SİSTEM DİNAMİĞİ
Dr. Öğr. Üyesi Seda GÜZEL AYDIN
İletişim: sgaydin@bingol.edu.tr
Selçuk Üniversitesi
Akşehir Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi
Ders içeriği
■ Transfer fonksiyonları
■ Blok diyagramlar ve sadeleştirme yöntemleri
Transfer fonksiyonları ve özellikleri
■ Transfer fonksiyonları kontrol sistemlerinin temelidir.
■ Doğrusal zamandan bağımsız diferansiyel denklemler ile ifade edilen sistemlerin
belirli girişlere karşı verdikleri cevaplar transfer fonksiyonlarının özellikleri ile değişir.
■ Sistemin karakteristiğini taşırlar.
■ Farklı sistemler aynı ya da çok yakın transfer fonksiyonlarına sahip olabilirler
Transfer fonksiyonu
■ Başlangıç koşullarının sıfır olduğu doğrusal zamanla değişmeyen bir sisteme
uygulanan birim dürtü fonksiyonlu girişi sistemin çıkışında verdiği tepkinin Laplace
dönüşümüne sistemin Transfer Fonksiyonu denir.
■ 𝛿 𝑡 =dürtü fonksiyonu
g(t)=dürtü fonksiyonuna verilen tepki
■ r(t)= giriş değişkeni
G(s)=sistemin transfer fonksiyonu
■ y(t)= çıkış
O zaman,
ℒ 𝑔(𝑡) = 𝐺(𝑠)
Başlangıç koşulları sıfır olmak üzere, giriş ve çıkışa bağlı transfer fonksiyonu,
G s =
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
olarak ifade edilir.
Öz transfer fonksiyonu
Aşağıda verilen polinom şeklindeki G(s) transfer fonksiyonunda,
n>m ise kesin öz transfer fonksiyonu,
n=m ise öz transfer fonksiyonu
n<m ise öz olmayan transfer fonksiyonu olarak isimlendirilir.
G 𝑠
𝑌(𝑠)
𝑎𝑚 𝑠 𝑚 +𝑎𝑚−1 𝑠 𝑚−1 +⋯+𝑎1 𝑠 1 +𝑎0
=
=
𝑅(𝑠)
𝑏𝑛 𝑠 𝑛 +𝑏𝑛−1 𝑠 𝑛−1 +⋯+𝑏1 𝑠 1 +𝑏0
Karakteristik denklem sıfırlar ve
kutuplar
Doğrusal sistemlerde transfer fonksiyonunun payda polinomu sıfıra eşitlenirse elde
edilen denklem karakteristik denklem olarak tanımlanır.
G 𝑠
𝑌(𝑠)
𝑎𝑚 𝑠 𝑚 +𝑎𝑚−1 𝑠 𝑚−1 +⋯+𝑎1 𝑠 1 +𝑎0
= 𝑅(𝑠) = 𝑏 𝑠𝑛 +𝑏 𝑠𝑛−1 +⋯+𝑏 𝑠1+𝑏
𝑛
𝑛−1
1
0
transfer fonksiyonu için
𝑏𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑠1 + 𝑏0 = 0 şeklindedir.
Payı 0 yapan değerlere sistemin sıfırları
Paydayı 0 yapan değerlere de sistemin kutupları denir.
𝑃𝑎𝑦
Paydayı 0 yapan değerler
sistemi sonsuza götürmektedir. Bu değerler sistemin
0
kararlılığında oldukça etkilidir.
Payı sıfır yapan değerler ise sistemi 0'a götüren değerlerdir
Transfer fonksiyonu özellikleri
■ Transfer fonksiyonu sadece doğrusal zamanla değişmeyen bir sistemi uygulanabilir.
■ Sistemin kendisine ait bir özelliktir.
■ Bir sistemin girişine uygulanan birim dürtü fonksiyonla karşılık olarak sistemi
çıkışında verilen tepkinin Laplace dönüşümüdür.
■ Sistemin tüm başlangıç koşulları sıfırdır.
■ Transfer fonksiyonu girişe uygulanan fonksiyonlardan bağımsızdır.
■
Transfer fonksiyonu sürekli verili sistemlerde ise karmaşık s değişkeninin aylık verili
sistemlerde de z dönüşümünü kullanılması durumunda z'nin bir fonksiyonudur.
Açık çevrim ve kapalı çevrim transfer
fonksiyonları
Açık çevrim kontrol sistemi
𝐶 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑅(𝑠)
Açik çevrim ve ileri besleme transfer
fonksiyonlari
Kapalı çevrim kontrol sistemi
𝐶(𝑠)
=𝐺 𝑠
𝐸(𝑠)
𝐵(𝑠)
𝐴ç𝚤𝑘 ç𝑒𝑣𝑟𝑖𝑚 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢 =
= 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
𝐸(𝑠)
𝐶(𝑠)
İ𝑙𝑒𝑟𝑖 𝑦𝑜𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢 =
=𝐺 𝑠
𝐸(𝑠)
İ𝑙𝑒𝑟𝑖 𝑦𝑜𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢 =
G𝑒𝑟𝑖 𝑏𝑒𝑠𝑙𝑒𝑚𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟 𝑓𝑜𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑜𝑛𝑢 =
𝐵(𝑠)
=𝐻 𝑠
𝐶(𝑠)
Blok diyagramları
Karmaşık sistemler bir çok alt sistemin bir araya gelmesiyle oluşmuştur.
Eğer karmaşık bir sistemi tek bir transfer fonksiyonuna veya alt sisteme
indirgeyebilirsek tüm sistemi analitik olarak daha kolay inceleyebiliriz
Karmaşık sistemleri tek bir transfer fonksiyonuna iki yöntemle
indirgeyebiliriz:
1.Blok Diyagramları
2.İşaret Akış Diyagramları
Blok diyagramları
■ Kontrol sistemlerini meydana getiren elemanların görevlerini göstermek için blok
diyagramlar kullanılır.
■ Bir sistemin blok diyagramı sistem parçalarının fonksiyonlarının ve sinyal akışının şekilsel
gösterimidir.
■ Bir blok diyagramı:
– fonksiyonel bloklar (sadece blok olarak da adlandırılır),
– toplama noktaları
– ayrılma noktalarından meydana gelir
– Sinyal akışları oklar ile gösterilirler
Blok diyagramın özellikleri
1. Blok diyagramı gerçek sistemin sinyal akışlarını gösterir. Bu nedenle
sistemin soyut matematiksel gösterimine göre sistemi daha gerçekçi bir
şekilde temsil eder.
2. Bir blok diyagram sistemin dinamik davranışı ile ilgili bilgiyi içermekte olup
sistemin fiziksel yapısı ile ilgili herhangi bir bilgi vermez.
3. Blok diyagram üzerinde enerjinin esas kaynağı açık bir şekilde
gösterilmez.
4. Verilen sistemin blok diyagramı tek tip değildir. Ele alınan çözümlerin
bakış açısına bağlı olarak bir sistem için farklı sayıda blok diyagramı çizilebilir.
Fonksiyonel Blok: Sistemin veya sistemi oluşturan herhangi bir elemanın giriş ve çıkış değişkenleri
arasındaki bağlantıyı gösteren bir semboldür.
Toplama Noktaları: Toplama işlemini belirtir ve içine çapraz işareti konmuş bir daire veya içi boş bir daire ile
gösterilir.
Ayrılma Noktaları: Sinyalin veya sinyallerin bir bloktan başka bir bloğa veya toplama noktasına ayrıldığı
noktalardır.
Kontrol sistemlerinde blok diyagram elemanlarında cebirsel işlemler
Blok diyagramlarin sadeleştirilme kurallari
Örnekler
İki Girişli Sistemler
(Gürültü Sinyali N(s) veya Bozucu giriş D(s)’in Sistem
Üzerindeki Etkisi)
■
Kontrol sistemleri çalışmalarında önemli bir konu da sisteme bozucu bir sinyal girişi olması
durumudur.
■
Bozucular genellikle kontrol sistemlerinin performanslarını kötü yönde etkilerler.
■
Çok girişli sistemlerde blok diyagramlarının sadeleştirilmesi yapılırken süperpozisyon yöntemi
kullanılır.
■
Sırasıyla girişlerden birisi yok sayılır ve mevcut haliyle sistemin transfer fonksiyonu bulunur. Daha
sonra diğer giriş yok sayılarak mevcut sistemin transfer fonksiyonu bulunur. Son olarak her iki
transfer fonksiyonu toplanarak iki girişli sistemin nihai transfer fonksiyonu elde edilir.
Ödev
1.
2.
3.
4.
ÖDEV
TASARIM PROBLEMİ
0