Prof. Jeffrey Näf
Alice Scattolin, Dongmei Liu
Mathématiques II
Printemps 2025 – UNIGE – GSEM
Travail Pratique 8
mots clefs: différentielle, hyperplans, dérivée totale
key words: differential, hyperplanes, total derivative
.
Exercice 1. Soit f : R2 \ {0} → R, f (x, y) = x2xy
+y 2
Let f : R2 \ {0} → R, f (x, y) = x2xy
.
+y 2
( 1.a ). Trouver la différentielle de f .
Find the differential of f .
( 1.b ). Appliquer la différentielle de f en (1, 1) à h = (0.1, 0.1). Avons nous une bonne
approximation de f (1 + 0.1, 1 + 0.1) en utilisant la différentielle ?
Apply the differential of f at (1, 1) to h = (0.1, 0.1). Do we have a good approximation of f (1 + 0.1, 1 + 0.1) using the differential ?
( 1.c ). Même question mais au point (0, 1).
Same question but at the point (0, 1).
Exercice 2. Soit f : C → R une fonction de classe C1 , définie sur un sous-ensemble ouvert
C ⊂ Rn . L’hyperplan tangent au graphe de la fonction f au point x∗ ∈ C est donné par
l’équation :
Let f : C → R be a function of class C1 , defined on an open subset C ⊂ Rn . The
tangent hyperplane to the graph of the function f at the point x∗ ∈ C is given by the
equation :
y = f (x∗ ) + Df (x∗ )(x − x∗ )
( 2.a ). Soit la fonction f : R3 → R, f (x1 , x2 , x3 ) = x21 − x22 + 2x23 − x1 x2 + 2x1 x3 .
Déterminer l’hyperplan tangent au graphe de cette fonction aux points suivants :
(0, 0, 0), (0, 1, −1), (−1, 2, 1).
1
Dr. Marta Pittavino
Alice Scattolin, Dongmei Liu
Mathématiques II
Travail Pratique 8
Let the function f : R3 → R be defined as f (x1 , x2 , x3 ) = x21 − x22 + 2x23 − x1 x2 +
2x1 x3 .
Determine the tangent hyperplane to the graph of this function at the following
points :
(0, 0, 0), (0, 1, −1), (−1, 2, 1).
( 2.b ). Même question pour la fonction f : R2 → R, f (x1 , x2 ) = cos x1 sin x2 aux points
(0, 0), ( π2 , π2 ).
Same question for the function f : R2 → R, f (x1 , x2 ) = cos x1 sin x2 at the points
(0, 0), ( π2 , π2 ).
Exercice 3. Soit les fonctions f : R2 → R, f (x, y) = x + 2xy + 4y 3 et ϕ : R → R,
ϕ(x) = exp(ax) pour a > 0 qui définit y = ϕ(x).
(x, ϕ(x)) :
Calculer la dérivée totale de f par rapport à x, c’est à dire calculer df
dx
Let the functions f : R2 → R, f (x, y) = x + 2xy + 4y 3 , and ϕ : R → R, ϕ(x) = exp(ax)
for a > 0 defining y = ϕ(x).
Calculate the total derivative of f with respect to x, i.e., compute df
(x, ϕ(x)) :
dx
( 3.a ). en dérivant h : R → R, définie par h(x) = f (x, ϕ(x)).
by differentiating h : R → R defined by h(x) = f (x, ϕ(x))
.
( 3.b ). directement en utilisant la formule du cours pour la dérivée totale.
directly using the course formula for the total derivative.
Exercice 4. Calculer les dérivées totales dans chaque cas :
Calculate the total derivatives in each case :
( 4.a ). Soit les fonctions f : R3 → R, f (x, y, z) = xy + yz + z − x et ϕ : R \ {0} → R2 ,
ϕ(x) = ( x1 , x2 ) = (y, z).
Let the functions f : R3 → R, f (x, y, z) = xy + yz + z − x, and ϕ : R \ {0} → R2 ,
ϕ(x) = ( x1 , x2 ) = (y, z).
( 4.b ). Soit les fonctions f : R3 → R, f (x, y, z) = x2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz+2yz et ϕ : R2 → R2 ,
ϕ(x, y) = xy = z.
2
Dr. Marta Pittavino
Alice Scattolin, Dongmei Liu
Mathématiques II
Travail Pratique 8
Let the functions f : R3 → R, f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz, and
ϕ : R2 → R2 , ϕ(x, y) = xy = z.
Exercice 5. Soit les fonctions f : R2 → R, f (x, y) = x2 + xy + y 2 , g : R2 → R, g(r, s) =
2r + s = x et h : R2 → R, h(r, s) = r − 2s = y.
(x, y) et df
(x, y).
Calculer les dérivées totales de f par rapport à r et à s : df
dr
ds
Let the functions f : R2 → R, f (x, y) = x2 + xy + y 2 , g : R2 → R, g(r, s) = 2r + s = x,
and h : R2 → R, h(r, s) = r − 2s = y.
(x, y) and df
(x, y).
Calculate the total derivatives of f with respect to r and s : df
dr
ds
Exercice 6. Soit la fonction f1 : R3 → R définie par (p1 , p2 , ω) 7→ f1 (p1 , p2 , ω), avec
ω = ϕ(p1 , p2 ) = αp1 + βp2 ,
où α, β ∈ R sont des constantes. Calculer la dérivée totale de f1 par rapport à p2 :
df1
(p1 , p2 , ω).
dp2
Let the function f1 : R3 → R be defined by (p1 , p2 , ω) 7→ f1 (p1 , p2 , ω), where
ω = ϕ(p1 , p2 ) = αp1 + βp2 ,
where α, β ∈ R are constants. Calculate the total derivative of f1 with respect to p2 :
df1
(p1 , p2 , ω).
dp2
Exercice 7. Soit la fonction f : R3 → R2 , f (x1 , x2 , y) = (y−x1 y+x2 , x1 x22 y) et φ : R2 → R,
y = φ(x1 , x2 ) = ex1 x2 .
dff
Donner la matrice des dérivées totales dx
′ (x, φ(x)).
Let the function f : R3 → R2 be defined as f (x1 , x2 , y) = (y − x1 y + x2 , x1 x22 y), and
φ : R2 → R, y = φ(x1 , x2 ) = ex1 x2 .
dff
Provide the matrix of total derivatives dx
′ (x, φ(x)).
3