Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa, karena atas berkah, rahmat, dan karuniaNya, penyusunan buku Matematika untuk bahan ajar didik dapat diselesaikan.
Buku ini disusun sebagai salah satu bahan ajar dalam pelaksanaan kegiatan belajar mengajar mata
pelajaran Matematika di Universitas.
Dalam buku ini disajikan materi pembelajaran matematika secara sederhana, efektif, dan mudah
dimengerti yang disertai contoh dalam kehidupan. Simbol, tabel, diagram, dan grafik disajikan untuk
mempermudah kamu dalam memahami materi yang sedang dipelajari. Buku ini juga dilengkapi contoh
soal dan tugas-tugas di setiap subbab dan akhir bab.
Sesuai dengan tujuan dalam pembelajaran Matematika, pembaca diharapkan dapat memahami konsep
matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep, dan mengaplikasikannya untuk memecahkan
masalah.
Pembaca juga diharapkan mampu menggunakan penalaran, mengomunikasikan gagasan dengan
berbagai perangkat matematika, serta memiliki sikap menghargai matematika dalam kehidupan.
Akhirnya kami menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penerbitan buku
ini.
Madiun, Januari 2021
Penyusun
i
Daftar Isi
Kata Pengantar ........................................................................................................................................ i
Daftar Isi .................................................................................................................................................. ii
Bab 1
Sistem Bilangan Real................................................................................................................ 1
1.1 Bilangan Real, Selang, dan Pertidaksamaan ................................................................................1
1.2 Bidang Koordinat .......................................................................................................................... 15
Bab 2
Fungsi dan Limit .................................................................................................................... 31
2.1 Fungsi ............................................................................................................................................. 32
2.2 Operasi – Operasi Pada Fungsi ................................................................................................... 41
2.3 Grafik Fungsi ................................................................................................................................. 47
Bab 3
Diferensiasi .............................................................................................................................. 65
3.1 Garis Singgung dan Laju Perubahan .......................................................................................... 66
3.2 Turunan Fungsi ............................................................................................................................. 74
3.3 Teknik Diferensiasi ....................................................................................................................... 85
3.4 Aturan Rantai................................................................................................................................. 98
Bab 4
Aplikasi Turunan ................................................................................................................. 103
4.1 Laju-laju yang saling berkaitan ................................................................................................. 104
4.2 Ekstrim Relatif; uji Turunan Pertama dan Kedua................................................................... 110
4.3 Nilai Maksimum atau Minimum Suatu Fungsi ....................................................................... 117
4.4 Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum .......................................................................... 127
Bab 5
Integrasi ................................................................................................................................. 142
5.1 Pendahuluan................................................................................................................................. 143
5.2 Anti-turunan; Integral Taktentu ................................................................................................ 147
5.3 Integral dengan Substitusi .......................................................................................................... 153
5.4 Luas sebagai Limit ...................................................................................................................... 158
5.5 Integral Tertentu .......................................................................................................................... 169
5.6 Teorema Fundamental Kalkulus Pertama ................................................................................ 185
5.7 Integral Tertentu dengan Substitusi; Hampiran Jumlahan Riemann .................................... 195
ii
5.8 Teorema Fundamental Kalkulus Kedua ................................................................................... 199
A. Bilangan Kompleks ...................................................................................................................... 205
iii
Bab 1
Sistem Bilangan Real
S
istem Bilangan Real
1.1 Bilangan Real, Selang, dan Pertidaksamaan
1
System bilangan merupakan dasar kalkulus. Oleh karena itu, sangatlah penting untuk
mengenal berbagai jenis bilangan dan perbedaan di antara bilangan-bilangan tersebut. Dalam
subbab ini akan dipelajari secara seksama mengenai dasar dan istilah yang berkaitan dengan
bilangan, khususnya bilangan real.
▪ Klasifikasi Bilangan real
Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, himpunan bilangan asli
dilambangkan dengan N, yauti :
N = { 1, 2, 3, … }
Himpunan bilangan asli merupakan himpunan bagian dari kelas himpunan bilangan yang lebih
besar yaitu himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan bulat dinotasikan dengan lambing Z,
yaitu :
Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, … }
Himpunan bilangan bulat merupakan himpunan bagian dari kelas himpunan yang lebih besar
lagi yaitu himpunan bilangan rasional, himpunan bilangan rasional dinotasikan dengan
lambing Q. Bilangan rasional debentuk oleh pembagian bilanganbulat p / q dengan q ≠ 0,
sebagai contoh adalah
2 7 6 0
5
−5
5
, , , , − 2 (= 2 = −2 )
3 5 1 9
Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat juga merupakan bilangan rasional karena setiap
𝑝
bilangan bulat p dapat ditulis sebagai pembagian 1.
√2
1
1
pe
m
Bangsa Yunani kuno percaya bahwa ukuran semua besaran fisis, dapat disajikan dengan
ba
bilangan rasional. Gagasan ini dibantah pada abad ke-5 S.M. oleh Hippasus, seorang filosof
ng yang menunjukkan adanya bilangan irasional,
Yunani aliran Pytaghoras dari Metapontum,
yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan
kit sebagai pembagian bilangan bulat. Secara
geometri, dapat ditunjukkan bahwa sisi miring (hypotenuse) dari segitiga siku-siku dalam
list pembagian bilangan bulat, ini membuktikan
Gambar 1.1.1 tidak dapat dinyatakan sebagai
bahwa √2 merupakan bilangan irasional. Contoh
rik bilangan irasional adalah
ten 3
√3, √5, 1 + √2, √7, 𝜋, cos 19°
ag
Gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional membentuk sesuatu kelas bilangan
a
yang lebih besar yang disebut humpunan bilangan real atau kadang disebut system bilangan
mi
real, dan dinotasikan dengan ℝ.
kr
o
2hi
dr
o
Gambar 1.1.1
▪ Pembagian dengan Nol
Dalam perhitungan bilangan real, pembagian dengan nol tidak pernah diperkenalkan
karena hubungan dalam bentuk
𝑝
𝑦 = 0 , 𝑚𝑒𝑛𝑦𝑒𝑏𝑎𝑏𝑘𝑎𝑛 0. 𝑦 = 𝑝
(1.1)
Jika 𝑝 ≠ 0, maka Persamaan 1.1 bertentangan; dan jika 𝑝 = 0, Persamaan 1.1 dipenuhi oleh
0
sebarangan bilangan y, maka pembagian 0 tidak mempunyai nilai yang tunggal, suatu keadaan
𝑝
yang secara matematik tidak mempunyai makna. Oleh karena itu, symbol-simbol seperti 0
0
atau0 tidak menyatakan sesuatu nilai dan dikatakan tak terdefinisi.
▪ Bilangan Kompleks
Bilangan real yang di kuadratkan selalu bilangan positif (tak negatif), sehingga
persamaan berikut
𝑥2 = 1
tidak mempunyai penyelesaian dalam system bilangan real. Pada abad XVIII, para
matematikawan memperbaiki permasalahan tersebut dengan memperkenalkan bilangan baru
yang dinotasikan dengan
𝑖 = √−1 dan didefinisikan 𝑖 2 = −1
Definisi ini mengarah pada perkembangan bilangan kompleks, yaitu bilangan yang berbentuk
𝑎 + 𝑏𝑖; dengan 𝑎 dan 𝑏 bilangan real
Jika 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 maka 𝑎 merupakan bagian real dari 𝑧 dinotasikan Re(𝑧), sedangkan 𝑏
merupakan bagian imajiner dari 𝑧, dinotasikan Im(𝑧). Beberapa contoh bilangan kompleks,
yaitu
3
5
1+𝑖
2 − 3𝑖
7𝑖
[𝑎=1,𝑏=1]
[𝑎=2,𝑏=−3]
[𝑎=0,𝑏=−7]
3
[𝑎= ,𝑏=0]
5
Bilangan kompleks: 𝑎 + 𝑏𝑖, dengan 𝑎 dan 𝑏 bilangan real dengan 𝑖 = √−1
Bilangan real, yaitu gabungan semua bilangan rasional dengan semua
bilangan irasional, seperti: 𝜋, √2, √3, √7, 7 + √3
2 7 9 0
3 5 1 3
3
7
Bilangan rasional, seperti: , , , , − , −
2
11
Bilangan bulat: … , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
Bilangan asli: 1, 2, 3, …
Gambar 1.1.2 Sistem Bilangan
3
Perhatikan bahwa setiap bilangan real 𝑎 juga merupakan bilangan kompleks karena dapat
ditulis sebagai
𝑎 = 𝑎 + 0𝑖
Jadi himpunan bilangan real adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks.
Bilangan kompleksdimana bagian realya bernilai nol disebut bilangan imajiner. Pembahasan
dalam buku ini selanjutnya diutamakan pada bilangan real; bilangan kompleks akan muncul
dalam pembahasan penyelesaian persamaan. Sebagai contoh, penyelesaian persamaan kuadrat
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
(1.2)
dengan rumus “abc” diperoleh:
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
adalah imajiner jika nilai 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 [disebut diskriminan dari (1.2)] negative. Susunan
bilangan-bilangan dapat diringkas dalam Gambar 1.1.2
𝑥1,2 =
▪ Bentuk Desimal Bilangan Real
Semua bilangan real dapat ditulis dalam bentuk decimal. Bilangan rasional dan bilangan
irasional mempunyai bentuk yang berbeda. Bilangan rasional mempunyai bentuk decimal
berulang, yaitu terdapat beberapa kelompok bilangan bulat tertentu dibelakang tanda koma
yang secara bersama-sama diulang berkali-kali. Sebagai contoh,
5
= 1,666 … = 1, 6̅
3
157
̅̅̅̅
= 0,3171717 … = 0,317
495
4
= 0,571428 … = 0, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
571428
7
5
= 0,714285714285714285 … = 0, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
714285
7
Tanda garis-atas menunjukkan bilangan yang dibawahnya berulang terus menerus. Apabila
kelompok angka berulang di belakang tanda decimal adalah nol, biasanya tidak ditulis.
Sebagaimaa contoh berikut:
3
= 0,75000 … = 0,750̅ = 0,75
4
8
= 0,320000 … = 0,320̅ = 0,32
25
Bilangan rasional dapat disajikan dalam desimal berulang dan sebaliknya setiap bentuk
decimal berulang adalah bilangan rasional. Dengan demikian, bilangan irasional dapat
dipandang sebagai bilangan real yang disajikan dalam bentuk desimal tak berulang. Sebagai
contoh, decimal
0,010020003000040000050000006 …
tidak berulangsebab banyaknya nol diantara angka-angka tak nol terus bertambah dan
demikian pula angka-angka tak nol terus meningkat nilainya.
Dalam notasi desimal, bilangan irasional tidak dapat disajikan dengan ketepatan yang
sempurna. Sebagai contoh, 𝜋 hanya dihampiri dengan decimal 3,14. Terlebih lagi, berapapun
banyaknya tempat decimal yang digunakan, bahkan jika 𝜋 ditulis sampai 2000 tempat desimal,
seperti dalam Gambar 1.1.3, itu masih merupakan hampiran pada 𝜋, dan bukan nilai 𝜋 yang
4
sebenarnya. Semakin banyak tempat desimal yang disediakan untuk menulis bilangan
irasional, akan semakin mendekati nilai sebenarnya.
22
❖ Mahasiwa tingkat awal kadang-kadang diajari untuk menghampiri 𝜋 dengan 7 . Akan
tetapi, perhatikan bahwa
22
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= 3, 142857
7
merupakan bilangan rasional yang mempunyai bentuk decimal yang berbeda dari 𝜋 mulai
tempat decimal ke-3.
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628
6208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128
4811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756
4823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372
4587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466
5213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744
6237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494
6395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568
1271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710
5079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721
1349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344
6850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904
2875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119
59092164201989
Gambar 1.1.3 𝝅 dalam Desimal
▪ Garis Koordinat
Pada tahun 1637 René Decartes menerbitkan suatu karya filsafat yang berjudul
Discourse on the Method of Rightly Conducting the Reason. Pada lampiran buku tersebut,
filosof inggris John Stuart Millmenggambarkannya sebagai “Suatu langkah terbesar yang
pernah dihasilkan untuk kemajuan illmu pasti”. Dalam lampiran tersebut René Decartes
menghubungkan aljabar dengan geometri, yang merupakan kreasi baru dan disebut geometri
analitik; suatu cara untuk menjelaskan rumus aljabar dengan kurva geometrik dan sebaliknya,
kurva geometric dengan rumus aljabar.
- (arah negatif)
Titik Awal
+ (arah positif)
Gambar 1.1.4 Garis Real
Dalam geometri analitik, bilangan real dinyatakan dengan titik pada sebuah garis, hal ini
dilakukan dengan menandai salah satu dari dua arah sepanjang garis sebagai arah positif dan
arah negative. Arah positif biasanya diberi tanda anak panah seperti dalam gambar 1.1.4,
untuk garis horizontal arah positif biasanya dipilih arah ke kanan. Kemudian dipilih
5
sembarang totok acuan 0 pada garis tersebut, disebut titik awal, yang berkaitan dengan
bilangan real 0. Dengan sembarang satuan pengukuran yang memudahkan, setiap bilangan
real positif r dinyatakan dengan suatu titik yang berjarak r satuan ke arah kanan dari titik awal,
dan setiap bilangan real negative –r dinyatakan dengan titik yang berjarak r satuan ke arah kiri
dari titik awal. Garis, titik awal, arah positif, dan satuan ukuran didefinisikan sebagai garis
koordinat atau kadang disebut garis real. Bilangan real yang sesuai dengan titik pada garis
disebut koordinat dari titik tersebut.
CONTOH 1.1.1 pada gambar 1.1.5 diberi tanda tempat titik- titik dengan koordinat -4, -3, 1
1,75, − 2, √2, 𝜋, dan 4. Tempat dari 𝜋 dan √2 merupakan hampiran yang diperoleh dari
hampiran desimalnya yaitu 𝜋 ≈ 3,14 dan √2 ≈ 1,41
-4
-3
-1,75
-4
-3
-2
-1
𝜋
√2
-1/2
0
1
2
4
3
4
𝟏
Gambar 1.1.5 Koordinat -4, -3, -1,75, − 𝟐, √𝟐, 𝝅, dan 4
Berdasarkan cara tersebut, bilangan- bilangan real dan titik-titik pada garis koordinat
adalah terkait yaitu setiap bilangan real akan dikawankan dengan salah satu titik tunggal dan
setiap titik akan dikawankan dengan satu bilangan real. Oleh karena itu, bilangan real dan
titik-titik pada garis koordinat berkorespondensi satu-satu.
Tabel 1.1.1 Sifat Urutan Bilangan Real
PERTIDAKSAMAAN
MAKNA GEOMETRIK
𝑎 < 𝑏 atau 𝑏 > 𝑎
a sebelah kiri b
𝑎 ≤ 𝑏 atau 𝑏 ≥ 𝑎
a sebelah kiri b
berhimpit dengan b
ILUSTRASI
atau
a
b
a
b
ab
0 < 𝑎 atau 𝑎 > 0
a sebelah kanan titik asal
𝑎 < 0 atau 0 > 𝑎
a sebelah kiri titik asal
𝑎<𝑏<𝑐
a sebelah kiri b dan b sebelah
kiri c
0
a
0
a
b
a
c
▪ Sifat-Sifat Urutan
Salah satu sifat yang mencirikan system bilangan real adalah sifat urutan artinya jika terdapat
dua bilangan real, misalkan a dan b maka dapat dikatakan bahwa “a lebih besar dari b” atau “a
lebih kecil dari b”. Jika “a lebih besar dari b” ditulis a > b, dan jika “a lebih kecil dari b”
6
ditulis a < b. Perhatikan koordinat garis pada arah positif, bilangan real bertambah nilainya
sehingga koordinat horizontal pertidak samaan a < b berarti a disebelah kiri b, dan
pertidaksamaan a < b < c berakibat a berada disebelah kiri b dan b disebelah kiri c (Tabel
1.1.1). Pertidaksamaan 𝑎 ≤ 𝑏 didefinisikan dengan makna a < b atau a = b, dan pernyataan a
< b < c didefinisikan dengan makna a < b atau b < c. 1
Symbol 𝑎 < 𝑏 ≤ 𝑐 artinya 𝑎 < 𝑏 dan 𝑏 ≤ 𝑐. Diserahkan pada pembaca untuk
menyimpulkan arti simbol-simbol seperti:
𝑎 ≤ 𝑏 < 𝑐,
𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐,
𝑎<𝑏<𝑐<𝑑
CONTOH 1.1.2 Pertidaksamaan brikut semuanya benar
5<7
7≥5
−6<1
1 > −7
− 13 ≤ −𝜋
− 𝜋 > −12
6≤6
6≥6
0≤3≤6
3 > 0 > −2
❖ Untuk membedakan antara bulangan yang memenuhi 𝑎 ≥ 0 dan yang memenuhi bilangan
𝑎 > 0 digunakan istilah tak negatif, jika 𝑎 ≥ 0 dan positif jika 𝑎 > 0. Jadi bilangan tak
negatif merupakan bilangan positif atau nol.
Teorema 1.1.1 bagian (b) sampai dengan (e) dapat diungkapkan secara informal dalam
kalimat sebagai berikut:
(b)Pertidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya ditambahkan atau dikurangi dengan
bilangan yang sama.
(c) Pertidaksamaan tidak berubah jika kedua sisinya dikalikan dengan bilangan positif yang
sama, tetapi pertidaksamaan berbalik arah jika keduasisinya dikalikan dengan bilangan
negatif yang sama.
(d)Pertidaksamaan dengan tanda yang sama dapat ditambahkan.
(e) Jika kedua sisi pertidaksamaan mempunyai tanda yang sama, maka tanda
pertidaksamaannya akan berbalik arahnya dengan meletakkan tanda yang berlawanan
pada setiap sisinya.
CONTOH 1.1.3 Pernyataan-pernyataan dalam Teorema 1.1.1 diilustrasikan dalam Tabel 1.1.2
Tabel 1.1.2
PERTIDAKSAMAAN
AWAL
OPERASI
PERTIDAKSAMAAN
HASIL
−2 < 6
Kedua sisinya ditambah dengan 7
5 < 13
−2 < 6
Kedua sisinya didikurangi dengan 8
−10 < −2
−2 < 6
Kedua sisinya dikalikan dengan 3
−6 < 18
−2 < 6
Kedua sisinya dikalikan dengan -3
6 > −18
3<7
Kedua sisinya dikalikan dengan 4
12 < 28
7
3<7
Kedua sisinya dikalikan dengan -4
−12 > −28
3<7
Kedua sisinya jadikan kebalikannya
1
> 1/7
3
−8 < −6
Kedua sisinya jadikankebalikannya
−1/8 > −1/6
4 < 5, −7 < 8
Tambahkan pada sisi yang bersesuaian
−3 < 13
▪ Selang atau Interval
Untuk pembahasan berikut ini, diasumsikan pembaca telah mengerti konsep himpunan
dan pengertian-pengertian seperti 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑎 ∉ 𝐴, ∅ (himpunan kosong), 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 = 𝐵,
dan 𝐴 ⊂ 𝐵 dengan A dan B himpunan.
Himpunan umumnya disajikan dengan mendaftar anggota-anggotanya diantara kurung
kurawal. Misalnya himpunan semua bilangan bulat positif lebih kecil dari 7 ditulis sebagai
{1,2,3,4,5,6}
dan himpunan bilangan bulat genap positif ditulis sebagai
{2,4,6, … }
dengan titik-titik dalam penulisan tersebut untuk menunjukkan bahwa hanya beberapa anggota
saja yang dituliskan dan anggota yang lain dapat diperoleh dengan pola yang sama secara
terus-menerus.
Jika sulit atau tidak mungkin mendaftar angota- angota himpunan, maka cara lain yang
dapat digunakan adalah dengan notasi pembangunan himpunan
{𝑥 ∶ ____________}
dibaca “himpunan semua 𝑥 sedemikian hingga _________.” Dengan garis tersebut
menyatakan sifat yang menggambarkan himpunan itu. Jadi
{𝑥 ∶ 𝑥 adalah bilangan real dan 2 < 𝑥 < 3}
dibaca “himpunan semua 𝑥 sedemikian hingga 𝑥 bilangan real dan 2 < 𝑥 < 3”. Jika telah jelas
bahwa anggota himbunan merupakan bilangan real, maka dapat diabaikan acuannya. Jadi
himpunan sebelumnya dapat ditulis lebih singkat sebagai
{𝑥 ∶ 2 < 𝑥 < 3}
8
Tabel 1.1.3 Berbagai Jenis Selang
NOTASI
SELANG
[𝑎, 𝑏]
NOTASI
HIMPUNAN
{𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
(𝑎, 𝑏)
GAMBAR GEOMETRI
KLASIFIKASI
Baehungga; tertutup
a
b
{𝑥: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
a
b
Berhingga; terbuka
[𝑎, 𝑏)
{𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
a
b
Berhingga {
(𝑎, 𝑏]
{𝑥: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
Berhingga { Setengah terbuka
(−∞, 𝑏]
{𝑥: 𝑥 ≤ 𝑏}
Tak hingga; tertutup
(−∞, 𝑏)
{𝑥: 𝑥 < 𝑏}
Tak hingga; terbuka
[𝑎, +∞)
{𝑥: 𝑥 ≥ 𝑎}
Tak hingga; tertutup
(𝑎, +∞)
{𝑥: 𝑥 > 𝑎}
Tak hingga; terbuka
Setengah terbuka
Setengah tertutup
Setengah tertutup
(−∞, +∞) {𝑥: 𝑥 𝑏𝑖𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑙}
Tak hingga; terbuka dan tertutup
Himpunan tertentu yang sering muncul dalam kalkulus adalah himpunan bilangan real yang
disebut selang (interval). Secara geometric selang merupakan sepotong garis pada garis
koordinat. Jika a dan b bilangan real dengan 𝑎 < 𝑏, maka selang tertutup dari a ke b ditulis
dengan [a,b] dan didefinisikan sebagai berikut:
[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
dan selang terbuka dari a ke b ditulis dengan (𝑎, 𝑏) dan didefinisikan sebagai berikut:
(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∶ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
Kurung siku menunjukkan titik ujungnya termasuk dalam selang, sedang kurung buasa
menunjukkan titik ujungnya tidak termasuk dalam selang.
Tabel 1.1.3 menyajikan berbagai jenis selang. Pada table tersebut, gambar geometrik
menggunakan titik-titik padat untuk menunjukkan titik ujung yang termasuk dalam selang dan
titik-titik berlubang untuk menunjukkan titik ujung yang tidak termasuk dalam selang.seperti
yang ditunjukkan dalam table tersebut, suatu selang dapat diperluas sampai tak terhingga
dalam arah positif, arah negatif, atau keduanya. Selang yang diperluas sampai tak terhingga
disebut selang tak hingga dan selang yang titik-titik ujungnya berhingga disebut selang
berhingga.
Selang berihngga yang memuat titik ujung tetapi tidak memuat titik ujung yang lain
disebut setengah terbuka (atau setengah tertutup). Simbol −∞ (dibaca “negatif tak hingga”)
dan +∞ (dibaca “positif tak hingga”) bukan merupakan bilangan : +∞ menunjukkan selang
9
yang diperluas tak terhingga jauhnya dalam arah positif, dan −∞ menunjukka selang yang
diperluas tak terhingga jauhnya dalam arah negatif.
Selang tak terhingga berbentuk [𝑎, ∞) atau (−∞, 𝑏] dianggap tertutup karena memuat
titik ujung sedang bentuk dari (𝑎, +∞) atau (−∞, 𝑏) dianggap terbuka karena tidak memuat
titik ujung. Selang (−∞, +∞) tidak mempunyai titik ujung; ini dapat dipandang sebagai
selang terbuka sekaligus tertutup.
▪ Penyelesaian Pertidaksamaan
Penyelesaian pertidaksamaan dalam 𝑥 yang tidak diketahui adalah nilai-nilai 𝑥 yang
menjadikan pertidaksamaan itu sebagai pernyataan yang benar. Sebagai contoh 𝑥 = 1
merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan 𝑥 < 5, tetapi 𝑥 = 7 bukan penyelesaian.
Sehingga semua penyelesaian dari 𝑥 < 5 adalah semua himpunan 𝑥 yang memenuhi 𝑥 < 5,
dan dinotasikan sebagai {𝑥 ∶ 𝑥 < 5} atau (5, ∞). Himpunan semua penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan disebut himpunan penyelesaian. Dapat ditunjukkan bahwa jika kedua sisi
pertidaksamaan tidak dikalikan dengan nol atau ekspresi yang memuat suatu nilai yang dicari,
maka operasi dalam teorema 1.1.1 tidak akan mengubah perhimpunan penyelesaian dari
pertidak samaan tersebut. Proses mendapatkan himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan
disebut menyelesaikan pertidaksamaan.
CONTOH 1.1.4 Selesaikan 4 + 5x ≤ 3r – 7
Penyelesaian. Akan digunakan operasi dalam Teorema 1.1.1 dengan mengumpulkan x pada
satu sisi pertidaksamaan
4 + 5𝑥 ≤ 3𝑥– 7
diberikan
5𝑥 ≤ 3𝑥– 11
kedua sisi dikurangi 4
2𝑥 ≤ −11
kedua sisi dikurangi 3x
11
2
kedua sisi dikalikan 2
𝑥 ≤ −
1
Karena sudah tidak dapat dikalikan dengan sebarang ekspresi yang mengandung x,
pertidaksamaan terakhir tersebut mempunyai himpunana penyelesaian yang sama dengan
11
pertidaksamaan pertama. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { x/x ≤ − 2 } atau berupa
11
selang (-∞,− 2 ) yang ditunjukkan pada Gambar 1.1.6
−
11
2
Gambar 1.1.6 Penyelesaian dari 𝟒 + 𝟓𝒙 ≤ 𝟑𝒙– 𝟕
10
CONTOH 1.1.5 Selesaikan 3 ≤ 4 – 2x < 7,
Penyelesaian. Pertidaksamaan yang diberikan merupakan kombinasi dua pertidaksamaan
3 ≤ 4– 2𝑥 dan 4 − 2𝑥 < 7
Dua pertidaksamaan tersebut dapat diselesaikan secara terpisah, kemudian ditentukan nilai x
yang memenuhi keduanya dengan mengambil irisan dua himpunana penyelesaiannya. Akan
tetapi bisa juga untuk menggabungkan kedua pertidaksamaan pada masalah ini :
3 ≤ 4– 2𝑥 < 7 diberikan
−1 ≤ −2𝑥 < 3 setiap bagian dikurangi 4
1
3 dikalikan dengan – 0.5 dan tanda pertidaksamaan dibalik
≥𝑥>−
2
2
−
3
1 untuk lebih jelasnya ditlis Kembali pertidaksamaan tersebut dengan
<𝑥≤
2
2 bilangan yang lebih kecil disebelah kiri
3
1
3 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x : - 2 < x ≤ 2 } atau berupa selang [- 2, 2 ]
yang ditunjukkan pada Gambar 1.1.7
3
1
−2
2
Gambar 1.1. 7 Penyelesaian dari 𝟑 ≤ 𝟒– 𝟐𝒙 < 𝟕
CONTOH 1.1.6 Selesaikan x2 – 9x ≤ -20
Penyelesaian. Dengan menambahkan 20 pada kedua sisi, pertidaksamaan dapat ditulis
Kembali sebagai:
𝑥 2 – 9𝑥 + 20 ≤ 0
Sisi kiri difartorkan menghasilkan
(𝑥 − 4)(𝑥 − 4) ≤ 0
Nilai x untuk x – 4 = 0 atau x – 5 = 0 adalah x = 4 dan x = 5. Titik-titik ini membagi garis
koordinat menjadi tiga selang terbuka,
(−∞, 4), (4,5), (5, +∞)
11
Pada tiap selang tersebut perkalian (𝑥 − 4) (𝑥 − 5) mempunyaitanda tetap. Untuk
menunjukkan tanda tersebut dipilih satu titik sebarang dalam tiap selang yang akan ditentukan
tandanya; titik ini disebut titik uji. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.1.8, akan
7 9
11
digunakan 2 , 2 𝑑𝑎𝑛 2 sebagai titik- titik uji. Hasilnya disajikan sebagai berikut :
SELANG
TITIK UJI
TANDA (x - 4) (x - 5) DI TITIK UJI
(−∞, 4)
3.5
(−) (−) = +
(4,5)
4.5
(+) (−) = −
(5, +∞)
5.5
(+) (+) = +
Pola dari tanda dalam selang tersebut ditunjukkan pada garis bilangan ditengah pada Gambar
1.1.8. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah {x : 4 ≤ x ≤ 5}
atau berupa selang [4,5] yang ditunjukkan pada bagian paling Gambar 1.1.8
3,5
4,5
5,5
4
+
+
+
+
0
5
−
−
−
−
0
4
5
4
5
+
+
+
+
Gambar 1.1. 8 Penyelesaian dari x2 – 9x ≤ -20
2𝑥−5
CONTOH 1.1.7 Selesaikan 𝑥−2 < 1,
Penyelesaian. Pertama gandakan kedua sisi dengan x – 2, untuk menghilangkan pecahan.
Perlu diperhatikan secara khusus x – 2 > 0 dan x – 2 < 0 secara terpisah karena tanda
pertidaksamaan akan dibalik jika x – 2 < 0 dan untuk x – 2 > 0 tidak berubah.
▪ Untuk x – 2 > 0
2𝑥– 5 < 𝑥– 2
2𝑥 < 𝑥 + 3
kedua ruas ditambah 5
𝑥<3
kedua ruas dikurangi x
jadi x > 2 dan x < 3 yang bisa ditulis 2 < x < 3
12
▪ Untuk x – 2 < 0
2𝑥– 5 > 𝑥– 2
2𝑥 > 𝑥 + 3 kedua ruas ditambah 5
𝑥 > 3 kedua ruas dikurangi x
jadi 𝑥 < 2 dan 𝑥 > 3, tidak mungkin ada 𝑥 yang memenuhi sehingga secara keseleruhan
2𝑥−5
pertidaksamaan 𝑥−2 < 1 mempunyai penyelesaian 2 < 𝑥 < 3.
Cara lain. Pendekatan berikut ini lebih sederhana :
2𝑥 − 5
< 1 diberikan
𝑥−2
2𝑥 − 5
kedua sisinya dikurangi 1 unuk memperoleh 0
− 1 < 0 pada sisi kanan
𝑥−2
(2𝑥 − 5) − (𝑥 − 2)
< 0 bentuknya dikombinasikan
𝑥−2
𝑥−3
< 0 disederhanakan
𝑥−2
Nilai dari 𝑥– 3 akan nol jika 𝑥 = 3 dan nilai 𝑥 − 2 akan nol jika 𝑥 = 2. Titik ini membagi
garis koordinat menjadi tiga selang terbuka
(−∞, 2),
(2,3),
(3, +∞)
pada tiap selang tersebut hasil bagi (𝑥 − 3)/(𝑥 − 2) bertanda tetap. Gunakan 0, 2.5, dan 4
sebagai titik-titik uji (Gambar 1.1.9), sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
SELANG
TITIK UJI
TANDA (𝑥 − 3)/(𝑥 − 2)DI TITIK UJI
(−∞, 2)
0
(−)(−) = +
(2,3)
2.5
(−)(+) = −
(3, +∞)
4
(+)(+) = +
Tanda-tanda dari hasil bagi ditunjukkan pada bagian tengah Gambar 1.1.9 dari gambar itu
dapat dilihat bahwa himpunan penyelesaian terdir dari semua nilai real x sedemikian hingga
2 < 𝑥 < 3 dipenuhi. Selang (2,3) ini ditunjukkan pada Gambar 1.1.9 paling bawah
4
2,5
0
2
13
3
Titik uji
+++++−−0+++++
2
2
3
3
Himpunan Penyelesian
𝑥−3
untuk 𝑥−2 < 0
Gambar 1.1. 9 Penyelesaian dari
□
■
□
■
□
►
𝑥−3
Tanda dari 𝑥−2
SOAL-SOAL LATIHAN 1.1
𝟐𝒙−𝟓
𝒙−𝟐
◄
<𝟏
□
■
□
■
□
(1) Diantara bilangan yang diberikan di bawah ini, mana yang merupakan bilangan bulat, rasional,
dan irasional?
1
(a) − 4
(b) 2
28
(c) 6
(d) 1,75
(e) −√25
1
(f) 22
(2) Jika 𝑎 ≤ 𝑏, maka relasi mana yang selalu benar?
(a) 𝑎 − 4 ≤ 𝑏 − 3
(b) −2𝑎 ≤ −𝑏
(c) 3 − 𝑎 ≤ 4 − 𝑏
(d) 6𝑎 ≤ 6𝑏
(e) 𝑎2 ≤ 𝑎𝑏
(f) 𝑎3 ≤ 𝑎2 𝑏
(3) Jika 𝑎 ≤ 𝑏 dan 𝑐 ≤ 𝑑, maka relasi mana yang selalu benar?
(a) 𝑎 + 3 ≤ 𝑏 + 2𝑑
(b) 𝑎 − 4𝑐 ≤ 𝑏 − 2𝑑
(4) Jika 𝑎 ≤ 𝑏 dan 𝑏 ≤ 𝑎, apa yang dapat dikatakan tentang a dan b?
(5) Daftarkan anggota-anggota himpunan di bawah ini
(a) {𝑥: 𝑥 2 − 4𝑥 = 0}
(b) {𝑥: 𝑥 bilangan bulat yang memenuhi −3 < 𝑥 < 2}
(6) Nyatakan himpunan dibawah ini dalam notasi {𝑥: __________}
(7) Nyatakan dalam notasi selang
(a) {𝑥: 𝑥 2 ≤ 3}
(b) {𝑥: 𝑥 2 > 6}
(8) Selesaikan pertidaksamaan 𝑥 2 ≤ 8 dan buatlah sketsa penyelesaiannya pada garis koordinat.
(9) Tentukan semua nilai 𝑥 pada ekspresi yang diberikan hasilnya merupakan bilangan real.
(a) √𝑥 2 + 𝑥 − 7 > 0
14
𝑥+2
(b) √𝑥−1 ≥ 0
(10)
Selesaikan:
(a) 6𝑥 3 − 2𝑥 2 − 2𝑥 + 1 < 0
(b) 10𝑥 3 − 15𝑥 2 ≥ −11𝑥 + 4
1.2 Bidang Koordinat
Sebagaimana halnya titik-titik pada garis yang berkorespondensi satu-satu dengan bilangan
real, titik-titik pada bidang dapat juga dikaitkan dalam korespondensi satu-satu dengan
pemasangan bilangan real. Hal ini memungkinkan untuk menggambarkan persamaan
aljabarsebagai kurva geometric. Dan sebaliknya untuk menyajikan kurva geometric dengan
persamaan aljabar.
Sumbu 𝑦
Titik asal
Sumbu 𝑥
Gambar 1.2.1 Sistem Koordinat Siku
▪ System koordinat siku-siku
Suatu sistem koordinat siku-siku (juga disebut sistem koordinat Cartesian2) merupakan
pasangan garis koordinat yang tegak lurus, yang disebut sumbu-sumbu koordinat sedemikian
hingga keduanya berpotongan di titik asal. Biasanya, salah satu garis tesebut horizontal
dengan arah positif keatas. Seperti diilustrasikan dalam gambar 1.2.1, perpotongan sumbusumbu koordinat disebut titik asal dari sistem koordinat. Sumbu horizontal biasanya
dinamakan sumbu-𝑥 dan sumbu vertikal disebut sumbu-𝑦. bidang dalam suatu sistem
koordinat siku-siku disebut bidang koordinat. Pemberian label pada sumbu-sumbu dengan
huruf x dan y merupakan kesepakatan yang umum, tetapi sebarang huruf boleh digunakan.
Jika huruf x dan y digunakan untuk memberi table sumbu koordinat, maka bidang yang
dihasilkan disebut bidang xy. Dalam penerapan, penggunaan huruf selain x dan y sebagai label
sumbu koordinat adalah hal yang biasa. Gambar 1.2.2 menunjukkan bidang – uv dan bidangts. Huruf pertama dalam nama bidang mengacu pada sumbu horizontal dan huruf kedua
menunjukkan sumbu vertikal.
15
𝑣
𝑠
𝑢
𝑡
Bidang - 𝑢𝑣
Bidang - 𝑡𝑠
Gambar 1.2.2 Sistem Koordinat siku
▪ Koordinat
Sekarang akan ditunjukkan bagaimana menetapkan suatu korespondensi satu-satu antara titiktitik pada bidang koordinat dan ”pasangan terurut” dari bilangan real. Pasangan terurut pada
bilangan real dua bilangan real yang diberikan tarurut. Jadi terdapat “bilangan pertama” dan
bilangan kedua“. Simbil (p,q) digunakan untuk menyatakan pasangan terurut bilangan real
dengan p sebagai bilangan pertama terurut (-2,-3) dan (-3,2) adalah hal yang berbeda.
Simbol (p,q) juga menunjukkan selang terbuka antar p dan q. Interpretasi yang tepat biasanya
tergantung pada konteksnya.
𝑦
𝑦
𝐾 (2,5)
𝐾 (𝑝, 𝑞)
𝑞
𝐿 (−4,3)
koordinat - 𝑦
𝑥
𝑀 (−5, −2)
koordinat - 𝑥
𝑁 (4, −3)
𝑝
𝑥
(a)
(b)
Gambar 1.2.3 Koordinat bidang
Setiap titik K bidang koordinat dapat dikawankan dengan pasangan terurut bilangan real yang
tunggal dengan menggambarkan dua garis yang melalui K, yang satu tegak lurus dengan
sumbu-x dan satunya tegak lurus dengan sumbu-y (gambar 1.2.3(a)). Jika garis pertama
berpotongan dengan sumbu-x di titik dengan koordinat p dan garis kedua berpotongan dengan
sumbu-y di titik dengan koordinat q, maka hubungkan pasangan terurut bilangan real (p,q)
16
adalah sama dengan titik K. Bilangan p disebut koordinat-x atau absis dari K dan bilangan
disebut koordinat-y atau ordinat dari K. selanjutnya akan dikatakan bahwa K mempunyai
koordinat (p,q) dan ditulis K (p,q) apabila ingin menegaskan bahwa koordinat K adalah (p,q).
Sudah jelas bahwa proses yang diilustrasikan dalam Gambar 1.2.3 (a) mengawankan
dengan tunggal pasangan terurut bilangan real(p,q) dengan titik K pada bidang. Sebaliknya,
jika dimulai dengan pasangan terurut bilangan real (p,q) dan membuat garis tegak lurus
sumbu-x dan sumbu-y yang berturut-turut melalui titik-titik dengan koordinat p dan q, maka
garis-garis tersebut berpotongan di satu titik-titik pada bidang koordinat merupakan
korespondensi satu-satu.
Menggambarkan suatu titik K (p,q) artinya menempatkan titik dengan koordinat (p,q)
pada bidang koordinat. Sebagai contoh, pada gambar 1.2.3 (b) digambarkan titik-titik
𝐾 (2, 5), 𝐿 (−4, 3), 𝑀 (−5, −2), 𝑑𝑎𝑛 𝑁 (4, −3)
Dalam sistem koordinat siku-siku, sumbu-sumbu koordinat dibagi menjadi empat daerah
yang disebut kuadran. Penomoran kuadran berlawanan arah jarum jam dengan angka romawi
seperti yang ditunjukkan pada gambar 1.2.4 (a). Sebagai ilustrasi pada Gambar1.2.4 (b),
dengan mudah menentukan kuadran tempat terletaknya suatu titik dari tanda-tanda
koordinatnya: suatu titik dengan dua koordinat postif (+, +) terletak di kuadran I, suatu titik
dengan koordinat-x negative dan koordinat-y positif (-, +) terletak di kuadran II, dan
seterusnya. Titik-titik dengan koordinat-x mol terletak pada sumbu-y dan titik-titik dengan
koordinat nol terletak pada sumbu-x.
𝑦
𝑦
Kuadran
II
Kuadran
I
Kuadran
III
Kuadran
IV
(−, +)
Titik-titik pada sumbu-y memiliki
koordinat-x nol
(+, +)
𝑥
𝑥
Titik-titik pada sumbu-x memiliki
koordinat-y nol
(+, −)
(−, −)
(a)
(b)
Gambar 1.2.4 Kuadran dalam koordinat Bidang
▪ Grafik
Untuk melihat bagaimana sistem koordinat siku-siku menggambarkan persamaan secara
geometrik, diasumsikan telah dibentuk sistem koordinat siku-siku dan diberikan suatu
persamaan yang hanya memuat dua peubah, x dan y. misalnya :
(𝑎)2𝑥𝑦 = 3,
(𝑏) 3𝑥 2 + 𝑦 2 = 5,
atau
(c) 𝑦 = 𝑥 3 + 8
Penyelesaian persamaan-persamaan tersebut didefinisikan sebagai suatu pasangan terurut
bilangan real (p,q) sehingga persamaan tersebut dipenuhi jika disubtitusikan x = p dan y = q.
himpunan semua penyelesaian disebut himpunan penyelesaian dari persamaan.
17
1
CONTOH 1.2.1 Pasangan (2, 5) merupakan penyelesaian dari 5𝑥𝑦 = 2 sebab persamaan
1
tersebut dipenuhi jika disubtitusikan 𝑥 = 2 dan 𝑦 = . Sedangkan pasangan (2,0) bukan
5
suatu penyelesaian, sebab persamaan itu tidak dipenuhi jika disubtitusikan 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 0
Selanjutnya diberikan Definisi 1.2.1
Definisi 1.2.1 Grafik suatu persamaan dengan dua peubah x dan y adalah himpunan semua
titik dalam bidang-xy yang koordinat-koordinatnya merupakan anggota dari himpunan
penyelesaian dari persamaan tersebut.
CONTOH 1.2.2 Buatlah sketsa grafik dari 𝑦 = 𝑥 2 .
Penyelesaian.
Himpunan penyelesaian dari y = x2 mempunyai tak hingga banyak
anggota, sehingga tak mungkin digambarkan semuanya. Akan tetapi, beberapa anggota
himpunan penyelesaian dapat diperoleh dengan mensubtitusikan sebarang nilai x ke sisi kanan
y = x2 dan menyelesaikannya untuk y.
Dengan bantuan table dibuat beberapa perhitungan seperti pada Gambar 1.2.5. Kurva
yang bersesuaian didapta dengan menggambarkan titik-titik pada bidang koordinat dan
menghubungkannya dengan suatu kurva mulus. Kurva tersebut merupakan hampiran grafik y
= x2
𝑥
𝑦 = 𝑥 2 (𝑥, 𝑦)
0
0
(0,0)
1
1
(1,1)
2
4
(2,4)
3
9
(3,9)
-1
1
(−1,1)
-2
4
(−2,4)
-3
9
(−3,9)
Gambar 1.2.5 Sketsa Grafik dan tabulasi dari 𝒚 = 𝒙𝟐
❖
Sebaiknya diingat bahwa kurva pada Gambar 1.2.5 hanyalah hampiran grafik y=x2.
Jika suatu grafik diperoleh dari menggambarkan titik-titik, apakah dengan tangan, kalkulator,
atau computer, maka tidak dijamin bahwa kurva yang dihasilkan mempunyai bentuk yang
benar. Sebagai contoh, dua kurva pada gambar 1.2.6 keduanya melalui titik-titik pada table
dan gambar 1.2.5. Selain itu , tidak dapat secara keseluruhan diputuskan suatu masalah
dengan menggambarkan lebih banyak titik karena tidak akan pernah dipastikan bagaimana
sifat grafiknya diantara titik-titik yang digambarkan. Pada umumnya, hanya denan cara
kalkulus bentuk grafik yang benar dapat diketahui dengan pasti.
18
Gambar 1.2. 6 Sketsa Grafik yang tidak mulus dari 𝒚 = 𝒙𝟐
CONTOH 1.2.3 Buatlah sketsa grafik dari y = x3 – 2
Penyelesaian.
Tabel titik-titik dan grafiknya diberikan di Gambar 1.2.7.
𝑥
𝑦𝑥 3 − 2
(𝑥, 𝑦)
0
-2
(0, −2)
1
-1
(1, −1)
2
6
(2,6)
-1
-3
(−1, −3)
-2
-10
(−2, −10)
Gambar 1.2.7 Sketsa Grafik dan Tabulasi dari 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟐
CONTOH 1.2.4 Buatlah sketsa grafik dari 𝑦 2 − 2𝑦 − 𝑥 = 0
Penyelesaian.
Untuk menghitung koordinat titik-titik pada grafik persamaan dalam x
dan y, sebaiknya y dinyatakan dalam x dan y. Untuk kasus ini, lebih mudah x dinyatakan
dalam bentuk y, sehingga diperoleh
𝑥 = 𝑦 2 − 2𝑦
Beberapa anggota himpunan penyelesaian dapat diperoleh dengan mensubtitusikan sembarang
nilai y ke sisi kanan persamaan tersebut, seperti pada (Gambar 1.3.8).
19
𝑦
𝑥 = 𝑦 2 − 2𝑦
(𝑥, 𝑦)
−2
8
(8, −2)
−1
3
(3, −1)
0
0
(0,0)
1
−1
(−1,1)
2
0
(0,2)
3
3
(3,3)
4
8
(8,4)
Gambar 1.2.8 Sketsa Grafik dan Tabulasi dari 𝒙 = 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚
1
CONTOH 1.2.5 Buatlah sketsa grafik𝑦 = 𝑥.
Penyelesaian. Karena 1/x tidak terdefinisi di 𝑥 = 0, shingga hanya digambarkan titik-titik di
𝑥 ≠ 0. Hal ini mengakibatkan grafik terpotong di 𝑥 = 0 (biasanya disebut diskontinuitas)
(Gambar 1.2.9).
20
𝑥
𝑦 = 1/𝑥
(𝑥, 𝑦)
1
3
3
1
( , 3)
3
1
2
2
1
( , 2)
2
1
1
(1,1)
2
1
2
1
(2, )
2
3
1
3
1
(3, )
3
−
1
3
−3
1
(− , −3)
3
−
1
2
−2
1
(− , −2)
2
−1
−1
(−1, −1)
−2
−
1
2
1
(−2, − )
2
−3
−
1
3
1
(−3, − )
3
Gambar 1.2.9 Sketsa Grafik dan Tabulasi dari 𝒚 = 𝟏/𝒙
CONTOH 1.2.6 Buatlah sketsa grafik 𝑦 = √𝑥.
Penyelesaian.
Jika𝑥 < 0, maka √𝑥 merupakan bilangan kompleks. Karena koordinat
titik-titik pada bidang-𝑥𝑦 merupakan bilangan real, maka hanya dapat digambarkan titik-titik
untuk𝑥 ≥ 0. Dengan bantuan kalkulator diperoleh table dan grafik pada Gambar 1.2.10.
𝑥
𝑦 = √𝑥
(𝑥, 𝑦)
0
0
(0,0)
1
1
(1,1)
2
√2
(2, √2) ≈ (2,2.14)
3
√3
(3, √3) ≈ (3,3.17)
4
2
(4,2)
Gambar 1.2.10 Sketsa Grafik dan Tabulasi dari 𝒚 = √𝒙
Perpotongan-y
(0,b)
Perpotongan-x
(a,0)
Gambar 1.2.11 Perpotongan dengan Sumbu Koordinat
21
▪ Perpotongan
Titik-titik tempat suatu grafik memotong sumbu-sumbu koordinat merupakan hal khusus yang
menarik dalam berbagai persoalan. Seperti ilustrsai pada Gambar 1.2.11, perpotongan grafik
dengan sumbu-𝑥 berbentuk(𝑎, 0) dan perpotongan dengan sumbu-𝑦 berbentuk (𝑏, 0).
Bilangan 𝑎 tersebut dinamakan perpotongan-𝒙 dari grafik dan bilangan 𝑏 dinamakan
perpotongan-𝒚.
CONTOH 1.2.7 Dapatkan semua perpotongan-𝑥 dan perpotongan-𝑦 dari
1
𝑥
Penyelesain (a). Untuk mendapatkan perpotongan-𝑥, berikan 𝑦 = 0 dan diselesaikan untuk 𝑥,
diperoleh:
5𝑥 = 5
atau
𝑥=1
(𝑎) 5𝑥 + 𝑦 = 5
(𝑏) 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥
(𝑐) 𝑦 =
Untuk mendapatkan perpotongan-𝑦 diberikan 𝑥 = 0 dan diselesaikan untuk 𝑦, diperoleh:
𝑦=5
Grafik dari 5𝑥 + 𝑦 = 5 merupakan garis seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.2.12.
Gambar 1.2.12 Sketsa Grafik dari 𝟓𝒙 + 𝒚 = 𝟓
Penyelesaian (b). Untuk memperoleh perpotongan-𝑥 diberikan 𝑦 = 0 dan dicari
penyelesaiannya untuk 𝑥, sebagai berikut:
𝑥 2 − 4𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 4) = 0
𝑥 = 0 dan 𝑥 = 4
Jadi 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 4 adalah perpotongan-𝑥. Untuk memperoleh perpotongan-𝑦 diberikan 𝑥 =
0 dan dicari penyelesaiannya untuk 𝑦, diperoleh:
𝑦=0
Sehingga perpotonga-𝑦 adalah 𝑦 = 0 dan ini satu-satunya perpotongan-𝑦. Grafiknya
ditungjukkan pada Gambar 1.2.13.
22
2
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥
-4
Gambar 1.2.13 Sketsa Grafik dari 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝟎
Penyelesaian (c). Untuk mendapatkan perpotongan-𝑥, diberikan 𝑦 = 0, diperoleh:
1
=0
𝑥
Persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian (mengapa?), sehingga tidak terdapt
perpotongan-𝑥. Untuk mendapatkan perpotongan-𝑦 diberikan 𝑥 = 0 dan diselesaikan untuk 𝑦.
Tetpi, dengan subtitusi 𝑥 = 0 mengakibatkan pembagian dengan nol, yang tidak
diperbolehkan, sehingga tidak terdapat perpotongan-𝑦 juga. Grafik persamaan terebut
ditunjukkan pada Gambar 1.2.9. Jadi persamaan ini tidak memotong sumbu 𝑥 dan sumbu 𝑦.
▪ Simetri
Seperti diilustrsikan dalam Gambar 1.2.14, titik-titik (𝑥, 𝑦), (−𝑥, 𝑦), (𝑥, −𝑦), dan (−𝑥, −𝑦)
membentuk sudut-sudut suati segiempat. Titik-titik (𝑥, 𝑦) dan (𝑥, −𝑦) dikatakan simetri
terhadap sumbu-x, titik-titik (𝑥, −𝑦) dan (−𝑥, −𝑦) dikatakan simetri terhadap sumbu-y, dan
titik-titik (𝑥, 𝑦) dan (−𝑥, −𝑦) dikatakan simetri terhadap titik asal.
(−𝑥, 𝑦)
(𝑥, 𝑦)
(−𝑥, 𝑦)
(𝑥, 𝑦)
(−𝑥, 𝑦)
(𝑥, 𝑦)
(−𝑥, −𝑦)
(𝑥, −𝑦)
(−𝑥, −𝑦)
(𝑥, −𝑦)
(−𝑥, −𝑦)
(𝑥, −𝑦)
Simetri terhadap
sumbu-x
Simetri terhadap
sumbu-x
(−𝑥, 𝑦)
(𝑥, 𝑦)
(−𝑥, −𝑦)
(𝑥, −𝑦)
Simetri terhadap
sumbu-y
Simetri terhadap
titik asal
23
Gambar 1.2.14 Simetri terhadap Sumbu dan Titik
Dengan cara yang sama, suatu grafik dalam bidang-𝑥𝑦 dikatakan:
(a) Simetri terhadap sumbu-x jika setiap titik (𝑥, 𝑦) diganti titik (𝑥, −𝑦), maka persamaan
suatu grafik tidak berubah (Gambar 1.2.15a);
(b)Simetri terhadap sumbu-y jika setiap titik (𝑥, 𝑦) diganti titik (−𝑥, 𝑦), maka persamaan
suatu grafik tidak berubah (Gambar 1.2.15b);
(c) Simetri terhadap titik asal jika setiap titik (𝑥, 𝑦) diganti titik (−𝑥, −𝑦), maka persamaan
suatu grafik tidak berubah (Gambar 1.2.15c);
(𝑥, 𝑦)
(−𝑥, 𝑦)
(𝑥, 𝑦)
(𝑥, 𝑦)
(−𝑥, −𝑦)
(𝑥, −𝑦)
Gambar 1.2.15 Simetri terhadap Sumbu dan Titik
Secara geometrik, suatu grafik simetri terhadap sumbu-𝑥 jika lipatan bidang sepanjang
sumbu-𝑥 berakibat bagian atas dan bagian bawah grafik berhimpit, dan simetri terhadap
sumbu-𝑦 berakibat bagian kanan dan bagian kiri grafik berhimpit. Grafik simetri terhadap titik
asal jika pemutaran grafik 180° terhadap titik asal menghasilkan grafik seperti semula.
Sifat simetri dapat diperiksa dari persamaan kurvanya. Sebagai contoh, grafik dari
𝑦 = 𝑥3
(1.3)
haruslah simetrik terhadap titik asal karena untuk setiap titik (𝑥, 𝑦) yang koordinatnya
memenuhi (1.3), koordinat titik (−𝑥, −𝑦) juga memenuhi (1.3), sebab dengan subtitusi nilainiai tersebut dalam (1.3) menghasilkan
−𝑦 = (−𝑥)3
yang dapat disederhanakan menjadi (1.3). uraian tersebut dapat dirumuskan dalam uji simetri
berikut:
Teorema 1.2.2 (Uji Simetri)
(a)Suatu kurva bidang simetri terhadap sumbu-y jika x diganti dengan – 𝑥 dalam
persamaannya menghasilkan suatu persamaan yang ekivalen.
(b)Suatu kurva bidang simetri terhadap sumbu-x jika y diganti dengan – 𝑦 dalam
persamaannya menghasilkan suatu persamaan yang ekivalen.
(c) Suatu kurva bidang simetri terhadap titik asal jika x diganti dengan – 𝑥 dan y
digantidengan −𝑦 dalam persamaannya menghasilkan suatu persamaan yang ekivalen.
24
CONTOH 1.2.8 Gambar 1.2.5 menunjukkan bahwa 𝑦 = 𝑥 2 simetri terhadap sumbu-y, tetapi
tidak simetri dengan sumbu-x ataupun titik asal. Gunakan Teorema 1.2.2 untuk menjelaskan
hal tersebut.
Penyelesaian. Untuk uji simetri terhadap sumbu-y, subtitusikan −𝑥 untuk dalam 𝑦 = 𝑥 2 , akan
menghasilkan
𝑦 = (−𝑥)2
yang ekivalen dengan persamaan asalnya. Untuk uji simetri terhadap sumbu-x, subtitusi −𝑦
untuk y dalam 𝑦 = 𝑥 2 , akan menghasilkan
−𝑦 = 𝑥 2
ini tidak ekivalen dengan 𝑦 = 𝑥 2 , sehingga grafiknye tidak simetri terhadap sumbu-x. Untuk
uji simetri terhadap titik asal, subtitusikan −𝑥 untuk 𝑥 dan −𝑦 untuk y dalam 𝑦 = 𝑥 2 , akan
menghasilkan
(−𝑦) = (−𝑥)2
atau ekivalen dengan
−𝑦 = 𝑥 2
Persamaan terakhir tersebut tidak ekivalen dengan 𝑦 = 𝑥 2 , sehingga grafiknya tidak simetri
terhadap titik asal.
▪ Simetri Sebagai Alat Menggambar Grafik
Dengan memanfaatkan keuntungan dari bentuk simetri jika ada, pekerjaan menggambar suatu
grafik dapat lebih disederhanakan.
1
CONTOH 1.2.9 Buatlah sketsa grafik 𝑦 = 8 𝑥 4 − 𝑥 2 .
Penyelesaian. Grafiknya simetri terhadap sumbu-y sebab subtitusi −𝑥 untuk menghasilkan
1
𝑦 = (−𝑥)4 − (−𝑥)2
8
yang dapat disederhanakan menjadi persamaan asalnya.
Sebagai akibat sifat simetri ini, hanya diperlukan menghitung titik-titik pada grafik yang
terletak di sisi kanan bidang-xy (𝑥 ≥ 0). Titik-titik disebelah kiri berdasarkan sifat simetri.
Bagian atas dari table dalam Gambar 1.2.16 diperoleh dengan bantuan kalkulator. Bagian
bawah diperoleh tanpa menghitung tetapi menggunakan sifat simetri.
𝑥
1
𝑦 = 𝑥4 − 𝑥2
8
0
0
0.5
−0.24
1
−0.88
1.5
−1.62
25
2
−2
2.5
−1.37
3
1.12
3.5
6.51
4
16
−4
16
−3.5
6.51
−3
1.12
−2.5
−1.37
−2
−2
−1.5
−1.62
−1
−0.88
−0.5
−0.24
𝑦
1
= 𝑥4 − 𝑥2
8
𝟏
Gambar 1.2.16 Tabulasi dan Grafik dari 𝒚 = 𝟖 𝒙𝟒 − 𝒙𝟐
CONTOH 1.2.10 Buatlah sketsa grafik 𝑥 = 𝑦 2.
Penyelesaian. Persamaan grafik dapat ditulis 𝑦 = √𝑥 dan 𝑦 = −√𝑥. Grafik 𝑦 = √𝑥
merupakan bagian kurva 𝑥 = 𝑦 2 yang terletak di atas atau menyinggung sumbu-x (karena 𝑦 =
√𝑥 ≥ 0), dan grafik 𝑦 = −√𝑥 merupakan kurva yang terletak di bagian bawah atau
menyinggung sumbu-x (karena 𝑦 = −√𝑥 < −0). Akan tetapi kurva 𝑥 = 𝑦 2 simetri terhadap
sumbu-x sebab subtitusi −𝑦 untuk 𝑦 menghasilkan 𝑥 = (−𝑦)2 yang ekivalen dengan
persamaan asalnya. Jadi, hanya grafik 𝑦 = √𝑥 (lihat Gambar 1.2.10) kemudian cerminkan
grafik tersebut dalam sumbu-x untuk melengkapi grafik yang ditanyakan (Gambar 1.2.17).
▪ Grafik Dengan Skala Tidak Sama
Sejauh ini, semua grfik yang ada menggunakan skala yang sama pada sumbu-sumbu
koordinatnya, artinya satu satuan sepanjang sumbu-x mempunyai panjang yang sama dengan
satu satuan sepanjang sumbu-y. Kadang-kadang perlu menggunakan slake yang tidak sama.
Sebagai contoh, 𝑦 = 𝑥 3 untuk nilai antara −10 dan 10, akan mempunyai nilai y antara
26
(−10)3 = −1000 dan 103 = 1000, yang sulit digambarkan pada lembar kertas standar atau
halaman cetak; satu-satunya cara mengatasinya menggunakan skala yang tidak sama.
Walaupun skala yang tidak sama itu mengubah grafik, bentuk umum grafiknya tetap terjaga
dan cukup memenuhi untuk berbagai keperluan. Gambar 1.2.18 menunjukkan dua versi grafik
dari 𝑦 = 𝑥 3 .
𝑦 = √𝑥
𝑦 = −√𝑥
𝑥=𝑦
2
Gambar 1.2.17 Sketsa Grafik dari 𝒙 = 𝒚𝟐
Dalam penempatannya, jika peubah-peubah dalam suatu persamaan menunjukkan
Gambar 1.2.18 Sketsa Grafik dari 𝒚 = 𝒙𝟑
besaran fisika, biasanya tidak digunakan skala yang sama pada sumbu koordinat ketika
meggambar grafik. Akan tetapi, satuan ukuran ditunjukkan pada sumbukoordinat untuk
memperjelasnya. Sebagai contoh, Gambar 1.2.19 adalah grafik T terhadap R, dengan T adalah
27
Periode (hari × 103 )
waktu (dalam ribuan hari) untuk suatu obyek yang mengitari matahari dlam satu putaran dan R
jarak objek tersebut ke matahari (dalam miliar kilometer).
Jarak (km × 109 )
Gambar 1.2.19 Jarak dan Periode Antar Planet
▪ Menggambar Grafik dengan Kalkulator dan Komputer
Kesulitan menggambar grafik dengan cepat teratasisejak adanya computer dan kalkulator
tangan dengan kemampuan grafik yang dapat menghasilkan grafik-grafik yang rumit dalam
beberapa detik. Walaupun gambar grafik dapat dihasilkan dengan tangan pada seluruh buku
teks ini, tetapi perlu diingat bahwa pada penerapannya computer tersedia untuk melakukan
pekerjaan demikian. Jadi, dalam buku teks ini fokus utamanya adalah lebih untuk mempelajari
pengertian dan macam-macam informasi yang disampaikan oleh suatu grafik daripada proses
numerik penggambaran grafik.
▪ Katalog Kurva Dasar
Subbab ini diakhiri dengan menampilkan katalog grafik-grafik yang sering muncul (Gambar
1.2.20). Katalog ini akan sangat membantu untuk lebih mengenal bentuk umum grafik-grafik
ini tanpa harus menggambarkannya titik demi titik.
𝑦 = 𝑥2
𝑦 = −𝑥 2
𝑥 = 𝑦2
28
𝑥 = −𝑦 2
𝑦 = √𝑥
𝑦=−
□
■
□
1
𝑥
■
𝑦=−
□
𝑦 = 𝑥3
𝑦 = −√𝑥
►
1
𝑥
𝑦=
SOAL-SOAL LATIHAN 1.2
3
𝑦 = √𝑥
1
𝑥2
◄
𝑦=−
□
■
□
■
1
𝑥2
□
1. Gambarkan system koordinat siku-siku dan letakkan lokasi titik-titik berikut
(a) (5,2)
(b) (6,-3)
(c) (-3.6,-3)
(d)(-1,4.5)
(e) (6,0)
(f) (2,-8)
2. Gambarkan system koordinat siku-siku dan sket himpunan titik-titik yang memiliki koordinat
(x,y) dan memenuhi syarat yang diberikan
(a) x = 3
(b)y = 2
(c)y < 0
(d) x ≥ 4 dan y ≤ 3
(e) x = 4
(f) |x| = 5
(g) x = 3 dan y ≥ 2
(h)y = -2 dan x < 3
(i) x ≥ 1
(j) y ≥ x
(k) y = x
(l) |x| ≥ 2
3. Tentukan apakah titik-titiknya terletak pada garis horizontal atau vertikal
(a) A (7,4), B (7,3)
(b) A (5,-4), B (3,-6)
(c) A (-3,√2), B (-3,-5)
(d) A (2,4), B (9,2)
(e) A (6,-3), B (2,-4)
(f) A (2,3), B (0,-5)
4. Tentukan titik ke-empat suatu segiempat, yang tiga titik diantaranya adlah (2,-3), (4,5), dan (2,5)
5. Pada tiap bagian jelaskan apakah pasangan berturut (x,y) yang diberikan merupakan penyelesaian
dari x2-3x+y=2
29
(a) (2,0)
1 10
(b) (3 , 9 )
(c) (2,1)
3
1
(d) (2 − 2 √17 − 𝑡, 𝑡)
6. Tentukan apakah grafiknya simetri terhadap sumbu-x, sumbu-y, atau titik pusat
(a) X = 5y2+9
(b) x2-2y = 3
(c) xy = 5
𝑥
(e) X4 = 2y3+y
(e)3+𝑥 2
(f) x2y = |x|-5
7. Buatlah sketsa grafik persamaannya. (Kalkulator akan sangat membantu dalam beberapa soal
tersebut.)
(a) y = 2x-4
(b) y = 7-x
(c) y = 1+x2
(d) y = |x|
(e) y = −√𝑥 + 1
(f) y = √𝑥 − 4
2
(g) x y = 3
(h) y = |x-4|
(i) xy = -1
8. Buatlah sketsa bagian grafiknya di kuadran pertama, dan gunakan sifat simetrinya untuk
melengkapi grafik tersebut. ( Kalkulator akan sangat membantu dalam beberapa soal berikut.)
(a) 9x2+4y2 = 48
(b) 4x2+18y2 = 16
9. Buatlah sketsa grafik dari y2 = 3x dan jelaskan bagaimana grafik ini dikaitkan dengan grafikgrafik dari y = √3𝑥 dan y = −√3𝑥
10. Buatlah sketsa grafik dari (x-y) (x+y) = 0 dan jelaskan bagaimana grafik ini dikaitkan dengan
grafik-grafik dari x-y = 0 dan x+y = 0
30
Bab 2 F
ungsi dan Limit
F
31
ungsi dan Limit
2.1 Fungsi
Pada bagian ini didefinisikan suatu konsep dasar dalam matematika, yaitu pengertian fungsi.
Selanjutnya dibahas mengenai notasi yang digunakan untuk menyatakan suatu fungsi dan
diuraikan tentang sifat-sifat dasar fungsi.
• Konsep Fungsi
Pengertian “fungsi” pertama kali digunakan oleh Leibniz pada tahun 1673 untuk menyatakan
ketergantungan suatu besaran terhadap besaran yang lainnya. Contoh :
a. Luas lingkaran bergantung pada jari-jari r, dengan persamaan L = πr2, sehingga dikatakan
“L fungsi dari r”.
b. Kecepatan v dari benda yang jatuh bebas pada medan gravitasi bumi bertambah seiring
bertambahnya waktu t sampai benda menyentuh bumi, dikatakan “v fungsi dari r”.
c. Dalam pembiakan bakteri, banyaknya bakteri (N) setelah satu jam pertumbuhan bergantung
pada banyaknya bakteri mula-mula (N0), oleh karena itu dikatakan bahwa “N fungsi dari
N0”.
Secara umum, jika besaran y bergantung pada besaran x sedemikian hingga setiap nilai x
menentukan tepat satu nilai y, maka dikatakan bahwa “y adalah fungsi dari x”. Sebagai
contoh, persamaan
𝑦 = 4𝑥 + 1
mendefinisikan y sebagai fungsi dari x, sebab setiap nilai yang diberikan pada x menentukan
tepat satu nilai y (lihat Tabel 2.1.1). Untuk menyatakan fungsi tanpa
Tabel 2.1.1 Tabulasi Persamaan y = 4x + 1
Nilai
x
x=2
x=1
x=0
1
x =−4
Nilai
y = 4x + 1
y=9
y=5
y=1
y=0
y = 4√3 + 1
x = √3
Menuliskan rumus yang spesifik, matematikawan Swiss, Leonhard Euler memberikan gagasan
penulisan fungsi dengan huruf alfabet. Sebagai contoh, jika dipergunakan huruf f untuk
menyatakan fungsi, maka persamaan
𝑦 = 𝑓(𝑥)
(dibaca “y sama dengan f dari x”) menyatakan bahwa y adalah fungsi dari x. Besaran x pada
(2.1) disebut peubah bebas dari f dan y peubah tak bebas dari f. Terminologi ini
menyampaikan gagasan bahwa pemberian nilai x adalah bebas, tetapi untuk setiap nilai yang
diberikan pada x, diperoleh nilai y yang tunggal. Contoh, dalam Tabel 2.1.1 pemberian nilai x
secara sebarang, akan menentukan nilai y yang bersesuaian dari persamaan y = 4x + 1.
32
Penting untuk dipahami bahwa pada (2.1), x dan y menyajikan besaran numerik, dan f
menyatakan suatu “relasi” antara x dan y.
Pada umumnya, fungsi ditentukan dengan rumus yang tidak secara eksplisit memuat peubah
tak bebas. Contoh, bentuk
𝑓(𝑥) = 𝑥 2
mendefinisikan fungsi f yang mengawankan
x2 dengan bilangan x, Jadi
bilangan
f mengawankan 9 dengan 3
𝑓(3) = 32 = 9
f mengawankan 4 dengan -2
𝑓(−2) = (−2)2 = 4
f mengawankan 0 dengan 0
2
𝑓(0) = 0 = 0
f mengawankan 2 dengan √2
𝑓(√2) = (√2)2 = 2
Pada persamaan (2.2) tidak memuat peubah tak bebas, tetapi peubah tak bebas itu dapat
ditampilkan dengan memisalkan y = f(x) dan menuliskan kembali (2.2) sebagai
𝑦 = 𝑥2
Pada suatu saat suatu fungsi lebih baik didefinisikan tanpa pemakaian peubah tak bebas dan
pada saat yang lain diperlukan peubah tak bebas.
f adalah notasi yang paling umum digunakan untuk menyatakan fungsi, tetapi sebarang notasi
juga dapat digunakan. Misalnya
𝑦 = 𝐹(𝑥),
𝑦 = 𝑓1 (𝑥),
𝑦 = 𝑔(𝑥), 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 𝝓(𝑥)
semuanya menyatakan bahwa y adalah fungsi dari x. Peubah bebas dan peubah tak bebas tidak
harus memakai huruf-huruf x dan y. Sebarang notasi dapat digunakan. Sebagai contoh,
persamaan s = f(t) menyatakan bahwa peubah tak bebas s sebagai fungsi dari peubah bebas t.
CONTOH 2.1.1 Jika f(x) = x – 6 maka
f(0) = 0 – 6 = -6
f(1) = 1 – 6 = -5
f(3) = 3 – 6 = -3
f(-2) = -2 – 6 = -8
f(4) = 4 – 6 = -2
33
f(√5) = (√5) − 6 = √5 − 6
1
CONTOH 2.1.2 Jika 𝜙(x) = 1−𝑥 3 maka
1
3
𝜙( √8) =
3
1
3
1−( √8 )
1
= 1−8 = − 7
CONTOH 2.1.3 Jika g(x) = 1 − 2𝑥 2 maka
g(1) = 1 – 2(1)2 = -1
g(-2) = 1 – 2(-2)2 = -7
g(t) = 1 – 2t2
Dalam kalkulus, penggunaan radian sebagai satuan ukur sudut lebih disukai dari pada derajat,
alas an ini akan dibahas kemudian. Oleh karena itu, dalam pernyataan trigonometric seperti sin
x, cos x, tan x, cot x, sec x, dan csc x, x diukur dalam radian. Apabila ukuran derajat yang
dimaksudkan, harus dibuat jelas dengan menuliskan sin xo, cos xo dan seterusnya.
CONTOH 2.1.4 Jika f(x) = sin x, maka
𝑓(0) = sin(0) = 0,
𝜋
𝜋
𝑓 (2 ) = sin ( 2 ) = 1,
𝑓(1) = sin(1) ≈ 0.841471
CONTOH 2.1.5 Perhatikan dua persamaan berikut ini, keduanya identik kecuali notasi yang
dipakai untuk peubah bebas:
(𝑖) 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 5
𝑑𝑎𝑛
(𝑖𝑖) 𝑔(𝑡) = 𝑡 2 − 3𝑡 + 5
Jika disubstitusikan x=2 pada persamaan pertama atau t=2 pada persamaan kedua, maka
diperoleh hasil perhitungan yang sama, yaitu g(2) = 22 – 3.2 + 5 = 3. Pada umumnya, dua
persamaan dengan notasi berbeda pada peubah bebas, mendefinisikan fungsi yang sama
sehingga susunan suatu persamaan menentukan suatu fungsi dan bukan huruf yang digunakan
untuk peubah bebas.
• Domain (Daerah Asal)
Dalam berbagai keadaan peubah bebas suatu fungsi tidak bebas berubah-ubah secara sebarang.
Peubah bebas harus dibatasi pada suatu himpunan, yang disebut domain dari fungsi. Jika
fungsi tersebut f dan y = f(x), maka domain f dapat dipandang sebagai himpunan nilai-nilai
yang diperkenankan untuk peubah bebas x dan dinotasikan dengan Df.
Dalam aplikasi, domain suatu fungsi sering ditentukan oleh pertimbangan fisis dan geometrik.
Selain itu domain fungsi dapat juga berupa domain alami (natural), dan domain yang
ditentukan dengan pembatasan khusus.
• Domain yang ditentukan dengan Pertimbangan Fisis dan Geometrik
Pembatasan peubah bebas yang menentukan domain fungsi, sebagai akibat dari pertimbangan
fisis dan geometri.
34
CONTOH 2.1.6 Perhatikan bangun persegi dengan sisi x cm yang diperoleh dengan
memotong masing-masing pojok selembar karton persegi dengan sisi 10 cm, dan misalkan y
luas (dalam cm2) lembaran karton yang tersisa (Gambar 2.1.1)
Gambar 2.1.1 Fisis dari Contoh 2.1.6
Jika mengurangi luas mula-mula dengan keempat persegi tadi maka akan menghasilkan:
𝑦 = 100 − 4𝑥 2
(2.3)
Bagaimanapun juga, x tidak dapat negative, sebab x menyatakan Panjang, dan nilainya tidak
dapat melebihi 5 (mengapa?). Jadi, x harus memenuhi batasan 0 ≤ x ≤ 5. Oleh karena itu,
walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, arti fisis dari x menunjukkan bahwa domain fungsi
yang didefinisikan oleh (2.3) adalah himpunan
{𝑥: 0 ≤ 𝑥 ≤ 5} = [0,5]
(2.4)
Domain ini merupakan akibat pembatasan fisis pada x dalam persoalan tersebut. Biasanya
fungsi dan domainnya dapat ditunjukkan dengan menuliskan
𝑦 = 100 − 4𝑥 2 ,
0≤𝑥≤5
CONTOH 2.1.7 Misalkan biaya untuk membuat suatu komponen elektronik adalah Rp.
1.250,-, dan f(x) adalah biaya dalam rupiah untuk membuat x komponen elektronik. Rumus
untuk f(x) adalah
𝑓(𝑥) = 1.250𝑥
(2.5)
Secara fisis, x harus bilangan bulat tak negative, sehingga domain fungsi f pada (2.5) adalah
himpunan {x : x = 0,1,2,…}. Untuk membuat domain f lebih jelas, harus dituliskan
pembatasan x-nya:
𝑓(𝑥) = 1.250𝑥,
𝑥 = 0,1,2, …
• Domain Alami (Natural)
Domain alami merupakan domain yang muncul secara murni dari objek matematika dan tidak
muncul karena persoalan geometric atau fisis. Untuk domain seperti ini pembatasan domain
dapat terjadi dari rumus yang dipergunakan untuk mendefinisikan fungsi tersebut.
35
1
ℎ(𝑥) = (𝑥−1)(𝑥−3)
CONTOH 2.1.8 Jika
(2.6)
Maka fungsi h tidak terdefinisi jika x = 1 atau x = 3 sebab pembagian oleh nol tak terdefinisi.
Dengan demikian, untuk semua nilai x yang lainnya, fungsi h terdefinisi dan mempunyai nilai
real. Jadi domain h terdiri dari semua bilangan real x kecuali x = 1 dan x = 3. Dalam notasi
selang doaminnya adalah
(−∞, 1) ∪ (1,3) ∪ (3, +∞)
Dan dapat dilihat dalam Gambar 2.1.2. Walaupun secara eksplisit dapat dinyatakan domain h
dengan menuliskan rumusnya
ℎ(𝑥) =
1
,
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
𝑥 ≠ 1,3
atau cukup menuliskan (2.6) saja dan diasumsikan bahwa pembatasan x ≠ 1,3 sudah jelas dari
rumus tersebut.
𝟏
Gambar 2.1.2 Domain Alami dari 𝒉(𝒙) = (𝒙−𝟏)(𝒙−𝟑)
Secara umum dibuat kesepakatan sebagai berikut :
Jika suatu fungsi didefinisikan dengan suatu rumus dan tidak ada domain yang ditetapkan
secara eksplisit, maka dapat diartikan bahwa domain fungsi tersebut adalah semua bilangan
real yang menjadikan rumusnya mempunyai arti dan fungsinya bernilai real. Hal ini disebut
domain alami dari fungsi tersebut.
CONTOH 2.1.9 Persamaan
𝑓(𝑥) = 2𝑥 2
Mempunyai arti dan mempunyai nilai real untuk semua bilangan real x. Jadi domain alami f
adalah (-∞,+∞).
CONTOH 2.1.10 Jika
𝑔(𝑥) = 3 + √𝑥 − 1
Maka g tak terdefinisi untuk x < 1, sebab bilangan-bilangan negative tidak mempunyai akar
kuadrat real; untuk x yang lainnya, g terdefinisi dan mempunyai nilai real dan akibatnya
domain alami dari g adalah (1,+∞).
CONTOH 2.1.11 Jika f(x) = tan x, maka f(x) tak terdefinisi jika
𝜋 3𝜋 5𝜋
𝑥 = ± ,±
,±
…
2
2
2
36
Tetapi mempunyai nilai real untuk x yang lainnya (Gambar 2.1.3). Jadi domain alaminya tediri
dari semua x kecuali
𝜋 3𝜋 5𝜋
𝑥 = ± ,±
,±
…
2
2
2
Gambar 2.1.3 Grafik dari 𝒇(𝒙) = 𝐭𝐚 𝐧 𝒙
• Domain yang Ditentukan dengan Pembatasan Khusus
Untuk membatasi pengamatan pada nilai tertentu dalam menyelesaikan persoalan, sering
diperlukan pembatasan domain pada suatu himpunan bagian dari domain alaminya.
CONTOH 2.1.12 Rumus
𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 ,
0≤𝑥≤1
mendefinisikan fungsi yang domainnya berupa suatu selang [0,1]. Tanpa batasan di atas,
domain f adalah domain alami (-∞,+∞).
Penyederhanaan fungsi dengan pencoretan faktor-faktor yang sama pada pembilang dan
penyebut merupakan prosedur yang lazim dalam aljabar tetapi dapat mengubah domain fungsi
yang seharusnya.
CONTOH 2.1.13 Fungsi
𝑥 2 −9
ℎ(𝑥) = 𝑥−3
37
(2.7)
mempunyai nilai real dimana-mana, kecuali x = 3 yang menyebabkan pembagian dengan nol.
Jadi domain h terdiri dari semua x kecuali x = 3. Tetapi jika (2.7) dituliskan Kembali sebagai
ℎ(𝑥) =
(𝑥−3)(𝑥+3)
(2.8)
𝑥−3
maka pencoretan pada factor yang sama menghasilkan
(2.9)
ℎ(𝑥) = 𝑥 + 3
yang terdefinisi di x = 3, sebab
ℎ(3) = 3 + 3 = 6
Jadi penyederhanaan secara aljabar telah mengubah domain fungsi. Agar pencoretan faktorfaktor pada (2.8) tidak mengubah domain h, domain pada (2.9) harus dibatasi dan ditulis
ℎ(𝑥) = 𝑥 + 3,
𝑥≠3
• Range (Daerah Hasil)
Jika x adalah suatu bilangan pada domain fungsi f, maka bilangan f(x) disebut nilai f di x atau
bayangan x dibawah f. Himpunan semua nilai f(x) untuk x yang berbeda pada domain f
disebut range dari f dinotasikan dengan Rf. Jika y = f(x), maka range f dapat dipandang
sebagai himpunan semua nilai yang mungkin dari peubah tak bebas y.
CONTOH 2.1.14 Dari Gambar 2.1.1 peubah x dan y dihubungkan oleh
𝑦 = 100 − 4𝑥 2
Dengan domain fungsinya berupa himpunan
{𝑥: 0 ≤ 𝑥 ≤ 5} = [0,5]
Untuk x yang berubah-ubah pada domain tersebut, nilai y = 100 – 4x2 mempunyai jangkauan
antara y = 0 (jika x = 5) dan y = 100 (jika x = 0), sehingga range dari fungsi tersebut adalah:
{𝑦: 0 ≤ 𝑦 ≤ 100} = [0,100]
Sering kali range suatu fungsi telah jelas dari bentuk rumusannya.
CONTOH 2.1.15 Dapatkan range dari
(𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ,
(𝑏) 𝑔(𝑥) = 2 + √𝑥 − 1
Penyelesaian (a). Karena tidak ada domain yang dinyatakan secara eksplisit, domain dari f
adalah domain alami (-∞,+∞) (lihat CONTOH 2.1.9). Untuk mendapatkan range f,
diperkenalkan peubah tak bebas
𝑦 = 𝑥2
Untuk nilai x yang berubah-ubah pada domain f, nilai y yang bersesuaian dengan x (yang tak
boleh negatif) berubah-ubah pada selang [0,+∞). Ini adalah range f.
38
Penyelesaian (b). Karena tidak ada domain yang dinyatakan secara eksplisit, domain dari g
adalah domain alami [1,+∞). Untuk menentukan range fungsi g, misalkan 𝑦 = 2√𝑥 − 1.
Untuk x yang berubah-ubah pada [1,+∞), nilai √𝑥 − 1 berubah-ubah pada [0,+∞), sehingga
nilai 𝑦 = 2 + √𝑥 − 1 berubah-ubah pada [2,+∞). Ini adalah range dari g.
Contoh berikut mengilustrasikan suatu Teknik yang kadang-kadang dapat digunakan
untuk mendapatkan range suatu fungsi yang tidak jelas dari bentuk rumusnya.
𝑥+1
CONTOH 2.1.16 Dapatkan range dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥−1
Penyelesaian. Domain alami dari f terdiri dari semua x, kecuali x = 1. Seperti pada contoh
sebelumnya, diperkenalkan peubah tak bebas
𝑦=
𝑥+1
𝑥−1
Himpunan semua y yang mungkin dapat diperoleh dengan menyatakan x ke dalam y, yaitu
(𝑥 − 1)𝑦 = 𝑥 + 1
𝑥𝑦 − 𝑦 = 𝑥 + 1
𝑥𝑦 − 𝑥 = 𝑦 + 1
𝑥(𝑦 − 1) = 𝑦 + 1
𝑥=
𝑦+1
𝑦−1
Jelas bahwa y = 1 tidak didalam range, sehingga range fungsi f adalah {𝑦 ∶ 𝑦 ≠ 1} =
(−∞, 1) ∪ (1, +∞).
• Fungsi Sepotong-Sepotong
Contoh berikut ini menunjukkan bahwa fungsi kadang-kadang harus didefinisikan dengan
rumus yang “sepotong-sepotong.”
CONTOH 2.1.17 Ongkos taksi di suatu kota metropolitan 3.500 rupiah untuk jarak sampai 1
km. Setelah 1 km penumpang harus membayar ongkos tambahan 3.000 rupiah per km. Jika
f(x) adalah ongkos total dalam rupiah untuk jarak x km, maka nilai f(x) adalah
𝑓(𝑥) = {
3.500,
3.500 + 3.000(𝑥 − 1),
0<𝑥≤1
1<𝑥
CONTOH 2.1.18 Berdasarkan definisi nilai mutlak, fungsi 𝑓(𝑥) = |𝑥| dapat ditulis dalam
bentuk sepotong-sepotong yang ekivalen:
𝑥,
𝑓(𝑥) = {
−𝑥,
• Penukaran Peran x dan y
39
𝑥≥0
𝑥<0
Kadang-kadang bentuk persamaan menjadi lebih mudah jika y dipandang sebagai peubah
bebas dan x sebagai peubah tak bebas. Sebagai contoh,
𝑥 = 4𝑦 5 − 2𝑦 3 + 7𝑦 − 5
Merupakan bentuk x = g (y) ; yaitu x sebagai fungsi dari y. Dalam persamaan tersebut y
dipandang sebagai peubah bebas dan x sebagai peubah tak bebas.
Kadangkala suatu persamaan dapat diselesaikan untuk y sebagai fungsi x atau x sebagai fungsi
y dengan tingkat kemudahan yang sama. Sebagai contoh, persamaan
3𝑥 + 2𝑦 = 6
dapat ditulis
3
𝑦 =− 𝑥+3
2
2
𝑥 =− 𝑦+2
3
𝑎𝑡𝑎𝑢
Pemilihan bentuk tergantung pada bagaimana persamaan tersebut digunakan.
Untuk semua fungsi dalam bagian ini, domain dan range adalah himpunan bilangan real.
Tetapi selanjutnya, dalam buku ini, juga diperhatikan fungsi-fungsi yang domain dan
rangenya berupa besaran-besaran yang lain.
□
■
□
■
□
►
1. Diberikan 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 3, dapatkan
a) f (-3)
c) f (0)
b) f (5)
d) f (-√2)
𝑥+1
2. Diberikan 𝑔(𝑥) = 𝑥−1, dapatkan
a) g (1)
b) g (π)
◄
SOAL-SOAL LATIHAN 2.1
□
■
□
■
□
e)
ℎ(𝑥) = 1−sin 𝑥
f)
ℎ(𝑥) = 1+𝑐𝑜𝑠𝑥
e)
𝑔(𝑥) = √𝑥 2 − 2𝑥 − 3
e) f (2a+1)
f) f (2t)
1
c)
g (-1)
e)
g (4)
d)
g (a-2)
f) g (2t+2)
1
− , 𝑥>0
3. Diberikan 𝑓(𝑥) = { 2𝑥
dapatkan
3𝑥, 𝑥 ≤ 0
a) f (-4)
c) f (0)
e) f (2,9)
b) f (4)
d) f (3)
f) f (t2+5)
4. Diberikan 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) = {√2𝑥 + 2, 𝑥 ≥ −1 dapatkan
3, 𝑥 < −1
a) g (0)
c) g (3)
e) g (-π)
b) g (-1,1)
d) g (-1)
f) g (t2-1)
5. Dapatkan domain alami dari fungsi-fungsi yang diberikan
1
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥−3
c) 𝑔(𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛√𝑥
1
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥+6
1
d) 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
6. Dapatkan domain alami dari fungsi-fungsi yang diberikan
a) 𝑔(𝑥) = √3𝑥 2 − 4
c) ℎ(𝑥) = √2𝑥 − 3𝑥 2
40
1
3
b) 𝑔(𝑥) = √2𝑥 2 + 3
d) ∅(𝑥) = √3 − 2√𝑥
7. Dapatkan domain alami dari fungsi-fungsi yang diberikan
𝑥−1
a) ℎ(𝑥) = √𝑥+2
3𝑥
b) ∅(𝑥) = |𝑥|+1
c)
𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 5 + √8 − 𝑥
𝑥 2 −1
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥+1
f)
ℎ(𝑥) = √2𝑥 − 3
e)
𝑓(𝑥) = |𝑥|
f)
𝑓(𝑥) = 3√𝑥 − √𝑥 2 + 3
𝑥
8. Dapatkan domain alami dan range dari fungsi-fungsi yang diberikan.
a) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 2
c) 𝑔(𝑥) = √4 − 8𝑥 2
e) ℎ(𝑥) = 2 + √𝑥
2
b) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 6
d) 𝑔(𝑥) = √7 − 9𝑥
f) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 2 + 3
9. Nyatakan A luas dari suatu lingkaran sebagai fungsi dari garis tengahnya.
10. Nyatakan A luas suatu segitiga sama sisi sebagai fungsi dari
a) Panjang sisi s
b) Tinggi h
2.2 Operasi – Operasi Pada Fungsi
Seperti halnya bilangan-bilangan yang dapat ditambahkanm, dikurangkan, dikalikan, dan
dibagi untuk menghasilkan bilangan-bilangan lainnya, fungsi-fungsi juga dapat ditambahkan,
dikurangkan, dikalikan dan dibagi untuk menghasilkan fungsi-fungsi lain. Pada subbab ini
dibahas mengenai operasi-operasi tersebut dan operasi-operasi lain yang tidak mempunyai
analogi dalam aritmatik bilangan biasa.
• Operasi-Operasi Aritmatik pada Fungsi
Fungsi-fungsi dapat dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dan dibagi. Sebagai contoh, jika
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) = 𝑥 2
maka
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 2
Rumus ini mendefinisikan suatu fungsi baru yang disebut jumlah dan f dan g dan dituliskan
denga f + g. Jadi
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 2
Secara umum, dapat didefinisikan sebagai berikut.
DEFINISI 2.2.1 Definisi fungsi f dan g, maka rumus-rumus untuk jumlah f + g, selisih f – g,
hasil kali f / g didefinisikan dengan
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
41
𝑓
𝑓(𝑥)
( ) (𝑥) =
𝑔
𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥) ≠ 0
Domain fungsi-fungsi f + g, f – g dan f · g didefiniskan sebagi irisan dari domain-domain f
dan g, atau Df + g = Df – g = Df · g = Df ∩ Dg. Sedangkan domain f/g adalah irisan domain f dan
domain g kecuali titik-titik yang menyebabkan g(x) = 0, atau Df/g = Df ∩ Dg – {x : g (x) = 0}
CONTOH 2.2.1 Dimisalkan
𝑓(𝑥) = 1 + √𝑥 − 2
𝑑𝑎𝑛
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1
𝑓
Dapatkan (𝑓 + 𝑔)(𝑥), (𝑓 − 𝑔)(𝑥), (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥), (𝑔) (𝑥) dan tentukan domain-domain 𝑓 +
𝑓
𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓 ∙ 𝑔 𝑑𝑎𝑛 𝑔
Penyelesaian. Pertama, dapatkan rumus-rumus fungsi, selanjutnya dapatkan domainnya.
Rumus-rumus tersebut adalah
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (1 + √𝑥 − 2) + (𝑥 − 1) = 𝑥 + √𝑥 − 2
(2.10)
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = (1 + √𝑥 − 2) − (𝑥 − 1) = 2 − 𝑥 + √𝑥 − 2
(2.11)
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = (1 + √𝑥 − 2)(𝑥 − 1)
(2.12)
𝑓
𝑓(𝑥) 1 + √𝑥 − 2
( ) (𝑥) =
=
(𝑥 − 1)
𝑔
𝑔(𝑥)
(2.13)
Domain f adalah selang [ 2,+∞ ) dan domain g adalah selang (-∞,+∞). Jadi domain f + g, f – g,
dan f · g adalah irisan dari dua selang tersebut yaitu (2,+∞). Tetapi domain tersebut adalah
domain natural dari (2.10), (2.11) dan (2.12) sehingga domain tersebut tidak perlu dinyatakan
secara eksplisit. Dengan cara serupa, domain f/g terdiri dari semua x dalam [2,+∞). Sekali lagi
domain ini adalah domain natural dari (2.13).
Pada contoh sebelumnya rumus-rumus untuk f + g, f – g, f · g dan f/g menentukan domain
yang benar untuk fungsi-fungsi f + g, f – g, f · g dan f/g. Bagaimanapun contoh berikut
menunjukkan bahwa hal ini tidak selalu seperti kasus diatas.
CONTOH 2.2.2 Dapatkan ( f · g ) (x) dimana
𝑓(𝑥) = 2√𝑥
𝑑𝑎𝑛
𝑔(𝑥) = √𝑥
Penyelesaian . Dari Definisi 2.2.1
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = (2√𝑥) ∙ (√𝑥) = 2𝑥
Domain natural dari fungsi 2x adalah (-∞,+∞) tetapi domain tersebut bukan domain yang
benar dari f · g. Mengapa demikian? Perhatikan bahwa kedua fungsi f dan g mempunyai
domain [0,+∞), sehingga menurut definisi f · g juga mempunyai domain [0,+∞), sebab selang
ini adalah irisan dari dominan f dan g. Jadi rumus yang benar untuk (f · g)(x) adalah
(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥,
42
𝑥≥0
Berdasarkan contoh sebelumnya, pembaca disarankan mengembangkan kebiasaan
menentukan pembatasan yang sesuai pada domainnya jika dilakukan sebarang operasi pada
fungsi
Kadang-kadang f2 dituliskan untuk menyatakan perkalian f · f. Sebagai contoh jika f(x) = 3x,
maka
𝑓 2 (𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥) = 9𝑥 2
Secara umum, jika n adalah bilangan bulat positif, maka didefinisikan
𝑓 𝑛 (𝑥) = 𝑓1 (𝑥) ∙ 𝑓2 (𝑥) ∙ 𝑓3 (𝑥) … … … 𝑓𝑛 (𝑥)
Notasi ini terutama lazim dipakai pada fungsi-fungsi trigonometric. Sebagai contoh, (sin 𝑥)2
umumnya ditulis dengan 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
• Komposisi Fungsi
Berikut ini dibahas suatu operasi pada fungsi-fungsi, yang disebut komposisi, yang tidak
mempunyai analogi langsung didalam aritmatika biasa. Secara informasi dinyatakan bahwa
operasi komposisi dibentuk dengan mesubsitusikan suatu fungsi pada peubah bebas dari
fungsi lainnya. Sebagai contoh, misalkan
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1
Jika g(x) disubtisusikan pada x dalam rumus f, diperoleh fungsi baru
𝑓(𝑔(𝑥)) = (𝑔(𝑥))2 = (𝑥 − 1)2
yang dituliskan dengan f °g. Jadi
2
𝑓°𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = (𝑔(𝑥)) = (𝑥 − 1)2
Secara umum, didefinisikan sebagai berikut.
DEFINISI 2.2.2 Diketahui fungsi-fungsi f dan g, maka komposisi f dengan g, ditulis dengan f °
g adalah fungsi yang didefinisikan dengan
(𝑓°𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
Domain f ° g terdiri dari semua x dalam domain g dimana g(x) dalam domain f, atau 𝐷𝑓°𝑔 =
{𝑥𝜖𝐷𝑔 : 𝑔(𝑥)𝜖𝐷𝑓 }
Meskipun f ° g sekilas tampak rumit, hal tersebut sangat alamiah. Untuk menghitung f(g(x))
diperlukan x dalam domain g untuk menghitung g(x). Kemduian diperlukan g(x) dalam
domain f untuk menghitung f (g(x))
CONTOH 2.2.3 Diberikan 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3 dan 𝑔(𝑥) = √𝑥. Dapatkan
𝑎. (𝑓°𝑔)(𝑥)
𝑏. (𝑔°𝑓)(𝑥)
Penyelesaian (a) Rumus f (g(x)) adalah
2
𝑓(𝑔(𝑥)) = [𝑔(𝑥)]2 + 3 = (√𝑥) + 3 = 𝑥 + 3
43
Karena domain g adalah [0,+∞) dan domain f adalah [0,-∞), maka domain f ° g terdiri adri
semua x dalam [0,+∞) sedemikian hingga 𝑔(𝑥) = √𝑥 berada dalam (-∞,+∞). Jadi domain f ° g
adlah [0,+∞). Oleh karena itu
(𝑔°𝑓)(𝑥) = √𝑥 2 + 3
Tidak perlu ditunjukkan bahwa domainnya adalah (-∞,+∞), sebab domain ini adalah domain
natural dari √𝑥 2 + 3
Perhatikan bahwa f ° g dan g ° f adalah fungsi-fungsi yang berbeda dalam contoh diatas. Jadi
urutan fungsi-fungsi yang dikomposisikan dapat berbeda pada hasil akhirnya. Pada
kenyataannya relative jarang bahwa f ° g dan g ° f akan sama.
• Menyatakan suatu Fungsi Sebagai Komposisi Fungsi
Pada bagian ini diberikan cara untuk mendekomposisikan (menguraikan) fungsi menjadi
komposisi dari fungsi-fungsi yang lebih sederhana.
Cara umum untuk mendekomposisikan suatu fungsi h kedalam dekomposisi ℎ = 𝑓°𝑔 adalah
sebagai berikut
a) Pikirkan bagaimana mengevaluasi h(x) untuk suatu nilai x tertentu, dengan mencoba untuk
memecah evaluasi tersebut dalam dua Langkah yang dilakukan secara berurutan.
b) Operasi pertama dalam evaluasi tersebut akan menentukan suatu fungsi g dan yang ke-dua
menentukan fungsi f
c) Rumus h dapat dituliskan dengan
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
Untuk lebih jelasnya, g dapat disebut sebagai “fungsi-dalam” dan f sebagai “fungsi-luar”
dalam bentuk f(g(x)). Fungsi-dalam melakukan operasi pertama dan fungsi-luar melakukan
operasi kedua.
CONTOH 2.2.4 Nyatakan ℎ(𝑥) = (𝑥 − 2)4 sebagai komposisi dua fungsi
Penyelesaian. Untuk mengevaluasi h(x) pada suatu nilai x yang diberikan, pertama dihitung
(x-4) dan kemudian hasilnya dipangkatkan lima. Oleh karena itu, fungsi-dalamnya (operasi
pertama) adalah
𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)
dan fungsi-luarnya (operasi kedua) adalah
𝑓(𝑥) = 𝑥 4
sehingga ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)). Jika diperiksa Kembali, maka diperoleh
𝑓(𝑔(𝑥)) = [𝑔(𝑥)]4 = (𝑥 − 2)4 = ℎ(𝑥)
CONTOH 2.2.5 Nyatakan sin (𝑥 2 ) sebagai komposisi dua fungsi
Penyelesaian. Untuk mengevaluasi sin (𝑥 2 ), pertama dihitung 𝑥 2 dan kemudian diambil
sinusnya, sehingga 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 adalah fungsi dalam dan 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 adalah fungsi luar.
Dengan demikian
sin(𝑥 2 ) = 𝑓(𝑔(𝑥)),
𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑥) = sin (𝑥)
Tabel 2.2.1 Fungsi Komposisi
FUNGSI
g(x) DALAM
f(x) LUAR
KOMPOSISI
44
(𝑥 2 − 1)10
𝑥2 − 1
𝑥10
(𝑥 2 − 1)10 = 𝑓(𝑔(𝑥))
𝑐𝑜𝑠 3 𝑥
cos 𝑥
𝑥3
𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥))
tan (𝑥 2 )
𝑥2
tan 𝑥
tan(𝑥 2 ) = 𝑓(𝑔(𝑥))
√4 − 3𝑥
4 − 3𝑥
√𝑥
8 − √𝑥
√𝑥
8−𝑥
8 − √𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥))
1
𝑥+1
𝑥+1
1
𝑥
1
= 𝑓(𝑔(𝑥))
𝑥+1
√4 − 3𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥))
CONTOH 2.2.6 Tabel 2.2.1 memberikan beberapa contoh pendekomposisian fungsi kedalam
komposisi.
Harus diperhatikan bahwa selalu ada lebih dari satu cara utnuk menyajikan sautu fungsi
sebagai suatu komposisi. Sebagai contoh, ada du acara untuk menyajikan (𝑥 2 − 1)10sebagai
suatu komposisi yang berbeda dari yang ada pada Tabel 2.2.1
(𝑥 2 − 1)10 = [(𝑥 2 − 1)2 ]5 = 𝑓(𝑔(𝑥)),
10
(𝑥 2 − 1)10 = [(𝑥 2 − 1)3 ] 3 = 𝑓(𝑔(𝑥)),
𝑔(𝑥) = (𝑥 2 − 1)2 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑥 5
10
𝑔(𝑥) = (𝑥 2 − 1)3 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑥 3
• Klasifikasi Fungsi
Bagian ini diakhiri dengan membahas beberapa kategori penting dari fungsi-funsi yang
muncul dalam buku ini. Fungsi-fungsi yang paling sederhana yang mempunyai domain yang
sama disebut fungsi konstan. Contohnya f(x) = 3 maka
𝑓(−1) = 3, 𝑓(0) = 3, 𝑓(√2) = 3, 𝑓(9) = 3
dan seterusnya
Fungsi dengan bentuk cxn, dimana c adalah suatu konstanta dan n adalah bilangan bulat tak
negatif, disebut monomial dalam x. Sebagai contoh adalah
2𝑥 3 ,
𝜋𝑥 7 ,
4𝑥 0 (= 4) , − 6𝑥, 𝑥17
1
Fungsi-fungsi 4𝑥 2 dan 𝑥 −3 bukan monomial sebab pangkat dari x bukan bilangan bulat tak
negative. Fungsi yang dinyatakan sebagai jumlah berhingga banyak dari monomial dalam x
disebut polynomial dalam x. Contohnya :
𝑥 3 + 4𝑥 + 7,
3 − 2𝑥 3 + 𝑥17 ,
2
17 − 𝑥
3
Fungsi (𝑥 2 − 4)3 juga merupakan polinomial sebab dapat dinyatakan sebagai jumlahan
monomial-monomial dengan melakukan operasi pangkat tiga. Bergantung pada keinginan
45
seseorang untuk menuliskan pangkat dalam urutan naik atau turun rumus untuk polinomial
dalam x adalah
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛
atau
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎0
Dengan n bilangan bulat tak negative dan 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 semuanya konstan. Pangkat
teritinggai dari x yang muncul dalam polinomial tak konstan disebut derajat polinomial. Jadi,
2
𝑥 3 + 4𝑥 + 7 mempunyai derajat tiga dan 17 − 3 𝑥 mempunyai derajat satu. Konstanta tak nol
c mempunyai derajat nol (dapat ditulis 𝑐 = 𝑐𝑥 0 ). Konstanta nol tidak mempunyai derajat.
Polinomial-polinomial derajat pertama, ke-dua, ke-tiga berturut-turut disebut linear, kuadratik,
dan kubik; yang mempunyai bentuk-bentuk berikut
DESKRIPSI
Polinomial Linear
Polinomial Kuadratik
Polinomial Kubik
RUMUS UMUM
𝑎0 + 𝑎1 𝑥 (𝑎1 ≠ 0)
𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 (𝑎2 ≠ 0)
𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 (𝑎3 ≠ 0)
Suatu fungsi yang dapat dinyatakan sebagai rasio dua polinomial disebut fungsi rasional.
Contohnya adalah
𝑥 5 − 2𝑥 2 + 1
(𝑎)𝑓(𝑥) =
,
𝑥2 − 4
(𝑏)𝑓(𝑥) =
𝑥
,
𝑥+1
(𝑐)𝑓(𝑥) =
1
𝑥5
Sceara umum, f merupakan fungsi rasional jika f dapat dinyatakan dalam bentuk
𝑓(𝑥) =
𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛
𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑥 𝑛
Domain natural dari f terdiri dari semua x sedemikian hingga penyebutannya tidak sama
dengan nol.
Fungsi rasional adalah bagian dari kelas fungsi yang lebih luas yang disebut fungsi-fungsi
aljabar eksplisit yaitu fungsi-fungsi yang dapat dievaluasi dengan berhingga banyak
penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar. Sebagai contoh,
2
3
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 = ( √𝑥)2
𝑑𝑎𝑛
𝑔(𝑥) =
(𝑥 − 3) 4√𝑥
𝑥 5 + √𝑥 2 + 1
semuanya merupakan fungsi aljabar eksplisit.
Semua fungsi yang lain berada dalam dua kategori, yaitu fungsi aljabar implisit dan fungsi
aljabar transcendental. Diantara fungsi-fungsi transcendental adalah fungsi-fungsi yang
memuat bentuk-bentuk trigonometric, eksponensial dan logaritma, akan dibahas lebih
banyakpada bab-bab lain dalam buku ajar Kalkulus 2.
46
□
■
1.
Misalkan 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 1. Dapatkan
2.
□
■
□
►
SOAL-SOAL LATIHAN 2.2
◄
(𝑎) 𝑓(𝑡)
(𝑏) 𝑓(𝑡 + 2)
(𝑐) 𝑓(𝑡 − 2)
(𝑒) 𝑓(𝑥 + ℎ)
(𝑓) 𝑓(−𝑥)
(𝑔) 𝑓(√𝑥)
□
■
□
■
□
1
(𝑑) 𝑓 ( )
𝑡
(ℎ) 𝑓(3𝑥)
Misalkan 𝑔(𝑥) = √2𝑥. Dapatkan
(𝑎) 𝑔(5𝑠 + 2)
(𝑏) 𝑔(√𝑠 + 2)
(𝑐) 3𝑔(5𝑠)
(𝑑)
1
𝑔(𝑠)
5.
6.
7.
1
(𝑔) 𝑔 ( )
(ℎ) 𝑔((𝑥 − 1)2 )
√𝑥
Diberikan 𝑓(−1) = 3, 𝑓(2) = 6, 𝑔(−1) = 3, 𝑑𝑎𝑛 𝑔(2) = −1, dapatkan
𝑓
(𝑎) (𝑓 − 𝑔)(−3)
(𝑏) (𝑓 ∙ 𝑔)(−3)
(𝑐) ( ) (6)
(𝑑) (𝑓 𝑜 𝑔) (6)
𝑔
3
Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑥. Dapatkan
1
1
(𝑎) 𝑓 ( ) +
(𝑏) 𝑓(3𝑥 2 ) − 𝑓 2 (2𝑥)
2𝑥
𝑓(𝑥)
Untuk soal 5-8, dapatkan rumus dari fungsi-fungsi dan tetapkan domain untuk masing-masing soal
𝑎. (𝑓 + 𝑔)(𝑥)
𝑏. (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥)
𝑐. (𝑓°𝑔)(𝑥)
2
𝑓(𝑥) = 4𝑥, 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 1
𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 1, 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 5
4𝑥
1
𝑓(𝑥) = 1+𝑥 2 , 𝑔(𝑥) = 𝑥
8.
𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 , 𝑔(𝑥) = 3
(𝑒) 𝑔(𝑔(𝑥))
3.
4.
(𝑓) 𝑔2 (𝑥)
1
√2𝑥
9. Dapatkan g(x) jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 dan (𝑓°𝑔)(𝑥) = 5𝑥 2
10. Dapatkan g(x) jika 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 5 dan (𝑓°𝑔)(𝑥) = 2|𝑥|
2.3 Grafik Fungsi
Pada bagian ini dibahas mengenai cara menyajikan suatu fungsi secara geometric
menggunakan grafik. Grafik merupakan alat yang sangat berguna dalam visualisasi perilaku
suatu fungsi. Selain itu, juga dikembangkan beberapa teknik dasar penggunaan grafik fungsi
sederhana untuk menggambarkan grafik fungsi yang lebih rumit.
• Definisi Grafik Fungsi
DEFINISI 2.3.1 Grafik suatu fungsi f pada bidang-xy didefinisikan sebagai grafik dari
persamaan 𝑦 = 𝑓(𝑥)
CONTOH 2.3.1 Buatlah sketsa grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3
47
Penyelesaian. Berdasrkan denisi grafik f dalam bidang-xy adalah grafik persamaan 𝑦 = 𝑥 + 3;
ini adalah suatu garis dengan kemiringan (slope) 1 dan memotong sumbu-y di 3 (Gambar
2.3.1(a))
Gambar 2.3.1 Grafik Fungsi
CONTOH 2.3.2 Buatlah sketsa grafik 𝑓(𝑥) = |𝑥|
Penyelesaian. Berdasarkan definisi, grafik f pada bidang xy adalah grafik dari 𝑦 = |𝑥|, atau
ekivalen dengan
𝑥,
𝑦={
−𝑥,
𝑥≥0
𝑥<0
Grafik fungsi tersebut tepat sama dengan garis y = x untuk x ≥ 0 dan garis y = -x untuk x < 0
(Gambar 2.3.1(b))
CONTOH 2.3.3 Buatlah sketsa grafik
∅(𝑥) = {
𝑥 + 3,
7,
48
𝑥≠0
𝑥=3
Penyelesaian. Fungsi 𝜙 identik dengan fungsi f pada Contoh 2.3.1 kecuali di x = 3 dengan
𝜙(3) = 7, sedangkan f (3) = 7. Jadi grafik 𝜙 identic dengan grafik f pada Gambar 2.3.1(a),
kecuali di x = 3 grafik 𝜙 mempunyai satu titik terpisah dari garis. (Gambar 2.3.2(a)).
Gambar 2.3.2 Grafik Fungsi
Contoh 2.3.4 Buatlah sketsa grafik
ℎ(𝑥) =
𝑥2 − 9
𝑥−3
(2.14)
Penyelesaian. Seperti halnya pada Contoh 2.3.13 (pada Subbab 2.1), fungsi ini dapat ditulis
sebagai
ℎ(𝑥) = 𝑥 + 3,
𝑥≠3
Jadi fungsi h pada (2.14) identic dengan fungsi f pada Contoh 2.1.13, kecuali h tak terdefinisi di
x = 3. Selanjutnya grafik h identik dengan grafik f pada Gambar 2.3.1(a), kecuali x = 3, h
mempunyai suatu lubang seperti yang terlihat pada Gambar 2.3.2(b).
CONTOH 2.3.5 Buatlah sketsa grafik
𝑔(𝑥) = {
1,
𝑥 + 2,
𝑥≤2
𝑥>2
Penyelesaian. Berdasarkan definisi, grafik g pada bidang xy adalah grafik dari
1,
𝑦={
𝑥 + 2,
𝑥≤2
𝑥>2
Jadi untuk x ≤ 2, diperoleh y = 1 dan untuk x > 2 diperoleh 𝑦 = 𝑥 + 2. Grafik y = 1 adalah
garis horizontal dan grafik 𝑦 = 𝑥 + 2 adalah garis lurus seperti pada Contoh 2.3.1. Grafik g
tampak pada Gambar 2.3.3 Dalam gambar tersebut digunakan titik tebal dan lingkaran
berlubang diatas x = 2 untuk menegaskan bahwa nilai g(2) = 1 terletak pada garis horizontal
dan tidak terletak pada garis yang miring.
49
Gambar 2.3.3 Grafik Fungsi
• Menggambar Fungsi dengan Geseran (translasi)
Jika suatu konstanta positif ditambahkan pada atau dikurangkan dari f(x), efek geometriknya
adalah menggeser grafik fungsi f ke atas atau ke bawah. Penjumlahan berarti menggeser grafik
ke atas dan pengurangan akan menggeser grafik ke bawah. Dengan cara serupa, jika suatu
konstanta positif ditambahkan atau dikurangkan pada peubah bebas dari grafik fungsi f, efek
geometriknya adalah menggeser grafik fungsi kekanan atau kekiri. Pengurangan akan
menggeser grafik ke kanan dan penambahan menggeser grafik ke kiri. Hal ini diilustrasikan
pada Tabel 2.3.1.
Sebelum menyelesaikan contoh-contoh berikut ini, akan sangat membangtu dengan meninjau
kembali grafik-grafik dalam katalog kurva dasar pada Gambar 1.3.20
CONTOH 2.3.6 Buatlah sketsa grafik
𝑎. 𝑦 = √𝑥 − 3
𝑏. 𝑦 = √𝑥 + 3
Penyelesaian. Grafik 𝑦 = √𝑥 − 3 dapat diperoleh dengan menggeser grafik 𝑦 = √𝑥 ke kanan
3 satuan, dan grafik 𝑦 = √𝑥 + 3 dengan menggeser grafik 𝑦 = √𝑥 ke kiri 3 satuan (Gambar
2.3.4)
Tabel 2.3.1 Penggeseran Grafik
OPERASI
Menambahkan
Mengurangkan
Menambahkan
PADA 𝑦 =
konst. pos. c pada
konst. pos. c pada
konst. pos. c pada
f(x)
f(x)
x
𝑓(𝑥)
PERSAMAA
𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐
𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐
𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐)
N BARU
EFEK
Menggeser grafik y Menggeser grafik y
Menggeser grafik y=
GEOMETRI
= f (x) ke bawah c
= f (x) ke kiri c
f (x) ke atas c satuan
K
satuan
satuan
50
Mengurangkan
konst. pos. c pada x
𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐)
Menggeser grafik y
= f (x) ke kanan c
satuan
CONTOH
Gambar 2.3.4 Grafik dari 𝒚 = √𝒙, 𝒚 = √𝒙 − 𝟑, dan 𝒚 = √𝒙 + 𝟑
CONTOH 2.3.7 Buatlah sketsa grafik 𝑦 = |𝑥 − 3| + 2
Penyelesaian. Grafik dapat diperoleh dengan dua pergeseran: pertama geser grafik 𝑦 = |𝑥|ke
kanan 3 satuan untuk mendapatkan grafik 𝑦 = |𝑥 − 3|, kemudian grafik 𝑦 = |𝑥 − 3| digeser
ke atas 2 satuan untuk memperoleh grafik 𝑦 = |𝑥 − 3| + 2 seperti pada Gambar 2.3.5.
Grafik pada contoh sebelumnya dapat juga diperoleh dengan melakukan pergeseran dalam
urutan berlawanan: peratma geser grafik 𝑦 = |𝑥| ke atas 2 satuan untuk mendapatkan grafik
51
𝑦 = |𝑥| + 2, kemudian grafik 𝑦 = |𝑥| + 2 digeser ke kanan 3 satuan untuk memperoleh grafik
𝑦 = |𝑥 − 3| + 2
Gambar 2.3.5 Grafik dari 𝒚 = |𝒙|, 𝒚 = |𝒙 − 𝟑|, dan 𝒚 = |𝒙 − 𝟑| + 𝟐
CONTOH 2.3.8 Buatlah sketsa grafik 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5
Penyelesaian. Ubahlah persamaan tersebut menjadi:
𝑦 = (𝑥 2 − 4𝑥 + 4) − 4 + 5 = (𝑥 − 2)2 + 1
Grafik yang dicari dapat diperoleh dengan menggeser grafik 𝑦 = 𝑥 2 ke kanan 2 satuan untuk
mendapatkan grafik 𝑦 = (𝑥 − 2)2 dan selanjutnya menggeser satu satuan ke atas untuk
mendapatkan grafik 𝑦 = (𝑥 − 2)2 + 1 (Gambar 2.3.6)
Gambar 2.3.6 Grafik dari 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓
• Pencerminan (Refleksi)
Dalam subbab 1.3 (Gambar 1.3.14) tampak bahwa (-x,y) adalah pencerminan dari (x,y)
terhadap sumbu-y dan (x,-y) adalah pencerminan (x,y) terhadapa sumbu-x. Jadi dengan
mengganti x menjadi -x dalam suatu persamaan akan mencerminkan grafiknya terhadap
sumbu-y; sedangkan dengan mengganti y menjadi -y akan mencerminkan grafiknya terhadap
sumbu-x. Khususnya,
a. Grafik y = f (x) dan y = f (-x) adalah pencerminan satu dari yang lain terhadap sumbu-y;
b. Grafik y = f (x) dan -y = f (x) [atau ekivalen dengan y = -f (x)] adalah pencerminan satu
dari yang lain terhadap sumbu-x
Contoh-contoh yang berkaitan dengan hal pencerminan diberikan pada Tabel 2.3.2.
Tabel 2.3.2 Pencerminan
52
OPERASI PADA 𝑦 = 𝑓(𝑥)
PERSAMAAN BARU
EFEK GEOMETRIK
Ganti x dengan – x
𝑦 = 𝑓(−𝑥)
Pencerminan grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥)
terhadap sumbu-y
Kalikan f (x) dengan -1
𝑦 = −𝑓(𝑥)
Pencerminan grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥)
terhadap sumbu-x
CONTOH
3
CONTOH 2.3.9 Buatlah sketsa grafik 𝑦 = √2 − 𝑥
Penyelesaian. Sketsa grafik dapat diperoleh dengan pencerminan dan pergeseran. Pertama,
3
3
cerminkan grafik 𝑦 = √𝑥 terhadap sumbu-y untuk mendapatkan grafik 𝑦 = √−𝑥, selanjutnya
geser grafik ini ke kanan 2 satuan untuk mendapatkan grafik dari persamaan 𝑦 =
3
3
√−(𝑥 − 2) = √2 − 𝑥 (Gambar 2.3.7)
53
𝟑
𝟑
𝟑
Gambar 2.3.7 Grafik dari 𝒚 = √𝒙, 𝒚 = √−𝒙, dan 𝒚 = √𝟐 − 𝒙
CONTOH 2.3.10 Buatlah sketsa grafik 𝑦 = 4 − |𝑥 − 2|.
54
Penyelesaian. Grafik persamaan 𝑦 = 4 − |𝑥 − 2| dapat diperoleh dengan suatu pencerminan
dan dua kali pergeseran. Pertama cerminkan grafik 𝑦 = |𝑥| terhadap sumbu-x untuk
mendapatkan grafik 𝑦 = |−𝑥|; selanjutnya geser grafik ini ke kanan 2 satuan untuk
mendapatkan grafik dari 𝑦 = −|𝑥 − 2|, dan kemudian geser grafik tersebut ke atas 4 satuan
untuk mendapatkan grafik dari persamaan 𝑦 = −|𝑥 − 2| + 4 = 4 − |𝑥 − 2| (Gambar 2.3.8)
Gambar 2.3.8 Langkah-Langkah Grafik dari 𝒚 = 𝟒 − |𝒙 − 𝟐|
• Penskalaan (Dilatasi)
Pergeseran dan pencerminan disebut transformasi kaku (rigid) sebab transformasitransformasi tersebut tidak merubah bentuk grafik, melainkan hanya posisinya. Sedangkan
penskalaan, transformasi yang sebenarnya merubah bentuk suatu grafik.
55
Jika f(x) digandakan dengan konstanta positif c, maka efek geonometriknya adalah
memampatkan atau meregangkan grafik y = f(x) pada arah y; pemampatan terjadi apabila 0 <
c < 1 dan peregangan terjadi jika c > 1. Operasi ini disebut penskalaan vertical dengan faktor
c (Gambar 2.3.9 (a)). Dengan cara sama jika x digandakan dengan konstanta positif c, efek
geometriknya adalah memampatkan atau meregangkan grafik y = f (x) pada arah x;
pemampatan terjadi jika c > 1 dan peregangan terjadi jika 0 < c < 1. Operasi ini disebut
penskalaan horizontal dengan faktor c (Gambar 2.3.9(b)).
Gambar 2.3.9 Bermacam Grafik dari sin
• Uji Garis Vertikal
Semua contoh yang telah diberikan dalam subbab ini, dimulai dengan suatu fungsi f adan
dengan suatu metode diperoleh grafik persamaan y = f (x). Sebaliknya, jika dimulai dengan
suatu grafik, maka timbul pertanyaan menarik berikut ini:
PERMASALAHAN. Jika digambarkan sebarang kurva dalam bidang-xy, apakah dapat
dipastikan bahwa kurva tersebut adalah grafik dari y = f (x) untuk suatu fungsi f?
Jawaban dari pertanyaan ini adalah tidak! Kurva-kurva pada bidang datar belum tentu
merupakan grafik suatu fungsi. Untuk memastikan grafik suatu fungsi f atau bukan digunakan
uji garis vertikal . Perhatikan kurva pada Gambar 2.3.10 yang dipotong garis vertikal x = a di
titik (a,b) dan (a,c). Andaikan kurva tersebut merupakan grafik dari
(2.15)
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Maka (a,b) dan (a,c) adalah dua titik pada kurva sehingga dari (2.15) dapat dinyatakan:
𝑏 = 𝑓(𝑎)
𝑑𝑎𝑛
𝑐 = 𝑓(𝑎)
Jika f suatu fungsi jelas ini tidak mungkin (ingat definisi fungsi) sebab f tidak dapat
mengawankan dua nilai yang berbeda dengan a. Oleh sebab itu tidak ada fungsi dari x yang
mempunyai grafik seperti pada Gambar 2.3.10.
56
Gambar 2.3.10 Uji Grafik Fungsi
Pembahasan tersebut mengilustrasikan hasil umum berikut, yang disebut uji garis vertikal.
UJI GARIS VERTIKAL. Suatu kurva dalam bidang xy adalah grafik dari y = f(x) untuk suatu
fungsi f jika dan hanya jika tidak ada garis vertikal yang memotong kurva lebih dari satu titik.
CONTOH 2.3.11 Apakah grafik persamaan
4𝑥 + 3𝑦 = 12
(2.16)
adalah grafik dari y = f (x) untuk suatu fungsi f?
Penyelesaian. Pertanyaan ini dapat dijawab dengan menuliskan kembali soal tersebut dalam
bentuk yang ekivalen
4
𝑦 =4− 𝑥
3
sehingga jelas bahwa grafik dari (2.16) juga merupakan grafik dari fungsi
4
𝑦 =4− 𝑥
3
Perhatikan bahwa grafik fungsi ini yang tampak pada Gambar 2.3.11(a) memenuhi uji garis
vertikal.
57
Gambar 2.3.11 Uji Grafik Fungsi
CONTOH 2.3.12 Apakah grafik lingkaran
𝑥 2 + 𝑦 2 = 25
(2.17)
juga merupakan grafik y = f(x) untuk suatu fungsi f?
Penyelesaian. Karena beberapa garis vertikal memotong lingkaran pada lebih dari satu titik
(lihat Gambar 2.3.11(b)), maka lingkaran bukan grafik suatu fungsi dari x. Dapat juga
disimpulkan hasil ini secara aljabar dengan mengamati bahwa (2.17) dapat ditulis sebagai
𝑦 = ±√25 − 𝑥 2
(2.18)
Tetapi ruas kanan dari (2.18) bukan fungsi dari x, karena “bernilai ganda,” yaitu terdapat nilainilai x yang memberikan lebih dari satu nilai y. Jadi (2.17) tidak ekivalen dengan persamaan
berbentuk y = f(x)
• x Sebagai Fungsi dari y
58
Misalkan pada bidang-xy diberikan grafik suatu persamaan
𝑥 = 𝑔(𝑦)
untuk suatu fungsi g. Karena g tak dapat mengawankan dua nilai x yang berbeda dengan satu
nilai y, maka grafik persamaan tersebut tidak dapat dipotong dua kali oleh sebarang garis
horizontal (Gambar 2.3.12(a)). Analogi dengan uji garis vertikal, diperoleh uji garis
horizontal.
UJI GARIS HORISONTAL. Suatu kurva dalam bidang-xy adalah grafik dari x = g(y) untuk
suatu fungsi g jika dan hanya jika tidak ada garis horizontal yang memotong kurva lebih dari
satu titik.
Gambar 2.3.12 Uji Grafik Fungsi
59
CONTOH 2.3.13 Grafik persamaan
𝑦 = 𝑥2
(2.19)
(Gambar 2.3.12(b)) memenuhi uji garis vertical, tetapi tidak memenuhi uji garis horizontal,
karena itu grafik tersebut adalah grafik fungsi dari x [sebut 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ], tetapi tidak
merupakan grafik sebarang fungsi dari y. Hal ini dapat pula dilihat secara aljabar dengan
menyelesaikan (2.19) untuk x dalam suku-suku dari y
(2.20)
𝑥 = ±√𝑦
Ruas kanan dari persamaan ini “bernilai ganda,” karena itu (2.20) bukan merupakan rumus
fungsi untuk y.
Ketika menggambar grafik persamaan yang berbentuk 𝑦 = 𝑓(𝑥) telah ditetapkan sumbu-x
horizontal dan sumbu-y vertical. Jadi, tampaknya wajar untuk menggambarkan grafik dari
persamaan 𝑥 = 𝑔(𝑦) dengan sumbu-y horizontal dan sumbu-x vertical. Akan tetapi, terdapat
kemungkinan seseorang ingin menggambar grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑥 = 𝑔(𝑦) dalam system
koordinat yang sama, sehingga umumnya ditetapkan sumbu-x horizontal dan sumbu-y vertical
untuk kedua jenis persamaan tersebut.
• Fungsi yang Didefinisikan Secara Implisit
Suatu persamaan 𝑦 = 𝑓(𝑥) dikatakan mendefinisikan y secara eksplisit sebagai fungsi x
(dengan fungsi f), dan persamaan 𝑥 = 𝑔(𝑦) dikatakan mendefinsikan x secara eksplisit
sebagai fungsi y (dengan fungsi g). Sebagai contoh,
𝑦 = 5𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥
mendefinisikan y secara eksplisit sebagai fungsi x dan
3
𝑥 = (7𝑦 3 − 2𝑦)2
mendefinisikan secara eksplisit sebagai fungsi y.
Suatu persamaan yang tidak berbentuk 𝑦 = 𝑓(𝑥) tetapi grafiknya dalam bidang-xy memenuhi
uji garis vertical dikatakan mendefinisikan y cecara implisit sebagai suatu fungsi x, dan suatu
persamaan yang tidak berbentuk 𝑥 = 𝑔(𝑦) tetapi grafiknya di bidang-xy memenuhi uji garis
horizontal dikatakan mendefinisikan x secara implisit sebagai fungsi y.
Kadang kala seseorang dapat menentukan apakah suatu persamaan mendefinisikan suatu
fungsi secara implisit, dengan menyelesaikan persamaan untuk y dalam suku-suku x atau x
dalam suku-suku y. Sebagai contoh, persamaan
𝑦 3 − 3𝑦 2 + 3𝑦 − 𝑥 2 = 1
dapat diselesaikan untuk y dalam suku-suku x sebagai
𝑦 3 − 3𝑦 2 + 3𝑦 − 1 = 𝑥 2
(𝑦 − 1)3 = 𝑥 2
60
(2.21)
2
𝑦 = 𝑥3 + 1
(2.22)
dan untuk x dalam suku-suku y
𝑥 2 = 𝑦 3 − 3𝑦 2 + 3𝑦 − 1
𝑥 = ±√𝑦 3 − 3𝑦 2 + 3𝑦 − 1
(2.23)
Berdasarkan (2.22) ternyata (2.21) menunjukkan y secara implisit sebagai fungsi dari x dan
berdasarkan (2.23) ternyata (2.21) tidak mendefinisikan x secara implisit sebagai fungsi dari y.
• Beberapa Hal yang Rumit
Beberapa persamaan dalam x dan y tidak dapat diselesaikan untuk x dalam suku-suku y atau y
dalam suku-suku x. Hal ini dapat terjadi mungkin karena aljabar yang diperlukan terlalu rumit
atau karena secara matematis tidak mungkin diselesaikan secara sederhana. Sebagai contoh,
seseorang tak dapat memastikan dengan aljabar sederhana apakah persamaan
1 + 𝑥𝑦 3 − sin(𝑥 2 𝑦) = 0
secara implisit mendefinisikan y sebagai fungsi dari x atau x sebagai fungsi dari y, atau tidak
kedua-duanya. Pada perkuliahan tingkat lanjut dipelajari beberapa teorema yang dapat dipakai
untuk memastikan apakah suatu persamaan mendefinisikan fungsi secara implisit. Sekalipun
dapat diperlihatkan bahwa suatu peramaan mendefinisikan fungsi secara implisit, mungkin
saja tidak ada cara untuk membuat rumus eksplisit untuk fungsi itu, sehingga semua sifatsifatnya harus dikembangkan secara tidak langsung dari persamaan yang diberikan. Hal ini
sangat mungkin muncul dalam beberapa kasus dan sangat menyulitkan
• Fungsi yang Terdefinisi di Sekitar Titik Tertentu
Walaupun kurva suatu persamaan bukan grafik suatu fungsi, tetapi jika diambil
Sebagian dari kurva tersebut mungkin merupakan kurva suatu fungsi. Sebagai ilustrasi, lihat
dalam Contoh 2.3.12 bahwa lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 bukan grafik dari y = f(x) untuk fungsi f.
Tetapi setengah lingkaran bagian atas atau setengah lingkaran bawah memenuhi uji garis
vertical, shingga masing-masing adalah grafik fungsi. Dari (2.18) setengah lingkaran bagian
atas mempunyai persamaan 𝑦 = √25 − 𝑥 2 , sehingga merupakan grafik dari fungsi 𝑓1 (𝑥) =
√25 − 𝑥 2 dan setengah lingkaran bawah mempunyai persamaan 𝑦 = −√25 − 𝑥 2 sehingga
merupakan grafik dari fungsi 𝑓2 (𝑥) = −√25 − 𝑥 2 (Gambar 2.3.13(a)). Dengan cara yang
sama, penyelesaian 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 untuk x dalam y diperoleh 𝑥 = ±√25 − 𝑦 2 sehingga
setengah lingkaran kanan adalah grafik dari 𝑔1 (𝑦) = √25 − 𝑦 2 dan setengah lingkaran kiri
adalah 𝑔2 (𝑦) = −√25 − 𝑦 2 (Gambar 2.3.13(b)).
61
Untuk mengemukakan gagasan di atas dengan lebih tepat, mislkan C grafik sutau
persamaan dalam bidang-xy. Persamaan itu mendefinsikan y secara implisit sebagai fungsi x
disekitar titik (x0,y0) jika terdapat suatu segi empat dengan pusat (x0,y0) dengan sisi-sisi sejajar
terhadap sumbu koordinat, sedemikian hingga sebagian C yang termuat dalam segiempat,
terpotong paling banyak satu kali oleh garis vertical. Dengan cara yang sama, persamaan yang
mendefinisikan y secara implisit sebgai fungsi dari x disekitar (x0,y0) jika terdapat suatu segi
empat dengan pusat di (x0,y0) dengan sisi-sisi sejajar terhadap sumbu koordinat, sedemikian
hingga bagian C yang termuat dalam segi empat terpotong paling banykan satu kali oleh garis
horizontal.
Gambar 2.3.13 Grafik Fungsi
62
Gambar 2.3.14 Uji Grafik Fungsi
CONTOH 2.3.14 Persamaan lingkaran satuan 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 tidak secara implisit
mendefinisikan y sebagai fungsi x disekitar titik P(1,0), karena bagian lingkaran didalam
sebarang segi empat berpusat di P dipotong dua kali oleh garis vertical (Gambar 2.3.14(a)).
Dengan cara yang sama, persamaan tersebut tidak secara implisit mendefinisikan x sebagai
fungsi dari y dis sekitar titik Q(0,1), karena bagian lingkaran di dalam sebarang sebarang segi
empat berpusat di Q terpotong dua kali oleh garis vertical (Gambar 2.3.14(b)). Bagaimanapun,
persamaan tersebut secara implisit mendefinisikan baik y sebagai fungsi x maupun x sebagai
1 1
fungsi y disekitar titik ( , ) (Gambar 2.3.14(c)).
√2 √2
63
□
■
1.
Perhatikan grafik fungsi f pada gambar 2.3.15. Untuk tiap soal berikut ini, dapatkan semua nilai x
yang memenuhi kondisi yang diberikan.
(a).
𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2
(b).
𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 1
(c).
𝑔(𝑥) = 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3
(d).
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2, −1 ≤ 𝑥 ≤ 4
(e).
ℎ(𝑥) = 2𝑥 2 − 3
(f).
ℎ(𝑥) = (4𝑥 − 2)2
(a).
𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1
(b).
𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥
2
(c).
𝑓(𝑥) = √2 − 𝑥
(d).
𝑓(𝑥) = 4 + √2 − 𝑥 2
(e).
𝑔(𝑥) = √2𝑥 − 𝑥 2
(f).
𝑔(𝑥) = √7 − 6𝑥 − 𝑥 2
(a).
𝑓(𝑥) = 4𝑠𝑖𝑛𝑥
(b).
𝑓(𝑥) = 4𝑠𝑖𝑛2𝑥
(c).
𝑓(𝑥) = 4𝑐𝑜𝑠2𝑥
(d).
𝑓(𝑥) = 2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
2.
3.
4.
5.
6.
7.
□
■
□
►
𝑥 2 −8
◄
SOAL-SOAL LATIHAN 2.3
𝑓(𝑥) = 𝑥+4
(b).
𝑓(𝑥) =
(c).
𝑔(𝑥) = 𝑥+1
(d).
𝑔(𝑥) =
(e).
3𝑥
∅(𝑥) = |𝑥|
(f).
∅(𝑥) =
(a).
𝑥 3 +𝑥 2
□
■
□
■
□
𝑥 2 −4𝑥
2𝑥
𝑥+𝑥 3
𝑥
𝑥−𝑥 3
2𝑥
Nyatakan fungsi yang dimaksud dalam bentuk sepotong-sepotong tanpa mempergunakan nilai
mutlak dan buatlah sket grafiknya.
(a).
𝑓(𝑥) = |𝑥 − 4| + 3
(b).
𝑓(𝑥) = 4𝑥 + |3 − 𝑥| − 𝑥
(c).
𝑔(𝑥) = |𝑥| + |𝑥 − 6|
(d).
𝑔(𝑥) = |𝑥 − 5| − |𝑥 + 3|
2
Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4. Buatlah sket grafik dari
1
1
(a).
𝑦 = (𝑓(𝑥) + |𝑓(𝑥)|)
(b).
𝑦 = (𝑓(𝑥) − |𝑓(𝑥)|)
2
2
[Petunjuk : Nyatakan persamaan dalam bentuk sepotong-sepotong (piece wise form)
8. Pergunakan Tabel 2.3.1 dan grafik 𝑦 = |𝑥| untuk menggambarkan grafik:
(a).
𝑦 = |𝑥 − 3|
(b).
𝑦 = |𝑥| + 6
(c).
𝑦 = |𝑥 − 2| + 6
(d).
𝑦 = |𝑥 + 4| − 2
9. Pergunakan Tabel 2.3.1 dan grafik 𝑦 = √𝑥 untuk menggambarkan grafik:
(a).
𝑦 = √𝑥 + 4
(b).
𝑦 = √𝑥 + 4
(c).
𝑦 = √𝑥 − 2 + 3
(d).
𝑦 = √𝑥 + 2 − 2
10. Suatu fungsi f dengan domain [-1,2] mempunyai grafik seperti Gambar 2.3.17. Pergunakan grafik
tersebut untuk memperoleh grafik-grafik persamaan
(a).
𝑦 = 𝑓(3𝑥) − 1
(b).
𝑦 = 𝑓(2𝑥 − 1)
(c).
1
𝑦 = 𝑓(𝑥)
2
(d).
64
1
𝑦 = 𝑓 (− 𝑥)
2
Bab 3
Diferensiasi
65
D
iferensiasi
3.1 Garis Singgung dan Laju Perubahan
Banyak fenomena fisis yang melibatkan perubahan besaran seperti kecepatan pada suatu
waktu tertentu, seberapa cepat seekor kalkun menjadi dingin sejak saat ditambil dari oven,
laju suatu roket, inflasi nilai tukar, jumlah bakteri dalam suatu jaringan, intensitas guncangan
gempa bumi, tegangan sinyal listrik, dan sebagainya. Pada bagian ini dijelaskan konsep
dasar matematik yang menghubungkan antara masalah garis singgung dan laju perubahan
tersebut.
Dalam bab ini dimulai dengan kajian tentang kalkulus diferensial yang berkenaan dengan
bagaimanan suatu besaran berubah dalam hubungannya terhadap besaran lain. Konsep utama
dari kalkulus diferensial adalah TURUNAN yang merupakan perkembangan dari
permasalahan kecepatan dan kemiringan garis singgung. Setelah mempelajari konsep turunan,
penggunaan turunan diaplikasikan untuk memecahkan persoalan yang menyangkut laju
perubahan.
• Kemiringan Suatu Garis Singgung
Perhatikan suatu garis singgung kurva fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada Gambar 3.1.1 dan 3.1.2. Jika
P(x0,y0) dan Q (x1,y1) adalah dua titik berbeda pada kurva, maka garis yang menghubungkan
titik P dan Q memiliki kemiringan
𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 )
(3.1)
𝑚𝑃𝑄 =
𝑥1 − 𝑥0
66
Jika x1 bergerak mendekati x0, maka Q akan bergerak pada kurva f mendekati P dan garis
yang melalui P dan Q akan menghampiri garis singgung di P. Jadi kemiringan mPQ garis
potong tersebut menghampiri kemiringan mtan garis singgung. Sehingga, dari (3.1) dapat
ditulis
𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 )
𝑥1 →𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim
Gambar 3.1.1 Garis Singgung
Gambar 3.1.2 Kemiringan
• Kecepatan Rata-Rata dan Kecepatan Sesaat
Banyak masalah yang menyangkut obyek yang bergerak dengan kecepatan berubah-ubah
dapat direduksi menjadi masalah yang melibatkan garis singgung. Dua masalah yang terkait
dengan hal ini adalah kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat.
67
Gambar 3.1.3 Waktu Tempuh
Gambar 3.1.4 Kurva
Jika suatu mobil bergerak dengan laju 75 km pada jalan yang lurus selama 3 jam, maka dapat
dikatakan bahwa kecepatan rata-rata dari mobil adalah 25 km perjam. Secara umum,
kecepatan rata-rata dari sebuah obyek yang bergerak dalam satu arah sepanjang suatu garis
adalah
𝐾𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 =
𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑚𝑝𝑢ℎ
𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑚𝑝𝑢ℎ
Sedangkan kecepatan sesaat dapat dijelaskan sebagai berikut: pandang suatu mobil yang
bergerak pada satu arah sepanjang jalan lurus yang dapat dianggap sautu garis koordinat
dengan arah positif searah gerakan mobil. Seperti ditunjukkan pada Gambar 3.1.3, jika t = 0
adalah waktu dimana kendaraan mulai bergerak, maka setelah mobil berjalan t detik akan
berada pada koordinat s yang merupakan fungsi t, ditulis s = f (t). Gambar dari fungsi ini
dalam system koordinat-ts disebut kurva posisi terhadap waktu (Gambar 3.1.4).
Jika mobil memiliki koordinat 𝑠0 = 𝑓(𝑡0 ) pada waktu t0 dan koordinat 𝑠1 = 𝑓(𝑡1 ) pada waktu
t1, dengan t1 > t0, maka jarak yang ditempuh selama selang waktu tersebut adalah s1 – s0
dalam waktu t1 – t0. Kecepatan rata-rata selama selang waktu tersebut, dinyatakan dengan
Vrata, sebagai berikut:
𝑉𝑟𝑎𝑡𝑎 =
𝑠1 − 𝑠0 𝑓(𝑡1 ) − 𝑓(𝑡0 )
=
𝑡1 − 𝑡0
𝑡1 − 𝑡0
(3.3)
yang merupakan kemiringan garis potong yang menghubungkan titik (t0,s0) dan (t1,s1) pada
kurva posisi terhadap waktu (Gambar 3.1.5).
68
Gambar 3.1.5 Kemiringan
Gambar 3.1.6 Kemiringan
Jika t1 mendekati t0 (Gambar 3.1.6), maka kecepatan rata-rata mobil pada selang waktu dari t0
ke t1 akan mendekati kecepatan sesaat dari mobil pada waktu t0. Semakin kecil selang waktu
antara t0 dan t1, semakin baik pendekatannya. Jadi, jika kecepatan sesaat dari mobil pada
waktu t0 dinyatakan dengan Vsaat, diperoleh:
𝑓(𝑡1 ) − 𝑓(𝑡0 )
𝑡1 →𝑡0
𝑡1 − 𝑡0
𝑉𝑠𝑎𝑎𝑡 = lim 𝑉𝑟𝑎𝑡𝑎 = lim
𝑡1 →𝑡0
(3.4)
Secara geometric kedua permasalahan tersebut dapat diinterpretasikan sebagai berikut:
Interpretensi Geometrik untuk Kecepatan Rata-rata
Untuk sebuah proyek yang bergerak pada arah positif sepanjang suatu garis koordinat,
kecepata rata-rata obyek tersebut antara waktu t0 dan t1 disajikan secara geometric oleh
kemiringan garis potong yang menghubungkan (t0,s0) dan (t1,s1) pada kurva posisi terhadap
waktu.
Interpretensi Geometrik untuk Kecepatan Sesaat
Untuk sebuah obyek yang bergerak pada arah positif sepanjang suatu garis koordinat,
kecepatan sesaat obyek pada saat t0 dinyatakan secara geometric oleh kemiringan garis
singgung di (t0,s0) pada kurva posisi terhadap waktu.
• Laju Perubahan Rata-Rata dan Sesaat
Keceptan dapat dipandang sebagai laju perubahan, laju perubahan posisi terhadap waktu, atau
dalam istilah aljabar, laju perubahan s terhadap t.
Secara umum, jika x dan y dua besaran yang dihubungkan oleh suatu persamaan 𝑦 = 𝑓(𝑥),
dapat dipandang sebagai laju dimana y berubah terhadap x. Seperti halnya kecepatan,
dibedakan antara laju perubahan rata-rata yang dinyatakan oleh kemiringan garis potong dan
69
laju perubahan sesaat dinyatakan oleh kemiringan garis singgung. Selanjutnya perhatikan
Definisi 3.1.1.
DEFINISI 3.1.1 Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥), maka laju perubahan rata-rata dari y terhadap x pada
selang [x0,x1] adalah kemiringan mPQ dari garis yang menghubungkan titik P(x0,f(x0)) dan
Q(x1,f(x1)) pada grafik dari f (Gambar 3.1.7(a)) yaitu :
𝑚𝑃𝑄 =
𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 )
𝑥1 − 𝑥0
Gambar 3.1.7 Laju Perubahan
DEFINISI 3.1.2 Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥), maka laju perubahan sesaat dari y terhadap x di titik x0,
adalah kemiringan mtan dari garis singgung untuk grafik f di titik x0 (Gambar 3.1.7(b)) yaitu:
𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 )
𝑥1 →𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
mtan = lim
CONTOH 3.1.1 Sebuah bola dijatuhkan dari ruang pengamatan di atas Menara CN di Toronto,
450 meter di atas permukaan tanah. Carilah:
a) Kecepatan rata-rata pada periode waktu 5 detik pertama;
b) Kecepatan sesaat pada saat t = 5 detik;
c) Kecepatan sesaat dari S terhadap t di titik t = t0.
Penyelesaian. Dari percobaan-percobaan yang dilakukan 4 abad yang lalu, Galileo
menemukan kenyataan bahwa jarak yang ditempuh oleh sebuah benda jatuh berbanding lurus
dengan kuadrat waktu tempuhnya (model jatuh bebas ini mengabaikan factor gesekan udara).
70
Jika jarak jatuh setelah t detik dilambangkan S(t) diukur dalam meter maka hukum Galileo
dapat dinyatakan dengan persamaan :
𝑆(𝑡) =
1 2
𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟
)
𝑔𝑡 , (𝑔 = 9,8
2
𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 2
𝑆(𝑡) = 4,9𝑡 2
Penyelesaian (a) Kecepatan rata-rata pada periode waktu 5 detik pertama.
𝑉𝑟𝑎𝑡𝑎 =
𝑆(𝑡1 ) − 𝑆(𝑡0 ) 𝑆(5) − 𝑆(0) 4,9(52 ) − 4,9(02 )
𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟
=
=
= 24,5
𝑡1 − 𝑡0
5−0
5−0
𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘
Penyelesaian (b) Kecepatan sesaat pada waktu t = 5
𝑆(𝑡1 ) − 𝑆(𝑡0 )
𝑆(𝑡1 ) − 𝑆(5)
4,9(𝑡12 − 𝑡02 )
= lim
= lim
𝑡1→𝑡0
𝑡1 →5
𝑡1 →5
𝑡1 −𝑡0
𝑡1 − 5
𝑡1 − 𝑡0
𝑉𝑠𝑎𝑎𝑡 = lim
4,9(𝑡12 − 52 )
= lim 4,9(𝑡1 + 5) = 4,9(5 + 5) = 49 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘
𝑡1 →5
𝑡1 →5
𝑡1 − 5
= lim
Penyelesaian (c) Dengan cara yang sama dengan Penyelesaian (b), untuk waktu t = t0 didapat
71
𝑆(𝑡1 ) − 𝑆(𝑡0 )
4,9(𝑡12 ) − 4,9(𝑡02 )
4,9(𝑡12 − 𝑡02 )
= lim
= lim
𝑡1→𝑡0
𝑡1→𝑡0
𝑡1→𝑡0
𝑡1 − 𝑡0
𝑡1 − 𝑡0
𝑡1 − 𝑡0
𝑉𝑠𝑎𝑎𝑡 = lim
= lim 4,9(𝑡1 + 𝑡0 ) = 4,9(2𝑡0 ) = 9,8 𝑡0 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘
𝑡1 →5
Jadi, kecepatan sesaat untuk S terhadap t di t = t0 adalah 9,8 t0.
Gambar 3.1.8 Kurva Beban Kerja
CONTOH 3.1.2 Faktor yang menjadi batasan dalam olahraga atletik adalah hasil pengukuran
denyut jantung. Gambar 3.1.8 menunjukkan grafik uji-tekanan dari denyut jantung (diukur
dalam liter/menit darah) terhadap beban kerja (diukur dalam kg·m/menit). Grafik ini
menggambarkan kenyataan medis bahwa denyut jantung naik sesuai dengan beban kerja,
tetapi setelah mencapai suatu nilai puncak akan mulai turun pada beban kerja yang tetap
tinggi.
a. Taksirlah laju perubahan rata-rata denyut jantung terhadap beban kerja untuk beban kerja
naik dari 300 sampai 1200 kg·m/menit.
b. Taksirlah laju perubahan sesaat dari denyut jantung terhadap beban kerja di suatu titik
dimana beban kerja 300 kg·m/menit.
Penyelesaian (a). Dengan menggunakan titik perkiraan (300,13) dan (1200,19), kemiringan
garis potong yang dinyatakan pada Gambar 3.1.9 (a) adalah
𝑚𝑃𝑄 ≈
19 − 13
𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡
≈ 0.0067
1200 − 300
𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡
Dengan penyederhanaan ekspresi untuk satuan dapat disimpulkan bahwa laju perubahan ratarata denyut jantung terhadap beban kerja kira-kira 0.0067 liter/kg·m.
Penyelesaian (b) Dengan menggunakan perkiraan garis singgung pada Gambar 3.1.9 (b) dan
titik perkiraan (0,7) dan (900,25) pada garis singgung ini, diperoleh
𝑚𝑡𝑎𝑛 ≈
25 − 7
𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡
≈ 0.02
900 − 0
𝑘𝑔 ∙ 𝑚/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡
Jadi, laju perubahan sesaat untuk denyut jantung terhadap beban kerja mendekati 0.02
liter/kg·m
72
Gambar 3.1.9 Beban Kerja
□
■
□
■
□
►
SOAL-SOAL LATIHAN 3.1
◄
□
■
□
■
□
Dalam Soal 1-4, fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan nilai-nilai x0 dan x1 diberikan
a) Dapatkan laju perubahan rata-rata untuk y terhadap x pada selang [x0,x1]
b) Dapatkan laju perubahan sesaat untuk y terhadap x di titik x0 yang diberikan
c) Dapatkan laju perubahan sesaat untuk y terhadap x di titik x0 yang umum
d) Buatlah sket grafik untuk 𝑦 = 𝑓(𝑥) beserta grais potong dan garis singgungnya dengan
kemiringan yang diberikan oleh hasil (a) dan (b)
1. 𝑦 = 3𝑥 2 ;
𝑥0 = 3, 𝑥1 = 4
3
2. 𝑦 = 2𝑥 ;
𝑥0 = 1, 𝑥1 = 2
1
3. 𝑦 = 𝑥 ;
𝑥0 = 1, 𝑥1 = 3
1
4. 𝑦 = 𝑥 2 ;
𝑥0 = 3, 𝑥1 = 7
5. Sebuah pemantau jantung digunakan untuk mengukur denyut jantung seorang pasien setelah
operasi. Pemantau menampilkan sejumlah data denyut jantung setelah t menit. Jika data tersebut
dibuat grafiknya maka kemiringan garis singgung akan menampilkan laju denyut jantung setiap
menit. Pemantau memperkirakan nilai ini dengan menghitung kemiringan tali busur. Gunakanlah
data tersebut untuk memperkirakan laju denyut jantung pasien setelah 42 menit dengan
menggunakan tali busur antara titik-titik dengan nilai t yang diketahui.
Adapun data-data yang diperoleh dari pemantau jantung dituliskan sebagai berikut.
t(menit)
36
38
40
42
44
Denyut jantung
2440
2635
2865
2958
3060
a) t = 36 dan t = 42
b) t = 38 dan t = 42
c) t = 40 dan t = 42
73
d) t = 42 dan t = 44
6. Gambar 3.1.10 adalah kurva temperature diluar ruang terhadap waktu pada periode 24 jam.
a) Perkirakan temperature maksimum dan waktu dimana itu terjadi
b) Temperatur naik secara linear dari pukul 8 pagi s/d pukul 2 malam. Perkirakan laju dimana
temperature sedang naik selama periode waktu tersebut.
c) Perkirakan waktu dimana temperature turun secara teratur. Perkirakan laju perubahan sesaat dari
temperature terhadap waktu pada saat ini.
7. Jika sebuah bola dilempar ke udara dengan kecepatan 35 kaki/detik. Ketinggiannya (dalam kaki)
setelah t detik dapat dinyatakan dengan persamaan 𝑦 = 35𝑡 − 16𝑡 2
a) Carilah kecepatan rata-rata untuk periode waktu dimulai pada t = 2 dan berjalan selama
I. 0,5 detik
II. 0,1 detik
III. 0,05 detik
IV. 0,01 detik
b) Berapa kecepatan rata-rata selama bola meluncur ke atas
c) Berapa kecepatan rata-rata bola selama bola di atas ketinggian 24 meter
d) Berapa ketinggian bola dalam 1 detik
e) Berapa kecepatan sesaat pada akhir 1 detik
8. Sebuah partikel bergerak pada sebuah garis menjauhi posisi awalnya, setelah t jam partikel tersebut
berada pada 𝑠 = 2𝑡 2 + 𝑡 mil dari posisi awal.
a) Dapatkan kecepatan rata-rata dari partikel pada selam [1,3]
b) Dapatkan kecepatan sesaat pada t = 1
9. Gunakan rumus luas lingkaran 𝐴 = 𝜋𝑟 2 untuk mendapatkan:
a) Laju rata-rata dimana luas lingkaran berubah terhadap r sehingga jari-jarinya naik dari r = 1
sampai dengan r = 2
b) Laju sesaat dimana luas berubah terhadap r pada saat r = 2
10. Pergeseran sebuah partikel tertentu (dalam kaki) yang bergerak sepanjang garis lurus diberikan oleh
𝑆 = 𝑡 3 /6, dengan t diukur dalam detik
a) Tentukan kecepatan rata-rata selama selang waktu:
I. [1;3]
II. [1;2]
III. [1;1,5]
IV. [1;1,1]
b) Tentukan kecepatan sesaat pada waktu t = 1
c) Gambarkan grafik S sebagai fungsi t dan gambarkan tali busur yang kemiringannya adalah
kecepatan rata-rata yang diperoleh pada bagian (a)
d) Gambarkan garis singgung yang kemiringannya adalah kecepatan sesaat yang diperoleh di bagian
(b)
3.2 Turunan Fungsi
• Definisi Turunan
74
Pada subbab sebelumnya sudah dibahas bahwa kemiringan dari garis singgung kurva 𝑦 =
𝑓(𝑥) dititik x0 diberikan oleh
𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 )
(3.6)
𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim
𝑥1 →𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
Jika ℎ = 𝑥1 − 𝑥0 , maka untuk 𝑥1 → 𝑥0 berakibat ℎ → 0, sehingga (3.6) dapat ditulis
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
ℎ→0
ℎ
𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim
Lihat Gambar 3.2.1.
Gambar 3.2.1
Gambar 3.2.2
DEFINISI 3.2.1 Jika 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 ) adalah suatu titik pada grafik fungsi f, maka garis singgung
untuk grafik f di P didefinisikan sebagai garis melewati P dengan kemiringan
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
ℎ→0
ℎ
𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim
(3.7)
Asalkan limit ini ada.
Berdasarkan (3.7), persamaan garis singgung di P(x0,y0) adalah
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚𝑡𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )
(3.8)
Kemiringan garis singgung tergantung titik x = x0 di sepanjang kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥), sehingga
𝑚𝑡𝑎𝑛 merupakan fungsi x0.
2
Sebagai contoh, jika 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 + 2 maka kemiringan garis singgung di titik x = x0 di
2
sepanjang kurva 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 + 2 adalah
𝑚𝑡𝑎𝑛 = 2𝑥02
75
2
Bila indeks x0 dibuat berada di spenjang kurva 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 + 2 dengan fungsi kedua 𝑚𝑡𝑎𝑛 =
2𝑥 2 .
CONTOH 3.2.1 Dapatkan kemiringan dan persamaan garis singgung pada grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +
2 di titik P(1,3). (Lihat Gambar 3.2.2)
Penyelesaian. Diketahui x0 = 1 dan y0 = 3, jadi dari (3.7)
(1 + ℎ)2 + 2 − 3
𝑓(1 + ℎ) − 𝑓(1)
𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim
= lim
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
(3 + 2ℎ + ℎ2 ) − 3
2ℎ + ℎ2
= lim
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
= lim
= lim 2 + ℎ = 2
ℎ→0
Jadi, dari (3.8) bentuk titik-kemiringan untuk garis singgungnya adalah
𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 1)
dan bentuk kemiringan-perpotongannya adalah 𝑦 = 2𝑥 + 1
DEFINISI 3.2.2 Fungsi f’ yang didefinisikan dengan rumus
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ→0
ℎ
𝑓 ′ (𝑥) = lim
(3.9)
Disebut turunan terhadap x dari fungsi f. Domain dari f’ terdiri dari semua x sehingga limit
ada.
Dengan demikian fungsi f’ mempunyai dua interpretasi yaitu:
1. Tafsiran Turunan Sebagai Kemiringan Garis Singgung
Pada Definisi 3.2.1 telah dijelaskan bahwa kemiringan garis singgung pada kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥)
di titik P(x0,f(x0)) sebagai garis yang melalui P dan mempunyai kemiringan m. Menurut
Definisi 3.2.1, terlihat bahwa nilai m sama dengan f’(x0), sehingga dengan mudah dapat
dinyatakan sebagai berikut
Garis singgung pada 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik (x0,f(x0)) adlah garis yang melalui (x0,f(x0)) dengan
kemiringan sama dengan f’(x0) yakni turunan f di x0
2. Tafsiran Turunan sebagai Laju Perubahan
Pada Definisi 3.2.2 didefinisikan laju perubahan sesaat dari 𝑦 = 𝑓(𝑥) terhadap x di titik x =
x1 sebagai limit laju perubahan rata-rata pada selang yang semakin mengecil. Jika selang
[x1,x2], maka perubahan dalam x adalah ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 yang ternyata sama dengan turunan
f’(x1) sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut:
Laju perubahan sesaat f(x) di x = x1 adalah lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 +∆𝑥)−𝑓(𝑥1 )
∆𝑥
Limit ini dikenal sebagai turunan f di x1 yakni f’(x1). Ini memberikan tafsiran kedua dari
turunan. Turunan f’(x1) adlah laju perubahan sesaat dari y = f(x) terhadap x di x = x1
1
CONTOH 3.2.2 Posisi partikel diberikan oleh persamaan gerak 𝑆 = 1+𝑡′ , dengan t diukur
dalam detik dan S dalam meter. Carilah
76
a. Turunan S terhadap t
1
b. Kemiringan garis singgung pada grafik dari 𝑆 = 1+𝑡 di t = 2
c. Kecepatan dan laju partikel setelah 2 detik
Penyelesaian (a). Dari Definisi 3.2.2,
𝑆(𝑡 + ℎ) − 𝑓(𝑡)
1
1
1
)
= lim (
−
ℎ→0
ℎ→0 ℎ 1 + (𝑡 + ℎ)
ℎ
1+𝑡
𝑆 ′ (𝑡) = lim
1 + 𝑡 − (1 + 𝑡 + ℎ)
−ℎ
= lim
ℎ→0 ℎ(1 + 𝑡 + ℎ)(1 + 𝑡)
ℎ→0 (1 + 𝑡 + ℎ)(1 + 𝑡)
= lim
−1
−1
=
ℎ→0 (1 + 𝑡 + ℎ)(1 + 𝑡)
(1 + 𝑡)2
= lim
Penyelesaian (b). Kemiringan garis singgung grafik S di t = 2 adalah S’(2), dan dari bagian (a)
−1
1
diperoleh 𝑆 ′ (2) =
2 = −
(1+2)
9
Penyelesaian (c). Kecepatan setelah 2 detik adalah S’(2) sama dengan bagian (b) yaitu
𝑆 ′ (2) = −
1
1
𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘
9
1
Dan laju partikel adalah |𝑆′(2)| = |− 9| = 9 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟/𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘
Grafik dari fungsi
𝑆=
1
1+𝑡
𝑑𝑎𝑛
𝑆 ′ (𝑥) =
−1
(1 + 𝑡)2
Dari contoh sebelumnya ditunjukkan pada Gambar 3.2.3. Perhatikan bahwa
−1
−1
=
+∞,
lim
=0
𝑡→∞ (1 + 𝑡)2
𝑡→−1 (1 + 𝑡)2
lim+
Hal ini berakibat bahwa kemiringan garis singgung dari grafik untuk S naik dan terbatas tak
pernah bernilai positif dan mendekati nol untuk t > -1. (Dapatkah anda melihat bahwa
memang demikian dari grafik untuk S?)
77
Gambar 3.2.3
• Notasi Turunan
Proses mendapatkan turunan disebut diferensiasi. Diferensiasi dapat dipandang sebagai suatu
operasi yang diterapkan pada suatu fungsi f yang menghasilkan f’. Bila x peubah bebas, maka
operasi diferensiasi dinotasikan dengan
𝑑
[𝑓(𝑥)]
𝑑𝑥
yang dibaca, “turunan f(x) terhadap x.” Jadi,
𝑑
[𝑓(𝑥)] = 𝑓 ′ (𝑥)
𝑑𝑥
(3.10)
Jika terdapat peubah tak bebas 𝑦 = 𝑓(𝑥), maka (3.10) ditulis
𝑑
[𝑦] = 𝑓 ′ (𝑥)
𝑑𝑥
(3.11)
Seringkali tanda kurung dihilangkan sehingga cukup ditulis
𝑑𝑦
= 𝑓 ′ (𝑥)
𝑑𝑥
(3.12)
Jika 𝑦 = 𝑓(𝑥), maka berdasarkan (3.10) dan (3.12) nilai turunan di x = x0 adalah
𝑑
[𝑓(𝑥)]
𝑑𝑥
= 𝑓 ′ (𝑥0 )
𝑎𝑡𝑎𝑢
• Eksistensi Turunan
Turunan suatu fungsi f di titik x yaitu f’(x) 78d ajika
78
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 ′ (𝑥0 )
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ→0
ℎ
lim
(3.13)
ada. Jika f’(x) ada untuk x = x0 maka dikatakan f dapat diturunkan di x0 atau f mempunyai
turunan di x0. Jika untuk setiap 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), 𝑓′ ada, maka dikatakan bahwa f dapat diturunkan
pada suatu selang terbuka (a,b). Fungsi f dikatakan fungsi yang dapat diturunkan jika f
dapat diturunkan pada (-∞,+∞) pada titik-titik dimana f tidak dapat diturunkan dikatakan
bahwa turunan f tidak ada.
Klasifikasi titik-titik dimana fungsi f tidak dapat diturunkan: titik yang memuat sudut
tajam, titik yang memuat garis singgung vertical, atau titik-titik diskontinu (lihat Gambar
3.2.4).
Gambar 3.2.4
Grafik fungsi f memiliki “sudut” di suatu titik P(x0,f(x0)) jika f kontinu di P tetapi
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ→0
ℎ
𝑓 ′ (𝑥) = lim
tidak ada untuk x = x0. Hal ini berakibat grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) tidak mempunyai garis singgung di x
= x0 sebab kemiringan garis potong tidak memiliki limit (Gambar 3.2.5)
79
Gambar 3.2.5
Jika kemiringan garis potong yang menghubungkan titik P dan Q menuju +∞ atau -∞
untuk Q mendekati P, maka f tidak dapat diturunkan di x0. Secara geometric, titik seperti itu
ad ajika garis singgungnya tegak (Gambar 3.2.6).
Pada titik-titik diskontinuitas, setiap garis potong menuju kea rah +∞ untuk x
Gambar 3.2.6
mendekati x0 dari kanan. Karena kemiringan garis potong tidak memiliki limit dua arah,
fungsi pada Gambar 3.2.7 tidak dapat diturunkan di x0.
80
Gambar 3.2.7
• Hubungkan Antara Diferensiabilitas dan Kontinuitas
Teorema 3.2.3 yang merupakan teorema utama menunjukkan hubungan
diferensiabilitas dan kontinuitas suatu fungsi.
TEOREMA 3.2.3 Jika f dapat diturunkan di suatu titik x0, maka f juga kontinu di x0.
antara
Bukti. Cukup ditunjukkan bahwa jika f’(x0) ada, maka lim 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
ℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
lim [𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )] = lim [
∙ ℎ]
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
] ∙ lim ℎ
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
= lim [
= 𝑓 ′ (𝑥0 ) ∙ 0 = 0
Terbukti lim 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 )
ℎ→0
Beberapa hal penting dari Teorema 3.2.3 adalah
a. Pada titik-titik dimana fungsi f diskontinu maka fungsi f tidak dapat diturunkan pada titiktitik tersebut.
b. Diferensibilitas fungsi di suatu titik berakibat kekontinuan fungsi di titik tersebut.
81
c. Suatu fungsi f yang kontinu di suatu titik belum tentu mempunyai turunan di titik tersebut.
Gambar 3.2.8 Grafik f(x)
CONTOH 3.2.3 Grafik fungsi f diberikan pada Gambar 3.2.8. Gunakan fungsi tersebut untuk
membuat sketssa grafik turunan f’.
Penyelesaian. Turunan pada sebarang nilai x dapat diperkirakan dengan cara menggambar
garis singgung di titik (x,f(x)) dengan memperkirakan kemiringannya. Misalkan di x = 1, x = 2
dan x = 4 garis singgungnya horizontal yang berarti turunan di titik tersebut bernilai 0,
sedangkan untuk selang x < 1, garis singgungnya bernilai negatif. Ulangi untuk selang-selang
bagian berikutnya sehingga diperoleh grafik turunan pada Gambar 3.2.9.
Gambar 3.2.9 Grafik f’(x)
82
CONTOH 3.2.4 Fungsi 𝑓(𝑥) = |𝑥| kontinu untuk semua x.
a. Tunjukkan bahwa 𝑓(𝑥) = |𝑥| tak dapat diturunkan di x = 0
b. Dapatkan f’(x)
Penyelesaian (a). Secara geometrik jawaban cukup jelas, karena grafik dari |𝑥| memiliki sudut
di x = 0 (Gambar 3.2.10). Sedangkan secara analitik dapat dijelaskan sebagai berikut. Dari
Definisi 3.2.2
|ℎ| − |0|
|ℎ|
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0)
𝑓(ℎ) − 𝑓(0)
= lim
= lim
= lim
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0 ℎ
ℎ
ℎ
ℎ
𝑓 ′ (0) = lim
Karena
|ℎ|
1,
={
−1,
ℎ
ℎ>0
ℎ<0
sehingga
|ℎ|
= −1
ℎ→0 ℎ
lim−
𝑑𝑎𝑛
|ℎ|
=1
ℎ→0 ℎ
lim+
Jadi
|ℎ|
ℎ→0 ℎ
lim
tidak ada, sebab limit sisi kiri tidak sama dengan limit sisi kanan. Dengan kata lain f’(0) tidak
ada. Hal ini berarti bahwa 𝑓(𝑥) = |𝑥| tak dapat diturunkan di x = 0
Penyelesaian (b). Jika x > 0, maka 𝑓(𝑥) = |𝑥| = 𝑥, sehingga f’(x) = 1, dan jika x < 0, maka
𝑓(𝑥) = |𝑥| = −𝑥 sehingga f’(x) = -1. Jika disajikan sebagai fungsi
Gambar 3.2.10 Grafik 𝒇(𝒙) = |𝒙|
Gambar 3.2.11 Grafik 𝒇′(𝒙)
83
sepotong-sepotong, maka diperoleh
𝑓 ′ (𝑥) =
𝑑
1,
[|𝑥|] = 𝑓(𝑥) = {
−1,
𝑑𝑥
𝑥>0
𝑥<0
grafik f’ ditunjukkan dalam Gambar 3.2.11. Perhatikan bahwa f’ bukan fungsi kontinu,
sehingga Contoh 3.2.4 menunjukkan bahwa suatu fungsi kontinu dapat memiliki turunan yang
tidak kontinu.
• Turunan di Titik Ujung Suatu Selang
Pada bagian ini akan diperkenalkan konsep turunan dari kiri dan kanan. Turunan kiri 𝑓−′ dan
turunan kanan 𝑓+′ masing-masing didefinisikan oleh
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑓−′ (𝑥) = lim−
𝑑𝑎𝑛
lim+
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
Pada titik-titik dimana 𝑓+′ (𝑥) ada dikatakan bahwa fungsi f dapat diturunkan dari arah
kanan dan pada titik-titik dimana 𝑓−′ (𝑥) ada dikatakan bahwa f dapat diturunkan dari arah
kiri. Secara geometris, 𝑓+′ (𝑥) merupakan nilai limit dari kemiringan garis potong jika x
didekati dari sebelah kanan dan 𝑓−′ (𝑥) kemiringan garis potong jika x didekati dari sebelah
kiri.(Gambar 3.2.12).
Gambar 3.2.12 Grafik f(x)
Selanjutnya dapat dipahami bahwa
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ→0
ℎ
𝑓 ′ (𝑥) = lim
ada jika turunan kiri 𝑓−′ dan turunan kanan 𝑓+′ ada dan mempunyai nilai yang sama. Karena itu
suatu fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b] dan tidak terdefinisi di luar selang
tersebut tidak mempunyai turunan di x = a dan di x = b.
DEFINISI 3.2.4 Fungsi f dikatakan terdiferensial pada selang tertutup [a,b] jika syaratsyarat berikut dipenuhi:
84
1. f terdiferensial pada (a,b).
2. f terdiferensial kanan di a.
3. f terdiferensial kiri di b.
Dengan memahami Definisi 3.2.4, pembaca dapat merumuskan definisi diferensibilitas fungsi
pada selang-selang [a,+∞], (-∞,b], dan (a,b].
□
■
□
■
□
►
SOAL-SOAL LATIHAN 3.2
◄
□
■
□
■
□
Untuk soal 1-4, gunakan Definisi 3.2.2 untuk mendapatkan f’(x)
1. 𝑓(𝑥) = √3𝑥
2
2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2
3. 𝑓(𝑥) =
2
√𝑥
1
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥 4
Untuk soal 5-10, carilah turunan dari fungsi yang diberikan dengan menggunakan defnisi turunan untuk
mendapatkan f’(x)
5. 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 4
6. 𝑓(𝑥) = 5 − 4𝑥 + 3𝑥 2
7. 𝑓(𝑥) = √1 + 3𝑥
8. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4
4−3𝑥
9. 𝑓(𝑥) = 2+𝑥
3𝑥, 𝑥 ≤ 0
10. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) = { 2
𝑥 , 𝑥>1
3.3 Teknik Diferensiasi
Pada bagian ini akan dibicarakan beberapa teorema dan teknik diferensiasi untuk tipe-tipe
fungsi tertentu
• Rumus-Rumus Turunan
TEOREMA 3.3.1 Jika f suatu fungsi konstan, sebut 𝑓(𝑥) = 𝑐 untuk setiap x, maka f’(x) = 0;
yaitu
𝑑
[𝑐] = 0
𝑑𝑥
Bukti.
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑐−𝑐
= lim
= lim 0 = 0
ℎ→0
ℎ→0 ℎ
ℎ→0
ℎ
𝑓 ′ (𝑥) = lim
85
CONTOH 3.3.1 Jika 𝑓(𝑥) = 3, maka 𝑓 ′ (𝑥) = 0 untuk semua x; yaitu
𝑑
[3] = 0
𝑑𝑥
TEOREMA 3.3.2 (Aturan Pangkat) Jika n bilangan bulat positif, maka
𝑑 𝑛
[𝑥 ] = 𝑛𝑥 𝑛−1
𝑑𝑥
Bukti. Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 . Maka
𝑓
′ (𝑥)
(𝑥 + ℎ)𝑛 − 𝑥 𝑛
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
= lim
= lim
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
Dengan menggunakan teorema binomial pada (𝑥 + ℎ)𝑛 diperoleh
[𝑥 𝑛 + 𝑛𝑥 𝑛−1 ℎ +
𝑓 ′ (𝑥) = lim
ℎ→0
= lim
𝑛𝑥 𝑛−1 +
ℎ→0
𝑛(𝑛 − 1) 𝑛−2 2
𝑥 ℎ +∙∙∙ +𝑛𝑥ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛
2!
ℎ
= lim [𝑛𝑥 𝑛−1 +
ℎ→0
𝑛(𝑛 − 1) 𝑛−2 2
𝑥 ℎ +∙∙∙ +𝑛𝑥ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛 ] − 𝑥 𝑛
2!
ℎ
𝑛(𝑛 − 1) 𝑛−2
𝑥 ℎ + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−2 + ℎ𝑛−1 ]
2!
= 𝑛𝑥 𝑛−1
CONTOH 3.3.2
𝑑 4
[𝑥 ] = 4𝑥 3 ,
𝑑𝑥
𝑑
[𝑥] = 1. 𝑥 0 = 1,
𝑑𝑥
𝑑 12
[𝑥 ] = 12𝑥11
𝑑𝑥
TEOREMA 3.3.3 Jika c suatu konstanta dan f fungsi terdiferensial di x maka cf juga fungsi
terdiferensial di x
𝑑
𝑑
[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐
[𝑓(𝑥)]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Bukti.
𝑑
𝑐𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑐𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
[𝑐𝑓(𝑥)] = lim
= lim [
]
ℎ→0
ℎ→0
𝑑𝑥
ℎ
ℎ
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑑
[𝑓(𝑥)]
=𝑐
ℎ→0
ℎ
𝑑𝑥
= 𝑐 lim
Faktor konstan dapat
dipindahkan
melewati tanda limit
86
Teorema 3.3.3 dapat dituliskan dalam notasi fungsi (𝑐𝑓)′ = 𝑐𝑓 ′
CONTOH 3.3.3
𝑑
𝑑
[3𝑥 8 ] = 3 [𝑥 8 ] = 3[8𝑥 7 ] = 24𝑥 7
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝑑
[−𝑥12 ] = (−1) [𝑥12 ] = −12𝑥11
𝑑𝑥
𝑑𝑥
TEOREMA 3.3.4 Jika f dan g terdiferensial di x, maka f+g juga terdiferensial di x sehingga
𝑑
𝑑
𝑑
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] =
[𝑓(𝑥)] +
[𝑔(𝑥)]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Bukti.
[𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ)] − [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]
𝑑
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim
ℎ→0
𝑑𝑥
ℎ
[𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)] + [𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)]
ℎ→0
ℎ
= lim
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
+ lim
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
= lim
=
𝑑
𝑑
[𝑓(𝑥)] +
[𝑔(𝑥)]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Teorema 3.3.4 dapat dituliskan dalam notasi fungsi sebagai
(𝑓 + 𝑔)′ = 𝑓 ′ + 𝑔′
CONTOH 3.3.4
𝑑 3
𝑑 3
𝑑 2
[𝑥 + 𝑥 2 ] =
[𝑥 ] +
[𝑥 ] = 3𝑥 2 + 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝑑
𝑑
[6𝑥11 − 9] =
[6𝑥11 ] −
[9] = 66𝑥 10 − 0 = 66𝑥10
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Teorema 3.3.3 dan teorema 3.3.4 dapat diperluas sehingga diperoleh
𝑑
𝑑
𝑑
𝑑
a. 𝑑𝑥 [𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥) + ⋯ + 𝑓𝑛 (𝑥)] = 𝑑𝑥 [𝑓1 (𝑥)] + 𝑑𝑥 [𝑓2 (𝑥)] + ⋯ + 𝑑𝑥 [𝑓𝑛 (𝑥)]
dengan fungsi-fungsi 𝑓1 , 𝑓2 , … , 𝑓𝑛 semuanya terdiferensial di x
b. Jika 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 konstanta dan 𝑓1 , 𝑓2 , … , 𝑓𝑛 terdiferensial di x maka 𝑐1 𝑓1 , 𝑐2 𝑓2 , … , 𝑐𝑛 𝑓𝑛 juga
terdiferensial sehingga
𝑑
𝑑
𝑑
𝑑
[𝑐1 𝑓1 (𝑥) + 𝑐2 𝑓2 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑓𝑛 (𝑥)] = 𝑐1
[𝑓1 (𝑥)] + 𝑐2
[𝑓2 (𝑥)] + ⋯ + 𝑐𝑛
[𝑓 (𝑥)]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥 𝑛
CONTOH 3.3.5
87
𝑑
𝑑
𝑑
𝑑
𝑑
[3𝑥 6 − 2𝑥 5 + 6𝑥 + 1] =
[3𝑥 6 ] +
[2𝑥 5 ] +
[6𝑥] +
[1]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 18𝑥 5 − 10𝑥 4 + 6
TEOREMA 3.3.5 (Aturan Perkalian) Jika f dan g terdiferensial di x, maka perkalian f · g
juga terdiferensial di x, dan
𝑑
𝑑
𝑑
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥) [𝑔(𝑥)] + 𝑔(𝑥) [𝑓(𝑥)]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Bukti.
𝑑
𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = lim
ℎ→0
𝑑𝑥
ℎ
Jika ditambah dan dikurangi 𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥) pada pembilangnya, diperoleh
𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
ℎ→0
ℎ
𝑑
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]
𝑑𝑥
= lim
= lim [𝑓(𝑥 + ℎ)
ℎ→0
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
+ 𝑔(𝑥)
]
ℎ
ℎ
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
+ lim 𝑔(𝑥) ∙ lim
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
= lim 𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ lim
ℎ→0
= [lim 𝑓(𝑥 + ℎ)]
ℎ→0
𝑑
𝑑
[𝑔(𝑥)] + [lim 𝑔(𝑥)] [𝑓(𝑥)]
ℎ→0
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Karena lim 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) dan lim 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) diperoleh
ℎ→0
ℎ→0
𝑑
𝑑
𝑑
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥) [𝑔(𝑥)] + 𝑔(𝑥) [𝑓(𝑥)]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Aturan perkalian dapat dituliskan dalam notasi fungsi (𝑓 ∙ 𝑔)′ = 𝑓 ∙ 𝑔′ + 𝑔 ∙ 𝑓 ′
𝑑
CONTOH 3.3.6 Dapatkan 𝑑𝑥 jika 𝑦 = (4𝑥 2 − 1)(7𝑥 3 + 𝑥)
Penyelesaian. Ada dua cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan 𝑑𝑦/𝑑𝑥: Dapat
digunakan aturan perkalian atau dapat dengan mengalikan faktor-faktor dalam y dan kemudian
menurunkannya. Kedua cara tersebut adalah:
Cara I. (Menggunakan aturan perkalian.)
𝑑
𝑑
[(4𝑥 2 − 1)(7𝑥 3 + 𝑥)]
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
= (4𝑥 2 − 1)
𝑑
𝑑
[7𝑥 3 + 𝑥] + (7𝑥 3 + 𝑥) [4𝑥 2 − 1]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
88
= (4𝑥 2 − 1)(21𝑥 2 + 1) + (7𝑥 3 + 𝑥)(8𝑥) = 140𝑥 4 − 9𝑥 2 − 1
Cara II. (Dengan mengalikan lebih dahulu.)
𝑦 = (4𝑥 2 − 1)(7𝑥 3 + 𝑥) = 28𝑥 5 − 3𝑥 3 − 𝑥
Jadi,
𝑑𝑦
𝑑
[28𝑥 5 − 3𝑥 3 − 𝑥] = 140𝑥 4 − 9𝑥 2 − 1
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
hasilnya sesuai dengan Cara I.
TEOREMA 3.3.6 (Aturan Pembagian). Jika f dan g dua fungsi terdiferensial di x dan g(x) ≠
0, maka f/g terdiferensial di x dengan
𝑑
𝑑
𝑔(𝑥) [𝑓(𝑥)] − 𝑓(𝑥) [𝑔(𝑥)]
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
[
]=
[𝑔(𝑥)]2
𝑑𝑥 𝑔(𝑥)
Bukti.
𝑓(𝑥 + ℎ) 𝑓(𝑥)
−
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ)
𝑔(𝑥 + ℎ) 𝑔(𝑥)
[
] = lim
= lim
ℎ→0
ℎ→0
𝑑𝑥 𝑔(𝑥)
ℎ
ℎ ∙ 𝑔(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ)
Dengan menambahkan dan mengurangkan 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) pada pembilang diperoleh
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
[
] = lim
ℎ→0
𝑑𝑥 𝑔(𝑥)
ℎ ∙ 𝑔(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ)
[𝑔(𝑥) ∙
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
] − [𝑓(𝑥) ∙
]
ℎ
ℎ
𝑔(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ)
lim 𝑔(𝑥) ∙ lim
=
ℎ→0
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)
−lim 𝑓(𝑥) ∙ lim
ℎ
ℎ
ℎ→0
ℎ→0
lim 𝑔(𝑥) ∙ lim 𝑔(𝑥 + ℎ)
ℎ→0
ℎ→0
𝑑
𝑑
[𝑓(𝑥)] − [lim 𝑓(𝑥)] ∙
[𝑔(𝑥)]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
ℎ→0
lim 𝑔(𝑥) ∙ lim 𝑔(𝑥 + ℎ)
[lim 𝑔(𝑥)] ∙
= ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0
Karena lim 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥), lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) dan lim 𝑔(𝑥 + ℎ) = 𝑔(𝑥) maka
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0
𝑑
𝑑
𝑔(𝑥) [𝑓(𝑥)] − 𝑓(𝑥) [𝑔(𝑥)]
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
[
]=
[𝑔(𝑥)]2
𝑑𝑥 𝑔(𝑥)
Aturan pembagian dapat dituliskan dalam notasi fungsi
𝑓 ′ 𝑔 ∙ 𝑓 ′ − 𝑓 ∙ 𝑔′
( ) =
𝑔
𝑔2
89
𝑥 2 −1
CONTOH 3.3.7 Misalkan 𝑦 = 𝑥 4 +1
a. Dapatkan 𝑑𝑦/𝑑𝑥
b. Di titik mana grafik persamaan tersebut mempunyai garis singgung horisontal?
Penyelesaian (a).
𝑑
𝑑
(𝑥 4 + 1) [𝑥 2 − 1] − (𝑥 2 − 1) [𝑥 4 + 1]
𝑑𝑦
𝑑 𝑥2 − 1
𝑑𝑥
𝑑𝑥
=
[
]=
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 4 + 1
(𝑥 4 + 1)2
(𝑥 4 + 1)(2𝑥) − (𝑥 2 − 1)(4𝑥 3 )
=
(𝑥 4 + 1)2
=
−2𝑥 5 + 4𝑥 3 + 2𝑥
2𝑥(𝑥 4 − 2𝑥 2 − 1)
=
−
(𝑥 4 + 1)2
(𝑥 4 + 1)2
Gambar 3.3.1
Penyelesaian (b). Karena 𝑑𝑦/𝑑𝑥 dapat diinterpretasikan sebagai kemiringan garis singgung
kurva, dan karena garis singgung horizontal memiliki kemiringan 0, maka titik-titik dimana
garis singgung kurva horizontal dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan 𝑑𝑦/𝑑𝑥 =
0, atau dari bagian (a)
90
−
2𝑥(𝑥 4 − 2𝑥 2 − 1)
=0
(𝑥 4 + 1)2
Penyelesaian dari persamaan ini adalah nilai-nilai x yang menjadikan pembilangnya nol:
2𝑥(𝑥 4 − 2𝑥 2 − 1) = 0
Faktor pertama memberikan penyelesaian 𝑥 = 0, penyelesaian yang lain dapat diperoleh
dengan menyelesaikan persamaan
𝑥 4 − 2𝑥 2 − 1 = 0
yang dapat dipandang sebagai persamaan kuadrat dalam 𝑥 2 dan diselesaikan dengan rumus
kuadratik,
𝑥2 =
2 ± √8
= 1 ± √2
2
Tanda minus menghasilkan nilai imajiner untuk x (mengapa?); bukan penyelesaian yang
dicari, jadi diabaikan. Tanda plus menghasilkan penyelesaian
𝑥 = ±√1 + √2
Secara ringkas, garis singgung horizontal terjadi di
𝑥 = 0,
𝑥 = √1 + √2 ≈ 1.55,
𝑑𝑎𝑛
𝑥 = −√1 + √2 ≈ −1.55
Hasil-hasil ini sesuai dengan grafik Gambar 3.3.1.
Kejadian khusus dari Teorema 3.3.6, yaitu jika 𝑓(𝑥) = 1 untuk setiap x, maka 1/g
terdiferensial di x dengan
𝑑
[𝑔(𝑥)]
𝑑
1
𝑑𝑥
[
]=−
𝑑𝑥 𝑔(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
CONTOH 3.3.8
𝑑
[𝑥]
𝑑 1
1
[ ] = − 𝑑𝑥 2 = − 2
𝑑𝑥 𝑥
𝑥
𝑥
𝑑 3
[𝑥 + 2𝑥 − 3]
𝑑
1
3𝑥 2 + 2
𝑑𝑥
[
]=−
=− 3
(𝑥 3 + 2𝑥 − 3)
𝑑𝑥 𝑥 3 + 2𝑥 − 3
(𝑥 + 2𝑥 − 3)2
Pada Teorema 3.3.2 sudah dibuktikan bahwa
𝑑 𝑛
[𝑥 ] = 𝑛𝑥 𝑛−1
𝑑𝑥
berlaku untuk n bilangan bulat positif. Sekarang dibuktikan bahwa rumus tersebut berlaku
pula untuk sebarang bilangan bulat.
91
TEOREMA 3.3.7 Jika n sebarang bilangan bulat, maka
𝑑 𝑛
[𝑥 ] = 𝑛𝑥 𝑛−1
𝑑𝑥
Bukti. Telah dibuktikan untuk n ≥ 0. Jika n < 0, dimisalkan m = -n sehingga
𝑓(𝑥) = 𝑥 −𝑚 =
1
𝑥𝑚
Berdasarkan Teorema 3.3.6, diperoleh
𝑑 𝑚
[𝑥 ]
𝑑
1
𝑑𝑥
𝑓 ′ (𝑥) =
[ 𝑚] = −
𝑑𝑥 𝑥
(𝑥 𝑚 )2
Karena n < 0, sehingga menurut Teorema 3.3.2 diperoleh
𝑓 ′ (𝑥) = −
𝑚𝑥 𝑚−1
= −𝑚𝑥 𝑚−1−2𝑚 = −𝑚𝑥 −𝑚−1 = 𝑛𝑥 𝑛−1
𝑥 2𝑚
CONTOH 3.3.9
𝑑 −9
[𝑥 ] = −9𝑥 −9−1 = −9𝑥 −10
𝑑𝑥
𝑑 1
𝑑 −1
1
[𝑥 ] = (−1)𝑥 −1−1 = −𝑥 −2 = − 2
[ ]=
𝑑𝑥 𝑥
𝑑𝑥
𝑥
Perhatikan bahwa hasil sesuai dengan yang diperoleh di Contoh 3.3.8.
Lebih jauh lagi, bahwa rumus turunan untuk 𝑥 𝑛 berlaku jika pangkat n merupakan
bilangan bulat positif atau negatif jika n = 0, maka 𝑥 0 = 1 yang diketahui sebagai fungsi
konstan dan mempunyai turunan 0. Jadi aturan turunan pangkat n berlaku untuk setiap
bilangan bulat. Bagaimana jika pangkat berupa pecahan. Kenyataannya pangkat n berlaku
untuk sebarang bilangan real n sehingga dapat diberikan suatu teorema secara umum dan
penggunaannya dalam contoh dan soal latihan di bawah ini.
TEOREMA 3.3.8 (Aturan pangkat secara umum) Jika n sebarang bilangan real, maka
𝑑 𝑛
[𝑥 ] = 𝑛𝑥 𝑛−1
𝑑𝑥
CONTOH 3.3.10 Berikut diberikan contoh penggunaan Teorema 3.3.8
1. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝜋 maka 𝑓 ′ (𝑥) = 𝜋𝑥 𝜋−1
1
𝑑
2
2
5
2. Jika 𝑓(𝑥) = 3 2 maka 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑑𝑥 (𝑥 −3 ) = − 3 𝑥 −3
√𝑥
Contoh pertama mempunyai pangkat bilangan irasional sedangkan pada contoh kedua
mempunyai pangkat bilangan rasional.
• Turunan Fungsi Trigonometri
92
Pembicaraan selanjutnya adalah mendapatkan turunan fungsi-fungsi trigonometri 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑥,
𝑡𝑎𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑡𝑥, 𝑠𝑒𝑐𝑥, dan 𝑒𝑠𝑐 𝑥, dengan x dalam radian, serta dengan mengingat bahwa
𝑠𝑖𝑛ℎ
=1
ℎ→0 ℎ
lim
𝑑𝑎𝑛
1 − cos ℎ
=0
ℎ→0
ℎ
lim
Untuk fungsi sin x, dengan x sebarang bilangan real, berdasarkan definisi turunan,
𝑑
sin(𝑥 + ℎ) − 𝑠𝑖𝑛𝑥
[𝑠𝑖𝑛𝑥] = lim
ℎ→0
𝑑𝑥
ℎ
𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ℎ + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 ℎ − sin 𝑥
ℎ→0
ℎ
= lim
cos ℎ − 1
sin ℎ
) + cos 𝑥 (
)]
= lim [sin 𝑥 (
ℎ→0
ℎ
ℎ
= lim [cos 𝑥 (
ℎ→0
sin ℎ
1 − cos ℎ
) − sin 𝑥 (
)]
ℎ
ℎ
Karena sin x dan cos x tidak mengandung h, maka keduanya konstan untuk ℎ → 0;
lim (sin 𝑥) = sin 𝑥
𝑑𝑎𝑛
ℎ→0
lim (cos 𝑥) = cos 𝑥
ℎ→0
Akibatnya,
𝑑
sin ℎ
1 − cos ℎ
) − sin 𝑥 ∙ lim (
)
[sin 𝑥] = cos 𝑥 ∙ lim (
ℎ→0
ℎ→0
𝑑𝑥
ℎ
ℎ
= cos 𝑥 ∙ (1) − sin 𝑥 ∙ (0) = cos 𝑥
Jadi, diperoleh bahwa
𝑑
[sin 𝑥] = cos 𝑥
𝑑𝑥
(3.14)
Dengan cara yang sama, diperoleh
𝑑
[cos 𝑥] = − sin 𝑥
𝑑𝑥
(3.15)
Untuk fungsi-fungsi trigonometri yang lain, rumus turunan dapat dicari dengan cara yang
sama dengan memanfaatkan teorema-teorema yang sudah dibahas sebelumnya.
Turunan fungsi-fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan
menggunakan hubungan
tan 𝑥 =
sin 𝑥
,
cos 𝑥
cot 𝑥 =
cos 𝑥
1
1
, sec 𝑥 =
, csc 𝑥 =
sin 𝑥
cos 𝑥
sin 𝑥
Sebagai contoh,
𝑑
𝑑
cos 𝑥 ∙
[sin 𝑥] − sin 𝑥 ∙
[cos 𝑥]
𝑑
𝑑 sin 𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
[tan 𝑥] =
[
]=
𝑑𝑥
𝑑𝑥 cos 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
93
=
cos 𝑥 ∙ cos 𝑥 − sin 𝑥 ∙ (− sin 𝑥) cos 𝑥 2 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
=
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
=
1
= 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
Semua rumus pendiferensialan untuk fungsi trigonometri disajikan dalam persamaanpersamaan berikut:
𝑑
a. 𝑑𝑥 [sin 𝑥] = cos 𝑥
𝑑
b. 𝑑𝑥 [cos 𝑥] = − sin 𝑥
𝑑
(3.18)
d. 𝑑𝑥 [cot 𝑥] = −𝑐𝑠𝑐 2 𝑥
(3.19)
𝑑
e. 𝑑𝑥 [sec 𝑥] = sec 𝑥 tan 𝑥
(3.20)
f. 𝑑𝑥 [csc 𝑥] = − csc 𝑥 cot 𝑥
(3.21)
𝑑
CONTOH 3.3.11 Dapatkan f’(x) jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 tan 𝑥
Penyelesaian. Dengan menggunakan aturan perkalian dan Rumus (3.16), diperoleh
𝑑
𝑑
[2𝑥 2 ] = 2𝑥 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + 4𝑥 tan 𝑥
[tan 𝑥] + tan 𝑥 ∙
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
sin 𝑥
CONTOH 3.3.12 Dapatkan 𝑑𝑥 jika 𝑦 = 1+cos 𝑥
Penyelesaian. Dengan menggunakan aturan pembagian dari (3.14) dan (3.15), diperoleh
𝑑
𝑑
𝑑𝑦 (1 + cos 𝑥) ∙ 𝑑𝑥 [sin 𝑥] − sin 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 [1 + cos 𝑥]
=
𝑑𝑥
(1 + cos 𝑥)2
=
(3.17)
c. 𝑑𝑥 [tan 𝑥] = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
𝑑
𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 2 ∙
(3.16)
(1 + cos 𝑥) (cos 𝑥) − sin 𝑥(− sin 𝑥)
(1 + cos 𝑥)2
cos 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
cos 𝑥 + 1
1
=
=
=
(1 + cos 𝑥)2
(1 + cos 𝑥)2 1 + cos 𝑥
𝜋
CONTOH 3.3.13 Dapatkan 𝑦” (4 ) jika 𝑦(𝑥) = sec 𝑥
Penyelesaian.
𝑦 ′ (𝑥) = sec 𝑥 tan 𝑥
𝑦"(𝑥) = sec 𝑥 ∙
𝑑
𝑑
[tan 𝑥] + tan ∙
[sec 𝑥]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= sec 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + tan 𝑥 ∙ sec 𝑥 tan 𝑥
= 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 + sec 𝑥 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
Jadi
94
𝑦"(𝜋/4) = 𝑠𝑒𝑐 3 (𝜋/4) + sec (𝜋/4)𝑡𝑎𝑛2 (𝜋/4)
= (√2)3 + (√2)(1)2 = 3√2
CONTOH 3.3.14 Misalkan sinar matahari terbit secara langsung mengenai sebuah gedung
yang tingginya 100 kaki dan misalkan 𝜃 adalah sudut elevasi matahari (Gambar 3.2.2).
Dapatkan laju perubahan Panjang bayangan Gedung x terhadap 𝜃 ketika 𝜃 = 45°. Nyatakan
jawabannya dalam satuan kaki/derajat.
Gambar 3.3.2
Penyelesaian. Peubah x dan 𝜃 dikaitkan oleh persamaan 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 100/𝑥, atau ekivalen dengan
𝑥 = 100𝑐𝑜𝑡𝜃
(3.22)
Jika 𝜃 diukur dalam radian, maka menurut (3.18), dari (3.22) dapat diperoleh
𝑑𝑥
= −100𝑐𝑠𝑐 2 𝜃
𝑑𝜃
yang merupakan laju perubahan panjang bayangan terhadap sudut elevasi 𝜃 dalam satuan
kaki/radian. Pada saat 𝜃 = 45° (atau ekivalen dengan 𝜃 = π/4 radian), diperoleh
𝑑𝑥
𝜋
|
𝑑𝜃 𝜃=𝜋
4
= −100𝑐𝑠𝑐 2 (4 ) = −200 kaki/radian
dengan mengubah radian ke derajat menghasilkan
95
−200
𝑘𝑎𝑘𝑖
𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛
10
𝑘𝑎𝑘𝑖
∙
= − 𝜋 ≈ −3,49
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 180 𝑘𝑎𝑘𝑖
9
𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡
Jadi, saat 𝜃 = 45°, Panjang bayangan berkurang (tanda minus) dengan laju kira-kira 3,49
kaki/derajat
• Turunan Tingkat Tinggi
Jika 𝑓′ menyatakan turunan fungsi 𝑓, maka turunan dari 𝑓′ dinotasikan dengan 𝑓". Dengan
demikian turunan pertama, kedua, ketiga dan seterusnya dari fungsi 𝑓 dinotasikan dengan
𝑓′,
𝑓" = (𝑓′)′,
𝑓′′′ = (𝑓")′,
𝑓 4 = (𝑓′′′)′,
𝑓 5 = (𝑓 (4) )′, …
Notasi sederhana untuk menyatakan turunan tingkat n, dengan n bilangan bulat positif adalah:
𝑓 (𝑛)
𝑇𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑘𝑒 − 𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑓
Dalam hal ini,
𝑓 ′ (𝑥) =
𝑑
[𝑓(𝑥)]
𝑑𝑥
𝑑 𝑑
𝑑2
𝑓"(𝑥) =
[ [𝑓(𝑥)]] = 2 [𝑓(𝑥)]
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑓 ′′′ (𝑥) =
𝑑 𝑑2
𝑑3
[ 2 [𝑓(𝑥)]] = 3 [𝑓(𝑥)]
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
⋮
Secara umum, dituliskan
𝑓 (𝑛) (𝑥) =
𝑑𝑛
[𝑓(𝑥)]
𝑑𝑥 𝑛
yang dibaca turunan ke-n dari fungsi f terhadap x
CONTOH 3.3.15 Jika 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 − 2𝑥 3 + 𝑥 2 − 4𝑥 + 2, maka
𝑓 ′ (𝑥) = 12𝑥 3 − 6𝑥 2 + 2𝑥 − 4
𝑓"(𝑥) = 36𝑥 2 − 12𝑥 + 2
𝑓 ′′′ (𝑥) = 72𝑥 − 12
𝑓 (4) (𝑥) = 72
𝑓 (5) (𝑥) = 0
⋮
𝑓 (𝑛) (𝑥) = 0
(𝑛 ≥ 5)
Bila memuat peubah tak bebas, misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥), maka notasi turunan ditulis
96
𝑑𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑 3 𝑦 𝑑 4 𝑦
𝑑𝑛 𝑦
,
,
,
,
…,
,…
𝑑𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 3 𝑑𝑥 4
𝑑𝑥 𝑛
atau
𝑦 ′ , , 𝑦", , 𝑦′′′, , 𝑦 (4) , …, , 𝑦 (𝑛) , …
Simbol-simbol berikut ini menyatakan nilai turunan di suatu titik x0 tertentu;
𝑦"(𝑥0 ), 𝑓 (4) (𝑥0 ),
𝑑3𝑦
𝑑2 7
|
,
…
,
[𝑥 − 𝑥]|
𝑑𝑥 3 𝑥=𝑥
𝑑𝑥 2
𝑥=𝑥
0
0
CONTOH 3.3.16
𝑑2 5
𝑑 𝑑 5
𝑑
[𝑥
]
(𝑥
)]
=
[
=
[5𝑥]4 = 20𝑥 3
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
Jadi,
𝑑2 5
[𝑥 ]|
= 20 ∙ 8 = 160
𝑑𝑥 2
𝑥=2
□
■
□
■
□
►
SOAL-SOAL LATIHAN 3.3
◄
□
■
Pada soal 1-7, pergunakan teorema-teorema yang sesuai untuk mendapatkan 𝑑𝑦/𝑑𝑥
1
1
1. 𝑦 = 𝑎 (𝑥 + 𝑏 √𝑥 + 𝑐)(a, b, c konstan).
2
2. 𝑦 = 3 + 𝑥 2
√10
3. 𝑦 = (𝑥 3 + 7𝑥 2 − 8) ( 𝑥 7 )
2
1
4. 𝑦 = (𝑥 + 2𝑥 2 ) (3𝑥 3 + 27)
5. 𝑦 = (𝑥 5 + 2𝑥)2
2𝑥 5
6. 𝑦 = 𝑥 3 −2
𝑥−1
7. 𝑦 = (2𝑥 7 − 3𝑥 2 ) (𝑥+1)
8. Hitung
𝑥1000 − 1
𝑥→1 𝑥 − 1
lim
9. Misalkan
4 − 𝑥,
𝑥≤0
𝑓(𝑥) = { 2
𝑥 − 2𝑥 + 2,
𝑥>0
Apakah 𝑓 dapat diturunkan di x = 1? Buatlah sketsa grafik dari 𝑓
97
□
■
□
𝑥
10. Di titik yang manakah grafik dari fungsi 𝑦 = 𝑥 2 +8 mempunyai garis singgung horisontal?
3.4 Aturan Rantai
• Turunan Komposisi
Andaikan diminta menghitung turunan fungsi 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 1 maka rumus-rumus
sebelumnya dari bab ini tidak memungkinkan untuk menghitung 𝑓 ′ (𝑥).
Apabila diamati, fungsi 𝑓(𝑥) berupa fungsi komposisi. Andaikan 𝑦 = 𝑓(𝑢) = √𝑢 dan
𝑢 = 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1 maka dapat ditulis 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), yaitu 𝑓(𝑥) = (𝑓°𝑔)(𝑥).
Turunan fungsi komposisi adalah hasil kali turunan 𝑓 terhadap 𝑢 dengan turunan g
terhadap x. Fakta ini merupakan salah satu aturan pendiferensialan yang terpenting dan disebut
aturan rantai.
TEOREMA 3.4.1 (Aturan Rantai). Jika g terdiferensial di titik x dan f terdiferensial di titik
g(x), maka komposisi f ° g terdiferensial di titik x dengan
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢
=
∙
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑑𝑦
CONTOH 3.4.1 Dapatkan 𝑑𝑥 jika 𝑦 = 4 tan 𝑥 2
Penyelesaian. Misal 𝑢 = 𝑥 2 , maka
𝑦 = 4 tan 𝑢
Dengan aturan rantai
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢
𝑑
𝑑 2
[4 tan 𝑢] ∙
[𝑥 ]
=
∙
=
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (4 sec 2 𝑢) ∙ (2𝑥) = (4 sec 2 (𝑥 2 )) ∙ (2𝑥) = 8𝑥 sec(𝑥 2 )
𝑑𝑦
CONTOH 3.4.2 Dapatkan 𝑑𝑡 jika 𝑦 = sin2 𝑡
Penyelesaian. Misal 𝑢 = sin 𝑡 maka
𝑦 = 𝑢2
Dengan aturan rantai,
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢
𝑑 2 𝑑
=
∙
=
[𝑢 ] ∙ [sin 𝑡]
𝑑𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑢
𝑑𝑡
= 2𝑢 ∙ cos 𝑡 = 2 sin 𝑡 cos 𝑡 = sin 2𝑡
• Rumus-Rumus Turunan Umum
Aturan rantai dapat diperumum menjadi
98
(3.23)
𝑑𝑦
𝑑
[𝑓(𝑢)]
=
𝑑𝑥 𝑑𝑥
=
𝑑𝑦 𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢 𝑑𝑥
=
𝑑𝑓(𝑢) 𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢 𝑑𝑥
= 𝑓 ′ (𝑢) ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
(3.24)
Rumus (3.24) sangat luas penggunaannya dalam diferensiasi. Sebagai contoh, untuk
mendapatkan turunan fungsi
𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 𝑥 + 1)23
(3.25)
dengan memisalkan 𝑢 = 𝑥 2 − 𝑥 + 1 (3.25) dapat dituliskan 𝑓(𝑢) = 𝑢23 , kemudian gunakan
(3.24) untuk mendapatkan
𝑑
𝑑 23
𝑑𝑢
[𝑢 ] = 23𝑢
[(𝑥 2 − 𝑥 + 1)23 ] =
⏟ 22
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑓 ′ (𝑢)
= 23(𝑥 2 − 𝑥 + 1)22
𝑑 2
[𝑥 − 𝑥 + 1]
𝑑𝑥
= 23(𝑥 2 − 𝑥 + 1)22 ∙ (2𝑥 − 1)
Dengan demikian untuk fungsi-fungsi yang lain dapat diperoleh dengan cara yang sama.
Sebagai contoh
𝑑 𝑛
𝑑𝑢
[𝑢 ] = 𝑛𝑢𝑛−1
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑢
[sin 𝑢] = cos 𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥
CONTOH 3.4.3 Dapatkan
𝑎.
𝑑
[sin(2𝑥)]
𝑑𝑥
𝑏.
𝑑
[tan(𝑥 2 + 1)]
𝑑𝑥
Penyelesaian (a). Dengan mengambil 𝑢 = 2𝑥, maka berdasarkan aturan rantai yang
diperumum untuk sin 𝑢 diperoleh
𝑑
𝑑
𝑑𝑢
𝑑
[sin(2𝑥)] =
[sin 𝑢] = cos 𝑢
= cos 2𝑥 ∙
[2𝑥]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= cos 2𝑥 ∙ 2 = 2 cos 2𝑥
Penyelesaian (b). Dengan mengambil 𝑢 = 𝑥 2 + 1, berdasarkan aturan rantai yang diperumum
untuk tan 𝑢, diperoleh
𝑑
𝑑
𝑑𝑢
[tan(𝑥 2 + 1)] =
[tan 𝑢] = sec 2 𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
99
= sec 2 (𝑥 2 + 1) ∙
𝑑 2
[𝑥 + 1] = sec 2 (𝑥 2 + 1) ∙ 2𝑥
𝑑𝑥
= 2𝑥 sec 2 (𝑥 2 + 1)
CONTOH 3.4.4 Dapatkan
𝑎.
𝑑
√𝑥 3 + csc 𝑥
𝑑𝑥
𝑏.
𝑑
[(1 + 𝑥 5 cot 𝑥)−8 ]
𝑑𝑥
Penyelesaian (a). Dengan mengambil 𝑢 = 𝑥 3 + csc 𝑥 diperoleh
𝑑
𝑑
1 𝑑𝑢
1
𝑑 3
[√𝑥 3 + csc 𝑥 =
[√𝑢] =
=
∙
[𝑥 + csc 𝑥]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
2√𝑢 𝑑𝑥 2√𝑥 3 + csc 𝑥 𝑑𝑥
=
1
2√𝑥 3 + csc 𝑥
∙
(3𝑥 2
− csc 𝑥 cot 𝑥) =
3𝑥 2 − csc 𝑥 cot 𝑥
2√𝑥 3 + csc 𝑥
Penyelesaian (b). Dengan mengambil 𝑢 = 1 + 𝑥 5 cot 𝑥 diperoleh
= −8𝑢−9
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑
𝑑 −8
[𝑢 ]
[(1 + 𝑥 5 cot 𝑥)−8 ] =
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= −8(1 + 𝑥 5 cot 𝑥)−9 ∙
𝑑
[1 + 𝑥 5 cot 𝑥]
𝑑𝑥
= −8(1 + 𝑥 5 cot 𝑥) ∙ (𝑥 5 (−𝑐𝑠𝑐 2 𝑥) + 5𝑥 4 cot 𝑥)−9
= (8𝑥 5 csc 𝑥 − 40𝑥 4 cot 𝑥)(1 + 𝑥 5 cot 𝑥)−9
Sebagaimana ditunjukkan dalam contoh berikut, bahwa kadang-kadang perlu
menerapkan aturan rantai lebih dari satu kali untuk mendapatkan suatu turunan.
CONTOH 3.4.5 Dapatkan
𝑎.
𝑑
[cos2 𝜋𝑥]
𝑑𝑥
𝑏.
𝑑
[sin(√1 + cos 𝑥)]
𝑑𝑥
Penyelesaian (a). Dengan mengambil 𝑢 = cos 𝜋𝑥 diperoleh
𝑑
𝑑 2
𝑑𝑢
[𝑐𝑜𝑠 2 𝜋𝑥] =
[𝑢 ] = 2𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 2 cos 𝜋𝑥 ∙
𝑑
[cos 𝜋𝑥]
𝑑𝑥
= 2 cos 𝜋𝑥 ∙ (−𝜋 sin 𝜋𝑥)
= −2𝜋 sin 𝜋𝑥 cos 𝜋𝑥
Penyelesaian (b). Dengan mengambil 𝑢 = √1 + cos 𝑥 diperoleh
𝑑
𝑑
𝑑𝑢
[sin(√1 + cos 𝑥)] =
[sin 𝑢] = cos 𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
100
= cos(√1 + cos 𝑥) ∙
= cos(√1 + cos 𝑥) ∙
=−
𝑑
[√1 + cos 𝑥]
𝑑𝑥
− sin 𝑥
2√1 + cos 𝑥
sin 𝑥 cos 𝑥(√1 + cos 𝑥)
2√1 + cos 𝑥
𝑑𝜇
CONTOH 3.4.6 Dapatkan 𝑑𝑡 jika 𝜇 = 𝑡 2 sec √𝜔𝑡, dengan 𝜔 suatu konstanta.
Penyelesaian. Karena peubah bebasnya adalah t dan bukan x, maka harus dilakukan
penyesuaian dalam notasinya.
𝑑𝜇
𝑑
𝑑
= [𝑡 2 sec √𝜔𝑡] = 𝑡 2 [sec √𝜔𝑡] + (sec √𝜔𝑡) ∙ 2𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑
[√𝜔𝑡] + 2𝑡 sec √𝜔𝑡
𝑑𝑡
𝜔
= 𝑡 2 sec √𝜔𝑡 tan √𝜔𝑡
+ 2𝑡 sec √𝜔𝑡
2√𝜔𝑡
= 𝑡 2 sec √𝜔𝑡 tan √𝜔𝑡
Dalam penerapannya, dalam (3.24) 𝑢 dipandang sebagai fungsi dalam dan 𝑓 dipandang
sebagai fungsi luar, sehingga (3.24) dapat dikatakan
Turunan dari 𝑓(𝑢) adalah turunan dari fungsi luar dikalikan turunan dari fungsi dalam.
Sebagai contoh,
𝑑
[cos(𝑥 2 + 9)] = −
2𝑥
⏟
⏟ sin(𝑥 2 + 9) ∙
𝑑𝑥
𝑇𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑇𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚
𝑑
𝑑
[𝑡𝑎𝑛2 𝑥] =
[(tan 𝑥)2 ] =
𝑑𝑥
𝑑𝑥
(2
⏟ tan 𝑥)
𝑠𝑒𝑐
⏟ 2𝑥
∙
= 2 tan 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
𝑇𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑇𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚
Pada umumnya, jika f(g(x)) suatu komposisi dari fungsi-fungsi dengan fungsi dalam g dan
fungsi luar f keduanya terdiferensial, maka
𝑑
[𝑓(𝑔(𝑥))] =
𝑑𝑥
□
■
□
■
□
►
′
𝑓
⏟ (𝑔(𝑥))
∙
𝑔′ (𝑥)
⏟
(3.26)
𝑇𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑇𝑢𝑟𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚
SOAL-SOAL LATIHAN 3.4
Untuk soal 1-10, carilah turunan fungsi
1. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 3 + 3𝑥)15
101
◄
□
■
□
■
□
2. 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 + 2𝑥−1)7
7 −2
3. 𝑓(𝑡) = (2𝑡 3 − )
𝑡
1
4. 𝑓(𝑡) = (𝑡 4 +𝑡+1)9
6
5. 𝑓(𝑠) = (3𝑠2 −2𝑠+1)3
6. 𝑓(𝑠) = √2𝑠 3 − 2𝑠 + 5
7. 𝑓(𝑥) = √2 + 3√𝑥
8. 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛3 𝑥
1
9. 𝑓(𝑧) = 3sin (𝑧 2)
10. 𝑓(𝑧) = 𝑡𝑎𝑛4 (𝑧 2 )
102
Bab 4
Aplikasi Turunan
103
A
plikasi Turunan
4.1 Laju-laju yang saling berkaitan
Pada bab ini dipelajari masalah laju-laju yang saling berkaitan antara laju besaran tertentu
dengan laju besaran lainnya.
CONTOH 4.1.1 Sebuah kapal tanker mengalami kebocoran dan tumpahan minyaknya
menyebar di lautan dalam bentuk lingkaran yang jari-jarinya bertambah dengan laju konstan 2
m/det. Seberapa cepatkah luas daerah tumpahan bertambah ketika jari-jari pancaran 70 m.
Penyelesaian. Untuk menyelesaikan masalah seperti tersebut di atas, dapat dilakukan langkahlangkah sebagai berikut:
Langkah-1 Gambarkan dan beri label besaran yang berubah
Penyerahan tumpahan minyak terlihat pada Gambar 4.1.1
Gambar 4.1.1 Sketsa Tumpahan Minyak
Misalkan
t
: waktu (dalam detik) yang diperlukan untuk menumpahkan
minya
r
: jari-jari tumpahan minyak (dalam meter) setelah t detik
A
: luas daerah tumpahan (dalam meter persegi) setelah t detik
Langkah-2 Identifikasi laju-laju yang perubahannya diketahui dan laju perubahan yang akan
dicari.
104
Notasi 𝑑𝑟/𝑑𝑡 menyatakan laju pertambahan jari-jari terhadap waktu yang
besarnya diketahui 2 m/det. Jadi ditulis
𝑑𝑟
𝑚
=2
𝑑𝑡
𝑑𝑒𝑡
Notasi 𝑑𝐴/𝑑𝑡 menyatakan laju pertambahan luas daerah terhadap waktu yang
akan dicari. Jadi ditanyakan
𝑑𝐴
|
𝑑𝑡 𝑟=70
Langkah-3 Tentukan persamaan yang mengakibatkan kuantitas yang laju perubahannya
dicari dengan kuantitas yang laju perubahannya diketahui.
Dari rumus luas lingkaran diperoleh
𝐴 = 𝜋𝑟 2
(4.1)
Langkah-4 Turunkan ke dua sisi persamaan itu terhadap waktu dan selesaikan turunan yang
akan memberi laju perubahan yang tidak diketahui.
Bila A dan r adalah fungsi dari t, maka kedua sisi (4.1) dapat diturunkan terhadap
t, sehingga diperoleh
𝑑𝐴
𝑑𝑟
= 2𝜋𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Langkah-5 Evaluasi turunan di titik yang dimaksud.
𝑑𝐴
|
= 2𝜋(70)(2) = 280𝜋 𝑚2 /𝑑𝑒𝑡
𝑑𝑡 𝑟=70
Jadi pada saat r = 70 daerah tumpahan bertambah dengan laju 280π m2/det
CONTOH 4.1.2 Sebuah tangga dengan panjang 5 meter bersandar pada dinding, seperti pada
Gambar 4.1.2, tergelincir sedemikian hingga bagian bawahnya bergerak menjauhi dinding
dengan laju 3 meter/det ketika bagian bawah berjarak 4 meter dari dinding. Berapa cepat
tangga bagian atas turun ke bawah.
Penyelesaian. Misalkan
t
: waktu (dalam detik) setelah tangga mulai tergelincir
x
: jarak (dalam meter) bagian bawah tangga ke dinding
y
: jarak (dalam meter) bagian atas tangga ke lantai
105
Gambar 4.1.2 Tangga Bersandar di Dinding
𝑑𝑥
𝑑𝑦
Setiap saat laju bagian bawah tangga adalah 𝑑𝑡 sedangkan laju bagian atas 𝑑𝑡 . Akan dicari
𝑑𝑦
|
𝑑𝑡 𝑥=4
𝑑𝑥
jika diketahui 𝑑𝑡 |
𝑥=4
𝑚
= 3 𝑑𝑒𝑡
Berdasarkan Teorema Pythagoras
𝑥 2 + 𝑦 2 = 25
(4.2)
Penggunaan aturan berantai untuk menurunkan kedua sisi (4.2) terhadap t menghasilkan
2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑥 𝑑𝑥
+ 2𝑦
= 0 𝑎𝑡𝑎𝑢
=−
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑦 𝑑𝑡
(4.3)
Jika x = 4 maka dari (4.2) diperoleh y = 3 ; karena 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = 3 maka (4.3) menghasilkan
𝑑𝑦
4
𝑚
|
= − (3) = −4
𝑑𝑡 𝑥=4
3
𝑑𝑒𝑡
Tanda negative menunjukkan bahwa y berkurang, yang secara fisik berarti puncak tangga pada
dinding bergerak ke bawah.
CONTOH 4.1.3 Jika roket pada Gambar 4.1.3 meluncur vertikal dengan laju 880 m/det Ketika
ketinggian 4000 m, berapa cepat perubahan sudut elevasi kamera agar roket tetap berada pada
jangkauan pandang?
Penyelesaian. Misalkan
t
: waktu (dalam detik) yang diperlukan setelah peluncuran
𝜙
: sudut elevasi kamera (dalam radian) setelah t detik
x
: ketinggian roket (dalam m) setelah t detik
106
(Lihat Gambar 4.1.3(b)) Jika 𝑑∅/𝑑𝑡 menyatakan laju perubahan sudut elevasi kamera
terhadap waktu, dan 𝑑𝑥/𝑑𝑡 menyatakan laju roket yang meluncur naik, maka
Gambar 4.1.3 Roket Meluncur Vertikal
akan dicari
𝑑𝛷
𝑑𝑥
|
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑎𝑛
|
= 880 𝑚/𝑑𝑒𝑡
𝑑𝑡 𝑥=4000
𝛼𝑡 𝑥=4000
Dari Gambar 4.1.3 (b) diketahui bahwa
𝑥
3000
tan ∅ =
(4.4)
Karena 𝜙 dan x fungsi t, maka penurunan kedua sisi (4.4) terhadap t menghasilkan
(𝑠𝑒𝑐 2 ∅)
𝑑∅
1 𝑑𝑥
=
𝑑𝑡 3000 𝑑𝑡
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑑∅
1
𝑑𝑥
=
2
𝑑𝑡 3000 𝑠𝑒𝑐 ∅ 𝑑𝑡
Jika x = 4000 maka
sec ∅ =
5000 5
=
3000 3
(Gambar 4.1.4), sedemikian hingga dari (4.5)
𝑑𝛷
|
=
𝑑𝑡 𝑥=4000
1
66
2 880 = 625 ≈ 0,11 𝑟𝑎𝑑/𝑑𝑒𝑡
5
3000 ( )
3
Jika laju perubahan dihitung dalam derajat per detik, perhitungannya seperti berikut :
𝑑𝛷
66 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 180 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡
|
=
∙
≈ 6,05 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡/𝑑𝑒𝑡
𝑑𝑡 𝑥=4000 625 𝑑𝑒𝑡
𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛
107
(4.5)
CONTOH 4.1.4 Suatu cairan pembersih sedimen dituangkan melalui filter berbentuk kerucut.
Diasumsikan ketinggian kerucut 16 cm dan jari-jari dasar kerucut 4 cm. Pada Gambar 4.1.5,
jika cairan mengalir keluar dari kerucut dengan laju 2 cm3/menit. Ketika ketinggian cairan 8
cm, seberapa cepatkah kedalaman cairan berubah saat itu?
Gambar 4.1.4
Gambar 4.1.5
Penyelesaian. Misalkan
x
t
: waktu (dalam menit) yang diperlukan setelah penuangan cairan
V
: volume cairan (dalam cm3) dalam kerucut pada saat t
y
: kedalaman cairan (dalam cm) dalam kerucut pada saat t
: jari-jari (dalam cm) permukaan cairan pada saat t
108
(Lihat Gambar 4.1.5) Jika 𝑑𝑉/𝑑𝑡 merupakan laju perubahan volume cairan dan 𝑑𝑦/𝑑𝑡 merupakan laju
perubahan kedalaman maka akan dicari
𝑑𝑦
|
𝑑𝑡 𝑦=8
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑎𝑛
𝑑𝑉
|
= −2
𝑑𝑡 𝑦=8
(tanda minus digunakan karena V berkurang jika t bertambah)
Dari rumus volume kerucut, volume V, jari-jari x dan kedalaman y dihubungkan oleh
1
𝑉 = 𝜋𝑥 2 𝑦
3
(4.6)
Jika kedua sisi diturunkan terhadap t, sisi kanan memuat besaran 𝑑𝑥/𝑑𝑡. Karena tidak ada informasi
langsung tentang 𝑑𝑥/𝑑𝑡, x perlu dieleminasi dari (4.6) sebelum penurunan. Hal ini dapat dikerjakan
dengan persamaan segitiga. Dari Gambar 4.1.5 terlihat
𝑥
4
=
𝑦 16
1
𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 𝑦
4
Substitusi ekspresi ini ke (4.6) diperoleh
𝑉=
𝜋 3
𝑦
48
(4.7)
Penurunan kedua sisi dari (4.7) terhadap t diperoleh
𝑑𝑉
𝜋
𝑑𝑦
𝜋𝑦 2 𝑑𝑦
(3𝑦 2 ) =
=
𝑑𝑡 48
𝑑𝑡
16 𝑑𝑡
atau
𝑑𝑦
16 𝑑𝑉
=
𝑑𝑡 𝜋𝑦 2 𝑑𝑡
Substitusi 𝑦 = 8 dan 𝑑𝑉/𝑑𝑡 = −2 ke dalam persamaan diperoleh
𝑑𝑦
16
1
(−2)
|
=
=
−
≈ −0,16 𝑐𝑚/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡
𝑑𝑡 𝑦=8 𝜋(8)2
2𝜋
Jadi Ketika 𝑦 = 8 𝑐𝑚, kedalaman berkurang dengan laju kira-kira 0,16 cm/menit. (Tanda
minus mempunyai arti y berkurang jika t bertambah)
□
■
□
■
□
►
SOAL-SOAL LATIHAN 4.1
◄
□
■
□
■
□
1. Misalkan L luas bujursangkar yang sisi-sisinya x dan asumsikan x merupakan fungsi waktu.
a. Bagaimana hubungan 𝑑𝐿/𝑑𝑡 dan 𝑑𝑥/𝑑𝑡?
b. Pada keadaan tertentu sisi-sisinya 3m dan bertambah dengan laju 4 m/menit. Seberapa cepatkah
luas bertambah pada saat itu?
109
2. Misalkan A luas lingkaran dengan jari-jari r dan asumsikan r fungsi dari waktu.
a. Bagaimana hubungan 𝑑𝐴/𝑑𝑡 dan 𝑑𝑟/𝑑𝑡?
b. Jika jari-jari 6 cm dan bertambah dengan laju 4 cm/det, berapa cepat luas bertambah pada saat
itu.
3. Diberikan 𝑧 = 𝑥 3 𝑦 2 , dengan x dan y berubah terhadap waktu. Pada saat tertentu jika x = 4 dan y =
2, laju x berkurang 2 satuan/detik dan laju y bertambah 3 satuan/det, maka berapa cepat z berubah
saat itu? Apakah z bertambah atau berkurang?
4. Batu dijatuhkan ke kolam tenang menghasilkan riak berbentuk lingkaran yang jari-jarinya
bertambah dengan laju 3 m/det. Berapa cepat laju luas yang tertutup oleh riak bertambah pada akhir
10 detik?
5. Minyak memancar dari tanker bocor menyebar dalam bentuk lingkaran yang bertambah dengan laju
konstan 4 km2/jam. Seberapa cepatkah bertambahnya jari-jari tumpahan Ketika luasnya 16π km2?
6. Balon bulat membubung tinggi dan volume balon tersebut bertambah dengan laju 3 cm3/menit.
Berapa cepat laju diameter balon bertambah bila jari-jari 10 cm?
7. Balon bulat digembosi sehingga jari-jarinya berkurang dengan laju 8 cm/menit. Jika jari-jarinya 3
cm, berapa laju gerak udara?
8. Tangga dengan panjang 14 m disandarkan pada dinding. Jika dasar tangga ditarik menjauh dari
dinding dengan laju konstan 6 m/det, maka seberapa cepatkah bagian atas tangga turun Ketika
berada 12 m di atas tanah?
9. Pada suatu saat setiap sisi sebuah kubus mempunyai panjang 8 cm dan volumenya bertambah
dengan laju 2 cm3/menit. Berapa cepat luas permukaan kubus bertambah?
10. Roket naik vertikal dan dipantau oleh stasiun radar yang terletak 6 km dari landasan peluncuran.
Berapa cepat roket naik jika tingginya 4 km dan jaraknya dari stasiun radar bertambah dengan laju
2200 km/jam?
4.2 Ekstrim Relatif; uji Turunan Pertama dan Kedua
Pada subbab ini dibahas mengenai teknik mendapatkan titik-titik paling tinggi dan paling
rendah pada grafik fungsi atau ekivalen dengan nilai terbesar dan terkecil fungsi. Metode
yang dikembangkan pada bagian ini mempunyai penerapan penting pada bagian-bagian
berikutnya.
Banyak fungsi-fungsi yang grafiknya membentuk bukit dan lembah. Puncak dari bukit disebut
maksimum relatif (maksimum lokal) dan dasar lembah disebut minimum relatif (minimum
local) (Gambar 4.2.1). Seperti puncak bukit di bumi tidak perlu merupakan titik tertinggi dari
bumi, demikian juga maksimum relatif tidak perlu merupakan titik tertinggi pada seluruh
grafik tersebut. Akan tetapi, maksimum relatif, seperti puncak bukit, adalah titik tertinggi pada
daerah sekitar dan minimum relatif, seperti dasar lembah, adalah titik terendah pada daerah
sekitarnya. Gagasan ini dicakup pada Definisi 4.2.1, Definisi 4.2.2 dan Definisi 4.2.3.
• Maksimum dan Minimum Relatif (Maksimum dan Minimum Lokal)
DEFINISI 4.2.1 Suatu fungsi f dikatakan mempunyai maksimum relatif di x0, jika 𝑓(𝑥0 ) ≥
𝑓(𝑥) untuk semua x dalam selang terbuka yang memuat x0.
110
DEFINISI 4.2.2 Suatu fungsi f dikatakan mempunyai minimum relatif di x0, jika 𝑓(𝑥0 ) ≤
𝑓(𝑥) untuk semua x dalam selang terbuka yang memuat x0.
Gambar 4.2.1
DEFINISI 4.2.3 Suatu fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim 111elative di x0, jika fungsi
tersebut mempunyai maksimum 111elative atau minimum 111elative.
CONTOH 4.2.1 Fungsi f pada Gambar 4.2.2 mempunyai maksimum 111elative di x0 sebab
ada selang terbuka (a,b) yang memuat x0 sehingga 𝑓(𝑥0 ) ≥ 𝑓(𝑥). (Lihat selang (a,b) pada
Gambar 4.2.2)
Gambar 4.2.2
Gambar 4.2.3
• Titik Kritis
111
Ekstrim 112elative (ekstrim lokal) dapat dipandang sebagai titik transisi yang memisahkan
daerah yang grafiknya naik dan daerah yang grafiknya turun. Berdasarkan Gambar 4.2.3
ektrim 112elative dari suatu fungsi f terjadi baik di titik dimana grafik f mempunyai garis
singgung datar atau titik dimana f tidak dapat diturunkan. Hal ini adalah isi dari Teorema 4.2.4
(yang pembuktiannya diberikan di akhir subbab)
TEOREMA 4.2.4 Jika f mempunyai ekstrim 112elative di x0, maka f’(x0) = 0 atau f tidak
dapat diturunkan di x0.
Teorema 4.2.4 sangat penting karena ada terminology yang berkaitan dengannya.
DEFINISI 4.2.5 Titik kritis untuk fungsi f adalah nilai x dalam domain f dimana 𝑓 ′ (𝑥) = 0
atau dimana f tidak dapat diturunkan; titik kritis dimana 𝑓 ′ (𝑥) = 0 disebut titik stasioner f.
Dengan terminologi ini, pada Teorema 4.2.4 menyatakan
Ekstrim terminologi suatu fungsi terjadi di titik kritis.
CONTOH 4.2.2 Untuk setiap fungsi pada Gambar 4.2.4, x0 adalah titik kritis. Pada bagian (a),
(b), (c) dan (d), x0 adalah titik stasioner sebab ada garis singgung datar di x0, dan pada bagian
e, f, g dan h, x0 adalah titik kritis tetapi bukan titik stasioner, sebab turunannya di titik x0 tidak
ada.
Gambar 4.2.4
• Uji Turunan Pertama dan Kedua
Meskipun ekstrim relatif suatu fungsi harus terjadi di titik kritis, ekstrim relatif tidak perlu
terjadi di setiap titik kritis. Sebagai contoh, bagian (c), (d), (g) dan (h) dari Gambar 4.2.4, ada
sebuah titik kritis tetapi bukan ekstrim relatif di x0. Bagaimanapun, apa yang membedakan
empat kasus ini dengan yang lainnya adalah tidak adanya tanda perubahan turunan pertama di
x0. Supaya lebih spesifik dapat dijelaskan sebagai berikut :
112
a. Maksimum relatif terjadi di titik kritis yang tanda turunan pertama berubah dari positif ke
negatif berjalan dalam arah x positif (Gambar 4.2.4 a, e);
b. Minimum relatif terjadi di titik kritis yang tanda turunan pertama berubah dari negatif ke
positif berjalan dalam arah x positif (Gambar 4.2.4 c, d, g, h);
c. Tidak terdapat ekstrim relatif di titik kritis apabila tanda turunan pertama tidak berubah
sepanjang arah x positif (Gambar 4.2.4 c, d, g, h);
Gagasan tersebut dinyatakan lebih tepat pada Teorema 4.2.6 yang pembuktiannya tidak
diberikan.
TEOREMA 4.2.6 (UJI TURUNAN PERTAMA)
Misalkan f kontinu di titik kritis x0
a. Jika f’(x) > 0 pada selang terbuka di sebelah kiri dari x0 dan f’(x) < 0 pada selang terbuka
di sebelah kanan dari x0 maka f mempunyai maksimum relatif di x0.
b. Jika f’(x) < 0 pada selang terbuka di sebelah kiri dari x0 dan f’(x) > 0 pada selang terbuka
di sebalah kanan dari x0 maka f mempunyai minimum relatif di x0.
c. Jika f’(x) mempunyai tanda sama baik (f’(x) > 0 maupun f’(x) < 0) pada selang terbuka di
sebelah kiri dari x0 dan pada selang terbuka di sebelah kanan dari x0 maka f tidak
mempunyai maksimum relatif di x0.
Berdasarkan Teorema 4.2.6 didapat :
Jika pada selang terbuka terdapat ekstrim relatif, maka ekstrim relatif tersebut terjadi di
titik-titik kritisnya yang di kanan dan kiri titik ekstrim f’ berubah tanda dengan syarat f
kontinu dan tidak konstan.
5
2
CONTOH 4.2.3 Tentukan ekstrim relatif dari 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 − 15𝑥 3
Penyelesaian. Turunan pertama dari f (x) diperoleh
2
1
1
𝑓 ′ (𝑥) = 5𝑥 3 − 10𝑥 −3 = 5𝑥 −3 (𝑥 − 2)
Karena f’(x) tidak ad ajika x = 0, dan f’(x) = 0 jika x = 2 maka titik kritis f adalah x = 0 dan x =
2.
Seperti ditunjukkan pada Gambar 4.2.5(a), tanda f’ berubah dari positif ke negatif di x = 0 dan
dari negatif ke positif di x = 2. Jadi terdapat maksimum relatif di x = 0 dan minimum relatif di
x = 2. Meskipun tidak diperlukan dalam penyelesaian, grafik f tersebut ditunjukkan pada
Gambar 4.2.5(b).
CONTOH 4.2.3 Tentukan ekstrim relatif dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 3𝑥 − 1
Penyelesaian. Karena f dapat diturunkan dimana-mana maka titik-titik kritis adalah titik-titik
stasioner. Penurunan f(x) menghasilkan
𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥 + 3 = 3(𝑥 − 1)2
113
Penyelesaian. 𝑓 ′ (𝑥) = 0 menghasilkan x = 1 sebagai titik kritisnya. Karena 3(𝑥 − 1)2 ≥ 0
untuk semua x, f’(x) tidak berubah tanda di x = 1, sehingga f tidak mempunyai ekstrim relatif
di x = 1. Jadi f tidak punya ekstrim relatif.
Gambar 4.2.5
Ada uji untuk ekstrim relatif yang lain, yang seringkali lebih mudah diaplikasikan
daripada uji turunan pertama tersebut. Uji ini didasarkan pada pengamatan secara geometrik,
yaitu bahwa fungsi mempunyai maksimum relatif apabila grafiknya mempunyai garis
singgung datar dan cekung ke bawah (Gambar 4.2.6), dan mempunyai minimum relatif
apabila grafiknya mempunyai garis singgung yang datar dan cengkung ke atas (Gambar 4.2.6).
Gambar 4.2.6
Gambar 4.2.7
TEOREMA 4.2.7 (Uji Turunan Kedua). Misalkan f dapat diturunkan dua kali di titik
stationer x0.
a. Jika f”(x0) > 0 maka f mempunyai minimum relatif di x0
b. Jika f”(x0) < 0 maka f mempunyai maksimum relatif di x0
114
CONTOH 4.2.5 Tentukan dan gambarkan ekstrim relatif 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 2
Penyelesaian. Turunan pertama dari f (x) diperoleh
𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 3 − 4𝑥 = 4𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑓"(𝑥) = 12𝑥 2 − 4
Penyelesaian 𝑓 ′ (𝑥) = 0 menghasilkan titik stationer 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 dan 𝑥 = −1.
Karena
𝑓"(0) = −4 < 0
𝑓"(1) = 8 > 0
𝑓"(−1) = 8 > 0
maka terdapat maksimum relatif di x = 0, minimum relatif di x = 1 dan x = -1. (Lihat Gambar
4.3.7)
CATATAN. Jika f tidak dapat diturunkan dua kali di titik kritis x0, atau jika 𝑓"(𝑥0 ) = 0, maka
harus didasarkan pada uji turunan pertama atau menemukan teknik yang lebih imajinatif yang
sesuai dengan permasalahan tersebut.
CATATAN. Pada beberapa masalah uji turunan pertama lebih mudah diterapkan, dan pada
masalah yang lain uji turunan kedua lebih mudah. Jadi, pada setiap masalah terlebih dulu
harus diberikan uji yang sesuai, yaitu uji yang mempunyai jumlah perhitungan sedikit.
Bukti Teorema 4.2.4 Dibuktikan untuk kasus maksimum relatif di x0. Bukti untuk kasus
minimum relatif adalah identik dan diserahkan pembaca.
Ada dua kemungkinan f dapat diturunkan di x0 atau tidak. Jika f tidak dapat diturunkan
di x0, maka x0 merupakan titik kritis untuk f dan bukti selesai. Jika f dapat diturunkan di x0
akan ditunjukkan bahwa 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0. Jadi harus ditunjukan 𝑓′(𝑥0 ) ≥ 0 dan 𝑓′(𝑥0 ) ≤ 0, yang
menghasilkan 𝑓′(𝑥0 ) = 0. Dari definisi turunan diperoleh
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
ℎ→0
ℎ
𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim
sehingga
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
ℎ→0
ℎ
(4.10)
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
ℎ→0
ℎ
(4.11)
𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim+
dan
𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim−
Karena f mempunyai maksimum relatif di x0, maka ada selang terbuka (a,b) yang memuat x0
sehingga 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ) untuk semua x pada (a,b).
Diasumsikan h cukup kecil sehingga 𝑥0 + ℎ terletak pada selang (a,b). Jadi
115
𝑓(𝑥0 + ℎ) ≤ 𝑓(𝑥0 )
atau ekivalen
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 ) ≤ 0
Jadi jika h negatif,
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
≥0
ℎ
(4.12)
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
≤0
ℎ
(4.13)
Dan jika h positif
Tetapi ekspresi itu tidak pernah mengasumsikan nilai negative tidak dapat mendekati sebuah
limit negatif dan nilai positif tidak dapat mendekati sebuah limit positif, sehingga
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
≥0
ℎ→0
ℎ
dari (4.11) dan (4.12)
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
≤0
ℎ→0
ℎ
dari (4.10) dan (4.13)
𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim−
dan
𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim+
Karena 𝑓′(𝑥0 ) ≥ 0 dan 𝑓′(𝑥0 ) ≤ 0, tentulah 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0
□
■
□
■
□
►
SOAL-SOAL LATIHAN 4.2
◄
□
■
□
■
□
Untuk soal 1-8 tentukan titik kritis dan klasifikasikan titik tersebut sebagai titik-titik stationer atau titiktitik yang tidak dapat diturunkan
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 8𝑥 + 5
2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 4𝑥 − 8
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 9𝑥 + 1
4. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 − 6𝑥 + 10
4𝑥
5. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +2
3
6. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 1
7. 𝑓(𝑥) = 2cos 5𝑥
8. 𝑓(𝑥) = |sin 4𝑥|
Untuk soal 9-10, tentukan ekstrim relatif dengan menggunakan
a. Uji turunan pertama
b. Uji turunan kedua
9. 𝑓(𝑥) = 8 − 6𝑥 − 𝑥 2
10. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 10𝑥 2 + 16𝑥
116
4.3 Nilai Maksimum atau Minimum Suatu Fungsi
Permasalahan yang terkait dengan nilai optimal disebut masalah optimasi. Dan masalah
optimasi dapat direduksi menjadi permasalahan untuk menemukan nilai terbesar atau terkecil
fungsi dengan menentukan dimana nilai itu terjadi. Dalam subbab ini dikembangkan
beberapa cara utnuk menyelesaikan masalah optimasi ini.
• Ekstrim Absolut
Jika diasumsikan grafik fungsi f merupakan gambar profil dua dimensi suatu gunung (Gambar
4.3.1), maka puncak gunung merupakan maksimum relatif dan dasar lembah merupakan
minimum relatif. Secara geologi, titik-titik tersebut adalah titik tertinggi dan terendah dari
tanah lapang di sekitarnya. Tetapi, kalau seorang ahli geologi tertarik mencari gunung
tertinggi dan lembah terdalam keseluruhan perbukitan (Gambar 4.3.1), maka matematikawan
lebih tertarik menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi dalam domainnya.
Selanjutnya perhatikan Definisi 4.3.1, 4.3.2, 4.3.3.
DEFINISI 4.3.1 Jika 𝑓(𝑥0 ) ≥ 𝑓(𝑥) untuk setiap x dalam domain f, maka f(x0) disebut nilai
maksimum absolut atau nilai maksimum f.
Gambar 4.3.1
DEFINISI 4.3.2 Jika 𝑓(𝑥0 ) ≤ 𝑓(𝑥) untuk setiap x dalam domain f, maka f(x0) disebut nilai
minimum absolut atau nilai minimum f.
DEFINISI 4.3.3 nilai maksimum dan minimum fungsi f disebut nilai ekstrim absolut atau nilai
ekstrim. Istilah ekstrim absolut kadang-kadang cukup disebut ekstrim saja
Seringkali nilai ekstrim f dicari hanya pada selang tertentu dan bukan pada seluruh domain f.
Maksudnya adalah nilai maksimum f pada [a,b] atau nilai maksimum f pada [a,b] yang
merupakan himpunan bagian dari domain f.
117
CONTOH 4.3.1 Grafik fungsi f pada Gambar 4.3.2(a) tidak mempunyai nilai maksimum. Nilai
minimumnya adalah 2 dan minimumnya terjadi di x = 3.
Gambar 4.3.2
CONTOH 4.3.2 Grafik fungsi pada Gambar 4.3.2(b) tidak mempunyai nilai maksimum
maupun nilai minimum. Tetapi pada selang [-2.2], akan mempunyai keduanya. Nilai
maksimum f(x) = 3 terjadi di x = -2. Nilai minimum pada [-2,2] adalah f(x) = -2 terjadi di x =
1.
CONTOH 4.3.3 Gambar fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 pada Gambar 4.3.3(a) mempunyai minimum
tetapi tidak mempunyai nilai maksimum pada [0,3). Nilai minimum yaitu 1 terjadi di x = 0.
Alasan mengapa f(x) tidak mempunyai maksimum tidak terlalu jelas, tetapi penting untuk
dimengerti. Jika selang yang diambil [0,3] bukan [0,3), maka f(x) mempunyai nilai maksimum
7 yang terjadi di x =3. Akan tetapi titik x = 3 tidak terletak pada selang [0,3), sehingga 7 bukan
nilai maksimum pada [0,3). Tetapi tidak ada bilangan lebih kecil dari 7 yang merupakan nilai
maksimum dari f. Lebih tepat dikatakan, tidak ada M yang lebih kecil dari 7 sehingga f(x) > M
untuk x di dalam [0,3) (lihat Gambar 4.3.3(b)). Jadi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 tidak mempunyai nilai
maksimum pada [0,3).
Gambar 4.3.3
Apabila diberikan suatu fungsi f, maka aka nada beragam pertanyaan yang dapat
diajukan sekitar masalah nilai maksimum dan minimum, misalnya
118
a. Apakah f(x) mempunyai nilai maksimum?
b. Jika f(x) mempunyai nilai maksimum, berapa nilainya?
c. Jika f(x) mempunyai nilai maksimum, dimana terjadinya?
Pertanyaan-pertanyaan yang sama, tentu saja, dapat diajukan untuk nilai minimum f. Sekarang
diperoleh beberapa hasil yang membantu menjawab pertanyaan-pertanyaan seperti itu.
Teorema 4.3.4 Memberikan kondisi yang menjamin adanya nilai maksimum dan
minimum fungsi yang dimaksud.
TEOREMA 4.3.4 (Teorema Nilai Ekstrim). Jika suatu fungsi f kontinu pada selang tertutup
[a,b] maka f mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada [a,b]
Bukti teorema ini cukup jelas, sehingga tidak perlu diuraikan. Secara intuitif Teorema 4.3.4
dapat dibayangkan sebagai gerakan partikel sepanjang grafik fungsi kontinu pada selang [a,b];
dan selama perjalanan partikel akan melewati titik tertinggi dan titik terendah (Gambar 4.3.4)
Pada teorema nilai ekstrim hipotesis bahwa f kontinu pada selang tertutup adalah hal yang
esensial. Jika hipotesis ini dilanggar, keberadaan nilai maksimum dan minimum tidak dapat
dijamin; hal ini ditunjukkan oleh dua contoh berikut.
Gambar 4.3.4
Gambar 4.3.5
CONTOH 4.3.4 Karena 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 kontinu dimana-mana khususnya pada [0,3), dan tidak
mempunyai nilai maksimum pada [0,3) seperti ditunjukkan pada Contoh 4.3.3. Jadi, hipotesis
selang tertutup yang terdapat pada Teorema 4.3.4 sangat esensial.
CONTOH 4.3.5 Grafik fuyngsi pada Gambar 4.3.5 terdefinisi pada selang tertutup [1,9].
Fungsi ini tidak mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum pada selang tersebut. Hal ini
dikarenakan f mempunyai titik diskontinu pada selang [1,9], maka contoh ini menunjukkan
bahwa hipotesis pada Teorema 4.3.4 adalah esensial.
119
Teorema 4.3.4, nilai ekstrim di atas adalah suatu contoh yang oleh matematikawan
disebut Teorema Eksistensi; teorema itu menyatakan kondisi yang memastikan adanya nilai
maksimum dan minimum suatu fungsi.
CONTOH 4.3.6 Polinomial 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 15𝑥 2 + 36𝑥 kontinu dimana-mana khususnya pada
selang [1,5]. Jadi teorema nilai ekstrim menyatakan bahwa f mempunyai nilai maksimum dan
minimum pada [1,5]. Akan tetapi, teorema ini tidak menyatakan berapa nilai maksimum dan
minimum dan dimana nilai tersebut terjadi.
Teorema 4.3.5 merupakan alat kunci untuk mendapatkan nilai ekstrim suatu fungsi
TEOREMA 4.3.5 Jika suatu fungsi mempunyai nilai ekstrim maksimum atau minimum pada
selang terbuka (a,b) maka nilai ekstrim terjadi di tiitk kritis.
Bukti. Jika f mempunyai nilai maksimum pada (a,b) di x0, maka f(x0) adalah nilai terbesar pada
(a,b) dan oleh karena itu nilai tersebut adalah nilai terbesar disekitar x0 dan dengan Teorema
4.3.4, x0 adalah titik kritis f. Bukti analog untuk masalah nilai minimum.
• Mendapatkan Ekstrim Absolut
Berikut ini dibahas cara mendapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi kontinu f pada selang tertutup
[a,b]. Langkah-langkah Mendapatkan Nilai Ekstrim Fungsi Kontinu f pada Selang
Tertutup [a,b] sebagai berikut :
Langkah 1. Tentukan titik kritis f dalam (a,b)
Langkah 2. Evaluasi f di setiap titik kritis dan di titik ujung a dan b.
Langkah 3. Nilai terbesar pada Langkah 2 adalah nilai maksimum f pada [a,b] dan nilai
terkecil adalah nilai minimumnya
Gambar 4.3.6
CONTOH 4.3.7 Tentukan nilai-nilai maksimum dan minimum 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 15𝑥 2 + 36𝑥
pada selang [1,5] dan tentukan dimana terjadi maksimum atau minimum.
Penyelesaian. Karena polinomial terdiferensial dimana-mana, maka f terdiferensial pda selang
(1,5). Jadi, jika nilai ekstrim terletak pada selang (1,5) maka nilai tersebut berada di titik
120
dimana turunnya nol. Karena 𝑓 ′ (𝑥) = 6𝑥 2 − 30𝑥 + 36 dan titik ekstrim terjadi jika f’(x) = 0
maka diperoleh
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) = 0
Jadi, ada dua titik dalam selang (1,5) yang merupakan titik ekstrim yaitu x = 2 dan x = 3.
Evaluasi f di titik tersebut dan titik ujung interval, diperoleh
𝑓(1) = 2(1)3 − 15(1)2 + 36(1) = 23
𝑓(2) = 2(2)3 − 15(2)2 + 36(2) = 28
𝑓(3) = 2(3)3 − 15(3)2 + 36(3) = 27
𝑓(5) = 2(5)3 − 15(5)2 + 36(5) = 55
Jadi, nilai minimum terjadi di x = 1 dan nilai maksimum 55 terjadi di x = 5.
CONTOH 4.3.8 Tentukan nilai-nilai ekstrim 𝑓(𝑥) = 6𝑥 4/3 − 3𝑥1/3 pada selang [-1,1] dan
tentukan dimana terjadinya.
Penyelesaian. Turunan pertama dari f(x) adalah
1
2
2
𝑓 ′ (𝑥) = 8𝑥 3 − 𝑥 −3 = 𝑥 −3 (8𝑥 − 1) =
8𝑥 − 1
2
𝑥3
Tabel 4.3.1
x
-1
f(x) 9
0
0
1/8
-9/8
1
3
Jadi, 𝑓 ′ (𝑥) = 0 di x = 1/8 dan f’(x) tidak ada di x = 0. Titik kritis dari f adalah x = 0 dan x =
1/8, keduanya terletak dalam selang [-1,1]. Evaluasi f di titik kritis ini dan di titik ujung
diperoleh Tabel 4.6.1. Jadi, nilai minimum f pada selang [-1,1] adalah -9/8 yang terjadi di x =
1/8 dan nilai maksimum f pada selang [-1,1] adalah 9 yang terjadi di x = -1.
Untuk fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b], Teorema 4.3.4 menjamin bahwa f
mempunyai nilai maksimum dan minimum dan prosedur untuk mendapatkan nilai-nilai
tersebut adalah dengan evaluasi f di titik kritis dan di titik ujung. Untuk fungsi kontinu pada
selang terbuka, selang setengah terbuka, selang berhingga, nilai maksimum dan minimumnya
lebih sulit dicari karena dua alasan:
a. Fungsi mungkin tidak mempunyai nilai maksimum dan minimum pada selang tersebut.
b. Jika fungsi mempunyai nilai maksimum dan minimum, seringkali memerlukan beberapa
teknik untuk menemukannya.
Untuk menentukan apakah suatu fungsi mempunyai ekstrim seringkali dilakukan
dengan membuat sketsa grafiknya. Pertama ditentukan keberadaan ekstrim, lalu Teorema 4.3.5
dapat digunakan untuk membantu mencari lokasinya.
121
CONTOH 4.3.9 Apakah fungsi 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 4𝑥 3 mempunyai nilai-nilai maksimum atau
minimum pada (-∞,∞), jika ya, cari nilainya.
Penyelesaian. Diperoleh grafik f seperti pada Gambar 4.3.7. Dari grafik tersebut terlihat f
mempunyai nilai minimum bukan maksimum. Dengan Teorema 4.3.5 minimum ini terjadi di
titik kritis. Titik kritis diperoleh dari persamaan 𝑓 ′ (𝑥) = 0
12𝑥 3 + 12𝑥 2 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 12𝑥 2 (𝑥 + 1) = 0
Jadi, titik kritisnya adalah x = 0 dan x = -1. Pada x = 0 adalah titik belok dan x = -1 adalah titik
minimum. Substitusi x = -1 pada 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 4𝑥 3 diperoleh 𝑓(−1) = −1, yang merupakan
nilai minimum dari f pada (-∞,+∞).
Gambar 4.3.7
Jika f fungsi kontinu sehingga
lim 𝑓(𝑥) = ±∞
𝑥→+∞
𝑑𝑎𝑛
lim 𝑓(𝑥) = ±∞
𝑥→−∞
maka Tabel 4.3.2 memperlihatkan bagaimana mengetahui dengan pasti jika f mempunyai
banyak tipe ekstrim, tanpa menggambarkan graiknya secara nyata.
CONTOH 4.3.10 Tentukan nilai-nilai maksimum dan minimum, jika ada, dari
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 1
122
pada (-∞,+∞).
Penyelesaian. Karena f polinomial maka f kontinu pada (-∞,+∞) dengan
lim (𝑥 4 + 2𝑥 3 − 1) = +∞
𝑥→+∞
𝑑𝑎𝑛
lim (𝑥 4 + 2𝑥 3 − 1) = +∞
𝑥→−∞
Jadi f mempunyai minimum tetapi tidak mempunyai maksimum pada (-∞,+∞). Dengan
Teorema 4.3.5 minimum terjadi di titik kritis. Jika f dievaluasi di setiap titik kritisnya, maka
akan dapat ditentukan dimana minimum terjadi. Oleh karena
𝑓 ′ (𝑥) = 4𝑥 3 + 6𝑥 2 = 2𝑥 2 (2𝑥 + 3) = 0
maka diperoleh x = 0 dan x = -3/2. Evaluasi f pada titik-titik tersebut diperoleh
3
43
𝑓(0) = −1 𝑑𝑎𝑛 𝑓 (− ) = −
2
16
Jadi nilai minimum -43/16 terjadi di x = - 3/2
Tabel 4.3.2
LIMIT
KESIMPULAN JIKA f KONTINU
lim 𝑓(𝑥) = +∞
f mempunyai minimum tetapi tidak
maksimum pada (-∞,+∞)
𝑥→−∞
lim 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→+∞
lim 𝑓(𝑥) = −∞
𝑥→−∞
lim 𝑓(𝑥) = −∞
f mempunyai maksimum tetapi tidak
minimum pada (-∞,+∞)
𝑥→+∞
123
GRAPH
lim 𝑓(𝑥) = −∞
𝑥→−∞
lim 𝑓(𝑥) = +∞
f tidak mempunyai maksimum
maupun minimum pada (-∞,+∞)
𝑥→+∞
lim 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→−∞
lim 𝑓(𝑥) = −∞
f tidak mempunyai maksimum
maupun minimum pada (-∞,+∞)
𝑥→+∞
Ada hasil yang berbeda dari Tabel 4.3.2 yaitu untuk menemukan ekstrim pada selang terbuka.
Jika f kontinu pada selang terbuka (a,b) dan
lim (𝑓(𝑥)) = ±∞
𝑥→𝑎+
𝑑𝑎𝑛
lim (𝑓(𝑥)) = ±∞
𝑥→𝑏 −
maka Tabel 4.3.3 menunjukkan bagaimana mengetahui f mempunyai banyak tipe ekstrim pada (a,b).
Tabel 4.3.3
LIMIT
lim 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→𝑎+
lim 𝑓(𝑥) = +∞
KESIMPULAN JIKA f KONTINU
PADA (a,b)
f mempunyai minimum tetapi tidak
maksimum pada (a,b)
𝑥→𝑏 −
124
GRAPH
lim 𝑓(𝑥) = −∞
𝑥→𝑎+
lim 𝑓(𝑥) = −∞
f mempunyai maksimum tetapi tidak
minimum pada (a,b)
𝑥→𝑏 −
lim 𝑓(𝑥) = −∞
𝑥→𝑎+
lim 𝑓(𝑥) = +∞
f tidak mempunyai maksimum
maupun minimum pada (a,b)
𝑥→𝑏 −
lim 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→𝑎+
lim 𝑓(𝑥) = −∞
f tidak mempunyai maksimum
maupun minimum pada (a,b)
𝑥→𝑏 −
Analog dengan hasil pada Tabel 4.3.2 dan Tabel 4.3.3, sebagai Latihan tentukan
maksimum dan minimum pada selang (-∞,b) dan (a,+∞).
CONTOH 4.3.11 Tentukan nilai-nilai maksimum dan minimum dari
𝑓(𝑥) =
1
𝑥2 − 𝑥
pada selang terbuka (0,1)
Penyelesaian.
lim+ 𝑓(𝑥) = lim+
𝑥→0
1
𝑥→0 𝑥 2 − 𝑥
125
1
= −∞
𝑥→0 𝑥(𝑥 − 1)
= lim+
lim− 𝑓(𝑥) = lim−
1
𝑥→1 𝑥 2 − 𝑥
𝑥→1
1
= −∞
𝑥→1 𝑥(𝑥 − 1)
= lim−
Jadi f mempunyai maksimum, bukan minimum pada (0,1). Dengan Teorema 4.3.5 maksimum
ini terjadi di titik kritis dari f. Diperoleh
𝑓 ′ (𝑥) = −
2𝑥 − 1
(𝑥 2 − 𝑥)2
jika 𝑓 ′ (𝑥) = 0 maka x = ½. Nilai maksimum f pada (0,1) terjadi di x = ½ dengan f maksimum
1
1
𝑓( ) =
= −4
2
2
1
1
(2) − 2
CONTOH 4.3.12 Fungsi 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 tidak mempunyai maksimum atau minimum pada (π/2, π/2) sebab tan x kontinu pada selang itu dan
lim tan 𝑥 = −∞,
𝜋
𝑥→− +
2
lim tan 𝑥 = +∞
π
𝑥→− −
2
Gambar 4.3.8
Teorema 4.3.6 kadang-kadang dapat membantu situasi apabila metode sebelumnya tidak dapat
diterapkan
TEOREMA 4.3.6 Diasumsikan f kontinu pada selang I dan f mempunyai tepat satu ekstrim
relatif pada I di x0.
a. Jika f mempunyai minimum relatif di x0, maka f(x0) adalah nilai minimum f pada selang I.
b. Jika f mempunyai maksimum relatif di x0, maka f(x0) adalah nilai maksimum f pada selang
I.
CONTOH 4.3.13 Tentukan nilai-nilai maksimum dan minimum, jika ada, dari
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4
pada (0,+∞).
126
Penyelesaian.
lim (𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4) = 4
𝑥→0+
lim (𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4) = +∞
𝑥→+∞
Karena limit pertama berhingga, Tabel 4.3.2 dan Tabel 4.3.3 tidak dapat digunakan.
Selanjutnya, limit kedua menunjukkan f tidak mempunyai maksimum pada (0,+∞). Jadi, ada
dua kemungkinan; f tidak mempunyai nilai maksimum pada (0,+∞) atau f mempunyai nilai
minimum pada (0,+∞). Untuk menentukannya, dicari titik kritisnya. Oleh karena turunan
pertama dari f(x) diperoleh
𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥 = 3𝑥(𝑥 − 2)
maka f’(x)´= 0 memberikan titik kritis di x = 0 dan x = 2. Perhatikan bahwa x = 2 adalah satusatunya titik kritis pada selang (0,+∞), sehingga dapat digunakan Teorema 4.3.6. Selanjutnya,
turunan kedua dari f(x) diperoleh
𝑓"(𝑥) = 6𝑥 − 6
dengan f”(2) = 6 > 0. Jadi minimum relatif terjadi di x = 2 dengan f minimum f (2) = 0.
□
■
□
■
□
►
SOAL-SOAL LATIHAN 4.3
◄
□
■
□
■
□
Untuk soal 1-6 tentukan nilai-nilai maksimum dan minimum f pada selang tertutup yang diberikan dan
nyatakan dimana nilai-nilai itu terjadi.
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 1; [0,2]
2. 𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥 2 ; [0,3]
3. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)3 ; [2,6]
4. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 4𝑥 2 − 14𝑥; [−3,3]
𝜋 𝜋
5. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 tan 𝑥 ; [− 4 , 4 ]
6. 𝑓(𝑥) = 3 cos 𝑥 − 2sin 𝑥 ; [0, 𝜋]
Untuk soal 7-10 tentukan nilai-nilai maksimum dan minimum f pada selang yang diberikan, jika ada
7. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 − 5; [−∞, +∞]
8. 𝑓(𝑥) = 8 − 8𝑥 − 2𝑥 2 ; [−∞, +∞]
9. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 3 − 3𝑥 4 ; [−∞, +∞]
10. 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 6𝑥; [−∞, +∞]
4.4 Aplikasi Masalah Maksimum dan Minimum
127
• Klasifikasi Masalah Optimasi
Aplikasi masalah-masalah optimasi yang dibahas dalam subbab ini dikelompokkan ke dalam
dua kategori.
a. Masalah-masalah yang tereduksi menjadi maksimum atau minimum suatu fungsi kontinu
pada selang tertutup berhingga.
b. Masalah-masalah yang tereduksi menjadi maksimum atau minimum suatu fungsi kontinu
pada selang tak berhingga atau selang berhingga yang tidak tertutup (yaitu terbuka atau
setengah tertutup).
Untuk masalah-masalah dari kategori pertama, penyelesaian dapat diperoleh dengan
menguji nilai-nilai fungsi di titik kritisdan titik-titik ujung selang. Akan tetapi, untuk
menyelesaikan masalah-masalah dari kategori ke dua, tidak ada jaminan adanya penyelesaian.
Berikut ini diberikan masalah optimasi yang diawali dengan beberapa masalah dari kategori
pertama.
• Masalah-Masalah yang Terkait dengan Selang Tertutup Berhingga
CONTOH 4.4.1 Tentukan ukuran dari empat persegi panjang yang mempunyai keliling 100 m
agar luasnya sebesar mungkin.
Penyelesaian. Dimisalkan
x
= panjang empat persegi panjang (meter)
y
= lebar empat persegi panjang (meter)
L
= luas empat persegi panjang (meter persegi)
maka
𝐿 = 𝑥𝑦
(4.14)
karena keliling empat persegi panjang 100 m, peubah x dan y dapat dinyatakan sebagai berikut
2𝑥 + 2𝑦 = 100 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 = 50 − 𝑥
Gambar 4.4.1
128
(4.15)
(lihat Gambar 4.4.1) Substitusi (4.15) ke (4.14) diperoleh
𝐿 = 𝑥(50 − 𝑥) = 50𝑥 − 𝑥 2
(4.16)
Karena x merupakan panjang yang tidak negative, dan karena jumlah dua sisi yang panjangnya
x tidak dapat melebihi total keliling 100 m, peubah x harus memenuhi
(4.17)
0 ≤ 𝑥 ≤ 50
Jadi, masalah dapat direduksi dengan menemukan nilai x pada [0,50], agar L maksimum.
Karena L polinomial dalam x, maka L kontinu [0,50] dan juga maksimum harus terjadi di titik
ujung selang atau titik kritis. Dari (4.16) diperoleh turunan pertama dari L(x) adalah
𝑑𝐿
= 50 − 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝐿
dan dengan mengambil 𝑑𝑥 = 0 diperoleh
50 − 2𝑥 = 0
atau x = 25. Jadi maksimum terjadi di salah satu titik
𝑥 = 0, 𝑥 = 25, 𝑥 = 50
Substitusi nilai-nilai x pada (4.16) memberikan hasil seperti pada Tabel 4.4.1, yang
menyatakan bahwa luas maksimum adalah 625 m2 terjadi x = 25. Dari (4.15) didapatkan nilai
y = 25, sehingga empat persegi panjang dengan keliling 100 m dan luasnya terbesar adalah
bujur sangkar dengan panjang sisinya 25 m.
Tabel 4.4.1
x
0
25
50
L
0
625
0
CATATAN. Pada (4.17) x = 0 dan x = 50 adalah nilai x yang memenuhi (4.17). Karena x = 50
memberikan y = 50 pada (4.15), maka nilai x ini berkaitan dengan empat persegi panjang yang
dua sisinya mempunyai panjang nol. Jelas bahwa nilai-nilai x ini seharusnya tidak
diperbolehkan karena empat persegi panjang yang “benar” tidak mungkin mempunyai sisi-sisi
yang panjangnya nol.
Sebenarnya, hal ini sekedar asumsi yang dipilih. Jika Contoh 4.4.1 dipandang sebagai
masalah matematika murni, maka tidak ada yang salah dengan pengambilan panjang sisi nol.
Akan tetapi, jika itu dipandang sebagai masalah praktis, bahwa empat persegi panjang
dibangun dari suatu bahan, tidak diperbolehkan x = 0 atau x = 50 sehingga (4.17) seharusnya
diganti 0 < x < 50, yang merupakan kasus selang tidak tertutup dan masalah tersebut akan
diselesaikan dengan metode-metode yang dibahas lebih lanjut pada subbab ini.
129
Contoh 4.4.1 menggambarkan prosedur lima langkah berikut yang dapat dipakai untuk
menyelesaikan beberapa aplikasi masalah maksimum dan minimum:
Langkah 1
Buatlah gambar yang sesuai dan berikan nama dari sifat-sifat yang terkait
dengan permasalahan.
Langkah 2
Tentukan sebuah rumusan yang memenuhi untuk dimaksimumkan atau
diminimumkan.
Langkah 3
Gunakan syarat-syarat yang ada untuk mengeliminasi peubah-peubah,
kemudian tuliskan rumusan yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan
sebagai fungsi satu peubah.
Langkah 4
Tentukan selang dari nilai-nilai yang mungkin untuk peubah tersebut
berdasarkan pembatasan fisik masalah.
Langkah 5
Jika mungkin, gunakan cara-cara dari subbab terdahulu untuk memperoleh nilai
maksimum atau minimum.
CONTOH 4.4.2 Kotak terbuka dibuat dari lembaran karton berukuran 16 cm x 30 cm dengan
menggunting ke-empat sudutnya berbentuk bujur sangkar yang berukuran sama dan
melipatnya ke sisi bagian atas (Gambar 4.4.2). Berapakah ukuran bujur sangkar agar diper
oleh kotak denga nisi terbesar?
Gambar 4.4.2
Penyelesaian. Dimisalkan
x
= panjang (dalam cm) sisi bujur sangkar yang digunting
130
V
= isi (dalam cm3) kotak yang dihasilkan
Karena bujur sangkar berisi x dibuang dari masing-masing sudut, kotak yang dihasilkan
mempunyai ukuran (16 − 2𝑥)(30 − 2𝑥)𝑥 (Gambar 4.4.2(b)), maka diperoleh
𝑉 = (16 − 2𝑥)(30 − 2𝑥)𝑥 = 480𝑥 − 92𝑥 2 + 4𝑥 3
(4.18)
Peubah x dalam ekspresi ini mempunyai batasan tertentu. Karena x panjang yang tidak dapat
negatif, dan karena lebar dari papan adalah 16 cm, tidak mungkin memotong bujur sangkar
yang sisi-sisinya lebih besar dari 8 cm. Jadi peubah x pada (4.18) harus memenuhi:
0≤𝑥≤8
Masalah ini telah direduksi dengan menemukan nilai x pada selang [0,8] agar (4.18)
maksimum. Karena sisi kanan (4.18) polinomial dalam x, yang kontinu pada selang tertutup
[0,8] dan akibatnya dapat digunakan metode pada subbab terdahulu untuk menemukan
maksimum. Dari (4.18) diperoleh turunan pertama dari V(x) adalah
𝑑𝑉
= 480 − 184𝑥 + 12𝑥 2 = 4(120 − 46𝑥 + 3𝑥 2 )
𝑑𝑥
Ambil dV/dx = 0, untuk mendapatkan titik-titik kritis, diperoleh
120 − 46𝑥 + 3𝑥 2 = 0
yang dapat diselesaikan dengan menentukan akar-akarnya sehingga diperoleh titik kritis yaitu
𝑥=
10
3
𝑑𝑎𝑛
𝑥 = 12
Karena x = 12 diluar selang [0,8], nilai maksimum V terjadi di x = 10/3 atau salah satu titik x =
0, x = 8. Substitusi nilai x tersebut pada (4.18) menghasilkan Tabel 4.4.2, yang menyatakan
19600
bahwa isi V yang terbesar adalah 𝑉 = 27 𝑐𝑚3 ≈ 726 𝑐𝑚3, terjadi pada saat memotong
bujur sangkar dengan sisi x = 10/3 cm.
Tabel 4.4.2
x
0
10/3
8
V
0
19600/27
0
131
CONTOH 4.4.3 Tambang minyak lepas pantai terletak di laut di titik W yang berada 5 mil
dari titik A terdekat pada garis pantai (Gambar 4.4.3). Minyak disalurkan melalui pipa ke titik
B di tepi pantai yang jaraknya dari A adalah 8 mil, pipa-pipa yang terletak di bawah laut
adalah dari titik W ke titik P, dengan P terletak di antara A dan B, lalu ke B melalui pipa
sepanjang garis pantai. Jika biaya pemasangan pipa 100.000 dollar/mil dibawah air dan 75.000
dollar/mil di atas tanah, dimanakah titik P diletakkan untuk meninimumkan harga pemasangan
pipa?
Gambar 4.4.3
CATATAN. Karena jarak terpendek antara dua titik adalah garis lurus, pipa saluran langsung
dari W ke B memakai paling sedikit pipa. Akan tetapi, pemasangan pipa yang seluruhnya
dalam air menjadi mahal. Pada ekstrim yang lain, pipa saluran dari W ke A ke B
menggunakan biaya paling sedikit dengan pipa di bawah air, tetapi pemakaian total jumlah
pipa lebih besar. Jadi, ini rupanya masuk akal bahwa pemasangan pipa ke titik P tertentu
antara A dan B, menyebabkan total biaya lebih sedikit daripada pemasangan pipa pada salah
satu lokasi ekstrim.
Penyelesaian. Dimisalkan
x
= jarak (dalam mil) antara A dan P
C
= biaya (dalam ribuan dolar) total pemasangan pipa
Dari Gambar 4.4.3 panjang pipa di bawah air adalah jarak antara W dan P. Dari
Teorema Pythagoras, didapatkan
𝑃𝑊 = √𝑥 2 + 25
(4.19)
Juga (Gambar 4.4.3), panjang pipa di atas tanah adalah jarak antara P dan B, yaitu
8−𝑥
(4.20)
Dari (4.19) dan (4.20) diperoleh total biaya c (dalam ribuan dolar) untuk pipa saluran adalah
132
𝐶 = 100√𝑥 2 + 25 + 75(8 − 𝑥)
(4.21)
Karena jarak antaran A dan B adalah 8 mil, jarak x antara A dan P harus memenuhi
0≤𝑥≤8
Karena c merupakan fungsi kontinu dari x pada selang tertutup [0,8], pengembangan metodemetode dal msubbab yang lalu dapat dipakai untuk menemukan nilai minimum. Dari (4.21)
diperoleh turunan pertama dari C(x) adalah
𝑑𝐶
100𝑥
4𝑥
=
− 75 = 25 (
− 3)
𝑑𝑥 √𝑥 2 + 25
√𝑥 2 + 25
ambil dC/dx = 0 untuk menentukan titik-titik kritis, diperoleh
4𝑥
√𝑥 2 + 25
−3=0
(4.22)
atau
4𝑥 = 3√𝑥 2 + 25
16𝑥 2 = 9(𝑥 2 + 25)
7𝑥 2 = 225
𝑥 = ±15/√7
Bilangan −15/√7 bukan penyelesaian dari (4.22) dan harus dihilangkan, tinggal 15/√7
sebagai titik kritis. Karena titik ini terletak dalam selang [0,8], minimum harus terjadi di salah
satu titik sebagai berikut:
𝑥 = 0, 𝑥 =
15
√7
, 𝑥=8
Substitusi nilai-nilai x pada (4.21) menghasilkan Tabel 4.4.3 yang menyatakan bahwa biaya
minimum pemasangan saluran pipa, mendekati c = 930.719 = 930.719 dolar yang terjadi jika
titik P di lokasi pada jarak 15/√7 ≈ 5,67 mil dari A.
CONTOH 4.4.4 Tentukan jari-jari dan tinggi dari silinder bundar dengan volume terbesar
yang terdapat dalam kerucut bundar dengan jari-jari 6 cm dan tinggi 10 cm. (Gambar 4.4.4(a))
Penyelesaian. Dimisalkan
r
= jari-jari (dalam cm) silinder
h
= tinggi (dalam cm) silinder
133
V
= volume (dalam cm3) silinder
Tabel 4.4.3
x
15/√7
0
100√
c
1100
225
15
+ 25 + 75 (8 − )
7
√7
8
100√89 ≈ 943.398
= 600 + 125√7 ≈ 930.719
Gambar 4.4.4
Rumus untuk volume silinder adalah
𝑉 = 𝜋𝑟 2 ℎ
(4.23)
Untuk mengeliminasi salah satu peubah pada (4.23) diperlukan hubungan antara r dan h.
Dengan menggunakan perbandingan pada Gambar 4.4.4 (b) diperoleh
10 − ℎ 10
=
𝑟
6
5
𝑎𝑡𝑎𝑢 ℎ = 10 − 𝑟
3
(4.24)
5
5
𝑉 = 𝜋𝑟 2 (10 − 𝑟) = 10𝜋𝑟 2 − 𝜋𝑟 3
3
3
(4.25)
substitusi (4.24) ke (4.23) diperoleh:
yang menyatakan V dalam r. Karena r adalah jari-jari, jelas r tidak dapat negative, dan karena
jari-jari silinder tidak dapat melebihi jari-jari kerucut, peubah r harus memenuhi
0≤𝑟≤6
134
Jadi, masalah terlah direduksi dengan menentukan nilai r dalam [0,6] agar (4.25) maksimum.
Karena V fungsi kontinu dari r pada [0,6], metode-metode yang dikembangkan dalam subbab
terdahulu dapat digunakan. Dari (4.25) diperoleh turunan pertama dari V(x) adalah
𝑑𝑉
= 20𝜋𝑟 − 5𝜋𝑟 2 = 5𝜋𝑟(4 − 𝑟)
𝑑𝑡
𝑑𝑉
Ambil 𝑑𝑟 = 0 untuk mendapatkan titik-titik kritis, diperoleh
5𝜋𝑟(4 − 𝑟) = 0
Jadi r = 0 dan r = 4 adalah titik kritis. Karena nilai-nilai tersebut terdapat dalam selang [0,6],
maksimum harus terjadi di salah satu dari titik sebagai berikut:
𝑟 = 0, 𝑟 = 4, 𝑟 = 6
substitusi nilai-nilai r pada (4.25) menghasilkan Tabel 4.4.4, yang menyatakan bahwa volume
160
maksimum 𝑉 = 3 𝜋 ≈ 168 𝑐𝑚3 terjadi Ketika silinder mempunyai jari-jari 4 cm. Jika 𝑟 = 4
10
dari (4.24) diperoleh ℎ = 3 . Jadi silinder dengan volume terbesar mempunyai jari-jari 𝑟 = 4
10
cm dan tinggi ℎ = 3 .
Tabel 4.4.4
r
0
V
0
(
4
6
160
)𝜋
3
0
• Masalah-Masalah yang Terkait dengan Selang yang Tidak Berhingga atau Berhingga
yang Tidak Tertutup
CONTOH 4.4.5 Kaleng tertutup dapa diisi 1 lt (1000 cm3) cairan. Berapa tinggi dan jari-jari
yang dipilih untuk meminimumkan banyaknya bahan yang diperlukan untuk pembuatannya?
Penyelesaian. Ada 3 langkah untuk menyelesaikan contoh tersebut, pertama, dimisalkan
h
: tinggi (dalam cm) kaleng
r
: jari-jari (dalam cm) kaleng
S
: luas permukaan (dalam cm2) kaleng
135
Diasumsikan tidak ada bahan yang dibuang atau saling bertumpuk, jumlah bahan yang
diperlukan untuk membuat akan sama seperti luas permukaan kaleng. Karena kaleng dapat
terdiri dari dua lempengan bulat dengan jari-jari r dan sebuah empat persegi panjang dengan
ukuran h kali 2πr (Gambar 4.4.5), luas permukaan menjadi
𝑆 = 2𝜋𝑟 2 + 𝜋𝑟ℎ
(4.26)
Eliminasi salah satu dari peubah pada (4.26) sehingga S akan dinyatakan sebagai fungsi
satu peubah. Karena isi kaleng 1000 cm3, dengan rumus 𝑣 = 𝜋𝑟 2 ℎ untuk isi tabung diperoleh:
1000 = 𝜋𝑟 2 ℎ
(4.27)
Gambar 4.4.5
atau
ℎ=
1000
𝜋𝑟 2
(4.28)
substitusi (4.28) ke (4.26) menghasilkan
𝑆 = 2𝜋𝑟 2 +
2000
𝑟
(4.29)
karena r = jari-jari harus positif; masalah telah direduksi dengan menentukan nilai r pada
(0,+∞) yang menyebabkan (4.29) minimum (diberikan sebagai nilai yang tersedia). Oleh
karena S fungsi kontinu dari r pada (0,+∞) dengan
lim+ (2𝜋𝑟 2 +
𝑟→𝑜
2000
) = +∞
𝑟
𝑑𝑎𝑛
lim (2𝜋𝑟 2 +
𝑟→+∞
2000
) = +∞
𝑟
sehingga (4.29) mempunyai minimum, tetapi bukan maksimum pada (0,+∞). Minimum harus
terjadi di titik kritis, dengan menghitung turunan pertama dari (4.29)
𝑑𝑆
2000
= 4𝜋𝑟 − 2
𝑑𝑟
𝑟
𝑑𝑆
ambil 𝑑𝑟 = 0 diperoleh
136
(4.30)
4𝜋𝑟 −
2000
10
= 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑟 = 3
2
𝑟
√2𝜋
(4.31)
Karena (4.31) satu-satunya titik kritis pada selang (0,+∞), nilai r menghasilkan nilai minimum
S. Dari (4.28) nilai h yang berhubungan ke r ini adalah
ℎ=
1000
20
=3
= 2𝑟
𝜋(10/√2𝜋)2 √2𝜋
3
bukan kebetulan bila minimum terjadi ketika tinggi kaleng sama dengan diameter dari
dasarnya.
Penyelesaian kedua. Kesimpulan bahwa minimum terjadi pada nilai r dalam (4.31) dapat
direduksi dan uji turunan kedua dengan catatan bahwa
𝑑2 𝑆
4000
=
4𝜋
+
𝑑𝑟 2
𝑟3
3
adalah positif jika r > 0 dan 𝑟 = 10/ √2𝜋. Secara tidak langsung hal ini menyatakan minimum
3
relatif, dan karena itu minimum terjadi di titik kritis 𝑟 = 10/√2𝜋 ≈ 5,4.
Penyelesaian ketiga. Pembaca seharusnya dapat memproleh grafik dalam Gambar 4.4.6, dari
grafik tersebut terlihat bahwa S mempunyai minimum, dan minimum ini terjadi di titik kritis
3
𝑟 = 10/√2𝜋 yang dihitung pada penyelesaian pertama masalah ini (lihat (4.31)).
CATATAN. Ingat bahwa S tidak mempunyai maksimum pada (0,+∞). Jadi, pertanyaan berapa
ukuran yang diperlukan agar pembuatan kaleng membutuhkan jumlah bahan yang maksimum
tidak mempunyai penyelesaian masalah. Masalah optimasi yang tanpa penyelesaian kadang-k
adang disebut ill posed.
Gambar 4.4.6
Gambar 4.4.7
137
CONTOH 4.4.6 Tentukan titik pada kurva 𝑦 = 𝑥 2 yang paling dekat dengan titik (18,0).
Penyelesaian. Misalkan L jarak antara (18,0) dengan sebarang titik (x,y) pada kurva 𝑦 = 𝑥 2
(Gambar 4.4.7) diberikan oleh
𝐿 = √(𝑥 − 18)2 + (𝑦 − 0)2
Karena (x,y) terdapat pada kurva x, dan y memenuhi 𝑦 = 𝑥 2 , jadi,
𝐿 = √(𝑥 − 18)2 + 𝑥 4
(4.32)
Karena tidak ada Batasan pada x, masalah telah direduksi dengan menentukan nilai x pada (∞,+∞) agar (4.32) minimum.
Pada masalah meminimumkan atau memaksimumkan jarak, ada teknik tertentu yang
berguna untuk menyederhanakan perhitungan. Berdasarkan pengamatan, jarak dan kuadrat
jarak mempunyai maksimum atau minimum di titik yang sama. Jadi nilai minimum dari L
pada (4.32) dan nilai minimum dari
𝑆 = 𝐿2 = (𝑥 − 18)2 + 𝑥 4
(4.33)
terjadi pada nilai x yang sama. Dari (4.33) turunan pertama dari S(x) adalah
𝑑𝑆
= 2(𝑥 − 18) + 4𝑥 3 = 4𝑥 3 + 2𝑥 − 36
𝑑𝑥
(4.34)
Sehingga titik kritis memenuhi 4𝑥 3 + 2𝑥 − 36 = 0 atau ekivalen
2𝑥 3 + 𝑥 − 18 = 0
(4.35)
Untuk mendapatkan x, akan dimulai dengan mencari penyelesaian x bilangan bulat. Persamaan
polinomial dengan koefisien bilangan bulat:
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0
mempunyai akar yang merupakan pembagi (faktor) a0. Hal ini telah dibuktikan dalam aljabar.
Jadi, penyelesaian bilangan bulat yang mungkin dari (4.35) adalah faktor-faktor dari-18: ±1,
±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Substitusi berturut-turut pada (4.35) diperoleh penyelesaian x = 2. Oleh
karena itu, (x – 2) merupakan faktor dari ruas kiri (4.35). Sehingga dapat ditulis
(𝑥 − 2)(2𝑥 2 + 4𝑥 + 9) = 0
Faktor kedua dalam (4.35) adalah persamaan kuadrat
2𝑥 2 + 4𝑥 + 29 = 0
138
dengan akar-akar imajiner sehingga hanya x = 2 merupakan penyelesaian real dari (4.35) dan
satu-satunya titik kritis S. Penentuan sifat titik kritis dengan menggunakan uji turunan kedua.
Dari (4.34)
𝑑2𝑆
𝑑2𝑆
2
=
12𝑥
+
2,
𝑗𝑎𝑑𝑖
|
= 50 > 0
𝑑𝑥 2
𝑑𝑥 2 𝑥=2
Yang menunjukkan bahwa minimum relatif terjadi di x = 2. Karena x = 2 ekstrim relatif untuk
L, berdasarkan teorema 4.3.6, bahwa nilai minimum absolut dari L juga terjadi di x = 2. Jadi
titik pada kurva 𝑦 = 𝑥 2 yang terdekat ke (18,0) adalah
(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑥 2 ) = (2,4)
• Aplikasi untuk Ekonomi
Tiga fungsi yang penting dalam ekonomi adalah
C(x) = Total biaya produksi x unit produk selama periode waktu tertentu
R(x) = Total hasil penjualan x unit produk selama periode waktu tertentu
P(x) = Total keuntungan penjualan x unit selama periode waktu tertentu
Fungsi-fungsi itu secara berturut-turut disebut fungsi biaya, fungsi pendapatan dan fungsi
keuntungan. Jika semua unit produk terjual, hubungan fungsi-fungsi itu adalah
𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥)
−
𝐶(𝑥)
(4.36)
[𝑘𝑒𝑢𝑛𝑡𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛] = [𝑝𝑒𝑛𝑔ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙𝑎𝑛] − [𝑏𝑖𝑎𝑦𝑎]
Total biaya C(x) untuk produksi x unit dapat dinyatakan sebagai penjumlahan
𝐶(𝑥) = 𝑎 + 𝑀(𝑥)
(4.37)
dengan a konstanta, disebut overhead dan M(x) dalah fungsi biaya pembuatan. Overhead,
merupakan biaya tetap tapi tidak bergantung pada x, pelaku ekonomi harus membayar tetap
jika tidak ada produksi, misalnya biaya sewa dan asuransi. Di sisi lain, biaya pembuatan M(x)
tergantung pada jumlah item pembuatan, biaya material dan buruh. Ini menunjukkan bahwa
dalam ilmu ekonomi penyederhanaan asumsi yang tepat M(x) dapat dinyatakan dalam bentuk
𝑀(𝑥) = 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2
dengan b dan c konstanta. Substitusi pada (4.37) menghasilkan
𝐶(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2
(4.38)
Jika perusahaan perakitan dapat menjual semua item-item produksi dengan p rupiah per biji,
maka total pendapatan R(x) menjadi
139
(4.39)
𝑅(𝑥) = 𝑝𝑥
dan total keuntungan P(x) menjadi
𝑃(𝑥) = [𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑛𝑔ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙𝑎𝑛] − [𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑖𝑎𝑦𝑎] = [𝑅(𝑥)] − [𝐶(𝑥)] = 𝑝𝑥 − 𝐶(𝑥)
Jadi, jika fungsi biaya diberikan pada (4.38), maka
𝑃(𝑥) = 𝑝𝑥 − (𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 2 )
(4.40)
tergantung pada faktor-faktor seperti jumlah pekerja, jumlah mesin yang tersedia, kondisi
ekonomi dan persaingan, limit atas l pada jumlah item-item yang sanggup diproduksi dan
dijual. Jadi selama periode waktu tetap peubah x pada (4.40) akan memenuhi
0≤𝑥≤1
Dengan menentukan nilai-nilai x pada [0,1] yang memamksimumkan (4.40), perusahaan dapat
menentukan berapa banyak unit produksi harus dibuat dan dijual agar menghasilkan
keuntungan terbesar. Masalah ini diilustrasikan dalam contoh berikut.
CONTOH 4.4.7 Pinicilin berbentuk cair dibuat oleh perusahaan farmasi dan dijual Borongan
dengan harga Rp 200 per unit. Jika total biaya produksi untuk x unit adalah
𝐶(𝑥) = 5.000.000 + 80𝑥 + 0,003𝑥 2
dan jika kapasitas produksi terbesar dari perusahaan 30.000 unit dalam waktu tertentu. Berapa
banyak unit-unit pinicilin harus dibuat dan dijual agar memperoleh keuntungan maksimum?
Penyelesaian. Karena total penghasilan untuk penjualan x unit adalah 𝑅(𝑥) = 200𝑥,
keuntungan P(x) pada x menjadi:
𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 200𝑥 − (5.000.000 + 80𝑥 + 0,003𝑥 2 )
(4.41)
Karena kapasitas produksi terbesar 30.000 unit, berarti x harus terdapat pada selang [0,30000].
Dari (4.41) turunan pertama dari P(x) adalah
𝑑𝑃
= 200 − (80 + 0,006𝑥) = 120 − 0,006𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑃
ambil 𝑑𝑥 = 0 diperoleh
120 − 0,006𝑥 = 0
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑥 = 20.000
karena titik kritis ini terdapat pada selang [0,30000], keuntungan maksimum harus terjadi di
salah satu titik
𝑥 = 0, 𝑥 = 20.000, 𝑥 = 30.000
140
Substitusi nilai ini pada (4.41) menghasilkan Tabel 4.4.5 yang menyatakan keuntungan
maksimum P = Rp 700.000 terjadi pada saat x = 20.000 unit dibuat dan dijual dalam waktu
tertentu.
Tabel 4.4.5
□
■
x
0
20.000
30.000
P(x)
-500.000
700.000
400.000
□
■
□
►
SOAL-SOAL LATIHAN 4.4
◄
□
■
□
■
□
1. Nyatakan bilangan 14 sebagai jumlah dari dua bilangan nonnegatif yang hasil kalinya sebesar
mungkin.
2. Bagaimana seharusnya dua bilangan nonnegatif dipilih agar jumlahnya 8 dan jumlah kuadratnya
adalah
3. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dibatasi oleh pagar pada 3 sisi dan oleh sungai pada sisi
ke-empat. Tentukan ukuran bidang tanah tersebut dengan luas maksimum yang dapat ditutup oleh
1400 meter pagar.
4. Tentukan ukuran dari segiempat dengan luas maksimum yang dapat dilukiskan dalam lingkaran
berjari-jari 14.
5. Tunjukkan semua segiempat dengan keliling p, bujursangkarnya mempunyai luas maksimum.
6. Tunjukkan semua segiempat dengan luas L, bujursangkarnya mempunyai keliling maksimum.
7. Jendela sebuah rumah terdiri dari segiempat yang bagian atasnya adalah setengah lingkaran
mempunyai keliling p. Tentukan radius setengah lingkaran agar luas jendelanya maksimum.
8. Kontainer dengan dasar bujur sangkar, sisi-sisi tegaknya dan bagian atas yang terbuka dibuat dari
material 120 m2. Tentukan ukuran dari container denga nisi terbesar.
9. Kontainer empat persegi panjang dengan dua sisi bujur sangkar dan bagian atas terbuka mempunyai
isi V kubik satuan volume. Tentukan ukutan container dengan luas permukaan minimum.
10. Tentukan ukuran tabung denga nisi terbesar yang dapat dibuat dalam bola berjari-jari R.
141
Bab 5
Integrasi
142
I
ntegrasi
Dalam hal ini dibahas tentang kalkulus integral dan sifat-sifatnya. Konsep integral
taktentu yang merupakan kebalikan dari operasi diferensial yaitu sebagai bentuk umum
dari antiturunan, sedangkan integral tertentu diilustrasikan sebagai limit jumlahan
Riemann yang merupakan generalisasi dari proses perhitungan luas.
5.1 Pendahuluan
Pada subbab ini dibahas tentang masalah luas yang dibatasi oleh suatu kurva lengkung
MASALAH LUAS. Diberikan fungsi f yang kontinu tak negatif pada selang [a, b],
tentukan luas yang dibatasi oleh grafik fungsi f, selang [a, b] dan sumbu-x seperti
ditunjukkan pada Gambar 5.1.1 (a).
143
Gambar 5.1.1
Diberikan suatu kurva dari fungsi f yang kontinu tak negatif pada selang [a, b],
selanjutnya masalah luas daerah yang dihitung seperti pada Gambar 5.1.1 (a). Menyelesaikan
seluruh persoalan luas seperti ini tidaklah mudah dikarenakan fungsi f merupakan kurva
lengkung, sehingga perlu intuitif untuk menjeneralisasi masalah luas. Untuk 0 ≤ a ≤ x ≤ b
maka luasan yang dibatasi oleh kurva f dan selang [a, x] merupakan fungsi x, disebut L'(x)
Gambar 5.1.1 (b).
Menurut Newton dan Leibniz untuk mendapatkan L(x) dicari dulu turunan dari L(x),
kemudian menggunakan L'(x), untuk menentukan L(x). Persoalan mencari turunan dari L(x)
dilakukan melalui definisi turunan sebagai berikut :
L(𝑥 + ℎ) − L(𝑥)
ℎ →0
ℎ
L′ (𝑥) = lim
(5.1)
dengan h > 0. Pembilang pada sisi kanan dari (5.1) merupakan selisih dari dua luas; luas antara
a dan x + h dikurangi luas antara a dan x pada Gambar 5.1.2(a). Jika diambil c titik tengah
antara x dan x+h, maka selisih luas ini dapat dihampiri dengan luas persegipanjang dengan
alas h dan tinggi f(c) pada Gambar 5.1.2(b). Sehingga
L(𝑥 + ℎ) − L(𝑥)
𝑓(𝑐) ∙ ℎ
≈
= 𝑓(𝑐)
ℎ
ℎ
144
(5.2)
Gambar 5.1.2
Dari Gambar 5.1.2(b) tampak bahwa kesalahan dalam penghampiran (5.2) akan menuju nol
untuk h → 0, sehingga berdasarkan (5.1) dan (5.2) diperoleh
L(𝑥 + ℎ) − L(𝑥)
= lim 𝑓(𝑐)
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
L′ (𝑥) = lim
(5.3)
Karena c titik tengah antara x dan x+h, maka c → x untuk h → 0. Karena f fungsi kontinu,
maka f(c) → f(x) untuk c → x. Oleh karena itu,
lim 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑥)
ℎ→0
Jadi, berdasarkan (5.3) diperoleh
L′ (𝑥) = 𝑓(𝑥)
145
(5.4)
Persamaan (5.4) adalah hasil yang menyatakan turunan dari fungsi luas L(x) seperti
ditunjukkan dalam Gambar 5.1.1(b). Contoh berikut ini mengilustrasikan bagaimana (5.4)
dapat digunakan untuk mencari luas di bawah parabola dalam selang [a, b] di atas sumbu-x.
CONTOH 5.1.1 Gunakan (5.4) untuk mendapatkan luas daerah yang terletak di antara grafik
parabola f(x) = 𝑥 2 dan selang [0,1].
(Lihat Gambar 5.1.3(a))
Gambar 5.1.3
Pada Gambar 5.1.3, daerah yang dibatasi oleh fungsi f(x) = 𝑥 2 pada bagian atas dan
interval [0,1], berdasarkan (5.4) diperoleh
L′ (𝑥) = 𝑥 2
(5.5)
untuk memperoleh L(x), harus dicari fungsi yang turunannya sama dengan 𝑥 2 , masalah ini
disebut dengan antidiferensiasi sebab menentukan L(x) dengan “membalik” diferensiasi.
Tampak bahwa
1
L(𝑥) = 𝑥 3
3
merupakan penyelesaian dari (5.5). Tetapi ini bukan sastu-satunya penyelesaian, sebab
berdasarkan Teorema 4.8.4
1
L(x) = 𝑥 3 + 𝐶
3
(5.6)
juga memenuhi (5.5) untuk sebarang nilai real C, dengan C konstanta yang harus dicari. Hal
ini merupakan dasar penyelesaian masalah luas dengan mengambil titik ujung kanan sebarang.
Jika diperhatikan kasus dimana x = 0, maka selang [0,x] menjadi satu titik tunggal. Jika
disepakati bahwa luas di atas titik tunggal diambil nol, maka dengan substitusi x = 0 pada (5.6)
diperoleh
L(0) = 0 + C = 0 atau C = 0.
146
Sehingga (5.6) disederhanakan menjadi
L(𝑥) =
1 3
𝑥
3
(5.7)
merupakan rumus luas di bawah y = 𝑥 2 pada selang [0,x]. Untuk luas di atas sumbu-x pada
selang [0,1], diperoleh
L(𝑥) =
1
(𝑆𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 luas)
3
Sesuai tujuan dalam pembahasan bab ini adalah mengembangkan suatu pendekatan
untuk mencari suatu fungsi yang turunannya telah diketahui.
5.2 Anti-turunan; Integral Taktentu
Dalam subbab ini akan dikembangkan beberapa konsep dasar untuk mendapatkan tahap-tahap
sistematik dalam mencari suatu fungsi yang turunannya telah diketahui.
▪ Anti-Turunan
DEFINISI 5.2.1 Suatu fungsi F disebut anti-turunan dari f pada selang tertentu jika
F'(x) = f(x) untuk semua x dalam selang tersebut.
CONTOH 5.2.1 Fungsi-fungsi berikut :
1 6
𝑥 ,
6
1 6
𝑥 + 5,
6
1 6
𝑥 + 𝜋,
6
1 6
𝑥 +𝐶
6
(𝐶 suatu konstanta)
adalah anti-turunan dari f(x) = 𝑥 5 pada selang (−∞, +∞), sebab turunan dari masing-masing
fungsi itu adalah 𝑥 5 .
◄
Contoh 5.2.1 menunjukkan bahwa suatu fungsi dapat mempunyai banyak anti-turunan. Jika
sebarang F(x) merupakan anti-turunan dari f(x) dan C konstanta sebarang, maka
F(x) + C
juga anti-turunan dari f(x), karena
𝑑
𝑑
𝑑
[𝐹(𝑥) + 𝐶] =
[𝐹(𝑥)] +
[𝐶] = 𝑓(𝑥) + 0 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Apakah ada anti-turunan dari f yang tidak dapat diperoleh dengan menambahkan suatu
konstanta pada F? Jawabannya tidak. Untuk menunjukkan hal ini, misalkan G(x) sebarang
anti-turunan yang lain dari f(x); maka
𝑑
𝑑
[𝐹(𝑥)] =
[𝐺(𝑥)] = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Dengan demikian berdasarkan Teorema 5.2.2, F dan G hanya dibedakan oleh konstanta C
pada selang I, yaitu
G(x) = F(x) + C
147
untuk x pada I.
TEOREMA 5.2.2 Jika F(x) sebarang anti-turunan dari f(x) pada selang tertentu, maka
untuk sebarang nilai C fungsi F(x) + juga anti-turunan dari f(x) pada selang tersebut;
selanjutnya setiap anti-turunan dari f(x) pada selang tersebut dinyatakkan dalam
bentuk F(x) + C, dengan C konstan.
▪ Integral Taktentu
Proses mencari anti-turunan disebut antidiferensiasi atau integrasi. Jika terdapat suatu fungsi
F sedemikian hingga
𝑑
[𝐹(𝑥)] = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
maka fungsi berbentuk F(x) + C juga merupakan anti-turunan dari f(x). Proses ini dinotasikan
dengan
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶
(5.8)
simbol ∫ disebut tanda integral dan f(x) disebut integran. Pernyataan (5.8) dibaca “integral
taktentu dari f(x) sama dengan F(x) ditambah C.” Kata keterangan “taktentu” digunakan
karena sisi kanan dari (5.8) bukan suatu fungsi tertentu, tetapi lebih merupakan seluruh
himpunan fungsi yang mungkin; konstanta C disebut konstanta integrasi.
Pada Contoh 5.2.1 terlihat bahwa anti-turunan dari f(x) = 𝑥 5 adalah fungsi-fungsi
1
berbentuk F(x) = 6 𝑥 6 + 𝐶. Jadi
1
∫ 𝑥 5 𝑑𝑥 = 𝑥 6 + 𝐶
6
▪ Masalah Notasi
Simbol dx dalam operasi diferensiasi dan antidiferensiasi
𝑑
[… ]
𝑑𝑥
𝑑𝑎𝑛
∫[… ] 𝑑𝑥
berperan untuk mengenali peubah bebasnya.
CONTOH 5.2.2
RUMUS TURUNAN
𝑑 3
[𝑥 ] = 3𝑥 3
𝑑𝑥
RUMUS INTEGRAL YANG EKUIVALEN
∫ 3 𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑥 3 + 𝐶
148
𝑑
[sin 𝑦] = cos 𝑦
𝑑𝑦
∫ cos 𝑦𝑑𝑦 = sin 𝑦 + 𝐶
𝑑
[tan 𝑡] = sec 2 𝑡
𝑑𝑡
∫ sec 2 𝑡𝑑𝑡 = tan 𝑡 + 𝐶
𝑑 3/2
3
[𝑢 ] = 𝑢1/2
𝑑𝑢
2
3
∫ 𝑢1/2 𝑑𝑢 = 𝑢3/2 + 𝐶
2
▪ Rumus Integral
Beberapa rumus integral dasar yang dihimpun pada Tabel 5.2.1 sebagai berikut :
Tabel 5.2.1 Rumus Integral
RUMUS DIFERENSIASI
𝒅
[𝒙] = 𝟏
𝒅𝒙
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
𝟐.
𝒅 𝒙𝒏+𝟏
[
] = 𝒙𝒏
𝒅𝒙 𝒏 + 𝟏
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
𝟑.
𝒅
[𝐬𝐢𝐧 𝒙] = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝒅𝒙
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶
𝟒.
𝒅
[−𝐜𝐨𝐬 𝒙] = 𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝒅𝒙
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
𝟓.
𝒅
[𝐭𝐚𝐧 𝒙] = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙
𝒅𝒙
∫ sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶
𝟔.
𝒅
[−𝐜𝐨𝐭 𝒙] = 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒙
𝒅𝒙
∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶
𝟕.
𝒅
[𝐬𝐞𝐜 𝒙] = 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒙
𝒅𝒙
∫ sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶
𝟖.
𝒅
[−𝐜𝐬𝐜 𝒙] = 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝐜𝐨𝐭 𝒙
𝒅𝒙
∫ csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = − csc 𝑥 + 𝐶
𝟏.
RUMUS INTEGRASI
(𝒏 ≠ −𝟏)
𝑥 𝑛+1
+𝐶
𝑛+1
CONTOH 5.2.3 Penggunaan rumus integral pada Tabel 5.2.1 diperoleh :
∫ 𝑥 5 𝑑𝑥 =
𝑥6
+𝐶
6
𝑛=5
149
(𝑛 ≠ −1)
∫ 𝑥 8 𝑑𝑥 =
∫
𝑥9
+𝐶
9
𝑛=8
1
𝑥 −5+1
1
−5
𝑑𝑥
=
∫
𝑥
𝑑𝑥
=
+𝐶 =− 4+𝐶
5
𝑥
−5 + 1
4𝑥
𝑛 = −5
1
3
∫ √𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
1/3
𝑥 3+1
3 4
3 3
𝑑𝑥 =
+ 𝐶 = 𝑥 3 + 𝐶 = ( √𝑥 4 + 𝐶)
1
4
4
3+1
𝑛=
1
3
◀
▪ Sifat-Sifat Integral Taktentu
Jika anti-turunan dari f(x) diturunkan kembali, maka diperoleh kembali fungsi asal f(x). Ditulis
𝑑
[∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥] = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
(5.9)
Persamaan ini bermanfaat untuk membuktikan sifat-sifat dasar anti-turunan sebagai berikut:
TEOREMA 5.2.3
a. Faktor konstan dapat dipindah melewati tanda integral; yaitu
∫ 𝒄𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒄 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
dengan c adalah konstanta sebarang
b. Anti-turunan dari jumlahan dan fungsi adalah jumlahan anti-turunan sukusukunya; yaitu
∫[𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 + ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙
c. Anti-turunan dari selisih dua fungsi adalah selisih anti-turunan; yaitu
∫[𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 − ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙
Bukti: Dalam tiap bagian harus ditunjukkan bahwa ekspresi pada sisi kanan persamaan
merupakan anti-turunan dari integran pada sisi kiri persamaan tersebut. Hal ini dapat
dikerjakan menggunakan (5.9) sebagai berikut:
𝑑
𝑑
[𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥] = 𝑐
[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥] = 𝑐𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑
𝑑
𝑑
[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥] =
[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥] +
[∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
150
𝑑
𝑑
𝑑
[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥] =
[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥] −
[∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥]
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
∎
Pada saat menggunakan Teorema 5.2.3, sebaiknya konstanta integral dituliskan pada
perhitungan yang terakhir untuk mendapatkan jawaban dalam bentuk paling sederhana.
Perhatikan contoh berikut ini.
CONTOH 5.2.4 Hitung
𝑎. ∫ 7 sin 𝑥 𝑑𝑥
Penyelesaian (a).
𝑏.
∫(𝑥 2 + 𝑥 3 )𝑑𝑥
Dengan menggunakan Teorema 5.2.3 dan Tabel 5.2.1, didapat
∫ 7 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 7 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 7(− cos 𝑥 + 𝐶) = −7 sin 𝑥 − 7𝐶.
↑
↑
Teorema 5.2.3(b)
Tabel 5.2.1
Karena C konstanta sebarang, maka 7C juga konstanta sebarang, sehingga dapat dituliskan ,
𝑥3 𝑥4
∫(𝑥 + 𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
+ +𝐶
3
4
2
3
2
3
↑
↑
Teorema 5.2.3
Tabel 5.2.1
◀
Bagian (b) dan (c) dalam Teorema 5.2.3 dapat diperluas untuk lebih dari dua fungsi,
yang dikombinasikan dengan hasil bagian (a) dalam rumus umum sebagai berikut,
∫(3𝑥 6 − 2𝑥 2 + 7𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥 6 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + 7 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 1 𝑑𝑥
3𝑥 7 2𝑥 3 7𝑥 2
=
−
+
+𝑥+𝐶
7
3
2
CONTOH 5.2.6
𝑎.
∫
cos 𝑥
𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑏.
Penyelesaian (a).
151
∫
𝑡 2 − 2𝑡 4
𝑑𝑡
𝑡4
∫
cos 𝑥
1 cos 𝑥
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥 = ∫ csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥 = − csc 𝑥 + 𝐶
2
𝑠𝑖𝑛 𝑥
sin 𝑥 sin 𝑥
↑
Rumus 8 pada Tabel 5.2.1
Penyelesaian (b).
𝑡 2 − 2𝑡 4
1
∫
𝑑𝑡 = ∫ ( 2 − 2) 𝑑𝑡 = ∫(𝑡 −2 − 2) 𝑑𝑡
4
𝑡
𝑡
𝑡 −1
1
=
− 2𝑡 + 𝐶 = − − 2𝑡 + 𝐶
−1
𝑡
◀
▪ Kurva Integral
Dari Teorema 5.2.2 anti-turunan dari fungsi f pada sebarang selang dibedakan oleh konstanta.
Sehingga, pada suatu selang grafik-grafik anti-turunan f membentuk kelas kurva yang
merupakan translasi vertikal suatu anti-turunan dengan yang lain. Kelas kurva ini disebut
kurva integral dari f. Suatu kurva integral dari f(x) = 𝑥 2 ditunjukkan pada Gambar 5.2.1(a).
Gambar 5.2.1
Dalam berbagai kasus sering diperlukan pencarian suatu fungsi yang turunannya
memenuhi syarat-syarat tertentu. Contoh 5.2.7 mengilustrasikan masalah ini.
CONTOH 5.2.7 Misal suatu titik bergerak sepanjang kurva y = f(x) dalam bidang-xy
sedemikian hingga setiap titik (x,y) pada kurva tersebut, garis singgungnya mempunyai
kemiringan 𝑥 3 . Dapatkan persamaan kurva tersebut yang melalui titik (-1,2).
152
Diketahui bahwa dy/dx = 𝑥 3 , maka
Penyelesaian.
1 4
𝑥 +𝐶
4
𝑦 = ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 =
(5.10)
Karena kurva tersebut melalui titik (-1,2), nilai khusus untuk C dapat diperoleh dengan
mensubstitusikan nilai-nilai x = -1 dan y = 2 pada (5.10) diperoleh
1
2 = ((−1)4 ) + 𝐶
4
1
7
Jadi kurva yanag dicari adalah 𝑦 = 4 𝑥 4 + 4
□
■
□
■
□
►
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝐶=
7
4
◄
□
◀
SOAL-SOAL LATIHAN 5.2
■
□
■
□
Untuk Soal 1-10, hitunglah integralnya dan periksalah hasilnya dengan mencari turunan dari
jawaban yang diperoleh.
1.
∫ 2𝑥 7 𝑑𝑥.
6.
∫ 3𝑥 4/7 𝑑𝑥.
2.
∫
7.
∫ (2𝑥 −3 + √𝑥 − 3𝑥 4 + 3𝑥 2 ) 𝑑𝑥.
3.
∫(𝑥 2/3 − 2𝑥 −1/5 + 6) 𝑑𝑥.
8.
∫
4.
1
∫ [ 2 − 2cos 𝑡] 𝑑𝑡.
𝑡
9.
∫[6 sin 𝑥 + 4 cos 𝑥] 𝑑𝑥.
5.
∫ 2 sec 𝑥 (sec 𝑥 + tan 𝑥) 𝑑𝑥.
10.
∫[√𝜃 − 2𝑐𝑠𝑐 2 𝜃] 𝑑𝜃.
6
√𝑡
𝑑𝑡.
1
2 − 4𝑡 3
𝑑𝑡.
𝑡3
5.3 Integral dengan Substitusi
Dalam subbab ini dibahas suatu teknik integrasi dengan substitusi, yang dapat digunakan
untuk mengubah permasalahan integrasi yang rumit ke bentuk yang lebih sederhana.
▪ SUBSTITUSI – u
Metode substitusi bergantung pada rumus berikut, dengan u merupakan suatu fungsi dari x
yang diferensiabel.
153
∫ [𝑓(𝑢)
𝑑𝑢
] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢
𝑑𝑥
(5.11)
Untuk memperlihatkan kebenaran Rumus (5.11), maka dimisalkan F sebagai anti-turunan dari
f, sehingga
𝑑
[𝐹(𝑢)] = 𝑓(𝑢)
𝑑𝑢
atau
∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶
(5.12)
Jika u suatu fungsi dari x yang diferensiabel, maka dengan aturan rantai
𝑑
𝑑
𝑑𝑢
𝑑𝑢
[𝐹(𝑢)] =
[𝐹(𝑢)]
= 𝑓(𝑢)
𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑥
atau
∫ [𝑓(𝑢)
𝑑𝑢
] 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑢) + 𝐶
𝑑𝑥
(5.13)
Rumus (5.11) diperoleh dari (5.12) dan (5.13).
Contoh berikut sebagai ilustrasi bagaimana Rumus (5.11) digunakan.
CONTOH 5.3.1 Carilah ∫(𝑥 2 + 1)45 ∙ 2𝑥 𝑑𝑥
Penyelesaian.
Jika diambil u = 𝑥 2 + 1, maka du/dx = 2x, sehingga integral yang
diberikan dapat ditulis sebagai
∫( 𝑥 2 + 1)45 ∙ 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ [𝑢45
𝑑𝑢
] 𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
↑
↑
∫ [𝑓(𝑢)
=
∫ 𝑢45 𝑑𝑢
𝑑𝑢
] 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑢46
+𝐶 =
46
∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢
(𝑥 2 + 1)46
+𝐶
46
◀
Metode yang diilustrasikan pada contoh tersebut dapat diringkas sebagai berikut:
INTEGRASIDENGANSUBSTITUSI
Langkah-1. Pilihlah u, misal u = g(x).
Langkah-2. Tentukan du/dx = g'(x).
Langkah-3. Substitusikan u = g(x), du = g'(x) dx.
154
Sampai di sini integrasi harus dalam suku-suku u; tidak boleh tersisa suku-suku dalam
x. Jika tidak demikian, coba dengan memilih u yang lain.
Langkah-4. Selesaikan integral yang dihasilkan.
Langkah-5. Ganti u dengan g(x), sehingga diperoleh jawaban akhirnya dalam sukusuku x.
CONTOH 5.3.2 Substitusi yang termudah dapat diperoleh apabila integrannya merupakan
turunan suatu fungsi, kecuali untuk konstanta yang ditambahkan pada peubah bebasnya.
∫ cos(3𝑥 + 9) 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑢 ∙
1
1
1
𝑑𝑢 = sin 𝑢 + 𝐶 = sin(3𝑥 + 9) + 𝐶
3
3
3
↑
u = 3x + 9
du = 3∙dx
1
𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
3
∫(𝑥 − 8)
23
𝑢24
(𝑥 − 8)24
𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 =
+𝐶 =
+𝐶
24
24
23
◀
↑
u=x–8
du = 1 ∙ dx = dx
Substitusi u menjadi mudah apabila integrannya mmerupakan turunan suatu fungsi,
kecuali untuk konstanta pengali atau pembagi peubah bebasnya. Contoh berikut ini
mengilustrasikan dua cara untuk menghitung integral yang demikian.
CONTOH 5.3.3 Selesaikanlah ∫ cos 5𝑥 𝑑𝑥.
Penyelesaian.
1
1
1
1
∫ cos 5𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (cos 𝑢) 𝑑𝑢 = ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = sin 𝑢 + 𝐶 = sin 5𝑥 + 𝐶
5
5
5
5
CONTOH 5.3.4 Selesaikan ∫ 𝑠𝑖𝑛2 x cos 𝑥 𝑑𝑥
Penyelesaian.
Jadi.
Jika dimisalkan u = sin x, maka du/dx = cos x dx.
𝑢3
𝑠𝑖𝑛3 𝑥
∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 =
+𝐶 =
+𝐶
3
3
2
2
155
◀
◀
CONTOH 5.3.5 Selesaikan ∫
𝑐𝑜𝑠 √𝑑𝑥
√𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑢
1
1
√
√𝑥
Jika dimisalkan u = √𝑥, maka 𝑑𝑥 = 2 𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑑𝑢 =
Penyelesaian.
𝑑𝑥.
Jadi.
∫
𝑐𝑜𝑠√𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 2 cos 𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 2 sin 𝑢 + 𝐶 = 2 sin √𝑥 + 𝐶
CONTOH 5.3.6 Selesaikan ∫
𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛.
∫
𝑑𝑥
1
(3 𝑥 − 8)5
=∫
◀
𝑑𝑥
1
(3 𝑥 − 8)5
Jika dimisalkan 𝑢 =
1
𝑑𝑢 1
𝑥 − 8, maka
= atau 3 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Jadi,
3
𝑑𝑥 3
3 𝑑𝑢
3
3 1
= 3 ∫ 𝑢−5 𝑑𝑢 = − 𝑢−4 + 𝐶 = − ( 𝑥 − 8) −4 + 𝐶
5
𝑢
4
4 3
◀
CONTOH 5.3.7 Dengan Teorema 5.2.3, integral yang rumit kadang dapat diselesaikan dengan
menyatakannya sebagai penjumlahan integral yang lebih sederhana. Sebagai contoh
∫(𝑥 + 𝑠𝑒𝑐 2 𝜋𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝜋𝑥 𝑑𝑥 =
=
𝑥2
+ ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝜋𝑥 𝑑𝑥
2
𝑥2 1
+ ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢
2 𝜋
↑
𝑢 = 𝜋𝑥
𝑑𝑢 = 𝜋 𝑑𝑥 atau 𝑑𝑥 =
1
𝑑𝑢
𝜋
𝑥2 1
𝑥2 1
=
+ tan 𝑢 + 𝐶 =
+ tan 𝜋𝑥 + 𝐶
2 𝜋
2 𝜋
◀
3
CONTOH 5.3.8 Selesaikan ∫ 𝑡 4 √3 − 5𝑡 5 𝑑𝑡.
Penyelesaian.
Seperti pada contoh sebelumnya, sehingga integral di atas dapat
diselesaikan sebagai berikut:
156
3
3
∫ 𝑡 4 √3 − 5𝑡 5 𝑑𝑡 = √3 − 5𝑡 5 𝑡 4 𝑑𝑡 = −
1 3
1
∫ √𝑢 𝑑𝑢 = − ∫ 𝑢1/3 𝑑𝑢
25
25
𝑢 = 3 − 5𝑡 5
𝑑𝑢 = −25𝑡 4 𝑑𝑡 𝑎𝑡𝑎𝑢 −
1
𝑑𝑢 = 𝑡 4 𝑑𝑡
25
4
4
1 𝑢3
3
=−
+𝐶 =−
(3 − 5𝑡 5 )3 + 𝐶
25 4
100
3
◀
CONTOH 5.3.9 Selesaikan ∫ 𝑥 2 √𝑥 − 1 𝑑𝑥.
Penyelesaian.
Misalkan
u = x – 1
atau
x = u + 1
sehingga
du = dx
(5.14)
diperoleh
𝑥 2 = (𝑢 + 1)2 = 𝑢2 + 2𝑢 + 1
sehingga
5
3
1
∫ 𝑥 2 √𝑥 − 1 𝑑𝑥 = ∫(𝑢2 + 2𝑢 + 1)√𝑢 𝑑𝑢 = ∫ (𝑢2 + 2𝑢 2 + 𝑢2 ) 𝑑𝑢
2
4
2
= 𝑢7/2 + 𝑢5/2 + 𝑢3/2 + 𝐶
7
5
3
=
2
4
2
(𝑥 − 1)7/2 + (𝑥 − 1)5/2 + (𝑥 − 1)3/2 + 𝐶
7
5
3
◀
Tidak semua fungsi dapat diintegralkan dengan menggunakan substitusi-u. Sebagai
contoh, tidak akan dijumpai substitusi-u untuk menyelesaikan integral berikut ini sebagaimana
telah Anda pahami sebelumnya (cobalah):
∫
1
𝑑𝑥,
𝑥
∫
𝑑𝑥
√1 − 𝑥 2
▪ CATATAN
157
,
∫ sin(𝑥 2 )𝑑𝑥
Sistem Penghitung/Komputer Aljabar memungkinkan untuk menyelesaikan berbagai integral
taktentu pada komputer dan kalkulator. Sebagai contoh, integral berikut ini dihitung hanya
dalam beberapa detik dengan menggunakan manipulator simbolik.
∫
𝑥
2
𝑑𝑥 = −2√1 + 𝑥 + √(1 + 𝑥)3 + 𝐶
3
√1 − 𝑥 2
Meskipun telah tersedia sistem penghitung aljabar, kemampuan dasar menghitung integral
taktentu mutlak diperlukan.
□
■
□
■
□
►
SOAL-SOAL LATIHAN 5.3
◄
□
■
□
■
□
1. Hitunglah integral-integral di bawah ini dengan memilih substitusi yang ditunjukkan.
(a) ∫ 4𝑥(2𝑥 2 + 1)23 𝑑𝑥; 𝑢 = 2𝑥 2 + 1.
(c) ∫
1
2√𝑥
(b) ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥; 𝑢 = cos 𝑥.
(d) ∫
𝑠𝑖𝑛2√𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑢 = 2√𝑥.
3𝑥 𝑑𝑥
√4𝑥 2 + 5
; 𝑢 = 4𝑥 2 + 5
2. Hitunglah integral-integral di bawah ini dengan memilih substitusi yang ditunjukkan.
(a) ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (4𝑥 + 1)𝑑𝑥; 𝑢 = 4𝑥 + 1.
(b) ∫ 𝑦√1 + 2𝑦 2 𝑑𝑦; 𝑢 = 1 + 2𝑦 2 .
4
2
(c) ∫ √sin 𝜋𝜃 cos 𝜋𝜃 √𝑥 𝑑𝜃; 𝑢 = sin 𝜋𝜃 . (d) ∫ (2𝑥 + 7)(𝑥 + 7𝑥 + 3)5 ;
𝑢 = 𝑥 2 + 7𝑥 + 3.
3. Hitunglah integral-integral di bawah ini dengan memilih substitusi yang ditunjukkan.
(a) ∫ cot 𝑥 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥; 𝑢 = cot 𝑥.
(b) ∫(1 + sin 𝑡)9 cos 𝑡𝑑𝑡, 𝑢 = 1 + sin 𝑡.
5.4 Luas sebagai Limit
Pada bagian awal bab ini dibahas konsep anti-turunan (integral) lewat pengertian luas. Secara
matematika konsep luas harus terdefinisi dengan jelas.
Dalam subbab ini akan ditunjukkan bagaimana cara menghitung luas dengan
menggunakan limit dan akan dikembangkan suatu definisi luas dengan tepat. Bagi pembaca
yang belum terbiasa dengan notasi sigma, sangat dianjurkan untuk mempelajari bahasan
tentang notasi sigma yang diberikan pada Lampiran B.
▪ Definisi Luas
Gambar 5.4.1 menunjukkan suatu daerah D yang dibatasi di bagian bawah oleh sumbu-x, pada
sisi-sisi tegaknya oleh garis x = a dan x = b, sedangkan bagian atas oleh kurva y = f(x),
158
dengan f kontinnu dan tak negatif pada [a,b]. Pada subbab sebelumnya, telah ditunjukkan
bagaimana menghitung luas daerah semacam itu, dengan menggunakan anti-turunan,
pengembangan tersebut didasarkan pada konsep intuitif. Sekarang akan diperbaiki persoalan
tersebut dengan mengembangkan suatu definisi luas D dengan tepat.
Perhatikan kembali definisi kemiringan garis singgung sebagai suatu limit, pada suatu
titik-titik yang berdekatan kemudian ditarik garis-garis sejajar sumbu-y sehingga membentuk
hampiran persegi panjang. Dengan cara yang sama, akan didefinisikan luas keseluruhan D
sebagai limit dari jumlahan luas daerah sederhana (persegipanjang) yang luasnya diketahui.
Luas persegi panjang adalah perkalian panjang dan lebarnya dan luas daerah gabungan
persegipanjang-persegipanjang.
159
Gambar 5.4.1
Adalah jumlah luas persegipanjang-persegipanjang tersebut. Untuk mendefinisikan luas
daerah D yang bentuknya seperti ditunjukkan pada Gambar 5.4.1, dilakukan langkah-langkah
sebagai berikut:
a. Pilih sebarang bilangan bulat positif n, dan bagi selang [a,b] menjadi n selang bagian
dengan lebar (b – a)/n dengan menyisipkan (n – 1) titik-titik antara a dan b, misal
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛
(Gambar 5.4.1(a)). Titik-titik ini membentuk partisi dari selang [a,b].
b. Kemudian, gambarkan garis vertikal melalui titik-titik a, x₁, x₂, x₃,...,xₙ₋₁, b untuk membagi
daerah D ke dalam n pita yang lebarnya sama (Gambar 5.4.1(b)).
160
c. Sekarang hampiri luas dari masing-masing pita dengan luas persegipanjang. Untuk itu, pilih
sebarang titik dalam setiap selang bagian, misal
∗
𝑥1∗ , 𝑥2∗ , 𝑥3∗ , … , 𝑥𝑛−1
dan di atas setiap selang bagian dibuat persegipanjang yang tingginya adalah nilai dari
fungsi f di titik sebarang yang dipilih (Gambar 5.4.1(c)). Jumlah dari persegipanjangpersegipanjang tersebut membentuk suatu daerah Dn yang merupakan hampiran yang layak
untuk keseluruhan daerah D.
d. Jika n bertambah besar, maka lebar semua persegipanjang akan menjadi lebih kecil, dan
hampiran luas dari D menggunakan hampiran luas Dn akan menjadi lebih baik
sebagaimana persegipanjang yang lebih tipis mengisi celah di bawah kurva dan mengurangi
bagian yang saling tumpang tindih (Gambar 5.4.2(a)). Jadi, dapat didefinisikan luas dari D
sebagai limit dari luas daerah hampiran Dn untuk n → +∞; yaitu
𝐿 = luas (𝐷) = lim [luas(𝐷ₙ)]
n→+∞
(5.15)
Terdapat perbedaan antara penulisan lim dan lim , dimana n menyatakan bilangan bulat
n→+∞
x→+∞
positif dan x tidak ada batasan. Selanjutnya dikaji limit-limit dari
Gambar 5.4.2
Jenis lim dengan rinci, tetapi untuk sekarang cukup dianggap bahwa cara menghitung limit
n→+∞
jenis lim juga berlaku untuk lim
n→+∞
n→+∞
Untuk perhitungan luasan dengan menggunakan (5.15) dapat ditulis dalam bentuk yang
operasional sebagai berikut: Jika selang [a,b] dibagi menjadi n buah selang bagian maka,
setiap persegipanjang hampiran yang terbentuk lebarnya sama dengan (b – a)/n, ditulis dengan
∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
161
Panjang dari persegipanjang-persegipanjang hampiran tersebut adalah nilai f pada titik-titik
𝑥1∗ , 𝑥2∗ , 𝑥3∗ , … , 𝑥𝑛∗
sehingga persegipanjang-persegipanjang hampiran itu merupakan daerah Dₙ yang mempunyai
luas masing-masing
𝑓(𝑥1∗ )∆𝑥, 𝑓(𝑥2∗ )∆𝑥, 𝑓(𝑥3∗ )∆𝑥, … , 𝑓(𝑥𝑛∗ )∆𝑥
(Gambar 5.4.2(b)), dan luas total daerah Dₙ adalah jumlah dari persegipanjang-persegipanjang
hampiran tersebut dan dinyatakan dengan notasi
luas(𝐷ₙ) = 𝑓(𝑥1∗ )∆𝑥, 𝑓(𝑥2∗ )∆𝑥, 𝑓(𝑥3∗ )∆𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛∗ )∆𝑥
atau dalam notasi sigma,
𝑛
luas(𝐷ₙ) = ∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥
𝑘=1
Dengan notasi (5.15), maka luas dapat dinyatakan sebagai
𝑛
𝐿 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥
𝑛→+∞
(5.16)
𝑘=1
yang merupakan definisi luas yang tepat dari daerah D.
▪ Beberapa Pertimbangan Teknis
Pada (5.16) titik-titik 𝑥1∗ , 𝑥2∗ , 𝑥3∗ , … , 𝑥𝑛∗ dapat dipilih sebarang, sehingga dimungkinkan bahwa
perbedaan memilih titik-titik tersebut menghasilkan nilai L yang berbeda, hal ini tidak sesuai
dengan definisi luas. Apabila f kontinu (seperti telah diasumsikan), nilai L yang sama dapat
diperoleh tanpa mempermasalahkan cara memilih titik-titik tersebut. Biasanya titik-titik
tersebut dipilih dengan beberapa cara yang sistematik, beberapa pemilihan yang umum adalah:
a) Titik ujung kiri masing-masing selang bagian
b) Titik ujung kanan masing-masing selang bagian
162
c) Titik ujung tengah masing-masing selang bagian
Jika, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 5.4.3, selang bagian [a,b] dibagi oleh titik-titik
𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛−1 menjadi n bagian yang sama dengan lebar masing-masing ∆𝑥, dan jika
dimisalkan 𝑥0 = 𝑎 dan 𝑥𝑛 = 𝑏, maka
𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘∆𝑥,
untuk
sehingga untuk k = 0,1,2,...,n
163
𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛
•
𝑥𝑘∗ = 𝑥𝑘−1 = 𝑎 + (𝑘 − 1)∆𝑥
•
𝑥𝑘∗ = 𝑥𝑘 = 𝑎 + 𝑘∆𝑥
•
𝑥𝑘∗ = 2 (𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘 ) = 𝑎 + (𝑘 − 2) ∆𝑥
Titik ujung kiri
(5.17)
Titik ujung kanan
1
1
(5.18)
Titik tengah
(5.19)
Gambar 5.4.3
CONTOH 5.4.1 Gunakan (5.16) dengan 𝑥𝑘∗ titik ujung kanan pada masing-masing selang
bagian untuk menentukan luas di bawah garis y = x pada selang [1,2].
Penyelesaian. Jika selang [1,2] dibagi menjadi n bagian yang sama, maka masing-masing
bagian lebarnya
∆𝑥 =
𝑏−𝑎 2−1 1
=
=
𝑛
𝑛
𝑛
dari (5.18)
𝑥𝑘∗ = 𝑎 + 𝑘∆𝑥 = 1 +
𝑘
𝑛
(Gambar 5.4.4(a)). Sehingga persegipanjang ke-k mempunyai luas
𝑘
𝑘 1
𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥 = 𝑥𝑘∗ ∆𝑥 = (1 + ) ∆𝑥 = (1 + )
𝑛
𝑛 𝑛
dan jumlah luas dari n persegipanjang adalah
𝑛
𝑛
𝑘 1
1
𝑛
1
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ ) ∆𝑥 = ∑ [(1 + ) ] = ∑ 1 + 2 ∑ 𝑘
𝑛 𝑛
𝑛
𝑛
𝑘=1
𝑘−1
𝑘=1
𝑘=1
=
1
1 1
3 1
𝑛 + 2 [ 𝑛(𝑛 + 1)] = +
𝑛
𝑛 2
2 2𝑛
Jadi, dari (5.16) luas yang dimaksud adalah
𝑛
3 1
3
3
𝐿 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥 = lim ( + ) = + 0 =
𝑛→∞
𝑛→∞ 2
2𝑛
2
2
𝑘=1
Daerah tersebut merupakan trapesium dengan tinggi h = 1 dan sisi-sisi sejajar 𝑏1 =
1 dan 𝑏2 = 2. Berdasarkan geometri bidang luas trapesium tersebut adalah
𝐿=
1
1
3
ℎ(𝑏1 + 𝑏2 ) = (1)(1 + 2) =
2
2
2
yang sesuai dengan hasil yang diperoleh dengan definisi luas.
164
◀
Pada Contoh 5.4.1, tinggi masing-masing persegipanjang merupakan nilai maksimum dari
fungsi pada masing-masing selang bagian. Ini disebut persegipanjang luar (circumscribed
reetangle) dan luasnya melebihi luas pita yang sebenarnya.
Gambar 5.4.4
CONTOH 5.4.2 Gunakan (5.16) dengan 𝑥𝑘∗ titik ujung kiri pada masing-masing selang bagian untuk
menentukan luas dibawah garis y = x di atas selang [1,2].
Penyelesaian.
1
Sebagaimana pada Contoh 5.4.1, ∆𝑥 = 𝑛. Dari (5.17)
𝑥𝑘∗ = 𝑎 + (𝑘 − 1)∆𝑥 = 1 +
𝑘−1
𝑛
(Gambar 5.4.4(b)), sehingga persegipanjang ke-k luasnya adalah
𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥 = 𝑥𝑘∗ ∆𝑥 = (1 +
𝑘−1
𝑘−1 1
) ∆𝑥 = (1 +
)
𝑛
𝑛
𝑛
dan jumlah luas dari n persegipanjang adalah
𝑛
𝑛
∑ 𝑓 (𝑥𝑘∗ )∆𝑥 = ∑ [(1 +
𝑘=1
𝑘=1
𝑛
𝑛
𝑘=1
𝑘=1
𝑘−1 1
1
1
) ] = ∑ 1 + 2 ∑(𝑘 − 1)
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
Karena
𝑛
𝑛
∑(𝑘 − 1) = 0 + 1 + 2 + ⋯ + (𝑛 − 1) = ∑ 𝑘 =
𝑘=1
𝑘=1
sehingga
165
1
(𝑛 − 1)𝑛
2
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥 =
𝑘=1
1
1 (𝑛 − 1)𝑛
𝑛−1 3 1
𝑛+
=1+
= −
2
𝑛
2
𝑛
2𝑛
2 2𝑛
Dari (5.16), luas di bawah kurva tersebut adalah
𝑛
3 1
3
𝐿 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥 = lim ( − ) =
𝑛→∞
𝑛→∞ 2
2𝑛
2
𝑘=1
hal ini sesuai dengan hasil pada Contoh 5.4.1, dimana digunakan titik ujung sebelah kanan
pada setiap selang bagian.
◀
Pada Contoh 5.4.2, tinggi masing-masing persegipanjang merupakan nilai minimum fungsi
pada masing-masing selang, yang disebut persegipanjang dalam (insribed reetangle) dan
luasnya lebih kecil dari luas pita sebenarnya.
▪ Hampiran Numerik untuk Luas
Seperti telah diuraikan dalam contoh sebelumnya, perhitungan yang diperlukan untuk
mendapatkan luas eksak dari (5.16) adalah membosankan, apalagi untuk fungsi yang tidak
sederhana. Perhitungan yang demikian tidak praktis atau tidak mungkin dikerjakan. Untuk itu
dapat dilakukan hampiran numerik dengan menggunakan jumlah
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥
𝑘=1
Untuk n yang cukup besar akan menghasilkan ketelitian yang diinginkan, ditulis dalam bentuk
jumlahan sebagai berikut:
𝑛
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥 = ∆𝑥 ∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ ) = ∆𝑥[𝑓(𝑥1∗ ) + 𝑓(𝑥2∗ ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛∗ )]
𝑘=1
𝑘=1
166
(5.20)
Gambar 5.4.5
dengan ∆𝑥 = (𝑏 − 𝑎/𝑛). Perhitungan tersebut merupakan jumlah nilai fungsi di n titik, dikali
dengan ∆𝑥. Perhitungan ini diperlukan alat bantu kalkulator terpogram atau komputer untuk
ketepatan perhitungan, khususnya apabila n besar.
Nilai dari f tergantung pada pemilihan 𝑥𝑘∗ , sehingga Rumus (5.20) disebut hampiran
titik ujung kiri, hampiran titik ujung kanan, atau hampiran titik tengah untuk pendekatan
luas sesungguhnya (Gambar 5.4.5). Dari ketiga titik yang diambil, hampiran titik tengah
biasanya lebih akurat dari pada hampiran titik ujung.
167
CONTOH 5.4.3 Gunakan (5.20) dengan n = 10, n = 20, dan n = 50, dapatkan untuk setiap
nilai n hampiran titik ujung kiri, hampiran titik ujung kanan, dan hampiran titik tengah untuk
luas di bawah kurva 𝑦 = 9 − 𝑥 2 pada selang [0,3]
Penyelesaian. Perhitungan secara rinci untuk kasus n = 10 ditunjukkan sampai enam tempat
desimal dalam Tabel 5.4.1 dan hasil untuk seluruh perhitungan diberikan pada Tabel 5.4.2.
Dari Contoh 5.4.3, luas eksaknya adalah 18.
Tabel 5.4.2
n
10
20
30
HAMPIRAN
TITIK UJUNG KIRI
19.305000
18.663750
18.268200
HAMPIRAN
TITIK UJUNG KANAN
16.605000
17.313750
17.728200
HAMPIRAN
TITIK TENGAH
18.022500
18.005625
18.000900
Perhatikan bahwa hampiran titik tengah lebih baik dari hampiran titik ujung.
168
□
■
□
■
□
►
SOAL-SOAL LATIHAN 5.4
◄
□
■
□
■
□
Untuk Soal 1-4, bagilah selang [a,b] menjadi n = 4 selang bagian yang sama panjang, dan
kemudian hitunglah
𝒏
∑ 𝒇(𝒙∗𝒌 )∆𝒙
𝒌=𝟏
dengan 𝒙∗𝒌 sebagai (a) titik ujung kiri masing masing selang bagian dan (b) titik ujung kanan
masing masing selang bagian.
1. 𝑦 = 4𝑥 − 7; 𝑎 = 2, 𝑏 = 8.
2. 𝑦 = 2/𝑥; 𝑎 = 2, 𝑏 = 13.
3. 𝑦 = sin 𝑥 ; 𝑎 = −𝜋/4, 𝑏 = 𝜋/4.
4. 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2 ; 𝑎 = 3, 𝑏 = 6.
Untuk Soal 5-10, gunakan (5.16) dengan 𝒙∗𝒌 titik ujung kanan dari masing-masing selang bagian
untuk mendapatkan luas di bawah kurva y = f(x) di atas selang bagian [a,b].
5. 𝑦 =
1
𝑥; 𝑎 = 1, 𝑏 = 2.
2
6. 𝑦 = 6 − 𝑥; 𝑎 = 0, 𝑏 = 4.
7. 𝑦 = 𝑥 ; 𝑎 = 0, 𝑏 = 2.
1
8. 𝑦 = 3 − 𝑥 2 ; 𝑎 = 0, 𝑏 = 2.
4
9. 𝑦 = 𝑥 3 ; 𝑎 = 4, 𝑏 = 5.
10. 𝑦 = 1 − 𝑥 3 ; 𝑎 = −3, 𝑏 = −1.
2
5.5
Integral Tertentu
Pada bagian ini diperkenalkan pengertian “integral tertentu,” yang merupakan satu kesatuan
yang mengaitkan konsep-konsep yang menitikberatkan pada perhitungan: luas, panjang,
volume, kerja dan lainnya.
Pada bagian sebelumnya telah dikembangkan suatu definisi luas menggunakan
hampiran persegipanjang-persegipanjang dengan lebar sama. Luas daerah pada
169
Gambar 5.5.1
Gambar 5.4.1(a) dapat juga dinyatakan sebagai limit dari luas daerah yang terdiri dari
persegipanjang-persegipanjang dengan lebar berbeda (Gambar 5.5.1(a)), asalkan diyakini
bahwa lebar setiap persegipanjang menuju nol jika banyaknya persegipanjang menuju
takhingga. Untuk pembagian [a,b] menjadi n persegipanjang dengan lebar sama, maka ∆𝑥 =
(𝑏 − 𝑎)/𝑛, sehingga dijamin bahwa ∆𝑥 → 0 untuk 𝑛 → +∞. Akan tetapi, untuk
persegipanjang-persegipanjang dengan lebar tidak sama, untuk 𝑛 → +∞ tidak dijamin bahwa
lebar tiap persegipanjang menuju nol. Sebagai contoh, misalkan akan dilakukan pembagian
terus menerus hanya pada setengah bagian di kiri dari [a,b] menjadi selang bagian yang lebih
kecil, tetapi selalu ditinggalkan bagian kanan itu sendiri (Gambar 5.5.1(b)). Dengan cara
demikian banyaknya persegipanjang bertambah menjadi takhingga, tetapi jumlah luas
persegipanjang-persegipanjang tersebut tidak mendekati luas daerah dibawah kurva karena
“error” pada setengah bagian yang kanan dari selang itu tidak pernah berkurang. Untuk
mengatasi masalah ini, perlu diyakinkan bahwa lebar semua persegipanjang berkurang menuju
nol jika banyaknya persegipanjang bertambah menuju tak hingga.
Selanjutnya misalkan [a,b] dibagi menjadi n selang bagian dengan lebar
∆𝑥1 , ∆𝑥2 , … , ∆𝑥𝑛
Selang-selang bagian tersebut dikatakan membentuk suatu partisi pada selang [a,b], dan
lebar selang yang terbesar disebut ukuran mesh dari partisi tersebut. Ukuran mesh dinotasikan
dengan
max∆𝑥𝑘
yang dibaca “maksimum dari ∆𝑥𝑘 ”. Sebagai contoh, Gambar 5.5.2 menunjukkan partisi dari
slang [0,6] menjadi empat selang bagian dengan ukuran mesh 2.
Jika suatu selang [a,b] dipartisi menjadi n selang bagian, dan jika 𝑥𝑘∗ suatu titik sebarang
dalam selang bagian ke-k, maka
𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘
Gambar 5.5.2
merupakan luas suatu persegipanjang dengan tinggi 𝑓(𝑥𝑘∗ ) dan lebar ∆𝑥𝑘 , sehingga
170
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘
(5.21)
𝑘=1
merupakan luas dari persegipanjang-persegipanjang yang diarsir dalam Gambar 5.5.3
Gambar 5.5.3
Jika sekarang n diperbesar sehingga
max∆𝑥𝑘 → 0
maka lebar setiap persegipanjang menuju nol, jadi (5.21) mendekati luas eksak di bawah
kurva dan ditulis
𝑛
𝐿=
lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑘 →0
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘
𝑘=1
Dari uraian tersebut, selanjutnya dapat dituliskan Definisi 5.5.1
DEFINISI 5.5.1 LUAS DI BAWAH KURVA. Jika suatu fungsi f kontinu pada [a,b],
maka luas di bawah kurva y=f(x) sepanjang selang [a,b] didefinisikan sebagai
𝒏
𝑳=
𝐥𝐢𝐦
𝒎𝒂𝒙∆𝒙𝒌 →𝟎
∑ 𝒇(𝒙∗𝒌 )∆𝒙𝒌
𝒌=𝟏
▪ Integral Tertentu Fungsi Kontinu dengan Nilai Tak-Negatif
Hubungan konsep luas dan limit pada Definisi 5.5.1 dapat dituliskan
171
𝑛
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑎
lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑘 →0
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘
(5.22)
𝑘=1
Ekspresi pada ruas kiri (5.22) ini disebut dengan integral tertentu dari f untuk x = a sampai x
= b,dan bilangan b dan a berturut-turut disebut batas atas dan batas bawah integrasi.
Berdasarkan Definisi 5.5.1 dan (5.22) luas L di bawah kurva y = f(x) pada selang [a,b]
dapat disajikan dalam notasi integral tertentu sebagai berikut.
𝐿=[
luas di bawah
𝑏
𝑦 = 𝑓(𝑥) ] = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
pada [a, b]
(5.23)
Tujuannya adalah mengembangkan cara yang efisien untuk menghitung integral tertentu; akan
tetapi. Integral tertentu dalam contoh berikut ini dapat dihitung menggunakan rumus luas
dalam geometri bidang.
172
Gambar 5.5.4
CONTOH 5.5.1 Gunakan rumus luas yang tepat dari geometri bidang untuk menghitung
integral tertentu berikut ini.
4
1
b. ∫ √1 − 𝑥 2 𝑑𝑥
a. ∫ (𝑥 − 1) 𝑑𝑥
2
0
173
Penyelesaian (a).
Dari (5.23), integral tersebut menyatakan luas di bawah kurva y = x – 1
pada selang [2,4]. (Lihat Gambar 5.5.4(a)) Daerah ini berupa trapesium dengan sisi-sisi sejajar
mempunyai panjang 1 dan 3 dan tingginya (jarak antara sisi-sisi yang sejajar) adalah 2. Jadi,
4
1
∫ (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = (1 + 3) ∙ 2 = 4
2
2
Penyelesaian (b).
Dari (5.23), integral tersebut menyatakan luas dataran di bawah kurva
𝑦 = √1 − 𝑥 2 pada selang [0,1]. Daerah ini adalah daerah di kuadran pertama yang dibatasi
sumbu-sumbu koordinat dan lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1. (Lihat Gambar 5.5.4(b)) Luas daerah ini
adalah seperempat dari luas seluruh lingkaran, sehingga
1
∫ √1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 =
0
1
𝜋
(𝜋 ∙ 12 ) =
4
4
◀
Jumlahan
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘
𝑘=1
yang muncul pada (5.22), disebut jumlahan Riesmann sebagai penghargaan untuk
matematikawan Jerman Bernhard Riemann, yang pertama kali merumuskan konsep tentang
integral tertentu. Jadi, (5.22) mendefinisikan integral tertentu sebagai limit jumlahan Riemann.
Untuk fungsi kontinu taknegatif limit tersebut pasti ada, sehingga tak perlu dikhawatirkan
keberadaan limit yang mendefinisikan luas L dalam Definisi 5.5.1.
Walaupun telah didefinisikan integral tertentu sebagai notasi untuk luas, limit jumlahan
Riemann yang muncul dalam berbagai aplikasi tidak mempunyai hubungan langsung dengan
masalah luas. Dalam banyak penerapan, fungsi yang dilibatkan diasumsikan bernilai positif
sekaligus negatif dan memiliki diskontinuitas, sehingga perlu diperluas konsep integral
tertentu agar dapat digunakan untuk fungsi-fungsi demikian.
▪ Integral Tertentu dari Fungsi Kontinu dengan Nilai Positif dan Negatif
Sampai sejauh ini telah didefinisikan integral tertentu untuk fungsi kontinu tak negatif paa
suatu selang [a,b]. Selanjutnya definisi integral tertentu tersebut diperluas sehingga mencakup
fungsi yang kontinu dan mempunyai nilai positif dan negatif pada [a,b]. Dapat dibuktikan
bahwa untuk fungsi yang demikian
𝑛
lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑘 →0
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘
𝑘=1
selalu ada, dan dengan demikian didefinisikan
𝑛
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑎
lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑘 →0
174
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘
𝑘=1
(5.24)
Untuk interpretasi geometrik dari integral ini, perhatikan jumlahan Riemann yang ditunjukkan
pada Gambar 5.5.5.
Pada selang-selang dengan 𝑓(𝑥𝑘∗ ) positif, hasil kali 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘 merupakan luas 𝐿𝑘 dari
persegipanjang dengan tinggi 𝑓(𝑥𝑘∗ ) dan alas ∆𝑥𝑘 , dan pada sealng-selang dengan 𝑓(𝑥𝑘∗ )
negatif, hasil kali 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘 negatif.
Gambar 5.5.5
175
Untuk jumlahan Riemann dengan bentuk khusus pada Gambar 5.5.5 diperoleh
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘 = 𝑓(𝑥1∗ )∆𝑥1 + 𝑓(𝑥2∗ )∆𝑥2 + ⋯ + 𝑓(𝑥6∗ )∆𝑥6
𝑘=1
= 𝐿1 + 𝐿2 − 𝐿3 − 𝐿4 + 𝐿5 + 𝐿6
= (𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿5 + 𝐿6 ) − (𝐿3 + 𝐿4 )
Secara geometrik, jumlahan Riemann tersebut merupakan selisih dua luas, yaitu luas total dari
persegipanjang-persegipanjang di atas sumbu-x dikurangi luas total persegipanjangpersegipanjang di bawah sumbu-x. Jika dimungkinkan banyaknya pembagian bertambah
banyak sehingga max ∆→ 0, maka persegipanjang-persegipanjang tersebut akan mengisi
seluruh daerah antara kurva y = f(x) dan selang [a,b] dengan error yang semakin mengecil
(Gambar 5.5.6). Hal ini mengisyaratkan bahwa untuk fungsi pada gambar itu limit jumlahan
Riemann juga merupakan selisih dua luas, yaitu
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = (𝐿𝐼 + 𝐿𝐼𝐼𝐼 ) − 𝐿𝐼𝐼 = [
𝑎
luas di bawah
luas di atas
]−[
]
[𝑎, 𝑏]
[𝑎, 𝑏]
Gambar 5.5.6
Jadi, integral f(x) pada selang [a,b] adalah luas di atas selang [a,b] tetapi di
bawah y = f(x) dikurangi luas di bawah [a,b] tetapi di atas y = f(x).
DEFINISI 5.5.2 Jika fungsi f kontinu pada [a,b] yang bernilai positif dan negatif, maka
nilai integral tertentu dari y = f(x) pada selang [a,b] didefinisikan sebagai
𝒏
𝒃
∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =
𝒂
𝐥𝐢𝐦
𝒎𝒂𝒙∆𝒙𝒌 →𝟎
4
CONTOH 5.5.2 Hitung ∫(1 − 𝑥) 𝑑𝑥.
2
176
∑ 𝒇(𝒙∗𝒌 )∆𝒙𝒌
𝒌=𝟏
Penyelesaian.
Integrannya negatif sepanjang salng [2,4] (Gambar 5.5.7(a)), sehingga
integral tersebut merupakan negatif dari luas trapesium yang diarsir pada gambar itu. Luas
trapesium tersebut adalah 4, sehingga
4
∫ (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = −4
◀
2
Gambar 5.5.7
CONTOH 5.5.3 Gunakan rumus luas yang sesuai pada geometri bidang untuk menghitung
integral tertentu
2
∫ (𝑥 − 1) 𝑑𝑥
0
Penyelesaian.
Dari Definisi 5.5.2, integral tersebut menyajikan luas yang terarsir diantara
garis y = x – 1 dan selang [0,2]. (Lihat Gambar 5.5.7(b)). Dengan menghitung luas kedua
daerah segitiga pada gambar itu dan mengurangkannya dihasilkan
2
∫ (𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = 𝐿1 − 𝐿2 =
0
1 1
− =0
2 2
◀
▪ Integral Tertentu Fungsi dengan Diskontinuitas
Telah dibahas sebelumnya bahwa jika f kontinu pada [a,b], maka limit dari jumlahan Riemann
pasti ada. Jadi, dalam definisi 5.5.1 dan 5.5.2, keberadaan nilai numerik untuk luas bukan hal
penting karena diasumsikan f kontinu. Akan tetapi, untuk fungsi dengan titik diskontinu, limit
jumlahan Riemann kemungkinan ada atau tidak bergantung pada banyak dan sifat
diskontinunya. Selanjutnya, didefinisikan Definisi 5.5.3.
DEFINISI 5.5.3 Jika fungsi f terdefinisi pada selang tertutup [a,b] maka f dikatakan
terintegral Riemann pada [a,b] atau secara singkat disebut terintegral pada [a,b] jika
177
𝒏
∑ 𝒇(𝒙∗𝒌 )∆𝒙𝒌
𝐥𝐢𝐦
𝒎𝒂𝒙∆𝒙𝒌 →𝟎
𝒌=𝟏
ada. Jika f terintegral pada [a,b] maka didefinisikan integral tertentu dari f untuk x = a
sampai x = b dengan
𝒏
𝒃
∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 =
𝒂
𝐥𝐢𝐦
𝒎𝒂𝒙∆𝒙𝒌 →𝟎
∑ 𝒇(𝒙∗𝒌 )∆𝒙𝒌
𝒌=𝟏
Dalam Definisi 5.5.3, diasumsikan batas bawah integrasi lebih kecil atau sama dengan
dari batas atas integrasi. Definisi 5.5.4 memperluas konsep integral tertentu untuk
memungkinkan batas-batas integrasi sama dan untuk batas bawah integrasi lebih besar dari
batas atas integrasi.
DEFINISI 5.5.4
(i)
Jika a berada dalam domain f, maka didefinisikan
𝒂
∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
𝒂
(ii)
Jika f terintegral pada [a,b], maka didefinisikan
𝒂
𝒂
∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
𝒃
𝒃
CATATAN. Bagian (i) dari Definisi 5.5.4 sejalan dengan gagasan intuitif bahwa luas diantara
satu titik pada sumbu-x dan satu kurva y = f(x) haruslah nol (Gambar 5.5.8(a)). Bagian (ii) dari
definisi tersebut menyatakan bahwa pertukaran batas integrasi akan membalik tanda
integralnya.
178
Gambar 5.5.8
CONTOH 5.5.4
1
a. ∫1 𝑥 2 𝑑𝑥 = 0
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ 5.5.1(𝑏)
0
1
𝜋
b. ∫1 √1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = − ∫0 √1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = − 4
• Sifat-Sifat Integral Tertentu
Sifat-sifat integral tertentu berikut ini berdasarkan definisi integral tertentu. Buktinya tidak
dibahas disini.
TEOREMA 5.5.5 Jika f dan g terintegral pada [a,b] dan jika c suatu konstanta maka cf, f + g,
dan f – g semuanya terintegral pada [a,b] dan
𝑏
𝑏
(𝑖) ∫ 𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑏
(𝑖𝑖) ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑏
(𝑖𝑖𝑖) ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑎
Bagian (iii) dari Teorema 5.5.5 dapat diperluas untuk lebih dari dua fungsi. Lebih tepatnya,
𝑏
∫ [𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥) + ⋯ + 𝑓𝑛 (𝑥)]𝑑𝑥
𝑎
179
𝑏
𝑏
𝑏
= ∫ 𝑓1 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓2 (𝑥)𝑑𝑥 + ⋯ + ∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
(5.25)
𝑎
Jika f kontinu dan taknegatif pada [a,b] dan jika c suatu titik diantara a dan b,
maka jelas bahwa luas di bawah 𝑦 = 𝑓(𝑥) diatas [a,b] dapat dipisah menjadi dua bagian,
luasan di bawah kurva dari a ke c ditambah luasan di bawah kurva dari c ke b (Gambar
5.5.8(b)), yaitu
𝑏
𝑐
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑐
Teorema 5.5.6 adalah merupakan kejadian khusus dari teorema tentang integral tertentu, yang
dituliskan tanpa bukti.
TEOREMA 5.5.6 Jika f terintegral pada suatu selang tertutup yang memuat tiga titik a, b, dan
c, maka
𝑏
𝑐
𝑏
(5.26)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑐
tidak tergantung pada urutan titik-titik tersebut.
CONTOH 5.5.5 Misalkan
5
5
5
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −1 ,
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 3,
1
3
𝑑𝑎𝑛
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 4
3
Dapatkan
5
3
𝑎. ∫ [2𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏. ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
3
1
Penyelesaian (a). Dari Teorema 5.5.6
5
5
5
∫ [2𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 2(3) − 4 = 2
3
3
3
Penyelesaian (b). Dari Teorema 5.5.6 dengan a = 1, b = 5, dan c = 3
5
3
5
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
1
1
3
sehingga
3
5
5
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −1 − 3 = −4
1
1
3
180
Gambar 5.5.9
• Pertidaksamaan yang Memuat Integral Tertentu
Jika f suatu fungsi kontinu taknegatif pada [a,b], maka grafik dari 𝑦 = 𝑓(𝑥) tidak memotong
sumbu-x, sehingga secara intuitif jelas bahwa luas antara 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan sumbu-x haruslah
lebih besar atau sama dengan nol (Gambar 5.5.9(a)). Dengan cara serupa, jika f dan g fungsifungsi kontinu taknegatif pada [a,b], dan jika 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) untuk semua x di [a,b], maka luas
di bawah 𝑦 = 𝑓(𝑥) haruslah lebih besar atau sama dengan luas di bawah 𝑦 = 𝑔(𝑥) di atas
[a,b]. karena grafik dari 𝑦 = 𝑓(𝑥) tidak memotong grafik dari 𝑦 = 𝑔(𝑥) (Gambar 5.5.9(b)).
181
Teorema 5.5.7 yang dituliskan tanpa bukti, merangkum pengamatan ini untuk sebarang fungsi
terintegral.
TEOREMA 5.5.7
(i)
Jika f terintegral pada [a,b] dan f (x) ≥ 0 untuk semua x dalam [a,b], maka
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0
𝑎
(ii)
Jika f dan g terintegral pada [a,b] dan 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) untuk semua x dalam [a,b], maka
𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
Jika b > a, maka teorema ini tetap benar jika ≥ diganti dengan <, ≤ atau < secara
keseluruhan. Bagian (ii) dari Teorema 5.5.7 menyatakan bahwa kedua sisi dari suatu
ketidaksamaan yang berkaitan dengan fugnsi-fungsi terintegral dapat diintegralkan tanpa
mengubah makna ketidaksamaannya.
1 cos 𝑥
CONTOH 5.5.6 Tunjukkan bahwa ∫0 2𝑥 3 −5 𝑑𝑥 bernilai negatif
Penyelesaian. Karena 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, berarti integrannya negatif disebabkan cos 𝑥 > 0 dan 2𝑥 3 −
5 < 0. Jadi dari bagian (i) Teorema 5.5.7, dengan “<” menggantikan “≥”, integral tersebut
bernilai negatif.
• Syarat Keterintegralan
Masalah penentuan jenis fungsi yang terintegral secara tepat adalah cukup rumit dan diluar
lingkup bahasan dalam buku ini. Akan tetapi, akan dibahas beberapa hasil tentang
keterintegralan yang perlu untuk diketahui. Diawali dengan suatu Definisi 5.5.8
DEFINISI 5.5.8 Suatu fungsi f dikatakan terbatas pada suatu selang [a,b] jika terdapat
bilangan positif M sedemikian hingga
−𝑀 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀
untuk semua 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Secara geometrik, hal ini berarti grafik f pada selang [a,b] terletak di
antara garis 𝑦 = −𝑀 dan 𝑦 = 𝑀.
182
Gambar 5.5.10
CONTOH 5.5.7 Fungsi
𝑓(𝑥) = {
𝑥2,
𝑥 + 1,
𝑥<0
𝑥≥0
terbatas pada selang [-1,1], karena grafiknya terletak diantara garis 𝑦 = −2 dan 𝑦 = 2 pada
selang ini (Gambar 5.5.10(a)). Akan tetapi fungsi
𝑔(𝑥) = {
1/𝑥,
0,
183
𝑥≠0
𝑥=0
tidak terbatas pada selang [-1,1] (atau sebarang selang yang memuat titik asal), karena
grafiknya pada selang ini tidak berada di antara dua garis horisontal (lihat Gambar 5.5.10(b)).
Secara umum, suatu fungsi yang menuju +∞ atau -∞ di suatu titik pada suatu selang, tidak
terbatas pada selang tersebut.
Teorema 5.5.9 memuat tiga pernyataan tentang keintegralan suatu fungsi.
TEOREMA 5.5.9 Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi di semua titik pada selang [a,b]
(i) Jika f kontinu pada [a,b], maka f terintegral pada [a,b]
(ii) Jika f terbatas pada [a,b] dan hanya mempunyai berhingga titik diskontinuitas pada [a,b],
maka f terintegral pada [a,b].
(iii) Jika f tidak terbatas pada [a,b], maka f tidak terintegral pada [a,b]
CONTOH 5.5.8 Fungsi f pada Contoh 5.5.7 adalah fungsi terintegral pada selang [-1,1] karena
terbatas dan hanya mempunyai berhingga titik diskontinu pada selang tersebut (satu
diskontinuitas). Akan tetapi, fungsi g pada Contoh 5.5.7 tidak terintegral pada [-1,1] karena
tidak terbatas pada selang tersebut.
• Lebih Jauh Tentang Limit Jumlahan Riemann
Limit dari jumlah tidak sama dengan limit yang dibahas pada Bab 2. Ekspresi
𝑛
lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑘 →0
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ ) ∆𝑥𝑘 = 𝐿
𝑘=1
dimaksudkan sebagai gagasan bahwa jumlahan Riemann dapat dibuat sedekat mungkin ke L,
tanpa harus menghiraukan bagaimana 𝑥1∗ , 𝑥2∗ , … , 𝑥𝑛∗ dipilih, dengan membuat partisinya cukup
halus. Gagasan ini dirangkum pada Definisi 5.5.10.
DEFINISI 5.5.10 Ditulis
𝑛
Lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑘 →0
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ ) ∆𝑥𝑘 = 𝐿
(5.27)
𝑘=1
jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 𝜀 > 0, terdapat suatu bilangan 𝛿 > 0 sedemikian
hingga
𝑛
|∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘 − 𝐿| < 𝜀
𝑘=1
Untuk 𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑘 < 𝛿, tanpa memperhatikan cara pemilihan 𝑥1∗ , 𝑥2∗ , … , 𝑥𝑛∗ .
184
Dapat ditunjukkan bahwa apabila suatu bilangan L yang memenuhi (5.27) ada, bilangan
tersebut tunggal. Bilangan ini dinyatakan dengan
𝑛
𝑏
∗)
lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 ∆𝑥𝑘 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑘 →0
𝑎
𝑘=1
(5.28)
CATATAN. Beberapa penulis menggunakan symbol ‖∆‖ dan bukan 𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑘 untuk ukuran
partisi, dalam hal ini (5.28) dituliskan sebagai
𝑛
𝑏
lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
‖∆‖→0
□
■
□
■
□
►
𝑎
𝑘=1
SOAL-SOAL LATIHAN 5.5
◄
□
■
□
■
□
Untuk Soal 1-3, nyatakan integral tertentu sebagai limit. (Jangan dihitung)
4
1. ∫1 4𝑥 𝑑𝑥
𝜋/2
2. ∫−𝜋/2(2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑑𝑥
2 𝑥
3. ∫0 𝑥+4 𝑑𝑥
4. Gambarkan sketsa luasan yang dinyatakan oleh integral-integral:
3
a) ∫1 √𝑥 𝑑𝑥
42
b) ∫1 𝑥 𝑑𝑥
Untuk soal 5-10, hitunglah integral tertentu berikut dengan menggunakan rumus luas dari geometri
bidang, jika diperlukan.
−4
5. ∫−10 4𝑑𝑥
3
6. ∫0 (2 − 3𝑥)𝑑𝑥
3
7. ∫0 |𝑥 − 4|𝑑𝑥
3
8. ∫−1|2𝑥 − 5|𝑑𝑥
2
9. ∫0 √3 − 𝑥 2 𝑑𝑥
2
10. ∫−1 √2 − 𝑥 2 𝑑𝑥
5.6 Teorema Fundamental Kalkulus Pertama
Dalam subbab sebelumnya telah didefinisikan konsep integral tertentu tetapi belum diberikan
cara umum untuk menghitungnya. Dalam subbab ini idbahas suatu cara menggunakan anti
turunan untuk menghitung integral tertentu.
185
• Teorema Fundamental Kalkulus Pertama
Teorema 5.6.1 ini merupakan hal mendasar dalam penghitungan integral tertentu.
TEOREMA 5.6.1 (TEOREMA FUNDAMENTAL KALKULUS PERTAMA)
Jika f kontinu pada [a,b] dan F adalah anti-turunan dari f pada [a,b], maka
𝑏
(5.29)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑎
Bukti. Misalkan 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛−1 titik-titik dalam [a,b] sedemikian hingga
𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑏
Titik-titik ini membagi [a,b] menjadi n selang bagian
[𝑎, 𝑥1 ], [𝑥1 , 𝑥2 ], … , [𝑥𝑛−1 , 𝑏]
(5.30)
Dengan panjang, seperti biasanya, dinotasikan dengan
∆𝑥1 , ∆𝑥2 , … , ∆𝑥𝑛
(5.31)
Jika F’(x) = f (x) untuk semua x di [a,b], maka F memenuhi Teorema Nilai Rata-rata pada tiap
selang bagian di (5.30). Dengan demikian, berdasarkan Teorema Nilai Tengah dapat diperoleh
titik-titik 𝑥1∗ , 𝑥2∗ , … , 𝑥𝑛∗ dalam selang bagian yang berurutan di (5.30) sedemikian hingga
𝐹(𝑥1 ) − 𝐹(𝑎) = 𝐹 ′ (𝑥1∗ )(𝑥1 − 𝑎) = 𝑓(𝑥1∗ )∆𝑥1
𝐹(𝑥2 ) − 𝐹(𝑎) = 𝐹 ′ (𝑥2∗ )(𝑥2 − 𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2∗ )∆𝑥2
𝐹(𝑥3 ) − 𝐹(𝑎) = 𝐹 ′ (𝑥3∗ )(𝑥3 − 𝑥2 ) = 𝑓(𝑥3∗ )∆𝑥3
⋮
⋮
⋮
𝐹(𝑥𝑛 ) − 𝐹(𝑥𝑛−1 ) = 𝐹 ′ (𝑥𝑛∗ )(𝑏 − 𝑥𝑛−1 ) = 𝑓(𝑥𝑛∗ )∆𝑥𝑛
Dengan menambahkan persamaan tersebut menghasilkan
𝑛
𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = ∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘
(5.32)
𝑘=1
Selanjutnya n diperbesar sedemikian hingga max ∆𝑥𝑘 → 0. Karena f diasumsikan kontinu,
𝑏
ruas kanan dari (5.32) mendekati ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, (Teorema 5.5.9(i)). Akan tetapi, ruas kiri (5.32)
merupakan konstanta yang bergantung pada n; jadi
186
𝑛
𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) =
lim
𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑘 →0
𝑏
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ )∆𝑥𝑘 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑘=1
𝑏
Selisih F(b) – F(a) dinotasikan dengan 𝐹(𝑥)] sehingga (5.29) dapat ditulis sebagai
𝑎
𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)]
𝑎
𝑎
(5.33)
Notasi yang umum lainnya adalah
𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑏𝑎
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)]𝑏𝑥=𝑎
𝑎
Notasi yang terakhir menekankan bahwa batas-batas pengintegralan merujuk pada peubah x.
Hal ini penting dalam permasalahan yang mempunyai lebih dari satu peubah.
2
CONTOH 5.6.1 Hitung ∫1 𝑥 𝑑𝑥
1
Penyelesaian. Fungsi 𝐹(𝑥) = 2 𝑥 2 adalah anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥; sehingga dari (5.33)
2
2
1
1
1
1 3
∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 ] = (2)2 − (1)2 = 2 − =
2
2
2
2 2
1
1
Notasi kurung [𝐹(𝑥)]𝑏𝑎 umumnya mempunyai sifat yang sama dengan integral tertentu.
Sebagai latihan tunjukkan bahwa
𝑐𝐹(𝑥)]𝑏𝑎 = 𝑐[𝐹(𝑥)]𝑏𝑎
[𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥)]𝑏𝑎 = 𝐹(𝑥)]𝑏𝑎 + 𝐺(𝑥)]𝑏𝑎
[𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥)]𝑏𝑎 = 𝐹(𝑥)]𝑏𝑎 − 𝐺(𝑥)]𝑏𝑎
• Hubungan Antara Integral Tertentu dengan Integral Taktentu
Saat menerapkan Teorema Fundamental Kalkulus Pertama, tidak masalah menggunakan anti
turunan dari f, apabila F sebarang anti-turunan dari f pada [a,b], dinyatakan yang lainnya
dalam bentuk
𝐹(𝑥) + 𝐶
𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 5.2.2
Jadi,
[𝐹(𝑥) + 𝐶]𝑏𝑎 = [𝐹(𝑏) + 𝐶] − [𝐹(𝑎) + 𝐶]
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐹(𝑥)]𝑏𝑎
187
𝑏
= ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
(5.34)
𝑎
yang menunjukkan bahwa semua anti-turunan dari f pada [a,b] memberikan nilai yang sama
𝑏
untuk ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. Karena
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶
berdasarkan (5.34) bahwa
𝑏
𝑏
(5.35)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥]
𝑎
𝑎
yang menghubungkan integral tertentu dan integral tak tentu dari f.
Gambar 5.6.1
CONTOH 5.6.2 Gunakan Teorema Fundamental Kalkulus Pertama untuk mendapatkan luas
dibawah kurva 𝑦 = cos 𝑥 pada selang [0,π/2].
Penyelesaian. Karena cos 𝑥 ≥ 0 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋/2, maka luasnya adalah
𝜋
2
𝜋
2
0
0
𝐿 = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = [∫ cos 𝑥 𝑑𝑥]
188
𝜋
= sin 𝑥]02 = sin
𝜋
− sin 0 = 1
2
(5.36)
Pada Contoh 5.6.2 diambil konstanta pengintegralan untuk integral tak tentu C = 0. Hal ini
dibenarkan karena dapat dipilih sebarang anti-turunan dari f pada [a,b], khususnya untuk C
= 0.
3
CONTOH 5.6.3 Hitung ∫0 (𝑥 3 − 4𝑥 + 1)𝑑𝑥
Penyelesaian.
3
3
∫
(𝑥 3
0
𝑥4
𝑥2
− 4𝑥 + 1)𝑑𝑥 = [ − 4 ∙ + 𝑥]
4
2
0
81
21
= ( − 18 + 3) − (0) =
4
4
Rumus (5.29) dalam Teorema 5.6.1 dapat diterapkan pada kasus dengan a = b atau b <
a. Contoh berikut ini menggambarkan hal tersebut
CONTOH 5.6.4
𝑥3
1
1
1
1
a. ∫1 𝑥 2 𝑑𝑥 = 3 ] = 3 − 3 = 0
1
0
0
𝑥2
0
16
b. ∫4 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ] = [2 − 2 ] = −8
4
Hasil tersebut sesuai dengan hasil yang akan diperoleh dengan menukar terlebih dahulu batas
pengintegralan sesuai dengan Definisi 5.5.4(ii):
0
4
4
𝑥2
16 0
∫ 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = [− ] = − [ − ] = −8
2 0
2 2
4
0
6
CONTOH 5.6.5 Hitunglah ∫0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, jika
𝑓(𝑥) = {
𝑥2,
3𝑥 − 2,
𝑥<2
𝑥≥2
Penyelesaian. Dari Teorema 5.5.6
6
2
6
2
6
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + ∫ (3𝑥 − 2)𝑑𝑥
0
0
2
2
0
6
2
𝑥3
3𝑥 2
8
128
= ] +[
− 2𝑥] = ( − 0) + (42 − 2) =
3 0
2
3
3
2
189
2
CONTOH 5.6.6 Hitunglah ∫−1|𝑥|𝑑𝑥.
Penyelesaian. Karena |𝑥| = 𝑥 untuk x ≥ 0 dan |𝑥| = −𝑥 untuk x < 0.
2
0
2
0
2
∫ |𝑥|𝑑𝑥 = ∫ |𝑥|𝑑𝑥 + ∫ |𝑥| 𝑑𝑥 = ∫ (−𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥
−1
−1
0
0
−1
0
2
𝑥2
𝑥2
1
5
=− ] + ] = +2=
2 −1 2 0 2
2
Teorema 5.6.1 hanya dapat diterapkan pada fungsi kontinu yang mempunyai anti-turunan.
Sampai disini belum ditujukan pada pertanyaan tentang fungsi manakah sebenarnya yang
mempunyai anti-turunan. Permasalahan ini akan dibahas dalam subbab 5.8, yang akan
ditunjukkan bahwa semua fungsi kontinu mempunyai anti-turunan.
• Teorema Nilai Rata-Rata Untuk Integral
Pada bagian ini diabahas mengenai Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral sebagai hasil dari
bagian-bagian sebelumnya. Hasil tersebut akan digunakan untuk mendefinisikan istilah “nilai
rata-rata” untuk fungsi kontinu, dan pada subbab selanjutnya hasil tersebut akan digunakan
untuk menurunkan beberapa teorema yang sangat penting.
190
Gambar 5.6.2
Misal f fungsi kontinu tak-negatif pada [a,b], dan missal m dan M nilai minimum dan
maksimum dari f (x) pada selang tersebut. Perhatikan persegipanjang dengan tinggi m dan M
pada selang [a,b] (Gambar 5.6.2(a)). Jelas secara geometrik dari gambar tersebut tampak
bahwa luas dibawah 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada selang [a,b], yaitu
𝑏
𝐿 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
di bawah 𝑦 = 𝑓(𝑥) sekurang-kurangnya seluas daerah persegipanjang dengan tinggi m dan
tidak lebih dari luas persegipanjang dengan tinggi M. Oleh karena itu, bisa dipahami bahwa
191
terdapat suatu persegipanjang di atas pada [a,b] dengan tinggi 𝑓(𝑥 ∗ ) antara m dan M yang
memiliki luas tepat L; yaitu
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥 ∗ )(𝑏 − 𝑎)
𝑎
TEOREMA 5.6.2 (TEOREMA NILAI-TENGAH UNTUK INTEGRAL)
Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka terdapat sekurang-kurangnya satu bilangan
𝑥 ∗ dalam [a,b] sedemikian hingga
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥 ∗ )(𝑏 − 𝑎)
(5.37)
𝑎
Bukti. Dengan Teorema Nilai Ekstrim (Bab 4), f mempunyai satu nilai maksimum M dan satu
nilai minimum m pada [a,b]. Jadi, untuk semua x pada [a,b],
𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀
dan dari Teorema 5.5.7(ii)
𝑏
𝑏
𝑏
∫ 𝑚 𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑀 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑎
atau
𝑏
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
𝑎
atau
𝑚≤
𝑏
1
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≤ 𝑀
𝑏−𝑎 𝑎
(5.38)
𝑏
1
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏−𝑎 𝑎
(5.39)
Jadi diperoleh
dan karena f (x) mempunyai nilai m dan M pada [a,b], maka berdasarkan Teorema Nilai RataRata (bab 4) bahwa f (x) haruslah mempunyai nilai seperti (5.39) disuatu titik 𝑥 ∗ pada [a,b];
sehingga diperoleh
𝑏
1
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥 ∗ )
𝑏−𝑎 𝑎
𝑏
𝑎𝑡𝑎𝑢
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥 ∗ )(𝑏 − 𝑎)
𝑎
192
CONTOH 5.6.7 Karena f (x) = x2 kontinu pada selang [1,4], Teorema Nilai-Tengah untuk
integral menjamin bahwa terdapat bilangan x* pada [1,4] sehingga
4
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥 ∗ )(4 − 1) = (𝑥 ∗ )2 (4 − 1) = 3(𝑥 ∗ )2
1
Karena
4
4
𝑥3
∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ] = 21
3 1
1
2
sehingga
3(𝑥 ∗ )2 = 21
(𝑥 ∗ )2 = 7
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑥 ∗ = ±√7
Jadi, 𝑥 ∗ = √7 ≈ 2.65 merupakan bilangan dalam selang [1,4] yang dijamin keberadaannya
oleh Teorema Nilai-Tengah untuk Integral.
• Nilai Rata-Rata
Bilangan f (x*) pada Teorema 5.6.2 berhubungan erat dengan pengertian yang umum tentang
rata-rata aritmatika. Untuk melihat hal ini, bagilah selang [a,b] menjadi n selang bagian
dengan panjang sama
∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
(5.40)
dan pilih sebarang titik-titik 𝑥1∗ , 𝑥2∗ , … , 𝑥𝑛∗ dalam selang yang berurutan. Sehingga rata-rata
aritmatika dari bilangan-bilangan 𝑓(𝑥1∗ ), 𝑓(𝑥2∗ ), … , 𝑓(𝑥𝑛∗ ) adalah
𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 =
1
[𝑓(𝑥1∗ ) + 𝑓(𝑥2∗ ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛∗ )]
𝑛
atau dari (5.40)
𝑟𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 =
1
[𝑓(𝑥1∗ )∆𝑥 + 𝑓(𝑥2∗ )∆𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛∗ )∆𝑥]
𝑏−𝑎
𝑛
1
=
∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ ) ∆𝑥
𝑏−𝑎
𝑘=1
Dengan mengambil limitnya untuk 𝑛 → +∞ menghasilkan
𝑛
𝑏
1
1
∗)
lim
∑ 𝑓(𝑥𝑘 ∆𝑥 =
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑛→+∞ 𝑏 − 𝑎
𝑏−𝑎 𝑎
𝑘=1
193
DEFINISI 5.6.3 Jika f terintegral pada [a,b], maka nilai rata-rata dari f pada [a,b]
didefinisikan dengan
𝑏
1
𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 =
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏−𝑎 𝑎
Jika y = f (x) , maka frata juga disebut nilai rata-rata dari f terhadap x pada [a,b].
CONTOH 5.6.8 Dapatkan frata pada selang [1,4] dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
Penyelesaian. Dengan Definisi 5.6.3, diketahui a = 1 dan b = 4;
𝑏
4
1
1
1
𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎 =
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = (21) = 7
𝑏−𝑎 𝑎
4−1 1
3
CATATAN. Menurut Definisi 5.6.3, besaran 𝑓(𝑥 ∗ ) dalam Teorema Nilai-Tengah untuk
Integral (Teorema 5.6.2) merupakan nilai rata-rata dari f (x) pada [a,b]. Jadi Teorema NilaiTengah untuk integral dapat dinyatakan dalam bentuk
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = (𝑏 − 𝑎)𝑓𝑟𝑎𝑡𝑎
𝑎
□
■
□
■
□
►
SOAL-SOAL LATIHAN 5.6
◄
□
■
□
■
□
Untuk soal 1-7, hitung integral tertentu menggunakan Teorema Fundamental Kalkulus Pertama
4
1. ∫1 2𝑥 3 𝑑𝑥
1
2. ∫−1 3𝑥 5 𝑑𝑥
4
3. ∫−1 𝑥(3 + 𝑥 3 ) 𝑑𝑥
2
4. ∫−3(3𝑥 2 − 4𝑥 + 7) 𝑑𝑥
8
5. ∫1 2√𝑥 𝑑𝑥
4
6. ∫0 (𝑥 − sec 𝑥 tan 𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
𝜋
−
2
7. ∫ 2 sin 𝜃 𝑑𝜃
Untuk soal 8-10, gunakan Teorema 5.5.6 untuk menghitung integral-integralnya
3
8. ∫0 |4𝑥 − 3| 𝑑𝑥
4
9. ∫−2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑓(𝑥) = {
−𝑥, 𝑥 ≥ 0
2𝑥 2 , 𝑥 < 0
194
3
3 𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 1
10. ∫0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑓(𝑥) = { √ 2
1/𝑥 , 𝑥 ≥ 0
5.7 Integral Tertentu dengan Substitusi; Hampiran Jumlahan Riemann
Dalam subbab ini dibahas metode untuk menyelesaikan integral tertentu dengan substitusi dan
hampirannya menggunakan jumlahan Riemann. Dibahas dua metode untuk menyelesaikan
integral tertentu
𝑏
∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
dengan substitusi.
Metode 1
Pertama selesaikan integral tak-tentu
∫ ℎ(𝑥) 𝑑𝑥
dengan substitusi, seperti yang telah dibahas dalam Subbab 4.3, selanjutnya gunakan
hubungan
𝑏
𝑏
∫ ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 = [∫ ℎ(𝑥) 𝑑𝑥]
𝑎
𝑎
untuk menghitung integral tertentunya
Metode 2
Selesaikan integral tertentuterlebih dahulu dengan menyatakan integral (tertentu-nya) dalam
bentuk
𝑏
𝑏
∫ ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥
𝑎
(5.41)
𝑎
dan selanjutnya lakukan substitusi
𝑢 = 𝑔(𝑥)
𝑑𝑎𝑛
𝑑𝑢 = 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥
Jika hal ini dilakukan maka batas integrasinya harus disesuaikan. Karena 𝑢 = 𝑔(𝑥), akibatnya
𝑢 = 𝑔(𝑎) 𝑗𝑖𝑘𝑎
𝑥=𝑎
𝑢 = 𝑔(𝑏) 𝑗𝑖𝑘𝑎
𝑥=𝑏
195
Jadi, jika (5.41) dinyatakan dalam u maka diperoleh
𝑏
𝑔(𝑏)
∫ ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫
𝑎
𝑓(𝑢)𝑑𝑢
𝑔(𝑎)
Dengan pemilihan substitusi yang betul, integral tertentu baru dalam u lebih mudah
diselesaikan dari pada bentuk asalnya.
2
CONTOH 5.7.1 Gunakan dua metode tersebut untuk menyelesaikan ∫0 𝑥(𝑥 2 + 1)3 𝑑𝑥.
Metode 1
Jika disubstitusikan
𝑢 = 𝑥2 + 1
𝑚𝑎𝑘𝑎
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑑𝑢
2
(5.42)
sehingga diperoleh
1
𝑢4
(𝑥 2 + 1)4
3
∫ 𝑥(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 =
+𝐶 =
+𝐶
2
8
8
2
3
Jadi,
2
2
2
(𝑥 2 + 1)4
625 1
∫ 𝑥(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = [∫ 𝑥(𝑥 + 1) 𝑑𝑥]
=
]
=
− = 78
8
8
8
0
𝑥=0
𝑥=0
2
3
2
3
Metode 2
Untuk substitusi pada (5.42) diperoleh
𝑢=1
𝑗𝑖𝑘𝑎
𝑥=0
𝑢=5
𝑗𝑖𝑘𝑎
𝑥=2
Jadi,
5
2
1 5
𝑢4
625 1
∫ 𝑥(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢3 𝑑𝑢 = ]
=
− = 78
2 1
8 𝑢=1
8
8
0
2
3
sesuai dengan hasil yang diperoleh dengan Metode 1.
Pemilihan Metode 2 memerlukan beberapa pemikiran untuk menentukan batas-batas integrasi,
berikut ini diberikan beberapa contoh lagi yang menggunakan metode tersebut.
𝜋/4
CONTOH 5.7.2 Selesaikan ∫0
cos(𝜋 − 𝑥)𝑑𝑥.
196
Penyelesaian. Ambil 𝑢 = 𝜋 − 𝑥 sehingga 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥. Dengan substitusi ini diperoleh
𝑢=𝜋
𝑗𝑖𝑘𝑎
𝑥=0
3𝜋
4
𝑗𝑖𝑘𝑎
𝑥=
𝑢=
𝜋
4
sehingga
𝜋
4
3𝜋
4
0
𝜋
∫ cos(𝜋 − 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑢(−𝑑𝑢)
3𝜋
4
3𝜋
4
= − ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = − sin 𝑢]
𝜋
𝜋
3𝜋
= −[sin ( ) − sin(𝜋)]
4
= −[
𝜋/8
CONTOH 5.7.3 Selesaikan ∫0
1
√2
− 0] = −
1
√2
𝑠𝑖𝑛5 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥
1
Penyelesaian. Substitusikan 𝑢 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 sehingga 𝑑𝑢 = 2 cos 2𝑥 𝑑𝑥 atau 2 𝑑𝑢 = cos 2𝑥 𝑑𝑥.
Dengan substitusi ini diperoleh
𝑢 = sin(0) = 0
𝑗𝑖𝑘𝑎
𝑥=0
𝜋
1
𝑢 = sin( ) =
4
√2
𝑗𝑖𝑘𝑎
𝑥=
𝜋
8
sehingga
𝜋
8
1
1
1 √2 5
1 𝑢6 √2
5
∫ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = ∙ ]
2 0
2 6 0
0
=
1
1
1
[
− 0] =
6
2 6(√2)
96
• Peubah Dummy
Menuliskan notasi integral terkadang lebih menguntungkan bila menggunakan huruf selain x
untuk peubah integrasi pada suatu integral tertentu. Sebagai contoh,
197
𝑏
𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡,
∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢,
∫ 𝑓(𝑦)𝑑𝑦
𝑎
𝑎
𝑎
Integral-integral ini semuanya mempunyai nilai yang sama. Beberapa integral berikut
mempunyai batas integrasi sama tetapi dengan peubah-peubah integrasi yang berbeda:
3
3
𝑥3
27 1 26
∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ]
=
− =
3 𝑥=1
3 3
3
1
2
3
3
𝑡3
27 1 26
∫ 𝑡 𝑑𝑥 = ]
=
− =
3 𝑡=1
3 3
3
1
2
3
3
𝑢3
27 1 26
∫ 𝑢 𝑑𝑥 = ]
=
− =
3 𝑢=1
3 3
3
1
2
Secara umum, diperoleh sifat berikut:
Nilai integral tertentu tidak dipengaruhi huruf yang digunakan sebagai peubah integrasi,
asalkan tidak mengubah batas integrasi.
Karena huruf yang digunakan sebagai peubah integrasi tidak berpengaruh pada nilai akhir
integral tertentu, maka peubah demikian disebut sebagai peubah dummy.
□
■
□
■
□
►
SOAL-SOAL LATIHAN 5.7
◄
□
■
□
■
□
Soal 1-5, hitung integralnya dengan dua cara; pertama dengan substitusi u pada integral tertentunya,
dan kemudian dengan substitusi u pada integral tak-tentu yang bersesuaian.
3
1. ∫1 (2𝑥 − 3)4 𝑑𝑥
2
2. ∫0 (4𝑥 + 1)3 𝑑𝑥
2
3. ∫−1(1 − 3𝑥)4 𝑑𝑥
𝜋
𝑥
4. ∫02 3 sin ( ) 𝑑𝑥
3
−1 𝑥 3
5. ∫−2 𝑥 2 +2 𝑑𝑥
5/3
6. ∫0 √16 − 9𝑥 2 𝑑𝑥; misalkan u = 3x
2
7. ∫−3 √3 − 2𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑥; misalkan u = x + 1 setelah melengkapkan kuadratnya.
3
8. ∫1 𝑥√16 − 𝑥 4 𝑑𝑥; misalkan u = x2
3
9
9. Dapatkan ∫0 𝑓(3𝑥) 𝑑𝑥, jika ∫0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 5
2
4
10. Dapatkan ∫0 𝑓(3𝑥 + 1) 𝑑𝑥, jika ∫1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 5
198
5.8 Teorema Fundamental Kalkulus Kedua
Teorema Fundamental Kalkulus Pertama menerangkan bagaimana menghitung integral
tertentu dari suatu fungsi kontinu jika anti-turunan fungsi tersebut dapat dicari, tetapi tidak
menjawab pertanyaan fungsi mana yang mempunyai anti-turunan; yang merupakan tujuan dari
Teorema Fundamental Kalkulus Kedua, inilah yang dibahas dalam bagian ini.
• Hampiran Numerik Integral Tertentu
Jika integral tertentu tidak dapat diselesaikan secara eksak maka dapat diselesaikan dengan
menggunakan hampiran numerik. Pada bagian akhir subbab ini dibicarakan metode
penghampiran yang lebih detil, sedangkan dalam Subbab 5.4 telah dibicarakan penghampiran
integral tertentu dengan jumlahan Riemann. Perhatikan Kembali Definisi 5.5.3 bahwa apabila
selang bagian dari selang [a,b] kecil, dapat diharapkan hampiran
𝑏
𝑛
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ ∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ ) ∆𝑥𝑘
𝑎
(5.43)
𝑘=1
cukup baik. Dalam praktek, umumnya digunakan partisi biasa dari selang [a,b], sehingga
semua selang bagiannya memiliki lebar sama, yaitu ∆𝑥. Pada kasus ini, bentuk (5.43) dapat
ditulis
𝑏
𝑛
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≈ ∑ 𝑓(𝑥𝑘∗ ) ∆𝑥 = ∆𝑥[𝑓(𝑥1∗ ) + 𝑓(𝑥2∗ ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛∗ )]
𝑎
(5.44)
𝑘=1
Pada subbab 5.4, rumus ini memberikan hampiran titik ujung kiri, hampiran titik ujung
kanan, atau hampiran titik tengah, tergantung pada pemilihan titik-titik 𝑥𝑘∗ .
1
CONTOH 5.8.1 Dapatkan hampiran nilai ∫0 √1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 menggunakan hampiran titik ujung
kiri, titik ujung kanan, dan titik tengah, masing-masing dengan n = 10, n = 20, n = 50, dan n =
100 selang bagian.
Penyelesaian. Hasil dengan menggunakan (5.44) dengan sembilan tempat desimal ditunjukkan
dalam tabel berikut:
n
HAMPIRAN UJUNG
KIRI
HAMPIRAN UJUNG
KANAN
HAMPIRAN TITIK
TENGAH
10
0.826129582
0.726129582
0.788102858
20
0.807116220
0.757116220
0.786357647
50
0.794567128
0.774567128
0.785641388
199
100
0.790104258
0.780104258
0.785484214
Seperti telah ditunjukkan dalam Contoh 5.5.1(b) pada subbab 5.5, nilai eksak integral itu
adalah π/4 mendekati 0.785398163.
Subbab ini diakhiri dengan suatu teorema yang menyimpulkan metode substitusi yang
digunakan dalam contoh-contoh sebelumnya.
TEOREMA 5.8.1 Jika g’ kontinu pada [a,b] dan f kontinu dan mempunyai anti-turunan pada
suatu selang yang memuat nilai-nilai dari g(x) untuk a ≤ x ≤ b, maka
𝑏
𝑔(𝑏)
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔
′ (𝑥)𝑑𝑥
=∫
𝑎
𝑓(𝑢)𝑑𝑢
𝑔(𝑎)
Bukti. Misal u = g (x) dan missal F anti-turunan dari f pada suatu selang yang memuat nilainilai dari g(x) untuk a ≤ x ≤ b, maka dengan aturan rantai
𝑑
𝑑
𝑑𝐹 𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝐹(𝑔(𝑥)) =
𝐹(𝑢) =
= 𝑓(𝑢)
= 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′ (𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑢 𝑑𝑥
𝑑𝑥
untuk setiap x dalam [a,b]. Jadi, F(g(x)) adalah anti-turunan dari 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) pada [a,b].
Oleh karena itu, berdasarkan Teorema Fundamental Kalkulus Pertama
𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔
′ (𝑥)𝑑𝑥
𝑔(𝑏)
= 𝐹(𝑔(𝑥))] = 𝐹(𝑔(𝑏)) − 𝐹(𝑔(𝑎)) = ∫
𝑎
𝑓(𝑢)𝑑𝑢
𝑔(𝑎)
𝑎
• Integral Tertentu dengan Batas Atas suatu Peubah
Untuk menghindari kesalahan, penulisan batas integrasi yang berupa suatu peubah digunakan
huruf yang berbeda dari peubah pengintegralnya. Sebagai missal
𝑥
𝑥
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠
𝑎
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑎
𝑥
CONTOH 5.8.2 Hitung ∫2 𝑡 2 𝑑𝑡
Penyelesaian.
𝑥
𝑥
𝑡3
𝑥3 8 1 3
∫ 𝑡 𝑑𝑡 = ]
=
− = (𝑥 − 8)
3 𝑡=2
8 3 3
2
2
Perhatikan bahwa ekspresi terakhir dalam contoh di atas adalah suatu fungsi dari x saja.
• Teorema Fundamental Kalkulus Kedua
200
Pada Subbab 5.1 telah ditunjukkan secara informal bahwa jika f suatu fungsi kontinu taknegatif, dan jika L(x) luasan di bawah kurva y = f (x) dan di atas selang [a,x], maka
𝐿′ (𝑥) = 𝑓(𝑥)
(5.45)
Jika L(x) dinyatakan sebagai integral tertentu
𝑥
𝐿(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
𝑎
maka berdasarkan (5.45)
𝑥
𝑑
[∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡] = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 𝑎
Teorema 5.8.2 menunjukkan bahwa hasil ini dipenuhi untuk semua fungsi kontinu.
TEOREMA 5.8.2 (TEOREMA FUNDAMENTAL KALKULUS KEDUA)
Misal f fungsi kontinu pada selang I, dan misal a sebarang titik pada I. Jika F didefinisikan
dengan
𝑥
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
(5.46)
𝑎
maka F’(x)=f (x) pada setiap titik x pada selang I.
Dalam teorema tersebut, jika x suatu titik ujung dari selang I, maka F’(x) harus
diinterpretasikan sebagai turunan dari kiri atau kanan.
Bukti. Jika x bukan titik ujung selang I, maka berdasarkan definisi turunan
𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)
ℎ→0
ℎ
𝐹 ′ (𝑥) = lim
𝑥
1 𝑥+ℎ
= lim [∫
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 − ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡]
ℎ→0 ℎ 𝑎
𝑎
𝑎
1 𝑥+ℎ
= lim [∫
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡]
ℎ→0 ℎ 𝑎
𝑥
1 𝑥+ℎ
= lim ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
ℎ→0 ℎ 𝑥
𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 5.5.6
Dengan menerapkan Teorema Nilai Tengah untuk Integral (Teorema 5.6.2) pada ekspresi
terakhir, diperoleh
201
1
𝐹 ′ (𝑥) = lim [𝑓(𝑡 ∗ ) ∙ ℎ] = lim 𝑓(𝑡 ∗ )
ℎ→0 ℎ
ℎ→0
(5.47)
Dengan t* suatu bilangan diantara x dan x + h. Karena t* di antara x dan x + h, berakibat t*→ x
untuk ℎ → 0. Karena f kontinu di x, 𝑓(𝑥 ∗ ) → 𝑓(𝑥) untuk ℎ → 0. Berdasarkan (5.47) diperoleh
𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥). (Jika x suatu titik ujung selang I, maka limit dua-arah dalam bukti tersebut
harus diganti dengan limit satu-arah yang sesuai.)
Hasil dalam Teorema 5.8.2 dapat disajikan dengan rumus
𝑥
𝑑
[∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡] = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 𝑎
(5.48)
Dengan kata lain dapat dinyatakan:
Apabila integrannya kontinu, turunan dari integral tertentu terhadap batas atasnya sama
dengan nilai integran dibatas atas tersebut.
CONTOH 5.8.3 Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 suatu fungsi kontinu, berdasarkan Rumus (5.48) didapat
𝑥
𝑑
[∫ 𝑡 3 𝑑𝑡] = 𝑥 3
𝑑𝑥 1
Untuk memeriksanya, dihitung integralnya, kemudian diturunkan:
𝑥
𝑥
𝑡4
𝑥4 1 1 4
∫ 𝑡 𝑑𝑡 = ]
=
− = (𝑥 − 1)
4 𝑡=1
4 4 4
1
3
Penurunan fungsi ini menghasilkan 𝑥 3 seperti 𝑓(𝑥)
CONTOH 5.8.4 Misalkan 𝑓(𝑥) =
sin 𝑥
𝑥
kontinu pada sebarang selang yang tidak memuat titik
asal, maka berdasarkan (5.48) pada selang (0,+∞) diperoleh:
𝑥
𝑑
sin 𝑡
sin 𝑥
[∫
𝑑𝑡] =
𝑑𝑥 1 𝑡
𝑥
• Eksistensi Anti-Turunan untuk Fungsi Kontinu
Jika f suatu fungsi kontinu pada suatu selang I dan a sebarang titik pada I, maka berdasarkan
(5.48) fungsi
𝑥
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
(5.49)
𝑎
merupakan anti-turunan dari f pada I, dan memiliki nilai 0 di x = a. Dengan Teorema
Fundamental Kalkulus Kedua, dapat diketahui bahwa setiap fungsi yang kontinu pada suatu
selang mempunyai anti-turunan pada selang tersebut.
202
CONTOH 5.8.5 Fungsi yang didefinisikan dengan
𝑥
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑡 3 𝑑𝑡
1
merupakan anti-turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 dan mempunyai nilai nol di x = 1.Untuk memeriksa
hal ini, dalam Contoh 5.8.3 telah diperoleh bahwa
𝑥4 1 1 4
𝐹(𝑥) =
− = (𝑥 − 1)
4 4 4
sehingga F(1) = 0.
• Fungsi yang Didefinisikan dengan Integral
Walaupun diketahui bahwa fungsi kontinu mempunyai anti-turunan, terdapat dua hal yang
mungkin dapat menghalangi penggunaan rumus
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
(5.50)
𝑎
meskipun:
a) Tidak mudah mendapatkan metode untuk mencari fungsi anti-turunan F.
b) Anti-turunan F tidak dapat dinyatakan dengan fungsi yang telah dikenal.
Sebagai gambaran keadaan yang ke-dua, berikut ini akan diselesaikan integral
3
1
𝑑𝑥
1 𝑥
∫
(5.51)
Karena 𝑓(𝑥) = 1/𝑥 kontinu pada sebarang selang yang tidak memuat titik asal, fungsi f
mempunyai anti turunan pada selang [1,3], dan dijamin oleh Teorema Fundamental Kalkulus
Kedua bahwa terdapat beberapa anti-turunan untuk f pada selang tersebut. Salah satu antiturunan itu adalah
𝑥
1
𝑑𝑡
1 𝑡
𝐹(𝑥) = ∫
(5.52)
tetapi rumus ini merupakan alat bantu kecil dalam menyelesaikan (5.51) sebab dengan
menerapkan (5.50) pada (5.51) diperoleh
3
3
1
3
1
1
1
1
𝑑𝑥 = 𝐹(3) − 𝐹(1) = ∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡
1 𝑥
1 𝑡
1 𝑡
1 𝑡
∫
yang merupakan persamaan yang tidak berguna untuk mendapatkan nilai numerik dari (5.51).
203
□
■
□
■
□
►
SOAL-SOAL LATIHAN 5.8
◄
□
■
□
■
□
Untuk soal 1-3, gunakan Teorema Fundamental Kalkulus Kedua untuk memperoleh turunannya.
𝑑
𝑥 𝑑𝑡
𝑑
𝑥
𝑑
𝑥
1. 𝑑𝑥 ∫0 2+ 𝑡
√
𝑡
2. 𝑑𝑥 ∫0 2cos 𝑡 𝑑𝑡
3. 𝑑𝑥 ∫0 2|𝑡|𝑑𝑡
Untuk soal 4-6, nyatakan anti-turunannya sebagai integral
4. Anti-turunan dari 1/(x - 1) pada (1, +∞) yang nilainya di x = 2 adalah 0
5. Anti-turunan dari 1/(x – 1) pada (-∞,1) yang nilainya di x = -3 adalah 0
6. Anti-turunan dari 1/(x – 1) pada (-∞,1) yang nilainya di x = 0 adalah 0
Untuk soal 7-8, tentukan domain dari F(x) dan tentukan semua nilai x yang menyebabkan F(x) positif,
negatif, atau nol. (Tidak perlu melakukan penghitungan integralnya)
𝑥 2𝑡 4
7. 𝐹(𝑥) = ∫1 𝑡 2 +4 𝑑𝑡
𝑥
8. 𝐹(𝑥) = ∫−1 √6 − 3𝑡 2 𝑑𝑡
Untuk soal 9-10, nyatakan F(x) dalam bentuk sepotong-sepotong yang tidak menggunakan integral.
𝑥
9. 𝐹(𝑥) = ∫−2|𝑡| 𝑑𝑡
𝑥
𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
10. 𝐹(𝑥) = ∫1 𝑓(𝑡)𝑑𝑡, dengan 𝑓(𝑥) = {
2, 𝑥 ≥ 2
204
A.
Bilangan Kompleks
205
B
ilangan Kompleks
• Definisi; Aljabar Bilangan Kompleks
Dalam berbagai masalah terapan, system bilangan real ternyata tidak mencukupi untuk
mengkaji penyelesaiannya. Telah lama diketahui bahwa tidak ada penyelesaian real untuk
persamaan 𝑥 2 = −1. Untuk itu, matematikawan abad 18 memperkenalkan bilangan imajiner
2
𝑖 = √−1 dengan sifat 𝑖 2 = (√−1) = −1. Selanjutnya didefinisikan suatu bilangan dalam
bentuk 𝑎 + 𝑏𝑖, dengan a dan b bilangan-bilangan real, yang dinamakan bilangan kompleks.
Secara formal didefinisikan sebagai berikut:
DEFINISI A.1.1 Suatu bilangan kompleks adalah suatu pasangan terurut bilangan real, yang
dinotasikan dengan (a,b) atau a + bi. Bilangan a disebut bagian real, dan bilangan b disebut
bagian imajiner dari bilangan kompleks tersebut.
Selanjutnya, sering digunakan notasi dengan satu huruf tunggal, missal z, untuk menyatakan
suatu bilangan kompleks, yaitu dengan menuliskan
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
dengan notasi tersebut, bagian real dari z ditulis dengan Re(z), sedangkan bagian imajinernya
ditulis dengan Im(z). Dalam hal ini, Re(z) = a dan Im(z) = b. Dari pengertian bilangan
kompleks tersebut, maka system bilangan kompleks dapat dipandang sebagai perluasan sistem
bilangan real; perhatikan bahwa setiap bilangan real dapat dipandang sebagai bilangan
kompleks dengan bagian imajinernya nol.
206
Gambar A.1.1
Gambar A.1.2
CONTOH A.1.1
z
z
(NOTASI PASANGAN TERURUT)
(NOTASI YANG EKIVALEN)
Re(z)
Im(z)
(2,3)
2 + 3i
2
3
(-1,2)
-1 + 2i
-1
2
(0,1)
0+i=i
0
1
(3,0)
3 + 0i = 3
3
0
(3,-2)
3 + (-2)I = 3 – 2i
3
-2
• Bidang Kompleks
Suatu bilangan kompleks a + bi dapat disajikan secara geometrik sebagai suatu titik atau
vektor dalam suatu sistem koordinat-xy. Dalam sistem koordinat ini, sumbu-x disebut sumbu
real, sumbu-y disebut sumbu imajiner, sedangkan bidangnya disebut bidang kompleks atau
207
diagram Argand (Lihat Gambar A.1.1). Dalam bidang terapan, pengertian ini sangat
membantu. Gagasan ini sangat sederhana dan alami. Gambar A.1.2 menunjukkan bilanganbilangan kompleks pada Contoh A.1.1 sebagai titik-titik dan vektor-vektor dalam bidang
kompleks.
• Operasi pada Bilangan Kompleks
Jumlah dan selisih dua bilangan kompleks didefinisikan dengan menjumlahkan atau
mengurangkan bagian real dan bagian imajiner yang bersesuaian; yaitu
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖
(𝐴. 1)
(𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖
(𝐴. 2)
CONTOH A.1.2
(3 − 4𝑖) + (−1 + 2𝑖) = (3 − 1) + (−4 + 2)𝑖 = 2 − 2𝑖
(3 + 5𝑖) − (−2 − 2𝑖) = (3 + 2) + (5 + 2)𝑖 = 5 + 7𝑖
Jumlah dan selisih bilangan kompleks z1 dan z2 dapat disajikan secara geometrik dengan
memandang bilangan-bilangan tersebut sebagai vektor. (Lihat Gambar A.1.3)
Gambar A.1.3
208
Perkalian dua bilangan kompleks dapat dilakukan dengan menguraikan (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖)
sesuai aturan aljabar umum, tetapi dengan mengingat 𝑖 2 = −1; yaitu
(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑𝑖 2 + 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖
Dengan demikian, perkalian bilangan kompleks didefinisikan sebagai
(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖
(𝐴. 3)
Akan tetapi, perlu diperhatikan untuk keperluan penghitungan, dianjurkan menggunakan
pengertian perkalian bilangan kompleks di atas daripada menggunakan A.3.
CONTOH A.1.3
5(3 − 2𝑖) = 15 − 10𝑖
(2 + 2𝑖)(1 − 3𝑖) = 2 + 2𝑖 − 6𝑖 − 6𝑖 2 = 2 − 4𝑖 + 6 = 4 + 4𝑖
𝑖(1 + 𝑖)(1 − 2𝑖) = 𝑖(1 − 2𝑖 + 𝑖 − 2𝑖 2 ) = 𝑖(3 − 𝑖) = 3𝑖 − 𝑖 2 = 𝑖 + 3𝑖
Pembagian bilangan kompleks dapat dipandang sebagai pembagian yang mirip dengan
pecahan aljabar biasa. Bagian real dan bagian imajiner dari pembagian
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖
kalikan pembilangan dan penyebut dengan c – di dan disederhanakan:
𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 − 𝑑𝑖 (𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖
=
∙
=
𝑐 + 𝑑𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑐 − 𝑑𝑖
𝑐 2 − 𝑑2𝑖 2
=
(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑖
𝑐 2 + 𝑑2
Dengan mengelompokkan bagian real dan imajinernya, pembagian bilangan kompleks
didefinisikan sebagai
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
)+( 2
)𝑖
=( 2
2
𝑐 + 𝑑𝑖
𝑐 +𝑑
𝑐 + 𝑑2
(𝐴. 4)
Sebagaimana perkalian, dalam pembagian bilangan kompleks juga dianjurkan menggunakan
pengertian yang mendahului Rumus A.4 untuk penghitungan daripada menggunakan Rumus
Rumus A.4 itu sendiri. Perlu juga diperhatikan, bahwa pembagian bilangan kompleks tidak
terdefinisi apabila penyebutnya nol, sebagaimana berlaku dalam bilangan real.
CONTOH A.1.4
3 + 4𝑖 3 + 4𝑖 1 + 2𝑖 −5 + 10𝑖
=
∙
=
= −1 + 2𝑖
1 − 2𝑖 1 − 2𝑖 1 + 2𝑖
5
209
• Konjugat Kompleks
Untuk sebarang bilangan kompleks z = a + bi, konjugat kompleks (atau konjugat) dari z
dinotasikan dengan 𝑧̅ dan didefinisikan sebagai
𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖
Dalam pendefinisian pembagian bilangan kompleks, terlihat bahwa telah digunakan konjugat
kompleks, yaitu sebagai pengali penyebutnya. Demikian pula, dalam penyelesaian persamaan
polinomial
𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 = 0
dengan koefisien real. Dapat dibuktikan bahwa dalam sistem bilangan kompleks, persamaan
demikian selalu mempunyai penyelesaian, dan jika z adalah salah satu penyelesaian, maka 𝑧̅
juga penyelesaian. Sebagai contoh, rumus kuadrat penyelesaian persamaan 𝑥 2 − 4𝑥 + 8 = 0
adalah
𝑥1,2 =
4 ± √−16 4 ± √16𝑖
=
2
2
sehingga penyelesaian persamaan tersebut adalah 𝑥1 = 2 + 2𝑖 dan 𝑥2 = 2 − 2𝑖. Dalam hal ini,
setiap penyelesaian kompleks selalu pasangan konjugat.
Dapat pula ditunjukkan bahwa konjugat kompleks mempunyai sifat berikut ini:
𝑧̅ = 𝑧, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧̅1 + 𝑧̅2 , ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧1 − 𝑧2 = 𝑧̅1 − 𝑧̅2
𝑧1 𝑧2 = 𝑧̅1 𝑧̅2 ,
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
𝑧1
𝑧̅1
( )=
𝑧2
𝑧̅2
(𝐴. 5)
• Modulus
Apabila suatu bilangan kompleks z dipandang sebagai suatu vektor, maka panjang vektor
tersebut dinamakan modulus dari z dan dinotasikan dengan |𝑧|. Jadi, jika 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, maka
|𝑧| = √𝑎2 + 𝑏 2
Sebagai contoh, jika 𝑧 = 4 − 3𝑖, maka
|𝑧| = |4 − 3𝑖| = √42 + (−3)2 = 5
Perhatikan, jika 𝑧 = 𝑎 + 0𝑖 (yaitu z bilangan real) maka
|𝑧| = √𝑎2 + 02 = √𝑎2 = |𝑎|
210
(𝐴. 6)
yang menyatakan bahwa modulus bilangan real sama dengan nilai mutlak bilangan tersebut.
Beberapa sifat modulus bilangan kompleks adalah sebagai berikut (buktikan):
𝑧𝑧̅ = |𝑧|2 ,
□
■
□
■
□
►
|𝑧1 𝑧2 | = |𝑧1 ||𝑧2 |,
|𝑧1 |
𝑧1
| |=
|𝑧2 |
𝑧2
SOAL-SOAL LATIHAN A
◄
(𝐴. 7)
□
■
□
■
□
1. Untuk tiap soal berikut plotkan titik dan seketlah vektor yang bersesuaian dengan bilangan
kompleks yang diberikan
a) 2 − 4𝑖
b) -3
c)−4 − 2𝑖
d)−6𝑖
2. Pada tiap soal berikut, dapatkan nilai x dan y yang sesuai dengan informasi yang diberikan.
a)𝑥 − 𝑖𝑦 = −3 + 9𝑖
b)(𝑥 + 𝑦) + (𝑥 − 𝑦)𝑖 = 8 + 𝑖
3. Diberikan 𝑧1 = 4 + 2𝑖 dan 𝑧2 = 6 − 3𝑖, dapatkan
a)𝑧1 + 𝑧2
b)𝑧1 − 𝑧2
c)4𝑧2
d)3𝑧1 + 2𝑧2
4. Dapatkan z dari tiap persamaan berikut:
a)𝑧 + (2 − 𝑖) = 3 + 2𝑖
b)−5𝑧 = 8 + 10𝑖
c)(𝑖 − 𝑧) + (3𝑧 − 4𝑖) = −4 + 6𝑖
5. Untuk tiap soal berikut, dapatkan 𝑧̅ dan |𝑧|
a)𝑧 = 3𝑖
b)𝑧 = −6𝑖
c)2 + 𝑖
d)𝑧 = −7
6. Diberikan 𝑧1 = 1 − 6𝑖 dan 𝑧2 = 3 + 2𝑖, dapatkan
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
a)𝑧1 /𝑧2
b)𝑧̅1 /𝑧2
c)(𝑧
d)𝑧1 /𝑧̅2
1 /𝑧2 )
211