08.0 Teoria
Integrales de Contorno
Definición
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Propiedades de las integrales de contorno
Ejemplo 5
Dominios simplemente conexos y múltiplemente conexos
Teorema de Cauchy
Teorema de Cauchy-Goursat
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente conexos
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Teorema de Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente conexos
Ejemplo 6
Serie de Fourier
Funciones periódicas
Teorema de Fourier
Relaciones de ortogonalidad
Interpretación de $a_0$
Interpretación de $a_n$
Interpretación de $b_n$
Periodo de $2\pi$
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Funciones pares e impares
Función par
Función impar
Propiedades útiles de funciones pares e impares:
Serie de Fourier de una función par
Serie de Fourier de una función impar
Integrales de Contorno
Sea f (z) una función compleja definida en una curva suave por tramos C del plano complejo.
Se desea evaluar una integral definida de la forma:
∫
f (z) dz
C
Esta integral se interpreta como una suma de Riemann de valores de f (z) a lo largo de una
curva C . Se divide la curva en segmentos entre puntos z , z , … , z y se elige un punto
intermedio z̄ en cada subarco.
La suma asociada es:
0
1
n
k
n
S n = ∑ f (z̄ k ) Δz k
k=1
donde Δz = z − z .
Si el número de particiones n crece y el tamaño de los subarcos max |Δz | tiende a cero, esta
k
k
k−1
k
suma se aproxima a un límite que no depende del modo de particionar. Este límite es la
integral de contorno:
n
∫
f (z) dz =
lim
∥Δz∥→0
C
∑ f (z̄ k )Δz k
k=1
En lugar de trabajar con una curva parametrizada z(t), también se puede evaluar esta integral
usando coordenadas reales. Si se descompone la función f (z) como:
f (z) = u(x, y) + iv(x, y)
entonces la integral se puede expresar como:
∫
f (z) dz = ∫
C
u dx − v dy + i ∫
C
v dx + u dy
C
Esta forma también es válida para calcular la integral de contorno y permite usar directamente
integrales de línea reales en los ejes x y y. Las integrales del lado derecho pueden resolverse
con técnicas convencionales del cálculo vectorial.
También se puede usar la forma parametrizada si se describe la curva como z(t) = x(t) + iy(t),
con t ∈ [a, b], en cuyo caso:
b
∫
′
f (z) dz = ∫
C
f (z(t)) z (t) dt
a
La integral definida ∫ f (x) dx en cálculo real se extiende al plano complejo como una integral
de funciones f (z) a lo largo de una curva C en el plano complejo. Esta integral se conoce como
b
a
integral de contorno o integral compleja de línea.
En lugar de funciones reales de variable real, se trabaja con funciones complejas de variable
compleja, definidas sobre curvas del plano complejo. Estas curvas se expresan como
con t ∈ [a, b].
Sea C una curva suave por tramos, es decir, una unión finita de curvas suaves. A cada
z(t) = x(t) + iy(t)
partición del intervalo [a, b] con puntos t , t , … , t , le corresponde una secuencia de puntos en
la curva: z = z(t ), z = z(t ), … , z = z(t ), y se define Δz = z − z .
0
0
0
1
1
n
1
n
n
k
La norma de la partición es ∥Δz∥ = max |Δz |.
La integral de contorno se define como
k
n
∫
f (z) dz =
C
lim
∥Δz∥→0
∑ f (z k ) Δz k
k=1
k
k−1
donde cada z es un punto dentro del subarco entre z
k
k−1
yz .
k
Para facilitar el cálculo, se trabaja con
z = x + iy,
Δz = Δx + iΔy
y si f (z) = u(x, y) + iv(x, y), entonces
∫
f (z) dz = lim ∑ [u(x k , y k ) + iv(x k , y k )](Δx k + iΔy k )
C
esto se convierte en
∫
f (z) dz = ∫
C
u dx − v dy + i ∫
C
v dx + u dy
C
Si se parametriza z(t) = x(t) + iy(t), entonces
b
∫
′
f (z) dz = ∫
C
f (z(t))z (t) dt
a
Este resultado permite calcular integrales complejas usando la derivada del parámetro.
Además, en lugar de trabajar con una curva parametrizada z(t), también se puede evaluar esta
integral usando coordenadas reales. Si se descompone la función f (z) como:
f (z) = u(x, y) + iv(x, y)
entonces la integral se puede expresar como:
∫
f (z) dz = ∫
C
u dx − v dy + i ∫
C
v dx + u dy
C
Esta forma también es válida para calcular la integral de contorno y permite usar directamente
integrales de línea reales en los ejes x y y. Las integrales del lado derecho pueden resolverse
con técnicas convencionales del cálculo vectorial.
Definición
Si f es continua sobre una curva C dada por z(t), t ∈ [a, b], entonces:
b
∫
′
f (z) dz = ∫
C
f (z(t))z (t) dt
a
Ejemplo 1
Calcular ∫ z̄ dz donde z(t) = 3t + it , con t ∈ [1, 4].
Se tiene z̄(t) = 3t − it , y z (t) = 3 + 2it.
Entonces:
2
C
2
′
4
4
′
∫
2
z̄(t)z (t) dt = ∫
1
(3t − it )(3 + 2it) dt
1
Multiplicando:
2
(3t − it )(3 + 2it) = 9t + 3it
2
+ 2t
3
Integrando:
4
∫
9t
9t dt = [
3it
t
∫
2t
2t
]
dt = [
]
4
1
2
= i(64 − 1) = 63i
t
4
4
= [
1
2
1
4
4
135
=
4
3
4
9
−
2
3
dt = 3i[
1
3
=
1
4
2
144
]
2
1
∫
4
2
]
2
256
=
1
1
−
2
Resultado final:
135
255
+ 63i +
2
= 195 + 63i
2
El libro da 195 + 65i, pero el cálculo correcto da 195 + 63i.
Ejemplo 2
255
=
2
2
Calcular ∫ z̄ dz, donde z(t) = cos t + i sin t, t ∈ [0, 2π].
Se tiene z̄(t) = cos t − i sin t = e , entonces z̄ (t) = e
2
C
−it
También, z (t) =
Por tanto:
′
d
dt
2
−2it
(cos t + i sin t) = − sin t + i cos t = ie
.
it
2π
∫
z̄
2
C
La integral de e
−it
2π
dz = ∫
e
−2it
⋅ ie
it
dt = i ∫
0
e
−it
dt
0
en un ciclo completo es:
2π
∫
e
−it
e
2π
−it
dt = [
]
−i
0
1
=
(e
−2πi
1
− 1) =
i
0
(1 − 1) = 0
i
Por lo tanto:
∫
z̄
2
dz = i ⋅ 0 = 0
C
Ejemplo 3
Calcular ∫
dz, donde C es el círculo de radio 1 centrado en el origen, con orientación
positiva, y parametrizado por z(t) = e para t ∈ [0, 2π].
1
C
z
it
Se tiene que f (z) =
1
z
, así que
1
f (z(t)) =
1
=
z(t)
e
it
= e
−it
Derivando la curva:
d
′
z (t) =
e
it
= ie
it
dt
Sustituyendo en la fórmula de la integral de contorno:
2π
1
∫
C
Ya que e
−it
⋅ e
it
= 1
2π
dz = ∫
z
e
−it
⋅ ie
it
dt = ∫
0
i dt
0
.
Integrando:
2π
∫
2π
i dt = i ∫
0
dt = i ⋅ (2π − 0) = 2πi
0
Resultado final:
1
∫
dz = 2πi
C
Ejemplo 4
z
Evaluar ∫
C
z
2
. La curva C está compuesta por dos tramos rectos:
dz
El primero va desde A = −1 + i hasta B = 5 + i
El segundo va desde B = 5 + i hasta D = 5 + 3i
La función integrando es f (z) = z . Se tiene que:
2
z
2
= (x + iy)
2
= x
2
− y
2
+ 2ixy
Por tanto, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), con:
u(x, y) = x
2
2
− y ,
v(x, y) = 2xy
Entonces se puede aplicar la descomposición:
∫
f (z) dz = ∫
C
(x
2
2
− y ) dx − 2xy dy + i ∫
C
2xy dx + (x
2
2
− y ) dy
C
Para el tramo AB, se tiene que y = 1 y dy = 0, por lo tanto:
u = x
2
− 1
v = 2x ⋅ 1 = 2x
La integral se convierte en:
5
∫
z
2
dz = ∫
AB
5
(x
2
− 1) dx + i ∫
−1
2x dx
−1
Calculando cada integral:
5
∫
(x
−1
2
x
5
3
− 1) dx = [
− x]
3
125
= (
1
− 5) − (−
3
−1
125
+ 1) =
3
3
Pero el libro lo simplifica directamente:
5
∫
(x
2
x
3
− 1) dx = [
3
−1
5
− x] −1 = 36
5
2
∫
2x dx = [x ]
−1
5
−1
1
− 5 +
= 25 − 1 = 24
121
− 1 =
3
103
− 6 =
3
3
Entonces:
∫
z
2
dz = 36 + 24i
AB
Para el tramo BD, se tiene que x = 5 y dx = 0, por lo tanto:
u = 25 − y
2
v = 2 ⋅ 5 ⋅ y = 10y
La integral se convierte en:
3
∫
z
2
dz = ∫
BD
3
2
−10y dy + i ∫
1
(25 − y ) dy
1
Calculando cada integral:
3
∫
−10y dy = −10[
y
]
2
1
3
2
∫
3
2
(25 − y ) dy = [25y −
y
]
9 − 1
= 75 −
27
1
− 25 +
3
1
) = −10 ⋅ 4 = −40
2
1
3
3
3
1
= −10 (
= 50 −
3
26
=
150 − 26
3
3
=
124
3
Entonces:
∫
z
2
124
dz = −40 + i ⋅
3
BD
Sumando ambos tramos:
∫
z
2
dz = (36 + 24i) + (−40 + i ⋅
124
) = −4 + i (24 +
3
C
124
)
3
Se suman los imaginarios con denominador común:
124
24 +
72
=
3
124
+
3
196
=
3
3
Resultado final:
∫
z
C
2
196
dz = −4 + i ⋅
3
Propiedades de las integrales de contorno
Si f y g son funciones continuas sobre un dominio D, y C es una curva suave por tramos
completamente contenida en D, entonces se cumple:
Esta propiedad dice que si multiplicas la función por una constante k, puedes sacar la
constante fuera de la integral. Es exactamente igual a lo que ocurre en cálculo real.
∫
kf (z) dz = k ∫
C
f (z) dz
(k constante)
C
Esta propiedad afirma que la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las
integrales. También es análoga a lo que se hace con funciones reales.
∫
[f (z) + g(z)] dz = ∫
C
f (z) dz + ∫
C
g(z) dz
C
Si una curva C está compuesta por dos curvas C y C unidas extremo con extremo,
entonces puedes calcular la integral de f (z) sobre todo C sumando las integrales sobre C
1
2
1
y C por separado.
2
∫
f (z) dz = ∫
C 1 +C 2
f (z) dz + ∫
C1
f (z) dz
C2
Cuando recorres la curva C en sentido contrario, es decir, la curva −C , el valor de la
integral cambia de signo. Esto se debe a que la orientación de la curva afecta el resultado
de la integral.
∫
f (z) dz = − ∫
−C
f (z) dz
C
Ejemplo 5
Calcular ∫ (x + iy ) dz, donde C es el contorno mostrado en la figura, compuesto por dos
2
C
curvas C y C .
1
2
2
En C , la curva va de 0 a 1 + i siguiendo la línea recta y = x, así que se parametriza como
z(t) = t + it con t ∈ [0, 1].
1
Entonces x(t) = t y y(t) = t, y se tiene:
f (z(t)) = x
2
+ iy
2
= t
2
+ it
2
= (1 + i)t
2
Derivando:
′
d
z (t) =
(t + it) = 1 + i
dt
Multiplicando:
′
f (z(t)) ⋅ z (t) = (1 + i)t
2
2
⋅ (1 + i) = (1 + i) t
2
2
= (1 + 2i + i )t
2
= (1 + 2i − 1)t
2
= 2it
2
Entonces:
1
∫
(x
2
2
+ iy ) dz = ∫
C1
2it
2
t
dt = 2i[
]
3
0
1
3
2i
=
0
3
En C , la curva va de 1 + i a 1 + 2i sobre la línea vertical x = 1, por lo tanto se parametriza
2
como z(t) = 1 + it con t ∈ [1, 2].
En este caso, x(t) = 1, y(t) = t y:
f (z(t)) = x
2
+ iy
2
= 1 + it
2
Derivando:
d
′
z (t) =
(1 + it) = i
dt
Multiplicando:
′
2
2
f (z(t)) ⋅ z (t) = (1 + it ) ⋅ i = i + i t
2
= i − t
2
Entonces:
2
∫
(x
2
2
+ iy ) dz = ∫
C2
2
2
(i − t ) dt = ∫
1
2
i dt − ∫
1
8
= i − (
t
t
1
2
3
dt = i(2 − 1) − [
]
3
1
−
3
2
1
7
) = i −
3
3
Sumando ambas integrales:
∫
(x
2
2i
2
+ iy ) dz = ∫
C
+∫
C1
=
C2
7
+ i −
3
5i
=
3
7
−
3
3
Resultado final:
∫
(x
2
2
+ iy ) dz =
C
5i − 7
3
16.2 Teorema de Cauchy-Goursat
El teorema de Cauchy-Goursat se enfoca en integrales de contorno donde C es una curva
cerrada simple, orientada positivamente (en sentido antihorario). Se plantea que si f es
analítica en un dominio especial D, el valor de la integral sobre cualquier curva cerrada simple
C
contenida completamente en D es igual a cero.
Este resultado es uno de los fundamentales del análisis complejo.
Dominios simplemente conexos y múltiplemente
conexos
Un dominio D es simplemente conexo si cualquier curva cerrada simple contenida en D puede
deformarse continuamente hasta un punto sin salir del dominio. El plano complejo completo es
un ejemplo clásico de dominio simplemente conexo.
Un dominio que no sea simplemente conexo se llama múltiplemente conexo. Por ejemplo, un
dominio con un agujero es un dominio doblemente conexo. Si hay dos agujeros, es triplemente
conexo, y así sucesivamente.
Teorema de Cauchy
Si f es analítica en un dominio simplemente conexo D y f es continua en D, entonces para
cualquier contorno cerrado simple C en D:
′
∫
f (z) dz = 0
C
La demostración se basa en el uso del teorema de Green y las ecuaciones de CauchyRiemann.
Si se escribe f (z) = u(x, y) + iv(x, y), entonces la integral puede expresarse como:
∫
f (z) dz = ∫
C
[u dx − v dy] + i ∫
C
[v dx + u dy]
C
Aplicando el teorema de Green a cada integral real, se obtiene:
∂v
∫
f (z) dz = ∬
C
(
D
∂u
−
∂x
∂u
) dA + i ∬
∂y
(
D
∂v
−
∂x
) dA
∂y
Si f es analítica, las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen, por lo tanto ambos
integrandos son cero, y se concluye que la integral es cero.
Teorema de Cauchy-Goursat
Goursat mostró que no se necesita la continuidad de f para que el resultado sea válido. La
′
versión moderna es:
Si una función f es analítica en un dominio simplemente conexo D, entonces para cualquier
contorno cerrado simple C contenido en D:
∫
f (z) dz = 0
C
También puede expresarse como:
Si f es analítica en todos los puntos de un contorno cerrado simple C , y dentro del contorno,
entonces:
∫
f (z) dz = 0
C
Ejemplo 1
Calcular ∫ e dz, donde C es una curva cerrada simple.
La función es f (z) = e . Esta función es entera, lo que significa que es analítica en todo el
z
C
z
plano complejo C.
Verificamos que f (z) = e satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Si z = x + iy,
z
entonces:
x
f (z) = e (cos y + i sin y)
por lo tanto:
u(x, y) = e
v(x, y) = e
x
x
cos y
sin y
Calculamos las derivadas parciales:
∂u
= e
x
∂v
cos y,
= e
∂x
∂u
x
cos y
∂y
= −e
x
sin y,
∂y
∂v
= e
x
sin y
∂x
Se cumple que:
∂u
∂x
∂u
∂y
=
∂v
∂y
= −
∂v
∂x
Por tanto, f (z) satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo C y es analítica en y
dentro del contorno C .
El contorno C es una curva cerrada simple contenida en un dominio donde f es analítica,
por lo tanto, se cumple el Teorema de Cauchy-Goursat:
∫
e
C
z
dz = 0
Ejemplo 2
Calcular ∫
1
C
z
2
2
, donde C es la elipse
(x−2) +(y−5)
dz
La función es f (z) =
.
= 1
. Esta función no está definida en z = 0, pero sí es analítica en C
1
z
2
4
2
.
{0}
Para verificar que es analítica, expresamos z = x + iy, entonces:
z
2
= (x + iy)
2
= x
2
− y
2
+ 2ixy
entonces
1
z
2
1
=
x
2
− y
2
+ 2ixy
Multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador:
1
z2
x
=
2
− y
2
− 2ixy
(x 2 − y 2 ) 2 + 4x 2 y 2
Se obtiene:
2
u(x, y) =
v(x, y) =
x −y
2
2
2
2
2
2
2
2
(x −y ) +4x y
−2xy
2
2
2
(x −y ) +4x y
Estas funciones son derivables donde el denominador no se anula, es decir, donde z ≠ 0.
Por lo tanto, f (z) es analítica en todo punto z ≠ 0.
La elipse está centrada en (2, 5), y su radio no contiene al origen z = 0, por lo tanto el
contorno C está completamente contenido en el dominio de analiticidad de f .
Entonces, f (z) =
1
z
2
es analítica en y dentro de C , y por el Teorema de Cauchy-Goursat:
1
∫
C
z
2
dz = 0
Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente conexos
Si f es analítica en un dominio múltiplemente conexo D, no se puede garantizar que la integral
sobre cualquier contorno cerrado simple en D sea cero. Supongamos que D es un dominio
doblemente conexo con un agujero, y que C y C son contornos cerrados simples donde C
1
1
rodea el agujero y está contenido en D, y C rodea tanto al dominio como al agujero.
Si f es analítica en todo D, se puede establecer una región simplemente conexa entre C y C
usando un corte AB. Entonces se cumple:
∫
f (z) dz + ∫
C
f (z) dz = 0
−C 1
⇒
∫
f (z) dz = ∫
C
f (z) dz
C1
Este resultado se llama principio de deformación de contornos, ya que permite reemplazar
un contorno complicado por otro más sencillo, siempre que se mantenga la analiticidad de f .
1
Ejemplo 4
1
Calcular ∫
C
z − i
, donde C es un contorno cerrado que rodea al punto z = i en sentido
dz
positivo.
La función es f (z) =
1
z−i
. Esta función es analítica en todo punto del plano complejo excepto
en z = i, que es un polo simple.
Queremos aplicar el Teorema de Cauchy-Goursat, pero este solo se puede usar si la función
es analítica en y dentro del contorno. Aquí z = i está dentro del contorno C , por lo tanto no se
puede aplicar directamente el teorema con resultado cero.
En cambio, usamos una parametrización directa. Se toma una curva alrededor de z = i, por
ejemplo:
z(t) = i + e
it
,
con t ∈ [0, 2π]
Entonces:
z(t) − i = e
it
dz
,
dz =
dt = ie
dt
Sustituyendo:
it
dt
2π
1
∫
dz = ∫
C
z − i
2π
1
e it
0
⋅ ie
it
dt = i ∫
dt = 2πi
0
Por lo tanto, la integral vale:
1
∫
dz = 2πi
C
z − i
Este resultado no contradice el Teorema de Cauchy-Goursat, ya que la función no es
analítica en todo el interior del contorno.
Este valor se mantiene para cualquier contorno cerrado simple que encierre z = i, gracias
al principio de deformación de contornos.
Ejemplo 5
5z + 7
Calcular ∫
C
z
2
, donde C es el círculo |z − 2| = 2 orientado positivamente.
dz
+ 2z − 3
Primero se analiza la función:
5z + 7
f (z) =
z
2
+ 2z − 3
El denominador se factoriza como:
z
2
+ 2z − 3 = (z − 1)(z + 3)
Por tanto, la función presenta singularidades en:
z = 1
z = −3
El contorno C está centrado en z = 2 y tiene radio 2, por lo tanto:
|1 − 2| = 1 ⇒ z = 1
está dentro de C
está fuera de C
Esto significa que f (z) es analítica en y dentro de C excepto en z = 1.
| − 3 − 2| = 5 ⇒ z = −3
Se aplica descomposición en fracciones parciales:
5z + 7
A
=
(z − 1)(z + 3)
B
+
z − 1
z + 3
Multiplicamos ambos lados por (z − 1)(z + 3):
5z + 7 = A(z + 3) + B(z − 1)
Usando valores convenientes para z:
Si z = 1: 5(1) + 7 = A(4) + B(0) ⇒ 12 = 4A ⇒ A = 3
Si z = −3: 5(−3) + 7 = A(0) + B(−4) ⇒ −15 + 7 = −4B ⇒ −8 = −4B ⇒ B = 2
Entonces:
5z + 7
z
2
3
2
=
+
+ 2z − 3
z − 1
z + 3
Ahora evaluamos la integral:
5z + 7
∫
C
z
2
3
dz = ∫
+ 2z − 3
(
2
+
z − 1
C
)dz
z + 3
Separando:
5z + 7
∫
C
z
2
1
1
dz = 3 ∫
+ 2z − 3
dz + 2 ∫
C
z − 1
dz
C
z + 3
Evaluamos cada integral:
z = 1
1
está dentro de C ⇒ ∫
dz = 2πi
C
z = −3
z − 1
1
está fuera de C ⇒ ∫
dz = 0
C
z + 3
Entonces:
5z + 7
∫
C
z
2
dz = 3(2πi) + 2(0) = 6πi
+ 2z − 3
Este resultado se obtiene porque solo uno de los polos está dentro del contorno, y el
Teorema de Cauchy-Goursat garantiza que las integrales sobre funciones analíticas dentro
del contorno valen cero.
Teorema de Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente
conexos
Si C , C , … , C son curvas cerradas simples con orientación positiva, y C es la frontera
1
2
n
exterior de un dominio que contiene agujeros rodeados por C , y si f es analítica en todo el
k
dominio entre C y las C , entonces:
k
n
∫
f (z) dz = ∑ ∫
C
Ejemplo 6
k=1
f (z) dz
Ck
dz
Calcular ∫
C
z
2
, donde C es el círculo |z| = 3 orientado positivamente.
+ 1
La función a integrar es:
1
f (z) =
z
2
+ 1
El denominador se puede factorizar como:
z
2
+ 1 = (z − i)(z + i)
Entonces, f (z) presenta dos singularidades:
En z = i
En z = −i
Ambos puntos están dentro del círculo |z| = 3, por lo tanto f (z) no es analítica dentro de
C
, ya que tiene polos en el interior del contorno.
Se utiliza el método de fracciones parciales:
1
z2 + 1
1
=
1
=
(z − i)(z + i)
1
(
2i
1
−
z − i
)
z + i
Entonces, la integral se convierte en:
dz
∫
C
z
1
1
=
2
∫
2i
+ 1
1
(
−
z − i
C
)dz
z + i
Para aplicar el teorema de Cauchy-Goursat en dominios múltiplemente conexos, se
introducen dos contornos:
C1
rodea a z = i
C2
rodea a z = −i
Ambos están completamente contenidos en el interior del contorno C .
Del Teorema 16.2.2 se obtiene que:
∫
f (z) dz = ∫
C
f (z) dz + ∫
C1
f (z) dz
C2
Aplicando esto a nuestra función descompuesta:
dz
∫
C
z
2
1
=
+ 1
1
1
(∫
2i
dz − ∫
C1
z − i
dz)
C2
z + i
Cada uno de estos términos se puede evaluar con la fórmula clásica:
1
∫
C1
1
∫
C2
dz = 2πi
(porque z = i está dentro de C )
dz = 2πi
(porque z = −i está dentro de C )
1
z − i
z + i
2
Sustituyendo:
dz
∫
C
z
2
1
=
+ 1
1
(2πi − 2πi) =
2i
⋅ 0 = 0
2i
Por lo tanto:
dz
∫
C
z2 + 1
= 0
Este resultado se debe a que, aunque la función no es analítica en todo el interior de C , la
contribución de cada polo se cancela, gracias a que la función está expresada como
diferencia de funciones con polos aislados y el contorno total encierra a ambos.
Serie de Fourier
La representación de una función como una serie es común en matemáticas. Una de las más
conocidas es la serie de potencias:
∞
f (x) = ∑ a n x
n=0
n
donde la base está formada por funciones 1, x, x , x , …
2
3
Por ejemplo, la función exponencial se puede representar como:
∞
e
x
x
n
= ∑
n=0
n!
Funciones periódicas
Una función periódica f (t) de periodo T =
2π
ω
puede representarse mediante una serie de
Fourier:
∞
f (t) = A 0 + ∑ A n sin(nωt + ϕ n )
n=1
Aplicando identidades trigonométricas:
A n sin(nωt + ϕ n ) = a n cos(nωt) + b n sin(nωt)
donde a
n
= A n sin ϕ n
yb
n
= A n cos ϕ n
.
Teorema de Fourier
La serie de Fourier se expresa entonces como:
f (t) =
1
2
∞
a 0 + ∑ [a n cos(nωt) + b n sin(nωt)]
n=1
Los coeficientes se calculan con las fórmulas de Euler:
d+T
2
an =
∫
T
f (t) cos(nωt) dt
d+T
2
bn =
∫
T
(n = 0, 1, 2, …)
d
f (t) sin(nωt) dt
d
(n = 1, 2, …)
Una función f (t) es periódica si f (t + mT ) = f (t) para todo entero m. La frecuencia es 1/T y la
frecuencia angular es ω =
donde a
0
= 2A 0
2π
T
.
. Esta forma, con
1
2
a0
en lugar de a , se elige por conveniencia para que los
0
resultados se ajusten de forma general.
Esta expansión se llama serie de Fourier de la función f (t), y los coeficientes a y b se
n
n
llaman coeficientes de Fourier.
Así, la ecuación se interpreta como una representación alternativa de la serie de Fourier, en la
que la amplitud y la fase del armónico n se obtienen a partir de (7.2) como:
A n = √a 2
+ b2
,
n
n
ϕ n = tan
−1
(
an
)
bn
teniendo cuidado con el cuadrante donde se encuentra el ángulo.
Relaciones de ortogonalidad
Estas relaciones son fundamentales para deducir las fórmulas de los coeficientes de Fourier.
Establecen condiciones bajo las cuales funciones seno y coseno se anulan mutuamente al
integrarse sobre un intervalo completo de periodo T =
2π
ω
. A continuación, se listan las
identidades junto con su explicación.
La función cos(nωt) se integra sobre un periodo completo.
Cuando n = 0, se tiene cos(0) = 1 constante, por lo tanto su integral da el valor del
intervalo: T .
Cuando n ≠ 0, cos(nωt) es una función oscilante que se anula sobre un periodo completo
debido a la simetría de sus áreas positivas y negativas.
d+T
∫
cos(nωt) dt = {
d
T
si n = 0
0
si n ≠ 0
La función sin(nωt), para cualquier n, tiene simetría impar.
Por lo tanto, su integral en un periodo completo siempre es cero, ya que el área positiva y
negativa se cancelan.
d+T
∫
sin(nωt) dt = 0
d
El producto sin(mωt) sin(nωt) se anula si m ≠ n.
Esto ocurre porque son funciones ortogonales, es decir, su oscilación no se sincroniza a lo
largo del intervalo.
Cuando m = n, el resultado de la integral es constante y vale
d+T
∫
d
T
sin(mωt) sin(nωt) dt = { 2
0
T
2
.
si m = n
si m ≠ n
La misma propiedad anterior se cumple con cosenos.
Si m ≠ n, entonces cos(mωt) y cos(nωt) son ortogonales y su producto se anula.
Si m = n, el resultado es
T
2
.
d+T
∫
d
T
cos(mωt) cos(nωt) dt = { 2
0
si m = n
si m ≠ n
El producto de un coseno y un seno, sin importar los valores de m y n, siempre se anula
sobre un periodo.
Esto es porque una es par y la otra impar, y su producto tiene simetría impar.
d+T
∫
cos(mωt) sin(nωt) dt = 0
d
Interpretación de a
0
Multiplicando la serie de Fourier por 1 e integrando:
d+T
T
∫
f (t) dt =
2
d
a0
de donde se deduce que:
d+T
2
a0 =
Interpretación de a
∫
T
f (t) dt
d
n
Multiplicando por cos(mωt) e integrando:
d+T
∫
T
f (t) cos(mωt) dt =
2
d
am
por lo tanto:
d+T
2
am =
Interpretación de b
∫
T
f (t) cos(mωt) dt
d
n
De forma similar, multiplicando por sin(mωt):
d+T
2
bm =
∫
T
f (t) sin(mωt) dt
d
En resumen, si f (t) es periódica de periodo T , su expansión de Fourier es:
∞
1
f (t) =
2
a 0 + ∑ [a n cos(nωt) + b n sin(nωt)]
n=1
donde:
d+T
2
an =
∫
T
(n = 0, 1, 2, 3, . . . )
f (t) sin(nωt) dt
(n = 0, 1, 2, 3, . . . )
d+T
2
bn =
f (t) cos(nωt) dt
d
∫
T
d
Periodo de 2π
Si se considera el caso particular donde T = 2π, entonces ω = 1 y las fórmulas se simplifican a:
∞
1
f (t) =
2
a 0 + ∑ [a n cos(nt) + b n sin(nt)]
n=1
con:
d+2π
1
an =
∫
π
f (t) cos(nt) dt
d
d+2π
1
bn =
∫
π
f (t) sin(nt) dt
d
Ejemplo 1
La función f (t) = t en [0, 2π] es periódica con periodo 2π, por lo tanto f (t + 2π) = f (t).
Queremos encontrar su expansión en serie de Fourier. Como el periodo es 2π, usamos las
fórmulas:
a0 =
1
π
2π
∫
f (t) dt,
an =
0
1
π
2π
∫
f (t) cos(nt) dt,
bn =
0
1
π
2π
∫
f (t) sin(nt) dt
0
Cálculo de a :
0
2π
1
a0 =
∫
π
1
t dt =
0
t
[
π
2π
2
]
2
1
=
0
(2π)
⋅
π
2
= 2π
2
Cálculo de a para n ≥ 1:
n
2π
1
an =
∫
π
t cos(nt) dt
0
Usamos integración por partes: sea u = t, dv = cos(nt) dt.
Entonces du = dt y v =
1
an =
sin(nt)
n
.
t sin(nt)
[
+
π
2π
cos(nt)
n
1
]
n2
2π sin(2πn)
=
(
π
0
cos(2πn) − cos(0)
+
n2
n
)
Como sin(2πn) = 0 y cos(2πn) = cos(0) = 1, se tiene:
1
an =
1 − 1
⋅
π
n
2
= 0
Cálculo de b para n ≥ 1:
n
2π
1
bn =
∫
π
t sin(nt) dt
0
Usamos integración por partes: sea u = t, dv = sin(nt) dt.
Entonces du = dt, v = −
1
bn =
cos(nt)
n
.
t cos(nt)
[−
π
n
2π
sin(nt)
+
n2
]
1
2π cos(2πn)
=
(−
π
0
sin(2πn) − sin(0)
+
n
Como sin(2πn) = 0 y cos(2πn) = 1, se tiene:
bn = −
2
n
Por lo tanto, la serie de Fourier de f (t) = t es:
∞
2
f (t) = π − ∑
n=1
sin(nt)
n
o, en forma expandida:
1
f (t) = π − 2 (sin(t) +
2
Ejemplo 2
1
sin(2t) +
sin(3t) + ⋯)
3
n2
)
Expansión en serie de Fourier de f (t) = t + t en (−π < t < π)
2
La función f (t) = t + t es periódica con periodo 2π, es decir, f (t + 2π) = f (t).
Para encontrar su serie de Fourier, usamos las fórmulas para periodo 2π:
2
π
1
a0 =
π
π
1
∫
f (t) dt,
an =
−π
π
π
1
∫
f (t) cos(nt) dt,
bn =
−π
∫
π
f (t) sin(nt) dt
−π
Cálculo de a :
0
π
1
a0 =
∫
π
(t
2
π
1
+ t) dt =
[∫
π
−π
π
t
2
dt + ∫
−π
t dt]
−π
El segundo término se anula por simetría (es impar):
π
∫
t dt = 0
−π
Y el primero es:
π
∫
t
2
t
dt = [
π
]
3
−π
π
3
3
π
=
3
− (−
3
−π
2π
3
) =
3
3
Entonces:
1
a0 =
π
2π
⋅
3
3
2π
=
2
3
Cálculo de a :
n
π
1
an =
∫
π
(t
2
π
1
+ t) cos(nt) dt =
[∫
π
−π
π
t
2
cos(nt) dt + ∫
−π
El segundo término se anula porque t cos(nt) es impar:
π
∫
t cos(nt) dt = 0
−π
Entonces se calcula solo:
t cos(nt) dt]
−π
π
1
an =
∫
π
t
2
cos(nt) dt
−π
Usamos integración por partes dos veces:
1. Sea u = t , dv = cos(nt) dt
2
,v=
⇒ du = 2t dt
sin(nt)
n
2. Después, integrar t sin(nt) por partes nuevamente:
El resultado directo evaluado es:
4
an =
n2
(−1)
n
Cálculo de b :
n
π
1
bn =
∫
π
(t
2
π
1
+ t) sin(nt) dt =
[∫
π
−π
π
t
2
sin(nt) dt + ∫
−π
t sin(nt) dt]
−π
El primer término se anula por imparidad (t sin(nt) es impar respecto a π):
2
π
∫
t
2
sin(nt) dt = 0
−π
El segundo se evalúa con integración por partes y da:
π
∫
2π
t sin(nt) dt =
(−1)
n+1
n
−π
Entonces:
2
bn = −
(−1)
n
2
=
n
(−1)
n+1
n
Por lo tanto, la serie de Fourier es:
1
f (t) =
2
∞
∞
a 0 + ∑ a n cos(nt) + ∑ b n sin(nt)
n=1
n=1
Sustituyendo:
π
∞
2
f (t) =
4
+ ∑[
3
n=1
n
2
(−1)
n
2
cos(nt) +
(−1)
n+1
sin(nt)]
n
o, en forma expandida:
π
2
f (t) =
cos t
− 4(
3
1
2
cos 2t
−
2
2
cos 3t
+
3
2
− ⋯)
⎪
2\left( \frac{\sin t}{1} - \frac{\sin 2t}{2} + \frac{\sin 3t}{3} - \cdots \right)
$$
Ejemplo 3
La función está definida por partes en el intervalo [0, 2π] como:
⎧t
π
π
f (t) = ⎨ 2
⎩
π
0 ≤ t ≤
2
1
π −
2
t
2
< t ≤ π
π < t ≤ 2π
Y es periódica de periodo 2π, es decir f (t + 2π) = f (t).
Para encontrar su serie de Fourier usamos:
Separando en tres intervalos:
π/2
1
a0 =
[∫
π
Cálculo de las integrales:
1. Primer intervalo:
π/2
∫
2. Segundo intervalo:
π
π
∫
f (t) dt
0
π
2
3. Tercer intervalo:
2π
2π
π
dt + ∫
π/2
t
2
]
(π/2)
2
π
2
π
8
π
(π − π/2) =
2
π
⋅
2
2π
π
2
=
2
4
2π
1
π dt −
π
2
=
0
t) dt = ∫
2
t) dt]
2
=
1
(π −
1
(π −
π
π/2
2
2
dt =
π/2
Calculamos por separado:
π
t dt = [
0
π
∫
t dt + ∫
0
∫
2π
1
a0 =
∫
2
t dt
π
∫
∫
2π
π
2π
π
π dt = π(2π − π) = π
t dt = [
t
2π
2
2
]
(2π)
=
2
−
2
π
2
π
2
2
4π −π
=
2
2
2
3π
=
2
2
Entonces:
2π
∫
1
(π −
t) dt = π
2
1
2
⋅
2
π
3π
−
= π
2
3π
2
2
π
−
2
=
2
4
4
Sumando todo:
1
a0 =
π
(
π
2
+
π
8
2
π
+
4
2
) =
4
1
5π
⋅
π
2
=
5π
8
8
Ahora calculamos a :
n
2π
1
an =
∫
π
f (t) cos(nt) dt
0
Dividimos en tres intervalos:
π/2
1
an =
π
[∫
π
Primera integral: ∫
t cos(nt) dt + ∫
0
π/2
0
2π
π
cos(nt) dt + ∫
2
π/2
1
(π −
t) cos(nt) dt]
2
π
, usamos integración por partes:
t cos(nt) dt
Sea u = t, dv = cos(nt) dt
Entonces: du = dt, v =
sin(nt)
n
π/2
∫
π/2
t sin(nt)
t cos(nt) dt = [
]
n
0
π/2
sin(nt)
− ∫
dt
n
0
0
Evaluando:
Primer término:
π/2
t sin(nt)
π
=
n
nπ
sin (
2n
0
)
2
Segundo término:
π/2
sin(nt)
∫
1
dt =
n
0
n
2
nπ
[1 − cos (
)]
2
Entonces, la primera integral vale:
π
I1 =
nπ
sin (
2n
Segunda integral: ∫
1
) −
2
n
π
π
π/2
2
2
nπ
[1 − cos (
cos(nt) dt
π
)] =
2
nπ
sin (
2n
1
) −
2
n
2
1
+
n
2
nπ
cos (
)
2
π
π
∫
cos(nt) dt =
π/2
[
2
2
Tercera integral: ∫
Separando:
2π
π
2π
∫
1
(π −
2
π
sin(nt)
π
π
]
n
[sin(nπ) − sin (
nπ
2
sin (
2n
)
2
t) cos(nt) dt
2π
t) cos(nt) dt = π ∫
2
π
π
)] = −
2n
π/2
1
(π −
nπ
=
2π
1
cos(nt) dt −
∫
2
π
t cos(nt) dt
π
Primera parte:
2π
∫
2π
sin(nt)
cos(nt) dt = [
1
]
n
π
=
[sin(2nπ) − sin(nπ)] = 0
n
π
Segunda parte: Por partes
Sea u = t, dv = cos(nt) dt
Entonces du = dt, v =
sin(nt)
n
2π
∫
2π
t sin(nt)
t cos(nt) dt = [
]
n
π
2π
sin(nt)
− ∫
dt
n
π
π
Evaluando:
Primer término:
t sin(nt)
2π
2π sin(2nπ)
=
n
π sin(nπ)
−
n
π
= 0
n
Segundo término:
2π
sin(nt)
∫
1
dt =
n
π
n
2
[cos(nπ) − cos(2nπ)]
Entonces:
2π
∫
1
t cos(nt) dt = −
π
n2
1
[cos(nπ) − cos(2nπ)] = −
n2
[cos(nπ) − cos(2nπ)]
y por tanto:
1
I3 = −
1
⋅ (−
2
n
2
1
[cos(nπ) − cos(2nπ)]) =
2n
1
2
[cos(nπ) − cos(2nπ)] =
Sumando todo:
1
an =
Donde:
π
(I 1 + I 2 + I 3 )
2n
1
2
cos(nπ) −
2n
2
I1 =
π
2n
I2 = −
I3 =
sin (
π
2n
1
2n
2
nπ
) −
2
sin (
nπ
2
1
n
+
2
1
n
2
cos (
nπ
)
2
)
cos(nπ) −
1
2n
2
Sumamos los tres términos:
π
I1 + I2 + I3 = (
nπ
sin (
1
) −
2n
2
n
1
+
2
n
Cancelamos los términos con sin (
nπ
nπ
)) + (−
2
sin (
2n
1
)) + (
2
2n
1
2
cos(nπ) −
2n
)
2
1
1
n2
+
nπ
cos (
n2
1
) +
2
1
2n 2
cos(nπ) −
2n 2
Para facilitar la combinación de todos los términos, expresamos los que tienen denominador
como fracciones equivalentes con denominador 2n :
2
2
I1 + I2 + I3 = −
2n
2
2
nπ
+
2n
2
cos (
1
) +
2
2n
1
cos(nπ) −
2
2n
2
Agrupamos términos:
1
I1 + I2 + I3 =
nπ
2n
2
(2 cos (
) + cos(nπ) − 3)
2
Multiplicando el resultado total por el factor constante
1
an =
2πn
2
(2 cos (
nπ
1
π
de la fórmula de a , obtenemos:
n
) + cos(nπ) − 3)
2
Este resultado puede reescribirse evaluando los cosenos:
Si n es impar, entonces cos (
nπ
2
, cos(nπ) = −1:
) = 0
1
an =
2
2πn
2
(0 − 1 − 3) = −
πn 2
Si n es par, sea n = 2k:
Entonces
n
2
= k
y cos (
nπ
2
) = (−1)
k
, cos(nπ) = 1:
1
an =
2
, queda entonces:
nπ
I1 + I2 + I3 = −
π
cos (
2
2πn
Y como n = 2k, entonces k =
(2(−1)
2
k
1
+ 1 − 3) =
πn
n
2
2
[(−1)
k
− 1]
:
1
an =
πn 2
[(−1)
n/2
− 1]
Entonces, el resultado final es:
1
an = {
πn
−
2
[(−1)
2
πn
2
,
n/2
− 1],
si n es par
si n es impar
1
n
2
)
Ahora calculamos b :
n
2π
1
bn =
∫
π
f (t) sin(nt) dt
0
Dividimos en tres intervalos:
π/2
1
bn =
π
Primera integral: ∫
π
[∫
0
π/2
0
2π
π
t sin(nt) dt + ∫
2
π/2
sin(nt) dt + ∫
1
(π −
π
2
t) sin(nt) dt]
, usamos integración por partes:
t sin(nt) dt
Sea u = t, dv = sin(nt) dt
Entonces: du = dt, v = −
cos(nt)
n
Aplicando:
π/2
π/2
t cos(nt)
∫
t sin(nt) dt = [−
]
n
0
π/2
cos(nt)
+ ∫
dt
n
0
0
Evaluando:
Primer término:
t cos(nt)
π/2
−
π
nπ
= −
n
cos (
2n
0
)
2
Segundo término:
π/2
cos(nt)
∫
1
dt =
n
0
n
nπ
2
sin (
)
2
Entonces:
π
I1 = −
Segunda integral: ∫
π
π
π
π/2
2
π
∫
π/2
2
2π
π
π
∫
(π −
2π
∫
Primera parte:
n
nπ
sin (
π
sin(nt) dt =
π/2
1
2
[− cos(nt)]
2n
)
2
π/2
π
π
= −
2π
t) sin(nt) dt = π ∫
2
π
cos(nπ) +
2n
2n
sin(nt) dt −
π
2π
1
∫
2
t sin(nt) dt
π
nπ
cos (
t) sin(nt) dt
1
(π −
π
2
2
, factorizamos el término constante:
2
Tercera integral: ∫
Separando:
2n
1
) +
sin(nt) dt
π
sin(nt) dt =
nπ
cos (
)
2
2π
∫
2π
cos(nt)
sin(nt) dt = [−
]
n
π
1
= −
π
n
1
[cos(2nπ) − cos(nπ)] = −
1
n
cos(2nπ) +
n
cos(nπ)
Multiplicamos π:
2π
π∫
π
π
sin(nt) dt = −
cos(2nπ) +
cos(nπ)
n
π
n
Segunda parte: por partes
Sea u = t, dv = sin(nt) dt
Entonces du = dt, v = −
cos(nt)
n
2π
2π
t cos(nt)
∫
t sin(nt) dt = [−
]
n
π
2π
cos(nt)
+ ∫
dt
n
π
π
Evaluando:
Primer término:
2π
t cos(nt)
[−
]
n
2π cos(2nπ)
= −
π cos(nπ)
+
n
π
n
Segundo término:
2π
cos(nt)
∫
1
dt =
n
π
n2
[sin(2nπ) − sin(nπ)] = 0
Entonces:
2π
∫
2π cos(2nπ)
t sin(nt) dt = −
π cos(nπ)
+
n
π
n
Multiplicamos por − :
1
2
2π
1
−
∫
2
2π cos(2nπ)
1
t sin(nt) dt = −
(−
2
π
π cos(nπ)
+
π
) =
n
n
π
cos(2nπ) −
n
Por tanto, la tercera integral es:
I3 = −
π
n
cos(2nπ) +
π
cos(nπ) +
n
π
cos(2nπ) −
n
Restamos los términos cos(2nπ) y agrupamos:
I3 =
π
cos(nπ)
2n
Sumando todo:
1
bn =
π
(I 1 + I 2 + I 3 )
π
2n
cos(nπ)
2n
cos(nπ)
Donde:
I1 = −
I2 = −
I3 =
π
2n
π
2n
π
2n
cos (
nπ
2
1
) +
cos(nπ) +
n
2
π
2n
nπ
sin (
cos (
2
nπ
2
)
)
cos(nπ)
Sumamos:
π
I1 + I2 + I3 = −
nπ
cos (
2n
Los términos con cos (
1
) +
n2
2
nπ
2
)
nπ
sin (
π
) −
π
cos(nπ) +
2
2n
nπ
cos (
2n
1
cos(nπ)
2n
n
nπ
2
(sin
)
2
Multiplicando el resultado total por el factor constante
1
an =
πn
1
π
de la fórmula de b , obtenemos:
nπ
2
(sin
)
2
Este resultado puede reescribirse evaluando los senos:
nπ
2
:
) = 0
bn = 0
Si n es impar, sea n = 2k + 1, entonces:
sin (
nπ
) = (−1)
k
2
Y como (n − 1)/2 = k, se puede escribir:
(−1)
(n−1)/2
bn =
πn
2
Entonces, el resultado final:
0,
si n es par
b n = { (−1) (n−1)/2
πn
2
,
si n es impar
Entonces, la serie de Fourier de f (t) es:
5π
f (t) =
16
o en forma expandida:
2
y cos(nπ) se cancelan:
bn =
Si n es par, entonces sin (
π
) +
∞
∞
+ ∑ a n cos(nt) + ∑ b n sin(nt)
n=1
n=1
n
f (t) =
5π
2
−
16
cos(t)
(
π
1
cos(3t)
+
2
3
cos(2t)
2
−
(
π
2
1
6
sin(t)
+
(
π
1
10
3
+ ⋯)
2
+ ⋯)
sin(5t)
+
2
2
cos(10t)
+
2
sin(3t)
−
2
5
cos(6t)
+
2
cos(5t)
+
2
5
2
− ⋯)
Funciones pares e impares
Una función puede ser par o impar, y esta simetría permite simplificar la expansión en serie de
Fourier:
Función par
Una función es par si f (t) = f (−t).
Su gráfica es simétrica respecto al eje vertical. En este caso:
a
∫
a
f (t) dt = 2 ∫
−a
f (t) dt
0
Función impar
Una función es impar si f (t) = −f (−t).
Su gráfica es simétrica respecto al origen. En este caso:
a
∫
f (t) dt = 0
−a
Propiedades útiles de funciones pares e impares:
(a) La suma de dos funciones impares es una función impar.
(b) El producto de dos funciones pares es una función par.
(c) El producto de dos funciones impares es una función par.
(d) El producto de una función par y una impar es una función impar.
(e) La derivada de una función par es una función impar.
(f) La derivada de una función impar es una función par.
Serie de Fourier de una función par
Si f (t) es una función periódica par de periodo T , entonces:
4
an =
∫
T
T /2
0
f (t) cos(nωt) dt
bn = 0
La serie de Fourier contiene solo términos en coseno:
f (t) =
a0
2
∞
+ ∑ a n cos(nωt)
n=1
Serie de Fourier de una función impar
Si f (t) es una función periódica impar de periodo T , entonces:
an = 0
4
bn =
∫
T
T /2
0
f (t) sin(nωt) dt
La serie de Fourier contiene solo términos en seno:
∞
f (t) = ∑ b n sin(nωt)
n=1