O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA
INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
UNIVERSITETI
FAKULTETI
“
” kafedrasi
“Roʼyxatga olindi”
“
“Roʼyxatga olindi”
”
“
”
Fakulteti
“
”
kafedrasi
“
202 yil
”
“
202 yil
”
fanidan
“Kompleks sonlar” mavzusidagi
KURS ISHI
BАJАRDI:
taʼlim yoʼnalishi
- kurs talabasi
ILMIY RАHBАR:
“
”
MUNDARIJA:
KIRISH ............................................................................................................. 3
I. BOB. KOMPLEKS SONLAR NAZARIYASI ............................................ 5
1.1. Kompleks son tushunchasi va uning tarixi………..…..........................
5
1.2. Kompleks sonlarning algebraik, trigonometrik va eksponensial
shakllari……………………………………………………………………
8
1.3. Kompleks sonlarda asosiy amallar va ularning geometrik talqini .............. 11
II. BOB. KOMPLEKS SONLARNING AMALIY QO‘LLANILISHI ....... 15
2.1. Kompleks sonlarning fizika va muhandislikda qo‘llanilishi… .................. 15
2.2. Kompleks sonlarning differensial va integral tenglamalardagi o‘rni ......... 18
2.3. Kompleks sonlar yordamida amaliy masalalar yechish… ......................... 22
XULOSA .......................................................................................................... 25
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI ................................... 27
2
KIRISH
Matematika fanining rivojlanishi davomida turli xil tushunchalar va sonlar
to‘plami kiritilgan bo‘lib, ulardan biri kompleks sonlardir. Kompleks sonlar dastlab
sof matematik qiziqish uchun o‘rganilgan bo‘lsa-da, bugungi kunda ular fizika,
muhandislik, elektronika, kvant mexanikasi va hatto iqtisodiyot kabi ko‘plab
sohalarda keng qo‘llanilmoqda. Kompleks son tushunchasi XVII asrda paydo
bo‘lgan bo‘lib, matematiklar kvadrat ildiz ostida manfiy sonlarning mavjudligini
tushuntirish zaruratidan kelib chiqqan holda bu tushunchani rivojlantirishgan.
Kompleks sonlar haqidagi ilmiy tadqiqotlar Euler, Argand, Gauss kabi
matematiklarning ishlari orqali shakllangan va bugungi kunda ham matematik
analiz, differensial tenglamalar, chiziqli algebra va boshqa ko‘plab sohalarda
ishlatilmoqda. Ushbu kurs ishida kompleks sonlarning asosiy xususiyatlari, ularning
algebraik, trigonometrik va eksponensial shakllari, shuningdek, muhandislik va
fizikadagi qo‘llanilishi o‘rganiladi.
Kurs ishining dolzarbligi - matematikaning rivojlanishi davomida yangi
tushunchalar paydo bo‘lib, ular nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy jihatdan ham
katta ahamiyat kasb etgan. Kompleks sonlar tushunchasi ham shunday matematik
tushunchalardan biri bo‘lib, uning dolzarbligi bugungi kunda juda yuqori.
Zamonaviy ilm-fan va texnologiyaning turli sohalarida, jumladan, elektrotexnika,
kvant fizika, aerodinamika, iqtisodiyot va informatika sohalarida kompleks sonlar
keng qo‘llanilmoqda. Elektr tarmoqlaridagi tok va kuchlanishni hisoblash, tebranish
jarayonlarini modellashtirish, to‘lqinlar nazariyasi va boshqalar kompleks sonlarsiz
tasavvur etib bo‘lmaydi.
Shuningdek, kompleks sonlar matematik analiz, differensial tenglamalar va
funksional analiz kabi fanlarning rivojlanishiga katta hissa qo‘shgan. Shu sababli,
kompleks sonlarni o‘rganish nafaqat matematik nuqtayi nazardan, balki ularning
real hayotdagi qo‘llanilish jihatidan ham dolzarb masala hisoblanadi.
Kurs ishining obyekti - ushbu kurs ishining obyekti kompleks sonlarning
nazariy asoslari va ularning qo‘llanilish doirasidir. Kompleks sonlarning algebraik,
trigonometrik va eksponensial shakllari, ularning fizik va muhandislik fanlarida
3
qo‘llanilishi, shuningdek, real hayotdagi masalalarni yechishda tutgan o‘rni asosiy
o‘rganilayotgan obyekt hisoblanadi.
Kurs ishining predmeti - kurs ishining predmeti kompleks sonlar
to‘plamining asosiy xususiyatlari, ular ustida bajariladigan amallar, kompleks
sonlarning turli matematik modellar bilan bog‘liqligi va ularning turli sohalarda
tatbiq etilishidan iborat.
Kurs ishining maqsadi – kompleks sonlarning nazariy asoslarini o‘rganish,
ularning matematik tahlildagi ahamiyatini ochib berish va real hayotdagi
qo‘llanilishini ko‘rsatishdan iborat. Shuningdek, bu mavzu bo‘yicha mustahkam
bilim va tushunchaga ega bo‘lish orqali kompleks sonlarning turli xil fanlar bilan
bog‘liqligini aniqlash ham kurs ishining muhim maqsadlaridan biridir.
Ushbu maqsadga erishish uchun quyidagi vazifalar belgilangan:
 Kompleks son tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanish tarixini
o‘rganish;
 Kompleks sonlarning algebraik, trigonometrik va eksponensial shakllarini
tahlil qilish;
 Kompleks sonlarda asosiy amallar va ularning geometrik talqinini
tushuntirish;
 Kompleks sonlarning fizika, muhandislik va boshqa ilmiy sohalardagi
qo‘llanilishini o‘rganish;
 Kompleks sonlar yordamida real hayotda duch kelinadigan amaliy
masalalarni yechish.
Kurs ishining tuzilishi - kurs ishi kirish, ikki asosiy bob, xulosa va foydalanilgan
adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.
4
I. BOB. KOMPLEKS SONLAR NAZARIYASI
1.1. Kompleks son tushunchasi va uning tarixi
Matematikada son tushunchasi turli davrlarda kengayib, rivojlanib kelgan.
Dastlab, odamlar faqat natural sonlar bilan ishlagan, keyinchalik esa butun sonlar,
ratsional sonlar, irratsional sonlar va haqiqiy sonlar tushunchasi shakllangan. Ammo
matematikada ayrim masalalarni yechishda faqat haqiqiy sonlar yetarli emasligi
ma’lum bo‘ldi. Ayniqsa, kvadrat tenglamalarning ayrim hollarda haqiqiy ildizlarga
ega emasligi muammosi paydo bo‘ldi. Masalan,
x² + 1 = 0
tenglamasining haqiqiy sonlar to‘plamida yechimga ega emasligi aniq edi,
chunki har qanday haqiqiy sonning kvadrati manfiy bo‘lolmaydi. Shu sababli
matematiklar yangi turdagi sonlar — kompleks sonlar tushunchasini kiritishga
majbur bo‘lishdi.
Kompleks sonlarning umumiy ko‘rinishi quyidagicha yoziladi:
z = a + bi
Bu yerda a va b haqiqiy sonlar bo‘lib, a kompleks sonning haqiqiy qismi, b
esa mavhum qismi deb ataladi. Bu yerda i maxsus birlik bo‘lib, u quyidagi tenglik
orqali aniqlanadi:
i² = -1
Mavhum birlik tushunchasi dastlab qabul qilinishi qiyin bo‘lgan, chunki hech
bir haqiqiy son kvadratga ko‘tarilganda manfiy bo‘lolmaydi. Biroq matematik
tahlillar va turli muammolarni yechishda kompleks sonlar samarali vosita ekani
isbotlandi.
Kompleks sonlarning tarixiga nazar tashlasak, ularning kelib chiqishi asosan
kvadrat tenglamalar bilan bog‘liq ekanini ko‘rishimiz mumkin. Qadimgi yunon
matematiklari va Hindistonlik olimlar kvadrat tenglamalarni yechish usullarini
o‘rgangan bo‘lsa ham, ular faqat musbat ildizlarga e’tibor berishgan. Chunki
qadimgi matematik tushunchalarda manfiy sonlarning o‘zi ham qabul qilinmagan
edi. Manfiy sonlarni keng qo‘llash faqat keyingi davrlarda paydo bo‘ldi.
5
16-asrda Italiya matematiklari kompleks sonlar tushunchasini rivojlantirishga
o‘z hissalarini qo‘shdilar. 1545-yilda Jeronimo Kardano "Ars Magna" nomli
kitobida uchinchi darajali algebraik tenglamalarni yechish usullarini taqdim etdi. U
ayrim hollarda kvadrat ildiz ostida manfiy sonlar hosil bo‘lishi mumkinligini
ko‘rsatdi, lekin bu sonlarning aniq ma’nosi haqida to‘liq tushuncha bermadi. Biroq
Rafael Bombelli 1572-yilda kompleks sonlar bilan bog‘liq ishlari orqali mavhum
birlikni tushuntirishga harakat qildi va uni matematik hisob-kitoblarda qo‘llash
mumkinligini isbotladi.
18-asrga kelib kompleks sonlar yanada aniqroq matematik asosga ega bo‘ldi.
Buyuk matematik Leonhard Euler kompleks sonlarni tahlil qilib, ularni
trigonometrik va eksponensial funksiyalar bilan bog‘ladi. Uning mashhur formulasi:
e(iπ) + 1 = 0
kompleks sonlarning chuqur matematik mohiyatini ochib berdi. Euler,
shuningdek, kompleks sonlar algebraik va analitik geometriyada qanday ishlatilishi
mumkinligini ham ko‘rsatib berdi.
19-asrda Karl Fridrix Gauss kompleks sonlar uchun geometrik modelni ishlab
chiqdi va ularni tekislikda tasvirlashni taklif qildi. U kompleks sonlarni koordinata
tekisligida nuqta sifatida tasvirlash mumkinligini ko‘rsatdi. Masalan, z = a + bi
kompleks soni tekislikda (a, b) nuqta bilan ifodalanadi. Ushbu yondashuv kompleks
sonlar bilan ishlashni yanada osonlashtirdi va ularning tushunarli bo‘lishiga hissa
qo‘shdi.
Bugungi kunda kompleks sonlar matematik analiz, fizika, elektrotexnika,
kvant mexanikasi, signalni qayta ishlash va boshqa ko‘plab sohalarda
qo‘llanilmoqda. Elektr muhandisligida elektr toki kompleks sonlar yordamida
ifodalanadi, bu esa faza burchaklarini hisoblashni osonlashtiradi. Signal va
tasvirlarni qayta ishlash sohasida esa Fourier tahlilida kompleks sonlar keng
qo‘llanadi. Differensial tenglamalarni yechishda ham kompleks sonlar muhim
ahamiyatga ega. Masalan, fizikada to‘lqin tenglamalarini yechishda kompleks
eksponensial funksiyalar ishlatiladi.
6
Kompleks sonlar tushunchasi matematikada fundamental ahamiyat kasb
etadi. Ularning rivojlanishi ilm-fan va texnologiyaning ko‘plab sohalarida muhim
yangiliklarni yaratishga xizmat qilgan. Shu sababli, kompleks sonlarni chuqur
o‘rganish nafaqat nazariy ahamiyatga, balki amaliy jihatdan ham katta foyda
keltiradi. Bugungi kunda kompleks sonlarsiz ko‘plab ilmiy va texnologik yutuqlarni
tasavvur qilish qiyin. Shu boisdan kompleks sonlarni matematik asoslarini, ularning
tarixiy rivojlanishini va amaliy qo‘llanish doiralarini o‘rganish muhim ahamiyatga
ega.
Shuningdek, kompleks sonlar zamonaviy hisoblash texnologiyalarida ham
muhim rol o‘ynaydi. Masalan, sun’iy intellekt, mashinaviy o‘rganish va kvant
hisoblash kabi ilg‘or texnologiyalarda kompleks sonlar bilan ishlovchi algoritmlar
qo‘llaniladi. Ayniqsa, kvant mexanikasida to‘lqin funksiyalari kompleks
amplitudalar bilan ifodalanadi, bu esa kvant hisoblashning nazariy asoslaridan biri
hisoblanadi.
Bundan
tashqari,
kompleks
sonlar
yordamida
dinamik
tizimlarni
modellashtirish va tahlil qilish mumkin. Fizika va muhandislik sohalarida murakkab
muhitdagi jarayonlarni, masalan, suyuqliklar harakatini, elektromagnit to‘lqinlar
tarqalishini va elektr zanjirlarining ishlashini o‘rganishda kompleks sonlar keng
qo‘llaniladi.
Shuni alohida ta’kidlash kerakki, kompleks sonlar faqat abstrakt matematik
tushuncha bo‘lib qolmay, balki kundalik hayotimizning turli jabhalarida,
muhandislikda, iqtisodiyotda va texnologiyada ham beqiyos ahamiyatga ega. Shu
sababli, ularni o‘rganish nafaqat matematik bilimlarimizni boyitadi, balki ilmiytexnik taraqqiyotga yanada chuqurroq tushuncha hosil qilishga yordam beradi.
7
1.2. Kompleks sonlarning algebraik, trigonometrik va eksponensial
shakllari
Kompleks sonlar matematik analiz, muhandislik va fizika sohalarida keng
qo‘llaniladi. Ularni turli shakllarda ifodalash mumkin bo‘lib, har bir shakl muayyan
matematik operatsiyalarni soddalashtirish yoki ularni geometrik jihatdan
tushunishni osonlashtirish uchun ishlatiladi. Kompleks sonlarning uchta asosiy
shakli mavjud: algebraik shakl, trigonometrik shakl va eksponensial shakl.
Kompleks sonlarning eng oddiy va eng ko‘p qo‘llaniladigan shakli algebraik
shakl bo‘lib, u quyidagicha ifodalanadi:
z = a + bi.
Bu yerda a – kompleks sonning haqiqiy qismi, b – kompleks sonning mavhum
qismi, i – mavhum birlik bo‘lib, i² = -1 shartini qanoatlantiradi. Ikki kompleks sonni
qo‘shish yoki ayirish uchun ularning haqiqiy qismlari va mavhum qismlari alohidaalohida qo‘shiladi yoki ayiriladi:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i va (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b
- d)i.
Masalan, (3 + 4i) + (2 - 5i) = (3 + 2) + (4 - 5)i = 5 - i.
Ikki kompleks sonni ko‘paytirishda distributiv qonuni qo‘llaniladi:
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi².
Chunki i² = -1, shuning uchun
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.
Masalan, (3 + 2i)(1 + 4i) = (3 × 1 - 2 × 4) + (3 × 4 + 2 × 1)i = (3 - 8) + (12 +
2)i = -5 + 14i. Ikki kompleks sonni bo‘lish uchun kasrni haqiqiy songa keltirish
maqsadida maxrajga shu sonning kompleks juftini ko‘paytirish kerak:
(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)].
Chunki maxrajda quyidagi ifoda hosil bo‘ladi:
c² + d².
8
Masalan, (3 + 2i) / (1 - i) ni hisoblaymiz. Maxrajga kompleks juftni ko‘paytiramiz:
[(3 + 2i)(1 + i)] / [(1 - i)(1 + i)].
Yuqoridagi amallar natijasida [(3 + 2i + 3i + 2i²)] / (1² - i²) = [(3 + 2 + 5i)] / 2 = 5/2
+ (5/2)i. Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalash uchun ularni qutb
koordinatalarida tasvirlash lozim. Kompleks sonni tekislikda radius vektor sifatida
qarab, uni quyidagicha ifodalash mumkin:
z = r (cos θ + i sin θ).
Bu yerda r – kompleks sonning moduli (uzunligi) bo‘lib, u
r = √(a² + b²)
orqali hisoblanadi, θ esa kompleks sonning argumenti (burchagi) bo‘lib,
θ = arctan (b/a)
orqali topiladi. Masalan, kompleks son z = 1 + i uchun r = √(1² + 1²) = √2 va θ =
arctan (1/1) = 45°. Shunday qilib, trigonometrik shakl z = √2 (cos 45° + i sin 45°)
ko‘rinishida bo‘ladi.
Euler formulasi asosida kompleks sonning trigonometrik shakli eksponensial
shaklda ifodalansa, quyidagicha yoziladi:
z = r e^(iθ).
Bu yerda
e(iθ) = cos θ + i sin θ
ekanligi bilan ifodalanadi. Masalan, yuqorida ko‘rib chiqilgan z = 1 + i
kompleks son uchun z = √2 e(iπ/4) shaklida yoziladi. Eksponensial shakl odatda
kompleks sonlarni ko‘paytirish, bo‘lish va darajaga oshirishda qulaylik yaratadi.
Agar z₁ = r₁ e(iθ₁) va z₂ = r₂ e(iθ₂) bo‘lsa, u holda ularni ko‘paytirish va bo‘lish
quyidagicha yoziladi:
z₁ × z₂ = r₁ r₂ e(i(θ₁ + θ₂)) va z₁ / z₂ = (r₁ / r₂) e(i(θ₁ - θ₂)).
Masalan, (2 e(iπ/3)) × (3 e(iπ/6)) = 6 e(i(π/3 + π/6)) = 6 e(iπ/2). Ushbu shakl ayniqsa
kompleks sonlarni darajaga oshirishda De Moivre formulasi uchun juda foydalidir.
Kompleks sonlarni uch xil shaklda ifodalash mumkin. Algebraik shakl eng
oddiy ifoda bo‘lib, z = a + bi ko‘rinishida yoziladi. Trigonometrik shakl esa qutb
9
koordinatalarida tasvirlash uchun qulay bo‘lib, z = r (cos θ + i sin θ) shaklida
yoziladi. Eksponensial shakl esa Euler formulasi asosida z = r e^(iθ) ko‘rinishida
yozilib, matematik operatsiyalarni osonlashtiradi. Har bir shakl o‘ziga xos amaliy va
nazariy qo‘llanilish xususiyatiga ega bo‘lib, matematik va fizik hisob-kitoblarda
muhim o‘rin tutadi.
Kompleks sonlarning turli shakllari o‘rtasidagi bog‘liqlik ularning
qo‘llanilish doirasini kengaytiradi, chunki algebraik shakl oddiy arifmetik amallar
uchun qulay bo‘lsa, trigonometrik va eksponensial shakllar esa murakkab matematik
hisob-kitoblarda, ayniqsa, to‘lqin jarayonlari, signal ishlov berish va kvant
mexanikasida katta ahamiyatga ega bo‘ladi1.
Shuningdek, kompleks sonlarning ushbu uch xil shakli real hayotdagi turli
sohalarda qo‘llaniladi. Masalan, muhandislik va fizika fanlarida elektr zanjirlarini
tahlil qilishda kompleks sonlarning eksponensial shakli keng qo‘llaniladi, chunki
sinusoidal signallar e(iθ) ifodasi orqali soddalashtiriladi. Kompleks sonlarning
eksponensial shakli Fourier tahlili va signalni qayta ishlash kabi sohalarda juda
muhim rol o‘ynaydi, chunki sinusoidal va kosinusoidal funksiyalarni ifodalash
hamda ularni tahlil qilish jarayonida e(iθ) ifodasi tufayli hisob-kitoblar ancha
soddalashtiriladi2. Shuningdek, aerodinamika va suyuqlik dinamikasida kompleks
sonlar suyuqliklarning harakatini modellashtirishda qo‘llanadi. Shunday qilib,
kompleks sonlarning algebraik, trigonometrik va eksponensial shakllari nafaqat
nazariy matematikada, balki amaliy fanlar va muhandislik sohalarida ham muhim
ahamiyatga ega bo‘lib, ular murakkab masalalarni yechishda qulay va samarali
vosita hisoblanadi.
1
2
Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning.
Oppenheim, A. V., & Willsky, A. S. (1997). Signals and Systems. Prentice Hall.
10
1.3. Kompleks sonlarda asosiy amallar va ularning geometrik talqini
Kompleks sonlar matematik analiz, fizika va muhandislik sohalarida keng
qo‘llaniladi. Ularni ifodalashning uch xil asosiy usuli mavjud: algebraik shakl,
trigonometrik shakl va eksponensial shakl. Har bir shakl o‘zining qulayligi va
amaliy qo‘llanilish sohalariga ega. Kompleks sonlarning eng oddiy ifodalanish
shakli algebraik shakl bo‘lib, u z = a + bi ko‘rinishda yoziladi. Bu yerda a kompleks
sonning haqiqiy qismi, b esa mavhum qismi bo‘lib, i mavhum birlik hisoblanadi va
i² = -1 tenglikni qanoatlantiradi. Kompleks sonlar ustida qo‘shish, ayirish,
ko‘paytirish va bo‘lish kabi arifmetik amallar bajarish mumkin. Ikki kompleks sonni
qo‘shish yoki ayirish uchun ularning haqiqiy qismlari va mavhum qismlari alohidaalohida qo‘shiladi yoki ayiriladi. Masalan, (3 + 4i) + (2 - 5i) = 5 - i tenglikka ega
bo‘ladi. Kompleks sonlarni ko‘paytirishda distributiv qonuni qo‘llaniladi:
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi².
Chunki i² = -1, shuning uchun
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
shaklida yoziladi. Masalan, (3 + 2i)(1 + 4i) = (3 * 1 - 2 * 4) + (3 * 4 + 2 * 1)i = -5 +
14i. Kompleks sonlarni bo‘lish uchun kasrni haqiqiy songa keltirish maqsadida
maxrajga shu sonning kompleks juftini ko‘paytirish kerak. Masalan, (3 + 2i) / (1 - i)
ifodani hisoblash uchun maxrajga kompleks juftni ko‘paytiramiz:
[(3 + 2i)(1 + i)] / [(1 - i)(1 + i)].
Hisob-kitoblarni bajaramiz:
[(3 + 2i + 3i + 2i²)] / (1² - i²) = [(3 + 2 + 5i)] / (1 + 1) = (5 + 5i) / 2,
shunday qilib natija 5/2 + (5/2)i shaklida bo‘ladi.
Kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ifodalash uchun ularni qutb
koordinatalarida tasvirlash lozim. Kompleks sonni tekislikda radius vektor sifatida
qarab, uni
z = r (cos θ + i sin θ)
shaklida ifodalash mumkin. Bu yerda
r = sqrt(a² + b²)
11
kompleks sonning moduli (uzunligi),
θ = tan⁻¹ (b / a)
esa kompleks sonning argumenti (burchak) hisoblanadi. Masalan, z = 1 + i
kompleks son uchun
r = sqrt(1² + 1²) = sqrt(2), θ = tan⁻¹ (1 / 1) = 45°,
shunday qilib trigonometrik shakl
z = sqrt(2) (cos 45° + i sin 45°)
bo‘ladi. Kompleks sonlarning trigonometrik shakli ko‘paytirish, bo‘lish va darajaga
oshirish amallarini bajarishda juda qulaydir. Agar
z₁ = r₁ (cos θ₁ + i sin θ₁) va z₂ = r₂ (cos θ₂ + i sin θ₂)
bo‘lsa, ularning ko‘paytmasi
r₁ * r₂ (cos (θ₁ + θ₂) + i sin (θ₁ + θ₂))
shaklida yoziladi. Masalan,
(2 (cos 30° + i sin 30°)) * (3 (cos 60° + i sin 60°)) = 6 (cos 90° + i sin 90°)
tenglikka ega bo‘ladi.
Kompleks sonlarning trigonometrik shakli eksponensial shakl orqali yanada
sodda ifodalanadi. Euler formulasi asosida kompleks sonning trigonometrik shakli
z = r e(iθ)
shaklida yozilishi mumkin. Bu yerda
e(iθ) = cos θ + i sin θ
formulasi qo‘llaniladi. Masalan, yuqorida ko‘rib chiqilgan z = 1 + i kompleks son
uchun
z = sqrt(2) e(i π/4)
ifoda hosil bo‘ladi. Eksponensial shakl odatda kompleks sonlarni ko‘paytirish,
bo‘lish va darajaga oshirishda qulaylik yaratadi. Agar
z₁ = r₁ e(iθ₁) va z₂ = r₂ e(iθ₂)
bo‘lsa, ularning ko‘paytmasi
z₁ * z₂ = r₁ * r₂ e(i(θ₁ + θ₂))
va bo‘linmasi
z₁ / z₂ = (r₁ / r₂) e(i(θ₁ - θ₂))
12
shaklida yoziladi. Masalan,
(2 e(i π/3)) * (3 e(i π/6)) = 6 e(i(π/3 + π/6)) = 6 e(i π/2).
Bu shakl ayniqsa kompleks sonlarni darajaga oshirishda De Moivre formulasida
ishlatiladi. De Moivre formulasiga ko‘ra, kompleks sonning n-darajasini topish
uchun quyidagi formula qo‘llaniladi:
(r e(iθ))ⁿ = rⁿ e(i nθ).
Masalan, (2 e(i π/4))³ = 8 e(i 3π/4).
Shu tarzda eksponensial shakl trigonometriya va algebraik shaklga qaraganda
matematik operatsiyalarni ancha osonlashtiradi.
Umuman olganda, kompleks sonlarni uch xil shaklda ifodalash mumkin:
algebraik shakl
z = a + bi
ko‘rinishida bo‘lib, eng sodda ifodadir; trigonometrik shakl
z = r (cos θ + i sin θ)
orqali ifodalanib, qutb koordinatalarida tasvirlash uchun qulay bo‘ladi; eksponensial
shakl
z = r e(iθ)
ko‘rinishida yozilib, matematik operatsiyalarni yanada sodda va samarali bajarish
imkonini beradi. Har bir shakl o‘ziga xos amaliy va nazariy qo‘llanilish xususiyatiga
ega bo‘lib, matematik va fizik hisob-kitoblarda muhim o‘rin tutadi.
Shuningdek, kompleks sonlarning ushbu uch xil shakli nafaqat matematik
analiz va algebra, balki muhandislik va fizikaning ko‘plab sohalarida ham
qo‘llaniladi. Masalan, elektr muhandisligida tok va kuchlanish fazorlarini ifodalash
uchun eksponensial shakl juda qulay, chunki sinus va kosinus funksiyalarini oddiy
ko‘paytirish amali orqali hisoblash imkonini beradi. Shuningdek, kvant mexanikasi,
signal ishlov berish va boshqaruv tizimlarida ham kompleks sonlar fundamental
ahamiyatga ega.
Bundan tashqari, kompleks sonlarning algebraik, trigonometrik va
eksponensial shakllari o‘zaro chuqur bog‘liq bo‘lib, ularning har biri muayyan
matematik muammolarni hal qilishda o‘ziga xos afzalliklarga ega. Masalan,
13
algebraik shakl oddiy arifmetik amallarni bajarishda qulay bo‘lsa, trigonometrik
shakl aylanishlar va murakkab ko‘paytmalar uchun qo‘llaniladi, eksponensial shakl
esa differensial tenglamalar va chastota tahlillarida juda qulay hisoblanadi. Ayniqsa,
Furye analizida kompleks eksponensial funksiyalardan foydalanish har qanday
davriy funksiyani individual chastotalarga ajratishga imkon beradi. Shuningdek,
kompleks sonlar kvant hisoblash, kriptografiya va sun’iy intellekt algoritmlarida
ham keng qo‘llanilib, zamonaviy texnologiyalar rivojida muhim o‘rin tutadi. Shu
sababli, kompleks sonlarning har xil shakllarini o‘rganish nafaqat nazariy
matematika, balki amaliy fan va texnologiyalarda ham dolzarb ahamiyat kasb etadi.
Bundan tashqari, kompleks sonlar matematik model yaratishda va turli fizik
hodisalarni tushuntirishda muhim rol o‘ynaydi. Masalan, aerodinamika va
gidrodinamika sohalarida kompleks tahlil usullari yordamida suyuqlik va gaz
oqimlarini modellashtirish mumkin. Shuningdek, optika va elektromagnit to‘lqinlar
nazariyasida kompleks sonlarning eksponensial shakli yorug‘likning interferensiya
va diffraksiya hodisalarini ifodalashda ishlatiladi. Zamonaviy kvant mexanikasida
esa to‘lqin funksiyalarining tavsifi kompleks sonlar yordamida beriladi, bu esa
ehtimollik amplitudalarini hisoblash imkonini beradi.
Axborot texnologiyalari sohasida ham kompleks sonlarning ahamiyati katta.
Masalan, raqamli signal ishlov berish tizimlarida audio va video siqish
algoritmlarida kompleks sonlar asosida Fourier va Laplas transformatsiyalari
qo‘llaniladi.
Bundan
tashqari,
sun’iy
intellekt
va
neyron
tarmoqlarda
optimallashtirish muammolarini hal qilishda ham kompleks analiz usullaridan
foydalaniladi. Shunday qilib, kompleks sonlarning turli shakllarini o‘zlashtirish
nafaqat nazariy bilimlarni mustahkamlash, balki ularni real hayotdagi texnologik
muammolarni yechishda qo‘llash imkonini beradi.
14
II. BOB. KOMPLEKS SONLARNING AMALIY QO‘LLANILISHI
2.1. Kompleks sonlarning fizika va muhandislikda qo‘llanilishi
Kompleks sonlar nafaqat matematikaning nazariy qismi, balki fizika va
muhandislik sohalarida ham keng qo‘llaniladi. Ayniqsa, elektr muhandisligi, kvant
mexanikasi, tebranishlar nazariyasi va signal ishlash tizimlarida kompleks sonlar
hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtiradi. Ularning asosiy afzalligi
shundaki, ular trigonometrik va eksponensial funksiyalar bilan chambarchas bog‘liq
bo‘lib, bu ko‘plab fizik jarayonlarni tushuntirish va modellashtirishda juda qulay
matematik vosita hisoblanadi. Kompleks sonlarning qo‘llanilishiga eng yaqqol
misollardan biri elektr muhandisligidir. Almashtirma tok zanjirlarini tahlil qilishda
kuchlanish va tok trigonometrik funksiyalar shaklida o‘zgaruvchi kattaliklar
bo‘lgani uchun ularni kompleks sonlar yordamida ifodalash ancha qulay. Elektr
zanjirlarida kompleks impedans tushunchasi kiritilib, bu kattalik elektr zanjirining
umumiy qarshiligini ifodalaydi. Kompleks impedans quyidagicha ifodalanadi:
Z = R + jX
Bu yerda R – aktiv qarshilik,
X – reaktiv qarshilik (induktor yoki kondensator ta’siri),
j esa kompleks birlik bo‘lib, j² = -1 shartni qanoatlantiradi. Ohm qonuni
almashtirma tok uchun kompleks shaklda quyidagicha yoziladi:
V = IZ
Bu formuladan foydalangan holda, elektr zanjirining barcha parametrlarini
hisoblash ancha osonlashadi. Masalan, agar zanjirning aktiv qarshiligi 10 Ω va
induktiv reaktiv qarshiligi 5 Ω bo‘lsa, umumiy impedans Z = 10 + j5 ko‘rinishida
ifodalanadi. Agar zanjirga 100V kuchlanish berilsa, tok I = 100 / (10 + j5) shaklida
topiladi. Bu usul elektr muhandisligida almashtirma tok tizimlarini oson va aniq
tahlil qilish imkonini beradi.
Kompleks sonlar kvant mexanikasida ham juda katta ahamiyatga ega. Kvant
mexanikasining asosiy tenglamasi bo‘lgan Shredinger tenglamasi to‘lqin
15
funksiyasini
kompleks
miqdor sifatida ifodalaydi. Shredinger
tenglamasi
quyidagicha beriladi:
iħ (∂ψ / ∂t) = Ĥψ
Bu yerda ħ – Plank doimiysi,
Ĥ – Hamiltonian operator,
ψ(x,t) esa zarrachaning to‘lqin funksiyasidir.
Kompleks to‘lqin funksiyalari kvant mexanikadagi ehtimollik amplitudalarini
ifodalashda qo‘llaniladi. To‘lqin funksiyasining moduli kvadrati, ya’ni |ψ(x,t)|²,
zarrachaning fazodagi ehtimollik zichligini ifodalaydi. Masalan, agar zarracha kvant
qudug‘ida harakat qilayotgan bo‘lsa, uning to‘lqin funksiyasi ψ(x) = A e^(ikx)
shaklida bo‘lishi mumkin. Bu yerda k to‘lqin soni bo‘lib, zarracha impulsiga bog‘liq.
Kompleks sonlarning yana bir muhim qo‘llanilish sohasi tebranishlar va
to‘lqinlar nazariyasidir. Tebranishlar differensial tenglamalar orqali tasvirlanadi.
Oddiy garmonik tebranish klassik fizikada x(t) = A cos(ωt + φ) shaklida yoziladi.
Kompleks sonlardan foydalangan holda esa bu harakat ancha soddaroq ifodalanishi
mumkin:
x(t) = A e^(j(ωt + φ))
Bu shakl garmonik tebranishlarni tahlil qilish va hisoblashni sezilarli darajada
yengillashtiradi. Masalan, agar osilatorning burchak chastotasi 10 rad/s va
amplitudasi 5 bo‘lsa, uning harakati kompleks eksponensial funksiyalar yordamida
ifodalanadi:
x(t) = 5 e(j(10t + π/4))
Bu usul fizik jarayonlarni yanada qulay va aniq tushuntirish imkonini beradi.
Signal va tizimlar nazariyasida ham kompleks sonlar juda muhim ahamiyatga
ega. Masalan, Fourier va Laplas transformatsiyalarida signalni chastota sohasida
tahlil qilish uchun kompleks sonlardan foydalaniladi. Fourier transformasi
quyidagicha ifodalanadi:
X(f) = ∫ x(t) e(-j2πft) dt
16
Bu ifoda signalni uning chastota komponentalariga ajratish imkonini beradi.
Laplas transformasi esa tizimlarning dinamik xususiyatlarini tahlil qilish uchun
ishlatiladi va quyidagicha beriladi:
X(s) = ∫ x(t) e(-st) dt
Agar signal x(t) = e^(-t) bo‘lsa, uning Laplas transformasi quyidagi shaklga
ega bo‘ladi:
X(s) = 1 / (s+1)
Bu usullar tizimlarning turg‘unligini tahlil qilish va ularning javob
funksiyasini hisoblashda keng qo‘llaniladi.
Kompleks sonlar fizik va muhandislik fanlarida muhim rol o‘ynaydi. Ular
elektr zanjirlarida, kvant mexanikada, to‘lqin jarayonlarida, tebranish tizimlarida va
signal ishlash tizimlarida qo‘llaniladi. Ularning algebraik soddaligi va trigonometrik
funksiyalar bilan bog‘liqligi sababli ko‘plab jarayonlarni samarali modellashtirish
mumkin. Shu sababli, kompleks sonlarning nazariy asoslarini chuqur o‘rganish
nafaqat matematik nuqtayi nazardan, balki amaliy jihatdan ham juda muhimdir.
Kompleks sonlarning qo‘llanilishi nafaqat yuqorida sanab o‘tilgan sohalar
bilan cheklanib qolmaydi, balki zamonaviy texnologiyalarning rivojlanishi bilan
yanada kengayib bormoqda. Masalan, sun’iy intellekt va mashinaviy o‘rganish
sohalarida signal va tasvirlarni qayta ishlashda kompleks sonlar ishlatiladi. Raqamli
aloqa tizimlarida, ayniqsa, mobil aloqa va Wi-Fi texnologiyalarida signallar
kompleks amplituda-modulyatsiya (QAM) va ortogonal chastota bo‘yicha
multiplekslash (OFDM) usullari orqali kodlanadi, bu esa yuqori sifatli va samarali
axborot uzatishni ta’minlaydi.
Bundan tashqari, optik va kvant hisoblash sohalarida ham kompleks sonlar
fundamental ahamiyat kasb etadi. Optik to‘lqinlarning interferensiyasi va
difraksiyasini tahlil qilishda kompleks sonlar yordamida yorug‘likning fazasi va
amplitudasi aniq modellashtiriladi. Shuningdek, kvant hisoblash tizimlarida kvant
bitlari (qubitlar) holati kompleks sonlar orqali ifodalanib, kvant algoritmlarining
ishlash tamoyillarini belgilaydi.
17
2.2. Kompleks sonlarning differensial va integral tenglamalardagi
o‘rni
Kompleks sonlar matematik analiz, fizika, elektrotexnika, kvant mexanikasi
kabi ko‘plab sohalarda keng qo‘llaniladi. Ularning differensial va integral
tenglamalar bilan bog‘liqligi esa ayniqsa muhim ahamiyatga ega. Differensial
tenglamalar turli tabiiy va texnik jarayonlarni ifodalovchi asosiy vositalardan biri
bo‘lib, kompleks sonlar ushbu tenglamalarning analitik yechimlarini topish,
yechimlarning xossalarini aniqlash va ularni fizik ma’noda izohlashda katta yordam
beradi. Kompleks sonlar yordamida differensial tenglamalarning trigonometrik yoki
eksponensial shaklda ifodalangan yechimlari kompakt shaklda yozilishi mumkin.
Bu esa hisob-kitoblarni soddalashtirib, murakkab hisoblash jarayonlarini
osonlashtiradi.
Kompleks sonlarning differensial tenglamalarda qo‘llanilishining eng muhim
jihatlaridan biri bu kompleks eksponensial funksiyalar orqali yechimlarni
ifodalashdir. Ma’lumki, Euler formulasiga ko‘ra
e(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)
ifodasi mavjud bo‘lib, u trigonometrik funksiyalar va eksponensial
funksiyalar orasidagi bog‘liqlikni ko‘rsatadi. Differensial tenglamalarni yechishda
ko‘pincha ushbu bog‘liqlikdan foydalaniladi. Masalan,
y'' + ω2 y = 0
shaklidagi oddiy chiziqli differensial tenglamani ko‘rib chiqamiz. Bu tenglama
harmonik tebranishlarni ifodalovchi asosiy modellaridan biri bo‘lib, fizikada keng
qo‘llaniladi. Agar yechimni
y = e(iωt)
ko‘rinishida qabul qilsak, u holda
y' = iω e(iωt) va y'' = -ω2 e(iωt)
bo‘ladi. Bu natijalarni tenglamaga qo‘yib,
-ω2 e(iωt) + ω2 e(iωt) = 0
18
ekanligini ko‘rish mumkin. Demak, yechimni kompleks eksponensial shaklda qabul
qilish orqali hisoblashlarni soddalashtirish va umumiy natijani aniqlash osonlashadi.
Bundan tashqari, ushbu yechim Euler formulasi orqali
y(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt)
shaklida ifodalanadi, bu esa differensial tenglamalarni trigonometrik funksiya
ko‘rinishida tahlil qilish imkonini beradi.
Integral tenglamalar esa differensial tenglamalar bilan chambarchas bog‘liq
bo‘lib, ko‘p hollarda murakkab fizik jarayonlarning yechimlarini topishda
ishlatiladi. Kompleks sonlar integral tenglamalarning yechimlarini topishda ham
qulaylik yaratadi. Bunda eng ko‘p ishlatiladigan usullardan biri Laplas
transformasidir. Laplas transformasi orqali differensial tenglamalar algebraik
tenglamalarga keltiriladi va ularni yechish ancha osonlashadi. Laplas transformasi
quyidagi formula orqali aniqlanadi:
F(s) = ∫[0, ∞] f(t) e(-st) dt.
Agar funksiyalar kompleks argumentga ega bo‘lsa, transformalar kompleks
tekislikda ancha qulay ishlaydi. Masalan,
y' + ay = f(t)
shaklidagi differensial tenglamani Laplas transformasi yordamida yechishga harakat
qilamiz. Laplas transformasi qo‘llansa,
sY(s) - y(0) + aY(s) = F(s)
natijasi kelib chiqadi. Bu algebraik tenglama
Y(s) = (F(s) + y(0)) / (s + a)
shakliga keltiriladi va so‘ngra Laplas transformasining teskari ifodasi orqali
o‘zgaruvchili funksiyaga qaytariladi. Bu usul differensial va integral tenglamalar
nazariyasida juda muhim ahamiyatga ega bo‘lib, ko‘plab fizik va muhandislik
masalalarini yechishda keng qo‘llanadi.
Kompleks sonlar yordamida differensial tenglamalarni yechishning yana bir
usuli - xarakteristik tenglamalar usulidir. Misol tariqasida
y'' - 2y' + 5y = 0
tenglamasini ko‘rib chiqamiz. Yechimni eksponensial funksiya
19
y = e(λt)
shaklida qabul qilamiz. Bu holda birinchi hosila
y' = λ e(λt),
ikkinchi hosila
y'' = λ2 e(λt)
bo‘ladi. Tenglamaga qo‘ysak,
(λ2 - 2λ + 5) e(λt) = 0
natijasiga kelamiz. Xarakteristik tenglama
λ2 - 2λ + 5 = 0
bo‘lib, kvadrat tenglamani yechsak,
λ = (2 ± i sqrt(16)) / 2 = 1 ± 2i
natijasiga ega bo‘lamiz. Demak, yechim
y(t) = et (C1 e(2it) + C2 e(-2it))
shaklida
bo‘ladi.
Euler
formulasidan
foydalanib,
trigonometrik
funksiya
ko‘rinishiga o‘tkazamiz:
y(t) = et (A cos(2t) + B sin(2t)).
Ko‘rinib turibdiki, kompleks sonlar yordamida differensial tenglamalarning
yechimlarini aniqroq va soddaroq topish mumkin.
Kompleks sonlarning integral va differensial tenglamalarda qo‘llanilishi
nafaqat matematik nuqtayi nazardan, balki amaliy jihatdan ham juda katta
ahamiyatga ega. Ular fizik muammolarni ifodalash, elektr zanjirlarining impulsli
javoblarini aniqlash, tebranish jarayonlarini tadqiq qilish kabi ko‘plab sohalarda
qo‘llaniladi. Ayniqsa, to‘lqin tenglamalari, kvant mexanikasi va elektrotexnika
sohalarida kompleks sonlarsiz differensial tenglamalarni hal etish juda qiyin bo‘lar
edi. Shu sababli, kompleks sonlarning differensial va integral tenglamalarda
qo‘llanilishi nafaqat nazariy, balki amaliy jihatdan ham muhim ahamiyatga ega
bo‘lib, ilm-fan va texnologiyaning rivojlanishida ulkan rol o‘ynaydi.
Kompleks sonlarning differensial va integral tenglamalardagi ahamiyati faqat
matematik analiz va fizika bilan cheklanib qolmaydi. Zamonaviy texnologiyalarning
rivojlanishi bilan birgalikda ular sun’iy intellekt, signallarni qayta ishlash, avtomatik
20
boshqaruv tizimlari, kvant hisoblash va hatto biomatematika kabi yangi sohalarda
ham keng qo‘llanmoqda. Masalan, elektromagnit to‘lqinlarning tarqalishini
modellashtirishda yoki kvant mexanikasidagi Shredinger tenglamalarini yechishda
kompleks sonlar yordamida ifodalangan differensial tenglamalar asosiy vositalardan
biriga aylangan.
Bundan tashqari, kompleks tahlil va uning differensial tenglamalar bilan
aloqasi amaliy muhandislik masalalarini yechishda ham katta ahamiyatga ega.
Masalan, elektr zanjirlarini modellashtirishda foydalaniladigan Fourier va Laplas
transformalari aynan kompleks sonlar yordamida amalga oshiriladi. Bu esa chastota
sohasida tahlil qilish imkonini yaratib, real muhandislik tizimlarining xattiharakatini chuqurroq tushunishga yordam beradi. Shu boisdan, kompleks sonlarning
differensial va integral tenglamalar bilan bog‘liqligini o‘rganish nafaqat nazariy
bilimlarni mustahkamlashga, balki ularning real dunyo masalalarida qanday tatbiq
etilishini tushunishga ham xizmat qiladi.
Kelajakda ilm-fan va texnologiyalar rivojlanishi bilan kompleks sonlarning
ahamiyati yanada ortishi kutilmoqda. Sun’iy intellekt va kvant hisoblash sohasida
aynan kompleks sonlarga asoslangan yangi algoritmlar va metodlar ishlab
chiqilmoqda. Shu sababli, kompleks sonlarning differensial va integral
tenglamalardagi roli faqatgina nazariy tadqiqotlar bilan cheklanmay, balki
zamonaviy texnologiyalar va amaliy sohalarda ham muhim o‘rin egallaydi.
Kelajakda kompleks sonlarning differensial va integral tenglamalardagi o‘rni
yanada kengayishi kutilmoqda. Xususan, kvant hisoblash tizimlari rivojlanishi bilan
birga, kompleks funksiyalar va operatorlar orqali kvant algoritmlarining
samaradorligini oshirishga e’tibor kuchaymoqda. Bundan tashqari, meteorologiya,
aerodinamika va molekulyar dinamikani o‘rganishda ham kompleks sonlar asosida
tuzilgan differensial tenglamalar muhim rol o‘ynamoqda.
Shuningdek, iqtisodiyot va moliyaviy modellashtirish sohalarida ham
kompleks analiz tamoyillaridan foydalanish kengaymoqda. Masalan, fond bozori
dinamikasini o‘rganishda kompleks tahlil asosida qurilgan matematik modellar
investorlarning strategik qarorlar qabul qilishida muhim vositaga aylanmoqda.
21
2.3. Kompleks sonlar yordamida amaliy masalalar yechish
Kompleks sonlar matematikada nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy
masalalarni yechishda ham keng qo‘llaniladi. Ular muhandislik, fizika,
elektrotexnika, optika, aerodinamika, kvant mexanikasi, raqamli signal ishlash va
boshqa ko‘plab sohalarda ishlatiladi. Quyida kompleks sonlarning amaliy
qo‘llanilishiga oid ba’zi muhim yo‘nalishlar va ularning real misollari keltiriladi.
1. Elektr muhandisligida kompleks sonlar
Elektr muhandisligida tok va kuchlanishning faza o‘zgarishlarini ifodalashda
kompleks sonlar qo‘llaniladi. O‘zgaruvchan tok davrida kuchlanish va tok fazalar
orasida farq bo‘lishi mumkin. Ushbu jarayonni ifodalash uchun kompleks
sonlarning trigonometrik shakli ishlatiladi:
V = V₀ * e(jθ)
bu yerda:
V – kuchlanish,
V₀ – amplituda,
θ – faza burchagi,
j – kompleks birlik (j² = -1).
Misol 1. O‘zgaruvchan tokni hisoblash
Faraz qilaylik, tarmoqdagi kuchlanish quyidagi ko‘rinishga ega:
V = 220 * e(j30°) V
Shu kuchlanishga mos keluvchi tok quyidagi tenglama orqali hisoblanadi:
I=V/Z
bu yerda Z – yuklamaning impedansi (qarshilik). Agar yuklamaning
impedansi
Z = 10 * e(j20°) Ω
bo‘lsa, u holda tok quyidagicha hisoblanadi:
I = (220 * e(j30°)) / (10 * e(j20°)) = 22 * e(j(30° - 20°)) = 22 * e(j10°) A
Natija shuni ko‘rsatadiki, tok fazasi kuchlanishdan 10° orqada qolmoqda. Bu
esa elektr muhandisligida reaktiv quvvatni hisoblashda juda muhim ahamiyatga ega.
22
2. Tebranish va to‘lqin jarayonlarini modellashtirish
Ko‘pgina fizik jarayonlar, masalan, mexanik va elektromagnit tebranishlar
differensial tenglamalar orqali ifodalanadi. Bu tenglamalarning yechimlari
ko‘pincha kompleks sonlar yordamida ifodalanadi.
Misol 2. Massasi m, qarshilik koeffitsiyenti b va qattiqlik koeffitsiyenti k
bo‘lgan tebranayotgan tizim
Tizimning harakat tenglamasi quyidagicha yoziladi:
m * x'' + b * x' + k * x = 0
Bu tenglamaning umumiy yechimi quyidagi shaklda bo‘ladi:
x(t) = A * e(λt)
bu yerda λ xarakteristik ildiz bo‘lib,
λ = (-b ± √(b² - 4mk)) / (2m)
Ko‘rinib turibdiki, agar b² < 4mk bo‘lsa, ildizlar kompleks bo‘ladi va
tebranish harakati sinusoidal shaklda davom etadi:
x(t) = e(-αt) * (C₁ cos(ωt) + C₂ sin(ωt))
bu yerda:
α = b / (2m) – amplitudaning so‘nish koeffitsiyenti,
ω = √(k/m - (b/(2m))²) – tabiiy burchak chastotasi.
Bu formulalar muhandislik va qurilish sohalarida amortizatsiyali tebranish
tizimlarini loyihalashda qo‘llaniladi.
3. Garmonik tebranishlarni Fourier tahlili orqali ifodalash
To‘lqinlarni
o‘rganishda
har
qanday
davriy
funksiya
kompleks
eksponensiallar yig‘indisi sifatida tasvirlanishi mumkin. Bu Fourier qatorlar va
Fourier transformatsiyasining asosidir.
Misol 3. Signalni Fourier transformatsiyasi orqali ifodalash
Agar berilgan funksiya f(t) vaqt sohasida tasvirlangan bo‘lsa, uning spektral
ko‘rinishi quyidagicha aniqlanadi:
F(ω) = ∫[−∞,∞] f(t) * e^(-jωt) dt
23
Bu integral signalni chastota sohasida tasvirlaydi va signalni qayta ishlash,
aloqa tizimlarini tahlil qilish va radiochastotali tizimlarni modellashtirishda
ishlatiladi.
4. Aerodinamikada kompleks sonlar
Kompleks o‘zgaruvchilar funksiyasi aerodinamikada suyuqlik yoki gaz
oqimini modellashtirishda keng ishlatiladi. Xususan, Joukowski transformatsiyasi
aerodinamik profillarni yaratishda muhim rol o‘ynaydi.
Misol 4. Joukowski transformatsiyasi yordamida profil hosil qilish
Joukowski funksiyasi quyidagicha beriladi:
w = z + (1/z)
bu yerda z = x + jy – kompleks tekislikdagi nuqta. Ushbu transformatsiya
doira shaklidagi konturlarni aerodinamik qanot profillariga aylantiradi va samolyot
qanotlari shakllarini loyihalashda ishlatiladi.
Ko‘rinib turibdiki, kompleks sonlar matematikadan tashqariga chiqib,
muhandislik, fizika, elektrotexnika, aerodinamika va boshqa sohalarda muhim
amaliy qo‘llanilishga ega. Elektr zanjirlarini tahlil qilish, mexanik tebranishlarni
modellashtirish, signal va to‘lqinlarni o‘rganish, aerodinamika kabi ko‘plab
yo‘nalishlarda kompleks sonlarsiz hisob-kitoblarni bajarish imkonsiz bo‘lar edi. Shu
sababli,
kompleks
sonlar
matematikadan
tashqariga
muammolarini yechishda asosiy vositalardan biriga aylangan.
24
chiqib,
real
hayot
XULOSA
Ushbu kurs ishida kompleks sonlarning nazariy asoslari, ularning asosiy
xossalari va real hayotdagi qo‘llanilish imkoniyatlari keng yoritildi. Kompleks
sonlar dastlab faqat matematik qiziqish sifatida o‘rganilgan bo‘lsa-da, vaqt o‘tishi
bilan ularning turli fan va texnologiya sohalaridagi beqiyos ahamiyati aniqlandi.
Bugungi kunda kompleks sonlarsiz nafaqat matematikaning rivojlanishini, balki
elektrotexnika, kvant mexanikasi, aerodinamika, iqtisodiyot va ko‘plab muhandislik
sohalarining taraqqiyotini ham tasavvur qilish qiyin.
Kompleks sonlarning o‘ziga xos xususiyatlari ularni matematik analiz,
algebra va differensial tenglamalar kabi sohalarda samarali ishlatishga imkon beradi.
Kompleks sonlarning algebraik, trigonometrik va eksponensial shakllari,
shuningdek, ular ustida bajariladigan arifmetik amallar ko‘plab ilmiy muammolarni
hal etishda muhim rol o‘ynaydi. Ayniqsa, muhandislik fanlarida signal va tasvirlarni
qayta ishlash, elektr zanjirlarining xatti-harakatlarini modellashtirish, aerodinamika
va elektromagnit to‘lqinlar nazariyasida kompleks sonlarning tutgan o‘rni
beqiyosdir.
Kurs ishining birinchi bobida kompleks sonlarning nazariy jihatlari yoritildi.
Kompleks son tushunchasining vujudga kelishi tarixiy nuqtayi nazardan tahlil
qilindi va uning rivojlanish bosqichlari ko‘rib chiqildi. Bu tushuncha dastlab sof
matematik qiziqish sifatida yuzaga kelgan bo‘lsa-da, keyinchalik amaliyotda katta
ahamiyatga ega ekanligi aniqlandi. Kompleks sonlarning algebraik shakli va ular
ustida bajariladigan amallar, shuningdek, trigonometrik va eksponensial shakllari
haqida batafsil tushunchalar berildi. Bundan tashqari, kompleks sonlarning
geometrik talqini ham muhim ekanligi ko‘rsatildi.
Ikkinchi bobda esa kompleks sonlarning amaliy qo‘llanilishiga alohida e’tibor
qaratildi. Kompleks sonlar nafaqat nazariy matematikada, balki amaliy fanlar va
texnologiyalarda ham keng qo‘llanilishi bilan ajralib turadi. Ularning elektrotexnika,
signal va tasvirlarni qayta ishlash, aerodinamika, kvant mexanikasi va hatto
iqtisodiyot kabi sohalardagi roli alohida ko‘rib chiqildi. Kompleks sonlar yordamida
differensial tenglamalar va fizik jarayonlarni modellashtirish imkoniyati yuqori
25
bo‘lib, bu ularning ilm-fan va muhandislikdagi dolzarbligini yanada oshiradi.
Shuningdek, amaliy misollar orqali kompleks sonlarning kundalik hayotdagi foydali
jihatlari ham ochib berildi.
Yuqorida bayon etilgan ma’lumotlar asosida quyidagi muhim xulosalarga
kelindi:
Kompleks sonlar matematik analizning ajralmas qismi bo‘lib, ularning
rivojlanishi matematikaning ko‘plab tarmoqlari bilan chambarchas bog‘liq.
Kompleks sonlar differensial tenglamalar, chiziqli algebra, funksional analiz va
boshqa ko‘plab sohalarda muhim ahamiyat kasb etadi.
Kompleks sonlar geometriya va algebra bilan uzviy bog‘liq bo‘lib, ular
yordamida ko‘plab matematik modellarni tushunish va tushuntirish osonlashadi.
Ayniqsa, ular trigonometrik va eksponensial shaklda tasvirlanganida ko‘plab
matematik amallarni soddalashtirish imkonini beradi.
Kompleks sonlar nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy jihatdan ham katta
ahamiyatga ega. Elektrotexnika, signal va tasvirlarni qayta ishlash, aerodinamika,
optika, kvant mexanikasi kabi fanlarda kompleks sonlarning ishlatilishi ularning
beqiyos rolini ko‘rsatadi.
Kompleks sonlar yordamida real hayotdagi ko‘plab fizik va muhandislik
masalalarini aniq va samarali hal qilish mumkin. Elektr toki tahlili, to‘lqin
jarayonlarini modellashtirish va boshqa texnik muammolar kompleks sonlar
yordami bilan ancha qulay hal qilinadi.
Ushbu kurs ishi orqali kompleks sonlar to‘g‘risidagi tushunchalar chuqurroq
o‘rganilib, ularning matematik va amaliy jihatlari o‘rtasidagi bog‘liqlik aniqlandi.
Kompleks sonlarning kelajakdagi ilmiy va texnologik rivojlanishda ham muhim
o‘rin tutishi shubhasiz. Shu sababli, ushbu mavzuni yanada kengroq o‘rganish va
uni turli fanlarga integratsiya qilish dolzarb vazifalardan biri hisoblanadi.
Kelgusida kompleks sonlarning qo‘llanilish doirasini yanada kengaytirish va
ularning zamonaviy texnologiyalar bilan uyg‘unlashuvi bo‘yicha chuqur tadqiqotlar
olib borish maqsadga muvofiqdir.
26
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1. A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin. "Matematik analiz kursi". Toshkent: Fan,
1990.
2. G. V. Arfken, H. J. Weber. "Mathematical Methods for Physicists". Academic
Press, 2012.
3. V. I. Smirnov. "Matematik analiz". Moskva: Nauka, 1986.
4. R. Courant, D. Hilbert. "Methods of Mathematical Physics". Wiley-VCH,
1989.
5. B. V. Shabat. "Kompleks o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi". Moskva:
Nauka, 1976.
6. L. D. Landau, E. M. Lifshits. "Teoretik fizika kursi". Moskva: Nauka, 2003.
7. E. Titchmarsh. "The Theory of Functions". Oxford University Press, 1952.
8. G. H. Hardy. "Pure Mathematics". Cambridge University Press, 1990.
9. J. Stewart. "Calculus". Cengage Learning, 2015.
10. W. Rudin. "Real and Complex Analysis". McGraw-Hill, 1987.
11. S. Lang. "Complex Analysis". Springer, 2003.
12. H. Cartan. "Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several
Complex Variables". Dover Publications, 1995.
13. R. P. Boas. "Invitation to Complex Analysis". Random House, 1987.
14. E. B. Saff, A. D. Snider. "Fundamentals of Complex Analysis". Pearson,
2003.
15. J. E. Marsden, M. J. Hoffman. "Basic Complex Analysis". W. H. Freeman,
1999.
16. R. V. Churchill, J. W. Brown. "Complex Variables and Applications".
McGraw-Hill, 2009.
17. M. J. Ablowitz, A. S. Fokas. "Complex Variables: Introduction and
Applications". Cambridge University Press, 2003.
18. L. Ahlfors. "Complex Analysis". McGraw-Hill, 1979.
19. H. M. Edwards. "Riemann's Zeta Function". Dover Publications, 2001.
20. M. R. Spiegel. "Complex Variables". McGraw-Hill, 1981.
27
21. J. W. Milnor. "Topology from the Differentiable Viewpoint". Princeton
University Press, 1997.
22. R. Bellman. "Stability Theory of Differential Equations". Dover Publications,
2008.
23. P. J. Nahin. "An Imaginary Tale: The Story of √-1". Princeton University
Press, 1998.
24. M. D. Weir, J. Hass, F. R. Giordano. "Thomas' Calculus". Pearson, 2016.
25. O‘zbekiston Respublikasi Oliy ta’lim vazirligi. "Oliy matematika kursi".
Toshkent: Fan, 2019.
28