𝑒3 𝑒1 + 𝑎32 𝑒3 𝑒2 + 𝑎33 𝑒3 𝑒3 3 3 𝑎= 𝑎𝑖 𝑒𝑖 𝑎1 𝑎 = 𝑎2 𝑎3 3 𝑎= 𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 ⇔ 𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑖=1 𝑗=1 𝑖=1 ως πίνακες Παράδειγμα στις 3Δ 𝑎11 𝑎 = 𝑎21 𝑎31 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎13 𝑎23 𝑎33 Προσοχή: Πολλές φορές για λόγους συντόμευσης που όμως είναι καταχρηστικοί όταν κάποια συνιστώσα έχει μηδενική τιμή δεν γράφουμε τον όρο τελείως μαζί και το μοναδιαίο διάνυσμα. Παράδειγμα: Διάνυσμα ως πίνακες 𝑎1 𝑎= 0 𝑎3 Τανυστής 2ης Τάξης 𝑎11 𝑎 = 𝑎21 0 ως άθροισμα 𝑎 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎3 𝑒3 0 0 𝑎32 𝑎13 0 0 𝑎 = 𝑎11 𝑒1 𝑒1 + 𝑎13 𝑒1 𝑒3 + ορθό προβληματικό 𝑎21 𝑒2 𝑒1 + 𝑎32 𝑒3 𝑒2 𝑎 = 𝑎1 𝑒1 + 0𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 𝑎 = 𝑎11 𝑒1 𝑒1 + 0𝑒1 𝑒2 + 𝑎13 𝑒1 𝑒3 + Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝑎21 𝑒2 𝑒1 + 0𝑒2 𝑒2 + 0𝑒2 𝑒3 + 0𝑒3 𝑒1 + 𝑎32 𝑒3 𝑒2 + 0𝑒3 𝑒3 ορθό Βαθμωτό vs Τανυστή Εισαγωγή στο δυαδικό Συμβολισμοί: Με τελεία ανάμεσα τους 𝑎⋅𝑏 Βαθμωτό μέγεθος Χωρίς τελεία ανάμεσα τους 𝑎𝑏 ή 𝑎⊗𝑏 Τανυστικό μέγεθος 𝑎𝑏𝑐 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Εναλλακτικά με ⊗ Δυαδικό Έστω τα διανύσματα: 𝑎 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 𝑎𝑏 𝑏 = 𝑏1 𝑒1 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑏3 𝑒3 Τανυστής 2ης τάξης 𝑎𝑏 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 𝑏1 𝑒1 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑏3 𝑒3 = 𝑎1 𝑏1 𝑒1 𝑒1 + 𝑎1 𝑏2 𝑒1 𝑒2 + 𝑎1 𝑏3 𝑒1 𝑒3 + 𝑎2 𝑏1 𝑒2 𝑒1 + 𝑎2 𝑏2 𝑒2 𝑒2 + 𝑎2 𝑏3 𝑒2 𝑒3 + 3 3 𝑎3 𝑏1 𝑒3 𝑒1 + 𝑎3 𝑏2 𝑒3 𝑒2 + 𝑎3 𝑏3 𝑒3 𝑒3 = Τανυστής ανεπτυγμένος στην βάση του 𝑎𝑖 𝑏𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 ⇔ 𝑎𝑖 𝑏𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑖=1 𝑗=1 𝑎1 𝑏1 𝑎𝑏 = 𝑎2 𝑏1 𝑎3 𝑏1 𝑎1 𝑏2 𝑎2 𝑏2 𝑎3 𝑏2 𝑎1 𝑏3 𝑎2 𝑏3 𝑎3 𝑏3 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Τανυστής σε μορφή πίνακα Δυαδικό Έστω τα διανύσματα: 𝑎 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 𝑎⊗𝑏 𝑏 = 𝑏1 𝑒1 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑏3 𝑒3 Τανυστής 2ης τάξης 𝑎 ⊗ 𝑏 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 ⊗ 𝑏1 𝑒1 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑏3 𝑒3 = 𝑎1 𝑏1 𝑒1 ⊗ 𝑒1 + 𝑎1 𝑏2 𝑒1 ⊗ 𝑒2 + 𝑎1 𝑏3 𝑒1 ⊗ 𝑒3 + 𝑎2 𝑏1 𝑒2 ⊗ 𝑒1 + 𝑎2 𝑏2 𝑒2 ⊗ 𝑒2 + 𝑎2 𝑏3 𝑒2 ⊗ 𝑒3 + 3 Τανυστής ανεπτυγμένος στην βάση του 3 𝑎3 𝑏1 𝑒3 ⊗ 𝑒1 + 𝑎3 𝑏2 𝑒3 ⊗ 𝑒2 + 𝑎3 𝑏3 𝑒3 ⊗ 𝑒3 = 𝑎𝑖 𝑏𝑗 𝑒𝑖 ⊗ 𝑒𝑗 ⇔ 𝑎𝑖 𝑏𝑗 𝑒𝑖 ⊗ 𝑒𝑗 𝑖=1 𝑗=1 𝑎1 𝑏1 𝑎𝑏 = 𝑎2 𝑏1 𝑎3 𝑏1 𝑎1 𝑏2 𝑎2 𝑏2 𝑎3 𝑏2 𝑎1 𝑏3 𝑎2 𝑏3 𝑎3 𝑏3 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Τανυστής σε μορφή πίνακα Εσωτερικό γινόμενο διάνυσματων πλήρης θεώρηση Έστω τα διανύσματα: 𝑎 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 𝑏 = 𝑏1 𝑒1 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑏3 𝑒3 𝑎⋅𝑏 Τανυστής 0ης τάξης 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 ⋅ 𝑏1 𝑒1 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑏3 𝑒3 = 𝑎1 𝑏1 𝑒1 ⋅ 𝑒1 + 𝑎1 𝑏2 𝑒1 ⋅ 𝑒2 + 𝑎1 𝑏3 𝑒1 ⋅ 𝑒3 + 𝑎2 𝑏1 𝑒2 ⋅ 𝑒1 + 𝑎2 𝑏2 𝑒2 ⋅ 𝑒2 + 𝑎2 𝑏3 𝑒2 ⋅ 𝑒3 + 3 3 𝑎3 𝑏1 𝑒3 ⋅ 𝑒1 + 𝑎3 𝑏2 𝑒3 ⋅ 𝑒2 + 𝑎3 𝑏3 𝑒3 ⋅ 𝑒3 = 𝑎𝑖 𝑏𝑗 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 𝑖=1 𝑗=1 3 3 3 𝑎𝑖 𝑏𝑗 𝛿𝑖𝑗 = 𝑖=1 𝑗=1 𝑎𝑖 𝑏𝑖 ⇔ 𝑎𝑖 𝑏𝑖 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑖 = 1 𝑖=1 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 = 0 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας είναι κάθετα μεταξύ τους Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων πλήρης θεώρηση Έστω τα διανύσματα: 𝑎×𝑏 𝑎 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 𝑏 = 𝑏1 𝑒1 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑏3 𝑒3 Τανυστής 1ης τάξης 𝑎 × 𝑏 = 𝑎1 𝑒1 + 𝑎2 𝑒2 + 𝑎3 𝑒3 × 𝑏1 𝑒1 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑏3 𝑒3 = 𝑎1 𝑏1 𝑒1 × 𝑒1 + 𝑎1 𝑏2 𝑒1 × 𝑒2 + 𝑎1 𝑏3 𝑒1 × 𝑒3 + 𝑎2 𝑏1 𝑒2 × 𝑒1 + 𝑎2 𝑏2 𝑒2 × 𝑒2 + 𝑎2 𝑏3 𝑒2 × 𝑒3 + 3 3 𝑎3 𝑏1 𝑒3 × 𝑒1 + 𝑎3 𝑏2 𝑒3 × 𝑒2 + 𝑎3 𝑏3 𝑒3 × 𝑒3 = 𝑎𝑗 𝑏𝑘 𝑒𝑗 × 𝑒𝑘 = 𝑗=1 𝑘=1 3 3 3 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑒𝑖 𝑎𝑗 𝑏𝑘 𝑖=1 𝑗=1 𝑘=1 3 𝑒𝑖 × 𝑒𝑖 = 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑒𝑘 𝑘=1 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Μοναδιαίος Τανυστής Ορίζεται ως Συμβολίζεται 𝐼= 𝑖 𝑗 Όπου ij είναι το δέλτα του Kroneker. Σε μορφή πίνακα έχουμε στις 3Δ και ως 𝛿𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 1 0 𝑖=𝑗 𝑖≠𝑗 1 𝐼= 0 0 0 0 1 0 0 1 𝛿𝑖𝑗 = Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝛿 ή 𝑒 Μοναδιαία Δυαδικά Ορίζεται ως το δυαδικό γινόμενο δύο μοναδιαίων διανυσμάτων: 0 𝑒1 𝑒2 = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 𝑒2 𝑒1 = 1 0 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 0 0 0 0 0 0 Ιδιότητες Μοναδιαίων Δυαδικών ως προς ⋅ & : Εσωτερικό Γινόμενο 𝑒𝑖 𝑒𝑗 ⋅ 𝑒𝑘 = 𝑒𝑖 (𝑒𝑗 ⋅ 𝑒𝑘 ) = 𝑒𝑖 𝛿𝑗𝑘 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 𝑒𝑘 = (𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 )𝑒𝑘 = 𝛿𝑖𝑗 𝑒𝑘 𝑒𝑖 𝑒𝑗 ⋅ 𝑒𝑘 𝑒𝑙 = 𝑒𝑖 (𝑒𝑗 ⋅ 𝑒𝑘 )𝑒𝑙 = 𝛿𝑗𝑘 𝑒𝑖 𝑒𝑙 Διπλό Εσωτερικό Γινόμενο 𝑒𝑖 𝑒𝑗 : 𝑒𝑘 𝑒𝑙 = (𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑙 )(𝑒𝑗 ⋅ 𝑒𝑘 ) = 𝛿𝑖𝑙 𝛿𝑗𝑘 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Με όμοιο τρόπο γίνονται οι πράξεις με x Πράξεις με τανυστές Έστω 𝑣= 𝑎= 𝑒𝑖 𝑣𝑖 Εσωτερικό γινόμενο διανύσματος με τανυστή Εξωτερικό γινόμενο διανύσματος με τανυστή 𝑎⋅𝑣 = 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝑖 𝑗 = 𝑗 𝑒𝑘 𝑣𝑘 𝑖 𝑒𝑖 𝛿𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗 𝑣𝑘 = 𝑖 𝑒𝑖 𝑒𝑗 ⋅ 𝑒𝑘 𝑎𝑖𝑗 𝑣𝑘 𝑘 = 𝑗 𝑘 𝑎×𝑣 = = 𝑘 𝑎𝑖𝑗 𝑣𝑗 𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗 × 𝑗 𝑗 𝑒𝑖 𝑖 𝑖 𝑒𝑘 𝑣𝑘 𝑘 𝑒𝑖 𝑒𝑗 × 𝑒𝑘 𝑎𝑖𝑗 𝑣𝑘 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 𝑗 𝑘 𝑒𝑖 𝑒𝑗 ⋅ 𝑒𝑘 𝑎𝑖𝑗 𝑣𝑘 = 𝑖 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑖 𝑖 = 𝑒𝑖 𝑒𝑗 × 𝑒𝑘 𝑎𝑖𝑗 𝑣𝑘 𝑖 𝑗 𝑖 𝑙 𝜀𝑗𝑘𝑙 𝑒𝑖 𝑒𝑙 𝑎𝑖𝑗 𝑣𝑘 = 𝑙 𝑘 𝑒𝑖 𝑒𝑙 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝜀𝑗𝑘𝑙 𝑎𝑖𝑗 𝑣𝑘 𝑗 𝑘 Πράξεις με τανυστές Έστω 𝑎= 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑖 Εσωτερικό γινόμενο δύο τανυστών 𝑎⋅𝛽 = 𝛽= 𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝑖 𝑗 𝑒𝑘 𝑒𝑙 𝛽𝑘𝑙 𝑘 = 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝛽𝑖𝑗 𝑖 = 𝑙 𝑒𝑖 𝑒𝑗 ⋅ 𝑒𝑘 𝑒𝑙 𝑎𝑖𝑗 𝛽𝑘𝑙 = 𝑖 𝑗 = 𝑘 𝑙 𝑖 𝑙 𝑒𝑖 𝛿𝑗𝑘 𝑒𝑙 𝑎𝑖𝑗 𝛽𝑘𝑙 𝑖 𝑒𝑖 𝑒𝑙 𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝛽𝑗𝑙 𝑗 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝑗 𝑘 𝑙 Πράξεις με τανυστές Έστω 𝑎= 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑖 Διπλό Εσωτερικό γινόμενο δύο τανυστών Ομοίως μπορούμε να αποδείξουμε 𝑎: 𝛽 = 𝑗 𝑒𝑘 𝑒𝑙 𝛽𝑘𝑙 𝑘 = 𝑗 𝑖 𝑗 = 𝑘 𝑙 𝑙 𝛿𝑖𝑙 𝛿𝑗𝑘 𝑎𝑖𝑗 𝛽𝑘𝑙 𝑖 𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝛽𝑗𝑖 𝜋: 𝑣𝑤 = 𝜋𝑖𝑗 𝑣𝑗 𝑤𝑖 𝑖 𝑗 𝑢𝑣: 𝑤𝑧 = 𝑢𝑖 𝑣𝑗 𝑤𝑗 𝑧𝑖 𝑖 𝑗 = 𝑒𝑖 𝑒𝑗 : 𝑒𝑘 𝑒𝑙 𝑎𝑖𝑗 𝛽𝑘𝑙 = 𝑖 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝛽𝑖𝑗 𝑖 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑎𝑖𝑗 : 𝑖 𝛽= 𝑗 𝑗 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝑘 𝑙 Σύνοψη πράξεων με τανυστές • Πρόσθεση 𝜏+𝛽 = 𝜏𝑖𝑗 + 𝛽𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑖 • Πολλαπλασιασμός με βαθμωτό • Εσωτερικό γινόμενο • Εξωτερικό γινόμενο 𝑗 𝑎𝜏 = 𝑎𝜏𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑖 𝑗 𝜐⋅𝜏= 𝜐𝑖 𝜏𝑖𝑗 𝑒𝑗 𝑗 𝑖 𝜐×𝜏 = 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝜐𝑖 𝜏𝑗𝑙 𝑒𝑘 𝑒𝑙 𝑘 • Διπλό εσωτερίκο 𝜏: 𝛽 = • Δυαδικό Γινόμενο 𝜐𝜏 = 𝑙 𝑖 𝑗 𝜏𝑖𝑗 𝛽𝑗𝑖 𝑖 𝑗 𝜐𝑖 𝜏𝑗𝑘 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑒𝑘 𝑖 𝑗 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝑘 Βαθμωτό – Διανύσμα – Τανυστής Scalar – Vector - Tensor Βαθμωτό: Διάνυσμα: Τανυστής: α 𝐴 𝐴 μέτρο , μέτρο , μέτρο , 0 διευθύνσεις 1 διεύθυνση >2 διευθύνσεις Τανυστές Όλες οι ποσότητες μπορούν να θεωρηθούν ως τανυστές. Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Βαθμωτό – Διανύσμα – Τανυστής Scalar – Vector - Tensor Βαθμωτό Μέτρο 0 Διευθύνσεις μηδενική διάσταση Διάνυσμα Μέτρο 1 Διευθύνσεις 1ης τάξης τανυστής σε Ν- διάστατο χώρο έχει Ν συνιστώσες 2ης Τάξης Τανυστής Μέτρο 2 Διευθύνσεις 2ης τάξης τανυστής σε Ν- διάστατο χώρο έχει Ν2 συνιστώσες 3ης Τάξης Τανυστής Μέτρο 3 Διευθύνσεις 3ης τάξης τανυστής σε Ν- διάστατο χώρο έχει Ν3 συνιστώσες Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 0ης τάξης τανυστής Παράδειγμα Βαθμωτό – Διανύσμα – Τανυστής Διέπουσες εξισώσεις για την ροή ασυμπίεστων Νευτώνιων Ρευστών (μ: ιξώδες σταθερό) Βαθμωτά: ∇⋅𝑣 =0 𝜌 𝜕𝑣 𝜌 + 𝑣 ⋅ ∇𝑣 = −∇𝑃 + 𝜂∇ ⋅ ∇𝑣 + 𝜌𝑔 𝜕𝑡 𝜏 = 𝜂 ∇𝑣 + ∇𝑣 𝑇 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝜇 𝑃 Διανύσματα: 𝑣 𝑔 ∇ Τανυστές: 𝜏 ∇𝑣 𝑎𝑏 𝑎⋅𝑏 𝑎×𝑏 𝑎→∇ ∇𝑏 ∇⋅𝑏 ∇×𝑏 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Διαφορικοί Τελεστές Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Μοναδιαία βάση διανυσμάτων 𝑒𝑥 𝑒𝑦 𝑒𝑧 𝜕𝑒𝑥 𝜕𝑒𝑥 𝜕𝑒𝑥 = = =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑒𝑦 𝜕𝑒𝑦 𝜕𝑒𝑦 = = =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑒𝑧 𝜕𝑒𝑧 𝜕𝑒𝑧 = = =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων Μοναδιαία βάση διανυσμάτων z (r,θ, z) y r x θ 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝑧 𝜕𝑒𝑟 𝜕𝑒𝜃 𝜕𝑒𝑧 = = =0 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑒𝑟 = 𝑒𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝑒𝜃 = − 𝑒𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑒𝑟 𝜕𝑒𝜃 𝜕𝑒𝑧 = = =0 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝜕𝑒𝑧 = 0 𝜕𝜃 Σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων Μοναδιαία βάση διανυσμάτων 𝑒𝑟 𝑒𝜃 𝑒𝜑 𝜕𝑒𝜑 𝜕𝑒𝑟 𝜕𝑒𝜃 = = =0 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑒𝑟 = 𝑒𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝑒𝑟 = 𝑒𝜑 sin( 𝜃) 𝜕𝜑 𝜕𝑒𝜃 = 𝑒𝜑 cos( 𝜃) 𝜕𝜑 𝜕𝑒𝜃 = − 𝑒𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑒𝜑 = 0 𝜕𝜃 𝜕𝑒𝜑 = −𝑒𝑟 sin( 𝜃) − 𝑒𝜃 cos( 𝜃) 𝜕𝜑 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Η κλίση μιας βαθμωτής συνάρτησης στην 1Δ Η κλίση μιας συνάρτησης f είναι η παραγωγός της σε κάποιο σημείο 𝑑𝑓 𝑑𝑥 Παράδειγμα 𝑓: 𝑓′: Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝑓(𝑥) = ln( 𝑥) 𝑑𝑓(𝑥) 1 𝑓′(𝑥) = = 𝑑𝑥 𝑥 Το διαφορικό μια συνάρτησης 1 διάσταση Έστω η συνάρτηση f: f(x) 𝑑𝑓 𝑑𝑓 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 3 διαστάσεις Έστω η συνάρτηση f: f(x,y,z) 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑓 = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝑦,𝑧 𝜕𝑦 𝑥,𝑧 𝜕𝑧 𝑥,𝑦 Έστω η συνάρτηση f: f(r,θ,φ) 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑓 = 𝑑𝑟 + 𝑑𝜃 + 𝑑𝜙 𝜕𝑟 𝜃,𝜙 𝜕𝜃 𝑟,𝜙 𝜕𝜙 𝑟,𝜃 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Ορισμοί των div, grad και curl Στην 1-D 𝑑𝑓 1 = lim 𝑓(𝑥 + Δ𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Δx→0 Δ𝑥 Στις 3-D grad𝜑 ≡ lim𝛿τ→0 d𝑖𝑣𝐷 ≡ lim𝛿τ→0 1 𝛿τ 1 𝛿τ 𝑐𝑢𝑟𝑙𝐷 ≡ −lim𝛿τ→0 D=D(x), = (x) n 𝜑𝑛dS dS ΔS 𝐷 ⋅ 𝑛dS Στοιχειώδης όγκος  με επιφάνεια S ΔS 1 𝛿τ 𝐷 × 𝑛dS ΔS Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Το διαφορικό μια συνάρτησης Γενική Σχέση Συμβολισμοί 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⇔ ∇⇔ ∇ Αν η βαθμωτή συνάρτηση f έχει μόνο χωρική εξάρτηση: f(x,y,z) τότε ισχύει ότι 𝑑𝑓 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 ⋅ 𝑑𝑥 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Παράδειγμα υπολογισμού του διαφορικού μιας συνάρτησης Έστω ρ=ρ(x,y,z,t) η πυκνότητα ενός ρευστού που κινείται με ταχύτητα v(x,y,z,t) το διαφορικό της δίνεται ως: 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝑑𝑡 + 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 = 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝑑𝑡 + 𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑒𝑧 ⋅ 𝑑𝑥𝑒𝑥 + 𝑑𝑦𝑒𝑦 + 𝑑𝑧𝑒𝑧 = 𝑑𝑡 + ∇𝜌 ⋅ 𝑑𝑥 = 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝐷𝜌 𝑑𝑡 + 𝑣𝑑𝑡 ⋅ ∇𝜌 = + 𝑣 ⋅ ∇𝜌 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝐷𝑡 𝑑𝜌 = 𝐷 𝜕 = + 𝑣⋅∇ 𝐷𝑡 𝜕𝑡 Υλική Χρονοπαράγωγος Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Η κλίση ενός βαθμωτού μεγέθους Καρτεσιανή Γεωμετρία 𝑔𝑟𝑎𝑑Φ = ∇Φ = 𝜕Φ 𝜕Φ 𝜕Φ = 𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑒𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 = Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝑒𝑥 𝜕 𝜕 𝜕 + 𝑒𝑦 + 𝑒𝑧 Φ 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Παράδειγμα υπολογισμού της κλίσης ενός διανύσματος Καρτεσιανή Γεωμετρία Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = ∇𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 = 𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑒𝑧 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕(𝑥𝑦) 𝜕(𝑥𝑦) 𝜕(𝑥𝑦) = 𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑒𝑧 = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 = 𝑦𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑦 + 0 𝑒𝑧 = 𝑦𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑦 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Η κλίση ενός βαθμωτού μεγέθους Κυλινδρική Γεωμετρία Διάνυσμα θέσης 𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧 = 𝑟 cos( 𝜃)𝑒𝑥 + 𝑟 sin( 𝜃)𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧 = 𝑟𝑒𝑟 + 𝑧𝑒𝑧 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥𝑒𝑥 + 𝑑𝑦𝑒𝑦 + 𝑑𝑧𝑒𝑧 = 𝑑 𝑟 cos( 𝜃) 𝑒𝑥 + 𝑑 𝑟 sin( 𝜃) 𝑒𝑦 + 𝑑𝑧𝑒𝑧 = 𝑑𝑟𝑒𝑟 + 𝑟𝑑𝜃𝑒𝑟 + 𝑑𝑧𝑒𝑧 𝑑𝑓 = 𝑑𝑓 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 ⋅ 𝑑𝑥 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑟 + 𝑑𝜃 + 𝑑𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝑑𝑥 = 𝑑𝑟𝑒𝑟 + 𝑟𝑑𝜃𝑒𝑟 + 𝑑𝑧𝑒𝑧 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓) = 𝐹𝑟 𝑒𝑟 + 𝐹𝜃 𝑒𝜃 + 𝐹𝑧 𝑒𝑧 Οπότε 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑓) = ∇𝑓 = 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑒𝑟 + 𝑒𝜃 + 𝑒 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝑧 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Τελεστής 𝑥, 𝑦, 𝑧 Καρτεσιανές Συντεταγμένες ∇= 𝑒𝑥 𝑟, 𝜑, 𝑧 ∇ 𝜕 𝜕 𝜕 + 𝑒𝑦 + 𝑒𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Κυλινδρικές Συντεταγμένες 𝜕 𝑒𝜃 𝜕 𝜕 ∇= 𝑒𝑟 + + 𝑒𝑧 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝑟, 𝜃, 𝜑 Σφαιρικές Συντεταγμένες 𝑒𝜑 𝜕 𝑒𝜃 𝜕 𝜕 ∇= 𝑒𝑟 + + 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 sin( 𝜃) 𝜕𝜑 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Η κλίση ενός διανυσματικού μεγέθους Καρτεσιανή Γεωμετρία Με πίνακες Έστω το διάνυσμα της ταχύτητας σε καρτεσιανές συντεταγμένες 𝑣 = 𝑣𝑥 (𝑥)𝑒𝑥 + 𝑣𝑦 (𝑥)𝑒𝑦 + 𝑣𝑧 (𝑥)𝑒𝑧 𝑣𝑥 (𝑥) 𝜕𝑥 ∇𝑣 = ∇ ⊗ 𝑣 = 𝜕𝑦 ⊗ 𝑣𝑦 (𝑥) = 𝜕𝑧 𝑣𝑧 (𝑥) 𝜕𝑥 𝑣𝑥 𝜕𝑥 𝑣𝑦 𝜕𝑥 𝑣𝑧 𝜕𝑦 𝑣𝑥 𝜕𝑦 𝑣𝑦 𝜕𝑦 𝑣𝑧 𝜕𝑧 𝑣𝑥 𝜕𝑧 𝑣𝑦 𝜕𝑧 𝑣𝑧 Συμβολισμός 𝜕𝑥 → 𝜕 𝜕𝑥 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας = 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑧 Η κλίση ενός διανυσματικού μεγέθους Καρτεσιανή Γεωμετρία Με αθροίσεις Έστω το διάνυσμα της ταχύτητας σε καρτεσιανές συντεταγμένες 𝑥→1 𝑦→2 𝑧→3 𝑣 = 𝑣𝑥 (𝑥)𝑒𝑥 + 𝑣𝑦 (𝑥)𝑒𝑦 + 𝑣𝑧 (𝑥)𝑒𝑧 ∇𝑣 = 𝑖 𝜕 𝑒𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝑒𝑗 𝑣𝑗 = 𝑗 𝑖 𝑗 𝜕 𝑒𝑗 𝑣𝑗 𝑒𝑖 = 𝜕𝑥𝑖 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝑣= 𝑒𝑖 𝑣𝑖 ∇= 𝑖 𝑖 𝑖 𝑗 𝑒𝑖 𝜕𝑣𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝜕 𝜕𝑥𝑖 Η κλίση ενός διανυσματικού μεγέθους Καρτεσιανή Γεωμετρία Πλήρης θεώρηση Έστω το διάνυσμα της ταχύτητας σε καρτεσιανές συντεταγμένες 𝑥→1 𝑦→2 𝑧→3 𝑣 = 𝑒𝑥 𝑣𝑥 (𝑥) + 𝑒𝑦 𝑣𝑦 (𝑥) + 𝑒𝑧 𝑣𝑧 (𝑥) 𝑣= 𝑒𝑖 𝑣𝑖 𝑖 ∇𝑣 = 𝑒1 𝜕1 + 𝑒2 𝜕2 + 𝑒3 𝜕3 𝑒1 𝑣1 + 𝑒2 𝑣2 + 𝑒3 𝑣3 = 𝑒1 𝜕1 𝑒1 𝑣1 + 𝑒1 𝜕1 𝑒2 𝑣2 + 𝑒1 𝜕1 𝑒3 𝑣3 + 𝑒2 𝜕2 𝑒1 𝑣1 + 𝑒2 𝜕2 𝑒2 𝑣2 + 𝑒2 𝜕2 𝑒3 𝑣3 + 𝑒3 𝜕3 𝑒1 𝑣1 + 𝑒3 𝜕3 𝑒2 𝑣2 + 𝑒3 𝜕3 𝑒3 𝑣3 = 𝑒1 𝑒1 𝜕1 𝑣1 + 𝑒1 𝑒2 𝜕1 𝑣2 + 𝑒1 𝑒3 𝜕1 𝑣3 + 𝑒2 𝑒1 𝜕2 𝑣1 + 𝑒2 𝑒2 𝜕2 𝑣2 + 𝑒2 𝑒3 𝜕2 𝑣3 + 3 3 𝑒3 𝑒1 𝜕3 𝑣1 + 𝑒3 𝑒2 𝜕3 𝑣2 + 𝑒3 𝑒3 𝜕3 𝑣3 = 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝜕𝑖 𝑣𝑗 ⇔ 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝜕𝑖 𝑣𝑗 𝑖=1 𝑗=1 ∇𝑣 = 𝜕𝑣1 𝜕𝑥1 𝜕𝑣1 𝜕𝑥2 𝜕𝑣1 𝜕𝑥3 𝜕𝑣2 𝜕𝑥1 𝜕𝑣2 𝜕𝑥2 𝜕𝑣2 𝜕𝑥3 𝜕𝑣3 𝜕𝑥1 𝜕𝑣3 𝜕𝑥2 𝜕𝑣3 𝜕𝑥3 = 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑧 Τανυστής σε μορφή πίνακα Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας ∇= 𝑒𝑖 𝑖 𝜕 𝜕𝑥𝑖 Απόκλιση Διανύσματος Divergence 𝐴 = 𝐴𝑥 (𝑥)𝑒𝑥 + 𝐴𝑦 (𝑥)𝑒𝑦 + 𝐴𝑧 (𝑥)𝑒𝑧 Καρτεσιανές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες div A =  A   A x A y A z     + +  A  + + ey ez e x   x  y  z  x  y z     e    1   rA r  1 A  A z + +  A  + + e e  r  z  r r    z r  r r   z   2    A  sin   e A   e    1  r Ar 1 1 e r  A  2 + + + +  r r  r sin    r r sin   r sin   r     56 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Η απόκλιση ενός τανυστικού μεγέθους Καρτεσιανή Γεωμετρία Με αθροίσεις Έστω ο τανυστής των τάσεων σε καρτεσιανές συντεταγμένες 𝑥→1 𝑦→2 𝑧→3 𝜏= ∇⋅𝜏 = 𝑒𝑖 𝑖 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕 ⋅ 𝜕𝑥𝑖 ∇= 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝜏𝑖𝑗 𝑖 𝑗 𝑖 𝑒𝑗 𝑒𝑘 𝜏𝑗𝑘 = 𝑗 𝜕 𝑒𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝑘 𝜕𝜏𝑗𝑘 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 𝑒𝑘 = 𝜕𝑥𝑖 𝑒𝑖 ⋅ 𝑖 𝑖 𝑗 𝑘 𝑗 𝑘 𝜕𝜏𝑗𝑘 𝛿𝑖𝑗 𝑒𝑘 = 𝜕𝑥𝑖 𝜕 𝑒𝑗 𝑒𝑘 𝜏𝑗𝑘 = 𝜕𝑥𝑖 𝑒𝑘 𝑘 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝑗 𝜕𝜏𝑖𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 𝑒𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 𝜕𝜏𝑗𝑘 𝜕𝑥𝑖 Η Laplacian μιας βαθμωτής συνάρτησης Καρτεσιανή Γεωμετρία Με αθροίσεις Έστω μια βαθμωτή συνάρτηση s=s(x) 𝑥→1 𝑦→2 𝑧→3 Δ = ∇2 = ∇ ⋅ ∇ 𝜕 𝑒𝑖 𝜕𝑥𝑖 ∇= 𝑖 Δ𝑠 = ∇2 𝑠 = ∇ ⋅ ∇𝑠 = ∇ ⋅ 𝑒𝑗 𝑗 = 𝑒𝑖 𝑖 = 𝜕 ⋅ 𝜕𝑥𝑖 𝛿𝑖𝑗 𝑖 𝑗 𝑒𝑗 𝑗 𝜕 𝜕𝑠 = 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑠 = 𝜕𝑥𝑗 𝛿𝑖𝑗 𝑖 𝑗 𝜕𝑠 𝜕𝑥𝑗 𝑒𝑖 ⋅ 𝑖 𝑗 2 𝜕 𝜕𝑠 𝑒𝑗 = 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜕 𝑠 = 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 2 𝑖 𝜕 𝑠 𝜕𝑥𝑖2 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 𝑖 𝑗 𝜕 𝜕𝑠 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 Η Laplacian μιας βαθμωτής συνάρτησηςΣύνοψη 𝜕2𝑎 𝜕2𝑎 𝜕2𝑎 + + 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕𝑎 𝜕 𝜌 1 1 𝜕2𝑎 𝜕2𝑎 𝜕𝜌 = + 2 + 𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜙 2 𝜕𝑧 2 𝜕𝑎 2 𝜕𝑎 𝜕 𝑟 𝜕 sin 𝜃 1 1 1 𝜕2𝑎 𝜕𝑟 𝜕𝜃 = 2 + 2 + 2 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜙 2 ∇2 𝑎 = Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Η Laplacian μιας διανυσματικής συνάρτησης Καρτεσιανή Γεωμετρία Έστω μια διανυσματική συνάρτηση v=v (x) 𝑥→1 𝑦→2 𝑧→3 ∇= 𝑖 Δ = ∇2 = ∇ ⋅ ∇ Δ𝑣 = ∇2 𝑣 = ∇ ⋅ ∇𝑣 = ∇ ⋅ 𝑒𝑗 𝑗 =∇⋅ = 𝑒𝑗 𝑗 𝑘 𝑒𝑖 𝜕 ⋅ 𝜕𝑥𝑖 𝑖 = 𝜕 𝜕𝑥𝑗 𝑗 𝑗 𝑘 𝑒𝑘 𝑣𝑘 𝜕 𝜕𝑥𝑗 𝑒𝑘 𝑣𝑘 𝑘 = ∇⋅ 𝑒𝑗 𝑒𝑘 𝜕𝑣𝑘 = 𝜕𝑥𝑗 𝜕 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑣𝑘 = 𝜕𝑥𝑗 𝜕 𝑒𝑘 𝑣𝑘 𝜕𝑥𝑗 𝑒𝑗 𝑗 𝑘 𝑒𝑖 ⋅ 𝑒𝑗 𝑒𝑘 𝑖 𝑘 𝑒𝑖 𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 𝑒𝑘 𝑘 𝑖 𝜕 𝑣𝑘 𝜕𝑥𝑖2 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας =∇⋅ 𝜕 𝜕𝑣𝑘 ⋅ 𝑒𝑗 𝑒𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝛿𝑖𝑗 𝑒𝑘 2 = Με αθροίσεις 𝜕 𝑒𝑖 𝜕𝑥𝑖 𝜕 2 𝑣𝑘 𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝑒𝑗 𝑒𝑘 𝑗 𝑘 𝜕𝑣𝑘 𝜕𝑥𝑗 Μια πιο περίπλοκη εφαρμογή Θα δείξουμε ότι για ένα συμμετρικό τανυστή τ=τ(x) και μια διανυσματική συνάρτηση ισχύει Καρτεσιανή Γεωμετρία 𝜏: ∇𝑣 = ∇ ⋅ 𝜏 ⋅ 𝑣 − 𝑣 ⋅ ∇ ⋅ 𝜏 𝑥→1 𝑦→2 𝑧→3 ∇= 𝑒𝑖 𝑖 𝜕 𝜏⋅𝑣 = 𝜕𝑥𝑖 𝑖 ∇⋅ 𝜏⋅𝑣 = 𝑖 𝑣⋅ ∇⋅𝜏 = 𝑣𝑗 ∇ ⋅ 𝜏 𝑗 𝜏: ∇𝑣 = ? 𝑗 𝑖 𝜕 𝜏𝑖𝑗 𝑣𝑗 𝜕𝑥𝑖 𝑗 = 𝑣𝑗 𝑗 𝑖 𝜕𝜏𝑖𝑗 𝜕𝑥𝑖 Η συνέχεια ασκήσης στο σπίτι Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝜕 𝜕𝑥𝑖 Απόκλιση διανύσματος σε κυλινδρικές συντεταγμένες ∇⋅𝑣 = 𝜕 𝜕 𝜕 1 𝜕 𝑒𝑟 𝑣𝑟 1 𝜕 𝑒𝜃 𝑣𝜃 1 𝜕 𝑒𝑧 𝑣𝑧 𝑒𝑟 𝑣𝑟 + 𝑒𝑟 ⋅ 𝑒𝜃 𝑣𝜃 + 𝑒𝑟 ⋅ 𝑒𝑧 𝑣𝑧 + 𝑒𝜃 ⋅ + 𝑒𝜃 ⋅ + 𝑒𝜃 ⋅ + 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃 𝜕 𝜕 𝜕 𝑒𝑧 ⋅ 𝑒𝑟 𝑣𝑟 + 𝑒𝑧 ⋅ 𝑒𝜃 𝑣𝜃 + 𝑒𝑧 ⋅ 𝑒 𝑣 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑧 𝑧 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝑣𝜃 𝜕𝑣𝑧 1 𝜕 𝑒𝑟 𝑣𝑟 1 𝜕 𝑒𝜃 𝑣𝜃 1 𝜕𝑣𝑧 = 𝑒𝑟 ⋅ 𝑒𝑟 + 𝑒𝑟 ⋅ 𝑒𝜃 + 𝑒𝑟 ⋅ 𝑒𝑧 + 𝑒𝜃 ⋅ + 𝑒𝜃 ⋅ + 𝑒𝜃 ⋅ 𝑒𝑧 + 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝑣𝜃 𝜕𝑣𝑧 𝑒𝑧 ⋅ 𝑒𝑟 + 𝑒𝑧 ⋅ 𝑒𝜃 + 𝑒𝑧 ⋅ 𝑒𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑣𝑟 1 𝜕 𝑒𝑟 𝑣𝑟 1 𝜕 𝑒𝜃 𝑣𝜃 𝜕𝑣𝑧 = + 𝑒𝜃 ⋅ + 𝑒𝜃 ⋅ + 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝑣𝑟 𝑒𝜃 𝜕𝑒𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝑒𝜃 𝜕𝑒𝜃 𝜕𝑣𝜃 𝜕𝑣𝑧 = + ⋅ 𝑣𝑟 + 𝑒𝑟 + ⋅ 𝑣𝜃 + 𝑒𝜃 + 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝑣𝑟 𝑒𝜃 𝜕𝑣𝑟 𝑒𝜃 𝜕𝑣𝜃 𝜕𝑣𝑧 = + ⋅ 𝑒𝜃 𝑣𝑟 + 𝑒𝑟 + ⋅ −𝑒𝑟 𝑣𝜃 + 𝑒𝜃 + 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝑣𝑟 𝑣𝑟 1 𝜕𝑣𝜃 𝜕𝑣𝑧 1 𝜕(𝑟𝑣𝑟 ) 1 𝜕𝑣𝜃 𝜕𝑣𝑧 = + + + = + + 𝜕𝑟 𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 = 𝑒𝑟 ⋅ ∇⋅𝑣 = Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 1 𝜕(𝑟𝑣𝑟 ) 1 𝜕𝑣𝜃 𝜕𝑣𝑧 + + 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 Στροβιλότητα Curl 𝑐𝑢𝑟𝑙𝐴 ≡ −Lim𝛿τ→0 1 𝛿τ curl A =   A = 𝐴 × 𝑛dS ΔS ex ey ez er r e ez er r e r sin(  ) e   x  y  1  = z r r    1  = 2 z r sin  r     Ax Ay Az Ar rA  Az rA  r sin  A  Καρτεσιανή Κυλινδρική Curl ενός διανύσματος ταχύτητας V = της μέσης γωνιακής ταχύτητας της ροής γύρω από ένα σημείο, ή ενός στοιχείου ρευστού =Στροβιλότητα Ω Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Περιστροφή Ar Σφαιρική Όχι περιστροφή Περιστροφή Στροβιλότητα Διανύσματος Έστω η διανυσματική συνάρτηση 𝑣(𝑥) = 𝑣𝑥 (𝑥)𝑒𝑥 + 𝑣𝑦 (𝑥)𝑒𝑦 + 𝑣𝑧 (𝑥)𝑒𝑧 𝑣(𝑥) = 𝑣𝑟 (𝑥)𝑒𝑟 + 𝑣𝜃 (𝑥)𝑒𝜃 + 𝑣𝑧 (𝑥)𝑒𝑧 Καρτεσιανές Συντεταγμένες 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑧 ∇×𝑣 = ( − )𝑒𝑥 + ( − )𝑒𝑦 + ( − )𝑒 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑧 Κυλινδρικές Συντεταγμένες 𝑟, 𝜑, 𝑧 1 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝜑 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝑣𝑧 1 𝜕 𝜕𝑣𝑟 ∇×𝑣 = ( − )𝑒𝑟 + ( − ) ⥂ 𝑒𝜑 + [ (𝑟𝑣𝜑 ) − ]𝑒 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝜑 𝑧 𝑟, 𝜃, 𝜑 ∇×𝑣 = Σφαιρικές Συντεταγμένες 1 𝜕 𝜕𝑣𝜃 1 1 𝜕𝑣𝑟 𝜕 1 𝜕 𝜕𝑣𝑟 [ (sin 𝜃 𝑣𝜑 ) − ]𝑒𝑟 + [ − (𝑟𝑣𝜑 )]𝑒𝜃 + [ (𝑟𝑣𝜃 ) − ]𝑒 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜑 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜑 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜑 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Μοναδιαία Εφαπτόμενα και Κάθετα Διανύσματα σε Καμπύλη στις 2Δ Ας θεωρήσουμε την λεία καμπύλη C Σε κάθε σημείο της 𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 μπορούμε να ορίσουμε το κάθετο προς τα έξω διάνυσμα n aπό την συνθήκη καθετότητας: 𝑛 ∙ 𝑡 = 0 Αν η συνάρτηση της καμπύλης C δεσμεύει το y = Y(x) τότε 𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑌(𝑥)𝑒𝑦 𝑑(𝑥𝑒𝑥 + 𝑌(𝑥)𝑒𝑦 ) 𝑑(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑(𝑌(𝑥)) 𝑑𝑌 𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 1𝑒𝑥 + 𝑒 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑡= = = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑Y 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 1+ 𝑑𝑥 𝑛𝑥 𝑒𝑥 +𝑛𝑦 𝑒𝑦 𝑛𝑥 2 +𝑛𝑦 2 πρέπει να εκφράσουμε τα 𝑛𝑥 , 𝑛𝑦 συναρτήσει των 𝑌. Συγκεκριμένα από την συνθήκη καθετότητας έχουμε: 𝑛∙𝑡=0 ή 𝑛𝑥 𝑒𝑥 +𝑛𝑦 𝑒𝑦 𝑛𝑥 2 +𝑛𝑦 2 ∙ 1𝑒𝑥 + 𝑑𝑌 𝑒 𝑑𝑥 𝑦 𝑑Y 2 =0 ή 1+ 𝑑𝑥 𝑑𝑌 𝑑𝑌 𝑛𝑥 + 𝑛𝑦 𝑑𝑥 = 0 ή 𝑛𝑥 = − 𝑛𝑦 𝑑𝑥 οπότε x ey ex Το εφαπτομενικό διάνυσμα ορίζεται ως Εάν το κάθετο ορισθεί ως 𝑛 = n y 𝑑𝑌 𝑛𝑥 𝑒𝑥 + 𝑛𝑦 𝑒𝑦 ∙ 1𝑒𝑥 + 𝑑𝑥 𝑒𝑦 = 0 ή 𝑛= − 𝑑𝑌 𝑒 + 𝑒𝑦 𝑑𝑥 𝑥 1+ 𝑑Y 2 𝑑𝑥 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας C t1 x Για να είμαστε συμβατοί με το σχήμα επιλέγουμε την κατεύθυνση του εφαπτομενικού + 𝑒𝑥 και του καθέτου +𝑒𝑦 Μοναδιαία Εφαπτόμενα και Κάθετα Διανύσματα σε Καμπύλη στις 2Δ: Εφαρμογή y y=a n x t1 ey C y=b ex x=c Ας θεωρήσουμε την διακεκομμένη καμπύλη C Να υπολογιστούν τα μοναδιαία εφαπτομενικά και κάθετα σε κάθε τμήματα της Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας x=d x Μοναδιαία Εφαπτόμενα και Κάθετα Διανύσματα σε Επιφάνεια Ας θεωρήσουμε την λεία επιφάνεια S z Σε ένα σημείο της 𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + 𝑧𝑒𝑧 μπορούμε να ορίσουμε το κάθετο προς τα έξω διάνυσμα n 𝑡1 × 𝑡2 𝑛= 𝑡1 × 𝑡2 ως το εξωτερικό γινόμενο των δύο εφαπτομενικών διανυσμάτων. Αν η συνάρτηση της επιφάνειας S δεσμεύει το 𝑧 = Ζ(x, y) τότε έχουμε 𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 + Ζ(x, y)𝑒𝑧 𝜕𝑥 𝜕Ζ(x, y) 𝜕Ζ(x, y) 𝜕x 𝜕y 𝑒𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑒𝑧 1𝑒𝑥 + 𝑒𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑡1 = 𝜕𝑥 = 𝜕𝑥 = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕Ζ 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 1+ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕Ζ(x, y) 𝜕Ζ(x, y) 𝜕x 𝜕y 𝑒 + 𝑒 + 𝑒𝑧 1𝑒𝑦 + 𝑒𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑥 𝜕𝑦 𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑡2 = = = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕Ζ 2 𝜕𝑦 𝜕𝑦 1+ 𝜕𝑦 𝑛= 𝑡1 × 𝑡2 𝑡1 × 𝑡2 − = 𝜕Ζ(x, y) 𝜕Ζ(x, y) 𝑒𝑥 − 𝑒𝑦 + 𝑒𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 1++ 𝜕Ζ 2 𝜕Ζ 2 + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας ez ex n x ey t1 t2 S y x Για να είμαστε συμβατοί με το σχήμα επιλέγουμε την κατεύθυνση του 𝑡1 εφαπτομενικού +𝑒𝑥 , του 𝑡2 εφαπτομενικού +𝑒𝑦 και του καθέτου +𝑒𝑧 Gauss’ and Stokes’ Theorems 𝛽 F ′ x dx = 𝐹 𝛽 − 𝐹 𝑎 1D ∇ ∙ 𝐹 𝑥 d𝑉 = 3D 𝛼 𝑉 𝐹 𝑥 ∙ 𝑛d𝑆 𝑆=𝜕𝑉 ∇ × 𝐹 𝑥 ∙ 𝑛d𝑆 = 𝑆 Gauss' theorem 𝐹 𝑥 ∙ 𝑛dΓ Stokes' theorem Γ=𝜕S S 𝐹 𝑥 = 𝐹𝑥 𝑥 𝑒𝑥 + 𝐹𝑦 𝑥 𝑒𝑦 + 𝐹𝑧 𝑥 𝑒𝑧 = 𝐹𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑒𝑥 + 𝐹𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑒𝑦 + 𝐹𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑒𝑧 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Γ = 𝜕S Leibniz Theorem 𝑑 𝛽(𝑡) 𝐹 x dx = 𝑑𝑡 𝛼(𝑡) 𝛽(𝑡) 𝜕 𝑑𝛽 𝑑𝑎 𝐹 x dx + 𝐹 𝛽, 𝑡 − 𝐹 𝑎, 𝑡 𝜕𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝛼(𝑡) 1D 𝑺 𝒕 𝑑 𝑑𝑡 𝐹 𝑥, 𝑡 ∙ 𝑛d𝑆 𝑠 = 𝜕𝑆(𝑡) S(t) = 𝜕 𝐹 𝑥, 𝑡 + ∇ ∙ 𝐹 𝑥, 𝑡 𝜕𝑡 𝑣 × 𝐹 𝑥, 𝑡 ∙ 𝑛d𝑠 𝜕 𝐹 𝑥, 𝑡 d𝑉 = 𝐹 𝑥, 𝑡 d𝑉 + 𝐹 𝑥, 𝑡 𝑣 ∙ 𝑛d𝑆 𝜕𝑡 V(t) 𝑉(𝑡) 𝑆=𝜕𝑉(𝑡) 3D 𝑆(𝑡) 𝑑 𝑑𝑡 𝑭 𝒙, 𝒕 𝑣 ∙ 𝑛d𝑆 − Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝑠=𝜕𝑆(𝑡) 2D Surface Τέλος 2ης Διάλεξης Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Αναλλοίωτες Τανυστή 1η Αναλλοίωτη 𝐼𝐴 = 𝑡𝑟(𝐴) Σε καρτεσιανή γεωμετρία 3 𝐼𝐴 = 𝐴11 + 𝐴22 + 𝐴33 = 𝐴𝑖𝑖 → 𝐴𝑖𝑖 𝑖=1 2η Αναλλοίωτη 𝐼𝐼𝐴 = 𝑡𝑟(𝐴 ⋅ 𝐴) = 𝐴: 𝐴 𝐴 = 3η Αναλλοίωτη 1 𝐼𝐼 = 2 𝐴 1 𝐴: 𝐴 2 𝐼𝐼𝐼𝐴 = 𝑡𝑟(𝐴 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐴) Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Νόρμα τανυστή Και άλλες αναλλοίωτες ... 1η Αναλλοίωτη 𝐼1,𝐴 = 𝐼𝐴 = 𝑡𝑟(𝐴) 2η Αναλλοίωτη 𝐼2,𝐴 = 3η Αναλλοίωτη 1 3 𝐼3,𝐴 = 𝐼𝐴 − 3𝐼𝐴 𝐼𝐼𝐴 + 2𝐼𝐼𝐼𝐴 6 1 2 1 𝐼𝐴 − 𝐼𝐼𝐴 = (𝑡𝑟(𝐴))2 − 𝑡𝑟(𝐴2 ) 2 2 Θεώρημα Cayley-Hamilton 𝐴3 − 𝐼1,𝐴 𝐴2 + 𝐼2,𝐴 𝐴 − 𝐼3,𝐴 𝐼 = 0 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Παράγωγοι αναλλοίωτων ως προς τανυστές 2ης τάξης 𝜕𝐼𝐴 𝜕𝐴 𝜕𝑡𝑟(𝐴) = 𝜕𝐼𝐼𝐴 𝜕𝐴 𝜕𝐼𝐼𝐼𝐴 𝜕𝐴 𝜕𝐴 =𝐼 𝜕𝑡𝑟(𝐴 ⋅ 𝐴) = 𝜕𝐴 = 𝐼𝐴 𝐼 − 𝐴 𝜕𝑡𝑟(𝐴 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐴) = 𝜕𝐴 = 𝐼𝐼𝐼𝐴 𝐴−𝑇 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Ιδιοτιμές συμμετρικού τανυστή 2ης τάξης 𝜆𝑘 = 𝐼1 −𝑝 1 3𝑞 −3 2(𝑘 − 1)𝜋 +2 cos cos −1 − 3 3 3 2𝑝 𝑝 3 1 𝑝 = 𝐼2 − 𝐼12 3 2𝐼13 − 9𝐼1 𝐼2 + 27𝐼3 𝑞=− 27 𝐼1 = 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴)𝐼2 = 1 2 𝐼 − 𝐴: 𝐴 𝐼3 = det( 𝐴) 2 1 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝑘 = 1,2,3 Ιδιότητες ίχνους και ορίζουσας τανυστή 2ης τάξης Ίχνος Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Ορίζουσα Συμμετρικός & Αντισυμμετρικός Τανυστής Συμμετρικός Τανυστής: 𝐴𝑇 = 𝐴 𝐴𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖 ή Αντισυμμετρικός Τανυστής: 𝐴𝑇 = −𝐴 0 𝐴 = −𝐴12 −𝐴13 𝐴12 0 −𝐴23 ή 𝐴13 𝐴23 0 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝐴𝑖𝑗 = −𝐴𝑗𝑖 Διάσπαση Τανυστή σε Συμμετρικό & Αντισυμμετρικό Τανυστής Έστω ο τανυστής τ: 𝜏 =𝑆+𝐴 1 𝑆 = 𝜏 + 𝜏𝑇 2 1 𝐴 = 𝜏 − 𝜏𝑇 2 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας Διάσπαση Τανυστή σε Συμμετρικό & Αντισυμμετρικό Τανυστή Έστω ο τανυστής τ: 𝜏11 𝑆= 1 𝜏 + 𝜏𝑇 = 2 1 𝜏 + 𝜏21 2 12 1 𝜏 + 𝜏31 2 13 0 𝐴= 1 𝜏 − 𝜏𝑇 = 2 1 𝜏 − 𝜏12 2 21 1 𝜏 − 𝜏13 2 31 1 𝜏 + 𝜏21 2 12 𝜏22 1 𝜏 + 𝜏32 2 23 1 𝜏 − 𝜏21 2 12 0 1 𝜏 − 𝜏23 2 32 Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 1 𝜏 + 𝜏31 2 13 1 𝜏 + 𝜏32 2 23 𝜏33 1 𝜏 − 𝜏31 2 13 1 𝜏 − 𝜏32 2 23 0 O τανυστής ρυθμού παραμόρφωση strain-rate tensor Είναι το συμμετρικό μέρος του τανυστή της βαθμίδας της ταχύτητας 𝑣𝑥 (𝑥) 𝜕𝑥 ∇𝑣 = ∇ ⊗ 𝑣 = 𝜕𝑦 ⊗ 𝑣𝑦 (𝑥) = 𝜕𝑧 𝑣𝑧 (𝑥) 1 1 D = 𝛾 = ∇𝑣 + (∇𝑣)𝑇 2 2 𝜕𝑥 𝑣𝑥 𝜕𝑥 𝑣𝑦 𝜕𝑥 𝑣𝑧 𝜕𝑦 𝑣𝑥 𝜕𝑦 𝑣𝑦 𝜕𝑦 𝑣𝑧 𝜕𝑧 𝑣𝑥 𝜕𝑧 𝑣𝑦 𝜕𝑧 𝑣𝑧 = Γιάννης Δημακόπουλος - Τμήμα Χημικών Μηχανικών – Πανεπιστήμιο Πάτρας 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑣𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑧

Μηχανική Ρευστών: Βαθμωτά, Διανύσματα, Τανυστές - Σημειώσεις

Products

Support

Μηχανική Ρευστών: Βαθμωτά, Διανύσματα, Τανυστές - Σημειώσεις

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib