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TERMODINÁMICA
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Impreso en México
Cuarta reimpresión : octubre de 2005
Esta obra se tenninó de imprimir en octubre de 2005 en
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sobre papel Bond Editor Alta Opacidad de 75 g.
El tiraje fue de 2 000 ejemplares.
índice de contenido
Prólogo . . . . .. .. . ..... .. .. . .......... .... .. . .... . .. .. ....... . .... .
1
2
xi
Dimensiones y unidades
1.1 Dimensiones .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sistemas de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
2
7
7
Conceptos y definiciones ..... . .......... . .. ... ........ .
9
2.1 Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Propiedad ......... ........... ... .. .. . .. ... . . ... .... ..... . ....
2.3 Estado, equilibrio, proceso y trayectoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Resumen . . .... . .. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas ..... ... '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
12
13
14
16
20
21
24
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vi Termodinámica
3
4
5
La primera ley de la termodinámica
25
3.1 Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Trabaja en un sistema cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Trabajo en un sistema abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Calor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 La primera ley de la termodinámica en un sistema cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Entalpía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 La primera ley de la termodinámica en un sistema abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 La primera ley de la termodinámica para cualquier sistema . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Máquinas térmicas y eficiencia. Refrigeradores y coeficiente de funcionamiento . . . .
3.8 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
28
35
40
42
47
48
. 54
59
62
65
69
Equilibrio entre fases ........... .. ... . . .... .. ... . . . . .... . . . ..
7I
4.1 Equilibrio líquido-vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Diagrama presión-temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Diagrama presión-volumen . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Diagrama presión-entalpía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Diagrama temperatura-volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Diagrama de fases . . ... ... ..... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Tablas de propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Calores específicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Coeficiente de Joule-Thomson . . ... .. ............... .. . ... ... .......
4.6 Coeficiente de expansión volumétrica. Coeficiente de compresibilidad
isotérmica ...................... ' .' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Resumen... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . .
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
71
72
72
78
79
81
82
93
94
95
97
98
104
Ecuaciones de estado
99
5.1 Gas ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 .2 Factor de compresibilidad z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Ecuación de Van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
5.4 Ecuación de Redlich-Kwong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
5.5 Ecuación de Beattie-Bridgman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
5.6 Otras eCl)aciones de estado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
106
125
130
136
138
139
Índice de contenido
6
7
8
9
vii
5.7 Resumen.. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
142
145
La segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
147
6.1 La segunda ley de la termodinámica .. .. .... .. .. . ...... . . . .. . . .. . .. . .
6.2 Procesos reversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
6.3 Fricción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Principio de Carnot ...... . ... . .. .. . ... . .... ... .. .. ......... . .. ..
6.5 Ciclo de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 .6 Escala termodinámica de temperatura absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
6.7 Otros ciclos reversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
148
149
154
161
165
171
178
181
183
187
Entropía . . .......... . .. . ...... . . .... .. . ...... . .. . ... . .
189
7.1 Desigualdad de Clausius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Definición de entropía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Principio de incremento de entropía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 La entropía como función de otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
7.5 Diagrama temperatura-entropía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Diagrama entalpía-entropía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
7.7 Balance general de entropía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
189
193
200
204
210
219
224
237
239
244
Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad . . .. . . . . . .
245
8.1 Energía disponible ....... .. .... .. .. . ............ ... .. . . .. . . . . . ..
8.2 Funciones de Helmholtz y de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
8.3 Trabajo máximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
8.4 Disponibilidad .. . ........ . .. .. . . ... . ...... .. .. ...... ...... .. ...
8.5 Balance de disponibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Resumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
246
253
257
265
270
276
280
Relaciones termodinámicas generales
289
9.1 Principios básicos de las derivadas parciales
289
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viii Termodinámica
9.2 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
9.3 Calores específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
9.4 Energía interna, entalpía y entropía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 .5 Cambio de variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Ecuaciones de Bridgeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
9.7 Ecuaciones de desviación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
9 .8 Cambio de fase ........ . .... . ... . .. . .... . . . . . .. .... . . .... . .. .
9.9 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Ciclos termodinámicos
10.1 Ciclo Otto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Ciclo Diesel estándar de aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
10.3 Ciclo dual estándar de aire . .. . ... .. .. .. .. .. . . .... . .. . . . . . ... .. . .
10.4 Comparación de ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
10.5 Ciclo Brayton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
10.6 Ciclo Brayton con regeneración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Ciclo Rankine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Ciclo Rankine con regeneración. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
10.9 Ciclo de refrigeración mediante compresión de vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
10.10Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
11 Mezclas no reactivas
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
293
297
305
310
312
317
322
324
325
330
33 1
331
342
348
351
353
368
375
384
390
392
393
40 1
Fracción de masa y fracción molar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Presión parcial y volumen parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . 403
Energía interna y entalpía. Calores específicos. Entropía .. ... . . . ....... . . 406
Mezclas de gases ideales con un vapor condensable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
Humedad relativa. Humedad específica .. . .... . .. . . . ... .. .... ... . .. . 414
Temperaturas empleadas en la determinación de las propiedades
del aire ambiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
11 .6.1 Temperatura de bulbo seco .. . .... . ........ . ..... . .... . . .. . 417
11 .6 .2 Temperatura del punto de rocío . . .. . . .. . . ..... . ..... ... . . . . . 417
11 .6 .3 Temperatura de saturación adiabática .. . ..... ... . . . . ... .. .. .. . 417
11.6.4 Temperatura de bulbo húmedo ... ....... . .... .. . .. . .. . . .. . . 420
Carta psicrométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
Resumen . ...... .. ..... . . . . . ........ .. .. ... .. .. . . . .. .. .. .. . . 427
Problemas . ... ... .. . . . . .......... .. ..... . . ... . . . .... . . . .... . 429
Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 431
Índice de contenido
12 Principios de combustión
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
ix
433
Ecuaciones de combustión . ..... . .. . .. . ............. . ........ . . .
Calor de combustión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entalpía de reacción. Entalpía de formación . . .. ..... .. . . ..... .. . . ... .
Temperatura teórica de flama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resumen .. .... .. . . . .. ... ... ... .... . . .. ... .. ...... ... ... .. . .
Problemas .. .... .. ..... . .... .... ... ....... . .... . ... .. . . . . .. .
Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
433
440
445
448
450
451
452
13 Equilibrio termodinámico ...... . .. . ... . . .. .. ... . . .. .. . . . . . . . .
453
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8
Criterio de equilibrio .. . .... .. .. .. . .. . .. .... . . ... . . . ... .. .... . . .
Relaciones entre propiedades para una mezcla con composición variable .. . . .
Propiedad parcial molal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reacciones químicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dependencia de K con la temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Temperatura de equilibrio de la flama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Equilibrio entre fases de una sustancia pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Resumen ...... .... .. . .... . .. .. ......... . .. . . . . . . .... .. . .. . .
Problemas . .... .... ... . . . . . . ...... .. .... . . . .... .......... . .. .
Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 Aspectos termodinámicos del flujo de fluidos . . ... . . . . ....
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
146
Velocidad del sonido . . .... .. . .. .. .. . . . ... . . . . .. ........... .. . . .
Flujo isoentrópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Línea Rayleigh '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Línea Fanno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condiciones de choque normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resumen ' .' . ..... .. ...... . . .. . . .' .. . . . .... . .... ........ ... . . .
Problemas . .. . ... ... . ..... . ... . ... .... ... . .. . .... . . .. .. .... .
Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 Transferencia de calor
15.1
15.2
15.3
15.4
Generalidades . .. .. ... .. .. .... . . ....... . . . . . ....... .. . . . .. . . .
Conducción de calor unidimensional en estado estable . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transferencia de calor por convección .... . .. .. ........ ... .. . .. .. .. .
Transferencia de calor por radiación .......... .. . . . .. . . . . .. . . . .. .. . .
453
455
458
459
463
468
469
471
472
474
475
475
479
488
491
495
497
498
499
50 1
501
505
514
516
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X
Termodinámica
Resumen
.
Problemas
.
Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
520
521
522
.
523
Vapor de agua saturado
.
Vapor de agua saturado
.
Vapor de agua sobrecalentado
.
Propiedades del refrigerante 22(R-22) en condiciones de saturación
.
Propiedades del refrigerante 134a (R-134a) en condiciones de saturación
líquido-vapor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura B. 1 Diagrama de Mollier para el agua
.
Figura B. 2 Diagrama de temperatura-entropía del agua
.
Figura B. 3 Diagrama presión-entalpía del refrigerante 22
.
Figura B. 4 Diagrama presión-entalpía del refrigerante 134a
.
Figura B. 5 Diagrama temperatura-entropía para diclorodifluorometano
.
524
525
526
530
índice Analítico
541
15.5
Apéndice
Tabla Al
Tabla A2
Tabla A3
Tabla A4
Tabla A5
.
533
536
537
538
539
540
Tal VE
inqen'
las dif
forma
O
este ti
acadé
E
tres s
estud
seme:
pro/U
lo COI
pero
dad d
prime
do cu
te pU
de dií
L
Tecn
Prólogo
Tal vez la termodinámica es una de las disciplinas de mayor trascendencia en la educación del
ingeniero. Esta materia trata acerca de la transformación de la energía y sus limitaciones, así como de
las diferentes propiedades de las sustancias. Por esta razón, en esta obra se ha intentado cubrir en la
forma más amplia posible los aspectos más importantes de la termodinámica clásica.
Desde luego, el lector se preguntará por qué una nueva obra sobre esta disciplina; sin embargo ,
este texto trata de presentar la maJeria de la forma más clara y sencilla posible sin sacrificar el rigor
académico, complementado con numerosos ejercicios resueltos .
En general, la materia puede estudiarse en dos o tres cursos semestrales con una frecuencia de
tres sesiones de una hora por semana. Los temas que abarca el texto pueden estar destinados a
estudiantes de ingeniería que cursen la licenciatura y a estudiantes de posgrado en los primeros
semestres que deseen reafirmar o ampliar sus conocimientos sobre la materia. Por supuesto, la
profundidad con que se traten los diferentes temas queda a discreción del profesor de la materia. Por
lo común, el capítulo sobre transferencia de calor se omite en todos los cursos de termodinámica ,
pero aquí se presenta solamente como un complemento para los estudiantes que no tienen oportunidad de hacer un curso formal. Inicialmente pueden cubrirse los temas más importantes de los siete
primeros capítulos en el primer curso de nivel licenciatura, y dejar el material restante para un segundo curso de termodinámica. Cada capítulo termina con diferentes problemas a fin de que el estudiante pueda comprobar los conocimientos adqUiridos. En general, estos problemas difieren en el grado
de dificultad y por esta razón se incluyen algunas respuestas.
Los autores han tenido la fortuna de impartir este curso a estudiantes de ingeniería del Instituto
Tecnológico y de Estudios Superiores d~ Monterrey durante varios años. Su paciencia, sugerencias y
www.elsolucionario.org
xii Termodinámica
comentarios han contribuido de manera significativa a la mejor presentación del material. Esperamos
que esta obra refleje sus inquietudes y,estimule aún más su interés por la materia.
Muchas personas han aportado valiosos comentarios y sugerencias. Los autores desean expresar
especialmente su gratitud al Dr. Miguel Olarte, de la Universidad de América, en Colombia, quien
revisó todo el manuscrito e hizo invaluables recomendaciones. Nuestro reconocimiento también a los
ingenieros Antonio Pavón y Antonio Bazaldúa, de la Universidad Iberoamericana, y a José Castrezana
Sánchez, del Instituto Politécnico Nacional por sus inapreciables comentarios. Asimismo, deseamos
agradecer la inspiración recibida de nuestro querido maestro, el Ing. Juan A. González Aréchiga.
Deseamos también dejar constancia de la importante cooperación y apoyo que nos proporcionaron los editores de Oxford University Press, y reconocer su profesionalismo en la producción de esta
obra.
Finalmente, los autores desean expresar su agradecimiento a la Sra. Juanita Yolanda Valdez de
Salinas, por su valiosa ayuda en la preparación del manuscrito para esta segunda edición.
JOSÉ A. MANRIQUE
RAFAEL S. CÁRDENAS
Termodinámica
/
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1
Dimensiones yunidades
Cuanto más altos estemos ,
más humildes debemos ser.
CICERÓN
Antes de emprender el estudio de la Termodinámica, conviene recordar brevemente algunos conceptos
básicos sobre dimensiones y unidades. Estos conceptos son de gran utilidad, ya que la solución de las
ecuaciones que interesan a un ingeniero supone la comprensión de estos términos.
1.1 Dimensiones
Dimensión es el nombre que se da a una cualidad o característica física. Las dimensiones o cualidades
pueden ser fundamentales o básicas y secundarias o derivadas. Algunos ejemplos típicos de las primeras
son la longitud (L), la masa (m), el tiempo (t) y la temperatura (T), entre otras. Estas dimensiones, al ser
fundamentales, deben aceptarse como punto de partida para poder describir otras cualidades o características. Los ejemplos de las segundas son innumerables, como el área, cuya definición y medida es el
cuadrado de una longitud (L2); el volumen, cuyas dimensiones son el cubo de una longitud (P), etc . Las
dimensiones secundarias por lo general se. obtienen a partir de leyes o principios universales. Por
ejemplo, si la fuerza (F) no se considera como dimensión fundamental puede definirse por las dimensiones básicas de masa, longitud y tiempo, mediante la segunda l~y de Newton:
_ mL
F- 2
t
Por otro lado, si se incluye también la fuerza (F) como dimensión fundamental, la expresión F = ma es
incorrecta, puesto que no hay homogeneidad dimensional. En efecto, cualquier ecuación que relacione
2
Termodinámica
cantidades físicas debe ser dimensionalmente homogénea, es decir, las dimensiones de los términos
de un lado de la ecuación deben ser iguales a las del otro. Aquí puede anotarse que la homogeneidad
dimensional no se afecta con operaciones matemáticas como la diferenciación o la integración, y sólo
cuando las cantidades tengan las mismas dimensiones pueden sumarse algebraicamente. Así, en este
caso en que la fuerza es dimensión fundamental, la segunda ley de Newton se escribe así:
1
F=-ma
gc
donde gc es una constante dimensional y no sólo un factor de conversión, y sus dimensiones son
mL/Ft2• Por consiguiente, la expresión
:ftJ
(m)-
(F)=
t2
mL
=(F)
F~
es dimensionalmente homogénea.
1.2 Unidades
La realización de cálculos numéricos con ecuaciones que relacionen cantidades físicas , requiere también el uso de unidades y, además, que las expresiones utilizadas sean homogéneas no sólo en sus
dimensiones, sino también en sus unidades. Por unidad se entiende una magnitud arbitraria de una
dimensión, empleada como estándar para propósitos de medición o cálculo. En la tabla 1.1 aparecen
ejemplos típicos de unidades para algunas dimensiones.
Tabla 1.1. Unidades típicas de algunas dimensiones.
Dimensión
Unidades
Longitud
metro, centímetro, milímetro, pie, pulgada
Masa
kilogramo, gramo, tonelada, libra, slug
Tiempo
segundo, minuto, hora, día
Temperatura
grados Celsius, Kelvin, Fahrenheit, Rankine
1.3 Sistemas de unidades
En la práctica se utilizan diversos sistemas de unidades que difieren básicamente en el número de
dimensiones fundamentales y en las unidades adoptadas.
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1 Dimensiones y unidades
3
El Sistema Internacional de unidades es un conjunto coherente que se utiliza para medir propiedades físicas, donde la unidad para cualquier propiedad está relacionada de manera directa con un número
pequeño de unidades básicas a través de un coeficiente unitario. Este sistema, conocido también como
el Systéme International d'Unités, a menudo llamado SI, fue promulgado en 1960 por la Undécima
Conferencia General Sobre Pesos y Medidas; después fue perfeccionado en 1964 y 1967. Dicho sistema se adoptó en la escala internacional (ISO R 1000-1969) y contiene siete dimensiones y unidades
fundamentales y dos dimensiones y unidades suplementarias, como se indica en las tablas 1.2 y 1.3.
Tabla 1.2. Dimensiones y unidades fundamentalesen el SistemaInternacionalde unidades.
Nombre
Unidad
Símbolo
Longitud
metro
m
Masa
kilogramo
kg
Tiempo
segundo
s
kelvin
K
Corriente eléctrica
ampere
A
Intensidad luminosa
candela
cd
Cantidad de sustancia
mol
mol
Temperatura
termodinámica
Tabla 1.3. Dimensiones y unidades suplementariasen el Sistema Internacionalde unidades.
Nombre
Unidad
Símbolo
Ángulo plano
radián
rad
Ángulo sólido
estereorradián
sr
Pueden obtenerse centenares de dimensiones y unidades derivadas con base en las dimensiones
y unidades fundamentales adoptadas. A continuación se describirán algunas de ellas:
Fuerza. El newton, N, es la fuerza ejercida sobre una masa de un kilogramo para acelerarla exactamente un metro por segundo por segundo.
Energía. La unidad de energía en el Sistema Internacional de unidades es el joule, J. Por definición,
1 joule = 1 newton metro, J = Nm
Potencia. La unidad de potencia es el watt, W. Por definición,
1 watt = 1 joule/segundo, W = J/s
Presión. Puesto que la presión se define como una fuerza por unidad de área, la unidad de presión
en el Sistema Internacional de unidades es el newton/metro-. Es decir,
1 pascal = 1 newton/rnetro-,
Pa = N/m2
4
Termodinámica
Sin embargo, dada su pequeñez numérica, el Sistema Internacional recurre a otra unidad de presión
llamada bar", esto es:
1 bar = 105 Pa
En la tabla 1.4 se presentan otras de las dimensiones y unidades propias de la termodinámica.
Tabla 1.4.
Algunas dimensiones
y unidades
derivadas
en el Sistema Internacional
de unidades.
Nombre
Unidad
Símbolo
Aceleración
metro por segundo por segundo
M/S2
Aceleración angular
radián por segundo por segundo
rad/s"
Area
metro cuadrado
m2
Calor especifico
joule por kilogramo kelvin
J/kg K
Carga eléctrica
coulomb
C
Densidad
kilogramo por metro cúbico
kg/m3
Energia, trabajo
joule
J
que
Entropia
joule por kelvin
J/K
factor
Entalpia
joule por kilogramo
J/kg
Frecuencia
hertz
Hz
Fuerza
newton
N
Potencia
watt
W
Presión
pascal
Pa
Resistencia eléctrica
ohm
Q
Temperatura
grado Celsius
°C
Velocidad
metro por segundo
mis
Voltaje
volt
V
Volumen
metro cúbico
m3
Volumen especifico
metro cúbico por kilogramo
m3/kg
E
ingen
SI
Algunas de las unidades de la tabla anterior resultan ser de poco interés práctico en algunas situaciones físicas. La tabla 1.5 es una lista de prefijos utilizados en la formación de múltiplos y submúltiplos. En
la tabla 1.6 aparecen otras unidades utilizadas en el Sistema Internacional de unidades.
* A través de todo el texto se usará el bar como unidad de presión. Esta unidad, muy común en este tipo de obras, tiene
EJel1
un factor de conversión prácticamente unitario con el de otros sistemas de unidades empleados en la práctica (1 atm =
1.0332 kg,lcm2 = 1.01325 bar). Esto último permite al estudiante familiarizarse sin dificultad con el orden de magnitud
en este parámetro.
Calc
valor
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1 Dimensiones y unidades
5
Tabla 1.5. Prefijosempleados en el Sistema Internacionalde unidades.
Prefijo
Símbolo
Múltiplo
teragigamegakilohectodecadecicentimilirnícronanopico-
T
G
M
k
h
da
d
e
m
1000000000000
= 1012
1 000000000 = 109
1 000000 = 106
1000 = 103
100 = 102
10 = 101
0.1=10-1
0.01 - 10-2
0.001 = 10-3
0.000 001 - 10-6
0.000 000 001 - 10-9
0.000000000001
- 10-12
Il
n
P
Existen otros sistemas de unidades muy usados en la práctica, entre ellos, el Sistema Inglés
ingenieril y el sistema métrico gravitacional. Sin embargo, el Sistema Internacional de unidades es el
que se adopta en este texto debido a su amplia aceptación. En la tabla 1.7 aparecen algunos de los
factores de conversión más usados.
Tabla 1.6. Otras unidades empleadas en el Sistema Internacionalde unidades.
Nombre
Símbolo
Valor
bar
bar
1 bar = 0.1 MPa = 105 Pa
día
d
1 d = 24 h = 86 400 s
10 = n/180 rad
grado
hectárea
ha
1 ha = 1 hm" = 104 m2
hora
h
1 h = 60 min = 3600 s
litro
L
1 L = 1 drrr' = 10-3 m3
minuto
min
1 min = 60 s
minuto
l' = 1/60
segundo
1" = 1/60' = n/648 000 rad
tonelada
1 t = 103 kg
0
= n/lO 800 rad
Ejemplo 1.1
Calcule la presión barométrica de la ciudad de Monterrey en unidades del Sistema Internacional, si el
valor correspondiente es de 28.2 pulgadas de mercurio.
6 Termodinámica
Solucl
Tabla 1. 7. Factores de conversión.
Utiliza
Dimensión
Factor de conversión
Aceleración
1 m/s?
Área
1 m2
Calor específico
Densidad
Energía. trabaja
Entalpía
Fuerza
Longitud
Masa
Flujo másico
Potencia
Presión
Temperatura
Diferencia de temperatura
Velocidad
Volumen
Flujo volumétrico
= 4.2520 x 107 pie/h2
= 3.2808 píe/s"
= 1550 plg2
= 10.764 pie2
1 J/kg K = 2.3886 X 10-4 Btu/lbmoF
1 g/cm3 = 62.428 Ibm/pié
1 kg/m3 = 0.0622428 Ibm/pié
1J
= 0.7375 lb.pie
= 9.4787 x 10-4 Btu
= 2.3883 x 10-4 kcal
= 4.2992 x 10-4 Btu/lb m
1 J/kg
IN
= 0.22481 Ibr
1m
= 39.370 plg
= 3.2808 pie
= 1.0936 yd
= 6.2137 x 10-4 mi
1g
= 2.2046 X 10-3 lbm
1 kg
= 2.2046 lbm
1 kg/s
= 7936.6 Ibm/h
1W
= 0.73756 lb, pie/s
= 2.6552 x 103 lb.píc/h
= 3.4144 Btu/h
= 9.4845 x 10-4 Btu!s
= 1.3410 x 10-3 hp
= 1.4504 x 1O-4Ib/plg2
1 Pa
= 0.020886 lb/pie2
= 4.015 x 10-3 plg HzÜ
= 2.953 x 10-4 plg Hg
= 101.3 kPa
1 atm
1 atm
= 760 torr
1 bar
= 105 Pa
= (5/9)(OF + 459.67)
1K
= °C + 273.15
1K
= 1°C
1 mis
= 3.2808 pie/s
= 2.237 mi/h
= 6.1024 x 104 plg3
1 m3
= 35.315 pie3
= 1.3080 yd3
=264.17 gal (EUA)
= 1.2713 x 105 pié/h
1 m3/s
= 2.1189 x 103 pié/min
= 1.5859 x 104 gal/min
Ejem
Una sr
Soluc
Utiliza
Prot
1.1 1
1.2
1.3
Ref4
LB
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1 Diménsiones y unidades
7
Solución
Utilizando la tabla 1.7,
p=
28.2 4 = 955 mbar
2.953 x 10-
Ejemplo 1.2
Una superficie de 1 pie cuadrado de área disipa calor a razón de 2 Btu!h. Calcule esta disipación en W/ m2.
Solución
Utilizando la tabla 1.7,
2 Btujh pie 2 = (2)(10.746) = 6.3 Wjm 2
3.4144
Problemas
1.1 Un cuerpo tiene una masa de 10 kg m • Calcule su peso en newtons en un lugar donde la aceleración de la gravedad es de 9.8 m/ s2.
Respuesta: 98 N.
1.2 Un cuerpo tiene una masa de 10 lbm . Calcule su peso en libras fuerza en un lugar donde la
aceleración de la gravedad es de 32.174 pie/ 52.
Respuesta: 10 lb f •
1.3 Un líqUido tiene una densidad de 0.7 kg/ dm 3 . Calcule el volumen específico.
Respuesta: 1.428 dm 3 /kg .
Referencias
1. Black, William Z., James G. Hartley, Termodinámica , CECSA, México, 1989.
Conceptos ydefiniciones
Dondequiera que haya
un ser humano existe cierta
probabilidad de bondad.
SÉNECA
La termodinámica es la ciencia que trata de la transformación de la energía y de las propiedades de las
sustancias involucradas.
La termodinámica interviene prácticamente en todos los campos de la ingeniería. En motores de
combustión interna es de suma importancia: mediante un análisis termoqinámico se puede calcular,
para una potencia dada, la cantidad de aire y combustible necesarios, la cantidad y composición de
los productos de combustión, los requisitos de enfriamiento, con base en los cuales posteriormente se
calcula el si~tema de refrigeración por aire o agua, etc. Dentro de los estudios de refrigeración y aire
acondicionado, la termodinámica juega también un papel de suma importancia: mediante un análisis
termodinámico se puede seleccionar el tipo de refrigerante más apropiado dadas las necesidades de
refrigeración, la potencia necesaria que requiere el compresor para una capacidad de refrigeración
específica, los requisitos de calor en el evaporador y en el condensador y el control de la humedad en
el aire ambiente, entre otras cosas. En una planta generadora de vapor también destaca la importancia de los estudios termodinámicos: mediante cálculos apropiados se puede establecer la cantidad de
combustible necesario, la potencia suministrada por la turbina de vapor, el cálor disipado en el condensador, etcéter~.
La lista de ejemplos es prácticamente interminable, y sólo se han mencionado estas cuantas
aplicaciones con el objeto de hacer resaltar la importancia de todos los estudios termodinámicos.
La termodinámica se relaciona de manera directa con otras disciplinas de transporte, como son
la transferencia de calor y la mecánica de fluidos: mediante un análisis termodinámico se pueden
predecir los requisitos de calor en un intercambiador de calor; sin embargo, esta disciplina no reporta
información con respecto al tamaño del intercambiador mismo, al número de tubos o al diámetro y
material de los mismos. Esta información la suministran la transferencia de calor y la mecánica de
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10
Termodinámica
fluidos. De manera análoga, la termodinámica predice composiciones de equilibrio para mezclas
reactivas, y con ayuda de la cinética química determina las velocidades de reacción .
Como en toda disciplina, es necesario establecer de antemano las "reglas del juego" con el objeto
de sentar los cimientos en que van a descansar los estudios sucesivos.
2.1 Sistema
I
t
Un sistema termodinámico es una porción de espacio o cantidad de materia que se selecciona para
propósitos de análisis. Todo lo ajeno al sistema se conoce como alrededores y el límite real o hipotético entre el sistema y los alrededores se denomina fronteras o límites del sistema. De lo anterior se
desprende que prácticamente cualquier cosa es un sistema. Así, un motor de automóvil, una caldera,
una bomba de agua, un motor de avión, una turbina, un compresor, una planta de vapor, etc., son
sistemas . Empero, hay que destacar que la selección apropiada de un sistema es de suma importancia, puesto que en él se fija la atención cuando se hace el análisis; a consecuencia de una selección
inapropiada pueden hacerse necesarios ciertos cálculos sumamente complejos o inútiles.
Los sistemas termodinámicos generalmente se clasifican en dos grandes categorías: sistemas
cerrados y sistemas abiertos.
Se dice que un sistema es cerrado si no hay transferencia de masa entre él y sus alrededores. En
la figura 2.1 aparece el esquema de un sistema cerrado. Por el contrario, en un sistema abierto hay
realmente transferencia de masa entre el sistema y sus alrededores, como puede verse en la figura
citada. Puede ser que en un sistema abierto el cambio neto de masa sea igual a cero , es decir, que el
flujo de masa que entra en el sistema sea igual al flUjo de masa que sale de él; sin embargo, el sistema
es abierto, puesto que existe transferencia de masa en algunas porciones de sus límites o fronteras .
Algunos ejemplos típicos de sistemas cerrados son: el gas contenido en un cilindro, el aire que
hay dentro de un globo, el de un neumático, etc. Como sistemas abiertos comunes se pueden mencionar: una bomba de agua, un motor de automóvil, una turbina o un compresor, entre otros .
En algunas circunstancias, un sistema puede ser abierto y cerrado de forma simultánea a medida
que el tiempo transcurre. Un ejemplo típico es el cilindro de un motor de combustión interna. Al
observar su operación, adviértase que durante los primeros 1800 de giro del cigüeñal, la válvula de
admisión permanece abierta y admite una mezcla de aire y gasolina en el cilindro . Durante esta
carrera de admisión, considerando como sistema los gases contenidos en el cilindro, el sistema es
abierto, ya que hay transferencia de masa entre los alrededores y el sistema a través de la válvula. Por
otra parte, durante los siguientes 180 0 de giro del cigüeñal, ambas válvulas de admisión y escape
permanecen cerradas . En consecuencia, la mezcla de aire y gasolina previamente admitida en el
cilindro se comprime. Dado que no hay transferencia de masa durante esta carrera de compresión,
el sistema es cerrado. Al llegar el pistón a su posición máxima, una chispa eléctrica enciende la mezcla
combustible y el pistón es lanzado hacia afuera. Durante estos 180 0 de giro del cigüeñal ambas
válvulas permanecen cerradas y a lo largo de esta carrera de expansión el sistema se comporta como
un sistema cerrado, puesto que no hay transferencia de masa entre el sistema y los alrededores. Por
último, la válvula de escape se abre y durante los siguientes y últimos 180'? de giro del cigüeñal, los
productos de combustión son expulsados a la atmósfera. Aquí el sistema se comporta como un
2 Conceptos y definiciones
I
11
I
Peso
Émbolo
I:":---~:':'~:-':"":'"'":'I
l.·
··.·.·.·
•.
··1
l
Alrededores
'--
l.·.·.·.
Gas
l.·.·.·
Límites del sistema
·1
·.·.·.·1
l.·.·.·.·.·.·.·.·.·.
·1
l.·.·.·.·.·.·.·.·.·.
·1
Sistema cerrado
rr----Límites
r----I
I
-------------
-
I
-
-
del sistema
1
1
I
1
1
1
I
Gasolina
1\:
Flecha I
••
Sistema abierto
(Motor de automóvil)
I
Agua
1
1
1
1
1
T
I
1
I
V
Productos .4-de
combustión
•
1
L
4
Agua
Alrededores
Figura 2.1. Sistemas abierto y cerrado.
sistema abierto. En la figura 2.2 se presenta en forma esquemática la secuencia de operaciones de un
motor de gasolina de cuatro tiempos y un solo cilindro, tal como el descrito aquí.
En resumen, la única diferencia entre un sistema abierto y uno cerrado estriba en que en el primero
hay transferencia de materia entre el sistema y sus alrededores, mientras que en el segundo no la hay.
Existen algunos sistemas cerrados en los que si no se presenta transferencia de masa entre el
sistema y sus alrededores, tampoco ocurre interacción alguna de tipo energético entre el sistema y sus
alrededores. Este tipo de sistemas cerrados se conoce como sistemas aislados.
Aun cuando la termodinámica se ocupa de toda clase de sistemas de distinta complejidad, en esta
obra se tratará sólo de sistemas simples, entendiéndose por tales los que no están bajo la influencia de
efectos eléctricos, magnéticos o gravitacionales, de capilaridad o anisotropía.
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12 Termodinámica
ADMISiÓN
COMPRESiÓN
Múltiple de
admisión
Escape
EXPANSiÓN
ESCAPE
Figura 2.2. Motor de gasolina de cuatro tiempos.
2.2 Propiedad
Una propiedad termodinámica es una característica de un sistema que puede observarse de maner.a
directa o indirecta, y no depende de la historia. Como características observables directas se pueden
mencionar la presión, la temperatura, el peso, el volumen, etc. Algunas características observables de
forma indirecta son el producto de la presión por la temperatura y de la presión por el volumen
específico, entre otras. La edad de un sistema no es una propiedad termodinámica, ya que es necesario investigar la fecha de su creación y por tanto, hace falta recurrir a su historia.
Por lo general, las propiedades termodinámicas se clasifican en dos grandes categorías: propiedades intensivas y propiedades extensivas.
2 Conceptos y definiciones
13
Las propiedades intensivas no dependen de la masa del sistema; por ejemplo, la temperatura, la
presión, la densidad, el volumen específico, por mencionar algunos. En el caso de un sistema homogéneo, una propiedad intensiva tiene igual valor en todo el sistema y en cualquier parte de él. Por otro
lado, las propiedades extensivas sí dependen de la masa del sistema. Por ejemplo, el volumen y el
peso. Es decir, el valor de una propiedad extensiva en todo el sistema es igual a la suma de valores de
las diferentes partes que lo constituyen.
Si el valor de una propiedad extensiva se divide entre la masa del sistema, la propiedad resultante
se conoce como propiedad específica. Por ejemplo, el volumen específico (propiedad intensiva)
resulta de dividir el volumen entre la masa.
2.3 Estado, equilibrio, proceso y trayectoria
La descripción completa de la condición o estado de un sistema en un instante dado se hace a través
de sus propiedades termodinámicas. Por consiguiente, el estado de un sistema queda identificado por
el conjunto de valores que tienen las propiedades termodinámicas en ese instante. Por otra parte, el
sistema se encuentra en estados idénticos si las propiedades son las mismas en dos estados de tiempo
diferentes. Después se demostrará que dos propiedades intensivas independientes son suficientes
para determinar el estado termodinámico de una-sustancia pura ~n un sistema simple. Generalmente
la presión y la temperatura, la presión y el volumen específico o la temperatura y el volumen específico son propiedades que se utilizan para definir un estado. Por ejemplo, si se considera el calentamiento de agua a presión constante, la presión y la temperatura son dos propiedades intensivas
independientes que fijan en cada instante el estado del agua. Además, en cuanto principia la ebullición
del agua, la presión y la temperatura dejan de ser independientes, puesto que dependen una de la otra
y ya no son suficientes para fijar el estado termodinámico. Así, veremos después que la presión y el
volumen específico son dos propiedades independientes que fijan en este rango el estado termodinámico. Debe observarse que la densidad y el volumen específico no son propiedades independientes, ya que
son recíprocos y nunca son suficientes para fijar el estado termodinámico de una sustancia pura.
Se dice que un sistema se encuentra en estado de equilibrio termodinámico si es incapaz de
experimentar de manera espontánea algún cambio de estado con las condiciones que le imponen los
alrededores. En otras palabras, un sistema está en equilibrio termodinámico si, al ser aislado, no experimenta ningún cambio de estado, esto es, si las propiedades termodinámicas no varían con el tiempo.
Esto implica que la temperatura debe ser la misma en todo el sistema (equilibrio térmico). De otra
manera, se establecería un flujo de calor en el interior del mismo al ser aislado. De manera análoga, el
equilibrio termodinámico presupone que los esfuerzos (equilibrio mecánico), potenciales eléctricos (eqUilibrio eléctrico) y potenciales químicos (equilibrio químico) son iguales en todo el sistema. Una condición
necesaria, pero no suficiente, para que un sistema esté en equilibrio termodinámico, es que sea homogéneo o que esté constituido por varias partes homogéneas que se mantengan en contacto.
Un proceso ocurre cuando el sistema pasa de un estado termodinámico a otro. Dado que las
propiedades no dependen de la historia, el cambio de cualquier propiedad entre dos estados termodinámicos es independiente del proceso. Un ciclo es un proceso o conjunto de procesos que hacen
regresar el sistema al estado que tenía a.ntes de que ocurriera el proceso. Por consiguiente, en un ciclo
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14 Termodinámica
termodinámico todas las propiedades adquieren los mismos valores iniciales una vez concluido. En
forma analítica, si x es cualquier propiedad termodinámica,
~dx = O
La trayectoria es el conjunto de estados que atraviesa un sistema al realizarse un proceso.
2.4 Presión
Este concepto es de suma importancia y conviene analizarlo de forma detallada. Aun cuando básicamente la presión se define como fuerza por unidad de área, es importante distinguir los distintos tipos
de presiones utilizados comúnmente.
Es un hecho conocido que la atmósfera ejerce una presión sobre la superficie terrestre. En general esta presión está determinada por la altura. Así, se dice que la presión atmosférica estándar en el
nivel del mar es de 1013.25 mbar (760 mm Hg). Por otra parte, al ganar altura, disminuye la presión.
A 500 m de altura la presión atmosférica es de 955 mbar, y a 9000 m de altura la presión es de sólo
307 mbar. Puesto que la presión atmosférica por lo regular se mide con un barómetro, recibe también
el nombre de presión barométrica.
En un sistema por lo regular la presión se mide con un manómetro, ya sea de tipo Bourdon como
el que aparece en la figura 2.3 , o de columna de agua, u otro tipo, y puesto que la lectura que
proporciona este instrumento depende generalmente de la presión atmosférica, es necesario definir
una presión absoluta con respecto a un nivel de presión igual a cero. La presión que registra un
manómetro se denomina presión manométrica. Por tanto, la presión absoluta en un sistema e.s igual
a la suma de la presión manométrica más la presión barométrica o atmosférica del lugar. Esto es ,
presión absoluta = presión manométrica + presión barométrica
Como ejemplo, supóngase que la presión absoluta que existe en un sistema es de 10 bar. Si la presión
barométrica del lugar es de 955 mbar, un manómetro registraría una presión manométrica de 9.045 bar.
Sección transversal
del tubo
e
Tipo e
Espiral
)J .
Tubo torcido
Helicoidal
Figura 2 .3 Manómetros tipo Bourdon.
2 Conceptos y definiciones
15
En todos los análisis termodinámicos se emplea la presión absoluta, dado que ésta no depende de
la altura o lugar en donde se haga la medición.
Como consecuencia, la presión manométrica no proporciona por sí sola información completa
respecto de la presión a que se encuentra sometido un sistema dado.
En algunas circunstancias los sistemas operan en condiciones de vacío, es decir, a presiones inferiores a la presión atmosférica. Esto se ilustra en la figura 2.4. En estas condiciones la presión del sistema
queda perfectamente determinada mediante el uso de la presión absoluta o la indicación de una presión
de vacío (que casi siempre se da en mbar o cm de mercurio) y la presión barométrica. Esto es,
presión absoluta = presión barométrica - presión de vacío
preLn
manométrica
Presión atmosférica
---~r~:n-- - -
I
-1----
de vacfo
~
f
Presión
absoluta
Presión
atmosférica
Presión
absoluta
--'1_____-'-_____
P =0 _ _
--1._
Figura 2.4 Relación entre presiones .
Ejemplo 2.1
Calcule la presión absoluta ejercida por el aire contenido en un neumático de automóvil si la presión
manométrica es de 2 bar y la presión barométrica del lugar es de 950 mbar.
Solución
p = 2 + 0 .950 = 2.950 bar
Ejemplo 2.2
Si la presión manométrica del aire contenido en el neumático del ejemplo anterior es la misma, pero
la medición se realiza en el nivel el mar, calcule la presión absoluta.
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16 Termodinámica
Solución
Puesto que la presión atmosférica estándar en el nivel del mar es de 1013.25 mbar,
P = 2 + 1.013
= 3 bar
Ejemplo 2.3
La presión absoluta del vapor en el condensador de una planta de generación. es igual a 5 cm de
mercurio. Si la presión barométrica es igual a 950 mbar, calcule la presión al vacío.
Solución
Puado = Pbarométrica -
Pabsoluta
= 950mbar-
5 cm Hg
(
2.953X 10-4 plg Hg )[2.54 cm
Pa
plg
J(
105 Pa )(_ 1_3 bar )
bar 10 mbar
= 883.3 mbar
Ejemplo 2.4
La medición de presión con un manómetro de columna en una cámara indica un valor de 34 cm . s1
la densidad del fluido empleado en el manómetro es igual a 0.8 kg/dm 3 , calcule la presión en mbar.
Solución
Debido a que en un manómetro de columna la presión manométrica del sistema es igual al peso
específica del fluido por la diferencia de niveles,
P = pgf1z = (800 kg/m 3)(9.8 m/s2)(0 .34 m)
= 2665.6 N/m 2
=
26 .66 mbar
2.5 Temperatura
La temperatura es una propiedad termodinámica muy utilizada, pero difícil de definir. Por lo regular
se asocia con la actividad molecular del sistema o se define de forma indirecta.
Imagine dos cuerpos, uno caliente y uno frío: ambos se ponen en contacto. Si además se aíslan del
entorno, el cuerpo caliente se enfría, mientras que el frío se calienta. De esta manera, las propiedades
2 Conceptos y definiciones
17
permanecen invariables con el tiempo al alcanzarse el equilibrio térmico. Por otro lado, si un tercer cuerpo
se pone en contacto térmico con cualesquiera de ellos, y todas sus propiedades permanecen sin
cambio, se dice que los tres cuerpos están en equilibrio térmico entre sí. Esta observación experimental
constituye un axioma termodinámico conocido como Ley cero de la termodinámica, que se enuncia así:
Si dos cuerpos están en.equilibrio térmico con un tercero, los tres están en
equilibrio térmico entre sí.
Es precisamente este axioma el que predice la existencia de una propiedad cuyo valor es el mismo
para todos los sistemas que se hallan en equilibrio térmico.
Considere ahora dos sistemas aislados cuyas masas son ma y m b , respectivamente, los cuales se
encuentran cada uno en equilibrio termodinámico. Estos sistemas están constituidos por sustancias
puras; suponga que ocupan volúmenes va Y vb' Ysus presiones son Pa Y Pb' respectivamente. Es obvio
que el volumen específico Va por sí solo, no determina el estado termodinámico del sistema a, puesto que
aun cuando se establezca Va' la presión Pa puede adquirir diferentes valores. De manera análoga, Pb
no queda determinada por vb• Si ambos sistemas se ponen en contacto térmico, el sistema aislado
compuesto por a y b alcanzará eventualmente un nuevo estado de equilibrio. Es decir, si los volúmenes
va y vb son constantes, las presiones Pa y Pb se ajustarán a las nuevas condiciones de equilibrio, de tal
manera que si se conoce una de ellas puede determinarse la otra. Puesto que los valores de equilibrio
de Pa' Pb' va Y vb no pueden variarse de forma independiente, están relacionados de manera funcional.
Es decir,
(2 .1)
Considere ahora que un tercer sistema c también está en equilibrio térmico con a. Para el sistema
compuesto por a y c,
(2 .2)
Resolviendo para Pa'
(2 .3)
(2.4)
Igualando estas dos últimas expresiones,
(2 .5)
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18 Termodinámica
Puesto que los sistemas by c se encuentran en equilibrio térmico con a por separado, los sistemas b
y c están también en equilibrio de acuerdo con la ley cero de la termodinámica. Esto es,
(2.6)
Al analizar las ecuaciones 2.5 y 2.6 se observa que la primera contiene a va mientras que la segunda no
lo contiene. Si ambas expresiones son eqUivalentes, esto significa que lab y lae contiene a va de tal
manera que éste se cancela en la ecuación 2.5. Es decir, las funciones l ab y lae deben ser de la forma
(2.7)
(2 .8)
En consecuencia,
(2.9)
Combinando las ecuaciones 2.4 y 2.8 ,
(2.10)
o bien,
(2.11)
Relacionando las ecuaciones 2 .9 y 2. 11,
(2.12)
Esta ecuación establece que, para cualquier sustancia pura, es posible encontrar una función h(p, v) que
tenga el mismo valor para todos los sistemas que se encuentran en equilibrio térmico entre sí. Es decir,
(2.13)
Esta propiedad termodinámica T se denomina temperatura. La ley cero de la termodinámica postula
la existencia de esta propiedad a través del equilibrio térmico e indica que el estado termodinámico de
una sustancia pura queda determinado mediante dos propiedades intensivas independientes, dando
origen a las ecuaciones de estado que se estudiarán más adelante de forma detallada.
2 Conceptos y definiciones
19
Existen varios instrumentos de medición para determinar la temperatura de un sistema: termómetros de mercurio, de alcohol, termopares, termómetros de resistencia, termistores, termómetros
bimetálicos, etc. En todos estos instrumentos se utiliza del cambio de una propiedad para registrar la
temperatura. Así, los termómetros de mercurio o alcohol registran la temperatura como consecuencia
de la dilatación que sufre el fluido. En todos estos instrumentos existe una relación funcional entre el
cambio de una de sus propiedades y la temperatura.
Generalmente se seleccionan dos puntos de referencia para establecer una escala de temperatura .
Uno es el punto de congelación, es decir, la temperatura a que se encuentra en equilibrio una mezcla
de hielo yagua saturada de aire, bajo una presión de 1013.25 mbar (1 atm). El otro punto de
referencia es, por lo general, el punto de ebullición, es decir, la temperatura de equilibrio para el
agua pura y su vapor, bajo una presión de 1013.25 mbar. Se seleccionan estos puntos de referencia
por ser de fácil y exacta reproducción en el laboratorio.
A los puntos de referencia se les pueden asignar valores de temperatura por completo arbitrarios.
Por ejemplo, al punto de congelación se le puede asignar un valor de 20 y al de ebullición un valor de
200. Si se divide esta escala en 180 partes iguales, se habrá creado una escala X de temperatura . Sin
embargo, hay dos escalas de temperatura de uso generalizado: la escala Celsius* o centígrada y la
escala Fahrenheit. La escala Celsius asigna un valor de O oC al punto de congelación y de 100 oC al
punto de ebullición, dividiendo estos dos estados de referencia en 100 partes iguales . De la misma
forma , la escala Fahrenheit asigna un valor de 32°F al punto de congelación y de 212 °F al de
ebullición, dividiendo estos dos estados de referencia en 180 partes iguales. Ambas escalas están
relacionadas a través de la expresión.
(2.14)
Suponga ahora que se desea determinar la temperatura del agua en un recipiente y un termómetro de
mercurio registra 52 oC, un termopar 53 oC y un termómetro de resistencia 52.8 oc. Si los tres
instrumentos se han calibrado con anticipación en los puntos de referencia, ¿cuál es la verdadera
temperatura del agua? No puede concluirse nada con la información anterior. Podría suponerse que
uno o varios de los instrumentos mencionados no son lineales en el rango descrito. Sin embargo, lo
que sí puede afirmarse es que todos ellos emplean el cambio en una de sus propiedades físicas para
registrar la temperatura.
Por lo anterior, conviene adoptar una escala de temperatura que sea independiente de las propiedades de una sustancia en particular. Aunque esta escala puede definirse sólo a través de la segunda
ley de la termodinámica, tema que se tratará más adelante, por el momento basta decir que, a
presiones relativamente bajas, todos los gases se comportan de tal forma que su temperatura es
directamente proporcional a la presión, siempre y cuando el volumen permanezca constante. Esto
constituye un termómetro de volumen constante. Si, además, el volumen específico molar de los
gases utilizados en este tipo de termómetro es el mismo, se encuentra una relación lineal única entre
* El grado Celsius es una unidad derivada en el Sistema Internacional de unidades.
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20
Termodinámica
la presión y la temperatura, constituyéndose así lo que se conoce como escala del gas ideal. De lo
anterior se desprende que un termómetro de volumen constante en estas circunstancias es independiente del tipo de gas empleado. Mediante mediciones experimentales puede determinarse la presión
ejercida por el gas en cuestión, en el punto de congelación y en el punto de ebullición. Dado que la
presión es proporcional a la temperatura, como aparece en la figura 2.5, en el límite, cuando la presión
del gas tiende a cero, la temperatura adquiere un valor de -273.15 oC o -459.67 °E Con lo anterior
se establecen las dos correspondientes escalas absolutas de temperatura, esto es, la escala Keluin y
la escala Rankine de temperaturas absolutas . En consecuencia:
(2 .15)
TK = Tc + 273.15
(2 .16)
T
TIr-----------,~
Volumen específico
molar = e
T'!'----7f'
ph
pv
p
Figura 2.5 . Temperatura como función de presión para diferentes gases .
2.6 Resumen
La termodinámica es la ciencia que se ocupa de la transformación de la energía y de las propiedades
de las sustancias involucradas.
Un sistema termodinámico es una porción de espacio o cantidad de materia que se selecciona
con el propósito de analizarlo. Todo lo que es ajeno al sistema se denomina alrededores, yellímite
real o hipotético entre el sistema y los alrededores se conoce como fronteras o límites del sistema.
Los sistemas termodinámicos por lo general se clasifican en dos grandes categorías: sistemas
cerrados y sistemas abiertos . Se dice que un sistema es cerrado si no hay transferencia de masa
entre el sistema y sus alrededores. Por el contrario, en un sistema abierto se da la transferencia de
masa entre el sistema y sus alrededores. Un sistema aislado es un sistema cerrado en el que no
existen interacciones de tipo energético entre el sistema y sus alrededores.
2 Conceptos y definiciones 21
Una propiedad termodinámica es una característica de un sistema observable ya sea de forma
directa o indirecta y no depende de la historia del mismo.
Las propiedades termodinámicas se clasifican en dos grandes categorías: propiedades intensivas y
propiedades extensivas. Las propiedades intensivas no dependen de la masa del sistema. Si el valor de
una propiedad extensiva se divide entre la masa del sistema, la propiedad resultante tiene el nombre
de propiedad específica.
El estado de un sistema queda identificado por el conjunto de valores que tienen las propiedades
termodinámicas en un instante dado.
Un sistema está en equilibrio termodinámico si es incapaz de experimentar de manera espontánea algún cambio de estado en las condiciones que le imponen los alrededores.
Un proceso ocurre cuando el sistema pasa de un estado termodinámico a otro .
Un ciclo es un proceso o conjunto de procesos que dejan el sistema de nuevo en el estado
original que tenía antes de que se realizara.
La trayectoria es el conjunto de estados por los que pasa un sistema al realizarse un proceso.
La presión absoluta en un sistema es igual a la suma de la presión manométrica más la presión
barométrica o atmosférica del lugar. En algunas circunstancias los sistemas operan en condiciones de
vacío, es decir, a presiones inferiores a la presión atmosférica.
La Ley cero de la termodinámica establece que si dos cuerpos están en equilibrio térmico con un
tercero, los tres están en equilibrio térmico entre sí. Esta ley postula la existencia de la propiedad llamada
temperatura, que tiene el mismo valor para todos los sistemas que se encuentran en equilibrio térmico.
Las cuatro escalas de temperatura de uso más extenso son la Celsius, Fahrenheit, Kelvin y Rankine.
Problemas
2.1
Indique si los siguientes sistemas son abiertos o cerrados, especificando los límites del sistema:
a)
b)
c)
d)
2.2
2.3
2.4
Una pelota.
Un automóvil.
Un aire acondicionado de ventana.
Un calefactor de gas.
¿Puede considerarse como sistema aislado el que se compone de un sistema abierto o cerrado y sus alrededores?
Dos estados termodinámicos son idénticos si todas las posibles mediciones físicas de nivel
macroscópico son iguales. ¿Implica esto que cada molécula que forma parte del sistema tiene
la misma localización y velocidad en los dos estados?
Especifique si las siguientes propiedades son extensivas o intensivas:
a) Peso específico.
b) Peso molecular.
e) Concentración.
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22
2.5
2.6
2.7
Termodinámica
Una condición necesaria para que un sistema esté en equilibrio termodinámico es que sea
homogéneo o que esté constituido por varias partes homogéneas en contacto. A la luz de este
enunciado, considere un sistema compuesto por un trozo de hierro, vapor de agua y aire a
temperatura ambiente. Aun cuando al sistema lo conforman varias partes homogéneas que están
en contacto, ¿se encuentra el sistema en equilibrio termodinámico? ¿Puede haber oxidación?
Considere una mezcla de octano (CgHIg) y aire en un calorímetro. La mezcla se encuentra inicialmente a una presión de 1 bar y a una temperatura de 298 K. Después que la mezcla sufre combustión mediante la acción de una chispa eléctrica, los productos se dejan enfriar hasta que vuelven a
las mismas condiciones de presión y temperatura originales. ¿El estado del sistema al finalizar el
proceso es igual al que había cuando éste comenzó? ¿Se trata de un ciclo termodinámico?
Considere un recipiente dividido en dos partes, como se ve en la figura P.2.7. El manómetro A
indica una presión de 4 bar, mientras el B indica una lectura de 2 bar. Si la presión barométrica
del lugar es igual a 1 bar, determine las presiones absolutas existentes en los dos compartimientos, así como la lectura del manómetro C.
Respuestas:
PI = 5 bar
P2 = 3 bar
Pe = 2 bar
2
A
B
e
Figura P.2. 7 .
2.8
Considere el manómetro inclinado de la figura P.2.8. Derive una expresión para determinar la
diferencia de presiones PI - P2 en términos de los diámetros dI y d 2 , del ángulo a, de la densidad
del fluido P y del desplazamiento x del fluido. Verifique la respuesta en el caso en que sean
iguales los diámetros dI y d 2 y el ángulo sea igual a 90° .
2.9
Determine la temperatura donde la escala Celsius coincide con la escala Fahrenheit.
Respuesta:
-40°
2 Conceptos y definiciones
23
e sea
este
P2
Figura P.2.8.
2.10 Si la presión barométrica es de 950 mbar, determine la presión absoluta, en bar, para cada
uno de los casos siguientes:
a) Presión de vacío igual a 12 cm de mercurio.
b) Presión manométrica igual a 10 bar.
e) Presión absoluta de 5 cm de mercurio.
d) Presión de vacío de 20 cm de agua.
2.11 Convierta las siguientes temperaturas a la escala Kelvin:
a) -30
-c.
c) 200°C.
b) -60°F.
d) 18000R.
2.12 En la escala de temperatura Reaumur se asigna un valor de O al punto de congelación y de 80
al punto de ebullición. ¿Cuál es la temperatura del cero absoluto en esta escala?
ar la
sidad
sean
Respuesta:
-218.52°
2.13 Tres metros cúbicos de aire a 25°C y 1 bar tienen una masa de 3.51 kg. Indique tres propie-
]x
dades intensivas y dos extensivas de este sistema.
2.14 Un vacuómetro registra una presión de vacío igual a 500 mbar. Si la presión barométrica del
lugar es igual a 950 mbar, calcule la presión absoluta en mbar.
2.15 Un montañista porta un barómetro que indica 101.3 kPa al pie de una montaña, y el mismo
aparato señala 85.0 kPa en la cima. La densidad promedio del aire es de 1.21 kg/m3. Determine la altura de la montaña.
2.16 Se busca tener una nueva escala de temperatura donde el punto de congelación del agua sea
de O
y el de ebullición, de 1000
¿Cuál sería el cero absoluto en grados X?
ex,
ex.
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24
Termodinámica
Referencias
411
I
1. Doebein,
E. O., Measurement
Systems. Application
and Design, McGraw-Hill,
Nueva York,
1966.
2. Obert, E. F., Concepts 01 Thermodynamics, McGraw-Hill, Nueva York, 1960.
3. Burghardt, M. D., Ingeniería termodinámica, Harla, México, 1984.
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través
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termc
difere
más é
anális
3
(
La primera ley de la termodinámica
Miremos más que somos padres
de nuestro porvenir que no
hijos de nuestro pasado.
MIGUEL DE UNAMUNO
Uno de los axiomas de mayor importancia en esta materia es la primera ley de la termodinámica o
principio de conservación de energía. Dicha ley establece, de forma clásica, que la energía no se crea ni
se destruye en los procesos, sino que sólo se transforma. Para que este axioma en extremo obvio le
sea útil al ingeniero, es necesario identificar de antemano las diferentes formas de energía con el objeto
de poder cuantificarlas y realizar balances energéticos, ya que para el hombre unas formas de energía
son más valiosas que otras. Imagine, por ejemplo, un volante de inercia que gira. Mediante un freno
puede convertirse la energía de movimiento del volante en un calentamiento de ést~ . Dado que la
energía se conserva en todos los procesos, podría deducirse que el mero enfriamiento del freno conduciría a recuperar la energía de movimiento del volante y conseguir que éste girara. La intuición indica que
este segundo proceso es imposible físicamente. En consecuencia, se observa que, aun cuando la energía
se conserva en todos los procesos, unas formas de energía son más valiosas que otras, y existe cierta
direccionalidad en los procesos. Por otra parte, si se da a escoger entre dos cilindros que tienen aire y el
mismo contenido de energía, para arrancar un motor de combustión interna, pero en uno de ellos el aire
se encuentra a 50 bar de presión y en el otro a 50 oC de temperatura, la intuición, de nuevo, indica que
el primero es más valioso que el segundo puesto que estando el aire a presión, se podría hacer pasar a
través de un dispositivo y conseguir el arranque del motor, mientras que con el segundo el arranque sería
quizá imposible. De nuevo, se observa que unas formas de energía son más valiosas que otras. Aun
cuando este valor o utilidad de la energía queda cuantificado solamente a través de la segunda ley de la
termodinámica que se estudiará en capítulos posteriores, por el momento es conveniente identificar las
diferentes formas de energía con el fin de cuantificarlas y realizar balances apropiados. Como será obvio
más adelante, la primera y segunda leyes de la termodinámica constituyen las piedras angulares en el
análisis de todos los procesos en que interviene la conversión de energía.
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26
Termodinámica
3.1 Trabajo
La definición de trabajo en su sentido termodinámico es de una naturaleza aún más extensa que la
tradicionalmente empleada por la mecánica.
Trabajo es una interacción energética entre un sistema y sus alrededores, a
través de aquellas porciones de los límites del sistema en que no hay transfe rencia de masa, como consecuencia de una diferencia en una propiedad
intensiva diferen te de la temperatura entre el sistema y sus alrededores.
Nótese que, según esta definición, solamente puede existir trabajo a través de aquellas porciones
de los límites del sistema donde no hay transferencia de masa . Es posible tratar de determinar el
trabajo de un sistema refiriéndose sólo a él; el trabajo es energía en tránsito a través de los límites del
sistema y es una interacción entre éste y sus alrededores. Es decir, el trabajo es de naturaleza transitoria y no puede almacenarse en el sistema. Generalmente, la diferencia de presión entre un sistema
que no es rígido y sus alrededores crea una fuerza que puede dar origen al trabajo mecánico cuando
hay un desplazamiento. De manera análoga, una diferencia en una fuerza electromotriz da lugar al
transporte de una carga eléctrica que origina el trabajo eléctrico; el par en una flecha de potencia
origina un desplazamiento angular en ella, etcétera.
Por convención, se dice que el trabajo hecho por el sistema sobre sus alrededores es positivo,
mientras que el trabajo hecho por los alrededores sobre el sistema es negativo. La unidad de
trabajo en el Sistema Internacional de unidades es el joule.
Considere a continuación algunos sistemas con el objeto de identificar el trabajo hecho por o sobre
un sistema:
a) Tobera . Es un dispositivo que sirve para aumentar la velocidad o energía cinética de un fluido
mediante su expansión, desde una presión dada hasta otra menor,~como se ilustra en la figura 3.1.
Comúnmente son del tipo convergente o convergente-divergente. En las toberas de tipo convergente-divergente el gas se acelera a velocidades supersónicas, esto es, a velocidades mayores que
la velocidad del sonido, * alcanzándose esta última en la garganta o sección de área transversal
mínima; en cambio, en las toberas convergentes, la máxima velocidad que puede alcanzar el gas
en la descarga es la velocidad del sonido.
Las toberas tienen aplicaciones muy diversas: se encuentran en turbinas de vapor, turbinas de
gas, inyectores, turbojets, cohetes, etc. Dado que las paredes de una tobera son rígidas y constituyen los límites en los que no hay transferencia de masa, el trabajo en ellas es idénticamente igual
a cero.
* Para un gas , la velocidad del sonido es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su temperatura absoluta . Véase
sección 9.6.
3 La primera ley de la termodinámica
27
2
I
T-+
Vi
I
a) Convergente
2
b) Convergente-divergente
Fi9l!ta 3.1. Diagrama esquemátíco de una tobera .
b) Difusor. Es un dispositivo que sirve para disminuir la velocidad o energía cinética de un fluido con
el correspondiente incremento en la presión. De esto se desprende que los difusores realizan el
proceso inverso al que realizan las toberas. Encuentran aplicación en compresores centrífugos,
turbojets, etc. Aquí también el trabajo es igual a cero.
e) Turbina. En una turbina se hace pasar un fluido a presión y mediante una conversión apropiada
de energía, se logra obtener un trabajo con la expansión de éste. El fluido es acelerado a través de
toberas fijas; el momentum resultante se transfiere a los álabes del rotor, obteniéndose así el
movimiento de la flecha motriz. Esta flecha puede estar conectada a un generador eléctrico, un
compresor, u otra carga en general. En la figura 3.2 se presenta el esquema de una turbina. Aun
cuando el tema de las turbinas es muy extenso, las referencias que aparecen al final de este
capítulo lo cubren satisfactoriamente. Aquí baste decir que el trabajo desarrollado por una turbina
sobre sus alrededores es positivo.
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28 Termodinámica
Figura 3 .2. Diagrama esquemático de una tur-
bina.
d) Compresor. Un compresor centrífugo puede considerarse como el inverso de una turbina . En
este caso, los álabes del rotor, impulsados por un dispositivo externo, aumentan la velocidad del
fluido . Enseguida este fluido se hace pasar a través de difusores , disminuyendo su velocidad y
aumentando, en consecuencia, su presión. En este caso, el trabajo es negativo, puesto que los
alrededores hacen trabajo sobre el sistema.
A continuación se desarrollarán algunas expresiones para determinar en forma cuantitativa el
trabajo hecho sobre algunos sistemas o realizados por ellos . En otras circunstancias, el trabajo se
determinará a través de los cambios de energía que origina en el sistema o en sus alrededores .
3.1.1 Trabajo en un sistema cerrado
Considere un sistema cerrado simple, estacionario, como se muestra de forma esquemática en la figura
3.3 , en el cual no hay fricción y la presión es uniforme. Esto último no implica que la presión sea constante.
Mediante principios básicos,
dW= F ds
donde W es el trabajo hecho por el sistema, F la fuerza normal que actúa sobre el área de sección
transversal A del pistón, y s el desplazamiento. En términos de la presión p del sistema,
dW= pAds
o bien,
dW= pdV
29
3 La primera ley de la termodinámica
donde V es el volumen del sistema. Integrando la expresión anterior, el trabajo total hecho por el
sistema sobre sus alrededores está dado por la expresión,
(3.1)
o, por unidad de masa,
W =
Ul
I pdu
(3.10)
VI
n
el
y
os
el
se
ra
te.
ón
La variable independiente en la ecuación 3.1
es el tiempo t, esto es, V(t) o u(t). Si el gas se
expande, el volumen aumenta de tal manera que
dVes una cantidad positiva. Por consiguiente, el
trabajo W es positivo y el sistema hace trabajo
sobre sus alrededores. Durante un proceso de
compresión el volumen del gas disminuye, de tal
manera que dVes una cantidad negativa. En consecuencia, los alrededores hacen trabajo sobre el
sistema durante un proceso de compresión.
Para calcular el trabajo total desarrollado por
el sistema descrito, es necesario conocer de antemano su presión absoluta como función del
volumen entre los estados 1 y 2. La evaluación
de esta integral puede ser una tarea en extremo
difícil si la presión absoluta del sistema no se
conoce de forma explícita en términos del volumen, de forma especial en el caso de gases que
se hallan a presiones relativamente altas. Sin
embargo, de la ecuación 3.1 se desprende que,
en un diagrama presión-volumen, el área que se
halla debajo de la curva descrita por el proceso
es igual al trabajo total, y la determinación de
éste se reduce a la simple evaluación de esta
área. Véase figura 3.3.
Si el sistema realiza un proceso cíclico como
se ve en la figura 3.4, el área encerrada por el
Área A
\
, ,
, ,
,
,
, ,,
, ,
, ,
,
,,
,,
'---------:~
,
,
,,
p~ ,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
:_-------_!
,,
¡,
Límites del
sistema
a)
p
b)
v
Figura 3.3 Sistema cerrado y su correspondiente
diagrama presión-volumen.
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30 Termodinámica
ciclo en un diagrama presión-volumen es igual al trabajo neto desarrollado por el sistema. De
forma analítica,
Wneto =
donde
f p dV
(3 .2)
pdenota la integral cíclica.
Si el sistema cerrado en cuestión experimenta cambios significativos en velocidad y altura, el
trabajo total por unidad de masa hecho por el sistema se expresa así
(3.3)
donde v es el volumen específico, V es la velocidad del sistema, z su altura y los subíndices 1 y 2 se
refieren, respectivamente, a los estados inicial y final. Los términos segundo y tercero se refieren a los
cambios en energía cinética y potencial que experimenta el sistema respectivamente. Se deja al lector,
como ejercicio, la demostración de la ecuación 3.3 a partir de principios básicos.
Aun cuando la presión absoluta del sistema es la que se emplea en el cálculo del trabajo total hecho
por un sistema cerrado, el uso de la presión manométrica en la ecuación 3 .1 da como resultado la
diferencia del trabajo requerido para desplazar la atmósfera que lo rodea. Puesto que ordinariamente se
requiere el trabajo total en los balances energéticos,
se hace imprescindible el uso de la presión absoluta.
La ecuación 3.1 puede emplearse en otras situap
ciones. A manera de ejemplo, considere el'caso de un
b
sistema cerrado como el de la figura 3.3, en el que
intervienen esfuerzos de corte dentro del sistema, esto
es, donde se produce fricción. En este caso, el término
fpdV representa físicamente el trabajo de expansión
desarrollado por el sistema, y no el trabajo total.
Si se considera ahora un sistema cerrado rígido
a
donde el medio de trabajo es perturbado desde los
alrededores con un agitador, el término fpdVes igual
a cero, puesto que el volumen se mantiene constanv
te, pero el trabajo es diferente de cero. De hecho, en
este caso en que interviene la fricción, el trabajo es
Figura 3.4 Proceso cíclico .
negativo y la ecuación 3.1 no es aplicable.
3 La primera ley de la termodinámica
31
Ejemplo 3.1
Una masa de 0.59 g de aire se encuentra en el cilindro de un motor diesel de baja relación de
compresión a una presión de 1 bar y una temperatura de 80 oc. El volumen inicial es de 600 cm 3 ,
reduciéndose durante el proceso de compresión hasta una décima parte de su valor inicial. Suponiendo que el proceso no tiene fricción y es de la forma pV1.3 = e, donde e es una constante, determine
la presión que alcanza el aire y el trabajo requerido en la compresión.
Solución
Puesto que pVl .3 = e,
V
P2 = PI ( v~
J1.3 = (1)(10)13
P2 = 19.95 bar
Puesto que el proceso se desarrolla sin fricción, el trabajo requerido puede calcularse a través de la
ecuación 3.1. Esto es,
= _ ~ (V -0.3 _ V -0.3)
0.3
Sustituyendo la constante e = PI V{·3 = P2
2
1
vi· 3 pV 13 en la expresión anterior y simplificando,
=
w = PI VI [[VI)0.3 0.3
V2
1]
Sustituyendo valores,
w = _ (1 x 105) (600 x 10~ 10°.3 _ 1
(0.3)
(
)
w = -199 .05 J
El signo negativo indica que se hace trabajo sobre el sistema en este proceso de compresión.
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32
Termodinámica
Ejemplo 3.2
Sustn
Un gas dentro de un cilindro está originalmente a una presión de 1 bar y ocupa un volumen de 0.1 m3.
El gas se calienta a presión constante de tal manera que su volumen se duplica. Posteriormente el gas
se expande de acuerdo con la relación p V = C, donde C es una constante, hasta que su volumen se
duplica de nuevo. Determine el trabajo total hecho por y sobre el sistema, y dibuje un esquema del
diagrama correspondiente presión-volumen. Suponga que los procesos se desarrollan sin fricción.
Solución
El esquema de los dos procesos aparece en la figura E.3.2. El proceso 1-2 representa fisicarnente el
calentamiento a presión constante que sufre el gas y el proceso 2-3 está relacionado con la expansión
que sufre el gas de acuerdo con la relación pV = C. Dado que el área que se halla debajo de la curva
1-2-3 es positiva, representa el trabajo total hecho por el sistema sobre sus alrededores. Este trabajo
puede calcularse mediante la relación,
Ejen
Cons
presi
resor
Supe
es ig
Solu
Med
P. bar
1
2
1
La (1
~3
done
0.1
0.2
Figura E.3.2.
0.4
V.m3
3 La primera ley de la termodinámica
33
Sustituyendo valores,
W = (1 x 105){0.1){2 - 1) + (1 x 105){0 .2) In (2)
= 0.24 x 105 J
= 24 kJ
Ejemplo 3.3
Considere el sistema de la figura E.3.3. En principio, el resorte está deformado 0.5 cm cuando la
presión del gas en el cilindro es igual a 2 bar. Mediante calentamiento, el gas se expande hasta que el
resorte se deforma 1 cm. Calcule el trabajo desarrollado por el sistema y la presión final del gas .
Suponga que el proceso es sin fricción y la deformación del resorte es elástica. El diámetro del pistón
es igual a 5 cm.
Figura E.3.3.
Solución
Mediante principios básicos,
La constante k puede determinarse mediante la relación,
donde A es el área de sección transversal del pistón. Por consiguiente,
PIA 7td 2 Pl 1t(5/ 100)2(2x1OS)
k = -X-l = - -4X
-l- = --(4""")--:-:(0=-.=5/---'1~0;-;::0::-)k = 78 539 .82 N/m
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34 Termodinámica
Por tanto,
w = (78 539 . 8~~~0.5/100)2 (22 _ 1) = 2.95 J
Para calcular la presión final del gas,
Ejemplo 3.4
Un globo esférico tiene un diámetro de 0 .2 m y contiene aire a una presión de 1.2 bar. Debido al
calentamiento, el diámetro del globo aumenta hasta un valor de 0.25 m. Durante este proceso, la
presión del aire es proporcional al diámetro del globo. Calcule el trabajo de expansión que hace el aire.
Solución
El trabajo desarrollado puede calcularse mediante la ecuación 3.1. Puesto que la presión es proporcional al diámetro,
p= Cd
El volumen del globo puede escribirse así
1td 3
V=-
6
Por tanto,
2
dV = 1td dd
2
En consecuencia,
donde
3 La primera ley de la termodinámica
35
Integrando la expresión anterior y simplificando,
= (1.2 x
105)7t(0.2)3[(0.25)4 _ 1]
(8)
0.20
= 543.4
J
L~---------1/
Ejemplo 3.5
Considere un recipiente rígido como el que aparece en la figura E.3.5. El gas se encuentra separado
del espacio vacío mediante una membrana. Si ésta
se rompe y el gas ocupa todo el recipiente, calcule el trabajo hecho por y sobre el sistema.
1
1
1
1
gas
1
1
1
11 __________________
membrana
-------
vacío
I
I
1
1
1
1
1
11
Solución
Al analizar los límites del sistema que se muestra
en la figura E.3.5, se concluye de inmediato que
el trabajo hecho por y sobre el sistema es igual a
cero, puesto que no hay interacción energética a
través de sus límites.
Figura E.3.5.
3.1.2 Trabajo en un sistema abierto
Considere un sistema abierto que opera sin fricción, en estado estable, con una entrada y una
salida de flujo, como se ve en el esquema de la
figura 3.5. Por estado estable se entiende que
todas las propiedades termodinámicas del sistema permanecen invariables con el tiempo.
Con el objeto de calcular el trabajo total desarrollado por este sistema abierto, considere primero una masa unitaria (sistema cerrado) que viaja a través del sistema. Debido a la expansión que
Figura 3.5. Sistema abierto con una entrada y una
puede sufrir, así como a los posibles cambios en salida de flujo.
~
...J.--I
__
L
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36
Termodinámica
energía cinética y potencial, la masa unitaria puede realizar un trabajo al desplazarse entre las coordenadas 1 y 2 . Es decir, de acuerdo con la ecuación 3.3,
dw sc = pdv - d(ec) - d(ep)
Por otro lado, se requiere cierta cantidad de energía, suministrada por los alrededores , para
introducir esta masa unitaria en el sistema a través de 1. De manera análoga, se requiere también que
el sistema proporcione energía para expulsar la masa unitaria a través de 2. La energía requerida para
introducir o e~pulsar la masa unitaria del sistema puede calcularse analizando las coordenadas 1 02.
f
A partir de principios básicos,
donde p es la presión del fluido en las coordenadas 1 o 2, A es el área de sección transversal por donde
entra o sale éste, y Ves la velocidad del fluido. Puesto que el sistema opera en estado estable, el
principio de conservación de materia requiere que el flujo de masa m que entra en el sistema sea igual
al que sale de él. Por consiguiente,
donde
AV
m=pAV=-
v
Por tanto ,
o, por unidad de masa,
w¡ = pv
Esta energía w¡ se conoce, a menudo, como energía de flujo . Sin embargo, debe anotarse que
esta energía no puede considerarse como trabajo de acuerdo con su definición termodinámica. De
hecho, se trata de una propiedad.
Al analizar todo el sistema abierto de la figura 3.5 y teniendo en cuenta que el trabajo por unidad
de masa w que desarrolla el sistema abierto es debido a la masa unitaria,
3 La primera ley de la termodinámica 37
o, de forma diferencial,
dw = dw sc - d(pv)
= dw sc - pdv - vdp
dw = pdv - d(ec) - d(ep) - pdv - vdp
Por consiguiente,
- 2
-2
V2 - VI
W =v dp - g(Z2 - Zl)
PI
2
P2
f
(3.4)
Mediante esta expresión se puede calcular el trabajo total por unidad de masa que desarrolla un
sistema abierto. Para calcular la potencia,
(3.5)
W=mw
Observe que en el caso de que w sea igual a cero, la ecuación 3 .4 corresponde a la ecuación de
Bernoulli. Puesto que la misma ecuación 3.4 implica que el sistema opera sin fricción, la potencia
calculada representa el valor máximo que puede desarrollar el sistema. En el caso de sistemas que
requieren trabajo, la ecuación 3 .4 aporta el valor mínimo necesario.
Ejemplo 3.6
Se desea comprimir 0 .685 kg/s de aire en un compresor centrífugo, desde una presión absoluta de
0 .8 bar y una temperatura de 298 K, hasta una presión de 3.2 bar. La densidad del aire en la succión
del compresor es de 0.935 kg/ m 3 . Estime la potencia requerida para impulsar el compresor, suponiendo que el proceso no tiene fricción y puede expresarse de la forma pv1.4 = C, donde C es una
constante. Los cambios en energía cinética y potencial del aire son insignificantes.
Solución
Mediante la ecuación 3.4,
f
w = - v dp = _C 1 / 14
Al hacer la integración y notar que C = PI vI 1.4,
f p-l/1.4 dp
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38
Termodinámica
W
= _ 1. 4 PI
O.4Pl
P2
PI
o.4/1.4
[( J
]
_1
Al sustituir valores,
= _ (1.4)(0.8 x 105) (40286 _ 1)
w
(0.4)(0.935)
w = - 1.46 x 105 J/kg
Por tanto,
w= mw =(0.685)(-1.46 x 105) -100 kW
=
donde el signo negativo indica que se requiere trabajo de los alrededores (v. gr. un motor eléctrico,
una turbina, etc.) para impulsar el compresor.
Ejemplo 3.7
Entra aire en una tobera a una presión de 10 bar y con un volumen específico de 0.096 m 3/kg. El aire
se descarga por la tobera a una presión de 1 bar. Calcule la velocidad del aire a la descarga si el
proceso no tiene fricción y es de forma pu l.4 = C, donde C es una constante. La velocidad del aire a
la entrada de la tobera puede suponerse despreciable.
Solución
Puesto que el trabajo en una tobera es igual a cero, de la ecuación 3.4 se desprende que ,
- 2
V2
0=- udp-2
f
Por consiguiente,
v,' =-2fudP=-2~>1 Ul[(~:
)"" -1]
= -(2)(1.4)(10x 105 )(0.096) (0.10386 -1)
(0.4)
= 324 168.21 m2/s2
V2 = 569.36 mi s
3 La primera ley de la termodinámica
39
Ejemplo 3.8
Se desea bombear 200 dm 3/ min de un aceite combustible que tiene una densidad relativa de 0.8,
desde una presión de vacío de 120 mm Hg, hasta una presión manométrica de 2 bar. La descarga del
aceite se encuentra a 5 m por encima de la succión. El diámetro del tubo de succión es de 0.25 m y
el de descarga es de 0.15 m. La presión barométrica del lugar es de 716.3 mm Hg. Estime la
potencia requerida para impulsar la bomba.
Solución
Según los datos ant~riores, las presiones absolutas son,
PI = 716.3 - 120 = 596.3 mm Hg = 0.80 bar
P2 = 2 + 0.95 = 2.95 bar
Para determinar la velocidad del aceite combustible en la entrada y la salida de la bomba, puede
suponerse que el fluido es incompresible. Es decir,
v = 4G = (4)( 200 x 10-3 /60) = 0068
I
1t d¡
1t(0.25)2
.
mis
(4)(200 x 10-3 /60)
7t(0.15)2
= 0.188 mis
El flujo de masa de aceite combustible que se quiere hacer circular es,
rñ = P G = (0.8 x 1)(200/ 60) = 2.67 kg/ s
Sustituyendo los datos anterioresfin la ecuación 3.4,
w= -
= -
P2 - PI
p
-2
-2
V2- VI
2
A_
- g L1L.
(2.95 - 0.80)105 (35.3 - 4.6) 10-3
0.8 x 103
2
- (9.8)(5)
= - 269 - 0.015 - 49 = - 318 J/kg
Por tanto,
W= mw = (2.67)(-318) = - 849 W
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40 Termodinámica
3.2 Calor
Al analizar la definición termodinámica de trabajo se observa que la propiedad llamada temperatura
se excluye de manera específica. A la luz de este razonamiento, tenemos que:
Calor es una interacción energética entre un sistema y sus alrededores, a
través de las porciones de los límites del sistema donde no hay transferencia de masa, como consecuencia de la diferencia de temperatura entre el
sistema y sus alrededores.
A semejanza del trabajo, el calor es energía en tránsito a través de los límites del sistema donde no
hay transferencia de masa y, por ende, no puede almacenarse. El calor se transfiere de mayor a menor
temperatura; esta transferencia de energía se realiza como consecuencia única y exclusivamente de
una diferencia de temperatura entre el sistema y sus alrededores.
Por convención, se dice que el calor suministrado a un sistema es positivo, mientras que el
calor cedido o disipado por un sistema a sus alrededores es negativo. Un proceso es adiabático
si su calor es igual a cero. Es decir, todo proceso adiabático implica que el sistema está aislado
térmicamente de sus alrededores.
El calor por lo regular se determina en cualquier sistema a través de los cambios de energía que
origina dentro del sistema o en sus alrededores. La unidad de calor en el Sistema Internacional de
unidades es el joule. Comúnmente el símbolo del calor es Q.
Ejemplo 3.9
Considere una casa-habitación dotada de calefactores eléctricos, durante una noche de invierno.
Indique si existe transferencia de calor en los siguientes sistemas:
a) Un calentador eléctrico.
b) Toda la casa-habitación.
Solución
a) Si se analiza un calentador como sistema, la transferencia de calor es negativa. Puesto que
los elementos térmicos que constituyen el calentador se encuentran a mayor temperatura
que el aire ambiente y las paredes de la casa, el calor fluye de éste hacia sus alrededores.
b) Tras analizar toda la casa-habitación como sistema, se determina que la transferencia de
calor tal)1bién es negativa. Dado que el aire exterior está a menor temperatura que la casa
habitación, el calor fluye desde el sistema hacia los alrededores.
Ejemplo 3.10
Considere un intercambiador de calor de flujos encontrados como el que aparece en el esquema de la
figura E. 3.10. El agua fluye por el interior de los tubos y se calienta desde 25 hasta 70 o C. Este
3 La primera ley de la termodinámica
ra
41
calentamiento del agua se logra haciendo circular aire caliente por el exterior de los tubos. El aire entra
en el intercambiador a 100 "C y sale de él a 40 "C. Indique si existe transferencia de calor en los
siguientes sistemas:
a) El agua que circula por el interior de los tubos.
b) El sistema limitado por el interior de la carcaza del intercambiador y el exterior de los tubos.
c) Todo el intercambiador de calor.
Solución
o
a) El calor es positivo, ya que el aire caliente cede calor al agua (sistema).
b) El calor es negativo, ya que el aire caliente (sistema) cede calor al agua.
c) El sistema es en esencia adiabático, puesto que prácticamente todo el calor cedido por el
aire caliente es transferido al agua en los tubos.
o
e
e
~
§l=l
AgU-;+~-----~
t
a
e
Figura E.3.tO.
Aire
~"P"f;d'
adiabática
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42 Termodinámica
3.3 La primera ley de la termodinámica en un sistema cerrado
De las definiciones anteriores se desprende que las únicas interacciones energéticas que pueden
ocurrir a través de los límites o fronteras de un sistema cerrado son trabajo y calor. Por otro lado,
ambas formas de energía son de tipo transitorio.
Considere a continuación un sistema que opera de manera cíclica, como se ve en la figura 3.6.
Mediante distintas mediciones experimentales a través del tiempo, se ha encontrado que la cantidad
neta de calor suministrado al sistema en cualquier ciclo termodinámico es igual al trabajo neto desarrollado por éste. Es decir,
(3 .5)
donde f denota la integral cíclica.
p
b
a
v
Figura 3.6. Proceso cíclico.
La ecuación anterior constituye en esencia la primera ley de la termodinámica. Esto es ,
el calor neto agregado a un sistema que opera de manera cíclica es igual en
magnitud al trabajo neto desarrollado por éste.
Este principio axiomático postula la existencia de una propiedad extensiva del sistema E, a saber,
que un cambio en su valor entre dos estados cualesquiera es numéricamente igual a la diferencia entre
el calor neto agregado a un sistema cerrado y el trabajo neto desarrollado por éste en el proceso. Esta
propiedad se conoce como energía del sistema . Matemáticamente,
3 La primera ley de la termodinámica
43
dQ - dW = dE
(3.6)
Q- W=~E
(3.60)
Al integrar entre dos estados 1 y 2,
donde ~E = E2 - El representa el cambio en energía del sistema. Por unidad de masa,
q - w = ~e
(3.6b)
Acéptese el axioma de la expresión 3.5 y la validez de la ecuación 3.6 puede verificarse recurriendo a la contradicción. Con este fin, considere dos procesos arbitrarios cualesquiera A y B a través de
los cuales el sistema cerrado cambia desde el estado 1 hasta el estado 2, como se ve en la figura 3 .7.
Puesto que la expresión 3.6 es válida para cualquier proceso, supóngase por contradicción que,
fLA (dQ - dW) fLB (dQ - dW)
;#;
(37)
p
2
v
Figura 3.7. Tres procesos cualesquiera.
donde f~-A denota la integración del estado 1 al estado 2 a lo largo de la trayectoria A y f~-B denota
de forma similar la integración desde 1 hasta 2 a lo largo de B. Considere a continuación el proceso
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44
Termodinámica
arbitrario e a través del cual el sistema retorna a su estado original 1. Si se analizan los ciclos
termodinámicos 1 - A - 2 - e - 1 y 1 - B - 2 - e - 1,
f l-A-2-C-l (dQ - dW) = fLA (dQ - dW) + f~-c (dQ - dW)
(3 .8)
f l-B-2-C-l (dQ - dW) = f:_B(dQ - dW) + f~_c(dQ - dW)
(39)
también
Restando la ecuación 3.9 de la 3.8 e introduciendo la 3 .7,
¡r l-A-2-C-l (dQ -dW) :;t 'J,( l-B-2-C-l (dQ - dW)
(3 .10)
Esta última expresión contradice la primera ley de la termodinámica, ya que ambas integrales deben
ser iguales entre sí e iguales a cero, como lo establece la ecuación 3.5. Esto es,
f(dQ-dW)=O
La ecuación 3.6 puede interpretarse físicamente de una manera sencilla. Puesto que las únicas interacciones
energéticas que pueden ocurrir a través de los límites de un sistema cerrado son calor y trabajo, la transferencia neta de calor suministrado a un sistema en un proceso, menos la transferencia neta de energía desarrollada por éste como trabajo, debe ser igual al incremento neto en energía E del sistema. Por supuesto, dicho
incremento puede ser negativo. Dado que el cambio en el valor de la energía del sistema entre dos estados
no depende del tipo de proceso y adquiere el mismo valor al realizarse un ciclo termodinámico, la energía
E del sistema es una propiedad. La ecuación 3.6 constituye un balance general de energía para cualquier
sistema cerrado, y por tanto, es válida para cualquier tipo de proceso. De hecho, esta expresión es una
forma alterna de expresar la primera ley de la termodinámica para un sistema cerrado.
En el caso de un sistema aislado, su energía permanece invariable, puesto que Q = W = O y t:..E = O.
Es decir, la energía no se crea ni se destruye en los procesos, sólo se transforma.
Nótese que la primera ley de la termodinámica sólo proporciona información con respecto a
diferencias en energía y no en relación con valores absolutos de ella. Si se desea asignar valores es
necesario establecer un estado de referencia.
El lector sin duda preguntará acerca de la naturaleza de la propiedad extensiva E. La energía del
sistema incluye varios tipos de energía: energía de posición o potencial con respecto a un plano de
referencia (EP); energía de movimiento o cinética del sistema (EC); energía debida al movimiento y
configuración propia de las partículas que constituyen la materia del sistema (U). Esta última forma de
energía, asociada con el estado termodinámico de la materia que constituye el sistema, es indepen-
3 La primera ley de la termodinámica
45
diente de la atracción gravitacional o movimiento de éste, y se conoce como energía interna. * De lo
anterior se desprende que,
m V2
E = U + EC + EP = U + - 2 - + mgz
(3 .11)
o, por unidad de masa,
\72
e=u+-+gz
2
(3.11a)
En ausencia de cambios significativos en la energía cinética y potencial, la primera ley de la
termodinámica para un sistema cerrado se reduce así
Q- W=!::.U
(3.12)
q - w =!::.u
(3.12a)
y por unidad de masa
Ejemplo 3.11
Durante el proceso de carga de un acumulador eléctrico, la corriente es de 20 A y el voltaje de 12.3 V.
El acumulador disipa 7 W de calor durante el proceso. Determine la razón de cambio con respecto al
tiempo de la energía interna del acumulador.
Solución
Puesto que los cambios de energía cinética y potencial son iguales a cero, la primera ley de la
termodinámica establece que,
dU
dt
Q-W=* En general, la energía interna u de una sustancia pura depende de la temperatura y volumen específico (o denSidad).
esto es, u = u(T, v).
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46 Termodinámica
donde
w= - VI = - (12.3) (20) = - 246 W
Por consiguiente.
dU .
.
= Q - W = (-7) - (- 246) = 239 W
dt
-
Ejemplo 3.12
El aire contenido en un cilindro se comprime por medio de un pistón de acuerdo con la relación pVn = e,
donde e es una constante y n = 1.4. Originalmente el aire se encuentra a una presión de 1 bar y
ocupa un volumen de 400 cm3 . El volumen del aire se reduce durante la compresión hasta 1/ 8 de su
valor inicial. Si el proceso es adiabático y se desarrolla sin fricción, calcule el cambio en energía
interna que experimenta el aire.
Solución
Puesto que el proceso de compresión no tiene fricción,
w= fpdV= fev- n dV
Realizando la integración y notando que e = PI V~,
w = PI VI [( VI Jn-I - 1]
1-n
V2
Sustituyendo valores,
w _ (1 x lO!) (400 x 10-6)
-
(l - 1.4)
0.4
(8
- 1)
W = -129.74 J
Puesto que el proceso es adiabático, la primera ley de la termodinámica establece que
tlU= -W
Por tanto,
tlU = - (-129 .74) = 129.74 J
3 La primera ley de la termodinámica 47
Este resultado indica que la energía interna del estado 2 con respecto a la del estado 1 difiere por
129.74 J.
Ejemplo 3.13
Un recipiente rígido y aislado como el de la figura E.3 .13 contiene dos compartimientos. Inicialmente
uno de ellos contiene aire a 2 bar y 80 oC, mientras que el otro está vacío. Al quitar la división que los
separa, el aire ocupa todo el recipiente. Determine el cambio en energía interna del aire durante este
proceso.
aire
vacío
Figura E.3.13.
Solución
Utilizando la primera ley de la termodinámica se obtiene que L'lU es igual a cero, puesto que el calor
Q y el trabajo W son también iguales a cero. Por consiguiente, la energía interna del aire permanece
constante.
3.4 Entalpía
La entalpía es una propiedad sumamente importante en los análisis termodinámicos. Esta propiedad
termodinámica se define
H= U+ pV
(3.13)
h = u + pu
(3 .130)
o, por unidad de masa,
La unidad de entalpía corresponde a una unidad de energía, y en el Sistema Internacional de
unidades es el joule. En entalpía, al igual que en energía interna, sólo pueden establecerse diferencias y
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48
Termodinámica
no valores absolutos . Para asignar un valor de entalpía a un estado termodinámico es necesario
establecer un valor arbitrario en un estado de referencia dado. Esta propiedad termodinámica no tiene
ningún sentido o interpretación física, y constituye meramente una agrupación de propiedades que se
presentan con frecuencia en los análisis termodinámicos.
3.5 La primera ley de la termodinámica en un sistema abierto
Considere un sistema abierto que opera en estado estable y con una entrada y una salida de flujo
como se observa en el esquema de la figura 3.8. Puesto que la energía se conserva en todos los
procesos,
(Flujo neto de calor agregado al sistema)
- (Potencia neta desarrollada por el sistema)
+ (Flujo de ene.rgía asociada con el fluido que entra al sistema)
- (Flujo de energía asociada con el fluido que sale del sistema)
=0
El balance anterior implica que la energía E almacenada o contenida en el sistema permanece
constante. Es decir, todas las propiedades termodinámicas del sistema permanecen invariables con el
tiempo al operar en estado estable.
w
Q
0)
I
Z2
_
..
~- - -
Figura 3.8. Sistema abierto con una entrada y una salida de flujo .
3 La primera ley de la termodinámica
49
La energía asociada con el fluido que entra o sale del sistema puede ser: energía interna, energía
cinética y energía potencial. Por otro lado, debe recordarse que se requiere una energía o trabajo de
flujo para introducir o expulsar el flujo de masa del sistema. En consecuencia, la energía por unidad
de masa e¡ asociada con el fluido que entra o sale del sistema es de la forma
y utilizando la definición de entalpía
\72
e¡ =h+-+ gz
2
(3 .14)
donde los valores de entalpía h, velocidad Vy altura z, se evalúan en las condiciones de entrada o
salida del sistema.
Introduciendo los conceptos anteriores se puede formular de manera analítica el balance de
energía para este sistema abierto. Así,
Q - W+ É¡I - É¡2 = O
o bien,
Sustituyendo la ecuación 3.14 y teniendo en cuenta que el flujo de masa es constante, esto es ,
m= mi = m2
(315)
o , por unidad de masa,
(3 .150)
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50
Termodinámica
La ecuación 3 .15 es una forma común de expresar la primera ley de la termodinámica para un
sistema abierto que opera en estado estable y con una entrada y una salida de flujo . Mediante la
determinación analítica o experimental de todos los términos de esta ecuación menos uno, se puede
calcular el restante.
Ejemplo 3.14
Considere una turbina como la de la figura E.3.14, que recibe 25 000 kg/ h de vapor procedente de
una caldera, a una presión de 10 bar ya una temperatura de 200 oc.
Figura E.3.14
La turbina descarga el vapor en un condensador con una presión absoluta de 0.05 bar. La
entalpía del vapor a la entrada de la turbina tiene un valor de 2828 J/ g con respecto a cierta referencia; el valor correspondiente de entalpía a la descarga de la unidad es de 2040 J / g. Si el proceso de
expansión es esencialmente adiabático y los cambios en energía cinética y potencial son despreciables, calcule la potencia desarrollada por la unidad.
Solución
Mediante un balance de energía,
w= h,- h2
W =
2828 - 2040 = 788 J/ g
En consecuencia,
W=mw =(25 X 106/ 3600)(788) = 5472.2 kW
3 La primera ley de la termodinámica
n
a
e
51
Ejemplo 3.15
Durante las pruebas de banco de un motor de combustión intema de automóvil se obtuvieron los
siguientes datos:
e
1. Velocidaddel motor
3000 RPM
2. Potencia desarrollada
32 kW
3. Temperatura del agua de enfriamientoa la entrada del motor
4. Temperatura del agua de enfriamientoa la salida del motor
24°e
53°e
5. Flujode masa de agua de enfriamiento
6. Incremento en la entalpía del agua al circularpor el sistema
de enfriamiento
8.4 kg/min
7. Presión barométrica
954 mbar
121.2 J/g
a) Utilizando los datos anteriores, calcule el flujo de calor disipado por el motor al sistema de
enfriamiento. Suponga que todo el calor disipado por los cilindros se transfiere al agua
de enfriamiento.
b) Calcule el porcentaje de la potencia desarrollada por el motor que se disipa de forma calorifica.
Solución
a) Analizando sólo el circuito de refrigeración como sistema y despreciando
energía potencial y cinética, tenemos
Ó =rn tlh = (8.4 x 103/60)(121.2)
a
ne
= 16.97
los cambios en
kW
Es decir, el motor disipa 16.97 kW en forma de calor.
ab)
% W = (16.97) 100 = 53.03%
(32)
Observe la enorme cantidad de calor que se pierde en un motor de automóvil. Esta energía no es
prácticamente recuperable, a no ser que se utilice para servicio de calefacción.
Ejemplo 3.16
El compresor de una turbina de gas aspira aire ambiente a una presión absoluta de 1 bar y a una
temperatura de 25 "C. La presión del aire a la descarga del compresor es de 4 bar, y su temperatura
es de 200 "C. La velocidad del aire en la succión del compresor es prácticamente despreciable,
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52
Termodinámica
mientras la velocidad de éste a la descarga es de 900 mis. El flujo de masa de aire que se hace pasar
a través del compresor es de 1000 kg/ min. La entalpía específica (J/ g) del aire es directamente
proporcional a su temperatura (oC). Calcule la potencia requerida por el compresor.
Solución
Mediante un balance de energía,
v
= h2 - hl + _2_
2
- W
2
= (200 - 25)103 + (90)2
2
- w = 175 000 + 4050 = 179 050 J/ kg
Por tanto,
W=mw= (1000/ 60) (-179 050) = -2984.17 kW
Nótese que la contribución de la energía cinética es prácticamente despreciable: del orden de 2.3% de
la potencia.
Ejemplo 3.17
Se expande aire en una turbina desde una presión de 5 bar y una temperatura de 600 oC hasta una
presión de 1 bar. El volumen específico del aire a la entrada de la turbina es de 501.1 cm 3/ g. Al pasar
por la turbina el aire disminuye su entalpía en 342.9 J/ g. Suponiendo que el proceso de expansión se
desarrolla sin fricción y es de la forma pv n = e, donde e es una constante y n = 1.45, calcule el calor
por unidad de masa que disipa la turbina. Suponga además que los cambios en energía cinética y
potencial son despreciables.
Solución
Puesto que el proceso no tiene fricción y se produce en estado estable,
w=- fvdp=-C I / n fp-I / n dp
Realizando la integración y notando que e = PI ví',
w=
-~
r(p2 Jn~1 -11
-1
n
PI
3 La primera ley de la termodinámica
53
Sustituyendo valores
)(501.1 x 10-3 ) (O 20.31 _ 1)
(0.45)
x
.
= _ (1.45)(5 x 10
w
5
= 317 .132 kJ/kg
Por tanto,
q = w + fl,h = 317.312 + (-342.9)
=
-25.77 J/ g
Ejemplo 3.18
Cuando un fluido se expande desde una región de alta presión hasta otra de baja presión, por lo
general se hace trabajo o se producen cambios en energía potencial o cinética. Cuando no hay tales
efectos se dice que el proceso es de estrangulamiento. Mediante una válvula se puede estrangular un
fluido, pues, cuando adqUiere una velocidad alta, se disipa en turbulencia. En consecuencia, los cambios en velocidad son pequeños o pueden reducirse a cero mediante la selección apropiada del diámetro en los tubos. El trabajo desarrollado en una válvula es cero y el calor comúnmente es despreciable
o igual a cero.
A partir de la primera ley de la termodinámica, muestre que el proceso en una válvula es de tal
forma que la entalpía del fluido recupera a la salida el valor inicial de la entrada.
Solución
De acuerdo con la primera ley de la termodinámica,
q - w = fl,h + fl,(ec) + fl,(ep)
puesto que q = w = fl,(ec) = fl,(ep) = O,
(a)
El resultado anterior no implica que la entalpía del fluido se mantenga constante en todo el
proceso. Lo que indica es que la entalpía inicial y la final son iguales, por lo que no es posible
establecer que el proceso sea isoentálpico. Al proceso de estrangulamiento que obedece la ecuación
(a) se le denomina expansión de Joule-Thomson. De lo anterior se concluye que una expansión de
este tipo es una forma de fricción, puesto que desaprovecha la capacidad del sistema para realizar
trabajo.
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54
Termodinámica
Ejemplo 3.19
Entra aire en una tobera convergente con una presión de 1.2 bar y a una temperatura de 100 oc. El
aire se expande adi~báticamente de acuerdo con la relación pu l .4 = e, donde e es una constante,
hasta una presión de 1 bar. La entalpía del aire disminuye 19.3 J/g durante el proceso. Determine la
velocidad del aire a la descarga de la tobera suponiendo que (A 2u¡lAl u2) ~ O, donde Al y A2 se
refieren respectivamente a las áreas de la sección transversal en la entrada y en la salida, y uI y U2
denotan de manera similar los volúmenes específicos del fluido a la entrada y a la salida.
Solución
Usando la primera ley de la termodinámica,
Puesto que el flujo de masa es constante,
Por consiguiente,
=
(2)(19.3 X 103)
V2 = 196.47 mi s
Observe que la relación (A2uI/Al u2) ~ O implica que la velocidad VI es despreciable.
3.6 La primera ley de la termodinámica
para cualquier sistema
Considere ahora un sistema abierto en general con ~ entradas y esalidas de flujo como el que aparece
en la figura 3.9. Un balance de energía en este sistema general indica que
(Flujo neto de calor agregado al sistema)
- (Potencia neta desarrollada por el sistema)
3 La primera ley de la termodinámica
55
+ (Flujo de energía asociada con los eflujos de masa que salen del sistema)
+ (Flujo de energía asociada con los eflujos de masa que salen del sistema)
=
Razón de cambio de la energía almacenada o contenida en el sistema
E'k ---+
E
E,¡
w
Figura 3.9. Sistema abierto en general.
Este balance de energía puede escribirse de forma analítica como sigue
o bien
(3 .16)
Sustituyendo la ecuación 3.14,
(3.16a)
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56
Termodinámica
La ecuación anterior constituye un balance general de energía válido para cualquier sistema.
Generalmente, esta expresión va acoplada con el principio de conservación de la materia, que establece lo siguiente
(3.17)
donde m se refiere a la masa del sistema.
Algunas de las ecuaciones presentadas antes constituyen casos particulares de la ecuación 3 .16
a) Para un sistema cerrado (Lé1, = Ltmt = O),
.
.
.
Q-W=E
o, integrando con respecto al tiempo,
Q - W=!lE
(3.6a)
b) Para un sistema abierto que opera en estado estable, con una entrada y una salida de flujo ,
(E = O,
mI = m2 = m),
Ó-
w= m(ef2 - e
.
.
jl )
.
Q - W = m h2 - hl +
[
1
-2
-2
V
2 - VI
2
+ g (Z2 - ZI)
(315)
e) Para un sistema adiabático que opera en estado estable, en el que W sea igual a cero y los
cambios en energía cinética y potencial sean despreciables,
Ejemplo 3 .20
Por una tubería circula vapor de agua a una presión de 10 bar y a una temperatura de 300 oc. La
entalpía del vapor en estas condiciones, con respecto a una referencia, es igual a 3051.2 J / g. Un
3 La primera ley de la termodinámica
57
recipiente vacío está conectado a la tubería a través de una válvula como se ve en la figura E.3.20. Al
abrir la válvula, el vapor llena de inmediato el recipiente hasta que la presión alcanza un valor de 10
bar. El proceso de llenado se lleva a cabo de manera adiabática y las energías cinética y potencial del
vapor son despreciables. Determine la energía interna por unidad de masa que tiene el vapor en el
recipiente al finalizar el proceso.
Solución
Utilizando la ecuación 3.16a e integrando con respecto al tiempo,
pero
Por tanto,
U2 = ht = 305l.2
Vapor
a 10 bar y 300°C
J/g
--~
---+
:{]
-----.....-- ----,
-1
1
1
r+'
Sistema
1
1
Vacío
I
1
1
1
1
I
___________ J1
Figura E.3.20.
Ejemplo 3.21
En un sistema de refrigeración comercial entran en el condensador 60 kg/h de freón 12 como vapor
con una temperatura de 60°C. Durante el proceso de condensación para transformarse en líquido, el
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58
Termodinámica
admis
volum
de ad
refrigerante disminuye su entalpía en 113.52 J/g. El agua de enfriamiento empleada en el condensador entra a 25°C y se descarga a 40°C, aumentando así su entalpía en 62.8 J/g. Calcule el flujo de
masa de agua requerido por el condensador.
SUPO!
Solución
Soluc
Con el diagrama de la figura E.3.21 y utilizando la ecuación 3.18,
Utílíz:
pero
.
.
.
.
mi = m2 Y m3 = m4
p
Por tanto,
.
.
h3 - h4
mI = m3 h _ h¡ = (60)
113.52
62.8
= 108.46
kg/h
2
.~
Agua
!
._- .--.0-.
--0
0)
.• ...................
. . . -:-.. -: •....,....,-'
. . . . . .• ":-•. ....,.-.:-:-. . •. ....,.--:--:-,...,
. . . .
r:". ""':".-,.:-:-.
Freón 12
-+
. .. - . . . . . . ~-'-.;....:.-'-.;......;..-;
---
·-_·0_·
--0
..
¡
Figura E.3.21.
Ejemplo 3.22
Al finalizar la carrera de escape en un motor de combustión interna, su cámara de combustión queda
ocupada por una masa mI de residuos, los cuales tienen una energía interna ul. Durante la carrera de
3.7
Una¡
terme
come
turbir
disipé
3 La primera ley de la termodinámica
59
admisión que le sigue, una mezcla de aire y gasolina se introduce al interior del cilindro mientras el
volumen aumenta desde un valor VI hasta un valor V2 . Si m 2 es la masa final total al terminar el proceso
de admisión y éste se realiza a una presión constante p , establezca el balance de energía apropiado.
Suponga que el proceso es adiabático.
Solución
Utilizando la ecuación 3.16a ,
donde
Por tanto, agrupando términos,
3.7 Máquinas térmicas y eficiencia. Refrigeradores
y coeficiente de funcionamiento
Una máquina térmica es un sistema que recibe calor y desarrolla trabajo mientras realiza un ciclo
termodinámico. Un ejemplo típico de máquina térmica lo constituye la planta de generación de vapor
como se ve en la figura 3.10. El vapor procedente de la caldera se expande adiabáticamente en la
turbina (con lo que desarrolla trabaja), hasta una presión mucho menor. En el condensador el vapor
disipa calor al transformarse en líquido.
W bomba
TURBINA
O caldera
BOMBA
~w,"' '".
Q co nde nsador
Figura 3 . 10. Planta de generación de vapor.
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60
Termodinámica
Puesto que la presión en el condensador es mucho menor que la presión en la caldera, una
bomba incrementa la presión del líquido para introducirlo en ella, requiriéndose un trabajo negativo.
Al agregar calor en la caldera el líquido se transforma en vapor, completándose así el ciclo termodinámico. El análisis de toda la planta de generación de vapor como un sistema cerrado indica que
Puesto que no todo el calor suministrado al sistema se convierte en trabajo positivo, la eficiencia
térmica se define como la fracción del calor suministrado al sistema en el ciclo termodinámico que se
convierte en trabajo neto positivo. Es decir,
(3 .19)
donde Oent se refiere al calor neto suministrado al sistema, y Osal expresa el calor neto disipado por el
sistema (una cantidad negativa).
En el caso de la planta de generación de vapor descrita arriba, Oent corresponde al calor suministrado en la caldera, y Osal al calor disipado en el condensador. Por otra parte, f dW = W neto = Wturbina
+ Wbomba' El trabajo de la bomba, cantidad negativa, es generalmente muy pequeño comparado con
el trabajo desarrollado por la turbina. Por consiguiente, W neto = Wturbina'
Un refrigerador es un sistema que toma calor de una región de baja temperatura y cede calor a
otra de mayor temperatura mientras se le suministra trabajo en un ciclo termodinámico. En la figura
3.11 aparece el diagrama de un refrigerador que funciona mediante la compresión de vapor. El
refrigerante (freón 12, amoniaco, etc.) en forma de vapor se hace pasar por el compresor, aumentando así su presión y su temperatura. El compresor requiere un trabajo negativo para impulsarse. El
refrigerante pasa a continuación por el condensador, transformándose en líquido y cediendo calor
hacia los alrededores. Puesto que la presión es mayor en el condensador que en el evaporador. el
refrigerante se expande de forma adiabática en la válvula de expansión hasta alcanzar la presión de
este último. Para finalizar, el fluido o medio de trabajo se vaporiza en el evaporador, tomando calor de la
región de baja temperatura, y el trabajo neto suministrado al ,sistema en el ciclo. Esto es,
(3.20)
3 La primera ley de la termodinámica
61
El coeficiente de funcionamiento puede ser mayor o menor que la unidad. Así como la eficiencia
térmica constituye un índice del funcionamiento de una máquina térmica, el coeficiente de funcionamiento es un índice del funcionamiento de un refrigerador. Estos índices sólo se emplean en ciclos.
Q condensador
r
Refrigerante
CONDENSADOR
VÁLVULA
DE
COMPRESOR
EXPANSiÓN
W compresor
EVAPORADOR
Q evaporador
Figura 3 .11 . Refrigerador mediante compresión de vapor.
Ejemplo 3.23
Considere el siguiente ciclo termodinámico constituido por cuatro procesos :
Proceso
Q
w
1
2
3
4
30
-10
-20
5
3
10
-8
Calcule la eficiencia térmica del ciclo.
O
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62
Termodinámica
Solución
11 = Wneto = (3 + 10 - 8) = 0.1429
Qent
(30 + 5)
11 = 14.29%
Ejemplo 3.24
Un refrigerador comercial que emplea freón 12 tiene un coeficiente de funcionamiento igual a 4.5.
a) Calcule la potencia que requiere el compresor si el flujo de calor que toma el evaporador es
igual al kW.
b) Calcule la magnitud del flujo de calor que disipa el condensador.
Solución
a)
Iv\! 1= Qent = 1000 = 222.2W
e
~
4.5
b) Mediante un balance de energía
I Qsal I =IV\!C I+ Qent
=
1000 + 222.2 = 1222.2 W
3.8 Resumen
Uno de los axiomas más importantes de esta materia es la primera ley de la termodinámica, que
establece: la energía no se crea ni se destruye en los procesos, sólo se transforma.
La definición de trabajo es más amplia en termodinámica que en mecánica.
Trabajo es una interacción energética entre un sistema y sus alrededores, a
través de las porciones de los límites del sistema en que no hay transferencia de masa, como consecuencia de una diferencia en una propiedad intensiva diferente de la temperatura entre el sistema y sus alrededores.
Por convención, se dice que el trabajo hecho por el sistema sobre sus alrededores es positivo , mientras que el trabajo hecho por los alrededores sobre el sistema es negativo. La unidad de trabajo en el
Sistema Internacional de unidades es el joule.
3 La primera ley de la termodinámica
63
En un sistema cerrado simple estacionario, donde no hay fricción y la presión es uniforme, el
trabajo total hecho por o sobre el sistema se expresa así
W=
f p dV,
f
w = p dv
Si el sistema (cerrado) ejecuta Un ciclo termodinámico,
f
f
Wneto = p dV ,
wneto = p dv
Si el sistema cerrado en cuestión experimenta cambios significativos en energía potencial y cinética,
el trabajo total por unidad de masa hecho por o sobre el sistema queda determinado mediante la
siguiente expresión
-
2
-
2
V2 - VI
W = p dv - g(Z2 - zl)
2
f
En el caso de un sistema abierto que opera sin fricción, en estado estable, y con una entrada y una
salida de flujo,
Por estado estable se entiende que todas las propiedades termodinámicas del sistema permanecen
invariables con el tiempo.
Calor es una interacción energética entre un sistema y sus alrededores, a
través de las porciones de los límites del sistema donde no hay transferencia de masa, como consecuencia de la diferencia de temperatura entre el
sistema y sus alrededores.
El calor se transfiere de mayor a menor temperatura. Por convención, se dice que el calor suministrado a un sistema es positivo, mientras que el calor cedido por un sistema a sus alrededores es negativo.
Un proceso es adiabático si el calor en él es igual a cero. La unidad de calor en el Sistema Internacional de unidades es el joule.
La primera ley de la termodinámica establece que el calor neto agregado a un sistema que
opera cíclicamente es igual en magnitud al trabajo neto desarrollado por éste. De forma analítica,
f dQ= f dW
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64
Termodinámica
Este principio axiomático postula la existencia de una propiedad extensiva del sistema E, conocida como energía del sistema, esto es,
-2
mV
E=U+--+mgz,
2
\72
e=u+-+ gz
2
donde U es la energía interna. Esta forma de energía está asociada con el estado termodinámico de
la materia que constituye el sistema. Generalmente, la energía interna u de una sustancia pura depende de la temperatura y de la densidad.
Para un sistema cerrado, la primera ley de la termodinámica puede escribirse así
Q- W= L\E,
q - w = L\e
En ausencia de cambios significativos en energía cinética y potencial, la primera ley de la termodinámica para un sistema cerrado se simplifica
Q- W= L\U,
q - w = L\u
La propiedad termodinámica llamada entalpía se define
H= U+ pV,
h = u + pv
Para un sistema abierto que opera un estado estable, con una entrada y una salida de flujo , la primera
ley de la termodinámica puede escribirse
1
-2 - .
'.
V
VI2
Q - W = m h2 - hl + 2 2
+ g(z2 - zl)
[
o, por unidad de masa,
-2
-2
V2 - VI
q - w = h2 hI +
+ g (z2 - ZI )
2
De forma general, la primera ley de la termodinámica puede expresarse así
donde el subíndice ~ se refiere a las ~ entradas de flujo que tiene el sistema; el subíndice ese refiere a
las t salidas de flujo, y la energía por unidad de masa e¡ asociada con el fluido es de la forma
3 La primera ley de la termodinámica
65
\72
el =h+-+ gz
2
Una máquina térmica es un sistema que recibe calor y desarrolla trabajo mientras realiza un ciclo
termodinámico. La eficiencia térmica está dada por la expresión
Un refrigerador es un sistema que toma calor de una región de baja temperatura y cede calor a otra
de mayor temperatura mientras se le suministra trabajo en un ciclo termodinámico. El coeficiente de
funcionamiento está dado por la expresión,
Problemas
3.1
Una batería eléctrica, aislada térmicamente, se descarga a presión atmosférica. Durante un
periodo de prueba de una hora, el voltaje es de 2 V y la corriente de 50 A. Al mismo tiempo,
la temperatura aumenta de 20 a 40 oc. Determine el cambio en la energía interna de la batería
durante este periodo de prueba.
Respuesta:
3.2
Un gas se comprime sin fricción en un cilindro, desde una presión de 1 bar y un volumen de
0.1 m3 hasta una presión de 10 bar. El proceso es de tal forma que pV = e, donde e es una
constante. Determine el trabajo hecho por y sobre el sistema y dibuje mediante un esquema el
proceso en un diagrama presión-volumen.
Respuesta:
3.3
tJ.U = -360 kJ
W = -23.03 kJ
Una bomba succiona agua a una presión de 1 bar y la descarga a 8 bar. Despreciando los
cambios de densidad, velocidad y altura del agua, estime el trabajo por unidad de masa requerido.
Suponga que el proceso se desarrolla sin fricción y que la densidad del agua es de 1 kg/ dm 3
Respuesta :
w = -700 J / kg
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66
3.4
""'
•
1:-
",
Termodinámica
Elesquema de un medidor tipo venturi aparece en la figura P.3.4. Si Al Y A2 son las áreas de
sección transversal en donde se registran las presiones Pl y P2, Y P es la densidad del fluido
incompresible, demuestre que, en ausencia de fricción,
1"
li
3.9
donde
m es el flujo de masa.
3.H
J01
11 P2
lW
3.1:
Figura P.3.4.
3.1:
3.5
i!l
3.6
3.7
1\
¿Es posible que un sistema realice 100 J de trabajo mientras se le suministran sólo 80 J de
calor?
¿Es posible que un sistema disipe 100 J de calor sin disminuir su temperatura?
En cada uno de los siguientes sistemas indique si el trabajo y el calor son positivos, negativos
o iguales a cero. Defina claramente el sistema y sus alrededores.
3.1
a) Tobera
3.1
b) Difusor
e) Caldera
d) Válvula
II!
I
3.8
e) Compresor
f) Condensador
g) Bomba de agua
h) Motor eléctrico
Un aire acondicionado tiene las siguientes características:
Temperatura exterior
Temperatura interior
3.1
3 La primera ley de la termodinámica
67
Capacidad de enfriamiento
270 kJ/ min
Potencia del compresor
1 kW
Determine el coeficiente de funcionamiento y el calor disipado por el condensador.
Respuesta:
4 .5; 5 .5 kW
3.9
Una mezcla de aire y gasolina se encuentra en un recipiente rígido y aislado térmicamente. La
mezcla se enciende por medio de una bujía. Como consecuencia de la combustión, la presión
y la temperatura aumentan. Despreciando la pequeña cantidad de energía suministrada por la
bujía, determine el trabajo total hecho por y sobre el sistema.
3.10 Un gas se expande sin fricción de acuerdo con la relación pv Q = C, donde a y C son constantes. Derive una expresión para calcular el trabajo hecho por el gas, si éste se expande desde un
estado PI' Vl , hasta un estado P2' V2 , en
a) un sistema cerrado
b) un sistema abierto en donde los cambios en energía potencial y cinética son despreciables.
3.11 Un motor de inducción trifásico de 440 V y 56 kW toma una corriente de 89 A con un factor
de potencia de 90%. El motor se enfría forzando aire a través de él. ¿Cuánto calor debe ser
disipado al aire de enfriamiento y a los alrededores para que el motor opere con una temperatura constante?
Respuesta:
5 kW
3.12 Establezca de manera clara las condiciones para la validez de la ecuación 3.4 y discútalas en
relación con el flujo de un fluido incompresible en un tubo de sección transversal constante,
donde los cambios en energía cinética y potencial sean cero, pero Jvdp *- O.
3.13 Una mezcla de aire y vapor de agua con una entalpía de 125 J/ g entra en un deshumidificador
a razón de 300 kg/ h. Por otra parte, se drena agua con una entalpía de 42 J / g a razón de
5 kg/ h. La mezcla de aire y vapor de agua sale del aparato con una entalpía de 46 J / g.
Determine el flujo de calor que se disipa en ese proceso.
3.14 Resuelva el ejemplo 3.20 empleando en el análisis un sistema cerrado, esto es, todo el vapor
que ocupará el recipiente al terminar el proceso de llenado.
3.15 La transferencia de calor de una persona hacia los alrededores es normalmente del orden de
120 W. Supóngase que en una sala en la que se encuentran 100 personas, el aire acondicionado falla. ¿Cuál es el incremento en energía interna que sufre el aire de la sala en un intervalo
de 10 minutos? Si se considera como sistema toda la sala y se supone que no hay transferencia de
calor, ¿cuál es el incremento en energía interna del sistema en el mismo intervalo?
Respuesta: 7200 kJ , O kJ
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68 Termodinámica
3.16 El refrigerador en una cocina se deja accidentalmente abierto y en operación. Indique si la
energía interna del aire que lo rodea aumenta, disminuye o permanece constante.
3.17 Un sistema cerrado realiza 30 J de trabajo mientras disipa 10 J de calor en un proceso . El
sistema retorna a su estado original a través de un proceso en el que se hacen 4 J de trabajo
sobre el sistema. Calcule el calor añadido o cedido durante este segundo proceso y la eficiencia
térmica del ciclo.
Respuesta:
36 J, 72 .2%
3.18 Establezca claramente las limitaciones de la ecuación
dq - pdv = du
¿Es válida esta expresión para un sistema abierto?
3.19 La energía almacenada por un sistema aumenta 55 J durante un proceso, mientras que realiza
100 J de trabajo sobre los alrededores. Calcule la transferencia de calor en el proceso. ¿Es
posible calcular la eficiencia térmica de este proceso?
3.20 ¿Es posible tener una eficiencia superior o igual a 100%?
3.21 Una licuadora aislada térmicamente contiene 20 g de hielo picado. Estime el tiempo en que el
hielo se convertirá en líquido si la licuadora emplea para mover sus aspas un motor de 0.1 kW.
Se requieren 335 J para fundir un gramo de hielo.
Respuesta : 67 s
3.22 Un recipiente rígido contiene 1 kg de aire a 20 oC y 1 bar. Agregando calor la presión del aire
se duplica. Calcule el trabajo hecho por y sobre el sistema.
3.23 Repita el ejemplo 3.22 pero utilice un sistema cerrado en el análisis.
3.24 Un motor de combustión interna se coloca en un dinamómetro para determinar la potencia y
el par como función de su velocidad. Se encuentra que el par varía con la velocidad de acuerdo
con la relación,
T = 400 sen
(~2 ~)
3000
donde el par T está en N-m y la velocidad N en revoluciones por minuto. Calcule la potencia
del motor a 2000 rpm.
Respuesta:
67 .78 kW
3.25 Un gas con una presión absoluta constante de 35 bar actúa sobre un émbolo que tiene un
diámetro de 10 cm. Calcule el trabaja realizado por el gas cuando el émbolo se mueve sin
fricción a lo largo de un desplazamiento de 10 cm .
Respuesta:
2748.89 J
3 La primera ley de la termodinámica
69
3.26 Un sistema cerrado desarrolla un ciclo compuesto por cuatro procesos. Complete la siguiente
tabla si el trabajo total neto desarrollado por el sistema durante este ciclo es igual a 200 kJ Y
calcule la eficiencia térmica.
Proceso
Q,kJ
W, kJ
1-2
2-3
3-4
4-1
180
90
70
L'lU, kJ
130
120
O
Respuesta:
74.07%
3.27 Se encuentra que en muchos procesos reales, los gases satisfacen la relación pu 13 = C, donde
C es una constante. Determine el trabajo en joules que realiza el aire en un dispositivo pistóncilindro cuando se expande desde 0.01 m 3 y 3 bar hasta una presión final de 1 bar.
3.28 Un acumulador eléctrico de 12 volts suministra una corriente de 10 amperes a una resistencia
durante 0 .20 h.
a) Indique si el acumulador desarrolla un trabajo positivo, negativo o cero durante este proceso.
b) Si el sistema incluye tanto el acumulador como la resistencia, indique si el trabajo es positivo, negativo o cero.
3 .29 Un globo esférico tiene un diámetro DI cuando la presión absoluta en su interior es PI y la
presión atmosférica es Po. Al calentarse el gas, el diámetro del globo se incrementa hasta D2 .
La presión absoluta del gas es proporcional al diámetro del globo. Calcule el trabajo desarrollado por el gas en términos de PI' DI Y el cociente de D 2/ DI '
3.30 Cierta cantidad de aire en un cilindro se expande sin fricción desde 60 bar de presión absoluta
y un cierto volumen hasta que éste se hace ocho veces más grande. La densidad del aire al
iniciarse el proceso es de 10.45 kg/m 3 . Si durante la expansión se obedece la relación pul A = C,
en donde C es una constante, calcule el trabajo por unidad de masa desarrollado por el
sistema.
Referencias
1. Hesse, W. J., Jet Propulsion, Pitman Publishing Corp., 1958.
2. Sevems, W. H., Degler, H. E. y Miles, J. c., Steam , Air and Gas Power, John Wiley, 1960.
3. Steam, its Generation and Use, The Babcock & Wilcox Co., Nueva York, 1960.
4. Holman, J. P, Thermodynamics, McGraw-Hill, Nueva York, 1969.
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4
Equilibrio entre fases
El deseo de conocimiento, com o la
sed de riqueza, aumenta a medida
que se va adquiriendo.
L AU RENCE STER NE
Hasta ahora sólo hemos estudiado algunas propiedades termodinámicas . A continuación se hará un
estudio básico acerca del comportamiento y propiedades de las sustancias. El análisis se limitará a
sustancias puras, es decir, sustancias físicamente homogéneas y fijas en composición química; por
ejemplo, agua, nitrógeno, dióxido de carbono, etcétera.
Toda sustancia pura puede existir en equilibrio como sólido, líquido o vapor. ~n algunas circunstancias, también pueden coexistir varias fases en equilibrio, por ejemplo : líquido y vapor, líquido y
sólido. Comprender todos estos fenómenos es básico para la determinación de las diferentes propiedades termodinámicas, así como para la selección apropiada de una sustancia como medio de trabajo
en un proceso o aplicación dada. También es fundamental para la selección de propiedades que
determinen, de una manera única, el estado de una sustancia dada . Como se anotó en la sección 2 .5 ,
dos propiedades intensivas independientes son suficientes para determinar con precisión el estado
termodinámico de una sustancia pura.
Dado que una de las sustancias puras más comunes es el agua, se hará referencia a ella con
frecuencia. Empero, las deducciones que se obtengan serán completamente generales y válidas para
cualquier sustancia pura.
4.1 Equilibrio líquido-vapor
El agua, como cualquier sustancia pura, puede existir en la fase líqUida a distintas presiones y temperaturas. Así, a una presión absoluta de 1 bar dicha sustancia se encuentra en su fase líquida en un
amplio rango de temperaturas. Sin embargo, a esta presión y a una temperatura de 99.63 oC, el agua
72 Termodinámica
puede encontrarse como líquido, como vapor o como una mezcla de líquido y vapor. Y a temperaturas mayores de 99.63 oc sólo puede existir como vapor si la presión se mantiene constante en 1 bar.
De manera análoga, a una presión arbitraria de 10 bar, el agua también se encuentra en su fase
líquida a distintas temperaturas. Sin embargo, a una temperatura de 179.91 oC la fase de líquido y la
de vapor pueden coexistir en equilibrio, esto es, el agua puede encontrarse como líquido, como vapor
o como líquido y vapor. A temperaturas mayores únicamente puede existir como vapor si la presión
se mantiene constante.
De lo anterior se desprende que hay una correlación entre la presión y la temperatura para la
coexistencia de dos fases en equilibrio, esto es: a una presión dada corresponde una temperatura única,
donde las fases de líquido y vapor pueden coexistir en equilibrio. En consecuencia, la presión y la
temperatura no son propiedades independientes, puesto que una depende de otra, y existe ambigüedad
en la determinación del estado termodinámico. Es decir, este par de propiedades no especifica si la
sustancia se encuentra como líquido, como vapor o como una mezcla de líquido y vapor.
4.1.1 Diagrama presión-temperatura
Las condiciones de presión y temperatura en que coexisten dos fases en equilibrio se llaman cond iciones de saturación, y la presión y temperatura correspondientes se denominan presión de saturación y temperatura de saturación, respectivamente. Cualquier fase que exista en estas condiciones
se conoce como fase saturada. En la figura 4.1 se presenta la curva de saturación líquido-vapor para
el agua. En todos los estados termodinámicos a lo largo de esta curva, también conocida como línea
de vaporización, coexisten la fase de líquido y la de vapor. Los estados que se ubican a la izquierda de
esta línea corresponden a los estados de líquido, y los que se sitúan a la derecha de la curva de saturación corresponden a la fase de vapor. En la figura citada se observa que el agua, en este caso,
puede vaporizarse a lo largo de esta línea en un rango de presiones y temperaturas muy extenso.
En la figura 4.2 se presentan diferentes curvas de saturación líquido-vapor para otras sustancias.
Debe destacarse la importancia de estas curvas en la selección apropiada del medio de trabajo en
determinado proceso o aplicación.
4.1.2 Diagrama presión-volumen
En la figura 4.3 se muestra la curva de saturación líquido-vapor en coordenadas presión-volumen . El
área que se halla debajo de la curva de saturación ACB se conoce como región húmeda , y la mezcla
de líquido y vapor existente en esta región se conoce como vapor húmedo. Por otro lado, la línea AC
corresponde a los estados de líquido saturado, y la línea CB a los estados de vapor saturado seco.
El punto C, donde el volumen específico del líquido saturado es igual al del vapor saturado seco, se
denomina punto crítico. Este punto corresponde a la presión máxima donde la fase líquida y la fase
de vapor pueden coexistir en equilibrio. Para presiones superiores a la presión crítica (presiones
supercríticas), sólo puede existir una fase , esto es, líquido o vapor. El punto crítico ha sido motivo de
varias investigaciones relacionadas con fenómenos de combustión y transferencia de calor, ya que
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4 Equilibrio entre fases
250
e
200
n; 150
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c·
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50
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O
1
I
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Temperatura,
I
•
I
I
I
200
250
300
350
400
°C
Figura 4.1. Curva de saturación líquido-vapor para el agua.
40
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Freón 12
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30
(¡j
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20
c·
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ID
a::
10
I
O
-60
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- 20
20
Temperatura,
Agua
---60
100
140
°C
Figura 4.2. Curva de saturación líquido-vapor para varias sustancias.
73
74 Termodinámica
Tal
250
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'"
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50
T=C
B
A
O
O
25
50
75
100
Volumen específico, cm3/g.
Fu
Figura 4.3. Diagrama presión-volumendel agua.
r
!I
pueden ocurrir distintas anomalías en este punto. En la tabla 4.1 aparecen los valores de presión,
temperatura y volumen específica de diferentes sustancias en el punto crítico.
Todo líquido cuyo estado termodinámico se localiza a la izquierda de la línea de saturación AC se
llama líquido subenfriado o líquido comprimido. Esto implica que la temperatura del líquido es
menor que la temperatura de saturación para la presión dada, o que la presión es mayor que el valor
correspondiente de saturación para la temperatura dada. Por otra parte, se denomina uapor
sobrecalentado al vapor cuyo estado termodinámico se ubica a la derecha de la curva de saturación
CB. En virtud de que a presiones supercríticas sólo existe una fase, por lo general se conoce como
líquido comprimido el fiuido cuya temperatura es subcrítica, y como uapor sobrecalentado el fluido
cuya temperatura es crítica o supercrítica. Cabe agregar que las sustancias comúnmente conocidas
como gases son vapores altamente sobrecalentados.
La presión y la temperatura del líquido comprimido o vapor sobre calentado son propiedades
independientes, puesto que la temperatura puede aumentar mientras la presión se mantiene constante
y viceversa. Por consiguiente, estas propiedades determinan, de manera única, el estado termodinámico de la sustancia. Lo mismo puede decirse de la presión y el volumen específico, de la temperatura
y el volumen específico, etcétera.
satur
come
estac
presi
estac
liquk
o ter
estar
ficar
a ea
don
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4 Equilibrio entre fases
75
Tabla 4.1. Constantes críticas de algunas sustancias.
Sustancia
Símbolo
Acetileno
Aire
Amoniaco
Argón
Butano
Dióxido de carbono
Etano
Helio
Heptano
Hexano
Hidrógeno
Metano
Neón
Nitrógeno
Octano
Oxígeno
Pentano
Propano
C2H2
Fuente:
NH3
Ar
C4HlO
CO2
C2H6
He
C7H16
C6H14
H2
CH4
Ne
N2
CSH1S
°2
CSH12
C3HS
Holman, J. P., Thermodynamics,
Peso
molecular
Te'
K
Pe, bar
26.038
28.967
17.032
39.944
58.124
44.011
30.070
4.003
100.205
86.178
2.016
16.043
20.183
28.016
114.232
32
72.151
44.097
309.5
132.41
405.4
150.72
425.17
304.2
305.43
5.19
540.17
507.9
33.24
190.7
44.39
126.2
569.4
154.78
469.78
370.01
62.4
37.74
112.8
48.63
37.97
73.87
48.84
2.29
27.36
30.34
12.97
46.41
27.22
33.98
24.97
50.80
33.75
42.66
ve'
cm3jgmol
113
93.25
75
74.56
255
94
148
58
426
368
65
99
41.7
90
486
74
311
200
McGraw-Hill, 1988.
En el mismo diagrama presión-volumen de la figura 4.3 se observa que, a determinada presión de
saturación, la temperatura de saturación correspondiente
permanece constante. En consecuencia,
y
como se dijo antes, la presión y la temperatura
no son propiedades
independientes
en todos los
estados en que dos fases coexisten en equilibrio.
Así, los estados a, b y e tienen los mismos valores de presión y temperatura.
Sin embargo, la
presión y el volumen específicos definen en forma precisa el estado termodinámico
de los mismos. El
estado se determina al especificar la presión o temperatura de saturación y el volumen específico del
líquido saturado VI' De manera análoga, el estado c también queda definido al especificar la presión
o temperatura de saturación y el volumen específico del vapor saturado seco vg. Para poder definir el
estado termodinámico
de b, esto es, de cualquier estado comprendido entre a y e, se puede especificar la presión o temperatura de saturación y el volumen específico. Para fijar este último, considere
a continuación la mezcla de líquido y vapor que constituye el vapor húmedo. Por definición,
V
= Vlíq + Vvap _ mlíq vI + mvap v g
mlíq + mvap
donde los subíndices
mlíq + mvap
líq y vap se refieren, respectivamente,
al líquido y al vapor.
76 Termodinámica
Definiendo el título o calidad, x, como la cantidad de masa de vapor existente en la mezcla de
líquido y vapor,
mvap
x = -----'---
(4 . 1)
En consecuencia, el volumen específico del vapor húmedo b queda expresado de la siguiente
manera:
u = (1 - x)uf + xU g = uf + x(ug - uf)
o bien ,
U =
uf + XUfg
(4. 2)
donde
(4. 3)
De lo anterior se desprende que el estado b queda perfectamente definido al especificar la presión o temperatura de saturación y el título. Al asignar un valor numérico a este último, implícitamente
se fija el volumen específico. El título puede considerarse como una propiedad intensiva y, expresado
de modo decimal, varía entre cero y la unidad . Así, si la masa de vapor es de 0.9 kg y la masa de
líquido es de 0.1 kg , el título del vapor húmedo es igual a 0.9 o 90%. También es común decir que el
vapor húmedo en cuestión tiene 10% de humedad .
Ejemplo 4.1
Un recipiente de 0.1 m 3 contiene 1.5 kg de una mezcla de líquido y vapor a una presión de 5 bar. El
volumen específico del líquido saturado a esta presión es de 1.0926 cm 3/ g, y el valor correspondiente del vapor saturado seco es de 374.9 cm 3/ g.
a) Calcule el título.
b) Calcule la masa y el volumen del líquido.
c) Calcule la masa y el volumen del vapor.
Solución
a) Utilizando los datos anteriores,
V = -0.1 = 0.06667m
U= -
m
1.5
3/kg =· 66.67cm3/g
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4 Equilibrio entre fases
77
En consecuencia,
V-V
x = - -fvg - vf
66.67 - 1.0926
374 .9-1.0926
x = 0.175
x = 17.5% (humedad = 82.5%)
b) A partir de la definición de título
l - x =
m liq
m mezcla
Por tanto,
mlíq = (1 - x)mmezcla = (0.825)(1.5)
= 1.24 kg
y así,
V1iq = mUqv¡ = (1.24 x 103 ) (1.0926)
= 1351.4 cm 3
Es decir, el volumen del líquido representa 1.35% del volumen total del recipiente.
e) De manera análoga,
x=
mvap
m mezcla
Por tanto,
y
mvap = (0.175)(1.5) = 0.26 kg
Vvap = mvapvg = (0 .26 x 103 )(374.9) = 98 648.6 cm3
El volumen del vapor representa 98.65% del volumen total del recipiente.
Ejemplo 4.2
Un recipiente de 0.1 m 3 de volumen contiene una mezcla de líquido y vapor a una presión de 10 bar.
El vapor ocupa 70% del volumen y el líquido el 30% restante. El volumen específico del líquido
78
Termodinámica
saturado a 10 bar de presión es igual a 1.1273 cm 3 j g, y el del vapor saturado seco es igual a 194.44
cm 3j g. Calcule el título de la mezcla.
Solución
V!íq = 0 .3V = 0.03 m 3
Vvap = O.7V = 0.07 m 3
Por tanto ,
6
0.03 x 10
1.1273
= 26612 .26 g
y
0.07 x 10
194.44
6
= 360.01 g
Con la definición de título ,
360.01
x = 26612.26 + 360.01 = 0.0133
x = 1.33% (humedad = 98.67%)
4.1.3 Diagrama presión-entalpía
Dado que la presión y la entalpía son propiedades termodinámicas y, por tanto, se pueden emplear
como coordenadas , en la figura 4.4 aparece la curva de saturación líquido-vapor en coordenadas
presión-entalpía. La línea AC corresponde a los estados de líquido saturado , la línea CB a los de
vapor saturado seco y C corresponde al punto crítico.
El calor latente se define como la diferencia entre la entalpía (por unidad de masa) de una fase en
condiciones de saturación y la entalpía (por unidad de masa) de la otra fase en condiciones de saturación, a la misma presión y temperatura. Así, el calor latente de vaporización, a una presión o
temperatura de saturación, o a ambas cosas, queda determinado por la expresión
(4.4)
Nótese que en el punto crítico C, el calor latente de vaporización h¡g es igual a cero. Analizando de
nuevo los estados a, b y c se observa que el estado a también queda perfectamente definido al
especificar la presión o temperatura de saturación y la entalpía del líquido saturado h¡- De manera
análoga, el estado c queda determinado al especificar la presión o temp eratura de saturación y la
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4 Equilibrio entre fases
79
250
e
200
150
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a:
b
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e
hfg
o~----~----~----~----~----~--~
o
500
1 000
1 500
2000
2 500
3000
Entalpla,
joules/g.
Figura 4.4. Diagrama presión-entalpía del agua.
entalpía del vapor saturado seco hg. El estado b queda definido de manera precisa al especificar la
presión o temperatura de saturación y el título, puesto que
h = h¡ + xh¡g
El diagrama presión-entalpía
(sección 10.9).
es de gran importancia en los análisis de sistemas de refrigeración
4.1.4 Diagrama temperatura-volumen
En la figura 4.5 aparece el diagrama temperatura-volumen que muestra la curva de saturación líquidovapor. La línea AC representa los estados de líquido saturado, mientras que la línea CB corresponde
a los estados de vapor saturado seco. El punto C representa el punto crítico.
Se observa también que tanto la presión como la temperatura permanecen constantes en la
región húmeda.
Ejemplo 4.3
Calcule la cantidad de calor necesaria para transformar de manera isobárica un gramo de agua, desde
líquido saturado hasta vapor saturado seco, en un sistema cerrado, sin fricción, y a una presión de 1 bar.
Las propiedades del líquido saturado y del vapor saturado seco son:
80
Termodinámica
Utilizar
e
Sustítui
350
Es
en las e
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o
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~
4.2 D
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Volumen
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especifico,
300
cm3/g
Aseme
ma pre
sólído-x
na diaf,
dé líqui
Asimisr
en el qi
el noml
objeto (
se pres
AL
Figura 4.5. Diagrama temperatura-volumen
¡
del agua.
Líquido saturado
Vapor saturado seco
u¡= 417.36 J/g
ug = 2506.1 J/g
"t = l.0432 cm3/g
vg = 1694 cm3/g
h¡ = 417.46 J/g
hg = 2675.5 J/g
!!
Solución
Mediante un balance de energía,
el - w = ~U = Ug - u¡
Puesto que el proceso de vaporización se realiza sin fricción,
Arreglando la expresión,
figura 4
al estac
fusión 1
ra. Posl
de vapc
ción. DI
la ternt
presión
a la del
la susta
mosféri
do sólíc
El (
o temp:
da dete
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4 Equilibrio entre fases
81
Utilizando la definición de entalpía,
Sustituyendo valores,
q = 2675.5 - 417.46 = 2258 J/ g
Es decir, se requieren 2258 J de calor para vaporizar un gramo de agua a una presión de 1 bar
en las condiciones descritas.
4.2 Diagrama de fases
A semejanza de la curva de saturación líquido-vapor o línea de vaporización que aparece en el diagrama presión-temperatura de la figura 4-1, también se tienen líneas de saturación sólido-líquido y
sólido-vapor para una sustancia pura, como puede observarse en la figura 4.6. Esta figura se denomina diagrama de fases . Así como a lo largo de la línea de vaporización coexisten en equilibrio las fases
de líquido y vapor, a lo largo de la línea de fusión coexisten en equilibrio las fases sólida y líquida.
Asimismo, las fases sólida y de vapor coexisten a lo largo de la línea de sublimación. El único punto
en el que las tres fases de una sustancia pura pueden existir de forma simultánea en equilibrio recibe
el nombre de punto triple. Es decir, en este punto coexisten las fases sólida, líquida y de vapor. Con el
objeto de tener una idea sobre los valores de presión y temperatura en el punto triple, en la tabla 4.2
se presentan algunos valores propios de distintas sustancias puras.
Al analizar el proceso isobárico 1-2 en la
figura 4.6, la sustancia pasa del estado sólido
al estado líquido a través de un proceso de
fusión mientras se incrementa la temperatup
ra. Posteriormente pasa del estado líquido al
de vapor a través de un proceso de vaporización. Durante los procesos de cambio de fase
Punto crrtico
la temperatura permanece constante. Si la
presión es menor que el valor correspondiente
a la del punto triple, como en el proceso 3-4,
__~--------~--__ 2
la sustancia (por ejemplo, CO 2 a presión atmosférica) se sublima directamente del estavapor
do sólido al estado de vapor.
El calor latente de fusión a una presión
o temperatura de saturación, o a ambas, queda determinado mediante la expresión,
T
(4.5)
Figura 4.6. Diagrama de fases de una sustancia pura .
82 Termodinámica
donde h¡ es la entalpía del líquido saturado y hi es la entalpía del sólido saturado. De manera análoga,
el calor latente de sublimación a una presión o temperatura de saturación, o a ambas, queda
definido mediante la relación,
(4.6)
Debe agregarse que una sustancia pura puede existir en una variedad de fases sólidas (a, y, etc.)
y exhibir varios puntos tríples, por ejemplo, dos fases sólidas y una fase líquida, dos fases sólidas y una
fase de vapor, etc. Sin/embargo, existe sólo un punto triple único que involucra las fases sólida, líquida
y de vapor.
Tabla 4.2. Constantes en el punto triple de algunas sustancias.
Sustancia
Agua
Díóxído de carbono
Hidrógeno
Nitrógeno
Oxígeno
Plata
T,K
p, bar
273.16
216.5
14
63.4
54.8
1233
0.0061
5.173
0.072
0.125
0.0015
0.0001
Fuente: Sonntag, R. E., Van Wylen, G. J., Introduction
Clasical and Statistical, John Wiley, 1971.
to Thermodynamics:
E
dinárr
El proceso de transformación de una fase sólida a otra se denomina transformación alotrópica.
El análisis de estas fases sólidas es de especial importancia en estudios metalúrgicos. En la figura 4.7
se presenta un diagrama presión-volumen-temperatura de una sustancia pura.
4.3 Tablas de propiedades
111
Con el objeto de obtener de manera cuantitativa los valores de diferentes propiedades termodinámicas, como presión, volumen específico, temperatura, energía interna, etc., se han elaborado tablas
para diferentes sustancias puras. Keenan et al., * han desarrollado tablas de propiedades termodinámicas para el agua. Puesto que la primera ley de la termodinámica sólo establece diferencias en
energía interna, los autores mencionados asignan a la energía interna del líquido saturado en el punto
triple (273.16 K) un valor arbitrario de cero.
* Keenan, J. H., Keyes, F. G., Hill, P. G., Maore, J. G., Steam TabJes, John Wiley, 1969.
100 o
sature
energ
de 25
2257
nar ddiente
espec
A
del as
tura e
sature
espec
de 46
sature
vapor
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4 Equilibrio entre fases
83
Figura 4.7. Diagrama presión-volumen-temperatura de una sustancia pura que, como el agua, se expande al congelarse.
En la tabla A.1 (véase en el apéndice al final del libro) se presentan diferentes propiedades termodinámicas del agua a distintas temperaturas de saturación. Así, a una temperatura de saturación de
100 oC la presión de saturación correspondiente es de 1.0135 bar, el volumen específico del líquido
saturado es de 1.0435 cm3/ g, el volumen específico del vapor saturado seco es de 1672.9 cm 3/ g, la
energía interna del líquido saturado es de 418.94 J/ g, la energía interna del vapor saturado seco es
de 2506.5 J/ g, la entalpía del líquido saturado es de 419.04 J/ g, el calor latente de vaporización es de
2257 J/ g, la entalpía del vapor saturado seco es de 2676.1 J/ g, etc. De manera análoga, al seleccionar de forma arbitraria una temperatura de saturación de 200 oC, la presión de saturacion correspondiente es de 15.538 bar, el volumen específico del líquido saturado es de 1.1565 cm 3/g, el volumen
específico del vapor saturado seco es de 127 .36 cm 3/g, etcétera.
A semejanza de la tabla Al, en la tabla A2 se muestran las mismas propiedades termodinámicas
del agua a diferentes presiones de saturación. En la tabla A11a variable independiente es la temperatura de saturación, mientras que en la tabla A2 es la presión de saturación. Así, a una presión de
saturación de 4 .0 bar, la temperatura de saturación correspondiente es de 143.63 oC, el volumen
específico del líquido saturado es de 1.0836 cm 3/ g, el volumen específico del vapor saturado seco es
de 462.5 cm 3/ g, la energía interna del líquido saturado es de 604.31 J/ g, la energía interna del vapor
saturado seco es de 2553.6 J / g, la entalpía del líquido saturado es de 604.74 J /g, el calor latente de
vaporización es de 2133.8 ,J / g, la entalpía del vapor saturado seco es de 2738.6 J / g, etcétera.
84 Termodinámica
En el punto crítico, los volúmenes específicos del líquido saturado y del vapor saturado seco son
iguales, y el calor latente de vaporización es igual a cero.
En la tabla A3 se presentan algunas propiedades termodinámicas del agua en la región de vapor
sobrecalentado a diferentes presiones y temperaturas . En la columna de la izquierda se muestra la
presión y, entre paréntesis, su correspondiente temperatura de saturación . El resto de las columnas
indican los valores correspondientes de v, h y s para distintas temperaturas a una presión dada. Por
ejemplo, la entalpía del vapor sobrecalentado a una presión de 70 bar y a una temperatura de 400 oC
es de 3158.1 J/ g.
Aunque las propiedades del líquido subenfriado o comprimido podrían tabularse de una manera
similar a las del vapor sobrecalentado, las propiedades del líquido comprimido no difieren esencialmente de las del líquido saturado a la misma temperatura . Lo anterior se observa en las
figuras 4.3 y 4.4. Por ejemplo, a una presión de 25 bar y a una temperatura de 100 oC, el volumen
específico del líquido comprimido es de 1.0423 cm 3/ g y la entalpía es de 420.85 J/ g. Sin embargo ,
a 100 oC (1.0135 bar), el volumen específico del líquido saturado es de 1.0435 cm 3 / g y la entalpía
correspondiente es de 419.04 J/ g. Nótese que una diferencia de presión de 24 bar, aproximadamente, causa una diferencia de volumen específico de 0.0012 cm 3 / g y una diferencia de entalpía de 1.81
J/ g. Keenan et al., dan tabulados los valores de las propiedades del líquido comprimido.
En las tablas A4 y AS, y en las figuras B.3 y B.4 aparecen las propiedades termodinámicas de
los refrigerantes 22 y 134a.
Ejemplo 4.4
Una turbina toma 5000 kg/h de vapor a una presión de 40 bar y a una temperatura de 300 oc. El vapor
entra en la turbina con una velocidad de 60 mi s y se descarga con una velocidad de 200 mi s, 3 m debajo
de la entrada. La turbina desarrolla 650 kW y tiene pérdidas de calor estimadas en 30 kW. Una pequeña
porción del vapor descargado por la turbina se hace pasar a través de una válvula de estrangulamiento, la
cual descarga el vapor a la presión atmosférica de un bar, como se ve en la figura E.4.4.
I
a) ¿Cuál es la temperatura del vapor a la descarga de la válvula?
b) Calcule el título del vapor a la descarga de la
válvula si es que éste es húmedo.
c) ¿Es posible determinar el estado termodinámico del vapor a la descarga de la turbina con la información suministrada?
t---~-+¡.G)
--0)
Figura E.4.4.
Solución
a) Mediante un balance de energía,
q - w = !1h + !1(ec) + !1(ep)
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4 Equilibrio entre fases
n
85
donde
or
la
as
or
q---
e
Q
m
3
-
(30x 10 )
---,------------,.
= -21. 60 J/ g
(5x106/3600)
W
(650x103)
m
(5x106/3600)
w=-=
ra
n-
=468 J/g
(200)2 - (60?
(2)(1000 )
n
ía
n-
= 18.20 J/g
e
Según la tabla A.3, a una presión de 40 bar y a una temperatura de 300°C,
h1 = 2960.7 J/g
'0
a
Sustituyendo las cantidades anteriores en el balance de energía,
t.h = q - w - t.{ec}- t.{ep}
= - 21.60 - 468.0 - 18.20 - {-0.03}
=
-507.77 J/g
En consecuencia,
h2 = 2960.7 - 507.77 = 2452.93 J/g
Mediante un balance de energía en la válvula,
h3 = h2 = 2452.93 J/g
Para determinar la temperatura del vapor a la descarga de la válvula, por medio de la tabla A.2, a una
presión de 1 bar, se tiene
86
Termodinámica
T= 99.63 oc
h¡=417.46J/g
hg = 2675.5 J/ g
h¡g = 2258 J/ g
Puesto que h3 < hg se concluye que el vapor a la descarga de la válvula es húmedo. Por consiguiente, la temperatura es igual a la de saturación, esto es,
T3 = 99.63 oC
b) El título del vapor húmedo queda determinado mediante la expresión
x3 =
h3 -h¡3
2452.93-417.46
h¡g3
2258.0
x3 = 0.90 (humedad igual a 10%)
c) La entalpía por sí sola no determina el estado termodinámico del vapor a la descarga de la turbina.
Ejemplo 4 .5
El radiador de un sistema de calefacción por vapor de agua tiene un volumen de 56 dm 3 y emplea
vapor saturado seco a una temperatura de 160 oc. Al cerrar perfectamente las válvulas de entrada y
salida en el radiador, la temperatura del vapor atrapado disminuye hasta una temperatura ambiente de
20 oC como consecuencia de la transferencia de calor al ambiente.
a) Determine la cantidad de vapor atrapado en el radiador.
b) Determine el título del vapor cuando la temperatura es de 20 oc.
e) Calcule la presión del vapor cuando la temperatura es de 20 oc.
d) Determine el calor transferido al ambiente durante el proceso de enfriamiento.
e) Dibuje un esquema que ilustre el proceso en un diagrama presión-volumen.
Solución
a) Según la tabla A.1 , a una temperatura de 160 oC,
p
=
6.178 bar
vg = 307.1 cm 3/ g
ug = 2568.4 J/ g
En consecuencia,
3
V
(56 x 10 )
m =- =
= 182.35 g
vg
307.1
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4 Equilibrio entre fases
b) Puesto que el proceso de enfriamiento se realiza a volumen constante,
U2 = UI = 307 .1 cm 3/ g
Según la tabla A.1 , a una temperatura de 20 oC,
p = 0.02339 bar
uf = 1.0018 cm 3/ g
ug = 57 791 cm 3/ g
uf = 83.95 J/ g
ug = 2402.9 J/ g
Puesto que uf < u2 < ug a 20 oC, se concluye que el vapor es húmedo. Por tanto ,
x2 =
U2 - uf2
ug2 -u f2
=
307.1- 1.0018
57791-1.0018
x2 = 00053
x 2 = 0.53%
e) Según los resultados anteriores,
P2 = 0.02339 bar
d) Mediante un balance de energía en este sistema cerrado,
q = Du = u2 - uI
donde ,
UI = u gI = 2568.4 J/ g
También
U2 = uf2 + X2 Ufg2 = 8395 + (0 .0053)(2402.9 - 83.95)
=
96 .24 J/ g
Sustituyendo valores,
q = 96.24 - 2568.4 = -2472 .16 J/ g
En consecuencia,
Q = mq = (182.35)(-2472.16)
Q = -450.8 kJ
87
88
Termodinámica
e) En la figura E.4.5 puede observarse el esquema del proceso de enfriamiento a volumen constante.
p,
6.178
2
0.02339
307.1
Figura E.4.5.
Ejemplo 4.6
En un evaporador entra R-134a a una temperatura de 10 oc y con 66% de humedad . Si el refrigerante se transforma en vapor saturado seco y la capacidad de enfriamiento del evaporador es de 7 kW,
a) Calcule el flujo de masa de refrigerante requerido en este proceso.
b) Calcule el diámetro mínimo de la tubería para que la velocidad no exceda de 10 mi s.
Solución
a) Mediante un balance de energía,
donde
Q
7kW
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4 Equilibrio entre fases
89
Por otra parte,
y
En consecuencia,
h 2 - h1 = (1 - xl)h fg
Según la tabla A.5, a una temperatura de 10 oC,
uf = 0.793 cm 3/ g
ug = 49.48 cm 3/ g
hfg = 190.87 J/ g
Sustituyendo valores en el balance de energía,
.
m =
Q
-=---=-~-
(l -
Xl
(0.66)(190 .87)
)h fg
m 55.57 g/s
=
b) Puesto qu~ el sistema opera en estado estable,
.
AV
m=-u
Entonces,
d2
.
4
V
A=~=~
y
d 2 = 4mu = (4)(55.57)(49.48) = 3.50 cm2
7tV
(7t)(1000)
d = 1.87 cm == 2 cm
Ejemplo 4.7
A través de una tubería de 5 cm de diámetro
fluye vapor húmedo a una presión de 50 bar
con un título de 0.96. El vapor es estrangulado
de modo adiabático hasta una presión de 10
bar mediante una válvula, como se ve en la figu-
~--1----~~------~1~9
b
o
0
Figura E.4.7.
90
Termodinámica
ra E.4. 7. Calcule el diámetro que debe tener la tubería después de la válvula para que el vapor no
experimente cambios en velocidad.
Solución
Mediante un balance de materia,
Al VI
A2 V2
--=-Puesto que se requiere que VI sea igual a V2 ,
Según la tabla A.2, a una presión de 50 bar,
T
uf
ug
hf
hfg
263.99 oC
3
1.2859 cm /g
3
39.44 cm /g
1154.23 J/g
1640.1 J/g
En consecuencia,
UI
UI
Uf + XUfg = 1.2859 + (O 96)(39.44 - 1.2859)
37 .91 cm 3/g
También
h I = hf + xhfg = 1154.23 + (0.96)(1640.1)
h l = 2728.73 J/g
Mediante un balance de energía en la válvula,
h 2 = h l = 2728.73 J/g
Según la tabla A.2, a una presión de 10 bar,
T
uf
ug
hf
hg
h fg
179.91 oC
1.1273 cm3 /g
194.44 cm 3/g
762.81 J/g
2778.1 J/g
2015.3 J/g
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4 Equilibrio entre fases
91
Puesto que h2 < hg, se concluye que el vapor a la descarga de la válvula es húmedo . Por tanto ,
X2 = h2 -
hf = 2728.73 -762.81 = 0.98
hfg
2015.3
además,
U2 =
uf + xUfg = 1.1273 + (0.98}(194.44 - 1.1273)
U2 =
190.57 cm 3/ g
Por último,
d~ = di ~ = (5l 190 .57 = 125.67 cm 2
UI
37.91
Por tanto,
d 2 = 11.21 cm
Vapor
-.
a 10 bar y 300 oC ---11'---
Ejemplo 4.8
Por una tubería circula vapor de agua a una presión de 10 bar y a una temperatura de 300 oc.
Un recipiente vacío está conectado a la tubería a
través de una válvula, como se ve en la figura E.4 .8.
Al abrir la válvula, el vapor llena de inmediato el
recipiente hasta que la presión alcanza un valor
de 10 bar. El proceso de llenado se lleva a cabo de
forma adiabática, y las energías cinética y potencial del vapor son despreciables. Determine la temperatura que alcanza el vapor en el recipiente
al finalizar el proceso de llenado.
Solución
a)
.
I
I
I
I
500
460 I - - - -......----~
400
300
200~-~~--~--~~--~---
2500
Mediante un balance de energía,
....
II Vacío I~ Sistema
2700
2900
b)
Figura E.4.8.
3100
u, J/g
3300
92 Termodinámica
donde el subíndice
t se refiere a las condiciones
Segúr
del vapor en la tubería,
Pero
Dem
Entonces,
U2 = ht
Según la tabla A.3, a una presión de 10 bar y a una temperatura
de 3QO °C,
En co
ht = 3051.2
J/g
U2 = 3051.2
J/g
Por tanto,
Sustit
Puesto que la presión y la energía interna determinan el estado final del vapor en el recipiente,
temperatura final se obtiene por medio de la tabla A.3, Esto es, a la presión de 10 bar,
la
4.41
T
h
v
u
200
300
400
500
2827.9
3051.2
3263.9
3478.5
206
257.9
306.6
354.1
2621.9
2793.2
2957.3
3124.4
Dos ¡:
intem
y cale
r
H~
De la figura E.4.8 se obtiene
un valor de T2 = 460°C.
Ejemplo 4.9
Calcule la potencia desarrollada por una turbina de vapor que recibe 5000 kg/h de vapor saturado
seco a una presión absoluta de 10 bar. La presión absoluta a la descarga es de 40 mbar y el título del
vapor es de 0.86. Suponga que el proceso es adiabático y que los cambios en energía cinética y
potencial son despreciables.
Solución
Mediante
un balance de energía,
w
e
la ten
a pre:
presk
tura y
que lé
Por te
men
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4 Equilibrio entre fases
93
Según la tabla A.2, a una presión de 10 bar,
h 1 = hg = 2778.1 J/g
De manera análoga, a una presión de 0.040 bar,
h¡
h¡g
121.46 J/g
2432.9 J/g
h2
h2
h¡ + xh¡g = 121.46 + (0.86)(2432.9)
2213.75 J/g
En consecuencia,
Sustituyendo valores en la expresión de la potencia,
W
(5 x 10 6/3600)(2778.1 - 2213.75)
W
783.8 kW
4.4 Calores específicos
Dos propiedades termodinámicas de gran importancia están relacionadas con la entalpía y la energía
interna de una sustancia. Estas propiedades se conocen como calor específico a presión constante, cp '
y calor específico a volumen constante, c u ' y están definidas mediante las siguientes expresiones:
(4.7)
(4.8)
Cada uno de los calores específicos denota la razón de cambio de una propiedad con respecto a
la temperatura, mientras otra se mantiene constante. Asimismo, la definición del calor específico
a presión constante implica que la entalpía de una sustancia pura es función de la temperatura y de la
presión. En consecuencia, el calor específico a presión constante depende en general de la temperatura y la presión. De manera análoga, la definición del calor específico a volumen constante implica
que la energía interna de una sustancia pura es función de la temperatura y del volumen específico.
Por tanto, el calor específico a volumen constante depende en general de la temperatura y del volumen específico. Sin embargo, cuando los gases están a presiones relativamente bajas, los calores .
94 Termodinámica
específicos sólo dependen de la temperatura. En el caso de líquidos y sólidos, los calores específicos
a presión y a volumen constante son, en esencia, iguales en magnitud, y dependen fundamentalmente
de la temperatura. En las ecuaciones 4.7 y 4.8 se observa que los calores específicos son infinitos
cuando la sustancia pura exhibe un cambio de fase .
Ejemplo 4.10
Determine el calor específico cp del agua a una presión de 30 bar ya una temperatura de 400 oc.
Solución
Según la tabla A.3 del vapor,
p, bar
T, °C
h, J/ g
30
30
410
3253.6
3208.0
390
Mediante la definición,
C
::::
p
J
D.h
= 3253.6 - 3208.0 = 2.28 JI K
D.T p
410-390
g
4.5 Coeficiente de Joule-Thomson
El coeficiente de Jou/e-Thomson se define como sigue:
p -OTJ
-
op
h
(4 .9)
Esta propiedad termodinámica da una indicación del cambio de temperatura que experimenta
una sustancia al expandirse de forma isoentálpica entre dos límites de presión dados. A partir de las
líneas de entalpía constante que aparecen en la figura 4.8, se observa que el coeficiente de JOl}leThomson puede ser positivo, negativo o cero. La línea que pasa por todos los puntos en que el
coeficiente de Joule-Thomson es igual a cero y se denomina línea de inversión. El coeficiente J.1 es
negativo en la región ubicada a la derecha de la línea de inversión y positivo en la región de la
izquierda.
Cualquier fluido que sufra una expansión a entalpía constante entre presiones localizadas a la
izquierda de la línea de inversión disminuye su temperatura. Del mismo modo, el fluido aumenta su
temperatura si la expansión se realiza entre presiones localizadas a la derecha de la línea de inversión .
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4 Equilibrio entre fases
95
T
h=C
p
Figura 4.8. Variación de la temperatura como función de
la presión en procesos isoentálpicos .
Si durante la expansión el fluido cruza la línea de inversión, primero aumenta su temperatura y luego
disminuye de forma progresiva. Sin embargo, existe una temperatura, la temperatura de inversión
máxima, sobre la que no es posible enfriar un fluido con una expansión a entalpía constante.
4.6
Coeficiente de expansión volumétrica.
Coeficiente de compresibilidad isotérmica
El coeficiente de expansión volumétrica, ~, es una indicación del cambio en volumen (o densidad) que
sufre una sustancia, como consecuencia de un cambio en la temperatura mientras la presión se
mantiene constante. Por definición,
~=1:~) =_~ ap )
vaT p
P aT p
(4 .10)
De manera análoga, el coeficiente de compresibilidad isotérmica , /(T' es una indicación del
cambio en volumen (o densidad) que sufre una sustancia como consecuencia de un cambio en la
presión mientras la temperatura se mantiene constante. Por definición,
96 Termodinámica
(4.11)
En las tablas 4.3 y 4.4 se presentan algunos valores de estas propiedades. Estos coeficientes
generalmente dependen de la presión y de la temperatura.
Tabla 4.3. Coeficiente de expansión volumétrica de varios sólidos.
Sustancia
T, oC
p X 107 , K-l
Cobre
Hielo
Hierro
Hule
Plomo
O a 100
-20 a-1
O a 100
20
O a 100
499.8
1125
355
4870
839.9
Fuente: Lange, N. A., Handbook 01 Chemistry, McGraw-HiII, Nueva York , 1967.
Tabla 4.4. Coeficiente de compresibilidad isotérmica de varios líquidos.
Sustancia
T, °C
p, MPa
Aceite
Alcohol etílico
Alcohol metílico
Mercurio
Octano
Petróleo
14.8
20
O
22.8
23
16.1
0.1 a 1
0.1 a 5
0.1 a 50
0.1 a 50
O a 0.1
0.1 a 1.5
~TX J011, Pa- 1
46 .6
110
78
3.8
119
75.8
Fuente: Lange, N. A. , Handbook 01 Chemistry, McGraw-Hill , Nueva York, 1967.
Ejemplo 4.12
Un bloque de cobre de 1 kg se comprime desde una presión de 1 bar hasta una presión de 100 bar
mientras la temperatura se mantiene constante en 20 oc. Determine el trabajo hecho sobre el cobre
si el coeficiente de compresibilidad isotérmica es igual a 8.5 x 10- 12 Pa- 1 , y el volumen específico es
igual a 1.13 x 10-4 m 3jkg.
Solución
Según la ecuación 4. 11,
du
I
T = C = - UKT dp
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4 Equilibrio entre fases
97
Por tanto ,
w = - JvKTPdp
2
VKT PI
w= - - - -
2
Sustituyendo valores,
w = -0.05 J/kg
w= - 0.05 J
4.7 Resumen
Toda sustancia pura puede existir en equilibrio como sólido, líquido o vapor. En algunas circunstancias, también pueden coexistir varias fases en equilibrio, como líquido y vapor, como líquido y sólido,
etcétera.
Las condiciones de presión y temperatura en que dos fases coexisten en equilibrio se denominan
condiciones de saturación , y la presión y temperatura correspondientes reciben el nombre de presión de saturación y temperatura de saturación, respectivamente. Cualquier fase que exista bajo
estas condiciones tiene la denominación de fase saturada. En todos los estados termodinámicos a lo
largo de la línea de vaporización, coexisten la fase de líquido y la fase de vapor.
Si la temperatura del líquido es menor que la temperatura de saturación para una presión dada,
o la presión es mayor que el valor correspondiente de saturación para una temperatura dada , se dice
que el líquido es subenfriado o comprimido. Si el vapor existe a una temperatura mayor que la de
saturación correspondiente a una presión dada, se conoce como vapor sobrecalentado.
El estado termodinámico en que el volumen específico del líquido saturado es igual al del vapor
saturado seco se conoce como punto crítico. Las condiciones de presión y temp eratura en que tres
fases pueden coexistir en equilibrio quedan determinadas por el punto triple.
El calor latente se define como la diferencia entre la entalpía (por unidad de masa) de una fase en
condiciones de saturación, y la entalpía (por unidad de masa) de la otra fase en las mismas condiciones de saturación. De acuerdo con esta definición, se tiene el calor latente de vaporización , el calor
latente de fusión y el calor latente de sublimación.
98
Termodinámica
Los calores específicos a presión constante y a volumen constante se definen mediante las
expresiones
e u -
au)
aT u
El coeficiente de Joule-Thomson se define así
aapTJ
11- -
h
El coeficiente de expansión volumétrica se define como sigue
El coeficiente de compresibilidad isotérmica se define
Problemas
4.1
Indique si en los siguientes estados termodinámicos el agua se encuentra como líquido comprimido, como vapor húmedo o como vapor sobrecalentado:
a) p
b) p
e) p
=
4 bar
30 bar
15 bar
d) T = 500 oC
e) p = 15 bar
f) T = 150 oC
=
=
T = 125 oc.
T = 200 oc.
T = 400 oc.
h = 3450 J j g.
v = 240 cm 3 j g.
v = 100 cm 3 jg.
Respuestas:
a) Líquido comprimido
b) líquido comprimido
e) Vapor sobrecalentado
d) Vapor sobrecalentado
e) Vapor sobrecalentado
f) Vapor húmedo
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4 Equilibrio entre fases
4.2
99
Considere una unidad de aire acondicionado de ventana que emplea R-22 y tiene 1.5 toneladas de capacidad de enfriamiento. El refrigerante sale del condensador como líquido saturado
a una temperatura de 46 oC y es descargado por la válvula de expansión a 4 oc. El flujo de
masa de refrigerante a través de la unidad es de 35.5 g/s.
a} Calcule la presión a la entrada y a la descarga de la válvula.
b} Calcule el título del vapor a la descarga de la válvula de expansión.
c} Determine el flujo de calor que toma el evaporador si el refrigerante es descargado de
éste como vapor saturado seco .
Respuestas:
a} ~nt = 17.71 bar
~al = 5 .66 bar
b} x = 0.263
e} Calor = 5272.82 W
4.3
Un recipiente rígido de 8 dm 3 contiene vapor húmedo a una presión absoluta de 1 bar. Si la
cantidad de vapor en el recipiente es de 7.85 g,
a} Calcule el calor que debe suministrarse al sistema para transformarlo en vapor saturado seco.
b} Calcule la presión final.
Respuestas:
a} 6701.1 J
b} 1.72 bar
4.4
En una tobera entra vapor de agua a una presión absoluta de 7 bar, una temperatura de 200 oC
y una velocidad prácticamente despreciable. El vapor se descarga a una presión de 2 bar y a
una velocidad de 200 m/s. Si el proceso de expansión es adiabático, calcule el título del vapor
a la descarga si éste es húmedo o la temperatura del vapor si es sobrecalentado .
Respuesta:
4.5
177.38 oC
Un calorímetro de estrangulamiento es un dispositivo utilizado para medir el título de un vapor
húmedo. El calorímetro toma una muestra pequeña y continua del vapor húmedo que se
quiere analizar, y lo expande de una manera adiabática hasta la presión atmosférica. Después
de este estrangulamiento adiabático y a entalpía constante, se registra la temperatura y la
presión del vapor sobrecalentado.
Determine el título del vapor en una tubería si su presión es de 20 bar, y un calorímetro de
estrangulamiento reporta los siguientes datos:
Temperatura del vapor a la descarga = 150 oC
Presión del vapor a la descarga = 1 bar
Respuesta:
0.99
100 Termodinámica
4.6
4.7
Indique la posibilidad o imposibilidad de emplear agua como medio de trabaja en un sistema de
refrigeración.
Todos los gases a presiones relativamente bajas obedecen a una ecuación de la forma
T
v=Cp
donde C es una constante. Determine el coeficiente de expansión volumétrica ~ para estos
gases.
Respuesta: l i T
4.8
Determine la variación del calor específico a presión constante del agua como función de la
temperatura si la presión es igual a 1 bar.
A esta presión (véase la tabla)
T, °C
h, J/ g
140
160
190
210
240
260
290
310
380
420
2756.5
2796.2
2855.5
2895.1
2954.5
2994.3
3054.2
3094.5
3236.9
3319 .6
Nota: Los valores de la tabla pueden correlacionarse mediante mínimos cuadrados, esto es,
h = 2477.373 + 2.022T - 2.738 x 10- 4 T 2 + 5.596 X 10- 7 T 3
4.9
Un gramo de vapor de agua se enfría isobáricamente y sin fricción desde una temperatura de
400 oc hasta una temperatura de 150 oc. Si la presión es de 1 bar,
a) Calcule el calor disipado .
b) Determine el calor específico promedia en este intervalo de temperaturas.
Respuestas: a) -501.8 J
b) 2.01 J/g oC
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4 Equilibrio entre fases
e
101
4.10 Calcule la energía interna del vapor de agua a una presión de 10 bar y con un título de 0.9.
Respuesta.
2401.41 J/g
4.11 Determine la densidad del agua a 20°C y a 1 bar.
Respuesta. 0.998 g/cm3
a
4.12 ¿Qué proporción en volumen de líquido y vapor de agua debe tenerse a una presión de 1 bar
si, al calentarse la mezcla, ésta pasa por el punto crítico?
4.13 Con las tablas del vapor, construya un diagrama específico de energía interna-volumen.
4.14 Una caldera descarga 1000 kg/h de vapor saturado seco a una presión de 10 bar en un
cabezal. Otra caldera suministra 10 000 kg/h de vapor a 400°C en el mismo cabezal. Determine las condiciones del vapor en el cabezal.
Respuesta: p = 10 bar
T= 379.2 °C
4.15 Una bomba suministra 10 000 kg/h de agua a una presión de 10 bar ya una temperatura de
30°C. Calcule el gasto o flujo volumétrico de agua.
4.16 Una turbina toma 50 000 kg/h de vapor a una presión de 30 bar y a una temperatura de
400°C. El vapor se descarga en el condensador a una presión absoluta de 0.05 bar y con
18.6% de humedad. Suponiendo que el proceso es adiabático y los cambios en energía potencial y cinética son despreciables, calcule la potencia desarrollada por la unidad.
Respuesta. 15 558 kW
4.17 Una turbina de vapor con una extracción toma 35 000 kg/h de vapor de una caldera a una
presión de 40 bar y a una temperatura de 400°C. De este flujo de masa de vapor se extraen
27 000 kg/h como vapor saturado seco a una presión absoluta de 1.5 bar. El resto del vapor
se descarga en el condensador a una presión absoluta de 37.5 mm Hg y con un título de
89.5%. Calcule la potencia desarrollada por la turbina.
4.18 Determine el coeficiente de Joule-Thomson del vapor de agua a una presión de 10 bar y a una
temperatura de 400°C.
4.19 Considere una turbina a la que se suministran 1.5 kg/s de vapor de agua. Se conocen los
siguientes datos de operación:
Presión, bar
Temperatura, °C
Título
Velocidad, mis
Elevación con respecto a
un plano de referencia, m
Entrada
Salida
30
400
1
50
0.95
100
6
3
102 Termodinámica
Se sabe también que la turbina disipa 8.5 kW de calor hacia los alrededores.
a) Determine la potencia de la turbina en kW.
b) Determine la temperatura del vapor a la descarga.
4.20 Una olla de presión de uso doméstico emplea un regulador de presión para limitar la presión
interna, la cual está calibrada a 1 bar de presión manométrica. Se agrega a la olla una cantidad
suficiente de agua para asegurar que las condiciones de saturación prevalezcan durante la
cocción. Esta característica permite cocinar con agua a temperatura controlada, que es más
alta que la normal en aproximadamente 100 oC, y en consecuencia, el tiempo de cocción se
reduce.
Suponga que la olla en cuestión contiene 0.25 kg de una mezcla de agua líquida y vapor de
agua cuando se alcanza la presión de operación y que el volumen de la olla es 0.004 m 3
Suponga además que la presión barométrica del lugar es igual a 1 bar.
a) Calcule la temperatura a la cual ocurre la cocción.
b) Determine la masa de líquido y de vapor presentes a la presión de operación.
Respuestas : a) T = 120.23 oC
b) m líq = 0 .246 kg
m vap = 0.00423 kg
4.21 Considere una turbina en la que entra vapor de agua a 160 bar y 500 oC y sale a 1 bar como
vapor saturado seco . El área de flujo a la entrada de la turbina es 0.045 m 2 y a la salida es
0 .31 m 2 . El flujo de masa a través de la turbina es 30 kg/ s. Si el proceso de expansión es
adiabático,
a) Calcule la potencia desarrollada por la turbina.
b) ¿Es justificable despreciar las variaciones en energía cinética cuando se trata con
turbinas?
e) Dibuje un esquema del proceso de expansión en coordenadas preSión-volumen.
Respuestas: a) Potencia = 18.2 MW
b) Sí, en este caso es 2.1 %
4.22 Considere un compresor centrífugo en el que entra vapor de agua saturado seco a 40 oC y se
descarga a 0.5 bar y 200 oc. El flujo de vapor es de 140 g/s . Durante el proceso de compresión se disipan 2000 W de calor.
a) Determine la presión del vapor a la entrada del compresor.
b) Calcule la potencia que requiere el compresor.
Respuestas: a) p = 0.0784 bar
b) Potencia = 44.48 kW
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4 Equilibrio entre fases
103
4.23 Dentro de un sistema cilindro-émbolo hay un kilogramo de agua a 1 bar de presión absoluta.
El volumen inicial del sistema es 0.5 m 3 . El sistema se expande de modo isotérmico y sin
fricción hasta duplicar su volumen inicial al agregarle calor.
a) Dibuje el proceso de expansión en coordenadas presión-volumen indicando con claridad dónde se encuentra la línea de saturación.
b) Calcule la magnitud del calor transferido al sistema.
Respuesta .
b) Q = 666 .8 kJ
4.24 Un dispositivo cilindro-pistón sin fricción contiene 1.0 kg de agua líquida y 0.01 kg de vapor
de agua en equilibrio a 7 bar. La presión se mantiene constante y se agrega calor hasta que la
temperatura alcanza 300 oc.
a) ¿Cuál es la temperatura inicial de la mezcla?
b) Determine el cambio en volumen durante el proceso , expresado en m 3 .
e) Calcule el calor agregado durante el proceso, expresado en J .
d) Dibuje el proceso en coordenadas presión-volumen; incluya la línea de saturación .
4.25 Una turbina recibe vapor de agua a 30 bar con un título igual a 1.0, y lo descarga a 0.075 bar.
Si el proceso es adiabático reversible, calcule el trabajo que desarrolla la unidad.
4.26 Tres kilogramos de vapor de agua saturado seco se expanden a una presión constante de 3 bar
hasta una temperatura final de 400 oc. Suponiendo que el proceso es sin fricción , evalúe
a) El calor requerido.
b) El trabajo requerido.
e) El cambio de energía interna.
4.27 Un condensador recibe 100 kg/ s de vapor de agua con 8% de humedad a 0.075 bar de
presión. El vapor de agua sale a 0 .075 bar y 35 oc. El agua de enfriamiento entra a 1 bar y
25 oC, y se descarga a 30 oc. Determine
a) El calor transferido del vapor al agua de enfriamiento.
b) El flujo de agua requerido.
4.28 Calcule la entalpía del agua a 1 bar y 25 oc.
4.29 Un recipiente de 0.5 m 3 contiene amoniaco a 2.5 bar y 30 oc. Si el volumen específiCO del
amoniaco es de 0.578 m 3/ kg , calcule la masa almacenada.
4.30 Indique si el amoniaco a 2 bar y 150 oC se comporta o no como gas ideal. Justifique su
respuesta. .
4.31 Calcule la densidad del agua a 3 bar y 80 oc.
4.32 Estime el volumen específico del propano a 150 oC y 70 bar.
104
Termodinámica
Referencias
1. Keenan, J. H., Keyes, F. G., Hill, P. G., Moore, J. G., Steam Tables, John Wiley, 1969.
2. Lange, N. A., Handbook of Chemistry, McGraw-Hill, Nueva York, 1967.
3. Manrique, José A., Theory of Droplet Vaporization in the Region of the Thermodynamic
Critical Point, NASA CR-72558, 1969.
4. Sorensen, H. A., PrincipIes of Thermodynamics, Holt, Rinehart and Winston, 1961.
5. Holman, J. P, Thermodynamics, McGraw-Hill, Nueva York, 1988.
La
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do
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s
Ecuaciones de esfado
La virtud, el estudio y la alegría
son tres hermanos que
no deben vivir separados.
VOLTAIRE
La predicción de una propiedad termodinámica implica a menudo un conocimiento sobre el comportamiento presión-volumen específico-temperatura de la sustancia misma. En otras ocasiones, dadas
dos propiedades intensivas independientes como la presión y el volumen específico, se desea conocer
la temperatura.
Una expresión de la forma
¡(p, v, T) = O
(5 .1)
se denomina ecuación de estado. Se llama también con frecuencia ecuación de estado incompleta
por ser incapaz de predecir por sí sola otras propiedades termodinámicas diferentes de la presión.
volumen específico y temperatura. Es decir, una ecuación de estado como la dada en la expresión 5.1
no proporciona información respecto de la energía interna, entalpía, etc. , de una sustancia en un
estado termodinámico dado. Sin embargo, aparte de suministrar información con respecto al comportamiento pvT de una sustancia, puede servir como medio para determinar cualquier propiedad
termodinámica.
Puesto que las sustancias que se hallan en estado de gas encuentran múltiples aplicaciones
prácticamente en todos los procesos de interés en la ingeniería, y ya se han estudiado de manera
detallada, se dará preferencia a los gases en este capítulo. Existe una enorme variedad de ecuaciones
de estado para predecir el comportamiento presión-volumen específico-temperatura de un gas o
mezcla de gases, algunas de ellas son extremadamente complejas . Sin embargo, sólo se explicarán
algunas de las más importantes. El lector interesado en profundizar más en estos temas podrá consultar otros trabajos que aparecen en las referencias al final del capítulo.
106 Termodinámica
5.1 Gas ideal
Todos los gases a presiones relativamente bajas obedecen a una ecuación de estado muy simple que da
lugar a consecuencias sumamente importantes y sencillas. Todo gas que satisfaga la ecuación de estado
pv= RT
(5 .2)
se denomina gas ideal. En esta expresión, p es la presión absoluta en N/m 2 (Pa), v es el volumen
específico en m 3/ kg, T es la temperatura absoluta en K y R la constante del gas en J / kg K.
Es interesante resaltar que la ecuación de estado de los gases ideales puede derivarse de forma
analítica mediante principios de mecánica estadística, si se presupone que las moléculas que constituyen el gas son esferas infinitesimalmente pequeñas que no ocupan volumen, que sufren colisiones
completamente elásticas y que no sufren atracción o repulsión.
En la tabla 5 .1 se muestran diferentes valores de la constante R para algunos gases .
La ecuación de estado de los gases ipeales también puede escribirse como sigue:
pv* = RuT
(5 .20)
donde v* es el volumen específico molar en m 3/kgmol y Ru es la constante universal de los gases. Su
valor en el Sistema Internacional de unidades es, para todos los gases,
Ru = 8.3143 kJ/ kgmol K
La ecuación 5.20 constituye una expresión analítica de la escala termodinámica del gas ideal presentada en el capítulo 2.
Al comparar las ecuaciones 5 .2 y 5.20 se observa que la constante R de cada gas y la
constante universal Ru de los gases están relacionadas a través del peso molecular M del gas. Es decir,
Esta relación permite determinar la constante de cada gas al conocer su peso molecular.
Expresiones por completo análogas a la ecuación de estado de los gases ideales (ecs.5.2 y 5.20) son:
pV= mRT
p= pRT
pV= nRuT
p = cRuT
(5 .2b)
donde Ves el volumen total que ocupa el gas, m la masa, n el número de moles y e la concentración
(e = l / v*).
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5 Ecuaciones de estado
107
Tabla 5.1. Valores de R para diferentes gases .
Gas
Fórmula
Acetileno
Agua
Aire
Amoniaco
Argón
Butano
Dióxido de carbono
Etano
Etileno
Freón 12
Helio
Heptano
Hidrógeno
Metano
Monóxido de carbono
Nitrógeno
Octano
Oxígeno
Propano
C 2H 2
H 20
NH 3
Ar
C4 H lO
CO 2
C 2H 6
C 2H 4
CCl 2F2
He
C7 H 16
H2
CH 4
CO
N2
CSH 1S
°2
C3 HS
Peso
molecular
R
kJ/ kg K
26 .038
18.016
28.967
17.032
39.944
58.124
44.011
30.070
28.054
120.925
4.003
100.205
2.016
16.043
28.011
28.016
114.232
32
44.097
0 .319
0.461
0.287
0.488
0.208
0.143
0.189
0.276
0 .296
0.068
2.077
0.083
4.124
0.518
0.297
0.296
0.073
0.260
0188
Ejemplo 5.1
Determine la densidad del aire a una presión de 1 bar y a una temperatura de 25 oc.
Solución
Según la tabla 5 .1,
R = 0.287 kJ/kg K
Según la ecuación de estado de los gases ideales 5.2b,
p
=~ =
RT
5
1m
(l xl 0 )
=1.17k
(0.287x 103 )(298)
g
3
Ejemplo 5.2
En un cilindro se expande el aire de forma isotérmica hasta duplicar su volumen. Al principio el aire
se encuentra a una presión de 5 bar y a una temperatura de 30 oc. Suponiendo que el proceso de
expansión no tiene fricción, calcule el trabajo desarrollado por unidad de masa y la presión final.
108 Termodinámica
Solución
Con la ecuación para el trabajo desarrollado por un sistema cerrado,
w =
fpdv
Mediante la ecuación de estado de los gases ideales,
RT
v
p=-
Entonces,
w = RT
dv
fv = RT In(vZ/vl)
= (O.287xl03X303)ln(2)= 60.28kJ/kg
w = 60.28J/g
La presión final del aire queda determinada por la expresión
Como consecuencia de la primera y segunda leyes de la termodinámica * puede demostrarse que la
energía interna de un gas ideal, es decir, de un gas que obedece a la ecuación de estado 5.2, es
función de la temperatura única y exclusivamente. Esto es,
u = u(T)
(5.3)
Este resultado se conoce como ley de Joule debido a los trabajos experimentales de investigación
que realizó originalmente J . P. Joule.
Las ecuaciones 5.2 y 5.3, en conjunto, dan lugar a consecuencias sumamente importantes.
Algunas de ellas se explican a continuación:
i. Dado que la energía interna de un gas ideal depende sólo de la temperatura, la entalpía de un gas
ideal también depende única y exclusivamente de la temperatura. Esta consecuencia puede demostrarse con facilidad a partir de la definición de entalpía. Esto es,
h = u(T) + pv
p ero , para un gas ideal,
pv= RT
* Véa se capítulo 9 .
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5 Ecuaciones de estado
109
En consecuencia,
h = u{T) + RT= h{T)
(5.4)
ji. Puesto que la energía y la entalpía de un gas ideal sólo son funciones de la temperatura, los calores
específicos a presión y a volumen constantes de un gas ideal son también únicamente funciones de la
temperatura. Con las ecuaciones 4 .7 Y 4.8,
dh
e = - = c (T)
P
dT
P
(5 .5)
y, a su vez,
du
e = - = c (T)
v
dT
v
(5.6)
La ecuación 5.5 implica que, para cualquier proceso,
(5 .7)
Integrando entre los estados 1 y 2 de cualquier proceso,
(5.8)
En distintas circunstancias, el calor específico a presión constante no varía de forma significativa con
la temperatura y puede suponerse constante. Esto es,
(5.9)
En otras circunstancias, cuando esta variación es significativa, conviene usar un valor promedia para
el calor específico. En estas condiciones, la diferencia en entalpía entr~ dos estados se determina
mediante la expresión
(5.10)
donde
(5.11)
110 Termodinámica
que
sí d€
De manera análoga, la ecuación 5.6 implica que, para cualquier proceso,
du = Cu dT
(5.12)
Integrando entre los estados 1 y 2 de cualquier proceso,
2
~u =
J cv(T)dT
1
Deri
(5.13)
Si el calor específico a volumen constante no varía de forma significativa con la temperatura,
o bí
(5.14)
Por otro lado, si se usa un valor promedio para el calor específico,
En (
(5.15)
donde
(5.16)
p
En la figura 5.1 se presentan varios procesos
de un gas ideal en un diagrama presión-volumen.
De lo anterior se desprende que el cambio en
energía interna (o entalpía) es el mismo para cualquier proceso entre las dos isotermas que se observan en la figura. Es decir,
l
11'"
¡
¡,".
11¡1'
Esté
ma;
deci
con
De
deh
y, a
I
y
Los
v
Figura 5.1. Diferentes procesos de un gas ideal entre dos isotermas.
AUJ
Si se analizan las ecuaciones 5.7 Y 5.12 Y se
usa la definición de entalpía, puede observarse
kd
es¡:
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5 Ecuaciones de estado
111
que los calores específicos a presión y a volumen constante de un gas ideal están relacionados entre
sí de una manera sencilla. Esto es,
dh = du + d(pu)
=
du + RdT
Derivando con respecto a la temperatura,
o bien,
cp = c u + R
En consecuencia, para un gas ideal,
cp - c u = R
(5 .17)
Esta expresión indica que el calor específico a presión constante de un gas ideal es siempre mayor en
magnitud que el calor específico a volumen constante, diferenciándose entre sí por la constante R. Es
decir, aun cuando los calores específicos cp y Cu dependen de la temperatura, su diferencia es una
constante. Empleando valores molares,
(5 .17a)
De lo anterior se desprende que sólo hace falta conocer uno de los dos calores específicos para poder
determinar el otro.
Si se designa como k el cociente de calores específicos cpl C u y se usa la ecuación 5.17,
kP
c =-p
k-1
(5 .18)
y, a su vez,
R
c =-u
k-1
(5 .19)
Los calores específicos de un gas ideal pueden determinarse de manera analítica o experimental.
Aumentan en magnitud al aumentar la temperatura. Por otro lado, la relación de calores específicos
k disminuye con la temperatura. En la figura 5 .2 se presenta la variación con la temperatura del calor
específico a presión constante de algunos gases ideales. En la tabla 5.2 aparecen los valores de cp ' C u
112
Termodinámica
0.5
~
.!2> 1.0
""')
g.
1.5L-----L-----~-----L----~------~----~----~----~----~-1000
200
400
600
800
Temperatura,
K
Figura 5.2. Calores específicosa presión constante de algunos gases.
y k para diferentes gases ideales. En la tabla 5.3 se indican las constantes para determinar de forma
analítica el calor específico molar a presión constante de algunos gases.
iii. Puesto
que la entalpía de un gas ideal depende de modo único y exclusivo de la temperatura, el
coeficiente de Joule-Thomson de un gas ideal es igual a cero. Esto es,
J1=0
(gas ideal)
(5.20)
Tabla 5.2. Calores específicosde algunos gases ideales.*
tl~:'. ,
[1
t
Gas
1
Aire**
J1
11",.
(l.
It
1,
"
1\
.1
T
K
cp
CV
kJ/kg K
kJ/kg K
k
273
298
300
400
500
600
700
800
900
1000
1500
2000
l.004
1.009
l.009
l.028
l.047
l.065
l.082
l.099
l.115
1.130
1.198
l.251
0.717
0.722
0.722
0.741
0.760
0.778
0.795
0.812
0.828
0.843
0.911
0.964
l.400
1.398
1.398
l.387
l.378
l.369
l.361
l.354
l.347
l.340
l.315
l.298
(Continúa)
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5 Ecuaciones de estado
Tabla 5.2. (Continuación.)
--
T
K
cp
kJ/kgK
kJ/kg K
k
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1500
2000
0.664
0.735
0.846
0.939
1.014
r
1.075
1.126
1.168
1.204
1.234
1.326
1.371
0.475
0.546
0.657
0.750
0.825
0.886
0.937
0.979
1.015
1.045
1.137
1.182
1.398
1.346
1.288
1.252
1.229
1.213
1.202
1.193
1.186
1.181
1.166
1.160
Hidrógeno
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1500
2000
11.200
13.536
14.317
14.486
14.523
14.556
14.612
14.718
14.845
14.992
16.033
17.019
7.076
9.412
10.193
10.362
10.399
10.432
10.488
10.594
10.721
10.868
11.909
12.895
1.583
1.438
1.405
1.398
1.397
1.395
1.393
1.389
1.385
1.379
1.346
1.320
Metano
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1500
2000
2.075
2.088
2.229
2.527
2.891
3.258
3.606
3.926
4.217
4.479
5.400
5.889
1.557
1.570
1.711
2.009
2.373
2.740
3.088
3.408
3.699
3.961
4.882
5.371
1.333
1.330
1.303
1.258
1.218
1.189
1.168
1.152
1.140
1.131
1.106
1.096
Gas
Díóxido
a
de carbono
cu
(Continúa)
11 3
114 Termodinámica
Tabla 5.2. (Continuación.)
_'~
~. ..:
n'lll'"'
Gas
Monóxido de carbono
Nitrógeno
pr
T
K
cp
kJ/kg K
kJ/kg K
k
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1500
2000
l.040
l.040
l.041
l.048
l.064
1.088
l.114
l.140
l.164
l.185
l.258
l.295
0.743
0.743
0.744
0.751
0.767
0.791
0.817
0.849
0.867
0.888
0.961
0.998
l.400
1.400
l.399
l.395
l.387
l.376
l.364
l.352
l.342
1.343
l.309
1.298
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1500
2000
1.040
l.040
l.040
l.045
l.061
l.076
l.099
l.123
l.146
l.168
l.245
l.286
0.744
0.744
0.744
0.749
0765
0.780
0.803
0.827
0.850
0.872
0.949
0.990
l.398
l.398
l.398
l.395
l.387
l.380
l.369
1.358
l.348
l.339
l.312
l.299
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1500
2000
0.910
0.911
0.919
0.942
0.972
l.004
l.031
1.055
l.074
l.091
1.143
l.181
0.650
0.651
0.659
0.682
0.712
0.744
0.771
0.795
0.814
0.831
0.883
0.921
1.400
1.400
l.395
l.382
l.365
l.350
l.337
l.327
l.319
l.313
l.294
1.282
Cu
rl~~
'.,.
II~
,1L ..
;;1.
1~
V;
".
1\
Oxígeno
* JANAF, Thermochemical
Tables, U.S. Department 01 Commerce, Springlield, Virginia, 22151.
** Obert, E. F., Concepts of Thermodynamics, McGraw-Hill, Nueva York, 1960. Error máximo 1.64%.
su
ve
A
ni
Ti
G
A
A
A
e
E
r
rv
rv
l'
(
(
¡:
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11 5
5 Ecuaciones de estado
Es decir, una línea isoentálpica en un diagrama presión-temperatura es una isoterma a bajas
presiones (o volúmenes específicos grandes). De lo anterior se desprende que un gas ideal no altera
su temperatura al experimentar una expansión a entalpía constante.
De la misma manera, y como puede deducirse de la ecuación 4.10, el coeficiente de expansión
volumétrica ~ de un gas ideal es inversamente proporcional a la temperatura absoluta. Es decir,
R. -_ ~
1-'
T
(5.21)
(gas ideal)
Asimismo, el coeficiente de compresibilidad isotérmica KT de un gas ideal es inversamente proporcional a la presión absoluta, esto es,
1
/(T
= -p (gas ideal)
(5.22)
Tabla 5.3. Calores específicos molares de algunos gases ideales. *
-: = a + bT+ cT2
kJ/kg mol K (298-1500 K)
Gas
Agua
Aire**
Amoniaco
Dióxido de carbono
Etano
Hidrógeno
Metano
Monóxido de carbono
Nitrógeno
Octano
Oxígeno
Propano
Fórmula
H20
NH3
CO2
C2H6
H2
CH4
CO
N2
CgHlg
O2
C3Hg
Peso
molecular
a
b x 103
C X
18.016
28.967
17.032
44.011
30.070
2.016
16.043
28.011
28.016
114.232
32.00
44.097
30.366
27.453
25.470
26.005
9.404
29.073
14.149
26.868
27.303
34.162
25.729
10.086
9.617
6.184
38.878
43.507
159.871
- 0.837
75.514
6.955
5.231
586.808
12.891
239.361
1.184
- 0.8993
- 6.303
- 14.836
- 46.240
2.013
- 17.995
- 0.820
- 0.0042
- 184.671
- 3.863
- 73.376
106
• Balzhiser, R. E., Samuels. M. R., Eliassen, J.D., Chemical Engineering Thermodynamics.
Prentice-Hall, Nueva York. 1972 .
•• Obert, E. F., Concepts 01 Thermodynamics,
McGraw-Hill. Nueva York, 1960. Error máximo l.64%. 273-3800 K.
Ejemplo 5.3
Con datos de la tabla 5.3, calcule el cambio de entalpía por unidad de masa para el amoniaco (NH3)'
entre 200 y 400°C. Estime, además, el calor específico a presión constante promedio en este
intervalo de temperaturas.
116 Termodinámica
Solución
Según la tabla 5.3,
=1473 (25.470 + 38.878x 10- 3 T - 6.303x 10-6 T 2 )dT
673
= 9131.33 kJ/ kg mol
En consecuencia,
h - h = 9131.33 = 536.13 kJ/k
2
1
17.032
g
El calor específico promedio queda determinado mediante la expresión 5.11. Esto es,
_
tlh
e = = 536 .1 3 = 268 kJ/k K
200
.
g
P
tlT
Ejemplo 5.4
Se comprimen 0.1 kg/ s de aire en un compresor centrífugo de manera adiabática. Los datos del aire
a la entrada y a la salida del compresor son los siguientes
Pl = 0.8 bar
P2 = 3.2 bar
T l = 25 oC
T2 = 180 oC
Las variaciones en energía cinética y potencial son despreciables.
a) Calcule la potencia requerida por el compresor, suponiendo que el calor específico a presión
constante del aire es igual a 1 J/ g K.
b) Calcule la potencia requerida por el compresor, si el calor específico a presión constante se
considera variable.
e) Determine la relación de diámetros d/ d2 que deben tener los duetos de entrada y salida para
que el cambio en energía cinética sea despreciable.
Solución
a) Mediante un balance de energía,
- w = h2 - hl = cp (T2 - T l )
= (1)(180 - 25) = 155 J / g
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5 Ecuaciones de estado
11 7
En consecuencia,
- W=
mw = (100)(155) = 15.5 kW
b) Si el calor específico se considera variable,
1 fT c* dT
-w=z
M
=
1
28.967
TI P
f453(27 .453 + 6.184x 10- 3 T _ 0.8993x 10- 6 T 2 )dT
298
= 158.64 J/ g
Por tanto,
- W= 15.86 kW
Nótese que sólo se introduce un error de 2.27% al considerar el calor específico a presión constante
como una constante.
e) Puesto que el compresor opera en condiciones de estado estable,
Por tanto,
Al
df _~
TI P2
(298)(3.2)
A2
di
T2 PI
(453)(0.8)
V2
Entonces,
~ = 1.62
d2
iv. Puesto que los calores específicos de un gas ideal pueden considerarse como constantes en cierto
rango de temperaturas, se desarrollarán a continuación expresiones analíticas para predecir el comportamiento presión-volumen , presión-temperatura y temperatura-volumen de un gas ideal que realiza un proceso adiabático y sin fricción .
La primera ley de la termodinámica establece que para un sistema abierto o cerrado, que opera
sin fricción ,
dq - pdv = du
118
Termodinámica
F
Si el proceso es adiabático,
tituir
-pdv
= du
Si el medio de trabajo es un gas ideal,
Para obtener una relación entre la presión y el volumen es necesario eliminar la temperatura T en la
expresión anterior. Con la ecuación de estado de los gases ideales,
V.
c.
1
dT = - (pdv + vdp)
R
se cc
ecua
Por tanto,
Cu
= R (pdv + vdp)
-pdv
Ordenando esta expresión, se tiene
~.'
lO
'
o
•
Algu
Puesto que cp - Cu = R,
Dividiendo entre cupv,
"
II~~
'.,,;
II~
1j¡:' •.
Si los calores específicos
son constantes,
la ecuación anterior puede integrarse para dar,
I:l'
[tI
pvk
=
constante
(5.23)
'"
o, entre. dos estados 1 y 2,
(523a)
La ecuación 5.23 es, en consecuencia, válida para todo proceso adiabático
medio de trabajo sea un gas ideal con calores específicos constantes.
sin fricción,
donde el
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5 Ecuaciones de estado
119
Para obtener el comportamiento presión-temperatura y temperatura-volumen , sólo se debe sustituir la ecuación de estado de los gases ideales en la ecuación 5.230. Es decir,
(5.24)
v. Cualquier proceso cuya relación funcional entre la presión y el volumen sea de la forma
(5.25)
pu n = constante
se conoce como proceso politrópico, donde n es el exponente poli trópico. De forma análoga a las
ecuaciones 5.230 y 5.24,
(5.26)
Algunos procesos politrópicos en coordenadas presión-volumen aparecen en la figura 5 .3.
p
--------------~~~------------ n =
n
=1
n=ao
v
Figura 5.3. Procesos politrópicos.
o
120
Termodinámica
a) Proceso isobárico. El proceso isobárico es un caso particular de proceso politrópico. En este
~' .1'.'.
caso el exponente politrópico n es igual a cero. Para este proceso,
,"
m de :
al J/
ademé
,jllll
) ,Itl ~.,
a,
b,
b) Proceso isotérmico. En el proceso isotérmico el exponente politrópico es igual a la unidad.
En consecuencia,
e,
d
e
La ecuación anterior se conoce como ley de Boyle.
SolUt
a
c) Proceso adiabático sin fricción y para un gas ideal con calores específicos constantes. Como
se explicó antes, el exponente politrópico en este caso es igual al cociente de calores específicos k.
d) Proceso isocórico o iso métrico. En un proceso a volumen constante el exponente politrópico
n es infinito. En este caso,
Para
Los procesos explicados arriba son sólo casos particulares de procesos politrópicos. Dado que la
ecuación 5.25 es nada más una relación funcional entre propiedades termodinámicas, es válida para
procesos que se desarrollan con fricción o sin ella (si es que es posible asignar valores a las propiedades en cada estado de un proceso que se desarrolla con fricción). Si en un proceso de expansión dado
1 < n < k, el sistema recibe calor; y el proceso no es ni adiabático ni isotérmico. La temperatura del
gas disminuye durante la expansión como consecuencia de ser mayor el trabajo desarrollado por el gas
que el calor suministrado a éste. Los procesos politrópicos tienen gran aplicación en el análisis de
motores de combustión interna, compresores, etcétera.
Ejemplo 5.5
Una turbina de gas estacionaria desarrolla 500 kW de potencia y aspira el aire a presión atmosférica.
lo comprime en el compresor, lo calienta de manera isobárica en la cámara de combustión y lo
expande finalmente en la turbina. El aire ambiente aspirado por el compresor se encuentra a una
presión absoluta de 900 mbar y a una temperatura de 26°C. La velocidad del aire a la entrada de la
unidad es de 90 mis y el área de sección transversal del dudo de entrada, donde está localizado a 2 m
de altura sobre el nivel del piso, es de 0.1 m2. La presión de los gases a la descarga de la turbina es de
2 bar, y la temperatura de 175°C. El área del dudo en la descarga es de 0.07 m2 y se localiza a 0.5
Por!
Para
Por
Ade
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5 Ecuaciones de estado
121
m de altura sobre el nivel del piso. Suponga que el calor específico a presión constante del aire es igual
al J/ g oC y las propiedades de los gases de combustión son en esencia iguales a las del aire. Suponga
además que el flujo de masa de combustible es despreciable con respecto al del aire aspirado.
a) Determine el flujo de calor que debe suministrarse a la turbina .
b) Si la unidad quema gas natural y la energía liberada durante la combustión es de 39 000 kJ/ m 3 .
determine el caudal de gas necesario en m3/ h para suministrar el calor requerido.
c) Si el volumen específico del gas natural es de 0 .62 m 3/ kg , calcule el flujo de masa de combustible requerido.
d) Calcule el consumo específico de gas natural en kg/ s kW.
e) Determine la relación combustible/aire.
Solución
a) Con la primera ley de la termodinámica,
.
.
Q= W +
m[ h2 - h1 + V~ -2 V~ + g(Z2 - Zl)]
Para determinar el flujo de masa de aire,
Por tanto,
m= Al VI = (0.1)(90) = 9 .47 kg/s
0 .95
UI
Para determinar la velocidad a la descarga,
3
_ RT2 _ (0.287x10 )(448) -064k /
.
g S
P2
2x 105
U2 -
Por tanto,
\12 = mU 2 = (9.47)(0.64) = 86.58 m/s
A2
0.07
Además,
h2 - h l = cp(T2 - TI) = (1 x 10 3)(175 - 26)
=
149 X 10 3 J/kg
122 Termodinámica
Sustituyendo valores en el balance de energía,
2
2
Q = 500000 + (9 .47)(149 x 10 3 + 86.58 2 - 90
-
9 .8 x 1.5)
= (500 + 1411.03 - 2.86 - 0.14) X 10 3
Q=1908.03 kW
b) Para determinar el caudal de gas natural,
Q
G=
39000
= 1908.03 =0.049m 3 /s
39000
e) Para calcular el flujo de masa de gas natural,
.
G 0.049
= - - = 0.079kg/s
v
0.62
mgas = -
d) El consumo específico de gas queda determinado mediante la relación,
CE = m~as = 0.079 = 1.58x 10-4 kg/s kW
W
500
e) La relación combustible/ aire es
rhgas
0.079
/
- . - = - - = 0.0083kg gas kg aire
maire
9.47
Note que la cantidad de combustible es insignificante en comparación con la de aire y puede despreciarse.
Ejemplo 5.6
Se desean comprimir 2.5 m 3/ min de aire desde una presión de 1 bar y una temperatura de 25 oC
hasta una presión de 4 bar. Suponiendo que el proceso de compresión es adiabático y no tiene
fricción , determine
a) La temperatura del aire en la descarga del compresor.
b) La potencia necesaria para impulsar el compresor.
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5 Ecuaciones de estado
Solución
a} Para un proceso adiabático que se desarrolla sin fricción ,
k-I
T2
=TI [~: ) ' = (298)(4)
I:~I
= (298)(4)°286
T2 = 443 K = 170 oC
b) Mediante un balance de energía,
- w = h2 - h l = cp (T2 - TI}
- w = (1}(170 - 25) = 145 J/g
Para calcular el flujo de masa de aire,
y, a su vez,
m= GI = (2.5/ 60) = 48.7 g/ s
vI
0.855
En consecuencia,
- W = (48 .7)(145) = 7061.5 W
- W = 7.061 kW
La potencia requerida por el compresor también puede calcularse mediante la expresión,
1
f vdp = - _k -1
k_ RT [P2)k - 1
PI
k-I
w= -
I
r
= - ~~ (0. 287x 103)(298)(40286 -1)
1.4 -1
-1.45 x 105 J/ kg
=-145J/g
=
En consecuencia,
- W= (48.7)(145) = 7.061 kW
123
124 Termodinámica
Ejemplo 5.7
Dos recipientes térmicamente aislados, cuyo calor específica es despreciable, están conectados
entre sí por medio de una válvula (uéase figura
E.5.7). El recipiente A contiene 5 kg de nitrógeno a una presión de 3 bar y una temperatura de
50 oc. El recipiente B contiene 10 kg de nitrógeno a presión y temperatura de 6 bar y 100 oC,
respectivamente. Si la válvula se abre y ambos
recipientes quedan intercomunicados,
Figura E.5 . 7 .
a) Determine la temperatura final.
b) Calcule la presión final.
Solución
a) Mediante un balance de energía,
Q- w=~u= O
Por tanto,
o bien,
Es decir,
Por ser un gas ideal,
Sustituyendo valores y notando que c uA = c uB '
5(T2 - 50) + 10(T2 - 100) = O
En consecuencia,
T2 = 83.33 oC
b) Para calcular la presión final,
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P2 =
125
(mA + mB) RT2
(VA + VB )
donde,
VA =
(5)(0 .296 x 10 3 )(323)
3 x 10 5
mARTA¡
--PA¡
= 1.59 m
3
y, a su vez,
(10)(0.296 x 103 )(373)
6 x 10 5
Por tanto,
P2 =
(5 + 10)(0.296 x 103 )(356 .33)
(1.59 + 1.84)
4.61 x 105 Pa
P2 = 4.61 bar
5.2 Factor de compresibilidad z
Si se analizan los gases ideales desde el punto de vista microscópico, se nota que se caracterizan.
como se dijo antes, por la ausencia de fuerzas de atracción o repulsión entre las moléculas y, aunque
éstas tienen masa y son perfectamente elásticas, su tamaño es tan pequeño que puede despreciarse.
De lo anterior se desprende que un gas real se comporta como gas ideal sólo cuando la presión y la
densidad son relativamente bajas. Es decir, a altas presiones o densidades, el comportamiento puT de
un gas real puede desviarse sustancialmente de la ecuación de estado de los gases ideales.
Observe la figura 5.4 con objeto de analizar de manera cuantitativa la desviación en el comportamiento de un determinado gas real respecto a otro gas ideal. Advierta que, en el límite, cuando la
presión tiende a cero , un gas real se aproxima al gas ideal a cualquier temperatura. Esto es ,
, pu
1
1lm-~
p~O
RT
(5 .27)
126 Termodinámica
T< Te
Te
pv
RT > 1.0
1.2Te
2 .5Te
saturado
.v~ap~o=r::====~~~~::~~~~~T~=~3~.5~Te::~~~~~~:
l
T=5Ti;
1.0
5.0Te
3.5Te
_ _ _ _ 20.0Te
pv
7fT < 1.0
pv
RT
sat o /'"
T=O.9 Te
~\.-/
o
pe
Presión
Figura 5.4. Desviación en el comportamiento de un gas real con respecto a l de uno ideal (no a escala)
Asimismo, para la isoterma crítica (T = Te)' el valor de pul RT disminuye de forma brusca a
medida que la presión aumenta, alcanzando un valor mínimo aproximado de 0.3 en el punto crítico.
Para presiones supercríticas, la isoterma crítica cambia de pendiente y el valor de pul RT adquiere
valores mayores . Nótese también que la pendiente en el límite, cuando la presión tiende a cero. es
cada vez menos negativa a medida que la temperatura supercrítica aumenta, adquiriendo un va lo r de
cero para un valor aproximado de 2.5 Te (isoterma de Boyle) y se hace positiva para valores mayores
de temperatura. Para un valor aproximado de 5 Te' la pendiente alcanza su valor máximo.
La desviación que experimenta un gas real con respecto a uno ideal en su comportamiento
presión-volumen-temperatura se denomina factor de compresibilidad z. Es decir.
z=-
pu
RT
(5 .28)
pu = zRT
(5 .280)
o bien,
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5 Ecuaciones de estado
127
Para un gas ideal, z ~ 1 cuando p ~ O (o v ~ 00). La figura 5.4 puede generalizarse a todos los
gases mediante el uso de propiedades reducidas, esto es, de los cocientes de las propiedades en tre
los valores correspondientes en el punto crítico. Así, la presión reducida, la temperatura reducida
y el volumen reducido ideal quedan definidos mediante las relaciones*
p
Pr = Pe
(5.29)
T
T =-
(5 .30)
v
"f..
=_
RT_e =z -p,.
(5 .31)
r
,
Vr
Te
Pe
donde Pe y Te son, respectivamente, la presión y la temperatura en el punto crítico. La relación RTJ pc
se conoce como el volumen específico del gas ideal en el punto crítico. Debe decirse que el
volumen reducido ideal es una función de la presión y temperatura reducidas.
Al graficar el factor de compresibilidad de diferentes gases como función de la presión reducida
para diferentes valores de temperatura reducida, todos exhiben en esencia el mismo comportamiento
en el factor compresibilidad, excepto en el punto crítico en donde Zc adquiere un valor entre 0.2 y 0.4.
En la figura 5.5 se observa el factor de compresibilidad generalizado como función de la presión y
temperatura reducidas . La correlación que ahí aparece es una representación gráfica de la ecuación
de estado
f(z, P,., T,.) = O
(5 .32)
y puede emplearse con una exactitud satisfactoria, excepto en la vecindad del punto crítico en donde
predice un valor de ze único para todas las sustancias.
Obsérvese que un gas real se comporta como gas ideal sólo en el rango de presiones subcríticas
donde el factor de compresibilidad z tiende a la unidad. Por tanto, no es posible definir un límite
máximo único de presión en el que un gas se comporte como gas ideal , pues todos los gases tienen
diferentes presiones críticas. En la tabla 4.1 se observan valores de las constantes críticas para algunas sustancias puras.
* Gouq-Jen Su, Modified Law of Corresponding Sta tes , I&EC . 38, 803-806, 1946.
-t-
Q90
~
,~O~,il.
,O7~O
020
o
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
~1~O.80
o.e
rn
en
mi
1.0
~,,0C1
~
C
en
~
I.~
~,
I
2.0
tJ::j:j:j:j;j ,.o~
E
O;
~O
,O· A~
~1'·
o~
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O o~,o
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1.10
1.20
1.00
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1.10
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O.2~
4.0
11
~~
M
4.~
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;
s.o
1.50
6,0
11
~.~
Presión reducida
1)0·
1.4
"
~.
.....-..
~~,
,
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l' E1~'~
+.
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1.60
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O
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ñ
'"' ro
01
C)
(J'\
O)
o o
:3"
J!!
Figura 5.5. Factor de compresibilidad generalizado.
3.0
11m
I
O~O
11
I
_:
I
.T
,,'
,
,.
7.0
-:T
(\)
::l
?
'"'
<8
O)
C)
,.
,.
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10.0
·,.oo:±i±l±±!±l
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en
ro
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10.0
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o
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en
O
P-
-O)
,
o, e, (\) LO e, o-
8.~
reducida
,
"J,.J
~·T,.,.5~
-f
2;50.~,~~L
8.0
,.
,
••
"
4
Presión reducida
7.~
:3
:T
o
(\)
....,..,
Ht-':i
1.80
.
2.00
~
Temoeratura
T
~,-
,
,
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5 Ecuaciones de estado
129
Aun cuando el factor de compresibilidad generalizado de la figura 5 .5 puede emplearse para
determinar con precisión el comportamiento presión-volumen-temperatura de cualquier gas, a menudo es necesario calcular también el cambio en energía interna, entalpía u otra propiedad que sufre un
gas . Como veremos después, en estos casos se requiere la evaluación de derivadas o integraciones , y
el uso de ecuaciones de estado de forma analítica es más conveniente. De lo anterior también se
desprende que una ecuación de estado debe predecir el comportamiento puT de manera precisa y sus
derivadas deben ser, asimismo, precisas .
En la actualidad existe una enorme variedad de ecuaciones de estado en forma analítica . Sin
embargo, una ecuación dada puede satisfacer un objetivo requerido y no satisfacer otros. Hasta la
fecha, no existe una ecuación perfecta en todos los aspectos.
Ejemplo 5.8
Calcule el volumen que debe tener un recipiente para almacenar 1000 kg de CO 2 a una presión de
60 bar y una temperatura de 100 oc.
Solución
Dadas las condiciones de presión y temperatura es necesario verificar de antemano si z ~ 1 pa ra
aplicar la ecuación de estado de los gases ideales.
Según la tabla 4 .1,
Pe = 73.9 bar
Te = 304.2 K
En consecuencia, en estas condiciones,
p
r
p
60
=-= =0 81
Pe 73.9
.
y, a su vez,
T = 373 = 1.23
r
304.2
Al usar la figura 5.5 se obtiene que
z = 0.82
Es decir, z difiere sustancialmente de 1.0. En consecuencia,
v = mzRT = (1000)(0.82)(0. 189 x 103 )(373)
p
V= 9.63 m3
60 x 105
130 Termodinámica
Ejemplo 5.9
Determine la presión que ejerce 1 kg de nitrógeno a 189.3 K si el recipiente que lo contiene es de
4.43 dm 3 .
Solución
Según la tabla 4.1,
Pe = 33.98 bar
Te = 126.2 K
En consecuencia,
T = 189.3 = 1.5
r
126.2
y, a su vez,
v
4.43 x 10-3
v~ = RTc = (296)(126.2) = 0.4
Pc
33.98x 105
Según la figura 5.5,
z= 0.8
Por tanto,
(0.8)(0.296 x 103 )(189.3)
P = -v- =
(4.43 x 10 3)
zRT
= 1.01 x 10 7 Pa
P = 101 bar
5.3 Ecuación de Van der Waals
Con el fin de eliminar en parte las deficiencias de la ecuación de estado de los gases ideales Van der
Waals propuso en su disertación dodoral de 1833 una ecuación de estado de la forma
a
RuT
P=---v* -
b
v*2
(533)
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5 Ecuaciones de estado
131
donde a y b son constantes específicas para cada sustancia en particular. Cuando a = b = O, la ecuación de
Van der Waals toma la forma de la ecuación de estado de los gases ideales. La ecuación 5.33, aunque
de aplicación limitada, tiene gran interés histórico por ser la primera ecuación de estado que estableció una
continuidad entre las fases de líquido y vapor. Obsérvese que la ecuación de estado es explícita en temperatura
y volumen específico, así como en presión y volumen específico, pero es implícita en presión y temperatura
por ser cúbica en volumen específico. En consecuencia, a una presión y temperatura de saturación dadas, el
volumen específico puede tomar tres diferentes valores reales positivos, en donde el valor máximo corresponde al vapor saturado seco y el mínimo al líquido saturado. A medida que las condiciones de saturación se
aproximan a las del punto crítico, los tres valores de volumen específico se aproximan a un mismo valor. Para
temperaturas supercríticas se obtiene sólo un valor de volumen específico y las isotermas correspondientes a
la región de baja presión se aproximan a la forma hiperbólica de un gas ideal.
Aun cuando las constantes a y b se determinan de manera experimental ajustando la ecuación a
datos experimentales en una región dada , las constantes específicas pueden determinarse en forma
aproximada presentando en la isoterma crítica un punto de inflexión en el punto crítico. Esto es,
(5.34)
Con la ecuación de Van der Waals,
(5.35)
(5.36)
Por tanto, resolviendo para a y b,
b= v~
3
(5.37)
La presión en el punto crítico puede obtenerse en términos de la temperatura y el volumen críticos,
sustituyendo las constantes a y b de la ecuación 5 .37 en la ecuación de Van der Waals. Esto es ,
132 Termodinámica
Simplificando,
(5 .38)
El factor de compresibilidad en el punto crítico queda determinado mediante la expresión
(5 .39)
Observe que la ecuación de Van der Waals predice un valor único del factor de compresibilidad para
todas las sustancias en el punto crítico.
El volumen crítico puede expresarse en términos de la presión y la temperatura críticas a partir de
la ecuación 5 .38. De la misma manera, la temperatura crítica puede expresarse en función de la
presión y el volumen críticos utilizando la misma ecuación. Esto es,
v * =3RJe
--e
8P e
(5.40)
y, a su vez,
T* = 8Pev~
e
3Ru
(5.41)
Sustituyendo las ecuaciones 5.40 y 5.41 en la ecuación 5.37 se obtienen las siguientes constantes específicas:
*)
a ( Pe' Ve
= 3 Pe' Ve*2 ' b (V*e ) __ v3~
(5.42)
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5 Ecuaciones de estado
133
Mediante estas constantes específicas, la ecuación de Van der Waals adquiere las siguientes tres
formas que ofrecen diferencias sorprendentes
v;
v* - 3
(5.43)
(5.44)
RJ
v*
v* - _c_
3
(5.45)
En la figura 5.6 se muestran las isotermas críticas que predicen las ecuaciones 5.43, 5.44 Y 5.45 para
el argón. En la misma figura se ve la isoterma crítica real del argón obtenida de manera experimental. Vea
que la ecuación 5.43 no predice el comportamiento pvT de manera correcta. Si se hace un ajuste vertical
en presión, la ecuación predeciría presiones negativas a volúmenes específicos muy grandes. De manera similar, la ecuación 5 .45 tampoco predice de forma satisfactoria el comportamiento pvT debido a que la
pendiente en el volumen crítico es incorrecta, y un ajuste en temperatura trae como consecuencia errores
al considerar temperaturas altas y bajas. Por último, la ecuación 5.44 es la que predice el comportamiento
pvT de una manera más satisfactoria, puesto que la primera y segunda derivadas de la presión con respecto
al volumen se reducen a cero, si es que de antemano se hace un ajuste horizontal en volumen específico.
Además, esta ecuación de Van der Waals no presenta problemas al considerar situaciones límites .
Como se estudiará más adelante, la ecuación de Van der Waals predice que la energía interna de una
sustancia pura es función de la temperatura y volumen específico . Sin embargo, predice de manera
errónea que los calores específicos de un gas, incluso a altas densidades, son sólo funciones de la
temperatura. De lo anterior se deduce que la ecuación de estado de Van der Waals es de aplicación
limitada, pero de gran interés histórico por ser la primera en el desarrollo de una gran variedad de
'
ecuaciones de estado.
Ejemplo 5.10
Determine el volumen específico del vapor de agua a una presión de 200 bar y a una temperatura de
400 oc.
134 Termodinámica
v
Figura 5.6. Isotermas críticas de tres ecuaciones de Van
der Waals .
a) Con la ecuación de estado de los gases ideales.
b) Mediante el factor de compresibilidad.
e) Con la ecuación de Van der Waals.
d) Compare los resultados anteriores con el valor que se obtiene con las tablas del vapor.
Solución
a) Según la ecuación de estado de los gases ideales,
RT
v==
P
(0.461 x 103 )(673)
= - -- - - - .5- - 200 x 10
15.51 x 10-3 m3 /kg
v= 15.51 cm 3 /g
b) Según las tablas del vapor,
Pe
220.9 bar
Te
647.34 K
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5 Ecuaciones de estado
Por tanto ,
p = 200 = 0.90
r
220.9
T. =
,
673 = 1.04
647.34
Según la figura 5.5 , a Pr = 0.9 y T r = 1.04,
z = 0.62
En consecuencia,
u=
zRT
P
(0.62)(0.461 x 103 )(673)
200 x 105
9.62 x 10-3 m 3 /kg
3
u = 9.62 cm /g
c) Sustituyendo valores en la ecuación de Van der Waals (ec. 5.44) y ordenando.
U*3 - 0.31024u*2 + 0 .02766u* - 8.43 X 10- 4 = O
Resolviendo mediante aproximaciones sucesivas,
u* = 0.1861 m 3/ kgmol = 186.1 cm 3/gmol
o bien,
u = ~ = 186.10 = 10.33 cm 3
M 18.016
/g
d) Según la tabla A.3, a una presión de 200 bar y una temperatura de 400 oC,
u = 9.942 ~m3/g
Los resultados anteriores se comparan en la siguiente tabla :
135
136 Termodinámica
Ecuación de estado
v, cm 3jg
Error, %
Gas ideal
Factor de compresibilidad
Van der Waals
Tablas del vapor
15.51
9.62
10.33
9.94
56
-3.2
3.9
5.4 Ecuación De Redlich-Kwong
Ciertas consideraciones teóricas y algunas prácticas realizadas por O. Redlich y J. N. S. Kwong
condujeron al desarrollo de una ecuación de estado de dos constantes de la forma
RuT
a
P = --- - - . . " . - ; c : - - - - v* - b Tl/ 2 v*(v* + b)
(5.46)
donde a y b son constantes específicas para cada sustancia. Esta ecuación predice un valor único para
todas las sustancias de 0.333, para el factor de compresibilidad en el punto crítico. Se deja al lector
como ejercicio esta demostración.
Redlich y Kwong sugieren para la determinación del factor de compresibilidad z que la ecuación
de estado se use en la forma
Z3 - z2 + (A -
B - B2)z - AB = O
(5.46a)
donde A Y B son dos constantes adimensionales,
A=
0.475p
ap
2
Ru T
25
Tr25 Pe
B=~= 0.08664p
Ru T
Tr Pe
Una inspección de las ecuaciones 5 .46 revela que, para una presión y temperatura dadas , el cálculo
del volumen específico o del factor de compresibilidad involucra la solución de una ecuación cúbica.
Entre las ecuaciones de estado de dos constantes disponibles, la ecuación de Redlich-Kwong se
considera como la mejor. En la tabla 5.4 se presentan las desviaciones máximas para el factor de
compreSibilidad de algunas sustancias.
Ejemplo 5.11
Estime la presión ejercida por el 1-butano a una temperatura de 522 K si el volumen específico molar
es de 0.84 m 3/kgmol. Las constantes críticas del1-butano son Pe = 40.2 bar y Te = 419.6 K.
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5 Ecuaciones de estado
Tabla 5.4. Desviaciones máximas en el cálculo de Z mediante la ecuación de Redlich-Kwong. *
Sustancia
T,°C
Dióxido de carbono
37.8
237.8
37.8
237.8
O
150
37.8
237.8
O
399.3
O
199.5
104.4
100
275
Etano
Hidrógeno
Metano
Nitrógeno
Oxígeno
Propano
Rango de presión, bar
689
689
689
689
2576
3009
689
689
1013
1013
1013
912
207
183
307
• Fuente: Redlich, O., Kwong, J. N. S., On the Thermodynamies
of Solutions,
a y b quedan
determinadas
mediante
a ='
las relaciones
0.4275 R2 T25
u
e
Pe
103)2(419.6)25
40.2 X 105
(0.4275)(8.3143x
a = 26.512x
106
N
4
K1/2
m
2
kg mol
y, a su vez,
b=
0.0866 Ru Te
Pc
x 103)(419.6)
(0.08664)(8.314
40.2 x 105
3
b=
7.52 x 1O-2~
kg mol
zcalc.
1.116
1.330
0.248
1.405
2.706
2.267
1.447
1.330
2.064
1.511
1.736
1.413
0.525
0.245
0.808
1.168
1.289
0.292
1.353
3.067
2.564
1.415
1.289
1.977
1.416
1.664
1.362
0.584
0.430
0.787
Chem. Rev.. 44. 233-244. 1949.
Solución
Las constantes
zobs.
137
138 Termodinámica
Sustituyendo valores en la ecuación de Redlich-Kwong,
p=
(8.3143 x 103)(522)
26.512 x 106
0.84 - 7.52 X 10-2
= 4 165521.34 N/m
(522
112
)(0.84)(0.84 + 7.52 x 10-2)
2
p = 41.66 bar
5.5 Ecuación De Seattie-Sridgeman
J. A. Beattie y o. C. Bridgeman propusieron una ecuación de estado para representar de manera
precisa el comportamiento pvT de varios gases y vapores. Esta ecuación de estado de cinco constantes es de la forma
(5.47)
donde
a
A=A (1- - )
o
v*
b
B=B (1- - )
o
v*
e
E = -v*T 3
La ecuación de Beattie-Bridgeman es una de las ecuaciones de estado más conocidas y de mayor
exactitud. Esta ecuación es muy precisa a altas presiones, excepto cuando la densidad crítica es excedida. En la tabla 5.5 se presentan los valores de las constantes para diferentes sustancias.
Ejemplo 5.12
Si el volumen específico del metano a una temperatura de 550 K es igual a 0.01 m 3/kg estime la presión
Solución
Con la ecuación de Beattie-Bridgeman y los datos de la tabla 5.5J
A = 897.96
(1-
3
1.15744 x 10- )
0.01
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5 Ecuaciones de estado
Tabla 5.5. Valores de las cinco constantes en la ecuación de Beattie-Bridgeman
139
para distintos gases.
R
J/kg K
Ao
Nm4/kg2
a X 103
m3/kg
e, X 103
m3/kg
b X 103
m3/kg
e x 10-3
m3K3/kg
Ar
C4HlQ
488.15
286.95
208.14
143.15
836.16
157.12
81.99
534.57
10.0012
0.66674
0.58290
2.09388
2.0052
1.5919
0.98451
4.2391
11.223
-0.03801
O
1.6225
280.03
1.498
1.499
60.267
CO2
188.93
262.07
1.62129
2.3811
1.6444
14.997
CO
C2H6
C2H4
He
C7H16
H2
CH4
Ne'
N2
296.90
276.62
296.58
2078.18
83.01
4115.47
518.60
411.98
296.69
259.79
188.67
173.78
659.89
793.50
136.79
551.18
4904.92
897.96
52.89
173.54
147.56
622.24
0.93457
1.95030
1.77112
1.49581
2.00398
-2.50530
1.15744
1.08815
0.93394
0.80097
1.66125
1.8023
3.1283
4.3370
3.5004
7.0733
10.376
3.4854
1.0207
1.8011
1.4452
4.1082
0.24660
0.63740
1.2835
O
1.9159
-21.582
-099013
O
-0.24660
-0.13148
0.97452
1.498
29.95
8.092
9955
39.92
0.24942
8.003
50.10
1.498
1.498
27.19
Gas
Fórmula
Amoniaco
Aire
Argón
n-Butano
Dióxido
de carbono
Monóxido
de carbono
Etano
Etileno
Helio
n-Heptano
Hidrógeno
Metano
Neón
Nitrógeno
Oxígeno
Propano
NH3
°2
C3HS
Fuente: Adrian Bejan, Aduanced
Engineering
Thermodynamics,
John Wiley, Nueva York, 1988.
3
10-3 (1 + 0.99013 X 10- )
0.01
3.83 X 10-3 m3jkg
B = 3.4854
E=
Sustituyendo
X
3
8.003 X 10- = 4.81 X 10-3
(O. O 1)(550)3
valores en la ecuación
de estado 5.47,
p = 3.133 X 107 Pa = 313.3 bar
5.6 Otras ecuaciones de estado
Existe una extensa cantidad de ecuaciones de estado al alcance del ingeniero, desde muy sencillas.
como la de los gases ideales, la de Van der Waals, la de Redlich-Kwong, la de Berthelot, la de Dieterici,
etc., hasta ecuaciones de constantes múltiples como la de Benedict-Webb-Rubín,
la de Martin y Hou.
entre otras. Aun cuando la forma de éstas y otras ecuaciones de estado puede consultarse sin dificultad en la literatura, en la selección debe tenerse presente que una ecuación de estado debe ser precisa
no sólo en la predicción del comportamiento
puT, sino también en sus derivadas para la predicción
como medio de otras propiedades termodinámicas.
140 Termodinámica
5.7 RESUMEN
Una expresión de la forma
f(p , v, T) = O
se denomina ecuación de estado. A menudo también se le llama ecuación de estado incompleta por
ser incapaz de predecir por sí sola otras propiedades termodinámicas diferentes de la presión, el
volumen específico y la temperatura.
Todos los gases a presiones relativamente bajas obedecen a una ecuación de estado muy simple que
da lugar a consecuencias de suma importancia y sencillas. Todo gas que satisfaga la ecuación de estado
pv= RT
tiene la denominación de gas ideal. La ecuación anterior también puede escribirse como
pv* = RuT
pV= mRT
p= pRT
pV= nRJ
p = cRu T
Puesto que la energía interna de un gas ideal es función única y exclusiva de la temperatura, se
obtienen las siguientes conclusiones
h = h(n
cp = cp(n
C v = cv(n
cp - cv = R
Por otra parte,
dh = cpdT, para cualquier proceso
y, a su vez,
du = cvdT, para cualquier proceso
De la misma manera, para todo proceso adiabático sin fricción, donde el medio de trabajo es un gas
ideal con calores específicos constantes,
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5 Ecuaciones de estado
141
Cualquier proceso cuya relación funcional entre la presión y el volumen sea de la forma
pun = constante
se denomina proceso politrópico, donde n es el exponente politrópico.
La desviación que experimenta un gas real con respecto a otro ideal en su comportamiento pu T
recibe el nombre de factor de compresibilidad z, es decir,
pu
z=-
RT
El factor de compresibilidad puede generalizarse a todos los gases mediante propiedade s redu cida s.
esto es, mediante los cocientes de las propiedades entre los valores correspondientes en el punto
crítico.
La ecuación de Van der Waals es una ecuación de estado de la forma
RJ
a
p=----u* - b U* 2
donde a y b son dos constantes específicas para cada sustancia en particular.
La ecuación de Redlich-Kwong es una ecuación de estado de dos constantes de la form a
RuT
a
p= - - u* - b T 1/ 2 u* (u* + b)
La ecuación de Beattie-Bridgeman es una ecuación de estado de cinco constantes de la form a
p= RJ(l-E} (u * + B)-~
u* 2
u* 2
donde
A=Ao
(l-~)
u*
B= B(l- ~ )
o
.c
E= - U* T 3
u*
142 Termodinámica
Problemas
5.1
El proceso de compresión en un motor diesel puede tomarse como proceso politrópico de la
forma pU1.3 = C. El aire se comprime hasta ocupar 1/ 15 del volumen inicial. Si la presión y
la temperatura iniciales son 1 bar y 80 oC, respectivamente
a) Calcule el volumen específico inicial.
b) Calcule la presión final.
e) Calcule la temperatura final.
Respuestas : a) 1.01 m 3/ kg
b) 33 .80 bar
e) 795.43 K
5.2
En una turbina se expande aire a 850 oC de forma adiabát ica y sin fricción , desde una presión
de 4 bar hasta una presión de 1 bar. Calcule la temperatura del aire a la descarga suponiendo
que k = 1.4.
Respuesta: 482.4 oC
5.3
Un globo contiene 6000 m3 de helio a 28 oC y 1 bar justo antes del lanzamiento.
a) Calcule la masa de helio dentro del globo.
b) ¿Cuál es el volumen del globo si éste alcanza una altura donde la presión es 15 kPa y la
temperatura es -15 OC?
5.4
Considere una tobera donde el aire se expande de modo adiabático y sin fricción desde una
presión de 10 bar y una temperatura de 400 oC hasta una presión de 1 bar. Determine la
velocidad del aire a la salida y el flujo de masa si el área a la descarga es igual a 0.2 cm 2
Suponga que la velocidad del aire a la entrada es despreciable y el calor específico a presión
constante es igual a 1 J/g K. Suponga además que k = 1.4.
Respuestas:
5.5
805.79 mis
16.1 g/s
Un oficial de fútbol infla un balón a la presión requerida de 0.9 bar antes de un juego. El balón
tiene un volumen interno de 2650 cm 3 y el aire está a una temperatura de 25 oC cuando se
infla el balón . Después el balón se lleva al campo y cuando comienza el juego la temperatura
ambiente ha disminuido hasta O oc. Suponiendo que el volumen del balón no cambia de
manera significativa,
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5 Ecuaciones de estado
143
a) Calcule la masa de aire en el balón.
b) Calcule la presión del aire en el balón cuando comienza el juego.
c) ¿A qué presión debe ser inflarse el balón para que el aire esté a 0.9 bar cuando la
temperatura sea de O OC?
5.6
Considere un sistema cilindro-émbolo perfectamente aislado y sin fricción que contiene 0.1 kg
de aire a 75 oC y 3 bar. Una resistencia eléctrica dentro del cilindro provoca que la temperatura
del aire alcance 150 oC mientras la presión se mantiene constante. Calcule el trabajo para este
proceso, así como la cantidad de trabajo eléctrico. Suponga que cp = 1 kJ/ kg oc.
5.7 Un abanico impulsa 50 m 3/min de aire a 0 .9 bar y 30 oC con una velocidad de 3 mi s hasta
alcanzar una presión de 0.96 bar y una velocidad de 15 mi s. Estime la potencia requerida por
el abanico suponiendo que el proceso es adiabático y no tiene fricción.
5.8 Calcule la cantidad de calor requerido para incrementar la temperatura de 1 kg de CO 2 desde
500 K hasta 1500 K, si la presión se mantiene constante en 1 bar. Calcule además el cambio
en la energía interna.
5.9 Calcule la cantidad de calor requerido para incrementar la temperatura de 2 kg de metano
desde 200 hasta 500 oC, mientras la presión se mantiene constante en 1.5 bar.
5.10 A una tobera entra aire a 3 bar y 80 oC con velocidad despreciable, y se expande de forma
adiabática y sin fricción hasta una presión de 1.5 bar.
a) Calcule la velocidad del aire a la descarga.
b) Calcule la disminución en la energía interna.
5.11 Un gramo de aire se encuentra en un recipiente rígido y aislado a una presión de 1 bar y a una
temperatura de 25 oc. Mediante un agitador impulsado desde el exterior, la temperatura del
aire se incrementa hasta 50 oc.
a) Calcule el trabajo necesario para lograr este incremento de temperatura.
b) Calcule la presión final. Suponga que el calor específico a presión constante es igual
a 1 J/g K.
Respuestas: a) 17.83 J
b) 1.08 bar
5.12 Un gramo de aire se expande desde 50 oC y 2 bar hasta una temperatura de 75 oc. Calcule el
cambio en energía interna que sufre el aire si el proceso es isobárico . Suponga que el calor
específico a volumen constante es igual a 0.713 J/g K.
Respuesta: 17.83 J
5.13 Determine el coeficiente de expansión volumétrica del aire a 1 bar y 500 K.
Respuesta: 0.002 K- l
144
...
•.~tl'~
.
rh~
)1
" ¡.
.' •
..i
Termodinámica
5.14 Con el factor de compresibilidad generalizado, calcule el trabajo requerido para comprimir
5.23 l
de forma isotérmica y sin fricción en un sistema abierto 1 kg/s de CO2 desde una presión de
295.6 bar y una temperatura de 304.2 K, hasta una presión de 443.4 bar. Sugerencia:
suponga que z = a + bp.
5.15 Mediante el factor de compresibilidad generalizado calcule el volumen específico del vapor de
agua a 100 bar y 500°C. Las tablas del vapor indican un valor de 32.79 cm3/g.
5.16 Un recipiente de 1 m3 contiene N2 a 275 bar y 200°C. Si el nitrógeno se enfría hasta 20°C,
calcule la presión final utilizando el factor de compresibilidad generalizado.
5.17 La ecuación de estado de Berthelot es de la forma
-
p + _a_)(v*
(
Determine el valor de
Tv*2
e
5.24 l
\
- b) = RJ
ZC'
Respuesta:
0.375
5.18 La ecuación de estado de Dieterici es de la forma
pea/v*RJ(V*
5.25 1
5.26 J
5.27 I
- b) = Ru T
Determine el valor de Zc
Respuesta:
0.270
5.19 Con la ecuación de estado de Beattie-Bridgeman, determine el volumen específico del metano
a una presión de 300 bar y una temperatura de 300°C.
Respuesta:
5.20 Dos kilogramos de nitrógeno a 27°C
y 1 bar se comprimen
0.01086 m3/kg
5.28
de forma isotérmica hasta 3 bar.
Determine el trabajo mínimo requerido en la compresión.
5.21 ¿Por qué todas las líneas de temperatura reducida en la gráfica del factor de compresibilidad
generalizado se unen en z = 1 cuando p ~ O?
5.22 Mediante la ecuación de estado de Beattie-Bridgeman determine la presión del metano a una
temperatura de 600 K Yvolúmenes específicos de 0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05 Y 1 m3/kg.
Graíique los resultados en coordenadas presión-volumen.
Respuestas:
v = 0.01 m3/kg
v = 0.02 m3/kg
v = 0.03 m3/kg
v = 0.04 m3/kg
v = 0.05 m3/kg
v = 1 m3/kg
p = 349.35 bar
p = 162,54 bar
p = 106.43 bar
p = 79.21 bar
p = 63.10 bar
p = 3.11 bar
Reter
1. B2
Pr
2. B(
Se
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5 Ecuaciones de estado
145
5.23 Un compresor ideal, sin fricción, comprime de modo isotérmico 12 kg/min de aire, desde
990 mbar y un volumen específico de 0 .81 m 3/ kg, hasta una presión final de 6 bar. Calcule
a) La potencia requerida en kW.
b) El calor disipado en kW.
5.24 Una caldera produce vapor saturado seco a 30 bar. Los gases de combustión para producir el
vapor entran en el banco de tubos a 1100 oC, salen a 430 oC y tienen un calor específico
cp = 1.05 J/gm K. Despreciando las pérdidas de calor en la caldera y suponiendo que el agua
entra en ella a 30 bar y 25 oC a razón de 15 kg/ s, calcule
a) El calor requerido por el agua.
b) El flujo másico de gases de combustión.
5.25 Un cierto flujo de aire se expande de forma isotérmica y reversible desde 8 bar y 300 oC hasta
2 bar en un sistema abierto. Calcule el trabajo por unidad de masa que desarrolla el sistema .
5.26 Indique si el dióxido de carbono a 100 bar y 40 oC se comporta como gas ideal o no y por qué.
5.27 Un sistema rígido y perfectamente aislado contiene 0 .5 m3 de aire a 1 bar y 25 oc. Mediante
un agitador se incrementa la temperatura del aire hasta 60 oc.
a) Calcule la presión final.
b) Calcule el trabajo realizado por el agitador.
Suponga que cp = 1 J/ gm oc.
5.28 Un tanque de buceo contiene 1.5 kg de aire. El aire en el depósito inicialmente se encuentra a
15 oc. El tanque se deja cerca del tubo de escape de un motor, de tal manera que se calienta
y la pr~sión del aire se duplica.
a) Calcule la temperatura final.
b) Calcule el cambio en la energía interna.
e) Determine el calor absorbido.
Suponga que ep = 1 J / gm oc.
Referencias
1. Balzhiser, R. E., Samuels, M. R., Eliassen, J. D., Chemieal Engineering Thermodynamies ,
Prentice-Hall, Nueva York, 1972.
2. Beattie, J . A, Bridgeman, O. c., A New Equation of State far Fluids, Proc. Am. Acad. Arts
Sci., 63, 229-308, 1928.
146
Termodinámica
3. JANAF Thermochemical Tables, U. S. Department of Commerce, Springfield, Virginia 22151 .
4. Martin, J. J., Equations of State, I&EC, 59, 1967.
5. Obert, E. F., Concepts of Thermodynamics , McGraw-Hill, Nueva York, 1960.
6. Redlich, O., Kwong, J. N. S., On the Thermodynamics of Solutions, Chem. Rev., 44,233-244,
1949.
7. Reid, Robert c., Prausnitz, John M., Poling, Bruce E., The Properties of Gases and Liquids,
McGraw-Hill, Nueva York, 1987.
8. Sorensen, H. A., Principies of Thermodynamics, Holt, Rinehart and Wilson, 1961.
9. Su, G-J. , Modified Law of Corresponding Sta tes, I&EC, 38, 1946.
10. Bejan, Adrian, Aduanced Engineering Thermodynamics, Wiley, Nueva York, 1988.
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6
Segunda ley de la termodinámica
•
y sus consecuencias
Nuestras vidas son los ríos que van
a dar a la mar, que es el morir...
JORGE MANRIQUE
La segunda ley de la termodinámica es uno de los axiomas más importantes que se conocen, e
impone severas restricciones a la primera ley de la termodinámica. Como ya se explicó, la primera
ley establece la conservación de la energía en todos los procesos. Sin embargo, la intuición indica que
unas formas de energía son más valiosas que otras. Por otro lado, la primera leyes también incapaz
de predecir la dirección o extensión de un proceso dado . Es precisamente la segunda ley la que puede
resolver estas incógnitas.
Con fines ilustrativos, considere una planta generadora de vapor en la que se suministra cierta
cantidad de calor a la caldera mientras la turbina realiza trabajo. Al mismo tiempo, otra cantidad de calor
se disipa en el condensador para transformar en condensado el vapor húmedo que descarga la turbina .
Esta pérdida de calor en el condensador no es justificable en apariencia, pues, si se eliminara este último,
tal vez se podría obtener un ahorro sustancial en la energía que se suministra a la caldera. Un balance de
energía, de acuerdo con la primera ley de la termodinámica, indica que la potencia neta desarrollada por
la turbina sería igual al flujo de calor añadido en la caldera, y la eficiencia térmica de 100%. Todos los
intentos realizados en esta dirección han resultado inútiles .
Considere ahora el siguiente ejemplo. Se desea comprimir aire de forma adiabática desde una
presión de 1 bar y una temperatura de 20 oC, hasta una presión de 10 bar y una temperatura de 40 oc.
¿Es posible realizar este proceso usando solamente un compresor? La primera ley de la termodinámica es incapaz de resolver esta incógnita, y más aún , un mero balance de energía podría predecir de
manera incorrecta la potencia necesaria para realizar el supuesto proceso .
Por último, considere la reacción de un mol de H 2 y medio mol de 0 2' Si los productos de
combustión se analizan a 3000 K se encuentra que contienen H 20 , H 2 Y 0 2' Ahora bien, mediante
un análisis termodinámico, ¿cuál es la proporción de los componentes?, ¿cuál era la temperatura
148 Termodinámica
inicial de los reactivos si la combustión fue isobárica y adiabática? La segunda ley de la termodinámica
proporciona las respuestas.
Estos ejemplos sencillos muestran la amplia aplicación de este axioma prácticamente en todas las
facetas de la ciencia.
6.1 Segunda ley de la termodinámica
La segunda ley de la termodinámica es un axioma que indica que todo proceso es "degenerativo ",
esto es, que si el resultado del proceso es una degradación de la energía en cuanto a su capacidad de
hacer trabaja , el proceso ocurrirá.
Así, por ejemplo, el trabajo puede convertirse fácilmente en calor, pero la experiencia indica que
este último no puede convertirse total y de forma continua en trabajo . Es decir, el trabajo es una
forma de energía más valiosa que el calor.
La segunda ley de la termodinámica puede establecerse de diferentes formas y, aunque todas son
equivalentes en sus consecuencias, sólo se enunciarán aquí las más conocidas .
Axioma de Clausius. Es imposible que el calor pase, por sí solo, desde
una región de menor temperatura hasta otra de mayo r temperatura.
De lo anterior se desprende que el calor siempre fluye de mayor a menor temperatura y que no puede
existir ningún dispositivo o máquina cuyo único efecto sea la transferencia de calor de una región fría
a otra caliente. Del mismo modo, el axioma de Clausius implica que la energía se degrada de manera
gradual al realizarse un proceso de transferencia de calor, puesto que su capacidad de hacer trabajo
disminuye. Al mismo tiempo, el axioma indica la dirección del proceso, esto es, de mayor a menor
temperatura.
Obsérvese que tanto un refrigerador como una bomba térmica no violan la segunda ley, ya que
en ambos sistemas se requiere un trabajo para realizar la transferencia de calor de una región fría a
otra caliente . Con esto se elimina también la posibilidad de alcanzar un coeficiente de funcionamiento
infinito.
Axioma de Kelvin-Planck. Es imposible para cualquier dispositiuo operar de forma cíclica , producir trabajo e intercambiar ca lor sólo con una
región de temperatura constante.
11
11
l'
1,
En consecuencia, toda máquina que opere de forma cíclica y que produzca trabajo no sólo debe tomar
calor de una región de alta temperatura, sino que también debe disipar una fracción de él hacia una
región de menor temperatura. Dado este axioma, se descarta la existencia de máquinas que, de modo
permanente, puedan convertir en trabajo la totalidad del calor proveniente de cualquier fuente de
energía . De otra manera, esto llevaría a la creación de máquinas con una eficiencia térmica de 100%
(sueño que nunca se ha realizado). Estas máquinas imposibles han recibido el nombre de m áq uinas
de mouimiento perpetuo de segunda clase.
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6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
149
A las máquinas que violan incluso la primera ley de la termodinámica se les ha dado el nombre de
máquinas de movimiento perpetuo de primera clase, las cuales absurdamente convertirían el calor
neto que se les suministra en un equivalente mayor de trabajo .
El axioma de Kelvin-Planck también destaca el hecho de que la energía se degrada en todos los
procesos. Si se considera una planta generadora de vapor, se observa que sólo una fracción de la
energía liberada por el combustible se aprovecha en trabajo. De la misma manera, si se analiza un
motor de combustión interna, sólo una fracción del calor suministrado a través del combustible en el
proceso de combustión se utiliza como trabajo; la mayor parte se proyecta a la atmósfera.
Tanto el axioma de Clausius como el de Kelvin-Planck son solamente dos de las distintas formas
en que puede expresarse la segunda ley. Más adelante se expondrán otras versiones. Por el momento, basta decir que ambos axiomas son equivalentes en sus consecuencias, y si se viola uno de ellos,
implícitamente se viola el otro también.
Para efectos de aclaración, considere una máquina 1 que, por sí sola, es capaz de transferir calor
desde una región de baja temperatura TI' hasta otra región de alta temperatura Te' como se ve en la
figura 6.1a. Esta máquina viola el axioma de Clausius. Asimismo, considere una máquina térmica 2,
que opera entre las mismas regiones cuyas temperaturas son Te y T¡- Analizando la figura , se observa que
la región a Te toma y cede la misma cantidad de calor O, por lo que de hecho puede eliminarse, y el
calor descargado por la máquina 1 puede suministrarse de forma directa a la máquina 2 como se
observa en la figura 6 . 1 b.
Nótese que el sistema constituido por las máquinas 1 y 2 viola el axioma de Kelvin-Planck por ser
en conjunto un dispositivo que opera de manera cíclica, produce un trabajo, W, y toma una cantidad
de calor equivalente a W de la región que está a temperatura TI" Esto es, el sistema convierte de
manera total y continua el calor en trabajo. Dado que la operación de la máquina 2 es posible, la
máquina 1 constituye una violación a la segunda ley a través del axioma de Clausius.
De la misma manera, considere una máquina 1 que opera de forma cíclica, la cual convierte todo el
calor O que recibe en trabajo W como se ve en la figura 6.2a. Esta máquina viola el axioma de KelvinPlanck. De forma paralela, considere un refrigerador 2 que toma una cantidad de calor 0 1 de la región
donde se localiza TI' y descarga otra cantidad de calor (01 + W) en la región que se encuentra a Te
Si se analiza el sistema compuesto por los dispositivos 1 y 2 como se ve en la figura 6.2b, se
observa que es un dispositivo que transfiere calor de la región de baja temperatura TI' a la región de
alta temperatura Te' sin la ayuda de algún agente externo. Este sistema constituye una violación del
axioma de Clausius.
Con lo anterior se establece la equivalencia entre los axiomas de Clausius y Kelvin-Planck.
6.2 Procesos reversibles
De la segunda ley de la termodinámica se desprende que el trabajo es una forma de energía más
valiosa que el calor, puesto que sólo una fracción del calor suministrado en un ciclo termodinámico
puede convertirse en trabajo. En otras palabras, el trabajo siempre puede sustituirse por el calor, pero
no a la inversa. Esto indica que la perfección de un proceso estriba en que, para realizar un objetivo
150 Termodinámica
,
[
Te
I
Q
Q
,.
I
(
W
[
(a)
.,., ..... ,
t--~W
t--~W
como,
historié
Al
(Q-W)
Q
(Q-W)
T,
T,
(b)
un pist
recupe
so es r
Po
que el]
del aire
suminí
Figura 6.1. Equivalenciade los axiomas de Clausius y Kelvin-Planck.
dado, el trabajo no debe emplearse para lograr tal objetivo, si es que éste puede lograrse de forma
total o parcial mediante el empleo de calor. Verbi gratia, no sería sensato incrementar la temperatura
del aire contenido en un recipiente mediante los efectos de fricción y turbulencia de un agitador
impulsado por un motor eléctrico, pues con sólo agregar calor podría lograrse tal objetivo.
En consecuencia, el proceso perfecto, el proceso reversible, es aquel que en un instante dado
puede detenerse e invertir la secuencia de estados recorridos para hacer retornar tanto al sistema
origina
unafOl
Au
consist
La
Kelvini. Con:
6.3a. f
consec
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6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
Q
151
(Qf+ W)
Qf
(a)
(b)
Figura 6 .2 . Equivalencia de los axiomas de Clausius y Kelvin-Planck.
como a sus alrededores a sus estados originales. En otras palabras, un proceso es reversible si no deja
historia al ser invertido.
A manera de ejemplo, considere la compresión adiabática de un gas en un cilindro por medio de
un pistón. Si la compresión se realiza lentamente, el proceso puede invertirse en cualquier instante y
recuperar, en la expansión, todo el trabajo requerido en la compresión. En consecuencia, este proceso es reversible.
Por otro lado, si se considera de nuevo el calentamiento de aire mediante un agitador, se observa
que el proceso es irreversible, pues si los efectos de fricción y turbulencia se detienen, el enfriamiento
del aire (sistema) retorna a su estado original, pero no es motivo para que se recupere la energía que
suministró previamente el motor eléctrico (alrededores) . Aun cuando el sistema regresó a su estado
original, la historia del proceso revela algo importante: existió una transferencia de calor a cambio de
una forma de energía más valiosa: el trabajo .
Aun cuando prácticamente todos los procesos reales son irreversibles, la tarea del ingeniero
consiste en identificar las causas de la irreversibilidad y tratar de evitarlas en lo posible.
La identificación de un proceso irreversible puede hacerse a través de los axiomas de Clausius y
Kelvin-Planck, como se verá a continuación .
i. Considere el proceso de frenado rápido de una rueda de automóvil como se observa en la figura
6.30 . Al frenar, la energía cinética existente antes del frenado se convierte en energía interna como
consecuencia de la fricción . ¿Es el proceso reversible?
152 Termodinámica
~U= -~( EC )
(a)
/
...
- ... ,
I
I
\
/
I
"
/v . . . _'" /
\
/
I
W ..
/
I
I
W= -~(EC)
r-L-,
L_..J
Q
~(EC) = -~U
Q=~U
(b)
Figura 6.3. Proceso que involucra fricción .
La pregunta puede responderse mediante el axioma de Kelvin-Planck. Si se supone que el proceso es reversible, la rueda adquiere energía cinética al enfriarse de forma adiabática desde el punto 2
hasta el punto 1 como se indica en la figura 6.3b. Con el objeto de que el sistema (la rueda) tenga la
misma temperatura que en 2, se puede añadir cierta cantidad de calor Q. Finalmente, la rueda puede
regresarse a su estado estático 2 levantando un peso y realizando así una cantidad de trabajo W.
Como puede observarse, ahora se tiene un dispositivo que opera de manera cíclica, hace trabaja
e intercambia calor con una región de temperatura constante. Este dispositivo viola el axioma de
Kelvin-Planck al convertir de modo total y continuo el calor Q en trabajo W. Al analizar la secuencia
de procesos que constituyen el ciclo se observa que todos son posibles de realizar, con excepción del
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6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
153
proceso de frenado que involucra fricción, el cual se supuso reversible. En consecuencia, la fricción es
causa de irreversibilidad y todos los procesos que la involucren son irreversibles.
ii. Considere ahora el proceso de expansión libre de un gas como se ilustra en la figura 6 .4a . ¿Es
reversible este proceso de expansión libre?
2
Gas
Gas
Vacío
Gas
Aislado
(a)
2
Gas
Gas .4---Gas
Vacío
W=-t'1U
Gas
Gas
(b)
Figura 6.4. Proceso que involucra una expansión libre.
154 Termodinámica
La respuesta a esta pregunta se encuentra en la aplicación del axioma de Kelvin-Planck. Si
suponemos que el proceso es reversible y adiabático, el gas por sí solo puede pasar desde su estado
final 2 en que ocupa todo el recipiente, hasta el estado inicial 1 en que se encontraba ocupando
únicamente el compartimiento izquierdo. Durante este proceso el cambio de la energía interna es
cero. A continuación y mediante una turbina, el gas puede relajarse de forma adiabática produciendo
un trabajo W, con lo que disminuyen su energía interna.
Al agregar calor Q, la energía interna del gas puede incrementarse hasta el valor que tenía en 1 (o
en 2), como se muestra en la figura 6.4b.
Ahora se tiene un dispositivo que opera de forma cíclica, toma calor sólo de una región que está
a temperatura constante, y produce trabajo. El axioma de Kelvin-Planck indica que esto es imposible.
Dado que todos los procesos que constituyen el ciclo son posibles, con excepción del proceso de
expansión libre que se presupuso como reversible, se desprende de lo anterior que la expansión libre
de un gas es irreversible.
iii. Considere por último el proceso de transferencia de calor a través de una diferencia finita de
temperaturas. De nuevo puede demostrarse que este proceso es irreversible si se recurre a la segunda
ley de la termodinámica, pues la sola y mera suposición de que el proceso es reversible viola el
axioma de Clausius al existir transferencia de calor desde una región de baja temperatura hasta otra
de alta temperatura.
En consecuencia, todo proceso que involucre transferencia de calor a través de una diferencia
finita de temperaturas es irreversible.
De lo anterior también se desprende que, debido a la formación de sarro o suciedad en los tubos de
un intercambiador de calor, el proceso de transferencia de calor es cada vez más irreversible a medida
que transcurre el tiempo.
Mediante análisis similares a los presentados puede demostrarse que procesos que involucren
deformación inelástica, mezclado, etc., también son irreversibles. Debe mencionarse además que, si
en determinado proceso existe transferencia de calor entre el sistema y sus alrededores debido a una
diferencia finita de temperaturas, el sistema , en este proceso irreversible, es incapaz de reconocer
la diferencia que existiría si la misma transferencia de calor se realizara con una diferencia infinitesimal
de temperaturas. En este caso, se dice que el proceso es internamente reversible, pero externamente irreversible.
Por otra parte, si además hay fricción dentro de ese sistema, el proceso es tanto interna como
externamente irreversible. En consecuencia, para que el proceso en un sistema dado sea reversible
sólo se requiere que sea internamente reversible. Más aún, un sistema externamente reversible implicará, de aquí en adelante, reversibilidad interna y externa en todos los procesos.
Debe agregarse que todo ciclo termodinámico compuesto por procesos reversibles es un ciclo
reversible.
6.3 Fricción
Si se comparan dos procesos que pasan a través de los mismos estados de equilibrio pero uno es
reversible y el otro irreversible, el primero realiza la máxima cantidad de trabajo posible.
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6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
155
Considere como ejemplo la expansión adiabática de un gas en una turbina. Si el proceso es
reversible, esto es, si se realiza sin fricción , la potencia desarrollada por la turbina es máxima. Por
otro lado, si el proceso es irreversible, la fricción tiende a aumentar la temperatura del gas a la descarga
de la turbina y, por tanto, su entalpía. En consecuencia, la potencia desarrollada por la unidad se verá
disminuida.
Ahora considérese la expansión adiabática de un gas dentro de un cilindro. Si el proceso es
reversible, es decir, se desarrolla sin fricción, el trabajo total hecho por el sistema (gas) sobre sus
alrededores está dado por la expresión.
Wrev =
fp dV
Si el proceso se realiza a través de los mismos estados de equilibrio mediante una expansión libre
(proceso irreversible), el trabajo total hecho por el sistema sobre sus alrededores es igual a cero.
Esto es,
W=o
En consecuencia, para procesos reversibles, el trabajo total hecho por un sistema cerrado es numéricamente igual al área que se halla debajo de la curva descrita por el proceso en coordenadas presiónvolumen. Esto es,
Wrev = fp dV
(6 .1)
Del mismo modo, para un sistema abierto que opera en estado estable, con una entrada y una salida
de flujo ,
-2
W rev
= -
J
u dp -
-2
V2 - VI
2
(62)*
y el área que se halla a la izqUierda de la curva descrita por el proceso es igual a
* Cuando el trabajo es igual a cero y el fluido es incompresible, la expresión 6.2 recibe el nombre de ecuación de
Bernoulli.
1 S6 Termodinámica
Lo anterior se muestra en el esquema de la figura 6.5.
p
p
Área =
J vdp
Área =
J vdp
v
v
f
Figura 6.5. Representación gráfica de p dv y
f v dp .
Por tanto, la fricción <I> en un sistema puede evaluarse de manera cuantitativa en un proceso irreversible si éste pasa a través de los mismos estados de equilibrio que atraviesa otro proceso reversible.
Analizando un sistema cerrado,
(6.3)
dQ - dW = dUl - 2
(6.4)
d<I> == dWrev - dW
(6. 5)
d<I> == dQrev - dQ
(6 .50)
Según las ecuaciones 6.3 y 6.4,
Es decir, la fricción <I> puede calcularse como la diferencia en trabajo, o la diferencia en calor, entre
el proceso reversible y el proceso real o irreversible si ambos recorren los mismos estados de equilibrio.
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157
d<I> = p dV - dW
(6.6)
d<I> = p dV - dQ + dU
(6 .6a)
d<I> = p dv - dq + du
(6.6b)
Entonces, para un sistema cerrado ,
y por unidad de masa,
De la misma manera, para un sistema abierto que opera en estado estable, con una entrada y una
salida de flujo,
d<I> = - v dp - VdV - g dz - dw
(6 .7)
d<I> = - v dp - dq + dh
d<I> = p dv - dq + du
(6.7a)
Nótese que aun cuando las ecuaciones 6.6b y 6 .7 b son idénticas, las variables independientes son
diferentes.
Ejemplo 6.1
Calcule la potencia mínima que requiere un compresor si 2.5 m 3/ min de aire se comprimen de form a
adiabática y sin fricción , desde una presión de 1 bar y una temperatura de 25 oC hasta una presión de
5 bar. Calcule además la temperatura del aire a la descarga del compresor.
Solución
Si se desprecian los cambios en energía potencial y cinética, la ecuación 6 .2 se reduce a
wrev = -
f v dp
(a)
Puesto que el proceso es adiabático y reversible (sin fricción),
pv k = C
(b)
158 Termodinámica
Sustituyendo (b) en (a) y realizando la integración,
= -Cl/k f p-l/kdp
W
rev
I/ k
kC
= ---~2
(k-I)jk - PI (k-I )/k )
k-1
_
kPI VI r(
----~P2
k-1
/ PI )(k-I )jk - 1]
I r( /
= ~ kkRT
)(k-I)jk -1]
_ 1 ~ P2 PI
W
rev
Sustituyendo valores en (c),
__ (1.4)(0.287)(298) [
0.286
]
1.4 _ 1
(5/1)
-1
Wrev -
=
-174.98 J/g
Para determinar el flUjo de masa de aire que pasa por el compresor,
VI
= RTI/PI = (0.287)(298)1(1 x 105 )
= 0.855 x 10-3 m3/g
y, a su vez,
.
(2 .5/60)
m = GI/VI = (0.855 x 10-3)
48.73 g/s
Finalmente
W= rhwrev = (48.73)(-174.98)
-W= 8526.78 W= 8.53 kW
Para calcular la temperatura del aire a la descarga del compresor,
T 2 = TI (P2/ PI)(k - I)!k = (298)(5/ 1)0286
= 472.20 K = 199.20 oC
Ejemplo 6.2
En un sistema cerrado se comprime aire de forma adiabática desde una presión de 1 bar y una
temperatura de 16 oC, hasta una presión y una temperatura de 10 bar y 350 oC, respectivamente. a
lo largo de una trayectoria en que el exponente politrópico n es constante.
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6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
a) Determine el trabajo requerido en la compresión.
b) Calcule la fricción en el proceso.
Solución
a) Haciendo un balance de energía,
q - w = L1u
Puesto que el proceso es adiabático,
w = - ~u = ev(TI - T2)
= (0 .713)(16 - 350)
= 238 .14 J/g
b) Dado que el exponente politrópico n es constante,
Sustituyendo valores ,
623/289 = 10/l{n- ll!n
2.16 = 10{n-l)/n
lag (2 .16) =
n - 1
n
lag (10)
0.33 = (n - l)/n
En consecuencia,
n = 1.49
Ahora bien , según la ecuación 6.1,
W rev =
RTI
fp dv
1 _ n (T 2 / TI -1)
;.
159
160 Termodinámica
Sustituyendo valores,
W rev =
(0.287)(289)
1 _ 1.49 (2.16 - 1)
= -196.35 J/g
Por último, según la ecuación 6.5 ,
<1> = W rev - W
=
(-196 .35) - (- 238.14)
= 41.79 J/g
Según los resultados anteriores, se requieren 238.14 J/ g para comprimir el aire de forma adiabática.
Si el proceso hubiera sido reversible, sólo se requerían 196.35 J/ g de trabajo en la compresión. En
consecuencia, 41. 79 J / g se pierden por efectos de fricción y turbulencia.
Ejemplo 6.3
A una tubería de 5 cm de diámetro entran cinco kilogramos de agua por segundo con una presión de
5 bar. El agua se descarga a 10m por encima de la entrada a una presión de 3 bar. Determine la
fricción en la tubería y el incremento de temperatura experimentado por el agua, suponiendo que el
sistema es adiabático y que la densidad del agua es igual a 1000 kg/ m 3 .
Solución
Según la ecuación 6.7 ,
Sustituyendo valores,
(5 - 3)10 5
<1> =
1000
- (9.8)(10)
= 102 Jlkg
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6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
161
El incremento de temperatura (como consecuencia de la fricción) puede determinarse a partir de
la ecuación 6.7 b. Esto es,
De aquí que
<I>
Ll T = Cu
102
4.18 x 103 = 0.024 oC
Las pérdidas por fricción se manifiestan aquí como un aumento en la energía interna del agua, esto es.
como un aumento en la temperatura. Nótese que el incremento en la temperatura es aquí insignificante.
6.4 Principio de Carnot
El principio de Carnot, consecuencia de la segunda ley de la termodinámica, puede enunciarse de la
siguiente manera:
j. Es imposible construir una máquina que opere entre dos regiones de temperatura distinta y que sea
más eficiente que una máquina externamente reversible que opere entre las mismas regiones de
temperatura.
ji. Todas las máquinas térmicas externamente reversibles tienen la misma eficiencia si operan entre
las mismas regiones de temperatura .
Para demostrar la primera proposición se puede recurrir al método de reducción al absurdo:
suponga que sí es pOSible construir una máquina que opere entre los límites de temperatura Te y TI
y que sea más eficiente que una máquina reversible 2 que opera entre los mismos límites como se ve
en la figura 6.6a. De acuerdo con dicho método,
w1 > W2
7]1 > 7]2
Qf¡ < Qf2
Dado que la máquina 2 es reversible, puede invertirse y operar como refrigerador. En consecuencia.
como se observa en la figura 6.6b, parte del trabajo desarrollado por la máquina 1 puede emplearse
para impulsar el compresor del refrigerador, quedando un excedente de trabajo (W1 - W 2 ). Nótese
que la región que está a temperatura Te puede eliminarse dado que el calor disipado por el refrigerador 2 puede tomarlo la máquina 1. Al analizar como sistema el conjunto formado por la máquina 1 y
el refrigerador 2 , se tiene un dispositivo que opera en forma cíclica y convierte de manera continua en
trabajo una cantidad eqUivalente de calor que proviene de la región que se encuentra a temperatura
Tf . Este sistema constituye una violación del axioma de Kelvin-Planck. En consecuencia, queda establecida la validez de la primera proposición.
162 Termodinámica
o
o
(a)
o,
(0, -O,)
2
1
1
T,
T,
(b)
Figura 6.6. Primera proposición del principio de Carnot
La segunda proposición se demuestra de manera análoga. Suponga que una máquina reversible
1 es más eficiente que otra máquina reversible 2 que opera entre las mismas regiones que se encuentran a temperaturas Te y Ti' como se ve en la figura 6.7a.
Puesto que ambas máquinas son reversibles, la máquina 2 puede operarse de forma arbitraria
como refrigerador. Esto aparece en la figura 6.7 b. Siendo la máquina 1 más eficiente, puede impulsar
el compresor del refrigerador 2, quedando un excedente de trabajo (W1 - W 2). Puesto que el calor Q
liberado por el refrigerador es el mismo que el requerido por la máquina térmica, puede eliminarse la
región que se encuentra a Te" Si se analiza el sistema compuesto por la máquina reversible 1 y el
refrigerador reversible 2, se observa que constituye una violación de la segunda ley de la termodinámica a través del axioma de Kelvin-Planck. De aquí que la máquina reversible 1 no pueda ser más
eficiente que la máquina reversible 2. Dado que las máquinas 1 y 2 se designaron así de forma
arbitraria, la máquina 1 puede reemplazar a la máquina 2, estableciéndose que esta última no puede
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6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
a
163
a
a,
1
(a)
a,
(a,2 - a,)1
2
(b)
Figura 6.7. Segunda proposición del principio de Carnot.
ser más eficiente que la primera. En consecuencia, las dos máquinas reversibles tienen la misma
eficiencia y se establece la validez de la segunda proposición del principio de Carnot.
De la misma forma , el principio de Carnot puede aplicarse a refrigeradores:
i. Ningún refrigerador puede tener un coeficiente de funcionamiento mayor que otro externamente
reversible si ambos operan entre los mismos límites de temperatura.
ii. Todos los refrigeradores externamente reversibles que operan entre los mismos límites de tempe-
ratura tienen el mismo coeficiente de funcionamiento.
La validez de estas dos proposiciones también puede establecerse a partir de la segunda ley de la
termodinámica.
164 Termodinámica
Considere el refrigerador 1 que opera entre las regiones de temperatura T; Y TI' como se observa
en la figura 6.8a; ese refrigerador tiene un coeficiente de funcionamiento mayor que el reversible 2
que opera también entre las mismas regiones. Si el absurdo anterior fuera cierto,
il
t
Ahora bien, dado que el refrigerador 2 es reversible, puede invertirse y hacerse operar como máquina
térmica. Este esquema se muestra en la figura 6.8b. Puesto que el trabajo desarrollado por la máquina térmica, W2, es mayor que el necesario para impulsar el compresor del refrigerador 1, W1, puede
emplear cierto excedente de trabajo (W2 - W1) en cualquier otra aplicación. Obsérvese también que
la región que se halla a TI puede eliminarse porque el refrigerador puede absorber el calor disipado
por la máquina térmica.
Al analizar el sistema compuesto por la máquina térmica 2 y el refrigerador 1 se observa que
constituye una violación del axioma de Kelvin-Planck por ser un dispositivo que opera de forma
cíclica, y convierte el calor de manera total y continua en trabajo. En consecuencia, se confirma la
validez de la primera proposición.
La segunda proposición puede establecerse de manera completamente análoga.
Ejemplo 6.4
Demuestre que el sistema de la figura 6.8b convierte de forma continua cierta cantidad de calor (Oc - Oc )
.
2
I
en una cantidad equivalente de trabajo (W2 - W1).
Solución
Mediante un balance de energía,
Sustituyendo (b) en (a),
En consecuencia,
Oc¡ = 0+
W1
(a)
OC2 = 0+
W2
(b)
6.5
El pri
refrig
límite
mism
máqi
ese lí
exter
todas
basta
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6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
165
a
o
e
O
T,
(a)
Te
Oe 1
Oc¿
w2-
W1
(b)
Figura 6.8. Primera proposición del principio de Carnot para refrigeradores.
6.5 Ciclo de Carnot
El principio de Carnot básicamente determina el límite de perfección para las máquinas térmicas (y
refrigeradores), ya que establece que la eficiencia térmica de cualquier máquina que opera entre dos
límites fijos de temperatura es inferior, o a lo sumo igual a la de otra externamente reversible. Al
mismo tiempo, la segunda ley de la termodinámica afirma que la eficiencia térmica de todas las
máquinas es inferior a 100%. En consecuencia, conviene ahora determinar de manera cuantitativa
ese límite de perfección, es decir, el valor máximo de eficiencia que puede obtenerse de una máquina
externamente reversible que opera entre límites de temperatura Te y TI" Puesto que la eficiencia de
todas las máquinas externamente reversibles es la misma, de acuerdo con el principio de Carnot,
bastará analizar sólo una.
166 Termodinámica
Considere entonces una máquina externamente reversible, que ejecuta lo que se. conoce como el
ciclo de CarnaL Este ciclo está constituido por cuatro procesos: dos procesos adiabáticos reversibles
y dos procesos isotérmicos reversibles. En la figura 6.9 se presenta un ciclo de Carnot en el que la
sustancia o medio de trabajo en la máquina es un gas ideal.
Proceso isotérmico (1-2)
Una región que se halla a temperatura Tc + dTc suministra calor de forma reversible a la máquina,
cuyo medio de trabajo se encuentra a una temperatura Te Para mantener esta diferencia infinitesimal
de temperaturas durante el suministro de calor, el fluido o medio de trabajo en la máquina se expande de
modo isotérmico desde el estado 1 hasta el estado 2, como se observa en la figura 6 .9 .
Proceso adiabático (2 -3)
El fluido se expande de forma adiabática reversiblemente, desde el estado 2, que se encuentra a temperatura Tc' hasta el estado 3 que está a temperatura T¡- Durante esta expansión el sistema realiza trabajo .
Proceso isotérmico '3-4)
La máquina térmica disipa calor hacia la región de baja temperatura que se encuentra a T¡ - dT¡, con
el objeto de mantener la temperatura constante durante la compresión reversible.
p
3
v
Figura 6.9. Ciclo de Carnot.
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167
Proceso adiabático (4-1 J
Por último, el medio de trabajo se comprime de forma adiabática y de una ma nera reversible desde el
estado 4 hasta el estado 1.
La apariencia de este ciclo cuya forma externa es reversible, no es necesariamente igual a la de la
figura 6.9, pues pueden existir cambios de fase en el medio de trabajo durante la realización de éste,
si se trata de una mezcla líquido-vapor. De manera análoga, el ciclo puede ejecutarse con sólidos,
líquidos , etc. Sin embargo, en todos los casos el ciclo está constituido por dos procesos adiabáticos y
dos procesos isotérmicos reversibles.
Considere el caso específico en que el fluido o medio de trabajo es un gas ideal, como puede
verse en la figura 6.9, y el ciclo se realiza en un sistema cerrado, por ejemplo, un arreglo pistóncilindro. Para determinar la eficiencia térmica,
El calor suministrado al ciclo puede determinarse mediante un balance de energía , esto es .
En consecuencia,
Del mismo modo, para determinar el calor disipado en el ciclo,
y, a su vez,
Sustituyendo ql-4 Y 1q3 _ 4 1 en la expresión para la eficiencia térmica,
(68)
La ecuación anterior puede simplificarse observando que los procesos 2-3 y 4-1 son adiabáticos
reversibles. Es decir,
168
Termodinámica
Te
T¡
-
[~:)H
[~:)"
T2
T3
TI
T4
Según las ecuaciones anteriores,
v3
v4
-
v2
-
(6.9)
VI
Sustituyendo la ecuación 6.9 en la 6.8 se obtiene que la eficiencia térmica de una máquina de Carnot
está dada por la expresión
(6.10)
Debe hacerse hincapié en que la eficiencia térmica de una máquina de Carnot (y de todas las máquinas externamente reversibles) es independiente de las propiedades del fluido o medio de trabajo;
depende única y exclusivamente de las temperaturas absolutas Te y Tr
Dado que una eficiencia térmica superior o igual a 100% queda prohibida por la primera y
segunda leyes de la termodinámica, la ecuación 6.10 revela otra consecuencia importante: la imposibilidad no sólo de alcanzar temperaturas absolutas negativas, sino también de alcanzar el cero absoluto. Más aún, la misma expresión indica la conveniencia de realizar el suministro de calor en un ciclo
a la mayor temperatura posible y hacer la disipación de calor a la temperatura más baja. Por lo
general, el límite inferior está fijado por la temperatura ambiente.
Por otro lado, dado que el ciclo de Carnot es reversible, la máquina de Carnot puede invertirse y
hacerse operar como refrigerador. Esto se ilustra en la figura 6.10, donde el medio de trabajo es
también un gas ideal.
Para determinar el coeficiente de funcionamiento en este ciclo de refrigeración,
q2-3
I q4-I I - q2-3
Medie
y así,
Dado
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6 Segunda ley de la termodinámica
p
3
v
Figura 6.10.
Refrigerador de Carnot.
Mediante un balance de energía,
y así,
Dado que los procesos 1-2 y 3-4 son adiabáticos reversibles
Te
TI
TI
T2
[~:r
T4
T3
[~:)
k-l
y sus consecuencias
169
170 Termodinámica
Es decir,
Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación del coeficiente de funcionamiento se obtiene
T¡
~ = =T:--_-oT=¡
(6.11)
e
Nótese que el coeficiente de funcionamiento de un refrigerador de Carnot (y de todos los refrigeradores
externamente reversibles) es independiente de las propiedades del fluido o medio de trabajo; depende
única y exclusivamente de las temperaturas absolutas Te y T¡- En la figura 6.11 se muestra un esquema
de la variación del coeficiente de funcionamiento con respecto al cociente de temperaturas TjT¡-
\
Figura 6.11. Variación del coeficiente de funcionamiento contra la relación de temperaturas TelT/"
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6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
171
En ciertas condiciones, el refrigerador de Carnot también puede emplearse como una unidad de
calefacción, esto es, como una bomba térmica. Suponga que se desea mantener el aire en una
habitación a 25 oC cuando el aire ambiente en el exterior está a 5 oc. Para mantener constante la
temperatura en el interior de la habitación, debe suministrarse cierta cantidad de calor Qc Esta cantidad
equivale a las pérdidas de calor de la habitación hacia el exterior.
Como se ilustra en la figura 6.10, el gas se comprime de forma isotérmica a 25 oC desde el estado 4 hasta
el estado 1 descargando cierta cantidad de calor Qc en la habitación. A continuación, el gas se expande de
manera adiabática hasta que la temperatura disminuye a 5 oC alcanzando con esto el estado 2. Después
se expande de forma isotérmica desde 2 hasta 3 absorbiendo cierta cantidad de calor Q¡; y por último se
comprime de modo adiabático hasta alcanzar la temperatura de 25 oC, por lo que el ciclo termina en 4.
Esta secuencia de procesos constituye lo que se conoce como bomba térmica de Carnot.
Para lograr la calefacción Qc de la habitación , se requiere una inversión de energía W = Qc - Q¡- Por
otro lado, si esta misma calefacción Qc se obtuviera con un calentador eléctrico, se requeriría una
cantidad de energía W = Qc Como puede observarse, la bomba térmica es atractiva en especial cuando
la diferencia de temperaturas Tc - T¡ es pequeña, dado que el coeficiente de funcionamiento es grande.
Nótese que aun cuando el refrigerador y la bomba térmica operan de manera idéntica, sus aplicaciones son muy diferentes. El refrigerador se emplea para mantener fría una región dada al absorber calor
Q¡, y la bomba térmica se utiliza para mantener caliente otra región determinada al agregar calor Qc
6.6 Escala termodinámica de temperatura absoluta
Dado que la eficiencia térmica de una máquina de Carnot depende de manera única y exclusiva de las
temperaturas absolutas Tc y T¡, la operación de cualquier máquina externamente reversible constituye
un medio para establecer una escala de temperatura independiente de las propiedades fís icas de las
sustancias. Tal escala se denomina escala termodinámica de tempera tu ra abso luta.
De acuerdo con la ecuación 6.10 ,
Q¡
II = 1 - Qc
donde O¡ es la magnitud del calor liberado por la máquina reversible y Qc la magnitud del calor absorbido
por ella. En consecuencia,
(6. 12)
Es también obvio, según la ecuación a nterior, que cuando Ti se aproxima a cero el calor lib erado Q(
se aproxima también a cero. Obsérvese que incluso cuando la segunda ley de la termodinámica
establece la imposibilidad de alcanzar el cero absoluto mediante un dispositivo que opere de manera
172 Termodinámica
cíclica, no excluye la posibilidad de que la temperatura de un sistema alcance el cero absoluto mediante otras técnicas. Esta imposibilidad queda rigurosamente confirmada por el axioma conocido como
tercera ley de la termodinámica , que se estudiará más adelante.
Con el fin de que la escala termodinámica de temperatura absoluta (también conocida como
escala Kelvin) y la escala del gas ideal sean consistentes, se asigna un valor de 273.16 a la temperatura del punto triple del agua. Esto es,
T=273.16~
QPI
(6.13)
donde Q representa el calor proveniente de una región que se halla a temperatura desconocida T, y Qpt
representa la magnitud del calor disipado hacia la región de baja temperatura que se encuentra a 273.16 K.
En el punto de ebullición del agua a presión atmosférica de 1.01325 bar, la relación Q /Qpt vale
1.366. Es decir, en este punto la temperatura absoluta es igual a 373.15 K (100 OC).
Mediante el uso de varias máquinas térmicas en serie se puede construir con facilidad una escala
de temperatura con subdivisiones iguales, como se muestra en el esquema de la figura 6. 12.
Ejemplo 6.5
Una máquina de Carnot opera entre temperaturas de 500 oC y 25 oc. Determin e su eficiencia
térmica.
Solución
Te = 500 + 273 = 773 K
TI = 25 + 273 = 298 K
Con la ecuación 6.10 ,
11 = 1- TI = 1- 298
Te
773
=
0.61
o bien,
11=61%
Ejemplo 6.6
Dos máquinas de Carnot 1 y 2 operan en serie. La máquina 1 recibe calor de una región a 500 oC
y lo descarga hacia una región que se encuentra a temperatura T. La máquina 2 toma el calor liberado
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6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
373.15
o
373.16
OIOpt = 1366
497
•
•
•
1
Figura 6 .12. Arreglo esquemático de varias máquinas externamente reversibles
173
174 Termodinámica
por la máquina 1 y disipa calor a una región que se encuentra a 30 oc. Calcule la temperatura T y la
eficiencia térmica de cada máquina si
a) El trabajo desarrollado por ambas es el mismo.
b) La eficiencia térmica de ambas es igual.
Solución
a) Según los datos anteriores
Te l = 500 + 273 = 773 K
Tf2 = 30 + 273 = 303 K
Con la ecuación 6.12,
Q c1 = Tc1
T
Q
y, a su vez,
Q
T
Q1.2
Tj2
El trabajo desarrollado por las máquinas puede calcularse mediante balances de energía, es decir.
q
W 1 = Qc! - Q = Q ( T
T - 1)
También
Tf2)
W2 = Q - Q/2 = Q ( 1 - T
Puesto que el trabajo desarrollado por cada máquina es el mismo,
De aquí que
T = Tc1 + Tf2 = 773+ 303 = 538 K = 265 oC
2
2
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175
De esta manera, las eficiencias pueden calcularse recurriendo a la ecuación 6.10
T
538
111 = 1 - - = 1 - - = 0.30
Tc1
773
112
= 1- Tf2 = 1- 303 = 0.44
T
538
b) Como las eficiencias térmicas son iguales,
1- - T
Te!
1- Tf2
T
Despejando T,
T = (Tcl T¡2)1 / 2 = (773 X 303)1/2
= 483.96 K = 210.96 oC
También
_
- 1- 483.96 = 1- 303
111 - 112 773
483.96
= 0.37
Ejemplo 6.7
Para calentar un edificio durante el invierno se emplea una bomba térmica de Carnot. El aire exterior
se encuentra a 10 oC y se desea mantener el interior del edificio a 25 oc. Mediante un análisis previo
de transferencia de calor, se estima que las pérdidas de calor del edificio hacia el exterior son de
aproximadamente 50 000 kcal/h.
a) Determine el flujo de calor absorbido por la bomba.
b) Determine la potencia requerida para lograr el calentamiento.
e) Si la calefacción se hiciera mediante calentadores eléctricos, calcule la potencia que requerirían.
Solución
a) ?ara mantener el aire del edificio a 25 oC, la bomba térmica debe suministrar un flujo de calor
Q de 50 000 kcal/h. Dadas las temperaturas interior y exterior,
Te = 25 + 273 = 298 K
T¡= 10 + 273 = 283 K
176
Termodinámica
Según la ecuación 6 .11 ,
= -- --
298-283
= 18.87
Mediante un balance de energía,
.
. .
Q + W=Qc
Además, por definición,
Así,
Q¡ + W= Qc
(a)
~ = Q¡lW
(b)
Sustituyendo (b) en (a),
.
Q¡ =
Ó
50000
----T
=
1
1+ -
~
1+-18.87
G¡ = 47 483.64 kcal/h
b) Para determinar la potencia requerida por la bomba,
W=Oc -O¡
W= 50 000 - 47483.64 = 2516.36 kcal/h
= (2516.36)(1.163) = 2926 W
=
2.926 kW
e) Si se empleara energía eléctrica de forma directa para lograr la calefacción , los calentadores
eléctricos requerirían una potencia de
W= Oc = 50 000 kcal/h
=
58.15 kW
Nótese la ventaja de emplear una bomba térmica en estas circunstancias.
Ejemplo 6.8
Si la eficiencia térmica de una máquina de Carnot es igual a 1/ 5, calcule el coeficiente de funcionamiento de esta máquina al operar como refrigerador.
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177
Solución
En consecuencia,
TI
1 4
-=1--=Te
5 5
(a)
Además,
p=
TI
Te - TI
TI/Te
1 - TI / Te
(b)
4/ 5
1 - 4/5
Nótese que el coeficiente de funcionamiento no es el recíproco de la eficiencia térmica.
Ejemplo 6.9
En el análisis preliminar del costo de operación de una planta nuclear de 100 000 kW se requiere una
estimación de la cantidad de agua de enfriamiento necesaria. Para estos estudios preliminares la
planta puede aproximarse a una máquina de Carnot que opera entre temperaturas de 350 y 60 oc.
Si el incremento de temperatura que sufre el agua de enfriamiento se limita a 25 oC, estime la
cantidad de agua de enfriamiento necesaria.
Solución
La potencia neta desarrollada por la planta es de 100000 kW. Esto es, W= 100000 kW.
Según los datos anteriores,
TI
333
r¡ = 1 - - = 1 - - = 0.47
Te
623
y, a su vez,
Oe = W/ r¡ = 100000/ 0.47 = 212 765.96 kW
En consecuencia, mediante un balance de energía,
.
.
.
0 1 = Oe - W = 212 765.96 - 100 000
=
112 765.96 kW
178' Termodinámica
Dado que esta cantidad de calor debe ser absorbida por el agua de enfriamiento ,
Óagua = m(h sal - henl) = mc p L'l T
También
112 765.96
m= (4.18)(25)
=
1079 kg/s
G = 1079 dm 3/ s
Nótese que 1079 litros/segundo de agua, en este caso, experimentan continuamente un incremento
de 25 oc. Este aumento de temperatura constituye la contaminación térmica, un serio problema para
la ecología de la Tierra.
6.7 Otros ciclos reversibles
El de Carnot, como se mencionó antes, no es el único ciclo externamente reversible.
Ciclo Stirling
Un ciclo externamente reversible es el ciclo Stirling, el cual ha sido motivo de múltiples investigaciones. En la figura 6.13 se muestra el diagrama presión-volumen de un ciclo Stirling donde el medio de
trabajo es un gas ideal. Como puede observarse en el diagrama, el ciclo está constituido básicamente
por dos procesos isotérmicos y dos procesos isométricos reversibles.
p
3
v
Figura 6.13. Ciclo Stirling.
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6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
179
trabajo es un gas ideal. Como puede observarse en el diagrama, el ciclo está constituido básicamente
por dos procesos isotérmicos y dos procesos isométricos reversibles.
Proceso isotérmico 11-2)
El gas se comprime de forma isotérmica a una temperatura TI desde un volumen específico vl hasta
un volumen específico V2' Durante este proceso la presión del gas aumenta y el sistema disipa una
cantidad de calor qsal hacia la región que está a temperatura TI - dT¡Proceso isométrico 12-3)
Durante este proceso a volumen constante el gas absorbe una cantidad de calor qul aumentando así
su temperatura hasta un valor T c'
Proceso isotérmico 13-4)
El gas se expande de forma isotérmica a una temperatura Tc hasta adquirir su volumen inicial vl '
recibiendo al mismo tiempo una cantidad de calor qent que proviene de la región que se halla a
temperatura Tc + dTcProceso isométrico 14-1)
El gas se enfría desde Tc hasta TI manteniendo su volumen constante y disipando una cantidad de
calor qV2'
Obsérvese que, mediante un balance de energía,
además,
En consecuencia, el calor disipado durante el proceso isométrico 4-1 puede aprovecharse de manera
íntegra durante el proceso isocórico o isométrico 2-3 utilizando un regenerador, es decir, un dispositivo
que puede almacenar la energía interna u4 - ul y retornarla después durante el proceso 2 a 3. O sea, el
ciclo sólo intercambia calor con las regiones que se hallan a temperaturas Te + dTc Y TI - dTI, a través
de los procesos isotérmicos 1-2 y 3-4.
Dado que esta máquina es externamente reversible como la de Carnot, su eficiencia térmica
también está dada por la expresión 6.10 , de acuerdo con el principio de Carnot. Mediante un mero
balance de energía aplicado al ciclo Stirling puede verificarse lo anterior.
180 Termodinámica
En la figura 6.14 se presenta el esquema de una máquina Stirling de mecanismo impulsor tipo
rómbico. Esta máquina tiene dos pistones, uno de desplazamiento y otro de fuerza.
Al principio del ciclo termodinámico, el pistón de desplazamiento se localiza en la parte superior del
cilindro (punto muerto superior), mientras que el pistón de fuerza se encuentra en la parte inferior (punto
muerto inferior). En consecuencia, el gas ocupa el volumen máximo y tiene la temperatura mínima T¡.
El proceso de compresión, el pistón de fuerza se desplaza hacia arriba, comprimiendo el gas que se
localiza en la cámara de trabajo. Para realizar la compresión de forma isotérmica, se disipa cierta cantidad de calor a través del sistema de enfriamiento. A continuación, el pistón de desplazamiento se mueve
hacia abajo, manteniéndose fijo el pistón de fuerza. En este proceso el gas se transfiere a volumen
constante hacia la cámara superior, pasando en su trayectoria por el regenerador y el quemador.
Durante la carrera de expansión ambos pistones se desplazan hacia abajo hasta alcanzar sus puntos
muertos inferiores. En esta carrera, el gas se expande de modo isotérmico, puesto que todavía recibe calor
a través del combustor. Finalmente, el gas se transfiere a volumen constante de la cámara superior a la
. cámara de trabajo mediante el desplazamiento hacia arriba del pistón superior, manteniéndose el pistón
inferior fijo . Durante este proceso el regenerador absorbe la energía del gas.
Con el mecanismo rómbico balanceado a la perfección se logra un movimiento libre de vibraciones,
incluso en máquinas de un solo cilindro. Los problemas de ingenieria más serios que se han tenido durante
el desarrollo de estas máquinas son de sellado, dado que, por 10 general, operan con helio o hidrógeno a
presiones que fluctúan entre 100 y 200 bar. Por otra parte, teniendo en cuenta la complejidad de sus
Figura 6.14. Máquina Stirling.
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6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
mecanismos, la máquina Stirling descrita es considerablemente costosa y de gran peso. Sin embargo,
las emisiones de contaminantes atmosféricos son,
por lo general, reducidos en comparación con las
de los motores tradicionales de combustión interna.
181
p
3
2
Ciclo Ericsson
En la figura 6.15 aparece el esquema del diagrama
presión-volumen de un ciclo Ericsson donde el medio de trabajo es un gas ideal. Como puede observarse en el diagrama, el ciclo está constituido básicamente por dos procesos isotérmicos y dos procesos isobáricos reversibles.
El ciclo Ericsson puede materializarse mediante
el empleo de varios dispositivos, como puede observarse en el esquema de la figura 6.16.
v
Figura 6.15. Ciclo Ericsson.
6.8 Resumen
La segunda ley de la termodinámica establece que el trabajo es una forma de energía más valiosa que el
calor, ya que sólo una fracción del calor suministrado en un ciclo termodinámico puede convertirse en
trabajo. Aun cuando la segunda ley puede establecerse de diferentes maneras, dos axiomas equivalentes
en sus consecuencias son los de Clausius y Kelvin-Planck.
Axioma de Clausius. Es imposible que el calor pase, por sí solo, desde
una región de menor temperatura hasta otra de mayor temperatura.
Regenerador
Qf
2
3
t-_-+ Wt
4
Figura 6.16. Máquina Ericsson.
182 Termodinámica
Axioma de Kelvin-Planck. Es imposible para cualquier dispositivo operar de forma cíclica, producir trabaja e intercambiar calor sólo con una
región de temperatura constante.
De acuerdo con la segunda ley de la termodinámica, la perfección de un proceso estriba en que,
para alcanzar un objetivo dado, el trabajo no debe emplearse para lograr tal objetivo, si es que éste
puede lograrse de manera total o parcial mediante el empleo de calor.
Un proceso reversible es aquel que en un instante dado puede detenerse e invertir la secuencia de
estados recorridos para que tanto el sistema como sus alrededores retornen a sus estados originales.
Todo proceso que involucre fricción, transferencia de calor a través de una diferencia finita de
temperaturas, expansión libre, mezclado, deformación inelástica, etc., es un proceso irreversible.
Para que el proceso en un sistema dado sea reversible, sólo se requiere que sea internamente reversible. Un sistema externamente reversible implica reversibilidad interna y externa.
La fricción <I> puede calcularse como la diferencia en trabajo o la diferencia en calor entre el proceso
reversible y el proceso real o irreversible si ambos recorren los mismos estados de equilibrio. Esto es,
d<I> = dWrev - dW
del> = dQrev - dQ
El principio de Carnot, consecuencia de la segunda ley de la termodinámica, puede enunciarse de la
siguiente manera:
i. Es imposible construir una máquina que opere entre dos regiones de temperatura distinta y que sea más
eficiente que una máquina externamente reversible que opera entre las mismas regiones de temperatura.
ii. Todas las máquinas térmicas externamente reversibles tienen la misma eficiencia térrnica si operan
entre las mismas regiones de temperatura.
El principio de Carnot puede aplicarse de forma análoga para refrigeradores.
El ciclo de Carnot está constituido por cuatro procesos externamente reversibles: dos procesos
adiabáticos y dos isotérmicos. La eficiencia de una máquina de Carnot está dada por la expresión
T¡
Tl=l--
Te
Del mismo modo, el coeficiente de funcionamiento de un refrigerador de Carnot puede determinarse
mediante la ecuación
T¡
~ = Te - T¡
La operación de cualquier máquina externamente reversible constituye un medio para establecer
una escala termodinámica de temperatura absoluta, la cual es independiente de las propiedades
físicas de las sustancias.
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6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
183
El ciclo Stirling está constituido por dos procesos isotérmicos y dos procesos isométricos reversibles.
El ciclo Ericsson lo forman dos procesos isotérmicos y dos procesos isobáricos reversibles .
Problemas
6.1
Cierta cantidad de aire a una presión de 3 bar y a una temperatura de 70 oC se expande de
forma adiabática en un cilindro hasta una presión de 1 bar y una temperatura de 40 oc.
Suponga que k = 1.4.
a) Indique si el proceso es adiabático reversible.
b) Si el proceso es irreversible, calcule la temperatura del aire al final del proceso de
expansión, en el caso de ser éste adiabático reversible.
Respuestas:
6.2
En un motor diesel el aire se comprime desde una presión de 1 bar y una temperatura de 60 oC,
hasta que el volumen inicial disminuye 20 veces su valor original. Si el proceso es adiabático
reversible, calcule la presión y temperatura del aire al finalizar el proceso de compresión.
Suponga que k = 1.4.
Respuestas:
6.3
a} Irreversible
b) -22.48 oC
p = 66.29 bar
T= 1103.71 K
= 830.71 oC
Una máquina de Carnot opera entre límites de temperatura de 285 oC y 60 oc. Determine la
eficiencia térmica de la máquina.
Respuesta:
6.4
17 = 40%
Un refrigerador de Carnot opera entre límites de temperatura de -30 y 25 oc. Una máquina
de Carnot, que opera entre límites de 500 oC y 25 oC, suministra la potencia requerida por el
refrigerador.
a) Calcule la eficiencia térmica de la máquina de Carnot.
b) Calcule el coeficiente de funcionamiento del refrigerador de Carnot.
e) Calcule el cociente del calor absorbido por el refrigerador al calor absorbido por la
máquina térmica.
Respuestas: a} 17 = 61 %
b) ~ = 4.42
e) Q¡lQc = 2.7
6.5
Una máquina térmica cuyo medio de trabajo es un gas ideal con calores específicos constantes
realiza un ciclo termodinámico cuyos procesos reversibles son: calentamiento a volumen cons-
184 Termodinámica
tante desde el estado 1, expansión adiabática desde el estado 2 hasta el estado 3 y compresión
isobárica' desde el estado 3 hasta el estado 1.
a) Dibuje un diagrama presión-volumen del ciclo termodinámico.
b) Calcule la eficiencia térmica del ciclo en función de k, PI' VI ' P 2 Y V3 '
e) ¿Por qué no coincide la respuesta del inciso (b) con la ecuación 6. lO?
Respuesta:
6.6
6.7
b) II = 1 _ /( (v 3 / v I -1)
(P2/ PI - 1)
Demuestre que todos los refrigeradores externamente reversibles que operan entre los mismos
límites de temperatura tienen el mismo coeficiente de funcionamiento.
Una máquina de Carnot opera con vapor húmedo entre presiones de 50 y 1 bar. Si la máquina
toma 1640.1 J / g de calor, determine
a) Su eficiencia térmica.
b) El trabaja desarrollado por gramo de agua.
e) El calor que disipa.
Respuestas:
a) 31%
b) 502.0 J / g
e) 1138.1 J / g
6.8
Demuestre que dos líneas adiabáticas reversibles no pueden intersecarse por constituir una
violación a la segúnda ley de la termodinámica.
6 .9 Caratheodory enunció la segunda ley en 1909 de la siguiente manera: en la vecindad de
cualquier estado termodinámico existen otros estados que no pueden alcanzarse sólo mediante procesos adiabáticos. Demuestre la validez de este axioma.
6 .10 Con referencia al problema 6.1,
a) Calcule el trabajo desarrollado durante el proceso de expansión real o irreversible.
b) Calcule el trabajo que desarrollaría el sistema si la expansión entre presiones de 3 y 1
bar fuera adiabática reversible.
e) Si los estados recorridos por el proceso adiabático real coincidieran con los estados de
un proceso reversible donde el exponente politrópico se mantiene constante, calcule la
fricción en el proceso.
d) Comente los resultados obtenidos.
Respuestas:
a) 21.4 J / g
b) 66.35 J / g
e) 77 .05 J / g
6 .11 En una tobera convergente se expande aire de forma adiabática desde 1.92 bar y 95 OC hasta
una presión de l bar. Si la velocidad del aire a la entrada de la tobera es despreciable,
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185
a) Calcule la velocidad máxima que puede adquirir el aire a la descarga de la tobera.
b) Calcule la temperatura mínima que puede alcanzar el aire en la tobera.
e) Muestre, mediante la ecuación 6.7a, que la fricción en este proceso ideal es igual a cero .
6.12 Una máquina térmica externamente reversible como la que aparece en la figura 6.16 opera con
el ciclo Ericsson y emplea un gas ideal como medio de trabajo. El gas se comprime de forma
isotérmica a T¡ desde 1 hasta 2, toma calor de manera isobárica de 2 a 3, se expande de
modo isotérmico a Te desde 3 hasta 4 y libera calor de 4 a 1. Calcule la eficiencia térmica del ciclo.
Respuesta:
11 = 1 - T¡lTe
6.1 3 Considere una máquina de Carnot que emplea un gas ideal con calores específicos constantes
como medio de trabajo. ¿El trabajo desarrollado durante la expansión adiabática es igual en
magnitud al trabaja requerido durante la compresión adiabática?
Respuesta:
sí
6.14 Demuestre la validez de las siguientes afirmaciones:
a) El incremento de entalpía es igual a la integral de v dp en todo proceso adiabático reversible.
b) El incremento de energía interna es igual a la integral de -p dv en todo proceso adiabático
reversible.
e) El trabajo total hecho en un sistema cerrado es igual a la integral de p dv si el proceso
es reversible (no necesariamente adiabático) .
6.15 La eficiencia de una máquina térmica es igual a 25%.
a) Calcule el calor tomado por la máquina por cada kW-h de trabajo desarrollado.
b) Calcule el cociente del calor tomado al calor disipado.
c) Calcule el cociente del trabajo desarrollado al calor disipado.
d) ¿Puede concluirse por los datos anteriores que esta máquina térmica es una máquina
externamente reversible?
Respuestas:
a) 4 kW-h
b) 1.33
e) 0.33
d)No
6.16 Calcule la potencia mínima que requiere un compresor si se desean comprimir 50 g/s de aire
desde una presión de 1 bar y una temperatura de 25 oC hasta una presión de 3 bar.
Respuesta:
5.61 kW
6.17 Una máquina de Carnot está compuesta por un condensador, una turbina, un evaporador, y
una bomba, y su medio de trabajo es vapor de agua. Los estados termodinámicos en el ciclo
están determinados por las siguientes propiedades:
186
Termodinámica
a)
Calcule la eficiencia térmica de la
máquina.
b) Calcule el calor suministrado al ciclo.
Estado
p, bar
X'
1
10
0.8
2
10
1
4
2
3
2
0.9
c) Calcule el trabajo neto desarrollado
por la máquina.
d) Calcule el calor disipado por la máquina.
e) Dibuje el ciclo termodinámico en un diagrama presión-volumen.
f) Calcule el título del vapor en el estado 4.
6.24
Respuestas:
a) 13%
b) 403.05 J/g
6.25
c) 52.40 J/g
d) 350.65 J/g
f)
0.74
6.18 La eficiencia de una máquina de Carnot es igual a 30%. Si la máquina desarrolla 1 kW de
potencia, calcule el flujo de calor que toma.
Respuesta:
6.26
6.27
3.33 kW
6.19 Un sistema recibe 10 J de calor y realiza 20 J de trabajo en cierto proceso. ¿Puede regresar el
sistema a su estado original mediante un proceso adiabático?
6.20 Un refrigerador de Carnot opera entre -5°C y 30°C. Calcule el coeficiente de funcionamiento.
Rete.
Respuesta:
f3 = 7.66
6.21 Si el vapor en la turbina del problema 6.17 entra saturado seco en la unidad a una presión de 10 bar
y se descarga con un títulode 0.9 a una presión de 2 bar, calculeel trabajo desarrollado por la unidad.
Respuesta:
291.69 J/g
6.22 Una máquina motriz de Carnot funciona con 0.136 kg de aire como sustancia de trabajo. La
presión y el volumen, al principio de la expansión isotérmica, son 2.1 MPa y 9.6 litros, respectivamente. El aire se comporta como un gas ideal, la temperatura del resumidero es de 50°C
y el calor suministrado vale 32 kJ. Determine:
a) La temperatura de la fuente.
b) La eficiencia del ciclo.
c) La presión al finalizar la expansión isotérmica.
d) El calor cedido al resumidero en cada ciclo.
6.23 Dos máquinas reversible s (A y B) funcionan en serie entre un depósito de alta temperatura (Ta)
y otro de baja temperatura (TJ. La máquina A cede calor a la máquina B, que a su vez cede
1. A~
U¡
2. KE
Ye
3. Be
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6 Segunda ley de la termodinámica y sus consecuencias
187
calor al depósito de baja temperatura. El depósito de alta temperatura suministra calor a la
máquina A. Sean Ta = 1000 K, Tb = 400 K e iguales las eficiencias térmicas de las máquinas.
El calor recibido por A es 500 kJ. Determine:
a) La temperatura a la que se efectúa la cesión de calor por parte de la máquina A.
b) Los trabajos efectuados por la máquinas A y B.
e) El calor cedido por la máquina B.
6.24 Se utilizará una bomba térmica para calentar una casa durante los meses de invierno. Cuando la
temperatura media exterior es de O oC y la interior de 23 oC, la pérdida total de calor en la casa
es de 20 kW. Determine la potencia mínima requerida para hacer funcionar la bomba térmica.
6.25 Se piensa utilizar una bomba térmica de Carnot para la calefacción de una casa en un lugar
donde la temperatura exterior puede llegar a -35 oc. El coeficiente de funcionamiento esperado para tal sistema térmico es de 1.50. ¿A qué temperatura podría suministrar calor esta
unidad?
6.26 Una máquina de Carnot produce 25 kW de potencia al operar entre límites de temperatura de
1000 K Y 300 K. Calcule el calor suministrado a la máquina, así como el calor disipado.
6.27 En una turbina reversible se expanden de manera politrópica 4500 kg/ min de aire desde 4.25
bar y 1360 K hasta 1. O1 bar. El exponente politrópico vale 1.45 . Calcule la potencia desarrollada por la turbina y el calor disipado. Suponga que el calor específico a presión constante es
igual a 1 J / gm oc.
Referencias
1. Ayres, R U., McKenna, R P, Alternatives to the Internal Combustion Engine , Johns Hopkins
University Press, Nueva York, 1972.
2. Keenan, J. H., et al. Steam Tables (International Edition-Metric Units), John Wiley, Nueva
York, 1969.
3. Bosch, R, Automotive Handbook, Nueva York, 3a. ed. , 1993.
7
Entropía
Ningún hombre ha llegado nunca
a ser sabio por casualidad
SENECA
Así como se estableció el concepto de energía a través de la primera ley de la termodinámica, la segunda
ley postula la existencia de otra propiedad termodinámica extensiva que se conoce como entropía (del
griego EU'tpCOm¡, que significa evolución). Esta propiedad, motivo de múltiples discusiones de orden
filosófico, juega un papel sumamente importante en todos los análisis termodinámicos. Desde el punto
de vista de la ingeniería, la entropía debe tratarse como mera propiedad termodinámica, esto es, como
la energía interna, el volumen, la masa, etc. Sin embargo, su importancia estriba en la variedad de
aplicaciones que tiene y en las no menos numerosas consecuencias a que da lugar.
7.1 Desigualdad de Clausius
Antes de definir la entropía es conveniente establecer lo que se conoce como desigualdad de Clausius.
Considere una máquina térmica 1 externamente reversible como la del esquema de la figura 7 . 1.
la cual opera entre límites de temperatura Te y T¡- Con la ecuación 6.12,
f -T
dO I
:=
rev
Oe _ O¡¡ := O
'r
le
T¡
(71)
Del mismo modo, considere ahora una máquina térmica 2 que opera entre los mismos límites de
temperatura Te y T¡, como se ve en la figura 7.1. De acuerdo con el principio de Carnot,
W 1 > W2
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190 Termodinámica
Q,
2
T¡
Figura 7.1. Máquinas térmicas que operan entre
límites de temperatura Te y Ti"
Entonces,
por consiguiente,
Qfl
TI
Qf2
< -
TI
Por tanto, para la máquina 2,
(7.2)
De las ecuaciones 7.1 y 7.2 se desprende que,
(7.3)
La ecuación anterior se conoce como desigualdad de Clausius. Puesto que cualquier ciclo reversible
puede sustituirse por una serie de ciclos de Camot, la desigualdad de Clausius es válida para cualquier
máquina térmica (o refrigerador) reversible o irreversible, en donde la igualdad se conserva en ciclos
reversibles y la desigualdad en ciclos irreversibles. Observe que a medida que aumenta la irreversibilidad
en una máquina, la integral cíclica de dQ/ T se vuelve cada vez más negativa.
191
7 Entropía
Ejemplo 7.1
Considere una planta generadora de vapor como la que aparece en el esquema de la figura E.7.1. A
partir de los siguientes datos verifique la desigualdad de Clausius,
Estado
1
2
3
4
p, bar
10
179.91
1
0.1
45.81
0.9
0.1
45.81
10
46
T, °C
x
O
Solución
Dado que los procesos 1-2 y 3-4 son adiabáticos,
pero
f dq4-I = fl c dT + h
T
T4
p
fg
T
TI
Según la tabla A.2, hfg = 2015.3 J/g a una presión de 10 bar. Sustituyendo valores,
fdq4-I =4.18In(452.91J
T
319
2015.3
+--452.91
= 1.47 + 4.45
=
5.92 J/g K
p
4
I-+---\.
I
Bomba
v
Figura E.7.1.
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192 Termodinámica
y así,
X2 hfg
T2
Según la tabla A.2, hfg = 2392 .8 J/ g a una presión de 0 .1 bar. Sustituyendo valores,
fd q 2- 3 = _ (0.9)(2392.8)
T
318.81
= -6.75 J/g K
En consecuencia,
.f. dq
j
T = 5.92 - 6.75 = -0 .83 J/g K < O
Ejemplo 7.2
Con el objeto de analizar un motor de combustión interna, considere un gas ideal con calores específicos
constantes que realiza el siguiente ciclo termodinámico reversible: compresión adiabática reversible desde
VI hasta v2' adición de calor a volumen constante desde el estado 2 hasta el estado 3, expansión adiabática
reversible desde v3 = v2 hasta v4 = VI Yenfriamiento a volumen constante hasta alcanzar el estado original
1. Este ciclo, comúnmente conocido como ciclo Otto, aparece esquemáticamente en la figura E.7 .2.
Verifique la desigualdad de Clausius.
Solución
Puesto que los procesos 1-2 y 3-4 son adiabáticos reversibles ,
f ~ = fd~-3 + fd~-I
=c" In
[~!) + c" In [~:)
p
3
2
.,
pero
ji
I
•
"':
v
esto es,
Figura E.7.2.
7 Entropía
193
En consecuencia,
7.2 Definición de entropía
Una vez establecida la desigualdad de Clausius, ecuación 7 .3, considere un ciclo reversible formado
por los procesos A y B como aparece en la figura 7.2. De acuerdo con la desigualdad de Clausius,
I. dQ
J2 dQ
J1 dQ
r
T Irev -- l-A -T Irev + 2-B - T Irev -O
-
(7.4)
De la misma manera, para el ciclo reversible constituido por los procesos A y e ,
f dQT I = t dQT I + JI dQT I = O
rev
l-A
2-C
rev
(7.5)
rev
Comparando las ecuaciones 7 .4 y 7.5 ,
JI dQT I
2- C
(7. 6)
rev
p
2
v
Figura 7.2. Dos ciclos reversibles A-B y A-e.
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194 Termodinámica
f
En la ecuación anterior se observa que (dQ/ 1)rev adquiere el mismo valor a lo largo de cualquier
trayectoria reversible entre el estado 2 y el 1. En consecuencia, esta cantidad depende de manera única
y exclusiva de los estados inicial y final del proceso y es, por tanto, una propiedad termodinámica.
En efecto, la entropía S queda definida mediante la ecuación
(7.7)
dS= dQ \
T rev
Es decir, el cambio de entropía entre dos estados termodinámicos cualesquiera puede evaluarse
mediante la expresión
(7 .8)
flS
o , por unidad de masa,
/)s -
-
f0l.\
T
(7 .8 a)
rev
La ecuación anterior, válida para cualquier sistema cerrado o de masa constante, expresa con claridad
que la integración debe realizarse a lo largo de una trayectoria reversible si es que se desea evaluar la diferencia de entropía entre dos estados; supone, además, un conocimiento de la relación dQ/ T a lo largo
del proceso reversible. Sin embargo, dado que la entropía es una propiedad termodinámica, la diferencia flS entre dos estados es la misma independientemente de que el proceso sea reversible o
irreversible. Por otro lado, si el proceso en cuestión es irreversible, la diferencia de entropía entre los
estados 1 y 2 no pueden evaluarse de forma directa con la ecuación 7.8. De hecho, como se verá a
continuación, f(dQ/T) < flS para procesos irreversibles.
Considere entonces un ciclo reversible constituido por los procesos Ay B como se ve en la figura 7.3.
Para este ciclo reversible,
f TdQ \
dQ \
= f l -A T
2
rev
rev
+
f
1
2-8
dQ \
T
rev
=0
(7 .9)
Suponga a continuación un ciclo termodinámico formado por un proceso reversible A y un proceso
irreversible C como se ve en la figura 7.3. Mediante la desigualdad de Clausius,
t dQT - f
--
2
l-A
dQ \
+
T rev
-
f
1
2-C
dQ
-<O
T
(7.10)
195
7 Entropía
p
2
v
Figura 7.3. Dos procesos reversibles A y B, Y un
proceso irreversible C.
Restando la ecuación 7.10 de la 7.9,
f
1
2-8
dQ
T
I
rev -
f
1
2-C
dQ
>0
T
o bien,
f
1
2-8
dQ I
Trev
f
1
2-8 dS
f
1
2-C
dS >
f -dQ
T
1
2-<:
En consecuencia,
f
1
dS >
2-<:
f -dQT
1
2-C
y, en general, para cualquier proceso,
(7 .11)
donde la igualdad se conserva en los procesos reversibles y la desigualdad en los irreversibles.
l'
"
:1
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196 Termodinámica
De lo anterior se desprende que la integración de (dQ/}) a lo largo de una trayectoria irreversible
en un proceso dado no da como resultado la diferencia de entropía entre el estado inicial y el final. De
la misma forma, puede agregarse que todo proceso adiabático reversible es isoentrópico. Esto es,
todo proceso isoentrópico es adiabático, pero no todo proceso adiabático es isoentrópico; sólo los
procesos adiabáticos reversibles son isoentrópicos.
Por otro lado, dado que la entropía es una propiedad, la diferencia ~5 entre dos estados termodinámicos pueden evaluarse con la ecuación 7 .8, siempre y cuando se seleccionen una o varias
trayectorias reversibles que conecten los estados inicial y final del proceso (reversible o irreversible).
Ejemplo 7.3
Un recipiente rígido y aislado contiene 1 kg de nitrógeno en forma de gas a una presión de 1 bar y a
una temperatura de 70 oc. Mediante un agitador impulsado por un motor eléctrico, se hacen 104 J de
trabajo sobre el sistema. Calcule el cambio de entropía que experimenta el gas en este proceso.
Solución
La temperatura final adquirida por el nitrógeno en este proceso irreversible puede calcularse mediante un balance de energía. Esto es,
Q - W = ~U = mc u (T2 - T 1)
Puesto que el proceso es adiabático,
En consecuencia,
-10 4
=70--- -(1000)(0.74)
= 83.51 oC
El cambio de entropía puede calcularse a partir de la ecuación 7.8, siempre y cuando la integración se
efectúe a lo largo de una trayectoria reversible. Considere entonces un proceso isométrico reversible
que conecte los estados 1 y 2. Para este proceso reversible dQ = dU, y
f
f
52 - 51 = dQI
= mcudT
T v=c
T
~mC"ln(~ )
= (1000)(0.74)ln(365.51)
343
~5 = 28.59 J/ K
7 Entropía
197
o, por unidad de masa,
~s = 28.59 J/kg K
Ejemplo 7.4
En un intercambiador de calor se enfrían, por segundo, cincuenta gramos de monóxido de carbono (CO)
desde 150 hasta 100 oC, mientras la presión se mantiene constante en 1 bar. Determine el cambio de
entropía por unidad de masa que experimenta el gas al pasar por el intercambiador de calor.
Solución
Dado que la diferencia de entropía depende sólo de las condiciones que haya a la entrada y a la salida
del intercambiador, se considerará una trayectoria isobárica reversible para calcular ~s mediante la
ecuación 7.8. Esto es,
Entonces,
~s = sdql
T p=C
=Cp
m(i, J
= (1)ln(373)= -0.1 3 J/g K
423
En este caso disminuye la entropía del monóxido de carbono, ya que el sistema cede calor hacia los
alrededores. Si el enfriamiento se hubiera llevado a cabo en un sistema cerrado entre los mismos estados
inicial y final, la diferencia ~s hubiera sido la misma, puesto que las propiedades se evalúan por medio de
un observador que viaja con el fluido y cada masa unitaria es para éste un sistema cerrado.
Ejemplo 7.5
Los productos de combustión en una turbina de gas se expanden de forma adiabática y de manera
irreversible desde una presión de 4 bar y una temperatura de 880 oC hasta una presión de 1 bar y una
temperatura de 550 oc. Suponiendo que las propiedades termodinámicas de los productos de combustión son iguales a las del aire
a) Calcule el cambio de entropía por unidad de masa que experimenta los gases al pasar por la turbina.
b) Calcule f(dq/n para este proceso.
c) Calcule la fricción <p si el exponente politrópico n se mantiene constante durante la expansión.
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198 Termodinámica
Solución
a) Dado que el proceso es irreversible, existen varias posibilidades para calcular el
cambio de entropía. A continuación se
explicarán sólo dos.
p
i. Considere la trayectoria reversible l-a-2 como
aparece en la figura E.7.5. Entonces,
a~---+~--~~~2
& =
f dqI-a I
T
v=C
+
b
f dqa-2 I
T
p=C
v
Figura E. 7 .5.
Mediante la ecuación de estado de los gases ideales,
TI - PI
=PI
-
También
T =T P2
1 PI
a
Sustituyendo valores,
T=(1153{i )= 288.25 K
a
y, a su vez,
& = (0.713) In
=
(2~~5235) + (1) In (2~:.~5)
0.061 J/g K
ii. Considere ahora la trayectoria reversible l-b-2 . Dado que el proceso l -b es adiabático reversible,
& =
f dqb-2
I
T
p=C
7 Entropía
pero
Sustituyendo valores,
1)°·286 = 775.60 K
(
T b = 1153 ¡
también
823 )
-
& = (1) In ( 775 .60 = 0 .061 J/g K
b) Dado que el proceso es adiabático,
dql-2
f --:¡-- O < ~s
=
verificándose así la ecuación 7.11.
e) La fricción qy puede calcularse con la ecuación 6 .7a , esto es,
9> = -
f v dp + ~h
en donde el exponente politrópico n puede calcularse mediante la expresión
Sustituyendo valores,
n- l
0.71 = 0.25 n
n = 1.32
199
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200
Termodinámica
y, a su vez,
'" __ (1.32)(0.287)(1153)
1.32-1
l" -
[(1)
4
0.24
]
- 1 + (1)(823 - 1153)
p = 386.33 + (-330) = 56.33 J/g
7.3 Principio de incremento de entropía
Considere un sistema aislado, esto es, un sistema cerrado en el que no hay transferencia de energía
con los alrededores. De acuerdo con la primera ley de la termodinámica, este sistema sólo puede
adquirir aquellos estados donde la energía interna total del sistema permanece constante. Por otro
lado, la segunda ley de la termodinámica establece, a partir de la ecuación 7.11, que el sistema
aislado puede adquirir solamente aquellos estados en que su entropía se incrementa o permanece
constante. Es decir,
t,.Ssistema
¿ O
aislado
(7 .12)
donde la igualdad se conserva en los procesos reversibles y la desigualdad en los procesos irreversibles. La ecuación anterior se conoce como principio de incremento de entropía y es una forma
cuantitativa de establecer la segunda ley de la termodinámica. En efecto, este axioma establece que
La entropía de un sistema aislado aumenta en todos los procesos irreversibles y, en el límite, se mantiene constante en los procesos reversibles.
A diferencia de la energía, la entropía no se conserva, excepto en los procesos reversibles. Con otras
palabras, la primera ley establece que la energía no se crea ni se destruye, mientras que la segunda ley
establece que la entropía no se destruye, sólo se crea .
De la misma forma, la segunda ley establece que un proceso dado en un sistema aislado puede
ocurrir hasta que este último adquiera su máximo valor de entropía, manteniendo al mismo tiempo
constante su energía interna, esto es, hasta alcanzar un estado de equilibrio termodinámico. En
consecuencia, la condición necesaria y suficiente para que un sistema aislado esté en equilibrio termodinámico es que su entropía sea un máximo o, que en todas las variaciones de estado posibles a partir
del equilibrio, el cambio de entropía sea negativo. Analíticamente, para que un sistema aislado se
encuentre en equilibrio termodinámico.
(7. 13)
7 Entropía 201
Puesto que un sistema aislado siempre puede formarse con cualquier sistema (abierto o cerrado) y sus
alrededores, la ecuación 7.12 indica también que,
/',.5 sistema + /',.5 alrededores ;::: O
(7.14)
Dado que los alrededores son todo lo que rodea a un sistema, a menudo se llama universo al conjunto formado por el sistema y sus alrededores. En consecuencia,
/',.5 universo ;::: O
(7.15)
El principio de incremento de entropía es de gran importancia termodinámica y filosófica, pues indica
que un proceso real puede llevarse a cabo sólo si el cambio neto de entropía, tanto del sistema como
de sus alrededores es positivo. El proceso inverso, donde el sistema y sus alrededores se hacen
retornar a sus estados originales, es imposible de realizar, ya que esto involucraría un cambio negativo
de entropía. Debe agregarse que tanto los axiomas de Clausius y Kelvin-Planck como el axioma de
incremento de entropía son equivalentes en sus consecuencias.
Ejemplo 7.6
En un recipiente rígido y aislado que tiene 1 dm 3 de volumen hay cierta cantidad de aire a una presión
de 3 bar y a una temperatura de 25 oc. Mediante una válvula que conecta este recipiente con otro de
igual tamaño, también aislado, pero al vacío, se hace fluir el aire de tal manera que ambos recipientes
queden llenos de él. Determine el cambio de entropía del aire.
Solución
Analizando el sistema compuesto por los dos recipientes,
Q- W= /',.U = O
Es decir,
U 2 = U¡
Además,
Dado que este proceso de expansión es irreversible, se seleccionará a continuación una trayectoria
isotérmica reversible que conecte los estados inicial y final del proceso con el fin de calcular la diferencia de entropía mediante la ecuación 7.8. Esto es,
dQ-dW = O
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202 Termodinámica
y, a su vez,
dQ= p dV
En consecuencia,
L15 =
f dQI
_ = f p TdV = f mRdV
T
V
T- C
= (3x 105 )(1 x 10-3 ) In (2)
298
= 0.698 J/ K
Este resultado comprueba que el proceso de expansión es irreversible, pues al estar el sistema aislado
L15 alrededores = O
y además,
L15 sistema = 0 .698 J/K
Ejemplo 7.7
¿Es posible comprimir aire de forma adiabática desde
una presión de 1 bar y una temperatura de 25 oC
hasta una presión de 10 bar y una temperatura de
100 OC?
p
2
Solución
Puesto que el principio de incremento de entropía
indica si un proceso dado puede realizarse, se calculará a continuación la diferencia de entropía entre los estados inicial y final mediante la ecuación
7.8 , y empleando la trayectoria reversible 1-a-2 ,
como se ve en la figura E.7. 7 . Esto es,
v
Figura E.7.7.
7 Entropía
fls =
- I
T
f-dqI-a
p=C
= c
p
fq
203
- zl
+ d- T T=C
a
(pa]
In -T Z] +Rln [ TI
PZ
~ e, In [~:] - R In (~:]
(a)
Sustituyendo valores,
fls = (1) In
(~~~) - (0 .287) In (\0)
= 0.22 - 0.66 = - 0.44 J/g K
Puesto que el proceso es adiabático y el cambio de entropía de los alrededores es cero, se concluye
que es imposible realizar la compresión adiabática entre los estados dados , por constituir una violación al principio de incremento de entropía. De hecho, la temperatura mínima TZm que podría adquirir el aire al comprimirse de forma adiabática desde 1 bar y 25 oC, hasta 10 bar se puede calcular con
la ecuación (a). Si el proceso fuera adiabático reversible (isoentrópico).
zm
(Pz]
T ] - R In PI
O = cp In ( ~
Si se reordena la ecuación anterior,
(Pz]
e In -T zm ] =Rln ( TI
p
PI
Nótese que esta ecuación se derivó previamente en el capítulo 4. Sustituyendo valores,
TZm = (298) (\0) 0.Z86 = 575.73 K
=
302.73 OC
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204
Termodinámica
De lo anterior se desprende que el proceso de compresión adiabático da como resultado que la
temperatura del aire a la descarga del compresor sea mayor o igual, en el límite, a 302.73 oc. Esto
indica que hay una posibilidad de comprimir el aire entre 1 bar, 25 oC y 10 bar, 100 oC, mediante un
compresor y un intercambiador de calor en serie.
Ejemplo 7.8
La válvula de escape en un motor de combustión interna se encuentra a una temperatura Tu, mientras
su asiento se encuentra a una temperatura inferior Ta . ¿Está en equilibrio termodinámico el sistema
válvula-asiento?
Solución
Supóngase que la válvula experimenta una disminución dU en su energía interna mientras el asiento
experimenta el mismo incremento dU en su energía interna. Entonces, para todo el sistema ,
dsl _
u- c
=_dU+dU=dU(~-~J
T
T
T
T
u
a
a
u
dSlu= c >O
De acuerdo con la ecuación 7.13, el sistema no está en equilibrio termodinámico .
7.4 La entropía como función de otras propiedades
Como ya se ha dicho en repetidas ocasiones, el cambio de entropía entre dos estados termodinámicos es independiente del proceso, reversible o irreversible, y depende de manera única y exclusiva de
los estados inicial y final del proceso por ser una propiedad termodinámica. Dado que la ecuación 7.8
es válida sólo para procesos reversibles, el cambio de entropía entre dos estados cualesquiera puede
determinarse por medio de esta ecuación siempre y cuando se seleccionen una o más trayectorias
reversibles convenientes para el cálculo, que conecten los estados inicial y final del proceso. Con el fin
de generalizar la evaluación del cambio de entropía entre dos estados de un proceso cualquiera, a
continuación se desarrollarán relaciones generales para una sustancia pura entre las propiedades p, u,
T, u, h y s, combinando la primera y segunda leyes de la termodinámica. De acuerdo con la definición
de entropía,
Tds=dq lrev
y, para un sistema cerrado, en general,
dq = du + dw
7 Entropía
205
Por otro lado, para procesos reversibles,
dw Irev = P dv
En consecuencia,
dq Irev = du + P dv
Sustituyendo esta última ecuación en la definición de entropía,
T ds = du + P du
(7.16)
Sumando y restando (v dp) al miembro derecho de la ecuación 7.16 y utilizando la definición de entalpía,
T ds = (du + p dv + v dp) - v dp
T ds = dh - v dp
(717)
Las ecuaciones 7.16 y 7.17, generalmente conocidas como ecuaciones Tds o gibbsianas, son de
gran importancia por combinar la primera y la segunda leyes de la termodinámica . Estas expresiones son válidas para cualquier proceso reversible o irreversible de una sustancia pura , puesto
que una propiedad termodinámica queda determinada por el estado y no por el proceso, y las ecuaciones
7.16 y 7.17 involucran sólo propiedades termodinámicas, es decir, la ecuación 7.16 es una relación
entre las propiedades p, v, T, u y s, mientras que la ecuación 7.17 es una relación entre las propiedades p, v, T, h y s. Estas expresiones son válidas también para un sistema abierto, puesto que las
propiedades se evalúan por medio de un observador que viaja con el fluido y para éste cada masa
unitaria es un sistema cerrado.
El lector, sin duda, se preguntará: ¿cómo es pOSible que sean válidas las ecuaciones Tds para cualquier
proceso de una sustancia pura si en la formulación se emplearon relaciones válidas sólo para procesos reversibles? Debe observarse que para cualquier proceso en general en un sistema cerrado, dq :f::.
T ds y dw :f::. P dv, excepto en los procesos reversibles. De la misma manera, en un sistema abierto
que opera en estado estable, dq:f::. T ds y dw:f::. -v dp, excepto en los procesos reversibles. De hecho,
las ecuaciones T ds no expresan ni la primera ni la segunda leyes de la termodinámica; son sólo
relaciones entre propiedades.
Por ejemplo, si la sustancia pura es un gas ideal,
pv = RT
du = C v dT
dh = c p dT
En consecuencia, según la ecuación 7.16 ,
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206
Termodinámica
También
6s =
cu .dT
Vz
f--+RlnT
VI
Si el calor específico cu(T) es constante o se emplea un valor promedio,
(7 .18)
Del mismo modo, con la ecuación 7.17,
ds = cpdT -~
T
T
y, a su vez,
Si el calor específico cp (n es constante, o se emplea un valor promedio,
(7.19)
Esto es, dados los estados {TI, VI} y {Tz, vz}, el cambio de entropía LlS que experimenta un gas ide~l
entre estos estados puede calcularse con facilidad mediante la ecuación 7.18. De la misma manera ,
dados los estados {PI' TI} Y {Pz, T z }, puede evaluarse el cambio de entropía Lls que experimenta un
gas ideal entre estos estados con la ecuación 7.19.
Ejemplo 7.9
En la figura E.7 .9 aparece el esquema de un motor diesel que usa un turbocargador. Los productos de
combustión en el estado 3 se hacen pasar a través de una turbina, la cual, a su vez, impulsa el
compresor por medio de una flecha. Suponiendo que las propiedades de los gases de combustión son
las mismas que las del aire y que los procesos en el compresor y la turbina son adiabáticos reversibles,
a) Calcule la potencia que desarrolla la turbina .
b) Determine la temperatura de los gases de combustión a la descarga de la turbina.
c) Determine la presión y la temperatura del aire a la descarga del compresor.
7 Entropía
Motor
2
.-------'
3
500 oC
2 bar
200 g/s de aire a 1 bar, 40 oC
Figura E.7 .9.
Solución
a) Puesto que el proceso de expansión en la turbina es isoentrópico ,
W mkRT
[(P4] k~ 1]
k-1
P3
= _
3
1 -
= _ (200) (1.4)(0.287)(773)
1.4 - 1
= 27 926.37 W = 27.93 kW
[(1)°·286 -1]
2
b) Para un proceso isoentrópico,
T
286
= (773{ \0
= 633.99 K = 360.99 oC
207
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208
Termodinámica
c) Mediante un balance de energía,
En consecuencia ,
W
-27926.37
T 2 = TI - mc = 40 - (200)(1)
p
=
179.63 oC
Además,
p,
~ PI (~:)"I "(l{4~~;3)"
= 3.64 bar
Ejemplo 7.10
Se comprime cierta cantidad de aire desde una presión de 1 bar y una temperatura de 25 oC, hasta
una presión de 2 bar y una temperatura de 30 oc.
a) Calcule el cambio de entropía por unidad de masa que experimenta el aire.
b) ¿Se trata de un proceso de compresión reversible?
So lución
a) Con la ecuación 7.19,
= (1) In
(~~~) - (0.287) In (f)
= 0.02 - 0.20 = - 0.16 J/g K
b) Con la información dada no puede concluirse nada. El resultado sólo indica que la entropía del
aire en el estado 2 es menor que la del estado 1. Evidentemente, el proceso de compresión
realizado no puede ser adiabático de acuerdo con el principio de incremento de entropía. De
haber sido el proceso adiabático, la temperatura mínima que adquiriría el aire al ser comprimido desde 1 bar y 25 oC hasta 2 bar sería 363.34 K (90.34 oC) . Además, dado que la entropía
7 Entropía
209
disminuye en el proceso, el aire pudo haberse comprimido de manera reversible a lo largo de
una trayectoria cuyo exponente politrópico fuera de 1.025 con transferencia de calor hacia un
sistema de enfriamiento. Lo anterior destaca el hecho de que la entropía es una propiedad
termodinámica y su evaluación no requiere conocer el proceso.
La ecuación 7.16 revela la existencia de una función de la forma
f(u, s, v) = O
(7 .20)
la cual determina por completo el estado termodinámico de una sustancia pura y constituye lo que se
conoce como ecuación de estado completa. Se dice completa porque el valor de todas las propiedades
termodinámicas en un estado dado pueden obtenerse por medio de ella. Así, las ecuaciones
u = u(s, v)
s=s(u, v)
y también
v = v(s, u)
son ecuaciones de estado completas porque determinan a cabalidad el estado termodinámico de una
sustancia pura. Como ejemplo, considere la ecuación u = u (s , v). Dado que la energía interna u es
una propiedad,
ou]
ou]
os ds+ov dv
du = -
u
s
Comparando esta expresión con la ecuación 7.16 en la forma du = T ds - p dv se obtiene
au]
p =- -
a v s = p(s, v)
au]
T=-
os u = T(s, v)
h = u + pv = h (s, v)
Todas las demás propiedades termodinámicas pueden determinarse a partir de la ecuación de estado
u = u (s, v). Obsérvese que una ecuación de la forma T = T (s, v) es incompleta, ya que es imposible
determinar, por ejemplo, p = p (s, v) partiendo de esta relación funcional.
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210 Termodinámica
De igual forma, de la ecuación 7.17 se desprende que las ecuaciones h = h(p, s), S = s(h, p) y
p = p(h, s) son ecuaciones de estado completas.
A pesar de su nombre, una ecuación de estado de la forma f(p, u, T ) = O es incompleta, pues no
proporciona la descripción completa del estado termodinámico de una sustancia pura.
Ejemplo 7.11
Demuestre que la ecuación h = h(p, s) es una ecuación de estado completa.
Solución
Dado que la entalpía es una propiedad,
ah1
ah)
ap dp+as ds
dh = -
s
(a)
p
Según las ecuaciones T ds,
dh = u dp + T ds
(b)
Comparando las ecuaciones (a) y (b) ,
ah) = u(p, s)
u =-
8p s
ah)
as
T =-
= T(p, s)
p
u = h - pu = h(p, s) - pu(p, s)
=
u (p, s)
7.5 Diagrama temperatura-entropía
Dado que tanto la temperatura absoluta T como la entropía S son propiedades termodinámicas,
pueden usarse como coordenadas. Como se ve en la figura 7.4, el área que está debajo de la curva
descrita por un proceso reversible representa físicamente el calor suministrado al sistema, esto es,
7 Entropía
211
o, por unidad de masa,
2
q =
J T d5 I
1
rev
Por otro lado, si se invierte la trayectoria desde el estado 2 hasta el estado 1, el área que queda debajo
de la curva (negativa) representa físicamente el calor cedido por el sistema.
Los diagramas temperatura-entropía tienen gran aplicación en el análisis de ciclos termodinámicos. Considere, por ejemplo, el ciclo de Camot previamente explicado, el cual se compone de dos
procesos adiabáticos y dos procesos isotérmicos reversibles como se ve en la figura 7.5. Durante el
proceso de expansión isotérmico a Te desde el estado 1 hasta el estado 2, la entropía del fluido
aumenta desde un valor 51 hasta 52' y el calor absorbido por la máquina es igual a Te (s2 - sI). Es decir,
el área que se halla debajo de la línea del proceso isotérmico de 1 hasta 2 representa físicamente el
calor absorbido por la máquina. Durante el proceso de expansión adiabático reversible desde el estado 2
hasta el estado 3, la entropía permanece constante. De la misma manera, la entropía del fluido
disminuye desde un valor s3 hasta un valor S4 durante el proceso de compresión isotérmico a T¡- El
área que está debajo de la curva 3-4 representa el calor cedido (negativo) por la máquina de Carnot
hacia la región que se halla a temperatura T¡ - dT¡, esto es, T¡ (s4 - s3). Por último, el fluido se
comprime de forma isoentrópica desde el estado 4 hasta el estado 1.
Partiendo de la figura 7.5 puede demostrarse con facilidad que también la eficiencia de cualquier
máquina de Carnot, más allá del fluido o medio de trabajo, está dada por la ecuación 6.10 . Obsérvese
T
p
2
2
Tf
-
4
3
s
s
Figura 7.4. El área que se halla debajo de la curva
descrita por un proceso reversible representa el calor
suministrado ai sistema.
Figura 7.5. El ciclo de Camot en un diagrama temperatura-entropía.
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212
Termodinámica
además que, sin importar el fluido o medio de trabajo, la forma del ciclo de Carnot en un diagrama
temperatura-entropía es un rectángulo.
Otra ilustración sencilla del uso del diagrama temperatura-entropía se encuentra en los ciclos
Stirling y Ericsson ya estudiados . La figura 7.6a presenta el diagrama temperatura-entropía de un
ciclo Stirling donde el medio de trabajo es un gas ideal.
Como se explicó en el inciso 6.7, el área que se halla debajo de la curva del proceso isométrico 4-1
representa físicamente el calor disipado por el gas, el cual se almacena como energía interna en el regenerador,
para hacerlo retornar después al gas durante el proceso isométrico 2-3. De igual forma , en la figura 7 .6b
se ve un ciclo Ericsson en el que el medio de trabajo es un gas ideal. A semejanza del ciclo Stirling, el calor
cedido por el gas durante el proceso isobárico 4-1 se almacena como energía interna en el regenerador,
para hacerlo regresar posteriormente al gas durante el proceso isobárico 2-3.
A semejanza del diagrama presión-volumen, el área que está debajO de la curva no tiene ninguna
interpretación física en el caso de procesos irreversibles. De hecho, el área que queda debajo de la
curva es siempre mayor que el calor suministrado al sistema en el caso de procesos irreversibles,
como se desprende de la ecuación 7.11 . A manera de ejemplo, imagine el proceso reversible de
expansión isotérmica de un gas ideal en un cilindro como se muestra en la figura 7.7. El área que se
localiza debajo de la curva de este proceso reversible corresponde al calor absorbido por el sistema
durante la expansión, esto es, Q = T (52 - 51). Considere ahora un proceso adiabático de expansión
libre (irreversible) en el que los estados inicial y final son los mismos del proceso reversible. Para este
proceso irreversible U2 = U l , y por lo tanto, T2 = TI. Sin embargo, en este caso Q = O y el área que
T
T
~
_ _ _ _ _.... 4
~
T¡
_ _ _ _ _ _-""JI4
T¡
(a)
s
(b)
s
Figura 7.6. (a) El ciclo Stirling en un diagrama temperatura-entropía. (b) El ciclo Ericsson en un diagrama
temperatura-entropía.
7 Entropía
213
a
los
T
un
·1
,2
r
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
es,
de
se
ma
I
I
I
I
I
l
I
I
S
ión
ste
Figura 7.7. Procesoreversiblede expansióna temperaturaconstante.
ue
4
s
queda bajo la curva no tiene ninguna interpretación física. De aquí que los procesos irreversibles, por
lo general, se representen con una línea quebrada.
La curva de saturación de una sustancia pura, a semejanza de los diagramas presión-volumen,
presión-temperatura y presión-entalpía explicados con anterioridad, puede también representarse
en un diagrama temperatura-entropía como aparece en la figura 7.8. La línea AC corresponde a los
estados de líquido saturado, y la línea CB a los estados de vapor saturado seco. El punto C corresponde al punto crítico. En la misma figura se ven varios procesos reversibles típicos. La línea 1-2-3
corresponde a un proceso isoentrópico; la línea 4-5-6 a un proceso isotérmico; la línea 7-8-9-10 a un
proceso isobárico; la línea 11-12-13 a un proceso isométrico, y la línea 14-15 es una línea de
humedad constante. Obsérvese que tanto la presión como la temperatura permanecen constantes en
la zona de vapor húmedo.
Algunos valores de entropía por unidad de masa para líquido saturado, vapor saturado seco y
vapor sobrecalentado pueden obtener se consultando las tablas de propiedades termodinámicas como
las presentadas en el apéndice al final de este libro. En la región de saturación, la entropía puede
calcularse mediante expresiones similares a las empleadas para calcular el volumen específico, la
energía interna o la entalpía, esto es,
s=s¡+s¡g
ma
La entropía del líquido comprimido depende fundamentalmente de la temperatura y no difiere de
forma significativa del valor correspondiente al líquido saturado a la misma temperatura.
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214
Termodinámica
T
7
6
B
A
s
Figura 7.8. Diagrama temperatura-entropía para una sustancia pura.
Ejemplo 7.12
Muestre que en un diagrama temperatura-entropía, las líneas de presión constante tienen menor
pendiente que las líneas de volumen constante en la región de vapor sobrecalentado.
Solución
Con la ecuación 7.16,
T ds = du + P dv
Para un proceso a volumen constante,
T ds = du = Cu dT
En consecuencia,
aT]
as
T
u
De la misma manera, con la ecuación 7.17,
T ds = dh = v dp
7 Entropía
21 5
Para un proceso a presión constante,
T ds = dh = cp dT
En consecuencia,
aT]
as p
T
Dado que cp > cv' se concluye que
Ejemplo 7.13
En un sistema cerrado, cierta cantidad de aire realiza el siguiente ciclo termodinámico reversible:
expansión isobárica a Pa desde una temperatura T a hasta una temperatura T b, enfriamiento a volumen constante desde una temperatura T b hasta una temperatura Ta y compresión isotérmica hasta
una presión Pa'
a} Dibuje el diagrama presión-volumen y temperatura-entropía de este ciclo .
b} Muestre el área que representa el calor suministrado al sistema.
c} Muestre el área que representa el calor cedido por el sistema.
Solución
a} Los diagramas presión-volumen y temperatura- entropía aparecen en la figura E.7. 13.
b} El área que está debajo de la curva a- b del diagrama temperatura-entropía representa físicamente el calor suministrado al sistema.
c} El área que queda debajo de la curva b-c-a del diagrama temperatura-entropía representa
físicamente el calor cedido por el sistema.
Ejemplo 7.14
En un sistema cerrado, cierta cantidad de aire realiza el siguiente ciclo reversible 1.
Proceso a-b. Compresión adiabática reversible desde Va hasta Vb'
Proceso b-c. Adición de cierta cantidad de calor q mientras el volumen permanece constante .
Proceso c-d. Expansión adiabática reversible desde v b hasta va '
Proceso d-a. Enfriamiento a volumen constante hasta alcanzar el estado inicial a .
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216
1.¡"'J
Termodinámica
p
b
T
a
b
~
Calor
absorbido
~
Calor
cedido
a
e
(a)
v
(b)
s
Figura E.7.13.
Considere la misma cantidad de aire, pera ahora en el siguiente ciclo reversible 2.
Proceso a-b, Compresión adiabática reversible desde va hasta vb (= vb.).
Proceso b' -c' . Adición a presión constante de la misma cantidad de calor que en el ciclo reversible 1.
Proceso e -d'. Expansión adiabática reversible hasta va (= Vd.).
Proceso d'<a. Enfriamiento a volumen constante hasta alcanzar el estado inicial a.
a) Dibuje un esquema de ambos ciclos en un diagrama presión-volumen
temperatura-entrapía.
b) Tras analizar el diagrama temperatura-entrapía,
eficiencia.
y en un diagrama
indique cuál ciclo termodinámico tiene mayor
EjemJ
A una!
400 De
adiabát
Soluci.
Solución
presión-volumen y temperatura-entrapía
de ambos ciclos aparecen en los
esquemas de la figura E.7.14.
b) Dado que la misma cantidad de calor se suministra a ambos ciclos, el área que se localiza
debajo de la curva b-e del diagrama temperatura-entrapía es igual al área que queda debajo de
la curva b' -«;". De igual manera, el calor disipado por ambos ciclos es físicamente igual al área
que está debajo de la curva d-a para el ciclo 1, y al área que se halla debajo de la curva d':a
Hacien
a) Los diagramas
Según
21 7
7 Entropía
p
e
T
e
b, b' r----~"'"
e'
d'
b, b'
d'
d
a ,
I
I
I
,
a
(a)
I
v
(b)
s
Figura E.7.14.
para el ciclo 2. Puesto que el calor disipado por el ciclo 1 es menor que el calor disipado por el
ciclo 2, se concluye que la eficiencia térmica del primero es mayor que la eficiencia térmica del
segundo. Esto es,
111> 112
Ejemplo 7.15
A una turbina entra vapor a razón de 50 000 kg/ h, a una presión de 30 bar y a una temperatura de
400 oC, y se descarga en el condensador a una presión absoluta de 0 .05 bar. Si el proceso es
adiabático reversible, calcule la potencia desarrollada por la turbina.
Solución
Haciendo un balance de energía,
Según la tabla A.3,
h l = 3230.9 J / g
sI = 6 .9212 J/g K
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218 Termodinámica
Dado que el proceso es isoentrópico, S2 = sI =
6.9212 J/ g K. Por otra parte, puesto que S2 < Sg
(a 0 .05 bar), el vapor a la descarga de la turbina
es húmedo. El proceso de expansión ilustra Ten
la figura E.7.15. Según la tabla A.2, a 0.05 bar,
T
h¡ = 137.82 J / g
h¡g = 2423.7 J/ g
s¡ = 0.4764 J / g K
s¡g = 7.9187 J/ g K
En consecuencia,
s
S2 -
s¡
Xz =--
s¡g
=
6 .9212 - 0 .4764
7.9187
Figura E.7 .15.
= 0.814
Además,
h 2 = h¡ + xh¡g =137.82 + (0.814)(2423.7)
= 2110.71 J / g
Por último,
w= (5 X 10 )(3230.9 - 2110.71) = 15 558 kW
7
3600
Ejemplo 7.16
Un recipiente rígido contiene vapor de agua sobrecalentado a una presión de 13.5 bar y una temperatura de 225 oc. Al agregarle calor, su temperatura aumenta hasta 500 oc.
Mediante el diagrama temperatura-entropía del agua, determine la presión final del vapor y el
cambio de entropía experimentado.
Solución
El proceso isométrico aparece esquemáticamente en la figura E.7 .16. Utilizando el diagrama temp eratura-entropía del agua, se obtienen los siguientes datos:
21 9
7 Entrapía
Estado 2
Estado 1
Pi = 13.5 bar
P2 = 22 bar
TI = 225°C
T2 = 500°C
vI = 160 cm3/g
V2
SI
= 6.65 J/g K
T
500
= 160 cm3/g
s2 = 7.38 J/g K
225
y, a su vez,
S2 - sI
= 7.38 - 6.65 = 0.73 J/g K
s
En consecuencia,
P2 = 22 bar
Figura E. 7 .16.
7.6 Diagrama entalpía-entropía
El diagrama entalpia-entropía, que se conoce también como diagrama de Mollier, es muy útil en el
análisis de plantas de generación de vapor.
En la figura 7.9 se muestra el esquema del diagrama de Mollier para una sustancia pura. La curva
de saturación está formada por la línea ACB, donde C es el punto crítico termodinámico. Líneas
como la 1-2-3 son de presión constante; como la 4-5-6 son isotermas, y las líneas de humedad
constante están representadas por la línea 7-8. Debe observarse que tanto la presión como la tempe-
h
p = cte
Vapor
sobrecalentado
6
peyel
A
s
peFigura 7.9. Diagrama de Mollier para una sustancia pura.
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220 Termodinámica
ratura permanecen constantes en la región húmeda. Así, la temperatura en el punto 4 es igual a la
temperatura de saturación del punto 5 . De esta manera, en la línea 4-5 no sólo permanece constante
la presión sino también la temperatura.
Dado que el proceso ideal seguido por una turbina de vapor es adiabático reversible, el uso del
diagrama de Mollier es conveniente para determinar no sólo la potencia máxima que puede desarrollar
la unidad, sino también la eficiencia con la cual se logra ese objetivo. Para este fin, se define la eficiencia
de una turbina que opera entre límites de presión fijos, como el cociente del trabajo real desarrollado por
la unidad entre el trabajo ideal que desarrollaría si el proceso fuera isoentrópico. Esto es ,
Wreal
llturbina
=Wideal
(7.21)
El diagrama de Mollier también es útil en el proceso de estrangulamiento utilizado para determinar el
título de un vapor húmedo en una tubería. Si la presión de un vapor húmedo se disminuye lo suficiente mientras su entalpía se mantiene constante, el vapor se transforma en vapor sobrecalentado . En el
esquema de la figura 7.10 aparece un calorímetro de estrangulamiento, donde una cantidad pequeña
de vapor se hace pasar primero por una restricción para seguir después a una cámara, donde se hace
una medición de presión y temperatura. Si el calorímetro está aislado térmicamente y los cambios en
Vapor húmedo
---'P1
~~___________
P1' T2 Calorímetro de
'---,----' estrangulamiento
h
s
Figura 7.10. Calorímetro de estrangulamiento para determinar la humedad en un vapor.
221
7 Entropía
energía cinética son despreciables , un balance de energía indica que h l = h2 . Esta igualdad no indica
que el proceso sea isoentálpico sino nada más que la entalpía del vapor en la línea es igual a la entalpía
del vapor en el calonmetro. Obsérvese que la presión en el calorímetro debe ser lo suficientemente
baja para que el vapor se expanda hasta alcanzar sobrecalentamiento.
La utilidad del diagrama de Mollier se pone de manifiesto en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 7.17
Una turbina toma 50 000 kg/ h de vapor a una presión de 30 bar y una temperatura de 400 oC y lo
descarga en un condensador cuya presión es de 0.05 bar. Si el proceso es adiabático reversible,
calcule la potencia desarrollada por la turbina utilizando el diagrama de Mollier.
Solución
Mediante un balance de energía,
Según el diagrama de Mollier, a una presión de 30 bar y a una temperatura de 400 oC,
hl = 3230 J/ g
$1= 6.92 J/ g K
Puesto que el proceso es isoentrópico, se puede trazar una línea vertical hasta intersecar la línea de
presión correspondiente a 0.05 bar, como se ve en el esquema de la figura E. 7 .17. En este punto ,
h2 = 2110 J/g
$2 = $1 = 6 .92 J/g K
En consecuencia,
h
w = (5 x 10 7 )(3230 - 2110 = 15 556 kW
3600
Si se compara el método de solución empleado
aquí con el del ejemplo 7.15, se observa la simplicidad del cálculo al usar el diagrama de Mollier.
Ejemplo 7.18
s
Se transportan por una tubería 30 000 kg/ h de
vapor húmedo a una presión absoluta de 30 bar.
Con el objeto de determinar el título del vapor,
Figura E.7 .1 7 .
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222 Termodinámica
se utiliza un calorímetro de estrangulamiento que
registra los siguientes datos experimentales:
•.,.f!.I".
y, a su v
h
Temperatura del vapor en el calorímetro = 150 DC
Presión del vapor en el calorímetro = 1 bar
Sustituy.
Con los datos anteriores, determine el título del
vapor en la tubería.
Solución
s
Según el diagrama de Mollier, para una presión de
1 bar a una temperatura de 150 DC,h2 = 2776 J/g.
A partir de este punto se puede trazar una línea
horizontal como se ve en la figura E.7.18 hasta
intersecar la línea de presión igual a 30 bar en la
región húmeda. En este último punto se obtiene:
Figura E. 7 .18.
Ejemp
Un sobr
convect
Si e
a una tE
calor su
x = 0.985
Ejemplo 7.19
Una turbina de vapor con una extracción toma
35 000 kg/h de vapor de una caldera a una presión
de 40 bar y una temperatura de 400 De. De esta
cantidad de vapor, se extraen 27 000 kg/h como
vapor saturado seco a una presión de 1.5 bar. El
resto del vapor se descarga en el condensador a una
presión absoluta de 0.05 bar, con un título de 0.895.
Calcule la potencia desarrollada por la unidad .
"
'\
m, --.
W
SOlucié
m3
Medianl
h
Del día,
.1
.
",' "
.••• }.
4
\ •..• e.
Solución
Mediante balances de masa y energía, como se
ve en la figura E.7.19,
Siguien
400 De
w= mI(hI - h2) + (mI - m2)(h2 - h3)
Con el diagrama de Mollier,
J)
hI =3214 J/g
1:
h2 = 2694 J/g
,"r
,r .I
~~'!
s
En con:
Figura E.7.19.
7 Entropía
223
y, a su vez,
h3 = 2307 J/ g
Sustituyendo valores,
w= (35 x 10 )(3214 - 2694)
6
3600
(8 x 10 )(2694- 2307)
6
+--------3600
=
5916 kW
Ejemplo 7.20
Un sobrecalentador es un intercambiador de calor, el cual, mediante cierta adición de calor en forma
convectiva o radiante, transforma, en una caldera, el vapor saturado en vapor sobrecalentado.
Si en un sobrecalentador entra vapor con una presión de 20 bar, un título de 0.99 y se descarga
a una temperatura de 400 oC con una presión esencialmente igual a 20 bar, calcule la cantidad de
calor suministrado por unidad de masa, así como el cambio de entropía que experimenta.
Solución
Mediante un balance de energía,
Del diagrama de Mollier, a una presión de 20 bar y con un título de 99%,
h l = 2781 J/ g
sI = 6.3 J/ g K
Siguiendo la línea de presión constante hasta intersecar la línea correspondiente a la temperatura de
400 oC,
h2 = 3248 J/g
s2 = 7.13 J/g K
En consecuencia,
q = 3248 - 2781 = 467 J/ g
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224
Termodinámica
También
~s = 7.13 - 6.3 = 0.83 J/g K
Ejemplo 7.21
Una turbina cuya eficiencia es de 90% toma 30 000 kg/ h de vapor a una presión de 35 bar y una
temperatura de 400 oC; lo descarga en un condensador con una presión de 37.5 mm Hg (0.05 bar).
Calcule la potencia desarrollada por la unidad.
Solución
Según el diagrama de Mollier, a una presión de 35 bar ya una temperatura de 400 oC,
h 1 = 3222 J/ g
s1 = 6.84 J/g K
De este punto se puede trazar una línea vertical (entropía constante) hasta intersecar la línea de
presión igual a 0.05 bar. En este último punto se obtiene,
h2id = 2086 J/ g
Al aplicar la definición de eficiencia para una turbina,
.
.
Wreal = 11 Wideal
=
11
m(h 1 - h2id )
Sustituyendo valores,
w = (0.9)(30 x 10 )(3222 - 2086)
6
real
3600
~eal = 8520 kW
7.7 Balance general de entropía
Con el fin de evaluar de forma cuantitativa la perfección o imperfección de un proceso, se desarrollarán a continuación expresiones generales para realizar balances de entropía, tal como se hizo con la
energía según la primera ley de la termodinámica.
De acuerdo con la segunda ley, la entropía sólo se conserva en los procesos reversibles, y se crea
o produce en los procesos reales o irreversibles. Para calcular la producción de entropía Sp, considere
primero un sistema cerrado. Analizando la ecuación 7.11 , puede escribirse de la siguiente manera:
7 Entropía 225
llS =
I dQ
T + llS
P
(7 .22)
En el caso de procesos reversibles, la producción de entropía llSp = O y la expresión anterior se
convierte en la ecuación 7.8.
Dado que el calor suministrado al sistema, así como la temperatura de sus límites pueden variar
a 10 largo de toda el área que limita el sistema, la ecuación 7 .22 puede escribirse de la siguiente forma
alterna
(7 .23)
donde el subíndice j se refiere a las distintas áreas que se encuentran a temperatura T¡, por donde hay
una transferencia de calor Q¡ con los alrededores.
Dividiendo entre LH y haciendo que LH ~ O,
(7 .24)
Imagine ahora un sistema abierto en general con k entradas y l salidas de flujo como el que aparece
en la figura 7.11. Puesto que la entropía es una propiedad extensiva,
(7 .25)
La ecuación 7.25 constituye un balance general de entropía. Varios casos particulares son de interés.
Figura 7.11 Sistema abierto con ~ entradas y esalidas .
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226 Termodinámica
a) Para un sistema abierto con una entrada y una salida de flujo , que opera en estado
estable, la ecuación 7 .25 se reduce a
¿(Q
.J
J·IT)
J + m(sI -S2) + 5 p = o
(7.26)
b) Para un sistema abierto con una entrada y una salida de flujo, que opera en estado
estable, y realiza un proceso adiabático, la ecuación 7.25 se reduce a
o bien,
(7 .27)
c) Para un sistema cerrado en general,
(7 .24)
d) Para un sistema cerrado que realiza un proceso adiabático,
.
.
5 p =5 :?: O
(7.28)
Ejemplo 7.22
Considere una barra de cobre aislada, que toma por uno de sus extremos un flujo de calor igual a 100 W
de una región que está a 500 oC, y descarga la misma cantidad de calor por el otro extremo a una
región de 30 oc. Calcule la producción de entropía 5 p '
Solución
Según la ecuación 7.24,
o bien,
Ql
01
+-+5 =0
TI
T2
P
. (1 1) .
01--+ 5 =0
TI
T
p
2
7 Entropía
227
donde
vapor
•
h
Sustituyendo valores,
Ejemplo 7.23
Una turbina de vapor puede operar en condiciones de carga parcial disminuyendo el flujo de masa
a su entrada mediante el empleo de una válvula
de estrangulamiento, como se ve en la figura
E.7.23.
Si el vapor a la salida de la caldera está a 20
bar y 300 oC y la presión en el condensador es de
0 .05 bar
s
Figura E. 7 .23.
a) Determine el trabajo máximo por unidad de masa que puede desarrollar la turbina operando
a plena carga.
b) Si la presión a la entrada de la turbina se disminuye por medio de la válvula hasta un valor de
5 bar, calcule el trabajo máximo por unidad de masa que puede desarrollar la turbina en estas
condiciones y el título del vapor a su descarga.
e) Calcule la producción de entropía del sistema como consecuencia del uso de la válvula.
Solución
a) Mediante un balance de energía,
Según la tabla A.3, a una presión de 20 bar y una temperatura de 300 oC,
hl = 3023.5 J/ g
sI = 6.7664 J / g K
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228
Termodinámica
Según la tabla A.2, a una presión de 0.05 bar,
hf = 137.82 J/ g
hfg = 2423.7 J/ g
sf = 0.4764 J/ g K
Sfg= 7.9187 J/ g K
Puesto que el trabajo por unidad de masa es máximo cuando el proceso de expansión es isoentrópico ,
S3 = sI = 6.7664 J/ g K
En consecuencia,
=
X3
6.7664 - 0.4764 = O 794
7.9187
.
Además,
h3 = hf + X3 hfg
137.82 + (0.794)(2423.7)
= 2062.24 J/ g
=
Entonces,
w = 3023.5 - 2062.24 = 961.26 J/ g
Observe que en este caso la producción de entropía sp en el sistema es igual a cero .
b) Una vez que la válvula de estrangulamiento empieza a operar,
h 2 = h l = 3023.5 J/ g
P2 = 5 bar
Según la tabla A.3, mediante interpolación,
T2 = 280.29 oC
s2 = 7.3876 J/g K
Dado que el proceso de expansión en la turbina es isoentrópico,
También
x = 7.3876- 0.4764 = 0.873
3
7.9187
7 Entropía
229
En consecuencia,
h3 = h¡ + x3h¡g = 137.82 + (0.873){2423.7)
=
2253.71 J / g
Entonces,
w = hz - h3 = 3023.5 - 2253.71 = 769.79 J / g
c) Según la ecuación 7.27,
Sp = Sz - sI = 7.3876 - 6.7664
= 0.6212 J/g K
Como puede observarse, el uso de una válvula de estrangulamiento como medio de control no sólo
disminuye el flujo de masa de vapor a la turbina, disminuye también su capacidad para hacer trabajo,
de 961.26 J/g a 769.79 J/g, al haber una producción de entropía de 0.6212 J/g K en el sistema .
Ejemplo 7.24
Una botella de 0.25 dm 3 está llena de aire a una presión de 1.5 bar y a una temperatura de 25 oC. Al
destaparla en el aire ambiente que se encuentra a una presión de 1 bar y a una temperatura de 25 oC,
escapa parte del aire. Suponiendo que el calor específico de la botella es despreciable
a) Calcule la temperatura del aire que queda en la botella.
b) Calcule la masa de aire que se escapó.
c) Calcule la producción de entropía !1S p '
Solución
a) Mediante un balance de energía,
donde el subíndice 1 se refiere al estado inicial del aire en la botella, el subíndice 2 al estado final y el
subíndice a a las condiciones del aire ambiente.
(mz - m1){u a + Pava) = mz Uz - mI UI
mz{uz - Ua ) + ml{u a - UI) = (mz - ml)RTa
mz cv{Tz - T a) + mI cv{Ta - TI) = {m z - ml)RTa
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230
Termodinámica
Sustituyendo la ecuación de estado de los gases ideales en ml y m 2 y notando que Vl = V2 ,
(1 x 105)(1)(298)
5
(1 x 10 )(0.713) + (1.5 x 105)(0.287)
=----~------------~-----
= 260.60 K = -12.40 oC
b) Para calcular la masa que escapó,
=
(0 .25 x 10-3 ) (1.5 x 10 5
0 .287
298
= 0.104 g
e) Con la ecuación 7.25,
Integrando,
-~m sa + ~Sp = ~S
Esto es,
en donde,
1 x 105)
260.60
7 Entropía
231
Utilizando la ecuación 7 .19 y simplificando,
[T
2
]
= P2 vC p In
RT2
To
-
!?.!....!: In
TI
[po]
PI
_ (1 x 10 5)(0 .25 x 10-3)(1)
(260.60 )
(0.287)(260 .60)
In
298
I
(1.5 x 10 5)(0.25 x 10-3)
(1
(298)
In 1.5)
~Sp =
=
-0.0448 + 0.0510
0.0062 JIK
Ejemplo 7.25
En un intercambiador de calor se desean calentar
30 000 kg/h de agua desde una temperatura de
30 oc hasta una temperatura de 80 oC, usando
100 000 kg/h de gases de combustión a 300 oc.
Calcule la producción de entropía Sp suponiendo que el calor específico de los gases es igual a
1 J/ g K.
LGases
~
Agua
I 1'------------.1
2
~
T
300
Solución
Un balance de energía en el intercambiador de
calor de la figura E.7 .25 indica que
o
300
o bien,
Área
ml(h 2 - h l ) = m3(h 3 - h4 )
mIc po (T 2 - TI) = m3 cp g (T3 - T 4 )
Figura E. 7 .25.
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232
Termodinámica
y, a su vez,
= 300 _ (30 000)(4.18)(80
- 30)
(1)(100 000)
= 237 .3 oC
Según la ecuación 7.25,
de donde,
.
(T
[T
2
4
= mI Cpa In TI ]+ .m3 Cpg In T ]
3
=
6
(30 x 10 )(4.18) In
(~~~j
6
+ (100 x 10 )(1) In
(5¿~33j
6
= 7.564 x 10 J/h K
= 2.101 kWIK
Ejemplo 7.26
La turbina de gas de un turbojet está diseñada para que éste opere a 10 000 m de altura y con una
velocidad de 800 km/h. Como se ve en la figura E.7.26, un flujo de aire de 40 kg/s entra en el difusor
con una velocidad relativa de 800 km/h y se descarga en el compresor con una velocidad prácticamente despreciable. Después el aire se comprime de modo adiabático en el compresor, cuya eficiencia es de 0 .9, con relación de presiones de 4:1. Al pasar por el quemador, el aire y el combustible
añadido experimentan una combustión isobárica y la temperatura aumenta hasta 800 oc para sufrir
luego una expansión adiabática en la turbina. La eficiencia de esta última también es igual a 0.9.
Finalmente, los gases de combustión pasan a través de la tobera para expandirse hasta la presión
atmosférica.
Suponiendo que los procesos en el difusor y la tobera son isoentrópicos, las propiedades termodinámicas de los gases de combustión son iguales a las propiedades del aire, los calores específicos
7 Entropía
Quemador
233
~
5
6
Figura E. 7 .26.
son constantes, el flujo de combustible es despreciable con respecto al del aire y las condiciones
atmosféricas de operación son de 0.29 bar y -44 oc. Calcule,
a) La presión y la temperatura del aire a la descarga del difusor.
b) La presión y la temperatura del aire a la descarga del compresor.
e) La producción de entropía en el compresor.
d) La presión y la temperatura de los gases de combustión a la descarga de la turbina.
e) La producción de entropía en la turbina.
f) La temperatura y la velocidad de los gases a la salida de la tobera.
g) El empuje.
h) Dibuje todos los procesos en un diagrama temperatura-entropía.
Solución
a) Mediante un balance de energía,
o bien,
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234
Termodinámica
En consecuencia,
v~
(222 .22l
T z = TI +-=-44+-----;02cp
(2)(1)(10 3)
= -44 + 24 .7
T z = - 19.3 oC = 253.7 K
Puesto que el proceso es isoentrópico,
TZ] k:1
[
p z = PI TI
253.7) 3.5
pz = 0.29 ( 229
= 0.42 bar
b) Dada la relación de presiones de 4: 1,
P3 = 4pz = (4)(0 .42) = 1.68 bar
Si el proceso de compresión fuera isoentrópico,
= 253.7 (4)OZ86 = 377 .15 K
Para un compresor,
W¡deal
TIc = - -o
Wreal
En consecuencia,
Sustituyendo valores,
T 3 = 253 .7 + 377 . 1~ .; 253 .7
=
390.87 K
7 Entropía
c) Para calcular la producción de entropía en el compresor,
= (40) [ (1) In ( 390.87)
253 .7 - (0.28 7 In (4) ] = 1.37 kWIK
(1)(377.15 - 253.7)
0.9
= 137 .17 J/g
pero
W real, e = W real, t =
137.17 J/g
En consecuencia,
T = T _ Wreal,t
s
4
C
P
= 1073- 137.17 = 935.83 K
1
Para calcular Ps,
Wreal, t
W¡deal t
,
= - - = cp (T4 - TSid )
77t
En consecuencia,
- T _ Wreal, t
T Sid - 4
77 t C p
= 1073- 137.17 = 920.59 K
(0.9 XI)
235
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236
Termodinámica
Además,
TSidl
Ps = P4 ( T )
k:1
4
= (1.68) (
920.59) 3.S
1073
= 0.98 bar
e) Para calcular la producción de entropía en la turbina,
. = m..[c In [TT4 - R In (PS]l
P4
S
p
Sp
= (40)
]
[(1) In (9;g7~~ -(0.287) In (~:~~)]
= 0 .72 kW/K
fJ Dado que el proceso en la tobera es isoentrópico,
k-I
T6 = Ts [ ::]
k
0 .29)°·286
= (935 .83)( 0 .98
= 660.62 K
La velocidad terminal puede determinarse mediante un balance de energía, esto es ,
V6
= [ 2c p (Ts - T 6) )1/2
= [ (2)(1)(935 .83) - (660.62)(1000) )1/2
= 741.90 mis
g) Para calcular el empuje,
F = m(V6 - VI)
= (40)(741.90 - 222.22)
=
20 787 N
7 Entropía
237
h) En la tabla E.7.26 se encuentran las diferentes presiones y temperaturas que hay dentro de la
máquina. El diagrama temperatura-entropía es un esquema de los diferentes procesos realizados.
'---'«tu
roCO
'\.
T
/"
'?>co
().
II~
f).'l-
().
1:
'l-'?>
().
I1
111111"1
s
E. 7 .26 Inciso (h) del problema
Tabla E.7 .26
Estado
1
2
3
4
5
6
p, bar
0.29
0.42
1.68
1.68
0.98
0.29
229.0
253.7
390.87
1073.0
935.83
660.62
T,K
7.8 Resumen
Así como el concepto de energía queda establecido a partir de la primera ley de la termodinámica, la
segunda ley postula la existencia de una propiedad termodinámica extensiva que se conoce como
entropía (del griego €V'rp7tffi7tTl), la cual se define mediante la expresión,
¿\,s=
fdQ I
T rev
Por otra parte, la desigualdad de Clausius establece que para todo ciclo termodinámico,
I. dQ
fT
~O
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238
Termodinámica
donde la igualdad se conserva en los ciclos reversibles (puesto que la entropía es una propiedad) y la
desigualdad en los irreversibles.
De la misma manera, para cualquier proceso
~s~
JTdQ
donde la igualdad se conserva en los procesos reversibles y la desigualdad en los irreversibles. De esta
última expresión se desprende que, para todo sistema aislado,
~Ssistema ~ O
aislado
Esta expresión, que se conoce como principio de incremento de entropía, establece que
La entropía de un sistema aislado aumenta en todos los procesos irreversibles y, en el límite, permanece constante en los procesos reversibles.
La segunda ley establece, a través de este principio , que un proceso dado en un sistema aislado
puede ocurrir hasta que éste adquiera su máximo valor de entropía, manteniendo al mismo tiempo
constante su energía interna, esto es, hasta alcanzar un estado de equilibrio termodinámico. De aquí
que la condición necesaria y suficiente para que un sistema aislado esté en equilibrio termodinámico
es que su entropía sea un máximo, o que en todas las variaciones de estado posibles a partir del
equilibrio, el cambio de entropía sea negativo.
La entropía está relacionada con otras propiedades termodinámicas a través de las ecuaciones
T ds o gibbsianas, es decir:
T ds = du + P dv
también,
T ds = dh - v dp
Estas expresiones son válidas para cualquier proceso de una sustancia pura. Si se trata de un gas ideal
con calores específicos constantes, las ecuaciones T ds pueden integrarse de forma directa entre dos
estados cualesquiera, dando como resultado
7 Entropía
yla
esta
239
Las ecuaciones T ds, al combinar la primera y segunda leyes de la termodinámica, dan origen a
ecuaciones de estado completas; por ejemplo, u = u(s, v), s = s(u, v)...
Al ser la entropía una propiedad termodinámica, puede usarse como coordenada con otras propiedades. Dos diagramas ampliamente conocidos son el de temperatura absoluta-entropía y el de
entalpía-entropía; este último se conoce también como diagrama de Mollier.
Del mismo modo, por ser la entropía una propiedad termodinámica extensiva, la perfección o
imperfección de determinado proceso puede evaluarse de forma cuantitativa por medio de la producción Sp en un balance general de entropía. De forma analítica,
Problemas
7.1
¿Es posible comprimir vapor de agua de forma adiabática desde una presión de 1 bar y una
temperatura de 200°C hasta una presión de 5 bar y una temperatura de 300 °C?
lado
Respuesta:
mpo
aquí
mico
r del
7.2
7.3
no
Demuestre que en el diagrama de Mollier las líneas de presión constante en la región húmeda
son líneas rectas no paralelas.
En un compresor se comprime de manera adiabática cierto flujo de masa de aire desde una
presión de 1 bar y una temperatura de 25°C hasta una presión de 5 bar.
ones
a) Calcule la temperatura mínima que puede adquirir el aire a la descarga del compresor.
b) Calcule el trabajo mínimo por unidad de masa que requiere el compresor.
Respuestas:
a) 199.2 °C
b) 174.20 J/g
ideal
dos
7.4
En una turbina se expande el aire de forma adiabática a una presión de 5 bar y a una temperatura de 1000 °C hasta una presión de 1 bar y una temperatura de 575°C.
a) Calcule el cambio de entropía por unidad de masa que experimenta el aire.
b) ¿Es el proceso adiabático reversible?
e) Calcule la eficiencia de la turbina.
Respuestas:
a) 0.056 J/g K
No
e) 0.90
b)
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240
Termodinámica
7.5
En el cilindro de un motor diesel se comprime de modo adiabático cierta cantidad de aire a 1 bar
y 70 oC hasta que su volumen inicial se reduce 20 veces. Si la temperatura adquirida por el aire
durante la compresión es de 900 oC, calcule el cambio de entropía que experimenta el aire.
Respuesta : 0.02 J / g K
7.6
Una masa m de cierta sustancia cuyo calor específico cp es constante se encuentra a una
temperatura TI . Si se mezcla de forma adiabática y a presión constante con otra cantidad igual
de la misma sustancia, pero a una temperatura T2 , demuestre que el cambio de entropía de
todo el sistema está dado por la expresión
7.7
La carrera de expansión en un motor de combustión interna puede razonablemente simularse
mediante un proceso de expansión politrópico. Si el volumen de la cámara de combustión de
un motor es de 46.4 cm 3 , la presión y la temperatura de los gases en ella son iguales a 60 bar
y 1500 oC, y se expanden con una relación de volúmenes de 8: 1 a lo largo de una trayectoria
reversible cuyo exponente politrópico es igual a 1.3 , calcule
a) El trabajo por unidad de masa desarrollado.
b) El calor disipado por unidad de masa.
e) El cambio de entropía por unidad de masa.
d) Dibuje el proceso de expansión en un diagrama temperatura-entropía. Suponga que
las propiedades de los gases son iguales a las del aire.
Respuestas: a) 787 .22 J/ g
b) 200 .51 J / g
el 0.16 J/ g K
7.8
7.9
Considere el siguiente ciclo termodinámico reversible: compresión isoentrópica desde a hasta b;
adición de calor a volumen constante desde b hasta C; adición de calor a presión constante desde e hasta d; expansión adiabática desde d hasta e, y enfriamiento a volumen constante desde e
hasta a. Dibuje el ciclo en un diagrama presión-volumen y en un diagrama temperatura-entropía,
e indique en este último las áreas que representan el calor absorbido o cedido.
Calcule la cantidad de calor que se requiere para evaporar de forma reversible y a temperatura
constante 1 gramo de agua a una presión de 1 bar.
Respuesta: 2258.0 J
7 Entropía
241
7.10 Vapor de agua es estrangulado desde una presión de 10 bar y un título de 0.8 hasta una
presión de 1 bar. Calcule el cambio de entropía que experimenta el vapor.
Respuesta:
0.85 J/g K
7.11 Un calentador eléctrico de 1.5 kW se coloca en una habitación aislada de 50 m3. Si la temperatura del aire ambiente es de 10°C y la presión atmosférica de 1 bar, calcule el cambio de
entropía que sufre el aire después de 10 minutos de operación del calentador.
e
Respuesta:
3070.28 J/K
7.12 Demuestre que las funciones v = v(s, u) y s = s(h, p) son ecuaciones de estado completas.
7.13 Demuestre que la desigualdad de Clausius es válida para todo ciclo de refrigeración reversible
o irreversible.
7.14 Imagine dos gases ideales diferentes que se encuentran en un recipiente aislado a la misma
presión y temperatura, pero separados en volúmenes iguales por medio de una pared. Cuando
ésta se quita, los gases se mezclan permaneciendo constantes la presión y la temperatura.
Mediante el principio de incremento de entropía puede demostrarse que este proceso de
mezclado es irreversible. Si n es el número total de moles en el recipiente aislado y R la
constante universal de los gases, calcule el cambio total de entropía de este sistema aislado en
función de n y R.
e
e
ar
ia
Respuesta:
nRln (2)
7.15 Demuestre que cualquier proceso reversible puede sustituirse por una serie de procesos
ue
/g
/g
K
b·,
esee
ía,
adiabáticos e isotérmicos reversibles. (Nota: utilice un diagrama presión-volumen y un balance de energía.)
7.16 Muestre que cualquier ciclo reversible puede ser sustituido por una serie de ciclos de Carnot.
(Nota: véase el problema 7.15.)
7.17 Un recipiente rígido y aislado cuyo calor específico es despreciable contiene 1 kg de vapor
saturado seco a una presión de 3 bar y se conecta a través de una válvula con otro recipiente
de volumen aún mayor que contiene vapor saturado seco a una presión de 30 bar. Al abrir la
válvula, cierta cantidad de vapor pasa del recipiente mayor al menor.
a) Especifique el estado termodinámico del vapor al finalizar el proceso de llenado.
b) Calcule la cantidad de vapor que contiene el recipiente pequeño al finalizar el proceso.
e) Calcule la producción de entropía ~Sp'
ra
Respuestas:
J
a) p = 30 bar, T = 310°C
b) 7.29 Kg
e) 2078.9 J/K
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242
Termodinámica
7.18 Derive una expresión para calcular L1s en un gas ideal entre dos estados cualesquiera dados
por {PI' VI) Y {P2' V2}·
7.19 En un sistema cerrado cierta cantidad de aire realiza el siguiente ciclo termodinámico reversible:
1. compresión adiabática desde a hasta b, adición de calor a volumen constante desde b hasta
e, expansión adiabática desde e hasta d y enfriamiento a volumen constante desde d hasta a.
Considere ahora la misma cantidad de aire, pero en el ciclo reversible 2. Compresión
adiabática desde a hasta b', donde b' tiene la misma presión que el estado b del ciclo 1,
adición de calor a presión constante desde b' hasta e ' , donde e' tiene la misma temperatura
que el estado e del ciclo 1, expansión adiabática desde e ' hasta d' y enfriamiento a volumen
constante desde d' hasta a .
a) Dibuje ambos ciclos en un diagrama temperatura-entropía.
b) Tras analizar el diagrama temperatura-entropía, indique cuál ciclo tiene mayor eficien-
cia térmica.
Respuesta : 112 > 111
7.20 En un sistema cerrado se expande de forma adiabática y reversible un gramo de vapor saturado seco a una presión de 10 bar hasta una presión de 1 bar. Calcule
a) El título del vapor al finalizar el proceso.
b) El trabajo desarrollado por el sistema.
Respuestas:
a) 0.872
b) 344.89 J
7 .21 En un sistema cerrado se expanden cien gramos de nitrógeno, inicialmente a una presión de
2 bar y una temperatura de 300 oC hasta una presión de 1 bar. El cambio de entropía de los
alrededores durante el proceso es de 35.48 J/K. Calcule la temperatura mínima que el nitrógeno puede alcanzar durante esta expansión y dibuje el proceso en un diagrama temperaturaentropía.
Respuesta : 61.4 oC
7.22 Con el objeto de aprovechar la energía solar se desea construir un colector de energía sobre el
que pueden incidir aproximadamente 950 W/ m 2 . La temperatura de equilibrio del colector es
7 Entropía
243
de 40 oC cuando la temperatura ambiente es de 20 oc. La energía que incida sobre el colector
puede pasarse a través de una máquina térmica, producir trabajo y descargar una parte del
calor a la atmósfera. Calcule la superficie mínima que debe tener el colector para poder desarrollar una potencia útil de 1 kW.
Respuesta:
16.5 m 2
7.23 Una llanta de 10 dm 3 de volumen contiene aire a una presión absoluta de 1 bar y una temp eratura de 25 oc. La llanta se conecta con un recipiente que contiene aire presurizado a una
presión de 5 bar y una temperatura de 25 oc. Si el proceso de llenado se termina cuando
la presión en la llanta es de 3 bar, calcule
a) La temperatura del aire en la llanta.
b) Calcule la masa de aire que contiene la llanta .
e) Calcule la producción de entropía ~Sp"
Suponga que las pérdidas de calor son despreciables y la llanta es rígida.
Respuestas:
a) 92.49 oc
b) 28.7 g
c) 4.65 J/ K
7.24 ¿Puede disminuir la entropía de un sistema en un proceso irreversible?
Respuesta:
Sí
Con base en lo aprendido en el capítulo , resuelva los siguientes problemas.
7.25 Una válvula recibe vapor a 60 bar y 500 oC y lo descarga a 20 bar. Estime el cambio de
entropía que experimenta el vapor.
7.26 En un sistema cerrado se comprime aire de forma adiabática desde 1 bar y 25 oC hasta que su
volumen se reduce a 1/ 8 de su valor inicial. Calcule la temperatura final del aire suponiendo
que el proceso es sin fricción.
7.27 Se comprime 1 kg/s de aire en un compresor adiabático desde 1 bar y 25 oC, hasta 5 bar y
220 oc.
a) Indique si el proceso es adiabático reversible.
b) Calcule la potencia que requiere el compresor.
Suponga que cp = 1 J / gm oc.
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244
Termodinámica
7.28 Un ciclo termodinámico se compone de los procesos reversibles siguientes: expansión isotérmica
1-2, compresión isoentrópica 2-3 y enfriamiento a presión constante 3-1 . El estado 1 es
vapor saturado seco a 200 oC, el estado 2 tiene una presión absoluta de 1 bar.
a) Dibuje el ciclo en coordenadas de T-s.
b) Calcule el calor agregado por unidad de masa en el proceso 1-2.
7.29 Se enfría vapor de agua a volumen constante desde 40 bar y 300 oC hasta que alcanza una
presión de 10 bar. Calcule el cambio de entropía que experimenta el vapor.
7.30 Considere un compresor adiabático reversible que toma un flujo de aire a 17 oC y 1 bar para
comprimirlo hasta 6 bar. Suponiendo que el calor específico del aire a presión constante es
igual a 1 J / gm oC, determine
a) El trabajo por unidad de masa que requiere el compresor.
b) El cambio de entropía que experimenta el aire.
1.31 Se estrangula aire en una válvula desde 5 bar y 200 oC hasta 1 bar. Calcule
a) La temperatura del aire a la descarga de la válvula (oC).
b) El cambio de entropía que experimenta el aire (J/ gm K).
Referencias
1. Moran, M. J., Shapiro, H. N., Fundamentals of Engineering Thermodynamics, John Wiley,
Nueva York, 1997.
2. Saad, M. A., Thermodynamics, Prentice Hall, 1997.
8
Energía disponible, trabajo máximo
y disponibilidad
La muerte es el último límite
de todas las cosas.
HORACIO
La imposibilidad de convertir el calor en trabajo de forma total y continua quedó plenamente establecida en capítulos anteriores ton la segunda ley de la termodinámica. Asimismo, se estableció el límite
de perfección para toda máquina térmica que opera entre límites de temperatura constantes. Aunque
por lo general la región de alta temperatura puede modificarse hasta donde las propiedades físicas de los
materiales lo permitan, la región de baja temperatura, esto es, la atmósfera, el océano o el agua de un
lago o río no puede modificarse de forma voluntaria y es aproximadamente constante. Así pues, es
común que la atmósfera constituya el límite más bajo de temperatura natural. Es claro que pueden
construirse máquinas térmicas que descarguen calor a regiones más frías que la atmósfera; sin embargo, estas bajas temperaturas se logran mediante una inversión de trabajo.
Puesto que todo proceso es "degenerativo" en cuanto a su capacidad de hacer trabajo, surgen las
incógnitas: ¿qué cantidad del calor suministrado o disipado por un sistema puede convertirse como
máximo en trabajo?, ¿cúál es la cantidad de trabajo máxima que puede obtenerse de la combinación
sistema-atmósfera en determinado estado? Estas incógnitas quedarán ampliamente despejadas en el
curso del presente capítulo.
A propósito, considere un motor de combustión interna. Por cada 100 J de energía que se le
suministra, aproximadamente 20 se disipan como calor en el agua de enfriamiento, 35 de energía los
acarrean los gases de combustión y 15 se disgregan en fricción y calor al ambiente. El resto , es decir
30 J, se convierten en trabajo. Desde el punto de vista energético , las pérdidas por el escape son sin
duda mayores que las del sistema de enfriamiento. Por otra parte, dada la alta temperatura de los
gases de combustión, una fracción significativa de la energía acarreada por ellos puede aún convertirse en trabajo mediante máquinas externamente reversibles, mientras la energía disipada en el agua de
enfriamiento prácticamente no puede recuperarse como trabajo. En consecuencia, es importante
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246 Termodinámica
conocer no sólo las pérdidas en un sistema mediante un balance de energía, sino también la parte que
aún puede convertirse en trabajo .
8.1 Energía disponible
La posibilidad o imposibilidad de que el calor se convierta en trabajo queda resuelta con la segunda
ley de la termodinámica mediante el criterio de energía disponible que se estudiará a continuación.
La energía disponible se define como la fracción del calor suministrado o cedido por un sistema,
que puede convertirse en trabajo mediante máquinas térmicas externamente reversibles. Asimismo, la
energía no disponible se define como la fracción del calor suministrado o cedido por un sistema que
ya no puede convertirse en trabajo ni siquiera por medio de máquinas externamente reversibles.
Si se considera una máquina térmica externamente reversible, por ejemplo, una máquina de
Carnot que opera entre límites de temperatura constantes T y To, siendo este último el valor correspondiente a la temperatura ambiente, se observa que la energía disponible del calor Q suministrado a
la máquina es igual al trabajo W desarrollado por ésta, y la energía no disponible es igual al calor Qo
disipado a la atmósfera puesto que este calor ya no puede convertirse en trabajo.
Suponga a continuación un proceso como el del diagrama temperatura-entropía de la figura
8 .1a. Si el calor suministrado a este sistema más bien se agregara a una serie de máquinas de Carnot,
¿cuál sería el trabajo máximo que podrían desarrollar? Esto es, ¿qué fracción de este calor podría
convertirse en trabajo? La energía disponible en este proceso puede evaluarse utilizando una serie de
máquinas externamente reversibles que operan en paralelo, entre límites de temperatura T y To como
T
T
2
2
To
(a)
s
QU-"--_ _ _ _ _...L.Jb
(b)
Figura 8 . 1 . Determinación de las energías disponible y no disponible.
s
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
247
se ve en la figura 8.1b, donde la temperatura To es igual a la temperatura ambiente. En este caso,
cada máquina externamente reversible toma una cantidad de calor dO, realiza un trabajo dW = (1 To/ 7) dO y disipa una cantidad de calor en la atmósfera dOo = (To / T) dO. Designando Od y Ond a la
energía disponible y no disponible, respectivamente,
(8.1)
donde
Ond = T o
ITdO
(8.2)
(8.3)
En el caso de procesos reversibles, dO = T dS. Por tanto ,
(8.2a)
También
(8.3a)
Obsérvese que en el caso de un proceso reversible, el área que está debajo de la curva 1-2 representa
el calor total suministrado al sistema, el área que se halla debajo de la línea a-b es la energía no
disponible y el área limitada por 1-2-b-a-1 muestra físicamente la energía disponible.
Debe reiterarse que el área que queda debajo de la curva descrita por un proceso irreversible en
un diagrama temperatura-entropía no tiene interpretación física. A pesar de ello, el área que está
debajo de la línea a-b-de temperatura ambiente siempre representa la porción de energía no disponible. A modo de ejemplo, considere el proceso irreversible 1-2 que se muestra en la figura 8.2 . Para
calcular la energía disponible en este proceso, es decir, la fracción del calor que puede convertirse
como máximo en trabajo, basta con calcular la porción mínima que no es convertible en trabajO . Para
cerciorarse de que el trabajo máximo que puede desarrollarse proviene del calor suministrado al sistema
y no de cambios en la energía almacenada por él, suponga el ciclo termodinámico 1-2- O-a-1 de la misma
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248
Termodinámica
T
2
a 1--------1 b
s
Figura 8.2.
figura, donde los procesos 2-b, b-a y a-1 son reversibles. Dado que los procesos 2-b y a-1 son isoentrópicos, el ciclo disipa calor sólo a través del proceso isotérmico /:ra a temperatura ambiente. Puesto que este
calor disipado es la fracción mínima que ya no puede convertirse en trabajo, dicha fracción constituye la
porción de energía no disponible del calor total suministrado, esto es, Qnd = To (52 - 51) Y Qd = Q - Qnd'
Ejemplo 8.1
1
En un intercambiador de calor se calienta cierta cantidad de aire desde una temperatura ambiente de
15 oC hasta 40 oc. Si el fluido empleado para este calentamiento es vapor húmedo a 100 oC,
determine la
a) Energía disponible del vapor a 100 oC,
b) Energía disponible del aire,
c) Pérdida de energía disponible durante el proceso.
Solución
a) Mediante un balance de energía, el calor cedido por el vapor y tomado por el aire es
q = cp (T2 - TI) = (1)(40 - 15) = 25 J/g aire
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
Dado que la temperatura del vapor permanece
constante, como se ve en la figura E.8.1, éste
podría haber cedido el calor directamente a una
máquina de Camot que opera entre temperaturas de 100°C y 15 "C. Así pues,
To
qnd
288
.
T
vapor
100 f-
40 -
= q T = 25 373 = 19.3 J/g aire
u
15 -
asimismo,
qd = q - qnd = 25 - 19.3 = 5.7 J/g
aire
249
7'
I
s
b) El cambio de entropía sufrido por el aire
durante el calentamiento desde 15°C
hasta 40 °C es
S;
T
2
= cp In TI = (1) In
Figura E.B.l
(313)
288
= 0.083 J/g aire K
Como resultado de este cambio de entropía,
tróeste
ela
qnd
= To.ó.s = (288)(0.83) = 23.90 J/g aire
También
Qnd'
qd = q - qnd
ede
°e,
= 25 - 23.9 = 1.10 J/g aire
Si el calor tomado por el aire durante el proceso de calentamiento se cediera a una serie de máquinas
de Camot, la fracción del calor que podría convertirse en trabajo sería igual a 1.10 J/g.
e) Debido al proceso de transferencia de calor, la pérdida de energía disponible es igual a
5.7 - 1.1 = 4.6 J/g. Es decir, 80.7% de la energía disponible se pierde en este proceso de
transferencia de calor a través de una diferencia finita de temperaturas.
Ejemplo 8.2
Considere una caldera que emplea gas natural como combustible. Los gases de combustión se hacen
pasar por el exterior de los tubos que transportan el agua, disminuyendo su temperatura de 1040 a
705 "C. Al mismo tiempo, el agua presurizada a 10 bar se transforma de líquido saturado en vapor
"
11111"1
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250
Termodinámica
saturado seco, como se aprecia en la figura
E.8.2. Suponiendo que la temperatura ambiente es igual a 25 oC, calcule el
a) Cambio de entropía que sufren los gases,
por unidad de masa de agua evaporada.
b) Cambio de entropía por unidad de
masa que sufre el agua.
c) Incremento de energía no disponible
durante el proceso.
T, oc
1040 r
705 r
Vapor de agua
Solución
a) El incremento de entropía que sufren
los gases puede calcularse mediante
la expresión
S,
Figura E.8.2
pero, mediante un balance de energía,
mgC pg (TI - T2) = mQh fg
Así pues, por unidad de masa de agua,
Según la tabla A.2, a una presión de 10 bar,
hfg = 2015.3 J/g
Sfg = 4.4478 J/g
T= 179.91 OC
Sustituyendo valores,
Lls ~
9
2015.3 In ( 978 )
1040-705
1313
=-1 .77 J/ g K
b) El cambio de entropía que sufre el agua puede determinarse a través de la expresión
LlSQ = Sfg = 4.4478 J/ g K
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
251
c) Si el calor cedido por los gases de combustión se suministrara de forma directa a una serie de
máquinas de Carnot, la magnitud del calor no disponible sería
qnd = To fJ.s g = (298)(1.77) = 527.46 J/ g
Por otra parte, si el calor absorbido por el agua se hubiera suministrado a una máquina de Carnot,
qnd = To fJ.s Q = (298)(4.4478) = 1325.44 J / g
Por tanto, el incremento de energía no disponible durante este proceso es igual a
1325.44 - 527.46 = 797.98 J / g.
Ejemplo 8.3
Un recipiente rígido y aislado de 0.1 m 3 de volumen contiene aire a una presión de 2 bar y una
temperatura de 35 oc. Mediante un agitador impulsado por un motor eléctrico se hace trabajo sobre
el sistema, incrementándose la temperatura del aire hasta 60 oc.
Una vez terminado el proceso, determine la fracción máxima de la energía invertida que puede
recuperarse como trabajo. Suponga que la temperatura ambiente es de 35 oc.
Solución
Todo el incremento de energía interna que experimenta el aire durante el calentamiento puede recuperarse como calor enfriando el sistema de 60 oC a 35 oc. Durante este proceso isométrico de
enfriamiento
q = CU (TI - T2 ) = (0 .713) (35 - 60) = 17.83 J/ g
De manera semejante, el cambio de entropía que sufre el aire durante el enfriamiento está dado por
la expresión
(308)
~s = Cu In [ TI]
T = (0.713) In 333
2
= - 0.056 J/g K
Así pues , la magnitud de la energía no disponible es igual a
qnd = To ~ = (308)(0 .056)
=
17.25 J/g
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252
Termodinár.1ica
Asimismo ,
qd =
=
Iql - qnd = 17.83 - 17.25
0 .58 J/g
Por consiguiente, de los 17.83 J/ g de trabajo invertido, sólo puede recuperarse como máximo 0.58 J/ g
a través de una serie de máquinas térmicas externamente reversibles.
Ejemplo 8.4
A una presión de 1 bar y una temperatura de 400 oC se enfría vapor de agua de modo reversible a
presión constante en un sistema cerrado hasta alcanzar un equilibrio térmico con la atmósfera, la cual
se encuentra a 25 oc. Calcule las pérdidas de energía disponible en este proceso de enfriamiento .
Solución
Mediante un balance de energía,
Según la tabla A.3, a una presión de 1 bar y una temperatura de 400 oC,
hl = 3278.2 J/g
sI = 8.5435 J/g K
Por otra parte, de acuerdo con la tabla A.1, a una temperatura de 25 oC,
h 2 :::. h¡ = 104.89 J/g
S2 :::. s¡ = 0.3764 J/g K
Sustituyendo valores,
qnd = To ~ = (298)(8.5435 - 0.3674)
= 2436.48 J/g
Esto es, de la magnitud total del calor disipado por el sistema (3173.31 J/g), una fracción igual a
2436.48 J / g no puede ya recuperarse como trabajo.
Ejemplo 8.5
En un condensador se transforma R-22 a una temperatura de 50 oC, de vapor saturado seco a líquido
saturado. Suponiendo que la temperatura ambiente es igual a 35 oC, calcule la energía disponible.
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
253
Solución
Según la tabla A.4, a una temperatura de 50 oC,
hfg = 153.76 J / g
Sfg = 0.4759 J/ g K
Por consiguiente, la magnitud del calor disponible es igual a
qd = 153.76 - (308)(0.4759)
=
12.73 J / g
Esto es, si el calor cedido por el R-22 durante el proceso de condensación se suministrara de forma
directa a una máquina de Carnot, sólo podrían obtenerse 12.73 J/g de trabajo como máximo en este
proceso.
8.2 Funciones de Helmholtz y de Gibbs
Como se dijo en la sección 7.4, la primera y segunda leyes de la termodinámica dan origen a ecuaciones
de estado completas, como u = u(s, v), h = h(p, s), etc. Estos mismos axiomas dan lugar a otras
ecuaciones de estado completas relacionadas con dos propiedades termodinámicas sumamente importantes: las funciones de Helmholtz y de Gibbs. Estas propiedades están definidas operacionalmente
mediante las expresiones
A = U - TS;
a = u - Ts
(8.4)
G = H - TS; g = h - Ts
(8 .5)
donde A es la función de Helmholtz y G la de Gibbs.
Al comparar las ecuaciones 8.4 y 8.5, se observa que las funciones de Helmholtz y de Gibbs
están relacionadas, esto es,
G = A + pV;
g = a + pv
(8.6)
A la luz de estas dos nuevas propiedades termodinámicas, se desarrollarán a continuación dos expresiones adicionales de gran importancia. Diferenciando la ecuación 8 .4,
da = du - T ds - s dT
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254
Termodinámica
y con la ecuación 7.16,
da = -s dT - p dv
(8.7)
Del mismo modo, diferenciando la ecuación 8.5,
dg = dh - T ds - s dT
y sustituyendo la ecuación 7.17 ,
dg = v dp - s dT
(8 .8)
Por lo anterior, se advierte que las ecuaciones a = a(T, v} y g = g (p, T) constituyen también ecuaciones
de estado completas. De manera similar, las funciones v = v(a, T}, T = T(a, v}, p = p(g, T} y T = T(g, p}.
Analizando la ecuación 8.7, se observa que el incremento negativo en la función de Helmholtz
entre dos estados de un proceso isotérmico reversible es igual al trabajo desarrollado por un sistema
cerrado, sin cambios en energía potencial y cinética. Esto es,
(8 .9)
De la misma manera y mediante la ecuación 8.8, el incremento negativo en la función de Gibbs entre
dos estados de un proceso isotérmico reversible es igual al trabajo desarrollado por un sistema
abierto que opera en estado estable donde los cambios de energía cinética y potencial del fluido son
iguales a cero. Es decir,
(8 .10)
Las funciones de Helmholtz y de Gibbs reciben también el nombre de energías libres de Helmholtz
y de Gibbs.
Ejemplo 8.6
Partiendo de la ecuación de estado completa a = a(T, v}, determine p = p(T, v}, s = s(T, v}, u = u(T, v},
h = h(T, v} y g = g(T, v}.
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
255
Solución
Puesto que la función de Helmholtz es una propiedad termodinámica (función puntal, su diferencial
exacta es
da] dv
da = -da] dT+dT u
dv T
= - s dT - p du
En consecuencia,
p = - -da] = p(T, v)
dv T
da] u=s(T,u)
s=- dT
da] u= u(T, u)
u = a + Ts = a - T dT
h = u + pu = a - Tda]
- - vda]
-
dT
IJ
dv T
= h(T, v)
g = a + pv = a - u -da] = g(T, v)
dv T
Ejemplo 8.7
Seleccionando un estado de referencia, determine una expresión general para la función de Helmholtz
a = a(T, v) , si la sustancia es un gas ideal cuyos calores específicos son constantes.
Solución
Para un gas ideal cuyos calores específicos son constantes,
Asimismo,
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256
Termodinámica
. Sustituyendo estas expresiones en la ecuación 8.4,
a = Uo - Ts o + cu{T - T o) - Cu T In
(JJ -
RT In
(~J
Ejemplo 8.8
Mediante las expresiones desarrolladas en los ejemplos 8 .6 y 8.7, determine la presión p y la entalpía h.
Solución
De acuerdo con las relaciones obtenidas en los ejemplos 8.6 y 8 .7 ,
p
=-~]
dV
RT
T
v
También,
h
= a -
T~] -v da]
dT u
dV T
= Uo - cuTo + cuT + RT
= Uo -
cuTo + cpT + cpTo - cpTo
= Uo + RTo + cp{T - T o)
=
ha + cp{T - To)
Ejemplo 8.9
Demuestre que el incremento en la función de Gibbs que experimenta un gas ideal durante una
expansión isotérmica está dado por la expresión
Solución
Según la ecuación 8.8,
dg = v dp = (~T) dp
Integrando,
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
257
8.3 Trabajo máximo
Tanto la función de Helmholtz como la de Gibbs tienen aplicaciones inmediatas en la determinación
del trabajo máximo posible que un sistema dado puede realizar al experimentar un cambio de estado .
Si el sistema experimenta un proceso entre dos estados mientras intercambia calor sólo con la
atmósfera, el trabajo que desarrolla es máximo solamente si el proceso entre los dos estados es reversible. La validez de lo anterior puede demostrarse con facilidad recurriendo a la segunda ley de la termodinámica. Si algún proceso irreversible entre los dos estados dados pudiera dar como resultado que el
sistema desarrollara una cantidad mayor de trabajo que el proceso reversible, se podría completar un
ciclo termodinámico utilizando el proceso reversible invertido, y el resultado neto sería la conversión
total y continua del calor de la atmósfera en trabajo, violándose así el axioma de Kelvin-Planck.
A continuación se analizará un sistema cerrado que intercambia calor con la atmósfera, la cual se
encuentra a una temperatura To y a una presión po. De acuerdo con la primera ley de la termodinámica,
el trabajo realizado por el sistema puede provenir de la combinación del posible calor absorbido por el
sistema y la posible disminución en la energía almacenada por él. Sin embargo, de acuerdo con la segunda
ley de la termodinámica, el sistema sólo puede pasar por los estados en que se incrementa su entropía más
la de sus alrededores, o, en el límite, permanece constante. Como ya se demostró, el trabajo máximo es
exclusivo de los procesos reversibles, esto es, cuando la entropía del universo permanece constante. Por
otro lado, el calor no puede transferirse reversiblemente de una manera directa entre la atmósfera y el
sistema, puesto que, en general, existe una diferencia finita de temperaturas entre ellos. No obstante, esta
transferencia de calor puede llevarse a cabo de una manera reversible mediante una máquina externamente
reversible interpuesta entre la atmósfera y el sistema, como se aprecia en el esquema de la figura 8 .3. El
trabajo hecho por la combinación del sistema y la máquina térmica es igual a
dW= dQo - dE
Atmósfera a To
dW
Figura 8.3. Determinación del trabajo máximo en un sistema cerrado.
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258 Termodinámica
donde dQo es la magnitud del calor tomado por la máquina térmica y dE es el cambio de energía del
sistema. Analizando la máquina externamente reversible,
dQo = dQ
To
T
donde dQ es la magnitud del calor tomado por el sistema y, al mismo tiempo, cedido por la máquina térmica.
Por otra parte, el cambio de entropía del sistema en este proceso reversible está dado por la expresión
dS= dQ
T
y, puesto que el cambio de entropía del universo debe ser cero para que el trabajo sea máximo ,
dS + dS o = O
En consecuencia,
Sustituyendo esta última expresión en el balance de energía para la combinación sistema-máquina,
dWmáx = - dE + T o dS
= -d(E - ToS)
Esto es,
(8.11)
En ausencia de cambios en la energía potencial y cinética, la ecuación anterior se reduce a
(8 .12)
En caso de que las temperaturas inicial y final del sistema sean iguales a la temperatura ambiente To,
W máx = (U l - T1S l ) - (U 2 - T 1S 2)
= Al - A 2 ,
Ti = T 2 = T o
(8 .13)
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
259
La ecuación 8 .13 indica que el trabajo máximo que puede obtenerse de un sistema cerrado (más
una o varias máquinas externamente reversibles) que intercambian calor con la atmósfera y realiza un
proceso reversible entre dos estados termodinámicos (To, VI) y (To, V2 ) , está dado por la disminución
en la función de Helmholtz Al - A2 del sistema. Si éste produce o requiere trabajo entre los dos
estados, el trabajo real producido o requerido será menor o mayor, respectivamente, que el calculado
por la ecuación 8.13, estableciéndose de nuevo un grado de perfección. Debe quedar muy claro que
la ecuación 8 .13 no implica, de ninguna manera, que todos los estados visitados por el sistema durante
el proceso reversible estén a la temperatura ambiente To, pues sólo basta que la temperatura inicial y
final sean iguales al valor de la atmósfera, es decir, el sistema puede comprimirse o expandirse de
manera adiabática, cambiando así su temperatura e intercambiando después calor con la atmósfera.
Además, parte del trabajo desarrollado por el sistema puede emplearse para desplazar la atmósfera
durante una expansión. Esta fracción de trabajo es por lo menos igual a Po ~ V. En otras palabras, el
.trabajo máximo útil que puede utilizarse para otros fines diferentes del desplazamiento de la atmósfera
queda expresado por
dWmáx = dWmáx - PodV
útil
= -d(E - ToS + PoV)
Es decir,
Wmáx = (El + POVI - TOS I )
útil
(8 .14)
En ausencia de cambios en la energía potencial y cinética, la ecuación anterior se reduce a,
Wmáx = (U I + POVI - TOS I )
útil
(8 .15)
Si tanto la temperatura como la presión inicial y final del sistema son iguales a los valores correspondientes To y Po de la atmósfera, respectivamente,
Wmáx = G I - G 2
útil
(8.16)
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260 Termodinámica
Ahora se analizará un sistema abierto que opera en estado estable, en donde el sistema intercambia
calor únicamente con la atmósfera. Combinando la primera y segunda leyes de la termodinámica,
dw máx = Tods - dh - d(ec) - d(ep)
o bien,
Wmáx = (el + PlVl - (e2 + P2V2 -
ToSI)
(8.17)
TOs 2 )
donde e = u + \12/2 + gz.
Si los cambios en la energía potencial y cinética del fluido son iguales a cero y la temperatura con
que éste entra y sale del sistema es igual al valor correspondiente de la atmósfera,
(8 .18)
La ecuación anterior establece que el trabajo máximo por unidad de masa que un sistema abierto
puede desarrollar, conforme a los postulados descritos, está dado por la disminución en la función de
Gibbs que experimenta el fluido. Si el sistema en cuestión requiere trabajo durante el proceso, la
ecuación 8.18 reportará el trabajo mínimo requerido.
Ejemplo 8.10
En un cilindro se expande de forma reversible e
isotérmica cierta cantidad de vapor saturado seco
a una temperatura de 200 oC hasta que la presión disminuye a 1 bar, como se aprecia en el
esquema de la figura E.8.10. Calcule el trabajo
desarrollado por el sistema.
T
200
Solución
Mediante la ecuación 8 .9,
s
W
Figura E.8.10
f
= P dv = al - a2
261
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
Según la tabla A.1 , a una temperatura de 200 oC,
PI = 15.538 bar
U1 = u g = 2595.3 J/g
51 = 5 g = 6.4323 J/g K
En consecuencia,
al = U1 - T151 = 2595.3 - (473)(6 .4323)
= - 447.18 J/g
De manera similar, según la tabla A.3, a una presión de 1 bar y una temperatura de
200 oC,
3
U2 = 2172 cm /g
h2 = 2875.3 J/g
52 = 7.8343 J/g K
Por tanto,
a2 = (h 2 - P2U2) - T252
a2 = 2875.3 - (0.1)(2172) - (473)(7 .8343)
= -1047 .52 J/g
Sustituyendo valores,
w =a1-a2=-447.18-(-1047.52)=
= 600.34 J/g
Obsérvese la simplicidad del cálculo. De no haber usado la función de Helmholtz, el cálculo hubiera
requerido la integración de pdv entre los dos estados y, por lo tanto, el uso de una ecuación de estado
apropiada o el cálculo de u y Ts.
Ejemplo 8.11
En un sistema cerrado hay cierta cantidad de vapor saturado seco a la temperatura ambiente de 30 oc. El vapor se comprime de forma adiabática hasta alcanzar
una presión de 2 bar, se enfría a presión
constante hasta su saturación y después
se expande de modo adiabático hasta
volver a alcanzar la temperatura ambiente. Puede apreciarse el proceso en el
diagrama temperatura-entropía de la figura E.8.1I.
T
30
s
Figura E.S.II
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262
Termodinámica
Calcule el trabajo mínimo requerido para realizar este proceso si el sistema intercambia calor sólo
con la atmósfera.
Solución
Con la ecuación 8.13,
Wmáx = al - a2 '
Según la tabla A.1, a una temperatura de 30 oC,
PI = 0.04246 bar
U1
= Ug = 2416 .6 J/g
uf = 125.78 J/g
SI
= Sg = 8.4533 J/g K
sf = 0.4369 J/g K
Sfg = 8.0164 J/g K
Entonces,
al = 2416.6 - (303)(8.4533)
= - 144.75 J/g
Según la tabla A.2, a una presión de 2 bar,
Por tanto,
= 7.1271 - 0.4369 = O 835
8.0164
X2
.
entonces,
U2 = uf+ X2Ufg = 125.78
+ (0 .835)(2416.6 - 125.78)
= 2038.61 J/g
Así pues,
a2 = 2038.61 - (303)(7 .1271 )
= -120 .90 J/g
En consecuencia,
Wmáx = al - a2 = -144.75 + 120.90
= -23.85 J/g
263
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
o bien,
Wmín = 23 .85 J/g
Observe que al ser la función de Helmholtz una propiedad termodinámica, el trabajo requerido en
este proceso es equivalente al requerido en la compresión isotérmica a 30 oC directamente desde el
estado 1 hasta el 2.
Ejemplo 8.12
En un sistema cerrado se comprime cierta cantidad de aire de forma adiabática y reversible a presión
y temperatura ambiente hasta reducir su volumen a la mitad. Después se expande de modo isobárico
hasta alcanzar su volumen inicial y, por último, se enfría a volumen constante hasta recuperar su
estado inicial.
a) Calcule el trabajo desarrollado por el sistema en ese ciclo reversible.
b) Si el sistema intercambia calor solamente con la atmósfera, calcule el trabajo máximo desarrollado. Suponga que Po = 1 bar y To = 25 oc.
Solución
a) El ciclo termodinámico aparece en el esquema de la figura E.8.12. Para el proceso adiabát ico
reversible 1-2,
LUl -2 =
fp du = RT
1-~ [[uu~ )k-l - 11
p
= (0 .287)(298) [ 0.4
]
1-1.4
(2) - 1
2
3
~
= -68 J/g
v
Figura E.8.12
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264 Termodinámica
Para el proceso isobárico 2-3,
W2-3 =
Jp du = P2(U3 - U2}
u2
= RT l ( UlJk
U2 ( 1- ~
J
W2-3 = (O.287}(298}(2}1.4(1 - O.5)
= 113 J/g
Por último, para el proceso a volumen constante 3-1,
En consecuencia,
Wneto =
113 - 68 = 45 J /g
b} De acuerdo con la ecuación 8.13,
El resultado no es sorprendente, pues si el sistema intercambia calor únicamente con la atmósfera,
no puede operar de forma cíclica y producir trabajo. De lo contrario, esto constituiría una violación de
la segunda ley de la termodinámica. A continuación se analizará con detalle el ciclo en el caso de que
el sistema intercambie calor sólo con la atmósfera.
Wmáx = (Ul - U2) - TO(Sl - S2} = Ul - U2
1-2
.
= -68 J/g
Wmáx = (U2 - U3) - T O(S2 - S3}
2- 3
= (O.713}(298}(2)04(1 - 2) - (298}(1}ln(O .5) = -74 J/g
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
= (0.713)(298) [(2)1.4 =
265
1J - (298)(0. 713)ln(2)1.4
142 J/g
También,
Wmáx = -68 -74 + 142 =
neto
O
Observe que durante el proceso 2-3 el sistema toma calor de la atmósfera a través de varias bombas
térmicas, y durante el proceso 3-1 realiza trabajo a través de varias máquinas térmicas.
8.4 Disponibilidad
Hemos analizado el trabajo máximo que puede obtenerse de un sistema (más una o varias máquinas
térmicas) al experimentar un cambio de estado mientras intercambia calor sólo con la atmósfera.
Por otro lado , dado un estado termodinámico, el trabajo que puede desarrollar la combinación
sistema-atmósfera es máximo cuando el sistema se relaja hasta alcanzar un equilibrio termodinámico
con la atmósfera. Lo anterior puede verificarse fácilmente mediante el siguiente razonamiento: si el
sistema se encuentra al inicio a una temperatura T diferente de To, puede obtenerse siempre cierta
cantidad de trabajo positivo a través de una máquina térmica que opera entre el sistema y la atmósfera, sea mayor o menor la temperatura del sistema que la temperatura ambiente. En el caso de aproxi. mar se la temperatura del sistema a la temperatura de la atmósfera, el trabajo desarrollado por la
máquina térmica se aproxima a cero. De igual forma, si la presión del sistema difiere del valor correspondiente a la atmósfera, aun cuando las temperaturas de ambos sean iguales, puede obtenerse
cierta cantidad de trabajo permitiendo que el sistema cambie de volumen hasta que las presiones sean
iguales. Cuando tanto el sistema como la atmósfera de referencia están en equilibrio termodinámico,
se dice que el sistema ha alcanzado su estado muerto. Se dice muerto porque ya no puede obtenerse
más trabajo de la combinación sistema-atmósfera. Lo anterior tiene distintas interpretaciones filosóficas e implicaciones que se manifiestan en todas las actividades de la vida humana.
De lo anterior se desprende que todo sistema cuyo estado termodinámico difiera del estado
muerto tiene capacidad de realizar trabajo, esto es, disponibilidad; este trabajo es máximo si el
sistema se relaja a través de un proceso ideal que lo lleve al estado muerto.
Así pues, la disponibilidad por unidad de masa asociada con un sistema cerrado en determinado
estado se define como el trabajo máximo posible que la combinación sistema-atmósfera puede realizar, menos el trabajo hecho por el sistema para desplazar la atmósfera. Esto es,
(8.19)
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266 Termodinámica
o, multiplicando por la masa del sistema,
'1' = (E + PoV - ToS) - (Ea + paVo - ToSo)
(8 .20)
donde el subíndice O se refiere a las propiedades del sistema en el estado muerto.
De lo anterior se concluye que \1' ~ O en todos los estados termodinámicos, ya que siempre puede
obtenerse trabajo útil de un sistema que se encuentra en un estado diferente del estado muerto. Observe
que, como se indicó con anterioridad, el trabajo máximo útil que puede obtenerse de un sistema cerrado
al intercambiar calor con la atmósfera y experimentar un proceso entre dos estados es
Wmáx = -/),'1'= '1'1 - '1'2
útil
= (El + POV l - TOS l )
- (E 2 + POV2 - T oS2)
(8.14)
En consecuencia,
Wútil ~ -Ll\l'
La disponibilidad \1' es una propiedad compuesta, ya que depende no sólo del estado del sistema,
sino también del de la atmósfera de referencia. Por otra parte, la disponibilidad solamente puede
incrementarse haciendo trabajo sobre el sistema o suministrándole calor por medio de otro sistema
que está a temperatura diferente de la de la atmósfera.
El trabajo máximo desarrollado por un sistema cerrado que intercambia calor sólo con la atmósfera
y realiza un proceso entre dos estados está relacionado con la disponibilidad a través de la expresión
Wmáx = -/).'1' + Po /).V
= (El - TOS l ) - (E 2 - T oS 2 )
(8 .11)
De manera similar, la disponibilidad por unidad de masa de un fluido en una corriente corresponde al
trabajo máximo que puede obtenerse de él, al relajarse la masa unitaria desde el estado inicial hasta su
estado muerto, es decir, en estado estable, mientras intercambia calor solamente con la atmósfera. Si
denotamos con
la disponibilidad por unidad de masa,
q¡
q¡ = (e + pv - Tos) - (eo + Povo - Toso)
=
e + pv - Tos - go
(8 .21)
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
267
donde e = u + \/2/ 2 + gz.
Introduciendo la función de Darrieus, esto es,
b = h - Tos ,
V2
\}JI = b + 2
+ gz - bo
(8.2 1a)
"'1
Así pues, la disponibilidad
representa la capacidad de realizar trabajo que tiene un fluid o en
cualquier estado, antes de ser relajado hasta su estado muerto en un sistema que opera en estado
estable. Debe advertirse que en el estado muerto el fluido se encuentra en equilibrio térmico y mecánico con la atmósfera de referencia, esto es, en igualdad de temperatura y presión y, además, en
equilibrio químico, lo que implica ausencia de reacciones y difusión . Asimismo , en el estado muerto el
fluido tiene una velocidad igual a cero y energía potencial mínima.
El trabajo máximo entre dos estados que un sistema abierto puede desarrollar operando en
estado estable e intercambiando calor sólo con la atmósfera se expresa así
(8.22)
"'1
La disponibilidad
sólo puede incrementarse al hacer trabajo sobre el fluido o suministrándole calor
por medio de otro sistema que se encuentre a una temperatura diferente de la de la atmósfera .
Ejemplo 8.13
Una chimenea descarga 200 000 kg/h de gases de combustión a una temperatura de 225 oC y una
presión de 1 bar, con una velocidad de 6 mi s. Si el calor específico de los gases a presión constante es
igual a 1.3 J/ g K, la altura de la chimenea es de 25 m y las condiciones atmosféricas son de 1 bar y 25 oC,
calcule la potencia máxima que podría extraerse de los gases de combustión liberados por la chimenea.
Solución
Con la ecuación 8 .21 ,
Wmáx = \}JI
=
v2
=h+2
+ gz - go
V2
(h - ho) - T o (s - So) + 2
+ gz
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268 Termodinámica
Sustituyendo valores,
Wmáx = (1.3) (225 -
25) - (298) (1.3) In ( 498)
298
(6)2
(9 .8)(25)
+ (2)(1000) + _. 1000-
= 26000 - 198 .93 + 0 .018 + 0.245
= 61 33 J / g
Por tanto,
(61.33)(2 x 108)
3600
= 3407 .22 x 103 W
= 3407.22 kW
Wmáx =
Ejemplo 8. 14
Una turbina toma vapor a una presión de 10 bar y una temperatura de 200 oC, y lo descarga en el
condensador a una presión de 0.05 bar. Si el proceso es adiabático reversible, calcule el trabajo
máximo por unidad de masa que desarrolla la turbina. Suponga que la temperatura ambiente es de
15 oc.
Solución
Puesto que el sistema no intercambia calor ni con la atmósfera ni con ningún otro sistema,
Según la tabla A.3, a una presión de 10 bar y a una temperatura de 200 oC,
hl
SI
= 2827.9 J/g
= 6.6940 J/g K
Según la tabla A.2, a una presión de 0.05 bar,
hf = 137 .82 J/g
h fg = 2423 .7 J/g
s¡ = 0.4764 J/ g K
Sfg =
7.9187 J/ g K
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
269
Para determinar la entalpía del vapor a la descarga de la turbina,
= 6.6940 - 0.4764 = 0785
7.9187
X2
.
y así,
h2 = 137.82 + (0.785)(2423.7)
= 2040.42 J/g
Por tanto,
Wmáx = 2827.9 - 2040.42 = 787.48 J/g
Ejemplo 8.1 S
Estime el trabajo máximo posible por unidad de masa que puede obtenerse del vapor húmedo descargado por la turbina del ejemplo anterior, suponiendo que la velocidad y energía potencial del vapor a
la descarga de la turbina son despreciables.
Solución
Según la ecuación 8.21a,
Wmáx = b - bo = (h -
ho) - To(s - so)
Según los resultados del ejemplo 8.14,
h = 2040.42 J/g
s = 6.6940 J/g K
De la misma manera, según la tabla Al, a una temperatura de 15 oC,
ho'= h¡ = 62.99 J/g
So .= s¡ = 0.2245 J/g K
Sustituyendo valores,
Wmáx = (2040.42 - 62.99) - (288){6.6940 - 0.2245)
= 114.21 J/g
Ejemplo 8.16
Mediante un compresor que disipa calor hacia la atmósfera, la cual se encuentra a 25 oC, se comprime
cierto flujo de masa de aire desde una presión de 1 bar y una temperatura de 40 oC, hasta una
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270 Termodinámica
presión de 4 bar y una temperatura de 60 oc. Calcule el trabajo mínimo por unidad de masa que se
requiere para lograr esta compresión.
Solución
Mediante la ecuación 8.22 ,
= (1)(40 - 69) - (298)
=
[(1) In (~;~) - 0 .287 In (i) ]
-120.13 J/g
Es decir,
W min =
120.13 J/g
8.5 Balance de disponibilidad
Por ser la disponibilidad una propiedad, su balance es muy importante en el análisis de procesos
termodinámicos. Debe recordarse que la disponibilidad es un índice cuantitativo de la capacidad para
realizar trabajo que tiene un sistema; en consecuencia, debe conservarse al máximo en el diseño de
procesos . Así, el aire, el océano o el agua de un lago son fuentes de energía infinitamente grandes,
pero de disponibilidad hasta cierto punto pequeña. A continuación se desarrollarán expresiones
generales para realizar balances de disponibilidad .
Considere primero un sistema cerrado. Mediante la ecuación 8.20 ,
\!' = E + Po V - T o S
Si se suministra al sisten:a cerrado un flujo neto de calor Ó desde otro sistema y éste realiza una
cantidad neta de trabajo W, la ecuación anterior puede modificarse con la primera y segunda leyes de
la termodinámica; esto es,
Asimismo ,
.
.
.
S = ¿j (Q/ 1j) + Sp
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
271
En consecuencia,
.
..
..
tp = ~j (1 - To/ ~)Qj - (W - Po V) - ToS p
(8.23)
La ecuación 8.23 constituye un balance general de disponibilidad para un sistema cerrado . En esta
expresión se observa que la disponibilidad tp sólo puede incrementarse al suministrar calor al sistema
desde otro sistema que esté d temperatura diferente de la atmósfera, o al hacer trabajo sobre el
sistema.
El último término del mie'nbro derecho de la ecuación 8.23 representa físicamente la pérdida de
disponibilidad. Esto es, la disponibilidad siempre se destruye en todos los procesos reales.
Si denotamos con 'l'p la producción de disponibilidad, la ecuación 8 .23 se transforma en
.
...
.
tp = ~j (1 - To/~)Qj - (W - Po V) + 'l'p
(8 .24)
Puesto que la entropía de un sistema aislado siempre se incrementa en todos los procesos rea!es o
irreversibles y se mantiene constante en los procesos reversibles, la producción de disponibilidad ~ es
siempre negativa en todos los procesos reales y se mantiene constante en los procesos reversibles. Así,
el trabajo máximo que un sistema cerrado puede desarrollar al realizar un proceso entre dos estados e
intercambiar calor con otro sistema y la atmósfera, queda determinado mediante la siguiente expresión
(8 .25)
Considere a continuación un sistema abierto en general, con k entradas y l salidas de flujo . Para este
sistema
.
.
.
tp = ~j (1 - To / ~)Qj - (W - Po V)
.
-2
.
- ~c me{b - bo + V /2 + gz)c + 'l'p
La ecuación anterior constituye un balance general de disponibilidad ..
(8 .26)
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272
Termodinámica
Ejemplo 8.17
Una turbina recibe vapor a una presión de 10 bar y una temperatura de 200 oC, y lo descarga en el
condensador a una presión de 0.05 bar. Si el trabajo desarrollado por la turbina es de 629 J/g y la
temperatura ambiente es de 15 oC,
a} Determine la eficiencia de la turbina.
b} Calcule las pérdidas de disponibilidad en el proceso.
Solución
a} Según la tabla A.3, a una presión de 10 bar y una temperatura de 200 oC,
h l = 2827.9 J/g
SI = 6.6940 J/g K
Según la tabla A.2, a una presión de 0.05 bar,
hf = 137.82 J/g
h fg = 2423.7 J/g
sf = 0.4764 J/g K
Sfg= 7.9187 J/g K
T = 32.88 oC
Si el proceso de expansión hasta la presión del condensador fuera isoentrópico ,
I
- 6 .6940 - 0.4764 _
Xz s ~c -
7.9187
-0.79
También
hzls ~ e = 137.82 + (0.79)(2423.7)
= 2040 .9 J/g
En consecuencia,
wl ~ e = 2827.9 - 2040.9 = 787 J/g
s
Además ,
1] = 629/787 = 0.8
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
273
b) La pérdida de disponibilidad puede evaluarse mediante un balance de disponibilidad o un
balance de entropía. Por ambos métodos,
La entropía s2 del vapor a la descarga de la turbina puede determinarse mediante un balance de
energía. Esto es,
h2 = h 1 - W = 2827.9 - 629 = 2198.9 J/g
Asimismo,
X2 =
2198.9 - 137.82 = 0.85
2423 .7
Por tanto,
S2 = 0.4764 + (0.85)(7.9187)
= 7.21 J/g K
En consecuencia,
L1\}'p' = (288)(6.6940 -7.21)
= -149 J/g
Es decir, la pérdida de disponibilidad en el proceso es igual a 149 J/g.
Los resultados anteriores requieren una interpretación física a la luz de las cuestiones antes
presentadas. Si la turbina intercambia calor con la atmósfera, mediante la ecuación 8.26 se tendrá
Wmáx
= b1 - b2 = (h 1 - h2 ) - To(Sl - S2)
= 629 - (-149) = 778 J/g
Esto es, el trabajo máximo que la turbina podría
desarrollar al expandirse el vapor entre los estados
1 y 2 es igual a 778 J/g. De esta cantidad, sólo se
obtienen 629 J/g.
De manera alterna, se logra esta cantidad máxima de trabajo, como se observa en la figura E.8.17,
mediante una expansión adiabática reversible desde el estado inicial hasta la presión del condensador, calentando después el vapor húmedo a presión y temperatura constante hasta alcanzar el estado final, mediante una bomba térmica reversible
que opera entre el sistema y la atmósfera. Durante
h
s
Figura E.S.I 7
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274
Termodinámica
la expansión adiabática reversible la turbina puede realizar 787 J / g. El trabajo mínimo requerido para
el calentamiento entre el estado a y el estado 2 es
Wm1n =
(T2 - TO)(S2 - sal
(305.88 - 288)(7.21 - 6.6940)
= 9 J/ g
=
En consecuencia, para el proceso de expansión entre los estados 1 y 2, se tiene
Wmáx =
787 - 9 = 778 J/g
Ejemplo 8.18
Se hace pasar vapor a una presión de 20 bar y una temperatura de 300 oC a través de una válvula de
estrangulamiento. Si la presión en la descarga de la válvula es de 5 bar, estime las pérdidas de diSponibilidad en el proceso. Suponga que la temperatura ambiente es igual a 15 oc.
Solución
Con la ecuación 8.26,
L1\fp = b2 - bl = - TO(S2 - SI)
Según la tabla A.3 , a una presión de 20 bar y una temperatura de 300 oC,
h l = 3023.5 J/g
SI = 6 .7664 J/g K
Según la misma tabla A.3, a una presión de 5 bar y
una entalpía de 3023.5 J/g,
a
h
/
S2 = 7.3876 J/g K
T 2 = 280.29 oC
/'
/
//
//
A
/1
1
1
1
1
1
Sustituyendo valores se obtiene,
L1~ = (288)(7.3876 - 6.7664)
=
-178 .91 J/g
Nótese que el proceso de estrangulamiento es altamente reversible, pues en este caso se destruyen
178.91 J/ g de disponibilidad. Esta misma pérdida
podría obtenerse como trabajo si el proceso en
cuestión fuera reversible. Para mayor claridad, considere la figura E.8 .18 y suponga que el vapor se
s
Figura E.8.18
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
275
calienta de forma isobárica de 1 a a utilizando una serie de bombas térmicas externamente reversibles,
y luego se expande de forma adiabática y reversible hasta el estado 2 mediante una turbina. El lector
puede verificar que el trabajo requerido por las bombas térmicas es igual a 231.31 J / g, mientras que
el trabajo desarrollado por la turbina es igual a 410.22 J/g. Es decir, el trabajo máximo neto que se
obtendría sería igual a 410.22 - 231.31 = 178.91 J/g, que es el mismo valor obtenido en el proceso
de estrangulamiento entre los estados 1 y 2.
Ejemplo 8.19
Un recipiente rígido y aislado, de calor específico despreciable, contiene 10 g de aire a una presión de
10 bar y una temperatura de 100 oc. Si el aire escapa a través de una válvula hasta alcanzar la presión
atmosférica de 1 bar, calcule las pérdidas de disponibilidad en el proceso. Suponga que la temperatura ambiente es de 25 oc.
Solución
Mediante un balance de energía,
- (mI - m2)h o = m2u2 - mIuI
y para un gas ideal,
mIcu(TI - T o) + m2cu(To - T 2) = (mI - m2)RTo
Puesto que el volumen del recipiente es constante,
Po TI
m2 = mI PI T
2
Entonces,
Sustituyendo valores,
0.713 (373 - 298)
+ 0.713 ( / 0) (3+ 3) (298 - T 2) = (0. 287)(298)- ( 11 ) (3+ 3) (0.287)(298)
2
0
2
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276 Termodinámica
Al resolver se obtiene
T 2 = 189.55 K = - 83.45 oC
y así,
m2 = 1.97 g
Mediante un balanc~ de disponibilidad tenemos
Sustituyendo valores se obtiene
ll\}lp = (1.97)(298)(1) In
Ci:.~5) + (10)(298) [(1) In ( ~~~) - (0.287) In (\0)]
= -1032.23 J
Adviértase que se obtiene el mismo resultado mediante un balance de entropía.
8.6 Resumen
La posibilidad o imposibilidad de convertir el calor en trabajo queda resuelta a través de la segunda ley
de la termodinámica, mediante el criterio de energía disponible y energía no disponible.
La energía disponible se define como la fracción del calor que suministra o cede un sistema, y
puede convertirse en trabajo mediante máquinas térmicas externamente reversibles. De manera análoga, la energía no disponible se define como la fracción del calor que suministra o cede un sistema, y
ya no puede convertirse en trabajo ni por medio de máquinas externamente reversibles. En general,
la atmósfera constituye el límite más bajo de temperatura a que puede descargar calor una máquina
térmica. Así pues,
donde
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
277
Las funciones de Helmholtz y de Gibbs se definen de manera operacional mediante las siguientes
expresiones
A = U - TS; a '= u - Ts
G = H - TS; g = h - Ts
Donde A es la función de Helmholtz y G la de Gibbs. Estas propiedades se relacionan entre sí a
través de la expresión
G = A + pV; g = a - pv
Dos expre siones de gran importancia son
da ~ -s dT - p dv
y
dg = v dp - s dT
De estas ecuaciones se desprende que las funciones a = a(T, v) y g = g(p, 7) son ecuaciones de estado
completas. De manera similar, el incremento negativo en la función de Helmholtz entre dos estados
de un proceso isotérmico reversible es igual al trabajo desarrollado por un sistema cerrado, sin
cambios en la energía potencial y cinética. Es decir,
Wrev/T =C= fpdv/ T = c=al-a2
De forma análoga, el incremento negativo en la función de Gibbs entre dos estados de un proceso
isotérmico reversible es igual al trabajo desarrollado por un sistema abierto que opera en estado
estable, donde los cambios en la energía cinética y potencial del fluido son iguales a cero. Esto es,
Las funciones de Helmholtz y de Gibbs son también muy conocidas por el nombre de energías libres
de Helmholtz y de Gibbs.
El trabajo máximo que puede obtenerse de un sistema cerrado que intercambia calor sólo con la
atmósfera y realiza un proceso reversible entre dos estados termodinámicos se calcula mediante
la expresión
y, en ausencia de cambios en la energía potencial y cinética,
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278 Termodinámica
En caso de ser iguales las temperaturas inicial y final del sistema a la temperatura ambiente To,
De igual manera, el trabajo máximo útil que puede obtenerse de un sistema cerrado que intercambia
calor sólo con la atmósfera y realiza un proceso reversible entre dos estados termodinámicos puede
hallarse mediante la expresión
Wmáx = (El + POVI - TOS I ) - (E 2 + POV 2 - T oS 2)
útil
y, en ausencia de cambios en la energía potencial y cinética,
Wmáx = (U I + POVI - TOS I ) - (U2 + POV2 - ToS 2)
útil
En caso de ser iguales la temperatura y presión iniciales y finales del sistema a los valores correspondientes To y Po de la atmósfera, respectivamente,
Wmáx = G I - G2;
útil
TI = T 2 = To, PI = P2 = Po
En el caso de un sistema abierto que opera en estado estable, en donde el sistema sólo intercambia
calor con la atmósfera,
En caso de que los cambios en la energía potencial y cinética del fluido sean iguales a cero y la temperatura con que ese fluido entra y sale del sistema sea igual al valor correspondiente de la atmósfera,
W má x = gl -
g2;
TI = T 2 = To
Dado un estado termodinámico, el trabajo que puede desarrollar la combinación sistema-atmósfera
es máximo cuando el sistema se relaja de forma reversible hasta alcanzar equilibrio termodinámico
con la atmósfera. Cuando tanto el sistema como la atmósfera de referencia están en equilibrio termodinámico, se dice que el sistema ha alcanzado su estado muerto. Se dice muerto porque ya no puede
obtenerse más trabajo de la combinación sistema-atmósfera. Por consiguiente, todo sistema cuyo
estado termodinámico difiera del estado muerto tiene capacidad de realizar trabajo, esto es, disponibilidad, y este trabajo es máximo si el sistema se relaja a través de un proceso ideal que lo lleve al
estado muerto.
La disponibilidad por unidad de masa asociada con un sistema cerrado en un estado dado se define
como el trabajo máximo útil que puede obtenerse al relajar el sistema hasta su estado muerto. Esto es,
q¡ = (e + pov - Tos) - (eo + povo + Toso)
o, multiplicando por la masa del sistema,
\}' = (E + PoV - ToS) - (Eo + PoVo - ToSo)
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
279
donde el subíndice O se refiere a las propiedades del sistema en el estado muerto. En términos de
disponibilidad, el trabajo máximo útil en un sistema cerrado es
Wmáx = -L1'Y
útil
y el trabajo máximo entre dos estados
Wmáx = -L1 'Y + Po L1V
Si el sistema toma calor proveniente de otro sistema, además de intercambiar calor con la atmósfera,
Wmáx = -L1~ + Lj (1 - T o/1j}Qj
útil
Asimismo,
W máx
= - ~'Y + Po~V + ~)1- To/Tj}Qj
útil
La disponibilidad por unidad de masa de un fluido en una corriente corresponde al trabajo máximo
que puede obtenerse de él, al relajarse la masa unitaria desde el estado inicial hasta su estado muerto ,
en estado estable, mientras intercambia calor sólo con la atmósfera. Es decir,
V2
'Y f = b + 2 + gz - bo
donde b es la función de Darrieus, esto es, b = h - Tos.
El trabajo máximo entre dos estados que puede desarrollar un sistema abierto que opera en
estado estable e intercambia calor sólo con la atmósfera está dado por la expresión
Un balance general de disponibilidad puede realizarse mediante la expresión
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280
Termodinámica
8.6
Problemas
8.1
Se evapora el refrigerante 134a desde líquido saturado hasta vapor saturado seco, a una
temperatura de 60°C, al recibir el calor de un flujo de aire que se encuentra a presión atmosférica y que disminuye su temperatura desde 100 hasta 80 "C. Suponiendo que la temperatura
ambiente es de 25°C,
a) Determine la energía disponible que tiene el calor cedido por el aire.
b) Si el calor tomado por el refrigerante 134a fuera absorbido por una máquina térmica,
¿qué fracción podría convertirse en trabajo?
8.7
¿
E
Respuestas:
II1
8.2
a) 24.95 J/g de 134a
b) 14.65 J/g de 134a
La temperatura de los gases de combustión en una caldera es aproximadamente de 1000 "C.
Si el vapor húmedo está a 200°C en los tubos de la caldera, determine el porcentaje del calor
cedido por los gases que puede convertirse en trabajo. Suponga que la temperatura ambiente
es igual a 25°C.
Respuesta:
8.3
y
8.8
[
1
76.59%
Considere un intercambiador de calor con flujos en paralelo. El fluido caliente entra a una
temperatura Tel Ysale a una temperatura T C2' De manera análoga, el fluido frío entra a una temperatura
y sale a una temperatura T¡2' Si el flujo de masa
y el calor específico cp de
ambos fluidos es el mismo, determine la pérdida de disponibilidad en el proceso. Suponga que
la temperatura de la atmósfera es igual aTo.
m
Th
8.9 S
Respuesta:
8.4
Demuestre que
8.10 L
g]
aT
a
1
g = h + T-
p
8.5
~¡
En un sistema cerrado cierta cantidad de aire que está originalmente a una presión de 1 bar y
temperatura de 25°C, se comprime hasta una presión de 5 bar y una temperatura de 60 0C.
Determine el trabajo mínimo por unidad de masa requerido para lograr esta compresión, si el
sistema intercambia calor sólo con la atmósfera. Suponga que la temperatura ambiente es igual
a 25°C.
Respuesta:
129.5 J/g
8.11 O
c¡
8.12 E
a
c¡
ig
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
8.6
281
En un recipiente rígido hay diez gramos de aire a una presión de 10 bar y una temperatura de
150°C. Si el recipiente se enfría en la atmósfera hasta la temperatura ambiente de 25°C,
na
s-
a) Calcule el cambio de entropía que experimenta el aire.
b) Determine la magnitud de la energía no disponible.
ra
Respuestas:
a) -2.50 J/K
b) 744.25 J
III~I
1111/1
,11
IUI.I
a,
8.7
4a
4a
¿Cuál es el trabajo máximo que puede obtenerse de los gases de combustión de un motor si se
encuentran a 250°C y 1 bar? Suponga que su calor específico es igual a 1 J/g K, y la presión
y temperatura ambiente son de 1 bar y 25°C, respectivamente.
Respuesta:
C.
lor
8.8
nte
Respuesta:
na
m-
/1
/2
Demuestre que la función g = g(p, T) es una ecuación de estado completa, determinando u(p,
T), s(p, T), h(p, T), u(p, T) y a(p, T).
9%
de
que
57.38 J/g
8.9
u = dg/dp)T
s =-dg/dT)p
h=g-Tdg/dT)p
u = g - T dg/dT)p
a = g - p dg/dp)y
- p dg/dp)T
Seleccione un estado de referencia y demuestre que para un gas ideal con calores específicos
constantes, la función de Gibbs es igual a
9 ="0+ RTo - cplT - Tol -cp Tln(;' )+ RTln( :0)- t-¿
8.10 Una máquina de Carnot absorbe 1000 J de calor al operar entre límites de temperatura de
1000 K Y 300 K. Si la temperatura ambiente es de 300 K, calcule la energía disponible.
Respuesta:
700 J
ar y
0e.
si el
gual
J/g
8.11 Demuestre que todos los procesos reversibles entre dos estados dados producen la misma
cantidad de trabajo si el sistema en cuestión intercambia calor sólo con la atmósfera.
8.12 En un precalentador se calienta agua a 10 bar y 40°C mezclándola con vapor saturado seco
a 10 bar. Si a la descarga del precalentador salen 10 000 kg/h de agua a 10 bar y 120°C,
calcule la pérdida de disponibilidad en el proceso. Suponga que la temperatura ambiente es
igual a 25°C y el proceso es adiabático.
¡,,~'''I
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282
Termodinámica
8.13 Una cierta masa de aire se expande de forma isotérmica y reversible de 5 bar y 500 K a 1 bar y
500 K intercambiando calor sólo con la atmósfera. Si la temperatura del ambiente ~s de 300 K,
calcule el trabajo máximo por unidad de masa que puede obtenerse.
8.14 Un cilindro contiene aire comprimido a 10 bar y 300 K. Calcule la disponibilidad por unidad
de masa que tiene el aire suponiendo que la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar
y 27 oC, respectivamente.
8.15 Se estrangula vapor de agua desde una presión de 10 bar y un título de 0 .8 hasta una presión
de 1 bar. Si la temperatura ambiente es igual a 25 oC, calcule la pérdida de disponibilidad por
unidad de masa en el proceso.
8.16 Una turbina adiabática recibe un gas (cp = 1.09 kJ/kg K, R = 252 J/kg K) a 7 bar y 1000 oC
y 10 descarga a 1.5 bar y 665 oc. La temperatura de los alrededores es de 25 oc.
a) Calcule el trabajo real.
b) Determine el trabajo máximo que podría obtenerse si el proceso hubiera sido adiabático
reversible entre las mismas presiones.
e) Dibuje para los incisos (a) y (b) el proceso correspondiente en coordenadas temperatura-entropía.
8.17 Una máquina de Camot absorbe 100 J de calor al operar entre límites de temperatura igual a
800 y 298 K. Si la temperatura ambiente es de 298 K, calcule la fracción del calor tomado por
la máquina que puede convertirse en trabajo.
Respuesta:
62.75 J
8.18 Imagine un intercambiador de calor en donde entran 7.5 kg/ s de gases de combustión
(e p = 1.25 kJ/ kg K) a 1350 oC y 1 bar, y salen a 790 oC y 1 bar. En dirección opuesta, entran
7 kg/s de aire (e p = 1 kJ/ kg K) a 205 oC y 1 bar, y se descargan a una temperatura mayor e
igual presión. Si la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25 oC, calcule
a) La energía disponible de los gases de combustión.
b) La disminución en la disponibilidad que tienen los gases de combustión en el
intercambiador de calor.
e) La disponibilidad de los gases de combustión a la descarga del intercambiador de calor.
8.19 Una caldera produce vapor saturado seco a 3.5 bar. Los gases de combustión entra·n en el
banco de tubos a 1100 oC y salen a 430 oc. Su calor específico a presión constante es igual
a 1.05 kJ/ kg K. El agua entra en la caldera como líquido subenfriado a 3.5 bar y 40 oC, a
razón de 12 kg/ s. Si la temperatura ambiente es de 25 oC, determine
a) El calor transferido por los gases.
b) La energía disponible que tienen los gases.
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
y
K,
8.20 En una válvula entra vapor de agua a una presión de 10 bar con 20% de humedad. El vapor se
estrangula de forma adiabática hasta la presión atmosférica de 1 bar. La temperatura ambiente
es de 25 "C. Calcule el trabajo máximo que podría obtenerse en el proceso.
ad
bar
ión
por
°e
tieo
Respuesta:
254.37 J/g
8.21 Un gramo de aire se expande desde 825 kPa y 500 K hasta 140 kPa y 500 K. Calcule el
trabajo máximo que podría obtenerse si la presión y la temperatura ambientes son de 1 bar y
25 -c, respectivamente. Suponga que cp es igual a 1 J/g K.
8.22 ¿Cuál es el trabajo mínimo requerido para pasar 1 kg de oxígeno desde 1 bar, 300 K hasta
líquido saturado a 90 K? Dibuje los estados inicial y final en un diagrama Ts. Suponga las
siguientes propiedades para el O2
A 1 bar, 300 K:
v = 0.799036 m3/kg,
atu-
283
h = 272.720 kJ/kg,
s = 6.4140 kJ/kg K
A 90 K:
al a
por
5J
tión
tran
or e
n el
lor.
n el
·gual
e, a
p = 0.9943
bar,
Vf = 0.000876
m3/kg,
= 0.22649 m3/kg,
vg = 0.22736 m3/kg,
hf = -133.758 kJ/kg,
hfg = 213.07 kJ/kg,
hg = 79.312 kJ/kg,
sf = 2.936
Sfg = 2.366
Sg
Vfg
kJ/kg K,
kJ/kg K,
= 5.302 kJ/kg
K.
8.23 En una empresa se consumen para distintos procesos 28 340 m3/día de aire comprimido a
4.5 bar y 50 "C. Calcule la disponibilidad de este flujo de aire, suponiendo que la presión y la
temperatura ambientes son 1 bar y 25 ec.
8.24 Determine la disponibilidad de 1 kg de vapor de agua a 30 bar y 400 "C si el ambiente se
encuentra a 1 bar y 25 -c.
8.25 Considere un compresor adiabático que toma aire a 1.4 bar y 17 "C y lo descarga a 4.2 bar y
147 "C. Calcule el trabajo real requerido por unidad de masa. Suponga que cp = 1 J/g K.
8.26 Un sistema cerrado que contiene vapor de agua se enfría reversiblemente a presión constante
desde 2 bar y 200 "C hasta alcanzar equilibrio térmico con la atmósfera.
a) Calcule la energía disponible por unidad de masa. Suponga que la temperatura de la
atmósfera es de 25 "C.
b) Dibuje el proceso en coordenadas T-s, incluida la línea de saturación.
8.27 Dos kilogramos de agua se encuentran como vapor saturado seco a 120 ec, con una velocidad de 30 mis y a una altura de 6 m con respecto a un nivel de referencia. Posteriormente
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284
Termodinámica
estos 2 kg de agua se encuentran como líquido saturado a 10 oC, a una velocidad de 25 mi s
y a una altura de 3 m. Si la presión y la temperatura de la atmósfera son de 1 bar y 25 oC,
calcule el trabajo máximo que podría obtenerse del agua.
8.28 En una tobera adiabática entra vapor a 15 bar y 300 oC con velocidad despreciable, y sale a
una presión de l.5 bar y 2% de humedad . Si la presión y la temperatura de la atmósfera son
1 bar y 25 oC, calcule la disponibilidad por unidad de masa que tiene el vapor a la descarga de
la tobera .
8.29 Se desea comprimir 0.1 kg/ s de aire desde 1 bar y 25 oC hasta 4 bar en un compresor adiabático.
a} Calcule la potencia mínima requerida.
b} Dibuje el proceso en coordenadas T-s. Suponga que la presión y la temperatura del
ambiente son 1 bar y 25 oC, respectivamente, y que el calor específica a presión
constante del aire es igual a 1 J / g oc.
8.30 Un gramo de aire se enfría desde 4 bar y 100 oC hasta la temperatura ambiente en un recipiente rígido.
a} Calcule el trabajo máximo que podría obtenerse si el sistema intercambia calor sólo con la
atmósfera. Suponga que la presión y temperatura del ambiente son 1 bar y 25 oC, respectivamente, y que el calor específico a presión constante del aire es igual a 1 J/ g oc.
8.31 Calcule la función de Helmholtz del agua a 10 bar y 500 oc.
8.32 Se dispone de 1 kg/s de vapor a 30 bar y 750 oC en un lugar de una planta industrial. En otra
parte de la misma planta se requiere 1 kg/ s de vapor a 20 bar y 400 oc. Uno de los ingenieros
de la empresa propone que al vapor que se encuentra a alta presión se le puede bajar dicha
pre sión mediante una válvula y que después se le ajuste la temperatura disipando calor hacia el
aire ambiente, que se encuentra a 20 oC y 1 bar. Si esta sugerencia se lleva al cabo, determine
la disminución en la disponibilidad que tiene el vapor.
8.33 Un kilogramo de agua a 100 oC se encuentra como vapor saturado seco en un sistema
cerrado. A través de un proceso, el agua pasa a líquido saturado a 100 oc. ¿Cuánto disminuye
o aumenta la disponibilidad del agua en kJ/ kg durante este proceso?
8.34 Si dos kilogramos de aire a 1 bar y 25 oC se calientan reversiblemente a presión constante
hasta que se duplica su temperatura absoluta, calcule para este proceso
a} El calor requerido.
b} El cambio de entropía.
e} La energía no disponible.
d} La energía disponible si Po = 1 bar y T o = 25 oc.
Suponga que para el aire R = 287 J/ kg K y cp = 1 kJ/ kg oc.
8.35 Considere un cilindro con émbolo que contiene vapor de agua a 5 bar y 300 oc. El volumen
del vapor en el cilindro es de 1568 cm 3 . El vapor experimenta un proceso isotérmico reversi-
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
/5
e,
a
n
del
ión
ien-
285
ble hasta que alcanza un título igual a 0.7. Durante el.proceso hay transferencia de calor entre
el vapor y el ambiente, que se encuentra a 27°C y 1 bar.
a) Calcule el trabajo mínimo, en joules, que se requiere durante el proceso.
b) Muestre el proceso en coordenadas p-u.
8.36 Determine la diferencia de la función de Helmholtz del vapor de agua entre los estados final e
inicial para el problema 8.35, esto es, a2 - al'
Considere
un sistema cerrado que contiene 0.2 kg de agua inicialmente a 9 bar y con título de
8.37
40%. El agua experimenta una expansión reversible a presión y temperatura constantes hasta
alcanzar el estado de vapor saturado seco.
a) Calcule la energía disponible del calor añadido al sistema, suponiendo que la presión y
la temperatura del ambiente son 1 bar y 25°C.
b) Dibuje el proceso en coordenadas presión-volumen y temperatura-entropía para el proceso.
otra
eras
icha
ia el
ine
8.38 Un compresor toma 0.1 kg/s de vapor de agua a 200°C y 1 bar y lo descarga a 4 bar. Si el
proceso de compresión es isotérmico reversible, calcule la potencia mínima que requiere
el compresor.
8.39 Calcule el trabajo máximo que puede obtenerse de 1 kg de agua cuando pasa de 1 bar y 200°C
hasta 1 bar y 25°C. Suponga que la presión y la temperatura del ambiente son de 1 bar y 25°C.
8.40 El cilindro de un motor de combustión interna contiene 2450 cm ' de gases producidos en la
combustión a una presión de 7 bar y una temperatura de 867°C justo antes de que se abra
la válvula de escape. Puede considerarse que las propiedades de los gases de combustión son
iguales a las del aire, es decir, cp=l J/gm K. La presión y la temperatura del ambiente son iguales
a 1 bar y 27°C, respectivamente. Calcule la disponibilidad por unidad de masa de los gases,
en kJ/kg.
ema
uye
8.41 Un flujo de vapor a 30 bar y 300°C entra en una válvula y sale a 5 bar tras sufrir un proceso
de estrangulación.
ante
a) Determine el trabajo máximo por unidad de masa que puede obtenerse del sistema si
intercambiara calor con la atmósfera. La presión y la temperatura del ambiente son
iguales a 1 bar y 27°C, respectivamente.
b) Calcule la disminución en la disponibilidad por unidad de masa que experimenta el
vapor.
nla
e-
men
ersi-
8.42 Se dispone de vapor a 3 MPa y 750°C en un punto de una planta industrial. En otro punto se
requiere vapor a 2 MPa y 400°C. Un ingeniero de proyecto sugiere estrangular el primero
hasta 2 MPa y luego enfriarlo hasta 400°C por transferencia de calor a los alrededores, que se
encuentran a 20°C.
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286
Termodinámica
a) Evalúe esta sugerencia mediante un análisis de disponibilidad.
b) Si el costo de la energía eléctrica es de 0.33 $/ kW-h , valore esta alternativa para un
flujo másico de 1 kg/ s.
8.43 Un sistema contiene 10 kg de agua a 5 oC y 1 bar. Determine la disponibilidad en kJ que tiene
el agua, suponiendo que la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25 oc.
8.44 Considere una turbina adiabática en la cual entra el aire a 4 bar, 1000 K Y 100 mi s. A la
descarga de la turbina el aire sale a 1 bar, 750 K Y 70 mi s. Determine
a) El trabajo por unidad de masa real en kJ/ kg.
b) El trabajo máximo por unidad de masa que se puede obtener si la turbina fuera adiabática
reversible y operara entre los mismos límites de presión, esto es, entre 4 bar y 1 bar.
c) El trabajo máximo útil por unidad de masa que se puede obtener si la turbina fuera
adiabática reversible y operara entre los mismos límites de presión, esto es, entre 4 bar
y 1 bar. Suponga que el calor específico cp del aire es igual a 1 kJ/ kg oc.
8.45 Se usa agua líquida para condensar vapor en un intercambiador de calor. El agua entra a 1.5 bar
y 25 oC y sale a 35 oc. El vapor entra a 0.075 bar, con un título de 0.96 y un flujo másico de
6.5 kg/ s, y sale como líquido saturado. Suponiendo que la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25 oC,
a) Calcule el flujo de calor en watts que transfiere el vapor al agua líquida.
b) Calcule la energía disponible en watts del calor disipado por el vapor.
8.46 Considere el flujo de un gas ideal a 1 bar de presión. Indique si el gas tiene mayor o menor
disponibilidad cuando se encuentra a 20 oC o a -20 oc. Suponga que las condiciones de la
atmósfera son 1 bar y O oC, y que la energía cinética o potencial del flujo es despreciable.
8.47 Un flujo másico de 6 kg/s de aire entra en un compresor a condiciones atmosféricas de 1 bar
y 5 oc. El aire se comprime hasta 2 bar y 75 oc. Suponga que el calor específico a presión
constante es igual a 1 J/g K. Calcule
a) La potencia mínima requerida por el compresor si intercambia calor sólo con la atmósfera.
b) La disponibilidad del aire a la entrada del compresor.
8.48 Dentro de un recipiente rígido hay vapor de agua a 80 bar y 400 oc. El vapor se enfría en el
recipiente hasta que la presión disminuye a 40 bar. La presión y la temperatura del ambiente
son 1 bar y 25 oc.
a) Calcule el trabajo real durante el proceso de enfriamiento.
b) Determine la energía disponible por unidad de masa del calor disipado durante el proceso .
8 Energía disponible, trabajo máximo y disponibilidad
287
un
e) Dibuje el proceso de enfriamiento en coordenadas presión-volumen, mostrando con
claridad la línea de saturación.
Itiene
8.49 En una turbina adiabática entra vapor de agua a 40 bar y 400°C y se descarga como vapor
saturado seco a 100°C. Si la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25°C, determine,
a) El trabajo real desarrollado por el vapor en kJ/kg.
b) El trabajo máximo por unidad de masa que podría obtenerse si el vapor intercambiara
calor con la atmósfera sin alterar las condiciones del vapor a la entrada y a la salida de
la turbina.
Ala
'tica
bar.
fuera
4 bar
8.50 Considere un compresor adiabático que toma aire a 1 bar y 17°C, y lo descarga a 4 bar y 177°C.
Calcule el trabajo real requerido por unidad de masa. Suponga que cp = 1 J/g K.
8.51 Considere un sistema cerrado en donde hay 0.2 kg de agua inicialmente a 9 bar y con un título
de 0.4. El agua realiza una expansión reversible a presión y temperatura constantes hasta
alcanzar el estado de vapor saturado seco. Suponiendo que la temperatura y la presión del
ambiente son 25°C y 1 bar, respectivamente
5 bar
ode
,1
a) Dibuje el proceso en coordenadas T-s.
b) Calcule la energía disponible del calor agregado al sistema.
e) Determine el trabajo realizado durante la expansión.
am-
enor
de la
le.
1 bar
esión
síera.
en el
iente
ceso.
I
8.52 Un compresor toma 1 kg/s de aire a 1 bar y 25°C comprimiéndolo hasta 8 bar y 160°C. La
transferencia de calor hacia los alrededores es de 100 kW. Suponga que el calor específico del
aire a presión constante es igual a 1 J/g K y que la temperatura del ambiente es de 25°C.
,. ••• 1'1
a) Calcule, en kW, la potencia consumida.
b) Determine, en kW, la energía disponible del calor disipado.
e) Dibuje el proceso en coordenadas T-s.
8.53 Suponga que el compresor del problema 8.52 descarga el aire a 8 bar y 25°C, y que el
proceso es isotérmico reversible. Calcule la potencia consumida en kW.
8.54 Un gramo de aire se expande de forma adiabática y reversible de 8.25 bar y 800°C a 1.4 bar.
La presión y la temperatura ambientes son 1 bar y 25°C, respectivamente. Calcule el trabajo
máximo desarrollado por el sistema. Suponga que cp es igual a 1 J/g K.
8.55 Considere un motor de combustión interna que descarga 0.1 kg/s de gases de combustión a
700°C y 1.1 bar. Estos gases pasan a través del tubo de escape y disminuyen su temperatura
hasta 70°C. El proceso de enfriamiento es esencialmente a presión constante. Si la presión y
la temperatura ambiente son 1 bar y 25°C, calcule, en watts, la energía disponible de estos
gases.
8.56 Determine el coeficiente de expansión volumétrica del aire a 1 bar y 400 K.
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288
.'
.'
.'
Termodinámica
8.57 Dos kilogramos de vapor se expanden de manera adiabática y reversible en un sistema cerrado
de 20 bar y 300°C a una temperatura final de 90°C. Calcule el trabajo máximo que puede
obtener se, suponiendo que la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25°C.
8.58 Calcule el consumo mínimo de potencia que se requiere para comprimir 2.3 kg/s de aire desde
1 bar y 20°C hasta 2.4 bar y 20°C, si sólo ocurre transferencia de calor con el ambiente.
Suponga que la presión y la temperatura del ambiente son 1 bar y 20°C, y que el calor
específico a presión constante del aire es igual a 1 J/g K.
8.59 Un recipiente contiene vapor de agua a 1 bar y a una temperatura de 150°C. Al vapor se le
agrega calor reversible a presión constante hasta que la temperatura alcanza 300 0C. Si la
presión y la temperatura de la atmósfera son 1 bar y 25°C, calcule la porción disponible del
calor agregado, por unidad de masa.
La prime
preciso d
pueden o
pedo a te
difícil y cc
nes terme
Aun e
termodin,
demostró
y la enen
parte, un,
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9.1 Pr¡
Una relac
des puedo
9
~.
Relaciones termodinámicas
~~===========ge=n=er=a=le=s==========~
Todo el mundo desea saber, pero
nadie quiere pagar el precio.
JUVENAL
La primera y segunda leyes de la termodinámica requieren, para su aplicación, un conocimiento
preciso de la propiedades físicas de las sustancias. Aunque en algunas circunstancias sus valores
pueden obtenerse mediante tablas, no siempre es posible disponer de la información necesaria respecto a todas las propiedades de una sustancia, y antes de intentar una medición experimental tal vez
difícil y costosa, es necesario que el ingeniero esté totalmente familiarizado con las diferentes relaciones termodinámicas generales que existen para evaluar una propiedad.
Aun cuando una relación funcional de la forma u = u(s, v) determina de forma completa el estado
termodinámico de una sustancia pura y constituye una ecuación de estado completa, como ya se
demostró, la correlación inicial de estas propiedades no resulta ser una tarea sencilla, pues la entropía
y la energía interna no pueden determinarse mediante experimentos de manera directa. Por otra
parte, una correlación entre la presión, el volumen específica y la temperatura, aunada al conocimiento de los calores específicos en el estado de gas ideal, resulta también ser una información completa,
como se verá más adelante.
En este capítulo se establecerán las diferentes relaciones termodinámicas entre las propiedades más
importantes, así como la información mínima y necesaria para evaluar las diferencias de propiedades
entre dos estados. Puesto que todas las propiedades están relacionadas, es conveniente recordar de
antemano algunas de las reglas más importantes que intervienen en el uso de las derivadas parciales.
9.1 Principios básicos de las derivadas parciales
Una relación funcional entre la presión, el volumen y la temperatura implica que dos de las propiedades pueden seleccionarse como variables independientes de forma arbitraria. Teniendo esto en cuen-
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290
Termodinámica
ta, si se consideran en general las variables x, y y z, la relación funcional que existe entre ellas puede
expresarse así
f(x, y, z) = O
o, de forma alterna, si se seleccionan arbitrariamente las variables x y y como variables independientes,
z = z(x, y)
donde z es la variable dependiente. Si se mantiene x constante, por ejemplo x = Xl' entonces
z = z (xI' y) depende solamente de y. Si la derivada de z(XI' y) con respecto a y existe para un valor
dado de y = YI, el valor de esta derivada es la derivada parcial de z(x, y) con respecto a y en el punto
(xl ' YI)' Por lo común se representa así: dZ/dy)X.
De la misma manera, la diferencial total de la variable dependiente Z se expresa así
dZ) dx+dZ) dy
dz=-
dX y
dy x
(9 .1)
Si se denota el coeficiente de dx con M y el coeficiente de dy con N, la ecuación anterior puede
escribirse así
dz = M(x, y) dx + N(x, y) dy
Si, además,
(9 .2)
se dice que dz es una diferencial exacta . Esta última relación constituye una condición necesaria y
suficiente para que una diferencial total sea exacta. De hecho, puesto que todas las propiedades
termodinámicas de una sustancia quedan determinadas por el estado en cuestión, todas las propiedades tienen una diferencial total exacta. Esta cualidad es muy importante para relacionar unas propiedades con otras.
En algunas circunstancias, conviene relacionar varias propiedades termodinámicas; por ejemplo
p = p(T, v) y T = T(s , v). Con esto en mente, considere en general las funciones w = w(x, y) y
y = y(x, z). La diferencial total de w es
dW) dx+dW) dy
dw= -
dX
y
dy
x
(a)
9 Relaciones termodinámicas generales
291
y la de yes
dy = dy ) dx + dY ) dz
dX z
(b)
dZ x
Sustituyendo (b) en (a),
dw = [dW) + dW) dY ) ]dX + dW) dy'\ dz
dX y dy x dX z
ay x az
J
(e)
En esta última expresión W = W (x, z) y, por consiguiente,
dW) dx+dW) dz
dw=dX z
dZ x
(d)
Comparando los coeficientes de dx y dz en las ecuaciones (e) y (d) se obtiene
aw)
dW)
ax z = dX
y
+
aw) ay)
ay
ax z
x
(9.3)
También
dW) dY) dZ) -1
dY x dZ x aw x
(9.4)
Del mismo modo, diferenciando (a) con respecto a y, y manteniendo W constante, esto es, dw = 0,
°_aw)
dX) dW)
dX
dy
yay
w
x
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292
Termodinámica
o bien,
(9 .5)
Las ecuaciones 9 .4 y 9.5 son de gran utilidad para expresar ciertas derivadas difíciles de evaluar, en
términos de otras más accesibles.
Otro concepto importante relacionado con las derivadas parciales es el jacobiano, cuya función
es relacionar también diferentes variables. Si x, y, a y f3 son las variables del problema, el jacobiano
comúnmente se representa así
d(x, y) ( )
) = dx y
d\a, f3
J (x, y ) = (
(9 .6)
y está definido mediante el siguiente determinante
dX) dX)
da ~d~ a
J(x, y)=
dY ) dY )
da ~ d~ a
Evaluando el determinante,
J(x,y)= dX) dYl- dX) ~)
da f3 df3
df3 a da f3
(9 .7)
Las siguientes propiedades son de importancia
J(x , y)= -J(y, x)
(9 .8)
J(x,x)::::O
(9.9)
9 Relaciones termodinámicas
generales
293
Asimismo,
J(y, z) _ J(z, y) _ J(y, z)
dX z - J(x, z) - J(z, y) - J(z, x)
dY)
_
(9.5)
d(y, z)
J(z, y) d(a, (3)
= - J(x, z) = d(x, z)
d(a, (3)
r, en
ción
iano
(9.10)
La importancia de todas estas expresiones se hará evidente en el transcurso del presente capítulo.
9.2 Ecuaciones de Maxwell
(9.6)
Cuatro expresiones de suma importancia que dan origen a ecuaciones de estado completas y que se
desarrollaron con anterioridad como consecuencias de la primera y segunda leyes de la termodinámica son las que relacionan las propiedades u, h, a y g. Dichas expresiones son
= Tds - pdv, u = u (s, v)
(7.16)
dh = Tds+ udp, h = h(s, p)
(7.17)
da = -pdv - sdT, a = a (v, T)
(8.7)
dg = vdp - sdT, g = g(p, T)
(8.8)
du
y también,
Puesto que u, h, a y g son propiedades termodinámicas, sus diferenciales totales son exactas. Por
tanto, con la ecuación 9.2
(9.7)
(9.8)
(9.9)
~:1 1
=- ~~
(9.11)
dT)
dV)
dp s = dS p
(9.12)
dP)
dS)
dT u = dU T
(9.13)
dO)
dT
dS )
p
=- dp
T
(9. 14)
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294 Termodinámica
De la expresión 9.11 a la 9.14 se les conoce como ecuaciones de Maxwell. Aun cuando la importancia
de estas relaciones no se manifiesta a primera vista, las ecuaciones de Maxwell relacionan la entropía
con otras propiedades fáciles de determinar, como la presión, el volumen y la temperatura. Considere,
por ejemplo, el cambio de entropía que sufre una sustancia pura al realizar una expansión isotérmica
entre dos estados dados por (T, vI) y (T, v2). De acuerdo con la ecuación de Maxwe1l9.13,
~SIT=C =
f -oTop)
V
2
VI
dv
v
Observe que esta determinación de ~s puede realizarse con facilidad mediante una ecuación apropiada de estado de la forma f(p , v,
= O. Debe hacerse hincapié en que partiendo de las ecuaciones
Tds (Ec. 7.16), el resultado anterior no podría haberse obtenido de forma directa excepto si la
sustancia fuera tal que su energía interna dependiera sólo de la temperatura, como en un gas ideal ,
por ejemplo. Puesto que en general u = u(T, v) para una sustancia pura,
n
[ou) + P1dv
2
1 fV ~SIT=C=T VI OV
T
Hasta el momento no se cuenta con una forma de calcular el término duj dv)T con sólo datos de
presión, volumen y temperatura.
Otras relaciones importantes pueden también derivarse de las ecuaciones 7.16, 7.17 , 8 .7 Y 8.8 .
Estas ecuaciones son
T=
ou)
T=
Oh)
os v
os
p
(9.15)
(9.16)
ou)
(9.17)
OV T
oa)
(9 .18)
op J
(9.19)
p= _
p =_
ov s
v = oh
s
9 Relaciones termodinámicas generales
v-
Og)
Op T
295
(9.20)
(9 .21)
(9 .22)
En las ecuaciones 9 .17 y 9.19, por ejemplo, se observa que, puesto que la presión y el volumen son
cantidades positivas, la energía interna y la entalpía de una sustancia disminuyen durante toda expansión isoentrópica. Por otro lado, las ecuaciones 9 .15 a 9 .22 relacionan las propiedades p, v, T, u, h,
s, a y g. De éstas, sólo la presión, el volumen y la temperatura son fáciles de determinar de una
manera experimental.
Igualando las expresiones 9 .15 y 9 .16, 9.17 y 9.18, etc., se obtienen cuatro relaciones adicionales, a saber
(9 .23)
(9.24)
(9 .25)
(9.26)
Ejemplo 9.1
Determine el cambio de entropía con respecto a la presión, a temperatura constante, para el vapor de
agua a una presión de 30 bar y una temperatura de 400 oC, únicamente con los datos de presión,
volumen y temperatura.
Los siguientes datos se extraen de las tablas de vapor de Keenan y otros (ref. 2) .
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296
Termodinámica
390°C
400 °C
410°C
29.5 bar
v
s
99.35
6.8958
10l.12
6.9299
102.86
6.9634
30.0 bar
v
s
97.62
6.8870
99.36
6.9212
10l.08
6.9548
30.5 bar
v
s
95.92
6.8784
97.66
6.9127
99.36
6.9463
Ejemplo
Con los si~
vapor en lé
Solución
Solución
Mediante"
Con la ecuación de Maxwell 9.14,
dS)
dp
dV)
T =- dT
p
A una presión de 30 bar, cuando la temperatura aumenta de 390 a 410°C,
97.62 cm3/g a 101.08 cm3/g. En consecuencia,
as) = _ 10l.08 - 97.62
ap
3.46
20
410 - 390
T
el volumen aumenta de
= -0.17 cm3/g K
El resultado anterior puede verificarse con facilidad mediante los valores de entropía hallados en las
mismas tablas del vapor. A una temperatura de 400°C, la entropía disminuye de 6.9299 J/g K a
6.9127 J/g K, mientras que la presión se incrementa de 29.5 bar a 30.5 bar. Por consiguiente,
as)
ap
= _~_s = 6.9127 - 6.9299
T
Puesto qUE
sola todas 1
tes relacior
por estos e
para deterr
dos mediar
0.017
---
30.5 - 29.5
~p
9.3 Calc
l.O
y así,
= -0.17 J/g K bar
= -0.17 cm3/g K
Si el vapor de agua en estas condiciones de presión y temperatura se comportara como gas ideal,
dS)
dp
=
T
R
p
0.461
=---
30
= -0.015 J/g K bar
= -0.15 cm3/g K
Puesto qu.
volumen cc
esto es, qu
ecuación d
9 Relaciones termodinámicas
generales
297
Ejemplo 9.2
Con los siguientes datos de entalpía y entropía a la misma presión, estime la temperatura
de este
vapor en la región dada.
Entalpía, J/g
Entropía, J/g K
3110.0
3166.0
6.3211
6.4042
Solución
Mediante la ecuación 9.16,
T =
ah)
=
as
p
3166.0 - 3110.0
6.4042 - 6.3211
= 673.88 K
de
9.3 Calores específicos
•••••
las
Ka
Puesto que una ecuación de estado de la forma f(p, u, T) = O es insuficiente para determinar por sí
sola todas las propiedades termodinámicas en un estado dado, a continuación se explorarán diferentes relaciones para los calores específicos cp y cv. Después será obvio que la información suministrada
por estos calores, aunada a una ecuación de estado de la forma f(p, v, T) = 0, es más que suficiente
para determinar todas las propiedades termodinámicas. Los calores específicos cp y Cv están definidos mediante las expresiones
y así,
al,
Puesto que, en general, es más sencillo determinar de forma experimental el calor específico a
volumen constante, a continuación se demostrará que ambos calores específicos están relacionados,
esto es, que si se conoce uno de ellos, el otro puede determinarse con facilidad por medio de una
ecuación de estado. Mediante las ecuaciones T ds,
Tds=du+
pdv
(7.16)
1
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298
Termodinámica
Si, por otra parte, u = u(T, v)
dU) dv
du= -dU) dT+dT u
dV T
du = Cu dT + -dU) dv
dV T
Sustituyendo esta última expresión de du en la ecuación 7 .16,
1[
c dT+- p+ -dullJdv
ds= 2..
dV
T
T
(e)
Puesto que esta expresión implica que s = s(T, v),
dS) dT+ -dS) dv
ds=dT u
dV T
(f)
Comparando los coeficientes de dT y dv en las ecuaciones (e) y (f), y utilizando la ecuación de
Maxwell 9 .13, se obtiene
cu
=T ~)
dT
(9.27)
u
Por ta nto ,
1[
dU)] dS )
dp )
T P + dV T = dv T = dT u
(g)
Sustituyendo (g) en (e) ,
ds = 5!.. dT + dP ) dv
T
dT u
(9.28)
9 Relaciones termodinámicas generales
299
Observe que el cambio de entropía de una sustancia pura entre dos estados puede determinarse mediante el conocimiento de una ecuación de estado y la información sobre el calor específico cu{T, v) .
De manera análoga, con las ecuaciones T ds,
T ds = dh - v dp
Por otra parte, si h = h{T, p),
dh=~) dT+ ah) dp
aT
ap T
p
= cpdT + -ah) dp
ap T
Sustituyendo esta última expresión de dh en la ecuación 7. 17,
l[ahJ
1dp
ap
p
ds=-dT+C
T
T
-v
(h)
T
Puesto que esta expresión implica que s = s{T, p) ,
as ) dT+as) dp
ap T
ds=aT
(i)
p
Comparando los coeficientes de dT y dp en las ecuaciones (h) e (i) , y utilizando la ecuación de
Maxwe1l9 .14,
C
p
=T~)
aT
(9.29)
p
También
1
1 ap JT - V = ap
as JT + - aT
av )
T [ah
p
(j)
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300 Termodinámica
Sustituyendo (j) en (h),
av)
ds= -c p dT- dp
T
aT p
(9 .30)
En la ecuación 9.30 se observa que la diferencia de entropía entre dos estados puede determinarse
mediante un conocimiento del calor específico cp(T, p) y la información adicional suministrada por
una ecuación de estado.
La diferencia de calores específicos cp - C u puede obtenerse igualando las expresiones 9.28 y
9 .30 , esto es,
c p - C u dT =~) dp + p ) dv
T
aT p
aT u
a
La diferencial dT puede eliminarse de esta expresión si se nota que T = T(p, v) y
dT= -oT
op
1
dp+ -OT) dv
OV p
Por tanto,
Cp -
aT) dp+
Cu
ap u
T
Cp -
Cu
T
aT) dv
OV
p
= -ov) dp+ -op) dv
oT p
oT u
De esta última ecuación se desprende que
c -c
p
o, puesto que
u
=T ~)
op)
oT oT
p
u
(9 .31)
9 Relaciones termodinámicas generales
301
se obtiene también que
e -e
u
P
=_T~)2 dP)
dT p dv T
(9 .32)
Puesto que el término ov/ (7)~ es siempre positivo o igual a cero por estar al cuadrado, y el término
op/ov)y es siempre negativo debido a que en toda expansión isotérmica la pre sión disminuye, el
calor específico cp siempre es mayor o igual que el calor específico cu. La igualdad de cp y C u ocurre
cuando ov/(7) p es igual a cero, es decir, cuando la sustancia tiene su densidad máxima. Cuando la
temperatura se aproxima al cero absoluto, los calores específicos cp y C u tienden a ser iguales . Por
otra parte, el valor de 0u/(7)p por lo regular es pequeño en el caso de líquidos y sólidos y, en consecuencia , la diferencia entre los calores específicos a presión y volumen constantes comúnmente
es pequeña en estas fases. De aquí que sea usual mencionar sólo el calor específico c para estas
fases.
Con las ecuaciones 9.31 y 9.32 se establece que los calores específicos a presión y volumen
constantes se relacionan de forma íntima a través de una ecuación de estado, por lo que sólo es
necesario conocer uno de ellos para determinar el otro. Además, debe tenerse presente que la sola
determinación de ellos como función de la temperatura no constituye en sí un conocimiento completo de los mismos, pues , en general, C u = cu(T, v) y cp = cp(T, p) . Por ello , conviene analizar ahora la
dependencia o variación de los calores específicos con respecto al volumen y a la presión ; a partir de
la ecuación 9.27 y la ecuación de Maxwell 9.13,
dCdv -~T
~)
dv dT
U
)
T
u
-T ~~) -T ~~)
dv dT u
dT dv T
-T ~ op)
oT oT u
En consecuencia,
(933)
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302
Termodinámica
Del mismo modo, a partir de la ecuación 9 .29 y con la ecuación de Maxwell 9.14, tenemos
OC 1- o T os) - T o os)
op T OP oT
op oT
p
p
-T~~l
oT op
p
T
De esta manera,
OCPl
op T =-T~J
oT 2
(9 .34)
p
Las ecuaciones 9.33 y 9 .34 permiten calcular la variación con respecto a la presión o volumen de los
calores específicos . Puesto que en el límite, cuando la presión tiende a cero (o el volumen específico
tiende a infinito), todos los fluidos se comportan como gases ideales, la información mínima requerida
para determinar por completo los calores específicos de una sustancia pura supone sólo el conocimiento de una ecuación de estado y la variación con respecto a la temperatura de uno de los calores
específicos en su estado de gas ideal, es decir, Cpid(T) o cuid(T) .
Partiendo de los resultados anteriores también puede calcularse el cociente de calores específicos k.
Por definición,
1
os op)
op T oT s
k = os) ov)
OV T oT
s
1
OV) op)
oT oT s
op) Ov)
oT u oT s
p
ov op) op)
_ OP OV s ov
op)
oT
OV T
p
s
-ap-)
u
9 Relaciones termodinámicas generales
303
Finalmente,
k-
Op) ~J
oV
s op
T
(9.35)
Debe decirse que no es posible obtener una expresión para la relación de calores específicos k en términos de una ecuación de estado solamente, ya que la entropía siempre aparece por lo menos en un
término. Debe advertirse también que no sólo una ecuación de estado debe suministrar la información correcta con respecto a la presión, volumen y temperatura de una sustancia en un estado
específico , sino también que sus primeras y segundas derivadas deben ser exactas , dada la trascendencia que tienen en la evaluación correcta de otras propiedades .
Ejemplo 9.3
Determine el calor específico a volumen constante C v = C v (T, v) para un gas que obedece a la ecuación
de estado de Beattie-Bridgeman. Dicha ecuación es de la forma
donde, E = c/ vT3
A = Ao{1 - a/v)
B = Bo{1 - b/v)
Solución
Partiendo de la ecuación 9 .33,
Diferenciando la ecuación de estado,
Por consiguiente,
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304
Termodinámica
Integrando esta última expresión entre vI ~ 00 y V2 = v,
Ejemplo 9.4
Demuestre que el calor específico C u para un gas que obedece la ecuación de estado de Van der Waals
sólo depende de la temperatura. Dicha ecuación de estado es de la forma
RT
a
- - 2
v- b v
P= -
Solución
Mediante la ecuación 9.33 y diferenciando la ecuación de Van der Waals,
En consecuencia,
Ejemplo 9.5
Con las tablas del refrigerante, estime el calor específico cp del refrigerante 12 a una temperatura de
50 oC y una presión de 2 bar.
Solución
Según las propiedades del refrigerante (Ref. 5), a
2 bar y 40 oC,
2 bar y 60 oC
h = 214.97 J/ g
s = 0.8184 J/ g K
h = 227.90 J / g
s = 0 .8585 J / g K
9 Relaciones termodinámicas generales
305
Mediante la ecuación 9 .29 ,
= T ~)
C
aT
p
=
= (323) 0.8585 - 0.8184
60 - 40
p
0.65 J/ g K
Por supuesto, el calor específico cp también puede determinarse mediante su definición. Esto es,
ah ) = 227 .90-214.97
=0 .65J/ K
60 - 40
9
c p = aT
p
9.4 Energía interna, entalpía y entropía
A continuación se desarrollarán expresiones generales para determinar las diferencias en energía
interna, entalpía o entropía para una sustancia pura.
Energía interna. Si se usa la ecuación 7.16 y se nota que u = u{T, v) ,
du = T ds - p dv
= T[~) dT +
dV] - pdv
aT u
av T
as)
du
~ c. dT + [ T ~: )T -+V
Mediante la ecuación de Maxwell 9.13,
du = C u dT + [ T
~~
1- 1
p
du
(9.36)
La diferencia de energía interna entre dos estados (TI' vI) Y (T2, v2) puede calcularse integrando la
ecuación 9.36. Dicha expresión requiere que se conozca el calor específico Cu{T, VI) o cu{T, v2)' y
una ecuación de estado. Como alternativa, la misma ecuación requiere el conocimiento del calor
específico ideal Cpid{T) o cUid{T) Y una ecuación de estado.
Entalpía. Con la ecuación 7.17 Y con h = h{T, p),
dh = T ds + v dp
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306
Termodinámica
Mediante la ecuación de Maxwell 9.14,
(9 .37)
La diferencia de entalpía entre dos estados.dados (T1, Pl) Y(T2• P2) puede calcularse mediante integración de la ecuación 9.37. Dicha expresión requiere conocer el calor específico cp (T, Pl) o cp (T, P2) Y
una ecuación de estado, o que se conozca el calor específico ideal Cpid(T) o cuid(T) y la ecuación
de estado.
Entropía. Las diferencias en entropía pueden calcularse a partir de las ecuaciones desarrolladas en
la sección 9.3. Si s = s(T, v) ,
ds = Cu dT + dP ) dv
T
dT u
(9 .28)
De manera análoga, si s = s(T, p) ,
dV)
Cp
ds=-dT-dp
T
dT p
(9.30)
Puesto que la energía interna, la entalpía, la entropía, etc. , son propiedades termodinámicas, cualquier
diferencia que ocurra en ellas depende única y exclusivamente de los estados inicial y final del proceso.
En consecuencia, la evaluación de la diferencia de una propiedad entre dos estados puede realizarse a
través de la trayectoria o trayectorias que sean más convenientes para el cálculo y que conecten
ambos estados. Considere, a propósito, el cálculo de la diferencia en entalpía que existe entre el
estado 1 y 2 como aparece en el esquema de la figura 9.1. Puesto que en el límite, cuando la presión
tiende a cero, c p ~ cpid Y Cu ~ cuid, es conveniente seleccionar la trayectoria 1-a-b -2 para calcular
la diferencia en entalpía. En estas condiciones,
9 Relaciones termodinámicas
generales
307
Para evaluar el primer término del miembro derecho de esta ecuación, se puede utilizar la expresión
9.37 manteniendo la temperatura constante con un valor igual a TI' Es decir,
!1hI_a =
fP*[v - TI~)
p¡
aT P
]dP
donde p* es un valor de presión lo suficientemente pequeño para que el fluido se comporte como un
gas ideal, es decir p" ~ O. De manera semejante, a fin de evaluar el segundo término basta conocer
cp¡).T), puesto que la presión del proceso a-b permanece constante. Es decir,
9.37)
11
1I1111
tegraI
P2) Y
ación
Por último, para el proceso isotérmico b-2, la diferencia en entalpía puede calcularse mecuante esta
expresión
as en
Llhb-2 = fP2
p*
[v - T2~)aT
p
1
dp
(9.28)
T
b
(9.30)
lquier
ceso.
arse a
ecten
tre el
resión
Icular
a r------
e
(T2, P2)
I
T
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
1
1
..•....
-------------.J
(T"Pl)
I
I
I
d
P
Figura 9.1. Cálculo de la diferencia en entalpía.
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308
Termodinámica
Sumando los tres términos anteriores se obtiene que
llh l_2= fP' [v - TI ~J ]d P
aT P
PI
Observe, pues, que la información mínima y suficiente para evaluar la diferencia en entalpía o cualquier
otra propiedad de una sustancia pura (sin experimentar cambios de fase) consiste en una ecuación de
estado y un calor específico ideal. Este último puede localizarse en la bibliografía, o determinarse
(de forma analítica o experimental) con relativa sencillez (Ref. 3).
Siguiendo el mismo razonamiento, se puede evaluar la diferencia en energía interna u otra propiedad si las variables independientes que fijan el estado están dadas por la temperatura y el volumen
específico. En este caso, como puede apreciarse en el diagrama de la figura 9.2, una de las trayectorias
posibles para realizar este cálculo sería la trayectoria 1-a-b-2, donde la trayectoria isométrica a-b se
realiza a un volumen específico lo suficientemente grande para que el gas ideal sea obedecido. Es decir,
L1u = fU'
UI
[TI op) - p] dv +
oT u
donde v* ~ oo.
Por supuesto, estas trayectorias no son las únicas que pueden emplearse. Al considerar el cambio
de entalpía entre los estados 1 y 2 de la figura 9 .1, se pueden también utilizar las trayectorias 1-c-2
o 1-d-2. La primera requiere, aparte de conocer la ecuación de estado, información referente al calor
específico cp (T, PI)' Y la segunda trayectoria requiere el calor específico cp (T, P2). De la misma
manera, la integración de la ecuación 9.36 para determinar la diferencia de energía interna entre los
estados 1 y 2 de la figura 9 .2 requiere, además de conocer una ecuación de estado, información
concerniente al calor específico Cu (T, VI) si se selecciona la trayectoria 1-c- 2 o Cu (T, V2) si se selecciona la trayectoria 1-d-2. Sin embargo, dado que los calores específicos ideales pueden obtenerse con
facilidad, se selecciona, por lo común, la trayectoria 1-a-b-2 en ambos casos.
9 Relaciones termodinámicas generales
309
T
e
(T2,V2)
b
A
r - - - - - - - - ~---------1I''rr--1
¡
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Id
I
a
(Tl, Vl)
O()
v
Figura 9.2. Cálculo de la diferencia en energía interna.
Ejemplo 9.6
Determine la forma general que debe tener una ecuación de estado para que la energía interna de una
sustancia pura sea función únicamente de la temperatura.
Solución
A partir de la ecuación 9.36,
ou)
=T OP ) -p=O
ov
oT
T
u
o sea,
1. OP)
PoT u
1
T
Integrando esta expresión con respecto a la temperatura T
In p = In T + f(v)
o también
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310 Termodinámica
Es decir, para que la energía interna de una sustancia sea función únicamente de la temperatura se
requiere que la relación p!T sea una función sólo del volumen. De lo anterior también se desprende
que la energía interna de toda sustancia que obedece a la ecuación de estado de los gases ideales
(pv =
depende nada más de la temperatura.
Rn
Ejemplo 9.7
Demuestre que la energía interna de un gas que obedece a la ecuación de Van der Waals depende de
la temperatura y el volumen específico. Dicha ecuación de estado es de la forma
RT
v- b
a
v
p=---2
Solución
Mediante la ecuación 9.36,
dU) =T dP ) _ p=~2
dv T
dT v
v
Integrando esta expresión con respecto al volumen específico,
u = -~ + f(T)
v
pero, según el ejemplo 9.4,
En consecuencia,
9.5 Cambio de variable
Dado que la mayor parte de las ecuaciones de estado son explícitas en presión y temperatura pero
implícitas en volumen, es frecuente realizar cambios de variable para evaluar diferencias en las propiedades, pues la sola determinación del volumen en forma explícita (como en la ecuación 9.37) puede
resultar en extremo difícil o imposible. Por otro lado, algunas de las expresiones desarrolladas con
anterioridad permiten la evaluación directa del cambio de una propiedad entre dos estados fijados por
la temperatura y el volumen, pero no por la temperatura y la presión.
9 Relaciones termodinámicas generales
311
Como una mera ilustración de los posibles cambios de variable y la técnica que debe seguirse, suponga
que se desea evaluar la diferencia de energía interna entre dos estados dados por (PI ' TI) Y (P2' T2). Este
cálculo requiere un cambio en la variable independiente de la ecuación 9.36. Puesto que v = v(p, T),
dV) dp+dV) dT
dv=dp T
dT p
Sustituyendo esta relación en la ecuación 9.36,
P ) -dV) - PdV)
du= cu +d- ] dT
[
dT udT p
dT p
+ [T d P ) dT u
p] dpdV) dp
T
Reemplazando la ecuación 9.31,
(9 .38)
en donde u = u(T, p).
La ecuación anterior también pudo obtenerse mediante la definición de entalpía. Esto es ,
du = dh - d(pv) = dh - pdv - vdp
dV) dp-p -dV) dT-vdp
=dh-p -
dp T
dT p
Sustituyendo la ecuación 9 .37 y arreglando,
(9.38)
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312 Termodinámica
La ecuación 9 .38 implica, para su integración entre los estados (PI , TI) Y (P2, T2), un proceso
isobárico y uno isotérmico, y requiere que se conozca una ecuación de estado, además de Cp(PI , T),
cp (P2' T) o cp id(T). Debe advertirse que la ecuación 9.38, aunque explícita en los límites de integración (PI' TI) Y(P2, T2), puede resultar de difícil manipulación al contener términos de la forma ov/oT)p
y ov/ OP)T. En estas circunstancias, puede ser más apropiado el empleo de la ecuación 9.36.
9.6 Ecuaciones de Bridgeman
El método empleado para obtener las relaciones presentadas con anterioridad no es de ninguna
manera el único que puede seguirse. Si se consideran las ocho propiedades independientes p, v, T, u,
h, s, a y g, es posible desarrollar 168 derivadas parciales independientes, a saber, op/ oT) v, op/ ou)v'
op/ oh)v' op/ os)v' op/ oa)v' op/ og)v' OP/ OV)T' OP/ OU)T' OP/ Oh)T'···' op/ ov)u' op/ oT)v' ... ' op/ oa)g'
ov/ oT)p, ov/ ou)p' ov/ oh)p' ... ' ov/ og)p' ...' ov/ os)a.
La tabla 9 .1, desarrollada por Bridgeman (Ref. 4), permite la evaluación directa de cualquier
relación que involucre p, v, T, u, h, s, a y g, en términos de p, v, T, oV/OP)T' ov/oT)p, cp y s.
Los jacobianos pueden obtenerse con facilidad en función de las variables independientes T y p .
A manera de ejemplo, considere las siguientes relaciones
(dv)p = J(v, p) = -J(p, v) = -(dp)v
Mediante la ecuación 9.7,
J(VP)=~)
opJ
- ~J op) =~)
,
oT
op T op T oT
oT
p
p
p
Por tanto,
(dv)p
=
-(dp\
=~)
oT
p
Esta relación concuerda con la primera expresión presentada en la tabla 9.1. Considere en seguida la
relación
(dg)p = J(g, p) = -J(p, g) = -(dp)g
Con la ecuación 9 .7,
opJ -
J(g p)= Og)
,
oT p op T
=
~~l
OgJ op)
op T oT p
9 Relaciones termodinámicas generales
313
De acuerdo con la ecuación 9.22,
~~
1
=-$
Por consiguiente,
(dg) p = -(dp)g =-5
El uso de las ecuaciones de Bridgeman simplifica mucho la obtención de cualquier relación entre
propiedades termodinámicas. Considere, a manera de ejemplo, que se desea calcular la velocidad del
sonido c en ciertas condiciones de presión y temperatura. Dicha velocidad puede evaluarse mediante
la expresión
2 (dp)5
=-v - -
(dV)5
Al sustituir las expresiones 5 y 10 de la tabla 9.1 se obtiene que,
-v2
2
C= dV J
dp
T
T
dV
(J2
+ Cp dT p
En el caso de un gas ideal, la velocidad del sonido queda determinada mediante la expresión
C2 = kRT
Ejemplo 9.8
Con la tabla 9 .1, determine du/dv)T.
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314 Termodinámica
Solución
1, ••
111
Según las expresiones 13 y 14 de la tabla 9.1,
av) + p_Jv
T_
av) = (dU)T =
aV T (dv)T
=
aT
av
J
ap T
-T~) a
p
aT
J
ap T
p
p
)
-p
av T
pero
Tabla 9.1. Ecuaciones de Bridgeman.
(du)p
3
= -(dp)u =
5
(ds)p=-(dp)s=
(da)p
8
9
,
p
e
;
= -(dp)o = -[s +
(dg)p
P ~~
1]
= -(dp)g =-s
(du)u =-(dv)u =cp ~)
ap
(dht=-(dv\=cp
1
= - (dp)h = c
(dh)p
6
p ~~
cp -
4
7
p
(dT) p = -(dp) T = 1
2
-",
=~)aT
(dv)p =-(dp)u
1
av]
ap
+T~
T
+T~J
T
aT
aT
J
p
-v~)
p
aT
p
(Continúa)
9 Relaciones termodinámicas
generales
315
Tabla 9.1. Ecuaciones de Bridgeman. (Continuación)
10
11
(ds). = -(du)s = -1 [
T
C au)
+ T- au
ap T
aT
p-
J]
p
(da)u = - (du)o= -s ~~ Jr
11
11I1
1.11
12
(d9).=-(dU)g=-[u~)
aT
(dU)T = -(dT)u
14
(duh = -(dT)u = T ~
aT
(dh)T = -(dT)h
P T
J + p~ap JT
p
= -u + T ~ )
aT
16
(dsh = -(dT)s
17
(da)T = -(dT)o = p au
18
(dg h- = -(dT)g
19
(dht = -(dU)h = -u[ cp - p :;
aT
p
JT
ap
(da)u = -(du)o =
= -u
p
+~l+p~ll
p
J]
p
ap T
{dg)u = -(du)g = -u[ cp - p :;
aT
1]
p[Cp~)ap T + T~aT
+S[T~)+P~)]
aT p
21
p
=~ )
-p[cp~) ap T +T~J]aT
20
Itll
+s~)]
ap T
= - ~u J
13
15
p
ap
1]
T
(Continúa)
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316
Termodinámica
Tabla 9.1. Ecuaciones de Bridgeman.
(Continuación)
1]
.,1
22
(da)h = -(dh).
= -[s + p :;
paCJuP J
[v - T :;
1]
+pC
T
pero,
23
(dg)h = -(dh)g = -u(cp
24
(du), =-(ds)u
=~[cp ~~
(dh), = -(ds)h =
25
26
+
s) + Ts~
)
CJT p
l 1]
+ T :;
--fvc
"1 1
Il
(da), = -(d,). . = T +,00CJp T +T CJp
do
.
27
(dg) =-(ds)
28
(da), = -(dg). =
s
9
,T ~)
p
CJT p
=![VC -ST~)
]
T P
CJT P
-+ ll+ p dO
CJp T
)
Por ce
po~ )
CJT p
9.7 I
Come
miento
Por tanto,
dU) _ydP)
dv T
dY
_ P
v
inforn
dos. 1
COS pl
camb
A
Ejemplo 9.9
mente
Demuestre que dh)s = -vcp.
Enta
Solución
obten
a cer
Mediante la ecuación 9.7,
exclu
9 Relaciones termodinámicas generales
317
ah] dS)
dP
T dT
p
pero,
ah] - V-T~)
aT
dp
T
p
~) - CTP
dT
P
Por consiguiente,
9.7 Ecuaciones de desviación
Como ya se demostró, la información aportada por una ecuación de estado, aunada a un conocimiento de uno de los calores específicos, ya sea a presión o a volumen constante, constituye una
información completa para determinar la diferencia que experimenta una propiedad entre dos estados. También se demostró que mediante la selección de trayectorias apropiadas, los calores específicos pueden reemplazarse por sus valores ideales. Esta información mínima presupone la ausencia de
cambios de fase en la sustancia analizada.
A continuación se desarrollarán expresiones generales para calcular la desviación que experimenta una propiedad, entre un estado determinado y su estado como gas ideal.
Entalpía. La entalpía de un fluido con respecto al valor correspondiente como gas ideal puede
obtenerse con facilidad integrando la ecuación 9.37. Puesto que en el límite, cuando la presión tiende
a cero, todos los fluidos se comportan como gases ideales, la entalpía depende de forma única y
exclusiva de la temperatura en estas condiciones. Entonces, si se integra la ecuación 9 .37 , tenemos
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318 Termodinámica
(9 .39)
La ecuación anterior permite evaluar la desviación en entalpía de un gas real entre un estado determinado y su estado correspondiente como gas ideal.
Entropía. De la misma manera, la entropía de un fluido con respecto al valor correspondiente como
gas ideal puede obtenerse mediante la ecuación 9.30. Sin embargo, antes debe mencionarse que, a
diferencia de la entalpía, la entropía de un gas ideal no sólo depende de la temperatura sino también
de la presión . A una temperatura dada,
s(p, T)- s(O, T)= -
l ov)
p
-
o oT
dp
p
Esta ecuación evalúa la entropía de un fluido con respecto al valor correspondiente cuando la presión
es igual a cero y su valor es infinito. Así, para un gas ideal, se tiene
De estas ecuaciones se desprende que
s(p, T)- S¡d (p, T)= fP[R -~) ]dP
Jo P
oT
P
(9.40)
El estado representado por $¡d (p, T) es ficticio, aunque se le pueden asignar valores.
Energía interna. La desviación entre la energía interna de un fluido y su estado correspondiente como
gas ideal puede calcularse integrando la ecuación 9.36, teniendo en cuenta que la energía interna de
un gas ideal sólo depende de la temperatura cuando el volumen específico tiende a infinito. Es decir,
(9.41)
9 Relaciones termodinámicas generales
319
Mediante el mismo razonamiento se pueden obtener ecuaciones de desviación para otras propiedades. De la relación 9.39 a la 9.41 pueden expresarse también en términos del factor de compresibilidad generalizado z mediante el empleo de presión y temperatura reducidas. Para ilustrar este
punto, considere la desviación de entalpía. Introduciendo la ecuación de estado pu = zRT en la
ecuación 9 .39,
~) =Rz +RT~)
aT p
P aT p
p
Por consiguiente,
(9. 390)
Con el mismo razonamiento pueden obtenerse las siguientes expresiones para la entropía y la energía
interna
S(p, T)- Sid(P, T)= Rf:'(l- z) d (in Pr)
h-hd
+ __
1-
TrTc
(9.400)
(9.410)
Las figuras 9.3 y9.4 presentan de manera gráfica las desviaciones de entalpía y entropía, respectivamente, como funciones de la presión reducida para diferentes valores de temperatura reducida .
Ejemplo 9.10
Derive una expresión para calcular la desviación cp(p, T) - Cp id (T).
Solución
Mediante la integración de la ecuación 9.34,
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320 Termodinámica
-
5.0
..... r--
4.0
~
"
V
3.0
Curva. de saturació'( - t---.
I
2.0
:
v· J
¡/
¡
0 .80
L..I
I
"
, !
....
0:" 0.60
~
i
I
¡
!t 0.40
/
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V (
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V [,.' ¡,....
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7
)~ 'I ~VI j
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/
I~
/
L-~
~I-
~~
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'/ ~ /' ~
1/ / V ~
~
~I/' '/ ~
~1.I /
/
~ V~
~
/ :1 V/
V/
~
/
/ ~ 11 /
I /
¡....~
.,.. ~ "/ ' / / ...:,. *'~
i/ /
~
¡,...;'
.$f "va ~~ t><64a '\~C) ~~ ......
¡,...oo
///
' /
~
I
"'1
:
1.0
....
... v
/ ..... . . V ~ ~~
.JI'
)~
~~.".. -~
I..... ~
V ~V
~
í ",3.0 ,'-e-
1/
VV 1/
0 .30
c(-; ~/ V 1/ // 1I 11/ V l/ I /
~""
¡¡ I /' V I /
1; / /' V l'
V
V
~
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4 .0
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0.8 1.0
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2
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3
4
6
8
10
Presión reducida, P r
( 1)
Figura 9.3. Desviación de entalpía.
Ejemplo 9.11
Calcule el cambio de entalpía que sufre el dióxido de carbono cuando se comprime de forma isotérmica
de una presión de 147 .74 bar y una temperatura de 365 K a una presión de 738.7 bar. Las constantes críticas del CO 2 son: Te = 304.2 K, Pe = 73.87 bar.
9 Relaciones termodinámicas generales
4.0
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I
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3.0
I
2.0
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./
1/
1/
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Curva de saturación
1.0
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2
Presión reducida, P,
(1)
Figura 9.4. Desviación de entropía.
Solución
Para calcular la presión y la temperatura reducidas,
_~_147.74_2
Prl - Pe -
/
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_~_ 738.7 -10
P r2 - Pe - 73.87 -
3
4
6
8 10
321
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322
Termodinámica
T
365
TrI = Tr2 = Te = 304.2 = 1.2
Según la figura 9.3, P r = 2 Y T r = 1.2,
De manera similar, a P r = 10 y T r = 1.2,
Por consiguiente,
h 2 - hl = (304.2)(8.3143)(3 .3 - 2) = 3288 J/ gmol
=
74.7 J/g
Es importante destacar que las ecuaciones del gas ideal predicen un cambio en entalpía igual a cero en
estas mismas condiciones.
9.8 Cambio de fase
Considere ahora un cambio de fase de líquido saturado a vapor saturado seco mientras la temperatura
se mantiene constante. Dado que la presión también permanece constante durante un cambio de fase
isotérmico, la ecuación 7.17 se reduce a
dh = Tds
(9 .42)
Integrando esta expresión se obtiene que
s - s
g
¡
h - h¡
= -,g,,-----,T
(9 .43)
Esto es, el cambio en la entropía durante un cambio de fase a una temperatura T puede evaluarse si
se conoce la diferencia en las entalpías hg y h¡De forma similar, el cambio en la energía interna durante un cambio de fase puede evaluarse con
la expresión
(9.44)
Es decir, el cambio en la energía interna durante un cambio de fase a una temperatura T puede
evaluarse conociendo la diferencia en las entalpías y en los volúmenes específicos.
9 Relaciones termodinámitas-~generales
323
La diferencia en entalpías requerida en las expresiones 9.43 y 9.44 puede evaluarse a partirxte
conocer la línea de saturación. Considere ahora la relación de Maxwell
.
I .
",
Puesto que la presión de s¿f8i¿;2i6g;':dutáRté:;~~ ¿bh1~ld¡(d~:ifa~~f'~) tdril¡;~fa.t¿i'a ' 28;r~táh{~Tdeberid~
única y exclusivamente de la temperatura,
~ ,;
"
El miembro derecho de la ecuación anterid~ ~~eda .d it;~~inado cuando se especifica la temperatura
,A;: " ' "
de saturación. En consecuencia,
,,1 \,
(9.46)
{',(
Sustituyendo la ecuación 9.43 en la 9.46 se ,opfiene :
(9.47)
"..
~~\~~:. ,~):::-T.
:',' i
Esta relación se conoce como ecuación de Clapeyron.
Desde luego, las expresiones ant~riqrespueden emplearse durante la fusión y sublimación a
.'
"',';
temperatura y presión constantes.
La ecuación 9.47 puede simplificars~:co~ lo~,'siguie~tesdos postulados:
i. 'i Si se supone que uf es despreciable con respecto a ug •
ii. , Si la presión es lo suficientemente baji)l pa~aque ug se pueda evaluar mediante la ecuación de
estado de los gases ideales, es decir, ug ~, f?T/R' En estas condiciones,
..
.:
t
0_."
,(9.49)
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324 Termodinámica
o bien,
(9.50)
Esta última relación se conoce como ecuación de Clausius-Clapeyron.
9.9 Resumen
Las ecuaciones de Maxwell relacionan la entropía con otras propiedades fácilmente determinables,
como la presión, el volumen y la temperatura. Estas propiedades son
Los calores específicos cp y Cu se relacionan entre sí a través de las expresiones
=T~)
dT
u
=-T~J2
dP
)
dT
dU T
p
c -c
p
P)
u
c -c
d
dT
p
u
p
de donde se desprende que el calor específico cp siempre es superior o igual al calor específico CU.
La dependencia o variación de los calores específicos con respecto al volumen y la presión queda
establecida a través de las relaciones
9 Relaciones termodinámicas generales
325
y así,
~;
1 :;~),
= -T
El cociente de calores específicos k puede determinarse a través de la ecuación
k = dP ) dU
dU s dp
1
Jr
Las diferencias en energía interna, entalpía y entropía pueden evaluarse a través de las siguientes
relaciones generales
du = cvdT + [T ~~
dh = cpdT -[T
1- ]dU
p
:a-+p
dS=~dT-~) dp
T
dT p
En la tabla 9.1 se presentan las ecuaciones de Bridgeman y permite la evaluación directa de cualquier relación que involucre las propiedades p, u, T, u, h, s, a y g.
En el apartado 9.7 se presentan expresiones generales para calcular la desviación que experimenta una propiedad, entre un estado determinado y su estado como gas ideal.
La ecuación de Clapeyron permite correlacionar la línea de saturación con el calor latente de
vaporización y la diferencia de volúmenes específicos ufg . Esto es,
dP )
dT sal
_
hg - hf
T(u g - Uf)
Problemas
9.1
El cobre a 227 oC tiene las siguientes propiedades:
p = 8930 kg/m 3
f3 = 54.2 X 10-6 K-l
lCT
= 0.837 X 10- 11 m 2j N
Determine el porcentaje de error que se haría en C v si se supone que para el cobre cp = ev'
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326 TerlT!pdjnál11j\A ~ _', '."
9.2
<.
Demuestre que el coeficiente de Joule-Thomson p\.lede expresarse en términos de una ecuación de estado y el calor específico cp mediante la .relación
tI =
9.3
9.4
~c [T ~)
aT - v]
p
p
Un cierto flujo c!.e air~ s~ encuentra en un proceso a una temperatura c!.e 210 K, a lIna presión
de 0.3 bar y éon u'n número de Mach igual a 2. Calcule la velocidad del aire suponiendo que
k = 1.4.
Demuestre que para un gas ideal
cp - c u = R
cp = cp (T)
CU ~ C U (T)
u = u (T)
h = h (T)
9.5
Demuestre que los coeficientes de expansión volumétrica f3 y compresibilidad isotérmica /(T
están relacionados con los calores específicos cp y C u a través de la expresión
vTf32
C -c = - p
u
/(T
9.6
Derive la relación
ah) _T ap ) + v ap )
av T aT u av T
y determine ah/ avh para un gas ideaL
Respuesta : ah/ OV)T = O
9.7
Demuestre que para un gas que obedece a la ecuación de estado de Van der Waals,
v - b
L1slT=C = Rln - 2 -b
VI -
9.8
Estime la desviación de entropía del dióxido de carbono a una presión reducida igual a 3 y a
una temperatura reducida igual a la unidad.
"
' .... '
- .(,:-, ,'~'.
.~
.
'
..
9 Relaciones termodinárfíidísg~?íer¿le~
327
9.9 ' El comportamiento pvT de' uh ga:~ ! en' algunos éifado~: 'terri1odinárrúcós : f-iukde- desc~ibirse a
. tra,Jés 'd e úha ecuaci'ári' deesúid6d'e'fa forma z == 1::: ";:' apJT4 ;,';dorid~' z'. ~~ el fáCfbf'\:le 'compresibilidad y a"es ú'n~ c~l1stahte : Obt~~ga una expresi6ri par~)ta1c6láda"affer~ndacp~' e u'
9.10 Demuestre, con ·las e¿uacionesd~Maxwen, que
:. " : . .-'~
:" ,,,,,,,' .
t.
:~.
..
L
(
9 .12 D"eriv~ la rel~dón
_"
.
,
9.11 Demuestre
!
,
;.;..
\.
i. ~
:..."
-.
.
9.13 Describa una técnica para calcular latemper.atura final Tii:t¡ueákán~a :Urf gasi tea:!' ál:comprimirse de manera isoentrópiea; de una.:pmsión P1 : yiuna 'ternperaturél.~Ti 'a t úla¡p're'sionfinal P2'
9.14 Considere la siguiente ecuación de estado virial
pv = RT+ bp
,<;lqQde,
pflra el:-' pitr.ó~eI).<?,
r~I~~gL\~qoS?.(;!fi9~n~e,,~iri.a}e.:;,
; ¡:Iec;l,q:fqt)l11<¡li., ,Te; .:..,,:f·,} )
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9.~,!i D~mu~s.tr~ F!';le}a,funfi,ón. g ) S?(p" J) ~onsti~ye un~ .~c.l-l~cjqº ,9~ ~.st9d9' ,cr9IBpl~t? d<?~~~minan," .),d<:¡ i'.~Iax;n3J(te}as.:!?Jo,~i~?ag.~ s. ,v Y. ~s' .~~, "'", .Y'. :';, ;,' oe,".' ..I!'<:':: .1';" y , ,- Ji:':"!:>; ~, r:<.>. l'
9.16 El agua líquida a la presión atmosférica tiene un estado de máx.i:f9~A~~sidarraL.l)°S:.!~qJ?!pxima-
."" ,d?fPE\~(te,:: ?Q,l.;l,é ¿;e:l~~~~~ E8T),d,lfi;.. ~pp;~~~ Ó;~!9!?}rs;:>" '1 Orf:(U nÓi::;'h'iS:' !"r; ;"i)J'O',\·i(;C).
í';:.'.~" ':l.<r;'; r"y) f
a) 3 OC?
b) 4 OC?
e) 5 OC?
. .:.,:)!(1.·;J.?~"
-"("
.......:.
9.17 Se desea calcular la díferencial eri)énergí~ihtérna pa~a\'¡~ gas n3áP'én(~e dos estados dados por
TI' PI Y T2, P2' Desarrdle una expresión para calcular du a partir de las ecuaciones de
::~'l
·~Bt-idgemarn c: r>(.~;-'t.:~:" ..-C~f-'" ~= 9.·:vr.~·.~~~ -;;~.: ..~- :~, :':;.J)\~:::~'!"':"'-'. ~ ;~~ nc~i:.'~:u1 ~.,«)~.{. ;~):'~'~~I"::~i~.~~~t
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328
Termodinámica
9.18 Calcule el cambio de entalpía y entropía de un gas real a lo largo de un proceso isotérmico entre las
presiones PI y P2' Suponga que en este intervalo de presiones el comportamiento puT del gas se
representa con bastante precisión por la relación u= RT/ p + b- a/ RT, donde a y b son constantes.
9.19 Con base en el problema 9.18, obtenga el cambio isotérmico con la presión de ep '
Respuesta:
2a(P2-PI)/RT2
9.20 La siguiente información corresponde a la línea de saturación líquido-vapor del agua:
Psat ' kPa
467.7
468.8
469.9
1378
1413
1448
Determine el calor latente de vaporización del agua a 1413 kPa. La diferencia de volúmenes
Ufg a esta presión es 0.1383 m 3/kg.
9.21 Mediante la ecuación de Clausius-Clapeyron determine la presión de saturación del agua a
40 oC, si a 35 oC vale 0.5628 bar y el calor latente de vaporización es 2418.6 J/ g. Suponga
que hfg es esencialmente constante en este intervalo de temperatura. Compare su respuesta
con el valor que indican las tablas del vapor de agua.
9.22 Con la ecuación de Clapeyron, determine el calor latente de vaporización
a) del agua a 20 bar;
b) del refrigerante 134 a O oc.
9.23 Con la ecuación de Redlich-Kwong, desarrolle una expresión para calcular el cambio de energía '¡nterna entre dos estados que tienen la misma temperatura, TI = T2 , pero distintos volúmenes específicos UI Y u2'
9.24 Los volúmenes específicos del agua como sólido saturado (hielo) y como líquido saturado a
O oC son ui = 1.0911 cm 3/ g y Uf = 1.0002 cm 3/g, respectivamente, mientras que el calor
latente de fusión es hif = 333.4 kJ/ kg. Estime el punto de fusión del hielo a 100 bar.
9.25 Gas metano entra a un compresor a 14 oC y 9.3 bar y se comprime isotérmica y reversiblemente hasta 46.4 bar. Calcule el trabajo por unidad de masa requerido, así como el calor por
unidad de masa disipado.
9 .26 La presión de satura~ión como función de la temperatura para el tetracloruro de carbono se
establece a continuación:
p, mbar
25
35
45
55
151.7
232.5
345.1
498
Grafique In p como función de l/Ty calcule el calor latente de vaporización promedio en kJ/ kg.
9 Relaciones termodinámicas
tre las
generales
329
9.27 Cuando llega el gas natural procedente de los pozos, es común que contenga cantidades
moderadas de valiosos hidrocarburos pesados (CZH4 a ClOHzz)' los cuales se eliminan antes
de que se venda el gas como combustible. Ya limpio el gas -prácticamente metano, CH4-, se
comprime hasta altas presiones para transportarse de forma económica por tubería hasta los
centros de distribución. Si el gas se encuentra ya limpio a 10°C y 70 bar, y se comprime hasta
350 bar para transporte, determine el trabajo por unidad de masa que requiere un compresor
con las siguientes suposiciones
...
1I
1.1
111
1I1
a) La compresión es isotérmica y reversible y el gas obedece la ecuación de estado:
donde z = pu/R'T.
enes
b) La compresión es adiabática y reversible y el gas obedece la misma ecuación de estado.
Las constantes críticas del metano se encuentran en el texto. Suponga que el calor específico
a presión constante del metano como gas ideal es constante e igual a 2.7 kJ/kg K.
ua a
onga
esta
9.28 Considere un gas en donde su comportamiento
z = pu/RT=
p-v- T queda descrito por la expresión:
1 + B/u
en donde B es una constante. Con esta ecuación de estado, determine el cambio de entropía
entre dos estados termodinámicos dados por los estados (TI' uI) Y (TI' uz).
nerúmedo a
calor
iblepor
o se
9.29 Determine el volumen ocupado por 3 kg de dióxido de carbono a 110 bar y 158°C.
9.30 Determine el coeficiente de expansión volumétrica del agua a 0.1 bar y 227°C.
9.31 Estime el calor específico a presión constante del agua a 80 bar y 400°C.
9.32 Se sabe que el agua a 100 bar y 80°C tiene una densidad de 976.09 kg/m3, un coeficiente de
expansión volumétrica de 6.3 X 10-4 K-I y un coeficiente de compresiblilidad isotérmica
de 4.49 X 10-4 MPa-l.
a) Calcule la diferencia de calores específicos cp-cv' y
b) ¿En qué estado -sólido, líquido o vapor- se encuentra el agua en las condiciones de
presión y temperatura señaladas?
9.33 Considere la ecuación de estado p(u-b) = RT ¿Podría emplearse esta ecuación para predecir
de forma correcta el calor específico Cv de un gas real? Justifique su respuesta.
9.34 Se tiene metano, CH4, en un tanque a 23 MPa y -25°C. El volumen del recipiente es de 2.20 m3.
¡kg.
a) Determine la masa de metano en el tanque.
b) Indique si el metano se encuentra como líquido o como gas.
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9.35,( Un recipiente~cilíndrko que mide(Q,2 m de diámetroy l ,om dealtura :co_htien~4 :kg de mo nóxido
~' o,;. :de lcarbo)ifoa,,-,5Q0C. Calc1;Ije 'la pré$lónoo:a bsoluto'a ola 'q tle "éstá el gas '~v :;¡ '.' '0': 1f1')'", .
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a) .Utilizando::e:lrfactbf 'de 'G:dnipréSibilidadrgeneralizado;';s\!lpbA'gá qtiéT~· = :;m3 ' K(p¿ ='85 bar.
; ",! b) Suponiendo que'sé 'c orhportá 'G0rTIoc:uii:gas iideaL·é,o;¡: ','
:é.: .·,.:..Í:> .:Ji! oo.i} o" ,.. ,,' :,,'~
. n ::}-- Recurriendo1a ' la~ 'écUácí6ni l dé Van! del' Wa~ls ,·~·suponga qüe'a :=<'1:47 4 bar (m 3/ kgmol)2
y b = 0.0395 m 3/kgmoL
2:' I(¡;.:~, ·;.. ,/S·;';:: . . ; "
. d) Co~ la .ecuación de , R~dlich-Kwong" . suponga que p = 17.22 bar m 6 K1!2/ kgmoI 2 y
. 2l) J, ;0~d273 ¡r'rtí3/kgM6 C ;'.0:, i." '. ' ',;':'J.'. ""'JS', '/ t.:..;,rn~~j.:··" :<)
-.0 . . ..... : .. I .
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Siempre sé-ii~~e tiempo suficiente
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cuando se emplea COr!JO es debido.
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GOETHE
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La -cühversió'ti 'ael' calan.! 'otras fQrmas He energía' en thioajb ha: sido tina de las rt1ayóresinqi.Úetudes
deÍ 'h6Mbré:'El·'áriíi~lb '8~ )ésl:a' 8jriv~Ns¡6ri "cid fbrfna c6nü~iia,; '1t;~~úé':R6 · c6«ipjeib~' ~j5' ha ; Üé~~do .á (l~
: ',::" ,-, ., -,,), , ., .'~,\;." ~¡ ' ¡j :ti,,\.~;;t(~·
ir~· ;.:,_:" ,,; -jt'I: ~'- "+i '; ':
,~"":;,/ (,¡. ',.:.' , , '.~'J,,: cd' ..;:\,-·, ·: , ,~ ;,.".-:':- "'~:h»" ,.: ¡
/) j:-" J"'
concepcióri y 'cr:eacióli dé,diferentes rf¡~quirias qué op~ráh' endisfintos cidós'~érinbqi,námic9s ..De la mísn'já
mkntrb,l~ tié2~'¿f¿ta«(d~iobt~r;~f b~í~s't~rilpétk{ttira's én" ~fgGhós ~i5teln~élb'na lI'~v$ddb' l~: ¿teacióAcid
diferentes ciclos d~ r,?frigeración. En este cq.pítulc?se <;Iescripirán algunos de los ¿¡2jdft~frrtS'd¡~,á"$¡có~
r ' -:I'!I",")"
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332 Termodinámica
.. ..
'
..' .... 'r'..'::
..
.
(a)
' . ':
"
'
(b)
.
(e)
(d)
Figura 10.1. Motor de combustión interna de cuatro tiempos e ignición por chispa.
acción de una bujía, incrementándose por ende la presión y la temperatura de la mezcla, mientras el
volumen permanece esencialmente constante en su valor mínimo. Como consecuencia de esta combustión, el pistón es lanzado desde su punto muerto superior hasta su punto muerto inferior, como se
observa en la figura 10.lc. Durante esta carrera de expansión las válvulas de admisión y de escape
permanecen cerradas.
Al llegar el pistón a su punto muerto inferior la válvula de escape se abre, iniciándose así el proceso
o carrera de escape en que los productos de combustión se descargan del cilindro a la atmósfera. El
proceso de escape se ilustra en la figura 10. Id. De esta manera, el cigüeñal gira 720 grados o dos
revoluciones para completar los cuatro procesos descritos: admisión, compresión, expansión y escape.
ii. Motor de dos tiempos. A diferencia del motor de cuatro tiempos descrito, el motor de dos
tiempos concebido por Dugald Clerk en 1878 realiza la misma secuencia de procesos en sólo una
vuelta del cigüeñal, esto es, en 360 grados de rotación. La figura 10.2a es un diseño del proceso de
expansión. Antes de que el pistón alcance su punto muerto inferior, las lumbreras o puertos de escape
en el cilindro son descubiertos por éste, iniciándose así el proceso de escape, como se observa en la
figura 10.2b. Al proseguir el pistón en su carrera descendente, las lumbreras o puertos de admisión
son también descubiertos y se introduce en el cilindro un flujo de mezcla aire-combustible. Durante el
intervalo en que ambas lumbreras permanecen abiertas se lleva a cabo el proceso de barrido,' en el que
los residuos de gases de combustión son expulsados a la atmósfera. Este proceso se aprecia en el
esquema de la figura 10.2c. Finalmente, el pistón regresa a su punto muerto superior y se completa
así la carrera de compresión, como puede verse en la figura 10.2d.
Debe mencionarse que la secuencia de procesos en los motores de cuatro y de dos tiempos no
constituye de manera estricta un ciclo termodinámico, pues el medio de trabajo cambia de composición
10 Ciclos termodinámicos
(a)
(e)
(b)
333
(d)
Figura 10.2. Motor de combustión interna de dos tiempos e ignición por chispa.
química y se renueva de manera constante, aun cuando mecánicamente el motor opera en forma cíclica.
Por tanto, es común designar el conjunto de procesos con el nombre de ciclo abierto con fines de estudio.
Con el objeto de realizar un análisis termodinámico sencillo, el ciclo Qtto estándar de aire implica
varias simplificaciones y suposiciones; el medio de trabajo no cambia de composición química y
permanece dentro del sistema, la adición de calor a volumen constante se realiza de forma equivalente
a la combustión de la mezcla aire-combustible, los procesos de compresión y expansión son
isoentrópicos y los calores específicos ideales son constantes. Los diagramas preSión-volumen y
temperatura-entropía de un ciclo Qtto estándar de aire se muestran en la figura 10.3.
Uno de los parámetros más importantes en el análisis de ciclos es la eficiencia térmica. De
acuerdo con los postulados anteriores,
y así,
En consecuencia,
TI = 1 _ 1q4-I 1
. q2-3
TI = 1 _ T4 - TI
T3 -T2
=
4 /=T:;-I_-....,,1:7')
1 _ -:T:-I_{=T_
T 2 (T3 /T 2 - 1)
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334
Terrriodin¡:¡inka
p
T
4
s
v
I
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.) ..... _
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figur~ 1 (}.:3; Diagramas p[esi6n~\lolumen · y .temjJeratllr-a-entroj'lí'a de'Un 'CidoOH6,·
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Puesto que-los procesófnde cOmpresión' yexpan~ióh-: gon: adiabáticos ' teverslbles,
! .. I
-"-'-,"
!
".
Por tanto,
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. "
(10,1)
1...~
I
Al definir la relación de compresión r como
.
y notar que
.iJ
'-l-
:; 1 ..- F ;.
10 Ciclos termodinámicos
'
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•
335
j)
60
el 40
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~
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'ü
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,,
1 .. , . '
20
Ir' -
. Á
UJ
,',
, .'
Relaci'ó ri ,de compresión ;' r .
Figura
10.4. Efkiencia de un ciclo Ottb CO~b fu~ció~ ' .. ,
de' la relación d'e compre~ión.
',.
la expresión 10.1 puede escribirse de forma alterna como
,
.
i '
r¡ = 1 - k¡
r -1
(10.2)
La ecuación 10.2 indica que la eficiencia térmica aumenta de manera monotóniea al crecer la relación
de compresión r, como se aprecia en la figura 10.4. De ahí la tendencia hacia la construcción de
motores de combustión interna con altas relaciones de compresión. Sin embargo, estas altas relaciones de compresión hacen impresCindil?le el empleo,de-2ómbustible's muy refinados que soporten la
autoignición, y pueden también dar origen a dificultades en el arranque. De manera análoga, los
efectos de la fricción SOn considerables ,3 altas reiacio,nes de compresión: Al mismo tiempo, la ecuación
10.2 indica que la eficiencia ¡t~rmicii\, d~lciclo ,Ott<¡> E1stá~d~r ,de aire d~pende de la relación de calores
O', '
específicos k, y es independiente de 'la cargá del mot~r. '
Aunque el motor convencional .de ,Ígnición por chispa no obedece exactamente al ciclo Otto ,
excepto para relaciones aire/ combustible.9Itas, se obtienen de. éstos análisis conclusiones fundamentales de interés práctico. Pue~to' que la ecuación :1.0".2 es?<:ie forma muy simple, esta expresión por lo
regular se ve modificada al darle a: k uri ~a¡or c¿nvenie~te que haga coincidir los resultados experimentales.
Otro parámetro importante es la presión media efectiva que se define como una presión constante
ejercida durante todo el ciclo, la GUal proporciona Una cantidad de tr~bajo equivalente a él. La presión
media efectiva es Un parámetro valioso para efectos de comparación porque indica el buen uso que hace
la máquina de su tamaño o desplazamiento, El objetivo en todo diseño es la construcción de máquinas
que tengan altos valores de presión media efectiva, Si Pm representa la presión media efectiva, A el área
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336 Termodinámica
de sección transversal del pistón y L la carrera o distancia recorrida por él desde su punto muerto
superior hasta su punto muerto inferior, entonces
(10 .3)
donde Wes el trabajo desarrollado por un ciclo termodinámico en un cilindro .
La presión media efectiva puede determinarse de modo experimental si se utiliza un diagrama
indicador de presión. En la figura 10.5 se observa un diagrama de presión contra tiempo, esto es, la
variación de la presión con respecto al tiempo en un motor de combustión interna. Este diagrama
presión-tiempo puede modificarse para obtener el diagrama presión-volumen correspondiente mediante las dimensiones de la máquina. Con una determinación del área resultante de este último
diagrama y su longitud correspondiente puede obtenerse la presión media efectiva. Si se hace además una
gráfica de lag p contra lag V, algunas porciones de los proceso de compresión y de expansión son líneas
rectas y puede determinarse el exponente politrópico n real.
Ejemplo 10. 1
Considere un ciclo Otto estándar de aire con una relación de compresión de 8. Si las condiciones del aire al
iniciarse el proceso de compresión son de 1 bar y 40 oC, y el calor suministrado al ciclo es de 1300 J/ g,
a) Determine las presiones y temperaturas en los estados 2, 3 y 4 del ciclo.
b) Calcule la disponibilidad del aire en el punto 4 .
e) Determine la eficiencia térmica del ciclo.
Figura 10.5. Diagrama presión-tiempo de un motor de
combustión interna.
10 Ciclos termodinámicos
d) Calcule el trabajo neto desarrollado por unidad de masa.
e) Calcule la presión media efectiva.
f) Determine el calor disipado en el ciclo.
Solución
a) Estado 1
PI = 1 bar
TI = 313 K
(0.287)(313)(10 6 )
RT I
VI = -
= - -- - - - Pl
(1 x 105)
= 898 .31 cm 3/g
Estado 2
P2
= PI rk = (1)(8)1.4 = 18.38 bar
T2
= TI
(P2
lPI)~k = (313) (18 .38) 0.286
1
= 719.1 K
o bien,
(18 .38 x 10 5)(112 .29)
= ---¡:r- =
(0.287)(10 6 )
P2 V2
T2
= 719.1 K
Estado 3
V3 = v2 = 112.29 cm 3/ kg
Para calcular T 3 ,
y así,
q
T3 = T 2 + -
Cu
1300
- = 2524.7 K
0.72
= 719 .1 + -
337
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338
Termodinámica ._
Por último,
•
T3
• '
.,1
~:;
2524.7
P3 = P2 T = (18.38) 719.1~' 64.53'1:)ar
2
Estado 4
• ~., i', " .
64.53 '
'-,
P4 = -P3r =- = 3.51 bar
(8)1.4 .
e
k
:
,.
''',::
T = T 3 = 2524.7 = 1098.9 K
4 rk-l
(8)0.4 ~
=
P4J
Po
- T o e In -T4 - R In -
[ p
To
1098.9 - 313)
= (0.72) (1098.9 - 313) + 0.287 ( 3.51
'1'4 = 284.28 J/g
e) 11 = 1 - _1_ = 1 - _1_ = 0.56
,k-l
(8)0.4
11 = 56%
d) w = 11q2-3 = (0.56)(1300)
= 728.0 J/g
10 (iclos termodinámicos
339
(728)(10)
898.31 - 112.29
w
e)Pm=--VI - V2
= 9.3 bar
f) qdisipado = c o(T4 - TI)
= (0 .72)(1098.9 - 313)
= 572 J/g (=q2-3 - w)
Ejemplo 10.2
Considere un ciclo Otto estándar de aire con una relación de compresión igual a 9. Al iniciarse el
proceso de compresión, el aire se encuentra a una presión de 1 bar y una temperatura de 40 oc.
Durante la adición de calor, la presión del aire se duplica.
a) Calcule la eficiencia térmica del ciclo.
b) Determine la eficiencia térmica de un ciclo de Carnot entre los mismos límites máximo y
mínimo de temperatura.
Solución
1
a) 110 = 1 - - r
k- I
1
1 - - - = 0.58
(9)°·4
110 = 58%
TI
b) 11c = 1 - T3
Para calcular T3 ,
T2 = TI(r)k-1= (313)(9)°.4 = 753.77 K
también
T3 = T 2 -P3 = (753.77)(2) = 1507.5 4 K
P2
Por tanto,
313
TIc = 1 - 1507.54 = 0.79
11c = 79%
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340
Termodinámica
Ejemplo 10.3
dOI
El diagrama indicador de presión en un motor de gasolina que gira a 1500 RPM dio los siguientes
resultados durante la carrera de compresión:
El
DATO
V,cm3
p, bar
q
1
2
3
4
5
430
330
215
105
60
0.8
1.13
1.97
q
En la
posíbl
el pro
ciclo (
sumin
5
10.35
Dicho motor tiene una relación de compresión igual a 8 y la temperatura del medio de trabaja al
iniciarse la compresión es igual a 40°C.
...
a) Determine el exponente politrópico n durante este proceso.
b) Calcule el trabajo por unidad de masa durante la compresión. Suponga que el proceso se
desarrolla sin fricción y que las propiedades del medio de trabajo son iguales a las del aire.
c) Determine las pérdidas del calor.
,.
prime
Ejem
Deterr
Soluc
Segúr
SolucIón
a) Puesto que el exponente polítrópíco n es
igual a la magnitud de la pendiente de la línea recta en el diagrama lag p contra lag V
de la figura E.10.3, la determinación de esta
pendiente da como resultado que n = 1.3.
b) w =
- 1- 11
J dv 1RTl_ n [(Vl]n
v2
p
=
(0.287)(313)
1 - 1.3
= -259.3
5
(¡¡ 4
.o
¿3
'o
.¡jj
~ 2
a..
2
_ (80.3 _ 1)
J/g
60
100
200
300 400 500
Volumen, cme) Mediante un balance de energía,
Figura E.lO.3. Resultados experimentales
el proceso de compresión.
durante
Fig
341
10 Ciclos termodinámicos
donde
Tz = TI r n - I = (313)(8)0.3 = 584.1 K
En consecuencia,
q = (0.72)(584.1 - 313) - 259.3
q = -64.11 J/ g
En la figura E.10.3 se observa que el proceso de expansión 3-4 no termina a la presión mínima
posible, es decir, a la presión atmosférica. En el ciclo Qtto de expansión completa de la figura 10.6,
el proceso de expansión se continúa hasta que la presión atmosférica termina en el estado 5 . Este
ciclo de expansión completa disipa calor a través del proceso isobárico 5-1. Puesto que el calor
suministrado al ciclo de expansión completa es igual al ciclo Qtto y el trabajo desarrollado por el
primero es mayor, por tanto, es mayor la eficiencia térmica del ciclo de expansión completa.
Ejemplo 10.4
Determine la eficiencia térmica de un ciclo Otto de expansión completa, en donde r= vl/vZ Y re = vS / v4'
Solución
Según la figura 10.6,
11 = 1 _ I q5-I I
qZ-3
p
3
T
3
2
4
2---
5
----....L...;;:::-5
v
s
Figura 10.6. Diagramas presión-volumen y temperatura-entropía de un ciclo Otto de expansión completa.
"1
,
1,
"
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342 Termodinámica
donde
además,
Por tanto,
1 _ k TI (Ts / T I - 1)
T 2 (T3 / T 2 - 1)
_ 1 _ ~ Ts/T I - 1
r ik-1 T / T - 1
3
2
r¡ -
Al analizar el diagrama temperatura-entropía de la figura 10.6 se observa que el cambio de entropía que
sufre el medio de trabajo durante la adición de calor a volumen constante es igual en magnitud al cambio
de entropía experimentado durante el proceso de cedencia de calor a presión constante. Esto es,
Por consiguiente,
Finalmente,
En la expresión anterior se observa que en el límite, cuando re tiende a la unidad, la eficiencia térmica
del ciclo Otto de expansión completa se aproxima a la del ciclo Otto estándar.
10.2 Ciclo Diesel estándar de aire
El motor Diesel, concebido por Rudolph Diesel en 1892 es similar al motor de ignición por chispa,
excepto que requiere una relación de compresión mayor y sólo acepta aire durante el proceso de
admisión . Debido a esta alta relación de compresión, el aire admitido durante la admisión alcanza
presión.y temperatura altas durante la compresión, a tal punto que el combustible, al ser inyectado en
el cilindro, espontáneamente sufre combustión sin necesidad de la chispa suministrada por la bujía . Al
principio, Diesel propuso controlar la inyección de combustible de tal manera que la combustión se
10 Ciclos termodinámicos
343
realizara a temperatura constante. Después se tuvo más éxito con un proceso de combustión a
presión constante. El ciclo puede realizarse en motores de cuatro y dos tiempos. Al-analizar el primero,
se observa que sólo recibe aire el cilindro durante el proceso de admisión, mientras el pistón se desplaza
desde su punto muerto superior hasta su punto muerto inferior para luego comprimirse mientras el
pistón se desplaza hacia arriba. Cuando el pistón se encuentra próximo a alcanzar su punto muerto
superior, se inyecta combustible al cilindro en forma de pequeñas partículas de aceite finamente
atomizado, lográndose así una combustión en esencia isobárica. Los productos de combustión resultantes se expanden mientras el pistón se desplaza hacia su punto muerto inferior, para terminar el
ciclo con el proceso de escape en que el pistón se mueve hasta su punto muerto superior.
Debe decirse que el proceso de barrido en el motor de dos tiempos se realiza sólo con aire.
Los diagramas presión-volumen y temperatura-entropía de un ciclo Diesel estándar de aire aparecen en la figura 10.7. Si se supone que el medio de trabajo no cambia su composición química y se
comporta como un gas ideal con calores específicos constantes, entonces
también,
Por consiguiente,
r¡ = 1 _ I q4 - 11
q2 - 3
'"
= 1 _ Cu(T4 - TI)
cp(T3 - T2)
= 1 _ TI (T4/TI - 1)
kT2 (T3/T2 - 1)
' '1'1
T
I
11"
3
"111
." I
'"
4
r"
2
4
1
v
Figura 10.7 Diagramas presión-volumen y temperatura-entropía
s
de un ciclo Diese!.
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344 Termodinámica
Al analizar el diagrama temperatura-entropía de la figura 10.7 se observa que el cambio de entropía
que sufre el medio de trabajo durante la adición de calor a presión constante es igual en magnitud al
cambio de entropía experimentado durante el proceso de cedencia de calor a volumen constante. Por
tanto ,
Con las ecuaciones T ds,
En consecuencia,
Designando el cociente de temperatura T3 / T 2 como la relación isoentrópica r; y teniendo en cuenta
que T2 / T 1 = r k- 1 , la eficiencia térmica del ciclo Diesel puede escribirse así
n
-
" -
1-
1
rk-l
r. L
1
--'.'- -
k(r; -1)
(10.4)
Observe que la ecuación 10.4 para el ciclo Diesel difiere de la ecuación 10.2 del ciclo Otto sólo por
la fracción (r;k - l)!k(r; - 1), la cual es siempre mayor que la unidad. En consecuencia, en igualdad de
relaciones de compresión y medio de trabajo, la eficiencia del ciclo Otto es mayor que la del ciclo
Diesel. De manera análoga, la ecuación 10.4 indica que la eficiencia del ciclo Diesel depende de la
carga a través de la relación iso entró pica r; y, en el límite, cuando la carga tiende a cero, esto es,
cuando r; tiende a la unidad, la eficiencia térmica del ciclo Diesel se aproxima a la del ciclo Otto .
Cabe mencionar que el ciclo Diesel es obedecido de forma aproximada por los motores de
ignición por compresión de baja velocidad.
Ej emplo 10.5
Considere un ciclo Diesel donde las condiciones, al iniciarse el proceso de compresión, son de 1 bar
y 40 oc. Si la presión y temperatura máximas en el ciclo se limitan a 40 bar y 2500 K, calcule
a) La relación de compresión.
b) El calor suministrado al ciclo.
c) La eficiencia térmica del ciclo.
10 Ciclos termodinámicos
345
d) El trabajo realizado por el ciclo.
e) El calor disipado.
f) La fracción del calor disipado que es energía disponible.
Solución
a) Puesto que
r
k
P2
PI
=-
i = (40)°
T 714 = 13.93
0
r =
Pp21J
(
o
b) Para calcular la temperatura al finalizar el proceso de compresión,
T2 = T 1 rk- 1 = (313)(13 .93)0.4 = 897.69 K
Por consiguiente,
q = c p (T3 - T2 ) = (1)(2500 - 897 .69)
=
1602.31 J/ g
c) La eficiencia térmica puede calcularse mediante la ecuación 10.4, donde r¡ = 2500/ 897.69 = 2.78,
11
=1-
1
= 55%
d) w = Tlq = (0.55)(1602.31)
= 881.27 J/g
e) Mediante un balance de energía,
qdisipado = q -
w
= 1602.31 - 881.27
= 721.04 J/g
f) qd = qdisipado - T o ~s
T3
= qdisipado -Tocp In T
=
2
2500
72 1. 04 - (313)(1) In 897 .69
= 400.46 J/g
4.20 - 1 = O 55
.
(13 .93)OA (1.4)(1. 78)
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346 Termodinámica
Ejemplo 10.6
Considere un motor Diesel de cuatro tiempos y cuatro cilindros, de 1500 cm 3 de desplazamiento, que
tiene una relación de compresión de 16 y gira a 1500 RPM. El combustible empleado disipa 44 427 J/ g
durante la combustión. Al iniciarse la compresión, el aire se encuentra a una presión de 1 bar y una
temperatura de 40 oc. La relación aire/combustible (masa de aire/masa de combustible) es igual a 20.
Suponiendo un ciclo Diesel donde las propiedades del medio de trabajo son iguales a las del aire, calcule
a) Las presiones y temperaturas a lo largo de todo el ciclo.
b) La eficiencia térmica del ciclo Diesel.
e) El flujo de calor equivalente suministrado al ciclo durante el proceso de combustión isobárica.
d) La potencia desarrollada por la máquina.
Solución
a) Con el objeto de determinar los volúmenes VI y V2 de un solo cilindro se pueden usar las
siguientes relaciones
v:1 - v:2 = 1500
= 375 cm
4
3
Por tanto,
375 375
V2 = - - = - - = 25.0 cm3
r -1
15
Asimismo,
VI = rV2 = (16)(25) = 400 cm 3
Estado 1
VI = 400 cm 3
PI = 1 bar
TI = 313 K
5
m
a
p¡V¡
(1 x 10 )(400)
=- = --------'--:-6
RT¡
(0.287)(313)(10 )
= 0.445 gramos de aire
10 Ciclos termodinámicos
Estado 2
P2 = PI rk = (1)(16)14 = 48.5 bar
T 2 = TI rk- 1 = (313)(16)°4 = 948.84 K
V2 = 25 cm 3
Estado 3
P3 = P2 = 48.5 bar
Para calcular la temperatura en el estado 3,
Q - 44 427 m, - (44 427) [::) (m,)
= (44 427) (;0) (0.445) = 988.5 J
pero
mm = ma + me = 0.445 + 0.022 = 0.467 gramos
Mediante un balance de energía,
988.5
(0.467)(1) + 948.84
=
3065 K
En consecuencia,
_
T3 _
3065 _
3
V3 - V2 T - (25) 948.84 - 80.76 cm
2
Estado 4
V4 = VI = 400 cm 3
3)k
V
P4 = P3 ( V = (48.5)
4
(80.76)14
400
= 5.16 bar
T4 = T 3
V)k-l
()O 4
[V~ (3065) 8~Ó~6 .
=
= 1616.15 K
347
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348 Termodinámica
b) Sustituyendo valores en la ecuación 10.4, donde
r¡ = 3065/948.84 = 3.23,
1
(3. 23)1.4 - 1
11 = 1 - (16)04 (1.4)(3.23 _ 1) = 0.56
= 56%
e) Ó = (988.5 Joule/ciclo cilindro) (4 cilindros) (1/2 cicl~s/revolución)
(1500 revoluciones/minuto)(l/60 minuto/segundo) = 49 425 W
Q = 49.425 kW
d)
w= 71Q = (0.56)(49.425) = 27.68 kW
10.3 Ciclo dual estándar de aire
De hecho, el motor de ignición por chispa y el de ignición por compresión moderno no realizan la
combustión de la mezcla aire-combustible ni a volumen constante ni a presión constante exactamente.
Sin embargo, se puede suponer que una gran parte del proceso de combustión es isométrico y el resto
se realiza de forma isobárica. La proporción de estos procesos a volumen y presión constantes es tal que
el proceso de combustión real puede simularse. De aquí que el ciclo dual o dúplex ideal ilustrado a través
de los diagramas presión-volumen y temperatura-entropía de la figura 10.8, puede usarse como una
mejor aproximación para describir la serie de procesos que se llevan a cabo en un motor real.
p
T
4
v
Figura 10.8. Diagramas presión-volumen y temperatura-entropía de un ciclo dual.
s
10 Ciclos termodinámicos
349
Este ciclo ideal consta básicamente de cinco procesos reversibles: 1-2 compresión isoentrópica,
2-2' adición de calor a volumen constante, 2'-3 adición de calor a presión constante, 3-4 expansión
isoentrópica, 4-1 disipación de calor a volumen constante.
Para calcular la eficiencia térmica de un ciclo dual ideal, considere que el medio de trabajo es un
gas ideal con calores específicos constantes. Mediante un balance de energía,
también
Por consiguiente,
1]
=1 _
CU (T4 -
TI)
cu {T2, - T2 ) + cp {T3 - T2,)
= 1-
TI {T4 / TI -1)
T2 {T2, -1) + kT2 {T3 / T2 - T2, / T2 )
Al notar que el cambio de entropía que sufre el medio de trabajo durante los procesos de adición de
calor a volumen y presión constantes es igual en magnitud al cambio de entropía experimentado
durante el proceso para ceder calor a volumen constante,
C
u
T3
T4
T2,
In-+c
In-=c
In-
T2
P
T2'
u
T1
Es decir,
Con esta última expresión y al definir las relaciones Eu = T2 , / T2 y Ep = T3 / T 2 " la eficiencia térmica del
ciclo dual ideal queda dada por la ecuación
_ 1 __
1_
Eu E; - 1
11 r k-I kEu (E p - 1) + Eu - 1
(10.5)
Debe observarse en la ecuación 10.5 que, en el límite, cuando E p tiende a la unidad, esto es, cuando T3
se aproxima a T2 " se obtiene que la eficiencia térmica del ciclo dual se aproxima a la del ciclo Otto
(ecuación 10.2). Del mismo modo, en el límite, cuando Eu tiende a la unidad, es decir, cuando T2, se
aproxima a T2 , la eficiencia térmica del ciclo dual se aproxima a la del ciclo Diesel (ecuación 10.4).
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350
Termodinámica
Ejemplo 10.7
Considere un ciclo dual estándar de aire con una relación de compresión igual a 8, donde se suministran 1200 J/g de calor durante los procesos de adición de calor. De esta cantidad, 90% se suministra
durante el proceso a volumen constante y el resto durante el proceso a presión constante. Si se
supone que el aire se encuentra a una presión de 1 bar y una temperatura de 40 OC al iniciarse el
proceso de compresión, calcule la eficiencia térmica del ciclo.
Solución
Para calcular la eficiencia térmica es necesario conocer las relaciones Eu yEp- Para esto ,
T2 = T1rk- 1 = (313)(8)°4 = 719.1 K
P2 = Plrk = (1)(8)14 = 18 .38 bar
Haciendo un balance de energía,
donde qu = (1200)(0 .9) = 1080 J/g
y así
qu
T2, = -
Cu
1080
+ T2 = - - + 719.1 = 2219.1 K
0.72
De manera análoga,
donde qp = (1200)(0 .1) = 120 J/g
También
qp
120
T3 = - + T2, = + 2219.1 = 2339.1 K
cp
1
Por consiguiente,
= T2, = 2219.1 = 3 09
E
u
T2
719.1
.
= T = 2339.1 = 1 05
E
3
P
Tz
2219.1
.
10 Ciclos termodinámicos
351
Sustituyendo valores en. la ecuación 10.5
1
(3.09) 1.0514 - 1
----'--~-----8° 4 (1.4)(3.09)(1.05 - 1) + 3.09 - 1
11 = 1- =
0.57
11 = 57%
10.4 Comparación de ciclos
Una vez explicados los ciclos Otto, Diesel y dual, es importante compararlos entre sí. Esta comparación
puede hacerse con facilidad de manera gráfica mediante los diagramas presión-volumen y temperaturaentropía antes analizados. El análisis implica que dos restricciones o condiciones sean comunes a los
diferentes ciclos. Como ilustración del método de comparación se examinarán los dos ejemplos siguientes:
i. Igual relación de compresión e igual cantidad de calor suministrado a los ciclos. En la figura
10.9 se muestran los diagramas presión-volumen y temperatura-entropía de los ciclos Otto, Diesel y dual,
bajo estas dos restricciones comunes. Los tres ciclos se inician en el estado 1. Puesto que la relación de
compresión es la misma en todos los ciclos, el estado 2 resultante en la compresión isoentrópica es el
mismo. Dado que el calor suministrado es también igual en todos ellos, el área que queda debajo de las
curvas 2-3 del diagrama temperatura-entropía debe ser la misma para satisfacer esta última restricción.
p
T
3
3
3'
4'
2
4'
4"
4
1
v
s
Figura 10.9. Comparación de los ciclos Otto, Diesel y dual con igual relación de compresión y la misma
cantidad de calor suministrado.
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352 Termodinámica
Según la misma figura 10.9, la magnitud del calor disipado por el ciclo Diesel (área debajo de la
línea 1-4' del diagrama temperatura-entropía) es mayor que la de los ciclos dual y Otto, y la de este
último es la menor de todas. Puesto que la magnitud del calor suministrado a todos los ciclos es la
misma, de lo anterior se desprende que
1Jotto
> 1Jdual > 1JDiesel Ir, q
Debe decirse, sin embargo, que la relación de compresión en los motores de ignición por compresión es
mayor que la de los motores de ignición por chispa; el desarrollo anterior se ha presentado con el solo
propósito de ilustrar la metodología que debe seguirse en la comparación de ciclos termodinámicos.
ii. Igual presión y máxima temperatura. En la figura 10.10 se ilustran los diagramas presiónvolumen y temperatura-entropía de los ciclos Otto, Diesel y dual con estas dos restricciones comunes . .
En este caso, los ciclos se inician también en el estado 1; en el diagrama temperatura-entropía de la
figura 10.10 se observa que la magnitud de calor disipado por todos ellos es la misma. También se
nota que la magnitud del calor suministrado al ciclo Diesel es mayor que la de los ciclos dual y Otto ,
con la de este último menor que todas. Por tanto,
1JDiesel > 1Jdual > 1JOtto
p
IPmáx, Tmáx
T
2'
3
3
4
4
v
s
Figura 10.10. Comparación de los ciclos Otto, Diesel y dual con la misma presión y máxima temperatura.
10 Ciclos termodinámicos
353
Quemador
~ombustible
Turbina
Carga
Aire
Salida de gases
Figura 10.11. Turbina de gas.
10.5 Ciclo Brayton
El ciclo Brayton o ciclo Joule es una aproximación a la secuencia de procesos que se realizan en una
turbina de gas, como la del esquema de la figura 10.11. Un flujo de masa de aire se hace pasar por
el compresor, con lo que se eleva su presión y temperatura. El aire descargado por éste se hace pasar
a continuación a través del quemador, donde, por medio de la adición de combustible, se realiza el
proceso de combustión a presión constante. Los productos de combustión a .alta temperatura son
finalmente descargados a través de la turbina, desarrollándose una potencia suficiente para impulsar
el compresor y suministrar un excedente a los alrededores. Los diagramas presión-volumen y temperatura-entropía de un ciclo Brayton ideal se ilustran en la figura 10.12. A semejanza con los ciclos
p
T
2
3
v
s
Figura 10.12 . Diagrama presión-volumen y temperatura-entropía de un ciclo Brayton ideal.
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354
Termodinámica
antes analizados, se presupone en el ciclo Brayton estándar de aire que el medio de trabajo se
comporta como un gas ideal de composición uniforme, con calores específicos constantes y la adición de calor a presión constante es equivalente al proceso de combustión. Dado que las turbinas de
gas operan con relaciones aire/ combustible elevadas, los productos de combustión pueden tratarse
como aire nada más, sin pérdida de exactitud en el análisis.
Antes de analizar el ciclo Brayton, conviene definir lo que se conoce como condiciones totales o
de estancamiento. La utilidad de estos conceptos estriba en la simplificación a que dan lugar en los
balances de energía.
La entalpía total o de estancamiento se define como la suma de la entalpía estática, o determinada por un observador que viaja con el fluido, más la energía cinética de este último, es decir,
ht = h + \/2/ 2. Así, la temperatura total o de estancamiento corresponde al valor que adquiere el
fluido al ser desacelerado, con o sin fricción, hasta condiciones de velocidad cero. Por otro lado, si
el proceso de desaceleración es isoentrópico, la presión que alcanza el fluido se conoce como presión total o de estancamiento. La temperatura total en un gas ideal puede relacionarse con la
temperatura estática a través de la definición de la entalpía total. Esto es,
ht = h + \/2/2
y así,
En consecuencia,
(10.6)
De la misma manera, si el proceso de desaceleración es adiabático reversible, es decir, isoentrópico,
la presión total se relaciona con la presión estática a través de la expresión
(10 .7)
Definidas estas condiciones totales, se determinar? ahora, de forma general, la eficiencia térmica del
ciclo Brayton ideal. Mediante un balance de energía en la turbina,
w,
+, ~:J+, ~}h" -h"
+
=cp (Tt3 - T t4 )
+
10 Ciclos termodinámicos
355
De forma similar, para el compresor,
Asimismo,
(10.8)
Además, el calor suministrado al ciclo está dado por la expresión
Por tanto,
TI = wneto = 1_lq4-11
q2-3
q2-3
= 1 _ -r:4 - -r:l = 1- -r:l (-r:4/-r:l - 1)
-r:3 - -r:z
-r:z (-r:3/ TtZ - 1)
Puesto que los procesos 1-2 y 3-4 son isoentrópicos en este ciclo ideal, el cambio de entropía que
sufre el medio de trabajo durante la adición de calor, es igual en magnitud al cambio de entropía
durante la cedencia de calor. Es decir,
Por consiguiente,
(10.9)
Vea que la ecuación 10.9 es muy similar a la ecuación 10.1. De hecho, cuando los efectos de la
energía cinética son despreciables, ambas ecuaciones son idénticas. La ecuación 10.9 puede modificarse
en términos de la relación de presiones rp = Pt2/Ptl. Puesto que la compresión del estado 1 al estado
2 es isoentrópica
T
k-l
-ª-=r k
-r:l P
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356 Termodinámica
Sustituyendo esta última expresión en la ecuación 10.9
(10.10)
Definiendo la función de presión X como
k-l
X=rp k -1
la eficiencia térmica del ciclo Brayton puede escribirse así
X
17=l+X
(10 . 11)
En la tabla 10.1 se incluyen valores de la función de presión X para diferentes valores de la relación
de presiones r p ' usando un valor de k = 1.4.
En general, las temperaturas y presiones
totales encontradas en turbinas de gas estacionarias no difieren de manera sensible de los correspondientes valores estáticos. Estas cantidades
son diferentes sólo en el caso de fluidos que
T
3' 3
tienen velocidades superiores o iguales a la del
sonido. En consecuencia, todos los análisis posteriores que siguen se realizarán empleando condiciones estáticas, excepto donde expresamente
se indique lo contrario.
Es importante determinar ahora una relación
2'
óptima de presiones para que la turbina de
2
gas suministre su potencia máxima. Puesto que
la eficiencia térmica de la unidad depende de la
relación de presiones rp como lo indica la ecuación 10.10, la máxima relación de presiones
s
posible es aquella en la que Tz se aproxima a
T3 , si es que la temperatura de los gases a la
entrada de la turbina se mantiene fija. Esto se
Figura 10.13. Ciclo Brayton ideal con diferentes relailustra la figura 10 .13. En estas condiciones,
ciones de presión y temperatura máxima constante .
10 Ciclos termodinámicos
357
TABLA 10.1. Valores de la función de presión X para diferentes valores de r (k-lA}
.
O
r
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.1
000
276
535
778
004
028
303
560
802
031
057
329
585
826
054
085
355
609
849
077
113
381
634
872
098
140
407
658
895
120
168
433
683
918
142
195
459
706
941
164
222
484
731
964
185
249
510
755
987
207
0.2
228
437
637
829
013
250
458
657
847
031
271
478
676
866
049
292
498
695
855
067
313
518
715
903
084
334
538
734
921
102
355
558
753
940
120
376
578
772
958
138
396
598
791
976
155
417
617
810
995
173
190
361
527
687
842
208
378
543
703
857
225
395
559
718
872
242
411
575
734
888
260
428
591
750
903
276
445
607
765
918
294
461
623
781
933
310
478
639
796
948
327
494
655
811
963
344
510
671
827
978
993
139
282
420
555
007·
153
296
434
566
022·
168
309
448
582
037·
182
324
461
595
052·
197
337
475
609
066·
211
351
488
622
081·
225
365
502
635
096·
239
379
515
648
110·
253
392
529
662
125·
268
406
542
674
688
816
942
065
186
700
829
955
078
198
714
841
967
080
210
726
854
980
102
221
739
867
992
114
233
752
878
004·
126
248
765
892
016·
138
257
775
905
029- .
150
269
791
917
041·
162
280
804
930
052174
292
304
419
533
644
753
315
431
544
655
764
323
442
555
666
775
338
453
566
677
785
350
465
577
688
796
362
476
588
698
807
373
487
600
710
817
385
499
611
720
828
396
510
622
731
839
408
522
633
742
849
0.0
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
p
0.3
0.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
I
'
,
tI'
::1
If'l'
,
,.I
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
0.5
860
965
069
170
270
871
976
079
180'
280
881
986
089
190
290
892
997
099
200
300
902
007·
110
210
310
913
017·
120
221
320
924
027·
130
230
329
369
465
561
655
747
378
475
570
664
756
388
485
579
673
766
398
494
589
682
775
407
504
599
692
784
417
513
608
701
793
427
523
617
710
802
934
944
038·
048·
140
150
240
250
339 I 349
\
I 436
532
626
719
811
446
542
636
729
820
955
058·
160
260
359
I 456
551
645
738
829
(Continúa)
I
111
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358
Termodinámica
TABLA 10.1. (Continuación)
r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
838
928
017
104
190
847
937
026
113
199
856
946
035
121
208
865
955
043
130
216
874
964
052
139
225
883
973
060
147
233
892
981
069
156
242
901
990
078
165
250
910
999
087
173
259
919
008·
095
182
267
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
275
360
442
524
605
284
369
450
533
613
292
376
459
540
621
301
384
467
549
629
309
393
475
557
637
317
401
484
565
645
326
409
492
573
654
334
418
500
581
662
343
426
508
589
669
351
434
516
597
677
6.0
6.1
6.2
6.3
6.4
685
764
842
919
996
693
772
850
927
003·
701
780
858
935
011·
709
788
865
942
018·
717
795
873
950
026·
725
803
881
957
034·
733
811
889
965
041·
740
819
896
973
049·
748
827
904
980
056·
756
835
912
988
064·
071
146
219
293
365
079
153
227
300
372
086
160
234
307
379
094
168
242
314
387
101
176
249
322
394
108
183
256
329
401
116
190
264
336
408
124
198
271
343
415
131
205
278
350
422
138
212
285
358
429
7.0
7.1
7.2
7.3
7.4
436
507
577
647
715
443
514
584
653
722
450
522
591
660
729
458
528
598
668
736
465
535
605
674
743
472
542
612
681
750
479
549
619
688
756
486
557
626
695
763
493
564
633
702
770
500
570
640
708
777
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
784
851
917
984
050
790
858
924
990
056
797
865
931
997
062
804
871
938
004·
069
811
878
945
010·
075
817
884
951
017·
082
824
891
958
023·
088
831
898
964
030·
095
837
904
971
036·
101
884
911
977
942·
108
8.0
8.1
8.2
8.3
8.4
115
179
243
306
369
121
185
249
312
375
127
192
255
318
381
134
198
262
325
387
140
205
268
331
394
147
211
274
338
400
153
217
280
344
406
160
223
287
350
412
166
230
293
356
419
172
237
300
362
425
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
431
493
554
, 614
, 675
437
499
560
620
680
443
505
566
627
687
450
511
572
633
693
456
517
578
638
699
462
523
584
644
705
468
529
590
650
711
474
536
597
657
717
480
542
603
663
723
486
548
608
669
728
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
,.. ",
O
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
0.5
0.6
0.7
0.8
(Continúa)
el trz
de e
10 Ciclos termodinámicos
TABLA 10.1.
r
(Continuación)
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
734
793
853
911
969
740
800
858
917
974
747
805
864
923
980
752
811
870
928
986
758
817
876
934
992
764
823
882
940
998
770
829
887
946
003
776
835
893
952
009'
782
841
899
957
015'
787
847
905
963
020'
026
083
140
196
252
032
089
145
201
257
037
095
151
207
263
043
100
157
213
268
049
106
162
218
274
055
112
168
224
279
060
117
173
230
285
066
123
179
235
290
072
129
185
240
296
077
134
190
246
301
10.0
10.1
10.2
10.3
10.4
307
362
416
470
525
313
367
422
476
530
318
373
427
482
535
324
379
433
487
541
329
384
438
492
546
334
389
444
498
551
340
395
449
503
556
345
400
455
508
562
351
406
460
514
567
357
411
465
519
573
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
578
631
684
736
788
584
636
689
741
793
589
642
695
746
799
594
647
700
752
804
600
652
705
757
809
605
658
710
762
815
610
663
715
767
820
615
668
720
773
825
620
673
725
778
830
625
678
731
783
835
11.0
11.1
11.2
11.3
11.4
840
891
943
993
043
845
897
947
998
049
850
902
953
003'
054
855
907
958
008'
059
860
912
963
013'
064
865
917
968
019'
069
871
922
973
024'
073
876
927
978
029'
079
881
932
983
033'
084
886
937
988
038'
089
11.5
11.6
11.7
11.8
11.9
094
143
193
242
291
098
148
198
247
295
103
153
203
251
300
109
158
207
257
305
114
163
212
261
310
118
168
218
267
315
123
173
222
271
320
129
178
227
276
325
134
183
232
281
330
138
188
237
286
334
12.0
340
344
349
354
359
363
369
373
278
382
9.0
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
0.9
1.0
359
el trabajo neto hecho por el ciclo se aproxima a cero y la eficiencia térmica se aproxima a la del ciclo
de Carnot para los límites de temperatura de TI y T3' De acuerdo con la ecuación 10.8, tenemos
inúa)
"
"
ti
"
If
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360
Termodinámica
T(T T T 1J
wneto = e plT3 - T4 - T2 +
I
=c T
p
I
=c T
p
I
I
I
T
T
-ª---ª--r
kk-I +1
T
p
( TI
2
J
TI - -T3- r k-I
-T3 - k +
p
( TI T2 TI
1J
=c p TI -TT3 - -1k-I
- - -TT3- rP k-k I +1
( I
r k
I
J
(10.12)
P
W
~o
k-IJ( 1-rk
.
T
=c P TI 2-r
k
P
( TI
k-I)
P
Al dife renciar esta expre sión con respecto a rp e igualar a cero,
(10 .13)
En la figura 10.1 4 se m ue stra la variación del trabajo neto y la eficiencia térmica como función de la
relación de presiones r p para un ciclo Brayton . Según esta figura , el trabajo neto desarrollado por una
turbina de gas aumenta al incrementarse la temperatura T 3 . La posibilidad de operar las turbinas con
gases a altas temperaturas es atractivo si se considera que los valores actuales son del orden de 800 o e,
y este valor es considerablemente infe rior a la temperatura que los gases pueden adquirir durante la
combust ión adiabát ica de cualquier h idrocarburo. De hecho, esta temperatura puede, en principio,
aumentarse hasta más del doble ; sin embargo, sin la complejidad que involucra el enfriamiento de los
álabes, el límite de tem p eratura máximo de operación queda impuesto por consideraciones metalúrgicas. Según la misma figura 10 .14 el trabajo neto desarrollado por la unidad disminuye al aumentar
la temperatura del aire aspirado p or el compresor. Este fenómeno se explica d e manera fácil si se
t iene en cuenta que el trabajo requerido para comprimir el aire aumenta con la temperatura de éste.
10 Ciclos termodinámicos
1.60
0.80
1.20
0.60
361
ro
¡...:-
'ü
e
0.40 .~
t:J"'-
2 0.80
"
~c:.
~
0.40
0.20
o
2
3
5
8 12 17 23 30 50 70
Relación de presiones
Figura 10.14. Variación del trabajo neto y la eficiencia térmica como
función de la relación de presión en un ciclo Brayton ideal.
Ejemplo 10.8
Considere un ciclo Brayton ideal de aire donde la relación de presiones a través del compresor es
igual a 5 y la temperatura del aire a la entrada de la turbina es de 900 oc. Si la presión y la temperatura del aire ambiente son iguales a 1 bar y 40 oC, respectivamente
a) Determine ia presión, temperatura y volumen específico en los diferentes estados del ciclo.
b) Calcule el trabajo por unidad de masa desarrollado por la turbina.
e) Determine el trabajo por unidad de masa requerido por el compresor.
d) Calcule el trabajo neto por unidad de masa que desarrolla la turbina de gas.
e) Determine la eficiencia térmica del ciclo.
Solución
a) Estad o 1
PI = 1 bar
TI = 313 K
(0 .287)(313)(10 6 )
(1 x 105 )
3
= 898 .31 cm /g
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362
Termodinámica
Estado 2
P2 = rpPI = (5)(1) = 5 bar
v
2
= RT2 = (0.287)(495.96)(106) =284.68 cm 3!
(5x10 5 )
P2
9
Estado 3
P3 = Pz = 5 bar
T3 = 900 oC = 1173 K
v
3
= V T3 =(284.68) 1173.0 = 673.3 cm3/g
Z
Tz
495.96
Estado 4
P4 = PI = 1 bar
k-l
3 -_1173
(P4Jk -- Tk-l
- 402
T4 -T
- 3 P3
50.286 - 7 . 7 K
rp k
v
T
740.27
=
v -.i. = (898.31) =
= 2124.57 cm3 /g
4
1 T
313
3
b) W t = e p(T3 - T4 ) = (1)(1173 - 740 .27) = 432.73 J/ g
e) W c = ep(Tz - TI) = (1)(495.96 - 313) = 182.96 J/ g
d) wneto = wt - W c = 432.73 - 182.96 = 249.77 J/g
e) Para una relación de presiones igual a 5, se obtiene, mediante la tabla 10.1, que X= 0.5838.
Por tanto,
11
=~ =
l+X
11 = 37%
0.5838
1+0.5838
= 0.37
10 Ciclos termodinámicos
363
El análisis anterior presupone que los procesos de compresión y expansión en la turbina de gas son
isoentrópicos. Empero, la realidad es que la eficiencia del compresor y de la turbina son inferiores a
100%. En la figura 10.15 aparece el diagrama temperatura-entropía de una turbina de gas, donde las
eficiencias del compresor y de la turbina son inferiores a 100%.
Si se analiza la turbina de gas real donde existen pérdidas, se encuentra que la eficiencia
térmica depende no sólo de la relación de presiones rp' sino también de otros factores. Si se
supone que la caída de presión en el quemador es despreciable, la eficiencia térmica puede determinarse como sigue:
Con la definición de eficiencia para un compresor y una turbina,
17= cpl7t(T3 - T4,) - cp(Tz' - TI)/l7c
cp(T3 - Tz)
Dividiendo entre TI'
'\
1
T3 _ T3 T4'
l7t
l7c
TI
TI T3
17=
T3 _ Tz
TI
Tz' -1
TI
TI
l.
3
T
1-
4
I
ItI
::11
111 I
I.t
111
8.
s
Figura 10.15. Diagrama temperatura-entropía de una
turbina de gas en donde las eficienciasdel compresor y
la turbina son diferentes de 100%.
I
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364
Termodinámica
la rel;
neto
pero
máxi
T2 = 1+ T2.jT¡ - 1
T¡
k-I
r k-1
111
,I'fll
mae
17e
"'1"
'11,1
eíicie
=l+--"P---
~~al'
1>,
dada
temp
de pr
llc
comt
Asimismo,
T
11-
, ~H
T,
k-¡
=-2-=rk
_3
T4'
T¡
P
Entonces,
para
,llf¡
T3
X+1
r:17t
---17
17 -
•.•,., 1\.
17e
1
¡
T
X
----ª---l-TI
n:
(10.14)
para
donde
X
1]¡
= 1+ X
De esta expresión se deduce que la eficiencia térmica no sólo depende de la relación de presiones rP'
sino también de las eficiencias del compresor y la turbina, de la temperatura de los gases de combustión a la entrada de la turbina y de la temperatura ambiente.
De manera similar, puede demostrarse que el trabajo neto desarrollado por la unidad en estas
condiciones queda determinado por la expresión
(10. 15)
En la figura 10.16 se observa la variación de la eficiencia térmica y el trabajo neto como función de la
relación de presiones rp para diferentes valores de la temperatura T3' Las líneas punteadas indican
J
o Ciclos termodinámicos 365
la relación óptima de presiones para que la turbina de gas tenga máxima eficiencia o desarrolle el trabajo
neto máximo. Desafortunadamente, la relación óptima de presiones no produce al mismo tiempo la
máxima eficiencia y el trabajo máximo, es decir, para obtener máxima eficiencia se requiere una relación
dada de presiones, mientras que para obtener máxima potencia se requiere otra. Por ejemplo, para una
temperatura T3 alrededor de 870 oC (11 t = 0 .85 , 11e = 0 .84 , k = 1.395, TI = 294 K), se obtiene una relación
de presiones igual a 6 para máxima potencia y una relación de presiones igual a 11 para obtener máxima
eficiencia. Puesto que la relación óptima de presiones es diferente para obtener máxima potencia o máxima eficiencia térmica, la turbina de gas se diseña en general para máxima potencia, máxima economía o un
compromiso entre estos dos objetivos. De acuerdo con las ecuaciones 10.14 y 10.15 se obtiene
k
r
_ (
P. 6pt -
T3 ]2(k-I)
11c11t TI J
(10.16)
para potencia máxima, y
1
T3
11 'le + -11'le
-11
1 + [(T3 /11 - l)(11 eT3/TI + 1 -11 e -11 e11t T3 /11 ]Yz
11t T3/11
(10.17)
para máxima eficiencia.
T3 = 870 oC
<1l
()
.~
o
ID
2
e
o
.~
()
'(0
e
.o
ID
<1l
t=
()
Ifj
(a)
11
Relación de presiones, rp
(b)
6
Relación de presiones, rp
Figura 10.16. Variación de la eficiencia térmica y el trabajo neto como función de la relación de
presiones r p' para diferentes valores de la temperatura T3 .
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366
Termodinámica
Ejemplo 10.9
Considere una turbina de gas que desarrolla 5000 kW de potencia. Las eficiencias en el compresor y
la turbina son iguales a 0.80 y 0.85, respectivamente. Si la temperatura de los gases calientes es de
900 oC y la turbina opera con una relación óptima de presiones para obtener máxima potencia,
calcule la eficiencia térmica del ciclo. Suponga que las condiciones del aire a la entrada del compresor
son de 1 bar y 40 oc.
Solución
Con la ecuación 10.16,
1.4
1173JO.8
r
= 0.85xO.80x-p , 6pt
.
313
(
=
5.14
Según la tabla 10.1, para una relación de presiones igual a 5.14, se obtiene X = 0 .5964. En consecuencia,
0 .5964
l] ¡
0.37
= 1.5964
y sustituyendo valores en la ecuación 10.14,
l] =
0 .37 (3 .75)(0.85) - (1.5964/ 0.8) = 022
3 .75 - 1 - 0.5964/ 0.8
.
= 22%
Ejemplo 10.10
En una turbina de gas se obtuvieron los siguientes datos experimentales:
Estados
Presión, bar
Temperatura, oC
1
2
3
4
1
45
5
270
5
875
1
527
J
o Ciclos termodinámicos
367
Calcule para esta unidad
a) La eficiencia del compresor.
b) La eficiencia de la turbina.
e) El calor por unidad de masa suministrado al ciclo.
d) La eficiencia térmica del ciclo.
e) El trabajo por unidad de masa desarrollado por la unidad.
Solución
a)
k-¡
Tz' = T¡ rp k
0286
= (318)(5) ' = 503.89 K
Por tanto,
11c = 83%
b)
_ T3 _ 1148 _
T4 , - ----¡;::¡
- ----o:z86 - 724.50 K
rk
p
(5)
Entonces,
11t = T3 - T4 = 1148- 800 = 0.82
T3 - T4,
1148-724.5
11t = 82%
e) Mediante un balance de energía,
q = c p(T3 - T2) = (1)(1148 - 543)
=
605 J/g
d) Según la tabla 10.1, para un valor de rp = 5, se obtiene X = 0.5838. Por consiguiente,
. = ~ = 0.5838 = 0.37
11,
1+ X
= 37%
l.5838
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368
Termodinámica
Al sustituir valores en la ecuación 10 .14,
_ 037 (3.61)(0 .82) - (1.5338 / 0.83)
11 - (. )
3.61 - 1 - 0.5838 / 0.83
0.203
11 = 20.3%
e)
w = q11 = (605)(0.203) = 123.06 J / g
10.6 Ciclo Brayton con regeneración
Puesto que la temperatura de los gases de combustión a la descarga de la turbin~, es generalmente
mayor que la del aire a la descarga del compresor cuando la relación de presiones rp es baja, la
energía asociada con los gases calientes que salen de la turbina puede aprovecharse para calentar el
aire que entra en el quemador, mediante un regenerador, como se observa en el esquema de la figura
10 .17 . El diagrama temperatura-entropía de un ciclo estándar de aire con regeneración se ilustra en
la figura 10.18. Mediante un balance de energía en el regenerador,
h4 - hy = hx - h2
o bien,
Esta ecuación implica que todo el calor cedido por los gases calientes es absorbido por el aire que
descarga el compresor. En el caso ideal de que el proceso de transferencia de calor sea reversible,
el área que queda debajo de la trayectoria 2-x del diagrama temperatura-entropía es igual en magnitud al área que se halla debajo de la trayectoria 4-y. Si esta transferencia de calor se realiza a
través de una diferencia finita de temperaturas, esto es, de forma irreversible,
Regenerador
y------------~
r-------.-------~
4
Compresor
2
Quemador
Carga
Figura 10.17. Esquema de una turbina de gas con regenerador.
10 Ciclos termodinámicos
En la figura 10.19 se aprecia la variación de la
temperatura de los gases calientes y el aire como
función de área de transferencia de calor en este
intercambiador. Debe observarse que la máxima
temperatura Tx que el aire puede alcanzar antes
de entrar en el quemador es igual a la temperatura de descarga T4 en la turbina.
A la luz de este razonamiento, la eficiencia o
efectividad del regeneradorll r puede definirse como
Calor real transferido
1]r = Calor máxio que puede transferirse
369
T
3
2
_ hx - h2 _ h4 - hy
h4 - h2
h4 - h2
s
Figura 10.18. Diagrama temperatura-entropía de
un ciclo Brayton ideal con regeneración.
i
T2
----+-
Ty
11
'---------------,1 Tx
---+-
1
1I
i
T4
Distancia
Figura 10 .19. Variación de la temperatura de los gases y el aire como
función del área de transferencia de calor en un regenerador de flujos opuestos.
www.elsolucionario.org
370
"''''
..
Termodinámica
El uso de regeneración disminuye el consumo de combustible, puesto que los productos de combustión descargados por la turbina calientan el aire desde T2 hasta Tx· La eficiencia térmica de este ciclo
regenerativo puede obtenerse mediante balances de energía. Esto es
presio
dada ~
descai
1 _ cp(Ty - TI)
tura s{
la turl:
cp(T3 - Tx)
posibl
ocurre
Mediante manipulación algebraica,
T
T
k-j
TI
i-i
r k - --1.. r
'.r P
la figU
tempe
sedes
de pre
-
k
(TI
-
'.r
P
1)- 1
reqem
(10.18)
••••••
Ir.
Observe que cuando la eficiencia del regenerador tiende a cero, es decir, cuando se elimina el regenerador,
la eficiencia térmica tiende a la del ciclo Brayton estándar (ecuación 10.10). En la figura 10.20 se
muestra la variación de la eficiencia térmica como función de la relación de presiones rp para distintos
valores de eficiencia en el regenerador y un valor de T3/TI = 3. Debe observarse que todas las líneas
se intersecan en el punto PC, llamado a menudo punto de cruce. Al incrementar la relación de
cienci;
rp me
de en,
El
bién ¡:
por ej
R
de aui
E
pasos
80
Ejem
":!!.
o
60
nr=1.0
~ __ ---O.O
ti
o
.§
:::;~¡;¡;...~~;;;;;;;~~==
--:::
~ 40
<1l
·0
e
Q)
·0
m 20
o
0.2
0.4
0.6
0.6
0.4
0.2
0.0
nr= 1.0
2
4
6
8
10
12
14
Relación de presiones rp
Figura 10.20. Variaciónde la eficienciatérmicade un cicloBraytonidealcon regeneración.
Consi
esta u
10 Ciclos termodinámicos
presiones para una temperatura de combustión
dada se incrementa la temperatura del aire a la
descarga del compresor y, cuando esa temperatura se iguala a la de los gases a la descarga de
la turbina, la regeneración de calor deja de ser
posible, como se aprecia en la figura 10.13. Esto
ocurre físicamente en el punto de cruce PC de
la figura 10.20. Puede decirse que al aumentar la
temperatura de combustión T3 , el punto de cruce
se desplaza hacia valores mayores de la relación
de presiones rp' Por consiguiente, el empleo de
regeneración es atractivo para aumentar la eficiencia térmica de la unidad sólo para valores de
rp menores al valor correspondiente al punto
de cruce.
El funcionamiento de la turbina de gas también puede mejorarse mediante otras técnicas;
por ejemplo:
371
Quemador No. 2
5
y -~;-"::;
Compresor
Turbina No. 1
T
3, 5
800 oC
cY
14'S
4'
2' 2
I
I
20 oC
1
Y
s
Figura E.IO.II
Recalentamiento adicional con quemadores entre los diferentes pasos de la turbina con el fin
de aumentar la potencia desarrollada por la unidad.
Enfriamiento del aire mediante el empleo de intercambiadores de calor entre los diferentes
pasos del compresor, disminuyendo la potencia requerida por éste.
Ejemplo 10.11
Considere una turbina de gas como la del esquema de la figura E.I0 .11. Los datos de operación para
esta unidad son los siguientes:
Presión del aire a la entrada del compresor, bar
Temperatura del aire a la entrada del compresor, oC
Relación de presiones en el compresor
Presión de los gases en los estados 6 y y, bar
Temperatura de los gases en los estados 3 y 5 oC
Eficiencia del regenerador
Eficiencia del compresor
Eficiencia de ambas turbinas
Potencia desarrollada por la turbina No. 2, kW
1
20
5
1
800
0 .8
0.85
0.9
5000
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372
Termodinámica
Suponiendo que el medio de trabajo tiene las propiedades termodinámicas del aire, calcule
a) Las presiones y temperaturas en los diferentes estados.
b) El flujo de masa que requiere la turbina No. 2.
e) El flujo de calor suministrado en el quemador No. 2 .
d) El flujo de masa aspirado por el compresor y el requerido por la turbina No. 1.
e) El flujo de calor suministrado en el quemador No. 1.
f) La potencia requerida por el compresor.
g) El flujo de calor que se intercambia en el regenerador.
h) La eficiencia térmica de la unidad.
i) La producción de entropía en el regenerador.
j) Las pérdidas de disponibilidad en el regenerador.
Solución
a) Estado 1
PI = 1 bar
TI = 20 oC = 293 K
Estado 2
P2 = rpPI = (5)(1) = 5 bar
k-I
T2, = TI rpk = (293)(5)0286 = 464.27 K
T2 , = TI +
T -T
2'
I
11c
= 293 + 464.27 - 293
0.85
T 2 = 494.49 K
Estado x
P x = 5 bar '
T4 = T3 - Dr (T3 - T4· )
= 1073 - (0 .9)(1073 - 677 .16)
T4 = 716.74 K
10 Ciclos termodinámicos
Además,
Tx = T 2 + 71 r (T4 - T2 )
= 494.49 + (0.8)(716.74 -
T x = 672.29 K
Estado 3
P3 = 5 bar
T3 = 1073 K
Estado 4
P4 = 1 bar
T4 = 716.74 K
Estado y
Py = 1 bar
T y = T4 - 71 r (T4 - T 2 )
= 716 .74 - (0 .8)(716.74 - 494.49)
T y = 538.94 K
Estado 5
Ps = 1 bar
Ts = 1073 K
Estado 6
P6 = 1 bar
T6 = 716.74 K
b) wt2 = cp(Ts - T 6 ) = (1)(1073 - 716.74)
=
356.26 J/ g
Por tanto ,
W
5x 106
W '2
356.26
m'2= _ '2 =
= 14.03 kg/s
494.94)
373
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374 Termodinámica
e)
O2 = mép(Ts - T2)
=
(14.03)(1)(1073 - 494.49)
O2 = 8116.5 kW
d) Mediante un balance de materia,
Puesto que la potencia requerida por el compresor debe ser suministrada por la turbina No. 1,
Sustituyendo valores,
mt1 (1)(1073 - 716.74)
= (m
donde
mt
2 =
n+m
t2 )(1)(494.49 - 293)
14.03 kg/ s. En consecuencia,
mn
=
18.27 kg/ s
Además,
me 14.03 + 18.27
=
e) 0 1 = mtl ep(T3 - T)
= (18.27)(1)(1 073 - 672 .29)
= 7320.97 kW
f) We = Wt =
=
mt1 e (T3 - T4 )
p
(18 .27)(1)(1073 - 716.74)
= 6508.87 kW
g) Or = mtl ep(Tx - T2)
=
(18.27)(1)(672 .29 - 494.49)
=
3248.41 kW
=
32.30 kg/ s
10 Ciclos termodinámicos
375
h) De los resultados anteriores,
11 =
5000
7320.97 + 8116.5
= 0.324
11 = 32.4%
i) Mediante un balance de entropía en el regenerador,
'.
TXTy
Sp = mt1cp In --
TzT4
= (18.27)(1) In (1.02)
= 0.36
j)
'Yp = To Sp = -(293)(0.36) = -106.01
kW/K
kW
10.7 Ciclo Rankine
I I
La planta ideal generadora de vapor que aparece en el esquema de la figura 10.21 se puede analizar
mediante el ciclo Rankine, cuyos diagramas presión-volumen y temperatura-entropía aparecen en
la figura 10.22. El vapor saturado seco descargado por la caldera a una presión Pl se suministra a la
turbina, en donde se expande de forma isoentrópica hasta la presión P2' En el condensador se
transforma el vapor húmedo de forma isobárica e isotérmica en líquido saturado mediante la remoción de calor. Puesto que la presión en el condensador P: = P3 es mucho menor que la presión del
'1
Caldera
tlij
"ni
~I ,
4
11
Bomba
Figura 10.21. Planta elemental generadora de vapor.
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376 Termodinámica
T
p
s
v
Figura 10.22. Diagramas presión-volumen y temperatura-entropía de un cieJo Rankine ideal.
vapor en la caldera P4 = PI ' el líquido saturado se bombea de manera isoentrópica hasta alcanzar la
presión P4. El líquido comprimido es suministrado a la caldera, en donde se calienta primero hasta
la temperatura de saturación correspondiente a la presión PI' para luego evaporarse hasta transformarse en vapor saturado seco para terminar el ciclo termodinámico.
La eficiencia térmica de este ciclo Rankine ideal puede obtenerse recurriendo a la primera ley de
la termodinámica. Esto es
Wt =
h l - h2
wb = h4 - h3
wneto = w t - wb
También
En consecuencia,
(h l - h 2) - (h 4 - h3)
(h l - h4)
(10 .19)
10 Ciclos termodinámicos
377
La diferencia de entalpía en el proceso isoentrópico 3-4 puede calcularse a través de la expresión
El trabajo requerido por la bomba es, en general, muy pequeño comparado con el trabajo desarrollado por la turbina. De aquí que la expresión 10.19 normalmente se simplifique así:
11 =
(10 .20)
La eficiencia térmica del ciclo puede incrementarse aumentando la entalpía del vapor suministrado a
la turbina; basta con elevar la temperatura del vapor en la caldera. Este calentamiento puede lograrse
mediante el empleo de un sobrecalentador, el cual permite aumentar de modo isobárico la entalpía
del vapor, transformándolo en vapor sobrecalentado.
En la figura 10.23 se ilustra un ciclo Rankine con sobrecalentamiento. El trabajo desarrollado por el
ciclo se incrementa por el área x-1-2-a-x, y el calor transferido a la caldera por el área x-1-2'-a'-x,
aumentándose así la eficiencia térmica del ciclo. Observe que el título del vapor descargado por la
turbina también se incrementa, o en otras palabras, la humedad disminuye.
La eficiencia térmica del ciclo Rankine también puede incrementarse disminuyendo la entalpía del
vapor a la descarga de la turbina. Esta disminución generalmente se logra al disminuir la presión de
T
Sobrecalen tador
4
3~--------------~~
(a)
Figura 10.23. Ciclo Rankine ideal con sobrecalentamiento.
(b)
a' 2'
s
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378 Termodinámica
operación del condensador. Sin embargo, una disminución de la presión de descarga trae como
consecuencia un aumento en la humedad del vapor descargado por la turbina. Esta consecuencia es
significativa si se considera que una humedad excesiva en los últimos pasos de la turbina origina una
disminución en su rendimiento, y puede dar origen a la erosión de los álabes.
La eficiencia del ciclo Rankine también puede incrementarse aumentando la presión de operación
en la caldera, como aparece en el diagrama de la figura 10.24. No obstante, un aumento en la presión
de operación de la caldera origina un mayor grado de humedad en los últimos pasos de la turbina.
Este problema puede solucionarse recurriendo al recalentamiento, en donde el vapor a alta presión
procedente de la caldera se expande sólo de manera parcial en una parte de la turbina para volver a
ser recalentado en la caldera. Después, el vapor retorna a la turbina, en donde se expande hasta la
presión del condensador. Un ciclo ideal con recalentamiento y su correspondiente diagrama temperatura-entropía se muestra en la figura 10.25. Observe en esta figura que el ciclo Rankine con
sobrecalentamiento sólo sería más eficiente que el ciclo con recalentamiento si en el primero fuera
posible calentar el vapor hasta el estado l' sin incurrir en problemas de materiales.
Ejemplo 10.12
Considere un ciclo Rankine en el que el vapor saturado seco suministrado a la turbina se encuentra
a una presión de 30 bar. La presión en el condensador es de 0.075 bar. Calcule la eficiencia
térmica del ciclo.
T
3~----------
______~
s
Figura 10.24. Efecto de la presión de operación de la caldera en un ciclo Rankine ideal.
10 Ciclos termodinámicos
T
,1
,'1
I
,
/
1
1
,
:/
1
I
3
(a)
(b)
Figura 10.25. Ciclo Rankine ideal con recalentamiento.
Solución
Según la tabla A.2, a una presión de 30 bar,
h1 = hg = 2804.2 J/ g
sI = Sg = 6 .1869 J/ g K
Puesto que el proceso de expansión 1-2 es isoentrópico,
S2 = SI = 6.1869 J/ g K
Según la tabla A.2, a una presión de 0.075 bar,
Uf =
1.0079 cm 3 /g
SI = 0 .5764 J/ g K
hf = 168.79 J/ g K
Sfg =
7.6750 J/ g K
hfg = 2406 J/ g
s
379
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380 Termodinámica
En consecuencia,
6.1869 - 0.5764
7.6750
0.73
Asimismo ,
h 2 = 168.79 + (0 .73)(2406)
=
1925 .17 J / g
A la descarga del condensador,
h3 = h f 2 = 168.79 J/ g
A la descarga de la bomba,
h4 = h3 + Vf2 (P4 - P3)
=
168.79 + 1.0079 (~~ - 0 .075)
= 171.81 J/g
Sustituyendo valores en la ecuación 10 .19,
11 =
(2804.2 -1925.17) - (171.81-168.79)
(2804.2 -171.81)
= 879.93 - 3.02 = 0.33
2632.39
= 33%
Observe que el trabajo por unidad de masa requerido por la bomba e:¡ despreciable comparado con
el de la turbina.
Ejemplo 10.13
Considere el mismo ciclo Rankine del ejemplo 10.12, excepto que el vapor suministrado a la turbina
se encuentra sobrecalentado a 30 bar y 400 oc. Calcule la eficiencia térmica del ciclo.
Solución
Según la tabla A.3, a una presión de 30 bar y una temperatura de 400 oC,
hl = 3230.9 J / g
sI = 6 .9212 J/ g K
10 Ciclos termodinámicos
381
Según la tabla A.2, a una presión de 0.075 bar,
h¡ = 168.79 J/ g
h¡g = 2406 J / g
s¡
= 0.5764 J/ g K
s¡g = 7.6750 J/g K
Puesto que el proceso de expansión en la turbina es isoentrópico, sI = S2 = 6.9212 J/ g K. Por tanto ,
= 6.9212 - 0.5764 = O 83
7.6750
X2
.
También
h 2 = h¡ + X2h¡g = 168.79 + (0.83)(2406)
=
2165.77 J/g
Sustituyendo valores en la ecuación 10.20,
3230 .9 - 2165.77
3230.9 - 168.79
11
=
0.35
35%
Vea que el sobrecalentamiento causa un aumento en el título del vapor a la descarga de la turbina y un
aumento en la eficiencia .
Ejemplo 10.14
Considere el mismo ciclo Rankine del ejemplo 10.13, excepto que el vapor suministrado a la turbina
se encuentra sobrecalentado a una presión de 50 bar y una temperatura de 400 oc. Calcule la
eficiencia térmica del ciclo.
Solución
Según la tabla A.3, a una presión de 50 bar y una temperatura de 400 oC,
hl = 3195 .7 J/ g
sI = 6.6459 J/ g K
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382
Termodinámica
En este caso,
S2 = S1 = 6.6459 J/g K
Además,
X2
= 6.6459 - 0.5764 = O 79
7 .6750
.
Por tanto,
h2 = 168.79 + (0.79)(2406) = 2069.53 J/ g
Sustituyendo valores en la ecuación 10.20,
= 3195.7 - 2069.53 = 0.37
11
3195.7 -168.79
= 37%
Observe que un aumento en la presión de operación de la caldera causa un mayor grado de humedad
en el vapor descargado por la turbina y un aumento en la eficiencia térmica del ciclo.
Ejemplo 10.15
Considere el mismo ciclo Rankine del ejemplo 10.14, excepto que el vapor se extrae de la turbina a
una presión de 8 bar y se recalienta hasta una temperatura de 400 oC antes de retomar de nuevo a ella.
Calcule la eficiencia térmica del ciclo.
Solución
Puesto que el proceso de expansión en la turbina es isoentrópico,
Sx
= s1 = 6.6459 J / g K
Según la tabla A.2, a una presión de 8 bar,
s¡ = 2.0462 J / g K
s¡g = 4.6166 J / g K
h¡ = 721.11 J/ g
h¡g = 2048 J/g
10 Ciclos termodinámicos
383
Entonces,
= 6 .6459 - 2.0462 = O 996
4.6166
Xx
.
Asimismo,
hx = 721.11 + (0.996){2048)
=
2760.92 J/ g K
Según la tabla A.3, a una presión de 8 bar y una temperatura de 400 oC ,
hy = 3267.1 J/ g
Sy = 7.5716 J/g
Para calcular el título del vapor en el extremo de baja presión de la turbina
S2 = Sy = 7.5716 J/g K
También
= 7 .5716 - 0 .5764 = O 91
7 .6750
X2
.
Entonces,
h2 = 168.79 + (0.91)(2406)
=
2358.25 J/ g
Finalmente,
(h¡ - hJ + (hy - h2 )
11 = - - - - - ' - - (h¡ - h3 ) + {h y - hJ
= (3195.7 - 2760.92) + (3267.1- 2358.25) = 0.38
(3195.7 -168.79) + (3267.1 - 2760.92)
=
38%
Observe que el recalentamiento causa una disminución en la humedad del vapor a la descarga de la
turbina.
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384
Termodinámica
10.8 Ciclo Rankine con regeneración
En la figura 10.26 aparece el diagrama de un ciclo Rankine ideal con regeneración. En este ciclo ideal ,
el líquido descargado por la bomba circula por el exterior de la turbina a contracorriente, lográndose
así una transferencia de calor del vapor que circula en el interior de la turbina, al líquido subenfriado
que circula por el exterior de la unidad.
Si la transferencia de calor fuera reversible, la disminución en la entropía del vapor en la turbina
debe ser igual al incremento de entropía sufrido por el líquido. En consecuencia, este ciclo ideal tiene
una eficiencia térmica igual a la de un ciclo de Carnot con las mismas temperaturas de operación.
Dado que no es posible lograr la transferencia de calor necesaria del vapor hacia el líquido y la
humedad en el extremo de baja presión en la turbina es considerablemente alta, el ciclo ideal regenerativo
de la figura 10.26 no es práctico. Empero, este ciclo regenerativo se hace práctico mediante el
empleo de intercambiadores de calor que usan vapor extraído de la turbina para calentar el agua de
alimentación de la calde"ra. Estos calentadores para el agua de alimentación pueden ser de tipo abierto
(o contacto directo) o de tipo cerrado.
En la figura 10.27 aparece el esquema de un ciclo regenerativo con un calentador de tipo abierto,
donde el vapor de extracción y el condensado descargado por la bomba 1 se mezclan para lograr un
líquido saturado a la descarga del intercambiador de calor. Las presiones del vapor de extracción, líquido
descargado por la bomba 1 y del líquido saturado deben ser iguales en este tipo de calentadores. De aquí
que sea necesaria la instalación de otra bomba, la 2, para introducir el agua de alimentación en la
caldera. El flujo de masa de vapor en la extracción puede determinarse fácilmente mediante balances de
energía y masa. Esto es,
T
(a)
Figura 10.26. Ciclo Rankine ideal con regeneración .
(b)
s
10 Ciclos termodinámicos
385
pero
.
.
mb = m e - ma ; me = mI
Relacionando las expresiones anteriores,
m a =m 1
he -hb
ha -hb
La ecuación anterior permite calcular el flujo de masa de vapor en la extracción si se conocen los
estados a, b y e del fluido. Debe anotarse que la masa en el diagrama temperatura-entropía de la
figura 10.27 no es la misma en todos los estados mostrados.
Por otra parte, el vapor de extracción y el agua de alimentación de la caldera pueden estar a
diferentes presiones en los intercambiadores de tipo cerrado, como se observa en la figura 10.28. El
condensado del vapor que rodea los tubos de agua de alimentación en el intercambiador puede
regresarse hacia la línea del agua de alimentación mediante una bomba, o puede extraerse del
intercambiador mediante una trampa, esto es, un dispositivo que permite solamente el paso de
líquido y no el de vapor.
Debe agregarse que un incremento en el número de extracciones y calentadores hace que la eficiencia del ciclo tienda a la del ideal regenerativo, en donde el agua de alimentación entra en la caldera como
T
b
4
b NO.l
s
(b)
Figura 10.27. Ciclo regenerativo con un calentador de tipo abierto.
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386 Termodinámica
Figura 10.28. Ciclo regenerativo con un calentador de tipo
cerrado.
líquido saturado a la presión máxima. Sin embargo, el número de estos ciclos queda determinado por
consideraciones de costo.
Ejemplo 10.16
Considere una planta generadora de vapor como la de la figura 10.27, en donde la presión y la temperatura del vapor a la entrada de la turbina son, respectivamente, 30 bar y 400 oc. La presión del vapor en la
extracción es de 3 bar y la presión en el condensador es de 0.075 bar. Calcule la eficiencia térmica del ciclo.
Solución
Según la tabla A.3, a una presión de 30 bar y una temperatura de 400 oC ,
hl = 3230.9 J/g
SI = 6.9212 J/g K
Dado que el proceso de expansión en la turbina es isoentrópico, sa = sI = 6.9212 J/g K.
Según la tabla A.2, a una presión de 3 bar,
h¡ = 561.47 J/g
h¡g = 2163.8 J/ g
sf = 1.6718 J / g K
Sfg = 5 .3201 J / g K
10 Ciclos termodinámicos
387
Por tanto,
= 6.9212-1.6718 = 0.987
x
5.3201
a
Asimismo,
ha = 561.47 + (0.987)(2163.8) = 2697.14 J/g
De manera análoga, s2 = sa = sI = 6.9212 J/ g K y, según la tabla A.2, a una presión de 0.075 bar,
h¡ = 168.79 J/ g
h¡g = 2406 J/ g
s¡
= 0.5764 J/ g K
s¡g = 7.6750 J/ g K
Por tanto,
= 6.9212 - 0 .5764 = 0827
7.6750
X2
.
Asimismo,
h2 = 168.79 + (0 .827)(2406) = 2158 .55 J/ g
Mediante balances de energía y masa,
_rila = he - h3 = 561.47 -168.79 = 0.155
mI
ha -h3 2697.14-168.79
La eficiencia térmica está dada por la expresión
Sustituyendo valores,
1] =
(323Q9 - 2697.14)
(323Q9 - 561.47)
+ (1- 0.155)(2697.1- 2158.55) = 0.37
(3230.9 - 561.47)
=
0.37%
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388 Termodinámica
Ejemplo 10.17
Considere una planta generadora de vapor como la del diagrama de la figura E.10 .17 , en donde la
presión y temperatura del vapor a la entrada de la turbina son 30 bar y 400 oC, respectivamente.
La presión del vapor en cada una de las extracciones es de 3 bar y 1.5 bar, y la presión en el condensador es de 0 .075 bar. Calcule la eficiencia térmica del ciclo.
2 \
\
\
T
\
x
e / T--
4
(a)
-----....j
(b)
Figura E.IO.17
Solución
Con los resultados del ejemplo anterior, tenemos
hl = 3230.9 J/ g
SI = 6.9212 J/g K
ha = 2697.14 J/ g
h2 = 2158.55 J/ g
h3 = hf2 = 168.79 J/ g
h4 = h¡a = 561.47 J/ g
s
10 Ciclos termodinámicos
Puesto que Sb = S1 = 6.9212 J/ g K, según la tabla A.2, a una presión de 1.5 bar,
h¡ = 467.11 J/ g
h¡g = 2226.5 J/ g K
s¡ = 1.4336 J/ g K
s¡g = 5.7897 J/ g K
Por tanto,
x = 6.9212-1.4336 = 0.948
b
5.7897
También
hb = 467.11 + (0.948) (2226.5) = 2577.8 J/ g
Los flujos de extracción pu~den determinarse mediante las siguientes expresiones
mb(h b - h¡b) = (m1 - ma - mb)(h¡b - h3 )
ma(ha - h¡a) = (m 1 - ma)(h¡a - h¡b)
de donde
ma = h¡a - h¡b = 561.47 - 467.11 = 0.042
m1 ha - h¡b 2697.14 - 467.11
Asimismo,
=(1-0.042) 467.11-168.79 =0.119
2577.83 -168.79
La eficiencia térmica puede calcularse mediante la expresión
1]
= (h1 - ha) + (1- ma/ m1)(ha - hb)
(h 1 - h4 )
(1- ma/m1 - mb/m1)(hb - h2 )
(h 1 - h4 )
+---"-'-~--=----'!'----'''------''-
389
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390 Termodinámica
Sustituyendo valores
_ 533.76 + 114.30 + 351.78 _ O 5
2669 .43
- .37
= 37.5%
11 -
10.9 Ciclo de refrigeración mediante compresión de vapor
El ciclo ideal de refrigeración por medio de la compresión de vapor se ilustra en la figura 10.29, así
como sus correspondientes diagramas temperatura-entropía y presión-entalpía.
El fluido se comprime de forma adiabática y reversible en el compresor de 1 a 2 . El ciclo disipa
calor a través del proceso isobárico 2-3 en el condensador, hasta alcanzar la condición de líquido
saturado. Puesto que la presión a la descarga del compresor Pz = P3 es mayor que la presión en el
evaporador P4 = PI' el fluido se hace pasar por un proceso de estrangulación adiabático mediante una
válvula de expansión conectada entre el condensador y el evaporador. Al final , el vapor húmedo es
vaporizado a presión constante de 4 a 1 en el evaporador para terminar el ciclo .
El coeficiente de funcionamiento para este ciclo de refrigeración puede determinarse mediante un
balance de energía, esto es,
(10 .21)
Los valores de entalpía pueden obtenerse de las tablas correspondientes del refrigerante usado como
medio de trabajo en el ciclo. La selección del refrigerante por emplearse en una aplicación debe
hacerse tomando en cuenta varias consideraciones, como sus propiedades termodinámicas, estabilidad química, toxicidad, costo, etcétera.
Los refrigerantes más empleados son el 22 y el 134a, y sus propiedades termodinámicas se
encuentran en las tablas A4 y A5.
La unidad de capacidad de enfriamiento generalmente empleada en un sistema de refrigración es
la tonelada de refrigeración, la cual se define como 12000 BTU/ h (3.517 kW).
Ejemplo 10.18
Considere un refrigerador con capacidad de enfriamiento de 2 toneladas. La temperatura del refrigerante 134a en el evaporador es de 4 oC y en el condensador es de 50 oC.
Calcule el flujo de masa de refrigerante en el sistema.
Solución
a) Según la tabla A5, a una temperatura de 4 oC,
h l = 401 J / g
SI = 1.7252 J/ g K
391
10 Ciclos termodinámicos
Ambiente
exterior
3~-----f
Condensador
sí
1---....,2
Válvula de
expansión
Compresor
41-----1
Evaporador
1)
Ambiente
acondicionado
(a)
o
e
¡li-
p
T
"'\
se
2
es
Tcond
2
e-
r-:
s
(b)
h
(e)
Figura 10.29. Ciclo ideal de refrigeración mediante la compresión de vapor.
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392
Termodinámica
Según la misma tabla, a una temperatura de 50 oC,
h3 = h4 = 271.59 J/ g
Mediante un balance de energía
.
(2)(3.517)(1000)
m=":""":''':'''''':'_'':'''''':'- -
401 - 271.59
54.35 g/ s
=
1 0.10 Resumen
El ciclo Gtto estándar de aire está constituido por cuatro procesos reversibles: compresión adiabática,
adición de calor a volumen constante, expansión adiabática y cedencia de calor a volumen constante.
La eficiencia térmica de este ciclo puede determinarse con la expresión siguiente
.
1
1] = 1- - k-l
r
donde r es la relación de compresión.
El ciclo Diesel estándar de aire está constituido por cuatro procesos reversibles: compresión
adiabática, adición de calor a presión constante, expansión adiabática y cedencia de calor a volumen
constante. La eficiencia térmica del ciclo puede calcularse mediante la expresión
, _ 1 __
1_
17 -
r7 - 1
rk- 1 k (r¡ - 1)
donde r¡ es la relación isoentrópica.
El ciclo dual o dúplex puede usarse como una mejor aproximación para describir la serie de procesos
que se llevan a cabo en un motor de combustión interna. El ciclo consta básicamente de cinco procesos reversibles: compresión adiabática, adición de calor a volumen y presión constantes, expansión
adiabática y disipación de calor a volumen constante. La eficiencia térmica del ciclo dual se encuentra
entre las del ciclo Qtto y ciclo Diesel.
Los ciclos termodinámicos descritos con anterioridad pueden compararse entre sí mediante un
análisis gráfico, utilizando los diagramas presión-volumen y temperatura-entropía.
El ciclo Brayton o Jo ule es una aproximación a la serie de procesos que se realizan en una
turbina de gas. El ciclo está constituido básicamente por cuatro procesos: compresión adiabática,
adición de calor a presión constante, expansión adiabática y cedencia de calor a presión constante.
La eficiencia térmica de este ciclo queda determinada mediante la expresión
10 Ciclos termodinámicos
393
1
'11=1--"
k-l
rp k
ática,
ante.
sión
men
La eficiencia térmica del ciclo Brayton puede incrementarse mediante regeneración. Eso se logra sólo
cuando la relación de presiones rp es menor que el valor correspondiente al punto de cruce.
La planta generadora de vapor puede analizarse mediante el ciclo Rankine. El vapor saturado
seco descargado por la caldera se suministra a la turbina, en donde se expande de forma isoentrópica. En
el condensador se transforma el vapor húmedo en líquido saturado de manera isobárica e isoentrópica.
Puesto que la presión en el condensador es mucho menor que la presión del vapor en la caldera, el
líquido saturado se bombea de modo isoentrópico hasta alcanzar la presión de la caldera. El líquido
comprimido se suministra a esta última, en donde se transforma al final en vapor saturado seco.
La eficiencia térmica de este ciclo puede incrementarse mediante un sobrecalentamiento, una
disminución en la presión de operación del condensador, un aumento en la presión de operación de
la caldera o por el procedimiento de regeneración. Para disminuir el grado de humedad en los últimos
pasos de la turbina, a menudo se utiliza recalentamiento.
El ciclo de refrigeración mediante compresión de vapor está constituido básicamente por
cuatro procesos: compresión adiabática, disipación de calor a presión constante, estrangulación
adiabática a entalpía constante y absorción de calor a presión constante. La unidad de capacidad de
enfriamiento empleado es generalmente la tonelada de refrigeración, que se define como 12 000
BTU/h (3.517 kW).
Problemas
10.1
esos
prosión
entra
e un
una
tica,
ante.
Considere un ciclo atto estándar de aire con una relación de compresión de 8. Si la temperatura máxima se limita a 2000 K Ylas condiciones del aire al iniciarse el proceso de compresión son de 1 bar y 40 "C
a) Determine la eficiencia térmica del ciclo.
b) Calcule el calor suministrado.
c) Determine la presión máxima de operación.
d) Calcule el trabajo desarrollado por el ciclo.
10.2
10.3
Con los datos del problema 10.1, calcule la presión media efectiva del ciclo.
Considere un ciclo Diesel estándar de aire con una relación de compresión de 15. Si las
condiciones del aire al iniciarse el proceso de compresión son de 1 bar y 40 cC, y la temperatura máxima se limita a 2000 K, calcule
a) La eficiencia térmica del ciclo.
b) El calor suministrado.
e) El trabajo desarrollado por el ciclo.
lO
.,
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394 Termodinámica
10.4
10.5
Con los datos del problema anterior, calcule la presión media efectiva .
Indique si el ciclo Brayton es más o menos eficiente que el ciclo Qtto cuando la relación de
compresión y el calor suministrado en ambos ciclos son iguales.
Respuesta:
10.6
1JBrayton = 1Jo tto
El aire suministrado al compresor de un ciclo Brayton ideal se encuentra a una presión de 1 bar
y una temperatura de 40 oc. Si la relación de presiones es de 5 y el aire a la entrada de la
turbina se encuentra a 800 oC, determine
a) El trabajo desarrollado por la turbina.
b) El trabajo requerido por el compresor.
e) La eficiencia térmica de la unidad.
10.7
Con los datos del problema anterior, calcule la relación óptima de presiones para que el .
trabajo neto desarrollado por el ciclo Brayton ideal sea máximo .
Respuesta : 8 .64
10.8
Una turbina de gas aspira aire a una presión de 1 bar y una temperatura de 40 oc. La
temperatura máxima a la descarga del quemador es de 900 oc. Si las eficiencias del compresor y la turbina son 0 .83 y 0 .87, respectivamente, calcule
a) La relación óptima de presiones para obtener máxima potencia.
b) La eficiencia térmica del ciclo.
e) El trabajo neto desarrollado por la unidad.
d) El calor suministrado al ciclo.
10.9
Una máquina que obedece al ciclo Diesel tiene una relación de compresión de 16 y el proceso de combustión se realiza durante 10% de la carrera. La presión y temperatura del aire
suministrado al cilindro son de 1 bar y 30 oC, respectivamente. Determine
a) La temperatura al finalizar el proceso de adición de calor.
b) El calor suministrado.
e) La eficiencia térmica del ciclo.
10.10 Calcule la eficiencia térmica de un ciclo Rankine ideal donde el vapor saturado seco descargado por la caldera se encuentra a 20 bar y la presión de operación del condensador es de
0 .075 bar.
Respuesta : 31.3%
10 Ciclos termodinámicos
de
Otto
bar
ela
10.11 Considere un ciclo Rankine ideal en el que el vapor, a una presión de 20 bar, se sobrecalienta
en la caldera hasta una temperatura de 400 "C. Si la presión en el condensador es de 0.075 bar,
calcule la eficiencia térmica y el trabajo desarrollado por la turbina.
10.12 Una turbina de vapor cuya eficiencia es de 90% toma vapor de la caldera a una presión de 35
bar y una temperatura de 400 "C. Si la presión de operación del condensador es de 0.05 bar,
calcule el trabajo por unidad de masa desarrollado por la unidad y la temperatura del vapor a
su descarga.
Respuestas:
e el
.64
.La
pre-
1030.97 J/g
32.88 -c
10.13 Se desea determinar el efecto de la presión de operación del condensador en un ciclo Rankine
ideal en el que el vapor suministrado a la turbina se encuentra a 30 bar y 400 "C. Determine
la eficiencia térmica y el porcentaje de humedad en el vapor a la descarga de la turbina para
presiones en el condensador de 0.05, 0.10, 0.5 y 1 bar. Grafique los resultados como
función de la presión en el condensador.
10.14 Derive la ecuación 10.16.
10.15 Derive la ecuación 10.17.
10.16 Escriba un programa para computadora que determine el efecto de la temperatura de combustión T3 sobre el punto de cruce y grafique sus resultados como en la figura 10.20. Suponga que las eficiencias en el compresor y en la turbina son diferentes de 100%.
10.17 Indique si el ciclo Otto es más o menos eficiente que el ciclo Diesel en el evento en que ambos
ciclos tengan la misma presión máxima y desarrollen el mismo trabajo.
10.18 Compare los ciclos Otto y Diesel si ambos tienen la misma temperatura máxima e igual calor
suministrado.
Respuesta:
oceaire
395
170iesel > 17otto
10.19 Derive una expresión para determinar la eficiencia térmica en un ciclo Diesel estándar de aire
con expansión completa.
10.20 Determine el coeficiente de funcionamiento de un refrigerador de Carnot que opera entre
temperaturas de 4 °C y 50 "C. Compare su resultado con el del ejemplo 10.18.
Respuesta:
6.02
10.21 El vapor descargado por la caldera en una planta generadora se encuentra a 50 bar y 400 "C.
Si el vapor en la turbina se extrae a una presión de 6 bar y es recalentado hasta 400 "C, calcule
la eficiencia térmica del ciclo. Suponga que la presión en el condensador es igual a 0.075 bar.
.3%
Respuesta:
38%
"1
"
ID
!ti
1111
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396 Termodinámica
10.22 Considere un motor Diesel con una relación de compresión de 18 y una relación isoentrópica
de 2 . Si la temperatura y la presión del aire al iniciarse la compresión son iguales a 27 oC y
1 bar, respectivamente, calcule
a) La temperatura máxima.
b) La presión máxima.
e) La eficiencia del ciclo.
Suponga que el calor específico a presión constante del medio de trabajo es de 1 kJ/ kg K Y
el cociente de calores específicos es igual a 1.4.
Respuestas:
a) 1906.6 K
b) 57.2 bar
c) 63.18%
10.23 Un ciclo atto opera con una relación de compresión de 8.55 . Al iniciar la compresión, el aire
se encuentra a 0.98 bar y 32 oC, y durante la adición de calor la presión se triplica.
Suponga que k es igual a 1.4 y las condiciones atmosféricas son 1 bar y 25 oc. Calcule
a) El trabajo por unidad de masa desarrollado en el ciclo.
b) El calor por unidad de masa que se suministra durante la adición de calor.
e) La disponibilidad que tiene el medio de trabajo en el instante en que está por finalizar el
proceso de expansión cuando ambas válvulas de admisión y de escape se encuentran
todavía cerradas.
d) La eficiencia térmica del ciclo.
10.24 La temperatura al finalizar la compresión en un ciclo Diesel se registra como 832 .3 oc. Si la
presión y la temperatura al cerrarse la válvula de admisión son 1 bar y 32 oC, calcule
la relación de compresión del motor.
10.25 Calcule la eficiencia de un ciclo Rankine ideal donde el vapor saturado seco sale de la cald era
a 30 bar y es condensado a 0.10 bar.
Respuesta : 31.4%
10.26 En un ciclo Rankine con recalentamiento, el vapor entra en la turbina a 30 bar y 500 oc.
Después de que el vapor experimenta una expansión hasta 5 bar es recalentado hasta
500 oC de nuevo. La presión en el condensador es igual a 0 .1 bar. Calcule la eficiencia del
ciclo y el estado del vapor a la descarga de la turbina.
Respuesta:
TJ = 37 .6% (p = 0 .1 bar, x = 0.992)
10 Ciclos termodinámicos
397
10.27 En un ciclo Rankine con regeneración el vapor entra en la turbina a 30 bar y 500 oC y se
descarga a 0.1 bar. En el ciclo se emplea un calentador abierto para el agua de alimentación
que opera a 5 bar. Calcule la eficiencia del ciclo.
Respuesta:
37.2%
10.28 Considere una turbina de gas con regenerador en donde el compresor y la turbina tienen dos
etapas. La relación de presiones en cada etapa de la compresión es 2 y la eficiencia de cada etapa
del compresor es 81 %. La temperatura y presión del aire a la entrada del compresor son 22 oC
y 1 bar, respectivamente, pero el enfriamiento intermedio sólo reduce la temperatura hasta
37 oC antes de que el aire entre en la segunda etapa. Además, la temperatura de entrada en
cada etapa de expansión es de 827 oC, pero una caída de presión entre el compresor y la
turbina reduce la relación de presiones en la expansión a 1.9 en cada etapa de la turbina.
Estas etapas tienen una eficiencia de 86% cada una. La eficiencia del regenerador en esta
instalación tiene una eficiencia de 75%. Determine
a) El trabajo del compresor.
b) El trabajo de la turbina.
e) El calor extraído en el enfriador intermedio.
d) La eficiencia térmica de toda la turbina de gas.
e) La temperatura del flujo de aire que sale del regenerador y entra en el compresor.
f) La disponibilidad del flujo de aire que sale del regenerador hacia la atmósfera.
Suponga que el calor específico a presión constante del medio de trabajo es igual a 1 kJ/ kg K
Y el cociente de calores específicos es igual a 1.4.
Respuestas:
a) 163.76 J/ g
b) 317 .30 J / g
e) 64.85 J/ g
d) 33.81 %
e) 531.49 oC
f) 62.50 J / g
10.29 Un ciclo propuesto con aire comienza a 1.1 bar y 37 oc. El proceso 1-2 es una compresión
isoentrópica hasta 3.2 bar; el proceso 2-3 es un calentamiento a presión constante hasta
1050 K; el proceso 3-4 es un enfriamiento a volumen constante hasta 1.1 bar y el proceso 4-1
es un enfriamiento a presión constante hasta el estado inicial.
a) Dibuje el ciclo en coordenadas p-v y T-s.
b) Calcule la eficiencia térmica.
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398 Termodinámica
10.30 La relación de compresión en un motor de un cilindro que opera con el ciclo dual es 7, el
diámetro del cilindro es 10 cm y la carrera es de 12 cm. Al iniciarse la carrera de compresión
la temperatura y la presión son de 27 oC y 1 bar, respectivamente. Al finalizar la adición de
calor a volumen constante se tiene una presión de 60 bar. Se agrega calor a presión constante durante 3% de la carrera. Calcule el trabajo desarrollado por el ciclo.
Suponga que el calor específico a presión constante del medio de trabajo es igual a 1 kJ/kg K
Y el cociente de calores específicos es igual a 1.4.
10.31 Demuestre que el trabajo máximo en un ciclo Brayton ideal con temperaturas constantes a la
entrada del compresor ya la entrada de la turbina ocurre cuando T2 = (T1T3p / 2 si los calores
específicos son constantes.
10.32 Considere un ciclo Qtto con una relación de compresión igual a 9.5. Al iniciarse el proceso de
compresión el aire se encuentra a 1 bar, 27 oC, y ocupa un volumen de 600 cm3 . Por otra parte,
al finalizar la expansión isoentrópica la temperatura del medio de trabajo es igual a 700 oc.
Calcule
a) La temperatura y presión máximas en el ciclo.
b} El calor suministrado al ciclo, en J.
c} La eficiencia térmica del ciclo.
Suponga las siguientes propiedades para el medio de trabajo: cp = 1 J/ g oC, R = 0 .287 J/ g K.
10.33 Considere un ciclo Diesel con una relación de compresión igual a 10. Al iniciarse el proceso
de compresión la temperatura y presión del aire son 27 oC y 1 bar.
a} Calcule la eficiencia térmica del ciclo.
Suponga las siguientes propiedades para el medio de trabajo: cp = 1 J/ g oC, R = 0.287 J/ g K.
10.34 Indique brevemente por qué la relación aire-combustible en una turbina de gas es muy alta,
esto es, el flujo de masa de aire/ flujo de masa de combustible es muy alto.
10.35 El flujo de gases de escape en un motor de combustión interna en el instante en que se abre
la válvula de escape se estima en 0.077 kg/s. Las condiciones de presión y temperatura en
ese instante son 3 bar y 700 oC, respectivamente. Calcule la potencia máxima que podría
obtenerse de este flujo de gases de escape. Suponga que el calor específico a presión constante de los gases es igual a 1 kJ/ kg K, la constante R es igual a 0.287 kJ/ kg K, y la presión
y la temperatura del ambiente son 1 bar y 25 oC, respectivamente.
10.36 Considere un motor de gasolina de 55 kW, 4 cilindros y 4 tiempos, el cual gira a 4200 RPM .
La relación de compresión en el motor es igual a 9.5 y la temperatura máxima en el ciclo
termodinámico es igual a 2146 K. Las condiciones del medio de trabajo al iniciarse el proceso de compresión son 1 bar y 60 oc. Calcule la eficiencia térmica, el calor suministrado por
unidad de masa y la presión máxima en el ciclo. Suponga que el calor específico a presión
constante del medio de trabajo es igual al kJ/ kg K y la constante R es igual a 0 .287 kJ/ kg K.
10 Ciclos termodinámicos
7, el
resión
ión de
nstan-
IkgK
s a la
alares
399
10.37 El cilindro de un motor de combustión interna contiene 650 cm-' de gases producidos en la
combustión a una presión de 7 bar y una temperatura de 876°C justo antes de que se abra
la válvula de escape. Calcule la disponibilidad de kJ/kg en estas condiciones. Puede considerarse que los productos de combustión tienen las mismas propiedades del aire, o sea, cp = 1
J/g K Y R = 0.287 J/g K. La temperatura y la presión del aire ambiente son 27°C y 1 bar,
respectivamente.
10.38 Considere un motor de gasolina de 2 litros de desplazamiento total, cuatro tiempos y cuatro
cilindros, el cual gira a 3800 RPM. El motor tiene una relación de compresión igual a 9. Las
condiciones en el cilindro al iniciarse el proceso de compresión son 1 bar y 60°C. La
temperatura máxima en el ciclo es igual a 2300 K. Suponga que las propiedades termodinámicas del medio de trabajo son cp = 1 J/g °C, R = 287 J/kg K Y k = 1.4.
parte,
O°c.
/g K.
a) Calcule la presión máxima en el ciclo.
b) Determine la eficiencia del ciclo.
10.39 Considere un motor diesel de 6 cilindros y 3 litros de desplazamiento total. La relación de
compresión en el motor es igual a 19. Las condiciones en el cilindro al iniciarse el proceso
de compresión son 1 bar y 60°C. Se sabe que la temperatura máxima al terminar la combustión es igual a 2400 K. Suponga que las propiedades termodinámicas del medio de trabajo
son: cp = 1 J/g °C, R = 287 J/kg K Y k = 1.4. Determine
aceso
a) El volumen de la cámara de combustión en cada cilindro.
b) El volumen del cilindro al terminar el proceso de combustión.
/g K.
10.40 Determine la relación isoentrópica para el motor del problema 10.39.
10.41 Una turbina de gas ideal toma el aire a 1 bar y 27°C y el compresor lo descarga a una
presión Pz- La temperatura máxima en la turbina está limitada a 1027 °C y el calor disipado
por toda la unidad es igual a 500 kJ/kg.
a) Calcule la presión a la descarga del compresor.
b) Evalúe la eficiencia de la turbina de gas.
consesión
RPM.
1ciclo
roceo por
esión
kgK.
10.42 La caldera en un ciclo Rankine ideal descarga vapor saturado seco a una presión de 30 bar.
La presión de operación en el condensador es de 0.075 bar. Calcule la eficiencia del ciclo.
10.43 Evalúe la función de Helmholtz para el vapor de agua a la entrada de la turbina en el ciclo del
problema anterior.
10.44 Un ciclo atto tiene una relación de compresión de 8.1 y al principio de la compresión la
mezcla de trabajo se encuentra a 0.95 bar y 17°C. Durante el proceso de suministro de calor
la presión se triplica. Calcule la presión y temperatura máximas del ciclo. Suponga las
siguientes propiedades del fluido de trabajo: R = 287 J/kg K Y cp = 1 J/g K.
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400
Termodinámica
10.45 Considere un motor de gasolina, de 4 tiempos y 4 cilindros en línea. Si el orden de encendido
es 1-3-4-2, muestre en un diagrama el arreglo de los muñones en el cigüeñal.
10.46 Un motor de un cilindro que obedece el ciclo Qtto tiene un desplazamiento igual a 2 .8 litros.
La cámara de combustión tiene un volumen igual a 15% del desplazamiento y el motor gira
a 3000 RPM. El calor agregado es de 1150 kJ/ kg. Las condiciones del fluido de trabajo al
iniciarse la compresión son 1 bar y 27 oc. Suponiendo que las propiedades del fluido de
trabajo son iguales a las del aire, calcule la presión y la temperatura máximas en el ciclo.
10.47 Un ciclo Diesel tiene las siguientes características: temperatura al finalizar la compresión,
]00 oC; trabajo neto del ciclo, 751 kJ/ kg; calor agregado al ciclo, 1200 kJ/ kg. Determine
a) La relación de compresión.
b) La temperatura máxima en el ciclo .
e) La relación isoentrópica.
Suponga que k = 1.4, ep = 1 kJ/ kg oC y e v = 0 .713 kJ/ kg oc.
11
ido
os.
ira
al
de
n,
ne
Mezclas no reactivas
No hay legado más valioso
que la honradez.
SHAKESPEARE
Hasta ahora se han considerado sólo sustancias constituidas por una especie química. Las mezclas
homogéneas de gases inertes son sustancias puras y, como tales, sus propiedades termodinámicas
pueden analizarse con las técnicas previamente presentadas. Empero, conviene establecer las propiedades termodinámicas de una mezcla de gases no reactivos a partir de las propiedades de los diferentes
constituyentes de la mezcla. El aire seco, compuesto básicamente por nitrógeno y oxígeno, constituye
una mezcla de las más comunes. Por otro lado, el estudio de mezclas aire-vapor de agua es de
fundamental importancia en procesos de aire acondicionado.
El estudio se limitará aquí a mezclas de gases ideales. El lector interesado en el análisis de mezclas
de gases reales podrá consultar las referencias citadas al final de este capítulo.
11.1 Fracción de masa y fracción molar
Considere una mezcla de gases a, b, C, ... Dado que la masa de la mezcla es igual a la suma de las
masas de los diferentes constituyentes individuales que forman la mezcla,
(11.1)
La fracción de masa (Oí de cualquier componente i en la mezcla se define mediante la relación,
(Oí
m·l·
= m; 1 = a, b, e,...
(11.2)
'.'\
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402
Termodinámica
Comparando las ecuaciones 11.1 y 11.2 se desprende que la suma total de fracciones de masa
en la mezcla es igual a la unidad. Esto es,
+ (Ob + (Oc + .. . = 1
L(O¡= 1; i= a, b, C, . ..
(00
(11 .3)
La fracción de masa de la especie i constituye el porcentaje gravimétrico del gas i (expresado
decimalmente) en la mezcla; el análisis basado en las fracciones de masa de los diferentes componentes se conoce como análisis gravimétrico.
Por otro lado, el número total de moles en la mezcla se define como la suma del número de moles
de los diferentes componentes individuales que forman la mezcla. Es decir,
(11.4)
La fracción molar X¡ de cualquier componente i en la mezcla se define mediante la relación,
(11 .5)
Comparando las ecuaciones 11.4 y 11.5 se observa que la suma total de fracciones molares en la
mezcla es igual a la unidad. O sea,
Xo + Xb + Xc + ... = 1
LX¡ = 1; i = a, b, e, ...
(11.6)
Dado que la masa, el número de moles y el peso molecular están relacionados a través de la expresión
m = nM, de la ecuación 11.1 se obtiene que
o bien,
M = XoMo + XbMb + XcMc + .. .
M= LX¡M¡; i = a, b, e, ...
(11.7)
Es decir, el peso molecular M de la mezcla queda determinado mediante el conocimiento de la
composición y los pesos moleculares de los diferentes componentes que forman la mezcla.
11 Mezclas no reactivas
403
11.2 Presión parcial y volumen parcial
Considere una mezcla de gases ideales a, b, e, ... , los cuales se hallan a la misma temperatura T y
ocupan el mismo volumen V. Introduciendo la ecuación de estado de los gases ideales p V = nRu Ten
la expresión 11 .4 se obtiene que
o también
(11.8)
donde Po' Pb' Pc" " denotan las presiones parciales que ejercen los diferentes componentes en la mezcla
a temperatura Ty volumen total V. La ecuación 11 .8 se conoce como la ley de Dalton, que afirma: la
presión en una mezcla de gases ideales es igual a la suma de las presiones parciales que cada
componente ejercería si ocupara el volumen total de la mezcla a la temperatura de la mezcla.
Como consecuencia de la ley de Dalton de presiones parciales, la constante R de una mezcla de
gases ideales puede determinarse fácilmente. Esto es, de la ecuación 11 .8 ,
p = Po + Pb + Pe + .. . I T,v
Es decir,
Por consiguiente,
R = maRa + mbRb + meRc + .. .
m
R = Lm¡R¡
= LooR.
· i = a, b, e, ...
~
I
l '
.:..m ¡
Por otro lado, con la ecuación 11 .5 se obtiene además que
py
X¡ =
p¡ I
nn¡ = RuP V =Ti
T,v
T
Ru T
(11.9)
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404 Termodinámica
o bien,
p.I =
x·PI TV
I
'
(11 .10)
De la misma manera, considere una mezcla de gases ideales a, b, C, ... , a una temperatura Ty a una
presión p. Al introducir la ecuación de estado de los gases ideales en la ecuación 11.4 se obtiene que
o bien,
V=V+Vb+V+1
a
c
p ,T
(11 .11)
donde Va' V b , Vc'''' denotan los volúmenes parciales que ocupan los componentes a, b, C, .. . en la
mezcla a temperatura T y presión p . La ecuación 11 .11 se conoce como la ley de Amagat o ley de
Leduc, que establece: el volumen de una mezcla de gases ideales es igual a la suma de los volúmenes de los diferentes componentes, si cada uno existiera a la presión y temperatura de la mezcla.
Recurriendo a la ecuación 1l.5,
o también,
V=
XV
Ip' T
I
I
(11.12)
La expresión anterior indica que la fracción molar de la especie i constituye el porcentaje volumé trico
(expresado de forma decimal) o fracción volumétrica del gas i en la mezcla. Esto es , la fracción molar
constituye el porcentaje del volumen total que cada componente ocuparía si los diferente s gases
que constituyen la mezcla se colocaran en compartimientos separados a la presión p y a la temperatura T de la mezcla. A este tipo de análisis de una mezcla se le conoce como análisis volumé trico.
Los análisis gravimétrico y volumétrico están relacionados a través de las expresiones
O)
¡
x· ' . i = a, b, e, .. .
= -'-M
I.X¡M¡ '
(l1.l3)
11 Mezclas no reactivas
405
Asimismo,
10)
i=a, b, e, ...
(11.14)
una
que
La demostración de estas expresiones se deja al lector como ejercicio.
Ejemplo 11.1
El análisis volumétrico de una mezcla de gases a 1 bar y 500 K es el siguiente:
Porcentaje
9.51
Constituyente
CO2
H20
.11)
19.01
71.48
N2
n la
100.00
de
me-
cia.
a) Determine el análisis gravimétrico de la mezcla.
b) Calcule la presión
parcial de cada componente en la mezcla.
Solución
a) El análisis gravimétrico puede determinarse partiendo de la ecuación 11.13:
Constituyente
CO2
H20
N2
.12)
rico
b)
x¡m¡ x 100
Análisis
Peso
volumétrico
molecular
9.51
19.01
71.48
--100.00
418.44
342.18
2001.44
44
18
28
2762.06
ses
= --(1)
9.51
100
= 0.0951 bar
19.01
PH O = --(1)
2
100
= 0.1901 bar
P.co
2
iea.
.13)
15.15
12.39
72.46
--100.00
Las presiones parciales quedan determinadas mediante las siguientes relaciones
alar
era-
Análisis
gravimétrico
p.
N2
= 71.48 (1) = 0.7148 bar
100
1
bar
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406
Termodinámica
Ejemplo 11.2
A continuación aparece el análisis gavimétrico de una mezcla de gases:
CO2
CO
CH4
Porcentaje
10.0
25.4
1.2
H2
N2
O2
0.7
59.1
3.6
Constituyente
Por ur
o bien
Delrni
100.0
a) Determine el análisis volumétrico.
b) Calcule la constante R de la mezcla.
Por ur
Solución
a) El análisis volumétrico puede determinarse partiendo de la ecuación 11.14:
Constituyente
CO2
CO
CH4
H2
N2
°2
Análisis
gravimétrico
Peso
Molecular
10
25.4
1.2
0.7
59.1
3.6
-100.0
44
28
16
2
28
32
w· x 100
-1..
m;
Análisis
volumétrico
0.23
0.91
0.08
0.35
2.11
0.11
-3.79
6.07
24.01
2.11
9.23
55.67
2.91
-100.00
o tarnl
Elcalo
te dífei
b) La constante R puede determinarse mediante la ecuación 11.9, sustituyendo los valores de la
tabla 5.1. Es decir,
R = (0.10)(0.189) + (0.254)(0.297)
De me
detem
+ (0.012)(0.518) + (0.007)(4.124)
+ (0.591)(0.296) + (0.036)(0.260)
R = 0.314 KJ/kg K
11.3 Energía interna y entalpía. Calores específicos.
Entropía
La energía interna de un gas ideal depende única y exclusivamente de la temperatura. En consecuencia, la energía interna de una mezcla de gases ideales queda determinada mediante la relación
11 Mezclas no reactivas
407
u = Ua(T) +Ub(T) + UJT) + .. .
mu = mau a + mbub + mcu c + .. .
Por unidad de masa,
o bien,
u = :.ECO¡U¡;
i = a, b, e, ...
(11 .15)
Del mismo modo, la entalpía de una mezcla de gases ideales queda determinada por la relación
H = Ha(T) + Hb(D + Hc(D + ...
mh = maha + mbhb + mchc + .. .
Por unidad de masa,
h = maha + mbhb + mchc + ...
m
o también,
h = :.Eco¡h¡;
i = a, b, e, .. .
(11 .16)
El calor específico a volumen constante de una mezcla de gases ideales puede determinarse fácilmente diferenciando la ecuación 11.15. Esto es,
e = du
u
dT
_~
du¡
-.L..CO·I
dT
e u = :.Eco¡e¡; i = a, b, e, ...
(11 .17)
De manera análoga, el calor específico a presión constante de una mezcla de gases ideales puede
determinarse diferenciando la ecuación 11.16. Es decir,
e = du
u
dT
dh¡
=:.Eco. I dT
ep = :.Eco¡p¡; i = a, b, e, .. .
(11 .18)
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408 Termodinámica
La entropía de una mezcla de gases ideales puede determinarse mediante la ley de Dalton. Es decir,
s = Sa(T, V) +,Sb(T, V) + Se(T, V) + ...
ms = masa + mbsb + mese + ...
Por unidad de masa,
o bien,
s = LCO¡S¡; i = a, b, c, ...
(11.19)
donde las entropías de cada componente se evalúan a la temperatura y volumen de la mezcla (o a la
temperatura de la mezcla y presión parcial de cada componente). Recurriendo al principio de incremento de entropía, puede demostrarse que la entropía de cualquier componente a la temperatura y
volumen total de la mezcla (o a su presión parcial) es mayor que su entropía cuando existe a la
temperatura y presión de la mezcla. Es decir,
Ejemplo 1 1.3
El análisis volumétrico de una mezcla de gases ideales es el siguiente:
Constituyente
Porcentaje
COz
CO
Nz
30
15
55
100.0
La mezcla se comprime de manera adiabática y reversible desde una presión de 1 bar y una
temperatura de 25 oC, hasta una presión de 5 bar. Suponga las siguientes propiedades constantes
COz cp = 0.846 J / g K,
CV
= 0.657 J/g K y R = 0.189 J/g K
CO cp = 1.041 J / g K, C V = 0.744 J / g K y R = 0.297 J/ g K
Nzcp = 1.040 J/ g K, C V = 0 .744 J / g K y R = 0 .296 J / g K
11 Mezclas no reactivas
ir,
409
a) Calcule la temperatura final de la mezcla.
b) Determine el cambio en energía interna que experimenta la mezcla.
e) Calcule el trabajo requerido en la compresión de la mezcla.
d) Determine el cambio de entropía que experimenta cada uno de los constituyentes en la mezcla.
Solución
a) Es necesario determinar de antemano el análisis gravimétrico para calcular las diferentes propiedades de la mezcla.
9)
Constituyente
Análisis
volumétrico
Peso
molecular
x¡m¡ x 100
Análisis
gravimétrico
CO2
30
15
55
100
44
28
28
1320
420
1540
-3280
40.24
12.81
46.95
--100.00
CO
N2
la
ey
Mediante la ecuación 11.18,
la
cp = OOcÜz CpC02 + OOco cpCo + OON2 CpN2
= (0.4024)(0.846) + (0.1281)(1.041)
+ (0.4695)(1.040) = 0.96 J/g K
De manera similar, de la ecuación 11.17,
=(0.4024)(0.657)
+ (0.1281)(0.744)
+ (0.4695)(0.744) = 0.71 J/g K
En consecuencia,
k =.s?. = 0.96 = 1.36
cu
0.71
a
Para un proceso adiabático reversible,
r-~
k-l
T2 ~ TI (~:
(298)(5)°26
T2 = 455.08 K = 182.08 °C
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410 Termodinámica
b) El cambio de energía interna por unidad de masa lo determina la expresión
u2 - ul = c v = (T2 -
TI)
= (0.71)(182.08 -
25)
= 111.53J/g
e) Mediante un balance de energía,
-w = ~u = 111.53 J/g .
d) Con las ecuaciones T ds,
~s. =e .ln(TT2 )-Rln(P¡2)
p.
I
PI
I
1
11
Sin embargo,
P¡2 = X¡P2 = P2
Pi!
X¡Pl
PI
Sustituyendo valores,
~SC02 = (0.846) In (
455.08)
298 - (0.189) In (5)
= 0.0538 J/9C02 K
L\sco = (1 .041) In ( 455.08)
298 - (0.297) In (5)
= - 0.0373 J/gco K
455.08) - (0.296) In (5)
L\sN2 = (1.040) In ( 298
= - 0.0361 J/gN2 K
Dado que el proceso de compresión es isoentrópico,
L\Sco
-m-2 = roco ~co = (0.4024)(0.0538)
2
2
= 0.0216 J/g K
11 Mezclas no reactivas
411
~Sco
------;:n= (Oco~sco = (0.1281)(-0.0373)
= - 0.0048 J/g K
~s
~ m = (ON ~sN = (0.4695)(-0.0361)
2
2
= - 0.0048 J/g K
~s = 0.0000
Ejemplo 11.4
Un flujo de masa de 1 g/s de CO2 a 100°C y 1 bar se mezcla con otro de N2 a 200°C y 1 bar en un
sistema adiabático abierto, como se observa en la figura E.11.4. La mezcla resultante tiene un análisis
volumétrico de 40% de CO2 y 60% de N2. Las propiedades de los gases son: CO2: cp = 0.94 J/g K
Y R = 0.189 J/g K; N2: cp = 1.04 J/g K Y R = 0.296 J/g K.
Si los cambios en energía cinética y potencial son despreciables
a) Calcule la temperatura de la mezcla resultante.
b) Determine la pérdida de disponibilidad en el proceso de mezclado.
Sistema
1 kg/s de eo a 100 -c
2
y 1 bar
L-_._-_._-_- .: -.-_-.. .: .: :::-::::::::-::
.. :::::~
t-z:trz:»: __:::::: __::::: :::: :-.-::_:.~._
• -.-::::::::::::_-:::.-:::.::-
N,. 200·C y 1 b., •
adiabático
••:_-_-:::::::_:-:
••_._.:::::'-
_
~::~:~~~mw{I{'J}lj{$ifff.~~-..:~~::
~~2
Figura E.ll.4
,.
Solución
a) La mezcla resultante tiene el siguiente análisis gravimétrico:
Constituyente
CO2
N2
Análisis
volumétrico
40
60
100
11
I'~
Peso
molecular
x¡m¡ x 100
Análisis
gravimétrico
44
28
1760
1680
-3440
5l.16
48.84
-100.00
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412 Termodinámica
Un balance de materia indica que
1680
.
mN = --(1) = 0.95 g/s,
2
1760
mC02 =
1 g/s
Mediante un balance de energía,
donde
Por tanto,
Asimismo,
T _ mco 2 cp co 2 TI + mN2 cp N2 T z
3 -
.
.
mC0 2 Cp C0 2 + mN 2 Cp N2
(1)(0.94)(373) + (0.95)(1.04)(473)
(1)(0.94) + (0 .95)(1.04)
T 3 = 424.24 K = 151.24 oC
b) Para calcular la pérdida de disponibilidad, un balance de entropía indica que
° bien,
11 Mezclas no reactivas
413
Por tanto,
Con las ecuaciones T ds,
Sustituyendo valores ,
=
0.2942 + 0.0362
Sp = 0.3304 W/K
Finalmente,
'I'p = - T o Sp = - (298)(0.3304) = - 98.46 W
11.4 Mezclas de gases ideales con un vapor condensable
Muchas de las mezclas encontradas en aplicaciones de ingeniería involucran un componente en forma
de vapor, es decir, un gas que existe a una temperatura inferior a su temperatura crítica y que puede
condensarse cuando experimenta un incremento en presión a temperatura constante o un enfriamiento a presión constante. De estas mezclas, una de las más estudiadas y a la que se prestará toda
la atención por su pertinencia en procesos de aire acondicionado es el aire ambiente. Estas mezclas
no son sustancias puras en el estricto sentido termodinámico de la palabra, puesto que su composición varía en los procesos y se requieren más de dos propiedades para fijar el estado.
Dado que la presión del vapor de agua en una mezcla aire-vapor es su presión parcial y esta última
suele ser muy pequeña, el vapor de agua puede tratarse como un gas ideal. Esto es, el vapor obedece la
ecuación de estado de los gases ideales, su energía interna y entalpía son sólo funciones de la temperatura,
su presión parcial en la mezcla es igual a la presión que ejercería si existiera a la temperatura y volumen total
de la mezcla, etc. Sin embargo, si la temperatura de la mezcla disminuye, parte del vapor puede condensarse o incluso solidificarse durante el enfriamiento. Por otro lado, si la temperatura de la mezcla se incrementa,
parte del líquido puede vaporizarse o el sólido sublimarse. De lo anterior se desprende que la composición
de la mezcla varía cuando el componente en forma de vapor se condensa o se solidifica.
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414 Termodinámica
El aire seco es una mezcla de gases que tiene un análisis volumétrico típico de 20.99% de 02,
78.03% de N2 , 0.94% de A, 0.03% de CO 2 y 0.01% de H2 . Para propósitos ingenieriles , es suficientemente exacto considerar que el aire seco está constituido por 21% de 02 y 79% de gases inertes
tomados como N2 . La humedad en el aire ambiente varía de acuerdo con el contenido de vapor de
agua en la mezcla aire seco-vapor.
11.5 Humedad relativa. Humedad específica
La humedad relativa <p se define como el cociente de la presión parcial del vapor en la mezcla, entre
la presión de saturación del vapor a la temperatura de la mezcla. Es decir,
(11 .20)
donde Pu es la presión parcial del vapor de agua en la mezcla y Pg la presión de saturación del vapor
a la temperatura de la mezcla. Estas presiones se ilustran en el diagrama Ts de la figura 11.1 .
Puesto que el vapor de agua se comporta como un gas ideal, la ecuación 11.20 puede expresarse
en términos del volumen específico o de la densidad. Esto es,
RT
(11 .21)
T
pg
pv
p=c
p=c
s
Figura 11.1. Presión de vapor y de saturación para determinar la humedad relativa .
11 Mezclas no reactivas
41 5
Esta expresión indica que el volumen específico o densidad del vapor de agua en el aire ambiente
puede determinarse conociendo la humedad relativa y la temperatura del aire ambiente (dado que ug puede
determinarse por la temperatura ambiente mediante las tablas del vapor de agua).
El aire ambiente donde el vapor de agua se encuentra saturado se conoce como aire saturado, y
su humedad relativa es, en consecuencia, igual a 1 o 100%.
La humedad específica 00, conocida también como razón de humedad o humedad absoluta ,
se define como el cociente de la masa de vapor de agua en el aire ambiente, entre la masa de aire
seco. Es decir,
(11.22)
donde mu se refiere a la masa del vapor de agua en la mezcla aire-vapor y mo a la masa de aire seco.
De acuerdo con la ley de Dalton, el volumen y temperatura son los mismos para ambos constituyentes (aire seco y vapor de agua) en la mezcla. Por consiguiente,
(11 .23)
Sustituyendo los valores de Ro y Ru para el aire seco y vapor de agua, respectivamente,
00=0.622~
p- Pu
(11.23a)
En las ecuaciones 11.21 y 11.23 se observa que las humedades relativa y específica están relacionadas. Esto es,
(11.24)
Ejemplo 11.5
El aire ambiente, en ciertas condiciones meteorológicas, tiene una humedad relativa de 70% cuando
la presión absoluta es igual a 1 bar y la temperatura a 35 oc.
a) Calcule la humedad específica.
b) Calcule la masa de aire seco y de vapor de agua en 1 m 3 de mezcla.
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416 Termodinámica
e} Detennine la cantidad de vapor de agua por kilogramo de aire seco que se condensa si la
mezcla aire-vapor se procesa en un acondicionador de aire hasta las condiciones de 25 oC y
60% de humedad relativa.
Solución
a} Para detenninar la humedad específica es necesario determinar primero la presión parcial del
vapor de agua en la mezcla. Según las tablas del vapor (tabla A.1), a 35 oC,
Pg1 = 0.05628 bar
Por consiguiente, según la ecuación 11.20,
Pul = ep1 Pgl= (0.7)(0.05628) = 0.039 bar
Según la ecuación 11.23a,
COl
= 0.622
Pul = 0.622 0.039
P - Pul
1- 0.039
= 0.025 kg/ kg a
b} Mediante la ecuación de estado de los gases ideales,
(0.961 x 105)(1)
mal = Ra T 1 = (0.287 x 103)(308)
Pa1 V1
= 1.087 kg
(0.039 x 105)(1)
mu1 = Ru T 1 = (0.461 x 103)(308)
Pul V1
= 0.027 kg
o bien,
m u1 = COl m al = (0.025)(1.087) = 0.027 kg
Por consiguiente,
m1 = mal + mu1 = 1.087 + 0.027
= 1.114 kg
11 Mezclas no reactivas
417
c) Al salir del aparato de acondicionamiento de aire,
= 0.03169 bar
Pu2 = j1S2 P g 2 = (0 .6)(0.03169) = 0.019 bar
Pg2
Por tanto,
(02
= 0.622
Pu2
= 0.622
P - Pu2
0.019
1- 0.019
= 0.012 kg/ kg a
,<.:.
En consecuencia, la cantidad de vapor de agua que se condensa es
001 - 002 =
0.013 kg de agua/kg de aire seco.
11.6 Temperaturas empleadas en la determinación
de las propiedades del aire ambiente
A continuación se definirán las diferentes temperaturas empleadas en la determinación de las propiedades del aire ambiente.
11 .6.1 Temperatura de bulbo seco
La temperatura de bulbo seco en una mezcla aire-vapor es simplemente la temperatura que indicaría un
termómetro al ser colocado en una mezcla.
11.6.2 Temperatura de punto de rocío
En una mezcla aire-vapor, la temperatura de punto de rocío se define como la temperatura de
saturación del vapor correspondiente a la presión parcial de éste en la mezcla. En el caso de aire
saturado (l/> = 1), la temperatura de punto de rocío es igual a la temperatura de bulbo seco, como se
observa en el diagrama Ts de la figura 11.2.
11 .6.3 Temperatura de saturación adiabática
En el proceso de saturación adiabática, una mezcla de aire-vapor se pone en contacto con agua
líquida a menor temperatura, en un sistema aislado térmicamente, como se ve en el esquema de la
figura 11 .3. La mezcla entra en el sistema a una temperatura 1), con una humedad relativa menor a
100%. Al pasar la mezcla aire-vapor a través del sistema, parte del agua líquida a temperatura T2 se
evapora, incrementándose así la humedad específica de la mezcla hasta condiciones de saturación. Al
mismo tiempo, la temperatura de la mezcla disminuye ya que el calor latente de vaporización del agua
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418 Termodinámica
T
s
Figura 11.2. Temperaturas de bulbo seco y de punto de rocío .
líquida proviene de la mezcla. Como resultado, ésta sale saturada del sistema a una temperatura T2 .
Esta temperatura se conoce como temperatura de saturación adiabática.
En la figura 11 .4 se observa el proceso de saturación en un diagrama temperatura-entropía.
Como puede verse, la presión del vapor se incrementa durante el proceso.
Dado que los cambios en energía cinética y potencial son despreciables en este sistema, conocido
como saturador adiabático, un balance de energía indica que,
(mal hal + mul huI) + (m u2 - mUI )h f2
- (mal ha2 + mu2 hu2 ) = O
Sistema aislado térmicamente ~
2
Aire ma1
húmedo
----.
aT1
Aire
saturado
mv1
mv2 - mv1
~12Jj
Agua líquida
aT2
Figura 11.3. Saturador adiabático.
aT2
11 Mezclas no reactivas
419
Por unidad de masa de aire seco,
hal + COI huI + (C02 - co l )h¡2
(11 .25)
= ha2 + C0 2 hu2
donde ha l es la entalpía del aire seco que entra en el saturador, COI es la humedad específica en las
condiciones 1 , huI es la entalpía del vapor a la entrada del saturador, h¡2 es la entalpía del agua líquida
que se suministra al sistema, h a2 es la entalpía del aire seco a la descarga del saturador, co 2 es la
humedad específica de la mezcla al salir del saturador y hu2 es la entalpía del vapor en las condiciones
de saturación adiabática.
Debe señalarse que la entalpía del vapor de agua en el aire ambiente es igual, en forma mu y
aproximada a la entalpía del vapor saturado seco a la misma temperatura. Así, en las condiciones
de entrada del saturador, huI = h gl . Por otro lado, dado que el valor a la descarga es saturado, h u2 = h g2
exactamente.
La humedad específica COI del aire ambiente puede determinarse conociendo la temperatura de
saturación adiabática T 2, de la temperatura TI y la presión p . Según la ecuación 11.25,
COI
(h a2 - hall + C0 2 (h-0:-_-"-_
g2 - h¡2)
= _______
h gl - h¡2
COI
c (T - TI) + C0 h¡g2
= -'--pa -2- - - - - - ' -2' = - -
(11. 26)
h gl - h¡2
T
Tsa t. ad
s
Figura 11.4. Proceso de saturación adiabático .
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420
Termodinámica
Puesto que 4J2 = 1, de la ecuación 11.24
(11. 27)
11 .6.4 Temperatura de bulbo húmedo
Una mezcla de aire-vapor con una humedad relativa menor a 100% se hace pasar a través de un
termómetro cubierto con una gasa impregnada de agua. En condiciones de equilibrio, la transferencia
de calor del aire ambiente al agua en la gasa es precisamente igual al calor latente de vaporización
requerido por el agua qu~ s.e evapora y difunde en la mezcla. La temperatura resultante en estas
condiciones de equilibrio se conoce como temperatura de bulbo húmedo. Para obtener una lectura
correcta, la velocidad del aire ambiente debe ser entre 30 y 60 m/ min .
En el caso del aire ambiente, la temperatura de bulbo húmedo es, para todos
los propósitos prácticos, igual a la temperatura de saturación adiabática.
Ejemplo 11.6
Una mezcla de aire-vapor a una presión de 1 bar tiene una temperatura de bulbo seco de 30 oC y una
temperatura de bulbo húmedo de 25 oc. Calcule las siguientes propiedades
a) Humedad específica.
b) Humedad relativa.
e) Temperatura del punto de rocío.
Solución
a) Se supondrá que la temperatura de bul-
bo húmedo es igual a la temperatura de
saturación adiabática. Según la ecuación
11.27, para condiciones de saturación,
RaTbh
= - --'='--"'''---
O)
s
(p - Pgs)v gS
T
30
25
23 .2
Según la tabla Al , a una temperatura de 25 oC,
PgS = 0.03169 bar
vgs = 43 360 cm3/ g
hfs = 104.89 J/ g
hgs = 2442.3 J/g
s
Figura E.ll .6 .
11 Mezclas no reactivas
Por tanto,
(0.287 x 103)(298)
ros = (1 - 0.03169) 10 5 (43 .36)
Con la ecuación 11.26,
Según la tabla A.1, a una temperatura de 30 oC,
hg = 2556 .3
Sustituyendo valores,
(1)(25 - 30) + (0.0204)(2442.3)
2556.3 -104.89
ffi=~----~------~----
b) Según la ecuación 11.23a,
wp
Pu = 0.622 + w
(0 .0183)(1 )
0.622 + 0.0183
=
0.0286 bar
Por tanto,
</>
= ~ = 0.0286 = 0.6736
Pg
0.04246
= 67 .36%
e) Mediante interpolación de la tabla A.2 , a una presión de 0 .0286 bar se obtiene que
T pr = 23.24 oC
421
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422
Termodinámica
11.7 Carta psicrométrica
Dada la importancia del aire ambiente en todos los procesos de acondicionamiento de aire, sus
diferentes propiedades pueden graficarse en lo que constituye una carta psicrométrica . En la figura
11 .5 se ilustra la carta psicrométrica del aire ambiente a una presión absoluta de 760 mm Hg. Como
puede observarse el eje horizontal representa la temperatura del bulbo seco, mientras que el eje
vertical representa la humedad específica. En la misma carta aparecen las líneas de humedad relativa
constante, que terminan en la línea de saturación donde la humedad relativa es igual a 100%. A lo
largo de esta línea de saturación se localiza la temperatura de bulbo húmedo .
Dado que existe una relación única entre la humedad específica y la presión de vapor, cuando la
presión de la mezcla es constante las líneas horizontales de la carta psicrométrica indican también
líneas de presión de vapor constante. De manera análoga, las líneas horizontales denotan asimismo
temperatura de punto de rocío constante, puesto que esta temperatura depende única y exclusivamente de la presión de vapor en el aire ambiente.
La carta psicrométrica presenta al igual líneas de volumen específico constante. Debe mencionarse
que las líneas de temperatura de bulbo húmedo constante son también, de forma aproximada, líneas de
entalpía constante. Lo anterior puede verificarse con facilidad recurriendo a la ecuación 11 .25 para el
proceso de saturación adiabático. Si se define hm = ha + ooh u' la ecuación citada queda así
Puesto que el subíndice 1 se refiere a cualquier sección del saturador adiabático donde el aire se
encuentra sin saturar,
h m = h m2 + (00 - 00 2) h f2
=
hm2 + desviación de entalpía
La desviación de entalpía generalmente es muy pequeña. Por consiguiente, para el proceso de saturación adiabático.
hm = hm2
donde el subíndice 2 corresponde al estado de saturación adiabático .
La carta psicrométrica facilita enormemente el cálculo de procesos de acondicionamiento de aire .
A continuación se ilustrará su uso.
Enfriamiento evaporativo. La saturacióI), a:diabática del aire puede emplearse para reducir la temperatura de bulbo seco en tiempo cálido;,;e(¡ando las condiciones son favorables . Al agregar humedad
al aire ambiente en el enfriamiento eváporativo, la temperatura de bulbo seco mínima que el aire
puede alcanzar es igual a la temp ~ratura de bulbo húmedo que tiene el aire al entrar en el enfriador.
Por consiguiente, la reducción d]'temperatura es mayor cuanto menor sea el contenido de humedad
que hay en el ambiente. En la f,;gura 11.6 se ilustra el proceso de enfriamiento evaporativo.
.,
Entalpía
lO
kJl lg
Tempe ratura de bulbo seco oc
Figura 11.5. Carta psicrorn étrica .
barométrica de 1 O ~ 3.25 mbar
Basada en una presión
'"
'0
otts
"
!-'-JcH.:'+'-!-t-?'ki 71 0 011
.I
"C
1
'-'-l"-f;t;+'-Hi~ o 01 1 ~
"O
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424
Termodinámica
I/J = 100%
(O
.....- - - - - - - - - 1 (02
Figura 11.6. Proceso de enfriamiento evaporativo.
Dado que no siempre es factible realizar la saturación de forma completa en equipos comerciales,
la eficiencia de humidificación se define como el porcentaje de la reducción en la temperatura de bulbo
seco obtenida en la realidad con respecto a la reducción máxima posible en el proceso de saturación
adiabático. De forma analítica,
Tbs1 - Tbs2
flh = -==---=-=-
Tbs1 - Tbh1
donde T bs1 se refiere a la temperatura de bulbo seco del aire que entra en el sistema, T bs2 a la
temperatura de bulbo seco del aire parcialmente saturado que sale del enfriador y T bh1 a la temperatura de bulbo húmedo del aire que entra en el sistema.
El enfriamiento evaporativo, como método de acondicionamiento de aire, es de aplicación muy
limitada en climas cálidos húmedos.
Ejemplo 11.7
Determine la temperatura de bulbo seco y la humedad relativa que alcanza el aire al pasar por un enfriador
evaporativo que tiene una eficiencia de humidificación de 90%, si las condiciones del aire ambiente son :
Temperatura de bulbo seco
Humedad relativa
35 oC
50%
I I Mezclas no reactivas
425
Solución
En la figura E.11.7 se muestra el proceso de
enfriamiento en la carta psicrométrica.
La reducción en temperatura máxima es
de 35 - 26.4 = 8 .6 oc. Por consiguiente, la reducción en temperatura real es de 8.6 x 0 .9 =
7.7 oc. Lo anterior indica que la temperatura
de bulbo seco final es de 35 - 7.7 = 27.3 oc.
De la carta psicrométrica se obtiene una humedad relativa final de 91 %, aproximadamente.
Precalentamiento, humidificación por saturación adiabática y recalentamiento. Este
proceso aparece en el diagrama de la figura 11.7.
Un flujo de aire saturado en el estado 1 se calienta hasta el estado A mientras el contenido de
Figura E.11. 7. Proceso de enfriamiento evaporativo.
humedad se mantiene constante. El calor suministrado durante este proceso de calentamiento
es proporcional a la diferencia hA - h¡. A continuación el aire se humidifica y enfría haciéndolo pasar
por una cortina de agua (o inyectándole agua atomizada) durante el proceso de saturación adiabático
A-B. El agua de alimentación que debe suministrarse es proporcional a la diferencia (¡)B - (¡)A- Por
último, el aire saturado se recalienta hasta el estado 2 mediante la adición de calor, la cual es proporcional a la diferencia h 2 - h B.
Figura 11. 7. Precalentamiento, humidificación por saturación adiabática y recalentamiento.
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426 Termodinámica
Ejemplo 11.8
Se desea acondicionar aire saturado a 14 oC hasta que su temperatura de bulbo seco sea de 25 oC y
su humedad relativa sea igual a 60%. Empleando precalentamiento, humidificación por saturación
adiabática con 100% de eficiencia y recalentamiento, calcule
a) La cantidad de agua que debe suministrarse por unidad de masa de aire seco .
b) El calor suministrado por unidad de masa de aire seco en el precalentador.
e) El calor proporcionado por unidad de masa de aire seco en el recalentador.
100%
úl
>:'o:::::-+-~----=~--~ 0.012
;1"--#-+-_-::::''''' ---+-----1 0 .010
14°
17°
19.6°
22°
25 °
Figura E.II.S.
Solución
a) Los procesos aparecen en el diagrama de la figura E.11 .8 .
El agua que debe suministrarse es igual a
(02 -
(01 =
=
0 .012 - 0 .010
0.0020 kgagua/ kgaire seco
b) El calor suministrado en el precalentador es igual a
ql-A = hA-h 1 = 46 -
39.5
= 6.5 J / g aire seco
11 Mezclas no reactivas
427
e) El calor suministrado en el recalentador es igual a
qB-2 = h 2 -
h B = 53 - 46 = 7 J / g aire seco
Deshumidificación y recalentamiento. Este proceso aparece en el diagrama de la figura 11 .8. El
aire, con una humedad relativa menor a 100%, se enfría hasta una temperatura menor que su temperatura de punto de rocío inicial, condensándose una porción del vapor de agua. Después , el aire se
recalienta mientras su humedad específica se mantiene constante. Durante la deshumidificación el aire
se enfría hasta el punto A, donde su temperatura es igual a la de punto de rocío de la condición final.
-
(1)2
Tpr 2
I
Figura 11 .8 . Deshumidificación y recalentamiento.
1.8 Resumen
La fracción de masa (Di de cualquier componente i en una mezcla se define mediante la relación
(Di =
m
111, ; 1. = a, b,e, .. .
La fracción de masa de la especie i constituye el porcentaje gravimétrico del gas i en la mezcla y el análisis
basado en las fracciones de masa de los diferentes componentes se denomina análisis gravimétrico.
La fracción molar Xi de cualquier componente i en una mezcla se define mediante la relación
Xi -!l.
- n ' i =a, b, e, ...
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428
Termodinámica
El peso molecular M de una mezcla queda determinado mediante la relación
La ley de Dalton establece que la presión en una mezcla de gases ideales es igual a la suma de
las presiones parciales que cada componente ejercería si éste ocupara el volumen total de la
mezcla a la temperatura de la mezcla. Es decir,
p = Pa + Pb + Pe + 1 T,V
La constante R de una mezcla de gases ideales queda determinada por la expresión,
La ley de Amagat o ley de Leduc establece que el volumen de una mezcla de gases ideales es
igual a la suma de los volúmenes de los diferentes constituyentes si cada uno existiera a la
presión y temperatura de la mezcla. Esto es,
El análisis de una mezcla basado en las fracciones molares se denomina análisis volumétrico .
La energía interna de una mezcla de gases ideales queda determinada por la relación ,
Otras propiedades quedan determinadas por las expresiones:
h = O)aha + O)bhb + O)che + .. .
Cv =
O)ac va + O)bcvb + O)ecve + ...
c p = O)acpa + O)bcpb + O)ecpe + .. .
s
=
O)asa + O)bsb + O)ese + ...
El aire seco es una mezcla de gases que tiene un análisis volumétrico típico de 20 .99% de O 2 ,78 .03%
de N 2 , 0.94% de A, 0 .03% de CO 2 y 0 .01% de H 2 . Para propósitos ingenieriles, es suficientemente
exacto considerar que el aire seco está constituido por 21 % de 02 y 79% de N2 . La humedad en el aire
ambiente varía de acuerdo con el contenido de vapor de agua en la mezcla de aire seco-vapor.
La humedad relativa se define como el cociente de la presión parcial del vapor en la mezcla
entre la presión de saturación del vapor a la temperatura de la mezcla. Es decir,
11 Mezclas no reactivas
429
El aire ambiente en el cual el vapor de agua se encuentra saturado se denomina aire saturado y
su humedad relativa es, en consecuencia, igual a 1 o 100%.
La humedad específica se define como el cociente de la masa de vapor de agua en el aire
ambiente entre la masa de aire seco. Esto es,
La temperatura de bulbo seco en una mezcla aire-vapor es la temperatura que indicaría un termómetro al ser colocado en la mezcla. La temperatura de punto de rocío se define como la temperatura
de saturación del vapor correspondiente a la presión parcial de éste en la mezcla. La temperatura de
saturación adiabática es esencialmente igual a la temperatura de bulbo húmedo del aire ambiente.
Problemas
11.1 Una mezcla compuesta de 2 kg de CO 2 , 5 kg de N2 y 5 kg de CH 4 tiene una presión de 1.5 bar
y una temperatura de 40 oc. Calcule el peso molecular de la mezcla, así como las presiones y
volúmenes parciales de cada uno de los componentes.
Respuestas:
m
=
22.37; PC02 = 127 bar
PN 2
=
0.499 bar, PCH 4 = 0.874 bar
VC02 = 0.79 m 3 , VN2 = 3.10 m 3
VCH4
= 5.42 m 3
11.2 Una mezcla con un análisis volumétrico de 30% de nitrógeno y 70% de dióxido de carbono
tiene una temperatura de 100 oC y una presión de 2 bar. Calcule
a) El análisis gravimétrico de la mezcla.
b) La constante R de la mezcla.
e) La entalpía de la mezcla tomando como referencia un valor de O oc.
11.3 Un recipiente que contiene 5 kg de oxígeno a una presión de 5 bar y una temperatura de 100 oC
se encuentra conectado por medio de una válvula a un segundo recipiente que contiene 10 kg
de monóxido de carbono a una presión de 3 bar y una temperatura de 50 oc. La válvula se
abre, realizándose así la mezcla adiabática de los dos gases. Determine
a) La presión y temperaturas finales.
b) El análisis volumétrico finaL
Respuestas:
a) p = 3.47 bar, T = 65.4 oC
b) Oz: 30%, CO: 70%
•
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430
Termodinámica
11.4 Determinada mezcla de aire con un análisis volumétrico de 76% de nitrógeno y 24% de oxígeno se
encuentra a una presión de 3 bar y una temperatura de 90 oc. Si se suponen calores específicos
constantes, calcule la entropía del aire en estas condiciones. Supóngase también que la entropía del
oxígeno y la del nitrógeno son iguales a cero a una presión de 1 bar y una temperatura de O K.
11.5 Demuestre que la densidad de una mezcla de gases ideales es igual a la suma de las densidades
de sus componentes.
11.6 Demuestre que en el mezclado adiabático de gases ideales en un recipiente rígido , en principio
a la misma presión y temperatura, el cambio de entropía depende exclusivamente del número
de moles de los constituyentes.
11.7 Calcule el volumen específico de una mezcla formada por 30% de CO 2 , 20% de CO y 50% de
N 2 en base de masa si la presión es de 1 bar y la temperatura es de 50 oc.
11.8 La fracción de masa de cada constituyente en una mezcla de N 2 y CO 2 es de 50%. Si la mezcla
se comprime de 1 bar y 20 oC a 5 bar y 180 oC, determine el cambio de entropía que
experimenta el CO 2 .
11.9 A una temperatura de 30 oC y una presión total de 1 bar el aire ambiente tiene una humedad
relativa de 50%.
a) Determine las presiones parciales del aire seco y del vapor de agua.
b) Calcule la temperatura de punto de rocío.
11.10 Determine la humedad específica del aire ambiente a 1 bar y 40 oC si la humedad relativa es
de 60%.
11.11 El aire ambiente a una temperatura de 15 oC y con una humedad relativa de 100% se calienta
sin variar su humedad específica hasta una temperatura de bulbo seco igual a 30 oc.
a) Calcule la temperatura de punto de rocío final.
b) Determine la humedad específica del aire.
e) Calcule la humedad relativa final.
d) Determine el calor suministrado en el proceso.
e) Calcule la temperatura de bulbo húmedo final.
11.12 Cinco mil kilogramos de aire seco a 5 oC se mezclan de forma adiabática con 10 000 de aire
seco a 40 oc. Calcule la temperatura de la mezcla.
11.13 Se desea acondicionar cierta cantidad de aire ambiente desde una temperatura de bulbo seco
igual a 40 oC y una humedad relativa de 50% hasta una temperatura de 25 oC y una humedad
relativa de 50%. Utilizando la carta psicrométrica , es decir, indicando los estados termodinámicos
a) Calcule la cantidad de agua por unidad de aire seco que debe quitarse al aire ambiente.
b) Determine la temperatura de rocío que tiene el aire ambiente ya acondicionado.
c) Determine la temperatura de bulbo húmedo que tiene el aire ambiente ya acondicionado.
J J Mezclas no reactivas
431
11.14 Una mezcla de gases de combustión a 1 bar y 300 oC tiene el siguiente análisis volumétrico
en porcentajes
CO 2
H 20
N2
12.50
14.06
73.44
Calcule el análisis gravimétrico de la mezcla y la temperatura a la que el agua se condensa,
esto es, la temperatura de punto de rocío de los gases de combustión.
11.15 Los gases que salen de una caldera que quema gas natural se encuentran a 300 oC y 1 bar,
y tienen la siguiente composición en volumen:
CO 2
H 20
N2
02
8.7
16
72.1
3.2
a) Calcule la densidad de la mezcla.
b) ¿A qué temperatura tiene lugar la condensación de agua en la chimenea?
11.16 Se tiene aire ambiente a 30 oC y 60% de humedad relativa. Calcule la temperatura de bulbo
húmedo y la temperatura de punto de rocío.
11.17 Una mezcla de gases ideales tiene el siguiente análisis volumétrico: 02' 30%; CO 2 , 40%; N2 ,
30%. Determine
a) El análisis gravimétrico.
b) La presión parcial de cada componente si la presión total de la mezcla es de 1 bar y la
temperatura es de 32 oc.
e) El peso molecular de la mezcla.
11.18 Una habitación de 4 X 4 X 2.4 m tiene aire ambiente a una temperatura de bulbo seco de 30 oC
y con una humedad relativa de 70%. Determine la temperatura de bulbo húmedo y la de
punto de rocío.
Referencias
1. Obert, E. F., Concepts of Thermodynamics, McGraw-Hill, Nueva York, 1960.
2. Redlich, O. , Kwong, J. N. S., On the Thermodynamics of Solutions, Chem. Rev. , 44,233-244, 1949.
3. Reid, R. c. , Sherwood , T. K. , The Properties of Gases and Liquids, McGraw-Hill, Nueva York.
1958.
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12
Principios de combustión
El hombre que no comete errores.
generalmente no hace nada .
E. J. HELPS
El término combustión comúnmente se refiere a una reacción química en la que interviene un combustible y oxígeno o aire; por lo general va acompañada de una flama. Los procesos de combustión
tienen gran aplicación en motores de combustión interna, plantas generadoras de vapor, hornos y
celdas de combustible, por mencionar algunos.
En el análisis de procesos de combustión surgen varias incógnitas: ¿cuánta energía se libera en el
proceso de combustión?, ¿cuánta masa de aire se requiere suministrar a una masa dada de combustible?, ¿cuál es la composición de los productos de combustión? , etcétera.
La mayor parte de los combustibles (carbón, combustóleo, gasolina, gas natural, etc .), están
básicamente constituidos por carbono, hidrógeno y pequeñas porciones de azufre como elementos
combustibles.
12.1 Ecuaciones de combustión
Una reacción química se basa en el principio de conservación de la materia, en términos de la conservación de átomos. Para ilustrar este punto, considere la combustión de metano (CH4 ) con oxígeno
(02)' La combustión completa implica que el carbono se convierte totalmente en dióxido de carbono
(C0 2), el hidrógeno se transforrma en agua (H 20) y el azufre, si hay, se convierte en dióxido de azufre
(S02)' Así, la combustión de metano con oxígeno, si se consideran sólo los compuestos que intervienen, puede analizarse como sigue
434
Termodinámica
Para determinar el número de moles en cada componente de un modo que satisfaga los requisitos
impuestos por la conservación de la materia, es necesario realizar balances de carbono , hidrógeno y
oxígeno. Esto es,
Balance de carbono (Creactivos = Cproductos ):
Balance de hidrógeno (Hreactivos = HproductoJ
Balance de oxígeno (Oreactivos = 0 productosl:
20z ~ COz + 2H zO
En consecuencia, la ecuación de combustión completa del metano con oxígeno queda así
(1 2.1)
Es decir, un mol de metano reacciona con dos moles de oxígeno para formar un mol de dióxido de
carbono y dos moles de agua. Por otra parte, la misma ecuación 12.1 establece que 16 kg de metano
reaccionan con 64 kg de oxígeno para formar 44 kg de dióxido de carbono y 36 kg de agua. Esta
última puede encontrarse como vapor, como líquido o como sólido, según las condiciones de presión
y temperatura de los productos de combustión.
Puesto que un mol de cualquier gas ideal ocupa un volumen definido en condiciones fijas de
presión y temperatura, la ecuación 12.1 establece también que un volumen de metano reacciona con
un volumen de oxígeno para formar un volumen de dióxido de carbono y un volumen de vapor de
agua. Debe destacarse que el número de moles o volúmenes de reactivos y productos no son necesariamente iguales en magnitud. Sin embargo, la masa de los reactivos debe ser siempre igual a la de los
productos. En la ecuación 12.1 resulta fortuito que el número de moles de reactivos y productos sea
el mismo.
En la mayor parte de los procesos de combustión, el oxígeno se suministra a través del aire
ambiente. Como se expuso en el capítulo anterior, el aire seco está constituido básicamente por 21 %
de oxígeno y 79% de nitrógeno, en volumen. Es decir, por cada mol de oxígeno hay 79/ 21 = 3.76
moles de nitrógeno presentes. Aun cuando el contenido de humedad en el aire ambiente es variable,
su presencia sólo implica una cantidad adicional de materia esencialmente inerte. En consecuencia, la
ecuación de combustión 12.1 queda expresada así
CH 4 + 20z + 2(3.76)N z ~ COz + 2H zO + 7.52 Nz
(12.2)
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12 Principios de combustión
435
La ecuación anterior no garantiza por supuesto que la reacción se lleve a cabo o no. La posibilidad o imposibilidad de que la reacción suceda es una consecuencia de la segunda ley de la termodinámica, como se explicará más adelante. Por el momento, se supondrá que este tipo de reacciones
ocurre de forma espontánea al suministrar al combustible la cantidad apropiada de aire. La cantidad
mínima de este último, requerida para oxidar por completo todos los elementos combustibles, se
conoce como cantidad de aire teórico, cantidad químicamente correcta de aire o cantidad estequiométrica de aire.
La relación aire-combustible se define como el cociente de la masa de aire a la masa de combustible. Para la combustión del metano con la cantidad teórica de aire, la relación aire-combustible
puede determinarse mediante la ecuación 12.2 teniendo en cuenta que el peso molecular del aire es
aproximadamente 29 y el del metano es 16. Esto es:
ma
raje = me =
(2 + 7.52)29
(1)16
Dado que a bajas temperaturas el agua en los productos de combustión está por lo general en estado
líquido , el análisis volumétrico en base seca implica que el agua en los productos se encuentra
condensada. En estas circunstancias, el líquido ocupa un volumen insignificante. El análisis volumétrico
en base seca de los productos de combustión del metano con la cantidad teórica de aire es el siguiente
cO 2 = _1_(100)~ 11.74%
8.52
N = 7.52 (100)= 88.26%
2
8.52
10<Y1o
Cuando el aire no alcanza a tener la cantidad químicamente correcta, parte del carbono se un'e con el
oxígeno para formar monóxido de carbono (CO). Por otra parte, al suministrar exceso de aire respecto de la cantidad químicamente correcta, aparece oxígeno (02) en los productos de combustión. El
exceso de aire sólo disminuye la temperatura de los productos de combustión y, por tanto, la transferencia de calor. Así, cabe mencionar que las turbinas de gas operan con un gran exceso de aire para
disminuir la temperatura en los álabes de la turbina.
El exceso o deficiencia de aire pueden detectarse a través de un análisis de los productos de
combustión .
i. Combustión con exceso de aire
Considere la combustión del metano con 20% de exceso de aire. En estas circunstancias, la
ecuación 12.2 se modifica así
436
Termodinámica
CH 4 + 1.2(2)02 + 1.2(7.52)N2
......., CO 2 + 2H 20 + 9 .02 N2 + 0.402
Con 20% de exceso de aire la relación aire-combustible es
raje =
(2.4 + 9.02)29
(1)16
El análisis volumétrico en base seca de los productos de combustión, con 20% de exceso de aire, es
el siguiente
CO 2 = _ 1 _ (100)= 9.60%
10.42
° = ~(100)=
3.84%
10.42
2
N = 9.02 (100)= 86.56%
10CJl!o
2 10.42
ii. Combustión con deficiencia de aire
Considere ahora la combustión del metano con 20% de deficiencia de aire, es decir, con 80% del aire
teórico. En estas condiciones,
CH 4 + 0 .8(2)02 + 0 .8 (7 .52) N2
......., xC0 2 + yCO + 2H 20 + 6.02N 2
Mediante un balanc~ de carbono y oxígeno, respectivamente, se obtiene
x+y=l
Además,
2x + y + 2 = 3.2
Resolviendo las incógnitas x y y,
x = 0 .2
y = 0.8
Por tanto, la ecuación de combustión con 20% de deficiencia de aire es
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12 Principios de combustión
437
En este caso
role =
(1.6 + 6.02)29
(1)16
El análisis volumétrico en base seca de los productos de combustión con 20% de deficiencia de aire es
el siguiente
2.85%
11.40%
85.75%
100.00%
COz
CO
Nz
Se deja al lector como ejercicio la verificación de estos porcentajes. Como puede observarse en la figura
12.1, el porcentaje de COz en los productos de combustión es máximo cuando la relación aire-combustible
es químicamente correcta. Este porcentaje disminuye al haber exceso o deficiencia de aire. Por otra parte,
el CO aparece en mezclas ricas (mezclas con exceso de combustible o deficiencia de aire). De manera
similar, el 0z aparece con mezclas pobres (mezclas con deficiencia de combustible o exceso de aire).
El Orsat constituye uno de los métodos tradicionalmente más empleados para analizar de forma
experimental la composición volumétrica (en base seca) de los productos de combustión, mediante
%
\
\
/
/'
,,/
\
~
L - -_ _ _
~
/
/
\
(AClteórica
%0,
AC
Figura 12.1. Variación esquemática de COz. CO y 0 z
en los productos de combustión.
438
Termodinámica
absorción de éstos. Aparte de contar con una bureta de medición, rodeada de agua para mantener la
temperatura constante durante la prueba, el aparato tiene además tres pipetas para la absorción de
CO 2, 02 y CO. En los productos de combustión el nitrógeno se obtiene por diferencia con el 100%.
El lector interesado en la construcción y funcionamiento del Orsat puede consultar la obra de
Messersmith y otros que se incluye en la bibliografía al final de este capítulo .
Ejemplo 12.1
Considere la combustión del octano (CSH 18) con la cantidad químicamente correcta de aire, a una
presión constante de 1 bar. Calcule
a) La relación aire-combustible.
b) El análisis volumétrico en base seca de los productos de combustión.
e) La temperatura de punto de rocío en que el agua se condensa.
d) La densidad de los productos de combustión a una temperatura de 100
oc.
Solución
a) La ecuación de combustión puede determinarse mediante un balance de materia. Esto es,
CSH 18 + 12.502 + 47N 2 ~ 8C0 2 + 9H 20 + 47N 2
Según esta ecuación,
ral e =
(12.5 + 47)29
(1)114
b) El análisis volumétrico en base seca de los productos de combustión es el siguiente
COz = ~(100)= 14.55%
55
N = 47 (100)= 85.45%
z 55
100.00%
e) La presión parcial del vapor de agua en los productos de combustión es
9
PH 0= -(1)= 0.14 bar
z
64
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12 Principios de combustión
439
Por tanto, según la tabla A.2,
T pr = 52.55 oC
d) Según la ecuación de estado de los gases ideales
donde, R = RuIM, y
8
64
9
64
47
64
M = -(44)+ -(18)+ - (28)= 28.59
Por consiguiente,
R = 8.3143 = 0.291 JI K
28.59
g
Además,
p=
5
(1 X 10 )
= 0.92 Kg/m3
(0.291x 103 )(373)
Ejemplo 12.2
El análisis volumétrico de cierto gas combustible es el siguiente:
CH4
84.5
C2H 6
CO2
11 .5
02
N2
0.1
1.0
2.9
100.0
Determine los metros cúbicos de aire requerido por metro cúbico de combustible y el análisis volumétrico
de los productos de combustión. El gas se quema con la cantidad teórica de aire.
Solución
Mediante un balance de materia en general
(84.5CH 4 + 11.5C2H6 + 0.lC02 + 0 2 + 2.9N 2)
+ w0 2 + 3.76wN 2 ~ xC0 2 + yH 2 0 + zN 2
440 Termodinámica
Mediante balances de carbono, hidrógeno, oxígeno y nitrógeno pueden determinarse las incógnitas
w, x, y y z. Esto es,
C:
84.5 + (2) (11.5) + 0.1 = x
x = 107.6
H:
(4) (84.5) + (6) (11 .5) = 2y
y = 203.5
o:
(2) (0.1) + 2 + 2w = 2x + y
W = 208 .25
N:
(2) (2.9) + (2) (3 .76w) = 2z
z = 785 .92
De lo anterior se obtiene
208.25 + 785.92
- - - - - - = 994.17 moles de aire/ lOO moles de gas
100
Cuando el combustible y el aire se determinan en las mismas condiciones de presión y temperatura,
la relación aire-combustible de forma volumétrica puede expresarse así
9.94 m 3 de aire/ m 3 de combustible.
Los productos de combustión pueden analizarse partiendo de los resultados anteriores, esto es
Constituyente
No . de moles
Análisis
volumétrico
107.6
203.5
785.92
1097.02
9.81
18.55
71.64
100.00%
12.2 Calor de combustión
El calor de combustión o poder calorífico de un combustible se define como la cantidad de calor
disipada por él cuando se quema por completo y se enfrían los productos hasta la temperatura inicial.
El calor de combustión es una medida cuantitativa de la energía química liberada por un combustible.
Según el tipo de proceso, tenemos el calor de combustión a volumen constante y el calor de
com bustión a presión constante.
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12 Principios de combustión
441
El calor de combustión a volumen constante por lo regular se determina de forma experimental
en un calorímetro de volumen constante o bomba calorimétrica. Una pequeña cantidad de combustible se introduce en la bomba. Ésta se carga con una gran cantidad de oxígeno presurizado para
asegurar la conversión completa de combustible en productos y se coloca en un baño de agua ,
logrando así que la temperatura, después de la ignición y combustión, sea esencialmente igual a la
inicial. Mediante un balance de energía en este sistema cerrado, tenemos
Qu = !'iU == Uproductos - UreactivoS I T, v
(12.3)
donde Qu es el calor de combustión a volumen constante. Aun cuando la energía interna de los
productos se evalúa a la misma temperatura que la de los reactivos, la diferencia conforma la energía
química liberada durante el proceso de combustión.
El calor de combustión de los gases combustibles a presión constante se determina de manera
experimental en un calorímetro de presión constante o de flujo . En este instrumento el aire y el
combustible sufren combustión y los productos se enfrían esencialmente hasta la temperatura inicial
mediante la circulación de agua de enfriamiento. Mediante un balance de energía en este sistema
abierto tenemos
o = !'iH = Hproductos - Hreactivos I T
p
p,
(12.4)
donde Op es el calor de combustión a presión constante.
El calor de combustión a volumen constante difiere del calor de combustión a presión constante
si se experimenta una variación en el volumen que ocupan los productos de combustión resp ecto al
de los reactivos. Comparando las ecuaciones 12.3 y 12.4 , tenemos
Op - Ou= !'iH - !'iU = !'ipV
Op - Ou = (!'in)R uT
(12.5)
donde !'in denota la diferencia entre el número de moles de productos y reactivos de forma gaseosa .
Analizando la ecuación 12.1 de combustión del metano con oxígeno y suponiendo que el agua está
en su fase de vapor, !'in es igual a cero y Qp = Qu. Por otra parte, si el agua se encuentra en estado
líquido, !'in es igual a -2 y el valor absoluto de Op es mayor que el de Qu debido al trabajo que realizan
los alrededores en el sistema al existir una disminución en el volumen.
Según se encuentre el agua en los productos de combustión, ya sea en su fase líquida o en su fase
de vapor, tenemos el poder calorífico superior o el poder calorífico inferior, respectivamente, sea
a presión o a volumen constante. Ambos valores, superior o inferior, difieren a una temperatura dada
sólo por el calor latente de vaporización del agua.
En la tabla 12.1 se presentan los calores de combustión a presión y a volumen constante de
algunos combustibles a una temperatura de 25 oc. En la figura 12.2 se observa la relación existente
entre la energía interna de los productos y los reactivos a una temperatura dada. El calor de combus-
442 Termodinámica
Productos
T
Reactivos
°v
u
Figura 12.2. Relación entre la energía interna de los
productos y los reactivos con la temperatura.
tión puede determinarse de forma analítica a cualquier temperatura mediante las ecuaciones 12 .3 y
12.4. Para el calor de combustión a volumen constante, tenemos
Qu, TI = Uproductos, TI - Ureactivos' TI
Qu' T2 = Uproductos, T2 -
Ureactivos' T2
Comparando las expresiones anteriores,
T2
Ou,T2
= Ou,T¡ + ~Uproductos IT¡
T2
- ~ U reactivos IT¡
(12.6)
De manera similar, para el calor de combustión a presión constante a una temperatura T2 , tenemos
T2
Op, T2 = Op, TI + ~H productos ¡T¡
-
~H reactivos I~~
(12 .7)
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12 Principios de combustión
443
De las expresiones anteriores se desprende que los calores de combustión permanecen invariables
con la temperatura si el calor específico (a presión o a volumen constante) de los productos es igual al
de los reactivos. En la tabla 12.2 se presentan los valores de entalpía de algunos gases ideales.
Tabla 12.1. Calores de combustión.
Combustible
Y
Alcohol etílico
Alcohol metílico
Butano
Carbono (grafito)
Decano
Etano
Heptano
Hidrógeno
Metano
Monóxído de
carbono
Octano
Pentano
2-2-4 trimetil
pentano
Fórmula
Calor
latente de
vaporización
a 25°C
J/gmol
Poder caloríficosuperior
a 25°C, J/gmol
-t.H
-si)
-si«
-su
42463
37514
24409
50865
1413 164
766124
2876557
393517
6830967
1558967
4853583
285844
889676
1408205
762405
2867879
393517
6814850
1552768
4841185
282125
884717
1281231
678169
2656471
393517
6346777
1426915
4501445
241830
801642
1283696
679399
2660190
393517
6357935
1428155
4508884
240590
801642
CO
CSH1S
CSH12
41366
282995
5512211
3534950
281 755
5498690
3525032
282995
5116149
3270847
281 755
5124827
3275806
CSH1S
35074
5496561
5100 il.13
5109092
C2HsOH
CHpH
C4HlO
C
ClOH22
C2H6
C7H16
H2
CH4
Fuente: Obert, E. F., Internal Combustion
Engines, Intemational
Poder caloríficoinferior a
25°C, J/gmol
Texbook Co., EUA, 1968.
Ejemplo 12.3
Determine el poder calorífico inferior del metano (CH4) a una temperatura de 1000 K.
I
Solución
11
La ecuación de combustión es
Según la tabla 12.1, el poder calorífico inferior a volumen constante del metano es
Qu 298 = -801 642 J/gmol
444 Termodinámica
Mediante
la ecuación
12.6,
Sust
Qu,1000
= Qu,298
+ (u*C02, 1000 - u*C02,298)
+ 2(u * H20, 1000 - U* H20, 298)
+ (U*CH4' 298 - U*CH4,298)
+ 2(u* 02,1000 - U* 02,298)
Tabla 12.2. Valores de entalpía de algunos gases ideales (J/gmol).
T,K
"
.,
I~"
I¡~rl
,.i u
,
'""
,I~JI
O
100
200
298
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
3000
Fuente: JANAF
°z
Nz
COz
HzO
CO
CH4
RuT
O
2985
5832
8688
8742
11 719
14779
17940
21198
24539
27947
31409
34922
38473
42061
45678
49325
52997
56689
60411
64159
67927
71 716
75534
79369
83229
87115
91017
94944
98892
102861
106851
O
2868
5811
8675
8729
11648
14591
17572
20620
23731
26909
30149
33448
36802
40197
43635
47106
50606
54135
57690
61261
64854
68463
72 088
75727
79373
83037
86709
90389
94077
97770
101475
O
3211
5991
9370
9437
13 381
17689
22295
27143
32201
37430
42797
48291
53884
59561
65314
71125
76995
82911
88865
94856
100881
106935
113014
119114
125236
131378
137541
143716
149908
156113
162335
O
3291
6628
9910
9973
13364
16835
20415
24103
27913
31849
35906
40097
44409
48839
53386
58037
62789
67634
72 561
77 569
82647
87793
93001
98264
103577
108941
114350
119797
125282
130804
136356
O
2847
5811
8679
8734
11656
14612
17626
20708
23865
27089
30379
33729
37124
40566
44041
47554
51092
54650
58234
61839
65456
69095
72 741
76401
80073
83753
87446
91142
94852
98566
102284
O
3329
6661
10032
10099
13896
18238
23170
28680
34721
41257
48236
55613
63338
71377
79687
88237
97000
105951
115062
124323
133710
143209
152814
162506
172 178
182134
192049
202026
212057
222135
232263
0.00
832.00
1664.00
2480.68
2496.00
3328.00
4160.00
4992.01
5824.01
6656.01
7488.01
8320.01
9152.01
9984.01
10816.01
11 648.01
12480.01
13 312.01
14144.02
14976.02
15808.02
16640.02
17472.02
18304.02
19136.02
19968.02
20800.02
21632.02
22464.02
23296.03
24128.03
24960.03
Thermochemica/
Tables, Springfield, Va. 22151.
Deb
12,
En 1
inte
sele
este
tod.
refe
pur.
los,
exp
cua
vale
rea
der
En
díf
tl
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12 Principios de combustión
445
Sustituyendo valores de la tabla 12.2 y teniendo en cuenta que u* = h* - Ru T, tenemos:
Qu, 1000 = -801 642 + (42797 - 8320.01)
- (9370 - 2480.68) + 2(35 906 - 8320 .01)
- 2(9910 - 2480.68) - (48236 - 8320.01)
+ (10 032 - 2480.68) - 2(31 409 - 8320.01)
+ 2(8688 - 2480.68)
Qu, 1000 = -799 869 J / mol
Debe mencionarse que los calores de combustión a 1000 K ya 298 K difieren sólo en 0.22%.
12.3 Entalpía de reacción. Entalpía de formación
En los análisis termodinámicos en los que el medio de trabajo es de composición química constante
intervienen diferencias en propiedades, esto es, diferencias en entalpía, en entropía, etc. Aun cuando se
seleccione un estado de referencia arbitrario para evaluar de forma cuantitativa estas propiedades, este
estado no tiene ningún efecto en los resultados termodinámicos, puesto que su valor es el mismo para
todos los estados que atraviesa el medio de trabajo en el proceso. En consecuencia, el estado de
referencia se elimina en todos los cálculos. Para mostrar esto, el trabajo desarrollado por una sustancia
pura durante la expansión adiabática en un sistema abierto es proporcional a la diferencia de entalpía si
los cambios en energía potencial y cinética son despreciables. Si el medio de trabajo que interviene en la
expansión es vapor de agua, la diferencia de entalpía puede calcularse mediante las tablas de vapor. Aun
cuando éstas se construyen asignando un valor de cero energía interna al líquido saturado a 0.01 oC, el
valor de referencia se elimina en los cálculos. Éste no es el caso en sistemas en los que interviene una-reacción química, donde la composición varía durante el proceso al formarse nuevos productos.Considere como ilustración la reacción del CO con 02 para formar CO2 ,
Si los reactivos se unen a una presión y a una temperatura de 1 atm t
o
~Ho
o
1
o
= he02 - hco - '2 h02
=
-282 995 J / gmol
En consecuencia, la entalpía de 1 mol de CO 2 en condiciones estándar de presión y temperatura
difiere por -282 995 J respecto de la de 1 mol de CO y 112 mol de 02'
t I atm = 1.01325 bar
446
Termodinámica
Dado que una propiedad queda determinada por el estado termodinámico y no por el proceso, la
entalpía de reacción !:J.¡--¡O para una reacción dada, puede determinarse mediante otras reacciones.
Considere la reacción de C con 02 para formar ca,
1
C + -02 ---? CO
2
La entalpía de reacción puede determinarse con la tabla 12.1 y las siguientes reacciones:
C + 02 ---? CO 2 , !:J.H 0 = -393 776 J/gmol
(a)
1
CO + - O 2 ---? CO 2
2
!:J.H o = -282 995 J/ gmol
(b)
Restando (b) de (a),
1
2
C + -02 ---? ca, !:J.H o = -110 552 J/gmol
Debe agregarse que la entalpía de reacción puede evaluarse en condiciones diferentes de las condiciones estándar mediante las técnicas presentadas en la sección 12.2.
Un estado de referencia común puede obtenerse asignando un valor de cero a la entalpía de los
elementos puros en un estado de referencia seleccionado de manera arbitraria. De esta manera,
la entalpía del producto resultante a partir de la combinación de elementos puros se conoce como
entalpía de formación. Para ilustrar esto, considere la reacción del carbono con el oxígeno para
formar dióxido de carbono.
C + 02 ---? CO 2 , !:J.¡--¡O = -393 776 J/gmol
Si la entalpía del carbono y la del oxígeno se igualan a cero de modo arbitrario por tratarse de
elementos puros, la entalpía de formación del CO 2 en condiciones estándar es
o
hC02 = - 393 776 kJ/kgmol
Por la definición anterior es evidente que la entalpía de formación de un elemento en su estado
estándar es igual a cero por convención. En la tabla 12.3 se presentan diferentes valores de la entalpía, entropía y función de Gibbs de formación.
Aun cuando el valor de la entalpía puede igualarse a cero en un estado de referencia arbitrario, la
entropía de una sustancia pura en equilibrio termodinámico es igual a cero en el cero absoluto
de temperatura . Este axioma constituye en esencia la tercera ley de la termodinámica. De forma
analítica
Iím s =
°
T---?OK
(12 .8)
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12 Principios de combustión
447
Tabla 12.3. Entalpía, entropía y funciól"!de Gíbbsde formación a 25°C y 1 atm.
Sustancia
Fórmula
Estado
Acetileno
Agua
C2H2
H20
Amoniaco
Argón
Butano
Carbono
NH3
Ar
C4HlQ
C
Dióxído de carbono
Etano
Helio
Heptano
Hexano
Hidrógeno
Metano
Monóxido de carbono
Nitrógeno
Octano
Oxígeno
CO2
C2H6
He
C7H16
C6H14
H2
CH4
CO
N2
C8H18
Fuente: Obert, E. F., Concepts
of Thermodynamics,
°2
Gas
Gas
Liquido
Gas
Gas
Gas
Sólido
Gas
Gas
Gas
Gas
Gas
Gas
Gas
Gas
Gas
Gas
Gas
Gas
h~
kJ/kgmol
s~
kJ/kgmol K
kJ/kgmol
226899
-241988
-286031
-46222
O
-126232
O
718865
-393776
-84724
O
-187945
-167305
O
-74898
-110597
O
-208586
O
200.95
188.85
69.99
192.63
154.84
310.33
5.70
158.10
213.78
229.65
126.13
428.06
388.66
130.67
186.31
198.04
191.62
467.04
205.17
209340
-228746
-237349
-16647
O
-17166
O
673426
-394647
-32908
O
8122
-293
O
-50828
-137359
O
-16538
O
g~
McGraw-HiIl, Nueva York 1960.
La entropía de una mezcla no puede ser igual a cero en el cero absoluto de temperatura, puesto que la
entropía se incrementa en los procesos irreversibles de mezclado.
Ejemplo 12.4
Determine la entalpía de formación del alcohol etílico en condiciones estándar.
Solución
Según la tabla 12. 1,
C2HsOH + 302 ~ 2C02 + 3H20
~¡...¡o = -1 281 231 J/gmol
(a)
C + 02 ~ CO2,
~¡...¡o = -393 517 J/gmol
(b)
448
Termodinámica
1
H 2 + 202 ~ H 20 ,
~fíD = -241 830 J / gmol
Haciendo (2b) + (3c) - (a)
1
2C + -02 + 3H 2 ~ C 2 H s OH,
2
~fíD = -231 293 J / gmol
En consecuencia
o
hC2HsOH = -231 293 J / gmol
De lo anterior se desprende que la entalpía de formación puede obtenerse partiendo de datos sobre
entalpía de reacción.
12.4 Temperatura teórica de flama
Considere la combustión adiabática a volumen constante de una mezcla de reactivos a una temperatura TI' Debido al proceso de combustión y a la ausencia de transferencia de calor, la temperatura de
los productos de combustión se eleva hasta un valor T 2 . Esta temperatura se conoce como temperatura teórica de flama en el proceso de combustión adiabático a volumen constante. Puede controlarse con la cantidad de exceso de aire (u oxígeno) introducido, lográndose un valor máximo con mezclas químicamente correctas.
Mediante un balance de energía, al haber ausencia de transferencia de calor y no existir trabajo se
obtiene
(12.9)
Combinando esta expresión con la ecuación 12.3,
(12 .10)
Este proceso adiabático de combustión puede observarse en la figura 12.3. De la misma manera, considere la combustión adiabática a presión constante de una mezcla de reactivos a una temperatura TI '
La temperatura de los productos de combustión se eleva hasta una temperatura T 2 como consecuencia de la ausencia de transferencia de calor. A esta temperatura se le conoce como temperatura
teórica de flama en el proceso de combustión a presión constante. Mediante un balance de energía.
H productos, T2 = Hreactivos, TI
(12.11)
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12 Principios de combustión
449
T
Productos
2
-r; I-----------,~
T, 1---+-----:;";-:
u
Figura 12.3. Procesos de combustión
adiabática a volumen constante.
Combinando esta expresión con la ecuación 12.4, tenemos
Qp, T¡ = Hproductos , T¡ = H productos, T2
(12 .12)
Ejemplo 12.5
Determine la temperatura teórica de flama en la combustión adiabática del metano (CH 4 ), a presión
constante, con 200% de aire teórico . Al iniciarse el proceso la temperatura es de 298 K.
Solución
Con 200% de aire teórico, la reacción química es
CH 4 + 402 + 15.04N 2 ---7 CO 2 + 2H 20 + 15.04N 2 + 202
Según la tabla 12.1,
Qp, 298 = -801 642 J/ gmol
Según la tabla 12.2,
Hproductos, 298 =
9370 + 2(9910)
+ 15.04 (8675) + 2(8688)
= 177 038 J
Según la ecuación 12.12,
Qp, T¡
= 177 038 + 801642
= 978 680 J
H productos, T2 = H productos, T¡ -
450 Termodinámica
Puesto que la entalpía de los productos es igual a 978 680 J en las condiciones de temperatura
teórica de flama, suponga inicialmente un valor de Tz = 1500 K. En estas condiciones, según la tabla
12.2, tenemos
Hproductos, 1500 = 71 125 + 2(58 037)
+ 15.04 (47 106) + 2(49 325)
= 994 323 J
El valor correcto de temperatura puede ajustarse mediante aproximaciones sucesivas. Finalmente,
Tz = 1480 K
12.5 Resumen
La mayor parte de los combustibles están constituidos básicamente por carbono, hidrógeno y pequeñas porciones de azufre como elementos combustibles. En la mayoría de los procesos de combustión ,
el oxígeno se suministra a través del aire ambiente. El volumen del aire seco está constituido básicamente por 21% de oxígeno y 79% de nitrógeno. Es decir, por cada mol de oxígeno hay 3.76 moles de
nitrógeno presentes.
La cantidad mínima de aire que se requiere para oxidar por completo todos los elementos combustibles se conoce como cantidad teórica de aire, cantidad químicamente correcta de aire o cantidad estequeométrica de aire. La relación aire-combustible se define como el cociente que resulta de
la relación entre la masa de aire y la masa de combustible en el proceso de combustión.
Dado que a bajas temperaturas el agua en los productos de combustión se encuentra en estado
líquido, el análisis volumétrico en base seca implica que el agua en los productos se encuentra
condensada.
Cuando la cantidad de aire suministrado es menor que la químicamente correcta, parte del carbono se une con el oxígeno para formar monóxido de carbono. Por otra parte, al suministrar un exceso
de aire respecto de la cantidad químicamente correcta, aparece oxígeno en los productos de combustión. El Orsat es uno de los métodos tradicionales que se utilizan para analizar de forma experimental
la composición volumétrica en base seca de los productos de combustión.
El ca'lor de combustión o poder calorífico de un combustible se define como la cantidad de calor
disipada por éste cuando se quema por completo y los productos se enfrían a la temperatura inicial.
Según el tipo de proceso, se tienen el calor de combustión a volumen constante y el calor de
combustión a presión constante, esto es,
Ov = Uproductos - Ureactivos I T,V
También
Op = Hproductos - Hreactivos I p,T
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12 Principios de combustión
451
Según se encuentre el agua en los productos de combustión en fase líquida o de vapor se tienen el
poder calorífico superior o el poder calorífico inferior, respectivamente.
La entalpía de reacción a una presión y a una temperatura dadas se define como la entalpía de
los productos menos la entalpía de los reactivos en las mismas condiciones de presión y temperatura .
Puede obtenerse un estado de referencia común asignando un valor de cero a la entalpía de los
elementos puros en su estado natural en un estado de referencia seleccionado de forma arbitraria. La
entalpía del producto resultante como consecuencia de la reacción de elementos puros se conoce
como entalpía de formación.
La entropía de una sustancia pura en equilibrio termodinámico es igual a cero en el cero
absoluto de temperatura. Este axioma constituye, en esencia, la tercera ley de la termodinámica.
La temperatura máxima que alcanzan los productos durante un proceso de combustión adiabático
a presión o a volumen constante se conoce como temperatura teórica de flama.
Problemas
12.1
Determine la relación aire- combustible para la combustión de CH 30H con la cantidad químicamente correcta de aire.
Respuesta: 6.47 kga/ kg c
12.2
Determine el análisis volumétrico en base seca de los productos de combustión del heptano
(C 7 H 16) con la cantidad teórica de aire.
Determine el análisis volumétrico en base seca de los productos de combustión del octano
(CgHlg) con 80, 100 y 120% de la cantidad teórica de aire. Grafique el porcentaje de CO 2 en
los productos como función de la relación aire-combustible.
La composición de un gas combustible es la siguiente:
12.3
12.4
CO2
°2
CO
CH 4
H2
N2
2%
1.2%
6%
29.8%
56.2%
4.8%
Partiendo de este análisis volumétrico, determine los metros cúbicos de aire por metro cúbico de combustible, así como el análisis volumétrico de los productos de combustión . Suponga 10% de exceso de aire.
Respuestas:
4 .26 m~ /m ~
CO 2
7%
H 20
21.5%
N2
69 .8%
02
1.7%
452
12.5
12.6
Termodinámica
Cierta cantidad de dodecano (C 12 H 26) se quema por completo con 20% de' exceso de aire,
Determine la temperatura de punto de rocío si la presión total de los productos es de 1 bar.
Calcule la energía interna de reacción en condiciones estándar, para la siguiente reacción :
Utilice la tabla 12.3.
Respuesta: ¡;"[J' = -281 939 J/ gmol
12.7
12.8
12.9
Determine la temperatura teórica de flama en la combustión adiabática a presión constante del
metano (CH,¡) con la cantidad teórica de aire. El aire y el combustible reaccionan a 25 oC y 1 bar.
Se suministra cierto flujo de aire y metano a una máquina de 25 oc. La temperatura de los
gases en el escape es de 700 oc. La transferencia de calor del sistema es de 233 000 J / gmol
de combustible. La combustión se realiza con 10% de exceso de aire. Determine el trabajo
realizado en J / gmol de combustible.
Determine la relación aire-combustible para la combustión de H 2 con la cantidad químicamente correcta de aire.
Respuesta : 34.51 kga/ kg c
12.10 Determine la temperatura teórica de flama en la combustión adiabática a volumen constante
del hidrógeno con oxígeno. Suponga la cantidad estequiométrica de oxígeno y la iniciación
de la reacción a 25 oC y 1 bar.
12.11 Calcule la presión final del agua en el problema anterior.
12.12 Considere la combustión de octano (CSH 1S) con la cantidad químicamente correcta de aire, Si
la presión de los gases de combustión es igual a 101 kPa, determine su temperatura de punto
de rocío.
12.13 Repita el problema anterior si la combustión del metano se lleva a cabo con 20% de exceso
de aire.
12.14 Determine la temperatura teórica de flama en la combustión adiabática a presión constante
del octano (CSH 1S ) como gas, con 20% de exceso de aire, Suponga que los reactivos se
encuentran a una temperatura de 700 K.
Referencias
1. Klotz, 1. M., Introduction to Chemical Thermodynamics, W. A. Benjamin, Inc., EUA, 1964.
2. Obert, E. F., Internal Combustion Engines, International Textbook Co., EUA, 1968,
3. Sonntag, R. E., Van Wylwn, G. J ., Introduction to Thermodynamics: Classical and Statistical,
John Wiley, Nueva York, 1971.
4. Messersmith, C. w., Warner, c.F. , Olsen, R. A., Mechanical Engineering Laboratory, John
Wiley, Nueva York, 1960.
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13
Equilibrio termodinámico
Experiencia es el nombre que le da
todo el mundo a sus errores.
OseAR WILDE
En el capítulo anterior no se explicó la posibilidad de que una reacción química pueda llevarse a cabo
o no. Sólo se supuso que la reacción podía ocurrir de forma espontánea al suministrar al combustible
la cantidad apropiada de aire u oxígeno. Sin embargo, aparte de los diferentes puntos analizados en
el capítulo anterior, también es importante poder determinar la posibilidad o imposibilidad ·de llevar a
cabo una reacción y, dado el caso, conocer la medida de la posibilidad.
Puesto que la experiencia indica que las reacciones de combustión no se llevan a cabo en forma
completa, en este capítulo se calculará la temperatura de flama en condiciones de equilibrio. Asimismo, se analizará el equilibrio entre fases.
13.1 Criterio de equilibrio
Como se explicó en el capítulo 7, la segunda ley de la termodinámica establece que un proceso dado
en un sistema aislado puede ocurrir hasta que adquiera este último su valor máximo de entropía y
mantenga al mismo tiempo, constante su energía. En consecuencia, la condición necesaria y suficiente para que un sistema esté en equilibrio estable (equilibrio termodinámico) es que su entropía sea un
máximo o que en todas las variaciones de estado posibles a partir del equilibrio el cambio de entropía
sea negativo. Por otra parte, en equilibrio termodinámico el sistema es estable frente a todas las
perturbaciones posibles, grandes o pequeñas, físicas o químicas.
Considere ahora un sistema cerrado que se encuentra en equilibrio térmico y mecánico con los
alrededores, es decir, en igualdad de presión y temperatura. En estas circunstancias,
dWmáx = -dG
útil
454
Termodinámica
Puesto que en equilibrio termodinámico el sistema es incapaz de realizar trabajo útil, la función de
Gibbs debe alcanzar un mínimo; esto es,
(13. 1)
Por otro lado, en equilibrio termodinámico todas las variaciones de estado posibles deben tener una
función de Gibbs mayor, es decir,
(13 .2)
Las ecuaciones anteriores establecen un criterio de equilibrio. Por el contrario, si existen estados que
posean una función de Gibbs menor, el sistema tiene capacidad de realizar trabajo y puede en consecuencia experimentar un cambio de estado. En estas circunstancias,
(13.3)
Un criterio análogo puede derivarse utilizando A, que es ·la función de Helmholtz.
Así, una reacción química a temperatura y volumen constantes, sólo es posible si la función de
Helmholtz de los productos es menor que la de los reactivos. Del mismo modo, una reacción química
isotérmica a presión constante sólo es pOSible si la función de Gibbs de reacción es menor que cero.
De esta manera se establece la posibilidad o imposibilidad de que una reacción pueda llevarse a cabo.
En consecuencia, las funciones de potencial A y G únicamente pueden disminuir, alcanzándose un
mínimo cuando se logre un estado de equilibrio termodinámico.
Aun cuando el conocimiento en llG o ·llA permite establecer con claridad si una reacción dada
puede llevarse a cabo, este criterio no provee información con respecto a la velocidad de la reacción.
Un valor negativo grande enllG, por ejemplo, indica la existencia de una gran tendencia para que una
reacción pueda llevarse a cabo. Considere para ilustrar este punto la reacción del CO y el O 2
1
CO+"202 ~C02
En este caso, según los valores de la tabla 12.3,
llG O _
*0
- gco2
_
*0
gco2
_!2 gco
*0
2
= -394 647 - (-137 359) - O
llGo = 257 288 J/gmol
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13 Equilibrio termodinámico
455
Aun cuando ~G < 0 , el CO y el 02 pueden unirse a presión y temperatura ambiente y permanecer en
este estado de mezcla muchísimo tiempo sin que la reacción se lleve a cabo de una manera significativa. Sin embargo, con un catalizador apropiado, la reacción procede justo en la dirección establecida.
Debe decirse de nuevo que los principios termodinámicos no proporcionan ninguna información
respecto de la velocidad de reacción. Éste es un tema cubierto por la cinética química.
13.2 Relaciones entre propiedades para
una mezcla con composición variable
A continuación se desarrollarán algunas relaciones entre propiedades, las cuales pertenecen al estudio del eqUilibrio termodinámico. La primera y segunda leyes de la termodinámica establecen que.
para una mezcla cuya composición química es constante,
(13.4)
Además ,
(13.4a)
De manera similar, para H, A y G,
(13 .5)
También ,
(13.5a)
(13.6)
Asimismo,
(13 .6a)
(137)
456 Termodinámica
Del mismo modo,
(13 .70)
Mediante la diferencial exacta, las ecuaciones 13.4 y 13.40 indican que
(13 .8)
De manera análoga, para las ecuaciones restantes,
(13.9)
(1 3 . 10)
(1 3 . 11)
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'3 Equilibrio termodinámico
457
De forma general, para una mezcla cuya composición puede ser variable,
También
dU= aU)dS
+
as
V, no,n b , ...
au)
.
ano dnoS,V,nb' ... +
-
Sustituyendo la ecuación 13.8,
au)
dU = TdS - pdV + "L -
an¡
dn¡
S, V, nj*¡
(13.12)
De la misma manera, para las propiedades H, A y G,
de este modo,
aH)
an¡
s,
dH=TdS+Vdp+"L- dn¡
.
aA) dn¡
dA = - SdT - pdV + "L -
También
p , n j *¡
an,.
T , V , n 1*
· 1.
(13 13)
(13 . 14)
458 Termodinámica
Además ,
aG)dn¡
dG = - SdT + Vdp + I. -
an,.
p , T , n )·:;t¡.
(13.15)
Dado que el conjunto de ecuaciones que abarca de la 13.12 a la 13.15 debe ser consistente con las
definiciones de U, H , A Y G,
au)s, V,
aH)
J1 . = ,
an¡
njet¡
=an¡ s, p, njet¡
(13.16)
donde la propiedad intensiva m¡ se conoce como potencial químico del constituyente i.
13.3 Propiedad parcial molal
Cualquier propiedad extensiva X de una mezcla es, en general, una función de la presión y la temp eratura y del número de moles de cada componente. Para una mezcla cuyos componentes sean las
especies a, b, e, . .. ,
Así,
Puesto que una propiedad extensiva a una presión y temperatura dadas depende directamente de la
masa, la ecuación anterior puede integrarse para dar
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13 Equilibrio termodinámico
459
donde
(13 .l7)
se define como la propiedad parcial molal X del constituyente ¡en la mezcla.
Al comparar las ecuaciones 13.16 y 13.17 se desprende que
(13 .18)
es decir, el potencial químico es igual a la función de Gibbs parcial mola!' Aunque el potencial químico
queda también definido en términos de otras propiedades a través de la ecuación 13.16, dicho
potencial no es igual a la energía interna parcial molal, a la entalpía parcial molal o a la función de
Helmholtz parcial molal, debido a que la presión y la temperatura no se mantienen constantes en esas
derivadas.
Ordenando la ecuación 13.15,
dG = - SdT + Vdp + L G¡ dn¡
(13 .150)
A continuación se describirán algunas aplicaciones de estas relaciones.
13.4 Reacciones químicas
Considere un sistema cerrado en el que hay cuatro distintos componentes na' n b , nc y nd que forman
una mezcla de gases ideales. Para esta mezcla,
(13.19)
460
Termodinámica
Estos componentes pueden reaccionar entre sí de acuerdo con la siguiente reacción
(13.20)
donde V¡ son los diferentes coeficientes estequiométricos. Supóngase que los diferentes componentes
se encuentran en equilibrio; después, en la reacción ocurre una cantidad infinitesimal df. hacia la
derecha, mientras la presión y la temperatura se mantienen constantes. Como consecuencia de ello,
el número de moles de e y d se incrementa, mientras que el de a y b disminuye. El cambio en el
número de moles puede expresarse a través de la extensión o grado de reacción f. como
dn a = -vadf.
dn b = -Vbdf.
dn c = vedf.
dnd = vddf.
Por tanto, la ecuación 13.19 queda así
(13.21)
La función de Gibbs parcial molal -G¡ de cada componente a la temperatura T y presión parcial Pi
puede evaluarse usando una presión de referencia pO igual a 1 atmósfera. Esto es,
Sustituyendo esta expresión para cada constituyente en la ecuación 13.21, tenemos
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13 Equilibrio termodinámico
461
donde ~G (T, 1) es la función de Gibbs de reacción e implica que los reactivos a y b, inicialmente
separados a temperatura Ty a una atmósfera de presión, se unen para formar los productos e y d , los
cuales se separan, quedando al final a temperatura T y a una atmósfera de presión.
En equilibrio termodinámico dG p , T= O, esto es, la función de Gibbs es un mínimo. Por tanto , en
estas condiciones,
Si definimos la constante de equilibrio K como
(13 .22)
se obtiene
-~G= R Tln K
.
u
(13 .23)
El conocimiento de la constante de equilibrio K = K(T) para una reacción en la que intervengan gases
ideales permite determinar la relación que guardan las diferentes presiones parCiales de los constituyentes en la mezcla que se halla en equilibrio. En la tabla 13.1 se muestra la constante de equilibrio
como función de la temperatura para algunas reacciones.
Ejemplo 13.1
Calcule la disociación del CO 2 en CO y 02 a una temperatura de 500 K y a una presión de 1 atm.
Solución
La ecuación de reacción es
En términos de la extensión de reacción e, la mezcla en equilibrio es
1
CO 2 ~ ECO +"2 E02 + (1 - E)C0 2
462
Termodinámica
y el número total de moles en equilibrio es
Según
n=l+-
E
2
En con
Tabla 13.1. Logaritmos en base 10 de la constante de equilibrio K.
Temp.
(K)
298
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
3200
3500
4000
4500
5000
Hz~2H
-71.210
-51.742
-32.667
-23.074
-17.288
-13.410
-10.627
-8.530
-6.893
-5.579
-4.500
-3.598
-2.833
-2.176
-1.604
-1.104
-0.458
+0.406
+1.078
+1.619
°z~20
-80.620
-58.513
-36.859
-25.985
-19.440
-15.062
-11.932
-9.575
-7.740
-6.269
-5.064
-4.055
-3.206
-2.475
-1.840
-1.285
-0.571
+0.328
+1.125
+1.719
Fuente: National Bureau 01 Standards.
Mediante
la ecuación
HzO(g)~
HzO(g)~
COz ~ CO COz + Hz ~
1
~Oz +
N2 ~2N
Hz + 2"0z OH + }Hz
+ }Oz
-40.047
-29.241
-18.633
-13.288
-10.060
-7.896
-6.344
-5.175
-4.263
-3.531
-2.931
-2.429
-2.003
-1.638
-1.322
-1.046
-0.693
-0.221
+0.153
+0.450
-46.593
-33.910
-21.470
-15.214
-11.444
-7.742
-7.116
-4.648
-4.700
-3.852
-3.158
-2.578
-2.087
-1.670
-1.302
-0.983
-0.577
-0.035
+0.392
+0.799
-45.043
-32.41
-20.07
-13.90
-10.199
-8.922
-5.992
-4.684
-3.672
-2.863
-2.206
-1.662
-1.203
-0.807
-0.469
-0.175
+0.201
+0.699
+1.081
+1.387
-4.996
-3.169
-1.432
-0.617
-0.139
+0.154
+0.352
+0.490
+0.591
+0.668
+0.725
+0.767
+0.800
+0.831
+0.853
+0.871
+0.894
+0.920
+0.928
+0.937
-119.434
-87.473
-56.206
-40.521
-31.084
-24.619
-20.262
-16.869
-14.225
-12.106
-10.370
-8.922
-7.694
-6.640
-5.726
-4.925
-3.893
-2.514
-1.437
-0.570
-15.187
-11.156
-7.219
-5.250
-4.068
-3.279
-2.717
-2.294
-1.966
-1.703
-1.488
-1.309
-1.157
-1.028
-0.915
-0.817
-0.692
-0.526
-0.345
-0.298
Va/ues o] Chemica/
Thermodynamic
Properties.
Series 111.Washington.
D.C. EUA.
Se/ected
CO + H2 O(g)
}Nz ~ NO
Por tal
Ejem[
Verifiq
usandc
Solucl
Según
De aCL
13.22,
Este Vé
1/2
K = PCO P2
13.5
PC02
f.3;2
K=
1:2
Lacor
básica
P
(1 - E)(2 + E(2
* Si la r
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J3 Equilibrio termodinámico
463
Según la tabla 13.1, a 500 K
log10 K = -26, K = 10- 26
(*)
En consecuencia
10 3 /2
10 3 / 2
10-26 = - - - - - - (1 - 10)(2 + 10)1/2
21/2
Por tanto,
10==6.1 X 10- 18
Ejemplo 13.2
Verifique el valor de la constante de equilibrio K a 298 K de la tabla 13.1 para la reacción
1
C02~CO+202
usando la ecuación 13.23,
Solución
Según la tabla 12.3,
~G = g~~ + ~ g~: - g~~2 = -137359 + O
2
-(-394647) = 257 288 J/gmol
De acuerdo con la ecuación 13.23,
In K = - ~G = -257288
RuT
= -104
(8.3143)(298)
-104
- = -45
2.3
10glQK = -
Este valor concuerda con los datos de la tabla 13.1.
13.5 Dependencia de K con la temperatura
La constante de equilibrio K puede calcularse como función de la temperatura mediante información
básica fácilmente disponible, como la entalpía y función de reacción de Gibbs en condiciones estándar,
* Si la reacción fuera CO + 1/2
°
2 :::; CO 2 , K = 10
26 y loglo K = 26.
464
Termodinámica
y los calores específicos de los productos y reactivos como función de la temperatura. Esta variación
de K puede calcularse partiendo de la ecuación
~ ~G) = _
aT T
p
RaaT
In K )
p
u
Recurriendo a la función de reacción de Gibbs,
~G=~H- T~S
Además,
G] = a GproductoS] _ a Greactiuos]
a 6.
aT
aT
p
aT
p
p
= - Sproductos + Sreactivos = -6.S
Entonces,
~G = ~H + T a~G )
aT
p
o bien,
a~G)
~G-~H
aT
T
p
(13 .24)
Esta expresión se conoce como la ecuación de Gibbs-Helmholtz. Por otro lado, mediante las reglas
para la diferenciación de un cociente,
a -~G)
- --
aT T
T aT
-
p
1 a~G)
p
Sustituyendo la ecuación de Gibbs-Helmholtz,
a ~G)
aT T
p
Para una reacción química en general de la forma vaa + vbb ~ vcc + vdd,
(13.25)
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13 Equilibrio termodinámico
465
Si los. calores específicos de los productos y los reactivos pueden expresarse como,
(13.26)
entonces
D.H = D.Ho + ve f(A e + BJ + CJ2)dT
+ vd f(A d + BdT + C dT 2 )dT
D.H = D.Ho + (Ve Ae + Vd Ad - Va Aa - Vb Ab)T
T2
+ (ve Be + Vd Bd - Va Ba - Vb Bb)2
(13 .27)
+ ...
Integrando la ecuación 13.25 con la 13.27 y multiplicando por T,
D.G = D.Ho - (ve Ae + Vd Ad - Va Aa - Vb Ab)T In T
T2
- (v e Be + Vd Bd - Va Ba - Vb B b )2
Por último,
(13.28)
donde k es una constante de integración. La ecuación anterior permite evaluar con facilidad la
constante de equilibrio K a cualquier temperatura. Desde luego, esta expresión puede modificarse
466
Termodinámica
si la relación funcional de los calores específicos es diferente de la dada en la ecuación 13.26 . En
general,
Ejemplo 13.3
.Determine K = K (T) para la reacción .
1 .
COz ~ CO +20z
en el intervalo de 298 - 1000 K. Compare el resultado que se obtenga a través de la correlación con
el valor indicado por la tabla 13.1, a una temperatura de 800 K.
Solución
Según la tabla 5.3,
C*p
C* p
C*p
co
°z
COz
= 26 .868 + 6.955 x
1O-3T - 0.820 x 10-6TZ, J/gmol K
= 25 .729 + 12.891 x 1O-3T - 3 .863 x 10-6T2, J/gmol K
= 26 .005 + 43.507 x 1O-3T -14.836 x 10-6 TZ , J/gmol K
De acuerdo con la tabla 12.3,
o
1 o
o
tl.Ho = h~o + 2 h~2 - h~02
= -
110 597 + O + 393 776
= 283 179 J/gmol
De manera similar, según la misma tabla,
~G O =
257 288 J/ gmol
Sustituyendo valores en la ecuación 13.28,
InK = _ 283179 + (26.868 + 25.729 _
(8 .3143)T
.
2
In T
k
- 26.005)
-:
+ (6.955+
.
8 .3143 8.3143
+ 12.891 -43.507)10- 3
T
+
2
(2)(8.3143)
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13 Equilibrio termodinámico
+ (-0.820 -
In K = -
3.863 14 836)10-{j
T2
2 +.
(6) (8.3143)
34059 .27
k
T
+ 1.65 In T - 8.3143
Partiendo de la ecuación 13.23, a 298 K,
In K = _ ~G = _ 257288 = -104
RJ
(8.3143)(298)
A una temperatura de 298 K se puede evaluar la constante de integración k, es decir,
k
-104 = -114.29 + 9.40 - 8.3143 - 0.54 + 0.02
Por tanto,
k = -11.72
La correlación K = K(T) es, entonces,
In K = - 34 0;9.27 + 1.65 In T + 1.41
A una temperatura de 800 K,
In K = -31.43
31.43
log10 K = -~ = -13.7
A esta temperatura, la tabla 13.1 indica un valor de -13.9.
467
468 Termodinámica
13.6 Temperatura de equilibrio de la flama
Puesto que en equilibrio una reacción no es completa, la temperatura teórica de la flama en un proceso
de combustión adiabático nunca se logra. La determinación analítica de la temperatura de equilibrio de los
productos de combustión en un proceso adiabático involucra varias incógnitas según el tipo de reacción.
Para explicar lo anterior, considere la reacción isobárica y adiabática del CO y O2 inicialmente a una
temperatura TI' En términos de la extensión de reacción E la mezcla en equilibrio es
1
1- E
CO + "2 O 2 ~ EC0 2 + (1 - E) CO + -2- O 2
es decir, el número total de moles en la mezcla que está en equilibrio es igual a
3-E
n=-2
a la presión p y a la temperatura de equilibriO T2 . De lo anterior se desprende que la extensión de
reacción E y la temperatura de equilibrio T2 son incógnitas en este proceso de combustión isobárico
y adiabático.
La constante de equilibrio K queda determinada mediante la relación
(3 - E) 1I2 E
Peo
2
K=---=--
(1 _ E)3!2 p 1!2
112
Peo P0 2
(13 .29)
Por otra parte, mediante un balance de energía,
~H=O
o bien,
Hproductos, T2 = Hreactivos, TI
Es decir,
•
•
1- E
•
Eh co 2. T 2 + (l - E)h co , T 2 + -2- h o 2. T 2
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13 Equilibrio termodinámico
469
Por conveniencia,
h·1, T 2= h 1,· T 1+ t.HI
I TTI
2
Sustituyendo esta relación,
E
•
t.h co
I T + (1 - E)t.h co I T
2
2,
TI
•
2,
2
TI
+
1 - E h.
-2 t . o2
(13 .30)
Las ecuaciones 13.29 y 13.30 pueden resolverse de forma simultánea para determinar las incógnitas
T2 y E. Esta solución puede obtenerse asignando distintos valores a E en la ecuación 13.29, determinándose así los correspondientes valores de T. De la misma manera, pueden asignarse diferentes
valores a T en la ecuación 13.30 y obtener los correspondientes valores de E.
Si los resultados obtenidos se grafican en coordenadas T y E, el punto de intersección de las
ecuaciones 13.29 y 13.30 determina de manera única los valores de la temperatura de equilibrio de
la flama y de la extensión de la reacción.
La temperatura de equilibrio de la flama en un proceso de combustión isométrico y adiabático puede
determinarse mediante un razonamiento similar. Se deja al lector como ejercicio esta determinación.
13.7 Equilibrio entre fases de una sustancia pura
Considere un sistema constituido por las fases 1 y 2 de una sustancia pura en equilibrio. De acuerdo
con la ecuación 13.15a, en condiciones de presión y temperatura constantes,
donde nI y n 2 denotan el número de moles de la sustancia pura en cada fase . Puesto que dn l = -dn 2 ,
En equilibrio termodinámico dGp, T = O. En consecuencia,
o bien,
(1 3.3 1)
470 Termodinámica
La ecuación anterior establece que la función de Gibbs de cada fase de la sustancia pura es la misma
en equilibrio termodinámico. Si las fases en equilibrio son líquido y vapor,
Considere ahora el caso en que el sistema de fases líquido-vapor experimenta un cambio infinitesimal
en presión dpy su correspondiente cambio en temperatura dT Puesto que en equilibrio la función de
Gibbs en las fases tiene el mismo valor,
o , en equivalencia,
Vip - sgdT = vf dp - sf dT
(vg - vfJdp = (Sg - sf)dT
Por tanto,
dp _ Sfg _ hfg
dT
Vfg
TVfg
(9.47)
Como se explicó en el capítulo 9 , la ecuación anterior se conoce como ecuación de Clapeyron .
Observe que un aumento en presión siempre incrementa la temperatura de ebullición, dado que el
miembro derecho de la ecuación 13.32 es siempre positivo .
Puesto que vg > vf a bajas presiones y vg = RT/p, la ecuación 13.32 se simplifica así
dp _ phfg
dT - RT 2
o bien,
d(ln p)
dT
(950)
Como se dijo también en el capítulo 9, esta expresión se conoce como ecuació n de Clausiu sClapeyron. Para cambios pequeños en temperatura, hfg puede considerarse constante. En estas
condiciones,
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13 Equilibrio termodinámico
h
In p = - ~ + constante
RT
471
(13.32)
Esta expresión permite correlacionar la presión de saturación como función de la temperatura mediante
un conocimiento del calor latente de vaporización y de una presión y temperatura de referencia.
Ejemplo 13.4
Verifique la ecuación 13:31 para el agua a 100 oc.
Solución
Según la tabla A.1 , a una temperatura de 100 oC,
gg = hg -
TS g = 2676.1 - (373'.15) (7.3549) = -68 J/g
Además,
g¡= h¡- Ts¡= 419.04 - (373.15) (1.3069) = - 68 J/ g
13.8 Resumen
Cuando un sistema se encuentra en equilibrio termodinámico, su función de Gibbs se halla en un
mínimo respecto de todos los estados que tengan la misma presión y temperatura. Un criterio análogo
puede establecerse para la función de Helmholtz en condiciones de temperatura y volumen constantes .
. La propiedad X parcial molal del constituyente i en una mezcla se define así
-x=ax )
an
T ,n¡",
I
I
p,
El potencial químico del constituyente i en una mezcla se define así
au)
ano
I,.l.= I
I
aH)
an
= .5. V, ni'"~
I
aA) . -
=-
an T . V . n¡", =G
I
I
5. p. ni'"~
472
Termodinámica
En una mezcla de gases ideales a, b, c y d, los cuales pueden reaccionar entre sí de acuerdo con
la reacción
tienen una composición en equilibrio dictada por
(13 .22)
donde la constante d3 equilibrio K se relaciona con la función de Gibbs de reacción y la temperatura
a través de la relación
L'lG
InK=- -
RJ
o con la entalpía de reacción y la temperatura a través de la expresión
d(ln K)
L'lH
dT
Ru T 2
La función de Gibbs de cada fase de una sustancia pura en equilibrio termodinámico es la misma. Por
otro lado, en el equilibrio líquido-vapor,
dp
dT
hfg
TVfg
Esta expresión se conoce como ecuación de Clapeyron.
d(ln p) _ hfg
dT
RT 2
Esta expresión se llama ecuación de Clausius-Clapeyron.
Problemas
13.1
Demuestre que la constante de equilibrio K puede expresarse así
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13 Equilibrio termodinámico
473
donde Xi es la fracción molar de cada constituyente i en la mezcla de gases ideales y p e s la
presión total.
13.2
Determine la constante de equilibrio a 298 K para la reacción
Utilizando la tabla 12.3.
Respuesta:
13 .3
10glOK = -40.1
Calcule el trabajo máximo útil que puede obtenerse a una temperatura de 298 K y una
presión de 1.01325 bar de la reacción
Respuesta : 228 746 J / gmol
13.4
Determine la composición de una mezcla de CO 2 , CO y 02 ' a una temperatura de 3000 K y
a una presión de 1.O1325 bar, si el dióxido de carbono se disocia de acuerdo con la reacción
1
CO 2 4 CO + 2"° 2
13.5
13.6
Repita el problema anterior para una temperatura de 5000 K y compare los resultados.
El helio se vaporiza a una temperatura de 4 K cuando la presión es de 1 bar y el calor latente de
vaporización es de 83 J/ gmol. Estime la presión necesaria para tener una temperatura de 1 K.
Respuesta : 5.6 x 10-4 bar
13.7
13.8
Demuestre, partiendo de principios básicos, la ecuación de Van 't Ha!!
d(ln K)
-f,.H
d(ljT)
Ru
Suponga que se conocen las constantes de equilibrio Kl y K2 para las reacciones
474 Termodinámica
¿Cuál es la constante de equilibrio para la hidrogenación catalítica del acetileno a etileno
(C 2H 2 + H 2 ¡: C2H4)?
Respuesta :
13.9
K = K 2/ K}
Demuestre que para un sistema de F fases y C componentes en equilibrio termodinámico
1
2
3
F
}
2
3
F
P2 = P2 = P2 = ... = P2
Pe = Pe = Pe =... = Pe
13.10 ¿Cuál es el efecto de un incremento en presión sobre la temperatura de fusión del hielo?
13.11 Calcule la disociación del CO 2 en CO y 02 a una temperatura de 3000 K Yuna presión de 10
atmósferas.
13.12 Si los calores específicos de los productos y reactivos en una reacción son de la forma
C*.
=AI + BT+
CT-2
PI
I
I
donde A¡, B¡ Y C¡ son constantes, calcule D.G como función de la temperatura.
13.13 Partiendo de principios básicos, demuestre que D.A v. T < O implica condiciones para un
cambio espontáneo en un sistema a temperatura y volumen constantes.
Referencias
1. Klotz, Irving, Introduction to Chemica/ Thermodynamics, W. A. Benjamin, Inc. , 1964.
2. National Bureau of Standards, Se/ected Va/ues of Chemica/ Thermodynamic Prope rties , Series I1I, Washington, D. C.
3. Zemansky, M. W., Heat and Thermodynamics , McGraw-Hill, Kogakusha , Inc ., 1968.
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14
Aspectos termodinámicos
del Rujo de Ruidos
Dejemos de discutir lo que debe ser
un hombre bueno ... y procuremos
serlo.
MARCO AURELlO
En este capítulo se describirán algunas de las relaciones más importantes entre los principios termodinámicos y los del flujo de fluidos compresibles. Estas relaciones son de gran importancia en el
estudio de toberas, difusores, turbinas, compresores, combustores, dudas, etc. Sólo se describirán
aquí sistemas de gases ideales de flujo estable unidimensional. Como se verá, el análisis de estos
sistemas implica a menudo el establecimiento diredo o indiredo de cuatro principios básicos: la
primera y la segunda leyes de la termodinámica, la ley de la conservación de la materia y la segunda
ley del movimiento de Newton.
14.1 Velocidad del sonido
Para determinar la velocidad del sonido en un medio, considere un dudo de sección transversal
constante, como se observa en la figura 14.1, en el que viaja una onda de presión infinitesimal que
pudo haberse originado en el movimiento ligero deun pistón que se halla al lado izquierdo del
dudo. El frente de esta onda de sonido se propaga hacia la derecha con una velocidad c. Al mismo
tiempo, el fluido por donde la onda ya ha pasado se encuentra a ~na presión p + dp, tiene una
densidad p + dp y se desplaza hacia la derecha a una velocidad dV. Por otra parte, el fluido a la
derecha de la onda se encuentra a una presión p, tiene una densidad p y está en reposo. Para un
observador que viaja con la onda a una velocidad e, como se ilustra en la figura 14.2, el fluido se
desplaza de derecha a izquierda con una velocidad e, reduciéndose ésta hasta un valor e - dI) después
de la onda. De la misma manera, el fluido cambia su densidad y presión de p a p + dp y de p a
p + dp , respectivamente.
476
Termodinámica
••••dV : •••: •.••.••••••••••••
Je••.•••••••••::.• •.• • :': • •.:
p
p+dp
I
p
VI~dV
Figura 14.1. Onda de presión .
Seleccionando como sistema la onda de presión, la ecuación de continuidad indica que , en
condiciones de estado estable,
peA = (p + dp)(e - dV)A
o bien,
dp
dV
p.
e
(14 .1)
Mediante un balance de cantidad de movimiento en el volumen de control de la figura 14.2 y teniendo
en cuenta que las fuerzas de corte son muy pequeñas en comparación con las de presión , la segunda
ley de Newíon establece lo siguiente
pA- (p + dp)A + peA [e - (e - dV)] = O
Asimismo,
dp= pedV
(14 .2)
Dado que las variaciones en presión y temperatura son demasiado pequeñas y el proceso de propagación de la onda de sonido es esencialmente adiabático y reversible a la vez, en el límite el proceso
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14 Aspectos termodinámicos del flujo de fluidos
477
puede considerarse isoentrópico; es decir, dpl dp = ap/ ap)s' Combinando las ecuaciones 14.1 y
14.2 se obtiene
(14. 3)
Utilizando esta expresión, y como se demostró en la sección 9.6, en un gas ideal la velocidad del
sonido es
c = .JkRT
(14.4)
A temperatura ambiente la velocidad del sonido en el aire es del orden de 350 mi s. Esta velocidad se
utiliza, por ejemplo, en el análisis de turbomáquinas, pues uno de los factores limitantes en el diseño
implica que la velocidad de giro no debe exceder valores en que la velocidad del flujo, relativa a la de
los álabes, se aproxime a la velocidad del sonido. En esas condiciones de giro, las pérdidas en rendimiento aumentan de forma considerable por efectos de compresibilidad.
En el caso de un fluido incompresible, la velocidad del sonido es infinita al no experimentarse
cambios en la densidad. Aun cuando ningún fluido es completamente incompresible, la velocidad del
sonido en un líquido, por ejemplo, es enorme en comparación con la de un gas .
.•. • •. '. :~d~' •.•. '. • iIi'.:: '• •. ,•. .• • • •:• .•:
p
p+dp
I
Vjr--
_c
-d_ V
p
~_c_
Figura 14.2. Onda de presión .
478 Termodinámica
De lo anterior se desprende que la compresibilidad de un fluido no puede despreciarse cuando su
velocidad es comparable con la del sonido. A. la luz de este razonamiento se define el número de
Mach como el cociente de la velocidad de un fluido u objeto a la velocidad local del sonido. Esto es ,
M=V
c
(14 .5)
El número de Mach permite establecer diferentes regímenes de flujo:
Flujo subsónico
M< 1
Flujo supersónico
M> 1
Flujo hipersónico
M»l
Flujo transónico
M=l
Ejemplo 14.1
Demuestre que el cambio fraccional en presión a través de una onda de sonido en un gas ideal está
dado por
dp =k dV
p
c
y el cambio fraccional en temperatura es
dT =(k_1)dV
T
c
Solución
Según la ecuación 14.2,
dp
c2 dV
-=p-p
p c
pero p = p RT, por tanto,
P
RT e
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14 Aspectos termodinámicos del flujo de fluidos
479
También
dp =k V
p
c
(a)
Por otra parte, con la ecuación de estado de los gases ideales,
dp = pRdT +RTdp
Sustituyendo esta expresión en (a)
. pRdT + RTdp =k dV
p
p
c
dT _ k dV dp
- - --
T
c
P
Mediante la ecuación de continuidad 14.1
dT = (k -1) dV
T
c
14.2 Flujo isoentrópico
El flujo en toberas y difusores es, en general, adiabático, y puede considerarse isoentrópico como
primera aproximación o como estándar para propósitos de diseño y comparación. Con objeto de
obtener una correlación entre la variación del área de sección transversal y el cambio en velocidad y
presión en este tipo de flujo, considere un sistema abierto que opera en estado estable y en el que el
flujo es isoentrópico. Se supondrá que los cambios en energía potencial son despreciables y que
el trabajo es igual a cero. La primera ley de la termodinámica establece para este sistema que
dh+ VdV=O
(14 .6)
Por otra parte, si el proceso es isoentrópico, la primera y segunda leyes de la termodinámica, partiendo de las ecuaciones Tds , establecen que
480
Termodinámica
(14.7)
Esta
ilust
dísn
más
resu
Combinando las ecuaciones 14.6 y 14.7,
vari,
dp=-
(14.8)
pVdV
Puesto que el sistema opera en estado estable, la ecuación de continuidad (rh = pAV), establece de
forma diferencial
des¡
em~
tran
que
con'
(14.9)
Relacionando las expresiones 14.8 y 14.9 y teniendo en cuenta que dp/dp
= CJp/CJp)s'
(14.10)
u, otra vez mediante la ecuación 14.8,
tI!
(14.11)
Las ecuaciones 14.10 y 14.11 permiten obtener conclusiones muy importantes.
!
dl
I
SiM<1:
dA >0
dp
,
Si M>1:
dA <O
d~ >0
dp
, dV
SiM=1:
dA =0
dp
,
d~ <O
dV
d~ =0
dV
(14.12)
un e
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14 Aspectos termodinámicos del flujo de fluidos
481
Estas relaciones establecen variaciones de área sumamente importantes en el flujo isoentrópico, y se
ilustran en la figura 14.3. Así, un fluido en régimen subsónico se acelera en una tobera convergente,
disminuyendo así su presión . Por otro lado, si el fluido tiene una velocidad supersónica, se acelera aún
más en una tobera divergente, con lo que disminuye su presión. Incluso cuando esta conclusión no
resulta evidente a primera vista, debe observarse que la densidad disminuye al aumentar la velocidad ,
variando la primera de forma más drástica con respecto al área, que la segunda. De lo anterior se
desprende que para acelerar un fluido de un régimen subsónico a uno supersónico es necesario
emplear una tobera convergente-divergente; la velocidad del sonido se alcanza en el área de sección
transversal mínima, es decir, en la garganta.
Del mismo modo, un fluido en régimen subsónico se desacelera en un difusor divergente, con lo
que aumenta su presión. Por otra parte, un fluido en régimen supersónico se desacelera en un difusor
convergente. Así, para desacelerar un fluido de una velocidad supersónica a una subsónica se requiere
un difusor convergente-divergente.
.............. ;. ..
~
~
... :.-: ....
• ••• :
"~"::":'::
. .......; ..
o', ·.
:- .... .
....:...
--
v <e
v<e
~
....
~
Tobera convergente
Difusor divergente
:~
~
....
V> e
V > e
•
..~
. : ........
.... :- .... .: ...
. .. ~ ..~•. >....... .
0;-:.
Tobera divergente
Difusor convergente
Figura 14 .3. Perfil de toberas y difusores en forma esquemática.
482 Termodinámica
Dado que la entalpía total o de estancamiento es constante en el flujo isoentrópico (o en el adiabático en
general), se . desarrollarán a continuación algunas expresiones que correlacionan la temperatura y.la
presión totales en cualquier punto del flujo isoentrópico de un gas ideal con la temperatura y la presión
correspondientes a la sección en que la velocidad del flujo es igual a la velocidad del sonido. Las
propiedades en el estado en que M = 1 se denotarán con el superíndice +. Así,
Puesto que \7+ = c = .JkRr, y dh = cpdT,
c (r, - T+)= kRT+
p\t
2
Además, para un gas ideal cp = kR/(k - 1). Entonces:
T+
2
T¡
k+ 1
(1413)
A este cociente se le conoce como relación crítica de temperaturas. Dicha expresión indiCa que en la
aceleración de un gas ideal desde el reposo donde T= Tt hasta la velocidad del ~)Onido , en una expansión
adiabática (no necesariamente isoentrópica), la temperatura disminuye hasta un valor P establecido
por la relación crítica de temperaturas. En el caso de un gas ideal donde k ~1.4 , P / T t = 0.8333 .
Asimismo, si la expansión es además isoentrópica , la presión en la sección donde el número de
Mach es unitario puede calcularse a través de la relación
(14.14)
Este cociente se conoce como relación crítica de presiones. En el caso de un gas ideal donde k = 1.4,
P+/Pt = 0.5283. Observe que la temperatura P es alrededor de 17% menor que la temperatura total,
mientras que la presión p+ es casi la mitad de la presión total en el flujo isoentrópico.
La trascendencia de estas relaciones críticas puede evaluarse de forma conveniente considerando
una tobera convergente donde el flujo es isoentrópico y las condiciones del fluido son constantes en
la sección de entrada, como se aprecia en la figura 14.4. Si el fluido se acelera prácticamente desde
el reposo, PI = Pt y T I = T t en la entrada. La tobera descarga el flujo en una región donde la presión
Pr puede controlarse mediante una válvula.
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14 Aspectos termodinámicos del flujo de fluidos
483
Si Pr = Pl> no existe flujo en la tobera, es decir, el medio está estático. En este caso (i) la presión
P2 en la sección de descarga de la tobera es también igual. Esto es, Pl = P2 = ProSi la presión Pr se
hace ligeramente mellar que Pl,el flujo se establece hacia la derecha, de tal manera que la velocidad
del fluido en la descarga es subsónico. En este caso, (ii)la presión P2 es igual a la presión Pro Si esta
presión Pr se disminuye aún más hasta la condición (iv)(condición de diseño) en que P, = p+, el fluido
se acelera hasta alcanzar un valor de M = 1 en la descarga de la tobera. Una reducción posterior en Pr,
como en el caso (v), no causa ya ningún cambio en las condiciones de operación en el interior de la
tobera. En estas condiciones, el valor de la relación crítica de presiones, así como el flujo de masa,
que es máximo, son idénticos a los de la condición (iv). La expansión que ocurre fuera de la tobera se
lleva a cabo en forma de ondas de expansión.
El flujo de masa a través de latobera en cualquier condición puede evaluarse mediante la ecuación
de continuidad
.--.
--.
v =O
I
p, =p¡
P2
Válvula
I
p,
m
E.,
v
iv
p¡
ii
iii
p+
p,
------
..
iv
V
p+ /p,
(a)
Distancia
(b)
Figura 14.4. Operación de una tobera convergente.
p/p,
484 Termodinámica
donde el subíndice x se refiere a cualquier posición x en la tobera. Mediante un balance de energía,
Puesto que el flujo es isoentrópico,
\Ix =
2kR4[1_( PxJk:I]
k-1
P
t
(14.15)
Por tanto, sustituyendo estas expresiones de velocidad y volumen específico en la ecuación de continuidad, tenemos
(14.16)
Al insertar la relación crítica de presiones, tenemos
(14 .17)
El análisis de una tobera convergente-divergente es análogo al de la tobera convergente descrita
previamente. Como se observa en la figura 14.5, si la presión P r es ligeramente menor que la presión
PI' el flujo es similar al de un tubo venturi y puede suponerse incompresible. Cuando la presión PI"
disminuye a un valor tal que se alcanza la relación crítica de presiones P+/ Pt en la garganta, como en
la condición (iii), el fluido alcanza un valor de M = 1 en la garganta de la tobera y vuelve a desacelerarse.
Por último, el flujo es completamente supersónico e isoentrópico en la sección divergente en condiciones de diseño (iv). En circunstancias intermedias entre (iii) y (iv), existen discontinuidades irreversibles en el interior de la tobera, que no satisfacen las condiciones de flujo isoentrópico . En estas
discontinuidades, conocidas como ondas de choque normal, la presión y la temperatura aumentan
de forma considerable, mientras que la velocidad disminuye. De hecho, estos cambios ocurren en una
distancia tan pequeña (del orden de 10-5 cm) que pueden considerarse como meras discontinuidades.
En la figura 14.6 se observa la variación con respecto a la longitud de la presión, entalpía y volumen
específico en una tobera que opera con flujo isoentrópico.
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14 Aspectos termodinámicos del flujo de fluidos
2
I
I
I
I
I
P2
f4
Válvula
I~
I
I
I
I
I
I
I
I
I
: Pr
I
~1~1~:t::~~~==~
PI
r'
ii
iii
p+
PI
~--+--- iv
Distancia
Figura 14.5. Operación de una tobera convergente-divergente.
-4::---h
- .......- - - p
Distancia
Figura 14.6. Tobera convergente-divergente
con flujo isoentrópico.
485
486 Termodinámica
Ejemplo 14.2
Una tobera de turbojet tiene las siguientes características en su entrada: T t = 800 K, Pt = 1.5 bar. Si
el área a la descarga de la tobera es de 0 .1 m 2 y la presión es de 1 bar, calcule
a) La velocidad isoentrópica a la descarga.
b) El flujo de masa.
Solución
a) Sustituyendo valores de la ecuación 14.15,
3
V = (2)(1.4)(0.287 x 10 )(800) (1- 0.666°286)
2
1.4 -1
= 419.5 mi s
b) Sustituyendo valores en la ecuación 14.16,
m = (0.1)(1.5 X 105) =
=
(2)(1.4)
(0.6661.429 _ 0.6661.714)
(0.4)(0.287 X 103 ) (800)
20.46 kg/s
Ejemplo 14.3
Si la presión de descarga en la tobera del ejemplo anterior se reduce hasta el valor crítico, determine
a) La presión a la descarga.
b) La velocidad a la descarga.
e) El flujo de masa en estas condiciones.
Solución
a) Según las ecuaciones 14.13 y 14.14,
P2 =
p+ = pt(_2_)k:l
= (1.5)(~)3. 5
k+1
2.4
P2 = 0.79 bar
También
T T+ T(_2_)=
(800)(~)
k+ 1
2.4
2 =
=
t
T2 = 666.7 K
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14 Aspectos termodinámicos del flujo de fluidos
487
b) La velocidad a la descarga es igual a la velocidad local del sonido. Esto es
V 2 = e2 = ;j kRT +
= ;j (l.4) (0.287 x 103 ) (666.7)
= 517.6 mis
e) Según la ecuación 14.17,
mmáx =
(0 .1) (1.5 x 105)
16
1.4
( 2
(0.287 x 1 (3)(800) 2.4)
= 21.44 kg/s
Ejemplo 14.4
Si la presión de descarga en la tobera anterior se reduce hasta 0.3 bar es necesario agregar una
sección divergente para mantener el flujo isoentrópico. Calcule
a) la velocidad de descarga en estas condiciones, así como el número de Mach.
b) La presión, temperatura y número de Mach en la garganta de la tobera convergente-divergente.
Solución
a) Sustituyendo valores en la ecuación 14.15,
(2) (1.4) (0.287 x 10 3 ) (800)
1.4 - 1
= 770 mis
La temperatura en la descarga es ahora de
3)°·286 = 504.88 K
O
T 2 = (800) ( 1:5
Por consiguiente,
e2 = ..,)(1.4) (0 .287 x 103) (504.88) = 450.4 mis
Asimismo',
770
M 2 = 450.4 = 1.71
488
Termodinámica
b) En la garganta de la tobera, con los resultados del ejemplo anterior tenemos
p+ = 0.79 bar
y+ = 666.7 K
También
14.3 Línea Rayleigh
Muchos procesos se caracterizan porque el área de flujo se mantiene constante o, en caso de variación, ésta es tan leve comparada con los cambios en otras propiedades que para fines prácticos
puede suponerse constante.
Considere para fines de análisis un ducto de sección transversal constante como el que se
observa en la figura 14.7, en el cual el flujo es estable, hay transferencia de calor de o hacia el
fluido, la fricción es insignificante y el trabajo es igual a cero. Un balance de la cantidad de
movimiento del sistema anterior indica que
Q
1¡ ¡ ¡ ¡ + ¡ ¡ ¡ l'
Fluj o
~
I
--------.
I
Iftfftff!
Figura 14.7. Dueto de sección transversal constante con
transferencia de calor.
Con la ecuación de continuidad V = mvl A y teniendo en cuenta que la razón (mi A) es constante.
tenemos
o bien,
p
+(: J
V = constante
(14 .18)
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14 Aspectos termodinámicos del flujo de fluidos
489
Ya que la presión y el volumen específico determinan perfectamente el estado termodinámico de una
sustancia pura, la ecuación anterior puede graficarse de forma conveniente; la curva resultante se denomina línea Rayleigh. En la figura 14.8 se observan las condiciones de la línea Rayleigh según coordenadas
temperatura-entropía para un gas ideal y con un valor dado de (mi A). Para complementar las expresiones
de trabajo en el desarrollo de la línea Rayleigh, se recomienda al lector la obra de Shapiro, The Dynamics
and Thermodynamics oi Compressible Fluid Flow. Aun cuando estas expresiones pueden obtenerse
con facilidad a partir de principios básicos (problema 14.3), sólo aquí se exponen las consecuencias físicas
más importantes para no distraer la atención con el desarrollo matemático.
En la figura 14.8 se observa que la entropía adquiere un valor máximo en el punto a, donde M = 1,
Y la temperatura en el punto b, donde M = 1/ $ . La parte superior de la curva corresponde a un
régimen subsónico, mientras que la parte inferior corresponde a uno supersónico . En consecuencia,
cuando se calienta un flujo supersónico el número de Mach disminuye hasta un valor límite de 1 y de
forma inversa, al enfriarse, aumenta. Por otra parte, cuando se calienta un flujo subsónico aumenta
el número de Mach hasta un valor límite de 1 y, a la inversa, cuando se enfría, el número de Mach
disminuye. Empero, aun cuando el número aumenta de forma progresiva con el calentamiento
subsónico, la temperatura estática disminuye cuando el fluido pasa del estado b al a, independientemente de que la temperatura total siga aumentando hasta alcanzar su valor límite máximo en el estado
a. En estas condiciones se dice que el flujo está estrangulado.
Cabe agregar que un flujo subsónico no puede pasar a supersónico mediante mero calentamiento. Sin embargo, el lector se preguntará sin duda qué sucede en el flujo subsónico cuando se alcanzan
las condiciones del punto a. Dadas las circunstancias de estrangulamiento del flujo , cualquier adición
de calor al sistema altera sus condiciones a la entrada del ducto, de tal manera que se reduce el flujo de
masa, estableciéndose una nueva línea Rayleigh de operación, como se indica en la figura 14.8. En la
nueva condición de flujo a' , el número de Mach es aún igual a la unidad, pero es menor el flujo de masa
en el sistema y la temperatura estática es mayor. Esto implica una limitación en la capaCidad de flujo
de un combustor. En la tabla 14.1 se observan diferentes condiciones de operación de la línea Rayleigh
para un gas ideal con k = 1.4.
Ejemplo 14.5
La temperatura del aire a la entrada de un combustor de sección transversal constante es de 400 K.
Si la temperatura a la descarga es de 1000 K y la fricción es despreciable, calcule el máximo de Mach
que puede tolerarse a la entrada del combustor sin tener condiciones de estrangulamiento.
Solución
En las condiciones de entrada,
Ji = 400 =0.4
T+
1000
490
Termodinámica
T
--
M= 1
s
Figura 14.8. Línea Rayleigh.
Según la tabla 14.1, para esta temperatura adimensional,
MI = 0.3
Tabla 14.1. Condiciones de la línea Rayleigh (k = 1.4).
T¡/T¡+
rrr
v/»:
p¡/pt
V/V+
O
O
2.4000
1.2679
O
0.10
0.04678
0.05602
2.3669
1.2591
0.02367
0.20
0.17355
0.20661
2.2727
1.2346
0.09091
0.30
0.34686
0.40887
2.1314
1.1985
0.19183
0.40
0.52903
0.61515
1.9608
1.1566
0.31372
0.50
0.69136
0.79012
1.7778
1.1140
0.44445
14.
0.60
0.81892
0.91670
1.5957
1.07525
0.57447
Con
0.70
0.90850
0.99289
1.4235
1.04310
0.69751
M
,
~.
.,
"
O
EIrE
temj
(Continúa)
100
term
en E
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14 Aspectos termodinámicos del flujo de fluidos
491
Tabla 14.1. (Continuación).
M
T,ITt
T/T'"
p/p+
Pl/Pl+
vi'i+
0.80
0.96394
1.02548
1.2658
1.01934
0.81012
0.90
0.99207
1.02451
1.1246
1.04485
0.91097
1.10
0.99392
0.96031
0.89086
1.00486
1.07795
1.20
0.97872
0.91185
0.79576
1.01941
1.1459
1.30
0.95798
0.85917
0.71301
1.04365
1.2050
1.40
0.93425
0.80540
0.64102
1.07765
1.2564
1.50
0.90928
0.75250
0.57831
1.1215
1.3012
1.60
0.88419
0.70173
0.52356
1.1756
1.3403
1.70
0.85970
0.65377
0.47563
1.2402
1.3745
1.80
0.83628
0.60894
0.43353
1.3159
1.4046
1.90
0.81414
0.56734
0.39643
1.4033
1.4311
2.00
0.79339
0.52893
0.36364
1.5031
1.4545
3.00
0.65398
0.28028
0.17647
3.4244
1.5882
4.00
0.58909
0.16831
0.10256
8.2268
1.6410
5.00
0.55555
0.11111
0.06667
18.634
1.6667
10.00
0.50702
0.02897
0.01702
co
0.48980
O
O
1.00
381.62
'X)
1.7021
1.7143
Fuente: Keenan,J. H., Kaye,J., Gas Tables. John Wiley, NuevaYork. 1961.
El resultado anterior indica que si el número de Mach se incrementa por encima de 0.3 sin alterar la
temperatura a la entrada, el flujo se estrangula y la temperatura a la descarga quedará por debajo de
1000 K. Por otra parte, si el número de Mach a la entrada es inferior a 0.3 no habiendo alterado la
temperatura a la entrada, la temperatura a la descarga puede aumentarse y sobrepasar los 1000 K.
14.4 Línea Fanno
Considere ahora un ducto adiabático de sección transversal constante similar al de la figura 14.9.
en el que el flujo es estable y existe fricción entre el fluido y la pared del dueto. A diferencia de las'
492 Termodinámica
condiciones de la línea Rayleigh, aquí, la entalpía total se mantiene constante a lo largo del dueto ,
como se deduce de un balance de energía. En la figura 14.10 se ilustra en un diagrama temperaturaentropía el comportamiento de este flujo ; la curva resultante se denomina línea Fanno ; Shapiro
detalla las diferentes expresiones de trabajo para el desarrollo de la línea Fanno; ésta es la razón por
la que remitimos al leetor a su obra (véase la sección de referencias) . Aquí sólo se explicarán las
consecuencias físicas más importantes.
En la figura 14.10 se observa que la porción de la curva que está por encima del punto c
corresponde a un régimen subsónico, mientras que la porción que está por debajo de c corresponde a un régimen supersónico. Esto significa que el número de Mach es igual a la unidad en el punto c.
A semejanza con la línea Rayleigh , la fricción en el régimen subsónico acelera el fluido hasta un
valor límite máximo de M = 1. De forma similar, la fricción desacelera el fluido si éste se encuentra
en un régimen supersónico. Cabe señalar que un flujo subsónico nunca pasa a ser supersónico en el
dueto , pues violaría la segunda ley de la termodinámica por el principio de incremento de entropía .
Este fenómeno impone una restricción a la longitud máxima que puede tener un dueto; en el diseñ o
de gasoduetos, debe tenerse en cuenta el límite de la distancia entre las estaciones de bombeo.
La longitud máxima puede correlacionarse de forma conveniente a través del factor de fricción f
definido así
f = 'tpared
(14.19)
2
pV / 2
donde 1: representa el esfuerzo de corte.
1
2
I
~
////¡
I
: / / / / / /f / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
D
+- x
.
:77 77 ) 7 7777777/77 7 7777777
¡-
7777~
Figura 14.9 . Dueto aislado.
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14 Aspectos termodinámicos del flujo de fluidos
T
493
b
a
Línea Rayleigh
Linea Fanno
L--_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . _ _ _ _ _ _ __
s
Figura 14.10. Línea Fanno.
En la figura 14.11 se observa la variación de la velocidad y la presión con respeeto a la distancia
adimensional 4fx/ D, donde la línea límite corresponde a la condición M = los = smáx ' Suponga
que la entrada del dueto M < 1 y la longitud del mismo es tal que se presentan condiciones críticas
en la descarga (e). Si se aumenta la longitud del dueto no se altera el número de Mach en la
descarga, pero en ella la condición se desplaza hacia un nuevo punto c', donde las condiciones de
entrada se ven afeetadas con la reducción en el número de Mach, la presión y el flujo de masa y,
asimismo, con una velocidad mayor de descarga . Es decir, el sistema opera en diferente línea
Fanno. En la tabla 14.2 se presenta un resumen de varios parámetros de la línea Fanno para un gas
ideal con k = 1.4.
Ejemplo 14.6
Un compresor descarga aire en un dueto de 0.25 m de diámetro a una presión de 4 bar y una
temperatura de 500 K. El número de Mach a la entrada del dueto es igual a 0 .3 . Si el faetor de fricción
promedio es de 0 .003 y la transferencia de calor es insignificante, calcule
a) La longitud máxima del tubo sin que haya condiciones de estrangulamiento .
b) La presión y la temperatura del aire en la descarga.
494
Termodinámica
e'
P2
P,
M< 1
Línea límite
M< 1
o
~----------
_______________
(a)
(b)
Figura 14.11. Variación de velocidad y presión en la línea Fanno.
Solución
Según la tabla 14.2, para un valor de M = 0.3,
4fL .
_
_ "m",a:....;.
x
= 5 .2992
D
-.E... = 3.6190
p+
~ =1.1788
T+
Por consiguiente,
L . = (5. 292~
max
(0.25) = 110.40 m
(4)(0.003)
Según los datos anteriores,
p+
4
- - - = 1.11 bar
3.6190
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14 Aspectos termodinámicos del flujo de fluidos
495
Asimismo,
T+ =
500 = 424.16 K
1.1788
14.5 Condiciones de choque normal
Como se dijo antes, las propiedades de un fluido varían de forma continua y ordenada durante el
recorrido de un flujo isoentrópico. Sin embargo, también se especificó que en el régimen supersónico
pueden ocurrir discontinuidades en donde las propiedades varían de forma repentina, abrupta.
Tabla 14.2. Condiciones de la línea Fanno (k = 1.4).
4JLmáx
V;V+
T/T+
pf p"
O
1.2000
00
0.10
1.1976
10.9435
5.8218
0.10943
66.922
0.20
1.1905
5.4555
2.9635
0.21822
14.533
0.30
1.1788
3.6190
2.0351
0.32572
5.2992
0.40
1.1628
2.6958
1.5901
0.43133
2.3085
0.50
1.1429
2.1381
1.3399
0.53453
1.06908
0.60
1.1194
1.7634
1.1882
0.63481
0.49081
0.70
1.09290
1.4934
1.09436
0.73179
0.20814
0.80
1.06383
1.2892
1.03823
0.82514
0.07229
0.90
1.03270
1.12913
1.00887
0.91459
0.014513
1.00
1.00000
1.00000
1.00000
1.00000
O
1.10
0.96618
0.89359
1.00793
1.08124
0.009933
1.20
0.93168
0.80436
1.03044
1.1583
0.03364
1.30
0.89686
0.72848
1.06630
1.2311
0.06483
1.40
0.86207
0.66320
1.1149
1.2999
0.09974
1.50
0.82759
0.60648
1.1762
1.3646
0.13605
1.60
0.79365
0.55679
1.2502
1.4254
0.17236
1.70
0.76046
0.51297
1.3376
1.4825
0.20780
1.80
0.72816
0.47407
1.4390
1.5360
0.24189
M
. Pt/pt
00
D
O
00
(Continúa)
11
496 Termodinámica
Tabla 14.2. (Continuación).
M
T/T+
p/p+
Pt/pt
V/V+
4JLmax
D
1.90
0.69680
0.43936
1.5552
1.5861
0.27433
2.00
0.66667
0.40825
1.6875
1.6330
0.30499
3.00
0.42857
0.21822
4.2346
1.9640
0.52216
4.00
0.28571
0.13363
10.719
2.1381
0.63306
5.00
0.20000
0.08944
25.000
2.2361
0.69381
10.00
0.05714
0.02390
535.94
00
O
O
00
2.3905
2.4495
0.78683
0.82153
Fuente: J. H., Kaye, J., Gas Tables, John Wiley, Nueva York, 1961.
Considere a continuación una onda de choque normal como se ilustra en la figura 14.12. El fluido
pasa bruscamente de un régimen supersónico (x) a uno subsónico (y), mientras el flujo de masa, el área
y la temperatura total se mantienen constantes. Sin desarrollar las expresiones para la onda de choque
normal, en la figura 14.10 se muestra que la línea punteada x-y entre las intersecciones de las líneas
Rayleigh y Fanno, para el mismo valor de (mi A), satisface las condiciones anteriores de una onda de
choque. En la tabla 14.3 se presentan algunos parámetros para la onda de choque normal con k = 1.4.
x
I
M>
I
1
I
~
I
i
I
y
I
!
14.j
La VE
Para
M < 1
I
¡
Elnú
local
I
Figura 14.12. Onda de choque normal.
Ejemplo 14.7
El aire que se aproxima a un difusor se encuentra a una presión de 0.8 bar, una temperatura de 270 K
Y tiene un número de Mach igual a 2.5. Si se forma una onda de choque normal a la entrada del
difusor, calcule después de la onda los valores de presión, temperatura y número de Mach.
Solución
1,
, fl¡
I
Según la tabla 14.3, para Mx = 2.5,
Las v
ciona
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14 Aspectos termodinámicos del flujo de fluidos
My
= 0.51299
Py
= (7.1250)px = (7.1250) (0.8) = 5.70 bar
Ty
= (2.1375)Tx = (2.1375) (270) = 577.13 K
497
Tabla 14.3. Onda de choque normal (k = 1.4)*
M.<
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
4.00
5.00
10.00
00
My
1.00000
0.70109
0.57735
0.51299
0.47519
0.43496
0.41523
0.38757
0.37796
TylT<
pylPx
1.00000
2.4583
4.5000
7.1250
10.333
18.500
29.000
116.50
PtulPL<
1.00000
1.00000
1.3202
1.6875
2.1375
2.6790
4.0469
5.8000
20.388
0.92978
0.72088
0.49902
00
00
0.32834
0.13876
0.06172
0.00304
O
Fuente: Keenan,J. H., Kaye, J., Gas Tables, Wiley, NuevaYork, 1961.
14.6 Resumen
La velocidad del sonido e se relaciona con otras propiedades termodinámicas a través de la expresión
C2 ~ ;:
).
Para el caso de un gas ideal, la velocidad del sonido queda determinada mediante la expresión
c = .JkRT
El número de Maeh se define como el cociente de la velocidad de un fluido u objeto por la velocidad
local del sonido. Esto es
M=V
e
Las variaciones de área con respecto a la presión o la velocidad en el flujo isoentrópico están condicionadas a través de las desigualdades
SiM<l:
dA >0
dp
,
d~ <o
dV
SiM>l:
dA <O
dp
,
d~ >0
dV
SiM=l:
dA =0
dp
,
d~ =0
dV
498
Termodinámica
La línea Rayleigh describe las condiciones de operación de un dueto de sección transversal
constante, donde el flujo es estable, hay transferencia de calor del fluido o hacia él y la fricción es
despreciable.
La línea Fanno describe las condiciones de operación de un dueto adiabático de sección transversal constante, donde el flujo es estable yhay fricción entre el fluido y la' pared del dueto.
Las condiciones de una onda de choque normal quedan determinadas a través de la intersección
de las líneas Rayleigh y Fanno.
Problemas
14.1
Cierto flujo de masa de aire entra en una tobera a una temperatura de 900 K y a una presión
de 2 bar. La tobera tiene un área de sección transversal en la garganta de 0.1 m 2 y se desea
que el aire alcance un valor de M = 1.5 en la descarga. Calcule la temperatura y la presión del
aire en la descarga, así como el área de sección transversal que debe tener la tobera en la
descarga.
14.2
Considere un dueto de sección transversal constante en el que entra aire a una temperatura
de 800 K, a una presión de 2 bar y con un liúmero de Mach igual a 0.3. El aire se calienta
hasta una temperatura de 2000 K. Si el área del dueto es de 0.1 m 2 , calcule la presión,
temperatura y número de Mach finales, así como el flujo de masa en el dueto.
Respuesta:
P2 = 0.94 bar
T2 = 2000 K
M2 = 1
= 14.68 kg/s
m
14.3
Partiendo de principios básicos, demuestre que en la línea Rayleigh
dT
T 1-kM 2
Demuestre además que la temperatura es máxima cuando M = 1/ Jk .
14.4
Determine la velocidad del sonido en el aire, en el hidrógeno y en el metano a una temperatura de 300 K.
Respuestas:
caire = 346.94 mis
cHz = 1318.43 mis
ceH = 449.98 mis
4
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14 Aspectos termodinámicos
sal
14.5
es
del flujo de fluidos
499
Calcule el factor de fricción I para un dueto circular en términos del número de Reynolds
(Re = DV p/f1) si el régimen es laminar, esto es, Re < 2000. Grafique el resultado en papel
log-Iog.
5-
Respuesta:
ón
14.6
ión
ea
e)
14.7
Temperatura estática.
El número de Mach antes de formarse una onda de choque normal es 3. Calcule dicho
número después de la onda.
Respuesta:
ra
nta
ón,
Re
Indique si las siguientes propiedades aumentan o disminuyen en una onda de choque normal
a) Presión estática.
b) Velocidad.
e) Entropía.
d) Número de Mach.
del
la
I=~
M = 0.47519
14.8
14.9
¿Por qué una onda de choque no puede seguir la trayectoria y-x en la figura 14.10?
Cierto flujo de masa entra en un difusor a una temperatura de 298 K y una presión de 1 bar. Si se
desea desacelerar el fluido hasta alcanzar una presión de 2 bar, calcule la temperatura a la descarga. Suponga que el proceso es isoentrópico y dibújelo en un diagrama temperatura-entropía.
14.10 Establezca claramente las condiciones de la línea Rayleigh y la línea Fanno.
14.11 A presión de 1 bar, temperatura de 25 C, y con un número de Mach igual a 2 el aire
experimenta un choque normal. Calcule la pérdida de disponibilidad.
14.12 Derive la siguiente expresión para la presión total en un gas ideal
o
g/s
Pt = p
1
) k
1+TM2
k-l
k
(
Referencias
1. Hesse, W. J., Jet Propulsion, Pitman Publishing Corp., Nueva York, 1958.
2. Keenan, J. H., Kaye, J., Gas Tables, John Wiley, Nueva York, 1961.
3. Olson, R. M., Essentials 01 Engineering Fluid Mechanics, Intext Educational Publishers, 1973.
4. Rotty, R. M., Introducción a la dinámica de los gases, Herrero, México, 1966.
5. Shapiro, A. H., The Dynamics and Thermodynamics 01 Compressible Fluid Flow, Volume 1,
The Ronald Press Company, Nueva York, 1953:
15
Transferencia de calor
No se engañe nadie, no, pensando que ha de
durar lo que espera más que duró lo que vio ,
porque todo ha de pasar por tal manera.
JORGE MANRI QUE
La importancia de la transferencia de calor en la tecnología moderna es cada vez mayor. Los problemas
de transferencia de calor que competen al ingeniero son múltiples y de carácter muy diverso. Cabe
mencionar, como ejemplos, el diseño de intercambiadores de calor, hornos, equipo de refrigeración ,
enfriamiento de motores de combustión interna y eléctricos, transformadores, transistores, etc . En los
casos anteriores se ve que en casi cada rama de la ingeniería los problemas de transmisión de calor
requieren un análisis especializado para su solución.
Aun cuando la termodinámica permite evaluar la transferencia de calor en un sistema al cambiar
de un estado a otro, no predice el mecanismo por medio del cual esta transferencia de energía se lleva
a cabo, ni el tiempo o área requeridos en el proceso.
Dada la afinidad que tiene las disciplinas de transferencia de calor y la termodinámica, aquí se
describirán en forma sucinta algunas aplicaciones de los tres modos principales de transf?rencia de
calor: conducción, convección y radiación.
15.1 Generalidades
El fenómeno de transferencia de calor por conducción es un proceso de propagación de energía en un
medio sólido, líquido o gaseoso mediante comunicación molecular directa. Al existir un gradiente de
temperatura en el medio, la segunda ley de la termodinámica establece que la transferencia de calor se
lleva a cabo desde la región de mayor temperatura hacia otra menor, como se observa en la figura
15.1 . En tales circunstancias, el flujo de calor por unidad de área es proporcional al gradiente de
temperatura. Es decir,
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502 Termodinámica
Perfil de temperatura
q"
x
Figura 15.1. Dirección del flujo de calor.
(15.1)
donde q" denota el flujo de calor por unidad de área y k es la conductividad térmica del material. Sus
unidades son W/mK en el Sistema Internacional de unidades. El signo negativo en la ecuación 15.1 se
introduce para que se satisfaga la segunda ley de la termodinámica, es decir, el calor deber fluir de una
temperatura mayor a otra menor. Esta ecuación se conoce como ley de Fourier de conducción de
calor. Debe mencionarse que esta expresión define la conductividad térmica k. Aun cuando ésta varía
con la temperatura, en muchas aplicaciones puede suponerse constante. t Los materiales que tienen alta
conductividad térmica se denominan conducto res; los de baja conductividad, aislantes. En la tabla 15.1
se indica el orden de magnitud de la conductividad térmica para distintos materiales.
Por otra parte, el fenómeno de transferencia de calor por convección es un proceso de transporte
de energía que tiene lugar por virtud del movimiento de un fluido (líquido o gas) , con el que está
íntimamente relacionado. Para ilustrar este punto, considere un sistema a una temperatura Ts como
el de la figura 15 .2, el cual intercambia calor por convección con un fluido a una temperatura menor
que Too. La experiencia indica que el sistema disipa más calor cuando se le hace pasar aire provenient
Algunas sustancias, como el CO 2 exhiben un comportamiento anómalo en la vecindad del punto crítico termodinámico.
en donde la conduct ividad tér mica k varía de fo rma brusca hasta alcanzar valores esencialmente infinitos.
15 Transferencia de calor
503
te de un abanico que cuando sólo se encuentra expuesto al aire ambiente, deduciéndose así que la
velocidad del fluido tiene un efecto importante sobre la transferencia de calor a lo largo de la superficie. Del mismo modo, la experiencia indica que el flujo de calor es diferente si el cuerpo se enfría en
agua o aceite, no en el aire. De aquí que el tipo de fluido deba tener también un efecto importante
sobre la transferencia de calor.
Tabla 15.1. Orden de magnitud de la conductividad térmica k.
Material
k, W/mK
Gases a presión atmosférica
Materiales aislantes
Líquidos no metálicos
Sólidos no metálicos
Metales líquidos
Aleaciones
Metales puros
0.0069
0.034
0.086
0.034
8.6
14
52
0.17
0.21
0.69
2.6
76
120
410
Fuente: Kreith, Frank, Principies of Heat Transfer. Intext Educational Publishers. 1973.
Dado que en cualquier circunstancia la velocidad del fluido es igual a cero en la interfase sólidofluido (y = O), el calor se transfiere por conducción sólo en este plano del fluido. Sin embargo, aun
cuando el calor disipado por el sistema puede calcularse mediante la expresión 15.1, el gradiente de
temperatura en el fluido depende de las características, a menudo complejas, del flujo. Por tanto, es
más conveniente calcular el flujo de calor disipado por el sistema en términos de la diferencia total de
temperaturas entre su pared y el fluido. Así,
q" = h{Ts - T,,)
(15.2)
donde h es el coeficiente local de transferencia de calor o coeficiente de película. Sus unidades en
el Sistema Internacional de unidades son W/m 2K. La ecuación 15.2 se conoce como ley de Newton
de enfriamiento. Debe decirse que esta expresión, más que una ley fenomenológica, define el coefi-
Fluido a Tx
------.-•
~
V///////ff////ff//~/////#////#///#/Jm
q"
Figura 15 .2. Transferencia de calor por convección.
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504 Termodinámica
ciente de transferencia de calor h. Aun cuando la apariencia de la ecuación 15 .2 es muy sencilla, el
proceso de transferencia de calor por convección es muy complejo, pues el coeficiente h está condicionado por distintos factores. Depende, en general, de la forma y dimensiones del sistema, de las
condiciones del flujo, de las propiedades del fluido, etcétera.
De lo antes dicho se deduce también que
aT
h=
q" Iy= o
- k-
ay ly=O
(15.3)
donde la conductividad térmica y el gradiente de temperatura corresponden al fluido en la interfase.
El coeficiente promedio de transferencia de calor en distintos sistemas puede determinarse integrando
esta expresión, aunque se hace necesaria la experimentación en situaciones complejas.
El mecanismo de convección normalmente se clasifica en convección forzada y libre o natural,
según sea el movimiento del fluido , el resultado de algún agente ajeno al proceso (abanico, bomba,
viento), o de los gradientes en densidad que experimenta el fluido en la vecindad del sistema. La
convección libre puede aparecer en un líquido o en un gas, pero sólo cuando éste está situado en un
campo de fuerzas, como el gravitacional, por ejemplo . Aun cuando la convección forzada va acompañada de la libre, el efecto relativo de esta última puede ser insignificante cuando la velocidad del fluid o
es relativamente alta. Por otra parte, el efecto relativo de la convección libre es tanto mayor cuanto
más grande sea la diferencia de temperaturas entre la superficie del sistema y el fluido , o menor la
velocidad del movimiento forzado . En la tabla 15.2 se indican algunos valores del coeficiente promedio de transferencia de calor h.
Tabla 15.2. Orden de magnitud del coeficiente promedio de
transferencia de calor h.
h, W/m 2 K
Situación
Convección libre, en aire
Convección forzada, en aire
Convección forzada, en agua
Agua en ebullición
Condensación de vapor de agua
5
10
100
2500
5000
30
500
20000
50000
- 100000
Fuente: Thomas, L.e., Heat Tran sfe r, Prentice Hall , EUA, 1993.
A diferencia de los mecanismos de conducción y convección donde interviene un medio para que
la transferencia de calor se lleve a cabo, ésta también puede realizarse aun en el vacío perfecto
mediante radiación. Este mecanismo de transferencia de calor por radiación electromagnética se lleva
15 Transferencia de calor
a cabo cuando existe una diferencia de temperaturas entre dos sistemas cualesquiera, como se observa en la figura 15.3. Por el momento, baste decir
que la transferencia neta de calor por radiación entre dos sistemas a temperaturas absolutas TI y T2
(TI> T2 ) puede evaluarse mediante esta relación
4
4
q" = crf (TI - T 2 )
505
o
(15 .4)
donde cr es la constante de Stefan-Boltzmann y
adquiere un valor de 5 .67 x 10-8 W/ m 2K4 en el
Sistema Internacional de unidades, y r es una función que depende de las características superficiales
de emisión de energía y del arreglo geométrico que
guardan los cuerpos entre sí.
Figura 15.3. Transferencia de calor por radia-
ción.
15.2 Conducción de calor unidimensional
en estado estable
-+II~D.X
A continuación se describirán algunas aplicaciones de la ley de Fourier
de conducción de calor en una dimensión para sistemas sencillos que
operan en estado estable. El análisis de estos sistemas requiere básicamente el planteamiento de un balance de energía que incorpore la ley
de Fourier para determinar el perfil de temperatura en el sistema. Conocido este perfil, el flujo de calor de cualquier sección puede obtenerse
con facilidad mediante la ley de Fourier de conducción del calor.
Placa plana
q"--+-..
Considere una placa o pared como la de la figura 15.4, la cual está
expuesta a temp<?raturas TI y T2 en sus superficies y, además, es
muy grande en la dirección perpendicular al flujo de calor con respecto al espesor L. Un balance de energía en un elemento de espesor ~x dentro del material indica que, en estado estable,
q" A I x - q" A I x + ~x = O
Dividiendo esta expresión entre ~x y teniendo en cuenta que el área
A perpendicular al flujo de calor es constante,
1.- L-./
Lx
O
Figura 15.4. Conducción de
calor en una pared.
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506 Termodinámica
En el límite, cuando /),.X ~ O, se obtiene, a través del teorema del valor medio, que
dq"
dx = O
Integrando esta expresión tenemos
(a)
que indica que el flujo de calor por unidad de área es constante a través de la pared, siendo Cl una
constante de integración. Introduciendo la ley de Fourier tenemos
dT
-k-=C
dx
.l
Integrando de nuevo esta relación y suponiendo que la conductividad térmica k es constante,
(b)
donde C2 es otra constante de integración. Las constantes Cl y C2 pueden evaluarse mediante dos
condiciones de frontera que correspondan a la situación física del problema. En este caso
T = TI en x = O
También
T = T2 en x = L
(e)
Sustituyendo las condiCiones de frontera (c) en la ecuación (b) se obtiene
Asimismo,
Por consiguiente, el perfil de temperatura en la pared queda determinado de manera única al sustituir
estas constantes en la expresión (b). Es decir:
o, de forma adimensional,
(15 .5)
15 Transferencia de calor
507
La ecuaclOn anterior establece que el perfil de temperatura en una pared es lineal cuando la
conductividad térmica es constante. En la figura 15.5 se observa el perfil adimensional de temperatura para cualquier placa plana.
x
L
o
Figura 15.5. Perfil adimensional de temperatura
en una pared.
El flujo de calor por conducción puede determinarse en cualquier sección x, puesto que es constante.
Esta determinación puede hacerse diferenciando la ecuación 15.5 e introduciendo el gradiente de temperatura resultante en la ley de Fourier (ecuación 15.1) o directamente a través de la expresión (a). Esto es,
q" = el
"
q =
o bien,
k TI - T 2
L
(15.6)
Esta ecuación indica con toda claridad que el flujo de calor a través de una pared es directamente
proporcional a la conductividad térmica del material, al área de sección transversal perpendicular al
flujo de calor, a la diferencia de temperatura, e inversamente proporcional al espesor de la pared. La
misma expresión puede interpretarse de manera alternativa recurriendo a la ley de Ohm de circuitos
eléctricos, que relaciona la corriente con la resistencia y la diferencia de potencial eléctrico. Si se
visualiza el flujo de calor como una corriente y la diferencia de temperaturas como una diferencia de
voltajes, la "resistencia térmica" queda relacionada así
R
_ L
t, cond -
kA
(1 5 .7)
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508 Termodinámica
Esta analogía se ilustra de forma esquemática en la figura 15.6.
El análisis de una pared compuesta por n - 1 placas de distintos
materiales en contacto íntimo, como se ve en la figura 15.7 , puede
hacerse con facilidad recurriendo al concepto de resistencia térmica.
Puesto que el calor por conducción es el mismo en cada placa,
Figura 15.6. Resistencia térmica
en una pared.
(15 .8)
Hasta el momento se ha supuesto que se conocen las temperaturas en las superficies de las placas.
Sin embargo, usualmente las placas están localizadas entre dos fluidos , uno a una temperatura T 1 e
y el otro a una temperatura T n .e .
Un análisis de la ley de Newton de enfriamiento permite también establecer una analogía eléctrica
en donde la resistencia térmica es
R t, conv =~
hA
:-::- ..
. ..
T,
Figura 15.7. Pared compuesta por n - 1 placas.
(15 .9)
J 5 Transferencia de calor
509
Así, si la placa de la figura 15.7 intercambia calor con dos medios distintos, como se observa en la
figura 15.8, el flujo de calor está dado por la expresión
TI ,e - Tn,e
Q=------~--~--~
1
- 1-+ ~x-xI
L...'
,- + - -
hI A
i=2
ki- I A
(15.10)
hn A
T, . •
Figura 15.8. Pared compuesta que intercambia calor con dos medios.
Para conservar la apariencia de la ley de Newton de enfriamiento, la expresión anterior se escribe a
menudo así
Q = UA (TI , e - Tn ,e)
(15.11)
donde U es el coeficiente total de transferencia de calor, definido así
U = _______1_______
~ Xi - X i - 1
-1 + L...
+ -1
- ' -- - ' - --=-
h1
i=2
ki- 1
hn
(15.12)
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510 Termodinámica
Cilindro
Inte
Considere ahora un tubo de radio interior RI y radio exterior R2 como se observa en la figura 15.9,
el cual está expuesto a temperaturas TI y T2 en sus superficies interior y exterior, respectivamente.
Suponga que la longitud L del tubo es muy grande con respecto a su diámetro, de tal manera que la
transferencia de calor es unidimensional. Un balance de energía en el sistema mostrado indica que
Las
21trL q" I r - Znrl. q" I r + llr = O
Asir
~
'R2
e:::t:::::2
Sus
I
1
Tan
L
(a)
o~------------~-----
Enl
1
(e)
(b)
con
R
Figura 15.9. Conducción de calor en un cilindro.
El ~
de I
Dividiendo entre 2nLL'lr y haciendo que L'lr ~ O,
.!L (rq") = O
dr
Integrando esta expresión con respecto al radio, tenemos
q " =-C
r
ob
I
(d)
Rec
Introduciendo la ley de Fourier
en
dT
CI
dr -
kr
J5
511
Transferencia de calor
Integrando de nuevo
(e)
Las constantes de integración el y e2pueden evaluarse mediante las condidones de frontera
T = TI en r = RI
Asimismo,
(f)
Sustituyendo estas condiciones en la ecuación (e) se obtiene
También
En consecuencia, el perfil de temperatura dentro del material del tubo es, ordenando la expresión (e)
con las constantes
'(15 .13)
El perfil adimensional de temperatura aparece en la figura 15.9. El flujo de calor transferido a través
de las paredes del tubo puede calcularse directamente con la ecuación (d). Es decir,
" el
k (TI - T 2)
q = -r- = _r-;-ln-(=Ro--:/ R=-:-¡)
2
o bien,
Q = 2nrLq" = 2 .1I kL (T¡- T 2)
In (R 2 /R¡)
(1514)
Recurriendo a la analogía eléctrica descrita antes, se obtiene que la resistencia térmica al flujo de calor
en un cilindro hueco está dada por la relación
(15 .15)
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512 Termodinámica
El análisis de un cilindro compuesto por varios materiales puede ser análogo al descrito para una
pared plana compuesta.
Ejemplo 15.1
Por una tubería de cobre (k = 386 W/mK) cuyos diámetros interior y exterior son de 4.09 y 4.83 cm,
respectivamente, fluye freón 12 a -40 oc. Se desea aislar la tubería con espuma de poliestireno
(k = 0.035 W/ mK) para disminuir la transferencia de calor procedente del aire ambiente que se
encuentra a 25 oc. Los coeficientes interior y exterior de transferencia de calor pueden suponerse de
500 W/ mzK y 5 W/ mzK, respectivamente. Calcule el espesor de aislante necesario para reducir la
transferencia de calor en 50%, con respecto al valor que se tendría si el tubo estuviera desnudo.
Solución
Si el tubo estuviera desnudo
Q
L
1
- -
h1 nd 1
+
In (dz / d 1 )
2nkl_Z
1
+ --hz nd z
65
0.016 + 0.0000686 + 1.318
= 48.74 W/ m
Observe que la máxima resistencia al flujo de calor se encuentra en el exterior de la tubería. Al reducir
la transferencia de calor en 50%,
Qn = 24.37 W/m
L
En estas circunstancias,
Qn
L
T1. e - T3 . e
_ 1_ + In (dz/d 1 ) + In (d 3 / d z ) +
1
h1 nd 1
2nkl_Z
2nkz_3
h3 nd3
Sustituyendo valores,
2437 =
25 - (-40)
.
0.016 + 0.0000686 + In (d 3 / 4.83) +
1
(2)(n)(0.035) (5)(n)(d 3/100)
Resolviendo por tanteos se obtiene
d3 = 6.7 cm
15 Transferencia de ca lor
513
Por tanto, el espesor del aislante requerido es
x = d 3 -d 2 = 6.7 -4.83 = 0.94 cm
2
2
Ejemplo 15.2
Considere un alambre conductor de radio R y longitud L, como se observa en la figura E.15 .2. El
alambre transporta una corriente eléctrica 1. Si la temperatura en la superficie del conductor e s T R'
calcule la temperatura máxima en su interior. Suponga que la resistividad eléctrica es Pe.
Solución
Si se denota con q'" el calor generado por unidad de tiempo y de volumen (W/ m 3)
2
2
"'_ 1 Re_~
q - AL - 7[2 R 4
Mediante un balance de energía en el elemento mostrado
q"2 7[ r L I
r
- q "2 7[ r L I
r + tlr
+ q'"
2 7[ r L M =
°
Dividiendo entre 27[ L ~r y haciendo que ~r ~ 0 ,
d
- (rq") = q '''r
dr
Integrando
I
I
I
,
q'" r 2
rq" = - - + C l
2
o bien,
I
q'" r
q"= - -
I
2
puesto que C l = O para que el flujo de calor sea finito. Introduciendo la ley de Fourier,
dT
dr
R
I
q'" r
2
Figura E.15.2.
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514 Termodinámica
Integrando de nuevo,
q'" r 2
T=----+C 2
4k
Puesto que T= TR en r = R,
q'" R 2
C2 = T R +
4k
Ordenando el perfil de temperatura en términos de la corriente y resistividad eléctricas,
T- T
R
4¡r2 kR
[1- (!:.-)2]
_
[2 Pe
= [2 Pe 2
R
También,
Tmáx - TR +
2
4¡r kR
2
Observe que la temperatura máxima depende de la corriente eléctrica al cuadrado.
15.3 Transferencia de calor por convección
Como se dijo antes, en el fenómeno de transferencia de calor por convección el transporte de energía
se lleva a cabo por conducción sólo en la interfase sólido-fluido. La energía así transmitida es luego
transportada por el movimiento del fluido. Es decir, tanto la conducción como el transporte de masa
juegan un papel importante en la transferencia de calor por convección. Cuando la velocidad del
fluido es relativamente alta y el movimiento de las partículas que lo constituyen es grande, la conducción de calor en la dirección del fluido es relativamente insignificante dentro de éste.
Puesto que el mecanismo de transferencia de calor está íntimamente relacionado con el movimiento del fluido, es necesario distinguir dos tipos generales de flujo: laminar y turbulento. Como su
nombre lo indica, en el régimen laminar el fluido se desplaza a lo largo de capas submicroscópicas en
donde cada partícula sigue una línea de corriente bien definida, ordenada y continua. En contraste
con este movimiento ordenado, las partículas de fluido siguen un movimiento completamente irregular y fortuito en el régimen turbulento. En consecuencia, la transferencia de calor es mayor por razón
de este mezclado.
Sin abundar en el tema, el coeficiente de transferencia de calor puede correlacionarse en términos
de varios grupos adimensionales, de forma analítica o experimental, según sea el régimen, laminar o
turbulento. La combinación del coeficiente promedio de transfer~cia de calor /1, una longitud característica L y la conductividad térmica del fluido k en la forma hL/k se conoce como número de
15 Transferencia de calor
515
Nusselt Nu. En la práctica, el número de Nusselt es una medida conveniente del coeficiente de
transferencia de calor, pues si se conoce este número, el coeficiente ¡:¡ puede calcularse con facilidad
a través de la relación ¡:¡ = Nuk/L.
En convección forzada, el número de Nusselt depende, en general, de dos grupos adimensionales:
el número de Reynolds, definido como Re == LV p/ Ji y el número de Prandtl, definido como Pr ==
cpJi/ k. Es decir,
Nu = Nu (Re, Pr)
En estos grupos adimensionales, Ji es la viscosidad del fluido . Sus unidades en el Sistema Internacional de unidades son Ns/ m2.
Por otra parte, en convección libre, el número de Nusselt depende básicamente del número de
Prandtl y del número de Grashof, definido como Gr == p2g f3 !1 TL3/Ji2 . En general, !1 T denota la
diferencia de temperaturas entre la superficie del sistema y el fluido. Por tanto,
Nu = Nu (Pr, Gr)
En la tabla 15.3 se presentan algunas relaciones para estimar el coeficiente de transferencia de calor
en diferentes geometrías.
Ejemplo 15.3
Sobre una placa de 0.1 x 0.1 m a 175 oC, fluye aire a 25 oC, 1 bar ya una velocidad de 1 mi s.
Calcule el flujo de calor disipado por la placa, suponiendo las siguientes propiedades del aire a una
temperatura de (175 + 25}/2 = 100 oc:
k = 0.031 W/mK
~ = 2.13 x 10-5 Ns/m 2
Cp = 1 J/g K
Pr = 0.69
Solución
Mediante la ecuación de estado de los gases ideales, tenemos
_L _
1 x 10 5
_
3
P - RT - (0 .287 x 103)(373) - 0.93 kg/m
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516
Termodinámica
Tabla 15.3. Algunas relaciones para estimar el coeficiente de transferencia de calor h en régimen laminar.
Geometría
Nu
Flujo paralelo a una placa plana de longitud L
NU L= 0.664 Re 1/2 L Pr 1/3 (Re L < 5 ' 105)
Flujo dentro de un tubo circular de diámetro D
y flujo de calor por unidad de área en la pared
constante
Nuo = 48/11 = 4.364 (Reo < 2100)
Placa vertical con convección libre
NUL = 0.59 (GrLPr)1/4 (10 4 < GrLPr < 109 )
Flujo a través de una esfera de diámetro D.
Nuo = 2 + 0.37 R~~ PrO 33 (Reo < 1.5 x 10 5)
Fuente: Edwards, D. K., Denny, V.E., Milis. A. F., Tran sfer Processes, Holl , Rineharl and Winslon, Ine ., 1973.
Por otra parte,
R
e
= LVoo p = (0.1)(1)(0.93) = 43662
J..l
2. 13 x 10- 5
.
Según la tabla 15.3
Nu = 0.664 Re1/2 Pr 1/3
= 0 .664 (4366.2)1/2 (0.69)1/3 = 38.82
En consecuencia,
También,
Q= hA (Ts - TJ
= (12 .03) (0 .01) (175 - 25)
= 0 .12 W
15.4 Transferencia de calor por radiación
Hay muchos tipos de radiación electromagnética, pero la radiación térmica se localiza en el rango de
longitudes de onda de alrededor de 0.1 a 100 Jim.
Cuando la radiación térmica incide sobre la superficie de un material, parte de ella se refleja,
parte es absorbida y parte se transmite, como se observa en la figura 15.10. Se define la rejlectancia
como la fracción de energía que se refleja, la absortancia como la fracción que se absorbe y la
transmitancia como la fracción que se transmite. Es decir,
p+a+r=l
(15 .16)
J 5 Transferencia de calor
517
Radiación incidente
Reflectancia
p
Figura 15.10. Radiación en una superficie.
La mayor parte de los sólidos no transmiten la radiación térmica, por lo que la transmitancia puede
suponerse igual a cero en muchas aplicaciones. Algunos gases son transparentes a la radiación, por
lo que su transmitancia es igual a la unidad. Por otra parte, la reflexión de energía puede ser especular o difusa . Se dice que es especular si el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. En la
reflexión difusa el haz incidente de energía se distribuye de manera uniforme en todas direcciones
después de reflejarse. Normalmente, en una superficie rugosa la reflexión es más difusa que en una
superficie altamente pulida.
Se define como cuerpo negro un radiador o absorbedor perfecto, es decir, un cuerpo que absorbe toda la energía que incide sobre él, sin transmitir o reflejar absolutamente nada, y emite la máxima
energía posible para una temperatura dada. Para un cuerpo negro la absortancia es igual a la unidad.
El flujo de calor por unidad de área que emite un cuerpo negro es proporcional a su temperatura
absoluta elevada a la cuarta potencia. Esto es,
(q" en) = (J T4
(15.17)
esta expresión se conoce como ley de Stefan-Boltzmann.
Para establecer una relación entre el flujo de calor emitido por un cuerpo cualquiera a una
temperatura dada y las propiedades de los materiales antes descritas, considere una cavidad absolutamente negra que absorbe toda la radiación que incide en su superficie, la cual se encuentra a una
temperatura absoluta T. Suponga que se coloca un cuerpo cualquiera en el interior de la cavidad y en
equilibrio térmico con ella, es decir, a la misma temperatura T. En estas condiciones, la energía
absorbida por el cuerpo debe ser igual a la energía emitida, de lo contrario, existiría un fluj o de
energía de entrada o de salida que alteraría la energía interna del cuerpo y, por tanto, su temperatura .
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518 Termodinámica
En equilibrio térmico
(g)
Si ahora se reemplaza el cuerpo en la cavidad por un cuerpo negro del mismo tamaño y forma
(h)
q "A
en
= q"A
-e
Dividiendo la ecuación (g) entre la (h),
(i)
Es decir, el calor emifido por cualquier cuerpo con respecto al de un cuerpo negro que esté a la misma
temperatura es igual a la absortancia. Esta razón también se define como emitancia del cuerpo, esto
es,
1:=
(15.18)
Por tanto , en equilibrio térmico,
I:=a
(15.19)
Esta última expresión se conoce como ley de Kirchhoff.
Los cuerpos que emiten calor de acuerdo con la relación
q" = 1: (J T 4
(15.20)
Cuerpo negro 2
se conocen como cuerpos grises. La emitancia puede
determinarse experimentalmente de una manera sencilla. El lector puede dirigirse a la referencia 3 para mayor
información sobre este tema .
Para calcular el intercambio neto de calor por radiación entre dos cuerpos es necesario determinar de antemano la fracción de la radiación total emitida por un
cuerpo que es interceptada por otro y viceversa. Considere dos superficies negras cuyas áreas son Al y A 2 ,
como se ve en la figura 15.11. La radiación que sale de
1 y llega a 2 es
G
Cuerpo negro 1
Figura 15 .11. Radiación entre dos cuerpos
negros .
15 Transferencia de calor
519
y la que sale de 2 y llega al , es:
donde F12 denota la fracción de la radiación que sale de la superficie 1 y llega a la 2. De la misma
manera, F2l denota la fracción de la radiación que sale de la superficie 2 y llega a la 1. En general, la
fracción Fjj se conoce como factor de forma para radiación . Por tanto, el intercambio neto de calor
está dado por la relación
Si ambas superficies están a la misma temperatura
Por tanto,
(15.21)
Esta expresión se conoce como teorema de reciprocidad.
Si toda la radiación de uno de los cuerpos incide sobre el otro y viceversa, F12 = F2l = 1 (como en
el caso de dos placas paralelas muy grandes de área A). En estas condiciones ,
En general, el flujo neto de calor por radiación entre dos cuerpos negros es
.
4
4
Q = aAl F12 TI - erA2 F2l T 2
.
4
4
Q = erAl F12 (T e T 2)
(15.22)
En este ejercicio se ha supuesto que el gas entre los cuerpos negros que intercambian calor por
radiación es transparente.
Ejem plo 15.4
La potencia emisiva monocromática de un cuerpo negro varía con la longitud de onda. La longitud de
onda donde la potencia emisiva monocromática es máxima está dada por la ley de desplazamien to
de Wien
"' máx T = 2897.8 ,umK
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520 Termodinámica
a} Si la temperatura efectiva del Sol como cuerpo negro es de 5762 K, estime la longitud de
onda en que la potencia emisiva monocromática es máxima.
b} Calcule el calor total emitido por el Sol si su diámetro es de 1.39 X 106 km.
Solución
a} Según la ley de desplazamiento de Wien, se obtiene
Amáx = 2897.8/5762 = 0.50 11m
b} A la temperatura efectiva del Sol se obtiene
OSOI =
<JAso1 T;ol = <J4n R;ol T;ol
= (5.67 X 10-8) (4n) (6.95 X 10 8)2 (5762)4
=
3.79 X 10 26 W
15.5 Resumen
El fenómeno de transferencia de calor por conducción es un proceso de propagación de energía en un
medio sólido, líquido o gaseoso mediante comunicación molecular directa. El flujo de calor por unidad
de área es proporcional al gradiente de temperatura. Es decir,
q" = -k oT
ox
donde k es la conductividad térmica del material. Esta ecuación se conoce como ley de Fouri er de
conducción de calor.
El fenómeno de transferencia de calor por convección es un proceso de transporte de energía que
tiene lugar por virtud del movimiento de un fluido, con el que está íntimamente relacionado. El flujo
de calor puede establecerse en términos de la diferencia total de temperaturas entre el sistema y el
fluido mediante la expresión
donde h es el coeficiente de transferencia de calor. Esta expresión se conoce como ley de Newton de
enfriamiento.
A diferencia de los mecanismos de conducción y convección en los que interviene un medio para
la transferencia de calor, ésta también puede realizarse en el vacío perfecto mediante radiación. La
transferencia neta de calor por radiación entre dos cuerpos a distintas temperaturas absolutas puede
evaluarse mediante la relación
q" = crr(Ti - T~ )
15 Transferencia de calor
521
donde O' es la constante de Stefan-Boltzmann y adquiere un valor de 5.67 X 10-8 W/ m 2K4 en el
Sistema Internacional de unidades, y r es una función que depende de las características superficiales
de emisión de energía y del arreglo geométrico que guardan los cuerpos entre sí.
Problemas
15.1 Un cono truncado de 0.5 m de altura construido en cobre (k = 386 W/ mK) tiene un diámetro
en la parte superior de 0.1 m yen la base de 0.2 m. La superficie superior se encuentra a
500 oC, en tanto que la inferior está a 100 oc. La superficie lateral está aislada. Calcule el flujo
de calor suponiendo que éste es unidimensional.
15.2 Determine el perfil de temperatura y el flujo de calor en una esfera hueca de radio interior R I
y radio exterior R2 sujeta a temperaturas TI y T 2 en sus superficies.
15.3 Determine el flujo de calor en una pared de espesor L cuyas superficies están sujetas a temperaturas TI y T 2 Y cuya conductividad térmica varía con la temperatura de acuerdo con la
relación k = ko (1 + aT).
Respuesta :
Q = kmA (TI - T2 }/L
donde ,
km = k o
(1 +
a TI : T2 )
15.4 Dos superficies perfectamente negras se construyen de tal manera que toda la energía radiada
por una de ellas sea interceptada por la otra. La temperatura de una de las superficies es de
1000 K, mientras que la de la otra es de 500 K. Calcule la transferencia de calor por radiación .
15.5 Sobre una placa de 0.1 por 0.2 m fluye aire a 30 oC, de tal manera que el coeficiente de
transferencia de calor es igual a 10 W/ m 2K. Si la placa sé encuentra a 400 K, calcule el flujo
de calor disipado.
15.6 Determine el coeficiente total de transferencia de calor en el ejemplo 15.1.
15.7 Demuestre que la ecuación de energía para transferencia de calor bidimensional en estado
estable es
a
a
2
2
T
T
-+-=0
ax2 al
15.8 Considere la pared de una casa-habitación formada por 20 cm de ladrillo común (k = 0.72 W/ mK)
y 5 cm de poliuretano (k = 0.023 W/ mK) por la parte exterior. La temperatura ambiente en el
exterior es de 35 oC (h = 22 W/ m 2 K) y en el interior es igual a 25 oC (h = 6 W/ m 2K). La
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522
Termodinámica
superficie exterior de la pared recibe un flujo neto de radiacion igual a 400 W/ m 2 . Dibuje un
esquema del perfil de temperatura y calcule
a) La temperatura en la superficie exterior de la pared.
b) El flujo de calor por unidad de área que penetra hacia el interior de la casa .
e) La temperatura en la superficie de la pared que da hacia el interior de la casa.
15.9 ¿Cuánto aislante de fibra de vidrio (k = 0 .04 W/ mK) se requiere poner en el horno de una estufa
para garantizar que la superficie exterior no alcance 50 OC? La temperatura máxima en el horno
es de 300 oC, y la temperatura ambiente en la cocina fluctúa entre 15 oC y 35 oc. Suponga
que los coeficientes de película son iguales a 10 W/m2 oC por ambos lados y que el aislante está
cubierto por dos láminas de acero porcelanizado de 1.25 mm de espesor (k = 54 W/ m oC) .
Referencias
1. Arpaci, V. S. , Conduetion Heat Transler, Addison-Wesley, EUA, 1966.
2. Adams, J. A , Rogers D. E , Computer Aided Heat Transler Analysis, McGraw-Hill, EUA.
1973.
3. Cárdenas, R. S., Manrique, J . A , Determining Emissivities 01 Materia/s in the Student
Laboratory, EUA, Engineering Education, 60, 9, mayo de 1970.
4. Carslaw, H. S., Jaeger, J. c., Conduetion 01 Heat in So/ids, Oxford University Press, Inglaterra, 1959.
5. Holman, J. P , Heat Transler, McGraw-Hill, EUA, 1972.
6. Hottel, H. c., Sarofim, A E, Radiaetive Trans/er, McGraw-Hill, EUA, 1967.
7. Kays, W. M., Conveetive Heat and Mass Trans/er, McGraw-Hill, EUA, 1966.
8. Kreith, E , PrincipIes 01 Hea t Transle r, Intext, EUA, 1973.
9. McAdams, W. H., Heat Transmission , McGraw-Hill, EUA, 1954.
10. Schneider, P. J ., Conduetion Heat Trans/er, Addison-Wesley, EUA, 1957 .
Apéndice
~==================================================~.)
Tabla Al
Vapor de agua saturado
Tabla A2
Vapor de agua saturado
Tabla A3
Vapor de agua sobrecalentado
Tabla A4
Propiedades del refrigerante 22(R-22) en condiciones de saturación
Tabla AS
Propiedades del refrigerante 134a (R-134a) en condiciones de saturación líquido-vapor
Figura B.1
Diagrama de Mollier para el agua
Figura B.2
Diagrama de temperatura-entropía del agua
Figura B.3
Diagrama presión-entalpía del refrigerante 22
Figura B.4
Diagrama presión-entalpía del refrigerante 134a
Figura B.5
Diagrama temperatura-entropía para diclorodifluorometano
1672.9
891.9
1.0435
1.0603
.8455
1.0135
2361
1981.9
95
100
2828
1.0325
1.0360
220.9
374.136
Volumen
Tabla A.2. Vapor de agua saturado.
J. H. Keanan et al., Steam tables, Wiley, 1969
3.155
1725.2
6.945
3.155
1505.3
12.996
1.5607
1.8925'
186.51
330
2375.3
vg
2029.6
2498.9
2351.5
2563.0
2586.1
2604.0
2599.0
2595.3
2602.4
2583.7
2550.0
2568.4
2529.3
2500.6
2506.5
2494.5
2475.9
2482.2
2488.4
2469.6
2463.1
2456.6
2450.1
2443.5
2436.8
2430.1
2416.6
2423.4
2409.8
2402.9
2396.1
2389.2
2382.3
Energía
2029.6
1332.0
360
1128.39
1227.46
30.17
21.67
1.2755
46.88
1033.21
1.3321
59.76
42.21
1.2291
240
260
940.87
850.65
1.4036
86.19
64.12
127.36
1.1565
1.1565
15.538
23.18
33.44
200
220
674.87
762.09
85.81
128.45
194.05
503.50
588.74
397.88
418.94
376.85
355.84
313.90
334.86
292.95
272.02
230.21
251.11
209.32
146.67
167.56
188.44
125.78
104.88
83.95
62.99
42.00
300
307.1
1.1020
l.l274
6.178
10.021
160
180
.00
20.97
v¡
Energía
interna
280
508.9
1.0797
1.9853
3.613
120
140
1.0397
1.0291
.5783
.7014
4131
3407
1.0259
85
90
80
.3858
.4739
5042
75
6197
1.0228
70
1.0199
.2503
.3119
65
9568
7671
1.0146
1.0172
.15758
.19940
12032
55
60
15258
1.0099
1.0121
.12349
50
.09593
45
25216
19523
1.0060
1.0078
.05628
.07384
32894
35
40
43360
30
1.0043
25
1.0029
.02339
.04246
.017051
15
20
.03169
106379
1.0004
.012276
10
77 926
57791
147 120
1.0009
1.0018
206 136
1.0002
1.0001
.006113
vg
.008721
v¡
5
p
0.01
T
Volumen
específico
Tabla A.1. Vapor de agua saturado.
-;---.=
.01
2283.2
2296.0
2308.8
2333.8
2321.4
2346.2
2370.7
2358.5
2382.7
2394.8
2418.6
2406.7
2430.5
2442.3
2465.9
2454.1
2477.7
2489.6
2501.3
h¡g
O
720.5
1140.6
1404.9
1543.6
1662.5
1766.5
1858.5
1940.7
2082.6
2015.0
2144.7
2202.6
2270.2
2257.0
Entalpía
2099.3
1760.5
1525.3
1344.0
1235.99
1134.37
1037.32
943.62
675.55
763.22
852.45
589.13
503.71
397.96
419.04
376.92
355.90
313.93
334.91
292.98
272.06
230.23
25l.l3
209.33
146.68
167.57
188.45
125.79
104.89
62.99
83.96
42.01
20.98
h¡
Entalpía
2099.3
2665.9
2481.0
2749.0
2779.6
2796.9
2803.8
2802.1
2793.2
2778.2
2758.1
2733.9
2706.3
2668.1
2676.1
2660.1
2635.3
2643.7
2651.9
2626.8
2618.3
2600.9
2609.6
2592.1
2583.2
2565.3
2574.3
2556.3
2547.2
2528.9
2538.1
2519.8
2510.6
2501.4
hg
O
4.4298
8.7814
8.6672
8.9008
9.0257
9.1562
Sg
4.4298
5.0526
5.7045
5.4417
5.8571
6.0019
6.1437
6.2861
6.5857
6.4323
6.7502
6.9299
7.1296
7.3549
7.4159
7.5445
7.4791
7.6824
7.6122
7.7553
7.8310
7.9913
7.9096
8.0763
8.1648
8.3531
8.2570
8.5580
8.4533
Entropía
1.8909
1.1379
2.7903
2.4511
3.1181
3.7683
3.4422
4.1014
4.4461
4.8075
5.1908
5.6020
6.1659
6.0480
6.2866
6.6669
6.5369
6.4102
6.8004
6.9375
7.2234
7.0784
7.3725
7.5261
7.8478
7.6845
8.0164
8.1905
8.3706
8.5569
8.7498
8.9496
9.1562
s¡g
3.5507
3.9147
3.2534
3.0668
2.8838
2.7015
2.5178
2.3309
2.1396
1.9427
1.7391
1.5276
1.3069
1.1925
1. 250()
1.1343
1.0155
1.0753
.8935
.4549
.7679
.8312
.7038
.6387
.5030
.5725
.3674
.4369
.2966
.2245
.1510
.0761
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.040
.050
.075
.10
.15
.20
.25
.30
.40
.50
.75
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.0
90.0
100.0
120.0
140.0
160.0
180.0
200.0
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p
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T
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11.485
9.306
7.489
5.834
3.155
Volumen
específico
Tabla A.2. Vapor de agua saturado.
J. H. Keanan et al., Steam tables, Wiley, 1969
374.136
2029.6
sf
.00
.1059
.1957
.2607
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2029.6
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hg
2099.3
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o
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Entalpía
2099.3
vg
Energía
interna
.00
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137.81
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271.90
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vf
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Sfg
Sg
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5.2455
5.1044
4.9269
4.4298
Entropía
(5
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43028
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39557
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8.5716
v
u
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2434
2680.0
7.5341
2127
2678.8
7.4698
u
h
v
h
Presión
Tabla A.3. Vapor de agua sobrecalentado.
.8
(9350)
.7
(8995)
u
h
(Continuación)
3628
2877.2
8.0731
3238
2779.4
7.8546
2844
26813
7.6079
.6
(85.94)
h
2718
2876.2
7.9388
4356
2877.7
8.1580
3889
2780.1
7.9401
3418
2682.5
7.6947
v
.5
(8133)
(75.87)
3300
3074.8
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3772
3075.0
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4402
3075.3
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3075.5
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3075.8
8.6406
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2878.1
8.2617
4866
2780.8
8.0444
4279
2683.8
7.8003
v
h
.4
8811
3076.0
8.7736
7267
2878.6
8.3952
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2880.0
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200
10907
2879.1
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2783.0
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2783.4
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2783.6
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150
h
u
h
h
h
v
h
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u
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70
45
20
.3
(69.10)
.2
(60.06)
.1
(45.81)
.04
(28.96)
.01
(6.98)
Presión
Tabla A.3. Vapor de agua sobrecalentado.
8.6468
3879
3278.5
4434
3278.6
8.7086
5174
3278.8
8.7799
6209
3278.9
8.8642
7763
3279.1
8.9674
10351
3279.2
9.1003
15529
3279.4
9.2876
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3279.6
9.6077
77 662
3279.6
10.0307
310661
3279.7
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400
4458
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5095
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8.9991
5944
3488.6
9.0704
7134
3488.7
9.1546
8918
3488.8
9.2577
11 891
3488.9
9.3906
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4042.7
9.6191
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4042.7
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4042.8
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4043.0
10.1975
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3489.0
9.5778
(Continúa)
10.0794
7344
4640.4
8393
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10.1411
9792
4640.4
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1.5
(111.37)
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4.0
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5.0
(151.86)
6.0
(158.85)
9.0
(175.38)
8.0
(170.43)
u
h
h
l.0
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(164.97)
h
.9
(96.71)
Presión
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45
70
2067
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2865.6
7.3115
534.2
2860.5
7.1706
424.9
2855.4
7.0592
352.0
2850.1
6.9665
299.9
2844.8
6.8865
260.8
2839.3
6.8158
230.3
2833.6
6.7522
1285.3
2772.6
7.4193
959.6
2768.8
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633.9
2761.0
7.0778
470.8
2752.8
6.9299
875.3
3069.3
7.7022
772.6
3273.4
7.8985
393.8
3479.6
7.8119
443.3
3480.6
7.8673
507.0
3481.7
7.9299
592.0
3482.8
8.0021
710.9
3483.9
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3484.9
8.1913
523.5
4038.7
8.4374
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4039.1
8.4921
673.4
4039.6
8.5541
785.9
4040.1
8.6256
(Continúa)
652.4
4637.9
8.9608
734.0
4638.2
9.0153
838.9
4638.5
9.0771
978.8
4889.6
9.1485
1174.7
4639.1
9.2328
1486.5
4639.4
9.3360
1179.4
4041.0
8.8134
943.3
4040.5
8.7101
1958.1
4639.7
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1186.7
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8.3251
1031.5
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4640.0
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404l.6
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4042.0
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4042.5
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4640.3
10.0251
5245
4042.6
9.5030
3917
4890.8
9.7892
1000
750
3147
4042.3
9.2670
3565
3488.1
8.8342
3962
3488.2
8.8829
500
2376
3487.6
8.6466
3103
3278.2
8.5435
3448
3278.3
8.5923
2172
2875.3
7.8343
2933
3074.6
8.2647
1936.4
2776.4
7.6134
2415
2875.8
7.8837
1695.8
2676.2
7.3614
400
2153
2777.1
7.6634
300
1887.3
2677.5
7.4128
200
150
100
Tabla A.3. Vapor de agua sobrecalentado. (Continuación)
>
"
U'I
N
/1)
n'
::J
o,
/1),
'D
99.18
3450.9
7.1572
86.43
3445.3
7.0901
48.14
3410.3
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41.75
3398.3
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151.2
3247.6
7.1271
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3239.3
7.0148
99.36
3230.9
6.9212
84.53
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6.8405
73.41
3213.6
6.7690
57.81
3195.7
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3177.2
6.5408
39.93
3158.1
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34.32
3138.3
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3008.8
6.6438
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2993.5
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58.84
2960.7
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2884.2
6.0674
29.47
2838.4
5.9305
24.26
2810.3
5.7906
v
v
v
h
v
h
v
h
v
h
v
h
v
h
h
h
h
v
h
v
h
Presión
306.6
3263.9
7.4651
203.0
3255.8
7.2690
500
56.65
3422.2
6.8803
68.57
3433.8
6.9759
116.19
3456.5
7.2338
139.98
3462.1
7.3234
175.68
3467.6
7.4317
235.2
3473.1
7.5698
354.1
3478.5
7.7622
169.66
3037.6
6.9179
400
132.48
2796.8
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150
257.9
3051.2
7.1229
v
100
300
70
200
45
206.0
2827.9
6.6940
20
Tabla A.3. Vapor de agua sobrecalentado. (Continuación)
80.0
(29506)
70.0
(285.88)
60.0
(27564)
50.0
(263.99)
40.0
(250.40)
35.0
(242.60)
30.0
(233.90)
25.0
(223.99)
20.0
(212.42)
15.0
(198.32)
10.0
(179.91)
Presión
Tabla A.3. Vapor de agua sobrecalentado. (Continuación)
57.91
4002.8
7.4017
(Continúa)
73.01
4616.9
7.9384
83.50
4619.8
8.0020
97.49
4622.7
8.0751
77.58
4013'1
7.5423
66.34
4007.9
7.4672
117.07
4625.7
8.1612
146.45
4628.7
8.2662
167.43
4630.1
8.3288
195.41
4631.6
8.4009
234.6
4633.1
8.4861
293.3
4634.6
8.5901
93.32
4018.1
7.6303
116.93
4023.2
7.7371
133.79
4025.6
7.8006
155.85
4028.2
7.8737
187.76
4030.7
7.9597
234.95
4033.1
8.0646
391.3
4636.1
8.7238
587.1
4637.6
8.9119
313.7
4035.6
8.1993
1000
750
471.1
4038.1
8.3883
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3
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Q.
3
(1)
-1
VI
N
00
www.elsolucionario.org
h
h
h
h
h
h
h
120.0
(324.75)
140.0
(336.75)
160.0
(347.44)
180.0
(357.06)
200.0
(365.81)
250.0
300.0
500.0
J¡
v
h
100.0
(311.06)
400.0
h
90.0
(303.40)
Presión
20
45
70
Tabla A.3. Vapor de agua sobrecalentado.
100
(Continuación)
150
200
300
23.10
4568.5
7.3802
19.196
4554.7
7.2867
22.51
3940.2
6.9306
17.800
3913.6
6.8069
14.664
3886.8
6.7019
26.80
3348.2
6.4871
22.52
3322.0
6.3897
19.296
3294.9
6.3007
16.784
3267.0
6.2181
14.768
3238.2
6.1401
11.123
3162.4
5.9592
10.168
3081.1
5.7905
5.622
2903.3
5.4700
3.892
2720.1
5.1726
17.216
3001.9
5.9448
14.262
2947.6
5.8175
11.901
2887.0
5.6887
9.942
2818.1
5.5540
6.004
2580.2
5.1418
2.790
2151.1
4.4728
1.9077
1930.9
4.1135
1.7309
1874.6
4.0031
14.324
4527.6
7.1356
11.411
4501.1
7.0146
8.424
3779.4
6.3816
28.97
4582.5
7.4925
32.23
4588.1
7.5449
10.755
3833.0
6.5269
25.13
3950.8
6.9874
36.30
4599.5
7.6031
41.54
4599.5
7.6685
32.62
3971.8
7.1196
28.41
3961.3
7.0499
48.53
4605.3
7.7435
38.24
3982.2
7.1988
58.32
4611.0
7.8315
21.08
3051.3
6.0747
46.11
3992.6
7.2909
32.79
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26.41
3096.5
6.2120
64.85
4614.0
7.8821
36.77
3386.1
6.6576
29.93
3117.8
6.2854
1000
750
51.35
3997.7
7.3434
500
400
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N
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-
229.29
63.648
21.311
8.2980
3.6548
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1675.3
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1571.7
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1518.3
1491.1
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1424.1
1418.4
1412.6
1409.1
1406.8
1401.0
1395.1
1389.2
1383.3
1377.3
1371.3
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1321.5
-
0.00006
0.00023
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-140.00
-130.00
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-110.00
-100.00
- 90.00
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- 40.80b
- 40.00
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- 36.00
- 34.00
_ 32.00
- 30.00
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- 26.00
.- 24.00
- 22.00
- 20.00
- 18.00
- 16.00
- 14.00
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179.26
181.53
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168.04
170.27
172.51
174.75
154.80
156.99
159.19
161.40
163.61
143.91
146.08
148.25
150.43
152.61
153.93
90.24
100.95
111.66
122.36
133.11
26.01
43.84
57.00
68.51
79.47
hJ
kJ/kg
396.97
397.81
398.64
399.46
400.27
392.63
393.52
394.39
395.26
396.12
388.09
389.01
389.93
390.84
391.74
383.39
384.35
385.29
386.23
387.17
387.72
358.93
363.82
368.75
373.68
378.58
335.85
340.24
344.75
349.38
354.11
hg
0.9133
0.9222
0.9309
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sJ
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- 48.00
- 46.00
- 44.00
- 42.00
- 40.80
- 40.00
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- 28.00
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- 24.00
- 22.00
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1.8427
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1.8184
1.8140
1.8096
1.8054
1.8013
1.7973
1.7934
1.7896
1.7859
(Continúa)
- 20.00
- 18.00
- 16.00
- 14.00
- 12.00
-100.00
- 90.00
- 80.00
- 70.00
- 60.00
-150.00
-140.00
-130.00
-120.00
-110.00
T.OC
2.0545
1.9982
1.9508
1.9109
1.8770
2.5752
2.4222
2.3017
2.2033
2.1220
s9
1.7822
1.7787
1.7752
1.7719
1.7686
kJ/kgK
Tabla A.4. Propiedades del refrigerante 22 (R-22) en condiciones de saturación liquído-vapor. (Continuación)
0.09262
0.08615
0.08023
0.07479
0.06979
0.13551
0.12525
0.11593
0.10744
0.09970
0.20526
0.18832
0.17306
0.15927
0.14680
0.32405
0.29469
0.26849
0.24507
0.22410
0.21256
-
Pr
vg
m3/kg
kgim3
P
MPa
T.OC
Tabla A.4. Propiedades del refrigerante 22 (R-22) en condiciones de saturación líquido-vapor.
..,
[Ij
¡:¡.
3
[Ij,
5'
3
oQ.
(1)
-l
VI
W
O
www.elsolucionario.org
0.06520
0.06096
0.05706
0.05345
0.05012
0.04703
0.04417
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0.03906
0.03676
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0.02906
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0.02451
0.02319
0.02194
0.02077
kgim3
1315.0
1308.5
1301.9
1295.3
1288.6
1281.8
1275.0
1268.1
1261.1
1254.0
1246.9
1239.7
1232.4
1225.0
1217.6
1210.0
1202.4
1194.6
1186.8
1178.8
1170.7
1162.5
1154.2
1145.7
1137.1
1128.4
1119.5
1110.4
1101.2
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1.1924
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1.6103
1.6892
1.7709
1.8555
-10.00
-8.00
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
1200
14.00
16.00
18.00
2000
22.00
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28.00
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P
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T. DC
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1.6973
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1.0923
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1.1667
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1.1915
1.1998
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416.44
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416.87
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(Continúa)
10.00
12.00
14.00
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18.00
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1.7333
1.7306
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2.00
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T. DC
-10.00
- 8.00
- 6.00
- 4.00
- 2.00
Sg
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1.7590
1.7560
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219.18
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hg
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406.99
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202.35
204.72
207.10
209.49
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190.69
193.00
195.32
197.66
hr
Tabla A.4. Propiedades del refrigerante 22 (R-22) en condiciones de saturación líquido-vapor. (Continuación)
••
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VI
n>
Q,
n
):-
-o
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de ebullición
crítico
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3.6627
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80.00
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96.14C
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70.00
e Punto
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p
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T, De
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411.60
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310.10
320.05
331.98
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hg
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417.14
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SJ
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80.00
85.00
90.00
95.00
96.14
1.6413
1.6287
1.6128
1.5907
1.5491
1.4918
T, De
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55.00
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70.00
59
1.6840
1.6768
1.6692
1.6610
1.6518
Tabla A.4. Propiedades del refrigerante 22 (R-22) en condiciones de saturación líquido-vapor. (Continuación)
tu
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P
1443.1
1414.8
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1374.1
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- 28.00
- 26.07b
- 26.00
- 24.00
- 22.00
-20.00
-18.00
- 16.00
- 14.00
-12.00
- 10.00
-8.00
-6.00
-4.00
- 2.00
1325.6
1319.3
1313.0
1306.6
1300.2
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1471.0
1526.2
1553.9
- 70.00
- 60.00
- 50.00
- 40.00
1591.2
1581.9
PJ
kg/m3
- 90.00
- 80.00
MPa
0.00039
0.00056
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-103.30
-100.00
T.oC
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0.18961
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0.16010
2.0528
1.0770
0.60560
0.36095
35.263
25.039
4.2504
9.7191
v9
m3/kg
186.78
189.40
192.03
194.68
197.33
184.16
173.82
176.39
178.97
181.56
163.62
166.07
166.16
168.70
171.26
161.10
111.78
123.96
136.21
148.57
75.71
99.65
87.59
71.89
hJ
kj/kg
392.75
393.95
395.15
396.33
397.51
386.66
387.89
389.11
390.33
391.55
382.90
382.94
384.19
385.43
0.9509
0.9608
0.9707
0.9805
0.9903
0.9009
0.9110
0.9211
0.9311
0.9410
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0.8701
0.8704
0.8806
0.8908
380.45
381.70
367.83
374.16
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0.6871
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0.7973
1.7285
1.7337
1.7323
1.7310
1.7297
1.7417
1.7399
1.7383
1.7367
1.7351
1.7519
1.7497
1.7476
1.7476
1.7455
1.7436
1.7649
1.8269
1.8016
1.7812
1.8975
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59
1.9638
1.9456
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kJ/kg K
0.4143
0.4366
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SJ
335.23
361.51
335.07
337.00
349.03
342.94
hg
Tabla A.5. Propiedades del refrigerante 134a (R-134a) en condiciones de saturación líquido-vapor.
(Continúa)
- 10.00
- 8.00
- 6.00
- 4.00
- 2.00
- 20.00
- 18.00
- 16.00
- 14.00
- 12.00
- 30.00
- 28.00
- 26.07
- 26.00
- 24.00
- 22.00
- 70.00
- 60.00
- 50.00
- 40.00
-103.30
-100.00
- 90.00
- 80.00
T.oC
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1.7115
1.7108
1.7101
1.7094
1.7086
Tabla A.S. Propiedades del refrigerante 134a (R-134a) en condiciones de saturación líquido-vapor. (Continuación)
419.58
420.44
421.28
422.09
422.88
1.1903
1.1997
1.2091
1.2185
1.2279
256.35
259.35
262.38
265.42
268.49
0.01999
0.01890
0.01786
0.01689
0.01598
1146.5
1137.9
1129.2
1120.3
1111.3
1.0165
1.0721
1.1300
1.1901
1.2527
40.00
42.00
44.00
46.00
48.00
1.7149
1.7142
1.7135
1.7129
1.7122
1.1432
1.1527
1.1621
1.1715
1.1809
414.94
415.90
416.85
417.78
418.69
241.65
24455
247.47
250.41
253.37
0.02667
0.02516
0.02374
0.02241
0.02116
1187.2
1179.3
1171.3
1163.2
1154.9
0.77008
0.81530
0.86259
0.91172
0.96301
30.00
32.00
34.00
36.00
38.00
1.7183
1.7176
1.7169
1.7162
1.7155
1.0960
1.1055
1.1149
1.1244
1.1338
409.84
410.89
411.93
412.95
413.95
227.40
230.21
233.05
235.90
238.77
0.03603
0.03388
0.03189
0.03003
0.02829
1224.9
1217.5
1210.1
1202.6
1194.9
0.57159
0.60777
0.64566
0.68531
0.72676
20.00
22.00
24.00
26.00
28.00
1.7224
1.7215
1.7207
1.7199
1.7191
1.0483
1.0579
1.0674
1.0770
1.0865
404.40
405.51
406.61
407.70
408.78
213.53
216.27
219.03
221.80
224.59
0.0:4948
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0.04348
0.04081
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1253.3
1246.3
1239.3
1232.1
0.41449
0.44289
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0.50413
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10.00
12.00
14.00
16.00
18.00
s9
1.7274
1.7263
1.7252
1.7242
1.7233
kJ/kgK
1.00
1.0097
1.0194
1.0291
1.0387
sJ
398.68
399.84
401.00
402.14
403.27
200.00
202.68
205.37
208.08
210.80
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0.06470
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1287.1
1280.5
1273.8
1267.0
0.29269
0.31450
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0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
hg
MPa
kJ/kg
v9
m3/kg
P
PJ
kg/m3
T.OC
hJ
Tabla A.5. Propiedades del refrigerante 134a (R-134a) en condiciones de saturación líquido-vapor. (Continuación)
(Continúa)
40.00
42.00
44.00
46.00
48.00
30.00
32.00
34.00
36.00
38.00
20.00
22.00
24.00
26.00
28.00
10.00
12.00
14.00
16.00
18.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
T. °C
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995.6
983.1
970.0
956.5
942.3
927.4
886.2
836.9
771.6
2.1165
2.2130
2.3127
2.4159
2.5227
2.6331
2.9259
3.2445
3.9516
3.9721
4.0560
70.00
72.00
74.00
76.00
78.00
80.00
85.00
90.00
95.00
100.00
101.03C
de ebullición
critico
b Punto
e Punto
-
1007.7
2.0234
646.7
513.3
1052.4
1041. 7
1041. 7
1019.4
1.6815
1.7625
1.7625
1.9334
60.00
62.00
64.00
66.00
68.00
1.5280
1.6033
1102.0
1092.6
1082.9
1073.0
1062.8
1.3177
1.3852
1.4553
50.00
52.00
54.00
56.00
58.00
Pr
kg/m3
P
MPa
T,OC
314.96
318.65
322.41
332.27
343,01
355.43
374.02
389.79
0.00646
0.00550
0.00461
0.00374
0.00265
0.00195
304.29
307.79
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0.00970
0.00917
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1.5593
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1.3631
1.3733
1.2847
1.2943
1.2943
1.3136
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1.2373
1.2468
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1.2657
1.2752
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427.37
428.25
428.61
423.63
424.35
425.03
425.68
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72.00
74.00
76.00
78.00
80.00
85,00
90.00
95.00
100.00
101.03
1.6963
1.6945
1.6926
1.6905
1.6881
1.6855
1.6775
1.6663
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1.6093
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52.00
54.00
56.00
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64.00
66.00
68.00
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1.7070
1.7061
1.7051
1.7041
s9
1.7031
1.7019
1.7019
1.6993
1.6979
kJ/kg K
Tabla A.5. Propiedades del refrigerante 134a (R-134a) en condiciones de saturación líquido-vapor. (Continuación)
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536 Termodinámica
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Diagrama de Mollier para el agua.
Apéndice
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Diagrama presión-entalpía del refrigerante 134a.
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Figura 8.4.
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índice analítico
adiabático, 63, 116
aire
ambiente, 413, 414
saturado, 415
seco, 414, 428
teórico, 435
alotrópica, 82
análisis
gravimétrico, 402
volumétrico, 404, 428
en base seca, 435
axioma
de Clausius, 148, 149, 150
de Kelvin-Planck, 148, 149
bar, 4
Beattie-Bridgeman, ecuación de, 138
Bernoulli, ecuación de, 37
bomba térmica, 171
Boyle, isoterma de, 126
Bridgeman , ecuaciones de, 312, 313, 314
bulbo
húmedo, temperatura de, 420 , 429
seco, temperatura de, 417 , 429
calidad,76
calor, 40
de combustión, 433
específico,
a presión constante, 93
a volumen constante, 93
calor latente, 78
de fusión , 81
de sublimación, 82
de vaporización, 78
calores
cociente de, 111
específicos, 297
relación entre, 111
Caratheodory, 184
Carnot
ciclo de, 165, 166
principio de, aplicado a refrigeradore s, 161,
163
www.elsolucionario.org
542
\
Termodinámica
carta psicrométrica, 422
choque, onda de, 484
ciclo, 13
abierto, 333
Brayton, 353, 392, 393
de Carnot, 165
Diesel,342
estándar de aire, 342
dual estándar de aire, 348
Ericsson, 181
Otto,331
estándar de aire, 333
Rankine, 375, 376
Stirling, 178
Clapeyron, ecuación de, 323, 470
Clausius
axioma de, 181
desigualdad de, 189, 190
Clausius-Clapeyron, ecuación de, 324, 470
cociente de calores específicos, 111
coeficiente
de compresibilidad isotérmica, 95, 96
de expansión volumétrica, 95
de Joule-Thomson, 94
total de transferencia de calor, 503
combustión
calor de, 433
ecuación de, 433
compresibilidad
generalizado, factor de, 127
isotérmica, coeficiente de, 95, 96
factor de, 125
compresor, 28
concentración, 121
conducción, 501, 505
conductividad térmica, 502
constante
de equilibrio, 461
de los gases, 106
dimensional, 2
universal de los gases, 106
constantes críticas, 75
convección, 504, 514
cuerpo negro, 517, 518
cuerpos grises, 518
Dalton, ley de, 403
Darrieus, función de, 267
desigualdad de Clausius, 189
diagrama
de fases, 81
de Molier, 219
entalpía-entropía, 219
presión-entalpía, 78
presión-temperatura, 72
presión-volumen, 72
temperatura-entropía, 210
temperatura-volumen, 79
difusor, 27
dimensión
fundamental, 1, 2
secundaria, 1
disponibilidad, 265
balance de, 270
ecuación, de
Beattie-Bridgeman, 138
Bernoulli, 37
Clapeyron, 323, 470
Clausius-Clapeyron, 323, 470
combustión, 433
estado, 105
estado completa, 209, 210
Gibbs-Helmholtz, 464
Redlich-Kwong, 136
Van der Waals, 130
ecuaciones, de
Bridgeman, 312, 313, 314
desviación, 317
Maxwell, 293, 294
T ds, 205
eficiencia
de humidificación, 424
térmica, 65
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índice analítico
emitancia, 518
energía, 4
del sistema, 42, 64
cinética, 44
de flujo, 36
del sistema disponible, 246, 247
interna, 64
no disponible, 246, 247
potencial, 44
enfriamiento evaporativo, 390
entalpía, 64, 111 , 112
de formación, 446, 447
de reacción, 446, 447
total, 354
entropía, 189, 193
balance general de, 224, 225
principio de incremento de, 200
equilibrio
de la flama/ temperatura de, 448-449, 468
constante de, 461
eléctrico, 13
entre fases , 67 , 469
estable, 453
líquido-vapor, 67
mecánico, 13
químico, 13
térmico, 13
termodinámico, 13, 205
escala
Celsius, 19
del gas ideal, 20
Fahrenheit, 19
Kelvin, 20, 160
Rankine,20
Reaumur,23
termodinámica de temperatura absoluta, 171
estado, 13
ecuación de, 18, 105
completa, 212, 213
estable, 35
muerto, 265
estrangulamiento, proceso de, 53
expansión
de Joule-Thomson, 53
volumétrica, coeficiente de, 95
factor
de compresibilidad, 125
generalizado, 127
de fricción, 455
fase saturada, 72
fases , equilibrio entre, 71 , 469
flujo
estrangulado, 489
isoentrópico, 479
energía de, 36
Fourier, ley de, 502
fracción
de masa, 401, 402
molar, 402, 427
volumétria, 404
fricción , 154
fuerza , 3
función de
Darrieus, 267
Gibbs, 253
Helmholtz, 253
presión, 356
funcionamiento
coeficiente de, 59
fusión
calor latente de, 81
línea de, 81
gas
ideal, 106
escala del, 19
real, 127, 128
gases, 71
constante de los, 106
constante universal de los, 106
Gibbs, función de, 253
Gibbs-Helmholtz, ecuación de, 464
Grashof, número de, 515
543
www.elsolucionario.org
544 Termodinámica
Helmholtz, función de, 253
hielo , punto del, 18
humedad
específica, 415, 429
relativa, 414, 428
humidificación/ eficiencia de, 424
inversión
máxima, temperatura de, 95
línea de, 94
isoterma de Boyle, 126
jacobiano, 292
Joule, ley de, 108
Joule-Thomson
coeficiente de, 94
expansión de, 53
Kelvin-Planck, axioma de, 148, 149
Kirchhoff, ley de, 518
ley
cero de la termodinámica, 17
de desplazamiento; de Wien, 519
de Amagat, 404
de Dalton, 403
de Fourier, 464
de Joule, 108
de Kirchhoff, 518
de Newton, 503
límites del sistema, 10
línea
de fusión , 81
de inversión, 94
de saturación, 76
de sublimación, 81
de vaporización, 72
Fanno,492
Rayleigh, 489
líquido
saturado, 72
subenfriado, 74
Mach, número de, 478
máquina térmica, 59
masa, fracción de, 401
Maxwell, ecuación 1 de, 293, 294
mezcla, 401
con composición variable, 455
moles, número de, 112
motor de
cuatro tiempos, 331
dos tiempos, 331, 332
Newton, ley de, 503
número de
Grashof, 515
Mach, 478
Prandtl, 515
Reynolds, 515
onda de choque, 484
Orsat, 437
Pascal, 3
potencia, 3
potencial químico, 453
Prandtl, número de, 515
presión, 4 , 13, 14
absoluta, 14, 15
barométrica, 14, 15
de saturación, 72
de vacío, 15
función de, 356
manométrica, 14, 15
media efectiva, 335
parcial, 403
reducida, 127
total, 335
primera ley de la termodinámica, 25
en un sistema
abierto, 48
cerrado, 42
para cualquier sistema, 54
índice analítico
principio de
Carnot, 161
incremento de entropía, 200
proceso, 13
adiabático, 111, 118
de estrangulamiento, 53
isobárico, 120
isocórico, 120
isotérmico, 120
politrópico, 119
reversible, 149, 150
propiedades
específicas, 13
extensivas, 12
intensivas, 12
punto
de rocío, temperatura de, 417
crítico, 72
de cruce, 393
del hielo, 18, 19
del vapor, 19
triple, 76
radiación, 516
reacción química, 424
Redlich-Kwong, ecuación de, 136
refrigerador, 65
de Carnot, 168
aire-combustible, 399
de compresión, 308
Reynolds, número de, 515
saturación
adiabática, temperatura de, 418
condiciones de, 72
línea de, 76
presión de, 72
temperatura de, 72
segunda ley de la termodinámica, 148
sistema
Internacional de unidades, 3
abierto, 10
aislado, 11
cerrado, 10
límites del, 10
simple, 11
sonido, velocidad del, 475
sublimación
calor latente de, 82
línea de, 81
sustancia pura, 71
temperatura, 16, 18
absoluta, escala termodinámica de, 171
de bulbo
húmedo,420
seco, 417
de equilibrio, ecuación, 454, 455
de inversión máxima, 95
de punto de rocío, 417
de saturación adiabática, 418
reducida, 120
teórica de flama, 448
total,326
tercera ley de la termodinámica, 446
termodinámica
ley cero de la, 17
primera ley de la, 25
segunda ley de la, 148
tercera ley de la, 446
título, 76
tobera, 26
tonelada de refrigeración, 390
trabajo, 26
en un sistema abierto, 35
en un sistema cerrado, 28
máximo,240
transferencia de calor, coeficiente de, 503
transformación alotrópica, 82
trayectoria, 14
turbina, 27
unidades, 2, 3, 4
545
www.elsolucionario.org
546 Termodinámica
vacío, presión de, 15
Van der Waals, ecuación de, 130
vapor
húmedo, 72
punto del, 19
saturado seco, 72
sobrecalentado, 75
vaporización
calor latente de, 78
línea de, 72
velocidad del sonido, 475
Venturi, 63
volumen
parcial, 403, 404
reducido, 127
Wien, ley de desplazamiento de, 520