1
a を 1 より大きい実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1) 関数 y = ax と y = loga x のグラフの共有点は，存在すれば直線 y = x 上にある
ことを示せ．
(2) 関数 y = ax と y = loga x のグラフの共有点は 2 個以下であることを示せ．
(3) 関数 y = ax と y = loga x のグラフの共有点は 1 個であるとする．このときの共
有点の座標と a の値を求めよ．
(18 名古屋大 理系 2)
【答】
(1) 略
(2) 略
1
(3) (e, e)，a = e e
【解答】
1 ，
y = ax …… ⃝
2
y = loga x …… ⃝
1 ，⃝
2 の共有点で y = x 上にないものが存在すると仮定する．すなわち
(1) ⃝
p
1 ′
…… ⃝
q = a
2 ′
q = loga p
…… ⃝
\
q=p
1 ′ ，⃝
2 ′ を変形すると，上式は
を満たす点 P(p, q) が存在すると仮定する．⃝
p = loga q
p = aq
\
q=p
である．これより点 Q(q, p) も共有点である．P と Q は異なり
q−p
3
(直線 PQ の傾き) =
= −1
…… ⃝
p−q
1 上の点でもあり，a > 1 でもある．⃝
1 は単調増加であるから
である．一方，P，Q は⃝
(直線 PQ の傾き) > 0
3 に反する．
であり，これは⃝
1 ，⃝
2 の共有点が存在すれば直線 y = x 上にある．
よって，⃝
…… (証明終わり)
1 ，⃝
2 の共有点 (p, q) が存在すると仮定する．
• ⃝
y
2 ⇐⇒ x = a
⃝
1 かつ⃝
2 を満たす (p, q) について
より，⃝
{
q = ap
∴ q − p = ap − aq
p = aq
ア
…… ⃝
が成り立つ．a > 1 より y = ax は単調増加であることに注意すると
ア より
p < q と仮定すると，⃝
ap − aq > 0 ∴ p > q
これは仮定 p < q に反する．
ア より
p > q と仮定すると，⃝
ap − aq < 0 ∴ p < q
これは仮定 p > q に反する．
1 ，⃝
2 の共有点が存在すれば直線 y = x 上にある．
よって，⃝
2
1 と⃝
2 のグラフの共有点は⃝
2 と y = x のグラフの共有点でもある．したがって，
(2) (1) より，⃝
共有点の x 座標は方程式 x = loga x の解である．これを変形すると
x=
log x
log x
⇐⇒ log a =
log a
x
4
…… ⃝
log x
とおく．
x
1 · x − log x
1 − log x
′
x
=
f (x) =
x2
x2
y
···
e
···
O
+
0
1
e
−
f (x) =
x
(0)
′
f (x)
f (x)
(−∞)
1
e
(∞)
(0)
y = log a
e
x
y = logx x
y = f (x) のグラフと y = log a (a > 1) のグラフの共有点の個数は
1
0 < log a < 1 のとき 2 個
1 < a < e e のとき 2 個
e
1
log a = 1 のとき
1 個 すなわち a = e e のとき
1個
e
1
log a > 1 のとき
0個
a > e e のとき
0個
e
よって，y = ax と y = loga x のグラフの共有点は 2 個以下である． …… (証明終わり)
(3) y = ax と y = loga x のグラフの共有点は 1 個であるのは，(2) の考察より
1
a = ee
……（答）
4 の解は x = e であるから，共有点の座標は
のときである．このとき，⃝
(e, e)
……（答）
