Notas de aula: 16_Equações_Inequações_Módulo_Operações – TÓPICOS 1
Profa. Angelita Minetto Araújo
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Aula 16 – EQUAÇÕES_INEQUAÇÕES_MÓDULO DE UM
NÚMERO REAL_OPERAÇÕES
 Uma equação é uma igualdade matemática que envolve uma ou
mais incógnitas (variáveis desconhecidas). São representadas
usando o símbolo de igual (=).
 variável e incógnita são conceitos diferentes: a incógnita tem valor
único, só pode ter uma solução (exemplo: na equação 2x + 3 = 7 a
incógnita x só pode ter um valor: 2).
 uma variável pode ter diferentes valores (exemplo: na equação
x+y = 20, existem infinitos pares de soluções (dependendo do
conjunto de números que é tido como universo).
 Para resolver uma equação, precisamos encontrar o valor da
incógnita que torna a igualdade verdadeira.
 Uma inequação é uma desigualdade matemática que envolve uma
ou mais incógnitas. São representadas usando os seguintes
símbolos de desigualdade:
 maior que: >
 menor que: <
 maior ou igual a: ≥
 menor ou igual a: ≤
 Resolver uma inequação, precisamos encontrar todos os valores
da incógnita que tornam a desigualdade verdadeira.
1
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 Resolver inequações é encontrar o conjunto de soluções que
faz com que a desigualdade seja verdadeira. Diferentemente
de uma equação do 1º grau, por exemplo, que possui somente
uma solução, a inequação do 1º grau pode ter infinitas soluções.
 Por isso, ao resolvermos uma inequação do 1º grau encontramos
um conjunto de soluções e não apenas uma solução.
Resolva essas inequações:
a. 5 − 3 𝑥 > 4
b. 3( 𝑦 − 5) − 4( 𝑦 + 6) ≤ 7
c.
2𝑥−3
3
−
5𝑥+4
6
3𝑥
>5− 8
d. 0 < 3 − 5𝑥 ≤ 7
Resoluções:
a. 5 − 3 𝑥 > 4
 isolar a variável:
−3 𝑥 > 4 − 5
−3 𝑥 (−1) > −1 (−1)
3𝑥 < 1
𝑥<
2
1
3
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b. 3( 𝑦 − 5) − 4( 𝑦 + 6) ≤ 7
3𝑦 − 15 − 4𝑦 − 24 ≤ 7
−𝑦 ≤ 7 + 39
−𝑦 (−1) ≤ 46 (−1)
𝑦 ≥ −46
R: Conjunto solução: {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≥ −46}
c.
2𝑥−3
3
−
5𝑥+4
6
𝑜𝑢 [−46, ∞)
3𝑥
>5− 8
16𝑥 − 24 − (20𝑥 + 16) 120 − 9𝑥
>
24
24
16𝑥 − 24 − 20𝑥 − 16 120 − 9𝑥
>
24
24
−4𝑥 − 40
120 − 9𝑥
>
24
24
3
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−4𝑥 + 9𝑥 > 40 + 120
5𝑥 > 160
𝑥 > 32
R: Conjunto solução: {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 > 32}
𝑜𝑢 (32, ∞)
d. 0 < 3 − 5𝑥 ≤ 7
0 < 3 − 5𝑥 ≤ 7
0 − 3 < −5𝑥 ≤ 7 − 3
−3 < −5𝑥 ≤ 4 (−1) (para “x” ficar positivo)
3 > 5𝑥 ≥ −4
3
4
>𝑥≥ −
5
5
4
3
4
3
R: Conjunto solução: {𝑥 ∈ ℝ; − 5 ≤ 𝑥 < 5}
R: Conjunto solução: {𝑥 ∈ ℝ; − 5 ≤ 𝑥 < 5}
4
4 3
𝑜𝑢 [− 5 , 5)
4 3
𝑜𝑢 [− 5 , 5)
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1. Determine o conjunto solução das desigualdades:
a. 2 + 3𝑥 < 5𝑥 + 8
b. 4 < 3𝑥 − 2 ≤ 10
7
c. 𝑥 > 2
d. 𝑥 2 − 5 𝑥 + 6 ≤ 0
𝑥
e. 𝑥−3 < 4
Resoluções:
1. Determine o conjunto solução das desigualdades:
a. 2 + 3𝑥 < 5𝑥 + 8
2 + 3𝑥 − 3𝑥 − 8 < 5𝑥 − 3𝑥 + 8 − 8
− 6 < 2𝑥
−6 2𝑥
<
2
2
−3 < 𝑥
𝑥 > −3
S = {x ∈ℝ| x > −3}
5
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b. 4 < 3𝑥 − 2 ≤ 10
4 + 2 < 3𝑥 − 2 + 2 ≤ 10 + 2
6 < 3𝑥 ≤ 12
1
1
1
6(3) < 3𝑥(3) ≤ 12(3)
2<𝑥≤4
S = {x ∈ℝ| 2 < 𝑥 ≤ 4}
7
c. 𝑥 > 2
6
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7
𝑥
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(𝑥 ) > 2(𝑥)
7 > 2𝑥
7
2
7
2
2𝑥
> 2
> 𝑥
7
S = {x ∈ℝ| 𝑥 < 2 }
d. 𝑥 2 − 5 𝑥 + 6 ≤ 0
𝑥2 − 5 𝑥 + 6 ≤ 0
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
−(−5) ± √(−5)2 − 4(1)(6)
5 ± √25 − 24 5 ± 1
→
=
=
2𝑎
2(1)
2
2
→
𝑥 ′ = 3 ; 𝑥 ′′ = 2
7
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Verificando: 𝑥 2 − 5 𝑥 + 6 ≤ 0
 𝑥′ = 3
→ 𝑥2 − 5 𝑥 + 6 ≤ 0 → 9 − 15 + 6 ≤ 0 → 0 ≤ 0
𝑥 ′′ = 2
→ 𝑥2 − 5 𝑥 + 6 ≤ 0
𝑥
e.
𝑥−3
→
4 − 10 + 6 ≤ 0 → 0 ≤ 0
<4
 primeiro analisamos o denominador:
𝑥−3>0
𝑥>3
 segundo:
(𝑥 − 3) < 4 ( 𝑥 − 3)
𝑥−3
𝑥
𝑥 < 4 𝑥 − 12
12 < 4 𝑥 − 𝑥
12 < 3𝑥
𝑥>4
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Como deve ser: 𝑥 > 3 e 𝑥 > 4
Logo, S = {x ∈ℝ| 𝑥 ≠ 3 e 𝑥 ≠ 4 }
MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
A todo número real associa-se um valor absoluto, também
chamado de módulo representado por |𝑥 | e assim definido:
|𝑥 | = {
𝑥,
− 𝑥,
se
se
𝑥≥0
𝑥<0
Para todo x real, o módulo é sempre positivo ou nulo.
Geometricamente, o módulo de um número real é igual à
distância (comprimento ou tamanho) do ponto até a origem na
reta.
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Propriedades do módulo
𝟏. ∀ 𝑎 ∈ ℝ, |𝑎| ≥ 0. 𝐴𝑙é𝑚 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑜, |𝑎| = 0 ↔ 𝑎 = 0.
 |𝑎| ≥ 0 o valor absoluto de um número é sempre positivo
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: |5| = 5 ≥ 0 𝑒 |−5| = 5 ≥ 0
 |𝑎| = 0 ↔ 𝑎 = 0 o valor absoluto de um número é zero, se e
somente se, esse número for zero.
𝟐. |𝑎| = |𝑏|
↔ 𝑎=𝑏
𝑜𝑢
𝑎 = −𝑏.
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𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: |𝑎| = |3|
↔ 𝑎 = 3 𝑜𝑢 𝑎 = −3
Mas como módulo é sempre positivo: |𝑎| = |3|
𝟑. |𝑎| = |𝑏| ↔ 𝑏 ≥ 0
𝑒 (𝑎 = 𝑏 𝑜𝑢 𝑎 = −𝑏).
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: |4| = 4 ; |−4| = 4 ;
𝟒. ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ,
|0| = 0
|𝑎. 𝑏| = |𝑎|. |𝑏|
 |𝑎. 𝑏| = |𝑎|. |𝑏| o valor absoluto do produto de dois números
é igual ao produto dos valores absolutos desses números
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: |4. (−2)| = |−8| = 8 𝑒 |4|. |−2| = 4.2 = 8
|𝑎|
𝑎
| |=
|𝑏|
𝑏
𝟓. ∀ 𝑎 ∈ ℝ, ∀ 𝑏 ∈ ℝ − {0} ,
𝑎
|𝑎|
 |𝑏| = |𝑏| o valor absoluto do quociente de dois números é
igual ao quociente dos valores absolutos desses números
|−7|
−7
7
7
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: | | =
=
=
10
10
|10|
10
𝟔. |𝑝| < 𝑎 ↔ − 𝑎 < 𝑝 < 𝑎.
𝑉𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑞𝑢𝑒 |𝑝| ≤ 𝑎 ↔ −𝑎 ≤ 𝑝 ≤ 𝑎.
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 |𝑝| ≤ 𝑎 se o valor absoluto de um número for menor que a
quantidade positiva “a”, então ele está entre “a” e o simétrico
de “a” (-a), incluindo esses valores
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: |𝑝| ≤ 5 , 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒, −5 ≤ 𝑝 ≤ 5
𝟕. |𝑝| > 𝑎 ↔ 𝑝 < −𝑎 𝑜𝑢 𝑝 > 𝑎.
𝑉𝑎𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑞𝑢𝑒 |𝑝| ≥ 𝑎 ↔ 𝑝 ≤ −𝑎 𝑜𝑢 𝑝 ≥ 𝑎.
 se o valor absoluto de um número for maior que a
quantidade positiva “a”, então ele é maior que “a” ou menor
que o simétrico de “a” (-a).
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: |𝑝| ≥ 15 , 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒, 𝑝 ≥ 15 𝑜𝑢 𝑝 ≤ −15
|𝑝| > 4 , 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒, 𝑝 > 4 𝑜𝑢 𝑝 < −4
𝟖. ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏| (𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟).
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:
|3 + (−1)| ≤ |3| + |−1|
2
≤ 3 +1
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2
≤
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4
9. ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, | |𝑎| − |𝑏|| ≤ |𝑎 − 𝑏| .
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:
||7| − |5|| ≤ |7 − 5|
|7 − 5|
≤ |7 − 5|
2
≤
2
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:
||3| − | − 1|| ≤ |3 − (−1)|
|3 − |1||
≤ |3 + 1|
2
≤
4
Fonte: Exemplos Adaptados de CALDEIRA (2013, p. 40)
VALOR ABSOLUTO EM EQUAÇÕES
Fonte: Stewart et al. (2013, p. A6.)
Como |x| é a distância de “x” à origem,
1. a equação |𝑥 | = 𝑎 equivale a 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = −𝑎, para 𝑎 > 0
Ou seja, para 𝑏 > 0, a desigualdade |𝑥 | < 𝑎 equivale a dupla
desigualdade −𝑎 < 𝑥 < 𝑎.
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2. a equação |𝑥 | = |𝑎| equivale a 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = −𝑎
Exemplos:
|A| > B  A > B ou A < − B
|A| < B  − B < A < B
1. |2𝑥 − 5| = 3
(propriedade 4)
|2𝑥 − 5| = 3
2𝑥 − 5 = 3
2𝑥 = 5 + 3
8
𝑥=
2
𝑥=4
|2𝑥 − 5| = − 3
2𝑥 − 5 = −3
2𝑥 = 5 − 3
2
𝑥=
2
𝑥=1
𝑆 = { 𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 = 4 𝑒 𝑥 = 1}
2. |𝑥 − 5| < 2
(propriedade 5)
−2 < |𝑥 − 5| < 2
−2 + 5 < 𝑥 − 5 + 5 < 2 + 5
3<𝑥<7
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𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅; 3 < 𝑥 < 7} , (3,7)
3. |3𝑥 + 2| ≥ 4
(propriedades 4 e 6)
−4 ≥ |3𝑥 + 2| ≥ 4
−4 ≥ 3𝑥 + 2 ≥ 4
−4 − 2 ≥ 3𝑥 ≥ 4 − 2
−6 ≥ 3𝑥 ≥ 2
6
2
− ≥𝑥≥
3
3
2
−2 ≥ 𝑥 ≥
3
2
{𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤ −2 𝑜𝑢 𝑥 ≥ }
3
4. |𝑥 + 4| ≤ 9
−9 ≤ |𝑥 + 4| ≤ 9
−9 ≤ 𝑥 + 4 ≤ 9
−9 − 4 ≤ 𝑥 ≤ 9 − 4
−13 ≤ 𝑥 ≤ 5
R: {𝑥 ∈ ℝ; −13 ≤ 𝑥 ≤ 5}
15
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5.
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1 ≤ |𝑥 + 2| < 8
 sugestão: separar em 2 partes
1 ≤ |𝑥 + 2|
𝑒
|𝑥 + 2| < 8
 agora resolve como as anteriores:
1 ≤ |𝑥 + 2| ≤ −1
𝑒
− 8 < |𝑥 + 2| < 8
1 ≤ 𝑥 + 2 ≤ −1
𝑒
−8<𝑥+2<8
1 − 2 ≤ 𝑥 ≤ −1 − 2
𝑒
−8−2<𝑥 <8−2
−1 ≤ 𝑥 ≤ −3
𝑒
− 10 < 𝑥 < 6
R: {𝑥 ∈ ℝ; −10 < 𝑥 ≤ −3 𝑜𝑢 − 1 ≤ 𝑥 < 6}
6.
1 < |𝑥 − 1| < 2
 sugestão: separar em 2 partes
1 < |𝑥 − 1|
𝑒
|𝑥 − 1| < 2
 agora resolve como as anteriores:
1 < |𝑥 − 1| < −1
𝑒
− 2 < |𝑥 − 1| < 2
1 + 1 < 𝑥 < −1 + 1
𝑒
−2+1<𝑥 <2+1
2<𝑥<0
𝑒
−1<𝑥 <3
R: {𝑥 ∈ ℝ; −1 < 𝑥 < 0 𝑜𝑢 2 < 𝑥 < 3}
16
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7.
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|3𝑥 + 5| < 20
−20 < |3𝑥 + 5| < 20
−20 < 3𝑥 + 5 < 20
−20 − 5 < 3𝑥 < 20 − 5
−25 < 3𝑥 < 15
25
15
−
<𝑥<
3
3
25
−
<𝑥<5
3
25
R: {𝑥 ∈ ℝ; − 3 < 𝑥 < 5}
8.
2 ≤ |2𝑥 + 1| ≤ 10
 sugestão: separar em 2 partes
2 ≤ |2𝑥 + 1|
𝑒
|2𝑥 + 1| ≤ 10
 agora resolve como as anteriores:
2 ≤ |2𝑥 + 1| ≤ −2
𝑒
− 10 ≤ |2𝑥 + 1| ≤ 10
2 ≤ 2𝑥 + 1 ≤ −2
𝑒
− 10 ≤ 2𝑥 + 1 ≤ 10
2 − 1 ≤ 2𝑥 ≤ −2 − 1
𝑒
− 10 − 1 ≤ 2𝑥 ≤ 10 − 1
1 ≤ 2𝑥 ≤ −3
𝑒
− 11 ≤ 2𝑥 ≤ 9
1
3
≤ 𝑥 ≤ −2
2
11
3
R: {𝑥 ∈ ℝ; − 2 ≤ 𝑥 ≤ − 2 𝑜𝑢
9.
11
𝑒
9
− 2 ≤𝑥≤2
1
9
≤ 𝑥 ≤ 2}
2
|𝑥 − 4| + 1 ≤ 2
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|𝑥 − 4| + 1 ≤ 2
|𝑥 − 4| ≤ 2 − 1
|𝑥 − 4| ≤ 1
−1 ≤ |𝑥 − 4| ≤ 1
−1 ≤ 𝑥 − 4 ≤ 1
+4 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1 + 4
+3 ≤ 𝑥 ≤ 5
ALGUNS EXEMPLOS DE COMO RESOLVER UMA EQUAÇÃO
MODULAR
Obs.: primeiro é preciso analisar cada uma das possibilidades e dividir, sempre em dois
casos, cada um dos módulos.
Exemplo 1:
|3𝑥 + 2| = 5
 Há duas possibilidades para que os resultados dessa equação sejam
7
5, são eles, 𝑥 = 1 e 𝑥 = −
3
Ou seja:
3𝑥+2=5
ou
−3𝑥 − 2 = 5
Resolvendo cada uma das equações separadamente temos:
3 𝑥 + 2 = 5 (i)
{
−3𝑥 − 2 = 5 (ii)
{
𝐃𝐞 (𝐢):
3𝑥+2=5
𝑥=
−2 + 5
3
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𝑥=
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3
3
𝑥=1
𝐃𝐞 (𝐢𝐢) :
− 3𝑥−2=5
𝑥=
2+5
−3
𝑥=−
7
3
7
Portanto, existem duas soluções: 𝑆 = {1, − }
3
Para qualquer um dos dois valores a equação é verdadeira:
|3𝑥 + 2| = 5
|3(1) + 2| = 5 →
|5| = 5
7
21
|3 (− ) + 2| = 5 → |(− ) + 2| = 5 → |−7 + 2| = 5 → |−5| = 5
3
3
Exemplo 2:
|2𝑥 − 1| = |4𝑥 + 3|
Para a igualdade de dois módulos é necessário dividir em dois casos:
 Caso 1: primeiro e segundo membro de mesmo sinal.
 Caso 2: primeiro e segundo membro de sinais opostos (escolhe-se
um dos lados/membros da igualdade para permanecer com o mesmo
sinal e se altera os sinais do outro membro da igualdade).
 1º caso, primeiro e segundo membro de mesmo sinal.
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2 𝑥 − 1 = 4𝑥 + 3
−3 − 1 = 4𝑥 − 2𝑥
−4 = 2𝑥
𝑥 = −2
 2º caso, primeiro e segundo membro de sinais opostos (e alterando
os sinais do outro membro).
−2 𝑥 + 1 = −4𝑥 − 3
−2 𝑥 + 1 = −(−4𝑥 − 3)
−2 𝑥 + 1 = 4𝑥 + 3
−3 + 1 = 4𝑥 + 2𝑥
6𝑥 = −2
1
𝑥 =−
3
1
Portanto, existem duas soluções: 𝑆 = {−2, − }
3
Para qualquer um dos dois valores a equação é verdadeira:
|2𝑥 − 1| = |4𝑥 + 3|
|2(−2) − 1| = |4(−2) + 3|
→ |−4 − 1| = |−8 + 3| → |−5| = |−5|
1
1
2
4
|2 (− ) − 1| = |4 (− ) + 3| → |− − 1| = |− + 3|
3
3
3
3
−2 − 3
−4 + 9
−5
5
5 5
|
|=|
|→ | |=| | →
=
3
3
3
3
3 3
1. Resolva cada uma das equações para
20
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a. |5𝑥 + 4| = −3
𝑏. |𝑥 − 4| = |3𝑥 + 1|
𝑐. |14 − 𝑥 | = 21
Resoluções:
a. |5𝑥 + 4| = −3
{
5 𝑥 + 4 = −3
−5𝑥 − 4 = −3
(1)
(2)
(1): Se x = − 5 temos 3 = - 3
7
O que é absurdo.
1
O que é absurdo.
(2): Se x = − 5 temos 3 = - 3
R: Essa equação não tem solução.
𝑏. |𝑥 − 4| = |3𝑥 + 1|
[não esquecer da propriedade:
𝟐. |𝒂| = |𝒃| ↔ 𝒂 = 𝒃 𝒐𝒖 𝒂 = −𝒃.]
- primeiro devemos transformar em equações equivalente, sem o símbolo de valor absoluto:
𝑥 − 4 = −(3𝑥 + 1)
𝑥 − 4 = −3𝑥 − 1
4𝑥 = 5
3
𝑥=
4
𝑥 − 4 = 3𝑥 + 1
𝑥 − 4 = 3𝑥 + 1
𝑥 − 3𝑥 = 1 + 4
−2𝑥 = 5
21
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5
𝑥=−
2
c. |14 − 𝑥 | = 21,
fazemos: {
14 − 𝑥 = 21 (1)
−14 + 𝑥 = 21 (2)
(1): 𝑥 = − 7
(2): 𝑥 = 35
Logo,
𝑥 = −7
ou
𝑥 = 35
REFERÊNCIAS
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR, José Ruy. Matemática
Fundamental: uma nova abordagem: ensino médio. Volume único. São Paulo: FTD, 2002.
LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 3ª ed. Vol. 1. São Paulo: Harbra, 1994.
MELLO, José Luiz Pastore. Matemática: construção e significado. Volume único. 1ª ed. São
Paulo: Moderna, 2005.
MORETTIN, Pedro A.; BUSSAB, Wilton O.; HAZZAN Samuel. Cálculo: funções de uma variável. 3ª
ed. São Paulo: Atual, 1987.
Figura 1. Disponível em: < http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/nocoesfuncao.htm>. Acesso em: 09 abr. 2014.
SAFIER, Fred. Pré-Calculo. Grupo A, 2011. E-book. ISBN 9788577809271. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788577809271/. Acesso em: 16 fev.
2023.
MEDEIROS, Valéria Z.; CALDEIRA, André M.; SILVA, Luiza Maria Oliveira da; et al. Pré-Cálculo.
Cengage Learning Brasil, 2013. E-book. ISBN 9788522116515. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116515/. Acesso em: 05 mar.
2023.
STEWART, James; CLEGG, Daniel; WATSON, Salim. Cálculo Volume I -Tradução da 9ª edição
norte-americana. Cengage Learning Brasil, 2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em:
22
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 05 mar.
2023.
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