Bài tập số 1
Khổng Mạnh Tuấn
Ngày 10 tháng 3 năm 2025
1
Bài tập
Sách tiếng anh : 32,33,34,57,61
Sách tiếng việt : 8,14,20,23,40
1.1
Q1
Giả sử mỗi lần sinh con có xác suất 21 là trai và 12 là gái. Gia đình có hai con,
và một trong số đó là nhà vua (nam). Ta cần tìm xác suất người con còn lại
cũng là nam.
Xét các khả năng có thể có đối với hai người con :
• (Nam, Nam) - Ký hiệu: NN
• (Nam, Nữ) - Ký hiệu: NQ
• (Nữ, Nam) - Ký hiệu: QN
• (Nữ, Nữ) - Ký hiệu: QQ
Vì nhà vua là nam, ta loại bỏ trường hợp (QQ). Khi đó, không gian mẫu
(S)là: NN, NQ, QN.
Do mỗi trường hợp NN, NQ, QN có xác suất bằng nhau là 13 , ta cần tính
xác suất anh chị em của nhà vua cũng là nam, tức là xét trường hợp NN.
Công thức xác suất có điều kiện: biến cố A : có anh chị em là nam
P (A | S) =
P (NN)
P (NN, NQ, QN)
1
1
P (A | S) = 3 =
1
3
Xác suất người anh chị em của nhà vua là nam là 13 .
1
1.2
Q2
Giả sử đồng xu bị lệch có xác suất xuất hiện mặt ngửa là p và mặt sấp là 1 − p.
Để đảm bảo hai lựa chọn có xác suất bằng nhau, ta có thể làm như sau:
1. Tung đồng xu hai lần.
2. Nếu kết quả là H-T (Ngửa-Sấp), chọn phương án 1.
3. Nếu kết quả là T-H (Sấp-Ngửa), chọn phương án 2.
4. Nếu kết quả là H-H hoặc T-T, bỏ lượt tung và thử lại từ đầu.
Chứng minh tính công bằng:
• Xác suất xảy ra chuỗi HT là: P (HT ) = p(1 − p).
• Xác suất xảy ra chuỗi TH là: P (T H) = (1 − p)p.
• Vì p(1 − p) = (1 − p)p, hai sự kiện này có xác suất bằng nhau, đảm bảo
tính công bằng.
1.3
Q3
• Hệ thống nối tiếp: Nếu có n phần tử nối tiếp, xác suất hoạt động là:
Pseries = pn .
• Hệ thống song song: Nếu có n phần tử song song, xác suất ít nhất một
phần tử hoạt động là:
Pparallel = 1 − (1 − p)n .
• Hệ con 1: Chỉ có một phần tử nối tiếp ⇒ P1 = p.
• Hệ con 2: Kết hợp nhiều phần tử song song và nối tiếp
⇒ P2 = 1 − (1 − (1 − (1 − p)3 )p)2 .
• Hệ con 3: Hệ song song có thể tính theo công thức trên. ⇒ P3 = 1 − (1 − p)2
Xác suất toàn bộ hệ thống hoạt động sẽ là sự kết hợp của các hệ con trên :
P = P1 ∗ P2 ∗ P3
1.4
Q4
Để có thể đếm số cách chọn 6 từ từ 26 chữ cái tạo thành 1 câu .Trước hết ta có
thể hoán vị vị trí các từ để tạo thành 1 câu => sẽ có 6! cách hoán vị. Việc chọn
6 từ tạo từ 26 chữ cái sao cho không có từ nào rỗng là việc chọn ra số stirling
loại hai S(26,6) => số câu có thể tạo là S(26,6)*6!
2
1.5
Q5
Xác suất để chọn i quả màu đỏ trong khi chọn ngẫu nhiên k quả
m
Đầu tiên, xác suất để chọn i quả màu đỏ từ m quả sẽ là
i
Xác suất để chọn k - i quả không phải màu đỏ từ n -m quả màu đỏ còn lại là
n
k
k−i m
Xác suất để chọn k quả ngẫu nhiên từ n quả là :
Vậy xác suất thỏa mãn đề bài sẽ là :P =
1.6
i
n−m
n
k
Q6
Có tổng cộng 100 đại biểu, chia thành 50 tỉnh, mỗi tỉnh có 2 đại biểu. Chọn
ngẫu nhiên 50 đại biểu để lập ủy ban.
• S là số cách chọn 50 đại biểu từ 100 đại biểu:
100
|S| =
50
Câu a: Xác suất ủy ban có ít nhất một đại biểu của thủ đô Giả sử thủ đô
có 2 đại biểu (ký hiệu là A1 , A2 ).
- Số cách chọn ủy ban không có đại biểu thủ đô Nếu không có ai từ thủ đô
trong ủy ban, thì tất cả 50 đại biểu được chọn từ 98 đại biểu còn lại. Số cách
chọn là:
98
|S0 | =
50
- Xác suất không có đại biểu thủ đô
98
50
100
50
P (không có đại biểu thủ đô) =
- Xác suất có ít nhất một đại biểu thủ đô
P (có ít nhất một đại biểu thủ đô) = 1 − P (không có đại biểu thủ đô)
98
50
100
50
P =1−
Câu b: Xác suất mỗi tỉnh có đúng một đại biểu Mỗi tỉnh có đúng một đại
biểu trong ủy ban, nghĩa là chọn đúng 1 người trong số 2 đại biểu của mỗi tỉnh.
3
k−i
n−m
-Số cách chọn mỗi tỉnh đúng 1 đại biểu Mỗi tỉnh có 2 lựa chọn, và có tổng
cộng 50 tỉnh. Số cách chọn là:
|S1 | = 250
P (mỗi tỉnh có đúng 1 đại biểu) =
250
100
50
1.7
Q7
Tổng số vé số có thể có là:
105 = 100000
Gọi các sự kiện:
• A là vé không có số 1.
• B là vé không có số 5.
Áp dụng công thức xác suất của hợp hai sự kiện:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Xác suất vé không có số 1 (P (A)) - Mỗi chữ số có thể là {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
(9 lựa chọn). - Số vé thỏa mãn:
95
- Xác suất:
95
105
Xác suất vé không có số 5 (P (B)) - Mỗi chữ số có thể là {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}
(9 lựa chọn). - Số vé thỏa mãn:
P (A) =
95
- Xác suất:
95
105
Xác suất vé không có cả số 1 và số 5 (P (A ∩ B)) - Mỗi chữ số có thể là {0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}
(8 lựa chọn). - Số vé thỏa mãn:
P (B) =
85
- Xác suất:
P (A ∩ B) =
P (A ∪ B) =
85
105
95
95
85
+ 5− 5
5
10
10
10
4
1.8
Q8
Một con xúc xắc có 6 mặt, mỗi mặt có xác suất xuất hiện bằng nhau là 16 . Ta
gieo xúc xắc 6 lần liên tiếp và cần tìm xác suất để ít nhất một lần ra số 6.
Ta tính xác suất của biến cố không lần nào ra số 6, sau đó lấy 1 trừ đi
kết quả đó.
- Xác suất để một lần gieo không ra số 6 là:
P (không ra 6) =
5
6
- Vì các lần gieo là độc lập, xác suất không ra số 6 trong cả 6 lần là:
6
5
P (không lần nào ra 6) =
6
P (ít nhất một lần ra 6) = 1 − P (không lần nào ra 6)
=1−
1.9
6
5
6
Q9
Có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 14 , tức là xác suất sáng là 34 .
Lớp học đủ sáng nếu có ít nhất 4 bóng sáng. Ta cần tính xác suất lớp học không
đủ sáng, tức là có không quá 3 bóng sáng:
P (X ≤ 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)
với X ∼ Binomial(6, 34 ).
Dùng công thức phân phối nhị thức:
k 6−k
6
3
1
k
4
4
0 6
6
1
1
3
P (X = 0) =
=
0
4
4
4096
1 5
6
3
1
18
P (X = 1) =
=
1
4
4
4096
2 4
6
3
1
135
P (X = 2) =
=
2
4
4
4096
3 3
6
3
1
540
P (X = 3) =
=
3
4
4
4096
P (X = k) =
P (X ≤ 3) =
1
18
135
540
+
+
+
4096 4096 4096 4096
5
=
694
≈ 0.1695
4096
Vậy xác suất lớp học không đủ ánh sáng là khoảng **16.95
1.10
Q10
Cho biết tỷ lệ người có nhóm máu O, A, B, AB lần lượt là:
P (O) = 33.7%,
P (A) = 37.5%,
P (B) = 20.9%,
P (AB) = 7.9%.
Các quy tắc truyền máu:
• Nhóm O: Cho được tất cả, chỉ nhận từ O.
• Nhóm A: Nhận từ O hoặc A, cho A hoặc AB.
• Nhóm B: Nhận từ O hoặc B, cho B hoặc AB.
• Nhóm AB: Nhận từ tất cả, chỉ cho AB.
Câu a: Xác suất truyền máu thành công với một người cho
Gọi P là xác suất để một người nhận có thể nhận máu từ một người cho.
Xét từng trường hợp của người nhận:
• Nếu người nhận là O (33.7%): Chỉ nhận từ O (33.7%).
P (O) = 0.337 × 0.337
• Nếu người nhận là A (37.5%): Nhận từ O (33.7%) hoặc A (37.5%).
P (A) = 0.375 × (0.337 + 0.375)
• Nếu người nhận là B (20.9%): Nhận từ O (33.7%) hoặc B (20.9%).
P (B) = 0.209 × (0.337 + 0.209)
• Nếu người nhận là AB (7.9%): Nhận từ tất cả (100%).
P (AB) = 0.079 × 1
Tổng xác suất:
P = P (O) + P (A) + P (B) + P (AB)
Thay số:
P = (0.337 × 0.337) + (0.375 × 0.712) + (0.209 × 0.546) + (0.079 × 1)
6
P = 0.1136 + 0.2670 + 0.1141 + 0.079
P ≈ 0.5737
(57.37%)
Câu b: Xác suất truyền máu thành công với hai người cho
Chọn hai người cho. Nếu ít nhất một trong hai người có thể truyền máu, thì
sự truyền máu sẽ thực hiện được.
Gọi P1 là xác suất cả hai người cho đều không phù hợp. Khi đó, xác suất
truyền máu thành công là:
P ′ = 1 − P1
Với:
P1 = (1 − P )2
P ′ = 1 − (1 − 0.5737)2
P ′ = 1 − (0.4263)2
P ′ = 1 − 0.1817
P ′ ≈ 0.8183
(81.83%)
Kết luận
• Xác suất truyền máu thành công với một người cho: 57.37%.
• Xác suất truyền máu thành công với hai người cho: 81.83%.
7