INTEGRALES DOBLES
INTEGRALES DOBLES
DEFINICION
Una funcion f : D  R 2  R definida por z  f (x, y) es acotada en D si existen
numeros M y N tales que N  f (x, y)  M (x, y)  D
SUMAS DE RIEMAN
Sea z  f (x, y) una funcion acotada en D si existen
Sean r1 , r2 ,....., rn rectangulos
contenidos en D
consideramos una particion P de D  R 2


P  r1 , r2 ,....., rn donde ri es un rectangulo
i x y i y
D
,
ri Δy
Δx
La norma de la particion
P  es la longitud de la diagonal
mayor de los rectangulos contenidos
en D
Definimos
mi (f)  Inf{f(x, y) / x  ri }
M i (f)  Sup{f (x, y) / x  ri }
P  {p/ p es una particion de la region D}
Conjunto de todas
las particiones de D
SUMA INFERIOR
n
L( f , p )   mi ( f ) A( ri )
donde
i 1
A( ri )   i x i y
Suma de volúmenes
de paralelepípedos
interiores
SUMA SUPERIOR
n
M ( f , p )   M i ( f ) A( ri )
i 1
donde
A( ri )   i x i y
Suma de volúmenes
de paralelepípedos
exteriores
INTEGRAL DOBLE SUPERIOR
DEFINICION
La integral doble superior se define y se denota por:
+
∫ ∫ f  Inf {U ( f , p ) / p  P}
D
INTEGRAL DOBLE INFERIOR
DEFINICION
La integral doble inferior se define y se denota por:
 f  Sup{L
( f , p)
D
/ p  P}
DEFINICION
Una funcion f : D  R 2  R , se dice que es rieman integrable sobre D si :
i) f es acotada sobre D
ii)
y
+
∫∫-f = ∫∫ f
D
D
DEFINICION
Si f es integrable sobre D entonces la integral doble definida sobre D se denota por:
+
∫∫ f = ∫∫-f = ∫∫ f
D
D
D
TEOREMA
Si f : D  R 2  R , donde D es un conjunto cerrado
f es integrable sobre D
Si f es continua en D
TEOREMA
Si f : D  R 2  R , es continua sobre D cerrado
n
  f (x, y) dA  lim p 0  f (x i , yi ) A( ri )
D
i 1
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA INTEGRAL DOBLE
Si f : D  R 2  R , es una funcion continua en la region cerrada D y f (x, y)  0 (x, y)  D .
Luego  f (x, y) dA  V( D ) es el volumen del solido S bajo la superficie z  f (x, y)
D
,
S
f(x,y)
PROPIEDADES DE L A INTEGRAL DOBLE
Sean f, g : D  R 2  R dos funciones integrales en D , k  R. Luego
1   kf ( x , y ) dA  k  f ( x , y ) dA
D
D
2    f ( x , y )  g ( x , y )  dA   f ( x , y ) dA   g ( x , y ) dA
D
D
D
3  Si f ( x , y )  g ( x , y ) (x, y)  D   f ( x , y ) dA   g ( x , y ) dA
D
D
4  Si D  D1  D 2 , D1  D 2     f ( x , y ) dA   f ( x , y ) dA   f ( x , y ) dA
D
D1
5   dA  A( D )
D
6  Si m  f (x, y)  M (x, y)  D  mA( D )   f ( x , y ) dA  MA( D )
D
D2
TEOREMA DE VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
Si f (x, y) es continua sobre una region D que tiene area
 Existe un punto x 0  (x 0 , y 0 )  D tal que
 f
D
(x, y)
dA  f ( x0 ) A( R )
TEOREMA DE FUBINI
Sea f (x, y) una funcion continua sobre un rectangulo D  a, bxc, d 
 se puede calcular la integral dobe  f ( x , y ) dA por integracion
D
iterada en cualquier orden , es decir
 f
( x, y )
db
bd
ca
ac
dA    f (x, y) dxdy    f ( x , y ) dydx
D
y
El teorema de Fubini nos dice
que cuando la región de
integración es un rectángulo se
puede invertir el orden de
integración y el valor de la
integral no cambia
d
D
c
a
b
x
INTERPRETACION GEOMETRICA DEL CALCULO DE INTEGRALES DOBLES CUANDO LA
REGION DE INTEGRACION ES UN RECTANGULO
Sean f : D  R 2  R definida por z  f (x, y) y D  a, bxc, d  un rectangulo
Z
Y
X
c
d
d b
V    f ( x , y ) dxdy
c a
TAMBIEN
Z
Y
X
a
b
b d
V    f ( x , y ) dxdy
a c
INTEGRALES DOBLES ITERADAS
I- INTEGRAL DOBLE ITERADA EN X
Z
,
X
g(x)
Y
a
,
f(x)
b
 f
R
b f( x )
( x, y )
dA    f ( x , y ) dydx
a g( x )
II- INTEGRAL DOBLE ITERADA EN Y
Z
Y
X
g
f
c
d
 f
R
d xf
( x, y )
dA    f ( x , y ) dxdy
c xg
INTEGRALES DOBLES ITERADAS
I- INTEGRAL DOBLE ITERADA EN X
y
SE TOMAN RECTANGULOS PERPENDICULARES AL EJE X
h
R
 f
dx
b f( x )
( x, y )
R
dA    f ( x , y ) dydx
a g( x )
x
II- INTEGRAL DOBLE ITERADA EN Y
SE TOMAN RECTANGULOS PERPENDICULARES AL EJE Y
d
h
dy
R
c
 f
R
d xf
( x, y )
dA    f ( x , y ) dxdy
c xg
PROB
x2
Calcular
∫∫ y dA
D
donde D es un monomio acotado por las rectas x=2
2
x=2 , f : y=x y la hipérbola g: xy=1
2 1
1 y
PROB
Evaluar
∫1 ∫y/2
∫0 ∫y/2
x y2 ( x3 + y3 )-1/2 dxdy +
dA
donde D es un triangulo limitado por la rectas f: x+y=2 y
los ejes coordenados
x y2 ( x3 + y3 )-1/2 dxdy
PROB
Evaluar
∫∫ e
D
y-x
x+y
R2
TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE
Sean D y R 1 dos regiones elementale s del plano y sea T : D  R 1
una transformacion de R 2 definida por T(u, v)  ( x, y ) T de clase C(1)
xu
e inyectiva en D y J (u, v)  0 u, v  D donde J (u, v) 
yu
ademas R  T(D)

Si f : R 1  R es integrable . La funcion
f  T es integrable sobre D y
 f
R1
(x,y)
dxdy   f (x,y)dxdy   f (x
T(D)
xv
yv
R1
(u,v) , y (u,v) )
J (u, v) dudv
NOTA
En  f (x, y)dA si f (x, y)  1 luego la integral doble  dA representa el
D
D
area de la region D . Osea :
A   dxdy   dydx
D
D
VOLUMEN ENTRE DOS SUPERFICIES
Sea S el solido encerrado entre las superficies z  f (x, y) y z  f (x, y) si z  g (x, y)
Si f (x, y)  g (x, y) (x, y)  D  V(S)   ( f ( x , y )  g ( x , y ) )dA
D
z
,
f(x,y)
S
,
g(x,y)
y
D
x
TRANSFORMACIONES DE Rn A Rn
DEFINICION
Una funcion T : D  R n  R n definida por : T( u )  T(u ,u ,.....,u )  ( x1 , x2 ,......, xn )
1
2
n
se denomina transformacion de R n
DEFINICION
Una funcion T : D  R n  R n definida por : T( u )  ( x1 , x2 ,......, xn )
se dice que es de clase C (k) sobre un dominio D  R n si todas sus funciones
x i (u ) son de clase C (k) .Es decir todas las funciones coordenadas tienen
derivadas parciales hasta de orden k todas son continuas sobre D .
DERIVADAS DE LA TRANSFORMACION DE Rn
DEFINICION
Dada la transformacion T : D  R n  R n de clase C(k) sobre D definida por :
X  T( u )  ( x1 (u ), x2 (u ),......, xn (u )) luego la derivada de T en u ,
u  (u1.u2 ,...., un ) se define y se denota por :
DT( u ) 
x1 (u )   x1 (u )

  u1

x
(
u
)
 1   x2 (u )
 .
  u1

  .
 .
  .
 .
 

  .
 .
  .
 .
  .

  x (u )
x n (u )  n
 u1
x1 (u )
u 2
x2 (u )
u 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
xn (u )
u 2
.
xn (u ) 
u n 

x2 (u ) 
u n 


.





xn (u ) 
u n 
También denotamos
DT( u )  T(!u )
MATRIZ
JACOBIANA
NOTA
A la matriz cuadrada de orden n DT( u ) se le denomina la matriz jacobiana de T en u
JACOBIANO
DEFINICION
Al det(DT( u ) ) se le denomina jacobiano de la transformacion T en u y se le denota
J (u ) 
 ( x1 , x2 ,........., xn )
 det[ DT(u ) ]
 (u1 , u2 ,........., un )
TEOREMA
Sea T : D  R 2  R 2 de clase C (k) sobre D definida por X  T(u,v)  ( x, y )
 J (u,v) 
J (u,v) 
xu
yu
xv
yv
1
J (x, y)
donde J (x, y)  0
ux
J (x, y) 
vx
uy
vy
TEOREMA
Sea T : D  R n  R n una transformacion de clase C (1) sobre D definida
por X  T( u )  ( x1 , x2 ,..., xn ). Luego
Si J ( u )  0  existe una transformacion inversa T -1 de T(D) sobre D de clase C (1)
tal que DT(-x1)  0  x  T( D )
LA INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES
Para transformar la integral doble de coordenadas rectangulares a polares
hacemos el cambio de variable siguiente
x= rcosѳ
y=rsenѳ
JACOBIANO
J (u, v) 
xr
yr
x
cos 

y
sen
 rsen
r cos 
,
J(r,ѳ)=r≠0
PROB
Calcular
∫∫∫ 16- x - y dA Si D es la región limitada por la grafica de la ecuación
2
2
D
x2 + y2-4y=0
PROB
y
Calcular
∫∫ arctg ( x ) dxdy
Donde D es una parte del circulo
D
f: x2 + y2≥1
g: x2 + y2≤ 9
h: y≤x
3
INTEGRALES DOBLES IMPROPIAS
PROB
-2(x2 + y2)
Evaluar
∫∫ e
D
dA
Donde D es el primer cuadrante del plano
AREA DE UNA SUPERFICIE
Sean f : D  R 2  R una funcion continua sobre D luego el area de la
superficie definida por z  f (x, y) esta dada por :
,
A(S) = ∫∫
1+ f2x + f2y dA
D
Sk
S