Chapter 10. Dynamics of Rotational Motion (회전 동역학) Torque, Angular Momentum, Rotational Motion 힘(Force): 가속도의 원인 토크(Torque): 각가속도(angular acceleration)의 원인 힘과 토크의 관계 회전운동에서의 일(work)과 파워(power) (Translational motion: 𝑾 = 𝑭 ∙ 𝒔 각운동량 (Angular momentum) 각운동량 보존 𝑷 = 𝑭 ∙ 𝒗) Torque (토크, τ) 물체의 회전: 회전에 가장 효율적인 힘? 𝑭𝒄 : 회전축으로 향하는 힘은 회전시킬 수 없다. 𝑭𝒂 𝑭𝒃 Line of action(작용선): 힘을 따라 연장한 선 Lever arm: 회전축에서 작용선까지 수직 길이 토크(Torque): 𝝉 = 𝒍𝑭 ቋ: 같은 크기 힘도 회전축에서 멀수록 효율적 힘이 클수록 회전시키는데 효율적 (Nm) 토크는 기준점(회전축)을 중심으로 측정 반시계 방향 토크 > 0 (𝝉𝟏 = 𝒍𝟏 𝑭𝟏 ) 시계 방향 토크< 0 (𝝉𝟐 = −𝒍𝟐 𝑭𝟐 ) Torque and Vector Product Direction of torque: 오른손 법칙 𝝉 = 𝝉ො𝒛 𝝉 = −𝝉ො𝒛 (10.1) Magnitude of torque? 𝒓: (회전축 기준) 힘 작용 점의 위치 벡터 𝝓: 힘과 위치 벡터의 사이각 Torque: 𝝉 = 𝒍𝑭 = 𝒓 sin 𝝓 𝑭 = 𝒓 𝑭 sin 𝝓 = 𝒓𝑭𝐭𝐚𝐧 Torque (vector): 𝝉 = 𝒓 × 𝑭 𝝉 = 𝒍𝑭 = 𝒓 cos 𝜽 𝑭 = 𝟎. 𝟖 cos 𝟏𝟗° 𝟗𝟎𝟎 = 𝟔𝟖𝟎 𝐍 ∙ 𝐦 Torque and Angular Acceleration for a Rigid Body Effect of torque on a rigid body: (𝝉 → 𝜶) Torque due to internal force: 𝑭𝟏𝟐 and 𝑭𝟐𝟏 Ԧ (= 𝒍) 𝑭𝟏 = 𝑭𝟏,𝐭𝐚𝐧 ො𝒕 + 𝑭𝟏,𝐫𝐚𝐝 𝒓ො + 𝑭𝟏,𝒛 𝒌 두 힘의 lever arm의 길이는 같다. 𝑭𝟏,𝐭𝐚𝐧 성분만 회전을 일으킴 𝝉𝟏 + 𝝉𝟐 = 𝒍Ԧ × 𝑭𝟐𝟏 + 𝒍Ԧ × 𝑭𝟏𝟐 = 𝒍Ԧ × 𝑭𝟐𝟏 + 𝑭𝟏𝟐 = 𝟎 𝑭𝟏,𝐭𝐚𝐧 = 𝒎𝟏 𝒂𝟏,𝐭𝐚𝐧 𝝉𝟏,𝒛 = 𝒓𝟏 𝑭𝟏,𝐭𝐚𝐧 = 𝒓𝟏 𝒎𝟏 𝒂𝟏,𝐭𝐚𝐧 = 𝒎𝟏 𝒓𝟐𝟏 𝜶𝒛 𝝉𝒊𝒛 = 𝒊 𝒎𝒊 𝒓𝟐𝒊 𝒊 𝜶𝒛 = 𝑰𝜶𝒛 (∵ 𝑭𝟏𝟐 = −𝑭𝟐𝟏 : action-reaction pair) 𝝉𝐞𝐱𝐭,𝒛 = 𝑰𝜶𝒛 외력(external force)에 의한 torque만 회전시킴 Examples (10.2) 줄을 2m 당길 때 가속도와 줄의 속력? (10.3) 미끄러짐 없이 줄을 풀 때의 가속도? 𝝉𝒛 𝑹𝑭 𝟐𝑭 𝟐 𝜶𝒛 = = = = 𝟔. 𝟎 𝐫𝐚𝐝/𝐬 𝑰 𝑴𝑹𝟐 /𝟐 𝑴𝑹 𝟐𝑭 𝒂𝒙 = 𝑹𝜶𝒛 = = 𝟎. 𝟑𝟔 𝐦/𝐬𝟐 𝑴 𝒎: 𝒎𝒈 − 𝑻 = 𝒎𝒂 𝒗𝟐𝒙 − 𝒗𝟐𝟎 = 𝟐𝒂𝒙 𝒔 → 𝒗𝒙 = 𝟏. 𝟐 𝐦/𝐬 𝒂 = 𝑹𝜶 𝟏 𝟐 𝑴: 𝑹𝑻 = 𝑰𝜶 = 𝑴𝑹𝟐 𝜶 𝟏 → 𝑻 = 𝑴𝒂 𝟐 𝒎𝒈 𝒈 𝒂= = 𝒎 + 𝑴/𝟐 𝟏 + 𝑴/𝟐𝒎 Rigid-Body Rotation about a Moving Axis (Rolling) 외력에 의한 강체의 운동: 질량중심이 가속 𝒅𝑷 𝑭𝐞𝐱𝐭 = 𝑴𝒂𝐜𝐦 = 𝒅𝒕 강체의 중력에 의한 포텐셜에너지: 질량중심의 위치에 의하여 결정 𝑼 = 𝑴𝒈𝒚𝒄𝒎 강체의 운동: 병진운동+회전운동 질량중심의 병진운동 + 질량중심을 지나는 축 주위의 회전운동 강체의 운동에너지: 𝟏 𝟏 𝟐 𝑲 = 𝑴𝒗𝐜𝐦 + 𝑰𝐜𝐦 𝝎𝟐 𝟐 𝟐 강체의 운동: Kinetic Energy of a Moving(Rolling) Rigid-Body 질점 𝒎𝒊 의 운동 에너지 : 강체의 운동에너지: σ 𝒎𝒊 𝒙𝒊 𝒙𝐜𝐦 ≡ σ 𝒎𝒊 𝝎 𝒓′𝒊 𝒓𝐜𝐦 𝟎 𝟏 𝟐 𝑲 = σ𝒊 𝑲𝒊 = σ𝒊 𝒎𝒊 𝒗𝒊 ∙ 𝒗𝒊 𝟏 𝒎𝒊 𝒗𝟐𝐜𝐦 + 𝟐𝒗𝐜𝐦 ∙ 𝒗′ 𝒊 + 𝒗′𝟐𝒊 𝟐 𝟏 𝟏 = 𝑴𝒗𝟐𝐜𝐦 + 𝒗𝐜𝐦 ∙ σ𝒊 𝒎𝒊 𝒗′ 𝒊 + σ𝒊 𝒎𝒊 𝒗′𝟐𝒊 𝟐 𝟐 = σ𝒊 𝒗𝒊 = 𝒗𝐜𝐦 + 𝒗′𝒊 : 𝒎𝒊 를 곱한 후 σ𝒊 𝒓𝒊 → σ𝒊 𝒎𝒊 𝒗𝒊 = σ𝒊 𝒎𝒊 𝒗𝐜𝐦 + σ𝒊 𝒎𝒊 𝒗′𝒊 → 𝑴𝒗𝐜𝐦 = 𝑴 𝒗𝐜𝐦 + σ𝒊 𝒎𝒊 𝒗′𝒊 𝒓𝒊 = 𝒓𝐜𝐦 + 𝒓′𝒊 𝒓′𝒊 = 𝒓′𝒊 𝒅𝒓𝒊 𝒗𝒊 = = 𝒗𝐜𝐦 + 𝒗′𝒊 𝒅𝒕 𝒗′𝒊 : 질량중심이 본 𝒎𝒊 의 속도 (𝒗′𝒊 = 𝒓’𝒊 𝝎) 𝒎𝒊 의 운동에너지: 𝑲𝒊 = 𝟏 𝒎𝒊 𝒗𝒊 ∙ 𝒗𝒊 𝟐 →∴ σ𝒊 𝒎𝒊 𝒗′𝒊 = 𝟎 𝟏 𝟏 σ𝒊 𝒎𝒊 𝒗′𝟐𝒊 = 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 σ𝒊 𝒎𝒊 𝒓′𝟐𝒊 𝝎𝟐 = 𝑰𝐜𝐦 𝝎𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 ∴ 𝑲 = 𝑴𝒗𝐜𝐦 + 𝑰𝐜𝐦 𝝎𝟐 𝟐 𝟐 Rolling without Slipping 미끄럼 없이 구르는 조건: 질량중심의 운동과 순수 회전운동으로 분리: A 𝒔 𝑹 0 𝜽 0 𝒔𝐜𝐦 A 회전한 길이=이동한 거리=질량중심이 이동한 거리 𝑹𝜽 = 𝒔 = 𝒔𝐜𝐦 질량중심의 속도: 𝒅𝒔𝐜𝐦 𝒅𝜽 𝒗𝐜𝐦 = =𝑹 = 𝑹𝝎 𝒅𝒙 𝒅𝒙 질량중심의 가속도: 𝒂𝐜𝐦 = 𝒅𝒗𝐜𝐦 𝒅𝝎 =𝑹 = 𝑹𝜶 𝒅𝒙 𝒅𝒙 Example (10.4) 요요의 속력 요요의 운동에너지=병진운동+회전운동 에너지 𝟏 𝟏 𝟐 𝑲𝟐 = 𝑴𝒗𝐜𝐦 + 𝑰𝐜𝐦 𝝎𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 = 𝑴𝒗𝟐𝐜𝐦 + 𝑴𝑹𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 = 𝑴𝒗𝟐𝐜𝐦 𝟒 PE → Linear KE + Rotational KE 𝑲𝟏 + 𝑼𝟏 = 𝑲𝟐 + 𝑼𝟐 𝟑 → 𝑴𝒈𝒉 = 𝑴𝒗𝟐𝐜𝐦 𝟒 미끄럼이 없을 경우: → 𝒗𝐜𝐦 = 𝒗𝐜𝐦 = 𝑹𝝎 𝟒𝒈𝒉 𝟑 𝒗𝐜𝐦 𝟐 𝑹 Example (10.5) 무엇이 빠른가? 출발선 𝟏 𝟏 𝑴𝒗𝟐𝐜𝐦 + 𝑰𝐜𝐦 𝝎𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 = 𝑴𝒗𝐜𝐦 + 𝒄𝑴𝑹𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 = 𝟏 + 𝒄 𝑴𝒗𝟐𝐜𝐦 𝟐 𝟎 + 𝑴𝒈𝒉 = ∴ 𝒗𝐜𝐦 = 𝟐𝒈𝒉 𝟏+𝒄 𝟐 𝟓 𝟏 𝒄= 𝟐 𝒄= 𝒗𝐜𝐦 𝟐 𝑹 𝒄=𝟏 𝒄= 𝟐 𝟑 도착선 Examples (10.6) 요요의 가속도와 장력(T)? (10.7) 구르는 볼링공의 가속도? 𝑴𝒈 − 𝑻 = 𝑴𝒂𝐜𝐦 𝟏 𝟏 𝑻𝑹 = 𝑰𝐜𝐦 𝜶 = 𝑴𝑹𝟐 𝜶 ቑ 𝑻 = 𝑴𝒂𝐜𝐦 𝟐 𝟐 𝒂𝐜𝐦 = 𝑹𝜶 𝟐 ∴ 𝒂𝐜𝐦 = 𝒈 𝟑 𝟏 𝑻 = 𝑴𝒈 𝟑 𝑴𝒈 sin 𝜷 − 𝒇𝒔 = 𝑴𝒂𝐜𝐦 𝟐 𝒂𝐜𝐦 𝟐 𝟐 𝒇𝒔 𝑹 = 𝑰𝐜𝐦 𝜶 = 𝑴𝑹 → 𝒇𝒔 = 𝑴𝒂𝐜𝐦 𝟓 𝑹 𝟓 𝟓 ∴ 𝒂𝐜𝐦 = 𝒈 sin 𝜷 𝟕 𝟐 𝒇𝒔 = 𝑴𝒈 sin 𝜷 𝟕 1. 정지마찰력: 𝒇𝒔 = 𝝁s 𝑁 = 𝝁s 𝑴𝒈 𝒄𝒐𝒔 𝜷 ? 2. 정지마찰력은 일을 하는가? Work and Power in Rotational Motion Work done by torque during rotation: 𝒅𝑾 = 𝑭𝐭𝐚𝐧 𝒅𝒔 = 𝑭𝐭𝐚𝐧 𝑹 𝒅𝜽 = 𝝉𝒛 𝒅𝜽 𝜽𝟐 𝜽𝟏 ~𝜽𝟐 ∶ 𝑾 = න 𝝉𝒛 𝒅𝜽 𝜽𝟏 𝝉𝒛 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭: 𝑾 = 𝝉𝒛 𝜽𝟐 − 𝜽𝟏 = 𝝉𝒛 ∆𝜽 𝒅𝝎 𝒅𝜽 𝝉 𝒅𝜽 = 𝑰𝜶 𝒅𝜽 = 𝑰 𝒅𝒕 = 𝑰𝝎 𝒅𝝎 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝝎𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝑾 = න 𝑰𝝎 𝒅𝝎 = 𝑰𝝎𝟐 − 𝑰𝝎𝟏 = ∆𝑲 𝟐 𝟐 𝝎𝟏 Work done by torque= change in rotational kinetic energy Power in rotational motion: 𝑷= 𝒅𝑾 𝒅𝜽 = 𝝉𝒛 = 𝝉𝒛 𝝎𝒛 𝒅𝒕 𝒅𝒕 Example 10.8 An electric motor exerts a constant 10 N·m torque on a grindstone, which has a moment of inertia of 2.0 kg·m2 about its shaft. The system starts from rest. Find the work 𝑾 done by the motor in 8.0 s and the grindstone kinetic energy 𝑲 at this time. What average power 𝑷𝐚𝐯 is delivered by the motor? 𝑾 = 𝝉𝒛 ∆𝜽 𝟏 ∆𝜽 = 𝝎𝟎 𝒕 + 𝜶𝒕𝟐 𝟐 𝝉 𝟏𝟎 𝐫𝐚𝐝 𝜶= = = 𝟓. 𝟎 𝟐 𝑰 𝟐. 𝟎 𝐬 𝟏 ∴ ∆𝜽 = 𝟎 𝟖 + 𝟓 𝟖 𝟐 = 𝟏𝟔𝟎 𝐫𝐚𝐝 𝟐 ∴ 𝑾 = 𝝉𝒛 ∆𝜽 = 𝟏𝟎 𝟏𝟔𝟎 = 𝟏𝟔𝟎𝟎 𝐉 𝑾 = 𝑲 − 𝑲𝟎 = 𝑲 = 𝟏𝟔𝟎𝟎 𝐉 𝑾 𝟏𝟔𝟎𝟎 𝑷𝐚𝐯 = = = 𝟐𝟎𝟎 𝐖 ∆𝒕 𝟖 Angular Momentum of a Particle 입자: 입자의 각운동량은 언제 변하는가? 𝒅𝑳 𝒅𝒓 𝒅𝒑 = × 𝒎𝒗 + 𝒓 × = 0 + 𝒓 × 𝑭𝐧𝐞𝐭 = 𝝉 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 (토크가 작용하면 입자의 각운동량이 변한다.) 𝒎𝒗 Conservation of Angular Momentum of a particle: 𝝉 = 𝟎 → 𝑳 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭 𝑭𝐧𝐞𝐭 = 𝟎 𝒎𝒗 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭 𝝉=𝟎 ൝ 𝑭𝐧𝐞𝐭 = 𝒓ො 𝑭 (radial force) 각운동량의 정의: 기준점 필요 𝑳 = 𝒓 × 𝒑 = 𝒓 × 𝒎𝒗 태양-지구간의 중력 (만유인력): radial force 케플러의 제 2법칙: 각운동량 보존 𝒓 : 기준점(혹은 회전축)에서 질량 𝒎까지의 위치 벡터 각운동량의 크기: 𝑳 = 𝒎𝒗𝒓 sin 𝝓 = 𝒎𝒗𝒍 등속도인 입자의 각운동량은 기준이 정해지면 변하지 않는다. 혤리혜성: 근일점:원일점=1:60 Angular Momentum of a Rigid Body 강체의 각운동량: 강체의 각운동량은 언제 변하는가? 𝒅𝑳 𝒅 = 𝒓𝒊 × 𝒎𝒊 𝒗𝒊 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒊 𝝎 = 𝝎ො𝒛 𝒅𝒓𝒊 𝒅𝒗𝒊 = × 𝒎 𝒊 𝒗𝒊 + 𝒓 𝒊 × 𝒎 𝒊 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒊 = 𝟎 + 𝒓𝒊 × 𝑭𝒊 = 𝝉𝒊,𝐞𝐱𝐭 = 𝝉𝐞𝐱𝐭 𝒊 𝒊 강체에 토크가 작용하면 각운동량이 변화. 𝑳𝒊 = 𝒓𝒊 𝒎𝒊 𝒗𝒊 = 𝒓𝒊 𝒎𝒊 𝒓𝒊 𝝎 = 𝒎𝒊 𝒓𝟐𝒊 𝝎 강체: 𝑳 = σ𝒊 𝑳𝒊 = σ𝒊 𝒎𝒊 𝒓𝟐𝒊 𝝎 = 𝑰𝝎 강체의 각운동량: 𝑳 = 𝑰𝝎 Conservation of Angular Momentum of a rigid body 𝒅𝑳 𝝉𝐞𝐱𝐭 = 𝒓 × 𝑭𝐞𝐱𝐭 = = 𝟎 → 𝑳 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭 𝒅𝒕 외력에 의한 토크가 없으면 강체의 각운동량 보존 𝑳𝟏 = 𝑳𝟐 → 𝑰𝟏 𝝎 𝟏 = 𝑰𝟐 𝝎 𝟐 Conservation of Angular Momentum 𝒅𝑳 𝝉𝐞𝐱𝐭 = 𝒓 × 𝑭𝐞𝐱𝐭 = = 𝟎 → 𝑳 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭 𝒅𝒕 Particle: 𝑳 = 𝒓 × 𝒑 = 𝒓 × 𝒎𝒗 Rigid Body: 𝑳 = 𝑰𝝎 𝑳𝟏 = 𝑳𝟐 → (10.10) 𝐫𝐞𝐯 𝐫𝐚𝐝 𝑻𝟏 = 𝟐. 𝟎 𝐬 → 𝝎𝟏 = 𝟎. 𝟓 =𝝅 𝐬 𝐬 𝑰𝟏 = 𝟑. 𝟎 + 𝟐 𝟓 × 𝟏. 𝟎𝟐 = 𝟏𝟑 𝐤𝐠 ∙ 𝐦𝟐 𝑰𝟐 = 𝟐. 𝟐 + 𝟐 𝟓 × 𝟎. 𝟐𝟐 = 𝟐. 𝟔 𝐤𝐠 ∙ 𝐦𝟐 𝑰𝟏 𝝎 𝟏 = 𝑰𝟐 𝝎 𝟐 𝑰𝟏 𝐫𝐞𝐯 𝝎𝟐 = 𝝎𝟏 = 𝟓𝝎𝟏 = 𝟐. 𝟓 = 𝟓𝝅 𝐫𝐚𝐝/𝐬 𝑰𝟐 𝐬 5 𝐤𝐠 1𝐦 0.2 𝐦 𝟏 𝟏 𝑰𝟏 𝟐 𝑲𝟐 = 𝑰𝟐 𝝎𝟐 = 𝑰𝟐 𝝎 𝟐 𝟐 𝑰𝟐 𝟏 Why increase (𝑲𝟐 =5𝑲𝟏 )? 𝟑. 𝟎 𝐤𝐠 ∙ 𝐦𝟐 𝟐. 𝟐 𝐤𝐠 ∙ 𝐦𝟐 𝟐 𝑰𝟏 = 𝑲𝟏 = 𝟓𝑲𝟏 𝑰𝟐 Examples (10.11) 합친 후의 각속도? (10.12) 𝟐 𝒅 𝑰𝒃 = 𝒎 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟓 𝐤𝐠 ∙ 𝐦𝟐 𝟏 𝑰𝒅 = 𝑴𝒅𝟐 𝟑 = 𝟓. 𝟎 𝐤𝐠 ∙ 𝐦𝟐 (a) 총알이 박힌 직후의 각속도? 𝒅 𝒎𝒗 = 𝟐. 𝟎 𝐤𝐠 ∙ 𝐦𝟐 /𝐬 ቑ → 𝝎 = 𝟎. 𝟒 𝐫𝐚𝐝/𝐬 𝟐 𝑳𝟐 = 𝑰𝒃 + 𝑰𝒅 𝝎 = 𝟓. 𝟎𝟎𝟐𝟓 𝐤𝐠 ∙ 𝐦𝟐 𝝎 𝑳𝟏 = 𝒍𝒎𝒗 = 𝑰𝑨 𝝎 𝑨 + 𝑰𝑩 𝝎 𝑩 = 𝑰𝑨 + 𝑰𝑩 𝝎 𝑰𝑨 𝝎 𝑨 + 𝑰 𝑩 𝝎 𝑩 ∴ 𝝎= 𝑰𝑨 + 𝑰 𝑩 (b) 운동에너지는 보존 되는가? 𝟏 𝑲𝟏 = 𝒎𝒗𝟐 = 𝟖𝟎𝟎 𝐉 𝟐 𝟏 𝑲𝟐 = 𝑰𝒃 + 𝑰𝒑 𝝎𝟐 = 𝟎. 𝟒𝟎 𝐉 𝟐 Gyroscopes and Precession–I 한쪽 끝만 지지되는 자이로스코프: 회전하지 않는 원반의 경우: 떨어지는 동안 L의 방향은 변하지 않음. 세차운동 (precession): 회전하는 원반축의 회전 운동 세차운동의 각속도: 각속도 () 각운동량 (L)과 토크()는 모두 벡터임 Gyroscopes and Precession–II 회전하는 원반의 경우: 세차운동의 각속도: 토크 때문에 L의 방향이 계속 변한다. 𝒅𝑳 =𝝉 𝒅𝒕 = 𝒓 × 𝒎𝒈 𝒅𝑳 = 𝑳 𝒅𝝓 𝒅𝝓 𝒅𝑳/𝑳 𝟏 𝒅𝑳 𝝉 𝒓 𝒎𝒈 𝛀= = = = = 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝑳 𝒅𝒕 𝑳 𝑰𝝎 는 에 반비례한다. Example (10.15) (a) 𝒅𝑳 = 𝝉 → 𝒅𝑳 ∝ 𝝉 𝒅𝒕 원래의 각운동량은 9시 방향 토크(torque, 𝝉)는 12시 방향(=𝒅𝑳 방향) 따라서 각운동량은 시계방향으로 회전한다. (b) 𝒓 𝒎𝒈 𝛀= 𝑰𝝎 𝒓 𝒎𝒈 𝒓 𝒎𝒈 𝝎= = ≈ 𝟐𝟖𝟎 𝐫𝐚𝐝/𝐬 𝟐 𝛀𝑰 𝟐𝝅/𝑻 𝒎𝑹 /𝟐 (a) 세차운동의 회전 방향 (b) 세차운동의 주기가 4초면, = ?
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