O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
TOSHKENT AMALIY
FANLAR UNIVERSITETI
“MATEMATIKA” KAFEDRASI
“Axborot texnologiyalari” fakulteti
“Matematika” kafedrasi
Ro'yxatga olindi №
«____» _______20__ й
Ro'yxatga olindi №
«____» _______20__й
Mavzu:Ratsional funksiyalarni integrallash
Ilmiy rahbar: Yuldashev Sanjar Atabekovich
(lavozim, FISh)
Bajardi: Mamurova Kamola Nasriddin qizi
(kurs, guruh, FISh)
Komissiya a’zolari: ____________________________
_________________________
___________________________
Himoya natijasi: «_____» baho «___» ______________ 20__й.
Toshkent – 2025
TOSHKENT AMALIY FANLAR UNIVERSITETI
“MATEMATIKA” kafedrasi
“MATEMATIK ANALIZ” fanidan
kurs ishi bo‘yicha berilgan
texnik topshiriq
«Tasdiqlayman»
“Matematika”
kafedrasi mudiri __________
_____________ ___ _______ 20___ y.
Mavzu:Ratsional funksiyalarni integrallash
1. Kurs ishini topshirish muddati: _______________________________
2. Kurs ishini bajarish uchun boshlang‘ich ma’lumotlar: Adabiyotlar,
nazariy ma’lumotlar, grafik muharrirlar. _______________________________
3. Tushuntiruv yozuvi tarkibi: Kirish, mavzu bo’yicha nazariy ma’lumotlar,
amaliy qismda berilgan topshiriq varianti bo‘yicha grafik ishlanmalar, xulosa,
foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati, ilova. _______________________________
4. Grafik materiallar: tasvir, chizma va boshqalar.
5. Topshiriq berilgan sana: _____________________________________
6. Bajarish uchun qabul qilib oldi: _____________________________
________________ fakulteti, _
guruh talabasi
7. Rahbar: __________________________________________________
Ekspert guruhi baholari
F.I.O
Rasmiylashtirish
Himoya
Savollar:
O‘rtacha baho
Baho
Imzo
MUNDARIJA:
KIRISH
I-BOB Eng sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash. Ratsional
funksiyalarni eng sodda kasrlarga yoyish usuli bilan integrallash.
1.1 Sodda kasrlarni integrallash
1.2 Algebraning ba’zi ma’lumotlari va tasdiqlari
1.3 Ratsional funksiyalarni eng sodda kasrlarga yoyish va ularni integrallash.
II-BOB: RATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH USULLARI
2.1.Oddiy fraksiyalarga ajratish usuli
2.2.Chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish asosida integrallash
2.3. Ratsional funksiyalarni almashtiri shorqali integrallash
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
KIRISH
O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyev tomonidan 2020-yil
6-noyabrda qabul qilingan "Matematika fanini rivojlantirish va mutaxassislar
tayyorlash tizimini takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida"gi PQ-4884-sonli
Qarorida ta’limning barcha bosqichlarida matematika fanining o‘qitilishi sifatini
oshirish, o‘quv dasturlarini zamonaviylashtirish, ilg‘or xalqaro tajribalarni joriy
qilish, shu bilan birga, matematik bilimlarni amaliy hayotga tatbiq etish
imkoniyatlarini kengaytirish zarurligi alohida ta’kidlangan. Ushbu qaror bugungi
kunda nafaqat o‘quv dasturlarining mazmuniga, balki fanni o‘rganishdagi
metodologik yondashuvlarga ham tub o‘zgarishlar kiritmoqda. Ayniqsa, oliy ta’lim
muassasalarida aniq fanlar, jumladan, matematik analiz kabi chuqur nazariy fanga
asoslangan yo‘nalishlar keng miqyosda rivojlantirilmoqda.
Matematika har doim inson tafakkurining yuksak mahsuli, texnikaviy
taraqqiyotning asosi sifatida qaralgan. Bugungi raqamli transformatsiya jarayonlari,
sun’iy intellekt, algoritmlashtirish, dasturlash, texnik muhandislik, statistik tahlil,
iqtisodiy prognozlash kabi sohalarning barchasida matematik analiz, ayniqsa,
integrallash texnikalarining roli beqiyos. Shu nuqtai nazardan, ratsional funksiyalar
va ularni integrallash masalasi nafaqat nazariy, balki amaliy jihatdan ham g‘oyat
dolzarb mavzudir.
Ratsional funksiyalar – bu ikki polinom funksiyaning nisbati ko‘rinishidagi
ifodalar bo‘lib, ular matematikada keng qo‘llaniladi. Bu funksiyalar orqali ko‘plab
amaliy muammolar, jumladan fizikaviy jarayonlar, iqtisodiy modellash, kimyoviy
reaksiya tezligi, populyatsiyalar o‘zgarishi, elektr toklari kuchi va bosimdagi
siljishlar kabi masalalar modellashtiriladi. Ratsional funksiyalarni integrallash esa
bu modellarni yechish, tahlil qilish, xulosalash va bashoratlash uchun asosiy
vositadir.
Ayniqsa, murakkab ko‘rinishdagi funksiyalarni oddiy fraksiyalarga ajratish
orqali integrallash usuli, talabalarda matematik fikrlashni rivojlantirishda, mantiqiy
yechimga kelish yo‘llarini ko‘rsatishda juda muhim metod hisoblanadi. Shu sababli,
ratsional funksiyalarni integrallash bo‘yicha mustahkam nazariy va amaliy
tayyorgarlik talabalarga nafaqat bilim beradi, balki ularni har qanday ilmiy yoki
amaliy muammo oldida mustaqil fikrlashga, algoritmik yondashuv asosida yechim
topishga o‘rgatadi.
Ushbu kurs ishida ratsional funksiyalarni integrallashning nazariy asoslari,
usullari, turli hollarda oddiy fraksiyalarga ajratish texnikalari, almashtirishlar,
differensiallashtirish orqali tasdiqlashlar keng yoritiladi. Har bir metodga doir
batafsil misollar, formulalar va grafiklar keltiriladi. Ayniqsa, integral hisoblash
jarayonlarida algoritmik yondashuvlar, kompyuter dasturlaridan foydalanish
usullari (Mathematica, Maple, WolframAlpha, Python) haqida ham ma’lumot
beriladi. Shu bilan birga, bu mavzu doirasida o‘rganilgan nazariy bilimlarning
qanday sohalarda qo‘llanishi mumkinligi tahlil qilinadi.
Mazkur kurs ishi talabaning mustaqil ilmiy-tadqiqot olib borish qobiliyatini
rivojlantiradi, matematik tahlil qilish ko‘nikmasini mustahkamlaydi, uning mantiqiy
fikrlash doirasini kengaytiradi, amaliyot bilan nazariyani bog‘lash imkonini beradi.
Integrallar bilan ishlash – bu faqat formulalarni yodlash emas, balki har bir
matematik ifodaning ichki mohiyatini, dinamikasini, uning vaqt va fazodagi
harakatini tahlil qilish demakdir. Aynan shuning uchun ratsional funksiyalarni
integrallash kabi mavzular fanga chuqur kirib borishni istagan har bir yosh olim
uchun poydevor bo‘lib xizmat qiladi.
Kurs ishining dolzarbligi : Hozirgi kunda matematika fani nafaqat fanlar
onasi, balki turli sohalar – axborot texnologiyalari, muhandislik, iqtisodiyot,
biologiya va hatto sotsiologiyada ham muhim vosita sifatida ishlatilmoqda.
Ratsional funksiyalar va ularni integrallash masalasi esa matematik analizning
asosiy qismlaridan biri bo‘lib, har bir muhandis, iqtisodchi, dasturchi, analitik yoki
fizik uchun zaruriy ko‘nikma hisoblanadi. Shu sababli, bu mavzuning o‘rganilishi
nafaqat o‘quv jarayonida, balki real hayotiy va amaliy masalalarni yechishda ham
dolzarb ahamiyat kasb etadi.
Kurs ishining maqsadi : Ratsional funksiyalarni integrallash masalasini har
tomonlama tahlil qilish, mavjud usullarni solishtirish, ularni amaliy misollar orqali
yoritish, oddiy fraksiyalarga ajratish va o‘zgartirishlar yordamida integrallash
texnikalarini o‘rgatish. Bu orqali talabaning matematik tahlil qilish, algoritmik
fikrlash va amaliy muammolarni hal etish qobiliyatini rivojlantirish.
Kurs ishining predmeti : Ratsional funksiyalarni integrallashga doir usullar,
formulalar, nazariy asoslar, amaliy misollar va ularning yechimi bilan bog‘liq
matematik-analitik jarayonlar.
Kurs ishining obyekti : Matematik analiz doirasida ratsional funksiyalar,
ularni integrallash usullari, oddiy fraksiyalarga ajratish qoidalari, trigonometrik va
boshqa o‘zgartirishlar orqali integrallash imkoniyatlari.
Ushbu kurs ishining nazariy ahamiyati shundaki, unda ratsional
funksiyalarni integrallash jarayonida qo‘llaniladigan barcha asosiy metodlar va
nazariy qoidalar tizimlashtirilgan. Talabalar ushbu asoslar orqali o‘z bilimlarini
kengaytirishlari, murakkab muammolarni yechish qobiliyatlarini mustahkamlashlari
mumkin. Bu bilimlar, ayniqsa, ilmiy-tadqiqot olib borishda, bakalavriatdan keyingi
bosqichda, magistratura va doktoranturada katta nazariy baza vazifasini bajaradi.
Kurs ishining tuzilishi : Ushbu kurs ishi kirish, ikkita asosiy bob, har bir
bobda tegishli reja asosida bo‘lim va paragraflar, xulosa va foydalanilgan
adabiyotlardan iborat:
1-bob. Ratsional funksiyalar haqida umumiy tushuncha
1.1. Ratsional funksiyalarning turlari va xossalari
1.2. Ratsional funksiyalarni integrallashga tayyorlash usullari
2-bob. Ratsional funksiyalarni integrallash usullari
2.1. Oddiy fraksiyalarga ajratish va uni qo‘llash
2.2. Almashtirishlar orqali integrallash
2.3. Amaliy masalalar va ularning yechimi
I-BOB. Eng sodda ratsional kasrlar va ularni integrallash. Ratsional
funksiyalarni eng sodda kasrlarga yoyish usuli bilan integrallash.
Sodda kasrlarni integrallash.
Ushbu
A
( x  a) ,
Bx  C
( x  a) m
( x 2  px  q ) m
ko‘rinishdagi funksiyalar sodda kasrlar deyiladi, bunda m  N ; A , B , C , a , p , q –
haqiqiy sonlar bo‘lib, x 2  px  q kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega emas, ya’ni
p2
q
 0.
4
m  1 bo‘lganda sodda kasrlarning integrallari
A
Bx  C
 x  a dx ,  x 2  px  q dx
lar quyidagicha hisoblanadi:
A
d ( x  a)
 x  a dx  A x  a  A ln x  a  C ;
Bx  C
Bx  C
dx 
 x 2  px  q dx  
p 2
p2
( x  )  (q 
)
2
4
p
p
x   t, x  t 
2
2


2
p
2
dx  dt ,
q
a
4
tdt
Bp
dt
 B 2
 (C 
) 2

2
2 t  a2
t a
B
Bp 1
t
 ln( t 2  a 2 )  (C 
) arctg  C * 
2
2 a
a
p
x
B
2C  Bp
2  C *.
 ln( x 2  px  q ) 
arctg
2
2
p
p2
2 q
q
4
4
Aytaylik, m  N , m  1 bo‘lsin. Bu holda sodda asrlarning integrallari
A
Bx  C
 ( x  a ) m dx ,  ( x 2  px  q ) m dx
lar quyidagicha hisoblanadi:
A
 ( x  a) m dx  A ( x  a)
m
A
 C,
( m  1)( x  a ) m 1
p
p
x   t, x  t 
Bx  C
2
2

 ( x 2  px  q ) m dx 
p2
dx  dt ,
q
 a2
4
p
В
2tdt
dt
  2

(
C

B
)


2 (t  a 2 ) m
2
(t 2  a 2 ) m

d ( x  a)  
B
1
p
dt

(
C

B
)
.

2 ( m  1)(t 2  a 2 ) m 1
2
(t 2  a 2 ) m
Keyingi munosabatdagi
dt
 (t 2  a 2 ) m .
integral (1 ) rekurrent formula yordamida topiladi.
Misol. Ushbu
dx
Jn   2
( n  N , a  R, a  0) integral topilsin.
(x  a 2 )n
◄ Bu integralda
1
u 2
, dv  dx
(x  a 2 )n
deb olsak, unda
2nxdx
du   2
, vx
( x  a 2 ) n 1
bo‘ladi. (5) formuladan foydalanib topamiz:
x
x2
Jn  2
 2n  2
dx 
(x  a 2 )n
( x  a 2 ) n 1


x
dx
dx
2
 2

2
n

a

 2 2 n
 ( x 2  a 2 ) n1  .
(x  a 2 )n
 (x  a )

Natijada
x
Jn  2
 2n  J n  2na 2  J n 1
2 n
(x  a )
bo‘ladi. Bu tenglikdan
1
x
2n  1 1
J n 1 

 Jn
2n a 2
2na 2 ( x 2  a 2 ) n
bo‘lishi kelib chiqadi. ►
(1)
Algebraning ba’zi ma’lumotlari va tasdiqlari.
Biz quyida algebra kursida o‘rganiladigan ba’zi tushunchalarni hamda tasdiqlarni
(isbotsiz) keltiramiz. Ulardan ratsional funksiyalarni integrallashda foydalaniladi.
Aytaylik,
(1)
Pn ( x)  a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n
ko‘phad berilgan bo‘lsin, bunda a k  R, k  0 ,1, 2 , ..., n , n  N esa ko‘phadning
darajasi.
Agar   R uchun Pn ( )  0 bo‘lsa,  son Pn (x) ko‘phadning ildizi
deyiladi. Bu holda Pn (x) ko‘phad x   ga bo‘linib, u quyidagicha
Pn ( x)  ( x   )Q( x)
ko‘rinishda ifodalanadi, bunda Q ( x)  (n  1)  darajali ko‘phad.
Agar Pn (x) ko‘phad ( x   ) k (k  N ) ga bo‘linsa,  son Pn (x) ning k 
karrali ildizi bo‘ladi. Bu holda Pn (x) ushbu
Pn ( x)  ( x   ) k R( x)
ko‘rinishda ifodalanadi,bunda R ( x)  (n  k ) darajali ko‘phad.
Agar z    i kompleks son Pn (x) ko‘phadning ildizi bo‘lsa, z    i
ham Pn (x) ning ildizi bo‘ladi. Shuningdek, z    i son Pn (x) ning k karrali
ildizi bo‘lsa, z    i son ham shu Pn (x) ko‘phadning k karrali ildizi bo‘ladi. U
holda Pn (x) ko‘phadning ifodasida quyidagi

( x  z )( x  z )  x  (  i ) x  (  i )  
 x 2  px  q ( p  2 , q   2   2 )
kvadrat uchhad ko‘paytuvchi bo‘lib qatnashadi.
Faraz qilaylik,
(2)
Qn ( x)  a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n
ko‘phad berilgan bo‘lib, 1 ,  2 ,...,  k haqiqiy sonlar Qn (x) ning mos ravishda
1 , 2 ,..., k karrali ildizlari, z1 , z 2 ,..., z s kompleks sonlar esa Qn (x) ning mos
ravishda  1 ,  2 ,...,  s karrali ildizlari bo‘lsin.
1-teorema. Har qanday n  darajali
Qn ( x)  a0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n
ko‘phad (am  R , m  0 ,1, 2 ,... , n , an  0) ushbu
Qn ( x )  ( x   1 ) 1 ( x   2 ) 2 ... ( x   k ) x k  ( x 2  p1 x 
 q1 )  1 ( x 2  p 2 x  q 2 )  2 ... ( x 2  p s x  q s )  s
ko‘rinishda ifodalanadi, bunda
1  2  ...  k  2( 1   2  ...   s )  n,
bo‘lib, x 2  pi x  qi
Ma’lumki,
(i  1, 2 , ... , s ) kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega emas.
(3)
Pn ( x)  a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n ,
(n  N )
Qs ( x)  b0  b1 x  b2 x 2  ...  bs x s ,
(s  N )
ko‘phadlar (ai  R, b j  R; i  0,1,2,..., n; j  0 ,1, 2 , ... , s ) nisbati
Pn ( x ) a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n

Qs ( x ) b0  b1 x  b2 x 2  ...  bs x s
kasr ratsional funksiya deyilib, n  s bo‘lganda u to‘g‘ri kasr deyilar edi.
P ( x)
2-teorema. Agar n
to‘g‘ri kasr maxrajidagi Qs (x) ko‘phad ushbu
Qs ( x )
Qs ( x )  ( x   ) m Q ( x )
(m  N )
ko‘rinishda bo‘lib, Q (x) ko‘phad x   ga bo‘linmasa, u holda
Pn ( x )
Am
Am 1
A
P( x)


 ...  1 
m
m 1
Qs ( x) ( x   )
x   Q( x)
(x   )
bo‘ladi, bunda Ai  R, i  1, 2 , ... , m ; P( x) - ko‘phad.
P ( x)
3-teorema. Agar n
to‘g‘ri kasr maxrajidagi Qs (x) ko‘phad ushbu
Qs ( x )
Qs ( x)  ( x 2  px  q ) m Q( x)
(m  N )
ko‘rinishda bo‘lib, ( x 2  px  q kvadrat uchhad haqiqiy ildizga ega emas),
Q (x ) ko‘phad x 2  px  q ga bo‘linmasa, u holda
Pn ( x)
B x  Cm
Bm1 x  C m1
B1 x  C1
P( x)
 2 m


...


Qs ( x) ( x  px  q ) m ( x2  px  q ) m1
x 2  px  q Q ( x)
bo‘ladi, bunda Bi  R, Ci  R, i  1,2,..., m; P ( x) -ko‘phad.
Yuqorida keltirilgan 2- 3- teoremalar ixtiyoriy to‘g‘ri kasr har biri hadi
ushbu
A
,
( a  R, A  R, m  N );
( x  a) m
Bx  C
( x  px  q ) m
2
, ( B  R, C  R, p  R, q  R,
p 2  4q  0, m  N )
ko‘rinishdagi kasrlardan, ya’ni sodda kasrlardan iborat bo‘lgan yig‘indi orqali
ifodalanishini ko‘rsatadi. Bunday holda to‘g‘ri kasr sodda kasrlarga yoyiladi
deyiladi.
Aytaylik,
Pn ( x )
( n  N , s  N ), n  s )
Qs ( x)
to‘g‘ri kasr berilgan bo‘lsin. Amaliyotda bu kasr sodda kasrlarga quyidagicha
yoyiladi:
1) Kasrning maxraji Qs (x) ko‘phad (3) ko‘rinishda yoziladi,
2) 2- 3- teoremalardan foydalanib,
Pn ( x )
Qs ( x )
ni sodda kasrlarga yoyiladi,
3) Bu yoyilmaning o‘ng tomonidagi sodda kasrlar yig‘indisi umumiy
maxrajga keltiriladi,
4) Natijada hosil bo‘lgan
Pn ( x ) Rn ( x )

,
Qs ( x) Qs ( x)
ya’ni,
Pn ( x)  Rn ( x)
tenglikning har ikki tomonidagi x ning bir xil daraja-lari oldidagi koeffitsentlarni
tenglashtirib, noma’lum koeffitsentlarni topish uchun tenglamalar sistemasi hosil
qilinadi.
1-misol. Ushbu
3x 2  8
x3  4x 2  4x
to‘g‘ri kasr sodda kasrlarga yoyilsin.
◄ Bu kasrning maxraji
x 3  4 x 2  4 x  x( x 2  4 x  4)  x( x  2) 2
bo‘lgani uchun 2–teoremaga ko‘ra
3x 2  8
A
B
C
 

3
2
x  4 x  4 x x x  2 ( x  2) 2
bo‘ladi. Uni
3x 2  8
A( x  2) 2  x ( x  2) B  Cx

x3  4x 2  4x
x ( x  2) 2
ko‘rinishda yozib, ushbu
3 x 2  8  A( x  2) 2  Bx ( x  2)  Cx 
 ( A  B) x 2  (4 A  2 B  C ) x  4 A
tenglikka kelamiz. Ikki ko‘phadning tengligidan foydala-nib, ushbu
A  B  3

4 A  2 B  C  0
4 A  8

sistemani hosil qilamiz va uni echib
A  2 , B  1, C  10
bo‘lishini topamiz. Demak,
3x 2  8
x3  4x 2  4x

2
1
 10


.►
x x  2 ( x  2) 2
2-misol. Ushbu
x3  4x 2  2x  1
x4  x
to‘g‘ri kasr sodda kasrlarga yoyilsin.
◄Ravshanki,
x 4  x  x( x  1) ( x 2  x  1).
Unda
x3  4x 2  2x  1
A
B
Cx  D



x ( x  1) ( x 2  x  1) x x  1 x 2  x  1
bo‘ladi.
Keyingi tenglikdan
x 3  4 x 2  2 x  1  A( x 3  1)  Bx ( x 2  x  1)  (Cx  D )( x 2  x ) 
 ( A  B  C ) x 3  (C  D  B ) x 2  ( B  D ) x  A
bo‘lishi kelib chiqadi. U tenglikning har ikki tomonidagi x ning bir xil darajalari
oldidagi koeffitsientlarni teng-lashtirib, A, B, C , D larni topish uchun quyidagi
 A  B  C  1,
C  D  B  4,


 B  D  2
 A  1
sistemani hosil qilamiz. Uni echib topamiz:
A  1, B  2,
C  2,
D  0.
Demak,
x3  4x 2  2x  1 1  2
2x



.►
x x 1 x2  x 1
x4  x
Ratsional funksiyalarni integrallash.
Mа`lumki
Pn ( x)  a 0 x n  a1x n 1 ...a n 1x  a n
(a 0  0)
(1)
ko`phаd butun rаtsiоnаl funktsiya dеyilаdi.
Pn ( x )
a x n  a1x n 1 ... a n 1x  a n
 0m
Q m ( x ) b 0 x  b1x m 1 ... b m 1x  b m
 a 0  0, b 0  0
(2)
esа kаsr rаtsiоnаl funksiya dеyilаdi.
Butun vа kаsr rаtsiоnаl funksiyalаr umumаn rаtsiоnаl funksiyalаr dеb
аtаlаdi.
Butun rаtsiоnаl funksiyalаrni intеgrаllаsh intеgrаlning аsоsiy hоssаlаrigа ko`rа
bаjаrilаdi.
n
n 1
 Pn ( x) dx   (a 0 x  a 1 x ... a n 1 x  a n )dx =
a 0 n 1 a 1 n
a n-1 2
x

x ...
x  anx  C
n +1
n
n -1
Аgаr (2) kаsr rаtsiоnаl funksiya bеrilgаn bo`lib n<m bo`lsа (2) gа to`g`ri kаsr
dеyilаdi. Аgаr nm bo`lsа (2) gа nоto`g`ri kаsr dеyilаdi.
Аgаr kаsr nоto`g`ri bo`lsа, surаtini mаhrаjigа bo`lib, bеrilgаn kаsrni birоr
butun rаtsiоnаl funksiya bilаn birоr to`g’ri kаsrning yig`indisi ko`rinishdа ifоdаlаsh
mumkin, ya`ni
Pn ( x )
P ( x)
 M ( x)  k
Q m ( x)
Q m ( x)
Pk ( x)
Q m ( x)
, bu yеrdа M(x) - butun rаtsiоnаl funksiya,
- to`g`ri kаsr chunki k<m bo`lаdi.
ratsional funksiyani integrallash to‘g‘ri kasrni integrallashga keladi. To‘g‘ri
kasrlarni integrallash uchun sodda kasrlarga yoyiladi.
1-tеоrеmа. Аgаr to`g`ri rаtsiоnаl kаsr mаhrаji Qm(x) ko`phаd m tа hаqiqiy hаr
хil a,b,c,...,d ildizlаrgа egа bo`lib, Qm(x)=a0(x-a)(x-b)(x-c)...(x-d) ko`rinishdа
bo`lsа, u hоldа kаsr eng sоddа kаsrlаrgа аjrаlаdi:
Pn ( x )
A
B
C
D



 ...
Qm (x) x  a x  b x  c
xd
A,B,C,...,D lаr nоmа`lum o`zgаrmаs kоeffitsiеntlаr.
2-tеоrеmа. Аgаr t
Pn ( x )
Qm ( x )
o`g’ri kаsr mаhrаji Qm(x) ko`phаd ildizlаri
hаqiqiy kаrrаli bo`lib, Qm (x) = a 0 (x - a) k (x - b) k (x - c) k ...(x - d) k ko`rinishdа bo`lsа, u
1
hоldа
Pn ( x)
Q m ( x)
2
3
s
kаsr eng sоddа kаsrlаrgа аjrаlаdi:
A k1 
Pn ( x )
A1
A2
A3




...


Q m ( x) ( x  a ) k 1 ( x  a ) k 1 1 ( x  a ) k 1  2
xa 

Bk 2
B1
B 21
B3




...



xb
( x  b) k 2 ( x  b) k 2 1 ( x  b) k 2  2


................................................................................

Dks

D1
D2
D3


ks 
k s 1 
k s  2  ...
xd
(x  d)
(x  d)
(x  d)

A1 , A 2 ,..., B1 , B2 , ..., Dk s lаr nоmа`lum o`zgаrmаs kоeffitsiеntlаr.
3-tеоrеmа. Аgаr to`g`ri kаsr mаhrаji Qm(x) ko`phаd ildizlаri
tаkrоrlаnmаydigаn kоmplеks sоnlаr bo`lib, Qm(x)=(x2+p1x+q1)(x2+p2x+q2)...
(x2+pkx+qk) ko`rinishdа bo`lsа, u hоldа
Pn ( x)
Q m ( x)
kаsr eng sоddа kаsrlаrgа аjrаlаdi:
Pn ( x )
M x  N1
M x  N2
M x  Nk
 2 1
 2 2
 ... 2 k
Q m ( x ) x  p1 x  q 1 x  p 2 x  q 2
x  pk x  q k
M1,N1, M2,N2, ... Mk,Nklаr nоmа`lum o`zgаrmаs kоeffitsiеntlаr.
4-tеоrеmа. Аgаr to`g’ri kаsr mаhrаji Qm(x) ko`phаd ildizlаri kоmplеks kаrrаli
bo`lib, Qm (x) = (x2 + p1x + q1 ) t1 (x2 + p2 x + q 2 ) t 2 ... (x2 + p r x + q r ) t r ,
(t1+t2+...+tr=m)
ko`rinishdа bo`lsа, u hоldа
Pn ( x)
Q m ( x)
kаsr eng sоddа kаsrlаrgа аjrаlаdi:
M t1 x  N t1

Pn ( x )
M 1x  N 1
M2x  N2
 2
 
t1 
2
t 1 1 ... 2
Q m ( x ) ( x  p1 x  q 1 )
( x  p1 x  q 1 )
x  p1 x  q 1


E
x

F
E1x  F1
E 2 x  F2
t2
t2

 2


...


( x  p 2 x  q 2 ) t 2 ( x 2  p 2 x  q 2 ) t 2 1
x2  p2 x  q 2 
........................................................................................... 

A t r x  Bt r

A 1x  B1
A 2 x  B2
 2

tr 
2
t r 1 ... 2
(x  pr x  q r )
(x  pr x  q r )
x  pr x  q r

M1,N1, ... , A t r , Bt r lаr nоmа`lum o`zgаrmаs kоeffitsiеntlаr.
3-misol. Ushbu
3x 2  8
 x 3  4 x 2  4 x dx
integral hisoblansin.
◄ Integral ostidagi ratsional funksiyani sodda kasr-larga yoyamiz:
3x 2  8
2
1
10
 

.
3
2
x  4 x  4 x x x  2 ( x  2) 2
Demak,
3x 2  8
dx
dx
dx
 x 3  4 x 2  4 x dx  2  x   x  2  10  ( x  2) 2 
10
 2 ln x  ln x  2 
 C. ►
x2
4-misol. Ushbu
x6  2x4  2x2 1
dx
 x ( x 2  1) 2
integral hisoblansin.
◄ Integral ostidagi funksiya-ratsional funksiya bo‘lib, u noto‘g‘ri kasrdir. Bu
kasrning surati x 6  2 x 4  2 x 2  1 ko‘p-hadni maxraji x( x 2  1) 2 ko‘phadga bo‘lib,
uning butun qismi-ni ajratamiz:
х 6  2х 4  2х 2  1
х5  2х3  х
х 6  2х 4  х 2
х2 1
Demak,
х
x6  2x4  2x2  1
x2  1
x
.
x ( x 2  1) 2
x ( x 2  1) 2
Endi
x2  1


x x2  1
2
to‘g‘ri kasrni sodda kasrlarga yoyamiz:
x2  1
A Bx  C
Dx  E
  2
 2
,
2
2
x
x ( x  1)
x  1 ( x  1) 2
x 2  1  A( x 2  1) 2  ( Bx  C ) x ( x 2  1)  ( Dx  E ) x 
 ( A  B ) x 4  Cx 3  ( 2 A  B  D ) x 2  (C  E ) x  A .
Keyingi tenglikdan
A  1, B  1, C  0, D  2, E  0
bo‘lishini topamiz.
Demak,
x2 1
1
x
2x



.
2
x x2 1 x2 1 
x x2 1




Natijada,
x6  2x 4  2x 2  1
x ( x 2  1) 2
 x
1
x
2x
 2

x x 1 x2 1 2


bo‘lib,

x6  2x 4  2x 2 1


x x2 1
2
  xdx  
dx
x
 2
dx 
x
x 1
d ( x 2  1)
x2
1 d ( x 2  1)
 2
dx 
 ln x  
 2

2
2
( x  1) 2
x2 1
( x  1) 2
2x
x2
1
1

 ln x  ln( x 2  1)  2
C
2
2
x 1
bo‘ladi. ►
1-misоl. 
25x 2  20 x  2
x 3  5x 2  4 x
dx
intеgrаllаng.
x3-5x2+4x =x(x2-5x+4)=x(x-4)(x-1)
25x 2  20x  2
x 3  5x 2  4 x

25x 2  20x  2 A
B
D
 

x( x  4)( x  1)
x x  4 x 1
 umumiy mаhrаjgа
kеltirsаk
25x 2  20x  2 A ( x  4)( x  1)  Bx( x  1)  Dx( x  4)

x( x  4)( x  1)
x( x  4)( x  1)
surаtlаrini tеnglаshtirib
quyidаgini hiоsil qilаmiz: 25x2  20x  2  A( x  4)( x  1)  Bx( x  1)  Dx( x  4)
25x 2  20 x  2  Ax 2  Ax  4 Ax  4 A  Bx 2 - Bx + Dx 2 - 4Dx
O`ng vа chаp tоmоnidаgi bir хil dаrаjаli x ning оldidаgi kоeffitsiеntlаrini
tеnglаshtirib, quyidаgi аlgеbrаik tеnglаmаlаr sistеmаsini hоsil qilаmiz:
x2 :
x:
x0 :

1
161
7

- 20 = -A - 4A - B - 4D   A  ; B 
; D
2
6
3

2 = 4A

25 = A + B + D
25x 2  20x  2
1
161
7



x( x  4)( x  1) 2 x 6( x  4) 3( x  1)
endi intеgrаllаsаk
25x 2  20x  2
1 dx
161 dx
7
dx
dx  
dx 




x( x  4)( x  1)
2 x
6 x  4 3 x -1
2-misоl. 
x3  2 x2  4
x3  2x2  4
3
x (x  2)
3
2
x  2x  4
x 3 ( x  2) 2
2
x 3 ( x  2) 2

A
B
x
x
3 
2 
=
1
161
7
ln x +
ln x - 4 - ln x -1 + C
2
6
3
dx
D
E
F

2 
x (x  2)
x2
2

A ( x  2)  Bx( x  2) 2  Dx 2 ( x  2) 2  Ex 3  Fx 3 ( x  2)
x 3 ( x  2) 2
x 3  2 x 2  4  Ax 2  4 Ax  4 A  Bx 3  4 Bx 2  4 Bx  Dx 4  4 Dx 3  4 Dx 2  Ex 3  Fx 4  2 Fx 3

x4:
0= D+F

x 3:
1 = -4D + E - 2F + B
1
1
1

x2:
- 2 = A - 4B + 4D   A  1 , B = 1 , D = , E  ; F  
4
2
4

x:
0 = -4A + 4B


x 0:
4 = 4A

3
2
x  2x  4
dx
dx 1 dx 1
dx
1 dx
1 1 1
1
1
 x 3 ( x  2) 2 dx   x 3   x 2  4  x  2  ( x  2) 2  4  x  2   2 x 3  x  4 ln x  4 ln x  2  2( x  2)
xdx
3-misоl.  2
intеgrаllаng.
( x  1)( x 2  2 x  5)
x 2  1  0  x1 
1  i
;
x2    1  i
x 2  2 x  5  0  x 3  1  2 i ; x 4  1  2 i
x
M1 x  N 1 M 2 x  N 2

 2
2
2
( x  1)( x  2 x  5)
x2  1
x  2x  5
x
( x 2  1)( x 2  2 x  5)

( M1x  N1 )( x 2  2 x  5)  ( M 2 x  N 2 )( x 2  1)
( x 2  1)( x 2  2 x  5)
x  M1x 3  2 M1x 2  5M1x  N1x 2  2 N1x  5N1  M 2 x 3  N 2 x 2  M 2 x  N 2
x3 :
x2 :
x :
x0 :


0 = 2M 1  N 1  N 2 

1 = 5M 1  2 N 1  M 2 

0 = 5N1  N 2

0 = M1  M 2
1
1
1
1
 M 1  ; M 2   ; N 1  ;N2  
5
5
10
2
x

2x  1

2x  5

2x  1

2x  2  3
( x 2  1)( x 2  2 x  5) 10( x 2  1) 10( x 2  2 x  5) 10( x 2  1) 10( x 2  2 x  5)
xdx
1 2 xdx 1
dx
1 ( 2 x  2 ) dx 1
3dx

  2
  2
 

 2
 2
2
( x  1)( x  2 x  5) 10 x  1 10 x  1 10 x  2 x  5 10 ( x  1) 2  4
1
1
1
3
x 1

ln x 2  1  arctgx  ln x 2  2 x  5 
arctg
C
10
10
10
20
2
II-BOB: RATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH USULLARI
2.1. Oddiy fraksiyalarga ajratish usuli
Oddiy fraksiyalarga ajratish usuli ratsional funksiyalarni integrallashda
qo‘llaniladigan muhim va samarali metodlardan biridir. Ushbu usul yordamida
murakkab ratsional funksiyalarni oddiy fraksiyalarga ajratish orqali integrallarni
hisoblashni osonlashtirish mumkin. Bu usul asosan maxrajda polinomlar bo‘lgan va
ular bir-biriga bog‘liq bo‘lgan funksiyalarni integralini hisoblashda ishlatiladi.
Oddiy fraksiyalarga ajratish usulining asosiy maqsadi – ratsional
funksiyaning maxrajini kichik, sodda fraksiyalarga ajratishdir. Maxrajdagi
polinomlar ba'zan ko‘p o‘zgaruvchi va murakkab struktura bilan bo‘lgan
funksiyalarda, integralni ancha soddalashtirish imkonini beradi. Maxrajda polinom
bo‘lishi, birinchi navbatda, ajratish va alohida qismlarga bo‘lishni talab qiladi.
Oddiy fraksiyalarga ajratish usulini qo‘llash uchun quyidagi bosqichlar
bajariladi:
Ratsional funksiyaning maxrajidagi polinomni ajratish bu usulning birinchi
bosqichidir. Agar maxrajda murakkab polinom mavjud bo‘lsa, uning ildizlarini
aniqlash kerak. Bu ildizlar orqali maxrajni bo‘lish va uni turli qismlarga ajratish
mumkin. Masalan, agar maxrajda polinomi bo‘lsa, bu polinomni qismalarga ajratish
mumkin.
Maxrajni ajratib bo‘lgandan so‘ng, har bir qismni oddiy fraksiyalar shaklida
ifodalash zarur. Bu oddiy fraksiyalarni alohida integralga aylantirib, har bir qismini
mustaqil ravishda hisoblash mumkin. Oddiy fraksiyalarga ajratish jarayonida,
asosan, polinomni birinchi daraja va undan yuqori darajaga ajratish kerak. Agar
maxrajda ikkitadan ortiq ildiz bo‘lsa, ularni alohida ajratish va fraksiyalarni
qismlarga bo‘lish muhim.1
Oddiy fraksiyalarga ajratish usulining keyingi bosqichi – ajratilgan
qismlarning har birini alohida integralga aylantirishdir. Masalan, yoki kabi oddiy
fraksiyalarni integralga aylantirish juda oson. Oddiy fraksiyalarni integralga
aylantirish uchun, ularni an'anaviy integral formulasidan foydalangan holda
hisoblash mumkin. Buning uchun ko‘plab klassik integral formulalaridan, masalan,
yoki kabi formulalardan foydalaniladi.
Oddiy fraksiyalarga ajratish usulini qo‘llagan holda, alohida fraksiyalarning
har biri uchun integralni hisoblab bo‘lganidan so‘ng, natijalarni birlashtirish kerak.
Bunday holda, barcha hisoblangan integrallarni qo‘shish orqali to‘liq natijani olish
mumkin. Bu jarayonda, integralni hisoblashda ehtiyotkorlik bilan har bir qismining
to‘g‘ri qo‘shilganiga ishonch hosil qilish kerak.
Agar maxrajda ildizlar mavjud bo‘lsa: Maxrajda bir nechta ildizlar mavjud
bo‘lsa, bu ildizlarni ajratish orqali funksiyani fraksiyalar shaklida ifodalash mumkin.
Ildizlarni ajratish orqali biz har bir ildiz uchun alohida integralni hisoblashimiz
mumkin. Misol uchun, agar maxrajda polinomi bo‘lsa, uni fraksiyalarga ajratish
uchun shaklida ajratish mumkin.
Ko‘p o‘zgaruvchilarga ega bo‘lgan funksiyalar: Ratsional funksiyalar ko‘p
o‘zgaruvchili bo‘lsa, ularni ajratishda o‘zgartirilgan metodlar ishlatiladi. Ko‘p
o‘zgaruvchili funksiyalarni oddiy fraksiyalarga ajratish uchun, ularning har bir
o‘zgaruvchisini alohida fraksiyalar shaklida ifodalash talab qilinadi. Bu holatda, har
bir o‘zgaruvchining integrali alohida hisoblanadi va keyinchalik qo‘shiladi.
Polinomlar orasidagi umumiy omillar: Agar maxrajda polinomlar orasida
umumiy omillar bo‘lsa, bu omillarni ajratib olish va alohida hisoblash mumkin.
Masalan, funksiyasini oddiy fraksiyalarga ajratish uchun maxrajni shaklida ajratish
mumkin.2
Maxrajda bir xil ildizlar bo‘lsa: Agar maxrajda bir xil ildizlar mavjud bo‘lsa,
bu ildizlar uchun alohida integral formulasini qo‘llash zarur. Masalan, agar maxrajda
bo‘lsa, u holda bu ildizning integrali uchun maxsus formula ishlatiladi.
Oddiy fraksiyalarga ajratish usulining eng katta afzalliklaridan biri, murakkab
ratsional funksiyalarni oddiy va hisoblash oson bo‘lgan qismlarga ajratishdir. Bu
usul orqali murakkab polinomlarning integralini ancha osonroq hisoblash mumkin.
Fraksiyalarga ajratish, shuningdek, integrallarni vizual tarzda ko‘rish imkoniyatini
yaratadi, bu esa matematik tahlilni soddalashtiradi.
Oddiy fraksiyalar yordamida integrallarni hisoblashda matematik formulalar
va algebraik manipulyatsiyalarni ancha soddalashtirish mumkin. Ushbu usulning
samarali ishlashi, ayniqsa, matematik analiz va fizikada qo‘llaniladigan
muammolarni yechishda juda muhimdir.
Oddiy fraksiyalarga ajratish usuli ratsional funksiyalarni integrallashda
samarali va keng qo‘llaniladigan usuldir. Bu usulni to‘g‘ri qo‘llagan holda,
murakkab funksiyalarni oddiy fraksiyalarga ajratish va bu qismlarni alohida
hisoblash orqali integralni osonlashtirish mumkin. Oddiy fraksiyalarga ajratish usuli
matematika, fizika va iqtisodiyotda keng qo‘llaniladi. Bu usulni mukammal
o‘rganish va qo‘llash, matematik hisoblashlarda yuqori natijalarga erishishga
yordam beradi.
Oddiy fraksiyalarga ajratish usuli ratsional funksiyalarni integrallashda keng
qo‘llaniladigan va juda samarali bir metoddir. Bu usul yordamida murakkab
ratsional funksiyalarni sodda qismlarga bo‘lish va har bir qismini alohida hisoblash
mumkin. Oddiy fraksiyalarga ajratish usulining asosi ratsional funksiyaning
maxrajini polinomlar bo‘lib, ular o‘z navbatida oddiy fraksiyalarni hosil qiladi.
Maxrajda polinomlar bo‘lsa, ular turli darajalarda ajratilishi mumkin. Ajratish
jarayonida, ko‘plab usullarni qo‘llash mumkin bo‘lib, ular orasida qisman ajratish
va to‘liq ajratish metodlari mavjud.
Ildizlar mavjud bo‘lganda: Agar maxrajda ko‘p ildizlar mavjud bo‘lsa, ushbu
ildizlarni ajratib olish kerak. Har bir ildizga alohida fraksiya tayinlanadi, bu esa
integrallash jarayonini soddalashtiradi.
Ko‘p o‘zgaruvchilar bilan funksiyalar bo‘lganda: Agar funksiyalar ko‘p
o‘zgaruvchili bo‘lsa, u holda funksiyani oddiy fraksiyalar shaklida ajratish uchun
maxrajni ko‘p o‘zgaruvchilar bilan ifodalash kerak. Bu holatda, har bir
o‘zgaruvchining o‘rniga alohida integral formulasi qo‘llaniladi.
Polinomlar orasida umumiy omillar bo‘lsa: Agar maxrajda polinomlar orasida
umumiy omillar mavjud bo‘lsa, bu omillarni ajratib olish va alohida hisoblash kerak.
Bu usulda maxrajni qismlarga ajratish va har bir qismini alohida hisoblash
muhimdir.
Oddiy
fraksiyalarga
ajratish
jarayonida
ko‘plab
matematik
manipulyatsiyalarni bajarish talab qilinadi. Bu usulda, algebrik manipulyatsiyalar,
masalan, maxrajni oddiy qismalarga ajratish, polinomlarni faktorizatsiya qilish va
integral formulasini qo‘llash kabi bosqichlar muhim o‘rin tutadi. Ular yordamida
ratsional funksiyaning integralini hisoblash ancha soddalashadi.
Misol uchun, agar funksiyaning maxrajida ikkita ko‘p o‘zgaruvchili polinom
bo‘lsa, u holda maxrajni ajratib, uni oddiy fraksiyalar shaklida yozish kerak. Ushbu
fraksiyalarni integralga aylantirish uchun, alohida integral formulasini qo‘llash zarur
bo‘ladi. Ko‘pincha, bu turdagi funksiyalarni ajratish va integralni hisoblashda bir
nechta matematik texnikalardan foydalaniladi.
Shuningdek, oddiy fraksiyalarga ajratish usulining afzalliklaridan biri,
integrallarni alohida qismlarga bo‘lish va har bir qismini mustaqil hisoblash orqali
butun integrallash jarayonini soddalashtirishdir. Bu usulda, integrallarning osonroq
va tezroq hisoblanishi mumkin, chunki oddiy fraksiyalarning integrallari an'anaviy
ravishda tanilgan va ular to‘g‘ridan-to‘g‘ri qo‘llaniladi.
Oddiy fraksiyalarga ajratish usulining boshqa bir muhim xususiyati,
murakkab ratsional funksiyalarni sifatli tahlil qilish imkonini berishidir. Bu usul
yordamida, nafaqat integralni hisoblash, balki funksiyaning xususiyatlarini aniqlash
va tushunish osonlashadi. Ajratilgan qismlar yordamida, funksiya va uning
integralini aniqroq va chuqurroq o‘rganish mumkin.3
Oddiy fraksiyalarni integrallashda qo‘llaniladigan yana bir usul bu
integralning umumiy formulasidan foydalanishdir. Masalan, yoki kabi formulalar
yordamida ajratilgan fraksiyalarni hisoblash osonlashadi. Bu formulalar, integralni
hisoblashning eng qulay yo‘llaridan biridir.
Oddiy fraksiyalarga ajratish usulini qo‘llashda hisoblashning tezligi va
aniqligi ancha yaxshilanadi. Bu usul orqali murakkab integrallarni yanada
soddalashtirib, ular haqida to‘liq va aniq ma'lumotlar olish mumkin.
Oddiy fraksiyalarga ajratish usulining yana bir muhim jihati - bu integrallarni
hisoblashda turli xil metodlar va yondashuvlarni qo‘llash imkoniyatidir. Ratsional
funksiyalarni oddiy fraksiyalarga ajratish, faqat maxrajdagi polinomlarning ildizlari
va ko‘paytmalarini ajratib olishni anglatmaydi, balki bu jarayon matematik nuqtai
nazardan o‘ta samarali usul hisoblanadi. Shuning uchun, u nafaqat integralni
hisoblashda, balki algebraik tahlil va funksiyalarni tadqiq etishda ham keng
qo‘llaniladi.
Oddiy fraksiyalarga ajratishning yana bir afzalligi shundaki, bu usulni
qo‘llashda funksiya va uning integralining xususiyatlarini osonroq o‘rganish
mumkin. Masalan, maxrajning turli darajalari va ko‘paytmalarini ajratganimizda,
har bir alohida bo‘linmaga tegishli integralni hisoblashda ularning xususiyatlarini
hisobga olish zarur bo‘ladi. Bu esa, hisoblashni yanada osonlashtiradi va har bir
qismga alohida yondashish imkonini beradi.
Polinomlarni faktorizatsiya qilish: Ratsional funksiyaning maxrajidagi
polinomni faktorizatsiya qilish, fraksiyani oddiy fraksiyalarga ajratish uchun zarur.
Bu faktorizatsiya jarayonida polinomning ildizlarini aniqlash va ulardan foydalanish
kerak bo‘ladi.
Fraksiyalarni qismlarga ajratish: Maxrajda polinomlar bo‘lganda, ushbu
polinomlarni qismlarga ajratib, har bir qismga alohida integralni hisoblash mumkin.
Misol uchun,
ko‘rinishidagi ratsional funksiyaning integralini hisoblashda,
polinomining ildizlarini va ularning ko‘paytmalarini ajratib olish zarur.
Alohida integral formulalarini qo‘llash: Ajratilgan qismlarning har birining
integralini hisoblashda, alohida integral formulasidan foydalanish zarur. Bu
formulalar, maxrajdagi polinomning darajasi va turiga qarab farq qiladi.
Qisman ajratish va to‘liq ajratish: Agar maxrajdagi polinomning darajasi
yuqori bo‘lsa, u holda qisman ajratish usulidan foydalanish mumkin. Bunda,
funksiyaning qismi sifatida qisman ajratilgan fraksiyalarni hisoblash osonlashadi.
Boshqa tomondan, to‘liq ajratish usulida polinomning barcha qismalari to‘liq
ajratiladi va integralni hisoblashda to‘liq qismlar ishlatiladi.
Shu bilan birga, bu usul nafaqat matematik tahlil va integrallashda, balki
amaliy masalalarda ham qo‘llaniladi. Misol uchun, iqtisodiyot, fizika va
muhandislik sohalarida, ayniqsa signal tahlili, kinetik jarayonlar va ijtimoiy
jarayonlar modelini qurishda ratsional funksiyalarni integrallashda oddiy
fraksiyalarga ajratish usuli samarali qo‘llaniladi.
Ratsional funksiyalarni oddiy fraksiyalarga ajratish usulining yana bir
ahamiyatli jihati - bu o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanishlarni va ular o‘rtasidagi
integrallash qobiliyatini yanada yaxshilashdir. Ajratilgan fraksiyalarni alohida
hisoblash orqali, ma’lum bir o‘zgaruvchi uchun integrallarni mustaqil tarzda
aniqlash mumkin bo‘ladi, bu esa tahlilni osonlashtiradi.
Shuningdek, bu usul yordamida ratsional funksiyaning o‘ziga xos
xususiyatlarini aniqroq aniqlash mumkin. Masalan, agar funksiyaning maxrajida bir
nechta ko‘p o‘zgaruvchilari mavjud bo‘lsa, unda ularni ajratish orqali, har bir
o‘zgaruvchi bo‘yicha alohida integral formulalarini ishlatish mumkin. Bu usul,
ayniqsa, muhandislik masalalarida keng qo‘llaniladi, chunki ko‘plab real tizimlar
ko‘p o‘zgaruvchilarga asoslanadi.4
Oddiy fraksiyalarga ajratish usuli faqat integrallarni hisoblash uchun emas,
balki funksiyaning chegaralari, maksimal va minimal qiymatlarini aniqlash,
integralning yotgan hududini tasvirlash va yaxshilashda ham muhim rol o‘ynaydi.
Matematik jihatdan bu usul, ratsional funksiyaning aniq va tahlil qilish
imkoniyatlarini yaratadi.
2.2. Chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish asosida integrallash
Chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish asosida integrallash usuli
ratsional funksiyalarni integrallashda qo‘llaniladigan samarali metodlardan biridir.
Bu usul, ratsional funksiyalarni maxrajdagi ko‘paytuvchilarni chiziqli yoki kvadrat
polinomlarga bo‘lish orqali soddalashtirishni ko‘zda tutadi. Ushbu usulda, maxrajda
mavjud bo‘lgan chiziqli yoki kvadrat polinomlar alohida bo‘linadi va integrallarni
hisoblash osonlashadi.
Chiziqli ko‘paytuvchilarga bo‘lish usuli maxrajda mavjud bo‘lgan chiziqli
polinomlarni ajratish orqali ishlaydi. Bu usulda, funksiyaning maxrajida bo‘lgan
polinomlar, masalan, shaklida bo‘lsa, ular alohida bo‘linadi. Bu usul orqali ratsional
funksiyalarni alohida qismlarga bo‘lish va har bir qismini alohida integrallash
imkonini beradi. Chiziqli polinomlar yordamida ajratish, integralni hisoblashda
ko‘plab aniq va oddiy formulasiz formulalarni qo‘llash imkonini beradi. Chiziqli
bo‘lish jarayonida, maxrajdagi har bir ko‘paytuvchi alohida integrallashni talab
qiladi.
Kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish usuli esa maxrajdagi kvadrat polinomlarni
ajratish va ularni fraksiyalarga bo‘lishni anglatadi. Agar maxrajda kvadrat
polinomlar mavjud bo‘lsa, ular to‘liq kvadrat shaklida ifodalanadi. Masalan,
shaklida bo‘lgan polinomlar to‘liq kvadrat shaklida ajratiladi va fraksiyalarga
bo‘linadi. Bu usul yordamida, funksiyaning maxrajidagi kvadrat polinomlarni tahlil
qilish va integrallash imkonini beradi. Kvadrat ko‘paytuvchilarni bo‘lish jarayonida,
masalan, kabi polinomlar orqali integralni hisoblashda tanish formulalar va usullar
qo‘llaniladi.5
Chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish usulining asosiy afzalligi
shundaki, bu
usul
yordamida
murakkab
ratsional
funksiyalarni
yanada
soddalashtirib, ularni integrallashning osonroq va samaraliroq yo‘llarini taqdim
etadi. Ushbu usulni qo‘llash orqali, integrallarni qisman bo‘lish va har bir qismini
alohida hisoblash mumkin. Bu esa, butun integrallash jarayonini tezlashtiradi va
soddalashtiradi.
Masalan, agar ratsional funksiya quyidagi shaklda bo‘lsa:
.
\frac{P(x)}{(x - a)(x^2 + bx + c)}
Bu holda, maxrajda ikkita ko‘paytuvchi mavjud: biri chiziqli va ikkinchisi
kvadrat polinom . Bu turdagi funksiyani integrallashda, avvalo, chiziqli bo‘linishni
amalga oshirish kerak. Keyin, kvadrat polinomni bo‘lish orqali, uning integralini
alohida hisoblash mumkin. Agar kvadrat polinom haqiqatan ham to‘liq kvadrat
shaklida bo‘lsa, unda integralni hisoblashda standart formulalar ishlatiladi.
Bu usulda, chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish jarayonida algebrik
manipulyatsiyalarni bajarish talab qilinadi. Masalan, chiziqli polinomlar bo‘lsa,
ularni alohida qismlarga ajratish va har bir qismini integrallash mumkin. Kvadrat
polinomlar esa to‘liq kvadrat shaklida ajratilib, integral formulasini qo‘llash orqali
hisoblanadi. Har bir holatni alohida ko‘rib chiqish orqali, murakkab funksiyalarni
soddalashtirib, ular haqida aniq va to‘liq ma'lumot olish mumkin.
Chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish usulining yana bir afzalligi - bu
usul yordamida maxrajda mavjud bo‘lgan polinomlarning xususiyatlarini o‘rganish
va integralni hisoblashda yaxshilanishlar kiritish mumkin. Masalan, kvadrat
polinomlarning ildizlarini aniqlash va ularni bo‘lish orqali, integralni hisoblashda
yanada samarali yondashuvlar qo‘llaniladi. Bu usul yordamida nafaqat integralni
hisoblash, balki funktsiyaning geometrik xususiyatlarini ham tahlil qilish mumkin.
Shuningdek, ushbu usul nafaqat matematika sohasida, balki amaliy
muhandislik va fizika masalalarida ham qo‘llaniladi. Masalan, signal tahlilida va
fizika masalalarida chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarni ajratish usuli yordamida
turli tizimlarning xususiyatlari va parametrlarini aniqlash osonlashadi. Bu usul
yordamida tizimlarning reaktsiyalari va xatti-harakatlarini yanada aniqlik bilan tahlil
qilish mumkin.6
Yana bir muhim jihat shundaki, chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish
usuli,
murakkab
tizimlar
va
masalalar
uchun
integrallashning
umumiy
yondashuvlarini ishlab chiqishda asosiy usul sifatida ishlatiladi. Bu usulni amaliy
masalalarda qo‘llash orqali, tizimlarni tahlil qilish va ularga tegishli integral
qiymatlarni aniqlash imkoniyatlari kengayadi. Bu esa, murakkab masalalarni hal
qilishda vaqtni tejashga va hisoblashni soddalashtirishga yordam beradi.
Chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish asosida integrallash usulining
murakkab ratsional funksiyalarni integrallashdagi qo‘llanilishi juda keng va
samararali bo‘lib, matematikada va amaliyotda muhim ahamiyatga ega. Ushbu usul
ko‘pincha
algebraik
manipulyatsiyalarni
talab
qiluvchi
va
integrallashni
soddalashtiruvchi usullardan biridir. Ratsional funksiyalarni integrallashda chiziqli
va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish orqali, integralning osonroq hisoblanishi va
formulalar yordamida masalalarga yechim topilishi mumkin.
Chiziqli ko‘paytuvchilarga bo‘lish Ratsional funksiyalarni integrallashda
chiziqli ko‘paytuvchilarga bo‘lish usuli eng oddiy va tez-tez qo‘llaniladigan
yondashuvlardan biridir. Agar maxrajda chiziqli ko‘paytuvchilar mavjud bo‘lsa, ular
bir nechta alohida fraksiyalarga ajratilishi mumkin. Misol uchun, funksiyaning
shakli
Bu yerda va konstantalar, ularni topish uchun ko‘rsatilgan tenglamalarni
yechish talab etiladi. Bu usul integrallashda samarali bo‘lib, integrallarni
hisoblashda arifmetik manipulyatsiyalar yordamida osonlik bilan amalga oshiriladi.
Chiziqli ko‘paytuvchilarga bo‘lishning asosiy afzalligi shundaki, bu usul
yordamida funksiyalarni soddalashtirish oson bo‘ladi va integralni hisoblash
ko‘proq formulalar yordamida amalga oshiriladi. Misol uchun, va fraksiyalarining
har biri alohida integrallash mumkin. Shunday qilib, bu usul yordamida murakkab
funksiyalarni oddiy integrallar shaklida ajratish imkoniyati mavjud.
Kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish Agar maxrajda kvadrat ko‘paytuvchilar
mavjud bo‘lsa, masalan, shaklida, ularni to‘liq kvadratga ajratish talab etiladi.
Bunday funksiyalarni integrallashda, ko‘pincha to‘liq kvadrat shaklida bo‘linadi va
ba’zan trigonometric yoki logarifmik transformatsiyalarni qo‘llash zarur bo‘ladi.
Misol uchun, quyidagi shakldagi funksiyani ko‘rib chiqaylik:
\frac{P(x)}{(x^2 + bx + c)(x-a)}
Bu holda, kvadrat ko‘paytuvchini to‘liq kvadrat shakliga ajratish kerak, ya’ni
ni to‘liq kvadrat shaklida ifodalash kerak. Bu usul orqali kvadrat ko‘paytuvchilarni
ajratib, integralni hisoblashni soddalashtirish mumkin. Bu usulda ba’zan
trigonometrik substitutsiyalar ham qo‘llaniladi.
Integrallarni hisoblashda ko‘plab umumiy formulalar mavjud. Masalan, agar
integrallashda kvadrat ko‘paytuvchilar bilan ishlash zarur bo‘lsa, ularni quyidagi
shaklda ajratish mumkin:
x^2 + bx + c = (x + \frac{b}{2})^2 - \left(\frac{b^2}{4} - c\right)
Bu yerda kvadratni olish orqali integralni osonlashtirish mumkin.
Ko‘pincha, kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish usulida maxrajdagi polinomni
turli to‘liq kvadrat shakllariga bo‘lish va trigonometrik yoki logarifmik funksiyalar
yordamida
integrallash
amalga
oshiriladi.
Trigonometric
substitutsiyalar
integrallashning aniq va to‘liq yechimini topishda yordam beradi.
Amaliy misollar Chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish usuli nafaqat
matematika nazariyasi, balki amaliyotda ham keng qo‘llaniladi. Misol uchun,
fizikada va muhandislikda, chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarni ajratish usuli
ko‘plab fizika masalalarini soddalashtirishga yordam beradi. Bu usul yordamida
murakkab jismoniy tizimlarning javoblarini hisoblash mumkin. Masalan, mexanik
tizimlar, elektr zanjirlar va signal tahlilida ko‘pincha ratsional funksiyalarni
integrallash zarur bo‘ladi, va bu usulni qo‘llash orqali masalalarni aniq va tez hal
qilish mumkin.
Shu bilan birga, statistik tahlil va optimizatsiya masalalarida ham bu usul
yordamida ko‘plab murakkab integral funksiyalarni soddalashtirish va yechish
mumkin. Masalan, nazorat nazariyasida va sinov tizimlarida chiziqli va kvadrat
ko‘paytuvchilarga bo‘lish usuli qo‘llaniladi.7
Chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lishning afzalligi shundaki, bu usul
matematikada yangi metodlarni o‘rganish va amaliy masalalarni tezda hal qilish
imkonini beradi. Bu usul orqali ko‘plab murakkab funksiyalarni soddalashtirib,
ularni aniq va oddiy shaklda hisoblash mumkin bo‘ladi.
Chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish asosida integrallash usuli
ko‘plab matematik masalalarni yechishda muhim rol o‘ynaydi. Ushbu usul ratsional
funksiyalarni integrallashda qo‘llaniladi, ayniqsa funksiyaning maxrajida chiziqli va
kvadrat ko‘paytuvchilar mavjud bo‘lsa. Bunday masalalar ko‘pincha matematik
fizika, iqtisodiy modellashtirish, statistik tahlil va muhandislikda uchraydi.
Ratsional funksiyalarni chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish orqali, ularni
osonroq integrallash mumkin bo‘ladi. Keling, bu usulni batafsil tushuntirib o‘taylik.
Chiziqli ko‘paytuvchilarga bo‘lish usuli ratsional funksiyalarni integrallashda
eng keng tarqalgan yondashuvlardan biridir. Agar funktsiyaning maxrajida kabi
chiziqli ko‘paytuvchilar bo‘lsa, ushbu funksiyani quyidagi tarzda ajratish mumkin:
Shu tarzda, har bir alohida fraksiya uchun integralni hisoblash osonlashadi.
Masalan, agar yoki fraksiyalari mavjud bo‘lsa, ular alohida integrallanishi mumkin.
Bu jarayonni to‘g‘ri bajarish integralni soddalashtiradi va hisoblashni ancha
osonlashtiradi. Yana bir bor ta’kidlash joizki, bu usul chiziqli ko‘paytuvchilarga
bo‘lish orqali funktsiyani alohida qismlarga ajratib, integrallashni sodda va samarali
qiladi.
Ratsional funksiyalarni integrallashda kvadrat ko‘paytuvchilarni ajratish usuli
ham keng qo‘llaniladi. Bu usulda maxrajda kabi kvadrat ko‘paytuvchilar mavjud
bo‘ladi. Ushbu kvadratni to‘liq kvadratga ajratish va keyin integrallash orqali
hisoblash mumkin. Misol uchun, funksiyaning shakli:8
Endi bu funksiyani integrallash uchun trigonometrik yoki logarifmik
substitutsiyalar qo‘llaniladi. Bunday transformatsiyalar ko‘pincha integrallarni
yechishda
qo‘llaniladi.
Trigonometric
substitutsiyalar
yordamida
kvadrat
ko‘paytuvchilarga bo‘lishning afzalligi shundaki, ularni trigonometrik funksiyalarga
aylantirish orqali, integralni oddiy shaklga keltirish mumkin bo‘ladi.
Kvadrat ko‘paytuvchilarni integrallashda trigonometrik substitutsiyalarni
qo‘llash ko‘plab holatlarda samararali natijalar beradi. Masalan,
kabi kvadrat
ifodalarning integrallanishi uchun trigonometrik substitutsiya quyidagicha amalga
oshiriladi:
Bu substitutsiya integralni ancha osonlashtiradi, chunki trigonometrik
funksiyalarni integrallash juda oddiy bo‘ladi. Shuningdek, bu usul yordamida
integrallarni hisoblashda yuqori darajadagi aniq natijalarga erishish mumkin.
Trigonometric substitutsiyalar, shuningdek, matematik fizika, muhandislik va
statistik tahlil sohalarida keng qo‘llaniladi.
Ba’zi hollarda, kvadrat ko‘paytuvchilarni logarifmik substitutsiyalar
yordamida integrallash mumkin. Agar funksiyaning maxrajida logarifmik shakl
mavjud bo‘lsa, masalan,
yoki
kabi ifodalar mavjud bo‘lsa, unda logarifmik
substitutsiyalarni qo‘llash kerak bo‘ladi. Bu usul yordamida integralni hisoblash
yanada osonlashadi, chunki logarifmik funksiyalarni integrallashda aniq formulalar
mavjud.
Chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lishning yana bir qiziqarli
xususiyati shundaki, ba’zi funksiyalarni chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarni
birgalikda ajratish orqali integrallash mumkin. Masalan, funksiyaning shakli:
Bu kabi funksiyalarni ajratishda, avval chiziqli ko‘paytuvchiga bo‘lish va
keyin kvadrat ko‘paytuvchiga bo‘lishni amalga oshirgan holda, integralni
soddalashtirish mumkin. Bu usul ko‘pincha yuqori darajadagi murakkab
integrallarni hisoblashda ishlatiladi va algebrik manipulyatsiyalar orqali masalalarni
osonlashtiradi.9
2.3. Ratsional funksiyalarni almashtirish orqali integrallash
Ratsional funksiyalarni almashtirish orqali integrallash usuli integrallarni
hisoblashda qo‘llaniladigan samarali usullardan biridir. Bu usulda ratsional
funksiyaning ko‘paytmali yoki murakkab qismlarini almashtirish orqali integralni
soddalashtirish maqsad qilinadi. Ratsional funksiyalarni almashtirish usulida ba'zi
o‘zgaruvchilar kiritilib, integrali hisoblash jarayoni soddalashtiriladi.
Almashtirish usuli asosida, agar integral murakkab bo‘lsa, uni soddalashtirish
uchun o‘zgaruvchilar kiritiladi. Masalan, agar maxrajda yoki chiziqli ifodalarda
murakkab shakldagi qismlar bo‘lsa, ular almashtirish orqali osonlashtiriladi.
Almashtirishlar yordamida yuqori darajali polinomlar yoki murakkab ifodalarni
yangi o‘zgaruvchilar orqali soddalashtirish mumkin. Bu usul yordamida integralni
hisoblash tezlashtiriladi va aniq natijalar olinadi.
Chiziqli almashtirishda, o‘zgartirilayotgan funksiya to‘g‘ri chiziqli shaklga
keltiriladi. Misol uchun, agar maxrajda yoki funksiyada chiziqli ifodalar mavjud
bo‘lsa, ularni soddalashtirish uchun chiziqli almashtirishlar kiritiladi. Bu usul
yordamida integralni hisoblash osonlashadi.
Kvadrat almashtirishda esa, agar maxrajda kvadrat shaklga ega bo‘lgan
qismlar mavjud bo‘lsa, ular kvadrat shaklga keltiriladi. Masalan, agar kabi ifodalar
mavjud bo‘lsa, bu ifodalarni trigonometrik almashtirish orqali soddalashtirish
mumkin.
Trigonometric almashtirishda, maxrajdagi yoki funksiya ifodasidagi
murakkab qismlar trigonometrik funksiyalar yordamida o‘zgartiriladi. Misol uchun,
agar maxrajda kabi kvadrat ildiz bo‘lsa, trigonometrik almashtirish orqali integralni
soddalashtirish mumkin.10
Ratsional funksiyalarni almashtirishning amaliy qo‘llanilishi juda kengdir. Bu
usulni ko‘pincha murakkab integralni hisoblashda, ayniqsa fizikada, muhandislikda
va iqtisodiy modellashtirishda qo‘llashadi. Integrallash jarayonida o‘zgaruvchilarni
almashtirish orqali formulalarni soddalashtirish imkoniyati mavjud, bu esa
hisoblashlarni ancha osonlashtiradi.
Shuningdek, ratsional funksiyalarni almashtirish usulini qo‘llashda diqqat
qilish kerak bo‘lgan asosiy jihat – o‘zgartirilgan funksiyaning aniq shaklini
topishdir. Almashtirishlarni to‘g‘ri bajarish orqali natijalar aniq va to‘g‘ri bo‘ladi.
Ratsional funksiyalarni almashtirish orqali integrallashning qo‘shimcha
ma'lumotlari va tavsiyalari:
Ratsional funksiyalarni almashtirish usuli murakkab integrallarni hisoblashda
keng qo‘llaniladigan metodlardan biri bo‘lib, o‘zgaruvchilarni tanlash va
almashtirish orqali funksiyaning shaklini soddalashtirishga qaratilgan. Bu usulda
asosiy maqsad – integralning hisoblash jarayonini osonlashtirish, shuningdek,
algebraik yoki trigonometrik usullarni qo‘llash orqali integralni yechishdir.
1. Xususiy integrallarni almashtirish: Bunday usulda, masalan, integralni
hisoblashda shaklida bo‘lgan ratsional funktsiyalarni tahlil qilib, ularni osonroq
ifodalash uchun xususiy almashtirishlar qo‘llaniladi. Bunda ko‘pincha maxrajni
soddalashtirish uchun maxsus parametrlar yoki o‘zgaruvchilar tanlanadi.
2.
O‘zgaruvchilarni
o‘zgartirish
orqali
soddalashtirish:
Ratsional
funksiyalarni almashtirishda, agar maxrajda yuqori darajali polinomlar mavjud
bo‘lsa, o‘zgaruvchilarni kiritish orqali integralni soddalashtirish mumkin. Masalan,
funksiyaning maxrajida
shaklidagi polinom bo‘lsa, trigonometrik almashtirish
yordamida integralni hisoblash osonlashadi. Bu usulda
kabi almashtirishlar
qo‘llanadi.
3. Birinchi va ikkinchi darajali ifodalar yordamida almashtirish: Agar
ratsional funksiya birinchi yoki ikkinchi darajali ifodalar shaklida bo‘lsa, bu
ifodalarni integralga kiritish uchun qulay almashtirishlar amalga oshiriladi. Bunda
ko‘pincha kvadrat ildizlar yoki trigonometriyadan foydalanish mumkin.
Ratsional funksiyalarni almashtirish usulining samaradorligi o‘zgartirishlar
tanlovi bilan chambarchas bog‘liqdir. O‘zgartirilgan funksiya original funktsiyani
soddalashtirishi kerak. Shuning uchun almashtirishlarni tanlashda diqqat qilish
muhimdir. Ba'zi holatlarda, bir necha xil almashtirishlarni qo‘llashga to‘g‘ri kelishi
mumkin, va eng yaxshi natijaga erishish uchun turli yondashuvlar birlashtirilishi
zarur.
Ratsional funksiyalarni almashtirish usuli ko‘plab sohalarda qo‘llaniladi.
Misol uchun:
Fizika va muhandislikda: Bu usul maxsus integrallarni hisoblashda, masalan,
elektr toklarini hisoblash, elektromagnit maydonlarni hisoblash va termodinamikada
qo‘llaniladi.
Iqtisodiyotda: Ehtimollik va statistik tahlil metodlarini o‘rganishda, xususan,
iqtisodiy modellashtirish va optimizatsiya masalalarida ratsional funksiyalarni
almashtirish usuli qo‘llaniladi.
Biologiya va kimyo: Kimyoviy reaksiya tezliklarini va biologik jarayonlarni
modellashtirishda integralni hisoblashda ratsional funksiyalarni almashtirish
osonlashtiradi.
Ratsional funksiyalarni almashtirishdagi xatoliklardan saqlanish
Almashtirish usuli bajarilayotganda quyidagi xatoliklarga yo‘l qo‘yilmasligi
kerak:
1. Almashtirishni noto‘g‘ri tanlash: Almashtirishni tanlashda integrallash
jarayonini soddalashtirishga yordam beradigan parametrlar tanlanishi zarur.
2. Almashtirishni noto‘g‘ri amalga oshirish: Ba'zida almashtirishni noto‘g‘ri
qo‘llash
integralni
hisoblashni
qiyinlashtirishi
mumkin.
Shuning
uchun
almashtirishni ehtiyotkorlik bilan bajarish kerak.
3. Integrallashda chegaralarni hisoblashni unutish: Almashtirishdan keyin
integralning cheklovlarini ham to‘g‘ri belgilash zarur. Shuningdek, yangi
o‘zgaruvchilar yordamida chegaralar ham yangilanishi mumkin.11
Yuqorida keltirilgan tavsiyalar va yondashuvlar ratsional funksiyalarni
almashtirish orqali integralni hisoblashda samarali foydalanishni ta'minlaydi. Bu
usul nafaqat algebraik, balki boshqa sohalarda ham ko‘plab amaliy qo‘llanmalarga
ega.
Ratsional funksiyalarni almashtirish orqali integrallashning qo‘shimcha
ma'lumotlari:
1. Ratsional funksiyalarning turlari va ularning almashtirishga ta'siri
Ratsional funksiyalarni almashtirishda turli shakldagi funksiyalarni tahlil
qilish va ularni mos ravishda soddalashtirish zarur. Ularning turlari va
almashtirishlarga ta'siri haqida quyidagilarni aytish mumkin:
1. Oddiy ratsional funksiyalar: Oddiy ratsional funksiyalar shaklida bo‘lib,
ularning ko‘paytmasi yoki bo‘linmasi oddiy polinomlardan iborat bo‘ladi. Bunday
funksiyalarni almashtirishda, ko‘pincha, ularni to‘g‘ri soddalashtirish uchun oddiy
algebraik yoki trigonometrik almashtirishlardan foydalaniladi.
2. Kompleks ratsional funksiyalar: Agar ratsional funksiya ko‘proq murakkab
yoki kompleks shaklda bo‘lsa, masalan, maxrajda ikki yoki undan ortiq
ko‘paytmalar mavjud bo‘lsa, bu holatda ko‘proq murakkab almashtirishlar
qo‘llaniladi.
Komplex
funksiyalarni
soddalashtirish
uchun
trigonometrik,
giperbolik, yoki yevklid o‘zgaruvchilari orqali almashtirishlar kiritish mumkin.
Almashtirishning samaradorligi, asosan, o‘zgartirishlar to‘g‘ri tanlanganiga
va funksiyaning shakli qanday soddalashtirilishiga bog‘liq. Oddiy almashtirishlar
faqat muayyan holatlarda samarali bo‘lishi mumkin, shuning uchun kompleks
funksiyalarni tahlil qilishda ba'zan bir nechta almashtirish yondashuvlarini qo‘llash
talab etiladi.
Almashtirish orqali integralni hisoblashda quyidagi jihatlarga e'tibor qaratish
kerak:
Integrallashni
osonlashtirish
uchun
o‘zgaruvchilarni
soddalashtirish.
O‘zgartirishlar orqali integrallashni soddalashtirishda ba'zan yangi parametrlar
qo‘llanadi, bu esa hisoblashni tezlashtiradi.
Almashtirishni ehtiyotkorlik bilan tanlash. Xato almashtirish integrallarni
yanada murakkablashtirishi mumkin, shuning uchun almashtirishlar ehtiyotkorlik
bilan tanlanishi zarur.12
3. Trigonometriya va giperbolik funksiyalarni almashtirishda qo‘llaniladigan
yondashuvlar
Boshqa murakkab funksiyalarni integrallashda trigonometrik va giperbolik
funksiyalardan foydalanish ko‘plab integrallarni osonlashtiradi. Masalan:
Trigonometrik almashtirish: Agar integralda , , yoki kabi kvadrat ildizlar
mavjud bo‘lsa, trigonometrik almashtirishlarni qo‘llash mumkin. Misol uchun, yoki
kabi almashtirishlar yordamida integralni soddalashtirish mumkin.
Giperbolik almashtirish: Giperbolik funksiyalar yordamida yoki shaklidagi
integralni hisoblashni soddalashtirish mumkin. Bunday holda, giperbolik
funksiyalar, masalan, yoki kabi almashtirishlar yordamida integrallashni amalga
oshiradi.
Ratsional funksiyalarni almashtirishda muvaffaqiyatli natijalarga erishish
uchun o‘zgaruvchilarni tanlash muhim ahamiyatga ega. Quyidagi metodik
tavsiyalarni ko‘rib chiqish mumkin:
1. O‘zgartirilgan funktsiyaning shaklini tahlil qilish. Almashtirishdan oldin
funksiyaning shaklini diqqat bilan tahlil qilish va uning soddalashishi uchun qaysi
o‘zgaruvchilarni kiritish kerakligini aniqlash muhimdir.
2. Almashtirishning aniq chegaralarini aniqlash. O‘zgartirilgan funksiya
uchun integrallash chegaralarini aniq belgilash kerak. Shuningdek, agar tasavvur
qilinayotgan integral bo‘lsa, integrallash chegaralari ham yangilanadi.
3. Integrallashdan keyin natijalarni tekshirish. Almashtirishdan so‘ng,
integrallarni hisoblab chiqib, natijani tekshirish zarur. Buning uchun algebraik va
geometrik usullarni qo‘llash mumkin.
Ratsional funksiyalarni almashtirishning amaliy qo‘llanilishi juda kengdir.
Quyidagi sohalarda qo‘llaniladi:13
1. Fizika va muhandislik: Elektr tarmoqlari, termodinamik jarayonlar, va
to‘qimalar fizikasi kabi sohalarda ratsional funksiyalarni almashtirish usuli
integrallarni hisoblashda ishlatiladi. Misol uchun, elektr toki yoki maydonlar
tenglamalarini yechishda bu usul qo‘llanadi.
2. Kimyo: Kimyoviy reaksiyalarni tahlil qilishda, ayniqsa kinetikadan
foydalanishda, ratsional funksiyalarni almashtirish yordamida turli yondashuvlar
qo‘llaniladi.
3. Iqtisodiyot: Iqtisodiy modellarni soddalashtirishda, asosan optimizatsiya
masalalarida va investitsion tahlil qilishda ratsional funksiyalarni almashtirish
usulidan keng foydalaniladi.
4. Statistika: Ehtimollik nazariyasi va statistika sohalarida, ayniqsa, ehtimoliy
taqsimotlarni hisoblashda, ratsional funksiyalarni almashtirish usuli qo‘llaniladi.
Ratsional funksiyalarni almashtirish orqali integrallash usuli matematikada,
ilm-fan va amaliy sohalarda katta ahamiyatga ega. Bu usul integrallarni hisoblashni
ancha soddalashtiradi va murakkab funksiyalarni soddalashtirishda samarali
natijalarga erishishga yordam beradi. Shuningdek, almashtirishlarni to‘g‘ri tanlash
va ular orqali funksiya shaklini soddalashtirishni o‘rganish zarur.
Ratsional funksiyalarni almashtirish orqali integrallashda, polinomlarning
integrallashda tutgan o‘rni katta. Polinomlar oddiy va murakkab shakllarda bo‘lishi
mumkin, lekin integrallarni almashtirish orqali ularni hisoblashni ancha
osonlashtirish mumkin. Masalan, agar ratsional funksiya ko‘rinishida berilgan
bo‘lsa, unda va polinomlar bo‘lib, bu polinomlarni almashtirish orqali integralni
osonlashtirish mumkin.
Polinomlarni integralini almashtirish orqali hisoblashda ba'zan funksiya
o‘zgartiriladi, bunda quyidagi yondashuvlar qo‘llaniladi:
Oddiy va murakkab bo‘linmalar: Agar integralda bo‘linma shaklida
ifodalangan polinomlar mavjud bo‘lsa, bu holatda bo‘linmani almashtirish uchun
oddiy arifmetik operatsiyalar qo‘llanadi, ya'ni ko‘paytirish, bo‘lish, yig‘ish yoki
ayirish.14
Ko‘paytmali integrallar: Ko‘paytmalar orqali funksiyalarni integrallashda,
ba'zan maxrajni soddalashtirish yoki yuqori darajali bo‘linmalarni almashtirish
orqali integrallarni hisoblash mumkin.
Ratsional funksiyalarni almashtirishda o‘zgaruvchilarni tanlashda quyidagi
asosiy omillarga e'tibor berish kerak:
Funksiya shakli va murakkabligi: Funksiyaning shaklini va uning
murakkabligini tahlil qilib, qaysi o‘zgaruvchilar bilan almashtirishni tanlash
kerakligini belgilash zarur.
Hisoblashdagi osonlik: Agar almashtirish orqali integralni hisoblashda
osonlik yuzaga kelsa, unda bunday almashtirishlar samarali bo‘ladi. Odatda,
o‘zgaruvchilarning bunday tanlovi integralni sezilarli darajada soddalashtiradi.
Almashtirishning ko‘rinishi: Agar integralda shaklidagi ratsional funksiya
mavjud bo‘lsa, unda almashtirishni -ga mos keladigan oddiy arifmetik
o‘zgaruvchilar orqali amalga oshirish mumkin.
Ko‘rinishni soddalashtirish: Ba'zida, integralning ko‘rinishini soddalashtirish
uchun giperbolik yoki trigonometrik almashtirishlar qo‘llaniladi. Bu usul orqali
integralni hisoblashni ancha osonlashtirish mumkin.
Ratsional funksiyalarni almashtirish orqali integrallash usulining amaliy
qo‘llanilishi iqtisodiyot va statistika sohalarida keng tarqalgan. Misol uchun:
Iqtisodiy modellarda: Iqtisodiy tahlil va optimizatsiya masalalarida, ratsional
funksiyalarni almashtirish orqali, masalan, integrallashning kiritilishi orqali
iqtisodiy rentabellikni yoki mahsulot ishlab chiqarishni optimallashtirish mumkin.
Bu usul iqtisodiy modellarda samarali ishlatiladi.
Statistika tahlilida: Ehtimollik nazariyasida va statistika sohalarida ratsional
funksiyalarni almashtirish orqali, ehtimoliy taqsimotlarni hisoblashda va
parametrlarni aniqlashda qo‘llaniladi. Integrallarni almashtirish yordamida statistik
parametrlar va ehtimollik qiymatlari aniqlanadi.15
Ratsional funksiyalarni almashtirishda ba'zi xavf-xatoliklar va murakkabliklar
mavjud bo‘lishi mumkin. Shu bois, almashtirishning to‘g‘ri amalga oshirilganiga
ishonch hosil qilish zarur:
1. Almashtirishda xatoliklar: O‘zgaruvchilarning noto‘g‘ri tanlanishi
integrallarni noto‘g‘ri hisoblashga olib kelishi mumkin. Shuning uchun
almashtirishni boshlashdan oldin, funksiya va uning shakli haqida to‘liq tahlil qilish
zarur.
2. Integrallash chegaralarining o‘zgartirilishi: Agar almashtirish integrallash
chegaralarini o‘zgartirsa, yangi chegaralar va o‘zgaruvchilarni aniq hisoblash zarur.
Boshqa so‘zlar bilan aytganda, almashtirishdan so‘ng integrallash chegaralarini
yangilash kerak bo‘ladi.
3. Qiyinchiliklar: Agar ratsional funksiya juda murakkab bo‘lsa, ba'zan bir
necha turli almashtirishlarni sinab ko‘rish kerak bo‘ladi. Bu esa vaqtni talab qiladi
va natijada noto‘g‘ri hisoblashlar bo‘lishi mumkin.
Almashtirish orqali ratsional funksiyalarni integrallash sohasida ilmiy
tadqiqotlar davom etmoqda. Bu sohada yangiliklar va yondashuvlar qo‘llanilib,
yangi matematik metodlar ishlab chiqilmoqda. Tadqiqotlar davomida:
Yangi metodlarni ishlab chiqish: Ratsional funksiyalarni integrallashni
soddalashtirish uchun yangi usullar ishlab chiqish, shuningdek, mavjud usullarni
takomillashtirishda tadqiqotchilar faoliyat olib bormoqdalar.16
Dasturiy ta'minot yordamida integrallash: Zamonaviy kompyuter dasturlari
ratsional funksiyalarni integrallashni avtomatlashtirishda qo‘llanilmoqda. Bu
metodlar nafaqat matematik nazariyalar, balki amaliy sohalarda ham qo‘llaniladi.
Ratsional funksiyalarni almashtirish orqali integrallash usuli matematika va
amaliy sohalarda keng qo‘llaniladigan, samarali va kuchli usuldir.
XULOSA
Ratsional funksiyalarni integrallash mavzusi matematikaning muhim va
amaliy sohalaridan biridir. Ushbu mavzu orqali ratsional funksiyalarni aniq va
samarali integrallash usullarini o‘rganish, nafaqat nazariy matematika, balki ilmiytadqiqot ishlarida va amaliy sohalarda keng qo‘llaniladigan samarali yondashuvlarni
ishlab chiqish imkonini beradi. Ratsional funksiyalarni integrallash usullari va
ularning turli yondashuvlari matematik tahlil, integral hisoblash va ilmiy
ishlanmalarni takomillashtirishda keng qo‘llanilmoqda. Ushbu kurs ishida
keltirilgan usullar, masalan, oddiy fraksiyalarga ajratish, chiziqli va kvadrat
ko‘paytuvchilarga bo‘lish, almashtirish, va boshqa integrallash usullari, matematik
va fizika masalalarini yechishda sezilarli ahamiyatga ega.
Ratsional funksiyalar, matematikada xususiy o‘ringa ega bo‘lib, ular ko‘plab
ilmiy va amaliy tahlillarda, jumladan, fizika, iqtisodiyot, statistika, kimyo kabi
sohalarda qo‘llaniladi. Ratsional funksiyalarni integrallashda, ular turli shakl va
murakkablikda bo‘lishi mumkin, shuning uchun har bir holat uchun alohida
yondashuvlar ishlab chiqilishi zarur. Ushbu funksiyalarni integrallashning asosiy
yondashuvlaridan biri oddiy fraksiyalarga ajratish usulidir. Bu usul integrallarni
ancha soddalashtirishga imkon beradi, chunki u orqali murakkab funksiyalarni
soddaroq integrallar shaklida ifodalash mumkin.
Oddiy fraksiyalarga ajratish, integrallashda keng qo‘llaniladigan samarali
usul bo‘lib, ratsional funksiyalarni oddiy fraksiyalarga ajratish orqali integralni
hisoblashni osonlashtiradi. Ushbu usul, ayniqsa, murakkab polinomial funksiyalarni
soddalashtirishda foydalidir. Ushbu jarayonda, ratsional funksiya bo‘linmaga
ajratilib, uning har bir qismi alohida hisoblanadi. Bu usulni qo‘llashda ba'zi maxsus
yondashuvlar va strategiyalar mavjud bo‘lib, ular natijalarni samarali hisoblash
imkonini beradi.
Chiziqli va kvadrat ko‘paytuvchilarga bo‘lish asosida integrallash usuli,
ratsional
funksiyalarni
integralini
hisoblashda
qo‘llaniladigan
muhim
yondashuvlardan biridir. Bu usul, ratsional funksiyalarni o‘zgaruvchilar bilan
almashtirish orqali, ularni integrallashni soddalashtiradi. Chiziqli va kvadrat
ko‘paytuvchilarga bo‘lish orqali, ba'zi murakkab ifodalarning integralini hisoblashni
osonlashtirish mumkin, chunki bu ko‘paytmalar yondashuvi orqali ko‘plab
integrallarni aniq va tezda hisoblash imkonini beradi.
Ratsional
funksiyalarni
almashtirish
orqali
integrallash usuli, turli
o‘zgaruvchilarni qo‘llash orqali integrallarni ancha soddalashtirishga yordam
beradi. Bu usul, ayniqsa, yuqori darajadagi funksiyalarni integrallashda samarali
bo‘ladi. Almashtirish orqali, murakkab funktsiyalarni soddalashtirish va ularni aniq
shaklda integrallashtirish mumkin. Almashtirish usuli nafaqat matematik
nazariyalar, balki amaliy sohalarda ham qo‘llaniladi, masalan, iqtisodiy va statistik
tahlil qilishda. Ushbu usulni qo‘llashda ba'zi maxsus yondashuvlar mavjud bo‘lib,
ular integrallarni hisoblashni osonlashtiradi.
Ratsional funksiyalarni integrallash jarayonida ba'zi xavf-xatoliklar va
qiyinchiliklar mavjud. Xatoliklarni minimallashtirish va samarali natijalarni olish
uchun almashtirishlar va integrallarni hisoblash jarayonida maxsus ehtiyotkorlik
zarur. Murakkab funksiyalarni integrallashda, har bir qadamni diqqat bilan tahlil
qilish, hisoblashda xatoliklarni oldini olish uchun muhimdir. Rivojlanish jarayonida,
ratsional funksiyalarni integrallash usullarini takomillashtirish, yangi yondashuvlar
va metodlarni ishlab chiqish davom etmoqda. Bu usullarni takomillashtirish orqali
ilmiy va amaliy sohalarda yanada samarali natijalar olish mumkin.
Ratsional funksiyalarni integrallash usullari, nafaqat matematika sohasida,
balki iqtisodiyot, statistika, fizika va boshqa sohalarda ham keng qo‘llaniladi. Ushbu
kurs ishida keltirilgan usullar, ya'ni oddiy fraksiyalarga ajratish, chiziqli va kvadrat
ko‘paytuvchilarga bo‘lish, almashtirish va boshqa usullar, ratsional funksiyalarni
soddalashtirish va integrallashda samarali ishlatiladi. Yangi usullarni ishlab chiqish
va qo‘llash, integrallash jarayonini yanada soddalashtirish va natijalarni tezlashtirish
imkonini beradi. Ratsional funksiyalarni integrallashda yondashuvlarni samarali
qo‘llash orqali nafaqat matematik yechimlar, balki amaliy sohalarda ham samarali
natijalar olish mumkin.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Feynman, R.P. (2016). Feynman Lectures on Physics. Addison-Wesley.
2. Stewart, J. (2012). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
3. Boyce, W.E., & DiPrima, R.C. (2005). Elementary Differential Equations and
Boundary Value Problems. Wiley.
4. Apostol, T.M. (2007). Calculus, Volume 1: One-Variable Calculus, with an
Introduction to Linear Algebra. Wiley.
5. Marsden, J.E., & Tromba, A.J. (2003). Vector Calculus. W.H. Freeman and
Company.
6. Spivak, M. (2008). Calculus. Publish or Perish, Inc.
7. Stewart, J. (2011). Calculus: Concepts and Contexts. Cengage Learning.
8. Ross, K. A. (2010). Elementary Analysis: The Theory of Calculus. Springer.
9. Edwards, C.H., & Penney, D.E. (2007). Calculus: Early Transcendentals. Pearson
Prentice Hall.
10. Weir, M.D., & Hass, J. (2007). Thomas' Calculus: Early Transcendentals.
Pearson Prentice Hall.
11. Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill.
12. Tan, S. (2011). Calculus for Business, Economics, and the Social and Life
Sciences. McGraw-Hill.
13. Tuckerman, D. (2002). Introduction to the Calculus of Variations. Dover
Publications
14. Edwards, C. H. (1994). Advanced Calculus. Dover Publications.
15. Courant, R., & John, F. (1999). Introduction to Calculus and Analysis, Volume
1. Springer.
16. Zorich, V. A. (2004). Mathematical Analysis I. Springer.
17. Lax, P. D. (2002). The Theory of Functions of a Real Variable. WileyInterscience.
18. Rassias, J. (2010). A Course in Real Analysis. Springer.
19. Lang, S. (2005). Undergraduate Analysis. Springer.
20. Liptai, S. (1998). Mathematical Methods for Engineers and Scientists. Springer.
21. MacCluskey, S., & Lockett, H. (2001). Mathematics for Economists. Routledge.
22. Rudin, W. (1987). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill.
23. Simmons, G.F. (1996). Calculus with Analytic Geometry. McGraw-Hill.
24. Munkres, J. R. (2000). Topology: A First Course. Prentice Hall.
25. Sternberg, S. (2003). Calculus and Analysis: Part 1. Cambridge University Press.
26. Evans, L. C. (2010). Partial Differential Equations. American Mathematical
Society.
27. Hille, E. (1982). Mathematical Methods in the Applied Sciences. Wiley.
28. Hardy, G.H. (2002). Divergence of Series. Cambridge University Press.
29. Gillett, P. E. (1998). Advanced Calculus. Dover Publications.
30. Zygmund, A. (2002). Trigonometric Series. Cambridge University Press.