Universidad de la República
Facultad de Ingenierı́a
Práctica 2: Péndulo simple
Fı́sica Experimental 1 - 2025
Integrantes:
Cardozo Sánchez Facundo Giuliano; CI: 5.482.727-0
Lostorto Acosta Lucia Belén; CI: 5.539.555-3
Índice
1. Objetivos
2
2. Fundamento Teórico
2
2.1. Péndulo Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2. Pequeñas oscilaciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.3. Oscilaciones grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.4. Aceleración Gravitatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.5. Método de Mı́nimos Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3. Metodologı́a
3
4. Tratamiento y análisis de datos
5
4.1. Tratamiento de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4.2. Análisis de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
5. Conclusiones
8
6. Bibliografı́a
9
7. Apéndices
9
7.1. Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
7.2. Cálculos e incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1
1.
Objetivos
Los objetivos de esta práctica son analizar experimentalmente cómo varı́a el perı́odo de un péndulo simple
en función de la amplitud de sus oscilaciones, identificando el rango en el que se pueden considerar pequeñas
oscilaciones. Además, se busca determinar el valor de la aceleración gravitatoria g a partir de las mediciones
realizadas durante el experimento. Para ello, se aplicará el método de mı́nimos cuadrados como herramienta
de ajuste y análisis de los datos obtenidos.
2.
Fundamento Teórico
2.1.
Péndulo Simple
El péndulo simple es un sistema ideal formado por una masa puntual suspendida de un hilo flexible,
inextensible y sin masa, que oscila en un plano bajo la acción de la gravedad. Se desprecian efectos como la
fricción del aire o el rozamiento en el punto de suspensión. Su dinámica se puede analizar con la segunda
ley de Newton o por conservación de la energı́a. Esto lleva a una ecuación diferencial no lineal:
θ̈ +
g
sin θ = 0
l
(1)
Donde g es la aceleración gravitatoria, l la longitud del péndulo y θ el ángulo respecto a la vertical.
2.2.
Pequeñas oscilaciones
Cuando θ < 10º se puede usar la aproximación: sin(θ) ≈ θ, lo que linealiza la ecuación:
g
θ̈ + θ = 0
l
(2)
Esta es la ecuación del oscilador armónico simple, cuya solución es una función periódica. De resolver esta
ecuación se puede hallar el perı́odo dando como resultado:
s
l
T = 2π
g
(3)
Este resultado muestra que, para pequeñas oscilaciones, el perı́odo no depende de la amplitud.
2.3.
Oscilaciones grandes
Si θ > 10º, ya no vale la aproximación y el perı́odo sı́ depende del ángulo inicial.Se puede obtener una
expresión integral (elı́ptica) para el mismo que no puede resolverse con funciones elementales. Por eso se usa
una expansión en series o una fórmula empı́rica. Para la práctica se usará la siguiente expresión que da muy
buenos resultados para amplitudes de hasta 60.
T (θ, θ0 ) = T0
θ0
sin θ0
3/8
En esta ecuación, T0 representa el perı́odo en pequeñas oscilaciones y θ0 es el ángulo inicial
2
(4)
2.4.
Aceleración Gravitatoria
La fuerza gravitatoria entre dos masas es: F = GM m/R2 donde R es la distancia entre los objetos de
masas m y M, y G es la constante de Newton. Cerca de la superficie terrestre, usando la masa y el radio
medio de la Tierra, se obtiene la aceleración gravitatoria: g = GM/R2 ≈ 9, 817m/s2 Estrictamente, g no es
constante, ya que varı́a con la distribución de masa y de la distancia al centro de la Tierra.
2.5.
Método de Mı́nimos Cuadrados
Este método se usa cuando tenemos un modelo de un sistema fı́sico descrito por una función y=f(x;a,b,c,...)
donde a,b,c, etc. son parámetros y un conjunto de datos experimentales del sistema fı́sico. Lo que se busca
son los parámetros que hacen que la función se aproxime lo más posible a las medidas experimentales. Para
ello, se minimiza la suma de los cuadrados de las distancias entre los puntos experimentales y la curva teórica.
En el caso particular en el cual y = ax + b, el problema consiste en encontrar a y b tal que la recta obtenida
se aproxime de la mejor manera al conjunto de medidas (xi , yi ) con i = 1, 2, ..., n. Entonces lo que se busca
minimizar es:
X
(yi − f (xi ; a, b..))2
(5)
Los valores a y b que hacen mı́nima a la expresión se hallan haciendo la derivadas parciales según a y b. Este
método también sirve para modelos teóricos no lineales. En muchas ocasiones para simplificar el proceso se
puede realizar un cambio de variable de tal manera que la ecuación teórica se pueda escribir en forma lineal.
3.
Metodologı́a
Para esta práctica se utilizaron los siguientes materiales: tanza (cuya masa la consideramos despreciable
frente a la del objeto esférico, inextensible y flexible como para aproximarse a las condiciones ideales del modelo teórico.), soporte y objeto esférico de masa m. Para medir los datos deseados se hizo uso de: semicı́rculo
con apreciación de 1º, metro graduado al milı́metro y cronómetro con apreciación de 0,01s.
3
Figura 1: Esquema de los instrumentos utilizados para realizar el experimento.
En esta experiencia se buscó medir la dependencia del periodo con respecto a diversas magnitudes,
manteniendo otras invariantes. Mantener constantes las condiciones del experimento es fundamental para
asegurar que los cambios observados en los resultados se deban exclusivamente a la variable que se desea
estudiar. Esto implica hacer uso de la misma instrumentaria en cada instancia, que el movimiento esté
restringido a un solo plano, y procurar mantener fijas las magnitudes necesarias dependiendo del caso a
estudiar. Cambios en cualquiera de estos factores podrı́an introducir errores sistemáticos, distorsionando las
conclusiones y dificultando la comparación con el modelo teórico. Lo primero que se realizó en esta práctica
fue medir el periodo en función de la amplitud del movimiento θ. Para esto se tomó un valor de largo
constante para la tanza (0,44m) con el cual se pudiera relevar el periodo en función de la amplitud inicial.
Inicialmente se consideró un amplitud inicial de 5º y se fue aumentando esta amplitud de a 5º hasta llegar
a los 60º. Se consideró este como el ángulo máximo ya que ası́ no se pierde validez en la expresión Ec.(4).
En cada una de estás instancias se midió el tiempo que le tomó al objeto esférico completar 10 periodos de
oscilación, posteriormente se calculó la medida del promedio del perı́odo para cada instancia:
T =
tf − ti
10
(6)
Esta estrategia se empleó con el fin de minimizar los errores experimentales y que el resultado sea de
mayor confiabilidad. Posteriormente se buscó medir la dependencia del periodo con respecto a diversos valores
del largo de la tanza. Para esta nueva situación se tomó una amplitud inicial fija (5º), buscando un ángulo
inicial que permitiera considerar que se estaba trabajando bajo las hipótesis de pequeñas oscilaciones. En
este caso se comenzó midiendo a partir de los 0,44m y se fue disminuyendo de a 0,05m hasta llegar a los
0,04m (9 mediciones en total). Al igual que en la situación anterior, para cada largo se midió el tiempo en el
que se tardó en completar 10 periodos de oscilación y finalmente se volvió a calcular la medida del promedio
4
del perı́odo de igual forma.
4.
Tratamiento y análisis de datos
4.1.
Tratamiento de datos
Luego de finalizada la primer toma de datos, se extrapolaron los mismos a una tabla del programa
SciDavis, la cual puede verse en (7.1). Además se procedió a calcular las incertidumbres de T(θ) y θ. Dando
como resultado, 0,03s y 1º respectivamente. Luego se procedió a graficar T(θ) con las respectivas barras de
incertidumbre tanto en el eje x como en el eje y. También se superpuso el modelo teórico correspondiente
con la Ec. (3). para luego hacer un análisis comparativo y poder encontrar el valor de θ partir del cual el
periodo deja de mantenerse constante y comienza a depender de la amplitud de oscilaciones.
Figura 2: En esta gráfica se muestra como es el comportamiento del periodo en función de la amplitud inicial,
también están representadas las respectivas incertidumbres y superpuesto se muestra el modelo teórico Ec.(4).
Posteriormente, luego de la segunda toma de datos y su respectiva tabulación en el programa ( ver 7.1),
se calcularon las incertidumbres de T(l) y l resultando en 0.03s y 0.001m respectivamente. Se buscó linealizar
la Ec.(3). elevándola al cuadrado para luego poder aplicar el método de mı́nimos cuadrados en su forma más
sencilla (ajuste lineal) y poder obtener el valor experimental de g con su respectiva incertidumbre. Resultó
en una nueva expresión:
y = ax
2
siendo y = T 2 , a = 4πg y x = l
5
(7)
Se graficó esta última expresión y para esto se utilizaron los datos usados correspondientes a la tabla
de T(l), a la columna correspondiente al eje de las ordenadas se elevó al cuadrado cada dato de la misma.
Mientras que a la tabla correspondiente al eje de las abscisas se la dejó sin cambios.Se graficaron además las
barras de incertidumbre correspondiente a cada eje siendo δy = 0, 004s2 y δx = δl = 0, 001s . Por medio del
programa se aplicó el ajuste lineal al conjunto de datos experimentales (l, T 2 ) utilizando la forma linealizada
de la ecuación del perı́odo Ec.(7). De esta manera, se ajustó una recta a los puntos experimentales de ecuación
y = ax + b, siendo a = 3,85 y b = 0,056 (dados por el programa).
Figura 3: Esta gráfica corresponde a la linealización del periodo en función del largo, y se muestra la aproximación realizada por medio de mı́nimos cuadrado
A través de la pendiente (a), su incertidumbre y la incertidumbre de los instrumentos, se estimó el valor
de g mediante la relación g = 4π 2 /a. Dando como resultado g = (10, 3 ± 0, 8)m/s2 . Por último se graficó
T(l) con las respectivas incertidumbres en ambos ejes y se superpuso con el modelo teórico Ec.(4). esta vez
tomando g con el valor experimental.Es decir g = 10,3m/s2 .
6
Figura 4: En esta gráfica se muestra como es el comportamiento del periodo en función de la amplitud inicial,
también están representadas las respectivas incertidumbres y superpuesto se muestra el modelo teórico Ec.(4).
Esta gráfica se realizó con el fin de comparar directamente los datos experimentales con la predicción
teórica, y para evaluar si el valor de g calculado en el experimento es consistente con el comportamiento
esperado para el sistema. Al usar el valor medido de g, se intenta verificar la exactitud del experimento y
mostrar cómo los resultados obtenidos se alinean con la teorı́a fı́sica.
4.2.
Análisis de datos
Luego de haber realizado todas las mediciones, cálculos y gráficas correspondientes se analizó lo siguiente:
En la (Fig.2), que muestra cómo varı́a el perı́odo en función de la amplitud inicial se puede observar que
en el modelo teórico, hasta los 10º, el perı́odo es aproximadamente constante. En esa zona de la gráfica se
muestra una pendiente casi nula, lo que indica que el perı́odo no varı́a significativamente con la amplitud
inicial. Por lo tanto, se puede afirmar que dentro de ese rango angular se cumple adecuadamente la hipótesis
de pequeñas oscilaciones referidas a la Ec.(3). y la aproximación sin(θ) ≈ θ resulta válida. Sin embargo, a
partir de amplitudes mayores, el modelo teórico comienza a mostrar un incremento en el perı́odo, lo que
refleja que ya no puede aplicarse la aproximación a ángulos pequeños. Ası́, el análisis gráfico respalda la
idea de que la hipótesis de pequeñas oscilaciones es válida hasta aproximadamente 10º. Viendo los puntos
experimentales, si bien las medidas de T halladas no coinciden exactamente con su respectivo valor teórico en
la mayorı́a de los casos, se puede ver que cada valor teórico está dentro de la incertidumbre del respectivo T
experimentalmente obtenido. Esto indica que las diferencias observadas pueden atribuirse a errores cometidos
al medir T experimentalmente y no necesariamente a un problema del modelo teórico.
Procediendo a analizar la (Fig.3), se puede observar que la recta obtenida por el método de mı́nimos
7
cuadrados ajusta muy bien a los datos experimentales que a su vez claramente se ve que los mismos siguen
adecuadamente una recta. Lo cual es consistente con la expresión teórica Ec.(7). También se ve que el
parámetro b hallado por el método difiere un poco del 0. Esto seguramente se deba a errores cometidos durante
el experimento. Luego de haber aplicado los criterios correspondientes (confiabilidad y error porcentual),
tomando como valor de referencia g = 9, 817m/s2 , el valor de g = (10, 3 ± 0, 8)m/s2 puede considerarse
confiable pues la incertidumbre porcentual es de 7, 8 % y bastante exacto, teniendo un error porcentual del
4, 9 %. Además se ve que el valor de referencia se encuentra entre el rango de la incertidumbre de g obtenido
experimentalmente, por esto se dice que los valores son concordantes. Esto sugiere la presencia de errores
sistemáticos, como una medición inexacta de la longitud o movimiento fuera del plano.
En cuanto al periodo en función del largo (Fig.4) se puede ver cómo T aumenta casi que en la misma
proporción que el largo de la tanza(l). Esto se debe a que se trabajó bajo la hipótesis de pequeñas oscilaciones,
utilizando un ángulo fijo de 5º. Gracias a esto, linealizar la Ec.(3). y realizar el ajuste arrojó un resultado con
poco desvı́o. Por otra parte si se observa el modelo teórico superpuesto en la gráfica se aprecia como en los
primeros valores referidos a un largo chico, el modelo no se ajusta a los datos relevados, esto probablemente
es debido a los errores cometidos a la hora de medir, puesto que a medida que el largo fue aumentando el
modelo se ajustaba cada vez más a la realidad.
5.
Conclusiones
El valor de g obtenido experimentalmente fue concordante con el valor de referencia. Además, la tendencia
general se ajustó al comportamiento teórico, permitiendo considerar al modelo como una buena aproximación
cualitativa. En el modelo teórico para θ < 10, el perı́odo se mantuvo prácticamente constante, mientras que
para ángulos mayores, el perı́odo aumenta, validando la hipótesis de pequeñas oscilaciones. Aunque los
datos observados en la gráfica 1 no se ajustan estrictamente al modelo, las barras de incertidumbre del
eje y intersecan la curva teórica, lo que indica compatibilidad. Se procuró respetar las condiciones ideales
del modelo, aunque dado algunos resultados obtenidos es posible decir que se podrı́a mejorar la exactitud
con más mediciones y mayor control del plano de oscilación, entre otras cosas. La práctica permitió aplicar
conceptos teóricos, identificar limitaciones experimentales y valorar la importancia del análisis crı́tico en la
fı́sica real.
8
6.
Bibliografı́a
[1] Zheng, T.F., Mears, M., Hall, D. and Pushkin, D., ”Teaching the nonlinear pendulum”, Phys. Teach.
32, 248, 1994.
[2] Head, J., ”Faith in Physics”, Phys. Teach. 33, 10, 1995.
[3] Nelson, R. A. y Olson, M. G., ”The pendulum - rich physics from a simple system”, Am. J. Phys. 54,
112, 1986.
[4] Molina, M. L., ”Simple linearization of the simple pendulum for any amplitude”, Phys. Teach. 35,
489, 1997
7.
Apéndices
7.1.
Tablas
Tabla 1
Tabla 1: En esta se muestran los datos relevados de T(θ) y sus respectivas incertidumbres.
Tabla 2
Tabla 2: Esta muestra los datos relevados de T(l) y sus respectivas incertidumbres.
9
Tabla 3
Tabla 3: En esta tabla se muestra la representación de los datos linealizados.
7.2.
Cálculos e incertidumbres
Incertidumbre de T:
Recordando que T se expresa con la Ec.(6). con propagación de incertidumbres:
2
2 2
p
∂T
∂T
2 + (δt )2 ⇒ (δT )2 = 2 ∂T δt
δt
δt
+
,
a
su
vez
δt
=
δt
=
.
(δT )2 = ∂t
(δt
)
i
f
f
i
f
r
c
∂ti
∂tf
f
δtreac = 0,172s, δtcrono = 0,01s entonces δtf = 0, 1723s.
Por lo tanto δT = 0, 03s
Linealización de Ec.(3):
q
q
2
T = 2π gl ⇔ (T )2 = (2π gl )2 ⇔ (T )2 = 4πg l
2
Resultando: y = ax + b con y = (T )2 , a = 4πg , x = l y b = 0
Incertidumbre de y = T 2 :
δl = 0,001m
2 2
∂y
Por propagación de incertidumbres: (δy)2 = ∂a
δa + ∂y
δl
∂l
2
∂y
2
como δa ≈ 0 entonces se tiene que: (δy) = ∂l δl = (aδl)2 ⇔ δy = aδl = 0,004s2
Notar que en esta situación se está utilizando un a teórico pues consideramos g con su valor teórico
(9, 817m/s2 ) por lo que a no tendrı́a una incertidumbre asociada.
Calculo e incertidumbre de g:
2
2
Como se tiene que a = 4πg ⇔ g = 4πa .
Debido a que en este caso el valor de a es experimental y está dado por el programa a = (3,85±0, 01)s2 /m,
se llega al valor experimental de g = 10, 3m/s2
2
∂g
∂a δa
2
2
= ( −4π
a2 δa) ⇒
q
δgA = 0, 03m/s2 . Pero falta la incertidumbre asociada a los instrumentos (tipo B). Como T = 2π gl ⇒ g =
q
2
4π 2 l
−8π 2 l
2
2
2
.
Por
lo
que
la
incertidumbre
tipo
B
a
través
de
la
propagación
resulta:
(δg
)
=
( 4π
B
T2
T 2 δl) + ( T 3 δT ) .
Y para la incertidumbre tipo A aplicando propagación se llega a: (δgA )2 =
10
Con esta propagación aplicada a cada par de medidas (L, T ) obtendremos una incertidumbre para cada uno
de estos, por lo que tomaremos el de mayor valor, en este caso δgB = 0, 79m/s2 . Y ahora realizamos la
p
2 + δg 2 = 0,79m/s2 Finalmente, g = (10, 3 ± 0, 8)m/s2 .
adición de incertidumbres: δg = δgA
B
Criterio de confiabilidad y error porcentual:
Confiabilidad: δg
g × 100 % = 7, 8 %
Error porcentual:
g−gref
gref
× 100 % = 4, 9 %
11