고등학교 고급 수학 II 교과서

고등학교 고급 수학 II 김창일 | 강일선 | 강 철 | 박세원 | 유기종 전라북도교육청 수학은 고대부터 자연을 탐구하고 법칙을 찾아 인류의 발전에 기여해 왔으며, 눈에 보이는 현상만을 찾는 것이 아니라 관념적 영역의 확대를 통해 사고의 증진을 가져왔다. 이것이 본 이는 학생 여러분의 미래에 요긴하게 사용될 자산이며, 관념적 사고를 통해 스스로 여러 의미를 찾아볼 수 있게 할 것이다. 교과의 학습이 우리에게 의미 있게 다가오는 이유이다. 밝아 오는 미래에 수학의 중요성이 강조되는 만큼 이 책이 여러분에게 더 많은 수학적 능 이 교과서는 2015 개정 교육과정에서 제시된 고급 수학Ⅱ의 목표와 내용에 따라 학습하 력을 기를 수 있는 기회가 되길 바란다. 며, 수학적 개념과 기능이 실생활과 어떤 관계가 있는지 찾을 수 있고 다양한 문제로 수학적 사고를 경험하고 이에 따른 능력과 태도를 함양할 수 있도록 구성하였다. 지은이 일동 ❺ 참고하기 코시의 평균값 정리를 증명하여 보자. 새로운 함수 h ]xg 를 f ]1g - f ]0g = 1 , g ]1g - g ]0g = 1 , f l]xg = 3x , 2 풀이 f ]1g - f ]0g f l]cg 3c 에서 1 = 이다. gl]xg = 2x 이므로 = 2c g ]1g - g ]0g gl]cg 2 따라서 c = 3 2 h ]xg = 6 f ]bg - f ]ag@ g ]xg - 6g ]bg - g ]ag@ f ]xg 라 하면, h ]xg 는 닫힌구간 6a, b@ 에서 연속이고 열린구간 ]a, bg 에서 미분가 능하고 h ]ag = h ]bg 이다. 따라서 롤의 정리에 의하여 hl]cg = 0 c답= 즉, 6 f ]bg - f ]ag@ gl]cg - 6g ]bg - g ]ag@ f l]cg = 0 인 점 c 가 열린구간 ]a, bg 안에 적어도 하나 존재한다. Y 0 이고 g ]bg - g ]ag = 따라서 구간 내의 모든 점에서 gl]xg = Y 0 이면, f ]ag = f ]bg 인 경우가 롤 의 정리이므로, 평균값의 정 리는롤의 정리를 일반화한 것 이라 할 수 있다. x 61, e@ 60, 1@ 명하였습니다. sin b - sin a # b - a 임을 보여라. 까지 곡선 위의 각 점에서 접선의 방향은 속도벡터 ( f ′(t), g′(t))에 의해 정해 진다. 풀이 ] g f b -f a = f l]cg b-a 인 c 가 a 와 b 사이에 적어도 하나 존재한다. 1 코시의 평균값 정리 sin b - sin a = cos c 인 c 가 a 와 b 사이 b-a O 답 풀이 참조 Y 0 이면 롤의 정리에 의하여 서 a 와 b 사이의 임의의 x 에 대하여 gl]xg = Y g ]bg 이다. g ]ag = 문제 2 특히 코시의 평균값 정리를 증명하는 과정에서 g ]xg = x 일 때, 다음과 같 이 ‘수학 Ⅱ’에서 학습한 평균값의 정리가 된다. 예제 1 에 대하여 g = xx ,-g3]xg = x 과 닫힌구간 60, 1@ 에 대하여 코시 f ]xgfg]x= 두 함수 1 3 32 함수 f ]xg = 1 x cos x 에 대하여 다음 물음에 답하여라. r (1) 구간 a , r k 에서 증가함을 보여라. 2 r < a < b < c < r 인 세 실수 a , b , c (2) 코시의 평균값 정리를 이용하여 2 Y 0 은 생략해도 무방하다. 따라서 g ]bg - g ]ag = 예제 2 수열 "a n, 의 최소상계 a 가 존재하면 a 는 유일함을 보여라. 증명 수열 "a n, 의 최소상계를 a 와 al이라 하자. ln b - ln a ln c - ln b < sin b - sin a sin c - sin b 2 의 평균값 정리를 만족시키는 c 의 값을 구하여라. 2 로피탈의 정리 ] g sin b - sin a = cos c # 1 b-a 따라서 sin b - sin a # b - a 한편 코시의 평균값의 정리에 ]a, bg 에서 미분가능하면 함수 f ]xg = sin x 는 모든 점에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의 b-a 에 적어도 하나 존재한다. 이때 cos c # 1 이므로 것을 의미한다. 참고하기 ] g 하여 f b - f a = f l]cg , 를 잇는 직선과 평행인 점이 존재한다는 평균값 정리 함수 f ]xg 가 닫힌구간 6a, b@ 에서 연속이고, 열린구간 평균값 정리를 이용하여 a < b 인 두 실수 a , b 에 대하여 예제 2 좌표평면에서 미분가능한 두 함수 f, g : [a, b]→R에 의하여 ( f(t),g(t)) (a≤ t≤b)로 주어진 곡선을 생각하자. 이 때 점 ( f(a),g(a))에서 점 ( f(b),g(b)) 따라서 코시의 평균값 정리는 곡선의 ] g 2 3 (2) f ]xg = ln x , g ]xg = 1 접선 중 두 점 , ( f(a),g(a)) ( f(b),g(b)) 미분의 활용 야 할 내용을 잘 이해할 수 있도록 설 다음 두 함수 f ]xg , g ]xg 와 닫힌구간에서 평균값 정리와 코시의 평균값 정리를 만족시키는 c 의 값을 구하여라. (1) f ]xg = x - 1 , g ]xg = x + x 코시의 평균값 정리는 기하학적으로 다음과 같은 의미를 가진다. 참고하기 평균값의 정리에서 Ⅰ 문제 1 f l]cg f ]bg - f ]ag = g ]bg - g ]ag gl]cg 인 c 가 존재한다. 본문의 용어 또는 본문에서 보충해 2 3 이때 a 와 al은 이 수열의 상계이고 a 가 최소상계이므로 a # al가 성립한다. 임을 보여라. 또 al이 이 수열의 최소상계이므로 al # a 이다. 3 방정식의 근사해 14 I 미분의 활용 따라서 a = al 15 1. 코시의 평균값 정리 4 쌍곡선함수의 도함수 2 -b 일반항이a na= n =3 문제 2 ❶ 대단원 도입 1 ln 으로 주어진 수열 "a n, 의 최소상계를 구하 2 여라. 단조수렴정리 단원 열기 17세기말과 18세기에 뉴턴과 라이프니츠는 거의 동시에 미적분을 발명하였다. 뉴턴은 주 수렴하는 모든 수열은 유계이다. 그러나 일반적으로 그 역은 성립하지 않는 대단원과 관련된 수학사 이야기를 소개 다. 예를 들어 수열 a n = ]-1gn 은 모든 자연수 n 에 대하여 a 2n = 1 또는 a 2n - 1 = -1 이므로 유계이지만 수렴하지 않는다. 그러나 단조수열인 경우 유계이면 그 수열은 항상 수렴한다는 것이 알려져 있다. 로 물리학, 역학, 천문학, 수학에 집중하여 연구하였으며 속도나 가속도의 개념을 수학적 수단을 이용하여 다루었다. 그러나 라이프니츠는 곡선에 접선을 긋는 문제와 주어진 직선 을 접선으로 갖는 곡선을 구하는 문제는 서로 역연산의 관계가 있다는 것을 규명하였으며 뉴턴과 달리 기하학적, 대수적 이론으로 미적분의 개념을 설명하였다. 10 I 미분의 활용 I 미분의 활용 11 하거나 학습할 내용에 대한 정보를 안내하 여 대단원에 흥미를 느낄 수 있도록 하였습 이상을 정리하면 다음과 같다. 단조수렴정리 ❶ 수열 "a n, 이 단조증가수열이고 위로 유계이면 항상 수렴한다. ❼ 예제 예제 3 ❷ 수열 "a n, 이 단조감소수열이고 아래로 유계이면 항상 수렴한다. 수열 " x n, 은 x 1 = 2 이고, 3 xn+1 = 4 - xn 단조수렴정리에 의하여 유계인 단조수열은 반드시 수렴한다. 또한 수렴하 을 만족시킨다. 다음 물음에 답하여라. 니다. 는 수열은 반드시 유계이다. 따라서 단조수열이 수렴하기 위한 필요충분조건 (1) 수열 " x n, 은 증가수열임을 보여라. 참고하기 학습한 내용과 관련된 대표적인 an= n+1 1 1 2 (3) 수열 " x n, 이 수렴함을 보이고, 그 값을 구하여라. 보기 1 O 1 2 3 4 5 6 n 7 (1) 수열 "a n, 의 일반항이 a n = 1 + 1 일 때, lim a n = 1 이고 수열 "a n, n n"3 의 최대하계는 1 이다. 풀이 (1) x2>x1이고, 문제와 풀이를 제시하였습니다. n an 은 유계인 것임을 알 수 있다. (2) 모든 자연수 n 에 대하여 x n # 4 임을 보여라. (2) 수열 "n 2 + n,은 단조증가수열이지만 위로 유계가 아니므로 단조수렴정리에 의 x 1 = 2 이상의 자연수 k 에 대하여 x k > x k - 1 라고 가정하면 ]n + ng = 3 이고 최소상계는 존재하지 않는다. 하여 수렴하지 않고, nlim "3 2 3 3 xk+1 = 4 - xk > 4 - xk-1 = xk 이므로 수열 " x n, 은 증가수열이다. 1. 수열의 수렴과 발산 79 (2) x 1 = 2 , 모든 자연수 n 에 대하여 x n + 1 > x n 이므로 x n $ 2 3 이때 x k + 1 = 4 - x # 4 k 01 2 따라서 수열 " x n, 은 위로 유계이다. 이상적분의 뜻 (3) 단조수렴정리에 의하여 수열 " x n, 은 수렴한다. 이때 lim x n =xan ($ 2)라고 하면 학습 목표 이상적분의 의미를 알 수 있다. n"3 여러 형태의 이상적분을 구할 수 있다. 이상적분 01 이상적분의 뜻 3 a = 4- a , 에서 a =3 $2 따라서 수열 " x n, 의 극한값은 3 이다. 적분구간에 무한대가 포함된 이상적분 ❽ 문제 정적분 # f ]xg dx 를 정의할 때, 유한구간 6a, b@ 에서 정의된 함수를 다루 b a 었다. 이제 적분구간이 무한대인 경우의 정적분의 개념을 알아보려고 한다. 또한, 함수 f 가 구간 6a, b@ 에서 불연속인 경우에 이 구간 내에서의 정적분의 문제 3 개념을 알아보고자 한다. 아래의 첫 번째 그림과 같이 y = e -x 번째 그림과 같이 곡선 y = , x = 0 과 x 축으로 둘러싸인 영역 학습 내용을 바르게 이해하고 1 , x = 1 과 x 축, y 축으로 둘러싸인 영역처 x 럼 유한이 아닌 영역의 넓이를 생각해야 할 경우도 있다. y= y=e O -x b [ 그림 1 ] O 1 x 1 본문의 내용과 개념을 이해할 을 만족시킨다. 다음 물음에 답하여라. (1) 모든 자연수 n 에 대하여 x n # 2 임을 보여라. (3) lim x n 이 존재함을 보이고 그 값을 구하여라. 수 있도록 구체적인 예를 제시 n"3 80 1 x 3 4 - xn (2) 수열 " x n, 은 감소수열임을 보여라. 수학적 문제 해결 능력을 다질 수 y y 수열 " x n, 은 x 1 = 2 이고, xn+1 = 처럼 적분구간이 60, 3@ 인 경우의 정적분을 생각해 볼 수도 있고, 아래의 두 ❻ 보기 답 (3) 3 III 급수의 수렴과 발산 있는 문제를 제시하였습니다. x [ 그림 2 ] 하였습니다. [그림 1]은 밑변의 길이가 무한이기 때문에 둘러싸인 영역의 넓이가 무한일 것으로 생각할 수 있고, [그림 2]은 높이의 길이가 무한이기 때문에 둘러싸인 영역의 넓이가 무한일 것으로 생각할 수 있다. 하지만 영역의 어느 부분의 길 ❷ 중단원 도입 생각 열기 보통의 정적분에서 상한이나 하한이 변할 때 취하는 극한으로 정의되거나 적분구간에서 주어진 함수의 값을 정의할 수 없는 정적분의 형태의 종종 등장한다. 이러한 형태인 이상적분은 수열의 극한 개념으 로 접근할 수 있다. 이가 무한일지라도 둘러싸인 영역의 넓이가 항상 무한이 되는 것은 아니다. 그 러면 위의 그림과 같이 유한이 아닌 영역의 넓이는 어떻게 정의하고 구 할까? 3 n i=1 i=1 우리는 무한급수에서 무한히 많은 수들의 합 { a i 를 부분합 s n = { a i 의 극한으로 정의하여 급수의 합을 구하였다. 중단원과 관련된 수학사의 읽을거 이와 같은 생각을 확장하여 위의 그림의 도형의 넓이를 구하는 것에 이용한다. 먼저 적분 구간에 3 를 포함하는 [그림 1]의 경우를 살펴보자. 48 II 적분의 활용 2. 이상적분 49 ➒ 중단원 평가 리를 소개하거나 중단원에서 배워야 할 내용을 미리 안내하여 스스로 확인 중단원에서 학습 할 수 있도록 하였습니다. 중단원평가 1 새로운 학습 내용에 대한 성취 기준을 제시하였습니다. 2 보고 이해를 다지 기 위한 문제를 제 시하였습니다. (1) tanh ]x + yg = 1 tanh x + tanh y 1 + tanh x tanh y 임을 보여라. 내용을 종합적으로 2 d csch x = -csch x : coth x dx (2) d sech x = -sech x : tanh x dx 3 -1 tanh x = 다음 극한값을 구하여라. x e -1-x (1) lim 2 x"0 x ln ]1 + xg (3) lim x"0 sin 2x x ef l]xg (2) xlim x" "3 0 gl5]xg x ]cos xg x (4) lim x"0 1 2 미분가능한 두 함수 f ]xg , g ]xg 에 대하여 lim f ]xg = xlim g ]xg = 0 이고, 극한값 lim "3 x"3 다음 함수의 도함수를 구하여라. (1) y = sinh ] x g lim x"3 (2) y = tanh ]x + 1g 2 3 f l]xg f ]xg 임을 보여라. = xlim "3 g ]xg gl]xg x"3 f ]xg f l]xg 가 존재하면 극한값 lim 가 존재하고, x"3 g ]xg gl]xg (3) y = x ]sinh x2gx lnsinh -1 (4) y = cosh ]e g 2 x 4 5 lim x"3 확인해 보고 문제 해결 능력을 키울 1 1+x ] ln -1 < x < 1g 임을 보여라. 2 1-x 3 4 대단원의 학습 다음을 보여라. (1) ❹ 본문 기능을 습득할 수 있도록 설명하였습니다. r r < x 1 < x 2 < x 3 < 인 세 실수 x 1 , x 2 , x 3 에 대하여 2 2 cos x 3 - cos x 2 cos x 2 - cos x 1 > x2 - x1 x3 - x2 2x 1 + tanh x =e 1 - tanh x 2 기본적인 수학의 개념, 원리, 법칙 등을 쉽게 이해하고 평균값의 정리를 이용하여 - (3) ]cosh x + sinh xgn = cosh nx + sinh nx 한 내용을 확인해 ❸ 소단원 학습 목표 다음을 보여라. (2) ➓ 대단원 평가 대단원평가 두 함수 f ]xg = ln x , g ]xg = x 과 폐구간 61, e@ 에 대하여 코시의 평균값의 정리를 만족하는 1 c 의 값을 모두 구하여라. sinh x 의 값을 구하여라. x e 4. 쌍곡선함수의 도함수 37 38 I 미분의 활용 수 있는 마무리 문 제입니다. I 미분의 활용 12 18 24 30 1. 코시의 평균값 정리 13 1. 코시의 평균값 정리 16 중단원 평가 2. 로피탈의 정리 II 적분의 활용 42 48 1. 쌍곡선함수의 부정적분 43 1. 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 부정적분 47 중단원 평가 2. 이상 적분 19 1. 로피탈의 정리 49 1. 이상 적분의 뜻 23 중단원 평가 55 중단원 평가 56 3. 방정식의 근사해 3. 부피와 넓이 25 1. 뉴턴의 방법 57 1. 회전체의 부피 28 중단원 평가 61 2. 회전체의 넒이 64 중단원 평가 4. 쌍곡선 함수의 도함수 66 4. 길이와 넓이 31 1. 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 정의 35 2. 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 도함수 67 1. 극방정식으로 이루어진 곡선의 길이 37 중단원 평가 69 2. 극방정식으로 이루어진 영역의 넓이 38 대단원 평가 73 중단원 평가 III 급수의 수렴과 발산 76 82 96 1. 수열의 수렴과 발산 77 1. 수열의 수렴과 발산 81 중단원 평가 2. 급수의 수렴과 발산 83 1. 급수의 수렴과 발산 94 중단원 평가 3. 교대급수 판정법 97 1. 교대급수 판정법 107 중단원 평가 108 대단원 평가 IV 멱급수 V 수학적 모델링 VI 그래프와 모델링 112 1. 멱급수 113 1. 멱급수 119 중단원 평가 120 2. 테일러급수 121 1. 테일러급수 133 134 VII 행렬과 모델링 180 1. 이차곡선의 일반형 181 1. 이차곡선의 일반형 185 중단원 평가 186 2. 마르코프 체인 문제 187 1. 마르코프 체인 문제 중단원 평가 193 중단원 평가 대단원 평가 194 대단원 평가 138 1. 수학적 모델 139 1. 수학적 모델의 뜻 141 2. 수학적 모델링의 과정 145 중단원 평가 146 2. 실생활 문제 147 1. 실생활 문제와 수학적 모델링 149 중단원 평가 150 대단원 평가 154 1. 채색 다항식 155 1. 채색 수 158 2. 채색 다항식 160 3. 여러 가지 색칠 문제 163 중단원 평가 164 2. 오일러 그래프와 해밀턴 그래프 165 1. 오일러 그래프 170 2. 해밀턴 그래프 173 3. 실생활 문제 176 중단원 평가 177 대단원 평가 VIII 미분 방정식과 모델링 198 1. 방향장과 미분 방정식의 해 199 1. 방향장과 미분 방정식의 해 203 중단원 평가 204 2. 오일러 방법 205 1. 오일러 방법 209 중단원 평가 210 3. 여러 가지 미분 방정식 211 1. 여러 가지 미분 방정식 215 중단원 평가 216 4. 미분 방정식의 활용 217 1. 미분 방정식의 활용 219 중단원 평가 220 대단원 평가 222 부록 : 정답 및 해설 Ⅰ 미분의 활용 1 코시의 평균값 정리 2 로피탈의 정리 3 방정식의 근사해 4 쌍곡선함수의 도함수 단원 열기 17세기말과 18세기에 뉴턴과 라이프니츠는 거의 동시에 미적분을 발명하였다. 뉴턴은 주 로 물리학, 역학, 천문학, 수학에 집중하여 연구하였으며 속도나 가속도의 개념을 수학적 수단을 이용하여 다루었다. 그러나 라이프니츠는 곡선에 접선을 긋는 문제와 주어진 직선 을 접선으로 갖는 곡선을 구하는 문제는 서로 역연산 관계가 있다는 것을 규명하였으며 뉴 턴과 달리 기하학적, 대수적 이론으로 미적분의 개념을 설명하였다. 10 I 미분의 활용 I 미분의 활용 11 1 코시의 평균값 정리 01 코시의 평균값 정리 01 코시의 평균값 정리 학습 목표 코시의 평균값 정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다. “수학 Ⅱ”에서 학습한 바와 같이 매끄러운 곡선이 x 축과 두 점에서 만나면 그 두 점 사이의 곡선 위의 점에서 x 축과 평행한 접선을 가지는 점이 적어도 하나 존재한다는 롤의 정리는 다음과 같다. 롤의 정리 함수 f ]xg 가 닫힌구간 6a, b@ 에서 연속이고 함수 f ]xg 가 열린구간 ]a, bg 에 서 미분 가능할 때, f ]ag = f ]bg 이면 f l]cg = 0 인 c 가 a 와 b 사이에 적어도 하나 존재한다. 예를 들면 함수 f ]xg = 1 - x 와 같이 닫힌구간 6-1, 1@ 에서 미분이 가 능하지 않은 경우 이 함수는 롤의 정리를 만족하지 않는다. f ]xg = 1 - x 생각 열기 매끄러운 곡선이 x 축과 두 점에서 만날 때, 그 두 점 사이에는 x 축과 평행한 접선을 가지는 점이 적어도 하 나는 존재한다는 것이 기하학적으로 명백하다. 이 사실은 프랑스 수학자 롤(Rolle, M. : 1652 ~ 1719 )이 1691 년에 처음으로 증명하였다. 평균값 정리(mean value theorem)는 미적분학의 뼈대를 떠받치는 중 요한 정리로 롤의 정리의 경사진 형태라고 생각할 수 있다. 미적분학에서 가장 영향력이 있는 정리인 평균값 정 리를 알아보자. 코시의 평균값 정리 롤의 정리를 일반화하면 코시의 평균값 정리가 성립한다. 코시의 평균값 정리 두 함수 f ]xg , g ]xg 가 닫힌구간 6a, b@ 에서 연속이고, 열린구간 ]a, bg 에서 미분가능하며 구간 내의 모든 점에서 gl]xg = Y 0 이면 f l]cg f ]bg - f ]ag = g ]bg - g ]ag gl]cg 인 c 가 a 와 b 사이에 적어도 하나 존재한다. 12 I 미분의 활용 1. 코시의 평균값 정리 13 코시의 평균값 정리를 증명해 보자. 새로운 함수 h ]xg 를 f ]1g - f ]0g = 1 , g ]1g - g ]0g = 1 , f l]xg = 3x , 2 풀이 h ]xg = 6 f ]bg - f ]ag@ g ]xg - 6g ]bg - g ]ag@ f ]xg 라 하면, h ]xg 는 닫힌구간 6a, b@ 에서 연속이고 열린구간 ]a, bg 에서 미분가 능하고 h ]ag = h ]bg 이다. gl]xg = 2x 이므로 따라서 c = 2 3 f ]1g - f ]0g f l]cg 3c 에서 1 = 이다. = 2c g ]1g - g ]0g gl]cg 2 따라서 롤의 정리에 따라 hl]cg = 0 c답= 즉 6 f ]bg - f ]ag@ gl]cg - 6g ]bg - g ]ag@ f l]cg = 0 인 점 c 가 열린구간 ]a, bg 안에 적어도 하나 존재한다. Y 0 이고 g ]bg - g ]ag = 따라서 구간 내의 모든 점에서 gl]xg = Y 0 이면, 인 c 가 존재한다. f l]cg f ]bg - f ]ag = g ]bg - g ]ag gl]cg 코시의 평균값 정리는 기하학적으로 다음과 같은 의미를 가진다. 평균값의 정리에서 좌표평면에서 미분가능한 두 함수 f, g : [a, b]→R에 의하여 ( f(t),g(t)) f ]ag = f ]bg 인 경우가 롤 의 정리이므로, 평균값의 정 리는 롤의 정리를 일반화한 것이라 할 수 있다. (a≤ t≤b)로 주어진 곡선을 생각하자. 이때 점 ( f(a),g(a))에서 점 ( f(b),g(b)) 진다. f ]bg - f ]ag = f l]cg b-a 인 c 가 a 와 b 사이에 적어도 하나 존재한다. 14 I 미분의 활용 (2) f ]xg = ln x , g ]xg = 1 예제 2 61, e@ 60, 1@ 평균값 정리를 이용하여 a < b 인 두 실수 a , b 에 대하여 sin b - sin a # b - a 임을 보여라. ] g 함수 f ]xg = sin x 는 모든 점에서 미분가능하므로 평균값 정리에 따 ] g b-a sin b - sin a = cos c 인 c 가 a 와 b 사이에 적 b-a 어도 하나 존재한다. 이때 cos c # 1 이므로 sin b - sin a = cos c # 1 b-a 따라서 sin b - sin a # b - a 것을 의미한다. 한편 코시의 평균값 정리에서 a 와 b 2 3 라 f b - f a = f l]cg , 를 잇는 직선과 평행인 점이 존재한다는 ]a, bg 에서 미분가능하면 (1) f ]xg = x - 1 , g ]xg = x + x 풀이 접선 중 두 점 ( f(a),g(a)), ( f(b),g(b)) 평균값 정리 함수 f ]xg 가 닫힌구간 6a, b@ 에서 연속이고, 열린구간 정리를 만족시키는 c 의 값을 구하여라. 까지 곡선 위의 각 점에서 접선의 방향은 속도 벡터 ( f ′(t), g′(t))에 의해 정해 따라서 코시의 평균값 정리는 곡선의 참고하기 다음 두 함수 f ]xg , g ]xg 와 닫힌구간에서 평균값 정리와 코시의 평균값 문제 1 x 참고하기 2 3 O 답 풀이 참조 Y 0 이면 롤의 정리에 따라 g ]ag = Y g ]bg 이 사이의 임의의 x 에 대하여 gl]xg = 다. Y 0 은 생략해도 무방하다. 따라서 g ]bg - g ]ag = 특히 코시의 평균값 정리를 증명하는 과정에서 g ]xg = x 일 때, “수학 Ⅱ” 에서 학습한 평균값의 정리가 된다. 1 3 g = xx 2,-g3]xg = x 2 과 닫힌구간 60, 1@ 에 대하여 코시 f ]xgfg]x= 예제 1 두 함수 3 의 평균값 정리를 만족시키는 c 의 값을 구하여라. 문제 2 함수 f ]xg = (1) 구간 a 1 x cos x 에 대하여 다음 물음에 답하여라. r k , r 에서 증가함을 보여라. 2 r < a < b < c < r 인 세 실수 a , b , c (2) 코시의 평균값 정리를 이용하여 2 에 대하여 ln b - ln a ln c - ln b < sin b - sin a sin c - sin b 임을 보여라. 1. 코시의 평균값 정리 15 중단원평가 1 열린구간 ]a, bg 에서 미분가능한 함수 f ]xg 와 상수 k 에 대하여 다음 두 조건은 필요충분조건임 4 을 보여라. 두 함수 f ]xg = sin x , g ]xg = cos x 에 대하여 닫힌구간 90, 족하는 점 c 를 구하여라.(단, 0 < c < (가) a # x 1 # b , a # x 2 # b 에 대하여 f ]xg - f ]yg # k x - y r ) 2 rC 에서 코시의 평균값 정리를 만 2 (나) a # x # b , f l]xg # k (단, m,n 은 자연수이다.) 2 두 함수 f ]xg , g ]xg 가 닫힌구간 6a, b@ 에서 연속이고, 열린구간 ]a, bg 에서 미분 가능할 때, 열 린구간 ]a, bg 의 모든 x 에 대하여 f l]xg = gl]xg 이면 f ]xg = g ]xg + c 임을 보여라. (단, c 는 상수이다.) 5 함수 g ]xg 가 모든 실수 x , y 에 대하여 g ]xg - g ]yg # x - y 2 을 만족시키면 g ]xg 는 상수 함수임을 보여라. 3 다음과 같이 정의된 함수 f ]xg 가 롤의 정리의 가정을 만족함을 보이고, f l]cg = 0 을 만족시키 는 c 를 구하여라. (단, a < c < b ) (1) f ]xg = sin x 6a. b@ = 60, 2r@ , 2 m n (2) f ]xg = x ]1 - x g , 6a, b@ = 60, 1@ 16 I 미분의 활용 3 1. 코시의 평균값 활용 정리 I 미분의 17 17 01 2 로피탈의 정리 01 로피탈의 정리 로피탈의 정리 학습 목표 로피탈의 정리를 이해하고, 이를 이용하여 부정형의 극한을 구할 수 있다. 함수 f ]xg 와 g ]xg 가 x = a 에서 연속이고 f ]ag = g ]ag = 0 이면 f ]xg 를 계산할 때 x = a 를 직접 대입할 수 없다. 이와 같이 x → a g ]xg f ]xg 0 3 0 의 극한값이 , 3 , 0 # 3 , 3 - 3 , 3 ]x " !3g 일 때 함수 0 g ]xg lim x"a 3 0 , 1 , 0 등으로 표현되는 형태를 부정형이라 한다. f ]xg 0 에서 x = a 를 대입했을 때 또는 3 3 의 꼴이 되었을 때, 0 g ]xg 코시의 평균값 정리를 활용하여 부정형의 극한값을 구하는 방법을 로피탈 정리 특히, 함수 라 한다. 생각 열기 3 0 부정형 3 0 꼴에 대한 로피탈의 정리 1694 년 요한 베르누이(Johann Bernoulli)는 분모와 분자가 동시에 0에 접근하는 형태의 극한을 쉽게 계산할 수 있는 공식을 발견하였다. 그러나 이 공식은 로피탈 정리라고 불리는데, 그것은 이유는 프 랑스 수학자 로피탈 후작(Marquis de l'Hopital: 1661 ~ 1704 )의 미적분학 교재 “Analyse des Infinitement Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes”( 1696 )에 이 공식이 처음 발표되어 알려졌기 때문이다. 로피탈의 정리는 마치 힘의 평형을 이루고 있는 줄다리기 시합에서 어느 쪽의 힘이 더 센가를 판정하는 것처럼 극한값의 계산에서 전체 식은 분자와 분모 중 어느 쪽의 영향을 더 크게 받는가를 확인하는 것과 코시의 평균값의 정리를 활용하여 부정형 0 꼴에 대한 로피탈 정리를 증명 0 해 보자. 점 a 와 매우 가까운 x 에 대하여 코시의 평균값 정리를 적용하면 참고하기 lim f ]xg = 0, x"a lim g ]xg = 0 이면 x"a 0 0 꼴이라 부른다. a < c < x (또는 x < c < a )인 어떤 점 c 에 대하여 f l]cg f ]xg - f ]ag = g ]xg - g ]ag gl]cg 같다. 가 성립한다. Y 0 이므로 또 f ]ag = g ]ag = 0 이고 gl]xg = Y g ]ag = 0 이고 롤의 정리에 따라 g ]xg = ffl]]ccgg f ]xg - f ]x ag = ggll]ccg g ]xg - g ]xag 이다. 이때 x " a 이면 c " a 이므로 lim x"a 를 얻는다. 18 I 미분의 활용 f l]xg f ]xg f l]cg = lim = lim c"a x"a g ]xg gl]cg gl]xg 2. 로피탈의 정리 19 따라서 lim x"a f l]xg f ]xg = lim x " a g ]xg gl]xg 3 부정형 3 꼴에 대한 로피탈의 정리 부정형 3 3 꼴의 극한에 대하여도 로피탈 정리는 성립하는데 이에 대한 증명 이상을 정리하면 다음과 같다. 방법은 고등학교 수준을 넘으므로 증명 없이 소개한다. 0 부정형 꼴에 대한 로피탈 정리 0 두 함수 f ]xg 와 g ]xg 가 점 x = a 를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능하 고, f ]ag = g ]ag = 0 , gl]xg = Y 0 ]x = Y ag 이며 극한값 부정형 3 3 꼴에 대한 로피탈 정리 lim x"a 고, lim f ]xg = !3 , lim g ]xg = !3 이며 참고하기 f l]xg 가 존재하면 gl]xg 0 꼴에 대한 로피탈 정리는 0 우극한과 좌극한의 경우에도 두 함수 f ]xg 와 g ]xg 가 점 x = a 를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능하 f ]xg f l]xg lim = lim x"a x " a g ]xg gl]xg x"a lim x"a f l]xg 가 존재하면 gl]xg x"a lim x"a 성립한다. 예제 1 (1) lim x"0 f l]xg f ]xg = lim x " a g ]xg gl]xg 다음 극한값을 구하여라. ln ]1 + xg tan x (2) lim x"0 x - x cos x x - sin x 예제 2 다음 극한값을 구하여라. ln ]sin xg x"0 cot x 2 (2) xlim "3 (1) lim 풀이 (1) lim ln ]1 + xg = 0 , lim tan x = 0 이므로 풀이 x"0 x"0 (1) limln ]sin xg = -3 , limcot x = !3 이므로 로피탈 정리에 의하여 로피탈 정리에 의하여 2 22 ln ]1 + xg cos x = lim lim =1 x x " x x" "00 1 + x tanx x" "00 0 tan x"0 (2) lim ]x - x cos xg = 0 , lim ]x - sin xg = 0 이므로 x"0 x"0 로피탈 정리에 의하여 lim x"0 x - x cos x 1 - cos x + x sin x = lim x"0 1 - cos x x - sin x 이때 lim ]1 - cos x + x sin xg = 0 , lim ]1 - cos xg = 0 이므로 x"0 ln x x x"0 1 2 sin x cos x 2 2 ln ]sin xg sin x ]-2 sin x cos xg = 0 lim = lim = lim x"0 x"0 x"0 cot x 1 2 1 sin x 2 sin x cos x 2 2 ln ]sin xg x sin ]-2 sin x cos xg = 0 lim = lim = lim x"0 x"0 x"0 cot x 1 2 sin x (2) xlimln x = 3 이므로 로피탈 정리에 의하여 x = 3 , xlim "3 "3 coscos 1x+ x sin x x 2 sin x+ x cos x x x cos x kx k 1x+ x sin 2 sin x+ x cos x cos a 2 a+ =3 lim lim lim lim 3 3 == == == == lim lim 2+ x"0 x"0 x"0 x"0 x"0 x"0 coscos 1x x 1sinsin x x sinsin x x 답 (1) 1 (2) 3 x"0 ln x lim = xlim x"3 "3 x 1 x 1 참고하기 lim f ]xg = !3 , 2 x = xlim x "3 x"a lim g ]xg = !3 이면 3 3 꼴이라 부른다. x"a 2 x 이때 lim 2 x = 3 , lim x = 3 이므로 x"3 x"3 문제 1 다음 극한값을 구하여라. (1) lim 3 x"0 20 I 미분의 활용 sin x -1 x (2) lim x"0 9x - 3 sin 3x 3 5x 1 2 x x lim = x = xlim =0 x"3 "3 1 답 (1) 0 (2) 0 2. 로피탈의 정리 21 중단원평가 문제 2 다음 극한값을 구하여라. (2) lim ln 1x x " 0+ ex (1) lim lntan x r x" 2 - lncos x 3 0 1 0 한편 0 # 3 , 3 - 3 , 3 , 1 , 0 와 같은 형태의 부정형일때는 주어 0 진 식을 변형하여 또는 3 3 꼴의 부정형으로 바꾸어 로피탈 정리를 적용하 0 여 극한값을 구한다. 예제 3 (1) xlim x _1 - e i "3 (2) lim a cot x x"0 1k x (2) xlim " 0+ 2 ln x 1 ex 1 (4) lim b x - 1 x x - 1 (3) xlim " 1+0 다음 극한값을 구하여라. 1 x 다음 극한값을 구하여라. 1 - sin x (1) limr 1 + cos 2x x" 2 x"0 1 l sin x 2 x f ]xg 함수 f ]xg = # sin d rt n dt 에 대하여 lim 3 의 값을 구하여라. x " 0 0 2 x 풀이 x = 3 , lim _1 - e x i = 0 이므로 로피탈 정리를 적용할 수 없다. (1) xlim "3 x"3 1 1-e lim - eex2 i = 0lim limx__11 11 x" 33 x" x"3 1 x 1 x -e x d 1 1-e 1 x lim x"3 1 x = xlim "3 - 에서 로피탈의 정리에 의하여 3 1 2 n x 다음과 같이 정의된 함수 f ]xg 가 x = 0 에서 연속이 되도록 실수 c 의 값을 정하여라. ]tan xg2 Y 0g ]x = 2 f ]xg = sin c 4x m r ]x = 0g c * 1 2 x 1 x = xlim - e = -1 "3 (2) limcot x = !3 , lim 1 = !3 이므로 x"0 x x cos x - sin x -x sin x -sin x 1 a cot x - k = lim b cos x - 1 l = lim cc cos x - sin x m m = lim = lim =0 lim lim x x xx" x " 0 sin x + x cos x x " 0 sin x x"0 x"0 "00 sinxx sin x xxsin + cos x x 에서 로피탈 정리에 의하여 4 다음과 같이 정의된 두 함수 f ]xg , g ]xg 가 x cos x - sin x m -x sin x -sin x c = lim lim = lim =0 x"0 x " 0 sin x + x cos x x " 0 sin x x sin x 2 1 x + cos x Y 0g, g ]xg = sin x f ]xg = * x sin x ]x = cos sin x x x x sin x x sin c m = lim 0 = = lim lim ] 0 x = 0g x"0 x " 0 sin x + x cos x x " 0 sin x x sin x + cos x x f ]xg f l]xg 일 때, xlim 는 존재하지 않음을 보여라. = 0 이지만 lim (2) 0 답 (1) -1 " 0+ g ]xg x " 0+ gl]xg x"0 문제 3 다음 극한값을 구하여라. (1) lim c x"1 22 I 미분의 활용 x m 1 x-1 ln x (2) lim ]x + 1gcot x x"0 2. 로피탈의 정리 23 01 3 뉴턴의 방법 학습 목표 뉴턴의 방법을 활용하여 방정식의 근사해를 구할 수 있다. 방정식의 근사해 뉴턴의 방법 인수 분해를 이용하여 방정식 f ]xg = 0 의 해를 구할 수 없을 때, 수치적인 01 뉴턴의 방법 방법으로 계산하여 해의 근삿값을 찾을 수 있다. 이러한 방법 중 순환과 반복 의 원리를 이용하여 구하는 방법을 뉴턴의 방법이라고 한다. 이 방법을 정리하면 다음과 같다. 참고하기 뉴턴의 방법 ❶ 방정식 f ]xg = 0 의 해를 추측한다. ❷ n 번째 근사해 x n 으로부터 n + 1 번째 근사해 x n + 1 를 다음 식을 이용하 여 구할 수 있다. 생각 열기 xn+1 = xn - 방정식 f ]xg = 0 의 해를 구하고자 할 때 공식을 이용할 수 없는 경우라면 어떻게 해야 할까? 이러 한 경우 수치적 방법을 이용하여 근삿값을 계산할 수 있는데, 이런 방법 중 하나가 뉴턴의 방법 또는 뉴턴-래프슨 방법(Newton-Raphson Method)이다. 이 방법의 기본적인 생각은 f ]xg = 0 인 점 근방의 함수 y = f ]xg 의 그래프의 접선을 이용하는 것이다. 뉴턴-랩슨 방법 기울기 함수 f ]xg 는 f ]xg = 0 근방의 점에서 미분가능하다 는 조건이 있어야 뉴턴의 방 법을 사용할 수 있다. f ]x ng f l]x ng 이 방법의 기본적인 원리는 f ]xg = 0 의 근방의 점에서 함수 y = f ]xg 의 그래프의 접선을 사용하는 것이다. 그 방법을 알아보자. 방정식 f ]xg = 0 의 근에 가 y = f ]xg 까운 초깃값 x 1 에 대하여 함수 y = f ]xg 위의 점 ]x 1, f ]x 1gg f ]x 1g 이고 접선의 방정식은 f ]x 2g 에서의 접선의 기울기는 f l]x 1g O y - f ]x 1g = f l]x 1g]x - x 1g x3 x2 x1 이다. 이 접선이 x 축과 만나 는 점 ]x 2, 0g 을 대입하면 0 - f ]x 1g = f l]x 1g]x 2 - x 1g 따라서 이 식을 x 1 에 관해 정리해 주면 24 I 미분의 활용 3. 방정식의 근사해 25 x2 = x1 - f ]x 1g Y 0 f l]x 1g , f l]x 1g = 이때 f ]xg 는 구간 6a, a@ 에서 감소하므로 f ]ag < 0 , f ]ag = 0 이 될 수 없다. 즉 f ]ag < f ]ag 이므로 이것은 모순이다. 이러한 과정을 반복하여 일반적으로 다음과 같은 식을 얻는다. xn+1 = xn - 따라서 f l]ag > 0 이고 a < x 0 f ]x ng …(1) f l]x ng 이와 같이 식 (1)의 반복된 식을 이용해서 얻은 x n 을 방정식 f ]xg = 0 의 근 이제 x n > a 라고 하면 f l]x ng > 0 이므로 x n + 1 이 정의되어 xn+1 - a = xn - a - 사해라 하고, 이렇게 방정식의 근사해를 구하는 방법을 뉴턴의 방법이라고 한다. 예제 1 = ]x n - ag)1 - 2 방정식 x - 2 = 0 의 양의 근사해를 뉴턴의 방법을 이용하여 소수 둘째 자리까지 구하여라. (단, x 1 = 1 ) f ]xg = x - 2 라 할 때 f l]xg = 2x 를 식 (1)에 대입하면 2 따라서 방정식 x - 2 = 0 의 양의 근사해의 소수 둘째 자리까지의 값은 1.41이다. 답 1.41 f l]x nlg …… ① 3 f l]x ng 이때 x n > a 에서 x n > x nl > a , f l]xg 는 증가함수이므로 ]a f m ]xg > 0g f l]x ng > f l]x nlg > f l]ag > 0 2 xn - 2 xn 1 xn+1 = xn = + xn 2x n 2 이때 초기값 x 1 = 1 이므로 x 2 =1.5 , x 3 =1.41667 , x 4 =1.41422 이다. ]a f ]ag = 0g 한편 f l]x ng = 0 이면 뉴턴 의 방법을 사용할 수 없으며, 다음 그림과 같이 뉴턴의 방 법에서 구하려는 방정식의 해 에서 너무 떨어진 값에서 시 작하면 다른 근에 수렴할 수 도 있다. 이 되는 x nl 을 잡을 수 있다. (평균값 정리) 2 풀이 f ]x ng - f ]ag f l]x ng 참고하기 이고, 찾게 되는 근 찾는 근 출발점 f l]x nlg < 1 …… ② f l]x ng ①, ②에서 0 < x n + 1 - a < x n - a 이므로 0< 찾는 근 찾게 되는 근 x1 > x2 > g > xn > xn+1 > g > a 출발점 이 되어 수열 " x n, 은 감소수열이고 극한값이 존재한다. 문제 1 3 방정식 x + 3x - 6 = 0 의 근사해를 뉴턴의 방법으로 소수 둘째 자리 만약 수열 " x n, 의 극한값을 b 라 하면 b $ a 이므로 f l]bg $ f l]ag > 0 까지 구하여라. (단, x 1 = 1 ) 이고, n " 3 이면 x n + 1 " b , x n " b 이므로 이제 방정식 f ]xg = 0 이 구간 ]a, bg 에서 오직 한 개의 실근 a 를 가지면 뉴 턴의 방법으로 구한 방정식 f ]xg = 0 의 근사해로 이루어진 수열 " x n, 이 a 로 수렴함을 보이자. 예제 2 따라서 f ]bg = 0 , a = b 구간 6a, b@ 에서 f m ]xg > 0 이고 f ]ag < 0 , f ]bg > 0 이면 방정 수열 " x n, 은 f ]bg f ]x ng 에서 b = b ] g f l]bg fl xn 답 풀이 참조 식 f ]xg = 0 은 구간 ]a, bg 에서 오직 한 개의 실근을 갖는다고 한다. f ]x ng x1 = b , xn+1 = xn - ] g fl xn 으로 정의할 때, nlim x n = a 임을 보여라. "3 증명 xn+1 = xn - 문제 2 방정식 f ]xg = 0 의 두 근의 근사해를 찾는 과정에서 초깃값 x 1 에 대하 여 f ]x 1g = 0 이었다. x 2 의 값을 구하고 x n 의 값과 비교하여라. MEMO f l]ag # 0 이라 가정하면 f l]xg 는 증가하므로 ]a f m ]xg > 0g a # x < a 에서 f l]xg < 0 26 I 미분의 활용 3. 방정식의 근사해 27 중단원평가 1 함수 f ]xg = x + x - 3 에서 초깃값 x 1 = 1 일 때와 x 1 = -1 일 때 각각 x 3 의 값을 뉴턴의 4 3 방법으로 찾고, 두 개의 근의 근삿값을 구하여라. 염산에서 마그네슘 수산화물이 포화된 용액의 산성도를 찾을 때, 수소 이온 농도에 대한 다음 방 정식이 유도된다. -11 3.64 # 10 6OH 3+@2 = 6OH 3 @ + 3.6 # 10 + -4 (단, 6OH 3+@ 는 수소 이온 농도이다.) 6OH 3+@ 의 값을 찾기 위해 x = 10 4 6OH 3+@ 로 놓고 위 식을 변형하면 3 2 x + 3.6x - 36.4 = 0 이 방정식의 근을 뉴턴의 방법으로 소수 둘째 자리까지 구하고, 6OH 3+@ 의 값을 구하여라. 2 방정식 x 4 - 2 = 0 을 이용하여 4 2 의 근삿값을 소수 둘째 자리까지 구하여라. 4 33 중간값 정리를 이용하여 방정식 xx - 22xx - 442 = = 00 의 근이 1 과 2 사이에 있음을 보여라. 또 이 근사해를 뉴턴의 방법으로 소수 다섯째 자리까지 구하여라. 28 I 미분의 활용 3. 방정식의 근사해 29 01 4 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 정의 학습 목표 쌍 곡선함수의 정의를 알고 이를 활용할 수 있다. 역쌍곡선함수의 정의를 알고 이를 활용할 수 있다. 쌍곡선 함수의 도함수 쌍곡선함수의 정의 01 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 정의 두 지수함수 e x 과 e -x 와 같은 특정한 함수들은 수학과 그 활용 분야에서 02 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 도함수 매우 자주 등장하기 때문에 특별한 명칭을 붙인다. 이 함수들은 여러 가지 방 법에서 삼각함수와 매우 유사하며, 이 함수들과 쌍곡선 사이의 관계는 삼각함 수들과 원 사이의 관계와 같다. 이런 이유로 이 함수들을 통틀어 쌍곡선함수라 부른다. 이들 쌍곡선함수는 이들을 나타내는 함수 기호도 삼각함수의 기호에 쌍곡선(hyperbola)을 의미하는 영문자 ‘h’를 결합하여 사용한다. 쌍곡선함수의 정의 -x 1] x e -e g 2 -x 1 x ❷ 쌍곡선코사인함수 cosh x = ]e + e g 2 x -x e -e sinh x ❸ 쌍곡선탄젠트함수 tanh x = = x -x cosh x e +e 1 2 ❹ 쌍곡선코시컨트함수 csch x = = x -x sinh x e -e 1 2 = x ❺ 쌍곡선시컨트함수 sech x = -x cosh x e +e x -x cosh x e +e ❼ 쌍곡선코탄젠트함수 coth x = = x -x sinh x e -e ❶ 쌍곡선사인함수 sinh x = 생각 열기 2 Y 0g ]x = Y 0g ]x = 2 원과 유사한 형태로 부호만 조금 다른 x - y = 1 사이의 유사성에 대 하여 17세기 후반에 여러 수학자들이 관심을 갖기 시작했으며 지금 우리 이렇게 정의한 쌍곡선함수의 그래프와 몇 가지 성질을 알아보자. 가 사용하는 쌍곡선 함수의 기호와 이름은 독일 수학자 람베르트(J. H. Lambert: 1728~1777)에 따른 것이다. 지수함수로 표현되는 쌍곡선 함 수와 로그함수로 표현되는 역쌍곡선 함수의 미분에 알아보자. 예제 1 sinh ]-xg = -sinh x 임을 보여라. -x 1] x e - e g 이므로 2 -]-xg 1 -x g = - 1 ]e x - e -xg = -sinh x 이다. sinh ]-xg = ]e - e 2 2 풀이 sinh x = 답 30 I 미분의 활용 풀이 참조 4. 쌍곡선함수의 도함수 31 cosh x = cosh ]-xg 임을 보여라. 문제 1 따라서 쌍곡선사인함수의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고 쌍곡선코사인함수 의 그래프는 y 축에 대칭이다. 쌍곡선탄젠트함수의 그래프도 정의에 따라 원점에 x 대하여 대칭인 것을 알 수 있다. 이들의 그래프는 y = e 과 y = e -x 의 그래프 예제 3 sinh ]x + yg = sinh x cosh y + cosh x sinh y 임을 보여라. 풀이 쌍곡선코사인함수와 쌍곡선사인함수의 정의에서 sinh x cosh y + cosh x sinh y =c x e -e 2 -x mc e + e 2 y -y -]x+yyg e e e-e e m+c e + = mc 22 2 x -xx + y y m = sinh ]x + yg 답 풀이 참조 를 결합하여 아래와 같이 그릴 수 있다. 문제 3 cosh ]x + yg = cosh x cosh y + sinh x sinh y 임을 보여라. 역쌍곡선함수의 정의 쌍곡선사인함수 y = sinh x 의 도함수는 cosh x 이므로 y = sinh x 는 실 수의 전 구간 ]-3, 3g 에서 증가한다. 따라서 y = sinh x 의 역함수가 존재 -1 하며 이것을 y = sinh x 로 나타내고, 역쌍곡선사인함수라 한다. 즉 -1 -4 -2 [그림 1] 2 y = sinh x + x = sinh y 4 [그림 2] [그림 3] 마찬가지로 쌍곡선탄젠트함수도 정의로부터 실수의 전 구간 ]-3, 3g 에 -1 서 증가함을 알 수 있으며 이를 y = tanh x 로 나타내고 역쌍곡선탄젠트함 수라 한다. 즉 -1 2 y = tanh x + x = tanh y 2 예제 2 cosh x - sinh x = 1 임을 보여라. 풀이 쌍곡선코사인함수와 쌍곡선사인함수의 정의에 의하여 cosh x - sinh x = c 2 2 x e +e 2 -x 2x m-c e - e 2 e +2+e 4 =1 = x -2x -x 2x - [그림 2]에서 보듯이 y = cosh x 은 일대일이 아니지만 정의역을 60, 3g 으 로 축소하면 이 구간에서는 일대일이 되므로 역쌍곡선코사인함수를 정의할 수 m 2 e -2+e 4 있다. 다른 쌍곡선함수들도 일대일이 되도록 정의역을 적당히 축소하여 그들의 역 -2x 함수가 존재하게 할 수 있다. 이를 정리하면 다음과 같다. 답 풀이 참조 역쌍곡선함수의 정의 ❶ y = sinh 문제 2 다음 등식이 성립함을 보여라. 2 2 (1) tanh x + sech x = 1 32 I 미분의 활용 2 2 (2) coth x - cosech x = 1 -1 x + x = sinh y ]-3 < x < 3, - 3 < y < 3g ❷ y = cosh -1 ❸ y = tanh -1 x + x = cosh y ]x $ 1, y $ 0g x + x = tanh y ]-1 < x < 1, - 3 < y < 3g 4. 쌍곡선함수의 도함수 33 쌍곡선함수는 지수함수의 식으로 정의되므로, 역쌍곡선함수를 로그의 식으로 02 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 도함수 표현할 수 있다는 건 매우 당연한 접근이다. 이제 쌍곡선함수를 로그함수를 사용하 학습 목표 쌍 곡선함수의 도함수를 알고 이를 활용할 수 있다. 여 나타내 보자. 역쌍곡선함수의 도함수를 알고 이를 활용할 수 있다. 예제 4 sinh x = ln _ x + x + 1 i 임을 보여라. 풀이 y = sinh x 라고 하면 다음이 성립한다. -1 2 쌍곡선함수의 도함수 -1 y e -e x = sinh y = 2 앞절에서 살펴본 쌍곡선함수의 정의와 성질에서 쌍곡선함수의 도함수를 구 -y , 해 보자. 이면 2y y e - 2xe - 1 = 0 2 y 이제 Y = e 라고 하면 Y - 2xY - 1 = 0 이 되고 이는 Y 에 관한 이차방정 예제 1 d sinh x = cosh x 임을 보여라. dx -x x 식이다. Y > 0 이므로 근의 공식을 이용하면 e -e 이므로 2 x -x x -x d d ce -e m e +e sinh x = = = cosh x 2 2 dx dx 풀이 2 Y = x+ x +1 이다. 따라서 Y = e y 로 바꾸어 놓은 다음 로그의 정의에 따라 식을 변형하면 sinh x = 답 풀이 참조 y = ln _ x + x + 1 i . 2 답 풀이 참조 문제 1 문제 4 cosh x = ln _ x + x - 1 i -1 2 ]x $ 1g 임을 보여라. 역쌍곡선탄젠트함수을 로그의 식으로 표현한 1 1+x ] tanh x = ln -1 < x < 1g 2 1-x 예제 2 풀이 d cosh x = sinh x 임을 보여라. dx 2 d tanh x = sech x 임을 보여라. dx 몫의 미분법을 적용하면 -1 2 2 2 sinhxx 1 d = cosh xd sinh = sech x c2 m= tanh x = 2 dx dx cosh cosh x x cosh x 은 연습문제에 남겨 놓았다. 이상에서 역쌍곡선함수를 로그의 식을 이용하여 나타낸 것을 정리하면 다음과 답 풀이 참조 같다. 역쌍곡선함수의 로그 표현 ❶ sinh -1 문제 2 x = ln _ x + x + 1 i ]-3 < x < 3g 2 x = ln _ x + x - 1 i ]x $ 1g -1 1 1+x ] -1 < x < 1g ❸ tanh x = ln 2 1-x ❷ cosh 34 I 미분의 활용 -1 2 d coth x = -csch x 임을 보여라. dx 2 d d csch x = -csch x : coth x , sech x = -sech x : tanh x dx dx 임을 보일 수 있는데, 이는 연습 문제에서 다루기로 한다. 이 외에도 4. 쌍곡선함수의 도함수 35 중단원평가 이상의 쌍곡선함수의 도함수를 정리하면 다음과 같다. 1 쌍곡선함수의 도함수 d d ❷ cosh x = sinh x sinh x = cosh x dx dx 2 2 2 dd d d ❹= dx cschxx:= dx csch x -csch x x: tanx x==sech sechx x coth =coth -csch csch x coth x sech x = -sec❸hx : tan tanh dxdx dx dx 2 d d ❺ sech x = -sech x : tanh x ❻ coth x = -csch x dx dx ❶ 역쌍곡선함수의 도함수 2 풀이 1 x +1 2x 1 + tanh x =e 1 - tanh x 다음을 보여라. (1) d csch x = -csch x : coth x dx (2) d sech x = -sech x : tanh x dx 는 역삼각함수의 도함수와 매우 유사함을 알 수 있을 것이다. 2 tanh x + tanh y 1 + tanh x tanh y (3) ]cosh x + sinh xgn = cosh nx + sinh nx 수도 있으나, 음함수의 미분법을 이용하여 구해 보자. 역쌍곡선함수의 도함수 -1 d sinh x = dx (1) tanh ]x + yg = (2) 역쌍곡선함수의 도함수는 위의 역쌍곡선함수의 로그 표현을 이용하여 구할 예제 3 다음을 보여라. 임을 보여라. 음함수의 미분법을 사용하기 위하여 y = sinh -1 1 1+x ] ln -1 < x < 1g 임을 보여라. 2 1-x 3 tanh x = 4 다음 함수의 도함수를 구하여라. -1 x 라고 하면 x = sinh y 이므로, 이 식의 양변을 x 에 대하여 미분하면 dy dy dy d 1 ]sinh yg : 1= = cosh y : = , dy dx dx dx cosh y 2 2 이다. 또한 cosh y - sinh y = 1 이고 cosh y > 0 이므로 2 cosh y = 1 + sinh y = 1 + x dy = 이다. dx 따라서 2 (1) y = sinh ] x g 2 1 (2) y = tanh ]x + 1g 2 2 x +1 (3) y = x ]sinh x2gx lnsinh 답 풀이 참조 -1 (4) y = cosh ]e g 2 문제 3 -1 d cosh x = dx MEMO 36 I 미분의 활용 1 2 x -1 3 x 임을 보여라. 5 lim x"3 sinh x 의 값을 구하여라. x e 4. 쌍곡선함수의 도함수 37 대단원평가 1 평균값의 정리를 이용하여 - r r < x 1 < x 2 < x 3 < 인 세 실수 x 1 , x 2 , x 3 에 대하여 2 2 5 (2) xlim x" "3 0 x ef l]xg 5 gxl]xg ]cos xg x (4) lim x"0 11 ylim =aacot tan (3) lim cotxx- xxkk xx "" 00 임을 보여라. 다음 극한값을 구하여라. x e -1-x (1) lim 2 x"0 x ] g ln 1 + x (3) lim x"0 sin 2x ]x + 1g (1) xlim " 0+ cot x cos x 3 - cos x 2 cos x 2 - cos x 1 > x2 - x1 x3 - x2 2 다음 극한값을 구하여라. (2) lim c x"1 x m 1 x-1 ln x (4) lim "ln ]1 + xg,x x " 0+ 1 2 6 곡선 y = tan x 와 직선 y = 2x 가 만나는 값을 x = 0 과 x = r 사이에서 뉴턴의 방법으로 2 소수 다섯째 자리까지 구하여라. 3 미분가능한 두 함수 f ]xg , g ]xg 에 대하여 lim f ]xg = xlim g ]xg = 0 이고, 극한값 lim "3 x"3 lim x"3 f l]xg f ]xg 임을 보여라. = xlim " 3 g ]xg gl]xg x"3 f ]xg f l]xg 가 존재하면 극한값 lim 가 존재하고, x"3 g ]xg gl]xg 7 4 1 두 함수 f ]xg = ln x , g ]xg = x 과 폐구간 61, e@ 에 대하여 코시의 평균값의 정리를 만족하는 어떤 곡선은 너무 평평하여 뉴턴의 방법으로 유용한 근삿값을 구할 수 없는 경우가 있다. 함수 f ]xg = ]x - 1g100 을 초깃값 x 1 = 2 로 뉴턴의 방법을 사용할 때, x n - 1 < 0.01 을 만족하 는 n 의 최솟값을 구하여라. c 의 값을 모두 구하여라. 38 I 미분의 활용 4. 쌍곡선함수의 활용 I 미분의도함수 39 39 Ⅱ 적분의 활용 1 쌍곡선함수의 부정적분 2 이상 적분 3 부피와 넓이 4 길이와 넓이 단원 열기 고대 그리스 시대 시라쿠사의 수학자 아르키메데스(약 기원전 287~기원전 212)는 도형 의 면적이나 부피를 구하는 데 오늘날의 적분과 유사한 방법을 사용하였다. 아르키메데스 는 구적법을 이용하여 원, 구, 포물선의 일부 등의 면적과 부피를 구하는 증명을 제시하였 다. 구적법 문제는 이후 르네상스 시기에 이르러 보나벤투라 카발리에리가 무한의 개념을 도입하면서 진전이 있었다. 19세기에 이르러 베른하르트 리만(1826~1866)은 적분에 대해 수학적으로 엄밀한 정의 를 내렸고, 20세기 초 앙리 르베그(1875~1941)가 적분 이론을 완성했다. 40 II 적분의 활용 II 적분의 활용 41 1 01 학습 목표 지수함수로 표현되는 여러 가지 쌍곡선함수의 부정적분을 구할 수 있다. 로그함수로 표현되는 여러 가지 역쌍곡선함수의 부정적분을 구할 수 있다. 쌍곡선함수의 부정적분 01 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 부정적분 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 부정적분 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 부정적분 쌍곡선함수의 도함수를 이용하여 여러 가지 쌍곡선함수의 부정적분을 구하 는 과정을 살펴보자. 예를 들어 d sinh x = cosh x dx 이므로 # cosh x dx = sinh x + C 라고 할 수 있다. 또한 d cosh x = sinh x dx 를 이용하면 # sinh xdx = cosh x + C 를 구할 수 있다. 예제 1 풀이 tanh x 의 부정적분을 구하여라. tanh x = sinh x cosh x 이므로 sinh x # tanh x dx = # cosh dx x 이다. t = cosh x 라고 하면 dt = sinh x 이므로 dx # tanh x dx = # 1t dt = ln t + C = ln cosh x + C 이다. 그리고 항상 cosh x > 0 이므로 # tanh x dx = ln ]cosh xg + C 생각 열기 지수함수와 로그함수의 적분과 다양한 방법의 적분법을 이용하면 쌍곡선 함수와 역쌍곡선 함수의 적분 이다. 답 풀이 참조 을 다룰 수 있다. 문제 1 42 II 적분의 활용 coth x 의 부정적분을 구하여라. 1. 쌍곡선함수의 부정적분 43 이상의 쌍곡선함수의 부정적분을 정리하면 다음과 같다. coshg xx # cos dx = # 2 cosh t dt = 2 sinh t + C xx = 2 sinh x + C 쌍곡선함수의 부정적분 (2) t = cosh x 라고 하면 dt = sinh x dx 이므로 ❶ # sinh x dx = cosh x + C # sinh x dx = # 1 dt = - 1t + C 2 ❷ # cosh x dx = sinh x + C cosh x t ❸ # tanh x dx = ln ]cosh xg + C =- 2 1 + C = -sech x + C cosh x 답 풀이 참조 ❹ # coth x dx = ln sinh x + C ❺ # sech x dx = tan -1 sinh x + C 문제 3 x ❻ # csch x dx = ln tanh 2 + C (2) sin ]2xg : sinh ]sin xg (1) cosh x 다음 역쌍곡선함수의 부정적분을 구해 보자. 예제 2 x cosh x 의 부정적분을 구하여라. 풀이 부분적분법을 이용하여 부정적분을 구해 보자. -1 예제 4 f l]xg = cosh x , g ]xg = x 로 놓으면, f ]xg = sinh x , gl]xg = 1 이다. 풀이 따라서 cosh x 의 부정적분을 구하여라. cosh -1 x = ln _ x + x - 1 i ]x $ 1g 이므로 2 # cosh x dx = # ln _ x + x - 1 i dx -1 # x cosh x dx = x : sinh x - # 1 : sinh x dx 이다. f ]xg = ln _ x + x - 1 i , gl]xg = 1 이면 = x sinh x - cosh x + C 2 답 풀이 참조 문제 2 f l]xg = 다음 함수의 부정적분을 구하여라. (2) x sech 2 x (1) x sinh x 2 1+ 2 x + x x- 1 1+ 2 2 x x 1 1 x 2 x+ x -1 x -1 1x - 1 1 f l]xg= = = = g ]xg= =x 2 2 22 2. 2 x+ x -1 xx+ xx+- x + xx -11 1 -1 x -1 -1 2 1 & # cosh x dx = x : ln _ x + x - 1 i - # x : dx 2 x -1 2 2 = x ln _ x + x - 1 i - x - 1 + C ]x $ 1g 2 예제 3 (1) cosh x 풀이 44 II 적분의 활용 (2) x (1) t = x 라고 하면 sinh x 2 cosh x 2 답 풀이 참조 MEMO dt 1 이므로 2dt = 1 dx 이다. = dx x 2 x 1. 쌍곡선함수의 부정적분 45 중단원평가 문제 4 다음을 보여라. (1) # sinh -1 x dx = x ln _ x + x + 1 i - x + 1 + C 2 2 1 다음 부정적분을 구하여라. 2 x 1+x 1 (2) # tanh tanhx dx x = ln + ln 1 - x + C 1-x 2 2 ]-1 < x < 1g (1) # x cosh 2x dx 이상의 쌍곡선함수의 부정적분을 정리하면 다음과 같다. (3) # sin x cosh x dx -1 -1 (2) # x sinh x dx 2 역쌍곡선함수의 부정적분 ❶ # sinh -1 ❷ # cosh x dx = x ln _ x + x + 1 i - x + 1 + C -1 2 x dx = x ln _ x + x - 1 i - x - 1 + C ]x $ 1g 2 tanh-1 xxdx dx= = ❸ ## tanh -1 예제 5 2 2 +xx 11 xx 11+ ln ln 11<xx< <11gg + ln -xx22 + +CC ]]-11< ln + -xx 22 22 11- 다음함수의 부정적분을 구하여라. 1 2 2 x -1 정적분을 구하여라. (1) # x sinh x dx 2 cosh 2 x - 1 = sinh 2 x 을 이용하여 x = cosh t 라 하면 풀이 dx -1 = sinh t 이고 t = cosh x 이다. 따라서 dt 1 # 2 x -1 1 2 x -1 # 2 cosh t - 1 : sinh t dt = # sinh t dt sinh t (2) # 3x tanh x dx 2 (3) # -1 x 2 1+x 2 dx > 0 이므로 1 2 dx = # 1 -1 x -1 dx = # sinh t dt = # dt = t + C sinh t = cosh x + C = ln _ x + x - 1 i + C ] x > 1g 2 -1 답 풀이 참조 문제 5 다음을 구하여라. # 46 II 적분의 활용 1 9+x 2 dx 1. 쌍곡선함수의 부정적분 47 2 01 학습 목표 이상 적분의 의미를 알 수 있다. 여러 형태의 이상 적분을 구할 수 있다. 이상 적분 01 이상 적분의 뜻 이상 적분의 뜻 적분구간에 무한대가 포함된 이상 적분 정적분 # f ]xg dx 를 정의할 때, 유한구간 6a, b@ 에서 정의된 함수를 다루 b a 었다. 이제 적분구간이 무한대인 경우의 정적분의 개념을 알아보려고 한다. 또한, 함수 f 가 구간 6a, b@ 에서 불연속인 경우에 이 구간 내에서의 정적분의 개념을 알아보고자 한다. 아래의 첫 번째 그림과 같이 y = e -x , x = 0 과 x 축으로 둘러싸인 영역 처럼 적분구간이 60, 3@ 인 경우의 정적분을 생각해 볼 수도 있고, 아래의 두 번째 그림과 같이 곡선 y = 1 , x = 1 과 x 축, y 축으로 둘러싸인 영역처 x 럼 유한이 아닌 영역의 넓이를 생각해야 할 경우도 있다. y y y= y=e O 1 -x b 1 x x [ 그림 1 ] O 1 x [ 그림 2 ] [그림 1]은 밑변의 길이가 무한이기 때문에 둘러싸인 영역의 넓이가 무한일 것으로 생각할 수 있고, [그림 2]는 높이의 길이가 무한이기 때문에 둘러싸인 영역의 넓이가 무한일 것으로 생각할 수 있다. 하지만 영역의 어느 부분의 길 생각 열기 보통의 정적분에서 상한이나 하한이 변할 때 취하는 극한으로 정의되거나 적분구간에서 주어진 함수의 값을 정의할 수 없는 정적분 형태가 종종 등장한다. 이러한 형태인 이상 적분은 수열의 극한 개념으로 접근할 수 있다. 이가 무한일지라도 둘러싸인 영역의 넓이가 항상 무한이 되는 것은 아니다. 그 러면 위의 그림과 같이 유한이 아닌 영역의 넓이는 어떻게 정의하고 구 할까? 3 n i=1 i=1 우리는 무한급수에서 무한히 많은 수들의 합 { a i 를 부분합 s n = { a i 의 극한으로 정의하여 급수의 합을 구하였다. 이와 같은 생각을 확장하여 위의 그림에서 도형의 넓이를 구하는 것에 이용한다. 먼저 적분 구간에 3 를 포함하는 [그림 1]의 경우를 살펴보자. 48 II 적분의 활용 2. 이상적분 49 자연수 n 에 대하여 [그림 1]의 영역의 넓이는 lim # e n -x n"3 0 가 모두 존재하면 # dx -3 와 같이 극한으로 정의하면 된다. 이제 이 극한값을 계산해 보자. lim # e n -x n"3 0 f ]xg dx = # 3 a -3 f ]xg dx + # 3 a f ]xg dx 로 정의한다. 6-e -x@0n = lim ]-e -n + e 0g = 1 dx = nlim "3 n"3 위의 경우를 정리하여 이상 적분을 정의하면 다음과 같다. 이다. 이와 같이 정적분의 극한값 lim # e n -x n"3 0 가 존재하면 이를 함수 y = e -x 의 구간 60, 3g 에서의 이상 적분이라 하고, lim # e n"3 n 이상 적분의 정의(형태 1) dx -x 0 dx = # e 3 -x 0 ❶ n $ a 인 모든 n 에 대하여 # n a # dx 3 a f ]xg dx 가 존재하면 # f ]xg dx f ]xg dx = nlim "3 n a 으로 정의한다. ❷ n # b 인 모든 n 에 대하여 # f ]xg dx 가 존재하면 로 나타낸다. b 일반적으로, 함수 f ]xg 가 구간 6a, 3g 에서 연속이라 하자. 구간 6a, n@ 에서의 정적분의 극한 n # -3 lim # f ]xg dx = # n n " 3 sa 3 a f ]xg dx ❸ # 3 a f ]xg dx , # # 고, 기호로 lim # f ]xg dx = # n 3 a a 3 f ]xg dx a -3 3 -3 n"3 a # f ]xg dx f ]xg dx = nlim "3 b -n 으로 정의한다. 이 존재할 때, 이 극한값을 함수 f ]xg 의 구간 6a, 3g 에서의 이상 적분이라 하 로 나타낸다. 이때, 이상 적분 # b f ]xg dx 가 모두 존재하면 f ]xg dx = # a -3 f ]xg dx + # a 3 f ]xg dx 로 정의한다. f ]xg dx 는 수렴한다고 한다. 또, 구간 6a, n@ 에서의 정적분의 값이 발산할 때, 이상 적분 # a 3 f ]xg dx 는 이상 적분 # 예제 1 1 3 1 x dx 를 정의인 극한의 형태로 나타내어라. 발산한다고 한다. 마찬가지로 함수 f ]xg 가 구간 ]-3, b@ 에서 연속이라 하자. 이 경우도 위 와 같은 방법으로 이상 적분을 정의할 수 있다. 즉 lim # f ]xg dx n"3 b -n 가 존재하면 lim # f ]xg dx = # b b n " 3 -n -3 그뿐 아니라 함수 f ]xg 가 구간 ]-3, 3g 에서 연속이고, # a 50 II 적분의 활용 f ]xg dx , # a -3 자연수 n 에 대하여 # 3 1 n 1 # x1 dx 이다. x dx 의 정의는 nlim "3 1 답 풀이 참조 f ]xg dx 로 표현할 수 있다. 3 풀이 f ]xg dx 문제 1 다음 이상 적분을 정의인 극한의 형태로 나타내어라. # (1) lim # e x dx (2) nlim " 3 -n n"3 0 -n 0 n 1 # 1 2 dx + nlim 2 dx "3 0 1+x 1+x 2. 이상적분 51 이다. 이 경우 예제 2 # 3 1 lim # 1 x dx 가 수렴하는지 발산하는지 판정하여라. 1 e " 0+ e 1 1 1 dx = # dx 0 x x 로 나타낸다. 풀이 # 3 # n # 3 1 n 1 # x1 dx 이고 x dx = nlim "3 1 분의 극한 1 n n = 3 이므로 x dx = 6ln x@1 = ln n - ln 1 = ln n 이고 nlimln "3 1 1 일반적으로, 함수 f ]xg 가 구간 ]a, b@ 에서 연속이고, 6a + e, b@ 에서 정적 1 x dx 는 발산한다. 답 풀이 참조 lim # e " 0+ b a+e f ]xg dx 가 존재할 때, 그 극한값을 구간 ]a, b@ 에서 함수 f ]xg 의 이상 적분이라 하고, 기호로 # f ]xg dx b a 문제 2 다음 이상 적분의 수렴·발산을 판정하고 수렴하면 그 값을 구하여라. # 0 3 1 dx 2 1+x 로 나타낸다. 이때 이상 적분 # f ]xg dx 는 수렴한다고 하고, 극한값 b a lim # e " 0+ b a+e f ]xg dx 가 존재하지 않을 때, 이상 적분은 발산한다고 한다. 적분구간에서 불연속인 함수의 이상 적분 앞의 [그림 2]에서 나타낸 영역의 넓이는 함수 y = 1 에 대하여 이 곡선 x 마찬가지로 구간 6a, bg , ]a, bg 에서도 같은 방법으로 이상 적분을 정의할 수 있다. 위의 경우를 정리하여 이상 적분을 정의하면 다음과 같다. 과 x = 1 , x 축 그리고 y 축으로 둘러싸인 부분의 넓이이다. 이 경우, 구간은 유한 구간이지만 함수 y = 1 은 x = 0 에서 불연속이며 x 1 lim =3 x " 0+ x 이상 적분의 정의(형태 2) ❶ 함수 f 가 6a, bg 에서 연속이고 b 에서 불연속일 때, lim # f ]xg dx 가 존재하면 t 이다. 그러므로 정적분으로 # 0 1 1 dx 를 정의할 수는 없다. x 그러나 함수 y = 1 은 임의의 양수 e 에 대하여 폐구간 6e, 1@ 에서 연속 x 이고 이 구간에서 정적분은 # 1 e 1 1 dx = 62 x@e = 2 - 2 e x t " b- a # f ]xg dx = lim # f ]xg dx b 로 정의한다. ❷ 함수 f 가 ]a, b@ 에서 연속이고 a 에서 불연속일 때, lim # f ]xg dx 가 존재하면 b t " a+ t # f ]xg dx = lim # f ]xg dx b lim # e " 0+ e II 적분의 활용 t " b- a a 이다. 그리고 52 t 1 1 ]2 - 2 eg = 2 dx = elim " 0+ x a b t " a+ t 으로 정의한다. 2. 이상적분 53 중단원평가 예제 2 이상 적분 # 1 풀이 함수 5 1 dx 을 정의인 극한의 형태로 나타내어라. x-1 1 다음 이상 적분의 수렴·발산을 판정하고, 수렴하면 그 값을 구하여라. (1) # 3 1 은 구간 ]1, 5@ 에서 연속이고 x = 1 에서는 불연속이다. x-1 (3) #0 3 따라서 # 1 5 1 # dx = elim " 1+ e x-1 5 (5) # 3 1 dx x-1 (7) # 3 2 dx x -1 (2) # 0 2x dx ]x + 2g2 (4) # -1 2 2 2 e -3 ln x x dx xe -x 2 dx 답 풀이 참조 문제 3 이상 적분 # 0 1 1 dx 2x - 4 -3 -3 e -2x dx (6) # e - x dx 1 -3 (8) # 3 -3 x dx 2 1+x 1 dx 을 정의인 극한의 형태로 나타내어라. 2 x MEMO 2 다음 이상 적분의 수렴·발산을 판정하고, 수렴하면 그 값을 구하여라. (2) #0 1 2 dx 2 x -1 (3) # ln x dx (4) # 1 e dx e -1 r (6) #2 3 (1) # 5 0 1 dx 5-x 1 0 (5) # 2 sec x dx 0 54 II 적분의 활용 x x 0 1 dx 3-x 2. 이상적분 55 3 부피와 넓이 01 회전체의 부피 02 회전체의 넓이 01 회전체의 부피 학습 목표연속인 곡선을 x 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구할 수 있다. 연속인 곡선을 y 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구할 수 있다. 정적분을 이용하여 회전체의 부피를 구하는 방법을 알아보자. 폐구간 6a, b@ 에서 함수 f ]xg가 연속일 때, S ]x ig 곡선 y = f ]xg , x 축 및 두 직선 x = a , x = b ]a < bg 로 둘러싸인 도형을 x 축의 x 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 V x 라고 하자. 폐구간 6a, b@ 를 다음과 같이 n 개의 소 구간으로 분할한다. xi a a = x0 < x1 < x2 < g < xn-1 < xn = b b x i + 1 = x i + Dx 이고, 모든 i = 1, 2, g, n 에 대하여 Dx = x i - x i - 1 이다. x 좌표가 x i 인 점을 지나고 x 축에 수직인 평면으로 입체 도형을 자른 단면 의 넓이를 S ]x ig 라고 하면 밑면의 넓이가 S ]x ig 이고 높이가 Dx 인 기둥의 부 피는 S ]x ikgg Dx 이므로 이들 기둥 n 개의 부피의 합 Vn 은 V Vnn = = { SS]]xxkikggD Dxx n n kk= =11 이다. 따라서 구분구적법과 정적분의 정의에 따라 구하는 입체 도형의 부피 V x 는 다음과 같다. { S ]xikg Dx = # S ]xg dx V x = nlim Vn = nlim "3 "3 n 생각 열기 a k=1 S ]xg = ry = r " f ]xg, 이므로 2 b 2 2 2 V x = r # y dx = r # " f ]xg, dx b b a a 이다. 다양한 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이나, 곡면으로 이루어진 도형의 부피는 정적분의 개념을 활용하 여 구할 수 있다. 또, g ]yg 가 연속함수일 때, 곡선 x = g ]yg , y 축 및 두 직선 y = c , y = d ]c < dg 로 둘러싸인 도형을 y 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피 Vy 를 구할 때에도 위와 같은 방법으로 풀면 2 Vy = r # x dy = r # " g ]yg, dy d c 56 II 적분의 활용 d 2 c 3. 부피와 넓이 57 이 된다. 의 부피는 r ]x i + Dx ig2 f ]x ig 이상을 정리하면 회전체의 부피는 다음과 같다. 이고, 안쪽 작은 모양의 입체의 부피는 회전체의 부피(1) ❶ 폐구간 6a, b@ 에서 연속인 함수 y = f ]xg 를 x 축의 둘레로 회전시켜 생기 이므로 캔 모양의 입체의 부피는 r ]x i + Dx ig2 f ]x ig - r ]x ig2 f ]x ig = r ]2x i + Dx ig Dx i f ]x ig 는 회전체의 부피 V x 는 2 V x = r # y dx = r # " f ]xg,2 dx b b a 따라서 회전체의 부피는 근사적으로 a ❷ 폐구간 6c, d@ 에서 연속인 함수 x = g ]yg 를 y 축의 둘레로 회전시켜 생기 { r ]2x + Dx g f ]x g Dx n i c i i 이다. 함수 y = f ]xg 가 연속인 도함수를 가지면, n " 3 일 때 위의 합의 극 Vy = r # x dy = r # " g ]yg, dy d 2 i i=1 는 회전체의 부피 V y 는 d r ]x ig2 f ]x ig 한이 존재하며 그 극한값은 함수 2rxf ]xg 의 구간 6a, b@ 에서의 정적분과 같 2 c 다. 즉 # 2rxf ]xg dx = lim { r ]2x g+ f ]xDgxDgxf ]x g Dx n b 곡선 y = 예제 1 x - 1 , y = 1 , x 축, y 축에 둘러싸인 영역을 y 축 n"3 a i i i i i i=1 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구하여라. 이다. 풀이 축, 두 직선 x = a , x = b ]0 # a < bg 로 둘러싸인 도형을 y 축의 둘레로 따라서 함수 y = f ]xg 가 연속이고 f ]xg $ 0 일 때, 곡선 y = f ]xg , x Vy = r # x dy = r # _ y + 1i dy d 1 2 2 2 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 다음과 같이 정의한다. 0 c = r : y + 1 5 5 # 2rxydx = # 2rxf ]xg dx 28 2 3 1 2 y + yD = r b + + 1 l = r 5 15 3 3 0 1 b b a 답 풀이 참조 a 이러한 방법으로 회전체의 부피를 구하는 방법을 기둥 껍질 방법 또는 원주 각 방법이라고 한다. 이 기둥 껍질 방법을 정리하면 회전체의 부피는 다음과 같다. 2 문제 1 2 y x 타원 + = 1 을 x 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 4 9 구하여라. f ]xg 가 연속함수이고 f ]xg $ 0 일 때, 회전체의 부피(2) 함수 y = f ]xg 가 연속이고, f ]xg $ 0 일 때, y = f ]xg 와 x 축, x = a , x = b ]0 # a < bg 로 둘러싸인 영역을 y 축의 둘레로 회전시켜 y 곡선 y = f ]xg , x 축 및 두 직선 x = a , x = b ]a < bg 로 둘러싸인 도형을 y 축의 둘 생기는 회전체의 부피 V y 는 y = f(x) Vyg = # 2rxydx = # 2rxf ]xg dx b a 레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구해 보자. 나누어진 작은 구간 6x i, x i + 1@과 y = f ]xg b a 이다. O α a xi xi+1 b x xi 로 만들어진 영역을 y 축의 둘레로 회전시켜 MEMO 생기는 입체는 거의 오른쪽 그림과 같은 캔 모양이다. 바깥쪽 큰 모양의 입체 58 II 적분의 활용 3. 부피와 넓이 59 02 회전체의 넓이 2 y = -x + 3x - 2 와 y = 0 으로 둘러싸인 영역을 y 축의 둘레 예제 2 학습 목표연속인 곡선을 x 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 겉넓이를 구할 수 있다. 로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구하여라. 연속인 곡선을 y 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 겉넓이를 구할 수 있다. 2 y = - x + 3x - 2 가 풀이 y = - ]x - 1g]x - 2g 이므로 61, 2@ 에서 y $ 0 이다. O 그러므로 Vyg = # b a 구간 6a, b@ 에서 연속인 도함수를 가지는 함수 y = f ]xg 의 그래프를 x 축 0.5 0.5 1 1.5 2 3 2 2rxydx = 2r # ]-x + 3x - 2xg dx 2 2 3 a = x0 < x1 < x2 < g < xn-1 < xn = b 2 라 하고, 모든 i = 1, 2, g, n 에 대하여 1 a V Vyg = 2r :- 6a, b@ 를 다음과 같이 n 개의 부분구간으로 나누어 작은 구간의 끝점을 1 V g = # 2rxydx = 2r # ]-x + 3x - 2xg dx b 의 둘레로 회전시켰을 때 생기는 회전체의 겉넓이를 구해 보자. Dx = x i - x i - 1 2 3 2 r 1 4 x +x -x D = 4 1 2 라 하자. 이다. 답 풀이 참조 y y=f( x ) y p0 O 문제 2 y = e -x 2 a x b O a pi-1 pi yi pn b x 과 x 축, x = 0 , x = 1 으로 둘러싸인 영역을 y 축의 둘레 로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구하여라. y i = f ]x ig 라 하면 점 Pi ]x i, y ig 는 곡선 y = f ]xg 위에 있다. x i - 1 와 x i MEMO 사이에 해당하는 표면의 넓이는 선분 Pi - 1 Pi 를 x 축을 중심으로 회전시켜 근 사시킬 수 있다. 이 표면의 넓이는 2r yi-1 + yi Pi - 1 Pi 2 으로 표현할 수 있으며, 선분 Pi - 1 Pi 의 길이는 Pi - 1 Pi = 1 + " f l]x ig,2 Dx 로 근사된다. 그러므로 구간 6a, b@ 에서 곡선 y = f ]xg 의 그래프를 x 축의 둘 레로 회전시켰을 때 생기는 회전체의 겉넓이의 근삿값은 { 2r y n i=1 이다. 이제 Dx 이 작으면 { 2r : y 2 y n i=1 i-1 i II 적분의 활용 + yi 1 + " f l]x ig,2 Dx 2 yi-1 + yi . y i 이므로 2 1 + " f l]x ig,2 Dx . { 2ry i 1 + " f l]x ig,2 Dx 이다. 물론 Dx 이 작으면 60 i-1 n i=1 yi-1 + yi . y i - 1 이기도 하지만 아래 첨자의 일관 2 3. 부피와 넓이 61 성을 위하여 위와 같이 근사시켰다. 이제 구간 6a, b@ 에서 곡선 y = f ]xg 의 그래프를 x 축의 둘레로 회전시켰 을 때 생기는 회전체의 겉넓이는 위의 합의 극한값으로 정의할 수 있다. 즉 예제 1 y 2 곡선 y = 4 - x 은 오른쪽 그림과 같은 반 2 원을 나타내는 호이다. 이 호를 x 축으로 회전시켜 생기는 회전체의 겉넓이를 구하여라. lim { 2ry i 1 + " f l]x ig,2 Dx n"3 n O 2 2 x i=1 = # 2ry 1 + " f l]xg,2 dx = # 2rf ]xg 1 + " f l]xg,2 dx b b a a 이다. 이 정적분의 값을 구간 6a, b@ 에서 곡선 y = f ]xg 를 x 축의 둘레로 회 전시켰을 때 생기는 회전체의 겉넓이라고 한다. 또한, 같은 곡선을 y 축의 둘 레로 회전시켰을 때는 원뿔대의 반지름의 길이만 달라지고 나머지는 x 축의 둘레로 회전시켰을 때와 같다. -x yl = 풀이 1 + ]ylg2 = 4-x 2 이므로 2 x = 2 4-x 1+ 2 4-x 이다. 구하려는 회전체의 겉넓이 S x 는 S x = # 2ry 1 + ]ylg2 dx = # 2r 4 - x b 따라서 y 축의 둘레로 회전시켰을 때 생기는 회전체의 겉넓이는 # 2rx 1 + " f l]xg, dx b 2 2 -2 a 2 2 4-x 2 dx = 16r 이다. 이 값은 반지름이 2 인 구의 겉넓이이다. 2 답 풀이 참조 a 로 정의한다. 이제 회전체의 겉넓이를 정리하면 다음과 같다. 문제 1 회전체의 겉넒이 x , 1 # x # 2 를 x 축으로 회전시켜 생기는 회전체의 겉 곡선 y = 넓이를 구하여라. ❶ 연속인 도함수를 갖는 함수 y = f ]xg 를 구간 6a, b@ 에서 x 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 겉넓이 S x 는 S x = # 2rf ]xg 1 + " f l]xg, dx = # 2ry 1 + ]ylg2 dx b b 2 a a 이다. ❷ 연속인 도함수를 갖는 함수 x = g ]yg 를 구간 6c, d@ 에서 y 축의 예제 2 2 곡선 y = x , 0 # x # 1 을 y 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전 체의 겉넓이를 구하여라. 2 y = x 이므로 yl = 2x , 풀이 1 + ]ylg2 = 1 + 4x 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 겉넓이 S y 는 S y = # 2rg ]yg 1 + " gl]yg, dy = # 2rx 1 + ]xlg dy d d 2 c 2 c 이다. 구하려는 회전체의 겉넓이 S y 는 S y = # 2rx 1 + ]ylg2 dx = # 2rx 1 + 4x dx b 이다. ❸ 연속인 도함수를 갖는 함수 y = f ]xg 를 구간 6a, b@ 에서 y 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 겉넓이 S y 는 S y = # 2rx 1 + " f l]xg,2 dx = # 2rx 1 + ]ylg2 dx b a 이다. t = 이다. 2 0 2 1 + 4x 라 하면 2t dt = 8x dx 이므로 5 r 3 5 r 1 S y = # 2rt t dt = 9 t C = ]5 5 - 1g 1 4 6 1 6 답 풀이 참조 이다. MEMO 1 a b a 2 문제 2 곡선 y = x , 0 # x # 1 을 y 축으로 회전시켜 생기는 회전체의 겉 넓이를 구하여라. 62 II 적분의 활용 3. 부피와 넓이 63 중단원평가 1 다음 곡선들로 둘러싸인 영역을 지정된 축을 중심으로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 구하 3 다음 곡선을 x 축으로 회전시켜 생기는 회전체의 겉넓이를 구하여라. 여라. (1) yy =yx s+ x+ 1x 1 , 1 # x # 5 in 1 (1) y = x , x = 1 , x = 2 , y = 0 : x 축 (2) y = sin x , 0 # x # r 2 (2) y = 1 - x , y = 0 : x 축 3 (3) y = x , x = 0 , y = 8 : y 축 (4) x = 2 y , x = 0 , y = 9 : y 축 (5) y = ln x , y = 1 , y = 2 , x = 0 : y 축 (6) y = cos x , x = 0 , x = 2 r , y = 0 : x축 2 기둥 껍질 방법을 이용하여, 다음 곡선들로 둘러싸인 영역을 지정된 축을 중심으로 회전시켜 생 4 다음 곡선을 y 축으로 회전시켜 생기는 회전체의 겉넓이를 구하여라. 기는 회전체의 부피를 구하여라. 1 2 1 (1) y = 4 x - 2 ln x , 1 # x # 3 1 (1) y = x , y = 0 , x = 1 , x = 2 : y 축 (2) x = 9 - y , 0 # y # 3 2 2 (2) x = 1 + y , x = 0 , y = 1 , y = 2 : x 축 2 (3) y = x , y = 0 , x = 1 : y 축 (4) y = x 2 , y = 4 , x = 0 : x 축 (5) y = e -x , y = 0 , x = 0, x = 1 : y 축 3 (6) x = 2y - y , x = 0 : x 축 64 II 적분의 활용 3. 부피와 넓이 65 01 4 극방정식으로 이루어진 곡선의 길이 학습 목표 극방정식으로 주어진 곡선 r = f ]ig 의 길이를 구할 수 있다. 길이와 넓이 구간 6a, b@ 에서 극방정식 r = f ]ig 로 표시된 곡선의 길이를 구해 보자. r = f ]ig 이므로 i 를 매개변수로 생각하고 다음과 같이 이 곡선을 매개 방정 01 극방정식으로 이루어진 곡선의 길이 식으로 나타내면 다음과 같다. 02 극방정식으로 이루어진 영역의 넓이 ) x = r cos i = f ]ig cos i y = r sin i = f ]ig sin i f ]ig 가 연속인 도함수를 갖는다고 하자. 곱의 미분법을 이용하여 i 로 미분 하면 dx dr = cos i - r sin i di di * dy dr = sin i + r cos i di di 를 얻는다. sin 2 i + cos 2 i = 1 임을 이용하여 c 2 2 2 2 2 dx dr2 dr m2 2 dr dx m2 d dy n dr m2 dr m c cos cosc i sinsin sin i + 2r sin ic + =c ii+ 2r i m + r rsin icos cosii+ i+ r sin di di di di di di di =c 2 dr m2 +r di 임을 알 수 있다. f l]ig 가 연속이기 때문에 구간 6a, b@ 에서 곡선 f ]ig 의 길 이 L은 생각 열기 L= # b = # b a a c 2 b dx m2 d dy n 2 2 + di = # " f ]ig, + " f l]ig, di a di di r +c 2 dr m2 di di 이다. 이를 정리하면 다음과 같다. 평면 위의 위치를 각도와 거리로 표현하는 극방정식은 좌표평면에서 매우 복잡하게 나타나는 관계를 간단하게 표현하는 경우가 많다. 극방정식을 나타내는 극좌표라는 용어는 이탈리아의 그레고리오 폰 극방정식으로 주어진 곡선의 길이 타나가 처음 정하였으며, 알렉시 클로드 클레로는 극좌표를 처음으로 3차원으로 확장하였으며, 오일 함수 f ]ig 가 연속인 도함수를 가질 때, 구간 6a, b@ 에서 곡선 r = f ]ig 의 길 러가 이를 더욱 발전시켰다. 이 L은 L= # a 66 II 적분의 활용 b c b b dx 2 d dy n 2 2 m + dL i = # " f ]ig, + " f l]ig, di = # a a di di 2 r +c 2 dr m2 di di 4. 길이와 넓이 67 02 예제 1 극방정식으로 이루어진 영역의 넓이 주어진 구간에서 다음 곡선의 길이를 구하여라. 학습 목표 극방정식으로 주어진 영역의 넓이를 구할 수 있다. (1) r = cos i , 0 # i # 2r 2i (2) r = e , 0 # i # 2r 풀이 (1) r = cos i 이므로 이번 절에서는 극방정식으로 표시된 영역의 넓이에 대한 공식을 알아본다. dr = -sin i 이다. di 반지름이 r 이고 중심각의 크기가 i (라디안)인 부채꼴의 넓이 A 는 따라서 구하려는 곡선의 길이는 L= # 2r 0 # 2r a r +c 2 r +c 2 2r 2 2 dr m2 di = # cos i + sin i di 0 di 2r 2r 2 2 dr 2 m di = # cos i + sin i d i = # di = 2r 0 0 di 2i 2i dr (2) r = e 이므로 = 2e 이다. di L= # 0 = # a 2r r +c 2 r +c 2 dr m di = # 0 di 2 2r 2r 2i dr ]e 2ig + ]2e 2ig2 d m di = # 5 e di i= # 0 0 di 2r 5 2i 5 4r F ]e - 1g = < e = 2 2 0 2r a r +c 2 임을 알 수 있다. 러싸인 부분의 넓이 R 를 구해 보자. 2r ]e 2ig2 + ]2e 2ig2 di 2 L= # 1 2 r i 2 이제 일반적으로, 극좌표로 표시된 곡선 r = f ]ig , i = a , i = b 로 둘 따라서 구하려는 곡선의 길이는 2r A= i = a, i = b 로 만들어진 각을 n등분하였 r=f(θ) 을 때, 등분하는 점을 차례로 i i ]0 # i # ng 이라하면 θ=b a = i0 < i1 < g < in = b 2r 2r 5 2i 5 4r 2 2 dr 2 < 2re (2) F = ]e - 1g m di = # cos i + sin i di = # 답d= i(1) = 0 0 2 2 di 0 R b θ=a a O 이고, 2r Di = i i - i i - 1 라 하자. 반지름의 길이가 f ]i ig 이고 중심각 f(θi ) 의 크기가 Di 인 부채꼴의 넓이는 문제 1 1" f ]i ig,2 : Di 2 주어진 구간에서 다음 곡선의 길이를 구하여라. (1) r = 1 + cos i , 0 # i # r 2 (2) r = i , 0 # i # 5 i, (3) r = sin 2 0#i#r θ=θi θ=θi-1 θ=b θ 이므로 r = f ]ig 가 연속함수이면 넓이 R 는 θ=a O 부채꼴의 넓이의 합인 2 { 12 " f ]i g, : Di n 2 i i i=1 으로 근사시킬 수 있다. 이제 구분구적법에 의하여 n " 3 일 때의 위의 수열 MEMO 의합 n lim { n"3 i=1 1" f ]i ig,2 : Di i 2 은 정적분 # 12 6 f ]ig@ di b 2 a 로 나타낼 수 있으며, 이 값이 극좌표로 표시된 곡선 r = f ]ig , i = a , 68 II 적분의 활용 4. 길이와 넓이 69 i = b 로 둘러싸인 부분의 넓이 R 가 된다. 극좌표로 표시된 함수 r = f ]ig 의 부정적분도 직교좌표로 표시된 함수의 부정적분을 구하는 것과 같은 방법으로 하면 된다. 예를 들어, r = i 2 , 2 i r = e 의 부정적분은 이들 함수를 각각 y = x , y = e x 와 같은 방식으로 문제 1 다음 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라. (1) r = cos i , i = 0 , i = (2) r = i , i = 0, i = r 2 r 4 구하면 각각 # i di = 13 i + C , # e di = e + C 2 3 i i 이번에는 두 개의 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구해 보자. 이다. 부정적분뿐 아니라 극좌표로 표시된 함수의 정적분도 직교좌표로 표시 된 함수의 정적분과 같은 방법으로 한다. 직교방정식으로 주어진 두 곡선 y = f ]xg , y = g ]xg 가 구간 6a, b@ 에서 연속일 때, 두 곡선 y = f ]xg , y = g ]xg 및 두 직선 x = a , x = b 로 둘 러싸인 영역의 넓이는 S= # 이제 극방정식으로 정의된 영역의 넓이를 정리해 보자. a b f ]xg - g ]xg dx 이다. 마찬가지로, 극방정식으로 주어진 두 곡선 r = f ]ig , r = g ]ig 가 구 극방정식으로 주어진 영역의 넓이 극방정식으로 주어진 곡선 r = f ]ig 이 연속일 때, 이 곡선과 i = a , 간 6a, b@ 에서 연속일 때, y = f ]xg , y = g ]xg 및 i = a , i = b 로 둘러싸 인 영역의 넓이는 # 12 " f ]ig, - "g ]ig, di b i = b 로 둘러싸인 부분의 넓이 R 는 R= # a 이다. b 2 2 a 1 6 ] g@2 f i di 2 으로 정의할 수 있다. 극방정식으로 주어진 두 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이 극방정식으로 주어진 두 곡선 r = f ]ig , r = g ]ig 이 연속일 때, 이 두 곡선 예제 1 다음 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라. 과 i = a , i = b 로 둘러싸인 부분의 넓이 R 는 R= # r r = 1 + cos i , i = 0 , i = 4 a a 이다. b b 1 2 "6 f ]ig@,22 -6"gg]]iig@g,2ddii 2 풀이 구하려는 영역의 넓이는 R= # a = 예제 2 1 6 ] g@2 1 f i di = # 4 ]1 + cos ig2 di 0 2 2 r = 1 # ]1 + 2 cos i + cos 2 ig di 2 0 1 :3 1 1 ] i + 2 sin i + sin 2iD = 3r + 2 + 8 2 g 4 16 2 2 0 r 4 II 적분의 활용 r r , i= 2 4 풀이 r 답 풀이 참조 70 다음 두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라. r = 3 sin i , r = 3 cos i : i = r 4 2i m 1 4] # 1 + 2 cos i + cos 2 ig di = 21 #0 4 c 1 + 2 cos i + 1 + cos di 2 0 2 r = b r r # i # 이면 3 sin i $ 3 cos i 이므로 구하려는 영역의 넓이는 4 2 r b 1 6" ] g,2 " ] g,2@ 1 2 2 R= # f i - g i di = #r 2 6"3 sin i , - "3 cos i , @ di a 2 2 4 4. 길이와 넓이 71 중단원평가 9 2] 2 9 2 # sin i - cos 2 ig d i = - #r cos 2i di 2 r4 2 4 r = r r 2 9 9 1 = - : sin 2iD r = 4 2 2 4 1 다음 직교방정식을 극방정식으로 나타내어라. (1) x 2 - y 2 = 1 답 풀이 참조 (2) 2x - y = 5 (3) ]x - 2g2 + y = 4 2 문제 2 다음 두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라. (1) r = 2 , r = 2 cos i : i = 0 , i = 2 r 2 (2) r = 1 - cos i , r = sin i : i = 0 , i = 다음 극방정식을 직교방정식으로 나타내어라. (1) r = r 4 4 2 cos i - 3 sin i (2) tan i = 3 (3) r = csc i MEMO 3 주어진 구간에서 다음 곡선의 길이를 구하여라. (1) r = sec i , 0 # i # (2) r = cos 2 i , 2 0#i#r (3) r = csc i , 0 # i # 4 r 4 r 4 다음 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라. (1) r = 2 sin i - 2 , i = 0 , i = r 2 (2) r = 1 - sin i , i = 0 , i = 2r i (3) r = e 2 , i = 0 , i = 2r 5 다음 두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라. (1) r = 4 cos i , r = 2 : i = r , 4 i=0 (2) r = 2 sin i , r = 1 - cos i : i = 0 , i = r 2 r (3) r = 1 + sin i , r = 1 : i = 0 , i = 2 72 II 적분의 활용 4. 길이와 넓이 73 Ⅲ 급수의 수렴과 발산 1 수열의 수렴과 발산 2 급수의 수렴과 발산 3 교대급수 판정법 단원 열기 고대 중국 위(魏)나라의 수학자 유휘(劉徽: 약 220~280)는 “구장산술”을 수정하면서 원 주율을 계산하는 과학적 방법인 “할원술(割圓術)”을 기술했다. 이는 현재의 무한등비급수 와 유사한 방법을 적용하여 아르키메데스(Archimedes: 기원전 287~기원전 212)가 했던 것처럼 원에 정 192각형을 내접하여 3.141024 < π < 3.142704 임을 밝힌 것이다. 그는 이것을 계산할 때 수열의 극한의 성질을 이용했다고 하며 이는 아 르키메데스보다 훨씬 더 정밀한 원주율 값을 계산했다고 할 수 있다. 74 III 급수의 수렴과 발산 III 급수의 수렴과 발산 75 1 수열의 수렴과 발산 01 수열의 수렴과 발산 01 수열의 수렴과 발산 학습 목표 단조수렴정리를 활용하여 수열의 수렴과 발산을 판정할 수 있다. 수열의 수렴과 발산 수열 "a n, 은 수 a 1 , a 2 , g a n , g 의 나열을 말하는 것으로 이것은 자연 수의 집합 N 에서 실수의 집합 R 로의 함수 f|N " R 로 정의할 수 있다. n 이 충분히 커질 때 수열 "a n, 이 어떤 상수 a 에 한없이 가까워질 때 수열 "a n, 은 a 에 수렴한다고 하고, n " 3 일 때 a n " 3 또는 nlim an = a "3 으로 나타낸다. 그러나 n 이 ‘충분히 커질 때’ 와 ‘한없이 가까워질 때’라는 표현은 뜻이 애매 하기 때문에 수열의 극한을 명확히 정의할 필요가 있다. 임의의 e > 0 에 대하여 적당한 자연수 N 이 존재하여, n > N 인 모든 자연 수 n 에 대하여 생각 열기 주어진 수열의 수렴성을 조사할 때 그 수열의 극한을 미리 추정하여 그 극한으로 수렴 여부를 조사할 수 있었다. 단조수렴정리(monotone convergence theorem)는 단조 증가 하거나 단조 감소 하는 수열이 특정한 조건에 수렴하는 것에 대한 정리로 수열의 극한을 미리 추정하지 않고도 그 수열의 수렴 성 여부를 조사할 수 있는 기준을 제시하는 것이다. an - a < e 일 때, 수열 "a n, 이 상수 a 에 수렴한다고 한다. 이것을 lim a n = a n"3 으로 나타낸다. 모든 자연수 n 에 대하여 a n # a n + 1 이면 수열 "a n, 은 단조증가수열이라 하고, a n $ a n + 1 이면 수열 "a n, 은 단조감소수열이라고 한다. 단조증가수열 또는 단조감소수열을 통틀어 단조수열이라고 한다. 예제 1 참고하기 수열 "a n, 에 대하여 a n < a n + 1 이면 증가수열, a n > a n + 1 이면 감소수열 이다. 일반항이 다음과 같이 주어진 수열 "a n, 은 증가수열임을 보여라. 1 a1 = 2 , an+1 = 2 an + 3 76 급수의 수렴과 수렴과 발산 발산 III 급수의 III 1. 수열의 수렴과 발산 77 증명 n = 1일 때 a2 = 1 a1 + 3 > a1 = 2 2 > aak n = k ]$ 2g 일 때 aak k$ $ k11이라고 가정하면, 1 1 1 a k + 1 - a k = b a k + 3 l - b a k - 1 + 3 l = ]a k - a k - 1g > 0 2 2 2 따라서 모든 자연수 n 에 대하여 수열 "a n, 은 aann++11$ > aann이 성립한다. $ 문제 1 일반항이 다음과 같이 주어진 수열 "a n, 은 증가수열임을 보여라. 1 1 a1 = 5 , an+1 = an + 3 3 $ M 실수 M이 존재하면 수열 "a n, 은 위로 모든 자연수 n 에 대하여 a n ≤M인 유계라고 하고, M 을 이 수열의 상계라고 한다. 또 모든 자연수 n 에 대하여 위로 유계(bounded above), 아래로 유계(bounded below), 상계(upper bound), 하계(lower bound), 유계(bounded ) 수열 "a n, 의 최소상계 a 가 존재하면 a 는 유일함을 보여라. 증명 수열 "a n, 의 최소상계를 a 와 al이라 하자. 이때 a 와 al은 이 수열의 상계이고 a 가 최소상계이므로 a # al가 성립한다. 또 al이 이 수열의 최소상계이므로 al # a 이다. 따라서 a = al 문제 2 2 -b 일반항이a na= n =3 1 ln 으로 주어진 수열 "a n, 의 최소상계를 구하 2 여라. 단조수렴정리 수렴하는 모든 수열은 유계이다. 그러나 일반적으로 그 역은 성립하지 않는 a n $ m 인 실수 m 이 존재하면 수열 "a n, 은 아래로 유계라고 하고, m 을 다. 예를 들어 수열 a n = ]-1gn 은 모든 자연수 n 에 대하여 a 2n = 1 또는 유계라고한다. 유계이면 그 수열은 항상 수렴한다는 것이 알려져 있다. 이 수열의 하계라고 한다. 수열 "a n, 이 위로 유계이면서 아래로도 유계이면 참고하기 예제 2 예를 들면, 수열 ' { b 1 l k=1 2 므로 유계이다. n k-1 1 은 위로 유계이면서 동시에 아래로도 유계이 이때 2 , 3 , 4 , g 들은 이 수열의 상계이고, 0 , -1 , -2 , g 들은 이 수열의 하계이다. 한편 수열 ' { 2 n k-1 k=1 a 2n - 1 = -1 이므로 유계이지만 수렴하지 않는다. 그러나 단조수열인 경우 이상을 정리하면 다음과 같다. 단조수렴정리 ❶ 수열 "a n, 이 단조증가수열이고 위로 유계이면 항상 수렴한다. ❷ 수열 "a n, 이 단조감소수열이고 아래로 유계이면 항상 수렴한다. 1 은 아래로 유계이지만 위로 유계는 아니다. 이와 같이 수열 "a n, 이 유계일 때, 이 수열의 상계 또는 하계는 확정적으 로 정해지지 않는다. 단조수렴정리에 의하여 유계인 단조수열은 반드시 수렴한다. 또한 수렴하 는 수열은 반드시 유계이다. 따라서 단조수열이 수렴하기 위한 필요충분조건 a1, a2, a3, a4, … an, … 최소상계 (Least upper bound) 78 III 급수의 수렴과 발산 n an= n+1 1 2 O 따라서 수열의 상계 중에서 가장 작은 상계를 최소상계라고 한다. 또 수열 상계들 (Upper Bounds) an 1 은 유계인 것임을 알 수 있다. 의 하계 중에서 가장 큰 하계를 최대하계라고 한다. 참고하기 1 2 3 4 5 6 7 보기 1 (1) 수열 "a n, 의 일반항이 a n = 1 + 1 일 때, lim a n = 1 이고 수열 "a n, n n"3 의 최대하계는 1 이다. (2) 수열 "n 2 + n,은 단조증가수열이지만 위로 유계가 아니므로 단조수렴정리에 의 ]n + ng = 3 이고 최소상계는 존재하지 않는다. 하여 수렴하지 않고, nlim "3 2 1. 수열의 수렴과 발산 79 n 중단원평가 예제 3 수열 " x n, 은 x 1 = 2 이고, 3 xn+1 = 4 - xn 1 을 만족시킨다. 다음 물음에 답하여라. (1) 수열 " x n, 은 증가수열임을 보여라. (2) 모든 자연수 n 에 대하여 x n # 4 임을 보여라. 2 (3) 수열 " x n, 이 수렴함을 보이고, 그 값을 구하여라. a n b n = 0 임을 보여라. lim a n = 0 이고 수열 "b n, 이 유계이면 nlim "3 n"3 수열 " x n, 은 2 x 1 = 4 , 2x n + 1 x n = x n + 4 풀이 를 만족시킬 때, 다음 물음에 답하여라. (1) x2>x1이고, (1) 모든 자연수 n 에 대하여 x n $ 2 임을 보여라. (2) 수열 " x n, 이 단조감소수열임을 보여라. x 1 = 2 이상의 자연수 k 에 대하여 x k > x k - 1 라고 가정하면 3 3 xk+1 = 4 - xk > 4 - xk-1 = xk (3) nlim x n = 2 임을 보여라. "3 이므로 수열 " x n, 은 증가수열이다. (2) x 1 = 2 , 모든 자연수 n 에 대하여 x n + 1 > x n 이므로 x n $ 2 3 이때 x k + 1 = 4 - x # 4 3 수열 "a n, 은 a 1 = 1 , an+1 = an + 2 k 따라서 수열 " x n, 은 위로 유계이다. 에 따라 정의할 때, nlim a n 을 구하여라. "3 (3) 단조수렴정리에 의하여 수열 " x n, 은 수렴한다. 이때 lim x n =xan ($ 2)라고 하면 n"3 3 a = 4- a , 4 에서 a =3 $2 따라서 수열 " x n, 의 극한값은 3 이다. 5 xn+1 = 1 n x n = a1 + n k 으로 정의할 때, 수열 " x n, 은 증가수열이고, 위로 유계임을 보여라. 답 풀이 참조 수열 " x n, 은 x 1 = 2 이고, 문제 3 수열 " x n, 에 대하여 양의 실수 a , b 에 대하여 수열 " x n, 은 다음과 같이 정의한다. x1 > 0 , xn+1 = 3 4 - xn ax n b + xn (1) a b 이면 nlim x n = a - b 임을 보여라. "3 (1) 모든 자연수 n 에 대하여 x n # 2 임을 보여라. (힌트: x 1 > a - b 인 경우와 x 1 < a - b 인 경우로 나누어 생각한다.) (2) 수열 " x n, 은 감소수열임을 보여라. (3) lim x n 이 존재함을 보이고 그 값을 구하여라. n"3 80 III 급수의 수렴과 발산 1. 수열의 수렴과 발산 81 01 2 학습 목표부분합의 극한을 이용하여 급수의 수렴과 발산을 설명할 수 있다. 여러 가지 판정법을 이용하여 양항 급수의 수렴과 발산을 판정할 수 있다. 급수의 수렴과 발산 01 급수의 수렴과 발산 급수의 수렴과 발산 급수의 수렴과 발산 수열 "a n, 의 각 항을 덧셈 기호 ]+g 로 연결한 식을 급수라고 하며, { a n 3 n=1 으로 나타낸다. 이때 자연수 n에 대하여 처음 n항까지의 합"S n,을 급수 { a n 의 부분합이 3 라 하고, 부분합의 수열 "S n, 이 어떤 일정한 실수 S 에 수렴할 때, 즉 n=1 lim S n = S 일 때, n"3 3 급수 { a n 은 S 에 수렴한다고 하며 S 를 이 급수의 합이라 한다. n=1 한편 급수 { a n 의 부분합의 수열 "S n, 이 어떤 일정한 실수 S 에 수렴하 3 n=1 지 않을 때, 이 급수는 발산한다고 한다. 예제 1 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하여라. 참고하기 n n 3 3 3 1 (1) { ] n = 1 n n + 1g { a = lim { a 3 n+1 (2) { n n=1 n n 급수가 수렴할 것인가를 판정 하는 것은 급수의 합을 구하 는 것에 비해 쉬운 일이다. (1) 주어진 급수의 부분합 S n 은 생각 열기 이탈리아 수학자 그란디(Grandi, L.: 1671 ~ 1742 )는 1703 년에 무한급수 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + g 에 대하여 두 가지 방법으로 서로 다른 합 0 과 1 을 구하 1 이라는 결론을 내렸다. 였다. 그런데 그는 급수의 합이 두 가지 값이 될 수 없다고 생각하여 결국 2 한편 독일의 수학자 라이프니츠(Leibniz, G.W.: 1646 ~ 1716 )는 그란디의 주장에 동의하면 서 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + g 의 합이 0 또는 1 이 될 확률이 같기 때문에 확률의 이 1 이라고 하였다. 그리고 베르누이(Bernoulli, J.: 론에 따라 평균인 1654 ~ 1705 )와 오일러 2 (Euler, L.: 1707 ~ 1783 )도 비슷한 오류를 범하였는데, 이것은 그 당시에 극한의 개념이 엄밀하 kk 1 =1 kk = = nlim Sn "3 풀이 Sn = n n" "3 3 n n= 1 =1 1 1 1 1 + +g+ 1:2 2:3 n ]n + 1g = 1 - n + 1 이므로 lim S n = lim b 1 n"3 n"3 1 l =1 n+1 참고하기 따라서 주어진 급수의 합은 1 이다. a 1 +a 2 +a 3 +…+a n +… 3 3 3 nn+ nn+ +11 +11 33 22 44 - + + + + + +g g+ + nn + +g g = nn 11 22 33 nn= =11 { (2) 급수 { =S 또는 {a =S n n=1 는 부분합의 수열 ' { k+1 1 이 점점 커지므로 발산한다. k k=1 n 답 (1) 1 (2) 발산 게 정립되어 있지 않아서 생긴 일화이다. 문제 1 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하여라. 3 n ] n = 1 n + 1g ! (1) { 82 급수의 수렴과 수렴과 발산 발산 III 급수의 III 3 (2) { n=1 1 n+2+ n 2. 급수의 수렴과 발산 83 { ]-1g 3 참고하기 n-1 와 같이 무한급수의 항들을 결합하는 방법에 따라 만들어진 새 n=1 {1+(-1)}+{1+(1)}+… +{1+(-1)}+… 1+{(-1)+1}+{(-1)+1} +…+{(-1)+1}+… 예제 2 참고하기 다음 급수가 발산함을 보여라. 로운 급수의 합은 다를 수도 있다. 3 그러나 급수 { a n 이 수렴하면, 그 급수의 항들을 임의의 방법으로 결합하 n=1 n=1 3 { n1 은 발산한다. 3 여 만들어진 새로운 급수도 수렴하며 그 합은 급수 { a n 의 합과 같다는 사실 n=1 n n"3 m n n=1 따라서 lim a n = Y 0 이므로 주어진 급수는 발산한다. 3 {a = {a + { a n n=1 n"3 n n = m+1 m 3 n=1 n=1 이고 { a n 은 항상 유한한 값이므로 { a n 과 3 { a 은 동시에 수렴하거 n n = m+1 나 동시에 발산한다. 예를 들면 문제 2 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하여라. 3 n n (2) { ]-1g 2 3 1 1 1 { b 1 l = 15 + 25 + + {b l 125 k=1 5 n=4 5 3 n-1 n =1 lim a n = nlim "3 항에 관계없이 결정된다. 즉 3 3 n -1 2 n=1 n + 1 (1) { n+1 n=1 여러 가지 판정법 일반항판정법 급수 { a n 에서 & 1 0 이 등차수열일 때, { a n 을 조화급수라고 한다. an n=1 n=1 3 3 3 급수 { a n 의 수렴, 발산과 수열의 극한값 nlim a n 사이의 관계에 대하여 "3 n=1 3 1 조화급수 { n 의 부분합 S n 을 알아보자. n=1 3 n n=1 k=1 급수 { a n 이 S 에 수렴하고, S n = { a k 라고 하면 lim S n = S , nlim Sn-1 = S "3 n"3 참고하기 Y 0 이면 급수 lim a n = 3 { a 은 발산한다. n n=1 1 1 +g+ n 2 이라 하자. k a n = S n - S n - 1 이므로 "S n - S n - 1, = lim S n - lim S n - 1 = 0 lim a n = nlim "3 n"3 n"3 3 이다. 따라서 급수 { a n 이 수렴하면 nlim a n = 0 이다. "3 n=1 일반항 판정법 term test Sn = 1 + 자연수 k 에 대하여 수열 "S n, 의 부분수열 "S 2 , 에서 이므로 n"3 참고하기 S2 > S2 k k-1 +2 k-1 k 1 k #b l > 1 + 2 2 이때 수열 "S n, 의 부분수열 "S 2 , 은 유계가 아니므로, 수열 "S n, 은 유계 3 급수 { a n 이 수렴하면 lim a n = 0 이다. n=1 III 급수의 수렴과 발산 n"3 1 2 1 1 1 11 11 1 1 1 11 >S + +S 4 = 1 2+ + + + + = 1> +S 2 + 2 # + 4 4 44 2 3 24 34 4 2 1 1 1 1 1 1 1 S4 = 1 + + + > S2 + + = 1 + + 2 # 4 4 4 4 2 한다. 3 2 급수라고 S4 = 1 + 3 한편 p > 0 인 실수 p 에 대하여 급수 { 1 p 을 n 1 1 1 1 1 1 1 11 11 11 11 1 1 + + + + + +S 8 = >S 1 4+ + + + + + + + + + 5 7 7 4 6 8 2 3 28 38 48 58 6 1에 대하여 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (ⅰ) 0 S4 + + + + > 1 + + 2 # + 4 # 8 = 1 + 5 7 4 4 6 8 8 8 8 8 8 2 3 2 1 1 1 4 1 2 > + + # + # 1 1 4 8 2 # p 이제 p - 급수의 수렴, 발산을 알아보자. 일반항판정법 S2 = 1 + k 가 아니다. 따라서 조화급수는 발산한다. 이상을 정리하면 다음과 같다. 참고하기 임을 알 수 있다. n=1 84 n=1 주어진 급수의 제 n 항인 a n = n - 1 이므로 증명 이 알려져 있다. 또한 무한급수의 합이 수렴하는지 발산하는지는 앞의 몇 개의 n"3 명제의 역은 성립하지 않는다. 1 lim = 0 이지만 급수 n"3 n 3 1 { nn n S8 = 1 + n 2. 급수의 수렴과 발산 85 3 3 1 1 이 성립하고, 급수 { n 이 유계가 아니므로 p- 급수 { p 이 유계가 아니다. n=1 n=1 n 적분판정법 함수 f ]xg 가 모든 자연수 n 에 대하여 f ]ng = a n ]$ 0g 인 급수 { a n 에 3 1 p 은 발산한다. n n=1 따라서 0 1 인 경우, 대하여 알아보자. 아래 그림과 같이 k 번째 직사각형의 넓이 a k = f ]kg # 1 이므로 3 1 p 의 부분합의 S n 을 n n=1 p - 급수 { Sn = 1 + 1 1 p + g + p 2 n y y 이라 하자. y=f( x ) a1 자연수 k 에 대하여 수열 "S n, 의 부분수열 "S 2 - 1, 은 다음과 같다. a1 a2 a2 a3 an an k O 1 2 n 3 n+1 x 1 O 2 n-1 3 n x S1 = 1 1 1 1 1 p + p < S1 + 2 # p = 1 + p-1 2 3 2 2 S3 = 1 + S7 = S3 + = < 1+ 1 1 1 1 1 p + p + p + p < S3 + 4 # p 4 5 6 7 4 1 2 p-1 + 임의의 유계인 수열은 반드시 수렴하는 부분수열을 가진다. (볼차노-바이어슈트라스의 정리) S2 -1 < 1 + n=1 1 이다. 1 1 2 p-1 + 1 4 p-1 +g+ 임을 알 수 있다. 3 n 1 n+1 f ]xg dx 의 값이 존재하면 급수 { a n 이 3 n=1 수렴한다. k 이때 급수 { 1 f ]xg dx # a 1 + a 2 + g + a n 1 a 1 + # f ]xg dx n p-1 이고, 일반적으로 참고하기 n+1 이때 lim # f ]xg dx = lim # n"3 n"3 1 4 # ]2 1 g p-1 k-1 < 1 1-p 1-2 1 p 의 부분합의 수열 " S n , 은 증가수열이고, 위로 유계이다. n 따라서 p > 1 일 때 p - 급수는 수렴한다. 이상을 정리하면 다음과 같다. 3 이와 같이 급수 { a n 에서 a n 을 적분하여 이 급수의 수렴 또는 발산을 판 n=1 적분판정법 integral test 단하는 방법을 적분판정법이라고 한다. 이상을 정리하면 다음과 같다. 적분판정법 함수 f ]xg 가 x $ 1 에서 f ]xg $ 0 , 연속인 감소 함수일 때, 3 3 1 p - 급수 { p n=1 n ❶ 1 1 일 때 p - 급수는 수렴한다. 3 예제 3 MEMO 풀이 86 III 급수의 수렴과 발산 1 의 수렴, 발산을 조사하여라. 2 n=1 n 급수 { 함수 f ]xg = 1 이라 하면 x $ 1 에서 f ]xg > 0 이고 감소 함수 2 x 참고하기 적분판정법을 통하여 수렴, 발산이 판정되는 급수는 다 른 판정법에서도 많이 사용되 는 급수이다. 2. 급수의 수렴과 발산 87 참고하기 이다. 이때 n 1 9- 1 C = lim a 1 - 1 k = 1 dx = nlim 2 x n 1 "3 n"3 1 x 3 1 따라서 급수 { 2 은 수렴한다. n=1 n # 풀이 3 0# (1) 0 # x # 1 일 때 0 ≤ sinx ≤ x이므로 답 수렴 1 2 # 2 n ]n + 1g n 1 1 1 0 # n sin n # 2 n 3 1 2 이 수렴한다. n=1 n 이고, 급수 { 참고하기 3 1 y 1 따라서 비교판정법에 의하여 급수 { n sin n 는 수렴한다. 2 y= rx n=1 3 2 의 수렴, 발산을 조사하여라. 2 n=1 n + 1 급수 { 문제 3 r 2 (2) 0 # x # 일 때 x # sin x 이므로 r 2 3 3 2 1 1 , 2 { 1 < { sin 1 $ # sin n r n n r n=1 n n=1 y = sin x o r 0#x# 2 x 3 { n1 은 발산한다. 따라서 비교판정법에 의하여 급수 이고, 이때 비교판정법 n=1 3 3 모든 자연수 n 에 대하여 a n $ 0 이면 급수 { a n 의 부분합 S n 은 증가수 { sin n1 는 발산한다. n=1 답 (1) 수렴 n=1 (2) 발산 3 열이다. 이때 b n $ a n 을 만족시키는 급수 { b n 이 수렴하면 n=1 n n 3 n=1 n=1 n=1 Sn = { an # { bn # { bn 이므로, 수열 "S n, 은 위로 유계인 증가수열이다. 문제 4 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하여라. 3 3 1 n = 1 n! (1) { 따라서 단조수렴정리에 의하여 수열 "S n, 이 수렴하므로 { a n 은 수렴한 3 1 (2) { tan n n=1 n=1 3 3 n=1 n=1 다. 한편 급수 { a n 이 발산하면 급수 { b n 도 발산한다. 이와 같은 급수의 수렴 또는 발산을 판단하는 방법을 비교판정법이라고 한다. 극한비교판정법 이제 좀 더 강력한 비교판정법에 대해 알아보자. a n > 0 , b n > 0 에 대하여 nlim "3 이상을 정리하면 다음과 같다. 3 n=1 n=1 확인하여 두 급수 { a n , { b n 의 수렴, 발산을 판정하는 방법을 극한비교 참고하기 비교판정법 comparison test 비교판정법 판정법이라고 한다. 어떤 자연수 n 0 에 대하여 n $ n 0 일 때 0 # a n # b n 이라고 하자. 3 3 { b 이 수렴하면 급수 { a 도 수렴한다. n n n=1 n=1 예제 4 3 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하여라. 1 1 (1) { n sin n n=1 88 3 an 의 값이 0 보다 큰 실수로 존재하는지를 bn III 급수의 수렴과 발산 3 1 (2) { sin n n=1 { a , { b 의 모든 항이 양수이고 lim ab = L ]= Y 0g 이면 3 두 급수 3 n n=1 n n n=1 n"3 n 적당한 양의 실수 t ]> 1g 와 모든 n $ n 0 에 대하여 an 1 L< < tL 또는 1 Lb n < a n < tLb n t bn t 3 3 n=1 n=1 이 성립한다. 이것은 비교판정법에 의하여 두 급수 { a n , { b n 은 모두 수 렴하거나 모두 발산한다. 이상을 정리하면 다음과 같다. 2. 급수의 수렴과 발산 89 이제 주어진 급수에 관한 각 항의 정보를 이용하여 수렴, 발산을 판정하는 참고하기 극한비교판정법 limit comparison test 극한비교판정법 3 3 n=1 n=1 방법에 대하여 알아보자. 모든 n $ n 0 에 대하여 두 급수 { a n , { b n 의 모든 항이 양수일 때, an lim = L , ]0 < L < 3g n"3 b n 3 3 n=1 n=1 비판정법 이면 두 급수 { a n , { b n 은 모두 수렴하거나 모두 발산한다. 3 등비급수 { ar n-1 의 경우 연속한 두 항의 비(ratio)는 다음과 같다. n=1 n an+1 ar a n = ar n - 1 = r 예제 5 3 (1) { n=1 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하여라. 2n + 1 3 (2) { ]n + 1g2 n=1 이때 r < 1 이면 이 등비급수는 수렴하고, r $ 1 이면 이 등비급수는 발 1 n 2 -1 산한다. 이와 같이 연속한 두 항의 비의 극한값 nlim "3 산을 판정하는 방법을 비판정법이라고 한다. 풀이 (1) a n = 2n + 1 ]n + 1g2 1 , b n = n 이라 하면 n ]2n + 1g an =2 lim = nlim n"3 b "3 ]n + 1g2 n 3 3 n=1 n=1 참고하기 비판정법 비판정법 ratio test 3 급수 { a n 의 모든 항이 양수이고 n=1 따라서 { b n 이 발산하므로 { a n 은 발산한다. (2) a n = an+1 a n 에 따라 급수의 수렴, 발 an+1 lim a n = t n"3 일때 1 1 , b n = n 이라 하면 2 -1 2 n t < 1 이면 이 급수는 수렴한다. n an 2 -1 lim = nlim =1 n n"3 b "3 n 2 3 3 n=1 n=1 t > 1 이면 이 급수는 발산한다. 따라서 { b n 은 수렴하므로 { a n 은 수렴한다. 3 답 (1) 발산 (2) 수렴 한편 t = 1 이면 급수 { a n 은 수렴할 수도 있고, 발산할 수도 있다. n=1 3 3 1 1 1 예를 들면 두 급수 { n 과 { 2 은 모두 t = 1 이지만 급수 { n 은 n=1 n n=1 n=1 3 문제 5 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하여라. 3 n + 10 (1) { 3 n=1 n + 2 1 (2) { ln a 1 + n k n=1 3 3 발산하고, 급수 { n=1 예제 6 3 한편 급수 { a n 의 수렴, 발산을 조사하기 위하여 다른 급수와 비교하거나 n=1 적분하여 비교하는 것이 유용하지만, 실제로 비교할 만한 다른 급수가 없거 3 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하여라. n 2 +5 n n=1 3 (1) { 1 2 은 수렴한다. n 3 n 2 2 n=1 n (2) { 나, 적분을 할 수 없는 경우도 있다. 90 III 급수의 수렴과 발산 2. 급수의 수렴과 발산 91 이다. 풀이 이 극한값이 1 보다 작으므로 주어진 급수는 수렴한다는 것을 알 수 있다. (1) 비판정법에 의하면 ]2 n + 1 + 5g 이와 같이 a n 의 거듭제곱근 n a n 의 극한값을 이용하여 급수의 수렴, 발산 을 조사하는 방법을 근판정법이라고 한다. n+1 an+1 3 2 lim a n = nlim = <1 "3 3 ]2 n + 5g n 3 n"3 이상을 정리하면 다음과 같다. 따라서 주어진 급수는 수렴한다. 참고하기 근판정법 (2) 비판정법에 의하면 근판정법 root test 3 n+1 모든 n $ n 0 에 대하여 급수 { a n 의 모든 항이 양수이고, n+1 2 2 2 2 2 2 a n + 1a n + 1 ]n +]n1g+ 1g 2n 2n lim a lim a n = n0 n = 0 = = = = > 2 1 n 2 2 n"3 a n a n n " 32 2 ]n +]n1g+ 1g n 2 n n=1 lim n a n = t n"3 일때 2 t < 1 이면 이 급수는 수렴한다. 따라서 주어진 급수는 발산한다. 답 (1) 수렴 (2) 발산 t > 1 이면 이 급수는 발산한다. 3 한편 t = 1 이면 비판정법에서와 마찬가지로 급수 { a n 은 수렴할 수도 문제 6 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하여라. ]n!g2 (2) { n = 1 ]2ng ! 3 3 (1) { nn! n=1 n 참고하기 n=1 lim 있고, 발산할 수도 있다. n n"3 1 n =1 이지만 3 예제 7 급수 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하여라. { n1 는 발산하고, n=1 3 3 (1) { n e 근판정법 f ]ng n a n = n , f ]ng = & 1 2 ( n 이 소수일 때) ( n 이 소수가 아닐 때) 3 이 급수 { a n 의 수렴, 발산을 조사하기 위해 이미 알고 있는 적분판정법, n=1 비교판정법, 비판정법 등을 사용하는 것은 적합하지 않다. n f ]ng = 2 n n 에서 1 # n a n # 2 2 1 n 가 성립하고 nlim an = "3 2 92 III 급수의 수렴과 발산 * n n 2 1 2 3 n n n = 1 n! (2) { 풀이 2 2 n n n 라 하면 1 n lim a = e <1 n = lim n e n"3 n"3 e (1) a n = 따라서 주어진 급수는 수렴한다. n n (2) a n = n 라 하면 nlim a n = nlim "3 "3 n n! n n =1 > nlim n "3 n n! n 따라서 주어진 급수는 발산한다. 이제 a n 의 거듭제곱근을 살펴보자. an = -n n=1 다음과 같이 정의된 수열 "a n, 에 대하여 생각해보자. n 2 { 12 는 수렴한다. n=1 n 답 (1) 수렴 ( n 이 소수일 때) (2) 발산 ( n 이 소수가 아닐 때) 문제 7 다음 급수의 수렴, 발산을 조사하여라. 3 (1) { e n=1 -n 2 3 n 2 -n n n=1 2 (2) { 2. 급수의 수렴과 발산 93 중단원평가 1 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하여라. 3 2 1 2 n n=1 n + 2 (2) { * n (4) { n n = 1 ]ln ng (3) { sin n n=1 2 1 n 3 (1) a n = n n 3 3 3 3 다음과 같이 정의된 수열 "a n, 에 대하여 급수 { a n 의 수렴, 발산을 조사하여라. n=1 3 n +1 3 n=1 n + 1 (1) { 3 수열 "a n, 에 대하여 a n $ 0 이고 급수 { a n 이 수렴하면 급수 { a n 도 수렴함을 보여라. 3 3 n=1 n=1 2 4 ( n : 짝수) (2) a 1 = 3 , a n + 1 = ( n : 홀수) 3n - 2 an 4n + 1 다음은 급수에 대한 명제이다. 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 들어라. (1) a n $ 0 이고 급수 { a n 이 수렴하면 급수 { ln ]1 + a ng 도 수렴한다. 3 3 n=1 n=1 (2) 급수 { a n 은 수렴하고, 급수 { b n 은 발산하면 급수 { ]a n + b ng 은 발산한다. 94 III 급수의 수렴과 발산 3 3 3 n=1 n=1 n=1 2. 급수의 수렴과 발산 95 01 3 교대급수 판정법 학습 목표 교대급수판정법을 이해할 수 있다. 절대수렴과 조건수렴의 뜻을 이해할 수 있다. 비판정법을 이해하고 이를 활용할 수 있다. 교대급수 판정법 01 교대급수 판정법 재배열급수를 이해할 수 있다. 교대급수판정법 지금까지 알아본 급수 판정법은 양수 항을 갖는 급수에 관한 것이다. 이제 양수가 아닌 항을 갖는 급수의 수렴판정법을 알아보자. 양수와 음수인 항이 번갈아 나타나는 급수를 교대급수라 한다. 예를 들면 다음 두 급수는 교대급수이다. 참고하기 { ]-1g n1 = -1 + 12 - 13 + 14 - g 3 교대급수 alternating series n n=1 { ]-1g 3 n-1 n=1 1 1 1 1 1- 2 + 2 - 2 +g 2 = n 2 3 4 교대급수의 n 번째 항은 다음과 같은 꼴임을 알 수 있다. n 1 a n = ]-1gn a n 또는 a n = ]-1g - a n 일반적으로 교대급수는 양의 항을 갖는 수열 "a n, 에 대하여 다음과 같이 쓸 수 있다. { ]-1g 3 n=1 n-1 a n 또는 { ]-1gn a n 3 n=1 양의 항을 갖는 수열 "a n, 에 대하여 교대급수 { ]-1g 3 n-1 a n 가 수렴하는 참고하기 n=1 경우를 알아보자. 교대급수판정법 alternating series test 모든 자연수 n 에 대하여, S 2n - 1 = a 1 - a 2 + a 3 - a 4 + g - a 2n - 2 + a 2n - 1 생각 열기 수렴하는 무한급수의 합을 정확히 아는 것은 매우 어렵기 때문에 대부분의 경우 그 수렴 값보다 근삿 값을 구하는 것이 의미가 있다. 수렴하는 무한급수의 근삿값과 정확한 값의 차, 즉 오차를 계산함으 이고 로써 좀 더 정확한 근삿값을 구할 수 있다. S 2n = a 1 - a 2 + a 3 - a 4 + g + a 2n - 1 - a 2n 특히, 양의 항과 음의 항이 번갈아 나타나는 급수를 교대급수라 하는데, 교대급수의 특성 때문에 그 급수의 부분합을 근삿값으로 할 때 그 교대급수의 합과의 오차를 쉽게 계산할 수 있다. 이와 같은 급 수의 판정법은 고트프리트 라이프니츠가 제시하였다. = a 1 - ]a 2 - a 3g - g - ]a 2n - 2 - a 2n - 1g = ]a 1 - a 2g + ]a 3 - a 4g + g + ]a 2n - 1 - a 2ng 또한, S 2n - 1 - S 2n = a 2n $ 0 이므로 S 2n # S 2n - 1 . 한편, 모든 자연수 n 에 대하여 a n $ a n + 1 이라 하자. 수열 "S 2n - 1, 은 감소수열이고, 수열 "S 2n, 은 증가수열이다. 96 급수의 수렴과 수렴과 발산 발산 III 급수의 III 3. 교대급수 판정법 97 따라서 문제 1 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지를 판정하여라. S 2 # S 4 # g # S 2n # S 2n - 1 # g # S 3 # S 1 이므로, "S 2n - 1, 은 아래로 유계인 수열이고, "S 2n, 은 위로 유계인 수열이다. 단조수열 정리에 따라 "S 2n - 1, , "S 2n, 은 각각 수렴한다. 또한 lim ]S 2n - 1 - S 2ng = nlim a 2n "3 (1) { ]-1g 3 n-1 n=1 급수 { ]-1gn 3 예제 2 n"3 n=1 a 2n = 0 이므로, nlim 한편 nlim S 2n - 1 = nlim S 2n 이다. a n = 0 이면 nlim "3 "3 "3 "3 따라서 급수 { ]-1g 3 n-1 n + 1 가 수렴하는지 발산하는지 판정하여라. n e 참고하기 { ]-1g 3 n-1 1 n은 ln 2 로 수렴한다. x+1 라 하면 x e x 1 " x ] e - x + 1g e , 2x e -x -x x = 2x e = -xe e 교대급수판정법 이므로, 구간 61, 3g 에서 f l]xg < 0 이다. 따라서 f ]xg 는 감소 함수이고 수열 "a n, 이 다음 조건을 만족한다고 하자. 자연수 n 에 대하여 ❶ 모든 자연수 n 에 대하여 0 < a n + 1 # a n 이다. f ]n + 1g = ❷ lim a n = 0 . n"3 이때, 교대급수 { ]-1g a n 과 { ]-1g 3 n n-1 n+2 n+1 # = f ]ng n n+1 e e 이다. 한편, 로피탈의 정리에 의하여 a n 은 모두 수렴한다. n=1 lim x"3 발산판정에 의하여 교대급수판정법에서 lim a n = 0 은 반드시 필요한 조건 n"3 임을 알 수 있다. 예를 들어, 수열 % n + 1 / 은 교대급수판정법의 조건 (1)을 만족 n n+1 n + 1 =1 이므로 발산판정법에 의하여 급수 { ]-1gn n n n=1 3 한다. 한편, nlim "3 1 n +1 2 f l]xg = 이상을 정리하면 다음과 같다. n=1 n n=1 함수 f ]xg 를 f ]xg = n=1 3 3 n=1 풀이 a n 은 수렴한다. (2) { ]-1g n 2n + 1 x+1 1 = xnlim n x x = 0 "3 e e n+1 = 0 이다. 그러므로 교대급수의 판정법에 의하여 n e 이므로 lim n"3 { ]-1g n + 1 은 수렴한다. 3 n e n=1 n 답 수렴 는 수렴하지 않는다. 문제 2 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하여라. 교대급수 { ]-1g 3 예제 1 n-1 n=1 1 n 은 수렴하는지 발산하는지 판정하여라. (1) { ]-1g 3 n=1 n 2 n 3 n +1 (2) { ]-1gn ln n 3 n=1 n 풀이 (1) 자연수 n 에 대하여 1 1 # n n+1 MEMO (2) lim 1 = 0 n"3 n (1)과 (2)로부터 교대급수판정법에 의하여 { ]-1g 3 n=1 n+1 1 n 은 수렴한다. 답 수렴 98 III 급수의 수렴과 발산 3. 교대급수 판정법 99 교대급수판정법을 설명하는 과정에서 모든 자연수 n 에 대하여 다음이 성립 함을 알 수 있다. 이다. 또한 S4 = 1 3 이므로, 5 는 주어진 급수 { 교대급수의 오차한계 8 수열 "a n, 이 n=1 5 1 1 1 = + 8 2! 3! 4! ]-1gn - 1 의 합과 차가 0.01 보다 작은 근삿값 n! 이 된다. ❶ 자연수 n 에 대하여 0 < a n + 1 # a n , 5 1 1 1 + =답8 2! 3! 4! S 4 = -1 + ❷ lim a n = 0 n"3 을 만족시킨다고 하자. { ]-1g a n = s 라 할 때, 모든 자연수 n 에 대하여 3 n n=1 Sn - s # an+1 문제 3 다음 교대급수의 합과 오차가 0.01 보다 작아지는 근삿값을 구하여라. (1) { ]-1gn 3 n=1 급수 { ]-1g 3 예제 3 n n=1 3 3 n=1 n+1 가 수렴함을 보였다. n e n=1 절대수렴과 조건수렴 임의의 자연수 n ! N 에 대하여 3 3 급수 { a n 에 대하여, { a n , 즉 n+2 k+1 # an+1 = n+1 k k=1 e e n s - Sn = s - { n=1 n=1 3 { a 또한, n = 4 일 때, = a1 + a2 + g + an + g n n=1 s - S 4 = { ]-1g 3 n n=1 을 생각해보자. 예를 들어, 급수 { ]-1g 3 n+1 3 5 6 2 4 - d- e + 2 - 3 + 4 n # 5 n e e e e e 3 교대급수 { n=1 ]-1gn - 1 n! s - S4 < 6 5 e 의하여 { 2 3 1 ]-1gn 12 는 수렴한다. { 은 수렴하므로 2 n=1 n n=1 n 3 3 n=1 n=1 와 오차가 0.01 보다 작아지는 근삿값을 구하 11 1 은 감소수열이고, lim = 0 이므로 교대급수판정법에 n " 3 n! n! n! 1 1 1 는 수렴한다. 한편, = < = 0.01 이므로, 100 120 5! { ]-1g n n=1 풀이 n=1 n-1 n 2 자연수 n 에 대하여 { ]-1g 3 1 s - S4 # < 0.01 5! III 급수의 수렴과 발산 n 이와 같이 급수 { a n 이 수렴할 때, { a n 은 절대수렴한다고 한다. 수열 ' n=1 n=1 3 3 ]-1gn - 1 n 2 이고, p = 2인 p - 급수 { 예제 5 3 3 n n=1 여라. 풀이 1 2 에 대하여, n { ]-1g 1 = { 1 3 답 100 n n=1 이다. 예제 4 1 6 n n n+1 에 대하여, s 와 S 4 의 오차의 한계를 구하여라. n e 예제 2 에서 급수 { ]-1gn 풀이 (2) { ]-1g n 2 n! n n-1 n 2 3 = { n=1 의 절대수렴하는지를 판정하여라. n-1 n 2 n-1 n 2 # n n 2 3 1 n=1 n # { 1 = n 3 이므로, 3 3. 교대급수 판정법 101 3 한편, p = 3 인 p - 급수 { 3 은 수렴하므로 비교판정법에 의하여 n=1 2 n { ]-1g 3 1 n n=1 n-1 n 2 { ]-1g 3 은 수렴한다. 따라서 n-1 n n n=1 2 은 절대수렴 한다. 3 3 3 1 n 1 n 1 한편 교대급수 { ]-1g n 에 대하여, 급수 { ]-1g n = { n 이 발 n=1 n=1 n=1 n 1 산하므로, { ]-1g n 은 발산한다. 3 n=1 따라서 위의 절대수렴과 수렴의 관계의 역은 성립하지 않는다. 3 3 이와 같이 급수 { a n 이 수렴하지만 절대수렴하지 않을 때, { a n 은 조건 답 절대수렴 n=1 n=1 n 1 수렴한다고 한다. 예를 들면 교대급수 { ]-1g n 는 조건수렴한다. 3 n=1 예제 6 문제 4 다음 급수가 절대수렴하는지를 판정하여라. (1) { ]-1gn 3 n=1 { ]-1g 3 1 3 n (2) n-1 n=1 ln n 3 n 다음 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 발산하는지 판정하여라. (2) { ]-1g 3 3 cos nr 2 n=1 n + 1 (1) { (3) { ]-1gn 3 n=1 n=1 n-1 1 n+1 n 2 n +1 3 이제 무한급수 { a n 의 절대수렴과 수렴의 관계를 알아보자. n=1 3 3 n=1 n=1 급수 { a n 이 절대수렴, 즉 { a n 이 수렴한다고 하자. 자연수 n 에 대하여 a n = a n 또는 a n = -a n 이므로 0 # an + an # 2 an 3 3 3 { a 이 절대수렴, 즉 { a 이 수렴하므로, { 2 a 도 수렴한다. n n n=1 n n=1 n=1 따라서 비교판정법에 의하여 급수 { ]a n + a n g 도 수렴한다. 3 n=1 한편, 모든 자연수 n 에 대하여 a n = ]a n + a n g - a n 이고, { ]a n + a n g 과 { a n 은 수렴하므로 { a n 도 수렴한다. 3 3 3 n=1 n=1 n=1 이상을 정리하면 다음과 같다. 풀이 cos nr 1 1 # 2 # 2 2 n +1 n +1 n 3 1 이다. p = 2 인 p - 급수 { 2 은 수렴하므로, 비교판정법에 의해 n=1 n 3 3 nr cos nr 도 수렴, 즉 { 은 절대수렴한다. { cos 2 2 n=1 n + 1 n=1 n + 1 1 1 1 n-1 (2) 자연수 n 에 대하여 ]-1g 이고, = > n+1 n+1 2 n 3 3 1 1 1 는 발산하므로 { 도 발산한다. p = 인 p - 급수 { 2 n=1 n=1 n n+1 1 1 < 한편, 자연수 n 에 대하여 n+2 n+1 1 이고, lim = 0 이므로 교대급수판정법에 의하여 n"3 n+1 3 { ]-1gn - 1 1 은 수렴한다. 따라서 주어진 급수는 조건수렴한다. n=1 n+1 (1) 자연수 n 에 대하여 (3) lim n"3 n 2 n +1 Y 0 이므로 주어진 급수는 발산한다. =1= 답 (1) 절대수렴 (2) 조건수렴 (3) 발산 절대수렴과 수렴의 관계 3 3 n=1 n=1 급수 { a n 이 절대수렴하면 { a n 은 수렴한다. 102 III 급수의 수렴과 발산 MEMO 3. 교대급수 판정법 103 문제 5 다음 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 발산하는지 판정하여라. (1) { ]-1g 1 n+1 (2) { ]-1g ] n + 1 - ng (3) { ]-1g n ln n (4) { ]-1g sin n n 4 3 n+1 n=1 3 n+1 n=1 3 n-1 n=1 3 n-1 n=1 예제 7 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하여라. (1) { ]-1gn + 1 3 n=1 (2) { ]-1gn + 1 3 n n 3 3 n=1 n 3 n! 풀이 3 (1) 모든 자연수 n 에 대하여 a n = 비판정법 3 공비가 r 인 등비급수 { ar n-1 an+1 a n = r 이므로, r < 1 이면 에 대하여 n=1 3 { ar n=1 n-1 3 은 수렴하고, r > 1 이면 { ar an+1 an = n-1 n n 라 하면, 3 ]n + 1g3 n+1 3 3 n n 3 = an+1 1 a n = 3 < 1 이다. 따라서 비판정법에 따라 주어진 급 은 발산한다. 이므로 nlim "3 an+1 a n 에 따라 급수가 수렴하 수는 절대수렴하고, 그 급수는 수렴한다. n=1 이와 같이 연속한 두 항의 비율의 극한값 nlim "3 는지 발산하는지 판정하는 방법을 비판정법이라 한다. 1 a n + 1 k3 n 3 n (2) 모든 자연수 n 에 대하여 a n n= +1 3 an+1 an = 이를 정리하면 다음과 같다. 3 n+1 n! 라 하면, 3 ]n + a n1+g1! n 3an = = n! an+1 = 0 < 1 이다. an n"3 ]n 3+ 1g ! n +3 n1 n! = 3 n+1 이므로 lim 비판정법에 따라 주어진 급수는 절대수렴하므로 수렴한다. 비판정법 답 (1) 수렴 (2) 수렴 3 a 급수 { a n 에 대하여 lim n + 1 = L 이라고 하자. an n"3 n=1 3 ❶ L < 1 이면, 급수 { a n 은 절대수렴한다. 문제 6 비판정법을 이용하여 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하여라. n=1 3 ❷ L > 1 이면, 급수 { a n 은 발산한다. 3 (1) { n=1 n=1 3 ❸ L = 1 이면, 급수 { a n 은 수렴할 수도 발산할 수도 있다. n=1 an+1 a n = 1 이면 그 급수의 수렴 여부를 판정할 수 없음을 의미한다. 예를 들어 두 급수 3 3 n=1 n=1 3 3 n=1 n=1 { n1 , { 1 에 대하여, 모두 1 1 는 수렴한다. L = 1 이지만 { n 는 발산하고 { 104 III 급수의 수렴과 발산 n 2 n 2 3 (2) { nn n n=1 (3) { ]-1g 3 n=1 참고: 비판정법의 (3)은 nlim "3 ]-3gn n-1 6 n n 2 5 (4) { ]-1g 3 n=1 n 3 n 2 n+n 2 재배열급수 유한급수의 합은 항들의 순서를 재배열해도 합은 변하지 않지만, 무한급수 의 경우는 그렇지 않다. 무한급수의 항을 바꾸어 얻어진 급수를 재배열급수라고 한다. 예를 들면 다 3. 교대급수 판정법 105 중단원평가 3 음은 급수 { a n 의 재배열급수이다. n=1 a1 + a3 + a2 + a4 + g 1 절대수렴하는 급수의 재배열급수는 다음 성질을 갖는다. 교대급수판정법을 사용하여 다음 급수가 수렴하는지를 판정하여라. (1) { ]-1gn 3 n=1 3 3 3 { a 이 절대수렴하고 { a = s 이면 { a 의 재배열급수의 합은 s 이다. n n n=1 n=1 3 (2) { ]-1gn + 1 1 2 3 n=1 n 1 n ln n n n=1 2 다음 교대급수가 수렴할 p 의 값의 범위를 구하여라. { ]-1g 3 조건수렴하는 급수의 재배열급수는 서로 다른 합을 가질 수 있다. n+1 n=1 급수 { ]-1g 3 예제 8 n+1 n=1 3 1 1 1 1 1 1 - + + - + +g 5 7 4 9 3 2 1+ 풀이 1 n 의 다음 재배열급수의 합을 구하여라. 다음 급수의 합과 오차가 0.0001보다 작아지는 근삿값을 구하여라. 3 (1) { n=1 ]-1gn + 1 4 (2) { ]-1gn + 1 3 n n=1 1 5 n 로그함수의 테일러급수(128쪽 참고)에 의하여 1 1 1 1 1 1 + - + - + - g = ln 2 …… (1) 5 7 4 6 2 3 1 이다. (1)의 양변에 를 곱하면 2 1 1 1 1 1 1 + 0 - g = ln 2 0+ +0- +0+ +0- +0+ 4 6 8 10 2 2 1- 4 다음 급수가 절대수렴하는지, 조건수렴하는지, 발산하는지를 판정하여라. 3 (1) { n=1 이다. (1)과 (2)에서 다음을 얻을 수 있다. n 3 (2) { cos nr n=1 n + 1 4 (4) { ]-1gn 3 n n n = 1 ]-3g (3) { 5 3 1 1 1 1 1 1 - + + - + + g = ln 2 5 7 4 9 3 2 2 ]-2gn 3 …… (2) 1+ 1 p n n=1 n 2 n! 5 : 8 : 11 : g : ]3n + 2g 비판정법을 사용하여 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하여라. 3 (1) { 답 풀이 참조 3 n=0 n e n 3 (2) { 2 n=0 1 : 3 : 5 : g : ]2n - 1g n! n=0 ]-1gn 3 n 1+3 n 3 (3) { 리만은 재배열급수에 대해 다음을 증명하였다. 3 { a 이 조건수렴하고 k 가 임의의 실수일 때, n n=1 6 다음 급수가 수렴할 자연수 p 의 값을 구하여라. { ]]n!gg 3 3 그 합이 k 인 { a n 의 재배열급수가 존재한다. n=1 n=1 급수 { ]-1g 문제 7 3 1 n 의 다음 재배열급수의 합을 구하여라. n=1 1 1 1 1 1 1 1- - + + - +g 5 4 6 2 3 12 106 III 급수의 수렴과 발산 n+1 7 3 2 pn ! 3 { a 이 절대수렴하면 { ln 1 + a 도 수렴함을 보여라. n n=1 n n=1 3. 교대급수 판정법 107 대단원평가 1 6 a n = 0 임을 보여라. lim a n = 0 이면 nlim "3 n"3 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하여라. 3 (2) { 3 1 n n=1 n + 2 (1) { n=1 (3) { ]n n - 1g 3 3 n=0 3 -n 2 n=1 3 3 { a 1+ n (4) { ne n n=1 2 ]-1gn n n { a n 도 수렴함을 보여라. 이 = 수렴하면 0 n=0 7 수열 "a n, 은 a 1 = 1 , 급수 { a n 이 수렴하면 급수 { ]a 2n - 1 + a 2ng 은 반드시 수렴하지만, 그 역은 성립하지 않음을 3 3 n=1 n=1 보여라. an+1 = an + 2 에 따라 정의할 때, nlim a n 을 구하여라. "3 4 다음은 급수에 대한 명제이다. 참이면 증명하고, 거짓이면 반례를 들어라. 3 3 n=1 n=1 3 (1) 두 급수 { a n 과 { b n 이 수렴하면 급수 { a n b n 도 수렴한다. 8 3 급수 { n=1 ln n p 이 수렴하는 p 의 범위를 구하여라. n n=1 3 3 n=1 n=1 (2) 0 # a n # 1 이고 급수 { a n 이 발산하면 급수 { sin a n 도 발산한다. 5 수열 "b n, 에 대하여 a n = b n - b n + 1 로 정의된 급수 { a n 의 합은 3 n=1 b 1 - nlim b n 임을 보여라. "3 108 III 급수의 수렴과 발산 9 3 n a 1 + 1 k = e 임을 보여라. 급수 { 1 의 합이 e 일 때, nlim n "3 n = 1 n! III 급수의 수렴과 발산 109 Ⅳ 멱급수 1 멱급수 2 테일러급수 단원 열기 우리 생활과 밀접한 관계가 있는 무리수와 삼각함수, 자연로그 등의 근삿값을 구하는 여러 가지 방법이 있다. 특히, 주어진 함수를 멱급수로 전개하고, 미분과 적분을 활용하여 이들의 근삿값과 오차를 구하는 방법은 매우 유용하다. 110 IV 멱급수 IV 멱급수 111 01 1 멱급수 학습 목표 멱급수의 뜻을 알고 멱급수의 수렴반경을 구할 수 있다. 멱급수의 기본정리를 이해하고 이를 할용하여 여러 가지 함수를 멱급수로 표현할 수 있다. 멱급수 01 멱급수 멱급수의 수렴구간 수열 "a n, 과 변수 x 에 대하여 3 { a x = a +a x+a x +a x +g 2 n 0 n 1 2 3 3 n=0 꼴의 급수를 멱급수 또는 거듭제곱급수라고 한다. 여기서 a n 을 x n 의 계수라 참고하기 고 한다. 예를 들어, 무한등비급수 일반적인 멱급수는 { a ]x - ag 3 2 1+x+x +g 은 모든 계수가 1 인 멱급수이다. 멱급수의 변수 x 에 실숫값을 대입하면 급수가 되고, 이때, 어떤 x 에 대하 여는 수렴하고 어떤 x 에 대하여는 발산한다. 예를 들면, 멱급수 와 같은 형태이지만 이 책에 서는 a = 0 인 3 {a x n n n=0 와 같은 꼴만 다루기로 한다. 2 1+ n n n=0 x x + 2 +g 3 3 는 x < 3 인 x 에 대하여 수렴한다. 특히, x = 0 일 때 멱급수는 항상 수렴 한다. 3 3 멱급수 { a n x 가 수렴하는 x 의 집합 E 를 급수 { a n x 의 수렴구간이라 n n=0 n n=0 하고, 이때, 수렴구간 E 에서 함수 f ]xg 를 f ]xg = a 0 + a 1 x + a 2 x + a 3 x + g 2 3 3 로 정의할 수 있다. 예를 들어 등비급수 { x 에 대하여 다음이 성립한다. n n=0 2 3 n 1 = 1 + x + x + x + g + x + g, x < 1 1-x 생각 열기 멱급수는 a n ]x - cg 과 같은 함수의 급수로 무한차원 다항식이라고 할 수 한다. 멱급수는 해석학 예제 4 다음 멱급수의 수렴구간 E 를 구하고, 집합 E 에서 주어진 급수로 정 n 에서 많은 응용을 할 수 있다. 특히, 이 책에서 배우는 테일러급수는 함수를 멱급수로 나타내는 것이 의되는 함수를 구하여라. 풀이 112 IV 멱급수 x x x x + 2 - 3 + g + ]-1gn n + g 2 2 2 2 2 1- 고, 이를 미분과 적분에 활용할 수 있다. 3 주어진 멱급수는 공비가 - n x 인 등비급수이므로 x < 1 2 2 1. 멱급수 113 x > 1 , 즉 |x|›2일 때 발산한다. 2 즉 |x|‹ 2일 때 수렴하고, 또한, x = -2 일 때 주어진 급수는 1+1+1+1+g+1+g 이므로 발산하고, 마찬가지로 x = 2 일 때 주어진 급수는 1-1+1-1+g 이므로 발산한다. 따라서 E = " x -2 < x < 2, 이다. 멱급수의 수렴 3 ❶ L = 0 일 때, 모든 x 에 대하여 { a n x 이 수렴한다. n n=0 3 ❷ 0 < L < 3 일 때, x < 1 이면 { a n x 은 수렴하고 x > L n n=0 1 이면 L 발산한다. 3 ❸ L = 3 일 때, { a n x 는 x = 0 에서만 수렴한다. n n=0 한편, 수렴구간 E 에서 급수로 정의된 함수는 무한 등비급수의 합에 따라 다음과 같다. x x x x x x x x1 2 2 1 + 2 -1 +g + +2 ]- 1gn3 + ++ g ]= -1gn n +xg = = n g 3 x 2 2 2 + + 2 x x 2 2 2 2 2 2 1 - a- k 1 - a- k 2 2 2 3 n x x x 1 2 n x 1 - + 2 - 3 + g + ]-1g답 n + g = , 2+x x k2,= 2 x< 2 E = " x -12-<a 2 2 2 2 1- 3 2 3 n n 여기서 ❷의 경우 r = 3 n 1 을 급수 { a n x 의 수렴반경이라 한다. L n=0 한편, ❶의 경우 수렴반경을 r = 3 , ❸의 경우 수렴반경을 r = 0 라고 한 3 다. 또한, ❷에서 x = r 또는 x = -r 인 경우 { a n x 의 수렴 여부를 수 n n=0 3 렴판정법을 사용하여 판정할 수 있다. 따라서 { a x 의 수렴반경이 r 일 n n n=0 3 다음 멱급수의 수렴구간 E 를 구하고, E 에서 주어진 급수로 정의되는 함 문제 1 때, { a n x 의 수렴구간은 다음 네 개의 구간 중 하나가 된다. n=0 수를 구하여라. 2 44 6 n 6-r, r@ , ]-r, r@ , 6-r, rg , ]-r, rg 2n xx xx x x + + 22 + + 3 +g+ n +g 33 3 3 33 (1) 11+ + x x x x + 2 - 3 + g + ]-1gn n + g 2 2 2 2 3 (2) 1 - |x|<r에서 수렴 6 9 3n -r r O |x|>r에서 발산 문제 2 (1) 다음 함수들을 멱급수로 나타내고, 그 멱급수의 수렴구간을 구하여라. 4 2 4+x (2) 2 2-x 이제 등비급수가 아닌 일반적인 멱급수의 수렴구간을 구하는 방법을 알아 보자. n 3 nx n 의 수렴반경과 수렴구간을 구하여라. n=1 4 예제 2 멱급수 { 풀이 임의의 자연수 n 에 대하여 a n = n n 이라 하면, 4 aann+ 1 n+1 1 lim lim a+n1 = 4n = 4 nn" "3 3 an 3 { a x 에 대하여 lim aa 3 n n+1 n n"3 n=0 n = L 이라 하면 n+1 lim n"3 an+1 x n an x = nlim "3 an+1 an x = L x n nx n 는 n=1 4 이므로 수렴반경 r = 4 이다. 한편, x = 4 일 때 멱급수 { n n { nx = { n # 4 = { n 3 n=1 4 3 n n=1 4 3 n 3 n=1 n nx 이므로 발산하고, x = -4 일 때 멱급수 { n 는 n=1 4 이므로 비판정법으로부터 다음 사실을 알 수 있다. 114 IV 멱급수 1. 멱급수 115 { n ]-4g = { ]-1g n n 3 4 n=1 3 예제 3 n 다음 함수를 멱급수로 나타내고, 그 멱급수의 수렴반경을 구하여라. n n=1 이므로 발산한다. 그러므로 주어진 멱급수의 수렴구간은 ]-4, 4g 이다. 답 r = 4, ]-4, 4g 1 ]1 - xg2 (2) ln ]1 - xg (1) 풀이 문제 3 다음 멱급수의 수렴반경 r 와 구하여라. =수렴구간을 3 3 (1) { n=2 ]-xgn 3 (2) { n! n=1 3 3 n! n x 2 n=2 n (4) { (3) { n=2 (1) 멱급수의 기본정리로부터 -1 < x < 1 일 때, n x n 3 :n ]-3gn n+1 3 d b 1 l 1 n-1 d 3 n = c { x m = { nx = 2 1 x dx ]1 - xg dx n = 0 n=1 x 2 n 3 = 1 + 2x + 3x + 4x + g + nx 3 이다. 또한 멱급수 { nx n-1 +g aann+ 1 n+ n1 = nlim lim =1 an +n 1 = n" "3 3 nn +1 에 대하여 lim a n n" "3 3 n=1 n-1 이므로 수렴반경은 r = 1 이다. (2) 모든 x ! ]-1, 1g 에 대하여 멱급수의 기본정리 1 # 1dt = -ln ]1 - xg t x 0 멱급수로 주어진 함수의 미분과 적분을 알아보자. 이므로, x < 1 일 때 멱급수의 기본정리로부터 ln ]1 - xg = - # 다음 정리는 이 함수의 미분과 적분을 다항함수의 미분과 적분처럼 할 수 있 음을 보여준다. x 0 =-# 0 x 3 x 3 n 1 dt - # { t dt 0 n=0 1-t 3 n=0 n=0 x n 0 멱급수 { a n x 의 수렴반경이 r 일 때, 구간 ]-r, rg 에서 3 -1 n + 1 x 에 대하여 n+1 aann+ 1 n+ n 1 lim lim = nlim n 1 =1 nn""33 a na+n1 "3 n + n=0 n n=0 ❶ 함수 f ]xg 는 구간 ]-r, rg 에서 미분가능하고, 이므로 수렴반경은 r = 1 이다. 3 n n-1 d ] f l]xg = { a n x g = { na n x dx n=0 n=1 3 # f ] t g dt = { # a t dt = { a nx+ 1 3 x 0 n=0 x 0 n 답 풀이참조 n+1 3 n x x -g 2 3 3 f ]xg = { a n x 로 정의된 함수 f ]xg 에 대해 다음이 성립한다. ❷ 모든 x ! ]-r, rg 에 대하여 = -x - 3 이다. 또한 멱급수 { n n=0 3 n+1 n=0 2 멱급수의 기본정리 3 { t dt = - { # t dt = - { nx+ 1 n n n=0 문제 4 구간 ]-1, 1g 에서 3 n 1 = { ]-1gn x 와 멱급수의 기본정리를 이 1+x n=0 용하여 다음 함수를 멱급수로 나타내어라. 멱급수의 기본정리 ❶과 ❷에서 미분과 적분할 때 만들어지는 급수 3 { na x n n=1 n-1 an n+1 x 1 n + n=0 3 , { 에 대하여, 비판정법에 의해 이들 급수의 수렴반경이 모두 r 임을 = 3알 수 있다. 116 IV 멱급수 (1) 1 2 1+x (3) tan -1 x (2) -2x ]1 + x 2g2 (4) ln ]1 + xg 1. 멱급수 117 중단원평가 이제 급수로 정의된 두 함수의 합, 차, 곱에 대한 급수 표현 방법을 알아 보자. 1 멱급수에 의하여 정의된 함수의 합, 차, 곱 3 n 3 n n n f ]xg = { a n x 과 g ]xg = { b n x 이라 하면 모든 x ! ]-r, rg 에 3 3 n n=0 2n n=0 n=0 n=0 n n=0 (1) 멱급수 { a n x 의 수렴반경을 구하여라. 두 멱급수 { a x 과 { b x 이 구간 ]-r, rg 에서 수렴한다고 하자. 3 3 멱급수 { a n x 의 수렴반경이 r 일 때 다음 물음에 답하여라. (2) x < r 인 x 에 대하여 f ]xg = { a n x 이라 하고 f n ]xg = { b n x 3 n n=0 3 n n=0 대하여 다음이 성립한다. n n=0 ]b n = ]n + 3g]n + 2g]n + 1g a n + 3g 라 할 때, { bn n n x 의 수렴반경을 구하여라. n=0 2 3 ➊ f ]xg + g ]xg = { a n x + { b n x 3 3 n n=0 3 n n=0 3 ➋ f ]xg - g ]xg = { a n x n - { b n x n n=0 ➌ f ]xg g ]xg = { c n x 3 n=0 n n=0 2 여기서 c n = a 0 b n + a 1 b n - 1 + g + a n - 1 b 1 + a n b 0 이다. 3 3 멱급수 { a n x 의 수렴반경을 r1 , 멱급수 { b n x 의 수렴반경을 r2 라 할 때, 다음 급수의 수 n n=1 n n=1 렴반경을 구하여라. 3 (1) { a n b n x -1 예제 4 tan x 를 멱급수로 나타낼 때, x 5 의 계수를 구하여라. 1-x 풀이 두 함수 tan -1 3 -1 n=1 5 3 7 x x x + + g , -1 < x < 1 5 7 3 3 n=2 n 4 ln n n n n x ]b > 0g n=1 b 3 2 3 tan x x x x = dx + + g n]1 + x + x + x + gg 5 7 1-x 3 5 ]-xgn (3) { 따라서 3 n=1 다음 멱급수의 수렴반경과 수렴구간을 구하여라. (1) { 1 = 1 + x + x 2 + x 3 + g , -1 < x < 1 x1 - 1x -1 3 (2) { an n x (단, b n = Y 0) bn 1 을 멱급수로 나타내면 다음과 같다. 1-x x와 tan x = x - n 7 3 (2) { n=0 3 ]-xg2n n! n n 2 x n=0 n + 1 (4) { 라 하면, x 5의 계수 c 5는 다음과 같다. 5 13 c 5 = { a k b 5 - k = 15 4 k=0 답 ] ln 1 - x 문제 5 2 1+x 118 IV 멱급수 g 13 15 다음 함수에 대한 멱급수 표현을 찾고, 그 멱급수 수렴구간을 구하여라. (1) 1 4 1-x (3) ln b 2 1+xl 1-x (2) 1 x + 2x - 3 2 (4) tan -1 ]3xg 4 을 멱급수로 나타낼 때, x 의 계수를 구하여라. 1. 멱급수 119 2 01 테일러급수 학습 목표 테일러급수를 이해하고, 주어진 함수의 테일러급수를 구할 수 있다. 테일러급수를 활용하여 근사다항식을 구할 수 있다. 오일러 항등식을 증명할 수 있다. 테일러급수 01 테일러급수 테일러급수 앞에서 몇몇 함수들을 멱급수로 나타낼 수 있었다. 이제 좀 더 일반적인 경우를 생각하자. 즉 주어진 함수를 멱급수로 표현할 수 있는지, 그리고 함수를 멱급수로 표현할 수 있다면 그것을 어떻게 구할 수 있는지 알아보자. 3 n 멱급수 { a n x 에 대하여 이 멱급수의 부분합 { a k x 은 다항함수이고, n k k=0 n=0 다항함수는 비교적 다루기가 쉬운 함수이다. 또한, 주어진 함수를 멱급수로 표현할 수 있으면 그 함수를 다항함수의 극한으로 생각할 수 있다. 함수 f ]xg 를 구간 ]-r, rg 에서 f ]xg = { a n x 로 표현할 수 있다고 하 3 n n=0 자. 멱급수의 기본 정리에 따라 f l]xg = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x + g 2 f m ]xg = 2!a 2 + 3!a 3 x + 4 : 3a 4 x + g 2 f n ]xg = 3!a 3 + 4!a 4 x + 5 : 4 : 3a 5 x + g gg 이다. 이들 식에 x = 0 을 차례로 대입하면 다음이 성립한다. f m ]0g f n ]0g , a3 = , g, a 0 = f ]0g , a 1 = f l]0g , a 2 = 2! 3! ]ng f ]0g g an = n! , 2 생각 열기 ‘접선’을 통해 함수를 근사하는 선형 근사, 즉 한 점의 적당한 근방에서 일차함수와 주어진 함수를 같 게 보려고 하는 생각을 일반화하면, 주어진 함수를 다항함수로 근사시키는 것이다. 즉 열린구간에서 미분가능한 함수를 다항식과 오류항(다항식의 차수가 커질수록 함수에 가까워진다)의 합으로 표현할 수 있다는 것을 테일러 정리라 한다. 오류항을 없애고 이들 다항식을 멱급수 형태로 나타낸 것을 테일 러급수라 한다. 이상을 정리하면 다음과 같다. 주어진 함수 f ]xg 가 구간 ]-r, rg 의 모든 점 x 에 대하여 f ]xg = { a n x 3 n n=0 이면, 모든 자연수 n 에 대하여 다음이 성립한다. f ]0g an = n! ]ng 120 IV 멱급수 2. 테일러 급수 121 한편, 함수 f ]xg 가 n 번 미분 가능할 때, 다음과 같이 정의된 다항식 Pn ]xg 를 x = 0에서 f ]xg 의 차 근사다항식 또는 함수 f 에 대하여 차 테일러 다항식이라 한다. f ]0g n f m ]0g 2 x x +g+ n! 2! f ]0g + f l]0g x + ]ng Pn ]xg = f ]0g + f l]0g x + f ]0g n f m ]0g 2 x +g x +g+ n! 2! ]ng 로 표현될 때, 이것을 함수 x = 0 에서 f 의 테일러급수 또는 f 의 매클로린 급수라고 한다. 함수 f ]xg = e 에 대하여 n = 1, 3, 5, 7 일 때, x = 0 에서 x 예제 1 f ]xg 의 n 차 근사다항식 Pn ]xg 을 구하여라. 함수 f ]xg = e 를 미분하면 f l]xg = e 이므로, 모든 자연수 k x 풀이 에 대하여 x f ]xg = e ]kg 이고 x = 0 에서 함수 f ]xg = e 의 테일러급수와 그 급수의 수렴반경을 x 예제 2 구하여라. 자연수 n 에 대하여 f n ]xg = e x 이므로, f n ]0g = e 0 = 1 이다. ] g 풀이 따라서 x = 0 에서 f ]xg = e 의 테일러급수는 다음과 같다. x x ]kg P1 ]xg = 1 + x P3 ]xg = 1 + x + 3 한편, x = 0 에서 f ]xg = e 의 테일러급수 { 3 x n=0 2 x x + 2! 3! 2 2 3 3 1 n x 에 대하여 n! an 1 ]n + 1g ! r = nlim = lim " 3 an+1 n = 0 n! 1 3 x x x x P5 ]xg = 1 + x + + + + 2! 3! 4! 5! P7 ]xg = 1 + x + 3 1 n x x ]n x+ 1g = 3 lim + + g= { n "03n! 2! 3! n= 2 1+x+ f ]0g = 1 이다. 따라서 ] g 4 4 5 5 x ]n + 1g = 3 = nlim "3 이므로, e 의 테일러급수의 수렴반경은 r = 3 이다. 6 3 7 x x x x x x + + + + + 2! 3! 4! 5! 6! 7! 답 { n1! x , r = 3 n n=0 답 풀이 참조 x = 0 에서 함수 f ]xg = cos x 의 테일러급수와 그 급수의 수렴반경을 문제 2 오른쪽 그림은 예제 1 y = Pn ]xg ]n = 1, 3, 5, 7g 의 그래프 구하여라. y 에서 구한 y=P 3(x) y=P 2(x) 와 y = e x 의 그래프를 그린 것이다. 이때, 구간 ]-r, rg 에서 함수 f 가 ]n + 1g 계 도함수를 갖는다고 하자. 임의의 자연수 n 과 x ! ]-r, rg 에 대하여 y=P 2(x) n 이 커짐에 따라 y = Pn ]xg 의 그래프가 y=P 1(x) O x y = e 에 가까워짐을 알 수 있다. x y=P 3(x) R n ]xg = f ]xg - f ]0g - f l]0g x - f ]0g n f m ]0g 2 x x -gn! 2! ]ng 라 하자. 먼저, x > 0라 하자. 임의의 t ! ]0, xg 에 대하여 문제 1 함수 f ]xg = sin x 와 n = 1, 3, 5, 7 에 대하여, f ]xg 의 n 차 근사다 항식을 구하여라. 122 IV 멱급수 g ] t g = f ]xg - f ] t g - f l] t g]x - tg - f m ]t g ]x - tg2 - g 2! ]x - tgn + 1 f ]t g ]x - tgn - R n ]xg n+1 n! x ]ng 2. 테일러 급수 123 라 하자. g ]0g = g ]xg = 0 이므로 롤의 정리에 따라 gl]zg = 0 인 z ! ]0, xg 가 존재한다. 한편, gl] t g = - f ]n + 1g 이므로, gl]zg = 0 에서 n! ]t g ]x - tg + ]n + 1g R n ]xg n R n ]xg = 이다. 따라서 f ]xg = f ]0g + f l]0g x + 이다. 여기서, z 는 0 과 x 사이의 실수이다. ]x - tgn x 답 풀이 참조 n+1 ]zg n + 1 f x ]n + 1g ! 함수 f ]xg = e 에 대하여 R n ]xg 를 구하여라. 문제 3 ]n + 1g x f ]0g n f m ]0g 2 x +g+ x + R n ]xg . n! 2! ]ng 마찬가지로, x < 0인 경우에도 같은 결과를 얻을 수 있다. 이때, R n ]xg 를 테일러급수의 나머지 항이라 한다. 이상을 정리하면 다음과 같은 테일러 공식을 얻을 수 있다. 테일러 공식에서 다음을 얻을 수 있다. 테일러 정리 구간 ]-r, rg 에서 함수 f 가 모든 계수의 도함수를 가질 때, 모든 x ! ]-r, rg 에 대하여 f ]xg = f ]0g + f l]0g x + 테일러 공식 구간 ]-r, rg 에서 함수 f 가 ]n + 1g 계 도함수를 가질 때, 임의의 x ! ]r, rg 에 대하여 f ]xg = f ]0g + f l]0g x + f m ]0g 2! 2 x +g+ 이다. 여기서 나머지 항(또는 오차) R n ]xg 는 R n ]xg = 이고, z 는 x 와 0 사이의 실수이다. f ]0g ]ng n! ]zg n + 1 f x ]n + 1g ! ]n + 1g 풀이 자연수 k 에 대하여 f ]2kg ]zg = ]-1g k-1 풀이 모든 실수 x 에 대하여 함수 f ]xg = sin x 의 테일러급수를 구하고, 자연수 k 에 대하여 f ]2k - 1g x이다. cos sin z ] g 3 x x x + - g = { ]-1gn 1 3! 5! ] 2n - 1g ! n=1 5 2n - 1 한편, 모든 실수 x 에 대하여 sincos z z2k 2k xx R 2k - 1 ]xg = ]-1gk - 1 ]2k]2g !kg ! , ]]22kk + + 11gg!! ]0g = ]-1gk - 1 , f 2k ]0g = 0 이므로 sin x 의 테일러급수는 cos z , 이므로, 테일러 공식에 따라 R n ]xg 는 IV 멱급수 “앞으로 f ]xg 의 테일러급수는 f ]xg 의 매클로린 급수를 의미한다.” 3 ]zg = ]-1gk - 1 sin z R 2k ]xg = ]]-11ggkk--11 lim R n ]xg = 0 n"3 그 테일러급수와 sin x 가 같음을 보여라. 함수 f ]xg = sin x 에 대하여 나머지 항 R n ]xg 를 구하여라. ]2k - 1g ]ng 일 필요충분조건은 모든 x ! ]-r, rg 에 대하여 다음이 성립한다. 예제 4 예제 3 f 124 x + R n ]xg f ]0g n f m ]0g 2 x +g x +g+ n! 2! +11 22kk+ xx sin x # 1 , cos x # 1 이므로, 위 예제로부터 R n ]xg # 1 ]n + 1g ! x n+1 2. 테일러 급수 125 이다. 이 부등식의 양변에 극한을 취하면 모든 실수 x 에 대하여 lim R n ]xg # nlim "3 1 ]n + 1g ! n"3 이므로 n+1 x n+1 = 0 lim R n ]xg = 0 마찬가지로, x = 0 이거나 x < 0 인 경우 lim R n ]xg = 0 임을 증명할 수 있 n"3 이다. 따라서 테일러의 정리로부터 모든 x 에 대하여 3 - n=1 3 = x- x ]n + 1g ! x = 0 이므로, lim R n ]xg = 0 이다. n"3 ]n + 1g ! n+1 한편, nlim "3 n"3 sin x = { ]-1gn 1 x = e nlim "3 다. 따라서 테일러정리에 의하여 모든 실수 x 에 대하여 2n - 1 x ]2n - 1g ! 2 x e = 1+x+ 5 3 x x + +g 2! 3! 이다. x x + -g 3! 5! 답 풀이 참조 임을 알 수 있다. 3 sin x = x - 답 5 x x + -g 3! 5! 문제 5 모든 실수 x 에 대하여 함수 f ]xg = e 문제 4 모든 실수 x 에 대하여 함수 f ]xg = cos x 의 테일러급수 2 4 6 x x x 1+ +g 2! 4! 6! 2 1-x+ -x 의 테일러급수 3 x x +g 2! 3! 와 e -x 이 같음을 증명하여라. 와 cos x 가 같음을 증명하여라. 함수 f ]xg = e + e x 예제 5 모든 실수 x 에 대하여 함수 f ]xg = e 의 테일러급수 예제 6 x 2 3 x x 1+x+ + +g 2! 3! x 대하여 이 급수가 e + e 2 풀이 와 e x 이 같음을 증명하여라. 2 -x 의 테일러급수를 구하고, 모든 실수 x 에 -x 와 같음을 보여라. 예제 5와 같은 방법으로 모든 실수에 대하여 2 풀이 e 실수 x 에 대하여, 테일러 공식으로부터 R n ]xg = z f ]xg = = z n+1 n+1 x e x . <e x ]n + 1g ! ]n + 1g ! 이 부등식의 양변에 극한을 취하면 x 0 # nlim R n ]xg # nlim e "3 "3 ]n + 1g ! n+1 x IV 멱급수 3 x x +g 2! 3! -x x e e + 2 2 x x x xx x 1d 11 + + g n + dd11-x ++ -- g+n g n 1+x+ 2 22 2! 3! 2! 2! 3! 3! 2 먼저 x > 0 인 경우 0 < z < x 이므로, 126 = 1-x+ 임을 증명할 수 있다. 한편 모든 실수 x 에 대하여 n+1 e x ]n + 1g ! 을 만족시키는 실수 z 가 0 과 x 사이에 존재한다. 0 < R n ]xg = -x 2 = 1+ 3 2 2 3 3 4 x x + +g 2! 4! 2 답 1+ 4 x x + +g 2! 4! 2. 테일러 급수 127 함수 f ]xg = sin x + cos x 의 테일러급수를 구하고, 모든 실수 x 에 대 문제 6 3 3 2 n 2n 1 = { ]-x g = { ]-1gn x 2 n=0 n=0 1+x 하여 이 급수가 sin x + cos x 와 같음을 보여라. 2 4 = 1-x +x -g 이고, 이 급수의 수렴반경 r = 1 이다. 주요 함수의 테일러급수 ❶ 2 3 2! 3! x 3 4 2 3 4 3 5 7 5 3 7 5 7 3! 5! 7! 2 4 6 2! 4! 6! 3 5 ❺ sin x = x - x + x - x + g , x ! R x -x 2 ❽ e +e 2 x x + + g, x ! R 3! 5! = 1+ x x + + g, x ! R 2! 4! 4 = 1+ 4 6 x x x + + +g 1 2! 3! (3) 모든 실수 x 에 대하여 sin x = { ]-1g 3 2n + 1 n n=0 대입하면 sin 3x = { ]-1gn 3 n=0 3 = x+ 2 n! 이고, 이 급수의 수렴반경 r = 3 이다. ❻ cos x = 1 - x + x - x + g , x ! R -x ]x 2gn 2 ❹ tan -1 x = x - x + x - x + g , -1 < x < 1 3 2 n=0 ❸ ln ]1 + xg = x - x + x - x + g , -1 < x < 1 2 3 e = { ❷ e x = 1 + x + x + x + g, x ! R x 2 x 이므로 x 에 x 을 대입하면 n = 0 n! x 2 3 1 = 1 + x + x + x + g , -1 < x < 1 1-x ❼ e -e n 3 (2) 모든 실수 x 에 대하여 e = { = 3x - x 이므로 x 에 3x 를 ]2n + 1g ! ]3xg2n + 1 ]2n + 1g ! 3 3 x +g 3! 이고, 이 급수의 수렴반경 r = 3 이다. (4) x < 1 일 때 ln ]1 + xg = x - 2 3 4 x x x + +g 4 2 3 이므로, x 에 -x 을 대입하면 ]2-xg 3 ]-4xg ]-xg g -x - x +- x - g ln ]1 - xg = ]-xx+g 4 43 2 2 3 2 테일러급수의 활용 중요한 함수의 테일러급수를 사용하여 다른 함수의 테일러급수를 구하는 방 답 (1) 1 다음 함수의 테일러급수를 구하고, 그 급수의 수렴반경 r 를 구하여라. (1) y = 1 2 1+x (3) y = sin 3x 풀이 (2) y = e x 2 (4) y = ln ]1 - xg 3 n 1 2 (1) x < 1 일 때 1 - x = { x 이므로 x 에 -x 을 대입하면 n=0 4 (2) 3 (3) 3 이고, 이 급수의 수렴반경 r = 1 이다. 법을 알아보자. 예제 7 3 (4) 1 문제 7 다음 함수의 테일러급수를 구하고 그 테일러급수의 수렴반경을 구하여라. (1) y = cos ]x g 2 (2) y = ln d 1 - x n 2 4 미적분학의 기본정리에 의하여 정적분은 부정적분을 구하면 쉽게 구할 수 있다. 정적분을 구할 때, 부정적분을 구할 수 없는 경우 테일러급수를 사용하 여 정적분의 근삿값을 구할 수 있다. 128 IV 멱급수 2. 테일러 급수 129 # 예제 8 0.1 0 e -x 2 dx 의 근삿값을 소수점 아래 다섯째 자리까지 정확히 구하 r 이므로 9 호도법에 의하여 20c = 여라. sin 20c = sin 모든 실수 x 에 대하여 풀이 e e -x 2 3 = { n=0 -x 2 ]x g = { 3 ]-x g 2 n 3 n=0 n! 2 n r 9 2 4 6 x x x = 1+ +g 1 n! 2! 3! = -x 2 dt = x - 3 5 1 1 #x + #x -g 3 5 # 2! 3 sin 20c . 0 0.1 e -x 2 0.1 0.1 5 3 1 1 dt = 6x@00.1 - : # x D + ; #x E -g 3 0 5 # 2! 0 3 5 1 1 = 0.1 - # 0.1 + # 0.1 - g 3 5 # 2! sin 20c - e # 0.1 0 # 0 0.1 e -x 2 555 33 e -x 2 dt - b 0.1 - 5 3 1 1 # 0.1 l < # 0.1 3 5 # 2! 5 3 1 1 dt - b 0.1 - # 0.1 l < # 0.1 = 0.000001 3 5 # 2! 0.1 -x 3 299 이다. 1 따라서 구하는 # e dx 의 근삿값은 0.1 - # 0.1 = 3 3000 0 299 답 3000 77 rr r r r 533 o < 77 33 + 9 55!! # 7! # 9 3! # 9 # 99 이다. 7 한편, 3 < r < 4 이므로, 7 r 4 7 < 7 이다. 7! # 9 7! # 9 3 이고 5 r r r 5 3 + 9 5! # 9 3! # 9 이라 하면, 이다. 정적분의 기본정리에 의하여 # 7 이다. 따라서 이므로, 멱급수의 기본정리를 사용하여, 양변 적분하면 #e 5 r r r r 5 7 + g 3 + 9 5! # 9 7! # 9 3! # 9 5 7 7 7 r r r r r r 4 의 차는 보다 작다. + 5 - 7 < 7 + g 7 9 9 3! # 9 3 5! #79! # 9 7! #79! # 9 따라서 sin 20c 와 = sin- 답 풀이 참조 2 문제 8 x 함수 y = e 의 테일러급수를 사용하여 e 0.2 의 근삿값을 소수점 아래 셋째 문제 9 cos 12cC의 근삿값을 구하고, 그 근삿값과 cos 12cC의 오차를 구하여라. 오일러 항등식 테일러 급수를 이용하여 오일러 항등식을 증명할 수 있다. 자리까지 정확히 구하여라. 실수 x 에 대하여 다음의 식이 성립함을 알고 있다. 2 이제 테일러급수를 활용하여 근삿값을 구하는 방법을 알아보자. 예제 9 sin 20c의 근삿값을 구하고, 그 근삿값과 sin 20c의 오차를 구하여라. 풀이 sin x 의 테일러급수는 다음과 같다. 3 sin x = x - 5 7 x x x + +g 3! 5! 7! x e = 1+x+ 3 5 7 2 4 6 sin x = x - x x x + +g 3! 5! 7! cos x = 1 - x x x + +g 2! 4! 6! z 이때, 복소수 z 에 대하여 e , sin z , cos z 를 다음과 같이 정의하자. 2 z e = 1+z+ 130 IV 멱급수 3 x x + +g 2! 3! 3 z z + +g 2! 3! 2. 테일러 급수 131 중단원평가 5 7 2 4 6 z z z + +g 3! 5! 7! cos z = 1 - z z z + +g 2! 4! 6! 그러면, iz e = 1 + iz + ]izg2 2! 2 3 sin z = z - + ]izg3 3! 3 + ]izg4 4! 4 + ]izg5 5! +g 1 미분을 이용하여 f ]xg = 2 함수 f ]xg 를 4 2 3 5 3 = cos z + i sin z (3) f ]xg = 이를 이용하여 다음 오일러 항등식을 증명할 수 있다. 4 (2) f ]xg = cos 3x (4) f ]xg = sin x 2x e 1-x 2 주요 함수의 테일러급수를 활용하여 다음 함수의 테일러급수를 구하여라. (2) f ]xg = tan -1 2x + e -x (1) f ]xg = sin 4x 임의의 실수 i 에 대하여 다음이 성립한다. (3) f ]xg = x 3 e 2x ii e = cos i + i sin i iz 4 다음 함수의 테일러급수의 정의를 사용하여 구하여라. (1) f ]xg = x 3 + 2x 2 - 3 이 성립한다. 오일러 항등식 3 로 정의할 때, 급수의 수렴반경을 구하고, f ]xg 를 간단한 식으로 나타내어라. z z z z = d1 + - g n + id z + + gn 2! 4! 3! 5! 2 의 테일러급수를 구하고 그 급수의 수렴반경을 구하여라. f ]xg = 2 + 3x + 2x + 3x + 2x + g 5 z z z z = 1 + iz -i + +i -g 2! 3! 4! 5! 1 ]1 + xg3 5 10 복소수 z 에 대하여 cos z , sin z 를 e 로 나타내어라. 문제 (4) f ]xg = cos 2 x 함수 f ]xg = ln b 1 + x l 의 테일러급수를 활용하여 ln 2 의 값을 소수 셋째 자리까지 정확히 구 1-x 하여라. MEMO 6 멱급수를 이용하여 다음 정적분 값의 근삿값을 구하여라. (1) # 0.1 0 x sin ]x g dx (소수점 다섯째 자리) 3 (2) # 2 ln ]1 + x 2g dx (소수점 셋째 자리) 1 0 7 테일러급수를 활용하여 다음 급수의 합을 구하여라. (1) 1 - ln 3 + ]ln 3g2 2! - ]ln 3g3 3! +g 1 b 3 ln 5 n = 0 n! 3 (2) { 132 IV 멱급수 2. 테일러 급수 133 대단원평가 1 다음 무한급수의 합을 구하여라. 3 n n n=1 2 3 (1) { 2 (2) { n=1 1 n n:2 -5 다음 값의 근삿값을 오차가 10 보다 작아지도록 구하여라. 6 함수 f ]xg = 7 급수 { 8 모든 x 에 대하여 f ]xg = { a n x 이라 할 때, 다음을 증명하여라. ]2ng ! n x 의 수렴반경을 구하여라. 2 n = 0 ]n!g 3 (2) sin 0.2 (1) cos 0.1 -1 2 x+x 을 멱급수로 나타내어라. ]1 - x 3g3 (4) ln 0.9 (3) tan 0.1 3 n n=1 3 (1) (2) 모든 x 에 대하여 f ]-xg = -f ]xg 이면, a 2n = 0 이다. 1 의 3차 근사다항식을 구하여라. 1+x (2) (1)을 이용하여 4 (1) 모든 x 에 대하여 f ]-xg = f ]xg 이면, a 2n - 1 = 0 이다. 테일러급수를 이용하여 다음 물음에 답하여라. 1 (3) #0 x (4) #0 0.2 1+t 2 의 테일러급수를 네 번째 항까지 구하여라. 9 2n x f ]xg = e 일 때, f ]0g 의 값을 구하여라. 10 { ]ln xg 이 수렴하는 x 의 범위를 구하여라. dt 의 테일러급수를 네 번째 항까지 구하여라. 2 1 1+t 1 1+x 2 dt 의 오차가 0.001 보다 작은 근삿값을 구하여라. 3 11 g n n=0 인도의 라마누잔은 1910 년경에 다음 공식을 발견한다. 2 2 3 1 { ]4ng ! ]1103 + 26390g ]44ng ! 4n ]1103 + 26390ng = r 9801 n = 0 ]n!g 396 4n ]n!g 396 ] 2 3 급수 { n=1 ]-1gn + 1 n 5 의 합을 소수점 넷째 자리까지 구하여라. 고스퍼는 1985 년에 이 급수를 이용하여 r 의 근삿값을 소수점 1700 만 자리까지 찾았다. 이 급수 가 수렴함을 보여라. 12 다음 급수의 합을 구하여라. (1) { ]-1g 3 5 멱급수 { a n x 의 수렴반경이 r 일 때, { n ]n - 2g a n x 3 n=0 134 IV 멱급수 n 3 n=2 n=0 n-2 의 수렴반경을 구하여라. (2) 3 + n 2n + 1 r 2n + 1 ]2n + 1g ! 4 9 27 81 + + +g 2! 3! 4! IV 멱급수 135

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