FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
ESCUELA DE MATEMÁTICA.
CÁLCULO Y GEOMETRÍA
ANALÍTICA I
MAT- 131
Unidad I: El plano
Cartesiano
Profesor: Carlos Robert Valdez Coats
Resultado de aprendizajes esperados de la unidad:
• Resuelve problemas aplicando el concepto de distancia entre dos puntos.
• Obtiene la pendiente de una recta a partir de dos puntos de ella, de la ecuación general y
de su ángulo de inclinación
• Determina la ecuación de la recta en sus diversas formas
• Resuelve problemas que involucren rectas
Contenido:
1.1 La recta. Segmento dirigido
1.2 El plano Cartesiano distancia entre dos puntos. Puntos de división de un segmento. Punto
medio. Aplicaciones
1.3 Concepto de pendiente. Pendiente de una recta que pasa por dos puntos
1.3.1 Puntos colineales
1.4 Ecuación de la recta en diferentes formas. Formas y gráficas
1.5 Paralelismo y perpendicularidad. Ángulo entre dos rectas
1.6 Problemas sobre la recta:
1.6.1 Punto de intersección entre dos rectas
1.6.2 Distancia de un punto a una recta. Distancia entre dos rectas paralelas
La recta. Segmento
dirigido
RECTA: Es una línea de puntos, sin curvas ni ángulos, que no tiene principio ni fin.
L
En geometría euclidiana, la recta o la línea recta es una línea que se extiende en una
misma dirección; por lo tanto, tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de
puntos.
SEMIRRECTA: Es cada una de las dos partes en que un punto divide una recta.
El punto es el origen de las dos semirrectas.
SEGMENTO: Es la parte de recta limitada entre dos puntos. Dichos puntos son los extremos del
segmento.
A
B
Segmento rectilineo dirigido. Es la porción de una linea recta comprendida entre dos de
sus puntos.
>
B
En tal caso:
El segmento AB está dirigido de
AaB
>
A
El segmento BA está dirigido de B
aA
Consideremos tres puntos distintos A , B y C sobre una línearecta cuya dirección
positiva es de izquierda a derecha.
Considerando solamente segmentos
dirigidos de longitudes positivas:
Longitud del segmento dirigido
La longitud del segmento dirigido entre que dos puntos dados se
obtiene, en mgnitud y signo, restando la coordenada del origen de la
coordenada del extremo
Ejemplo:
Punto Medio
𝑷𝒎 =
𝑨+𝑩
𝟐
Ejemplos propuestos
 1) Demuestres que los puntos A (-1, -3), B (6, 1) y C (2, -5) son los vértices de
un triángulo rectángulo.
 2) Demuestre que los puntos A (-6, -8), B (0, -4) y C (3, -2) son colineales
(pertenecen a una misma recta).
 Demuestre que los puntos A(0,1), B(3,5), C(7,2) y D (4, -2) son los vértices de
un cuadrado.
 Demuestre que los puntos A(1,1), B (3,5), C(11,6) y D (9,2) son los vértices de
un paralelogramo.
Ejemplo:
Los vértices de un triángulo son los puntos
A(-1,5); B(3,-2) y C(4,6). Hallar mediante distancia
entre dos puntos su perímetro. Solución, aplicando
la fórmula:
𝑷𝟏 𝑷𝟐 =
(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐
𝑨𝑩 =
(𝟑 + 𝟏)𝟐 + (−𝟐 − 𝟓)𝟐 = 𝟔𝟓
𝑩𝑪 =
(𝟒 − 𝟑)𝟐 + (𝟔 + 𝟐)𝟐 = 𝟔𝟓
𝑨𝑪 =
(𝟒 + 𝟏)𝟐 + (𝟔 − 𝟓)𝟐 = 𝟐𝟔
El punto medio del segmento dirigido P1 P2
EJEMPLO:
EJEMPLO:
Hallar las coordenadas del punto medio entre los puntos A(-2, 1), B(3, 5).
PENDIENTE DE UNA RECTA
PENDIENTE DE UNA RECTA
33
La inclinación de la recta depende de
la pendiente
34
35
36
37
¿Cómo podemos encontrar la pendiente de una recta a través de una
grafica?
Ejemplo: Si tenemos la gráfica de una recta y
queremos calcular la pendiente, ubica dos puntos
del plano que pertenezcan a la recta.

y
5
4
Por ejemplo:
3
Los puntos ( 2,2) y (-1,5) pertenecen a la recta
2
Usaremos la ecuación
y - y1
m  2
x 2 - x1

1
1
-1
2
3
-1
donde (x1 , y1) son las coordenadas de uno de los puntos que pertenece a la recta.
( x2 , y2) son las coordenadas del otro punto que pertenece a la recta.
Por lo tanto remplazando tenemos:
m =
y 2  y1
x 2  x1
52
=
1 2
=
3
= -1
3
Luego la pendiente m = -1
x
4
L
41
DETERMINAR LA PENDIENTE Y LA ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR
LOS PUNTOS:
DETERMINAR LA ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR LOS
PUNTOS:
44
DETERMINAR LA ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR LOS
PUNTOS:
Hallar 1os ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son 1os puntos (- 2, I ) . (3, 4) y
(5. - 2). Comprobar 1os resultados.