Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 5)
Matematyka Dyskretna
Zestaw 5
1. Niech X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} będzie zbiorem cyfr systemu dziesiętnego.
(a) Ile jest wszystkich dziesięcio-wyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru X?
(b) Ile wśród nich jest takich ciągów różnowartościowych, w których między 0 i 1 stoją dokładnie
cztery cyfry?
(c) Ile wśród nich jest takich ciągów, w których między 0 i 1 stoją dokładnie cztery cyfry?
2. Niech X = {1, 2, . . . , n} i Y = {1, 2, . . . , m}?
(a) Ile jest wszystkich funkcji rosnących ze zbioru X w zbiór Y ?
(b) Ile jest wszystkich funkcji niemalejących ze zbioru X w zbiór Y ?
3. Niech X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
(a) Ile jest wszystkich funkcji f : X → X takich, że f (x) > 4 dla x ∈ X?
(b) Ile jest wszystkich funkcji f : X → X takich, że |f (X)| = 2?
4. Udowodnić, że jeśli w trójkącie równobocznym o boku długości 4 jednostek umieścimy 17
punktów, to odległość dwóch spośród nich nie przekracza 1 jednostki.
5. W sześcianie S, którego krawędź ma długość 7 wybrano 342 punkty. Czy można znaleźć
taki sześcian o boku 1 zawarty w sześcianie S, który nie zawiera żadnego z tych punktów?
6. Udowodnić, że wśród dowolnie wybranych pięćdziesięciu jeden punktów leżących w kwadracie
o boku 1 istnieją 3, które leżą w pewnym kole o promieniu 71 .
7. Udowodnić, że wśród sześciu punktów umieszczonych w prostokącie o wymiarach 3 × 4
√
zawsze można znaleźć dwa, których odległość nie przekracza 5.
8. Na płaszczyznie danych jest 5 punktów kratowych (tzn. punktów o obu współrzędnych
całkowitych). Udowodnić, że środek jednego z odcinków łączących te punkty jest również punktem
kratowym.
9. Sosnowy las, składający się z 4500 drzew, rośnie na obszarze w kształcie kwadratu o boku
długości 1 km. Każde z drzew ma średnicę nie większą niż 0, 5 m. Wykazać, że w pewnym
prostokącie 10m × 20m nie rośnie żadne drzewo.
10. Przypuśćmy, że 64 przedmioty zostały umieszczone w dziewięciu pudełkach.
(a) Wykazać, że jedno z pudełek zawiera co najmniej 8 przedmiotów;
(b) Wykazać, że jeśli dwa pudełka są puste, to jakieś pudełko zawiera przynajmniej dziesięć
przed- miotów.
11. Niech S będzie zbiorem 25 punktów, takim, że w każdym 3-elementowym podzbiorze
istnieją dwa punkty, których odległość nie przekracza 1. Udowodnić, że istnieje 13-elementowy
podzbiór zbioru S, który można przykryć kołem o promieniu 1.
12. Udowodnić, że w dowolnej grupie osób istnieją osoby o tej samej liczbie znajomych (w tej
grupie).
13. Niech A będzie dziesięcioelementowym podzbiorem zbioru {1, 2, 3, . . . , 50}. Wykazać, że
A ma dwa czteroelementowe podzbiory, mające równe sumy elementów.
1
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 5)
14. Niech A będzie podzbiorem zbioru {1, 2, 3, . . . , 149, 150} złożonym z 25 liczb. Wykazać,
że istnieją dwie rozłączne pary elementów zbioru A, mających te same same sumy (np. {3, 89} i
{41, 51} mają tę samą sumę równą 92).
15. Udowodnić, że dla dowolnych 2n−1 + 1 podzbiorów zbioru zbioru n-elementowego (n > 1)
zawsze znajdą się dwa podzbiory rozłączne.
16. Jakich funkcji jest więcej, czy ze zbioru 5-elementowego na 3-elementowy, czy ze zbioru
6-elementowego na 2-elementowy?
17. Wyznaczyć liczbę wszystkich liczb naturalnych n, 1 ≤ n ≤ 2.000, które:
(a) nie są podzielne przez żadną z liczb 2, 3, 5;
(b) nie są podzielne przez żadną z liczb 2, 3, 5, 7;
(c) nie są podzielne przez żadną z liczb 2, 3, 5 ale są podzielne przez 7.
18. Wyznaczyć liczbę wszystkich całkowitych nieujemnych rozwiązań równania
x1 + x2 + x3 + x4 = 21,
dla których:
(a) 0 ≤ xi dla 1 ≤ i ≤ 4;
(c) −5 ≤ xi ≤ 10 dla 1 ≤ i ≤ 4;
(b) 0 ≤ xi < 8 dla 1 ≤ i ≤ 4;
(d) 0 ≤ x1 ≤ 5, 0 ≤ x2 ≤ 6, 3 ≤ x3 ≤ 7, 3 ≤ x4 ≤ 8
2
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 5)
Rozwiązania.
1. (a) Każdy 10-wyrazowy ciąg o wyrazach ze zbioru X jest funkcją ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
w zbiór X, a jak wiadomo takich funkcji jest 1010 .
(b) Niech (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 , a9 , a10 ) oznacza dowolny ciąg różnowartościowy o wyrazach
ze zbioru X. Jeśli a1 = 0 i a6 = 1 lub a1 = 1 i a6 = 0, to dla każdego z tych przypadków
można pozostałe wyrazy można wyznaczyć na 8! sposobów. Stąd mamy 2 · 8! ciągów spełniających
oczekiwany warunek, w których 0 i 1 zajmują pozycje pierwszą i szóstą. Jeśli uwzględnimy pozostałe
cztery możliwości dla rozmieszczenia 0 i 1 (tzn. pozycje (2, 7), (3, 8), (4, 9) i (5, 10)), to łącznie
otrzymamy 5 · 2 · 8! = 8! · 10 = 10!
9 .
(c) Niech Ai , i = 1, 2, . . . , 5 będzie zbiorem wszystkich rozważanych ciągów, dla których {ai , ai+5 } =
{0, 1}. Innymi słowy, na pozycji i-tej stoi 0, a na pozycji i + 5 stoi 1 lub odwrotnie, na pozycji
i-tej stoi 1, a na pozycji i + 5 stoi 0, a pozostałe wyrazy ciągów należących do Ai są dowolnymi
elementami z X. Wówczas
|Ai |
|Ai ∩ Aj |
|Ai ∩ Aj ∩ Ak |
|Ai ∩ Aj ∩ Ak ∩ Al |
|A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ∩ A5 |
=
=
=
=
=
2 · 108 , 1 ≤ i ≤ 5,
4 · 106 , 1 ≤ i < j ≤ 5,
8 · 104 , 1 ≤ i < j < k ≤ 5,
16 · 102 , 1 ≤ i < j < k < l ≤ 5,
32.
Zatem na mocy zasady włączeń-wyłączeń otrzymujemy
|A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 | = 5 · 2 · 108 − 10 · 4 · 106 + 10 · 8 · 104 − 16 · 16 · 102 + 32
2. (a) Każda funkcja rosnąca jest różnowartościowa, zatem, jeśli n > m, to takich funkcji nie
ma. Załóżmy, że n ≤ m. Każdy wybór n różnych elementów ze zbioru Y wyznacza dokładnie
jedną funkcję rosnącą. Jest to funkcja, która elementowi 1 ∈ X przyporządkowuje najmniejszą
liczbę z wybranego podzbioru zbioru Y , elementowi 2 ∈ X – najmniejszą z pozostałych liczb (tzm.
oprócz liczby przypisanej liczbie 1), itd. Odwrotnie, każda funkcja rosnąca wyznacza n-elementowy
podzbiór zbioru Y , a mianowicie jej zbiór wartości. Wobec tego liczba funkcji rosnących jest równa
liczbie n-elementowych podzbiorów zbioru Y , czyli m
n .
(b) Analogiczne rozumowanie prowadzi do stwierdzenia, że liczba funkcji niemalejących jest
równa liczbie n-elementowych podzbiorów z powtórzeniami ze zbioru Y , zatem jest ich n+m−1
m−1 .
3. (a) Każda funkcja spełaniająca warunki zadania jest funkcją ze zbioru X w zbiór Y = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
i odwrotnie, każda funkcja ze zbioru X w Y spełnia warunki zadania. Zatem istniej 610 takich funkcji.
(b) Liczba funkcji ze zbioru 10-elementowego na zbiór 2-elementowy jest równa 210 − 2. Ponieważ
podzbiór 2-elementowy w zbiorze X można wybrać na 10
2 = 45 sposobów, więc liczba wszystkich
funkcji spełniających warunki zadania można wybrać na 45·(210 −2) = 45·1022 = 65990 sposobów.
6. Podzielmy kwadrat o boku jeden na 25 kwadratów o boku 15 każdy. Z SZD wynika, że przynajmniej jeden z tych kwadratów zawiera co najmniej trzy spośród 51 dowolnie wybranych punktów.
Do zakończenia rozwiązania wystarczy teraz zauważyć, że koło opisane na kwadracie o boku 15 ma
√
promień równy 102 i jest to liczba mniejsza od 17 . Istotnie,
√ !2
2
2
2
1
1
1
=
=
<
=
.
10
100
50
49
7
3
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 5)
7. Rozwiązanie tego zadania wynika bezpośrednio z poniższego rysunku. Prostokąt 3 × 4 dzielimy
na 5 rozłącznych obszarów, mających tę własność, że dwa dowolne punkty leżące w tym samym
√
obszarze są odległe o mniej niż 5. Ponieważ rozważamy sześć punktów, więc na podstawie SZD
co najmniej dwa z nich muszą leżeć w jednym z tych obszarów.
@
@
@
@
@
@
11. Niech a i b, będą punktami należącymi do S, których odległość jest możliwie największa. Jeśli
ta odległość nie przekracza 1, zarówno w kuli K(a, 1), jak i w kuli K(b, 1) leżą wszystkie punkty
zbioru S. Załóżmy, że odległość między punktami a i b jest większa od 1. Wtedy, dowolnie wybrany
punkt c należący do zbioru S należy albo do K(a, 1), albo do K(b, 1), bo jego odległość od a lub
od b nie przekracza 1. Zatem zbiór S jest zawarty w sumie mnogościowej K(a, 1) ∪ K(b, 1), czyli
spośród wszytkich 25 punktów, co najmniej 13 należy do jednej z tych kul.
14. Zbiór P2 (A) 2-elementowych podzbiorów zbioru A ma
25
2
=
25 · 24
= 300
2!
elementów, t.j. dwuelementowych podzbiorów. Definiujemy funkcję f : P2 → N, przyjmując dla
f ({x1 , x2 }) = x1 + x2 ,
dla {x1 , x2 } ∈ P2 (A) Wartości tej funkcji mieszczą się w przedziale [3, 299], czyli zbiór wartości
funkcji zawiera mniej liczb, niż zbiór argumentów, co oznacza, że f nie jest różnowartościowa.
Zatem istnieją dwa podzbiory {x1 , x2 } i {x3 , x4 } takie, że
x1 + x2 = f ({x1 , x2 }) = f ({x3 , x4 }) = x3 + x4 .
15. Niech X = {1, 2, . . . , n}. Tworzymy szuflady, do których wkładamy po dwa podzbiory zbioru
X: wraz z dowolnym podzbiorem A jego dopełnienie X − A. W ten sposób zapełnimy dokładnie
2n−1 szuflad po dwa podzbiory w każdej. Jeśli teraz z tych szuflad weźmiemy 2n−1 + 1 podzbiorów,
to przynajmniej z jednej z nich musimy wziąć dwa podzbiory, a one są rozłączne.
16. Liczba wszystkich surjekcji ze zbioru n-elementowego (np. Xn = {1, 2, . . . , n}) na zbiór 2elementowy X2 = {1, 2} jest równa 2n − 2, ponieważ ze wszystkich funkcji z Xn do X2 (których
jest 2n ), tylko dwie funkcje stałe nie są surjekcjami. W szczególności więc, istnieje
26 − 2 = 62
funkcji ze zbioru 6-elementowego na zbiór 2-elementowy.
Liczba surjekcji ze zbioru 5-elementowego X = {1, 2, 3, 4, 5} na zbiór 3-elementowy Y = {1, 2, 3}
ustalamy podobnie. Najpierw obliczamy ile jest funkcji z X do Y , które nie są surjekcjami: Niech
Zi , i = 1, 2, 3 będzie zbiorem wszystkich funkcji f z X do Y takich, że i ∈
/ F (X). Wówczas
4
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 5)
surjekcjami są wszystkie funkcje, które należą do Y X − (Z1 ∪ Z2 ∪ Z3 ). Z zasady włączeń-wyłączeń
otrzymujemy
|Z1 ∪ Z2 ∪ Z3 | = |Z1 | + |Z2 | + |Z3 | − |Z1 ∩ Z2 | − |Z1 ∩ Z3 | − |Z2 ∩ Z3 | + |Z1 ∩ Z2 ∩ Z3 | =
= 3 · 25 − 3
Zatem liczba surjekcji z X do Y jest równa 35 − 3 · 25 + 3 = 150.
17.
18. Rozważmy na początek równanie
x1 + x2 + x3 + · · · + xn = k
(1)
gdzie xi ⩾ 0 oraz k ⩾ 0 są liczbami całkowitymi. Rozważmy k + n − 1 pionowych kresek (k jest
liczbą stojącą po prawej stronie równania (1), n − 1 liczba plusów między zmiennymi xi ). Dla
równania z zadania mamy ich 24 = 21 + 3:
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
Jeśli teraz dowolne trzy kreski zastąpimy plusami (w przypadku ogólnym dowolne n − 1 kresek
zastępujemy plusami), to otrzymamy jedno z rozwiązań równania (1). Na przykład
| | | + + | | | | | | | + | | | | | | | | | | |
wyznacza rozwiązanie x1 = 3 (liczba kresek do pierwszego plusa), x2 = 0 (liczba kresek między
pierwszym i drugim plusem, itd.) x3 = 7, x4 = 11, natomiast
+ | | | | | + | | | | | | | | | + | | | | | | |
wyznacza rozwiązanie x1 = 0, x2 = 5, x3 = 9, x4 = 7. Różne wybory kresek zamienianych na plusy
dają oczywiście różne rozwiązania. Łatwo widać, że liczba wyborów kresek zamienianych na plusy
jest równa liczbie rozwiązań. Zatem dla rozważanego zadania (a) liczba ta jest równa 24
, a w
3
k+n−1
przypadku ogólnym k+n−1
=
.
n−1
k
(c) Rozważmy równanie x1 +x2 +x3 +x4 = 21 z ograniczeniami −5 ⩽ xi ⩽ 10. Po dodaniu liczby
5 do wszystkich stron ostatnich nierówności, te ograniczenia zapiszmy w postaci 0 ⩽ xi + 5 ⩽ 15.
Równanie przepiszmy w postaci (x1 + 5) + (x2 + 5) + (x3 + 5) + (x4 + 5) = 41, a po podstawieniu
yi = xi + 5 dostajemy równanie
y1 + y2 + y3 + y4 = 41
z ograniczniami 0 ⩽ yi ⩽ 15. Jeśli pominiemy górne ograniczenia na yi , to na podstawie wcześniej
szych rozważań, liczba rozwiązań jest równa 44
3 . Z tej liczby wszystkich rozwiązań usuńmy te,
które nie spełniają górnego ograniczenia. Dla i = 1, 2, 3, 4 niech Ai będzie zbiorem tych rozwiązań,
dla których i-ta niewiadoma yi nie spełnia górnego ograniczenia, tzn. yi ⩾ 16. Naszym celem jest
obliczenie |A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 |. Na podstawie Zasady Włączeń-Wyłączeń tym celu należy obliczyć
|Ai | oraz moce wszystkich możliwych przecięć tych zbiorów. Do obliczenia A1 rozważmy równanie
(y1 − 16) + y2 + y3 + y4 = 25. Z dotychczasowych rozważań wynika, że liczba rozwiązań jest równa
28
rozważyć równanie (y1 − 16) + (y2 − 16) + y3 + y4 = 9.
3 . Dla obliczenia |A1 ∩ A2 | wystarczy
12
Liczba jego rozwiązań jest równa 3 . Nietrudno też zauważyć, że przecięcie trzech dowolnych
zbiorów spośród A1 , A2 , A3 , A4 jest puste. Zatem
12
|A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 | = 4 · 28
3 −6 3 .
5
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 5)
Zatem liczba rozwiązań wyjściowego równania jest równa
44
3
12
+
6
− 4 · 28
3
3
6