Elaborato scritto Maturità
anno scolastico 2020/2021
Liceo scientifico G.Castelnuovo
Andrea Pasqui Vc
Indice:
PG 2) Costruisci una funzione velocità definita per 𝑡 ≥ 0, che sia derivabile, non negativa e che presenti un
asintoto orizzontale di equazione 𝑦 = 𝑘, con 𝑘 > 0. Tieni un diario di bordo dei tentativi fatti per
determinare la funzione scelta
PG 3-6) Determina la legge oraria della posizione e dell’accelerazione e discutine l’unicità. Rappresenta in
tre grafici separati le leggi orarie determinate ai punti precedenti, anche sfruttando le relazioni esistenti tra
esse
PG 7) Scegli un intervallo chiuso e limitato sull’asse dei tempi e calcola la velocità media in questo
intervallo. Esiste nello stesso intervallo un punto in cui la velocità istantanea ha lo stesso valore della
media? Motiva la risposta.
PG 8) Considera un teorema a scelta tra quelli che hai sfruttato per giustificare i passaggi svolti ai punti
precedenti. Dimostra che le ipotesi sono essenziali dimostrando la falsità della tesi in mancanza di una o più
ipotesi.
PG 9-11)Descrivi un fenomeno fisico, nell’ambito dell’elettromagnetismo, in cui una grandezza fisica
coinvolta presenta un grafico simile a quello della funzione velocità di cui al punto a).
PG 12-13) In riferimento ad ambiti diversi da quello fisico, conosci dei fenomeni che possono essere
descritti da una legge con caratteristiche simili a quelle della funzione velocità di cui al punto a)? Spiega
PG 14 in poi) Sviluppa un approfondimento su una delle tematiche coinvolte nei quesiti precedenti anche
cogliendo, se possibile, dei collegamenti significativi con una delle discipline del tuo piano di studi, con le
attività condotte nei percorsi per le competenze trasversali e l’orientamento, con altre esperienze
formative o con letture personali
1
𝑣 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑡 con t≥0
𝑉 𝑡 è la legge oraria della velocità in funzione del tempo, considerata per t≥0
Consideriamo quindi la funzione nell’intervallo 𝐼𝜏 : [0; +∞[
L’argomento dell’arcotangente può assumere qualsiasi valore dunque
D: ∀𝑡𝜖𝐼𝜏 ⇒ la funzione esiste per ogni suo punto di ascisse 𝑡0 𝜖 𝐼𝜏
𝑣 𝑡 non presenta limitazioni nel proprio dominio dunque è continua.
In più:
Per la definizione di continuità: una funzione 𝑓 𝑥 , definita in un intorno di un punto
𝑥0 , è continua in 𝑥0 se: 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 Dunque la funzione velocità 𝑣 𝑡 poiché è
𝑥→𝑥0
definita in ogni suo punto 𝑡0 e per ognuno di essi vale la relazione
𝑙𝑖𝑚 arctan 𝑡 = arctan 𝑡0 essa è continua in tutto 𝐼𝜏
𝑡→𝜏0
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑡 ≥ 0 ⇒t ≥0
∀𝑡 ≥ 0 , 𝑡𝜖[0; +∞[ ⇒ 𝑣 𝑡 ≥ 0
Dunque la funzione velocità definita per t ≥ 0 è sempre positiva
𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑡 = [𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 0 ] = 0
𝑡→0+
𝑙𝑖𝑚 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑡 =
𝑡→+∞
𝜋
2
𝜋
𝜋
2
2
⇒ K= : la retta y= è un asintoto orizzontale di 𝑣 𝑡
consideriamo la funzione 𝛾 𝑥 = tan 𝑥 ovvero la funzione inversa di 𝑣 𝑡
𝛾’(x) è uguale alla derivata di y(x)=
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥
Per il teorema della derivata del quoziente di due funzioni secondo cui:
D[
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
𝛾’(t) =
]=
𝑓′ 𝑥 ⋅𝑔 𝑥 −𝑓 𝑥 ⋅𝑔′ 𝑥
𝑔2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⋅cos 𝑥 −[sin 𝑥 ⋅sin 𝑥 ] cos2 𝑥 +sin2 𝑥
cos2 𝑥
=
cos2 𝑥
cos2 𝑥
=
cos2 𝑥
+
sin2 𝑥
cos2 𝑥
Sostituendo per la definizione di tangente il secondo membro e semplificando il primo
𝛾’(x)= 1+𝑡𝑎𝑛2 𝑥
2
Quindi per calcolare 𝑣′ 𝑡 ,dove 𝑣 𝑡 è la funzione inversa della funzione y(x) appena
considerata, sfruttiamo il teorema della derivata della funzione inversa secondo cui:
D[𝑓 −1 𝑌 ] =
1
con x=𝑓 −1 𝑌
𝑓′ 𝑥
Quindi 𝑣′ 𝑡 =
1
con t= tan(x)
1+𝑡𝑎𝑛2 𝑥
Dunque 𝑣′ 𝑡 =
1
1+t2
Dominio di 𝑣′ 𝑡 ∶ il denominatore (1+t 2 ) ≠ 0 : ∀ 𝑡𝜖 𝐼𝜏
La funzione 𝑣 𝑡 è di conseguenza derivabile in tutto il suo dominio in quanto esso è
lo stesso della sua derivata.
𝑣′ 𝑡 essendo la derivata della legge oraria della velocità corrisponde quindi alla legge
oraria dell’accelerazione:
𝑎 𝑡 =
1
1 + t2
Essendo la velocità la derivata della legge oraria della posizione, di conseguenza
l’integrale indefinito di 𝑣 𝑡 espliciterà al variare di c tutte le legge orarie della
posizione dei corpi che si muovono con velocità 𝑣 𝑡
L’unicità di tale funzione verrà determinata facendola passare per il valore 𝑠 0 = 0
dato dal fatto che la velocità del nostro corpo è nulla in 𝑣 0 dunque il corpo in
quell’istante è fermo nella posizione (0;0)
𝑠 𝑡 = ∫ 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐 = ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐
Per risolvere questo integrale applichiamo la formula dell’integrazione per parti:
∫ 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 − ∫ 𝑓′ 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
Considerando 1 = 𝑔′ 𝑥 da integrare che moltiplica arctan 𝑥 = 𝑓 𝑥 da derivare
𝑠 𝑡 = 𝑡 ⋅ arctan 𝑡 − ∫
𝑠 𝑡 = 𝑡 ⋅ arctan 𝑡 −
1
2
𝑡
1+t2
1
2𝑡
2
1+t2
𝑑𝑡 = 𝑡 ⋅ arctan 𝑡 − ∫
⋅ ln 1 + t 2 + 𝑐
𝑑𝑡 + 𝑐
Al variare di c troveremo tutte le legge
orario della posizione possibili di corpi che si muovono secondo 𝑣 𝑡
3
1
1
⋅ ln 1 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑐 = ⋅ ln 1 ⇒ 𝑐 = 0
2
2
1
𝑠 𝑡 = 𝑡 ⋅ arctan 𝑡 − ⋅ ln 1 + t 2
2
𝑠 0 =0⇒ −
- studiamo il segno di 𝑎 𝑡 :
1
1+t2
≥ 0 ⇒ 1 ≥ 0∀𝑡𝜖𝐼𝜏 ∧ 1 + t 2 ≥ 0 ∀𝑡𝜖𝐼𝜏 ⇒ ∀𝑡𝜖𝐼𝜏 𝑣 𝑡 è sempre positiva, di
conseguenza è sempre crescente
Calcoliamo 𝑣" 𝑡 = 𝑎′ 𝑡 =
1+t2 ⋅0−1⋅2𝑡
1+t2 2
=
−2𝑡
1+t2 2
- Studiamole il segno per vedere la concavità di 𝑣 𝑡
−2𝑡
1+t2 2
≥ 0 −2𝑡 ≥ 0 ⇒ 𝑡 ≤ 0 ; 1 + t 2 2 ≥ 0 ⇒ ∀𝑡𝜖𝐼𝜏
⇒𝑡≤0
𝑣" 𝑡 è positiva per 𝑡 ≤ 0 e negativa per 𝑡 ≥ 0
Quindi per 𝑡 ≥ 0 𝑣 𝑡 ha concavità verso il basso ∩
Con questi dati più quelli già studiati ai punti precedenti possiamo disegnare il
grafico di 𝑣 𝑡
Figura 1 grafico legge oraria velocità
4
-
Dominio: L’argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di
zero
t 1 + t 2 ≥ 0 ⇒ 𝐷: ∀𝑡𝜖𝐼𝜏
- Studio del segno e crescita:
Sappiamo che 𝑠 𝑡 passa dall’origine degli assi in quanto 𝑠 0 = 0 e che per 𝑡 ≥
0 la sua derivata 𝑣 𝑡 è positiva, in aggiunta per 𝑡 ≥ 0 𝑠 𝑡 è crescente. Quindi
poiché 𝑠 𝑡 cresce a partire dall’origine degli assi di conseguenza 𝑠 𝑡 ≥ 0 per
𝑡 ≥ 0 ovvero è positiva nell’intervallo 𝐼𝜏
-
Limiti agli estremi:
𝑙𝑖𝑚 𝑠 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚 𝑡 ⋅ arctan 𝑡 −
𝑡→+∞
𝑡→+∞
1
2
⋅ ln 1 + t 2 = [+∞ − ∞]
= Forma indeterminata ⇒ 𝑙𝑖𝑚 𝑡 ⋅ [arctan 𝑡 −
studiamo a parte 𝑙𝑖𝑚
𝑡→+∞
𝑡→+∞
ln 1+t2
+∞
2𝑡
+∞
=[
ln 1+t2
2𝑡
]
] 𝐹. 𝐼.
per questa forma di
indeterminazione possiamo usare il teorema di De L’hospital secondo cui:
𝑙𝑖𝑚
𝑓 𝑥
𝑥→+∞ 𝑔 𝑥
= 𝐻 𝑙𝑖𝑚
𝑓′ 𝑥
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞ 𝑔′ 𝑥
𝑡→+∞
ln 1+t2
2𝑡
= 𝐻 𝑙𝑖𝑚
2t
𝑡→+∞ 2 1+t2
2
=[
+∞
+∞
]
essendoci al denominatore un infinito di ordine superiore (t > 𝑡
𝑙𝑖𝑚
2t
𝑡→+∞ 2 1+t2
=0
Quindi 𝑙𝑖𝑚 𝑡 ⋅ [arctan 𝑡 −
𝑡→+∞
ln 1+t2
2𝑡
𝜋
] = [+∞ ⋅ ( − 0)] = +∞
2
Concavità:
la derivata seconda di 𝑠 𝑡), ovvero 𝑎 𝑡 come già studiato è sempre positiva di
conseguenza 𝑠 𝑡) avrà sempre concavità rivolta verso l’alto ∪
Figura 2: grafico legge oraria posizione
5
Dominio: D∶ ∀𝑡𝜖𝐼𝜏
Positività: come già studiato 𝑎 𝑡 è sempre positiva
𝑎 0 =
1
1+0
=1
(Osservazione: Il corpo all’istante 𝑡 = 0 dovrà già essere
soggetto ad un’accelerazione che in seguito lo porterà a muoversi)
−2𝑡
Derivata prima: 𝑎′ 𝑡 = 𝑣" 𝑡 = 1+t2 2
come già studiato 𝑎′ 𝑡 ≥ 0 per 𝑡 ≤ 0 quindi 𝑎 𝑡 decresce per 𝑡 ≥ 0
𝑙𝑖𝑚 𝑎 𝑡 = 𝑙𝑖𝑚
Limiti agli estremi:
1
𝑡→+∞ 1+t2
𝑡→+∞
=[
1
+∞
]=0
𝑦 = 0 asintoto orizzontale (osservazione: infatti come la velocità tendo a un
valore massimo come si nota nel grafico della legge oraria,
contemporaneamente l’accelerazione diminuisce tendendo a zero)
Derivata seconda: 𝑎" 𝑡 =
6t4 +4t2 −2
−2 1+t2 2 − −2𝑡 2 1+t2 2𝑡
1+t2 4
⇒Numeratore: sostituiamo t 2 con k
6
1
3
; 𝑘2 = −1
1+t2 4
4
6t +4t2 −2
1+t2 4
𝑘1,2 =
3
≥0
−2±√4+12
sostituiamo 𝑘 = t 2 : 𝑡 =
√3
−1 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑒 D.I.C.E consideriamo i valori esterni 𝑡 ≥
3
√3
𝑎" 𝑡 è positiva per 𝑡 ≥
=
3𝑘 2 + 2𝑘 − 1 ≥ 0
studiamo l’equazione associata 3𝑘 2 + 2𝑘 − 1 = 0
⇒ 𝑘1 =
−2−4t2 −2t4 +8t2 +8t4
studiamola 𝑎" 𝑡 ≥ 0 ⇒
1+t2 4
−2±4
=
6
1
√3
=
=
√3
; t2 =
3
quindi
, dunque per gli stessi valori di t essa ha concavità
rivolta verso l ‘alto ∪ . Mentre per 0 ≤ 𝑡 ≤
√3
3
ha concavità verso il basso ∩.
√3
𝑎 ( )è un punto di flesso.
3
Figura 3: grafico legge oraria accelerazione
6
Consideriamo un intervallo compreso tra 𝑡1 = 1𝑠 e 𝑡2 = 2𝑠 [1;2] e calcoliamo la
velocità media
𝑣𝑚 =
𝑠 2 −𝑠 1
2−1
2
ln 1 + 1
𝑣𝑚 = 80.6
= 2 ⋅ arctan 2 −
= 2 ⋅ 63,4 −
𝑚
1
2
1
2
⋅ ln 1 + 22 − 1 ⋅ arctan 1 +
1
1
2
⋅
⋅ 1.6 − 45 + ⋅ 0.7 = 126.8 − 0.8 − 45 + 0.4 = 80.6
2
𝑆
Sappiamo che 𝑠 ′ 𝑡 = 𝑣 𝑡 rappresenta la velocità istantanea
Per il teorema di Lagrange:
Se una funzione 𝑓 𝑥 è: continua nell’intervallo limitato e chiuso [a;b] e derivabile in
ogni punto interno ad esso; allora esiste un punto 𝑐 interno all’intervallo per cui
vale la relazione :
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
= 𝑓′ 𝑐
𝑏−𝑎
𝑠 𝑡 essendo continua e derivabile in tutto il suo dominio lo è anche nell’ intervallo
considerato [1;2], quindi rispecchia le condizioni per il teorema di Lagrange
Dunque: esiste un punto 𝑠 ′ 𝑐 =
𝑠 2 −𝑠 1
2−1
Ma: 𝑠 ′ 𝑐 rappresenta la velocità
istantanea in un punto 𝑐 interno all’intervallo mentre
𝑠 2 −𝑠 1
2−1
rappresenta la
velocità media, quindi esiste un punto c interno all’intervallo in cui la velocità
istantanea corrisponde a quella media
7
Teorema di Lagrange: consideriamo una funzione 𝑓 𝑥 e un intervallo limitato e
chiuso [a;b]
Ipotesi: 𝑓 𝑥 è
- Continua nell’intervallo limitato e chiuso [a;b]
- Derivabile in ogni punto interno ad esso
Tesi: allora esiste almeno un punto 𝑐 interno all’intervallo per cui vale la relazione
𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎
= 𝑓′ 𝑐
𝑏−𝑎
Consideriamo la funzione 𝑓 𝑥 =
2
𝑥
e l’intervallo chiuso e limitato [−1; 1]
Dominio di 𝑓 𝑥 : 𝑥 ≠ 0 quindi 𝑓 𝑥 nel punto 𝑥 = 0 interno all’intervallo non è ne
continua ne derivabile, ciò va contro le ipotesi
Proviamo dunque a verificare la tesi:
𝑓′ 𝑐 =
2+2
𝑓′ 𝑐 =
−2
−2
c2
c
c
2
1+1
=2
⇒
2
Troviamo il punto c:
=2⇒
2
1
= − ⇒ c 2 = −1 ⇒ 𝐼𝑀𝑃𝑂𝑆𝑆𝐼𝐵𝐼𝐿𝐸
2
Non esiste alcun punto c che soddisfa la tesi! Dunque la tesi è falsa in mancanza delle
ipotesi.
8
Consideriamo un circuito elettrico RL: composto da un generatore di forza
0
elettromotrice costante 𝑓ⅇ𝑚
; un resistore di resistenza 𝑅 ; un induttore di induttanza
𝐿
Figura 4: circuito RL
Analizziamo singolarmente in vari componenti:
- Il generatore è un dispositivo capace di mantenere tra i suoi capi (uno positivo e
l’altro negativo) una differenza di potenziale costante attraverso una forza
0
elettromotrice: 𝛥𝑉 = 𝑓ⅇ𝑚
- Un resistore è un componente dei circuiti elettrici, dotato di una resistenza 𝑅 che
contrasta l’intensità di corrente, che segue la prima legge di Ohm secondo cui 𝑖 𝐴 =
𝛥𝑉 𝑉
𝑅 𝛺
- L’induttore preso in considerazione è una bobina. Una bobina, o un solenoide, è
dotata di un filo condutture avvolta ad elica, può essere pensato come l’insieme di
tante spire circolari (un filo condutture piegato ad anello) tutte uguali poste una di
fianco all’altra. Sappiamo che il campo magnetico prodotto da un solenoide percorsa
da corrente è nullo all’esterno, mentre quello all’interno è uniforme e parallelo
𝑁
all’asse del solenoide, e il modulo di esso è dato dalla formula 𝐵 = 𝑢0 𝑖 dove N è il
𝑙
numero di spire che la compone, 𝑙 la lunghezza e 𝑢0 la permeabilità magnetica nel
vuoto.
Consideriamo ora il flusso elettromagnetico generato internamente al solenoide:
Per definizione di flusso per calcolarne il modulo dobbiamo moltiplicare il modulo del
campo magnetico per l’area di una spira e successivamente per il numero di spire
considerando che le linee di campo del campo magnetico attraversano l’intero
⃗ ) = 𝐵 ⋅ 𝑆 ⋅ 𝑁 = 𝑢0
solenoide perpendicolarmente: 𝛷(𝐵
9
𝑁2
𝑙
𝑠𝑖
2
⃗ ) quindi è direttamente proporzionale a 𝑖 in quanto il fattore 𝑢0 𝑁 𝑠 è costante
𝛷(𝐵
𝑙
e dipende unicamente dalle caratteristiche del solenoide, questo prenderà il nome di
induttanza 𝐿 = 𝑢0
𝑁2
𝑙
𝑠 ; gli elementi di un circuito dotati di una induttanza L non
trascurabile sono detti induttori.
AUTOINDUZIONE:
Consideriamo un intervallo 𝛥𝑡 in cui l’intensità di corrente attraverso l’induttore varia
di intensità 𝛥𝑖 . La variazione di intensità come diretta conseguenza determinerà una
variazione del flusso del campo magnetico che attraversa il circuito stesso. Per la
Legge di Faraday-Neuman la variazione di flusso che attraversa il circuito stesso
genera una forza elettromotrice indotta secondo la formula 𝑓𝑒𝑚 = −
⃗)
𝛥𝛷(𝐵
𝛥𝑡
,
secondo il fenomeno dell’autoinduzione appena esplicitato considereremo dunque
⃗ ) = 𝐿 ⋅ 𝛥𝑖
una forza elettromotrice autoindotta dall’induttore: sostituiamo 𝛥𝛷(𝐵
𝑓𝑒𝑚 = −𝐿
𝛥𝑖
𝛥𝑡
Per la legge di Lenz la corrente autoindotta, generata dalla forza elettromotrice
autoindotta, scorre nel circuito contemporaneamente alla corrente spinta dal
generatore ma va in senso opposto, per cui rallenta la crescita della corrente
complessiva. Infatti alla chiusura del circuito RL l’intensità di corrente non raggiunge
subito il suo valore massimo, ma avrà un andamento crescente dovuto all’opposizione
della corrente autoindotta.
Cerchiamo dunque di esprimere la legge che rappresenta l’andamento della corrente
𝑖 𝑡 in funzione del tempo 𝑡 alla chiusura del circuito:
Secondo la legge delle maglie: la somma algebrica delle differenze di potenziale che
si incontrano percorrendo una maglia è uguale a zero. Quindi nel nostro circuito la
forza elettromotrice prodotta dal generatore meno la forza elettromotrice
autoindotta dalla bobina meno la differenza di potenziale ai capi del resistore è uguale
a zero:
0
𝑓ⅇ𝑚
−𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
− 𝑅𝑖 = 0 Riscriviamola nella forma:
Separiamo le variabili
𝑑𝑖
∫ 𝑓0
ⅇ𝑚 −𝑖
𝑅
10
=∫
𝑅
𝐿
𝑑𝑖
𝑅
𝑑𝑖
𝑑𝑡
=
𝑅
0
𝑓ⅇ𝑚
𝐿
𝑅
−𝑖
= ⋅ 𝑑𝑡
Integriamo membro a membro:
𝑓0
𝑅
𝑅
𝐿
𝑓0
ⅇ𝑚 −𝑖
𝑅
𝐿
⋅ 𝑑𝑡 ⇒ − ln ( ⅇ𝑚 − 𝑖) = ⋅ 𝑡 + 𝑐
𝑓0
𝑅
𝑅
𝐿
⇒ ln ( ⅇ𝑚 − 𝑖) = − ⋅ 𝑡 + 𝑐
⇒
0
𝑓ⅇ𝑚
𝑅
𝑅
− 𝑖 = 𝑒 − 𝐿 ⋅𝑡+𝑐 ⇒
𝑖 𝑡 =
0
𝑓ⅇ𝑚
𝑅
0
𝑓ⅇ𝑚
𝑅
Trasformiamo il logaritmo in esponenziale
𝑅
− 𝑖 = 𝑒 − 𝐿 ⋅𝑡 ⋅ 𝐾
con 𝐾 = 𝑒 𝑐
𝑅
− 𝑒 − 𝐿 ⋅𝑡 ⋅ 𝐾
Per determinare K consideriamo 𝑖 0 = 0 ovvero l’istante in cui il circuito è ancora
aperto:
⇒𝐾=
0
𝑓ⅇ𝑚
𝑅
0
𝑓ⅇ𝑚
𝑅
𝑅
− 𝑒 − 𝐿 ⋅0 ⋅ 𝐾 ⇒
0
𝑓ⅇ𝑚
𝑅
Quindi 𝑖 𝑡 =
−1⋅𝐾 =0
0
𝑓ⅇ𝑚
𝑅
𝑅
𝑓0
− 𝑒 − 𝐿 ⋅𝑡 ⋅ ⅇ𝑚
𝑅
0
𝑅
𝑓ⅇ𝑚
⇒ 𝑖 𝑡 =
1 − 𝑒 − 𝐿 ⋅𝑡
𝑅
La funzione ottenuta esprima l’intensità al variare del tempo, che ha un andamento
crescente fino a un valore massimo 𝑖 =
impiega un tempo di 𝛥𝑡 = 5
𝑅
𝐿
0
𝑓ⅇ𝑚
𝑅
; per stabilizzarsi verso quel valore
dalla chiusura del circuito.
Graficamente la funzione 𝑖 𝑡 ha lo stesso andamento della funzione 𝑣 𝑡 esaminata
in precedenza: Sempre positiva e crescente per 𝑡 ≥ 0 passante dall’origine, con
concavità
verso
il
basso
Figura 5: Grafico corrente di apertura circuito RL
11
tendente
all’asintoto
orizzontale
𝑖=
0
𝑓ⅇ𝑚
𝑅
Prima di descrivere la funzione velocità relativa alla catalisi enzimatica diamo un
quadro descrittivo per quanto riguarda gli enzimi e la loro funzione:
Gli enzimi sono proteine specializzate per la funzione catalitica e agiscono
accelerando le reazioni chimiche. Un enzima svolge la sua funzione attraverso una
diminuzione dell’energia di attivazione della reazione senza modificare l’equilibrio
della reazione stessa, rimanendo strutturalmente inalterato al termine del processo
di catalizzazione.
Figura 6: grafico relativo all’energia di attivazione di una reazione
Gli enzimi sono:
- Straordinariamente efficienti: la velocità catalizzata aumenta fino a 1017
volte superiore
- Altamente specifici: riconoscono selettivamente la molecola che deve essere
trasformata nella reazione (modella chiave-serratura/adattamento indotto)
- Modulabili: l’attività enzimatica può essere regolata in vari modi
- Agiscono in condizioni fisiologiche di ph, temperatura e pressione
caratteristiche degli organismi viventi.
Catalisi enzimatica: per svolgere la propria funzione catalitica, l’enzima (E) segue un
percorso ciclico, o ciclo catalitico. Dapprima l’enzima interagisce e lega in modo
specifico il substrato (S), cioè la molecola da trasformare. Il legame del substrato
avviene al livello del sito attivo, una regione spazialmente delimitata dall’enzima. In
seguito al legame, si forma il complesso enzima-substrato (ES); a questo punto, la
catalisi enzimatica induce la reazione di trasformazione del substrato in una
molecola diversa, il prodotto (P). Il prodotto a questo punto si distacca dall’enzima e
il ciclo catalitico può ricominciare con una nuova molecola di substrato.
𝐸 + 𝑆 ⇄ 𝐸𝑆 ⟶ 𝐸 + 𝑃
12
Con l’aumento di numero di moli di substrato aumenta la velocità con cui l’enzima
agisce, finché l’enzima non è del tutto saturato dal substrato tendendo così a una
velocità massima 𝑉max
La 𝑉max corrisponde al numero di Turnover: La quantità di substrato trasformate in
prodotto nell’unità di tempo
La quantità di moli di [ES] resta costante finché il tutto substrato non è
completamente trasformato; inoltre la velocità di sintesi di [ES] è uguale alla velocità
del suo consumo.
Con queste osservazioni nel 1913 lo scienziato Leonor Michaelis e la collega Maud
Menten hanno elaborato una funzione matematica che lega la velocità di una
reazione enzimatica alla concentrazione molare del substrato, nota come equazione
di Michaelis-Menten
𝑉=
𝑉max⋅[𝑆]
𝑘𝑀 +[𝑆]
Figura 7: Grafico equazione di Michaelis-Menten
La costante al denominatore 𝑘𝑀 corrisponde alla concentrazione di substrato in
presenza della quale la reazione procede a una velocità pari a metà della velocità
massima. 𝑉 𝑘𝑀 =
1
𝑉
2 max
La 𝑘𝑀 è una grandezza che esprime l’affinità dell’enzima per uno specifico substrato:
tanto minore è il valore della 𝑘𝑀 di un enzima per il suo substrato, quanto maggiore
è la sua affinità per esso e viceversa.
Il valore della 𝑘𝑀 è indipendente dalla quantità di enzima ed è caratteristico di ogni
enzima per un determinato substrato .
Il Numero di Turnover ( 𝑉max] e l’affinità dell’enzima (𝑘𝑀 sono dunque le due
grandezze fondamentali che consentono di inquadrare le caratteristiche catalitiche
di un enzima.
13
Dal 1870 in poi, si ebbe, in Europa e negli Stati Uniti, uno sviluppo tecnologico senza precedenti, che
assicurò ai paesi Occidentali la supremazia tecnica in tutto il mondo. La caratteristica che differenzia
maggiormente la seconda rivoluzione industriale dalla precedente sta nel fatto che le innovazioni
tecnologiche non sono frutto di scoperte occasionali ed individuali, bensì di ricerche specializzate in
laboratori scientifici e nelle università finanziate dagli imprenditori e dai governi nazionali per il
miglioramento dell'apparato produttivo. Nel corso della Seconda Rivoluzione industriale si sono
rinforzati vari settori industriali ed economici, come per esempio il settore energetico, il settore dei
trasporti grazie alle grandi innovazioni tecnologiche del periodo, ecc... Inoltre ci sono state delle
grandi innovazioni come per esempio quelle nel campo medico e quelle nel campo scientifico. I
fattori trainanti che si affermarono furono l’acciaio, il petrolio (motore a scoppio) e la chimica; Ma
gli effetti più sensazionali di questa nuova fase dell’industrializzazione furono prodotti dall’utilizzo
dell’elettricità, una nuova forma di energia che, come disse a quei tempi, si può “accendere e
spengere” a proprio piacimento. Era stata scoperta alla fine del Settecento, quando Alessandro
Volta aveva inventato una pila che produceva corrente, ma poté essere applicata all’industria solo
a partire dal 1860, anno in cui Antonio Paciotti inventò la dinamo.
Pila e dinamo confronto:
-
La pila fino all’invenzione della dinamo fu l’unico mezzo di produzione di corrente elettrica:
essa in elettrotecnica ed elettrochimica è un dispositivo che converte l'energia
chimica in energia elettrica con una reazione di ossidoriduzione. La pila di Volta consisteva
in dischetti di rame e zinco alternati, secondo lo schema rame-zinco-umido-rame-zinco, e
così via, il tutto mantenuto verticalmente dalla struttura di legno esterna. Una volta disposti
i dischetti e il panno sul supporto, collegando il primo e l'ultimo dischetto della colonna con
due fili di rame, si viene a creare tra essi una differenza di potenziale in grado di produrre il
passaggio di corrente.
Figura 8: SX primo prototipo di pila; DX schema strutturale pila
Così la pila fu il primo generatore ideale di corrente continua, in quanto inserita in un circuito la
differenza di potenziale tra i suoi capi genera un moto di elettroni all’interno di esso, ovvero una
corrente continua avente un’intensità che non varia col tempo. L’intensità di corrente è il
14
rapporto tra la quantità di carica che attraversa una sezione trasversale di un conduttore e
𝛥𝑄
l’intervallo di tempo considerato 𝑖 = 𝛥𝑡
-
La dinamo invece ideata da Paciotti sta alla base dello corrente alternata. Il prototipo
consisteva in un anello di ferro dolce su cui erano avvolte delle bobine di filo elettrico
collegate in serie tra loro in modo da formare una spirale continua avvolgente l'anello, che
veniva fatto ruotare con una manovella tra i poli di un magnete. Le estremità delle bobine
erano collegate a due a due ad uno dei segmenti metallici in cui era suddiviso il collettore
(un cilindro di materiale isolante calettato sull'albero di rotazione dell'anello, recante tanti
segmenti conduttori quante sono le bobine dell'anello) su cui strisciava una coppia
di spazzole diametralmente opposte. La dinamo è un dispositivo fisico in grado
di trasformare energia meccanica (cinetica: data da un movimento) in energia elettrica:
Nella sua forma più semplice, consiste di una spira conduttrice (rotore) immersa in un campo
magnetico (generato ad esempio fra i poli di un magnete permanente, che forma lo statore)
e messa in rotazione da un albero. Per la legge di Faraday per l'induzione, un conduttore che
si muove in un campo magnetico non parallelamente ad esso vede nascere una forza
elettromotrice indotta;
figura 9: schemi stutturali dinamo/alternatore
Come suggerisce il nome la corrente alternata non consiste di una forza elettromotrice costante,
ma variante nel tempo in quanto è indotta da una variazione di flusso che segue un andamento
sinusoidale secondo l’equazione 𝐹ⅇ𝑚 𝑡 = 𝑓0 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 . Un alternatore (come la dinamo) inserita in
un circuito genera un corrente anch’essa alternata sempre con andamento sinusoidale
figura 10:grafico intensità corrente alternata
Quasi immediatamente, Pacinotti si rese conto che la sua dinamo era reversibile: fornendo energia
elettrica (da una batteria al piombo-acido) alla manovella che alimentava la macchina, essa si
metteva a girare in senso inverso. Pacinotti capì quindi che era possibile sfruttare l’induzione
elettromagnetica non solo per produrre energia elettrica, ma anche per compiere lavoro
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meccanico. Era stato costruito il primo motore elettrico della storia, e da lì a breve l’essere umano
avrebbe usato intensivamente l’energia elettrica per sostituire gran parte dei lavori
tradizionalmente svolti dalla forza animale o muscolare.
- Nel 1870, si cominciò ad accoppiare alla dinamo la turbina idraulica:
Un dispositivo meccanico, in acciaio, atto a trasformare l'energia di pressione di un liquido
in energia cinetica disponibile ad un albero atto ad azionare un ulteriore dispositivo, come ad
esempio un alternatore.
Figura 11: SX turbina idroelettrica; DX statua di
Nikola Tesla sopra una turbina elettrica (cascate del Niagara)
Questo abbinamento avviò alla produzione commerciale di energia elettrica. Ciò diede impulso nei
seguenti anni della seconda rivoluzione industriale alla ricerca sugli utilizzi pratici dell'elettricità, i
cui capofila furono Thomas Alva Edison e Nikola Tesla.
Figura 12: SX Nikola Tesla; DX Thomas Alva Edison
Guerra delle correnti
La nascita di tale guerra e rivalità tra i due inventori, risale agli anni in cui Tesla andò a
lavorare per la compagnia di Edison, in quanto aveva bisogno del suo aiuto per brevettare
il generatore di energia elettrica alternata. Tale generato consisteva nell’idea di invertire il
campo magnetico mettendo all’interno facendolo girare, e ponendo le spire all’esterno,
creando un campo magnetico rotante.
Figura 13: Progetto generatore corrente alternata di Tesla
Tesla contribuì notevolmente allo sviluppo tecnologico dell’industria di Edison, consentendogli
risparmi economici di grande livello. Questi contributi sarebbero dovuti essere premiati con una
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ricompensa di 50 mila dollari secondo la parola di Edison; che esso rimangiò dicendo a Tesla “non
conosci l’umorismo americano”. Questo evento, insieme al rifiuto totale di Edison verso la corrente
alternata proposta da Tesla per motivi unicamente economici, portò alla rottura tra i due e all’inizio
della guerra. Tesla ottenne inseguito la collaborazione di Westinghouse, con il quale diffuse in larga
scala la corrente alternata. Dunque bisognava capire quale tra le due correnti avrebbe soddisfatto
maggiormente l’aumento della domanda dell’energia elettrica.
La cosiddetta guerra delle correnti fu dunque una competizione commerciale del XIX secolo, per il
controllo dell'allora crescente mercato mondiale dell'energia elettrica; La contrapposizione
principale sul mercato era fra il sistema di illuminazione pubblica con lampada ad arco, a corrente
alternata e alto voltaggio sostenuta da Nikola Tesla, e l’illuminazione domestica con lampada a
incandescenza e corrente continua a basso voltaggio ideata da Thomas Alva Edison.
- La lampadina ad incandescenza
-
Figura 14:S X lampadina; DX schema strutturale lampadina.
(ad incandescenza)
L’invenzione della lampadina a filamento incandescente, da parte di Edison nel 1879, fu decisiva per
lo sviluppo dell’industria elettrica. Nella lampada ad incandescenza la produzione di luce avviene
portando un filamento metallico caratterizzato da una bassa resistenza elettrica, in genere
di tungsteno, percorso da corrente continua che si comporta come un resistore, all'incandescenza
(il fenomeno fisica per cui un oggetto portato a elevate temperature emette luce),
alla temperatura di 2700 K, per effetto Joule
(Secondo il quale in un resistore percorso da corrente, la potenza dissipata per effetto joule esprime
la rapidità con cui l’energia elettrica è trasformata in energia interna del resistore. 𝑃𝑔 = 𝑖 ⋅ 𝛥𝑉 ).
Il filamento di tungsteno è posto in un'ampolla, generalmente di vetro o quarzo, riempita
di gas inerti a bassa pressione (argon, azoto, ecc.) per evitare l'ossidazione del filamento e limitarne
l'evaporazione.
Nelle lampadine a incandescenza, soltanto una piccola percentuale, generalmente intorno al 5%,
dell'energia che le alimenta viene convertita in luce, il rimanente 95% viene diffuso in forma di
calore. (Per questo motivo di spreco energetico ai tempi moderni le lampadine a incandescenza
sono avviate verso un programma di progressiva sostituzione a favore delle moderne lampadine a
Led)
Edison presento nel 1879 il suo primo prototipo di lampadina, che utilizzava un filamento di carta
carbonizzata come resistore. Essa entrò in produzione l’anno successivo, costruita e
commercializzata dalla Edison Lamp Company.
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Le lampade prodotte da Edison tuttavia duravano solo un centinaio di ore e non avevano ancora
una buona efficienza luminosa, cioè un valore adeguato del rapporto tra il flusso luminoso prodotto
e la potenza in ingresso, misurata lumen/Watt (lm/W).
In più il fenomeno della dissipazione sprecava gran parte dell’energia per effetto joule, di
conseguenza l’energia aveva costi altissimi.
- Lampadina ad arco:
-
Figura 15: lampadina ad arco
La lampada è costituita da due elettrodi, solitamente di carbonio che è l'unico materiale con
temperatura di fusione superiore a quella del plasma (gas ionizzato) nell'arco. I due elettrodi, tra cui
è presente una differenza di potenziale vengono inizialmente messi in contatto e successivamente
separati per creare l'arco elettrico, il quale genera un forte flusso luminoso;
L’arco elettrico, o voltaico, si forma attraverso la ionizzazione di un gas inizialmente neutro, facendo
passare una corrente elettrica.
L'emissione luminosa è molto intensa e bianca, molto vicina allo spettro solare, ma piuttosto
instabile e ricca di raggi ultravioletti.
Un problema di questo dispositivo è la continua erosione degli elettrodi, che devono essere
continuamente e lentamente avvicinati. La soluzione si ebbe con l'utilizzo di meccanismi
ad orologeria o automatismi che manovrano gli elettrodi.
La lampadina ad arco erra ideale per illuminare spazzi ampi come nei fari marittimi o negli
stabilimenti industriali. Essa ebbe grande diffusione tra gli anni 1880-1920 giocando un ruolo
trainante nello sviluppo dell’industria elettrica.
C’erano inoltre delle difficoltà come la necessità di una frequente sostituzione degli elettrodi degli
archi e la difficoltà di assicurare la medesima intensità di flusso luminoso alle lampade collegate in
serie. IN più rimaneva irrisolto il problema dell’illuminazione elettrica degli ambienti di dimensioni
ordinarie dove la lampada ad arco era poco utilizzata per la sua eccesiva potenza, mentre il gas
utilizzato nell’ampolla era sempre più temuto quale possibile causa di incendi e per la sua tossicità
in caso di fughe.
-
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Edison fu in grado di unire al processo inventivo i principi della produzione di massa. Il suo
laboratorio di Menlo Park fu proprio costruito allo scopo non solo di produrre innovazioni
tecnologiche ma anche di migliorare quelle di altri inventori e, successivamente, registrare
il prodotto finale a proprio nome.
L’introduzione dell’elettricità come fonte di illuminazione delle città trasformò la vita dei cittadini
rendendo più sicuro le strade e permettendo anche una vita notturna più intensa. La luce elettrica
cambiò anche i ritmi di lavoro nelle fabbriche dove fu disponibile lavorare in turni ininterrotti in
tutte le 24 ore del giorno e non solo in quelle diurne.
La distribuzione di elettricità privata per Edison aveva il grande problema della trasmissione
dell’energia, con dispersione nelle lunghe distanze, che avveniva in corrente continua quindi con
enormi cadute di tensione che lo obbligavano a realizzare una centrale elettrica praticamente in
ogni quartiere dove venivano installate le lampade, solitamente centrali termiche a vapore, che
necessitavano l’utilizzo di combustibili fossili. Così Edison Nel 1880 Thomas Alva Edison costruì
anche la prima centrale idroelettrica, utilizzando l'energia prodotta dalle cascate del Niagara; essa
fu la soluzione dei problemi nei paesi poveri di carbone. Successivamente le centrali idroelettriche
si diffusero notevolmente
Figura 16: SX prima
centrale idroelettrica; DX schema strutturale centrale idroelettrica
-
Un centrale idroelettrica si applica partendo da uno sbarramento (diga) principalmente di
un fiume, in modo di aumentare l’energia potenziale dall’accumulo dell’acqua. Attraverso i
canali di derivazione l’acqua è trasportata dalla diga a un pozzo piezometrico che crea un
dislivello per far fluire l’acqua alla sala macchine della centrale attraverso le condotte
forzate. In tal modo l’acqua fluisce alle turbine collegate ad un alteratore.
- Trasformatori
La corrente elettrica alternata, a differenza di quella continua, poteva essere trasmessa a lunghe
distanze in quanto essa non aveva i problemi della dispersione e della dissipazione per effetto
Joule. Il problema che però riscontrava era dovuto all’alta tensione di tale corrente, decisamente
pericolosa per l’uomo e inadatta alla diffusione nei centri abitati a livelli domestici. Tesla risolse
questo problema insieme a Westinghouse con l’utilizzo dei trasformatori, i quali erano già stati
utilizzati dal secondo.
Un trasformatore è un dispositivo reversibile che, a seconda delle sue proprietà costruttive,
innalza o abbassa la tensione alternata (e allo stesso tempo riduce o aumenta la corrente) senza
causare perdite significative di potenza.
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Esso è composto da due bobine con differente numero di spire (N1 e N2) di resistenza
trascurabile, avvolte attorno a uno stesso nucleo di ferro, che fanno parte di due circuiti diversi
non connessi l’uno all’altro da alcun filo.
Figura 17: DX schema
strutturale trasformatore; DX trasformatore
Il circuito primario di ingresso è alimentato dalla tensione alternata da trasformare e produce un
campo magnetico che varia nel tempo; nel circuito secondario di uscita, di conseguenza si genera
una forza elettromotrice indotta (legge di Faraday), che costituisce la tensione trasformata. Il nucleo
di ferro aumenta l’intensità del campo magnetico e fa sì che quasi tutte le linee di campo interne
alla bobina del circuito primario entrino anche nella bobina del secondario. Il flusso variabile del
campo magnetico attraversa quindi seguendo l’andamento del nucleo le spire di entrambe le
bobine.
ⅆ𝛷
𝑓𝑒𝑚1 = −𝑁1 ⅆ𝑡
ⅆ𝛷
𝑓𝑒𝑚2 = −𝑁2 ⅆ𝑡
𝑓ⅇ𝑚2 𝑁2
Eseguendo il rapporto membro a membro riscriviamo 𝑓ⅇ𝑚1=𝑁1
𝑁2
Poiché è costante il rapporto tra le forze elettromotrici, la stessa costante 𝑁1 detta rapporto di
trasformazione è uguale anche al rapporto tra i valori efficaci delle forze elettromotrici alternate.
(Il valore efficace della forza elettromotrice 𝑓ⅇ𝑓𝑓 e il valore della forza elettromotrice alternata in
cui l’intensità di corrente considerata come costante, produce attraverso un resistore la stessa
potenza fornita dalla corrente alternata)
𝑓2ⅇ𝑓 𝑁2
𝑁2
=
⇒ 𝑓2ⅇ𝑓 = 𝑓1ⅇ𝑓
𝑓1ⅇ𝑓 𝑁1
𝑁1
Questa equazione mostra come può possibile modificare il valore efficacie della tensione
scegliendo opportunatamente il numero di spire.
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